2club

Varyans Analizi
n
Analysis of Variance - ANOVA
n
n
Varyans Analizi
n
ANOVA (Varyans Analizi) çeşitli popülasyonların ortalamaları
arasındaki farkları tanımlamak için kullanılan İstatistiksel metottur
ANOVA değişik davranışları temsil eden popülasyonların
ortalamaları arasındaki farkları belirlemek için tasarlanmıştır.
ANOVA bir birleşik testtir Çeşitli sayıda popülasyonun
ortalamalarının eşitliği eş zamanlı olarak ya da birlikte test edilir.
ANOVA çeşitli sayıda popülasyonun ortalamalarının eşit olup
olmadığını popülasyon varyansının iki tahmincisine bakarak test
eder. (bu nedenle, varyans analizi de denir).
http://faculty.vassar.edu/lowry/VassarStats.html
Varyans Analizi
Daha önceki bölümde iki grup ortalamalarının
karşılaştırılmalarında t testinden yararlanılmıştı. Fakat
ikiden fazla grubun ortalamalarının karşılaştırılmasında
F dağılımına dayanılarak hazırlanan varyans
analizlerinden yararlanılır.
(One-Way Anova) Tek Yönlü Varyans Analizi
n
Üç veya daha fazla grubun ortalamaları arasındaki farkın
değerlendirilmesi
Examples: Vardiyalardaki kaza oranı 1st, 2nd, ve 3rd
5 farklı lastik markasının ömrü
n
Varsayımlar
n Popülasyon normal dağılıma sahip : veya MLT
uygulanır
n Popülasyonlar eşit varyansa sahip
n Örnekleme rastsal ve bağımsız
One-Way ANOVA Hipotezi
n
H0 : μ1 = μ2 = μ3 = L = μc
n
Tüm popülasyonun ortalamaları eşit
n
ör., no treatment effect (gruplar arası ortalamalar değişkenlik
yok)
One-Factor ANOVA
H0 : μ1 = μ2 = μ3 = L = μc
H 1 : Tüm μ i aynı değil
Tüm ortalamalar eşit:
H0 hipotezi doğru
(No Treatment Effect)
n
H 1En: Tüm
ortalamaları
azındanpopülasyonun
bir popülasyonun ortalaması
farklı aynı değil
n
n
ör., there is a treatment effect
n
Tüm popülasyonun ortalamaları birbirinden farklı olduğu
anlamını çıkarmamak lazım (bazı çiftler aynı olabilir)
μ1 = μ2 = μ3
Neden ANOVA?
Gruplar arası ortalama farklılığını analiz etmek için
ikişerli gruplar halinde t testi kullanılabilir.
n Problem: her bir test Tip I hataya sahiptir
k
n Toplam Tip I hata 1 − (1 − α) , k: eşleştirilmiş grup sayısı.
Örneğin, 5 adet ortalama ve α=0.05, durumunda 10 adet
ikişerli karşılaştırma yapmak gerekir. Bu nedenle,
toplam Tip I hata 1-(.95)10=0.59 olacaktır. Bunun
anlamı, testin % 59’da H0 (ortalamalar eşit) hipotezi
reddedilecektir.!
