Matematik (Lise).indd

Branş Analizi
matematik (lise)
Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi (ÖABT) Matematik (Lise) Sınavı’nda sorular 5 ana kategoriye ayrılmıştır. Analiz, uygulamalı matematik, cebir ve geometri gibi matematik alanının temel konularının yanı sıra matematik öğretimi (Eğitim Bilimleri) konusunda sorular sorulmuştur.
Buna göre, temel matematik konularına dair soru dağılımı şu şekilde olmuştur.
Analiz:10
Uygulamalı Matematik:12
Cebir 10
Geometri:8
Analiz başlığı altında; fonksiyon, limit, süreklilik, türev ve türev yorumları, seriler, olasılık
Uygulama matematik başlığı altında; integral ve uygulamaları, diferansiyel denklemler, istatistik
Cebir başlığı altında; sayılar, sayı türleri ve kümeleri, denklem çözümleme, matris ve determinant uygulamaları, soyut cebir (grup, halka,
cisim)
Geometri başlığı altında; doğrunun analitiği, çember analitiği, uzayın analitik geometrisi
n
a
m
z
u şımı
a
l
k
ya
sorularına yer verilmiştir.
Alan eğitimi ile ilgili olarak, lise matematik ve geometri öğretiminde uygulanacak yöntem, öğrenci algısı ve alınacak öğrenci dönütlerine karşı doğru geri bildirim sağlanması (45, 46, 47, 48, 50. sorular), kazanımların, kazanım düzeyi ve türlerinin bilinmesi ve belirlenmesi (41, 44,
ve 49. sorular) lise müfredat programı (43. soru), Euclid Geometrisinin temel unsurları (42.soru) hakkında yeterlilik ölçümü için sorular sorulmuştur.
Matematik Zümresi
soruların konulara göre dağılımı
matematik (lise)
KONU BAŞLIKLARI

Analiz
10

Uygulamalı Matematik
12

Cebir
10

Geometri
8

Alan Eğitimi
10
n
a
m
z
u şımı
a
l
k
ya
Toplam
50

1.
2013 KPSS uzman
lim 1  cos x
tan
limitinin değeri kaçtır?
x " 0+
A) 2
B) 1
C) 0
D) 1
E) 2
lim 1  cos x c 0 m
tan x
0
Verilen ifadede L’ospital kuralı uygulanırsa
sin x
lim 1  cos x  lim
tan x
x " 0+
x " 0+ 1  tan 2x
0
1
 0 bulunur.
x " 0+
Doğru yanıt “C” seçeneğidir.

2.
2013 KPSS uzman
f^ xh  *
1  cos x ,
x2
a,
x!0
x0
Bir fonksiyonun x  a noktasında sürekli olması için
lim f^ xh  lim f^ xh  f^ah  gerekir.
x " a+
biçiminde tanımlanan f fonksiyonu x  0 noktasında
sürekli olduğuna göre, a reel sayısı kaçtır?
A)  3
B) 0
C) 1
D) 1
E) 1
2
3
x " a+
x
a  lim 1  cos
x " 0+
x2
a  lim sin x
x " 0+ 2x
x
a  2 lim sin
x
x " 0+
a  1 bulunur.
2
^ h
Doğru yanıt “D” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
3. y  x5  ax  3 eğirisinin x  1 noktasındaki teğeti
y  x  b olduğuna göre, b reel sayısı kaçtır?
A) 3
B) 5
C) 0
D) 5
E) 7
Verilen eğri x  1 noktasından geçiyorsa bu nokta, denklemi sağlamalıdır.
x  1 ise y  15  a.1  3
y  a  2 bulunur.
y  x5  ax  3
y  xb
^1, a  2h
Ayrıca y  x  b doğrusu verilen eğriye x  1 noktasında teğet ise f^ 1h teğet doğrunun
eğimine eşit olmalıdır.
f^ xh  5x 4  a ise,
m  f^ 1h  5  a 
Bu durumda a  5  1
a   4 bulunur.
^1, a  2h  ^1,  6h noktası aynı zamanda teğet doğru denklemini sağlamalıdır.
 6  1  b ise b  7 bulunur.
Doğru yanıt “E” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
4. Aşağıda, bir f fonksiyonunun türevinin grafiği verilmiştir.
y
Verilen f fonksiyonu için 1. türev tablosu incelenirse;
ı
f (x)
x
-3
O
2
x
f
3
3
+
3
2

+
f
-3
-4
Buna göre, f fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) x   3 kritik noktadır.
B) x  2 noktasında lokal (yerel) minimumu vardır.
C) f fonksiyonu ^ 3, 2h aralığında azalır.
D) f fonksiyonunun ^2, 3h aralığındaki teğetleri eğrinin
altındadır.
E) x   3 bir dönüm (büküm) noktasıdır.
olacaktır. Buna göre;
3 yerel maksimum, 2 yerel minimum noktasıdır. Ayrıca fonksiyon ^ 3,  3h ve ^2, 3h
aralığında artan, ^ 3, 2h aralığında azalandır.
Doğru yanıt “E” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
5. Her noktada türevi alınabilen ve sadece x  0 noktasında dönüm (büküm) noktasına sahip olan bir f fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.
y
Verilen f fonksiyonu için türev tablosu incelenirse
y=f(x)
x
-2
x
1
f
Buna göre, aşağıdaki grafiklerden hangisi f fonksiyonunun türevinin grafiği olabilir?
A)
-1
x
1
y
C)
-2
0
-1
1
1
x
-1
E)
y
-3
x
y
D)
3
3
1
1
+

+
olacaktır. 1 ve 1 yerel ekstrenum noktalarıdır. Yani f^ 1h  f^ 1h  0 olmalıdır. Ayrıca 0
dönüm noktası ^h    türev grafiğinde ekstremum nokta gibi görünür.
Doğru yanıt “A” seçeneğidir.
y
B)
y
-1
f
2
-1
3
x
x

2013 KPSS uzman

2
6.
#
sin t dt

2
Verilen integral parçalı olarak yazılırsa;
integralinin değeri kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 5

