1. Ders

1. Ders
Mahir Bilen Can
May 9, 2016
1
Lie Grup nedir?
Kabaca Lie grubu denilen şey bir C ∞ -çokkatlısıdır ve aynı zamanda grup yapısına sahiptir
öyle ki üzerindeki işlem ve ters alma operasyonu C ∞ -fonksiyonlardır. Bu tarz nesneler doğası
gereği zengindirler ("unlike wisdom"). Örneğin, belirli bir yapısı ile birlikte bir doğrusal
(lineer) uzayın simetri grubu Lie grup yapısına sahiptir. Mesela ortogonal grup O(n, R)
yani, (. , .) Rn üzerinde standart iç çarpım olmak üzere her x, y ∈ Rn için (x, y) = (Lx, Ly)
koşulunu sağlayan Rn ’den kendisine giden tüm doğrusal dönüşümlerin oluşturduğu grup.
SO(n, R) := {L ∈ O(n, R) : detL = 1} altkümesi de O(n, R) ’ın bir Lie altgrubudur ve
(Rn , (., .)) üzerindeki özel ortogonal grup olarak adlandırılır.
Bunlar çok doğal olmalarına karşın ne yazık ki tüm Lie grupları umulduğu kadar görsel
değillerdir. Örneğin tanımı gereği özel ortogonal grubun çift örtüsü olan spin grubu kuantum elektromanyetik kuramı için büyük öneme sahiptir. Ancak bu grubun n=3 haricinde,
genel özelliklerini detaylı bir şekilde çalışmadan ve ortogonal grubun topolojisine girmeden,
doğasını kavrayabilmek hiç de kolay değildir.
*: WIKI’den:
Parçacık fiziğinde (adını Enrico Fermi’den alan), fermiyon Fermi-Dirac istatistiklerine saygı duyan herhangi bir parçacıktır. Bir fermiyon, elektron gibi elementer
1
bir parçacık olabilirken proton gibi bileşik bir parçacık da olabilir. Spin-istatistik
teoremine göre; herhangi bir makul göreli kuantum alan kuramında, buçuklu
parçacıkları olan spinler fermiyonken, tam sayılı spinlere sahip olan parçacıklar
bozondurlar. Bose-Einstein istatistiklerine saygı duyan bozonların aksine verilen
herhangi bir anda sadece bir fermiyon belirli bir "quantum sate" işgal edebilmektedir. Eğer birden fazla fermiyon aynı fiziksel uzayı işgal ediyorsa her fermiyonun, onun spini gibi, en az bir özelliği farklı olmalıdır. Bozonlar genel olarak
kuvvet taşıyıcı parçacıklarken fermiyonlar genelde madde ile ilişkilendirilmektedirler. Belirtmek gerekir ki şu an ki kuantum fiziğinde, bu iki kavram arasındaki
ayrım net değildir. Standart Model iki tip elementer fermiyonları görmektedir:
kuarklar ve leptonlar. Tümünde model 24 farklı fermiyon ayırt etmektedir: her
birinin karşı-parçacığı ile birlikte 6 kuark ve 6 lepton. Proton ve nötronlar gibi
bileşik fermiyonlar maddenin temel yapı taşlarıdır...
1.1
Motivasyonel Örnekler
1. Rn+1 ’deki n-küresi
S n := {(x0 , ..., xn ) ∈ Rn+1 :
X
xn+1
= 1}
i
Bu türevlenebilir bir çokkatlının ilk örnekleri arasında yer almaktadır. n = 1 olduğu
zaman, yani birim çember durumunda, iyi bilinen bir gruba rastlamaktayız: es
er
√
−1
√
−1
ve
, S 1 ’de iki eleman ve s, r ∈ R olsun. Grup yapısı
es
√
√
−1 r −1
e
√
= e(s+r)
−1
.
ile verilmektedir. Bu açıdan bakıldığında doğal bir soru S 2 ’nin de bir grup olup
olmadığıdır. Cevabımız ise hayır. (İleride bu noktaya geriye döneceğiz.) 2 × 2 lik matrislerin oluşturduğu SO(2, R) = {A ∈ M at2 (R) : AAT = I2 } özel ortogonal grubunu
göz önüne alalım.
