fiö 418 fizik lab v 2012-2013 bahar dönemi laboratuvar föyü

FİÖ 418 FİZİK LAB V
2012-2013 BAHAR DÖNEMİ
LABORATUVAR FÖYÜ
FİÖ 418 FİZİK LAB V
İÇİNDEKİLER
ORTAK DENEY YÜKLENMİŞ ZAR VE OLASILIK
DENEY NO: 1
BİNOM VE POİSSON DAĞILIMI
DENEY NO:2
ATOM SPEKTRUMLARI
DENEY NO:3
E/M TAYİNİ
DENEY NO:4
TERMOELEKTRİK ÇİFT
DENEY NO:5
ÖZ ISI KAPASİTESİNİN BELİRLENMESİ
DENEY NO:6
FOTOELEKTRİK OLAY
DENEY NO: 7
LED YARDIMIYLA PLANCK SABİTİNİN BELİRLENMESİ
DENEY NO: 8
GM SAYACI VE GAMAIŞINLARININ SOĞRULMASI
DENEY NO: 9
DALGA PARÇACIK İKİLEMİ
ORTAK DENEY
DENEYİN ADI: YÜKLENMİŞ ZAR ve OLASILIK DAĞILIMI
DENEYİN AMACI: Basit fiziksel bir sistemi istatiksel yöntemlerle incelemek ve ortalama,
standart sapma, varyans vb. gibi istatistik kavramları tanımak.
DENEY BİLGİSİ:
İstatistiğin fizikte önemli oluşunun iki temel nedeni vardır: Biri gelişigüzel ve önceden
beklenmeyen deneysel hataları içine alan fiziksel ölçmelerin çözümlenmesi ile ilgilidir. Öteki ise;
bir gaz gibi, çok sayıda molekül içeren fiziksel sistemlerin istatistiksel ve kuantum mekaniksel
anlatımı ve temelden istatistiksel olan radyoaktif bozunum gibi olaylar ile ilgilidir.
Bu deney basit fiziksel bir sistem hakkında bazı sorular ortaya atmaktadır. Bu sorular temel
fizikle doğrudan ilgili olmasa da pratik bakımdan ilginçtir. Ortaya attığımız soruların hepsini
yanıtlayacağız ve yanıtların bazıları kesin değil, sezişe bağlı olacak. Bu başlangıç yine de geri
kalan deneylerde izlenecek yolu gösterecek.
Bu deneyde özdeş iki zarımız var; birinin bir yüzüne küçük kurşun parçalar eklenerek yüklenmiş,
öteki ise yüklenmemiştir. Sorun hangi zarın ve hangi yüzünün yüklenmiş olduğunu bulmaktır.
Bir fizikçiye böyle bir problem sunulduğu zaman, çözüm için değişik yollar teklif edebilir. Bir
çözüm yolu şu olabilir; zarla aynı yoğunlukta olan bir sıvı bularak zarı sıvıya daldırmak ve zarın
bir yüzeyinin hep yukarı dönüp dönmediğine dikkat etmektir. Bir de zar kendinden daha az
yoğun olan ağdalı bir sıvı içine düşmeye bırakılabilir. Daha az doğru başka bir yol da zarı birkaç
değişik şekilde bağlayıp asarak kütle merkezini bulmak olabilir.
Bu nedenle bir fizikçi için olağan yöntemlerin en kötüsü gibi görünebilecek olan kumarcı
yöntemini sunuyoruz. Yapacağımız iş zar atmak ve her defasında hangi yüzün üste geldiğini
kaydetmektir. Bu yöntemin kötü yanı büyük hatalar verebileceğidir. Hangi yüzün üstte olacağı
zarın bırakıldığı andaki durumuna, edindiği spin miktarına, masaya nasıl çarptığına ve aynı
zamanda nasıl yüklenmiş olduğuna bağlıdır. Buna karşın bütün bu etkenlerin akla uygun bir
şekilde gelişigüzel olduğunu kabul ederek ve zarı çok sayıda atarak, yüklü olup olmadığını ve ne
şekilde yüklenmiş olduğunu anlamayı bekleyebiliriz.
Çok daha zor bir soru da şudur: Zarın özel şekilde yüklü olup olmadığına nasıl güvenebilirsiniz?
Bu deneyin çözümlenmesinde bu gibi problemlerin istatistiksel olarak incelenmesinin sonuçlarını
doğrudan söz konusu edeceğiz.
ÖRNEK:
Elinizde 1 ve 2 numaralı iki oyun zarınız, N de belli bir deney süresince atılış sayısı olsun. n üstte
gelen yüzeyi göstersin. Demek ki; n, l’den 6'ya kadar bir sayıdır. Her bir sayının kaç defa çıktığı
F(n) ile gösterilir ve buna “çıkış frekansı” denir. Öylece verilmiş bir deneyde 1 sayısı 7 kez, 2
sayısı 5 kez, vb. çıkmış ise F(1) =7 vb. olur.
ŞEKİL-1.1: Olasılık Histogramı
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
2
3
4
5
6
Her zarı 10 kez (N=10) atınız ve her zar için her yüzeyin üste geldiği frekansı kaydediniz. Her
frekans için F(n)/N ’yi hesaplayıp bu yüzeyin olasılığını yaklaşık olarak bulunuz; verilerin
çizelgesini ŞEKİL-1.1' de verildiği gibi çiziniz.
Şimdi bunu f(n) ile göstereceğimiz teorik olasılık ile karşılaştırabiliriz. f(n) olarak ne
beklemeliyiz? Yüklenmemiş bir zar için 6 yüzeye eşit olasılıkta 6 olay vardır. Şu halde f(n)
=1/6=0,1666... olması beklenebilir. Bu değerden sapmalar gözlenirse ya N çok küçüktür ve
gelişigüzel dalgalanmalar göze çarpacak ölçüyü bulur ya da yüzeyler arasında sistemli bir fark
vardır (zar yüklüdür). Buradaki istatistiksel problem, verilerin çözümlenmesi ile f(n)=1/6 ’dan
gözlenen sapmaların önemli olup olmadığının belirlenmesidir.
Fizikçe şunu bekleyebiliriz: Belli bir yüzey gelişigüzel bir frekansla değil de daha sık üste
geliyorsa, zar bunu altta kalan yüzeyin zararına yapıyor demektir. Bu yüzden karşı yüzeylerin
çıkma olasılıklarındaki farklara bakmayı düşünebiliriz. Bu anlamda
ŞEKİL-1.1 çizimini
ŞEKİL-1.2 ’de yeniden çiziyoruz. Elde ettiğimiz bilgilerden hangi zarın ve hangi yüzünün yüklü
olduğunu kestirebilir misiniz? Şimdi deney sayısını arttıralım. Niçin?
Her zarı 100 kez atarak frekansları kaydediniz. ŞEKİL-1.1 ve ŞEKİL-1.2 deki gibi yeni olasılık
grafikleri çiziniz. Şimdi hangi zar yüklü olabilir? Zarın hangi yüzü yüklüdür? İlk yaptığınız
doğru muydu? Yanılmış olmanız olağandır.
Şimdi aşağıdaki soruları sorabiliriz:
1. Yaptığınız ilk 10 atışlık deney sonunda verilere göre yargınıza ne kadar güvenebilirsiniz?
2. 100 atışlık sonuca ne kadar güvenebilirsiniz?
3. Elde ettiğiniz bilgilerin yeterli olabilmesi için kaç atış yapmanız gerekiyor? Bunu bilmek
şüphesiz çok faydalıdır, çünkü ağır yüzü % 95 kesinlikle belirtebilirseniz, atışa devam
etmenin çok az önemi olabilir.
ŞEKİL-1.2: Zıt yüzler için olasılık histogramı
0,3
0,2
( )
0,1
0
-0,1
1--6
2--5
3--4
-0,2
Kİ KARE SINAMASI
N gözlem yaparsak her birinin v olabilir sonucu varsa (bir zar için v = 6) verilen belli bir olayın
gözlenen F(n) ile kuramsal olarak kestirilen Nf(n) frekansı arasındaki olağan sapmayı
kestirebiliriz. Beklenen ve gözlenen frekans değerleri arasındaki fark ne olmalıdır? Burada
önemli nokta şudur: N deneme sayısı büyüdükçe beklenen ve gözlenen frekanslar arasındaki
fark, beklenen frekansın kendisi ile aynı hızla artmaz! Gerçekte, bu farkın ortalama olarak
beklenen frekansın kareköküyle oranlı olarak arttığına inanmak gerekir. Neden? Şimdilik bunu
böyle kabul ederek yukarıdaki ifadeye göre;
( )
[
( )
( )]
⁄
niceliği verilen her n için 1 basamağında olmalıdır. Elde edilebilecek negatif farklar ortadan
kaldırmak için yukarıdaki ifadenin karesini alırız: Sonra da n’nin farklı v değeri için bu terimleri
toplarız (zar için yine v = 6’dır). Sonuç genellikle
ile gösterilir.
∑
[ ( )
( )]
( )
(1.1)
Bu toplamın v basamağında olmasını bekleriz. v ’den yeterince büyükse, başka bir deyimle
gözlenen frekanslar ile tahmin edilen frekanslar arasında ortalama olarak beklenmedik büyük
farklar varsa, o zaman gözlemekte olduğumuz sistemin beklediğimiz kusursuz dağılıma
uyduğundan gerçekten kuşku duymaya başlarız.
Kusursuz sistem yüklenmemiş bir zar ise; bunun için f(n) = 1/6’ dır ve
değeri zarın yüklenmiş olduğunu gösterir. Neden?
’nin 6’dan büyük bir
Tüm olayların eşit olasılığı durumu için f(n) = 1/v’ dür. Ayrıca ∑ ( ) = N olgusundan da
yararlanabiliriz. Bu durumda denklem ( 1.1 )’ i basitleştirerek
{ ∑[ ( )
]
(1.2)
}
bağıntısını elde ederiz.
Örneğin ŞEKİL-1.1 ’de gösterilen veriler için
{ (
)
(1.3)
}
Bu v basamağında olduğuna göre, gözlenen sapmaların önemli olmadığını kabul edebiliriz.
Fakat önemli olup olmadığına nasıl karar veriyoruz? Her bir 10 atışlık dizi için
değerini
hesaplayarak bu 10 atışlık diziyi büyük sayıda tekrarladığımızı kabul edelim.
için ŞEKİL-1.3
’deki gibi normalleştirilmiş bir dağılım bekleyebiliriz. Verilen
değeri, dağılımda daha büyük
değer alma olasılığı ile belirginleşir. Bu, belli bir değeri aşan
değerlerine rastlayacak eğirinin
altında kalan alan yüzdesidir. Buna P güvenirlik düzeyi denir. Küçük bir güvenirlik düzeyi,
olayların dağılımının gelişigüzel olma olasılığının çok küçük olduğunu anlatır. Şu halde
incelediğimiz durumda yüklü bir zarın ki karesi ve güvenirlik düzeyi sizce nedir? Çizelge-1.1 ’de
’nin 6 olay için değişik güvenirlik düzeylerindeki değerleri verilmektedir.
f(X2)
1-p
p
X2
ŞEKİL-1.3: Güvenirlik düzeyi
Çizelge-1.1
Güvenirlik düzeyi (%) P
v=6
X2
99
0,872
98
1,134
95
1,635
90
2,204
80
3.070
20
8,558
10
10,645
5
12,592
2
15,033
1
16.812
0.1
22.452
O halde
’nin 4,4 değeri için dağılımın gelişigüzel olduğuna hemen hemen % 80 güvenebiliriz.
Bu, daha büyük N için sapmalar görülmeyecek demek değildir. Sadece 10 atış için sapmaların
önemli olmadığını söylüyor.
Zar 1 ve zar 2 için 10 ve 100 atıştaki ki-kareleri hesaplayın. Hangi zarın yüklenmiş olduğunu
düşünüyorsunuz? Güvenirlik düzeyiniz nedir? (burada istatistiksel bir dalgalanma
gözlüyorsunuz)
Zarlarınızın birisi için gelişi güzellikten önemli derecede sapmalar gözlerseniz, hangi yüzeyin
(veya yüzeylerin) yüklü olmasını beklersiniz? Bir iplik parçasını zarın üç dik yüzeyine
yapıştırarak asın ve bekleyişin doğruluğunu sınayın.
SORULAR
1. Yüklenmemiş bir zar için kuramsal f (n) olasılıkları
∑ ( )
bağlantısını sağlamalıdır. Neden? Zar yüklenmiş ise bu bağıntı yine doğru mudur?
2. Bir paranın 100 defa havaya fırlatıldığını ve sonucun 54 yazı 46 tura geldiğini kabul edin.
Paranın bir yana eğilimli oluşu konusunda ne söyleyebilirsiniz?
3. Soru 1 ’de yazılan bağıntıya göre f(n)’nin 6 değerinin hepsi de bağımsız değildir,
herhangi beşi bilinirse altıncısı hesaplanabilir. Bu
sınamasını v=6 yerine v=5
alacağımızı mı söylüyor'? Açıklayın.
4. Kusursuz (simetrik) bir madeni para bir çok defalar atılırsa; yazıların turalara oranı bire
yaklaşmalıdır. Bu ayrıca yazı ve tura sayısı arasındaki farkın sıfıra yaklaşacağı anlamına
gelir mi? Yani fark, deneme sayısı ile birlikte çok büyük değerlere ulaşırken, oran yine de
bire yaklaşabilir mi? Açıklayın.
5.
sınaması veya bunun değiştirilmiş bir şekli, yüklü bir zarın hangi tarafının ağır
olduğunu bulmada kullanılabilir mi? Bunun nasıl yapılabileceğini anlatın.
