Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin

Transkript

Lineer Denklem Sistemleri
Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar
Bir Matrisin Rankı
𝑨𝒎×𝒏 matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne
A matrisinin rankı denir. rank(A) ile gösterilir. Bir matrisin rankı ona satırca denk olan eşelon
matrisin rankına eşittir.
Eşelon matrisin rankı ise pivotlarının sayısına eşittir. Rank aynı zamanda eşelon matrisin satır
sayısından sıfıra eşit satırlarının sayısı çıkarılarak da hesaplanabilir.
Eşelon matriste her bir satırda en fazla bir pivot bulunur. Aynı şekilde her bir sütunda en fazla
bir pivot bulunur. Yani Eşelon matrisin pivot sayısı, satır sayısını ve ya sütun sayısını geçemez.
Bu sebeble m satıra ve n sütuna sahip 𝑨𝒎×𝒏 matrisinin rankına r dersek 𝒓 ≤ 𝒎 ve 𝒓 ≤ 𝒏 dir.
Tutarlı Denklem Sistemi:
En az bir çözümün olduğu denklem sistemine tutarlı denklem sistemi denir.
Tutarsız Denklem Sistemi:
Çözümün olmadığı denklem sistemine tutarsız denklem sistemi denir.
Örnek: Tek bilinmeyenli tek denklem 𝑎𝑥 = 𝑏 için
𝑏
i) 𝑎 ≠ 0 ise tek çözüm vardır 𝑥 = 𝑎 . Denklem tutarlıdır.
ii) 𝑎 = 0 ve 𝑏 = 0 ⇒ 0𝑥 = 0. Denklemin sonsuz çözümü vardır. Ç. 𝐾. = ℝ. Denklem
tutarlıdır.
iii) 𝑎 = 0 ve 𝑏 ≠ 0 ⇒ 0𝑥 ≠ 0. Denklemin çözümü yoktur. Ç. 𝐾. = ∅. Denklem tutarsızdır.
mxn Boyutlu Sistemlerde Tutarlılık ve Çözüm Kümesinin Eleman Sayısı
m denklemden oluşan ve n bilinmeyen içeren sistemdir. Amn katsayılar matrisi, Bm1 sabitler
matrisi ile oluşturulan AX  B denklem sisteminde
i) rank ( A)  rank ( A B) ise sistem tutarsızdır (yani çözüm yoktur);
ii) rank ( A)  rank ( A B) ise sistem tutarlıdır (yani çözüm vardır);
a) rank ( A)  rank ( A B)  n ise tek çözümü vardır;
b) rank ( A)  rank ( A B)  n ise sonsuz çözümü vardır.
Kare Sistemlerde (nxn Boyutlu Sistemlerde) Çözüm Kümesinin Eleman Sayısı
n denklemden oluşan ve n bilinmeyen içeren sistemdir. Ann katsayılar matrisi kare matris
olduğundan bu denklem sistemine kare sistem de denir. Ann katsayılar matrisi, Bn1 sabitler
matrisi ile oluşturulan AX  B denklem sisteminde çözüm kümesinin eleman sayısı 1 mi yoksa
0 ve ya ∞ mu olduğu determinant ile belirlenebilir.
i) det(𝐴) ≠ 0 ise tek çözüm vardır.𝑋 = 𝐴−1 𝐵
ii) det(𝐴) = 0 ise ya çözüm yoktur ve ya çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Metotları
Gauss Yok Etme (Gauss Eliminasyon) Metodu
𝐴𝑋 = 𝐵 denklemi verildiğinde (𝐴 ⋮ 𝐵) genişletilmiş matrisi satır işlemleriyle (satırca) eşelon
hale getirilir. Daha sonra denklemler en alt satırdan yukarıya doğru yazılarak çözüm yapılır.
Gauss-Jordan İndirgeme Metodu
𝐴𝑋 = 𝐵 denklemi verildiğinde (𝐴 ⋮ 𝐵) genişletilmiş matrisi (satırca) indirgenmiş eşelon hale
getirilir. Daha sonra denklemler en alt satırdan yukarıya doğru yazılarak çözüm yapılır.
Kare Sistemlerde Katsayılar Matrisinin Tersi ile Çözümü Hesaplama
Ann katsayılar matrisi kare matris olsun. 𝐴𝑋 = 𝐵 kare denklem sistemi verildiğinde det(𝐴) ≠ 0
ise 𝑋 = 𝐴−1 𝐵 ile çözüm bulunur.
Cramer Kuralı
Ann katsayılar matrisi kare matris olsun. 𝐴𝑖 𝑖. sütunu göstermek üzere 𝐴 = (𝐴1 𝐴2 ⋯ 𝐴𝑛 )
biçiminde yazılabilir. Bu metotta
∆= det(𝐴) = det(𝐴1 𝐴2 ⋯ 𝐴𝑛 )
∆𝟏 = det(𝐵 𝐴2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝐴𝑛 )
∆𝒊 = det(𝐴1 𝐴2 ⋯ 𝐴𝑖−1 𝐵 𝐴𝑖+1 ⋯ 𝐴𝑛 )
∆𝑛 = det(𝐴1 𝐴2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝐴𝑛−1 𝐵)
hesaplanır.
𝑥1 =
∆𝟏
,
∆
𝑥𝑖 =
∆𝒊
,
∆
𝑥𝑛 =
∆𝑛
∆
ile bilinmeyenler bulunur.
Alıştırmalar
1)
2
1 3
2
𝐴 = [−1 2 0] olsun. 𝐴𝑋 = [ 1 ] denklemi veriliyor.
3 −2 1
−3
a) ekA’ yı bulunuz, b) det(A)’ yı bulunuz. c) 𝐴 matrisin tersini bulunuz. d) 𝑋 =?
2)
6
2 8
0
𝐴 = [−3 4 1] olsun. 𝐴𝑋 = [2] denklemi veriliyor.
4 −4 5
1
a) ekA’ yı bulunuz, b) det(A)’ yı bulunuz. c) 𝐴 matrisin tersini bulunuz.
3) Aşağıdaki lineer denklem sistemini Cramer Kuralı ile çözünüz.
2𝑥1 + 4𝑥2 + 6𝑥3 = 2
𝑥1 + 2𝑥3 = 0
{
2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = −5
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 6
{3𝑥1 + 2𝑥2 − 2𝑥3 = −2
𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = −4
2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 0
{𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = 0
4𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 0
2𝑥1 + 3𝑥2 + 7𝑥3 = 0
{ 2𝑥1 − 4𝑥3 = 0
𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = 0
7) Aşağıdaki lineer denklem sistemini Gauss eliminasyon yöntemi ile çözünüz.
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 7
{ 4𝑥1 − 𝑥2 + 5𝑥3 = 4
6𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 18
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 7
4𝑥
{ 1 − 𝑥2 + 5𝑥3 = 4
6𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 20
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 0
{4𝑥1 − 𝑥2 + 5𝑥3 = 0
6𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 0
𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 0
{ 4𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 0
2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 0
𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 = 5
{ 𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 = 4
2𝑥1 + 5𝑥2 + 5𝑥3 = 11
𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 11
{ 4𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 4
2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 10
𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 = 4
{ 3𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 2
2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = −3
𝑥1 −2𝑥2 +𝑥3 +𝑥4 =2
3𝑥1 +2𝑥3 −2𝑥4 =−8
{ 4𝑥2 −𝑥3−𝑥4=1
−𝑥1 +6𝑥2 −2𝑥3 =7
{
𝑥1 + 3𝑥2 − 5𝑥3 + 𝑥4 = 4
2𝑥1 + 5𝑥2 − 2𝑥3 + 4𝑥4 = 6
{
3
17) 9
5
1
 1
18) 
3