• SO(2, R)’nin hem grup hem de topolojik olarak S 1 olduğunu görebiliriz. Daha
2
genel olarak SO(n, R) grubunu S n−1 in oryantasyonu koruyan simetri grubu olarak
düşünebiliriz.
2. Un üniter grubu, Cn üzerindeki qH standart Hermitian iç çarpım ile ortogonal matrislerin rolünü oynamaktadır: x = (x1 , ..., xn ), y = (y1 , ..., yn ) ∈ Cn .
qH (x, y) =
X
xi y i
Daha somut olarak Un grubu qH (x, y) = qH (Lx, Ly) koşulunu sağlayan tüm (karmaşık)
doğrusal L : Cn → Cn operatörlerin oluşturduğu grup olarak tanımlanmaktadır. Bir
başka deyişle Un = {A ∈ M atn (C) : AA∗ = In }. Özel üniter grubu ise
SUn = {A ∈ Un : detA = 1}
Açıklama 1.1. SUn ve Un grupları R üzerinde birer Lie gruplarıdır.
Alıştırma 1.2. SU2 ’nin S 3 olduğunu gösteriniz, böylelikle Lie grubu olduğunu da.
3. SU2 ile alakalı bir başka mevzu ile devam ediyoruz.
Lineer cebirden biliyoruz ki üniter matrisler köşegenleştirilebilir (spektral teorem ileriki derslerde buna değinilecek). Aslında bu üniter matrisler ile yapılabilmektedir.
Özel olarak SU2 ’nin herhangi bir elemanı SU2 ’de bir köşegen matrise Un -eşleniktir.
A ∈ SU2 olduğundan yani
|a| + |b| = 1 ile
A=
a
b
!
−b a
olduğundan A’nın karakteristik polinomu gerçel köklere sahiptir. Dolayısıyla bunların
özdeğerleri θ ∈ [0, π] olmak üzere λ = cos θ + i sin θ ve λ = cos θ − i sin θ biçimindedir.
Bariz ki θ = 0 ’a (sırasıyla θ = π ’ye) karşılık gelen eşlenik sınıfı I2 birim matrisinin
(sırasıyla −I2 birim matrisinin) eşlenik sınıfıdır.Buradan da
{AI2 A−1 : A ∈ SU2 } = {AA∗ : A ∈ SU2 } = {I2 }
3
olduğu açıktır.
Benzer şekilde −I2 nin eşlenik sınıfı {−I2 } dir.
Öte yandan özdeğerleri ±1 den farklı olan bir A ∈ SU2 elemanının eşlenik sınıfı daha
büyüktür. Aslında A’nın eşlenik sınıfı onun λ = eiθ (ve λ) özdeğer(ler)i tarafından tek
bir şekilde belirlenmektedir, böylece trace(A)=re(λ) elde edilir (λ birim çemberin üst
yarısında kaldığı için). Dolayısıyla,
!
!
a b
x0 + x1 i x2 + ix3
SU2 3 A =
=
7→ (x0 , x1 , x2 , x3 ) ∈ S 3
−b a
−x2 + x3 i x0 − ix1
yardımıyla SU2 nun 3-küre ile olan eşliğini kullanırsak trace(A)=2x0 ın, A’nın eşlenik
sınıfına iliştirilmiş teklikle belirli bir değişmez olduğu görülür.
Özel olarak A, B ∈ SU2 elemanları eşleniktir ancak ve ancak bunların ilk girdilerinin
gerçel kısımları aynıdır. Bu SU2 ’nin eşlenik sınıflarının aslında 2-küre olduğunu göstermektedir. (bir −1 < c < 1 sayısı ile çarpmayı gözetmeksizin)
Genelliği bozmadan x0 = 0 olduğunu varsayabiliriz. Böylece karşılık gelen eşlenik sınıfı
!
xi
x2 + ix3
A=
−x2 + x3 i
−ix1
biçimindeki matrislerden oluşmaktadır.
E, R’de x0 = 0 eşitliği ile tanımlanan ’yatay’ R3 ile SU2 ’nin arakesiti olsun. Diğer bir
deyişle E, SU2 ’de λ = eiπ/2 = i özdeğerine karşılık gelen eşlenik sınıfı olsun. Bariz ki
E, x21 + x22 + x23 = 1 denklemi ile tanımlanan bir 2-küredir. Böylece SU2 , E üzerine
eşlenik ile etki etmektedir.
