Bağlaştırım yöntemi ve çift Sinh-Gordon potansiyelinin süpersimetrik

BAÜ FBE Dergisi
Cilt:9, Sayı:2, 63-71
Aralık 2007
Bağlaştırım yöntemi ve çift Sinh-Gordon potansiyelinin
süpersimetrik eşleri
Bengü DEMĐRCĐOĞLU1,*, Şengül KURU1
1
Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü, 06100 Tandoğan, Ankara
Özet
Süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemlerinden biri olan bağlaştırım yöntemi kısmi olarak
çözülebilen çift Sinh-Gordon potansiyeline uygulandı. Bu potansiyelin süpersimetrik eşleri
ile bunların özdeğer ve özfonksiyonları bağlaştırım yöntemi kullanılarak bazı belirli
parametre değerleri için bulundu. Böylece, yeni kısmi olarak çözülebilen potansiyeller elde
edildi.
Anahtar kelimeler: Süpersimetrik kuantum mekaniği, kısmi olarak çözülebilen potansiyel, çift
Sinh-Gordon potansiyeli.
Intertwining Method and The Supersymmetric Partner Potentials of
the Double Sinh-Gordon Potential
Abstract
One of the supersymmetric quantum mechanics methods, intertwining method has been
applied to the double Sinh-Gordon potential, which is a quasi-exactly solvable. Using the
intertwining method, supersymmetric partners of this potential with their eigenvalues and
eigenvectors have been found for some certain values of the parameters. Thus, new quasiexactly solvable potentials have been obtained.
Key words: Supersymmetric quantum mechanics, quasi-exactly solvable potential, double
Sinh-Gordon potential.
*
Bengü DEMĐRCĐOĞLU, [email protected].
63
B. Demircioğlu
1. Giriş
Şimdiye kadar tam olarak çözülebilen problemlere ilgi oldukça fazla olmuştur. Fakat oldukça
az sayıda problem tam olarak çözülebilir, yani kuantum sisteminin spektral özellikleri,
özdeğerleri ve özfonksiyonları, açıkça belirlenebilirdir. Harmonik salınıcı, Coulomb ve
Calogero-Moser problemi tam olarak çözülebilen nadir ve önemli problemlerdendir. Bu
nedenle, tam olarak çözülebilen yeni problemler bulmak için pek çok yöntem ileri
sürülmüştür. Süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemleri de teorik fizik ve matematiğin
çeşitli alanlarında tam olarak çözülebilen problemleri bulmak için kullanılan oldukça önemli
araçlardandır [1-6].
Süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemlerinden biri olan bağlaştırım yöntemi, tam olarak
çözülebilen çizgisel ve çizgisel olmayan problemler ile bunların hiyerarşilerini kurmak ve
çözülebilen bir problemden başlayarak yeni çözülebilir problemler elde etmek için kullanılan
bir yöntemdir. Yöntem, Hermitik iki H 0 ve H1 Hamiltoniyeni arasında dönüşüm işlemcisi
olarak etki eden bağlaştırım işlemcisi L ve onun hermitik eşleniğini L† bulmaya dayanır:
LH 0 = H1L ,
H 0 L† = L† H1 .
(1)
†
Burada, Hermitik eşleniği göstermektedir. Yukarıdaki denklemlerden görüldüğü gibi H 0
ve H1 hemen hemen eşspektrumludurlar. Yani, spektrumları dönüşümü üreten özfonksiyona
karşı gelen özdeğer hariç çakışır. Eğer ψ 0 , H 0 ’ın E0 özdeğerli bir özfonksiyonu ise,
ψ 1 = Lψ 0 da H1 ’in aynı E0 özdeğerli (bire boylandırılmamış) bir özfonksiyonudur. Ayrıca
Denk.(1)’den, H 0 ve H1 ’in iki gizli dinamik simetri işlemcisi bağlaştırım işlemcisi L
cinsinden elde edilir: [ H 0 , L† L ] = 0 = [LL† , H1 ] . Burada [,] iki işlemcinin sıradeğişimini
göstermektedir. Bu özellikler yöntemin boyut ve şekilden bağımsız genel özellikleridir.