OLASILIK DAĞILIMI
Bir rakamlı bir gelişigüzel sayılar çizelgesinde 0’dan 9!a kadar olan sayılar aynı olasılıkla ortaya
çıkarlar. Örneğin çok sayıda tek rakamın bulunduğu büyük bir listedeki 7’leri sayarsak 7’lerin
sayısı, toplam rakam sayısının yaklaşık onda biridir. Toplam rakam sayısı büyüdükçe oran onda
bire daha da yaklaşır. Gelişigüzel seçilen bir sayının 7 çıkma olasılığı 1/10 dur dendiğinde
anlatılmak istenen budur. Aynı şekilde madeni bir para atıldığı zaman, yazı gelme olasılığı
⁄ dir. Bunun anlamı çok sayıda atış yapılınsa yazı sayısının toplam atış sayısına oranı ⁄
olacaktır. Bu söylenenler ancak paranın fiziksel olarak bir yana eğilimi olmadığı durumlar için
geçerlidir.
Deneyde 20 yüzlü 3 zar kullanarak üç basamaklı bir sayı çizelgesi hazırlanacaktır. Zarlar hilesiz
ise; her zar üzerindeki sayı gelişi güzel olacaktır. Gelişigüzel sayı çizelgesi çeşitli olasılık
dağılımlarının deneysel olarak incelenmesinde ve deney sonuçlarının kuramsal beklentilerle
karşılaştırılmasında kullanılacaktır.
Bir sayı kümesini oluştururken, özellikle bu sayılar deneysel bir ölçü veya bir sınav sonucu ile
ilgili ise; bu sayılar grubunun bazı ilginç özellikleri vardır. Bu özelliklerden en belirgini
genellikle “ortalama değer” veya kısaca ortalama denen “aritmetik ortalama”dır. “ Sınavda
ortalama neydi? ” “Aldığın not ortalamanın altında mı üstünde mi? ” soruları her sınıfta duyulur.
Öğrenciler tarafından alman tüm puanlar toplanarak bulunan sonuç, öğrenci sayısına bölünür. n 1,
n2, n3….., nN veya bir örneği ni
( i =1,2,....N ) ile gösterilen N tane sayı varsa, ve
bunların ortalama değeri ile gösterilirse, tanıma göre;
(1.4)
̅
⁄ ∑
olacaktır. Ortalama değer bulunduktan sonra ilginç başka bir soru, değişik sayıların, ortalama
değerden, ortalama olarak ne kadar farklı olduğudur. Örnek olarak; eğer bir sınav sonucundan
ortalaması 70 ve sonuçların çoğu 65 ile 75 arasında ise “serpilme” çok fazla değil, fakat sonuçlar
20’den 99’a kadar yayılmışsa, serpilme oldukça büyüktür. Açık olarak görülüyor ki 60 puanın iki
durumdaki yeri farklıdır. Öyleyse bu dağılmayı da nicel olarak ölçmek gerekir. Bu dağılmaya
genel olarak “serpilme” veya “dağılganlık” (dispersiyon) denir.
Dağılmayı bulmak için şu yapılabilir: Her sayı ile ortalama arasındaki fark ve bu farkların
ortalaması alınabilir. Bazı farklar pozitif diğerleri negatif olduğu için bir takım güçlükler ortaya
çıkar. Gerçekte farklar ortalamasının sıfır olduğunu doğrulamak kolaydır. Bu güçlüğü ortadan
kaldırmak için her farkın karesini alarak pozitif sayılar elde edilir. Kareleri toplayıp N’ye bölerek
ortalamayı bulur ve sonra da karekökü alınır. Sonuca bazen “Kare ortalama karekökü” veya “kök
sapması” denir, fakat asıl adı “standart sapma”dır. Bu şekilde ölçülen dağılganlık genellikle
gösterilir. Yukarıda sözle verilen tanını aşağıdaki ifade ile verilir.
(
̅)
(
̅)
(
̅)
⁄ ∑(
(1.5)
̅)
Standart sapmanın karesi olan
büyüklüğüne genellikle “varyans” denir. Çoğu kez özel bir sayı
gmbıınun ortalaması ve varyansı ile bu sayıların seçildiği ve önceden varolduğu kabul edilen bir
sayılar grubunun ortalaması ve varyansım ayırt etmek gerekir. Örneğin yirmi yüzlü zarlardan biri
ele alınmış olsun. Bütün sayılar aynı olasılıkla çıkıyorsa ortalamanın tam 4.50 olması gerektiği
kolaylıkla görülebilir. Eğer zar 36 kez atılırsa; elde edilen sonuç 4.50 den farklı olabilir ve eğer 9
kez atılırsa ortalamanın 4.50 ye yakın olması söz konusu olamaz.
Belli bir deneyde elde edilmiş sayılar grubu olan bir örnek dağılım ile bu dağılımın alınmış
olduğu, çok sayıdan oluşmuş ana dağılım birbirinden ayırt edilmesi gerekir. Aynı şekilde, ele
alınan örnekte tam olarak 4.50 olan ana ortalama ile genellikle biraz farklı olan örnek ortalamayı
da birbirinden ayırt etmek gerekir. Çoğu kez örnek dağılımın içindeki eleman sayısı fazla olması
durumunda, ana dağılıma çok yakın sonuçlar vermesi beklenir. Benzer şekilde örnek varyans ve
ana varyans gibi tanımlar da yapılabilir.
Yirmi yüzlü üç zardan elde edilen sayıları Çizelge-1.2’ ye geçirerek 360 rakamlı bir gelişigüzel
sayılar çizelgesi kurun. Zarlardan sayıları okurken hep aynı sırayı izleyin (örneğin kırmızı, sarı,
mavi). Bu kural neden önemlidir? Üç zarla bir tek atışta üç sayı elde ederek kurulmuş bir sayı
çizelgesini, bir atışta bir sayı elde ederek kurulan çizelgeden ayırt edebilir misiniz?
Her sayının (0’dan 9’a kadar) çizelgede kaç kez tekrarlandığını Çizelge-1.3A’ ya geçirin ve bu
saymalardan her sayının tekrarlanma olasılığını hesaplayın. Sonuçlarınız ana dağılımdaki
kuramsal olasılıklarla ne kadar uyuşuyor?
Çizelge-1.2 ’den 36 sayılık bir alt grup seçin. Gelişigüzelliği sağlamak için ardarda bir sayı dizisi
seçmek faydalıdır. Bu sayıların frekanslarını ve hesaplanan olasılıklarını Çizelge-1.3B ’ye
kaydedin. Bu sayı örneğinin ortalamasını ve varyansını hesaplayın. Sonuçlarınızı aşağıda
hesaplanan ana ortalamayla ve varyansla karşılaştırın. Ayrıca Çizelge-1.2' nin tümü için
ortalamayı ve varyansı hesaplayarak ana değerlerle karşılaştırın. Ayrı ayrı sayılarla uğraşacak
yerde her sayının çıkış frekansını kullanırsanız, hesaplar kolaylaşır. Örneğin, n i sayısı örnek
içinde Fi kez çıkmış ise örnek ortalaması:
̅
∑
⁄∑
ile verilir; toplamlarda 36 veya 360 yerine sadece 10 terim alınmıştır.
Çizelge-1.2
(1.6)
Çizelge-1.3A
Sayı
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Çizelge-1.3B
Frekans
Olasılık
Sayı
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Frekans
Olasılık
Benzerince örnek varyansı
∑ (
∑
̅)
(1.7)
olur. Şunu da belirtelim ki, her iki durumda ∑
örnekteki rakam sayısı toplamı olan N’ye
eşittir. Bu halde ana dağılımdaki bütün i’ler için Fi = N/10 bekleriz. O zaman denklem (1.6)
̅
∑ ⁄
verir ve denklem (1.7)
∑
(
̅) ⁄
∑
̅̅̅
(1.8)
verir. 36 veya 120 girişle sınırlı bir örnekte ortalamayı tam 4.5 bulamazsak bize pek şaşırtıcı
gelmemeli. Buna karşın daha büyük örnekler için kabulümüzün doğru çıkacağını beklemek
gerekir. Sonuçlarımızın akla yakın olup olmadığına sezişle karar verin. Ayrıca örnek
büyüklüğüne bakarak uyuşmanın düzelip düzelmediğine dikkat edin. Neyin uygun bir sapma
sağladığı Binom Dağılımı deneyinde ele alınarak tartışılmaktadır.
SORULAR
1. Hava raporundaki yağmur olasılığı onda birdir denirse, bundan ne anlıyorsunuz? Bu
durum hangi anlamda istatistiksel bir örnektir?
2. Her biri 0 ile 9 arasında gelişigüzel 5 sayıdan hepsinin, sadece birin 7 olma olasılığı ile
hiçbirinin 7 olmama olasılığı nedir?
3. N sayıda bir grup için ortalama değerden sapmaların ortalamasının 0’a eşit olduğunu
gösterin.
4. Gelişigüzel sayılar çizelgesinin tam anlamıyla gelişigüzel olmasını engelleyecek hata
kaynakları nelerdir?
5. Herhangi N tane ni sayıları grubu için varyansının
( )
( ) ile verildiğini
2
2
gösteriniz. Burada (n )ort. simgesi ni ‘nin ortalamasını gösterir.
6. p tane ni sayısının toplamının varyansının, bir tek ni sayısının varyansı defa p olduğunu
gösteriniz. Ortalama değer p ile oranlı biçimde değişirken, standart sapmanın sadece
karekök p ile azaldığına dikkat edin. Buna göre toplam içerisinde ne kadar çok rakam
bulunursa; ortalamaya göre olan dağılım o kadar dar olacaktır.
7. Çizelge-1.4’de olasılıklar toplamının 1 olduğunu, toplam işlemi yapmadan gösteriniz. Yol
gös: İlk N tam sayısının toplamı N(N+l)/2’dir.
8. Gelişigüzel iki rakam toplamlarının dağılımı için ana ortalama ve varyans değerlerini
türetiniz.
DENEY NO:1
DENEYİN ADI: BİNOM VE POİSSON DAĞILIMI
Bu deneyde binom dağılımı diye bilinen çok yararlı bir olasılık dağılımın ve bazı basit deney
araçlarını kullanacaksınız.
Binom dağılımını tanıtmak amacıyla bazı para atma işlemleri ile işe başlayalım. Simetrik bir para
atıldığında bunun "yazı" gelmesi veya “tura” gelmesi olasılığı 1/2’dir (yanı %50). Paranın düşüş
şeklini denetleyenleyiz ve her atış daha önceki tüm atışlardan bağımsızdır. Bu nedenle bir atıştan
yazı çıkmışsa, bir yazı daha gelme olasılığı yine 1/2'dır.; para bir önceki atışı hatırlamaz.
Bir sırada iki yazı gelme olasılığı nedir? Bu değişik bir sorudur. Bu olayın çıkması her birinin
başarı olasılığı 1/2 olan bağımsız iki ayrı olayın oluşlarına bağlıdır. Bileşik olayın olasılığı ayrı
olasılıkların çarpımına veya 1/4'e eşittir. Bu sonucu değişik bir yoldan elde etmek için şuna
dikkat etmek gerekir: para iki defe atılırsa eşit olasılıklı dört ayrı olay vardır :
YY
YT
TY
TT
Bu dördünden yalnız bir tanesi istediğimiz olaydır, o halde olasılık ¼’tür. Bir parayı ardı sıra
atacak yerde iki özdeş parayı aynı anda atarak aynı sonucu elde edebiliriz. Zaman sırasının bir
önemi yoktur.
Üç atış halinde, her atışın olabilir iki sonucu bulunduğu için, olasılığı eşit olayların toplam sayısı
2 veya 8’dir. Bu olaylar şunlardır:
YYY YYT YTY YTT
TYY TYT TTY TTT
Şu halde arka arkaya üç yazı elde etme olasılığı 1/8’dir. Gerçekten yukarıdaki olayların her biri
için olasılık ½’dir. N atış halinde yazı ve turaların herhangi belli bir dizilişi için olasılık ½ olur.
Şimdi biraz daha değişik bir soru soralım. Üç atışta iki yazı gelme olasılığı nedir? Bu sonucu
veren 3 değişik diziliş vardır; YYT, YTY ve TYY. Her birinin olasılığı 1/8 olduğuna göre;
toplam olasılık 3/8’dir. Aynı şekilde üç atışta bir tek yazı gelme olasılığı da 3/8 olacaktır. 0 ile 3
arasında herhangi bir yazı gelme olasılığı 1/8+3/8+3/8+1/8 =1'dir.böyle olması da pek şaşırtıcı
olmasa gerek.
N atışta n yazı gelme olasılığı nedir? İlk önce, n yazıyla N-n turanın herhangi bir dizilişi için
olasılık (1/2)’dir.
Fakat n yazı kaç değişik düzenleme içinde gelebilir? Yani her defasında N
sayısının n tanesi alınarak yapılabilecek düzenleme kaç tanedir? Bu soruyu cevaplandırmak için
her birinin ayrı bir düşme yen olan N tane paramız bulunduğunu düşünmek yararlıdır. n tane
yazıyı bu yerlere dağıtırken bunlardan birincisi için N tane yer seçmeye hakkımız var. Bu
yerlerden her birine karşılık geri kalan N-l yen ikinci yazıya, bunlardan her birisi içinde N-2 yeri
üçüncü yazıya v.b. seçerek gider. Sonunda, n. yazıyı geri kalan (N-n+l) yerden birine
yerleştiriniz. Buna göre N atış arasında n yazının toplara düzenlenim sayısı
N(N-1)(N-2)(N-3)…..(N-n+1)
(1.9)
gibi olacaktır. Çünkü aslında eşdeğer olan çok sayıda düzenlenişi farklıymış gibi saydık. n
yazıdan hangilerinin ayrı konumlarda olduğu bizi ilgilendirmez; yazı yazıdır. O halde gerçek
sayısını bulmak için n yazının kendi aralarında düzenlenişlerin kaç şekilde yeniden
düzenlenebileceğini gösteren sayıya bölmemiz gerekmektedir. Bunu hesaplamak için n sayının
yeni baştan düzenlenişinde n tane yazıdan herhangi birini önce, geri kalan n-1 taneden herhangi
birisini ikinci olarak seçip, sonuçta bir tek yazı kalıncaya kadar bu işleme devam edebileceğimize
dikkat ediniz. n cismin böyle düzenlenme sayısına genel olarak n cismin yer değiştirme
(permütasyon becayiş) sayısı denir. Basit bir şekilde
n(n-1)(n-2)…..(3)(2)(1) n!
