lisans öğrencilerinin normal dağılım kavramına ilişkin işlemsel ve

lisans öğrencilerinin normal dağılım kavramına ilişkin işlemsel ve

LĠSANS ÖĞRENCĠLERĠNĠN NORMAL DAĞILIM KAVRAMINA
ĠLĠġKĠN ĠġLEMSEL VE KAVRAMSAL ANLAMALARININ
ĠNCELENMESĠ
Bülent GÜVEN1
Buket Özüm ÇABAKÇOR2
AyĢegül SERBEST3
1
Doç. Dr. Karadeniz Teknik Üniversitesi, OFMAE, Matematik Eğitimi
2
Karadeniz Teknik Üniversitesi, OFMAE, Matematik Eğitimi
3
Karadeniz Teknik Üniversitesi, Ġlköğretim Bölümü, Matematik Eğitimi
Özet
İstatistiksel muhakeme ve istatistiksel bilginin toplum için önemi oldukça fazladır. Bu bağlamda günlük hayatta
karşılaştığımız birçok veri görsel, yazılı, grafik, tablo şeklinde istatistik ile ilişkilendirilmiştir. Bu verilerin bir çoğunun
normal dağılım göstermesi, verilerin normal dağılım eğrisinin istatistiksel okuryazarlıktaki önemli bir yerinin olduğuna işaret
etmektedir. Ancak normal dağılımın uygulama alanları artmış olmasına rağmen, öğrencilerin normal dağılımı anlamalarına
yönelik çalışmalara çok az rastlanması ve normal dağılımın tam olarak anlaşılamaması nedeniyle birçok problem yaşamaları
araştırmanın gerekliliğini ortaya koymaktadır. Bu bağlamda araştırmanın amacı öğretmen adaylarının normal dağılımı
anlamalarını karakterize etmektir. Çalışma Karadeniz Teknik Üniversitesi‟nde öğrenim gören 36 Fen Bilgisi Öğretmeni adayı
ile yürütülmüştür. Öğretmen adaylarına normal dağılım ile ilgili 4 işlemsel ve 7 kavramsal sorudan oluşan açık uçlu testler
uygulanmıştır. Çalışmanın sonucunda öğretmen adaylarının kavramsal sorulardaki performanslarının işlemsel sorulardaki
performanslarından daha yüksek olduğu görülmüştür. Ayrıca öğretmen adayları normal dağılım eğrisinin parametreleri olan
ortalama ve varyansın, normal dağılım eğrisinin grafiği üzerindeki etkisini birbiri ile karıştırmaktadırlar.
Anahtar Kelimeler: Normal dağılım, anlama seviyeleri
1. GĠRĠġ
Toplumsal hayatta baş döndürücü bir hızla gerçekleşen gelişme ve değişmeler, bireylerden
beklenen nitelikleri de değiştirmiştir. Bu niteliklerdeki değişim ülkelerin öğretim programları üzerinde
de önemli etkiler yapmaktadır. Matematik öğretim programındaki değişmelerin en önemlilerinden biri
de istatistik konularına giderek artan bir şekilde önem verilmeye başlanmasıdır. Öğretim
programlarında yer alan istatistik konuları ile öğrencilere; verilerden hareketle muhakeme yapabilme
öğrencilerin istatistiksel okuryazarlığı artırabilme, teknolojiyi etkin kullanabilme ve istatistik öğretimi
konusunda araştırma yapabilme becerilerinin kazandırılması amaçlanmaktadır. İstatistik eğitiminde
yoğun olarak bilimsel bilgi elde etme sürecinde istatistikten yararlanmak, öğrencilerin muhakeme
yapma, verileri toplama-organize etme ve yorumlama becerilerine vurgu yapılmaktadır. Cobb &
Moore (1997) istatistiği, belirli bir amaç için veri toplayarak bu verileri tablo ve grafiklerle özetleme,
sonuçları yorumlama, çeşitli konularda geleceğe ilişkin tahmin yapmayı sağlayan bir bilim olarak
tanımlamaktadır. Wallman (1993) ise istatistik eğitiminin hayatta karşılaştığımız belirli tip
problemlerin çözümünde yardımcı olacağını bu bağlamda bireyler için istatistiksel anlamanın oldukça
önemli olduğunu vurgulamaktadır. İstatistik eğitimi alanında yapılan çalışmalar, öğrencilerin istatistiği
anlamada bazı güçlüklerle karşılaştığını göstermiştir. McAlevey & Sullivan (2009), istatistik
eğitiminde, öğrencilerin istatistiksel düşünme, yorumlama ve sonuç çıkarma becerileri üzerinde
yeterince durulmadığını belirtmiştir. Bu durum öğrencilerde kavramsal bir anlamanın oluşmadığı
öğrenme oluşturduğu anlamına gelmektedir. Benzer şekilde Cobb & More (1997) istatistik ve öğretimi
üzerine yayınlamış olduğu bir çalışmasında istatistik öğretiminde matematiksel kuralların yerine
öğretmenlerin formül ve kurallardan çok istatistiksel fikirlere odaklanması gerektiğini önermiştir.
