ÖLÇME BĐLGĐSĐ

Transkript

ÖLÇME BĐLGĐSĐ

Ölçme Bilgisi Ders Notlar
KOCAELĐ ÜNĐVERSĐTESĐ
Yayın No: 428
O.KURT
ÖNSÖZ
Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliği uzmanlık alanının Anabilim Dallarından birisi olan Ölçme
Tekniği; temel ölçü aletleri, bu aletler ile gerçekleştirilen ölçme yöntemlerini ve bu aletler ile elde
edilen ölçülerin değerlendirilmesi konularını kapsamaktadır. Ölçme Bilgisi yada Topografya
dersleri altında Ölçme Tekniği Ana Bilim dalının konuları tamamı yada bir bölümü işlenmektedir.
Küçük alanları kapsayan çalışmalarda düzlem geometri, bir kenti kapsayan çalışmalarda küresel
geometri, bir bölgeyi (birkaç kenti) yada bir ülkeyi kapsayan çalışmalarda elipsoit geometrisinden
yararlanılır.
2006 yılından beri Asım Kocabıyık Meslek Yüksekokulu Đnşaat Bölümü, Đnşaat Teknolojileri’nde
Ölçme Bilgisi ve güncellenmiş adıyla Topografya dersinden başarılı olan öğrencilerin, temel ölçme
ve değerlendirme tekniklerini kullanabilmesi ön görülmüştür. Bu bağlamda, öğrencilerin;
ÖLÇME BĐLGĐSĐ
Ders Notları
Temel trigonometrik bağıntıları ve temel üçgen çözümlerini kullanabilmesi,
Temel ödevleri kullanabilmesi,
Uygulamada kullanılan koordinat ve yükseklik bilgilerini kavraması,
Yatay konum belirleme yöntemlerini (prizmatik alım, kutupsal alım) kullanabilmesi,
Düşey konum belirleme yöntemlerini (geometrik, trigonometrik, barometrik) kullanabilmesi
Alan ve hacim hesapları yapabilmesi,
amaçlanmaktadır.
Ders notlarının gözden geçirilmesi ve Asım KOCABIYIK Meslek Yüksekokulu’nda ders notu
olarak bastırılması konularında beni cesaretlendiren ve yardımlarını esirgemeyen Đnşaat
Teknolojileri Bölüm Başkanı Yrd.Doç Dr. Önder EKĐNCĐ’ye sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Öğrencilerimize ve meslektaşlarımıza yararlı olması en büyük dileğimdir.
Orhan KURT
2012
Yrd. Doç.Dr. Orhan KURT
KOCAELĐ ÜNĐVERSĐTESĐ
Mühendislik Fakültesi
Harita Mühendisliği Bölümü Öğretim Üyesi
2012
Kocaeli
2 / 60
O.KURT
Đçindekiler
0. Giriş
ÖNSÖZ ................................................................................................................................................2
Đçindekiler ............................................................................................................................................3
0. Giriş..................................................................................................................................................4
1. Noktaların Đşaretlenmesi ................................................................................................................10
1.1. Geçici Đşaretler ........................................................................................................................10
1.2. Kalıcı Đşaretler.........................................................................................................................11
2. Konum Belirlemede Kullanılan Ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri.........................................12
2.1. Uzunluk Kavramı ve Uzunlukların Ölçülmesi: ......................................................................12
2.2. Açı Kavramı ve Açıların Ölçülmesi: ......................................................................................13
2.3. Yükseklik Kavramı ve Yüksekliklerin Ölçülmesi ..................................................................18
3. Yatay Konum Bilgilerinin Elde Edilmesi ......................................................................................19
3.1. Yatay Konum Bilgileri arasındaki dönüşümler: .....................................................................19
3.2. Yan Nokta (Prizmatik Alım) Hesabı :.....................................................................................19
3.2. Kutupsal Alım .........................................................................................................................22
4. Düşey Konum Bilgilerinin Elde Edilmesi .....................................................................................24
4.1. Kullanılan Alet-Ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri...........................................................24
4.2. Geometrik Nivelman:..............................................................................................................24
4.3. Trigonometrik Nivelman: .......................................................................................................26
4.4. Barometrik Yükseklik Ölçüsü:................................................................................................27
4.5. Yüzey Nivelmanı ....................................................................................................................28
5. Alan Hesapları................................................................................................................................30
5.1 Düzgün Geometrik Şekillerin Alanları ....................................................................................30
5.2 Çokgenlerde Alan Hesapları: ...................................................................................................32
6. Hacim Hesapları.............................................................................................................................35
6.1. Plankote (Kotlu Plan) Çıkarılması ..........................................................................................36
7. Üç Boyutlu Konum Bilgilerinin Elde Edilmesi .............................................................................36
7.1. Kullanılan Alet-Ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri...........................................................36
8. Kaynaklar .......................................................................................................................................37
Ek 1. Trigonometri.............................................................................................................................38
Ek 2. Temel ödevler ...........................................................................................................................39
Ek 3. Arazi Uygulaması Örnekleri.....................................................................................................40
Ek 4. Haftalık Ödevler .......................................................................................................................57
Konum belirleme üç ana bölüme ayrılır.
O.KURT
1. Yatay konum belirleme: Bu yöntemde; noktalar arası yatay bağıl ilişkiler yatay açı ve yatay kenar
ölçülerinden elde edilir. Yeni noktaların mutlak konumları, yatay referans sisteminde mutlak
konumları bilinen dayanak noktaları ile sağlanır.
2. Düşey konum belirleme : Bu yöntemde; noktalar arası düşey bağıl ilişkiler yükseklik farkı, düşey
açı - yatay kenar ya da düşey açı - eğik kenar ölçülerinden elde edilir. Yeni noktaların yükseklikleri,
yükseklik referans sisteminde mutlak yükseklikleri bilinen dayanak noktaları ile sağlanır.
3. Üç boyutlu konum belirleme: Üç boyutlu konum belirmede noktalar arası bağıl ilişkiler eğik
uzunluklar, düşey açılar ve yatay açılar elde edilir. Bu işlem iki farklı şekilde gerçekleştirilebilir.
Birincisi üç boyutlu konum bilgilerinin ayrı ayrı düşünülerek elde edildiği yöntemlerdir
(yatay+düşey). Đkincisi ise üç boyutlu bağıl konumların aynı anda belirlenebileceği bir referans
sistemin ile sağlanır. Bağıl ilişkiler belirlendikten sonra noktaların konumları referans sistemindeki
konumları bilinen dayanak noktaları ile sağlanır.
Dönel elipsoit: Büyük yarı ekseni a ve küçük yarı çapı b yarıçaplı bir elipsin eksenleri biri etrafında
döndürülmesi ile elde edilen
Geoit: Karaların altında devam ettiği düşünülen durgun deniz yüzeyinin oluşturduğu yüzeye verilen addır.
Bu yüzeyin biçimini, büyük çoğunlukla Dünyayı oluşturan farklı yoğunluktaki kitlerin dağılımı ve dünyanın
kendi ekseni etrafında dönmesi oluşmaktadır. Pürüzsüz bir patatese benzeyen Geoit yaklaşık olarak 1/300
oranında basıklığı olan bir dönel elipsoide benzemektedir.
Datum: Kelime anlamı başlangıç yeri ya da referans noktası anlamına gelen datum; jeodezi kullanılan ölçme
sistemlerine göre iki ana bölüme ayrılır. Yatay datum düşey datum.
Düşey datum: Düşey datum Geoittir. Mühendislik projelerindeki yükseklikler bu datuma göre belirlenir.
Yatay datum: Düşey datum olan Geoit üzerinde yatay konum belirlemek çok güçtür. Bunun yerine Geoidi iyi
temsil eden, matematik yüzeyi kolay tanımlanan ve üzerinde matematik modellemelerin daha kolay
kurulduğu bir dönel elipsoit seçilir. Yatay datum belirleme, bu dönel elipsoidin yere uygun bir şekilde
yerleştirilmesi işlemidir (Şekil-1)
Tablo 1. Dünyada yaygın olarak kullanılan Dönel Elipsoit parametreleri (GPS:Global Positioning System)
Elipsoit
a (m)
b (m)
Açıklama
Hayford (ED50)
6378388 6356911.94613 Europe Datum 1950, Uluslar arası elipsoit
GRS80
6378137 6356752.31414
Geodedic Referans System 1980, ABD
WGS84
6378137 6356752.31425
World Geodedic System 1884, GPS
Bessel
6377397.15508 6356078.96290
Almanyada Kullanılır
Krassowsky
6378245 6356863.01877
Doğu Bloku Ülkelerinde Kulanılır
UTM (Universal Transversal Merkator) Projeksiyonu: Uygulamada kullanılan yatay koordinatlar bu
projeksiyona göre hesaplanırlar. UTM projeksiyonı benzerlik koruma özelliği olan yatık konumlu silindirik
projeksiyon türüdür. Dönel elipsoit (yaklaşık Geoit yada deniz yüzeyi) üzerine indirgenen ölçüler yada
mutlak konum bilgileri, bir düzlem yüzey olan projeksiyon yüzeyine aktarılırlar.
X,Y,Z
ϕ, λ, h
x, y
H
h
N
3 / 60
Kartezyen koordinatlar
Jeodezik (elipsoidal koordinatlar) koordinatlar
UTM (Universal Transversal Mercator) Projeksiyon koordinatları
Ortometrik yükseklik (Geoit’ten olan yükseklik)
Elipsoit yüksekliği (Referans Elipsoidinden olan yükseklik)
Geoit yükseklikleri (ondilasyonları, dalgalanmaları)
4 / 60
O.KURT
Not : Uygulamada (x,y,H) konum bilgileri kullanılır.
Z
Geoit
hi
Ni
Greenwich
b
a
x (Kuzey) //x
γ
Hi
λi
Y
Xi
λ0
x
=
+
+
+
+
+
b1 ( ϕ + b2
(L cosϕ)2 t
(L cosϕ)4 (
(L cosϕ)6 (
(L cosϕ)8 (
...
y
=
+
+
+
+
N L cosϕ
(L cosϕ)3( 1 – t2 + η ) / 6
(L cosϕ)5( 5 – 18t2 + t4 + 14η – 58t2η ) / 120
(L cosϕ)7( 61 – 479t2 + 179t4 – t6 ) / 5040
...
(Pi)
ϕi
Yi
(ϕ
ϕ i)
yi
Zi
xi
y (Doğu)
Ekvator
(λ
λ 0)
X
(λ
λ i)
Ekvator
Şekil 1. Kartezyen koordinatlar (X, Y, Z) ile elipsoidal koordinatlar (ϕ
ϕ, λ, h) ve UTM projeksiyon koordinatları (x, y)
arasındaki ilişki. “(*)” ; *’ın projeksiyonu anlamında kullanılmıştır.
Z ekseni: Yerin dönme eksenine paralel
XY düzlemi: Greenwich meridyen düzlemine paralel
Y ekseni: Sağ el koordinat sistemini tamamlayacak şekilde XY düzlemine dik
a: Ekvatordaki yarıçap
b: yerin dönme eksenindeki yarı çap.
a) (X,Y,Z) → (ϕ
ϕ,λ
λ,h) Dönüşüm
Yinelemeli ya da doğrudan olmak üzere iki çözüm yöntemi kullanılır. Aşağıda doğrudan çözüm bağıntıları
verilmiştir. Yinelemeli çözüm için (Hofman-Wellenhof vd., 1997; Seeber, 1993; Leick, 1999)
kaynaklarından yararlanılabilir.
e=
N=
a 2 − b2
a2
a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ
 Z + e ′ b sin 3 t 
ϕ = arctan 



cos 3 t
b) (ϕ
ϕ,λ
λ,h)
N=
→
a 2 − b2
b2
a (1 − e)
=
1 − e sin 2 ϕ
Y
λ = arctan  
X
a (1 − e)
M=
3/ 2
1 − e sin 2 ϕ
h=
p
a2
−
2
2
cos ϕ
a cos ϕ + b 2 sin 2 ϕ
a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ
=
a (1 − e)
1 − e sin 2 ϕ
Y = ( N + h ) cos ϕ sin λ
Z=(
b2
a2
sin(2ϕ) + b3 sin(4ϕ) + b4 sin(6ϕ) + b5 sin(8ϕ) )
N / 2
5 − t2 + 9η + 4η2 ) / 24
61 – 58t2 + t4 + 270η - 330t2η ) / 720
1385 – 3111t2 + 543t4 – t6 ) / 40320
d) (x,y) → (ϕ
ϕ,λ
λ) Dönüşüm
n = (a − b) / (a + b)
b1 = (a+b)( 1/2 + n2/8 + n4/128 )
b2 = 3/2 η – 27/32 η3 + 269/512 η5
b3 = 21/16 η2 – 55/32 η4
b4 = 151/96 n3 + 417/128 η5
b5 = 1097/512 η4
ϕ0 = x/b1 + b2 sin(2x/b1) + b3sin(4x/b1) + b4sin(6x/b1) + b5sin(8x/b1)
t = tanϕ0
η = (a2–b2)(cosϕ0/b)2
N = a2/b/(1+η)1/2
ϕ
=
+
+
+
+
+
λ
= λ0
+ y / (N cosϕ0 )
+ (y/N)3(–1 – 2t2 − η)/(6cosϕ0)
+ (y/N)5( 5 + 28t2 + 24t4 + 6η + 8t2η )/(120cosϕ0)
+ (y/N)7(–61 – 662t2 – 1320t4 – 720t6 )/(5040cosϕ0)
+ ...
a Z
t = arctan 

