Matematik ve Sanat1,2
Transkript
Matematik ve Sanat1,2
Matematik ve Sanat 109 1 Matematikçiler Derneði, Matematik Etkinlikleri, Çaðrýlý Kouþma, Milli Kütüphane, Ankara, Haziran 2000. Matematik ve Sanat1,2 Zarafetle yapýlmýþ bir kanýtlama, yazýldýðý biçim dýþýnda her açýdan bir þiirdir. Morris Kline Felsefe derslerinde dört klasik sorunun yanýtý aranýr: Hakikat (truth) nedir? Gerçeklik nedir? Adalet nedir? Güzellik nedir? Bu dört soru, genellikle, 110 T.Karaçay, Bilime Yabancý Sanat Kavramsal, Metafiziksel, Etik, Estetik olarak nitelendirilir ve öyle incelenir. Hakikat, gerçeklik ve adalet ile ilgili sorular, klasik felsefede önemlidirler; dolayýsýyla birinci sýnýf konulardan sayýlýr. Bu nedenle, düþünce tarihi boyunca filozoflarca incelenegelmiþtir. Ama estetik, klasik felsefede ikinci sýnýf bir konu olarak kalmýþtýr. Bunun nedenlerini sorgulayan düþünürler de olmuþtur. Genel kaný þudur: “Sanat analiz için deðil, zevk alýnmak için vardýr. Analiz sonunda ortaya çýkacak estetik kuramý, açýklamayý amaçladýðý sanatla ilgisini keser, kavramsal biçime dönüþür. Ayrýca, estetik –her ne ise- yalnýzca meraklýlarýný ilgilendirir.” “Güzellik ve sanat, titizlikle tanýmlansalar bile, göreceli olarak ayrýntý sayýlacak yüzeysel kavramlardýr; ciddiyetle ele alýnmaya deðmezler.” Düþünce dünyasýndan, bu görüþü destekleyen ilginç sözler seçebiliriz: “Estetiði bilime dönüþtürme giriþimlerine karþýn o hala spekülatif felsefenin bir koludur. Felsefenin bütün kollarý içinde belki de en az etkili ve en az hareketli olaný odur.” Thomas Munro, Toward Science in Aesthetics “Estetik, bir konunun var olmadýðý yerde bir konu yaratma çabasýdýr.” Arthur Berger (D.W.Prall’ýn Aesthetic Analysis’ in önsözü) “Estetiðin sevimsizliði” –Makale baþlýðýJ.A.Passmore Matematik ve Sanat 111 “Estetiin sevimsizliði, birçoðumuzun gizliden paylaþtýðý bir tavýrdýr.” Arthur Berger “Estetik, felsefenin ana akýntýlarýnýn kenarýnda kalan durgun sulardýr.” Nicholas Wolterstorff Biz, burada, estetiðin ciddiye alýnmasý gerektiðini söylemekle yetinmeyecek, onun matematikte ve fiziksel bilimlerde çok ciddiye alýndýðýný örneklerle göstermeye çalýþacaðýz. Estetik, kimin hangi sanattan zevk aldýðý ya da neden zevk aldýðý gibi göreceli olarak basit sayýlacak bir konu olmayý çok aþar. Bir sanat eleþtirmeninin bir sanat yapýtýný yorumlarken dayandýðý gerekçelerin –ki çoðunlukla nesnel deðildir - de önem taþýmadýðý savunulabilir. Her yýl konuyla ilgili 25 bin araþtýrma makalesi yayýmlandýðý söylenir. Bu yazýlarýn neden okunduðunu bir kenara býrakabilir miyiz? Ýnsanlarý, güzellik için ve yalnýzca güzellik için zor iþler yapmaya iten nedenleri araþtýrmalýyýz. Bunu yapabilmek için, estetiðin ne olduðunu ortaya koymaya çabalamalýyýz. Tabii, felsefenin yapmasý gereken bu zor iþi, burada yapmaya kalkýþacak deðiliz. Bunun yerine, matematik ile sanatýn benzerliklerini ya da farklýlýklarýný ele almaya çalýþacaðýz. TDK Sözlüðünden bazý tanýmlarý alalým: Sanat (ad) 1.Bir duygunun, tasarýnýn ya da güzelliðin anlatýmýnda kullanýlan yöntemlerin tümü ya da bu anlatým sonucunda ortaya çýkan üstün yaratýcýlýk: Selimiye Camii yüksek bir sanat yapýtýdýr. 2. Belli bir uygarlýðýn anlayýþ ve beðeni ölçülerine uygun olarak yaratýlmýþ anlatým: Türk sanatý. Yunan sanatý. 112 T.Karaçay, Bilime Yabancý Sanat Güzellik (ad) 1. Estetik bir beðeni, coþku, hoþlanma duygusu uyandýran nitelik, hüsun. 2. Ahlaksal ve düþünsel nitelikleriyle hayranlýk uyandýran þey. Estetik (ad) Sanatsal yaratýnýn genel yasalarýyla, sanatta ve yaþamda güzelliðin kuramsal bilimi, güzelduyu, bediiyat. 