DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER . ÜNİTE 2. ÜNİTE 2

Transkript

. ÜNİTE
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM
ve EŞİTSİZLİKLER
1. Kazanım : Gerçek sayılar kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.
2. Kazanım : Gerçek sayılar kümesinde aralık kavramını açıklar.
Açık, kapalı ve yarı açık aralık kavramları ve bunların gösterimleri incelenir.
3. Kazanım : Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulur.
2. ÜNİT
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ
Sayıların Sınıflandırılması
Rakam: Sayıları yazmaya yarayan sembollerdir. Onluk sayma sisteminde 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rakamları
kullanılır.
Sayı: Bir çokluğu ifade edecek şekilde, rakamların tek başına ya da birlikte kullanılmasıyla oluşturulan ifadelerdir.
1
1
, – , v2 , π , e, 3 5 ifadeleri birer sayıyı gösterir.
2 , –5 , 19 , 0 ,
2
3
Sayma Sayıları Kümesi (N+ )
N+ = S = {1, 2, 3, ..... }
Doğal Sayılar Kümesi (N )
N = {0, 1, 2, 3, ..... }
Tam Sayılar Kümesi (Z )
Z – = {..., –3, –2, –1} negatif tam sayılar kümesi, Z + = {1, 2, 3, ... } pozitif tam sayılar kümesidir.
Z = Z – ∪ {0 } ∪ Z + = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... }
Rasyonel Sayılar Kümesi (Q )
a
Q = { : a ∈ Z, b ∈ Z ve b ≠ 0 }
b
İrrasyonel Sayılar Kümesi (Q′)
Rasyonel olmayan sayılar kümesidir. v2 , v3 ,
3
5 , π , e , ..... gibi
Reel (Gerçel) Sayılar Kümesi (R)
Rasyonel sayılarla irrasyonel sayıların birleşimine reel (gerçel) sayılar kümesi denir.
® R = Q ∪ Q′
® N+ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
ÖRNEK 1
[– 4, 5] aralığındaki;
a) Sayma sayıları
b) Doğal sayıları
c) Tam sayıları
® Q′ ⊂ R
ÖRNEK 2
Aşağıdaki sayılardan hangileri rasyonel sayıdır?
a) 3
e) –
1
3
b) – 4
–
f) 2, 5
c) 0
d) 0,4
g) π
h) v2
Çözüm
d) Pozitif tam sayıları
e) Negatif tam sayıları
f) Pozitif olmayan tam sayıları
g) Negatif olmayan tam sayıları kümelerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 3
Aşağıdaki sayılardan hangileri reel sayıdır?
a) 3
d) c–5
Çözüm
50
b) v2
e)
3
–6
c)
3
4
f)
4
–7
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
DOĞAL SAYILARDA İŞLEMLER
Sayı ekseni üzerinde, karesi 2 ye eşit olan sayıya
Sayıların Çözümlenmesi
karşılık gelen bir nokta bulunduğunu ve bunun
a, b, c, d birer rakam olmak üzere,
rasyonel sayı olmadığını gösterelim.
0
B
(abc) = 100.a + 10.b + c
1
(abcd) = 1000.a + 100.b + 10.c + d dir.
a b c = a.102 + b.10 + c
O
–1
(ab) = 10.a + b
A
C
1
1
v2
100 : Birler basama¤›
2
101 : Onlar basama¤›
Dik kenarları 1 birim uzunlukta ve bir dik kenarı,
102 : Yüzler basama¤›
sayı ekseni üzerinde bulunan OAB dik üçgeninde,
|OB|2 = |OA|2 + |AB|2 = 12 + 12 = 2 dir.
ÖRNEK 4
O merkezli, |OB| yarıçaplı çemberin sayı eksenini
kestiği nokta C olsun.
ab ve ba iki basamaklı sayılardır.
|OB| = |OC| olduğundan, C noktası, karesi 2 ye eşit
ab + ba = 66 ise a + b kaçtır?
olan sayıya karşılık gelen noktadır.
Çözüm
lim. |OB| = |OC| ye karşılık gelen sayı rasyonel
p
biçiminde yazabilirdik (p ve
olsaydı, bu sayıyı
q
q aralarında asal). Bu durumda,
f
p
q
2
p2
p =2 ⇒
q2
= 2 ⇒ p2 = 2q2 (I) olurdu.
ESEN YAYINLARI
Bu sayının, rasyonel sayı olmadığını göstere-
ÖRNEK 5
Rakamları toplamının 3 katına eşit olan iki basamaklı
sayı kaçtır?
2
2
2q çift sayı olacağından, p de çift sayı olur.
Çözüm
2
p çift sayı ise p çift sayıdır.
O halde, en az bir p1 ∈ Z+ için, p = 2p1 dir.
Bunu (I) eşitliğinde yerine yazalım:
2
2
(2p1)2 = 2q2 ⇒ 4p 1 = 2q2 ⇒ 2p 1 = q2 olur.
2
2p 1 çift sayı olduğundan, q2 de çift sayı olur.
q2 çift sayı ise, q çift sayıdır.
+
O halde, en az bir q1 ∈ Z
için, q = 2q1 dir.
p = 2p1 ve q = 2q1 ⇒ p ile q nun ortak böleni 2 dir.
⇒ p ile q aralarında asal değildir.
Oysa, p ile q aralarında asal olarak seçilmişti.
ÖRNEK 6
abc ve cba üç basamaklı sayılardır.
abc – cba = 396
olduğuna göre, a – c kaçtır?
Çözüm
Dolayısıyla, varılan sonuç bir çelişkidir. Bu durumda, f
p
q
2
p = 2 yazılamaz. Yani karesi 2 olan
sayı, rasyonel sayı değildir.
51
Doğal Sayılarda Toplama ve Çarpma İşleminin Özellikleri
x
ÖRNEK 8
Toplama işlemine göre sadeleşme özelliği:
abc6
abc
a=b⇔a+c=b+c
x
Çarpma işlemine göre sadeleştirme özelliği:
2004
a = b ⇔ a.c = b.c, (c ≠ 0)
x
x
Toplama İşleminin değişme özelliği:
Yukarıda verilen çıkarma işlemine göre, abc üç basa-
a+b=b+a
maklı sayısı kaçtır?
Toplama işleminin birleşme özelliği:
Çözüm
a + (b + c) = (a + b) + c
x
Toplama işleminin birim elemanı:
a+0=0+a=a
x
Çarpma işleminin birim elemanı:
ESEN YAYINLARI
a.1 = 1.a = a
x
Çarpma işleminin değişme özelliği:
a.b = b.a
x
Çarpma işleminin birleşme özelliği:
a.(b.c) = (a.b).c
x
Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan
1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamları kullanılarak yazılan, rakamla-
dağılma özelliği: a.(b + c) = ab + ac
x
ÖRNEK 9
rı farklı, altı basamaklı ABCDEF sayısında,
Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan
A+B=C+D=E+F
dağılma özelliği: (b + c).a = ba + ca
olduğuna göre, bu koşulları sağlayan en küçük
ÖRNEK 7
ABCDEF sayısının yüzler basamağındaki rakam
A, B, C, 50 şer basamaklı sayılar ve
kaçtır?
A = 22.....2 , B = 66.....6 , C = 88.....8 ise
Çözüm
B.C çarpımının A cinsinden değeri nedir?
Çözüm
R ve R x R nin Geometrik Temsili
Bir çizgiden oluşan ve her noktası bir gerçek sayıya karşılık gelen en temel koordinat sisteminin sayı doğrusu
olduğunu biliyoruz. R nin geometrik temsili bir sayı doğrusudur.
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4…
R x R kartezyen çarpımındaki her sıralı ikilinin Öklid düzlemindeki bir nokta ile birebir eşlenmesiyle oluşturulan
geometrik yapıya kartezyen koordinat sistemi denir. Koordinat eksenleri x ve y eksenleri olup bunların kesiştiği
nokta başlangıç noktasıdır.
y ordinatlar ekseni
b
0
52
A(a, b)
a
x
apsisler ekseni
II. bölge
x<0
y>0
III. bölge
x<0
y<0
y
0
I. bölge
x>0
y>0
x
IV. bölge
x>0
y<0
ALIŞTIRMALAR -
1.
6.
abc üç basamaklı, ab iki basamaklı sayılardır.
abc – ab = 113 ise a + b + c toplamı kaçtır?
a, b, c, d birer rakam olmak üzere,
0, a + 0, bb + 0, ccc = 1,928 ise a + b + c kaçtır?
7.
2.
1
Basamaklardaki rakamların sayı değerlerinin
a = 2b ve b = c + 2 koşullarını sağlayan kaç
farklı üç basamaklı abc sayısı yazılabilir?
çarpımı 36 olan dört basamaklı en küçük doğal
sayının onlar basamağındaki rakam kaçtır?
8.
abc
cba
xy5
Üç basamaklı ab3 sayısında a ile 3 ün yerleri
değiştirildiğinde sayı 297 azalıyorsa a kaçtır?
4.
İki basamaklı ab sayısı rakamlarının sayısal
Yukarıdaki çıkarma işleminde abc ve cba üç
ESEN YAYINLARI
3.
basamaklı sayılardır. Buna göre, x + y toplamı
kaçtır?
9.
değerlerinin toplamının x katı; iki basamaklı
ba sayısı ise rakamlarının sayısal değerlerinin
toplamının x – 1 katına eşit ise x kaçtır?
x
y
y
z
x
z
m
n
27
ve m < n ise y nin en küçük tam sayı değeri
nedir?
5.
Her biri en az üç basamaklı 4 sayının onlar basamağı ile birler basamağı 3 arttırılır, yüzler ba-
10. Rakamları farklı iki basamaklı 4 sayının toplamı
samağı 2 azaltılırsa bu dört sayının toplamı ne
314 ise bu sayıların en küçük olanı en az kaçtır?
kadar azalır?
53
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
a, b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere, a x + b = 0 biçiminde ifade edilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem, bu denklemi sağlayan x değerine de denklemin kökü denir.
a x + b = 0 denkleminde;
® a ≠ 0 iken a x + b = 0 ⇒ x = –
b
b
olduğundan çözüm kümesi; Ç = ) – 3 dır.
a
a
® a = 0 ve b = 0 iken çözüm kümesi; Ç = R dir. ( R = (– ∞, ∞ ) )
® a = 0 ve b ≠ 0 iken çözüm kümesi; Ç = Ø dir.
ÖRNEK 10
ÖRNEK 13
2x – 5 = 7
(a + 1) x – x + a – 4 = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
denkleminin çözüm kümesi { 2 } olduğuna göre, a reel
Çözüm
sayısı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 11
Çözüm
ESEN YAYINLARI
2(x – 1) – (x + 1) = 5
ÖRNEK 14
ÖRNEK 12
x – 2 2x – 1
–
=2
2
3
olduğuna göre, x kaçtır?
Çözüm
54
5x – (3x + 1) = 2x + 4
Çözüm
ÖRNEK 15
ÖRNEK 18
x+2 2
– = 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
x
x
2(x + 1) – x + 1 = x + 3
Çözüm
Çözüm
P(x).Q (x) = 0 ⇒ P(x) = 0 ∨ Q (x) = 0 dır.
P (x)
Q (x)
= 0 & P(x) = 0 ∧ Q (x) ≠ 0 dır.
ÖRNEK 16
ÖRNEK 19
(m + 1) x + n – 2 = 0
x .(x – 2) = x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
denkleminin çözüm kümesi, Ç = R ise (m, n) nedir?
Çözüm
ÖRNEK 20
2
x2
ÖRNEK 17
a.(x – 2) = 3 x – a + 1
–1
–
1
2
+
=0
x –1 x+1
Çözüm
denkleminde hangi a değeri için x bulunamaz?
Çözüm
55
BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
a, b, c ∈ R ve a ≠ 0, b ≠ 0 olmak üzere, a x + by + c = 0 biçiminde ifade edilen denklemlere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler denir. Denklemi sağlayan (x, y) ikililerinin kümesine denklemin çözüm kümesi
denir.
ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0
4
denklem sisteminin çözümü demek, geometrik olarak bu doğruların birbirine göre durumunu
incelemek demektir.
®
a b c
= =
ise doğrular çakışıktır. Sistemin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
d e f
®
a b c
= ≠
ise doğrular paraleldir. Sistemin çözüm kümesi boş kümedir.
d e f
®
a b
≠
ise doğrular kesişir. Sistemin çözüm kümesi bir elemanlıdır.
d e
∀ x , y ∈ R için a x + by = 0 eşitliği sağlanıyorsa, a = 0 ve b = 0 olmalıdır.
ÖRNEK 21
2x – y = 2 ve x + 2y = 1
denklem sisteminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm:
56
ÖRNEK 22
2x – y = 2 ve 2y – 4x = 8
denklem sisteminin çözüm kümesini bulup analitik düzlemde yorumlayınız.
Çözüm:
ÖRNEK 23
x – 3y = 6
ve
6y – 2x = –12
denklem sisteminin çözüm kümesini bulup analitik düzlemde yorumlayınız.
Çözüm:
57
ÖRNEK 24
(a – 1)x + 3y = 2
ÖRNEK 27
2 1
+ =2
x y
ve 2x + (b + 1)y = 1
denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı
ve
1 2
– =3
x y
ise a + b kaçtır?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 28
a.b = 6 , b.c = 3 ve a.c = 2
ÖRNEK 25
olduğuna göre, a.b.c nin pozitif değeri kaçtır?
3x – 2y = 5 ve kx + 4y = 2
Çözüm
ri için boş kümedir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
denklem sisteminin çözüm kümesi k nın hangi değe-
ÖRNEK 29
ÖRNEK 26
x – y + 1 = 0 , x + y + 5 = 0 ve ax + y – 3 = 0
1 1
1 1
1 1
+ = 3,
+ = 5 ve
+ =7
a b
a c
b c
sisteminin çözüm kümesi bir elemanlı ise a kaçtır?
denklem sistemini sağlayan a kaçtır?
Çözüm
Çözüm
58
ÖRNEK 30
x x 2 + y2 = 0 ⇒ x = 0 ve y = 0
–x + 3y – 6z = 6
x ∀x, y ∈ R için ax + by = 0 ⇒ a = 0 ve b = 0
2x + 6y – 3z = 12
olduğuna göre, x + y + z kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 32
(a + 2)2 + (a – b + 4)2 = 0
olduğuna göre, a.b kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 31
ÖRNEK 33
( 2x + 1 ) br
Yukarıdaki dikdörtgen şeklindeki bahçenin kısa kena-
ESEN YAYINLARI
∀x, y ∈ R için, (a – 1). x + (a + b + 3).y = 0
( x + 2 ) br
eşitliği sağlandığına göre, b kaçtır?
Çözüm
rının uzunluğunun uzun kenarının uzunluğuna oranı
2
tür ( x ∈ Z ). Buna göre,
3
a.
Bahçenin alanı kaç br2 dir?
b.
Bahçeye farklı ürünler ekmek için en büyük alanlı
ÖRNEK 34
karesel bölgelere ayırmak isteyen çiftçi bahçeyi
en az sayıda kaç karesel bölgeye ayırabilir?
Çözüm
∀x , y ∈ R için a (x + y) + b (x – y) + 4y = 0
eşitliği sağlanıyorsa a kaçtır?
Çözüm
59
ÖRNEK 35
ÖRNEK 37
1
2
=4
+
x y+3
a ve b tam sayılar olmak üzere,
1
1
+
=1
a+b–4 a–b+4
3 y +1
+
=7
x y+3
ise a.b çarpımı kaçtır?
Çözüm
denklem sistemini sağlayan x değeri kaçtır?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 38
ÖRNEK 36
+
a
a
b
c
10
b
c
a+
1
=3
b
b+
1
=2
a
olduğuna göre,
4
6
Çözüm
Yukarıdaki toplama tablosunda verilenlere göre a
kaçtır?
Çözüm
60
a
kaçtır?
b
ALIŞTIRMALAR -
1.
4.
Aşağıdaki denklemleri sağlayan x değerlerini
2
Sol sütundaki denklemlerin çözüm kümelerini
sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
bulunuz.
a. 2x – 3 + x = 5x – 1 + 4
a
1
x + 4 = 3x + 4 – 2x
b.
c.
d.
x x 1
= +
2 3 6
b
x
x 13
+1 = +
5 15
3
c
1
1
+x=5+
x–5
x–5
5
3x – 1 = (2x – 3)
3
d
x – 2 1+ x
=
5
2
2
1
+ =0
x –1 x
12
2
R
3
∅
4
1
3
e. 6 – 2 ( 2 – x ) = 3x – ( 2 – x )
f.
2.
0, 1 + 0, 3
= 0, 02
x
Aşağıdaki verilen ifadelerde noktalı yerleri uygun
şekilde doldurunuz.
ESEN YAYINLARI
5.
3x – 2 x – a
–
=1
5
2
denkleminin kökü 9 ise a reel sayısı kaçtır?
6.
(a – 1)x 3 + (b + 2)x 2 + (a – b) x + 3 = 0
ifadesi birinci dereceden bir bilinmeyenli bir
a. a x + b = c x + d denkleminde a = c ve
denklem ise x nedir?
b = d ise denklemin çözüm kümesi ........ dir.
b . a x + b = c x + d denkleminde a = c ve
b ≠ d ise denklemin çözüm kümesi ........ dir.
7.
3.
(a – 3)x + 3b – 4 = (b – 1) x + a + 3
eşitliği ∀ x ∈ R için sağlanıyor ise
Aşağıdaki denklem sistemlerinin çözüm kümele-
a + b
kaçtır?
rini bulup, analitik düzlemde yorumlayınız.
a. x + y = 1 , 2 x – 3y = 12
b. x – 3y = 2 ,
9y – 3x = –6
c. 2x – 3 y = 2 , 6 y – 4 x = 5
8.
3x – 2y + 3
y–2
=0
olduğuna göre, x kaç olamaz?
61
REEL SAYILARDA EŞİTSİZLİK
Reel sayı doğrusu üzerinde herhangi bir sayı, solunda bulunan sayıdan büyük, sağında bulunan sayıdan küçüktür.
d
–3
b
–2
a
–1
0
c
2
1
3
Buna göre; a, b den büyüktür ve a > b ile gösterilir. d, c den küçüktür ve d < c ile gösterilir.
Şekle göre, d y dir.
REEL SAYI DOĞRUSUNDA ARALIKLAR
x a b.c ,
Açık Aralık
a<b⇔
a
b
R
a b
>
c c
,
( c > 0 ise )
( c > 0 ise )
( c < 0 ise )
( c < 0 ise )
( a, b ) = { x : a < x < b , x ∈ R }
Yarı Açık Aralık
®
a
b
R
[ a, b ) = { x : a ≤ x < b , x ∈ R }
®
a
b
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 39
4x – 5 < 2 x + 7
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı doğal sayı vardır?
Çözüm
R
( a, b ] = { x : a < x ≤ b , x ∈ R }
Sınırsız Aralıklar
®
a
ÖRNEK 40
R
( a, ∞ ) = { x : x > a , x ∈ R }
®
a
R
( – ∞, a ] = { x : x ≤ a , x ∈ R }
®
( – ∞, ∞ ) = R
62
x + 3 < 7 < 3x – 2
eşitsizlik sisteminin en geniş çözüm aralığı nedir?
Çözüm
ÖRNEK 41
–1 <
x a.b < 0 ⇒ a ile b ters işaretlidir.
1 – 2x
≤3
4
a.b > 0 ⇒ a ile b aynı işaretlidir.
olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı tam sayı
değeri vardır?
x a.b > 0 ve a 
a b
x 0 < a bn
(n çift sayma sayısı ise)
x a2 < a ⇔ 0 < a < 1
x Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir.
x , y ∈ R , –1 < x < 4 ve 2 x + y – 1 = 0
olduğuna göre, y nin değerler aldığı aralık nedir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 42
ÖRNEK 44
x , y ∈ R , –1 < x < 3 ve 2 < y < 5
olduğuna göre, 2 x – 3y nin alabileceği en büyük
tam sayı değeri kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 43
x , y ∈ Z , –2 < x < 4 ve 0 < y < 5
olduğuna göre,
3 x – 2y nin alabileceği en büyük
tam sayı değeri nedir?
Çözüm
63
ÖRNEK 45
ÖRNEK 48
x 3 < 0 ve x( y + 3) < x( y2 + 3)
a, b ∈ R olmak üzere,
1 2 1
1 3 1
ve
< <
< <
5 b 3
6 a 3
olduğuna göre, y hangi aralıkta değer alır?
Çözüm
x 3 < 0 ⇒ x < 0 dır.
ise a – b hangi aralıkta değer alır?
x( y + 3) < x( y2 + 3)
Çözüm
eşitsizliğinin her iki tarafını x ile bölersek (x < 0 olduğundan) eşitsizlik yön değiştirir.
x( y + 3) < x( y2 + 3) ⇒ y + 3 > y2 + 3
ÖRNEK 46
a2.b < 0 , b.c > 0 ve a.c < 0
olduğuna göre,
a , b ve c nin işaretleri sırasıyla
ESEN YAYINLARI
nedir?
Çözüm
ÖRNEK 47
Aşağıda verilen aralıklara göre, x 2 nin değerler aldığı
aralıkları bulunuz.
a.
3< x <5
c.
–2 < x < 6
Çözüm
b . – 4 < x < –2
ÖRNEK 49
x , y, z ∈ R, x + y < 6 , x + z > 3 , y + z < 7
olduğuna göre, y nin alabileceği en büyük tam sayı
değeri kaçtır?
Çözüm
64
ÖRNEK 50
ÖRNEK 51
a ve b birer reel sayıdır.
–2 < a < 1
ve
–4 <
–1 < 2a + b < 6
2
< –1
x +1
olduğuna göre, x hangi aralıkta değer alır?
olduğuna göre, b hangi aralıkta değer alır?
Çözüm
Çözüm
ETKİNLİK
Yanda şeklini gördüğünüz oyun, O noktasından topun,
I
I, II, III veya IV nolu yollardan birine fırlatılmasıyla oy-
a1
nanmaktadır. Aşağıda topların hareketine dair açıkla9m
ma verilmiştir.
a2
a4
I. Fırlatılan bir top önünde engel yoksa 12 m ilerler ve
durur.
2m
II. Bir top başka bir topa çarptığında çarpan top durur.
IV
Diğer top, eğer çarpan top 5 m ve 5 m den az bir
mesafe aldıysa 10 m ilerler ve durur. Çarpan top
6m
7m
II
4m
3m
6m
O
5 m den fazla bir mesafe aldıysa 8 m ilerler ve durur.
Buna göre O noktasındaki top I, II, III ve IV numaralı
yollara doğru fırlatıldığında a1, a2, a3 ve a4 numaralı
topların O noktasına uzaklıklarına göre sıralanışı aşa-
2m
a3
III
ğıdakilerden hangisidir?
A ) a4 > a1 > a3 > a2
B ) a4 > a2 > a1 > a3
C) a1 > a2 > a3 > a4
D ) a1 > a4 > a3 > a2
E ) a2 > a1 > a4 > a3
Çözüm
65
BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMLERİNİN GEOMETRİK YORUMU
Bir eşitsizliği sağlayan bütün noktaların koordinat düzleminde işaretlenmesiyle oluşan şekil, bu eşitsizliğin grafiğidir.
y
y
y = ax + b
b
–
b
0
b
a
0
–
x
x
b
a
y = ax + b
y > ax + b eşitsizliğinin grafiği, y = ax + b doğrusunun üst bölgesindeki noktalardır.
ÖRNEK 52
y ≤ 2x – 2
y < ax + b eşitsizliğinin grafiği, y = ax + b doğrusunun alt bölgesindeki noktalardır.
ÖRNEK 53
y ≥ x – 2 ve y < 2x + 2
eşitsizliğinin grafiğini çiziniz.
eşitsizlik sisteminin grafiğini çizelim.
Çözüm
Çözüm
66
ALIŞTIRMALAR -
1.
4.
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş
Aşağıdaki eşitsizliklerin reel sayılar kümesinde
çözüm kümelerini bulunuz.
kutulara “D ” yanlış olanlar için “Y ” yazınız.
a 0
5
1 1
a ve b aynı işaretli ve a 
a b
c.
2x – 4 x + 5
–
≤0
3
2
1 1
>
a b
d.
x–4
> –3
–6
n ∈ N+ ve a > b > 0 ise a2n > b2n
n ∈ N+ ve a < b < 0 ise a2n < b2n
a ve b ters işaretli ve a < b ise
2.
3
x < 0
ve
y < z
e. x – 3 ≤ 2x + 1 < 7 – x
olmak üzere, aşağıdaki
yanlış olanlar için “Y” yazınız.
x .y < x .z
1 1
<
y z
ESEN YAYINLARI
ifadelerden doğru olanlar için boş kutulara “ D ”
f. x – 1 ≥ –
1
2
g. (x – 2)2 < (x + 4)2
x .y3 < x .z3
h. –
1 1
>
y z
6
1
1
<
<–
2 x–2
3
y3 < z3
5.
3.
a4.b < 0 , b3.c > 0 ve a.c5 < 0
olduğuna göre, a, b, c nin işaretlerini bulunuz.
kutulara “D ” yanlış olanlar için “Y ” yazınız.
2 < a < 3 ise 4 < a2 < 9
–4 < a < –2 ise 4 < a2 < 16
6.
–2 < a < 3 ise 4 < a2 < 9
–3 < a < 2 ise 0 ≤ a2 < 9
x ∈ R olmak üzere,
–3 < x < 5
ise x 2 + 5 in en küçük tam sayı değeri kaçtır?
67
2 – 3x
x+1
7.
15
1
<8
a
4
12.
kesri kaça eşit olamaz?
eşitsizliğini sağlayan en küçük a doğal sayısı
kaçtır?
8.
x ve y birer reel sayıdır.
–1 < x < 3 ve –2 < 2 x + y < 4
olduğuna göre, y hangi aralıkta değer alır?
13.
–4 ≤ a < 6
–3 ≤ b < 8
olduğuna göre, a.b hangi aralıkta değer alır?
9.
x ve y birer reel sayıdır.
–2 < x < 3 ve 2 x + y = 1
olduğuna göre, y kaç farklı tam sayı değeri
alabilir?
ESEN YAYINLARI
14.
10.
–6 < a < 5
–4 < b ≤ 4
olduğuna göre, a2 + b2 hangi aralıkta değer
alır?
2ab – 4b + 6a – 3 = 0
eşitliğinde a = x için b tanımsız, b = x için a
tanımsızdır. Buna göre, x + y kaçtır?
15.
11.
A = ( – 4, 6 ] ve B = [ –2, 10 )
a a
< , b4 c
2 3
olduğuna göre a, b, c nin işaretleri sırasıyla
olmak üzere aşağıdaki kümeleri bulunuz.
nasıldır?
a. A ∩ B
b. A ∪ B
c. A – B
d. B – A
68
16.
x–2
≥ 3 +2
3 –2
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Yazılıya Hazırlık Soruları
1.
4.
4 1
+ =1
x y
bx – ay – 1 = 0
1 1
– =4
x y
denklem sisteminde x = y = 1 ise b kaçtır?
denklemlerini sağlayan
bulunuz.
x
ve y değerlerini
x y
– =0
4 3
5.
3x + 4y = 48
denklem sistemini sağlayan x değerini bulunuz.
3.
2,6 = x +
y
5
ESEN YAYINLARI
2.
ax + by + 5 = 0
3
5x – 1
2
+
=
x – 1 x + 1 x2 – 1
6.
ax + 3(x – b) = a – 2b
eşitliğinde x ve y 5 ten küçük birer doğal sayı
denkleminin çözüm kümesi reel sayılar kümesi
ise y kaçtır?
ise (a, b) ikilisini bulunuz.
69
9.
2x – 1 x + 4
<
3
2
7.
2x – y + 3 = 0
1<y<7
eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı değeri
olduğuna göre, x in değer alabileceği en dar
kaçtır?
ESEN YAYINLARI
tam sayı aralığını bulunuz.
8.
–1 < a < 2
1<b<3
ise 2a – 3b ifadesinin alabileceği en büyük tam
sayı değeri kaçtır?
70
10.
x2 < x
–1 < 2x + y < 3
olduğuna göre, y nin değer alabileceği en dar
tam sayı aralığını bulunuz.
TEST -
1.
1
x – 3 + 5x = – x + 11
x+1 x
+ = x –1
2
3
5.
eşitliğini sağlayan x kaçtır?
A) –2
B ) –1
C) 0
D) 1
E) 2
A) 3
2.
2 – 3(1 – x) = 2x – (x – 2)
3
2
B)
2
3
C)
1
3
D)
1
2
A) 0
–2( 2 – x ) – 2 x = x – (2 – x )
A) 1
1
C) –
2
A)
D ) –1
E) –2
8.
4.
D) –3
E) – 4
1
4
B)
2
3
C) –
1
2
D) –
4
3
E) –
5
2
x –1
<2
3
lerden hangisidir?
A) (– ∞, 7)
B ) –8
C) –2
eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdaki-
1 3 2 1
– = +
2 x 3 x
A) –6
B) –1
1
B)
2
E) –6
x x+1
1– x
–
= 1–
2
3
2
7.
3.
D) –3
E) 1
ESEN YAYINLARI
A)
C) 9
1 – 2x x – 2
–
=3
5
2
6.
B) 6
C ) –16
D ) –24
E) –30
B ) (– ∞, 6)
D) (7, ∞ )
C ) (– ∞, 5)
E) (5, ∞ )
71
13.
2x – 3
x – 2 x –1
–
=2–
5
15
3
9.
–2 < a < 1
denkleminin çözüm kümesi nedir?
A) {4 }
B ) {10 } C ) {15 }
D ) {40 }
2a – b = 5
olduğuna göre, b nin alabileceği en küçük tam
E) Ø
sayı değeri kaçtır?
A) –8
3
10.
2–
14.
1
x
D ) –5
E ) –4
(x – 3)2 + (y + 2)2 = 0
eşitliğini sağlayan x 2 – y2 kaçtır?
B ) –1
C) 1
A) 1
D) 3
B) 5
C) 7
D) 9
E) 13
E) 5
ESEN YAYINLARI
A) –3
C ) –6
=1
2
1+
B ) –7
3
11.
2
1–
x–5
B) 2
C) 3
A) 1
D ) –1
B) 2
C) 3
D) 5
E) 6
E) –2
16.
2
x
x–2 3
+
+
=
x x –1
x
2
12.
ve (a – 2)·c = 0
olduğuna göre, b kaçtır?
eşitliğini sağlayan, x kaçtır?
A) 1
3a – b
=0
c
15.
=2
(2 – a) x + 2 = x – b
denkleminin çözüm kümesinin sonsuz elemanlı
eşitliğini sağlayan x değeri aşağıdakilerden
olması için (a, b) ikilisi ne olmalıdır?
hangisidir?
A) (2, 1)
A) –2
72
B ) –1
C) 1
D) 2
E) 3
B) (1, 1)
D) (1, –2)
C) (2, –2)
E) (–1, 2)
TEST 1.
4
5.
2( x – 2 ) – 3 (x – 1 ) > –8
x 3 – 2x
eşitsizliğini sağlayan kaç tane pozitif doğal sayı
vardır?
A) 7
2.
–2 ≤ x ≤ 4 olmak üzere,
ifadesinin eşiti en çok kaçtır?
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
A) 68
B) 64
C) 60
D) 56
E) 52
2a + 6b – c = 5
6.
3a + 3b – c = 2
x + 3y = 10
sisteminde a > b koşulunda b nin tam sayı ola-
4x + my = 7
rak alabileceği en küçük değer aşağıdakilerden
3x + y = 6
hangisidir?
A) 2
denklem sisteminin çözüm kümesi bir elemanlı
B) 1
C) 0
D ) –1
E) –2
ise m aşağıdakilerden hangisidir?
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
ESEN YAYINLARI
A) –2
3.
3x + y – z = m
x + 2y + 3z = n
x – z = –t
denklem sistemini sağlayan
A)
4.
1
2
B)
1
3
C) 1
x+y+z
m+n+ t
D) 3
7.
4x + 3y – 2xy – 8 = 0
denkleminden
kaçtır?
y
nin hangi değeri için
hesaplanamaz?
E) 6
x –1 y – 3
+
=1
5
2
A) 0
8.
B)
1
2
C) 1
D)
3
2
E) 2
a.b = 18
a.c = 12
x+3 y+2
+
=2
5
3
b.c = 24
denklem sistemini sağlayan x + y kaçtır?
olduğuna göre, a.b.c ifadesinin eşiti kaçtır?
A) –5
A) 36
B ) –3
C) 4
D) 9
E) 12
B) 48
C) 72
D) 96
E) 144
77
x
9.
13. x·y ≠ 1 olmak üzere,
5x – y – 3z = 36
x2y – 12 = x
4x – 2y – 4z = 25
xy2 + 18 = y
olduğuna göre, x + y + z ifadesinin eşiti kaçtır?
A) 1
B) 5
C) 9
D ) 11
E) 15
A) –
10.
14.
2a – 3b + 2c = 5
2
3
B) –
C) –
3
2
D)
1
3
E)
2
3
3d – 2b – a = –c
2c – d + b = a
olduğuna göre, a + b + c ifadesinin eşiti kaçtır?
B) 9
1
3
2a – b + c = d
a –2b + c = 1
A) 8
x
ifadesinin eşiti kaçtır?
y
eşitliklerini sağlayan
C ) 10
D ) 11
E) 12
a+b+c
d
eşitliklerini sağlayan
ifadesinin eşiti
kaçtır?
11.
2
5
B)
a b + a + b = 11
a2 b + a b2 = 28
olduğuna göre, a.b ifadesinin en büyük değeri
15.
a.b = 5 ,
kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
16.
a<b<c
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) c – b > a
B) a + b > c
C) a.b.c > 0
D) a – c > 0
E) (a – b).( b – c) > 0
78
C) 3
D) 4
E) 5
c
a2
=
2
5
ve
1
b2 c2
=
3
4
olduğuna göre, c kaçtır?
E) 8
A)
12.
5
2
ESEN YAYINLARI
A)
2
15
B)
2
5
C)
1
3
D)
3
5
E) 1
0<a1
a
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
1990 – ÖSS
5.
x , y , z sıfırdan ve birbirinden farklı pozitif tam
a=
sayılardır. Buna göre,
aşağıdakilerden hangisidir?
denklemini sağlayan en büyük z kaçtır?
B ) 33
C ) 32
10
13
7
, b=
, c=
5
11
8
sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı
3 x + 2y + z = 40
A) 34
1990 – ÖSS
D ) 31
A) a < c < b
E) 30
B) a < b < c
D) c < b < a
6.
E) c < a < b
1991 – ÖSS
K + L + M = 34 ve
2.
1990 – ÖSS
A) 1
3.