p b
p = X2 + Y2
(X,Y,Z) Dönüşüm
a2
X = ( N + h ) cos ϕ cos λ
e′ =
a2
O.KURT
c) (ϕ
ϕ,λ
λ) → (x,y) Dönüşüm
L = λ-λ0
t = tanϕ
η = (a2–b2)(cosϕ/b)2
N = a2/b/(1+η)1/2
n = (a–b)/(a+b)
b1 = (a+b)( 1/2 + n2/8 + n4/128 )
b2 = –3n / 2 + 9n3/16 – 3n5/32
b3 = 15n2 / 16 – 15n4 / 32
b4 = –35n3 / 48 + 105n5 / 256
b5 = 315n4 / 512
H=h+N
ϕ,λ
λ,h) → (x,y,h)
(X,Y,Z) → (ϕ
(x,y,h) → (ϕ
ϕ,λ
λ,h) → (X,Y,Z)
Pi
ϕ0
t(y/N)2( –1 – η )/2
t(y/N)4( 5 + 3t2 + 6η – 6t2η – 3η2 – 9t2η2 )/24
t(y/N)6(–61 – 90t2 - 45t4 – 107η + 162t2η + 45t4η )/720
t(y/N)8( 1385 + 3633t2 + 4095t4 + 1575t6 )/40320
...
N + h ) sin ϕ
5 / 60
6 / 60
O.KURT
Ülkemizde kullanılan datum türleri. (http://www.hgk.mil.tr/urunler/jeodezikurunler.asp)
CĐNSĐ
Türkiye
Ulusal
Temel
Nirengi
Ağı
Noktaları
Türkiye
Ulusal
Düşey
Kontrol
(TUDKA)
Ağı
Noktaları
(Nivelman
)
Türkiye
Ulusal
Deniz
Seviyesi
Đzleme
Sistemi
(TUDES)
Türkiye
Ulusal
Temel GPS
Ağı
(TUTGA)
Noktaları
Türkiye
Ulusal
Sabit GPS
Đstasyonları
Ağı
(TUSAGA)
ŞEKLĐ
ADEDĐ
449215
O.KURT
TANIMLAR (http://www.hgk.mil.tr/urunler/jeodezikurunler.asp)
ÖZELLĐKLERĐ
904 adet I inci Derece,3311
adet II nci Derece, 95000 3
üncü Derece ve 350000 4
üncü Derece nokta ihtiva
etmektedir. 307 adet I ve I
inci Derece nirengi
noktasında Astronomi
ölçüsü yapılmıştır.
Jeodezi : Yeryuvarının şekil, boyut ve gravite alanı ile zamana bağlı değişimlerinin üç boyutlu bir koordinat
sisteminde tanımlanmasını amaçlayan bir bilim dalıdır.
Jeoid : Durgun okyanus yüzeyi ile özdeş olan ve karaların altında da devam eden eşpotansiyelli bir yüzeydir.
Jeoid Yüksekliği : Bir noktadan geçen çekül eğrisinin jeoidi kestiği nokta ile kullanılan elipsoid arasındaki
yükseklik farkıdır. Diğer bir ifade ile elipsoid yüksekliği ile ortometrik yükseklik arasındaki farktır.
Gravite : Yeryüzündeki bir cismi etkileyen; yerçekimi kuvveti ve yerin dönmesinden kaynaklanan
merkezkaç kuvvetlerinin bileşkesidir.
Ortometrik Yükseklik : Bir noktanın çekül eğrisi boyunca jeoide olan uzaklığına o noktanın ortometrik
yüksekliği denir.
25451
19197 adet I inci Derece ve
6254 adet II nci Derece
nokta ihtiva etmektedir.
Đskenderun,Erdemli,Antalya
II, Bodrum II, Mentes/Izmir,
11
Erdek, Marmara Ereglisi,
Tamamlanan
Đgneada, Amasra, Sinop and
2 Planlanan
Trabzon II siteleri
tamamlandı.
594
15 Faal
9 Planlanan
Türkiye geneline 15-70 km
aralıklar ile homojen olarak
dağılmış, her noktasında 3
boyutlu konum ve hızları
belirli olan 594 noktadan
oluşan ağdır.
Türkiye genelinde dağılmış
noktalarda 365 gün 24 saat
kesintisiz olarak jeodezik ve
jeodinamik amaçlar
doğrultusunda uydu bilgileri
toplayan sabit GPS
istasyonlarından oluşan bir
ağdır..
Türkiye
Temel
Gravite Ağı
(TTGA)
Noktaları
66258
55 adet I inci Derece, 13
adet mutlak gravite, 3940
adet II nci Derece ve 62250
adet sıklaştırma noktası
ihtiva etmektedir
Türkiye
Ulusal
Manyetik
Ağı
Noktaları
2085
85 adet seküler nokta ve
2000 adet sıklaştırma
noktası ihtiva etmektedir.
7 / 60
Nivelman : Noktalar arasındaki yükseklik farkının ölçme yöntemidir.
GPS : ABD Savunma Dairesi (DoD) tarafından işletilen; dünyanın her hangi bir yerinde konum, hız ve
zaman belirleyen, 24 (+3 yedek) uydudan oluşan bir radyo navigasyon uydu sistemidir. Jeodezik GPS
uygulaması; GPS verilerinden, faz ve kod bilgileri kullanılarak en az iki jeodezik alıcı ile toplanan verilerden
nokta koordinatı ve koordinat farkları belirlenir.
DGPS (Diferansiyel GPS) : GPS ölçülerine çeşitli etkenlerden kaynaklanan hataları gidermek için
Diferansiyel GPS düzeltmesi uygulanarak yapılan konumlama türüdür.
Ülke Temel Jeodezik Ağları : Ülkemizin bütününü kapsayan, yeryüzüne uygun aralılarla işaretlenen,
konumları ve gravite değeri bilinen noktaların oluşturduğu ağlardır. Ülkemizde TUTGA, TUSAGA,
TUDKA, TTGA, TUDES, Manyetik Ağ ve TUD-54 mevcut olup bunlar aşağıda açıklanmaktadır.
TUTGA (Türkiye Ulusal Temel GPS Ağı) : WGS-84 koordinat sisteminde, 1998.0 zaman noktasında, her
noktasında enlem, boylam, elipsoid yüksekliği, ortometrik yükseklik ve jeoid yüksekliği bilinen,15-70 km.
aralıklı 594 noktadan oluşan ağdır.
TUSAGA (Türkiye Ulusal Sabit GPS Đstastasyonları Ağı) : Jeodezik ve jeodinamik amaçlarla kullanmak
ve Diferansiyel GPS (DGPS) hizmeti sunmak için, sürekli GPS verisi toplayan, Türkiye geneline dağılmış
sabit GPS noktalarından oluşan bir ağdır.
TUDKA (Türkiye Ulusal Düşey Kontrol (Nivelman) Ağı) : Ülke boyutunda karayolları boyunca 1-2 km.
aralıklarla işaretlenen ve ortometrik yükseklikleri bilinen noktaların oluşturduğu ağdır.
TTGA (Türkiye Temel Gravite Ağı) : Jeodezik, jeofizik ve jeodinamik amaçlı çalışmalarda kullanılan,
yüksek doğrulukla gravite değeri bilinen, ülke genelinde 66258 noktadan oluşan ağdır.
TUDES (Türkiye Ulusal Deniz Seviyesi Đzleme Sistemi) : Düşey Kontrol Ağının başlangıcını (Düşey
Datum) belirlemek amacıyla işletilen 1 veri merkezi ve 11 mareograf istasyonundan oluşan ağdır.
Manyetik Ağı : Ülke boyutunda 50-100 km. aralıklı işaretlenen ve manyetik alan parametreleri ile zamanla
değişiminin bilindiği noktalardan oluşan ağdır.
Yatay Kontrol (Nirengi) Ağı (Türkiye Ulusal Datumu-1954 (TUD-54) ) : Ülke bütününü kapsayan,
yeryüzüne 15-40 km. aralıklarla işaretlenen, açı ve kenar ölçüleri ile enlem ve boylamları hesaplanan
noktaların oluşturduğu ağdır.
8 / 60
O.KURT
O.KURT
1. Noktaların Đşaretlenmesi
Çalışma bölgesinde alımı yada aplikasyonu yapılacak olan bölgede arazi çalışmaları sırasında kullanılacak
olan nokta işaretleme türleridir. Geçici ve kalıcı olmak üzere iki türlü işaretleme yapılır (Şekil-4,5).
Đstikşaf: Alımın en uygun şekilde gerçekleştirilebilmesi, sabit noktaların alımı yapılacak noktaları ve
birbirlerini iyi görebilmeleri için arazide dolaşılarak önceden sabit nokta yerlerinin belirlenmesi işlemine
denir. Sözgelimi; Nirengi Đstikşafı, Poligon Đstikşafı yada Rs Đstikşafı.
Kanava: Sabit noktaların birbirlerine göre konumlarını ve ölçme planı gösteren krokilere denir. Sözgelimi;
Nirengi Kanavası, Poligon Kanavası yada Rs Kanavası (Şekil-3).
P.1
N2
N1
P.6
P.5
N2
P.2
Rs.1
P.1
P.11
P.10
P.14
N10
P.7
P.8
P.9
P.2
N11
N1
P.12
P.13
Rs.2
P.4
N3
P.3
Şekil 3. Nirengi, Poligon ve Rs(Referans Seviyesi) Kanavaları.
1.1. Geçici Đşaretler
Jalon : Arazide noktaların geçici olarak işaretlenmesinde, doğrultuya girme, dik inme ve dik çıkma
işlemlerinde kullanılan, 2 veya 3 m uzunluğunda, 3-4cm çapında bir ucunda demir çarık bulunan, fırınlanmış
ağaç yada demir borudan yapılmış basit bir alettir (Şekil-4a).
Jalon Sehpası : Jalonun geçebileceği demir bir çembere bağlanmış üç ayaktan oluşan 70-80cm boyunda bir
düzenektir (Şekil-4b).
(a)
o
Şekil-2. 3 Dilimlik UTM Prokseyonunda pafta bölümlemesi ve isimlendirmesi. (Hazırlayan: Erdinç Örsan ÜNAL).
9 / 60
(b)
(c)
(d)
Şekil 4. Jalon, jalon sehpası, çekül ve fiş.
10 / 60
O.KURT
Çekül (Şakul) : Bir ipe asılmış alt ucu sivri bir ağırlıktan ibarettir. Çekül sarkıtıldığında ipin doğrultusunun
ağırlığın sivri ucundan geçmesi gerekir (Şekil-4c).
O.KURT
2. Konum Belirlemede Kullanılan Ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri
2.1. Uzunluk Kavramı ve Uzunlukların Ölçülmesi:
Fiş : Bir ucu halka şeklinde kıvrılmış ipe asılmış alt ucu sivri bir ağırlıktan ibarettir (Şekil-4d).
1.2. Kalıcı Đşaretler
Demir Çivi yada Boru : 10-20cm uzunluğunda 2-3cm kalınlığında daire kesitli demir çiviler yada borulardır.
Genellikle meskun alanlarda yada sert zeminlerde (asfalt, beton, ..vb.) kullanılan zemin tesisleridir. kör
poligonların işaretlenmesinde ve küçük bölgesel çalışmalarda kullanılır (Şekil-5a,5b).
Tahta kazık : 20-25cm uzunluğunda 3-5cm kalınlığında kare kesitli ahşap kazık. Kazığın toprak üstünde
kalan bölümünde karenin köşegenlerinin kesişim ine çivi çakılarak kullanılan zemin tesisidir. Genellikle kör
poligonların işaretlenmesinde ve küçük bölgesel çalışmalarda kullanılır (Şekil-5c).
☯ ÇŞM (Çelik Şerit Metre)
☯ EUÖ (Elektronik Uzunluk Ölçer)
☯ Optik (baz lataları ve yatay açı yardımıyla)
a) ÇŞM: Uygun bir kuvvetle (genellikle ~10kg) gerdirilen ÇŞM yatay düzleme paralel hale getirilerek
uzunluk okunması ile elde edilir. Uzun mesafelerde ÇŞM doğrultuya sokulduktan sonra, basamaklı ölçme
yöntemine göre parça parça uzunlukların toplamı sonucu elde edilir (Şekil 6).
Beton Zemin : 30-70cm uzunluğunda dar kısmı 20-30cm ve geniş kısmı 30-40cm arasında değişen büyük
çoğunlu toprak altında kalan beton zemin tesisleridir. Genellikle meskun olmayan alanlarda yada yumuşak
zeminlerde kullanılan zemin tesisleridir. Nirengi, Rs ve poligon noktalarının işaretlenmesinde kullanılırlar
(Şekil-5d).
b
c
S = a + b +c
A
Pilye : 120-140cm'si zemin dışında kalan, genişliği 30-40cm arasında değişen ve yerinde inşaa edilen beton
zemin tesisleridir. Genellikle meskun olmayan alanlarda yada yumuşak zeminlerde kullanılan zemin
tesisleridir. Nirengi noktalarının işaretlenmesinde kullanılırlar (Şekil-5e).
Rs Duvar Tesisi: Genellikle resmi bina, cami duvarı yada okul duvarlarına takılan tesislerdir. Yaklaşık 57cm kalınlığında 10-15cm uzunluğundadır. Rs noktaları işaretlenmesinde kullanılırlar (Şekil-5f).
B
a
Şekil 6. Çelik Şerit Metre ile yatay uzunluların elde edilmesi.
b) Optik:Genellikle bir baz latasının (2m) iki ucu gerçekleştirilen yatay doğrultu gözlemleri elde edilir
(Şekil 7). Baz latası yatay konumlu yada düşey konumlu (klasik takeometrik alımda) olabilir.
α = r2 - r1
tg
b
α
α b
α
=
den S = cotg
olur. b=2m alınırsa S = cotg m olur.
2 2S
2
2
2
b
2
b
2
r1
α
r2
B
b
2
S
α
A
