UĞUR`DAN SİZE

Transkript

UĞUR`DAN SİZE

UĞUR’DAN SİZE...
Merhaba Gençler,
Gençliðinizin gerektirdiði olumlu etkinliklerin hiçbirinden uzak kalmadan; spordan, sanattan,
kültürel etkinliklerden kendinizi mahrum etmeden çalýþýnýz. Böylece doðru bir geliþim süreci
içinde olacaksýnýz. Planlý ve disiplinli bir eðitim-öðrenim çizgisini yakalayýp sürdürdüðünüzde,
farklýlaþacaksýnýz. Öne çýkacaksýnýz. Seçkin ve mutlu olacaksýnýz. Baþarý, bir anlamda budur.
Biz eðitimcilerin temel görevi, size doðru yöntemleri öðretmek, doðru ve yararlý araçlarý
sunmak, geliþim sürecinde sizi adým adým yönlendirerek hedefinize ulaþtýrmaktýr.
Bugün Türkiye’nin 180 noktasýnda öðretim yapan ve üniversiteye giriþ hazýrlýðýnýn çok saygýn
bir adý olan Uður Dershanesi, 1968’den beri bu görevi baþarýyla sürdürmektedir. Üniversiteye
Uður kapýsýndan giren gençlerin bir kýsmý bugünlerde üniversiteli olmanýn heyecaný içindeyken,
bir kýsmý da halen üniversitelerde öðrenim görmektedir. Öðrencilerimizin önemli bir bölümü ise
ülkemizin; hatta dünyanýn saygýn aydýnlarý, baþarýlý iþadamlarý, yöneticileri, sanatçýlarý arasýnda
çoktan yerlerini aldýlar. Uður Dershanesi’nin de içinde yer aldýðý Bahçeþehir Uður Eðitim
Kurumlarý’nda, Uður’dan yetiþen çok sayýda öðretmen, yönetici ve akademisyen öðretim üyesi
görev yapmaktadýr. Uður Dershaneleri, ABD ve Çin’de üniversiteye giriþ hazýrlýðý alanýnda
hizmet vermekte ve dünyanýn öteki ülkelerine de ayný hizmeti taþýmaya hazýrlanmaktadýr. Bu, bir
dünya markasý olmaktýr. Kendi alanýmýzda “çaðdaþ uygarlýðý yakalamak ve geçmek” konusundaki
baþarýmýzdan duyduðumuz kývancý, sizinle paylaþýyorum.
Elinizdeki dergi, Bahçeþehir Uður Eðitim Kurumlarý’na dahil olan Uður Eðitim Pazarlama ve
Yayýncýlýðýn bir ürünüdür. Yýl boyunca derginizin size sunacaðý bilgileri titizlikle öðreneceksiniz,
Üniversiteye Giriþ Sýnavý sorularýyla örtüþen sorularýný çözeceksiniz, sýnavlarýný kendinize
uygulayacaksýnýz. Tek baþýna bir okul olan “Uður YGS-LYS Matematik Dergisi” sizlere ikinci
yýlýnda da baþarýlý ve mutlu bir hazýrlýk dönemi yaþatacaktýr. Gelecek yýllarda sizin baþarýlarýnýzdan
da söz edebilmeyi umuyoruz.
Amacýmýz ve dileðimiz, bunu saðlamaktýr.
Uður’a hoþ geldiniz.
Enver Yücel
Bahçeþehir Uður Eðitim Kurumlarý
Kurucusu ve Yönetim Kurulu Baþkaný
MATEMATÝK DERGÝSÝ’NDEN MERHABA
Sevgili Öðrenciler,
Matematik ve geometri konularý birbirleri ile baðlantýlýdýr. Bu nedenle ilk konulardan baþlayarak; sýrasýyla bütün
konularý çok iyi öðrenmeniz gereklidir. Bir konu iyi kavranýlmadan bu konuya dayanan baþka konularýn anlaþýlmasý
zorlaþacaktýr. Örneðin, üslü sayýlar iyi bilinmeden logaritma; özel üçgenler olmadan da dörtgenler ve çemberler tam
olarak öðrenilemez.
Bir konunun önemini sadece o konudan üniversite sýnavlarýndan çýkan soru sayýsýyla deðerlendirme-yiniz.
Örneðin, trigonometri konusundan LYS sýnavýnda 4 – 5 soru gelecektir. Ancak limit, türev, integral ve matris gibi
konularýndan sorulacak 4 – 5 soruda da trigonometri bilgisi gerekebilir.
Konularý çok iyi kavramadan test sorularýný çözmeye baþlamayýnýz. Matematik dergisinde konular bol örneklerle
açýklanmýþtýr. Çözümlü örnekleri okuyup anladýktan sonra kendiniz çözmeye çalýþýnýz. Çözemezseniz, çözümünü
inceleyiniz. Bu þekilde konuyu pekiþtirdikten sonra testleri daha kolay çözebileceksiniz.
Bu sayýdaki konulardan YGS de 5 matematik, 1 geometri; LYS de ise 9 matematik, 4 geometri olmak üzere
toplam 19 soru sorulmuþtur.
2. sayýdaki matematik ve geometri konularýnýn tümü YGS ve LYS nin ortak konularýdýr.
Sevgili gençler, yaþamýnýzda mutluluklar ve gireceðiniz sýnavlarda baþarýlar dileriz.
Ýçindekiler...
Matematik (YGS ve LYS)
Rasyonel ve Ondalýk Sayýlar..................................................... 03 - 06
Konu Testi ............................................................................ 07 - 09
Kartezyen Çarpým ve Baðýntý .................................................... 10 - 12
Konu Testi ............................................................................ 13 - 14
Fonksiyonlar ............................................................................. 15 - 22
Konu Testi ............................................................................ 23 - 26
Ýþlem ve Modüler Aritmetik ....................................................... 27 - 32
Konu Testi ............................................................................ 33 - 35
Geometri (YGS ve LYS)
Üçgende Benzerlik ve Eþlik ...................................................... 36 - 46
Konu Testi ............................................................................ 47 - 50
Açýortay ve Kenarortay Kurallarý ............................................... 51 - 57
Konu Testi .......................................................................... 58 - 61
Üçgende Alan ........................................................................... 62 - 74
Konu Testi .......................................................................... 75 - 80
Uðurlu Sayfa ...........................................................................
- 81
Matematik
(YGS ve LYS) Rasyonel ve Ondalık Sayılar
Kesir ve Rasyonel Sayý
a, b tamsayý ve b ≠ 0 ise
Burada a kesrin payý, b de kesrin paydasýdýr.
ifadesine kesir denir.
kesrinin ifade ettiði deðere rasyonel sayý denir.
Her tamsayý ayný zamanda bir rasyonel sayýdýr.
Örneðin
5
– 2, – , 0 ,
3
4
, 1 rasyonel sayýlardýr.
7
a, b ∈ Z ve b ≠ 0 olmak üzere,
–1 <
Örneðin,
(3)
Payý paydasýndan mutlak deðerce küçük olan kesirlere
basit kesir, payý paydasýndan mutlak deðerce büyük ya da
eþit olan kesirlere bileþik kesir denir.
Rasyonel sayýlarda toplama ve çýkarma iþlemlerini
yaparken paydalar eþit deðilse paydalar eþitlenir, paylar
arasýnda toplama veya çýkarma iþlemi yapýlýr. Ortak payda
da payda olarak yazýlýr.
12
5
1
2
9
8
3
4
+
=
+
=
=
–
–
30
30
6
5
30
30
10
15
Basit Kesir ve Bileþik Kesir
Toplama ve Çýkarma Ýþlemi
Çarpma iþleminde; paylarýn çarpýmý pay, paydalarýn
çarpýmý payda olarak yazýlýr.
Örneðin,
3
2
rasyonel sayýsýnýn; toplama iþlemine göre tersi
 a 
 –  ve çarpma iþlemine göre tersi
 b
5+x
kesri pozitif basit kesir ise x yerine kaç farklý tam13
sayý yazýlabilir?
B) 11
C) 10
D) 9E) 8
5+x
5+x
< 1 olur.
kesri pozitif basit kesir ise 0 <
13
13
Bölme iþleminde; bölünen kesir olduðu gibi yazýlýr, bölen
kesir ters çevrilerek çarpýlýr.
Örneðin,
4
25 = 4 : 8 = 4 . 15 = 1 . 3 = 3
olur.
8
8
5.2
10
25
25 15
15
5+x
< 1 ⇒ 0 < 5 + x < 13 ⇒ –5 < x < 8
13
olduðundan x yerine 12 farklý tamsayý yazýlabilir.
YANIT: A
Tamsayýlý Kesir
a, b, c tamsayý ve c ≠ 0
Ýþlemlerde tamsayýlarýn paydasý 1 kabul edilir. Çarpma ve
bölme iþlemlerinde tamsayýlý kesirler bileþik kesre çevrilir.
Toplama ve çýkarma iþlemleri ise tamsayýlý kesri bileþik
kesre çevirmeden de yapýlabilir.
Örneðin,
2
3
2
13 17
39 + 17
56
+1
=
+
=
=
5
15
5
15
15
15
(3)
ifadesine tamsayýlý kesir denir.
Tamsayýlý kesirler ayný zamanda bileþik kesirdir.
dir.
Örneðin,
2 3 . 5 + 2 17
3 =
=
5
5
5
dýr.
Bölme Ýþlemi
Çözüm
0<
4
bileþik kesirdir.
Örnek 1
A) 12
1
9.5
3 .1
5
3
9
.
=
=
=
olur.
10 . 12
2.4
8
10 12
basit kesirdir.
a
a
≤ –1 veya
≥ 1 ise,
b
b
(6)
Çarpma Ýþlemi
< 1 ise,
( 2)
17
2
ve – 3 = –
5
5
olur.
(1)
2
3
2
2 
11
56
3
.
=
+1
= (2 + 1) +  +
=3+
5
15
15
15
 5 15 
4
1
5
13
23
26
23
3
1
–3 =
–
–
=
=
=
3
6
3
6
6
6
6
2
2  1 4
2   2 . 6 + 1  20

=
4 –  : 2  =  –  : 
3  6  1 3 
6
 13

UĞURDER YAYINLARI
3
Matematik(YGS ve LYS)
Rasyonel ve Ondalık Sayılar
Örnek 2
Örnek 4
1
5
.(
8
2–
3
4
2
–
2–1
1
6
4–
)
7+
A) –2
10
= 3 olduðuna göre, x kaçtýr?
6
x–1
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3 iþleminin sonucu kaçtýr?
5
8
B) –
A) –1 C) –
3
5
D) 1
E)
8
3
Çözüm
1
5
.(
8
3
2–
4
–
2
1
2–1
6
1
5
2
.(
–
8
3
12
7
8
–
–
4
4
6
6
5 
6
4
–2. 
= . 1 .
5
5
8 
)=
)
5  4 – 12 


8 5 
5  8
= . – 
8  5
Çözüm
6
��
= 3 ⇒ x – 1 = 2
�� ⇒
��
x–1
x
= 3 olur.
�
��
��
�
�
��
YANIT: E
=
= –1 bulunur .
Rasyonel Sayýlarda Sýralama
Pozitif rasyonel sayýlarýn sýralamasýnda;
YANIT: A
 Paydalar eþit ise, payý büyük olan sayý daha büyüktür.
 Paylar eþit ise, paydasý küçük olan sayý daha büyüktür.
a ve b sýfýrdan farklý tamsayýlar olmak üzere,
a
 
b
–1
b a
,  
=
a b
–2
2
b a
=  , 
a b
–n
b
= 
a
n
olur.
 Pay ve paydasý arasýndaki fark ayný olan basit kesirler-de
pay ve paydasý büyük olan sayý daha büyüktür.
Buradan
a
–1
=
10
11 12
<
<
gibi
17 18 19
1
1
1
–2
–n
, a =
, a =
2
n olduðu görülür.
a
a
a
 Pay ve paydasý arasýndaki fark ayný olan bileþik kesirlerde pay ve paydasý küçük olan sayý daha büyüktür.
17 18 19
>
>
gibi
10 11 12
Örnek 3
 1 1
 + 
 2 3
–1
:1
3
–3
–2
5
Negatif rasyonel sayýlarýn sýralanmasýnda; önce pozitif rasyonel sayý gibi sýralar, sonra sýralamayý ters çeviririz.
Örneðin
iþleminin sonucu kaçtýr?
A)
7
2
B) 3
C)
8
3
D)
5
8
E) 2
UĞURDER YAYINLARI
Çözüm
4


 1
1 
+


3 
 ( 2
3
)
(
2
)


11
9
9 11
ise –
<
>–
olur.
8
8
8
8
–1
:1
3
–3  5 
–2 = 
5
 6
–1
:
1
8
–
3
5
2
1
6 5
. –
5 8 8
1
6
–
=
8 8
5
olur .
=
8
=
Matematik, sonu olmayan tek insan aktivitesidir. Ýnsanoðlu birgün fizik ve biyolojiye dair her þeyi çözebilir. Ancak
matematik ile ilgili her þeyi asla bilemezler. Çünkü konunun
kendisi sonsuz, sayýlar sonsuz.
YANIT: D
Paul Erdörs
Örnek 5
a=
–4
–7
–5
, c=
, b=
9
18
12
Paydasý 10 sayýsýnýn pozitif kuvvetleri ya da 10 sayýsýnýn
kuvvetlerine geniþletilebilir olan kesirlerin ifade ettiði sayýlara,
ondalýk sayý denir.
olduðuna göre, aþaðýdaki sýralamalardan hangisi doðrudur?
A) a < b < c
B) c < b < a
D) c < a < b
Ondalýk Sayýlar
C) b < a < c
E) a < c < b
Örneðin,
3
6
=
= 0,6
5
10
4
1
–
=–
= –0,04
100
25
111 555
=
= 5,55
20
100
Çözüm
–4 –16
–7 –14
–5 –15
=
=
=
ve c =
, b=
a=
9
36
18
36
12
36
(3)
( 2)
1
= 0,1
10
10
–1
=
10
–2
=
( 4)
olduðundan;
1
10
2
=
1
= 0,01 olur .
100
– 16 – 15 – 14
ve c < a < b olur.
<
<
36
36
36
YANIT: D
Ondalýk sayýlarda, sayýnýn saðýna yazýlan sýfýrlar sayýnýn
deðerini deðiþtirmez.
Örnek 6
7
= 0,7
10
olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur?
A) y < x < z
B) x < y < z
D) z < y < x
C) x < z < y
E) z < x < y
Çözüm
Pay ile paydasý arasýndaki fark eþit olan basit kesirlerden
payý büyük olaný daha büyük olduðundan x < y < z dir.
YANIT: B
;
7
700
7
70
=
= 0,70 ve
=
= 0,700
10 1000
10 100
olduðundan, 0,7 = 0,70 = 0,700 olur.
Örneðin,
34
0,034 1000
34 100
3400
1
.
=
=
=
=
17
0,17
1000 17
17000 5
100
ya da pay ve payda 1000 ile çarpýlýrsa;
0,034
0,034
34
1
=
=
=
0,17
0,170
170
5
olur.
Örnek 7
A)
1
B)
10
C) 1 15
1
D)
30
1
E)
45
Çözüm
c
a
ve
ye eþit uzaklýktaki sayý
d
b
123,4 0,1234
–
12,34
1,234
A) 0
B) 0,2
C) 9,9
D) 10,1
E) 11,1
Çözüm
c 
1  a
.  +  dir.
d
2  b
O halde,
x=
Örnek 8