2
#

2

2
0
sin x dx 
# ^ sin xhdx  # sin xdx

2
 cos x
0
0
 cos x

2

2
0
 1001
 2 bulunur.
Doğru yanıt “C” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
7. Her x ! 6a, b@ için f^ xh  0 olmak üzere,
● y  f^ xh fonksiyonu, x ekseni, x  a ve x  b doğruları arasında kalan bölgenin alanı 2 birimkaredir.
Verilen 6a.b@ aralığı için f (x) fonksiyonunun grafiği çizilirse
● Bu bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesi sonucu
oluşan cismin hacmi ise 6 birimküptür.
f(x)
Buna göre,
b
 2
b
A
# f2^xhdx  5 # f^xhdx
a
a
a
b
işleminin sonucu kaçtır?
A) 10
B) 5
C)2
D) 0
E) 2
olacaktır. Buna göre;
b
# f^xhdx  2
A
br 2
a
b
V
# f2^xhdx  6
br3
a
b
# f2^xhdx  6

a
O hâlde;
b
 2
b
# f2^xhdx  5 # f^xhdx   2. 6  2.5
a
a
  2 bulunur.
Doğru yanıt “C” seçeneğidir.

8. F^ xh 
x
# et
2
2013 KPSS uzman
dt
0
olduğuna göre,
sine eşittir?
A) x
B) 2x
^h
ifadesi aşağıdakilerden hangi^h
C) 3x
D) 4x
E) 5x
Verilen fonksiyonun birinci türevi alınırsa;
F^ xh  d f
dx
x
# et dt p için
2
0
^ h     

^ h    


      
^ h  
 

 
^ h


Doğru yanıt “B” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
9. f^ xh 
1
1x
fonksiyonunun x  0 noktasındaki Taylor seri açılımı
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
3
/ xn
n0
B)
3
/^ 1hnxn
n0
C)
D)
3
/^ 1hn  1xn
n0
3
/ 21 xn
n0
E)
3
/ 2xn  1
n0
Her dereceden türevli, gerçel ya da karmaşık bir f fonksiyonunun a !h olmak üzere
^a  r, a  r h aralığındaki Taylor serisi;
^ h 
3
^h
^  h

^h
/

 
    
^ h 
3
^h 


^h
/

Maclaurin serisi olacaktır. O hâlde f^ xh 
gulanırsa;
^ h    ^h  


  ^h 
 ^ h 

^  h
^ h     ^h  
^  h
h
3 ^h
 ^h 
^ h  /



1 fonksiyonuna Maclaurin seri açılımı uy1x
^h
^h 
 
  



       
 ^h 
3

/ 
 

Doğru yanıt “A” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
10. a ! R için 6a,  3h aralığı üzerinde tanımlı f ve g sürekli fonksiyonları
a ! R için 6a, 3@ aralığındaki g fonksiyonu için
0 # f^ xh # g^ xh
eşitsizliğini sağladığına göre, aşağıdakilerden han3
A)
# ^h
3
B)
#

3
#

^ h 
# ^h
# ^h


3
# ^h

3
Buna göre,

 
O hâlde 0 # f^ xh # g^ xh olduğuna göre f fonksiyonu sınırlıdır.

3
 

E)
# ^h


3
# ^h
3
3
 

D)


^ h   
# ^h
# ^h
 
3
C)
# g^xhdx  k , k ! R olacaktır.
0
3

0
3
Bu durumda
gisi her zaman doğrudur?
3
# g^xhdx yakınsak olsun.

# f^xhdx yakınsaktır.
0
Doğru yanıt “C” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
11. f^x, yh  x2 : e xy
2
2
fonksiyonu için 2 f2 ^1, 1h  2 f değeri kaçtır?
2
2y
x
2x
A) 3e
B) 5e
C) 7e
D) 3e  2
E) 7e  6
Verilen fonksiyonlar için kısmi türevler alınırsa;
f^x, yh  x2e xy olmak üzere;
2f  2xe xy  x2ye xy
2x
2f  e xy ^2x  x2yh bulunur.
2x
2 2f  ye xy ^2x  x2yh  e xy ^2  2xyh
2x 2
2 2f  e xy ^x2y2  4xy  2h bulunur.
2x 2
2 2f  xe xy ^2x  x2yh  e xy .x2
2x.2y
2 2f  e xy ^x3y  3x2h olur.
dx.dy
O hâlde
2 2f ^1, 1h  2 2f ^0, 1h  e1.^1  4  2h  e0.0
2x2y
2x 2
 7e bulunur.
Doğru yanıt “C” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
12. f (x,y) sürekli olmak üzere,
1
#
0
1
f # f^x, yhdy pdx
x
1
Verilen f(x,y) için
A
integraline denk olan integral aşağıdakilerden han-
1
x
y/2
1
0
# f # f^x, yhdx pdy
0
y
1
1
# f # f^x, yhdx pdy
x
1
0
y
# f # f^x, yhdx pdy
0
E)
y1
y
1
D)
1
# f # f^x, yhdx pdy
0
C)
yx
0
1
B)
x
y
1
# f # f^x, yhdx pdy
0
0
y
gisidir?
A)
1
## f^x, yhdy  # f # f^x, yhdy p ifadesi analitik düzlemde gösterilirse;
0
olacaktır. O hâlde aynı f (x,y) fonksiyonu için
y
1
## f^x, yhdy  # f # f^x, yhdx pdy ile gösterilebilir.
A
0
0
Doğru yanıt “A” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
13. Z tam sayılar kümesi olmak üzere,
A  "n3 n ! Z,  4 # n #  1,
B  "^ 3hn n ! Z, 1 # n # 4,
kümeleri veriliyor.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)    
B)      
C)  ,    
D) A\B’nin eleman sayısı 2’dir.
E) B\A’nın eleman sayısı 2’dir.
Verilen kümelerin elemanları belirlenirse;
A  "n3 n ! Z,  4 # n #  1,
 ^ 64,  27,  8,  1h ise s^ Ah  4'tür.
B  "^ 3hn n ! Z, 1 # n # 4,
 ^ 3, 9,  27, 81h ise s^Bh  4'tür.
Doğru yanıt “A” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
14. n ! Z  için 1 # a # n ve ^a, nh  1 olan a tamsayılarının
sayısı ^nh ile gösterilir ve Euler fonksiyonu olarak adlandırılır.
n  a x .b y .c z ... olmak üzere a, b, c sayıları n ! Z  sayısının asal bölenleridir.
Buna göre, ^144h ’ün değeri kaçtır?
Buna göre;
A) 24
B) 36
C) 48
D) 60
E) 72
1 j 1  1 `1  1 j şeklinde hesaplanır.
^nh  n `1  a
c
m
c
b
O hâlde, 144  2 4.32 olmak üzere;
^144h  144. c1  1 mc1  1 m
2
3
2
1
 144. .
2 3
 48 bulunur.
Doğru yanıt “C” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
236 / x^mod 17h
15.
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 2
B) 1
C) 0
D) 1
E) 2
Verilen mod eşitliğinde düzenleme yapılırsa;
236 / x^mod 17h
9
^2 4h / x^mod 17h
169 / x^mod 17h
^16  17h9 / x^mod 17h
^ 1h9 / x^mod 17h
 1 / x^mod 17h bulunur.
Doğru yanıt “B” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
16. A matrisi reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı 3 x 3 biçiminde bir matristir.
A matrisinin tersi alınabildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
A) det A  1
B) rank A  1
D) rank A  3
C) det A  3
E) det A  rank A
Bir matrisin tersinin alınabilmesi için öncelikle o matrisin determinantının sıfırdan farklı
olması gerekir. Bir A matrisinin kare alt matrislerinden determinantı sıfırdan farklı olan ve
türü en büyük olan matrisin türüne a matrisinin rankı denir.
O hâlde 3x3 tipindeki bu matris için A ^ 0 ise rank A = 3 olmalıdır.
Doğru yanıt “D” seçeneğidir.