Kuantum mekaniğinde, sonlu sayıda enerji özdeğeri ve karşı gelen özfonksiyonları analitik
olarak çözülebilen sistemler kısmi olarak çözülebilen problemler olarak adlandırılır.
Süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemleri, yeni kısmi olarak çözülebilen problemler elde
etmek için de kullanılırlar [7-11]. Kısmi olarak çözülebilen potansiyellerden biri de çift SinhGordon potansiyelidir:
b2
1
V0 ( x) = sinh 2 x − b(a + )cosh x
(2)
4
2
Bu potansiyel için, özdeğerler ve özfonksiyonlar 2a + 1 düzeye kadar analitik olarak bilinir.
Burada a herhangi bir tam sayı ya da yarı tam sayıdır [12]. Bu simetrik potansiyelin şekli ve
enerji düzeylerinin yapısı iki parametrenin değeri ile değişir. Bu durumda sadece sınırlı
sayıdaki enerji düzeyleri için tam çözümler vardır. Denklem (2) ile verilen potansiyele karşı
gelen Schrödinger denklemi a ’nın tam ya da yarı tam sayı değeri için kısmi tam
çözülebilirdir ve bu literatürde oldukça çalışılmıştır. Böylece, (2) potansiyeli sadece b
parametresine bağlı potansiyellerin bir ailesini verir [7, 13].
Bu çalışmada, ilk olarak Bölüm 2’de bir boyutta bağlaştırım yöntemi sunulmuştur. Daha
sonra, Bölüm 3’de örnek olarak sadece bir parametre değeri için bağlaştırım yöntemi çift
Sinh-Gordon potansiyeline uygulanmış ve süpersimetrik eş potansiyeli elde edilmiştir. Diğer
64
Bağlaştırım yöntemi ve çift sinh-gordon potansiyelinin süpersimetrik eşleri
parametre değerleri için sonuçlar Tablo 1 de gösterilmiştir. Ayrıca bazı parametreler için çift
Sinh-Gordon potansiyeli ve süpersimetrik eşlerinin grafikleri de verilmiştir.
2. Bir boyutta bağlaştırım yöntemi
Aşağıdaki gibi standart potansiyel formuna sahip iki Hamiltoniyeni
H i = −∂ 2x + Vi ( x ) ,
i = 0,1,
(3)
ve bir boyutta en genel birinci mertebeden çizgisel bağlaştırım işlemcisini
L = L0 ( x ) + ∂ x ,
(4)
göz önüne alalım. Burada Vi ( x) potansiyeli ve ∂ x ≡ ∂ / ∂x ise x ’e göre türevi göstermektedir.
Süpersimetrik kuantum mekaniğinde, L süper yük işlemcisi olarak bilinir ve türeve göre
sıfırıncı mertebeden terim olan L0 ( x ) ise süperpotansiyel olarak adlandırılır. H 0 ve H1
Hamiltoniyenleri L ve L ’nin hermitik eşleniği ( L† = L0 ( x) − ∂ x ) cinsinden aşağıdaki gibi
çarpanlarına ayrılmış olarak ifade edilebilir:
H 0 = L†L + b,
H1 = LL† + b .
Denklem (3) ve (4)’ü Denk.(1)’de kullanırsak, bir boyutlu süpersimetrik eş potansiyeller
V0 ( x) ve V1 ( x) aşağıdaki gibi elde edilir:
V0 ( x) = L20 ( x) − L0 x ( x) + b,
V1 ( x) = L20 ( x) + L0 x ( x) + b.
(5)
Bir boyutta süpersimetrik kuantum mekaniği ile ilişkiyi görmek için,
L0 ( x) = −∂ x [ln φ1 ( x)] ,
b = λ1 ,
(6)
olarak seçelim ve Denk.(5)’in ilkinde yerine koyalım:
−φ1xx ( x) + V0 ( x)φ1 ( x) = λ1φ1 ( x)
Buradan da görüldüğü gibi bu yerdeğiştirmenin sonucunda V0 ( x) potansiyelli Schrödinger
denklemi elde edilir. Böylece, φ1 ( x) ’in aşağıdaki Schrödinger denkleminin λ = λ1 özdeğerine
karşı gelen bir özfonksiyonu olduğunu söyleyebiliriz:
−φxx ( x) + V0 ( x)φ ( x) = λφ ( x)
Bir boyutlu sistemler için bağlaştırım yöntemi diğer bir süpersimetrik kuantum mekaniği
yöntemi olan Darboux dönüşümüne eşdeğerdir.
