TOBB - ETU Department of Economics IKT 262

TOBB - ETU Department of Economics
IKT 262 - Homework 3
Ayça Özdog̃an
110 puan üzerinden deg̃erlendirilecek; 2 Aralık çarşamba günü saat 16.00’ya kadar teslim edilecektir.
1. Bir ekonomide bir sonraki dönem biriken kapital stok miktarı bir önceki dönemden ne kadar
kapital stok kaldıg̃ına ve ne kadar yatırım yapıldıg̃ına göre aşag̃ıda verilen şekilde belirlensin.
kt+1 = (1 − δ)kt + It
Varsayalım ki, depreciation (amortisman - aşınma) oranı δ = 0.2 olsun ve her dönem sabit miktarda It = 60 yatırım yapılıyor olsun. Başlangıç durumdaki kapital stok miktarı k0 = 100 olarak
verilsin.
(a) Geriye dog̃ru öteleme (backward iteration) ya da homojen + particular çözüm yoluyla kt ’yi
bulun. (
(b) Steady-state (denge) noktası k ∗ ’ı bulun. Stability hakkında yorum yapın.
(c) Faz (phase) diagramı çizin, k1 ve k2 deg̃erlerini bulun. Bunları ve yukarıda buldug̃unuz
steady-state deg̃erini grafik üstünde gösterin ve kırılgan (stable) olup olmadıg̃ını belirtin.
(d) Başlangıç durumdaki kapital stok miktarı k0 = 100’den steady-state k ∗ ’a olan mesafenin
yarıya inmesi için geçmesi gereken periyod sayısını bulun. Buldug̃unuz ifadeyi sadeleştirmenize
gerek yoktur.
Find the number of periods it takes from the initial value k0 to the steady state value k ∗ to
be reduced by half.
2. Diyelim ki bir ekonomide sermaye bazlı büyüme aşag̃ıdaki gibi modellenebilmektedir:
p
kt+1 = 9 kt − 18.
Başlangıç durumdaki kapital stok miktarı k0 = 18 olarak veriliyor. Faz (phase) diagramı çizin.
Steady-state(ler)i bulun. Buldug̃unuz steady-state deg̃er(ler)ini grafik üstünde gösterin ve kırılgan
(stable) olup olmadıg̃ını belirtin.
3. Dinamik Optimizasyon (Discrete time): Optimal büyüme problemi
Diyelim ki başlangıçta elinizdeki sermaye miktarı (capital stock) K0 = 4 olsun. Her periyod
t = 0, 1, 2..., bu sermayenin bir kısmı tüketilip kalanı dig̃er döneme aktarılmaktadır. Ct , t zamanındaki tüketimi ve u(Ct ) = ln Ct bu tüketimden elde edilen fayda fonksiyonunu göstermektedir.
Gelecek dönemlerin deg̃eri β = 0.8 faktörüyle indirgenmektedir (discount factor). Sermayenin
aşınmadıg̃ı varsayımı altında (no depriciation), sermaye miktarının zaman içinde deg̃işimi şöyle
verilmiştir:
Kt+1 = Kt0.5 − Ct
Bulmak istedig̃imiz optimal tüketimin ve sermaye miktarının izledig̃i yol (optimal path of con∞
sumption and capital stock), {Ct }∞
t=0 ve {Kt }t=0 dir.
1
(a) Tüketicinin dinamik optimizasyon problemini yazın.
(b) Euler denklemini çıkartıp, ekonomik anlamını yorumlayın.
(c) Bellman denklemini (deg̃er fonksiyonunu) yazın. Kontrol ve durum (state) deg̃işkenleri
nedir?
(d) Bu şıkta Bellman denkeminin sonucunu yani deg̃er fonksiyonu V (.)’i bulmak istiyoruz.
Diyelim ki deg̃er fonksiyonunu V (K) = A + B ln K olarak tahmin ediyoruz. Politika
(policy) fonksiyonları ve V (K)’daki B katsayısını) bulun. Verilen parametrelere göre politika fonksiyonlarını yorumlayın.
(e) K1 nedir? (Euler denkleminden ya da politika fonksiyonundan bulabilirsiniz.)
4. Dinamik Kar Maksimizasyonu
Diyelim ki, bir petrol üreticisi petrol kuyusundan elde ettig̃i geliri maksimize etmek istiyor. t
zamanındaki geliri şu şekilde verilmiş:
Rt = pt ut
p petrolün t zamanındaki fiyatı ve u ise kuyudan t zamanında çıkartılıp satılan petrolün miktarını
göstermektedir. Firmanın kuyudan çıkartılan petrol miktarına bag̃lı maliyet fonksiyonu aşag̃ıdaki
gibidir:
Ct = 0.05u2t .
Kuyuda kalan petrol miktarı şu şekilde deg̃işmektedir: xt+1 = xt −ut . Burada, x kuyudaki petrol
miktarıdır. Başlangıçta kuyuda bulunan petrol miktarı ise x0 olarak verilmiştir.
(a) Firmanın dinamik optimizayon problemini yazın.
(b) Euler denklemini Lagrange yöntemiyle çıkartıp, ekonomik anlamını yorumlayın.
(c) Bellman denklemini (deg̃er fonksiyonunu) yazın. Kontrol ve durum (state) deg̃işkenleri
nedir?
(d) Diyelim ki bu 2-periyod devam eden bir problem olsun, yani t = 0, 1 ve petrolün tamamı
son periyod çıkartılıyor, x2 = 0. Bellman denklemini (deg̃er fonksiyonlarını) yazın. V0 , V1 , V2
ve u0 , u1 ’yi bulun. (Burada Vt , t zamanı ve sonrasında elde edilen deg̃er (kar) fonksiyonunu
göstermektedir.) Bu bölümde, pt = 1 ve β = 0.9 kabul edin.
5. BONUS: Dinamik Programlama - Ag̃aç kesme problemi - 10 puan
Bir ag̃acın büyümesi h fonksiyonuyla belirlensin. Yani, t zamanında ag̃acın boyu kt ise, t + 1
zamanında kt+1 = h(kt ) olsun. Odunun fiyatı hep pt = 1 olsun. Bu kişi için gelecek dönemin
deg̃eri β ile discount edilsin/ azaltılsın.
(a) Bu kişi bugün ag̃acı kesip satabilir, veya bir sonraki döneme bekletebilir. Bellman denklemini (deg̃er fonksiyonunu) yazın. Kontrol ve durum (state) deg̃işkenleri nedir?
(b) Diyelim ki ag̃aç kesildig̃inde yeni bir ag̃aç dikilmek zorunda olsun. Yeni dikilen ag̃acın
masrafı c > 0. Yine ag̃aç bugün kesilip (yenisi dikilip) satılabilir, veya bir sonraki döneme
bekletilebilir. Bu durumda Belman denklemi nasıl yazılır?
2