17.
2013 KPSS uzman
xyz  0
x  2y  z  0
y  az  0
Verilen denklem sistemi için ortadaki eşitlik “” ile çarpılıp denklemler toplanırsa
homojen denklem sisteminin sıfırdan farklı çözümleri
vardır.
Buna göre, a kaçtır?
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
xyz  0
 x  2y  z  0
y  az  0
xyz  0
 x  2y  z  0
y  az  0
+
az  0
a0
z0
Denklemin sıfırdan farklı çözümleri var ise z ^ 0 olmalıdır.
Doğru yanıt “E” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
18. R reel sayılar olmak üzere,
T: R2 " R2
T^x, yh  ^2x  y, 3x  2yh
lineer dönüşümünün R 2 için standart bazdaki matris
gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) ;2
2
3
E
1
D) ;1
2
B) ;2
3
2
E
3
1
E
2
E) ;3
2
C) ;3
1
2
E
1
1
E
2
Verilen T matrisinin standart bazdaki gösterimi için T matrisi düzenlenirse;
T^ xh  ^2x  y, 3x  2yh
1 x
 ;2
E ; E
3 2 y
elde edilir.
Doğru yanıt “B” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
19. A ve B kare matrislerinden A matrisi simetrik ve B matrisi ters simetriktir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi simetrik matristir?
A) A  A T  B
D) AB
B) A  B  B T
E) AB
C) A T  B
Bir kare matriste, tüm elemanlar asal köşegene göre simetrik ise matrise simetrik matris
denir. Bir kare matrisinin 1. köşegen üzerindeki elemanları sıfır ve 1. köşegene göre simetrik elemanları toplamı sıfır ise matrise ters simetrik matris denir.
Örneğin:
6
A  >2
1
2 1
3 5H
5 1 3x3
ve
0 2 4
B  >2
0  3H
0 3x3
4 3
Ayrıca bir matris ters simetrik ise B  B T  0 olacaktır.
Bu durumda;
A  B  BT  A  0
 A bulunur.
O hâlde A simetrik ise A  B  B T toplamı da simetrik matristir.
Doğru yanıt “B” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
20. Q rasyonel ve Z tam sayılar kümesi olmak üzere,
aşağıdakilerden hangisi verilen işleme göre grup değildir?
A) ^Q, h,  : toplama
B) ^Z, h,  : toplama
C) ^2Z, h,  : toplama
D) ^Z, :h, : : çarpma
E) ^Q * , :h, : : çarpma, Q *  Q \ "0,
Sıfırın çarpma işlemine göre tersi olmadığından ^Z, :h çarpma işlemine göre grup değildir.
Doğru yanıt “D” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
21. Cisimler ile ilgili olarak verilen
I. Bir cismin sıfır ve kendisinden başka ideali yoktur.
II. Her cisim kendi üzerinde bir vektör uzayıdır.
III. Her tamlık bölgesi bir cisimdir.
sıfır ve kendisinden başka ideali yoktur.
IV. Her mertebeden cisim vardır.
Doğru yanıt “A” seçeneğidir.
ifadelerden hangileri doğrudur?
A) I ve II
B) II ve III
D) Yalnız III
Her cisim bir tamlık bölgesidir, fakat her tamlık bölgesi cisim değildir. ^z,  , :h cisim de-
ğildir. Her mertebeden cisim yoktur. Cisimler kendi üzerinde vektör uzayıdır ve bir cismin
C) III ve IV
E) Yalnız IV

