(,),*,+,,2 A 0 1(,*,,2 B 0 1*,+,,2 3Complements: " A 0 1`,),+2 B 0 1`,(,)2

(,),*,+,,2 A 0 1(,*,,2 B 0 1*,+,,2 3Complements: " A 0 1`,),+2 B 0 1`,(,)2

Ex: S = [1; 2; 3; 4; 5; 6] A = [2; 4; 6] B = [4; 5; 6]
–Complements:
A = [1; 3; 5] B = [1; 2; 3]
–Intersections:
A \ B = [4; 6] A \ B = [5]
–Unions:
A [ B = [2; 4; 5; 6]
A [ A = [1; 2; 3; 4; 5; 6] = S
1
Ozan Eksi, TOBB-ETU
Ex: E¼
ger 2 tane iş pozisyonu için 3 tane aday
varsa (Bu adaylar¬A, B, C diye gösterelim)
–I·ş da¼
g¬l¬m¬n¬n kaç farkl¬şekilde yap¬labilece¼
gi
permutasyondur. I·lk işi üç kişiden herhangi
birine, ikinci işi ise geri kalan iki kişiden birine
verebilirsiniz. Sonuncusu için ise tek seçenek
kal¬r. Yani 3*2*1=6 şekilde bu işler da¼
g¬t¬labilir (AB, AC, BC, BA, CA, CB)
–Ama sorumuz iki iş için üç kişi aras¬ndan kaç
farkl¬grup oluşturulabilece¼
gi olursa cevab¬m¬z
3 tür (AB, AC, BC)
2
Ozan Eksi, TOBB-ETU
Örnek 1: 5 işi 5 kişiye kaç farkl¬şekilde da¼
g¬t¬labiliriz:
5!
5
P5 =
=5 4 3 2 1
(5 5)!
–Yani birinci iş 5 kişiden herhangi birine, ikinci
iş geri kalan 4 kişiden herhangi birine, ....
Örnek 2: 5 işi 2 kişiye kaç farkl¬şekilde da¼
g¬t¬labilir:
5!
5 4 3 2 1
5
P2 =
=
=5 4
(5 2)!
3 2 1
3
Ozan Eksi, TOBB-ETU
Permütasyon de¼
gerini, işi alan 5 kişinin tüm olas¬
s¬ralamalar¬na bölersek, s¬ralaman¬n önemli olmad¬g¼¬kombinasyon de¼
gerini bulmuş oluruz
5
P
5!
5 4 3 2 1
5
5
=
=
=1
C5 =
5!
(5 5)!5!
0! 5!
Yani e¼
ger beş işçi varsa, beş iş ancak bir gruba
verilebilir
I·kinci örnekte is yine permütasyon de¼
gerini işi
alan iki kişinin tüm s¬ralamalar¬na bölüyoruz
5
P
5 4
5
2
C2 =
=
= 10
2!
2!
4
Ozan Eksi, TOBB-ETU
Örnek: Bir zar at¬m¬n¬n sonucunda örnek uzay¬n¬z (Sample space) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
–Zar¬n 4’ten büyük gelme olay¬n¬(event) E olarak
adland¬ral¬m. Dolay¬s¬yla E = {5, 6}
n(E) 2 1
P (E) =
= =
n(S) 6 3
–For more complicating examples, you can use
combinations formula
C12 2!=[(2 1)! 1!] 2 1
= =
=
6
C1 6!=[(6 1)! 1!] 6 3
5
Ozan Eksi, TOBB-ETU
Örnek 1: Metal bir paray¬ bir çok kere havaya
atma deneyini ele alal¬m. Yeteri kere havaya
atarsak toplam at¬ş say¬s¬n¬n yaklaş¬k yar¬s¬defetura (ya da yaz¬) geldi¼
gini gözlemleyebiliriz. Bu
gözleme dayanarak tura gelme ihtimalinin 0.5
oldu¼
gunu ç¬karabiliriz, P(T)=.5
–The law of large numbers is a theorem in statistics that states that as the number of trials
of the experiment increases, the observed empirical probability will get closer and closer to
the theoretical probability
6
Ozan Eksi, TOBB-ETU