Biraz uğraşla SU2 ’nin keyfi bir P elemanı, θ ∈ (0, π) ve A ∈ E olmak üzere
P = P (A, θ) = (cosθ)I2 + (sin θ)A
biçiminde yazılabilmektedir. Dahası P ’nin E = S 2 üzerine eşlenik ile etkisi, A ∈ E
kutbunun etrafında 2θ lık döndürmeden başka bir şey değildir. Böylelikle SU2 ’nin, S 2
4
üzerinde döndürme operatörü olarak, bir temsilini bulmuş olduk. Bu gözlemi özel kılan
şey eğer ilgili döndürmeyi RP ile gösterirsek o zaman φ : P 7→ RP fonksiyonu, SU2 ’
den SO(3, R)’e giden bir 2-1 grup homomorfizmasıdir. Böylece SU2 / ker φ ' SO(3, R)
olduğunu görmekteyiz. Bir başka deyişle SO(3, R), SU2 ile çift-örtülmektedir.
SU2 ’nin R3 uzayına ortogonal matrislerle etki eden bu temsili aslında SU2 ’nin ’sanal’
kuaternionlar üzerine olan eşlek temsili olarak görülebilmektedir, ancak buna sonra
bakacağız.
Açıklama 1.3. R4 teki bu yatay R3 ü ileride açıklayacağımız sanal kuaternionlarla
özdeşleştiriyoruz. Diyelim I2 , i, j, k şu matrisler olsun
!
!
!
1 0
i 0
0 1
I2 =
,i =
,j =
,k =
0 1
0 −i
−1 0
0 i
!
i 0
Sanal kuaternionlar i, j ve k nın gerdiği uzaydır. SU2 bu matrislere eşlenik etkisi ile
etki etmekte ve onlar üzerine indirgenmiş iç çarpımı korumaktadır. (Aslında SU2 birim
kuaterniyonların grubudur.)
1.2
Soyut tanım
L, F cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. Eğer aşağıdaki koşulları sağlayan bir [., .] :
L × L → L bilneer operatörü varsa L, F üzerinde bir Lie cebiri olarak adlandırılır:
1. Her x ∈ L için, [x, x] = 0 ve
2. Her x, y, z ∈ L için [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0
Lie cebirleri kategorisindeki morfizmler yükarıda tanımlanan braket işlemini koruyan
doğrusal dönüşümler olarak verilmektedir. Lie cebirleri homomorfizmalarının çekirdeklerine ideal denir ve tüm idealler bu şekilde belirmektedir.
Verilen bir V vektör uzayı için V nin Lie cebiri endomorfizmalarını gl(V ) ile gösteriyoruz.
Tabiki V n boyutlu ve bir taban seçilmişse o zaman gl(V ), n×n matrislerle özdeşleştirilebilir.
5
1.3
Vektör alanlarının Lie cebiri
U , keyfi bir K cismi üzerinde bir cebir olsun. U ’dan birleşmeli olmasını gereksinmiyoruz. Bir
δ : U → U doğrusal fonksiyonu her x, y ∈ U için δ(xy) = xδ(y) + δ(x)y eşitliğini sağlıyorsa
δ ya U üzerinde bir derivasyon denir.
U üzerindeki derivasyonlar bir vektör uzayı oluşturur. Bariz ki bu End(U ) nun bir
altuzayıdır. End(U )(= gl(U )) nun U üzerindeki operatörlerin doğal braket çarpımına göre
bir Lie cebiri olduğunu anımsayınız. İki derivasyonun [δ, δ 0 ] komütatörünün de bir derivasyon
olduğu kolayca görülebilir. Böylece U üzerindeki tüm derivasyonların uzayı olan Der(U ),
End(U )’nun bir Lie altcebiridir. Bu soyut kavram aşağıdaki geometrik durumu göz önüne
aldığımızda somut bir hale gelmektedir.
M bir C ∞ -çokkatlı olsun ve M üzerindeki R-değerli pürüzsüz fonksiyonların cebirini
C ∞ (M ) ile gösterelim. Tp M ile gösterilen bir p ∈ M noktasındaki tanjant uzayı "p noktasındaki nokta derivasyonları" nın vektör uzayı olarak görülebilmektedir. Tanımdan M ’nin bir
p noktasındaki bir nokta derivasyonu, C ∞ (M ) üzerindeki her f, g ∈ C ∞ (M ) için δ(f g) =
f (x)δ(g) + g(x)δ(g) koşulunu sağlayan (tabiki de p ye bağlı olan) bir doğrusal dönüşümdür.
