kıvrımlı karman

BÖLÜM 7
• BORULARDA GERÇEK AKIM
•Enkesitin tamamen dolu olarak aktığı akımlara “basınçlı akım” denir.
•Basınç altında sıvı nakleden kapalı akış yollarına “boru” adı verilmektedir.
•Borular çeşitli enkesitlere sahip olabilirler, dairesel enkesit.
•Yapım kolaylığı
•Gerilmelere karşı dayanıklı olması
•Aynı alanlı geometrik şekiller arasında minimum çevreye sahip olmaları.
Sürtünmeden kaynaklanan enerji kaybı minimum.
•Borulardaki gerçek akımlarda viskozite ve türbülans gerilmeleri, ayrıca
sınır tabakasının ayrılması nedeniyle bir kısım enerji, sürtünmeler yoluyla
(ısıya çevrilerek ) kaybolur. Bu kayıplar
•
Sürtünme Kayıpları
•
Yerel Kayıplar.
•Borulardaki gerçek akım hesaplarında Bernoulli denklemi yazılırken bu iki
kayıp göz önüne alınmalıdır..
E.Ç
V12 / 2g
P.Ç
P1/γ
hs1
hs2
hy
hk
V22 / 2g
V1
P2/γ
V2
1
z1
2
Referans düzlemi
z2
1-2 noktaları arasındaki Bernoulli denklemi:
V12 P1
V22 P2
+
+ z1 =
+
+ z 2 + h s1 + h y + h s 2
2g
γ
2g
γ
h s1 + h y + h s 2 = h k
hk = ∑ hs + h y
Toplam kayıp yüksekliği= Sürtünme kayıpları+yerel kayıplar
Re=VD/υ≤2000 akım laminer
Re>4000 akım türbülanslı
Reynolds değişik boyutlarda kurşun borularda yaptığı deneylerde
sürtünme kayıplarını incelemiş, deneyler sonucu belirlenen kayıpların
akımın ortalama hızı arasındaki ilişkiyi şekil deki gibi belirlemiştir.
Geçiş
bölgesi
Loghs
•Laminer akım: hs-V ilişkisi 45° lik
doğru, τ0 ά V olmaktadır.
•Türbülanslı akım: eğim ~ 1.83 hs
Türbülanslı akım sürtünme kayıplarının hızın karesi
(hs ∝ V2)
V2 orantılı olmaktadır.
•Türbülanslı
akımda
sürtünme
Laminer akım
kayıpları laminer akıma göre çok
(hs ∝ V)
45°
daha büyük olmaktadır.
LogV
Laminer Akım
Hagen (1839) ve Poiseuille (1841) ayrı ayrı yaptıkları çalışmalarda
laminer boru akımlarını incelemişlerdir.
Hız dağılımı
Borular içinde laminer akışta, eksene doğru sıvı partikülleri
arasındaki viskoz tesirler gittikçe azaldığından, maksimum hız,
eksende meydana gelmektedir ve hız dağılımı parabolik bir
görünüme sahiptir.
V
τ0
(p+∆p)πr2
τ2πr∆L
r
pπr2
umak
D
τ
Kayma gerilmesi
dağılımı
u
∆L
Hız dağılımı
Akımda r yarı çaplı ve ∆L uzunluklu silindirik bir akım parçasına
gelen kuvvetler için denge denklemini yazalım:
(P + ∆P )πr 2 − Pπr 2 − τ2πr∆L = 0
τ=
∆P r
∆L 2
du
Newton’un kayma gerilmesi ifadesi : τ = − µ
dy
du ∆P r
−µ
=
dy ∆L 2
İntegre edilirse;
du =
∆P r 2
u=−
+C
∆L 4µ
∆P r
dr
∆L 2µ
r=D/2 de u=0 sınır şartı kullanılarak C = (∆P / ∆L) (D 2 / 16µ) integrasyon
sabiti elde edilir. C Yukarda yerine konularak;

∆P 1  D 2
2
u=
−r


∆L 4µ  4

Laminer akımda parabolik hız dağılımı elde edilir.