Örnek 2: The New England Journal of Medical Stu¤’da yay¬nlanm¬ş bir makale, kovboylar¬n
63% ünün eyer yaras¬na sahip oldu¼
gu, geri kalan
52% sinde ise ayak e¼
gilmesi gözlemlendi¼
gini, %40
¬nda ise her iki hastal¬g¼¬nda gözüktü¼
günü bildirmiştir
–E olay¬ "Rastgele seçilen bir kovboyun eyer
yaras¬na sahip olmas¬ olsun". Dolay¬s¬yla şu
ç¬kar¬m¬yapabiliriz: P(E)=.63
7
Ozan Eksi, TOBB-ETU
Some Examples for Classical Probability
Örnek 1: I·ki zar¬n birlikte at¬ld¬g¼¬nda toplamlar¬
için tüm olas¬sonuçlar (sample space) {2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }. Di¼
ger yandan her
bir sonucun meydana gelme ihtimali bu sefer eşit
de¼
gil. Örne¼
gin toplam¬n 2 olmas¬ için her bir
zar¬n 1 gelmesi laz¬m, ama 3 toplam¬n¬ ilk zar
1 ve ikinci zar 2 gelirse, ya da bunun tam tersi
olacak şekilde elde edebiliriz. Bu durumda tüm
örnek uzay¬gösteren bir tablo sonuç olas¬l¬klar¬n¬
hesaplamada yararl¬olabilir
8
Ozan Eksi, TOBB-ETU
2d Dice
1 2 3 4 5 6
1st Dice
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
11
7
8
9
10
11
12
9
Sum Freq. Prob.
2
1 1/36
3
2 2/36
4
3 3/36
5
4 4/36
6
5 5/36
7
6 6/36
8
5 5/36
9
4 4/36
10
3 3/36
11
2 2/36
12 Ozan1Eksi, TOBB-ETU
1/36
Örnek 2: Dört tane benzer iş pozisyonu için 3’ü
kad¬n, 5’i erkek olmak üzere toplam 8 aday olsun. Bu kişilerden her birinin pozisyonlar için
seçilme ihtimalini ayn¬ kabul edelim. Bu dört
pozisyondan hiç birine kad¬n seçilmemesinin ihtimali nedir
–8 iş için mümkün olan 4’lü kombinasyonlar:
8!
8 7 6 5 4!
8
C4 =
=
= 70
(4 4)! 4! 4! 4 3 2 1!
10
Ozan Eksi, TOBB-ETU
–Kad¬nlar¬n işe seçilememesi, 4 işin 5 erke¼
ge
verilmiş olmas¬demek olur ki 5 erkek aras¬ndan 4 kişi şu kadar karkl¬kombinasyonda seçilebilir:
5!
5
C4 =
=5
1! 4!
–Böylece soruda ilgilendi¼
gimiz olay¬n olas¬l¬g¼¬:
C45
5
1
=
=
8
C4 70 14
11
Ozan Eksi, TOBB-ETU
Ayn¬sonucu şu şekilde de elde edebiliriz
–Birinci aday¬n erkek olma ihtimali: 5=8
–I·kinci aday¬n da erkek olma ihtimali: 4=7
Çünkü 7 kişi içinde sadece 4 tane erkek kald¬
–Böylece soruda ilgilendi¼
gimiz olay¬n olas¬l¬g¼¬:
5 4 3 2
1
=
8 7 6 5 14
This is how you may calculate probability in the
case of draw without replacement.
12
Ozan Eksi, TOBB-ETU
Örnek 3: Bir kesenin içinde 5 tane mavi, 3 tane
de k¬rm¬z¬bilye olsun. I·htimaliyle ilgilendi¼
gimiz
olay ise kesenin içine bakmadan ard arda 4 tane
mavi bilye çelmemiz olsun
–E¼
ger bilyeleri çektikten sonra onlar¬tekrar kesenin içine koymazsak, ilgilendi¼
gimiz olas¬l¬k
1
5 4 3 2
=
8 7 6 5 14
C45
(= 8 )
C4
olarak bulunabilir (draw without replacement.)