(1.10)
olacaktır. n! ifadesi "n faktöriyel” diye okunur ve n'den başlayıp birer birim azalan bütün tam
sayıların çarpımının kısaltılmışını gösterir. Tanını olarak 0!=1 ‘dir.
Demek ki N denemedeki n yazıyı çeşitli düzenler içinde sıralama sayısı (buna genellikle her
defasında n tanesi seçilen N cismin birleştirim (kombinasyon) sayısı denir.)
N(N-1 )(N-2) …. (N-n+1) / n!
(1.11)
dır. Çoğu kez ( ) ile gösterilen bu ifadeye pay ve payda (N-n)! İle çarpılıp basitleştirilerek
aşağıdaki şekle konabilir.
( )
(1.12)
(
)
Son olarak, P(n) ile göstereceğiniz N atışta n yazı elde etme olasılığı;
(1.13)
( )
( )
(
( ) ( )
)
olacaktır. Bunu sınamak için 3/8 olduğunu bildiğimiz üç atışta iki yazı elde etme olasılığını
hesaplayabiliriz. Bu durumda n=2 ve N=3 ‘tür.
( )
( )
(
)
(1.14
))
O halde bulduğumuz ifade işliyor. Olağan başka durumları sınayabilirsiniz. Şimdi küçük bir
genelleştirmeye gidelim. Para atışında bir tek yazı için olasılık ½ alınmıştı. Yine N bağımsız
olayımız bulunsun, fakat her birinin kazanma olasılığı ½ değil 0 ile 1 arasında bulunan başka bir
p sayısı olsun. Buna göre N denemenin tam n tanesinin kazanma olasılığı ne olacaktır?
Bütün hesaplar basit bir değişiklikle daha önce yapılanlar gibidir. n kazanmanın özel bir şekilde
düzenleniş olasılığını bulmamız ve bunu yine denklem ile verilen n kazancın N deneme
arasından seçilme yollan sayısı ile çarpmamız gerekiyor. n kazanma ve N-n tane kaybetmenin
özel bir düzenlenişi için
olasılığı, p kazanma, q=1-p de kaybetme olasılığı olmak üzere;
(1.15)
(
)
dır. Her denemede kazanma p olasılığı olduğuna göre; N denemede tam n kez kazanma olasılığı
( )
( )
(
)
(1.16)
olacaktır. Dikkat edilirse para atma deneyinde p=q=1/2 olduğu için bu ifade öncekine
indirgenmektedir.
Genelleştirilmiş olasılık formülünün basit bir uygulaması olarak birkaç tane 20 yüzlü zarın
atıldığını düşünelim; örneğin, böyle üç zarı attığımız zaman iki 7 elde etme olasılığı nedir? Her
ayrı olay için p olasılığı 1/10, N=3 ve n=2 ‘dir. Buna göre olasılık
⁄
( )
(
) (
)
(
)
dır. Denklem (1.16) ile verilen olasılık binom açılımının katsayıları ile yakın ilişkisi nedeni ile
binom dağılımı denir. Gerçekten,
(1.17)
(
)
∑
( )
( )
( )
( )
( )
olduğunu göstermek güç değildir. Buradan beklenildiği gibi hemen
∑
( )
olduğunu görürüz.(bunu neden bekledik?)
Binom dağılımında n 'nin ortalama değeri ilgi çekicidir. Biran için N tane para atma problemi
düşünülürse, yazıların ortalamasının yada ortalama değerinin N deney sayısı ile her atışta yazı
gelme olasılığının yani 1/2'nin çarpımın, başka deyimle N/2'ye eşit olduğu açıktır. Biraz daha
açık olsa da p'nin 1 /2'ye eşit olmadığı halde n ortalama değerinin
(1.18)
Ye eşit olacağı akla yatkındır. Bunun doğru olduğu gösterilebilir fakat birtakım hesap oyunları
gerektiğinden burada verilmeyecektir. Benzer oyunlarla dağılımın "genişliğini" veren dağılıma
(varyans) da hesaplanabilir. Bu ise;
(1.19)
ile verilmektedir.
POİSSON DAĞILIMI
N'nin büyük değerleri için büyük sayıların faktöriyelleri söz konusu olduğundan binom dağılımı
formülü kullanışsız hale gelir. Bu halde kullanılması çok daha kolay olan yaklaşık ifadelerin elde
bulunması iyi bir rastlantıdır. Burada N büyürken p'nin çok küçüldüğü ve böylece n=N.p
ortalama değerinin sonlu kaldığı hallerde geçeli olan ve Poisson dağılımına götüren
yaklaşıklığını ele alacağız. N büyürken p'nin küçülmediği bir yaklaşıklık deney incelenecektir.
Bu yaklaşıklığın vereceği dağılım normal veya gauss dağılımıdır.
N’nin çok büyük ve p’nin çok küçük olduğu durumlarda geçerli olan yaklaşıklık aşağıdaki
gibidir: bu sınırda n'nin uygun olasılıklı değerleri ancak N’ye göre çok küçüktür. Önce,
(
(
)
)
(
)
(1.20)
çarpanı düşünelim. Bu, N’den pek farklı olmayan n terimin çarpımıdır. Bu nedenle denklem
ifadesinin yerine N yazacağız. İkinci olarak çarpanını
(
(
(
)
(1.21)
)
)
şeklinde yazalım. Burada payda hemen hemen bire eşittir. Çünkü bire çok yakın bir sayının çok
büyük olmayan bir kuvveti alınmıştır. Böylece aşağıdaki ifade elde edilmiştir.
( )
(
(
)
) (
(1.22)
)
N'yi yok etmek için a=N.p yaparsak,
( )
(
)
(1.23)
⁄
[(
)
⁄
]
olur. Geriye kalan iş
(
)
⁄
limitini hesaplamaktır. Bu limit bütün analiz giriş kitaplarında incelenmekte ve değerinin e doğal
logaritma tabanı olmak üzere l/e'ye eşit olduğu görülmektedir. Sonuçta Poisson dağılımı denen
(1.24)
( )
bağıntısını elde ederiz. Bu ifadede asıl binom dağılımının belirgin N ve p sabitleri yerine bir tek a
sabiti gelmektedir. Bu farkın nedeni binom dağılımının N.p çarpımı sonlu kalacak şekilde N →∞
'a ve p → 0 ‘a giderken limitini almış olmamızdır.
Poisson dağılımının elde ediliş şekline bakarak, olay sayısının çok büyük ve bir olayın kazanma
olasılığının çok küçük olduğu, böylece a=N.p çarpımının sonlu kaldığı durumlara uyan dağılımın
bu olduğu bilinmektedir. Poisson dağılımının en genel uygulama yerlerinden biri
radyoaktivitenin anlatımıdır. Elimizde her birinin belli bir zaman aralığında bozulma olasılığı 1019
olan 1020 tane radyoaktif çekirdek bulunabilir. Bu zaman aralığındaki toplam parçalanma
sayısı N = 1020, p = 10-19 ve a = 10 poisson dağılımı gösterir. Poisson dağılımı için n ortalama
değerini ve varyansı binom dağılımında bunlara uyan denklem (1.21)’de verilen niceliklerden
dolaysız olarak hemen hesaplayabiliriz. q bire çok yakın olduğundan a parametresi cinsinden
aşağıdaki basit sonuçları buluruz.
̅
(1.25)
Hazırladığınız gelişigüzel sayılar çizelgesi binom ve Poisson dağılımları için ilginç örnekler
verir. Yirmi yüzlü zar ile elde edilen üç rakamlı gelişigüzel sayıları alarak her üç gruptaki 7 ‘lerin
sayısı için bir frekans sayımı yapın. Yani, üç rakamlı sayılardan kaç tanesinde hiç 7 yoktur, bir
tane 7, iki 7 veya üç 7 kaç tanesinde var? Sonuçlarımızı ana binom dağılımına göre
beklemediklerimizle karşılaştırın. Örnek ortalamasını ve varyansı hesaplayıp ana binom
dağılımındaki değerlerle karşılaştırın.
Şimdi de gelişigüzel sayılar çizelgesindeki dokuz rakamlı gruplan ele alalım. 9 rakamlı karesel
grupların her birindeki 7'lerin sayısı için frekans dağılımı yapın. Çizelgede böyle 40 grup
bulunmaktadır. Sonuçlarınızı Çizelge 5’e geçirin.
Bütün rakamların frekans sayımını elde etmek üzere bu sayılan öteki rakamlar için de tekrarlayın
ve frekansları her satıra yazın. Son olarak olasılıkları elde etmek için bunları toplam ölçme
sayısına bölün. 40 kutu ve 10 rakam için ölçme sayısı 400’dür.
Sonuçlarına PN,1/10(n) binom dağılımı değerleri ile karşılaştırın. Bu dağılımın değerlerini
hesaplarken P(n+1)’i P(n) cinsinden veren bir geri götürme (recurence) bağıntısı kurmak fazla
işlem yapmayı önler. Binom dağılımı içim uygun olan geri götürme bağıntısı denklem (1.16) nın
doğrudan uygulanması ile sınayabileceğimiz aşağıdaki bağıntıdır.
(
)
(
)
( )
(1.26)
(
)
Buna göre sadece PN,p(0)’ı hesaplamak ve bu bağıntıyı kullanmak yeterlidir. Geri götürme
bağıntısını kullanırken başta yapılan bir hata süregideceğinden genel olarak bu yol biraz
sakıncalıdır. Bununla birlikte bu özel durumda artan n’ler için P’nin değerleri çok çabuk
küçüldüğünden bir sakınca yoktur. Gerçekten n>4 için değerlerin 10-5 ‘ten küçük olduğunu
böylece daha ileri gitmenin anlamsızlığını görmelisiniz.
Çizelge 5
Sayı
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
Frekans
5
6
7
8
9
Şimdi 9 rakamlı gelişigüzel sayı gruplarındaki sayıların dağılımı için Poisson yaklaşıklığını ele
alalım. N==9, p =1/10 olup a = N p = 0,9 ‘dur. Poisson dağılımını kullanarak n’nin 0’dan 4’e
kadar olan değerleri için olasılıkları yeniden hesaplayın. Hiç kuşkusuz N=9, N=a ‘dan çok uzak
olduğundan kesin bir uyuşma beklememeliyiz. Fakat yine de karşılaştırma ilgi çekicidir. Binom
dağılımı n=0 ve n=1 için (N ve p‘nin özel değerlerinin bir sonucu olarak ) aynı değerler verirken
Poisson dağılımının P(0) ve P(1) için bunlardan sıra ile %5 daha büyük ve daha küçük değerler
verildiğine özellikle dikkat edin. Daha büyük n’ler için yaklaşıklığın doğruluğu artıyor mu, yoksa
azalıyor mu?
DENEY NO: 2
DENEYİN ADI: ATOM SPEKTRUMLARI
DENEYİN AMACI: Spektrum kavramı, spektrum analizi, Helyumun yayma spektrumunun
incelenmesi,
DENEY BİLGİSİ:
Spektrumlar oluşumları bakımından iki ana gruba ayrılırlar. Bunlar yayma, salma (emisyon)
spektrumları ve yutma veya soğurma (= absorbsiyon) spektrumlarıdır.
■ Yayma Spektrumları: Maddenin uygun koşullar altında kendi yaydığı ışığın spektrumu.
■ Soğurma Spektrumları: Sürekli olarak her dalga boyunu içeren ışığın ( beyaz ışığın), bir
madde içinden geçtikten sonra verdiği spektrumlardır ki bu spektrumlarda soğurucu maddeye
özgü bazı dalga boylan ortadan kalkmıştır.
ŞEKİL-2.1' de Sodyum, Hidrojen, Helyum gazlan ile Civa buharının çizgili yayma spektrumları
verilmiştir. Bu spektrumlar morötesi ve kırmızı ötesi bölgesinde de devam etmektedirler. Gaz ve
buharlan birkaç Torr düzeyindeki alçak basınç altında iki elektrotlu bir cam tüpe doldurulduktan
sonra içlerinde elektriksel boşalma meydana getirerek ışık yaymaları sağlanabilir. ŞEKİL-2.1 de
görüldüğü gibi her elementin, yayma spektrumu kendine özgüdür ve biri diğerine
benzememektedir.
ŞEKİL 2.1. Na, Hg, He ve H yayma spektrumları
Yayma spektrumlarında çizgi, bant ve sürekli spektrum olmak üzere 3 tip bölge bulunur.
Çizgi spektrumu: Bireysel atomların uyarılmasıyla elde edilen bir dizi keskin, iyi tanımlanmış
piklerden oluşmaktadır. Gaz fazında seyreltik durumda tek atomlar ısın yaydığında ultraviyole
(UV) ve görünür bölge de (GB) çizgi spektrumu oluşur.
Bant spektrumu: Bant spektrumları birbirlerine çok yakın olduğu için tam olarak ayırt
edilemeyen bir dizi çizgiden meydana gelmiştir. Bantların kaynağı küçük moleküller veya
radikallerdir. Bantlar, molekülün elektronik temel hali üzerindeki çok sayıda kesikli titreşim
enerji düzeyinden oluşur. Çizgi ve bant spektrumları, sürekli spektrumun üzerine binmiş
durumdadır. Yani bu spektrumlara ayırma gücü yüksek bir spektrometreden bakıldığında her
bandın, aslında dalga boyları birbirine çok yakın birer çizgi serisinden oluştuğu görülür.