C) 0
D) 1
E) 2
ESEN YAYINLARI
eşitliği her a , b için doğru ise y kaçtır?
B ) –1
7.
D) 6
E) 8
5
K
+2 =
2
M
x3 – 3x2
olduğuna göre,
farkı en çok kaçtır?
K
nın alabileceği en küçük
değer kaçtır?
C ) 75
D ) 100
E) 125
A) 1
8.
4.
C) 4
1991 – ÖSS
0 ≤ x ≤ 5 olmak üzere,
B ) 50
B) 2
K ve M pozitif tam sayılardır.
1990 – ÖSS
A) 25
K 1
L 1
= ,
=
L 4
M 3
olduğuna göre, L kaçtır?
( 2x – y – 3 )a + (x + y )b = 0
A) –2
C) b < c < a
1990 – ÖSS
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
1991 – ÖSS
a , b , c pozitif tam sayılar,
2a + 3b + 4c = 9
a – b = 1 , a – c = 5 olduğuna göre,
4a + 3b + 2c = 15
a+b+c
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) – 6
A) 9
B) – 4
C) 0
D) 4
E) 6
B) 12
C) 13
D) 14
E) 17
79
9.
1991 – ÖYS
13. 1992 – ÖSS
bc
ca
ab
=1,
=2,
=3
a
c
b
2 – 3x x – 3
–
=3
6
3
olduğuna göre, a2 + b2 + c2 kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D ) 10
E) 11
A) –2
B) –1
C) –
1
2
D) –
1
3
E) –
1
4
10. 1991 – ÖYS
a, b, c negatif tam sayılar,
a b c
= =
7 8 9
14. 1992 – ÖSS
a, b ∈ N ve a2 – b2 = 11
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
olduğuna göre, a2 + b2 toplamı kaçtır?
doğrudur?
A) a < b < c
B) a < c < b
B) 21
C) 25
D) 36
E) 61
E) b < a < c
ESEN YAYINLARI
D) c < b < a
A) 18
C) c < a < b
11. 1991 – ÖYS
15. 1992 – ÖSS
a, b, c birer pozitif gerçel sayı ve
a
4
= =c
–5 b
2a = 3b , 2b = c
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangi-
ve a + b + c = 0
olduğuna göre, c2 kaçtır?
si doğrudur?
A) a < b < c
B) a < c < b
D) c < a < b
C) c < b < a
A) 1
B) 2
C)
5
4
D ) v2
E) v3
E) b < a < c
12. 1992 – ÖSS
16. 1992 – ÖSS
x , y, z sıfırdan büyük birer tam sayı ve
b = 2a , c = 2b , d = 3c , a + b + c + d = 19
3 x + 2y + z = 97
olduğuna göre, y nin en büyük değeri kaçtır?
olduğuna göre, d – a farkı kaçtır?
A) 47
A) 1
80
B ) 46
C ) 45
D ) 44
E) 43
B) 8
C) 9
D) 11
E) 12
17. 1992 – ÖSS
21. 1993 – ÖSS
a
b
c
=
=
–1 –3 –2
a > 0 , b > 0 , c > 0 ve
x, y gerçel sayılar ve
(x – 3)2 + (3y + 48)2 = 0
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
si doğrudur?
A) a < c < b
B) a < b < c
D) b < c < a
A) –15
C) b < a < c
B) –14
C) –13
D) 14
E) 15
E) c < b < a
22. 1993 – ÖYS
18. 1993 – ÖSS
+
a
a
b
c
14
13
b
a–b 3
b
= , 1– = c
a
2
b
11
A)
1
5
B)
2
5
C)
3
5
D)
4
5
E) 1
pozitif tam sayıyı göstermektedir. Buna göre, a
kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
ESEN YAYINLARI
Yukarıdaki toplama tablosunda a, b ve c birer
23. 1994 – ÖSS
xy
x > 0 , y > 0 , z > 0 ve
A) y < x < z
C ) v2
D ) v3
xz
12
C) z < x < y
E) x < z < y
24. 1995 – ÖSS
m bir gerçel olmak üzere,
a, b, c pozitif tam sayılar ve
(m + 3) 2 – 2m (m + 3) + m 2
a.b = 12 , b.c = 60 , a.c = 80
(7 – m) – ( p – m)
olduğuna göre, a kaçtır?
B) 9
B) z < y < x
D) x < y < z
E) v5
20. 1993 – ÖSS
A) 10
6
=
si doğrudur?
x + y + z = 6 , yx + xz = 9
B) 4
yz
19. 1993 – ÖSS
A) 3
4
=
C) 8
=3
eşitliğini sağlayan p değeri kaçtır?
D) 4
E) 2
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
81
25. 1995 – ÖSS
28. 1996 – ÖYS
17
1
<7
p
7
a , b pozitif tam sayılar ve
a.b = 2a + 14
eşitsizliğini sağlayan p doğal sayısının alabilece-
olduğuna göre, b nin en küçük değeri almasını
ği en küçük değer kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
sağlayan a aşağıdaki aralıklardan hangisindeD) 4
E) 5
dir?
A) [ 13, 15 ]
B) [ 10, 12 ]
D) [ 4, 6]
C) [ 7, 9 ]
E) [ 1, 3 ]
29. 1996 – ÖYS
a, b, c birer pozitif sayı ve
26. 1995 – ÖYS
a+b a
< +1
c
c
a, b, c birbirinden farklı pozitif tam sayılar ve
a
+ 1 = c, a + b = 8
b
toplamı kaçtır?
A) 2
B) 3
doğrudur?
nin alabileceği değerler
C) 7
D ) 11
E) 15
ESEN YAYINLARI
olduğuna göre, b
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle
A) c < b
B) b < c
D) b < a
C) a < b
E) a < c
30. 1997 – ÖSS
a, b, c birer doğal sayı ve
2a = 3b , a + c = 2b
27. 1996 – ÖSS
olduğuna göre,
I. 3 x – 5 = 8 – x
kaçtır?
II. 4 x = 13
A) 2
B) 3
a+b+c
c
C) 4
işleminin sonucu
D) 5
E) 6
D) 4
E) 2
Yukarıdaki denklemler özdeştir. II. denklemi
elde etmek için I. denklem üzerinde aşağıdaki
işlemlerden hangisi yapılmalıdır?
A) İki yanına x + 5 eklenmelidir.
B) İki yanına x – 5 eklenmelidir.
C) İki yanına 5 – x eklenmelidir.
31. 1997 – ÖSS
3x +
1
41
(5x – 3) =
2
2
D) Sol yanına x , sağ yanına 5 eklenmelidir.
E) Sol yanına – x , sağ yanına –5 eklenmelidir.
A) 10
82
B) 8
C) 6
32. 1997 – ÖYS
36. 1999 – ÖSS
2
1
+
0, 001 0, 002
=
3
0, 004
a=
5
k
3
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) c 4 ,
<5
c
b
z–v=8
olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük
olduğuna göre, x – 2y – 2z + v ifadesinin değeri
değeri kaçtır?
B ) 12
C ) 20
D ) 32
E) 40
34. 1999 – ÖSS
1–
2
2
ESEN YAYINLARI
kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
38. 1999 – ÖSS
x
2
a ≠ b olmak üzere,
=1
2a +
A) 3
E) b < c < a
a, b, c farklı pozitif tam sayılar ve
y + z = 10
1–
C) a < b < c
37. 1999 – ÖSS
x – y = 22
1–
B) c < a 0
39. 1999 – ÖSS
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her
zaman doğrudur?
A) a.b < 0
öbürünün 4 katına eşittir. Bu sayılardan küçük
B ) a.b > 1
D) a.b > b
Toplamları 77 olan iki sayıdan birinin 3 katı,
C ) a.b 0
a
c>0,
3a – 3b + 4c = 7
2a – 6b + 8c = 2
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlik-
le doğrudur?
A) a + b > 0
B) b > 0
D) a > c
A) 3
C) b > a
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
E) c > b
45. 2003 – ÖSS
41. 2000 – ÖSS
Her x gerçel sayısı için,
1
1
a – = 3 , b – = 12
a
b
olduğuna göre,
1
2
B)
olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır?
b–a
oranı kaçtır?
b
1
4
C)
3
4
3
5
D)
A) 6
E)
42. 2001 – ÖSS
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
x–y
y
<0
D)
B)
x+y
y
y–x
x
>1
>0
E)
C)
x+y
x
x–y
x
<1
<1
43. 2002 – ÖSS
84
1
14
B)
5
14
E) 16
a < 0 < b olmak üzere,
b–a
a
gerçel sayısı veriliyor.
Buna göre, k sayısı aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
4
A) –
3
B) –
2
3
C ) –1
D)
2
3
E)
4
3
x + y = –1
x
aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A)
D) 12
47. 2004 – ÖSS
3
2
<x<
7
7
olduğuna göre,
C) 10
46. 2003 – ÖSS
k=
0< x <y
A)
B) 8
4
5
ESEN YAYINLARI
A)
2x – 4 = ax(x – 1) + bx(x + 1) + c(x2 – 1)
C)
5
6
D)
1
4
E)
1
2
1 1 1
+ =
x y 6
olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?
A) –6
B) –3
C) 1
D) 3
E) 6
48. 2005 – ÖSS
51. 2008 – ÖSS
34 –
a, b, c gerçel sayıları için,
≤ 1 ≤ 56 –
x
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı
a.c = 0
a .b > 0
kaçtır?
a.b < 0
A) 8
3
x
2
B) 9
C) 10
D) 12
E) 15
A) a < c 10
2
olduğuna göre, x in en küçük değeri kaçtır?
A) 10
B) 14
C) 16
D) 17
E) 18
D) 3
E) 2
49. 2006 – ÖSS
0 < x < 1 olmak üzere
ESEN YAYINLARI
a= x
b = x2
c=
1
x
A) a < b < c
B) b < a < c
C) b < c < a
E) c < b < a
a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere
a
a.b = = a – b
b
B) 5
C) 4
54. 2008 – ÖSS
–3 ≤ a ≤ 1
–2 ≤ b ≤ 2
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
B)
1
D)
2
1
+3
x
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 6
50. 2006 – ÖSS
–3
2
1
olduğuna göre,
y+2
x =
y + yx + 2x –
D) c < a < b
A)
53. 2008 – ÖSS
–3
4
olduğuna göre, a2 + b3 ifadesinin değeri hangi
C) 0
aralıktadır?
A) [–17, 17]
2
E)
3
B) [–13, 8]
D) [–7, 7]
C) [–8, 17]
E) [–7, 1]
85
55. 2009 – ÖSS
59. 2010 – YGS
A+B=7
x, y ve z gerçel sayıları için
B+C=9
y>0
C + D = 13
x –y>z
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her
olduğuna göre, A + D toplamı kaçtır?
A) 15
B ) 14
C ) 13
D ) 12
zaman doğrudur?
E) 11
A) x > z
B) x > y
D) x > 0
C) z > y
E) z > 0
56. 2009 – ÖSS
a, b, c, d ve e gerçel sayıları için
60. 2012 – YGS
a<c
a –1 a – 5
=
a–3 a–4
b<d
c<e
b<a
A)
eşitsizlikleri veriliyor.
8
5
B)
13
4
C)
9
4
D)
13
3
E)
11
3
A) a
B) b
C) c
D) d
E) e
ESEN YAYINLARI
Buna göre, bu beş sayının en küçüğü hangisidir?
61. 2012 – YGS
57. 2009 – ÖSS
x ve y gerçel sayıları için
x
= 2 olduğuna göre,
y
–2 < x < 4
olduğuna göre, 1 – x ifadesinin alabileceği en
I. x sıfır olamaz.
büyük tam sayı değeri kaçtır?
II. x ve y nin işareti aynıdır.
A) –3
B) –2
C) –1
D) 2
E) 3
D) 4
E) 7
III. x tam sayıysa y de tam sayıdır.
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
A) Yalnız I
B ) I ve II
D ) II ve III
C ) I ve III
E ) I, II ve III
62. 2012 – YGS
x.y = 14
58. 2010 – YGS
x.z = 20
1
1
– 3a =
+ 3b
2
8
3x + 2y + z = 24
olduğuna göre, a + b kaçtır?
A)
86
3
4
B)
5
6
C)
1
8
D)
5
8
E)
4
9
A)
8
3
B)
14
5
C) 3
63. 2012 – YGS
y
x
z
1
+
=
–
2.3.5 2 2 .3 3 2 .5 10
66. 2012 – YGS
Her a gerçel sayısı için
a =1–a
olduğuna göre, 6 x – 15y + 4z ifadesinin değeri
biçiminde tanımlanıyor.
kaçtır?
Buna göre, x – 2 = 3 x – 1 eşitliğini sağlayan
A) 9
B ) 11
C ) 12
D ) 15
E) 18
x değeri kaçtır?
A)
64. 2012 – YGS
olduğuna göre,
ve
b–c
a–b
I.
1+ y
B)
D)
–2
5
C)
3
5
D)
5
7
E)
2
7
x, y birer gerçel sayı ve –1 < y < 0 < x ise
ifadesinin a, b ve c tü1– x
ründen eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
67. 2012 – LYS
b–c
y=
b+c
b+c
a–b
a–c
b–c
E)
C)
a–b
a+c
ESEN YAYINLARI
a–b
x =
a+b
–1
2
x +y>0
II. x – y > 1
III. x.(y + 1) > 0
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
A) Yalnız I
a+b
b+c
B) Yalnız III
D) I ve III
C) I ve II
E) II ve III
65. 2012 – YGS
60 cevizin tamamı, n tane öğrenciye aşağıdaki
koşullara uygun olarak dağıtılacaktır.
•
Her bir öğrenci eşit sayıda ceviz alacaktır.
•
Her bir öğrenci en az 2, en fazla 10 ceviz
alacaktır.
68. 2013 – YGS
x+y<0<x<y+z
Buna göre, n nin alabileceği kaç farklı değer varA) x < y < z
dır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
B) x < z < y
D) y < z < x
C) y < x < z
E) z < y < x
87
69. 2013 – YGS
a= x
x–y
70. 2013 – YGS
Bir öğretmen; Ali, Banu, Can ve Doğa isimli dört
öğrencisiyle birlikte sınıfta şöyle bir etkinlik yap-
y
b=
x+y
mıştır.
•
olduğuna göre, a + b – 1 ifadesinin değeri
a.b
sayılar sırasıyla A, B, C ve D olsun.
kaçtır?
A) –2
•
B) –1
C) 0
D) 1
Bu öğrenciler aklından birer sayı tutuyor. Bu
Her bir öğrenci kendi sayısını bir kâğıda
yazıp öğretmene veriyor.
E) 2
•
Öğretmen de tahtada yazılı olan aşağıdaki
toplama işlemlerinin sonucunu hesaplıyor ve
eşitliklerin sağ tarafını dolduruyor.
A+B=
ESEN YAYINLARI
B+D=
A+B+C=
Tahtada yazılanlara göre, hangi öğrenciler tek
başına A, B, C ve D sayılarının dördünü de bulmak için yeterli bilgiye sahiptir?
A) Ali, Banu ve Doğa
B) Ali, Can ve Doğa
C) Ali ve Banu
D) Banu ve Can
E) Can ve Doğa
88
. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
MUTLAK DEĞER
1. Kazanım : Bir gerçek sayının mutlak değerini açıklar ve mutlak değer ile ilgili özellikleri gösterir ve
birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulur.
2. ÜNİT
MUTLAK DEĞER
Sayı doğrusu üzerinde herhangi bir a noktasının başlangıç noktasına olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri
denir.
| –3 | = 3
–3
|3| = 3
0
3
x ∈ R için x in mutlak değeri |x| sembolü ile gösterilir ve
Zx , x>0
]
]
|x| = [ 0 , x = 0
]
] –x , x < 0
\
biçiminde tanımlanır.
® Mutlak değer içindeki ifade pozitifse, dışarıya aynen çıkar; negatifse işaret değiştirerek çıkar.
ÖRNEK 1
ÖRNEK 4
Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini bulunuz.
a . | v2 – 1|
a < b < c olmak üzere,
|a – b| + |c – b| – |a – c|
b. | 3 – π |
ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 2
x < 2 olduğuna göre, |x – 2| ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 5
x < 0 olduğuna göre,
–2x
x
ÖRNEK 3
–2 < x < 1 olmak üzere, |x – 1| + |x + 2| ifadesinin
eşitini bulunuz.
Çözüm
90
+
3x
x
Çözüm
Mutlak Değer
|x| ≥ 0 olduğundan,
|x| = |–x| ve |x – y| = |y – x|
|x| ifadesinin en küçük değeri 0 dır.
ÖRNEK 9
ÖRNEK 6
a +2 –a
|2 x – 10|
–a – 3 a
ifadesini en küçük yapan x değerini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 7
A = |x – 3| + |x + 4|
olduğuna göre, A nın en küçük değeri kaçtır?
|a| + |b| = 0 ⇔ a = 0 ve b = 0 dır.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 10
|x – y + 1| + |x + 2| = 0
olduğuna göre, y kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 8
A = |x – 1| + |x + 3| + |x – 5|
olduğuna göre, A nın en küçük değeri kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 11
|a – 1| + |b + 2| + |2c – 6| = 0
denklemini sağlayan a, b, c reel sayılarının toplamı
kaçtır?
Çözüm
91
Mutlak Değer
a ≥ 0 olmak üzere,
x |a.b| = |a|.|b|
|x| = a ⇔ x = a veya x = – a
x
a
a
=
b
b
x |an | = |a| n
ÖRNEK 12
|2 x – 5| = 7
Çözüm
ÖRNEK 15
x
=2
x –1
Çözüm
ÖRNEK 13
3|x – 5| + 5 = 2
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 16
ÖRNEK 14
|
| x – 2| – 3 | = 2
Çözüm
92
|x 2 – 3 x + 2| – 5|x – 1| = 0
Çözüm
Mutlak Değer
ÖRNEK 17
ÖRNEK 19
|x + 1| = 3 – 2 x
|x + 1| = |2 x – 1| – 1
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 18
ÖRNEK 20
|x – 1| = x + 3
Çözüm
x 2 – |x| – 2 = 0
Çözüm
|x| = 0 ⇒ x = 0
ÖRNEK 21
|x – 2| = 2 – x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
93
Mutlak Değer
Mutlak Değerli Eşitsizlikler
ÖRNEK 24
|2 x – 4| ≥ 10
m, n ∈ R+ olmak üzere,
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
x |x| < m ⇒ –m < x < m dir.
Çözüm:
x |x| > m ⇒ x > m veya x < – m dir.
x n < |x| < m ⇒ n < x < m veya n < –x < m dir.
ÖRNEK 22
|2 x – 1| < 5
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
ÖRNEK 23
|x – 1| < 2 x – 3
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 25
x, y ∈ R, | x – 2 | ≤ 1 ve | y – 1| ≤ 2
olmak üzere (x, y) sıralı ikililerinin tümünü kapsayan
geometrik şekli analitik düzlemde çizip alanını hesaplayınız.
Çözüm
94
Mutlak Değer
ÖRNEK 26
n
2 < |x – 4| ≤ 5
xn = *
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
x , n çift
x , n tek
Çözüm
ÖRNEK 29
x < y
olduğuna göre,
x 2 – 2xy + y 2
ifadesinin
eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 27
|x| ≤ 3 ve x – 2y + 4 = 0
ÖRNEK 30
koşullarını sağlayan kaç tane y tam sayısı vardır?
a < 0 < b olduğuna göre,
Çözüm
ESEN YAYINLARI
a 2 + 3 b 3 + 4 (a – b) 4 + 5 a 5
ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm
ÖRNEK 28
2x – 1 – 3
x+2 +3
≤0
eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Çözüm
ÖRNEK 31
(x – 2) 2 ≤ 3
Çözüm
95
ALIŞTIRMALAR
1.
3.
Aşağıdaki mutlak değerli ifadelerin eşitlerini bu-
Aşağıdaki mutlak değerli ifadelerin eşitlerini
lunuz.
bulunuz.
a. |1 – π|
a. 1 < x < 2 ,
b.
|x – 1| + |x – 2|
7 –3 + 7
b. a < b < c ,
|a – b| + |a – c| – |b – c|
c. |– x 2 |
c.
2
1
1
<x< ,
3
2
|2x – 1| + |3x – 1|
d . |–1 – x |
d. x < 0 ,
e. |v3 – v2| – |1 – v3| – 1
Aşağıdaki mutlak değerli ifadelerinin en küçük
değerlerini bulunuz.
a. |x – 2|
f.
4.
b . 2|x – 1|
x
+
2x
x
e. 2 X = 13 , |x – 3| + |x – 4| + 7
ESEN YAYINLARI
2.
–5x
x < 0 < y , |2x – y| – |2y – x| + |–x| + |2y|
kutuya “D ” yanlış olanlar için “Y ” yazınız.
| –a | = | a |
c. 3|x + 1| + 2
|x| > 0
d . |x – 1| + |x + 4|
–| a | ≤ a ≤ | a |
| a.b | = | a | . | b |
e.
|2 x – 1| + |x – 2|
|a + b| = |a| + |b|
a + b
f . |x – 1| + |x + 2| + |x – 4|
96
a+b
ifadesinin en küçük değeri 1 dir.
Mutlak Değer
5.
7.
Sol sütundaki denklemlerin çözüm kümelerini
1
a
|x + 2| = 4
{– 4, 10}
2
b
|2x – 5| = 3
1 ,3
3
3
c
2|x – 1| + 4 = 2
d
x+1
=2
x–1
∅
8.
|3 – x| – 2 = 5
{1, 4}
{– 6, 2}
Aşağıdaki denklemlerin reel sayılardaki çözüm
9.
kümelerini bulunuz.
|x + 1| = 5 – 2 x
c. |x – 4| = 4 – x
|4x – 5y|
ifadesinin en küçük değeri için
x
kaçtır?
y
ESEN YAYINLARI
a. x 2 + 6 |x| – 7 = 0
b.
|x + 1|.|x – 2| = x + 1
4
5
e
6.
|x + 2| – |x – 1| = 3
10. x ∈ R – {0 } olmak üzere,
5–
2x
x
ifadesinin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
d . |x – 3| = |x + 2|
e. |x2 – 4| – |x – 2| = 0
11.
3
2
f . |x | – |x | = 0
|a – 2| = c + 1 ve |b| = – c
olduğuna göre, c hangi aralıkta değer alır?
97
Mutlak Değer
12. Sol sütundaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini
14.
eşitsizliğini sağlamayan kaç tane x tam sayısı
vardır?
1
a
|2x – 1| < 3
(–7, 3)
2
b
( –1, 2)
|1 – x| ≤ 5
3
c
15.
[–2, 2]
3|x – 1| + 4 < 1
|x – 3| > 1
eşitsizliğini sağlamayan
4
d
x
tam sayılarının
toplamı kaçtır?
|x – 6| ≤ 0
∅
5
e
|x2 + 1| ≤ 5
f
| 5 + | x – 2 || ≥ 9
{ 6}
6
|x – 3 | + 4
≤0
|x + 2 | – 5
[ –4, 6]
16.
|3x – 2y| +
x 2 – 6x + 9 = 0
13. Sol sütundaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini
1
a
|x + 2| > 5
R
17. |x| ≤ 2 olmak üzere,
2
b
|1 – x| ≥ 3
ESEN YAYINLARI
( –∞, –7) ∪ ( 3 , ∞)
2x – y = 3
eşitliğini sağlayan
c
1
>3
x–2
3
değerlerinin toplamı kaçtır?
[–1, 5]
4
d
( –3, 0] ∪ [2, 5)
|1 – x| ≥ –2
5
e
1 ≤ |1 – x| < 4
( –∞, –2] ∪ [ 4 , ∞)
6
f
–2 ≤ |x – 2| ≤ 3
(
5 , 7
3
3
( – {2}
18. İnternette bir matematik sitesini ziyaret edenlerin sayısı bir günde 50 ile 80 arasında değişmektedir. Bu durumu mutlak değerli eşitsizliğe
çeviriniz.
98
y nin alabileceği tam sayı
1.
2a =
4.
1
olduğuna göre,
3
5x – 4y + 8 = 0
|a + 1| – |1 – a| + |a + 2|
denklemini sağlayan y tam sayılarının toplamını bulunuz.
||3x| – x| – ||3x| + x|
3.
5.
x ∈ Z olmak üzere,
10 – x
<2
3
a ve b birer tam sayıdır.
2 < |a| < |b| < 8
ESEN YAYINLARI
2.
|x| < 4 olmak üzere,
olduğuna göre, 3a – 4b ifadesinin en büyük
değeri kaçtır?
6.
|2x – 3| = x + 4
99
Mutlak Değer
7.
9.
|3 x – 3| – |2 x – 2| = 4
olduğuna göre,
x
in alabileceği değerlerin
a ∈ R+ olmak üzere,
|4x – 4a| + |2a – 2x| = a ve x in alabileceği
değerler toplamı 14 ise a kaçtır?
ESEN YAYINLARI
toplamı kaçtır?
8.
2 < |1 – x| + |x – 1| < 8
kaçtır?
10.
–6
x+1 –4
eşitsizliğini sağlayan kaç tane
vardır?
100
>0
x
tam sayısı
TEST -
1.
1
Mutlak Değer
5.
x < 0 olmak üzere,
|x| + |–x|
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) –2x
2.
B) –x
C) 0
D) x
A) –2
6.
|a – 2| + |a – 1|
D) 1
E) 2
x, y, z birer reel sayı olmak üzere,
C) 2a + 1
A) 2
E) 3 – 2a
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
ESEN YAYINLARI
D) 2a – 3
C) 0
|x – 2| + (y + 1)2 + (z – 3)4 = 0
B) 1
B) –1
E) 2x
1 < a < 2 olmak üzere,
A) –1
|x – y + 1| + |x + y – 5| = 0
3.
7.
a < 0 < b olmak üzere,
B) –2b
A) –2 < a < 0
C) –2a
B) a < 0
D) a ≤ –2
E) 0
8.
4.
|y| = –a
doğrudur?
D) 2a + 2b
ve
olduğuna göre, a için aşağıdakilerden hangisi
|a – b| + |– a| – |– b|
A) 2b – 2a
|x| = a + 2
a ≠ b ve |a| = |b| olduğuna göre,
3a – b
5a + 3b
a.b ≠ 0 ve
C) a ≥ –2
E) –2 ≤ a ≤ 0
| |a| + b | = 0
olduğuna göre,
a + 2b
–b
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
A) –1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
B) 0
C) 1
D) a
E) b
101
Mutlak Değer
9.
|2 x – 1| = 5
13.
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden
denklemini sağlayan x reel sayıları için aşağıda-
hangisidir?
A) {–2 }
2x – 4
2x – 4
=
5
5
B) {3 }
D) {2, 3 }
kilerden hangisi doğrudur?
C) {–2, 3 }
E) ∅
A) x ≥ 5
B) x ≥ 2
D) x ≤ 5
10.
C) x ≥
5
2
E) x ≤ 2
2|x – 2| –1 = 3
14.
hangisidir?
A) {0 }
B) {2 }
D) {0, 4 }
|x – 3| = 3 – x
denklemini sağlayan
C) {4 }
x
aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
E) {2, 4 }
A) x ≤ 3
B) x < 3
3|x +1| + 5 = 2
15.
hangisidir?
A) {–2 }
B) {0 }
D) {–2, 0 }
C) x > 3
E) x = 3
ESEN YAYINLARI
D) x ≥ 3
11.
reel sayıları için
|x + 2| = |x| + 2
denklemini sağlayan x reel sayıları için aşağıda-
C) {1 }
kilerden hangisi doğrudur?
E) Ø
A) x ≤ –2
B) x ≤ 0
D) x ≥ –2
C) x ≥ 0
E) –2 ≤ x ≤ 0
| 1 – |x| | = 3
12.
hangisidir?
16.
|a| > a ve |b| = b
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesin
A) {– 4, 4 }
B) {–2, 2 }
doğrudur?
C) {0, 1 }
D) {– 4, –2, 2, 4 }
A) a + b > 0
E) {– 4, 0, 1, 4 }
102
B) a + b < 0
D) a – b < 0
C) a.b > 0
E) a – b > 0
TEST -
1.
3
Mutlak Değer
5.
|x + 2| – |x – 3| + 5
ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük
3x + y = 6
değerlerin çarpımı kaçtır?
A) –10
B ) –5
C) 0
|x – 1| < 2
sistemini sağlayan y değerleri aşağıdakilerden
D) 5
E) 10
hangisinin çözüm kümesi olur?
A) |y – 2| < 6
B) |y – 3| < 4
C) |y + 3| < 6
D) |y – 6| < 2
E) |y – 3| < 6
–x + 3
=3
4
2.
6.
|2y – 1| = x
5 ≤ |2x – 3| ≤ 11
sistemini sağlayan y sayılarının toplamı kaçtır?
vardır?
A) –2
A) 3
C) 0
D) 1
E) 2
B) 4
C) 5
D) 6
tam sayısı
E) 8
ESEN YAYINLARI
B ) –1
x
7.
x + |x – 3| < 5
eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdaki-
3.
lerden hangisidir?
|x – 3| + |x + 3| < 9
x
tam sayısı
A) 5
D) (– ∞, 3)
B) 6
C) 7
D) 8
C ) (4, ∞ )
E) (3, ∞ )
E) 9
8.
4.
B ) (– ∞ , 4)
A) (3, 4)
vardır?
|x – a| ≤ b
|2x + 3| ≤ 7
|x – 1| > 0
eşitsizliğinin çözüm aralığı [ –2, 8 ] olduğuna
eşitsizlik sistemini sağlayan kaç tane x tam
göre, a + b kaçtır?
sayısı vardır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
105
Mutlak Değer
3x
–5+
9.
x
13.
–1
|x2 + 2| ≤ 6
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
ifadesinin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
hangisidir?
A) 1
A) [ – 4, 4]
B) 3
C) 5
D) 7
E) 8
B) R – [ – 4, 4]
D) [ –2, 2 ]
14.
|x – 2| 2 – 3|x – 2| = 4
10.
B) 1
C) 2
D) 3
E) R – [ –2, 2 ]
|x + 1| + |x + 2| + y = 3
olduğuna göre, y aşağıdaki aralıkların hangisin-
denkleminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır?
A) 0
de değer alır?
E) 4
A) (– ∞, –2]
B ) (– ∞, –1]
x–2
<0
x+1 –4
E) (– ∞, 2 ]
15. a ∈ Z olmak üzere,
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı
vardır?
A) 5
C ) (– ∞, 0]
ESEN YAYINLARI
D) (– ∞, 1]
11.
C) R
|x – a| < 4
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
28 olduğuna göre, a kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
x 2 – |x| – 6 = 0
12.
|a2 + 4a – 22|
hangisidir?
A) {–2, 2 }
B) {–3, 3 }
D) {–2, –3 }
106
16. a ∈ Z olmak üzere,
C) {2, 3 }
E) {–3, –2, 2, 3 }
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 4
D) 22
E) 26
1.
1987 – ÖSS
5.
a < |a| < a2
9 < |2x – 7| < 13
eşitsizliğinin daima sağlanabilmesi için a hangi
eşitsizliğinin çözüm kümesindeki tam sayıların
aralıkta bulunmalıdır?
toplamı kaçtır?
A) (– ∞, –1)
B) (–12, 5)
D) (0, 1)
2.
1989 – ÖYS
A) 14
C) (–1, 0)
B) 13
C) 12
E) 7
E) (–2, ∞ )
1987 – ÖYS
6.
a = |a| ve b < |b|
1992 – ÖYS
x ∈ R , |x| – 1 = |x – 1|
olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) ab = 1
B) ab > 1
D) ab > 0
hangisidir?
C) ab ≤ 0
A) (– ∞, ∞ )
E) 0 < ab < 1
B) (– ∞, 0)
D) (0, ∞ )
C) [1, ∞ )
E) (0, 1]
ESEN YAYINLARI
3.
D) 10
1987 – ÖYS
|x2 + 1| ≤ 3
ifadesinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangi-
7.
sidir?
A) R
B) R – [ –2, 2 ]
C) [ –2, 2 ]
D) R – [ – v2, v2 ]
1993 – ÖSS
|x| ≤ 3 olmak üzere,
–x + y – 3 = 0
E) [ – v2, v2 ]
denklemini sağlayan y tam sayılarının toplamı
kaçtır?
A) 20
4.
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
1988 – ÖYS
|x| > 1
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
1994 – ÖYS
x ∈ R olmak üzere,
A) (– ∞, 1) ∪ (0, ∞ )
B) (– ∞, 0) ∪ (1, ∞ )
C) (– ∞, 0) ∪ (–1, ∞ )
D) (– ∞, –1) ∪ (1, ∞ )
E) (– ∞, –1) ∪ (0, ∞ )
8.
|4x – 10| + |2x + 5|
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 5
B) 8
C) 10
D) 15
E) 20
107
Mutlak Değer
9.
1998 – ÖSS
13. 2000 – ÖSS
x <0
x + 2|x| – 4 = 0
|x| ≤ 5
eşitsizlik sistemini sağlayan tam sayıların çarpımı kaçtır?
A)
A) –10
B) –12
D) – 6 0
C) –24
4
3
B)
5
4
C)
–16
3
E)
–4
5
C) 0
D ) –12
A) 2
E) –28
ESEN YAYINLARI
B ) 12
11. 1999 – ÖSS
x < 0 olmak üzere,
değerlerinin toplamı
B) 4
C) 5
D) 6
E) 10
15. 2001 – ÖSS
x < 0 < y olduğuna göre,
| x – |x – 8| | – 8
3. x – y
B) –2 x
D) –2 x + 16
x
kaçtır?
kaçtır?
C) – 4x
E) – 4x + 16
y+ x
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) –3 x
B) –3y
D) –3
12. 2000 – ÖSS
C) 3 (x + y)
E) 3
16. 2002 – ÖSS
|x| ≤ 6 olduğuna göre
y < x < 0 olmak üzere,
x – 2y + 2 = 0
x 2 + 4xy + 4y 2 + y – x +
koşulunu sağlayan kaç tane
y
tam sayısı
y
y2
=8
vardır?
108
–8
3
|x – 4| + |x| = 8
olduğuna göre, a + 2b + 3c ifadesinin değeri
A) 7
D)
14. 2001 – ÖSS
|a – 2| + |b – 4| + |c – 6| = 0
A) 16
gerçel sayılarının
E) –120
10. 1998 – ÖYS
A) 28
x
toplamı kaçtır?
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
A) –8
B) –7
C) –6
D) –5
E) –3
Mutlak Değer
17. 2002 – ÖSS
21. 2005 – ÖSS
|x – 2|.|x + 5| = x – 2
eşitliğini sağlayan
x
Sıfırdan farklı a ve b tam sayıları için
değerlerinin kümesi
|b| < a
A) {– 4, –2 }
B) {– 4, 2 }
D) {2 }
a
< –2
b
C) {–2 }
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru-
E) {2, 4 }
dur?