n
One-Factor ANOVA
H0 : μ1 = μ2 = μ3 = L = μc
H1: Tüm μi aynı değil
En azından bir ortalama farklı:
H0 hipotezi yanlış
(Treatment Effect is present)
veya
μ1 = μ2 ≠ μ3
μ1 ≠ μ2 ≠ μ3
(devam)
Değişkenliğin parçaları
n
Toplam değişkenlik iki kısma bölüne bilir:
SST = SSA + SSW
Kareler Genel Toplamı
SST = SSA + SSW
c
nj
SST = ∑∑ ( Xij − X)2
j =1 i =1
SST = Kareler genel toplamı
(Toplam değişkenlik)
SSA = Gruplar arası kareler toplamı
(Gruplar arası değişkenlik)
SSW = Grup içi kareler toplamı
(Grup içi değişkenlik)
Değişkenliğin parçaları
SST = Kareler genel toplamı
c = grup sayısı (levels or treatments)
nj = grup j deki gözlem sayısı
Xij = grup j deki ith gözlem
X = genel ortalama (tüm verilerin ortalaması)
Toplam değişkenlik
(devam)
Toplam varyans (SST)
SST = ( X11 − X)2 + ( X12 − X)2 + ... + ( Xcnc − X)2
=
§
§
§
§
Gruplar arası
varyans (SSA)
Yaygın kullanılan isimleme:
Sum of Squares Between
Sum of Squares Among
Sum of Squares Explained
Among Groups Variation
Grup içi varyans
(SSW)
+
§
§
§
§
Response, X
Yaygın kullanılan isimleme :
Sum of Squares Within
Sum of Squares Error
Sum of Squares Unexplained
Within Groups Variation
X
Group 1
Group 2
Group 3
Gruplar arası değişkenlik
Gruplar arası değişkenlik
(devam)
SST = SSA + SSW
SSA = n1 ( x1 − x )2 + n 2 ( x 2 − x ) 2 + ... + nc ( x c − x )2
c
SSA = ∑ n j ( X j − X)2
j =1
Response, X
SSA = gruplar arası kareler toplamı
X3
c = grup yada popülasyon sayısı
nj = grup j’nin örnek sayısı
X2
X1
Xj = grup j’nin ortalaması
X = Genel ortalama (tüm verilerin ortalaması)
Gruplar arası değişkenlik
Group 1
Group 2
Group 3
Grup içi değişkenlik
(devam)
SST = SSA + SSW
c
SSA = ∑ n j ( X j − X)
2
c
j =1
Gruplar arası farklılığa
bağlı değişkenlik
MSA =
SSA
c −1
Gruplar arası ortalama kareler
= SSA/ serbestlik derecesi
µi
µj
SSW = ∑
j =1
nj
∑
i =1
( Xij − X j )2
SSW = grup içi kareler toplamı
c = grup sayısı
nj = grup j’nin örnek sayısı
Xj = grup j’nin ortalaması
Xij = grup j deki ith gözlem
X
Grup içi değişkenlik
Ortalama karelerin hesabı
(devam)
c
SSW = ∑
j=1
nj
∑
i =1
( Xij − X j )2
MSW =
Her grup içerisindeki
değişkenlik belirlenip
tümünü toplanır
SSW
n−c
MSA =
SSA
c −1
MSW =
SSW
n−c
MST =
SST
n −1
Grup içi ortalama kareler =
SSW/serbestlik derecesi
µi
One-Way ANOVA Tablosu
Grup içi değişkenlik
(devam)
SSW = ( x11 − X1 ) + ( X12 − X 2 ) + ... + ( Xcnc − Xc )
2
2
2
Değişkenliğin
kaynakları
SS
df
Among Groups
Gruplar arası
SSA
c-1
MSA =
Within Groups
Grup içi
SSW
n-c
MSW =
Total
Toplam
SST =
SSA+SSW
n-1
Response, X
X3
X1
Group 1
Group 2
X2
Group 3
MS
(Varyans)
SSA
c-1
SSW
n-c
c = grup sayısı
n = toplam örnek sayısı (tüm gruplar)
df = serbestlik derecesi
F oranı
F=
MSA
MSW
Örnek: ANOVA
One-Factor ANOVA - F Testi
H0: μ1= μ2 = … = μc
n
H1: tüm ortalamalar aynı değil
n
Test istatistiği
F=
MSA
MSW
A study compared the felt intensity of unrequited love among three groups:
individuals who were currently experiencing unrequited love, individuals who had
previously experienced unrequited love and described their experiences
retrospectively, and individuals who had never experienced unrequited love but
described how they thought they would feel if they were to experience it. Determine
the significance of the difference among groups, using the .05 level of significance.
Hiç
7
6
5
6
MSA : gruplar arası kareler ortalaması
MSW : grup içi kareler ortalaması
n
Serbestlik derecesi
n
n
df1 = c – 1
df2 = n – c
F=
n
n
8
10
12
10
MSA
MSW
Örnek: ANOVA
n
Kural:
eğer F > Fk , H0 Ret
diğer durumlarda H0
kabul
Araştırma hipotezi.
n
Oran her zaman pozitif
df1 = c -1 genelde küçük
df2 = n - c genelde büyük
n
n
Şuan
(c = grup sayısı)
(n = tüm grupların örnek sayılarının toplamı)
One-Factor ANOVA
F istatistiğinin yorumu
n
Geçmişte
12
8
9
11
α = .05
0
Kişilerin karşılıksız aşk konusundaki hisleri; şu anda
karşılıksız aşk yaşıyor olmaları, geçmişte karşılıksız
aşk yaşamış olmaları ve hiç karşılıksız aşk
yaşamamış olmaları durumunda farlılık gösterir mi?
