Chapter 2 - Force Vectors

Bölüm 2 Kuvvet Vektörleri
Bölüm 2.5 –2.8
Spring 2002
Force Vectors
1
Sağ El
Kuralı
Spring 2002
Force Vectors
2
Dik Bileşenler
A  A x  A y  Az
Spring 2002
Force Vectors
3
Birim Vektörler
Birim Vektör: Büyüklüğü 1 olan vektör
A
uA 
A
veya
A  Au A
Spring 2002
Force Vectors
4
A
A
uA
Spring 2002
Force Vectors
5
Kartezyen Birim Vektörler
Koordinat eksenleri doğrultusundaki birim vektörler:
i
x-doğrultusundaki birim vektör
j
y-doğrultusundaki birim vektör
k
z-doğrultusundaki birim vektör
Spring 2002
Force Vectors
6
Spring 2002
Force Vectors
7
Kartezyen Vektör Gösterimi
A  Ax i  Ay j  Az k
Spring 2002
Force Vectors
8
A  Ax i  Ay j  Az k
Spring 2002
Force Vectors
9
Büyüklük
A
A  Az
A 
Ax  Ay
A
Spring 2002
Force Vectors
2
2
2
2
Ax  Ay  Az
2
2
10
2
, ,  koordinat doğrultu
açıları.
Bu açılar A ile referans
eksenleri arasındaki
açılardır.
Bu açıların kosinüsleri
doğrultu kosinüsleri
olarak adlandırılır.
Spring 2002
Force Vectors
11
Doğrultu kosinüsleri
Ax
cos  
A
Spring 2002
cos  
Ay
A
Force Vectors
Az
cos  
A
12
Spring 2002
Force Vectors
13
Spring 2002
Force Vectors
14
Spring 2002
Force Vectors
15
A  Ax i  Ay j  Az k
Ay
Az
A Ax
uA  
i
j
k
A A
A
A
u A   cos   i   cos   j   cos   k
Spring 2002
Force Vectors
16
Önemli Bağıntı
u A  cos  i  cos  j  cos  k
cos   cos   cos   1
2
Spring 2002
2
Force Vectors
2
17
A  Au A
A  A cos  i  A cos  j  A cos k
A  Ax i  Ay j  Az k
Spring 2002
Force Vectors
18
Kartezyen Vektörlerde
Toplama
A  Ax i  Ay j  Az k
B  Bx i  By j  Bz k
R AB


R   Ax  Bx  i  Ay  By j   Az  Bz  k
Spring 2002
Force Vectors
19
Spring 2002
Force Vectors
20
Kartezyen Vektörlerde
Çıkarma
A  Ax i  Ay j  Az k
B  Bx i  By j  Bz k
R  A  B


R    Ax  Bx  i  Ay  By j   Az  Bz  k
Spring 2002
Force Vectors
21
Aynı noktadan geçen kuvvet
sistemleri
Çok sayıdaki aynı bir noktadan geçen kuvvetin
oluşturduğu bir sisteme vektörel toplama aşağıdaki
gibi uygulanır.
FR   F  Fx i  Fy j   Fz k
Spring 2002
Force Vectors
22
Örnek: Şekildeki kancaya iki kuvvet etki etmektedir. F2’nin
doğrultu açılarını FR bileşke kuvveti pozitif y ekseni boyunca
etkiyecek ve büyüklüğü 800 N olacak şekilde belirleyiniz?
Spring 2002
Force Vectors
23
Example 2-9
For F1 :
1  45o
1  60o
1  120o
F1  F1 cos 1 i  F1 cos 1 j  F1 cos 1k
F1   300 N  cos 45o i   300 N  cos 60o j   300 N  cos120o k
F1   212.2i  150 j  150k  N


Spring 2002
Force Vectors
24
Example 2-9
F1   212.2i  150 j  150k  N


F2  F2x i  F2y j  F2z k
FR  800 j  N


Spring 2002
Force Vectors
25
Example 2-9
FR  F1  F2
800 j  212.2i  150 j  150k  F2x i  F2y j  F2z1k


800 j   212.2  F2x  i  150  F2y j   150  F2z  k
FRx  212.2  F2x  0  F2x  212.2N
FRy  150  F2y  800  F2y  650N
FRy  150  F2z  0  F2z  150N
Spring 2002
Force Vectors
26
Example 2-9


F2  212.2i  650 j  150k N
700 
 212.2    650   150 
2
2
2
212.2
1  212.2 
o
cos α 2 
 α 2  cos 
  108
700
 700 
650
1  650 
o
cosβ 2 
 2  cos 