–Another example would be lotteries, as each
13
Ozan Eksi, TOBB-ETU
time we buy a lottery ticket the number of
remaining tickets declines
E¼
ger bir bilyeyi çektikten sonra ve di¼
ger bilyeyi
şekmeden önce ilk çekti¼
gimiz bilyeyi tekrar keseye koyarsak, ilgilendi¼
gimiz olas¬l¬k bu sefer
5 5 5 5
8 8 8 8
C15
(= 8
C1
C15
C18
C15
C18
C15
)
8
C1
şeklinde hesaplan¬r. Burada dikkat edilirse her
bir mavi bilye çekme ihtimali bir öncekinden ba¼
g¬ms¬zd¬r (draw with a replacement)
14
Ozan Eksi, TOBB-ETU
Örnek 4: Varsayal¬m ki 3 tane bilgisayar, içinde
10 tane Gateway, 5 tane Compaq, ve 5 tane Acer
marka bilgisayar bulunan bir yerden rastgele seçilecek. Bu 3 biligiyardan 2 sinin Gateway, 1 inin de
Compaq marka olma ihtimali nedir?
15
Ozan Eksi, TOBB-ETU
–20 biligisayardan 3 tane seçilmesine dair tüm
olas¬sonuçlar (sample space)
20!
20
N = C3 =
= 1140
(20 3)! 3!
–10 tane Gateway bilgisayar içinden kaç farkl¬
şekilde 2 tane bilgisayar seçilebilece¼
gi
10!
10
C2 =
= 45
(10 2)! 2!
16
Ozan Eksi, TOBB-ETU
–5 tane Compaq bilgisayar içinden kaç farkl¬
şekilde 1 tane bilgisayar seçilebilece¼
gi
5!
5
C1 =
=5
(5 1)! 1!
–Son olarak, ilgilendi¼
gimiz olay¬n ihtimali
NA C210 C15 45 5
225
PA =
=
=
=
= 0:197
20
N
1140
1140
C3
17
Ozan Eksi, TOBB-ETU
Yine ayn¬ihtimal şu şekilde de hesaplayabiliriz
–I·lk bilgisayar¬n Gateway olma ihtimali: 10=20
–I·kinci bilgisayar¬n Gateway olma ihtimali: 9=19
–Üçüncü bilgisayar¬n Compaq olma ihtimali: 5=18
–Dolay¬s¬yla ilgilendi¼
gimiz olay¬n ihtimali:
10 9 5
3 = 0:197
20 19 18
3 say¬s¬Compaq bilgisayar¬n ilk, son, ya da ortada seçilme ihtimallerine karş¬l¬k geliyor (C13)
18
Ozan Eksi, TOBB-ETU
Örnek: A: Zar¬n 5 gelme ihtimali B: Zar¬n 3ten
büyük olma ihtimali
–P (B) = 3=6 A \ B = 5
1=6
= 1=3
P (AjB) =
3=6
P (A \ B) = 1=6
A and B are then de…ned independent if and only
if P (AjB) = P (A)
–then P (A \ B) = P (A) P (B)
19
Ozan Eksi, TOBB-ETU
Örnek: Kullan¬lm¬ş araba park¬ndaki arabalar¬n
70%’inin klimas¬(AC), 40%’¬n¬n CD çalar’¬(CD),
20%’sinin de her ikisi de olsun
20
Ozan Eksi, TOBB-ETU
–(Conditional Probability - Şartl¬Olas¬l¬k) Klimas¬olan bir arac¬n CD’sinin de olma ihtimali
nedir? yani P(CD j AC)=?
CD No CD Total
AC
.2
.5
.7
Not AC .2
.1
.3
Total .4
.6
1.0
P (CD \ AC) 0:2
P (CDjAC) =
=
= 0:2857
P (AC)
0:7
21
Ozan Eksi, TOBB-ETU
–(Statistical Independence - I·statistiki ba¼
g¬ms¬zl¬k) AC ve CD olaylar¬ istatistiksel olarak
ba¼
g¬ms¬zlar m¬d¬r?