2. Güzelliði ve güzelliðin insan belleðindeki ve duygularýndaki etkilerini konu olarak ele alan felsefe kolu, güzelduyu. Dikkatle bakýnca, bu ifadelerden biri ötekini gerektiriyor; kýsýr döngüye girilmiþtir. Baþka sözlüklerin ve ansiklopedilerin sanat için verdikleri tanýmlar da bundan farklý deðildir. Öte yandan, matematiksel varlýklarýn estetik olup olmadýklarýný söyleyebilmek için, estetiðin tanýmýna uyup uymadýklarýna bakmak gerekir. Ama, öyle görünüyor ki, ne felsefe ne de sanat, estetiði iyi tanýmlamýþtýr. Burada iyi tanýmlý olmak, matematiksel bir deyimdir ve çok önem taþýr. Bir kümenin iyi tanýmlý olmasý demek, o kümenin bütün öðelerinin eksiksiz belirlenmesi ama o kümeye hiç bir yabancý öðenin karýþamamasý demektir. Bunu çok özlü anlatan bir Osmanlýca deyim vardýr. Ýyi taným, “efradýný cami, ayarýný mani” olan tanýmdýr. Bazý kavramlarýn iyi tanýmlarýný yapmak zordur. Bu durumlarda, bilim adamlarý, taným yerine betimleme yapmayý yeðlerler. Örneðin, fizikçiler gravitasyonu tanýmlamaya çalýþmazlar, onu betimlemenin, onun ne yaptýðýný açýklamanýn daha doðru olduðuna inanýrlar. Biz de burada ele alacaðýmýz “matematik” ve “sanat” kavramlarý için bu kolay yolu izleyeceðiz. Matematikçi Gözüyle Bir Sanat Yapýtýnýn Nitelikleri Bir sanat yapýtý aþaðýdakilerden birini ya da bir kaçýný yapabilir. Bu nitelikler nesnel olabileceði gibi, kavramsal da olabilir. Matematik ve Sanat 113 1. Doðadaki bir varlýðý taklit eder ya da onun bazý niteliklerini ifade eder. 2. Doðaya yeni bir þey ekler. 3. Doðada olan bir þeyi deðiþtirir. 4. Doðada olan bazý þeyleri ayrýþtýrýr ya da birleþtirir. 5. Doðada olan bir þeyle etkileþime girer. Örneðin, bir portre, bir fotoðraf bir heykel doðanýn birer taklididirler. Bir tablo doðadaki cisimleri, ýþýklarý ve renkleri birleþtirir. Bir melodi, doðadaki sesleri ayrýþtýrýr ve yeniden baþka türlü birleþtirir. Bir þiir, bir roman doðada (insanda) var olan dili ayrýþtýrýr, birleþtirir ve doðadaki varlýkla (insanla) etkileþime girer. Peki bunlarý yapan her þey bir sanat mýdýr? Teknolojinin son harikasý diye piyasaya sürülen bir otomobil, doðada bir þeyler ayrýþtýrýlarak, birleþtirilerek yapýlmýþtýr. Üstelik insanla ve hatta toplumla etkileþim içindedir. Ama, çoðu insan, hele hele sanatla ilgisi olanlar, bir otomobili asla bir sanat yapýtý olarak görmezler. Bunun yerine, bir parka konulmuþ bir kaðný tekeri bir sanat yapýtý sayýlabilir. O halde, sanat yapýtýna yeni nitelikler eklemeliyiz: 6. Sanat yapýtý biriciktir; bir eþi daha yoktur. Mýsýrdaki büyük piramit, çoðu kiþiye göre bir sanat harikasýdýr. Ama Manhattan’daki gökdelenlerin hiç birisi sanat yapýtý bile sayýlmaz. Büyük piramit de Empire State Building de biriciktirler. Büyük piramit zor yapýlmýþtýr. O günün koþullarýnýn yeniden oluþturulup Büyük Piramit’in bir benzerini yapmak olanaksýzdýr. Ama, Empire State Building’ in aynýsý her zaman ve kolayca yapýlabilir. Öyleyse, sanat yapýtýna þu niteliði de 114 T.Karaçay, Bilime Yabancý Sanat ekleyebiliriz: 7. Sanat yapýtýnýn bir eþi yaratýlamaz. Erciyes daðý biriciktir; doða onun aynýsýný bir daha yaratamaz. Ama onun bir sanat yapýtý olduðunu söylemiyoruz. O halde, listemiz biraz daha uzayacaktýr: 8. Sanat yapýtýný yaratan insandýr. Bir baþka örneðe geçelim. Salvador Dali’nin “S.Antonio’nun Baþtan Çýkmasý” adlý tablosunu herkes yaratamaz. Bunu yaratmak için, yapýmcýsýnýn özel yetilerinin olmasý gerekiyor. Acaba, Michelangelo “Davud” heykelini bir daha yapabilir miydi? Mozart’ýn “Saraydan Kýz Kaçýrma” operasýný bir baþkasý da besteleyebilir miydi? Yanýtýmýz hayýr olduðuna göre, listemize bir nitelik daha ekleyelim: 9. Sanat eserini, özel yetisi olan yapýmcýsýndan baþkasý yaratamaz. Yapýmcýsý da onu bir daha yaratamaz. Eðitimli herhangi bir kiþi Dolmabahçe Sarayý’ný bir sanat yapýtý sayarken, ayný þansý Ankara’daki Milli Kütüphane binasýna vermez. Çünkü birincisi çevresiyle uyumlu bir güzellik duyumsatýr, ama ikincisi bu duyguyu vermez. Demek ki, listemiz daha bitmedi: 10.Sanat yapýtý estetiktir. Listemize sonuncu olan ama belki de hepsinden önemli olan bir nitelik daha ekleyeceðiz. Hemen hemen hiçbir sanatçýnýn ilk yapýtlarý sanat dünyasýna hemen kabul edilmemiþtir. Ancak, sanatçý sanat dünyasýna kabul edildikten sonra, o kabul görmeyen ilk yapýtlarý da sonrakiler kadar sanat deðeri taþýmaya baþlar. Demek ki, bir yapýtýn sanat yapýtý olup olmadýðýna karar Matematik ve Sanat 115 verilirken, o yapýtýn yukarýdaki on niteliðin çoðuna sahip olmasý yetmez. Yapýtýn özünde olmayan bir nitelik daha gerekiyor.