Türevdekine benzer olarak bir nokta derivasyonu sabit fonksıyonlar üzerinde sıfırlanmaktadır. Bu bir rastlantı değildir çünkü bir nokta derivasyonu yönlü türev kavramının bir
genellemesidir. Aslında, eğer M = Rn ise v yönündeki f nin p noktasındaki yönlü türevi
vx .f =
d
f (x + tv)|t=0
dx
ifadesidir ve vx in bir nokta derivasyonu olduğunu göstermek kolaydır.
C ∞ (M ) üzerindeki bir (pürüzsüz) X vektör alanı M ’nin tüm noktalarındaki nokta derivasyonlarının bir (pürüzsüz) tayinidir. Özel olarak eğer f , M üzerindeki bir pürüzsüz fonksiyon
ise o zaman Xf ’nin, p ∈ M deki değeri p’de f ’ye X(p) nokta derivasyonu uygulanarak elde
edilen bir başka pürüzsüz fonksiyonudur. Bir x ∈ M noktasındaki X vektör alanının değerini
(x teki bir nokta derivasyonu olan) Xx ile gösterelim ve bir başka Y vektör alanını göz önüne
alalım. x ∈ M olmak üzere [X, Y ](x)
[X, Y ](x)f = Xx (Y f ) − Yx (Xf ),
6
f ∈ C ∞ (M )
ile bir vektör alanı tanımlamaktadır. Dolayısıyla bir C ∞ çokkatlısı üzerindeki vektör alanları
bir Lie cebiri oluşturmaktadır.
2
Ek Bölüm: Türevlenebilir Çokkatlılar
"Bir türevlenebilir n-çokkatlısı türevlenebilir koordinat değişimi ile yerel olarak Rn ’ye homeomorfik olan bir M topolojik uzayıdır". Bu tanımı mümkün olduğunca daha da netleştireceğiz.
Önce C k gösteriminin (R nin sabitlenmiş bir açık altkümesi üzerinde) k-kere sürekli bir
biçimde türevlenebilir fonksiyonların R-cebiri olduğunu anımsayalım. Eğer k = 0 ise sadece
sürekli fonksiyonlardan bahsetmiş oluyoruz. Eğer k = ∞ ya da k = ω ise o zaman ,sırasıyla,
C k pürüzsüz fonksiyonların cebiri, reel analitik fonksiyonların cebiridir.
Diyelim ki, U ⊂ M bir açık altküme ve φ : U → U 0 ⊆ Rn Rn ’nin bir U 0 açık altkümesi
üzerine bir birebir ve örten fonksiyon olsun. Bu durumda (φ, U ) çifti bir n-çart olarak adlandırılır. (φ1 , U1 ) ve (φ2 , U2 ) iki n-çartına C k -uyumludur denir eğer şu koşullar sağlanıyorsa:
1. i = 1, 2 olmak üzere φi (U1 ∩ U2 ) kümeleri Rn ’de açıktır.
k
2. i, j ∈ {1, 2} için φi φ−1
j : φj (U1 ∩ U2 ) → φi (U1 ∩ U2 ) gönderimleri C sınıfındandır.
M üzerindeki bir C k -atlası, içindeki altkümeleri ile M nin bir örtüsünü oluşturan C k -uyumlu
çartların bir koleksiyonudur. Şu şekilde C k atlaslarının üzerinde bir kısmi sıralama elde
ettiğimiz gözlemleyiniz: Eğer α2 , α1 ’i kapsıyorsa α1 ≤ α2 . M üzerindeki C k -atlasların
bu posetinde, her artan zincirin bir üst sınırı vardır, bu sınır zincirdeki atlasların birleşimi
olmaktadır. Böylece Zorn önsavından posetimizin bir azami (maksimal) elemanı vardır.
Açıklama 2.1. Bariz ki herhangi C ∞ (ya da C ω ) atası bir C k dır. 1930’da Whitney’nin
meşhur bir sonucu eğer k > 0 ise o zaman her maksimal C k -atlasının teklikle belirli bir
C ∞ atlasını içerdiğini söyler. Dolayısıyla C ∞ üzerindeki çokkatlılara odaklanmak makuldür.