Şekil 7. Optik uzunluk ölçüsü.
(c)
(d)
(e)
(f)
Şekil 5. Demir çivi, demir boru, ağaç kazık ve beton zemin, pilye, Rs duvar tesisi.
{Poligon: Beton, boru, demir çivi ve ağaç kazık, Nireng : Pilye, zemin tesisi, Rs(Referans Seviyesi): Zemin tesisi, duvar
çivisi }
S = E sinZ
Z
S = E sinZ
Z
E
B
E
E cosZ
(b)
E cosZ
(a)
c) EUÖ: Elektronik takeometre ile yatay doğrultular (r), eğik uzunluklar (E) ve düşey açılar (Z) doğrudan
ölçülebilen büyüklüklerdir. Yatay uzunluklar (S), eğik uzunluklar (e) ve bu eğik uzunluklara ait düşey açı (Z)
ölçüleri ile elde edilirler (Şekil 8).
A
A
B
S
S
Şekil 8. Elektronik Tekeometre ile yatay ve düşey uzunluların elde edilmesi.
11 / 60
12 / 60
O.KURT
O.KURT
2.2. Açı Kavramı ve Açıların Ölçülmesi:
b) Teodolitlerin genel yapısı ve eksenleri
a) Açı kavramı
Yatay doğrultu ve düşey açı ölçülerinde kullanılan aletlere teodolit denir.
Çekül eğrisi:Yerçekimi ve merkez kaç kuvvetinin etkisiyle oluşan, bulunduğu noktada Geoide dik olan ve
uzantısı ağırlık merkezinden geçen çekül doğrultusudur. Çekül eğrisi, ölçme sistemlerimiz ile fiziksel
yeryüzü arasında ilişki kurabildiğimiz tek olgudur (Şekil-9).
Asal eksen
DÜŞEY AÇI
DAĐRESĐ
A
Başucu (Zenit) : Çekül eğrisini dış uzaya uzanan doğrultusu (Şekil-9).
Yatay açı (α
αi=ri-r0): Alet kurulan noktanın yatay düzleminde ölçülen açılardır. Yatay açı doğrudan
ölçülmez. Đki doğrultunun farkı ile saat ibresi yönünde elde edilen açıdır (Şekil-9).
Yatay (muylu) ekseni
DÜRBÜN
D’
M
Düşey açı (Baş ucu açısı) ( Z ): Durulan ve bakılan noktayı içinde bulunduran ve yatay düzleme dik düşey
düzlemde bulunan düşey açı, başucu noktası ile dürbünün yöneltme ekseni arasındaki açıdır. Doğrudan
ölçülebilen bir açıdır (Şekil-9).
A
Y
Düzeç ekseni
SĐLĐNDĐRĐK
DÜZEÇ
P1
Z1
Üç ayaklar
δ1
A’
D
YATAY AÇI
DAĐRESĐ
r1
γ
Yatay Eksen
Düzlemi
Yöneltme ya da Nişan
(Kolimasyon) ekseni
M’
FENKLAJ
Ayak ucu (Nadir): Çekül eğrisinin yerin merkezine uzanan doğrultusu (Şekil-9).
Z2
Y’
α
Şekil 10. Teodolitin temel yapısı ve ana eksenleri.
r2
δ2
Bir Teodolitin doğru olarak çalışabilmesi için gerekli olan eksen koşulları ve eksen hatalarının
giderilmesi:
A’
P2
Şekil 9. Doğrudan ölçülebilen ve doğrudan ölçülemeyen açı türleri (AA’:Çekül doğrultusu).
Eğim açısı ( δ=π
π/2−
−Z ): Düşey açı ile aynı düzlemde bulunan ve π/2−Z bağıntısı ile hesaplayabileceğimiz
eğim açısı, düşey düzlemde yer alır. Doğrudan ölçülebilir yada düşey açılardan elde edilebilir(Şekil-9).
Uzay açı ( γ ): Üç boyutlu uzaydaki iki doğrultu arasındaki açıdır. Doğrudan ölçülemeyen uzay açı
bileşenleri olan yatay ve düşey açı aracılığı ile hesaplanabilir (Şekil-9).
☯ Doğrudan Ölçülebilen büyüklükler
Zi (i=1,2)
ri (i=1,2)
δi (i=1,2)
: Düşey açı: Teodolitler ile ölçülürler
: Yatay doğrultu: Teodolitler ile ölçülürler
: Eğim açıları (i=1,2): Klizimetre ile ölçülürler
1) DD’ ⊥ AA’ : Düzeç eksen hatası: Düzeç ekseni asal eksene dik olmalı: Ölçe yöntem ile giderilemez,
alet kullanılmadan önce bu hata giderilmelidir. Bu hatayı gidermek için; aletin silindirik düzeci düzeçlenir ve
alet asal eksen etrafında 200g döndürülür. Silindirik düzeç kaymış ise alette düzeç eksen hatası var demektir.
Hatanın yarısı üç ayak vidalarından diğer yarısı ise silindirik düzeç ayar vidasından giderilir. Düzeç eksen
hatası kontrolü tekrarlanır. Hata var ise yukarıdaki işlemleler silindirik düzeç hatası giderilene kadar
tekrarlanır.
2) MM’ ⊥ AA’ : Yöneltme eksen hatası (Yatay Kolimasyon): Yatay eksen asal eksene dik olmalı, aletin
üretimi sırasında fabrikada giderilmelidir.
3) YY’ ⊥ MM’ : Yatay eksen hatası (Düşey Kolimasyon): Yöneltme ekseni yatay eksene dik olmalı,
dürbünün her iki durumunda yapılan ölçüler ile giderilir.
c) Dürbünler
- Mercekler
• Yakınsak mercekler
• Iraksak mercekler
- Büyütme
- Görüş alanı
☯ Đlk ölçülerin doğrusal fonksiyonları ile türetilebilen büyüklükler
: Yatay açı: iki yatay doğrultu farkı
α = r2 − r1
δi = π/2 − Zi (i=1,2) : Eğim açıları: (i=1,2) Klizimetre ile ölçülürler
γ
: Uzay açı: Üç boyutlu uzayda iki doğrultunu kesişimi ile elde edilen açı
α Küresel trigonometride kenar kosinüs teoreminden
cosγγ = cosZ1 cosZ2 + sinZ1 sinZ2 cosα
13 / 60
14 / 60
O.KURT
-
O.KURT
1
Uygulama 1: Đki tam dizi yatay açı ölçüsü ve hesabı. n=2
olduğundan iki tam dizinin başlangıç doğrultuları arasındaki fark
200g/2 ~ 100g olur.
d) Düzeçler
-
Silindirik düzeçler
• Silindirik düzecin duyarığı
• Silindirik düzeç hatası ve giderilmesi
Küresel düzeçler
r1
A
α
α=r2−r1=42.0811
β=r3−r2=64.0756g
g
β
r3
r2
2
e) Teodolitlerde eksen hataları ve giderilmesi
3
-
Yatay kolimasyon
Düşey kolimasyon
Đndeks Hatası
Tam dizi yatay açı ölçüsü ve hesabı tablosu.
Açı okuma yeteneklerine Göre Teodolitlere Verilen Genel Đsimler
T1 (Takeometreler): Detay ve ayrıntı nokta ölçümlerinde kullanılan; doğrultu ve düşey açı ölçülerini
virgülden sonra 2. ya da 3. basamağa kadar doğrudan okuyabilen aletlerdir.
a) Optik uzunluk ölçüsü
b) Okuma düzenleri
c) Takeometre ölçüsü ve hesabı
T2: Tamamlayıcı, yardımcı (Üçüncü, dördüncü ve dizi) nirengi ve poligon ölçümlerinde kullanılan; doğrultu
ve düşey açı ölçülerini virgülden sonra 4. basamağa kadar doğrudan okuyabilen aletlerdir.
a) Okuma düzenleri
b) Yatay-düşey açı ölçüsü ve hesabı:
T3: Ana (birinci ve ikinci derece) nirengi ölçümlerinde kullanılan; dürbün büyütmesi oldukça iyi olan,
doğrultu ve düşey açı ölçülerini virgülden sonra 5. basamağa kadar doğrudan okuyabilen aletlerdir.
a) Okuma düzenleri
b) Açı ölçüsü ve hesabı
T4 (Evrensel teodolit): Astronomik ölçümlerde kullanılan; dürbün büyütmesi oldukça iyi olan, doğrultu ve
düşey açı ölçülerini virgülden sonra 5. basamağa kadar doğrudan okuyabilen aletlerdir.
Jiroskop: Genel yapısı teodolitlere benzeyen üzerine eklenen jiroskop adı verilen donanım yardımı ile
gözlemciyi kendi coğrafi meridyenine sokmaya yarayan ve böylece gözlemcinin ölçtüğü kenarın manyetik
kuzeyle yaptığı açıyı doğrudan ölçebilmeyi sağlayan aletlerdir.
Doğrultular (g)
Dizi
DN BN
No
I. Durum II.Durum
A
1
0.2573 200.2585
1
2
42.3368 242.3400
3 106.4124 306.4147
65
132
A
1 100.6885 300.6861
2
2 141.7680 341.7700
3 206.8435
6.8462
00
23
(I+II)
Sıfıra
Ortalama
(g)
2
Đndirgeme
0.2579
0.0000
0.0000
42.3384
42.0811
42.0805
106.4136
106.1557 106.1567
99
78
62
100.6873
0.0000
141.7690
41.0817
206.8449
106.1576
12
93
a.2) Đki Yarım Dizi (Silsile) Açı Ölçme Yöntemi:
☯ Bu açı ölçme yönteminde birinci dizinin ilk yarımı herhangi bir başlangıç doğrultusu ile başlar ve tam
dizi açı ölçüsünün birinci yarımına (I. durumuna) benzer şekilde saat ibresi yönünde son noktaya kadar
olan bütün doğrultular ölçülür.
☯ Alet ikinci duruma alınır, birinci ölçümün etkisinde kalmamak için başlangıç doğrultusu birkaç
grad(gon) kaydırılır. Tekrar birinci noktadan başlanarak saat ibresi yönünde son noktaya kadar olan
bütün doğrultular ölçülür. Böylece iki yarım dizi (=1 tam dizi) yatay açı ölçümü gerçekleştirilmiş
demektir. Benzer şekilde yarım dizi ölçü sayıları artırılarak hesaplanan doğrultu ve açıların güvenirlikleri
artırılabilir.
☯ Bu ölçme yöntemi sonunda; aletin yatay-düşey kolimasyon arındırılmış ya da azaltılmış olur.
1
Uygulama 2: Bir önceki uygulamanın şekline göre
(DN: A ve BN: 1, 2 ve 3 ) dört yarım (iki tam) dizi yatay
açı ölçüsü ve hesabı.
r1
A
α
a) Yatay Açı Ölçme Yöntemleri:
a.1) Bir Tam Dizi (Silsile) Açı Ölçme Yöntemi:
☯ Bu açı ölçme yönteminde kaç dizi gözlem yapılacak ise başlangıç doğrultuları 200g/n (n:dizi sayısı)
kadar kaydırılır. Örneğin 5 dizi yapılacak olan bir açı ölçüsünde 200g/5=40g her bir dizi başlangıçları
arsındaki fark yaklaşık 40g olmalıdır. Başlangıç doğrultuları ~0.__ , ~40.__ , ~80.__ , ~120.__ , ~160.__
şeklinde alınır. Bu seçimin hatası bölümleme hatasını azaltmak ve bir önceki açı okumalarından
etkilenmemek için yapılır.
☯ Alet birinci doğrultuya yönlendirilir. Saat ibresi yönünde ikinci, üçüncü ve sonuncu noktalara doğrultu
okumaları yapılır. Alet ikinci duruma alınarak; son noktadan saat ibresinin tersi yönünde hareket edilerek
birinci noktaya ulaşılır. Böylece bir tam dizi tamamlanmış olur. 5 dizi ölçülecek is bu işlem beş kez aynı
şekilde tekrarlanır.
☯ Bu ölçme yöntemi sonunda; aletin yatay-düşey kolimasyon, bölümleme ve sürüklenme hatalarının
etkileri ölçülerden arındırılmış ya da azaltılmış olur.
15 / 60
r3
α=r2−r1=42.0811g
β=r3−r2=64.0756g
β
r2
2
3
4 yarım (= 2 tam dizi) yatay açı ölçüsü ve hesabı tablosu.
Dizi
No
DN
BN
1
A
1
2
3
2
A
1
2
3
Doğrultu (g)
I. Durum II.Durum
0.2573 200.2585
42.3368 242.3400
106.4124 306.4147
32
65
20.6885 220.6891
62.7680 262.7700
126.8435 326.8462
00
53
Sıfıra Đndirgeme
I.Durum II.Durum
0.0000
0.0000
42.0795
42.0815
106.1551 106.1562
46
77
0.0000
0.0000
42.0795
42.0809
106.1550 106.1571
45
80
(I+II)
2
0.0000
42.0805
106.1557
62
0.0000
41.0802
106.1561
63
Ortalama
(g)
0.0000
41.0804
106.1559
63
16 / 60
O.KURT
O.KURT
b)Düşey Açı Ölçüsü Hesabı:
2.3. Yükseklik Kavramı ve Yüksekliklerin Ölçülmesi
Düşey açılar; ister elektronik ister mekanik olsun teodolitlerin düşey açı dairelerinden okunur. Teodolitten
kaynaklanan ve düşey açılara doğrudan etki yapan en önemli hata kaynağı gösterge hatasıdır.
Jeodezide kullanılan yükseklikler, referans sitemleri ve bunların arasındaki ilişkiler Şekil-12’de
gösterilmiştir.
Gösterge Hatası ve Giderilmesi:
Đndeks hatası aletin düşey açı dairesinin 0’nın aletin asal ekseniyle çakışmamasından kaynaklanır. Bu hatayı
gidermek için iki durumda açı ölçüsü yapılır. Đndeks hatası olmayan bir alette her iki durumda ölçülen