A) a < 0
B) b > 0
D) a + 2b < 0
C) a.b > 0
E) a + 2b > 0
18. 2003 – ÖSS
f ( x ) = |x – 2| – |x| olduğuna göre,
22. 2006 – ÖSS
f ( –1) + f(0 ) + f(1 )
x = | v5 – 3|
toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
A) – 4
B ) –2
C) 0
D) 2
y = |x – 5|
E) 4
z = |y – 2|
ESEN YAYINLARI
olduğuna göre, z kaçtır?
A) v5
B) 2 + v5
D) 10 – v5
C) 4 + v5
E) 5 – v5
19. 2003 – ÖSS
|9 – x 2 | = |x – 3|
olduğuna göre
x
23. 2008 – ÖSS
in alabileceği değerlerin
toplamı kaçtır?
A) –3
|x – 1| + |x| + 3
B ) –2
C ) –1
D) 2
E) 4
A) x + 2
B) 2 x + 2
D) 4 – 2 x
C) 2 x – 2
E) 4
20. 2004 – ÖSS
24. 2008 – ÖSS
x < 0 < y olmak üzere,
x 2 + 2 xy + y 2
Pozitif x gerçel sayıları için |x – 1| < k olması,
y–x
|v x – 1| < 0,1
olmasını gerektiriyorsa k nin alabileceği en
A) x + y
büyük değer kaçtır?
B) x – y
D) – x – y
C) – x + y
E) x y
A) 0,11
B) 0,19 C) 0,25
D) 0,29
E) 0,31
109
Mutlak Değer
25. 2010 – LYS
28. 2012 – YGS
Verilen a, c pozitif ve b negatif gerçel sayıları için
a bir gerçel sayı olmak üzere, sayı doğrusu üzerinde a nın 1 e olan uzaklığı a + 4 birimdir.
a2b > abc + c2
Buna göre, |a| kaçtır?
eşitsizliği sağlandığına göre, aşağıdakilerden
hangisi kesinlikle doğrudur?
A) a = |b|
A)
B) a = c
D) a < c
C) c > |b|
3
2
B)
5
2
C)
7
2
D)
7
3
E)
8
3
E) c < a
29. 2012 – LYS
f(x) = |2x – 5|
g(x) = |x + 1|
26. 2011 – YGS
fonksiyonları veriliyor.
|–1 – 3| + |–2 + 4|
Buna göre, ( g o f )(x) = 3 eşitliğini sağlayan x
A) 8
B ) 10
C) 6
D) 4
E) 2
YINLARI
işleminin sonucu kaçtır?
değerlerinin toplamı kaçtır?
A) –3
B) –1
C) 0
D) 2
E) 5
30. 2013 – YGS
x ve y gerçel sayıları için
27. 2011 – YGS
y–x=1
x bir gerçel sayı ve |x| ≤ 4 olmak üzere,
2 x + 3y = 1
eşitliğini sağlayan y tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
A) –1
110
y – |x – y| = 2
A) 5
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
ÜSLÜ İFADE VE DENKLEMLER
1. Kazanım : Bir gerçek sayının tam sayı kuvvetini açıklar, basit uygulamalarla hatırlatır.
2. Kazanım : Üslü ifadelerin çarpımı, bölümü ve kuvvetleri ile ilgili özellikler cebirsel olarak incelenir.
2. ÜNİT
ÜSLÜ İFADE ve DENKLEMLER
ÜSLÜ İFADE
a ∈ R ve n ∈ Z+ olmak üzere, n tane a nın çarpımı olan an ye üslü ifade denir.
an = a.a........ a
n tane
an ifadesinde, a ya taban, n ye üs veya kuvvet denir.
Üslü İfadelerin Özelikleri
ÖRNEK 2
+
a, b ∈ R ve m, n ∈ Z olmak üzere,
Aşağıda bazı üslü ifadeler sonuçlandırılmıştır.
x
a1 = a , a0 = 1 , 0n = 0 dır.
x
a.an + b.an – c.an = ( a + b – c ).an
®
23.25 = 23+5 = 28
x
an.am = an+m
®
5 4.57.5 –2 = 5 4+7–2 = 59
x
an.bn = ( a.b )n
®
3 4.5 4.16 = 3 4.5 4.24 = (3.5.2) 4 = 304
x
( an )m = an.m = ( am )n
®
12.24.35 = 22.3.24.35 = 22+4.31+5 = 26.36
x
an
= a n–m
am
®
(23 ) 4 = 23.4 = 212
x
an
a n
=c m
n
b
b
®
3 12
= 312–5 = 37
35
( 00 belirsizdir. )
a –n =
x
Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, çift
kuvvetleri pozitiftir. Pozitif sayıların ise tüm
kuvvetleri pozitiftir.
ESEN YAYINLARI
1
a n
b –n
c
m
c
m
=
,
b
a
an
x
İnceleyiniz.
ÖRNEK 3
2.3 4 + 5.34 – 3 4
işleminin sonucu nedir?
Çözüm
ÖRNEK 1
İnceleyiniz.
®
24 = 2.2.2.2 = 16
®
–23 = (–1).23 = –1.2.2.2 = – 8
®
(–2) 4 = (–2).(–2).(–2).(–2) = 16
®
30 = 1
®
(–3) 0 = 1
®
0
2x = a ve 3x = b
olduğuna göre, 24 x ifadesinin a ve b türünden
değeri nedir?
Çözüm
0
–3 = (–1).3 = (–1).1 = –1
112
ÖRNEK 4
Üslü İfade ve Denklemler
ÖRNEK 5
ÖRNEK 8
25 + 25 + 25 + 25
a –2 – b –2
2 3 .2 3
a –1 – b –1
işleminin sonucunu bulunuz.
ifadesini en sade biçimde yazınız.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 6
İnceleyiniz.
®
2 –3 =
®
(–3) – 4 =
–2
3
p=
2
®
f
®
f–
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 9
x = 2 ve y = –1 olduğuna göre,
xy + y
yx – x
ifadesinin sonucunu bulunuz.
Çözüm
–3
3
p =
4
® (2 –2.34)–3 =
®
4
–3 – =
ÖRNEK 10
ÖRNEK 7
2x – 2x – 1
2x + 2x+1
ifadesinin en sade biçimini bulunuz.
İnceleyiniz.
Çözüm
® ( – 2 3 )4 =
® ( – 2 4 )3 =
® ( – 2 3)–2 = 6
113
ÜSLÜ DENKLEMLER
ÖRNEK 14
2m
a ∉ {–1, 0, 1 } olmak üzere,
®
=5
olduğuna göre, 8m
an = am ⇒ n = m dir.
®
– 1
– 1
Çözüm
a ∉ {–1, 0, 1 } ve b ∉ {–1, 0, 1 } olmak üzere
8m
– 1
= (23 )m
– 1
= (2m
– 1 3
) = 53 = 125 bulunur.
an = bn denkleminde; n tek ise a = b
n çift ise a = ± b
ÖRNEK 15
®
n
a = 1 denkleminde,
n = 0 dır. ( a ≠ 0 ise )
(a + 2) 4 = (6 – 2a) 4
a = 1 dir. ( n ∈ R ise )
eşitliğini sağlayan a değerlerini bulunuz.
a = –1 dir. ( n çift ise )
Çözüm
Verilen ifadede üsler eşit ve çift sayı olduğundan,
ÖRNEK 11
22n – 1 = 64
eşitliğini sağlayan n kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
22n – 1 = 64 ⇒ 22n – 1 = 26 ⇒ 2n – 1 = 6
ÖRNEK 12
4
a+1
ÖRNEK 16
(2a – 1)3 = (a + 4)3
eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır?
= 32
Çözüm
eşitliğini sağlayan a kaçtır?
Çözüm
4a + 1 = 32 ⇒ (22)a + 1 = 25 ⇒ 22a + 2 = 25
ÖRNEK 17
(a2 + 3a)5 = (a – 1)10
ÖRNEK 13
eşitliğini sağlayan a kaç olabilir?
9 x – 2 = 27 x + 1
Çözüm
eşitliğini sağlayan, x kaçtır?
Çözüm
9x –
2
= 27 x
114
+1
⇒ (32 ) x
– 2
= (33 ) x
+1
ÖRNEK 18
a ve b tam sayılar x ve y gerçel sayılar olmak
(n + 3)n – 1 = 1
üzere, x ≠ y iken xa = yb ise a = b = 0 dır.
eşitliğini sağlayan kaç farklı n reel sayısı vardır?
Çözüm
ÖRNEK 21
a ve b tam sayılar olmak üzere,
3a – 1 = 5a + b + 1
eşitliğini sağlayan a.b kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 19
(x – 8) x
2
– 4
=1
eşitliğini sağlayan kaç farklı x reel sayısı vardır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 22
(x 2 – 9) x + 3 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
ÖRNEK 20
(x + 2) x
2
– 4
=1
eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 23
2a + 2a + 2a + 2a
= 16
4a + 4a
Çözüm
115
ÖRNEK 24
2x
+ y
= 3 ve 3 x
olduğuna göre,
– y
a > 1 iken an < am ⇒ n < m dir.
=4
2
2
5x – y
+ y x – y
=4
0 < a < 1 iken an < am ⇒ n > m dir.
Çözüm
3x
– y
= 4 ⇒ (2 x
)
ÖRNEK 27
32 x
– 1
< 3x
+ 4
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x doğal sayısı vardır?
Çözüm
Taban 1 den büyük olduğundan,
32 x
– 1
< 3x
+ 4
⇒ 2 x – 1 < x + 4 ⇒ x < 5 tir.
x ∈ { 0, 1, 2, 3, 4 } olup x in alabileceği 5 farklı
doğal sayı değeri vardır.
ÖRNEK 25
ÖRNEK 28
10
(x – 2)
= (2 – x)
x
e
eşitliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
2 x+2
2 2x – 1
<e o
o
5
5
eşitsizliğini sağlayan en büyük x tam sayısı kaçtır?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 29
e
4 n – 2 27
≤
o
9
8
eşitsizliğini sağlayan n reel sayıları hangi aralıkta
değer alabilir?
ÖRNEK 26
3.2
a+2
Çözüm
+2
a+3
= 80
eşitliğini sağlayan, a kaçtır?
Çözüm
116
ÖRNEK 30
ÖRNEK 33
a = 7 – 8 , b = 7 –10 , c = 7 –12
27 a = 32
sayıları arasındaki sıralama nedir?
8 b = 81
Çözüm
olduğuna göre, a.b kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 34
2 a .3 b = 108
ÖRNEK 31
a = 336 , b = 260 , c = 524
2 b .3 a = 12
olduğuna göre, a + b kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
4
ax = by
au = bv
4
⇒
x y
=
u v
dir.
ÖRNEK 35
a > 1 olmak üzere,
ÖRNEK 32
3x = 4
3y = 8
Çözüm
4 olduğuna göre,
x+y
y–x
x = (a2 )3 , y = a (2
kaçtır?
3)
, z = (a3 )2
Çözüm
x = (a2 )3 = a2.3 = a6
y = a (2
3)
= a8
z = (a3 )2 = a3.2 = a6
olduğundan x = z < y bulunur.
117
ALIŞTIRMALAR
1.
4.
Aşağıdaki işlemler doğruysa boş kutulara “ D ”
Aşağıdaki ifadelerin sonucunu bulunuz.
yanlışsa “Y” yazınız.
4x + 4x + 4x
2x + 2x + 2x
a.
33.34 = 312
24.34.44 = 244
b.
23.24.25 = 212
41.42.43 ...... 420 = 2420
2x + 2x+1 + 2x – 1
2x + 2x – 1 + 2x – 2
c.
2a + 2a + 2a = 23a
2a – 1.31 – a = e
2 a –1
o
3
5.
a. a3.a2.a
b . ( –5)2.(–5 )3.(–5 )4
Aşağıdaki eşitliklerin her birinden x değerlerini
bulunuz.
Aşağıdaki ifadelerin sonucunu bulunuz.
ESEN YAYINLARI
2.
3 x . 3 x .3 x
27 x + 27 x + 27 x
a. 2 x + 2 x – 1 + 3.2 x + 1 = 15
b. 3 x + 3 x + 1 – 3 x – 2 = 35
c. 2a3. (2a )3.4a–1
d . ( 3 + 3–1 )–1
c.
4 x .2 x – 1
81+x
=
1
16
e. ( –1)1 + (–1 )2 + (–1 )3 + ... + ( –1 )145
f.
–2 2
–5
d.
3 3
( –a ) .(–a ) .(–a )
5
2
2x + 2x – 1 – 2x+2
4x + 4x+1
=–
1
2
1
g . 16 4 + 8 3 – 64 3
6.
3.
x ∈ Z ve y ∈ Z olmak üzere,
x = –2 ve y = 2 olduğuna göre,
xy
–y
yx
– xy
118
5x – y + 4 = 3x + y + 2
ise
x+y
x–y
7.
2 x = a ve 3 x = b ise sol sütunda verilen ifade10.
lerin eşitlerini sağ sütundan bulup eşleştiriniz.
1
a
2
3
a
2
6 –x
4
d
5
(0,5)x + 1
x+y
x–y
oranı nedir?
5a = 8 ve 5b = 64
olduğuna göre,
a+b
a
12
a2b
6
f
11.
1
a
121 – x
e
olduğuna göre,
1
2a
4x – 1
c
4 y = 27
4
a2
4
2x – 1
b
2x = 9
(0,3 ) x
1
ab
12.
3 x – 1 = 4 ve 2 x + 2 = 20
8.
Aşağıdaki işlemler doğruysa boş kutulara “ D”
yanlışsa “Y” yazınız.
2.1020 sayısı 21 basamaklıdır.
ESEN YAYINLARI
olduğuna göre, 12 x ifadesinin eşiti kaçtır?
13.
a = 2n – 1 ve b = 2 – n
+ 1
olduğuna göre, a nın b türünden değeri nedir?
1010 sayısı 10 basamaklıdır.
45.253 sayısı 8 basamaklıdır.
48.15.25.50 sayısı 6 basamaklıdır.
0,2.0,5.106 sayısı 6 basamaklıdır.
14.
x = 2n + 1 ve y = 4n – 1
olduğuna göre, y nin x cinsinden değeri nedir?
9.
e
b
125
4 a
o =f
p
25
8
a
olduğuna göre,
b
15. 2.3a + 22 + b = 22
3a – 3.2b = –9
4 olduğuna göre, a.b kaçtır?
119
3 x .52y = 75
16.
22.
25 x .3y = 625
olduğuna göre a, b, c yi küçükten büyüğe doğru
sıralayınız.
olduğuna göre, x – y ifadesinin eşiti kaçtır?
2a = 6 ve 2b =
17.
16
9
23.
24.
=4
olduğuna göre, 3
–2
=1
(2x + 1)6 = 512
x a = 3 , 3b = 2 ve 2c = x 7
19.
2–x
a
olduğuna göre, a.b.c ifadesinin eşiti kaçtır?
ESEN YAYINLARI
18.
(x + 1) x
olduğuna göre, 2a + b ifadesinin eşiti kaçtır?
a –1
12 a
a = 224 , b = 316 ve c = 512
25.
(2x – 8)6 = (8x – 2)6
olduğuna göre, x in alabileceği en büyük değer
nedir?
2a = 10 , 3b = 75 , 5c = 350
20.
olduğuna göre,
a, b, c
yi küçükten büyüğe
26.
doğru sıralayınız.
f
x–4
2
p
3
<f
x+1
9
p
4
eşitsizliğini sağlayan en küçük x tam sayısı
kaçtır?
3a = 32
21.
5b = 26
7c = 14
olduğuna göre, a, b ve c yi sıralayınız.
120
27.
2a ≤ 1
ve
3a >
1
90
eşitsizliklerini sağlayan kaç tane a tam sayısı
vardır?
1.
x = 2 ve y = –1 olduğuna göre,
1
4.
xy + y
3 x +1 = 5
olduğuna göre, 25 x ifadesinin eşiti kaçtır?
yx – x
(– a – 2) – 3 . (– a 2) – 2 . (a –1) 4
– a – 3 . (– a) –1
3.
5.
A = 2 x + 1 ve B = 5 x – 1
olmak üzere, A.B = 400 ise x kaçtır?
ESEN YAYINLARI
2.
3 n + 1 . 4 3n
3n – 1 8n+3
= 72
6.
2 2 .2 2 .2 2
22 + 22 + 22
=
3x+3
2x
121
3x – y = 4x
7.
16x – y = 3y
9.
olduğuna göre, 6 x
y
x
olduğuna göre,
+
y x
122
+1
ifadesinin a ve b cinsin-
den değeri nedir?
ESEN YAYINLARI
3x – 3y 1
=
3x + 3y 2
8.
2 x = a ve 3–x = b
10.
(2x + a)2 = (b – x)2
denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı 4
olduğuna göre, a2 – b2 kaçtır?
TEST 1.
1
2–1 + 20 + 2
5.
A) 6
B)
5
2
C)
7
2
D)
9
2
ifadesinin yarısı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 410
E) 8
6.
2.
810
e–
221 – 220
B ) 22
D ) 211
D ) 25
E ) 229
1 3
o . (–2 4)
2
E) 220
A) –2
B) –
1
2
C) 1
D) 2
E)
1
2
ESEN YAYINLARI
C ) 210
C ) 45
A) 2
B ) 85
3.
7.
( –a)5·(–a4 )
e
çarpımının sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
bölme işleminin sonucu aşağıdakilerden hangi-
A) – a9
sidir?
B ) a9
C ) a–9
D ) a–1
E) a
A) 24
4.
1 2
1 6
o :e – o
2
2
2a+1
8.
2a – 1
B)
3x – 3 =
1
23
C) –
1
23
A ) 2a
A) 1
C ) 2–a
D) 2
E) 4
E ) –24
D) 4
E) 5
1
9
B ) 22a
D ) –23
B) 2
C) 3
123
9.
13.
a pozitif bir sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden
hangisi negatiftir?
–2
eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
3
B ) – ( –a )
A) a
42.84.163 = 2 x
D) a–1
C) –a
–3
A) 25
B) 26
C) 27
D) 28
E) 29
E ) (–a )2
14. 3a = 4 olduğuna göre,
a x – 1 = 3 ve ay + 1 = 9
10.
9a – 1 $ f
olduğuna göre, 2 x – y kaçtır?
A) –2
B ) –1
C) 1
D) 2
2
3
p
4
E) 3
B) 0
C) 1
D) 2
E) 4
ESEN YAYINLARI
A) –1
n+1
11.
6
=3
olduğuna göre, 2n ifadesinin eşiti kaçtır?
A) 2
B) 3
C)
1
3
D)
1
2
E)
ifadesinin sadeleşmiş şekli nedir?
3
2
a = 2 x –1 ve b = 4 x –1
12.
2x+y+3 – 2x+3
2x+y – 2x
15.
n+2
A) 8
16.
f
olduğuna göre, b nin a cinsinden değeri nedir?
A) a2
B) a2 + a
D) a + 1
124
C ) a2 + 2a
E) a + 2
B) 4
C) 2
D) 2 x
E) 2x + y
D) –1
E) –3
1
1
– 1 p: f x + 1 p = 2
9x
3
olduğuna göre x kaçtır?
A) 3
B)
1
3
C) –
1
3
TEST -
4
3a = 2 , 2b = 5 ve 5c = 312
1.
5.
(–a)7.(–a4 ).(–a)–2
olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaça eşittir?
A) 3
A) –a11
B) 6
C ) 12
D ) 24
E) 60
B ) a11
D) –a9
C ) a9
E ) a7
3 x = 5 ve 3y = 45
2.
2x
6.
olduğuna göre, 5 y – 2 ifadesinin eşiti kaçtır?
A)
1
25
B)
1
5
C) 1
D) 5
3a + 3–a = p
olduğuna göre, 9a + 9–a ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
E) 25
A) p2 + 2
B) p2
E) 2p
ESEN YAYINLARI
D) 2p – 2
C ) p2 – 2
f
3.
–2x + 5
81
p
16
=f
3x + 10
2
p
3
7.
olduğuna göre, x reel sayısı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
1– ax
1 – a –x
E) 6
A) –a–x
2a – 1 = 5 x ve
4.
olduğuna göre,
a
b–2
b–1
B)
D) 2 + 2b
C ) a–x
D) 1
E ) –a x
b = 1 – 5–x
nın
b
cinsinden değeri
A)
B) ax
2–b
2 – 2b
8.
2 x + 3 – 2 x + 2 + 2 x + 1 – 2 x = 20
olduğuna göre, 9 x ifadesinin eşiti aşağıdakiler-
C ) 2 – 2b
E ) 2b – 1
den hangisidir?
A) 81
B) 9
C) 3
D)
1
3
E)
129
1
9
25 10
A) 25
B ) 20
4 3 . (–2) –2
10.
(–a2 )3.(–a–3 )–1.(a–2 )3
13.
2.5 22 – 9.5 21
9.
63
:
C ) 15
D ) 10
(–3) 2 . (–1) –1
olduğuna göre,
1
D)
6
A)
1
E)
4
7
3
B)
x+y
x–y
7
4
C) 7
D) –
7
4
E) –
7
3
ESEN YAYINLARI
1
C)
8
E ) a3
5 x = 4 ve 25y = 8
14.
(–2) 3
1
B)
10
D ) a4
E) 5
1
A)
12
B) –a–3 C ) –a4
A) 1
2
11.
1 – y.x –1
–
B) 0
C) 1
D) 2
E)
A) 36
130
B) 2
C) 3
D) 4
B) 68
3x+1
16.
olduğuna göre, 2a – b ifadesinin eşiti kaçtır?
A) 1
ax – bx = 5
C) 72
D) 108
E) 144
D) 1
E) 2
x
y
9
2a = 3 ve 2b =
8
12.
ve
olduğuna göre, ( ab) x ifadesinin değeri kaçtır?
x.y –1 – 1
A) –2
a2x + b2x = 169
15.
2
E) 5
(0, 1) x
=
81
27 x
A)
1
2
B)
3
2
C)
2
3
1.
1988 – ÖSS
2
x +1
5.
x
+ 6. ( 2 ) + 4. ( 2
x –1
x – a = 2 olduğuna göre
) = 80
(x2a – 1 )–1
denkleminin çözümü nedir?
A) 1
B) 2
C) 3
1992 – ÖYS
D) 4
ifadesinin x türünden değeri nedir?
E) 5
A) x
2.
B ) 2x
–1
E ) 5x
D) 3
E) 9
3
H
6.
1992 – ÖSS
1
a
=3
b
ifadesinin kısaltılmış biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
1
B)
23
1
1
C)
23
26
D ) –2
3
E) 2
1990 – ÖSS
2 3
1
9
A) –
7.
3 2
5
3( a ) – 2 (a ) – a
hangisidir?
B ) a6
D) a6 – 2a5
C ) a6 – a5
8.
C ) –1
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
1
5
E) 1
1993 – ÖSS
3 2 + (–2) 3
1, 2.10 – 4
(–1) 4 + 2 2
B ) 10–1
D) 10
1
3
1992 – ÖYS
A) 4
0, 9.10 – 3 + 0, 03.10 – 2
B) –
olduğuna göre a kaçtır?
E ) 2a6 – 3a5
1992 – ÖSS
A) 10–2
ve
n ve a sıfırdan farklı birer gerçel sayı ve
J
Nn
1
K
O
12 n .n = K 2a.n n O
K
O
L
P
ifadesinin kısaltılmış biçimi aşağıdakilerden
A) 0
b n
e o = 27
a
olduğuna göre n kaçtır?
3
ESEN YAYINLARI
A) –
4.
D ) 4x
1989 – ÖSS
>f – 1 p
2
3.
C ) 3x
C) 1
E ) 102
A) –
1
5
B ) –1
C)
17
5
D)
131
9.
1993 – ÖSS
2 93
–
13. 1994 – ÖYS
2 92
x 2 – y2 = 15 ve
2 94
1
A)
4
1
B)
8
4x – y
= 16
4y – x
1
C)
16
1
D)
32
1
E)
64
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
10. 1993 – ÖSS
14. 1994 – ÖSS
5 x = 4 olduğuna göre
6x + 1 = 3x + 2
( 125 ) x + 5 x + 2
olduğuna göre 2 x + 1 ifadesinin değeri kaçtır?
B ) 116
C ) 104
D ) 84
A) 1
E) 24
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
ESEN YAYINLARI
A) 164
11. 1994 – ÖSS
15. 1995 – ÖSS
4.10 –3 + 3.10 – 4
10 – 4
5
(0, 027) 3 .10
A) 0,43
B ) 4,3
D) 430
C ) 43
A) 3–3
E ) 4300
5
B ) 35
D) 34.10
C ) 33.10
E) 34.102
12. 1994 – ÖSS
m , n birer tam sayı ve e
m
1
o = 8 olduğuna
n
99 sayısının
göre m + n toplamı kaçtır?
A) –1
132
B ) –2
C ) –3
16. 1995 – ÖSS
D ) –4
E) –5
A) 319
1
ü aşağıdakilerden hangisidir?
3
B ) 317
C ) 36
D ) 35
E ) 33
17. 1995 – ÖSS
a – 1
2
21. 1996 – ÖYS
4
x = (23 )4 , y = 2 (3 ) , z = (212 )3
=4
olduğuna göre 4a – 1 ifadesinin değeri kaçtır?
olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi
A) 8
doğrudur?
B ) 16
C ) 32
D ) 64
E) 128
A) z < x < y
B) z < y < x
D) x < y < z
18. 1996 – ÖSS
f
0, 018
0, 006
=
(27) 1– a
(2 –1 + 20 ) –2.32
B ) –3
C)
1
2
D)
1
3
E)
A) 2
1
4
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
D) 14
E) 12
D) 5
E) 6
ESEN YAYINLARI
A) –4
E) x < z < y
22. 1997 – ÖSS
a+1
p
C) y < x < z
19. 1996 – ÖSS
23. 1997 – ÖSS
2 x = a ve 3 x = b
olduğuna göre, 72
x
3n+1 + 3n
ifadesinin a ve b türün-
den değeri aşağıdakilerden hangisidir?
3 3
3 2
A) a b
2 2
D) a b
2n – 2n – 1
2n – 2
2 3
B) a b
2.3 n – 2
+
C) a b
A) 20
B) 18
C) 16
E ) ab
20. 1996 – ÖYS
24. 1998 – ÖYS
2 4 .10 3
14 a + 14 a
= 32
7a + 7a + 7a + 7a
6 + 3.2 – 4 + 5.2 – 4 + 3.2 –1
A) 1600
B ) 2000
D) 4000
C ) 2500
E ) 8000
A) 1
B) 2
C) 4
133
25. 1999 – ÖSS
a=
b
3
29. 2001 – ÖSS
x > 0 ve a = 2 x olduğuna göre
ve ab = 224
4x+1 – 4
olduğuna göre a.b çarpımı kaçtır?
A) 12
B ) 24
C ) 36
D ) 48
2x+1 – 2
E) 60
ifadesinin
a
türünden eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 2(a + 1)
B) 2a + 3
D) 3a – 2
C) 3(a – 2)
E) 3(a + 2)
26. 1999 – ÖSS
3.2 x + 2 + 4.2 x = 8
A) 2
B) 1
C) 0
30. 2002 – ÖSS
D ) –1
a = 9 x + 5 ve b = 3 – 3 x
E) –2
olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi a ya
eşittir?
B) b2 – 3b
ESEN YAYINLARI
A) 3 – b
27. 2001 – ÖSS
–3
>f – 1 p
2
H
2
A) –
1
1
B) –
C ) 16
32
16
D) b2 – 6b + 7
C) b2 + 4
E) b2 – 6b + 14
31. 2003 – ÖSS
D ) 32
E) 64
48
4 – 4 x + 3 x .4 x + 1 =
12 1– x
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
28. 2001 – ÖSS
3m = a
32. 2004 – ÖSS
7m = b
olduğuna göre ( 147 )m nin a ve b türünden
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1 2
a .b
3
D) ab
134
C ) a2b2
B ) ab
2
2
E) a b
2
1 –
e– o 3
8
sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 4
B) 2
C)
3
16
D) –
1
1
E) –
12
4
33. 2004 – ÖSS
37. 2006 – ÖSS
4 2m – 1 > f
x ≠ 1 olmak üzere,
22x + y – 2 x + y + 1 – 2 x + 2 = 0
olduğuna göre,
x
ile
y
eşitsizliğini sağlayan en küçük m tam sayısı
arasındaki bağıntı
kaçtır?
A) 2 x + y = 0
B) 2x – y = 0
D) x – y = 0
m+7
1
p
16
A) – 4
C ) x + 2y = 0
B) –3
C) –2
D) 1
E) 2
E) x + y = 0
38. 2007 – ÖSS
1 den farklı a ve b pozitif gerçel sayıları için
ab = ab
34. 2005 – ÖSS
a
= a2b
b
2 12 + 2 13
2 14 – 2 15
3
2
4
B)
C)
A)
5
4
3
3
4
B) –
4
3
C) –
3
2
D)
2
3
E)
3
4
ESEN YAYINLARI
A) –
35. 2005 – ÖSS
D)
5
6
E)
6
7
39. 2009 – ÖSS
3m = 2 olduğuna göre
a, b, c gerçel sayıları için
32m + 1
2a = 3
b
3 =4
A) 5
B) 9
C) 12
D) 15
E) 18
4c = 8
olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
40. 2009 – ÖSS
x, y, z ve t sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak
üzere,
3 x = 5y
3z = 5t
36. 2006 – ÖSS
3 20 – 3 10
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
_ 3 5 + 1 i_ 3 5 – 1 i
A) 1
B) 9
C ) 35
D ) 310
E) 315
A) x + y = z + t
B) x – y = z – t
C) x – z = t + y
D) x y = zt
E) x t = yz
135
41. 2010 – YGS
3n
( 16)
45. 2011 – LYS
3
– (0, 25) –2
0, 2
5
=8
olduğuna göre, n kaçtır?
3
A)
2
3
C)
5
4
B)
3
5
D)
4
5
E)
6
A)
C)
1
15
D) –1
E) –3
3 –2 – 2.3 –3
A) 1515
B) 1514
C ) 14.1513
A)
E) 1613
ESEN YAYINLARI
D) 10.1613
43. 2011 – YGS
1
B)
2
3
C)
1
4
D)
2
9
E)
4
9
47. 2012 – YGS
2 x – 2 – y (2 x + y – 2)
–1
B) 6
1
3
x ve y birer gerçel sayı olmak üzere,
4 2 + (– 8) 3 – 1
A) 2
3
10
6 –2 – 4.6 –3
1513 + 6.1513 + 8.1513
2
B)
46. 2012 – YGS
42. 2010 – YGS
1
–2
5
C ) –1
D) 0
E) –2
A) 2x + 1
B ) 2y – x
D) 2 – 2y
C) 2 – y + 1
E ) 22y – 1
44. 2011 – YGS
12a = 2
48. 2012 – LYS
3x
6b = 3
olduğuna göre,
12 (1
– a)2b
ifadesinin değeri
kaçtır?
A) 15
136
2 2x
=
1
5
1
olduğuna göre, 5 x ifadesinin değeri kaçtır?
B ) 16
C) 9
D) 8
E) 4
A)
3
2
B)
4
3
C)
9
4
D)
9
5
E)
5
6
49. 2013 – YGS
2 –2
4
–1
+ 1–1
m
= 13 –1
olduğuna göre, m kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
50. 2013 – YGS
2.(0,2)3 + (0,4)3
A) 0,06
B) 0,08
E) 0,14
ESEN YAYINLARI
D) 0,12
C) 0,1
51. 2013 – YGS
x ve y gerçel sayıları için,
2x = 6x + y – 1
olduğuna göre, 3x in y türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 31–y
B) 61–y
D) 9–y
C) 6y
E) 91+y
137
ESEN YAYINLARI
138
. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
KÖKLÜ İFADELER
1. Kazanım : Kareköklü ifadeleri açıklar, özelliklerini belirtir ve uygulamalar yapar.
2. Kazanım : Bir gerçek sayının rasyonel sayı kuvvetini örneklerle açıklar, köklü ifadelere ait işlemlerin özelliklerini üslü ifadelerin özelliklerinden yararlanarak gösterir ve uygulamalar yapar.
2. ÜNİT
KÖKLÜ İFADELER
n. Dereceden Kök
n , 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere, x n = a denklemini sağlayan x sayısına, a nın n. dereceden kökü
denir ve x =
n
a şeklinde gösterilir.
Zn
] a
® x =a ⇒ x = [
] !n a
\
, n tek
n
®
x
2
a = a 2. dereceden ( kare) kök a
x
3
a 3. dereceden ( küp) kök a
x
4
a 4. dereceden kök a diye okunur.
∀ n ∈ Z+ ve a ∈ R+ için
3,
Örneğin,
®
3
5,
4
n
1
,
2
a ∈ R dir.
5
0, 07 sayıları birer reel (gerçel) sayıdır.
n pozitif tek tam sayı ve b ∈ R– için
Örneğin,
®
, a ≥ 0 ve n çift
3
–2 ,
3
–4 ,
7
–2 ,
4
–3 ,
b ∈ R dir.
– 0, 5 sayıları birer reel (gerçel) sayıdır.
n pozitif çift tam sayı ve c ∈ R– için
Örneğin,
n
– 0, 1 ,
6
n
c ∉ R dir.
–7 sayıları birer reel (gerçel) sayı değildir.
ÖRNEK 1
A=
ÖRNEK 2
x –2 +3 x+5 +4 5– x
A=
x+4 +4 6– x
olmak üzere A bir reel sayı ise x in değerler aldığı
olmak üzere A bir reel sayı ise x in aldığı tam sayı
aralığı bulunuz.
değerlerinin toplamını bulunuz.
Çözüm
Çözüm
140
Köklü İfadeler
Köklü İfadelerin Özellikleri
ÖRNEK 3
A=
2 – x + 3. x – 2
3
x+1
x
1
n
a = an
n
a
olmak üzere A bir reel sayı ise x kaçtır?
x
Çözüm
x
x
ÖRNEK 4
m
m
=an
an = *
n
a
, n tek ise
a
, n çift ise
^ n a hm = n a m
a m = n.k a m.k , ( k ∈ Z + )
x
n
x
a. n b = n a n .b , ( n çift ise a > 0 olmalıdır. )
x
n
x . n y = n x.y
n
x
n
y
Aşağıdaki denklemlerin, reel sayılarda çözüm küme-
2
3
a. x = 3
b. x = 5
c . x 4 = 10
d . x 3 = –7
e . x 2 = –5
f. x 6 = –2
Çözüm
ESEN YAYINLARI
lerini bulunuz.
x
x
x
=n
x
, (y≠0)
y
x. n a + y. n a – z. n a = (x + y – z) . n a
n m
a = n.m a
ÖRNEK 5
Aşağıda yapılan işlemleri inceleyiniz.