Kayma gerilmesi dağılımı
Maksimum hız dağılımı kanal ekseninde, r=0, oluşur yani;
∆P D 2
u mak =
∆L 16µ
Parabolik hız dağılımında ortalama hız;
U mak ∆P D 2
V=
=
2
∆L 32µ
∆P 32µV
=
∆L
D2
∆P / ∆L kayma gerilmesi ifadesinde yerine konursa dağılım:
Buradan;
∆P r 16µVr
τ=
=
∆L 2
D2
şeklinde elde edilir ki bu ifade r=0 için boru ekseninden geçen doğru
denklemini göstermektedir.
Sürtünme Kaybı
Kayma gerilmesi ifadesinden yük kaybı aşağıdaki gibi elde edilebilir;
Enerji kaybı : Uort = V denirse V = Umak / 2 ( paraboloid özelliğinden )
32µV
∆P
= hs =
∆L
2
γ
γD
veya L uzunluğundaki boru akımında yük kaybı;
hs =
32υVL
gD 2
HAGEN – POİSEUİLLE Denklemi olarak bilinen ifade elde edilir.
Görüldüğü gibi laminer akımda enerji kaybı sınır yüzeyinin
pürüzlülüğünden etkilenmez.
Türbülanslı Akım
Hız Dağılımı :
Türbülanslı akımda sıvı partiküllerinin düzgün olmayan yörüngeler
izleyerek hareket etmelerine ve yine maksimum hızın eksende
meydana gelmesine karşın hız dağılımı laminer akıma göre daha
basık ve üniform bir görüntüye sahip olmamaktadır. Türbülanslı
akımda hız dağılımı daha önce verildiği gibi
u
1
= Ln y + C
u* χ
olarak bulunmuştu. y =D/2 boru ekseninde u = umak, sınır şartı
kullanılarak integrasyon sabiti;
u mak 1
D
C=
− Ln
u*
χ
2
elde edilir. Bu sabit yukarıdaki hız dağılım ifadesinde yerine konulursa;
u mak − u 1
D
− Ln
u*
χ
2y
Bu ifade cilalı ve pürüzlü borulardaki türbülanslı akım için “Velocity
Defect dağılımı” olarak isimlendirilen hızın genel denklemidir.
Nikuradse 5.103 < Re < 3.106 aralığında cilalı ve pürüzlü borularda
yaptığı deneyler için χ=0.4 değeri alınarak hız ifadesinin iyi sonuçlar
verdiğini belirlemiştir. Bu değer yukarda yerine konularak ifade
aşağıdaki gibi yazılabilir.
u mak - u
D
= 2.5 Ln
u*
2y
u mak - u
D
= 5.75 Log
u*
2y
umak
y
u
Boru ekseni
umak-u
D/2
Bu hız ifadesi iki bakımdan gerçekle bağdaşmamaktadır.
I)Boru ekseninde du/dy sıfır etmesi gerektiği halde bu ifade sonlu bir
değer vermektedir.
du
2 D 2.5 u * 5 u *
= 2.5 u *
=
=
dy
D 2y
y
D
yani hız profili boru ekseninde sivrilmektedir. Ancak sivrilme bölgesi
küçük olduğundan sonucu pek etkilememektedir.
II) Bu hız dağılımına göre hız y=0 da yani katı sınırda -∞ olmaktadır.
u=0 değeri sınırdan belli bir uzaklıkta oluşmaktadır. Ancak yu=0 =y1
değeri laminer alt tabakanın içinde kaldığından bu da önemli bir
dezavantaj değildir. Çünkü laminer alt tabakada zaten bu ifade
geçersizdir.
Cilalı Borularda Hız Dağılımı :
y
Viskoz
Alt
Tabakada
;
Newton’un viskozite ifadesi, bu
bölgedeki
hız
dağılımını
belirlemede kullanılabilir
τ=µ
du
, y=δv için
dy
τ 0 = ρυ
Türbülanslı
bölge
uv-t
Geçiş bölgesi
Viskoz alt tabaka
δv
u
y
τ0
u
u
= υ ⇒ u *2 = υ
y
y
ρ
viskoz alt tabakada doğrusal hız dağılımı olduğu görülür. Boyutsuz
hız dağılımı aşağıdaki gibi elde edilir.
