ISL5002 Araştırma Yöntemleri-II - Recep Tayyip Erdoğan Üniversitesi

Transkript

Tüm hakları saklıdır. Bu materyalin tamamı ya da bir kısmı 5846 Sayılı Yasa'nın hükümlerine göre, yazarın izni olmaksızın elektronik,
30.09.2015
T.C.
RECEP TAYYİP ERDOĞAN ÜNİVERSİTESİ
SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ
İŞLETME ENSTİTÜ ANABİLİM DALI
DERS NOTLARI
ISL5001 ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ‐I ISL5002 ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ‐II HAZIRLAYAN
PROF. DR. ALİ SAİT ALBAYRAK
RİZE 2015
30.09.2015
Prof. Dr. Ali S. ALBAYRAK, RTEÜ SBE İşletme Anabilim Dalı ISL5001 Araştırma Yöntemleri‐I Ders Materyali
1
GENEL BİLGİ
Dersin Kodu‐Adı
ISL5001 Araştırma Yöntemleri‐I Kredisi
3‐0‐3
Dersin Dönemi
Güz ve Bahar (Zorunlu)
Dersin Amacı
Derste Bilimsel Araştırmanın Temel Kavramları, Örnekleme Teorisinin
Temel Kavramları, Örnekleme Yöntemleri, Parametrik Hipotez Testleri,
Parametrik Olmayan Hipotez Testleri, Regresyon Analizi, Parametrik ve
Parametrik Olmayan Korelasyon Analiz Yöntemleri uygulamalı bir
yaklaşımla tanıtılması amaçlanmaktadır.
Dersin Kapsamı
Derste Bilimsel Araştırmanın Temel Kavramları, Örnekleme Teorisi ve
Örnekleme Yöntemleri, t ve z Testleri, Varyans Analizi, Parametrik
Olmayan Hipotez Testleri, Regresyon Analizi, Parametrik ve Parametrik
Olmayan İlişki Analizi Yöntemleri Tartışılacaktır.
Kaynak
Kitap
Orhunbilge, Neyran (2000). Örnekleme Yöntemleri ve Hipotez Testleri,
Avcıol Basım Yayın, İstanbul.
Yamak, Rahmi ve Mustafa Köseoğlu (2006). Uygulamalı İstatistik ve
Ekonometri, Çelepler Matbaacılık, Trabzon.
30.09.2015
mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılamaz, özetlenemez, yayınlanamaz ve depolanamaz.
2
1
Dersin Kodu
ISL5001
Kredisi
3
Hafta
İşlenecek Konular
1
Temel Kavramlar,
2
30.09.2015
Dersin Adı
Ders Sorumlusu
Araştırma Yöntemleri‐I
Prof. Dr. Ali Sait ALBAYRAK
Örnekleme Teorisi ve Temel Kavramlar, Örnekleme Teorisinin Dayandığı Seçim Yöntemleri
ve Temel Seçim Yöntemi, Örnekleme Yapmayı Gerekli Kılan Nedenler, Örnekleme Sürecinin
Aşamaları, Örneklemenin Amaçları, Veri Toplama Yöntemleri ve Veri Toplama Araçları.
Örnekleme Yöntemleri; Tesadüfi Çekim Şekilleri; Olasılıklı Olamayan Örnekleme
Yöntemleri: Kolayda (Convenience) Örnekleme Yöntemi, Yargısal (Judgmental) Örnekleme
Yöntemi, Kota (Quota) Örnekleme Yöntemi ve Kartopu (Snowball) Örnekleme Yöntemi;
Olasılıklı Örnekleme Yöntemleri: Basit Tesadüfi Örnekleme Yöntemi, Tabakalı Örnekleme
Yöntemi, Sistematik Örnekleme Yöntemi ve Kademeli Örnekleme Yöntemi.
3
Hipotez Testleri ve Temel Kavramlar: İstatistik Hipotez ve İstatistik Hipotez Testi; Hipotez
Testlerinin Sınıflandırılması; Hipotez Testlerinin Aşamaları; Güven Düzeyi; Hipotez
Testlerinde İşlenen Hatalar: Alfa ve Beta Hataları ile Testin Gücü.
4
Tek ve İki Anakütle (t ve z) Testleri, Tek‐Yönlü Varyans Analizi (One‐Way ANOVA); Tek‐Yönlü
ANOVA Testinde Çoklu Karşılaştırma (Post Hoc) Testleri.
30.09.2015
Hafta
5
3
İşlenecek Konular
İki‐Yönlü Varyans Analizi (Two‐Way ANOVA); N‐Yönlü ANOVA; Kovaryans Analizi (UNCOVA);
Çok Değişkenli Varyans Analizi (MANOVA); Çok Değişkenli Kovaryans Analizi (MANCOVA);
Sabit Varyans Testleri: Varyans Oranı Testsi, Düzeltilmiş Levene Testi.
6
Parametrik Olmayan Hipotez Testleri; Ki‐Kare Testleri Uygulanırken Dikkat Edilecek
Hususlar; Ki‐Kare Testleri: Ki‐Kare Bağımsızlık Testi, Ki‐Kare Homojenlik (Türdeşlik) Testi, Ki‐
Kare Uygunluk (İyi‐Uyum) Testi;
7
Parametrik Olmayan Tek‐Örnek Testleri: Binom Testi, Akış Sayısı (Tesadüfilik) Testi,
Kolmogorov Smirnov (K‐S) Tek‐Örnek Testi.
8
Parametrik Olmayan Bağımsız İki‐Örnek Testleri: Kolmogorov Smirnov (K‐S) İki‐Örnek z
Testi, Mann Whitney (M‐W) U Testi, Moses Aşırı Tepki Testi, Wald‐Wolfowitz Akış Testi.
9
Parametrik Olmayan Bağımlı İki‐Örnek Testleri: Wilcoxon İşaret Sıra Testi, İşaret Testi,
McNemar Testi, Marjinal Homojenlik Testi (MH).
10
Parametrik Olmayan Bağımsız K‐Örnek Testleri: Kruskal Wallis (K‐W) H Testi, Medyan Testi
ve Jonckheere‐Terpstra (J‐T) Testi.
11
30.09.2015
Parametrik Olmayan Bağımlı K‐Örnek Testleri: Friedman Testi, Kendall W Testi ve Cochran
Q Testi.
4
2
Hafta
30.09.2015
İşlenecek Konular
12
Basit Doğrusal Korelâsyon ve Regresyon Analizi: Korelasyon Katsayısı,
Korelâsyon Katsayısının Anlamlılık Testi; Doğrusal Regresyon Analizi: Serpilme
Diyagramı, Basit Doğrusal Regresyon Denkleminin Kestirimi, Veryansın
Kestirimi, Basit Doğrusal Regresyonun Matrislerle Gösterimi, Aralık Tahmini ve
Kısmi Anlamlılık Testleri; Belirlilik ve Düzeltilmiş Belirlilik Katsayıları, Regresyon
Katsayılarının Genel Anlamlılık Testleri, En Küçük Kareler (EKK) Tekniğinin
Varsayımları.
13
Parametrik Korelasyon Analizi: Basit Doğrusal Korelasyon Katsayısı (r), Kısmi
Korelasyon Katsayıları (r12.3), Çoklu Korelasyon Katsayısı (R), Kanonik
Korelasyon Katsayısı.
14
Parametrik Olmayan Korelasyon Analizi: Nominal Ölçekli Değişkenler: Fi ve
Cramer V İstatistiği, Kontenjans Katsayısı (c), Lamda Katsayısı, Belirsizlik
Katsayısı (Theil‐U İstatistiği); Ordinal Ölçekli Değişkenler: Spearman Sıra
Korelasyon Katsayısı (rs), Gamma İstatistiği, Somers d İstatistiği, Kendall Tau‐b
ve Kendall Tau‐c İstatistikleri; Metrik‐Metrik Olmayan Ölçekli Değişkenler: Eta
Katsayısı
E‐Posta
: [email protected]
Ağ Adresi : http://asalbayrak.wordpress.com/
30.09.2015
5
1. HAFTA
 Bilimsel Araştırmanın Tanımı
 Bilimsel Araştırmanın Temel Kavramları
 Bilimin Özellikleri
 İstatistiğin Tanımı, Amacı, Önemi ve Temel İstatistik Kavramlar
 Değişkenlerin Sınıflandırılması ve Ölçek Türleri
 İstatistik Araştırma Sürecinin Aşamaları
 İstatistikte Hata Kavramı 30.09.2015
6
3
30.09.2015
TEMEL KAVRAMLAR
•
Bilimsel Araştırma: Herhangi bir konuyu açıklığa kavuşturmak, bilinmeyen olay ve faktörleri
ortaya çıkarmak, geliştirmek, bir soruna çözüm getirmek, belirli yasa ve kavramlara
ulaşabilmek amacıyla yapılan çalışmalara bilimsel araştırma adı verilmektedir.
•
Bilimsel araştırma, problemi doğru tanımlayarak, güvenilir çözümler aramak amacıyla planlı
ve sistemli bir şekilde verilerin toplanması, düzenlenmesi, çözümlenmesi, yorumlanması ve
evrene genellenmesi sürecidir. Bilimsel araştırmalar kuramlara dayalı yapılmalıdır. Her
araştırmanın temelinde bir kuram vardır. Araştırmanın sonucunda ulaşılan bilgiler temeldeki
kurama güç katarak yeniden test edilir. Probleme ilişkin toplanan veriler uygun bir şekilde
modellenmelidir. Geliştirilen modeller en uygun istatistik yöntem ve tekniklerle çözümlenmesi
son derece önemlidir. Alternatif istatistik yöntem ve tekniklerle çözümlenerek
tekrarlanabilmelidir.
•
Bilim, problemlerin çözümü ve ihtiyaçların karşılanması gereğinden doğmuştur. Araştırmanın
bilimsel yöntemlerle planlanması, uygulanması ve sonuçlandırılması araştırmanın geçerli ve
güvenilir olmasının ön koşuludur. Bilimsel yöntemlere dayanmayan bir araştırma yanlış
yönlendirmelere ortam hazırlayarak insanlığa zararı olabilmektedir.
•
Araştırma ve istatistik birbirinden ayrılmaz bir bütündür. Bir araştırma, her aşamasında
istatistik yöntem ve teknikleri kullanır. İyi bilimsel araştırmalar ancak araştırma yöntemleri
kadar istatistik konusunda da yeterli bilgiye sahip araştırmacılar tarafından ortaya
konulabilmektedir.
30.09.2015
7
•
Bilim: Düzenlenmiş, sistematik, geçerliliği ve güvenilirliği kabul edilmiş bilgilerdir.
•
Bilimsel Yöntem: Uygun yöntem ve tekniklerle bir problemin incelenmesidir.
•
Bilimsel Yaklaşım: Araştırmanın tanımlanması, tasarlanması, uygulanması,
değerlendirilmesi ve yorumlanması aşamalarında objektif davranmaktır.
Hipotezlerin açık yüreklikle irdelenmesi, eleştirilmesi ve tartışılmasıdır.
•
Bilimin İşlevi: Doğa olaylarını, toplumsal yaşamla ilgili olayları, teknolojik
gelişmeleri irdelemek, açıklamak, yorumlamak ve kontrol etmektir.
•
Bilimselliğe Hizmet Eden Yöntemler: Bilimsel yöntemi iki temel etkinliği
“açıklama” ve “kanıtlamadır.” Tümevarım: Bir teorinin geliştirilmesi veya
açıklanmasıdır. Tümdengelim: Var olan bir teorinin sınanması veya
kanıtlanmasıdır.
•
Tümevarım: Deney, gözlem veya anket araçlarıyla elde edilen verilerle somut
kanıtlar, olgular, önermeler bulunur, doğrulukları test edilir. Bulgulara, temel
önermelere varılır, genellemeler yapılarak teoriler geliştirilir.
•
Tümdengelim: Teori, düşünce ve yorumların kontrolünü yapar. Bulgu ve
yargıların geçerliliğini ve güvenilirliğini test eder.
30.09.2015
8
4
•
30.09.2015
Bilimin Temel Özellikleri: (1) Fonksiyoneldir: Olgular ve olgular arası ilişkileri açılar ve bu
olgular ve ilişkilere ilişkin genellemeler yapar. (2) Mantıklıdır: Her türlü çelişkiden uzaktır.
Mantıksal düşünme yolları olan yöntemlerden (tümevarım veya tümdengelim) yararlanır. (3)
Genelleyicidir: Bilimsel yöntemin temel özelliği genelleyici olmasıdır. Bilim tek tek olgularla
değil olgu türleriyle ilgilenmektedir. Bir bireyin davranışını geneleme yapmak amacıyla inceler.
(4) Deneysel ve Gözlemseldir: Bilim olgular arasındaki ilişkileri deney ya da gözlem yoluyla
açıklamaya çalışır. (5) Bilim Doğrulanabilirdir. (6) Bilim Olgusaldır: Bilimin konusu var olan,
gerçeğe dayanan, gözlenebilen olgulardır. Kişisel görüş ve beğenilerden uzaktır. (7)
Objektiftir: Bilim insanı yanılgıya düşebilir. Bilim adamının çalışmalarını değer yargıları,
beğenileri, inançları etkileyebilir, fikir ve yorumlamalarında hatalar olabilir. Ancak bilim insanı
hiçbir zaman yanlı davranamaz. Olgular ve bulgular hakkında tasarrufta bulunamaz. Sonuçları
manipüle edemez. (8) Evrenseldir: Bilim yer ve zamana göre değişmeyen ilişkiler içerebilir. (9)
Bilim Sistemlidir: Bilim incelediği problemleri sistemli bir biçimde inceler. Evrende olay ve
olgular arasında bir düzen vardır. Bu sistem göz ardı edilemez. (10) Bilim Değişime Açıktır:
(11) Bilim Birikimdir: Bilim kendini sürekli geliştirerek yenilemekte ve böylece bilimsel bir
birikim oluşmaktadır. Zamana göre bazı doğrular sürekli bir değişim göstermektedir.
30.09.2015
9
İstatistiğin Tanımı, Amacı, Önemi ve Temel Kavramlar
1. Günlük Dilde: Belirli bir kritere göre toplanmış
rakamlar topluluğudur (veri anlamında).
2. Metodolojik Açıdan: Belirli amaçlar için veri
toplama, toplanan verileri düzenleme, çözümleme ve
yorumlama amacıyla geliştirilen teknik ve yöntemler
bilimidir.
3. Terim/Kavram Olarak: Üçüncü olarak istatistik,
örneklem birimlerden elde edilen değerler
anlamında kullanılmaktadır.
4. Metodolojik açıdan istatistik kısaca verilerden bilgi
elde etme yolu olarak da tanımlanabilir.
30.09.2015
10
5
30.09.2015
İstatistiğin Amacı
 Tanımsal Amacı: İlgili değişken bakımından bir olaya ilişkin
verileri toplamak, toplanan verileri düzenlemek, çözümlemek,
tablo ve grafikler yardımıyla sunmaktır.
 Analitik Amacı: Olasılık kuramına dayanan yöntemlerle,
anakütleden çekilen örneklemden elde edilen bilgileri
kullanarak anakütle parametrelerini tahmin etmek veya
anakütle parametreleri ile ilgili iddiaların doğru olup
olmadıklarını araştırmaktır. Diğer bir anlatımla, gözlenmiş
durumlardan gözlenmemiş durumlar hakkında bilgi
üretmektir.
30.09.2015
11
Temel İstatistik Kavramlar
1. Evren (Anakütle, Kitle, Anakitle) ve Örneklem
2. Birim ve Değişken
3. Nitel ve Nicel Değişken
4. Kesikli ve Sürekli Değişken
5. Tamsayım ve Kısmı Sayım
6. Parametre ve İstatistik
7. Ölçek Türleri
 Metrik Olmayan Ölçek
‐ Nominal (Sınıflayıcı)
‐ Ordinal (Sıralayıcı)
 Metrik Ölçek
‐ Aralık (Interval)
‐ Oran (Ratio)
30.09.2015
KTÜ Bilimsel Araştırmalar Yaz Seminerleri Programı‐SPSS ile Örnekleme Yöntemleri ve Hipotez Testleri
12
6
30.09.2015
İstatistik Araştırmanın Aşamaları
(1) Araştırma probleminin tanımlanması: Bir araştırma problemi
kapsamında yer alan birimlerin oluşturduğu topluluk olan
anakütleyi şu ölçütlere göre tanımlamak/sınırlandırmak
mümkündür. (1) zaman ve mekana, (2) örnekleme birimi
ve/veya gözlem birimi, (3) örneğe girecek birim sayısı
(örneklem hacmi), (4) özellik/değişken sayısı.
(2) Verilerin Toplanması: Veri toplama yöntemleri (tamsayım ve
örnekleme); veri toplama araçları (gözlem, deney ve anket).
(3) Verilerin Düzenlenmesi: Seriler, grafikler ve tablolar.
(4) Verilere Uygun İstatistik Tekniklerin Uygulanması
(5) Sonuçların Yorumu ve Kararın Alınması
30.09.2015
13
İstatistikte Hata Kavramı
Uygun istatistik tekniklerin kullanılmaması, ölçüm
araçlarının
bozukluğu,
insanların
yorgunluk,
dikkatsizlik ve çeşitli nedenlerle yanlı davranması
sonucu hatalar ortaya çıkmaktadır (Orhunbilge,
2000).
Bu hatalar şunlardır: Basit hatalar (birbirinin etkisini
ortadan kaldıran hatalar); sistematik hatalar
(birbirinin etkisini ortadan kaldıramayan hatalar);
tesadüfi hatalar (örnekleme yöntemiyle yapılan
araştırmalarda karşılaşılır); tahmin hataları (fiili
değer‐tahmini değer= minimum olmalıdır).
30.09.2015
14
7
30.09.2015
Basit Hatalar: cinsiyetin ve bazı rakamların (73 yerin
37 gibi) yanlış kodlanması.
Tesadüfi Hatalar: Üç birimden oluşan bir anakütleyi
ele alalım: 10, 20 ve 30. Anakütle ortalamasını
tahmin etmek için anakütleden iki birimden oluşan
bir örneklemin çekildiğini düşünelim. Bu durumda
olası çekim ve tahminler aşağıdaki gibi olur.
 1. Örnek: (10+20)/2 =15 Hata=15‐20=‐5
 2. Örnek: (10+30)/2 =20 Hata=20‐20=0
 3. Örnek: (20+30)/2 =25 Hata=25‐20=+5
Basit (örnekleme) hatalarının beklenen değeri her
zaman sıfırdır.
30.09.2015
15
 Sistematik Hatalar: Kıdem, eğitim düzeyi, yaş ve ücret utanma
nedeniyle olduğundan yüksek veya düşük bildirilmesi.
Soruların açık olmaması. Bu hatalar hep pozitif veya negatif
yönde etkili olurlar. Sistematik hatalar içeren tahminlere
istatistikte “yanlı tahminler” adı verilmektedir.
 Sistematik hatalar; (1) birimlerin belirlenmesi aşamasında
(bilerek veya bilmeyerek anakütledeki bazı birimlerin kapsam
dışında tutulması); (2) soruların düzenlenmesi aşamasında; (3)
değerlerin saptanması ve hesaplanması aşamasında (ölçümde
kullanılan araçların bozuk olması vs.) ve (4) istatistik
tekniklerin kullanılması aşamasında ortaya çıkmaktadırlar.
 Tahmin hataları istatistik yöntem ve tekniklerle elde edilen
değerlerle fiili değerler arasındaki farklardır. En uygun teknik
seçilerek bu hatalar en aza indirgenir.
30.09.2015
16
8
30.09.2015
2. HAFTA
 Örnekleme Teorisi ve Temel Kavramlar
 Örnekleme Teorisinin Dayandığı Seçim Yöntemleri ve Temel Seçim Yöntemi
 Örnekleme Yapmayı Gerekli Kılan Nedenler
 Örnekleme Sürecinin Aşamaları
 Örneklemenin Amaçları
 Veri Toplama Yöntemleri
 Veri Toplama Araçları.
30.09.2015
17
Örnekleme Teorisi

Örnekleme teorisi, bir anakütle ile bu anakütleden çekilen örneklemler arasındaki ilişkilerle ilgili
çalışmalardır. Genellikle istatistik araştırmalara ilgili bir anakütlenin tanımlanmasıyla başlanmaktadır. Sonraki
aşamalarda, tanımlanan anakütlenin ilgilenilen parametreleri hakkında bilgi üretilmeye çalışılır. Bu bilgiler
üretilirken iki tür veri üzerinde çalışılmaktadır.: Tamsayımla elde edilen anakütle verileri ve kısmi sayımla elde
edilen örneklem verileri.

Anakütle: Belirli bir tanıma uyan ve hakkında bilgilerin üretileceği, çıkarsamaların yapılacağı birimlerden,
daha açık bir anlatımla nesnelerden, olaylardan, kurumlardan ve bireylerden oluşan topluluktur. Diğer bir
anlatımla anakütle; bir araştırma tanımı çerçevesinde yer alan tüm birimler topluluğudur.

Tamsayım ve Parametre.

Kısmi sayım, örnekleme ve istatistik.

Tamsayım; anakütledeki tüm birimlerin (N) sayılması işlemidir. Anakütle verilerinden hesaplanan sayısal
değerlere parametre adı verilir. Diğer bir anlatımla parametre; anakütlenin sayısal karakteristiklerine
parametre adı verilir. μ, σ2, σ, π ve ρ birer parametredir.

Bir anakütlenin ilgilenilen özelliklerini yansıtması amacıyla, sözü edilen anakütleden belirli yöntemlerle
(örnekleme yöntemleri) seçilmiş birimlerin oluşturduğu topluluğa örneklem adı verilmektedir. Bu birimlerin
seçim sürecine ise örnekleme adı verilmektedir. Diğer bir anlatımla, bir örneklem yardımıyla ilgilenilen
anakütleye ilişkin genelleme yapma sürecine örnekleme adı verilir.

Kısmi sayım; anakütledeki belirli sayıdaki (n) birimin sayılması işlemidir. Kısmi sayım sonucunda elde edilen
birimler kümesine örneklem adı verilir ve örneklem verileri üzerinden hesaplanan sayısal değerlere istatistik
adı verilir. Diğer bir anlatımla örneklemin sayısal karakteristiklerine istatistik adı verilir. örneklem ortalaması,
s2, s, p ve r birer istatistiktir.
30.09.2015
1
8
9
30.09.2015
Örnekleme Yapmayı Gerekli Kılan Nedenler
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Maliyet
Zaman
Doğru veri elde etme
Örneğe giren birimlerin fiziksek zarara uğraması (yok edici testler)
Anakütlenin sonsuz olması.
Kavrama Soruları
(1) Tamsayım yapmayı engelleyen nedenleri açıklayınız?
(2) Anakütle hacmi küçük, parasal imkanların yeterli olduğu bir araştırmada tamsayım mı yoksa örneklem mi tercih edersiniz, açıklayınız?
(3) 42 000 000 seçmenin bulunduğu bir ülkede yapılacak bir kamuoyu yoklaması için, örnekleme mi yoksa tamsayım mı yaparsınız? Örneklemenin Amaçları (1) Temel amaç: Anakütleyi temsil edebilecek en iyi örneklemi seçmek (Uygun örnekleme yönteminin seçimiyle bu amaç gerçekleştirilir).
(2) Anakütle parametrelerini tahmin etmek (uygun olan istatistik tahmin teknikleri kullanılarak bu amaca ulaşılır). (3) Anakütle parametreleri hakkındaki iddiaların araştırılması (Uygun istatistik hipotez testleri uygulanarak bu amaç geçekleştirilmektedir.) Kavrama Soruları
(1) Büyük hacimli anakütlelere tamsayım uygulanabilir mi?
(2) Örneklemenin temel amacı nedir?
(4) Örneklemenin amaçları nelerdir?
(3) Tamsayım yapılamadığı durumlarda parametre değerleri hesaplanabilir mi?
30.09.2015
19
Örneklem Sürecinin Aşamaları (Yüzer vd., 2003:173‐177)
(1) Anakütlenin Tanımlanması: Örnekleme süreci öncelikle anakütlenin tanımlanmasıyla başlar. Anakütlenin
ayrıntılı bir biçimde tanımlanmasıyla, hangi birimlerin örneklemde yer alacağı, hangilerinin yer almayacağı
belirlenir. Örneklemede, araştırma konusuyla ilgili verilerin derlendiği birimlere “gözlem birimi” adı
verilmektedir. Bu birimler aynı zamanda örnekleme seçilen birimler de olabilir. Bu durumda gözlem
birimiyle örnek birimi aynı şeydir. Ayrıca anakütleyi oluşturan birimler yer ve zaman açısından da
sınırlandırılabilmektedir (gözlem birimi ve örnekleme birimi, yer ve zaman, ilgilenilen değişken sayısı,
örneklem hacmi gibi faktörlere göre anakütle tanımlanabilmektedir).
(2) Çerçevenin (Kapsamın) Belirlenmesi: Sonlu bir anakütlenin tüm birimlerinin yer aldığı listeye, çerçeve adı
verilmektedir. Nüfus kayıtları, seçmen kütükleri, tapu ve sicil kayıtları, ticaret ve sanayi odaları üye listeleri,
telefon rehberi, öğrenci kayıt listeleri vs. çerçeve olarak kullanılabilecek araçlardır. Araştırmaya başlamadan
önce, amaca uygun bir çerçevenin var olup olmadığı, yoksa, sağlanıp sağlanamayacağı öncelikle
araştırılmalıdır. Ayrıca araştırma çerçevesinin güncel olup olmadığı da araştırılması gerekir. Çerçeve
olmadan ne tamsayım ne de örnekleme yapılabilir.
(3) Örnekleme Yönteminin Seçimi: Örnekleme girecek birimlerin belirlenmesine imkan sağlayan yöntemlere,
örnekleme yöntemleri adı verilir. Bu yöntemler iki grup altında incelenebilir.
30.09.2015
20
10
30.09.2015
Örneklem Sürecinin Aşamaları (Devam)
(4) Örneklem Hacminin Belirlenmesi: Örneklem hacmi, örneğe girecek birimlerin
sayısını gösterir. Bu sayının ne olacağına ilişkin kesin yanıt vermek mümkün
değildir. Ancak, aşağıda açıklanan faktörlere ilişkin yapılacak, nitel
değerlendirmelere ve nicel yöntemlere başvurulur.
(1) Nitel Değerlendirmede Esas Alınan Faktörler
 Anakütlenin homojenliği: Anakütle homojen ise n küçük, homojen değilse, n hacmi
büyümektedir.
 Araştırmada verilen kararın önemi: Araştırmada verilen karar önemli ise daha
ayrıntılı bilgiye gereksinim duyulur.
 Araştırmanın yapısı: Nitel araştırmalarda n küçük, nicel araştırmalarda n büyüktür.
 Benzer çalışmalarda kullanılan örneklem hacmi: Özellikle araştırmalarda tesadüfi
olmayan örnekleme yöntemleri kullanıldığı zaman kullanılan bir ölçüttür.
 Kaynaklarla ilgili sınırlayıcılar: Zaman ve maddi kısıtlar gibi…
30.09.2015
21
(2) Nicel Yöntemler
(a) Karşılanabilecek Maliyeti Esas Alan Yöntem:
 n=(B‐Cs)/Cd. Burada B, araştırma bütçesini; Cs, araştırmanın
sabit maliyetini ve Cd, örnekleme birimi başına değişken
maliyetini göstermektedir.
Örnek: Araştırma bütçesi 10000 TL ile sınırlı olduğu bir
araştırmada, sabit maliyet 500 TL ve her örneğe seçilecek her
örnekleme birimi için maliyet 30 TL’dir. Bu bütçeyle
oluşturulabilecek örneklem hacmi en fazla kaç olabilir?
Çözüm: n = (10000‐500)/30=317 ailedir.
30.09.2015
22
11
30.09.2015
(b) Kabul Edilebilir Hata Düzeyini Esas Alan Yöntem:
 Örneklem istatistiğinin dağılımının normal olduğu varsayımı altında bu yöntemle
örneklem hacmi aşağıdaki eşitlikle belirlenmektedir:
 n=(z2σ2)/h2.
 Burada z, araştırmacı tarafından belirlenen anlamlılık düzeyi (hata düzeyi) standart
normal dağılım tablo değerini; σ2, anakütle varyansını; h=z.σx, araştırmacı
tarafından belirli bir anlamlılık düzeyinde kabul edilebilir hata düzeyini (ortalama
örnekleme hatasını) göstermektedir. Bu hata düzeyi, örneklem istatistiği ile ilgili
parametre arasındaki mutlak fark olarak belirlenebileceği gibi, ilgilenilen
parametrenin oransal bir değeri olarak da ifade edilebilir.
 Örneklem hacminin yukarıdaki eşitlikle hesaplanabilmesi için araştırmacının α
anlamlılık düzeyini ve h2 değerini belirlemesi ve anakütle varyansı σ2 hakkında
bilgiye sahip olması gerekir. Anakütle varyansı σ2 genellikle bilinmez. Bu durumda,
σ2 daha önce yapılmış benzer çalışmalardan elde edilebileceği gibi, bir pilot
çalışmadan veya en büyük değerli gözlem değeri ile en küçük değerli birim
arasındaki fark biliniyorsa ve X tesadüfi değişkeni normal dağılıyorsa, α=%1
düzeyinde; s=(Xmax‐Xmin)/6 tahminleyicisi kullanılarak da hesaplanabilmektedir.
30.09.2015
23
Örnek: Bir araştırmacı, X ilinin merkez ilçesinde ikamet eden ailelerin ortalama aylık mutfak
harcama tutarını tahmin etmek istiyor. Ayrıca bu tahminde en fazla 10 TL’lik bir hata düzeyi
amaçlıyor. Benzer amaçla bu ilçe merkezinde yapılan araştırmalardan ailelerin aylık mutfak
giderleriyle ilgili standart sapmanın 30 TL olduğu saptanmıştır. %5 anlamlılık düzeyinde örneklem
hacmi en az ne olmalıdır?
Çözüm:
• α=%5, σ=30 TL, z%5=1,96, h=10 TL dir.
• n=(1,96)2(30)2/(10)2=34 aile olarak elde edilir.
(5) Örneğin Seçilmesi: Bu aşamada örnekleme girecek birimler seçilerek veriler
toplanır. Bu uygun özellikte büro ve çalışma ortamıyla nitelikli elemanların teminini
gerektirir. Önceki aşamalarda alınan yanlış kararlar ve dikkatsizlikler bu aşamada
büyük sorunların yaşanmasına neden olmaktadır. Örneklemenin bu son
aşamasında, örneğe girecek birimler seçilerek, verile toplanır.
Kavrama Soruları
(1) Örnekleme sürecinin aşamalarını sayınız?
(2) ZKÜ, İİBF’de kayıtlı olan öğrencilere ilişkin yapılacak bir araştırmada, anakütle
nedir?
(3) İİBF öğrencilerine ilişkin bir çerçeve bulunabilir mi, bulunabilirse güncel midir,
açıklayınız?
30.09.2015
24
12
30.09.2015
Veri Toplama Yöntemleri
 Tamsayım
 Örnekleme
Veri Toplama Araçları
 Veriler hazır bilgi kaynakları tarafından elde edilememesi durumunda
araştırmacılar tarafından toplanması gerekmektedir.
 Birimlerin tümünden (tamsayım) veya anakütleden seçilmiş belirli sayıda
birimden (örneklem) bu bilgiler birimleri gözleyerek (gözlem), birimlere
deneyler uygulayarak (deney) veya birimlere araştırma konusuyla ilgili
sorular sorularak (anket) elde edilmektedir.
30.09.2015
25
3. HAFTA
 Örnekleme Yöntemleri
 Tesadüfi Çekim Şekilleri
 Olasılıklı Olamayan Örnekleme Yöntemleri
– Kolayda (Convenience) Örnekleme Yöntemi
– Yargısal (Judgmental) Örnekleme Yöntemi
– Kota (Quota) örnekleme yöntemi
– Kartopu (Snowball) Örnekleme Yöntemi
 Olasılıklı Örnekleme Yöntemleri
– Basit Tesadüfi Örnekleme Yöntemi
– Tabakalı Örnekleme Yöntemi
– Sistematik Örnekleme Yöntemi
– Kademeli Örnekleme Yöntemi
 Olasılıklı Örnekleme Yöntemlerinin Üstünlükleri
30.09.2015
26
13
30.09.2015
Örnekleme Yöntemleri
(1) Anakütleyi oluşturan birimlerin bir bölümünün gözlenmesi anlamına gelen
örnekleme, özellikle zaman ve maliyet tasarrufu sağladığı için
araştırmacılar tarafından yaygın olarak kullanılmaktadır. Ancak örneklemin
anakütleyi iyi bir şekilde temsil etmesinin n/N oranına (örneklem hacmine)
ve uygun bir örnekleme yönteminin seçimine bağlıdır.
(2) İstatistikte örnekleme yöntemleri “olasılıklı” ve “olasılıklı olmayan”
yöntemler olarak iki ana grup altında toplanmaktadır.
(3) Tesadüfi Çekim Şekilleri: (a) Kura yöntemi (her birimin seçilme olasılığı 1/n
ve her bir örneklemin seçilme olasılığı=1/C(N, n), (b) tesadüfi sayılar
tablosu, (c) tesadüfi sayılar üreten bilgisayar programlarının (SPSS, STATA,
SAS, NCSS, STATISTICA, MINITAB ve STATGRAPHICS vs.) kullanımı ve (d)
sistematik seçimdir (her bir örneğin seçilmesi olasılığı=1/k).
30.09.2015
27
Olasılıklı Olmayan Örnekleme Yöntemleri




Kolayda (Convenience) Örnekleme: Kolayca ulaşılabilir birimlerin seçilmesiyle örneğin oluşturulmasıdır.
Örneğin; uygun görülen sokaktan, uygun görülen bir zamanda gelip geçen bireylerle görüşme yapılması
veya bir konferansa katılan belirli sayıdaki katılımcıdan araştırma konusu ile ilgili görüşlerinin alınması,
Internet, TV ve radyo araştırmaları vs. En kısa zamanda ve en az maliyetle bilgi üretilmesine ihtiyaç
duyulduğu durumlarda kullanılır. Ayrıca “odak gruplar,” “pilot çalışmaları,” veya “anketlerin ön testi”
amacıyla kullanılabilir. Kolay örneklemede anakütleyi temsil edebilecek bir örneğe ulaşmak tesadüflere
bağlıdır.
Yargısal (İradi/Judgmental) Örnekleme: Yargısal örnekleme yöntemi de bir tür kolayda örnekleme
yöntemidir. Yargısal örneklemenin kolayda örneklemeden farkı, araştırmacı anakütleden kendi iradesiyle
birimleri seçerken bir ölçütü kullanmasıdır. Örneğe girecek birimler, araştırmacının uzman görüşüne
dayanarak anakütleyi temsil ettiğine inandığı birimlerdir.
Kota (Quota) Örneklemesi: Anakütle yapısının %5, %10 vs. oranında örneğe yansıtılarak, örneğe girecek
birimleri araştırmacının iradesiyle belirlediği örnekleme türüdür.
Örnek: (Örnekleme Oranı = n/N=%10)
Büyüklük

N
n Küçük
Orta
Büyük
800
150
50
80
15
5
Toplam
1000
100
Kartopu (Snowball) Örneklemesi: Özellikle bir çerçevenin mevcut olmaması veya oluşturmasının imkansız
olduğu durumlarda kullanılır. Bu yöntemde, örnekleme sürecine tanımlanan anakütlede yer alan bir
bireyin, genellikle tesadüfi olarak seçilmesiyle başlanır. Bu bireyle aynı anakütle tanımında yer alan tanıdığı
bir bireyin var olup olmadığı araştırılır. Varsa, bu birime ulaşılır. Böylece örneklemde yer alacak ikinci birim
belirlenmiş olur. Bu sürece n hacimli örneklem oluşturuluncaya kadar devam edilir. Örnek; uyuşturucu
kullananlar, çete üyeleri vs. araştırmalarında kullanılır.
30.09.2015
28
14
30.09.2015
Olasılıklı Örnekleme Yöntemleri
(1) Basit Tesadüfi Örnekleme
 Anakütledeki tüm birimlere eşit seçilme şansı verilerek uygulanan
bir örnekleme yöntemidir. İadesiz çekim ile N birimlik sonlu bir
anakütleden, n birimlik bir örneklem aşağıdaki gibi çekilmektedir.
Anakütle listesinin elde olması ve anakütlenin türdeş birimlerden
oluşması gerekir. Ayrıca anakütlede yer alan birimlerin geniş bir
coğrafi alana yayılmamış olması gerekmektedir.
 Her birime eşit seçilme şansı 1/N verilerek ilk birim seçilir.
 İadesiz çekim olduğu için ikinci birimin seçilme olasılığı 1/(N‐1) olur.
n sayıda birim hep bu şekilde (1/N‐n+1) seçilir. n hacimli tüm olası
örneklemlerden herhangi birisinin seçilmesi olasılığı ise 1/C(N, n)’
dir.
 Tesadüfi örneklemenin gerçekten tesadüfi olabilmesi için anakütle
birimlerinin tümünün eldeki listede olması gerekmektedir.
30.09.2015
29
(2) Tabakalı Örnekleme
 Basit tesadüfi örneklemeye oranla anakütle hakkındaki mevcut bilgileri kullanarak, anakütleyi
daha iyi temsil edecek, tesadüfi örnekler oluşturmaya yarayan bir örnekleme türüdür.
Yöntemin uygulanabilmesi için anakütledeki birim sayısının bilinmesi ve anakütlenin incelenen
özellikleri açısından gruplara ayrılabiliyor olması gerekmektedir. Yöntem gruplardaki birim
sayılarına göre eşit, orantılı veya orantısız olmak üzere üç farklı şekilde uygulanabilmektedir.
Orantısız seçimde değişkenliği büyük olan gruptan fazla, daha az olan gruptan az birim
gözlenmesi yoluna gidilir. Anakütle heterojen olmalı, anakütle ve tabaka hacimlerinin
bilinmesi gerekir. Örnekleme hatası en düşük olan örnekleme yöntemidir.
Örnek: İşletme Büyüklüğü
ni (eşit sayıda)
ni (orantılı) ni (orantısız)
Küçük
Orta
Büyük
800
150
50
33
33
33
80 15
5
60
30
10
Toplam
1000
99
100
100
30.09.2015
N
30
15
30.09.2015
Y  tabakalara ayrılacak anakütleyi, N  anakütle hacmini, n  örneklem hacmini,
H  Toplam tabaka sayısını, N h  h. tabakadaki (h  1, 2,..., H ) toplam birim sayısını,
nh  h. tabakadan çekilecek örneklem hacmini,  h2  h. tabakanın varyansını ve
Yh  h. tabakanın aritmetik ortalamasını göstermekterdir.
Tahminin varyansı Cochran'a (1963:91) aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:
nh 
1 

nh  N h 
Burada her bir tabakanın varyansının bilindiği ve aşağıdaki gibi hesaplandığı varsayılmaktadır:
sY2 
H
1
N2
N
h 1
2
h
 h2 
 Y  Y  2 
i
h