*** 11.Sanat yapýtý ya da yaratýcýsý sanat dünyasýna tanýtýlmýþ olmalýdýr. Bir sanat yapýtýný betimlerken, yukarýda sýralananlara yenileri eklenebilir ya da bazýlarýnýn birbirlerinden baðýmsýz olmadýðý söylenerek liste azaltýlabilir. Peþinde olduðumuz amaca ulaþmak için, bunlar çok önem taþýmýyor. Gerçek olamayacak kadar harika hiç bir þey yoktur. Michael Faraday Matematiðin Nitelikleri Sanat ile matematik arasýndaki iliþkiyi ortaya koyabilmek için, sanat için açýkladýðýmýz niteliklerden hangilerinin “matematik” için de geçerli olduðunu araþtýrmalýyýz. Matematiðin sözlüklerde ve ansiklopedilerde deðiþik tanýmlarýný bir araya getirirsek, onun iþlevlerini ortaya çýkarabiliriz. 1. Matematik insanlýðýn biricik ortak dilidir, 2. Matematik bilimdir, 3. Matematik bilimin vazgeçilmez aracýdýr, 4. Matematik sanattýr. Doðanýn Dili 116 T.Karaçay, Bilime Yabancý Sanat Matematiðin, insanlýðýn ortak dili olduðu yadsýnamaz. Her insan saymayý, mukayese yapmayý bilir. Biraz eðitimli olanlar aritmetik iþlemleri yapabilir. Parayla alýþ-veriþ yapar, para üstünü alabilir. Tren tarifesi gibi tablolarý okuyup anlayabilir. Bütün bu iþlerin, her ülkede, her dilde yapýlýþý aynýdýr. Bu anlamda, günlük yaþamda kullanýlan matematik, insanlýðýn ortak dilidir. Gelmiþ geçmiþ bütün uygarlýklar matematiðe neredeyse birincil önem vermiþtir. Hemen her ülkenin eðitim sisteminde matematik öðretimi anadil öðretimi kadar önem taþýr. Bunun nedeni, yalnýzca, matematiðin “günlük iþlere yarayan bir araç” olmasý deðildir. Günlük yaþamýn gerektirdiði matematiði, sade bir yurttaþa öðretmek için, bu kadar uzun ve zahmetli bir uðraþa gerekseme olmadýðýný rahatlýkla savunabiliriz. Kuþkusuz, matematik, günlük yaþamý kolaylaþtýrmanýn çok ötesine geçer; insanlar onun farkýna varsa da varmasa da o kendi baþýna vardýr. Bilim denilen þeyi, bütün görkemiyle özünde bulundurur. Matematiði bilimin bir aracý olarak düþünüp; “Doða’nýn kitabý matematik diliyle yazýlmýþtýr” diyen fizikçilere de hak vermeliyiz. Bunu hekettiren pek çok örnek vardýr: Pergeli Apollonius Ý.Ö.200 yýllarýnda “Konikler” adlý sekiz kitaptan oluþan ünlü yapýtýnda çember, elips, parabol ve hiperbolleri incelemiþtir. Yaklaþýk 19 yüzyýl boyunca, bu deðerli bilgiler fiziksel dünyadan uzak olarak kullanýlmadan bir köþede durdu. 1600 yýllarýnda Johannes Kepler gezegenlerin hareketlerini Apollonius’un konikleriyle açýklayýverdi. Solomon Bochner der ki “Kepler, Apollonius’un doðrudan varisiydi, ama Kepler olmasaydý Newton da olamazdý!”. Peki, Newton’un yasalarýný fiziksel bilimlerden (dolayýsýyla teknolojiden) silince geriye ne kalýr? Demek ki, bu günkü uygarlýðýmýz, Antalya ilindeki o görkemli Perge kentinde yaþayan Apollonius’ a çok Matematik ve Sanat 117 þey borçludur. Öklid geometrisi 2000 yýl boyunca, evreni açýklamak için kullanabileceðimiz en mükemmel araç olarak görülmüþtür. 19.yy da Riemann, Gauss, Bolyai ve Lobachevski gibi pür matematikçiler, Öklidyen olmayan yeni geometriler yarattýlar. Hiç kimse, bunlarýn bir iþe yarayacaðýný düþünmüyordu. Ama, Einstein’in “Görecelik Kuramý” Öklit Geometrisi içinde açýklanamadý. Hiç bir iþe yaramaz sanýlan bu yeni geometriler kullanýldý. Geçen yüzyýlýn en önemli fizik problemlerinden birisi Kuantum Mekaniði’dir. Iþýðýn nasýl yayýldýðýný açýklamak, kuantum mekaniðinin önemli baþarýlarýndan birisidir. Ama bu açýklama tümüyle matematiðin eseridir. Iþýðýn nasýl yayýldýðýný insanoðlu çok uzun zamandan beri merak ediyordu. Geçen yüzyýlýn ilk yarýsýnda, Dirac, ýþýðýn parçacýklar halinde yayýldýðýný, Heisenberg ise dalga hareketiyle yayýldýðýný savundu. Her ikisi saðlam düþüncelere