contents

ÖNSÖZ
Matematik bir yönüyle, karmaşık yapılarda düzen arama bilimidir. Bu tanım, hem matematik bilimine katkı
sağlamak hem de matematiğin en verimli bir şekilde nasıl öğretileceği yollarını aramak için gayret gösterenlere
yönelik bir mesaj içermektedir. Karmaşık bir yapıdaki düzeni çözümleyebilmek, ona farklı açılardan bakabilme ile
kolaylaşır. Bu bağlamda, verimli bir matematik öğretiminin önemli bileşenlerinden birisinin de kavramlara ve
olaylara farklı özellikleri açısından bakabilmeyi öğretmek olduğu rahatlıkla söylenebilir. Daha formal bir söylem ile
bu yaklaşımı “çoklu temsil” olarak anabiliriz. GeoGebra, matematiksel kavramların üç önemli temsili olan geometri,
cebir ve tablo temsillerini birbirleri ile etkileşimli olarak bünyesinde barındıran bir yazılımdır. Matematik
eğitimcileri Dr. Markus Hohenwarter ve Dr. Zsolt Lavicza’nın önderliğini yaptığı bir ekip tarafından geliştirilen
GeoGebra, dinamik yapısı sayesinde, ilköğretimden yükseköğretime kadar her düzeyde matematiksel deneyler ve
keşfetme etkinlikleri tasarlayabilmek için mükemmel bir platform sunmaktadır.
Ücretsiz açık kaynak kodlu bir felsefe ile geliştirilmekte olan GeoGebra, 40’ın üzerinde yerel dile
çevrilmiştir. Türkçemize de Dr. Mustafa Doğan’ın önderliğindeki bir ekip tarafından kazandırılmıştır.
Dr.
Hohenwarter,
uluslararası
bir
çalışma
grubunun
(Uluslararası
GeoGebra
Enstitüsü-
http://www.geogebra.org/igi) çatısı altında GeoGebra’nın matematik eğitiminde kullanımı üzerine çalışan matematik
eğitimcilerini bir araya getirmekte ve GeoGebra’nın hem teknik özellikleri hem de matematik eğitiminde kullanımı
açısından geliştirilmesini sağlamaktadır. GeoGebra, ülkemizde de iki çalışma grubu tarafından temsil edilmektedir
(Ankara
GeoGebra
Enstitüsü
-
http://www.ankarageogebra.org
ve
İstanbul
GeoGebra
Enstitüsü
–
http://geocebir.org).
Birinci Avrasya GeoGebra Toplantısı (First Eurasia Meeting of GeoGebra), 3. Uluslararası Gelecek için
Öğrenme Alanında Yenilikler Konferansı (Futurelearning-2010) kapsamında bir ilk olma özelliğini taşımakta olup,
Ankara GeoGebra Enstitüsü ve FutureLearning Konferansı düzenleme kurulu ile ortak bir çalışmanın ürünüdür.
Bu toplantı kapsamında, GeoGebra’nın matematik ve matematik eğitiminde kullanımı konulu yerli ve
yabancı bildiriler sunulmasının yanında, ulusal çapta geniş katılımlı olarak düzenlenen bir çalıştay ile Türkiye’nin
dört bir tarafından gelen 100 civarında matematik öğretmenine GeoGebra kullanımı ile ilgili bir eğitim verilecektir.
Bu eğitimde, GeoGebra’yı hiç bilmeyen kişilerin GeoGebra’nın genel özelliklerini bilen, GeoGebra etkinliklerini
sınıflarında öğrencileri ile birlikte kullanabilen, basit düzeyde de olsa özgün etkinlikler tasarlayabilen ve en önemlisi
de ulusal veya uluslararası kaynaklardan (forumlar veya uzman kişiler) yararlanarak mevcut bilgi ve yeteneklerini
artırabilen bir seviyeye getirilmesi hedeflenmektedir. Bu bildiri kitabı, toplantı süresince sunulmuş olan bildirilerin
tam metinleri ile birlikte yukarıda tanımlanan çalıştay için rehber niteliği taşıyan bir bölüm içermektedir.
Birinci Avrasya GeoGebra Toplantısı’nın bütün katılımcılara yararlı olmasını diler saygılarımızı sunarız.
Doç. Dr. Sevinç GÜLSEÇEN
Yrd. Doç. Dr. Tolga KABACA
FutureLearning-2010 Eş Başkanı
Ankara GeoGebra Enstitüsü Başkanı
İstanbul Üniversitesi
Pamukkale Üniversitesi
Fen Fakültesi Öğretim Üyesi
Eğitim Fakültesi Öğretim Üyesi
FOREWORD
A genuine definition of Mathematics may be stated as “a science of searching pattern in complicated
structures”. This definition contains a message for both mathematicians, who try to make contributions to
mathematics as a pure science and mathematics educators, who are looking for innovative ways of teaching for
mathematics. Analyzing the secret pattern of a complicated structure is utilized. In this sense, it can be said that one
of the important components of efficient mathematics education is to teach being able to look at concepts and events
in multiple ways. Formally, we can name this approach as ‘’multiple representation’’. GeoGebra is software
combining geometry, algebra and table representations, which are three important representations of mathematical
concepts, interactively with each other thanks to its dynamic structure. GeoGebra improved under the leadership of
Dr. Markus Hohenwarter and Dr. Zsolt Lavicza presents a perfect platform to design experiment and exploring
activities in levels from primary to higher education.
GeoGebra, which is improved in an idea of free open resource code, is translated into more than 40
languages. It is translated in Turkish by a group with the leadership of Dr. Mustafa Doğan.
Dr. Hohenwarter brings mathematics educators, who are interested in using GeoGebra in mathematics
education,
close
together
in
an
international
working
group
(International
Institute
of
GeoGebra
http://www.geogebra.org/igi) and keeps its development in the way of technical level and educational usage.
GeoGebra is represented by two working groups in our country (GeoGebra Institute of Ankara http://www.ankarageogebra.org and GeoGebra Institute of Istanbul – http://geocebir.org)
The First Eurasia Meeting of GeoGebra, which is held with the host of 3. International FutureLearning Conference on Innovations in Learning is a co-organization of GeoGebra Institute of Ankara and
organization committee of FutureLearning-2010 Conference.
In this meeting, paper presentation sessions, which are about both usage of GeoGebra for pure mathematics
research and mathematics education research, and two kinds of workshop sessions, will be held. In the first
workshop, epistemology of use of GeoGebra in Math education and some advanced properties of GeoGebra will be
discussed. The second workshop will be a local workshop for mathematics teachers, who are mostly new in
GeoGebra. In this workshop, participants will be trained about fundamental properties of GeoGebra and use of
GeoGebra in classroom. Furthermore, this workshop will be the first in Turkey by its large scale participation. This
proceedings book contains full texts of paper presentations and a manual for the local training workshop.
We wish a useful meeting for all participants of the First Eurasia Meeting of GeoGebra.
Assoc. Prof. Dr. Sevinç GÜLSEÇEN
Assist. Prof. Dr. Tolga KABACA
Co-Chair of FutureLearning-2010
Chair of GeoGebra Institute of Ankara
Faculty member of Faculty of Science
Faculty member of Education Faculty
Istanbul University, Istanbul-TURKEY
Pamukkale University, Denizli-TURKEY
CONTENTS
Papers
New methods of teaching and learning mathematics involved by GeoGebra .................1
Valerian Antohe
Effect of Using GeoGebra on Students’ Success: An Example about Triangles.............9
Mustafa Doğan, Rukiye İçel
Geometric and Algebraic Proofs with GeoGebra ............................................................21
Sema İpek, Oylum Akkuş-İspir
GeoGebra as a tool for mathematical education in Slovakia ..........................................29
Jan Guncaga
Motivating students in learning mathematics with GeoGebra .......................................36
Kyeong Sik-Choi
Constructing 3D Graphs of Function with GeoGebra(2D) .............................................46
Jeong-Eun Park, Young-Hyun Son, O-Won Kwon, Hee-Chan Yang, Keyong Sik-Choi
Çeşitli Parametrik Eğrilerin İnşasının Görselleştirilmesi ...............................................56
Murat Taş, Sevinç Gülseçen, Tolga Kabaca
Türev konusunun GeoGebra Yardımıyle Görsel Anlatımı.............................................68
Murat Taş, Sevinç Gülseçen, Tolga Kabaca
Local Training Workshop For GeoGebra and Using in Mathematics Teaching
GEOGEBRA VE GEOGEBRA İLE MATEMATİK ÖĞRETİMİ.....................................79
Tolga Kabaca, Muharrem Aktümen, Yılmaz Aksoy, Mehmet Bulut
1.
Giriş........................................................................................................................................79
1.1 Dinamik matematik ne demektir? ........................................................................................80
1.2 Neden GeoGebra? ................................................................................................................81
1.3 Uluslar arası GeoGebra Topluluğu ve Türkiye’de GeoGebra .............................................82
2.
GeoGebra’yı Kullanmaya Hazırlık ........................................................................................84
2.1 GeoGebra’ya Ulaşma ...........................................................................................................84
2.2 Yazılımı Kurma....................................................................................................................84
2.2.1 Kurulum İçin Gerekli Dosyalar……………………………………………………….84
2.2.2 GeoGebra’yı Çalıştırma……………………………………………………………….84
3.
GeoGebra’ya Giriş .................................................................................................................84
3.1 Geometrik İnşalar.................................................................................................................85
3.2 Cebirsel Giriş ve Komutlar ..................................................................................................86
3.3 Hesap Çizelgesi Girişleri......................................................................................................86
3.4 Kullanıcı Arayüzünü ve Araç Çubuğunu Özelleştirme........................................................87
3.5 GeoGebra’nın Araç Çubuklarını Tanıyalım.........................................................................87
3.5.1 Taşı……………………………………………………………………………………87
3.5.2 Yeni Nokta…………………………………………………………………………….88
3.5.3 İki Noktadan Geçen Doğru……………………………………………………………88
3.5.4 Dik doğru……………………………………………………………………………...88
3.5.5 Çokgen………………………………………………………………………………...89
3.5.6 Merkez ve bir noktadan geçen çember………………………………………………..89
3.5.7 Elips…………………………………………………………………………………...90
3.5.8 Açı…………………………………………………………………………………….90
3.5.9 Nesneyi doğruda yansıt……………………………………………………………….90
3.5.10 Sürgü…………………………………………………………………………………90
3.5.11 Çizim tahtasını taşı…………………………………………………………………..91
4.
Etkinlik Örnekleri...................................................................................................................91
4.1 Çemberde Açı ve Uzunluklar...............................................................................................91
4.2 Parabolün denklemi ile eğrisi arasındaki ilişki ....................................................................96
4.3 İletki ile açı ölçmenin görselleştirilmesi ..............................................................................99
4.4 Etkinliğin Konusu: Tavşanın zıplamasını modelleyelim ...................................................100
4.5 Simetri Kavramını Keşfedelim...........................................................................................104
4.6 Dizi komutundan ve tablodan yararlanma (Çemberin çevresi ve π sayısı) ........................106
4.7 Fraktalar ve yeni bir araç oluşturma...................................................................................109
4.8 Pergel ve Çizgilik ile Geometrik çizim uygulamaları........................................................113
4.9 Geometrik İspatları Görselleştirme ....................................................................................114
New methods of teaching and learning mathematics involved by GeoGebra
Valerian N. Antohe
GeoGebra Institute of Timisoara
Pedagogical High School “D.P.Perpessicius”, Braila, Romania
[email protected]
Abstract:
Archimedes drew his figures on beach sand, mud or ash on a floor or put on his body, previously anointed
with oil; on his body the figures were drawn with nails. When the Roman general Marcellus conquered in 212 BC
Syracuse in Sicily, the city of Archimedes, a Roman soldier came across this genius contemplating his drew circles on the
sand. "Nolite turbare circulos meos!" (Do not break my circles) Archimedes told to the soldier, but this, irritated, stabbed
him with the sword, killing him. Today the place of the geometric constructions is on dynamic platforms supported by
specialized software. One of these platforms is GeoGebra software. As the inventor stated, GeoGebra is dynamic
mathematics software for all levels of education that joins arithmetic, geometry, algebra and calculus. It offers multiple
representations of objects in its graphics, algebra, and spreadsheet views that are all dynamically linked. While other
interactive software (e.g. Cabri Geometry, Geometer's Sketchpad) focus on dynamic manipulations of geometrical objects,
the idea behind GeoGebra is to connect geometric, algebraic, and numeric representations in an interactive way. You can
do constructions with points, vectors, lines, conic sections as well as functions and change them dynamically afterwards.
Furthermore, GeoGebra allows you to directly enter and manipulate equations and coordinates. Thus you can easily plot
functions, work with sliders to investigate parameters, find symbolic derivatives, and use powerful commands like Root or
Sequence, (www.geogebra.org). Because some of us (teachers of different subjects), see the computers in terms of "IT
specialist", producers of software and not as a user, we propose this ongoing project in order to bring the computer in the
context of approaching successful teaching. We believe that the teacher, regardless of the specialty they teach, shouldn’t
know what's in the magic box (called generic computer), but he’ll have to know that the magic box will help him to assist
the student to learn, the route to knowledge becoming pleasant! This paper is an invitation to solve math problems in a
natural didactic way using the GeoGebra platform.
Keywords: Innovation, Geometric Locus, New Way of Learning.
Introduction
There is a struggle to integrate the computer in school. This approach must be read: "the integration of
educational software in education". This is a related desire to implement new teaching methods in mathematics. An
"educational software application” is something that everyone could use on a computer, without having advanced
knowledge about computers and programming. Draw, build, unite, and investigate properties, change shape and size.
Properties remain the same? Why? Can you formulate the theorem from this investigation? Prove it rigorously!
Experience should not only be lived, but shared. When the action will become more global, this software that I called
1
“The GeoGebra Language” will not only be a working method but also a step in opening a viable way to exchange
ideas, and the investigations will become constructions of new methods of investigation of math phenomena.
Different methods of math teaching have been proposed and knowledge of these methods may help in working out a
better teaching strategy. It is not appropriate for a teacher to commit to one particular method. A teacher should
adopt a teaching approach after considering the nature of the students, their interests and maturity and the resource
available. Every method has certain benefits and few flaws and it is the teacher’s work to decide which method is the
best. The investigation above will present an implementation of GeoGebra in order to solve some math problems.
Bringing the computer in the context of approaching successful teaching
It is often said more about using interactive methods in teaching mathematics and about their
implementation in the curriculum. However we appreciate that the first step must be done when the blackboard and
chalk are replaced with dynamic image of mathematical phenomena, integrated in dynamic software like GeoGebra.
There are no barriers to this and only the wish to use the system can produce the desired success. If the
implementation conformity with the curriculum seems to be difficult, we accept that GeoGebra platform will be a
challenge for beginning and math teachers, if they will accept an innovative method to transmit information, they
will encourage students, to spark interest to investigate, to discover the phenomenon mathematically and to justify
the results found in rigorous mathematical sense in the end. These were the desires of the new Institute GeoGebra
from Romania, to propose to our fellow colleagues a teaching approach, making the invitation to use the GeoGebra
platform for dynamic representation of mathematical results. Ultimately, the whole curricula within mathematics
could be structured in terms of sequences of GeoGebra using topics with associated learning resources. Students
could form teams to explore these sequences, just in the same way they now explore levels within video-game
environments, [Gerry Stahl and All, 2010]. We can do constructions with points, vectors, segments, lines, conic
sections as well as functions and change them dynamically afterwards. On the other hand, equations and coordinates
can be entered directly. Thus, GeoGebra has the ability to deal with variables for numbers, vectors and points, finds
derivatives and integrals of functions, [Valerian Antohe, 2009].
Math problems solved with the GeoGebra platform
A step by step construction, which represents the visual interpretation of the mathematical context, a
problem of a geometric locus will follows the next steps: constructing geometric figures based on hypotheses,
applying geometric transformation, (move the point, move the point along the line, move the line preserving the
direction or modify the figure preserving the measure of some angles, etc.). Understanding the relationship between
Euclidian construction and proof, we can create demonstration that involves animation and action button, find out
geometrically and algebraically connections in a rigorous proof, [Gabriela-Simona Antohe, 2009].
The statement of the first problem: On the fixed line d, are considered the fixed points A and B in the
plane and the mobile point M. In the plane are built regular polygons of [AM] and [AN] sides, with m, respectively n
2
number of sides, where m, n ∈ N, m, n≥3. The circumscribed circles of those polygons are intersected in M and P,
(Fig.1). Is required the geometric locus of P, [A. Dafina, 2003].
Figure 1: Geometric locus of P for m=5 and n=4
After the investigation with GeoGebra software, some different results could be raised. The GeoGebra
application shows in a real time all the changes and will allow the changing of m and n for different values with the
sliders, (Fig.2).
Figure 2: Geometric locus of P for m=5 and n=4
The statement of the second problem: Miquel's Five-Circle Theorem is among a sequence of wonderful
theorems in plane geometry bearing his name. Let P1, P2, P3, P4 and P5 be five points. Let Q1=P2P5∩P1P3,
Q2=P1P3∩P2P4,
Q5=P1P4∩P2P5.
Q3=P2P4∩P3P5,
Let
the
other
intersections
of the
Q4=P3P5∩P1P4,
consecutive
circumscribed
and
circles
of
triangles
Q5Q1P1, Q1Q2P2, Q2Q3P3, Q3Q4P4, and Q4Q5P5 be M1, M2, M3, M4, and M5 respectively. Prove that M1, M2,
M3, M4 and M5 are cyclic, (Fig.3).
There are a lot of interesting proofs of this theorem. Miquel's Five-Circle Theorem is difficult to prove algebrically,
[Hongbo Li, 2004].
3
Figure 3: Miquel's Five-Circle Theorem
When n = 3, the three vertices of a triangle are on a unique circle, which can be taken as the unique circle
determined by the three edges of the triangle, called the Miquel 3-circle, (Fig.4). When n = 4, the 4 edges of a
quadrilateral form 4 distinct 3-tuples of edges, each determining a Miquel 3-circle, and Miquel's 4-Circle Theorem
says that the 4 Miquel 3-circles pass through a common point (i.e., are concurrent), called the Miquel 4-point, (Fig.
5). This combination of perspectives allows the teacher to demonstrate, in front of students and together with them,
strategies revealing the "behavior" of figures. Connections between different representations of math concepts will
accomplish here the necessary background for better understanding, steady knowledge of mathematical literature.
One appreciates the pedagogical implications of exploring geometry in a dynamic environment, both as an
investigation tool and as a demonstration one, the connection between math educators and specialists in informatics
being one of the best and a challenge at the same time. The term of “Dynamic-Info-Geometry” could be a method of
math teaching and the start of future investigations in applied mathematics, [Gabriela Antohe, 2009].
Figure 4: Miquel's 3-Circle Theorem
4
Figure 5: Miquel's 4-Circle Theorem. The position of A, B, F, could be modified but the four circles will
have a common point P, the Wallace point
The third problem statement: One of the current problems of education is multidisciplinary treatment of
some problems of mathematical modeling. In a study of mathematical modeling of surface water quality I
investigated the problem of water quality characteristics of the Danube, such as the evolution of dissolved oxygen
concentration. For this we considered the mathematical modeling of these with Spline functions.
The data referring to the dissolved oxygen have been processed in Matlab taking into consideration the
determination of a function with the help of spline functions. The same data were processed in GeoGebra in order to
obtain a polynomial function which could describe the data evolution. This example could be a result to the question
of the Weierstras problem in order to find the appropriate function which could describe the reality better, find the
function and identify methods of interpolation. Weierstrass Law, which shows that any continuous function f can be
approached with quite a good precision on a close given interval by a polynomial forms. Unfortunately this theorem
does not offer any practical criterion of finding the right polynomial form [Cline K.S., 2007].
With GeoGebra, the polynomial form will be:
P(x)=-0.00001 x11 + 0.0007 x10 - 0.02265 x⁹ + 0.425 x⁸ - 5.10931 x⁷ + 41.1428 x⁶ - 225.28496 x⁵ +
+833.75065 x⁴ - 2028.84107 x³ + 3063.25584 x² - 2551.097 x + 880.81.
This form it is obtained by GeoGebra using the command Polynomial [A,B,C,…,K, L], (Fig. 6).
5
Figure 6: GeoGebra Polynomial form demonstrate that the DO concentration is too small in January 2007
Figure 7: Matlab interpolation with Cubic Spline Function more appropriated to reality.
The program analyzes the Dissolved Oxygen concentration at the Danube River, SGA Braila, Km 219
Analyzing the polynomial function of 11-th degree graph, the great anomaly could be seen during JanuaryFebruary 2007. GeoGebra shows that a polynomial form could not have modelled that reality. This is a convergence
to the idea that other function like harmonic function must be analyzed. The interpolation with Spline function, (Fig.
7), was more relevant and the graph represented the hypothesis that the evolution of the quality parameter,
[V.Antohe, C.Stanciu, 2009].
The fourth problem statement: Let ABC be a triangle and M be an inner point of the triangle so that
AM=BC. Shoe that max{(BM/AC);(CM/AB)}≥21/2-1 and this is the best possible constant.
6
Figure 8: The problem of a geometric inequality relation
After the geometrical context was done, (Fig.8), the values of the left and on the right hand were analyzed.
The value of the difference between the left member and the right member of the inequality appear in the horizontal
line, the graph of p(x). Even if this modelling does not give a demonstration on GeoGebra rigorous analysis of the
successive positions of the peaks of the triangle, keeping the requirements of the problem will emphasize such
inequality in borderline cases, cases that can get out of context. Of course for educated this exercise of geometric and
algebra realization of context is a good exercise, a first step to understanding, analyzing and demonstrating the
problem rigorously. Other two similar problems are presented in these imagines, (Fig. 8).