İstatistiğe girişte sunulan anahtar fikirlerin altında yatan matematiksel terimleri, işlemleri anlamak
önemlidir. İstatistik eğitiminde temelde matematik formüllerinden çok istatistiksel kavramların önce
sezgisel yönüne vurgu yapılmalı, anlam üzerine odaklanılmalı ve matematiksel gösterimler ve ilkeler
en son tercih edilmelidir (Cobb & More, 1997). İstatistik eğitimi alanındaki sorunların yansımaları
bilimsel çalışmalarda da kendini gösterir. Sayın (2010) bilimsel araştırmalarda yapılan istatistiksel ve
yöntembilimsel hataları incelemeye yönelik 1999-2006 yılları arasında yapılan çalışmaları derlemiştir.
Bu derleme sonucunda istatistiksel kavramların doğru kullanılmadığı, amacına uygun grafik
hazırlanamadığı, tablo oluşturmada sorunlar yaşadığı, baüımlı ve bağımsız t testinin hangi durumlarda
uygulanabildiği ve hipotezlerin hangi koşullar altında kabul/red edilmesi gerektiğinin bilinmediğini
ortaya çıkarmıştır.
Matematik eğitimi alanında da olduğu gibi eğitimde de öğrencilerin anlamaları işlemsel ve
kavramsal olarak ikiye ayrılabilir. İşlemsel öğrenme de öğrenci kuralların nereden geldiğine
bakmaksızın, tanımı veya ilişkiyi aklında tutmaya çalışır. İşlem bilgisinde nedenler araştırılmayıp
kuralları ezber niteliğinde kazanıldığından, öğretimde kavramlardan çok işlemlere önem verilir.
Kavramsal öğrenmede ise, öğrenci kavramlara odaklanarak, problem çözmede ve matematiksel bilgi
üretmede kendi yaratıcılığını, sezgilerini ve yeteneklerini kullanabilen iyi bir problem çözücüdür
(Baki, 2008). Dolayısıyla istatistikte öğrencilerin verilen tanımları ve formülleri ezberleyip
anlamlarına düşünmeden uygulamaları işlemsel öğrenmeye girerken, verileri organize ederek,
istatistiki işlemlerden geçirdikten sonra yorumlayıp, onlara anlam katabilme becerisi kavramsal
boyutta öğrenmeye girmektedir. Bu kapsamda üniversite düzeyinde bir öğrencinin, kavramsal boyutta
öğrenmeye sahip olması beklenmektedir.
Üniversite düzeyinde iyi bir istatistiksel okuryazar birey olabilmek için normal dağılımı anlama
önemli bir role sahiptir. Söz konusu normal dağılım; birçok neden-sonuç ilişkisini, muhakeme gücüyle
öğrenmekte kullanılan bir modeldir. Birçok fiziksel, biyolojik ve psikolojik fenomenler, fiziksel
ölçümler, test sonuçları ve ölçüm hataları bu dağılımla akla uygun bir şekilde modellenebilir (Ben-Zvi
& Garfield;2004). Buradaki normal dağılım (Gauss dağılımı), varyans ve ortalama ile tanımlanarak
istatistikte ve olasılıksal düşünmede büyük öneme sahiptir (Barndorff-Nielsen, 1997).
Normal dağılımın birçok uygulama alanı olmasına rağmen, öğrencilerin normal dağılımı
anlamalarını araştıran sınırlı sayıda araştırmaya rastlanmaktadır ve yapılan bu çalışmalar da pür
matematik bilgilerine dayanmaktadır (Batanero, Tauber & Sanchez, 2004). Öğrencilerin normal
dağılımları anlamaları üzerine yapılan ilk çalışma çocukların olasılıksal yaklaşım fikirlerinin anlık,
rastlantısal, gelişigüzel gelişimi hakkında çalışan Piaget ve Inhelder (1951) tarafından yapılmıştır.
Yapılan bu çalışmada, çocukların küçük bir delikten akan tüm olasılıklı kum yollarının simetrisini
kavramamına ihtiyaç duyduklarını göz önünde bulundurarak, simetrik yörünge arasındaki olasılıklı
eşitlik ile onlar normal dağılım eğrisinin çan şeklindeki bir eğri olduğunu algılaya bileyeceklerini
belirtilmiştir. Bu kavrama için öğrencilerin 13-14 yaşlarında olması gerektiğini vurgulanmıştır.
Jackman (2001) ise öğrencilere grafik hesaplamalarını kullanarak normal dağılımı anlatmış. Bu
şekilde uygulanmış sınıf ortamının ,öğrencilerin anlamasını kolaylaştırdığı, onları tartışma ortamına
yönlendirdiği ve cesaretlendirdiği sonucuna ulaşmıştır. Huck, Cross ve Clark (1986) üniversite
öğrencilerinin standart normal dağılımla ilgili iki tane kavram yanılgısı keşfetmiştir. Bunlardan
birincisi, üniversite öğrencilerinin normal dağılım eğrisi altında kalan alanın -3<z<3 aralığında
değişeceğini düşünmeleridir. Huck vd. bu öğrencilerin kavram yanılgısını gidermek amacı ile
değişkenliğin oranıyla birlikte standart normal eğrinin ya tablosunu ya da grafiği kullandırarak
öğrencilerde kavramsal boyutta bir öğrenme sağlamıştır.