u*y
u
=
u*
υ
Türbülanslı İç Bölge : Türbülanslı iç bölgedeki hız dağılımında C
integrasyon sabiti y = δv için hem türbülanslı bölgedeki hız ifadesini,
hem de viskoz alt tabakadaki hız dağılımını kullanarak
hesaplanabilir. y = δv de u = uvt ifadesi viskoz alt tabakanın sınırında
her iki bölge için yazılırsa;
u vt 1
= Ln δ v + C
u*
χ
u vt u * δ v
=
υ
u*
Birinci ifadeden δv çekilerek; , δ v = u vt υ / u *2 ikinci ifadede yerine
konularak C integrasyon sabiti çekilirse;
u vt 1
u vt υ
− Ln
C=
u* χ
u2
*
elde edilir. C integrasyon sabiti türbülanslı bölgedeki hız dağılım
ifadesinde yerine konulursa;
u *2 y u vt
u vt 1
u vt υ 1
u
1
= Ln y +
− Ln
= Ln
+
2
u* χ
χ
u* χ
u vt υ u *
u
*
u vt
u * y u vt 1
u
1
= Ln
+
− Ln
u* χ
υ
u* χ
u*
u vt 1
u vt
B=
− Ln
u* χ
u*
olarak gösterilirse;
u* y
u
1
= Ln
+B
u* χ
υ
Law of the wall (duvar kanunu) olarak bilinen dağılım elde edilir.
Pürüzsüz borularda Nikuradse’nin deneysel çalışmalarından χ=0.4 ve
B= 5.5 olarak elde edilmiştir. Böylece dağılım aşağıdaki gibi
yazılabilir.
u* y
u
= 2.5 Ln
+ 5. 5
u*
υ
Prandtl katı sınıra çok yakın bölgeler hariç olmak üzere cilalı
borulardaki türbülanslı akım için aşağıdaki üstel hız dağılımını
vermiştir:
 y 
=

u mak  D / 2 
u
1/ n
burada n deney ile belirlenmesi gereken bir büyüklük olup Reynolds
sayısı ile aşağıdaki gibi değişmektedir.
Re
4 103
1.1 105
≥ 2 106
n
6
7
10
Pürüzlü Borular İçin Hız Dağılımı
Türbülanslı akım hız ifadesinde (1/χ)Ln(2k) değerini bir toplayıp bir
çıkaralım:
y
1
1
u ma k 1
= Ln
+
+ Ln (2 k) - Ln (2 k)
D/ 2
χ
χ
u* χ
u*
u
Burada k pürüzlülüklerin ortalama yüksekliğidir.
y 1
1
k
u ma k 

= Ln +  Ln
+

k χ
D/ 2
u* χ
u* 
u
veya
y
= A Ln + B
k
u*
u
Nikuradse'nin k çaplı kum taneleri yapıştırarak elde ettiği üniform
pürüzlü boru deneylerinde χ=0.4 ve B=8.5 bulunmuştur. Buna göre
pürüzlü borulardaki hız dağılımı:
y
u
= 2.5 Ln
+ 8.5
k
u*
Sürtünme Kaybı ─ Darcy-Weisbach Formülü
Darcy, Weisbach (1850) yaptıkları deneylere dayanarak türbülanslı
boru akımı için sürtünme enerji kaybını veren bir formül
geliştirmişlerdir. Bu formül, akımın silindirik bir parçasına dinamik
denge denkleminin uygulanması ile elde edilebilmektedir
τ 0π D ∆ L
πD 2
(p+ ∆ p)
4
D
πD 2
p
4
∆L
π D2
π D2
(p + ∆ p)
-p
- τ0 π D ∆ L = 0
4
4
π D2
∆p
= τ0 π D ∆ L
4
4 τ0 ∆ L
∆p
= ∆ hs =
γ
ρg D
Deney bulgularına göre τ0=cV2 değeri yerine konursa:
8c ∆ L V2
∆ hs =
ρ D 2g
8c/ρ=λ kullanılarak denklem bir L uzunluğu için integre edilirse
türbülanslı boru akımında sürtünmeden doğan enerji kaybı yüksekliği
L V2
hs = λ
D 2g
Darcy-Weisbach formülü
λ boyutsuz bir değer olup sürtünme faktörü olarak
adlandırılmaktadır. Yapılan deneylerde λ nın basit bir katsayı olmayıp,
çeşitli değişkenlere bağlı olduğu görülmüştür.