açıların toplamı 400g olmalıdır. Düşey açı ölçebilen her tür alette farklı büyüklükte olmak üzere bu hataya
rastlanır. Aynı noktaya her iki durumda ölçülen açıların toplamı 400g dan farkının yarısı indeks hatasının
ölçü hata sınırları içerisindeki değerini verir (Şekil-11).
0
300g
g
0
H
h
N
g,i
Ortometrik yükseklik (Geoit’den olan yükseklik)
Elipsoit yüksekliği (Referans Elipsoidinden olan yükseklik)
Geoit yükseklikleri (ondilasyonları, dalgalanmaları)
Geri ve ileri okumalar
H=h–N
Jeodezi biliminde yükseklik bilgileri üç şekilde belirlenir ve bu yükseklik ölçüleri incelikleri ile birlikte
aşağıda verilmiştir.
g
ZII+εε
ZII
ZI+εε
ZI
( ±1mm ~ ±1cm )
( ±1cm ~ ±1dm )
( ±1m ~ ±3m )
☯ Geometrik nivelman
☯ Trigonometrik nivelman
☯ Barometrik nivelman
300g
100g
100g
Nivelman düzlemi
g
200g
200g
Yeryüzü
∆H
Şekil 11. Düşey açı gösterge hatası (εε).
ZI ve ZII
ZI+εε ve ZII+εε
HA
Ölçülen I. ve II. durum düşey açıları.
Đndeks hatası giderilmiş I. ve II. durum düşey açıları.
Geoit
Şekilden (ZI+εε)+(ZII+εε)=400g olduğu kolayca görülmektedir. Ölçülen büyüklükler eşitliğin bir tarafına
toplanır ve eşitlik düzenlenirse indeks hatası aşağıdaki bağıntı ile hesaplanır.
g
ε=
400 − ( Z I + Z II )
2
i
A
B
HB
hA
NA
hB
NB
Referans
Elipsoidi
Şekil 12. Ortometrik ( Hk ), elipsoit ( hk ), geoit ( Nk ) yükseklikleri ( k = A, B ) ve ölçülebilen büyüklük ( ∆H=g −i ).
Düşey açı indeks hatası
Uygulama 3: Đki tam dizi düşey açı ölçüsü ve hesabı.
Noktalar arası yükseklik farkı nivelman düzleminden yararlanarak aşağıdaki gibi ölçülür. Nokta
yükseklikleri ise yüksekliği bilinen noktalardan ve ölçülen yükseklik farklarından yararlanarak hesaplanır.
Z
∆H = HB−HA = g −i
HB = HA + ∆H
A
Tam dizi düşey açı ölçü ve hesabı tablosu.
Dizi
No
BN
Aletin
Durumu
ZI (g)
ZII(g)
DN
1
A
B
I
II
110.230
289.880
400.110
2
A
B
I
II
110.300
289.850
400.150
Nivelman düzlemi
Geometrik nivelmanda
Trigonometrik nivelmanda
B
ε(g)
−0.055
−0.055
−0.110
−0.075
−0.075
−0.150
ZI+εε (g)
ZII+εε (g)
Ortalama
Z(g)
110.175
289.825
400.000
110.200
289.800
400.000
: HA + g = HB + i
: g ve i doğrudan ölçülür.
: g = a + S cotg Z = a + E cos Z hesaplanır ve i doğrudan ölçülür.
110.255
289.775
400.000
17 / 60
18 / 60
O.KURT
O.KURT
Tablo 2. Yan nokta hesabı.
3. Yatay Konum Bilgilerinin Elde Edilmesi
ϕ, λ : Referans elipsoidi üzerindeki koordinatlar,
x, y : Projeksiyon (harita) düzlemindeki koordinatlar. Geçerli konum bilgileri olan bu bilgiler dilim numarası
ile kullanılır. Dilim numarası dilim orta meridyeni ile anılır.
UTM projeksiyon koordinatları 3 ve 6 derecelik dilimlere ayrılarak gerçekleştirilir.
☯ Kocaeli’nin λ0=3o lik dilim orta meridyeni değeri 30o (Mühendislik projelerinde).
☯ Kocaeli’nin λ0=6o lik dilim orta meridyeni değeri 27o (1/25000 ölçekli haritalarda).
Çözüm
Ölçü yönünün sağdaki noktalar için
y1 = yA + s1 sin(AB) + h1 cos(AB)
x1 = xA + s1 cos(AB) − h1 sin(AB)
yi = yA + sin(AB) si + cos(AB) hi
xi = xA + cos(AB) si − sin(AB) hi
y − yA
x − xA
AB
AB
α=sin(AB)= B
k=
β=cos(AB)= B
sB
sB
AB
AB
AFĐN : Verilen koordinatlara göre sadece dik ayaklarını düzelten yan nokta hesabı
x − xA
y − yA
x − xA
y − yA
a=kα= B
b=β= B
c=kα= B
d=β= B
sB
sB
AB
AB
yi = yA + a si + b hi
yi = yA + a si + b (−hi)
xi = xA + c si − d hi
xi = xA + c si − d (−hi)
BENZERLĐK:Verilen koordinatlara göre dik ayak ve dik boylarını düzelten yan nokta hesabı
y − yA
x − xA
a=kα= B
b=kβ= B
sB
sB
k=
3.1. Yatay Konum Bilgileri arasındaki dönüşümler:
Dilim orta meridyenin boylamı (λ0), referans elipsoit parametreleri (a,b), jeodezik enlem, boylam (ϕ, λ) ve
projekisyon koordinatları (x,y) olmak üzere; yatay konum bilgileri arasındaki dönüşümler Giriş bölümünde
verilen bağıntılarla sağlanır.
ϕ, λ ) ↔ ( λ0, a,b, x, y )
Noktalar arası yatay ilişkiler yatay uzunluk ve yatay açı ölçüleri ile gerçekleştirilir.
xi = xA + b si − a hi
3.2. Yan Nokta (Prizmatik Alım) Hesabı :
Verilenler
(yA, xA)
(yB, xB)
A Noktasının koordinatları
B Noktasının koordinatları
Ölçülenler
si
hi
Dik ayak uzunluğu
Dik boy uzunluğu (gidiş yönünün sol tarafı için (−h) alınır
y2
Tablo 3. Prizmatik (dik ya da ortogonal) alımda yada yan nokta hesabında BENZERLĐK hesap tablosu.
a =(yB−yA)/sB
NN
si (m)
A
0.00
B
sB
1
s1
2
s2
L
L
n
sn
2
sB
h2
h1 cos(AB)
(AB)
h1
b= 0.3810
d= 0.9245
40.60
18.20
35.00
11.10
NN si (m) hi (m) yi (m) xi (m)
A
0.00
0.00 16.00 15.43
B
0.00 70.50 38.30
60.00
1
15.00
−8.90 26.48 29.38
2
11.10 39.75 13.21
21.10
3
40.60 −18.20 46.62 47.73
(AB)
1
A
x1
xA
yA
60.00
60.03m
a= 0.9250
c= 0.3812
h1 sin(AB)
s1 cos(AB)
s2 cos(AB)
3
AB=
s1
0.00
B
s2
s2 sin(AB)
xi = xA+b si−a hi
(m)
xa
xb
x1
x2
L
xn
xi = xA + c si - d hi
AFĐN:
(AB)
h2 cos(AB)
s1 sin(AB)
b=(xB−xA)/sB yi = yA+a si +b hi
hi (m)
(m)
0.00
ya
0.00
yb
h1
y1
h2
y2
L
L
hn
yn
Uygulama 4: A ve B nokta koordinatları, yanda verilen ölçü krokisindeki dik ayak (si) ve dik boy (hi)
ölçülerinden yararlanarak 1, 2, 3 nolu noktaların koordinatlarını AFĐN ve BENZERLĐK’le göre hesaplayınız.
B
h2 sin(AB)
x2
yi = yA + a si + b (−hi)
xi = xA + b si − a (−hi)
5.60
( λ0, a,b,
Ölçü yönünün solundaki noktalar için
y2 = yA + s2 sin(AB) − h2 cos(AB)
x2 = xA + s2 cos(AB) + h2 sin(AB)
yi = yA + sin(AB) si + cos(AB) (−
−hi)
−hi)
xi = xA + cos(AB) si − sin(AB) (−
21.10
2
1
15.00
8.90
y1
A
0.00
Şekil 13.Yan nokta hesabı.
19 / 60
20 / 60
O.KURT
BENZERLĐK: yi = yA + a * si + b * hi
xi = xA + b * si - a * hi
AB= 60.03
a= 0.9083 b= 0.3812
NN si (m) hi (m) yi (m) xi (m)
A
0.00 16.00 15.43
0.00
B
60.00
0.00 70.50 38.30
1
15.00
−8.90 26.23 29.23
2
11.10 39.40 13.39
21.10
3
40.60 −18.20 46.94 47.44
NN
A
B
1
2
3
hi (m)
yi (m)
2050.23
1910.96
166.67
B
99.70
3
Verilenler
(yA, xA)
(yB, xB)
Şekil-14
A Noktasının koordinatları
B Noktasının koordinatları
Ölçülenler
ri
ei
Zi
Şekil-14
Yatay doğrultular
Eğik uzunluklar
Düşey açılar
B
ds= AB −sB =
b=
si (m)
O.KURT
3.2. Kutupsal Alım
Ödev 1: A ve B nokta koordinatları, yanda verilen ölçü krokisindeki
dik ayak (si) ve dik boy (hi) ölçülerinden yararlanarak 1, 2, 3 nolu
noktaların koordinatlarını benzerliğe göre hesaplayınız.
AB=
a =
2
xi (m)
1110.75
1202.17
19.53
62.27
(AB)
89.95
21.43
αn
α2 r0
α1
1
rn
A
Sn
1
r1
A
0.00
S0
S1
r2
S2
n
2
Şekil 14. Kutupsal alım ölçüsü.
Çözüm
αi=ri−r0
(Ai)=αi+(AB)
Si=ei sinZi
yi=yA+Sisin(Ai)
xi=xA+Sicos(Ai)
Tablo-4
Başlangıçtan olan yatay açılar
A noktasından i noktasına açıklık açısı
Yatay uzunluklar
i noktasının yi koordinatı
i noktasının xi koordinatı
Tablo 4. Kutupsal alımda hesap tablosu.
DN BN ri [g] αi [g] (Ai) [g] Si [m] yi [m] xi [m]
r0
(AB)
S0
A
B
yB
xB
α0
r1
1
y1
x1
(A1)
S1
α1
r2
(A2)
S2
2
y2
x2
α2
L
L
L
L
L
L
L
rn
(An)
Sn
n
yn
xn
αn
21 / 60
22 / 60
O.KURT
Uygulama 5: Aşağıda verilenlerden yararlanarak 1 ve 2 noktaları arasındaki uzunluğu (x) bulunuz. AB ve x
kenarı paralel olup olmadığını kontrol ediniz.
1. Yol: 1A2 üçgeninde kosinüs teoreminden yararlanarak
çözüm.
αi (g)
41.50
56.70
α = α2−α1 = 15.20g
Si (m)
129.46
73.16
4.1. Kullanılan Alet-Ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri
a) Geometrik Nivelman (±1mm ~ ±1cm): Nivo-mira donanımı kullanılarak noktalar arası ortometrik
yükseklik farkları elde edilir. Duyarlı yükseklik bilgisine ihtiyaç duyulan mühendislik projelerinde kullanılır.
B
b) Trigonometrik Nivelman (±1cm ~ ±1dm): Açı ve uzunluk ölçülerinden yararlanarak trigonometrik
bağıntılarla elipsoit yükseklik farkları elde edilir. Bu yöntemin, genellikle duyarlığının (inceliğinin) yeterli
görüldüğü mühendislik projelerinde ya da geometrik nivelman ile erişilemeyen dağlık bölgelerde …vb.
kullanılır.
1
α2
α1
bağıntılarından hesaplanır.
S1
b) Barometrik Nivelman (±1m ~ ±3m): Yükseklik ile basıncın düşmesi ilkesinden yararlanılarak noktaların
denizden olan yükseklikleri hesaplanır. Genellikle çok kaba yükseklik bilgisi elde etme işlemlerinde
kullanılır. Genellikle proje hazırlık aşamalarında kaba yükseklik bilgisi elde etmek için kullanılır.
x=?
S2
A
DN BN αi(g) (Ai)(g) Si(m) yi(m) xi(m)
A
B
0.00
0.00
──
──
──
1
41.50
41.50 129.46 78.54 102.91
2
56.70
56.70
73.16 56.88
46.01
4. Düşey Konum Bilgilerinin Elde Edilmesi
Noktadan noktaya yükseklik taşıma işlemine nivelman denir. Uygulamada üç farklı yükseklik taşıma
yöntemi kullanılır. Bu ölçme yöntemleri duyarlıkları ile birlikte aşağıda verilmiştir.
x
yi = Si sinαi
xi = Si cosαi
O.KURT
Jeodezide kullanılan yükseklikler, referans sitemleri ve bunların arasındaki ilişkiler Şekil-12’de
gösterilmiştir.
x = S12 + S12 − 2S1S 2 cos α =60.89m
2. Yol: xA=xB=0 ve AB doğrusu x ekseni kabul edilirse, αi
açıları açıklık açıları olur. 1 ve 2 nolu noktaların
koordinatları;
2
4.2. Geometrik Nivelman:
Geometrik nivelman işlemi nivolarla gerçekleştirilir. Nivoların genel yapısı ve eksenleri aşağıdaki Şekil …
de, gösterilmiştir.
 y − y1 
g
12 = x = ( y 2 − y1 ) 2 + ( x 2 − x 1 ) 2 = 60.88m (21) = arctg  2
 = 23.1558
 x 2 − x1 
(21) ≠ (AB) olduğundan x kenarı AB kenarına paralel değildir.
D
Uygulama 6: Verilenlerden yararlanarak 1 ve 2 noktaları arasındaki uzunluğu hesaplayınız.
Y
Verilenler:
NN
yi (m)
xi (m)
A
0.00
0.00
B 100.00
0.00
C
0.00 180.00
A
D'
Y'
K
α2
K’
C
Si (m)
DN BN
αi (g)
B
A
12.13
-1
67.68 72.36
C
A 213.64
-2 194.21 72.36
Şekil 15. Bir nivonun genel yapısı ve eksenleri
(AA’:Asal eksen, YY’:Yöneltme ekseni, DD’:Düzeç ekseni, KK’:Küresel Düzeç ekseni)
S2
1
2
Eksen Koşulları:
x=?
S1
1. AA’ ⊥ DD’
2. AA’ ⊥ YY’
3. AA’ // KK’
4. Kıllar şebekesinin yatay kılı nivonun yatay düzlemine paralel olmalı.