Pek çok çalışma öğrencilerin özel istatistiksel kavramları anlamalarına yoğunlaşmaktadır ancak
çok az çalışma öğretmenlerin istatistiksel algıları üzerinde durmuştur (Makar & Confrey, 2002;
Mickelson & Heaton, 2004). İstatistiksel okuryazar bireylerin yetiştirilmesinde normal dağılım
konusunun önemlidir. Ancak normal dağılımın uygulama alanları artmış olmasına rağmen,
öğrencilerin normal dağılımı anlama düzeylerine yönelik çalışmalara çok az rastlanmaktadır. Buna
binaen üniversite sıralarında, öğretmen adaylarının günlük hayatta çok sık rastladıkları normal
dağılıma yönelik bilgilerinin hangi boyutta olduğu, onların gelecekteki öğrencilerine kavramsal
boyutta öğretim gerçekleştirmesi bakımından önemlidir.
Bu çalışmada ülkemizdeki üniversitelerin birçok farklı bölümlerinde okutulan istatistik
derslerinde öğrencilerde oluşan normal dağılım anlayışının bir resminin çekilmesi amaçlanmıştır.
2. YÖNTEM
Bu çalışma öğretmen adaylarının normal dağılım eğrilerini anlamalarını resmetmeye yönelik
olarak yapılmış betimsel bir çalışmadır. Öğretmen adaylarından elde edilen verileri karakterize etmede
nitel verilerden yararlanılmıştır.
2.1 ÇalıĢma Grubu
Çalışmanın örneklemini 2011-2012 eğitim-öğretim yılında Karadeniz Teknik Üniversitesi Fen
Bilgisi Öğretmenliği üçüncü sınıfta okuyan olan toplam 36 öğretmen adayı oluşturmaktadır. Öğretmen
adayları daha önce Genel Matematik-1, Genel Matematik-2 dersini almış olup şu anda da İstatistik
dersini almaktadır. Çalışmamızda öğretmen adaylarımızın matematik alanında önceki deneyimleri ve
istatistiğe ilişkin önbilgilerinin varlığı göz önünde bulundurulmuştur.
2.2 Veri Toplama Aracı
Öğretmen adaylarının normal dağılımla ilgili kavramsal ve işlemsel anlamalarını soruların
oluşturulmasını resmedebilmek için 7‟si kavramsal bilgiyi, 4‟ü işlemsel bilgiyi ölçen toplam 11 açık
uçlu soru kullanılmıştır. Çalışmada kullanılan veri toplama araçlarında uzman görüşü alınarak ve
literatür taraması yapılarak elde edilen sorular kullanılarak geçerlik ve güvenirlik arttırılmaya
çalışılmıştır. Hazırlanan sorular bu alanda uzman kişiler tarafından seviye, kapsam, içerik ve dil
açısından kontrol edilmiştir.
İlk bölümde yer alan kavramsal sorular; “öğretmen adaylarının normal dağılım eğrileri
parametrelerini anlaması, parametrelerin normal dağılım eğrileriyle ilişkilendirilmesi, normal dağılım
eğrileri altındaki alanları anlama, değişkenlerden parametreyi yorumlama” boyutlarından
oluşmaktadır. İkinci bölüm sorularında öğretmen adaylarına z tablosu verilerek onlardan ekte,
tablo2‟de yer alan işlemsel test sorularını çözmeleri istenilmiştir. İkinci bölümdeki sorular ise işlemsel
öğrenmeye yönelik sorular olup, “normal dağılım eğrisinin altındaki alanları yorumlama” ya
yöneliktir.
Madden (2008) tarafından geliştirilen başarı testi, normal dağılıma yönelik işlemsel ve
kavramsal düzeydeki başarı testleri öğretmen adaylarına uygulanmadan önce uzman görüşü alınmıştır.
Daha sonra pilot çalışması olarak 60 İlköğretim Fen Bilgisi Öğretmen adayına uygulanmış ve bu
bağlamda testler son şeklini almıştır.
2.3
Verilerin Analizi
Verilerin analiz aşamasında öğretmen adaylarının sorulara verdiği doğru, yanlış, kısmen doğru
ve boş şeklinde kodlamalar yapılmıştır. Öğretmen adaylarının soruları hem doğru yapıp hem de
sebebini açıklaması “Doğru” olarak, soruları doğru yapıp sebebini açıklayamamaları kısmen doğru,
hem yanlış hem de yanlış açıklamalar yapması ise yanlış olarak kodlanmıştır. Bu kodlamaların yüzde
ve frekansları alınmış ve öğretmen adaylarının cevapları ayrı ayrı incelenmiştir. İncelenen bu cevaplar,
kavramsal ve işlemsel sorularda yer alan boyutlara göre ayrı ayrı analiz edilmiştir.
3. BULGULAR
Çalışmanın bu kısmında öğretmen adaylarına yöneltilen normal dağılımla ilgili soruların
işlemsel ve kavramsal boyutta bulgularına yer verilmiştir.