Borunun birim uzunluğu için sürtünme kaybı yüksekliği:
hs
V2
=S=λ
L
2gD
λ için Nikuradse Diyagramı
Nikuradse’nin 1930 yıllarında, yapay olarak pürüzlendirilmiş borular
üzerinde yaptığı deneylerde λ nın değişiminin Şekil 7.8 deki gibi
olduğu görülmüştür. Gözlenen bu farklı değişimler aşağıda ayrı ayrı
açıklanmıştır.
(a) Laminer Akımda (Re≤
≤2000): Laminer akım bölgesinde λ
sürtünme faktörü boru pürüzlülüğünden etkilenmemekte ve sadece Re
sayısına göre değişmektedir: λ=λ(Re). Laminer akım için λ değeri
Hagen-Poiseuille ve Darcy-Weisbach formüllerinin eşitlenmesi ile
bulunabilir:
32 ν V L
L V2
=λ
hs =
2
D 2g
gD
64 ν 64
λ=
=
V D Re
0,10
0,09
0,08
0,07
k
D
0,06
1/30
0,05
1/61
λ
0,04
1/120
0,03
1/252
1/504
0,02
Laminer
Akım
0,01
10 3
1/1014
Türbülanslı Akım
10 4
10 5
Re=VD/υ
Şekil 7.8 Nikuradse diyagramı
10 6
(b) Türbülanslı Akımda (Re≥
≥4000) : Türbülanslı akımda λ aynı
pürüzlülük şartları için üç farklı davranış sergilemektedir. Bunlar:
1. Hidrolik bakımdan cilalı boru durumu
: λ=λ(Re)
2. Hidrolik bakımdan cilalı-pürüzlü geçiş durumu : λ=λ(Re, k/D)
3. Hidrolik bakımdan pürüzlü boru durumu
: λ=λ(k/D)
•k/D rölatif pürüzlülük değerini göstermektedir.
•Şekil 7.8 de görüldüğü gibi S şeklindeki λ(Re,k/D) geçiş durumu
eğrileri, λ(Re) cilalı durum eğrisine ve λ(k/D) pürüzlü durum
doğrularına asimtotik biçimde yaklaşmaktadır.
•Rölatif pürüzlülük büyüdükçe geçiş eğrilerinin daha küçük Re
sayılarında cilalı durumdan ayrıldığı görülmektedir.
λ için yukarıda belirlenen farklı değişimler boru akımındaki üç farklı
sürtünme koşulunu temsil etmektedir. Yapılan deneylerden elde
edilen bulgulara göre bu koşullar Reynolds pürüzlülük sayısı
R*=u*k/υ değerine göre aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
R*≤5
5<R*<70
70≤R*
: Viskoz sürtünme
: Viskoz-türbülanslı sürtünme
: Türbülanslı sürtünme
Viskoz alt tabaka kalınlığı δv ile pürüzlülük yüksekliği k nın rölatif
büyüklüğü türbülanslı boru akımındaki farklı sürtünme koşullarının
açıklanmasında bir ölçüt olarak kullanılabilir. Viskoz alt tabaka
kalınlığı, viskoz alt bölge ve türbülanslı bölgedeki hız dağılımlarında
y=δv için eşitlenerek bulunabilir:
u *δ v
u *δ v
= 2.5 Ln
+ 5 .5
υ
υ
Bu denklemin çözümü ile δv için aşağıdaki bağıntı elde edilir:
u *δ v
= 11.6
υ
α orantı sabitini göstermek üzere yukarıdaki denklemde δv=kα yazılırsa:
u* k α
υ
= 11.6
R * α = 11.6
•R*≤5 için α≥11.6/5≈2.3 veya k≤0.43δv , bu durumda λ=λ(Re) ve boru
hidrolik bakımdan cilalı olmaktadır (Şekil 7.9a).
•R*≥70 için α≤11.6/70≈0.17 veya k≥6δv , bu durumda λ=λ(k/D) ve
boru hidrolik bakımdan pürüzlü olmaktadır (Şekil 7.9b).
•5<R*<70 için 0.43δv<k<6δv , bu durumda λ=λ(Re,k/D) ve boru
hidrolik bakımdan cilalı-pürüzlü geçiş durumundadır.