P (AC \ CD) = 0:2
P (AC) = 0:7 & P (AC) = 0:4
P (AC\CD) = 0:2 6= P (AC)P (CD) = 0:28
Dolay¬s¬yla hay¬r, ba¼
g¬ms¬z de¼
gillerdir
22
Ozan Eksi, TOBB-ETU
Using a Tree Diagram
P(AC n CD) = .2
CD
Has
Given AC or
no AC:
.7
=
)
C
Doe
s
h a v e not . 5
CD
P(A
C
sA
a
H
P(AC n CD) = .5
.7
.2
.3
D
C
Has
Do
e
hav s not
eA
P(A
C
C)=
.3
P(AC n CD) = .2
Doe
s
h a v e not
CD
23
Ozan Eksi, TOBB-ETU
Marginal Probability: P (A) = P (A \ B1) +
P (A \ B2) + ::: + P (A \ Bk )
where B1, B2, . . . , Bk are k mutually exclusive and collectively exhaustive events
Ex: In the above …gure:
–P (AC) = P (AC \ CD) + P (AC \ CD) = 0:7
24
Ozan Eksi, TOBB-ETU
Örnek: If in a game of chance the odds of A is 3
to 1
3
P (A)
odds = =
1 1 P (A)
–Now multiply both sides by 1 –P(A) and solve
for P(A)
3(1 P (A)) = P (A)
3 3P (A) = P (A)
P (A) = 0:75
25
Ozan Eksi, TOBB-ETU
Ex: A aşç¬s¬n¬n lezzetli yemek yapma ihtimali
%80 olsun. B aşç¬s¬için bu de¼
ger %30 diyelim.
A aşç¬s¬tüm yemeklerin %40 ¬n¬pişiriyor olsun,
geri kalanlar ise B aşç¬s¬taraf¬ndan pişirilsin
–Burada yedi¼
giniz bir yeme¼
gin lezzetli olma ihtimali nedir? :) 0:8 0:4 + 0:3 0:6 = 0:5
–Bu yeme¼
gin A aşç¬s¬taraf¬ndan pişirilmiş olma
ihitimali:
0:8 0:4
= 0:6
0:8 0:4 + 0:3 0:6
26
Ozan Eksi, TOBB-ETU
Örnek: Uyuşturucunun varl¬g¼¬n¬test eden medikal
bir cihaz düşünelim. Bu cihaz uyuşturucu kullanan birini %99 ihtimalle belirleyebiliyor olsun
(böylece %1 ihtimalle kullanan birini kullanm¬yor
olarak ç¬kar¬cakt¬r ki bu Type I error’dur).
–Yine ayn¬test uyuştuturucu kullanmayan birini
%99 oran¬nda belirleyebililsin (yine ayn¬test
%1 ihtimalle kullanmayan birini kullan¬yor olarak
ç¬kar¬cakt¬r ki yapt¬g¼¬testi reddedemedi¼
ginden
(reject) bu Type II error’dur)
27
Ozan Eksi, TOBB-ETU
–Bu test %0.5 oran¬nda uyuşturucu kullanan
insanlar¬n bulundu¼
gu bir işyerindeki çal¬şanlar¬a yap¬lm¬ş olsun. Testi pozitif ç¬km¬ş (kullanan olarak bulunan) bir çal¬şan¬n gerçekten
kullan¬c¬olma ihtimali nedir?
28
Ozan Eksi, TOBB-ETU
U kullan¬c¬y¬ (user), N temiz kişiyi, + da
testin pozitif ç¬kma olay¬n¬göstersin
P (U ) çal¬şan kişinin (test edilmeden önce)
kullan¬c¬olma ihtimali olsun. Bunun 0.005
oldu¼
gu veriliyor. Buna önceki olas¬l¬k, prior
probability, diyoruz
P (N )’de çal¬şan¬n temiz (non-user) olma ihtimalini göstersin, ki bu da 1 P (U )=0.995
olur
29
Ozan Eksi, TOBB-ETU
Bu bilgiler dahilinde bize sorulan P (U j+)’yi, yani
testi pozitif ç¬kan birinin gerçekten kullan¬c¬olma
olas¬l¬g¼¬n¬(buna şartl¬olas¬l¬k, ya da olaylar zamanla gelişti¼
ginden sonraki olas¬l¬k, posterior probability de denir) hesaplayal¬m
30
Ozan Eksi, TOBB-ETU
P (+jU )P (U )
P (U j+) =
P (+jU )P (U ) + P (+jN )P (N )
0:99 0:005
= 0:3322!!!
=
0:99 0:005 + 0:01 0:995
Yukar¬da, testi pozitif ç¬kan tüm kişilerin (ya da
bunlar¬n ihtimalinin) içinde (ki bu kişiler kullan¬c¬olabilir ya da olmayabilir), kullan¬c¬olup
testi pozitif ç¬kanlar¬n oran¬n¬hesaplad¬k
31
Ozan Eksi, TOBB-ETU