i 1  N h  1 


Nh
 h2   
Eşit Dağıtım Yöntemi
Orantılı Dağıtım Yöntemi
Neyman Dağıtım Yöntemi
n
 n1  n2    nh ve h  1, 2, , H .
H
N
 L2  : nh  n  h  h  1, 2, , H .
N
N
 L3 : nh  n  H h h  h  1, 2, , H .
 N h h
 L1 : nh 
h 1
Orantısız Dağıtım Yöntemi
30.09.2015
 L4  : n1  n2    nh
genetik algoritma ile belirlenmektedir.
31
(3) Sistematik Örnekleme Yöntemi
 Çok sık kullanılan bir örnekleme yöntemidir.
 N/n oranıyla bir k sayısı (büyütme faktörü) bulunur. 1‐k aralığında tesadüfi olarak bir sayı seçilir.
 Daha sonra bu sayı örneğe girecek ilk anakütle birimini oluşturur ve elde edilen sayıya sürekli k ilave
edilerek ikinci, üçüncü vs. n sayıda birim belirlenir.
 Örnek: N=200 olan bir anakütleden n=20 birimden oluşan bir örnek çekilecekse k=N/n=200/20=10
olacaktır. 1‐10 arasında seçilen sayının 3 olduğunu kabul edersek;
1. birim
a.
3
2. birim
[a+k.]
3+10=13
3. birim
[a+2k.]
13+10= 23 .
.
.
.
.
.
20. birim
[a+(n‐1)k.]
183+10=193  Bu yöntem, basit tesadüfi ve tabakalı örnekleme yöntemlerine göre daha az maliyetli bir örnekleme
yöntemidir. Ayrıca, ilgili anakütleye ilişkin çerçevenin yapısı hakkında bilgi sahibi olmaksızın da
sistematik örnekleme uygulanabilir. Örneğin; bir süper marketten ayrılan k. müşteriyle görüşme
yapılarak yürütülen araştırmalar gibi.
 Çerçevenin doğal yapısında tekrarlamalar varsa sistematik örnekleme yöntemi uygulanmamalıdır.
30.09.2015
32
16
30.09.2015
(4) Kademeli Örnekleme Yöntemi
 Anakütledeki birimlerin listesinin olmadığı durumlarda ve coğrafi olarak geniş bir alana
dağılmış birimlerin incelenmesi gerektiğinde, araştırma maliyetinin düşürülmesi için
uygulanan tesadüfi (olasılıklı) bir örnekleme yöntemidir.
 N birimlik bir anakütle eşit veya farklı sayıda birimden oluşan M adet alt kümeye (birincil
birim) ayrılır. M adet tesadüfi birimden tesadüfi olarak seçilen m sayıda birincil
birimdeki tüm birimler gözlenirse, bu örnekleme türüne “tek kademeli örnekleme adı
verilmektedir. M adet birincil birimler altında yer alan K sayıdaki birimler arasından
(ikincil birimler) tesadüfi seçimle k sayıda birim seçilirse buna “iki kademeli örnekleme”
adı verilmektedir. Kademe sayısı arttırılarak 2, 3 … ve çok kademeli örnekleme
uygulanabilir.
 Örneğin, Türkiye’de imalat sanayinde bir araştırma yapılacaksa kademeli örnekleme
yönteminin benimsenmesi gerekir. Çünkü Türkiye’deki tüm imalat sanayinde yer alan
işletmelerin listesini oluşturmak zor ve bu işletmeler geniş bir coğrafi alana
yayılmışlardır. Sözgelimi bu örnekte anakütle; coğrafi bölge (birincil birimler, 10), il
(ikincil birimler, 81), sanayi bölgeleri (üçüncü alt birimler, 750) ve ilçe (dördüncü alt
birimler, 750) alt birimleri ayrımının anlamlı olduğunu varsayalım. Bur örnekte dört alt
birim tanımlandığından en çok dört kademeli bir örnekleme yöntemi uygulanabilir.
30.09.2015
33
Örnekler: Kademeli Örnekleme Yöntemi
 Örnek 1: 100 mahallesi olan bir il merkezinde partilerin seçim öncesindeki oy dağılımları
araştırılacak olsun. Araştırmacı her mahalledeki seçmenleri birer küme olarak tanımlar,
mahalleler arasından tesadüfi olarak mahalleler seçer ve seçilen mahallelerden de yine
tesadüfi olarak belirli sayıda sokak seçerse ve seçilen sokaklardaki tüm seçmenleri incelemeye
alırsa iki kademeli bir örnekleme yöntemi uygulamış olur.
 Örnek 2: Koliler halinde gelen mallar için mamul kabul örneklemesinin yapılacağını düşünelim.
30 mamulden oluşan 200’er kutuluk 100 koli söz konusu olsun. Her mamule eşit seçilme şansı
verebilmek
için
tüm
kutuların
kolilerden
ve
mamullerin
de
kutulardan
çıkarılıp
numaralandırılması gibi rasyonel olmayan bir yol seçmek yerine bu araştırmada kademeli
örnekleme yöntemi uygulanabilir.
 100 Koli + 200 Kutu + 30 Mamul ve her düzeydeki n/N oranı %10 Olsun
 100×200×30=600 000
Tamsayım
 10×200×30=60 000
Tek kademeli örnekleme
 10×20×30=6 000
İki kademeli örnekleme
 10×20×3= 600
Üç kademeli örnekleme
30.09.2015
34
17
30.09.2015
Olasılıklı Örnekleme Yöntemlerinin Üstünlükleri
 Örneklerden elde edilen verilerden hesaplanan istatistikler, anakütle
parametreleri hakkında genelleme yapmak amacıyla kullanılabilir.
 Örnekleme hatasının büyüklüğü hakkında bilgi elde edilebilir.
 Keyfi (iradi) seçimde söz konusu olabilecek sistematik hata giderilmiş olur.
 Örnekleme dışı hataların önemli olması durumunda olasılıklı olmayan
yöntemler tercih edilebilir (daha çok kontrol).
 Olasılıklı olmayan örnekleme yöntemleriyle elde edilen örneğin
anakütleyi temsil etmesi tesadüflere ve araştırmacının konuyla ilgili sahip
olduğu öncül bilgilere bağlıdır.
30.09.2015
35
Kavrama Soruları
(1)Örnekleme yöntemlerini sınıflandırınız?
(2)Olasılıklı örnekleme yöntemleri ile olasılıklı olmayan örnekleme
yöntemleri arasındaki temel farklılıklar nelerdir, açıklayınız?
(3)Sistematik örnekleme yönteminde örneğe girecek birimler nasıl
seçilir, açıklayınız?
(4)Kademeli örnekleme yönteminde örnekleme giren birimler nasıl
seçilir, bir örnekle açıklayınız?
(5)Veri toplama yöntemleri nelerdir?
(6)Veri toplama araçları nelerdir?
30.09.2015
36
18
30.09.2015
4. HAFTA
 Hipotez Testleri ve Temel Kavramlar
 İstatistik Hipotez ve İstatistik Hipotez Testi
 Hipotez Testlerinin Sınıflandırılması
 Hipotez Testlerinin Aşamaları
 Güven Düzeyi
 Hipotez Testlerinde İşlenen Hatalar
 Alfa ve Beta Hataları ile Testin Gücü.
30.09.2015
37
Hipotez Testi Türleri
 Parametrik Hipotez Testleri
– Aralık ve oran ölçekli değişkenler,
– Örneklem hacmi yeteri kadar büyükse ve
– Anakütleler normal dağılıma uyuyorsa kullanılabilmektedir.
 Parametrik Olmayan veya Dağılımı Serbest Hipotez Testleri
– Nominal (sınıflayıcı) ve ordinal (sıralayıcı) ölçekli değişkenler,
– Örneklem hacmi yeteri kadar büyük değilse,
– Anakütleler normal dağılmaması durumlarında kullanılmaktadır.
 Kavrama Soruları
– İstatistik hipotez nedir?
– İstatistik hipotez testlerinin amacı (konusu) nedir?
– İstatistik hipotezler neden doğru yada yanlış olabilir, açıklayınız?
– Benimsenen ölçeğe göre hipotez testleri nasıl sınıflandırılmaktadır?
– Değişkenlerin ölçek tipi metrik (aralık ve oran) ve metrik değilse (nominal ve ordinal)
hangi hipotez testleri kullanılmaktadır?
30.09.2015
38
19
30.09.2015
Tablo 1: Tek ve Çok Değişkenli Parametrik Hipotez Testlerinin Sınıflandırması
Değişken Sayısı=p
Grup Sayısı=g
30.09.2015
p=1
p>=1
g<=2
t‐Testi veya z‐Testi
Hostelling T2‐Testi
g>=2
F‐Testi (ANOVA)
Wilks Lamda Testi
39
Tablo 2: Parametrik ve Parametrik Olmayan Hipotez Testlerinin Karşılaştırması
K‐Örnek
İki Örnek
Tek Örnek
Ölçek Tipi Bağımsız (Unrelated/Independent) Örnekler
Bağımlı (Related/Dependent) Örnekler
 Tek‐Örnek t‐Testi (n<30)
Metrik
 Tek‐Örnek z‐Testi ( n≥30)
 Ki‐Kare Testi
 Kolmogorov‐Smirnov (K‐S)Tek Örnek Testi
 Wilcoxon İşaretli‐Sıra Testi
Ordinal
 Lilliefors Normallik Testi
 Akış Sayısı (Run) Testi
 Binom Testi
Nominal
 Ki‐Kare Uygunluk Testi  Bağımsız Örnekler İçin t‐Testi Metrik
 Bağımsız Örnekler İçin t Testi
 Ki‐Kare Testi
 Mann‐Whitney U‐Testi  Wilcoxon İşaretli‐Sıra Testi
 K‐S İki‐Örnek z‐Testi
 Sign Testi (Uygunluk Testi)
Ordinal
 Moses Aşırı Tepki Testi
 Marjinal Homojenlik Testi (McNemar Testinin Mültinomial  Wald‐Woldfowitz (W‐W) Akış Testi
Dağılım İçin Genelleştirilmiş Şekli)  Medyan Testi
Nominal  Ki‐Kare Testi (Bağımsızlık Testi)
 McNemar Testi
 Tek‐Yönlü ANOVA (F Testi: Üç veya Daha Çok Sayıda  Eşleştirilmiş İki‐Yönlü ANOVA (Two‐Way‐Within Subject Metrik
Ortalama veya İki‐Varyans)
ANOVA)
 Ki‐Kare Testi (Tek‐Varyans)
 Kruskal‐Wallis H Testi
 Medyan Testi
 Friedman Testi
Ordinal
 Jonckheere‐Terpstra (J‐T)Testi
 Kendall W Testi
 Ki‐Kare Testi
Nominal  Ki‐Kare Testi
 Cochran Q Testi (Sadece İki Sonuçlu)
30.09.2015
40
20
30.09.2015
Tablo 3: Hipotez Testlerinde İşlenen Hatalar
İstatistik Karar
Gerçek
Durum
H0 Doğru
H0 Yanlış
30.09.2015
H0 Kabul
H0 Red
Doğru Karar
Güven Düzeyi
(1‐α)
Yanlış Karar
I. Tip (α) Hata
(α)
Yanlış Karar
II.Tip (β) Hata
(β)
Doğru Karar
Testin Gücü
(1‐β)
41
Hipotez Testi Sürecinin Aşamaları
(1) Sıfır ve karşıt hipotezinin ifade edilmesi,
(2) Anlamlılık düzeyinin belirlenmesi,
(3) Anakütleden örneklemin çekilmesi (verilerin toplanması),
(4) Örneklem istatistiğinin standart tesadüfi değişkene dönüştürülmesi,
(5) İstatistik kararın verilmesi (Kabul veya Red),
(6) Probleme ilişkin kararın verilmesi
Kavrama Soruları
(1) Hipotez testlerinde test edilecek hipotez hangisidir?
(2) Hipotez testlerinin yönünü belirleyen hipotez hangisidir?
(3) Hipotez testlerinde işlenen hatalar (yorumlama hataları) nelerdir?
(4) Güven düzeyi, I.tip (alfa) hata, II.tip (beta) hata ve testin gücü kavramlarını açıklayınız? (5) Hipotez testlerinde işlenen hataları birlikte azaltmanın yolu nedir?
(6) I. ve II. tip hatalar aynı anda işlenebilir mi?
30.09.2015
42
21
30.09.2015
Parametrik Tek Anakütle Testleri
 Tek Anakütle ortalamasına ilişkin hipotez testleri
‐ Anakütle varyansının bilinmesi durumu
 Büyük örneklem testi (z‐testi)
 Küçük Örneklem testi (z‐testi)
‐ Anakütle varyansının bilinmemesi durumu
 Büyük örneklem testi (z‐testi)
 Küçük örneklem testi (t‐testi), (anakütle dağılımı normal).
 Parametrik olmayan testler (küçük örneklem hacmi ve anakütle normal dağılmıyorsa).
 Tek anakütle oranına ilişkin hipotez testleri (z‐testi)
 Tek anakütle varyansına ilişkin hipotez testleri (Ki‐Kare testi)
30.09.2015
43
Kavrama Soruları
(1) Parametrik hipotez testlerinde örneklem istatistiğinin uyduğu kuramsal
(matematik) dağılımın bilinmesi zorunlu mudur?
(2) Anakütle verileri üzerinde çalışılması durumunda hipotez testleri
uygulanıp uygulanamayacağını nedeniyle birlikte açıklayınız?
(3) Hipotez testlerinde nez aman z‐testi yerine t‐testi kullanılmaktadır?
(4) Anakütle oranına ilişkin bir hipotez sınamasında, test istatistiğinin
kullanılmasının koşulları nelerdir, belirtiniz?
(5) Anakütle varyansının veya standart sapmasının aralık tahmininde ve
hipotez sınamalarında hangi kuramsal dağılımdan yararlanılmaktadır?
(6) Ki‐kare, z ve t dağılımlarının özellikleri nelerdir, tartışınız?
30.09.2015
44
22
30.09.2015
5. HAFTA
 Tek‐Yönlü Varyans Analizi (One‐Way ANOVA)
 Tek‐Yönlü ANOVA Testinde Post Hoc Çoklu Karşılaştırma Testleri
30.09.2015
45
VARYANS ANALİZİ

Daha önce de belirtildiği gibi örneklem hacmine göre tek veya en çok iki anakütle ortalaması
arasındaki karşılaştırmalar t veya z testi ile araştırılabilmekteydi.

İkiden çok sayıda anakütleden çekilen örneklem ortalamaları arasındaki farklılıkların
istatistik olarak anlamlı olup olmadığı ise varyans analizi (F testi) ile araştırılmaktadır. F testi
iki anakütle ortalaması arasındaki farkın testlerinde de kullanılabilmekte ve t veya z
testleriyle aynı sonucu vermektedir. Fakat ikiden çok anakütle söz konusu olduğunda t veya z
testleri kullanılamamaktadır.

Burada ikiden çok sayıdaki grup ortalamaları arasındaki farkların ikişerli gruplar halinde t ve
z testleriyle de araştırılabileceği akla gelebilir. Bu durumda iki tür sorunla karşılaşılmaktadır.
Bunlar iadesiz kombinasyon sayısı kadar testi ayrı ayrı test etmek ve bunun bir sonucu olarak
test edilecek grup sayısı (k) arttıkça I. tip (alfa) hata yapma olasılığının yükselmesidir. Örneğin
3 gruplu bir anakütle için 3 ayrı ikişerli test, 4 gruplu bir anakütle için ise 6 ayrı ikişerli
hipotez testi söz konusu olur. Bu durumda bu testlerden en az bir veya daha fazlasında sıfır
hipotezinin yanlışlıkla reddedilmesi olasılığı %5 anlamlılık düzeyinde sırasıyla %14,3 ve
%26,5 olur. Bu olasılıklar aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.
P (k  1)   f  1  (1   ) k  1  GAk
30.09.2015
46
23
30.09.2015
 Yukarıda sözü edilen sakıncaları ortadan kaldırmak için varyans analizi geliştirilmiştir.
 Varsayımlar: Tek‐yönlü varyans analizinin uygulanabilmesi için bağımlı değişkenin sürekli bir değişken
olmalıdır. Ayrıca örneklemlerin çekildiği anakütlelerin (her grup için) normal, grup varyanslarının sabit
ve grupların birbirinden bağımsız olması gerekmektedir. Her grup, anakütlesinden basit tesadüfi
örnekleme yöntemiyle seçilmelidir. F testinin geçerliliği özellikle grup varyansların sabit olması
varsayımının sağlanmış olmasına bağlıdır.
 Tek değişkenli varyans analizinde (ANOVA) kullanılan faktör sayısına göre tek‐yönlü, iki‐yönlü ve n‐
yönlü varyans analizleri uygulanabilmektedir.
 Tek‐Yönlü ANOVA: Bir metrik bağımlı değişken ve bir bağımsız değişken (faktör).
 İki‐Yönlü ANOVA: Bir metrik bağımlı değişken ve iki bağımsız değişken (iki faktör).
 N‐Yönlü ANOVA: Bir metrik bağımlı değişken ve n sayıda bağımsız değişken (n sayıda faktör).
 İki veya daha çok (iki‐yönlü ve n‐yönlü) yönlü varyans analizlerinde faktörlerin birbirini etkileyip
etkilememe durumuna göre de ayrıca ikiye ayrılmaktadır.
 Çok Değişkenli Varyans Analizinde (MANOVA) ise iki veya daha çok sayıda bağımlı metrik değişken ile
bir veya daha çok sayıda bağımsız değişken (faktör) eşzamanlı olarak test edilmektedir.
 Kovaryans Analizinde (ANCOVA) ise bağımsız değişkenler arasında kukla değişkenler dahil metrik
ölçekli değişkenler kullanılabilmektedir. Diğer bir anlatımla ANCOVA analizi ANOVA ve Regresyon
analizlerinin bir bileşimidir.
30.09.2015
47
 Tek‐yönlü varyans analizi formülleri aşağıdaki tabloda sunulan verilerle açıklanabilir.
Grup Sayısı=k (Bloklar=Anakütle Grupları)
Birim
Değerleri
1
2
3
1
X 11
X 12
X 13
2
X 21
X 22
X 23




n
X n1
X n2
n
n
Toplam
X
Ortalama
X1
30.09.2015
i 1
i1
X
i 1
X2
X n3
n
i2
X
i 1
X3
i3







k
Toplam
X 1k
k
X
j 1
k
X 2k  X
j 1

X nk
X
i 1

X
j 1
n
n
ik
2j
k
nj
k
 X
i 1 j 1
Xk
1j
ij
X
48
24
Toplam Değişim
30.09.2015
Sütunlar Arası Değişim (Gruplararası Değişim)
Satırlar Arası Değişim
(Grupiçi Değişimler)
Genel Kareler Toplamı/GKT
Sütunlararası Kareler Toplamı/SÜAKT Satırlararası Kareler Toplamı/SAKT (TSS=Total Sum of Squares)
(SSC=Sum of Squares Between Columns)
(SSR=Sum of Squares Between Rows)
 
n
k
i 1 j 1
X ij  X

2

k
  nj X j  X
j 1

2
k
n
   X ij  X j 
2
j 1 i 1
Burada;
n
X j   X ij / n j her bir grubun ortalamasını ve
i 1
k
n
k
X   X ij /  n j tüm birimlerin ortalamasıdır.
j 1 i 1
30.09.2015
j 1
49
 F İstatistiği ise aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:
F
Gruplararası Varyans  b2
 2
w
Gruplariçi Varyans

k
 b2   n j X j  X
j 1
k
n

2
/  k  1

k


j 1

 w2    X ij  X j  /   n j  k 
2
j 1 i 1
 Varyans analizinde bir bağımlı değişken üzerinde ölçülmüş k sayıda grup için sıfır ve
karşıt (araştırma) hipotezler aşağıdaki gibi yazılmaktadır.
H 0 : 1   2  3     k
H1 : Tüm anakütle ortalamaları birbirine eşit değildir. Veya,
H1 : Anakütle ortalamalarından en az biri diğerlerinden farklıdır.
30.09.2015
50
25
30.09.2015
ANOVA (VARYANS ANALİZİ) TABLOSU
Değişkenlik
Kaynağı
Açıklanan
Varyans
Kareler Toplamı (SS)
k
n
j 1
k
j
X
j
X
n
Hata Varyansı
  X
Toplam Varyans
  X
j 1 i 1
n
Serbestlik
Derecesi (df)
ij
k
i 1 j 1
ij

2
Xj
X
2

k
j 1
k
j 1

 b2   n j X j  X
k-1
n
Kareler
Ortalaması (MS)
j
k
k
n

F Değeri
(İstatistiği)
2
/  k  1
F

k


j 1

 w2    X ij  X j  /   n j  k 
j 1 i 1
2
 b2
 w2
2
k
n
j 1
j
1
 Kritik F‐Değerinden Yararlanarak Karar Vermek:
Hesaplanan F istatistiği, belirli anlamlılık düzeyindeki kritik F değerinden küçükse
sıfır hipotezi (H0) kabul edilir.
Hesaplanan F istatistiği, belirli anlamlılık düzeyindeki kritik F değerinden büyükse
sıfır hipotezi (H0) reddedilir.
df1=sd1=k‐1 ve df2=sd2=n‐k’dır.
30.09.2015
51
 p‐İstatistiğinden Yararlanarak Karar Vermek:
 Hesaplanan p‐istatistiği, alfa anlamlılık düzeyinden büyükse sıfır hipotezi (H0) kabul edilir.
 Hesaplanan p‐istatistiği, alfa anlamlılık düzeyinden küçükse sıfır hipotezi (H0) reddedilir.
 SPSS gibi modern istatistik paket programları istatistiklere ait p‐değerlerini raporladığından F
tablosundan kritik değerlere bakılmasına gerek yoktur.
 Yukarıda belirtilen serbestlik dereceleri Tek‐Yönlü Varyans Analizi (One‐Way ANOVA) için
geçerlidir. İki‐Yönlü Varyans analizinde kullanılan serbestlik derecelerine ileride değinilmektedir.
 Çok Değişkenli Varyans (MANOVA) analizinde iki veya daha çok (p) sayıda bağımlı değişkenin
grup ortalamalar vektörü eşzamanlı olarak test edilmektedir. İlgili hipotezler aşağıdaki gibidir.
 ANOVA analizinde her bir bağımlı değişken birbirinden bağımsız olarak test edilir. Fakat bağımlı
değişkenler birbiriyle ilişki olması halinde ANOVA yanlış sonuçlar sağlar. Bu durumda MANOVA
analizi kullanılarak bağımlı değişkelerin grup ortalamaları eşzamanlı olarak test edilir.
 1 p 
 11   12 


   


 2 p 
H 0 :  21    22     
   
 


   
 kp 
 k 1   k 2 
H1 : Grup ortalamalarından en az birisi (ij ) diğerlerinden farklıdır.
30.09.2015
52
26
30.09.2015
Örnek 1 (ANOVA): Bir işletmede üretim üç fabrikada gerçekleştirilmektedir.
Bu fabrikalarda işçilerin, saatte ürettikleri parça sayısı olarak hesaplanan emek
verimliliğinin aynı olup olmadığını araştırmak üzere her üç fabrikadan tesadüfi
olarak beşer işçi seçilmiş ve saatte ürettikleri ortalama parça sayısı
belirlenmiştir. %1 anlamlılık düzeyinde üç fabrikada emek verimliliğinin aynı
olduğu söylenebilir mi (Orhunbilge, 2000:182‐185)?
Emek Verimliliği
İşçiler
I. Fabrika
II. Fabrika
III. Fabrika
1
2
3
4
5
15
10
9
5
16
15
10
12
11
12
19
12
16
16
17
Toplam
55
60
80
Ortalama
11
12
16
30.09.2015
53
ÇÖZÜM
H 0 : 1   2  3
H1 : Fabrikalardan en az birinde ortalama emek verimliliği farklıdır.
F
 b2
35

 3, 44
 w2 10,17
F , f 1, f 2  F ,k 1,nk  F%1,2,12  6,93  3, 44 olduğundan H 0 kabul edilir ( F%5,2,12  3,89).
55  60  80 195
11  12  16 39

 13 veya n j =5 olduğundan X 

 13
15
15
3
3
k
2
 (11  13) 2  (12  13) 2  (16  13)2  70
 b2   n j X j  X /  k  1  5. 
  2  35
3 1
j 1


X

k

n

k

j 1

 w2    X ij  X j  /   n j  k  
2
j 1 i 1

 (15  11)  (10  11)  (9  11)  (5  11) 2  (16  11) 2  
 
 
  (15  12) 2  (10  12) 2  (12  12) 2  (11  12) 2  (12  12)2   / 15  3  122  10,17.

 
12
  (19  16) 2  (12  16) 2  (16  16)2  (16  16) 2  (17  16) 2  

 
2
30.09.2015
2
2
54
27
30.09.2015
ÇÖZÜM (Devam)
Toplam (genel) varyans  2 , F testinde kullanılmadığından hesaplanmasına gerek yoktur.
Sadece işlemleri kontrol amacıyla kullanılmaktadır.
Toplam Varyans=Açıklanan Varyans+Hata Varyansı; 25=20+5 gibi.
k
n

 2   X ij  X j
j 1 i 1
 /   n
2
k
j 1
j

 1 


(15  13) 2  (10  13) 2  (9  13)2  (5  13) 2  (16  13) 2  


  (15  13) 2  (10  13) 2  (12  13) 2  (11  13)2  (12  13)2   / 15  1  192  13, 71.

 
14
  (19  13) 2  (12  13) 2  (16  13) 2  (16  13) 2  (17  13) 2  

 
ANOVA (VARYANS ANALİZİ) TABLOSU
Değişkenlik
Kaynağı
Kareler Toplamı (SS)
Serbestlik
Derecesi (df)
Kareler
Ortalaması (MS)
Açıklanan
Varyans
70
k‐1=2
35,00
Hata Varyansı
122
n‐k=12
10,17
Toplam Varyans
192
n‐1=14
13,71
30.09.2015
F İstatistiği
3,44
55
SPSS’ten Elde Edilen Sonuçlar Aşağıda Sunulmaktadır.
Test of Homogeneity of Variances
Levene
Statistic
2,667
Between Groups
Within Groups
Total
30.09.2015
df1
df2
2
Sum of
Squares
70,00
122,00
192,00
df
2,00
12,00
14,00
12
Mean Square
35,00
10,17
Sig.
,110
F
3,44
Sig.
,0658
56
28
30.09.2015
Örnek 2 (Tek‐Yönlü ANOVA): Bir bilgisayar kursunda uygulanan üç farklı öğretim
programının etkinliğini araştırmak amacıyla kursa katılan 18 öğrenci 3 gruptan birine
atanmıştır. Gruplara göre öğrencilerin dağılımı ve başarı puanları aşağıdaki tabloda
verilmiştir. Kurs yöneticisi üç farklı programın aynı düzeyde etkin olup olmadığını
araştırmak istemektedir (Webster, 1995:547).
Öğrenci
1. Program
2. Program
3. Program
1
2
3
4
5
6
78
79
85
84
83
82
87
90
89
79
84
85
91
90
78
79
88
91
 Çözüm: Hipotez sınamasında eşzamanlı olarak test edilecek grup sayısı 3
olduğundan ANOVA analizi kullanılması gerekmektedir.
Test of Homogeneity of Variances
Robust Tests of Equality of Means
Y Test Sonucu
Levene
Statistic
3,317
30.09.2015
Y Test Sonucu
a
df1
2
df2
15
Welch
Brown-Forsythe
Sig.
,064
Statistic
2,372
1,681
df1
2
2
df2
9,236
10,987
Sig.
,147
,231
a. Asymptotically F distributed.
57
ANOVA
Y Test Sonucu
Between Groups
Within Groups
Total
Sum of
Squares
67,444
301,000
368,444
df
2
15
17
Mean Square
33,722
20,067
F
1,681
Sig.
,220
 Çözüm: ANOVA testinde H0
hipotezi
kabul
edildiğinde,
anakütle ortalamaları arasında
anlamlı bir farkın olmadığı, bir
fark varsa bile bu farkın
tesadüflere atfedilebilecek kadar
önemsiz olduğuna karar verilmiş
olmaktadır. Diğer bir anlatımla
anakütleler incelenen özellik
(faktör) yönünden bir farklılık
göstermemektedir.
30.09.2015
58
29
30.09.2015
Örnek 3 (Tek‐Yönlü ANOVA) ve Çoklu Karşılaştırma (Post Hoc): Aşağıda 4 grup bazında toplam 28
birim üzerinde ölçülmüş veriler verilmektedir. Hangi grubun ortalaması diğerlerinden farklıdır,
araştırınız (Webster, 1995:555)?
Kar
Sektör
1,3
1,5
0,9
1,0
1,9
1,5
2,1
1,9
1,9
2,1
2,4
2,1
3,1
2,5
3,6
4,2
4,5
4,8
3,9
4,1
5,1
5,1
4,9
5,6
4,8
3,8
5,1
4,8
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
30.09.2015
Kar
Levene
Statistic
,136
df1
df2
3
24
Sig.
,938
Kar
Between Groups
Within Groups
Total
Sum of
Squares
55,333
5,669
61,001
df
3
24
27
Mean Square
18,444
,236
F
78,090
Sig.
,000
Çözüm: H0 hipotezi %5
anlamlılık
düzeyinde
reddedilir. İşletmelerin
karlılık
düzeyleri
sektörlere göre farklıdır.
59
Multiple Comparisons
Dependent Variable: Kar
Tukey HSD
(I) Sektör
1
2
3
4
(J) Sektör
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
Mean
Difference
(I-J)
-,8286*
-2,8571*
-3,4143*
,8286*
-2,0286*
-2,5857*
2,8571*
2,0286*
-,5571
3,4143*
2,5857*
,5571
Std. Error
,2598
,2598
,2598
,2598
,2598
,2598
,2598
,2598
,2598
,2598
,2598
,2598
Sig.
,019
,000
,000
,019
,000
,000
,000
,000
,168
,000
,000
,168
95% Confidence Interval
Lower Bound Upper Bound
-1,545
-,112
-3,574
-2,141
-4,131
-2,698
,112
1,545
-2,745
-1,312
-3,302
-1,869
2,141
3,574
1,312
2,745
-1,274
,159
2,698
4,131
1,869
3,302
-,159
1,274
*. The mean difference is significant at the .05 level.
30.09.2015
60
30
30.09.2015
SPSS’TE ANOVA ANALİZLERİNDE KULLANILAN KARELER TOPLAMI
 I.Tip: Bu yöntem, kareler toplamının hiyerarşik ayrıştırılması yöntemi
olarak da bilinmektedir.
30.09.2015
61
ANOVA Analizinde Post Hoc (Çoklu Karşılaştırma ve Homojen Alt Grup) Testleri
 Genel Amaç ve Tanım: Varyans analizi sonucu sıfır hipotezi reddedilmesi
durumunda anakütle ortalamalarından en az birisinin diğer ortalamalardan farklı
olduğuna karar verilmiş olmaktadır. Bu durumda hangi anakütle ortalamalarının
farklı olduğunun araştırılması gerekmektedir. Bunu gerçekleştirmenin bir yolu k(k‐
1)/2 sayıdaki ortalama arasındaki farkların anlamlı olup olmadığı, örneklem
hacmine bağlı olarak, t veya z testi ile araştırılabilir. Karşılaştırılacak grup sayısı fazla
ise, ikişerli karşılaştırmalar güçleşmektedir. Bu durumda çoklu karşılaştırmalarda
kullanılan Post Hoc testlerinden yararlanılmaktadır.
 Çoklu Karşılaştırmalarda Dikkate Edilecek Hususlar: Çoklu karşılaştırmalar
kullanıldığı zaman aşağıdaki hususların dikkate alınması gerekmektedir.
– Tanımlama (Keşfetme) ve Karar Verme: Tanımlama amacıyla uygulanan
karşılaştırmalarda bağımlı değişkeni etkileyen temel faktörler birkaç karşılaştırma
yapılarak araştırılır.
Bu durumda elde karşılaştırılacak bir grup seti
bulunmamaktadır. Karar verme durumunda ise, hangi deneyin (grubun) daha
farklı (önemli) olduğuna karar verilmektedir. Bu duruma, bir araştırmada bir
litrelik benzine karıştırılan üç farklı katkı maddesinden hangisinin etkili ve etkisiz
olduğunun araştırılması örnek olarak verilebilir.
30.09.2015
62
31
30.09.2015
 Karşılaştırma Prosedürünün Seçimi: Burada iki hususun dikkate alınması gerekmektedir: (1)
Hangi karşılaştırmaların yapılacağı araştırmadan önce mi yoksa sonra mı bilinmek istenmektedir;
(2) tüm olası karşılaştırmalar mı yoksa birkaç karşılaştırma ile mi ilgilenilmektedir. Bu sorulara
verilecek cevaplar çoklu karşılaştırmalarda kullanılacak uygun prosedürün belirlenmesine yardım
etmektedir.
 Hata Oranları: (1) Tek Karşılaştırmalı Hata Oranı: Bu durumda bir hipotez sınamasıyla iki veya
daha çok sayıda grup ortalaması birlikte sınanmaktadır. Böyle bir teste doğru olan sıfır
hipotezinin reddedilmesi olasılığı α’ya eşittir. Bu test birkaç kez tekrarlanması durumunda her
teste birinci tip hata yapma olasılığı α dır. (2) Çoklu Karşılaştırmalı Hata Oranı: Bu durumda hata
oranı birbirinden bağımsız olarak uygulanan bir grup hipotez testine bağlıdır. Bu bir veya daha
çok sayıda I. tip hata yapmanın olasılığına eşittir. Bunu αf ile gösterirsek;
 f  1  1    =1-GA k 'dır.
k
Burada k ikişerli olarak karşılaştırılacak grup sayısını göstermektedir.
α
%1
%2
%5
%10
%20
30.09.2015
Yapılacak Karşılaştırma Sayısı (k)
2
3
5
10
20
0,020
0,040
0,098
0,190
0,360
0,030
0,059
0,143
0,271
0,488
0,049
0,096
0,226
0,410
0,672
0,096
0,183
0,401
0,651
0,893
0,182
0,332
0,642
0,878
0,988
63
Post Hoc (Çoklu Karşılaştırma ve Homojen Alt Grup) Testleri
 Tüm çoklu karşılaştırma testlerinde örneklemlerin birbirinden bağımsız, varyanslarının eşit ve
normal dağılıma uyduğu varsayılmaktadır. Ayrıca aksi belirtilmedikçe iki‐yönlü anlamlılık
testleri varsayılmaktadır. Formüllerde aşağıdaki simgeler kullanılmaktadır.
Yi  i. grubun ortalamasını,
ni  i. grubun örneklemhacmini,
s2  serbestlik dereceli hata kareleri ortalamasını,
k  bir faktör veya etkileşimiçin karşılaştırılacak grup sayısını göstermektedir.
 veya f çoklu karşılaştıma testi için tanımlanmaktadır.
Teste bağlı olarak, tekli veya çoklu karşılaştırma hata oranını gösterebilir.
Alfa %1 ile %10 aralığında değişebilir.
30.09.2015
64
32
30.09.2015
(1) Bonferroni
 Bu test çoklu karşılaştırmalı hata oranını kullanmaktadır.
 k sayıda ortalama ve tüm olası örneklem karşılaştırmalar için, karşılaştırmalı hata
oranı aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır. Gruplardan birisi kontrol grubu ise k‐1
sayıda grup için karşılaştırma yapılır. Bu durumda da istenen hata düzeyi aşağıdaki
ikinci formülle tanımlanmaktadır.
   f / (k (k  1))  [k sayıda grup için]
   f / (2(k  1))  [k-1 sayıda grup için]
 Çoklu karşılaştırmalarda anlamlılık testleri t dağılımına uymaktadır.
 Planlı tüm olası karşılaştırmalarda kullanılması önerilmektedir.
 Karşılaştırılacak grup sayısı az olduğu durumda çok güçlü sonuçlar vermektedir.
Yi  Y j
1 1
s2   
n n 
j 
 i
30.09.2015
 t ,
65
(2) Dunnet
 Eğer gruplardan birisi kontrol grubuysa, bu durumda k‐1 sayıda grup
karşılaştırılacaktır. Dunnet testinde çoklu karşılaştırmalı hata oranı esas
alınmaktadır.
 Gruplardan birisinin kontrol grubu olması durumunda kullanılması önerilmektedir.
 Her bir grup çifti için anlamlılık testleri “Studentized range” dağılımından
yararlanılarak aşağıdaki gibi yapılmaktadır.
 Bu tür problemlerde genellikle kontrol grubundan daha iyi veya daha kötü gruplar
araştırıldığı için, hem tek hem de çift yönlü anlamlılık testleri verilmektedir. Ayrıca
her bir grup ile kontrol grubu arasındaki farkın iki‐yönlü güven aralıkları da
hesaplanmaktadır.
Yi  Y j
1 1
s2   
n n 
j 
 i
30.09.2015
 q ,
66
33
30.09.2015
(3) LSD ve Fisher’in LSD (FSD)
 Bu testte tek karşılaştırmalı hata oranını esas alınmaktadır.
 Anlamlılık testleri ise aşağıdaki gibi t dağılımından yararlanarak yapılmaktadır. LSD
testinde γ=α/2 iken, FSD testinde γ=α/c’dir.
 Çoklu karşılaştırmalarda anlamlılık testleri t dağılımına uymaktadır.
Yi  Y j
1 1
s   
n n 
j 
 i
 t ,
2
30.09.2015
67
(4) Scheffe
 Bu testte çoklu karşılaştırmalı hata oranını esas alınmaktadır.
 Anlamlılık testleri ise aşağıdaki gibi yapılmaktadır.
 Çoklu karşılaştırmalarda anlamlılık testleri F dağılımına uymaktadır.
 Plansız tüm olası karşılaştırmalarda kullanılması önerilmektedir.
 Diğer testlere göre daha kötümser bir testtir. Yani anlamlı farklar elde edebilmek
için daha büyük grup ortalama farkları gerekmektedir.
Yi  Y j
1 1
s   
n n 
j 
 i
 (k  1) F ,k 1,
2
30.09.2015
68
34
30.09.2015
(5) Tukey‐Kramer
 Bu testte çoklu karşılaştırmalı hata oranını esas alınmaktadır.
 Anlamlılık testleri “Studentized range” dağılımından yararlanarak yapılmaktadır.
 Kötümser olarak nitelendirilebilecek bir testtir. Çünkü testin anlamlı çıkabilmesi için
iki ortalama arasındaki farkın çok büyük olması gerekmektedir. Anlamlılık testi
aşağıdaki gibi uygulanmaktadır:
 Planlı tüm olası karşılaştırmalarda kullanılması önerilmektedir.  Karşılaştırılacak grup sayısı fazla ise, güçlü sonuçlar vermektedir.
Yi  Y j
s2  1 1 
  