Sürekli Spektrum: Spektrumun sürekli kısmı belirgin bir artış gösteren zemin sinyalinden
oluşur. Sürekli ışıma, katılar ışıma yaptığında meydana gelir. Bu tür ışımalar termal ışıma ya da
siyah cisim ışıması olarak adlandırılır ve yüzeyi oluşturan maddenin cinsinden bağımsızdır,
sadece ışıma yapan yüzeyin sıcaklığına bağlıdır. Katı içinde büyük sayıda atomik ve moleküler
geçisin ısı enerjisiyle uyarılmasından oluşur.
Bir beyaz ışık demeti spektrometreye girmeden önce soğurucu bir madde içinden geçirilirse,
sürekli spektrumda yer yer siyah çizgiler ve bantlar belirlendiği görülür. Bunun sebebi özellikle
siyah çizgi veya bantların yer aldığı kısımlardaki dalga boylarına sahip fotonların madde
tarafından şiddetle soğrulmuş olmasıdır. Böylece bir sürekli spektrum üzerinde yer almış siyah
çizgi veya bantlardan oluşan soğurma spektrumları elde edilir. Soğurucu madde molekülleri tek
atomlu gaz veya buhar ise siyah çizgiler, çok atomlu moleküllerden oluşmuşsa siyah bantlar
meydana gelir. Yapılan deneyler bir maddenin soğurma spektrumundaki siyah çizgi veya
bantların, aynı madde ışık yaydığı zaman elde edilen yayma spektrumundaki renkli çizgi veya
bantların dalga boylarının aynı olduğunu göstermektedir. Kısacası bir madde kendi yayabildiği
öz dalga boylarını içinden geçen beyaz ışıktan soğurur.
Helyum atomuna ait spektrumlarda gözlenen spektrum çizgilerin dalga boyları Tablo- 2.1 de
verilmiştir.
Renk
Kırmızı
Sarı
Yeşil
Mor
Dalgaboyu(A0)
6775
5950
5050
4500
Tablo- 2.1. Helyum atomuna ait spektrumlarda gözlenen spektrum çizgilerin dalga boyları
Bir elementin uygun şartlar altında yaydığı ışık bir optik prizma veya ışık ağından geçirilirse o
elemente özgü ve onun atom yapısı hakkında çok değerli bilgi veren bir çizgili spektrum elde
edilir. Yalnız bu spektrumlardaki çizgilerin hangi kanuna göre sıralandıkları ilk Balmer
tarafından araştırılmıştır. Hidrojen spektrumunun görünür bölgesindeki çizgileri inceleyen
Balmer, bu çizgilerin dalga boylarını hesaplamaya yarayan matematiksel bir bağıntı ortaya
koymuştur. Hidrojen spektrumunun görünür bölgesi ile morötesi bölgesinin bir kısmı ŞEKİL2.2’
de verilmiştir.
ŞEKİL 2.2. Hidrojen Balmer Spektrumu
Çizgilerin kısa dalga boylarına doğru sıklaşarak bir limite vardığı görülmektedir. Balmer’in
ortaya koyduğu bağıntı Rydberg ve Ritz tarafından geliştirilerek,
(2.1)
Burada n1 ve n2 ilk ve son durumdaki baş kuantum sayısıdır. RH Rydberg Sabiti’dir.
(
)
(
)
(2.2)
eşitliği ile hesaplanır. Burada μ indirgenmiş kütle olup;
(2.3)
ile ifade edilir.
Hidrojen spektrumundaki çizgiler, enerji düzeyleri arasında gerçekleşebilen geçişlere karşılıktır
ve bu çizgilerin dalga boyu yukarıdaki matematiksel ifade ile elde edilir. Burada λ gözlenen
spektrum çizgilerinin dalga boyu, R Rydberg sabiti, n = 3, 4, 5, ....tam sayı değerlerini alabilen
bir sayıdır. Hidrojen için Rydberg sabitinin değeri
dir. Helyum için Rydberg sabitinin değeri ise
dir.
Hidrojen spektrumu en basit spektrumdur. Diğer elementlerin spektrumları çok daha karmaşıktır.
Bir kez iyonlaşmış olan Helyum (He+), iki kez iyonlaşmış Lityum (Li++), üç kez iyonlaşmış
Berilyum (Be+++) spektrumları hidrojenin spektrumuna çok benzerler; çünkü bu iyonların
(hidrojen gibi) tek elektronları kalmıştır. Periyodik sistemdeki diğer elementler ve iyonlaşmamış
olan He, Li, Be gibi elementlerin spektrumları karışıktır. Fakat yine de bütün elementleri seriler
halinde ayırmak ve her seriyi iki terimin farkı olarak göstermek olanağı vardır. Hidrojen
spektrumundaki enerji seviyelerini yukarıdaki formülü kullanarak bulabiliriz. Helyum için
yukarıdaki formülden hesaplanan enerji seviyeleri ile gerçek enerji seviyeleri arasında fark
vardır. Bu farklılığın nedenini sizce nedir?
KULLANILAN ARAÇLAR:
Helyum deşarj tüpü, Hidrojen deşarj tüpü, optik ağ ( mm de 140 çizgi ) , sarı ve yeşil filtreler,
metre, ışık kaynağı, güç kaynağı ( max 15 V ), bağlantı kabloları.
DENEYİN YAPILIŞI:
Desarj Tüpü
Metre
R
θ
Kırınım Ağı
1. Şekildeki düzeneği kurunuz.
2. Şekildeki R uzaklığını ölçünüz. Bu uzaklık deney boyunca sabit kalmak durumundadır.
3. Optik ağ ile helyum atomunun spektrumunu inceleyiniz ve hangi renkleri gözlediğinizi
kaydediniz.
4. Spektrumda dalga boyunu ölçmek istediğiniz çizginin merkeze olan rı uzaklığım ölçünüz ve θ
açısını hesaplayınız.
5. n.λ = d. sinθ bağıntısından gözlediğiniz rengin dalga boyunu hesaplayınız.
6. Bu işlemleri gözlediğiniz her renk için tekrarlayınız.
Deneyi Hidrojen deşarj tüpü kullanarak tekrarlayın.
DENEYİN ADI: ELEKTRONUN ÖZYÜKÜNÜN HESAPLANMASI
DENEYİN AMACI: Birkaç yüz voltluk gerilim altında hızlandırılan elektronların düzgün bir
manyetik alandaki yörünge yarıçaplarını ölçerek özyüklerinin hesaplanması.
DENEY BİLGİSİ:
Bir taneciğin yükünün kütlesine oranına o taneciğin özyükû (spesifikyükü) denir. Bu deneyde temel
hareket noktalarından biri yüklü parçacıkların elektrik ve magnetik alandaki hareketleridir: V gibi bir
potansiyel farkı altında hızlandırılan bir elektronun sayfa düzlemine dik düzgün bir magnetik alana
girdiğini düşünelim (ŞEKİL-3.1) .
ŞEKİL-3.1. Magnetik alanda bir elektronun izlediği yörünge
Bu andan itibaren elektrona bir elektromagnetik kuvvet etki eder. Bu kuvvet
F = q (v x B )
(3,1)
ile verilir ve yönü sol-el kuralı ile bulunur.
Bu kuvvet daima hız ve alan doğrultularına dik olduğundan, elektron alan içinde kapalı bir
yörünge izler. Bu esnada elektrona etkiyen merkezcil kuvveti
(3.2)
ile verilir. Burada m elektronun kütlesi, r yörünge yarıçapıdır. F ve F' eşit olduğundan ve V gibi
bir hızlandırıcı gerilim altında kalan bir elektronun kinetik enerjisinin
(1/ 2) mv2 = e V
(3.3)
olduğu düşünülürse elektronun özyükü
bağıntısı ile bulur.
Deneyde elektronların (e/m) oranının bulunması için tasarlanan cihazın genel görünümü
ŞEKİL-3.2' de gösterildiği gibidir ;
ŞEKİL 3.2
Burada magnetik alan vakum tüpünü çevreleyen bir çift Helmholtz bobini ile oluşturulur . Bu
alanın değeri
şeklindedir. Burada N sarım sayısı, I bobinlerden geçen akım şiddeti ve R bobinlerin yarıçapıdır.
NOT; Helmholtz bobinleri, birbiriyle tamamen aynı yapıdadır. Aralarındaki uzaklık
yarıçaplarına eşit olmak üzene aynı eksen üzerine yerleştirilmiş bir düzenektir (Deneye gelmeden
önce Helmholtz bobinleri hakkında bilgi sahibi olunmalıdır.)
Vakum tüpünün içi boşaltılmış bir ampul içerisinde aşağıya yönelmiş bir elektron
tabancası vardır. Havası boşaltılmış ampulün içerisinde elektronların izlerinin görünür olması
sağlanmıştır. Magnetik alan içerisindeki elektron izinin çapı, tüp içerisindeki cam üzerine asitle
işlenmiş içten skala kullanılarak ölçülebilir. Hızlandırıcı potansiyel ve bobin akımı cihazın ön
paneli üzerindeki dijital göstergelerden okunabilir.
DENEYİN YAPILIŞI: Deneyde e/m deney düzeneği kullanılacaktır,
V nin fonksiyona olarak r yi ölçmek
Elektronun dairesel yörünge yarıçapı r ve hızlandırıcı potansiyel V arasındaki ilişki için
grafik çizme:
veya
y=V ve x=r2 değişken değiştirmesi yaparak ve a eğim olarak belirlenir.
V’yi r2 nin fonksiyonu olarak çizersek;
buluruz.
Akımı 1.5 A değerine set ediniz. Manyetik alanı bulunuz.
B = k I, burada k = 7,7 x 10-4 T/A . (1: Amper, B: Tesla) ( 3.5 eşitliği ile karşılaştırınız N:130
ve R=0.15 m). V yi değiştirerek r(metre) yi ölçünüz.
Akımın fonksiyonu olarak r yi ölçmek
Bu deneyde V yi sabit tutacağız.
I akımını 1/r nin fonksiyonu olarak çizersek eğim;
Ve yük/ kütle oranı aşağıdaki bağıntıdan hesaplanabilir
V’yi sabit değerde tutunuz (200 V) r yi 5,6 , ...10 cm çaplı daireler elde etmek üzere I yı
değiştiriniz. I ya karşın l/r yi çiziniz, grafiğin eğimini bulunuz bu değeri e/M oranını bulmak için
kullanınız. Hata hesabı yapınız
(Teorik değerler: e=1.6x10-19C, m=9,11x10-31kg, e/m=1,76x1011C/kg)
DENEY NO:4
DENEYİN ADI: TERMOELEKTRİK ÇİFT
DENEYİN AMACI:
1. Termoelektrik konusunda Seebeck, Peltier ve Thomson olaylarını öğrenmek
2. Bir termoelektrik çiftin pratikte kullanılma yerlerini öğrenmek
3. Bir termoelektrik çiftin kalibrasyon eğrisini çizmek, çizilen eğri yardımıyla bilinmeyen
sıcaklığı bulmak
DENEY BİLGİSİ:
Günlük hayatta sık kullanılan ısı ve sıcaklık kavramları birbirleriyle çok yakından ilişkili
olmakla beraber anlamları çok farklıdır. Isı, iki sistem arasında, birinden diğerine
aralarındaki sıcaklık farkı nedeniyle aktarılan enerjidir. Isı akışı sadece sıcak cisimden,
soğuk cisme olur. Sıcaklık bir maddenin moleküllerinin dönme ve öteleme kinetik
enerjilerinin bir ölçüsüdür. Sıcaklığı artan bir cismin moleküllerinin titreşim, dönme ve
öteleme kinetik enerjisi artar.
Soru 1: Titreşim, dönme ve öteleme kinetik enerjisi neyi ifade ediyor?
İki farklı metal veya yarıiletken telin uçları kapalı bir devre oluşturacak şekilde birbirlerine
eklenirse ve bu eklemler farklı sıcaklıklarda bulunursa, devreden bir akım geçer (ŞEKİL4.1). Bu olay 1826 yılında J.T.SEEBECK tarafından bulunduğu için “Seebeck olayı” diye
adlandırılır. Devrede doğan elektromotor kuvveti, termal emk veya Seebeck emk olarak
adlandırılır. Referans sıcaklığı TR sabit tutulduğunda Seebeck emk, test eklemi sıcaklığı
T’nin bir fonksiyonudur. Böylece Seebeck emk’nın ölçülmesi ile sıcaklık ölçümü
eşdeğerdir.
Test eklemi
T
B
A
Referans eklemi
TR
ŞEKİL-4.1
Soru2: Seebeck emk nasıl oluşur?
Seebeck, birim sıcaklık farkı başına ortaya çıkan elektromotor kuvvetinin, seçilen
metallerin elektropozitifliklerine bağlı olduğunu göstermiştir.
Soru3: Elektropozitiflik nedir? Metallerde elektropozitiflik sırası nasıldır?
Soru4: ŞEKİL-4.1.’deki eklemler aynı sıcaklıkta tutulursa ne olur?
Aynı zamanda bir Seebeck emk, düğüm noktası ile serbest uçlar arasındaki sıcaklık farkına
bağlı olmakla beraber bu sıcaklık farkı ile artış sürekli olarak devam edip gitmez. Yani /c,
geniş bir sıcaklık aralığında sabit değildir. ŞEKİL-4.2’de termoelektrik emk ıım sıcaklıkla
genel değişimi belirtilmiştir. Bu gibi deneylerde termopilin serbest uçları, örneğin ŞEKİL4.1’de AB noktalan, oda sıcaklığında veya erimekte olan buza daldırılarak 0°C de sabit
tutulur.
