Doğrusal Olmayan Devreler, Sistemler ve Kaos

Doğrusal Olmayan Devreler, Sistemler ve Kaos

Doğrusal Olmayan Devreler, Sistemler ve Kaos
Neslihan Serap Şengör
oda no:1107
tel no:0212 285 3610
[email protected]
Özkan Karabacak
oda no:1117
tel no:0212 285 3506
[email protected]
Doğrusal Olmayan Devreler, Sistemler ve Kaos
• 16 Şubat 2012- 29 Mart 2012 Neslihan Serap Şengör (7 hafta)
• 2 Ödev
• Yarıyıliçi Sınavı 5 Nisan 2012
% 20
% 20
• 9 Şubat 2011, 12 Nisan 2012- 10 Mayıs 2012 Özkan Karabacak
(6 hafta)
• 1 Ödev
• Yarıyılsonu Sınavı
% 20
% 40
Yararlanılan Kaynaklar
H.K.Khalil, “Nonlinear Systems”, 3rd Edition, Pearson Education, 2000.
Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer,
2004.
J. Guckenheimer, P. Holmes, “Nonlinear Oscillations, Dynamical
Systems, and Bifurcation of Vector Fields”, Springer-Verlag, 1983.
S. Wiggens, “Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems
and Chaos”, Springer, 2003.
S.H. Strogatz, “Nonlinear Dynamics and Chaos”, Addison-Wesley Pub.
Comp., 2000.
E. Ott, “Chaos in Dynamical Systems”, Cambridge University Press,
1993.
P.G. Drazin, “Nonlinear Systems”, Cambridge University Press, 1993.
Yararlanılacak Araç
XPP/XPPAUT
Dinamik sistemleri çözmek, durum portreleri, dallanma
diyagramlarını elde etmek için kullanılabilecek bir araç
B. Ermentrout, “Simulating, Analyzing, and Animating Dynamical
systems”, siam,2002.
http://www.math.pitt.edu/~bard/xpp/whatis.html
A. Yiğit
Xppaut Çalıştırmak İçin Gerekenler
Xppaut, “xpp” ve “auto” isimli iki parçadan oluşur. Birbirleri arasında daima
geçiş yapabilirsiniz. “auto”, dallanma diyagramını hesaplamak için kullanılır.
http://www.math.pitt.edu/~bard/xpp/xpp.html adresinden indirilebilir.
xppaut_yüklediğiniz_dizin\xppaut\windows\xppall dizini altında xpp.bat
dosyası mevcuttur. Bu dosya içerisine uygulama ile ilgili adreslerin doğru
yazılması gerekmektedir. Örneğin benim makinemde xppaut aşağıda olan
adresde yüklüdür. “G:\24_mart_2008_new_data\Doktora”. Dolayısıyla
G:\24_mart_2008_new_data\Doktora\xppaut\windows\xppall adresinde olan
xpp.bat dosyasının içeriği aşağıdaki şekildedir.
set BROWSER=C:\Program Files\Internet Explorer\iexplore.exe
Set
XPPHELP=G:\24_mart_2008_new_data\Doktora\xppaut\windows\xppall\help\xpphelp.h
tml
set DISPLAY=127.0.0.1:0.0
set HOME=G:\24_mart_2008_new_data\Doktora\xppaut\windows\xppall
G:\24_mart_2008_new_data\Doktora\xppaut\windows\xppall\xppaut %1 %2 %3
pause
A. Yiğit
Xppaut çalıştığında nasıl bir ekran açılır?
A. Yiğit
Örneklerle Dallanma Diyagramı Oluşturma
Neden doğrusal olmayan devreler, sistemler ve kaos?
Virtually, all physical systems are nonlinear in nature.
M. Vidyasagar
O zaman neden hep
lineer devreler ve sistemler ile ilgilenildi?
“. . . not to produce the most comprehensive
descriptive model
but
to produce the simplest possible model that
incorporates the major features of the
phenomenon of interest.”
Howard Emmons
Hatırlatma
Başka nasıl
ifade ediyoruz?
Lineer sistemi hatırlıyalım...
x& (t ) = Ax(t ) + Bu (t ),
x(to ) = xo
durum değişkeni
y (t ) = Cx(t ) + Du (t )
çıkış değişkeni
ilk koşul
giriş değişkeni
Bu değişkenlere ilişkin başka neyi belirtmemiz gerek........
x ∈ ........
y ∈ ........ u ∈ ........
Bu sistemin çözümü.....
x(t ) = e
A ( t −t o )
t
x(to ) + ∫ e
to
A( t −τ )
Bu (τ )dτ
Hatırlatma
Ayrık zamanda lineer sistemi hatırlıyalım...
x′(k ) = Ax(k ) + Bu (k ),
y (k ) = Cx(k ) + Du (k )
x(ko ) = xo
x′(k ) =ˆ x(k + 1)
Bu sistemin çözümü.....
k
x(k ) = Ak x(0) + ∑ A N −1−n Bu (n)
n =0
Hatırlatma
Bir özel hal:
x& (t ) = Ax(t )
Otonom sistem
Çözümü bir daha yazarsak
özdeğerler
x(t ) = e λ1 ( t −to ) S1c1 + e λ2 (t −to ) S 2 c2 + .....e λn (t −to ) S n cn
özvektörler
Çözüm, özvektörler ve özdeğerler ile nasıl değişir?
Özvektörleri aynı özdeğerleri farklı iki sistem
0
A1 = 
1
− 5
− 2 
− 2
A2 = 
 1
− 5
− 4 
Hatırlatma
λ11 = − 1 − 2 i λ 21 = − 3 − 2 i
λ12 = − 1 + 2 i λ 22 = − 3 + 2 i
0 . 9129