2  ni n j 
30.09.2015
 q ,k ,
69
6. HAFTA
 İki‐Yönlü Varyans Analizi (Two‐Way ANOVA)
 N‐Yönlü ANOVA (N‐Way ANOVA)
 Kovaryans Analizi (UNCOVA)
 Çok Değişkenli Varyans Analizi (MANOVA)
 Çok Değişkenli Kovaryans Analizi (MANCOVA)
 Sabit Varyans Testleri
 Varyans Oranı Testi
 Düzeltilmiş Levene Testi.
30.09.2015
70
35
30.09.2015
İki‐Yönlü Varyans Analizi
 İki‐Yönlü Varyans Analizinde bir sürekli bağımlı değişkenin grup ortalamaları
arasındaki farkların anlamlı olup olmadığı, iki faktör itibariyle eşzamanlı olarak
araştırılmaktadır.
 İki‐Yönlü Varyans Analizinde bağımsız değişken olarak kullanılan iki faktörün
birbiriyle etkileşimli olup olmamasına göre ikiye ayrılarak incelenebilir. Yani;
Yij    Ai  B j  e
(İki-Yönlü ANOVA)
Yij    Ai  B j  Ai * B j  e (Etkileşimli İki-Yönlü ANOVA)
Y  toplam etkiyi,
  genel ortalamayı,
A  A bağımsız değişkeninin etkisini,
B  B bağımsız değişkeninin etkisini,
A * B  A ve B bağımsız değişkenlerinin ortak etkisini ve
e  hata terimini göstermektedir.
30.09.2015
71
İki‐Yönlü Varyans Analizi Hipotezleri
Genel Model:
H 0 : 1  2    k
H1 : Ortalamalardan en az biri farklıdır.
A Bağımsız Değişkeni (Faktörü) için:
H 0 : A  0 A'nın etkisi sıfırdır.
H1 : A  0 A'nın etkisi sıfırdan farklıdır.
B Bağımsız Değişkeni (Faktörü) için:
H 0 : B  0 B'nin etkisi sıfırdır.
H1 : B  0 B'nin etkisi sıfırdan farklıdır.
A * B Bağımsız Faktörü için:
H0 : A * B  0
A*B'nin etkisi sıfırdır.
H1 : A * B  0
A*B'nin etkisi sıfırdan farklıdır.
30.09.2015
72
36
30.09.2015
İki‐Yönlü Varyans Analizi İçin Serbestlik Derecesi
 İki‐Yönlü Varyans analizinde birinci ve ikinci faktör ile genel model için üç farklı
serbestlik derecesi söz konusudur.
Sütun Değişkeni (A) İçin
DF1  (c  1)  (k  1) payın serbestlik derecesi.
DF 2  (c  1)(r  1)  (k  1)(n j  1) paydanın serbestlik derecesi.
Satır Değişkeni (B) İçin
DF1  (r  1)  (n j  1) payın serbestlik derecesi.
DF 2  (r  1)(c  1)  (n j  1)(k  1) paydanın serbestlik derecesi.
A ve B değişkenleri için r , satır sayısı (n j ); c, sütun sayısı (k ) dır.
Genel Model İçin (Etkileşimsiz)
DF1  (n  c  r  1)
DF 2  (r  1)(c  1)
Genel Model İçin (Etkileşimli)
DF1  n  cr (a  1)  1
DF 2  cr (a  1)
Toplam  n  1
Genel model için n, toplam birim sayısı; r , satır sayısı; c, sütun sayısı; a, her hücredeki birim saysıdır.
30.09.2015
73
Örnek 4 (İki‐Yönlü ANOVA=Etkileşimsiz): Bir işletme üç ayrı bilgisayar
modelinden birisini satın almak istemektedir. Sistem yöneticisi farklı deneyim
düzeylerine sahip 5 bilgisayar operatörünü seçerek sistemleri
değerlendirmelerini istenmiştir. Beş operatörden elde edilen sonuçlar
aşağıdaki tabloda verilmiştir (Webster, 1995:563).
Deneyim
Düzeyi
1
2
3
4
5
30.09.2015
1. Sistem
27
31
42
48
45
Bilgisayar Sistemleri
2. Sistem
3. Sistem
21
33
39
41
46
25
35
39
37
45
74
37
30.09.2015
Tes ts of Be tw ee n-Subje cts Effe cts
Dependent Variable: Y01
Sourc e
Correc ted Model
Intercept
A
B
Error
Total
Correc ted Total
Ty pe III Sum
of Squares
860,533a
20461,067
20,933
839,600
74,400
21396,000
934,933
df
6
1
2
4
8
15
14
Mean Square
143,422
20461,067
10,467
209,900
9,300
F
15,422
2200,115
1,125
22,570
Sig.
,001
,000
,371
,000
a. R Squared = ,920 (Adjusted R Squared = ,861)
Param e ter Estim ates
Dependent V ariable: Y 01
Parameter
Intercept
[A=1]
[A=2]
[A=3]
[B=1]
[B=2]
[B=3]
[B=4]
[B=5]
B
Std. Error
44,600
2,083
2,400
1,929
-,200
1,929
0a
.
-21,000
2,490
-12,333
2,490
-5,333
2,490
-3,333
2,490
0a
.
t
21,409
1,244
-,104
.
-8,434
-4,953
-2,142
-1,339
.
Sig.
,000
,249
,920
.
,000
,001
,065
,217
.
95% Conf idence Interv al
Low er Bound Upper Bound
39,796
49,404
-2,048
6,848
-4,648
4,248
.
.
-26,742
-15,258
-18,075
-6,591
-11,075
,409
-9,075
2,409
.
.
a. This parameter is set to zero because it is redundant.
30.09.2015
75
1. Bilgis ayar Sis te m i
Dependent Variable: Y01
Bilgis ayar Sistemi
1
2
3
Mean
38,600
36,000
36,200
Std. Error
1,364
1,364
1,364
95% Conf idence Interval
35,455
41,745
32,855
39,145
33,055
39,345
2. De neyim Düze yi
Dependent Variable: Y 01
Deneyim Düzeyi
1
2
3
4
5
30.09.2015
Mean
24,333
33,000
40,000
42,000
45,333
Std. Error
1,761
1,761
1,761
1,761
1,761
20,273
28,393
28,940
37,060
35,940
44,060
37,940
46,060
41,273
49,393
76
38
30.09.2015
3. Grand Me an
Mean
36,933
Std. Error
,787
35,118
38,749
Multiple Com parisons
Bonf erroni
(I) Bilgis ayar Sistemi
1
2
3
(J) Bilgisayar Sis temi
2
3
1
3
1
2
Mean
Dif f erence
(I-J)
2,60
2,40
-2,60
-,20
-2,40
,20
Std. Error
1,929
1,929
1,929
1,929
1,929
1,929
Sig.
,644
,746
,644
1,000
,746
1,000
-3,22
8,42
-3,42
8,22
-8,42
3,22
-6,02
5,62
-8,22
3,42
-5,62
6,02
Based on observed means.
30.09.2015
77
Dependent V ariable: Y 01
Bonf erroni
(I) Deneyim Düz eyi
1
2
3
4
5
(J) Deney im Düzeyi
2
3
4
5
1
3
4
5
1
2
4
5
1
2
3
5
1
2
3
4
Mean
Dif f erence
(I-J)
-8,67
-15,67*
-17,67*
-21,00*
8,67
-7,00
-9,00
-12,33*
15,67*
7,00
-2,00
-5,33
17,67*
9,00
2,00
-3,33
21,00*
12,33*
5,33
3,33
Std. Error
2,490
2,490
2,490
2,490
2,490
2,490
2,490
2,490
2,490
2,490
2,490
2,490
2,490
2,490
2,490
2,490
2,490
2,490
2,490
2,490
Sig.
,083
,002
,001
,000
,083
,228
,068
,011
,002
,228
1,000
,646
,001
,068
1,000
1,000
,000
,011
,646
1,000
-18,21
,88
-25,21
-6,12
-27,21
-8,12
-30,54
-11,46
-,88
18,21
-16,54
2,54
-18,54
,54
-21,88
-2,79
6,12
25,21
-2,54
16,54
-11,54
7,54
-14,88
4,21
8,12
27,21
-,54
18,54
-7,54
11,54
-12,88
6,21
11,46
30,54
2,79
21,88
-4,21
14,88
-6,21
12,88
*. The mean dif f erenc e is s ignif icant at the ,05 lev el.
30.09.2015
78
39
30.09.2015
Örnek 5 (İki‐Yönlü ANOVA=Etkileşimli): Bir önceki problemde yöneticinin
bilgisayar sitemlerini seçmede ikinci bir farklı deneyim düzeylerine sahip beş
kişilik bilgisayar operatöründen veri topladığını varsayalım. İki ayrı beş kişilik
bilgisayar operatörü grubundan elde edilen sonuçlar aşağıdaki tabloda
verilmiştir (Webster, 1995:563).
Bilgisayar Sistemleri
1.
Sistem
2. Sistem
3. Sistem
Deneyim
Düzeyi
1. Grup
2.Grup
1. Grup
2.Grup
1. Grup
2.Grup
1
2
3
4
5
27
31
42
48
45
28
32
43
39
46
21
33
39
41
46
22
34
40
42
47
25
35
39
37
45
26
36
40
38
46
30.09.2015
79
2. Bilgis ayar Sis te m i
Dependent Variable: Verim
Bilgis ayar Sistemi
1
2
3
Mean
38,100
36,500
36,700
Std. Error
,563
,563
,563
36,901
39,299
35,301
37,699
35,501
37,899
3. De neyim Düze yi
Dependent Variable: V erim
Deneyim Düzeyi
1
2
3
4
5
Mean
24,833
33,500
40,500
40,833
45,833
Std. Error
,726
,726
,726
,726
,726
23,285
26,382
31,952
35,048
38,952
42,048
39,285
42,382
44,285
47,382
1. Grand Me an
Dependent Variable: V erim
Mean
37,100
30.09.2015
Std. Error
,325
36,408
37,792
80
40
30.09.2015
4. De neyim Düze yi * Bilgis ayar Sis tem i
Dependent V ariable: V erim
Deneyim Düz eyi
1
2
3
4
5
30.09.2015
Bilgis ay ar Sistemi
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Mean
27,500
21,500
25,500
31,500
33,500
35,500
42,500
39,500
39,500
43,500
41,500
37,500
45,500
46,500
45,500
Std. Error
1,258
1,258
1,258
1,258
1,258
1,258
1,258
1,258
1,258
1,258
1,258
1,258
1,258
1,258
1,258
24,818
30,182
18,818
24,182
22,818
28,182
28,818
34,182
30,818
36,182
32,818
38,182
39,818
45,182
36,818
42,182
36,818
42,182
40,818
46,182
38,818
44,182
34,818
40,182
42,818
48,182
43,818
49,182
42,818
48,182
81
Tes ts of Be tw ee n-Subje cts Effects
Sourc e
Correc ted Model
Intercept
Sistem
Deneyim
Sistem * Deney im
Error
Total
Correc ted Total
Ty pe III Sum
of Squares
1695,200a
41292,300
15,200
1591,200
88,800
47,500
43035,000
1742,700
df
14
1
2
4
8
15
30
29
Mean Square
F
121,086
38,238
41292,300 13039,674
7,600
2,400
397,800
125,621
11,100
3,505
3,167
Sig.
,000
,000
,125
,000
,017
a. R Squared = ,973 (A djus ted R Squared = ,947)
Dependent Variable: Verim
Bonf erroni
(I) Bilgis ayar Sistemi
1
2
3
(J) Bilgisayar Sis temi
2
3
1
3
1
2
Mean
Dif f erence
(I-J)
1,60
1,40
-1,60
-,20
-1,40
,20
Std. Error
,796
,796
,796
,796
,796
,796
Sig.
,188
,297
,188
1,000
,297
1,000
-,54
3,74
-,74
3,54
-3,74
,54
-2,34
1,94
-3,54
,74
-1,94
2,34
30.09.2015
82
41
30.09.2015
Bonf erroni
(I) Deneyim Düz eyi
1
2
3
4
5
(J) Deney im Düzeyi
2
3
4
5
1
3
4
5
1
2
4
5
1
2
3
5
1
2
3
4
Mean
Dif f erence
Std. Error
(I-J)
-8,67*
1,027
-15,67*
1,027
-16,00*
1,027
-21,00*
1,027
8,67*
1,027
-7,00*
1,027
-7,33*
1,027
-12,33*
1,027
15,67*
1,027
7,00*
1,027
-,33
1,027
-5,33*
1,027
16,00*
1,027
7,33*
1,027
,33
1,027
-5,00*
1,027
21,00*
1,027
12,33*
1,027
5,33*
1,027
5,00*
1,027
Sig.
,000
,000
,000
,000
,000
,000
,000
,000
,000
,000
1,000
,001
,000
,000
1,000
,002
,000
,000
,001
,002
-12,04
-5,29
-19,04
-12,29
-19,38
-12,62
-24,38
-17,62
5,29
12,04
-10,38
-3,62
-10,71
-3,96
-15,71
-8,96
12,29
19,04
3,62
10,38
-3,71
3,04
-8,71
-1,96
12,62
19,38
3,96
10,71
-3,04
3,71
-8,38
-1,62
17,62
24,38
8,96
15,71
1,96
8,71
1,62
8,38
*. The mean dif f erenc e is s ignif icant at the ,05 lev el.
30.09.2015
83
ÖRNEK 6 (ANOVA, MANOVA, ANCOVA, MANCOVA): “Air Travel” dergisinin editörü üç havayolu şirketi için bir
memnuniyet araştırması yapmak istemektedir. Bu amaçla tesadüfi olarak seçilen 20 yolcu üç havayolu şirketini
(Onur, Delta ve THY) 1‐100 aralığında verilen puanlarla değerlendirmiştir. Değerlendirmeler birer hafta arayla
üç kez tekrar edilerek (ölçüm 1=Y01, ölçüm 2=Y02 ve ölçüm 3=Y03) gerçekleştirilmiştir. Araştırmacı üç havayolu
şirketi ile ilgili yapılan üç farklı değerlendirmenin birbirinden farklı olup olmadığını bilmek istemektedir (Cooper,
1995:459)? Not: A, Havayolu Şirketi (Onur=1, Delta=2 ve THY=3) ve B, Konfor Sınıfıdır (Ekonomik=1, Lüks=2).
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Y01 40 28 36 32 60 12 32 36 44 36 40 68 20 33 65 40 51 25 37 44 30.09.2015
Y02 36 28 30 28 40 14 26 30 38 35 42 49 24 35 40 36 29 24 23 41 Y03 10 20 30 50 40 80 20 30 45 50 60 30 70 90 30 40 50 60 30 50 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 No
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Y01
56
48
64
56
28
32
42
40
61
58
52
70
73
72
73
71
55
68
81
78
Y02
67
58
78
68
69
74
55
55
80
78
65
80
79
88
89
72
58
67
85
80
Y03
60
53
80
90
20
53
40
45
70
60
40
70
76
80
80
80
60
80
40
30
A
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
B
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
No
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
Y01
92
56
64
72
48
52
64
68
76
56
88
79
92
88
73
68
81
95
68
78
Y02
95
60
70
78
65
70
79
81
69
78
92
85
94
93
90
67
85
95
67
83
Y03
20
60
70
50
60
70
90
70
50
40
90
80
30
50
40
30
80
90
30
40
A 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Prof. Dr. Ali S. ALBAYRAK, RTEÜ SBE İşletme Anabilim Dalı ISL5001 Araştırma Yöntemleri‐I Ders Materyali
B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 84
42
30.09.2015
A veya B Faktörü ile Tek‐Yönlü ANOVA Sonuçları
ANOVA (A=Havayolu Şirketi)
Y01 Birinci Dğerleme
Y02 İkinci Dğerleme
Y03 Üçüncü Dğerleme
Between Groups
Within Groups
Total
Between Groups
Within Groups
Total
Between Groups
Within Groups
Total
Sum of
Squares
11644,033
11724,550
23368,583
25945,233
5833,750
31778,983
2886,633
24860,300
27746,933
df
2
57
59
2
57
59
2
57
59
Mean Square
5822,017
205,694
F
28,304
Sig.
,000
12972,617
102,346
126,752
,000
1443,317
436,146
3,309
,044
ANOVA (B=Hizmet Sınıfı)
30.09.2015
Between Groups
Within Groups
Total
Between Groups
Within Groups
Total
Between Groups
Within Groups
Total
Sum of
Squares
3182,817
20185,767
23368,583
843,750
30935,233
31778,983
540,000
27206,933
27746,933
df
1
58
59
1
58
59
1
58
59
Mean Square
3182,817
348,030
F
9,145
Sig.
,004
843,750
533,366
1,582
,214
540,000
469,085
1,151
,288
85
Bonferroni
Dependent Variable
(I) A Havayolu Şirkeki
1 Onur
2 Delta
3 THY
1 Onur
2 Delta
3 THY
1 Onur
2 Delta
3 THY
(J) A Havayolu Şirkeki
2 Delta
3 THY
1 Onur
3 THY
1 Onur
2 Delta
2 Delta
3 THY
1 Onur
3 THY
1 Onur
2 Delta
2 Delta
3 THY
1 Onur
3 THY
1 Onur
2 Delta
Mean
Difference
(I-J)
-19,950*
-33,950*
19,950*
-14,000*
33,950*
14,000*
-39,850*
-47,400*
39,850*
-7,550
47,400*
7,550
-16,100
-12,750
16,100
3,350
12,750
-3,350
Std. Error
4,535
4,535
4,535
4,535
4,535
4,535
3,199
3,199
3,199
3,199
3,199
3,199
6,604
6,604
6,604
6,604
6,604
6,604
Sig.
,000
,000
,000
,009
,000
,009
,000
,000
,000
,065
,000
,065
,054
,176
,054
1,000
,176
1,000
-31,14
-8,76
-45,14
-22,76
8,76
31,14
-25,19
-2,81
22,76
45,14
2,81
25,19
-47,74
-31,96
-55,29
-39,51
31,96
47,74
-15,44
,34
39,51
55,29
-,34
15,44
-32,39
,19
-29,04
3,54
-,19
32,39
-12,94
19,64
-3,54
29,04
-19,64
12,94
*. The mean difference is significant at the .05 level.
30.09.2015
86
43
30.09.2015
A ve B Faktörü ile İki‐Yönlü ANOVA Sonuçları
Between-Subjects Factors
A Havayolu Şirkeki
B Hizmet Sınıfı
Value Label
Onur
Delta
THY
Ekonomik
Sınıf
Lüks Sınıf
1
2
3
1
2
N
20
20
20
30
30
Tests of Between-Subjects Effects
Dependent Variable: Y01 Birinci Hafta
Source
Corrected Model
Intercept
A
B
A*B
Error
Total
Corrected Total
Type III Sum
of Squares
15343,883a
194370,417
11644,033
3182,817
517,033
8024,700
217739,000
23368,583
df
5
1
2
1
2
54
60
59
Mean Square
3068,777
194370,417
5822,017
3182,817
258,517
148,606
F
20,650
1307,962
39,178
21,418
1,740
Sig.
,000
,000
,000
,000
,185
30.09.2015
87
Dependent Variable: Y02 II. Hafta
Source
Corrected Model
Intercept
A
B
A*B
Error
Total
Corrected Total
Type III Sum
of Squares
26907,283a
226812,017
25945,233
843,750
118,300
4871,700
258591,000
31778,983
df
5
1
2
1
2
54
60
59
Mean Square
5381,457
226812,017
12972,617
843,750
59,150
90,217
F
59,650
2514,081
143,794
9,352
,656
Sig.
,000
,000
,000
,003
,523
F
1,835
396,379
3,286
1,229
,686
Sig.
,122
,000
,045
,272
,508
Dependent Variable: Y03 III. Hafta
Source
Corrected Model
Intercept
A
B
A*B
Error
Total
Corrected Total
Type III Sum
of Squares
4029,133a
174097,067
2886,633
540,000
602,500
23717,800
201844,000
27746,933
df
5
1
2
1
2
54
60
59
Mean Square
805,827
174097,067
1443,317
540,000
301,250
439,219
30.09.2015
88
44
30.09.2015
Çoklu Karşılaştırma Sonuçları
Dependent Variable: Y01 Birinci Hafta
Bonferroni
(I) Havayolu Şirketi
1 Onur
2 Delta
3 THY
(J) Havayolu Şirketi
2 Delta
3 THY
1 Onur
3 THY
1 Onur
2 Delta
Mean
Difference
(I-J)
-19,95*
-33,95*
19,95*
-14,00*
33,95*
14,00*
Std. Error
3,855
3,855
3,855
3,855
3,855
3,855
Sig.
,000
,000
,000
,002
,000
,002
-29,47
-10,43
-43,47
-24,43
10,43
29,47
-23,52
-4,48
24,43
43,47
4,48
23,52
*. The mean difference is significant at the ,05 level.
Dependent Variable: Y02 II. Hafta
Bonferroni
1 Onur
2 Delta
3 THY
2 Delta
3 THY
1 Onur
3 THY
1 Onur
2 Delta
Mean
Difference
(I-J)
-39,85*
-47,40*
39,85*
-7,55*
47,40*
7,55*
Std. Error
3,004
3,004
3,004
3,004
3,004
3,004
Sig.
,000
,000
,000
,045
,000
,045
-47,27
-32,43
-54,82
-39,98
32,43
47,27
-14,97
-,13
39,98
54,82
,13
14,97
30.09.2015
89
Dependent Variable: Y03 III. Hafta
Bonferroni
1 Onur
2 Delta
3 THY
2 Delta
3 THY
1 Onur
3 THY
1 Onur
2 Delta
Mean
Difference
(I-J)
-16,10
-12,75
16,10
3,35
12,75
-3,35
Std. Error
6,627
6,627
6,627
6,627
6,627
6,627
Sig.
,055
,179
,055
1,000
,179
1,000
-32,48
,28
-29,13
3,63
-,28
32,48
-13,03
19,73
-3,63
29,13
-19,73
13,03
30.09.2015
90
45
30.09.2015
d
M ultivariate Te sts
Ef fect
Intercept
A
B
A *B
Pillai's Trace
Wilks ' Lambda
Hotelling's Trac e
Roy's Larges t Root
Pillai's Trace
Wilks ' Lambda
Hotelling's Trac e
Roy's Larges t Root
Pillai's Trace
Wilks ' Lambda
Hotelling's Trac e
Roy's Larges t Root
Pillai's Trace
Wilks ' Lambda
Hotelling's Trac e
Roy's Larges t Root
Value
,981
,019
52,933
52,933
1,021
,122
6,049
5,849
,305
,695
,439
,439
,111
,892
,118
,078
F
Hypothes is df
917,513b
3,000
917,513b
3,000
b
917,513
3,000
b
917,513
3,000
18,429
6,000
32,371 b
6,000
51,419
6,000
c
103,326
3,000
7,610b
3,000
7,610b
3,000
b
7,610
3,000
b
7,610
3,000
1,039
6,000
1,023b
6,000
1,006
6,000
c
1,384
3,000
Error df
52,000
52,000
52,000
52,000
106,000
104,000
102,000
53,000
52,000
52,000
52,000
52,000
106,000
104,000
102,000
53,000
Sig.
,000
,000
,000
,000
,000
,000
,000
,000
,000
,000
,000
,000
,404
,415
,426
,258
Partial Eta
Squared
,981
,981
,981
,981
,511
,651
,752
,854
,305
,305
,305
,305
,056
,056
,056
,073
Nonc ent.
Parameter
2752,540
2752,540
2752,540
2752,540
110,575
194,228
308,515
309,978
22,830
22,830
22,830
22,830
6,236
6,136
6,036
4,153
Obs erved
a
Pow er
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
,981
,981
,981
,981
,395
,388
,382
,347
a. Computed us ing alpha = ,05
b. Ex ac t statistic
c. The statis tic is an upper bound on F that y ields a low er bound on the signif ic anc e level.
d. Design: Intercept+A +B+A * B
30.09.2015
91
Tes ts of Be tw ee n-Subje cts Effects
Sourc e
Correc ted Model
Intercept
A
B
A *B
Error
Total
Correc ted Total
Dependent V ariable
Y01
Y02
Y03
Y01
Y02
Y03
Y01
Y02
Y03
Y01
Y02
Y03
Y01
Y02
Y03
Y01
Y02
Y03
Y01
Y02
Y03
Y01
Y02
Y03
Ty pe III Sum
of Squares
15343,883 b
26907,283 c
4094,083d
194370,417
226812,017
175068,017
11644,033
25945,233
3006,033
3182,817
843,750
487,350
517,033
118,300
600,700
8024,700
4871,700
23122,900
217739,000
258591,000
202285,000
23368,583
31778,983
27216,983
df
5
5
5
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
54
54
54
60
60
60
59
59
59
Mean Square
3068,777
5381,457
818,817
194370,417
226812,017
175068,017
5822,017
12972,617
1503,017
3182,817
843,750
487,350
258,517
59,150
300,350
148,606
90,217
428,202
F
20,650
59,650
1,912
1307,962
2514,081
408,845
39,178
143,794
3,510
21,418
9,352
1,138
1,740
,656
,701
Sig.
,000
,000
,107
,000
,000
,000
,000
,000
,037
,000
,003
,291
,185
,523
,500
Partial Eta
Squared
,657
,847
,150
,960
,979
,883
,592
,842
,115
,284
,148
,021
,061
,024
,025
Nonc ent.
Parameter
103,252
298,252
9,561
1307,962
2514,081
408,845
78,355
287,588
7,020
21,418
9,352
1,138
3,479
1,311
1,403
Obs erved
a
Pow er
1,000
1,000
,603
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
,631
,995
,852
,182
,349
,154
,162
a. Computed us ing alpha = ,05
b. R Squared = ,657 (A djusted R Squared = ,625)
c. R Squared = ,847 (Adjusted R Squared = ,833)
d. R Squared = ,150 (A djusted R Squared = ,072)
30.09.2015
92
46
30.09.2015
M ultiple Com parisons
Bonf erroni
Dependent Variable
Y01
(I) Havayolu Þirketi
1 Onur
2 Delta
3 THY
Y02
1 Onur
2 Delta
3 THY
Y03
1 Onur
2 Delta
3 THY
(J) Havay olu Þirketi
2 Delta
3 THY
1 Onur
3 THY
1 Onur
2 Delta
2 Delta
3 THY
1 Onur
3 THY
1 Onur
2 Delta
2 Delta
3 THY
1 Onur
3 THY
1 Onur
2 Delta
Mean
Dif f erence
(I-J)
Std. Error
-19,95*
3,855
-33,95*
3,855
19,95*
3,855
-14,00*
3,855
33,95*
3,855
14,00*
3,855
-39,85*
3,004
-47,40*
3,004
39,85*
3,004
-7,55*
3,004
47,40*
3,004
7,55*
3,004
-16,55*
6,544
-12,75
6,544
16,55*
6,544
3,80
6,544
12,75
6,544
-3,80
6,544
-29,47
-10,43
-43,47
-24,43
10,43
29,47
-23,52
-4,48
24,43
43,47
4,48
23,52
-47,27
-32,43
-54,82
-39,98
32,43
47,27
-14,97
-,13
39,98
54,82
,13
14,97
-32,72
-,38
-28,92
3,42
,38
32,72
-12,37
19,97
-3,42
28,92
-19,97
12,37
Sig.
,000
,000
,000
,002
,000
,002
,000
,000
,000
,045
,000
,045
,043
,170
,043
1,000
,170
1,000
*. The mean diff erenc e is s ignif icant at the ,05 level.
30.09.2015
93
Örnek 7: Konutlarda tüketilen doğal gaz miktarı (m3) ile dış cephe yalıtımı (Yok=1 ve Var=2),
ortalama hava sıcaklığı (C0) ve tavan yalıtımının kalınlığı (cm) arasındaki ilişkinin incelenmesi
Sıra No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
30.09.2015
Gaz
Tüketimi
,26
1,04
1,42
1,85
1,96
2,50
,15
,36
,77
1,59
1,15
1,40
,12
,15
,52
1,02
1,40
1,65
Dış Hava Tavan Cephe Sıcaklığı Yalıtımı
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
20,0
17,0
12,0
‐4,3
‐4,5
‐6,5
22,0
17,8
5,0
‐9,8
16,0
12,0
18,3
14,4
5,4
‐2,8
‐5,0
‐6,3
10
10
10
10
10
10
15
15
15
15
15
15
25
25
25
25
25
25
Des criptive Statistics
Dependent V ariable: GA Z
CYA L
1 Y ok
2 V ar
Total
Mean
,5489
1,5967
1,0728
Std. Deviation
,49710
,45180
,70919
N
9
9
18
a
Levene's Te st of Equality of Error Variance
s
Dependent Variable: GAZ
F
4,740
df 1
df 2
1
16
Sig.
,045
Tests the null hypothes is that the error v arianc e of
the dependent v ariable is equal ac ross groups.
a. Design: Intercept+TY A L+HSIC+CY AL
94
47
30.09.2015
Tes ts of Be tw ee n-Subje cts Effe cts
Dependent Variable: GA Z
Sourc e
Correc ted Model
Intercept
TYA L
HSIC
CYA L
Error
Total
Correc ted Total
Ty pe III Sum
of Squares
8,193a
5,659
,550
3,154
1,333
,357
29,266
8,550
df
3
1
1
1
1
14
18
17
Mean Square
2,731
5,659
,550
3,154
1,333
,026
F
107,086
221,891
21,553
123,664
52,255
Sig.
,000
,000
,000
,000
,000
Param e ter Es tim ate s
Dependent Variable: GA Z
Parameter
Intercept
TY A L
HSIC
[CY A L=1]
[CY A L=2]
B
Std. Error
2,187
,113
-,031
,007
-,042
,004
-,628
,087
0b
.
t
19,271
-4,642
-11,120
-7,229
.
Sig.
,000
,000
,000
,000
.
1,943
2,430
-,045
-,017
-,051
-,034
-,815
-,442
.
.
Nonc ent.
Parameter
19,271
4,642
11,120
7,229
.
Obs erved
a
Pow er
1,000
,990
1,000
1,000
.
a. Computed using alpha = ,05
b. This parameter is set to zero bec aus e it is redundant.
30.09.2015
95
30.09.2015
96
48
30.09.2015
Örnek 8: Bir süpermarket zincirinin haftalık ürün satış hacimleri
üzerinde ürün raf konumunun etkisi var mıdır? Varsa,
süpermarketin büyüklüğü önemli bir faktör müdür? Raf konumu
ile süpermarket büyüklüğü arasında bir etkileşim söz konusu
mudur?
Market
Büyüklüğü
Raf Konumu
A
B
C
D
Küçük
45
50
56
63
65
71
48
53
Orta
57
65
69
78
73
80
60
57
Büyük
70
78
75
82
82
89
71
75
30.09.2015
97
Descriptive Statistics
Dependent Variable: Y01 Haftalık Satışlar
F01 Market Büyüklüğü
1 Küçük
2 Orta
3 Büyük
Total
30.09.2015
F02 Raf Konumu
1 A
2 B
3 C
4 D
Total
1 A
2 B
3 C
4 D
Total
1 A
2 B
3 C
4 D
Total
1 A
2 B
3 C
4 D
Total
Mean
47,50
59,50
68,00
50,50
56,38
61,00
73,50
76,50
58,50
67,38
74,00
78,50
85,50
73,00
77,75
60,83
70,50
76,67
60,67
67,17
Std. Deviation
3,536
4,950
4,243
3,536
9,133
5,657
6,364
4,950
2,121
9,117
5,657
4,950
4,950
2,828
6,364
12,481
9,772
8,641
10,443
11,937
N
2
2
2
2
8
2
2
2
2
8
2
2
2
2
8
6
6
6
6
24
98
49
30.09.2015
Source
Corrected Model
Intercept
F01
F02
F01 * F02
Error
Total
Corrected Total
Type III Sum
of Squares
3019,333b
108272,667
1828,083
1102,333
88,917
258,000
111550,000
3277,333
df
11
1
2
3
6
12
24
23
Mean Square
274,485
108272,667
914,042
367,444
14,819
21,500
F
12,767
5035,938
42,514
17,090
,689
Sig.
,000
,000
,000
,000
,663
Noncent.
Parameter
140,434
5035,938
85,027
51,271
4,136
Observed
a
Power
1,000
1,000
1,000
1,000
,183
b. R Squared = ,921 (Adjusted R Squared = ,849)
Bonferroni
(I) Market Büyüklüğü
1 Küçük
2 Orta
3 Büyük
(J) Market Büyüklüğü
2 Orta
3 Büyük
1 Küçük
3 Büyük
1 Küçük
2 Orta
Mean
Difference
(I-J)
Std. Error
-11,00*
2,318
-21,38*
2,318
11,00*
2,318
-10,38*
2,318
21,38*
2,318
10,38*
2,318
Sig.
,001
,000
,001
,002
,000
,002
-17,44
-4,56
-27,82
-14,93
4,56
17,44
-16,82
-3,93
14,93
27,82
3,93
16,82
30.09.2015
99
Bonferroni
(I) Raf Konumu
1 A
2 B
3 C
4 D
(J) Raf Konumu
2 B
3 C
4 D
1 A
3 C
4 D
1 A
2 B
4 D
1 A
2 B
3 C
Mean
Difference
Std. Error
(I-J)
-9,67*
2,677
-15,83*
2,677
,17
2,677
9,67*
2,677
-6,17
2,677
9,83*
2,677
15,83*
2,677
6,17
2,677
16,00*
2,677
-,17
2,677
-9,83*
2,677
-16,00*
2,677
Sig.
,021
,000
1,000
,021
,240
,019
,000
,240
,000
1,000
,019
,000
-18,11
-1,23
-24,27
-7,39
-8,27
8,61
1,23
18,11
-14,61
2,27
1,39
18,27
7,39
24,27
-2,27
14,61
7,56
24,44
-8,61
8,27
-18,27
-1,39
-24,44
-7,56
30.09.2015
100
50
30.09.2015
30.09.2015
101
Parameter Estimates
Parameter
Intercept
[F01=1]
[F01=2]
[F01=3]
[F02=1]
[F02=2]
[F02=3]
[F02=4]
[F01=1] * [F02=1]
[F01=1] * [F02=2]
[F01=1] * [F02=3]
[F01=1] * [F02=4]
[F01=2] * [F02=1]
[F01=2] * [F02=2]
[F01=2] * [F02=3]
[F01=2] * [F02=4]
[F01=3] * [F02=1]
[F01=3] * [F02=2]
[F01=3] * [F02=3]
[F01=3] * [F02=4]
B
Std. Error
73,000
3,279
-22,500
4,637
-14,500
4,637
0b
.
1,000
4,637
5,500
4,637
12,500
4,637
0b
.
-4,000
6,557
3,500
6,557
5,000
6,557
b
0
.
1,500
6,557
9,500
6,557
5,500
6,557
0b
.
0b
.
0b
.
0b
.
0b
.
t
22,265
-4,852
-3,127
.
,216
1,186
2,696
.
-,610
,534
,762
.
,229
1,449
,839
.
.
.
.
.
Sig.
,000
,000
,009
.
,833
,259
,019
.
,553
,603
,460
.
,823
,173
,418
.
.
.
.
.
65,856
80,144
-32,603
-12,397
-24,603
-4,397
.
.
-9,103
11,103
-4,603
15,603
2,397
22,603
.
.
-18,287
10,287
-10,787
17,787
-9,287
19,287
.
.
-12,787
15,787
-4,787
23,787
-8,787
19,787
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Noncent.
Parameter
22,265
4,852
3,127
.
,216
1,186
2,696
.
,610
,534
,762
.
,229
1,449
,839
.
.
.
.
.
Observed
a
Power
1,000
,993
,818
.
,055
,194
,697
.
,087
,078
,108
.
,055
,266
,121
.
.
.
.
.
b. This parameter is set to zero because it is redundant.
30.09.2015
102
51
30.09.2015
Örnek 9: Bir fırında üretilen ekmeklerin büyüklük hacmi ile kullanılan unun
markası, maya türü ve yüzey koruyucu yağ arasındaki ilişki araştırılmak
istenmektedir. Elde edilen veriler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir?
Unun Markası
Maya Koruyucu
1
2
3
4
1
1
6,7
4,3
5,7
‐
1
2
7,1
‐
5,9
5,6
1
3
‐
‐
‐
‐
2
1
‐
5,9
7,
7,1
2
2
‐
‐
‐
‐
2
3
6,4
5,1
6,2
6,3
3
1
7,1
5,9
‐
‐
3
2
7,3
6,6
8,1
6,8
3
3
‐
7,5
9,1
‐
30.09.2015
103
Dependent Variable: Hacim Hamur Hacmi
Source
Corrected Model
Intercept
Un
Maya
Yüzey
Maya * Yüzey
Error
Total
Corrected Total
Type III Sum
of Squares
20,244b
850,717
7,773
8,178
,791
5,400
2,094
930,510
22,338
df
9
1
3
2
2
2
11
21
20
Mean Square
2,249
850,717
2,591
4,089
,395
2,700
,190
F
11,815
4468,710
13,609
21,480
2,076
14,183
Sig.
,000
,000
,001
,000
,172
,001
Noncent.
Parameter
106,339
4468,710
40,828
42,960
4,152
28,367
Observed
a
Power
1,000
1,000
,997
1,000
,337
,989
b. R Squared = ,906 (Adjusted R Squared = ,830)
30.09.2015
104
52
30.09.2015
30.09.2015
105
Sabit Varyans Testleri
1) Varyans Oranı Testi: Sabit varyans testi iki örneğin varyanslarının oranıdır. Varyans
oranı n1‐1 ve n2‐1 serbestlik dereceleri ile F dağılımına uymaktadır.
F
s12
s22
 Bu test, iki örneğin normal dağılan anakütlelerden çekildiğini varsaymaktadır.
Anakütleler normal dağılmaması durumunda öncül bir test olarak
kullanılmamalıdır.
 F istatistiğinin p‐değeri anlamlılık düzeyinden büyükse sabit varyans varsayımının
sağlandığı kabul edilir. İlgili anakütleler normal dağılmıyorsa aşağıdaki düzeltilmiş
Levene istatistiği kullanılmaktadır.
2) Düzeltilmiş Levene Testi: Sabit varyansın testinde kullanılan en iyi testlerden
birisidir. Testte, her grubun birim değerlerinin grup ortancasından mutlak farkları
alınarak türetilen yeni değişkenin Tek‐Yönlü ANOVA sonuçları incelenir. F istatistiği
anlamsız ise sabit varyans varsayımının sağlandığına karar verilir.
z1 j  X 1 j  Med1
30.09.2015
z2 j  X 2 j  Med 2
106
53
30.09.2015
8. HAFTA
Parametrik Olmayan Hipotez Testleri
Ki‐Kare Testleri Uygulanırken Dikkat Edilecek Hususlar
Ki‐Kare Testleri
1. Ki‐Kare Bağımsızlık Testi
2. Ki‐Kare Homojenlik (Türdeşlik) Testi
3. Ki‐Kare Uygunluk (İyi‐Uyum) Testi.
30.09.2015
107
GİRİŞ
 Parametrik
olmayan hipotez testleri kesikli veya sürekli değişkenlerle ilgili hipotez
sınamalarında kullanılmaktadır. Bu testler küçük örneklem hacimlerinde, kesikli, sürekli,
sınıflayıcı, sıralayıcı ölçekli değişkenler, önemli düzeyde sağa veya sola eğik aralık veya oran
ölçekli değişkenler ile çok büyük örneklem hacimlerine gereksinim duyulan ve bu nedenle
parametrik tekniklerin kullanımının uygun olmadığı durumlarda kullanılmaktadır.
 Hipotez sınamalarında karşılaşılan en temel sorunlardan birisi gözlenen verilerle hesaplanan
örneklem istatistiğini p‐değeriyle özetlemektir. p‐değeri, sıfır hipotezinin kabulü veya
reddedilmesi için kullanılan kritik bir endeks değeri olarak yorumlanabilir. p‐değeri 0 ile 1
arasında bir değerdir. Çok küçük bir p‐değeri sıfır hipotezinin reddedilmesinin, büyük bir p‐
değerinin ise sıfır hipotezinin kabul edilmesinin bir kanıtı olarak değerlendirilmektedir. Hipotez
sınamalarında geleneksel olarak %5 veya %1 anlamlılık düzeyleri en yaygın kullanılan kritik
anlamlılık (hata) düzeyleridir. Hipotez testlerinde geleneksel olarak kullanılan ve birinci tip hata
yapmanın maksimum olasılığı olarak tanımlanan alfanın sübjektif ölçütlere göre belirleniyorsa
da p‐değerinin uygun bir şekilde hesaplanması hipotez testlerinin istatistik karar
aşamamasındaki değerlendirmelerde hayati bir öneme sahiptir.
30.09.2015
108
54
30.09.2015
 Parametrik olmayan hipotez testleri sınıflayıcı, sıralayıcı, aralık veya oran ölçekli değişkenler
için bu amacı tek‐örneklem, iki‐örneklem, k‐örneklem ve parametrik olmayan ilişki ölçüm
testleri gibi çok geniş bir yelpazedeki hipotez testleri için kesin p‐değerleri (anlamlılık
düzeyleri), tekrarlı örnekleme tekniğine dayanan Monte Carlo (MC) p‐değerleri ve bu p‐
değerleri için güven aralıkları ile asimptotik p‐değerleri hesaplayarak gerçekleştirmektedir.
 Kesin anlamlılık düzeyleri (kesin p‐değerleri), 2x2 boyutlu kontenjans tabloları için geliştirilen
Fisher’in kesin testinin genelleştirilmesine dayanmaktadır. SPSS’te küçük örnekler için kesin p‐
değerleri hızlıca hesaplanabilmektedir. Kesin p‐değerleri algoritması için örneklem hacmi
büyük olması durumunda Monte Carlo algoritması ile belirli bir güven aralığı
için
hesaplanabilen p‐değeri uygun bir şekilde kullanılabilmektedir.
 SPSS’te Crosstabs ve “Nonparametric Tests” prosedürleri asimptotik anlamlılık düzeylerinin
yanında Monte Carlo ve kesin p‐değerlerinin hesaplanmasına da imkan tanımaktadır. Kesin p‐
değerleri ve Monte Carlo anlamlılık testleri, belirli bir kuramsal dağılım varsayımı altında
hesaplanan standart asimptotik yöntemleri kullanarak güvenilir sonuçların elde edilmesini
kısıtlayan küçük örneklemlerin, dengelenmemiş veya düzensiz tabloların, normal dağılıma
uymayan verilerin olduğu durumlarda güçlü ve güvenilir sonuçlar elde edilmesine imkan
tanımaktadır.
30.09.2015
109
SPSS’te Parametrik Olmayan Hipotez Testleri (Nonparametric Tests) İçin Kesin p‐
Değerlerinin Hızlı Bir Şekilde Hesaplanabildiği Örneklem Hacimleri (Mehta vd., 1996)
Tek‐Örneklem Testleri
Örneklem Hacmi
Ki‐Kare Uygunluk Testi
n<=30
Binom Testi ve Güven Aralıkları
n<=100
Akış Testi
n<=20
Tek‐örneklem K‐S z Testi
n<=30
Bağımsız İki‐örneklem Testleri
örneklem Hacmi
Bağımlı İki‐örneklem Testleri
örneklem Hacmi
Mann‐Whitney U Testi
n<=30
Wilcoxon İşaret‐Sıra Testi n<=50
K‐S İki örneklem Testi
n<=30
İşaret Testi
n<=50
Wald‐Wolfowitz Akış Testi
n<=30
McNemar Testi
n<=100
Marjinal Homojenlik Testi
n<=50
Bağımsız K‐örneklem Testleri
örneklem Hacmi
Bağımlı K‐örneklem Testleri
örneklem Hacmi
İki‐örneklem Medyan Testi
n<=100
Friedman Testi
n<=30
K‐örneklem Medyan Testi
n<=50
Kendall W Testi
n<=30
Kruskal‐Wallis H Testi
n<=15 ve K<=4
Cochran Q Testi
n<=30
Jonckheere‐Terpstra
(J‐T) Testi n<=20 ve K<=4
30.09.2015
110
55
30.09.2015
SPSS’te Crostabs Prosedürü İçin Kesin p‐Değerlerinin Hızlı Bir Şekilde Hesaplanabildiği Örneklem Hacimleri
2x2 Kontenjans Tabloları
örneklem Hacmi
rxc Kontenjans Tabloları
örneklem Hacmi
Pearson Ki‐Kare Testi
n<=100
Pearson Ki‐Kare Testi
n<=30 ve min(r, c)<=3
Fisher’in Kesin Testi
n<=100
Fisher’in Kesin Testi
n<=30 ve min(r, c)<=3
Benzerlik‐Oranı Testi
n<=100
Korelasyon Katsayıları
örneklem Hacmi
Pearson Korelasyon Katsayısı
n<=7
Spearman Sıra Korelasyon Katsayısı
n<=10
Benzerlik‐Oranı Testi
n<=30 ve min(r, c)<=3
Doğrusal‐Doğrusal İlişki
n<=30 ve min(r, c)<=3
Kappa
n<=30 ve c<=5
Nominal Değişkenler
örneklem Hacmi
Ordinal Değişkenler örneklem Hacmi
Fi ve Cramer V İstatistiği
n<=30 ve min(r, c)<=3
Kendall Tau‐b
n<=20 ve r<=3
Kontenjans Katsayısı n<=30 ve min(r, c)<=3
Kendall Tau‐c
n<=20 ve r<=3
Goodman ve Kruskal Tau İstatistiği n<=20 ve r<=3
Somer d istatistiği
n<=30
Belirsizlik Katsayısı n<=30 ve min(r, c)<=3
Gamma İstatistiği n<=20 ve r<=3
30.09.2015
111
 Hipotez
sınamalarında
toplanan
verilerin
doğruluğu
çoğu
zaman
kanıtlanamamakta ve bu nedenle p‐değeri hesaplanırken incelenen anakütleyle
ilgili mümkün olan en az sayıda varsayımda bulunulmaya çalışılır. Diğer bir ifadeyle,
toplanan verilerin normal dağılan bir anakütleden çekildiği varsayımından
kaçınılması amaçlanmaktadır. Bu amaç, istatistikte parametrik olmayan istatistik
alanının doğmasına yol açmıştır.
 Parametrik olmayan istatistik alanında Arbuthnot (1710) ile başlayan gelişmeler,
Friedman (1937), Kendall (1938), Smirnov (1939), Wald ve Wolfowitz (1940),
Pitman (1948), Kruskal ve Wallis (1952), Chernoff ve Savage (1958) gibi bilim
adamları tarafından devam ettirilmiştir.
 Parametrik olmayan istatistik alanında ilk kitap “Nonparametric Statistics in
Behavioral and Social Sciences” adıyla Siegel (1956) tarafından yazılmıştır. Bu
alanda yazılan ikinci önemli kaynak Lehman’ın “Noneparametrics: Statistical
Methods Based on Ranks” adlı kitabıdır.
 Bu alanda yazılan ilk kitaplar ve yapılan ilk bilimsel çalışmalar daha çok sürekli
değişkenlerle ilgili hipotez sınamalarıyla sınırlıydı. Kullanılan veriler tek, iki ve k
sayıda bağımlı ve bağımsız örneklemlerle ilgili hipotez sınamaları, uygunluk testleri
ve ilişki ölçümlerini içermekteydi.
30.09.2015
112
56
30.09.2015
 İlk olarak Karl Pearson (1900) mültinomial, hipergeometrik ve Poisson dağılımlarından
türetilen kategorik verilerin gözlenen ve beklenen frekansları arasındaki farklara dayanarak
büyük örneklemlere ait istatistiklerin ki‐kare dağılımına uyduğunu göstermiştir. Daha sonra,
bunun tüm kategorik verilere uygulanabildiği görülmüştür.
 Yakın zamanda parametrik olmayan istatistik alanına özellikle Yule (1912), R. A. Fisher (1925,
1935), Yates (1984), Cochran (1936, 1954), Kendall ve Stuart (1979) ve Goodman’ın (1968)
önemli katkıları olmuştur. Hızla gelişen bu alana Agresti (1990) “Categorical Data Analysis”
adlı en kapsamlı, en mükemmel ve en güncel kitabını ilave etti.
 Parametrik olmayan veya kategorik veri çözümleme teknikleri, çözümlenen verilerle ilgili en
az sayıda varsayımda bulundukları için araştırmacılar tarafından yaygın olarak
kullanılmaktadır. Sürekli anakütlelerin hangi kuramsal dağılıma uyduğu bilinmediğinde
parametrik olmayan tekniklerin kullanılması doğal olarak zorunlu olmaktadır. Kategorik
verilerle ilgili mültinomial, hipergeometrik ve Poisson matematik modelleri örneklenen
verilerin dağılım bağımsızlığını doğal olarak ortaya koymaktadır. Fakat her iki yöntem,
kategorik ve sürekli değişkenlerin uygun bir şekilde çözümlenebilmesi için kanıtlanması zor
olan bir varsayımda bulunmaktadır. Bu tekniklerle elde edilen sonuçların anakütleye
genellenebilmesi için, örneklem istatistiğinin ki‐kare dağılımına veya normal dağılıma
yaklaşması için örneklemin yeteri kadar büyük olduğunu varsaymaktadır. Böylece örneklem
istatistiğinin gerçek örnekleme dağılımını oluşturmadan istatistiğin p‐değeri
hesaplanabilmektedir.
30.09.2015
113
 Örneklem hacimlerinin büyük olduğu varsayılarak hesaplan p‐değerlerine
asimptotik p‐değerleri adı verilmektedir. Örneklem istatistiğin gerçek örnekleme
dağılımına dayanarak hesaplanan p‐değerleri kesin (exact) p‐değerleri olarak
bilinmektedir. Bilimsel açıdan araştırmacılar tarafından her zaman kesin p‐
değerlerinin hesaplanması tercih edilmektedir. Fakat pratikte kesin p‐değerlerinin
hesaplanmasında bazı güçlüklerle karşılaşılmaktadır. Hesaplama güçlüklerinin söz
konusu olduğu durumlarda kesin p‐değerleri yerine tekrarlı örnekleme tekniğine
dayanan Monte Carlo (MC) p‐değerleri kullanılmaktadır.
 Büyük örneklem hacimlerinde, dengeli ve yaklaşık olarak simetrik veriler söz
konusu olduğunda asimptotik, MC ve kesin p‐değerleri arasındaki farklar
anlamsızlaşmaktadır. Fakat küçük örneklem hacimlerinde, oldukça sağa veya sola
eğik ve düzensiz verilerde kesin p‐değerleri ile MC ve asimptotik p‐değerleri
arasındaki farklar önemli düzeyde artmakta ve bunun bir sonucu olarak sıfır
hipotezinin kabul veya reddedilmesi konusunda birbiriyle çelişen sonuçlarla
karşılaşılabilmektedir.
30.09.2015
114
57
30.09.2015
Ki‐Kare Testleri
 Bilindiği gibi, parametrik hipotez testleri aralık ve oran (metrik) ölçekli değişkenlere
uygulanabilmekte ve anakütle dağılımları hakkında belirli varsayımlara dayanmaktadır.
Ayrıca bu testlerin uygulanabilmesi için örneklem hacimlerinin yeteri kadar büyük (n≥30
veya n≥100) olması zorunludur. Bu koşullar parametrik hipotez testlerinin kullanımını
sınırlandırmaktadır.
 Parametrik hipotez testlerine alternatif olarak geliştirilen parametrik olmayan hipotez
testleri anakütle dağılımları hakkında belirli bir varsayımda bulunmamaktadır. Ayrıca bu
testler, küçük örneklem hacimlerinde de uygulanabilmektedir.
 Parametrik olmayan çok sayıda hipotez testi bulunmaktadır. Bu testlerden en önemli ve
en yaygın kullanılanı ki‐kare testidir.
 Üç farklı ki‐kare testi söz konusudur. Bunlar; ki‐kare bağımsızlık, ki‐kare uygunluk ve ki‐
kare homojenlik testleridir.
 İki ya da daha çok sınıflı nitel değişkenler arasındaki ilişki, ki‐kare bağımsızlık testi ile
 Örnekleme veya tamsayım ile elde edilen bir veri kümesinin belirli bir kuramsal dağılıma
uygunluğu ki‐kare uygunluk testi ile araştırılır.
 İki ya da daha çok sayıda örneğin aynı anakütleden gelip gelmediği ki‐kare homojenlik
testi ile araştırılır.
30.09.2015
115
Ki‐Kare Testi Uygulanırken Dikkat Edilecek Hususlar
(1) Ki‐kare testinin uygulanacağı değerler mutlak sayılar olup, oranlar olamaz.
(2) Birim değerleri birbirinden bağımsız olmalıdır.
(3) Ki‐kare testinde beklenen frekansların en fazla %20’sinin 5’ten küçük olmasına
izin verilir. Bu sorunun üstesinden gelmenin en basit yolu sınıfları birleştirmektir.
(4) Beklenen frekansların hiçbiri sıfır olamaz.
(5) Örneklem hacmi 50’den az ve serbestlik derecesi 1 olan uygulamalarda aşağıdaki
gibi Yates sonsuzluk düzeltmesi uygulanır. Fakat gözlenen ve beklenen frekanslar
arasındaki mutlak farkın 0,5’den daha küçük olan hücrelere bu sonsuzluk
düzeltmesi uygulanmaz.
r
c
  
