DÖNEM ÖDEVİ - Fahri Dönmez

Ad Soyad
Şube No
Öğrenci No
Bölüm
: Fahri Dönmez
: TBIL-210-01
: 12213251
: Bilgisayar Mühendisliği
Doğrusal Cebir ve Diferansiyel Denklemler
Prof. Dr. Şaban EREN
DÖNEM ÖDEVİ
Mayıs 2014
1. (D2  5D  4)y  ex cos 2x Diferansiyel denkleminin genel çözümünü elde ediniz.
y’’-5y’+4y = 0 => r2-5r+4=0 => r=1,4 => ex, e4x
YC=C1ex+C2e4x
YP=V1(x)ex+V2(x)e4x
Yg=YC+YP
𝑥
W[ex,e4x]=|𝑒 𝑥
𝑒
V1(x)=− ∫
𝑒 4𝑥 |=4e5x-ex=3e4x
4𝑒 4𝑥
𝑓(𝑥)𝑦2 (𝑥)
𝑊[𝑦1 ,𝑦2 ]
1
dx =− ∫
1 𝑠𝑖𝑛2𝑥
=> - ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 => 4
4
V2(x) =∫
1
𝑓(𝑥)𝑦1 (𝑥)
𝑊[𝑦1 ,𝑦2 ]
2
𝑒 𝑥 .𝑐𝑜𝑠2𝑥.𝑒 4𝑥
4𝑒 5𝑥
dx=>− ∫
𝑐𝑜𝑠2𝑥
4
dx
1
=> V1(x)= - sin2x .
8
𝑒 𝑥 .𝑐𝑜𝑠2𝑥.𝑒 𝑥
dx = ∫
4𝑒 5𝑥
1
dx = ∫
𝑐𝑜𝑠2𝑥
4𝑒 3𝑥
dx
1
=> ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥. 3𝑒 −3𝑥 . 𝑑𝑥 = ( 𝑒 −3𝑥 (−3𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 )) =>
4
4 13
V2(x) =
1
52
𝑒 −3𝑥 (−3𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 )
1
1
8
52
Vg = Yc+Yp => C1ex+C2e4x + - sin2x ex +
𝑒 −3𝑥 (−3𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛2𝑥) e4x
2. Bir inşaat mühendisi inşaatlarında üç tip tuğla kullanmak istemektedir. Tuğlaların yapımında
kullanılan çimento, kum ve taş miktarları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Tablodaki bilgileri
kullanarak her tip tuğla çeşidinden (elde mevcut çimento, kum ve taş miktarlarını göz önüne alarak)
kaçar adet üretileceğini matris yöntemini kullanarak elde ediniz.
Tuğla Tipi
Tip 1( X1)
Tip 2( X2 )
Tip 3( X3 )
9
18
28
10
20
30
10
22
34
Çimento(kg)
Kum (kg)
Taş
(kg)
1. Yukarıda verilen tablodan lineer Eşitlikler Sistemini Oluşturunuz.
9x1+10x2+10x3=3900
18x1+20x2+22x3=8000
28x1+30x2+34x3=12200
2. Katsayılar Matrisi A‘yı elde ediniz.
9
A = [18
28
3
10 10
20
30
22 ]
34
A Matrisinin Kofaktörler Matrisini Oluşturunuz.
20 22
A11=(-1)1+1|
|=20.34 -30.22 =680 -660 = 20
30 34
18
A12=(-1)1+2|
28
22
|= - (18.34 -28.22) = - (612 -616) = 4
34
18
A13=(-1)1+3|
28
20
|=18.30 -28.20 =540 -560 = -20
30
10
A21=(-1)2+1|
30
10
|= - (10.34 -30.10) = - (340-300) = -40
34
9
A22=(-1)2+2|
28
10
|=9.34 -28.10 =306 -280 = 26
34
9
A23=(-1)2+3|
28
10
|= - (9.30 -28.10) = - (270 -280) = 10
30
10
A31=(-1)3+1|
20
10
|=10.22 -20.10 =220 -200 = 20
22
9
A32=(-1)3+2|
18
10
|= - (9.22 -18.10) = - (198 -180) = - 18
22
9
A33=(-1)3+3|
18
10
|=9.20 -18.10 = 180 - 180 = 0
20
20
4 −20
Kofaktörler Matrisi = [−40 26
10 ] = K
20 −18
0
Mevcut
materyal
3900
8000
12200
4
Kofaktörler Matrisinin Transpozesini elde ediniz.
20
4 −20
K = [−40 26
10 ]
20 −18
0
20 −40 20
KT= [ 4
26 −18]
−20 10
0
5. A Matrisinin Determinant Değerini Kofaktörler açılımı yardımıyla elde ediniz.
9 10 10
20
[18 20 22] = 9|
30
28 30 34
|A| =
22
18 22
18
| – 10|
| + 10|
34
28 34
28
20
| =>
30
=
9.(20.34 – 30.22) -10(18.34 – 28.22) + 10(18.30 – 28.20) =>
=
9.20 – 10.(-4) + 10.(-20)
= 180 + 40 -200 = 20
|A| = 20
5. A Matrisinin tersini elde ediniz. A-1
1
1
20
A-1 = |A|. KT = 20. [ 4
−20
−40
26
10
20
1
1
5
−18] = [
0
−1
−2
13
10
1
2
1
−
9
10]
0
6. X=A-1B çarpım sonucunu ve her tip tuğla çeşidinden kaçar adet üretileceğini elde ediniz.
B : Oluşturulan eşitliklerin sağındaki değerleri belirtmektedir.
1
1
X=[ 5
−1
−2
13
10
1
2
1
1
1.3900 + 5 . 8000 − 1.12200
3900
−6700
9
− 10] . [ 8000 ] = −2.3900 + 13 . 8000 + 1 . 12200 = [ 8700 ]
10
2
12200
−3300
9
0
[ 1.3900 − 10 . 8000 + 0.12200 ]
x1 tipi tuğladan 6700 adet üretilebilir.
x2 tipi tuğladan 8700 adet üretilebilir.
x3 tipi tuğladan 3300 adet üretilebilir.
Toplam = 18700 adet tuğla üretilebilir.