BÖLÜM 5: AĞIRLIK MERKEZI

Transkript

BÖLÜM4
AĞILIK MERKEZİ-ATALET MOMENTİ
BÖLÜM 5: AĞIRLIK MERKEZI-ATALET MOMENTİ
5.1. AĞIRLIK MERKEZİ HESABI [ALANIN BİRİNCİ MOMENTİ]
Ağırlık, bir cisme uygulanan kütle çekim kuvvetidir. Dinamometre ile ölçülür. Dünya'da bir cismi ele alırsak yükseğe
çıkıldıkça ağırlık azalır, kutuplara gidildikçe ağırlık fazlalaşır, ekvatora gittikçe ağırlık azalır, dünyanın merkezine inildikçe
ağırlık azalır. Ağırlık birimi newton'dur ve kısaca N ile gösterilir. Yatay bir taban üzerine konan bir cismin, o taban üzerine
yaptığı basınca ya da bir noktaya asılı bir cismin, o noktaya uyguladığı yer çekimi kuvvetine verilen ad. Bu bakımdan,
ağırlığın yönü, yer çekimi kuvvetinin yönündedir. Bu da, cismin kütlesine ve o yerin ivmesine bağlıdır. İvme, yeryüzünde
cismin bulunduğu yere göre değişebildiğine göre, kütlesi sabit olan bir cismin mutlak ağırlığı, küre üzerinde bulunduğu
yere göre değişebilir.
Ağırlık Merkezi; Bir cismin parçacıkları üzerine etki eden yerçekimleri bileşkesinin uygulama noktasına verilen ad.
Boşluğa bırakılan her cisim, yerçekiminin etkisi altında kalarak düşer. Yerçekimi, cismin yere düşmesini, dolayısıyla bir
ağırlığı olmasını sağlar. Yerçekimi kuvveti, kütlesi (m) olan bir nokta gibi tasarlanan cismin parçacıklarına ayrı ayrı etki
yapar. Bir cismin ağırlık merkezi, o cismin meydana gelmesini sağlayan noktalar sisteminin, o noktada toplanmış ve
yerçekimi kuvveti o noktaya etki ediyormuş gibi olan halidir.
A: Alanın ağırlık merkezi: Statik; hareketsiz haldeki cisimlerin dengesini inceleyen mekaniğin bir
bölümüdür. Buna göre cisimlerin denge denklemlerini elde etmek için ağırlık merkezlerini bilmek
gerekir. Çünkü bazı cisim ve sistemlerin dengesi ancak sistemin ağırlık merkezinin bilinmesiyle
mümkün olabilir. Örneğin düzgün olmayan bir yayılı yüklü kirişin denge denklemlerini yazabilmek
için yayılı yükün bileşkesini dolaysıyla ağırlık merkezinin bilmekle mümkün olur. Ağırlık merkezi
cisimlerin durumlarına göre,
1.
2.
3.
4.
5.
Alanın [kalınlığı ihmal edilebilir]
Telin
Hacmin
Kütlenin
Yukarıdakilerin karışımı
olarak hesaplanır. Yukarıdakilerin her birinin kendine göre özellikleri mevcuttur. Düzgün olmayan
eşit kalınlıklı ve homojen bir levha şekildeki gibi alınarak üzerinde bir elementer parça alınır.
y
A
t
x
dx
x
dA=dx.dy
dy
y
y
A
A-A kesiti
x
144
BÖLÜM4
Küçük parçacığın kütlesi=dV γ =dA t γ = dx dy t γ = ∆Gi
[γγ=birim hacim ağırlığı]
Cismin tamamının bu şekilde [dA=dx dy] n adet küçük parçaya ayrıldığı düşünülürse,
n
x = xg =
∑ [dx dy t γ ] x i = ∆Gi x i = x ∑ Gi
i=1
t γ ∑ dx dy x i
∑ dx dy x i ∑ x i dA
=
=
t γ ∑ dx dy
∑ dx dy
∑ dA
y = yg =
t γ ∑ dx dy yi
∑ dx dy yi
∑ yi dA
=
=
t γ ∑ dx dy
∑ dx dy
∑ dA
Cisim geometrisi bilinmeyen bir şekilde olması halinde yani fonksiyonel ise;
x = xg =
∫ x dA
∫ dA
∫ y dA
∫ dA
y = yg =
Bağıntıları ile hesaplanır.
F1
B: Kuvvetlerin ağırlık merkezi
y
x1
F4
F3
F2
y1
∑F = F1 + F2 + F3 + F4 +........FN
x
∑ xF =x1F1 + x 2 F2 + x 3 F3 + x 4 F4 + ........ x n FN
x = xg =
∑ yF =y1F1 + y 2 F2 + y 3 F3 + y 4 F4 + ........ y n FN
y = yg =
∑ xF
∑F
∑ yF
∑F
C: Eğrinin [ TEL: boyu>>>genişlik ] ağırlık merkezi; eğrilerin eşit kalınlıklarında
olmalarından dolayı boyları etkilidir. Eğer eğriler eşit kalınlıkt olmayı değişik kalınlıkta olmaları
durumunda aşağıdaki bağıntılar geçerli değildir.
∑L = L1 + L 2 + L 3 + L 4 +........LN
∑ xL =x1L1 + x 2 L 2 + x 3 L 3 + x 4 L 4 + ........ xn LN
x = xg =
∑ yL =y1L1 + y 2 L 2 + y 3 L 3 + y 4 L 4 + ........ yn LN
y = yg =
∑ xL
∑L
∑ yL
∑L
y
➃
a ➀
➁
3a
2a
a
➂
x
a
145
BÖLÜM4
D: Hacmin ağırlık merkezi
x = xg =
∑ xV
∑V
y = yg =
∑ yV
∑V
∑ zV
∑V
z = zg =
V1
V2
V3
Birimlerin FONSİYONEL olması durumunda ağırlık merkezi.
Alan
Kuvvet
∫ xdA
∫ dA
x = xg =
x = xg =
∫ ydA
∫ dA
y = yg =
∫ xdF
y = yg =
∫ dF
z = zg =
∫ ydF
z = zg =
∫ dF
∫ zdA
∫ dA
∫ zdF
∫ dF
x = xg =
∫ xdL
∫ dL
y = yg =
∫ ydL
∫ dL
z = zg =
∫ zdL
∫ dL
Hacim x = x g =
∫ xdv
∫ dv
y = yg =
∫ ydv
∫ dv
z = zg =
∫ zdv
∫ dv
Kütle x = x g =
∫ xdm
∫ dm
y = yg =
∫ ydm
∫ dm
Eğri
z = zg =
∫ zdm
∫ dm
ÖRNEK 5.1. Üçgenin ağırlık merkezinin koordinatlarının [ x = ? y = ?] bulunması.
y
y
y
dA=[h/b]xdx
h
h
h
⊗
x
y=[1/2][h/b]x
x
b
x
dx
146
1
h
3
b
1
b
3
x
BÖLÜM4
y
b
h  x3 
h
 b h 2 
x
x
dx
x
dx
 
∫ 
 0∫  b 
b  3 0 2
∫ x dA 0  b
= 

x = xg =
= b
=
= b
b
bh
h
3
∫ dA
h  x2 
∫ x dx
∫ x dx
 
0b
0b
b  2 0
b
dA=b[h-y]/h]dx
h
2
3
 1 h  h
 1 h   x  b
x   x dx 
∫
 


∫ y dA 0  2 b   b
 = 2 b   3  = 1 h
y = yg =
=
b
bh
3
∫ dA
h  x2 
∫ x dx
 
0b
b  2 0
b
x
dy
y
h
veya
x [h − y ]
=
b
h
x=
b[h − y ]
h
y = yg =
∫ y dA
∫ dA
=
x
b
 b[h − y ] 
 dy
h

∫ y 
0
h
 b[h − y ] 
 dy
h

0
=
∫ 
1
h
3
ÖRNEK 5.7. Şekilde verilen taralı alanın ağırlık merkezinin hesaplanması.
y
2
y=kx
x =a k = b
y =b
a2
y=
x=
b 2
x
a2
a
b 0.5
dA = y dx
y =k x2
y 0.5
x
a
a
a
a
a
4
b 2
a2 b
x 
x  dx  b x 
∫


2
2
x
dA


a
4


a
∫
0
0
0
0
4 3
x = xg =
=
=
=
=
=
= a
a
a
a
a
a
b 4
3
dA
 b 2
b
∫
x


∫ y dx ∫ y dx ∫ a2 x  dx  2 3 
3
a
0
0
0
0
∫ x dA
∫ x y dx
y
2
y=kx
dA=ydx
b
y
a
y
2
a
a
x5 
2
1  b 2
a b2
x  dx  b
∫



2
4
20a

2 a 5  0 10 3
0
y = yg =
=
=
=
=
= b
a
a
a b 10
3 a
b
∫ dA
x

∫ y dx
∫ y dx
 a 2 3 
3
0
0
0
∫ y dA
∫ y 2 dx
x
y/2
a
b
2 2
1 2 a y 
a+ x
1  2

a
y
−
[
a
−
x
]
dy
dy
a
−
y
dy


∫ 2
∫
2
2b  0 3
x dA 0∫ 2
2 0 
b 
∫
0
x = xg =
=
=
=
=
= a
b
b
b
4
[ay −]
∫ dA
∫ [ a − x ]dy
∫ [ a − x ]dy
∫ [ a − x ]dy
b
b
0
a2
− x2
0
b
a2
0
x
dx
y
2
y=kx
b
dA=[a-x]dy
x
dy
[a+x]/2
b
b
∫ y [ a − x ] dy
y = yg =
∫ y dA = 0
∫ dA
a
∫ y dy
0
=
 
a

∫ y a − b1/2 y1/2  dy
0
a
∫ ydx
0
b

a
2

∫ ay b1/2 y 3/2  dy a b
10 3
0
=
=
= b
a
a b 10
3
 bx 
 a 2 3 
3
0
147
y
a
x
BÖLÜM4
ÖRNEK 5.8. x=y -9 fonksiyonun [ x = ? y = ?] ağırlık merkezinin koordinatlarının hesabı.
2
Yatay bir dilim alınarak sınırlar şekildeki gibi x=0 ise y=3 y=0 ise x=9 yazılır
y
y
3
x=y2-9
x=y2-9
x
x/2
dy
y
x
x
9
Alınan parçanın (dilimin) alanı dA = x dy
x=
∫ x dA
∫ dA
=
∫ x xdy
∫ x dy
=
13 2
2
∫ [y − 9] dy
20
3
∫ [y
2
13 4
2
∫ [y − 18y + 81]dy
20
=
3
− 9] dy
∫ [y
0
2
=

1  y5 18y3
+ 81y 
 −
2 5
3

y

 − 9y 
3

3
− 9] dy
0
3
0
3
1  243
81
+ 243 − 

2 5
2
= 
= 3.6
[9 − 27]
0
3
y 4 9 y 2 
81 81
[ y 3 − 9 y ] dy  −

∫
2  0  4 + 2 
y dA ∫ y [ xdy ] 0
4
∫
0
y=
=
=
=
=
=
=1.125
3
[9 − 27]
∫ dA ∫ x dy 3 [ y 2 − 9 ]dy 3 [ y 2 − 9 ]dy y 3

∫
∫
 − 9 y
0
0
3
0
x=y2-9
3
∫ y [ y 2 − 9 ] dy
3
y
3
x
y
y/2
Alınan parçanın (dilimin) alanı dA= y dx
x
9
9
9
y 5 18 y 3 81y
243 243

+
+ 81] dy  −

6
2  0  10 + 2 − 81
10
=
=
= 3.6
3
9
3
[9 − 27]
y


2
∫ [ y − 9 ]dy
 − 9 y
0
3
0
9
[ x( x − 9 )] dx ∫
x dA ∫ x y dx 0∫
∫
0
x=
=
=
=
9
dA
x
dy
∫
∫
∫ [ y 2 − 9 ]dy
dx
[ y4
0
−18 y 2
ÖRNEK 5.9. Şekildeki alanın ağırlık merkezinin koordinatlarının [ x = ? y = ?] hesabı.
y
y
4
y=4-x
2
y=4-x
2
y
x
y/2
x
dx
148
x
2
BÖLÜM4
Alınan parçanın (dilimin) alanı dA = y dx
2
2
x=
∫ x dA
∫ dA
=
∫ x y dx
∫ x dx
=
∫ x [4 − x ]dx
2
2
0
2
∫ [4 − x ]dx
=
∫ [4x − x ]dx
0
2
0
y=
∫ y dA
∫ dA
y
=
∫ y 2 dx
∫ y dx
=
3
2
∫ [4 − x ]dx
=
 2 x4 
2x − 
4 0