4
5 =
®
®
5
a
10
=
2
®
23 =
®
32 =
1
141
Köklü İfadeler
ÖRNEK 6
a ≥ 0 olmak üzere,
n
a n = a dır.
1
®
10 2 =
®
4=
ÖRNEK 9
22 = 2 = 2
Aşağıda bazı köklü ifadeler sonuçlandırılmıştır.
İnceleyiniz.
(–2) 2 = –2 = 2
®
25 =
®
8=
52 = 5
®
3
®
4
(–5) 4 = –5 = 5
®
4
81 = 4 3 4 = 3
®
5
64 = 5 2 5 .2 = 2. 5 2
®
4
48 = 4 2 4 .3 = 2 4 3
6
x 8 = 2.3 x 2.4 = 3 x 4
®
(–2) 3 = –2
®
2 2 .2 = 2 2
ÖRNEK 10
ÖRNEK 7
12 + 27 –
48
işleminin sonucu bulunuz.
ESEN YAYINLARI
14 + 1 + 9
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 11
a < 0 < b olduğuna göre,
4
ÖRNEK 8
0, 09 + 1, 21 –
142
(a – b) 2 + b 2
0, 64
işleminin sonucu bulunuz.
Çözüm
a4 –
Çözüm
4
a4 = | a | = – a
Köklü İfadeler
ÖRNEK 12
ÖRNEK 14
0, 49 –
1 < x < 2 olduğuna göre,
0, 16 + 1, 44
x 2 – 2x + 1 + x 2 – 4x + 4
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 15
ÖRNEK 13
( 5 – 3) 2 + 3 ( 3 – 2) 3 + 4 ( 5 – 2) 4
Çözüm
ESEN YAYINLARI
2+
7
+
9
7+
1
9
Çözüm
v5 < v9 ⇒ v5 < 3 ⇒ v5 – 3 < 0 olacağından
ÖRNEK 16
x 2 – 6x + 9 = 3
Çözüm
143
Köklü İfadeler
ÖRNEK 17
ÖRNEK 19
®
®
3
2 . 3 4 = 3 2.4 = 3 8 = 3 2 3 = 2
27
®
3
3
®
=
2. 3 =
3.2
2 2 .2 = 2.2 2 2 .2 = 4 8
2 2 =
3
24 2 =3
4
3
52 4 5 =
3 4
2 4 .2 = 3.4 2 4 .2 = 12 32
5 2.4 .5 = 3.4 5 8 .5
4 3
2 2 =
2 . 3 5 = 6 2 . 3.2 5 1.2
ESEN YAYINLARI
6
5 = 3.2 5 = 6 5
2 1.2 . 2.3 3 1.3
®
®
3
®
®
®
2 = 2.2 2 = 4 2
®
12 . 3 = 12.3 = 36 = 6
®
ÖRNEK 20
a = 2, b = 3 3,
c=6 6
sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
®
4
3
3
4
Çözüm
=
ÖRNEK 18
(2 + 3 ) (4 –
3)
Çözüm
ÖRNEK 21
a = 3 ve b = 5 ise
180
ifadesinin a ve b türünden değeri nedir?
Çözüm
144
Köklü İfadeler
Paydanın Rasyonel Yapılması
ÖRNEK 22
Çarpımları rasyonel sayı olan iki reel sayıdan her
x + 1 + – (x – 3) 2 – 2x
birine diğerinin eşleniği denir.
ifadesi bir reel sayıya eşit olduğuna göre, bu sayıyı
bulunuz.
( va – v b).( va + v b) = a – b olduğundan
Çözüm
va – v b
ile
va + v b eşlenik ifadelerdir.
Aşağıdaki tabloda sıklıkla kullanacağımız bazı ifadeler ve eşlenikleri verilmiştir. İnceleyiniz.
x
m
m
an
a+ b
y
x.y
am–n
a
a– b
a–b
3
a +
3
b
3
a2 –
3
a.b +
3
b2
a+b
3
a –
3
b
3
a2 +
3
a.b +
3
b2
a–b
ÖRNEK 23
bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
6v3 sayısının bulunduğu en dar tam sayı aralığını
ÖRNEK 25
Aşağıda verilen bazı köklü ifadelerin paydaları rasyonel yapılmıştır. İnceleyiniz.
1
®
3
=
ÖRNEK 24
47.51 + 4
6
®
2
=
Çözüm
5
®
®
3
2
4
=
5
8
=
145
Köklü İfadeler
ÖRNEK 26
ÖRNEK 29
2 6
Aşağıda verilen bazı köklü ifadelerin paydaları rasyonel yapılmıştır. İnceleyiniz.
®
®
®
1
5+ 3
2
7 –2
ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.
=
1
3–
2+ 3+ 5
2
Çözüm
=
=
ÖRNEK 27
1
3+ 2
+
1
ÖRNEK 30
2 –3
Aşağıdaki ifadelerin paydasını rasyonel yapınız.
ESEN YAYINLARI
ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 28
1
6 + 11
ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.
Çözüm
146
a.
1
4
Çözüm
3 +1
b.
2
3
3 –1
Köklü İfadeler
ÖRNEK 34
a + 2 b veya
m+n = a
m.n = b
a – 2 b ifadeleri için,
9–4 5 –
4 olacak şekilde m, n ∈ R varsa
+
5
Çözüm
a+2 b =
a–2 b =
m+ n
m–
n
eşitliklerini yazabiliriz.
ÖRNEK 31
5+2 6
Çözüm
ÖRNEK 35
3+ 5
ÖRNEK 32
8–
60
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 36
4
ÖRNEK 33
4+2 3 + 4–2 3
49 – 20 6
Çözüm
Çözüm
147
Köklü İfadeler
Sonsuz Kökler
®
®
ÖRNEK 39
n
x n x n x… = n – 1 x
n
x: n x: n x: … = n + 1 x
56 + 56 + 56 + …
Çözüm
®
x. (x + 1) + x. (x + 1) + ... = x + 1
®
x. (x + 1) –
x. (x + 1) – ... = x
ÖRNEK 37
Aşağıdaki sonsuz köklerin eşitini bulunuz.
5
a.
5
5...
b.
3
7 3 7 3 7…
Çözüm
Bu tür sonsuz kök işlemlerinde, verilen formüllerESEN YAYINLARI
den yararlanmak mümkündür. Ancak bazı soru
tiplerinde o formüller yetersiz kalabilir.
ÖRNEK 40
a2 + 3 –
a 2 – 3 = 5 olduğuna göre,
a2 + 3 + a2 – 3
Çözüm
ÖRNEK 38
a+ a+ a+… = 5
Çözüm
148
ALIŞTIRMALAR
1.
4.
Aşağıdaki eşitliklerden doğru olanları için boş
Aşağıdaki ifadelerin sonuçlarını bulunuz.
kutulara “D ” yanlış olanları için “Y ” yazınız.
a < 2 ise
a 2 – 4a + 4 = 2 – a
1 < a ise
a 2 – 2a + 1 = 1 – a
a < b ise
a 2 – 2ab + b 2 = b – a
2.
3
27
b.
23 +
–3 + 47 + 4
c.
( 3 – 1 ) 2 + 3 ( 3 – 1) 3
a 2 . b 2 = a.b
a < 0 < b ise
a < 0 ise
3
+ 75 –
4
a.
a3 = – a
d.
e.
Aşağıdaki tabloda x ve y birbirinin eşleniğidir.
3
3–
17 . 3 3 + 17
1
2+ 3
–
2
3
–
2
3
x
y
x.y
3
2– 3
ESEN YAYINLARI
Buna göre tablodaki boş yerleri doldurunuz.
f.
g.
3 +1
h.
2– 5
3 2 –2 3
3.
3
2
5
8
3
2+1
3
3 –2
ı.
3
6–
3
3–
2
5 +2
–
:
0, 48 –
2
5–
3
+
5
5
5 –2
3+ 2
0, 45
0, 2 + 1, 25
1
1
+
64 36
i.
(–5) 2 + 3 (–3) 3
j.
7 + 4 + 15 + 1
k.
4+ 7 + 4–
l.
9x 2 + 36 + 4x 2 + 16
7
a – 2b + 2b – a + ab
a2 – b2
ifadesinin reel sayılardaki eşiti nedir?
149
Köklü İfadeler
5.
Aşağıdaki eşitliklerden doğru olanları için boş
8.
4
kutulara “ D ” yanlış olanları için “Y” yazınız.
x + 4 y = 5 ve
x–
y =5
olduğuna göre, x + y kaçtır?
(a + b) 2
3
= a+b
(a – b) 3 = a – b
a.b = a . b
9.
a 2 .b 2 = a.b
Aşağıdaki işlemlerin herbirini sonuçlandırınız.
3999.4003 + 4
a.
a2 + b2 = a + b
35 + 5 –
b.
Aşağıdaki sol sütünda verilen ifadelerin eşitini
sağ sütundan bulup eşleştiriniz.
3
2
8
2 2 2
128
3
c
3
d
ab 2 . 3 a.b 2
a 13 .b 16
4
^ 3 a 2 .b 4 h
2
a 4 b 5 . 3 ab
3+2 2
d.
9 16
8
+
–
25 81 15
a.
6
4 + 12
7
4
a=
3
x+ 1+ 9 = 2
2 +1
g
5–
10. Aşağıdaki sorularının herbirinde x değerlerini
3 –1
f
3 +1
24
b.
a + 1 + a = 4 ve
a+1 –
c.
2+ x –
d.
x+ x+ x+ . . . = 4
e.
x+ x+ x+ . . . = x+4
8
28 – 16 3
3, b =
3
3–
5 ve c =
6
2
2–
x =1
30
sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
150
9.10.11.12 + 1
bulunuz.
5
e
7.
c.
2
2 2
b
h
7 +1
1
a
ESEN YAYINLARI
6.
7 –1
a =x
1.
0 < x < –y olmak üzere,
3
–x 3 + 4 y 4 –
4.
1
x 2 + 2xy + y 2
A+B 2
olduğuna göre, e
o
A–B
2.
5
A = v5 + 1 ve B = v5 – 1
ifadesinin sonucu
nedir?
16. 3 x = 2. 3 2
5.
2 a a a… –
3
a 3 a 3 a… = 6
ESEN YAYINLARI
olduğuna göre, a pozitif reel sayısı kaçtır?
3.
6
2–
3
+
3
3+2 3
–
işleminin sonucu nedir?
192
6.
–4 < x < –3 olmak üzere,
x 2 + 9x + 19 + x 2 + 6x + 9
151
Köklü İfadeler
7.
2 + 3 + 4 + … + 25 = a – 1
olmak üzere,
9.
4 + 8 + 12 + … + 100
olduğuna göre, x in alabileceği değerler çarpımı
kaçtır?
x+1+2 x –
x + y + 4xy = –3
eşitliğini sağlayan y kaçtır?
ESEN YAYINLARI
ifadesinin a türünden değeri nedir?
8.
1 . 2 . 3 . ... . x 2 – 1 = 2 30
10. 1 < a < 2 olmak üzere,
a + 1– 2 a + a – 2 a – 1 =
eşitliğini sağlayan a kaçtır?
152
1
2
TEST -
1+
1.
7
–
9
1
2+
Köklü İfadeler
1
4
1
A)
3
1
B)
6
0, 04 –
2.
1
C) –
2
1
D) –
3
0, 16 + 0, 36
1
E) –
6
A)
5
2
B)
2
5
C)
3
10
D)
10
3
E)
5
3
0, 16 + 0, 81
A) 0,5
0, 01 + 0, 04
5.
B ) 0,6
C ) 0,7
D ) 0,8
6.
E) 0,9
0, 008 : 5 25
5
B) 0,1
C) 0,2
D) 0,4
E) 0,6
ESEN YAYINLARI
A) 1
3.
3 8 – 4 32 + 5 128
7.
0, 04 + 3 0, 008
toplamının sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) v2
A) 0,5
B) 5v2
D) 20v2
C ) 10v2
8.
E) 0,1
B ) 0,6
C) 3
E ) 3v2
(– 4) 2
(– 2) 2
D) 6
D) 0,2
x 2 = |x| şeklinde tanımlandığına göre,
– (– 2) 2 + 4 –
0, 16 + 0, 36
A) 0,3
C) 0,3
E ) 30v2
2 . 18
4.
B) 0,4
A) – 4
B) – 2
C) 1
D) 2
E) 4
153
Köklü İfadeler
9.
1<
3
13. a < 0 < b olmak üzere,
x <2
koşulunu sağlayan
x
(a – b) 2 + a 2 –
sayılarının kaç tanesi
asal sayıdır?
A) 1
b2
B) 2
C) 3
D) 4
A) 2a
E) 5
B) –2a
D) –2b
a
+ ab.
b
b.
10.
1
ab
1
14.
2–
E)
1
2+ 3
B) 4 + 2v3
A) 4 – 2v3
2
ab
D) 4
C) 2
E) 6
ESEN YAYINLARI
D) 2cab
E) 2a – 2b
C ) cab
B) bva
A) avb
3
+
C) 2b
3
11.
27 –
27 –
15. x = 1 + v3 ve y = 1 – v3 olmak üzere,
3
x 4 y + xy 4
3
x 2 y + xy 2
B ) 2v3
A) 3v3
D) –2v3
ifadesinin sayısal değeri kaçtır?
C ) – v3
A) 1
E ) –3v3
12.
–8 –
4
(– 2) 4
154
B) 2
C) 0
C) 6
D) 9
E) 12
A) 4
B) 4
5+2 6 + 5–2 6
16.
3
– xy
D ) –2
E) –4
B) v3
A) v2
D) 2v3
C ) 2v2
E) 2v3 – 2v2
TEST -
4
Köklü İfadeler
16 + 252
1.
4 2x – 1
5.
3
sayısının karekökü aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3 + v7
B ) 3 – v7
D) 4 + v7
8x – 2
eşitliğini sağlayan x aşağıdakilerden hangisi-
C ) 4 + 2v7
dir?
E ) 2 + v7
A) 3
2.
48 –
15
+
2
3
olduğuna göre
+2
B) 2
D) v3
C) 1
4
D) –1
5 , c=
a, b, c
3
E) –2
3
arasındaki
sıralama
A ) 2v3
B) 2
a = v2 , b =
6.
20 – 8
= 16
A) a < b < c
C) –2
B) a < c < b
D) c < b < a
C) b < c < a
E) c < a < b
ESEN YAYINLARI
E ) 2v3 + 2
2
= x
3
7.
olduğuna göre, v6 reel sayısının x türünden
16 – 8 3 –
3.
16 + 8 3
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2
B) 4
D) 4v3
A) 3x
C) – 4
B)
x
3
C ) 2x
D)
x
2
E ) 6x
E ) –2v3
2+ 2
8.
reel sayısının çarpmaya göre tersi aşağıdakilerden hangisidir?
4.
A)
1≤ 3 x < 6
koşulunu sağlayan x tam sayılarının kaç tanesi
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
2
B)
4–2 2
2
2
D)
2 +1
C)
1–
E)
2 –1
asal sayıdır?
A) 9
4–
159
Köklü İfadeler
13. v2 + v3 = a olduğuna göre,
4x + 2 + 2x – 1
9.
1–
1 – 2x
3 +1 +
ifadesinin alabileceği reel sayı değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
3 –1
sayısının a türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
a
A) va
B) 2a
C) av2 D) c2a E)
2
E) 5
10. a > 0 olmak üzere;
2+ a + 1+ a = A
2+ a –
14.
1+ a = B
B)
D)
2
A
1– A
2
A) 55
C) 1 – A
E)
1+A
2
x–y
12.
C) 65
D) 70
E) 75
eşitliğini sağlayan a reel sayısı için,
y
a – 5va – 2 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
A) v2
B) 60
a a +8
=3
a–4
15.
11. x + y + 2c x y = 12 olduğuna göre,
x–
x +4 y = 5
ESEN YAYINLARI
1
A
4
olduğuna göre, B nin A cinsinden değeri nedir?
A)
v x – vy = 5 ve
B ) v3
C ) v6
hangisidir?
D ) 2v3
A) –6
E) 3v2
B) –8
C) –10
D) –12
E) –14
a2 + b2
ab
a
+
b
16.
b
a
denklemini sağlayan a ve b tam sayıların farkı
A) 2
160
B ) v6
3a + b = av3 + bv3 + 6
C ) 2v2
D) 3
E) 2v3
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 6
1.
1989 – ÖYS
5.
a = 2 + 2 ve
b=
2+
olduğuna göre, a – b kaçtır?
A) v2
2.
3
3 . 12
0, 16 + 0, 36
8
B) 2
D) 2 – v2
C ) 2v2
A) 0,6
E) 4
6.
C ) –8
x 0, 4 = 1
D) 0
E) 8
1990 – ÖSS
1
3–2 2
A) 5
+
7.
1
5
2
B)
5
3
C)
D)
5
4
E)
5
6
1991 – ÖYS
3+2 2
x+ x + x –
A) 6
B) 3
D) 3 + v2
C) 2
A)
E ) 3 – v2
1
3
D) 1
4
3
C) 1
D) 2
E ) v2
1992 – ÖSS
4–2 3
– (–3) 2 + 9 –
(–9) 2
(–3) 2
A) 2 – v2
B)
a 2 = |a| şeklinde tanımlandığına göre,
1990 – ÖYS
4+2 3 –
x =2
8.
4.
E) 2v3
ESEN YAYINLARI
3.
B ) –16
C) 6
1991 – ÖYS
4 2 – (–2) 3
A) –24
B) 0,9
D) 9
1990 – ÖSS
(– 4) 2 –
1991 – ÖSS
2a . 4 a 2
B ) v2
C ) v3
E) 2
A) –9
B) –3
C) –1
D) 3
E) 9
161
Köklü İfadeler
9.
1992 – ÖYS
a
+
b
13. 1995 – ÖYS
b
a
=
6 – 2 5 ve
ab
sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır?
olduğuna göre,
b
nin
a
türünden ifadesi
A) 6
B) 12
a
A)
a –1
a
B)
1– a
D)
6+2 5
a –1
a
D) v6
a
C)
a+1
E)
C) v5
E) 6 + v6
a+1
a –1
14. 1996 – ÖSS
0,09 un karekökü kaçtır?
10. 1994 – ÖSS
A) 0,0081
a = v6 + 1 ve b = v6 – 1
A) 2
D) 0,3
C) 0,81
E) 0,03
a b
+
toplamı kaçtır?
b a
B) 3
C) 4
D)
14
5
E)
29
7
ESEN YAYINLARI
olduğuna göre,
B) 0,081
15. 1996 – ÖSS
0, 48 –
1, 47
11. 1994 – ÖYS
0, 16 + 0, 04
0, 36 –
0, 04
A)
A)
3
2
B)
0, 27
3
4
C) 1
D) 2
1
7
B)
2
7
C) 1
D ) v3
E) 2v3
D) 16
E) 18
E) 3
16. 1996 – ÖSS
12. 1995 – ÖSS
9 + ( – 4) 2 –
3
3+2 2
(–5) 2
162
B) 1
C) 2
3
3–2 2
A) 0
+
D ) 10
E) 11
A) 6
B) 9
C) 12
Köklü İfadeler
17. 1997 – ÖSS
21. 1998 – ÖYS
40 . 18
80
x2
x
A) 3
B) 2
C) 1
D) 4v5
A) –x
E ) 2v5
D) 1
E) x
D) 12
E) 14
( – 4) 2 – 3 (–3) 3 + 25
0, 0256 . 3 (0, 008) –1
B) 2
C) 1
D ) –1
A) –10
E) – 4
B) –2
C) 10
ESEN YAYINLARI
A) 4
C) 0
22. 1999 – ÖSS
18. 1997 – ÖSS
4
B ) –1
23. 1999 – ÖSS
19. 1998 – ÖSS
3
a > 0 , b < 0 olduğuna göre,
1 –1
e
o
27
(b – a) 2 –
A) –3
B) –
1
3
C)
(2a – b) 2
1
3
D)
1
9
E) 3
A) 2a + 3b
B) 2b – 3a
D) –2a
C) 2b – a
E) –a
20. 1998 – ÖSS
1
1
–
5 –1
5 +1
A)
1
5
B)
5
2
C)
24. 2000 – ÖSS
3
1
5
D)
1
2
2 5 x = 3 2 .5 3
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir?
E) 2
A) 33
B ) 34
C ) 36
D ) 27
E ) 28
163
Köklü İfadeler
25. 2001 – ÖSS
2–
2+
29. 2005 – ÖSS
1
1
24 3 – 6 (24
2
1
2
A)
A)
1
3
1
–1
3) + 9 3
B) v2
C ) 2v2
D) 0
3
B ) 2. 3 3
3
C ) 3. 3 3
D) 3
E) 1
30. 2007 – ÖSS
3
–
1
2
. 27
26. 2003 – ÖSS
a = v2 + 1 olduğuna göre,
A) 3
C) v3
B) 9
a( a – 1 )(a – 2 )
D) 3v3
A) v2
B ) – v2
D) 3 + 2v2
C ) 3 – 2v2
E) 1
E)
3
3
ESEN YAYINLARI
çarpımının sonucu kaçtır?
31. 2007 – ÖSS
(v2 – v5)2 + 2c10 + 3
27. 2003 – ÖSS
10 ^ 6, 4 + 0, 4 h
A) c10
A)
3, 8
B)
D) 10
68
D) 8
32. 2008 – ÖSS
3v8 + 2v2 – (v8 + v2)
111
A) v2
164
E) 13
E ) 10
4, 44 + 9, 99
B ) 0,1
C) 5v2
C) 6
28. 2005 – ÖSS
A) 0,05
B) 2v5
C ) 0,5
D) 1
E) 5
B) 2v2
D) 4v2
C) 3v2
E) 5v2
E) 9
Köklü İfadeler
33. 2009 – ÖSS
1
2 +1
37. 2011 – LYS
1
–
v2 < x < v3
2 –1
olduğuna göre,
A) –2
B ) –1
D ) v2
C) 0
E) 2v2
A)
3
3 +1
A) v3
C)
4
3
3
2
Aşağıdakilerden hangisi bir rasyonel sayıdır?
B ) 2v2 – 1
2 +1
12 – 8
b=
27 + 18
D)
B) 3 3
D) 5
35. 2010 – YGS
2
a=
A) 4 2
E ) 2v3 – 1
ESEN YAYINLARI
D) v3 + 1
D)
B)
7
4
E)
6
5
E)
7
5
olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır?
C ) v3 – 1
B ) 2v3
A) v2 + 1
1
2
38. 2012 – YGS
2
–
aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
34. 2010 – YGS
6
x
E)
C)
39. 2012 – YGS
2 2 –2
3 2 –3
1
1
1
–
p=
x x2
2
x. f
1
2
C) 4
E) 6
A)
3
2
B)
5
4
C)
9
4
D)
6
5
36. 2011 – YGS
x =
3
4
y=
4
8
z=
5
16
40. 2012 – LYS
x =
5 olduğuna göre,
(x2 – 2)–1
si doğrudur?
A) x < y < z
4
B) x < z < y
D) z < x < y
C) y < x < z
E) z < y < x
A) 1 +
4
5
D) 2 +
B) 2 +
5
4
5
C) 1 +
E) 1 + 2 5
165
5
Köklü İfadeler
41. 2012 – LYS
x bir gerçel sayı olmak üzere,
^ 7 + 3 hx = 4
olduğuna göre, ^ 7 –
3h
x
ifadesi aşağıdaki-
lerden hangisine eşittir?
A) 2 – x
B) 2 – x + 1
D) 4 x – 1
C) 4x
E) 4 x + 1
42. 2013 – YGS
A) 1
2
166
B) 3
2
C) 1
4
D) 1
9
E) 4
9
ESEN YAYINLARI
1+ a –
a
= 5
1– a
3
1– a
. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
ORAN ve ORANTI
1. Kazanım : Oran ve orantıyı açıklar.
2. Kazanım : Orantıya ait özellikleri gösterir ve günlük hayatla ilgili problemler çözer.
2. ÜNİT
ORAN ve ORANTI
ORAN
ORANTI
Birimleri aynı olan iki çokluğun bölümüne ( karşılaştı-
İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir.
rılmasına) oran denir. En az biri sıfırdan farklı olan a
a c
=
veya a : b = c : d ikili orantısında
b d
ve b büyüklükleri verildiğinde a nın b ye oranı
b ve c ye içler, a ve d ye dışlar denir.
a
biçiminde gösterilir.
a : b veya
b
Oran bir sayı belirtmekte olup birimi yoktur. Kesirlerde
de olduğu gibi oranın payı ve paydası sıfırdan farklı
bir sayı ile genişletilebilir veya sadeleştirilebilir.
x
a a.n
=
b b.n
ve
a a: n
=
b b: n
x 3 kilogramın 5
‹çler
a c
= = k orantısında k orantı sabitidir.
x
b d
a c e
= = = k biçimindeki üçlü orantı
x
b d f
dir. _ n ! 0 i
x 5 metrenin 2 metreye oranı,
x 240 ¨ nin 360 ¨ ye oranı,
d›fllar
a:b = c:d
5m 5
= dir.
2m 2
240
360
=
a : c : e = b : d : f biçiminde de gösterilebilir.
1 44 2 4
43
\
paylar
a ile b, c ile d ve e ile f doğru orantılıdır.
2
tür.
3
ye oranı şeklinde bir ifade söz
3 kg
ifadesi bir oran belirt5
mez. Çünkü birimleri farklıdır.
1 kg ayran ile 5 gr tuz karıştırılarak tuzlu ayran yapılıyor. Bu karışımdaki tuzun ayrana oranı nedir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
konusu olamaz. Yani,
ÖRNEK 1
paydalar
x
a c
=
+ b.c = a.d
b d
x
a c
a b
a c
d c
=
+
=
ve
=
+
=
c d
b d
b d
b a
ÖRNEK 3
a 3
a+b
=
olduğuna göre,
kaçtır?
b 2
a–b
Çözüm
ÖRNEK 2
Ali 1994 yılında doğmuştur. 2015 yılında Ali’nin ya7
şının Barış’ın yaşına oranı
olacağına göre, Barış
6
hangi yıl doğmuştur?
Çözüm
168
ÖRNEK 4
a+b 3
a
=
olduğuna göre,
kaçtır?
a–b 4
b
Çözüm
Oran ve Orantı
ÖRNEK 5
a c e
= = = k ⇒ a = b.k , c = d.k , e = f.k
b d f
a
3
2b
=
olduğuna göre,
kaçtır?
a+b 2
a–b
Çözüm
ÖRNEK 8
2a – b
a b c
= =
olduğuna göre,
kaçtır?
3 2 4
b+c
Çözüm
ÖRNEK 6
a c 2
a–b . c+d
= =
olduğuna göre, f
o
pe
c
b d 3
b
ÖRNEK 9
x y z
= =
3 4 6
ve
2 x – y + 3z = 40
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 10
ÖRNEK 7
2a = 5b ve a2 + b2 = 116 ise a.b kaçtır?
Çözüm
A, B, C sıvılarından,
A 2
B 5
=
=
ve
oranlarında
B 3
C 4
alınarak 740 litrelik bir karışım elde ediliyor. Oluşan
bu karışımda, kaç litre A sıvısı vardır?
Çözüm
169
Oran ve Orantı
x
a c
m.a + n.c
= =k +
= k d›r.
b d
m.b + n.d
x
m.a + n.c + p.e
a c e
= = =k +
= k d›r.
b d f
m.b + n.d + p.f
x
a c
an + cn
= =k ⇒ n
= k n dir. (n ∈ N+)
b d
b + dn
Doğru Orantı
Herhangi bir şekilde birbirlerine bağlı olan iki büyüklükten birisi değiştirildiğinde, ikisindeki değişme
oranı da aynı ise bu iki büyüklüğe doğru orantılıdır
ya da kısaca orantılıdır denir.
Doğru orantılı iki büyüklükten biri artarken diğeri
de orantılı olarak artar veya biri azalırken diğeri de
orantılı olarak azalır.
k > 0 olmak üzere,
y
= k veya y = kx ise
x
ÖRNEK 11
a. x = b.y = c.z = 2
1 1 1
+ + =4
a b c
ve
olduğuna göre, x + y + z ifadesinin eşiti kaçtır?
Çözüm
x ile y doğru orantılıdır.
y
y
y = kx
3k
2k
k
ÖRNEK 12
a c
3a + 2c
= = k orantısından
= k oranı elde edilb d
3b + n
diğine göre, n nin değeri nedir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
1
2
3
x
x , y, z sayıları sırası ile a, b, c sayıları ile doğru
x y z
orantılı ise
= = = k dir.
a b c
ÖRNEK 14
Bir ekmeğin 30 kuruş olduğunu düşünelim.
1 ekmek alırsak 30 kuruş,
2 ekmek alırsak 2.30 = 60 kuruş,
3 ekmek alırsak 3.30 = 90 kuruş öderiz.
Burada görüldüğü gibi, ekmek sayısı arttıkça ödeyeceğimiz para da orantılı olarak artmaktadır. Yani,
ekmek sayısı ile ödenecek para doğru orantılıdır.
ÖRNEK 15
ÖRNEK 13
Bir sınıftaki erkek ve kız öğrencilerin sayıları sırası
ile 2,7 ve 3,3 sayıları ile orantılıdır. Buna göre, sınıf
mevcudu en az kaçtır?
Çözüm
170
3 usta bir günde 96 m2 duvar boyuyor ise aynı nitelikte 4 usta bir günde kaç m2 duvar boyar?
Çözüm
Oran ve Orantı
ÖRNEK 16
ÖRNEK 19
26 şeker üç çocuğa 3, 4 ve 6 sayıları ile doğru oran-
x ile y doğru orantılıdır. x = 6 iken y = 2 ise x = 9
tılı olarak paylaştırılırsa en az şeker alan çocuk kaç
iken y kaçtır?
şeker alır?
Çözüm:
Çözüm
ÖRNEK 17
a 3
=
b 4
ve
b 5
=
c 2
olduğuna göre a, b, c sayıları sırasıyla hangi sayılarESEN YAYINLARI
la orantılı olabilir?
Çözüm
ÖRNEK 20
A
α
θ
B
C
Şekildeki üçgenin iç açılarının ölçüleri 5, 4 ve 3 ile
doğru orantılı olduğuna göre, en küçük açısının ölçüsü kaç derecedir?
ÖRNEK 18
x + 2 ile y – 1 doğru orantılıdır.
x = 4 iken y = 3 ise y = 2 iken
β
x
kaçtır?
Çözüm
Çözüm
171
Oran ve Orantı
Ters Orantı
ÖRNEK 22
x ve y herhangi iki büyüklük olsun. Eğer x ile
1
y
x
ile y + 2 ters orantılıdır. x = 3 iken y = 4 ise
doğru orantılı ise x ile y ters orantılıdır denir.
y = 7 iken
k ∈ R+ olmak üzere; x ile y ters orantılı ise
Çözüm
x . y = k veya y =
x kaçtır?
k
dir.
x
Ters orantılı iki büyüklükten biri arttıkça diğeri azalır.
y=
k
ters orantı denkleminin grafiği:
x
y
ÖRNEK 23
Bir işi 3 işçi 12 günde bitirirse, 4 işçi aynı işi kaç
günde bitirir?
k
Çözüm
y= k
x
1
2
x
x , y, z sayıları sırası ile a, b, c sayıları ile ters
orantılı ise a. x = b.y = c.z = k dır.
ÖRNEK 21
ESEN YAYINLARI
k
2
ÖRNEK 24
x , y , z sayıları sırası ile 3, 4, 6 sayıları ile ters oran-
Bir üçgenin kenarları 2, 3 ve 4 ile orantılı ise bu
tılıdır. x – y + 2z = 15 ise x kaçtır?
kenarlara ait yükseklikler sırasıyla hangi sayılarla
Çözüm
172
orantılıdır?
Çözüm
Oran ve Orantı
Bileşik Orantı
ÖRNEK 27
Bir orantının içinde hem doğru hem de ters orantı
4 işçi, 12 günde, 32 parça iş yapabildiğine göre, aynı
varsa bu orantıya bileşik orantı denir.
x
nitelitke 6 işçi, 8 parça işi kaç günde yapar?
ile y doğru orantılı, x ile z ters orantılı ise
Çözüm
x.z
= k dır.
y
ÖRNEK 25
x sayısı y + 1 ile ters ve z – 1 ile doğru orantılıdır. x = 2 iken y = 3 ve z = 5 tir.
x = 4 ve y = 5 iken z kaçtır?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 26
420
2 ve 3 ile doğru, 4 ile ters orantılı olacak
şekilde üç kişi arasında paylaştırılırsa, payı en çok
olan kişi kaç
Çözüm
ÖRNEK 28
alır?
Bir kampta 40 kişiye 45 gün yetecek erzak vardır.
15 gün sonra kamptan 10 kişi ayrılır ise kalan erzak
kalan kişilere kaç gün yeter?
Çözüm
173
ALIŞTIRMALAR -
1.
6.
1
civert bilyelerin sayısının sarı bilyelerin sayısına
x, y ve z pozitif tam sayılardır.
y
x
z
=
=
0, 5 0, 6 0, 7
oranı kaçtır?
olduğuna göre, x + y + z nin en küçük değeri
Bir torbada sarı ve lacivert bilyeler vardır. Torbadaki bilyelerin % 65 i sarı olduğuna göre, la-
kaçtır?
x+y
2.
x–y
=
5
2
7.
x
kaçtır?
olduğuna göre,
y
3.
x
=3
olduğuna göre,
x+y
y
kaçtır?
a c e 3
= = =
b d f 2
4.
olduğuna göre,
a.f 2 .c 3
b.e 2 .d 3
ve
x + y – z = 14
ESEN YAYINLARI
x+y
x = 2y = 3z
8.
9.
y 3
x 3
=
ve
=
y 2
z 4
x+y
olduğuna göre,
kaçtır?
z
a, b ve c den oluşan 190 gramlık bir karışımda
a 3
b 3
=
ve
=
c 2
b 2
oranı kaçtır?
bağıntıları vardır. Buna göre, bu karışımda kaç
gram a maddesi vardır?
a b c
= =
2 3 4
5.
ve 2a + 3b – 4c = 24
174
10.
a c
a + xc
= = k ve
=k
b d
b+2
olduğuna göre, x in d cinsinden eşiti nedir?
Oran ve Orantı
11.
x y z 5
= = =
olmak üzere,
a b c 4
16. x, y, z pozitif gerçel sayılardır.
x y z
= =
ve x 2 + y2 + z2 = 200
3 4 5
6 x + 2y – 3z = 60 ve 2a – c = 6
olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır?
ise b kaçtır?