Kavramsal Testteki Soruların Değerlendirilmesi
Kavramsal testte yer alan bulgular; öğretmen adaylarının normal dağılım eğrileri parametrelerini
anlaması, parametrelerin normal dağılım eğrileriyle ilişkilendirilmesi, normal dağılım eğrileri altındaki
alanları anlama, değişkenlerden parametreyi yorumlama alt başlıklarına göre verilmiştir.
3.1
3.1.1. Öğretmen Adaylarının Normal Dağılım Eğrileri Parametlerini Anlaması
Kavramsal testte yer alan ilk soru “Normal dağılım eğrisinin şeklini belirleyen parametreler
hangileridir? Açıklayınız” şeklindedir. Bu soru öğretmen adaylarının normal dağılım parametrelerini
anlaması boyutunda incelenmiş olup Tablo 1‟de öğretmen adaylarının soruya verdiği cevapların
frekansları verilmiştir.
Tablo 1: Öğretmen adaylarının kavramsal testteki 1. Soruya verdiği cevapların yüzde ve frekansları
1.soru
f
%
Doğru
6
17
Kısmen Doğru
18
50
YanlıĢ
12
33
BoĢ
-
Tablo 1 incelendiğinde öğretmen adaylarının %17‟si 1. Soruyu doğru, %50‟si kısmen doğru,
%33‟ü yanlış cevaplandırmıştır. Yüzdelere bakıldığında öğretmen adaylarının yarısının soruyu kısmen
doğru cevaplandırdığı, geriye kalan büyük çoğunluğun ise yanlış cevap verdiği görülmektedir.
Öğretmen adaylarının birinci soruya verdiği cevaplardan bazıları:
Ö1: Ortalama, Standart Sapma (D)
Ö4: Z tablosu ve güven aralıkları (Y)
Ö14: Ortalama, Standart sapma, Mod, Medyan, Varyans (K) şeklindedir.
Ö1 kodlu öğretmen adayı bu soruya ortalama ve standart sapma cevabını vererek doğru, Ö4
kodlu öğretmen adayı bu soruya yanlış cevabı vermiştir. Ö14 kodlu öğretmen adayı ise normal
dağılımın parametreleri olarak ortalama ve standart sapmanın yanında medyan ve mod gibi
değişkenlik ölçülerini de yazmıştır.
3.1.2. Parametrelerin Normal Dağılım Eğrileriyle ĠliĢkilendirilmesi
Kavramsal testte yer alan 2., 3., 4. ve 6. sorular parametrelerin normal dağılım eğrisi ile
ilişkilendirilmesine yöneliktir. Bu soruları incelediğimizde 2. Soruda öğretmen adaylarına 3 tane eğri
verilmiş ve bu eğrilerden hangisi veya hangilerinin normal dağılıma sahip olabileceği gerekçeleri ile
birlikte sorulmaktadır.
Tablo 2: Öğretmen adaylarının kavramsal testteki 2. Soruya verdiği cevapların yüzde ve frekansları
Doğru
Kısmen Doğru
YanlıĢ
BoĢ
9
11
15
1
f
2.soru
26
30
41
3
%
Tablo 2 incelendiğinde öğretmen adaylarının %41‟i 2. Soruyu yanlış, %30‟u kısmen doğru,
%26‟sı ise doğru cevaplandırmıştır. Yüzdelere bakıldığında öğretmen adaylarının çoğunun bu soruyu
yanlış cevaplandırdığı, kısmen doğru ve doğru cevaplayanların yüzdelerinin ise birbirine yakın olduğu
görülmüştür. Öğretmen adaylarının ikinci soruya verdiği cevaplardan bazılarını inceleyecek olursak:
Ö17: C normal dağılım eğrisi, A ve B değildir. Normal dağılım eğrisinin simetrik olması
gerekir. A ve B simetrik olmadığı için normal dağılım eğrisi değildir. (Y)
Ö14: A,B,C üçü de olabilir. Çünkü ortadan ikiye böldüğümüz zaman simetri oluyor. (K)
Ö4: A ve C grafikleri normal dağılımdır. Çünkü homojen bölünür, simetrik dağılımdır, ekseni
kesmez. (D)
Kavram testinde yer alan 3. soru iki şıktan oluşmakta ve parametrelerin normal dağılım eğrisi
ile ilişkilendirilmesine yöneliktir. 3. Sorunun ilk şıkkında normal dağılım eğrisinin parametresi olan
σ‟nın değişiminin, normal dağılım eğrisinin grafiğine nasıl bir etki yapacağına yöneliktir. b şıkkı ise
normal dağılım eğrisinin parametresi olan µ‟nün değişiminin normal dağılım eğrisinin grafiğine nasıl
bir etki yapacağına yöneliktir. Öğretmen adaylarından değişen normal dağılım parametrelerine göre
grafikleri çizmeleri istenmiştir.