0
12
[4 − x 2 ]2 dx
2 0∫
2
=
12
[16 − 8x 2 + x 4 ] dx
2 0∫
2
2

x 
 4x − 3 

0
3
2
=
12
16
2
=
3
1
8x
x5 
+ 
16x −
2 
3
5 
0
2
 128 
 15 
= 8
=
5
16 
3
 

x3 
 4x − 
0
0
3

0
ÖRNEK 5.10. İki fonksiyon arasındaki alanın ağırlık merkezinin [xg yg] hesaplanması.
y
y
∫ [4 − x ]dx
∫ [4 − x ]dx
2
2
[1,1]
y1=x
y1=x
P1[x,y]
y2=x
2
y2=x
2
y2-y1
P2[x,y]
x
y=[x+x2]/2
x
dx
1
1
1
 x2 x3 
1
dA = ∫ [y1 − y 2 ]dx = ∫ [x − x 2 ]dx =  −  =
0
0
3 0 6
2
  x 3 x 4 1 
 −  
1 x dA
1 x [x − x 2 ]
1 [x 2 − x 3 ]
4 0  1
 3
i
i
x=∫
=∫
dx = ∫
dx = 
=
2
2
3 1 
0 dA i
0 [y1 − y 2 ]
0 [x − x ]
2
x − x  

  2

3 0 

  x 3 x 5 1 
x2 − x4
 −  
1 y dA
1 [[x + x 2 ] / 2][x − x 2 ]
1
  6 10  0  2
2
y=∫
=∫
dx = ∫
dx = 
=
2
2
2
3 1 
0 dA
0
0 [x − x ]
5
[x − x ]


x
x

−  

 2
3  0 

149
x
BÖLÜM4
ÖRNEK 5.11. Şekildeki iki fonksiyon [y2=x, 8y=-x2] arasında kalan alanın ağırlık merkezinin
koordinatlarının hesaplanması.
x
x
y=
1
x2 
 x−

2
8 


x
2
y =x
[4-2]
dx
2
-8y=x2
y =x
y
y
4
dA = ∫  x −
8
0
x2
-8y=x2
x2 

24
x x− 
1 x dA 4 
8

5 9
x=∫
=∫
dx = =
8 5
x2 
0 dA
0 
 x − 8 
3
 dx = 8

3
y=∫
0
1
x2 
−
x
2 
8 
− 12
 5 
9
=∫
dx = 
 =−
dA 0 
8  10
x2 


 x − 8 
 3 
4 y dA
4
ÖRNEK 5.12. İki fonksiyon arasındaki alanın ağırlık merkezinin hesaplanması.
y
y
x
dy
2
y =2ax
b
b2 
, b

 2a 
b
2
y =2ax
x
y
x
b
b  y2 
b3
dA = ∫ xdy = ∫   dy =
6a
0
0
 2a 
2
 x2 
1  y2 
b5
 
