Deney 11 - omerkaksi

EEM 202 DENEY 11
Name&Surname:
No:
SERİ REZONANS DEVRESİ
11.1 Amaçlar
−
−
−
−
Değişen frekanslı seri RLC devresinde empedansın ölçülmesi ve çizilmesi
Seri RLC devresinde akım değişiminin frekansın değişimine göre incelenmesi
Seri RLC devresinin bant geçiren filtre olarak kullanılması
Bant geçiren seri RLC devresinde rezonans frekansı, kalite faktörü, bant genişliği, ve
sönüm oranının belirlenmesi
11.2 Devre Elemanları Ve Kullanılan Malzemeler
Bu deneyde kullanılan devre elemanları ve malzemelerin listesi Tablo-10.1’deki
gibidir. Deney esnasında oluşabilecek herhangi bir hasarı tabloda boş bırakılmış kısma
detaylarıyla not ediniz. Ayrıca ekipmanları kullanırken karşılaştığınız zorlukları ve deneyle
ilgili önerilerinizi de yazabilirsiniz.
Tablo 11.1 Deney 11’de kullanılan devre elemanları ve malzeme listesi
No:Materyal
Model Seri ve/veya Ofis Stok No:
Devre Elemanları
1 10 Ω Direnç (2 W)
2 100 Ω Direnç (2 W)
3 18 mH Bobin (1000 sarım)
4 1 µF Kondansatör
Ölçü Aletleri
5 Katot Tüp Osiloskop
Kaynaklar
6 Fonksiyon Jeneratörü
Aksesuarlar
7 1 Delikli Tezgah, DIN A4
576 74
8 1 Takım köprü bağlantıları
501 25
9 3 Bağlantı kabloları, kırmızı, 50 cm
501 28
10 3 Bağlantı kabloları, siyah, 50 cm
501 28
Deney anında meydana gelen hasarlar ve deney hakkındaki öneriler:
1
EEM 202 DENEY 11
Name&Surname:
No:
11.3 GENEL BİLGİ
Sinüzoidal voltaj kaynağı ile sürülen Şekil 11.1’deki seir RLC devresini ele alalım.
Şekil 11.1 Sinüzoidal gerilim kaynağı ile sürülen seri RLC devresi.
jω uzayında yapılan analizde, Z empedansı, I akım fazörü, ve Vo voltaj fazörü 11.1, 11.2,
11.3 eşitliklerindeki gibi yazılabilir.
Z = R + j (ωL −
I=
Vi
=
Z
Vo = Vi
1
),
ωC
(11.1)
Vi
1
R + j (ωL −
)
ωC
R
1
R + j (ωL −
)
ωC
,
(11.2)
.
(11.3)
Transfer fonksiyonu jω uzayında 11.4 eşitliğindeki gibi elde edilir.
H ( jω ) =
Vo
=
Vi
R
1
R + j (ωL −
)
ωC
.
(11.4)
11.4 eşitliğindeki transfer fonksiyonundan kazanç ve faz fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir.
R
M (ω ) =
1 2
R + (ωL −
)
ωC
(11.5)
1
ωL −
ωC .
θ (ω ) = − tan −1
R
,
2
(11.6)
2
EEM 202 DENEY 11
Name&Surname:
No:
Sinüzoidal giriş voltajının ω frekansı 0’dan ∞ ’a kadar değiştirilerek kazanç ve faz
fonksiyonu karakteristiği elde edilir. Aşağıdaki değerler kolaylıkla hesaplanabilir;
M (ω ) = 0
için ω = 0 , ve ∞ ,
1
M (ω ) = 1
için ω =
,
LC
θ (ω ) = 90 o için ω = 0 ,
1
θ (ω ) = 0 o
için ω =
,
LC
θ (ω ) = −90 o için ω = ∞ .
(11.7c)
Yukarıdaki sonuçlardan
1
ωo =
LC
rezonans frekansı olup aşağıdaki sebeplerden dolayı önemlidir:
(11.8)
i)
ii)
(11.7a)
(11.7b)
(11.7d)
(11.7e)
Eğer ω = ω o = 1 / LC ise, Denklem 11.1 Z empedansının tamamen rezistif
olduğunu gösterir, yani Z sadede direnç özelliğine sahiptir ve Z=R; bu L
bobininin reaktansı ile C kapasitansının reaktansının birbirini yok ettiği
anlamına gelir. Bu yüzden Vi, I ve Vo aynı fazdadır. Buda θ (ω ) faz
fonksiyonunun sıfır olduğunu gösterir.
Transfer fonksiyonu H ( jω ) ’nın değeri 1’e eşittir; yani Vi voltajı Vo’ya eşittir.