Darboux dönüşümü etkisi altında
Schrödinger denklemi şekil olarak değişmez kalır;
[φ ( x),V0 ( x)] → [Lφ ( x) = φx ( x) − (ln φ1 ( x)) x φ ( x),
V1 ( x) = V0 ( x) − 2[ln φ1 ( x)]xx ],
ve bu Darboux değişmezliği olarak adlandırılır. Buradan da, açıkça V1 ( x) ’in V0 ( x) ’dan
( φ1 ( x) tarafından üretilen) Darboux dönüşümü yoluyla elde edildiği görülür. φ1 ( x) ’in yerine,
V0 ( x) ’a karşı gelen Schrödinger denkleminin herhangi belirlenmiş bir özfonksiyonu yeni bir
65
B. Demircioğlu
potansiyel ( V1 ( x) ) elde etmek için kullanılabilir.
Ayrıca, Darboux dönüşümü ard arda
uygulanarak verilen bir V0 ( x) potansiyeli için yeni potansiyel hiyerarşileri kurulabilir.
Bağlaştırım yöntemi, V1 ( x) potansiyeline karşı gelen Schrödinger denkleminin çözümlerini
doğrudan verir:
ψ k(1)−1 = Lψ k(0) ,
λk(1)−1 = λk(0) ,
k = 1, 2,... .
Burada üst indisler, karşı gelen potansiyelleri göstermektedir. Fakat V0 ( x) ’ın dönüşümü
üreten özfonksiyonuna karşı gelen V1 ( x) ’in herhangi bir özfonksiyonu yoktur: Lψ k(0) = 0 . Bu
nedenle H 0 ve H1 ’in hemen hemen eşspektrumlu olduğu söylenebilir.
3. Çift Sinh-Gordon potansiyelinin süpersimetrik eşleri
Bu bölümde bağlaştırım yöntemi kullanılarak çift Sinh-Gordon potansiyelinin süpersimetrik
eşi sadece bir parametre değeri için elde edilmiştir.
a = 0 için, Denk. (2) ile verilen potansiyel aşağıdaki şekildedir:
b2
b
V0 ( x) = sinh 2 x − cosh x.
4
2
(7)
Bu potansiyel için sadece bir özfonksiyon analitik olarak belirlenebilir:
λ0 = 0;
φ0 ( x) = A0 e
−
b
cosh x
2
(8)
Burada A0 boylandırma sabitidir. Bu çözüm kullanılarak karşı gelen süperpotansiyel Denk.
(6) kullanılarak aşağıdaki gibi bulunur:
b
L0 ( x) = −∂ x [ln φ0 ( x)] = sinh x
2
(9)
Bu ifade Denk.(5)’in ikinci kısmında kullanılırsa, V0 ( x) potansiyelinin süpersimetrik eşi
V1 ( x) =
b2
b
sinh 2 x + cosh x ,
4
2
olarak elde edilir.
(10)
Bu parametre değeri ( a = 0 ) için
V0 ( x) ’in sadece bir özfonksiyonu
bilindiğinden ve bu özfonksiyon da dönüşümü üretmede kullanıldığından, yöntem V1 ( x) ’in
herhangi bir özfonksiyonunu bulmaya izin vermez: Lφ0 = 0 . Eğer başlangıç potansiyelinin
birden fazla özfonksiyonu biliniyorsa, eş potansiyellerin özfonksiyonları da dönüşümü üreten
özfonksiyona karşı gelen özfonksiyon hariç bulunabilir. Ayrıca diğer parametre değerleri
a = 1/ 2 ve a = 1 için süperpotansiyeller Denk.(6), süpersimetrik eş potansiyeller Denk.(5) ve
özfonksiyonlar ψ = Lφ kullanılarak elde edilmiş ve Tablo 1’de verilmiştir.
66
Bağlaştırım yöntemi ve çift sinh-gordon potansiyelinin süpersimetrik eşleri
V0 ( x) potansiyelinin formu, b parametresinin belli değerleri için Şekil 1’de görülmektedir.