δv
δv
Şekil 7.9
Cilalı ve pürüzlü boru kavramları borunun fiziki pürüzlülüğünden
ziyade borudaki sürtünme koşullarını yansıtan deyimler olmaktadır.
Bir boru, akım şartları bakımından hem cilalı, hem pürüzlü, hem de
geçiş bölgesinde bulunabilir.
Nikuradse’nin λ için Şekil 7.8 de verilen deneysel bulguları
kullanılarak türbülanslı boru akımındaki farklı sürtünme koşulları için
aşağıdaki ampirik formüller verilmiştir.
Cilalı Boru Kanunu : Hidrolik bakımdan cilalı koşullarda
4000≤Re≤3x106 için aşağıdaki Karman-Prandtl formülü
kullanılabilir:
1
= 2 log
λ
Re λ
2.51
Re≤105 için aşağıda verilen Blasius formülü daha pratik olabilir:
λ=
0.316
Re0.25
Pürüzlü Boru Kanunu : Hidrolik bakımdan pürüzlü koşullar için
Karman-Prandtl formülü:
1
λ
= 2 log
3.7
k/D
Cilalı-Pürüzlü Geçiş Kanunu : Colebrook ve White, 1937 yılında
endüstriyel borular üzerinde yaptıkları deneylerde geçiş bölgesindeki
λ eğrilerinin S şeklinde olmayıp, Şekil 7.10 da görüldüğü gibi cilalı
ve pürüzlü bölgelere asimtotik bir şekilde tedrici olarak yaklaştığını
görmüşlerdir. Bu verilerden hareketle Colebrook ve White (7.18) ve
(7.20) denklemlerini uygun bir şekilde birleştirerek aşağıdaki
Colebrook-White geçiş formülünü vermişlerdir:
 k/D
2.51

= - 2 log 
+
λ
 3.7 Re λ
1




λ İçin Moody Diyagramı
Moody 1944 yılında, Colebrook-White formülünü kullanarak
endüstriyel boruların hidrolik hesapları için Şekil 7.10 da görülen ve
Nikuradse diyagramından biraz farklı görünümdeki diyagramı
vermiştir. Moody diyagramındaki k değeri Nikuradse deneylerinde
kullanılan aynı sürtünme etkisine sahip kum tanelerinin çapına eşittir.
k değeri eşdeğer kum pürüzlülüğü dür. Tablo da çeşitli
malzemelerden üretilmiş borular için k değerleri verilmiştir.
Boru Malzemesi
Cam
Tunç, bakır
Plastik
Asbestli çimento
Kaplamasız çelik
Kaplamalı çelik
Asfalt kaplamalı font
Galvanizli demir
Kaplamasız font
Beton
k (mm)
cilalı
0.0015
0.007
0.025
0.03
0.06
0.12
0.15
0.26
0.3-3
λ
Geçiş bölgesi
Pürüzlü boru
k
D
Cilalı boru
R * =70
R * =5
Türbülanslı akım
Re=VD/ ν
Şekil 7.10 Moody diyagramı
Darcy-Weisbach Formülünün Dairesel Olmayan Borulara
Uygulanması
Dairesel olmayan boruları da kapsayacak nitelikte bir sürtünme
faktörü λ mevcut değildir. Ancak kesit şeklinin eksenel simetrik
durumdan çok fazla uzaklaşmadığı dairesel olmayan borularda D
çapı yerine aşağıda tanımlanan hidrolik yarıçap parametresi
kullanılarak sürtünme kaybının hesabında Darcy-Weisbach
formülünden yararlanılabilir.
Dairesel boruda hidrolik yarıçap:
Akim kesit alanı, A
π D2 / 4 D
R=
=
=
Akim ıslak çevresi, P
πD
4
buradan elde edilen D=4R değeri Darcy-Weisbach denkleminde
kullanılırsa:
L V2
hs = λ
4R 2g
veya
hs
V2
=S=λ
L
8g R
Dairesel olmayan kesitlerde Re ve k/D değerleri aşağıdaki gibi
yazılabilir:
4VR
Re =
,
υ
k
k
=
D 4R
Buna göre, herhangi bir geometriye sahip kesit şekli için D yerine R
kullanılacaktır.
