Düzlem Elektromanyetik Dalgalar

Düzlem Elektromanyetik Dalgalar
Düzgün Düzlem Dalga: E’nin , (benzer şekilde H’nin) yayılma yönüne dik sonsuz
düzlemlerde, aynı yöne, aynı genliğe ve aynı faza sahip olduğu özel bir Maxwell
denklemleri çözümüdür.
Düzlem dalgalar gerçekte yoktur, çünkü oluşturulmaları için sonsuz boyutlarda kaynaklar
gerekir. Bununla birlikte eğer bir kaynaktan yeterince uzakta isek, Dalga Cephesi (sabit
faz yüzeyi) neredeyse küresel hale gelir ve dev bir kürenin yüzeyinin çok küçük bir kısmı
bir düzleme çok yakındır.
Düzlem Elektromanyetik Dalgalar
(a) Düzlem dalga
(b) Küresel dalga
Kayıpsız Ortamda Düzlem Dalgalar
1. Boşlukta Düzlem Dalgalar.
y-yönünde polarize olmuş, z
doğrultusunda yayılan
elektromanyetik dalganın
elektrik alan bileşeni;
E ( z , t )  E y ( z , t )  E y ( z )e jt
Boşlukta, dalganın faz hızı ışık hızı c’ye eşittir.
Kayıpsız Ortamda Düzlem Dalgalar
1 boyutlu dalga denklemi
2 Ey ( z)
z 2
2
2
2

 jt
E
(
z
)
d
E
(
z
)


j


1
y
y
 2
 0
 2 Ey ( z) e  0
2
2
t
c
c
 dz

Kayıpsız Ortamda Düzlem Dalgalar
 2 Ey ( z)
z 2
2
2
2

 jt

E
(
z
)
d
E
(
z
)
j



1
y
y
 2
 0
 2 Ey ( z) e  0
2
2
c
c
t
 dz

d 2 E y ( z )   2

   Ey ( z)  0
2
dz
c
veya

2 f 2
k 

c
c

k, dalga sayısı:
1- Boyutlu dalga (Helmzholtz) denklemi :
2

d Ey ( z)
dz
2
 k Ey ( z)  0
2
Zamanda Harmonik Düzlem Dalgalar
İkinci dereceden adi diferansiyel formda olan dalga denkleminin çözümü;
E y ( z )  ae
 jkz
 be
 jkz
Kosinüs referansı çin E’nin anlık ifadesi;
E y  ae
j (t  kz )
 be
j (t  kz )
E y  acos(t  kz )  bcos(t  kz )
Birinci terim +z yönünde, ikinci terim ise –z yönünde giden dalgayı göstermektedir.
Zamanda Harmonik Düzlem Dalgalar
Dalga boşlukta yayılmaktadır, dolayısıyla faz hızı
aşağıdaki gibi tanımlanır.
v  

k
 c
Örnek:
EM dalganın elektrik alanı y-yönünde polarize olmuştur ve z
yönünde ilerlemektedir. Dalga boyu 2 cm, genliği 2 V/m olduğuna
göre elektrik alan ifadesini yazınız.
Dalga boyu  = 0.02 m:
2 f 2
c 3 108
k
  f  
 1.5 1010 Hz15GHz

 0.02
c
Dalga sayısı:
2
2

 100
k
 0.02
E ( z, t )  2  106 cos  2 15  109 t  50 z  ıˆy
Manyetik Alan Şiddeti ve Karakteristik Empedans
Manyetik alan şiddeti Faraday yasasından bulunabilir;
  E ( z , t )   j B ( z , t )   j0 H ( z , t )
 ıˆ
 x
1 
H ( z, t )  
j0  x

 0
H ( z, t )  
1
j0
ıˆy

y
E0 e
j t  kz 
  E0 e
ıˆz 


z 

0 
j ( t  kz )
z
 (ıˆ )   
x
k 
j ( t  kz )
E
e
ıˆx
   0
 0
Manyetik Alan Şiddeti ve Karakteristik Empedans
Ortamın Karakteristik Empedansı:

kc

Zc 

 c 

k
k

Serbest Uzay için:
E ( z, t )

Z0 
H ( z, t )