Başlangıç potansiyeli V0 ( x) için, b parametresinin değeri artarken kuyuların derinliği ve
genişliği artmaktadır. Fakat, eş potansiyel V1 ( x) için b parametresinin değeri artarken
kuyuların derinliği ve genişliği azalmaktadır. Bu da Şekil 2’den açıkça görülebilir.
4. Sonuç ve Tartışma
Bağlaştırım yöntemi yeni tam olarak ve kısmi olarak çözülebilen problemleri elde etmede
kullanılan bir yöntemdir. Bu yöntem kullanılarak, başlangıç potansiyelinden daha karmaşık
potansiyeller olan süpersimetrik eşlerin özdeğerleri ve özfonksiyonları, karşı gelen
Schrödinger denklemleri çözülmeden doğrudan bulunabilir. Bu çalışmada, bağlaştırım
yöntemi çift Sinh-Gordon potansiyeline uygulanmış ve bu potansiyele karşı gelen
süpersimetrik eşler belli parametre değerleri için bulunmuştur. Böylece, b parametresine
bağlı yeni kısmi olarak çözülebilen potansiyeller elde edilmiştir. Şekillerden, başlangıç
potansiyelinin süpersimetrik eşlerinin tek kuyu (Şekil 2), iki kuyu (Şekil 3) ve üç kuyu (Şekil
4) potansiyelleri olduğu açıkça görülür. Ayrıca Tablo 1’den görüldüğü gibi bu potansiyellerin
bazıları tekilliklere sahiptir ve karşı gelen çözümler fiziksel değildir (yani tüm uzay üzerinde
kareleri integrallenemez ve potansiyelin tekil olduğu yerlerde tekilliklere sahiptirler).
Bununla birlikte bu potansiyellerin fiziksel çözümlerini bulmak ayrı bir çalışma konusu
olabilir. Eş potansiyellerin özfonksiyonları, dönüşümü üreten özfonksiyona karşı gelen
özfonksiyon hariç bulunabildiğinden, Tablo 1 den de görüleceği gibi a = 0 durumda,
başlangıç potansiyeli için sadece λ0 = 0 ’a karşı gelen özfonksiyonu bildiğimizden ve bu da
dönüşümü üretmede kullanıldığından, yöntem eş potansiyel için özfonksiyon vermez.
a = 1/ 2 ve a = 1 durumları için de bu durum Tablo 1’den açıkça görülebilir.
Denk. (2) ile verilen çift Sinh-Gordon potansiyeli, ayrıca kısmi olarak çözülebilen problemleri
çözme yöntemlerinden biri olan Bender-Dunne yöntemi [17] kullanılarak ele alınmış ve ikilik
(duality) dönüşümü uygulanarak yeni kısmi olarak çözülebilen çift Sin-Gordon potansiyeli
elde edilmiştir [18]. Çift Sin-Gordon potansiyeline karşı gelen spektrum çift Sinh-Gordon
potansiyeline karşı gelenden farklıdır, fakat spektrumu oluşturan özdeğerlerin sayısı her iki
potansiyel için de aynıdır. Bu çalışmada ise bağlaştırım yöntemi kullanılarak çift SinhGordon potansiyeli için a = 0 durumunda sadece bir fakat a = 1/ 2 ve a = 1 durumlarında
birden fazla yeni kısmi olarak çözülebilen potansiyel elde edilmiştir (Tablo 1’den açıkça
görülebilir). Ancak, yöntemden dolayı bu yeni potansiyeller başlangıç potansiyeli ile hemen
hemen eşspektrumludurlar.
Çift Sinh-Gordon potansiyeli teorik fiziğin pek çok alanında uygulamaya sahiptir. Bunlardan
biri de spin Hamiltoniyen sistemidir [13, 19]. Bu çalışmada, bağlaştırım yöntemi en basit
spin sistemine karşı gelen Hamiltoniyenin etkin potansiyeline uygulanmıştır [20]. Sonuç
olarak, bağlaştırım yöntemi ve ikilik dönüşümü [18] diğer spin Hamiltoniyen sistemlerine de
uygulanarak kısmi olarak çözülebilen yeni potansiyeller ve bunlara karşı gelen özfonksiyonlar
elde edilebilir.