Daha kesin bir dille şöyle ifade edebiliriz: M bir n > 0 boyutlu bir çokkatlı olsun. Eğer α ve
β C k -atlaslarının aynı denklik sınıfında yer alan iki C ∞ atlasları ise o zaman bunlar arasında
bir C ∞ -difeomorfizması vardır. Aslında, ∞ yerine ω kullanabiliriz. Ancak, eğer k = 0 ise
bir maksimal C 0 -atlasında yer alan bir C k atlası bulma konusunda ciddi engellerimiz var.
Aslında Kervaire tarafından gösterilmiştir ki C 1 -atlası olmayan C 0 -çokkatlıları mevcuttur.
7
Bazen C k -yapısı olarak bir maksimal C k atlasını düşünüyoruz. Teklikle belirli bir C ∞ yapısına sahip topolojik uzayları vardır. Örneğin, reel doğru ya da S 1 . Diğer taraftan R4
sonsuz çoklukta C ∞ yapısına sahiptir ve S 7 üzerinde 28 farklı C ∞ yapısı mevcuttur.
Hatırlatma: ikinci-sayılabilir, topolojinin sayılabilir miktarda açık tabanı olduğunu söyler.
Bu gereksinim parakompaktlığı (yerel olarak sonlu altörtülerin varlığını) gerektirir. Sırasıyla,
parakompaktlık "birimin parçalanışı" nın varlığını gerektirir. Birimin parçalanışı negatif olmayan reel değerli C ∞ fonksiyonların {fi : i ∈ I} bir koleksiyonudur öyle ki fi ’lerin desteğinin
P
koleksiyonu yerel olarak sonlu ve her x ∈ M için, i∈I fi (x) = 1. Burada f ’nin desteği, f ’yi
sıfırlamayan noktalar kümesinin kapanışı olarak tanımlanmaktadır.
Tanım 2.2. Bir türevenebilir n-çokkatlı (ya da bir prüzsüz n-çokkatlı) bir C ∞ -yapısı ile bir
ikinci sayılabilir Hausdorff topolojik uzaydır. Daha kesin bir dille (ve daha genel olarak),
bir n-boyutlu C k -çokkatlısı, M bir ikinci sayılabilir topolojik uzay ve α bir C k -atlası olmak
üzere bir (M, α) ikilisidir. Burada, k bir sayıdır veya k ∈ {∞, ω}.
Teorem 2.3. M bir türevlenebilir çokkatlı ve {Uα : α ∈ A}, M nin bir açık örtüsü olsun.
O zaman bir birimin parçalanışı {fi : i ∈ I} vardır öyle ki her i ∈ I için, supp(fi ) ⊂ Uα ile
α ∈ A vardır. Dahası fi ’lerin desteğinin kompakt olduğu varsayımı yapılabilmektedir. Eğer
kompaktlık gerekmiyorsa I’nın en fazla sayılabilir sonsuz olduğu varsayılabilir.
Sonuç 2.4. Eğer U ⊂ M açık, V ⊂ U kapalı ve eğer V ⊂ U ise o zaman bir C ∞ fonksiyonu
f :→ [0, 1] vardır öyle ki supp(f ) ⊂ U ve her x ∈ V için f (x) = 1.
Proof. {U, M − V }, M ’nin bir açık örtüsüdür. Teoremi uygulayınız.
3
Tanjant uzayı
Tp (M ) ile M ’nin p ∈ M noktasındaki tanjant uzayını gösterelim. Bir C ∞ çokkatlısı için
Tp (M )’yi tanımlamanın birkaç alternatif yolu vardır. Aynı anda tüm C ∞ -çokkatlılarını ele
almak için, p ∈ M ’de C k fonksiyonların tohumunun halkası üzerindeki nokta derivasyonların
uzayı olarak, p ∈ M noktasındaki "cebirsel" tanjant uzayını tanımlayalım. Tanımdan, p
8
civarında C k fonksiyonları üzerindeki bir nokta derivasyonu C k fonksiyonları üzerinde bir
doğrusal dönüşümdür öyle ki her f, g ∈ C ∞ (M ) için
X(f g) = f (p)X(g) + X(f )g(p).