2
h
i 1 j 1
30.09.2015
G
ij
 Bij 
Bij
2
r
c
 Düzeltilmiş    
2
h
i 1 j 1
G
ij
 Bij  0,5
2
Bij

116
58
30.09.2015
(1) Ki‐Kare Bağımsızlık Testi

İki ya da daha çok sınıflı nitel (sözel) değişkenler arasındaki ilişki, ki‐kare bağımsızlık testi ile

Ki‐kare bağımsızlık testinde sıfır hipotezi, iki sözel değişken arasında anlamlı bir ilişkinin beklenmediği
durumu gösterir. Karşıt hipotez ise, ilgili iki nitel değişken arasında anlamlı bir ilişkinin beklendiği durumu
ifade eder.

Ki‐kare bağımsızlık testinde kontenjans tablolarından yararlanılır.

Kontenjan tablosunun serbestlik derecesi satır (r) ve sütun (c) sayısının bir eksiği alınıp çarpılmasıyla
hesaplanır: sd=v=(r‐1)(c‐1).

Kuramsal (beklenen, teorik) frekanslar, ilgili hücrenin yer aldığı satır frekansları toplamıyla sütun frekansları
toplamının çarpımının toplam birim sayısına oranlanarak hesaplanmaktadır.

Ki‐Kare=∑(G‐B)2/B formülüyle ki‐kare değeri hesaplanmakta ve bu değer kritik ki‐kare tablo değeriyle
karşılaştırılır. Hesaplanan ki‐kare değeri kritik değerden büyük ise, sıfır hipotezi reddedilir.

Sıfır hipotezinin reddedilmesi durumunda iki nitel değişken arasındaki ilişkinin derecesi Kontenjans
katsayısı (c) veya Fi (Ф) katsayısı ile hesaplanmaktadır.
rc2
  2 / n
r  3 veya c  3
 v   2 /  n  min  (r  1);(c  1)  
r  3 ve c  3
 c   2 /   2  n
30.09.2015
117
Örnek 1: Bir sektörde çalışanların aldıkları ücretlerle (düşük, orta
ve yüksek) eğitim düzeyleri (ilköğretim, lise, üniversite,
lisansüstü) arasında anlamlı bir ilişki olup olmadığı araştırılmak
istenmektedir. Sektörden elde edilen veriler aşağıdaki tabloda
sunulmaktadır. [Kritik Ki‐Kare (%5, 6)=12,59’dur. P(K‐Kare>12,59)=%5’dir.]
Eğitim
Düzeyi
1 Düşük
1 İlköğretim
2 Lise
3 Üniversite
4 Lisansüstü
Toplam
29
95
19
0
143
Ücret Düzeyi
2 Orta
24
84
85
2
195
3 Yüksek
0
11
77
48
136
Toplam
53
190
181
50
474
 %5 anlamlılık düzeyinde ücret düzeyinin mesleğe bağlı olduğu
söylenebilir mi?
30.09.2015
118
59
30.09.2015
Çözüm:
Eğitim Düzeyi
1 İlköğretim
G
B
G
B
G
B
G
B
G
B
2 Lise
3 Üniversite
4 Lisansüstü
Toplam
 h2 

 29  16 
2

16
19  54, 6 
54, 6
1 Düşük
29
16
95
57,3
19
54,6
0
15,1
143
143
2

 24  21,8
2

21,8
 85  74,5
2
74,5

Ücret Düzeyi
2 Orta
24
21,8
84
78,2
85
74,5
2
20,6
195
195
 0  15, 2 
2
15, 2
 77  51,9 
51,9

2

3 Yüksek
0
15,2
11
54,5
77
51,9
48
14,3
136
136
 95  57,3
2
57,3
 0  15,1
15,1
2


Toplam
53
53
190
190
181
181
50
50
474
474
84  78, 2 
78, 2
 2  20, 6 
20, 6
2

2

11  54,5
2
54,5
 48  14,3
2
14,3
  233, 6
2
h
30.09.2015
119
Chi-Square Tests
Pearson Chi-Square
Likelihood Ratio
Linear-by-Linear
Association
N of Valid Cases
Value
233,557a
261,671
181,623
df
6
6
Asymp. Sig. (2-Sided)
,000
,000
1
,000
474
a. 0 cells (,0%) have expected count less than 5. The
minimum expected count is 14,35.
30.09.2015
120
60
30.09.2015
(2) Ki‐Kare Homojenlik Testi
 Farklı örneklemlerin aynı anakütleden çekilip çekilmediği ki‐kare homojenlik testi
ile araştırılır. Diğer bir anlatımla iki veya daha çok ayıdaki bağımsız örneklemlerin
aynı anakütleden çekilip çekilmediklerinin saptanmasında kullanılmaktadır.
 Ki‐kare testinin aşamaları hipotezlerin ifade edilmesinin dışında ki‐kare bağımsızlık
testi ile aynıdır.
 Homojenlik testinde sıfır hipotezi iki örneklemin aynı anakütleden seçildiği durumu
gösterirken; karşı hipotez ilgili örneklemlerin farklı anakütleden geldiği durumu
ifade etmektedir.
Kavrama Soruları







Ki‐kare testi hangi durumlarda uygulanır, açıklayınız?
Ki‐kare testi uygulanırken dikkat edilmesi gereken hususları belirtiniz?
Ki‐kare bağımsızlık testinde hipotezler nasıl ifade edilir?
Ki‐kare homojenlik testinde hipotezler nasıl ifade edilir?
Ki‐kare bağımsızlık ve homojenlik testinde serbestlik derecesi nasıl hesaplanır?
Bağımsızlık ve homojenlik testinde beklenen frekanslar nasıl hesaplanır?
Bağımsızlık ve homojenlik testinde ki‐kare değeri nasıl hesaplanır?
30.09.2015
121
Örnek 2: Bir sektörde çalışanların mesleklerine ve aldıkları
ücretlere göre dağılımı aşağıda verilmektedir. Çalışanların
mesleklerine (memur, işçi ve yönetici) göre aldıkları ücretlerin
(düşük, orta ve yüksek) homojen olduğu %5 anlamlılık düzeyinde
söylenebilir mi? [Kritik Ki‐Kare (%5, 4)=9,49’dur. P(K‐Kare>9,49)=%5’dir.]
Ücret Düzeyi
Meslek Sınıfı
1 Düşük
2 Orta
3 Yüksek
Toplam
142
170
51
363
2 İşçi
1
24
2
27
3 Yönetici
0
1
83
84
143
195
136
474
1 Memur
Toplam
30.09.2015
122
61
30.09.2015
Çözüm:
fi
G
B
G
B
G
B
G
B
Meslek Sınıfı
1 Memur
2 İşçi
3 Yönetici
Toplam
 h2 

1 Düşük
142
109,5
1
8,1
0
25,3
143
143
142  109,5
109,5
 2  7, 7 
7, 7
30.09.2015
2

2

170  149,3
 0  25,3
25,3
149,3
2

Ücret Düzeyi
2 Orta
170
149,3
24
11,1
1
34,6
195
195
2

1  34, 6 
34, 6
 51  104, 2 
3 Yüksek
51
104,2
2
7,7
83
24,1
136
136
2

104, 2
2

 83  24,1
24,1
1  8,1
Toplam
363
363
27
27
84
84,
474
474
2
8,1

 24  11,1
2
11,1
2
 266,98
123
SPSS Sonuçları
30.09.2015
124
62
30.09.2015
Örnek 3: İktidar partisinin ekonomi politikası hakkındaki eğilimlerini saptamak
amacıyla bir kamuoyu araştırma şirketi kademeli örnekleme yöntemiyle
çiftçilerden 400, işçilerden 425, memurlardan 375 ve serbest meslekten 500
kişilik dört farklı örneklem seçilmiştir. Örnekleme seçilen her kişiden görüşünü
“olumlu,” “olumsuz,” ve “kararsız” şeklinde açıklamaları istenmiştir.
Araştırmayla elde edilen veriler aşağıdaki tabloda özetlenmektedir. Dört farklı
kesimden seçilen kişilerin görüşlerinin türdeş olduğu %5 anlamlılık düzeyinde
Ekonomik Politika Görüşü
Meslek Sınıfı
1 Çiftçi
1 Olumlu
2 Olumsuz
3 Kararsız Toplam
150
200
50
400
2 İşçi
165
180
80
425
3 Memur
180
120
75
375
4 Serbest Meslek
220
160
120
500
Toplam
715
660
325
1700
30.09.2015
125
Çözüm:
Meslek Sınıfı
G
1=Çiftçi
B
G
2=İşçi
B
G
3= Memur
B
G
4= Serbest Meslek B
G
Toplam
B
Ekonomi Politika Görüşü
1=Olumlu
2=Olumsuz
3=Kararsız
150
200
50
168,2
155,3
76,5
165
180
80
178,8
165,0
81,3
180
120
75
157,7
145,6
71,7
220
160
120
210,3
194,1
95,6
715
660
325
715
660
325
Toplam
400
400
425
425
375
375
500
500
1700
1700
 h2  46,93'tür. H 0 red.
30.09.2015
126
63
30.09.2015
SPSS Sonuçları
30.09.2015
127
(3) Ki‐Kare Uygunluk (İyi‐Uyum) Testi
 n hacimli bir örneklemin çekildiği bir anakütleyi iyi temsil edip etmediği veya örnekleme
ya da tamsayım ile elde edilen verilerin belirli bir hipoteze uygun olup olmadığını
belirlemek, ayrıca bu verilerin belirli bir kuramsal dağılıma uyup uymadığı ki‐kare
uygunluk testi ile araştırılır.
 Bir hipoteze uygunluk testinde; verilen bir olaya ait gözlenen frekanslarının belirli olasılık
kuralına göre hesaplanan kuramsal frekanslarından farklı olup olmadığı araştırılır.
 Bir kuramsal dağılıma uygunluk testinde ise; her bir sınıfa ait gözlenen frekansların,
uygunluğu araştırılacak belirli bir dağılıma göre hesaplanan kuramsal frekanslar arasında
anlamlı bir farklılığın olup olmadığı araştırılır.
 Uygunluk testleri, bir hipoteze veya bir kuramsal dağılıma uygunluk testi olarak iki
şekilde uygulanabilir.
 Bir hipoteze uygunluk testinde serbestlik derecesi k‐1 iken; bir dağılıma uygunluk
testinde serbestlik derecesi (v) k‐m‐1 formülüyle hesaplanmaktadır. Formülde k , nicel
değişkenin aldığı şık sayısını; m ise ilgili dağılımın parametre sayısını göstermektedir.
Kavrama Soruları
(1) Ki‐kare uygunluk testi hangi amaçlarla kullanılabilmektedir?
(2) Ki‐kare uygunluk testinde serbestlik derecesi (v) nasıl belirlenir?
(3) Ki‐kare uygunluk testinde hipotezler nasıl ifade edilir?
(4) Ki‐kare testlerinde Yates düzelmesi ne zaman ve nasıl uygulanır?
30.09.2015
128
64
30.09.2015
Teknik Ayrıntılar: Bir Hipoteze Uygunluk Testi
Bir hipoteze uygunluk testinde beklenen frekanslar (Bi ) aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.
Bi 
Toplam Birim Sayısı (n)
Toplam Şık (Hücre) Sayısı (k )
Eğer beklenen değerler (Ei ) mutlak bir frekans veya oransal bir frekans
olarak verilirse, beklenen değerler aşağıdaki gibi hesaplanır:

 E
Bi   k i
 E
 i
 i 1


n



k
 Gi  Bi 
i 1
Bi
 h2  
30.09.2015
2
 sd    k  1'dir.
129
Örnek 4 (Bir Hipoteze Uygunluk): Rassal seçilen 600 kişiye çorap satın alırken
kalitesinin ne kadar önemli bir faktör olduğunu “çok önemli,” “önemli,” ve “önemli
değil” şeklinde değerlendirmeleri istenmiştir. Elde edilen sonuçlar sırasıyla 180, 300 ve
120’dir. Rassal seçilen bir müşterinin bu seçeneklerden herhangi birini belirtmesi
olasılığının eşit olduğunu ileri süren sıfır hipotezini %5 anlamlılık düzeyinde test ediniz.
[Kritik Ki‐Kare (%5, 2)=5,99’dur. P(K‐Kare>5,99)=%5’dir.]
Gözlenen Frekanslar
H0 Doğru İken Kuramsal Olasılıklar
H0 Doğru İken
Beklenen Frekanslar Çok Önemli
180
1/3
200
Önemli
300
1/3
200
Önemli Değil
120
1/3
200
Toplam
600
1,00
600
Önem Düzeyi
180  200 
 
2
h
30.09.2015
200
2
 300  200 

200
2
120  200 

200
2
 84
130
65
30.09.2015
SPSS Sonuçları
30.09.2015
131
Örnek 5 (Bir Hipoteze Uygunluk): Bir TV üreticisinin satışlarının küçük, orta ve büyük ekran
televizyon olması olasılıklarının sırasıyla %30, %50 ve %20 olduğunu geçmiş kayıtlarından
bilmektedir. Bir sonraki dönemdeki üretim planlanmamsını yapmak için mevcut satışlarından 100
birimlik bir örneklemde küçük, orta ve büyük ekran TV satış oranları sırasıyla %35, %55 ve %10
olarak bulunmuştur. İşletmenin geçmiş TV satış oranlarının değişmediği %1 anlamlılık düzeyinde
TV Ekranı Gözlenen Frekanslar (Gi) Beklenen Frekanslar (Bi)
Ki‐Kare=(Gi‐Bi)2/Bi
Küçük
35
30
0,83
Orta
55
50
0,50
Büyük
10
20
5,00
Toplam
100
100
6,33
 Hesaplanan ki‐kare=6,33 istatistiği, kritik ki‐kare=9,21 istatistiğinden daha
küçük olduğundan %1 anlamlılık düzeyinde sıfır hipotezi kabul edilmektedir.
30.09.2015
132
66
30.09.2015
SPSS Sonuçları
30.09.2015
133
Örnek 6 (Bir Kuramsal Dağılıma Uygunluk Testi‐Binom Dağılımı)
 Bir fabrikada günlere göre üretilen kusurlu mamul sayıları aşağıdaki gibi
olduğu belirlenmiştir. %1 anlamlılık düzeyinde dağılımın binom dağılımına
uyduğu söylenebilir mi?
Kusurlu Mamul Sayısı (Xi)
0
1
2
3
4
5
Toplam
Gözlenen Gün Sayısı (fi)
fiXi
Binom Olasılıkları [P(Xi)]
8
30
40
10
7
5 22
0
30
80
30
28
25
0,143
0,340
0,323
0,154
0,036
0,004
100
193
1

Beklenen
Frekanslar (Bi)
(G‐B)2/B
14,3
34,0
32,3
15,4
3,6
0,4 19,4
2,78
0,47
1,84
100
5,44

0,35
X  n  p  193 / 100  1,93
n  p  1,93  p  1,93 / 6  0,322
30.09.2015
134
67
30.09.2015
5
P( x  X )    0,322 X  0, 6785 X
X
5
 5
P( x  0)    0,3220  0, 6785  0,143
P( x  1)    0,3221  0, 6784  0,340
0
 
1
5
5
P( x  2)    0,3222  0, 67852  0,323
P( x  3)    0,3223  0, 67853  0,154
2
 
 3
5
5
P( x  4)    0,3224  0, 67854  0, 036
P( x  5)    0,3225  0, 67855  0, 004
4
 
5
 2k m1;%5   2411;%5   22;%5  5,99
 2h  5, 44   22;%5  5,99'dur.
 Bu nedenle frekans serisinin binom dağılımına uyduğunu ileri süren sıfır
hipotezi kabul edilir.
30.09.2015
135
SPSS Sonuçları
30.09.2015
136
68
30.09.2015
Örnek 7 (Bir Kuramsal Dağılıma Uygunluk Testi‐Poisson Dağılımı)
 Bir makinenin 100 günlük bir üretim sürecinde karşılaşılan arıza sayısı ile
ilgili veriler aşağıdaki tabloda özetlenmektedir. Bu değişkenin dağılımının
%5 anlamlılık düzeyinde Poisson dağılımına uyduğu söylenebilir mi?
Bozulma Sayısı (Xi)
Gözlenen Olasılıklar (Pi)
fiXi
Beklenen Olasılıklar (Pi) [n=100; =2,05]
6
30
40
10
7
5
2 7

0,06
0,30
0,40
0,10
0,07
0,05
0,02
0
30
80
30
28
25
12
0,129
0,264
0,271
0,185
0,095
0,041
0,015
12,9
26,4
27,1
18,5
9,5
4,1
1,5 5,6
3,691
0,491
6,141
3,905
0,658
100
1,00
205
1,000
100
15,236
Gözlenen Frekanslar (Gi)
0
1
2
3
4
5
6
Toplam
2
 k2 m1;%5   7211;%5   5;%5
 11, 07
Beklenen
Frekanslar (Bi)
(G‐B)2/B

0,350
  205 /100  2, 05
2
 h2  15, 235   5;%5
 11, 07 olduğundan H 0 reddedilir.
30.09.2015
137
Örnek 7 İle İlgili Hesaplamaları
e   x

x!
e 2,05 2, 050
P ( x  0) 
 0,129
0!
e 2,05 2, 051
P ( x  1) 
 0, 264
1!
e2,05 2, 052
P ( x  2) 
 0, 271
2!
e 2,05 2, 053
P ( x  3) 
 0,185
3!
P( x) 
30.09.2015
e2,05 2, 05 x
x!
2,05
e
2, 054
P ( x  4) 
 0, 095
4!
e 2,05 2, 055
P( x  5) 
 0, 041
5!
e 2,05 2, 056
P ( x  6) 
 0, 015
6!
P( x  0) 
Beklenen Frekanslar=B j  100  Pj
138
69
30.09.2015
SPSS Sonuçları
30.09.2015
139
Örnek 8: (Bir Kuramsal Dağılıma Uygunluk Testi‐Normal Dağılım)
 Bir sektörde faaliyet gösteren 100 işletmenin 2009 yılı büyüme hızlarına göre dağılımı aşağıda
sınıflandırılmış frekans serisi olarak sunulmaktadır. İşletmelerin büyüme oranlarına göre
dağılımının normal olduğu %5 anlamlılık düzeyinde söylenebilir mi?
İşletme Sayısı (G=fi)
Büyüme Hızı (Xi)

00‐20
20‐40
40‐60
60‐80
80‐100
100‐120
120‐140
5
10
15
40
15
10
5
Toplam
100

Xi
f iX i2
f iX i
z
Değerleri
Beklenen Olasılıklar (Pi)
Beklenen
fi (B)
(G‐B)2/B
3
11
22
28
22
11
3
0,07
‐
2,23
5,14
2,23
‐
0,07
100
10
30
50
70
90
110
130
50
300
750
2800
1350
1100
650
500
9.000
37.500
196.000
121.500
121.000
84.500
‐2,46<z<‐1,76
‐1,76<z<‐1,06
‐1,06<z<‐0,35
‐0,35<z< 0,35
0,35<z<1,06
1,06<z<1,76
1,76<z<2,46
0,03
0,11
0,22
0,28
0,22
0,11
0,03
‐
7000
570.000
‐
1,000


9,74
k
X 
fX
i 1
k
i
f
i 1
i

7000
 70 s 
100
i
1  k
1

 fX i2  nX 2   99  570.000  100  702   28, 427
n  1  i 1
 k2  m 1;%5   22;%5  5,99   h2  9, 74   22;%5  5,99 olduğundan sıfır hipotezi reddedilir.
30.09.2015
140
70
30.09.2015
SPSS Sonuçları
30.09.2015
141
8. HAFTA
 Parametrik Olmayan Tek‐örneklem Testleri
1. Binom Testi
2. Akış Sayısı (Tesadüfilik) Testi
3. Kolmogorov Smirnov (K‐S) Tek‐Örneklem Testi
4. Wilcoxon İşaretli‐Sıra Tek‐Örneklem Testi
30.09.2015
142
71
30.09.2015
Binom Dağılımına Uygunluk Testi
 Binom testi de ki‐kare testi gibi gözlenen ve beklenen değerleri birbiriyle
karşılaştıran bir tek örneklem testidir. İki test arasındaki fark; binom testinde
beklenen değerlerin, beklenen frekanslar yerine, binom dağılımından elde
edilmesidir. Binom dağılımı sadece iki sonuçlu değişkenlerin uyduğu bir dağılımdır.
Örneğin; bir yazı/tura deneyi, bir fabrikada üretilen mamullerin kusurlu/sağlam
olarak ölçülmesi, bir fakültedeki öğrencilerin başarılı/başarısız olarak
sınıflandırılması vs.
 n1=Birinci gruptaki birim sayısını
 n2= İkinci gruptaki birim sayısını
 n= n1+n2
 p= test değerini (aşağıdaki örnekteki 0,50 değerini)
 m=minimum(n1, n2)
 p*=p (m=n1 ise) ve 1‐p (m=n2 ise) ifade etmektedir.
 SPSS’te test oranı 0,50 alınırsa iki‐yönlü, diğer durumlarda ise tek‐yönlü kesin p‐
değerleri aşağıdaki gibi hesaplanıp rapor edilmektedir:
m
 m n

n
İki-Yönlü p -değeri=2       0,5n   Tek-Yönlü p -değeri=    p*i (1  p* ) n  i
i
i 0  i 
 i 0  

30.09.2015
143
 Yaklaşık bir olasılık raporlanmışsa, aşağıdaki algoritma kullanılmaktadır:
z1 
n1  0,5  np
np (1  p )
z2 
n2  0,5  np
np(1  p)
 P(zi)= Standart Normal Dağılım Olasılığı ise
P( X  n1 )  P( z2 )  P( z1 )
P( X  n1 )  P( z1 )
 Ve iki‐yönlü yaklaşık (asimptotik) p‐değeri aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır: 2 P ( X  n1 )  P( X  n1 ) ' dir
30.09.2015
144
72
30.09.2015
Binom Testi
 Örneğin bir madeni paranın 50 kez atıldığı bir denemede elde edilen
sonuçlar aşağıdaki gibi (Yazı=1 ve Tura=0) olsun:
 0‐0‐1‐1‐1‐0‐1‐0‐1‐1‐0‐0‐1‐0‐1‐0‐1‐0‐1‐1‐0‐0‐1‐1‐1‐0‐1‐0‐1‐1‐0‐0‐1‐1‐1‐0‐1‐
0‐1‐1‐0‐0‐1‐1‐1‐0‐1‐0‐1‐0.
30.09.2015
145
Asimptotik p -değerleri aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:
n  0,5  np 22  0,5  50  0, 44 21,5  22


 0,14
z1  1
3,51
np (1  p )
 50  0, 44  0,56 
z2 
n2  0,5  np
np (1  p )

28  0,5  50  0, 44
 50  0, 44  0,56 

28,5  22
 1,85
3,51
Asimptotik p -değeri= 1- p  0,14  z  1,85    1  0,5235  0, 4765  0, 480
Kesin p -değerleri aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:
İki-yönlü kesin p -değeri:

 m n

  50   50   50 
 50   
2       0,5n   2  0,550                  0, 479888  0, 480
 22   
 i 0  i 

 0   1   2 

Tek-yönlü kesin p-değeri:
m
n
i 0
 
  i p
*i
 50 
 50 
 50 
(1  p* ) n i    0, 450  0,5550    0, 451  0,5549  ...    0, 4522  0,5528  0,5019  0,502
0
1
 
 
 22 
30.09.2015
146
73
30.09.2015
Akış Sayısı (Tesadüfilik) Testi: Runs Test
 İki sonuçlu değişkenlerin tesadüfiliğinin söz konusu olup
olmadığının araştırılmasında kullanılan parametrik olmayan
bir testtir.
 Değişken birim değerlerinin başarılı/başarısız, kusurlu/sağlam,
evet/hayır, doğru/yanlış, yazı/tura vs. gibi iki şıkka ayrıldığı
durumlarda
sonuçların
tesadüfi
olup
olmadığının
araştırılmasında kullanılmaktadır.
 İki‐yönlü olan testin sıfır hipotezi (H0) ilgili değişken birim
değerlerinin tesadüfi olduğunu, araştırma (karşıt) hipotezinin
(H1) ise tesadüfi olmadığını ifade etmektedir.
 Akış sayısı açıklamak için tesadüfi olarak seçilen 8 öğrencinin
cinsiyetlerine göre dağılımı sırasıyla KK EEE K EE şeklinde ise 4
akış, E KKK EEEE ise 3 akış söz konusu olmaktadır.
30.09.2015
147
Teknik Ayrıntılar:
 Serideki birim değerlerini iki kategoriye ayıracak kritik değer herhangi bir değer veya aşağıdaki
istatistiklerden birisi kullanılabilmektedir:
n
X
X
i 1
i
n
Mod=TepeDeğeri=Seride en çok tekrar eden birim.


 X
 n çift ise

 n /2   X  n / 2 1 / 2 

Medyan  Ortanca   
n tek ise

X ( n 1)/2

 SPSS’te seride birden çok tepe değeri olması durumunda en sık tekrar eden birim değeri
seçilerek gerekli istatistikler hesaplanır ve bir uyarı notu rapor edilir.
 Akış sayısı, birimler elde ediliş sıralarında veri dosyasında kayıtlı olması koşuluyla, aşağıdaki
fark değerleri hesaplanarak belirlenmektedir. Hesaplanan fark değerleri böylece pozitif ve
negatif olarak belirlenmiş olmaktadır. İşaretin değiştiği sayı, yani Di>=0 ve Di+1<0 veya Di<0
ve Di+1>=0 ayrıca pozitif (np) ve negatif (nn) işaret sayısı belirlenir. Akış sayısı (R),
işaret değişim sayısının bir fazlasına eşittir.
Di  X i  Kritik Değer
30.09.2015
148
74
30.09.2015
Akış sayısı testinin test istatistiği R (Runs) ile gösterilmekte ve her iki şıktaki akış
sayısını göstermektedir. Birinci şıkkın birim sayısını np, ikinci şıkkın birim sayısını nn
göstermek üzere np ve nn 10’dan büyükse bu istatistiğin örnekleme dağılımının
beklenen değeri ve standart hatası aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:
R 
2n p nn
n p  nn
2n p nn  2n p nn  n p  nn 
R 
z
1
n
 nn   n p  nn  1
2
p
R  R
R
 R   R  0,5  /  R

n  50  zc   R   R  0,5  /  R

0

30.09.2015
R   R  0,5 ise
R   R  0,5 ise
R   R  0,5 ise
149
 Örnek:
Bir okula kayıt yaptırma sıralarına göre öğrencilerin cinsiyete göre
dağılımının tesadüfi olup olmadığını araştırmak üzere seçilen 50 öğrencinin
cinsiyete göre sıralaması aşağıda gösterilmektedir. %5 anlamlılık düzeyinde
dağılımın tesadüfi olduğu söylenebilir mi (Orhunbilge, 2000:279‐280)?
 KK‐EE‐KKK‐E‐K‐EEE‐K‐E‐KK‐EEE‐KKKK‐EEE‐K‐E‐K‐E‐KK‐EEE‐KK‐EE‐KKK‐E‐K‐EEEEEE.
 Çözüm:
 H0: Kayıt yaptıran öğrencilerin cinsiyete göre dağılımı tesadüfidir.
 H1: Kayıt yaptıran öğrencilerin cinsiyete göre dağılımı tesadüfi değildir.
n1  23 kız öğrenci sayısı ve n2  27 erkek öğrenci sayısıdır.
R =24 akış saysını göstermektedir.
R 
R 
z
2n1n2
2 * 23* 27
1 
 1  25,84
n1  n2
23  27
2n1n2  2n1n2  n1  n2 
 n1  n2   n1  n2  1
2
R  R
R


(2 * 23* 27)(2 * 23* 27  23  27)
 3, 4764
(23  27) 2 (23  27  1)
24  25,84
 0,529
3, 4764
z /2  z%2,5  1,96  0,529 olduğundan H 0 kabul.
30.09.2015
150
75
30.09.2015
SPSS Akış Sayısı/Tesadüfilik (Runs) Testi Sonuçları
Runs Test
Test Valuea
Cases < Test Value
Cases >= Test Value
Total Cases
Number of Runs
Z
Asymp. Sig. (2-tailed)
X
1,46
27
23
50
24
-,529
,597
a. Mean
30.09.2015
151
Kolmogorov‐Smirnov (K‐S) Tek örneklem Testi
 Ki‐kare uygunluk testinin alternatifidir.
 Bilindiği gibi ki‐kare testinin uygulanabilmesi için her iki özelliğin şıklarına ait ortak
frekansların 5’e eşit veya daha büyük olması ve bu nedenle de daha büyük hacimli
örneklemler gerekmektedir.
K‐S tek örneklem testinde böyle bir koşul
aranmadığından daha kolay uygulanabilmektedir.
 Test örneklemden elde edilen birikimli oransal frekans dağılımının sıfır hipotezinde
ileri sürülen anakütle kuramsal olasılık dağılımıyla karşılaştırmasına dayanmaktadır.
 Hesaplanması gereken D istatistiği, gözlenen birikimli oransal frekans dağılımı ile
sıfır hipotezinde ileri sürülen kuramsal olasılık dağılımıyla elde edilen kuramsal
frekans dağılımları arasındaki maksimum mutlak farka eşittir. Yani;
 D=|Fi(x)‐Ei(x)|.
 Formülde Fi(x), örneklemde gözlenen birikimli oransal frekans dağılımı değerlerini
ve Ei(x) ise sıfır hipotezinde ileri sürülen kuramsal olasılık dağılımıyla (normal,
üniform, poisson, üstel vs.) elde edilen kuramsal frekans dağılım değerlerini
göstermektedir.
 Hesaplanan bu istatistik çeşitli anlamlılık düzeyleri ve örneklem hacimleri (n) için
kritik tablo değeriyle (D≤Dα, n ise H0 kabul) karşılaştırılmaktadır.
30.09.2015
152
76
30.09.2015
Teknik Ayrıntılar: Ampirik Birikimli Olasılık Fonksiyon (BOF) Değerlerinin Hesaplanması
 Fˆ ( X ) 
 İlgili değişkenin birim değerleri küçükten büyüğe doğru sıralanarak BOF aşağıdaki gibi 

hesaplanmaktadır:  0

Fˆ ( X )  i / n
 1

  X  X (1)
X ( i )  X  X ( i 1)
X (n)  X  


i  1, 2,..., n  1


 Kuramsal dağılımların (üniform, normal veya Poisson) parametreleri ise aşağıdaki gibi
hesaplanmaktadır. Parametreler tanımlanmasa, bunlar verilerden tahmin edilir:
 Üniform Dağılımın Parametreleri: Minimum = X1 ve Maksimum = Xn.
 Normal Dağılımın Parametreleri:
 Veriler kullanıcının tanımladığı
n
X 
X
i 1
i
s
n
1  n 2

 X i  n. X 2 
n  1  i 1
 Poisson Dağılımının Parametreleri:
n
k
k
i 1
i 1
i 1
Ortalama     X i / n   f i X i /  f i
30.09.2015
veri aralığında değilse üniform
testi uygulanmaz.
 Poisson testinde tüm veriler
pozitif tamsayılardır.
 Normal
dağılım
testinde
varyans sıfır veya Poisson
dağılımının ortalaması (lamda)
sıfıra eşitse test uygulanmaz.
153
Kuramsal Birikimli Dağılım Fonksiyonlarının (Olasılıklarının) Hesaplanması
F0 ( X i ) 
X i  X min
X mak  X min
(Üniform Dağılımı)
e   l
(Poisson Dağılımı)
l
!
l 0
  100  Normal Dağılım Yaklaşımı Kullanılır.
Xi
F0 ( X i )  
X X 
F0 ( X i )  F0,1  i
 = F0,1  z 
 s 
30.09.2015
(Normal Dağılım)
154
77
30.09.2015
Farkların Hesaplanması
 Üniform ve normal dağılım için iki değişik fark istatistiği aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır: Di  Fˆ  X i 1   F0 ( X i )
 i  Fˆ  X i   F0 ( X i )
D
i  1, 2,..., n.
 Poisson dağılım için iki değişik fark istatistiği aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:  Fˆ  X i  1  F ( X i  1)
Di  
0

  Fˆ  X   F ( X )
D
i
i
X i  0 i  1, 2,..., n.
Xi  0
i
 SPSS’te maksimum pozitif, negatif ve mutlak farklar rapor edilmektedir.
30.09.2015
155
Test İstatistiğinin ve Anlamlılık Düzeyinin Hesaplanması
 Test istatistiği aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır: 
i
z  n  Maksimumi Di , D

 İki‐yönlü anlamlılık düzeyi Smirnov (1948) formülünün ilk üç terimi
kullanılarak aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.
0  z  0, 27 ise; p  1.
0, 27  z  1 ise; p  1 

2,506628
Q  Q9  Q 25
z

-2
Burada Q  e-1,233701z 'dir.

