Simetrik olmayan Eğilme

Transkript

Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Simetrik Olmayan Eğilme (Eğik Eğilme)
Simetrik Eğilme :
• Eğilme momenti bir simetri düzleminde (y
burada simetri eksenidir) etki etmektedir.
• Kesit eğilmeden sonra yine simetrik kalır ve
eğilme simetri düzlemindedir.
• Tarafsız eksen ile moment ekseni (yönü)
çakışıktır.
Simetrik Olmayan Eğilme :
• Kesitte simetri düzlemleri veya eksenleri
olmasına rağmen; eğilme momenti bir
simetri düzleminde etki etmeyebilir.
• Eğilme, momentin etki düzleminde
gerçekleşmez.
• Genel olarak, tarafsız eksenle moment
ekseni (yönü) çakışık değildir.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
1- 1
Fifth
Edition
• Keyfi bir kesitte tarafsız eksen ile moment ekseni hangi şartlarda çakışıktır?
Şekildeki gibi bir Mz eğilme
momentine maruz kesitteki gerilmelere
karşılık gelen eşdeğer kuvvet ve
momentler şu şartları sağlamalıdır:
Fx = ∫ σ x dA = 0
M y = ∫ z σ x dA = 0
M z = ∫ − yσ x dA = M
⎛ y
⎞
Fx = ∫ σ x dA = ∫ ⎜ − σ m ⎟ dA = 0
⎝ c
⎠
veya
∫ y dA = 0
Tarafsız eksen geometrik merkezden geçer
⎛ y
⎞
M y = ∫ zσ x dA = ∫ z ⎜ − σ m ⎟dA = 0
⎝ c
⎠
∫ yz dA = 0 = I
Bunun
için
yz
moment
vektörü
geometrik
merkezden geçen asal atalet eksenlerinden
σ I
⎞
⎛ y
M = M z = − ∫ y⎜ − σ m ⎟dA = m
c
⎠
⎝ c
M c
σm = z
normal gerilme ifadesi
Iz
birisiyle çakışmalıdır. Eğer uygulanan moment
vektörünün yönü asal atalet eksenlerinden
birisiyle çakışmıyorsa eğik eğilme meydana
gelir.
1- 2
Fifth
Edition
Simetrik olmayan eğilmede süperpozisyon prensibi:
M z = M cosθ
M y = M sin θ
Pozitif bölgede yer alan bir A noktasındaki bileşke gerilme;
Mz y M yz
+
σx = −
Iz
Iy
=
A
+
A
• Tarafsız eksenin konumu için;
σx =0 = −
tan φ =
(M cos θ ) y + (M sin θ )z
Mz y M yz
+
=−
Iz
Iy
Iz
Iy
y Iz
= tan θ
z Iy
1- 3
Fifth
Edition
Örnek:
Şekildeki yükleme durumunda;
a) Kirişteki maksimum gerilmeyi,
b) Tarafsız eksenin yatay eksenle yaptığı açıyı bulunuz.
200 Nm
1- 4
Fifth
Edition
Örnek:
M=10 kN.m
b) A ve D noktalarındaki gerilmeleri bulunuz.
a) Tarafsız eksenin yatayla yaptığı açıyı bulunuz.
Burada; C noktası geometrik merkez, z ekseni simetri ekseni ve y
ile z asal atalet eksenleridir.
1
1
I y = ⋅ 200 ⋅ 503 + ⋅ 50 ⋅1003 = 25 × 106 mm 4
3
3
Iz =
1
1
⋅ 50 ⋅ 2003 + ⋅100 ⋅ 503 = 34,375 × 106 mm 4
12
12
M y = M ⋅ sin θ = 10.sin 20 = 3, 42 ×106 N ⋅ mm4
M z = M ⋅ cos θ = 10.cos 20 = 9, 4 × 106 N ⋅ mm 4
M=10 kN.m
φ
tgφ =
θ
T. E .
D (z,y)=D (0,-100) ; A (z,y)=D (-100,25)
Iz
34,375
tgθ =
tg 20 = 0,5 ⇒ φ = 26, 6o
Iy