67
B. Demircioğlu
Kaynaklar
[1]. Infeld, L. and Hull, T. E., “The Factorization Method.” Rev. Mod. Phys., 23: 21-68,
(1951).
[2]. Andrianov, A.A., Borisov, N.V. and Ioffe, M.V., “Factorization method and Darboux
transformation for multidimensional Hamiltonians” Theor. Math. Phys., 61: 1078-1088,
(1984).
[3]. Matveev V. B. and Salle M. A., “Darboux Transformations and Solitons” Berlin.
Springer, (1991).
[4]. Cooper F., Khare A and Sukhatme U. P., “Supersymmetry in Quantum Mechanics”,
London. World Scientific, (2001).
[5]. Kuru Ş., Teğmen A. and Verçin A., “Intertwined isospectral potentials in an arbitrary
dimension” J. Math. Phys., 42: 3344-3360, (2001).
[6]. Demircioğlu B., Kuru Ş., Önder M. and Verçin A., “Two families of superintegrable and
isospectral potentials in two dimensions” J. Math. Phys., 43: 2133-2150, (2002).
[7]. Razavy M., “An exactly soluble Schrödinger equation with a bistable potential”
Am. J. Phys., 48: 285-288, (1980).
[8]. Gangopadhyaya A., Khare A. and Sukhatme U. P., “Methods for generating quasi-exactly
solvable potentials” Phys. Lett. A, 208: 261-268, (1995).
[9]. Tkachuk V. M., “Quasi-exactly solvable potentials with two known eigenstates” Phys.
Lett. A, 245: 177-182, (1998).
[10]. Kuliy T. V. and Tkachuk V. M., “Quasi-exactly solvable potentials with three known
eigenstates ” J. Phys. A: Math.Gen., 32: 2157-2169, (1999).
[11]. N. Debergh and B. Van den Bossche, J. Ndimubandi, “A general approach of quasiexactly solvable Schrödinger equations with three known eigenstates” Int. J. Mod. Phys.
A, 18: 5421-5432, (2003).
[12]. Khare A., “A QES band-structure problem in one dimension” Phys. Lett. A, 288: 6972, (2001).
[13]. Ulyanov V. V. and Zaslavskii O. B., “New methods in the theory of quantum spin
systems” Pyhs. Rep., 216: 179-251, (1992).
[14]. Anderson A. and Camproesi R., “Intertwining operators for solving differential
equations, with applications to symmetric spaces” Commun. Math. Phys. 130, 61-82,
(1990).
[15]. Canata F., Ioffe M. V., Junker G. and Nishnianidze J., “Intertwining relations of nonstationary Schrödinger operators” J. Phys. A, 32: 3583-3598, (1999).
[16]. Junker G., “Supersymmetric Methods in Quantum and Statistical Physics”, Berlin.
Springer: (1996).
[17]. Bender C. M. and Dunne G. V., “Quasi-exactly solvable systems and orthogonal
polynomials” J. Math. Phys., 37: 6-11 (1996). (hep-th/951138v1)
[18]. Khare A. and Mandal B.P., “Anti-isospectral transformations, orthogonal polynomials
and quasi-exactly solvable problems” J. Math. Phys., 39: 3476-3486, (1998). (quantph/9711001)
[19]. Bilge Ocak S. and Altanhan T., “The effective potential of squeezed spin states” Phys.
Lett. A, 308: 17-22, (2003).
[20]. Demircioğlu B., Bilge Ocak S. and Kuru Ş., “Supersymmetric analysis of a spin
Hamiltonian model” Phys. Lett. A, 353: 34-39, (2006).
68
Bağlaştırım yöntemi ve çift sinh-gordon potansiyelinin süpersimetrik eşleri
Şekil 1. a = 0 ve λ0 = 0 için çift Sinh-Gordon potansiyelinin ( V0 ( x) ) b = 1, 2,3, 4 değerlerine
karşı gelen grafik.
Şekil 2. a = 0 ve λ0 = 0 için çift Sinh-Gordon potansiyelinin süpersimetrik eşinin ( V1 ( x) )
b = 1, 2,3, 4 değerlerine karşı gelen grafik.