İstatistiksel hipotez.
H 0 : µ1 = µ2 = µ3
H A : H0 yanlış.
H0 Kabul
H0 Ret
Fk
Serbestlik derecesi
n
Gruplar arası:
df1 = grup sayısı - 1
n
Grup içi:
df 2 = n1 − 1 + n2 − 1 + n3 − 1...
df 2 = Toplam eleman sayısı - toplam grup sayısı
Örnek: ANOVA
n
Karar kuralı.
Örnek: ANOVA
n
Karar kuralı.
α = 0.05
α = 0.05
df1 = grup sayısı − 1 = 3 − 1 = 2
df1 = 2
df 2 = ( n1 − 1) + ( n2 − 1) + ( n3 − 1) = (4 − 1) + (4 − 1) + (4 − 1) = 9
df 2 = 9
Fk = 4.26
Tablo değeri
Örnek: ANOVA
n
Örnek: ANOVA
Test değerinin hesaplanması.
X2
Hiç
F=
X2
Geçmişte
Şuan
X2
7
49
12
144
8
64
6
36
8
64
10
100
5
25
9
81
12
144
6
36
11
121
10
100
T:24
146
T:40
410
T:40
408
2
T
SSw = ΣX 2 − Σ
n
MS A =
SS A 42.67
=
= 21.34
df1
2
MSW =
SSW 20
=
= 2.22
df 2
9
F=
Genel Toplam: 104
MS A
MSW
MS A 21.34
=
= 9.61
MSW
2.22
 242 402 402 
SS w = 146 + 410 + 408 − 
+
+
= 964 − [144 + 400 + 400] = 20
4
4 
 4
Örnek: ANOVA
n
Örnek: ANOVA
n
Bulunan sonucun önemliliğini test et.
n
Sonucu yorumla.
Test değerinin hesaplanması.
X
Hiç
2
X
Geçmişte
2
n
Şuan
X
2
n
7
49
12
144
8
64
6
36
8
64
10
100
5
25
9
81
12
144
6
36
11
121
10
100
T:40
410
T:40
408
T:24
146
SS A = Σ
SS A =
2
Genel Toplam: 104
2
T
G
−
n
N
2
2
2
2
24 40 40 (104)
+
+
−
= 144 + 400 + 400 − 901.33 = 42.67
4
4
4
12
n
Ret H0, 9.61>4.26 (Ftest>Fk)
Karşılıksız aşk konusunda hissedilen düşüncelerde gruplar arasında
önemli farklılıklar mevcuttur (yaşanan tecrübeler fark yaratır).
ANOVA özet tablosu
Source (Kaynaklar)
df
SS
MS
F
Between Groups (G. arası)
2
42.67
21.34
9.61
Within Groups (G. içi)
9
20
2.22
Total (Toplam)
11
62.67
RGui-One Way Anova
y<-c(7, 6,5,6)
x<-c(12,8,9,11)
1
z<-c(8, 10,12,10)
2
ask<-data.frame(cbind(y, x, z))
ask
3
attach(ask)
4
dats <- stack(ask)
names(dats) <- c("Puan", "Tecrübe")
dats
ask.aov <- aov(Puan~Tecrübe, dats)
summary(ask.aov)
y x z
7 12 8
6 8 10
5 9 12
6 11 10
Puan Tecrübe
1
7
y
2
6
y
3
5
y
4
6
y
5 12
x
6
8
x
7
9
x
8 11
x
9
8
z
10 10
z
11 12
z
12 10
z
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Tecrübe (GA)
2 42.667 21.333
9.6
0.005861 **
Residuals (Gİ) 9 20.000 2.222
--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
One-Factor ANOVA Örnek:
Scatter Diagram
Club 1
254
263
241
237
251
Club 2
234
218
235
227
216
Club 3
200
222
197
206
204
260
250
240
•
••
•
•
X1
230
220
••
•
••
X2
210
x 1 = 249.2 x 2 = 226.0 x 3 = 205.8
200
x = 227.0
190
•
••
••
1
One-Factor ANOVA
F Testi Örnek
You want to see if three
Club 1
different golf clubs yield
254
different distances. You
263
randomly select five
241
measurements from trials on
237
an automated driving
251
machine for each club. At the
.05 significance level, is there
a difference in mean
distance?