25
σx = −
My
Mz
y+
z
Iz
Iy
σA = −
9, 4 ×106
3, 42 ×106
25
+
(−100) = −20,52MPa
34,375 ×106
25 × 106
9, 4 ×106
3, 42 ×106
(−100) +
(0) = 27,34MPa
σD = −
34,375 ×106
25 ×106
1- 5
Fifth
Edition
MECHANICS
OF MATERIALS
y
Örnek:
z
b) En büyük çeki gerilmesini bulunuz.
I y' = 281 × 10 3
mm 4 ; I z' = 176.9 × 10 3
mm 4
1- 6
Fifth
Edition
Örnek:
a) A noktasındaki gerilmeyi,
b) Tarafsız eksenin yatayla yaptığı açıyı bulunuz.
I. YOL : asal atalet eksenleri kullanılarak çözüm yapılırsa;
1- 7
Fifth
Edition
Tarafsız
Eksen
1- 8
Fifth
Edition
II. YOL
M (I z − I y ) + M (I z − I y )
σx =
z
yz
y
y
I y I z − I yz2
z
yz
Bağıntısı ile doğrudan
çözüme ulaşılabilir.
1- 9
Örnek:
y
P
70 mm
Fifth
Edition
10 mm
z
.
Şekildeki kiriş için;
a) geometrik merkezin koordinatlarını
ve Iy , Iz , Iyz atalet momentlerini
120°
b) Asal atalet momentlerini ve
doğrultularını
10 mm
50 mm
c) En büyük çeki ve bası gerilmelerini
bulunuz.
1- 10
Fifth
Edition
Örnek:
b) En büyük çeki gerilmesini bulunuz.
1- 11
Fifth
Edition
Eksantrik Yüklemede Genel Durum
P = centric force
M y = Pa
A
A
Pozitif bölgede bir A noktası için
Süperpozisyon prensibi:
σx =
Örnek
M z = Pb
P Mz y M yz
−
+
A
Iz
Iy
Tarafsız eksenin konumu:
σx =0
My
Mz
P
y−
z=
Iz
Iy
A
Şekildeki geometri ve yükleme durumu için
a)
A,B,C ve D noktalarındaki gerilmeleri
b)
Kesit üzerinde tarafsız eksenin konumunu bulunuz.
1- 12
Fifth
Edition
1- 13
Fifth
Edition
Eğri Eksenli Çubuklar (Curved Bars)
DE= tarafsız eksen/düzlem;
(( ( (
JK > J ′K ′
(( ( (
DE = D ′E ′
DE = R ⋅ θ
D ′E ′ = R ′ ⋅ θ ′
R ⋅θ = R′ ⋅θ ′
Yükleme öncesi durum
JK yayının boyunda meydana gelen değişim;
Yükleme sonrası durum
JK yayının birim şekil değiştirmesi;
δ = J ′K ′ − JK = r ′ ⋅ θ ′ − rθ
r = R− y
r ′ = R′ − y
δ = ( R ′ − y )θ ′ − ( R − y )θ
δ = R ′ ⋅θ ′ − y ⋅θ ′ − R ⋅θ + y ⋅θ
R ⋅ θ = R ′ ⋅ θ ′ ⇒ δ = − y ⋅ θ ′ + y ⋅ θ = − y (θ ′ − θ )
θ ′ = θ + ∆θ ⇒ ∆θ = θ ′ − θ
δ = − y ⋅ ∆θ
εX =
δ
=
δ
L JK
δ = − y ⋅ ∆θ
JK = r ⋅ θ
− y ⋅ ∆θ
− y ⋅ ∆θ
y ⋅ ∆θ
=
=−
εX =
( R − y )θ
( R − y )θ
r ⋅θ
⎛
y ⋅ ∆θ ⎞
y
∆θ
⎟⎟ = − E
⋅
σ x = E ⋅ ε x = E ⎜⎜ −
θ R− y
⎝ ( R − y )θ ⎠
∆θ R − r
⋅
R − r = y ⇒ σ x = −E
θ
r
1- 14
Fifth
Edition
MECHANICS
OF
MATERIALS
Tarafsız eksenin yeri;
y
∆θ R − r ⎞
⎛
dA
E
=
⇒
−
⋅
0
σ
⎜
⎟dA = 0
∫ x
∫⎝
r ⎠
θ
∆θ R − r
dA = 0 ⇔ E ≠ 0, ∆θ ≠ 0, θ ≠ ∞
−E
∫
r
θ
T.E
z
R -r
∫ r dA = 0
R
dA
A
dA
dA
R
A
R
−
=
0
⇒
=
⇒
=
∫r
∫
∫ r
R = Eğri eksenli bir çubuk için tarafsız eksenin yeri.
dA
∫ r
Örnek: Dikdörtgen kesite sahip eğri eksenli bir çubuk için tarafsız eksenin konumu
r1 + r2