69
B. Demircioğlu
Şekil 3. a =
1
1 b
ve λ1 = − + için çift Sinh-Gordon potansiyelinin süpersimetrik eşinin
2
4 2
( V1 ( x) ) b = 1, 2,3, 4 değerlerine karşı gelen grafik.
1
1
Şekil 4. a = 1 , λ2 = − + (b 2 + )1/ 2 için çift Sinh-Gordon potansiyelinin süpersimetrik eşinin
2
4
( V1 ( x) ) b = 1, 2,3, 4 değerlerine karşı gelen grafik.
70
Tablo 1. a , λ parametrelerinin seçimi, çift Sinh-Gordon potansiyelinin süpersimetrik eş potansiyellerini üreten φ (x) çözümü ve karşı gelen
süperpotansiyeller. Bu tablo ayrıca eş potansiyellerin özfonksiyonlarını, süperpotansiyellerin ve eş potansiyellerin tekillikleri ile karşı gelen
özdeğerlerin fiziksel olup olmadığını göstermektedir. Burada, Ai ’ler boylandırma sabitleri ( i = 0,1, 2 ) ve K 0;2 = λ0;2 / b ’dir
a parametresinin
seçimi ve Sinh-Gordon
potansiyeli V0 ( x)
Süperpotansiyel L0 ( x)
Süpersimetrik eş potansiyel V1 ( x)
λ0 = 0;
b
sinh x
2
b2
b
sinh 2 x + cosh x
4
2
b
1
x
sinh x − tanh
2
2
2
b2
1
x 1
sinh 2 x + tanh 2 −
4
2
2 2
ψ1 = −
b
1
x
sinh x − coth
2
2
2
( x = 0 ’da tekil)
b2
1
x 1
sinh 2 x + coth 2 −
4
2
2 2
( x = 0 ’da tekil)
ψ0 =
b
sinh x − coth x
2
( x = 0 ’da tekil)
b2
b
sinh 2 x − cosh x + 2 coth 2 x − 2
4
2
( x = 0 ’da tekil)
ψ 0;2 = A0;2 ( K 0;2 − cosh x)cos ech x e
(fiziksel değil)
K 0;2 sinh x
b
sinh x +
2
1 − K 0;2 cosh x
2 K 0;2 ( K 0;2 − cosh x)
A1 (cosh x − K 0;2 ) − b2 cosh x
b2
b
sinh 2 x − cosh x −
ψ
,
=
e
1;1
4
2
(1 − K 0;2 cosh x) 2
1 − K 0;2 cosh x
(Sağ alt indisli süperpotansiyeller
x = m0.73 ’de tekilliğe sahip)
(Sağ alt indisli potansiyeller x = m0.73 ’de
tekilliğe sahip)
φ0 = A0 e
1
4
−
b
cosh x
2
b
2
λ0 = − − ,
a = 1/ 2 ,
b2
sinh 2 x − b cosh x
4
φ0 = A0 cosh
1
4
x − b2 cosh x
e
2
b
2
λ1 = − + ,
71
φ1 = A1 sinh
x − b2 cosh x
e
2
λ1 = −1,
φ1 = A1 sinh x e
−
b
cosh x
2
a =1,
b2
3
sinh 2 x − b cosh x
1
1
4
2
λ0;2 = − m (b 2 + )1/ 2 ,
2
4
A0;2 (1 − K 0;2 cosh x) e
−
b
cosh x
2
Süpersimetrik eş potansiyelin V1 ( x) ’nin
özfonksiyonları
yok
A1
x − b cosh x
sec h e 2
2
2
A0
x − b cosh x
co sec h e 2
2
2
(fiziksel değil)
ψ 2;0 =
A2 ( K 0;2 − K 2;0 ) sinh x
1 − K 0;2 cosh x
e
b
− cosh x
2
−
b
cosh x
2
(sağ alt indisli çözümler fiziksel değil)
.
Bağlaştırım yöntemi ve çift sinh-gordon potansiyelinin süpersimetrik eşleri
a=0,
b2
b
sinh 2 x − cosh x
4
2
λ , φ (x) ’in seçimi