 
b x dA
b [ x / 2 ] [ xdy ]
b  2 
b 2  4a 
2
3b 2
 
 
x=∫
=∫
=∫
dy = ∫
dy = 40a
=
2
2
dA
20a
b3
0 dA
0
0 y 
0 y 
 
 
6a
 2a 
 2a 
b
y dA b y[ xdy ]
=∫
2
0 dA
0 y 
 
 2a 
y= ∫
  y2     b 4  
 y
  
b   2a  
  6a  


= ∫
=
  3 =b
2
0 y  
 b  


  2a     6a  
     
150
BÖLÜM4
ÖRNEK 5.2. Taralı alanın ağırlık merkezinin koordinatlarının [ x = ? y = ?] bulunması.
Çözüm: verilen şekil geometrisi bilinen 2 şekle aşağıdak şekilde ayrılır.
y
y
y Cisim geometrisi
6
bilinen parçalara
ayrılır.
1
1
4
4
x
9
x = xg =
y = yg =
∑ x i dA
∑ dA
∑ y i dA
∑ dA
=
=
∑ [ x 1A 1 + x 2 A 2 ]
∑ [ A1 + A 2 ]
∑ [ y 1A 1 + y 2 A 2 ]
∑ [A1 + A2 ]
4
2
6
=
=
xg
yg
x
3
2
3
6
∑ [3 x 6 x 4 + [6 + (1 / 3) x3] 3 x 0.5 x 4 ]
∑ [ 6 x 4 + 3 x 0.5 x 4 ]
∑ [2 x 6 x 4 + (4 x 1/ 3) x3 x 0.5 x 4 ]
∑ [ 6 x 4 + 3 x 0.5 x 4 ]
x
= 3.80
= 1.86
ÖRNEK 5.3. Taralı alanın ağırlık merkezinin koordinatlarının [ x = ? y = ?] bulunması.
y
6m
8m
14m
①
②
12m
12m
8m
x
8m
Çözüm: Şekil geometrisi bilinen bir dikdörtgen ve bir üçgene ayrılarak aşağıdaki
bağıntılarla ağırlık merkezinin koordinatları hesaplanır.
x = xg =
∑ x i dA ∑ [ x 1A 1 + x 2 A 2 ] ∑ [ 4 x 8 x 12 + [(1 / 3) x 6 + 8] x 0.5 x 6 x 12]
=
=
= 5.64
∑ dA
∑ [ 8 x 12 + 6 x 12 x 0.5 ]
∑ [ A1 + A 2 ]
y = yg =
∑ yi dA ∑ [ y 1A 1 + y 2 A 2 ] ∑ [6 x 8 x 12 + [(2 / 3) x 12] x 0.5 x 6 x 12]
=
=
= 6.55
∑ dA
∑ [ 8 x 12 + 6 x 12 x 0.5 ]
∑ [A1 + A2 ]
151
BÖLÜM4
ÖRNEK 5.3.1. Şekilde verilen alanın ağırlık merkezi koordinatlarının hesaplanması.
y
y
y
①
15
15
15
②
[b]
50
[a]
50
➄
30
➃
x
15
15
30
25
30
yg
x
x
15
15
➅
20
xg
30
➂
25
50
[c]
15
25
20
30
15
20
30
Çözüm: Şekil geometrisi bilinen şekillere [b] ayrılarak tablo halinde aşağıdaki şekilde hesaplanır.
Parça No
Ai
600
1200
375
➀
➁
➂
➃
➄
➅
900 [30x30 kare]
-706 [1/4 daire]
1350
3719
Toplam
xi
-5
7.5
-8.33
30
32.26
20
yi
87.5
40
10
15
17.26
-7.5
Ai xi
-3000
9000
-3124
27000
-22776
27000
34100
Ai yi
52500
48000
3750
13500
-12186
-10125
95439
Ağırlık merkezinin koordinatları [xg yg]
xg
yg
∑ A i x iAi 34100
xi
xg = x =
=
= 9.17
➀
-5
∑ A i600 3719
➁
1200
7.5
➂
375
-8.33
➃
900 [30x30 kare]
30
➄
-706 [1/4 daire]
32.26
➅
1350
20
Parça No
Toplam
yygi = y =
87.5
40
10
15
17.26
-7.5
3719
∑ A i yA
i i xi 95439
i yi
=
.66
= 25A
52500
∑ A i-30003719
9000
48000
-3124
3750
27000
13500
-22776
-12186
27000
-10125
34100
95439
xg
xg = x =
∑ Ai xi
∑ Ai
=
yg
34100
= 9.17
3719
yg = y =
∑ Ai yi
∑ Ai
=
95439
= 25.66
3719
ÖRNEK 5.3.2. Şekilde verilen alanın ağırlık merkezinin koordinatlarının hesaplanması.
y
y
y
2.5
5
5
1.5
1
1
152
2.5
3
2
1.5
1.5
4
2
3
2.5
xg=0.36
4
2
BÖLÜM4
Parça
1
2
3
4
5
6
7
Σ
Ai
8x6=48
16
-3.14
-3.14
-3
4
6.28
65
Ağırlık merkezinin
koordinatları
xi
0
0
-3.15
3.15
0
-2.67
-2
xg =
Ai xi
0
0
9.89
-9.89
0
-10.68
-12.56
-23.24
∑ A i x i −23.24
=
= −0.36
65
∑ Ai
yi
Ai yi
(6/2)+4=7
48x7=336
2
4.85
4.85
9.5
1.33
-0.85
32
-15.23
-15.23
-28.5
5.32
-5.33
309.03
yg =
∑ A i yi 309.03
=
= 4.75
65
∑ Ai
ÖRNEK 5.3.3. Şekilde verilen alanın, [dairenin yarıçapı r=2]
1.
2.
3.
Verilen x ve y eksenlerine göre atalet momentleri [Ix Iy]
Ağırlık merkezinden geçen eksenlerine göre atalet momentlerinin [Ix Iy] hesabı.
y
y
8
8
3
x
x
4
4
5
5
4
Ai
24
xi
1.33
1
2
5
4
8
Ağırlık merkezinin koordinatları
Parça
1
4
Ai xi
-31.92
8
y
[xg yg]
yi
0
Ai yi
0
153
8
4
5
3
xg
1
yg
4
G
2
5
x
BÖLÜM4
2
3
4
5
Σ
32
50.24
-6.28
30
129.96
xg =
∑ A i x i 349.22
= 2.69
=
129 .96
∑ Ai
128
170.82
-37.68
120
349.22
4
3.4
6
4
-2
3.4
-0.85
-5.67
yg =
-64
170.82
5.34
-170.1
-57.94
∑ Aiyi −57.94
= −0.45
=
129 .96
∑ Ai
Cisim Tel Gibi Sabit Bir Kalınlıkta Çubuk Şeklinde olması durumunda
y
A
A
n
∑ [dL] x i
A-A kesiti
x
∑ x i dL ∫ x dL
=
∑ dL
∫ dL
x = xg =
y
dL
x
= x ∑ dL
i =1
y = yg =
y
∑ y i dL ∫ y dL
=
∑ dL
∫ dL
x
ÖRNEK 5.4. Yarım dairenin x
ekseni ile olan ağırlık merkezinin hesaplanması.
π/2
y
∫ dL = ∫ r
y
−π / 2
dL=rdθ
θ
π/ 2
∑ xidL =
x = xg =
∑ dL
dθ
r
θ
x
/2
dθ = [rθ ] π
−π / 2 = π r
x
∫ x dL
−π / 2
π/2
π/2
=
∫ [r cos θ]rdθ
−π / 2
π/2
∫ rdθ
∫ dL
−π / 2
−π / 2
x=rcosθ
x = xg =
[r 2 sin]π−π/ 2/ 2
2r
=
π/2
[rθ]−π / 2
π
ÖRNEK 5.5. Şekildeki daire parçasının x ekseni ile ağırlık merkezinin hesaplanması.
y
∫
y
dL=rdθ
θ
α
dL =
∫
r dθ = [rθ ]α− α = 2α r
α
∫ x dL
∑ xidL = −α
x = xg =
=
2αr
∑ dL
dθ
r
−α
α
α
∫ [r cos θ]rdθ
−α
2αr
[r 2 sin]α−α r sin α
=
=
2αr
α
2
α
θ
x
x=rcosθ
ÖRNEK 5.6. y=x fonksiyonunun [1,1] noktasına kadar olan kısmın ağırlık merkezinin hesabı.
154
x
BÖLÜM4
2
dy
 dy 
dL = dx + dy = 1 +   dx
= 2x dL = 1 + 4 x dx
dx
 dx 
2
2
y
x=0
y
ise y=0
x=0.5 ise y=0.25
Toplam boy L
2
y=x
2
y=x
dL
x=1
1
0
1
0
1
∫ x dL ∫ x
dy
x = xg =
dx
x
ise y=1
1
x
=
∫ dL
∫
0
0
1 + 4 x dx
= 0.574
1 + 4 x dx
ÖRNEK 5.13. Şekildeki gibi 5 parçadan oluşan telin ağırlık merkezinin hesaplanması.
y
L3
r=10
2r/π
r
L4
6
L2
r
2r/π
2r/π
L1
L5
x
45o
Eleman
1
2
3
4
5
r
r
12
y
30o
x
ELEMANLARIN
L
x
[17/2]cos45=6.01
17cos45=12.02
17cos45+10=22.02
17cos45+20=32.02
24/2cos30+20+17cos45=42.41
L1=17
L2=6
L3=31.42
L4=6
L5=24
x=
SİSTEMİN
y=
y
[17/2]sin45=6.01
17sin45+3=15.02
17sin45+6+2r/π
π=24.39
17sin45+3=15.02
24/2sin30=6
L i x i 17 x 6.01 + 6 x 12.02 + 31.42 x 22.02 + 6 x 32.02 + 24 x 42.41
=
= 24.59
17 + 6 + 31.42 + 6 + 24
∑ Li
L i yi 17 x 6.01 + 6 x15.02 + 31.42 x 24.39 + 6 x 15.02 + 24 x 6
=
= 14.13
17 + 6 + 31.42 + 6 + 24
∑ Li
5.2. PAPPUS-GULDINUS TEOREMLERİ
155
BÖLÜM4
Paul Guldin, 1577-1643, İsviçreli Matematik, Astronomi
Guldin kuraları (dönel simetrik cisimlerin manto alanı ve hacminin basit
hesabı).
Not: Guldin kuralı MS 300 yıllarında İskenderiyeli Pappus(Pappos)
tarafından verilmiştir. Bu nedenle Pappus veya Pappus-Guldin kuralları
olarak da anılır.
Guldin kuraları:
1.Kural: Bir düzlem eğrinin bir eksen etrafında dönmesi sonucu oluşan cismin manto(yüzey)
alanı aşağıdaki basit yolla hesaplanır. Amanto=2 π L d1
L: eğrinin uzunluğu
d1 :Eğrinin ağırlık merkezinin eksene mesafesi
2.Kural: Bir düzlem alanın bir eksen etrafında dönmesi sonucu oluşan cismin hacmi
aşağıdaki basit yolla hesaplanır.
V=2 π A d2
A: düzlem cismin alanı
d2 : alanın ağırlık merkezinin eksene mesafesi
Örnek: Yarım çemberin eksen etrafında dönmesi ile küre oluşur:
d
Bir çember veya dairenin eksen etrafında
dönmesi ile torus oluşur:
R
L=π r (yarım çember uzunluğu)
d=d1=2r/π (çemberin ağırlık merkezinin eksene
mesafesi)
2
Ayüzey =2π (π r) (2 r/π) =4π r (kürenin yüzeyi)
Yarım dairenin eksen etrafında dönmesi ile küre
oluşur:
2
A=πr /2 (yarım dairenin alanı)
d=d2=4r/3/π (yarım dairenin ağırlık merkezinin eksene
mesafesi)
2
3
V=2π (πr /2) (4r/3/π) =4π r /3
(kürenin hacmi)
Ayüzey = 2π Ld1=2π (2πr) (R)= 4 π r R
(Torus yüzey alanı)
2
2
2 2
V=2π (πrr ) (R) =2π r R (Torus
hacmi)
1. Bir eğrinin kendi düzlemi içinde ve kendini kesmeyen bir eksen etrafında
döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin alanı, eğrinin uzunluğu ile dönme esnasında
eğrinin ağırlık merkezinin kat ettiği uzunluğun çarpımına eşittir. [A= L . açı (radyan) .
yg]
156
BÖLÜM4
L
G
L
yg
G
yg
x
x
yg
x
yg
yg
L boylu bir eğrinin şekildeki
dönmesi halinde oluşan alan
o
90 dönüş A=L x 0.5π x yg
o
180 dönüş A=L x π x yg
o
270 dönüş A=L x 1.5π x yg
o
360 dönüş A=L x 2π x yg
Profilden
görünüş
2. Bir yüzeyin [alanın] kendi düzlemi içinde ve kendini kesmeyen bir eksen etrafında
döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin hacmi, yüzeyin alanı ile dönme esnasında
alanın ağırlık merkezinin katettiği uzunluğun [0-2π
π] çarpımına eşittir. [V= A . açı
(radyan) . yg]
3. Verilen bir alanın bir eksene göre hacminin hesaplanması,
a. Verilen alanın ağırlık merkezi koordinatı bilinen bir yöntem ile hesaplanır.
b. Ağırlık merkezi ile eksen arasındaki mesafe bulunur. [y=yg+x”]
c. Bu durumda bakış yönü çok önemlidir.
Üstten bakış
Önden bakış
x
A
G
A
xx
A
x
G
A
yg
x’
x x
x
x”
x’
Verilen alana üstten ve profilden bakış görüntüleri verilerek hacmin nasıl hesaplandığı
aşağıdaki şekil üzerinde anlatılmıştır [yg aralık olarak alınmalı]
A alanlı bir düzlemin şekildeki gibi
G
A
o
[270 -1.5π] dönmesi ile oluşan hacim
G
yg
x
yg
x
yg
yg
yg
Profilden
bakış
o
Dönüş
ekseni
90 dönüş
V=A x 0.5π
π x yg
180 dönüş V=A x π x yg
o
yg
270 dönüş V=A x 1.5π
π x yg
G
360 dönüş V=A x 2π
π x yg
x
o
o
180o dönüş
NOT: Pappus-Guldinus teoremleri bazı geometrik şekillerin ağırlık merkezlerinin bulunmasında
da uygun bir yöntemdir.
157
x
BÖLÜM4
ÖRNEK 5.14. Şekildeki dörtte bir daire çemberinin ağırlık merkezinin koordinatlarının bulunması.
y
y
r
y
r
G
yg
x
G
y
x
x
x-x ekseni boyunca Pappus-Guldinus teoremi gereği alan,
A=2π
π . L . yg=2π
π . (2π
πr/4) . yg=π
π2 r yg
Şeklin x-x ekseni etrafında dönmesi sonucu yarım küre oluşur ve bunun alanı A=2π
πr2 dir.
y
2 π r 2 = 2 π . L. y g
2 π r 2 = 2π [0.5 π r ] y g
ise
yg =
2r
π
G
xg
x
y-y ekseni boyunca Pappus-Guldinus teoremi gereği alan,
2 πr 2 = 2π [ 0.5 πr ] x g
A=2π
π . L . yg=π
π2 r yg
xg =
ise
2r
π
ÖRNEK 5.15. Şekildeki yarım daire çemberinin ağırlık merkezinin koordinatlarının bulunması.
y
y
G
r
yg
r
x
x
r
Pappus-Guldinus teoremi gereği alan,
A=2π
π . L . yg
Şeklin x-x ekseni etrafında dönmesi sonucu küre oluşur ve bu kürenin alanı A=4π
πr2 dir.
2r
4 π r 2 = 2π [ π r ] y g
ise y g =
π
y-y ekseni boyunca dönmesi sonucu dörtte bir dairenin aynısı olur.
Pappus-Guldinus teoremi gereği alan,
A=2π
π . L . yg
2π
πr2 =2π
πL . yg
y
2πr
2
= 2 π [0.5 π r ] x g
ise
xg
2r
=
π
r
x
158
BÖLÜM4
ÖRNEK 5.16. Şekilde verilen yarım daire alanın x-x ekseni etrafından dönmesinden
yararlanarak yarım dairenin ağırlık merkezi koordinatının [yg] hesabı.
y
y
G
r
yg
r
x
V=A x 2π
π x yg
x
r
V=A yg= 2π
π [πr2/2] . yg =2π
π[0.5 π r2] yg
A=π
πr /2
2
Yarım dairenin x-x ekseni etrafında dönmesi sonucunda küre oluşur. Kürenin hacmi
4 πr3
4 πr3
= 2 π x 0 .5 π r 2 y g
3
3
xg yi bulmak için V=A yg= 2π
π[0.5 π r2] xg
V=
yg =
4r
3π
Yarım dairenin y-y ekseni etrafında dönmesi simetrik olması sonucu dörtte bir dairenin [A=0.25π
πr ]
dönmesine eşit olur ve bunun sonucunda yarım küre oluşur. Yarım kürenin hacmi
2
V=
2 πr3
3
2 πr3
= 2 π x 0.25 π r 2 x g
3
xg =
4r
3π
y
Veya yarım dairenin alanı A=0.5π
πr2
G
Yarım daire π kadar dönerse yarım küre tamamlanır. Buna göre xg,
V=
2 πr3
3
2πr3
= π x 0 .5 π r 2 x g
3
xg =
xg
x
4r
3π
ÖRNEK 5.17. Şekilde verilen eğrinin,
a. Verilen eksenlere göre ağırlık merkezini [a=12 cm]
o
b. c-c ve y-y ekseni etrafında [360 ] dönmesi ile oluşan yüzeyin alanının hesaplanması
y
c
c
a ➀
2.83a
➁
3a
x
➄
➂
a
4a
a
2a
➃
159
BÖLÜM4
Parça
➀
➁
➂
➃
➄
∑
Li
a
3a
πa/2
2π
πa
xi
0
1.5a
3a+2a/π
π
6a
Li xi
0
2
4.5a
2
5.7a
2
37.6a
2a 2
7a
19.8a
yi
a/2
0
-[a-2a/π
π]
-[a+4a/π
π]
2
Li yi
2
a /2
0
[aπ
π/2][-a-4a/π
π]
[2aπ
π][-a-4a/π
π]
0
0
2
a
πa
−
2
2
67.6a2
14.98a
2
+
π 2a 2
− π2a 2 − 8a 2
2π
a=12 cm için
67.7 a 2
67.6 [12 ]2
= 54.15 cm
=
=
14.67 a
14.98 [12 ]
xg
a2 πa2 π2a2
−
+
− π2a2 − 8a2
2
2
2
π
yg =
= −12.12 cm
14.98 a
c-c ekseni
A=2π x 14.98a x (a+1.01a)=2π x 14.98 [12] x 2.01[12]=27242.71 cm
2
y-y ekseni
A=2π x 14.98a x 4.51a=2π x 14.98 [12] x 4.51[12]=61095.68 cm
2
y
c
c
a
➀
2.83a
➁
3a
1.01a+a=2.01a
x
yg=1.01a
➄
➂
a
a
4a
54.15/12=4.512a
ÖRNEK 5.18. Şekilde verilen madenlerin kütle merkezinin
2ahesaplanması.
y
m
➃
2
m
2
Çelik [800 kN/m3]
4
m
4
2
m
m
Kurşun [980 kN/m3]
1
2
m
Altın [600 kN/m3]
1
m
4
x
160
m
m
BÖLÜM4
Eleman
Çelik
Kurşun
Altın
Σ
SİSTEMİN
ELEMANLARIN
m kütlesi [kN]
x
1
2x2x4x800=12800
2x1x4x980=7840
[2+2]=4
1x2x4x600=4800
[2+4+1]=7
25080
x=
mi x i
∑ mi
x=
xm
12800
31360
33600
77760
77760
= 3.10 m
25080
161
y
2
1
0.5
y=
ym
25600
7840
2400
35840
35840
= 1.43 m
25080
z
1
0.5
2
z=
zm
12800
3920
9600
26320
26320
= 1.05 m
25080
BÖLÜM4
y
x
x
y
I [ağırlık merkezine göre]
πr 2
4
4r
3π
4r
3π
π
4 
Ix = Iy = r  −