1  z  3,1 ise; p  2 Q  Q 4  Q 9  Q16

2
Burada Q  e-2 z 'dir.
z  3,1 ise; p  0.000.
30.09.2015
156
78
30.09.2015
Örnek (K‐S Tek örneklem): Bir fakültedeki öğrenciler arasından tesadüfi olarak
seçilen 70 öğrencinin istatistik dersine gelmedikleri gün sayısına göre dağılımları
aşağıda gösterilmektedir. %1 anlamlılık düzeyinde öğrencilerin istatistik dersine
gelmedikleri gün sayısına göre dağılımının Poisson dağılımına uyduğu söylenebilir mi
(Orhunbilge: 2000:281‐284)? (Not‐Kritik Tablo Değeri‐: D%1; 70 = 0,1786)
Gözlenen (Fiili) Değerler
Gün
Sayısı
Mutlak Oransal
Frekans Frekans
[Fi(x)] [Fi(x)/70]
Birikimli
Oransal
Frekans
Kuramsal Değerler (Poisson Dağılımı)
Mutlak Oransal Birikimli
Mutlak
Frekans Frekans Oransal
Farklar
[Ei(x)] [Ei(x)/70] Frekans Fi(x)‐Ei(x)|
0
1
2
3
4
5
6
7
2
7
15
25
13
4
2
2
0,0286
0,1000
0,2143
0,3571
0,1857
0,0571
0,0286
0,0286
0,0286
0,1286
0,3429
0,7000
0,8857
0,9428
0,9714
1,0000
3,49
10,46
15,68
15,68
11,76
7,10
3,53
2,30
0,0499
0,1494
0,2239
0,2239
0,1680
0,1015
0,0504
0,0329
0,0499
0,1993
0,4232
0,6472
0,8152
0,9167
0,9671
1,0000
0,0214
0,0700
0,0803
0,0527
0,0704
0,0260
0,0042
0,0000
Toplam
70
1,0000
‐
70
1,0000
‐
H0 Kabul
30.09.2015
157
SPSS Test Sonucu (K‐S Tek örneklem Testi)
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test 3
N
Poisson Parametera,b
Most Extreme
Differences
Mean
Absolute
Positive
Negative
X
70,0000
3,0000
,0803
,0705
Kolmogorov-Smirnov Z
,6721
,7570
a. Test distribution is Uniform.
b. Calculated from data.
30.09.2015
70
0
7
,314
,314
-,157
2,630
,000
X
N
Exponential parameter.a,b Mean
Most Extreme
Absolute
Differences
Positive
Negative
70c
3,09
,344
,186
-,344
2,840
,000
a. Test Distribution is Exponential.
c. There are 2 values outside the specified distribution
range. These values are skipped.
70
3,00
1,424
,200
,200
-,157
1,673
,007
X
Most Extreme
Differences
Mean
Std. Deviation
Absolute
Positive
Negative
a. Test distribution is Normal.
Minimum
Maximum
Absolute
Positive
Negative
Most Extreme
Differences
-,0803
a. Test distribution is Poisson.
N
Uniform Parametersa,b
X
N
Normal Parameters a,b
158
79
30.09.2015
4‐Wilcoxon İşaretli‐Sıra Tek‐Örneklem Testi
Wilcoxon İşaretli‐Sıra Tek‐Örneklem Testi, bir örneklemden
hesaplanan medyan değeri ile ileri sürülen (hipotezleştirilmiş)
medyan değeri arasındaki farkın anlamlı olup olmadığının
araştırılmasında kullanılan bir testtir. Analiz edilecek değişken
sürekli bir değişken olmadır. Bu teste aşağıdaki sıfır hipotezi test
edilmektedir.
H 0 : medyan  X    veya H 0 : medyan  X     0
Burada  , araştırmacı tarafından ileri sürülen parametre değeridir.
30.09.2015
159
Teknik Ayrıntılar
Testin teknik ayrıntıları aşağıdaki gibidir:
di  Xi   ve D  di : di  0 .
Test istatistiği, sıfır olamyan pozitif sıra değerleri toplamıdır.
T   fi
iD
Standartlaştırılmış test istatistiği (T * )ise aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:
T*=
T  T
T
Burada, T 
n  n  1
n  n  1 2n  1 1 m 3
  t j  t j ve n   fi 'dir.
, T 
4
24
48 j 1
iD


Burada m, di  0 olan belirli sıra değerleri toplamını ve
t j , j. birim değeri için farkı sıfır çıkan birim sayısını göstermektedir.
Asimptotik tek-yönlü ve iki-yönlü p-değerleri aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:


 
p1  P z  T *  1   T *
ve
p2  2 p1
p1   ise, medyan  X  >0, T  0 ve medyan  X  <0, T *  0 durumlarında
*
sıfır hipotezi reddedilir.
30.09.2015
160
80
30.09.2015
9. HAFTA
 Parametrik Olmayan Bağımsız İki‐Örneklem Testleri
1. Mann Whitney (M‐W) U Testi
2. Kolmogorov Smirnov (K‐S) İki‐Örneklem z Testi
3. Wald‐Wolfowitz Akış Testi.
4. Moses Aşırı Tepki Testi
30.09.2015
161
Mann‐Whitney U Testi
 İki bağımsız örneklemin aynı anakütleden gelip gelmediğinin
araştırılmasında kullanılan parametrik olmayan iki‐yönlü bir hipotez testidir.
İki bağımsız örneklem ortalaması arasındaki farkın t veya z testlerinin
parametrik olmayan alternatifidir.
 M‐W U testi yerine kullanılabilecek diğer testler arasında Kolmogorov‐
Smirnov (K‐S) z, Moses Aşırı Tepki, Wald‐Wolfowitz Akış testleridir. Bu
testlerden en yaygın kullanılanı M‐W U testidir. W‐W ve K‐S testleri daha
genel testlerdir.
 M‐W U testi, Wilcoxon Sıra Toplam (W) ve iki grup için Kruskal‐Wallis (K‐W)
testlerinin eşdeğeridir.
 Varsayımlar: (1) Veriler en az ordinal veya metrik ölçeklidir; (2) anakütle
konumları hariç grup olasılık dağılımları özdeştir; (3) iki örneklem
birbirinden bağımsızdır; (4) iki örneklem ilgili anakütlelerinden basit
tesadüfi örkleme yöntemiyle seçilmiştir. Anakütle birimlerinin örnekleme
seçilme olasılıkları eşittir.
30.09.2015
162
81
30.09.2015
 Bu testler, anakütle dağılımları hakkında varsayımlara dayanmadığı ve
küçük örneklemlerde de uygulanabildikleri için parametrik
alternatiflerine oranla daha yaygın olarak kullanılmaktadır. M‐W U
testinde aşağıdaki hipotezler test edilir:
 H0: İki örneklem aynı anakütleden çekilmiştir (İki anakütle ortancaları
eşittir; Med1=Med2).
 H1: İki örneklem farklı anakütlelerden çekilmiştir (İki anakütle
ortancaları eşit değildir; Med1≠Med2).
 Büyük (n1 veya n2≥ 10) ve küçük örneklemler (n1 veya n2≤ 10) için
aşağıdaki U1 ve U2 istatistikleri hesaplanmaktadır. Hipotezlerin
sınanmasında küçük olan Ui veya Wi istatistiği kullanılmaktadır. Ui
istatistikleri iki örneklemin birim değerleri birleştirilip küçükten büyüğe
doğru sıralanmasıyla hesaplanmaktadır. Bu nedenle M‐W U testi
Wilcoxon Sıra Toplam Testi (W) olarak da bilinmektedir. Eşit olan birim
değerlerinin sıra değerleri, ilgili birimlerin sıra numaralarının ortalaması
alınarak yeniden çözümlenir.
30.09.2015
n1
W1   Si
i 1
n2
W2   Si
163
W j  Wi / ni  j  1, 2.
i 1
n1 (n1  1)
n (n  1)
U 2  W2  2 2
2
2
W istatistiğinin beklenen değeri ve eşit birim değerlerine göre
U1  W1 
düzeltilmiş standart sapması aşağıdaki gibidir:
n (n  n  1)
n (n  n  1)
W1 = 1 1 2
W2  2 1 2
2
2
k
W 
n1n2   t 3j  t j 
n1n2 (n1  n2  1)
J 1

12
12  n1  n2  n1  n2  1
Burada t j , herhangi bir değer için tekrar eden birim sayısını; k ise tekrar eden
farklı birim sayısını göstermektedir.
Düzeltmesiz Kesin Olasılık (Exact Probability):
z
Wi  Wi
z
Wi  0,5  Wi
W
i
Düzeltmeli Kesin Olasılık (Exact Probability):
W
i
30.09.2015
164
82
30.09.2015
U‐İstatistiği İle Hipotezlerin Sınanması
 Birinci grup için U istatistiği aşağıdaki gibi de hesaplanabilmektedir. Bu
durumda U istatistiğinin kullanılabilmesi için U<(n1n2)/2 olmalıdır. Aksi
durumda ise aşağıdaki U* istatistiği kullanılır.
U  n1 n2 
n1 (n1  1)
 W1
2
U *  n1 n2  U
 n1n2<=400 ve n1n2/2+min(n1, n2)<=220 ise kesin anlamlılık düzeyi Dineen
ve Blakesley (1973) algoritmasına göre hesaplanmaktadır.
 Örneklem istatistiğinin örnekleme dağılımı yaklaşık olarak normal dağılıma
uymaktadır. Buna göre örneklem istatistiğinin standartlaştırılmış değeri
(veya kısaca test istatistiği) aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:
z
U  n1n2 / 2 
n1n2  n3  n k 
  Tj 

n  n  1  12
j 1

30.09.2015
Burada n  n1  n2 ve T j   t 3  t  / 12
165
Örnek (M‐W U Testi): Bir fakültenin birinci sınıfının A ve B şubelerinde matematik dersi
farklı öğretim üyeleri tarafından yürütülmektedir. Matematik dersinden başarının iki şubede
aynı olup olmadığını araştırmak üzere her iki şube öğrencileri arasından tesadüfi olarak
seçilen 10’ar öğrencinin sınav kağıdı incelenmiş ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. %5
anlamlılık düzeyinde matematik dersinden başarı açısından farklı öğretim üyelerinin gittiği
iki şube arasında anlamlı bir farklılık olduğu söylenebilir mi (Orhunbilge, 2000:293‐294)?
Matematik Notları
Çözüm (Birim Sıra Değerleri)
A Şubesi
B Şubesi
A Şubesi
B Şubesi
30
30
35
38
39
50
58
60
62
65
30
35
38
40
45
46
55
61
63
68
2
2
4,5
6,5
8
12
14
15
17
19
2
4,5
6,5
9
10
11
13
16
18
20
Toplam
‐
W1=100
W2=110
30.09.2015
166
83
n1
n2
i 1
i 1
30.09.2015
W1   S i  100 W1  10 W2   Si  110 W2  11
n1 ( n1  1)
10(10  1)
 100 
 45
2
2
n ( n  1)
10(10  1)
U 2  W2  2 2
 110 
 55
2
2
n ( n  n  1) 10(10  10  1)
W1 = 1 1 2

 105
2
2
n ( n  n  1) 10(10  10  1)
W2  2 1 2

 105
2
2
U 1  W1 
k
n1n2   t 3j  t j 
n1n2 ( n1  n2  1)
J 1

12  n1  n2  n1  n2  1
12
W 
3
10  10(10  10  1)


12
z
z
Wi  Wi

W
10  10  33  3    23  2    23  2  
J 1
12 10  10 10  10  1
 13,199
100  105
 0, 379  P  z  0, 379   0, 705.
13,199
Wi  0, 5  Wi
W
i

100  0, 5  105
 0, 341  P  z  0, 341   0, 739.
13,199
z /2  z%2,5  1, 96  0, 379 olduğundan H 0 kabul edilir.
30.09.2015
167
II. Yol: U istatistiğinin Hesaplanması
n1 (n1  1)
 W1
2
10(10  1)
U  10 *10 
 100  55
2
U  n1n2 / 2  55  50
U  n1n2 
 Olduğundan aşağıdaki düzeltilmiş U* istatistiği kullanılmaktadır:
U *  n1 n2  U  U *  10 *10  55  45
 Test istatistiği ise aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:
z
U  n1n2 / 2 

n1n2  n3  n k
  Tj 

n  n  1  12
j 1

30.09.2015

 45  50 
10 *10  203  20  33  3 23  2 23  2  





20  20  1  12
12
12  
 12
 0,379
168
84
30.09.2015
SPSS Sonuçları
Ranks
Y Not
X Şube
1
2
Total
N
10
10
20
Mean Rank
10,00
11,00
Sum of Ranks
100,00
110,00
Test Statisticsb
Mann-Whitney U
Wilcoxon W
Z
Exact Sig. [2*(1-tailed
Sig.)]
Y Not
45,000
100,000
-,379
,705
a
,739
a. Not corrected for ties.
b. Grouping Variable: X Şube
30.09.2015
169
Kolmogorov‐Smirnov (K‐S) İki‐Örneklem z‐Testi
 K‐S iki‐örneklem z‐testi, iki bağımsız iki örneğin karşılaştırılmasında kullanılan genel
parametrik olmayan bir testtir. Yani iki örneklem arasındaki farklılık ortalamadan, standart
sapmadan, sapan birimlerden, eğiklikten, basıklıktan ve çok sayıdaki tepe değerinden vs.
kaynaklanabilir. Fakat K‐S testi söz konusu farklılığın neden kaynaklandığı hakkında bilgi
vermemektedir.
 Bu testin varsayımları şunlardır: (1) iki örneklem birbirinden bağımsızdır; (2) iki anakütle
dağılımları süreklidir; (3) veriler en az ordinal ölçeklidir.
 Bu test parametrik olmayan bir test olduğundan, anakütlenin normal dağıldığını
varsaymamaktadır.
 K‐S z‐testi genellikle verilerde çok sayıda eşit birim değeri (ties) olması durumunda M‐W U
veya W‐W Akış testleri yerine kullanılmaktadır.
 Test istatistiği; iki örneğin ampirik olasılık fonksiyonları arasındaki maksimum uzaklık olarak
hesaplanmaktadır. Testin aşamaları şöyledir: (1) Her bir örneklem için, gözlenen birim frekans
değerleri küçükten büyüğe doğru sıralanır; (2) her bir örneklem için birikimli frekans değerleri
hesaplanır; (3) iki örneğin birikimli frekans değerleri arasındaki farklar hesaplanır. Aşağıda
Smi(X), örneklem hacmi daha büyük olan grubu göstermektedir.
Dm,n  max  S mi ( X )  S ni (Y )  Tek-Yönlü ( En Büyük Pozitif veya Negatif Fark)
Dm,n  max  Smi ( X )  Sni (Y )  Çift-Yönlü ( En Büyük Mutlak Fark)
30.09.2015
170
85
30.09.2015
Teknik Ayrıntılar: K‐S İki‐Örneklem Testi
 Her iki gruptaki birim değerleri ayrı ayrı küçükten büyüğe
doğru  X1'den X ni 'ye  sıralandıktan sonra ampirik BDF (Birikimli
Dağılım Fonksiyonları) aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:
  X  X 1
 0

ˆ
Fi ( X )   j / ni X j  X  X j 1
 1
X n1  X  

 Her iki gruptaki Xj birim değerleri arasındaki farklar aşağıdaki gibi
hesaplanmaktadır. Eşitlikteki ilk terim örneklem hacmi büyük olan grubun
ampirik birikimli olasılıklarını göstermektedir. SPSS’te maksimum pozitif,
negatif ve mutlak farklar hesaplanıp rapor edilmektedir. Bu istatistikler
araştırma hipotezinin tek‐yönlü veya çift‐yönlü olarak sınanmasında
kullanılmaktadır. SPSS’te mutlak farklara dayanan iki‐yönlü anlamlılık testi
varsayılan olarak hesaplanmaktadır.
D j  Fˆ1 ( X j )  Fˆ2 ( X j )
30.09.2015
171
Test İstatistiği ve Anlamlılık Düzeyinin Hesaplanması
 Test istatistiği aşağıdaki gibi hesaplanır (Smirnov, 1948):
z  max D j
n1n2
n1  n2
 z istatistiğinin anlamlılık düzeyi ise K‐S tek‐örneklem testinde açıklanan Smirnov
yaklaşımı
kullanılarak hesaplanmaktadır.
 K‐S z testinde II.tip hata yapma (gerçekte yanlış olan H0 hipotezinin kabul edilmesi durumu) olasılığı
çok yüksektir.
 Bağımsız iki‐örneklem testlerinden M‐W U testi, testin gücü en yüksek olan testtir. Fakat gruplarda
çok sayıda eşit birim değerleri olması durumunda kullanılması uygun değildir. Bu durumda K‐S z
testinin benimsenmesi gerekir. Tıpkı t‐testinde olduğu gibi M‐W U testi ortalamaya dayanan bir
testtir. Fakat iki gruplu bir anakütlede bir gruptaki sıra birim değerleri çift yönlü uç değerlerde,
diğer gruptaki sıra birim değerleri ortalama üzerinde veya tek‐yönlü uç değerlerde yoğunlaşması
durumunda iki grubun ortalamaları birbirine yakın, fakat standart sapmaları farklı çıkacak ve bu
durumda M‐W U testi ile değişkenlikleri yönünden gerçekte farklı olan anakütleler hakkında yanlış
sonuçlara varılacaktır. Böyle bir durumda benimsenmesi gereken en uygun test W‐W Akış testidir.
 Smirnov, N. V. (194), Table for Estimating the Goodness of fit of Empirical Distributions,, 19, 279‐281. Annals of the Mathematical Statistics.
30.09.2015
172
86
30.09.2015
Örnek: Bir anket araştırmasına katılan 170 araştırmacının bir soruya verdikleri cevaplar
aşağıdaki tabloda özetlenmektedir. Erkek ve bayanların aynı anakütleden çekildiği %5
anlamlılık düzeyinde söylenebilir mi?
Görüş
Erkek
Kadın
F(Ej)
B.F(Ej)
F(Kj)
B.F(Kj)
Dj
1=Kesinlikle Katılıyorum
2=Katılıyorum
3=Kararsızım
4=Katılmıyorum
5=Kesinlikle Katılmıyorum
32
30
10
5
3
3
5
10
40
32
0,400
0,375
0,125
0,063
0,037
0,400
0,755
0,900
0,963
1,000
0,033
0,056
0,111
0,444
0,356
0,033
0,089
0,200
0,644
1,000
‐0,367
‐0,666
‐0,700
‐0,319
0,000
Toplam
80
90
1,000
‐
1,000
‐
‐
 W‐W Akış, Mann Whitney U ve Wilcoxon İki‐örneklem testleri her iki grupta birim
değerleri birbirine eşit (ties) olan birim değerlerinin olmadığını varsaymaktadır. İki
gruplu bir örneklemde eşit değerler (ties) varsa K‐S iki örneklem testinin
kullanılması daha uygundur.
z  max j D j
30.09.2015
n1n2
80*90
 0, 70*
 4,556
80  90
n1  n2
173
SPSS Sonuçları
Descriptive Statistics
n
Mean
Std. Deviation
Minimum
Maximum
Percentiles
25th
50th (Median)
75th
X : Verilen Yanıtlar
170
3,06
1,458
1
5
2,00
3,00
4,00
Test Statistics(a)
Most Extreme Differences
X : Verilen Yanıtlar
,700
,000
‐,700
4,556
,000
Absolute
Positive
Negative
Kolmogorov‐Smirnov Z
Asymp. Sig. (2‐tailed)
a Grouping Variable: C Cinsiyet
30.09.2015
174
87
30.09.2015
Wald‐Wolfowitz (W‐W) Akış Testi
 İki örneklemin aynı anakütleden gelip gelmediğinin sınanmasında kullanılan parametrik olmayan bir
hipotez testidir. Verilerin en az ordinal ölçekli olması gerekmektedir. Mann‐Whitney U ve K‐S İki‐
Örneklem testlerinin alternatifi olan parametrik olmayan bir testtir.
 Her iki örneklemdeki birim değerleri birleştirilip küçükten büyüğe doğru sıralanır. Akış sayısı, birim
değerleri sıra numarasına göre sıralandıktan sonra ortaya çıkan grup kümeleri sayısına eşittir.
örneklemler aynı anakütleden çekilmişse, her iki gruptaki birim değerlerinin sıra değerlerine göre
rassal bir dağılım göstermesi gerekir.
 Böylece W‐W akış testi iki gruptaki birim değerlerini bir araya getirip küçükten büyüğe doğru
sıralayarak, iki örneğin konumunun ve dağılımının şeklini karşılaştırmaktadır.
 Toplam akış sayısı (R), grup değişim sayısının bir fazlasına eşittir. SPSS’te grup birim değerleri
arasında eşit değerler (ties) elde edilmesi durumunda olası minimum ve maksimum akış sayıları
hesaplanıp rapor edilmektedir. Çünkü eşit değerler yeni bir akış olarak değerlendirilebileceği gibi
tam tersi olarak da değerlendirilebilir.
 Böylece farklı iki yaklaşıma göre farklı iki anlamlılık düzeyi hesaplanabilmektedir. Eğer her iki
yöntemle hesaplanan anlamlılık düzeyi %5’den küçükse, gruplar anlamlı farklılık gösteriyor demektir.
Diğer taraftan her iki yöntemle hesaplanan anlamlılık düzeyi %5’den büyükse, gruplar anlamlı
farklılık göstermiyor demektir.
 Fakat anlamlılık düzeylerinden birisi %5’den büyük, diğeri küçükse grup farklılıkları konusunda
istatistik bir karara varılamamaktadır.
30.09.2015
175
Anlamlılık Düzeyinin Hesaplanması
 Örneklem hacmi n (n=n1+n2) 30’a eşit ya da daha küçük ve R çiftse, tek‐
yönlü kesin anlamlılık düzeyi aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:
P(r  R) 
R
 n1  1  n2  1 
2




 n1  n2  r 2  r / 2  1 r / 2  1


 n1 
 R tek ise, tek‐yönlü kesin anlamlılık düzeyi aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır: P(r  R) 
R  n 1
 1   n2  1  n1  1  n2  1 
1






 n1  n2  r 2  k  1   k  2   k  2   k  1  


 n1 
 Burada r=2k‐1’dir.
 Örneklem hacmi 30’dan büyükse, normal dağılım
kullanılmaktadır. Bunun için Akış Testine (Runs Test) bakılabilir.
30.09.2015
yaklaşımı
176
88
30.09.2015
Örnek: Aşağıdaki iki örneğin aynı anakütleden çekilip çekilmediğini araştırınız?
Ham Veriler
Sıralayıcı (Ordinal) Veriler
Xi (Suçlular)
Yi (Suçsuzlar)
SiX
SiY
15
23
41
14
9
27
30
39
24
21
28
20
13
33
46
35
37
22
31
18
4
9
19
3
1
11
13
18
10
7
12
6
2
15
20
16
17
8
14
5
Akış Sayısı (12 Adet)
X – Y – XX – YY – X – Y – XXX – Y – X – YYYY – XX – Y
 H0: İki örneklem aynı anakütleden çekilmiştir. Suçlu ve suçsuz olanların davranış tepkileri aynıdır.
 H1: İki örneklem farklı anakütlelerden çekilmiştir. Suçlu ve suçsuz olanların davranış tepkileri farklıdır.
Frequencies
Test Statisticsb,c
Y
Exact Number of Runs
Number
of Runs
12a
Z
,689
a. No inter-group ties encountered.
b. Wald-Wolfowitz Test
Exact Sig.
(1-tailed)
,758
Y
X
1
2
Total
N
10
10
20
c. Grouping Variable: X
30.09.2015
177
Moses Aşırı Tepki Testi

Bu teste «H0: Her iki anakütlede ekstrem değerlerinin ortaya çıkması olasılığı eşittir (kontrol ve deney grubunda
birimlerin sıra değerlerinin değişim aralığı eşittir) ve H1: Örneklem hacmi daha büyük olan grupta (kontrol grubu)
ekstrem değerlerin ortaya çıkması olasılığı daha yüksektir» hipotezleri test edilmektedir. Eşit birim değerlerine
ortalama sıra numarası verilecek şekilde her iki gruptaki birim değerleri birlikte küçükten büyüğe doğru sıralanır.
Daha sonra ek küçük ve en büyük kontrol grup (birinci grup) sıra numaralarına karşılık gelen birim değerleri
saptanır ve yayılım (SPAN) değeri aşağıdaki gibi hesaplanarak en yakın tamsayıya yuvarlanır:

SPAN=(Kontrol Grubu En Büyük Sıra Değeri)‐(Kontrol Grubu En Küçük Sıra Değeri)+1.

Aşağıdaki formülde g=SPAN+2h olmak üzere, kesin tek‐yönlü anlamlılık düzeyi aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:
 i  nk  2h  2   nd  2h  1  i  


nd  i
i
i  0 


P ( SPAN  nk  2h  g ) 
 nk  nd 


 nk 
g
 

Burada h=0; nk, kontrol grubundaki birim değerleri sayısını; nd, deney grubundaki birim değerleri sayısını
göstermektedir. h’nin sıfır olmadığı durumda da yukarıdaki formülün aynısı kullanılmaktadır. Bu durumda kontrol
grubundaki en büyük ve en küçük sıra değeri hesaplama dışı tutulup test tekrarlanır. h değeri kullanıcı tarafından
girilmezse, SPSS’te 1 veya 0,05*nk değerinin tamsayı kısmından daha büyük olanı h değeri olarak kullanılmaktadır.
Kullanıcı tarafından h değeri tanımlanmışsa, birden küçük olmaması koşuluyla tamsayı kısmı kullanılır.
30.09.2015
178
89
30.09.2015
Örnek: SPSS Sonuçları
Kontrol Grubu (n1=12)
Deney Grubu (n2=10)
Kontrol Grubu Sıra Değeri (n1=12)
Deney Grubu Sıra Değeri (n2=10)
29
39
39
43
45
47
47
48
49
51
52
55
45
45
56
58
59
67
68
94
95
99
101
108
1
2,5
2,5
4
6
8,5
8,5
10
11
12
13
14
6
6
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
SPAN=14‐1+1=14 ve Trimmed SPAN=13‐2,5+1=11,5=12’dir.
30.09.2015
179
10. HAFTA
 Parametrik Olmayan Bağımlı İki‐Örneklem Testleri
1. Wilcoxon İşaretli‐Sıra Testi
2. İşaret Testi
3. McNemar Testi
4. Marjinal Homojenlik Testi.
30.09.2015
180
90
30.09.2015
Bağımlı İki‐Örneklem İçin Wilcoxon İşaretli‐Sıra Testi
 Wilcoxon testinde birbiriyle ilişkili iki grup ile ilgilenmektedir. Test, iki anakütle medyanlarının birbirine
eşit veya iki anakütle medyanları arasındaki fakın sıfıra eşit olup olmadığının araştırılmasında
kullanılmaktadır. Bilindiği gibi t‐testinde normal dağılım varsayımı altında iki anakütle ortalaması
arasındaki farkın anlamlılığı araştırılırken, Wilcoxon İşaretli‐Sıra Testinde böyle bir varsayım
yapılmamaktadır.
 Test, iki bağımlı örneklemler için t‐testinin en iyi parametrik olmayan alternatifidir.
 Bu test için sıfır ve karşıt (araştırma) hipotezleri aşağıdaki gibi yazılmaktadır:
 H0: İki Anakütle Medyanları eşittir (Md1=Md2).
 H1: İki Anakütle Medyanları eşit değildir (Md1≠Md2).
 Testte öncelikle her iki anakütleden çekilen bağımlı örneklem birim değerleri arasındaki farklar
hesaplanır (Di=Xi‐Yi). Daha sonra sıfır farklar dışındaki mutlak farklar (işaretler dikkate alınmaksızın) en
küçüğüne 1 sıra numarası verilerek sıralanır. Aynı sırada birden fazla fark varsa sıra numaraları
toplamlarının ortalaması alınarak sıra numarası verilir. Her sıraya kendi işareti verilerek negatif sıra (Sn)
ve pozitif sıra toplamları (Sp)
hesaplanır.
Örneklem istatistiği olarak pozitif ve negatif sıra
toplamlarından minimumu genelde seçilmekte ve bu değer genelde W ile gösterilmektedir. W
istatistiği için pozitif sıra toplamları değeri de kullanılabilmektedir.
30.09.2015
181
 Pozitif ve negatif sıra değerlerinin ortalaması aşağıdaki gibi hesaplanır. :
X p  S p / n p ve X n  S n / nn
 Bu istatistiğin (W) örnekleme dağılımının beklenen değeri (ortalaması) n hacimli bir
örneklem için aşağıdaki gibidir.
w 
n(n  1)
4
 W örneklem istatistiğinin standart hatası ise aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:
m
W 
m
t  t
n  n  1 2n  1

j 1
3
j
j 1
j
24
48
n  Farkı sıfır olmayan toplam birim sayısını,
m=Tekrar eden farklı birim sayısını,
t j =Belirli bir birimden tekrar eden birim sayısını göstermektedir.
30.09.2015
182
91
30.09.2015
 Örneklem hacmi yeteri kadar büyükse (n≥10), sıra toplamları dağılımına normal
yaklaşım yöntemi uygulanabilir. Bu yöntem eşit değer düzeltmesi yapıyorsa da,
sonsuzluk düzelme faktörünü içermez. z istatistiği aşağıdaki gibidir.
z
W  W
W
 Sonsuzluk düzeltme faktörlü z formülü aşağıdaki gibi yazılmaktadır:
z
W  W 
W
1
2
 Tek‐örneklem Testinin Varsayımları: (1) değişkenler en az aralık veya oran ölçeklidir;
(2) veriler normal dağılıma uymaktadır; (3) örneklem verileri ilgili anakütleden basit
olasılıklı örnekleme yöntemiyle seçilmiştir.
 Wilcoxon İşaret‐Sıra Testinin Varsayımları: (1) Farklar serisi en az aralık ölçeklidir; (2)
farkların dağılımı simetriktir; (3) farklar karşılıklı olarak (mutually) birbirinden
bağımsızdır.
30.09.2015
183
Örnek (W İşaret Sıra Testi): Personel seçiminde yapılan sınavların tümü iki uzman
tarafından değerlendirilmektedir. Sınava giren adaylar arasından tesadüfi seçilen 13
adayın kağıtları her iki uzman tarafından değerlendirilmiş ve aşağıdaki sonuçlar 100
üzerinden elde edilmiştir. %1 anlamlılık düzeyinde iki uzman değerlendirmeleri
arasında anlamlı bir farklılığın olduğu söylenebilir mi (Orhunbilge, 2000:290‐291)?
Değerlendirme Sonuçları
Çözüm İşlemleri
Adaylar
I. Uzman
II. Uzman
Di= Fark
Mutlak Fark Sırası
İşaretli Fark Sırası
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
83
79
88
85
75
84
85
98
75
79
88
90
90
80
82
83
86
70
78
87
91
76
75
80
92
80
3
‐3
5
‐1
5
6
‐2
7
‐1
4
8
‐2
10
5,5
5,5
8,5
1,5
8,5
10
3,5
11
1,5
7
12
3,5
13
5,5
‐5,5
8,5
‐1,5
8,5
10,0
‐3,5
11,0
‐1,5
7,0
12,0
‐3,5
13,0
W=Sn=15,5
Sp=75,5
30.09.2015
184
92
30.09.2015
W  Sn  15,5
W 
n(n  1)  d 0 (d 0  1) 13(13  1)  0(0  1)

 45,5
4
4
k
W 
n  n  1 2n  1  d 0  d 0  1 2d 0
24
k
t  t
 1

j 1
3
j
j 1
j
48
13 13  1 2 *13  1  0  0  1 2 * 0  1 0

 14, 293
24
48
W  W 15,5  45,5
z

 2, 0991
14, 293
W
W 
z
z
W  W 
W
W  W 
W
1
2  15,5  45,5  0,5  2.064  ( X 1  X 2  0)
14, 293
1
2  15,5  45,5  0,5  2,134  ( X 1  X 2  0)
14, 293
z /2  z0,005  2,58  2, 0991 olduğundan H 0 kabul.
30.09.2015
185
SPSS Sonuçları (W İşaret Sıra Testi):
Ranks
N
X2 Uzman Görüşü - X1 Uzman
Negative Ranks
Positive Ranks
Ties
Total
5a
8b
0c
13
Mean Rank
3,10
9,44
Sum of Ranks
15,50
75,50
a. X2 Uzman Görüşü < X1 Uzman
b. X2 Uzman Görüşü > X1 Uzman
c. X2 Uzman Görüşü = X1 Uzman
30.09.2015
186
93
30.09.2015
Bağımlı İki‐örneklem Testleri
 İşaret (sign) testi iki bağımlı anakütlenin birbirinden farklı olup olmadığının
araştırılmasında kullanılan parametrik olmayan bir hipotez testidir.
 Testin uygunluğu veri türüne bağlıdır. Değişkenler sürekli ise iki bağımlı örneğin
birbirinden farklı olup olmadığının araştırılmasında İşaret veya Wilcoxon İşaret‐Sıra
Toplam testi kullanılmalıdır.
 Değişkenlerin verileri iki sonuçlu ise McNemar testi, ikiden çok sonuçlu bir
değişken ise Marjinal Homojenlik testinin kullanılması gerekir. Marjinal Homojenlik
testi McNemar testinin ikiden çok sonuçlu kategorik değişkenler için
genelleştirilmiş uzantısıdır.
 Parametrik bağımlı örneklem testleri gibi ikili örneklem farklarına değil bu farkların
eşit (0), pozitif (+) ve negatif (‐) olup olamadıklarına dayanmaktadır. Eğer iki grup
benzer bir dağılım gösteriyorsa, pozitif ve negatif fark sayıları birbirinden anlamlı
bir farklılık göstermemesi gerekmektedir. Wilcoxon İşaret‐Sıra Toplam testi ise, iki
değişkenin tüm birim değerleri arasındaki fakların işaretlerinin yanında
büyüklüklerini de dikkate almaktadır.
30.09.2015
187
İşaret Testi: Test İstatistiği ve Anlamlılık Düzeyi
 İşaret testinde öncelikle birim değerleri arasındaki farklar hesaplanır: Di=Xi‐Yi. Daha sonra sıfır
farklar (Xi=Yi) hariç pozitif farklar sayısını np ve negatif farklar sayısını gösteren nn istatistikleri
hesaplanmaktadır. Örneklem istatistiği (S) olarak np ve nn istatistiklerinden maksimumu
alınmaktadır. Örneklem istatistiği S’nin ortalaması ve standart hatası “H0: İki Anakütle Aynıdır”
varsayımıyla;
 S  n  0,5
 S  0,5 n p  nn
 np ve nq≥5 olduğunda binom dağılımının normal dağılıma yaklaştığı bilindiğine göre p=q=0,50
olduğunda ve n≥10 ise normal dağılım için gerekli koşul sağlanmış olur. n≥10 ise örneklem
istatistiğinin dönüştüğü standart değer aşağıdaki standart normal dağılım dönüşüm
formülüyle hesaplanmaktadır. SPSS’te np+nn>25 olduğunda normal ve np+nn<=25 olduğunda
binom dağılım yaklaşımı kullanılarak anlamlılık düzeyleri hesaplanmaktadır.
z
S  0,5.(n p  nn )  0,5
S
 Anakütleler normal dağılmıyorsa veya örneklem hacmi yeteri kadar büyük değilse parametrik
bağımlı t veya z testleri yerine “İşaret Testi” kullanılabilmektedir.
30.09.2015
188
94
30.09.2015
Binom Yaklaşımıyla Anlamlılık Düzeyinin Hesaplanması
 SPSS’te np+nn=0 ise tek‐yönlü kesin p‐değeri 0,50’dir. 0<np+nn<=25
olduğunda binom dağılım yaklaşımı kullanılarak tek‐yönlü anlamlılık düzeyi
[p1=min (p*, p**)] aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:
n 1
p
p
n  n 
 n  nn 
n n
n p  nn
p*    p n   0,5  p n ve p**  1    p
  0,5 
i 
i 
i 0 
i 0 
n
 np+nn>25 ise, test istatistiği aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.
zh 
mak.  n p , nn   0,5  n p  nn   0,5
0,5 n p  nn

S  0,5  n p  nn   0,5
0,5 n p  nn
 Tek‐yönlü ve iki‐yönlü p‐değerleri aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.
p1  P  z  zh   1    zh
 ve p  2 p
1
  0 ve n p  nn ile   0 ve n p  nn durumlarında p1   ise H 0 hipotezi reddedilir.
  0 ya da   0 durumlarında p   ise H 0 hipotezi reddedilir.
30.09.2015
189
Örnek (İşaret Testi: İki Bağımlı örneklem): Bir reklam firması 13 kişiye iki
reklam filmi seyrettirmiştir. Herkesten her bir reklam filmini 1 ile 5 aralığında
değerlendirmesi istenmiştir. Elde edilen sonuçlar aşağıdaki tabloda verilmiştir. %5
anlamlılık düzeyinde reklam filmleri arasında verilen puanlar açısından anlamlı bir
farklılık olduğu söylenebilir mi?
Değerlendirme Sonuçları
Çözüm İşlemleri
Kişiler
I. Film (1)
II. Film (2)
Farkların İşaretleri (1‐2)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4
5
4
4
5
5
5
3
5
4
4
5
3
3
1
4
4
4
3
2
4
5
4
2
3
4
+
+
0
0
+
+
+
‐
0
0
+
+
‐
30.09.2015
190
95
30.09.2015
H 0 : p  n (negatif işaretler pozitif işaretlere eşittir)
H1 : p  n (negatif işaretler pozitif işaretlerden daha fazladır)
S  7 (Sıfır hariç pozitif farklar sayısıdır)
 S  n  0,5   9 * 0,5  4,5
 S  0,5  n p  nn  0,5  9  1,5
zh 
S   S  0,5
S

7  4,5  0,5 7  5

 1,333
1,5
1,5
z%5  1, 65  zh  1,333 olduğundan H 0 kabul edilir.
Tek-yönlü p -değeri  P  z  1,333  0,50  0, 4082  0, 092
İki-yönlü p -değeri  2 * P  z  1,333  2 *  0,50  0, 4082   0,184
__________________________________________________________
r
2
 n  nn 
7  2
n p  nn
7 2
P( X  r )    p
 P( X  2)   
  0,5 
  0,5 
i 
i 
i 0 
i 0 
9
9
9
 
 
 
9
9
9
9
P ( X  2)     0,5      0,5      0,5    0,5  (1  9  36)  0, 0898  0, 090
0
1
 2
Çift-yönlü olasılık düzeyi hesaplanacağından nihahi olasılık 2*0.090=0,180'dir.
30.09.2015
191
SPSS Sonuçları (Sign Testi)
Frequencies
N
Film2 - Film1
Negative Differencesa
Positive Differencesb
Tiesc
Total
2
7
4
13
a. Film2 < Film1
b. Film2 > Film1
c. Film2 = Film1
Test Statisticsb
Exact Sig. (2-tailed)
Film2 - Film1
,180a
a. Binomial distribution used.
b. Sign Test
30.09.2015
192
96
30.09.2015
McNemar Testi

Birbiriyle ilişkili iki sonuçlu kukla (0 ve 1 olarak kodlanan) iki bağımlı değişken için parametrik olmayan bir hipotez
testidir. Test, genellikle tekrarlı örneklemler (deneyler) olması durumunda kullanılmaktadır. Binom dağılımına uyan
değişkenler için uygun bir parametrik olmayan hipotez testtir. McNemar testi birbiriyle ilişkili olan iki sonuçlu
değişkenlere ait satır ve sütun marjinal frekanslarının birbirine eşit olup olmadığının araştırılmasında
kullanılmaktadır. Değişkenler multinomial dağılımına uyuyorsa, Marjinal Homojenlik (MH) testi kullanılır.

Teste ilk olarak X ve Y değişkenleri iki sonuçlu olmak koşuluyla, Xi<Yi=n1 ve Xi>Yi=n2 istatistikleri hesaplanır.
Değişkenler ikiden çok veya tek sonuçlu ise test uygulanmaz.

McNemar testi standartlaştırılmış normal veya ki‐kare dağılımlarına göre asimptotik bir testtir. McNemar test
istatistiğinin kesin anlamlılık düzeyi küçük örneklemlerde (n1+n2<=25), r=min(n1, n2) ve p=0,50 ise n1+n2 sayıdaki
denemede r veya daha az sayıda sonucun binom yaklaşımıyla aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır. Büyük
örneklemlerde (n1+n2>25) ise sonsuzluk düzeltmesi yapılmış ki‐kare dağılımından yararlanarak aşağıdaki gibi
hesaplanmaktadır. McNemar Testinde, «H0: İki örneklem ayni marjinal dağılıma sahiptir» sıfır hipotezi test edilir.

Fakat düzeltilmiş ki‐kare istatistiği tartışmalı bir konudur. McNemar testi doğası gereği iki‐yönlü bir hipotez testidir.
Hesaplanan tek‐yönlü p‐değeri iki ile çarpılarak iki‐yönlü anlamlılık düzeyi de hesaplanabilir.
r
n  n 
n n
P  X  r   p1    1 2   0,5  1 2
i 
i 0 
2
 Düzeltilmiş

30.09.2015
 n n
1
2
 1
n1  n2
2
, df  sd    1.
r
n  n 
n n
P  X  r   p2  2  1 2   0,5  1 2
i 
i 0 
p1  P  12   2   1  P  12   2 
193
Örnek: Bir araştırmacı bir ilacın belirli bir hastalık üzerindeki
etkisini araştırmak istemektedir. Tanı öncesi ve sonrası elde
edilen bilgiler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.
Tanı Sonrası
Tanı Öncesi
+
‐
Toplam
+
n0=101
n1=59
n0+n1=160
‐
n2=121 n3=33
n2+n3=154
Toplam
n0+n2=222
n1+n3=92
n=n0+n1+n2+n3=314
Tabloda n=n0+n1+n2+n3’tür. Marjinal homojenlik n0+n1=n0+n3 ve
n2+n3=n1+n3 olduğunda gerçekleşir. Bu eşitlikler basitleştirilerek sıfır hipotezi
için şöyle yazılabilir: H0: n1=n2 veya n1-n2=0. Burada marjinal homojenlik,
ilacın hiçbir etkisinin olmadığı ifade etmektedir.
30.09.2015
194
97
30.09.2015
Çözüm:

2
Düzeltilmiş
 n n

1
2
 1
n1  n2
2
 59  121  1

59  121
2
 20, 672.
2
2
 3,84   Düzeltilmiş
 20, 672 olduğundan H 0 reddedilir.
 %5;1
59 180
r
n  n 


180
n n
P ( X  59)    1 2   0,5  1 2   
  0,5 
i 
i 0 
i 0  i 
180  180 
180  
180

P ( X  59)  




   0,5   0, 000.
 