2013 KPSS uzman
22. Aynı noktadan kalkan iki gemiden birisi kuzey, diğeri batı
istikametine doğru sabit hızlarla ilerlemektedir. Kuzeye
giden geminin hızı dakikada 2V metre olup batıya giden
Verilen araçların hızları için
2V m/dk
geminin hızının 2 katıdır.
Buna göre, 1 dakika sonra bu iki gemi arasındaki
mesafenin artış hızı kaçtır?
A) V
B) 2V
D) 2 5 V
E)
5
V
2
C)
5V
V 5
V m/dk
olarak bulunur.
Doğru yanıt “C” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
23. Alanı 144 cm 2 olan kare biçimindeki bir kartonun köşelerinden eşit alanlı birer kare kesilerek geriye kalan par-
Alanı 144 cm 2 olan kare şeklindeki bu kartonun bir kenarı 12 br olacaktır. Kartonun kö-
çalardan üstü açık bir prizma yapılıyor.
şelerinden x br kenar uzunluğuna sahip kareler çıkarılırsa
3
x
Bu prizmanın hacmi en fazla kaç cm olur?
A) 100
B) 120
D) 128
C) 124
x
E) 130
12  2x
x
x
Şekli elde edilir. Bu şekil ise kıvrılarak
x
12  2x
12  2x
prizması elde edilir. Prizmanın hacmi V^ xh  x.^12  2xh2 olacaktır.
Bu prizmanın hacminin maksimum olması için V^ xh  0 olacak şekildeki x elemanı bulunmalıdır.
V^ xh  ^12  2xh2  4x^12  2xh  0
^12  2xh .^12  6xh  0
x6
x  2 bulunur.
x ^ 6 olacağı için prizmanın hacmi x  2 için;
V^2h  2^12  2.2h2
 2.82
 128 br3 bulunur.
Doğru yanıt “D” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
24. Aşağıdakilerden hangisi üçüncü mertebeden (basamaktan) bir lineer diferansiyel denklemdir?
A) 3  y  e x cos x
B) y  2x3y  y  0
C) y  2^yh  y  0
3
D) x3y  xy  y  ln ^x3h
E) y3y  xy  y  0
y  p1^ xh y  p2 ^ xh y  p3 ^ xh y  f^ xh şeklinde verilen diferansiyel denklemler üçüncü
mertebedendir.
Doğru yanıt “B” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
y  y  6y  0
25.
diferansiyel denkleminin bir çözümü aşağıdakilerden hangisidir?
A) e
3x
B) e
D) e3x
2x
C) e 4x
E) e2x
I. yol:
Seçeneklere bakılarak denklemin y  eax biçiminde bir çözümü olduğu anlaşılabilir. O
hâlde y  eax denklemde yerine yazılırsa;
  y  6y  0
^eaxh  ^eaxh  6eax  0
a2eax  aeax  6eax  0
eax ^a2  a  6h  0
a
3
a
2
eax .^a  3h^a  2h  0
a   3 ve a  2 bulunur.
O hâlde y  e  3x veya y  e2x verilen denklemin çözümü olacaktır.
II. yol:
Verilen denklem 2. mertebeden lineer homogen deklemdir.
y  y  6y  0
2 2  2  62  0 ^öz denklemh
^2  3h^2  2h  0
2  3
2  2 bulunur.
O hâlde denklemin çözümleri y  c1e  3x  c2 e2x şeklindedir.
Doğru yanıt ”E” seçeneğidir.

26.
2013 KPSS uzman
d 2y
 x2  e x
dx2
diferansiyel denkleminin y^0h  1 ve y ^0h  0 koşul
larını sağlayan çözümü aşağıdakilerden hangisidir?
3
x
A) y  x  e  1
B) y  2 x3  x  e x
3
4
C) y  x  x2  e x
5
4
D) y  x  x  e x
12
5
E) y  x  x2  e x
6
     
#   # ^   h

        

^h          
    

        denklemi için

#   # c 


   m 

          

^h            
   

         

    
Doğru yanıt “D” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
27. y  ky  2y  0 diferansiyel denkleminin bir çözümü
y  e x olduğuna göre, k sabiti kaçtır?
A) 2
B) 1
C) 0
D) 1
E) 2
y  e x verilen denklemin bir çözümü ise denklemi sağlamalıdır.
y  ky-2y  0
^e xh  k^e xh  2^e xh  0
e x  ke x  2e x  0
 e x .^k  1h  0
k   1 bulunur.
Doğru yanıt “B” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
y  y2  9
28.
y  y2  9
dy
 9  y2
dt
dy
 dt
9  y2
diferansiyel denkleminin y^0h  0 koşulunu sağlayan çö-
zümü y^ t h 'dir.
Buna göre,
3y
ifadesinin değeri aşağıdakilerden
3y
hangisidir?
A) e
 9t
B) e
D) e
3t
1
6
t
C) 1
E) e
6t
# c 3 1 y  3 1 y m dy  t  c
3y
m  6t  c
3y
3y
 e6t .c bulunur.
3y
y^0h  0 ise 3  0  e0.c
30
c  1 olur.
3y
Bu durumda
 e6t bulunur.
3y
ln c
Doğru yanıt “E” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
29. Dart oynayan bir genç 5 atış yapıyor.
Atışlarda isabet etme olasılığı 3 olduğuna göre,
5
oyuncunun 4 defa isabet ettirme olasılığı kaçtır?
A) 2 : c 3 m
5
4
5
D) c 3 m
5
4
B) c 3 m
5
C) 2 : c 2 m
5
4
3
E) c 1 m
5
Bu kişinin isabet ettirme olasılığı (i) 3 ise hedefi kaçırma olasılığı (K) 2 olacaktır.
5
5
Bu hedefe 5 atış yapmış bu kişinin 4 defa isabet ettirme durumu iiiiK’nin permütasyonu
şeklindedir. Buna göre olasılık,
3 4 2 5!
3 4
c m . c m .  2. c m
5
5 4!
5
olarak bulunur.
Doğru yanıt “A” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
30. X rastgele değişkeni
 x
f^ xh  e . ^x  0, 1, 2, : : :h,^  0h
x!
olasılık fonksiyonuna sahipse beklenen değeri nedir?
A) 1

C) 1  
B) 
D) 2
E)   2
Olasılık teorisine göre; Poisson Olasılık Dağılım Fonksiyonu:
 
^ h    şeklinde ifade edilir ve

   
  
       
Doğru yanıt “B” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
31. Bir sınıftan rastgele seçilen 5 öğrencinin notları 65, 54,
50, 82, 74 olarak veriliyor.
Buna göre, örneklem ortalaması ve medyanı sırasıyla kaçtır?
A) (65, 65)
B) (82, 65)
D) (50, 82)
C) (65, 82)
E) (32, 65)
Örneklem ortalaması X  65  54  50  82  74  65' tir.
5
Medyan sayıları küçükten büyüğe doğru sıraladığımızda ortadaki değerdir. O hâlde 50,
54, 65, 74, 82 sıralamasında medyanda 65’tir.
Doğru yanıt “A” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
32. Bir sınıftaki öğrencilerin girdiği bir sınavdan aldığı notların beklenen değeri  , varyansı 2  100 olan normal
dağılımı sahiptir. Rastgele seçilen 5 öğrencinin notları
X: Örneklemin Ortalaması,
sırasıyla 65, 50, 54, 76, 80’dir.
X : Örneklemin Standart Sapması olmak üzere;
Buna göre, H0:   65 yokluk hipotezinin H A:   65
Test istatistiğinin değeri:
X
Z 
ile h
X
alternatif hipotezine karşı testi için test istatistiğinin
değeri kaçtır?
A) 0
B)
D)
5
5
C)
5
E) 1
5
5
10
Buna göre;
X  65  50  54  76  80  65
5
X
100 10
X 
ve