E
T
ŞEKİL-4.2
Tİ
Termopilin elekromotor kuvvetinin sıcaklığa bağlılığı, duyarlıklı sıcaklık ölçen
termoelektrik termometre ’ lerin yapımına olanak verir. Bunun için aynı cinsten İki
termopil ŞEKİL-4.3' deki gibi zıt yönde, yani biri öbürü içinden akım geçirecek tarzda
bağlanır. Böyle bir düzeneğe termoelektrik çift (termocouple) denir.
Soru5: Termopil ne amaçla kullanılır?
Soru6: Termopil ve termoçift arasındaki fark nedir?
Soru 7: Termometre varken niçin termoçift yardımıyla sıcaklık ölçülür?
G
A
B
konstantan
Cu
Cu
Erimekte
olan buz
T1
Su
ŞEKİL-4.3
T2
Termopillerin düğüm noktalarının bulunduğu ortamların sıcaklıkları Tı = T2 ise Eı =E2
olacağından G galvonometresinden hiç akım geçmez. Tı≠Tı ise E1≠E2 olacağından
galvonometreden akım geçer. Düğüm noktalarından biri, örneğin soldaki sabit T0 kıyas
sıcaklığında tutulursa galvonometredeki sapmalar ∆T = T-To farkıyla orantılı olacaktır. Bu
sapmalar °C veya °K cinsinden ayarlanabilir. Birinci düğüm noktası erimekte olan buz,
kaynamakta olan su gibi uygun sabit sıcaklık banyolarından birine daldırılarak düzeneğin
ölçü alanı, ŞEKİL-4.2’ deki eğrinin başlangıcı ile tepe noktası arasındaki doğrusal bölgeye
ayarlanabilir. Bu tür termometreler çok ince tellerden çok küçük hacimlerde yapılabilirler.
Isı sığaları civalı termometrelere kıyasla çok küçük olduğundan çabuk cevap verirler.
İki farklı metal veya yarıiletkenin arasındaki eklemden bir akım geçtiğinde, eklemden
geçen toplam elektrik yükü ile orantılı miktarda bir ısı, akımın yönüne bağlı olarak ya
eklemden çevreye aktarılır ya da ya da eklem tarafından soğurulur. Bu olay nedeniyle
eklemde bir emk oluşur. Bu olay, onu ilk kez ortaya çıkaran JEAN PELTİER’ in adıyla
anılır.
Soru8: Peltier ısısı kavramını açıklayınız, nelere bağlı olduğunu formülüze ederek
gösteriniz.
Sorıı9: Peltier emk nedir ve nelere bağlı olarak değişir?
İki ucu farklı sıcaklıklarda bulunan tek bir iletken telde serbest elektron yoğunluğu tel
boyunca noktadan noktaya değişir, İletken bir telde (boyunca) bir sıcaklık gradienti varsa,
bu telin her elemanı birer emk kaynağıdır. (THOMSON OLAYI) Boyunca sıcaklık
gradienti olan bir iletken telden bir elektrik akımı geçirildiğinde telin her elemanında “
Thomson ısısı” olarak adlandırılan bir ısı ya serbest kalır ya da soğurulur. Bu ısı telin göz
önüne alman elemanından geçen elektrik yüküyle ve bu elemanın uçları arasındaki sıcaklık
farkı ile orantılıdır.
KULLANILAN ARAÇLAR:
Cu-konstantan termoelektrik çifti, dijital multimetre (referans eklemi sıcaklığı ölçebilen),
dijital voltmetre, su kaynatma kabı, beher, buz.
DENEYİN YAPILIŞI:
1) ŞEKİL-4.3’deki düzeneği kurunuz.
2) Referans eklemini su-buz karışımında, test eklemini sıcak suda tutunuz ve test
ekleminin hemen yanma civalı bir termometre yerleştiriniz.
3) Tellerin diğer uçlarım sayısal voltmetrenin uçlarına bağlayınız.
4) Sıcak suyun sıcaklığı (°C) termometreden okunurken bu sıcaklıktaki termoelektrik
çiftte doğan emk (Є) da sayısal voltmetreden okunmalıdır,
5) Ölçü sonuçlarını bir çizelgeye geçiriniz, Є -T grafiğini çiziniz.
6) Çizilen grafikten yararlanarak k yı bulunuz.
7) Bulduğunuz k değerini bilinmeyen bir sıcaklık bulmada kullanınız.
8) Bulduğunuz sıcaklık değeri ile termometreden ölçtüğünüz değeri karşılaştırınız.
DENEY NO: 5
DENEYİN ADI: ÖZISI KAPASİTESİNİN BELİRLENMESİ
DENEYİN AMACI: Joulmetre yardımıyla farklı metal bloklar için özısı kapasitesinin
belirlenmesi ve ısı sığası kavramının incelenmesi.
DENEY BİLGİSİ:
Günlük hayatımızda sık sık kullandığımız ısı ve sıcaklık kavramları birbirleriyle çok
yakından ilişkili olmakla beraber anlamları çok farklıdır. Isı, iki sistem ( veya cisim )
arasında, birinden diğerine aralarındaki sıcaklık farkları nedeniyle aktarılan enerjidir. Isı
akışı sadece sıcak cisimden, soğuk cisme olur. Sıcaklık bir maddenin moleküllerinin
titreşim, dönme ve öteleme kinetik enerjilerinin bir ölçüsüdür. Sıcaklığı artan bir cismin
moleküllerinin termal enerjisi diyebileceğimiz titreşim, dönme ve öteleme kinetik enerjisi
artar.
Soru 1: Isı ve termal enerji arasındaki fark nedir?
Sıcaklıkları farklı iki cisim birbirleriyle termal temasa getirildiklerinde, ısı transferinden
ötürü sıcaklık dengesi oluşacaktır. Böyle bir işlem olduğunda, sıcak cisimden soğuk cisme
bir ısı transferi olur.
Nicel olarak tanımlanan en basit ısı transferi işlemine ısı iletimi denir. Bu işlemde, ısı
transferine atomik ölçekteki moleküller arasındaki kinetik enerji değiş-tokuşu olarak
bakılabilir. Burada, düşük enerjili parçacıklar, daha yüksek enerjili parçacıklarla çarpışarak
enerji kazanırlar. Örneğin, bir ucundan tutulan metal bir çubuk ateşe sokulursa, elinizdeki
metalin sıcaklığının arttığım göreceksiniz. Isı, iletim yoluyla elinize ulaşır.
Soru 2: Isı iletim hızı ısıtılan maddenin özelliklerine bağlı mıdır?
Soru 3: Isı iletimi hangi koşulda oluşur?
Soru 4: Isı iletimi kanununu formülize ederek açıklayınız.
Isı bir enerji olduğuna göre diğer enerji birimleri ile ölçülebilir. Bununla beraber ısı için
kalori adı verilen bir birimde tanımlanmıştır.
Kütlesi M olan bir cismin sıcaklığını T1 dereceden T2 dereceye değiştirmek için ona
verilmesi veya ondan alınması gereken ısı miktarı,
Q = M. c. ( T2 – T1 ) = M.c. ∆T = C. ∆T
’ dir.
(5.1)
Bir cismin ısı kapasitesi (sığası) C, cismin tamamının sıcaklığını 1 °C değiştirmek için
gerekli ısı enerjisidir. ( 5.1 ) bağıntısındaki M.c değeri cismin ısı kapasitesini verir.
Herhangi bir cismin ısı kapasitesi, cismin kütlesi ile orantılıdır. ( 5.1 ) bağıntısında c ilgili
cisim için; ısınma ısısı veya özgül ısıdır. Birim kütle başına düşen ısı kapasitesi olarak
tanımlanır. Başka bir deyişle, bir cismin birim kütlesinin sıcaklığını 1 °C değiştirmek için
gerekli
ısı
miktarıdır.
Çizelge-5.1’de bazı maddelerin oda sıcaklığı civarındaki özgül ısıları kalori ve joule
cinsinden belirtilmiştir.
Çizelge-5.1: Bazı maddelerin 15 °C- 30 °C aralığındaki özgül ısıları
Madde
c (cal/g oC)
c (J/g oC)
Alkol (CH3OH)
Alüminyum
Altın
Azot
Bakır
Beton
Buz
Cıva
Cam
Çinko
Demir
Etil alkol (C2H5OH)
Grafit (karbon)
Gümüş
Hidrojen (15 oC ‘de ve sabit basınçta)
Karbondioksit (CO2)
Kurşun
Nikel
Oksijen
Su (kalorinin tanımından)
Su buharı (100 oC ve sabit basınçta)
Pirinç
Tungsten
Tahta (çam)
0,60
0,212
0,0316
0,248
0,0923
0,203
0,51
0,033
0,16
0,093
0,117
0,58
0,160
0,0564
3,389
0,277
0,0305
0,103
0,219
1,000
0,482
0,090
0,0321
0,671
2,51
0,888
0,132
1,04
0,386
0,879
2,13
0,138
0,670
0,389
0,490
2,43
0,670
0,236
14,19
0,95
0,128
0,431
0,917
4,187
2,02
0,377
0,134
2,81
Bir elementin bir atomgramının sıcaklığını 1 °C değiştirmek için gerekli ısı miktarına o
elementin atom ısısı denir.
Soru 5: Atom ısısı kavramından yararlanarak Dulong-petit kanununu ifade ediniz.
Soru 6: Metaller için atom ısısının, sıcaklıkla değişimini gösteren grafiğin teorik olarak
nasıl olmasını beklersiniz, çizerek yorumlayınız.
Bir katı cismin sıcaklığını T1 den T2 ‘ye çıkarmak için, bu cisme enerji verilmesi
gerektiğini artık biliyoruz. Cisme verilmesi gereken enerjiyi temelde cismin sahip olduğu
molekül sayısından elde edebiliriz, çünkü ısıl dengede her molekül
E= 1/2 (kT)
(5.2)
kadarlık ortalama enerjiye sahiptir. Her molekül m kütlesine sahip ise, homojen M kütleli
bir katı cisim M /m tane moleküle sahip olur, buna göre her molekülün sıcaklığını T1 ‘den
T2 ‘ye çıkarmak için (1/ 2) k( T2-T1) kadarlık enerji ve dolayısıyla tüm cisim için
E = ( 1 / 2 ) ( M / m ) k ∆T
(5.3)
kadarlık enerjiye ihtiyaç vardır. Buna göre cismin ısı kapasitesi
C = E / ∆T = ( M / m ) ( k / 2 )
(5.4)
tanımı ile de verilebilir. Spesifik ısı kapasitesi (özgül ısısı) de
c = E / ( M ∆T ) = k / 2m
(5.5)
olur. Özgül ısının birimi, J kg-1 °C-1 ’dir.
Kalorimetri kanunları: Aslında enerjinin korunumu ilkesinin bir sonucu olmakla beraber
cisimlerin ısı ve sıcaklık değişimleriyle ilgili problemleri çözmekte yararlanılan iki kanun
vardır.
1. Sıcaklıkları farklı cisimler birbirleri ile temasa getirildikleri takdirde termik dengeye
erişinceye kadar sıcak cisimler soğur ve soğuk cisimler ısınır. Soğuyan cisimlerin verdiği
ısı miktarlarının toplamı, ısınan cisimlerin aldığı ısı miktarlarının toplamına eşittir.
2. Bir olayın olması için harcanan ısı miktarı, aynı olayın tersi olurken aynen geri alınır.
Isı miktarı ile ilgili ölçüleri yapmakta kullanılan aletlere kalorimetre denir. (ŞEKİL- 5.1).
Termometrenin, karıştırıcının ve kalorimetre kabının ısı sığalarının toplamına kalorimetre
sisteminin ısı sığası denir.
ŞEKİL-5.1: Genel bir kalorimetre
KULLANILAN ARAÇLAR:
Alüminyum, bakır, çelik ve pirinç bloklar, termometre, dijital joulmetre, 6V d.c güç
kaynağı, bağlantı kabloları.
DENEYİN YAPILIŞI:
Aşağıda gösterilen deney düzeneğini kurunuz. Alüminyum bloğun ilk sıcaklığını
termometreden okuyunuz. Isıtıcıyı joulmetreye bağlayıp, joulmetreyi çalıştırınız. Böylece
bloğun sıcaklığı artmaya başlayacaktır. Bloğun sıcaklığı 10 °C yükselene kadar bekleyiniz.
Sıcaklık 10 °C arttığında joulmetreden bu sıcaklığa karşılık gelen enerji değerini
kaydediniz. Metal bloğu tartınız. Elde edilen değerleri ( 5.5 ) bağıntısında yerine koyup
alüminyumun özısı kapasitesini belirleyiniz. Aynı işlemleri diğer metal bloklar için de
tekrarlayınız.
(1 cal = 4.187 joule)
DENEY NO: 6
DENEYİN ADI: FOTOELEKTRİK OLAY
DENEYİN AMACI: Fotoelektrik olayın denel olarak gözlenmesi, fotoelektronlarm
kinetik enerjisi, ışığın şiddeti, ışınım frekansı arasındaki bağıntıların incelenmesi,
durdurma potansiyeli kavramının öğrenilmesi, Planck sabitinin hesaplanması
DENEY BİLGİSİ:
Işığın maddeden elektron koparması demek olan fotoelektrik olayın keşfi, H.HERTZ
(1887) ve W.HALWACHS (1888), nicel analizi ise, A.EINSTEIN (1905) tarafından
gerçekleştirilmiştir, HERTZ; elektronik dalga osilatörünün çalışması sırasında, antende
oluşan kıvılcımlı boşalma pulslarının, osilatör üzerine mor ötesi ışık düşürüldüğü takdirde
daha da arttığını gözlemiş, fakat bunun nedenini açıklayamamıştır. HAL WACH S ise;
üzerine mor ötesi ( yüksek frekanslı ) ışık düşürülen negatif yüklü bir çinko levhanın,
yükünü zamanla kaybettiğini fark etmiş, böylece levhanın ışık etkisiyle negatif yüklü
tanecikler saldığım kanıtlamıştır. Yine aynı yıllarda, J.J.THOMSON (1898); levha
tarafından salınan taneciklerin özyüklerini ölçmek sureti ile bunların elektron olduklarını
kanıtlamış, ışık etkisi ile madde üzerinden koparılan bu elektronlara fotoelektron adını
vermiştir.