Borularda Su Akımı İçin Ampirik Formüller
Borulardaki su akımı için doğrudan hesap yapılabilecek ve DarcyWeisbach formülüne göre daha basit ve kullanışlı olabilecek ampirik
formüller de geliştirilmiştir. Bu formüller genellikle aşağıdaki
formlarda görülür:
V = a D xSy
veya
V = a R xSy
burada V akım ortalama hızı, a pürüzlülük katsayısı, D boru çapı, R
hidrolik yarıçap, S enerji çizgisi eğimi, x ve y deneysel olarak
bulunan üslerdir. Bu formüllerin kullanılması sırasında özellikle
sürtünme katsayısının doğru tespiti hususunda hatalar yapılabilir.
Hidrolik Cilalı Borular İçin
Hidrolik bakımdan cilalı borularda λ için Blasius formülü
kullanılarak Darcy-Weisbach denklemi aşağıdaki forma indirgenir:
λ = 0.316 / Re 0.25
0.316 V 2
 υ 
V2
S=λ
=
= 0.316 

0.25
2 g D Re
2gD
VD
0.25
V2
2gD
Su için υ=1.14 mm2/s değeri kullanılırsa:
V=75 D5/7S4/7=75 D0.71S0.57
veya
burada D=m, R=m ve V=m/s cinsindendir.
V=201 R5/7S4/7
Geçiş Bölgesi Boruları İçin
Bu durumda aşağıda verilen Hazen-Williams formülü yaygın olarak
kullanılmaktadır:
V = 0.354 C D 0.63 S 0.54
veya
V = 0.85 C R 0.63 S 0.54
burada D=m, R=m ve V=m/s cinsindendir. Pürüzlülük katsayısı C
için Tablo 7.2 de tipik bazı değerler verilmiştir.
Tablo 7.2 C değerleri
Boru malzemesi
C
PVC, AÇB
140
Yeni çelik veya font
130
Beton
120
Yeni kaplamalı çelik
110
Eski font
100
Çok eski ve paslı font
80
Hidrolik Pürüzlü Borular İçin
Açık kanallarda yaygın olarak kullanılan Manning formülü hidrolik
bakımdan pürüzlü borular için de kullanılabilir:
0.397 2 / 3 1/ 2
1 2 / 3 1/ 2
veya
V
=
R S
D S
n
n
burada D=m, R=m ve V=m/s cinsinden olup n pürüzlülük
katsayısıdır.
V=
Tablo 7.3 n değerleri
Boru cinsi
n
Pirinç ve cam borular
0.009 - 0.011
Asbest çimento borular
0.010 - 0.012
Kaynaklı çelik borular
0.011 - 0.013
Ahşap boru
0.011 - 0.013
Temiz, içi kaplamalı olmayan font boru 0.013 – 0.015
Temiz, içi kaplamalı font boru
0.012 – 0.014
Galvaniz boru
0.015 – 0.017
İyi cilalı beton boru
0.011 – 0.012
Kalıptan çıkmış beton boru
0.012 – 0.014
Künk drenaj borusu
0.012 – 0.014
Sılanmış kanalizasyon borusu
0.013 – 0.015
Perçinli çelik boru
0.015 – 0.017
Pislenmiş font boru
0.015 – 0.035
Kıvrımlı demir boru
0.020 – 0.022
CHEZY Formülü
V = C RS
C: Chezy katsayısıdır ve Darcy denklemi yardımı ile sürtünme
faktörü cinsinden;
8g
C=
λ
m1/2/s değerine eşittir.
Boru ve kanallardaki su akışına ait olmak üzere çok sayıda deneyler
yapılmış ve C’yi veren formüller ortaya konmuştur. Kutter formülü
C=
100 R
m+ R
veya C = 100 D
2m + D
Burada m; pürüzlülük katsayısıdır.
Tablo 7.4 n değerleri
Boru cinsi
m
Yeni font borular
Kullanılmış font borular
Dökme çelik borularda
Yeni greseramik borular
Kullanılmış greseramik borular
Pis su kanalları
Cilalı sıvalı galeriler
0.20
0.25
0.20
0.25
0.30 – 0.35
0.30 – 0.35
0.20 – 0.25