1104024132006.1 CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAV SORULARI

20.11.2013
No:
Ad-Soyad:
Soru
Puanlama
mza:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Toplam
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
105
Alnan Puan
1104024132006.1 CEBRSEL TOPOLOJ ARASINAV SORULARI
(KNC ևRETM)
Not: Süre
1.
X
bir topolojik uzay,
90
Dakika. stedi§iniz
I = [0, 1]
7
soruyu cevaplaynz.
birim aralk olmak üzere
X ×I
üzerinde a³a§daki denklik
ba§nts tanmlanm³ olsun:
(x, t) ∼ (x0 , t0 ) ←→ t = t0 = 1
Elde edilen
CX = X × I/∼
küresi alnd§nda
CS 2
bölüm uzayna
X
üzerinde koni denir. Bu takdirde
X = S2
birim
konisinin kompakt olup olmad§n belirleyiniz.
Cevap :
2.
X = [0, 1] × [0, 1]
ediniz.
Cevap :
karesi üzerinde uygun denklik ba§nts yardmyla Torr bölüm uzayn elde
3.
p : X −→ Y
k : Y −→ Z
identikasyon dönü³üm olsun. Herhangi bir
Z
uzay için;
dönü³ümün sürekli olmas için gerek ve yeter ³art
k ◦ p : X −→ Z
dönü³ümünün
sürekli olmasdr. spatlaynz.
Cevap :
4.
a)
p : X −→ Y
sürekli ve örten bir dönü³üm olsun. E§er
p
identikasyon dönü³ümdür. spatlaynz.
b)
a)
Cevap :
³kknn tersinin do§ru olmad§na bir örnek veriniz.
dönü³ümü kapal dönü³üm ise
p
5.
f : [0, 2π] −→ R, x 7−→ f (x) = cos x2 + sin x2
ile tanml
f
dönü³ümünün nullhomotop oldu-
§unu gösteriniz.
Cevap :
6.
f, f 0 : X −→ Y , g, g 0 : Y −→ Z
g ◦ f ' g0 ◦ f 0
Cevap :
oldu§unu ispatlaynz.
sürekli dönü³ümler ve
f ' f 0, g ' g0
olsun. Bu durumda
7. a)
X = [0, 3] ∪ [4, 6] ⊂ R
alt uzayn ele alalm. Bu takdirde
Π1 (X, 2)
ve
Π1 (X, 6)
temel
gruplarn hesaplaynz.
b) Tüm baz noktalar üzerinde temel grubun ayn oldu§u yol ba§lantl olmayan bir uzay
örne§i veriniz.
Cevap :
8. Yol ba§lantl
rumda
D2 ⊂ R2
X
topolojik uzaynn temel grubunun
birim diski ile
X
Π1 (X) ∼
= Z2
oldu§u biliniyor. Bu du-
uzay birbirine homeomorf olabilir mi? Açklaynz.
Cevap :
9.
X
yol ba§lantl topolojik uzay ve
üzere e§er
f : D2 −→ X
oldu§u biliniyor.
sürekli ve örten bir dönü³üm ise
örten midir? Açklaynz.
Cevap :
Π1 (X) ∼
= Z5
f
D 2 ⊂ R2
ile indirgenen
f∗
birim disk olmak
homomorzmas da
10.
E = X × {0, 1, 2, 3, ...}
ve
B=X
olmak üzere
p : E −→ B
örtülü dönü³ümdür. Gösteriniz.
Cevap :
Ba³arlar Dilerim.
Prof. Dr. smet KARACA