12. x – 3 ile y + 2 doğru orantılıdır.
17. 6 terzi, günde 8 saat çalışarak 5 günde 320
x = 5 iken y = 3 ise y = 2 için x kaçtır?
gömlek dikebilmektedir. Buna göre, aynı nitelikteki 18 terzi, günde 10 saat çalışarak 3 günde
13. x + 1 ile y – 2 ters orantılıdır.
x = 2 iken y = 3 ise y = 4 için x kaçtır?
ESEN YAYINLARI
kaç tane gömlek dikebilirler?
18. 300 ¨ iki kardeşe 2 ve 3 sayıları ile doğru orantılı
olacak biçimde paylaştırılacaktır. Payı az olan
kardeş kaç ¨ almıştır?
14. x sayısı, y + 1 ile doğru ve z – 1 ile ters
orantılıdır. x = 3 , y = 4 için z = 2 olduğuna
göre, x = 5 ve y = 2 için z kaçtır?
19. Bir musluk, boş bir depoyu 12 saatte doldurmaktadır. Bu musluktan birim zamanda akan su
miktarı % 20 azaltılırsa, aynı depoyu kaç saatte
doldurabilir?
20. 42 kg ağırlığındaki bir çuval pirinç 3 ile doğru,
15.
3a = 4b = 6c
olduğuna göre, a : b : c nedir?
2 ile ters orantılı olarak iki poşete dolduruluyor.
Buna göre, poşetlerdeki ağırlık farkı kaç kg dır?
175
Oran ve Orantı
ARİTMETİK ORTALAMA
ÖRNEK 32
a1, a2, a3 ...... an reel sayılar olmak üzere,
A=
Bir öğrenci, matematik sınavlarının ilk ikisinden
5 ve 9 almıştır. Bu öğrenci 3. sınavdan kaç almalı ki
not ortalaması 8 olsun?
a 1 + a 2 + a 3 + .... + a n
n
Çözüm
sayısına a1, a2, a3 .......an sayılarının aritmetik ortalaması ya da kısaca ortalaması denir.
a ve b nin aritmetik ortalaması :
a+b
dir.
2
a, b ve c nin aritmetik ortalaması :
a+b+c
tür.
3
ÖRNEK 33
12 sayının aritmetik ortalaması 30 dur. Toplamları
ÖRNEK 29
30 olan 2 sayı çıkarılınca kalan sayıların ortalaması
4, 10 ve 13 sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır?
kaç olur?
Çözüm
a, 4, 7 ve 10 sayılarının aritmetik ortalaması 8 olduğuna göre, a kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 30
Çözüm
ÖRNEK 34
x ile y nin aritmetik ortalaması 9,
y ile z nin aritmetik ortalaması 15,
x ile z nin aritmetik ortalaması 24
ise x , y ve z nin aritmetik ortalaması kaçtır?
ÖRNEK 31
Bir okuldaki 4 bayan öğretmenin yaş ortalaması
26 ve 8 erkek öğretmenin yaş ortalaması 35 tir.
Buna göre, bu 12 öğretmenin yaş ortalaması kaçtır?
Çözüm
176
Çözüm
Oran ve Orantı
ÖRNEK 35
ÖRNEK 38
Toplamları 210 olan 16 tane sayma sayısının bir
kısmının ortalaması 15, diğerlerinin ortalaması ise
12 dir. Buna göre, ortalaması 15 olan sayılar kaç
tanedir?
2 – v3 , 2 + v3 ve 8
sayılarının geometrik ortalaması kaçtır?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 39
x ile y nin aritmetik ortalaması 5 ve geometrik
ortalaması 6 ise x 2 + y2 kaçtır?
ÖRNEK 36
A¤ırlık (kg)
48
50
52
56
60
Ö¤renci say›s›
5
2
3
4
1
Çözüm
ve bu öğrencilerin sayılarını göstermektedir. Buna
göre, bu sınıftaki öğrencilerin ağırlıklarının ortalaması kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Yukarıdaki tablo bir sınıftaki öğrencilerin ağırlıklarını
ÖRNEK 40
x ile y nin geometrik ortalaması 2, x ile z nin geometrik ortalaması 1 ve y ile z nin geometrik ortalaması
v2 ise x , y ve z nin geometrik ortalaması kaçtır?
GEOMETRİK ORTALAMA
a1, a2, a3, ...., an gibi n tane pozitif sayının geometrik
Çözüm
ortalaması; G = n a 1 .a 2 .a 3 ....a n dir.
a ile b nin geometrik ortası
a, b ve c nin geometrik ortası
a.b
3
a.b.c dir.
ÖRNEK 37
3 ve 12 sayılarının geometrik ortalaması (orta orantısı) kaçtır?
Çözüm
177
ALIŞTIRMALAR -
1.
5.
5 tane sayının aritmetik ortalaması 12 ise bu sayıların toplamı kaçtır?
3x
2
+1
ve
9x
–1
sayılarının aritmetik ortalaması ile geometrik ortalaması birbirine eşit olduğuna göre, x kaçtır?
5 + 2 6 ile
2.
5–2 6
sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır?
6.
15 tane sayının aritmetik ortalaması 20 dir.
Bu sayılara toplamları 140 olan kaç sayı daha
c14 + v5 ile c14 – v5
3.
sayılarının geometrik ortalaması kaçtır?
ESEN YAYINLARI
eklenirse yeni ortalama 22 olur?
7.
Bir gruptaki kişilerin şimdiki yaşlarının aritmetik
ortalaması 30 dur. Bu grubun 1 yıl sonraki
yaşlarının toplamı 155 olacağına göre, bu grupta
kaç kişi vardır?
4.
a = 2b, 4b = 5c ve c.d = 2
olduğuna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi
doğrudur?
I. a ile b doğru orantılıdır.
II. a ile c doğru orantılıdır.
8.
İki basamaklı ab ve ba sayılarının geometrik
III. b ile d ters orantılıdır.
ortalaması 11 olduğuna göre, aritmetik ortala-
IV. a ile d ters orantılıdır.
ması kaçtır?
178
1.
a+b
a
a+b
b
ifadesinin
4.
değeri kaçtır?
a+
1
=2
b
b+
1
=4
a
b
olduğuna göre,
a
3.
a c
a+b c+d
= = 2 olduğuna göre, f
o
pe
c
b d
b
5.
x y z
= =
3 4 5
2x – 3y + z = –2
ESEN YAYINLARI
2.
2xy
x
ifadesinin eşiti
y
x2 + y2
kaçtır?
sistemini sağlayan y değeri kaçtır?
6.
a, b, c sayıları sırasıyla 13, 12, 5 sayıları ile
orantılıdır.
b + c – a = 8 olduğuna göre, a kaçtır?
179
Oran ve Orantı
7.
9.
y sayısı (x + 1 ) ile doğru, (2 x – 1 ) ile ters
15 kız, 25 erkek öğrencinin katıldığı bir sınavda
orantılıdır. x = 1 için y = 4 olduğuna göre, x
kız öğrencilerin puanlarının ortalaması 32 ve
ile y arasındaki bağıntı nedir?
erkek öğrencilerin puanlarının ortalaması
30
olduğuna göre, tüm öğrencilerin puan ortalaması
8.
Bir öğrenci üç sınava girmiştir. İlk iki sınavın
ortalaması 7 dir. Üç sınavdan aldığı notların
ortalaması 8 olduğuna göre, bu öğrenci son
sınavdan kaç almıştır?
ESEN YAYINLARI
kaçtır?
10. Bir ressam yeşil ( Y), kırmızı (K), mavi (M)
boyaları
Y 1
K 1
=
ve
=
K 3
M 2
oranında karıştırarak 500 gr lık bir karışım elde
etmek istiyor. Kırmızı boyadan kaç gr alması
gerekir?
180
TEST -
1.
1
Oran ve Orantı
2a = 3b olduğuna göre,
kaçtır?
A) 9
2.
a + 3b
ifadesinin eşiti
a–b
5.
a+b
a2 + b2
ifadesinin
2a
ab
eşiti kaçtır?
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
A)
26
5
B)
27
5
C) 6
D)
32
5
E) 7
a c 2
= =
olduğuna göre,
b d 3
f
a+b c–d
pf
p
b
d
6.
5
8
B) –
5
9
C) –
4
7
D)
4
7
E)
5
9
b 2
=
c 3
ve a + b + c = 46
A) 12
B) 15
C) 16
D) 18
E) 20
ESEN YAYINLARI
A) –
3a = 4b ,
3.
a, b ve c sayıları sırasıyla 2, 3 ve 6 ile doğru
orantılıdır. Bu sayıların ters orantılı olduğu en
küçük sayma sayıları sırasıyla aşağıdakilerden
7.
hangisidir?
A) 3 : 1 : 2
B) 1 : 2 : 3
D) 6 : 3 : 2
4.
a – 1, b + 1 ve c sayıları sırasıyla 2, 4 ve 5
sayıları ile doğru orantılıdır. a + b + c = 33 ise
C) 2 : 6 : 3
b kaçtır?
E) 3 : 2 : 1
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
Bir üçgenin a, b, c kenarları sırasıyla 2, 3 ve
4 sayıları ile orantılıdır. Bu üçgenin ha, hb ve
hc yükseklikleri sırasıyla hangi sayılarla doğru
orantılıdır?
A) 3 : 4 : 6
B) 4 : 3 : 2
D) 6 : 4 : 3
C) 2 : 3 : 4
E) 2 : 4 : 6
8.
62 metre uzunluğundaki bir tel 2 ve 3 ile doğru
6 ile ters orantılı 3 parçaya ayrılırsa en büyük
parça kaç m olur?
A) 30
B) 32
C) 34
D) 36
E) 38
181
Oran ve Orantı
9.
13.
a + 1 sayısı b – 2 ile doğru orantılı iken a = 4
için b = 12 oluyorsa, b = 1 için a kaç olur?
A) –
1
2
B) –1
3
C) –
2
D ) –2
2a = 3b, 4b = 5c, c.d = 3
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlış-
5
E) –
2
tır?
A) a ile c doğru orantılıdır.
B) c ile d ters orantılıdır.
C) a ile d ters orantılıdır.
D) b ile d doğru orantılıdır.
E) b ile c doğru orantılıdır.
10.
a. x = b.y = c.z = 6 ve
1 1 1
+ + =4
a b c
3
2
B) 3
C) 9
D ) 12
E) 24
14. Bir torbadaki; sarı, mavi ve beyaz bilyelerin sa3 3
ve 1,8 sayıları ile orantılıdır.
yısı sırasıyla ,
5 2
Bu torbadaki bilye sayısı en az kaçtır?
ESEN YAYINLARI
A)
11.
a c e
= = = 2, 2a – c + 3e = 4 ve 3f – d = 4
b d f
B ) –1
C) 0
D) 1
E) 2
3a – d a + c + 3 2b – 2a + c
=
=
=2
a–c
2c – a
a+b
12.
182
B) 2
C) 3
C) 18
D) 27
E) 39
15. a ile b nin aritmetik ortalaması 4, geometrik
A) 44
B) 45
C) 46
D) 47
E) 48
16. Aritmetik ortalaması 4 olan 6 sayıya, aritmetik
ortalaması 5 olan 4 sayı ilave ediliyor. Bu 10
sayının aritmetik ortalaması kaç olur?
olduğuna göre, d kaçtır?
A) 1
B) 13
ortalaması 3 ise a2 + b2 kaçtır?
A) –2
A) 11
D) 4
E) 5
A) 4
B) 4,2
C) 4,4
D) 5
E) 5,2
TEST -
1.
3
Oran ve Orantı
5.
2 x + 3 ifadesi 3y + 5 ifadesiyle doğru orantılıdır.
x = 5 iken y = 3 olduğuna göre, x = 2 iken
işçi aynı duvarı kaç günde örer?
y kaçtır?
A) 8
A) 1
B)
11
13
C)
13
14
D) 2
E)
a+3 b+2
=
= c+1
3
2
2.
C) 12
x, y, z doğal sayıları sırasıyla
en küçük değeri kaçtır?
nedir?
A) 12
C) 1
D) 2
a, b, c pozitif rasyonel sayılardır.
a.b =
2
1
2
, a.c =
ve b.c =
5
5
9
B) a < c < b
göre a = 2 ve b = 6 iken c nedir?
B)
150
D)
13
120
19
C) 22
D) 28
E) 36
1
4
B)
b+d
d
1
2
C) 1
D)
3
2
E) 2
E) c < b < a
orantılıdır. a = 1 iken b = 3 ve c = 5 olduğuna
143
15
A)
C) b < a < c
2a + 1 ifadesi 3b – 1 ile ters, 3c + 1 ile doğru
A)
B) 18
olduğuna göre,
si doğrudur?
D) b < c < a
9
6 7
,
ve
sayıla5 5
5
a c
a2 + b2 1
=
=
ve
b d
c2 + d2 4
7.
A) a < b < c
E) 16
E) 3
ESEN YAYINLARI
B) 0
D) 15
rı ile orantılıdır. Buna göre, x + y + z toplamının
orantısında, a + b + c = 6 olduğuna göre, c
A) –1
4.
B) 10
14
15
6.
3.
8 işçi bir duvarı 20 günde örerse, aynı güçte 10
C)
167
E)
9
130
11
8.
x, y, z birer negatif tam sayıdır.
y
x
z
=
=
0, 4 0, 5 0, 6
olduğuna göre, x + y + z toplamının en büyük
değeri kaçtır?
A) –15
B) –10
C) –9
D) –6
E) –5
185
Oran ve Orantı
9.
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c dir.
13.
+
a, b, c ∈ Z olmak üzere,
kilerden hangisidir?
ise üçgenin çevresi en az kaçtır?
B ) 36
ve b – c = a
olduğuna göre, b2 + c2 ifadesinin eşiti aşağıda-
a
b
c
=
=
3, 6 4, 8 5, 2
A) 34
a
c
=
2b 3a
C ) 40
A) 2a
D ) 42
B) 2a2
D) 3a2
C) 3a
E ) 4a2
E) 68
14. Bir torbadaki sarı ve mavi bilyelerin sayıları
10.
x z
= = 3 olduğuna göre,
y t
sırasıyla 2,4 ve 1,8 ile orantılıdır. Torbada 24
tane mavi bilye varsa, kaç tane sarı bilye vardır?
y+t
A) 16
x+y+z+t
B) 18
C) 24
D) 30
E) 32
A)
1
6
B)
1
5
C)
1
4
D)
1
3
E)
1
2
ESEN YAYINLARI
15. 16 kişilik bir sınıfın yaş ortalaması 17,5 tır. Sınıfa
4 kişi daha katılırsa, sınıfın yaş ortalaması 18,2
oluyor. Buna göre, sınıfa katılan 4 kişinin yaş
ortalaması kaçtır?
11. Kilogramı 25
ve 30
olan iki cins fındık
A) 18
B) 19
C) 20
D) 21
E) 22
karıştırılarak 50 kg lık bir karışım elde ediliyor. Karışımın kilogramı 28
30
olduğuna göre,
lik fındıktan kaç kg alınmıştır?
A) 15
B ) 18
C ) 20
D ) 24
E) 30
16. a, b, c, d ∈ R+ olmak üzere
a
b
c
= 2,
= 3,
=4
c
b
d
5
= 2 ve
a–b
12.
4
1
x+b–a–
2
=
1
2
ise aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) 9
186
B ) 10
C ) 11
D ) 12
E) 13
A) d < c < b < a
B) a < b < c < d
C) b < c < d < a
D) d < a < b < c
E) d < b < c < a
1.
1986 – ÖSS
4.
1988 – ÖSS
Üç arkadaşın paralarının birbirine oranı bi-
Yandaki tablo bir iş
Yafl
linmektedir. Buna ek olarak aşağıdakilerden
yerinde
20
4
hangisi verildiğinde, her birinin kaç lirası olduğu
sayısı
21
9
hesaplanamaz?
göstermektedir.
22
16
A) Herhangi ikisinin paraları farkı
çalışanların
ile
yaşlarını
Kifli say›s›
Bu iş yerinden seçilen 16 kişinin yaş ortalaması
B) Herhangi ikisinin paraları toplamı
21 olduğuna göre, geriye kalanlardan kaçı 22
C) Paraların karelerinin birbirine oranı
yaşındadır?
D) İkisinin paraları toplamından üçüncünün far-
A) 12
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
kı
2.
1988 – ÖSS
1 1
,
sayıları ile
2 3
orantılı olacak şekilde paylaştırılıyor. Payı en az
330 ceviz üç kişi arasında 1,
ESEN YAYINLARI
E) Üçünün paraları toplamı
5.
y 2
x 3
ve
=
=
y 4
z 3
olduğuna göre, x, y, z sırasıyla hangi sayılarla
olan kaç ceviz almıştır?
A) 40
3.
orantılıdır?
B ) 45
D) 55
1989 – ÖSS
C) 50
A) 5, 6, 10
E) 60
B) 4, 5, 6
D) 3, 4, 10
C) 4, 6, 10
E) 3, 4, 6
1988 – ÖSS
a ile b sayılarının aritmetik ortalaması 15, a
6.
1989 – ÖYS
ile c sayılarının aritmetik ortalaması 17, b ile
2x = 3y = 4z
c sayılarının aritmetik ortalaması 23 olduğuna
B ) 27
1 1 1
+ + =1
x y z
göre, c kaçtır?
A) 28
ve
C ) 26
D ) 25
E) 24
A)
1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
187
Oran ve Orantı
7.
1989 – ÖYS
11. 1992 – ÖSS
a ile b nin aritmetik ortalaması 15 tir.
Bir öğrencinin matematik dersindeki üç sınav-
a ile geometrik ortalaması 6c30, b ile geometrik
dan aldığı puanların ortalaması 7 dir. Bu öğ-
ortalaması 6c10 olan sayı nedir?
renci üçüncü sınavdan 8 puan aldığına göre, ilk
A) 27
iki sınavdan aldığı puanların ortalaması kaçtır?
B ) 30
C ) 33
D ) 36
E) 48
A) 5
8.
a c e
= = =2
b d f
B) 3
D) 6,5
E) 7
5
, farkı ise 12 kg
7
İki çocuğun ağırlıkları oranı
olduğuna göre, bu çocukların ağırlıkları toplamı
a.c.f
b.d.e
C) 4
D) 6
kaç kg dır?
E) 8
A) 36
B) 48
C) 60
D) 64
E) 72
ESEN YAYINLARI
A) 2
C) 6
12. 1992 – ÖSS
1990 – ÖYS
olduğuna göre,
B) 5,5
9.
13. 1992 – ÖYS
1991 – ÖSS
K + L + M = 34 ve
K 1
=
ve
L 4
L 1
=
M 3
olduğuna göre, L kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 4
a.c. f
= 1,
b d k
olduğuna göre,
D) 6
E) 8
A)
1
2
B)
1
3
d
=2 ,
f
k
=3
a
b
c
C)
1
6
D) 3
E) 6
14. 1993 – ÖSS
10. 1991 – ÖYS
a, b, c pozitif tam sayılar ve
a b c
= =
ve 3a – b + c = 8
4 2 6
olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük
değeri kaçtır?
A) 1
188
B) 2
C) 3
a
b 2
= 5,
=
c 3
b
D) 4
E) 5
A) 10
B) 15
C) 20
D) 30
E) 45
Oran ve Orantı
15. 1993 – ÖSS
19. 1994 – ÖSS
a sayısı b ile doğru, c ile ters orantılıdır.
x > 0, y > 0, z > 0 ve
x y z
= = , x 2 + y2 + z2 = 200
3 4 5
b = 5 , c = 16 ise a = 9 dur.
Buna göre, b = 25, c = 144 ise a kaçtır?
A) 20
B ) 15
C ) 12
D) 8
olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır?
E) 5
A) 18
C) 24
D) 27
E) 30
20. 1994 – ÖYS
16. 1993 – ÖSS
Toplamları 166 olan 28 sayma sayısı vardır.
Bir musluk boş bir havuzu 12 saatte doldurmak-
Bunlardan bir kısmının ortalaması 7, ötekilerin
tadır. Musluktan birim zamanda akan su miktarı
ortalaması ise 5 tir.
% 20 azaltılırsa boş havuz kaç saatte dolar?
A) 15
B) 21
B ) 16
C ) 17
D ) 18
Buna göre, ortalaması 7 olan sayılar kaç ta-
E) 20
nedir?
B) 16
C) 15
D) 14
E) 13
ESEN YAYINLARI
A) 17
17. 1993 – ÖYS
21. 1995 – ÖSS
3 2
= , 2a + b = 24
a b
15 tane sayının ortalaması 25 tir. Bu sayılara
toplamı 300 olan 10 sayı daha ekleniyor. Buna
A) 14
B ) 12
C ) 10
D) 8
E) 6
göre, yeni ortalama kaçtır?
A) 22
B) 23
C) 24
D) 25
E) 27
18. 1994 – ÖSS
Toplamları 24 olan x , y ve z sayıları sırasıyla
1, 3 ve 4 sayılarıyla orantılıdır. Buna göre,
x2 + z2
y2
A)
11
7
B)
17
9
C) 2
D) 3
E) 4
22. 1995 – ÖYS
a d 1
b+c
olduğuna göre,
ifadesinin eşiti
= =
b c 2
a+d
kaçtır?
A)
1
2
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
189
Oran ve Orantı
23. 1995 – ÖYS
27. 1997 – ÖYS
Bir kitaplıktaki İngilizce kitap sayısının Türkçe
kitap sayısına oranı
5
dir. İngilizce kitap sayısı
11
Puan
1
2
3
4
5
Ö¤renci say›s›
1
5
10
13
3
400 den fazla olduğuna göre, bu kitaplıkta en az
Yukarıdaki tablo bir sınıftaki öğrencilerin ma-
kaç kitap vardır?
tematik sınavında aldığı puanların dağılımını
A) 1094
B ) 1195
D) 1296
göstermektedir. Buna göre, sınıfın bu sınavdaki
C) 1204
puanlarının ortalaması kaçtır?
E) 1397
A) 3
B) 4
C)
29
6
D)
29
7
E)
27
8
24. 1996 – ÖYS
485 m2 lik bir arazi 9 ile doğru orantılı, 2 ve 5 ile
28. 1998 – ÖSS
ters orantılı olarak 3 parçaya ayrılmıştır. Buna
A) 450
B) 400
D) 300
dir?
Bir miktar parayı K, L, M kişileri sırasıyla 2 ve 4
C) 350
E) 200
sayıları ile doğru, 6 ile ters orantılı olarak payESEN YAYINLARI
göre, en büyük parça kaç m
2
laşıyorlar. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi
doğrudur?
A) L, K nın iki katı para alır.
B) M, K nın üç katı para alır.
C) K, L nin iki katı para alır.
D) En çok parayı M alır.
25. 1997 – ÖSS
E) En az parayı K alır.
a c
= = 5 ve 2a + 4c = 100
b d
olduğuna göre, b + 2d işleminin sonucu kaçtır?
A) 30
B ) 20
C ) 15
D ) 10
E) 5
29. 1999 – ÖSS
Etiket numaraları 1, 2, 3, 4 olan dört kutuya etiket
numaralarının kareleriyle orantılı miktarda para
26. 1997 – ÖSS
7 sayının aritmetik ortalaması 19 dur. Bunlardan, aritmetik ortalaması 15 olan 3 sayı
çıkarılıyor. Geriye kalan
4
sayının toplamı
kaçtır?
A) 66
190
B) 68
C ) 76
D ) 78
E ) 88
konuyor. Kutulardaki toplam para 30.000.000
TL olduğuna göre 2 numaralı kutuya kaç TL
konmuştur?
A) 1.000.000
B) 2.000.000
D) 4.000.000
C) 3.000.000
E) 9.000.000
Oran ve Orantı
30. 2000 – ÖSS
34. 2003 – ÖSS
k tane işçinin günde 12 saat çalışmasıyla 20
Bir sınıfta matematik sınavında aldığı puan
günde bitirilebilen bir iş, işçi sayısı artırılarak ve
2, 3 ve 4 olan öğrencilerden 8 kişilik bir grup
günde 10 saat çalışarak 10 günde bitiriliyor. Bu-
oluşturulmuştur. Grupta bu üç puandan her birini
na göre, k aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 11
B ) 10
C) 9
D) 8
alan en az bir öğrenci bulunmaktadır ve grubun
E) 7
25
dir. Bu grupta puanı 3 olan
8
en çok kaç öğrenci bulunabilir?
puan ortalaması
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
31. 2002 – ÖSS
a tanesi
b
TL den satılan kalemlerden
c
35. 2005 – ÖSS
tane satın alınarak d TL ödeniyor. Buna göre,
Birbirinden farklı üç pozitif tam sayının aritmetik
aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
A) ab = cd
B) ac = bd
D) a2b = cd2
ortalaması 45 tir. Bu sayıların en küçüğü, diğer
C) ad = bc
ikisinin ortalamasından 15 eksiktir.
E) a2d = bc2
Buna göre en küçük sayı kaçtır?
B) 30
C) 35
D) 36
E) 40
ESEN YAYINLARI
A) 24
32. 2003 – ÖSS
36. 2008 – ÖSS
Tek tür mal üreten bir atölyede makinelerden
biri a saatte b birim mal üretiyor. Aynı süre
içinde bu makinenin c katı mal üreten başka bir
makine, b birim malı kaç saatte üretir?
A)
a
b
B)
a
c
C)
b
c
D)
a.b
c
E)
b.c
a
Terimleri birbirinden farklı birer doğal sayı ve
artan olan bir dizinin ilk yedi terimi 5, 6, 10, a,
12, b, c dir. Bu sayıların aritmetik ortalaması 11
olduğuna göre, a + b toplamının en büyük değeri
kaçtır?
A) 25
33. 2003 – ÖSS
Bir gruptaki kız sporcuların yaş ortalaması 15,
erkek sporcuların yaş ortalaması 24 tür. Kızların
sayısı erkeklerin sayısının 2 katı olduğuna göre,
B ) 17
C ) 18
D ) 20
C) 28
D) 32
E) 34
37. 2009 – ÖSS
Bir grup işçi, bir işi 3 günde bitiriyor.
İşçi sayısı % 50 azaltılır, günlük çalışma süresi
% 20 artırılırsa aynı iş kaç günde biter?
bu grubun yaş ortalaması kaçtır?
A) 16
B) 27
E) 22
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
191
Oran ve Orantı
38. 2012 – YGS
39. 2012 – YGS
Bir lokantaya giden Ahmet’in 40 TL si, Burak’ın
Bir yabancı dil kursunda A, B ve C sınıflarındaki
30 TL si ve Cenk’in 20 TL si vardır. Bu üç
öğrencilerin yaş ortalaması sırasıyla 20, 26
arkadaş, gelen 63 TL lik hesabı paralarıyla
ve 29 dur. A ile B sınıflarındaki öğrencilerin
doğru orantılı paylaşırsa Ahmet kaç TL öder?
birlikte yaş ortalaması 23, B ile C sınıflarındaki
A) 21
öğrencilerin birlikte yaş ortalaması ise 28 dir.
B ) 24
C ) 25
D ) 27
E) 28
Buna göre, bu üç sınıftaki öğrencilerin tümünün
yaş ortalaması kaçtır?
ESEN YAYINLARI
A) 25,5
192
B) 26
C) 26,5
D) 27
E) 27,5
. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
PROBLEMLER
1. Kazanım: Günlük hayat durumları ile ilgili aşağıda alt başlıklarla ifade edilmiş problemleri çözer ve
kurar.
® Sayı Problemleri
® Kesir Problemleri
® İşçi – Havuz Problemleri
® Yüzde, Faiz, Kâr – Zarar Problemleri
® Karışım Problemleri
® Hareket Problemleri
® Yaş Problemleri
2. ÜNİT
DENKLEM KURMA PROBLEMLERİ
DENKLEM KURMA
Bu konuyu sayı, kesir, yaş, işçi-havuz, yüzde, karışım ve hareket problemleri gibi alt başlıklar altında örneklerle
inceleyeceğiz. Bir problemi çözebilmek için, verilen ifadenin matematiksel olarak yazılmasına denklem kurma
denir. Semboller kullanılarak kurulan denklemlerin çözülmesi ile problemde istenen bulunur.
Örneğin; herhangi bir sayı x olsun.
®
Bir sayının 5 fazlası
: x +5
®
Bir sayının 3 katının karesi
: (3x)2
®
Bir sayının üç katı
: 3x
®
Bir sayının 2 katının 1 eksiği
: 2x – 1
®
Bir sayının üçte ikisi
:
2x
3
®
Bir sayının 2 eksiğinin
®
Bir sayının karesi
: x2
®
Bir sayının karesinin 3 eksiğinin yarısı:
®
Bir sayının karesinin üç katı : 3 x 2
®
İki sayının toplamı 5 ise bu sayılar: x ve 5 – x
®
İki sayıdan birinin 2 katı diğerinin 3 katına eşitse bu sayılar sırasıyla, 3 x ve 2x tir.
®
Bir sayının karesinin 6 eksiği kendisine eşitse, x 2 – 6 = x şeklinde denklemler kurulur.
SAYI PROBLEMLERİ
3
ü
4
: (x – 2).
3
4
x2 – 3
2
ÖRNEK 3
ÖRNEK 1
Bir sayının 3 katının 20 eksiği, sayının yarısına eşit
ise bu sayı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 2
Toplamları 72 olan iki sayıdan biri diğerinin 3 katına
eşit ise bu sayılardan büyük olanı kaçtır?
Çözüm
194
Kilogramı 10 ¨ olan zeytinden 400 gram alan bir kişi
kaç ¨ öder?
Çözüm
Denklem Kurma Problemleri
ÖRNEK 4
ÖRNEK 7
24 kişilik bir sınıfta her öğrencinin 2 veya 3 kalemi
Bir sınıftaki öğrenciler sıralara 2 şer kişi oturunca 8
kişi ayakta kalıyor. Eğer sıralara 3 er kişi otururlarsa
5 sıra boş kalıyor. Buna göre, sınıftaki öğrenci sayısı
kaçtır?
vardır. Toplam kalem sayısı 63 olduğuna göre, 3
kalemi olan kaç öğrenci vardır?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 5
Aybars’ın parası Duru’nun parasının 5 katıdır. Aybars,
Duru’ya 300 lira verirse, Aybars’ın parası Duru’nun
parasının 4 katı oluyor. Buna göre, Aybars’ın başlangıçtaki parası kaç liradır?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 8
Bilet gişesindeki kuyrukta, Duygu baştan onuncu,
Özge sondan onikincidir. Duygu ile Özge arasında 3
kişi bulunduğuna göre,
a.
Bu kuyrukta en az kaç kişi vardır?
b.
Bu kuyrukta en çok kaç kişi vardır?
Çözüm
ÖRNEK 6
Çağrı sınıf listesinde baştan n. sırada, sondan
(2n – 1). sıradadır. Sınıf mevcudu 40 kişi olduğuna
göre, Çağrı baştan kaçıncı kişidir?
Çözüm
195
ALIŞTIRMALAR -
1.
6.
Toplamları 60 olan iki sayıdan biri diğerinin 2
1
Damla, bir merdivenin basamaklarını üçer üçer
katından 6 fazladır. Bu sayılardan büyük olan
çıkıp, ikişer ikişer iniyor. İnerken attığı adım sa-
kaçtır?
yısı çıkarken attığından 4 fazla olduğuna göre,
bu merdiven kaç basamaklıdır?
2.
Bir toplulukta 24 erkek, 18 bayan vardır. Bu
topluluktan kaç evli çift ayrılırsa erkeklerin sayısı
bayanların sayısının 2 katı olur?
7.
Öykü ile Betül’ün paraları toplamı 140 ¨ dir. Öykü, Betül’e 20 ¨ verirse paraları eşit olacağına
göre, başlangıçta Öykü’nün kaç ¨ si vardı?
3.
Bir kumbarada bulunan 25 kuruş ve 50 kuruşduğuna göre, 50 kuruşlukların sayısı kaçtır?
4.
ESEN YAYINLARI
lukların toplam sayısı 15 olup tutarı 5 lira ol8.
4 yanlışın bir doğruyu götürdüğü 50 soruluk bir
sınavda tüm soruları cevaplandıran birinin 37,5
neti olduğuna göre, kaç soruyu yanlış cevaplamıştır?
26 kişinin bulunduğu bilet kuyruğunda Suat baştan 12. sırada, Seçkin ise sondan 18. sıradadır.
Seçkin gişeye Suat’tan daha yakın olduğuna göre, ikisinin arasında kaç kişi vardır?
9.
Barış elindeki cevizleri arkadaşlarına eşit olarak
paylaştırdığında her birine
10 ceviz düşüyor.
Her arkadaşına 7 şer ceviz verince kendine 18
ceviz kalıyor. Barış’ın kaç cevizi vardır?
5.
Bir grup öğrenci sıralara 2 şerli oturunca 7 öğrenci ayakta kalıyor. 3 erli otururlarsa 2 sıra
10. Önce 6 adım ileri sonra 2 adım geri giderek iler-
boş kalıyor. Buna göre, sınıfta kaç öğrenci var-
leyen bir robot en az kaç adım atarsa başladığı
dır?
noktadan 45 adım uzaklaşmış olur?
196
KESİR PROBLEMLERİ
ÖRNEK 11
Su dolu bir bidonun ağırlığı 48 kg dır. Bu bidondaki
ÖRNEK 9
Bir top kumaşın önce
suyun
2
2
i, sonra kalanının
ü satı5
3
2
i kullanılınca ağırlığı 32 kg olduğuna göre,
5
boş bidonun ağırlığı kaç kg dır?
Çözüm
lıyor. Geriye 12 metre kumaş kaldığına göre, kumaşın
tamamı kaç metredir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 12
ÖRNEK 10
Değeri
3
olan bir kesrin payından 3, paydasından 7
5
çıkarılınca kesrin değeri
ilk kesrin paydası kaçtır?
Çözüm
2
e eşit oluyor. Buna göre,
3
2
Bir atlet, belli bir yolun
ini koştuktan sonra, 50
5
metre daha koşarak yolun yarısına gelmiş oluyor.
Buna göre, bu yolun tamamı kaç metredir?
Çözüm
197
ÖRNEK 13
Bir çubuğun
ÖRNEK 15
1
i kesilince orta noktası 6 cm kayıyor.
5
Farklı iki mumdan uzun olanı 4 saatte, kısa olanı
6 saatte eriyip bitmektedir. Bu iki mum aynı anda
yakıldıktan 2 saat sonra boyları birbirine eşit olduğuna göre, mumların yanmadan önceki boyları oranı
nedir?