S 11 = 

 − 0 . 1826 − 0 . 3651 i 
0 . 9129


S 21 = 

 − 0 . 1826 − 0 . 3651 i 
0 . 9129


S 12 = 

 − 0 . 1826 + 0 . 3651 i 
0 . 9129


S 22 = 

 − 0 . 1826 + 0 . 3651 i 
Hangisi daha hızlı sıfıra yaklaşıyor ?
A1
sistemi
A2
sistemi
Özdeğerleri aynı özvektörleri farklı iki sistem
− 0.2 −5 
B1 = 

1
0
.
3
−


B1
sistemi
− 0.2 −1  λ11 = −0.25 + 2.235i
B2 = 
 λ = −0.25 − 2.235i
5
−
0
.
3

 12
λ21 = −0.25 + 2.235i
λ22 = −0.25 − 2.235i
0.9125


S11 = 

0.0051 + 0.4081i 
0.0051 + 0.4081i 
S 21 = 

0.9125


0.9125


S12 = 

0.0051 − 0.4081i 
0.0051 − 0.4081i 
S 22 = 

0.9125


Hızlarında bir farklılık var mı?
B1
sistemi
B2
sistemi
Hatırlatma
B2
sistemi
Hatırlatma
Bu durumda lineer sistemin çözümleri neler olabilir?
Tüm bu durum portrelerinde ortak bir şey var, ne?
S. Haykin, “Neural Networks- A Comprehensive
Foundation”2nd Edition, Prentice Hall, 1999,
New Jersey.
Hatırlatma
Otonom lineer sistem için başka ne diyebiliriz?
x& (t ) = Ax(t )
Özel bir çözüm: denge noktası
0 = Axe
⇒ xe = 0
Denge noktasının Lyapunov anlamında kararlılığı
Tanım: Lyapunov anlamında kararlılık
x& (t ) = f ( x(t ))
herhangi bir ε > 0
xd
sistemine ilişkin bir denge noktası
olsun. Verilen
için bir δ (ε ) > 0 bulunabiliyorsa; öyleki
x(0) − xd < δ (ε )
xd
⇒
x(t ) − xd < ε
∀t > 0,
noktası Lyapunov anlamında kararlıdır.
Ve Lyapunov anlamında kararlılığı lineer sistemde anlamak için.....
Bazı Doğrusal Olmayan Sistemler
Sarkaç
Θ
mlθ&& = −mg sin θ − klθ&
l
yerçekimi
sürtünme
Durum uzayı gösterimi
mg
x1 =ˆ θ , x2 =ˆ θ&
durum değişkenleri
x&1 = x2
g
k
x&2 = − sin x1 − x2
l
m
Bu denge noktalarının hepsi anlamlı mı?
Önce ne yapacağız ?
0 = x2*
0=−
g
k
sin x1* − x2*
m
l
denge noktaları
-2π -π
Denge noktalarının civarındaki davranışı incelemek istesek
ne yapmamız gerekir?
(0,0) civarında
 x&1   0
 x&  =  g
 2   l
1  x 
k  1 
−   x2 
m
Bu sistemin kararlılığını incelemeyi biliyoruz
................................................................................
π
2π
(π,0) civarında
 x&1   0
 x&  = − g
 2   l
1  x 
k  1 
−   x2 
m
Bu sistemin de kararlılığını incelemeyi biliyoruz
......................................................................................
Sürtünmenin etkisini ihmal etsek....
 x&1   0
 x&  = ± g
 2   l
(0,0)’ın civarı
1  x 
1
 