Tablo 3: Öğretmen adaylarının kavramsal testteki 3. Soruya verdiği cevapların yüzde ve frekansları
Doğru
Kısmen Doğru
YanlıĢ
BoĢ
2
1
21
12
f
a
6
3
58
33
%
3.soru
6
1
17
12
f
b
17
3
47
33
%
Tablo 3 incelendiğinde 3. Sorunun a şıkkına öğretmen adaylarının %58‟i yanlış cevabı, %6‟sı
doğru cevabı ve % 3‟ü ise kısmen doğru cevabı vermişlerdir. Ayrıca öğretmen adaylarının %33‟ü bu
soruda yorumsuz kalarak, soruyu boş bırakmıştır. Öğretmen adayları, σ‟nın normal dağılım eğrisinin
grafiğine etkisinin incelendiği bu soruda genellikle ortalama ile varyans değerlerinin grafik üzerine
etkisini karıştırdığı görülmüştür. Öğretmen adaylarının üçüncü sorunun a şıkkına verdiği cevaplardan
bazılarını inceleyecek olursak:
Şekil 1: Ö8 ve Ö1 kodlu öğretmen adaylarının 3. Sorunun a şıkkına verdiği cevaplar
Şekil 1‟de Ö8 ve Ö1 kodlu öğretmen adaylarının 3. Sorunun a şıkkına verdiği cevaplar
verilmiştir. Ö8 öğretmen adayı, normal dağılım parametresi olan σ‟nın değişiminin grafiğe etkisi ile
µ‟nün değişiminin grafiğe etkisini karıştırarak yanlış cevap vermiştir. Ö1 öğretmen adayı ise σ‟nın
büyüklüğü ile normal dağılım eğrisinin kavisli olma özelliği arasında doğru orantı olduğunu düşünerek
yanlış sonuca ulaşmıştır. Ö1 öğretmen adayı ortalamanın değerini frekans değeri ile karıştırmakta ve
ortalama büyüdükçe grafiğin uzunluğunun artacağını düşünmektedir.
Tablo 3 incelendiğinde 3. Sorunun b şıkkına öğretmen adaylarının %47‟si yanlış cevabı,
%17‟si doğru cevabı ve % 3‟ü ise kısmen doğru cevabı vermişlerdir. Ayrıca öğretmen adaylarının
%33‟ü bu soruda yorumsuz kalarak, soruyu boş bırakmıştır. Öğretmen adayları a şıkkına benzer
şekilde yanılgılara varmıştır. Bunları inceleyecek olursak:
Şekil 2: Ö9 ve Ö10 kodlu öğretmen adaylarının 3. Sorunun a şıkkına verdiği cevaplar
Şekil 2‟de Ö9 kodlu öğretmen adayı, grafiği doğru çizmiştir. Ancak açıklaması alanları aynı
fakat yerleri farklı şeklinde genel bir açıklama yapması ve grafiğin üzerindeki değerlerin verilen
verinin hangisine ait olduğunu belirtmemesi gerekçesi ile kısmen doğru sayılmıştır. Ö10 kodlu
öğretmen adayı ise µ‟nün grafiğe etkisini doğru çizmiştir.
Kavram testinde yer alan 4. soru iki şıktan oluşmakta ve parametrelerin normal dağılım eğrisi
ile ilişkilendirilmesine yöneliktir. Soruda σ ve µ „nün karşılaştırmalarının yapılabileceği şekilde
grafikler yapılandırılmış şekilde verilmiştir. Bu soru da 3. Soruya benzer şekilde σ ve µ‟nün normal
dağılım eğrisinin grafiği üzerindeki etkisine yönelik bir sorudur. Tablo 4‟de öğretmen adaylarının bu
soruya verdiği cevapların doğru, kısmen doğru, yanlış ve boş olması durumundaki yüzde ve
frekansları verilmiştir.
Tablo 4: Öğretmen adaylarının kavramsal testteki 4. Soruya verdiği cevapların yüzde ve frekansları
Doğru
Kısmen Doğru
YanlıĢ
BoĢ
4
10
17
5
f
a
11
28
47
14
%
4.soru
1
16
14
5
f
b
3
44
39
14
%
Tablo 4 incelendiğinde 4. Sorunun a şıkkına öğretmen adaylarının %47‟si yanlış cevabı, %11‟i
doğru cevabı ve % 28‟i ise kısmen doğru cevabı vermişlerdir. Ayrıca öğretmen adaylarının %14‟ü bu
soruda yorumsuz kalarak, soruyu boş bırakmıştır. Öğretmen adayları bu soruda normal dağılım
eğrisinin parametreleri µ ve σ‟nın eğri üzerindeki karşılaştırmasını genelleştirerek ifade etmiştir.
Şekil 3: Ö4 kodlu öğretmen adaylarının 3. Sorunun a şıkkına verdiği cevap
Şekil 3‟teki Ö4 kodlu öğretmen adayının cevabı incelendiğinde, ortalamaların farklı standart
sapmaların aynı olduğunu ifade ettiği görülmektedir. Bu soruda asıl istenen normal dağılım
eğrilerindeki ortalama ve standart sapmaları arasında sıralama yapılmasıdır. Ö4 kodlu öğretmen adayı
bu sıralamayı yapmadığı ancak genel de olsa ifadesinin doğru olması dolayısıyla, cevabı kısmen doğru
kabul edilmiştir.
Kavram testinde yer alan 6. Soru tek şıklı olup, yine normal dağılım eğrisi ile ortalama ve
standart sapma arasındaki ilişkiyi ortaya koymaya yönelik bir sorudur.