Figure 8: Other problems of a geometric inequality relation
Conclusion
GeoGebra provides good opportunity for students to work in pairs and talk through the project together.
Attractive presentations prepared in advance, not only capture students’ attention but also may lessen the immediate
cognitive load for educated and educators. In addition to what is traditionally recognized as benefits, a lot of teachers
often use real world models. In order to enhance the image mathematics by creating a “halo effect”, the proposed
efficient space for this will be the GeoGebra platform. The teachers who use GeoGebra must be more specific, more
"open minded", willing to allow for experimentation, and give more guidance at the start of any GeoGebra
experiment. Dynamic geometry offers opportunities to bring the real world into the classroom, adding visualization,
color and animation. This would not be possible in a traditional classroom. This GeoGebra thinking is expected in
7
various topics of the curriculum but, if they are not found there, we shall connect the GeoGebra thinking with topics
and other different experiences, in a model of more efficient curricula.
References
Gerry Stahl, Murat Perit Çakir, Stephen Weimar, Baba Kofi Weusijana and Jimmy Xiantong Ou, (2010), “Enhaging
Mathematical Communication for Virtual Math Teams”, Acta Didactica Napocensia, Vol5, Nr.2, 2010
Valerian Antohe, (2009), “Limits of Educational Soft “GeoGebra” in a Critical Constructive Review”, Annals.
Computer Science Series, 7-th Tome, 1-st Fascicle, Tibiscus University of Timisoara, Romania
Gabriela-Simona Antohe, (2009), “Modeling a geometric locus problem with GeoGebra”, Annals. Computer Science
Series, 7-th Tome, 2-nd Fascicle, Tibiscus University of Timisoara, Romania
Andrei Dafina, (2003), “Consideration about a geometric locus problem”, “Axioma” Journal No.22, SSM Prahova,
Romania
Cline K.S., (2007), “Secrets of the Mathematical Contest in Modeling”, Journal of Multivariate Analysis, 1.6.
Valerian Antohe, Constantin Stanciu, (2009), “Modeling and Simulation of Quality Indicators of Surface Water”,
Environmental Engineering and Management Jurnal, Vol. 8, No.6, “George Asachi” Tehnical University of Iasi,
Romania
Hongbo Li, (2004), “On Miquel’s Five-Circles Theorem”, MM Research Preprints, 166-177, MMRC, AMSS,
Academia Sinica, No. 23, December 2004
8
Effect of Using GeoGebra on Students’ Success: An Example about Triangles
Mustafa DOĞAN
Department of Primary Mathematics Education
University of Selcuk, Konya,TURKEY
[email protected]
Rukiye İÇEL
Department of Primary Mathematics Education
University of Selcuk, Konya,TURKEY
Abstract :This study aimed to observe effects of using GeoGebra based activities about triangles on 8th grade students’
achievement. Two different classrooms from a primary school in Konya have been selected for the study. A pre-test has
been applied to the both classes. The pre-test results show that there was not any statistically significant difference
between the groups. One of the groups selected as experiment and the other as control group. Teaching and learning
activities for the experiment group were mainly prepared with GeoGebra which were based on the Ministry of National
Education Teacher Guide book. Simultaneously, the control group continued their usual teaching and learning process as
guided by the Ministry. A post-test has been applied to the both groups after two weeks of teaching. Furthermore, one
month after the application a recall test was applied as well. Possible comparisons between the tests and the groups have
been performed. The results show that computer based applications (GeoGebra) have positive effects on students'
learning and achievement. It has also been observed that it improves students’ motivation with positive impact. This paper
presents the GeoGebra prepared activities including Pythagoras relation.
Keywords: Dynamic Geometry, GeoGebra, Students’ Success, Triangles
Introduction
Nowadays, transferring information to learning environments has mainly depends on technological
developments in many ways. The use of technology in learning environments provides both execution of education
in accordance with the requirements of the era, and opportunities to train more qualified individuals. Most commonly
used technologies in the learning environments are computers and their software. Training activities become
increasingly more complex day by day parallel with the developments in science and the change in the nature of the
knowledge. Thus, such many factors require and force use of computers in contemporary education. It is a general
agreement that the traditional methods force students to learn mathematics by memorization ending up with a falling
success and imposing a feeling of being unsuccessful in mathematics. However, the nature of mathematics requires
9
high-level of mental processes such as critical thinking, reasoning, imagination and considering many different
features with related facts. To achieve this, it is not enough to use only pencil-drawn shapes on paper or board. In
particular, along with the constructivist approach, mathematics courses need to be addressed with different emphases
which make them enjoyable, understandable and constructible in terms of students. Developed technology in the last
century turned people to computers and their use in many areas. At the primary age, children mainly use computer
for entertainment especially spending more time for gaming. It is accepted that computer and software use in
Primary education is promising and may improve mathematics education remarkably, if it is directed to teaching and
learning process. In this respect, computer based mathematics courses are offered as an alternative. Geometric
constructions acquire dynamic properties with the computer (dragging, transforming, rotating, symmetry, opening
and closing of a prism, or a pyramid etc.) so that students can make observations as well as the imagination.
Using computer in geometry teaching is implemented with the new elementary mathematics curriculum in
our country and has become indispensable (MEB, 2005). The most important role of computers in primary
mathematics education is stated as “making the learning of abstract concepts easier” in the curriculum. Some
previous researches in the area reported that computer use is more effective than the traditional approach to learning,
especially, in transformation geometry, polygons, prisms and pyramids. This research aimed to observe possible
effects of GeoGebra based activities on 8th grade students’ achievements for triangles and Pythagoras relation.
Literature Review
It is officially stated that two main purposes of primary education in our country are to prepare individuals
to higher education and to life (MEB, 2005). Reasoning, critical thinking and problem solving are considered as
necessary mental skills to achieve these purposes effectively. Mathematics plays an important role in developing
these skills. This importance installs primary responsibilities for everybody in the field of mathematics education
(Baykul, 1999). Parallel with the recent developments in all over the world, primary and secondary schools
mathematics curriculum have been reconstructed in Turkey as well. It is especially indicated in the new mathematics
curriculum that Computer Based Mathematics Teaching (BDMÖ) provides meaningful learning experiences of
mathematics for students. Therefore, it has to be integrated into mathematics courses (Çakıroğlu et al, 2008).
Geometry is called as "it examines figures and their movements” in the elementary mathematics curriculum.
It is stressed in the curriculum that while the geometrical thinking is developing also knowledge acquired in
geometry activities have to provide visual and analytical reasoning and inference with a hierarchical order within the
required attention respectively. The results of student’s reasoning with intuition are called conjecture. Producing
information via inference called conclusion, although very few students may produce information via inference. It is
also highlighted that while the students achieve targets about related areas of geometry, special attention and
importance should be given for processing of specific skills, affective features, psychomotor skills and selfregulation. In this context, they are especially stated in the Ministry's own textbooks that the dynamic geometry
software have to be used and experience should be shared with the students.
Sulak (2002) studied effects of computer-based instruction on student’ achievement and attitudes in
mathematics courses. In the study, the computer-based teaching was found to be better when compared to the
10
traditional methods in terms of both achievement and attitudes. Similarly, Aktümen and Kaçar (2008) have
investigated possible effects of computer algebra system (Mapple) on students’ attitudes toward mathematics. They
reported that the students who use Mapple in learning environments have more positive attitudes towards
mathematics. Güven and Karatas (2003) aimed to determine students’ views about computer-based learning
environment created by dynamic geometry software Cabri. At the end of the study, the students’ views have changed
positively for mathematics in general and geometry in particular. The students also find dynamic geometry
environment very useful. Furthermore, it is reported that the students gain more confidence by exploratory
mathematical activities.
Memişoğlu (2005) has investigated the effects of network research on 6th grade students’ achievement in
mathematics teaching. It has been reported that the network research method is more effective than the traditional
method. Moreover, it was detected that almost all of the students have positive thoughts about the network research.
Karakus (2008) intended to determine possible effects of computer-based teaching on student achievement for
transformation geometry subjects. In the experimental study, there was significant difference in favor of experiment
group. All students of the experiment group have achieved high attainment level with computer-based instruction in
teaching of transformation geometry. Moreover, this difference becomes more significant and gets higher for
successful students in the subjects of reflection and rotation. However, there is not any significant difference between
experiment and control groups for low successful students; it has been observed that computer-based instruction
increased the experimental group success. Similarly, Faydacı (2008) investigated how the new subject of
transformation geometry in elementary mathematics curriculum effects students’ conceptions and how the students
construct the knowledge about it. A specially designed teaching program was developed (with the help of Wingeomtr software) for technology-supported teaching of the subject. Students’ handling of transformation geometry
subjects, their conceptualization of the concepts and ways of making knowledge meaningful for themselves have
been analyzed through the study. During these analyses, they have focused on the source of students’ perceptions.
Main focus was whether the perceptions based on seeing the drawings from computer screen, or with the underlying
mathematics of the movements. Results of the study showed that the prepared program taking into account of the
principles of constructivist approach (for example, assimilation etc.) contributed to the students’ learning by doing
thought-provoked mathematical abstraction. In addition, it has been identified that the use of technology in learning
process has an active role in transition from drawing to the figure of an object.
Üstün and Ubuz (2005) performed an experimental study to compare traditional educational environments
with the dynamic learning environments (Geometer's Sketchpad used). According to the results of the study, there
was a significant difference in favor of the experiment group on the recall (permanence) test. The most important
reason for this significant difference is identified as students’ explorations of geometrical shapes to see possible
connections by manipulating the computer based environment. Bedir and colleagues (2005) approved that using
Geometer's Sketcpad software on teaching of "Angles and Triangles" topic is more effective than the traditional
education in the students’ achievements.
As a dynamic mathematics software, use of is getting increasingly more common all over the world. In
addition to construct geometry dynamically, it also provides, as a key element of learning geometry, visualization,
11
estimation, conjecture, construction, discovery, proof and etc. This study is about using GeoGebra for the subjects of
triangles in eighth grade.
Methodology
This experimental study is conducted in the fall semester of 2009-2010 academic year. Two eighth grade
classes from a primary school have been selected as experiment (n=20) and control (n=20) groups. Before the
classroom activities, a pre-test was applied to the both groups to determine the students’ attainment level. The
questions covered seventh grade objectives for the subject. The pre-test results show that there was not any
statistically significant difference between the groups. Therefore, one of the groups selected as experiment and the
other as control group. It aimed to observe effects of computer-based learning environment (GeoGebra software) on
students’ success. A two weeks course (total of 12 hours) which contained twelve main GeoGebra activities and
many other practices about the stated achievements has been planned in accordance with the official mathematics
curriculum. Then the activities were constructed with GeoGebra for the experiment group. The GeoGebra prepared
activities aimed to make the subject more dynamic, concrete and visual. GeoGebra software was introduced in
introductory hour of the course. In all of the other sessions, the GeoGebra prepared activities were shared with the
students both with visual and dynamic features. Furthermore, examples and drawings on the textbooks were
constructed with the GeoGebra during the sessions.
In the official curriculum (MEB, 2005) teaching of triangle for eighth grade takes total of fifteen hours with
eight different objectives. These objectives are stated as follows in the mathematics curriculum.
1. Determines the relationship between the sum or difference of two sides’ lengths of a triangle and the length
of the third side (1 activity).
2. Determines the relationship between the sides’ lengths of a triangle and corresponding angles’ degrees
between the sides (3 activities).
3. Draws a triangle with given measures of the sufficient elements (3 activities)
4. Able to construct mediator (1 activity), perpendicular bisector (1 activity), angle bisector (2 activities) and
altitude of a triangle.
5. Able to construct Pythagoras relation (1 activity).
6. Explains the equality terms associated with triangles.
7. Explains the similarity terms associated with triangles.
8. Determines trigonometric ratios of acute angles for right triangles.
Thus, a total of twelve main activities have been prepared with GeoGebra and then used in the classroom for this
study. Simultaneously, the control group continued their formal teaching and learning procedure as guided by the
Ministry. A post-test was applied simultaneously to the both groups after two weeks of teaching. The post-test
contained questions about all the stated objectives for the eighth grade. The post-test has been used to see possible
effects of GeoGebra on students’ success. Furthermore, one month after the application a recall test was applied as
well.
12
GeoGebra Activities
In this section, the GeoGebra constructed activities are presented. Only one activity with all steps is given as
an example. Other 11 activities are given only as screenshots.
What is GeoGebra?
GeoGebra is an interactive geometry system. You can do constructions with points, vectors, segments, lines,
and conic sections as well as functions while changing them dynamically afterwards. GeoGebra’s user interface
consists of a graphics window and an algebra window. The two views are characteristic of GeoGebra: an expression
in the algebra window corresponds to an object in the geometry window and vice versa. On the one hand you can
operate the provided geometry tools with the mouse in order to create geometric constructions on the drawing pad of
the graphics window. On the other hand, you can directly enter algebraic input, commands, and functions into the
input field by using the keyboard. While the graphical representation of all objects is displayed in the graphics
window, their algebraic numeric representation is shown in the algebra window. The user interface of GeoGebra is
flexible and can be adapted to the needs of the students. GeoGebra can be used with the algebra window, input field,
coordinate axes with grid and the drawing pad and many geometry tools.
GeoGebra is very efficient in mathematics education and can be used effectively both in teacher training and
students learning (Doğan and Karakırık, 2009).
Classroom Activities
A Sample for the GeoGebra Constructed Activities: Construction of an Angle Bisector of a Triangle
1. Preparations
• Summarize the properties of an angle bisector of a triangle before you start the construction. Hint: If you
don’t know the construction steps necessary for an angle bisector of a triangle you might want to have a look at the
teacher guide book of mathematics. Use the buttons of the navigation bar in order to replay the construction process.
• Open new GeoGebra file.
• Hide (if you want) algebra window, input field and coordinate axes (View menu).
• Change (if you want) the labeling setting to New points only (menu Options – Labeling).
2. Construction process
1. Create three new points A, B and C which can create a triangle.
2. Construct an arbitrary triangle ABC
3. Construct a Circle d with center B and radius 2
4. Create a Point D which is an intersection point of d and c
5. Construct a Circle e with center D and radius 2
6. Create a Point E which is an intersection point of d and a
7. Construct a Circle f with center E and radius 2
8. Create a Line g which is the angle bisector of C, B and A.
13
9. Perform the drag test to check if your construction is correct.
No.
Name
Definition
Command
Algebra
1
Point A
A = (2.82, 0.7)
2
Point B
B = (-0.12, -2.22)
3
Point C
C = (6.54, -2)
4
Triangle ABC
Polygon A, B, C
Polygon[A, B, C]
ABC = 9.4
4
Segment c
Segment [A, B] of Triangle ABC
Segment[A, B, ABC]
c = 4.14
4
Segment a
Segment [B, C] of Triangle ABC
Segment[B, C, ABC]
a = 6.66
4
Segment b
Segment [C, A] of Triangle ABC
Segment[C, A, ABC]
b = 4.6
5
Circle d
Circle with center B and radius 2
Circle[B, 2]
d: (x + 0.12)² + (y + 2.22)² = 4
6
Point D
Intersection point of d, c
Intersect[d, c, 1]
D = (1.3, -0.81)
7
Circle e
Circle with center D and radius 2
Circle[D, 2]
e: (x - 1.3)² + (y + 0.81)² = 4
8
Point E
Intersection point of d, a
Intersect[d, a, 1]
E = (1.88, -2.15)
9
Circle f
Circle with center E and radius 2
Circle[E, 2]
f: (x - 1.88)² + (y + 2.15)² = 4
10
Line g
Angle bisector of C, B, A
AngleBisector[C, B, A]
g: -0.4x + 0.92y = -1.99
Table 1: Construction steps of an Angle Bisector of a Triangle
Figure 1: Screen view of the construction of an Angle Bisector of a Triangle
14
Figure 2: Screen view of another sample for the construction of an Angle Bisector of a Triangle
Figure 3: Screen view of the construction of the Greatest Angle of a Triangle
Figure 4: Screen view of the construction of a Triangle with two angles and a side
15
Figure 5: Screen view of the construction of a Triangle with two sides and an angle
Figure 6: Screen view of the construction of an Isosceles Triangle
16
Figure 7: Screen view of the construction of a Triangle with three sides
Figure 8: Screen view of the construction of the three sides of a Triangle
Figure 9: Screen view of the construction of Median of a Triangle
17
Figure 10: Screen view of the construction of a Perpendicular Bisector of a Triangle
Figure 11: Screen view of the construction of Pythagoras Relation for a Triangle
Figure 12: Screen view of the construction of Triangle Inequality for a Triangle
18
Results and Discussions
The teaching activities in this study are transferred to the teaching and learning environment as primary
activities by the dynamic mathematics software of GeoGebra. The activities contained basic facilities of important
achievements about triangles. Besides practical training with many discoveries and constructions, the study conveys
important massages for education as well. First of all, the students get familiar with a dynamic mathematics software
first time. This practical contribution to mathematics education proves a reality that computer-based classroom
activities can be effectively used in the learning environments. Secondly, geometric shapes and their properties with
the actual conditions of constructions were observed by using the software’ features. Thus, the students had the
chance to construct, explore and observe the geometric properties of the shapes with all sufficient conditions. This
also gives opportunities to check and prove all features dynamically with the program itself. Therefore, the student
has the chance to prove the terms and to observe construction conditions of geometric features for each case. This
situation goes beyond drawing the geometric shapes simply. Because, providing all conditions for the construction
requires considering all of the related features together with the associated geometric realities. If this high-level of
thinking occurs, then the construction occurs. This is a sign for high-level learning. Here, the contribution of the
dynamic mathematics software is undeniable. This differs from the traditional training that students draw shapes
without considering any factual conditions.
Furthermore, the researcher’ observation and the students’ responses during the activities revealed that the
students’ motivation in the class is increased with computer-based teaching. Even more, the students would like to
have more opportunities with such software. They also wish more practical application about other subjects of
mathematics with computer. Thus, the computer and software should be available for both teachers and students.
Moreover, adequate level of in-service teacher training for computer-based teaching must be provided and it has to
be maintained through the professional life.
References
Akı, F.N. ve Arkadaşları .(2004 ). Bilgisayar Destekli Matematik Derslerinin Matematik Öğretisine Katkısının
İncelenmesi. İstanbul Ticaret Üniversitesi Dergisi -Haziran 2004
Aktümen, M ve Kaçar, A. (2008). Bilgisayar Cebiri Sistemlerinin Matematiğe Yönelik Tutuma Etkisi. Hacettepe
Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi (H. U. Journal of Education) 35: 13-26
Baykul, Y. (1999), İlköğretimde Matematik Öğretimi. Ankara: Anı Yayıncılık
Bedir, D., Yılmaz, S. ve Keşan, C. (2005). Bilgisayar Destekli Matematik Öğretiminin İlköğretimde Öğrenci
Başarısına Etkisi. XIV. Eğitim Bilimleri Kongresi Pamukkale Üniversitesi Eğitim Fakültesi, 28-30 Eylül 2005,
Denizli, 372-376.
19
Çakıroğlu ,Ü. Güven, B. ve Akkan, A. (2008). Matematik Öğretmenlerinin Matematik Eğitiminde Bilgisayar
Kullanımına Yönelik İnançlarının İncelenmesi. Hacettepe Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi (H. U. Journal of
Education) 35: 38-52.
Doğan, M., Karakırık, E. (2009). Using GeoGebra in Teacher Training. Paper presented at First International
GeoGebra Conference, University of Linz, Austria, 14-15 July 2009.
Faydacı, S. (2008). İlköğretim 6. Sınıf Öğrencilerine Geometrik Dönüşümlerden Öteleme Kavramının Bilgisayar
Destekli Ortamda Öğretiminin İncelenmesi. Yüksek Lisans Tezi, Gazi Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsü.
Güven, B. & Karatas, İ. (2003), Dinamik Geometri Yazılımı Cabri ile Geometri Öğrenme: Öğrenci Görüşleri, The
Turkish Online Journal of Educational Technology - TOJET, Vol. 2, Issue 2, Article 10.
Karakuş, Ö. (2008). Bilgisayar Destekli Dönüşüm Geometrisi Öğretiminin Öğrenci Erişisine Etkisi. Yüksek Lisans
Tezi, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü.
Memişoğlu, B. (2005). Matematik Öğretiminde Bilişim Teknolojilerinin Kullanımı. Yüksek Lisans Tezi, Balıkesir
Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü.
Sulak, S. (2002). Matematik dersinde Bilgisayar destekli Eğitimin Öğrenci Başarı ve Tutumlarına Etkisi. Yüksek
Lisans Tezi, Selçuk Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü.
Üstün, I., ve Ubuz, B., (2005). Geometrik Kavramların Geometer’s Sketchpad Yazılımı ile Geliştirilmesi. The
Turkish Online Journal of Educational Technology – TOJET. 4 (3), 14–23.
20
Geometric and Algebraic Proofs with GeoGebra
Sema İpek
Graduate Student, Elementary Mathematic Education Division
University of Hacettepe, Ankara
[email protected]
Oylum Akkuş-İspir
Elementary Mathematic Education Division
University of Hacettepe, Ankara
[email protected]
Abstract: In this research study, it was aimed to find out pre-service elementary mathematics teachers’ proof skills with
regard to the fundamental geometric and algebraic theorems by using GeoGebra as dynamic geometry software. For this
aim the course named geometry teaching was designed in accordance to GeoGebra usage. During the course participants
solved problems related to geometric and algebraic proofs by using GeoGebra for 10 weeks. First five weeks of the
course, participants solved five geometric problems included proofs and the last five weeks they solved algebraic
problems included proofs. Participants wrote reflection papers after every session. These reflection papers were written
through five questions about the proof of that session. According to findings it can be claimed that pre-service elementary
mathematics teachers found GeoGebra beneficial for proof works.