Club 2
234
218
235
227
216
Mesafe
270
X
X3
2
3
Club (sopa)
One-Factor ANOVA Örnek
Hesaplama
Club 3
200
222
197
206
204
Club 1
254
263
241
237
251
Club 2
234
218
235
227
216
SSA = 5 (249.2 –
Club 3
200
222
197
206
204
227)2
+ 5 (226 –
X1 = 249.2
n1 = 5
X2 = 226.0
n2 = 5
X3 = 205.8
n3 = 5
X = 227.0
n = 15
c=3
227)2
+ 5 (205.8 – 227)2 = 4716.4
SSW = (254 – 249.2)2 + (263 – 249.2)2 +…+ (204 – 205.8)2 = 1119.6
MSA = 4716.4 / (3-1) = 2358.2
MSW = 1119.6 / (15-3) = 93.3
F=
2358.2
= 25.275
93.3
One-Factor ANOVA Örnek
Çözüm
Test İstatistiği:
H 0: μ 1 = μ 2 = μ 3
H1: μi eşit değil
α = .05
df1= 2
df2 = 12
F=
Fk = 3.89
Ret H0
MSA 2358.2
=
= 25.275
MSW
93.3
En az bir μi’nın diğerlerinden
farklı olduğu konusunda
kanıtlar var
F = 25.275
Fk = 3.89
F testinin sonucu gruplar arasında farkın önemli
olduğunu ortaya koyduğunda; hangi gruplar
arasında fark olduğunu belirlemek için ilave
testler yapılabilir. Bu testlerle ikili gruplar arası
kıyaslamalar yaparak hangi gruplar arası farkın
önemli olduğu belirlenmeye çalışılır.
Sonuç:
α = .05
H0 kabul
n
Karar:
Ret H0 @ α = 0.05
Kritik değer:
0
F testinden sonra
ANOVA - Single Factor:
Excel Çıktısı
Tukey-Kramer Yöntemi
EXCEL: tools | data analysis | ANOVA: single factor
SUMMARY
Groups
n
Count
Sum
Average
Variance
Club 1
5
1246
249.2
108.2
Club 2
5
1130
226
77.5
Club 3
5
1029
205.8
94.2
n
ANOVA
Source of
Variation
SS
df
MS
Between
Groups
4716.4
2
2358.2
Within
Groups
1119.6
12
93.3
Total
5836.0
14
F
25.275
P-değeri
4.99E-05
Fk
Hangi kitle ortalamasında anlamlı bir fark
olduğunu belirtir.
n
Ör.: μ1 = μ2 ≠ μ3
n
ANOVA’da H0 reddedildikten sonra yapılır
Eşleştirilmiş kıyaslamalara izin verir
n
Ortalama farklarının mutlak değerinin kritik bölge ile
kıyaslamasını yapar
3.89
μ1= μ2
μ3
x
Tukey-Kramer Yöntemi: Örnek
Club 1
254
263
241
237
251
Club 2
234
218
235
227
216
PHStat ile Tukey-Kramer testi
1. Ortalama farkların mutlak
değerlerini kıyasla:
Club 3
200
222
197
206
204
x1 − x 2 = 249.2 − 226.0 = 23.2
x1 − x 3 = 249.2 − 205.8 = 43.4
x 2 − x 3 = 226.0 − 205.8 = 20.2
2. Tablodan c = 3, n – c = 15 – 3 = 12 serbestlik
derecesi için istenilen α (α = .05) anlamlılık
düzeyinde QU bul.
Q = 3.77
U
ANOVA çıktısından MSW (Gİ) bul.