 16 9 π 
r
y
O
Alan
O
x
2
πr
2
0
πab
4
4a
3π
4r
3π
4
π 8 
Ix = r 4  −

 8 9π 
Iy =
Polar
Jo =
πr 4
8
Jo =
πr 4
4
Jo =
πr 4
2
Jo =
πab
[
4
πr 4
8
y
x
G
4b
3π
Ix = I y =
πr 4
4
y
b
G
a
Ix =
x
πab 3
4
Iy =
πb 3
4
5.3. STATİK MOMENT [ALANIN BİRİNCİ MOMENTİ]
Yapı elemanlarının şekil değiştirmelerinin hesabında özellikle kesme kuvvetinden dolayı
oluşan kayma gerilmelerinin hesaplanmasında kullanılan,
S x = ∫ y dA
S y = ∫ x dA
y
x
dA
ρ
y
x
bağıntısıyla hesaplanan değere alanın birinci statik momenti denir. Verilen bağıntıda
V:kesitteki kesme kuvveti, I:atalet momenti ve b:kesit genişliği olmak üzere bir kesitin
kayma gerilmesi [ττ] aşağıdaki bağıntı ile hesaplanır.
τ=
V Sx
V [ y A]
=
Ib
Ib
h
b
162
BÖLÜM4
Verilen şekilde m noktasındaki kayma gerilmesi için gerekli olan Sx alanın statik momenti,
A Gm
m
m
Sx = y A
y
h
h
G
Gm: m noktası üzerinde
kalan alanın ağırlık
merkezi
G:Şeklin tamamının
ağırlık merkezi
b
b
olarak hesaplanır. Sistemin ağırlık merkezindeki statik momenti SIFIRDIR [çünkü y=0].
ÖRNEK 5.19. Verilen şeklin,
a. x-x ve y-y eksenlerine göre statik momentlerinin [Sx Sy]
b. m noktasındaki kayma gerilmesine esas olan statik momentin hesabı.
y
y
14m
8m
6m
②
m
8
①
12m
12m
m
x
8m
x
8m
Çözüm a: Önce eksenlere göre statik momentler hesaplanır.
S x = ∑ x i dA = ∑ [ x 1A 1 + x 2 A 2 ] = ∑ [ 4 x 8 x 12 + [(1 / 3) x 6 + 8 ] x 0.5 x 6 x 12] = 744.48 m 3
S y = ∑ y i dA = ∑ [ y 1A 1 + y 2 A 2 ] = ∑ [6 x 8 x 12 + [(2 / 3) x 12] x 0.5 x 6 x 12] = 864.60 m 3
Çözüm b: Sistemin ağırlık merkezi koordinatları hesaplanır. Bu şeklin ağırlık merkezi koordinatları
y = y g = 6.55 olarak hesaplanmıştı.
yukarıda x = x g = 5.64
6m
②
①
G2
G1
12m
3.67
2.275
8m
G
6.55
m
8m
S x = ∑ x i dA = ∑ [ x 1A 1 + x 2 A 2 ] = ∑ [5.45 x 8 x 2.275 + [(2x8 + 4x8x0.5) x3.67] = 216.63 m 3
163
BÖLÜM4
5.4. ATALET MOMENTİ [ALANIN İKİNCİ MOMENTİ (I)]
Eylemsizlik kuvveti, cisimlere etkiyen kuvvet. Eylemsizlik kuvveti sistemin ivmesiyle zıt yönde oluşur. Eylemsizlik
kuvveti yoktan var edilemez. Var olan enerjiyi cisim yine kendi halini yani hareketsiz haline dönmek için kendi hareket
yönüne zıt bir kuvvet oluşturup kullanır... evrende madde her zaman ilk hareketlerini korumak ister, yani duruyorsa
durmak hareket halindeyse o hızda hareke devam etmek ister. Cisme bir kuvvet uygulandığında cisim harekete ters
yönde cevap vererek ilk halini korumak isteyecektir. işte bu kuvvet eylemsizlik kuvvetidir. Bir cisme uygulanan hiçbir
kuvvet yoksa ya da cisme uygulana kuvvetlerin bileşkesi 0 ise cisim ya hareketsiz kalır ya da düzgün doğrusal hareket
yapar. Örneğin sıra üzerinde duran bir kitaba dışarıdan bir kuvvet uygulanmadıkça sonsuza kadar bırakıldığı yerde kalır.
Başka bir cisme eşit büyüklükte zıt yönde iki kuvvet uygulanırsa kuvvetler birbirini yok edeceğinden cisim hareket etmez.
Sürtünmesiz bir ortamda bir misketi harekete geçirdiğimizde misket düzgün doğrusal hareket yapar. Duran bir otobüste
ayaktaki yolcuların haberi olmadan otobüs aniden hareket ederse yolcular arkaya doğru itilir. Hareket halindeki bir
otobüsün aniden fren yapması sonunda ayaktaki ve oturan yolcuların öne fırlamaları yolcuların bulundukların durumları
korumak istemelerinden kaynaklanır. Trafik kazalarında arabaların ön koltuklarında oturanların ani fren sonunda
kafalarını cama çarpmamaları için emniyet kemeri takmaları zorunludur. Duran bir cismi herhangi bir kuvvet
etkilemedikçe sürekli durur. Hareket halindeki bir cismi hareketini engelleyecek bir kuvvet etki etmedikçe hareketine
devam eder. Bu özelliğe eylemsizlik denir. Eylemsizlik Momenti; veya atalet momenti (SI birimi kilogram
metrekare - kg m²), dönme hareketi yapan bir cismin dönme eylemsizliğidir.
Yapı elemanlarının,
1. Eğilme
2. Burulma hesabında
3. Kesitlerde

My

3.1.
Gerilme σ =
I 


5 qL4 
3.2.
Deplasman  y =
384 EI 


1 qL3 
3.3.
Dönüş φ =
48 EI 


I 
3.4.
Diğer R =
A 

Hesaplarında kullanılan ve Ii ile gösterilen matematik bağıntıya alanın ikinci momenti veya atalet
momenti denir. Mühendislikte olmazsa olmaz özelliklerden biridir.
Ix =
∫y
2
y
dA
x
dA = dx dy
Ix =
y
x
∫y=0 ∫x =0 ∫
dA
y 2 dxdy =
xy 3
3
ρ
y
x
164
BÖLÜM4
Bundan dolayı atalet momentine alanın 2. momenti denir.
y
y’
∫
I x = y 2 dA
x eksenine göre atalet momenti
dx
G
∫
I y = x dA
y eksenine göre atalet momenti
2
x’
dρ
dy
∫
I xy = xy dA
Çarpım atalet momenti
x
0
J = ρ 2 dA = [ x 2 + y 2 ]dA = I x + I y
Polar atalet momenti
ÖRNEK 5.20. Şekilde verilen dikdörtgenin,
a. Tabandan geçen eksene göre
b. Ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momentinin bulunması.
y
b
dA=b dy
h/2
dy
y
h
x
x x
x
dA=b dy
h/2
dy
x
y
x
y
x
x
b/2
Tabandan geçen eksene göre [x-x]
h
I x = ∫ y 2 dA = ∫ y 2 b dy =
0
bh3
3
b
b/2
Ağırlık merkezinden geçen eksene göre
h/2
I x = ∫ y 2 dA = ∫ y 2 b dy =
−h / 2
Tabandan geçen eksene göre[y-y]
bh3
12
Ağırlık merkezinden geçen eksene göre
[şerit h’ya paralel alınır]
b
Iy =
∫
x 2 dA =
∫
0
x 2 hdx =
hb3
3
b/2
Iy = ∫ x 2 dA = ∫ y 2 h dx =
−b / 2
165
hb3
12
BÖLÜM4
ÖRNEK 5.21. Şekilde verilen üçgenin atalet momentinin,
a. Tabandan [Ix]
b. Ağırlık merkezinden geçen eksene [Ix’] göre bulunması
y
y
y
dA=xdy
dy
h
h
G
dy
x
y
x
b
x
[a]
Tabandan geçen eksene göre atalet momenti [a]
dIx = y 2 dA
2h
3
x
y
x’
1
h
3
x
b
[b]
dA = x dy
x h− y
h− y
=
ise x = b
b
h
h
dA = b
h− y
dy
h
h
h
h
 h− y
b
b  by3 y 4 
bh3
 dy = ∫ [hy 2 − y3 ]dy = 
−  =
Ix = ∫ y 2 dA = ∫ y 2 b

h 
h0
h  3
4 
12
0
0
Ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momenti [b]
dI x = y 2 dA
dA = x dy
[2 / 3 ]h − y
x [2 / 3 ]h − y
ise x = b
=
b
h
h
I x′ = ∫ y 2 dA =
dA = b
[2 / 3 ]h − y
dy
h
b 2 / 3h
bh 3
 [2 / 3 ]h − y 
2
3
dy
=
[[
2
/
3
]
hy
−
y
]
dy
=
∫

h
h −h / 3
36


2 / 3h
2
∫ y b
−h / 3
2
ÖRNEK 5.22. y=kx fonksiyonun x eksenine göre atalet momentinin hesaplanması.
y
2
y=kx
dA=ydx
x =a k = b
y =b
a2
b
y
x
y/2
a
dx
x
166
b 2
x
a2
y =k x2
a 0.5
x=
y
b 0.5
y=
1
dA = y dx
3
A=
ab
3
BÖLÜM4
3
3
1  bx 2 
 y
dI x = y dA = y  ydx  =
dx = 
 dx
3
3  a 2 
3

21
2
a 1  bx 2
∫ dI x = ∫ 
03
2
 a
a
3
 1 b3 x 7 

1 a  b3 x 6 
 dx = ∫  6  dx =   6  
3 0  a 
 3  a 7  

0
Ix =
ab 3
21
2
1  bx 2 
1
 x y
dI y = x 2 dA = x 2  ydx  =
dx = x 
 dx
3
3  a 2 
3

1  bx 4
∫ dI y = ∫  2
0 3  a
a

 dx

a
 1  bx 5  
= 

 3  a 2 5  
0
Iy =
ba 3
5
ÖRNEK 5.23. Şekilde verilen fonksiyonun y eksenine göre atalet momentinin [Iy] ve jirasyon
[atalet] yarıçapının [R] hesaplanması.
y
y
y=16-x2
y
16
16
y=16-x2
y=16-x2
y
dy
x
4 x
4
x
dx
dA = y dx
Iy =
4 x
4
4
4
4
4
−4
−4
−4
0
∫ x 2 dA = ∫ x 2 [ ydx ] = ∫ x 2 [16 − x 2 ] dx = [ 2 ] ∫ x 2 [16 − x 2 ] dx = 273.07
Bir dikdörtgen alanın bir kenara göre atalet momenti, dikdörtgenin alanı ile diğer kenarının
uzunluğunun karesi çarpımın 1/3’e eşittir.
h
Tabandan geçen bir eksene göre atalet momenti
I x = ∫ y 2 dA = ∫ y 2 b dy =
0
dA = x dy
16
16
16
9
1
2
2 x4
Iy = 2 ∫ x 2 dA = 2 ∫ x 2 [ xdy ] = ∫ x 3 dy =   = 273.07
3
30
3  4 0
0
0
A = 2x[ 4 x9 ][ 2/ 3 ] = 48 mm 2 cm 2 m 2
R=
Ix 273.07
=
= 2.39 mm 2 cm2 m 2
A
48
167
bh3
3
BÖLÜM4
5.5. PARALEL EKSEN TEOREMİ
I x = I xg + A d 2y
I x = I x′ + A d 2y
I y = I yg + A d 2x
I y = I y' + A d 2x
I xy = I x g I yg + A d x d y
J o = J 'o + Ad ρ2
y
yg
I xy = I x′ I y′ + A d x d y
yg
y
A
x’
x
A [alanı]
dA
y’
dx
⊗ G [ağırlık merkezi]
xg
⊗
xg
G
y
dρ
dy
x
x
Ağırlık merkezinden xg ve yg geçen eksene göre ağırlık merkezi koordinatları,
∫ x' dA
x' = x g =
∫ y' dA
y' = y g =
A
∫ dA
A
A
∫ dA
A
x’ ve y’ değerlerin sistemin tamamını dikkate alınca “sıfır” olur. Buna göre xg ve yg eksenlerine göre
ağırlık merkezi koordinatları,
∫ x' dA
x' = x g =
A
∫ dA
A
∫ "0" dA
=
A
∫ dA
∫ y' dA
0
=
=0
A
y' = y g =
A
A
∫ dA
A
olur. Verilen alanın x ve y eksenlerine göre atalet momenti,
168
∫ "0" dA
=
A
∫ dA
A
=
0
=0
A
BÖLÜM4
I x = ∫ y 2 dA
I y = ∫ x 2 dA
A
A
y = [ y'+ dy ]
x = [ x'+ dx ]
I x = ∫ [ y'+ dy ]2 dA
I y = ∫ [ x '+ dx ]2 dA
A
A
I x = ∫ y' 2 dA + 2dy ∫ y' dA + dy 2 ∫ dA
A
A
I y = ∫ x' 2 dA + 2dx ∫ x' dA + dx 2 ∫ dA
A
A
I x = ∫ y' 2 dA + 000 + dy 2 ∫ dA
A
A
A
I y = ∫ x' 2 dA + 000 + dx 2 ∫ dA
A
A
I x = I x ' + Ady 2
A
I y = I y' + Adx 2
olarak bulunur. Aşağıdaki şekilde özet olarak verilmiştir.
y
y’
y’
y
x’
x’
+
=
dy
x
I
+
x′
=
2
d A
y
I
x
ÖRNEK 5.24. Şekilde ağırlık merkezi ile birlikte verilen dikdörtgenin tabandan geçen eksene göre
atalet momentinin paralel eksen teoreminden yararlanarak bulunması.
y’
h/2
x
G
x
G
h/2
x’
h/4
b
Yukarıda ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momenti I x′ =
2
Buna göre, I x = I x′ + A d 2y =
bh 3
bh3
h
+ bh   =
olarak bulunur.
12
3
4
169
bh 3
olduğu bulunmuştu.
12
BÖLÜM4
ÖRNEK 5.25. Üçgenin tepesinden geçen eksene göre atalet momentinin hesabı.
y
y
dy
x
h
h
y
z
z
b
b
bh 3
olarak
36
bulunmuştu. Üçgenin alanı A=bh/2 ve ağırlık merkezinin z-z eksenine mesafesi d=2h/3 olduğuna
göre üçgenin z-z eksenine göre atalet momenti,
Çözüm: Üçgenin ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momenti,
Iz =
2
I z = I xg + A d 2 =
bh 3  2 
bh bh 3
=
+  h x
36
2
4
3 
olarak bulunur.
ÖRNEK 5.26. Şekilde verilen birleşik kesitin ağırlık merkezine göre atalet momentinin [Ix] ve
jirasyon [atalet] yarıçapının [R] hesaplanması.
yg
8
⊗
①
2
2
3
3
8
⊗
6
xg
G
y
y
②
⊗
2
x
③
2
x
11
Çözüm: Şekil üç tane dikdörtgen elemana ayrılarak işlemler tablo halinde aşağıda yapılmıştır.
Parça
1
2
3
A
xi
A xi
yi
A yi
xg
yg
16
12
22
1
1
5.5
16
12
121
9
5
1
144
60
22
∑ Ax i = 149 = 2.98
50
∑A
∑ Ay i = 226 = 4.52
50
∑A
∑50
∑149
∑226
170
BÖLÜM4
I x = I x1 + I x 2 + I x 3 =
8 x 2 3 2 x 6 3 11 x 2 3
+
+
+ 16 x 4 . 48 2 + 12 x 0 . 48 2 + 22 x 3 . 52 2
12
12
12
I x = 645 . 144 mm 4 cm 4 m 4
I y = I y1 + I y 2 + I y 3 =
2 x 8 3 6 x 2 3 2 x 11 3
+
+
+ 16 x 1 . 98 2 + 12 x 1 . 98 2 + 22 x 2 .52 2
12
12
12
I y = 583 . 59 mm 4 cm 4 m 4
R =
Ix
=
A
645 . 144
= 3 . 59 mm 2 cm 2 m 2
50
Jirasyon yarıçapı [R] Ix = AR 2 R =
Iy
Ix
Iz
Iy = AR 2 R =
Iz = AR 2 R =
A
A
A
ÖRNEK 5.27. Şekilde verilen koninin xg ağırlık
hesaplanması.
merkezinin
koordinatının
y
2
r x 
dx kalınlığındaki kısmın hacmi dV = π   dx
h
y
dV
z
h
x
z
dx
h
r
x
r
x
y
rx/h
r
x
x
dx
h
2
x 4r 2
 rx 
∫ xdV ∫ x π  h  dx
4h 2 0
3h
0
 