0
 120  376.73
0
1
1
j ( t  kz )
H x ( z , t )   E0 e
ıˆx   ıˆz  E y ( z, t )  A m]
Zc
Zc
Alan bileşenlerinden herhangi birini ve karakteristik empedansı
biliyorsak, diğer alan bileşenini bulabiliriz.
Örnek:
Aşağıda, boşlukta verilen elektrik alan şiddeti vektörüne eşlik
eden manyetik alan şiddeti ifadesini bulunuz.
E ( z, t )  2  106 cos  2 15  109 t  50 z  ıˆy
E ( z, t ) 2  106
 ( z, t ) 

cos  2 15  109 t  50 z   ıˆz  ıˆy 
Z0
120
 ( z, t )  5.3  109 cos  2 15  109 t  50 z   ıˆx  A m
Doppler Etkisi:
 Doppler etkisi (veya Doppler kayması), adını ünlü bilim insanı ve
matematikçi Christian Andreas Doppler'den almakta olup, kısaca dalga
özelliği gösteren herhangi bir fiziksel varlığın frekans ve dalga boyu'nun
hareketli (yakınlaşan veya uzaklaşan) bir gözlemci tarafından farklı zaman
veya konumlarda farklı algılanması olayıdır.
Doppler Etkisi:
Hareketsiz Kaynak

Hareketli Kaynak
Moving Source
vs
’
Formülün Çıkartılışı– Hareketli Kaynak
Kaynak bize doğru yaklaşıyorsa,
’ =  - vsT
Denklemde yer alan parametreler;
 = Dalganın dalgaboyu
’ = Algılanan dalgaboyu
vs = Kaynağın hızı
T = Dalganın periyodu
Formülün Çıkartılışı– Hareketli Kaynak
fo = Gözlenen frekans
v = Dalga hızı
’ = Algılanan dalgaboyu
fo = Gözlenen frekans
fs = Kaynak frekansı
v = Dalga hızı
vs = Kaynak hızı
Gözlemci Hareketli ise
Yaklaşıyorsa:
Uzaklaşıyorsa:
Genel Durum
İki denklemi birleştirelim
Hem kaynağın hem de
Gözlemcinin hareketli
olması durumunda:
Genel Durum
Enine Elektromanyetik Dalgalar

E  E x .ıˆx
İle tanımlanan ve +z yönünde yayılan bir düzgün düzlem
dalga

H  H y .ıˆy
manyetik alanına sahiptir. E ve H birbirine diktir ve bunların her
ikisi de yayılma yönüne diktir. Böyle bir dalga enine
elektromanyetik (TEM) dalganın, özel bir durumudur.
y
x
+x ve +z yönlerinde ilerleyen
düzgün düzlem dalganın ydoğrultusundaki elektrik alan
şiddeti aşağıdaki gibi ifade
edilir.
E ( x , z )  E0 e
z
 jk x x  jk z z
Dalga sayısı vektörü k
aşağıdaki gibi ifade edilir.

kz

k

kx

k  k x .ıˆx  k z .ıˆz
.ıˆy
y
Orijinden gelişigüzel bir noktaya olan yarıçap
vektörü R’yi de aşağıdaki gibi tanımlarız.
x

R  x.ıˆx  y.ıˆy  z.ıˆz
z
Bu tanımlarla elektrik alan ifadesini tekrar yazarsak;
E  E0 e
 
 j.k . R
.ıˆy
Bu elektrik alana eşlik eden manyetik alan H, aşağıdaki gibi bulunur.

H 
 E0
1
E0 ( k z .ıˆx  k x .ıˆz )e  jk x x  jk z z
E 
j..
. 
Düzlem Dalgaların Kutuplaması
(Polarizasyonu)
Bir düzlem dalganın kutuplanması (polarizasyonu), elektrik
alan şiddeti vektörünün uzayda verilen bir noktadaki zamanla
değişen davranışını açıklar.
Örneğin bir düzlem dalganın E vektörü x yönüne
sabitlenmişse, dalgaya x- yönünde sabitlenmiş doğrusal
kutuplanmıştır denir. ( Üç tip polarizasyon vardır;