 59  
 0   1 
X Deney Sonrası & Y Deney Öncesi
X Deney Sonrası
1
2
Y Deney Öncesi
1
2
101
59
121
33
Test Statisticsb
N
Chi-Square a
Asymp. Sig.
X Deney Sonrası & Y Deney Öncesi
314
20,672
,000
a. Continuity Corrected
b. McNemar Test
30.09.2015
195
Marjinal Homojenlik Testi (MH)
 Marjinal homojenlik testi ile bağımlı (eşleştirilmiş) iki kategorik değişkenin
birim değerlerinin dağılımları arasındaki farklılıklar saptanmaktadır.
 McNemar testinin ikiden çok sonuçlu ve ordinal ölçekli birbiriyle ilişkili
değişkenler için genelleştirilmiş şeklidir. Deney öncesi ve deney sonrası
tasarımların sınanmasında yaygın bir şekilde kullanılmaktadır.
 MH testinde örneklem istatistiğinin örnekleme dağılımı standart normal
dağılım veya ki‐kare dağılımına göre hesaplanabilmektedir. SPSS’te
anlamlılık testi standart normal dağılım kullanılarak hesaplanmaktadır.
 Belirgin değerler (distinct values); kategorik değişkenlerin aldığı farklı birim
değerleri sayısıdır.
 Küçük anlamlılık düzeyi (p‐değeri<%5) iki kategorik değişkenin dağılım
yönünden farklı olduğunu gösterir.
 Off‐Diagonal Cases; köşegen‐dışı birim değerleri sayısını göstermektedir.
30.09.2015
196
98
30.09.2015
Örnek: Bir işletmenin 2008 ve 2009 yıllarına ait satış hacimleri ile ilgili bilgiler
(1=düşük, 2=orta, 3=yüksek) aşağıdaki tabloda özetlenmektedir. %5 anlamlılık
düzeyinde işletmenin satışlarının dağılımı aynı olduğu söylenebilir mi?
2009 Yılı Satış Hacimleri
2008 Yılı Satış
Hacimleri
1=Düşük
2=Orta
3=Yüksek
Toplam
60
40
80
180*
1=Düşük
2=Orta
30
60
120
210+
3=Yüksek
50
100
200
350#
140*
200+
400#
740
Toplam
Marginal Hom ogene ity Tes t
X& Y
Distinct V alues
Of f -Diagonal Cases
Obs erved MH Statistic
Mean MH Statistic
Std. Dev iation of MH
Statistic
Std. MH Statis tic
A sy mp. Sig. (2-tailed)
30.09.2015
3
420
870,000
915,000
z
14,230
870  915
 3,162
14, 230
p  değeri  1   2*0, 4990   0,002
-3,162
,002
197
MH Testinin Ki‐Kare Dağılımı Yardımıyla Hesaplanması
k
TMN  
i j
n
ij
 n ji 
nij  n ji
k
 ni.  n.i 
i 1
ni.  n.i
TMH  
2
  k2( k 1)/2  McNemar Test istatistiğidir.
2
  k21
TMH ; Marjinal Homojenlik Test İstatistiğidir.
McNemar (MN ) göre daha güçlü bir testtir.
Zayıf yönü ilişki düzeyi yerine uyumluluk düzeyini göstermesidir.
İlişkiyi gösterecek düzeltilmiş TMH istatistiği aşağıdaki gibi
hesaplanmaktadır:
k  1 k  ni.  n.i 

  k21

k i 1 ni.  n.i  2nii
2
TMHc
30.09.2015
198
99
30.09.2015
Örnek 2: Aşağıdaki verilerden yararlanarak MH testi için gerekli hesaplamaları gösteriniz?
A1
A2
A3
A4
Toplam
A1
4
3
5
7
19
A2
3
3
3
4
13
A3
1
4
3
3
11
A4
1
1
4
1
7
Toplam
9
11
15
15
50
k
TMN  
i j
 nij  n ji    3  32   5  12   7  12   3  4 2   4  12   3  4 2  9, 25
2
nij  n ji
33
5 1
7 1
3 4
4 1
3 4
2
 12,59
Kritik Tablo Değeri= k2( k 1)/2;   6;%5
k
TMH  
i 1
TMHC 
 ni.  n.i 2  19  9 2  13  112  11  152   7  15 2
ni.  n.i
19  9
13  11
11  15
7  15
 7, 26   k21;   421;%5  7,81
2
2
13  112  11  152   7  152   6,91
k  1 k  ni.  n.i 
 4  1   19  9 




k i 1 ni.  n.i  2nii  4  19  9  2* 4 13  11  2*3 11  15  2*3 7  15  2*1 


Kritik Tablo Değeri= k21;   421;%5  7,81
30.09.2015
199
11. HAFTA
 Parametrik Olmayan Bağımsız K‐örneklem Testleri
1. Kruskal Wallis (K‐W) H Testi
2. Medyan Testi (İki ve K‐örneklem Testleri)
3. Jonckheere‐Terpstra (J‐T) Testi.
30.09.2015
200
100
30.09.2015
Kruskal‐Wallis (K‐W) H Testi

Kruskal‐Wallis H testi (Siegel ve Castellan, 1988), Mann Whitney U (veya Wilcoxon Sıralı‐Toplam) testinin ikiden
fazla anakütle için genelleştirilmiş halidir.

Kruskal‐Wallis (K‐W) H testi, bağımsız örneklemler için Tek‐Yönlü ANOVA analizinin parametrik olmayan
alternatifidir. Oldukça güçlü bir testtir. Anakütleler normal ve sabit varyanslı olması durumunda %98 oranında
ANOVA testi kadar etkindir.

K‐W H testi yerine Medyan ve Jonckheere‐Terpstra (J‐T) testleri kullanılabilmektedir. Medyan testi daha genel bir
testtir. Fakat K‐W H testi kadar güçlü bir test değildir. K‐W ve Medyan testi örneklemlerin çekildiği k sayıda
anakütle grupları arasında önceden bilinen bir sıralama varsayımı yoktur. J‐T testi ise böyle bir varsayım
durumunda kullanımı daha uygun olan bir testtir.

İkiden fazla anakütleden bağımsız örneklemler çekilerek uygulanan teste, ilgili anakütlelerin benzer yapıda olup
olmadıkları araştırılır. İlgili anakütlelerden çekilen bağımsız örneklemler bir arada ele alınarak en küçük değere 1
verilerek sıralanmakta ve her örneğin sıra toplamlarıyla H istatistiği aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.
 12  k Ri2 

H 
    3(n  1) 
(
1)
n
n
n

 i 1 i 



n örneklem hacmini; ni, i. örneklemdeki birim sayısını; k, karşılaştırılacak grup sayısını; Ri ise, her örneklemin sıra
birim değerleri toplamını göstermektedir (n=n1+n2+…+nk).

Kruskal‐Wallis H testi, değişkenin ölçeği ordinal ve anakütleler normal dağılıma uymaması (özellikle küçük
örneklem hacimlerinde) durumunda kullanılmaktadır. Bilindiği gibi ANOVA analizi örneklemlerin normal dağılıma
uyduğunu varsaymaktadır.
Prof. Dr. Ali S. ALBAYRAK, RTEÜ SBE İşletme Anabilim Dalı ISL5001 Araştırma Yöntemleri‐I Ders Materyali 201
30.09.2015
 Kruskal‐Wallis H testinde aşağıdaki hipotezler sınanmaktadır.
 H0: k‐sayıda örneklem aynı anakütleden çekilmiştir (k‐sayıda anakütle aynı
medyana sahiptir)
 H1: k‐sayıda örneklem aynı anakütleden çekilmemiştir. (k‐sayıda anakütle aynı
medyana sahip değildir.)
 Her örneklemdeki birim sayısı ni≥5 olması ve H0: k‐sayıda örneklem aynı
anakütleden çekilmiştir (k‐sayıda anakütle aynı medyana sahiptir) hipotezi geçerli
ise H istatistiği k‐1 serbestlik derecesi ile Ki‐kare dağılımına uymaktadır. H istatistiği
ile kritik ki‐kare değeri karışlaştırılarak karar verilmektedir.
H  2 ,k 1 ise H 0 kabul
H  2 ,k 1 ise H 0 reddedilir.
 Sıralama yapılırken tekrarlanan birim sıra numaraları fazla ise (≥%25) düzletilmiş H
istatistiği (H’) kullanılmaktadır. Bu istatistik, H istatistiğinin aşağıdaki düzeltme
faktörüne (C) bölünerek aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:
k
C  1
30.09.2015
 t
j 1
3
j
tj 
n n
3
H 
H
C
 tj, j. örneklemde tekrar eden birim sayısıdır. H’
istatistiği de k‐1 serbestlik derecesi ile Ki‐kare
dağılımına uymaktadır. Tekrar sayısı az ve n
büyükse H istatistiği H’ istatistiğine yaklaşır.
202
101
30.09.2015
K‐Örneklem Testlerinde Veri Yapısı
 Bağımsız k‐sayıda örneklem hacimleri nj, j=1,2,…,k ve n1+n2+….+nk=n olmak üzere
ham veri matrisi aşağıdaki gibi gösterilebilir. Bilindiği gibi bağımsız örneklem
testlerinde grup örneklem hacimlerinin birbirine eşit olması zorunlu değildir.

1
2

 X 11
X
 21
 

 X n11
X 12


X 22

X n2 2
k
 Değişkenin hem grup içi hem de gruplar arası birim
değerleri birbirinden bağımsız (muhtemelen birbirine
X 1k 
eşit) olarak elde edilmektedir.
 X 2 k 

 

 X nk k   Yandaki veri matrisi, ham veri matrisinin bir araya
1
2

 w11
w
 21
 

 wn11
w12
w22



wn2 2

k
w1k 
w2 k 

 

 wnk k 
getirilerek hesaplan sıra değerlerini göstermektedir. Bu
istatistiğin örnekleme dağılımını oluşturmak için tüm olası
örneklemlerin dağılımının incelenmesini gerektirir. Tüm
olası örneklemlerden herhangi birisinin çekilmesi olasılığı
aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:
k
P( w )   n j !/ n !
j 1
30.09.2015
203
Örnek (K‐W H Testi): Beş satış bölgesinde gerçekleştirilen aylık satışların
aynı düzeyde olup olmadığı hipotezini %5 anlamlılık düzeyinde sınamak için
seçilen Ocak, Nisan, Temmuz, Eylül ve Kasım ayları satışlarının aşağıdaki gibi
olduğu belirlenmiştir (Orhunbilge, 2000:301‐303).
Satış Bölgesi
Aylar
I
II
III
IV
V
100 (6,5)
105 (10)
175 (24)
130 (18)
95 (3)
110 (15)
101 (8)
190 (25)
120 (16)
102 (9)
108 (13,5)
98 (5)
150 (22)
125 (17)
107 (12)
97 (4)
108 (13,5)
168 (23)
135 (19)
90 (1)
94 (2)
100 (6,5)
140 (21)
138 (20)
106 (11)
Sıra Toplamı (Ri)
61,5
73
69,5
60,5
60,5
Ortalama (Ri/ni)
12,3
14,6
13,9
12,1
12,1
756,45
1065,8
966,05
732,05
732,05
Ocak
Nisan
Temmuz
Eylül
Kasım
Ri2 / ni
30.09.2015
204
102
30.09.2015
 K‐W H testi aşağıdaki hipotezleri sınamaktadır:
H0: Satış bölgelerindeki aylık satışlar farklı değildir.
H1: Satış bölgelerindeki aylık satışlar farklıdır.
 12  k Ri2 
 

12
H 
 4252, 4   3  25  1  0,506
    3(n  1)   
 n(n  1)  i 1 ni 
  25  25  1

0,506
H
 0,506 (tekrar eden 2 birim değeri olduğundan)
H  
C 0,99923
k
 t
3
j
tj 
2(23  2)
12
 1
 0,99923
253  25
15600
n n
2
2 ,k 1   %5,4
 9, 488  0,506 olduğundan H 0 kabul edilir.
C  1
30.09.2015
j 1
3
 1
205
SPSS Sonuçları
Ranks
Y Aylık Satışlar
X Satış Bölgesi
1
2
3
4
5
Total
N
5
5
5
5
5
25
Mean Rank
12,30
14,60
13,90
12,10
12,10
Test Statisticsa,b
Chi-Square
df
Asymp. Sig.
Y Aylık Satışlar
,506
4
,973
a. Kruskal Wallis Test
b. Grouping Variable: X Satış Bölgesi
30.09.2015
206
103
30.09.2015
K‐W H Testi ve Çoklu Karşılaştırmalar: LSD
 Sıfır hipotezinin reddedilmesi durumunda hangi grup birim değerleri arasında
anlamlı bir farklılık oluğu LSD (Least Significant Difference) testi ile araştırılabilir.
 LSD testine göre, i. ve j. gruplarının %5 anlamlılık düzeyinde grup sıra değerleri
toplamı arasındaki mutlak farkların asgari anlamlılık farkından (LSD) büyük olması
durumunda grupların anlamlı farklılık gösterdiğine karar verilmektedir. Diğer bir
anlatımla aşağıdaki eşitsizlik durumunda i. ve j. grupları arasındaki farkların anlamlı
olmaktadır:
 1  k n j 2 n  n  1    n  1  H    1 1  
Ri R j

t 
  rij 
  
   
4    n  k   ni n j  
ni n j
 n  1  j 1 i 1
 Formülde t, %5 anlamlılık düzeyi ve n‐k serbestlik dereceli t‐dağılımı tablo değerini
göstermektedir.
30.09.2015
207
İki‐Örneklem Medyan Testi (Gibbons, 1985)
 Kullanıcı tarafından medyan (ortanca) değeri belirtilmemişse, örneklem verilerden aşağıdaki
gibi hesaplanmaktadır:
 X

  n /2  X n /21  / 2
Medyan  
 X  n 1 /2
n çift ise
n tek ise
 Burada X[n] en büyük birim değerini, X[1] ise en küçük birim değerini göstermektedir. Her iki gruptaki
medyandan büyük birim değerleri sayılır. Bunların sayısı g1 ve g2 ve ilgili örneklem hacimleri n1 ve n2
ile gösterilir.
 Örneklem hacmi 30’dan büyükse test istatistiği 1 serbestlik derecesi (df=sd=1) ile aşağıdaki
düzeltilmiş ki‐kare dağılımına uymaktadır. Küçük örneklemlerde ise Fisher’in kesin testi kullanılır.
2
2
 Düzeltilmiş
30.09.2015
 g1  n2  g 2   g 2  n1  g1   n / 2  n

 g1  g 2  n1  n2  g1  g 2  n1n2
208
104
30.09.2015
K‐Örneklem Medyan Testi
 Kullanıcı tarafından medyan (ortanca) değeri belirtilmemişse, örneklem
verilerinden aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:
 X

 n /2  X n /21  / 2
Medyan   
 X  n 1 /2
n çift ise
n tek ise
 Burada X[n] en büyük birim değerini, X[1] ise en küçük birim değerini
göstermektedir. Her grupta ayrı ayrı medyan değeri aşan birim
değerleri sayılarak aşağıdaki tablo hazırlanır:
Gruplar
1
2
3
…..
k
Toplam
Ortancadan Küçük
G11
G12
G13
…..
G1k
R1
Ortancadan Büyük
G21
G22
G23
…..
G2k
R2
Toplam
n1
n2
n3
…..
nk
n
30.09.2015
209
Test İstatistiğinin ve Anlamlılık Düzeyinin Hesaplanması
Ki‐kare istatistiği boş olmayan hücreler için aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:
k
2
  
2
j 1 i 1
G
ij
 Bij 
Bij
2
Burada Bij 
Rj  nj
n
'dir.
 Anlamlılık düzeyi, k boş olmayan hücre sayısını göstermek üzere, k‐1 serbestlik
dereceli ki‐kare dağılımıyla hesaplanmaktadır. SPSS’te beklenen değeri 1’den
küçük veya hücrelerin %20’sinden fazlasının beklenen değerinin 5’den az olması
durumunda bir uyarı mesajı rapor edilmektedir.
 Medyan testi araştırma hipotezi hakkında bir fikrin söz konusu olmadığı
durumlarda kullanılır. Medyan testi sadece grupların konumu ve dağılımın şekli
hakkında bilgi üretir. Medyan testinde sadece grup birim değerlerinin
değişkenin genel ortancasından ne kadar farklı olduğu hususunda bilgi üretilir.
Bu nedenle diğer testler kadar güçlü bir test değildir. Diğer taraftan araştırma
(karşıt) hipotezi hakkında herhangi bir varsayımda bulunmayan genel bir testtir.
30.09.2015
210
105
30.09.2015
Örnek: 28 hastaya beş farklı ilaçla kemoterapi uygulaması yapılmaktadır. Hastalarda
ölçülen beyaz kan sayımının (WBC) 500’den aşağı olduğu gün sayıları aşağıdaki gibidir.
30.09.2015
İlaç
Gün Sayısı
İlaç
Gün Sayısı
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
0
1
8
10
0
0
3
3
8
5
5
7
14
14
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
1
1
5
7
7
7
8
8
10
7
10
11
12
13
211
SPSS Sonuçları
30.09.2015
212
106
Gün: WBC>500
> Medyan
<= Medyan
Toplam
k
2
  
2
h
j 1 i 1
 4  2,1
2,1
2
G
ij
30.09.2015
İlaç: İlaç Türü
Toplam
III
IV
V
Gij Bij Gij Bij Gij Bij Gij Bij Gij Bij
2 1,7 1 2,1 2 2,1 3 3,9 4 2,1
12
2 2,3 4 2,9 3 2,9 6 5,1 1 2,9
16
4
5
5
9
5
28
I
 Bij 
2
Bij
 2  2,3

2,3
II
2

 2  1, 7 
2
1, 7
 4  2,9 

2,9
2

1  2,1
2

2,1
 3  2,9 

2,9
2
 2  2,1
2

2,1
 6  5,1

5,1
2
 3  3,9 
2

3,9
1  2,9 

2,9
2
 4,317
k  boş olmayan hücre sayısını göstermek üzere,
2
 16,92   h2  4,317 olduğundan H 0 kabul edilir.
 k21,  102 1,%5   9,%5
30.09.2015
213
Jonckheere‐Terpstra (J‐T) Testi (Hollander ve Wolfe, 1973)
 Bağımsız k‐örneklem testleri iki‐örneklem testlerinin genelleştirilmiş biçimleridir. k‐sayıda bağımsız
örneklem testlerinde ANOVA analizinin varsayımları sağlanamadığı zaman grup birim değerlerinin
birbirinden farklı olup olmadığının araştırılmasında kullanılmaktadır. ANOVA her ne kadar ikiden çok
grup ortalamaları arasındaki farklılıklar için uygun olan test ise de aritmetik ortalama uygun bir
merkezi eğilim ölçüsü olmadığı durumlarda kullanımı uygun değildir. Değişkenin ölçek tipi ordinal
olması durumunda en uygun olan merkezi eğilim ölçüsü ortancadır. ANOVA’nın uygun bir test olarak
kullanılabilmesi için arıca grup varyanslarının homojen olması gerekmektedir.
 Araştırma hipotezi özellikle tek‐yönlü olarak sınanacaksa kullanımı uygun olan bir testtir. Sıralayıcı
ölçekli değişkenlerin k‐sayıda grup birim değerlerinin birbirinden farklı olup olmadığı araştırılacaksa
en uygun olan test J‐T testidir. Örneğin beş ayrı kentteki gelir düzeyleri arasında bir sıralama yapılıp
yapılamayacağı test edilecekse J‐T, aksi halde araştırma hipotezi H1 çift‐yönlü ise K‐W H veya
Medyan testlerinden birisi kullanılmalıdır. Bu durumda sıfır hipotezi daha güçlü bir şekilde tek‐yönlü
bir hipotez testi ile sınanabilmektedir. Fakat istenmesi durumunda çift‐yönlü bir hipotez de formüle
edilebilmektedir. J‐T testinde değişkenin ölçeği ordinal olduğundan, ham veri matrisi ile birim sıra
değerleri matrisi birbirinin aynısıdır: xij=wij.
30.09.2015
214
107
30.09.2015
 Herhangi bir (a, b) için Uab, örneklemdeki tüm olası wa<wb şeklindeki ikili eşleştirmelerin (wa;
wb) sayısının toplamı ile wa=wb şeklinde ikili eşleştirilmiş (wa; wb) birim çiftleri sayısının yarısı
toplamına eşittir. J‐T testinin örneklem istatistiğinin ve özellikle standart sapmasının
hesaplanması oldukça karışıktır. Aşağıdaki varyans formülünde e’ler n sayıda birim değeri
küçükten büyüğe doğru sıralandıktan sonra e1 en küçük, e2 ikinci en küçük ve eg g. en küçük
tekrar eden birim sayısını göstermektedir.
 Örneklem istatistiği (T) , beklenen değeri (µT), varyans ve standart hatası (σT) aşağıdaki
tahminleyicilerle hesaplanmaktadır:
T   U ab
 T2 

k


j 1

T   n 2   n 2j  / 4
g

1 
 n  n  1 2n  5    n j  n j  1 2n j  5    el  el  1 2el  5  
72 
j 1
l 1

k

 k
  g

1
  n j  n j  1 n j  2      el  el  1 el  2  
36n  n  1 n  2   j 1

  l 1

 k
  g

1
  n j  n j  1     el  el  1 
8n  n  1  j 1

  l 1
30.09.2015
215
 T örneklem istatistiğinin standart hatası yaklaşık olarak aşağıdaki formülle de
hesaplanabilir:
k
n  2n  3   n 2j  2n j  3
2
T 
j 1
72
 Örneklem hacmi yeteri kadar büyük ise T istatistiğinin örnekleme dağılımı belirli bir
ortalama ve varyansla normal dağılıma uymaktadır. Örneklem istatistiği aşağıdaki
dönüşüm formülüyle standartlaştırılmaktadır.
z
T  T
T
 İki bağımsız örneğin karşılaştırılması söz konusu olduğunda J‐T testi Mann‐Whitney U
testine indirgenmektedir.
30.09.2015
216
108
30.09.2015
Örnek 1: Bir hastanedeki 3 farklı yoğun bakım ünitesinde (YBÜ1, YBÜ2 ve YBÜ3)
bekleme süreleri ile ilgili veriler aşağıdaki gibidir. Üç yoğun bakım ünitesindeki
bekleme sürelerinin aynı olduğu %5 anlamlılık düzeyinde söylenebilir mi?
YBÜ1
YBÜ2
YB3
7
1
2
6
11
8
4
7
16
11
21
20
25
13
9
14
11
 Çözüm: U12, YBÜ1 ile YBÜ2 birim değerleri sayısını karşılaştırmaktadır. YBÜ1’de 6 tane birim
değeri vardır. YBÜ1’deki ilk birim değeri 7’dir. YBÜ2’de 7’den büyük 3 ve 1 tane eşit birim
değeri bulunmakta ve bu birinci birim değerine (7) 3,5 değerini vermektedir. YBÜ1’deki ikinci
birim değeri 1’dir. YBÜ2’de 1’den büyük 5 birim değeri bulunmakta ve bu ikinci birim değerine
(1) 5 değerini sağlamaktadır. Benzer şekilde diğer tüm birim değerleri için aynı işlemler
uygulanır. Böylece U12, YBÜ1’deki birim değerlerinin YBÜ2’deki birim değerlerinden büyük
olan birim değerlerinin toplam sayısı ile eşit olan birim değerleri sayısının yarısının toplamına
eşittir. Ayrıca U12 gibi U13 ve U23 birim değerleri sayısı aşağıdaki gibi hesaplanır:
30.09.2015
217
U12   3,5  5  5  4  2,5  3  23
U13   6  6  6  6  4,5  6   34,5
U 23   6  6  2  4,5  1  19,5
T   U ab U12  U13  U 23  23  34,5  19,5  77
17 2   62  52  62    192
 2 k 2

T   n   n j  / 4  
 48
4
4


j 1


k
n 2  2n  3   n 2j  2n j  3
j 1
T 
72
17  34  3   62 12  3  52 10  3  62 12  3 
2

z
72
 11,358
77  48
 2,55
11,358
30.09.2015
218
109
30.09.2015
SPSS Sonuçları:
30.09.2015
219
30.09.2015
220
110
30.09.2015
Örnek 2: Ülkemizde 2000 yılı bölgeler itibariyle illerdeki kişi
başına düşen GSMH düzeylerinin farklı olduğu iddia edilmektedir.
Bu iddiayı test etmek için aşağıdaki örneklem verileri elde
edilmiştir. Bu iddiayı %5 anlamlılık düzeyinde test ediniz?
M
E
A
İ
K
G
D
IST=4416
AFY=1727
ADA=3286
ANK=4148
TRB=1927
MRD=1151
ERZ=1452
KOC=7556
KÜT=2256
ANT=2911
YOZ=1250
SAM=2325
DİY=1691
MUŞ=725
BİL=3521
DEN=2807
HAT=2452
KAY=2308
ZON=3779
ŞUF1301
AĞR=824
BUR=3491
MAN=3292
OSM=1560
KON=2241
BAR=1355
ŞİR=830
KRS=1134
TEK=3412
İZM=4302
BRD=2728
SIV=1751
GÜM=1491
KİL=2317
BİT=883
Not: TÜİK (2000), İllere Göre Kişi Başına Düşen GSMH İstatistikleri.
30.09.2015
221
SPSS Sonuçları
30.09.2015
222
111
30.09.2015
83  262,5
z
 5,159
34, 791
30.09.2015
223
12. HAFTA
 Parametrik Olmayan Bağımlı K‐örneklem Testleri
1. Friedman Testi
2. Cochran Q Testi.
3. Kendall W Testi
30.09.2015
224
112
30.09.2015
Friedman Testi (Orhunbilge, 2000:303‐308)
 Bilindiği gibi K‐W H testi tek‐yönlü ANOVA analizinin parametrik olmayan
alternatifiydi. Friedman testi de etkileşimsiz iki‐yönlü ANOVA analizinin parametrik
olmayan alternatifidir. Etkileşim olduğu durumlar için (bağımlı örneklemler)
alternatif parametrik olmayan bir teknik bulunmamaktadır.
 Parametrik varyans analizindeki sınırlayıcı şartların (sabit varyans ve normal
dağılım) parametrik olmayan bu teste aranmaması araştırmacılara kolaylık
sağlamaktadır.
Friedman testi, k sayıda birbiriyle ilişkili değişkenin aynı
anakütleden gelip gelmediği hipotezini test etmektedir.
 Teste iki faktör söz konusu olduğundan aşağıdaki iki ayrı hipotezin test edilmesi
gerekmektedir:
 H0: Sütunlar arası fark yoktur (I. faktör etkisiz) veya k‐sayıda anakütle medyanları
eşittir (Med1= Med2= … = Medk).
 H1: Sütunlar arası fark vardır (I. faktör etkili) veya en az bir anakütle medyanı diğer
anakütle medyanlarından farklıdır.
 H0: Satırlar arası fark yoktur (II. faktör etkisiz) veya k‐sayıda anakütle medyanları
eşittir (Med1= Med2= … = Medk).
 H1: Satırlar arası fark vardır (II. faktör etkili) veya en az bir anakütle medyanı diğer
anakütle medyanlarından farklıdır.
30.09.2015
225
 Friedman testinde bu iki hipotezi test etmek için, satırlar kendi içinde sütunlar da
kendi içinde olmak üzere her iki faktöre göre ayrı ayrı sıralanır.
 Satır ve sütunlar sıralandıktan sonra, sütun ve satır faktörleri için sırasıyla aşağıdaki
ki‐kare değerleri hesaplanır:
 c2 
12
Rr2  3c  r  1

cr  r  1
 r2 
12
Rc2  3r  c  1

cr  c  1
 c, sütun sayısını; r, satır sayısını; Rr, sütün birim sıra değerlerinin satır toplamını; Rc
ise, satır birim sıra değerlerinin sütun toplamını göstermektedir.
 Sütunlar için hesaplanan ki‐kare (c) değeri seçilen anlamlılık düzeyinde r‐1
serbestlik dereceli kritik ki‐kare tablo değeri ile satırlar için hesaplanan ki‐kare (r)
değeri seçilen anlamlılık düzeyinde c‐1 serbestlik dereceli kritik ki‐kare tablo değeri
ile karşılaştırılır. Hesaplanan ki‐kare değerleri kritik değerlerden büyükse sıfır
hipotezi reddedilir, aksi halde sıfır hipotezi kabul edilmektedir.
30.09.2015
226
113
30.09.2015
Örnek (Friedman Testi): Üç farklı gübre ile dört hububat türü
yetiştirilmiş ve belirli bir ekim alanına göre verimin aşağıdaki gibi
olduğu saptanmıştır. %5 anlamlılık düzeyinde gübre farklılığının
verimliliği etkileyip etkilemediğini ve verimin hububat farklılığına
bağlı olup olmadığını araştırınız (Orhunbilge, 2000:303‐306)?
Hububat Türü
I
Gübre Türüne Göre Verim (Kg)
II
III
Buğday
50
55
58
Arpa
60
68
74
Mısır
40
44
46
Yulaf
45
42
47
30.09.2015
227
Çözüm: Birinci Hipotezin Testi (Gübre Türünün Verime Etkisi)
Gübre Türleri
Hububat Türü (Sıralar)
I
II
III
Toplam
Buğday
1
2
3
‐
Arpa
1
2
3
‐
Mısır
1
2
3
‐
Yulaf
2
1
3
‐
Rc
Rc2
5
7
12
24
25
49
144
218
H 0 : Gübre farklılığı verimi etkilememektedir (her tür hububatın verimi aynı)
H1 : Gübre farklılığı verimi etkilemektedir (hububat türüne göre verim farklıdır).
 r2 
12
12
 Rc2  3r  c  1  3* 4  3  1 218  3* 4  3  1  6,5.
cr  c  1
2
2 ,c1   %5,2
 5,992  6,5 olduğundan H 0 red.
30.09.2015
228
114
30.09.2015
Çözüm: İkinci Hipotezin Testi (Hububat Türünün Verime Etkisi)
Gübre Türüne Göre Sıralar
Hububat Türü
I
II
III
Rr
Buğday
3
3
3
9
81
Arpa
4
4
4
12
144
Mısır
1
2
1
4
16
Yulaf
2
1
2
5
25
Toplam
‐
‐
‐
‐
266
Rr2
H 0 : Hububat farklılığı verimi etkilememektedir (ortalama verim aynı)
H1 : Hububat farklılığı verimi etkilemektedir (ortalama verim farklı)
 c2 
12
12
Rr2  3c  r  1 
266  3*3  4  1  8, 2

cr  r  1
3* 4  4  1
2
2 ,r 1   %5,3
 7,815  8, 2 olduğundan H 0 red.
30.09.2015
229
Örnek (Friedman Testi): SPSS Sonuçları
Ranks
X1 I.Gübre
X2 II.Gübre
X3 III.Gübre
Mean Rank
1,25
1,75
3,00
Test Statisticsa
N
Chi-Square
df
Asymp. Sig.
4
6,500
2
,039
a. Friedman Test
Ranks
Y1
Y2
Y3
Y4
Buğday
Arpa
Mısır
Yulaf
30.09.2015
Mean Rank
3,00
4,00
1,33
1,67
Test Statisticsa
N
Chi-Square
df
Asymp. Sig.
3
8,200
3
,042
a. Friedman Test
230
115
30.09.2015
Örnek 1 (Bağımlı K‐örneklem): Beş hastanın 4 farklı yönteme göre hissettikleri acılar
ölçülmüş ve Tablo 1‘deki skor değerleri elde edilmiştir.
Tablo 1: Deneyler Göre Ham Veriler
Deneyler
Hasta
A
B
C
D
1
6
9
10
16
2
9
16
16
32
3
14
14
22
67
4
10
14
40
19
5
11
16
17
60
5
5
5
5
nj
Tablo 2: Tablo 1 Sıra Birim Değerleri
Deneyler
Toplam
Hasta
A
B
C
D
1
1
2
3
4
‐
2
1 2.5 2.5
4
‐
3
1.5 1.5
3
4
‐
4
1
2
4
3
‐
5
1
2
3
4
‐
5.5 10 15.5 19
50
Rj
R 2j
k
nj
 r  1
j 1 i 1
2
ij
2
30,25 100 240,25 361 731,5
 12  1,52  12  12    22  2,52  1,52  22  22 
  32  2,52  32  42  32    42  42  42  32  42   6, 25  20,5  49, 25  73  149
n  n j  nA  nB  nC  nD  5
30.09.2015
231
Ek Teknik Ayrıntı: Eşit Birim Değerleri (Ties) Düzeltmesi
 Friedman testinde eşit birim değerleri olması durumunda aşağıdaki gibi düzeltilmiş ki‐kare değeri hesaplanmaktadır. Yöntemlere göre anlamlı bir farklılık var mıdır? n j k  k  1
5* 4*5
 125
4
 k

 k  1  Ri2  n j D  4  1 731,5  5*125

  13,313
i 1


2
D 
k nj
149

125
 rij2  D
D
4

j 1 i 1
SPSS Friedman Testi Sonuçları
30.09.2015
232
116
30.09.2015
Friedman Testi ve Çoklu Karşılaştırmalar:
LSD (Least Significance Difference)
 k nj 2 k 2 
2  n j  rij   R j 
j 1 i 1
j 1

Ri  R j  t 
 n j  1  k  1
Formülde t, %5 anlamlılık düzeyi ve (nj‐1)(k‐1)
serbestlik dereceli t‐dağılımı tablo değerini
göstermektedir.
30.09.2015
233
 k nj 2 k 2 
2  n j  rij   R j 
j 1 i 1
j 1

Ri  R j  t 
n
1
k
1




 j 
t%5,( n j 1)( k 1)  t%5,(51)(41)  t%5,12  2,179
RA  RB  2,179
2  5*149  731,5 
 5,5  10  3, 2685
 5  1 4  1
RA  RC  3, 2685  5,5  15,5  3, 2685
RA  RD  3, 2685  5,5  19  3, 2685
RB  RC  3, 2685  10  15,5  3, 2685
RB  RD  3, 2685  10  19  3, 2685
RC  RD  3, 2685  15,5  19  3, 2685
 Olduğundan tüm gruplar (A, B, C ve D) %5 anlamlılık düzeyinde birbirinden anlamlı farklılıklar göstermektedir. 30.09.2015
234
117
30.09.2015
Cochran Q testi: (k‐Sayıda Bağımlı örneklem ve İki Sonuçlu Kategorik
Veriler)
 Cochran Q testi, McNemar testinin k‐sayıda grup için genelleştirilmiş
şeklidir. Bu test, değişkenin birim değerlerinin iki‐sonuçlu (binary) olması
hariç Friedman testinin aynısıdır. Diğer bir anlatımla Cochran Q testi iki
sonuçlu (binary) ikiden fazla bağımlı gruplar için geliştirilmiş bir parametrik
olmayan bir hipotez testidir.
 Hipotezlerin sınanmasında kullanılan Q istatistiği aşağıdaki formülle
hesaplanmaktadır:
k
Q  k  k  1   G j  G 
j 1
2
n
 n

/  k  Li   L2i 
i 1
 i 1

 Formülde Gj, j. sütundaki toplam başarı (1) sayısını; G , Gj’lerin ortalamasını;
Li, i. satırdaki başarı sayısını ve k ise, birbiriyle ilişkili grup sayısını
göstermektedir.
30.09.2015
235
 Q istatistiği k‐1 serbestlik dereceli ki‐kare dağılımına uymaktadır. Q
istatistiği kritik ki‐kare değerinden küçük veya eşit olması
durumunda H0 kabul, büyük olması durumunda ise
reddedilmektedir.
 Cochran Q testinde aşağıdaki hipotez sınanmaktadır:
H0: k‐sayıda anakütle başarı olasılığı aynıdır.
H1: k‐sayıda anakütle başarı olasılığı en az bir anakütle için farklıdır.
 Veriler iki sonuçlu nominal veya ordinal ölçekli olması durumunda
testin kullanılması uygundur (Siegel ve Castellan, 1998:170‐174).
 Cochran Q istatistiği aslında test edilen değişkenlerin kukla
değişkenler olmasının dışında Friedman testinin aynısıdır.
 Cochran Q testinde nj sayıda birimden oluşan birbiriyle ilişkili k
sayıda örneklemin birbiriyle olan ilişkilerin derecesi veya uyum
düzeyi araştırılmaktadır.
30.09.2015
236
118
30.09.2015
Örnek 1 (Cochran Q Testi): Bir çiklet firması 3 farklı renkteki çikleti piyasaya sürecektir. Üç
çiklet 18 müşteriye test ettirilerek beğenip beğenmedikleri sorulmuştur. Elde edilen sonuçlar
(Evet=1 ve Hayır=0) aşağıdaki gibidir. %5 anlamlılık düzeyinde çiklet türleri arasında anlamlı bir
farklılığın olduğu söylenebilir mi?
Müşteri
1. Ciklet
2. Ciklet
3. Ciklet
Li
L 2i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
3
3
1
0
0
2
3
2
2
1
2
1
2
2
2
3
1
3
9
9
1
0
0
4
9
4
4
1
4
1
4
4
4
9
1
9
GJ
G1=10
G2=9
G3=14
18
30.09.2015

i 1
Li  3 3
18

i 1
L 2i  7 7
237
Çözüm 1:
G  G2  G3 10  9  14
G 1

 11
3
3
k
 G
j 1
2
2
2
 G   10  11   9  11  14  11   14


2
j
18
18
 Li  33
L
i 1
i 1
k
Q  k  k  1   G j  G 
j 1
2
2
i
 77
n
 n

/  k  Li   L2i 
i 1
 i1

3  3  1 *14 
 6 *14   84  3,818

Q 
 3*33  77   99  77  22
2
 5,991  3,818 olduğundan H 0 kabul.
2 ,k 1   %5,2
30.09.2015
238
119
30.09.2015
Örnek :1 SPSS Sonuçları: (Friedman, Cochran Q ve Kendall W)
Ranks
Çiklet1
Çiklet2
Çiklet3
Test Statisticsa
Mean Rank
1,92
1,83
2,25
N
Chi-Square
df
Asymp. Sig.
18
3,818
2
,148
a. Friedman Test
İlişk i k imliği rId4 olan görüntü y olu dosy ada bulunamadı.
Test Statistics
N
Cochran's Q
df
Asymp. Sig.
18
3,818a
2
,148
a. 1 is treated as a success.
Ranks
Test Statistics
Çiklet1
Çiklet2
Çiklet3
30.09.2015
Mean Rank
1,92
1,83
2,25
N
Kendall's Wa
Chi-Square
df
Asymp. Sig.
18
,106
3,818
2
,148
a. Kendall's Coefficient of Concordance
239
Örnek 2 (Cochran Q Testi):
Bir deterjan firması reklam kampanyası için hazırlanan dört reklam
filminden hangisinin televizyonlarda yayınlanacağına karar vermek istemektedir. Tesadüfi olarak seçilen farklı yaş
gruplarından ve cinsiyetten, bu tip alışverişleri yapan, 18 kişiye reklam filmleri seyrettirilmiş ve beğendiklerine 1,
beğenmediklerine 0 vermeleri istenmiştir. %1 anlamlılık düzeyinde reklam filmleri arasında anlamlı bir farklılık olduğu
söylenebilir mi (Orhunbilge, 2000:297‐300)?
Müşteri
1. Film
2. Film
3. Film
4. Film
Li
L 2i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
2
0
2
3
2
2
0
4
1
2
1
1
2
0
1
1
3
2
4
0
4
9
4
4
0
16
1
4
1
1
4
0
1
1
9
4
GJ
G1=5
G2=8
G3=10
G4=6
18
30.09.2015

i 1
Li  2 9
18

i 1
L 2i  6 7
240
120
30.09.2015
Çözüm 2:
G
G1  G2  G3 5  8  10  6

 7, 25
3
4
k
 G
j 1
2
2
2
2
 G    5  7, 25    8  7, 25   10  7, 25    6  7, 25    14, 75


2
j
18
18
 Li  29
L
i 1
i 1
2
i
 77
k
n
n
2 

Q  k  k  1   G j  G  /  k  Li   L2i 
j 1
i 1
 i 1

 4  4  1 *14, 75 12 *14, 75  177


 3, 612.
Q 
116  67  49
 4 * 29   67 
2
2 ,k 1   %1,3
 11,341  3, 612 olduğundan H 0 kabul.
30.09.2015
241
Örnek 2 SPSS Sonuçları: (Friedman, Cochran Q ve Kendall W)
Ranks
Film1
Film2
Film3
Film4
Test Statisticsa
Mean Rank
2,25
2,58
2,81
2,36
N
Chi-Square
df
Asymp. Sig.
a. Friedman Test
Test Statistics
Frequencies
Value
0
Film1
Film2
Film3
Film4
1
13
10
8
12
5
8
10
6
Ranks
Film1
Film2
Film3
Film4
30.09.2015
18
3,612
3
,306
Mean Rank
2,25
2,58
2,81
2,36
N
Cochran's Q
df
Asymp. Sig.
18
3,612a
3
,306
a. 0 is treated as a success.
Test Statistics
N
Kendall's Wa
Chi-Square
df
Asymp. Sig.
18
,067
3,612
3
,306
a. Kendall's Coefficient of Concordance
242
121
30.09.2015
Kendall W Testi (K‐Sayıda Bağımlı örneklem)
 Spearman ve Kendall sıra korelasyon katsayıları iki ordinal ölçekli değişken arasındaki ilişkinin
derecesini ölçmektedir.
 Kendall W istatistiği ise, k sayıda (ikiden çok) ordinal ölçekli değişken seti arasındaki ilişkinin
derecesinin ölçülmesinde kullanılmaktadır. Kendall W testi için hipotezler aşağıdaki gibidir:
H0: k sayıda anakütle sıralaması birbirinden bağımsızdır.
H1: k sayıda anakütle sıralaması birbirine bağımlıdır.