Keywords: GeoGebra, Geometric Proof, Algebraic Proof, Pre-service Elementary Mathematics Teachers.
Introduction
Computer-based learning environment has become an important issue in mathematics education
(Özyıldırım, Akkuş-İspir, Güler, İpek & Aygün, 2009). The National Council of Teachers of Mathematics (NCTM)
has given a great importance to technological tools in mathematics classrooms. It was maintained that if these
technological tools especially computers are used efficiently and truly to teach mathematical concepts, it will enable
to have a rich learning environment to improve students’ mathematical thinking and thinking skills (NCTM, 2000).
Dynamic learning environment, as a computer-based learning environment, have been provided the opportunity for
efficient learning environments to students (Karadağ, 2008).
Algebra and geometry are the two main concepts of mathematics curricula of schools (Atiyah, 2001). GeoGebra is
one of the dynamic mathematics software which is the combination of both geometric and algebraic constructions
21
(Sangwin, 2007). It reinforces students to discover mathematical concepts by doing practice (Hohenwarter, 2004).
Using GeoGebra supports both learners and teachers to learn and teach essential conditions of geometric concepts
(Kokol-Voljc, 2007). All levels of students were provided to gain better understanding of mathematics by the use of
GeoGebra (Hohenwarter, Preiner and Yi, 2007).
Therefore, mathematics teachers should learn the use of Geogebra to teach mathematical concepts. Some of
the mathematical concepts such as geometrical proofs and algebraic proofs are difficult to be explained to students
by classical paper and pencil teaching method. In addition, mathematics educators and researchers pointed out
students’ difficulties with mathematical proofs (Hanna, 1991; Harel & Sowder, 1998; Moore, 1994; Raman, 2003;
Selden & Selden, 1995; Usiskin, 1980; Weber, 2001). Although these difficulties of understanding the proofs,
mathematical proofs are needed in not only geometry but also algebra and trigonometry since the students could
understand the contents of the mathematical formulas and theorems (Chao, Jiansheng, 2009). Oreilly (2009) claimed
that the complex structure became simple with the use of GeoGebra.
Hence, the aim of this study is to find out pre-service elementary mathematics teachers’ proof skills with
regard to the fundamental geometric and algebraic theorems by using GeoGebra.
Method
A course, named geometry teaching, was designed in accordance to Dynamic Geometry Software (DGS)
usage for a study. A part of the study in which GeoGebra used, is generated to this research. The participants were
the pre-service elementary mathematics teachers who have known how to use GeoGebra; however they did not use
the program to prove any geometric or algebraic theorems before. During this course, they solved problems related to
geometric and algebraic problems by using GeoGebra. They solved five geometric problems which related to proofs
of some fundamental theorems of geometry. Then, they solved five algebraic problems which related to proofs of
fundamental theorems of algebra. After every course session, participants wrote reflection papers about that session’s
proof problem. These reflection papers were written related to their sketches and procedures of proving.
This is a qualitative research using the reflection papers and sketching of proofs with GeoGebra as a method
of data collection. The reflection papers were divided into two. First one was geometric proof reflection papers and
the second one was algebraic proof reflection papers. The sketches were also divided into two, one was geometric
and the other was algebraic sketches.
Findings of the study
The findings of the study were inferred from reflection papers of participants and their sketches of during
the course sessions. Two main themes were identified from these data as follows; geometric proofs with GeoGebra
and algebraic proofs with GeoGebra. The findings will be presented with respect to the themes.
22
Geometric Proofs with GeoGebra
1.
Show that a star’s, as shown in the figure, total of corner angles are 180°.
Most of the pre-service elementary mathematics teachers used circle to show the total of corner angles are
180°. As in the figure-1, a participant showed with circle and by using animation which checked the all stars total of
corner angles is 180°.
The participants claimed in their reflection papers that “GeoGebra
provided us to draw well and visually effective learning.”
Figure 1
A
2.
If ABC is a right angled triangle, a+b is hypotenuse and h is height of
the triangle. Then, show that h2= a.b.
h
B
a
b
C
This problem was solved by using circle and Pythagoras Theorem. As in the figure 2 and 3, the animation
procedure helped to show proof clearly and understandably. Participants wrote that the program provides colored
visual which helps students to learn with enjoy.
Figure 2
Figure 3
23
3. Show that the diagonals of a square are perpendicular.
Some of the pre-service elementary mathematics teachers showed this perpendicularity by using parallel
sides of square and inverse angle theorem. Some of them used circle and central angle to prove the perpendicularity
of diagonals.
One of the participant stated that GeoGebra provided to perceive the proof well and understand what the
shapes showed us quickly.
4. Show that the opposite angles of a parallelogram are equal.
If |AB| // |CD| and |AC| // |BD|, then
(A) =
(D) and
A
B
(B) = (C).
C
D
The menu of the GeoGebra did not help the participants by drawing the parallelogram easily. However,
some of the participants used parallel lines to draw a parallelogram and then showed the opposite angles were equal
by using parallel lines, inverse angle theorem and supplementary angles theorem. One of the examples of sketches is
as shown in the figure-4.
Most of the participants stated that seeing the whole shape and
theorems all in one will be helped the students understand the
theorem and formulas easily and clearly.
Figure 4
5. Prove the Thales Theorem which if ABC is a triangle whose vertexes are on a circle and AC is a diameter of the
circle, then the angle B is a right angle.
Most of the preservice elementary mathematics teachers showed the proof by using inscribed angle theorem
of circle. They use the colored shapes to explain the proof well. As in the figure-5 and 6, one of the participants
proved the theorem when vertex B was changed place on the circle the angle did not change.
Figure 5
Figure 6
24
Algebraic Proofs with GeoGebra
1. Show that 1+3+5+7+…+(2n–1)=n2 is true.
When they saw square symbol, they decided to use squares to show this formula is true. One of the sketches
is below in Figure-7. The shape explains it clearly.
Except one participant, the other 38 participants
agreed on that GeoGebra is a useful teaching and
learning tool in mathematics classrooms and also it
helps teachers to explain the algebraic proofs easier
than classical methods.
Figure 7
2. Show that the below statement is true.
x2 + ax = (x+a/2)2 − (a/2)2
This problem is a bit difficult to see the clue than the others. However, most of the preservice teachers
proved this by using rectangles and squares clearly and easily. A sketch with animations, in the figure-8, 9, 10 and
11, is well to explain the students this statement clearly.
Figure 8
Figure 9
Figure 10
25
One of the participants stated his ideas as; although explaining such an
algebraic proof is difficult with paper-pencil, GeoGebra helps to make
algebra visual and translate abstract into concrete. In addition, animation of
GeoGebra provides clear understanding of the proof.
Figure 11
3. (a³-b³) = (a-b).(a²+ab+b²) Show that this statement is true.
GeoGebra is an only tool for the participants to explain the statement visually. A participant claimed that
this algebraic statement is difficult to explain. But with GeoGebra, it turns as a visual and it is clearly seen that
statement is true, as shown in the figure-12.
Figure 12
4. Show that the Cosine Theorem is correct.
The participants had some difficulties when they saw the problem first. However, while they were drawing
some shapes with GeoGebra, they realized that they found the proof way of the Cosine Theorem. They generally
used triangle and Pythagoras Theorem to prove this theorem as in the figure-13, the proof was seen clearly.
26
A participant stated that I understood the
importance of Cosine Theorem to teach my
future
students
with
the
help
of
the
GeoGebra.
Figure 13
5. Show that the Sine Theorem is correct.
Almost all participants proved the Sine Theorem by using properties of circles, angles, triangles and
trigonometric ratios. A participant indicated that GeoGebra provided me to make visualization the things which I
created in my mind, as shown in the figure-14.
Figure 14
Conclusion and Suggestion
According to the findings, pre-service elementary mathematics teachers’ proof skills were improved by the
help of GeoGebra as a Dynamic Geometry Software. They could prove both geometric and algebraic proofs with
GeoGebra. Most of the participants used the animations and color options of GeoGebra to make proofs interesting
and enjoyable as in the figures for their future students. They realized after starting to use GeoGebra for proving
geometric and algebraic theorems that if a concept was explained colored and animated with GeoGebra, students
27
would understand more easily and clearly then the classic paper and pencil method. Some of them had some
difficulties to think the algebraic concepts with GeoGebra at the beginning, and then they became familiar with
GeoGebra and proof and so they did proofs clearly and easily with the help of animations and colors. In addition,
they thought that they will teach their future students with GeoGebra in their future job.
After this study, it can be suggested that the GeoGebra can be a teaching and learning tool for undergraduate
abstract geometry and abstract algebra courses. Moreover, in-service mathematics teachers can learn and use proofs
with GeoGebra in their mathematics classrooms for explaining the fundamental theorems. Since technology is
improving day by day and the usage of it in education system increasingly becomes widespread. Hence GeoGebra is
a useful tool for mathematics and proof is a fundamental issue in mathematics education, so both GeoGebra and
proof should be learned and used in all level of mathematics classrooms.
References
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Atiyah, M. (2001). Mathematics in the 20th century: Geometry versus Algebra, Mathematics Today, 37, 2, 46–
53.
Chao, Z., Jiansheng, B. (2009). A survey on mathematical proofs among teachers. Front. Educ China , 4, 4,
490–505.
Hanna, G. (1991). Mathematical proof. In D. Tall (Ed.), Advanced Mathematical Thinking (54-61). Dordrecht,
The Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
Harel, G. & Sowder, L. (1998). Students' proof schemes: Results from exploratory studies. CBMS Issues in
Mathematics Education, 7, 234-283.
Hohenwarter, M. (2004). Bidirectional dynamic geometry and algebra with GeoGebra.
Hohenwarter, M., Preiner, J. and Yi, T. (2007). İncorporating GeoGebra into teaching mathematics at the
college level. Proceedings of ICTCM 2007, GeoGebra at the College Level.
Karadag. Z. (2008). Improving online mathematical thinking. 11th International Congress on Mathematical
Education. Monterrey, Nuevo Leon, Mexico.
Kokol-Voljc, V. (2007). Use of mathematical software in pre-service teacher training: The Case Of Dgs.
Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics, 27, 3.
Moore, R. C. (1994). Making the transition to formal proof. Educational Studies in Mathematics. 27, 249-266.
National Council of Teachers of Mathematics. (2000), Principles and standards for school mathematics. Reston,
VA.
Özyildirim, F., Akkuş-İspir, O., Güler, V., İpek, S. and Aygün, B. (2009). Preservice Mathematics Teachers’
Views About Using Geometers’ Sketchpad. Quality of Teaching in Higher Education Conference, İstanbul
Teknik Üniversitesi, İstanbul.
Oreilly, M. (2009). A complex thing made simple with GeoGebra. MSOR Connections, 9, 2, 11-12.
Raman, M. (2003). Key ideas: What are they and how can they help us understand how people view proof?
Educational Studies in Mathematics, 52, 319-325.
Sangwin, C. (2007). How Does This Button Work?. The Journal of Online Mathematics and Its Applications, 7.
Selden, J & Selden, A. (1995) Unpacking the logic of mathematical statements. Educational Studies in
Mathematics, 29, 123-151.
Usiskin, Z. (1980) What should not be in the algebra and geometry curricula of average collegebound students?
Mathematics Teacher, Spring 1980, 413-424.
Weber, K. (2001). Student difficulty in constructing proofs: The need for strategic knowledge. Educational
Studies in Mathematics, 48, 101-119.
28
GeoGebra as a tool for mathematical education in Slovakia
Ján Gunčaga
Department of Mathematics, Faculty of Education
Catholic University in Ružomberok, Slovakia
[email protected]
Abstract: We describe some possibilities of using GeoGebra software environment in mathematical education with
respect to new Slovak secondary school curriculum standards. GeoGebra can help teachers to use the time more
effectively. We present method of generating problems and we deal with equations of the type f(x) = f -1 (x) as a source of
problems the solution of which leads to a better understanding of the inverse function notion.
Keywords: Computer Based Math Education, Method of Generating Problems, Slovak Curriculum ISCED 2 and 3,
Inverse Function.
Introduction
Since the school year 2008/2009 new curriculum ISCED 2 & 3 is implemented at Slovak secondary schools.
This reduces the number of mathematics hours, and teachings topics, too. For example, sequences and their limits,
series and their sums, differential and integral calculus are not compulsory. According to national curriculum every
school in Slovakia can prepare his own curriculum. There is possible to increase the number of mathematics subsidy,
especially via those topics which are not compulsory. In some sense it means that computer based math education
can be implemented to teaching process. Slovak national project Infovek is appropriate for applying such ideas.
GeoGebra software–which is very user friendly–can help the teachers to implement ICT programme into their
teaching.
According to Kopka (1997) many educators say that the main goals of teaching mathematics are:
-
The development of logical thinking
-
The development of creative thinking
-
The development of an autonomous person
-
The development of the ability to solve problems.
GeoGebra allows implementing these goals in mathematics education. The method of generating problems
(see Wittman (2001)) seems to be suitable for this purpose (due to its systematically creating sets of internally
connected problems). Student activities and instructions have to be regarded as complementary factors in the
learning process. These factors both are necessary and must be systematically related to one another so that optimal
29
progress may occur. The aim of our method is to create areas in which the students may–using the result of guided
teaching–move as independently as possible, and in which he/she may develop their own initiatives. The student is
considering his own problem and he could ask to assist for help as far as necessary. By this way he can obtain basis
for further work. After a problem has been completely solved and clarified the teacher together with students are
thinking about further questions and generate problems which are related to the problem just solved. Thus the
original problem acts as a generating problem; we will call it generator problem (GP). Related problems are obtained
by analogy, variation, generalization, specialization etc. The group of all new problems together with their GP will
be called the set of generated problems of the GP or the problem domain of GP.
The Illustration
Let us illustrate the method of generating problems via an example. Let us consider an equation of the form
f ( x) = f −1 ( x) such that f is a function and f −1 is its inverse function. Solving such equation provides a student of a
secondary school through number varied topics and activities leading to a much better understanding the notions and
properties of functions, inverse functions, equations with parameters, and so on. Various computer programs
supporting drawing graphs of functions will effectively help in such activities.
Linear function
Let us assume that f is a linear function which is given by formula f(x) = ax + b, a ≠ 0. Then the inverse
function is f −1 : x = ay + b. Hence
x − b = ay
x−b
=y
a
The equation f ( x) = f −1 ( x) has a form ax + b =
x −b
a
.
(1)
Hence
x − b = a2x + ab
x(1 − a2) = ab + b
If a = 1 then 0 = 2b. If b = 0 then the solution are all real numbers. If b ≠ 0 then the equation (1) does not have any
solution. If a = −1 then we get 0 = 0. For every real number b, the solution of the equation (1) are all real numbers.
If a ≠ 1 and a ≠ −1 we get
x=
b(a + 1)
1− a2
30
x=
b( a + 1 |
(1 − a)(1 + a)
x=
b
1− a
If a ≠ 1 and a ≠ −1 the equation (1) has one solution.
lin
Figure 1: Linear function f with his inverse function g = f-1 in GeoGebra
These solutions have also geometrical interpretation. It is known that graphs of the function f and the
inverse function f −1 are axial symmetric with axis y = x. If a = 1 and b = 0 we have a function y = x, the graph of
which is axis of this symmetry. The inverse of this function is also y = x. Therefore the solution of (1) are all real
numbers. If a = 1 and b ≠ 0 then the graphs of function f(x) = x + b and f-1(x) = x − b are two parallel lines, which
are parallel with y = x and do not have common point. Therefore the equation (1) does not have any solution (see
Figure 1).
If a = −1, the graphs of functions f are lines perpendicular to axis y = x and these lines are in this axial
symmetry the isometric sets of points. Therefore the solutions of (1) are all real numbers. If a ≠ ± 1 the graphs of
f(x) and f −1 (x) are non-parallel lines with common point on the axis y = x. Therefore in this case the equation (1)
has one solution.
31
The rational functions of type
Every function f ( x) =
ux + v
px + r
ux + v
r
,x≠−
(p, r, u, v are real numbers), can be written in the form f(x) = a +
px + r
p
k
, x ≠ b (a, k, b are real numbers). For this function, the equation f ( x) = f −1 ( x) has for
x−b
a ≠ 0 and b ≠ 0 a
form
a+
k
k
=b+
x−b
x−a
(2)
If we solve this equation, we get
a+
k
k
=b+
x−b
x−a
a(x − a)(x − b) + k(x − a) = b(x − a)(x − b) + k(x − b)
(a − b)(x − a)(x − b) + k(b − a) = 0
(a − b)((x − a)(x − b) − k) = 0
If a = b, we get 0 = 0 and the solution are all real numbers. If a ≠ b, then
(x − a)(x − b) − k = 0
x2 + (−a − b)x + (ab − k) = 0
x1,2 =
a + b ± ( a − b) 2 − 4 k
2
Now, we have three possibilities:
1. If k > −
x1 =
1
(a − b)2 , then the equation (2) has two solutions
4
a+b+
(a − b)2 + 4k
2
, x2 =
a+b−
(a − b)2 + 4k
2
2
Notice that (a − b) > 0 and for every positive number k the equation (2) has two solutions.
2. If k = −
1
(a − b )2 , then one solution is x = 1 (a + b).
4
2
3. If k < −
1
(a − b )2 , then (2) does not have any solution.
4
32
Figure 2: Rational function f with his inverse function g = f-1 in GeoGebra
The solutions have a geometrical interpretation. Graphs of the functions f and f-1 are hyperbolas. The
question is how many common points these hyperbolas have?
In case a = b, the hyperbola, i.e. graph of the function f, is symmetrical with respect to the axis y = x.
Therefore the solution of equation (2) is all real numbers.
In case a ≠ b there are three possibilities. First, the hyperbolas have two common points. For every positive
number k the hyperbola, i.e. graph of the function f, has two common points with the axis of axial symmetry y = x.
These common points are the common points with the hyperbola, i.e. graph of the function f-1. Second, one arm of
the hyperbola f touches the one arm of the hyperbola f-1. They have a common tangent y = x at the common point.
This situation we explain by the function f(x) = 3 −
1
(see Figure 1).
x −1
Third, the hyperbolas do not have any common point.
The exponential and logarithmic functions
The equation f ( x) = f −1 ( x) has for exponential and logarithmic function the form ax = loga x for a ∈ (0, 1)
∪ (1, ∞). GeoGebra allows to show cases which are not typical for mathematical textbook in secondary schools (see
Figures 3, 4), too.
33
Figure 3: Exponential function f with his inverse function g = f-1 in GeoGebra for parameter a = 0,02
Figure 4: Exponential function f with his inverse function g = f-1 in GeoGebra for parameter a = 1,4
Conclusion
Our examples illustrate how it is possible to use the method of generating problems with generator problem,
concretely with solving equations f ( x) = f −1 ( x) for different types of functions f. Benefit of this purpose consists in
34
connections between teaching mathematical analysis and both analytical and synthetic geometry at school. It is very
important that the students' knowledge be not isolated.
A teacher has a possibility to explain the notions of inverse function, graphs of different types of functions.
Students can easily see fact that the graphs of the function f and function f-1 are symmetrical with respect to the axis y
= x. In this situation can serve GeoGebra as useful tool for drawing those graphs. Student can also utilize it by
finding the numerical solutions the equations f ( x) = f −1 ( x) for some types of functions (trigonometric, exponential
functions, etc.)
The method of generating problems we can use in other parts of school mathematics, too. For other
applications see Billich (2008), Hajdu-Czeglédy-Hajdu Sándor-Kovács (2009), Takáč (2009), and Tkačik (2001).
References
Billich, M. (2008). The use of geometric place in problem solving, 2008, Scientific Issues, Teaching Mathematics:
Innovation, New Trends, Research, Ružomberok, Slovakia, CU in Ružomberok, p. 7 − 14.
Kopka, J. (1997). Problem Posing and learning of Mathematics, 1997, Mathematical Investigations in School
Mathematics 1, Oslo, Norway, University of Oslo, p. 1 − 7.
Hajdu, S., Czeglédy, I., Hajdu Sándor, Z., Kovács, A. (2009). Matematika 9, 2009, Budapest: Műszaki Kiadó.
Takáč, Z. (2009). Influence of MRP Tasks on Students' Willingness to Reasoning and Proving, 2009, ICMI Study 19
Conference Proceedings Volume 2, Taipei, Taiwan: National Taiwan Normal University, p. 202 − 207.
Tkačik, Š. (2001). A Continuous Approximation of the Traveling Salesman Tour Length in Different Metrics, 2001,
The 1st International conference on Applied Mathematics and Informatics at Universities 2001, Bratislava, Slovakia:
Slovak Technical University, p. 134 − 141.
Wittman, Ch. E. (2001). The Alpha and Omega of Teacher Education: Organizing Mathematical Activities, 2001,
The Teaching and Learning of Mathematics at University Level: An ICMI Study, Kluwer Academic Publishers,
Netherlands, p. 539—552.