xg = V
=
=
=
2
h
h
4
∫ dV
 rx 
π x 3r 2
V
∫ π   dx
2
0
h
3h 0
h
171
BÖLÜM4
ÖRNEK 5.28. Kütlesi verilen çubuğun atalet momentinin hesaplanması aşağıdaki örnek üzerinde
yapılmıştır [M=çubuğun toplam kütlesi]
r
r
dm
2
L/2
M
I x = ∫ r 2 dm
dm =
0
L/2
I = ∫ r2
−L / 2
L/2
M
M
dr
L
I x = ∫ r 2 dm
0
M
dr
L
L
L
2
M
M r 3  2
ML2
I = ∫ r 2 dr =   =
L
L  3  −L
12
−L / 2
L/2
M
M r 
ML
dr =   =
L
L  3  −L
12
3
dm =
2
2
2
Ağırlık merkezinden geçen eksene
göre
Tabandan geçen eksene göre
2
ML2
ML2
 L
Ib = I a + M x =
+ M  =
3
3
2
Paralel eksen teoremi ile tabandan geçen
eksene göre
Paralel eksen teoremi
2
b
a
x=L/2
dm
2
L/2
L/2
ÖRNEK 5.29. Şekilde verilen alanın,
a. Ağırlık merkezinin koordinatlarını [xg yg]
b. Bu alanın x ekseni etrafında 2π
π kadar dönmesiyle oluşan hacmi bulunuz.
y
y
y
40
40
40
①
①
xg
②
②
➂
➂
75
75
75
yg
[a]
40
x
x
x
40
[c]
[b]
40
40
40
40
Çözüm: Şekil geometrisi bilinen şekillere [b] ayrılarak tablo halinde aşağıdaki şekilde yapılır.
172
BÖLÜM4
Parça No
➀
➁
➂
Toplam
Ai
xi
yi
Ai xi
Ai yi
2513
3000
1500
7013
40
20
53.33
91.97
37.50
50
100520
60000
79995
240515
231121
112500
75000
418621
Ağırlık merkezinin koordinatları
[xg yg]
xg
xg = x =
yg
∑ A i x i 240515
= 34.29
=
7013
∑ Ai
PAPUS-GOLDEN TEOREMİ
yg = y =
∑ A i y i 418621
= 59.69
=
7013
∑ Ai
Vx = 2π A y g = 2 π x 7013 x 59.69 = 2630179 cm 3 m 3
ÖRNEK 5.30. Şekilde verilen dairenin eksenel atalet momentinin hesaplanması.
y
y
dy
dA
x
y
x
x
r
r
Çözüm: Daire üzerinde alınan bir dA diliminin alınır.
Ix = ∫ y 2 dA
dA = 2x dy
r
r
Ix = 2 ∫ y 2 [2x dy] = 4 ∫ y 2 r 2 − y 2 dy =
0
0
πr4
4
Tam daire için
Ix = Iy =
πr4
4
ÖRNEK 5.31. Şekilde verilen silindirin,
a. Yoğunluğunun homojen olması durumunda silindirin,
1. Kütlesini [m=?]
2. Ağırlık merkezi koordinatını [xg=?]
y
b. Yoğunluğunun homojen olmayıp ρ = ρ x [1 + x / L ] olması durumunda silindirin,
y 1. Kütlesinin[m=?]
2. Ağırlık merkezi koordinatını [xg=?]
z
hesaplanması.
dV
z
A
L
y
x
x
dx
x
x
L
x
173
dx
BÖLÜM4
Silindirin hacmi V = A L
dx parçacığının hacmi dV = A dx
L
L
[a.1.] Silindirin, yoğunluğu homojen ise kütlesi m = ∫ ρ dV = ∫ ρ A dx =ρ A x 0 =ρ AL
V
0
L
∫ x ρ dV ∫ x ρ A dx
xg =
[a.2.] Silindirin, yoğunluğu homojen ise
=
V
∫ ρ dV
0
L
=
∫ ρ A dx
V
L
2
0
L
[b.1.] Silindirin, yoğunluğu homojen değil ise kütlesi m = ∫ ρ dV = ∫ [ ρ x (1+ x /L )]A dx =
V
0
3 ρ x AL
2
[b.2.] Silindirin, yoğunluğu homojen değil ise ağırlık merkezi koordinatı
L
∫
∫ x[ ρ x (1 + x / L)] A dx
x ρ dV
Silindirin kütlesi x g = V
∫ ρ dV
=
=
0
L
∫ [ ρ x (1 + x / L)] A dx
V
9L
5
0
ÖRNEK 5.32. Verilen şeklin
1. x ve y eksenlerine göre
[
2. Ağırlık merkezinden geçen eksene göre x = x g = 5.64 y = y g = 6.55
atalet momentlerinin ve atalet yarıçapının bulunması.
y
y
14m
8m
]
6m
②
①
12m
12m
x
8m
8m
x
Ix − x = Ix 1 + Ix 2 =
8 x123 6 x123 6 x12 2
bh3 bh3
+
+ Ad22 =
+
+
8 = 7200m 4
3
36
3
36
2
Iy − y = Iy 1 + Iy 2 =
12x8 3 12x 6 3 6 x12 2
bh3 bh3
+
+ Ad22 =
+
+
10 = 5720m 4
3
36
3
36
2
Çözüm 1.
Polar Ip = Ix − x + Iy − y = 7200 + 5720 = 12920m4
Atalet yarıçapı R =
174
12920
= 9.89m
[12 x 8 + 12 x 6 / 2]
BÖLÜM4
Ix =Ix 1 + Ix 2 ==
Çözüm 2. Iy =Iy 1 + Iy 2 =
R=
8 x123
12
+
6 x123
+ [12x8]x 0.55 2 + [12x6 x0.5 ]x1.45 2 =1544.73 cm4
36
12x8 3 12x6 3
+
+ [12x8]x1.64 2 + [12x6 x0.5 ]x 4.36 2 =1526.55cm 4
12
36
Ix 1544.73
=
= 3.42 mm2 cm2 m2
A
132
ÖRNEK 5.33. Verilen şeklin x eksenine göre atalet momentlerinin ve atalet yarıçapının bulunması.
①
r=15
x
x
r=15
x
x
②
25cm
I x − x = I x1 − I x 2 =
25cm
 50 x 25 3  π x 15 4
bh3 πr 4
= 90447 c m 4
−
= 2
−
12
4
12
4


Atalet yarıçapı R =
Ix−x
=
A
90447
[50 x 25 − π x 15 2 ]
= 12.90 cm
ÖRNEK 5.34. a: Verilen şeklin ağırlık merkezinin koordinatlarının bulunması [xg, yg]
b: Ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentlerinin bulunması [Ixg, Iyg]
c: x eksenine göre atalet momentleri ve yarıçapının bulunması.
y
y
cm
5
9.00
cm
5
➂
cm
cm
➃
r=2
1
4.67
②
cm
3
cm
1
x
cm
1
cm
5
①
cm
5
cm
5
175
cm
5
3
r=2
cm
1
x
BÖLÜM4
Çözüm a: Kolaylık olması ve karışmaması için sistem parçalara ayrılarak tablo şeklinde hesap yapılmıştır.
Parça
A
xi
A xi
yi
A yi
1
2
3
4
25
18
15
-6.28
2.5
8
9
8
62.5
144
135
-50.24
-2.5
1.5
4.67
0.85
-62.5
27
70.05
-5.34
∑51.72
∑291.26
xg
∑ Axi = 291.26 = 5.63 cm
xg =
51.72
∑A
yg =
∑29.21
∑ Ayi
∑A
=
29.21
= 0.56cm
51.72
y
cm
5
➂
②
cm
3
➃
5.63
r=2
0.56
cm
cm
1
①
1
x
cm
5
cm
5
Çözüm b: Ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentleri aşağıdaki şekilde tablo
üzerinde hesaplanmıştır.
Parça
Ix
3
Ad
2
2
1
2
5x5 /12
3
6x3 /12
+
+
5x5x(3.06)
2
6x3x(0.94)
3
4
6x5 /36
2 ((π
π/8)-(8/9π
π)
3
+
-
6x5x0.5x(4.11)
2
2
(π
πx2 /2)x(0.29)
4
2
=
=
Ixg
286.17
29.40
=
=
274.22
-2.25
∑587.51
y
9-5.63=3.37
(5+6x2/3)=9
cm
5
➂
(3-0.56)+(5/3)=4.11
②
cm
➃
5.63
0.56
cm
r=2
cm
1
①
3
1
cm
5
cm
5
176
x
BÖLÜM4
Parça
Iy
3
Ad
2
2
1
2
5x5 /12
3
3x6 /12
+
+
5x5x(3.13)
2
6x3x(2.37)
3
4
5x6 /36
4
(π
πx2 /8
3
+
-
6x5x0.5x(3.37)
2
2
(π
πx2 /2)x(2.37)
2
=
=
Iyg
297.01
155.10
=
=
200.35
-41.55
∑610.91
Çözüm c: Verilen şeklin x eksenine göre atalet momentleri ve yarıçapının bulunması.
y
y
cm
5
cm
②
cm
3
1
cm
➃
r=2
cm
cm
1
x
3
r=2
cm
1
cm
①
5
cm
5
cm
5
cm
5
Ix−x = Ix1 + Ix2 + Ix3 − Ix4 =
 πr 4
bh3 bh3  bh3
+ Ad23  −
+
+
3
3
8
 36

X-X
Ix−x =
2
5 x 53 6 x 33
6 x 53  6 x 5 
5   π x 24
 3 +   −
+
+
+
= 603.55 cm4


36
2
3
3
3
8

 

Iy−y = Iy1 + Iy2 + Iy3 − Iy4 =
Y-Y
Iy−y =
5
➂
bh3 bh3
bh3
πr 4
+
+ Ad22 +
Ad22 +
+ Ad22
3
12
36
8
5 x 53
3 x 63
5 x 63  6 x 5 2   π x 2 4
π x 22 2 
+ 5x5x2.52 +
+ [3 x 6 x 82 ] +
+
9 − 
+
8 
 2
  8
3
12
36
2