n 2 k  k 2  1 / 12
 F 

W  
  2
2

 n  k  1   n k  k  1 / 12  n T / 12 
*
Formülde;
k
F  2 
n
12 / nk  k  1   Cl2  3n  k  1
l 1
1   T / nk  k 2  1
k
 T    t
i 1 l 1
3
(Friedman'nın  2 istatistiğidir).
 t
*SPSS'te düzeltme faktörü kullanılmamaktadır.
30.09.2015
243
 t=her bir birim değeri için, her bir eşti sıra değerindeki eşit
olan değişken sayısını,
 n=toplam birim sayısını,
 k=değişken sayısını,
 Cl=her bir değişkenin birim değerlerinin sıra değerleri
toplamını göstermektedir.
 W istatistiğinin anlamlılık düzeyi aşağıdaki gibi k‐1 serbestlik
derecesi ile ki‐kare dağılımı ile sınanmaktadır:
 h2  n  k  1W
30.09.2015
244
122
30.09.2015
 Kendall W istatistiği Friedman istatistiğinin normalleştirilmesiyle elde
edilmektedir.
 W istatistiği, farklı kişiler tarafından veya yöntemlerle elde edilen ölçümler
arasındaki uyumu yansıtan bir uygunluk katsayısı olarak yorumlanabilir.
 W istatistiği hesaplanırken her bir değişkenin birimlerinin sıra değerleri
toplamı hesaplanmaktadır.
 Kendall W istatistiği, Friedman ki‐kare istatistiğini bir alamda yeniden
ölçeklendirilerek bir uygunluk katsayısına dönüştürmektedir. Böylece n
sayıda birim k sayıda değerlendirici tarafından değerlendirildiği
varsayıldığında, W istatistiği k sayıda değerlendiricinin verdiği notlar
arasındaki ortalama ilişkiyi yansıtmaktadır. Burada W istatistiği ile
Spearman sıra korelasyon katsayısı (RS) arasında aşağıdaki ilişki vardır.
 k=2 olduğunda RS, k>2 olduğu durumlarda ise Kendall‐W istatistiği
kullanılmaktadır.
30.09.2015
245
Örnek: Bir yeterlilik sınavında üç kişilik bir jüriyle farklı dört aday değerlendirilmiştir.
Adaylara jüri üyeleri tarafından verilen notlar aşağıdaki tablodaki gibidir. %5 anlamlılık
düzeyinde jüri üyelerinin verdiği notların tutarlı olduğu söylenebilir mi?
Ranks
Adaylar
J1=Jüri 1
J2=Jüri 2
J3=Jüri 3
1
50
75
85
2
65
65
80
3
70
85
75
4
90
100
90
J1 Jüri 1
J2 Jüri 2
J3 Jüri 3
Mean Rank
1,25
2,38
2,38
Tes t Statistics
N
Kendall's Wa
Chi-Square
df
Asy mp. Sig.
Ex act Sig.
Point Probability
4
,482
3,857
2
,145
,204
,037
a. Kendall W
30.09.2015
246
123
30.09.2015
n4
k 3
F   h2  3,857

n 2 k  k 2  1 / 12
 F 


W  
 2
2
 n  k  1   n k  k  1 / 12  n T / 12 
423  32  1 / 12 
 3,857  
  0, 482
W  
  2 2
 4  3  1   4 3  3  1 / 12  4 * 0 
 h2  n  k  1 W
 h2  4(3  1) * 0, 482  3,857
2
 k21;%5   2;%5
 5,99   h2  3,857 olduğundan H 0 kabul edilir.
30.09.2015
247
13. HAFTA
 Korelâsyon Katsayısı
 Korelâsyon Katsayısının Anlamlılık Testi
 Doğrusal Regresyon Analizi
1. Serpilme Diyagramı
2. Basit Doğrusal Regresyon Denkleminin Kestirimi
3. Veryansın Kestirimi
4. Basit Doğrusal Regresyonun Matrislerle Gösterimi
5. Aralık Tahmini ve Kısmi Anlamlılık Testleri
6. Belirlilik ve Düzeltilmiş Belirlilik Katsayıları
7. Regresyon Katsayılarının Genel Anlamlılık Testleri
8. En Küçük Kareler (EKK) Tekniğinin Varsayımları.
30.09.2015
248
124
30.09.2015
Basit Doğrusal Korelasyon Analizi
 İki tesadüfi değişken arasındaki birlikte değişim miktarının yönü ve büyüklüğü
kovaryans istatistiğiyle araştırılır. Kovaryans değerinin işareti ilişkinin yönünü ve
büyüklüğü ise gücünü ölçmektedir. Fakat kovaryans istatistiği, ilişkiyi değişkenlerin
ölçü biriminden arındırarak standart olarak ifade etmediğinden, bu istatistiğin bir
alt ve üst sınırı bulunmamaktadır. İki tesadüfi değişken arasındaki ilişkinin
derecesini standart olarak hesaplamada Pearson korelasyon katsayısından
yararlanılmaktadır.
 İki tesadüfi değişken arasındaki birlikte değişim oranının büyüklüğü ve yönü
Pearson korelasyon istatistiğiyle araştırılır ve r ile gösterilir.
 Korelasyon katsayısı, iki tesadüfi değişken arasında neden‐sonuç ilişkisinin
kurulmasında yeterli bir ölçü değildir.
 Korelasyon katsayısı ‐1 ile +1 aralığında bir değer alır. İlişkinin derecesi mutlak
olarak 1’e yaklaşması doğrusal ilişkinin derecesinin gücünün gösterir. Korelasyon
katsayısının işareti ise, ilişkinin yönünü (ters veya aynı yönde) gösterir. r=±1
ekstrem durumuna, matematik (tam doğrusal) ilişki; r<±1 durumuna ise, istatistik
ilişki ve r=0 durumuna ise doğrusal bağımsızlık adı verilmektedir.
30.09.2015
249
 Örneklem verilerinden hesaplanan Pearson korelasyon katsayısının anlamlı olup
olmadığı t‐testi ile araştırılır. Anlamlılık testleri tek veya çift yönlü olarak ifade
edilebilmektedir.
 Spearman Sıra Korelasyon Katsayısı (rs): Parametrik olmayan bir ilişki ölçüsüdür.
Pearson korelasyon katsayısı iki tesadüfi değişkenin normal dağılıma uyması ve
örneklem hacminin yeteri kadar büyük olması durumunda kullanılması uygundur.
Ayrıca değişkenlerin ölçeği ordinal olması durumunda da kullanımı uygun değildir.
İşte bu koşulların sağlanamaması durumunda sıra korelasyon katsayısı
kullanılmaktadır. Sıra korelasyon katsayısının anlamlılık testi t‐testi yerine,
Spearman’ın geliştirdiği parametrik olmayan testi ile yapılmaktadır.
 Korelasyon katsayısı, kısmi regresyon katsayılarından yararlanarak da
hesaplanabilmektedir. Burada dikkat edilmesi gereken nokta, regresyon katsayıları
pozitifse r pozitif; her iki regresyon katsayısı negatif ise negatif; regresyon
katsayılarından biri pozitif, diğeri negatif ise değişkenler arasındaki ilişki sıfır
olmaktadır [r=±(byx.bxy)1/2].
 Belirlilik Katsayısı (r2): Bağımlı değişkenin toplam varyansının yüzde kaçının
bağımsız değişkenler tarafından açıklandığını gösteren bir ölçüdür.
30.09.2015
250
125
30.09.2015
Kovaryans, Pearson Korelasyon ve Spearman Sıra Korelasyon Formülleri
N
 X ,Y 
 X
i 1
i
N
N
 X
X 
 X Yi  Y 
i 1
i
X
 X ,Y 
 X
i 1
sX 
N X  Y
1  r 
i
 X Yi  Y 
n 1
rX ,Y 
th 
nk
 X
i 1
X
i
2
n 1
n
2
sr 
i 1
n
 X Yi  Y 
i
s X ,Y 
2
N
N
n
 X
 X
i 1
r

sr
i
 X Yi  Y 
 n  1 sX sY
r
1  r  /  n  k 
2
n
rXs ,Y  1 
6 di2
di  S Yi   S  X i 
i 1
n  n 2  1
n
rXs ,Y 
TX  TY   di2
i 1
2  TX  TY
30.09.2015
  Siegel, 1956  TX 
n3  n  STX
12
ve TY 
n3  n  STY
12
k
k
j 1
j 1
STX    t 3  t  ve STY    t 3  t 
251
Örnek 1 (Eşit Değer Yok): Bebek sahibi 5 annenin günlük
tükettikleri ortalama sigara sayıları ile bebeklerinin doğum
ağırlıkları aşağıda verilmiştir. Annenin tükettiği sigara miktarı ile
bebe doğum ağırlığı arasındaki ilişkinin yönünü ve derecesini
Spearman sıra korelasyon katsayısı ile hesaplayınız?
BSN
Yi
Tüketilen Sigara Adedi/Gün
1
2
Xi
Bebeğin
Doğum Ağırlığı (Kg)
S(Yi)
S(Xi)
12
3
3
3
0
0
5
3,5
1
5
‐4
16
di
d2
3
9
3,2
2
4
‐2
4
4
13
2,8
4
2
2
4
5
20
2,4
5
1
4
16
Toplam
‐
‐
‐
‐
‐
40
30.09.2015
252
126
30.09.2015
Çözüm : Spearman Sıra korelasyon Katsayısı
k
STX    t 3  t   0.
j 1
k
STY    t 3  t   0
j 1
Bu istatistiklerden yararlanarak TX ve TY aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.
n3  n  STX
12
TX 
TY 
3
n  n  STY
12


53  5 0
12
 10
 10
53 5  0
12
n

s
X ,Y
r
i 1
2  TX  TY

10  10  40
10 10 
2
 1  Normal Formül
n
rXs ,Y  1 
30.09.2015
6 di2
i 1
2
n  n  1
 1
6  40
 1  Kısayol Formülü
9   92  1
253
Örnek 2 (Eşit Değer Var): Bebek sahibi 9 annenin günlük tükettikleri ortalama sigara sayıları ile
bebeklerinin doğum ağırlıkları aşağıda verilmiştir. Annenin tükettiği sigara miktarı ile bebe doğum
ağırlığı arasındaki ilişkinin yönünü ve derecesini Spearman sıra korelasyon katsayısı ile
hesaplayınız?
BSN
Yi
Xi
Bebeğin
S(Yi)
S(Xi)
di
d2
1
12
3
4
7
‐3
9
2
5
3,5
1
9
‐8
64
3
9
3,2
2
8
‐6
36
4
13
2,8
6,5
6
0,5
0,25
5
20
2,4
8,5
5
3,5
12,25
6
20
1,9
8,5
1,5
7
49
7
13
1,9
6,5
1,5
5
25,0
8
12
2
4
3,5
0,5
0,25
9
12
2
4
3,5
0,5
0,25
Toplam
‐
‐
‐
‐
‐
196
30.09.2015
254
127
30.09.2015
k
STX    t 3  t    23  2    23  2   12.
j 1
k
STY    t 3  t    33  3   23  2    23  2   36.
j 1
TX 
n3  n  STX
12
TY 
n3  n  STY
12


93  9 12
12
3
9  9 36
12
 59
 57
n
rXs ,Y 
th 
i 1
2  TX  TY
rXs ,Y
1   r  
s
X ,Y
2


59  57  196
2
0, 68976
1  0, 68976 
 n  2
30.09.2015
 59  57 
2
 0, 68976
 2, 25
9  2
255
Kavrama Soruları
(1) Pearson korelasyon katsayısı hangi amaçla kullanılmaktadır?
(2) Korelasyon katsayısının alabileceği en büyük ve en küçük değerler nedir? (3) İki tesadüfi değişken arasında hesaplanan korelasyon katsayısı r=0.90 ise, bu oranı yorumlayınız?
(4) Belirlilik katsayısı neyi ifade eder? Bu katsayının 1’e yakın çıkması neyi gösterir? (5) Belirlilik katsayısı hangi aralıkta değerler alır?
(6) sr neyi gösterir, açıklayınız? (7) örneklem korelasyon katsayısının örnekleme dağılımı hangi kuramsal dağılıma uymaktadır? (8) Spearman sıra korelasyon katsayısı ne zaman kullanılır? 30.09.2015
256
128
30.09.2015
Doğrusal Regresyon Analizi
 Basit doğrusal regresyon, tek bir bağımlı ve tek bir bağımsız değişken
arasındaki ortalama ilişkinin matematik bir fonksiyonla ifade edilmesidir.
 Çoklu doğrusal regresyon, tek bir bağımlı ve iki veya daha çok sayıdaki
bağımsız değişkenler arasındaki ortalama ilişkinin matematik bir
fonksiyonla ifade edilmesidir.
 Anakütle regresyon denklemi: Yi=β0 + β1X1i+ β2X2i + …… + βkXki + εi.
 Anakütle regresyon denklemine hata terimini ilave etmenin üç temel
nedeni bulunmaktadır: (1) Modele ilave edilmesi gereken değişkenlerin
modele ilave edilmemiş olması olasılığı, (2) değişkenlerin hatalı ölçülmüş
olması olasılığı ve (3) kontrol, tahmin edilemeyen ve ölçülemeyen dışsal
tesadüfi değişkenlerin etkisinin bulunmasıdır.
 örneklem regresyon denklemi: Yi=b0 + b1X1i+ b2X2i + …… + bkXki + ei.
 örneklem regresyon tahmin denklemi
olduğundan, Yi=Ŷi+ei şeklinde ifade edilebilir.
30.09.2015
Ŷi=b0+b1X1i+b2X2i+……+bkXki
257
Doğrusal Regresyon Denkleminin Kestirimi
 Regresyon katsayılarının kestiriminde “En Küçük Kareler (EKK),” “Maksimum Olabilirlik (ML)”
ve “Minimum Varyans (MV)” teknikleri kullanılmaktadır. Bunlardan en yaygın kullanılanı “En
Küçük Kareler” yöntemidir. Bu yöntemle regresyon denkleminin katsayıları, hata kareleri
ortalaması minimum olacak şekilde tahmin edilmektedir.
Yi  b0  b1 X i  ei 
n
e
i 1
2
i
n

  Yi  Yî
i 1
   Y  b
2
n
i 1
i
0
 b1 X i   Minimum.
2
n
H   Yi 2  b02  b12 X i2  2b0Yi  2b1 X iYi  2b0 b1 X i   Minimum.
i 1
n
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
H   Yi 2  nb02  b12  X i2  2b0  Yi  2b1  X iYi  2b0 b1  X i  Minimum.
n
n
n
n
H
H


 2 nb0  2  Yi  2b1  X i  0 
 2  nb0   Yi  b1  X i   0
 b0
 b0
i 1
i 1
i 1
i 1


n
Y
i 1
i
n
nb0  b1  X i  1
i 1
n
n
n
n
n
H
H
 n

 2b1  X i2  2  X iYi  2b0  X i  0 
 2  b1  X i2   X iYi  b0  X i   0
 b1
 b1
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
 i 1

n
XY
i 1
i i
30.09.2015
n
n
i 1
i 1
b0  X i  b1  X i2   2 
258
129
30.09.2015
Yi  b0  b1 X i  ei
e  
n
i 1
n
2
i
i 1
Yi  Yî
n
byx 
 X
i 1
i
 X
i 1
bxy 
 X
i 1
i
i 1
i
X
n
 Y  Y 
0
1
i
2
 Minimum.
n

2
x y
i
i 1
n
i
x
2
i
i 1
b0  Y  b1 X
n
 X Yi  Y 
i 1
30.09.2015
i
 X Yi  Y 
n
n
  Y  b  b X 
n
2

2
x y
i
i 1
n
i
y
i
2
i
i 1
r   byx bxy
259
Varyansın (σ2) Kestirimi
 Regresyon analizinde regresyon katsayılarının tahminine ek olarak, aralık
tahminlerinde ve hipotez sınamalarında gerekli olan σ2’nin kestirimine gereksinim
duyulur.
 σ2, εi hata terimlerinin ortak varyansıdır. εi hata teriminin kestirimi ei hata terimi
olduğundan ei’lerin varyansı da σ2’nin bir kestirimi olacaktır. Hataların kareleri
toplamı (HKT) aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.
n
n
i 1
i 1

HKT   ei2   Yi  Yî
n
HKO 
HKT i 1


nk nk
ˆ 
30.09.2015
HKT

nk
e
i 1
2
i
nk
2
 Y  Yˆ 
n
 ei2
n

i
i 1
2
i
nk
 Y  Yˆ 
n

i 1
i
2
i
nk
260
130
30.09.2015
Basit Doğrusal Regresyonun Matrislerle Gösterimi
Y  Xb  e
b   X X  X Y
 Y1 
Y 
Y   2

 
Yn  n1
1 X 1 
1 X 
2
X 
  


1 X n  n1
1
 e1 
e 
e   2

 
en  n1
b 
b   0
 b1  21
 EKK Çözümünün Yorumu.
 Tahminlerin ve Hataların Hesaplanması.
Kavrama Soruları
 ei hata terimlerinin ortak varyansı nedir?
 Basit ve çoklu regresyon modelinin serbestlik derecesi nasıl hesaplanır?  Hata kestirimi nerelerde kullanılmaktadır? HKT
nk
ˆ 
30.09.2015
ˆ 2 
ee
nk
261
Basit Doğrusal Regresyonda Aralık Tahmini ve Anlamlılık Testi
Basit Doğrusal Regresyonda Aralık Kestirimi

X2
1

n

P b0  tn  k , / 2 sb0   0  b0  tn  k , / 2 sb0  1   sb0  ˆ
n
 X
i 1


P b1  tn  k , / 2 sb1  1  b1  tn  k , / 2 sb1  1   sb1 


X
2
ˆ
n
 X
i 1
P b j  tn  k , /2 sb j   j  b j  tn  k , /2 sb j  1   sb j 
i
i
X
2
ˆ
n
 X
i 1
Regresyonda Katsayılarının Kısmi Anlamlılık Testi
ij
Xj
2
 j  0
H 0 : 0  0
H 0 : 1  0
H0 :  j  0
H1 :  0  0
H1 : 1  0
H1 :  j  0
tb0 
b0
sb0
30.09.2015
tb1 
b1
sb1
tbj 
bj
sb j
262
131
30.09.2015
Belirlilik (R2) ve Düzeltilmiş Belirlilik Katsayıları
 Belirlilik katsayısı (R2), regresyon analizinde bağımlı değişkenin toplam varyansın
yüzde kaçının açıklayıcı değişken(ler) tarafından açıklandığını gösterir.
 Düzeltilmiş belirlilik katsayısı ( ), regresyon analizinde modelin serbestlik
derecesini de dikkate alarak hesaplanan belirlilik katsayısıdır. Regresyon analizinde
kullanılan değişken sayısı veya parametre sayısı (k) arttıkça belirlilik katsayısı aşırı
iyimser sonuç verir. Bu amaçla düzeltilmiş belirlilik katsayısı hesaplanmaktadır.
 Y  Y    Yˆ  Y    Y  Yˆ 
n
n
2
i 1
i
n
2
i
i 1
i
i 1
 Yˆ  Y 
2
 Y  Y 
2
n
AKT ESS
R 


GKT TSS
2
i
i 1
n
i
i 1
n

2
Burada Y  Yˆ'dır.
î
i 1
 yˆ
i 1
n
2
i
y
i 1
n
 Y  Yˆ 
n
1
2
i
i
i 1
n
2
i
2
n
1
i
i 1
n
2
i
i 1
2
î
 Y  Y 
n
 y   yˆ   e
i 1
2
i
e
i 1
2
i
n
 Y  Y 
i 1
2
i
 n  1  Buradan şu sonuçlara varılabilir:
R 2  1  1  R 2  

nk
k  1  R2  R 2
k  1  R2  R 2
30.09.2015
263
Regresyon Katsayılarının Genel Anlamlılık Testi: F‐Testi
Tablo 1: Varyans Analizi (ANOVA) Tablosu: F‐Testi
Değişimin Kaynağı
Kareler Toplamı

n
AKT (Regresyon)
HKT
(Hata)
GKT (Toplam)
30.09.2015
i 1

n
i 1
Kareler df Ortalaması
Yî  Y
Yi  Yˆî
n


k‐1
 Yˆ  Y 
2
i
i 1
k 1
n‐k
 Y  Yˆ 
i 1
i
F
p‐değeri
 Yˆ  Y  /  k  1
n
2
i
i 1
n
0.000
 Y  Yˆ  /  n  k 
i 1
n
2
 Y  Y 
i 1
2
n
2
i
î
2
î
nk
2
i
n‐1
264
132
30.09.2015
Şekil 1:Regresyon Analizinin Serpilme Grafiği Üzerinde Gösterimi
Y Yˆ  b 0  b 1 X
Açıklanamayan Değişim  ei  Yi  Yî Toplam Değişim=Yi  Y
Açıklanan Değişim  Yî  Y
Y
Y
X 30.09.2015
265
EKK Tekniğinin Varsayımları
 Regresyon katsayılarının tahmininde genelde Enküçük Kareler (EKK) tekniği
kullanılmaktadır. EKK tekniğinin varsayımlarının sağlanamaması durumunda yapılan
tahminler yanlı olmakta ve böylece ilgili anlamlılık testleri geçerliliğini yitirmektedir. Bu
varsayımlarla ilgili ayrıntılı tartışmalar Gujarati (1995:319‐399) ve Orhunbilge (2000:15‐
256) kaynaklarında bulunabilir. EKK ile ilgili varsayımlar aşağıdaki gibi özetlenebilir:
 Minimum varyans (MV) ve maksimum olabilirlik (ML) diğer kullanılan tekniklerdir (Bkz:
Kleinbaum, Kupper ve Muller, 1995:49‐53 ve 483‐518).
 Hataların beklenen değeri (ortalaması) sıfırdır: E(e) = 0.
 Hatalar birbirinden bağımsızdır. Yani, birim değerleri arasında sıra korelasyonu yoktur
(absence of serial correlation): Cov(ei, ej) = 0.
 Hataların varyansı sabittir (farklı varyanslılığın olmaması): Var(ei) = σ2
 Hatalar (ei) ile bağımlı değişken (Y) arasında korelasyon yoktur (absence of simultaneous
equation bias): Cov(ei, Yi) = 0.
 Hatalar ve bağımsız değişkenler birbirinden bağımsızdır: Cov(ei, Xi) = 0.
 Bağımsız değişkenler arasında anlamlı ilişki yoktur (absence of multicolinearity): Cov(Xi,
Xj) = 0.
30.09.2015
266
133
30.09.2015
 Doğrusal regresyon analizinde bağımsız değişkenler sabit (fixed, deterministic)
olmasına rağmen, bağımlı değişken tesadüfidir (random).
 Değişkenler hatasız ölçülmüştür (absence of measurement errors).
 Bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki ilişki doğrusaldır. Fakat bu doğrusallık
koşulu kuşkusuz modelin parametreleri için gereklidir (değişkenler doğrusal
olmayabilir).
 Birim değerleri sayısı (n), değişken sayısından (p) büyük olmalıdır: n>p.
 Bağımsız değişkenlerin (Xi) varyansı sıfırdan büyük olmalıdır. Değişkenin tüm birim
değerleri (birimleri) birbirine eşitse,
olacağından, regresyon doğrusunun
eğimi tanımsız olmaktadır.
 Model doğru tanımlanmış olmalıdır. İlişkiye uygun fonksiyonun ve dahil edilmesi
gereken tüm değişkenlerin dikkate alınması gerekmektedir.
 Yukarıdaki varsayımlardan birisinin sağlanamaması durumunda EKK tahmincileri
yanlı (biased), tutarsız (inconsistent) veya etkisiz (inefficient) olmaktadır. Söz
konusu tahminciler aşağıdaki ilk üç koşulu sağlaması durumunda en iyi doğrusal
tahminciler (BLUE = Best Linear Unbiased Estimators) olarak kabul edilmektedir.
30.09.2015
267
 Yansız Tahmin: Tahmin edilen istatistiğin beklenen değeri bilinmeyen anakütle
parametresine eşitse, buna yansız (unbiased) tahmin adı verilmektedir.
 Etkili Tahmin: Diğer tekniklerle elde edilen sonuçlarla kıyaslandığında minimum
varyansa sahip tahmine etkili tahmin adı verilir.
 Doğrusal Tahmin: Tahmin, örneklem terimlerinin doğrusal bir fonksiyonu ise bu
tahmine doğrusal tahmin adı verilir.
 Tutarlı Tahmin: Tahmin, örneklem büyüklüğü artarken gerçek değerine yaklaşıyorsa
tutarlıdır denir.
 Yeterli Tahmin: Tahmin serinin tüm birim değerlerine dayanarak hesaplanıyorsa bu
tür tahminlere yeterli tahminler adı verilmektedir.
 Güvenilir Tahmin: Yapılan tahminler belirli bir olasılık düzeyine göre doğruluk
özelliğine sahipse, bu tür tahminlere güvenilir tahminler adı verilmektedir.
30.09.2015
268
134
30.09.2015
Kavrama Soruları
(1) Bir regresyon denkleminde ne zaman belirlilik katsayısı, düzeltilmiş belirlilik katsayısına
eşit olur?
(2) Bir regresyon denkleminde TKT(TSS)=10 ve AKT(ESS)=8 ise, modelin hata kareleri
toplamı hesaplanabilir mi? Yanıtınız “evet” ise hesaplayınız?
(3) Bir regresyon denkleminde TKT(TSS)=10 ve AKT(ESS)=8 ise, modelin belirlilik ve
düzeltilmiş belirlilik katsayısını hesaplayınız?
(4) Kısmi regresyon katsayılarının nasıl yorumlandığını örnekler vererek açıklayınız?
(5) Belirlilik katsayısı 1’e eşit olduğunda, belirlilik katsayısı ile düzeltilmiş belirlilik katsayısı
birbirine eşittir. Bunun kanıtlayınız?
(6) Regresyon katsayılarının anlamlılık testleri nasıl yapılır, hipotezlerin nasıl ifade
edildiğini belirterek açıklayınız?
(7) Regresyon modelinin genel anlamlılığı hangi testle yapılır (hipotezlerin nasıl ifade
edildiğini gösteriniz)?
(8) Kısmi veya genel anlamlılık testlerinin anlamlı bulunması pratik anlamda neyi ifade
eder, açıklayınız?
30.09.2015
269
Örnek: Aşağıdaki 10 öğrencinin istatistik dersinin dönem sonu sınavından (Yi) aldıkları
notların ara sınavından (Xi) aldıkları notlarla açıklanabileceği düşünülmektedir. Aşağıda
istenen bilgileri tablodaki verilerden yararlanarak yanıtlayınız?
X i2
900
1225
1600
1600
2500
4225
4900
3600
1600
400
xiyi
x i2
yi2
45
25
40
40
60
70
80
90
20
30
XiYi
1350
875
1600
1600
3000
4550
5600
5400
800
600
75
250
50
50
50
400
750
600
150
500
225
100
25
25
25
400
625
225
25
625
500
25375
22550
2875
2300
No
Xi
Yi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
30
35
40
40
50
65
70
60
40
20
Toplam
450
a)
25
625
100
100
100
400
900
1600
900
400
Y’
31,25
37,50
43,75
43,75
56,25
75,00
81,25
68,75
43,75
18,75
ei2
189,06
156,25
14,06
14,06
14,06
25,00
1,56
451,56
564,06
126,56
351,56
156,25
39,06
39,06
39,06
625,00
976,56
351,56
39,06
976,56
5150
500
1556,25
3593,75
(Y’)2
İki rassal değişken arasındaki basit korelasyon katsayısını hesaplayınız?
b)
Basit doğrusal regresyon modelinin parametrelerini tahmin ediniz.
c)
Regresyon katsayılarının standart hatalarını hesaplayınız.
d)
Belirlilik, düzeltilmiş belirlilik ve korelasyon katsayılarını hesaplayarak yorumlayınız.
e)
Regresyon katsayılarını kısmı t-testi ile %5 anlamlılık düzeyinde test ediniz.
f)
Modelin genel anlamlılığını %5 anlamlılık düzeyinde test ediniz.
30.09.2015
270
135
30.09.2015
(a )
n
 X
rX ,Y 
i 1
i
 X Yi  Y 
 n  1 s X sY
n
 X
rX ,Y 
i 1
n
 X
i 1
i

9*

 X Yi  Y 
i
X
2
n
 Y  Y 
2875

2300 / 9 *
byx 
i
i 1
n
i
x

2
i
i 1
2875
 1, 25
2300
bxy 
x y
i 1
n

i 1
2
i
tr 

2875
 0,558
5150
r 0,835

 4, 29
sr 0,195
n
n
i 1
i 1
( b )  Y  b0 n  b1  X
n
i
1, 25*0,558  0,835
1 r2
1  0,8352

 0,195
10  2
nk
30.09.2015
i
y
i 1
rX ,Y   byx bxy 
sr 
 0,835
n
2
i
i 1

2875
 0,835
2300 5150

n
x y
5150 / 9
n
n
i 1
i 1
X Y  b0  X  b1  X
271
500  10 b0  450 b1
2
25375  450 b0  22550 b1
b0  -6, 25 ve b1  1, 25 ' dır.
b0  Y  b1 X  b0  50  1, 25 * 45   6, 25
Yˆ  -6, 250  1, 250 X
n
b1 
xy
i 1
n
i
x
i 1
2
i
i

2875
 1, 25
2300
b0  Y  b1 X  b0  50  1, 25 * 45   6, 25
30.09.2015
272
136
30.09.2015
(c‐d)
HKT
1556, 25

 13,947
10  2
nk
ˆ 
1

n
sb0  ˆ
X2
n
 X
i 1
ˆ
sb1 
n
 X
i 1
n
R2 
i
 yˆ
i 1
n
2
i

y
i 1
i
2
i
X

2
2
ˆ
 n  1 s

2
X
1
452

 13,81
10 2300
13,947
 0, 291
9*15,986
3593,75
 0,698
5150
 n  1  1  (1  0,698) 10  1  0,66
nk
10  2 
R 2  1  (1  R 2 )
30.09.2015
X
 13,947
273
(e‐f)
tb0 
b0 6, 250

 0, 453
sb0 13,810
tb1 
b1 1, 250

 4, 298
sb1 0, 291


P b0  t ,nk sb0   0  b0  t ,nk sb0  1  
P  6, 250  2,306*13,810   0  6, 250  2,306*13,810   1  0,05
P  38,097   0  25,597   %95
P 1, 250  2,306*0, 291  1  1, 250  2,306*0,291  1  0,05
P  0,579  1  1,921  %95
 Yˆ  Y 
n
F
i 1
n
 Y  Y 
i 1
30.09.2015
2
i
i
2
/ k 1

/nk
3593,75 / 2  1 3593,75

 18, 474
1556, 25 /10  2 194,531
274
137
30.09.2015
SPSS Regresyon Analizi Sonuçları
R
R‐Square
Adjusted R‐Square
Std. Error of the Estimate
,698
,660
13,947
,835
ANOVA
Sum of Squares
df Mean Square
Regression
3593,750
1
3593,750
Residual
1556,250
8
194,531
Total
5150,000
9
Sig.
18,474
,003
t
Sig.
Unstandardized Coefficients
B
Std. Error
Coefficients
(Constant)
‐6,250
13,810
‐,453
,663
1,250
,291
4,298
,003
X
30.09.2015
F
275
REGRESYON ANALİZİNDE FONKSİYONEL YAPI VE MODEL SEÇİMİ
1. Tam Logaritmik Regresyon Modeli
Yi   0 X i1 ei i
 LnYi  Ln 0  1LnX i   i
Yi  b0 X ib1 eiei
 LnYi  Lnb0  b1LnX i  ei
LnYî  Lnb0  b1LnX i  LnYî  0,927  1, 445 LnX
Yˆ  0,396 X 1,445
i
i
Y (Tüketim Harcamaları)
10
14
18
20
30
30.09.2015
X (Milli Gelir)
9
12
15
16
18
LnY
2,30
2,64
2,89
3,00
3,40
LnX
2,20
2,48
2,71
2,77
2,89
276
138
30.09.2015
Coe fficientsa
Model
1
(Cons tant)
LnX
Unstandardiz ed
Coef f icients
B
Std. Error
-,927
,571
1,445
,218
Standardized
Coef f icients
Beta
,968
t
-1,624
6,639
Sig.
,203
,007
a. Dependent Variable: LnY
30.09.2015
277
1.1. Tam Logaritmik‐Tam Doğrusal Model Seçimi: MWD Testi
 Sıfır hipotezi, doğrusallığın X ve Y değişkenleri için geçerli olduğunu ve karşıt
(araştırma) hipotez ise, doğrusallığın LnY ve LnX değişkenleri arasında olduğunu
ifade etmektedir. Test aşağıdaki aşamaları içermektedir:
H 0 : Yi   0  1 X i   i
H1 : LnYi  Ln 0  1LnX i   i
 Sıfır hipotezindeki model EKK tekniği ile çözümlenir ve Y tahminleri hesaplanır. Bu
tahminler Yˆd olarak adlandırılır.
 Karşıt hipotezle ifade edilen model EKK tekniği ile çözümlenir ve LnY tahminleri
elde edilir. Bu tahminler LnYˆ olarak adlandırılır.
 Her iki modelin tahminlerinden yararlanarak W değişkeni tanımlanır:
 
W  Ln Yˆd  LnYˆ
 Türetilen yeni W değişkeni sıfır hipotezinde ileri sürülen modelde yerine konularak model EKK tekniği ile çözümlenir.
Yi   0  1 X i   2W   i
 W değişkeni istatistik açıdan anlamlı ise sıfır hipotezi reddedilir. 30.09.2015
278
139
30.09.2015
1.2. MWD Testi
Y
X
LnY
LnX
Yˆd
10
14
18
20
30
9
12
15
16
18
2,30
2,64
2,89
3,00
3,40
2,20
2,48
2,71
2,77
2,89
8,4
14,4
20,4
22,4
26,4
LnYˆd
2,13
2,67
3,02
3,11
3,27
LnYˆ
W
2,25
2,66
2,99
3,08
3,25
-,120
,003
,029
,029
,023
Coefficientsa
Model
1
(Constant)
X
W
Unstandardized
Coefficients
B
Std. Error
-22,257
10,086
2,875
,699
-56,492
38,573
Standardized
Coefficients
Beta
1,349
-,480
t
-2,207
4,114
-1,465
Sig.
,158
,054
,281
a. Dependent Variable: Y
Yî  22, 257  2,875 X i  56, 492W
H 0 kabul. Doğrusal model uygundur.
30.09.2015
279
2. Yarı Logaritmik Regresyon Modeli
Yi  e 0  1 X i i  LnYi   0  1 X i   i
Elastikiyet  1 * X
eYi   0 X i1 ei  Yi  Ln 0  1 LnX i   i
1
Elastikiyet  1 *  
Y 
Ortalama
Y (HH Tüketim
Harcamaları)
X (Kullanılabilir Gelir)
LnY
LnX
4
9
22
24
15
14,8
12
15
24
36
18
21
1,39
2,20
3,09
3,18
2,71
2,51
2,48
2,71
3,18
3,58
2,89
2,97
Yi  Ln 0  1LnX i   i
1
Elastikiyet  1 *  
Y 
Yî  41,764  19,021LnX i
 1 
Elastikiyet  19,021* 
  1, 29
 14,8 
30.09.2015
280
140
30.09.2015
Coe fficientsa
Model
1
(Cons tant)
LnX
Unstandardiz ed
Coef f icients
B
Std. Error
-41,674
9,637
19,021
3,219
Standardized
Coef f icients
Beta
,960
t
-4,324
5,909
Sig.
,023
,010
30.09.2015
281
3. Hiperbolik (Ters Dönüşümlü) Regresyon Modeli
 1 
1
 1 
Yi   0  1     i X  ;  0. Y'nin X'e Göre Elastikiyeti   1 

X
 XY 
 Xi 
 Yatırımlarla işsizlik arasındaki ilişki veya enflasyonla işsizlik arasındaki ilişki vs…
Yıl
Y (İşsizlik Oranı)
X (Yatırımlar)
1/X
2005
2006
2007
2008
2009
Ortalama
11,0
10,5
10,4
10,3
10,2
10,5
10
15
20
24
29
19,6
0,10
0,07
0,05
0,04
0,03
0,06
 1 
Yi   0  1     i
 Xi 
 1
Elastikiyet   1 
 XY
30.09.2015
 1 
Yî  9,788  11,824  
 Xi 
1



  11,824 
  6,33

 19,6 *10,5 
282
141
30.09.2015
Coefficientsa
Model
1
(Constant)
1/X
Unstandardized
Coefficients
B
Std. Error
9,788
,060
11,824
,960
Standardized
Coefficients
Beta
,990
t
161,812
12,323
Sig.
,000
,001
30.09.2015
283
4. Çok Terimli Regresyon Modeli
Yi   0  1 X i   2 X i2   i
Yi   0  1 X i   2 X i2  3 X i3   i
Yi   0  1 X i   2 X i2  3 X i3     m X im   i
Yıl
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
30.09.2015
Y
2
3
3
4
5
7
6
7
8
9
10
15
18
24
30
36
X
3
5
7
9
12
16
18
20
25
30
36
42
44
46
48
49
X2
9
25
49
81
144
256
324
400
625
900
1296
1764
1936
2116
2304
2401
X3
27
125
343
729
1728
4096
5832
8000
15625
27000
46656
74088
85184
97336
110592
117649
284
142
30.09.2015
Coefficientsa
Model
1
(Constant)
X
X2
X3
Unstandardized
Coefficients
B
Std. Error
-3,901
2,071
1,660
,357
-,083
,016
,001
,000
Standardized
Coefficients
Beta
2,685
-7,316
5,678
t
-1,883
4,655
-5,098
6,289
Sig.
,084
,001
,000
,000
Model Summary
Model
1
R
,988a
R Square
,977
Adjusted
R Square
,971
Std. Error of
the Estimate
1,747
ANOVAb
Model
1
30.09.2015
Regression
Residual
Total
Sum of
Squares
1540,807
36,630
1577,438
df
3
12
15
Mean Square
513,602
3,053
F
168,254
Sig.
,000a
285
Yi   0  1 X i   2 X i2  3 X i3   i
Yî  3,901  1,66 X i  0,083 X i2  0,001X i3
Yî
 1,66  0,166 X  0,003 X 2  0
X
X 1  13,1 ve X 2  42, 2
30.09.2015
286
143
30.09.2015
4.1. Çok Terimli Regresyon Modeli Seçimi: Lagrange Çarpanı (LM) Testi
 Çok terimli regresyon modellerinde derece ya da terim sayısını LM testi ile
belirlenebilmektedir.
 Yöntemde sıfır hipotezinde birinci ya da daha yüksek dereceli bir modelin geçerli
olduğunu, karşıt hipotezde ise sıfır hipotezinde ifade edilen modelden daha yüksek
dereceden bir modelin geçerli olduğunu ifade edilir. Aşağıdaki sıfır hipotezi birinci
dereceden ve karşıt hipotez ise m. dereceden bir regresyon modelini ifade
etmektedir.
H 0 : Yi   0  1 X i     p X p   i
H1 : Yi   0  1 X i   2 X i2  3 X i3     m X im   i
 Hipotezlerde tanımlanan modellerden hangisinin en uygun olduğuna karar
verebilmek için ilk önce sıfır hipotezindeki model EKK tekniği ile çözümlenir ve
modelin hataları hesaplanır. Daha sonra sıfır hipotezinde ifade edilen modelin
hataları bağımlı değişken ve karşıt hipotezdeki bağımsız değişkenler açıklayıcı
değişkenler olarak alınıp aşağıdaki yardımcı regresyon modeli EKK tekniği ile
çözümlenir.
ei   0  1 X i   2 X i2  3 X i3     m X im  ui
 Yardımcı regresyon modelinden hesaplanan n*R2 istatistiği, kritik ki‐kare tablo
2
değerinden  m  p , büyükse sıfır hipotezi reddedilir.
30.09.2015
287
4.2. Örnek: LM Testi
Yıl
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Y
2
3
3
4
5
7
6
7
8
9
10
15
18
24
30
36
Yî
,353
1,453
2,552
4,200
6,398
7,497
8,596
11,344
14,092
17,389
20,686
21,785
22,884
23,983
24,533
,353
i
2,647
1,547
1,448
,800
,602
‐1,497
‐1,596
‐3,344
‐5,092
‐7,389
‐5,686
‐3,785
1,116
6,017
11,467
2,647
X
3
5
7
9
12
16
18
20
25
30
36
42
44
46
48
49
X2
9
25
49
81
144
256
324
400
625
900
1296
1764
1936
2116
2304
2401
X3
27
125
343
729
1728
4096
5832
8000
15625
27000
46656
74088
85184
97336
110592
117649
H 0 : Y   0  1 X   i
H1 : Y   0  1 X 1   2 X 2   3 X 3   i
2
 m2  p ,   321,%5   2,%5
 5,99  n.R 2  16*0,89  14, 24  5,99  H 0 red.
30.09.2015
288
144
30.09.2015
Coefficientsa
Model
1
Unstandardized
Coefficients
B
Std. Error
-1,507
2,071
1,111
,357
-,083
,016
,001
,000
(Constant)
X
X2
X3
Standardized
Coefficients
Beta
3,914
-15,944
12,373
t
-,728
3,115
-5,098
6,289
Sig.
,481
,009
,000
,000
F
32,269
Sig.
,000a
a. Dependent Variable: RES_1
ANOVAb
Model
1
Regression
Residual
Total
Sum of
Squares
295,503
36,630
332,133
df
3
12
15
Mean Square
98,501
3,053
Model Summaryb
Model
1
30.09.2015
R
,943a
R Square
,890
Adjusted
R Square
,862
Std. Error of
the Estimate
1,747152
289
Örnek 2: Ortalama Maliyet Fonksiyonu
Yıl
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Y (Ortalama Maliyet)
15
9
5
3
2
4
6
10
16
X (Üretim, Ton)
2
3
6
8
12
14
15
17
20
X2
4
9
36
64
144
196
225
289
400
Yi   0  1 X i   2 X i2   i
Yî  19,31  3,32 X i  0,16 X i2
Yî / X  32,32  0,32 X i  0  X  101 Ton.
30.09.2015
290
145
30.09.2015
Coefficientsa
Model
1
(Constant)
X
X2
Unstandardized
Coefficients
B
Std. Error
19,308
1,285
-3,320
,287
,160
,013
Standardized
Coefficients
Beta
-4,132
4,309
t
15,028
-11,559
12,053
Sig.
,000
,000
,000
Model Summary
Model
1
R
,980a
R Square
,961
Adjusted
R Square
,947
Std. Error of
the Estimate
1,169
ANOVAb
Model
1
Regression
Residual
Total
Sum of
Squares
199,357
8,198
207,556
df
2
6
8
Mean Square
99,679
1,366
F
72,951
Sig.
,000a
30.09.2015
291
30.09.2015
292
146
30.09.2015
14. HAFTA
Parametrik Korelasyon Analizi
1. Basit Doğrusal Korelasyon Katsayısı (r)
2. Kısmi Korelasyon Katsayıları (r12.3)
3. Çoklu Korelasyon Katsayısı (R)
4. Kanonik Korelasyon Katsayısı.
30.09.2015
293
Kukla Değişkenler ve Regresyon Analizi
 Metrik olmayan (nominal/sınıflayıcı veya ordinal/sıralayıcı) nitel (sözel) bir
değişkenin 0 ve 1 olarak kodlanıp nicel hale dönüştürülen değişkenlere kukla
(gölge) değişken adı verilmektedir. Bilindiği gibi rassal değişkenler farklı şekillerde
sınıflandırılabilmektedir. Örneğin; bağımlı‐bağımsız, nitel‐nicel, kesikli‐sürekli,
kontrol edilen‐edilmeyen (örneğin kısmi regresyon katsayıları) ve ölçek tipine göre
nominal‐ordinal‐aralık‐oran ölçekli değişkenler.
 Örneğin ücret farklılıklarının ortaya çıkmasında yaş (yıl), eğitim süresi (yıl), işe
başlama ücreti, deneyim süresi, kıdem süresi gibi nicel değişkenler yanında
cinsiyet, medeni durum, meslek grubu, çalışılan sektör (kamu‐özel) vatandaşlık
statüsü gibi nitel değişkeler etkili olabilmektedir. İşte nitel değişkenlerin regresyon
analizi gibi tekniklerde açıklayıcı değişken olarak kullanılabilmesi için, bu
değişkenlerin kukla değişkenler haline dönüştürülerek nicelleştirilmektedir. Çünkü
EKK tekniğinde bağımlı ve bağımsız değişkenlerin nicel (metrik ölçekli) değişkenler
olduğunu varsaymaktadır. Fakat kukla değişkenler de kesikli değişkenlerdir. Kukla
değişkelerin regresyon analizinin normal dağılım varsayımını bozmaması için, her
iki sonuçtan birisine ait oransal frekansın %20’den az olmamasına özen
gösterilmelidir.
30.09.2015
294
147
30.09.2015
Kukla Değişkenlerin Oluşturulması
(1) Kesit Verilerinde Kukla Değişkenlerin Tanımlanması

