Beklenen Değer ve Momentler

___________________________________
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
___________________________________
___________________________________
İST 213 OLASILIK DERSİ
___________________________________
BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER
DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL
2015
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
BEKLENEN DEĞER
X beklenen değeri B[X] ile gösterilir.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
B[X] =
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK
Belli bir malzeme taşınan kolilerin ağırlıkları ve
olasılık fonksiyonları aşağıdaki gibidir. Kolilerin
beklenen ortalama ağırlıkları ne kadardır?
Sınıflar
5 x <10
x <15
15 x <20
x <25
p(x)
7
1/2
12
1/4
17
3/16
22
1/16
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
1
___________________________________
ÇÖZÜM
___________________________________
X: koli ağırlığı
___________________________________
B[X] =
= 7. + 12. + 17.
=
+ 22.
___________________________________
= 11,0625
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK
Bir elektronik devrenin kullanım ömrünün
fonksiyonu;
___________________________________
___________________________________
___________________________________
f(x) =
gibidir. Ortalama beklenen kullanım ömrünü
bulunuz.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
x: kullanım ömrü (saat)
B[X] =
.
=
= 0+
.
___________________________________
___________________________________
=(
= 200 saat
___________________________________
___________________________________
___________________________________
2
___________________________________
BEKLENEN DEĞER
İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
1) u(x) , x rassal değişkeninin bir fonksiyonu ise;
B[u(x)] =
2) k; sabit bir sayı iken
B[k]=k
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
BEKLENEN DEĞER
İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
3) k sabit bir sayı, u(x) x rassal değişkeninin bir
fonksiyonu iken
___________________________________
___________________________________
B[k.u(x)]=k.B[u(x)]
___________________________________
4) u(x) ve v(x) x rassal değişkeninin iki fonksiyonu, a
ve b sabit sabit sayılar iken,
B[a.u(x) + b.v(x)]=a.B[u(x)] + b.B[v(x)] olur veya
B[ax + b ]= a.B[X] + b
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
BEKLENEN DEĞER
İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
5) X rassal değişkeninin beklenen değeri, ana kütle
ortalama değerine eşittir. B[X]=µ şeklinde gösterilir.
B[X]=µ iken B[X-µ] = B[X]-µ= 0 olur.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
3
___________________________________
VARYANS
___________________________________
V(X) =
___________________________________
V(X) = B[
] = B[
= B[
-2
= B[
]-
+
] = B[
- 2xµ+
-
]
]
___________________________________
___________________________________
V(X) =
___________________________________
___________________________________
___________________________________
VARYANSIN ÖZELLİKLERİ
___________________________________
k sabit bir sayı iken;
___________________________________
1-) V(X+k) = V(X)
2-) V(k.X) =
.V(X)
3-) Varyansın pozitif kareköküne standart
sapma denir.
= V(X) = B[
] = B[
]-
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK
___________________________________
x rassal değişkenin olasılık yoğunluk
fonksiyonu;
___________________________________
f(x)=
___________________________________
olarak verilmiştir. B[4x+3] değerini bulunuz.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
4
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
f(x)=
___________________________________
B[4X+3] =
.
=
=8
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK
___________________________________
X rassal değişkeni bir üretim sürecindeki kusurlu
parça sayısını göstermektedir. Kusurlu sayıları ve
bunların olasılıkları aşağıda verilmiştir.
___________________________________
X
P(X)
0
0,51
1
0,38
2
0,10
3
0,01
a)Ortalama kusurlu parça sayısını bulunuz.
b)Kusurlu sayısının varyansını bulunuz.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
µ=
= 0(0,51) + 1(0,38)+ 2.(0,10)+3(0,01) = 0,61
= V(X) = B[
B[
]=
= B[
] = B[
]-
= 0.(0,5)+1(0,38)+4.(0,10)+9(0,01)= 0,87
]-
= 0,87 -
= 0,4979
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
5
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK
Bir ürünün haftalık talebinin olasılık
yoğunluk fonksiyonu;
___________________________________
f(x)=
___________________________________
ortalama ve varyansını bulunuz.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
µ=B[X]=
= B[
B[
=
]-
___________________________________
]=
= B[
___________________________________
=
]-
=
-
=
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK
f(x) = (
+1) ; -1
x
1
olasılık yoğunluk fonksiyonunun dağılım
fonksiyonu, ortalama ve varyansını bulunuz.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
6
___________________________________
ÇÖZÜM
___________________________________
= (
•
+3x+4)
___________________________________
Dağılım fonksiyonu
___________________________________
F(x)
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
___________________________________
• Ortalama
µ=B[X]=
=0
___________________________________
=
___________________________________
• Standart sapma
B[
]=
= B[
]-
=
___________________________________
= 0,632
___________________________________
___________________________________
___________________________________
MOMENTLER
Moment: a gerçel bir sayı iken, B[
] ‘ne x
rassal değişkeninin a civarındaki r. momenti denir.
B[
]=
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Şeklinde gösterilir.
B[
] : x rassal değişkeninin
aritmetik ortalama civarındaki r.
momentidir. ( şeklinde gösterilir.)
___________________________________
___________________________________
___________________________________
7
___________________________________
___________________________________
ÖRNEĞİN:
= B[
]=
varyans , x rassal
değişkeninin aritmetik ortalama civarındaki 2.
momentidir.
a = 0 olursa x rassal değişkeninin sıfır civarındaki
r. momentleri elde edilir.
B[
]=
şeklinde gösterilir.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
X rassal değişkeninin sıfır civarındaki 2. momenti
B[ ] =
kareli ortalamadır.
___________________________________
___________________________________
B[
]=
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
 Standart sapmanın ortalamaya oranına değişim
katsayısı denir.
Değişim katsayısı: DK =
 X rassal değişkeninin aritmetik ortalamaya göre 3.
momentinin
‘ e oranına çarpıklık ölçüsü denir.
=
 X rassal değişkeninin aritmetik ortalamaya göre 4.
momentinin
‘ e oranına basıklık ölçüsü denir.
=
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
8
___________________________________
MOMENTLER ARASI İLİŞKİLER
Momentleri aritmetik ortalamaya göre hesaplamak
zaman alıcıdır. Bu yüzden sıfır civarındaki momentleri
arasındaki ilişkilerle tarif edilir.
Aritmetik ortalamaya göre r. moment;
B[
]=
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Sıfır civarındaki r. moment;
B[
]=
r= 1 ise
için )
iken,
=
- µ =0 (
= B[
] = B[X] = µ olduğu
r=2 ise =
-2µ
+ =
- = B[ ] (aritmetik ortalama civarındaki 2. moment varyans
B[ ] - )
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
r=3 ise,
___________________________________
=
=
-3µ
-3µ
+3
-
=
-3µ
+2
+3
-
___________________________________
r= 4 ise ,
=
-4µ
=
+6
-4µ
-4
+6
Yani;
=
+
___________________________________
-3
___________________________________
.
. .
___________________________________
___________________________________
9
___________________________________
ÖRNEK
___________________________________
f(x) =
___________________________________
X- sürekli rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu
verilmiştir.
___________________________________
a) X rassal değişkenin dağılım fonksiyonunu belirleyiniz.
b) Ortalama ve varyansını bulunuz.
c) Çarpıklık ölçüsünü bulunuz.
___________________________________
d)Basıklık ölçüsünü bulunuz.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
a)F(x) =
___________________________________
=
___________________________________
F(x) =
___________________________________
b) B[X] =
=
___________________________________
=2
= V(x) =
-
= 4,5-4=0,5
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
c)
=
= B[
= B[
]=
=
=
___________________________________
] = 0,5
=
=
-3µ
+2
= 67,32
=
-3.2(0,5)+2.
=
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
10
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
= B[
=
6.
]=
-4µ
. – 3.
=
___________________________________
= 27
+6
-3
= 27-4.2.
+
= 108,6
=
= 434,4
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK
___________________________________
X rassal değişkenin olasılık fonksiyonu;
___________________________________
p(x) =
şeklinde verilmiştir. Aritmetik ortalama, varyans, standart
sapma, değişim katsayısı, çarpıklık ve basıklık ölçülerini
bulunuz.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
___________________________________

