4. İNTERPOLASYON ve FİT Fizik, kimya, biyoloji gibi herhangi bir

4. İNTERPOLASYON ve FİT Fizik, kimya, biyoloji gibi herhangi bir

4. İNTERPOLASYON ve FİT
Fizik, kimya, biyoloji gibi herhangi bir uygulamalı bilim dalında yapılan deney veya bir mühendislik
çalışmasından elde edilen veriler tamamen doğru sonuçları temsil etmezler. Elde edilen veya ölçülen
verilerin herbiri üzerinde kullanılan deneysel aletten, ortamdan, ölçüm yapan kişiden, rakamların
yuvarlama veya kesme işleminden
kaynaklanan birçok hatanın bileşeni vardır. Toplanan verilerin
hatalarını bilmek, verileri doğru kullanmak ve tanımlamak, ara değerleri olmayan verileri bulmak için bir
formülün elde edilmesi gerekmektedir. Bu matematiksel formül sistemin davranışını temsil edebilecek bir
fonksiyon olmalıdır. Yani deneysel verileri temsil edebilecek en uygun eğri veya fonksiyon bulunmuş olur.
Yapılan bu işlemle deneysel veriler üzerindeki hatalar ortaya çıkartılmış olur. Veriler arasındaki değerleri
temsil edebilecek en uygun eğri veya fonksiyonun bulunması problemine interpolasyon, verileri temsil
edebilecek en uygun eğri veya fonksiyonun bulunması problemine fit adı verilir.
Latince de interpolate değiştirmek, daha iyi duruma getirmek anlamına gelir (bir metni değiştirmek
veya arasına kelimeler eklemek). İnrepolasyon iki nesne arasına birşey koymak veya bilinen iki değerin
arasındaki başka bir değerin bulunması şeklinde tanımlanabilir. İngilizceye 17nci yüzyılda girmiş ve
günümüzde çok geniş anlamda kullanılmaktadır.
Veriler için en uygun yaklaşım eğrisi yada fonksiyonu 0 ÐBÑ ile gösterelim. Bu yaklaşım fonksiyonu 8
nci dereceden bir polinom, bir Fourier fonksiyonu, bir üstel fonksiyon ise,
0 ÐBÑ œ +!  +" B  +# B#  ÞÞÞÞÞÞ  +8 B8 œ  +3 B3
8
(4.1)
3œ!
veya bu bir Fourier fonksiyonu ise,
0 ÐBÑ œ +!  +" -9=ÐBÑ  +# -9=Ð#BÑ  ÞÞÞÞÞÞ  +8 -9=Ð8BÑ  ," =38ÐBÑ
 ,# =38Ð#BÑ 
ÞÞÞÞÞ  ,8 =38Ð8BÑ
œ +!   +5 -9=Ð5BÑ    ,5 =38Ð5BÑ
8
8
5œ"
5œ"
(4.2)
veya bu bir üstel fonksiyon ise,
0 ÐBÑ œ +! /,! B  +" /," B  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞ+8 /,8 B œ  +3 /,3 B
8
(4.3)
3œ!
şeklinde verilebilir. Yukarıdaki 0 ÐBÑ fonksiyonlarından hangisinin seçileceğine elde edilen verilere
bakarak karar verilir.
4.1. ÇİZGİSEL İNTERPOLASYON
Çizgisel interpolasyona bir örnekle başlayalım. Çizelge 4.1 de, eşit B aralıklarında, B e bağlı C
değerleri verilmiştir. 5 değerleri veri sırasını göstermektedir. Bu verilerden yararlanarak, B in ara bir değeri
için C nin alabileceği değer interpolasyon yapılarak hesaplanabilir. B œ 'Þ$ de C yi hesaplamak için uygun
0 ÐBÑ fonksiyonu bulunabilir. Bunun için veriler arasını çizgisel interpolasyon la birleştirebiliriz. Şekil 4.1,
Çizelge 4.1 deki veriler arasının çizgilerle birleştirilmesi sonucunda elde edilen grafik verilmektedir
(doğrusal bir çizgi verilere uydurulmuştur). Grafikten 0 ÐBÑ fonksiyonun çizgisel bir değişim gösterdiği
görülmektedir.
Çizelge 4.1. Eşit aralıklarla elde edilmiş (deneysel) veriler.
5
B5
C5
y
!
!
"
"
#
"
#
%
'
$
'
*
%
)
""
12
12
10
10
8
8
6
6
y
4
4
2
2
0
0
-2
0
2
4
6
8
10
-2
x
0
2
4
6
8
10
x
Şekil 4.1 Çizgisel bağlı veriler.
B œ ' ile B œ ) değerleri arasındaki bir değeri bulabilmek için Şekil 4.2 deki benzer BDE ve EFG
üçgenlerinden yararlanılabilir.
y
F
(xk+1,yk+1)
İn
t
y(x=6.3)
9
eğ
ri
ey
en
(xk,yk)
Bi
lin
m
er
po
la
sy
on
do
ğr
us
u
11
G
B
E A'
6
C
D
A
x=6.3
8
x
x=2
Şekil 4.2 Verilerin çizgisel interpolasyon.