Tanjant uzayını tanımlamanın alternatif bir yolu p’deki fonksiyonların tohumlarına bakmaktır. İki fonksiyon f, g ∈ C ∞ (M, R) için eğer bir p noktasının açık komşuluğunda f − g = 0
oluyorsa, bunlar p’de aynı tohuma sahiptir deriz. f ’nin tohumu için [f ] yazarız. Açıktır ki,
C ∞ (M, R) üzerinde aynı tohumda olma bir denklik bağıntısı tanımlar. Op (M ), p’deki tüm
tohumların kümesini göstersin. Op (M )’nin bir R-cebiri olduğu yazınca çıkıyor. Dahası bu,
Ip = {[f ] : f (p) = 0}
maksimal ideali ile bir yerel halkadır. Barizdir ki Ip ⊃ Ip2 ⊃ Ip3 ⊃ ... vektör uzaylarının bir
"süzmesi"dir (filtration).
Önsav 3.1. X bir nokta derivasyon olsun. Eğer f fonksiyonu p ∈ M noktasının açık bir
komşuluğunda sıfırlanıyorsa, o zaman her f derivasyonu için X(f ) = 0’dır.
Önerme 3.2. (Ip /Ip2 )∗ dual uzayı doğal olarak p ∈ M ’deki Tp (M ) tanjant uzayına izomorfiktir.
Proof. Ψ : Tp (M ) → (Ip /Ip2 )∗ , f ∈ C ∞ için,
ΨX([f ]) = X(f − f (p)) = X(f )
ile tanımlanan X 7→ ΨX fonsiyonunu göstersin. Bunun iyi tanımlı bir işlem olduğuna dikkat
ediniz. Çünkü eğer f ve g aynı tohumu paylaşıyorlarsa o zaman f − g, p civarında sıfırlandığı
için X(f ) − X(g) = X(f − g) = 0 dır. İkinci eşitlik, sabit fonksiyonların tohumlarının
nokta derivasyonlarının sıfır olmasından ve derivasyonların doğrusal fonksiyonlar olmasından
gelmektedir. ΨX’in, Ip /Ip2 üzerinde iyi tanımlı olduğu yazınca çıkmaktadır. Tersine, Ψ nin
tersi, Ip /Ip2 üzerindeki bir doğrusal Y fonksiyonelini ΦY ([f ]) = Y ([f ]) ile verilen p’deki bir [f ]
tohumu üzerinde değer alan ΦY fonksiyonuna olan gönderimi olarak tanımlanmaktadır.
9
Genel olarak, k < ∞ ise Ip /Ip2 uzayı sonsuz boyutludur. Aksine k = ∞ ya da k = ω
olduğu zaman bu sonlu boyutlu bir vektör uzayıdır.
Önerme 3.3. M bir n-boyutlu C ∞ -çokkatlısı olsun. O zaman Tp M nin boyutu n’ye eşittir.
4
Tanjant Demeti
Küme olarak M nin tanjant demeti T M = ∪a∈M Ta M birleşimidir. Bu, doğal bir türevlenebilir
çokkatlı yapısını taşımaktadır. Bunu görmek için diyelim ki (U, φU ) ikilisi, M ’nin U açığı
üzerinde bir çart olsun ve ilgili T M = ∪a∈M Ta M kümesi üzerinde bir çart inşa edelim.
Bir X = Xa nokta derivasyonunu a’ya gönderen bariz bir p : T M → M izdüşümü vardır.
Pürüzsüz bir v : M → T M fonksiyonu bir vektör alanı olarak adlandırılır, eğer p◦v : M → M
bileşkesi M üzerinde birim fonksiyonsa. Tanjant vektörü bir nokta derivasyon olduğundan
bir vektör alanı M üzerinde bir global derivasyon olarak tanımlanmalıdır. Bu sezgi doğrudur
ve tersi de doğrudur.
Önsav 4.1. v : C ∞ (M ) → C ∞ (M ) doğrusal dönüşümü v(f g) = f v(g) + v(f )g ile bir vektör
alanıdır.
Bilinen Lie braketi ile [v, w] = vw − wv (C ∞ üzerindeki operatörler olarak), tüm vektör
alanlarının uzayı üzerinde bariz bir Lie cebiri yapısı vardır.
10