5
5
n
X
X
Z  
 65  65  0'
X
X / n 10/ 5
Doğru yanıt “A” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
33. Uzayda a  ^4, 0, 1h vektörünün b  ^1,  3,  kh vek"
"
törü üzerindeki dik izdüşüm vektörünün uzunluğu-
nun 1 olması için k reel sayısı kaç olmalıdır?
A) 0
B) 1
C) 1
D) 3
E) 1
4
2
4
"
"
a vektörünün b vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörünün uzunluğu
" "
1 a, b 2
dir.
b
O hâlde
1 ^4, 0, 1h,^1,  3,  kh 2
1
^1,  3,  kh
4.1  0.^ 3h  1.^ kh
1
12  ^ 3h2  ^ kh2
^4  kh2  ^ 10  k 2 h
2
16  8k  k2  10  k2
8k  6
k  3 bulunur.
4
Doğru yanıt “D” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
34. Düzlemde A(1, 1) noktasından geçen ve u^1, 2h vek"
törüne dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x  2y  2  0
B) x  2y  3  0
C)  x  2y  1  0
D) x  2y  2  0
E) x  2y  2  0
u^1, 2h vektörüne dik olan doğrunun eğimi ile bu vektörün eğimleri çarpımı  1’dir. Ara"
nan doğrunun eğimi m olsun.
m. 2   1
1
m   1 'dir.
2
 y  mx  n
y   1 x  n 
2
  ^ h  
1   1  n ise n  3 bulunur.
2
2
O hâlde doğru denklemi
y  1x  3
2
2
x  2y  3  0 olur.
Doğru yanıt “B” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
35. Düzlemde denklemleri x  y  1  0 ve  x  y  1  0
ile verilen doğruların ortak noktasından geçen ve
doğrultmanı (1,1) olan doğrunun denklemi aşağıda-
x  y  1  0 ve  x  y  1  0 doğrularının geçtiği ortak nokta ortak çözüm ile bulunur.
kilerden hangisidir?
Doğruları taraf tarafa toplayalım.
A) x  y  1  0
B)  x  y  1  0
C) x  y  1  0
D) x  y  2  0
E)  x  y  2  0
xy1  0
+  x  y  1 +0
2y  2
y1
x11  0
x0
Doğruların geçtiği ortak nokta (0,1)’dir.
O hâlde bu noktadan geçen ve doğrultmanı (1,1) olan doğrunun denklemi
x0  y1
1
1
x  y  1  0'
Doğru yanıt “A” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
36. Uzayda A(1, 2, 3) noktasının, x  y  z doğrusuna
göre simetriği olan noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (3, 2, 1)
B) (1, 2, 4)
D) (2, 4, 3)
C) (3, 5, 2)
E) (5, 4, 3)
Uzayda bir A (a, b, c) noktasının x  y  z doğrusuna göre simetriği A^c, b, ah noktasıdır.
Buna göre A(1,2,3) noktasının x  y  z doğrusuna göre simetriği A^3, 2, 1h noktasıdır.
Doğru yanıt “A” seçeneğidir.