21.8

700
 700 
150
1  150 
o
cos γ 2 
  2  cos 
  77.6
700
 700 
Spring 2002
Force Vectors
27
Spring 2002
Force Vectors
28
Örnek: Şekildeki boruya etki eden bileşke kuvveti ve
doğrultusunu bulunuz.
Spring 2002
Force Vectors
29
Spring 2002
Force Vectors
30
Spring 2002
Force Vectors
31
Örnek: Şekildeki direğin ucuna üç kuvvet etki etmektedir.
Bileşke kuvvet FR  350i olduğuna göre 1, 1, 1 açılarını
bulunuz
Spring 2002
Force Vectors
32
Spring 2002
Force Vectors
33
Konum vektörleri
A(4,2,-6)
B(0,2,0)
C(6,-1,4)
Spring 2002
Force Vectors
34
Koordinatlar
1. Sağ el koordinat sistemi
2. Pozitif z – yukarı doğru
Spring 2002
Force Vectors
35
Spring 2002
Force Vectors
36
Spring 2002
Force Vectors
37
Kartezyen vektör formu
r  x i  y j  zk
Spring 2002
Force Vectors
38
Konum vektörü
Spring 2002
Force Vectors
39
Konum vektörü
rAB
Spring 2002
Force Vectors
40
Konum vektörü
rA  rAB  rB  rAB  rB  rA
r  rAB  ( xB  xA )i  ( yB  yA ) j  ( zB  zA )k
Spring 2002
Force Vectors
41
Örnek: Şekildeki AB halatının boyu 7.5 m olduğuna göre B
noktasının z koordinatını bulunuz.
Spring 2002
Force Vectors
42
Spring 2002
Force Vectors
43
Spring 2002
Force Vectors
44
Bir Doğru Boyunca Yönelen
Kuvvet Vektörü
1. Halatlar
2. Kablolar
3. Zincirler
Spring 2002
Force Vectors
45
Spring 2002
Force Vectors
46
r
F  Fu  F  
r
Spring 2002
Force Vectors
47
A
B
Örnek: Kablolar şekilde
gösterildiği gibi A’daki
halkaya FAB=100 N ve
FAC=
120 N kuvvetleri
uygulanmaktadır.
A da
etkiyen bileşke kuvvetin
büyüklüğünühesaplayınız?
C
Spring 2002
Force Vectors
48
Spring 2002
Force Vectors
49
Konum vektörleri
rA  4k
rB  4 i

rC  4 i  2 j

rAB  rB  rA  4 i  4k m
rAB  42  (4) 2  5.66m
rAC  rC  rA  (4 i  2 j  4k)m
rAC  4  2  (4)  6m
2
Spring 2002
2
Force Vectors
2
50
Birim vektörler
u AB
rAB  4
4 


i
k
rAB  5.66
5.66 
u AC
rAC  4
2
4 

  i  j  k
rAC  6
6
6 
Spring 2002
Force Vectors
51
Kuvvetler


FAB  100N  u AB   70.7 i  70.7k N


FAC  120N  u AC   80 i  40 j  80k N
Spring 2002
Force Vectors
52
Bileşke kuvvet
FR  FAB  FAC

 

FR  70.7 i  70.7k N  80i  40 j  80k N

N
FR  150.7 i  40 j  150.7k
Spring 2002
Force Vectors
53
Bileşke kuvvet


FR  150.7 i  40 j  150.7k N
Bileşke kuvvetin büyüklüğü:
FR  (150.7)  (40)  (150.7)  217N
2
Spring 2002
2
Force Vectors
2
54
Spring 2002
Force Vectors
55
Örnek: A noktasına etkiyen bileşke kuvvetin büyüklüğünü ve
doğrultu açılarını bulunuz.
Cevap
FR=316 N
=60.1o
 =74.6o
 =146o
Spring 2002
Force Vectors
56
Örnek:
Şekildeki ip kanca üzerine F=30 N’luk bir kuvvet
uygulamaktadır. İp 8 m uzunluğunda z=4 m ve kuvvetin x bileşeni Fx=25
N olduğuna göre, ipin B bağlantı noktasının x e y koordinatlarını bulunuz.
Cevap
x=8.67 m
y=1.89 m
Spring 2002
Force Vectors
57
Örnek: A noktasına etki eden bileşke kuvveti ve doğrultu
açılarını belirleyiniz
Cevap
FR=960 N
=47.4o
 =84o
 =137o
Spring 2002
Force Vectors
58
Spring 2002
Force Vectors
59
Örnek:
Şekildeki halkaya etki eden bileşke kuvvet 120 N
olduğuna göre F3 kuvvetinin büyüklüğünü ve doğrultu açılarını
bulunuz.
Cevap
F3=166 N
=97.5o
 =63.7o
 =27.5o
Spring 2002
Force Vectors
60
Spring 2002
Force Vectors
61
Örnek: A noktasına etki eden bileşke kuvveti ve doğrultu
açılarını belirleyiniz
Cevap
FR=1378 N
=82.4o
 =125o
 =144o
Spring 2002
Force Vectors
62
Spring 2002
Force Vectors
63
Örnek: Şekildeki kule üç kablo tarafından tutulmaktadır.
Buna göre D noktasındaki bileşke kuvveti ve doğrultu açılarını
bulunuz. X=20 m, y=15 m
Spring 2002
Force Vectors
64
Spring 2002
Force Vectors
65