Yapılan çeşitli deneyler; sadece morötesi ışınların değil, fakat daha az etkin olmakla ve
levhanın yapıldığı maddenin cinsine bağlı olarak değişmekle beraber, daha uzun
dalgaboylu görünür ve hatta kırmızıötesi ışınların bile fotoelektrik olayı meydana
getirebileceğini göstermiştir.
Fotoelektrik olayın gözlenebilmesi için hazırlanmış basit bir deney düzeneği ŞEKİL- 6.1’
de gösterilmiştir.
Havası boşaltılmış bir cam tüpteki metal elektrotlardan biri üzerine monokromatik ışık
gönderildiğinde fotonsalma ile sökülen elektronların oluşturduğu akım, potansiyelin
fonksiyonu olarak ölçülmektedir.
Fotoelektrik olayın kanunları:
Fotoelektrik olayın sayısal olarak incelenmesi sonucunda aşağıdaki sonuçlara varılmıştır.
1. Katottan birim zamanda serbest bırakılan fotoelektronların sayısı, katot üzerine
düşürülen tek renk ışığın I şiddeti ile orantılıdır.
Devreden geçen akımın şiddeti ( i ); katottan kopup anoda ulaşan elektronların sayısına (n)
bağlıdır. Katot üzerine düşen ışığın dalga boyu sabit tutulup, şiddeti değiştirildiğinde; G
galvonometresinden okunan akımın şiddetinin ŞEKİL-6.2’ deki gibi bir değişim gösterdiği
izlenir.
ŞEKİL-6.2
Hızlandırıcı gerilim değeri sıfırdan başlayarak arttırılırsa, devreden geçen akımın şiddeti de
artmakta, fakat, belirli bir doyma değerine eriştikten sonra sabit kalmaktadır. Ters yönde
gidilip, hızlandırıcı gerilimin giderek azaltılması halinde, devreden geçen akımın şiddeti de
azalmakta ve bir V1 = V0 gerilimine ulaştığında ise sıfıra düşmektedir. Fotoelektrik olayın
kesildiği bu gerilime durdurucu gerilim veya eşik potansiyeli adı verilir. Anot katot arasındaki
gerilimin azalmasına bağlı olarak, katottan ayrılarak anoda doğru yol alan fotoelektronların
hızları ve kinetik enerjileri azalır. Bunun doğal bir sonucu olarak, katodun etrafında birim
hacme düşen elektronların sayısı giderek artar ve burada biriken elektronlar, kendilerinden
sonra gelecek elektronlar için negatif bir potansiyel barajı oluşturur. Öyle ki V= V0 için ancak
kinetik enerjisi maksimum olan elektronlardan birkaç tanesi, bu barajı aşıp anoda ulaşabilir.
2. En hızlı elektronların katottan çıkış enerjileri, tek-renk ışığın şiddetine bağlı değildir.
Katot üzerine düşürülen ışık; yalnız katodun yüzeyinden değil, daha derinlerden de elektron
sökebilir. Bunun sonucu olarak, katottan çıkan fotoelektronlarm hız ve kinetik enerjileri
birbirinden farklıdır. Hızlandırıcı gerilimin durdurucu gerilime eşit ( V = V0 ) olması
durumunda; ancak katodun yüzeyinden sökülen en hızlı elektronların, potansiyel barajım
aşarak anot üzerine gelebildikleri görülür. Bu durum,
(Ek)max = 1 / 2 m(v2)max = e V0
(6.1)
denklemi ile ifade edilebilir. Burada; m elektronun kütlesi, e yükü, vmax maksimum enerjili
fotoelektronlarm hızlarını gösterir. Işığın dalgaboyu sabit tutularak, I şiddeti değiştirilirse, en
hızlı elektronların kinetik enerjilerinin ışık şiddetinden bağımsız olduğu görülür. Bu durum; üç
ayrı M1, M2 ve M3 metali için ŞEKİL- 6.3 ‘te açıkça görülmektedir.
(Ek)max = eV0
λ: sabit
En hızlı elektron kinetik
enerjisi
M1
M2
M3
I
Işık şiddeti
ŞEKİL-6.3
3. En hızlı elektronların katottan çıkış enerjileri dolayısıyla V0 durdurucu gerilimi; katot
üzerine düşen ışığın frekansına bağlıdır.
Yapılan deneyler esnasında, ışığın şiddeti I sabit tutulup, frekansı giderek arttırılacak olursa;
katot maddesinin cinsine bağlı olarak, fotoelektrik olayın belirli bir f = f0 frekans değerinden
sonra başladığı görülür. (ŞEKİL-6.4) . f0 frekansına eşik frekansı denir, f0 ≥ f için fotoelektrik
olay meydana gelmez.
ŞEKİL-6.4
Bir metalin derinliklerinde bulunan bir elektronu buradan sökebilmek için gerekli olan enerji,
doğal olarak yüzeydeki bir elektronu sökmek için gerekli olandan çok daha büyüktür. Bunun
yine doğal bir sonucu olarak anot üzerine gelen elektronlar arasında, kinetik enerjisi en büyük
olanlar, metal yüzeyinden koparılmış olan elektronlardır. Katot üzerine düşürülen ışığın,
yüzeyden elektron koparabilmesi için, katot metalinin cinsine bağlı olarak minimum bir
enerjiye sahip olması gerekir. Bu enerji yüzeydeki bir elektronu buradan koparmak için
harcanması gerekli enerjiye eşit olup, değeri,
W = h f0
olur. W’ ye fotoelektrik iş fonksiyonu denir.
(6.2)
Katot üzerine düşürülen hf ışık kuantlarının enerjisi, elektronu metalden koparmak ve ona bir
kinetik enerji kazandırmak için harcanır;
hf= W + 1 / 2 m (v2)max
hf= hf0+ e V0
(6.3)
(6.4)
şeklinde yazılabilir. Bu son eşitliğe fotoelektrik olayın denklemi denir.
Bu denklem fizikte çok önemli bir büyüklük olan h Planck sabitinin deneyle ve çok duyarlı bir
biçimde ölçülmesini sağlar. Buradan,
V0= h / e ( f - f0)
(6.5)
alınabileceğine göre; çeşitli katot metalleri için, katot üzerine düşen ışığın frekansına bağlı
olarak f0 eşit frekansları ve durdurma gerilimleri deneyle belirlenerek, elde edilen doğruların
eğimlerinden tgα = h / e ve buradan da h Planck sabitinin değeri bulunur.
Soru 1: Fotoelektik olay ve özellikle de, katottan çıkan fotoelektronların kinetik enerjilerinin
katot üzerine düşen ışığın şiddetine bağlı olmaması; neden klasik teori ile açıklanamaz?
Soru 2: E1NSTEIN ’ in ileri sürdüğü ışığın kuantum teorisi veya diğer adıyla foton teorisinin
esasları nelerdir?
Soru 3: Fotoelektrik olayın kullanım alanları nelerdir?
KULLANILAN ARAÇLAR:
Fotoelektrik deney seti, sarı ve yeşil renk fi litreleri, değişken geçirimli filtre, kronometre,
multimetre ve bağlantı kabloları.
DENEYİN YAPILIŞI:
Ön Hazırlık
Deneye gelmeden önce Cıva ışığı spektrumundaki sarı, yeşil, mavi, mor ve morötesi renkleri
için dalga boylarını, katot olarak hangi metallerin kullanılabileceğini ve iş fonksiyonlarını
öğreniniz.
Fotoelektrik deney düzeneği Şekil - 6.1 ‘deki gibidir. Cıva buharlı ışık kaynağından gelen ışığı
h/e aparatının beyaz yansıtıcı yüzeyindeki yarığa odaklayınız, h/e aparatının içindeki beyaz
fotodiyot görünene kadar aparatın önündeki ışık kılıfını sağa doğru çeviriniz. Fotodiyotun
üzerine tek bir rengin düşmesi için aparatı destek çubuğu üzerinde döndürerek sistemi
ayarlayınız. Işık kılıfını tekrar sola doğru çevirerek kapalı pozisyona getiriniz. Multimetrenin
skalasını 2V aralığına getirerek problarını kontrol ediniz. Probları h/e aparatındaki aynı kutuplu
ÇIKIŞ (OUTPUT) uçlarına bağlayınız.
I. BÖLÜM (Işık şiddeti ve durdurma potansiyeli arasındaki ilişkinin incelenmesi)
1. Cıva ışığı spektrumun 1. mertebesindeki yeşil spektrum çizgisi beyaz yansıtıcı yüzeyin
üzerindeki yarığa düşecek şekilde ayarlayınız.
2. Yeşil ışık filtresini beyaz yansıtıcı yüzeyin üstüne yerleştiriniz.
3. Değişken geçirimli filtreyi de yeşil filtrenin üzerine yerleştiriniz.
4. Işık, değişken geçirimli filtrenin her skalasından sırasıyla geçecek şekilde filtreyi
kaydırınız ( % 100, % 80, % 60, % 40, % 20).
NOT 1: Farklı her skala için, durdurma potansiyeli değerine ulaşırken geçen süreyi
kronometreden ölçülmelidir!
5. Her bir ölçüm için h/e aparatının boşaltma ( Zero) düğmesine basıp bırakarak durdurma
potansiyelini multimetreden okuyarak Tablo - 6.1 ’e kaydediniz.
6. Voltaj değerlerini ölçmek için geçen süreyi kronometre ile ölçerek Tablo - 6.1’e
kaydediniz.
7. Durdurma potansiyeli ile geçirgenlik arasında nasıl bir bağıntı olduğunu yorumlayınız.
8. Boşaltma düğmesine bastıktan sonra durdurma potansiyeline ulaşıncaya kadar ölçülen
zamanın ne ifade ettiğini yorumlayınız.
Tablo - 6.1
Spektrumun Rengi
Yeşil
% Geçirgenlik Durdurma
Potansiyeli
100
80
60
40
20
Zaman
II. BÖLÜM ( Spektrumdaki her bir renk için durdurma potansiyellerinin belirlenmesi)
a)
1. Cıva ışığı spektrumun 1. mertebesindeki sarı, yeşil, mavi, mor ( violet) ve morötesi
(ultraviolet) spektrum renklerinden yalnız birini beyaz yansıtıcı yüzeyin üzerindeki
yarığa düşecek şekilde h/e aparatını ayarlayınız.
2. Sarı spektrum rengi için ölçüm alınmadan önce sarı ışık filtresini beyaz yansıtıcı
yüzeyin üzerine yerleştiriniz ( Yeşil spektrum rengi içinde yeşil ışık filtresini
kullanınız).
3. Multimetreden durdurma potansiyelini ölçerek Tablo - 6.2 'ye kaydediniz.
4. Ölçüm yaptıktan sonra h/e aparatındaki boşalma (Zero) düğmesine basınız.
5. Spektrumun 1. mertebesinde bulunan diğer renkler için bu aşamaları tekrar ediniz.
6. Spektrumun 1. mertebesindeki spektrum çizgileri için yapılan işlemlerin aynısı
spektrumun 2. mertebesinde bulunan spektrum renkleri için tekrarlayınız.
7. Işığın farklı renklerinin durdurma potansiyeli üzerindeki etkisini yorumlayınız.
8. Elde ettiğiniz grafiklerle I. ve II. mertebe için V0 - f ( durdurma potansiyeli - frekans)
grafiğini çiziniz.
9. Deneyde katot olarak hangi metalin kullanıldığını bulunuz ve metalin iş fonksiyonunu
hesaplayınız.
10. Elde ettiğiniz verilerle h Planck sabitini bulunuz.
Tablo - 6.2
1. Mertebedeki renkler Dalgaboyu (nm) Frekans (x 104) Durdurma potansiyeli (V)
Sarı
Yeşil
Mavi
Mor
Morötesi
2. Mertebedeki renkler Dalgaboyu (nm) Frekans (x 104) Durdurma potansiyeli (V)
Sarı
Yeşil
__
Mavi
Mor
Morötesi
DENEY NO:7
DENEYİN ADI: LED YARDIMI İLE h PLANK SABİTİNİN BELİRLENMESİ
DENEYİN AMACI: Yarıiletken malzemeler hakkında bilgi sahibi olmak ve buna örnek olarak
yarıiletken olan LED( Light Emitting Diod)’leri kullanarak h Plank sabitini hesaplamak.
DENEY BİLGİSİ:
Maddeler, elektrik iletim özelliklerine göre sınıflandırıldığında iletken, yalıtkan ve yarıiletken
olarak sınıflandırılmaktadır. Bu sınıflandırmada dikkate alınan nokta maddelerin sahip
oldukları enerji band aralıklarıdır. Şekil 7.1 de iletken(a), yarıiletken(b) ve yalıtkan(c) maddeler
için enerji bant aralıkları gösterilmiştir.Bir maddenin iletkenlik kazanması için valans bandan
kopan elektronların iletim bandına geçmesi gerekir. Bu olayın gerçekleşmesi ise farklı
maddelerde farklı enerji seviyelerinde mümkün olmaktadır çünkü her maddenin içinde bulunan
elektronların serbest hale geçmesi için, o maddeye dışarıdan farklı enerji seviyeleri uygulamak
gereklidir
Şekil 7.1 İletken(a), yarıiletken(b) ve yalıtkan(c) maddelerin bant aralıkları.
ENERJİ SEVİYELERİ
Belirli bir enerji ile yörüngesinde hareket etmekte olan bir elektrona dışarıdan bir enerji (ısı,
ışık, elektriksel etki vb.) aktarıldığında yani uyarıldığında bu elektron bir üst yörüngeye geçer.
