BÖLÜM 1 VEKTÖRLER

•Vektörel
ve Skaler Nicelikler
•Vektörlerin Toplanması
•Vektörlerin Çıkarılması
•Bir Vektörün Bileşenleri
•Birim Vektörler
•Vektörlerin Grafiksel Toplamı
•Vektörlerin Paralelkenar Yöntemi ile Toplanması
•Vektörlerin Bileşen Yöntemi ile Toplanması
Büyüklüğü ve yönü olan niceliklere vektörel
nicelikler diyoruz. Yerdeğiştirme, hız, ivme
ve kuvvet niceliklerini örnek olarak
verebiliriz. Yön özelliğine sahip olmayan
nicelikler ise, skaler nicelikler adını alır.
Uzunluk, zaman, sıcaklık, kütle, yoğunluk
ve hacım gibi birçok nicelikler skaler
niceliklerdir. Vektörel nicelikler, kalın yazı
tipinde ( F gibi ) veya niceliğin üzerine
vektör işareti (
gibi) konularak gösterilir.
Burada her iki gösterim de kullanılacaktır.
Bir A noktasından bir B noktasına olan yerdeğiştirme
vektörel bir niceliktir. Vektörün boyu A-B arasındaki
uzunluk, yönü ise A’dan B’ye ok yönüdür.
İki vektör toplandığında sonuç, toplamın sırasından
bağımsızdır. Buna toplamın değişme özelliği denir:
Bir vektörün başka bir vektörden
çıkarılması ile, aynı vektörün
tersinin toplanması aynı sonucu
verir. Yani, A vektöründen B
vektörününü çıkarmak için B’nin
yönü terslenerek A’ya eklenir.
Bir vektörün bileşenlerini tanımlamadan
önce, trigonometrik fonksiyonlar arasındaki
temel bağıntıları vermeliyiz.
Trigonomrtik fonksiyonlar, bir dik açıyla
bağlantılı olarak tanımlanır. Şekil de
gösterilen dik üçgen için bağıntılar
aşağıdaki gibidir:
Bir vektörün bileşeni, verilen bir yöndeki etkin değeridir. Örneğin, bir
yerdeğiştirmenin x-bileşeni, verilen yerdeğiştirmenin neden olduğu xeksenine paralel yerdeğiştirmedir.
İki boyutta bir vektör, herhangi birbirine dik iki doğrultu boyunca yer
alan iki vektör bileşenine ayrılabilir. Yani, herhangi bir F vektörü, onun Fx
( F’nin x-ekseni boyunca izdüşümü) ve Fy ( F’nin y-ekseni boyunca
izdüşümü) dik bileşenleri ile temsil edilebilir
Fx= Fcos
ve
Fy=Fsin
Üç boyutta bir vektör, birbirine dik herhangi
üç doğrultu boyunca ayrışan vektör
bileşenlerinin bileşkesi olarak düşünülebilir
Vektörel nicelikler genelde birim vektörler
cinsinden ifade edilirler. Birim vektör, verilen
bir yönü belirlemek için kullanılan, birim
uzunluklu, boyutsuz bir vektördür. x, y ve z
doğrultularını gösteren birim vektörler,
sırasıyla (i , j , k) harfleriyle gösterilirler.
Örneğin, A vektörü 3i’ye eşit olsun. Bunun
anlamı,+x doğrultusunda 3 birimlik bir
vektörü göstermektedir. Benzer şekilde, -5k
ise eksi z-doğrultusunda 5 birimlik vektör
demektir. Böylece, üç boyutta F vektörü,
aşağıdaki gibi yazılabilir:
Birçok vektörün bileşkesini bulmaya yarayan
bir metoddur. Şekil-3’deki gibi O noktasından
başlayan ve P noktasında sonlanan uç uca
eklenmiş vektörlerin bileşkesi,
R=A+B+C
şeklinde olur.
R=A+B+C
Örneğin, aralarında belli bir açı olan iki
vektörün toplanması aşağıdaki formül ile
büyüklüğü hesaplanabilmektedir. Başlangıç
noktaları aynı olan vektörler, bitiş
noktalarından birbirlerine paraleller çizilerek
paralelkenar elde edilir. Başlangıç ile yeni köşe
arasındaki uzaklık toplam (bileşke) vektörü
verir.
A=Axi+Ayj+Azk ve B=Bxi+Byj+Bzk
gibi iki vektörün toplanması, aynı yöndeki
bileşenlerin toplanması ile bilşeke vektör elde
edilir:
R=A+B =( Axi+Ayj+Azk)+( Bxi+Byj+Bzk)
=(Ax+Bx)i+(Ay+By)j+(Az+Bz)k
=Rxi+Ryj+Rzk
Bileşke vektörün büyüklüğü ise,
olur.