Buna göre, çubuğun kesilen parçası kaç cm dir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 14
Bir oyun sırasında 4 adım ileri ve 1 adım geri gidiliyor. Bu şekilde ileri ve geri giderek toplam 104 adım
atıldığına göre, başlangıç noktasından kaç adım
ilerlenmiş olur?
Çözüm
ÖRNEK 16
90 cm yükseklikten bırakılan bir top, her seferinde bir
2
önceki yüksekliğinin
ü kadar zıplamaktadır. Top 3.
3
kez yere değdiğinde toplam kaç cm yol alır?
Çözüm
198
ALIŞTIRMALAR -
1.
Payı paydasından 6 fazla olan bir kesrin payına
6.
3, paydasına 2 eklenirse kesrin değeri 2 oluyor.
Buna göre, ilk kesrin payı ile paydasının kareleri
toplamı kaçtır?
2.
3
i boş olan bir su deposunun içinde 40 litre su
5
vardır. Buna göre, deponun tamamı kaç litre su
7.
alır?
2
1
i ile parfüm, kalan parasının
Fatma parasının
5
1
ü ile ayakkabı alıyor. Geriye 80 si kaldığına
3
göre, Fatma ayakkabıya kaç vermiştir?
2
ini ev kirasına, kalan para5
1
sının
ünü mutfak masraflarına ayırıyor. Son
3
durumda işçinin elinde 300 si kaldığına göre,
Bir işçi maaşının
maaşı kaç
2
ünü
36 bilyesi bulunan Can bilyelerinin
3
1
ünü Gökhan’a veriyor. Buna göre,
Korhan’a,
4
Can’ın geriye kaç bilyesi kalır?
8.
ESEN YAYINLARI
3.
dir?
1
Bir manav elindeki limonların ilk gün ünü, ikin4
1
ci gün kalan limonların
ünü, üçüncü gün ise
3
3
kalan limonların
ünü satıyor. Manavın üçün4
cü gün sattığı limonların sayısı, birinci gün sattığı limonların sayısından 12 fazla olduğuna göre,
üçüncü günün sonunda elinde kaç tane limon
4.
kalmıştır?
1
1
ünü Ömer,
ünü Mehmet
4
3
yemiştir. Mehmet’in yediği gofret sayısı Ömer’in
Bir miktar gofretin
yediği gofret sayısından 6 fazla olduğuna göre,
Ömer kaç gofret yemiştir?
9.
Bir öğrenci her gün bir önceki çözdüğü soru sa1
ü kadar daha fazla soru çözüyor. Bu
yısının
4
öğrenci yalnız 3. günde 100 soru çözdüğüne göre, ilk gün kaç soru çözmüştür?
5.
1
ünü sonra
Bir otomobil gideceği yolun önce
4
2
kalan yolun
ünü gidiyor. Otomobilin gitmesi
3
gereken 6 km lik yolu kaldığına göre, bu yolun
tamamı kaç km dir?
10.
1
2
i erkek,
ü kadın ve kalanların da çocuk ol5
3
duğu bir toplulukta, erkekler kadınlardan 6 kişi
fazladır.Buna göre, bu topluluktaki çocukların
sayısı kaçtır?
199
YAŞ PROBLEMLERİ
ÖRNEK 19
Bir kişinin şimdiki yaşını x alırsak,
Bir babanın yaşı, iki çocuğunun yaşları toplamından
k yıl önceki yaşı
: x –k
20 büyüktür. 4 yıl sonra babanın yaşı, çocuklarının
k yıl sonraki yaşı
: x + k olur.
yaşları toplamının 2 katı olacağına göre, baba bugün
kaç yaşındadır?
İki kişinin yaşları arasındaki fark sabittir.
Çözüm
ÖRNEK 17
Ecem ve Gizem’in bugünkü yaşları toplamı 26 olduğuna göre, kaç yıl sonraki yaşları toplamı 42 olur?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 20
ÖRNEK 18
Bir anne ile oğlunun yaşları oranı
7
tür. Oğlu doğ3
duğunda anne 20 yaşında olduğuna göre, annenin
bugünkü yaşı kaçtır?
Çözüm
200
Aysun ile İldeniz’in bugünkü yaşları toplamı 27 dir.
Aysun, İldeniz’in bugünkü yaşında iken İldeniz 3
yaşında idi. Buna göre, Aysun’un şimdiki yaşı kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 21
ÖRNEK 23
1
, Berk’in ya2
2
şının Can’ın yaşına oranı
tür. Ali, Berk’in yaşına
3
geldiğinde Can 32 yaşında olacağına göre, Berk’in
Ali’nin yaşının Berk’in yaşına oranı
şimdiki yaşı kaçtır?
Çözüm
Bir annenin yaşı, iki çocuğunun yaşları farkının 3
katından 4 fazladır. 5 yıl önce, annenin yaşı çocukların yaşları farkının 2 katından 6 fazla ise annenin
bugünkü yaşı kaçtır?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 24
Baba x yılında, kızı y yılında doğmuştur. Babanın
yaşı kızının yaşının 2 katı olduğunda, ikisinin yaşları
toplamı kaç olur?
ÖRNEK 22
Çözüm
Fatma 4 yıl sonra, Deniz 3 yıl önce doğmuş olsalardı
yaşları eşit olacaktı. Fatma ile Deniz’in 5 yıl önceki
yaşları toplamı 35 olduğuna göre, Fatma’nın bugünkü yaşı kaçtır?
Çözüm
201
ALIŞTIRMALAR -
1.
6.
Bir baba ile oğlunun yaşları toplamı, yaşları farkının 4 katından 2 eksiktir. Oğlu babasının ya-
Bir babanın yaşı, üç çocuğunun yaşları toplamına eşittir. 12 yıl sonra, babanın yaşı çocukların
2
katı olacağına göre, babayaşları toplamının
3
nın bugünkü yaşı kaçtır?
şına geldiğinde yaşları farkı 24 olacağına göre,
babanın şimdiki yaşı kaçtır?
2.
3
Anne 39, kızı 4 yaşındadır. Kaç yıl sonra anne7.
nin yaşı kızının yaşının 6 katı olur?
Bir annenin yaşı, iki çocuğunun yaşları farkının 8
katıdır. 6 yıl sonra annenin yaşı, çocukların yaşları farkının 6 katının 24 fazlasına eşit olacaktır.
Buna göre, annenin bugünkü yaşı kaçtır?
3.
Bir baba ile kızının yaşları oranı 3 tür. 5 yıl önce
kaç yaşında idi?
4.
5
katıdır. Ca3
nan Büşra’nın yaşına geldiğinde yaşları toplamı
Büşra’nın yaşı Canan’ın yaşının
48 oluyor. Buna göre, Büşra’nın bugünkü yaşı
ESEN YAYINLARI
bu oran 4 olduğuna göre, kızı doğduğunda baba
8.
8 tane öğrencinin bugünkü yaşları toplamı 120
dir. Buna göre, 6 yıl sonra bu 8 öğrencinin yaş
ortalaması kaç olur?
9.
1996 yılında Ayşe 12, 2004 yılında Fatma 10
yaşındaydı. Buna göre, 2010 yılında Ayşe ile
Fatma’nın yaş ortalaması kaçtır?
kaçtır?
10. Duru ile Sude’nin yaşları toplamı 30 dur. Duru,
5.
Yasin, Lütfi ve Turan’ın bugünkü yaşları toplamı
36 dır. Buna göre, kaç yıl sonra yaşları toplamı
96 olur?
202
Sude’nin yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı 42 olacağına göre, Duru’nun şimdiki yaşı
kaçtır?
İŞÇİ VE HAVUZ PROBLEMLERİ
ÖRNEK 27
İşçi ve havuz problemlerinde birim zamanda yapılan
A makinesi, B makinesinin 3 katı iş gücündedir. İki
iş üzerinden işlem yapılır.
makine birlikte çalıştırılarak bir iş 5 günde bitirilebi-
Örneğin; bir işçi bir işi a günde, ikinci işçi b günde ve
liyorsa, B makinesi ile bu iş kaç günde bitirilebilirdi?
ikisi birlikte x günde yapıyorlarsa,
Çözüm
1 1 1
bağıntısı yazılır.
+ =
a b x
Havuz problemleri de işçi problemleri gibi yorumlanarak çözülür.
Örneğin; birinci musluk bir havuzu a saatte dolduruyor, ikinci musluk b saatte boşaltıyor ve ikisi birlikte x
saatte dolduruyorsa,
1 1 1
bağıntısı yazılır.
– =
a b x
ÖRNEK 28
ÖRNEK 25
bilmektedir. İkisi beraber çalışırsa aynı işi kaç günde
bitirirler?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Bir işi Gökhan 10 günde, aynı işi Ali 15 günde bitire-
Bir işi, eş güçteki 4 usta 3 günde, 3 çırak 6 günde
yapabiliyor. Bu işi 1 usta ile 1 çırak birlikte çalışarak
kaç günde yaparlar?
ÖRNEK 26
Çözüm
Bir işi Duygu 24 günde bitirebilmektedir. Aynı işi
Duygu ve Doğa birlikte 6 günde bitirebildiklerine
göre, Doğa tek başına bu işi kaç günde bitirir?
Çözüm
203
ÖRNEK 29
A
ÖRNEK 31
B
4
Mehmet ile Ahmet bir işi birlikte 15 günde bitiriyorlar.
6 gün beraber çalıştıktan sonra Mehmet işi bırakıyor.
Geri kalan işi Ahmet 24 günde tamamlıyor. Buna
göre, Mehmet hiç çalışmamış olsaydı Ahmet bu işi
kaç günde bitirirdi?
6
C
3
Boş bir havuzu A musluğu 4 saatte, B musluğu 6
Çözüm
saatte dolduruyor. Havuzun dibindeki C musluğu
ise dolu havuzu 3 saatte boşaltıyor. Üç musluk aynı
anda açılırsa boş havuz kaç saatte dolar?
ÖRNEK 30
Boş bir havuz, A ve B muslukları açıkken 4 saatte, A
ve C muslukları açıkken 6 saatte, B ve C muslukları
açıkken 3 saatte dolduğuna göre, üç musluk aynı
anda açılırsa boş havuz kaç saatte dolar?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 32
A
12
B
15
A musluğu boş bir havuzu tek başına 12 saatte
doldurabilmektedir. Havuzun ortasında bulunan B
musluğu ise boşaltabileceği kısmı tek başına 15 saatte boşaltabilmektedir. Buna göre, iki musluk birlikte
açılırsa boş havuz kaç saatte dolar?
Çözüm
204
ALIŞTIRMALAR -
1.
6.
Zeynep bir işin yarısını 6 günde bitirirken Fatma
4
Şekildeki havuzu A mus-
aynı işin tamamını 6 günde bitiriyor. İkisi beraber
luğu 8 saatte doldurabi-
bu işi kaç günde bitirir?
liyor. Havuzun ortasın-
A
B
da bulunan B musluğu
ise dolu havuzun yarısını 6 saatte boşaltıyor.
Havuz boşken A ve B muslukları birlikte açılıyor.
2.
Bir halıyı Mukaddes 6 günde, Öykü 4 günde do-
Buna göre, boş havuz kaç saatte dolar?
kuyabiliyor. İkisi birlikte aynı nitelikteki 5 halıyı
kaç günde dokurlar?
7.
3.
30 saatte, B musluğu
Bir öğrenci 2 saatte 45 soru, bir başka öğrenci
4.
B
(30)
(20)
mektedir. C musluğu
C
ise dolu havuzu x saat-
ESEN YAYINLARI
çalışmaları gerekir?
A
20 saatte doldurabil-
4 saatte 60 soru çözebilmektedir. Aynı nitelikte
300 soruyu çözebilmeleri için birlikte kaç saat
Boş havuzu A musluğu
te boşaltabilmektedir.
(x)
Muslukların üçü birlikte
açıldığında boş havuz 15 saatte dolduğuna göre, x kaçtır?
Bir işi A işçisi 6, B işçisi 8 ve C işçisi 12 saatte bitirebiliyorlar. Üçü birlikte 2 saat çalıştıktan sonra
B işçisi işi bırakıyor. Kalan işi A ve C işçileri kaç
saatte bitirebilirler?
8.
Boş bir havuzu A musluğu 6 saatte, B musluğu
12 saatte doldurmaktadır. A musluğu açılıp 3 saat sonra kapatılırsa, kalan kısmı B musluğu kaç
saatte doldurur?
5.
Üç işçi bir işi beraber 2 günde bitiriyor. İşçilerden
9.
Her biri boş bir havuzu 8 saatte dolduran 3 mus-
biri aynı işi tek başına 4 günde, diğeri 6 günde
luktan biri açılıyor. Bundan sonra her saat başı
bitirdiğine göre, üçüncü işçi aynı işi kaç günde
bir musluk daha açılıyor. Buna göre, 3 saatin so-
bitirir?
nunda havuzun yüzde kaçı dolmuş olur?
205
ÖRNEK 35
YÜZDE VE KÂR-ZARAR PROBLEMLERİ
% 25 zararla satılan bir malın alış fiyatının, satış
fiyatına oranı nedir?
Yüzde deyimi, paydası 100 olan kesirler için kulla21
ifadesi 21 bölü 100 ya da yüzde
100
21 olarak okunur ve % 21 biçiminde de gösterilebilir.
nılır. Örneğin;
Çözüm
Bir malın satışındaki kâr-zarar durumu alış (maliyet)
fiyatı üzerinden hesaplanır. Zam ya da indirim ise
satış fiyatı üzerinden hesaplanır.
Kâr = Satış fiyatı – Alış fiyatı
Zarar = Alış fiyatı – Satış fiyatı
ÖRNEK 36
% 35 kârla 270 liraya satılan bir maldan kaç lira kâr
edilmiştir?
ÖRNEK 33
% 4 ü 7 olan sayı kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 34
A sayısı önce % 40 artırılıyor. Bulunan sayı da % 20
artırıldığında A sayısı yüzde kaç artmış olur?
Çözüm
206
ÖRNEK 37
% 10 zararla 360 ¨ ye satılan bir mal % 25 kârla kaç
¨ ye satılır?
Çözüm
ÖRNEK 38
ÖRNEK 40
Alış fiyatı x lira olan bir mal, y = 2 x – 105 liraya satılırsa % 30 kâr elde ediliyor. Buna göre, bu malın satış
fiyatı kaç liradır?
Çözüm
Bir satıcı 12 tanesini A liraya aldığı limonların tanesiA
liraya satıyor. Buna göre, satıcının kârı yüzde
8
kaçtır?
ni
ÖRNEK 39
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Bir mağaza % 20 indirim yaptığında satışları % 60
artıyorsa bu mağazanın günlük cirosundaki artış
yüzde kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 41
Yıllık % 25 faiz oranı ile bankaya yatırılan 360 ¨
8 ay sonunda kaç ¨ faiz geliri getirir?
Çözüm
207
ALIŞTIRMALAR -
1.
50 ¨ ye alınan bir mal 65 ¨ ye satılıyor. Bu malın
6.
5
Bir mala satış fiyatı üzerinden önce % 20 lik sonra da % 5 lik indirim yapılarak 380 ¨ ye satılıyor.
satışından yüzde kaç kâr edilmiştir?
Bu malın ilk satış fiyatı kaç ¨ dir?
3.
Yıllık % 8 faiz ile bir bankaya yatırılan para, kaç
1
ay sonra kendisinin
i kadar faiz getirir?
15
7.
1
ünü % 10
3
zararla satmıştır. Bütün elmalardan % 40 kâr
Bir manav 90 ¨ ye aldığı elmaların
edebilmesi için kalan elmaları % kaç kârla satılmalıdır?
8.
Bir mağaza mallarını % 20 kârla satarken, satış
fiyatı üzerinden % 50 indirim yaptığında, yüzde
kaç zarar eder?
5.
Bir satıcı 36 ¨ ye sattığı bir maldan alış fiyatının
1
i kadar kâr ediyor. Buna göre, bu malın alış
5
fiyatı kaç ¨ dir?
208
Bir ürün % 24 kârla satılmaktadır. Bu ürün % 20
daha ucuza alınıp aynı satış fiyatı ile satılsaydı
kâr oranı % kaç olurdu?
9.
4.
a ¨ ye alınan bir gömlek % 10 kârla b ¨ ye, c ¨
ye alınan bir ayakkabı % 20 zararla b ¨ ye satılıa
oranı kaçtır?
yor. Buna göre,
c
ESEN YAYINLARI
2.
50 ¨ lik bir mala önce % 20 zam yapılıyor. Daha sonra satışların azalması üzerine zamlı fiyat
üzerinden % 10 indirim yapılıyor. Buna göre,
malın son fiyatı kaç ¨ dir?
10. Bir yatırımcı parasının % 60 ını borsaya, kalanını ise dövize yatırıyor. Yatırımcı borsadan % 50
zarar, dövizden % 60 kâr ettiğine göre, toplam %
kaç kâr veya zarar etmiştir?
KARIŞIM PROBLEMLERİ
ÖRNEK 44
Şeker oranı % 40 olan 90 gram şekerli suya, kaç
gram şeker ilave edilirse şeker oranı % 60 olur?
Çözüm
Karıflım oranı =
aL
%x
+
bL
%y
saf madde
toplam karıflım
=
(a+b) L
%z
y
x
z
a.
+ b.
= (a + b) .
100
100
100
ÖRNEK 45
Tuz oranı % 12 olan 30 litre tuzlu suya, kaç litre saf
su ilave edilirse tuz oranı % 5 e düşer?
Tuz oranı % 30 olan 70 litre tuzlu suyun içinde kaç
litre tuz vardır?
Çözüm
ÖRNEK 43
Tuz oranı % 40 olan 20 litre tuzlu su ile tuz oranı % 60
olan 30 litre tuzlu su karıştırılıyor. Elde edilen karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 42
Çözüm
ÖRNEK 46
Şeker oranı % 18 olan 150 litre çözeltiden kaç litre
su buharlaştırılırsa kalan çözeltinin şeker oranı %
30 olur?
Çözüm
209
ALIŞTIRMALAR -
1.
6.
10 litre süt ile 15 litre su birleştirilirse oluşan karışımın süt oranı yüzde kaç olur?
6
Boş bir havuzu, A musluğu % 40 tuzlu su akıtarak 5 saatte, B musluğu saf su akıtarak 3 saatte
doldurabiliyor. İki musluk birlikte açılarak havuz
doldurulduğunda havuzdaki tuzlu suyun tuz oranı yüzde kaç olur?
2.
60 litre tuzlu sudaki tuz oranını % 10 dan % 60
a çıkarmak için kaç litre su buharlaştırılmalıdır?
7.
1
ü alınarak
4
yerine aynı miktarda tuz ilave ediliyor. Yeni karıTuz oranı % 40 olan bir karışımın
şımın tuz oranı yüzde kaç olur?
Ağırlıkça % 20 si şeker olan 60 gramlık un-şeker
karışımına 20 gram şeker ve 20 gram un eklenirun (g)
oranı kaç olur?
se, yeni karışımın
fle ker (g)
4.
Şeker oranı % 25 olan 6 litre şekerli su ile şeker
oranı % 50 olan 4 litre şekerli su karıştırılıyor.
Buna göre, oluşan yeni karışımın şeker oranı
yüzde kaçtır?
ESEN YAYINLARI
3.
8.
80 litre alkollü suyun alkol oranını % 30 dan
% 20 ye düşürmek için kaç litre su eklenmelidir?
9.
Tuz (kg)
A
B
3
2
3
7
Un (kg)
Yukarıdaki grafikte A ve B kaplarında bulunan
un-tuz karışımlarındaki un ve tuz miktarları verilmiştir. A kabındaki karışımdan 20 kg, B kabın5.
Tuz oranı % 20 olan 180 gramlık bir karışıma
kaç gram tuz ilave edilirse tuz oranı % 25 olur?
210
daki karışımdan 30 kg alınarak elde edilen yeni
karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?
HAREKET PROBLEMLERİ
ÖRNEK 49
Yol = Hız.Zaman
Bir araç A dan B ye doğru saatte 100 km hızla gidip,
Yol = x , Hız = V , Zaman = t ⇒ x = V.t
Ortalama Hız =
hiç durmadan saatte 80 km hızla geri dönüyor. Gidiş-
Toplam Yol
dönüş toplam 18 saat sürdüğüne göre, |AB| kaç km
Toplam Zaman
dir?
Çözüm
ÖRNEK 47
Bir araç 5 saatte gittiği yolu 6 saatte geri dönüyor.
Gidiş hızı geliş hızından saatte 20 km fazla ise yol
kaç km dir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 48
ÖRNEK 50
Aralarında 70 km uzaklık bulunan iki otomobil aynı
anda aynı yönde hareket ediyorlar. Arkadakinin hızı
90 km / h, öndekinin hızı 80 km / h olduğuna göre,
arkadaki otomobil öndekine kaç saat sonra yetişir?
80 km/h
60 km/h
A
B
Çözüm
C
İki hareketli A ve B noktalarından aynı anda, aynı
yönde hareket ediyorlar. A dan hareket edenin hızı
80 km / h ve B den hareket edenin hızı 60 km / h dir. A
dan hareket eden 4 saat sonra C noktasında diğerine
yetiştiğine göre |AB| kaç km dir?
Çözüm
211
ÖRNEK 51
ÖRNEK 53
1
ünü saatte 60 km lik hızla,
3
kalan yolu da saatte 80 km lik hızla gittiğine göre, bu
aracın tüm yol boyunca ortalama hızı saatte kaç km
dir?
Bir araç gideceği yolun
Çözüm
A ve B kentleri arası 630 km dir. A kentinden hızları
70 ve 90 km / h olan iki araç aynı anda B kentine
doğru yola çıkıyor. Hızlı araç B kentine vardığında
yavaş giden aracın daha kaç km yolu kalmıştır?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 54
50 metre uzunluğundaki bir tren sabit hızla I. tüneli
20 saniyede, 100 metre uzunluğundaki II. tüneli 30
ÖRNEK 52
Çevresi 990 m olan çembersel bir pistin bir A noktasından dakikadaki hızları 15 m ve 18 m olan iki hareketli aynı anda ve ters yönde hareket ediyorlar. Buna
göre, kaç dakika sonra ilk kez karşılaşırlar?
Çözüm
212
saniyede geçtiğine göre, I. tünelin uzunluğu kaç
metredir?
Çözüm
7
ALIŞTIRMALAR -
1.
5.
Bir otomobil iki şehir arasını V hızıyla 2 x saat-
Bir hareketli iki nokta arasını a saatte gidiyor.
te alıyor. Diğer bir otomobil aynı yolu 3V hızıyla
Eğer hareketli ortalama hızını saatte 5 km artı-
kaç saatte alır?
rırsa aynı yolu b saatte gidiyor. Buna göre, bu iki
nokta arası uzaklık kaç kilometredir?
2.
İki araç aynı noktadan, zıt yönlerde hareke6.
te başlıyorlar. Araçların hızları 75 km /h ve 85
40 metre uzunluğundaki bir tren işaretli bir nok-
km / h olduğuna göre, hareketlerinden kaç saat
tayı 4 saniyede geçmektedir. Buna göre, aynı
sonra aralarındaki uzaklık 400 km olur?
hızla 60 metre uzunluğundaki bir tüneli kaç sani-
3.
1
olan iki araç, aynı noktadan ve
3
aynı yönde harekete başlıyorlar. 4 saat sonra
Hızları oranı
aralarındaki mesafe 320 km olduğuna göre, ya-
ESEN
YAYINLARI
ESEN
YAYINLARI
yede geçer?
7.
kalanını 80 km/h hızla gidip hiç durmadan 75
km/h hızla geri dönüyor. Gidiş, dönüşten 1 saat fazla sürdüğüne göre, bu araç 80 km/h hızla
vaş giden aracın saatteki hızı kaç km dir?
kaç saat gitmiştir?
8.
4.
A
B
2V
3V
Bir araç 600 km lik yolun bir kısmını 60 km/h,
A
150 km
90 km/h
B
C
60 km/h
A ve B kentlerinden şekilde verilen hızlarla iki
İki otomobil A ve B kentlerinden şekilde veri-
otomobil aynı anda C ye doğru harekete başlı-
len hızlarla aynı anda birbirlerine doğru hareket
yorlar. |AB| = 150 km olduğuna göre, A dan ha-
ediyorlar. Bu iki otomobil yolun ortasından 60 km
reket eden araç B den hareket eden araca kaç
uzakta karşılaştığına göre, |AB| kaç km dir?
saat sonra yetişir?
213
9.
12.
Zaman (saat)
8
A
B
O
8
B
A
6
2
0
O merkezli dairesel pistin çevresi 144 metredir.
A ve B noktalarından dakikadaki hızları sırasıyla
Yukarıda aynı anda ve aynı yönde hareket eden
8 metre ve 6 metre olan iki hareketli aynı anda
A ve B araçlarının yol-zaman grafiği verilmiş-
verilen yönlerde harekete başlıyorlar. Buna gö-
tir. A aracı ile B aracı arasındaki mesafe 8 saat
re, hızlı olan hareketli diğerine yetiştiğinde kaç
sonra 120 km olduğuna göre, x kaçtır?
metre yol almış olur?
13.
A
B
60 km/h
40 km/h
C
Saatteki hızları 60 km ve 40 km olan iki araç sırasıyla A ve B noktalarından aynı anda C ye
doğru harekete başlıyorlar. Arkadaki araç öndeAB
oranı
kine C noktasında yetiştiğine göre,
BC
kaçtır?
Zaman (saat)
ESEN YAYINLARI
10.
Yol (km)
x
4
3
1
0
90
240
360
Yol (km)
Yukarıdaki şekilde bir aracın yol-zaman grafiği
verilmiştir. Buna göre, bu aracın ortalama hızı
kaç km/h dir?
14. Bir bisikletli saatte ortalama 30 km hızla yol al11. Bir yüzücü dalgalara karşı dakikada 10 metre,
maktadır. Her yarım saatte bir 10 dakika dinlen-
dalga yönünde ise dakikada 16 metre yüzebil-
diğine göre, bu bisikletli 4 saatte kaç metre yol
mektedir. Bu yüzücü 52 dakika suda kaldığına
alır?
göre, sahilden en çok kaç metre açılmıştır?
214
1.
Ali ile Barış’ın paraları toplamı 450
Barış’a
25
4.
dir. Ali,
verirse Barış’ın parası Ali’nin
Buna göre, ilk durumda Ali’nin parası kaç
Bir satıcı bir malı % 10 kârla 99
yıl önceki yaşı ile babasının
4
oranı nedir?
dir?
5.
ye, başka bir
Bir karışımdaki tuz oranını % 30 dan % 25 e
indirmek için kullanılan su miktarının, aynı karı-
bu iki alışveriş sonucundaki kâr-zarar durumu
şımın tuz oranını % 30 dan % 40 a çıkarmak
nedir?
için kullanılan tuz miktarına oranı nedir?
Satış fiyatı üzerinden % 16 indirim yapılınca
ESEN YAYINLARI
ye satıyor. Satıcının
malı da % 10 zararla 99
3.
4
bugünkü yaşının babasının 2 yıl önceki yaşına
parasının 2 katı olacaktır.
2.
Ahmet’in
yıl sonraki yaşının çarpımı 31 ise, Ahmet’in
6.
A dan 2a km/h, B den 3a km/h hızlarla
kârı % 12 ye inen bir malda indirimli fiyattan
iki taşıt karşılıklı olarak aynı anda harekete
önceki kârı yüzde kaç olarak hesaplanmıştır?
geçtiklerinden
4
saat sonra karşılaşıyorlar.
Karşılaştıkları nokta yolun orta noktasından 20
km uzakta olduğuna göre, A ile B kentleri arası
kaç km dir?
215
7.
Bir çırak 3 günde 4 masa, bir usta 2 günde 5
9.
Bir işçi çalıştığı iş yerinden yılda 4000 ¨ para
masa ve bir kalfa 5 günde 8 masa yapabiliyor.
ile bir takım elbise almaktadır. 8 ay çalışan
Üçü birlikte çalışarak 163 masayı kaç günde
bu işçi bir takım elbise ile 2500 ¨ para alarak
yapabilirler?
ayrıldığına göre, bir takım elbisenin değeri kaç ¨
8.
3
si kesilirse, telin orta noktası
7
9 cm kayıyor. Buna göre, telin tamamı kaç cm
Bir telin ucundan
dir?
ESEN YAYINLARI
dir?
10. Dolu bir tüpgaz 20 kg gelmektedir. Bu tüpgaz
bir eve 24 gün yetmektedir. 8 gün sonra bu
tüp tartıldığında 16 kg gelmiştir.
Buna göre, boş tüpün ağırlığı kaç kg dır?
216
TEST 1.
1
Sayı Problemleri
5.
Yarısı kendisinden 18 eksik olan sayı nedir?
A) 36
B ) 45
C ) 54
D ) 60
Bir sayının 4 fazlasının 3 te 2 si, bu sayının 5
katının 1 fazlasının 6 da birine eşittir. Bu sayı
E) 72
nedir?
A) 15
2.
6.
Bir sayının 5 te birinin 5 eksiği 6 da birine eşittir.
B ) 100
C ) 125
D ) 150
C) 20
D) 22
E) 26
Bir miktar para 12 kişiye eşit olarak paylaştırılacaktır. Paylaşmaya 4 kişi katılmaz ise
Bu sayı nedir?
A) 75
B) 18
katılanların herbiri 40 lira fazla alacağına göre,
E) 175
paylaştırılacak para kaç liradır?
B) 800
C) 840
D) 900
E) 960
ESEN YAYINLARI
A) 760
3.
Bir sayının 4 te birinin 5 fazlası, 3 te birinin 3
eksiğine eşittir. Bu sayı nedir?
A) 76
B ) 80
C ) 84
D ) 92
E) 96
7.
Bir torbada 6 sarı, 5 kırmızı ve 8 beyaz bilye
vardır. Torbadan en az kaç bilye alınmalıdırki iki
tanesi kesinlikle beyaz olsun?
A) 10
8.
4.
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
Bir torbada 60 sarı, 60 kırmızı bilye vardır. Bu
Bir sayının 5 te biri ile 8 de birinin toplamı,
torbadan en az kaç bilye alınırsa kesinlikle iki
yarısından 14 eksiktir. Bu sayı nedir?
tanesi aynı renk olur?
A) 120
B ) 100
C ) 80
D ) 60
E) 40
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
217
9.
Bir öğrenci elindeki parasıyla, 10 kalem ile 4 silgi
13. Bir kuzu bir çayırın ortasındaki kazığa 2 m’lik
ya da sadece 12 kalem alabiliyor. Öğrenci, bu
bir iple bağlanıyor. Kuzu bu alandaki otları 2
parayla kaç tane silgi alabilir?
günde yiyebiliyor. Kuzuya 8 gün yetecek kadar
B ) 18
A) 16
C ) 20
D ) 24
bir otlama alanı ayırmak için, ip kaç metre daha
E) 30
uzun bağlanmalıdır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
10. Bir grup çocuk aralarında yazı-tura oyunu oynuyorlar. Oyunun kuralı şöyledir. “O ynayan çocuk
yazı atarsa 2 bilye kaybediyor, tura gelirse 1
14. Bir otobüs kuyruğunda Ayşe baştan 12 inci,
bilye kazanıyor ” . Oyuna 8 bilye ile katılan bir
Fatma ise sondan 12 inci sıradadır. Ayşe ile
çocuğun üçüncü atış sonrasında toplam bilye
Fatma arasında 3 kişi olduğuna göre, otobüs
sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
kuyruğunda en az kaç kişi vardır?
B) 8
C) 7
D) 5
11. Bir çiftlikte bulunan tavukların ayak sayısı ineklerin ayak sayısından 6 fazladır. Çiftlikteki tavuk ve
ineklerin sayıları toplamı 15 olduğuna göre, kaç
B) 20
C) 22
D) 24
E) 27
15. Gizem elindeki kalemleri 10 arlı paket yapmak
yerine 12 şerli paket yapınca paket sayısı 4
tavuk vardır?
B) 8
A) 7
A) 19
E) 2
ESEN YAYINLARI
A) 11
C) 9
D ) 10
E) 11
azalıyor. Buna göre Gizem’in kaç kalemi vardır?
A) 240
B) 200
C) 180
D) 160
E) 120
12. Bir sınıftaki erkek öğrencilerin sayısı, kızların sayısının a katıdır. Bu sınıftan 2 erkek,
16. Bir lokantada 240 ¨ lik hesap 4 kişi arasında şu
2 kız çıkartıldığında erkeklerin sayısı kızların
şekilde paylaştırılıyor. 1. kişi diğerlerinin ödedi-
sayısının b katı oluyor. Buna göre, sınıftaki kız
ği toplam paranın yarısını, 2. kişi diğerlerinin
1
ini, 3. kişi diğerlerinin
ödediği toplam paranın
4
1
ini ödüyor.
ödediği toplam paranın
3
öğrencilerin sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
A)
2 (1 – b)
a–b
D)
218
B)
2 (1 + b)
a+b
a–b
a+b
C)
E)
a+b
b+1
2a + b
2 (a + b)
Buna göre, 4. kişi kaç ¨ ödemiştir?
A) 48
B) 50
C) 52
D) 58
E) 60
TEST 1.
2
Kesir Problemleri
Bir kesrin payı paydasından 3 fazladır. Bu kesrin
5.
payına 3 eklenir ve paydasından 1 çıkarılırsa,
değeri 2 oluyor. Bu kesrin payı kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D ) 10
1
ünü harcadıktan sonra;
4
80 ¨ daha harcayınca tüm parasının yarısını
Özlem parasının
harcamış oluyor. Buna göre, Özlem’in harcadığı
E) 11
toplam para kaç liradır?
A) 160
2.
Fatma parasının yarısı ile kitap,
6.
C ) 15
D ) 20
E) 30
1
ünü sonra geriye kala3
A) 350
B) 400
C) 450
D) 500
E) 600
Paydası payının 2 katının 1 fazlasına eşit olan bir
kesrin payına 2 eklenir paydasından 5 çıkarılırsa
kesrin değeri 1 e eşit oluyor. Bu kesrin paydası
7.
kaçtır?
A) 11
B ) 12
C ) 13
D ) 14
2
u kesilince orta nokta 3 cm
9
kayıyor. Buna göre, çubuğun kesilen parçası
Bir çubuğun
kaç cm dir?
E) 15
A) 3
4.
E) 240
nın da
ESEN YAYINLARI
3.
Özge parasının önce
D) 220
1
sını harcayınca 250 ¨ parası kalıyor.
6
Tüm parası kaç liradır?
liraya almıştır?
B ) 10
C) 200
1
ü ile defter
4
alıyor. Geriye 10 lirası kaldığına göre, kitabı kaç
A) 5
B) 180
Bir kesrin payı paydasının 2 katının 5 fazlasına
eşittir. Kesrin değeri
A) 18
B ) 27
9
ise kesrin payı kaçtır?