Iy−y = 208.33 + 1206 + 1245 − 408.2 = 2251.13 cm4
177
cm
1
x
BÖLÜM4
ÖRNEK 5.35. a: Verilen şeklin ağırlık merkezinin koordinatlarının bulunması [xg, yg]
b: Ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentlerinin bulunması [Ixg, Iyg]
c: x eksenine göre atalet momentleri ve yarıçapının bulunması.
y
y
30cm
30cm
①
20cm
20cm
r=20cm
➁
➂
➃
r=20
4cm
cm
x
16cm
4
cm
16cm
Çözüm a: Kolaylık olması ve karışmaması için sistem parçalara ayrılarak tablo şeklinde hesap
yapılmıştır.
Parça
A
xi
A xi
yi
A yi
1
2
30x24/2=360
2880
5760
30
10
10800
4800
3
-314.16
-2667.22
8.49
-2667.22
4
320
∑845.84
8
12
8.4
9
32
10240
∑16212.78
10
3200
∑16132.78
480
xg
∑ Axi
∑A
Ayi
∑
yg =
∑A
xg =
=
16212.78
= 19.17 cm
845.84
=
16132.78
= 19.07cm
1474.16
y
cm
30
①
19.17
cm
20
r=20
➁
➂
➃
19.07
cm
cm
x
cm
4
16
Çözüm b: Ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentleri aşağıdaki şekilde tablo
üzerinde hesaplanmıştır.
Parça
Ix
Ad
3
2
24x30 /36
3
24x20 /12
+
+
24x30x0.5(10+0.93)
2
20x24x(19.07-10)
3
4
-(π
πx20 /16)
3
16x20 /12
+
+
-(π
πx20 /4) x (19.07-(4x20)/3π
π)
2
16x20 x(19.07-10)
4
Ixg
2
1
2
2
2
=
=
61007.36
54487.15
=
=
-66593.30
62324.77
∑111225.98
178
x
BÖLÜM4
Parça
Iy
Ad
3
2
Iyg
2
1
2
30x24 /36
3
20x24 /12
+
+
24x30x0.5(19.17-10)
2
20x24x(19.17-10)
3
4
(π
πx20 /16)
3
20x16 /12
+
+
-(π
πx20 /4) x (19.17-(4x20)/3π
π)
2
16x20 x(32-19.17)
4
2
2
=
=
41792.00
63402.67
=
=
-67261.43
59501.52
∑97434.76
Çözüm c: Verilen şeklin x eksenine göre atalet momentleri ve yarıçapının bulunması.
Ix−x = Ix1 + Ix2 − Ix3 + Ix4 =
Ix−x =
24 x 303  24 x 30 2  24 x 203
π x 20 4 16 x 203
+
30  +
−
+
= 417250.74 cm4


36
3
16
3
 2

Iy−y = Iy1 + Iy2 − Iy3 + Iy4 =
Iy−y =
bh3
bh3
πr 4 bh3
+ Ad22 +
−
+
36
3
16
3
bh3 bh3
πr 4 bh3
+
−
+
+ Ad22
12
3
16
12
30 x 243 20 x 243
π x 20 4 20 x 163 
+
−
+
+ 20 x 16 x 322  = 429810.74 cm4


12
3
16
12
ÖRNEK 5.36. Taralı alanın a: O noktasına göre kutupsal atalet momentini bulunuz
b: Ağırlık merkezinden geçen eksene göre [Ixg=? Iyg=?]
1m
1. Yol: 1 m yarıçaplı daire için Jo =
0.6m
0.6 m yarıçaplı daire için Jo = Jc + Ad =
2
πr 4
π14
=
= 1.5708m4
2
2
π (0.6)4
+ π (0.6)2 (0.3)2 = 0.3054 m4
2
0.3m
Taralı alanın atalet momenti Jo = 1.5708 − 0.3054 = 1.2654m4




4
 Jo = Ix + Iy = 1.2654 m

4
4
4
4

πr
πr
π (1)
π (0.6)
−
− Ad2 =
−
− π (0.6)2 (0.3)2 = 0.5818m4 
Iy =
4
4
4
4

IX =
2. YOL:
π r4 π r4
π (1)4 π (0.6)4
−
=
−
= 0.6836m4
4
4
4
4
xg =
Ağırlık merkezine göre b: Ixg
=
Iyg =
π (1)2 x 0 − π (0.6)2 x 0.3
π (1)2 − π (0.6)2
= −0.1688
yg = 0
π (1)4 π (0.6)4
−
= 0.6836 m4
4
4
π (1)4
π (0.6)4
+ π (1)2 (0.1688)2 −
− π (0.6)2 (0.3 + 0.1688)2 = 0.5246 m4
4
4
179
BÖLÜM4
ÖRNEK 5.37. Şekilde verilen alanın,
a. Ağırlık merkezinin koordinatlarını
b. Ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre [ Ix=? Iy=? ]
atalet momentlerinin hesaplanması
y
y
5
1.5
1.5
1
2.5
Çözüm: Şekil geometri özelliği
bilinen basit geometrik
şekillere ayrılır.
2
2.5
4
3
2
2
4
4
6
x
x
7
2
2
Parça
1
2
3
4
5
6
7
Σ
2
2
2
Ai
48
16
-3.14
-3.14
-3
4
6.28
65
xi
0
0
-3.15
3.15
0
-2.67
-2
xg =
Ai xi
0
0
9.89
-9.89
0
-10.68
-12.56
-23.24
∑ A i x i −23.24
=
= −0.36
65
∑ Ai
2
2
yi
7
2
4.85
4.85
9.5
1.33
-0.85
yg =
2
2
2
Ai yi
336
32
-15.23
-15.23
-28.5
5.32
-5.33
309.03
∑ A i yi 309.03
=
= 4.75
65
∑ Ai
Parça
Ai
d =[xg-xi]
Ix
1
48
2.25
2
16
4.75-2=[2.75]
3
-3.14
[4r/3π+4-4.75=0.1
 π

4 
 + 3.14x0.12  = −0.91
− r 4  −
  16 9π 

4
-3.14
[4r/3π+4-4.75=0.1
 π

4 
 + 3.14x0.12  = −0.91
− r 4  −
  16 9π 

5
-3
[1+4.5-0.75]=4.75
6
4
[4x1/3-4.75]=3.42
7
6.28
[4r/3π+4.75]=5.60
Σ
65
8x63
+ 48x2.252 = 387.00
12
2
44
+ 16 x2.75 2 = 142.33
12
2
 4x1.53

− 
+ 3x4.752  = −68.06
 36

2
 2x43

2

 36 + 4x3.42  = 50.34


2
π
8 
 + 6.28x5.62 = 198.70
r4  −
 8 9π 
2
708.49
180
BÖLÜM4
2
Parça
Ai
d =[xg-xi]
1
48
0.36
2
16
0.36
2
Iy
6x8 3
+ 48 x0.36 2 = 262.22
12
2
44
+ 16 x0.36 2 = 23.41
12
2
3
-3.14 [r-4r/3π+[2-0.36]]2
 π

4 
 + 3.14x2.792  = −25.32
− r 4  −
  16 9π 

4
-3.14 [r-4r/3π+[2-0.36]]2
 π

4 
 + 3.14x2.792  = −25.32
− r 4  −
  16 9π 

 1.5 x 4 3

−
+ 3 x0.36 2  = −2.39
 48

3
 4x2

2

 36 + 4x2.31  = 22.23


2
5
-3
0.36
6
4
[2-0.36+[2/3]]
7
6.28
[r-0.36]
Σ
65
2
 π2 4 
2

 + 6.28 x1.64 = 23.17
 8 
278.00
2
ÖRNEK 5.37. Şekilde verilen alanın, [dairenin yarıçapı r=2]
1. Verilen x ve y eksenlerine göre atalet momentleri [Ix Iy]
2. Ağırlık merkezinin koordinatları [xg yg]
o
3. Şeklin m-m ve n-n ekseni etrafında 180 dönmesi sonucu oluşan hacmin
4. Ağırlık merkezinden geçen eksenlerine göre atalet momentlerinin [Ix Iy] hesabı.
y
y
n
8
8
12
0
x
4
m
Çözüm: Şekil geometri özelliği bilinen
basit geometrik şekillere ayrılır.
3
x
4
4
1
2
m
5
n
4
No
5
5
8
Ai
4
Verilen x ve y eksenlerine göre atalet momentleri [Ix Iy]
Ix
d2=[xg-xi]2
Iy
= 192
12x 4 3
= 64
12
0
8x 4 3
= 170 .67
3
4 x8 3
= 682 .67
3
50.24
0
π8 4
= 804 .25
16
π8 4
= 804 .25
16
4
-6.28
0
π x 24
= −6.28
8
− 6.28x62  = −232.36


5
30
[4+5/3]=5.67
12x53
+ 30x5.672 = 1006.13
36
5x123
+ 30x42 = 720
36
Σ
129.96
2166.77
2038.56
1
24
0
2
32
3
4 x12
36
−
181
3
8
BÖLÜM4
Parça
1
2
3
4
5
Σ
Ai
24
32
50.24
-6.28
30
xi
1.33
4
3.4
6
4
129.96
Ai xi
-31.92
128
170.82
-37.68
120
yi
0
-2
3.4
-0.85
-5.67
y
Ai yi
0
-64
170.82
5.34
-170.1
349.22
8
3
xg
4
1
yg
G
2
-57.94
5
5
∑ Aixi = 349.22 = 2.69
xg =
∑ Ai 129.96
x
4
∑ Ai yi = −57.94 = −0.45
yg =
129.96
∑ Ai
4
8
Vm−m = π A yg = π x129.96 x 0.45 = 183.73mm3 cm3m3
PAPUS-GOLDEN TEOREMİ
Vn−n = π A x g = π x 129.96 x [12 + 2.69] = 5993.57 cm3m3
Ağırlık merkezinden geçen eksenlerine göre atalet momentleri [Ix Iy]
d =[xg-xi]2
Ix
Iy
2
No
Ai
1
24
0.45
2
32
1.55
3
50.24
3.85
4
-6.28
0.4
5
30
5.22
4x123
+ 24x0.452 = 196.86
36
12 x 43
+ 24 x 4.022 = 409.18
36
8x43
+ 32x1.552 = 119.55
12
r4  π

4 
2

 8  16 − 9 π  + 50.24x3.85  = 969.47

 

r4  π


8
 + 6.28x0.4 2  = −2.76
−   −


2
8
9π

 

4x83
+ 32x1.312 = 225.58
12
r4  π

4 
2

 8  16 − 9π  + 50.24x0.71  = 249.78

 

 π x 24

− 
+ 6.28x3.312  = −75.09
 8

12x5 3
+ 30x5.222 = 859.12
36
5x123
+ 30x1.312 = 291.48
36
2142.24
1100.93
2
2
2
2
2
Σ 129.96
y
x
r
y
O
O
x
Alan
x
y
I [ağırlık merkezine göre]
πr 2
4
4r
3π
4r
3π
4 
π
Ix = Iy = r 4  −