1
1  1 6–5
1 2
)=
bulunur .
.  + (– ) = .(
15
30
5
3
2
2

 (3)
(
5
)


YANIT: D
0,1234
0,1234
123 ,40
123 ,4
–
–
=
1,2340
1,234
12,34
12,34
1234
12340
–
=
12340
1234
1
= 10 –
10
= 9,9 olur .
YANIT: C
UĞURDER YAYINLARI
2
1
ile
sayýlarýna eþit uzak5
3
lýkta bulunan rasyonel sayý aþaðýdakilerden hangisidir?
Sayý doðrusu üzerinde –
5
Örnek 9
1, 2 . 10
– 8 .10
–2
0 , 3 . 10
–1
+ 2 . 10
–2
B)
–1
0,3 .10
–1
– 8 .10
–2
+ 2 .10
–2
34
99
327 – 32
295
32, 7 =
=
9
9
148
164 – 16
– 0,16 4 = –
=–
900
900
1278 – 12
1266
olur .
1, 2 78 =
=
990
990
C)
D)
9
10
E)
19
20
Çözüm
1, 2 .10
Örneðin,
– 0, 34 = –
–1
A)
=
1, 2 . 0,1 – 8 . 0,01
0,3 . 0,1 + 2 . 0,01
0,12 – 0,08
=
0,03 + 0,02
0,04
4
=
=
olur .
0,05
5
Eðer devreden kýsým 9 ise, 9 un solundaki rakamýn sayý
deðeri 1 artýrýlýp devirsiz olarak yazýlýr.
Örneðin;
0, 9 = 1,
2,7 9 = 2,8 ve 1,1 9 = 1, 2 olur.
17, 9 = 18,
YANIT: C
Örnek 10
Örnek 11
ifadesi bir tamsayý belirttiðine göre, pozitif x sayýsýnýn
virgülden sonraki kýsmý aþaðýdakilerden hangisidir?
A) 048
B) 152
C) 941
D) 952
E) 999
Çözüm
Devirli Ondalýk Sayýlar
UĞURDER YAYINLARI
6
5
= 0,555 ...................= 0, 5
9
3
–
= – 0,272727 ..........= – 0, 27
11
281
gibi.
= 1,24888 ..........= 1,24 8
225
Devirli Ondalýk Sayýlarýn Rasyonel Sayýya Çevrilmesi
Virgülden sonraki üçüncü basamaða kadar sayýlar aynýdýr.
O halde, dördüncü basamaða göre sýralama yapýlabilir.
Buradan, a < c < b bulunur.
YANIT: C
Örnek 12
3
10
A)
��
��
+
2
3
10
3
3
11
+
3
10
4
+ ... iþleminin sonucu kaçtýr?
1
30
B)
C)
10
2
+
3
10
3
+
3
10
4
abcd – ab
990
D)
E)
+ ... = 0,03 + 0, 003 + 0, 0003 + ...
= 0, 03333 ...= 0,0 3
=
a , b cd =
4
15
Çözüm
3
��
C) a < c < b
E) b < a < c
a = 2,456000...
b = 2,456666...
c = 2,456565656...
Bazý kesirler ondalýk yazýldýðýnda, ondalýk kýsýmdaki
sayýlar belirli bir yerden sonra tekrar ederler. Bu tür sayýlara
devirli ondalýk sayý denir ve devreden kýsmýn üzeri bir çizgi
ile aþaðýdaki gibi gösterilir.
Çözüm
YANIT: D
��
B) c < b < a
D) c < a < b
olduðundan x in virgülden sonraki kýsmý 952 dir.
olduðuna göre, aþaðýdaki sýralamalardan hangisi doðrudur?
A) a < b < c
x in virgülden sonraki kýsmý abc olsun.
3
= 0,048 ve x = • • • , abc iken
625
• • •,a b c
• • •, 9 52
0, 0 4 8
+
+ 0, 0 4 8
• • •, 0 0 0
• • •, 0 0 0
a = 2, 456, b = 2, 45 6 ve c = 2, 456
3–0
1
=
bulunur .
90
30
olur.
YANIT: B
Konu Testi
TEST – 1
1
)
4
1
3. (2 – )
3
işleminin sonucu kaçtır?
A)
4. (1 +
2
3
B)
3
4
A) –
9
4
3.
1
1
( – 1) . (2 – )
3
5
1 1
–
5 3
A) –9 B) –
B) –
4
3
9
5
C) –
r
p
toplamının en
m > n > p > r olduğuna göre,
+
m
n
büyük değeri kaçtır?
1
2
D)
3
7
E)
1
2
B)
4
5
D)
9
2
D)
kesri bir basit kesir olduğuna göre, a nın en büyük
doğal sayı değeri kaçtır?
ve c =
7
12
1
1
1
, y = 2011 – ve z = 2011 –
2
3
4
9.
x = 2011 –
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
doğrudur?
D) 4
3 8 3 16
1 2
4
5
– + +
– + –
= a ise
4 5 7 11
4 5
7 11
ifadesinin a cinsinden değeri nedir?
1
1
1
1
) . (1 – ) . (1 –
) .... (1 –
)
10
11
12
24
A)
12. m negatif bir basit kesirdir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima pozitif
bir bileşik kesir olur?
C) 1 + m D) m2
(1 –
5
12
B)
3
8
C)
4
15
D)
5
24
E)
1
5
E) 5
6.
1
m
5
6
5
E) 2
4
B)
b=
A) a – 1 B) 2a
C) 1 – a
D) a + 1 E) 2a – 1
A) –4m a=
E) 9
5.
C) 3
3
,
4
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
doğrudur?
11.
B) 2
35
48
A) x < y < z B) x < z < y
C) z < y < x
D) z < x < y
E) y < x < z
3a + 4
15
A) 1 E)
C) 1
37
24
6
13
1
6
1
2011 – 2010
3
D)
2012 – 2011
55
36 8.
10. C)
A) a < b < c B) c < a < b
C) a < c < b
D) c < b < a
E) b < c < a
C) –1
4.
110
94
B)
63
55
4
E) 2
3
1
+1
2
1
1 2
2 –1 .
3
2 3
A)
D)
2 – 3:
m, n, p, r birer rakamdır.
A)
C) 1
2.
7.
1
2013 –
2–
E) 1 – m
1
x–2
= 2012
eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
A) –1 B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
UĞURDER YAYINLARI
1.
7
19.
6
13. Konu Testi
6
6–
x –1
kesrini tanımsız yapan x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 1 B) 2
C) 3
D) 6
x = 0,0 3 ve y = 0, 03
1 1
toplamı kaçtır?
+
x y
olduğuna göre,
A) 63
B) 60
C) 54
m
rasyonel sayısına eşitn
devirli ondalık sayısı
tir.
0, 5 – 0, 08
2, 1
A)
1
5
B)
1
4
C)
3
10
m ve n kendi aralarında asal olduğuna göre, m + n
toplamı kaçtır?
A) 15 D)
3
8
E)
7, 2
0, 216 1, 11
–
+
0, 24
1, 08
0, 37
B) 27,2
C) 28,4
D) 28,8
16. a ve b sıfırdan farklı birer rakamdır.
ab
a, b
a, b
–
+
a, b
ab
0, ab
B) 11,1
C) 11
m = 0,0 12 ve n = 0,01 2
11
12
0, 24
0, 24 0, 24
–
=
a
b
c
D) 0,11
E) 0,1
1
10
UĞURDER YAYINLARI
8
5
+m = n
8
B) 3
C) 5
D) 7
2
+
1
10
4
+
1
10
6
+
1
10
8
+ .....
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 0,01 B) 0, 10
C) 0, 01
D) 0,01 E) 0,11
eşitliğinde n bir pozitif tamsayı olduğuna göre, m
sayısının ondalık açılımındaki yüzde birler basamağında bulunan rakam kaçtır?
A) 2 m
ifadesinin değeri kaçtır?
n
120
121
12
B)
C) 1
D)
E)
121
120
11
eşitliğinde a, b ve c birer pozitif sayı ise aşağıdaki
sıralamalardan hangisi doğrudur?
23.
17.
E) 39
A) a < b < c B) c < b < a
C) a < c < b
D) b < c < a
E) b < a < c
A) 21 D) 24
E) 32,4
22.
C) 21
olduğuna göre,
A)
A) 25,2 B) 17
2
5
21.
15. E) 33
E) 7
20. 0,13
14.
D) 45
E) 9
24. 18. Aşağıdaki sayılardan hangisi en büyüktür?
A) 0,1201 B) 0,201
C) 0,1201
D) 0,1201
E) 0,1201
1 1
+
2 3
1
1+
6
1–
A)
1
4
B)
1
3
C)
5
12
D)
5
7
E) 1
Konu Testi
0
( – 3) – ( – 1)
B) –
26.
7
2
C) –2
D)
3
2
E)
A)
1
2
A) 0,2 B) 1,2
33.
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A)
28. 1015
B)
D) 1013
C)
1,2.1013
E) 2.102
1–
B) –
1
2
C)
2
3
D)
5
2
E) 3
1
32
�
�
�
�
eş bölmeye ayrılmıştır.
Buna göre, A ile B arasındaki uzaklık kaç birimdir?
11
6
B)
23
12
C)
25
12
D)
15
7
E)
9
4
0, 2
0, 02
–
0, 05
0, 1
35. B) 8,4
C) 7,2
D) 6,4
E) 1,2
2
–3
1
1
p :f p
2
2
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A)
E) 6
B)
1
16
C)
1
8
D)
1
2
E) 2
B) 3,2
C) 3,08
D) 2,4
E) 2,48
1
∆
5
<
<
4 12 6
olduğuna göre, ∆ yerine kaç farklı tam sayı yazılabilir?
A) 7 f–
D) 4
–1 ile 0 arası dört
1 ile 2 arası üç
34. işleminin sonucu kaçtır?
30.
C) 2
1
3
2, 4
0, 24
–
0, 24
0, 2
A) 8,8 1
12
A) 3,8
E) –
1
29. 1
3
Yukarıdaki sayı doğrusunda
A)
1–
A) –2 D)
1
1–
1014
1
6
�
��
7
0, 24.10
–
1, 8.10 7 + 0, 06.10 – 6
C)
A) 11,95
B) 13,05
C) 17,98
D) 19,02 E) 23,25
27.
1
6
B) –
(0, 6) . (2, 4)
(0, 6) – (0, 24)
32. toplamının sonucu bir tamsayı olduğuna göre, a
sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
1
5
5
1
+
p– f –
p
6 12
6 12
9
2
1
50
a+
f1–
3
A) –4 31. ( – 1) 2 + ( – 3 2)
1- C
7- D
13- C
19- A
25- A
31- A
B) 6
2- A
8- B
14- A
20- B
26- C
32- D
3- E
9- A
15- B
21- B
27- D
33- C
C) 5
4- D
10- C
16- E
22- C
28- E
34- A D) 4
5- C
11- B
17- C
23- C
29- A
35- B
E) 3
6- E
12- D
18- C
24- D
30- A
UĞURDER YAYINLARI
25. Matematik(YGS ve LYS)
9
Matematik
(YGS ve LYS)
Kartezyen Çarpım ve Bağıntı
Sýralý Ýkili
Kartezyen Çarpýmýn Grafiði
a ve b elemanlarýnýn (a, b) þeklinde yazýlmasýyla elde
edilen elemana sýralý ikili denir.
(a, b) = (c, d) ise a = c ve b = d olmalýdýr.
Örneðin;
(2x – 1, x + y) = (x + 5, 3y – 2) ise
2x – 1 = x + 5 ⇒ x = 6 ve
x + y = 3y – 2 ⇒ 6 + y = 3y – 2 ⇒ y = 4 olur.
Kartezyen Çarpým
A x B nin grafiði, A x B kümesine ait elemanlarýn (noktalarýn) analitik düzlemde iþaretlenmesiyle elde edilir.
Örneðin;
A = {2, 3, 5} ve B = {1, 3} ise A x B nin grafiðini çizelim.
Önce A x B yi bulalým.
A x B = {(2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3), (5, 1), (5, 3)}
A x B kümesi 6 elemanlý olduðundan; bu 6 nokta analitik
düzlemde iþaretlenerek A x B nin grafiði aþaðýdaki gibi çizilir.
�
Birinci bileþenleri A kümesinden ikinci bileþenleri B
kümesinden alýnarak elde edilen tüm sýralý ikililerin kümesine A ile B nin kartezyen çarpýmý denir ve A x B þeklinde
gösterilir.
�
�
�
A x B = {(x, y)I x ∈ A ve y ∈ B} olur.
�
�
�
�
�
�
�
Örneðin;
A = {1, 2} ve B = {a, b, c} kümeleri için,
A x B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}
B x A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}
A x A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} olur.
olduðuna göre A x B nin elemanlarýný dýþarýda býrakmayan en küçük çemberin çapý kaç birimdir?
A x B ≠ B x A dýr. Ancak s(A x B) = s(B x A) olur.
A)
Örnek 2
A = {2, 4, 6} ve B = {y I 1 ≤ y ≤ 4, y ∈ R}
B)
C)
D)
E) 5
Çözüm
Kartezyen Çarpýmýn Özelikleri:
1. s(A x B) = s(B x A) = s(A) . s(B)
2. A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
3. A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)
4. A x (B \ C) = (A x B) \ (A x C) olur.
B = [1, 4] olduðundan B kümesinin sonsuz elemaný vardýr.
Bundan dolayý A x B kümesi de sonsuz elemanlý olur.
A x B kümesi; birinci bileþenleri 2, 4 veya 6, ikinci bileþenleri
[1, 4] aralýðýndaki herhangi bir reel sayý olan sýralý ikililerden
oluþmaktadýr.
Bu durumda A x B nin grafiði uç noktalarý
(2, 1) ve (2, 4), (4, 1) ve (4, 4), (6, 1) ve (6, 4)
olan 3 doðru parçasýndan oluþmaktadýr.
Örnek 1
�
�
UĞURDER YAYINLARI
A = {3, 4, 5, 6, 7}, B = {6, 7, 8, 9}, C = {a, b, c, d}
10
olduðuna göre, (A x C) ∪ (B x C) kümesinin eleman
sayýsý kaçtýr?
�
�
�
�
A) 16
�
B) 18
C) 20
D) 24
E) 28
Çözüm
�
�
�
�
� � � � � �
�
�
�
�
�
� � � � � �
�
A x B ye ait noktalarý dýþarýda býrakmayan en küçük çemberin çapýnýn uzunluðu, grafikteki birbirinden en uzak iki
nokta arasýndaki uzaklýktýr.
Bu noktalar; (2, 1) ile (6, 4) veya (2, 4) ile (6, 1) dir.
A ∪ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ve s(A ∪ B) = 7 dir.
(A x C) ∪ (B x C) = (A ∪ B) x C olduðundan
s[(A x C) ∪ (B x C)] = s[(A ∪ B) x C]
= s(A ∪ B) . s(C)
=7.4
= 28 bulunur.
Bu durumda istenen çemberin çapý:
birim bulunur.
YANIT: E
YANIT: E
Örnek 3
A = {x I 2 ≤ x < 6, x ∈ R} ve B = {y I 3 < y ≤ 5, y ∈ R}
A x B kümesinin her bir alt kümesine A dan B ye tanýmlý
bir baðýntý denir.
olduðuna göre, A x B yi kartezyen koordinat düzleminde gösterelim.
Çözüm
A kümesini A = [2, 6) ve B kümesini B = (3, 5]
þeklinde yazabiliriz.
A ve B kümeleri sonsuz elemanlý olduðundan A x B de
sonsuz elemanlýdýr.
Baðýntý
β ⊂ A x B ise β, A dan B ye tanýmlý bir baðýntýdýr.
Bu baðýntý, β : A → B þeklinde gösterilir.
A x A nýn herbir alt kümesine A dan A ya tanýmlý bir
baðýntý veya kýsaca A kümesinde tanýmlý bir baðýntý denir.
A x B nin herbir alt kümesi A dan B ye bir baðýntýdýr.
s(A) = n ve s(B) = m ise s(A x B) = n . m dir.
�
n . m elemanlý bir kümenin 2n.m alt kümesi olduðundan,
�
A dan B ye 2n.m tane baðýntý tanýmlanabilir.
�
�
�
Örnek 5
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A = [2, 6) kümesi yatay, B = (3, 5] kümesi düþey eksenden
alýnýr. Birinci bileþeni 2 ve ikinci bileþeni 5 olan nokta (her
ikisi de dahil – köþeli parantez) olduðu için içi dolu; diðerleri
ise içi boþ olarak iþaretlenir. Ýçi dolu olan noktanýn komþularý
düz (sürekli) çizgi; içi boþ olan noktalarýn arasý ise kesikli
çizgi olur.
Sonra elde edilen dikdörtgenin içi taranarak grafik tamamlanýr.
Örnek 4
�
A ve B kümeleri için,
s(A) = 4 ve s(B) = 2 olduðuna göre, A dan B ye kaç deðiþik baðýntý tanýmlanabilir?
A) 8
B) 16
C) 64
D) 120
E) 256
Çözüm
s(A x B) = s(A) . s(B) = 4 . 2 = 8 dir.
A x B, 8 elemanlý bir küme olduðundan,
28 = 256 tane alt kümesi vardýr.
A x B nin herbir alt kümesi A dan B ye tanýmlý bir baðýntý
olduðu için,
A dan B ye 256 tane baðýntý tanýmlanabilir.
YANIT: E
�
Örnek 6
Pozitif reel (gerçel) sayýlar kümesinde a + b ≠ 0 için
�
�
��
�
�
baðýntýsý tanýmlanmýþtýr.
Þekilde A x B nin grafiði verilmþitir.
A\B
ve
eþitliðinde m sayýsý kaçtýr?
B\A
A) 3
Çözüm
�
�
C)
D) 1
E)
Çözüm
A x B nin grafiðinden;
A = (–4, 3] ve B = (1, 5] bulunur.
��
B) 2
��
�
��
Sayý doðrusunda gösterilen A ve B kümelerine göre,
A ∩ B = (1, 3]
A ∪ B = (–4, 5]
A \ B = (–4, 1]
B \ A = (3, 5] olur.
3
1.3
3
1 3
ve
β ,  = 2 4 = 8 =
5 10
2 4 1 + 3
2 4
4
1.
m
m
m