dayanýyor ve her ikisi de deneysel sonuçlarla doðrulanýyordu. Sonunda, matematikçiler, Hilbert Uzaylarý denilen yeni matematiksel varlýklarý yarattýlar. Dirac’ýn parçacýk kuramýnýn l 2 ile gösterilen bir dizi uzayýnda açýklandýðýný, Heisenberg’in dalga kuramýnýn ise L2 ile gösterilen bir fonksiyon uzayýnda açýklandýðýný; ama bu iki uzayýn matematiksel olarak eþyapýlý olduklarýný gösterdiler. L2 de alýnan bir fonksiyonun Fourier katsayýlarý, l2 uzayýna aitti. Dolayýsýyla, parçacýk ve dalga kuramlarý, birbirine denk ama farklý iki matematiksel modelle temsil ediliyordu. Dolayýsyla, iki kuram, özlerinde bir birlerine denk idiler, ama farklý dillerde (modellerde) açýklanýyordu. Matematiksel Varlýklar Keþfediliyor mu? Yaratýlýyor mu? Matematiksel varlýklarýn, fiziksel varlýklar gibi, insan düþüncesinden baðýmsýz olarak var olduklarý düþüncesi Platon’a kadar gider. O görüþe göre, matematiksel varlýklar keþfedilirler. 118 T.Karaçay, Bilime Yabancý Sanat Örneðin, sayýlar doðada zaten vardý ve keþfedilmeyi bekliyorlardý. Birileri onlarý keþfedince, bilgi dünyamýza katýlmýþ oldular. Bunun karþýtý olan görüþ ise, matematiksel varlýklarýn düþünceyle yaratýldýðýný savunur. Matematiksel varlýklar, insan düþüncesinden baðýmsýz varlýklar deðildir. Örneðin, 5 sayýsý doðada var olan fiziksel bir nesne deðildir. 5 elmayý, 5 armutu, 5 sandalyeyi algýlamamýzý saðlayan soyut bir kavramdýr. Sayýlardan kümeler oluþtururuz, kümeler üzerinde iþlemler ve giderek yapýlar (uzaylar) kurarýz. Uzaylar arasýnda fonksiyonlar tanýmlarýz. Birinden ötekine dönüþümler yaparýz. Bunlarýn fiziksel uzayda karþýlýklarý yoktur; ya da , en azýndan, matematikçi bunlarý yaparken fiziksel karþýlýðýnýn olup olmadýðý sorusuyla ilgilenmez.. Ne biçim adamlardýr o þairler ki, Jüpiterden insan gibi bir varlýkmýþçasýna söz edebilirler de, topaç gibi dönen dev bir metan ve amonyak küresi olduðunu hiç söylemezler. Richard Feynman, Nobel Fizik Ödüllü Bu ve benzeri örnekleri göstererek, matematiksel varlýklarýn zaten doðada var olduklarýný ve zamaný gelince keþfedildiklerini söyleyenlere hak vermek mümkündür? Daha ileri giderek þunu sorabiliriz: Baþka bir gezegende, dünyamýza benzer yaþam koþullarý ve bize benzeyen canlýlar varsa, acaba onlarýn matematiði de bizimki gibi midir? Bu tür sorulara yanýt aramak, belki safsatayla uðraþmaktýr. “Safsata” deyimi çok yerinde sayýlmýyorsa, o soruya bu gün felsefenin ya da bilimin yanýt veremediðini söyleyebiliriz. Her iki görüþü destekleyen ya da yadsýyan örnekler bulmak zor deðildir. Matematiksel bir varlýðýn (matematiksel bir kavram, taným, önerme), yukarýda sanat için sayýlan on bir özelikten bazýlarýný saðladýðý apaçýktýr. Örneðin, üçgen’i doðada zaten var olan bir varlýk olarak düþünenler olabileceði gibi, onu doðaya eklenen yeni bir varlýk olarak da düþünenler olabilir. Hangisini kabul Matematik ve Sanat 119 ederseniz edin, “Üçgenin iç açýlarý toplamý 180 derecedir” diyen önermenin doðaya katýlan bir varlýk (kavram) olduðunu kabul edeceksiniz. 1,2,3,4,5,... diye saydýðýmýz Doðal Sayýlar’ý ortaya koyan bir kiþiden sözetmek (ki bunu ilk kez tanýmlayan Ýtalyan matematikçisi Guiseppe Peano (1858-1932)’dur) olanaðý varsa, o kiþi olmasaydý, bir baþkasýnýn doðal sayýlarý ortaya koyacaðý tartýþmasýz kabul edilir. Kimilerine göre, Doðal Sayýlar, zaten doðada var olan varlýklardý; insan onu sadece keþfetmiþtir, týpký Amerika’nýn keþfedilmesi ya da röntgen ýþýnýnýn keþfedilmesi gibi... Öyleyse, Peano olmasaydý, bir baþkasý onu zaten keþfedecekti. Doðal Sayýlarýn yaratýldýðýný savunanlar da þunu söylerler: O günkü bilgi (bilim) sýnýrý Doðal Sayýlar’ýn ortaya çýkmasýný gerektiren bir yere ulaþmýþtý. Ýnsanlar böyle bir alete þiddetle gerekseme duyuyurdu. Dolayýsýyla, Doðal Sayýlar’ýn yaratýlmasý kaçýnýlmaz hale gelmiþti. Peano olmasaydý, Doðal Sayýlar’ý zaten bir baþkasý yaratacaktý.