Bu ancak L ve C’nin seri birleşiminin kısa devreye eşit olmasıyla mümkündür.
Diğer değişle , jω o C + 1 / jω o L = 0 ’dır. Bu durum M (ω ) kazancının
maksimum olması durumudur.
Yukarıdaki bilgilere dayanarak Şekil 11.2a ve 11.2b’deki M (ω ) kazanç ve θ (ω ) faz
karakteristiği çizilebilir. RL ve RC deneylerinde incelenen alçak-geçiren ve yüksek-geçiren
filtre kavramlarından hareketle Şekil 11.2a’daki kazanç karakteristiği kolaylıkla
yorumlanabilir: Rezonans frekansı ω o ’da kazanç M (ω o ) = 1 olduğundan dolayı verilen seri
devre girişe uygulanan Vi gerilimini kazançta herhangi bir azalma olmadan çıkışa Vo gerilimi
olarak geçiriyor. Devre ω o frekansı civarında az kayıp (yüksek kazanç) ve ω o frekansından
uzaklaştıkça yüksek kayıp (az kazanç) sağlıyor. Kısaca, devre ω o frekansı civarındaki bandı
Şekil 11.2 Kazanç a), ve faz b), karakteristiği.
3
EEM 202 DENEY 11
Name&Surname:
No:
geçiriyor ve bu bant dışındaki frekansları durduruyor. Geçiş bandı ile iki durdurma bandını
ayıran kesim frekansları sırasıyla ω1 ve ω 2 olarak tanımlanmıştır (biri alçak kesim frekansı 0
ile ω o arasında diğeri yüksek kesim frekansı ω o ile ∞ frekansı arasındadır). Bu frekanslar
M (ω ) kazancının maksimum değerinden bunun 1/ 2 ’sine düştüğü frekanslardır. Şu anki
durumda M (ω1 ) = M (ω 2 ) = 1 / 2 ’dir çünkü maksimum kazanç M (ω o ) = 1 ’dir. RC alçak-
geçiren ve RL yüksek geçiren filtrelerde olduğu gibi bu kesim frekansları ( ω1 ve ω 2 ) 3-dB
yada yarı güç kesim frekansları olarak tanımlanır.
Yukarıdaki tanım kullanılarak ω1 ve ω 2 kesim frekansları kolaylıkla çıkarılabilir.
R2
1
R
+
−
,
2
LC 2 L
4L
ω1 =
ω2 =
R2
1
R
+
+
.
2
LC 2 L
4L
(11.9a,b)
Geçirme bandının genişliği olarak tanımlanır ve B ile gösterilir. 11.9a ve 11.9b
eşitlikleri kullanılarak B bant genişliği 11.10 eşitliğindeki gibi hesaplanır.
B = ω 2 − ω1 =
R
.
L
(11.10)
Bant geçiren filtrenin kalite faktörü Q seçiciliğin bir ölçüsüdür. Q aşağıdaki gibi tanımlanır.
Q=
ωo
B
.
(11.11)
Bu deneyde ele alınan bant geçiren filtre için 11.11’de tanımlanan Q kalite faktörü, 11.10 ve
11.8 eşitliklerini kullanarak aşağıdaki gibi yazılabilir.
Q=
1 L
.
R C
(11.12)
Kalite faktörü Q Denklem 11.11’de görüldüğü gibi iki frekansın oranı olarak
tanımlandığından birimsizdir. Bu yüzden 11.12’de kare kök içindeki ifade R ile aynı birime
sahip olmalıdır, yani L / C ’nin birimi Ω olarak ifade edilir. Bu yüzden seri rezonans
devresinin (LC devresi) karakteristik empedansının tanımını denklem 11.13’deki gibi yapmak
uygundur.
Ro =
L
C
(11.13)
Dikkat edilirse Q=1 olduğunda bant genişliği B ile orta frekans ω o birbirine eşit olu1 (11.11
eşitliğinden dolayı), aynı zamanda R = Ro ‘dır ; yani seri direnç R ile karakteristik direnç Ro
birbirine eşittir. 11.12 ve 11.13 eşitliklerinden 11.14 eşitliği elde edilir.
4
EEM 202 DENEY 11
Name&Surname:
No:
Q=
R0
.
R
(11.14)
Denkelm 11.9 ve 11.10’daki kesim frekansları ω o ve Q cincinden aşağıdaki gibi bulunur.