 16 9 π 
πr 2
2
0
πab
4
4a
3π
4r
π 8 
Ix = r 4  −

3π
 8 9π 
Iy =
Polar
πr 4
8
Jo =
πr 4
8
Jo =
πr 4
4
Jo =
πr 4
2
y
G
x
182
4b
3π
Ix = I y =
πr 4
4
BÖLÜM4
ÖRNEK 5.38. Değişik metallerden oluşan şeklin kütle merkezi koordinatlarının hesaplanması.
y
y
3
Çap 40
∅4
∅4
5
40
50
30
∅2
6
∅2
40
30
x
20
z
x
4
z
80
60
8
2
5
10
1
80
Parça
1
2
3
4
5
6
Σ
B.ağırlık [N/cm3]
mi
xi
mi xi
yi
mi yi
zi
mi z i
0.008
0.004
0.004
0.004
0.008
0.008
192
204,8
20,11
-10,05
4,02
1,01
30
-4
-4
-4
20
60
5760
-819,2
-80,44
40,21
80,42
60,29
-47,5
-10
-34,24
-10
30
30
-9120
-2048
-688,57
100,5
120,6
30,30
-10
-10
-10
-10
-10
-10
-1920
-2048
-201,1
100,5
-40,2
-10,1
411.89
5041.28
-11605.2
∑ mixi = 5041.28 = 12.24
xg =
411.89
∑ mi
-4118.9
∑ mixi = −11605.2 = −28.18
yg ==
411.89
∑ mi
∑ mixi = −4118.9 = −10
411.89
∑ mi
Örnek: Verilen şeklin ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momentlerinin [Ixg, Iyg] bulunuz.
zg =
y
y
Üçgen 2x2
Üçgen 2x2
2
2
4
5
2
Yarıçap r=1
3
2
Yarıçap r=1
Üçgen 2x2
Üçgen 2x2
2
2
6
r=1
r=1
2
1
r=1
r=1
x
6
x
6
183
2
2
BÖLÜM4
6 x 8 x 3−
xg =
6 x 8 x 4−
yg =
Ixg =
−
πx22 4x2 πx12 
4x1  2x2 
2  2x2  2 
−
6−
−
6− −
− π(1)2 (1 + 1)
114.295
4 3π
2 
3π 
2 
3
2  3 
=
= 3.16
36.149
πx22 πx12 2x2 2x2
2
6x8−
−
−
−
− π(1)
4
2
2
2
πx22 4x2 πx12
2x2
2x2 
2
−
6 + 2  − π(1)2 (4)
(1) −
( 4) −
152.529
4 3π
2
2
2 
3
=
= 4.219
2
2
36.149
πx2
πx1 2x2 2x2
6x8−
−
−
−
− π(1)2
4
2
2
2
6x83
4  πx22
 π
+ 6x8x(4.219 − 4)2 − (2)4 
−
− 4
12
 16 9 π 
2
4x2 
2x23 2x2

4.219
−
−
−
(4.219 − 4)2

3π 
36
2

πx14 πx12
2x23 2x2
1
πx14
−
(4.219 − 1)2 −
−
(3.781 − 2 )2 −
− πx12 (4.219 − 4)2 = 196.924
8
2
36
2
3
4
Iyg =
8x63
4  πx22
 π
+ 6x8x(3.16 − 3)2 − (2)4 
−
−
4
12
 16 9 π 
2
2
4x2 
8 

4 π
 3.16 −
 −1  −

3π 

 8 9π 
2
2
πx12 
πx14
4x1 
2x23 2x2 
1
2x23 2x2 
1
−
−
−
−
2.84 −
2.84 − 2  −
3.16 − 2  −
(3.16 − 2)2 = 100.036




2 
3π 
36
2 
3
36
2 
3
4
5.6. ÇARPIM ATALET MOMENTİ
Çarpım atalet momenti,
a. Alanı A olan bir elemanın [A] [Şekil 8a]
b. Bu A alanı çok küçük dA parçalarına ayrılsın [dA]
c. Bu küçük dA alanının eksenlere olan uzaklıkları olan x ve y çarpılsın [xy dA]

d. c’deki çarpım işlemi A alanın tüm dA parçaları için integre ederek Ixy =


∫ xy dA 

A
bağıntısıyla bulunan atalet momentine çarpım atalet momenti denir. Bu şeklin dışındaki bir
eksene göre çarpım atalet momenti [Şekil 8b] aşağıdaki bağıntılarla bulunur.
y
y
y’
[a]
x
[b]
x x’
x
dA
dA
y’
G
y
x’
y
O
x
A
A
x
184
BÖLÜM4
I xy = ∫ xy dA = ∫ [ x'+ x ] [ y'+ y ] dA = ∫ x' y' dA + y ∫ x' dA +x ∫ y' dA + x y ∫ dA
A
A
G ağırlık merkezine göre atalet momentinde x' = 0 y' = 0
I xy = ∫ x' y' dA + y ∫ x' dA +x ∫ y' dA + x y ∫ dA = 0I x ' y' + 0 x I x + 0 x I y + x y dA = xy dA
NOT: Buna göre bir düzlemin ağırlık merkezine [xg yg] göre çarpım atalet momenti [Ix’y’=0] sıfırdır.
ÖRNEK 5.39. Şeklin çarpım atalet momentinin [Ixy=?] hesabı.
y
y
dA=[h/b]xdx
h
h
x
[1/2][h/b]x
x
b
x
dx
Çözüm: Şekildeki gibi genişliği dx olan bir dilim alınır.
Ixy = ∫ xydA =
[ h/b ] x
∫
b
[ h/b ] x
0
0
xydxdy = ∫ xdx
0
∫
y 2 
ydy = ∫ xdx  
0
2
b
[ h/b ] x
b
b 2 3
2 4
h2 b 2
= ∫ h x dx = h x  =
bulunur.
2
2
8
 8b 
0 2b
[
]
ÖRNEK 5.40. I x = 1544.73 cm 4 I y = 1526.55 cm 4 ve x = 5.64 y = 6.55 ise,
a. I xy = ?
b. Imax=? Imin=? hesaplanması.
y
14m
y
8m
6m
②
①
12m
12m
x
8m
x
8m
2
4
4
arça
dx [m]
dy [m]
A [m ]
Ix’y’ [m ]
dx.dy.A[m ]
1
1.64
0.55
96
0
86.59
2
4.36
1.45
36
0
227.59
tan 2θ = −
2I xy
Ix − Iy
 2I xy 
2 x 314.18

−1 
2θ = tan −1 
= 88.34 o
 = tan 

 1544.73 − 1526.55 
 I x − I y 
Asal atalet momentleri,
185
ΣIxy [m ]
4
314.18
θ = 44.17 o
BÖLÜM4
Imax,min =
2
Ix + Iy
2
Ix −Iy 
1544.73 +1526.55 ± 1544.73 −1526.55 + 314.18 2 = I
2
4
4
± 
max = 1849.95m Imin = 1221.33 m
 +Ixy =




2
2
2
2


Özellik 1: Verilen sistemin [elemanın] eksenlerden herhangi biri veya her ikisi de simetrik ise yani
x=0 veya y=0 ise çarpım atalet momenti sıfır [Ixy=0] olur.
y
y
y
x
x
x
Her iki eksene
göre simetrik
y eksenine
göre simetrik
x eksenine
göre simetrik
Özellik 2: Verilen sistemin [elemanın] eksenlerine göre çarpım atalet momenti negatif veya pozitif
olabilir.
y
y
+Ixy
x
x
-Ixy
186
BÖLÜM4
5.7. ASAL EKSEN VE ATALET MOMENTİ
Bir A alanının x-y eksenlerine göre atalet momentleri [Ix, Iy, Ixy] daha önce hesaplanmıştı. Şimdi bu
atalet momentlerini [Ix, Iy, Ixy] kullanarak x’-y’ eksenine göre atalet momentinin hesaplanması
düşünülmektedir. Bunun için aşağıdaki sistem çizilir.
y
y’
A
dA
x’
x’
y’
y sinθ
x cosθ
y
θ
x
O
x
x-y eksenlerine göre
x’-y’ eksenlerine göre
I x = ∫ y dA
x’ eksenine göre atalet momenti
I y = ∫ x 2 dA
y’ eksenine göre atalet momenti
I xy = ∫ xy dA
J = ∫ ρ 2 dA
2
?
?
?
?
x-y ile x’-y’ eksenleri arasındaki açı θ kadar olduğuna göre dA parçacığını
1. x-y ile x’-y’ eksenleri arasındaki açı θ olsun
2. dA parçacığının y’ eksenine olan dik uzaklığı x’=x cosθ + y sinθ
3. dA parçacığının x’ eksenine olan dik uzaklığı y’=y cosθ - x sinθ
2
4. x’ ekseni için Ix′ = ∫ x′ dA bağıntısında değerler yerine yazılırsa
Ix ′ = ∫ [ y cos θ − x sin θ ]2 dA = cos2 θ ∫ y2dA − 2 sin θ cos θ ∫ xy dA + sin2 θ ∫ x 2dA
Ix ′ = Ix cos2 θ − 2Ixy sin θ cos θ + Iy sin2 θ
5. y’ ekseni için Iy′ = ∫ y′ 2 dA bağıntısında değerler yerine yazılırsa
Iy′ = Ix sin2 θ − 2Ixy sin θ cos θ + Iy cos2 θ
6. Çarpım atalet momenti için Ix ' y' = ∫ x' y' dA bağıntısında yerine yazılırsa
Ix ' y' = Ix cos θ sin θ + Ixy [cos2 θ − sin2 θ ] − Iy cos θ sin θ olur.
187
BÖLÜM4
[I x + I y ] = [I x ' + I y' ] şartından dolayı
7. x-y ve x’-y’ eksenlerine göre atalet momentleri
Ix' =
Iy' =
Ix + Iy
2
+
Ix − Iy
2
cos2 θ−Ixy sin2 θ
Ix + Iy Ix − Iy
−
cos2 θ+ Ixy sin2 θ
2
2
Ix'y' =
Ix − Iy
2
[sin2θ=2sinθcosθ cos2θ=cos θ- sin θ=12
2
sin2 θ+ Ixy cos2 θ
2sin θ=2cos2θ-1]
2
Ix' =
Ix + Iy
2
+
2
Ix − Iy
Ix + Iy  Ix −Iy


cos2 θ−Ixy sin2 θ Ix' −
cos2 θ−Ixy sin2 θ
 =
2
2   2


2
8.
Ix − Iy
2
Ix −Iy

sin2 θ+ Ixy cos2 θ
Ix'y'  2 = 

2
2


9. 8. maddedeki değerleri taraf tarafa toplanırsa [θ açısından bağımsız değerler elde edilmiş
olur]
Ix'y' =
sin2 θ+ Ixy cos2 θ
2
2
Ix + Iy 

 Ix − Iy 
2
2
I x ' −
 + I x ' y' = 
 + I xy
2 

 2 
2
2
Ix + Iy 

 Ix − Iy 
2
2
I x ' −
 + I x ' y' = 
 + I xy
2
2




[sin θ+ cos θ=1]
2
2
⇒⇒ [I x ' − Iort ]2 + I2x ' y' = R 2
x 2 + y2 = R 2
bu bağıntı orjini “O” Iort ve çapı R olan bir dairenin denklemidir. Bu daireyi elde etmek için
verilen sistemin ağırlık merkezine göre Ix ve Iy atalet momentleri ile çarpım atalet
momentinin [Ixy] bilinmesi durumunda aşağıdaki adımlar izlenerek elde edilir.
a. Yatay ekseni Ix- Iy ve düşey ekseni Ixy olan eksen sistemi çizilir [Şekil 7a].
b. Koordinatları Ix ve Ixy olan P[ Ix , Ixy] noktası işaretlenir [Şekil 7a].
c. Koordinatları Iy ve -Ixy olan R[ Iy , -Ixy] noktası işaretlenir [Şekil 7a].
d. P ve R noktaları birleştirilerek yatay ekseni [Ix] kestiği “O” noktası bulunur. “O” noktası
merkez olmak üzere Ixy= OP=OR yarıçaplı daire çizilir [Şekil 7b]. Bu daireye bulan kişinin
adıyla MOHR [Alman-Otto Mohr 1835-1918] dairesi denir
e. Çizilen dairenin yatay ekseni [Ix] kestiği,
A noktasına maksimum asal atalet momenti [Imax],
B noktasına minimum asal atalet momenti [Imin] denir.
2
 Ix − I y 
2
f. Bu Mohr dairesinin yarıçapı, R = 
 + I xy
2


188
olarak da bulunur.
BÖLÜM4
g. “O” noktasının yeri Iort =
Ix + Iy
2
h. θ açısını bulmak için I x 'y' =
tan 2θ = −
2I xy
Ix − Iy
Ix − Iy
sin 2θ + I xy cos 2θ bağıntısı sıfıra eşitlenirse,
2
o
olarak bulunur. Bu bağıntı birbirinden 180 farklı 2θ değerini tanımlar
ve iki θ değerleri birbirinden 90 farklı olduğunu gösterir. Birinci değer Imax ve ikinci değer
o
Imin olup “0” noktasından geçen ve asal eksen denen düşey eksene göre asal atalet
momentlerini tanımlar. Buna göre,
Imax=Iort+R
Imin=Iort –R
olur. Burada çarpım atalet momenti sıfırdır.
ı. Bir alanın asal atalet momentinin maksimum ve minimum değerleri hesap yolu ile,
Imax,min =
2
Ix + Iy
 Ix − Iy 
2
± 
 + I xy
 2 
2
bağıntısıyla bulunur.
Ixy
Ix
Ix
[a]
A
[b]
A
P[Ix,Ixy]
P[Ix,Ixy]
R
Ix’y’
Ix-y
-Ixy
Imin
A
Ixy
2θ
θ
O
B
Ix − I y
-Ixy
2
Iy
Iy
R[Iy,Ixy]
R[Iy,Ixy]
Imax
NOT: Mohr dairesi asal atalet momentlerinin çizim yoluyla bulunmasını sağlar.
ÖRNEK 5.41. Şekildeki kesitin ağırlık merkezi x g = 2.98 m y g = 4.52 m olduğuna göre,
[
]
a. Çarpım atalet momentini [Ixy]
b. Asal atalet momentini hesap yöntemiyle
c. Çizim yöntemiyle [Mohr dairesinde] yapılması.
yg
8
2
⊗
①
2
3
3
8
⊗
6
xg
G
y
y
②
2
x
11
189
⊗
③
2
x
BÖLÜM4
Çözüm a:
Parça
dx [m]
dy [m]
1
2
3
-1.98
-1.98
2.52
4.48
0.48
-3.52
Çözüm b: Imax,min =
tan2 θ=−
2Ixy
Ix − Iy
Ix + Iy
2
Çarpım atalet momenti, Ixy = Ixy+dxdyA
A [m2]
dx.dy.A [m4]
Ix’y’ [m4]
16
12
22
0
0
0
-141.93
-11.40
-195.15
2
2( −348.48 )
645.14 − 583.59
=11.323 ⇒ 2 θ= 84 o .95 ⇒ θ= 42o .48
Imax =
645.14 + 583.59
+
2
 645.14 − 583.59  2