** Öte yandan, “Selimiye Camii’ni Mimar Sinan olmasaydý bir baþkasý yaratabilir miydi?” sorusuna yukarýdaki gibi yanýt veremeyiz. Büyük olasýlýkla, bir baþkasýnýn yaratacaðý cami, Mimar Sinan’ýn yaptýðýna benzemeyecekti. Sayýlar’ý ister yaratýlmýþ sayýn, ister keþfedilmiþ sayýn, sayýlarla yapýlan iþlemler matematiðin doðaya kattýðý yeni varlýklar (kavramlar) dýr. Matematiðin yarattýðý ya da keþfettiði her þey biriciktir. Örneðin, dik üçgenlerin kenarlarý arasýndaki baðýntýyý veren ünlü Pisagor Teoremi biriciktir. “Doðal Sayý” kavramý (varlýðý) biriciktir. “Bir üçgenin iç açýlarý toplamý 180 derecedir” önermesinin bir eþi daha yaratýlamaz. Çünkü bu özeliði ifade eden her þey bu önermeyle özdeþ olur. “Doðal Sayý” kavramý (varlýðý) bir daha yaratýlamaz; çünkü doðal sayýlarýn niteliklerini taþýyan her varlýk da onunla özdeþ olur. Bu iþ, bir sanat yapýtýnýn kopyalarý gibi yorumlanabilir mi? Peano’nun ne yaptýðýný bilen birisi Doðal Sayýlar’ý yeniden keþfediyorsa, yaptýðý iþ bir kopyadýr. 120 T.Karaçay, Bilime Yabancý Sanat Peano’yu bilmeden Doðal Sayýlarý yeniden yaratacak kiþi, Amerigo Vespucci’yi (isterseniz Christoforo Columbus deyin) bilmeden Amerikayý yeniden keþfedecek acemi bir gemiciye benzer. Bu ve benzeri örnekler gösterilerek, “Matematik doðanýn esas dilidir.” tezi inançla savunulabilir: “Matematiðin bilim için çok deðerli olmasýnýn nedeni, bilimsel yasa ve teorilerin en güzel, belki de yegane tam ifadelerinin matematiksel formüller biçiminde olmasýdýr. Bir bilimsel teorinin matematiksel teori ile ifade edilmesindeki kesinlik ölçüsü, o bilimin durumunun bir ölçüsüdür.” L.T.Moore Þimdi, konuya baþka bir açýdan bakalým. Bütün insanlara doðanýn yasalarýný öðretmeyi amaçlamadýðýmýza göre, matematik öðretiminin bu denli yaygýn oluþuna baþka gerekçeler aramalýyýz. Bertrand Russell, insanýn neden matematik öðrenmesi gerektiðini ciddi olarak incelemiþ ve “... arzu edilen þeyin sadece yaþamak olgusu olmayýp, yüce þeyler üzerinde düþünerek yaþamak sanatý olduðunun hatýrlanmasýnda yarar vardýr.” demiþtir. Eðitim ve kültür sistemlerimiz, insanlarýn resimden, müzikten, þiirden, heykelden; kýsaca sanattan zevk almasýný istiyor. Bu istek, Russell’in söylediði yüce þeyler kapsamýna girer. Matematiði de bu kapsamda saymak gerektiði apaçýktýr. Matematiðin, bütün insanlarýn biricik ortak dili olduðu, günlük yaþam için yararlý olduðu, doða olaylarýný açýklayan bir dil olduðu ve kendi kendisine yeten bir bilim olduðu yadsýnamaz. Ama bütün bunlarýn ötesinde, Russell’in yüce þeyler’i arasýndadýr: Matematik ve Sanat 121 “Matematik bir sanattýr.” Çünkü, bir sanat dalýnda arayacaðýnýz her yüce þey matematikte vardýr. Estetiðin Ölçütü Var mý? Sanatýn ve estetiðin iyi tanýmlanmadýðýný ve felsefede ciddiye alýnmadýðýný söylemiþtik. Tanýmlarýn yokluðu bir yana, analitik felsefe açýsýndan, “Matematik içeren, gerçeðe uygun bir estetik teori var olamaz.” diyenler hemen hemen herkestir.. Hatta, daha ileri giderek, “Kabul edilebilir bir estetik teori yoktur.” diyen filozoflar da büyük çoðunluktadýr. “Hakikat nesnellikle ilgilidir; iyilik kavramý ise hemen hemen nesneldir. Bu kavramlara bakanýn ‘beðeni’sine baðýmlý olan ‘güzellik’ kavramý nesnel deðildir.” Mortimer Adler : Six Great Ideas Estetiðin bir ölçütü bir ölçütü henüz yoktur, ama buna bir formül vermeye kalkýþan matematikçiler vardýr: George Stiny-James Gips : Algorithmic Aesthetics George David Birkhoff : Mathematics of Aesthetics Birkhoff ilginç bir formül sunmaktadýr. Estetiði belirleyen birbirinden baðýmsýz üç deðiþken olduðunu varsayarak, bu deðiþkenler arsýndaki baðýntýyý þu formülle vermektedir: 122 T.Karaçay, Bilime Yabancý Sanat Estetik = Uyum / Karmaþa (1) Buna göre, estetik ölçütü uyum ile doðru orantýlý iken, karmaþa ile ters orantýlýdýr. Bu formülün, bir sanat yapýtýnýn estetiklik ölçüsünü tam olarak belirleyemeyeceði elbette ve kuvvetle savunulabilir. Ama içerdiði düþünce önemlidir. “Estetik deðer ölçülemez” diyen