Tablo 5: Fen Bilgisi Öğretmen adaylarının kavramsal testteki 6. Soruya verdiği cevapların
yüzde ve frekansları
6.soru
f
%
Doğru
3
9
Kısmen Doğru
12
33
YanlıĢ
13
36
BoĢ
8
22
Tablo 5 incelendiğinde 6. soruya öğretmen adaylarının %36‟sı yanlış cevabı, %9‟u doğru
cevabı ve % 33‟ü ise kısmen doğru cevabı vermişlerdir. Ayrıca öğretmen adaylarının %22‟si bu
soruda yorumsuz kalarak, soruyu boş bırakmıştır. Bazı öğretmen adaylarının cevapları:
Ö8: Ortalama değerden daha büyük olacağından K>L>M (Y)
Ö3: K nın ortalaması L ve M ye göre daha küçük, L ve M’nin ortalaması birbirine eşit. (K)
Ö8 kodlu öğretmen adayı, normal dağılım eğrisinin tepe noktası arttıkça ortalaması da
artacaktır gibi bir yanılgıya sahiptir. Dolayısıyla bu öğretmen adayı soruya yanlış cevabı vermiştir. Ö 3
numaralı öğretmen adayı ise genel bir şekilde ortalamalar arasındaki ilişkiyi ifade edip, standart
sapmalar arasında yorum yapmadığından kısmen doğru kabul edilmiştir.
3.1.3
Normal Dağılım Eğrileri Altındaki Alanları Anlama
Kavramsal testte yer alan 5. soru öğretmen adaylarının normal dağılım eğrileri altındaki
alanları anlamayıp anlayamadıklarıyla ilgilidir. Bunun için öğretmen adaylarına ortalaması 3,
standart sapması 2 olan normal dağılım eğrisinin P(3<X<6) arasında kalan alanın değeri 0.4332
olarak verilmiş ve bu alandan yola çıkılarak sorunun a ve b şıklarındaki alanları yorumlamaları
istenmiştir.
Tablo 6: Öğretmen adaylarının kavramsal testteki 5. soruya verdiği cevapların yüzde ve frekansları
Kısmen
Doğru
YanlıĢ
BoĢ
Doğru
1
21
14
f
a)
3
58
39
%
5.soru
9
8
19
f
b)
25
22
53
%
Tablo 6 incelendiğinde 5.sorunun a şıkkına öğretmen adaylarının %3‟ü doğru, %58‟i yanlış
ve %39‟u boş olarak cevaplamıştır. Yüzdelere bakıldığında öğretmen adaylarının yarısından çoğunun
soruyu yanlış cevaplandırdığı, geriye kalan büyük çoğunluğun ise boş bıraktığı görülmektedir.
Kavram testinin 5. Sorusunun b şıkkı da sorunun a şıkkında olduğu gibi normal eğri altındaki alanları
anlamayla ilgilidir. Sorunun b şıkkında öğretmen adaylarının %25‟i kısmen doğru, %22‟si yanlış ve
%53‟ü boş olarak cevaplamıştır. Yüzdelere bakıldığında öğretmen adaylarının yarısından çoğunun
soruyu boş bıraktığı, geriye kalan büyük çoğunluğun ise yanlış cevapladığı görülmektedir.
3.1.4
DeğiĢkenlerden Parametreleri Yorumlama
Kavramsal testte yer alan yedinci soru “değişkenlerden parametreleri yorumlama” teması
altında olup verilerde yapılan değişimlerin normal dağılım parametreleri olan ortalama ve standart
sapma üzerinde ne gibi etkilerinin olduğunun yorumlanması istenmiştir.
Tablo 7: Öğretmen adaylarının kavramsal testteki 7. soruya verdiği cevapların yüzde ve frekansları
Kısmen
Doğru
YanlıĢ
BoĢ
Doğru
6
8
10
12
f
a)
17
22
28
33
%
7.soru
9
7
6
14
f
b)
25
19
17
39
%
Tablodan öğretmen adaylarının yedinci soruya verdikleri cevaplar görülmektedir. Yedinci
sorunun a şıkkına öğretmen adaylarının %17‟si doğru, %22‟si kısmen doğru, %28‟i yanlış ve %33‟ü
boş olarak cevaplamıştır. Sorunun b şıkkına ise öğretmen adaylarının %25‟i doğru, %19‟u kısmen
doğru, %17‟si yanlış yanıtlamış ve %39‟u soruyu boş bırakmıştır.
Sorunun a şıkkında „her bir veriye 3 eklersek ortalama ve standart sapmanın nasıl değişeceği‟
sorulmuştur. Verilen öğretmen adaylarının cevaplarına bakacak olursak;
Ö14:
Ö4:
Ö11:
Ortalama : Artar. Standart sapma: Değişmez. (sabit hata çünkü). (D)
Ortalama: Büyür. Standart sapma: Büyür. (K)
Ortalama: Değişmez. Standart sapma: Artar. (Y)
Sorunun b şıkkında „her bir veriyi 2 ile çarparsak ortalama ve standart sapmanın nasıl
değişeceği‟ sorulmuştur. Verilen öğretmen adaylarının cevaplarına bakacak olursak;
Ö6:
Ö5:
Ö2:
Ortalama : Ortalama artar.Standart sapma: SS‟de artar.(D)
Ortalama : Artar. Standart sapma: Azalır.(K)
Ortalama : Değişim gözlenir.Standart sapma: Sabit kalır.(Y)
şeklinde cevaplar verilmiştir. Öğretmen adaylarından veriler işleme tabi tutulduğunda değişimin
ortalama ve standart sapmalar üzerindeki etkilerini yorumlayamamaktadır.