Eğer bu elektron zaten valans elektronu ise aldığı enerji ile atomdan ayrılır. Bu durumda o
madde artık iletkenlik kazanmıştır. Ancak her valans elektronu her enerji seviyesi ile
koparılamaz. Bu durum tamamen o maddenin yapısal özelliklerine bağlıdır. Genel olarak
valans elektronunu atomdan koparmak için verilmesi gereken enerji yalıtkan maddelerde en
yüksek, yarıiletkenlerde daha az, iletken maddelerde ise en az seviyededir. Şekil 7.1’e dikkat
edilirse valans bandı ile iletim bandı arasındaki boşluk yalıtkanlarda en fazladır. Boşluk
bandına yasak bant da denilir. Bu adın verilmesinin nedeni valans bandındaki elektronların
iletim bandına geçişini engelleyen bir band oluşudur. Yasak band tamamen boştur ve içinde
elektron barındırmaz. Bu nedenle bu band ne kadar genişse iletim bandına geçiş de o kadar
zordur yani daha fazla enerji verilmesi gerekir.
YARIİLETKENLER
Şekil 7.1 den de anlaşılacağı gibi yarıiletkenlerin iletim özellikleri iletkenler ve yalıtkanlar
arasındadır. Aslında normal halde yalıtkandırlar. Isı, ışık, elektriksel etki vb. etki ile iletkenlik
özelliği kazandırılabilir. Serbest hale geçen elektronlar, dış etki ortadan kalkınca tekrar
atomlarına dönerler.
Yarıiletkenlere Al, As ve B gibi safsızlıklar katılarak (katkılama) iletkenlikleri artırılabilir.
Katılan bu safsızlıklarla bantlar arasındaki enerji farkı azaltılıp, elektronların boş olan iletkenlik
bandına geçmesi kolaylaştırılır. B, Al, P veya As gibi safsızlıkların eklenmesiyle elde edilen
yarıiletkene “safsızlık yarı iletkeni” denir. Elektronikte kullanılan yarıiletkenlerin çoğu bu
türdendir. Safsızlık olarak eklenen atomların elektron sayısı ana kristalin elektron sayısından
daha fazla ise örneğin Ge yarıiletkenine P atomunun katılması durumunda fazla olan valans
elektronu kolayca koparılır ve iletkenlik bandına geçirilebilir. Bu tür yarıiletkene “N tipi”
yarıiletken denir. Eğer safsızlık atomlarının elektron sayısı ana kristalin elektron sayısından az
ise, örneğin Ge yarıiletkenine Al eklenmişse, bu kez yarı iletkene “P tipi” denir çünkü hareket
eden yük pozitiftir.
Germanyum ve Silisyum özellikle elektronikte diyot ve transistör gibi devre elemanlarının
yapımında sıkça kullanılan yarıiletkenlerdir. Ge ve Si doğal elementlerdir. Bu elementler
öncelikle saflaştırılarak (içinde bulunabilecek yabancı maddelerden arındırılarak) monokristal
haline getirilirler. Kristal haline gelen saf Germanyum veya Silisyumun daha önce bahsedildiği
gibi uygun atomlarla safsızlaştırılarak iletkenlikleri artırılır.
Şekil 7.2.Germanyum ve Silisyum monokristal atomlarının kübik örgüsü.
DİYOTLAR
Şekil 7.2.PN eklemli bir diyot.
Diyotlar, P ve N tipi yarıiletkenlerin birleştirilmesi ile yapılırlar. Devrede tek yönde akım
geçirirler. Diyotun anot ve katot olmak üzere iki ucu vardır. Bunlardan anot (+) uç, katot ise (-)
uçtur.
Şekil 7.3.Diyotun anot ve katot uçları.
Diyot doğru polarize edilirse yani anoduna pozitif(+) katoduna negatif (-) gerilim uygulanırsa
iletken olur ve üzerinden, uygulanan gerilim miktarı ve oluşan ısı ile doğru orantılı olarak akım
akmaya başlar. Diyot ters polarize edilirse yani anotuna(-) katotuna(+) gerilim uygulanırsa
devreden akım geçmesine izin vermez. Ancak sızıntı akımı adı verilen ters yönde değeri ihmal
edilebilecek kadar küçük bir akım oluşur. Ters polarma geriliminin belli bir değerinden sonra
Zener Diyot, Foto diyot gibi bazı diyotlar iletime geçerler.
Diyotlar genel olarak doğrultmaç diyotları ve sinyal diyotları olarak iki gruba ayrılır.
Doğrultmaç diyotları güç kaynaklarında alternatif akımı (AC) , doğru akıma (DC) dönüştürmek
için kullanılırlar. 50-60 Herzt düşük frekanslı devrelerde kullanılırlar aslında bu diyotlar çok
yüksek akım ve gerilime karşı da dayanıklıdırlar. Sinyal diyotlar ise lojik (sayısal) devre
eleman ya da radyo frekans (RF) devrelerinde demodülatör (sinyal ayırıcı) olarak kullanılırlar.
Sinyal diyotlar, yüksek frekanslarda çalışmaya duyarlı olmalarının yanı sıra, düşük gerilim ve
akımlarda da çalışabilirler.
Sık kullanılan diyotlara Kristal Diyot, Zener Diyot, Tünel Diyot, Işık Salan Diyot(LED), Foto
Diyot ve Ayarlanabilir Diyotlar örnek olarak verilebilir. Bunların haricinde Mikrodalga
Diyotları, Gunn Diyotları, Avalans Diyotlar, Schottky Diyot ve Pin Diyotlar da
kullanılmaktadır. Şekil 7.4 de bunlara ait bazı örneklere yer verilmiştir.
Şekil 7.4. Diyot çeşitlerine örnekler.
IŞIK SALAN DİYOTLAR (LED)
LED’ ler opto elektronik devre elemanlarıdır. Bir LED, N ve P tipi yarıiletken ve bunların
aralarında bulunan bir aktif bölgeden oluşurlar. LED in saldığı ışığın rengi aktif bölgenin
yapıldığı materyale bağlıdır çünkü ileri yönde beslenen bir LEd’in aktif bölgesine ulaşan
elektronlar bu tabakayı uyarır ve bu bölgeden belli bir dalga boyunda ışık salınır. LED'lerden
elde edilen ışık şiddeti, içinden geçen akımla orantılı olduğundan akım arttırıldıkça ışık şiddeti
de artacaktır. Bu durumda LED'in iç direncinden dolayı üretilen ısı artacak bu da LED’e zarar
verecektir. Bu nedenle yüksek akım değerleriyle çalışmak uygun değildir.
Şekil 7.5. LED’lere örnekler.
LED ler devreye normal diyot gibi bağlanır ve doğru akımla beslenir. Devreye bağlanırken anot
katot uçlarına dikkat etmek gerekir eğer ters bağlanırlarsa 5-10 V gibi bir gerilimle
bozulabilirler. Günümüzde LED’ler aydınlatma ile ilgili hemen her yerde kullanılmaktadır.
Reklam panolarında, trafik lambalarında, cep telefonlarında tuş ve ekran aydınlatmasında,
otomobil konsol aydınlatmalarında, CD çalar, radyo aydınlatmalarında vb.
KULLANILAN ARAÇLAR: Farklı renklerde Led, DC Güç kaynağı (değişken olabilir)
ampermetre, voltmetre, reosta veya direnç, bağlantı kabloları
DENEYİN YAPILIŞI:
Aşağıda verilen devreyi kurunuz (Led in kutuplarına dikkat ediniz).
Şekil7.6.
Şekil7.7 Yarıiletken diyot karakteristiği.
Yeşil veya kırmızı led için akım değeri 20 mA geçmeyecek şekilde farklı akım
değerlerine karşılık gerilim değerlerim okuyunuz. i-V grafiğini çiziniz. Bu grafikten V0
değerini bularak Planck sabitini belirleyiniz.
İkinci olarak farklı renkteki ledlerin hangi gerilim değerinde (durdurma potansiyeli)
ışık verdiğini çok iyi belirleyiniz, a) V 0 -frekans grafiği çiziniz, b) Enerji kaybına karşın
frekans değerlerini çiziniz. Bu grafiklerin eğiminden Planck sabitini bulunuz.
DENEY NO: 8
DENEYİN ADI: GEİGER-MÜLLER SAYACI ve γ-IŞINLARININ SOĞRULMASI
DENEYİN AMACI:
GM sayacının çalışma prensibinin öğrenilmesi ve γ-ışınlarının çeşitli kalınlıklardaki maddeler
tarafından soğrulmasının incelenip, kurşunun soğrulma katsayısının bulunması.
DENEY BİLGİSİ:
GM SAYACI: GM sayacı radyoaktif bir kaynağın yaydığı yüksek enerjili tanecikleri saymak
için kullanılır. (ŞEKİL-9.1)
ŞEKİL-9.1: Genel bir GM sayacı şeması
GM sayacı tüpünde, katot olarak iletken bir kafes, anot olarak da kafesin ortasında bir tungsten
tel kullanılır. Tüpün içerisinde yaklaşık olarak 5 cmHg basıncında, % 90’ ı argon ve % 10’ u
alkol olan bir gaz karışımı vardır. Anot pozitif yüklü olup, tel ile tüp arasına 800-2000 volt
arasında gerilim sağlanır. Pencereden içeri girebilen yüklü bir parçacık elektron çoğalmasına ve
puls meydana gelmesine sebep olur. Genel olarak iyonizasyon olaylarını tek tek tespit ederek
sayma amacı ile geliştirilmiş benzer sistemlere sayaç denir. Anot - katot arasındaki potansiyelin
V1 gibi bir değere ulaşması halinde, tüp içine giren taneciklerin yeterli şiddette elektriksel
pulslar oluşturabildiği bir duruma gelinir ( ŞEKİL- 9.2 ).
ŞEKİL- 9.2 GM sayacı plato bölgesi
Potansiyelin V2 gibi daha büyük bir değeri için ise, uygulanan gerilimin tüp içinde oluşan
iyonların sayısından bağımsız olduğu bir bölgeye ulaşılır. Plato veya ova bölgesi denilen bu
bölge, sayıcının normal çalışma bölgesidir. Bu bölgede sayım hızı voltajla değişmez ve bölge
sayım için uygun olan bölgedir. V3 ve daha yüksek gerilimlerden sonra ise, tüp içinde sürekli
elektrik boşalması başlar.
γ-IŞINI ve SOĞRULMA MEKANİZMASI:
γ - ışınları radyoaktif çekirdeğin α veya β ışıması yapmasından sonra salınan elektromagnetik
enerjidir. Gamma ışınlarının frekansları ve enerjileri X- ışınları mertebesinden daha büyüktür.
Özellikleri X- ışınlarınkine benzer. (Deneye gelmeden önce bu özellikleri öğreniniz.)
γ - ışınları yüksüz oldukları için, doğrudan doğruya iyonlama yapmazlar. Ancak, fotoelektrik
olay, compton olayı ve ( eğer foton enerjileri 1.022 MeV dan daha büyük ise ) elektron çifti
oluşumu olayı sonucu meydana gelen elektronlar aracılığı ile, dolaylı olarak iyonlamaya sebep
olurlar.
Gamma ışınının şiddeti, ortam içinde ilerledikçe küçülür. Bir gamma ışını demetinin gaz veya
katı madde içinde ilerliyorken demet şiddetindeki küçülme deneyler sonucu,
I= I0 e-µx
(9.1)
bağıntısıyla verilmiştir. Burada I0 gelen demet şiddeti, I, x derinliğine ulaşıldığındaki şiddet ve
e ise değeri 2.78 olan tabii logaritma taban sayısıdır. µ ise ortam özelliklerine ve gamma ışını
fotonunun enerjisine bağlı bir parametredir ve buna ortamın lineer soğurma katsayısı denir.
Soğurma katsayısı, birim kalınlıktaki tabakada, birim zamanda dönüşüme uğrayan enerjiyi
belirler.
Bir ortam için derinlikle şiddet küçülmesi ŞEKİL-9.3’ de gösterilmiştir. Bu değişim
exponansiyel bir değişimdir.
ŞEKİL-9.3: Gamma ışını soğrulmasında bağıl şiddetin uzaklıkla değişimi
(dx) ile gösterdiğimiz çok ince bir tabaka içinde şiddet değişimi (veya azalma miktarı)
dI = -I µ dx
şeklinde ifade edilir. Burada dI = I1 – I2 ve
dx = x1-x2
(9.2)
dir.
Çok ince bir tabaka da ortama enerji aktarımı, o yerdeki demet şiddeti ile oranlı kalmakta ve
soğurulma katsayısı büyük olan ortamlar için soğurma büyük olmaktadır.
KULLANILAN ARAÇLAR: GM tüpü, radyoaktif kaynak (l37Cs) , çeşitli kalınlıklarda
alüminyum ve kurşun levhalar.
DENEYİN YAPILIŞI:
Gamma ışınlarının soğurulma katsayılarını bulmak için bir l37Cs kaynağından yararlanılır.
Kaynak ile GM sayıcısı arasında öncelikle hiçbir soğurucu tabaka olmadan sayım yapınız.
(sayım süresi her kalınlık için aynı olmalıdır, t = 60s ).
Daha sonra kaynak ile sayıcı arasına değişik kalınlıklarda kurşun tabakalar yerleştirerek
sayımları kaydediniz.
Verilerden ve ( 9.1 ) eşitliğinden yararlanarak önce I-x grafiğini çiziniz.
Daha sonra ln (I0 / I) -x grafiğini, sırasıyla, kurşun ve alüminyum levhalar için çiziniz.
Çizdiğiniz grafikleri yorumlayınız.
İkinci grafikten çizgisel soğurum katsayısını bulunuz. Teorik değerlerle karşılaştırınız.