= B[X] =
 V(X) = B[
= B[
= B[
=
]]=
-
___________________________________
= + + =
]
;
=
= + +
= 6-
=
___________________________________
=
=6
___________________________________
___________________________________
___________________________________
11
___________________________________
ÇÖZÜM
___________________________________
 =
= 0,745

= B[
]=
=
-3µ
=
=
+2
-3. .6 +2. =-
=
___________________________________
___________________________________
___________________________________
=
= -0,627
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
•
___________________________________
= B[
]=
=
-4µ
= 46-4.
=
= 46
+6
-3
+ 6. . + 3. =
=
___________________________________
___________________________________
___________________________________
= 2,0439
___________________________________
___________________________________
___________________________________
MOMENT ÇIKARTAN FONKSİYON
h>0 ve |t|< h için B[ ] ‘ e x rassal değişkenin
moment çıkartan fonksiyonu denir.
(t) = B[
]=
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
12
___________________________________
___________________________________
serisi;
= 1+ t.x +
(t) = B[
B
+ ....+
] = 1+B[x].t + B
]. + ...+
].
___________________________________
___________________________________
(t) =1+
.t +
.
+ ..... +
.
= sıfır civarındaki r. momenti
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK:
(t) = B[
___________________________________
]=
=
+
___________________________________
Moment çıkartan fonksiyonun t’ye göre r. türevini alırsak t
civarındaki r. momentini bulmuş oluruz.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK-devam:
=
=
___________________________________
___________________________________
t = 0 koyarsak, sıfır civarındaki r. momentini bulmuş oluruz.
=
Elde edilir. Parametrelerin tahmininde kullanılabilir.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
13
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK:
X rassal değişkenin olasılık fonksiyonu;
P(x) =
.
.
___________________________________
;x 0
Şeklindedir. Moment çıkaran fonksiyon yardımı ile
aritmetik ortalama ve varyansını bulunuz.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
___________________________________
(t) =
=
___________________________________
İki terimlinin binom açılımından;
___________________________________
(t) =
= n.
.
= np[ (n-1)
___________________________________
+
.
]
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
t= 0 olduğunda;
= np (sıfır civarındaki 1. momenti)
= np [(n-1)p+1]
=
= np
=
-
= np[(n-1)p+1] -
= np(1-p) =npq
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
14
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK:
f(x)=λ.
; x 0
___________________________________
fonksiyonunun aritmetik
ortalaması ve varyansı nedir?
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
.
• Aritmetik Ortalama
-
= B[x] =
=
=v
u =x , du= dx
= uv = x. -
+
___________________________________
___________________________________
).λ
___________________________________
= 0+0+ =
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
•
___________________________________
Standart sapma
= B[
B[
]-
]=
=
= B[
=
=
___________________________________
-
]-
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
15