E  E x .ıˆx
Polarizasyon tipleri
Doğrusal polarizasyon
Dairesel polarizasyon
Eliptik polarizasyon
Doğrusal polarizasyon
Yatay
Vertical
Dairesel polarizasyon
Eliptik polarizasyon
Doğrusal polarizasyon
Dairesel polarizasyon
Dairesel polarizasyon
Düzlem Dalgaların Kutuplanması
İki doğrusal kutuplanmış dalganın üst üste bindirilmesini düşünelim. Biri x- yönünde
kutuplanmış diğeri de y- yönünde kutuplanmış ve zaman fazında 90 derece (veya /2
radyan) gecikmeli olsun. Fazör gösterimi;

E ( z )  E1 ( z ).ıˆx  E2 ( z ).ıˆy
 E10 .e  j .k . z .ıˆx  j.E20 .e  j .k . z .ıˆy
Burada E10 ve
sayılardır.
E20
bu iki doğrusal kutuplanmış dalganın genliğini gösteren reel
E’nin anlık ifadesi ise;

E ( z, t )  Re  E1 ( z ).ıˆx  E2 ( z ).ıˆy  .e j . .t



 E10 .cos(t  kz ).ıˆx  E20 cos(t  kz  ).ıˆy
2
Düzlem Dalgaların Kutuplanması

E ( z, t )  Re  E1 ( z ).ıˆx  E2 ( z ).ıˆy  .e j . .t



 E10 .cos(t  kz ).ıˆx  E20 cos(t  kz  ).ıˆy
2
Verilen bir noktada t değişirken E’nin yön değişimini incelerken z=0 almak uygundur.
Böylece denklem aşağıdaki gibi yazılabilir:

E (0, t )   E1 (0, t ).ıˆx  E2 (0, t ).ıˆy 
 E10 .cos(t ).ıˆx  E20 sin(t ).ıˆy
Düzlem Dalgaların Kutuplanması

E (0, t )   E1 (0, t ).ıˆx  E2 (0, t ).ıˆy 
 E10 .cos(t ).ıˆx  E20 sin(t ).ıˆy
t, 0’dan /2,  ve 3/2’ye artıp 2’de döngüyü tamamlarken E(0,t) vektörünün ucu saat
yönünün tersinde eliptik bir yörünge çizecektir.
y


E (0, t )

0
x
E10
Düzlem Dalgaların Kutuplanması
y
E20


E (0, t )

0
x
E10
Birbirine uzayda ve zamanda dik iki
doğrusal kutuplanmış dalganın toplamı
olan E, eğer E20E10 ise Eliptik
Kutuplanmıştır. Eşit ise Dairesel
Kutuplanmış dalga denir.
E20=E10 olduğunda E’nin t=0’da xekseni ile yaptığı anlık  açısı aşağıdaki
gibi tanımlanır.
,
,
=t
Bu bir sağ-el veya pozitif dairesel kutuplanmış dalgadır.
Düzlem Dalgaların Kutuplanması
Eğer zaman fazında E1(z)’nin 90 derece önünde bir E2(z) ile başlarsak sırasıyla,

E ( z )  E1 ( z ).ıˆx  E2 ( z ).ıˆy
 E10 .e  j .k . z .ıˆx  j.E20 .e  j .k . z .ıˆy

E (0, t )   E1 (0, t ).ıˆx  E2 (0, t ).ıˆy 
 E10 .cos(t ).ıˆx  E20 sin(t ).ıˆy
olacaktır.
E, saat yönünde  açısal hızıyla dönecektir. Böyle bir dalga sol-el veya
negatif dairesel kutuplanmış dalga diye isimlendirilir.
Düzlem Dalgaların Kutuplanması
Eğer E2(z) ve E1(z) uzayda dik ama zamanda eş fazlı ise E’nin z=0’daki ifadesi
aşağıdaki gibi olur.

E (0, t )   E10 .ıˆx  E20 .ıˆy  .cos(t )
Vektörün ucu t=0 iken P1 noktasında olacaktır. t açısı /2’ye doğru artarken
vektörün büyüklüğü sıfıra doğru azalacaktır. E Doğrusal Kutuplanmıştır.
y
P1
E20
x
E10
P2