1
3
=
=
β  , m = 3
 1 + m 1 + 3m 1 + 3m
3
3
3
olduðundan
3
m
=
⇒ 10 m = 3 + 9m ⇒ m = 3 bulunur.
10
1 + 3m
YANIT: A
UĞURDER YAYINLARI
Buna göre, A ∩ B, A ∪ B,
kümelerini bulalým.
11
Yansýma Özeliði
Örnek 7
A = {1, 2, 3, 4} kümesinde tanýmlý
β = {(a, b)I a, b yi tam böler}
β, A kümesinde tanýmlý bir baðýntý olsun.
Her x ∈ A için (x, x) ∈ β ise β yansýyan bir baðýntýdýr.
baðýntýsýnýn eleman sayýsý kaçtýr?
A) 6
B) 8
C) 10
Örneðin;
D) 12
E) 14
A = {1, 2, 3} kümesinde tanýmlý;
Çözüm
β1 = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3)} baðýntýsý yansýyandýr.
β baðýntýsý, birinci bileþeni, ikinci bileþenini tam bölen sýralý
ikililerden oluþmaktadýr.
β2 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2)} baðýntýsý 3 ∈ A olduðu
halde
β = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}
(3, 3) ∉ β2 olduðundan, yansýyan deðildir.
olduðundan s(β) = 8 dir.
β baðýntýsýnýn þema ve grafiði aþaðýdaki gibidir.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Simetri Özeliði
Her (x, y) ∈ β için (y, x) ∈ β ise β simetrik bir baðýntýdýr.
�
�
Örneðin;
�
A = {a, b, c, d} kümesinde tanýmlý;
�
�
�
�
YANIT: B
β1 = {(a, c), (b, b), (b, d), (c, a), (d, b)} baðýntýsý simetriktir.
β2 = {(a, b), (b, c), (c, c), (b, a), (d, d)} baðýntýsý (b, c) ∈ β2
olduðu halde (c, b) ∉ β2 olduðundan simetrik deðildir.
β simetrik ise β = β–1 dir.
Bir Baðýntýnýn Tersi
A kümesinden B kümesine tanýmlý bir β baðýntýsý verilsin.
β baðýntýsýna ait tüm sýralý ikililerin birinci ve ikinci bileþenlerinin yer deðiþtirmesiyle elde edilen baðýntýya, β baðýntýsýnýn tersi denir ve β–1 ile gösterilir.
Bu durumda β–1, B den A ya tanýmlý bir baðýntý olur.
(x ≠ y iken) Her (x, y) ∈ β için (y, x) ∉ β ise
β ⊂ A x B ise β–1 ⊂ B x A olup β–1 = {(y, x) I (x, y) ∈ β}
dýr.
β ters simetrik bir baðýntýdýr.
Örneðin;
Ters Simetri Özeliði
Birinci bileþeniyle, ikinci bileþeni ayný olan (x, x) ikililerinin
bulunmasý baðýntýnýn ters simetri özeliðini bozmaz.
Örneðin;
β = {(a, b), (b, b), (b, c), (c, a)} ise
β–1 = {(b, a), (b, b), (c, b), (a, c)} olur.
β1 = {(a, b), (b, b), (b, c), (c, a)} baðýntýsý ters simetriktir.
UĞURDER YAYINLARI
β2 = {(a, c), (a, d), (c, b), (d, a), (d, c)} baðýntýsý (a, d) ∈ β2
12
Örnek 8
olduðu halde (d, a) ∈ β2 olduðundan ters simetrik deðildir.
R de tanýmlý, β = {(x, y) I 2x – 3y = 5} baðýntýsý veriliyor.
Buna göre β ∩ β–1 aþaðýdakilerden hangisidir?
A) {(4, 1)} Her [(x, y) ∈ β ve (y, z) ∈ β] iken (x, z) ∈ β ise β geçiþken
bir baðýntýdýr.
B) {(1, –1)}
D) {(–5, –5)}
C) {(–1, –1)}
E) {(2, –1)}
Çözüm
β baðýntýsýnda x ile y nin yerleri deðiþtirilerek β–1 baðýntýsý
bulunur.
β–1 = {(x, y) I 2y –3x = 5} olduðundan,
2x – 3y = 5 ve 2y – 3x = 5 ise x = y = –5 bulunur.
Buna göre, β ∩ β–1 = {(–5, –5)} olur.
YANIT: D
Geçiþme Özeliði
Örneðin;
β1 = {(a, c), (b, b), (c, d), (a, d)} baðýntýsý geçiþkendir.
β2 = {(a, b), (b, b), (c, a)} baðýntýsý (c, a) ∈ β2 ve (a, b) ∈ β2
olduðu halde (c, b) ∉ β2 olduðundan geçiþken deðildir.
Konu Testi
TEST – 2
1.
x, y ∈ R olmak üzere
eşitliğini sağlayan (x, y) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?
(3x + 1, 2y – 4) = (x + 3, y + 2)
6.
A, B ve C kümeleri için,
A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
A x C = {(a, x), (a, 1), (b, x), (b, 1)}
olduğuna göre, A x (B ∪ C) kümesinin eleman sayısı
kaçtır?
A) 10 A) (1, 4)
B) (6, 1)
C) (1, 6)
D) (4, 6)
E) (4, 1)
2.
A = {xI IxI ≤ 2, x ∈ Z}
B = {xI –1 < x ≤ 3, x ∈ Z}
olduğuna göre, A x B nin eleman sayısı kaçtır?
A) 12 B) 15
B) 9
7.
C) 8
D) 7
E) 6
�
�
C) 18
D) 20
�
�
E) 25
�
3.
A x C = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1) (c, 2)}
B = {r, s}
olduğuna göre, A x B kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
�
A) {(1, r), (1, s), (2, r), (2, s)}
B) {(r, 1), (s, 1), (r, 2), (s, 2)}
C){(a, r), (a, s), (b, r), (b, s), (c, r) (c, s)}
D){(r, a), (s, a), (r, b), (s, b), (r, c) (s, c)}
E) {(a, r), (a, s), (r, b), (s, b), (c, r)}
4.
s(A) = 3, s(A x B) = 6 ve s(A x C) = 18
olduğuna göre, s(B x C) kaçtır?
A) 6 C) 12
�
�
�
�
�
�
Şekildeki A x B grafiğine göre, aşağıdakilerden
hangisi yanlıştır?
A) A ∩ B = (2, 4) B) A \ B = [4, 6]
C) B \ A = [1, 2]
D) A ∪ (B \ A) = [1, 6]
E) A ∪ B = (1, 6)
8.
D) 15
E) 16
A = {–2, –1, 0, 1, 2} ve B = {0, 1, 2, 3, 4}
kümeleri veriliyor.
Buna göre, dik koordinat düzleminde (A ∩ B) x (A ∪ B)
kartezyen çarpımının elemanlarını dışarıda bırakmayan en küçük dikdörtgenin alanı kaç birimkaredir?
A = {xI 3 ≤ x ≤ 5, x ∈ Z}
B = {yI 2 ≤ y < 4, y ∈ R}
A) 12 B) 15
C) 18
D) 21
E) 24
olduğuna göre, A x B nin grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
��
��
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
9.
�
�
�
β(x, y) =
1 1
–
x y
bağlantısı veriliyor.
β(x, 1) = β(1, 2) olduğuna göre, x kaçtır?
�
A) –
�
1
6
B) –
1
2
C)
1
3
D)
1
2
E)
2
3
�
�
� � �
��
�
�
�
�
�
10.
A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {x, y, z}
�
kümeleri veriliyor.
�
B den A ya kaç tane bağıntı yazılabilir?
�
� � �
�
A) 25 B) 28
C) 210
D) 212
E) 215
UĞURDER YAYINLARI
5.
B) 9
�
13
11.
Konu Testi
18. Doğal sayılar kümesinde tanımlı,
β = {(x, y) : xy = 4, x ve y ∈ Z}
şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre, b bağıntısının eleman sayısı kaçtır?
A) 1 B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
x, y ∈ N}
x, y ∈ N}
β1 = {(x, y) I x + 2y = 8,
β2 = {(x, y) I 2x + y = 7,
bağıntıları için β1 ∪ β2 kümesinin eleman sayısı
kaçtır?
A) 10 B) 9
C) 8
D) 7
E) 6
12. A = {1, 2, 3, 4} kümesi veriliyor.
β : A → A ve β = {(x, y) I x + y ≤ 4}
olduğuna göre, b bağıntısının kaç elemanı vardır?
A) 4 B) 5
C) 6
D) 7
E) 10
19. N de tanımlanan
β = {(x, y) I (3a – 4).x + (a + 6).y = 4}
bağıntısının simetrik olması için a kaç olmalıdır?
A) 1 B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
13. A = {0, 3, 9, 10, 18} kümesinde tanımlı β açılan bağıntısı, β = {(x, y) I x böler y} biçiminde tanımlanıyor.
20. R de tanımlı
Buna göre, b bağıntısı kaç elemanlıdır?
A) 5 B) 7
C) 8
D) 10
E) 11
yansıyan bir bağıntı olması için a kaçtır?
A) 7 14. A = {1, 2, {3}, {4, 5}} ve B = {a, b} kümeleri veriliyor.
β = {(x, y): 5.x + (–2 + a).y = 0}
B) 3
C) –1
D) –3
E) –5
Buna göre, A dan B ye tanımlanabilecek en çok 2
elemanlı bağıntı sayısı kaçtır?
A) 28 B) 29
C) 36
D) 37
E) 40
21. A = {1, 2, 3} kümesinde tanımlı β bağıntısının yan-
sıyan olup, simetrik ve ters simetrik olmaması için
β bağıntısı en az kaç elemanlı olmalıdır?
A) 3 B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
15. A = {1, 2, 3, 4} ve B = {5, 6} kümeleri veriliyor.
A dan B ye tanımlı 4 elemanlı bağıntıların kaç tanesinde, (4, 5) ikilisi eleman olarak bulunur?
22. A = {1, 2, 3} kümesinde tanımlı
A) 70 β = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (1, 3)}
bağıntısında yansıma, simetri, ters simetri ve geçişme özelliklerinden kaç tanesi vardır?
B) 56
C) 35
D) 28
E) 20
16. α = {(x, y): 2x + 3y = 5 ve x, y ∈ R} bağıntısı veriliyor.
UĞURDER YAYINLARI
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
bağıntısının elemanlarından biri (t + 1, –t – 1)
olduğuna göre, t kaçtır?
A) 1 14
A) 0 α–1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
23. Kartezyen koordinat düzleminde;
lx.yl = 4 bağıntısı veriliyor.
17. Z de tanımlı
α = {(x, y) I 4x – 3y = 7 ve x, y ∈ Z} bağıntısı veriliyor.
α ∩ α–1 kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {(–7, –7)} B) {(–7, 7)}
C) {(7, –7)}
D) {(7, 7)}
E) {(7, 8)}
Buna göre, bu bağıntıyı sağlayan kaç tane (x, y)
tamsayı sıralı ikilisi vardır?
A) 4 1- C
7- E
13- E
19- E
B) 6
2- D
8- D
14- D
20- D
3- C
9- E
15- C
21- D
C) 8
4- C
10- E
16- D
22- D
D) 12
5- E
11- C
17- D
23- D
E) 16
6- C
12- C
18- C
Matematik
(YGS ve LYS) Fonksiyonlar
Fonksiyon
Örnek 1
A kümesinin herbir elemanýný B kümesinin bir ve yalnýz
bir elemanýyla eþleþtiren baðýntýlara A dan B ye tanýmlý
fonksiyon denir ve f : A → B þeklinde gösterilir.
A, fonksiyonun taným kümesi ve B deðer kümesidir.
A dan B ye tanýmlý bir f baðýntýsýnýn fonksiyon olabilmesi için aþaðýda verilen iki þartý saðlamasý gerekir.
1. A kümesinde görüntüsü olmayan (eþleþmeyen) eleman
kalmamalýdýr.
2. A kümesindeki herhangi bir eleman B kümesindeki
birden fazla elemanla eþleþmemelidir.
Örneðin;
A = {a, b, c} ve B = {b, e, h} kümeleri verilsin.
A dan B ye tanýmlanan f = {(a, b), (c, h), (d, h)}
baðýntýsýnýn bir fonksiyon olup olmadýðýný inceleyelim.
�
�
f (a) = b
�
�
�
f (c) = h
�
�
f (d) = h
Yukarýda verilen f baðýntýsý bir fonksiyondur.
f = {(a, b), (c, h), (d, h)} olur.
f: A → B olmak üzere
Taným kümesi A = {a, c, d}
Deðer kümesi B = {b, e, h}
Görüntü kümesi f (A) = {b, h} dir.
Örneðin;
A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c, d} kümeleri verilsin.
A dan B ye tanýmlanan
f = {(1, d), (3, a)} ve g = {(1, c), (2, a), (2, b), (3, d)}
�
�
E) 328
A dan A ya tanýmlý baðýntýlara A kümesinde tanýmlý baðýntý
dendiðini biliyoruz. A x A kümesinin herbir alt kümesi A
kümesinde tanýmlý bir baðýntýdýr.
s(A x A) = s(A) . s(A) = 3 . 3 = 9 dur.
9 elemanlý bir kümenin 29 = 512 tane alt kümesi olduðundan
A kümesinde toplam 512 tane baðýntý tanýmlanabilir.
Bu baðýntýlarýn sadece 33 = 27 tanesi fonksiyon olduðundan
geriye kalan baðýntýlarýn 512 – 27 = 485 tanesi fonksiyon
olmayan baðýntýdýr.
YANIT: B
B) 18 C) 16
D) 14
E) 12
Çözüm
f(–3) = (–3)2 –3.(–3) = 18
f(1) = 12 – 3 . 1 = –2
f(2) = 22 – 3 . 2 = –2
f(4) = 42 – 3 . 4 = 4
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
��
��
��
D) 376
Çözüm
A) 20
f(A) = {18, –2, 4} olduðundan görüntü kümesinin elemanlarýnýn toplamý 18 + (–2) + 4 = 20 dir.
YANIT: A
baðýntýlarýnýn birer fonksiyon olup olmadýklarýný inceleyelim.
�
C) 424
Buna göre, f fonksiyonunun görüntü kümesinin elemanlarýnýn toplamý kaçtýr?
�
B) 485
A = {–3, 1, 2, 4} ve f : A → R olmak üzere f fonksiyonu
f(x) = x2 –3x kuralý ile veriliyor.
�
A) 496
Örnek 2
�
�
A = {a, b, c} kümesinde tanýmlý baðýntýlardan kaç tanesi
fonksiyon deðildir?
�
�
�
�
�
�
�
��
��
��
��
A dan B ye s(B)s(A) tane fonksiyon tanýmlanabilir.
Örneðin;
4 elemanlý bir kümeden 3 elemanlý bir kümeye 34 = 81 tane
farklý fonksiyon tanýmlanabilir.
Örnek 3
f : A → R ye tanýmlý bir f fonksiyonu f(x) = 3 – 2x kuralý ile
veriliyor.
f(A) = (–1, 5] olduðuna göre, A kümesi aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) [–2, 1)
B) (–1, 3)
D) (–2, 3]
C) [–1, 2)
E) (–1, 1]
Çözüm
f fonksiyonu; x i, 3 – 2x ile eþleþtirdiðinden
x in görüntüsü 3 – 2x dir.
–1 < 3 – 2x ≤ 5
–4 < –2 x ≤ 2
2 > x ≥ –1
olduðundan A = [–1, 2) bulunur.
YANIT: C
UĞURDER YAYINLARI
15
Fonksiyonlar
Örnek 4
Örnek 7
f(x + 2) = x.f(x) + 1
 3x + 1 
f
 = 2x + 5 olduðuna göre, f(4) kaçtýr?
 x–2 
eþitliðini saðlayan f fonksiyonu veriliyor.
A) 23
f(7) = 36 olduðuna göre, f(3) kaçtýr?
B) 21
C) 18
D) 15
E) 14
Çözüm
A) 2
3x + 1
3x + 1
ifadesi 4 e eþitlenirse,
= 4 ⇒ x = 9 olur.
x–2
x–2
Çözüm
Verilen eþitlikte x yerine 9 yazýlýrsa
f(4) = 2 . 9 + 5 = 23 bulunur.
YANIT: A
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Verilen eþitlikte, x yerine önce 5 daha sonra da 3 yazalým.
f(7) = 5 . f(5) + 1 ⇒ 36 = 5 . f(5) + 1
⇒ f(5) = 7
f(5) = 3 . f(3) + 1 ⇒ 7 = 3 . f(3) + 1 ⇒ f(3) = 2 bulunur.
YANIT: A
Örnek 5
f(x2 – 3x – 1) = 2x2 – 6x + 3
olduðuna göre, f(5) kaçtýr?
A) 15
B) 17
C) 18
D) 20
E) 21
Çözüm
Fonksiyon Çeþitleri
Bire Bir Fonksiyon
Taným kümesindeki her bir elemaný deðer kümesindeki
farklý bir elemanla eþleþtiren fonksiyonlara “bire bir” veya
“1– 1” fonksiyon denir.
f: A → B fonksiyonu bire bir ise s(A) ≤ s(B) dir.
1. yol:
x2 – 3x – 1 = 5 ⇒ x2 – 3x = 6 dýr.
Verilen eþitlikte x2 – 3x yerine 6 yazýlýrsa
f(x2 – 3x – 1) = 2(x2 – 3x) + 3
f(5) = 2 . 6 + 3 = 15 bulunur.
Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi, deðer kümesine eþit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
Buna göre, deðer kümesinde açýkta eleman kalmýyorsa
fonksiyon örtendir.
2. yol:
f(x2 – 3x –1) = x2 – 6x –2 + 5 yazýlýrsa
f(x2 – 3x –1) = 2(x2 – 3x –1) + 5
x2 – 3x –1 yerine a yazýlýrsa
f(a) = 2a + 5 olur.
Buradan, f(5) = 2 . 5 + 5 = 15 bulunur.
Örten olmayan fonksiyonlara içine fonksiyon denir.
O halde, A dan B ye tanýmlý f fonksiyonu;
f(A) = B ise örten, f(A) ≠ B ise içine fonksiyondur.
YANIT: A
f: A → B fonksiyonu örten ise s(A) ≥ s(B) dir.
f: A → B fonksiyonu bire bir ve örten ise s(A) = s(B) dir.
Örnek 6
Örneðin,
�
Her x reel sayýsý için
f(x + 1) = 3x + f(x)
eþitliðini saðlayan f fonksiyonu veriliyor.
UĞURDER YAYINLARI
16
B) 22
C) 20
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f(3) = 1 olduðuna göre, f(5) kaçtýr?
A) 24
�
�
��
D) 18
E) 16
Çözüm
Verilen eþitlikte, x yerine önce 3 daha sonra da 4 yazalým.
f(3 + 1) = 3 . 3 + f(3) ⇒ f(4) = 9 + 1 = 10
f(4 + 1) = 3 . 4 + f(4) ⇒ f(5) = 12 + 10 = 22 olur.
YANIT: B
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
Fonksiyonlar
1. s(A) = n, s(B) = m ve n ≤ m ise A dan B ye
m!
tane bire bir fonksiyon tanýmlanabilir.
(m – n)!
2. s(A) = s(B) = n ise A dan B ye
n! tane bire bir ve örten fonksiyon tanýmlanabilir.
Örneðin;
s(A) = 4, s(B) = 7 ve s(C) = 4 ise,
7!
7!
=
= 840 tane bire bir fonksiyon,
A → B ye
( 7 – 4 )!
3!
A → C ye 4! = 24 tane bire bir ve örten fonksiyon
tanýmlanabilir.
Sabit Fonksiyon
Taným kümesinin her bir elemanýný deðer kümesindeki
ayný elemana eþleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
f: A → B fonksiyonunda A kümesindeki her x elemaný
için f(x) = c ise f sabit fonksiyondur.
f(x) = 2 ve g(x) = –5 birer sabit fonksiyondur.
Örneðin;
f(x) = (a + 1) x2 + b.x – 3x + 2b – a
fonksiyonunun sabit fonksiyon olmasý için;
2
f( x ) = (a + 1).x + (b – 3).x + 2b – a