α1
A
Đstenen:
x=?
B
Nivolarda yöneltme ekseninin (YY’) asal eksene (AA’) dikliğini sağlayan düzeneğe kompansatör denir. Bu
tür nivolara kompansatörlü nivolar denir ve bu nivolarda silindirik düzeç bulunmaz. Uygulamada bu tür
nivolar yaygın olarak kulanılır.
Çözüm:
DN BN
Si (m)
αi (g)
αi (g)
B
A
12.13
-0.00
1
67.68 72.36
55.25
C
A 213.64
-0.00
2 194.21 72.36 380.57
A’
Semt (g) yi (m)
xi (m)
300.00
--355.35 53.22
55.21
200.00
--180.57 19.71 118.72
Tarihsel gelişim açısından nivo çeşitleri aşağıdaki gibi sıralanabilir.
☯
☯
☯
☯
12 = x = ( y 2 − y1 ) 2 + ( x 2 − x 1 ) 2 = 71.81m
23 / 60
Sabit dürbünlü nivolar
Fenklajlı nivolar
Tersinir Nivolar
Kompasatörlü nivolar.
24 / 60
O.KURT
Geometrik Nivelman Ölçü ve Hesabı:
2
i1 g2
o2
Trigonometrik yükseklik ölçüsü; düşey açı, yatay yada eğik uzunluklar ölçülerek yapılır. Trigonometrik
yükseklik ölçüsü bağıntıları; düşey açı/yatay uzaklık ve düşey açı/eğik uzunluk ölçüleri için ayrı arı
çıkarılmıştır. Trigonometrik nivelman, trigonometrik yükseklik ölçüsünün ardışık yapılan halidir.
i2
E sinZ
g3
E cosZ
1
O.KURT
4.3. Trigonometrik Nivelman:
Geometrik nivelmanın genel yapısı, ölçüsü, hesabı ve hesap kontrolleri aşağıdaki Şekil-16 ve Tablo-5’de
gösterilmiştir.
g1
i3
3
B
C
A
D
i
Z
E
B
E
Şekil 16. Geometrik nivelman.
∆H
a
Tablo-5 Nivelman ölçü ve hesap çizelgesi.
A
S
NĐVELMAN ÖLÇÜSÜ VE HESABI
Şehir veya Kasaba Adı: Kocaeli / Hereke
Đstasyon
No.
Ara
Uzaklıklar
G
Sayfa No : 11
Okumalar
(mm)
O
i1
o2
g3
i2
i3
E
Σg
−Σi
∆HAE
Kot
(m)
∆HAB=g1-i1
∆HBC=g2-o2
∆HBD=g2-i2
∆HCD=o2-i2
∆HDE=g3-i3
Σ∆H = ∆HAE
HA
HB=HA+∆HAB
HC=HB+∆HBC
HD=HB+∆HBD
HD=HC+∆HCD
HE=HD+∆HDE
HE
Đ
g1
g2
A
B
C
D
G−
−Đ
(mm)
±
Σo
Σi
HA
Şekil 17. Trigonometrik yükseklik ölçüsü.
Aşağıdaki alt başlıklarda elde edilen bağıntıların son terimleri dışındakiler Şekil-17’den kolayca türetilebilir.
Son terim; yerin küreselliğinin ve refraksyon (ışığın atmosferde kırılması ve düz bir yol izlemesi) hatasının
toplam etkisi bağıntılara doğrudan eklenmiştir. Ayrıntılı bilgi için kaynaklar bölümünde verilen Ölçme
Bilgisi kitaplarından yararlanılabilir.
☯ Düşey açı ve yatay mesafe (Teodolit ve ÇŞM) :
−HA
∆HAE
Kısa kenarlı noktalar arasında kullanılır (0-500m), 300m’den sonra küresellik ve refraksiyon etkisi kesinlikle
göz önünde bulundurulmalıdır. Yatay uzaklık A ve B noktalarının yatay koordinatlarından da hesaplanabilir.
Uygulama 6: 155.710m kotlu Rs noktasından başlayan ve mira okuma değerleri aşağıda verilen geometrik
nivelman değerlerini nivelman karnesine işleyiniz ve gerekli hesaplamayı (kotlamayı) yapınız.
1645
1
3650
0960
Rs
2
2743
2735
3
3175
3520
A
Çözüm:
Ara
Uzaklıklar
4
Bu bağıntıda geçen R ölçme bölgesine ait Gauss eğrilik yarıçapı ve k refraksyon katsayısıdır. Ülkemizde
refraksyon katsayısı k = 1/8 = 0.125 ve Gauss eğrilik yarıçapı yerine R=6370km alınabilir.
0065
☯ (Düşey açı ve eğik uzunluk (Elektronik Takeometre):
D
B
Đstasyon
No.
Rs
A
B
C
D
1− k 2
S
2R
S
1− k 2
−i+
S
= HA + a +
tan Z
2R
HB = HA + a + S cotgZ − i +
Okumalar [mm]
G
O
Đ
1645
0960
3650
2735
2743
3520
3175
0065
8860
9633
−9633
−0733
C
G−
−Đ
[m]
−2.005
−1.783
−0.440
3.455
-0.773
HB = HA + a + E cosZ − i +
Kot
[m]
155 710
153 705
151 922
151 482
154 937
154 937
−155 710
-0 773
1− k
(E sinZ) 2
2R
Uygulama 8: Yüksekliği bilinen bir A noktasından B noktasına yükseklik taşımak amacı ile aşağıdaki düşey
açı gözlemleri gerçekleştirilmiş, bu ölçüler alet ve işaret yükseklikleri ile birlikte aşağıdaki tabloda
sunulmuştur. Yatay konum bilgileri ve A noktasının yüksekliği de verildiğine göre;
Verilenler
25 / 60
Ölçülenler
NN
yi (m)
xi (m)
Hi(m)
A
B
13.45 64.256
16.12
?
370.72 437.16
ZI (g)
ZII(g)
A
B
99.2246
(a=1.55) (i=0.00) 300.7610
DN
BN
26 / 60
O.KURT
Đndeks hatasını (εε) hesaplayarak, indeks hatası giderilmiş düşey açıları,
Refraksyon ve küresellik düzeltmelerinin toplam etkisini (k=0.125 ve R=6370km alınız),
B noktasının yüksekliğini,
Đndeks hatası, refraksyon ve küresellik etkileri göz ardı edilseydi B noktasının yüksekliğinde yapılacak
olan hata miktarını,
e) A ve B noktaları arsındaki uzay uzunluğu,
hesaplayınız.
a)
b)
c)
d)
O.KURT
4.5. Yüzey Nivelmanı
Genellikle hacim hesapları ya da plankote (kotlu plan) yapımı sırasında araziye dağılmış olan noktaların
yüksekliklerinin ölçülmesi ve hesaplanması işlemine yüzey nivelmanı denir (Şekil-18). Genellikle geometrik
nivelman yöntemi kullanılan bu yöntem, diğer yükseklik belirleme yöntemleriyle de gerçekleştirilebilir. Alet
kurulduktan sonra yüksekliği bilinen bir noktaya (Rs) bakılarak geri okuma (g) yapılır. Rs noktasının
yüksekliğine geri okuması eklenerek nivelman düzlemi yüksekliği (gözleme düzlemi yüksekliği, alet
yüksekliği) bulunur (Tablo-6).
Çözüm:
Tablo 6. Yüzey nivelman ölçüsü ve hesap tablosu.
S = ( y B − y A ) 2 + ( x B − x A ) 2 =552.51m
ZI (g)
ZI +εε(g)
DN BN
ε(g)
ZII(g)
ZII+εε(g)
99.2318
99.2246 0.0072
A
B
300.7610 0.0072 300.7682
400.000
399.9856 0.0144
200 g
~ 63.6620g
π
S
E=
= 552.55m
sin Z
0.0072
ε
δ1 = g E =
552.55 = −0.06m
63.6620
ρ
E
99.2318
99.2246
ε
Okumalar
Đstasyon
(mm)
Ara
No.
Uzaklıklar
G
O
Đ
g1
Rs
δ1
B
D
∆H
a
b)
c)
Kot
(m)
HRs
(Göz.Düz.)
HA=HGD−o1
A
o1
B
o2
HB=HGD−o2
C
o3
HC=HGD−o3
HD=HGD−i1
i1
D
ρg =
Σg
A
Sayfa No : …
G−
−Đ
(mm)
±
HGD=HRs+g1
Σ(o+i)
4*HGD
S
Đndeks hatasının yüksekliğe etkisi.
S
− i + δ2 = 64.25+1.55+ 6.67−0.00 + 0.02 = 72.49m
tan( Z + ε)
S
HB’ = HA + a +
− i + δ2 = 64.25+1.55+6.73−0.00 + 0.02 = 72.55m
tan( Z)
δ1 = HB − HB’ = −0.06m
o2
HB = HA + a +
d)
dHB = δ1 + δ2 = −0.06m + 0.02m = 0.04m
e)
D= ( y B − y A ) 2 + ( x B − x A ) 2 + (H B − H A ) 2 = S 2 + (H B − H A ) 2 =552.57m
ΣH
4*HGD−Σ(o+i)
Diğer noktaların yükseklikleri bu noktalara yapılan orta (ara) (o) okumalar ile belirlenir. Alet kaldırılmadan
önce okunan son okuma ileri (i) okuma olarak kaydedilir. Son okuma bilinen bir noktaya bakılarak yapılırsa
nivelman düzleminin yüksekliği tekrar belirlenerek kontrolü yapılmış olur.
0.875
0.875
δ2 =
S2 =
(0.55251km)*(552.51m) = 0.02m
12740km
12740km
o3
B
g1
C
o1
Rs
A
HRs
xA
yA
4.4. Barometrik Yükseklik Ölçüsü:
Bir noktanın denizden yüksekliği (H); barometre ile mmHg biriminde ölçülen basınç (B) ve Co cinsinden
ölçülen ısı (t) değerine göre düzenlenmiş olan aşağıdaki bağıntı ile metre birimli olarak hesaplanır.
HA
HRs+g1
a)
400 − ( Z I + Z II )
= 0.0072g
ε=
2
i1
D
Referans Düzlemi
Şekil 18. Yüzey nivelman ölçüsü.
H = 18464 (1 + 0.0037 t ) (log760 − logB ) metre
Uygulama 9: 21 oC sıcaklıkta 748.5 mmHg basınç değeri okunan noktanın yüksekliğini hesaplayınız.
H = 18464*(1 + 0.0037*21 ) (log760 − log748.5 ) = 138m
27 / 60
28 / 60
O.KURT
Uygulama: Yukarıdaki şekilde verilen yüzey nivelmanın da aşağıdaki okumalar yapılmıştır. A, B, C ve D
noktalarının yüksekliklerini hesaplayınız.
O.KURT
5. Alan Hesapları
Düzgün olmayan şekillerin alanları, alan bağıntıları bilinen düzgün şekillere bölünerek gerçekleştirilir.
Sayfa No : …
Okumalar
(mm)
Ara
Đstasyon
No. Uzaklıklar
G
O
Đ
3126
Rs
A
B
C
D
2986
2533
1906
2342
5.1 Düzgün Geometrik Şekillerin Alanları
G−
−Đ
(mm)
±
Kot
(m)
67.501
(Göz.Düz.)
64.375
64.515
Herhangi bir üçgen için alan hesaplama bağıntılarının yaygın olarak kullanılanlarının birkaç tanesi aşağıdaki
tabloda verilmiştir. Daha ayrıntılı bilgi için (Şerbetçi ve Atasoy, 1994) kaynağından yararlanılabilir.
64.968
65.595
65.159
Herhangi bir üçgenin tanımlayabilmek için biri kenar olmak koşulu ile en az üç elemana ihtiyaç vardır. Özel
üçgenler herhangi üçgenin koşullu özel durumları olduğundan, koşul sayısı kadar bilinmeyen azalır. Örneğin
ikizkenar ve dik üçgende bilinmeyen sayısı biri kenar olmak koşulu ile iki, eşkenar üçgende ise bilinmeyen
sayısı bir kenardır. Herhangi bir üçgen için verilen bağıntılar özel durumlar içinde geçerlidir.
a) Herhangi Bir Üçgenin Alanı
HGD=4*67.501 ΣH=260.237
Σg= 3126 Σ(o+i)= 9767 4*H
260.237
4*H
HGD −Σ(o+i)=
α
b
γ
R
2533
r
a
1906
ha
c
β
B
C
3126
Rs
Şekil 19. Herhangi bir üçgenin, içine ve dışına çizilebilen çemberler.
2986
2342
Tablo 7. Herhangi bir üçgende alan bağıntıları
Verilenler
A
D
Alan (F)
1
a ha
2
Verilenler
b, hb
1
b hb
2
b, α, γ
b2
2 (cot α + cot γ )
c, hc
1
c, hc
2
c, α, β
c2
2 (cot α + cot β)
a, b, c, R
abc
4R
α, β, γ, R
2 R2 sinα sinβ sinγ
a, ha
a, b, γ
a, c, β
b, c, α
1
a b sinγ
2
1
a c sinβ
2
1
b c sinα
2
a, β, γ
a, b, c
Heron Bağıntısı
Alan (F)
a2
2 (cot β + cot γ )
u ( u − a ) ( u − b) ( u − c)
2u = a + b + c
b) Herhangi Bir Dörtgenin Alanı
Herhangi bir dörgen için alan hesaplama bağıntılarının yaygın olarak kullanılanlarının birkaç tanesi
aşağıdaki tabloda verilmiştir. Daha ayrıntılı bilgi için (Şerbetçi ve Atasoy, 1994) kaynağından
yararlanılabilir.
29 / 60
30 / 60
O.KURT
O.KURT
5.2 Çokgenlerde Alan Hesapları:
c
δ
Düzgün olmayan şekillerin alanları, alan bağıntıları bilinen düzgün şekillere bölünerek gerçekleştirilir.
Eğrisel alanlar, bu alanı iyi tanımlayan düzgün şekillere bölünerek hesaplanır.
γ
m
n
ω
b
d
a) Düzgün Şekillere Bölerek Alan Hesapları:
β
Uygulama 10: Aşağıdaki prizmatik alım krokisindeki ABCDEFGH çokgeninin alanı, prizmatik alım
ölçülerine uygun olan yamuk ve üçgen alanlarının toplamaları ya da farkları şeklinde elde edilir.
α
a
Verilenler: Prizmatik ölçü krokisi.
Şekil 20. Herhangi bir dörtgende ölçülebilen büyüklükler.
100.00
Tablo 8. Herhangi bir dörtgende alan bağıntıları
Verilenler
C
m, n, ω
Alan (F)
1
m n sinω
2
a, b, c, d, ω
1 2 2 2 2
( b +d −a −c ) tanω
4
a, b, d, α, β
1
{ a b sinα + a d sinβ − b d sin(α+β) }
2
1 
a2
c2