 + 348.482 = 964.201cm4


2
Imin =
645.14 + 583.59
−
2
 645.14 − 583.59  2

 + 348.482 = 264.529 cm4

2

Çözüm c:
-348.48
Ix − Iy 
2
± 
 + Ixy
 2 
; tan2 θ= −
Ixy
Ixy=-348.48 cm
4
Iy=583.59 cm
Iy=583.59cm4
4
Ixy=348.48cm4
R
4
Imin=264.53cm
O
A
Imax − I2θ
min
θ=84o.95
2
B
Ix Iy
Ixy=-348.48 cm4
IX=645.14 cm
4
Ixy=-348.48 cm
4
IX=645.14 cm
Imax=964.20cm4
190
ΣIxy [m4]
4
BÖLÜM4
Ixy
Iy=583.59cm
Ixy=-348.48 cm
4
Iy=583.59 cm
4
4
Ixy=348.48cm4
R
4
Imin=264.53cm
O
A
Imax − Imin
2θ
θ=84o.95
2
B
Ix Iy
Ixy=-348.48 cm4
IX=645.14 cm
4
Ixy=-348.48 cm
4
IX=645.14 cm
Imax=964.20cm4
191
4
BÖLÜM4
Örnek: Şekilde verilen sistemin,
a. Ağırlık merkezinin koordinatlarını bulunuz.
b. Ağırlık merkezinin geçen eksenlere göre atalet momentini bulunuz.
c. a-b eksenine göre atalet momentini bulunuz.
y
a
y
2
1
1
3
2
1
1
3
3.5
3.5
5
2
9
9
10
10
3
9
9
1
3.5
3.5
4
4
4
2
1.5
5
3
2
3
2
1
5
b
2
1.5 1
2
2
x
x
Ağırlık merkezinin koordinatları (x-y eksenlerine göre)
Ai
12.5x10
-14
-14
-15
-13.5
-13.5
55
Parça
TÜM
1
2
3
4
5
Σ
xi
12.5/2+2=8.25
5
5
7.75
10.5
12.5
xg =
Ağırlık merkezinin
koordinatları
∑ A i xi
∑ Ai
Ai xi
1031.25
-70
-70
-116.25
-141.75
-168.75
464.50
=
yi
5+2=7
4.75
9.25
7
5
9
464.5
= 8.45
55
yg =
Ai yi
875
-66.50
-129.50
-105
-67.5
-121.50
385
∑ A i yi
∑ Ai
=
385
= 7.00
55
Ağirlik merkezinden geçen eksene göre atalet momenti
x-x (yg=7.00 için geçerli)
y-y (xg=8.45 için geçerli)
1
2
3
4
5
-
2
10x12.5x0 =000
2
-3.5x4x2.25 =-70.875
-3.5x4x2.252=-70.875
-1.5x10x02=0.000
-9x3x0.5x22=-54.00
-9x3x0.5x22=-54.00
-249.75
516.84
∑
∑
Axd
hb3 /12
2
12.5 ⋅10 3 /12 = 1041.67
- 4 ⋅3.5 3 /12 = −14.29
- 4 ⋅3.5 3 /12 = −14.29
- 1.5 ⋅10 3 /12 = −125
- 3 ⋅9 3 /36 = −60.75
- 3 ⋅9 3 /36 = −60.75
766.59
TÜM
Boşluklar “ “
Axd
bh3 /12
Parça
10 ⋅12.5 3 /12 = 1627.604
- 3.5 ⋅ 4 3 /12 = −18.67
- 3.5 ⋅ 4 3 /12 = −18.67
- 10 ⋅1.5 3 /12 = −2.81
- 9 ⋅3 3 /36 = −6.75
- 9 ⋅3 3 /36 = −6.75
1573.957
Parça
TÜM
-
Boşluklar “ “
1
2
3
4
5
∑
∑
Axd
/12
12.5 ⋅10 3 /12 = 1041.67
-
4 ⋅3.5 3
/12 = −14.29
2
10x12.5x6 =4500
-613.788
b-b
hb3
2
10x12.5x0.22=5.00
-3.5x4x3.452=-166.635
-3.5x4x3.452=-166.635
-1.5x10x0.72=-7.35
-9x3x0.5x2.052=-56.734
-9x3x0.5x4.052=-221.434
960.169
a ve b eksenlerine göre atalet momenti
a-a
bh3
2
Axd
/12
10 ⋅12.5 3 /12 = 1627.60
2
2
10x12.5x7.25 =6570.31
2
- 3.5 ⋅ 4 3
/12 = −18.67
-3.5x4x10.52=-1543.50
2
-3.5x4x8.25 =-952.875
- 4 ⋅3.5 3 /12 = −14.29
-3.5x4x3.75 =-196.875
- 3.5 ⋅ 4 3 /12 = −18.67
-3.5x4x10.52=-1543.50
- 1.5 ⋅10 3 /12 = −125
-1.5x10x62=-540
- 10 ⋅1.5 3 /12 = −2.81
-1.5x10x7.752=-900.94
- 3 ⋅9 3 /36 = −60.75
-9x3x0.5x82=-864
- 9 ⋅3 3 /36 = −6.75
-9x3x0.5x52=-337.5
-9x3x0.5x4 =-216
- 9 ⋅3 3 /36 = −6.75
-9x3x0.5x32=-121.5
1730.25
1573.95
- 3 ⋅9 3 /36 = −60.75
2
766.59
2496.84
2123.37
3697.32
192
BÖLÜM4
Örnek: Verilen şekillerin ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentlerini bulunuz.
58
16
30
30
10
2
25
40
40
10
30
3
30
25
25
40
KÜÇÜK
Ai
1
Aixi
yi
Aiyi
65
726700
43
480740
1
130x86=11180
15
-11250
2
-25x30= -750
33.33 -4166,67
3
-10x25x0.5=- 125
25x30=-750 117.5 -88125
15 -11250
10x25x0.5=-125 121.67 -15208,33 33.33 -4166,67
4
5
2
-25x30= -750 12.5 -9375
3
-10x25x0.5=- 125 8.33 -1041,67
4
5
6
65x16=-1040 97.5 -101400
8390
xg =
78
511550
-81120
Ai
3
3
Aixi
yi
65
726700
43
480740
12.5
-9375
15
-11250
8.33
-1041,67
25x30=-750 117.5 -88125
10x25x0.5=-125 121.67 -15208,33
Aiyi
33.33 -4166,67
15 -11250
33.33 -4166,67
65x16=-1040
97.5
-101400
78
368786,7 7
42x65=2730(ek)
32.5
88725
107 292110
xg =
-81120
600275
660896.7
= 53.98 y g =
= 59.43
11120
11120
Ağırlık merkezinden geçen eksene göre I
KÜÇÜK
2
bhd
xi
6
600275
660896.7
= 53.98 y g =
= 59.43
11120
11120
bh /12
25
BÜYÜK
xi
130x86=11180
40
Ağırlık merkezinden geçen eksene göre I
3
I
bh /12
2
BÜYÜK
2
bhd
I
3
2
3
2
1 13x8.6 /12=689.06 13x8.6x0.096 =1.03 690,09 13x8.6 /12=689.06 13x8.6x1.643 =301.80 990,86
2 2x2.5x33/12=11.25 2x2.5x3x2.8962=125.80 -137,05 2x2.5x33/12=11.25 2x2.5x3x4.4432=296.10 -307,35
3
2
2x2.5x1 /36=0.14 2x2.5x1x.5x2.61 =17.03 -17,17
3 2x2.5x13/36=0.14 2x2.5x1x.5x1.062=2.809 -2,949
3
2
3
2
4 6.5x1.6 /12=2.22 6.5x1.6x3.404 =120.51 -122,73 6.5x1.6 /12=2.22 6.5x1.6x1.857 =35.86 -38,08
∑I427,361 6.5x4.2 /12=40.131 6.5x4.2x4.757 =617.77 657,90
∑I
193
1286,16
BÖLÜM4
Örnek: Verilen şekillerin mukavemet ve atalet momentlerinin hesaplanması.
350
3.nolu ek
2.nolu ek
1.nolu ek
150x150x15
15
1100
1124
1100
1124
150x150x15
15
150x150x15
12
150x150x15
350
12
1.nolu ek
2.nolu ek
3.nolu ek
350
Weksiz = A i ⋅ x i =15 ⋅ 550 ⋅ ( 550 / 2 )⋅ 2adet + 12 ⋅ 350 ⋅ 556 ⋅ 2adet
+ 15 ⋅150 ⋅ ( 550 − 75 ) ⋅ 4 adet + 15 ⋅135 ⋅( 550 − 7.5 ) ⋅ 4adet =17877150mm3
W1. ek = A i ⋅ x i =15 ⋅ 550 ⋅ ( 550 / 2 ) ⋅ 2adet + 12 ⋅ 350 ⋅ 556 ⋅ 2adet
+ 15 ⋅150 ⋅ ( 550 − 75 ) ⋅ 4 adet + 15 ⋅135 ⋅( 550 − 7.5 ) ⋅ 4adet
+ 12 ⋅ 350 ⋅( 550 + 12 + 6 ) ⋅ 2adet = 22648350mm3
Mukavemet momenti (x-x)
W2. ek = A i ⋅ x i =15 ⋅ 550 ⋅( 550 / 2 ) ⋅ 2adet + 12 ⋅ 350 ⋅ 556 ⋅ 2adet
+ 15 ⋅150 ⋅ ( 550 − 75 ) ⋅ 4 adet + 15 ⋅135 ⋅( 550 − 7.5 ) ⋅ 4adet
+ 12 ⋅ 350 ⋅( 550 + 12 + 6 ) ⋅ 2adet + 12 ⋅ 350 ⋅( 550 + 12 + 12 + 6 )⋅ 2adet = 27520350mm3
W3. ek = A i ⋅ x i =15 ⋅ 550 ⋅ ( 550 / 2 )⋅ 2adet + 12 ⋅ 350 ⋅ 556 ⋅ 2adet
+ 15 ⋅150 ⋅ ( 550 − 75 ) ⋅ 4 adet + 15 ⋅135 ⋅( 550 − 7.5 ) ⋅ 4adet
+ 12 ⋅ 350 ⋅( 550 + 12 + 6 ) ⋅ 2a det + 12 ⋅ 350 ⋅( 550 + 12 + 12 + 6 )⋅ 2adet
+ 12 ⋅ 350 ⋅( 550 + 12 + 12 + 12 + 6 ) ⋅ 2adet = 32493150mm3
Ieksiz =
Atalet momenti (x-x)
350 ⋅1124 3
135 ⋅10703
15 ⋅800 3
− 2adet
− 2adet
=1.2571010 mm 4
12
12
12
350 ⋅123

I1. ek =Ieksiz + 2adet 
+ 350 ⋅12 ⋅568 2  =1.5281010 mm 4
12


350 ⋅123

I2. ek =I1. ek + 2adet 
+ 350 ⋅12 ⋅580 2  =1.81061010 mm 4
 12

350 ⋅123

I3. ek =I2. ek + 2adet 
+ 350 ⋅12 ⋅5922  = 2.1051010 mm 4
 12

194

BÖLÜM 5: AĞIRLIK MERKEZI

Transkript

Benzer belgeler

14_00a_Tahrik Tekniği 2011/05