felsefi görüþe kafa tutmaktadýr. Matematik Estetiktir Öte yandan biz, estetiði matematiksel olarak formülleþtirmek yerine, matematiðin kendisini bir sanat yapýtý olarak incelemek istiyoruz. Öyleyse, þu soruya yanýt aramalýyýz: Matematiksel güzellik nedir? Estetikle uðraþanlarýn bu soruya hiç yanýt vermedikleri açýktýr. Bunun ilk akla gelmesi gereken nedeni, matematikte sözü edilecek bir güzellik olmadýðý görüþü olabilir. Ýkinci bir nedeni de, estetikle uðraþanlarýn matematiði hiç bilmiyor oluþudur. Doðal olarak, matematikten zevk alanlar ikinci nedeni seçeceklerdir. Aþaðýdaki teoremler matematikte ve fizikte zarafetin ne olduðunu gösteren bazý örneklerdir. Kiþinin matematik bilgi düzeyi ne olursa olsun, biraz dikkatle düþününce hem teoremleri anlayacak hem de onlarda olan zarafeti görecektir. G.H.Hardy A Mathematician’s Apology adlý kitabýnda, aþaðýdaki teoremlere zarafeti kazandýran özelikleri þöyle sýralýyor: Ciddiyet, derinlik, genellik, beklenmedik olma, kaçýnýlmazlýk ve ekonomi. Teorem : √2 irrasyoneldir. Matematik ve Sanat 123 Kanýt : Olmayana ergi yöntemini kullanalým. √2 rasyonel olsaydý √2 = p/q olacak biçimde ortak çarpanlarý olmayan p ile q tamsayýlarý var olurdu. Buradan bir çeliþkiye varýrýz: √2 q = p ⇒ 2q2 = p2 ⇒ p2 çifttir. ⇒ p ⇒ 2q2 = (2c)2 ⇒ q2 = 2c2 ⇒ q2 çifttir. ⇒ q çifttir. ⇒ p ile q tamsayýlarý 2 ile bölünür ⇒ Çeliþki çifttir. Teorem (Öklit, Ý.Ö.300) : Sonsuz sayýda asal sayý vardýr. Kanýt : Sonlu sayýda asal sayý olduðunu varsayalým ve bunlara p1 , p2 , p3 , ... , pn (1) ile gösterelim. 124 T.Karaçay, Bilime Yabancý Sanat x = p1 p2 p3 ... pn + 1 sayýsýný düþünelim. Kabulümüze göre bu x sayýsý asal olamaz ve var saydýðýmýz bütün asal sayýlardan daha büyüktür. x tamsayý olduðundan bir asal sayý tarafýndan bölünür: x = p.b olacak biçimde bir p asal sayýsý vardýr. Ancak x sayýsý (1) asal sayýlarýndan hiç birisiyle bölünemez. O halde, p asal sayýsý (1) dekilerden baþka bir asal sayýdýr. Bu bir çeliþkidir; dolayýsýyla kabulümüz yanlýþtýr. Dayanýlmaz Cazibe Ayný anda, ayný manzaranýn resmini yapan iki ressamdan birinin tablosu bir sanat harikasý sayýlýrken, ötekisi acemi iþi bile sayýlmayabilir. Bir tabloyu sanat yapýtý yapan þey doðadaki nesneleri, ýþýklarý, gölgeleri ve renkleri uyumlu bir düzen içinde sunuþudur. Genellikle, sanat yapýtý sayýlan bir tabloda, estetik sahibi birisini rahatsýz edecek renk, ýþýk ve gölge eksikliði ya da fazlalýðý olmaz. Bu olgu estetiðin minimal tamlýk ve maksimum yarar ilkesidir. Acaba matematikte bu olabilir mi? Evet, hem de ölçülebilir biçimde minimal tamlýk ve maksimum yarar ilkesi uygulanabilir. Aþaðýdaki teorem, karmaþýk sayýlarýn anlatýldýðý derslerin baþlangýcýnda öðrencilere öðretilen basit bir eþitliktir. Teorem (Euler, 1748) : eiq = cosq + i sinq . Burada q = π alýnýrsa, bu eþitlik eiπ = -1 (1) eþitliðine döner. Jerry P.King’in deyiþiyle “Bu eþitliði gören her matematikçi, denklemin iki yanýna +1 eklemek için dayanýlmaz Matematik ve Sanat 125 bir istek duyar” ve þu denklemi elde eder: eiπ +1 = 0 (2) Bu iki denklem birbirine tamamen denktir. Ama, ikinci denklemin matematik bilen herkes için dayanýlmaz bir cazibesi vardýr. Çünkü o, matematiðin altý önemli nesnesini içerir: 0, 1, e, i , p, = . Minimal tamlýk ilkesine uyar, çünkü içinde gereksiz hiçbir þey yoktur. Maksimal yarar ilkesine uyar, çünkü bu basit baðýntý bir çok yerde kullanýlabilir. Matematiði bir dil olarak görürsek, hiç bir þair, bir dilin altý sözcüðünü bu kadar yalýn, bu kadar anlamlý, bu kadar genel, bu kadar yararlý biçimde bir araya getirememiþtir. Ýþte matematiksel zarafet budur. Newton’un Ýkinci Yasasý: oraný yerçekimi ivmesine eþittir: dv/dt = g Hýzýn zamana göre deðiþme (1) Þimdi bunu biraz irdeleyelim. a. Denklemde cismin kütlesi yer almýyor. Bu demektir ki, cismin aðýrlýðý, hafifliði, hangi malzemeden yapýldýðý, büyüklüðü, biçimi gibi özelikleri ivmeye etki etmiyor. b. Denklem