0
a ≠ 0 olmak üzere, f(x) = ax + b biçimindeki birinci
dereceden fonksiyonlara doðrusal fonksiyon denir.
f: R → R, f(x) = ax + b fonksiyonu bire bir ve örtendir.
a + 1 = 0 ⇒ a = –1 ve b – 3 = 0 ⇒ b = 3 olmalýdýr.
f(x) fonksiyonunda a = – 1 ve b = 3 alýnýrsa,
f(x) = 2 . 3 – (–1) = 7 sabit fonksiyonu bulunur.
Örnek 8
f(x) doðrusal fonksiyonu için, f(4) = 3 ve f(5) = 1 olduðuna göre, f(2) kaçtýr?
0
f(x) = ax + b in sabit fonksiyon olmasý için,
cx + d
olmalýdýr. Bu sabit fonksiyonun deðeri de, f(x) =
A) –1
B) 2
C) 4
D) 5
dir.
E) 7
Çözüm
Örnek 9
f(x) doðrusal fonksiyon olduðu için, f(x) = a x + b biçimindedir.
f(4) = 4a + b = 3 ve f(5) = 5a + b = 1 eþitliklerinden,
a = –2 ve b = 11 bulunur.
O halde f(x) = –2x+11 dir.
Buradan f(2) = –2 . 2 + 11 = 7 bulunur.
YANIT: E
x≠ –
2
6x – k
için, f(x) =
3
9x + 6
fonksiyonu sabit fonksiyon olduðuna göre, k kaçtýr?
A) –8
B) –6
C) –4
D) 2
E) 4
Çözüm
Birim Fonksiyon
Taným kümesindeki her bir elemaný yine kendisine eþleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
f: A → A,
f( x) =
6
–k
6x – k
=
⇒ k = –4 olur.
sabit fonksiyon ise
9
6
9x + 6
YANIT: C
f(x) = x
Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir. I (x) = x dir.
Bir Fonksiyonun Tersi
f: A → B fonksiyonu verilsin.
f fonksiyonunun tersi f–1 ile gösterilir ve
f–1: B → A, f–1 = {(y, x) I (x, y) ∈ f} olur.
Örneðin;
f(x) = (a + 3) x + 2b – 5
fonksiyonunun birim fonksiyon olmasý için;
f( x ) = (
a
+
3).x + 2
–
5
b
1
0
a + 3 = 1 ⇒ a = –2 ve 2b – 5 = 0 ⇒ b =
f(x) fonksiyonunda a = –2 ve b =
f(x) = (–2 + 3).x + 2.
lunur.
olmalýdýr.
alýnýrsa,
– 5 ⇒ f(x) = x birim fonksiyonu bu-
Bir f fonksiyonunun tersinin de yine bir fonksiyon olmasý için, bire bir ve örten olmasý gerekir. Bire bir ve örten
olmayan fonksiyonlarýn tersleri fonksiyon deðildir.
f nin taným kümesi f–1 in deðer kümesi ve f nin deðer
kümesi f–1 in taným kümesidir.
(a, b) ∈ f iken (b, a) ∈ f–1 olduðundan,
f(a) = b ise f–1(b) = a
olur.
UĞURDER YAYINLARI
kuralý ile tanýmlanan f fonksiyonu birim fonksiyondur.
17
Fonksiyonlar
Örnek 10
Örnek 11
A = {a, b, c, d} kümesinden B = {1, 2, 3, 4} kümesine
tanýmlý aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisinin tersi de
bir fonksiyondur?
A) f1 = {(a, 1), (b, 3), (c, 2), (d, 1)}
B) f2 = {(a, 3), (b, 3), (c, 3), (d, 3)}
C) f3 = {(a, 2), (b, 1), (c, 4), (d, 2)}
x < –3 ve f(x) = x2 + 6x – 2
olduðuna göre, f–1(x) aþaðýdakilerden hangisidir?
B) – 3 –
x + 9 A) – 9 –
C) – 3 – x + 11 D) 6 –
x+9
x + 11 D) f4 = {(a, 4), (b, 3), (c, 1), (d, 2)}
E) 3 + x + 11
E) f5 = {(a, 2), (b, 1), (c, 1), (d, 2)}
Çözüm
Çözüm
f(x) = x2 + 6x – 2 ⇒ y = x2 + 6x – 2 ⇒ x = y2 + 6y – 2
Bire bir ve örten olmayan fonksiyonlarýn tersi fonksiyon
olmadýðýndan A, B, C ve E seçeneklerinde verilen fonksiyonlarýn tersleri fonksiyon deðildir. Sadece D seçe-neðinde
verilen f4 fonksiyonu bire bir ve örten olduðu için f4 ün tersi
bir fonksiyondur.
YANIT: D
Bu eþitlikte eþitliðin sað tarafýný tamkare yapmak için eþitliðin
her iki yanýna 11 eklersek,
x + 11 = y2 + 6y + 9 ⇒ x + 11 = (y + 3)2 olduðundan
–
–
y + 3 = + x + 11 ⇒ y = –3 + x + 11 dir.
x < –3 için f–1(x) = –3 – x + 11 bulunur.
YANIT: C
Bir Fonksiyonun Tersinin Bulunmasý
y = f(x) kuralý ile verilen bir f fonksiyonunun tersini
bulmak için her x yerine y ve her y yerine x yazýlýp y yalnýz
býrakýlýr.
Örneðin,
f(x) = 3x + 2 ise f fonksiyonunun tersini bulalým;
y = f(x) olduðundan önce f(x) yerine y yazarsak,
y = 3x + 2 eþitliði elde edilir.
Bu eþitlikte x yerine y ve y yerine x yazýnca,
f(3x – 1) = 2x+1 – 5 olduðuna göre, f–1(11) kaçtýr?
A) 5
B) 8
C) 11
D) 14
E) 17
Çözüm
Örnek 12
f(a) = b ise f–1(b) = a olduðundan,
f(3x – 1) = 2x+1 – 5 ise f–1(2x+1 –5) = 3x – 1 olur.
2x+1 – 5 = 11 eþitliðinden x = 3 bulunur.
x = 3 yazýlýrsa, f–1(24 – 5) = 3.3 – 1 ⇒ f–1(11) = 8 olur.
YANIT: B
Örnek 13
x–2
olur.
3
x–2
Buradan f–1(x) =
bulunur.
3
x = 3y + 2 ⇒ y =
f: R \ {3} → R \ {2}, f ( x ) =
ax – 1
fonksiyonu veriliyor.
2x – b
f fonksiyonu bire bir ve örten ise, a + b kaçtýr?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Çözüm
f(x) = ax + b ise f–1(x) =
Örneðin;
UĞURDER YAYINLARI
R \ {3}, f(x) in taným kümesi olduðundan
x = 3 deðeri f ( x ) =
f(x) = 2x – 5 ise
f(x) =
18
x–b
olur.
a
f–1(x)
ise
=
f–1(x)
ax – 1
nin paydasýný sýfýr yapmalýdýr.
2x – b
2 . 3 – b = 0 ⇒ b = 6 olur.
5x – 8
=
olur.
3
f–1: R \ {2} → R \ {3}, f
–1
(x) =
bx – 1
dýr.
2x – a
– dx + b
olur.
f(x) = ax + b ise f–1(x) =
cx – a
cx + d
R \ {2}, f–1(x) in taným kümesi olduðundan
Örneðin;
x = 2 deðeri f–1(x) =
f(x) =
x+3
5x – 2
ise f–1(x) =
2x + 3
olur.
5x – 1
bx – 1
nýn paydasýný sýfýr yapmalýdýr.
2x – a
2.2 – a = 0 ⇒ a = 4 olur.
Buradan a + b = 4 + 6 = 10 bulunur.
YANIT: E
Fonksiyonlar
Fonksiyonlarýn Bileþkesi
Örnek 14
f: A → B ve g: B → C ye tanýmlý iki fonksiyon olsun.
Burada f nin deðer kümesi, g nin taným kümesidir.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
B) –2
C) –1
D) 1
E) 2
Çözüm
f(x) = mx – 6 ise
Sonuçta A kümesinin elemanlarý f ve g fonksiyonlarýyla
C kümesinin elemanlarýyla eþleþmiþ olur.
A kümesinin elemanlarýný, C kümesinin elemanlarýna
olduðuna göre, m aþaðýdakilerden hangisidir?
�
f fonksiyonu, A kümesinin elemanlarýný B kümesinin
elemanlarýyla ve g fonksiyonu, B kümesinin elemanlarýný C
kümesinin elemanlarýyla eþleþtirmektedir.
f(x) = mx – 6 ve (fof)(x) = 4x – 18
A) –3
�
eþleþtiren yeni fonksiyona g ile f fonksiyonlarýnýn bileþkesi
denir ve gof þeklinde gösterilir. g bileþke f diye okunur.
(fof)(x) = m.(mx – 6) – 6 ⇒ (fof)(x) = m2. x – 6m – 6 olur.
(fof)(x) = 4x – 18 olduðundan,
m2. x – 6m – 6 = 4x – 18 olur.
Buradan, m2 = 4 ve –6m – 6 = –18 eþitlikleri bulunur.
–6m – 6 = –18 ⇒ m = 2 olur.
YANIT: E
(gof): A → C ye tanýmlý olup, (gof)(x) = g(f(x)) tir.
�
��
�
�
�
�
Örnek 15
�
(gof)(1) = g(f(1)) = g(5) = 2
�
(gof)(2) = g(f(2)) = g(3) = 7
�
(gof)(3) = g(f(3)) = g(8) = 4
olduðuna göre, f(2x – 1) aþaðýdakilerden hangisidir?
�
(gof)(4) = g(f(4)) = g(3) = 7
bulunur.
A) 3x + 4
Burada, f ile g nin yaptýðý eþleþme ile gof nin yaptýðý
eþleþmenin ayný olduðu görülmektedir.
(fog)(x) = 3g(x) + 7
B) 3x + 6 C) 6x – 3
D) 6x + 4 E) 6x + 5
Çözüm
(fog)(x) = f(g(x)) = 3g(x) + 7 olduðundan
g(x) yerine a yazýlýrsa, f(a) = 3a + 7 olur.
Örneðin,
f(x) = x2 – 1 ve g(x) = 2x + 3 fonksiyonlarý için
(fog)(x) ve (gof)(x) fonksiyonlarýný bulalým.
Burada, a yerine 2x – 1 yazýlýrsa
YANIT: D
(gof) (x) = g(f(x))
= f(2x + 3)
= g(x2 – 1)
= (2x + 3)2 – 1
= 2(x2 – 1) + 3
= 4x2 + 12x + 8
= 2x2 + 1
Genel olarak (fog)(x) ≠ (gof)(x) tir.
Ancak bazý fonksiyonlar için, fog = gof olabilir.
Örnek 16
f(x) = 2x + 8 ve g(x) = x + 5
olduðuna göre, (fog–1) (2) deðeri kaçtýr?
A) 1
Bileþke Fonksiyonun Özelikleri
B) 2
C) 3
D) 4
Çözüm
1. (fog)oh = fo(goh) = fogoh
g(x) = x + 5 ⇒ g–1(x) = x – 5 olduðundan
2. foI = Iof = f (I: birim fonksiyon)
g–1(2) = 2 – 5 = –3 olur.
3.
fof–1
=
f–1
of = I
4. (f–1)–1 = f
5. (fog)–1 = g–1of–1
E) 5
(fog–1)(2) = f [g–1(2)] = f(–3) = 2.(–3) + 8 = 2
olarak bulunur.
YANIT: B
UĞURDER YAYINLARI
(fog)(x) = f(g(x))
f(2x – 1) = 3(2x – 1) + 7 = 6x + 4 bulunur.
19
Fonksiyonlar
Örnek 17
Örnek 19
f(x) = 3 x – 1 ve g(x) =
(fog)(x) = 6x – 7 ve g(x) = 2x+1
x + 11
2x – 5
olduðuna göre, f(x) fonksiyonu aþaðýdakilerden hangisidir?
olduðuna göre, (g–1of) (x) = 4 eþitliðini saðlayan x
deðeri kaçtýr?
A) 2x – 1
A) 1
B) 3x – 1
C) 2x – 11
D) 3x + 6 E) 3x – 13
B) 2
C) 3
D) 4
Çözüm
Çözüm
(g–1of)(x) = g–1(f(x)) = 4
(fog)og–1 = fo(gog–1) = fo I = f dir.
g(x) = 2x+1 ise g–1(x) = x – 1 olur.
2
[(fog)og–1] (x) = (fog) (g–1(x))
eþitliðinden f(x) = g(4) yazýlabilir.
4 + 11
Buradan 3x – 1 =
ve x = 2 bulunur.
2.4 – 5
x–1
)
2
 x – 1
–7
(f o I)(x) = 6 
 2 
f(x) = 3x – 10 bulunur.
E) 5
YANIT: B
[fo(gog–1)] (x) = (fog) (
YANIT: E
Permütasyon Fonksiyon
A dan A ya tanýmlanan bire bir ve örten fonksiyonlarýn
her birine permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c, d} kümesi verilsin.
f: A → A permütasyon fonksiyonu aþaðýdaki þekilde
tanýmlansýn.
Örnek 18
(fog)(x) = 6x – 7 ve f(x) = 3x – 13
�
olduðuna göre, g(x) fonksiyonu aþaðýdakilerden hangisidir?
A) 3x – 2
B) 2x + 2 D) 4x – 3
C) x – 6
E) 2x – 1
Çözüm
(fog)(x) = 6x – 7 ⇒ f[g(x)] = 6x – 7 dir.
f(x) = 3x – 13 ⇒ f[g(x)] = 3.g(x) – 13
olduğundan,
�
�
�
�
�
�
f fonksiyonu
�
�
�
�
þeklinde yazýlýr.
Yukarýda verilen f fonksiyonu
f = {(a, c), (b, a), (c, d), (d, b)} dir.
f–1 = {(c, a), (a, b), (d, c), (b, d)} olduðundan,
f
–1
 a b c d
 olur.
= 
b d a c
3.g(x) – 13 = 6x – 7
3.g(x) = 6x + 6
g(x) = 2x + 2 olur.
Örnek 20
YANIT: B
UĞURDER YAYINLARI
20
Sayý Birleme Oyunu
Herhangi bir doðal sayý tutun. Sayý çift ise 2 ile bölün,
tek ise 3 ile çarpýp 1 ekleyin. Her yeni elde edilen sayýya
ayný kuralý uygulayarak iþlem devam edildiðinde belirli bir
yerden sonra 1 elde edilir.
Örneðin sayýmýz 17 olsun.
17.3 + 1 = 52 çift 52 : 2 = 26 çift, 26 : 2 = 13 tek,
ise (fog) fonksiyonunu bulalým.
Çözüm
bileþke yazýlýrken ikinci fonksiyondan baþlanýr.
g: 1 → 3 ve f: 3 → 2 ise fog: 1 → 2
3.13 + 1 = 40 çift 40 : 2 = 20 çift, 20 : 2 = 10 çift, 10 : 2 = 5 tek,
g: 2 → 4 ve f: 4 → 1 ise fog: 2 → 1
5.3 + 1 = 16 çift, 16 : 2 = 8 çift, 8 : 2 = 4 çift, 4 : 2 = 2 çift,
g: 3 → 2 ve f: 2 → 4 ise fog: 3 → 4
2 : 2 = 1 olur.
g: 4 → 1 ve f: 1 → 3 ise fog: 4 → 3 olur.
Fonksiyonlar
Örnek 21
Örnek 23
 a b c d
 a b c d
 ve gof = 