The Tukey-Kramer Procedure:
Example
(continued)
3. Kritik bölgeyi belirle:
Kritik bölge = QU
MSW  1
1 
93.3  1 1 
+
= 16.285
 +
 = 3.77


2  n j n j' 
2  5 5 
4. Kıyasla:
5. Ortalama farkların mutlak
değerlerinin hepsi kritik değerden
büyük. Bu nedenle %5 anlamlılık
düzeyinde her eşleşme için anlamlı bir
fark mevcuttur.
x1 − x 2 = 23.2
x1 − x 3 = 43.4
x 2 − x 3 = 20.2
Örnek
Rasgele seçilen müşteri gruplarına ayrı çeşitlerde kahve ikram edilmiş ve
içtikleri kahveye 0 ile 100 arasında bir not vermeleri istenmiştir: 21
kişiye sade Brezilya Kahvesi, 20 kişiye sade Kolombiya Kahvesi ve 22
kişiye sade Afrika Kahvesi ikram edilmiştir.
Sonuç test istatistiği F = 2.02 bulunmuştur.
Two-Way ANOVA
Değişkenliğin kaynakları
İki Yönlü Varyans Analizi
n
n
n
n
n
Bir iki yönlü ANOVA’da, iki faktörün etkileri eşanlı olarak incelenebilir.
İki yönlü ANOVA aynı zamanda, her faktörün tek başına ve iki faktörün
bir arada etkilerinin incelenmesine imkan vermektedir.
Popülasyon ortalaması üzerindeki her faktörün tek başına olduğu
düzeylere bağlanabilecek etkiye temel etki denir.
İki faktör arasındaki etkileşim etkisi herhangi iki faktör çiftinin toplam
etkisi iki temel etkinin toplamından önemli ölçüde farklılaştığında ortaya
çıkar. Etkileşimde bulunmayan faktörler toplanabilir olarak adlandırılır.
İki yönlü ANOVA ile cevaplanabilecek üç soru:
n A faktörünün herhangi bir temel etkisi var mı?
n B faktörünün herhangi bir temel etkisi var mı?
n A ve B faktörleri arasında herhangi bir etkileşim var mı?
Örneğin, tatilcilerin oyları üzerindeki etkileri beş farklı resort(Faktör A)a
ve dört değişik resort niteliği(Faktör B) bakarak araştırabiliriz. Beş A
faktörü temel düzeyi ve 4 B faktörü temel düzeyine ek olarak (5*4=20)
etkileşim düzeyi bulunmaktadır.
İlgilenilen iki faktör: A ve B
r = A faktöründeki seviye sayısı
c = B faktöründeki seviye sayısı
n’ = etkileşim sayısı (number of replications for each cell)
n = tüm örnek sayılarının toplamı
Xijk = A faktörünün i seviyesindeki ve B faktörünün j
seviyesindeki kth gözleminin değeri
Two-Way ANOVA
Sources of Variation
Two-Way ANOVA
(devam)
n
Varsayımlar
n Popülasyon normal dağılıma sahip : veya
MLT uygulanır
n Popülasyonlar eşit varyansa sahip
n Örnekleme rastsal ve bağımsız
SST = SSA + SSB + SSAB + SSE
SSA
A Faktörünün değişkenliği
SST
Total Variation
SSB
B Faktörünün değişkenliği
SSAB
n-1
(devam)
Serbestlik
derecesi:
r–1
c–1
A ve B’nin etkileşimi sonucu
oluşan değişkenlik
(r – 1)(c – 1)
SSE
rc(n’ – 1)
Rastsal değişkenlik (Hata)
Two Factor ANOVA Eşitlikler
Two Factor ANOVA Eşitlikler
r
Toplam değişkenlik:
r
i =1 j =1 k =1
SST = ∑∑∑ ( Xijk − X)2
i=1 j=1 k =1
A faktörünün değişkenliği:
r
SSA = cn′∑ ( Xi.. − X )2
i =1
B faktörünün değişkenliği :
SSB = rn′∑ ( X. j. − X )
X=
= Genel ortalama
rcn′
X ijk
∑∑
j =1 k =1
=
= A faktörünün i th seviyesindeki ortalaması
′
cn
(i = 1, 2, ..., r)
n′
r
X . j. =
∑∑ X
i =1 k =1
rn′
n′
c
2
X ij . = ∑
k =1
j =1
ijk
n′
c
X i ..