NOTE: (This paper was supported by grant KEGA 3/7068/09)
35
Motivating students in learning mathematics with GeoGebra
Kyeong-Sik Choi
Seoul National University
[email protected]
Abstract:In previous researches in Korea, many researchers investigated instructional materials and instructional models using
computer software. There was, however, little study to investigate student’s actions in student-centered math classes with computer
software. In this study, GeoGebra was used as computer software. This study was investigated in Institute for gifted students. Research
findings show that students were motivated to study math by various reasons. In three cases of classes, students motivated by making
their beautiful works, searching videos related with math and making materials for others. Students couldn’t these activities without
computer or internet connection. Especially, without GeoGebra, students couldn’t handle mathematical objects easily. Interest was alsan
important motivation of learning mathematics. Motivation outside mathematics could help learning mathematics.
Key words : GeoGebra, motivation, mathematics learning
Introduction
In Korea, there were many trials to integrate computer to the classrooms of the secondary schools. Kang and
Choi-Koh (1999) investigated instructional materials using DGS(Dynamic Geometry Software). They constructed
some examples of regular polyhedrons and their development figures using DGS. They argued that the examples
would be able to help teacher's instruction in their geometry class of the secondary school. Kim (2002) researched
the use of GSP in the view of problem-solving. He asserted that GSP materials in Korea were only the introduction
for constructing some GSP files. Then he showed GSP examples according to Polya's problem-solving steps.
There has been, however, little study to investigate student's action in student-centered math class using
computer software yet. In this study, responses of students in math class of mathematical modeling using computer
were investigated. Especially, GeoGebra was used as computer software in this study. GeoGebra, Dynamic
Mathematics Software for everyone, is easy-to-use and free of charge for education.
History of GeoGebra in Korea
In 2002, GeoGebra was created by Markus Hohenwarter at University of Salzburg, Austria. He
implemented a software that have functionalities of DGS (Dynamic Geometry Software) and CAS (Computer
Algebra System). After publishing GeoGebra on the internet in 2002, teachers in Austria and Germany started to use
GeoGebra for teaching mathematics.
36
GeoGebra received the European Academic Software Award, EASA, in 2002. Further development of
GeoGebra was funded by a DOC scholarship awarded to Hohenwarter by the Austrian Academy of Science. Since
2006, GeoGebra's development has continued at Florida Atlantic University, USA, where Hohenwarter works in a
teacher training project funded by the National Science Foundation's Math and Science Partnership initiative.
(Preiner, 2008)
In 2009, Kyeong-Sik Choi who studied in graduate school of Seoul National University had translated
GeoGebra 3.2 and its official manual into Korean. GeoGebra was used for exploring mathematics class for 7th grade
students at Institute for gifted students. In Korea, GeoGebra have been popularized via GeoGebra Korean user
community, GeoGebra Naver cafe.
Methodology
Previous researchers focused how to present mathematical concept to the students well or how to teach math
with computer (Kang and Choi-Koh, 2002;Kim, 2002;Kim, 2006;Lee, 1999). In this study, response of the students
was investigated by qualitative method. Teacher only observed student's actions and analyzed student's works and
responses.
Participants
This study was with 40 students who were 7th grade in Gyeonggi province in Korea. They were selected by
their excellence of intellectual abilities for mathematics and/or science. The average of their mathematics scores in
school was very high as 98.78 and the standard deviation 1.64. Students who responded that they liked mathematics
were 35 persons (88 %). The Questionnaire about preference of math was researched. The result of the questionnaire
is the following.
• I like solving math problem: 36 students (90%)
• I have interests in learning new math concept: 33 students (83%)
• I study math for my future, not for my fun: 13 students (33%)
• I study math for my parents, not for me: 4 students (10%)
• I want to have a job related with math: 20 students (50%)
• I have interests about the story of math genius: 24 students (60%)
• I have experienced watching movie related math: 18 students (45%)
• I know where math is used in real life: 31 students (78%)
• I know jobs related with math: 29 students (73 %)
According to the result, these students liked solving math problem and learning new math concept. About
half of students knew the information related with mathematics (job related with math, the story of math genius and
37
movie related math). Many students (about 67%) do not want to study math for their future only.
Environment of classroom
There were 20 PCs which were connected to teacher's main computer in the classroom. Each computer had
two monitor; one was for students, the other for teacher's computer screen. Teacher could show each screen of
students to all students.
Teacher's role in the classroom
According to constructivism, teachers in the classroom should be facilitators. Teacher usually taught many
mathematics concepts or how to solve problems directly in the classroom. However, facilitator only help the learners
to understand mathematics concepts or solve problems by themselves.(Gamoran, Secada, & Marrett, 1998) In other
words, a teacher tells, a facilitator asks; a teacher lectures, a facilitator supports; a teacher gives answers, a facilitator
provides guidelines; a teacher says alone, a facilitator talks with the learners.
In this study, the teacher in the classroom was a facilitator. Teacher only provided goal of the class to the
students, explained about goal briefly and answered when there were questions from the students. According to goal
provided, students made their works using mathematical concepts with GeoGebra. After submitting their works on
the internet, teacher only showed each works to all students. Students assessed other's works, learned from other's
works and modified their own works.
Research Findings
1.Case 1: “Let's make solar system”
1.1 Description
In 27 June 2009, there was a class for exploring mathematics using GeoGebra. The Topic was “Let's make
solar system”. The material for the student was given from the internet. The procedure of class is the following.
1.
Visit the website.
2.
View the YouTube video about solar system in the website.
3.
Search the information for making solar system in the Wikipedia.
4.
Make your formula for the situation of problem.
5.
Make the model of solar system using GeoGebra.
6.
Upload the GeoGebra file on the internet (GeoGebra Naver cafe).
7.
Evaluate other's works.
For the first time, students should understand what they would make through watching YouTube video in
38
the website. Next they found the information for making model of solar system and searched them in the Wikipedia.
After making formula for the angle of planet position, they made model using GeoGebra, uploaded their GeoGebra
files and evaluated other's works. Students might modify their own GeoGebra model after evaluation of other's
works.
Figure 1: Online material provided
1.2 Findings
Students made their own solar system well and uploaded their works on the internet. Teacher showed each
student’s work to all students on the screen. At the moment that the beautiful work was shown, some students
concentrated to the work and started to decorate their own works. They seemed to make their own works beautiful,
too. They asked how to decorate solar system each other. They made their solar systems over and over. Eventually,
they asked how to make a satellite (moon) to the teacher. Teacher explained the relation of planet and satellite. In
other words, a satellite goes around a planet with regular velocity. Thus, a satellite rotates the amount of its planet’s
going around the sun more. After teacher’s explanation, students started to make a satellite of the earth. They wanted
to change color of planet (point) variously and to show planet (point)’s trace. This situation was occurred
accidentally and was not predicted. Students seemed to be satisfied by their own works.
In this situation, they used the formula for making planets or satellites for their own purposes. The formula
was not also given, so they should create their formula by themselves. Students worked for the beauty of their
GeoGebra works, not for making mathematical formula. However, they created the formula and applied it to their
works well.
39
Figure 2: Solar system (with various colors)
Figure 3: Satellite of the earth
2. Case 2: “Let's make GeoGebra work related with our life”
2.1 Description
In 12 Aug 2009, there was a class for a project using GeoGebra. The Topic was “Let's make GeoGebra work
related with our life”. In this time, the material for the student was not given. Students had to make their GeoGebra
work and GeoGebra worksheet. The procedure of class is the following.
1.
Design what you will make.
2.
Search YouTube video suitable for explaining what you will make.
3.
Make GeoGebra work.
4.
Make GeoGebra worksheet.
5.
Upload the GeoGebra worksheet files on the internet (GeoGebra Naver cafe).
6.
Evaluate other's works.
40
For the first time, students should design what they wanted to make. Next students searched video suitable
for explaining GeoGebra work well. After making GeoGebra work, students should make GeoGebra worksheet. In
this time, students should insert YouTube video and the description about his/her GeoGebra work. Students uploaded
their GeoGebra files and evaluate other's works.
Figure 4: Amusement Park
2.2 Findings
Students started to make their works using GeoGebra. They searched YouTube video suitable for explaining
what they wanted to make; they should insert video into their worksheet. Teacher only answered when students asked
GeoGebra usage. However, students found good examples of mathematical modeling in real life by themselves. The
titles of examples are the followings.
Amusement park, Marathon, Launching Rockets, Shootings, Pin Ball, Airport, Arrows, Helix (growth of
plants), Fountain, Water mill, Black hole, Roller coaster, Voyage, Comet, Typhoon, Accident, Wave,
Galaxy, Spear, Clock
Especially, ‘Amusement park’ was very impressive work. The students who made ‘Amusement park’
described how to make it.
The video which follows is a YouTube video about Ceder point amusement park, one of the greatest
amusement parks. I made many rides in the amusement park; Giant wheel, Space spiral, Roller coaster
and pools with waves. I made Giant wheel with trigonometric function to represent circular movement,
Space spiral with free fall formula and Roller coaster with graph of cubic function. I made people in the
pool move up and down; it's the nature of the wave.
41
Another impressive work was ‘Fountain using quadratic function’. It described traces of a point as water
sprinkled up.
In the procedure of searching videos, they seemed to find various topics related with math. These
phenomenons were not expected; teacher didn’t provide any topic or hint. It means that students were accustomed to
using GeoGebra and GeoGebra has various possibilities in teaching mathematics in school.
Figure 5: Fountain with quadratic function
3. Case 3: “Let's make materials for your friends using GeoGebra”
3.1 Description
In 28 Dec 2009, there was a class for a project using GeoGebra. The topic was “Let's make materials for
your friends using GeoGebra”. In this time, the material for the student was not also given. Students had to make
their GeoGebra work and explanation in GeoGebra Naver Cafe, which is the online community for Korean
GeoGebra users. The procedure of class is the following.
1.
Design what you will make.
2.
Make GeoGebra work.
3.
Write explanation in GeoGebra Naver Cafe.
4.
Upload the GeoGebra worksheet files on the internet(GeoGebra Naver cafe).
5.
Evaluate other's works.
For the first time, students should design what they wanted to make. Next students made GeoGebra work
according to their plans. After making GeoGebra work, students wrote explanation for their friends, uploaded their
GeoGebra files in GeoGebra Naver Cafe and evaluate other's works.
42
Figure 6: Material for friends (linear function)
3.2 Findings
In this project, many students had difficulties for setting a topic. In school mathematics, students should
choose a topic which they would make. They wrote some explanations about their mathematical topics and uploaded
GeoGebra files. Suddenly, a student in the classroom made a video (avi file) using a freeware for capturing computer
screen. He uploaded the video with his explanation. Especially, he captured GeoGebra’s animation. GeoGebra’s
animation is a functionality which can draw the movements of objects in GeoGebra with sliders. Students could read
his explanation with watching video. It was a convenient way for studying with explanation made by others; many
community sites provide video uploading function. After his uploading video, many students made their materials
like that.
After the class, students wrote the followings.
I made math materials for others for 4 hours. I didn't know what I would make or how I could explain
using GeoGebra. But, I could find the way through many trials with GeoGebra and explain some
mathematical topic using materials from the internet. I am not good at GeoGebra, but I was proud of
making the work by myself, although sometimes I was disappointed about not working of my work. But I
could study much, I think that this class was meaningful to me... (From GeoGebra Naver cafe)
Um...
43
First, the material should be in detail for the person who didn't know anything about the knowledge. I
wanted to explain the knowledge deeper, so that I searched knowledge related with the knowledge more.
So I have more knowledge about that.
While many people explain by writing, I drew(made) pictures using GeoGebra and explained. It's very
interesting to me! (From GeoGebra Naver cafe)
First student had difficulties in first step of the project. Especially, he didn’t use GeoGebra well. He
occurred many trials and was able to learn many things. He was also proud of making the work. Second student
could get more knowledge through the process of making materials for others. She was interested in it.
Conclusion
This study shows the investigation of responses and works of the students in class of exploring mathematics
in Institute of gifted students, Korea. In the class on 27 June 2009, students created their own formula and learned
GeoGebra usages for making their GeoGebra works beautiful. In the class on 12 Aug 2009, students found many
situations with mathematics in YouTube videos; they could get many ideas in searching videos suitable for their
topics. Thus, for mathematical modeling using computer by students, teacher should provide materials, i.e., books,
videos or internet materials. In the class on 28 Dec 2009, students learned many things for making materials for
others. According to on student’s writing, students studied more; they couldn’t make anything before they knew the
information well.
In these three classes, computer and internet connection played important role. Without computer and
internet connection, students couldn’t search information, videos, upload their own works and make materials for
others easily. Especially, students could also handle mathematical objects easily using GeoGebra, which is an easyto-use software based on mathematical and educational knowledge. Students could learn knowledge for making their
beautiful works and materials for others. Motivation outside mathematics can help students in learning mathematics
well. Above all, the interest of students was the most important in these three classes. Students wanted to study more!
Lastly, I refer a sentence from a student.
It's very interesting to me!
References
Kang, S., & Choi-Koh, S. (1999). Development of instructional materials using computer software, Geometer's
Sketchpad for enhancing spatial ability in regular polyhedrons. The Mathematical Education, 38(2), 179-187.
Lee, J. (1999). A Didactical analysis of the mathematics teaching and learning in the computer-based environment,
Doctoral Dissertation, Seoul National University, Seoul.
Kim, N. (2002). A study on the GSP in the viewpoint of problem solving. School Mathematics, 4(1), 111-125.
44
Kim, H., & Cho, H. (2004). Functional definition in DGS environments. The Mathematical Education, 43(2), 177186.
Kim, H. (2006). A Study on Learning and Teaching Environments for Computers and Mathematics Education,
Doctoral Dissertation, Seoul National University, Seoul.
Preiner, J. (2008). Introducing Dynamic Mathematics Software to Mathematics Teachers: the Case of GeoGebra,
Doctoral Dissertation, University of Salzburg, Salzburg.
45
Constructing 3D Graphs of Function with GeoGebra(2D)
Jeong-Eun Park
Young-Hyun Son
Gyeonggi-Buk Science High School
Gyeonggi-Buk Science High School
[email protected]
[email protected]
O-Won Kwon
Hee-Chan Yang
Gyeonggi-Buk Science High School
Gyeonggi-Buk Science High School
[email protected]
[email protected]
Kyeong-Sik Choi
Seoul National University
[email protected]
Abstract:In the secondary school of Korea, students study 3-dimensional figures in the textbook. Without
proper model of 3-dimensional space, however, they have studied 3-dimensional figures. In this study, we
constructed the environment of 3-dimensional space in which teachers and students can handle in perspective
of algebra and geometry. As software of 2-dimensional space, GeoGebra is dynamic mathematics software of
integrating views of algebra and geometry. We expanded the functionality, manipulating mathematical objects
in perspective of algebra and geometry simultaneously, into 3-dimensional space. We created basis of 3dimensional space using transformation of rotation and projected the basis into the plane. Then we applied
our 3-dimensional space into constructing polyhedron, curves and surfaces in 3-dimensional space.
Key words: GeoGebra, 3-dimension, graphs, perspective of algebra and geometry
Introduction
In Korea, many students in the secondary school studies figures in 3-dimensional space. In middle school,
th
from 7 grade to 9th grade, students studies regular polyhedrons in the textbook. In high school, from 10th grade to
12th grade, students studies 3-dimensional Cartesian space with vector and Euclidean geometry. Especially, Korean
students manipulate equations which represent points, curves and surfaces with algebraic equations or vector
equations.
In middle school, students sometimes experienced real polyhedrons for understanding properties of 3dimensional figures. In high school of Korea, however, students have little chance of experiencing real or cyber 3dimensional figures.
46
Kang and Choi-Koh (1999) studied development of instructional materials for 3-dimensional figures using
computer software. Especially, they proposed some examples of exploring 3-dimensional figures with GSP
(Geometer’s Sketchpad). Their examples were suitable for curriculum of middle school in Korea. In their examples,
however, regular polyhedrons couldn’t be rotated and connected equations.
In this study, we will construct a 3-dimensional space which is projected on 2-dimension space. In other
words, we will define basis of 3-dimensional space and project them into 2-dimensional space. In this space, we can
manipulate points, curves and some surfaces algebraically. Especially, we construct 3-dimensional basis on
GeoGebra, which can manipulate a mathematical object on perspective of algebra and geometry simultaneously.
Functionality of GeoGebra
GeoGebra is educational software which can manipulate 2-dimensional mathematical objects with algebraic
and geometric representation. For example, y = x, a linear function, is represented an equation in algebraic view and
a line in geometric view.
Figure 1: GeoGebra’s algebraic view and geometric view
GeoGebra also has command and slider. Slider is the visualization of variable in GeoGebra. For example,
after making slider ‘a’, we can type ‘(a, a)’ in input field in order to make a point in geometric view in GeoGebra.
47
Figure 2: Slider and command in GeoGebra
Constructing basis in 3-dimension
We will construct 3-dimensional space. Firstly, we will define the set of standard basis in 3-dimensional
space. Then, we will use linear transformation for rotating basis with manipulating matrices in GeoGebra.
Standard basis in 3-dimensional space in GeoGebra
Generally, standard basis B in 3-dimensional space is B = { (1, 0, 0)t, (0, 1, 0)t, (0, 0, 1)t }. In GeoGebra, we
define each column vectors as E_1, E_2 and E_3 respectively. The GeoGebra command is the following.
E_1 = {{1},{0},{0}}
E_2 = {{0},{1},{0}}
E_3 = {{0},{0},{1}}
Then, we make three variables for representing the angles of rotating around x-axis, y-axis and z-axis
respectively. In GeoGebra, we make three sliders as a, b and c. The three basic rotation matrices are the followings.
0
0 ⎞
⎛ cos(b) 0 − sin(b) ⎞
⎛ cos(c) − sin(c) 0 ⎞
⎛1
⎜
⎜
⎜
⎟
⎟
⎟
1
0 ⎟ , R z (c) = ⎜ sin(c) cos(c) 0 ⎟
R x (a ) = ⎜ 0 cos(a ) − sin(a) ⎟ , R y (b) = ⎜ 0
⎜ sin(b) 0 cos(b) ⎟
⎜ 0
⎜ 0 sin(a) cos(a ) ⎟
0
1 ⎟⎠
⎝
⎝
⎝
⎠
⎠
The GeoGebra command is the following.
48
R_x = {{1,0,0},{0,cos(a),-sin(a)},{0,sin(a),cos(a)}}
R_y = {{cos(b),0,-sin(b)},{0,1,0},{sin(b),0,cos(b)}}
R_z = {{cos(c),-sin(c),0},{sin(c),cos(c),0},{0,0,1}}
Multiplying three basic matrix, Rx(a), Ry(b) and Rz(c), we can get the rotation matrix of a, b, and c.
Rxyz (a, b, c) = Rx (a) Ry (b) Rz (c)
The GeoGebra command is the following.
R_{xyz} = R_x * R_y * R_z
Now, we multiply Rxyz to each vectors in standard basis of 3-dimensional space. Then we can get e1, e2, e3 which are
vectors rotated by angle a, b, and c.
e1 = Rxyz E1 , e2 = Rxyz E2 , e3 = Rxyz E3
The GeoGebra command is the following.
e1 = R_{xyz} * E_1
e2 = R_{xyz} * E_2
e3 = R_{xyz} * E_3
Then we can get basis BROT = { e1, e2, e3 }, which is rotated by a, b and c.
Next we have to remove an element (the first element) of each vectors of BROT; we cannot represent point
which has 3 coordinates in geometric view of GeoGebra, so that we project each vectors to yz-plane.
Finally, we construct a basis B3D= { e1 , e2 , e3 }, which represent 3-dimensional basis projected into 2-dimensional
space. Each vectors of B3D are the followings (The points, V1 , V2 and V3, correspond with the vectors, e1 , e2 and e3).
e_1 = (Element[Element[e1,2],1], Element[Element[e1,3],1])
e_2 = (Element[Element[e2,2],1], Element[Element[e2,3],1])
e_3 = (Element[Element[e3,2],1], Element[Element[e3,3],1])
V_1 = e_1
49
V_2 = e_2
V_3 = e_3
Figure 3: Constructing 3-dimensional basis on GeoGebra
Applications
Before starting this section, we added some decorations in geometric view, x-axis, y-axis, z-axis and each
planes, which can help the figures recognized well in 3-dimensional space.
Polyhedron
We can start the simplest polyhedron, tetrahedron. The four vertices of tetrahedron are the followings.
P1 = (0,0,0) , P2 = (2,0,0) , P3 = (1, 3 ,0) , P4 = (1,
3 2 6
,
)
3
3
We can type the following in GeoGebra input field.
P_1 = 0 V_1 + 0 V_2 + 0 V_3
P_2 = 2 V_1 + 0 V_2 + 0 V_3
P_3 = 1 V_1 + sqrt(3) V_2 + 0 V_3
P_4 = 1 V_1 + sqrt(3)/3 V_2 + 2*sqrt(6)/3 V_3
50
Figure 4: Tetrahedron in 3-dimensional space
Curves
Next we will draw helix and helix on cone. The coordinate of a point on helix is the following.
(cos(7t ), sin(7t ), t ) , t ∈ R
We can type the following command in GeoGebra input field.
E = cos(7t) V_1 + sin(7t) V_2 + t V_3
In this time, we already defined the variable t as the value of x-coordinate of point A defined. We can draw
the locus (graph) of the point using locus command/tool in GeoGebra. If we type the following command in input
field in GeoGebra, the helix will appear in geometric view of GeoGebra.
locus[E, A]
If we change the command as the following, we can get the graph of helix on a cone (Figure 6).
E = 0.2t*cos(t) V_1 + 0.2t*sin(t) V_2 + 0.3t V_3
51
Figure 5: Helix in 3-dimensional space
Figure 6: Helix on a cone in 3-dimensional space
Surfaces
We can’t draw surfaces directly in geometric view of GeoGebra; in geometric view, we can’t fill colors in
arbitrary jordan curves. We found some alternative solutions, drawing contours and mapping some lines from xyplane(domain) on the surface.