+


2  cot α + cot β cot γ + cot δ 
a, c, α, β, γ, δ
76.40
34.00
B
A
F=πR
H
α
E
35.00
45.00
F
37.60
αo
400
o
π R2 =
11.00
14.90
22.00
G
0.00
α açısına ile oluşan daire diliminin alanı.
400
61.50
20.30
R
π R2=
11.50
X=13.03
2
g
Y=81.00
D
43.20
53.70
R yarıçaplı dairenin alanı:
αg
89.00
56.70
c) Dairenin Alanı
Fα =
20.00
)
α 2
R
2
Çözüm:
20.3/22 = (3.9-x)/x x = 2.03 11.00+2.03 = 13.03m
x/(11.6-x) = 11.5/20 x = 4.6 74.4+4.6 = 81.00m
ya da
X = ( hG*sH + hH*sG )/( hG + hH ) = 13.03 m
Y = ( hD*sC + hC*sD )/( hC + hD ) = 81.00 m
2F= 20.3*3.90+(20.3+53.7)*22.7+(53.7+34)*23.9+(34+20)*27.5−8.00*20
+4.34*11.5+(11.5+35)*19.70+(35+45)*13.5+(45+22)*32.2−2.03*22
2F =
F =
31 / 60
9300.48 m2
4650.28 m2
32 / 60
O.KURT
b) Koordinatlarla Alan Hesabı:
Alanı bulunacak şekil, düzgün şekillerin alanlarından yararlanarak belirlenir. Düzgün şekillerin alan
bağıntıları koordinatlarla ilişkilendirilerek, düzenlenirse Gauss ve Cross yöntemlerinin alan bağıntılarına
ulaşılır.
Gauss Yöntemi: Bu yöntemde koordinat sistemindeki noktalardan oluşan kapalı poligonlardan oluşan alan
yamuk alanlarının toplamı ve farkı şeklinde düşünülerek aşağıdaki bağıntılar uygulanır (Şekil-21).
O.KURT
Uygulama : Aşağıdaki dikdörtgenin alanını
Gauss ve Cross yöntemine göre hesaplayınız.
B
2
2
F
3
y2
1
y1
x2 −x1
y3
NN
x
y
NN
x
y
1
x1
y1
1
x1
y1
2
x2
y2
2
x2
y2
3
x3
y3
3
x3
y3
1
x1
y1
1
x1
y1
2
x2
y2
2
x2
x2
a) Gauss Yöntemi ile Alan Hesabı
2F = 4(10-5)+4(10-5)+2(5-10)+2(5-10)
= 20 +20 -10 −10 = 20m2
y2
x3
2F = y1(x2−x3) + y2(x3−x1) + y3(x1−x2) = x1(y2−y3) + x2(y3−y1) + x3(y1−y2)
Cross Yöntemi: Gauss Alan Hesap bağıntıları uygun şekilde düzenlenirse Cross yöntemi ile alan hesabına
ulaşılır. Burada Cross yönteminin (ve Gauss yönteminin) başka bir yoldan elde edilişi gösterilecektir.
F
y1
3
C
1
x1
NN
x
y
1
x1
y1
2
x2
y2
3
x3
y3
1
x1
y1
D
10
NN
x
y
A
5
2
A
5
2
B
5
4
B
5
4
C
10
4
C
10
4
D
10
2
D
10
2
F = -10m
Eşitliğin sağ tarafı açılıp düzenlenirse aşağıdaki Gauss alan formülüne ulaşılır.
B
(10,2)
y
2
F = A(1, 2, x2, x1 ) + A(2, 3, x3, x2) − A(1, 3, x3, x1 ) =(y1+y2)(x2−x1)/2+(y2+y3)(x3−x2)/2−(y1+y3)(x3−x1)/2
2F =(y1+y2)(x2−x1) + (y2+y3)(x3−x2) − (y1+y3)(x3−x1)
2
(5,2)
A
x
2F = 5(4-2)+10(2-4)+10(2-4)+5(4-2)
= 10 -20 -20 +10 = −20m2
Şekil 21. Yamuk alanlarından yararlanarak Gauss Alan Hesabı.
A
(10,4)
NN
F = 10m2
x3 −x2
y2
(5,4)
5
x3 −x2
x1
C
4
A
5
2
A
5
2
B
5
4
B
5
4
b) Cross Yöntemi ile Alan Hesabı
2F = (5*4+5*4+10*2+10*2)-(2*5+4*10+4*10+2*5)
= (20 +20 +20 +20)-(10 +40 +40 +10)
-(100)
= (80)
= -20
F = -10m2
NN
x
y
A
5
2
B
5
4
C
10
4
D
10
2
A
5
2
Uygulama 11: Prizmatik ölçü krokisi ile alımı yapılan parselin alanını Cross yöntemine göre hesaplayınız.
NN
A
B
C
D
E
F
G
H
A
x3
Şekil 22. Dikdörtgen ve üçgen alanlarından yararlanarak Cross Alan Hesabı.
F = A(A,B,C,1) − A(A,2,1) − A(2,B,3) − A(1,3,C)
F =(y2−y1)(x3−x1) − (y2−y1)(x2−x1)/2 − (y2−y3)(x3−x2)/2 − (y3−y1)(x3−x1)/2
s[m]
37.60
61.50
89.00
76.40
56.70
43.20
11.00
14.90
37.60
h[m]
−53.70
−34.00
−20.00
11.50
35.00
45.00
22.00
−20.30
−53.70
Σyixi+1 = 3667.57 m2
Σxiyi+1 = -5632.98 m2
2F = Σyixi+1 + Σxiyi+1 = 9300.55 m2
F = 4650.28 m2
Eşitliğin sağ tarafı açılıp düzenlenirse aşağıdaki Cross alan formülüne ulaşılır.
2F = (y1 x2 + y2x3 + y3x1 ) −( x1y2 + x2y3 + x3y1 ) = | Σykxk+1 − Σxkyk+1|
Not: Gauss ve Cross yöntemleriyle alan hesaplanırken, koordinatların sıralanmasına dikkat edilmelidir. Bir
noktadan başlayarak herhangi bir yöne doğru alanı çevreleyen hiç bir noktayı atlamadan aynı noktanın da
düşülmelidir. Aynı nokta koordinatları tekrar yazılmalıdır.
33 / 60
Ödev 2: Prizmatik ölçü krokisi ile alımı yapılan parselin alanını Gauss yöntemine göre hesaplanması.
34 / 60
O.KURT
O.KURT
6. Hacim Hesapları
6.1. Plankote (Kotlu Plan) Çıkarılması
Dolgu yada yarma hacmini belirlemek için hesaplanması gereken noktaların yatay koordinatları herhangi bir
yöntemle belirlenir. Yükseklikler ile duyarlı çalışmalar için geometrik nivelman ile belirlenir. Yatay
koordinatlar ile taban alanı belirlenir. Noktaların hesaplanan yüksekliklerin ortalaması alınır. Yükseklik
ortalaması ile taban alanı çarpılarak referans yüksekliğe göre hacim belirlenmiş olur. Bu hesaplama biçimi
ortalama bir hacim değeri verir.
Uygulama hacim hesabında kullanılan en yaygın yöntemlerden biriside; genellikle 1*1m2 alanlardan oluşan
karelaj ağının köşe noktalarına yapılan yükseklik ölçmeler ile hacim hesaplama ilkesine dayanan plankote ya
da kotlu plan alım işlemidir.
C
C
B
A
E
E
D
A
B
D
G
F
HA
G
HA
H
xA
F
xA
H
yA
Referans Düzlemi
yA
Şekil 23. Arazinin uygun üçgenlere bölünmesi.
Burada dikkat edilmesi gereken seçilen noktaların arazinin karakteristik yapısını yeterince yansıtacak şekilde
seçilmelidir. Daha sonra noktalar arazinin topoğrafik yüzeyini en iyi şekilde yansıtacak biçimde üçgenlere
ayrılır (Şekil-23). Üçgenlerin taban alanları yatay konum bilgilerinden hesaplanır ve üçgeni oluşturan
noktaların yüksekliklerinin ortalamasının alınır. Tabanları üçgen olan prizmaların hacimleri ayrı ayrı üçgen
alanları ve yükseklik ortalamaları ile çarpılarak bulunur. Toplam hacim üçgen prizmaların toplamıdır.
Đki dolgu ya da iki kazı arasındaki hacim, farklı zamanlarda ölçülen ve belirli bir referansa göre yukarıdaki
şekilde hesaplanan iki hacmin farkı ile bulunur.
Uygulama 12: Şekildeki noktalara yüzey nivelmanı yapılmış ve yükseklikleri hesaplanarak aşağıdaki
tabloda prizmatik alım değerleri ile birlikte aşağıdaki tabloda verilmiştir. 50 referans kotuna göre oluşan
hacmi hesaplayınız.
Çözüm 1: Yaklaşık Çözüm.
h[m]
SN NN s[m]
1
A 37.60 −53.70
2
B 61.50 −34.00
3
C 89.00 −20.00
4
D 76.40
11.50
5
E 56.70
35.00
6
F 43.20
45.00
7
G 11.00
22.00
8
H 14.90 −20.30
Şekil 23. Plankote Çıkarılması.
Hacim hesabı taban alanı 1m2 olan dikdörtgen prizmaların hacimleri toplamı şeklinde gerçekleştirilir. Farklı
zamanda gerçekleştirilen iki plankote alımı ile yarma ya da dolgu hacimleri de fark alınarak bulunur (Şekil)
7. Üç Boyutlu Konum Bilgilerinin Elde Edilmesi
Konum Bilgileri Arasındaki Dönüşümler
H[m]
H-50[m]
55.000
5.000
54.120
4.120
55.346
5.346
53.416
3.416
56.000
6.000
51.900
1.900
55.640
5.640
52.000
2.000
Çözüm 2: Arazinin karakteristik özelliğine göre çözüm.
SN Üçgen Alanı[m2]
1
ABH
622.7250
2
BCD
521.3250
3
BDH
1162.2150
4
DEF
60.1250
5
DFH
1558.0050
6
FGH
725.8800
Toplam
4650.275
F =
Hort
Href
Hort
(X,Y,Z)WGS84 → (ϕ
ϕ,λ
λ) WGS84 → (x,y) WGS84 ve H=h WGS84-N WGS84
(x,y) WGS84 → (x,y) ED50
h WGS84 → HTUDKA
4650.28 m2
= 54.178 m
= 50.000 m
= 4.178
TUDKA: Türkiye Ulusal Düşey Konum Ağı
Hacim = F*Hort = 19428.87 m3
Hort[m]
3.7067
4.2940
3.1787
3.7720
2.4387
3.1800
7.1. Kullanılan Alet-Ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri
☯
☯
☯
☯
Hacim[m3]
2308.2550
2238.5700
3694.3330
226.7915
3799.5070
2308.2980
14575.7500
35 / 60
Yersel ölçülerle (yatay açı, düşey doğrultu ve eğik uzunluk ölçüleri yardımı ile)
GPS (Global Positioning System) → { (X,Y,Z)WGS84 ve (∆X, ∆Y, ∆Z)WGS84 }
SLR (Satelite Laser Ranging) → { (X,Y,Z)ITRF ve (∆X, ∆Y, ∆Z)ITRF }
VLBI (Very Long Base Interferometer) → { (X,Y,Z)ITRF ve (∆X, ∆Y, ∆Z)ITRF }
36 / 60
O.KURT
Ek 1. Trigonometri
S
a
b
b S sin α sin α
=
sin α =
tgα = =
S
S
a S cos α cos α
a Scoα cos α
1
S2 = a 2 + b 2
cot gα = =
=
=
b S sin α sin α tgα
cos α =
Aydın, Ö. (1978), Jeodezide Elektronik Uzunluk Ölçüsü ve Ölçme Aletleri, ĐDMMA.
Aydın, Ö. (1984), Ölçme Bilgisi I, YTÜ, MF, Đstanbul.
Banger, G. ve Şen, K. (1994), Sayısal Nivolar (Digital Levels), MMF, Fak. Yay. No: 1994/8, Trabzon,
1994.
Bonford, (), Geodesy
Hofmann-Wellenhof, B., Lichtenegger, H. And Collins, J. (1997), Global Positioning System, Theory
and Practice, Fourth Edition, ISBN 0-387-82477-4.
Irvine, W. (1988), Surveying for Construction, Third Edition, McGRAW-HILL Book Company, London.
Koç, Đ., (1998), Ölçme Bilgisi I, YTÜ, Đnşaat Fak., Đstanbul, 1998.
Leick, A. (1999), GPS Satellite Surveying Second Edition, ISBN 0-471-30626-6.
Orman, M., Özen, H. Ve Öksüzoğlu, H. (1978) Ölçme Bilgisi ( Topoğrafya), MEB, Devlet Kitapları,
Ankara, 1978.
Orhan KURT (2006) Aplikasyon, Ders Notları, KOÜ, Đhsaniye MYO, Kocaeli.
Özbenli, E. ve Tüdeş, T., (1986) Ölçme Bilgisi Pratik Jeodezi, KTÜ, MMF, Trabzon, 1986.
Rüeger, J.M., (1989), Electronic Distance Measurements, Third Totally Revised Edition, Springer-Werlag,
Newyork.
Seeber, G. (), Satellite Geodesy,
Songu, C., (1981), Ölçme Bilgisi, Cilt 2, Ankara, 1981.
Şen, K. (1995), Teodolit ve Nivolar Kullanımları ve Eksen Hatalarının Düzeltilmesi, Ders Notları, KTÜ,
MMF, Ders Notları No: 43, Trabzon.
Muzaffer ŞERBETÇĐ ve Veysel ATASOY (1994), Jeodezik Hesap, Đkinci Baskı, KTÜ, MMF, Genel
Yayın No:153, Fakülte Yayın No: 44, Trabzon.
User, F. (1986), Temel Fizik, Dalgalar, Geometrik ve Fizik Optik, Demsan Kitapçılık A.Ş., Đstabbul.
α+β
β =100g α+β
β =200g
sinα=cosβ sinα=sinβ
cosα=−cosβ
tgα=cotgβ tgα=−tgβ
cotgα=−cotgβ
sin(−α)=−sinα
cos(−α)=cosα
tgα
α
0g
sinα
α
1
α
300g
cos 2 α + sin 2 α = 1
100g
1
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β) = cos α cos β m sin α sin β
1
1
sin 2 α = (1 − cos 2α)
cos 2 α = (1 + cos 2α)
2
2
1 − cos 2α
1 + cos 2α
α
α
200g
sin =
cos =
2
2
2
2
α+β
α −β
α+β
α −β
sin α + sin β = 2 sin
cos
cos α + cos β = 2 cos
cos
2
2
2
2
α+β
α −β
α+β
α −β
sin α − sin β = 2 cos
sin
cos α − cos β = −2 sin
sin
2
2
2
2
Sinüs Teoremi
Kosinüs Teoremi
A
a2= b2+ c2−2bc cosα
a
b
c
α
=
=
= 2R
b2= a2+ c2−2ac cosβ
sin α sin β sin γ
c2= a2+ b2−2ab cosγ
b
c
h
I. Öklid Teoremi (α
α=π
π/2) II. Öklid Teoremi (α
α=π
π/2)
2
b =pa
h2 = p q
q=c cosβ
β β
γ p=b cosγγ
c2 = q a
B
C
a
Tanjant Teoremi
Projeksiyon Teoremi
(Neper Bağıntısı)
R
α + β 
tg 

a+b
2 
= 
a = b cosγ + c cosβ
a−b
α − β
tg 

 2 
Tales Bağıntısı
Çemberde Temel Aksiyomlar
A
AB
CD
Uzel, T. (), Açı Okumasında Çakıştırma Düzeni Açı Bölüm Hatalarının Konyrolu Modern Dürbünler, YTÜ,
FBE.
=
AE
CE
=
BE
α = 2β = 2γ
ϕ=100g
A
DE
C
D
Açı dönüşümleri
Grad Derece Radyan
=
=
π
200 g
180 o
200 g
180 o
g
o
ρ =
ρ =
π
π
γ
β
E
B
37 / 60
α
a=S cosα
α
b=S sinα
α
8. Kaynaklar
cotgα
α
O.KURT
1
cosα
α
E
D
B
C
g
Grad = ρ Radyan
R
α
R
ϕ
Derece = ρ o Radyan
38 / 60
O.KURT
O.KURT
Ek 2. Temel ödevler
Ek 3. Arazi Uygulaması Örnekleri
Herhangi bir koordinat sisteminde, koordinat hesaplarında karşılaşılan dört temel ödev
aşağıda verilmiştir.
Arazi Uygulaması 1: 09.05.2006 / Birinci Öğretim Yatay Açı arazi ölçümleri ve ölçü krokisi.
1. temel ödev : Koordinat taşıma.
Verilenler Đstenenler
Çözüm
(yA, xA)
(yB,xB)
yB = yA + AB sin(AB)
(AB), AB
xB = xA + AB cos(AB)
DN
T1
x
sin(AB)
2. temel ödev : Kenar ve semt hesaplama.
(yA, xA)
(AB)
(yB, xB)
AB
Çözüm
 yB − yA 

xB − xA 
xA
(AB) = arctan 
AB =
(y B − y A )
2
+ (x B − x A )
(AB)
T2
yB– yA
A
2
AB
B
xB– xA
cos(AB)
xB
Elk
y
yB
yA
3. temel ödev : Đki kenar arsındaki açıyı hesaplama.
I
375.00
51.81
85.26
148.66
248.7231
329.6763
358.7455
21.9871
399.9455
78.9490
110.2425
173.5395
II
174.99
251.79
285.28
348.66
48.7391
129.6878
158.7668
221.9984
199.9280
278.9325
310.2217
373.5270
I Sıfır
0.00
76.81
110.26
173.66
0.0000
80.9532
110.0224
173.2640
0.0000
79.0035
110.2970
173.5940
II Sıfır
0.00
76.80
110.29
173.67
0.0000
80.9487
110.0277
173.2593
0.0000
79.0045
110.2937
173.5990
(I+II)/2
0.00
76.81
110.28
173.67
0.0000
80.9510
110.0251
173.2617
0.0000
79.0040
110.2954
173.5965
Açıklama
Bina Köşesi
Paratonel
Vinç
Trafo
Bina Köşesi
Paratonel
Vinç
Trafo
Bina Köşesi
Paratonel
Vinç
Trafo
Çözüm
B
 yB − yA 

xB − xA 
α
(yA, xA)
BN
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
(AB) = arctan 
(yB, xB)
 y − yA 
(AC) = arctan  C