(devam)
n′
∑∑∑ X
n′
c
c
ijk
= B faktörünün jthseviyesindeki ortalaması
(j = 1, 2, ..., c)
X ijk
= ij hücresinin ortalaması
n′
r = A faktöründeki seviye sayısı
c = B faktöründeki seviye sayısı
n’ = etkileşim sayısı
Two Factor ANOVA Eşitlikler
Ortalama karelerin hesabı
(devam)
SSA
r −1
SSB
MSB = B faktörü için ortalama kareler =
c −1
SSAB
MSAB = Etkileşim için ortalama kareler =
( r − 1)( c − 1)
MSA = A faktörü için ortalama kareler =
Etkileşim değişkenliği:
r
c
SSAB = n′∑∑ ( Xij. − Xi.. − X. j. + X)2
i =1 j =1
Hata kareler toplamı:
r
c
n′
SSE = ∑∑∑ ( Xijk − Xij. )2
i=1 j=1 k =1
MSE = Hata kareleri ortalaması =
SSE
rc( n '− 1)
Two-Way ANOVA:
F Testi İstatistiği
Two-Way ANOVA
Özet Tablo (With Replication)
A faktörü etkisi için F Testi
H0: μ1.. = μ2.. = μ3.. = • • •
F=
H1: tüm μi.. Eşit değil
MSA
MSE
Ret H0 eğer
F > Fk
Source of
Variation
Sum of
Squares
Degrees of
Freedom
Factor A
SSA
r–1
MSB
F=
MSE
H1: tüm μi. Eşit değil
Ret H0 eğer
F > Fk
Factor B
SSB
c–1
SSAB
(r – 1)(c – 1)
Error
SSE
rc(n’ – 1)
Total
SST
n–1
AB
(Interaction)
Etkileşim etkisi için F Testi
H0: A ve B etkileşim sıfıra eşit
H1: A ve B etkileşim sıfırdan farklı
MSAB
F=
MSE
Ret H0 eğer
F > Fk
Two-Way ANOVA
Özet Tablo (Without Replication)
Degrees of
Freedom
Sum of
Square
s
Mean
Squares
F
Statistic
Rows
Factor A
r–1
SSA
MSA
MSA/
MSE
f (FA)
Columns
Factor B
c–1
SSB
MSB
MSB/
MSE
f (FB)
Total
(r-1)(c-1)
SSE
r•c–1
SST
MSE
MSA
MSA
MSE
MSB
= SSB /(c – 1)
MSAB
= SSAB / (r – 1)(c – 1)
MSE =
SSE/rc(n’ – 1)
Two-Way ANOVA
F Testinin özellikleri
Source of
Variation
Error
F
Statistic
= SSA /(r – 1)
B faktörü etkisi için F Testi
H0: μ.1. = μ.2. = μ.3. = • • •
Mean
Squares
n
p-value
Serbestlik derecesi
n
n-1 = rc(n’-1) + (r-1) + (c-1) + (r-1)(c-1)
n
Toplam = hata + A faktörü + B faktörü + etkileşim
n
F Testinde payda her zaman aynı pay farklıdır.
n
Kareler toplamı (her zaman)
n
SST = SSE + SSA + SSB + SSAB
n
Toplam = hata + A faktörü + B faktörü + etkileşim
MSB
MSE
MSAB
MSE
Örnek:
Etkileşim vs. Etkileşimsizlik
n
n
Etkileşim yok :
Etkileşim mevcut:
Factor A Levels
Ortalama tepki
Ortalama tepki
Factor B Level 2
Source of
Degrees of Sum of
Variation
Freedom
Rows
Factor B Level 1
Factor B Level 3
Anova Özet Tablo
Factor B Level 1
Factor B Level 2
Factor B Level 3
Üretim müdürü tesiste
kullanılmakta olan üç
makine ile doldurulmakta
olan 5 farklı kutunun 0.05
anlamlılık düzeyinde
makineler arası ve kutular
arası ortalama doldurma
zamanları arası fark var
mıdır?