f = 
d
a
c
b


c d a b
f = {(2, 4), (3, 2), (5, 8)} ve g = {(2, 5), (4, 7), (5, 2), (8, 5)}
olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi doðrudur?
ise g fonksiyonunu bulalým.
A) f – g = {(2, –1), (3, –6)}
B) f + 3g = {(2, 19), (5, 4)}
Çözüm
f
–1
C)f . g = {(4, 20), (15, 14), (25, 16)}
 a b c d
 olduðundan
= 
b d c a
(gof )of
g=f
–1
D)4 . f = {(8, 20), (16, 28), (20, 8)}
E) (gof) (2) = 7
 a b c d
 a b c d
 o 

= 
 c d a b
b d c a
Çözüm
Fonksiyonlarda iþlemler f ve g nin taným kümelerinin ortak
elemanlarý üzerinde yapýlabilir.
a bc d
p olur.
d b a c
Burada, f fonksiyonunun (2, 4), (5, 8) ve g fonksiyonunun
(2, 5), (5, 2) ikilileri üzerinde iþlemler yapýlabilir.
A) f – g = {(2, 4 – 5), (5, 8 – 2)} = {(2, –1), (5, 6)}
Fonksiyonlarda Ýþlemler
f: A → R ve g: B → R fonksiyonlarý verilsin.
B) f + 3g = {(2, 4 + 3 . 5), (5, 8 + 3 . 2)} = {(2, 19), (5, 14)}
1. (f + g): A ∩ B → R ve (f + g) (x) = f(x) + g(x)
C) f .g = {(2, 4 . 5), (5, 8 . 2)} = {(2, 20), (5, 16)}
2. (f – g): A ∩ B → R ve (f – g) (x) = f(x) – g(x)
D) 4 . f = {(2, 4 . 4), (5, 4 . 8)} = {(2, 16), (5, 32)}
3. (f . g): A ∩ B → R ve (f . g) (x) = f(x) . g(x)
E) (gof) (2) = g[f(2)] = g(4) = 7
4. (
): A ∩ B → R ve (
) (x) =
, [g(x) ≠ 0]
5. (c . f): A → R ve (c . f) (x) = c . f (x) dir. ( c ∈ R)
olduðundan E seçeneði doðrudur.
YANIT: E
Örnek 24
f(x) =
Örnek 22
3x – 4,
x + 1,
x – 3,
x< 6
6 ≤ x < 10
10 ≤ x
f(x) = 2x + 8 ve g(x) = 3x – 2
olduðuna göre, (fofof)(5) deðeri kaçtýr?
olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
A) (f + g) (x) = 5x + 6
Çözüm
B) (g – f) (x) = x – 10
5 < 6 ⇒ f(5) = 3 . 5 – 4 = 11 olduðundan
(fofof) (5) = f{f [f(5)]} = f{f(11)} dir.
+ 20x – 16
10 ≤ 11 ⇒ f(11) = 11 – 3 = 8 olduðundan D) (2f – 3g) (5) = –3
E) (
f{f(11)} = f(8) dir.
) (3) = 6
6 ≤ 8 < 10 ⇒ f(8) = 8 + 1 = 9 bulunur.
YANIT: C
Çözüm
Fonksiyonun Grafiði
A) (f + g) (x) = (2x + 8) + (3x – 2) = 5x + 6
B) (g – f) (x) = (3x – 2) – (2x + 8) = x – 10
Bir fonksiyonun elemanlarýna, analitik düzlemde karþýlýk
gelen noktalarýn kümesine bu fonksiyonun grafiði denir.
C) (f . g) (x) = (2x + 8) . (3x – 2) = 6x2 + 20x – 16
D) (2f – 3g) (5) = 2 . f(5) – 3 . g(5)
E) (
�
= 2 . (2 . 5 + 8) – 3(3 . 5 – 2) = – 3
2.3 + 8
f(3)
=
= 2 olduðundan
) (3) =
g( 3 )
3 .3 – 2
��
�
��
y = f(x) fonksiyonun grafiði
üzerinde P(a, b) noktasý
verilsin.
Bunun anlamý;
E seçeneði yanlýþtýr.
YANIT: E
�
�
�
f(a) = b veya
f–1(b) = a dýr.
UĞURDER YAYINLARI
C) (f . g) (x) =
6x2
E) 12
21
Fonksiyonlar
Örnek 25
Örnek 27
�
�
��
��
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
��
Þekilde, y = f(x) fonksiyonunun grafiði verilmiþtir.
Þekilde, f(x) ve g(x) fonksiyonlarýnýn grafikleri verilmiþtir.
(fof)(3x) = 2 olduðuna göre, x kaçtýr?
deðeri kaçtýr?
Buna göre,
A) 2
B)
1
D) –
3
C) –1
1
E) –
2
Çözüm
y = f(x) fonksiyonunun grafiði A(–1, 0) ve B(0, 2) noktalarýndan geçtiði için f(–1) = 0 ve f(0) = 2 dir.
A) –
1
2
B) –1 C) 0 D) 1 E)
Çözüm
Grafiðe göre, f(4) = –2, f(3) = 0, g(1) = 2 ve g(2) = 3 tür.
(fof)(3x) = f[f(3x)] = 2 ⇒ f(3x) = 0 olmalýdýr.
g(2) = 3 olduðundan, (fog) (2) = f[g(2)] = f(3) = 0 dýr.
0
–1
1
bulunur.
Buradan, 3x = –1 ⇒ x = –
3
Buradan,
YANIT: D
g(1) + ( fog)( 2 )
2+0
=
= –1 bulunur.
f( 4)
–2
YANIT: B
Örnek 28
Örnek 26
�
��
�
��
��
�
��
�
��
�
��
�
�
�
��
��
�
�
�
��
Þekilde, y = f(x) fonksiyonunun grafiði verilmiþtir.
Buna göre,
A)
(fof)(–7) + f(0)
f
B)
–1
(–3)
deðeri kaçtýr?
Þekilde, f(x) ve g(x) = x3 fonksiyonunun grafikleri verilmiþtir.
Buna göre, [f o g–1 o f] (0) deðeri kaçtýr?
C)
D) 1 E) 2
A) –4 B) –2 C) 0 D) 4 E) 8
UĞURDER YAYINLARI
Çözüm
22
A(–7, 4) noktasýna göre, f(–7) = 4 olduðundan
Çözüm
(fof) (–7) = f[f(–7)] = f(4) dir.
f(0) = 8 olduðundan,
C(4, 0) noktasýna göre, f(4) = 0 olduðundan,
[f o g–1 o f] (0) = f {g–1[f(0)]} = f [g–1(8)] dir.
(fof) (–7) = f[f(–7)] = f(4) = 0 olur.
g(x) = x3 ise g–1(x3) = x
B(0, 2) noktasýna göre, f(0) = 2 ve
g–1(8) = 2 olur.
D(6, –3) noktasýna göre, f–1(–3) = 6 olduðundan,
( fof )(–7 ) + f ( 0 )
f
–1
(–3 )
=
0+2
1
=
bulunur.
6
3
Buradan, f[g–1(8)] = f(2) = 0 olduðu için,
(f o g–1 of)(0) = 0 bulunur.
YANIT: B
YANIT: C
Konu Testi
TEST – 3
A = {x I –3 ≤ x < 7 ve x ∈ Z} dir.
fonksiyonunun tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) –3 ≤ x ≤ 1 B) –1 ≤ x ≤ 6
C) –1 ≤ x ≤ 3
D) –2 ≤ x ≤ 1
E) –1 ≤ x ≤ 2
fonksiyonunun görüntü kümesi kaç elemanlıdır?
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10
2. f: A → B, bire bir ve örten bir fonksiyondur.
f(x) = x3 – 1 ve B = {–2, –1, 0, 7}
8.
A) {–2, –1, 0, 2}
C) {0, 1, 2}
E) {–2, –1, 0, 1}
f: R – {1} → R – {3} kümesinde tanımlı
olduğuna göre, A kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
B) {–8, –1, 2}
D) {–1, 0, 1, 2}
3.
A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c} kümeleri veriliyor.
Buna göre, A dan B ye (A → B) tanımlanan aşağıdaki
bağıntılardan hangisi bir fonksiyondur, ancak tersi
bir fonksiyon değildir?
Buna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) –4 9.
f(2 – x) = m.x + n fonksiyonu veriliyor.
f(x) fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, m + n
toplamı kaçtır?
C) 0
D) 1
f(x) = (a –
2).x2
6.
f (x) =
D) 2
mx + 6
2x – 3
B) –4
D) 0
C) 0
D) x – 1
E) 2x
olduğuna göre, f(5) değeri kaçtır?
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
f(x2 – 3x – 1) = 2x2 – 6x + 1
A) 5 12. C) –2
B) 2 – x
B) 3
C) 2
D) 1
E) –4
E) 3
sabit bir fonksiyon olduğuna göre, m + f(m) toplamı
kaçtır?
A) –6 E) 4
E) 2
+ (b + 1).x + a – b
C) 1
D) 3
f(2x – 1) + f(x + 2) = x + 5
A) 2 fonksiyonu sabit bir fonksiyon olduğuna göre, f(a + b) kaçtır?
B) 0
C) 2
olduğuna göre, f(–x) – f(x – 1) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
11.
A) –1
B) –1
B) –2
f(x) = x2 + x + 1
A) –2x 4.
mx + 1
2x + n
fonksiyonu bire bir ve örtendir.
10.
A) –2 f(x) =
A) {(1, a), (2, c), (3, b), (1, c)}
B) {(1, c), (2, a), (3, b)}
C){(1, b), (2, c), (1, a)}
D){(1, a), (2, b), (3, c)}
E) {(1, c), (2, a), (3, c)}
5.
6 – 2x + x + 1
f: A → R, f(x) = x2 – 1
A) 5
f(x) =
E) 3
f (x –
1
1
) = x2 +
2
x
x
A) 7 B) 9
C) 11
D) 15
E) 18
UĞURDER YAYINLARI
1.
7.
23
Konu Testi
13. f(x) = 2x – 5 fonksiyonu veriliyor.
19. f(x + 1) = f(x) + x fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, f(3x) fonksiyonunun f(x + 1) cinsinden
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
f(1) = 1 olduğuna göre, f(21) değeri kaçtır?
A) 21 B) 42
C) 84
D) 121
E) 211
A) 2.f(x + 1) + 5 B) 3.f(x + 1) – 5
C) 3.f(x + 1) – 1
D) 3.f(x + 1) + 4
E) 4.f(x + 1) + 3
20.
14.
f (x) = x –
15.
B)
D) f(x) – 1
1
–1
C)
f (x)
f (x)
E) 1 – f(x)
olduğuna göre, f(16) – f(2) farkı kaçtır?
A) 4 1
olduğuna göre, f ( ) fonksiyonunun f(x) cinsinden
x
ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) –f(x) 1
x
21.
x.f(x) = (x – 1).f(x – 1)
f(4) = 11 olduğuna göre, f(44) değeri kaçtır?
A) 1 B) [f(x)]2
D) f(x) – 3
B) 2
C) 22
D) 88
E) 121
C) 9.f(x)
E) f(x) + 9
22.
1
2.f ( ) + f (x) = x
x
A) –
16. f(n) = 2 fonksiyonu veriliyor.
n!
1
2
B) –
1
3
C) –2
1
2
E) 3
2
3
E)
6
5
E) 3
5- E
11- A
17- A
23- E
6- A
12- C
18- E
24- D
D)
f(n + 1) = k . f(n) olduğuna göre, k aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
A)
n+1
2
17.
UĞURDER YAYINLARI
E) 16
n
24
D) 14
fonksiyonu veriliyor.
B)
D)
2
n+1
1
n+1
C)
E)
23.
n
2
1
2n
A) –
24.
B) 8
C) 6
D) 4
E) 2
2
3
B) 0
C)
1
2
D)
4
3
f(x + 5) = 5.f(x) ve f(2) = 2
1- C
7- C
13- D
19- E
A) 5 B) 12
C) 24
D) 30
E) 50
x.f (
18
x
) = x + f( )
x
2
A) –
18.
2.f(x – 1) = f(1 – x) + x
f(x) + f(x – 1) = 6x + 7
A) 11
C) 12
olduğuna göre, f(x + 1) ifadesinin f(x) cinsinden
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) 8
f(x) = 32x – 1
A) 3.f(x) f: R → R, f(x + 2) = f(x) + 2
5
6
B) –
2- D
8- E
14- A
20- D
1
3
3- E
9- C
15- C
21- A
C) 1
4- D
10- C
16- B
22- B
D)
Konu Testi
TEST – 4
x, y ∈ R – {0} olmak üzere
f(x + y) = f(x) . f(y)
olduğuna göre, f[g(3)] – g[f(3)] kaçtır?
A) –11 B) 6
C) 8
D) 12
x, y ∈ R – {1} olmak üzere,
olduğuna göre, f(2) değeri aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
3.
B) 20
C) 48
D) 75
E) 125
9.
D) 7
E) 8
f(x) = 2x – 3 ve (fog)(x) = 6x – 1
olduğuna göre, g(2) değeri kaçtır?
B) 7
C) 6
D) 4
E) 2
olduğuna göre, f(5) + f–1(5) toplamı kaçtır?
B) 0
C) 5
D) 7
E) 9
10.
g–1(x) =
olduğuna göre, f–1(4) değeri kaçtır?
A) –4 B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
x+2
x+1
)=
x –1
x–2
4.
f(
x–3
ve (fog)(x) = 20x + 14
4
A) –2 1
B) 4
5
C) 2
D) 3
11.
E) 4
(fog)(x) = 2 . g(x) + 3
olduğuna göre, f–1(7) değeri kaçtır?
A) 2 B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
f(x) bir doğrusal fonksiyondur.
12.
f(1) = –1 ve f–1(1) = 2
A) –6 B) 2
C) 4
D) 5
f(x) = x2 – 6x + 11
A) –6 B) –2
olduğuna göre, f(2) + f–1(2) toplamı kaçtır?
13. olduğuna göre, f–1(6) değeri kaçtır?
C) 0
D) 1
E) 3
g(3x – 1) = (gof) (x)
A) 8 E) 8
f: (–∞, 3] → [2, ∞)
C) 4
f(2x + 1) = 3x – 4
A) –3 6.
B) –2
olduğuna göre, f(2) = 5 ise f(8) kaçtır?
A) 8 E) 12
(fof) (x) = 9x + 8
A) –7 5.
D) 9
f(x . y) = f(x) + f(y)
A) 15 C) 0
E) 16
8.
B) –6
olduğuna göre, f(3) = 2 ise f(12) kaçtır?
A) 4 2.
f(x) = x2 – 1 ve g(x) = 2x – 5
B) 6
f (x) = *
C) 4
D) 2
E) –2
2
x –4 , x#0
x–5 , x>0
olduğuna göre, (fofof)(–3) ifadesinin değeri kaçtır?
A) –5
B) –4
C) –1
D) 2
E) 6
UĞURDER YAYINLARI
1.
7.
25
Konu Testi
14. f = {(1, 3), (2, –1), (3, 4), (4, 1)}
g = {(–1, 5), (1, –2), (2, 4), (3, 2)}
olduğuna göre, (fog) (2) + (f . g) (3) işleminin sonucu
kaçtır?
19.
�
�
�
A) 6 B) 8
C) 9
D) 12
E) 13
�
��
f=f
15. 1 2 3 4
1 2 3 4
p ve g = f
p
2 3 1 4
3 1 4 2
1 2 3 4
p
4 3 2 1
D) f
B) f
1 2 3 4
p
2 3 4 1
1 2 3 4
p
2 1 4 3
E) f
C) f
f=f
permütasyon fonksiyonları için
kaçtır?
B) 1
Şekilde grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu ile ilgili
aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Tanım kümesi [–3, 6] dır.
B) Görüntü kümesi [–2, 5] tir.
C)–3 ≤ x < –1 aralığında bire-birdir.
D)1 < x ≤ 6 aralığında bire-birdir.
E) –1 < x ≤ 2 aralığında bire-birdir.
1 2 3 4
p
4 3 1 2