oldukça yalýndýr. Gereksiz hiçbir terim içermiyor; baðýntý karmaþýk deðil. Demek ki minimal tamlýk ilkesine uyuyor. c. Denklem çok deðerli bilgiler sunmaktadýr. Bir çok duruma uygulanabilir. Örneðin, atýlan bir topun ya da füzenin hareketini bununla inceleyebiliriz. Topun ya da füzenin ne kadar 126 T.Karaçay, Bilime Yabancý Sanat uzaða gidebileceðini buluruz. Hatta, herhangi bir anda topun ya da füzenin havada nerede olduðunu hesaplayabiliriz. Demek ki, bu yalýn baðýntý bize maksimum yarar saðlamaktadýr. Hangi melodide böylesine ciddiyet, derinlik, genellik, beklenmedik olma, kaçýnýlmazlýk ve ekonomi vardýr? Bu bir doða olayýný zarafetle sunan matematiktir. Kavramlar Zamanla Deðiþebilir Dört Renk Problemi : Sýnýrlarý ortak olan iki ülke ayný renkte olmamak koþuluyla, bir düzlem üzerine çizilen bir harita, en çok dört renk ile boyanabilir mi? Bu problemi bir lisansüstü öðrenci olan Francis Guthrie 1852 de erkek kardeþine sordu. O çözemedi, Augustus de Morgan’a sordu. O da çözemedi, William Hamilton’a sordu. Böylece matematiðin bu belalý problemi 124 yýl boyunca en yetenekli matematikçileri uðraþtýrdý. 1976 yýlýnda Kenneth Appel ve Wolfgang Haken bilgisayarla bir çözüm verdiler: Belli bir türden olan bütün haritalar dört renkle boyanabilirlerse, herhangi bir harita dört renk ile boyanabilir. IBM 360 bilgisayarýnda 1000 saat süren bu ispat sonradan tartýþmalara yol açtý. Bilgisayarýn yaptýðý bu hesaplarý, bir insanýn ömrüne sýðdýrmak olanaksýzdýr. Öyleyse, bu ispat, doðruluðu kontrol edilebilecek bir ispat deðildir. Bu nedenle, bazýlarýna göre, Appel-Haken’in yaptýðý ispat, matematiðin kabul edebileceði bir ispat deðildir. Bazýlarýna göre de bu ispatý kabul etmemek þövenliktir. Burda aklýmýza geliveren bir soru vardýr: Bilgisayarla bir müzik parçasýný “icra” etmek mümkündür. Motzart’ýn 5.Senfonisini bilgisayarla icra etmek bir sanat olayý mýdýr? Matematik ve Sanat 127 Daha da ileri giderek, bilgisayarla beste yapýlabildiði bilinmektedir. Bilgisayarýn yaptýðý bir beste, bir sanat yapýtý sayýlýr mý? Bu soruya bu gün verilecek yanýt, büyük olasýlýkla, “hayýr” olacaktýr. Ya yarýn? Aristokrasi Batý üniversitelerinde, farklý alanlarda çalýþan akademisyenlerin karakteristik özeliklerini ortaya çýkarmak için araþtýrmalar yapýlmaktadýr. Giyim, kuþam ve davranýþlarýn zamanla deðiþtiði gözlenir. Bazý dönemler takým elbise ve kravat modadýr. Bazý dönemler, kot pantolon ve piknik kýyafetleri gibi rahat giysiler öne çýkar. Bazý dönemler, sýra dýþýlýk görüntüsü verdiði sanýlan pahalý, eksantrik ve markalý giysiler öncelik alýr. Ama, bütün bu genel davranýþýn içinde, matematikçileri diðer akademisyenlerden ayýrt eden davranýþlar daima vardýr. Morris Kleine “Profesör Neden Öðretemiyor? ” adlý kitabýnda matematikçileri þöyle betimliyor: “Matematikçiler her zaman kabileci ruhlu, seçkinlik yanlýsý, kendini beðenmiþ, son derece bireyci bir toplumdur.” Ýçimizde, acaba “Kleine ressamlarý mý betimliyor? “ diye bir kuþku doðmak üzereyken, Alfred Adler buna izin vermiyor ve diyor ki; “Akademik dünyada matematikçiler çoðu kez haketmedikleri ödüllerin tadýný çýkarýrlar. Dört yanlarý felsefe ve sosyal bilimler bölümlerinden hayranlarla çevrilmiþtir.” “Matematikçiler bürokrasiyle ilgili þeylerin her düzeyinde diðer bilimlerden daha az etkin hale gelmiþlerdir; kendi bilimsel önemlerinin ve iþlevsel yararlarýnýn hak ettiðinden çok daha az etkindirler.” 