Nitel bir değişkenin kukla değişken olarak tanımlanabilmesi için, nitel değişkenin şık (sonuç)
sayısının bir eksiği kadar kukla değişkene ihtiyaç duyulmaktadır. Örneğin cinsiyet değişkeni “erkek”
ve “kadın” olmak üzere iki sonuç içerdiğinden tek bir kukla değişkenle tanımlanabilmektedir. Kukla
değişkenlerde ilgilenilen şıkka 1, referans grubu ile diğer şıklara 0 değeri verilmektedir. Sözgelimi
imalat sanayindeki işletmeler büyüklüklerine göre küçük (K=1), orta (O=2) ve büyük (B=3) olmak
üzere üç kategoride ölçüldüğünü varsayalım. Bu değişken için küçük işletmeler (K=0) referans
grubu olarak alınırsa, en az iki kukla değişkene (D1 ve D2 gibi) ihtiyaç duyulur. Orta ölçekli
işletmeler için D1, büyük ölçekli işletmeler için D2 kukla değişkeni tanımlanırsa, D1 değişkeni orta
ölçekli işletmeler için 1 diğer işletmeler için 0 değerini alırken, D2 değişkeni büyük ölçekli
işletmeler için 1 diğer işletmeler için 0 değerini alır. Böylece küçük ölçekli işletmeler D1 ve D2 kukla
değişkenleri üzerinde 0, orta ölçekli işletmeler D1 üzerinde 1, D2 üzerinde 0 ve büyük ölçekli
işletmeler D1 üzerinde 0, D2 üzerinde 1 değerini alır.
(2)
Zaman Serilerinde Kukla Değişkenlerin Tanımlanması

Kukla değişkenleri kesit serilerinde kullanılabildiği gibi, zaman serilerinde de kullanılabilmektedir.
Zaman serilerinde kukla değişkenler iki temel gerekçe ile kullanılmaktadır. Bunlardan birincisi
bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki yapısal değişmeleri incelemektir (intervention
analysiss). İkincisi, mevsimlik bir bağımlı zaman serisi değişkenini, mevsimlik hareketlerden
arındırmadan, model içinde mevsimlik kukla değişkenler kullanarak çözümlemektir.
30.09.2015
295
 Kukla Değişkenlerin Kullanımı ve Yorumu
 Örneğin bir sektörde çalışanların aldıkları ücretler (ÜCR); eğitim düzeyi
(EDZ, yıl), işe başlama ücreti (BÜC, TL), Cinsiyet (D1, Erkek=1 ve Kadın=0) ve
Meslek Grubu (D2, Memur=0 ve İşçi=1) ile açıklandığını varsayalım.
Böylece örneklem verileri için ücret denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir:
ÜCRi  b0  b1 EDZ i  b2 BÜCi  b4 D1  b5 D2  ei
 b4 katsayısı; EDZ, BÜC ve D2 değişkenleri kontrol edildiğinde erkeklerin
kadınlardan ortalama olarak b4 kadar bir ücret farkı alabileceği beklenir.
Diğer bir ifadeyle sözü edilen değişkenler kontrol edildiğinde kadınlar b0
kadar ücret alması beklenirken, erkekler b0+b4 kadar ücret almaları
beklenir.
 Kukla değişkenlerin birim değerleri birbiriyle değiştirilmesi durumunda
sadece ilgili kukla değişkenin katsayı değeri ile sabit terimin değeri değişir.
Diğer sonuçlar ise değişmez.
30.09.2015
296
148
30.09.2015
Parametrik Korelasyon Analizi
1) Basit Korelasyon Katsayısı (r)
2) Kısmi Korelasyon Katsayıları (r12.3)
3) Çoklu Korelasyon Katsayısı (R)
4) Kanonik Korelasyon Katsayısı
30.09.2015
297
Parametrik Korelasyon Analizi
 İstatistikte bilinen en basit ilişki (korelasyon) X ve Y ile gösterilen iki tesadüfi
değişken arasındaki ilişkidir. Basit korelasyon katsayısı (r) olarak adlandırılan bu
kavram 0‐1 aralığında bir değer almaktadır. Söz konusu iki değişken normal dağılım
göstermesi durumunda bu değişkenler arasındaki ilişki Pearson tarafından önerilen
çarpım moment korelasyon katsayısı ile ölçülmektedir (r).
 Değişkenler metrik ölçekli veya normal dağılımlı değilse, Spearman ve Kendall türü
parametrik olmayan ilişki ölçümleri Pearson korelasyon katsayısının alternatifi
olarak kullanılmaktadır.
 Değişken sayısı ikiden çok olması durumunda kısmi korelasyon katsayıları basit
korelasyon katsayılarından yararlanarak hesaplanabilmektedir.
 Değişken sayısı p sayıda olması durumunda değişkenlerden biri ile geriye kalan p‐1
tane değişken arasındaki korelasyon aranacak olursa, hesaplanacak korelasyon
katsayısına çoklu korelasyon katsayısı (R) adı verilmektedir.
 En genel ve en karmaşık ilişki analizi olan kanonik korelasyon analizinde ise çok
değişkenli bir anakütleden çekilmiş iki değişken seti arasındaki ilişkilerle
ilgilenilmektedir.
30.09.2015
298
149
30.09.2015
1. Belirlilik ve Basit Korelasyon Katsayısı
 Belirlilik katsayısı, bağımlı değişkendeki toplam değişimin (varyansın) bağımsız
değişkenler tarafından yüzde kaçının açıklandığını gösterir. Aşağıdaki gibi
hesaplanmaktadır:
n
R2 
 (Yˆ
 Y )2
 (Y
 Y )2
j
j 1
n
j 1
n
 1
j
 (Y
j 1
n
j
 (Y
j 1
j
 Yˆj ) 2
 n 1 
R 2  1  1  R 2  

nk 
 Y )2
 Basit korelasyon katsayısı ile iki tesadüfi değişken arasındaki doğrusal ilişkinin
derecesi, yönü ve büyüklüğü hesaplanmaktadır. ‐1 ile +1 aralığında bir değer alır.
Korelasyon katsayısının işareti ilişkinin yönünü, mutlak büyüklüğü ise ilişkinin
gücünü göstermektedir.
n
r
(X
j 1
n
(X
j 1
30.09.2015
j
 X )(Yj  Y )

n
j
 X )2  (Yj  Y )2
kov( X , Y )
sX .sY
 n 1 
r  1  1  R 2  

nk 
j 1
299
2. Kısmi Korelasyon Katsayıları
 Kısmi Korelasyon Katsayısı; diğer değişkenler sabit tutulduğunda iki değişken
arasındaki net korelasyon katsayısını ifade etmektedir. Birisi bağımlı ikisi bağımsız
olmak üzere üç değişkenli bir regresyon modeli ele alınsın: Y1 = b1+ b2X2 + b3X3 +e.
Kısmi korelasyon katsayıları aşağıdaki formüllerle hesaplanmaktadır:
r12.3 
r23.1 
 r12  r13r23 
1  r 1  r 
2
13
2
23
r13.2 
 r13  r12 r23 
1  r 1  r 
2
12
2
23
 r23  r12 r13 
1  r 1  r 
2
12
2
13
Kısmi korelasyon katsayılarının anlamlılığı t -tetsi ile değerlendirilir:
tnk 
r12.3
1  r  /  n  k 
2
12.3
H 0 : 12.3  0
t  t ,nk ise H 0 kabul.
H1 : 12.3  0
t  t ,nk ise H 0 red.
30.09.2015
300
150
30.09.2015
3. Çoklu Korelasyon Katsayısı (R)
 Çoklu doğrusal korelasyon katsayısı ile tek bir bağımlı değişken ile iki veya daha çok
sayıda bağımsız değişkenler arasındaki doğrusal ilişkinin derecesi, yönü ve
büyüklüğü hesaplanmaktadır. ‐1 ile +1 aralığında bir değer alır. Korelasyon
katsayısının işareti ilişkinin yönünü, mutlak büyüklüğü ise ilişkinin gücünü
göstermektedir.
 Çoklu korelasyon katsayısı (R); bir bağımlı değişken (Y) ile iki veya daha çok sayıda
bağımsız değişken için hesaplanan tahmini Ŷ değerleri arasındaki basit korelasyon
katsayısı olarak da ifade edilebilir. Yani çoklu korelasyon katsayısı R, Y ile Ŷ iki
tesadüfi değişken arasındaki basit korelasyon olarak tanımlanmaktadır.
n
R
 (Y  Y )(Yˆ  Y )
i
i 1
n
i
n
 (Y  Y )  (Yˆ  Y )
i 1
30.09.2015
2
i
i 1
(Y  Yˆ ).
2
i
301
4. Kanonik Korelasyon Katsayısı
 En genel ve en karmaşık ilişki analizi olan kanonik korelasyon
analizinde ise çok değişkenli bir anakütleden çekilmiş iki
değişken seti arasındaki ilişkilerle ilgilenilmektedir. Aşağıdaki
M, metrik ölçekli ve MO, metrik ölçekli olmayan değişkenler
anlamında kullanılmaktadır.
Y1  Y2  Y3    YP  X 1  X 2  X 3    X k
(M veya MO)
30.09.2015
(M veya MO)
302
151
30.09.2015
15. HAFTA
 Parametrik Olmayan Korelasyon Analizi
 Nominal Ölçekli Değişkenler:
1.
Fi ve Cramer V İstatistiği
2. Kontenjans Katsayısı (c)
3. Lamda Katsayısı
4. Belirsizlik Katsayısı (Theil U İstatistiği)
 Ordinal Ölçekli Değişkenler
1.
Spearman Sıra Korelasyon Katsayısı (rs)
2. Gamma İstatistiği
3. Somers d İstatistiği
4. Kendall Tau‐b ve Kendall Tau‐c İstatistikleri
 Metrik‐Metrik Olmayan Ölçekli Değişkenler
1. Eta Katsayısı.
30.09.2015
303
Parametrik Olmayan Korelasyon Analizi
 Nominal Ölçekli Değişkeler
1) Fi (Phi) ve Cramer v İstatistiği (v)
2) Kontenjans Katsayısı (c)
3) Lamda Katsayısı
4) Belirsizlik (Uncertainty) Katsayısı
 Ordinal Ölçekli Değişkenler
1) Spearman Sıra Korelasyon Katsayısı
2) Gamma
3) Sommer d
4) Kendall Uygunluk Katsayıları (tau‐b ve tau‐c)
 Metrik‐Metrik Olmayan Ölçekli Değişkenler
1) Eta Katsayısı
30.09.2015
304
152
30.09.2015
Nominal Ölçekli Değişkenler
1. Fi (Phi) ve Cramer V İstatistiği
 v ve ф (fi) katsayıları ki‐kare esaslı iki değişken arasındaki korelasyon katsayılarıdır.
 Değişkenler nominal ölçekli olması durumunda kullanılması önerilmektedir. 0 ile 1
aralığında değerler almaktadır. v ve ф istatistiği (r‐1)(c‐1) serbestlik derecesi ile ki‐
kare dağılımına uymaktadır.
 v istatistiği rxc kontenjans tabloları için kullanılabilmektedir. r ve c herhangi bir satır
veya sütun sayısını göstermektedir.
v


2
n * min  r , c 
2
n
 X 11 X 22  X 12 X 21 
 X c1 X c 2  X r1 X r 2 
r  c tabloları için: 0    1
2  2 tabloları için: -1    1
 2  Ki-kare istatistiğini,
n =toplam birim sayısını göstermektedir.
30.09.2015
305
2. Kontenjans Katsayısı (c)
c





2
2  n
0  c 1
n  toplam birim sayısıdır.
Kontenjans katsayısı (c) 0 ile 1 aralığında bir değer alır. Katsayının büyüklüğü ki‐kare tablosundaki satır ve
sütun sayılarına bağlıdır. r ve c’nin birlikte 3’ten büyük olması durumunda kullanılması en uygundur.
v, ф ve c istatistiklerinde örneklemlerin mültinomial dağılımdan çekildiği varsayılmaktadır.
Ki‐kare istatistiği şu durumlarda geçersizdir: (1) İki bağımsız örnek kontenjan tablosunun büyüklüğüne göre
(rxc) küçükse; (2) kontenjans tablosu 2x2 boyutlu ise; (3) frekanslardan birisinin 5’den küçük olması. Bu
durumda iki örneğin birbirine bağımlı olup olmadığı Fisher’in kesin testi ile araştırılması gerekir.
Fisher’in kesin testi, kontenjans tablosundaki gözlenen frekanslar için kesin hipergeometrik olasılıkları
hesaplamaktadır.
2x2 boyutlu bir kontenjans tablosunun birinci satırının frekansları a, b ve ikinci satırının frekansları c, d ise;
Fisher’in kesin test olasılığı aşağıdaki gibi hesaplanır:
p  C  a  c, a  C  b  d , b  / C  n, a  b
 Hesaplanan
Fisher
anlamlılık
düzeyinden
olasılığı
belirli
(örneğin
bir
α=%5)
C  a  c, a    a  c !/  a!b!
küçükse sıfır hipotezi reddedilir. Yani iki
C  b  d , b   b  d  !/  b!d !
verilir. 2x2 boyutlu tabloda beklenen değer
C  n, a  b  n!/  a  b ! b  d  ! .
kesin
30.09.2015
örneğin birbiriyle ilişkili olduğuna karar
5’den küçük olması durumunda SPSS Fisher
testini
otomatik
olarak
hesaplamaktadır.
306
153
30.09.2015
3. Lamda Katsayısı
 Bağımsız bir değişkenin birim değerleri, bağımlı bir değişkenin birim değerlerinin
tahmininde kullanıldığında hatadaki oransal azalışı yansıtan bir ilişki ölçüsüdür.
Lamda değerinin 1’e eşit olması, bağımsız değişkenin bağımlı değişkeni tam olarak
açıkladığını; sıfır olması ise bağımlı değişkenin tahminde bağımsız değişkenin hiçbir
katkısının olmadığını gösterir.
4. Belirsizlik Katsayısı
 Bir değişkenin birim değerleri, diğer bir değişkenin birim değerlerinin tahmininde
kullanıldığında hatadaki oransal azalışı yansıtan bir ilişki ölçüsüdür. Örneğin 0,75
değeri; bir değişken üzerinde sağlanan bilginin diğer bir değişkenin birim
değerlerinin tahminindeki hatayı %75 oranında azalttığını gösterir.
 Belirsizlik katsayısı değişkenin her bir kategorisi için P(Kategori j)*Ln(P(Kategori j)
değerleri hesaplanıp tüm kategoriler için bu değerlerin toplamı alınarak
hesaplanmaktadır. Belirsizlik katsayısı Theil U istatistiği olarak da bilinir.
30.09.2015
307
Çift‐Yönlü Sınıflandırma (Kontenjans) Tablosu (N=756) (GSS93 subset.sav)
Region
Religious Preference*Region
Religious Preference
1‐Protestant
2‐Catholic
3‐Jewish
4‐None
5‐Other
Total
Count
Expected Count
Expected Count
Expected Count
Expected Count
Expected
Count
Expected Chi‐Square Tests
Pearson Chi‐Square
Likelihood Ratio
Linear‐by‐Linear Association
N of Valid Cases
1‐Northeast
54
86,3
55
32,7
10
2,7
12
11,5
5
2,7
136
136,0
2‐Midwest
140
140,3
56
53,2
1
4,4
20
18,7
4
4,4
221
221,0
Value
109,104(a)
105,926
4,261
756
df
12
12
1
3‐South
206
156,8
28
59,5
1
4,9
8
20,9
4
4,9
247
247,0
4‐West
80
96,5
43
36,6
3
3,0
24
12,9
2
3,0
152
152,0
Total
480
480,0
182
182,0
15
15,0
64
64,0
15
15,0
756
756,0
Asymp. Sig. (2‐sided)
,000
,000
,039
Not: 8 cells (40,0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 2,70
30.09.2015
308
154
30.09.2015
Çift‐Yönlü Sınıflandırma (Kontenjans) Tablosu (N=756)
Nominal Lambda
by Nominal
Asymp. Approx. Approx
Value Std. Error
T
. Sig.
,070
,019
3,543
,000
Directional Measures
Symmetric
Dependent: Religious Preference
,004
,038
,096
Dependent: Region
,106
,022
4,698
Goodman and Dependent: Religious Preference
Kruskal tau
Dependent: Region
,073
,014
,048
,009
Uncertainty Coefficient
Symmetric
,060
,011
5,312
,000
Dependent: Religious Preference
,070
,013
5,312
,000
Dependent: Region
,052
,010
5,312
,000
Symmetric Measures
Nominal by Nominal
30.09.2015
,000
Approx. Sig.
,000
,000
,000
,380
,219
,355
756
N of Valid Cases
,000
,000
Value
Phi
Cramer's V
Contingency Coefficient
,924
309
Region
Religious Preference * Region
1-Northeast 2- Midwest 3-South 4-West
1-Protestant Count
54
140
206
80
Religious
Expected
80,0
142,8
160,0
97,2
Preference 2-Catholic
Count
55
56
28
43
Expected
30,3
54,1
60,7
36,9
4-None
Count
12
20
8
24
Expected
10,7
19,0
21,3
13,0
Total
Count
Expected
Pearson Chi-Square
Likelihood Ratio
Linear-by-Linear Association
N of Valid Cases
30.09.2015
Total
480
480,0
182
182,0
64
64,0
121
216
242
147
726
121,0
216,0
242,0
147,0
726,0
Value
81,464
82,835
,933
726
df
6
6
1
Asymp. Sig. (2-sided)
,000
,000
,334
310
155
30.09.2015
Nominal Measures
Lambda
Directional
Measures
Symmetric
Value
,062
Asym.
Std. Error
,020
Approx. T Approx. Sig.
3,019
,003
Religious Preference Dependent
,004
,042
,096
,924
Region Dependent
,091
,021
4,133
,000
Goodman and
Kruskal tau Religious Preference Dependent
,077
,016
,000
Region Dependent
,039
,008
,000
Uncertainty Symmetric
,052
,011
Coefficient
Religious Preference Dependent
,068
,014
4,734
,000
Region Dependent
,042
,009
4,734
,000
Symmetric Measures
Nominal by Nominal Phi
,000
Value Approx. Sig.
,335
,000
Cramer's V
,237
,000
Contingency Coefficient
,318
,000
N of Valid Cases
30.09.2015
4,734
726
311
 SPSS ile iki‐yönlü sınıflandırma tablolarının bir seti olarak, çok‐yönlü
sınıflandırma tabloları elde edilebilmektedir.
 SPSS’te bir satır, bir sütun ve bir de katman (kontrol) değişkeni
belirtilmişse, SPSS’te katman değişkeninin her bir değeri için ayrı ayrı bir
alt iki‐yönlü sınıflandırma tablosu gösterilir.
 Örneğin; medeni durumla (evli=1, dul=2, boşanmış=3, ayrı yaşıyor=4,
bekar=5) hayata bakış (heyecanlı=1, sıradan=2, sıkıcı=3) arasındaki ilişki
cinsiyete göre bir farklılık göstermekte midir (ayrı yaşıyor=4: çok az sayıda
birim içerdiğinden çözümlemelere dahil edilmemiştir)?
 Bu tür problemleri ikiden çok değişken için eşzamanlı olarak çözümlemek
gerekiyorsa SPSS’te “General Loglinear Analysis” prosedürünün
kullanılması gerekmektedir. Bu teknik medeni durumla hayata bakış,
medeni durumla cinsiyet ve cinsiyetle hayata bakış arasındaki tüm olası
karşılıklı etkileşimleri eşzamanlı olarak çözümlemektedir.
30.09.2015
312
156
30.09.2015
SPSS Sonuçları (GSS93 subset.sav)
Cinsiyet
1 Erkek
2 Kadın
Cinsiyet
1 Erkek
2 Kadın
30.09.2015
Medeni Durum * Hayata Bakış* Cinsiyet
Medeni Durum 1 Evli
2 Dul
3 Boşanmış
5 Bekar
Total
Medeni Durum 1 Evli
2 Dul
3 Boşanmış
5 Bekar
Toplam
Chi‐Square Tests
Likelihood Ratio
N of Valid Cases
Likelihood Ratio
N of Valid Cases
1 Sıkıcı
6
4
6
3
19
15
13
4
8
40
Value
27,506
23,450
,610
418
11,578
10,426
,047
553
Hayata Bakış
2 Sıradan
121
14
25
39
199
120
40
49
40
249
3 Heyecanlı
121
4
19
56
200
130
36
46
52
264
Toplam
1 Sıkıcı
248
22
50
98
418
265
89
99
100
553
df
6
6
1
Asymp. Sig. (2‐sided)
,000
,001
,435
6
6
1
,072
,108
,829
313
 Kadınlar için %5 anlamlılık düzeyinde, medeni durumları ile hayata bakış açıları arasında
anlamlı bir ilişki olmadığını ileri süren sıfır hipotezi kabul edilmektedir.
 Erkekler için %5 anlamlılık düzeyinde, medeni durumları ile hayata bakış açıları arasında
anlamlı bir ilişki olmadığını ileri süren sıfır hipotezi reddedilmektedir. Fakat erkekler için 3
hücre (%25) için gözlenen frekansları 5’ten küçük olduğundan bu sonucu kuşkuyla
karşılamak gerekir. Çünkü üç hücredeki gözlenen frekansların ki‐kare istatistiğine katkısı
beklenenden çok daha yüksektir.
 Göreceli Risk: 2x2 boyutlu tablolarda, bir olayın ortaya çıkması ile bir faktörün ortaya
çıkması arasındaki ilişkinin gücünü gösteren bir ölçüdür. İstatistik için hesaplanan güven
aralığı 1’i içine alıyorsa, faktör ile olay arasında bir ilişki olduğu varsayılamaz. Üstünlük oranı
(odd ratio), bir faktörün veya bir olayın ortaya çıkması olasılığı çok düşük (<%10) veya
araştırmanın tasarımı birimleri kontrole (case‐control) dayanıyorsa, risk değerinin
tahmininde kullanılabilmektedir.
 GSS93 subset verileri için, Vote92 < 3 & dwelown < 3 koşulu altında SPSS ile elde edilen
risk ve ki‐kare sonuçlar aşağıda sunulmaktadır. Bu sonuçları yorumlayınız?
 Geçmişte araştırmacılar 2x2 boyutlu tablolarda oranların eşitliğinde ki‐kare istatistiğini
sıklıkla kullanmaktaydı. Günümüzde ise, göreceli risk ve göreceli riskin üstünlük oranıyla
tahmini istatistiklerinin daha yorumlanabilir oldukları için daha çok tercih edilmektedirler.
 2x2 boyutlu tablolarda ki‐kare istatistiği seçildiğinde Yates düzelmesi ve Fisher kesin testi
sonuçları da raporlanmaktadır. Ki‐kare ve göreceli risk tahminleri aynı sonucu vermektedir.
30.09.2015
314
157
30.09.2015
Homeowner or Renter * Voting in 1992 Election Crosstabulation
Count
% within
Homeowner
or Renter
Homeowner
or Renter
1 owns home
2 pays rent
Total
Homeowner
or Renter
1 owns home
2 pays rent
Voting in 1992 Election
1 voted
2 did not vote
509
135
167
140
676
275
79,0%
21,0%
Total
Total
644
307
951
100,0%
54,4%
45,6%
100,0%
71,1%
28,9%
100,0%
Risk Estimate
Value
3,161
1,453
,460
951
Odds Ratio for Homeowner or Renter (1 owns home / 2 pays rent)
For cohort Voting in 1992 Election = 1 voted
For cohort Voting in 1992 Election = 2 did not vote
N of Valid Cases
Lower
Upper
2,356
4,241
1,302
1,622
,379
,558
Chi-Square Tests
Pearson Chi-Square
Continuity Correction
Likelihood Ratio
Fisher's Exact Test
Linear-by-Linear
Association
N of Valid Cases
Value
61,405b
60,212
59,320
a
df
1
1
1
Asymp. Sig. (2-sided)
,000
,000
,000
1
,000
Exact Sig. (2-sided)
Exact Sig. (1-sided)
,000
61,340
,000
951
a. Computed only for a 2x2 table
b. 0 cells (,0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 88,77.
30.09.2015
315
Kappa Uyumluluk Ölçüsü (RxR Tabloları İçin)
 Kappa, aynı objeleri değerlendiren iki değerlendiricinin birbiriyle olan uyumunu
ölçer. Kappa ölçümünü kullanabilmek için karşılaştırılan değişkenlerdeki kategori
sayısının eşit olması gerekir. Örneğin iki doktorun n sayıda hastaya “şizofren,”
“deli” ve “davranış bozukluğu” olarak tanı konulduğunu varsayalım
1. Doktor
2. Doktor
Şizofren
Deli
Davranışsal Bozukluk
Şizofren
a
b
c
Deli
d
e
f
Davranışsal Bozukluk
g
h
i
 Kappa değeri 1’e eşitse tam bir uyumu, sıfıra eşitse tesadüfler dışında uyumun
olmadığını gösterir. Pg, köşegen hücreleri üzerindeki gözlenen oransal frekanslar ve
Pb, köşegen hücreleri üzerindeki beklenen oransal frekanslar göstermek üzere
Kappa değeri aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:

30.09.2015
pg  pb
1  pb
  %75 (Çok İyi) %45< <%75 (Orta-İyi)  <%45 (Zayıf)
316
158
30.09.2015
Örnek: Kappa Değerinin Elde Edilmesi ve Yorumu
Father's Highest Degree * Mother's Highest Degree Crosstabulation
Count
Father's
Highest
Degree
Expected
Count
% of Total
Total
Father's
Highest
Degree
Total
Father's
Highest
Degree
0
1
3
4
LT High School
High School
Bachelor
Graduate
0
1
3
4
LT High School
High School
Bachelor
Graduate
0
1
3
4
LT High School
High School
Bachelor
Graduate
Total
0 LT High School
355
74
7
2
438
208,0
158,9
44,1
27,0
438,0
33,1%
6,9%
,7%
,2%
40,9%
Mother's Highest Degree
1 High School
3 Bachelor
139
14
297
15
61
34
37
15
534
78
253,6
37,0
193,8
28,3
53,8
7,9
32,9
4,8
534,0
78,0
13,0%
1,3%
27,7%
1,4%
5,7%
3,2%
3,5%
1,4%
49,8%
7,3%
4 Graduate
1
3
6
12
22
10,4
8,0
2,2
1,4
22,0
,1%
,3%
,6%
1,1%
2,1%
Total
509
389
108
66
1072
509,0
389,0
108,0
66,0
1072,0
47,5%
36,3%
10,1%
6,2%
100,0%
Symmetric Measures
Measure of Agreement
N of Valid Cases
Value
,434
1072
Kappa
Asymp.
a
Std. Error
,022
b
Approx. T
19,510
Approx. Sig.
,000
a. Not assuming the null hypothesis.
b. Using the asymptotic standard error assuming the null hypothesis.
30.09.2015
317
Ordinal Ölçekli Değişkenler
1. Spearman Sıra Korelasyon Katsayısı 
Pearson doğrusal korelasyon katsayısı iki tesadüfi değişkenin normal dağılıma uyması ve örneklem hacminin
yeteri kadar büyük olması durumunda kullanılması uygun olmaktadır.

İki tesadüfi değişkenin normal dağılıma uymaması, değişkenlerin ölçeğinin ordinal veya örneklem hacminin
küçük olması durumunda Pearson korelasyon katsayısının parametrik olmayan alternatifidir.

Spearman sıra korelasyon katsayısı (rs) iki tesadüfi değişken ölçeğinin en az ordinal olması durumunda
kullanılması uygundur. rs katsayısının anlamlılık testi, Sperman’ın parametrik olmayan testi ile yapılır. Tek
veya çift yönlü olarak test edilebilir (|rs|>rn,α/2; rs>rn,α ve rs<‐rn,α ise H0 reddedilir). Örneklem hacmi 30’dan
büyük olduğu zaman z‐istatistiği ile test edilmektedir. Spearman sıra korelasyon katsayısı değişkenlerin
birim değerleri arasında eşit değerler olamaması durumunda aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:
n
rXs ,Y  1 
6 di2

değerlerine verilen sıra numaraları arasındaki farkları
i 1
2
n  n  1
Formülde n, örneklem hacmini; d, iki değişkenin birim
göstermektedir.



z  rs / 1 / n 1  rs n 1
Değişkenlerin Birim Değerleri Arasında Eşit Değerler Bulunması Durumunda ise r S Aşağıdaki Gibi Hesaplanmaktadır:
n
s
X ,Y
r

i 1
2  TX  TY
30.09.2015
  Siegel, 1956   TX 
n3  n  STX
12
ve TY 
n3  n  STY
12
k
k
j 1
j 1
 STX    t 3  t  ve STY    t 3  t 
318
159
30.09.2015
Örnek 2 (Eşit Değer Yok): 5 annenin günlük sigara tüketimi ile bebeklerinin doğum
ağırlıklarıyla ilgili veriler aşağıda verilmektedir. Annenin tükettiği sigara miktarı ile
bebek doğum ağırlığı arasındaki ilişkinin yönünü ve derecesini Spearman sıra
korelasyon katsayısıyla belirleyiniz?
Anne
Y
X
Fatma
Ayşe
Nuray
Gülşen
Gülay
16
7
8
20
12
2,4
3,5
3,2
2,2
3,0
Y: Annenin ortalama günlük sigara tüketimini (adet/gün)
X: Bebeğin doğum ağırlığı (kg)
30.09.2015Prof. Dr. Ali Sait ALBAYRAK, Recep Tayyip Erdoğan Üniversitesi, İİBF, İşletme Bölümü, ISL224 İstatistik‐II Ders Notları 319
k
STX    t 3  t   0.
j 1
k
STY    t 3  t   0
j 1
TX 
n3  n  STX
12
TY 
n3  n  STY
12
 5 1250  10
3
 5 1250  10
3
n
rXs ,Y 
i 1
2  TX  TY

10  10  40
2
10 10 
 1  Normal Formül
n
rXs ,Y  1 
30.09.2015
6 di2
i 1
2
n  n  1
 1
6  40
 1  Kısayol Formülü
9   92  1
Prof. Dr. Ali Sait ALBAYRAK, Recep Tayyip Erdoğan Üniversitesi, İİBF, İşletme Bölümü, ISL224 İstatistik‐II Ders Notları
320
160
30.09.2015
Örnek 2 (Eşit Değer Var): Bebek sahibi 9 annenin günlük tükettikleri ortalama sigara sayıları ile
bebeklerinin doğum ağırlıkları aşağıda verilmiştir. Annenin tükettiği sigara miktarı ile bebe doğum
ağırlığı arasındaki ilişkinin yönünü ve derecesini Spearman sıra korelasyon katsayısı ile
hesaplayınız?
BSN
Yi
Xi
Bebeğin
S(Yi)
S(Xi)
di
d2
1
12
3
4
7
‐3
9
2
5
3,5
1
9
‐8
64
3
9
3,2
2
8
‐6
36
4
13
2,8
6,5
6
0,5
0,25
5
20
2,4
8,5
5
3,5
12,25
6
20
1,9
8,5
1,5
7
49
7
13
1,9
6,5
1,5
5
25,0
8
12
2
4
3,5
0,5
0,25
9
12
2
4
3,5
0,5
0,25
Toplam
‐
‐
‐
‐
‐
196
30.09.2015
321
k
STX    t 3  t    23  2    23  2   12.
j 1
k
STY    t 3  t    33  3   23  2    23  2   36.
j 1
TX 
n3  n  STX
12
TY 
n3  n  STY
12
 9 12912  59
3
 9 12936  57
3
n
rXs ,Y 
th 
i 1
2  TX  TY

30.09.2015
rXs ,Y
1   rXs ,Y 
 n  2
2



59  57  196
2
 59  57 
0, 68976
1  0, 68976 
2
 0, 68976
 2, 25
9  2
322
161
30.09.2015
30.09.2015
323
Ordinal Kategorili R*R Tablolar İçin Korelasyon ve
Birlikte Değişim Ölçümleri
 Ordinal ölçekli veriler için Spearman Sıra Korelasyon katsayısının yanında Gamma,
Somers d, Kendall Tau‐b ve Kendall Tau‐c ölçüleri kullanılmaktadır. Bu ölçüler SPSS
Crosstabs prosedürüyle elde edilebilmektedir.
 Ordinal ölçekli ilişki ölçüleri değişken birim değerleri arasındaki uyum (concordant)
uyumsuzluğa (disconcordant) göre hesaplanmaktır:
 Satır ve sütün değişkenlerinin birim değerleri birbiriyle karşılaştırıldığında büyük bir
değer büyük bir değerle ortaya çıkıyorsa pozitif yönlü bir ilişki, büyük bir değer
küçük bir değerle ortaya çıkıyorsa negatif yönlü bir ilişki söz konusu olur.
 Satır veya sütun değişkenlerinden birisinin birim değerleri sabit kalırken diğer
değişkenin birim değerleri değişiyorsa, bu durum ilgili değişken üzerinde eşitlik
(tied) olarak tanımlanmakta ve zayıf bir ilişkiyi göstermektedir.
 Satır veya sütun değişkenlerinden birisinin birim değerleri sabit kalırken diğer
değişkenin birim değerleri de değişmiyorsa, bu durum iki değişken üzerinde eşitlik
(tied) olarak tanımlanmakta ve ilişkinin olmadığı göstermektedir.
 Ölçümler, bu değişimleri nasıl ele aldıklarına göre birbirinden farklılaşmaktadır.
30.09.2015
324
162
30.09.2015
 Gama=P(Uyum)‐P(Uyumsuzluk) olarak hesaplanırken eşit kalan değişimleri dikkate
almamaktadır. Böylece Gama ölçüsü seride eşit (tied) değerler varsa serideki tüm
birim değerlerine dayanarak hesaplanmaz.
 Somers d ölçüsü, simetrik olmayan Gama ölçüsünün eşit değerlere göre düzeltilmiş
şeklidir. Bir değişken üzerindeki eşit değer sayısı arttıkça Somers d ölçüsü Gama
değerine göre küçülmektedir.
 Kendall Tau‐b, ordinal ilişkinin derecesini eşit değerlere göre düzelten diğer bir
ölçüdür. Fakat Kendall Tau‐b ölçüsü kolay bir şekilde yorumlanamamaktadır. Bir
değişken üzerindeki eşit değer sayısı arttıkça Kendall Tau‐b ölçüsü, Gama değerine
göre daha küçük değerler almaktadır.
 Kendall Tau‐c, ordinal ilişkinin derecesini eşit değerlere göre düzleten diğer bir
ölçüdür. Kendall Tau‐c ölçüsü de kolay bir şekilde yorumlanamamaktadır. Satır ve
sütun değişkenlerindeki kategori sayısı birbirine eşit olmadığında Kendall Tau‐c
ölçüsü Kendall Tau‐b ölçüsüne tercih edilir.
 Bağımlı metrik (aralık veya oran ölçekli) bir değişken ile nominal veya ordinal
ölçekli bir değişken arasındaki ilişki katsayısı Eta katsayısı olarak tanımlanmaktadır.
30.09.2015
325
 Gamma, Somers d, Kendall Tau‐b ve Kendall Tau‐c ölçüleri aşağıdaki formüllerle
hesaplanmaktadır:
G  
P -Q
P -Q
Somers  dY / X 
PQ
P  Q - TY
P -Q
b 
 P  Q  TX  P  Q  TY 
2m  P - Q 
c  2
n  m -1
 TX: sadece X değişkeni üzerindeki eşit birim sayısını;
 TY: sadece Y değişkeni üzerindeki eşit birim sayısını;
 m: satır ve sütun değişkenlerinden daha küçük olan şık sayısını göstermektedir.
30.09.2015
326
163
30.09.2015
Örnek: Alışveriş Sıklığı ile Alışveriş Memnuniyeti Arasındaki İlişki
Shopping frequency * Service satisfaction Crosstabulation
Count
Shopping
frequency
0
1
2
3
4
1 Strongly
Negative
10
26
37
15
5
93
First time
< 1/month
1/month
1/week
> 1/week
Total
Service satisfaction
2 Somewhat
4 Somewhat
Negative
Positive
3 Neutral
15
13
6
34
38
27
28
61
40
24
38
31
4
7
8
105
157
112
5 Strongly
Positive
8
28
35
34
10
115
Total
52
153
201
142
34
582
Ordinal by Ordinal
Somers' d
Symmetric
Shopping frequency
Dependent
Dependent
Value
,108
Asymp.
a
Std. Error
,034
Approx. T
3,176
b
Approx. Sig.
,001
,104
,033
3,176
,001
,112
,035
3,176
,001
30.09.2015
327
Symmetric Measures
Ordinal by
Ordinal
Value
,108
,103
,140
582
Kendall's tau-b
Kendall's tau-c
Gamma
N of Valid Cases
Asymp.
a
Std. Error
,034
,033
,044
b
Approx. T
3,176
3,176
3,176
Approx. Sig.
,001
,001
,001
Ordinal by Ordinal
Nominal by Interval
Somers' d
Eta
Symmetric
Shopping frequency
Dependent
Dependent
Shopping frequency
Dependent
Dependent
Value
,108
Asymp.
a
Std. Error
,034
Approx. T
3,176
b
Approx. Sig.
,001
,104
,033
3,176
,001
,112
,035
3,176
,001
,143
,136
30.09.2015
328
164
30.09.2015
Kaynakça
Cooper, D. R. (1995). Business Research Methods, 5th Edition.
Dineen, L. C. and B. C. Blakesley (1973). Algorithm AS 62: Generator for the Sampling Distribution of the Mann‐
Whitney U Statistics, Applied Statistics, 22, 269‐273.
Gibbons, J.D., Nonparametric Methods for Quantitative Analysis, 2nd ed., American Sciences Press, 1985
Lehmann, E. L. (1985). Noneparametrics: Statistical Methods Based on Ranks, McGraw‐Hill, San Francisco.
Mehta Cyrus R. and Nitin R. Patel/SPSS Inc. (1996). SPSS Exact Tests 7.0 for Windows, SPSS Inc., Chicago.
Orhunbilge, Neyran (2000). Örnekleme Yöntemleri ve Hipotez Testleri, Avcıol Basım Yayın, İstanbul.
Siegel, S. (1995). Nonparametric Statistics for the Behavioral Sciences, McGraw‐Hill, New York.
Siegel, S., and N. J. Castellan. 1988. Nonparametric statistics for the behavioral sciences. New York: McGraw‐
Hill, Inc..
Smirnov, N. V. (1984). Table for Estimating the Goodness of Fit of Empirical Distributions, Annals of the
Mathematical Statistics, 19, 279‐281.
Yamak, Rahmi ve Mustafa Köseoğlu (2006). Uygulamalı İstatistik ve Ekonometri, Çelepler Matbaacılık, Trabzon.
Webster, A. (1995). Applied Statistics for Business and Economics, 2nd Edition.
Yüzer, Ali Fuat, Enbiya Ağaoğlu, Hüseyin Tatlıdil, Ahmet Özmen, Emel Şıklar (2006). İstatistik (Editör: Ali Fuat
Yüzer), Anadolu Üniversitesi Yayınları, Eskişehir.
30.09.2015
329
165

ISL5002 Araştırma Yöntemleri-II - Recep Tayyip Erdoğan Üniversitesi

Transkript

Benzer belgeler

Ege UTF H_E AbD - THED | Türk Histoloji ve Embriyoloji Derneği

tıp fakültesi tıp eğitimi ile ilgili kurul oluşturma yönergesi

İçeriğin PDF halini indirmek için burayı tıklayabilirsiniz.

Niyazi Serkan KILIÇ: 1981 İstanbul doğumludur.1996 yılında