( µPb = 0.86 cm -1 )
DENEY NO: 9
DENEYİN ADI: DALGA PARÇAÇIK İKİLEMİ (Polikristal latiste elektron kırınımı)
DENEYİN AMACI: Elektronların dalga boylarının hesaplanması, de Broglie eşitliğinin
doğrulanması, grafit kristal yapının düzlemleri arasındaki mesafenin hesaplanması.
DENEY BİLGİSİ:
1923 yılında Lois De Broglie, optikteki “Fermat Prensibi” ve mekanikteki “en küçük etki
prensibi” ile benzerlik kurarak ışınların gösterdiği dalga-parçacık ikililiğinin maddeler
tarafından da gösterilmesi gerektiğini öne sürdü. De Broglie; Eistein’ in özel rölativite teorisi
ile Planck’ın kuantum teorisi sonuçlarını yeni bir kuantum teorisi kurmak için birleştirdi. Bu
buluş kendisine 1929 yılında Nobel ödülü getirmiştir. Bu teori, modern fiziğin temel
öngörülerinden biri olan dalga-parçacık ikilemidir. De Broglie’ nin aşağıda verilen eşitliğinde
p parçacığın momentumu olup, parçacık davranışına ait büyüklüktür. λ ise parçacığa eşlik
eden dalganın dalgaboyudur ve bu da dalga davranışına ait büyüklüktür ( h Planck sabiti).
λ=h/p
(9.1)
de Broglie bu bağıntının sadece elektromagnetik kuantum parçaçığının değil, sabit p doğrusal
momentumuyla hareket eden herhangi bir parçacık içinde geçerli olması gerektiğini ve bu
hareketli parçacıkların dalga boyuyla karakterize edilen dalga özelliklerini sergilemesi
gerektiğini öne sürdü.
1925 yılında Davison ve Germer, bir nikel kristalinden elektron kırınımı deseni elde etti.
Aynı yıl, Thomsom ve Reid ince bir altın yaprağında elektron demeti geçirerek elektron
kırınımını gerçekleştirdiler. Davison ve Thomson, elektronların dalga özelliği üzerindeki
çalışmalarından dolayı 1937 yılında Nobel Fizik Ödülü’nü paylaştılar.
Kırınımın temelinde yatan fiziksel olay, kristaldeki farklı atomlardan elastik olarak saçılan
ışınlar arasındaki faz farklarından ortaya çıkan girişim etkileridir. Kristal, X ışınına karşı üç
boyutlu bir kırınım ağı gibi davranır. Bir kırınım deneyinde, kırınım maksimumlarının
aralarındaki mesafeden kırınım ağındaki mesafeyi belirlemek ve farklı mertebelerdeki
kırınım şiddetlerini ölçerek de kırınım ağının yapısı hakkında bilgi edinmek mümkündür.
Benzer şekilde, bir kristalden elde edilen kırınım deseninin maksimumları arasındaki mesafe
ölçülerek, birim hücrenin boyutu belirlenir ve kırınıma uğramış ışınların şiddetleri de birim
hücredeki atomların düzeni hakkında bilgi verir. Kristali de periyodik olarak yinelenen birim
hücreler oluşturduğuna göre, birim hücre hakkında bilgiye sahip olmak kristal hakkında bilgi
sahibi olmak demektir.
Kristal yapıya sahip bir örnek üzerine gönderilen elektromanyetik dalganın bu örnek ile
etkileşip kırınıma uğraması için dalga boyunun örnekteki atomlar arası uzaklık mertebesinde
olması gerekir. Elektron kırınımı deneylerinde, elektronların bir kristal tarafından
saçılmasında belirli doğrultularda tercihli saçılmaların olduğu gözlenmiştir. Bir kristalin d
aralıklı paralel atomik düzlemleri ile ϴ açısı yapacak şekilde kristale gelen elektron demeti,
bu paralel düzlemler tarafından saçılır.
Kırınıma uğrayan dalgaların hangi doğrultularda yapıcı girişim yapacakları Bragg yasası ile
belirlenir. Bu yasaya göre farklı iki paralel düzlemden kırınıma uğrayan dalgaların, yapıcı
girişim yapabilmeleri için, aralarındaki optik yol farkının dalga boyunun tam katlan olması
gerekir.
Aşağıdaki şekilden bu yasanın ifadesini çıkarmak mümkündür.
ŞEKİL 9.1. Bragg yasası temeli
Buradaki [AB] + [BC] uzunluğu optik yol farkıdır.
Kristal yapıyı incelemek için X-ışınlarının kullanılması düşüncesi ilk kez 1912 yılında Max
von Laue tarafından önerilmiştir (Neden X-ışınları?). Kristal içerisinde X-ışınları kırınıma
uğrar. Kırınım yalnızca belli gelme açılarında oluşur. Bragg Yasası, neden yalnızca belli
gelme açılarında X ışınlarının kristalden kırınıma uğradığım açıklamak amacıyla İngiliz
fizikçiler W.H. Bragg ve oğlu W.L. Bragg tarafından 1913 yılında bulunmuş ve Bragglar
NaCl, ZnS ve elmasın yapılarını belirledikleri çalışma ile 1915 yılında Nobel ödülünü
kazanmışlardır.
Bragg yasası:
2dsinϴ = n λ
n = l,2,3, .. .
(9.2)
Aynı deney daha sonra hidrojen ve helyum demetleri için tekrarlanmış ve her seferinde
kırınım olayı gözlenmiştir. Nötron ve elektron demetlerinin kırınıma uğramış olması
kristallerin yapılarının araştırılmasında çok önemli ilerlemeler sağlamıştır.
ŞEKİL 9.2. X- ışınları ve kırınım
SORU: Şekil 9.1 veya 9.2 den yararlanarak Bragg yasasını çıkarınız.
Mono ve polikristal
Bir tür kristalin düzenli olarak üst üste yığılmasıyla oluşmuş yapılara monokristalik yapılar
denir. Ancak pratikte bu düzenliliği elde etmek mümkün olmamaktadır. Kristal büyütme
sırasında, kendi içinde monokristal özellikte olan ancak farklı yönelimlere sahip bölgeler
oluşmakta, bu da elde edilen kristal malzemenin polikristal yapıda olmasına neden
olmaktadır. Monokristalik yapıdaki bir numuneden kırılan dalgalar sadece bir noktada
maksimum oluştururken polikristal yapıdaki numuneden kırılan dalgaların oluşturduğu
maksimumlar bir çember üzerinde dizilirler Çünkü polikristal numunede aynı açıda Bragg
koşulunu sağlayan birden fazla düzlem vardır.
ŞEKİL 9.3
V0 gerilimi altında hızlandırılan elektronların ŞEKİL 9.3 ’deki gibi kristal düzlemleri arasında
d mesafesi olan kristal bir katıdan Bragg kırınımına uğradığını düşünelim. Kristalden L kadar
uzaklıkta bir ekran bulunsun. Eğer elektronlar, de Broglie varsayımında söylendiği gibi dalga
karakterine sahiplerse, ekran üzerinde bir kırınım deseni oluşmasını bekleriz. Sadece 1.
kırınım basamağı (n=1) dikkate alınırsa, ekranda D çaplı tek bir halka oluşmalıdır. Kristale
gelen elektron dalgaları, elektronların geliş doğrultusu ile 2ϴ ’lık bir açı ile saçılırlar ( ŞEKİL
9.3 ). Bu durumda,
Tan(2ϴ) =
(9.3)
Eğer küçük açı yaklaşımı yapılırsa (9.2) ile (9.3) bağıntılarından, elektronların de Broglie
dalga boyu,
λ= d
(9.4)
De Broglie'nin hipotezinden de bildiğimiz gibi, elektronlar dalga özelliği göstermelidir.
Eneıjisi bilinen bir elektron için elektronun momentumu ve bundan yararlanarak dalga boyu
hesaplanabilir. Hızlandırıcı gerilim V0 olmak üzere
e V0 = ½ m v2 = p2 / 2m
p = m.v = √
Dalga boyu aşağıdaki eşitlikten hesaplanabilir.
(9.5)
(9.6)
λ=h/ √
(9.7)
(9.7) ve (9.4) eşitliklerinden de Broglie dalga boyu yok edilerek
D=
(9.8)
√
bağıntısı bulunabilir. Bu bağıntının elde edilmesi sırasında de Broglie varsayımının
kullanılmış olduğunu hatırlayınız. Bu durumda (9.8) bağıntısının deneysel olarak sınanması,
de Broglie varsayımının doğruluğu hakkında bilgi verecektir.
Çoğu durumda katının kristal yapısı ŞEKİL 9.3 ile gösterildiği durumdan daha karmaşıktır.
Bu gibi durumlarda ekran üzerinde birden fazla sayıda aydınlık halka görülebilir. Simdi
elektron dalgalarının grafit kristallerinden Bragg kırınımlarını inceleyelim. Grafit kristalleri
altıgen bir geometriye sahiptirler. Bu nedenle grafit kristallerine gönderilen elektron dalgaları,
iki farklı aralıklı (d10 = 0.213nm ve d11 = 0.123 nm ) düzlemden Bragg kırınımına
uğrayacaklardır.
ŞEKİL 9.4
Grafitin kristal yapısı ŞEKİL 9.4 ile gösterilmiştir. Grafit molekülleri şekil 9.4’deki düzgün
altıgenin herbir kenarında bir molekül olacak şekilde yerleşmişlerdir. Grafit molekülleri
arasındaki a uzaklıgı ile, kristal düzlemleri arasındaki d10 ve d11 uzaklıkları birbirlerine,
d10=
a
ve
d11 =
√
a
(9.9)
Bu eşitlikler, düzgün altıgenin her bir iç açısının 1200 olmasından, basit düzlem geometri
yardımıyla çıkartılabilir.
(9.8) bağıntısının elde edilmesi sırasında yapılan tartışmayı grafit kristallerinden kırınan
elektron dalgaları için tekrarlarsak, (9.8) bağıntısının yerine,
D0 =
ve
√
D1 =
√
bağıntılarına ulaşırız. Grafit kristalleri için iki farklı aralıklı kristal düzlemi bulunması sebebi
ile, gelen elektron demeti içerisindeki elektronlardan bazıları ilk düzlemden, bazıları ikinci
düzlemden Bragg kırınımına uğrayacaklardır. Bu sebeple floresans ekranda D0 ve D1 çaplı iki
aydınlık halka görmeyi bekleriz.
Laue Yöntemi
Laue yönteminde X-ışnı (Ne tür bir X-ışını?) tek kristal üzerine dik olarak düşürülür. Kristal
düzlemlerinin her bir seti için bazı dalga boylarında Bragg yasası sağlanır ve kırınıma
uğrayan demet fotoğrafik film üzerinde noktalar deseni oluşturur. Bu nokta deseninin
simetrisi, gelen demet doğrultusunda bakıldığında kristalin simetrisini gösterir. Kristalin
simetrisinin belirlenmesi Laue yönteminin başlıca kullanış alanıdır.
ŞEKİL 9.4 Laue kırınımı
Debye-Scherrer Yöntemi
Debye-Scherrer yönteminde tek dalga boylu X-ışını kullanılır ve kristal bir eksen etrafında
döndürülür. X-ışını demetine dik olan sabit bir eksen çevresinde döndürülen toz haline
getirilmiş kristalden belli açılarda oluşan Bragg yansıması sonucunda, kristali çevreleyen
fotoğrafik film üzerinde kırınım deseni oluşur. Kırınımın oluştuğu gelme açıları 4ϴ tepe
açısına sahip bir difraksiyon (kırınım) konisi oluşturur. 2ϴ kırınım açısı olarak adlandırılır.
X-ışınları konisinin fotoğrafik film ile çakışması filmde bir çizgi oluşturur. Her çizgi örgü
düzlemlerinin farklı bir setinden kaynaklanan kırınımı simgeler. Yapı, ölçülen açı
değerlerinden ve kırınım desenindeki şiddetlerden belirlenir.
ŞEKİL 9.5 Debye-Scherrer kırınımı
KULLANILAN ARAÇLAR:
Elektron kırınım tüpü, yüksek voltaj güç kaynağı, milimetrik cetvel.
DENEYİN YAPILIŞI:
1. ŞEKİL 9.5 de verilen sistem deney sorumlunuz tarafından adım adım anlatılarak
kurulacaktır. Güç kaynağından verilen gerilim farkı değeri asla 5 kV’ ı geçmemelidir.
( Neden?)
Bu deneyde polikristal olarak grafit kullanılacaktır.
2. 5kV dan daha düşük voltajlar için ekrandaki kırınım desenini gözleyiniz. Elektron
demetinin doğrultusunu kontrol ediniz, (gerekirse demet doğrultusunu düzeltmek için, deney
sorumlunuza danışarak, magnet kullanınız.)
3. Hızlandırıcı voltajı 3kV dan 5kV değerine 0.5kV aralıklarla değiştirerek kırınım desenini
elde ediniz. D1 ve D2 parametrelerini ekrana çok değmeden ölçünüz. Elde ettiğiniz verileri
Tablo 9.1 e kaydediniz. BİRİMLERİ UNUTMAYINIZ.
V0
D1
λ1
λ1 teori
D2
λ2
λ2teori
Burada λ ve λteori değerleri sırasıyla (9.4) ve (9.7) eşitliklerinden hesaplanacaktır.
4. Elde ettiğiniz verilerden e= 1.6021.10 -19 C, m= 9.1091.10-31 kg, h= 6.6256.10-34 Js
değerlerini kullanarak de Broglie eşitliğini (9.1) doğrulayınız. Tablo 9.1 e kaydettiğiniz.
5. D1 ve D2 değerlerinin 1 / √
ya göre grafiğini, aynı grafik kağıdı üzerine çiziniz,
değişimi bir arada gösteriniz.
6. Eğrilerin eğimini hesaplayıp d1 ve d2 parametrelerini bulup teorik değerleriyle
karşılaştırınız.
d1= 2.13.10-10 m, d2= 1.23.10-10m