ĠĢlemsel Testteki Soruların Değerlendirilmesi
İşlemsel testte yer alan ilk soruda öğretmen adaylarından ortalaması 5, standart sapması 2 olan
bir normal dağılım eğrisinde P(5<x<7) arasında kalan alanı bulmaları istenmektedir. Soruda normal
dağılım eğrisi çizilmiş olarak verilmiş öğretmen adaylarına sadece işlem yaparak alanın bulunup
bulunamayacağı sorulmuştur.
3.2
Tablo 8: Öğretmen adaylarının işlemsel testteki 1. soruya verdiği cevapların yüzde ve frekansları
Doğru
1.soru
f
%
4
11
Kısmen
Doğru
2
6
YanlıĢ
BoĢ
13
36
17
47
İşlemsel testteki 1.soruya verilen cevaplara bakıldığında öğretmen adayları bu sorunun
%11‟ini doğru, %6‟sını kısmen doğru, %36‟sını yanlış yapmışlar ve %47‟sini boş bırakmışlardır.
“X~ N(µ=3 ve σ2=4) normal dağılımına sahipse, X in 3 ile 5 arasında bulunma olasılığı nedir?”
sorusunun sorulduğu diğer soruda öğretmen adaylarının z tablosundan yararlanarak normal dağılım
eğrileri altındaki alanları bulmaları beklenmektedir. Bu soruya öğretmen adaylarının %8‟i doğru, %8‟i
yanlış ve %84‟ü boş olarak cevap vermişlerdir.
Tablo 10: Öğretmen adaylarının işlemsel testteki 3. soruya verdiği cevapların yüzde ve frekansları
Doğru
3.soru
f
%
3
8
Kısmen
Doğru
-
YanlıĢ
BoĢ
3
8
30
84
Ö11 kodlu öğretmen adayının doğru yanıtı aşağıdaki gibidir.
Burada doğru cevaba ulaşmak için öğretmen adayımız hem grafik üzerinde soruyu
anlamlandırmış hem de işlemi formülize ederek soruyu çözmüştür.
İşlemsel testin son sorusu, normal dağılımda Z tablosunu kullanarak istenen olasılıkları
hesaplamaya yönelik idi. Öğretmen adaylarının 4. Soruya verdiği cevaplar Tablo 11‟de yer almaktadır.
Tablo 11: Öğretmen adaylarının işlemsel testteki 4. soruya verdiği cevapların yüzde ve frekansları
Kısmen
Doğru
YanlıĢ
BoĢ
Doğru
6
30
f
a)
17
83
%
6
30
f
b)
17
83
%
4.soru
4
32
f
c)
11
89
%
1
4
31
f
d)
3
11
86
%
Bu soruların a ve b şıklarına %17 öğretmen adayı yanlış cevap vermiş. %83 öğretmen adayı
ise soruyu boş bırakmıştır. Sorunun c şıkkında %11 yanlış, %89 boş cevap alınmıştır. Sorunun d
şıkkında ise öğretmen adaylarının %3‟ü doğru cevap verirken %11‟i yanlış, %86‟sı boş cevap
vermiştir.
4.
TARTIġMA ve SONUÇLAR
Bu çalışmada öğretmen adaylarının normal dağılımlarını anlamalarını karakterize etmek
amaçlanmıştır. Bu bağlamda öğretmen adaylarına normal dağılım ile ilgili işlemsel ve kavramsal
boyutta sorular sorulmuştur. Öğretmen adaylarının genel olarak kavramsal boyuttaki sorulara verdiği
doğru cevaplar işlemsel sorulara verdiği doğru cevaplardan daha fazladır. Bunun sebebi Fen Bilgisi
öğretmen adaylarına normal dağılım anlatılırken, normal dağılımın matematiksel anlamından
bahsedilmemiş olmasından kaynaklanabilir. Yani öğretmen adayları normal dağılımın grafikleri ile
ilgili yorum yapabilmesine rağmen, normal dağılım eğrisinin formülünü bilmemekte ve bu formül
içinde yer alan değişkenler hakkında yorum yapamamaktadır. Madden (2008)‟nin çalışmasında bu
durum farklı yöndedir. Madden lise öğretmenleri ile yaptığı çalışmasında, öğretmenlerin istatistiksel
dağılımlarını algılayışlarını analiz etmiştir. Çalışmasının bir kısmında normal dağılımını da analiz
eden Madden, lise öğretmenlerinin işlemsel seviyedeki soruları doğru cevaplandırabildiği sonucuna
ulaşmıştır.
Yine öğretmen adayları normal dağılım eğrilerinin grafiklerinin karşılaştırmasını yaparken,
büyük çoğunluğu ortalama ve standart sapmanın grafik üzerindeki etkisini karıştırmaktadır. Yani
öğretmen adaylarının bir takım bilgileri ezberleyerek bu aşamaya kadar geldiklerini söyleyebiliriz.