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
p ve g = f
p
3 2 4 1 0
2 3 4 0 1
A) 0 1 2 3 4
p
4 1 3 2
16. A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde tanımlanan
C) 2
�
�
�
�
Şekilde y = f(x) ve
y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri
verilmiştir.
��
��
E) 4
y = f(x) doğrusal bir fonksiyon olduğuna göre,
(f–1og)(5) + g–1(2) işleminin sonucu kaçtır?
B) 0
C) 2
21.
�
Buna göre, (fog)(5) – (gof)(5) işleminin sonucu kaçtır?
UĞURDER YAYINLARI
18.
26
�
C) 0
D) 2
��
�
B) –3
�
�
�
��
Şekilde y = f(x + 1) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, f(4) + f–1(0) işleminin sonucu kaçtır?
A) –3 B) –1
C) 0
D) 2
E) 5
�
�
1- E
7- A
13- B
19- D
(fofof)(x – 1) = 5 olduğuna göre, x kaçtır?
A) –4 �
E) 6
Şekilde y = f(x)
fonksiyonunun
grafiği verilmiştir.
�
�
��
B) –2
E) 6
�
��
��
A) –6 D) 4
�
��
��
�
�
�
�
A) –2 �
Şekilde y = f(x) ve
y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
��
değeri
��
�
�
�
f[g–1(3)]
D) 3
20.
17.
�
��
olduğuna göre, gof–1 aşağıdakilerden hangisidir?
A) f
�
�
��
��
C) –1
D) 3
E) 5
2- A
8- E
14- C
20- E
3- E
9- B
15- E
21- C
4- C
5- D
10- E 11- A
16- C 17- A
6- D
12- B
18- B
Matematik
(YGS ve LYS) İşlem ve Modüler Aritmetik
Ýþlem
Örnek 3
A x A kümesinden B kümesine tanýmlý her fonksiyona, A
kümesinde tanýmlý bir ikili iþlem veya kýsaca iþlem denir.
Ýþlemler, fonksiyonlarý göstermek için kullanýlan f, g, h
gibi harfler yerine, genellikle , ∆, , o,  gibi sembollerle
gösterilir.
Örneðin,
f: N x N → Z ye tanýmlý,
f(x, y) = x – 2y + 1 kuralý ile verilen f fonksiyonu, x  y = x – 2y + 1
biçiminde gösterilir.
f(3, 4) = 3 – 2 . 4 + 1 = –4 veya
3  4 = 3 – 2 . 4 + 1 = –4 tür.
1
∆ b = a + 8 b – 1 þeklinde tanýmlanmýþtýr.
a
Buna göre,
A) –
1
2
B)
C) 1
D) 2
E) 4
Çözüm
1
1
=
⇒ a = 3 ve
a
3
b =
1
1
olur .
⇒b=
4
2
1
∆ b = a + 8 b – 1 iþlemine göre,
a
Sonuç olarak f fonksiyonu ( iþlemi) taným kümesindeki
(3, 4) ikilisini deðer kümesindeki –4 elemanýyla eþleþtirmektedir.
1
∆
3
1
1
– 1 = 4 bulunur.
=3+8.
4
4
YANIT: E
Örnek 4
Örnek 1
Gerçel (reel) sayýlar kümesi üzerinde  iþlemi,
Pozitif tamsayýlar kümesi üzerinde her a, b için;
a  b = ab – 3b iþlemi tanýmlanmýþtýr.
þeklinde tanýmlanmýþtýr.
Buna göre, 3  (2  4) iþleminin sonucu kaçtýr?
A) 63
B) 69
C) 76
D) 78
E) 79
Buna göre, (5  1)  (2  3) iþleminin sonucu kaçtýr?
A) 10
B) 12
C) 18
D) 24
Çözüm
Çözüm
Önce parantez içindeki 2  4 iþleminin sonucu bulunur.
 iþleminin tanýmýndan, 2  4 = 24 – 3 . 4 = 16 – 12 = 4
tür.
O halde, 3  (2  4) = 3  4 olur.
Buradan, 3  4 = 34 – 3 . 4 = 81 – 12 = 69 bulunur.
5 > 1 olduðundan 5  1 = 5 + 1 = 6 dýr.
2 < 3 olduðundan 2  3 = 2 . 3 = 6 dýr.
Bu iki eþitlikten (5  1)  (2  3) = 6  6 olur.
6 = 6 olduðu için 6  6 = 6 + 6 = 12 bulunur.
E) 36
YANIT: B
YANIT: B
Tamsayýlar kümesi üzerinde her x, y için,
x  y = x2. y – x. y2 ve x ∆ y = x.y – x
x ∆ y = 2x + y – xy iþlemi tanýmlanmýþtýr.
iþlemleri veriliyor.
3 ∆ 5 = 7 ∆ m olduðuna göre, m kaçtýr?
(a ∆ 3)  a = 16 olduðuna göre, a kaçtýr?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Çözüm
∆ iþlemine göre eþitliðin iki tarafý ayrý ayrý bulunursa
3 ∆ 5 = 2 . 3 + 5 – 3 . 5 = –4 ve
7 ∆ m = 2 . 7 + m – 7m = 14 – 6m olur.
Buradan, –4 = 14 – 6m ⇒ m = 3 bulunur.
YANIT: C
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Çözüm
a ∆ 3 = a . 3 – a = 2a olduðundan,
(a ∆ 3)  a = 16 ⇒ (2a)  a = 16 dýr.
(2a)  a = (2a)2 . a – 2a . a2 = 2a3 olduðundan,
2a3 = 16 ⇒ a = 2 bulunur.
YANIT: A
UĞURDER YAYINLARI
Örnek 5
Örnek 2
27
İşlem ve Modüler Aritmetik
Örnek 6
Çözüm
Dik koordinat düzleminin noktalarý üzerinde bir  iþlemi,
 iþleminin deðiþme özeliði olduðundan, her a ve b gerçel
sayýlarý için a  b = b  a dýr. Verilen eþitlikte b  a yerine
a  b yazýlýrsa, a  b = a + b – 2(a  b) olur.
(a, b)  (c, d) = (ac – bd, ad + bc) þeklinde tanýmlanýyor.
bulunur.
Buna göre, (2, 1)  (x, y) = (7, 11) eþitliðini saðlayan (x, y) ikilisi aþaðýdakilerden hangisidir?
–2 + 5
= 1 sonucu elde edilir.
3
YANIT: A
Bu eþitlikten, (–2)  5 =
A) (5, 3)
B) (3, 2)
C) (4, 3)
D) (1, 5)
E) (5, 2)
Çözüm
(2, 1)  (x, y) = (7, 11) eþitliðinde
(2x – y, 2y + x) = (7, 11) olduðundan
2x – y = 7 ve 2y + x = 11 bulunur.
Bu iki denklemin ortak çözümü yapýlýrsa x = 5 ve y = 3
olur.
Buna göre, (x, y) ikilisi (5, 3) bulunur.
YANIT: A
Ýþlemin Özelikleri
1. Kapalýlýk Özeliði
, A kümesinde tanýmlý bir iþlem olsun.
Her x, y, z ∈ A için, x  (y  z) = (x  y)  z
ise  iþleminin birleþme özeliði vardýr.
Çýkarma ve bölme iþlemlerinin birleþme özeliði yoktur.
Ýki doðal sayýnýn toplamý daima bir doðal sayý olduðun-
4. Birim (Etkisiz) Eleman
dan, doðal sayýlar kümesi toplama iþlemine göre ka-
palýdýr.
Her x ∈ A için, x  e = e  x = x
Ýki doðal sayýnýn farký her zaman bir doðal sayý olma-
yacaðý için, doðal sayýlar kümesi çýkarma iþlemine
göre kapalý deðildir.
eþitliðini saðlayan bir e ∈ A varsa, e elemanýna  iþleminin
birim (etkisiz) elemaný denir.
 Bir iþlemin birim elemaný varsa, bir tanedir.
2. Deðiþme Özeliði
UĞURDER YAYINLARI
Her x, y ∈ A için x  y = y  x ise  iþleminin deðiþme
özeliði vardýr.
28
3. Birleþme Özeliði
Toplama ve çarpma iþlemlerinin birleþme özeliði
vardýr.
Her x, y ∈ A için (x  y) ∈ A ise, A kümesi  iþlemine
göre kapalýdýr.
Toplama iþleminin birim elemaný 0 (sýfýr), çarpma
iþleminin birim elemaný 1 dir. Çýkarma ve bölme
iþlemlerinin birim elemaný yoktur.
Toplama ve çarpma iþlemlerinin deðiþme özeliði vardýr.
Çýkarma ve bölme iþlemlerinin deðiþme özeliði yoktur.
Örnek 8
Örneðin,
a ∆ b = 3a + 3b + a . b + 6 iþlemi veriliyor.
a  b = a + b – 3.a.b iþleminin deðiþme özeliði vardýr.
Buna göre, ∆ iþleminin birim elemaný kaçtýr?
b  a = b + a – 3.b.a olduðundan, a  b = b  a dýr.
A) –3
B) –2
C) –1
D) 2
E) 3
Örnek 7
Çözüm
Gerçel sayýlar kümesi üzerinde deðiþme özeliði olan,
∆ iþleminin deðiþme özeliði olduðu için a ∆ e = a eþitliðinden
birim eleman bulunabilir.
a ∆ e = a ⇒ 3a + 3e + a . e + 6 = a ⇒ e(3 + a) = –6 – 2a
a  b = a + b – 2(b  a) iþlemi tanýmlanmýþtýr.
Buna göre, (–2)  5 iþleminin sonucu kaçtýr?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
e=
–6 – 2 a
–2( 3 + a )
= – 2 bulunur .
=
3+a
3+a
YANIT: B
5. Bir Elemanýn Tersi
Örnek 11
, A kümesinde tanýmlý bir iþlem ve e,  iþleminin birim
elemaný olsun.
Her x ∈ A için, x  x–1 = x–1  x = e
eþitliðini saðlayan bir x–1 ∈ A varsa, x–1 elemanýna x in 
iþlemine göre tersi denir.
x–1
ifadesi üslü sayýlardaki gibi
anlamýna gelmez.
 Bir iþleme göre bir elemanýn tersi varsa, bir tanedir.
 Bir iþleme göre, birim elemanýn tersi daima kendisidir.
e–1 = e dir.
Toplama iþlemine göre, x in tersi –x dir.
Çarpma iþlemine göre (x ≠ 0 için) x in tersi
dir.
Örnek 9
Bu iþleme göre, 5 in tersi kaçtýr?
B)
C)
D)
a  b = 3a + 3b – 2ab – 3 iþlemi veriliyor.
 iþlemine göre, tersi kendisine eþit olan elemanlarýn
toplamý kaçtýr?
A) –1
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Çözüm
Önce  iþleminin birim elemanýný bulalým.
a  e = a ⇒ 3a + 3e – 2ae – 3 = a ⇒ e(3 – 2a) = 3 – 2a
3 – 2a
e=
= 1 bulunur.
3 – 2a
a  a–1 = e olduðunu biliyoruz.
Tersi kendisine eþit olan eleman a ise a–1 = a dýr.
Öyleyse a  a = e olmalýdýr.
3a + 3a – 2a . a – 3 = 1 ⇒ 2a2 – 6a + 4 = 0
2(a – 1) (a – 2) = 0 ⇒ a = 1 veya a = 2 olur.
1 ve 2 nin tersi kendisine eþit olduðundan, 1 + 2 = 3 tür.
YANIT: D
6. Yutan Eleman
a  b = 2a + 2b – a . b – 2 iþlemi veriliyor.
A)
E)
Her x ∈ A için x  m = m  x = m
eþitliðini saðlayan bir m ∈ A varsa, m ye  iþleminin yutan
elemaný denir.
 Bir iþlemin yutan elemaný varsa, bir tanedir.
Çözüm
Bir iþleme göre, herhangi bir elemanýn tersini bulmak için
önce o iþlemin birim elemanýný bulmak gerekir.
a  e = a ⇒ 2a + 2e – a.e – 2 = a
e(2 – a) = 2 – a
e = 1 bulunur.
 Bir iþlemin yutan elemaný varsa, yutan elemanýn bu
iþleme göre tersi yoktur.
Çarpma iþleminin yutan elemaný sýfýrdýr. Toplama,
çýkarma ve bölme iþlemlerinin yutan elemaný yoktur.
5 in  iþlemine göre tersini 5–1 ile gösterelim.
5  5–1 = 1 ⇒ 2 . 5 + 2 . 5–1 – 5 . 5–1 – 2 = 1
7
–1
5 =
bulunur.
3
YANIT: E
x y =
Örnek 10
Buna göre, a ∆ 2–1 = 4 eþitliðinde a kaçtýr?
B) 2
C) 3
x + y – xy + 1
2
iþlemi veriliyor.
Buna göre,  iþleminin yutan elemaný kaçtýr?
a ∆ b = a + b – 5 iþlemi veriliyor.
A) 1
Örnek 12
D) 4
A) –2
B) –1
C) –
1
2
D) 1
E) 2
E) 5
Çözüm
Çözüm
 iþleminin yutan elemaný m olsun.
xm=m⇒
x + m – xm + 1
=m
2
x – m – xm + 1 = 0
x + 1 – m(1 + x) = 0
(x + 1) . (1 – m) = 0
m = 1 bulunur.
YANIT: D
UĞURDER YAYINLARI
∆ iþleminin birim elemaný e olsun.
∆ iþleminin deðiþme özeliði olduðu için;
x–1 ∆ x = e ve a ∆ e = a dýr.
a ∆ 2–1 = 4 “eþitliðin iki tarafý 2 ile iþleme girdi.”
a ∆ 2–1 ∆ 2 = 4 ∆ 2 “2–1 ∆ 2 = e olduðundan”
a∆e=4∆2
a=4∆2
a = 4 + 2 – 5 = 1 olur.
YANIT: A
29
Ýþlem Tablosu
A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde her a, b ∈ A için a ∆ b = “a . b çarpýmýnýn 5 ile bölümünden elde edilen kalan” biçiminde tanýmlanan ∆ iþleminin tablosunu yapalým.
 ∆ iþleminin tablosunda bir x elemanýnýn kendisi ile n
defa iþlem yapýlma durumu xn ile gösterilir.
olarak tanýmlanýr.
�
�
�
�
�
�
��
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
Tabloda 2 ∆ 3 iþleminin sonucunu bulmak için, baþlangýç
sütunundan 2 ile baþlangýç satýrýndan 3 elemaný alýnarak
kesiþtikleri eleman bulunur.
Buna göre, 2 ∆ 3 = 1 dir.
Ýþlem Tablosunun Özelikleri
 � � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A kümesinde tanýmlý bir ∆ iþleminin tablosundaki tüm elemanlar
A kümesine aitse, A kümesi bu
iþleme göre kapalýdýr.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Bu tabloya göre,
32 = 3 ∆ 3 = 4 olduðundan
33 = (3 ∆ 3) ∆ 3 = 4 ∆ 3 = 2 olur.
Birim eleman e = 1 olduðundan 3–1 = 2 dir.
O halde,
3–2 = (3–1)2 = 3–1 ∆ 3–1 = 2 ∆ 2 = 4 olur.
e birim eleman ise en = e dir.
e = 1 olduðundan 1n = 1 olur
Örnek 13
A = {a, b, c, d, e} kümesinde 
iþlemi, tablodaki gibi tanýmlanýyor.
A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesi, ∆ iþlemine
göre kapalýdýr.
(c2  d–1)  (a–1  x) = e

�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 � � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
UĞURDER YAYINLARI
30
ise x aþaðýdakilerden hangisidir?
A) a
B) b
C) c
D) d
E) e
Çözüm
Tabloda baþlangýç satýrýyla ayný
olan satýr ve baþlangýç sütunuyla
ayný olan sütunun kesiþtiði yerdeki eleman b olduðundan 
iþleminin birim elemaný b dir.
∆ iþleminin tablosunda (eðer varsa)
baþlangýç satýrýyla ayný olan satýrla,
baþlangýç sütunuyla ayný olan sütunun kesiþtiði yerdeki eleman ∆
iþleminin birim elemanýdýr.
Bu örnekte birim eleman 1 dir.
 � � � � � �
∆ iþleminin tablosundaki tüm elemanlar köþegene göre simetrikse,
∆ iþleminin deðiþme özeliði vardýr.
Tablo, köþegene göre simetrik
olduðundan, ∆ iþleminin deðiþme
özeliði vardýr.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 � � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
∆ iþleminin birim elemaný
e = 1 olduðundan
2∆ 3 = 1 ise
2–1 = 3 ve 3–1 = 2 olur.
c2 = c  c = d, a–1 = c
olduðundan
∆ iþleminin tablosunda, tümü ayný
elemanlardan oluþan bir satýr ile
bir sütun varsa, bu satýr ile sütunun
kesiþtiði yerdeki eleman, ∆ iþleminin yutan elemanýdýr. Bu örnekte
yutan eleman 0 (sýfýr) dýr.
ve
d  d–1 = b
(c2  d–1)  (a–1  x) = e
(d  d–1)  (c  x) = e
b  (c  x) = e
cx=e
x = d bulunur.
YANIT: D
Modüler Aritmetik
x, y, k, m ∈ Z ve m > 1 olmak üzere,
Örnek 15
4.x + 2 ≡ x + 1 (mod 7)
x m
–
olduðuna göre, x in en küçük doðal sayý deðeri kaçtýr?
k
y
Ýþleminde x in m ye bölümünden kalan y ise
A) 6
“m modülüne göre x ile y denktir.” denir.
Çözüm
Bu denklik, x ≡ y (mod m) þeklinde yazýlýr.
48 5
C) 4 D) 3
E) 2
4x + 2 ≡ x + 1 (mod 7)
3x ≡ –1 (mod 7)
3x ≡ –1 + 7 (mod 7)
3x ≡ 6 (mod 7)
x ≡ 2 (mod 7)
Örneðin,
B) 5
YANIT: E
– 45 9
3
48 ≡ 3(mod 5) olduðundan,
48 ≡ x (mod 5) denkliðinde x ≡ 3 + 5k dýr.
7192008 sayýsýnýn 7 ile bölümünden kalan kaçtýr?
(mod 5) de veya (Z / 5) de 3 e denk sayýlarýn kümesi,
A) 0
x = {..., – 12, – 7, – 2, 3, 8, 13, ...}
olarak yazýlýr.
Örnek 16
B) 1
C) 2 D) 4
E) 5
Çözüm
7192008 sayýsýnýn 7 ile bölümünden kalan x ise
7192008 ≡ x (mod 7) olur.
719 ≡ 5 (mod 7) olduðundan, denklem
Örnek 14
Pazartesi gününden 30 gün sonraki gün hangi gündür?
52008 ≡ x (mod 7) þekline dönüþür.
51 ≡ 5 (mod 7)
A) Cumartesi
B) Pazar
D) Çarþamba
C) Salý
52 ≡ 4 (mod 7) “52 ≡ 25 ≡ 4 (mod 7)”
E) Perþembe
53 ≡ 6 (mod 7) “5 . 52 ≡ 5 . 4 ≡ 20 ≡ 6 (mod 7)”
54 ≡ 2 (mod 7) “5 . 53 ≡ 5 . 6 ≡ 30 ≡ 2 (mod 7)”
Çözüm
��
�
�
30 7
�
��
�
55 ≡ 3 (mod 7) “5 . 54 ≡ 5 . 2 ≡ 10 ≡ 3 (mod 7)”
Bir hafta 7 gün olduðundan, her 7
günde bir ayný güne denk gelir.
�
veya 30 ≡ 2 (mod 7)
– 28 4
2
56 ≡ 1 (mod 7) “5 . 55 ≡ 5 . 3 ≡ 15 ≡ 1 (mod 7)”
Periyot 6 dýr. Çünkü 57 = 5 olup tekrar baþa dönüyor.
2008 6
– 52008 ≡ 54 ≡ 2 (mod 7)
334
4
olduðundan 30 gün = 4 hafta + 2 gün olur.
4 hafta sonra tekrar pazartesine gelir. 2 gün arttýðýndan
pazartesinden sonra 2 gün sayarsak; salý, çarþamba olur.
Yani pazartesinden 30 gün sonraki gün çarþambadýr.
YANIT: D
olduðundan, 7192008 sayýsýnýn 7 ile bölümünden kalan 2 dir.
YANIT: C
Örnek 17
24k + 3 ≡ x (mod 10) ve k ∈ Z+
x, y, a, b, m ∈ Z ve m > 1 olmak üzere,
1. x ≡ y (mod m) ve a ≡ b (mod m) ise
olduðuna göre, x in en küçük doðal sayý deðeri kaçtýr?
A) 0
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
x + a ≡ y + b (mod m) ve
Çözüm
x . a ≡ y . b (mod m) dir.
21 ≡ 2 (mod 10)
Periyot 4 olduðundan,
2. x ≡ y (mod m) ve c ∈ Z ise
22 ≡ 4 (mod 10)
24k + 3 ≡ 23 ≡ 8 ≡ x (mod 10)
bulunur.
x + c ≡ y + c (mod m) ve
23 ≡
x . c ≡ y . c (mod m) dir.
24 ≡ 6 (mod 10)
3. x ≡ y (mod m) ve n ∈ N ise
xn ≡ yn (mod m) dir.
8 (mod 10)
25 ≡ 2 (mod 10)
YANIT: E
UĞURDER YAYINLARI
Modüler Aritmetikte Özellikler
31
Örnek 18
Örnek 21
63 ≡ 3 ( mod m)
2379 sayýsýnýn birler basamaðýndaki rakam kaçtýr?
denkliðinde m nin iki basamaklý kaç farklý deðeri vardýr?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
A) 8
B) 7
C) 6
D) 4
E) 3
Çözüm
Bir sayýnýn birler basamaðýrndaki rakam, 10 ile bölümünden
kalana eþit olduðundan sorunun cevabý;
2379 ≡ x (mod 10) denkleminin çözümüdür.
Çözüm
63 ≡ 3 (mod m) ⇒ 63 = 3 + m . k dýr. (k ∈ Z)
60
eþitliði bulunur.
m
Bu eþitlikte, m nin 10, 12, 15, 20, 30 ve 60 olmak üzere iki
Buradan, m . k = 60 ⇒ k =
basamaklý 6 farklý deðeri vardýr.
YANIT: A
23 ≡ 3 (mod 10) olduðundan, 2379 ≡ 379 ≡ x (mod 10) dur.
31 ≡ 3 (mod 10)
32 ≡ 9 (mod 10)
33 ≡ 7 (mod 10)
34 ≡ 1 (mod 10)
Periyot 4 olduðundan, 379 ≡ 33 ≡ 7 ≡ x (mod 10) bulunur.
YANIT: B
Örnek 19
3 . 4400 + 551 ≡ x (mod 6)
Örnek 22
x aþaðýdakilerden hangisine denktir?
A) 0
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Çözüm
sayýsýnýn virgülden sonraki 50. basamaðýndaki rakam kaçtýr?
A) 3
41
51
≡ 4 (mod 6)
42 ≡ 4 (mod 6)
43 ≡ 4 (mod 6)
.
.
.
.
.
.
4400 ≡ 4 (mod 6)
≡ 5 (mod 6)
52 ≡ 1 (mod 6)
53 ≡ 5 (mod 6)
.
.
.
.
.
.
551 ≡ 5 (mod 6)
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Çözüm
��
�
�
�
�
��
��
50 – 2 ≡ 3 (mod 5) olduðundan devreden kýsmýn 3. sýrasýndaki 5 rakamý virgülden sonraki 50. rakamdýr.
olduðundan, 3 . 4400 + 551 ≡ x (mod 6)
3 . 4 + 5 ≡ x (mod 6)
17 ≡ x (mod 6)
5 ≡ x (mod 6) dýr.
YANIT: C
YANIT: E
Örnek 23
Örnek 20
5n ≡ 8 (mod 9) denkliðini saðlayan n nin üç basamaklý
en küçük doðal sayý deðeri kaçtýr?
Bir asker 4 günde bir nöbet tutmaktadýr.
Ýlk nöbetini salý günü tuttuðuna göre, 18. nöbetini hangi
gün tutar?
A) Salý
B) Çarþamba
D) Pazar
C) Cuma
E) Pazartesi
UĞURDER YAYINLARI
Çözüm
32
Ýlk nöbetini salý günü tuttuðuna göre, geriye 18 – 1 = 17 nöbet kalmýþtýr. 4 günde bir nöbet tuttuðuna göre, 18. nöbetini
4 . 17 = 68 gün sonra tutacaktýr.
68 ≡ 5 (mod 7)
olduðundan (Çarþamba, Perþembe, Cuma, Cumartesi,
Pazar) pazar günü tutacaktýr.
YANIT: D
A) 102
B) 104
C) 105
D) 106
E) 108
Çözüm
51 ≡ 5 (mod 9)
52 ≡ 7 (mod 9)
53 ≡ 8 (mod 9)
54 ≡ 4 (mod 9)
55 ≡ 2 (mod 9)
56 ≡ 1 (mod 9)
Periyot 6 ve 53 ≡ 8 (mod 9) olduðundan,
56k + 3 ≡ 5n (mod 9) ve n = 6k + 3 olur.
k = 17 için n nin üç basamaklý en küçük deðeri,
n = 6 . 17 + 3 = 105 bulunur.
YANIT: C
Konu Testi
TEST – 5
Reel sayılarda  işlemi
a  b = a2 + b2 – a.b şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre, (–1)(–2) işleminin sonucu kaçtır?
A) –3 B) –2
C) 1
D) 3
2.
R de  işlemi
a  b = a2 – a.b şeklinde tanımlanıyor.
2  x = 4  2 olduğuna göre, x kaçtır?
A) –4 B) –2
C) –1
D) 2
R – {0} kümesinde  işlemi
20
 2n = m + n
m
Buna göre, 5  8 işleminin sonucu kaçtır?
E) 4
A) 4 E) 13
Pozitif reel sayılarda ∆ işlemi
x2 ∆
Buna göre, 9 ∆ 2 işleminin sonucu kaçtır?
y = x – y şeklinde tanımlanıyor.
E) 4
mn=
9.
1
1
1 1
ve x∆y = –
+
m n
x y
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Buna göre, (3  6) ∆ 1 işleminin sonucu kaçtır?
A) –1 B) –
1
2
C)
1
2
D) 1
x∆y=*
Buna göre, (2, 3) ∆ (4, 1) işleminin sonucu aşağıdaki
sıralı ikililerden hangisidir?
E) 2
A) (6, 2)
B) (–1, 4)
C) (5, –1)
D) (3, 5)
E) (2, –1)
Ebob (x, y), x # y
Ekok (x, y), x > y
10. Reel sayılarda tanımlı ∆ ve  işlemleri
olarak tanımlanıyor.
Buna göre, 8 ∆ (12 ∆ 18) işleminin sonucu kaçtır?
A) 2 B) 4
C) 12
D) 16
E) 24
a ∆ b=a.b+a+b
m  n = m . n – n2