4
C ) 36
D ) 45
E) 54
8.
B) 4
C) 6
D) 8
E) 9
Bir demir çubuk 7 eşit parçaya bölünmüştür.
Eğer parçalar 5 cm daha kısa olsaydı 12 eşit
parçaya bölünecekti. Çubuğun boyu kaç cm dir?
A) 72
B) 76
C) 80
D) 84
E) 90
219
9.
Bir çubuğun yarısı 7 eş parçaya, diğer yarısı 5
13. Bir bayii elindeki biletlerin birinci gün 12 tanesini,
eş parçaya bölünüyor. Uzun ve kısa parçalar
ikinci gün 15 tanesini, üçüncü gün 18 tanesini
2
ü kalıyor. Başsatıyor. Geriye tüm biletlerin
3
langıçtaki bilet sayısı kaçtır?
arasındaki fark 6 cm ise çubuk kaç cm dir?
A) 105
B ) 135
C ) 165
D ) 180
E) 210
A) 90
10. Bir sınıftaki kızların sayısının erkeklerin sayısına
3
dir. Kızlardan 3, erkeklerden 5 kişi sınıforanı
7
2
oluyor. Başlangıçta sıtan ayrılınca bu oran
5
nıfta kaç kişi vardır?
B ) 50
C ) 40
D ) 30
C) 120
D) 135
E) 150
14. Bir postacı uğradığı her sokakta elindeki mektup1
inden 4 fazlasını dağıtmaktadır. Üçüncü
2
sokağa uğradıktan sonra elinde 5 mektup kaldıların
ğına göre, postacı kaç mektup dağıtmıştır?
E) 20
A) 86
B) 91
C) 95
D) 96
E) 104
ESEN YAYINLARI
A) 60
B) 105
11. 9 bin lirayı A ile B paylaşıyor. A nın payının
yarısı, B nin payının
2
i dir. A kaç bin lira
5
almıştır?
A) 2
15. Bir sınıftaki erkek öğrencilerin sayısı, kız öğrencilerin sayısının iki katının üç eksiğidir. Sınıfa 6
erkek, 5 kız öğrenci daha katılınca, erkeklerin
3
i olmaktadır.
sayısı, sınıftaki öğrenci sayısının
5
Buna göre, son durumda sınıfta kaç öğrenci
vardır?
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
A) 35
B) 38
C) 40
D) 42
E) 45
16. A sınıfının beşte ikisi B sınıfına geçince A ve
12. Bir sınıftaki öğrencilerin
1
ü sarışın ve sarışın
3
B sınıflarının mevcutları eşit oluyor. Buna göre,
A sınıfının mevcudu B sınıfının mevcudunun
olmayanların sayısı 12 ise sınıf mevcudu kaçtır?
kaç katıdır?
A) 15
A)
220
B ) 18
C ) 20
D ) 22
E) 24
5
2
B)
5
3
C)
5
4
D) 5
E) 6
TEST 1.
3
Yaş Problemleri
5.
Duygu ve Doğa’nın bugünkü yaşları toplamı 26
Mustafa babasının yaşına geldiği zaman babası-
olduğuna göre, 6 yıl sonraki yaşları toplamı kaç
nın yaşı Mustafa’nın yaşının 3 katından 43 eksik
olur?
olacaktır. Mustafa ile babasının şimdiki yaşları
A) 32
B ) 36
C ) 38
D ) 40
toplamı kaçtır?
E) 42
A) 43
2.
Bir babanın yaşı iki kızının yaşları toplamından
6.
6 fazladır. Kaç yıl sonra babanın yaşı kızlarının
C ) 10
D ) 12
D) 49
E) 51
Bugünkü yaşları 2 ve 3 ile orantılı olan iki kargöre, küçüğünün bugünkü yaşı kaçtır?
E) 14
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
ESEN YAYINLARI
B) 8
C) 47
deşin, 5 yıl sonraki yaşları toplamı 35 olacağına
yaşları toplamından 4 yaş küçük olur?
A) 6
B) 45
7.
3.
Gökhan ve Ali’nin yaşları farkı 5 dir. 3 yıl önce
orantılıdır. 3 yıl sonra yaşları toplamı 36 olacağı-
Gökhan’ın yaşı Ali’nin yaşının 2 katı olduğuna
na göre, en küçük çocuğun bugünkü yaşı kaçtır?
göre, Gökhan’ın bugünkü yaşı kaçtır?
A) 3
A) 8
4.
Üç çocuğun yaşları sıra ile 2 , 3 ve 4 sayılarıyla
B) 9
C ) 10
D ) 13
1
ve
3
toplamı 24 ise büyüğü kaç yaşındadır?
B ) 16
C ) 18
D ) 20
C) 6
D) 9
E) 12
E) 15
İki kardeşin yaşlarının birbirine oranı
A) 14
B) 4
8.
Bir annenin yaşı 43, iki çocuğunun yaşları toplamı 14 tür. Kaç yıl sonra annenin yaşı çocukların
yaşları toplamının 2 katı olur?
E) 22
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
221
9.
Doğa ile annesinin yaşlarının toplamı 48 dir.
13. Yaşları toplamı, yaşları farkının 3 katına eşit
2 yıl önce annesinin yaşı Doğa’nın yaşının 3 katı
olan iki kardeşin a yıl sonraki yaşları farkı 9
olduğuna göre, Doğa şimdi kaç kaşındadır?
olduğuna göre, büyük kardeşin bugünkü yaşı
A) 12
B ) 13
C ) 14
D ) 15
nedir?
E) 16
A) 27
B) 18
C) 12
D) 9
E) 6
10. Bugünkü yaşları toplamı 378 olan bir grubun
14. 43 yaşındaki bir babanın 3 çocuğu vardır.
iki yıl önceki yaş ortalaması 16 dır. Buna göre,
Çocuklarının ikisi ikizdir. Büyük olan çocuk
grupta kaç kişi vardır?
ikizlerden 4 yaş daha büyüktür. 3 yıl sonra
A) 18
B ) 19
C ) 20
D ) 21
çocuklarının yaşları toplamı babanın yaşına eşit
E) 22
olacağına göre, büyük çocuğun bugünkü yaşı
kaçtır?
B) 15
C) 18
D) 20
E) 21
ESEN YAYINLARI
A) 14
11. Yaşları 4 ten büyük olan 3 kardeşin bugünkü
yaşları toplamı 28 olduğuna göre, 4 yıl önceki
yaşları toplamı kaçtı?
A) 8
B ) 12
C ) 16
D ) 20
E) 24
15. Bir annenin yaşı büyük kızının yaşının 2 katı,
küçük kızının yaşının 3 katından 5 eksiktir. Anne
ve kızlarının yaşları toplamı 64 olduğuna göre,
annenin yaşı kaçtır?
A) 32
B) 34
C) 36
D) 38
E) 42
16. Bir annenin yaşı, büyük oğlunun yaşının 3
katı, küçük oğlunun yaşının 5 katıdır. Büyük oğlu
12. Fuat ve Soner’in bugünkü yaşları toplamı 48
şimdiki yaşının iki katı olduğu zaman annenin
dir. Fuat 3 yıl önce, Soner 1 yıl sonra doğmuş
yaşı küçük oğlunun yaşının 3 katından 8 eksiktir.
olsaydı, 2 yıl sonraki yaşları toplamı kaç olurdu?
Annenin bugünkü yaşı nedir?
A) 51
222
B ) 52
C ) 53
D ) 54
E) 55
A) 36
B) 32
C) 30
D) 27
E) 26
TEST 1.
İşçi – Havuz Problemleri
5.
Gökhan ve Doğa bir işi birlikte 8 günde biti-
Aynı işi Doğa tek başına 24 günde bitirebiliyor.
bitirdiğine göre, Doğa tek başına kaç günde
Ali ile Gökhan işe başladıktan 3 gün sonra işi bı-
bitirir?
rakırlarsa, kalan işi Doğa kaç günde tamamlar?
B ) 12
C ) 14
D ) 16
E) 18
A) 9
6.
Bir işi Barış 12 günde, Savaş 18 günde bitiriyor.
C ) 30
D ) 32
Bir usta 3 saatte 5 gömlek, çırağı ise 4 saatte
E) 18
A nın bir günde yaptığı iş B nin bir günde yaptığı
günde bitirir?
A) 9
7.
B) 8
C) 6
D)
9
2
E)
3
2
gömlek dikiyorlar. Kaç saat birlikte çalışmışlar-
A ve B işçileri beraber bir işi 12 günde yapıyorlar.
1
A işçisi 2 gün, B işçisi 3 gün çalışırsa işin
ini
5
dır?
yapıyorlar. A tek başına bu işi kaç günde bitirir?
2 gömlek dikebiliyor. İkisi birlikte çalışarak 26
A) 8
4.
D) 15
işi 1 günde bitiriyorlar. Bu işi A tek başına kaç
E) 36
ESEN YAYINLARI
B ) 24
C) 12
bir günde yaptığı işin üçte biridir. Üçü birlikte bir
rine göre, Zafer tek başına kaç günde bitirir?
A) 20
B) 10
işin yarısıdır. B nin bir günde yaptığı iş ise C nin
Aynı işi Barış, Savaş ve Zafer 6 günde bitirdikle-
3.
Ali ile Gökhan bir işi birlikte 8 günde yapabiliyor.
riyorlar. Bu işi Gökhan tek başına 24 günde
A) 10
2.
4
B) 9
C ) 10
D ) 12
E) 15
x
günde bi3
tiriyor. Aynı işi, birlikte 5 günde bitirdiklerine
Mehmet bir işi x günde, İbrahim ise
A) 30
8.
B) 20
C) 18
işçi günlük çalışma saatini 3 saat artırırsa işi 10
günde bitirebilecektir. Buna göre, işçinin günlük
çalışma süresi kaç saattir?
A) 10
A) 8
C ) 20
D ) 25
E) 30
E) 12
Bir işçi bir işi 15 günde bitirebilmektedir. Eğer bu
göre, Mehmet tek başına kaç günde bitirir?
B ) 15
D) 15
B) 7,5
C) 7
D) 6
E) 5
223
9.
A, B ve C üç işçidir. A, B’nin yarısı, B’de C’nin üç
13. Bir A musluğunun 6 saatte doldurduğu havuzu
katı hızla çalışıyor. A ile B birlikte bir işi 24 günde
B musluğu 9 saatte boşaltıyor. Havuz boş iken
yapmaktadır. B ile C birlikte aynı işi kaç günde
önce A musluğu, 3 saat sonrada B musluğu
yaparlar?
açılıyor. B musluğunun açıldığı andan 2 saat
A) 8
B ) 14
C ) 16
D ) 27
sonra havuzun kaçta kaçı boştur?
E) 36
A)
2
3
ünü bitiriyorlar. Kalan işi Ömer tek başına 6
10. Ali ile Ömer 8 gün birlikte çalışarak bir işin
1
9
C)
1
18
D)
11
18
E)
5
6
Havuzun altındaki B musluğu ise dolu havuzu 8
saatte boşaltıyor. Musluklar aynı anda açılırsa,
kaç günde bitirir?
boş havuz kaç saatte dolar?
C ) 18
D ) 24
E) 36
A) 24
ESEN YAYINLARI
B ) 16
B)
14. Boş bir havuzu A musluğu 6 saatte dolduruyor.
günde bitiriyor. İşin tamamını Ali yalnız çalışarak
A) 12
7
18
B) 30
C) 36
D) 42
E) 48
15. İki boru, bir su deposunu birlikte açıldıklarından
11. Boş bir havuzu A ve B muslukları 12 saatte
12 saat sonra dolduruyorlar. Borulardan birincisi
dolduruyor. A musluğu havuzu B musluğunun
boş depoyu yalnız başına 20 saatte doldurdu-
doldurma zamanının üçte biri kadar daha fazla
ğuna göre, ikinci boru boş depoyu yalnız başına
zamanda doldurduğuna göre, A musluğu havu-
kaç saatte doldurur?
zu kaç saatte doldurur?
A) 21
B ) 24
C ) 25
A) 20
D ) 28
12. Boş bir havuzu A musluğu 4 saatte, B musluğu
ise 3 saatte dolduruyor. İki musluk birlikte 1 saat
akarsa, havuzun doluluk oranı ne olur?
A)
224
3
7
B)
4
7
C)
1
4
D)
1
3
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
E) 42
E)
7
12
16. Boş bir havuzu iki musluktan birincisi 10 saatte,
4
si
ikincisi 14 saatte doldurmaktadır. Havuzun
7
dolu iken musluklar birlikte açılıyor. Havuz kaç
saatte dolar?
A) 2
B) 2,5
C) 3
D) 3,5
E) 4
TEST 1.
6
Karışım Problemleri
5.
% 80 i alkol olan 9 litre karışımın alkol oranını
suyuna kaç gram su ilave edilirse şeker oranı %
katılmalıdır?
5 olur?
A) 1
B ) 1,5
C) 2
D ) 2,5
E) 3
A) 600
6.
2.
Şeker oranı % 15 olan 400 gramlık meyve
% 60 a düşürmek için bu karışıma kaç litre su
B) 700
C) 750
D) 800
E) 900
Şeker oranı % 10 olan 80 litre meyve suyu ile
Tuz oranı % 45 olan 60 kg lık tuzlu sudan kaç kg
şeker oranı % 15 olan kaç litre meyve suyu
su buharlaştırılmalıdır ki tuz oranı % 50 olsun?
karıştırılırsa elde edilen karışımın şeker oranı
A) 4
% 13 olur?
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10
B) 100
C) 110
D) 120
E) 130
ESEN YAYINLARI
A) 90
3.
Alkol oranı % 40 olan 10 litre karışıma kaç litre
saf alkol ilave edilirse, yeni karışımın alkol oranı
7.
% 60 olur?
A) 4
4.
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Tuz oranı % 20 olan 20 kg karışıma 5 kg saf tuz
x
gram tuz katılırsa, karışımın
4
tuz oranı yüzde kaç olur?
x gram saf suya
A) 10
8.
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
180 gram tuzlu su karışımında su oranı % 75 tir.
ilave edilirse, yeni karışımın tuz oranı yüzde kaç
Bu karışımın su oranını % 60 a düşürmek için
olur?
kaç gram tuz ilave edilmelidir?
A) 25
B ) 28
C ) 30
D ) 33
E) 36
A) 30
B) 35
C) 40
D) 45
E) 50
227
9.
13. % 45 bakır içeren 12 kg lık bir bakır çinko
% 25 lik 30 kg şeker çözeltisine % 40 lık kaç kg
karışımına kaç kg çinko eklenmelidir ki elde
şeker çözeltisi katarsak karışım % 35 lik olur?
A) 50
B ) 60
C ) 70
D ) 80
edilen yeni karışım % 40 bakır içersin?
E) 100
A) 7,5
B) 6
C) 4,5
D) 3
E) 1,5
Elde edilen karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?
1
i tuz olan 60 kg tuzlu suya kaç kg saf tuz ka5
3
tılmalıdır ki elde edilecek yeni tuzlu suyun
ü
4
döküldüğünde kalanın % 60 ı tuz olsun?
A) 40
A) 20
10. % 40 ı su olan tuzlu suyun
1
ü boşaltılıyor ve
4
14.
aynı miktarda % 60 ı tuz olan su ilave ediliyor.
C ) 50
D ) 55
E) 60
ESEN YAYINLARI
B ) 45
B) 30
C) 40
D) 50
E) 60
15. Aynı miktarda % 30 luk A karışımı ile % 70 lik
11. % 20 lik 2 x kg karışım, % 40 lık 3x kg karışım
B karışımı vardır. A nın % 70 i ile B nin % 30
ve % 60 lık 5 x kg karışım karıştırıldığında yeni
u karıştırılınca elde edilen yeni karışım yüzde
karışımın oranı yüzde kaç olur?
kaçlık olur?
A) 32
B ) 35
C ) 40
D ) 46
E) 52
A) 28
B) 34
C) 35
D) 42
E) 56
16. Tuz oranı % 20 olan 150 litre tuzlu su ile, 50 litre
12. % 20 lik 90 kg tuzlu suyun % 20 si dökülerek
tuzlu su karıştırılıyor. Karışımın tuz oranı % 25
yerine su konuyor. Yeni karışımın tuz oranı
olduğuna göre, ikinci karışımın tuz oranı yüzde
yüzde kaç olur?
kaçtır?
A) 14
228
B ) 15
C ) 16
D ) 18
E) 24
A) 30
B) 40
C) 45
D) 50
E) 55
TEST 1.
7
Hareket Problemleri
5.
A’dan B’ye gidecek bir sürücü otomobilinin
Bir bisikletli 48 km lik yolu saatte 8 km hızla gi-
hızını 10 km/h artırırsa yolu 5 saatte, 10 km/h
dip, durmadan saatte 12 km hızla geri dönüyor.
azaltırsa yolu 6 saatte gideceğini hesaplıyor. A
Bisikletlinin gidiş-dönüşteki ortalama hızı saatte
ve B arası kaç km dir?
kaç km dir?
A) 600
B ) 550
C ) 500
D ) 450
E) 440
A) 9
6.
B) 9,4
C) 9,6
D) 10
E) 10,4
Aralarındaki uzaklık 480 km olan iki noktadan
aynı anda karşılıklı olarak yola çıkan iki araçtan
2.
Bir sürücü A kentinden B kentine saatte 60 km
birinin saatteki hızı diğerininkinin 3 katıdır. Araç-
hızla gidip, 70 km hızla geri dönmüştür.
lar hareketlerinden 2 saat sonra karşılaştıklarına
Gidiş 1 saat daha uzun sürdüğüne göre, kentler
göre, yavaş giden aracın saatteki hızı kaç km
arası kaç km dir?
dir?
B ) 420
C ) 440
D ) 480
A) 50
E) 500
ESEN YAYINLARI
A) 400
B) 60
7.
C) 70
D) 80
60
E) 90
40
C
A
B
Hızı saatte 60 km olan bir hareketli A noktasın3.
dan, hızı saatte 40 km olan diğer bir hareketli B
Bir hareketlinin A’dan B’ye gidip, tekrar A’ya
noktasından birbirine doğru aynı anda hareket
dönmesi için geçen zaman 9 saattir. Dönüş hızı,
ediyorlar ve C gibi bir noktada karşılaşıyorlar.
gidiş hızının 2 katı olduğuna göre, bu hareketli
A’dan hareket eden, karşılaştıklarından 2 saat
A’dan B’ye kaç saatte gitmiştir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
sonra B noktasına vardığına göre, A ile B arası
E) 7
kaç km dir?
A) 300
8.
B) 320
C) 360
D) 400
E) 480
A kentinden B kentine saatteki hızı 50 km olan
bir kamyon hareket ediyor. Bundan iki saat
4.
Hızları saatte 80 km ve 90 km olan iki hareketli,
sonra saatteki hızı 80 km olan bir otobüs de
A kentinden B kentine doğru aynı anda hareket
A dan B’ye hareket ediyor. Otobüs B kentine
ediyor. Hızlı giden B kentine yarım saat erken
kamyondan 1 saat önce vardığına göre, A ile B
vardığına göre, A ve B kentleri arası kaç km dir?
arası kaç km dir?
A) 320
B ) 340
C ) 350
D ) 360
E) 380
A) 360
B) 400
C) 460
D) 480
E) 520
229
9.
13. Bir araç 180 km lik yolun tamamını 5 saatte
1
ünü 2 saatte gittiğine göre, yolu
gidiyor. Yolun
3
zamanında bitirebilmesi için kalan yoldaki hızı
Bir araç A ile B arasını 5 saatte gidebiliyor.
Eğer hızını saatte 20 km artırsaydı, araç A ve B
arasını 3 saatte gidebilecekti. Buna göre, A ve B
arası kaç km dir?
A) 150
B ) 140
C ) 130
D ) 120
öncekinden kaç kilometre fazla olmalıdır?
E) 100
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
E) 20
10. A kentinde aynı yerden, aynı yönde birer saat
ara ile yola çıkan üç aracın hızları sırayla 45,
14. Bir araba iki kent arasındaki yolu 5 saatte alıyor.
60 ve V km/h dir. Üç araç B kentine aynı anda
Eğer hızını 20 km/h azaltırsa aynı yolu 7 saatte
vardıklarına göre, V kaçtır?
B ) 75
C ) 80
D ) 85
alıyor. Bu iki kent arası kaç km dir?
E) 90
A) 350
11. A ve B kentleri arası 360 km dir. A’dan B’ye
doğru aynı anda hareket eden iki arabanın hız-
ESEN YAYINLARI
A) 70
B) 300
15. Saatteki hızları
C) 250
60 km
D) 200
ve
E) 150
80 km
olan
iki kamyon aynı anda A kentinden B kentine
ları farkı 15 km /h dir. Hızlı olan B’ye vardığında
hareket ediyorlar ve durmadan geri dönüyorlar.
diğerinin varmasına 60 km vardır. Yavaş olan B
Hareketlerinden 6 saat sonra karşılaştıklarına
ye kaç saatte varmıştır?
göre, A ile B kentleri arası kaç km dir?
A) 3,6
B ) 3,8
C) 4
12. O merkezli çemberde hız-
D ) 4,2
V1
A) 350
E) 4,8
B) 400
C) 380
16. Bir traktörün arka tekerleğinin çevresi, ön te•
iki hareketli oklar yönünde
O
harekete başladıktan 28 sn
B
V2
sonra 2. kez karşılaşıyor-
kerleğin çevresinin 3 katıdır. Traktör 390 m yol
aldığında arka tekerlek, ön tekerlekten 120 az
dönüş yapıyor. Traktör 520 m yol alırsa arka
lar. Buna göre çemberin çevresi kaç m dir?
tekerlek kaç dönüş yapar?
A) 704
A) 60
230
C ) 528
E) 420
A
ları toplamı 44 m/s n olan
B ) 616
D) 440
D ) 512
E) 480
B) 80
C) 85
D) 90
E) 100
1.
2000 – ÖSS
5.
1
tür.
3
3
5 yıl sonra bu oran
olacağına göre, Murat ile
7
annesinin bugünkü yaşları toplamı kaçtır?
Su ile dolu bir sürahinin ağırlığı a gramdır. Su1
ü boşaltılınca, sürahinin ağırlığı b gram
yun
3
olmaktadır. Buna göre, boş sürahinin ağırlığı kaç
Murat ve annesinin bugünkü yaşları oranı
gramdır?
A) a – 2b
B ) 2a – b
D) 3b – 2a
2.
A) 60
C ) 2b – a
2000 – ÖSS
6.
C) 50
D) 45
E) 40
2000 – ÖSS
Bir bilgi yarışmasında, kurallara göre, yarışma-
a sayısı b sayısının % 16 sı, b sayısı da c
cılar her doğru cevaptan 40 puan kazanıyor, her
sayısının % 25 idir. Buna göre, a sayısı c sa-
yanlış cevaptan 50 puan kaybediyor. 30 soruya
yısının yüzde kaçıdır?
A) 8
A) 18
B ) 20
C ) 22
D ) 24
E) 26
7.
2000 – ÖSS
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
ESEN YAYINLARI
göre, doğru cevapların sayısı kaçtır?
2000 – ÖSS
Ali bir bilet kuyruğunda baştan n. sırada, sondan
Bir gezi grubundaki bayanların sayısı erkeklerin
( 2n – 2 ). sıradadır. Kuyrukta 81 kişi olduğuna
sayısının % 40 ıdır. Bu grupta bulunan bayanla-
göre, Ali baştan kaçıncı kişidir?
rın sayısı 20 den fazla olduğuna göre, erkeklerin
A) 28
B ) 30
C ) 32
D ) 33
sayısı en az kaçtır?
E) 34
A) 55
4.
B) 55
E ) 3b – a
cevap veren bir yarışmacı 300 puan kazandığına
3.
2000 – ÖSS
B) 54
C) 50
D) 44
E) 33
2000 – ÖSS
Uzunlukları aynı olan iki mum aynı anda yanmaya başladığında, biri 2 saatte, diğeri 3 saatte
tamamıyla yanarak bitmektedir. Bu iki mum aynı
anda yakıldıktan kaç saat sonra, birinin boyu
1
ü olur?
diğerinin boyunun
3
1
A)
7
6
B)
7
10
C)
7
8.
2000 – ÖSS
Ağırlıkça % 70 i şeker olan un-şeker karışımından x kg, % 45 i şeker olan başka bir un-şeker
karışımından ise y kg alınarak % 65 i şeker olan
yeni bir karışım elde ediliyor. Buna göre x, y nin
12
D)
7
13
E)
7
kaç katıdır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 7
237
9.
2000 – ÖSS
13. 2001 – ÖSS
1
i su ile
5
doluyken b gramdır. Bu kabın tamamı su ile do-
Bir araç K kentinden M kentine saatte 42 km
Bir kabın ağırlığı boşken a gram,
hızla gitmiş ve saatte V km hızla dönmüştür. Bu
gidiş dönüşte aracın ortalama hızı saatte 48 km
luyken ağırlığı kaç gramdır?
olduğuna göre, V kaçtır?
A) 48
B ) 50
C ) 52
A) 5b – 4a
D ) 54
E) 56
B) 5b – a
D) 5a + b
C) 4a – b
E) 4a + 5b
14. 2001 – ÖSS
10. 2001 – ÖSS
Bir satıcıdaki kırmızı topların her biri K TL ye,
mavi topların her biri M TL ye, siyah topların
60 yolcusu olan bir otobüsten 2 bayan 3 erkek
5
inince bayanların sayısı erkeklerin sayısının
6
sı oluyor. Buna göre, ilk durumda otobüsteki ba-
herbiri S TL ye satılmaktadır. 4 kırmızı ve 2 mavi
topa ödenen toplam para 5 siyah topa ödenen
paraya eşit; 2 siyah ve 2 mavi topa ödenen
yan sayısı kaçtır?
B ) 25
toplam para 3 kırmızı topa ödenen paraya eşittir.
C ) 27
D ) 35
E) 37
Buna göre, 1 kırmızı ve 4 mavi topa ödenen
ESEN YAYINLARI
A) 22
11. 2001 – ÖSS
toplam para kaç siyah topa ödenen paraya
eşittir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
Bir benzin tankının içinde bir miktar benzin
vardır. Tanka 300 litre benzin ilave edilirse tan5
kın
u doluyor. Oysa tanka benzin konmayıp
9
1
tanktan 100 litre benzin boşaltılırsa tankın
u
9
dolu olarak kalıyor. Buna göre, tankın tamamı
B ) 600
C ) 700
D ) 800
E) 900
365 günlük bir yıldaki Cumartesi ve Pazar
günleri sayısının toplamı en çok kaçtır?
238
B ) 103
katıdır. Kızı annenin bugünkü yaşına geldiğinde
ikisinin yaşları toplamı 85 olacağına göre, anne-
A) 24
B) 30
C) 36
D) 42
E) 48
16. 2001 – ÖSS
12. 2001 – ÖSS
A) 102
Bir annenin bugünkü yaşı, kızının yaşının 6
nin bugünkü yaşı kaçtır?
kaç litre benzin alır?
A) 500
15. 2001 – ÖSS
C ) 104
D ) 105
E) 106
Çayın kilogramı a TL dir. Çaya % 20 zam yapıldığında a TL ye kaç kilogram çay alınabilir?
A)
4
5
B)
5
6
C)
2a
5
D)
5a
6
E)
6a
7
17. 2001 – ÖSS
20. 2001 – ÖSS
x > 0 olmak üzere bir malın etiket fiyatı x +
dur. İndirimli fiyatı
x
10
Sabit hızla giden A ve B hareketlilerinin yol –
zaman grafiği aşağıdaki gibidir.
33x
olduğuna göre, etiket fi50
Yol (metre)
yatı üzerinden yapılan indirim yüzde kaçtır?
A) 22
B ) 33
C ) 38
D ) 40
A
B
60
E) 44
30
2
3
Zaman (dakika)
Bu iki hareketli, çevre uzunluğu 30 metre olan
dairesel bir pistte aynı noktadan, aynı anda ve
aynı yönde, grafikteki hızlarıyla hareket etseler
hareketlerinden kaç dakika sonra ilk kez yan
yana gelirler?
A) 7
18. 2001 – ÖSS
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
A kg şeker, B kg un ile karıştırılıyor. Bu karışımın
A)
100
A+B
B)
D)
A.B
A+B
100.A
A+B
C)
E)
100.B
A+B
A+B
100
ESEN YAYINLARI
ağırlıkça yüzde kaçı şekerdir?
21. 2002 – ÖSS
A
x
B
C
19. 2001 – ÖSS
130
1
ünde onarım
3
yapılmaktadır. Yolun düzgün kısmında saatte
170
A ve B kentleri arasındaki yolun
D
90
y
E
Şekildeki satır ve sütunların kesişiminde verilen
V km hızla giden bir araç, onarım olan kısmında
sayılar, bulundukları satır ve sütunun belirttiği iki
V
km hızla gitmiştir. Bu koşullarda A ile
4
kent arasındaki yolun km cinsinden uzunluğunu
B kentleri arasındaki yolun tamamını 12 saatte
daki yol 130 km dir. A, B, C, D, E kentleri aynı
giden bu araç, onarım yapılan kısmı kaç saatte
yol üzerinde ve yazılan sırada olduğuna göre,
gitmiştir?
x + y kaçtır?
saatte
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
E) 9
göstermektedir. Örneğin, A ile D kentleri arasın-
A) 90
B) 100
C) 120
D) 130
E) 140
239
22. 2002 – ÖSS
26. 2002 – ÖSS
Belirli bir yükseklikten bırakılan bir top, yere
62 kalem, 5 lik, 6 lık ve 8 lik gruplara ayrılarak
vuruşundan sonra bir önceki düşüş yüksekliğinin
2
u kadar yükselmektedir. Top yere üçüncü
9
paketlenmiştir. Toplam paket sayısı 11 olduğuna
göre, içinde 5 kalem olan paket sayısı en çok
kaçtır?
vuruşundan sonra 8 cm yükseldiğine göre,
A) 6
başlangıçta kaç cm den bırakılmıştır?
A) 621
B ) 628
C ) 720
D ) 729
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
E) 738
23. 2002 – ÖSS
Bir kültürdeki bakteri sayısı her 1 saatlik süre
sonunda iki katına çıkmaktadır. Başlangıçta 128
27. 2002 – ÖSS
tane bakterinin bulunduğu bu kültürde 12 saatin
y (litre)
sonunda kaç bakteri olur?
B) 219
C ) 218
D ) 215
E) 212
50
45
40
ESEN YAYINLARI
A) 220
60
24. 2002 – ÖSS
400 üyeli bir parlamento 3 partiye mensup milletvekillerinden oluşmuştur ve her partinin milletvekili sayısı birbirinden farklıdır. Bu parlamentoda
güvenoyu için en az 201 oy gerekmektedir.
Güvenoyu için herhangi iki partinin milletvekili
sayıları toplamı yeterli olduğuna göre, parlamentodaki en küçük partinin milletvekili sayısı en az
K
0
L
1
x (saat)
Yukarıdaki grafik sabit hızla hareket eden K ve L
araçlarının yolda geçen süreye göre depolarında
kalan benzin miktarını göstermektedir.
Hareketlerinden kaç saat sonra, bu araçların
depolarında kalan benzin miktarı eşit olur?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
kaç olabilir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
28. 2002 – ÖSS
25. 2002 – ÖSS
a tanesi b TL den satılan kalemlerden c tane
Ahmet ile Hasan’ın bugünkü yaşları toplamı
satın alınarak d TL ödeniyor. Buna göre, aşağı-
54 tür. Ahmet, Hasan’ın bugünkü yaşındayken
dakilerden hangisi her zaman doğrudur?
Hasan 18 yaşında olduğuna göre, Ahmet bugün
A) ab = cd
B ) ac = bd
D) a2b = cd2
240
C ) ad = bc
E) a2d = bc2
kaç yaşındadır?
A) 28
B) 29
C) 30
D) 32
E) 34
29. 2002 – ÖSS
32. 2003 – ÖSS
a TL ye alınan bir mal alış fiyatı üzerinden % 20
A
kârla b TL ye, etiket fiyatı b TL olan bir mal da
C
B
% 20 indirimle c TL ye satılıyor. Buna göre, a, b,
c arasındaki ilişki aşağıdakilerden hangisidir?
A) c < a < b
B) c < b < a
D) a = b < c
Hızları saatte 80 km ve 120 km olan iki araç A
C) a < b < c
kentinden B kentine doğru aynı anda hareket
ediyor. Hızlı olan araç B ye varıp hiç durmadan
E) a = c < b
geri dönüyor ve C noktasında diğer araçla
karşılaşıyor. Buna göre,
A)
1
2
B)
1
3
C)
BC
AC
2
3
oranı kaçtır?
D)
1
4
E)
3
4
Bir sınıftaki erkeklerin sayısının kızların sayısına
3
oranı
dir. Erkeklerin % 20 si futbol oynadığına
7
göre, futbol oynamayan erkeklerin sayısı tüm
sınıfın % kaçıdır?
A) 16
B ) 18
C ) 20
D ) 22
E) 24
ESEN YAYINLARI
30. 2002 – ÖSS
33. 2003 – ÖSS
Taşımacılık yapan bir firma 300 milyar TL ödeyerek fiyatları 15 milyar, 25 milyar ve 30 milyar
TL olan araçlardan toplam 12 adet satın alıyor.
Fiyatı 15 milyar ve 25 milyar TL olan araçlardan
eşit sayıda alındığına göre, fiyatı 30 milyar TL
olan araçtan kaç tane alınmıştır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
31. 2002 – ÖSS
Uzunlukları sırasıyla 1 km ve 900 m olan
iki tünelden, birincinin bitiş noktasıyla ikincinin
başlangıç noktası arasındaki uzaklık 14 km dir.
Uzunluğu 100 m, saatteki hızı 80 km olan bir
tren, birinci tünele girdiği andan kaç dakika
B ) 15
C ) 16
D ) 18
Oya 12 yaşında, Gül x yaşındadır.
Gül
3x + 10
E) 20
yaşına geldiğinde, Oya kaç
yaşında olur?
A) x + 10
sonra ikinci tünelden tamamen çıkar?
A) 12
34. 2003 – ÖSS
B) x + 14
D) 2x + 10
C) x + 24
E) 2x + 22
241
35. 2003 – ÖSS
39. 2004 – ÖSS
Ali ile Burak, birlikte çalışarak 10 saatte bitirebi-
Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısının % 48 i,
2
üne eşittir. Bu
3
sınıfta en az kaç öğrenci vardır?
lecekleri bir işi yapmaya başlıyorlar. İkisi birlikte
erkek öğrencilerin sayısının
4 saat çalıştıktan sonra Ali işi bırakıyor. Geriye
kalan işi Burak 9 saatte bitirdiğine göre, bu işin
A) 42
tümünü Ali tek başına kaç saatte bitirebilirdi?