ω1 = ω 0  1 +


1
1 
1
1 
−
+
 , ω2 = ω0  1 +
.
2
2
2Q 
2Q 
4Q
4Q

Q kalite faktörünün yüksek olduğu devrelerde 1 +
(11.15a,b)
1
≈ 1 olduğundan 11.15a,b eşitlikleri
4Q 2
aşağıdaki gibi daha sade hale indirgenebilir.

ω1 ≈ ω 0 1 −

1 
,
2Q 

ω 2 ≈ ω 0 1 +

1 
.
2Q 
(11.16a,b)
Dolayısıyla Q kalite faktörü yüksek olan devrelerde ω1 ve ω 2 , ω 0 civarında simetrik
olduğundan; ω 0 ω1 ve ω 2 ’nin aritmetik ortalamasına eşittir;.
ω0 =
ω1 + ω 2
2
.
(11.17)
5
EEM 202 DENEY 11
Name&Surname:
No:
11.4
ÖN ÇALIŞMA
1. Kesim frekansı tanımını kullanarak, 11.5 eşitliğinden (11.9) ve (11.10)’daki
formülleri elde ediniz.
2. Şekil 11.1’deki devreyi s-uzayında analiz ederek; Z (s ) empedansını ve H (s )
transfer fonksiyonu elde ediniz. Elde ettiğiniz ifadeleri s uzayından fazör uzayına nasıl
geçirebilirsiniz? Bu değerlendirmeyi Z (s ) ve H (s ) ’e uygulayınız ve sonuçları 11.1 ve 11.4
eşitlikleri ile karşılaştırınız.
3. İkinci soruda elde ettiğiniz sonuçları kullanarak H (s ) ’i R, L, C yerine ω 0 ve B; ω 0
ve Q cinsinden ifade ediniz. S=s/ ω 0 ölçeklenmiş karmaşık frekans değişkenini kullanarak
H(S)’i, Q’nün fonksiyonu olarak bulunuz. (Denklem 11.8, 10, 11’i kullanabilirsiniz.)
4. Şekil 11.1.a’da verilen seri RLC devresinin zaman uzayı analizini göz önünde
bulundurarak i(t)’nin sağlaması gereken diferansiyel denklemi bulunuz. Bu diferansiyel
denklemin karakteristik polinomu nedir? Karakteristik sıfırlar veya kökler nelerdir?
6
EEM 202 DENEY 11
Name&Surname:
No:
5. Soru 2 ve 3’te bulunan transfer fonksiyonunun paydası ile Soru 4’deki karakteristik
polinomu karşılaştırın. Bu karşılaştırmanın sonucu olarak aşırı sönüm, kritik sönüm, az sönüm
ve sönümsüz durumlarını Q’yü kullanarak ifade ediniz.
6. Kesim frekanslarının Denklem 11.15a,b’deki ifadelerini bulmak için, 11.8 ve
11.12’yi kullanarak L ve C’yi R, ω 0 , Q cinsinden ifade ediniz ve bulunan ifadeleri 11.9a,b’de
yerine koyunuz. Soru 3’de bulunan normalleştirilmiş H(S) ifadesini de kullanabilirisiniz.
7. Şekil 11.3’de gösterilen ve deneyde kullanılan devre için: karakteristik empedansı
R0 , rezonans frekansı ω 0 (ve f 0 ), bant genişliği B (r/s ve Hz birimlerinde), kesim frekansları
ω1 ve ω 2 ( f1 ve f 2 ), ve kalite faktörü Q’nün değerlerini hesaplayınız. Hesaplamış
olduğunuz f 0 , f1 , f 2 değerlerini Tablo 11.2’de ilk sütuna yazınız.
8. Tablo 11.2’nin ω ve log( ω ) kolonlarını hesaplayınız ve doldurunuz. R, L ve C’nin
sayısal değerlerini Denklem 11.1’de yerine koyarak Z için sadece ω ’ya bağlı bir ifade elde
ediniz. Sonra Z’nin 0, f1, fo , f2, ∞ frekanslarındaki değerlerini bularak bu değerleri polar
formda tablonun Z sütunundaki gölgeli hücrelere yazınız.
7
EEM 202 DENEY 11
Name&Surname:
No:
11.5 DENEY