F
P-Value
Squares Square
5-1=4
2.6507
.6627
.6309
.6543
3-1=2
47.164
23.582
22.4525
.0005
1.0503
(Boxes)
Columns
(Machines)
Error
(5-1)(3-1) = 8
8.4025
Total
(3·5)-1 = 14
58.2172
Factor A Levels
Two-Factor ANOVA
With Replication
Two-Factor ANOVA
Without Replication
n
Mean
Box Machine1 Machine2 Machine3
1
25.40
23.40
20.00
2
26.31
21.80
22.20
3
24.10
23.50
19.75
4
23.74
22.75
20.60
5
25.10
21.60
20.40
As production manager,
you want to see if 3 filling
machines have different
mean filling times when
used with 5 types of
boxes. At the .05 level, is
there a difference in
machines, in boxes? Is
there an interaction?
n
Box Machine1 Machine2 Machine3
1
25.40
23.40
20.00
26.40
24.40
21.00
2
26.31
21.80
22.20
25.90
23.00
22.00
3
24.10
23.50
19.75
24.40
22.40
19.00
4
23.74
22.75
20.60
25.40
23.40
20.00
5
25.10
21.60
20.40
26.20
22.90
21.90
Tukey-Kramer Yöntemi:
With Replication Factor B
Summary Table
Source of
Variation
Sample
Degrees of Sum of
Mean
Freedom
Squares Square
5-1=4
(Boxes)
Columns
(Machines)
7.4714
F
1.8678
P-Value
kritik bölge = Qc , rc ( n' −1)
.0277
1. Formülle hesaplanır
3.6868
2. ANOVA çıktısından MSW (Gİ)
3-1=2
Interaction (5-1)(3-1) = 8
106.298
53.149
104.908 1.52E-09
9.7032
1.2129
7.5994
.5066
Within
(Error)
5·3·(2-1)=15
Total
3·5·2 -1 = 29 131.0720
2.3941
.0690
3.
α = .05 veya .01 anlamlılık düzeyi için tablodan Q
c : B deki seviye sayısı
r : A daki seviye sayısı
n’ : etkileşim sayısı
rc(n’-1) (down the table)
Tukey-Kramer Yöntemi:
With Replication Factor A
kritik bölge = Qr ,rc ( n' −1)
MSW
cn '
1. Formülle hesaplanır
2. ANOVA çıktısından MSW (Gİ)
3.
MSW
rn '
α = .05 veya .01 anlamlılık düzeyi için tablodan Q
r : A daki seviye sayısı
c : B deki seviye sayısı
n’ : etkileşim sayısı
rc(n’-1) (down the table)
COPE Oranı ve Etkileşim
n
n
n
“COPE oranı” meclisteki oy oranı.
Yüksek COPE oranı “bir şeye karşı” oy oranı
Her gözlem meclisin bir üyesi.
COPE Oranı ve Etkileşim
n
n
n
COPE Oranı ve Etkileşim
COPE oranının siyasi parti ve bölgeye bağlı
değişkenliğinin belirlenmesi
Parti ve Bölge arası etkileşimin testi.
İki değişkenin olduğunu varsayalım: PARTİ &
BÖLGE
Two Way ANOVA:
Hipotezler
H0: her partinin Ortalama “Cope oranı” eşit
H1: tüm µi . Eşit değil
H0: her bölgenin ortalama “cope oranı” eşit
H1: Tüm µi eşit değil
H0: partinin etkisi bölgeye bağlı değil (veya tersi)
H1: partinin etkisi bölgeye bağlı (veya tersi)
COPE Oranı ve Etkileşim
Anova: Two-Factor With Replication
Excel Çıktısı
Bölge Etkisi
Parti Etkisi
Hata
Anova: Two-Factor With Replication
SUMMARY
North
Count
Sum
Average
Variance
Democrat
Republican Total
20.0
2000.0
100.0
1783.9
20.0
1600.0
80.0
2628.6
40.0
3600.0
90.0
2252.3
South
Count
Sum
Average
Variance
20.0
400.0
20.0
782.2
20.0
600.0
30.0
994.9
40.0
1000.0
25.0
891.4
West
Count
Sum
Average
Variance
20.0
1800.0
90.0
1510.9
20.0
800.0
40.0
1292.9
40.0
2600.0
65.0
2007.0
Genel toplam
Etkileşim Etkisi
Graph of Interaction Effects
ANOVA in Microbiology
P<α (0.05) olduğu için H0 reddedilir. Gıda hazırlama esnasında kullanılan
temizlik bezinin türü ve bezin durulanıp durulanmaması gıdaya geçen
bakteri miktarını etkilemektedir.