2
A
bh
h
h
R=
=r
=r
⇒R=
2
2
dA
r2
bdr
dr
ln
∫
∫
∫
r
r1
r
r1
r1 r
r=
1- 15
Fifth
Edition
Statik dengeden;
⎛ E∆θ R − r ⎞
∫ − yσ x dA = M ⇒ ∫ − y⎜⎝ − θ ⋅ r ⎟⎠dA = M
E ⋅ ∆θ ( R − r ) 2
E ⋅ ∆θ R 2 − 2 Rr + r 2
=
y = R−r ⇒
dA
dA =M
θ ∫
θ ∫
r
r
E ⋅ ∆θ ⎡ 2 dA
⎤
− 2 R ∫ dA + ∫ rdA⎥ = M
R ∫
⎢
θ ⎣
r
⎦
∫ rdA
⇒ ∫ rdA = r A
A
A
dA A
⇒∫
=
R=
dA
r
R
∫r
r=
∫ dA = A
E ⋅ ∆θ ⎡ 2 A
⎤
2
−
+
RA
r
A
R
⎥⎦ = M
θ ⎢⎣ R
E ⋅ ∆θ
(− RA + r ⋅ A) = M
θ
E ⋅ ∆θ
θ
E ⋅ ∆θ
θ
A(r − R ) = M
=
M
A(r − R )
Elastisite modülü daima pozitiftir;
E>0,
∆θ > 0
ve θ > 0
O halde eşitliğin sağ tarafı da pozitif olmalıdır:
M
>0⇒r −R >0⇒r > R
A(r − R )
r −R=e
e: eksantriklik
Bu durumda eğilmeye maruz eğri eksenli bir çubuk
kesitindeki normal gerilmeler şu bağıntı ile bulunur:
E ⋅ ∆θ
M
θ
A⋅e
E ⋅ ∆θ R − r
M R − r M (r − R)
σx = −
⋅
⇒σx =
⋅
=
θ
r
A⋅e r
A⋅e ⋅ r
M (r − R)
M⋅y
σx =
veya σ x = −
A⋅e⋅ r
A ⋅ e ⋅ ( R − y)
=
Eğrilik Yarıçapı :
R ⋅θ = R ′ ⋅θ ′
θ ′ = θ + ∆θ
∆θ
1
1 θ ′ 1 θ + ∆θ 1
= ⋅ = ⋅
= (1 +
)
R′ R θ R
R
θ
θ
∆θ
E ⋅ ∆θ
M
M
1 1⎛
M ⎞
=
⇒
=
= ⎜1 +
⎟
A⋅e
A⋅e⋅E
R′ R ⎝ A ⋅ e ⋅ E ⎠
θ
θ
1- 16
Fifth
Edition
1- 17
Fifth
Edition
Örnek
b=50 mm, h=25 mm olduğuna göre; şekildeki eğri eksenli çubuğa M=500
N.m’lik bir moment uygulandığında;
a) Kesitin geometrik merkezi ile tarafsız eksen arasındaki mesafeyi (e) bulunuz.
b) Meydana gelen en büyük çeki ve bası gerilmelerini bulunuz.
=100 mm
1- 18
Fifth
Edition
Örnek
Şekildeki eğri eksenli ve T kesitli çubuğun emniyetli bası
gerilmesi değeri 50 MPa olduğuna göre uygulanabilecek
en büyük P kuvvetinin değerini bulunuz.
C
C
1- 19
Fifth
Edition
Örnek
Şekildeki taşıyıcı kancanın a-a kesitinde meydana gelen en büyük çeki gerilmesini bulunuz.
1- 20
Fifth
Edition
Uygulama için örnek problemler
Örnek
Örnek
Kesit çapı d=32 mm olan
şekildeki eğri eksenli çubuğun
A ve B noktalarında meydana
gelen
gerilmeleri
bulunuz,
r1=20 mm.
Şekildeki eğri eksenli çubuğun A ve B noktalarında meydana
Örnek
gelen gerilmeleri bulunuz
Şekildeki eğri eksenli ve dikdörtgen kesitli
elamanın emniyetli gerilme değeri 100 MPa
olduğuna göre uygulanabilecek en büyük P
kuvvetinin değerini bulunuz.
1- 21

Simetrik olmayan Eğilme

Transkript

Benzer belgeler

Mukavemet 9. hafta sunumu

English Turkish How to Pronounce It Yes Evet E

Vitamin E

Dersimiz.Com “Kaliteli ve Seçkin Eğitime Kaynak”

Turkish flashcards:

⇒ ⇒

f (x, y, z) = x − 4x 2yz + 3y ∇~ f = ∂f ∂x i + ∂f ∂y j + ∂f ∂z k ∇~f

i̇ ç ecekmen ü s ü barmenu

hacim ölçüleri birim dönüşümü ve örnek sorular

Örnek...1

A. Players List