1) Şekil 11.3’deki devreyi kurunuz. Giriş gerilimini Vi = 1 Vtt ve f = 50 Hz frekansında
sinüzoidal dalgaya ayarlayınız.
Şekil 11.3 Seri RLC Devresi
2) VO gerilimini (tt değeri) ve fazını Vi ’yi referans alarak ölçünüz. Sonuçları Tablo
11.2’ye yazınız.
3) Tablo 11.2’de gösterilen her frekans için ( 0, f1 , f 0 , f 2 , ∞ hariç) VO ’ı (V tt, ve
fazı) ölçünüz ve sonuçları Tablo 11.2’ye yazınız.
4) Deneysel olarak f1 , f 0 , f 2 frekanslarını elde ediniz ve tabloda ayrılan yerlere
yazınız. NOT: Deneysel olarak kazancı maksimum yapan frekansı f 0 , kazancın, maksimum
kazancın % 70.71’ine düştüğü frekansları da f1 ve f 2 olarak tayin ediniz. Normal olarak faz,
fo ‘da 0o, f1 ve f2 frekanslarında +45o olur.
8
EEM 202 DENEY 11
Name&Surname:
No:
Tablo 11.2 Şekil 11.3’deki RLC devresi için deneysel değerler; Vi=1 V tt, faz=0o (Gölgeli
olan kısımlarda teorik sonuçlar gösterilmiştir.)
f
(Hz)
ω
(rad/s)
log ω
θ (ω ) =
Faz
o
(.. )
M (ω ) =
Vo , pp
1Vpp
0
50
100
200
400
800
f 1=
(teorik)
f1=
(deney)
1000
1100
f o=
(teorik)
fo=
(deney)
1200
1300
1400
1600
f 2=
(teorik)
f2=
(deney)
2000
3000
6000
10000
20000
50000
∞
9
Z
Kutupsal
Form
(Ω)
|I| tt
(mA)
Kazanç
M (ω )
(dB)
Zayıflama
A(ω )
(dB)
EEM 202 DENEY 11
Name&Surname:
No:
11.6 SONUÇLARIN DEĞERLENDIRILMESI VE TARTIŞMA
1. Tablo 11.2’deki değerleri kullanarak B ve Q’yü hesaplayınız. f1 , f 2 , B, ve Q’nun
teorik ve deneysel sonuçlarını özetleyiniz ve karşılaştırınız. Farklılıklar neden kaynaklanıyor?
2. Tablo 11.2’de |I|, Z, log ω , Kazanç (dB olarak) Zayıflama (dB olarak) değerleri için
ayrılan kolonları tamamlayınız.
3. Şekil 11.4’e |I| ve |Z|’yi f = ω / 2π ’nin fonksiyonu olarak çiziniz. Teorik değerleri
(*) ile belirtiniz.
|I| (mA, pp)
|Z| (Ω)
0
f (kHz)
Şekil 11.4 Şekil 11.3’deki seri RLC devresindeki |I| akımı ile |Z| empedansının değişimi; (*)
teorik değeri göstermektedir.
10
EEM 202 DENEY 11
Name&Surname:
No:
4. Tablo 11.2’deki deneysel sonuçları kullanarak H(s)= Vo(s)/Vi(s) transfer
fonksiyonun M (ω ) kazancını ve θ (ω ) fazını Şekil 11.5’e çiziniz (Bode çizimleri). Teorik
değerleri (*) ile gösteriniz.
Şekil 11.5 Şekil 11.2a’daki bant-geçiren RLC devresinin transfer fonksiyonu için Bode
diyagramı Teorik değerleri (*) ile gösteriniz.
11
EEM 202 DENEY 11
Name&Surname:
No:
5. Şekil 11.5’de elde edilen Bode diyagramında yüksek ve düşük frekans
asimptotlarını çiziniz. Asimptotların eğimini hesaplayınız. Sonucu yorumlayınız.
6. f 0 rezonans frekansında ve f1 , f 2 kesim frekanslarında Z ve Vo‘ın teorik ve
deneysel faz açılarını karşılaştırın ve sonuçları yorumlayın.
7. |Z|’nin deneysel olarak bulunan minimum değeri nedir? Bu değer neden 100’e eşit
değildir? Bobinin 18 Ω’luk sarmal iç direncini hesaba katarsanız bu değerin ne olması
gerekir?
12