•
Drawing contours
52
Firstly, we choose five points of same z-coordinate on a surface. Then, we define a quadratic curve(conic
section) with five points, as we can make a curve with five points chosen using Conic through Five Points tool of
GeoGebra.
For example, we can draw surface of revolution of the following equation with axis z.
z=
1 2
y
20
GeoGebra command is the following(u is a slider name).
P_1 = u^2 / 20 V_1 + 0 V_2 + u V_3
P_2 = 0 V_1 + u^2 / 20 V_2 + u V_3
P_3 = 0 V_1 - u^2 / 20 V_2 + u V_3
P_4 = -u^2 / 20 V_1 + 0 V_2 + u V_3
P_5 = (u^2 / 20 V_1 + u^2 / 20 V_2)/sqrt(2) + 0 V_2 + u V_3
Another surface is the revolution of the graph of z = √(1+ 1/y). GeoGebra command is the following(u is a slider
name).
P_1 = sqrt(1 + 1/u) V_1 + 0 V_2 + u V_3
P_2 = sqrt(1 + 1/u) V_2 + 0 V_2 + u V_3
P_3 = -sqrt(1 + 1/u) V_2 + 0 V_2 + u V_3
P_4 = -sqrt(1 + 1/u) V_1 + 0 V_2 + u V_3
P_5 = (sqrt(1 + 1/u) V_1 + sqrt(1 + 1/u) V_2)/sqrt(2) + 0 V_2 + u V_3
Figure 7: Revolutions of function
•
Mapping lines from domain to the surface
In domain, xy-plane, we can make a point go through various paths, especially line paths. The followings
are the lines we defined.
53
x = - 2, -1.5, - 1, - 0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2
y = - 2, -1.5, - 1, - 0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2
We will map these lines through some functions into 3-dimensional space using locus command/tool and
spreadsheet view in GeoGebra. Firstly, we will represent the graph of the following equation.
z= x+ y
Figure 8: Graph of z = x + y
In spreadsheet view, we can create the rigid on xy-plane, and then map them into 3-dimensional space
(Figure 8).
Now we can also create another surface, z = x2 + y2, using spreadsheet view and locus command/tool in
GeoGebra (Figure 9).
54
Figure 9: Graph of z = x2 + y2
Conclusion
We have examined constructing 3-dimensional space on GeoGebra, 2-dimensional dynamic mathematics
software, which can manipulate both of the representations of algebra and geometry of mathematical object. Firstly,
we construct basis of 3-dimensional space which can be rotated by angle variables (sliders in GeoGebra). Based on
basis, we constructed polyhedron, curves and surfaces in 3-dimensional space. Especially, in this construction, we
created the environment in which students and teacher can manipulate mathematical object in perspective of algebra,
cartesian geometry and vector geometry.
Reference
Kang, S., & Choi-Koh, S. (1999). Development of instructional materials using computer software, Geometer’s
Sketchpad for enhancing spatial ability in regular polyhedrons. The Mathematical Education, 38(2), 179-187.
Peterson, E. (2007). 3D Coordinate Axes in GeoGebra.
http://www.dean.usma.edu/math/people/Peterson/geogebra/true3d.html
55
Çeşitli Parametrik Eğrilerin İnşasının Görselleştirilmesi
Murat TAŞ
Matematik Bölümü
İstanbul Üniversitesi, Türkiye
[email protected]
Sevinç Gülseçen
Matematik Bölümü
İstanbul Üniversitesi, Türkiye
[email protected]
Tolga Kabaca
İlköğretim Matematik Eğitimi
Pamukkale Üniversitesi,Türkiye
[email protected]
ÖZET - Bu çalışmada dinamik matematik yazılımı GeoGebra ile bazı özel eğrilerin parametrik
denklemlerinin inşasının görselleştirilmesi amaçlanmıştır. Çalışmayı iki bölüme ayırmak mümkündür. Birinci
bölümde düzlemde bir eğri tanımı yapılmış ve görsel olarak sunulmuştur. Çalışmanın ikinci bölümünde bazı
özel eğriler ele alınmış ve bu eğrilerin parametrik denklemlerinin inşası görsel olarak sunulmuştur. Bu
çalışmada, bu yazılımın yüksek öğretim düzeyindeki özel bir konu için başarısı incelenmiştir. Görselleştirilen
kavramların anlama ve anlatma etkinlikleri için yararlı olduğu tespit edilmiştir. Geliştirilmesi gereken bazı
eksiklikler tespit edilerek, bu konuda çalışmak isteyen araştırmacılara yol gösterilmiştir.
Anahtar Kelimeler - GeoGebra, görselleştirme, bilgisayar tabanlı matematik eğitimi, eğri, düzlem.
Giriş
Yüksek Matematik derslerinde parametrik denklemler konusunun teorik olarak anlatılmasının ardından, bu
konu ile ilgili bilgilerin gerçek hayattaki yerlerini belirlemede yardımcı olması için konu ile ilgili kavramların görsel
olarak desteklenmesi çok önemlidir. Ayrıca, matematik kavramlarını bilgisayar destekli öğretim yöntemiyle görsel
olarak sunmak, öğrencilere bu kavramları daha kısa sürede anlayabilmelerini sağlar.
Matematik öğretme ve öğrenme faaliyetlerinde etkin kullanım alanlarına sahip bir araç olan GeoGebra’dan,
cebir ve geometri konularında, dinamik çalışma yaprakları (dynamic worksheets) yolu ile etkileşimli ve yaratıcı
görsel uygulamalar geliştirmek için yararlanılır.
Bu çalışmada dinamik matematik yazılımı GeoGebra ile bazı özel eğrilerin parametrik denklemlerinin
inşasının görselleştirilmesi amaçlanmıştır.
Bu çalışmanın 2. bölümünde düzlemde eğrilere ait bilgiler ve bu eğrilerin yer vektörlerinin belirlenme
koşulları anlatılacaktır. Çalışmanın 3. bölümünde ise amaçlandığı gibi bazı özel eğrilerin parametrik denklemlerinin
inşasının görselleştirilmesi sunulacaktır.
56
Çalışma
Düzlemde Eğriler
Bu bölümde düzlemde eğrinin tanımı verilecek ve bir eğrinin sınırları çizilerek inşası anlatılacaktır.
Düzlemde eğrisel integralleri anlayabilmek için eğri kavramı, eğrilerin parametrik ya da vektörel denklemleri gibi
bazı kavramlar tanımlanmalıdır.
xy − düzleminde bir C eğrisi alınsın. Bu eğrinin parametrik denklemleri, parametre t olmak üzere,
x = x( t ) , y = y( t ) ; t0 ≤ t ≤ t1
(1.1)
şeklinde verilsin. C eğrisine ait herhangi bir (x , y ) noktasının yer vektörü r ile gösterilirse, C eğrisi vektörel olarak
r=r(t)= x( t ) i+ y( t ) j, t ∈ [t0 ,t1 ]
(1.2)
denklemiyle verilmiş olur (Özdeğer ve Özdeğer, 1998).
Düzlemde bir eğrinin kartezyen denklemi y = f ( x ) ya da f ( x , y ) = 0 ile verilebilir. Bu halde, parametrik
denklemler, t parametre seçilmek üzere x = x( t ) , y = y( t ) şeklinde olur. Bunlardan birinden diğerine geçiş
mümkündür. Örneğin y = f ( x ) fonksiyonunda x = x( t ) yazılırsa, y = f ( x( t )) = y( t ) olur. Bu halde parametrik
denklemler,
x=t
y = f (t )
ya da
x=x
y = f(x)
haline dönüşür.
Tersine,
x=t
y = f (t )
parametrik denklemlerinde x = x yazılarak t parametresi yok edilirse, y = f ( x ) ya da x = g( y )
ya da F ( x , y ) = 0 kartezyen denklemi yeniden elde edilebilir (Zeren Akgün, 2007a).
57
Şekil 1: f ( x ) = x ve g ( x ) = x doğrularının yardımıyla belirlenen C eğrisinin GeoGebra ile gösterilmesi.
Şekil 1’de f ( x ) = x ve g ( x ) = x fonksiyonlarının belirlediği C eğrisi (burada doğrusu) verilmiştir. Sürgü
çubukları kullanılarak a1 , b1 ve c0 değerleri değiştirilip eğrinin belirlediği kartezyen denklem gözlenebilir.
Şekil 2: f ( x ) = x ve g ( x ) = sin x fonksiyonları yardımıyla belirlenen C eğrisinin GeoGebra ile gösterilmesi.
58
Şekil 2’de f ( x ) = x ve g ( x ) = sin x fonksiyonları ile C eğrisi inşaa edilmiştir. Bu C eğrisinin başlangıç ve
bitiş noktası değiştirilip ve daha sonra eğri üzerinde alınan noktanın yeri değiştirilerek düzlemde bir eğri ve bu
eğrinin üzerindeki noktanın değişimi gözlenmektedir. Ayrıca C eğrisinin kartezyen denklemleri gözlenebilir.
Şekil 3: f ( x ) = x 2 ve g ( x ) = sin x fonksiyonları ile belirlenen C eğrisinin GeoGebra ile gösterilmesi.
Şekil 3’de f ( x ) = x 2 ve g ( x ) = sin x fonksiyonlarının belirlediği C eğrisinin düğümlü bir eğri olduğu
görülüyor. Bu noktada C eğrisi kartezyen denklemlerle temsil edilemez ve parametrelendirilmelidir. Yani parametrik
denklemlere ihtiyaç duyulmaktadır.
GeoGebra İle Bazı Özel Eğrilerin İnşasının Görselleştirilmesi
Bu bölümde GeoGebra ile çember eğrisi, elips eğrisi, astroid (yıldız) eğrisi, kutupsal koordinatlardaki
denklemi ρ = ρ ( ϕ ) olan eğri ve A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) noktalarından geçen AB doğru parçasının parametrik
denklemlerinin değişimi ortaya konacaktır.
•
Çember ve Elips Özel Eğrisi
Çember için: x 2 + y 2 = a 2 çemberinin parametrik denklemlerinin değişimi Şekil 4’de görülebilir.
x = a cos t
Paramerik Denklemler : y = a sin t
t = Parametre
59
Elips için:
x2
a2
+
y2
b2
= 1 elipsinin parametrik denklemlerinin değişimi Şekil 2.2’de görülebilir.
x = a cos t
Paramerik Denklemler : y = b sin t
t = Parametre
Şekil 4: Çember – Elips özel eğrisinin parametrik denklemlerinin GeoGebrada gösterilmesi-1.
Şekil 4’de çember özel eğrisi için parametrenin ve parametrik denklemlerin sayısal değişimi
gözlenmektedir. a ve b sürgü çubukları kullanılarak bu özel eğri elips özel eğrisine dönüştürülebilir ve parametrik
denklemlerin değişimi gözlenebilir.
60
Şekil 5: Çember – Elips özel eğrisinin parametrik denklemlerinin GeoGebrada gösterilmesi-2.
Şekil 5’de elips özel eğrisi için parametre ve parametrik denklemlerin sayısal değişimi gözlenmektedir. a ve
b sürgü çubukları kullanılarak elips özel eğrisinin çapı değiştirilerek farklı ölçüler için parametrik denklemlerin
sayısal değişimi gözlenebilir. Ayrıca eğri üzerindeki P noktasının eğri üzerindeki yeri de el ile değiştirilerek
parametrik denklemlerin değişimi gözlenebilir.
•
x
2
3
+y
2
3
Astroid Özel Eğrisi
=a
2
3
astroid (yıldız) eğrisinin parametrik denklemleri Şekil 6, Şekil 7, Şekil 8 ve Şekil 9’da görülebilir.
x = a cos 3 t
Parametrik Denklemler : y = a sin 3 t
t = Parametre
Şekil 6: Astroid eğrisinin koordinat düzleminde GeoGebra ile gösterilmesi-1.
61
Şekil 6’da belli büyüklükteki bir astroid özel eğrisi için parametre belli bir sayısal değer aldığında
parametrik denklemlerin aldığı sayısal değerler verilmiştir.
Şekil 7: Astroid eğrisinin koordinat düzleminde y eksenindeki değişiminin GeoGebra ile gösterilmesi.
Şekil 7’de astroid özel eğrisi için astroid eğrisinin y eksenindeki büyüklüğünün sayısal olarak
değiştirildiğinde parametrik denklemlerin sayısal değişimi verilmiştir.
Şekil 8: Astroid eğrisinin koordinat düzleminde x eksenindeki değişiminin GeoGebra ile gösterilmesi.
62
Şekil 8’de astroid özel eğrisi için astroid eğrisinin x eksenindeki büyüklüğünün sayısal olarak
değiştirildiğinde parametrik denklemlerin sayısal değişimi verilmiştir.
Şekil 9: Eliptik Astroid eğrisinin koordinat düzleminde parametrenin değişiminin GeoGebra ile gösterilmesi.
Şekil 9’da astroid özel eğrisi için parametre sayısal olarak değiştirildiğinde parametrik denklemlerin sayısal
değişimi verilmiştir.
ρ = ρ ( ϕ ) Olan Eğri
• Kutupsal Koordinatlardaki Denklemi
Kutupsal koordinatlardaki denklemi ρ = ρ ( ϕ ) olan eğrinin parametrik denklemlerinin değişimi Şekil 10 ve
Şekil 11’de görülebilir.
Parametrik Denklemler ( ρ = ρ ( ϕ ) )
x = ρ ( ϕ ) cos ϕ
x = ρ cos ϕ ⎫
⎬ ρ = ρ ( ϕ ) ⇒ y = ρ ( ϕ ) sin ϕ
y = ρ sin ϕ ⎭
ϕ = Parametre
⎛0 ≤ ρ ≤ ∞ ⎞
⎟⎟
Tüm uzay için; ⎜⎜
⎝ 0 ≤ ϕ ≤ 2π ⎠
63
Şekil 10: ρ = ρ (ϕ ) şeklindeki eğrinin koordinat düzleminde GeoGebra ile gösterilmesi-1.
Şekil 10’da kutupsal koordinatlardaki denklemi ρ = ρ ( ϕ ) olan özel eğri için parametre belli bir sayısal
değer aldığında parametrik denklemlerin aldığı sayısal değerler verilmiştir. Şekil 11’de kutupsal koordinatlardaki
denklemi ρ = ρ ( ϕ ) olan özel eğri için parametre sayısal olarak değiştirildiğinde parametrik denklemlerin sayısal
değişimi verilmiştir.
64
Şekil 11: ρ = ρ (ϕ ) şeklindeki eğrinin koordinat düzleminde GeoGebra ile gösterilmesi-2.
•
A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) Noktalarından Geçen AB Doğru Parçası
A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) noktalarından geçen AB doğru parçasının parametrik denklemlerinin değişimi Şekil 12, Şekil
13 ve Şekil 14’de görülebilir.
Kartezyen Denklem:
x − x1
y − y1
=
x1 − x 2
y1 − y 2
Parametrik Denklemler elde edilsin (Zeren Akgün, 2008):
x − x1
y − y1
=
= λ olsun.
x1 − x2 y1 − y 2
y − y1
=λ
y1 − y 2
x − x1
= λ ⇒ x = x1 + λ( x1 − x2 )
x1 − x2
⇒ y = y1 + λ ( y1 − y 2 )
λ = Parametre
Şekil 12: AB doğru parçasının koordinat düzleminde GeoGebra ile gösterilmesi-1.
Şekil 12’de A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) noktalarından geçen AB doğru parçası için parametre belli bir sayısal
değer aldığında parametrik denklemlerin aldığı sayısal değerler verilmiştir.
65
Şekil 13: AB doğru parçasının koordinat düzleminde GeoGebra ile gösterilmesi-2.
Şekil 13’de A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) noktalarından geçen AB doğru parçası için parametre sayısal olarak
değiştirildiğinde parametrik denklemlerin sayısal değişimi verilmiştir.
Şekil 2.14: AB doğru parçasının koordinat düzleminde GeoGebra ile gösterilmesi-3.
66
Şekil 2.14’de A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) noktalarından geçen AB doğru parçası için belirlenen sabit sayısal
olarak değiştirildiğinde parametrik denklemlerin sayısal değişimi verilmiştir.
Sonuç
Bu bildiride amaçlandığı gibi düzlemde eğriler tanıtılmış ve bazı özel eğrilerin parametrik denklemlerinin
inşası görselleştirilmiştir. Özellikle bazı özel eğrilerin parametrik denklemleri anlatılırken kullanılacak olan dinamik
çalışma sayfaları, parametrik denklemlerin sayısal değişimini gözönüne sermektedir. Ayrıca verilen dinamik çalışma
sayfası örnekleri, eğriler ve integrallerle ve özel olarak eğrisel integrallerle ilgili yararlı bilgiler içermektedir.
Bazı özel eğrilerin parametrik denklemlerinin değişimini ortaya koyduğumuz dinamik çalışma sayfalarında
çember, elips, astroid eğrileri ve kutupsal denklemi ρ = ρ (ϕ ) olan eğrilerin üzerindeki noktaların değişimi ile
parametrenin ve yer vektörünün değiştiği, dolayısıyla parametrik denklemlerin değiştiği görülmektedir. Öte yandan
A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) noktalarından geçen AB doğru parçasının parametrik denklemlerini ortaya koyduğumuz
dinamik çalışma sayfasında A( x1 , y1 ) ve B( x2 , y 2 ) noktalarını değiştirebildiğimiz fakat
λ
parametresinin sayısal
olarak keyfi belirlendiği görülmektedir.
Açık kaynak kodlu geliştirilmiş bu yazılımda tespit edilen bazı eksiklikler, araştırmacılar için güzel birer
çalışma konusu olabilir.
Bu yazılımın yüksek öğretim düzeyindeki başka matematik derslerinde ya da başka bir özel konu için
kullanılabilirliği ve yararı başka bir çalışma konusu olabilir.
Kaynaklar
TAŞ, M. , GÜLSEÇEN, S., 2010, Dinamik Matematik Yazılımı GeoGebra İle Eğrisel İntegrallerin Görselleştirilmesi
(Yüksek Lisans Tezi), İstanbul Üniversitesi Matematik Bölümü
ÖZDEĞER, A. ve ÖZDEĞER, N., 1998, Eğrisel İntegraller,Bölüm I, Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri, Cilt
II, İ.T.Ü. Fen-Edebiyat Fakültesi, İstanbul, 1-66
ZEREN AKGÜN, L., 2007a, Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri-2, Birsen Yayınevi, İstanbul, 975-511-009-7.
ZEREN AKGÜN, L., 2007b, Analiz IV (Ders Notları), Mimar Sinan Üniversitesi Matematik Bölümü.
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
LOCAL TRAINING WORKSHOP FOR
GEOGEBRA AND USING GEOGEBRA IN
MATHEMATICS TEACHING
78
GeoGebra ve GeoGebra ile Matematik Öğretimi
Yrd. Doç. Dr. Tolga KABACA, Pamukkale Üniversitesi, Eğitim Fakültesi
Yrd. Doç. Dr. Muharrem AKTÜMEN, Ahi Evran Üniversitesi, Eğitim Fakültesi
Yrd. Doç. Dr. Yılmaz AKSOY, Erciyes Üniversitesi, Eğitim Fakültesi
Yrd. Doç. Dr. Mehmet BULUT, Gazi Üniversitesi, Eğitim Fakültesi
1.
Giriş
Matematik, insanların çevresini ve doğayı daha iyi anlama gayretinin bir ürünü olarak bugünkü modern
şekline bürünmüş doğa bilimlerinden biridir. Bu bakış açısı, matematiğin bir otorite tarafından sunularak öğretilmesi
yerine öğrencilerin kendi bilgilerini yapılandırma sürecini yaşayacakları etkinlikler içinde öğretilmesi gerektiğini
ortaya koymaktadır. “Yapılandırmacı Eğitim” adıyla eğitim bilimleri literatürüne giren bu felsefe resmî Milli Eğitim
Müfredatımızı da etkilemiş ve son 5 yıldır ilk ve orta öğretim kurumlarımızda öğrencilerimizin kendi bilgilerini
yapılandırma süreci içine alınması resmen önerilmeye başlanmıştır (MEB, 2005a ve 2005b).
GeoGebra,
yapılandırmacı bir matematik öğretimi ortamını oluşturma hedefini gerçekleştirmede en güncel ve kolay ulaşılabilir
dinamik matematik yazılımlarından biridir.
Uluslararası FutureLearning 2010 Konferansı bünyesinde gerçekleştirilen Avrasya GeoGebra Toplantısı
kapsamında düzenlenen bu çalıştay ile katılımcı matematik öğretmenlerinin yapılandırmacı bir sınıf ortamı
oluşturma yeteneklerine bir yenisini eklemek hedeflenmektedir.
Elinizdeki kılavuz çalıştay süresince size rehberlik etmek üzere hazırlanmıştır. İlk bölümde “Dinamik
Matematik” kavramı tanımlanmış ve GeoGebra ve GeoGebra’nın Türkiye’deki temsili ile ilgili genel bilgiler
verilmiştir. İkinci bölüm, GeoGebra’nın kurulumu ve kullanımı ile ilgili teknik bilgileri içermektedir. Üçüncü
bölümde GeoGebra’nın arayüzü ve araç çubukları kısaca tanıtılmıştır. Son bölümde ise GeoGebra ile
tasarlanabilecek etkinliklere yönelik ve GeoGebra’nın sınıf ortamında kullanımına yönelik örnek etkinlikler çalışma
yaprakları formatında sunulmuştur.