37. Uzayda
A(1,
2013 KPSS uzman
2,
3)
noktası,
v  ^3,  1,  1h vektörleri veriliyor.
"
"
u  ^1,  2, 2h
"
ve
"
A noktasından geçen, u ve v vektörlerine paralel
olan düzlemin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x  y  z  0
B)  2x  4y  2z  0
C) x  2y  2z  9  0
D) 3x  y  z  4  0
E) 4x  7y  5z  3  0
"
"
u ve u vektörlerine paralel olan düzlemin doğrultmanı bu vektörlere diktir. O hâlde düzlemin doğrultmanı ile bu vektörlerin iç çarpımı 0’dır.
A( 1,2,3) noktası 4x7y5z30 düzenleminden geçtiğinden (4.17.25.(3)30)
Ayrıca
1 ^1,  2, 2h,^4, 7, 5h 2 1.4  2.7  2.5  0
1 ^3,  1,  1h,^4, 7, 5h 2 3.4   1.7  1.5  0
olduğundan aranan düzlem denklemi 4x  7y  5z  3  0 ’dır.
Doğru yanıt “E” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
38. a ve b reel sayılar olmak üzere,
2bx2  ^a2  1h xy  2y2  4x  8a  0
denklemi bir çember belirtmektedir.
Buna göre, çemberin merkezinin koordinatları ve yarıçap uzunluğu aşağıdaki seçeneklerden hangisinde
doğru olarak verilmiştir?
A) M  ^1, 0h, r  5 br
B) M  ^ 1, 0h, r  5 br
C) M  ^0, 0h, r  5 br
D) M  ^0, 1h, r  5 br
E) M  ^ 1, 0h, r  5 br
2bx2  ^a2  1h xy  2y2  4x  8a  0 denklemi bir çember belirttiğinde xy teriminin katsa-
yısı 0 olmalıdır.
a2  1  0
a  " 1'dir.
a  1 olsun.
2bx2  2y2  4x  8  0
x2 ile y2 nin katsayıları eşit olacağından b  1'dir.
2x2  2y2  4x  8  0
x2  y2  2x  4  0
Merkezi (a, b) olan yarıçapı r olan çember denklemi ^x  ah2  ^y  bh2  r 2 dir.
^x  1h2  y 2   3, r 2   3 olamaz.
O hâlde a   1'dir.
2x2  2y2  4x  8  0
x2  y2  2x  4  0
2
^x  1h2  y 2  ^ 5 h
O hâlde verilen denklem
m^ 1, 0h, r  5 olan çember denklemidir.
Doğru yanıt “E” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
39. yz düzleminde bulunan ve denklemi
" x  0, z  3, y  t; t ! R , olan doğrunun y ekseni et-
rafında döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin denk-
Verilen doğru 3 boyutlu analitik düzlemde gösterilirse;
lemi aşağıdakilerden hangisidir?
z
A) x2  y2  z2  9
yt
3
B) x2  y2  z2  9
C) x2  z2  9
y
D) x2  z2  9
E) x2  y2  9
x
taban yarıçapı r  3 br olan x2  z2  9 denklemi elde edilir.
Doğru yanıt “D” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
40. Düzlemde T^x, yh  ^x  3, y  2h öteleme fonksiyonu
ve O noktası etrafında saat yönünün tersi yönde 45°lik
C(x,y) döndürme fonksiyonu veriliyor.
Buna göre A^ 2,  2h noktasınında F  ToC bileşke
dönüşümü altındaki görüntüsü hangi noktadadır?
A) (5, 2)
altındaki görüntüsü için önce C sonra T fonksiyonunu uygulayalım.
y
y
C) (5, 2)
B) (5, 2)
D) (5, 2)
T^x, yh  ^x  3, y  2h öteleme fonksiyonu ve 0 noktası etrafında saatin tersi yönde 45°lik
C(x,y) döndürme fonksiyonuna göre A^ 2,  2h noktasının F  ToC bileşke dönüşümü
E) (5, 0)
2
45
2
 2
x
2
A^2, 0h
x
A^ 2,  2h noktası saatin tersi
yönde 45° dönerse A^2, 0h noktası
elde edilir.
45
A
Şimdi de A^2, 0h noktasına T dönüşümünü uygulayalım.
T^2, 0h  ^2  3, 0  2h
 ^5,  2h bulunur.
Doğru yanıt “A” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
41. Uygulanmakta olan Ortaöğretim Matematik (9, 10, 11
ve 12. sınıflar) Dersi Öğretim Programı’nda
● Kavramları açıklayabilmek için diğer kavramlardan
yararlanır.
● Aynı matematiksel kavramın farklı temsillerini tanır.
kazanımları aşağıdaki temel becerilerden hangisi
kapsamında ele alınmıştır?
A) Yaratıcı düşünme
B) Akıl yürütme
C) İletişim
D) İlişkilendirme
E) Eleştirel düşünme
Matematiksel kavramların öğrenciler tarafından yapılandırılması sürecinde kavramların
kendi içlerinde, öğrencilerin yaşadıkları çevre ile diğer disiplinlerle ilişkilendirilmesi oldukça önemlidir. Bu nedenle tasarlanan matematik derslerinde kavramlar arasındaki ilişkilerin araştırılması, tartışılması ve genelleştirilmesine olanak sağlayacak ortamlar yaratılmalıdır. İlişkilendirme becerisi için öğrencilerin;
● Kavramsal ve işlemsel bilgiler arasındaki ilişkileri anlama.
● Kavramları açıklayabilmek için diğer kavramlardan yararlanma.
● Matematiksel kavramları kendi içerisinde ilişkilendirebilme.
● Bir matematiksel kavram, kural ya da ifadenin grafiksel, sayısal, fiziksel, cebirsel
ve çeşitli matematiksel model ya da temsilleri arasında ilişki kurabilme.
● Farklı disiplinlerde karşılaştığı problemleri matematik ile ilişkilendirerek çözebilme
(matematiği diğer disiplinlerle ilişkilendirme)
● Aynı matematiksel kavramın denk temsillerini tanıyabilme.
● Bir kavramdaki işlemi, denk kavramlardaki işlemlerle ilişkilendirebilme.
● Matematiksel fikirleri fiziksel materyaller, modellerle, resimlerle ve diyagramlarla
ilişkilendirip anlatabilme becerilerinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.
Doğru yanıt “D” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
42. Euclid Geometrisi’nin beş postulatından birine yönelik
şüpheler ve bunun üzerine yapılan çalışmalar Euclid dışı
geometrilerin ortaya çıkmasına zemin hazırlamıştır.
Buna göre, bu postulat aşağıdakilerden hangisidir?
A) Merkezi ile yarıçapı verilen bir çember çizilebilir.
Euclid Geometrisi’nin paraleller postülası olarak görülen E seçeneğinde verilen postulat 19.yy’ da değiştirilerek Euclid dışı geometriler kurulmuştur. Nicolai Lobatchevski “Bir
doğruya, dışındaki bir noktadan pek çok paralel çizilebilir veya bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden küçüktür.” önermelerini ve Bernhard Riemann ise “Bir doğruya dı-
B) Bir doğru parçası sınırsız bir şekilde uzatılabilir.
şındaki bir noktadan paralel çizilemez veya bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden
C) İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer.
büyüktür.” önermelerini beşinci postülatın yerine geçirerek Öklid dışı geometrilere ulaştı-
D) Bütün dik açılar eştir.
lar. Felix Klein de bu geometrilerin birbiriyle olan ilişkilerini gösterdi.
E) Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir tek paralel doğru çizilir.
Doğru yanıt “E” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
43.
I. f: R " R, f^ xh   x2  4x  1 fonksiyonunun alacağı
Bu soru biraz tecrübe sorusudur. Ücretli öğretmenlik yapanlar bu soruyu kolaylıkla çöz-
II. f: R " R, f^ xh  2x  1 fonksiyonu birebir ve örten
nıflarda bulunan “Cebir öğrenme” alanının “İkinci Dereceden Fonksiyonlar” alt öğrenme
III. f: R " R , f^ xh  3 x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
alanının “Fonksiyon alt öğrenme alanı ile ilgili bir soru”dur. III. öncülde verilen ise üstel
en büyük değeri bulunuz.
midir?
Yukarıdaki soruları çözmek için gerekli kazanımlar
uygulanmakta olan Ortaöğretim Matematik Dersi (9,
10, 11 ve 12. Sınıflar) Öğretim Programı’nda ilk kez
kaçıncı sınıf düzeyinde ele alınmaktadır?
I.
II.
III.
A)
12.
10.
12.
B)
10.
9.
12.
C)
10.
9.
11.
D)
12.
9.
11.
E)
10.
10.
12.
müş olmalıdır. I. öncülde verilen bir ikinci derece fonksiyon sorusudur bu konu da 10. sıalanı ile ilgili bir sorudur. II. Öncülde verilen soru ise 9. sınıfta yer alan “Cebir Öğrenme”
bir fonksiyondur. 11.sınıfların “Cebir öğrenme” alanının, Üstel Fonksiyon ve Logaritma
Fonksiyonu alt öğrenme alanı ile ilgilidir.
Doğru yanıt “C” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
44. Van Hiele, geometrik düşünmenin gelişiminin aşamalı
olarak aşağıda verilen beş düzeyde gerçekleştiğini belirmektedir.
1. Düzey: Öğrenci, şekilleri genel görsel özelliklerine
oluşturulmuş bir modeldir. Bu model, sınıf içi çalışmalarla geliştirilmiştir. Modelde, öğren-
göre tanır ve adlandırır.
2. Düzey: Öğrenci, şekillerin özelliklerini belirtir.
3. Düzey: Öğrenci, geometrik şekiller arasında ilişkiler kurar.
4. Düzey: Öğrenci, bir aksiyomatik yapıyı kullanabilir
ve bu yapı içinde ispatlar yapar.
5. Düzey: Öğrenci, farklı aksiyomatik sistemler arasındaki benzerlik ve farklılıkları anlar.
Buna göre,
ruluğunu gösterir.
II. Verilen farklı geometrik şekiller arasından çemberi
seçer.
III. Çemberde kirişin orta dikmesinin merkezden geçtiğini ifade eder.
I.
5.
cilerin istenilen amaçlara ulaşmaları için belirlenen etkinliklere katılmaları ve geometrik
kavramlarla ilgili özellikleri keşfetmeleri gerekmektedir. Van Hiele modelinin en önemli
özelliği, geometrik düşünmenin gelişimini birbiriyle ilişkili beş düzey şeklinde açıklamasıdır. Bu beş düzeyden her biri, geometrik bağlamlarda kullanılan düşünme süreçlerini tanımlamaktadır. Bu beş düzey, soru öncülünde tanımlanmıştır. I. öğrenci ispat yapmaktadır. İspat yapma 4. düzey bir beceridir. II. öğrenci çemberi tanıma aşamasındadır. Bu 1.
düzey bir beceridir. II. öğrenci çember ile ilgili bir özellik belirtmiştir. Şekillerin özelliklerini bilme 2. düzey bir beceridir.
Doğru yanıt “D” seçeneğidir.
I. Çemberde kiriş ve kesenler ile ilgili özelliklerin doğ-
A)
Van Hiele modeli, geometrik anlamayı sağlama ve geometrik anlamanın gelişimi için
II.
1.
III.
2.
B)
3.
1.
3.
C)
4.
2.
2.
D)
4.
1.
2.
E)
3.
2.
3.