Benzer üçgenlerin kenarlarının oranlarından aşağıdakiler yazılabilir:
C5" C5
B5" B5
œ
"
# (CC5 )
(C5"  C5 )
BB5
A'A
#(?B)
C œ AC œ C5 
œ
BC
A'A
(4.%a)
œ (C  C5 )
" A'A
# ?B (C5"
(4.%b)
 C5 )
(4.%c)
C œ C5  "# <(C5"  C5 )
denklemi kullanabilir. Denklemlerdeki 5 veri sıra numarasını gösteren bir tam sayı,
(4.%d)
"
#
terimi, BD doğru
parçasının yarısının alındığını göstermekte, A'A œ B  B5 yı, ?B veri aralığını, < œ E'E/?B oranını
göstermektedir. İnterpolasyon sonucunda yapılan hata ise GH œ EH  EG kadardır. Algoritma 4.1 ve
Program 4.1 de çizgisel interpolasyonla ilgili olarak algoritma ve FORTRAN programının kaynak kodu
verilmiştir.
Algoritma 4.1 Çizgisel interpolasyon yönteminin algoritması.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Başla
x(k), y(k), x(k+1), y(k+1) değerlerinin giriniz,
x değerini giriniz,
r=(x-x(k))/(x(k+1)-x(k)),
y=y(k)+r*(y(k+1)-y(k)),
y değişkenindeki değeri yaz,
Son
4.2. POLİNOMİYAL İNTERPOLASYON
Bazen elde edilen veriler çizgisellik göstermeyebilir. Bu durumda verilere en uygun fonksiyon
polinom şeklinde seçilebilir. Bu fonksiyon, ikinci dereceden bir polinom olabilir. Şekil 4.3. de içi dolu
daire ile gösterilen veri noktalarını birleştirmek için önerilen fonksiyon (interpolasyon fonksiyonu) kesikli
çizgilerle gösterilmektedir (oysa veriler arasındaki gerçek fonksiyon başka şekilde olabilir).
y
(xk,yk)
yx=6
2
Önerilen fonksiyon, f(x)=c0+c1x+c2x
yx=6.3
y=f(x)
yx=8
(x+x,yk+1)
rx
A'
x=6
Gerçek fonksiyon
(x+2x,yk+2)
A x=6.3
x=2
x=8
x=2
x=10
x
Şekil 4.3 İkinci dereceden polinomla verilerin interpolasyonu.
Polinomiyal interpolasyonda ardışık verilerden üç tanesi seçilir, yani (B5 , C5 ), (B5  ?B, C5" ) ve
(B5  #?B, C5# ) gibi noktalar dikkate alınır (Şekil 4.3). Bu veri noktalarını birleştiren fonksiyon ikinci
dereceden bir polinom
0 ÐBÑ œ +!  +" B  +# B2
(4.7)
şeklinde olabilir. Önerilen 0 ÐBÑ polinomunun yukarıda belirtilen üç veri noktasından geçtiği kabul edilirse
denklem (4.7) deki +! , +" ve +# katsayılarının hesaplanması gerekmektedir. Bunun için aşağıdaki ifadeler
yazılabilir,
0 ÐB5 Ñ œ +!  +" B5  +# B25
(4.8a)
0 ÐB5" Ñ œ +!  +" ÐB5  ?BÑ  +# ÐB5  ?BÑ2
(4.8b)
0 ÐB5# Ñ œ +!  +" ÐB5  #?BÑ  +# ÐB5  #?BÑ2
(4.8c)
ve bu denklemler +! , +" ve +# katsayıları için çözülürse,
C5# B5
2(?B)# (B5
+" œ
C5# (#B5 ?B)%C5" (B5 ?B)(#B5 $?B)C5
2(?B)#
(4.9b)
+# œ
C5# #C5" C5
2(?B)#
(4.9c)
 ? B) 
C5" B5
(?B)# (B5
2C5 (B#5 2(?B)B5 2(?B)# )
2(?B)#
+! œ
 #? B) 
(4.9a)
elde edilir. Bu 3 veri noktası arasındaki değerler denklem (4.7) kullanılarak hesaplanabilir.
EF œ 0 (B5  <?B  [<(<  ")/#](?B)# )
(4.10)
Örnek 4.1 Extrapolasyon işlemini aşağıdaki çizelgedeki değerlerin dışında kalan B œ $#° değeri için
uygulayınız.
B(derece)
#!°
#&°
$!°
sinÐBÑ
!Þ$%#!#
!Þ%##'#
!Þ&!!!!
Yukarıdaki verilerin kullanılmasıyla elde edilen polinomiyal interpolasyondan bulunan ikinci dereceden
polinom
0 ÐBÑ œ !Þ$%#!#  !Þ!"'"# † ÐB  #!°Ñ  !Þ!!!!'%% † ÐB  #!°Ñ † ÐB  #&°Ñ
şeklindedir. Bu denklemde B œ $#° yazarsak, 0 Ð$#°Ñ œ !Þ&$!!& yaklaşık değeri elde edilir 32° nin gerçek
değeri ise sinÐ$#°Ñ œ !Þ&#**# dir.