GeoGebra yazılımını uluslar arası platformda temsil eden otoriteler, GeoGebra’dan yararlanmayı 3 temel
düzeyde sınıflandırmışlardır. Bunlar;
1- Kullanıcı düzeyi: GeoGebra’nın araç çubuklarını tanır ve GeoGebra’da oluşturulmuş dinamik
etkinliklerden verimli bir şekilde faydalanabilir. Bu düzey öğrencilerimizin ulaşmasını arzu ettiğimiz
düzeydir.
2- Tasarımcı düzeyi: GeoGebra’nın araç çubuklarını tanımanın ötesinde her birinin nasıl kullanılacağını bilir
ve bunlardan farklı kombinasyonlarda yararlanarak dinamik etkinlikler tasarlayabilir.
79
3- Programcı düzeyi: GeoGebra’ya has cebirsel komutlardan yararlanarak daha ileri düzey tasarımlar
yapabilir ve daha da ileri seviyede GeoGebra’nın yazıldığı programlama dilini kullanarak GeoGebra’ya yeni
komutlar da kazandırabilir.
Bu çalıştayda kısıtlı bir zaman diliminde, katılımcıların genel anlamda GeoGebra’yı öğrenmeyi öğrenmesi
hedeflenmektedir. Çalıştay içeriği, katılımcıları aşağıdaki seviyeye getirme hedefine göre planlanmıştır;
Öğretmenlerin gelmesi beklenen seviye
Kullanıcı Tasarımcı Programcı
Katılımcıların arzu edilen seviyede yazılımı kullanabilme becerilerinin gelişmesi büyük oranda kişisel
gayret ve motivasyona bağlıdır.
1.1 Dinamik matematik ne demektir?
Dinamik matematik kavramından önce dinamik geometri kavramını tanımlamak daha uygun olacaktır.
Çeşitli geometrik şekil ve cisimlerin çevre, alan, açı ve uzunluk gibi özellikleri ile bunların birbirleri arasındaki
ilişkileri modelleme gayreti içinde çeşitli somut araçlar (özel olarak üretilen materyaller ya da kırık cetvel gibi çeşitli
şekiller üretilebilen araçlar düşünülebilir) kullanılarak üretilen şekil ya da cismin çeşitli şekillerde hareket ettirilmesi
veya formunun değiştirilmesi ile analiz edilmesi dinamik geometri etkinlikleri olarak tanımlanabilir. Bilgisayarların
hayatımıza girmesi ve matematik eğitiminde kullanımının değerlendirilmeye başlaması ile birlikte bu etkinliklerin
sanal ortamda daha az maliyetle üretilebileceği yazılımlar (Cabri, the Geometer’s Sketchpad) üretilmiştir. Bu tarz
yazılımlara Dinamik Geometri Sistemleri adı verilmektedir.
Dinamik geometri yazılımları noktalar, doğrular, daireler ve bunun gibi geometrik şekiller arasındaki
ilişkiler üzerine odaklanır. Bu yazılımların sunduğu arayüzde yapılandırılan şekillerin formları üzerinde sürükleme
teknolojisi ile değişiklikler yapılarak çeşitli manipülasyonlar üretilebilir. Bu yolla öğrencilere çoklu temsiller,
keşfetme etkinlikleri ve kendi sonuçlarını çıkarma fırsatları sunulabilir.
Dinamik öğrenme ortamları matematik öğrenmede öğrencilere yeni fırsatlar sunmaktadır. Dinamik araçlar
özellikle yaparak öğrenmeyi ve keşfetme sürecini destekler. Güven (2002) yüksek lisans tezinde, DGY’ları geometri
eğitimi alanına girerek, geometriyi “statik” bir yapıya sahip olan kağıt-kalem sürecinden kurtarıp bilgisayar
ekranında dinamik bir hale getirerek, öğrencilerin varsayımda bulunmalarını, teorem ve ilişkileri keşfetmelerine ve
bunları test etmelerine imkan sağladığını belirtmiştir. Yapılan araştırmalar (Hazan ve Goldenberg1997; Hölzl, 1996;
Choi- Koh, 1999) dinamik özelliğe sahip olan geometri yazılımlarının öğrencilere, yaygın olarak kullanılan kâğıtkalem çalışmalarına göre çok daha fazla soyut yapılar üzerine yoğunlaşma fırsatı verdiğini göstermiştir (Akt: Güven
ve Karataş, 2003). Öğrencinin bu yolla hayal etme gücü artmaktadır. Matematikte hayal etme gücünün artması sezgi
yolunun dolayısıyla yaratma ve keşfetme yollarının açılması demektir. Bu yollar açıldığında öğrenci analiz
80
yapabilecek, varsayımda bulunabilecek ve genelleme yapabilecektir (Güven, Karataş, 2003). Edwards (1997)
DGY’nin geometri öğretimine sunduğu; deneyimleri destekleme ve geometriyi öğrencilere araştırma yoluyla
öğretme özellikleri yıllardır aynı şekilde öğretilen geometri için alternatif imkânlar sunduğunu belirtmiştir (Akt:
Güven, Karataş, 2003). Bu yeni yaklaşımla, öğrenciler araştırma ortamı içerisine rahatça girerek keşfetme,
varsayımda bulunma, test etme, reddetme, formülize etme, açıklama olanaklarına sahip olurlar (Güven, Karataş,
2005).
Geometri fiziksel dünyayı tanımaya yapmış olduğu katkılardan dolayı matematik içerisinde ayrı bir konuma
sahiptir. Ancak yapılan araştırmalar, matematiğin önemli bir parçasını oluşturan bu alanda, öğrencilerin güçlü
kavramsal anlayışlar geliştiremediklerini ortaya koymuştur (Mistretta, 2000). Çünkü okullarımızda okutulmakta olan
Öklid geometrisi bugünkü haliyle, öğrencilere zengin deneyimler sağlayamamakta, araştırma, keşfetme ortamları
sunamamaktadır. Kendilerini zengin deneyimler içerisinde bulamayan öğrenciler ise kuralları, ilişkileri, örnekleri ve
gerektiğinde ispatları ezberlemeye yönelmektedirler (Güven, Karataş, 2005).
Türkiye’de 2005 tarihi itibariyle kullanılmaya başlanan ilköğretim 6-8. Sınıflar matematik müfredatı
dinamik geometri yazılımlarının kullanımını desteklemektedir. Yeni program incelendiğinde 6–8. sınıflar
düzeylerinde dinamik geometri yazılımlarının kullanımıyla öğrencilerin geometrik çizimler oluşturabilecekleri ya da
öğretmenin hazırladığı dinamik geometrik şekiller üzerinde etkileşimli incelemeler yapabilecekleri belirtilmiştir
(MEB, 2005a ve 2005b).
Teknolojinin matematik öğretimine etkili biçimde entegrasyonu sağlanmaya çalışılırken, öğrencilerin
öğrenmesinde öğretmenlerin oynadıkları temel rolün göz önünde bulundurularak öğretmenler için hizmet içi eğitim
programları düzenlenmesi bir gerekliliktir.
Dinamik etkinliklerin sadece geometri öğrenme alanına hitap etmenin ötesinde matematiğin cebir ve analiz
gibi diğer alanlarına hitap etmesini sağlayan ortamları da daha genel olarak dinamik matematik olarak adlandırmak
uygun olur. Bu özelliğe uygun en güncel yazılımlardan birisi GeoGebra’dır.
1.2 Neden GeoGebra?
Son yıllarda ücretsiz açık kaynak kodlu (Free Open Source Software – FOSS) yazılımların eğitim alanında
da çözümler ürettiği ve bu doğrultuda çeşitli isteklerin oluştuğu gözlemlenmektedir. Açık kaynak kodlu bir dinamik
matematik yazılımı olan GeoGebra, sembolik hesaplama kabiliyeti olan Bilgisayar Cebiri Sistemlerinin (BCS)
görselleştirme ve sembolik hesaplama yetenekleri ile Dinamik Geometri Sistemlerinin (DGS) değişebilirlik ve
kullanım kolaylığı yeteneklerini birleştirmektedir. Böylece geometri, cebir hatta analiz matematiksel disiplinleri
arasında bir köprü görevi görmektedir (Hohenwarter ve Jones, 2007; Preiner, 2008). GeoGebra noktalar, doğru
parçaları, doğrular, konik kesitleri ve benzeri matematiksel kavramlar üzerine çalıştığı için bir yönüyle DGS olarak
ele alınabilir. Diğer yönüyle ise noktaların, koordinatların, denklemlerin, fonksiyonların direkt olarak girilebilme,
cebirsel olarak tanımlanabilme ve dinamik olarak değiştirilebilme yönleriyle bir BCS olarak ele alınabilir. GeoGebra
bu özelliğiyle arka planında sayılar, vektörler ve noktalar için değişkenlerle uğraşan, fonksiyonların türev ve
integrallerini bulabilen ve Asimptot, Alan, Tepe Noktası gibi matematiksel komutlar içeren sade bir bilgisayar cebiri
sistemidir. GeoGebra’nın en temel özelliği bir yönden BCS diğer bir yönden ise DGS olarak ele alınabilmesidir.
81
GeoGebra matematik eğitimindeki potansiyeli ve kabiliyetleri ile okul müfredatında geometri ve cebir arasındaki
ilişkiyi kurmakta önemli bir değer olarak ortaya çıkmaktadır (Hohenwarter ve Jones, 2007).
GeoGebra yazılımını benzerlerine göre bir adım daha öne çıkaran özellikleri aşağıdaki gibi sayılabilir.
•
Ücretsizdir.
GeoGebra, özellikle Avrupa ve Kuzey Amerika’da başta olmak üzere popülaritesi sürekli olarak artmakta olan açık
kaynak kodlu bir dinamik matematik yazılımıdır. Markus Hohenwarter tarafından Salzburg Üniversitesi’nde bir
master tezi projesi olarak tasarlanmıştır. Geometri, cebir ve analizi tek, kullanımı kolay bir pakette birleştirerek bir
dinamik yazılım oluşturma düşüncesi Hohenwarter’in yazılımı geliştirilmesindeki temel fikri oluşturmuştur. Yazılım
2002 yılında internette yayınlandıktan sonra umulmadık bir biçimde yaygınlaşmış, birçok öğretmen Hohenwarter’le
iletişime geçerek sınıflarında GeoGebra kullanımına yönelik isteklerini paylaşmışlardır (Hohenwarter ve Lavicza,
2007). Tamamen akademik amaçlar doğrultusunda tasarlanan yazılım açık kaynak kodlu olarak gelişmeye devam
etmekte ve bütün dünyada ücretsiz kullanılma özelliğini devam ettirmektedir.
•
Çok yönlüdür.
Geogebra Cebir penceresi ve Geometri penceresi olmak üzere iki temel bölümden oluşur. Bu da kavramların çoklu
temsillerini ortaya çıkarma fırsatı verir. Cebirsel olarak yazılan matematiksel komutların geometrik karşılığını
gözlemlemenin yanında dinamik olarak “sürükleme” teknolojisi ile değiştirilebilen geometrik nesnelerin cebirsel
karşılığını da gözlemlemek mümkündür.
•
Türkçe olarak kullanılabilir.
GeoGebra, tamamen gönüllük esasına göre 40’ın üzerinde dile çevrilmiştir. Bu diller arasında Türkçe de
bulunmaktadır. GeoGebra’yı dilimize matematik eğitimcileri Mustafa DOĞAN, Erol KARAKIRIK ve Süleyman
CENGİZ çevirmiştir.
Bu özellikleri ile GeoGebra, ülkemiz eğitim sistemi içinde yoğun ve yaygın olarak yararlanılabilme
potansiyeline sahiptir.
1.3 Uluslar arası GeoGebra Topluluğu ve Türkiye’de GeoGebra
GeoGebra’nın kullanımı için öğretmen ve araştırmacılara ücretsiz olarak destek sağlamak, GeoGebra’nın
teknik gelişiminde süreklilik sağlamak, GeoGebra’yı taban alan araştırmalar arasındaki koordinasyonu sağlamak
amacı ile Uluslararası GeoGebra Enstitüsü (UGE) kurulmuştur. 07-08 Mayıs 2008 tarihlerinde Cambridge
Universitesi Eğitim Fakültesinde Uluslararası GeoGebra Ensitüsü (UGE)’nün ilk toplantısı gerçekleştirilmiş ve bu
toplantıda enstitünün vizyonu, yapısı, amaçları ve yerel GeoGebra Enstitüleri (YGE)’nin amaçları tartışılmıştır.
UGE’nün amacı, konuma bakılmaksızın matematik öğrenme ve öğretmeyi aşağıdaki aktivitelerin koordinasyonu ve
desteklenmesiyle arttırmaktır (Hohenwarter, Lavicza, 2007).
1.
Ticari bir kaygı taşımadan öğretmenler ve öğrenciler için ücretsiz yazılım sunmak.
82
2.
GeoGebra’nın kapasitesini ve kolay kullanımını öğretmen ve araştırmacılardan gelen dönütleri taban alarak
arttırmak.
3.
Öğretim materyalleri, profesyonel gelişim ve ücretsiz çalıştaylar sunmak.
4.
UGE, konferanslar ve yerel okullarda GeoGebra ile ilgili aktiviteler içinde bulunmayı arzulayan öğretmenlere
eğitim ve destek için bir organizasyon geliştirmek.
5.
GeoGebra’yla ilgili araştırma projeleri düzenlemek, desteklemek ve GeoGebra’nın herhangi bir yönüne katkı
sağlamayı amaçlayan araştırmacılar arasındaki ağı büyütmek.
UGE’sü Türkiye’de anlaşıldığı şekilde bir enstitü olmaktan çok bir çalışma topluluğu olarak düşünülebilir.
UGE’nin web sitesi bu projenin merkezidir (www.geogebra.org/IGI). Bu sitede enstitü hakkında bilgilere, UGE
çalışanlarına ve UGE aktivitelerine yer verilmektedir. Uluslararası Geogebra Enstitüsü’ne bağlı olma kaydı ile farklı
ülkelerde farklı yerel GeoGeba Enstitüleri (yGE) de kurulmuştur. Bu çalışmanın yazım tarihi itibari ile Arjantin,
Avusturya, Brezilya, Kanada, Danimarka, Macaristan, İran, Makedonya, Hollanda, Norveç, Polonya, Portekiz,
Romanya, Slovakya, Güney Afrika, İspanya, Türkiye, İngiltere ve Amerika’de yGE kurulmuştur. yGE’lerinin
adresleri UGE’nin ana sayfasında belirtilmiştir. Türkiye’de Ankara GeoGebra Enstitüsü ve İstanbul GeoCebir
Enstitüsü
olmak
üzere
iki
yerel
GeoGebra
enstitüsü
kurulmuştur.
Ankara
GeoGebra
Enstitüsü’ne,
www.ankarageogebra.org adresinden, İstanbul GeoCebir Enstitüsü’ne ise www.geocebir.org adresinden ulaşılabilir.
Türkiye’deki GeoGebra enstitülerinden biri olan Ankara GeoGebra Enstitü’sü amaçlarını;
“Ankara GeoGebra Enstitüsü yoluyla ilköğretim, ortaöğretim ve yükseköğretim öğrenci ve
öğretmenlerine öğretim ortamlarında kullanılmak üzere Türkçe öğretim materyalleri,
profesyonel gelişim ve ücretsiz çalıştaylar sunulması amaçlanmaktadır. Bu Enstitü, GeoGebra
ve GeoGebra’nın matematik eğitimine olan etkileri üzerine yapılacak olan çalışmalarda etkin
bir rol oynayacak ve araştırmacılar arasındaki iletişimi sağlayacak bir yapı oluşturulacaktır.”
şeklinde belirtmişlerdir (www.ankarageogebra.org).
Kaynaklar
•
•
•
•
•
•
•
•
Güven, B. (2002). Dinamik Geometri Yazılımı Cabri ile Keşfederek Geometri Öğrenme, Yüksek Lisans
Tezi.
Güven, B., Karataş, İ. (2003). Dinamik Geometri Yazılımı Cabri İle Geometri Öğrenme: Öğrenci görüşleri,
The Turkish Online Journal of Educational Technology, Volume 2, Issue 2, www.tojet.sakarya.edu.tr.
Hohenwarter, M., Jones, K., (2007). Ways of Linking Geometry and Algebra: The Case of GeoGebra,
Proceedings of British Society for Research into Learning Mathematics, 27,3, November 2007.
Hohenwarter, M., Lavicza, Z. (2007). Mathematics Teacher Development with ICT: Towards an
International GeoGebra Institute, Proceedings of British Society for Research into Learning Mathematics,
27,3, November 2007.
MEB (2005a), İlköğretim Matematik Dersi (1- 5. Sınıflar) Öğretim Programı. Ankara Devlet Kitapları
Basımevi.
MEB (2005b), İlköğretim Matematik Dersi (6- 8. Sınıflar) Öğretim Programı. Ankara Devlet Kitapları
Basımevi.
Mistretta,R.M.(2000). Enhancing Geometric Reasoning, Adolescence, 35(138). 365-379.
Preiner, J., (2008). Introducing Dynamic Mathematics Software to Mathematics Teacher: the Case of
GeoGebra. Dissertation in Mathematics Education, University of Salzburg.
83
2.
GeoGebra’yı Kullanmaya Hazırlık
2.1 GeoGebra’ya Ulaşma
GeoGebra, Geometri ile Cebiri keşfetmek ve görselleştirmek için kullanılan bir dinamik matematik
yazılımıdır. Diğer benzer dinamik geometri yazılımlarından (The Geometer’s Sketchpad, Cabri, vd.) farkı açık
kaynak kodlu ve ücretsiz olarak erişilebilen bir yazılım olmasıdır. Windows, Mac OS X, Linux ve diğer java tabanlı
platformlarda kullanımı için sürümleri mevcuttur.
GeoGebra’ya http://www.geogebra.org web sayfasının
menüsünde yer alan Webstart veya İndir menüsünden ulaşabilirsiniz. Webstart seçeneği bilgisayarınız gerekli olan
java dosyalarını da indirerek yazılımı hemen kullanmanıza imkân sağlar. Bir diğer avantajı ise yazılım ile ilgili
güncellemeleri otomatik olarak bulup kurar. İndir seçeneği ise yazılımın kurulum dosyasını bilgisayarınıza indirme
imkânı verir. Yazılımı internet bağlantısı olmadan da bilgisayarınızda kullanmaya devam edebilirsiniz.
2.2 Yazılımı Kurma
Yazılımın kurulumu oldukça kolaydır. Windows veya diğer işletim sistemlerini kullandığınız bilgisayara
yazılımın kurulum dosyasını indirdikten sonra çift tıklayınız. Kurulum penceresi sizi yönlendirerek yazılımı
kurmanıza yardımcı olacaktır. Kurulum için tipik seçeneğini seçmeniz yeterli olacaktır.
2.2.1 Kurulum İçin Gerekli Dosyalar
GeoGebra bir Java uygulamasıdır. Bilgisayarınızda Java’nın en azından 1.4.2 sürümünün yüklü olması
gerekmektedir.
İşletim
sisteminiz
http://www.java.com/tr/download/index.jsp
Windows
adresinden
veya
Linux
ulaşabilirsiniz.
ise
Sun’ın
Java
sitesine
Mac
kullanıyorsanız
Apple’ın
http://developer.apple.com/java/ sitesinden ulaşabilirsiniz.
2.2.2 GeoGebra’yı Çalıştırma
GeoGebra’yı çalıştırmak için kurulum sonrası masaüstünde oluşan GeoGebra ikonuna
çift tıklayarak
yazılımı çalıştırabilirsiniz.
3.
GeoGebra’ya Giriş
Dinamik Matematik yazılımı olan GeoGebra matematiksel nesnelerin üç farklı görünümümü bizlere
sunmaktadır: Grafik penceresi, Cebir penceresi ve Hesap Çizelgesi penceresi. Bu pencereler bize matematiksel
nesneleri üç farklı gösterimde sunmaya imkân sağlar: grafiksel gösterim (örneğin, noktalar, fonksiyon grafikleri),
cebirsel gösterim (örneğin, noktaların koordinatları, denklemler) ve hesap çizelgesi hücreleri. GeoGebra’da
oluşturulan matematiksel nesnelerin bu üç farklı gösterimleri dinamik olarak birbirine bağlıdırlar yani nesne üzerinde
84
bu üç gösterimden birinde herhangi bir değişiklik yapıldığında nesnenin diğer gösterimlerinde de yapılan
değişiklikler aynı anda meydana gelmektedir.
3.1 Geometrik İnşalar
Araç çubuğundaki inşa araçlarını kullanarak fare yardımı ile Grafik görünümünde (Eksenler) geometrik
inşalar yapabilirsiniz. İnşa araçlarından herhangi birini seçtiğinizde araç çubuğunun en sağında seçtiğiniz komutu
kullanma ile ilgili yardımı bulabilirsiniz. Burada kısaca komutun ismini ve komutu nasıl kullanmanız gerektiği ile
ilgili size kısa bir bilgi verilmektedir. Grafik penceresinde oluşturduğunuz herhangi bir nesnenin cebirsel gösterimini
Cebir penceresinde görebilirsiniz.
Grafik penceresinde oluşturduğunuz nesneleri fare yardımı ile sürükleyerek istediğiniz gibi hareket
ettirebilirsiniz. Bu hareket sırasında nesnenin Cebir penceresindeki cebirsel gösterimi de eş zamanlı olarak
değişecektir.