A) 30
B ) 26
C ) 25
D ) 24
B) 43
C) 45
D) 48
E) 60
E) 18
40. 2004 – ÖSS
80 koltuklu bir tiyatro salonunun a sayıda koltuğuna oturulduğunda boş kalan koltukların sayısı
a + 4 , b sayıda koltuğuna oturulduğunda ise boş
36. 2003 – ÖSS
kalan koltukların sayısı a + 14 tür. Buna göre, b
5
2
sine eşittir. Bu mal, % kaç kârla satılmaktadır?
Bir malın alış fiyatının 3 katı, satış fiyatının
B ) 25
C ) 30
D ) 35
A) 24
B) 26
C) 28
D) 30
E) 32
E) 40
ESEN YAYINLARI
A) 20
kaçtır?
37. 2003 – ÖSS
41. 2004 – ÖSS
Bir bakkal kilogramını 600 000 TL den aldığı yaş
A torbasındaki topların % 64 ü, B torbasındaki
sabunları kurutarak kuru sabunların kilogramını
topların da % 36 sı beyazdır. Bu iki torbadaki
1 200 000 TL den satıyor. Bakkal bu satıştan
topların tümünün % 48 i beyaz olduğuna göre,
% 60 kâr elde ettiğine göre, 1 kilogram yaş
A torbasındaki top sayısının, B torbasındaki top
sabun kuruyunca kaç gram olmuştur?
sayısına oranı kaçtır?
1
A)
2
1
B)
4
3
C)
4
4
D)
5
5
E)
6
A) 800
B) 820
C) 850
D) 880
E) 900
42. 2004 – ÖSS
Aralarındaki yol 450 km olan A ve B kentlerinden
aynı anda, sabit hızla birbirine doğru hareket
38. 2003 – ÖSS
eden iki araç 2,5 saat sonra karşılaşıyor. Bu iki
% 30 u su olan a litrelik bir karışıma 20 litre daha
araçtan birinin hızı değiştirilmediğine göre, diğe-
su ilave ediliyor. Elde edilen yeni karışımın % 50
rinin saatteki hızı kaç km artırılırsa karşılaşma,
si su olduğuna göre, a kaçtır?
hareketten 2 saat sonra gerçekleşir?
A) 20
242
B ) 25
C ) 40
D ) 50
E) 55
A) 25
B) 30
C) 35
D) 40
E) 45
43. 2004 – ÖSS
47. 2004 – ÖSS
Bir fabrika % 72 kapasiteyle ve günde 15 saat
Bir alıcı, bir kumaşın satış fiyatından % 10
çalıştırıldığında 10 günde ürettiği miktardaki
indirim yapıldığında elindeki parayla indirimsiz
ürünü, % 90 kapasiteyle ve günde 12 saat çalış-
fiyattan alabileceği kumaştan 20 cm daha fazla
tırılırsa kaç günde üretir?
kumaş alabiliyor. Bu alıcının elindeki parayla
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
indirimli fiyattan alabileceği kumaş kaç cm dir?
E) 10
A) 200
B) 210
C) 220
D) 250
E) 280
44. 2004 – ÖSS
200 metrelik bir koşuda birinci gelen atlet koşuyu
48. 2004 – ÖSS
ikinciden 10 metre, üçüncüden de 29 metre
Aslı, Hakan ve Tolga’nın bugünkü yaşları top-
önde bitirmiştir. Buna göre, ikinci gelen atlet
lamı 72 dir. Aslı, Hakan’ın bugünkü yaşına
koşuyu üçüncüden kaç metre önde bitirecektir?
geldiğinde, Tolga’nın yaşı da Hakan’ın yaşının
( Atletlerin sabit hızla koştukları varsayılacaktır.)
A) 19,5
B ) 20
C ) 20,5
D ) 21
iki katı olacaktır. Buna göre, Hakan’ın bugünkü
E) 21,5
yaşı kaçtır?
45. 2004 – ÖSS
Ahmet ve Barış bir işi birlikte 6 saatte bitiriyor.
Barış aynı işi tek başına Ahmet’in tek başına
ESEN YAYINLARI
A) 12
B) 16
C) 18
D) 24
E) 32
49. 2005 – ÖSS
bitirebileceğinden 5 saat erken bitiriyor. Buna
1977 yılında doğan bir matematikçi, yaşını soran
göre, Barış bu işi tek başına kaç saatte bitirir?
bir arkadaşına, “Bugünkü yaşım doğum yılımın
A) 10
B ) 13
C ) 16
D ) 18
E) 20
rakamlarının toplamına eşit.” yanıtını veriyor.
Buna göre, bu konuşma hangi yılda yapılmıştır?
A) 2000
B) 2001
D) 2003
C) 2002
E) 2004
46. 2004 – ÖSS
Bir belediye, abonelerinden kullandıkları ilk
10 m3 suyun her bir m3 ü için sabit bir ücret,
10 m3 ten sonraki her bir m3 ü için ise öncekinden
farklı ve yine sabit bir ücret almaktadır. Buna
3
göre, 18 m su kullandığında 28 000 000 TL,
24 m
3
su kullandığında ise 40 000 000 TL
3
50. 2005 – ÖSS
Bir araç A kenti ile B kenti arasındaki yolu
ortalama v km/saat
hızla giderek 16 saatte
alıyor. Bu araç aynı yolun yarısını ortalama
ödeyen bir abone, yalnızca 1 m su kullandığın-
2v km/saat hızla aldıktan sonra, tüm yolu yine
da kaç TL öder?
16 saatte tamamlamak için yolun kalan kısmını
A) 800 000
B) 1 000 000
ortalama kaç km/saat hızla gitmelidir?
C) 1 200 000
D) 1 300 000
A)
E) 1 400 000
v
4
B)
3v
4
C)
v
3
D)
2v
3
E)
243
v
2
51. 2005 – ÖSS
54. 2005 – ÖSS
Üretim miktarının, işçi sayısı ve günlük çalışma
Aşağıdaki daire grafiğinde, A , B , C ve D olmak
süresiyle doğru orantılı olduğu bir fabrikada gün-
üzere dört fakültesi bulunan bir üniversitedeki
lük çalışma süresi % 20 azaltılıyor. Bu fabrikada
öğretim elemanlarının fakültelere dağılımı gös-
aynı üretim miktarının elde edilebilmesi için işçi
terilmiştir.
sayısı % kaç artırılmalıdır?
A ) 20
B ) 22,5 C ) 25
B
D ) 27,5
E) 40
A
45°
C
D
B fakültesindeki öğretim elamanı sayısı A dakinden 90, C fakültesindeki de B dekinden
45 fazladır. D fakültesindeki öğretim elemanı
sayısıysa A dakinin iki katıdır. Buna göre, A
fakültesindeki öğretim elamanı sayısı kaçtır?
52. 2005 – ÖSS
Canan, önce günde 10 sayfa okuyarak bir
2
kitabın
ini, sonra da günde 12 sayfa okuyarak
5
kalan kısmını bitiriyor. Canan kitabın tamamını
36 günde okuduğuna göre, kitap kaç sayfadır?
A ) 360
B ) 400
C ) 420
D ) 435
E) 450
ESEN YAYINLARI
A) 55
B) 60
C) 65
D) 70
E) 75
55. 2005 – ÖSS
Kahve fiyatının çay fiyatından % 50 daha fazla
olduğu bir pastanedeki iki masada sadece çay
ve kahve içilmiştir. Bu masalardan birincisinde
x tane çay, y tane kahve; ikincisinde ise y tane
çay, x tane kahve içilmiştir. İkinci masa birinci
x
masadan % 25 fazla ödeme yaptığına göre,
y
oranı kaçtır?
A)
7
2
B)
5
2
C)
3
2
D) 2
E) 3
53. 2005 – ÖSS
Bir tüccarın, aldığı iki maldan A ya ödediği para
B ye ödediği paranın yarısı kadardır. Bu tüccar A
malını % 10 zararla, B malını % 50 kârla satıyor.
Tüccarın bu satıştan elde ettiği kâr % kaçtır?
A ) 15
B ) 25
C ) 30
D ) 45
E) 55
56. 2006 – ÖSS
Aynı evde oturan bir grup arkadaş ev kirasını
eşit olarak paylaşıyor. Eve yeni bir arkadaş
gelince kira için kişi başına düşen para % 20
azaldığına göre, yeni arkadaşın gelmesiyle evde
oturan kişi sayısı kaç olmuştur?
A) 3
244
B) 5
C) 6
D) 8
E) 9
57. 2006 – ÖSS
61. 2007 – ÖSS
2
ü aynı sayının 5
Hangi sayının 3 eksiğinin
3
eksiğine eşittir?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
Dört kardeş 114 TL yi paylaşıyor. Bu paylaşmada
birinci kardeş ikinciden 1 TL, ikinci üçüncüden
2 TL, üçüncü döndürcüden 3 TL fazla alıyor.
E) 12
Buna göre, en fazla para alan kaç TL almıştır?
A) 27
58. 2006 – ÖSS
C) 29
D) 31
E) 38
62. 2007 – ÖSS
2
ü ile 3 gömlek ve 2 kravat,
3
kalan parasıyla da 1 gömlek ve 3 kravat alabili-
Bir müşteri aldığı tişört için kasiyere bir miktar
Ahmet parasının
para vermiştir. Kasiyer, tişört fiyatındaki TL
ve Kr bölümlerini karıştırmış ( örneğin tişört
yor. Buna göre, bir gömleğin fiyatı bir kravatın
16,05 TL ise kasiyer, fiyatı 5,16 TL olarak
fiyatının kaç katıdır?
A) 2
B) 28
B) 3
görmüş) ve müşteriye 4,80 TL yerine yanlışlıkla
C) 4
D) 5
19,65 TL para üstü vermiştir. Tişörtün ger-
E) 6
çek fiyatıyla kasiyerin gördüğü fiyatın toplamı
55,55 TL olduğuna göre, müşteri kasiyere kaç
TL vermiştir?
59. 2006 – ÖSS
A) 60
B) 55
C) 50
D) 45
E) 40
60 km hızla gidip, hiç mola vermeden saatte
ortalama 80 km hızla dönerek yolculuğu 7 saatte
tamamlıyor. Bu iki kent arasındaki uzaklık kaç
km dir?
A ) 240
B ) 280
C ) 300
D ) 320
E) 360
ESEN YAYINLARI
Bir araç, iki kent arasındaki yolu saatte ortalama
63. 2007 – ÖSS
Bir tüccar, tanesi 45 TL den belirli sayıda gömlek
satın alıyor. Kendisine verilen faturada, ödenen
miktarın ilk ve son rakamları silik çıktığı için bu
tutarın yalnızca •92• biçiminde dört basamaklı
bir sayı olduğu okunabiliyor. Tüccarın tek sayıda
gömlek aldığı bilindiğine göre, silik çıkan iki
60. 2006 – ÖSS
rakamın toplamı kaçtır?
Bir mağazada pantolon p, kazak k, tişört t TL
den satılmaktadır. Aşağıdaki tablodan Defne,
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Engin ve Mutlu’nun bu mağazadan aldıkları
pantolon, kazak, tişört sayıları gösterilmiştir.
Ald›¤› Giysi Say›s›
Pantolon
Kazak
Tiflört
Defne
2
1
1
Engin
1
1
2
Mutlu
1
2
1
Aldıkları giyisiler için en az parayı Engin, en
çok parayı Mutlu ödediğine göre, aşağıdaki
sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) p < t < k
B) k < t < p
D) t < p < k
64. 2007 – ÖSS
Sabit bir hızla yürüyen İrem, evden okula gi1
derken yolun
ünü yürüdüğünde matematik
3
defterini yanına almadığını fark ediyor. İrem
yoluna devam ederse dersin başlamasından
4 dakika önce, eve dönerek defterini alıp tekrar
yola çıkarsa dersin başlamasından 4 dakika
sonra okula varacağına göre, ev ile okul arasını
kaç dakikada almaktadır? (Dönüşlerdeki zaman
C) k < p < t
E) t < k < p
kayıpları önemsenmeyecektir.)
A) 10
B) 12
C) 14
D) 15
E) 16
245
65. 2007 – ÖSS
68. 2008 – ÖSS
Bir aracın duruş mesafesi, frene basıldığı an-
Bir poliklinikte bir doktora 50 hasta, bir hemşi-
daki hızının karesiyle doğru orantılıdır. Bu araç
reye de 25 hasta düşmektedir. Bu poliklinikteki
saatte 60 km hızla giderken duruş mesafesi
doktor, hemşire ve hasta sayılarının toplamı 318
20 m olduğuna göre, saatte 90 km hızla gider-
olduğuna göre, doktor sayısı kaçtır?
ken duruş mesafesi kaç m dir?
A) 2
A) 30
B ) 45
C ) 50
D ) 60
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
E) 72
69. 2008 – ÖSS
Bilge, otobüse binerek okuluna gitmek istiyor.
66. 2007 – ÖSS
Bilge’nin 1. durağa olan uzaklığının, 2. durağa
2
tür.
olan uzaklığına oranı
3
Badem, çekirdek, fıstık ve leblebi karıştırılarak
bir kuruyemiş paketi hazırlanmıştır. Aşağıdaki
tabloda bu paketteki çekirdek, fıstık ve leblebinin
ağırlıklarıyla çekirdeğin ağırlıkça yüzde oranı
verilmiştir.
V=30km/h
A¤›rl›¤›
(g)
40
500
F›st›k
300
Leblebi
250
Bu paketteki bademin ağırlıkça yüzde oranı
kaçtır?
B ) 15
C ) 16
D ) 18
E) 24
bir
yazar
1
hangisine doğru yürürse yürüsün, saatteki hızı
30 km olan otobüsle aynı anda o durakta bulunduğuna göre, Bilge’nin yürüme hızı saatte kaç
km dir? (Bilge 2. durağa doğru yürüdüğünde,
otobüsün 1. durakta durmadığı varsayılacaktır.)
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
1 defter ve 1 kalemin fiyatı 5 TL, 3 defter ve 2
2
kalemin fiyatı 14 TL olduğuna göre, bir defterin
kasa çekmecesinin 1 ve
2 numaralı gözlerindeki
8 TL
15 TL
paraların tutarı birbirine
eşittir; 3 ve 4 numaralı
gözlerindeki
2. durak
70. 2008 – ÖSS
67. 2007 – ÖSS
yüzlü
ESEN YAYINLARI
Çekirdek
Dört
Bilge
Otobüsün geldiğini gören Bilge, duraklardan
Badem
A) 12
1. durak
Yüzde oran›
(%)
paraların
fiyatı kaç TL dir?
A) 2
3
5 TL
4
B) 2,5
C) 3
D) 3,5
E) 4
? TL
tutarı da birbirine eşittir.
Bu çekmecenin 1 ve 3 numaralı gözlerinin
her birine a TL, 2 ve 4 numaralı gözlerinin her
birine de b TL tutarında para konulunca şekilde
71. 2008 – ÖSS
Bir satıcı bir malı % 15 zararla 4250 TL ye
belirtilen tutarlar elde ediliyor. Buna göre, 4
satmıştır. Satıcı, aynı malı 6250 TL ye satsaydı
numaralı gözde son durumda kaç TL vardır?
% kaç kâr elde ederdi?
A) 7
A) 15
246
B ) 10
C ) 12
D ) 13
E) 14
B) 20
C) 25
D) 30
E) 35
72. 2008 – ÖSS
75. 2009 – ÖSS
1
Üç kamyondan birincisinin yükünün
ü ikinci
4
kamyona aktarılıyor. İkinci kamyonun bu yükü
1
ü de üçüncü kamaldıktan sonraki yükünün
3
yona aktarılıyor. Son durumda, kamyonların
20
A
C) 3
D) 4
C
|BC| = 25 km
lama 60 km hızla giderek a dakikada C kentine
varıyor. Bu araç, B kentine kadar saatte ortalama 40 km hızla gitseydi yine toplam a dakikada
üçüncü kamyondaki yük kaç tondur?
B) 2
B
A kentinden hareket eden bir araç, saatte orta-
üçünde de 6 ton yük olduğuna göre, başlangıçta
A) 1
|AB| = 20 km
25
C kentine varmak için B ile C arasındaki yolu
E) 5
saatte ortalama kaç km hızla gitmeliydi?
A) 75
B) 80
C) 90
D) 100
E) 105
73. 2008 – ÖSS
Bir yarısı ince diğer yarısı kalın olan 20 metre
ESEN YAYINLARI
uzunluğundaki bir ip her iki ucundan aynı anda
yakılıyor.
Ateşin ilerleme hızı ipin ince tarafında saniyede
2 metre, kalın tarafında ise 1 metre olduğuna
göre, ipin tamamının yanması kaç saniye sürer?
A) 8
B) 7
C)
19
3
D)
17
2
E)
76. 2009 – ÖSS
Bir çobanın koyunları ya iki ya da üç kuzu doğurmuştur. İki kuzulu doğumlarda kuzuların % 75 i,
üç kuzulu doğumlardaysa kuzuların % 50 si
yaşamıştır. Bu çobanın doğum yapan 28 koyunu
olduğuna göre, toplam kaç kuzusu yaşamıştır?
A) 35
B) 36
C) 39
D) 42
E) 45
15
2
74. 2008 – ÖSS
77. 2009 – ÖSS
Mehmet’in elinde yeterli sayıda 1 TL, 10 TL ve
Bir pantolonu 50 TL, bir gömleği ise 30 TL ye
100 TL lik banknotlar vardır. Mehmet 299 TL
satan bir mağaza her bir pantolon ya da gömlek
tutarındaki bir ödemeyi, bu banknotlardan her
alana bir adet mendil hediye etmektedir. Buna
birini en az bir kez kullanmak şartıyla kaç farklı
göre, toplam 310 TL lik pantolon ve gömlek alan
biçimde yapabilir?
bir müşteri en fazla kaç hediye mendil alabilir?
A) 28
B ) 29
C ) 30
D ) 42
E) 43
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
247
78. 2009 – ÖSS
81. 2010 – YGS
Alan(m2)
Bir otomobil lastiği satıcısı, lastiklerde % 25
Boya(kg)
mevsim sonu indirimi uyguladığında bir günde
80
satılan lastik sayısının % 40 arttığını görüyor.
48
Buna göre, satıcının kasasına bir günde giren
18
saat
3
para yüzde kaç artmıştır?
3
I. grafik
saat
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
II. grafik
Yukarıdaki doğrusal grafiklerden birincisi zamana bağlı olarak bir boya ustasının boyadığı duvar
alanını, ikincisi ise yine zamana bağlı olarak
ustanın boya kutusunda kalan boya miktarını
göstermektedir. Bu boya ustası, 48 kg boyanın
tümüyle kaç m2 lik duvar boyayabilir?
A) 94
B ) 106
C ) 108
D ) 114
82. 2010 – YGS
E) 128
Bir çiftçi 5, 9, 12, 15, 23 ve 45 litrelik altı
bidonun beş tanesini ayçiçeği yağı ve zeytinyağı
ile doldurmuştur. Bidonlara koyduğu ayçiçeği
yağı miktarı zeytinyağı miktarının 4 katıdır. Buna
79. 2009 – ÖSS
k ≥ 4 olmak üzere, x TL para, k kişi yerine k – 3
kişiye eşit olarak dağıtılırsa her kişiye kaç TL
fazla para düşer?
A)
x
k (k + 3)
B)
2k
k (k + 3)
C)
x
k (k – 3)
D)
2x
k (k – 3)
E)
3x
k (k – 3)
ESEN YAYINLARI
göre, boş kalan bidon kaç litreliktir?
A) 5
B) 9
C) 12
D) 15
E) 23
83. 2010 – YGS
Bir güreş müsabakasına katılan dört sporcunun
ağırlıkları bir hafta aralıkla ölçülmüştür. Sporcuların ikinci ölçümdeki ağırlıklarının birinci ölçüme
göre değişimi aşağıdaki grafikte verilmiştir.
De¤iflim (kg)
2,5
1
Sporcu
80. 2010 – YGS
Bir manav, limonları, her birinde 12 limon bulu-
– 3,5
–4
nan filelerle almış ve üçer üçer satmıştır. Manav
bir file limonu 5 TL ye almış ve 3 adet limonu
Sporcuların ağırlıklarının ortalaması ilk ölçümde
2 TL ye satmıştır. Bu manav 4 file limonun
56 kilogram olduğuna göre, ikinci ölçümde kaç
satışından kaç TL kâr elde etmiştir?
kilogramdır?
A) 6
248
B) 8
C) 9
D ) 10
E) 12
A) 53
B) 54
C) 55
D) 57
E) 58
84. 2010 – YGS
87. 2011 – YGS
Bir mağaza sahibi, tüm ürünlerde etiket fiyatı
Bir işi 5 kadın işçi 20 günde, 5 erkek işçi ise 30
üzerinden % 20 indirim yapıyor. Aynı üründen
günde bitiriyor. Buna göre, 2 kadın ve 2 erkek
5 in üzerinde alınan her adet için ayrıca indirimli
işçi aynı işi birlikte kaç günde bitirir?
fiyat üzerinden % 25 lik bir indirim daha yapıyor.
A) 50
B ) 30
C ) 45
D ) 40
E ) 20
( İkinci indirimi ilk 5 ürüne uygulamıyor. )
Bu mağazadan etiket fiyatı 15 TL olan bir
üründen 8 adet alan bir müşteri kaç TL öder?
A) 81
B ) 83
C ) 84
D ) 85
E) 87
88. 2011 – YGS
İsmail, kumbarasına 1. gün 5 Kr, 10 Kr, 25 Kr,
85. 2010 – YGS
50 Kr ve 1 TL madenî paralarının her birinden
Tecrübeli bir aşçı bir pastanın kıvamında olabil-
bir adet, 2. gün her birinden iki adet ve benzer
mesi için un ve şekerin aşağıdaki doğrusal gra-
biçimde devam ederek n. gün her birinden n
fikte verilen miktarlarda kullanılması gerektiğini
adet atmıştır. İsmail kumbarasında 104,5 TL
belirtmiştir.
biriktirdiğine göre, n kaçtır?
Un (kg)
A) 10
10
6
4
1
2
3
fieker (kg)
4
Buna göre, un ve şekerin toplam miktarının
23 kilogram olduğu kıvamlı bir pastada kaç
B) 8
D ) 13
E) 14
89. 2011 – YGS
Bir fabrikada üretilen iş makinelerinin sayısı gün
kilogram şeker vardır?
A) 7
C ) 12
ESEN YAYINLARI
8
B ) 11
C) 9
D ) 10
E) 11
sonunda kayıt altına alınıyor. Tutulan kayıtlar
o günle birlikte o günden önce üretilmiş olan iş
makinelerinin toplam sayısıdır. Beş iş gününde
tutulan kayıtlar aşağıda verilmiştir.
86. 2010 – YGS
Sat›fl fiyat› (TL)
c
Pazartesi ve öncesi
: 20
Salı ve öncesi
: x
b
Çarşamba ve öncesi : 90
a
Perşembe ve öncesi : 140
Cuma ve öncesi
5
20
50
: y
Cuma ve öncesinde üretilen iş makinelerinin sa-
Birim
yısı, salı ve öncesinde üretilenlerin dört katıdır.
Bir malın miktarlara bağlı olarak değişen birim
Ayrıca cuma günü üretilenlerin sayısı, salı günü
satış fiyatı yukarıdaki doğrusal grafikte gösteril-
üretilenlerin iki katıdır. Buna göre, çarşamba
miştir. c – a = 24 olduğuna göre, c – b kaçtır?
günü üretilen iş makinelerinin sayısı kaçtır?
A) 6
A) 60
B) 8
C ) 12
D ) 14
E) 16
B ) 40
C ) 30
D ) 45
E ) 55
249
90. 2011 – YGS
93. 2011 – YGS
Aşağıdaki doğrusal grafiklerden birincisinde
Bir yatırımcı, hesabındaki z TL nin bir kısmıyla
altın, kalan kısmıyla da döviz alıyor. Yatırımcı bir
kabuklu fındıktan elde edilen iç fındık miktarı,
süre sonra altınlarını % 20 kâr elde ederek x TL
ikincisinde ise iç fındıktan elde edilen fındık yağı
ye, dövizlerini % 20 zarar ederek y TL ye satıyor.
miktarı gösterilmiştir.
iç f›nd›k (kg)
Buna göre, x , y ve z arasındaki bağıntı aşağıda-
f›nd›k ya¤› (litre)
kilerden hangisidir?
A) 3z = 6 x + 4y
B) 5z = 4x + 6y
C) 4z = 9 x + 12y
D) 6z = 5x + 8y
4
3
kabuklu
f›nd›k (kg)
5
E) 12z = 10 x + 15y
6
iç f›nd›k
(kg)
Buna göre, 5 kg kabuklu fındıktan kaç litre fındık
yağı elde edilir?
A) 2,5
B) 3
C) 2
D) 1,5
E) 1
94. 2011 – YGS
91. 2011 – YGS
Bir depoda bulunan portakal ve mandalinaların
miktarı toplam 50 tondur. Portakalların % 7 si,
seçiminde adayların aldıkları oy sayıları olan A,
mandalinaların ise % 8 i çürümüştür. Çürüyen
B, C, D, E arasında
A = B = 2C = 3D = 6E
eşitliği vardır.
Seçim sonucu dairesel grafikte gösterildiğinde
ESEN YAYINLARI
Beş öğrencinin aday olduğu sınıf başkanlığı
portakal ve mandalina miktarı toplam 3,8 tondur.
Buna göre, depoda kaç ton sağlam portakal
vardır?
A) 17,5
B) 17,6
C) 18
D) 17
E) 18,6
C tane oy alan adaya ait daire diliminin merkez
açısı kaç derece olur?
A) 180
B ) 60
C ) 45
D ) 90
E) 120
95. 2011 – YGS
2
ü kadın
3
oluyor. Eğer otobüsten 4 erkek inseydi yolcuların
Bir otobüse 3 kadın binerse yolcuların
1
ü erkek olacaktı. Buna göre, otobüsteki yolcu
4
sayısı kaçtır?
92. 2011 – YGS
A) 32
B ) 24
C ) 21
D ) 28
E ) 30
Alanı 12 metre kare olan bir duvar, kısa kenarı
10 cm, uzun kenarı 20 cm olan dikdörtgen
biçimindeki fayanslarla kaplanmak isteniyor.
96. 2011 – YGS
Bu işi yapacak usta, fayansların kısa kenar
Bir ildeki anaokullarının tüm okullar içindeki payı
uzunluğunu yanlış anlıyor ve kaplama işi için
2000 yılında % 10, 2010 yılında ise % 15 tir. Bu
kullanması gerekenden 100 adet az fayans
ilde 2000-2010 yılları arasında açılan 50 okulun
kullanarak duvarı kaplıyor. Buna göre, ustanın
20 si anaokuludur. Buna göre, bu ilde 2000
kullandığı fayansların kısa kenarı kaç cm dir?
yılında kaç anaokulu vardır?
A) 12
A) 30
250
B) 14
C ) 15
D ) 16
E ) 18
B ) 40
C ) 20
D ) 25
E ) 35
97. 2012 – YGS
100. 2012 – YGS
Bir çay fabrikası, kilogramı 12 TL olan 15 ton A
Aysel Hanım, pazartesi günü 45 gram, salı günü
türü çay ile kilogramı 9 TL olan 20 ton B türü ça-
30 gram altın bozdurmuştur. Eğer pazartesi gü-
yı karıştırmış ve elde ettiği harman çayın kilog-
nü 30 gram, salı günü 45 gram altın bozdursaydı
ramını 11 TL ye satmıştır. Buna göre, harman
ilk duruma göre eline 60 TL az geçecekti. Buna
çayın satışından elde edilen gelir, çayların ayrı
göre altının salı günkü gram fiyatı pazartesi gün-
ayrı satılmasıyla elde edilecek gelirden kaç TL
küne göre kaç TL düşmüştür?
fazladır?
A) 4
A ) 24 000
B ) 25 000
D) 30 000
B) 5
C) 6
D) 9
E ) 15
C ) 28 000
E ) 36 000
98. 2012 – YGS
caktır. Bu kalemlerden 6 tane fazla veya 7 tane
eksik olsaydı kalemler hiç artmayacak biçimde
eşit olarak paylaştırılabilecekti. Buna göre, 112
den fazla olduğu bilinen bu kalemlerin sayısı en
az kaç olabilir?
A ) 115
B ) 124
C ) 126
D ) 130
E) 137
ESEN YAYINLARI
Bir miktar kalem, bir grup öğrenciye paylaştırıla-
101. 2012 – YGS
Bir otomotiv fabrikasında üretilen araç çeşitleri
aşağıdaki şemada gösterilmiştir.
Araç
(120)
Binek
99. 2012 – YGS
Bir markette sabunlar üçerli ve ikişerli paketler
Dizel
(15)
Ticari
Benzinli Elektrikli
(12)
Dizel
Benzinli
halinde satılmaktadır. Üçlü paket içindeki sabun-
Bu fabrikada bir günde toplam 120 adet araç
ların birim fiyatı, ikili paket içindeki sabunların bi-
üretilmektedir. Binek araçların 15 adedi dizel
rim fiyatından % 10 ucuzdur. Bu marketteki üçlü
ve 12 adedi elektriklidir. Bu fabrikada bir günde
paketin satış fiyatı, ikili paketin satış fiyatından
üretilen toplam dizel araç sayısı, toplam benzinli
3,5 TL fazla olduğuna göre, ikili paketin satış fi-
araç sayısının 2 katı olduğuna göre, kaç adet ti-
yatı kaç TL dir?
cari dizel araç üretilmektedir?
A) 7
B) 8
C ) 10
D ) 12
E) 14
A) 50
B) 52
C) 55
D) 57
E) 60
251
102. 2012 – YGS
104. 2013 – YGS
Bir mandırada bulunan 130 litre süt, peynir
Ahmet’in maaşına Deniz’in maaşının yarısı
yapmak için kullanıldığında kalan süt ve üretilen
kadar zam yapılırsa ikisinin maaşları toplamı,
peynir miktarları arasındaki doğrusal bağıntının
Ahmet’in başlangıçtaki maaşının 2 katı oluyor.
grafiği aşağıdaki gibi olmaktadır.
Ahmet’in maaşı A TL, Deniz’in maaşı D TL olduğuna göre, A ile D arasındaki ilişki nedir?
Kalan süt (litre)
A) 5A = 8D
130
B) 5A = 6D
D) 3A = 4D
C) 4A = 5D
E) 2A = 3D
25
Üretilen peynir (kg)
15
Buna göre, bu mandırada 10 kg peynir üretildi105. 2013 – YGS
ğinde kalan süt miktarı kaç litredir?
A ) 50
B ) 60
C ) 65
D ) 75
Bir şirketin 2009, 2010 ve 2011 yıllarında elde
E) 80
ettiği kârların ortalaması 4 milyon TL dir. Bu
şirket 2012 yılında 2011 yılına göre % 25 daha
fazla kâr elde etmiş ve bu dört yılda elde edilen
103. 2012 – YGS
10 adet kutu, iki yarım çember ve iki paralel doğru parçasından oluşan ve ok yönünde hareket
ESEN YAYINLARI
kârların ortalaması 4,5 milyon TL olmuştur.
Buna göre, şirket 2011 yılında kaç milyon TL kâr
elde etmiştir?
A) 4,8
B) 5
C) 5,2
D) 5,4
E) 5,6
eden bir palet üzerine şekildeki gibi eşit aralıklarla konulmuştur.
K
J
H
G
F
106. 2013 – YGS
Bir laboratuvarda erkek ve dişi kobay fareler
A
B
C
D
E
Buna göre, A ve E noktalarındaki kutular ilk kez
dikey olarak aynı hizaya geldiklerinde K nokta-
üzerinde yapılan bir ilaç deneyi ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
•
sındaki kutu nerede olur?
A ) A ile B noktaları arasında
B ) B noktasında
Erkek farelere her 12 saatte, dişi farelere ise
her 8 saatte bir 1 adet tablet ilaç verilmiştir.
•
Erkek farelere 0,5 gramlık, dişi farelere ise
1 gramlık tabletler verilmiştir.
•
C ) B ile C noktaları arasında
Bu farelere bir günde toplam 85 gram ilaç,
95 tablet hâlinde verilmiştir.
D ) C noktasında
Buna göre, deneyde toplam kaç fare kullanılmış-
E ) C ile D noktaları arasında
tır?
A) 20
252
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
109. 2013 – YGS
107. 2013 – YGS
Aşağıda bir ikizkenar dik üçgenden ve bu üçgenin hipotenüsünü çap kabul eden yarım çemberden oluşan bir koşu parkı gösterilmiştir. Bu
parkta üç koşu yolu bulunmaktadır. Başlangıç
noktasından aynı anda koşmaya başlayan Ayça
A, Barış B, Cem ise C yolunu kullanarak bitiş
noktasına varıyor.
Bir sınıftaki öğrencilere kırtasiye malzemesi dağıtılmak isteniyor. Bu sınıftaki 36 öğrencinin her
birine birer adet kurşun kalem, kalemtıraş ve
silgi düşecek kadar malzeme sınıfa getiriliyor.
Ancak, dağıtım günü öğrencilerin bir kısmı sınıfta
olmadığından sınıfta bulunan her bir öğrenciye
3 kurşun kalem, 2 kalemtıraş ve 1 silgi veriliyor.
Bafllang›ç
Dağıtım sonunda bu malzemelerden toplam 42
C
adet arttığına göre, artan kalemtıraş sayısı kaçtır?
B
A
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
Bitifl
Ayça, Barış ve Cem’in saatteki hızları sırasıyla
4 km, 2 km ve 3 km olduğuna göre, bitiş noktasına varış sırası aşağıdakilerden hangisidir?
1.
–––––
A) Ayça
108. 2013 – YGS
1 ayda 36 gün
1 yılda 10 ay
bulunmaktadır.
Bu uygarlıkta, gün - ay - yıl sırasında verilen
ESEN YAYINLARI
Eski bir uygarlığa ait takvimde,
2.
–––––
Barış
3.
–––––
Cem
B)
Ayça
Cem
Barış
C)
Barış
Cem
Ayça
D)
Barış
Ayça
Cem
E)
Cem
Ayça
Barış
AB-CD-ABCD biçimindeki tarihlere “simetrik
gün” ismi veriliyor.
Bu takvime göre, 20-08-2008 tarihinden en az
kaç gün sonra yine bir simetrik gün olur?
A) 360
B) 396
C) 480
D) 720
E) 756
253

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER . ÜNİTE 2. ÜNİTE 2

Transkript

Benzer belgeler

matematik ödevim - Kartanelerim.com

2005 öss sınavı- matematik soru ve çözümleri

Test 01