1
𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 5
2𝑥1 − 3𝑥2 + 4𝑥3 − 𝑥4 = 1
6 7 
3

0 5  X   3  denklem sistemini Gauss yok etme metoduyla çözünüz.
 4 
8 6 
3 5 6   x1   8 
2 4 5   x2   5 

denklem sistemini Gauss yok etme metoduyla çözünüz.
4 5 6   x3  10 
   
2 2 3  x4   5 
 x1 
x 
 2  ?
 x3 
 
 x4 
19) Aşağıda boyutları ile verilen matrislerin rankları en fazla kaç olabilir tespit ediniz.
a) A44
b) B54
c) C45
d) D37
e) E96
 x1  2 x2  2 x3

20) x1 , x2 , x3 bilinmeyenleri için verilen  x1  kx2  3x3
2 x  kx  5 x
2
3
 1
hangi değerleri için tek çözümü vardır?
 4
 5 denklem sisteminin k 
 6
nin
1
3 6
  x1   2 
  x    3  denklem sistemi veriliyor.
5
21) 0 6
 2 

0 0 k 2  4k  3  x3   k  3
a) katsayılar matrisinin determinantını hesaplayınız.
b) k 
nin hangi değerleri için bu sistemin tek çözümü vardır?
1
3 6
  x1   2 

  x    3  denklem sistemi veriliyor. k  nin farklı değerleri için
5
22) 0 6
 2 

0 0 k 2  4k  3  x3   k  3
katsayılar matrisinin rankı ile genişletilmiş matrisin rankını hesaplayınız.
23) Bir önceki soruda bulduğunuz rankları karşılaştırarak k  nin hangi değerleri için bu
sistemin
a) tek çözümü vardır?
b) sonsuz çözümü vardır?
c) çözümü yoktur?
belirleyiniz.

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin

Transkript

Benzer belgeler

vize

Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler

Günlük FX Bülteni 16 Eylül 2016 Cuma Günlük FX