2013 KPSS uzman
45. Bir matematik öğretmeni, öğrencilerinden iki tek sayının
toplamının çift sayı olduğunu ispatlamalarını istemiştir.
Üç öğrencinin yapmış olduğu ıspat aşağıda verilmiştir.
Ali
Burcu
6 !   
    
    
          
^  h  
Herhangi iki tek sayı alalım
ve toplamlarını inceleyelim.
      
      
      
Buna göre, iki tek sayının
toplamı çifttir.
Ceyda
6  !   
    
    
        ^    h
^    h  
Buna göre, ispatı doğru yapan öğrenci ve kullandığı yöntem aşağıdakilerden hangisinde birlikte verilmiştir?
Öğrenci
İspat Yöntemi
A)
Ali
Tümevarım
B)
Burcu
Olmayana ergi
C)
Ceyda
Doğrudan ispat
D)
Ali ve Burcu
Tümevarım
E)
Ali ve Ceyda
Doğrudan ispat
İspatları incelediğimizde bir tek Ceyda’nın ispatı doğrudur. Doğrudan ispat tekniğini kullanmıştır. Bu ispat tekniğinde, bize teorem veya önerme içinde verilen şartlar aynen alınıp gösterilmek istenen sonuca ulaşılmaya çalışılır. Yani bilinen veya bize teoremde verilen bilgileri kullanarak istenilen sonuca ulaşmaya çalışılan tekniktir.
Doğru yanıt “C” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
46. Bir öğrenci, köklü sayılarla ilgili özellikleri ve i2   1 eşitliğini kullanarak
Öğrencinin konu ile ilgili bir eksik bilgisi göze çarpmaktadır. İşlem incelenirse hatalı olan
1 1
 ^ 1h : ^ 1h
 ^ 1h : ^ 1h
satırın
Doğru yanıt “B” seçeneğidir.
işlemlerini yapmış ve 1 = 1 sonucunu elde etmiştir.
Bu öğrenciye aşağıdaki geri bildirimlerden hangisini
vermek uygundur?
A) 1’in özel bir sayı olduğu ve bazı istisnalara sahip olduğu
a : b  a : b eşitliğinin her a ve b reel sayısı için
geçerli olmadığı
C) Negatitf bir reel sayının karekökünün pozitif bir değere sahip olduğu
D) Kök içleri aynı olan terimlerle çarpma işlemi yapılmayacağı
E) i2   1 olmak üzere
a.b  a . b
verilmesi gereken dönüt B seçeneğindeki şekilde olmalıdır.
 i2 : i2
 i:i
 1
B)
^ 1h .^ 1h  ^ 1h . ^ 1h olduğu görülmektedir. O halde öğrenci
‘nin tüm reel sayılar için doğru olduğu kavram yanılgısına sahiptir. Bu sebeple öğrenciye
i2  i olması gerektiği