128 T.Karaçay, Bilime Yabancý Sanat Matematik Öðretemiyor muyuz? Himayemizi bilim ve edebiyatýn geliþtirilmesinden daha fazla hak eden hiç bir þey yoktur... Bilgi her ülke için halkýn mululuðunu getiren en kesin araçtýr. George Washington, ABD Baþkaný, Meclise hitap (8 Ocak 1790). Entellektüel meraka neden prim verelim? Ronald Reagan, ABD BAþkaný, Kampanya konuþmasý, 1980. Bireyler, hangi meslekten ve hangi sosyal sýnýftan olursa olsun, anlasalar da anlamasalar da sanat’tan korkmazlar. Hatta, sanattan anladýklarý izlenimini vermeye çalýþýrlar. Þiir ve roman okumasalar bile, zorunlu kalýnca tiyatroya, konsere ya da bir resim sergisine bile giderler. En azýndan, biraz eðitimli kiþiler, böyle davranýrlar. Baþka bir deyiþle, insanlar, liberal sanatlardan anlýyor ve zevk alýyor görünmek zorunluðunu duyuyorlar. Bütün batýlý toplumlarda entellektüel yaþamýn iki kutba, giderek daha çok ayrýldýðýna inanýyorum... Bir kutupta yazýnsal entellektüeller, ötekinde de bilimciler ve onlarý en iyi temsil eden fizikçiler. Bu iki grup arasýnda, birbirlerini anlayamamaktan kaynaklanan derin bir uçurum - bazen de (özellikle gençler arasýnda) beðenmezlik ve karþýtlýk; her þeyden çok da anlayýþ eksikliði. C.P.Snow Öte yandan, çoðu insan, hiç çekinmeden, “matematikten hiç anlamadýðýný” övünce dönüþmüþ gizli bir öfkeyle söyler. Bu, özellikle, eðitim görmüþ kiþilerde böyledir. Matematiði hiç bilmediðini gururla söyleyen siyasetçi, sanatçý, sosyolog, psikolog, tarihçi yanýnda pek çok ekonomist de görebilirsiniz. Bu olgu, dünyadaki eðitim ve kültür sistemlerinde liberal eðitimin baþarýsýnýn apaçýk göstergesi ve matematik eðitiminin ise apaçýk baþarýsýzlýðýnýn delili midir? Matematik ve Sanat 129 Büyük bir olasýlýkla, hemen her toplumda bu kaný yaygýndýr. Oysa, bir karþýlaþtýrma olanaðý olsa, çoðu kiþinin bildiði matematiðin, bildiði sanat’tan daha çok olduðu görülürdü. Hemen herkes matematiðin temel kavramlarýný bilir: Saymayý bilir. Mukayeseyi bilir. Toplamayý, çýkarmayý bilir. Biraz eðitimli olanlar, çarpma ve bölmeyi bilir. Üçgen, dörtgen, çember, küp, küre gibi baþlýca geometrik þekilleri bilir. Simgelerini görünce fonksiyonu, türevi, integrali anýmsar. Ama, sanata özel ilgisi olmayan kiþiler, inanýnýz, sanatýn temel kavramlarýný bilmezler. Bu olgu, dünyanýn her yerinde böyledir. Gene de, matematikçiler, matematik öðretiminde, yüzyýllardýr bütün dünyada süregiden ciddi bir baþarýsýzlýk olduðunu kabul ederler. Ýnsanlar, biricik ortak dillerini, ortak kültürlerini; yani matematiði öðrenemiyorlar; ondan soðuyorlar, ondan korkuyorlar, ondan nefret ediyorlar. “Bu neden böyle olmuþtur?” sorusuna Timothy O’Mera þu yanýtý veriyor: “Matematikçiler kendi kendilerine yeterlidir; her yaptýklarýnýn yerinde olduðunu önceden varsayarlar; bireylere büyük hoþgörüleri vardýr; sosyal görünümü ve uyumu pek önemli saymazlar; genç yaþta üstün bilgi düzeyine ulaþýrlar, ondan sonra bir tür can sýkýntýsý baþlar; bu da onlarýn öðretmelerini engeller.” Jerry P.King, bilgece çözüm öneriyor: “Matematik öðretimine yavaþ yavaþ estetiði katma zamaný gelmiþtir.” dedikten sonra ekliyor: “Soylu olsun olmasýn, ayný anda hem ayrýcalýklý hem de sorumsuz olan hiçbir sýnýf uzun süre varlýðýný koruyamaz. Matematikçiler kendilerini duvarlarýn içine kapatmýþlar, 130 T.Karaçay, Bilime Yabancý Sanat matematiði altý kuþak boyu üniversite öðrencilerinden uzak tutmuþlardýr. Bu böyle sürüp gidemez.” “Shakespeare’i Oynamak” adlý kitabýnda John Borton, aktörlere deðil, sanki matematikçilere sesleniyor. Tiyatro yerine sýnýf, aktör yerine öðretmeni, sözcükler yerine matematiksel varlýklarý koyunuz. Etkili matematik öðretiminin nasýl olacaðý ortaya çýkar: “Sözcükler, sizin aðzýnýzdan çýkarken yeni bulunmuþ, ya da yeni þekillendirilmiþ, yeni dökülmüþ olmalýdýr; daha önce yayýnlanmýþ bir metinde önceden varolduklarý akla gelmemelidir. Tiyatrodaki aktör onlarý söylediði anda yaþama geçmiþ gibi görünmelidirler.” Sonuç Matematikçilerin, çocuklara ve gençlere, evrensel bir dili, bir sanatý öðretme borçlarý vardýr. Ýnsanlar, matematiði bir dil olarak kullanmalý onu, üzerinde düþünülecek yüce þeylerden biri olarak görmelidir. Ýþte o zaman, matematikçiler görevlerini yapmýþ sayýlýrlar. 2 Bu yazýdaki bazý düþünceler, Jerry P. King’in “Matematik Sanatý” adlý kitabýndan alýnmýþtýr. Matematikçilerin çoðunun paylaþtýðý bu düþünceleri farklý bir yaklaþýmla anlatmayý denedim.