Çünkü kavramsal boyutta yer alan sorularda öğretmen adaylarından yaptığı sorulara açıklama
getirmesi istenmesine rağmen 2. Soru haricinde diğer bütün sorulara ait açıklamalar bulunmamaktadır.
Bu bağlamda öğretmen adayları normal dağılım ile ilgili bazı şeyleri bilmesine rağmen, ortalama ve
standart sapmanın aslında gerçek örneklerde ne anlama geldiğini açıklayamamıştır. Batanero, Tauber
ve Sanchez (2004) üniversite öğrencilerinin normal dağılımı anlama muhakemeleri üzerine yaptığı
çalışmasında benzer sonuçlara rastlanmıştır. Batanero vd. yaptığı bu çalışmada bilgisayar destekli ve
görsel olarak yürütülen dersteki öğrencilerin normal dağılım hakkında kavramsal boyutta bilgiye sahip
olurken, geleneksel işlenen ders ortamında öğrencilerin normal dağılım hakkında ezbere dayalı,
işlemsel boyutta bilgi sahibi olduğunu göstermiştir. Blanco ve Ginovart (2009) ise mühendislik
eğitiminde normal dağılımı anlama seviyesini artırmaya yönelik sınıf içi yaptığı çalışmada tarihsel
yöntemler kullanmıştır ve bu yöntemlerin öğrencilerin kavramsal boyutta anlamasına olumlu etki
yaptığını göstermiştir.
5. ÖNERĠLER
Öğretmen adaylarının normal dağılım eğrisinin doğasını anlayarak hem kavramsal boyutta hem
de işlemsel boyuttaki sorularına cevap verebilmesi için, almış oldukları istatistik derslerinde normal
dağılım eğrisinin formülünün de verilerek bu formül üzerinde yorumlar yapılması önerilebilir. Ayrıca
sınıf ortamında bilgisayar destekli olarak grafikler yorumlattırılır ise, öğretmen adayları normal
dağılım eğrisinin parametreleri olan standart sapma ve ortalamanın grafik üzerindeki etkisini
karıştırmamış olacaktır.
Gelecekte bu yönde yapılacak çalışmalarda uygulattırılacak kavramsal test ve işlemsel test
arasında en az bir haftalık bir süre olursa, örneklemden daha verimli sonuçlar elde edilebilir. Bu
çalışmada her iki testin ardı ardına uygulanması araştırmanın sınırlılığını oluşturmaktadır.
KAYNAKLAR
Baki, A. (2008). Kuramdan Uygulamaya Matematik Eğitimi (Genişletilmiş Dördüncü Basım) Ankara:
Harf Eğitim Yayıncılığı.
Batanero, C., Tauber, L., & Sánchez, V. (2004). Significado y comprensión de la distribución normal
en un curso introductorio de análisis de datos (Meaning and understanding of normal distributions in
an introductory data analysis course). Quadrante, 10(1), 59–92.
Ben-Zvi, D., Garfield,J. (2004). Research on Statıstıcal Literacy, Reasonıng, and Thinking: Issues,
Challenges and Implications. The Challenge of Developing Statistical Literacy, Reasoning and
Thinking, 397–409.
Cobb,G.ve Moore,S.D.(1997). Mathematics, Statistics, and Teaching. The American Mathematical
Monthly. 104(9), 801-823.
Huck, S., Cross, T. L., & Clark, S. B. (1986). Overcoming misconceptions about z-scores. Teaching
Statistics, 8(2), 38–40.
Madden, S. R. (2008). High school mathematics teachers‟ evolving understanding of comparing
distributions. Published Doctorate Thesis: Michigan, Western Michigan University. UMI Number:
3340192.
Madden, S. R. (2008). High school mathematics teachers’ evolving understanding of comparing
distributations. Degree of Doctor of Philosophy Department of Mathematics. Western Michigan
University, Kalamazco, Michigan.
Makar, K. ve Confrey, J. (2002). Comparing two distributions: Investigating secondary teachers‟
statistical thinking. Paper presented at the Sixth International Conference on Teaching Statistics
(ICOTS-6), Cape Town, South Africa.
McAleveya,L. ve Sullivan, C. (2009). Statistical Literacy and Sample Survey Results. International
Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 41(7). 911–920.
Mickelson, W. T. ve Heaton, R. M. (2004). Primary teachers‟ statistical reasoning about data. In D.
Ben-Zvi & J Garfield (Eds.), The challenge of developing statistical literacy, reasoning and thinking
(pp. 327-352). Boston: Kluwer Academic.
National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standarts for school
mathematics. Reston:VA
Piaget, J., & Inhelder, B. (1951). La génese de l'idée de hasard chez l'enfant. Paris: Presses
Universitaires de France.
Sayın, S. (2010). Bilimsel araştırmalarda yapılan istatistiksel ve yöntembilimsel hatalar –II: Grafik,
tablo ve gösterim hataları. Türk Eğitim Bilimleri Dergisi, 8 (1), 117-143.
Wallman, K. K. (1993). Enhancing statistical literacy: Enriching our society. Journal of the American
Statistical Association, 88(421), 1–8.