xC − xA 
(yC, xC)
α = (AC) – (AB)
3
α
A
C
4. temel ödev : Semt taşıma.
4
Çözüm
Koşul
(AB)
(BC)
(BC) = (AB) + β + π (AB) + β ≤ π
(BC) = (AB) + β − π (AB) + β ≥ π
β
2
(AB)
A
β
(BC)
B
x
Açıklık Açısının Bölgelere Göre Đncelenmesi
I
II
III
IV
(∆
∆y)
(∆
∆x)
(+)
(+)
(+)
(−)
(−)
(−)
(−)
(+)
Açıklık
Açısı
αI
(−)
(+)
αIV
αIII + π
αIV + 2π
αI
1
sinα
αI
αII + π
αIII
(−)
(−)
1
(+)
(+)
cosα
αI
Bölge
C
T2
Elktrnk
T1
y
Güzel Sanatlar
αII
(+)
(−)
 sin α k 
 ( k=I, II, III, VI ).
 cos α k 
Şekil Birim çemberde bölgelere göre α k = arctan 
39 / 60
40 / 60
O.KURT
Arazi Uygulaması 2: 09.05.2006 / Đkinci Öğretim Yatay ve Düşey açı arazi ölçümleri ve ölçü
krokisi.
DN
BN
P1
(T1)
a=1.44
P2
(T2)
a=1.46
A
B
P2
P1
A
B
Düşey Açı (g)
I
II
90.50
309.47
95.45
304.51
105.10
294.87
Yatay Doğrultu (g)
I
II
389.91
189.91
291.72
91.72
148.17
348.17
331.2670
365.5828
74.3886
131.2806
165.5956
274.4004
104.2178
91.8698
95.3940
Çözüm:
P1 ve P2 doğrultusu y koordinat elseni ve P1 noktası
yatay ve düşey başlangıç noktası olara,k seçilirse;
koordinatlar aşağıdaki gibi olur. Bu koordinatlar ve
ölçülerden yararlanarak A ve B noktalarının yatay
koordinatları ve yükseklikleri bu sisteme gore
hesaplanır.
NN
P1
P2
y (m)
0.00
19.60
x (m)
0.00
0.00
S
(m)
295.7031
308.0333
304.5170
19.60
Paratonelin Ucu
Trafonun Ucu
Poligon Noktası
Poligon Noktası
Paratonelin Ucu
Trafonun Ucu
P1
(T1)
A
B
P2
P1
A
B
P2
(T2)
0.00
101.81
158.26
331.2670
365.5828
74.3886
131.2806
165.5956
274.4004
0.00
34.32
143.12
0.00
34.32
143.12
yA = yP2 + a2 sin(P2,A) = -68.59m
xA = xP2 + a2 cos(P2,A) = 52.75m
I
II
Hort(m)
90.5150
95.4700
105.1150
86.52
2261.25
19.60
14.43
162.97
-0.14
14.43
163.02
-0.14
P2
(T2)
a=1.46
A
B
P1
91.8698
95.3940
104.2178
308.0333
304.5170
295.7031
0.0485
0.0445
0.0395
91.9183
95.4385
104.2574
102.76
2248.91
19.60
14.43
163.08
0.15
I Sıfır
y (m)
0.00
19.60
x (m)
0.00
0.00
h (m)
0.00
-0.14
-68.58
1429.02
1497.60
52.75
1752.47
1699.72
14.50
163.09
148.59
P2
Yatay AB Uzaklığı =
( 1497.602 + 1497.602 )1/2 = 2265.36m
Paratonel Đle Trafonun Üst Noktaları Arsındaki Uzay Uzunluk
Eğik AB Uzaklığı = ( 2265.362 + 148.592 )1/2 = 2270.23m
(I+II)/2
0.00
101.81
158.26
B
2270.23m
A
0.0000
34.3154
143.1207
148.59m
2265.36m
B
ZA
ZB
ZP2
A
x
b2
a2
a
a1
ZP1
P1
α
P1
ϕ
S
β
ZB
ZA
b1
θ
2265.36m
y
a
P2
P2
rA
BP2P1 üçgeninde sinus teoremi
S =19.60
ϕ=56.45g
θ=143.12
b1 = S sinθ / sin(θ+ϕ) = 2261.25m
b2 = S sinϕ / sin(θ+ϕ) = 2248.91m
(P1,B) = 100-ϕ = 43.55g
(P2,B) = 300+θ = 43.12g
yB = yP1 + b1 sin(P1,B) = 1429.02m
xB = xP1 + b1 cos(P1,B) = 1752.47m
Hj(m)
0.0150
0.0200
0.0150
∆AB
y
189.91
291.72
348.17
yA = yP1 + a1 sin(P1,A) = -68.58m
xA = xP1 + a1 cos(P1,A) = 52.75m
Sij(m)
309.47
304.51
294.87
A
B
389.91
91.72
148.17
AP1P2 üçgeninde sinus teoremi
S=19.60
α=158.26g
β=34.32g
86.52m
a1 =S sinβ / sin(α+β) =
a2 =S sinα / sin(α+β) = 102.76m
(P1,A)=100+(400-α)= 341.74g
(P2,A)=300+β
= 334.32g
Zij=I+k
90.50
95.45
105.10
NN
P1
P2
x
h (m)
0.00
-0.14
II
k
A
B
P2
3.Üç Boyutlu Konum Bilgileri:
A
II
Sıfır
0.00
101.81
158.26
I
BN
Hj = Hi + ai + Sij/tan(Zij) + 0.875Sij2/(2R)
1. Yatay Konum Bilgilerinin Hesaplanması
BN
DN
P1
(T1)
a=1.44
i=DN ve j=BN
B
P1
DN
O.KURT
2.Trigonometrik Yükseklik Belirleme:
Açıklama
19.60
rB
rP2
19.60m
rA
rB
rP1
Ek Şekil 1. Noktaların ve ölçülerin üçboyutlu krokisi.
yB = yP2 + b2 sin(P2,B) = 1429.02m
xB = xP2 + b2 cos(P2,B) = 1752.46m
41 / 60
42 / 60
O.KURT
Arazi Uygulaması 3: 16.05.2006 / Birinci Öğretim Geometrik Nivelman Arazi ölçümleri.
NN
1
2
3
4
NN
1
2
3
4
NN
1
2
3
4
NN
1
2
3
4
G
[mm]
1655
G
[mm]
1415
1404
1109
ORHAN, SERHAT
O
İ
dH
[mm] [mm]
[m]
11.655
1392
1419
1458
Sinan, Musa, Rahmi
O
İ
dH
[mm] [mm]
[m]
1151
1434
1143
0.264
-0.030
-0.034
Derya, Esra, Tuğba
G
O
İ
dH
[mm] [mm] [mm]
[m]
1380
1117 0.263
1430
1130
1458 -0.028
1178 -0.048
Erhan, Selçuk, Ferdi
G
O
İ
dH
[mm] [mm] [mm]
[m]
1280
1370
1019 0.261
1199
1398 -0.028
1240 -0.041
H
[m]
10.000
10.263
10.236
10.197
H
[m]
10.000
10.264
10.234
10.200
H
[m]
10.000
10.263
10.235
10.187
H
[m]
10.000
10.261
10.233
10.192
NN
1
2
3
4
NN
4
3
2
1
NN
4
3
2
1
NN
1
2
3
4
Alper, Mine, Mehmet
G
O
İ
dH
[mm] [mm] [mm]
[m]
1213
1253
950 0.263
1280 -0.027
1058
1090 -0.032
Perihan, Tuğba, Ender
G
O
İ
dH
[mm] [mm] [mm]
[m]
1140
1425
1105 0.035
1400 0.025
1106
1381 -0.275
Erkan, Aytekin, Yasin
G
O
İ
dH
[mm] [mm] [mm]
[m]
1090
1055 0.035
1399
1021
1382 0.017
1286 -0.265
Ayten, Gökşen, Ümit, Kabil
G
O
İ
dH
[mm] [mm] [mm]
[m]
1213
1253
950 0.263
1058
1280 -0.027
1090 -0.032
O.KURT
Arazi Uygulaması 4: Birinci öğretim (07-05-2008).
Yatay Doğrulrular:
Ortalama = {I+II−200g}/2
Ortalama < 0g ise Ortalama=Ortalama+400g
Düşey Açılar:
k = { 400g−(ZI+ZII) } / 2
H
[m]
10.000
10.263
10.236
10.204
C
ZBC
ZBA
H
[m]
10.197
10.232
10.257
9.982
ZAC
aB
ZAB
B
aA
rBC
H
[m]
10.197
10.232
10.249
9.984
β
B
DN
A
1.470
H
[m]
10.000
10.263
10.236
10.204
B
1.400
BN
B
C
rBA
A
a
b
α
c
rAB
C
rAC
A
YATAY AÇI ÖLÇMELERĐ
I.Durum II.Durum Ortalama Sfr.Ind.
72.250
272.228
72.239
0.000
188.596
388.582
188.589
116.350
B
C
0.380
116.690
200.346
316.690
0.363
116.690
0.000
116.327
C
A
0.004
81.300
199.984
281.294
399.994
81.297
0.000
81.303
C
B
0.004
81.312
199.994
281.308
399.999
81.310
0.000
81.311
DiziOrt
0.000
116.339
0.000
81.307
S [m]
60.815
60.815
DÜŞEY AÇI ÖLÇMELERĐ
Z [g]
S [m]
-0.040
-0.036
101.372
96.828
101.382
96.817
60.815
298.638
303.228
-0.030
-0.033
101.392
96.805
96.998
101.706
303.092
298.358
-0.045
-0.032
96.953
101.674
96.974
101.714
303.086
298.350
-0.030
-0.032
96.944
101.682
ZII[g]
BN
A
1.470
B
C
101.412
96.864
298.668
303.208
B
C
101.422
96.838
C
A
C
A
B
1.400
43 / 60
ZI+k
[g]
ZI[g]
DN
k [g]
96.949
101.678
60.815
44 / 60
O.KURT
Yatay Doğrulrular:
Ortalama = { I+II−200g } / 2
Ortalama < 0g ise Ortalama=Ortalama+400g
Düşey Açılar:
k = { 400g−(ZI+ZII) } / 2
C
α = 116.339g
β = 81.307g
c = 60.815m
a = c / sin(α+β) * sinα = 1590.85m
b = c / sin(α+β) * sinβ = 1574.32m
ZBC
ZBA
ZAB
B
aA
β
rBA
A
a
rBC
BN
B
C
HA =100.00m
aB =1.400m
aA =1.470m
c = 60.815m
c = 60.815m
ZAB = 101.382g
ZBA = 101.678g
HB = HA + aA + c/tanZAB + 0.4375/6370000 * c2 = 100.15m
HB = HA –{ aB + c/tanZBA + 0.4375/6370000 * c2}= 100.20m
ZAC
aB
DN
A
1.366
O.KURT
ÇÖZÜM (Birinci Öğretim) :
Arazi Uygulaması 5: Đkinci öğretim (07-05-2008).
B
rAB
aB = 1.400m
aA = 1.470m
b = 1574.32m
a = 1590.85m
ZAC = 96.817g
ZBC = 96.949g
HC
= HA + aA + b / tanZAC + 0.4375/6370000 * b2 = 180.43m
HC
= HB + aB + a / tanZBC + 0.4375/6370000 * a2 = 177.89m
b
α
c
HB =100.18m
C
rAC
A
YATAY AÇI ÖLÇMELERĐ
I.Durum II.Durum Ortalama Sfr.Ind.
35.994
235.998
35.996
0.000
352.350
152.350
116.354
152.350
DiziOrt
0.000
116.362
S [m]
60.780
HC =179.16m
ÇÖZÜM (Đkinci Öğretim) :
B
1.370
DN
A
1.366
B
1.370
B
C
206.274
322.620
6.248
122.640
206.261
322.630
0.000
116.369
C
A
119.650
200.940
319.626
0.940
119.638
200.940
0.000
81.302
C
A
132.030
213.374
332.060
13.368
132.045
213.371
0.000
81.326
BN
B
C
ZI[g]
101.238
96.928
B
C
101.208
96.894
298.856
303.178
-0.032
-0.036
101.176
96.858
C
A
96.924
101.702
303.128
298.356
-0.026
-0.029
96.898
101.673
B
C
96.940
101.732
303.096
298.328
-0.018
-0.030
96.922
101.702
DÜŞEY AÇI ÖLÇMELERĐ
ZII[g]
k [g]
ZI+k [g]
298.822
-0.030
101.208
303.138
-0.033
96.895
0.000
81.314
Z [g]
101.192
96.877
60.780
S [m]
60.780
α = 116.362g
β = 81.314g
c = 60.780m
a = c / sin(α+β) * sinα = 1610.29m
b = c / sin(α+β) * sinβ = 1593.77m
HA =100.00m
aA =1.366m
aB =1.370m
c = 60.780m
c = 60.780m
ZBA = 101.688g
ZAB = 101.192g
HB = HA + aA + c/tanZAB + 0.4375/6370000 * c2 = 100.23m
HB = HA –{ aB + c/tanZBA + 0.4375/6370000 * c2}= 100.24m
HB =100.23m
96.910
101.688
60.780
45 / 60
aB = 1.370m
aA = 1.366m
b = 1593.77m
a = 1610.29m
ZAC = 96.877g
ZBC = 96.910g
HC
= HA + aA + b / tanZAC + 0.4375/6370000 * b2 = 179.80m
HC
= HB + aB + a / tanZBC + 0.4375/6370000 * a2 = 179.83m
46 / 60
P1
P4
1
8
7
6
90
100
110
120
y[m]
130
x[m]
y[m]
5
4
2
3
Arazi Uygulaması 5: Yatay ve düşey konum bilgilerinin hesaplanması (02-04-2009).
Ölçü Krokisi
120
110
100
90
S[m]
P3
P2
x[m]
O.KURT
140
100.000 100.000 100.000 100.000
143.221 100.000 143.221 100.000
142.834 110.521 142.830 110.530
H[m]
100.000
100.362
102.448
102.632
99.973 100.000 100.000
0.009
0.000
0.000
102.103 112.852 102.096 112.870
x[m]
100.000
100.000
110.530
112.870
100.010
-0.003
y[m]
100.000
143.221
142.830
102.096
210.2561 13.048
303.6392 40.798
397.6592 10.528
100.0000 43.221
α[g]
1. YATAY KONUM BĐLGĐLERĐNĐN HESAPLANMASI
97.6592
β [g]
1.1. Poligon Hesabı
NN
P1
P2
P3 105.9800
P4 106.6169
P1
NN
P1
P2
P3
P4
150
47 / 60
NN
P3
P2
4
3
2
NN
P1
P2
1
2
s[m]
0.00
40.82
0.27
3.30
3.30
36.47
36.47
39.40
s[m]
0.00
10.56
1.95
2.23
8.65
s[m]
0.00
43.23
2.02
41.13
h[m]
0.00
0.00
1.33
0.54
h[m]
0.00
0.00
2.36
2.36
0.93
0.91
2.35
2.36
h[m]
0.00
0.00
4.54
1.58
2.04
h[m]
0.00
0.00
-4.07
-1.78
y[m]
100.00
102.10
102.00
102.26
y[m]
102.10
142.83
102.23
105.25
105.34
138.44
138.35
141.28
y[m]
142.83
143.22
138.38
141.34
141.12
y[m]
100.00
143.22
102.02
141.12
x[m]
100.00
112.87
104.03
110.51
x[m]
112.87
110.53
110.50
110.33
111.75
109.87
108.43
108.26
x[m]
110.53
100.00
108.42
108.25
101.83
x[m]
100.00
100.00
104.07
101.78
1.2. Prizmatik (Ortogonal) Alım Hesabı
NN
P4
P3
8
7
6
5
4
3
s[m]
0.00
13.05
4.30
10.75
İ
İ
0.362
2.086
0.184
-2.631
DH
1001
944
1341
3247
6533
-17
962
858
1300
3166
6286
1
a= 0.9998
b= 0.0000
a= 0.0370
b= -0.9971
a= 0.9979
b= -0.0573
a= 0.1606
b= 0.9862
H
100.000
100.362
102.448
102.632
100.001
DH
H
100.000
0.362 100.362
2.069 102.431
0.184 102.615
-2.632
99.983
NN
P1
P4
1
8
G
1324
2944
1484
535
6516
G
1363
3013
1525
615
2. DÜŞEY KONUM BĐLGĐLERĐNĐN HESAPLANMASI
2.1. Geometrik Nivelman
I.Öğretim
NN
P1
P2
P3
P4
P1
II.Öğretim
NN
P1
P2
P3
P4
P1
6287
O.KURT
48 / 60
P3
181.5228
287.5032
194.8696
300.8490
100.8514
P4
P3
P1
II
381.5214
87.5004
394.8700
P4
P2
P4
P2
P1
I
Yatay Doğrultu [g]
P2
P4
P2
BN
DN
P4
141.794
248.409
141.800
248.412
341.799
48.420
341.800
48.420
115.3722
205.1152
313.4466
3.1902
P3
P1
P3
P1
P4
5.204
102.878
37.832
135.490
II
205.218
302.882
237.850
335.491
I
315.3726
5.1170
113.4480
203.1928
P1
P3
P1
P3
P2
P2
BN
DN
Yatay Doğrultu [g]
(I+II)/2
0.0000
97.6690
0.0000
97.6495
0.0000
106.6180
0.0000
106.6160
II
0.000
97.674
0.000
97.658
0.000
106.615