0   x2 

Bu sistemin kararlılığına baksak.......................................
H.K.Khalil, “Nonlinear Systems”, 3rd Edition, Pearson Education, 2000.
(π,0) civarı
Tünel Diyod Devresi
1
v&C = [− h(vC ) + iL ]
C
&iL = 1 [− vC − RiL + E ]
L
x&1 = α [− h( x1 ) + x2 ]
x&2 = β [− x1 − γx2 + µ ]
Denge noktaları ....
**
*
*
*
*
*
[
0 = β [− x
0 =α
*
− h( x1 ) +
*
1
h( x1* )
=−
*
− γx2
1
γ
*
x2
x1*
+
]
+µ
1
γ
µ
]
Notasyona ilişkin hatırlatma
∋ : Öyle ki
∀ : Her
∃ : Vardır
∃! : Sadece bir tane vardır
Dinamik Sistem
Dinamik sistem: (T, X, φt )
φt : X
X
T=R sürekli zaman
T zaman
T=Z ayrık zaman
a1) φ0=I
a2) φt+s =φt ◦ φs
X=Rn
X durum uzayı
▪
X=Cn
Hatırlatma: Metrik Uzay
( X , d ) ∋ ∀x, y, z ∈ X
d (.,.) : XxX → R +
d ( x, y ) = 0 ⇔ x = y
d ( x, y ) = d ( y , x )
d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z , y )
Çember
xo ∈ X , r ∈ R +
B( xo , r ) = {x ∈ X | d ( x, xo ) < r}
~
B ( xo , r ) = {x ∈ X | d ( x, xo ) ≤ r}
S ( xo , r ) = {x ∈ X | d ( x, xo ) = r}
Sürekli Dönüşüm
~
X = ( X , d ) Y = (Y , d )
T : X →Y
~
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∋ d ( x, xo ) ⇒ d (Tx, Txo ) < ε
T, xo ‘da süreklidir
Yakınsama,Tam Uzay,Büzülme....
Hatırlatma
Lineer Vektör Uzayı
x, y, z ∈ V ve α , β ∈ F
cebrik işlem
+
ve
.
V
V
olmak üzere ‘de iki
aşağıdaki gibi tanımlanmış olsun
Vektör toplama (VT)
x + y ∈ V ∀x, y ∈ V
x+y = y+x
VT1
∀x, y ∈ V
VT2
∀x, y, z ∈ V ( x + y ) + z = x + ( y + z )
VT3
∃!0 ∈ V ∋ ∀x ∈ V x + 0 = x
VT4
∀x ∈ V
∃!(-x) ∈ V ∋ x + (− x) = 0
Hatırlatma
Skaler ile çarpma (SÇ)
SÇ1
α.x ∈V ∀x ∈V, ∀α ∈F
∀α ∈ F ∀x,y ∈ V α .( x + y ) = α .x + α . y
α , β ∈ F ∀x ∈ V (α + β ).x = α .x + β .x
SÇ2 ∀
SÇ3
SÇ4
∀α , β ∈ F ∀x ∈ V α (β .x ) = (αβ ).x
∀x ∈ V 1.x = x
Hatırlatma
Norm
V vektör uzayı olmak üzere, aşağıdaki dört özelliği sağlayan
fonksiyon . :V → R normdur
x ≥0
x =0 ⇔
x=0
αx = α x
x+ y ≤ x + y