2013 KPSS uzman
47. Aşağıdaki tabloda, bir öğrencinin reel sayılar kümesinde
tanımlı f, g ve h bağıntılarının fonksiyon olup olmamasıyla ilgili verdiği cevaplar gösterilmektedir.
Bağıntı
Fonksiyondur.
Fonksiyon
değildir.
f ^ xh  2
g^ xh  x 2  1
h^ xh 
 x2
+
O halde öğrenci bir fonksiyonun gösteriminde mutlaka x değişkeni olması gerektiğini düşünüyor olabilir. Aynı bağıntıda tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde sabit
bir sayı ile eşleşmektedir. O halde B seçeneğini de düşünüyor olabilir. En az iki terimlileri ve ikinci derece bağıntıları fonksiyon olarak işaretlediğine göre C ve E seçeneğini de
+
doğru olarak düşünüyor olabilir. Ancak D seçeneğini düşünüyor olamaz, çünkü g(x) ve
+
h(x) bağıntılarında tanım kümelerindeki bütün elemanlar değer kümesinde tek bir ele-
Buna göre, bu öğrenci aşağıdakilerden hangisini düşünüyor olamaz?
A) Bir fonksiyonun gösteriminde x değişkeni olmalıdır.
B) Bir bağıntıda tanım kümesindeki her eleman değer
kümesindeki sabit bir sayı ile eşleşiyorsa bu bağıntı
fonksiyon değildir.
C) Bir fonksiyonun gösteriminde en az iki terim bulunmalıdır.
D) Bir fonksiyonun tanım kümesindeki bütün elemanlar
değer kümesinde yalnız bir elemanla eşleşebilir.
E) Bir bağıntı ikinci dereceden ise bu bağıntı bir fonksiyon belirtir.
Tablo incelendiğinde öğrencinin f(x)=2 bağıntısına fonksiyon değil dediği görülmektedir.
manla eşleşmemektedir.
Doğru yanıt “D” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
48. Ali Öğretmen, öğrencilerinden
x  2y  3
2x  4y  6
denklem sisteminin çözüm kümesini bulmalarını istemiş-
Öğrencinin işlemleri yaparken bir hata yapmadığını görmekteyiz. Ancak çözüm kümesini
yanlış söylediği görülmektedir. Bu sebeple burada ilk yapılması gereken öğrencinin kavram yanılgısı ile yüzleştirilmesidir. Bu da yanlış olan bir örnek göstererek mümkün ola-
tir.
Aşağıda bir öğrencinin bu soruya verdiği cevap yer almaktadır.
^ 2h
+
x  2y  3
2x  4y  6
 2x  4y   6
2x  4y  6
00
Dolayısıyla çözüm kümesi tüm
reel sayılardır.
Buna göre, Ali Öğretmen’in, yaptığı hatayı fark ettirmek için öğrencisine aşağıdaki sorulardan hangisini
sorması daha uygundur?
A) Yok etme yöntemini doğru kullandın mı?
B) Denklemleri taraf tarafa toplarken hata yapmadığından emin misin?
C) Çözüm kümesi reel sayılar mı yoksa R2 midir?
D) x  0 ve y  0 için bu denklemler sağlanıyor mu?
E) 0  0 elde ettiğin için çözümün boş küme olması gerekmez mi?
bilir. Bu sebeple D seçeneğinde verilen. x=0 ve y =0 için denklemin sağlanmayacağı ile
yüzleştirilmesi uygun olacaktır.
Doğru yanıt “D” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
49.
Olasılık makinesine baktığımızda, makine topun verilen bir yolu takip etme olasılığının
kaç olduğunu gösterebilir. Eş olasılı örneklem uzayında gerçekleşen olayların olasılığını gösterebilir. Çünkü eş olasılı durumlara sahiptir.Teorik olarak bir olasılık hesaplattırılarak deneysel olarak da ilişki kurulabilir. Pascal üçgeni ile olasılık değerleri arasındaki ilişki de gösterilebilir. Ancak öznel olasılık yani kişiye göre değişen olasılığın olasılık makinesi ile ilişkisi yoktur.
Şekildeki olasılık makinesinde üstten atılan bir topun engelle çarptıktan sonra engelin sağından gitme olasılığı
ile solundan gitme olasılığı birbirine eşittir.
Bu makineyi matematik dersinde kullanmak isteyen
bir öğretmenin amacı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) Topun verilen bir yolu takip etme olasılığının kaç olduğunu göstermek
B) Eş olasılı örneklem uzayında gerçekleşen olayların
olasılığını göstermek
C) Deneysel olasılık ile teorik olasılık değeri arasındaki
ilişkiyi fark ettirmek
D) Olasılık değerleri ile Pascal üçgeni arasındaki ilişkiyi
fark ettirmek
E) Her bir çıktının eş olasılı olmadığı durumlarda öznel
olasılığın kullanılacağını göstermek
Doğru yanıt “E” seçeneğidir.

2013 KPSS uzman
50. Türevin geometrik anlamını öğrencilerine bilgisayar destekli bir ortamda anlatan bir öğretmen, bilgisayarda aşağıdaki gibi bir eğri ve bu eğrisinin A noktasındaki teğetini
çizer.
Öğrenci, eğriye bir noktada teğet olan bir doğrunun eğriyi kesmemesi gerektiğini düşüny
mektedir. O halde öğrencinin düşüncesi bir eğriye teğet olma durumunun tüm eğriler için
geçerli olacağını düşünmesidir. Bu durum sağdan ve soldan teğet ile, birden fazla teğet
0
d
x
A
Ancak öğrencilerden biri teğetin eğriyi sadece değme
noktasında kesmesi gerektiğini belirterek d doğrusunun
bir teğet doğrusu olmadığını iddia eder.
Buna göre, öğrencinin bu düşüncesinin nedeni aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) Bir eğrinin bir noktasındaki sağdan ve soldan teğetlerinin farklı olamayacağını düşünmektedir.
B) Bir doğrunun bir çembere teğet olma durumunun diğer eğriler için de geçerli olduğunu düşünmektedir.
C) Bazı eğrilerde bir noktada birden fazla teğet çizilemeyeceğini düşünmektedir.
D) İkinci türevin geometrik anlamını yanlış yorumlamaktadır.
E) Öğrenci doğru düşünmektedir, çünkü bilgisayar teğeti yanlış çizmiştir.
çizilmesi ile ya da ikinci türev ile ilgisi yoktur.
Doğru yanıt “B” seçeneğidir.