Araç çubuğundaki her bir ikon benzer inşa araçlarını alt menüsünde bulundurmaktadır. Bu ikonların sağ alt
köşesindeki oklara tıkladığınızda alt menülerdeki araçları görebilirsiniz. Seçtiğiniz araç, araç çubuğunda aktif
duruma gelecektir.
İpucu: Alt menüler oluşturulurken inşa araçlarının sonucunda oluşan nesnelerin özellikleri dikkate alınmıştır. Nokta
araç çubuğunda (
ikonu) farklı türden noktalar oluşturan araçları bulacaksınız. Dönüşümler araç çubuğunda (
ikonu) geometrik dönüşümleri uygulamanıza imkân verecek araçları bulabileceksiniz.
85
3.2 Cebirsel Giriş ve Komutlar
GeoGebra’da Giriş alanına direkt olarak cebirsel ifadeler girebilirsiniz. Enter tuşuna basarak cebirsel olarak
girdiğiniz ifade Cebir penceresinde oluşturulurken Grafik penceresinde de grafiksel gösterimi otomatik olarak
oluşturulur. Örneğin f(x) = x^2 girişi Cebir penceresinde f fonksiyonunu ve Grafik penceresinde fonksiyonun
grafiğini size verecektir.
Cebir penceresinde matematiksel nesneler serbest veya bağımlı nesneler olarak düzenlenmektedir. Eğer
yeni bir nesneyi var olan diğer nesneleri kullanmadan inşa ederseniz GeoGebra oluşturduğunuz nesneyi serbest
nesne olarak sınıflandıracaktır. Eğer oluşturduğunuz yeni nesneyi var olan diğer nesneleri kullanarak inşa ederseniz,
oluşturduğunuz nesneyi bağımlı nesne olarak sınıflandıracaktır.
İpucu: Cebir penceresindeki bir nesnenin cebirsel gösterimini saklamak isterseniz bu nesneyi yardımcı nesne olarak
işaretleyiniz. Cebir penceresinde saklamak istediğiniz nesnenin üzerine gelip sağ tıklayarak (MacOs işletim
siteminde Kntrl+tıklama) çıkan menüden özellikleri seçin ve “Yardımcı nesne” kutusunu işaretleyin.
Cebir penceresinde nesneler üzerinde değişiklikler yapabilirsiniz: Cebir penceresindeki bir serbest
nesnenin üzerine çift tıklamadan önce
Taşı aracını aktif hale getirmeyi unutmayınız. Cebir penceresinde nesnenin
cebirsel gösterimine çift tıklayarak cebirsel gösteriminde gerekli değişiklikleri klavyeden yapabilirsiniz. Değişikliği
yaptıktan sonra enter tuşuna bastığınızda Grafik penceresinde de nesnedeki değişiklikler eş zamanlı olarak GeoGebra
tarafından uygulanacaktır. Eğer Cebir penceresindeki bağımlı nesnede değişiklik yapacak olursanız nesneyi yeniden
tanımlamanıza yardım olacak bir diyalog penceresi açılacaktır.
Aynı zamanda GeoGebra Giriş alanından girilebilecek birçok komutu da sahiptir. Giriş alanının en sağında
yer alan “Komut” butonuna tıkladığınızda komutların listesine ulaşabilirsiniz. Bu listedeki bir komutu seçtiğinizde
(veya komutu biliyorsanız kendiniz Giriş alanına direkt yazdığınızda) F1 tuşuna basarak seçtiğiniz komutun nasıl
kullanıldığına dair yardım alabilirsiniz.
3.3 Hesap Çizelgesi Girişleri
GeoGebra’nın Hesap Çizelgesi görünümünde çalışmak istediğiniz hücredeki veriyi kullanmanıza yardımcı
olmak amacıyla her hücrenin belirli bir kodu vardır. Örneğin A sütunu ve satır 1 deki hücrenin kodu A1 dir.
İpucu: Bu hücre isimlerini ifadeler ve komutlar içinde kullanarak karşılık gelen hücredeki verileri kullanabilirsiniz.
Hesap çizelgesindeki hücrelere sayılar haricinde GeoGebra tarafından desteklenen bütün matematiksel
ifadeleri (örneğin, noktaların koordinatları, fonksiyon, komutlar) girebilirsiniz. Hesap Çizelgesinin hücrelerine
girdiğiniz nesnenin grafiksel gösterimini GeoGebra hemen Grafik penceresinde gösterecektir. Grafik penceresindeki
gösterimde nesnenin ismi hücre kodu ile gösterilmektedir (Aşağıdaki örnekte A1 hücresine girilen koordinat bilgileri
Grafik penceresinde A1 noktası olarak gösterilmektedir).
86
Not: Hesap Çizelgesindeki nesneler Cebir penceresinde yardımcı nesneler olarak
sınıflandırılmaktadır.
Bu
yardımcı nesneleri için Görünüm menüsündeki “Yardımcı nesneler” i seçerek gösterebilir veya saklayabilirsiniz.
3.4 Kullanıcı Arayüzünü ve Araç Çubuğunu Özelleştirme
GeoGebra’nın kullanıcı arayüzünü Görünüm menüsünden tercihlerinize özelleştirebilirsiniz. Örneğin,
arayüzün farklı kısımlarını Görünüm menüsünde karşılık gelen menü bileşeninin karşısındaki işareti kaldırarak
gizleyebilirsiniz (örneğin, Cebir penceresini).
Araç çubuğunu Araçlar menüsündeki “Araç çubuğunu özelleştir”i seçerek özelleştirebilirsiniz. Açılan
pencerenin sol tarafındaki bölümde yer alan araç kutusu/araçlardan çıkarmak istediklerinizi seçerek “Kaldır”
düğmesi ile araç çubuğundan kaldırabilirsiniz. Araç çubuğunu eski haline döndürmek istediğinizde açılan pencerenin
sol alt köşesinde yer alan “Araç çubuğunu eski haline döndür” düğmesine tıklayabilirsiniz.
3.5 GeoGebra’nın Araç Çubuklarını Tanıyalım
3.5.1 Taşı
•
Bu aracın alt menüsünde yer alan ilk düğme daha önceden çizdiğiniz
nesneyi seçmenize ve çizim alanı içerisinde hareket ettirmenize yardımcı
olur.
•
İkinci düğme ise çizim alanındaki bir noktayı dönme merkezi olarak
seçmenize ve çizim alanındaki herhangi bir nesneyi bu nokta etrafında döndürmenize yardımcı olur.
•
Son düğme ise çizim alanındaki herhangi bir nesneyi seçip bu nesnenin koordinatlarını Hesap Çizelgesi
penceresinde gösterir (Menüde yer alan Görünüm menüsünden Hesap Çizelgesini aktif hale getirmeniz
87
gerekmektedir.). Nesneyi daha sonra Taşı düğmesi ile taşıyıp tekrar bu düğmeye tıklayarak yeni koordinatları
Hesap Çizelgesine aktarabilirsiniz.
3.5.2 Yeni Nokta
Sonraki aracın alt menüsünde yer alan üç düğme farklı türde noktalar inşa
etmede kullanılır.
•
İlk düğme çizim alanında herhangi yere bir nokta yerleştirmenize
imkân sağlar.
•
İkinci düğme ise çizim alanındaki iki eğriyi seçerek bu iki eğrinin
kesim noktalarını işaretlemenize yardımcı olur.
•
Üçüncü düğme bir doğru parçasının orta noktasını bulmanıza yardımcı olur. Bunun için doğru parçasını veya
doğru parçasının uç noktalarını seçmeniz yeterlidir.
3.5.3 İki Noktadan Geçen Doğru
•
Bu aracın alt menüsünde altı farklı düğme vardır. Bunlar
değişik türde doğrular ve vektörler çizmeye yardımcı olurlar.
•
İlk düğme seçilen iki doğrudan geçen sonsuz bir doğru
çizmer.
•
İkinci düğme seçilen iki nokta arasında bir doğru parçası
çizer.
•
Üçüncü düğme belirli bir noktadan başlayan verilen bir
uzunluktaki bir doğru parçasını çizer.
•
Dördüncü düğme iki noktadan geçen ışını çizer.
•
Beşinci düğme iki nokta arasında bir vektör çizer.
•
Altıncı düğme çizim alanında verilen bir vektöre dışındaki bir noktadan geçen bu vektöre paralel olan vektörü
oluşturur.
3.5.4 Dik doğru
•
Dik doğru aracında altı düğme yer almaktadır. Bu düğmeler yardımı ile belirli
doğru tipleri çizmenize yardımcı olur.
•
İlk düğme verilen bir doğruya dik bir doğru çizmeye imkan verir.
•
İkinci düğme daha önceden inşa edilmiş bir doğruya dışındaki bir noktadan geçen
paralel bir doğru çizer.
•
Üçüncü düğme, Kenar Ortay, bir doğru parçasını ortalayan doğruyu çizer.
•
Dördüncü düğme daha önceden inşa edilen bir açının açıortayını çizer.
88
•
Beşinci düğme bir çembere, bir koniğe veya daha önceden tanımlanmış bir fonksiyonun eğrisine teğet
doğrusunu çizer.
•
Altıncı düğme ise kutupsal veya çapsal doğru çizer.
•
Yedinci düğme verilen noktalara en iyi yaklaştırma doğrusunu çizer.
•
Son düğme ise daha önceden yer alan bir A noktasına bağımlı olarak oluşturulan B noktasının A noktasına göre
konumunu belirtir. Düğmeye tıkladıktan sonra ilkönce B noktasını daha sonra A noktasını seçerek B noktasının
A noktasına göre konumunu belirleyebilirsiniz.
3.5.5 Çokgen
•
Bu menüdeki ilk araç kapalı bir çokgeni çizmenize yardımcı olur.
•
İkinci düğme ise düzgün çokgen çizer. Bunun için ilk önce düzgün çokgenin kenar
uzunluğunu belirten iki köşe noktasını işaretlemeniz gerekir, daha sonra açılan pencerede çokgenin kaç kenarlı
olduğunu belirtilir.
3.5.6 Merkez ve bir noktadan geçen çember
•
Bu menüde yer alan düğmeler çember, yay, çembersel dilim ve konik
çizmek için kullanılıyor
•
İlk düğme ile verilen bir noktayı veya boşluğa tıklayarak elde edilen bir
noktayı merkez kabul eden bir çemberi çizmeye yarar.
•
İkinci düğme merkez ve yarıçap girilerek çember çizmeye yardımcı olur.
Merkez olarak kabul edilen bir noktayı seçtikten sonra açılan pencerede
çemberin yarçapı girilerek çember elde edilir.
•
Üçüncü düğme seçilen üç noktadan geçen çemberi inşa eder.
•
Dördüncü düğme iki noktadan geçen yarım çemberi çizmeye yardımcı olur.
Bunun için çapın uzunluğunu belirtmek için iki farklı nokta seçerek yarım çemberi elde edersiniz.
•
Beşinci düğme merkez ve iki noktadan geçen çembersel yayı çizer. İlk önce çemberin merkezi olacak nokta inşa
edilir. Daha sonra yayın ilk noktası oluşturulur. Eğer fareyi saat yönünün tersinde hareket ettirirseniz çembersel
yayın inşa edileceğini göreceksiniz. Tekrar tıkladığınızda yay tamamlanacaktır.
•
Altıncı düğme herhengi üç noktadan geçen çembersel yayı çizer. Bunun için üç farklı nokta belirlenir ve bu
noktalardan geçen çembersel yay elde edilir.
•
Yedinci ve sekizinci düğmeler beşinci ve altıncı düğmelerdeki işlevleri çembersel dilimler için yapar.
89
3.5.7 Elips
•
Bu düğmedeki ilk üç düğme işaretlenecek noktalardan geçen sırası ile elips,
hiperbol ve parabol oluşturmaya yardımcı olur.
•
Son düğme ise seçeceğiniz beş noktadan geçen koniği inşa eder.
3.5.8 Açı
•
Bu araçta yer alan düğmeler genelde ölçme ile ilgilidir.
•
İlk düğme üç nokta arasındaki açıyı inşa etme ve ölçüsünü belirlemeye yarar.
•
İkinci düğme verilen bir ölçüdeki açıyı çizer. Bu düğmeye ilk tıkladığınızda
açının bir noktasını, ikinci tıklamanızda açının köşe noktasını oluşturur ve bir
pencere açılarak sizden açı ölçüsünü ister.
•
Üçüncü düğmenin birçok fonksiyonu vardır. Daha önceden verilen iki noktayı
seçerek bu iki nokta arasındaki uzaklığı ölçebilirsiniz. Bir doğru parçasının
uzunluğunu ölçebilirsiniz.
•
Dördüncü düğme bir çokgen, çember veya koniğin alanını ölçer.
•
Beşinci düğme ise seçilen bir doğrunun veya doğru parçasının eğimini belirler.
3.5.9 Nesneyi doğruda yansıt
•
Bu araçta yer alan düğmeler geometrik dönüşümler ile ilgilidir.
•
İlk düğme nesneyi doğruya göre yansıtır. Bunun için simetri doğrusunu ve
nesneyi seçmeniz yeterlidir.
•
İkinci düğme ise ilk düğmenin yaptığı işlemi nokta için yapar.
•
Sonraki düğme seçilen bir nesnenin çembere göre simetriğini alır.
•
Dördüncü düğme dönme merkezi olarak bir noktayı ve nesneyi seçtikten sonra açılan pencerede döndürme
açısını sizden ister. Ölçüyü girdikten sonra seçilen nokta etrafında verilen ölçüde nesneyi döndürür.
Döndürürken aksini belirtmedikçe saat yönünün tersinde döndürme yapılmaktadır.
•
Beşinci düğme ise nesneyi verilen bir vektör boyunca öteler.
•
Son düğme ise verilen bir nesneyi seçtikten sonra, genişletme için referans alınacak merkez nokta ve daha sonra
açılan pencerede genişletme oranını sizden ister.
3.5.10 Sürgü
•
Sürgü isimli düğme dinamik çalışma sayfalarında değiştirilebilir
değişkenleri inşa etmek için kullanılır.
•
İkinci düğme grafik penceresinde gösterilmesini istemediğiniz
nesneleri saklayıp göstermek için kullanılır.
90
•
Metin ekle düğmesi grafik penceresinde herhangi bir yere metin eklemek için kullanılır. Bu düğmeyi seçtikten
sonra grafik penceresinde bir yere tıkladığınızda metin kutusu açılacaktır. Bu pencerede Yunan alfabesindeki
harfleri eklemeniz için α işareti içeren bir seçenek sunar.
•
Resim ekle düğmesi çalışma sayfasına resim eklemenize yardımcı olur. Bu düğmeyi seçtikten sonra grafik
penceresinde bir yere tıkladığınızda bir pencere açılacaktır. Açılan pencereden eklemek istediğiniz resmi bularak
Grafik penceresine taşıyabilirsiniz.
•
Son düğme ise seçilen iki nesne arasındaki ilişkiyi nesneleri seçtikten sonra açılan pencerede gösterir.
3.5.11 Çizim tahtasını taşı
•
İlk düğme çizim tahtasını taşımınıza yardımcı olur.
•
İkinci ve üçüncü düğme çiziminizi büyütme ve küçültme imkânı verir.
•
Dördüncü düğme Grafik penceresindeki nesneleri saklayıp gösterebilirsiniz.
Düğmeyi seçtikten sonra gizlemek istediğiniz nesneyi seçerek başka bir
düğmeye tıkladığınızda seçtiğiniz nesne gizlenecektir. Tekrar bu düğmeye
bastığınızda nesneyi göstermesini sağlayabilirsiniz.
•
Beşinci düğme daha önceden oluşturduğunuz bir nesnede biçimsel olarak
yaptığınız değişikliklerin aynısını daha sonra oluşturduğunuz yeni nesneye
uygulamanıza yardımcı olur.
4.
Etkinlik Örnekleri
Aşağıdaki etkinlikler, GeoGebra’nın çeşitli kullanım özellikleri aşamalı olarak bünyesinde barındıracak
şekilde sıralanmaya çalışılmıştır. Etkinlikler sırasında GeoGebra’nın teknik özellikleri yanında üretilen
etkinliğin matematik eğitimi yönünden analiz edilmesi de dikkate alınmıştır. Etkinlikle çalışma sayfası
formatında hazırlanmıştır. Boş bırakılan yerleri doldurabilir ya da sadece arkadaşlarınızla tartışma ile
yetinebilirsiniz.
4.1 Çemberde Açı ve Uzunluklar
GeoGebra programını açınız.
•
Üstteki araçlar menüsünden “
merkez ve bir noktadan geçen çember” seçeneğini seçerek bir Çember
oluşturunuz. A merkezli ve B noktasından geçen bir çemberiniz olacak.
91
•
Bu etkinlikte sol taraftaki cebir penceresinden ve çizim tahtasındaki koordinat eksenlerinden
yararlanmayacağımız için cebir penceresini kapatalım. Çizim tahtasının üzerinde sağ tuşa tıklayarak
“eksenler” seçeneğindeki onay işaretini kaldıralım. Bu sayede daha yalın bir pencere elde etmiş olacaksınız.
•
B noktası ile çemberin merkezini birleştiren bir doğru parçası çiziniz. Bunu, araçlar menüsünden “
doğru
parçası” seçeneğini seçtikten sonra B ve A noktalarını tıklayarak yapabilirsiniz.
•
Şimdi, “
dik doğru” seçeneğini seçip çemberin üzerindeki B noktasını ve oluşturduğunuz doğru parçasını
tıklayarak doğru parçasına dik bir doğru oluşturun.
92
•
B noktasını sürükleyebilirsiniz. Bu dinamik ortamdan öğrencilerinizin nasıl yararlanabileceğini ve
öğrencileriniz neleri gözlemlemeleri gerektiğini yazınız.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
__________________________________
•
Arzu ederseniz, araçlar menüsünden “
açı” seçeneğini tıklayıp BA doğru parçası ve sonradan elde
ettiğiniz doğruyu seçerek ikisi arasındaki açının ölçüsünü görüntüleyebilirsiniz.
•
Yeni bir pencere açınız. Önceki etkinlikte yaptığınız gibi bir çember oluşturunuz. Bilgisayarınızın
isimlendirmesine göre değişebilen A merkezli ve B noktasından geçen bir çember olacaktır.
•
Çemberi 2 noktadan kesen bir CD doğru parçası çiziniz.
93
•
Çember ile doğru parçasının kesişme noktalarını belirleyiniz. Bunun için araçlar menüsünden “
iki
nesnenin kesişimi” seçeneğini seçip çember ve doğru parçasını arka arkaya seçmeniz yeterlidir. GeoGebra
otomatik olarak kesişim noktalarını koyacaktır. Örneğimizde E ve F noktaları.
•
Elde ettiğiniz şekilde, CD doğru parçasını sürüklemeniz öğrencilerinize neleri keşfetmelerine sebep
olur? Yazınız;
______________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________
•
E ve F noktaları arası uzaklığı ölçüp aynı etkinliği tekrarlayabilirsiniz. (“
uzunluk veya uzaklık”
seçeneğini seçip sırayla E ve F noktalarını tıklayınız).
•
Yeni bir sayfa açınız ve aşağıdaki şekli GeoGebra ortamında oluşturunuz.
94
•
Eğer şekli doğru oluşturduysanız, çember üzerindeki noktaları hareket ettirebilmelisiniz. Bu noktaları
hareket ettirebilmek öğrencilerinizin neleri keşfetmesine imkân tanır? Yazınız.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
__________________________________
•
Bu şekli daha görsel hale getirmek ve öğrencilerinizin denemelerini kontrol etmelerine fırsat vermek için
GeoGebra’dan nasıl faydalanabilirsiniz? Grubunuzla tartışıp çalışmanızı tamamlayınız.
95
4.2 Parabolün denklemi ile eğrisi arasındaki ilişki
Bu çalışmada, Denklemi y = ax + bx + c şeklinde tanımlanan eğrinin a, b, c katsayılarına göre nasıl
2
değiştiğini irdeleyeceğiz.
•
Öncelikle a, b ve c isimli serbest değişkenler oluşturalım. Bu nesneye GeoGebra’da sürgü adı verilir.
GeoGebra’da sürgü oluşturmanın farklı yöntemleri vardır. En pratik yöntem aşağıda verilmiştir.
o
Giriş çubuğuna a=1 yazın ve “Enter” tuşuna basın. Verdiğiniz değer oluşturduğunuz değişken için
bir başlangıç değeri olacak ve bu değer varsayılan olarak -5 ile 5 arasında değiştirilebilecektir.
Aynı şekilde b ve c değişkenlerini de oluşturun. Aşağıdaki gibi bir yapı elde edeceksiniz.
o
Sürgülerin çizim alanında görünmesini sağlamak için cebir penceresindeki ilgili değişkenin
yanındaki
işaretine tıklayınız. Çizim alanında elde ettiğiniz sürgülerin üzerindeki noktaları
kaydırarak değişkenleri kontrol edebileceksiniz.
•
Şimdi giriş alanı yardımı ile “a*x^2 + b*x + c” cebirsel ifadesini giriniz. Bu yolla GeoGebra daha önce
belirlediğiniz a, b ve c değişkenlerini katsayı olarak kullanıp y = ax + bx + c denkleminin temsil ettiği
2
eğriyi çizecektir.
96
•
Yukarıdaki şekilde çizim alanında gördüğünüz mavi eğriye, a, b, c sürgülerine ve cebir penceresindeki mavi
renkli f(x) fonksiyonuna dikkat ediniz. Sürgüleri değiştirdikçe hem denklem hem de eğri dinamik olarak
değişecektir.