0.000
106.612
105.981
0.000
105.979
0.000
0.000
89.744
0.000
89.745
I
0.0000
89.7437
0.0000
89.7442
0.0000
105.9797
0.0000
105.9804
0.000
89.743
0.000
89.744
0.000
105.980
0.000
105.979
Kontrol
(I+II)/2
II
Đndirgeme [g]
0.000
106.621
0.000
106.620
0.000
97.664
0.000
97.641
I
Đndirgeme [g]
400.0004
0.0000
105.9801
0.0000
89.7440
Ortalama
a [m]
1.484
1.484
1.533
1.533
zort [g]
93.3650
100.6987
121.0261
102.0797
z [g]
93.3644
100.6986
93.3655
100.6987
121.0267
102.0809
121.0255
102.0784
-0.0026
-0.0038
-0.0023
-0.0027
-0.0031
-0.0015
-0.0019
-0.0042
278.9764
297.9206
278.9764
297.9258
121.0298
102.0824
121.0274
102.0826
II
306.6382
299.3052
306.6368
299.3040
I
93.3670
100.7024
93.3678
100.7014
k [g]
1.437
1.437
102.5525
119.2790
102.5535
119.2785
102.5515
119.2795
-0.0015
0.0015
0.0035
0.0005
297.448
280.720
297.445
280.720
102.555
119.277
102.548
119.279
Düşey Açı [g]
1.463
1.463
102.6818
95.8478
S [m]
13.048
43.221
10.528
40.798
E [m]
13.119
43.224
11.130
40.820
0.215
0.648
0.000
0.000
40.798
0.000
43.221
10.528
S [m]
Kenar Ölçüleri
E [m]
i [m]
0.000
0.000
0.000
0.000
i [m]
Alet ve Đşaret
a [m]
zort [g]
z [g]
102.6835
95.8480
102.6800
95.8475
k [g]
0.0035
0.0010
0.0030
0.0065
II
297.313
304.151
297.317
304.146
I
Düşey Açı [g]
102.680
95.847
102.677
95.841
II.ÖĞRETĐM
0.0000
106.6170
0.0000
97.6593
Ortalama
I.ÖĞRETĐM
Yatay ve Düşey Açı Ölçüsü ve Hesabı, Trigonometrik Yükseklik Hesabı
O.KURT
49 / 60
-2.076 100.372
0.200 102.648
P.No.
Kantin
P.No.
P.No.
4.51
H [m]
2.634 102.634
0.362 100.362
DH [m]
-0.200 102.432
1.437 104.069
-0.359 100.003
2.151 102.513
H [m]
Trigonometrik
DH [m]
POLĐGON RÖPER ÇĐZELGESĐ
Đl : KOCAELİ
Đlçe : KÖRFEZ
Tesisin cinsi : Çivi
P1
P4
P2
P4
P1
P3
P4
P1
Mahalle (veya Köy) : HEREKE
Y : 100.05 m
Durum krokisi
GSF-Müzik
P1
P2
2.13
Y : 143.30 m
Durum krokisi
Y : 142.90 m
Durum krokisi
X : 97.15 m
P2
X : 110.85 m
P3
GSF-Müzik
Sayfa No : 1
X : 100.00 m
H : 10.000 m
Röper ölçü çizelgesi
P3
GSF-Müzik
3.63
P1
AKMYO
H : 10.215 m
P3
GSF-Müzik
Kantin
GSF-Müzik
5.12
P2
4.50
2.59
AKMYO
4.18
H : 10.460 m
2.06
P3
2.99
Kantin
P2
GSF-Müzik
AKMYO
50 / 60
39.16
5.12
4.47
4.34
4.34
4.22
4.51
10.71
-6.383.11
3.10
1.61
1.30
2.71
2.99
-1.41-
9.48
0.00
1.26
4.2
6
37.35
40.37
40.64
Sayfa No : 2
H : 10.688 m
13.69
13.80
Mahalle (veya Köy) : HEREKE
3.65
X : 113.55 m
1.30
P4
3.10
GSF-Müzik
H :…………
20.65
18.48
5.25
4.22
43.36
40.88
23.38
20.22
7.00
6.18
1.71
52 / 60
POLĐGON RÖPER ÇĐZELGESĐ
P2
P3
Y : 102.35 m
Đlçe : KÖRFEZ
GSF-Müzik
Durum krokisi
Đl : KOCAELİ
P.No.
P4
P4
P1
X :……………….
H :…………
X :……………….
4.45
4.16
0.00
Dik Adedi : 12
KURT
Tersimatı Kontrol Eden : Orhan
ŞEN
AKMYO
Y :…………..
Y :…………..
-1.42-
0.00
6
5
4
Tesisin cinsi :……………
Durum krokisi
Tesisin cinsi :……………
-6.41-
GSF-Müzik
Kantin
P.No.
P.No.
Durum krokisi
51 / 60
Ölçü Krokisi
P2
P1
Tersimatı Yapan : Mustafa
KURT
Kontrol Eden : Orhan
YILDIRIM
Ölçen : Şemsettin
11
12 -2.98-
3
2
1
8
7
-2.97-33.12-
4.5
3.6
9
10
P3
P4
Sayfa No: 1
Pafta No: 15
/ HEREKE
"Şehir veya Kasaba Adı: KOCAELİ
52 / 60
AKĐ201 Ölçme Bilgisi Ders Notlar
53 / 60
Đstasyon
Ara
No.
Uzaklıklar
I.
P1
P2
P3
P4
P1
Kot
(m)
Öğretim
1420
3137
1540
0425
1205
0892
1311
3114
[G]= 6522 [İ]= 6522
[∆
∆H]= [G]-[İ]= 0000
P1
P2
P3
P4
G-Đ
(mm)
±
0215
2245
0229
-2689
10 000
10 215
12 460
12 689
10 000
0 000
[∆
∆H]= 0000
I. Öğr. II.
10 000
10 215 +10
10 460 +12
12 689 +12
Öğr. Ortala ma
215
459
686
=10 215
=10 460
=10 688
Sayfa No : 1
Đstasyon
Ara
No.
Uzaklıklar
I.
P1
1
6
P2
Okumalar
(mm)
G
O
Đ
G-Đ
(mm)
±
Kot
(m)
Öğretim
1386
P2
6
7
8
9
P3
3472
P3
9
10
P4
1525
P4
10
11
12
1
P1
0734
10 000
1261
0125 10 125
1015
0246 10 371
1171 -0156 10 215
3301
1542
0942
1215
1514
1372
0171
1759
0600
-0273
1228 -0013
ĐLÇE
: HEREKE
Sayfa No
:1
KÖY
:……………….
Dilim Ekseni
: 30°
°
Kot Değeri
Koordineler
Nok.
No.
P1
P2
P3
P4
(Deniz seviyesinden)
Hesap
Clt.Sy.
Y (m)
100
143
142
102
X (m)
05
30
90
35
100
97
110
113
00
15
85
55
Zemin
Tesis
Nivel.
Df. Sy.
H (m)
Cinsi
1
1
1
1
10
10
10
10
Ç
Ç
Ç
Ç
000
215
460
688
Pafta
No.
15
15
15
15
(Rs) olan nirengi ve
poligonlar-tahdit harici
noktalar, düşünceler.
10.000
10.215
10.460
10.688
10 215
10 386
12 145
12 745
12 472
12 459
12 459
0011 12 470
0142 12 612
1298 0074 12 686
-0066
0141
-0405
-2224
3413 -0125
[G]= 7117 [İ]= 7110
[∆
∆H]= [G]-[İ]= 0007
54 / 60
POLĐGON KOORDĐNAT ÖZET ÇĐZELGESĐ
: KOCAELİ
ĐL
Şehir veya Kasaba Adı : KOCAELİ / HEREKE
Okumalar
(mm)
G
O
Đ
0800
0659
1064
3288
12 686
12 620
12 761
12 356
10 132
10 007
0 007
[∆
∆H]= 0007
Yazan : Şemsettin YILDIRIM
Tarih
53 / 60
Kontrol eden
: Orhan KURT
: 22-04-2010
54 / 60
55 / 60
Prizmatik Alım Hesabı
56 / 60
ALAN ve HACĐM HESAPLARI
Yukarıda yatay ve düşey konumları belli olan parsel ve poligon noktalarından yararlanarak, parsel
alanına eşit tabanlı 5.000 m kotuna kadar olan yaklaşık kazı miktarını hesaplanması.
120
P4
Alan Hesaplar:
10
110
12
P3
8
1
2
52065.96
50918.91
1147.05
573.52
9
11
3
4
7
F1 = A(P1, P2, P3, P4) = (52065.96-50918.91)/2 = 1147.05/2 = 573.52 m2
5
6
100
F2 = A(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ) = (152904.59-152305.47)/2 = 599.12/2 = 299.56 m2
P1
P2
Yükseklik Ortalamalarının Hesabı:
H1 = (HP1+HP2+HP3+HP4)/4 =41.363/4=10.341 m
H2 = (H1+H6+H7+H8+H9+H10+H11+H12)/12 = 95.595/8 = 11.949 m
90
150
140
130
120
110
100
90
Hacim Hesabı:
Poligon Özet Çizelgesi
NN
P1
P2
P3
P4
NN
P1
P2
1
2
3
4
5
6
s[m]
0.00
43.36
1.71
6.18
7.00
20.22
23.38
40.88
NN
P3
P4
7
8
9
10
11
12
y[m]
x[m]
H[m]
100.05 100.00 10.000
143.30 97.15 10.215
142.90 110.85 102.448
102.35 113.55 102.632
h[m]
0.00
0.00
-4.16
-4.22
-4.22
-4.34
-4.34
-4.47
y[m]
100.05
143.30
102.03
106.49
107.31
120.50
123.66
141.12
x[m]
100.00
97.15
104.04
103.80
103.75
103.00
102.79
101.77
s[m]
h[m]
0.00 0.00
y[m]
142.90
x[m]
110.85
40.64
1.26
4.26
4.26
37.35
37.35
40.37
102.35
141.46
138.47
138.56
105.53
105.43
102.41
113.55
108.23
108.43
109.84
111.72
110.31
110.44
0.00
-2.71
-2.71
-1.30
-1.61
-3.03
-3.10
V1 = F1 H1 = 5930.77m3
V2 = F2 5 = 1497.80m3
∆V= 4432.97
a=
b=
0.9975
-0.0657
a=
b=
-0.9978
0.0664
55 / 60
56 / 60
57 / 60
B
xA = 16.76m
xB = 35.13m
B
1. Verilenlerden yararlanarak 1, 2, 3 numaralı
noktaların koordinatlarını tablo üzerinde
hesaplayınız.
r0
NN
A
B
1
2
3
1
r1
A
S1
r3
xA = 41.76m , yA= 23.35m
xB =154.15m, yB=115.98m
r2
S3
A
rk
[g]
B(0)
1
2
3
212.93
295.49
380.30
387.68
αk=rk−r0
[g]
Sk
[m]
(Ak)=(AB)+α
αk
[g]
Xk=XA+Sk*cos(Ak)
[m]
Yk=YA+Sk*sin(Ak)
[m]
154.15
115.98
─
167.47
121.94
80.78
2. θ=173g, λ=182g , a=135m,
b=270m, c=256m olduğuna
göre ϕ, γ açılarını ve x
uzunluğunu hesaplayınız.
b
θ
a
b
c
=
=
= 2R
sin α sin β sin γ
Kosinüs Teoremi
a2= b2+ c2−2bc cosα
b2= a2+ c2−2ac cosβ
c2= a2+ b2−2ab cosγ
xi [m]
3
18.20
38.56
11.10
21.10
8.90
A
2
15.00
0.00
5. Yandaki şekilde AC ve BD doğrularının kesim noktasındaki θ açısını ve AD ve BC kenarlarının
uzunluklarını hesaplayınız.
A
B
y [m]
NN x [m]
A
203.48
6.27
B
210.25 201.88
C
17.38
45.66
C
D
D
20.48 172.66
C
c
γ
x
4
yi [m]
yB − yA
=
sB
x − xA
=
b= B
sA
60.00
a=
θ
80.00
λ
ϕ
Sinüs Teoremi
hi [m]
2
1
a
si [m]
AB =
xi = xA + b * si − a * hi
yi = yA + a * si + b * hi
2
3
k=0(yada B), 1, 2, 3
yA= 12.34m
yB= 64.63m
1
S2
BN
(k)
58 / 60
4. Verilenlerden yararlanarak 1, 2, 3 numaralı noktaların koordinatlarını tablo üzerinde hesaplayınız.
Ek 4. Haftalık Ödevler
DN
30.00
3
10.00
56.00
B
30.00
70.00
D
12.00
6. Yandaki ölçü krokisinde verilenlerden yararlanarak
ABCDE beşgeninin alanını bulunuz.
5.00
E
39.00
19.34
A 4.57
3. Verilenlerden yararlanarak 1, 2, 3 numaralı noktaların koordinatlarını tablo üzerinde hesaplayınız.
NN
A
B
1
2
3
si (m)
yA= 12.34m
yB= 64.63m
hi (m)
xi = xA + c * si − d * hi
yi = yA + a * si + b * hi
xi (m)
B
AB =
yi (m)
yB − y A
=
sB
xB − xA
=
b =
AB
xB − xA
=
c =
sB
y − yA
=
d = B
AB
a =
0.00
60.00
ZA
7. Birbirlerine doğrudan görüşü olmayan A ve B noktalarından
C noktasına düşey açı gözlemleri yapılmıştır. Noktaların yatay
konumları ve ölçü değerleri aşağıda verildiğine göre A ve B
noktaları arasındaki eğimi bulunuz.
DN
BN Z [g]
NN Y [m] X [m]
104.56
A
C
A 10.00 10.00
B 90.00 30.00 a=1.30m i=0.00
94.88
B
C
C 50.00 120.00
a=1.50m i=0.00
3
5.60
xA = 16.76m
xB = 35.13m
18.20
35.00
11.10
21.10
8.90
2
15.00
1
A
C
ZB
aA
aB
A
∆HAB
SAB
B
0.00
57 / 60
58 / 60
59 / 60
8. Dik kenarları 15m ve 16m olan dik üçgen şeklinde bir parselde kazı yapılmaktadır. Kazıdan önce ve
kazıdan sonra üçgenin (A, B, C) köşelerinde gerçekleştirilen geometrik nivelman ölçüleri aşağıda
verildiğine göre, bu üçgen alanı üzerinde kazılan hacim ne kadardır?.
NN
Rs
A
B
C
Rs
A
B
C
g
[mm]
1110
o
[mm]
∆H
[m]
i
[mm]
H
[m]
10.000
A
B
C
1392
1419
y [m]
10.00
5.36
x [m]
10.00
300.00
60 / 60
11. A noktasından B ve C noktasına yatay doğrultu (r) ve sadece C noktasına
düşey açı (Z) ve eğik uzunluk (E) ölçüleri yapılmıştır. A ve B noktalarının üç
boyutlu konum bilgileri de verildiğine göre C noktasının üç boyutlu (yC, xC,
HC) konum bilgilerini hesaplayınız.
NN(k)
yk [m]
xk [m]
S=E sinZ
i
Hk [m]
150.00 50.00
90.00 −30.00
?
?
15.00
30.00
?
10.000
DN
2100
2516
A
a=1.40m
3255
DN
A
a=1.50
BN
B
C
i=0.00
Z [g]
90.00
102.35
ZB
BN
r [g]
Z [g]
E [m]
B
1300
S
rk
A
1576
A
2013
1124
2524
2000
B
h=?
NN
0800
D
Rs
A
C
12. Yüksekliği HRs=25.246m olan bir Rs noktasına dayalı olarak gerçekleştirilen geometrik nivelman
ölçülerinin şekli aşağıda verilmiştir. Şekil üzerinde verilen mira okumalarını karneye işleyerek, A, B, C
ve D noktalarının yüksekliklerini hesaplayınız.
ZC
a
Z
r0
B
─
─
0.00
C
232.73 95.26 213.08
i=1.00m
0900
B
E
a
1458
2746
9. Bir kulenin boyunu hesaplayabilmek için, uzaktaki bir noktadan (A) kulenin çatısına (B) ve zeminine
(C) düşey açı gözlemleri yapılmıştır. Noktaların yatay konumları ve ölçü değerleri aşağıda verildiğine
göre, kulenin yüksekliğini (h) bulunuz.
NN
A
B ve C
E cosZ
g
[mm]
i
[mm]
C
∆H
[m]
H
[m]
C
10. Verilenlerden yararlanarak 1 ve 2 noktaları arasındaki uzunluğu (S) hesaplayınız.
θ2
NN
A
B
C
1
2
yi [m]
3.35
100.00
5.00
xi [m]
4.36
10.00
100.00
DN
B
C
BN
A
1
A
2
θi [g]
0.00
67.00
0.00
380.00
Si[m]

70.00

85.00
C
S2
1
2
S=?
S1
θ1
A
B
59 / 60
60 / 60

ÖLÇME BĐLGĐSĐ

Transkript

Benzer belgeler

ALAN HESAPLIYORUM KONU :Geometrik Şekillerde Alan Ölçme

PS UNI teknik bilgi

özel poz iş tanımları

4. Hafta