•
Bu uygulama sayesinde parabolün denklemi ve eğrisi arasındaki hangi ilişkileri görselleştirme fırsatı
kazandınız. Öğrencilerinize neleri gözlemlemelerini önerirsiniz? Yazınız.
•
Diskriminant ile parabol arasındaki ilişkileri incelemeye yönelik bir öneri:
o
Sürgüler ile oynarken bazen parabolün x eksenini kesmediğini gözlemleyen öğrencilerinize “hangi
durumlarda parabolün x-eksenini kesmeyeceğini” sorunuz.
o
Parabolün (genel anlamda tüm eğrilerin) x-eksenini kestiği noktaların eğriyi temsil eden denklemi
0’a eşitleyen denklemin kökleri olduğunu hatırlamalarını (fark etmelerini) sağladıktan sonra sizin
eşliğinizde kareye tamamlama gibi yöntemlerle ilgili ikinci derece denklemi çözme için “b2 – 4ac”
ifadesinin hesaplanması gerektiğini bulmalarını sağlayınız.
o
Şimdi “b2 – 4ac” ifadesini giriş alanı yardımı ile GeoGebra’da oluşturduğunuz uygulamaya giriniz.
(GeoGebra otomatik olarak bu ifadeyi isimlendirecektir. Siz cebir penceresinde bu ifadeyi sağ
klikleme ile seçip adını değiştirebilirsiniz.
97
o
Şimdi öğrenciler sürgüler ile oynarken bir yandan cebir penceresindeki “b2 – 4ac” ifadesini temsil
eden deltanın (ya da verdiğiniz isim neyse) değişimini inceleyebilir ve ne zaman kök olacağı (xeksenini keseceği) hakkında cebirsel genellemeler yapabilirler.
Not: Cebir penceresinde gözlemlenecek cebirsel değişiklikleri çizim alanında da gözlemlenebilecek
hale getirebilirsiniz.
Metin ekleme nesnesini (
) kullanarak (“delta =” + delta) ve (“y =” + f) metinlerini giriniz.
Aşağıdaki gibi değişen bir metin alanı elde edeceksiniz.
Bu tarz oluşturulan metinlere dinamik metin adı verilmektedir. Tırnak işareti içine yazdığınız kısım
statik metin ve + işaretinden sonra ayırdığınız kısım ise cebirsel olarak temsil eden değişkenin adı
yazılarak elde edilen dinamik metindir.
Not: Dinamik metinlerin anlamlı olması için çoğu durumda öğrenci ile birlikte üretilmesini öneriyoruz.
98
4.3 İletki ile açı ölçmenin görselleştirilmesi
GeoGebra’nın arayüzüne bilgisayarınıza kayıtlı bir resmi ekleyerek üzerinde çeşitli etkinlikler geliştirebilirsiniz.
Bu durumu örneklendirmek için iletki ile açı ölçme işleminin sanal bir modelini oluşturacağız.
•
Araç çubuğundaki resim ekleme aracını kullanarak (aşağıda gösterilmiştir) bilgisayarınıza önceden
yüklediğiniz iletki resmini GeoGebra’nın çizim alanına ekleyiniz.
•
Eklediğiniz resmin istem dışı yer değiştirmesini önlemek için resmi sağ tuş ile seçerek açılan menüden
“nesneyi sabitle” seçeneğini seçiniz.
•
Ölçmek istediğimiz açının sağlıklı ölçülmesi için iletkinin tam ortasını belirlemeliyiz. Bunu sağlamak
için iletkinin tabanı üzerine bir AB doğru parçası yerleştirin ve bu doğru parçasının orta noktasını
belirleyin.
o
Doğru parçası için araç çubuğundan
aracını seçtikten sonra tam simetrik olarak iletkinin
taban noktalarını sırayla seçmeniz yeterlidir.
•
o
Bu doğru parçasının orta noktası için de
aracını seçtikten sonra doğruyu tıklayınız.
o
Orta noktaya GeoGebra bir isim verecektir. Siz daha sonra bu ismi değiştirebilirsiniz.
Şimdi bir açı oluşturmamız gerekiyor. Açının köşesi M noktası olacak şekilde ölçmeye B noktasından
ya da A noktasından başlayabilirsiniz.
o
Açıyı oluşturduktan sonra kontrol edebilmek için 0o ile 180o arasında değişebilen bir sürgü
oluşturalım. Sürgünün adı a olsun.
o
“
verilen ölçüde açı” inşa etme aracına tıkladığınızda GeoGebra sizden ayak noktası ve
açının köşe noktasını seçmenizi isteyecek. Önce B noktasını sonra M noktasını seçtiğinizde açı
belirlemeniz gereken bir pencere açılacak. Eğer sabit bir değer girerseniz açıyı
değiştiremezsiniz. Daha önce oluşturduğunuz sürgünün adını “a” yazın
99
•
o
Aşağıdaki şekli elde edeceksiniz.
o
Sürgüyü kaydırdığınızda değişen açıyı gözlemleyebilirsiniz.
Uygulamayı daha fazla geri bildirim sunan hale getirmek için öneriler:
o
MB’ doğru parçasını oluşturun
o
Uygulama BMB’ açısını göstermektedir. İletkinin diğer tersten kullanımını da görselleştirmek
için AMB’ açısını da oluşturabilirsiniz.
o
Açıyı kontrol eden sürgünün genişliğini de AB doğru parçası kadar ayarlayabilirsiniz.
o
Metin ekleme aracını kullanarak ikişer adet “Dik açı”, “Dar Açı” ve “Geniş Açı” metinleri
oluşturun.
o
AMB’ açısına GeoGebra’nın ne isim verdiğine dikkat edin. Bu uygulamada β adı verilmiştir.
o
“Dar Açı” metinlerinden birinin özellikler diyalog penceresini açın ve gelişmiş sekmesindeki
“Nesneyi Gösterme Şartı” kutusuna β<90o yazın.
Bu sayede bu metnin sadece AMB’ açısı 90o’den küçükken gösterilmesini sağlamış olacaksınız.
o
“Dik Açı” ve “Geniş Açı” metinlerinden birer tanesini de AMB’ açısı ile ilişkilendirip bu
açının bulunduğu bölgeye 3 metni üst üste yerleştirin.
100
o
Aynı işlemi BMB’ açısı için de uygulayın
101
4.4 Etkinliğin Konusu: Tavşanın zıplamasını modelleyelim
Bu etkinlik daha çok ortaöğretim müfredatı ile ilişkili olarak tasarlanmıştır. Ancak, etkinlik ile birlikte
örneklendirilen bakış açısı ilköğretimde de faydalı olabilir.
•
Bir tavşanın zıplama hareketini modellemek için sınıfımızda öğrencilerimize bu hareketin nasıl bir iz
oluşturduğunu soralım.
o
Tartışmalar neticesinde aşağıdakine benzer bir iz olması gerektiği sonucuna ulaşalım.
o
Bu izin modellenmesi için nasıl bir matematik kavramı kullanmak gerekir? Bu sayede
öğrencilerinize kazandırabileceklerinizi yazınız.
•
GeoGebra’nın giriş alanı yardımı ile “abs(sin(x))” fonksiyonunu giriniz. Bu fonksiyonu temsil eden
aşağıdaki eğriyi elde edeceksiniz.
•
Bu eğri üzerinde gezen bir noktanın hareketi bizim tavşanımızın zıplamasını modelleyebilir. Bir a
sürgüsü oluşturunuz ve yine giriş alanı yardımı ile (a, f(a)) noktasını inşa ediniz.
102
•
Sürgüyü
kaydırdıkça
A
noktasının
bir
tavşan
gibi
zıpladığını
görebilirsiniz.
Eğrinin
görüntülenmemesini sağlayarak zıplayan bir nokta hissini kuvvetlendirebilirsiniz.
•
A noktası tavşanı temsil ediyor ama siz isterseniz bu nokta ile birlikte hareket eden bir tavşan da
ekleyebilirsiniz.
o
Bilgisayarınıza daha önce yüklediğiniz uygun büyüklükteki bir tavşan resmini GeoGebra’nın
çizim alanına ekleyin.
o
Tavşanı sağ tuş ile seçerek açacağınız özellikler diyalog penceresinde özellikler menüsünü
seçin ve resmin size göre sol alt köşesini temsil eden Köşe 1 kutusuna A noktasının adını girin.
o
A noktasını da görünmez hale getirip sürgüyü kaydırdığınızda tavşanınız zıplayacak. Sürgüyü
sağ tuş ile seçerek canlandırılıyor seçeneğini seçerseniz. Animasyonu görebilirsiniz.
Not: Çeşitli fonksiyonları bu örnekteki gibi kullanarak küçük animasyon filmler üretilebilir. Böyle bir
çalışmayı öğrencilerinize proje olarak verebilir. Matematiksel fonksiyonları kullanmalarını sağlayabilirsiniz. Bu
sayede öğrenciler amatörce de olsa animasyon dünyasında dahi matematiğin bir yeri olduğunu görebilirler.
103
4.5 Simetri Kavramını Keşfedelim
GeoGebra belirlediğiniz bir nesnenin (nokta, doğru veya eğri) noktaya ve doğruya göre simetriğini hem
geometrik olarak sunabilmekte hem de cebirsel olarak inceleme fırsatı vermektedir.
•
Simetrik bir nesne içeren bir resim bulup bilgisayarınıza yükleyin
•
Üzerine çizdiğiniz bütün geometrik nesnelerin resmin üzerinde kalmasını sağlamak için resmi sağ tuş
ile seçerek arka plan resmi olarak ayarlayın
•
Bir AB doğrusu ile bir C noktası oluşturun.
•
Nesnelerin doğruya göre simetrisinin belirlenmesi için
aracını kullanarak C noktasının AB
doğrusuna göre simetriğini oluşturun ve resmin üzerinde daha iyi fark edilmesi için uygun bir renge
dönüştürün.
•
C noktasının Simetriği olan noktaya GeoGebra otomatik olarak C′ ismini verecektir. Bu noktaların her
ikisinin de izini açın.
•
C noktasını gezdirdiğinizde iki noktanın da izi resim üzerinde belirecektir.
•
Öğrencilerinizden AB doğrusunu uygun bir yere konumlandırarak resmin bu doğruya göre birbirinin
simetriği olan bölgelerini bulmalarını isteyebilirsiniz.
104
•
Simetri kavramını cebirsel olarak daha iyi anlaşılır hale getirmek için bu etkinliği nasıl
geliştirebileceğinizi yazınız.
105
4.6 Dizi komutundan ve tablodan yararlanma (Çemberin çevresi ve π sayısı)
Arşimed (M.Ö.287 – M.Ö.212) çemberin çevresini hesaplamak için çembere iç teğet bir düzgün 192gen çizmiş
ve bu yolla çemberin çevresinin çapına oranının sabit bir sayı olduğunun keşfedilmesinde önemli bir adım atmıştır.
Bugün bu sayıya π sayısı diyoruz.
Arşimed’in çok zekice bir şekilde, özel geometrik bir yöntem kullanarak bu 192gen’in çevresine ulaştığı
muhakkak. Biz biraz da teknolojinin yardımı ile sıradan bir şekilde çokgenin kenar uzunluklarının toplamından
(düzgün çokgen olduğu için kenar sayısı* kenar uzunluğu) yararlanalım ve kenar sayısı arttıkça çembere ne kadar
benzediğini gözlemleyebileceğimiz bir yapı oluşturalım.
•
Yarıçapı r sürgüsüne bağlı olarak kontrol edilebilen bir çember çizelim. (Merkezi orijin olabilir. Komut
kullanarak çizmek için “Çember[(0,0), r]”)
•
Şimdi çemberin içine aşağıdaki gibi çokgenler çizmemiz ve bu çokgenlerin kenar sayısını bir sürgü ile
kontrol edebilmemiz gerekiyor;
106
•
Referans nokta olarak kullanmak üzere A=(r,0) noktasını inşa edelim.
•
Bir n-gen oluşturmak için ayak noktası A ve köşesi M olan 360/n derecelik bir açı ile ardışık bir şekilde
dizilen çember üzerinde noktalar kümesi elde etmemiz gerekiyor. Bu kümenin bir dizi olacağını
unutmayalım.
•
Öncelikle çokgenin kenar sayısını kontrol edecek 3 ile 300 arasında (üst sınır size kalmış) bir n sürgüsü
oluşturalım.
•
Döndür[A, α, M] komutu, A noktasını ayak noktası olarak alıp M köşesinde α kadar bir açı
oluşturmaktadır. Buna göre;
o
1’den (n+1)’e kadar değişen i indisini kullanarak Döndür[A, i*(360/n)o, M] komutu bize
aralarında 360/n derecelik açı olan noktalar sağlayacaktır.
o
Bir dizinin genel terimi niteliğinde olan bu komutu Dizi komutu içinde kullanarak bu noktaları
görüntüleyelim.
o
•
Dizi[Döndür[A, 360 / n° i, M], i, 1, n + 1]
Bu noktaları ardışık olarak birleştiren bir doğru parçaları dizisine ihtiyacımız var.
o
Bir n-gen için n+a adet nokta elde ettiğimizi unutmayın! Bunu niçin yaptık?
o
GeoGebra önceki adımda elde ettiğimiz dizi elemanlarının oluşturduğu listeye liste1 adını
verdi.
o
Şimdi öncelikle Dizi, DoğruParçası ve Öğe komutlarının yardımı ile liste1’in ardışık
elemanlarını birleştiren bir doğru parçaları listesi oluşturalım;
107
ƒ
Dizi[DoğruParçası[Öğe[liste1, i], Öğe[liste1, i + 1]], i, 1, n]
o
Bu komut aşağıdaki şekli elde etmemizi sağlayacak;
o
Kenar sayısını kontrol eden sürgüyü değiştirdikçe çember içindeki çokgenin nasıl değiştiğini
görebiliriz.
•
Çemberin çevresi ile içine çizilen çokgenin çevresi arasındaki ilişkiyi öğrencilerimizle birlikte
inceleyelim;
o
Kenar sayısının artması durumunda çokgen ile çemberin benzer olduğu fark edilebilir.
o
Şimdi Görünüm menüsünü kullanarak Hesap Çizelgesi Görünümü’nü açalım ve A1 ve A2
hücrelerine sırasıyla “Çokgenin Çevresi” ve “Çevre bölü Çap” yazalım.
o
B1 hücresine Toplam[liste2] (Çokgeni oluşturan doğru parçaları listesinin adı liste2 olmuştu)
komutunu, B2 hücresine de B1/(2*r) komutunu yazalım.
o
Kenar sayısı arttırıldıkça çevre bölü çap oranının 3,1415… sayısı olacağı ve yarıçap
arttırıldıkça çevrenin değişmesine rağmen bu sabit sayının hiç değişmeyeceği görülebilir.
o
Elde edilen bu durumu öğrencilerinizin anlayışını arttırmak için nasıl yorumlarsınız?
108
4.7 Fraktalar ve yeni bir araç oluşturma
Geogebra, aynı işlemi arka arkaya defalarca tekrarlamak istediğinizde işinizi kolaylaştıracak bir opsiyona da
sahiptir. Mevcut araçlara kullanıcı tanımlı bir araç ekleyebilir, bu yolla GeoGebra’nızı kişiselleştirebilirsiniz.
Bu opsiyonu kullanmaya yönelik, ilköğretim müfredatının da yeni bir konusu olan fraktalar çok güzel bir
örnektir.
Örnek olarak, Pisagor ağacı denen aşağıdaki fraktalı oluşturalım;
Bir karenin üzerine ikizkenar dik üçgen yerleştirip, bu üçgenin dik kenarları üzerine birer kare çizelim ve bu
işlemi her bir kare için tekrarlayalım. Yukarıdaki ağaca benzer fraktalı elde edeceksiniz.
•
Öncelikle düzgün çokgen çizme aracını kullanarak bir kare çizelim
•
Pisagor ağacını çizmek için gerekli olan ilk adımı (iterasyon) uygulayıp, bu adımda elde edilen ürünleri
kullanarak iterasyonu kaydetmemiz gerekiyor.
o
Çizdiğimiz ABCD karesinin üstteki iki noktasının A ve B olduğu varsayımı ile anlatıma devam
edersek;
ƒ
Karenin üstüne bir ikizkenar dik üçgen yerleştirmemiz gerekiyor. Bu üçgenin bir kenarı
karenin bir kenarının 1/
kenarının
2 katıdır. Merkezleri A ve B olan ve yarıçapı karenin bir
1/ 2 katı olan birer çember çizip bu çemberlerin kesişim noktalarını
işaretleyelim;
109
Çemberlerden birini elde etmek için gerekli komut: Çember[A, a/sqrt(2)]
•
ƒ
Çemberlerin kesişim noktası olan E noktasını belirledikten sonra gizleyelim.
ƒ
Şimdi E ve B noktaları ile A ve E noktalarını kullanarak birer kare oluşturalım
Birinci iterasyonu gerçekleştirmiş olduk. Şimdi, bu işlem sırasında elde ettiğimiz ürünü çıktı olarak verecek
bir araç oluşturacağız.
o
Araçlar menüsünden Yeni Araç Oluştur seçeneğini seçiniz.
o
Açılan pencerede, “Çıkış Nesneleri” sekmesindeki ilgili alana asıl ürünümüz olan iki kareyi ve
noktaları temsil eden değişkenleri giriniz. (Bu işlemi açılır menüden yapabileceğiniz gibi, çizim
tahtasında ilgili öğelerin üzerine tıklayarak da yapabilirsiniz.)
o
“Giriş Nesneleri” sekmesinde, seçtiğiniz çıkış nesneleri için gerekli giriş nesneleri otomatik olarak
belirecektir. Dilerseniz bunları arttırabilirsiniz.
110
o
“Ad ve İkon” sekmesinde ise oluşturduğunuz araca isim verebilir ve bu araç seçildiğinde ne
yapılması gerektiğine dair belirecek açıklamayı yazabilirsiniz. Bilgisayarınızda yüklü olan bir
resmi bu araç için ikon olarak da atayabilirsiniz.
o
Artık GeoGebra araç çubuğunda sizin inşa ettiğiniz araç da belirecektir.
o
Seçenekler menüsünden
seçeneğine tıklarsanız. Bundan sonraki GeoGebra
pencerelerinde bu araç her zaman kullanıma hazır olacaktır.
o
4 iterasyon sonra elde edilen fraktal aşağıdaki gibidir;
111
Not: Siz de bu yöntemle çeşitli fraktalar elde edebilir veya var olan fraktalların kurallarında küçük
değişiklikler yaparak farklı yapılar elde edebilirsiniz.
112
4.8 Pergel ve Çizgilik ile Geometrik çizim uygulamaları
Cetvel ile ölçme yapmadan bir doğru parçasının orta noktasını bulma gibi geometrik çizimlerde de
GeoGebra’dan yararlanabilirsiniz.
Bir doğru parçasının orta noktasını bulma;
•
Bir doğru parçasının orta noktasını bulmak için GeoGebra’dan yararlanalım;
o
Bir doğru parçası çiziniz.
o
Elimizle yaptığımız gibi doğru parçasının her iki ucunu merkez kabul eden çemberlerden
yararlanacağız. Bu çemberlerin yarıçapının aynı olduğunu garanti altına almak ve yarıçapı
daha sonra da değiştirebilmek için bir r sürgüsü oluşturalım
o
aracını kullanarak yarıçapını r olarak belirlediğimiz doğru parçasının iki ucunu merkez
kabul eden iki adet çember çizelim.
o
Bu çember kesişmiyorlarsa yarıçapı arttıralım.
o
Çemberlerin kesişim noktalarını elde edelim.
o
Bu noktalardan geçen bir doğru çizip doğru parçası ile kesişimini bulalım.
o
Son olarak elde ettiğimiz nokta doğru parçamızın orta noktasıdır. Bundan emin olmak için
noktalar arasını
aracını kullanarak ölçtürebiliriz.
o
Görünmemesi gereken öğeleri gizleyerek çizimi tamamlayalım.
o
Bu çizimi bilgisayar kullanarak yapmak öğretim için ne gibi fırsatlar kazandırır? Lütfen
yazınız.
113
4.9 Geometrik İspatları Görselleştirme
GeoGebra ile çeşitli geometri teoremlerinin ispatlarını görselleştirebilir, bu sayede cebirsel ispatları
destekleyerek daha kalıcı bir şekilde içselleştirilmesini sağlayabilirsiniz.
Örnek olarak MENELAUS teoremini ele alalım;
•
Menelaus teoreminin şartlarının kullanılacağı geometrik şekli çiziniz ve gerekli bütün uzaklıkları
ölçerek cebirsel olarak kullanılabilecek şekle getiriniz.
•
Bu şekli doğru oluşturdu iseniz, her noktasını sürükleyerek şeklin dinamik bir şekilde değişmesini
sağlayabilirsiniz.
Not: Teoremin doğruluğun kontrol etmek için, bu aşamadan sonraki kısımları öğrencilerinizle birlikte
uygulamanız önemlidir!
•
“Hesap Çizelgesi Görünümünü” açınız.
•
GeoGebra ölçtüğünüz uzunlukları otomatik isimlendirerek cebir penceresine de yazmış durumdadır.
Oradaki isimleri kullanarak aşağıdaki şekildeki gibi bütün değişkenleri hesap çizelgesine giriniz.
•
Teoremdeki hesaplamayı yaptırdıktan sonra şekli dinamik olarak değiştiriniz ve değişkenlerdeki
değişimi gözlemleyiniz.
114
•
Bu uygulamanın ispatın yerini tutmadığını unutmayınız. Bunu öğrencilerinize de hatırlatınız.
115
116