(x ∆ 2)  (–1) = 0 olduğuna göre, x kaçtır?
A) –3 Reel sayılarda ∆ ve  işlemleri
(a, b) ∆ (c, d) = (a.c – b, b.d – c)
R de ∆ işlemi
Dik koordinat düzleminin noktaları üzerinde bir ∆ işlemi
5.
D) 9
R – {0} kümesinde  ve ∆ işlemleri
4.
C) 7
8.
A) –2 3.
B) 5
a ∆ b = a.b + a + b
m  n = (m ∆ 2) + n
B) –2
C) –1
D) 1
E) 2
11. Reel sayılarda ∆ işlemi
m ∆ n = m . n – m – n + 2 şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre, 3  (–1) işleminin sonucu kaçtır?
Buna göre, ∆ işleminin birim elemanı kaçtır?
A) –1 6.
C) 7
D) 9
E) 10
R – {0} kümesi üzerinde ∆ işlemi
B) 4
1
1 1
= –
x∆y
x y
B) –2
olarak tanımlanmıştır.
C)
1
3
B) 1
C) 0
D) –1
E) –2
12. Reel sayılarda  işlemi
Buna göre, (2 ∆ 6) işleminin sonucu kaçtır?
A) –3 A) 2 D) 2
E) 3
a  b = a + b – 2ab şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre,  işleminin yutan (tersi olmayan) elemanı kaçtır?
A) –1 B) –
1
2
C) 0
D)
1
2
E) 2
UĞURDER YAYINLARI
1.
7.
33
Konu Testi
13. Reel sayılarda  işlemi
19.
x  y = 3x + 3y – xy – 6 şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre, 5–1 ( işlemine 5 in tersi) kaçtır?
A) –5 B)
1
5
C)
7
5
D)
5
3
E)
7
2
∆
a
b
c
d
e
a
d
e
a
b
c
b
e
a
b
c
d
A) a c
a
b
c
d
e
d
b
c
d
e
a
e
c
d
e
a
b
B) b
A = {a, b, c, d, e} kümesinde tanımlı ∆ işlemi tablo ile verilmiştir.
Buna göre,
(a–1∆c) ∆ (b ∆ d)–1
işleminin sonucu nedir?
C) c
D) d
E) e
x ∆ y = 6x + 6y – 2xy – m olarak tanımlanıyor.
∆ işleminin birim elemanı olması için m kaç olmalıdır?
A) 15 B) 12
C) 9
D) 6
a ∆ b = 2a + 2b – ab – 2 şeklinde tanımlanıyor.
4–1 ∆ x = 0 olduğuna göre, x kaçtır?
B) –2
C) 3
D) 4
_
0
1
2
3
4
E) 4
A) –4 20.
2
0
1
2
3
4
3
1
2
3
4
0
4
2
3
4
0
1
Yandaki şekilde
A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinde tanımlı
 işlemi tablo ile verilmiştir.
a, b ∈ A olmak üzere bir ∆ işlemi
a ∆ b = a  1  b şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre, ∆ işleminin birim (etkisiz) elemanı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0 B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
E) 6
_
0
1
2
3
4
16. Reel sayılarda  işlemi
0
2
3
4
0
1
1
3
4
0
1
2
2
4
0
1
2
3
3
0
1
2
3
4
4
1
2
3
4
0
Yandaki şekilde
A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde tanımlanan 
işleminin tablosu verilmiştir.
a  b = 2a + b – 2(b  a) olarak tanımlanıyor.
Buna göre, 3  2 işleminin sonucu kaçtır?
a, b ∈ A ve b–1:  işlemine göre b nin tersi olmak üzere;
A) –1 a ∆ b = a  b–1 şeklinde bir ∆ işlemi tanımlanıyor.
Buna göre, 2 ∆ 4 işleminin sonucu kaçtır?
B) 2 C) 3
D) 4
E) 6
A) 0 17. Dik koordinat düzleminin noktaları üzerinde  işlemi
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
(a, b)  (c, d) = (a + c – 1, b . d)
22. 2010 yılında 29 Ekim Cumhuriyet Bayramı cuma gü-
Buna göre,  işleminin birim (etkisiz) elemanı aşağıdakilerden hangisidir?
nüdür.
A) (–1, 0)
B) (–1, 1)
C) (0, –1)
D) (1, 1)
E) (0, 1)
UĞURDER YAYINLARI
1
4
0
1
2
3
21.
34
0
3
4
0
1
2
Buna göre, 13 mayısta doğan Semih 2010 yılındaki
doğum gününü hangi gün kutlamıştır?
(Mayıs, temmuz ve ağustos 31 gün; haziran ve eylül
30 gündür.)
A) pazar B) salı
C) perşembe
D) cuma
E) cumartesi
18.
4
1
2
3
4
5
1
3
4
5
1
2
A) 1 2
4
5
1
2
3
3
5
1
2
3
4
4
1
2
3
4
5
B) 2
5
2
3
4
5
1
A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde
∆ işlemi tablo ile verilmiştir.
(1x)  3–1 = 2
olduğuna göre, x kaçtır?
C) 3
D) 4
E) 5
23. (4444)4444 ≡ x (mod 9)
olduğuna göre, x sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
E) 8
Konu Testi
24.
30. Adil 36 günde bir, Mesut ise 48 günde bir saç traşı
A = (2013)2011
olmaktadır.
olduğuna göre, A sayısının birler basamağındaki
rakam kaçtır?
A) 1 B) 3
C) 6
D) 7
Adil ve Mesut birlikte pazartesi günü traş olduklarına göre, en erken hangi gün tekrar birlikte traş
olurlar?
E) 9
A) Salı
25.
D) Cuma A = 5.312 + 3.513
olduğuna göre, A sayısının 7 ile bölümünden kalan
kaçtır?
A) 2 B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
31. ab iki basamaklı doğal sayı olmak üzere,
26.
denkliklerini sağlayan kaç farklı ab sayısı vardır?
5x + 4 ≡ 3 (mod 7)
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
32. abc üç basamaklı doğal sayı olmak üzere,
A) 12 B) 13
C) 15
D) 16
E) 17
işleminden elde edilen sayının birler basamağındaki
rakam kaçtır?
28.
abc ≡ 3 (mod 8)
abc ≡ 3 (mod 6)
denkliğini sağlayan en küçük abc sayısı kaçtır?
244 + 422
A) 0
ab ≡ 0 (mod 4)
ab ≡ 2 (mod 6)
denkliğini sağlayan x in en küçük iki doğal sayı
değerinin toplamı kaçtır?
27.
B) Çarşamba
C) Perşembe
E) Cumartesi
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
A) 113 33.
A) 0 B) 1 29.
34.
D) 3 E) 4
D) 123 E) 125
3x ≡ 5 (mod 7)
A) 93 C) 2 C) 117 denkliğini sağlayan en büyük iki basamaklı x doğal
sayısı kaçtır?
34k + 6 ≡ x (mod 5)
denkliğini sağlayan x değeri kaçtır?
B) 115 B) 95 C) 96 D) 97 E) 99
243 ≡ 3 (mod n)
denkliğini sağlayan kaç farklı n doğal sayısı vardır?
A) 6 ��
��
B) 9 C) 11 D) 16 E) 19
��
35.
�
��
��
��
Şekildeki dişli çarklardan büyük olanı beş eş dilime
ayrılmış ve her dilim beyaz, yeşil, mavi, sarı ve mor
renklerden biri ile boyanmıştır. Küçük çark saat yönünde 1 defa döndüğünde, büyük çark saatin tersi yönünde
1
dönüş yapmaktadır.
5
Buna göre, küçük çark tam bulunduğu yerden
harekete başlayıp saat yönünde 137 defa dönerse,
büyük çarkın hangi renkteki bölgesine değiyor
olur?
A) Beyaz
B) Yeşil C) Mavi
D) Sarı E) Mor
�
�
�
Buna göre hareketli
kare, ok yönünde 117
adım ilerlerse hangi
harfin bulunduğu kareye gelir?
�
�
Şekilde H harfinin olduğu
karede bulunan hareketli
boyalı kare, her adımda
ok yönünde bir kare ilerleyerek tur atmaktadır.
A)B
1- D
7- C
13- E
19- E
25- E
31- D
�
�
B) C
2- B
8- B
14- A
20- D
26- C
32- D
3- D
9- C
15- E
21- B
27- B
33- B
C) D
4- E
10- C
16- B
22- C
28- E
34- E D) E
5- E
11- A
17- D
23- D
29- D
35- D
E) G
6- E
12- D
18- D
24- D
30- D
UĞURDER YAYINLARI
��
��
35
Geometri
(YGS ve LYS)
Üçgenlerde Benzerlik ve Eşlik
Üçgenlerde Benzerlik Eþlemesi
Karþýlýklý açýlarý eþ ve karþýlýklý kenarlarýn uzunluklarý
orantýlý olan üçgenlere benzer üçgenler denir.
ABC ve DEF üçgenlerinin benzerliði
ABC ∼ DEF ile gösterilir.
∆
Kenar Açý Kenar (K. A. K) Benzerlik Teoremi:
Ýki üçgenin karþýlýklý olarak birer açýlarý eþ ve eþ açýla-rýnýn
kollarýnýn uzunluklarý orantýlý ise bu üçgenler benzerdir.
∆
�
�
Benzer iki üçgenin karþýlýklý açýlarý eþittir. Eþ açýlarýn
karþýsýndaki kenarlarýn uzunluklarý orantýlýdýr.
�
�
�
�
Karþýlýklý kenarlarýn oranýna benzerlik oraný denir.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
∆
∆
ABC ∼ DEF ise �
�
�
�
m(A) = m(E) ve
Buradan,
�
�
olur. (k benzerlik oranýdýr.)
�
Örneðin,
�
�
�
�
olur. (k benzerlik oranýdýr.)
��
�
�
�
� �
��
Örneðin,
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
��
dir.
Örnek 1
m(ABC) = 55°
�
�
IDBI = 2 cm
�
IECI = 8 cm
�
Yukarýdaki verilere göre, IBCI = x kaç cm dir?
m(BAD) = x
��
��
IDEI = 5 cm
�
�
m(ADE) = 100°
IAEI = 4 cm
�
�
�
�
�
IADI = 6 cm
�
�
��
ABC bir üçgen
�
�
� �
Örnek 2
�
�
��
�
ABC ve DEF üçgenlerinin benzerlik oraný,
�
�
��
�
�
�
��
6
7
4
6
7
=
=
⇒ x = 8 dir.
=
⇒
12
14
x
12
14
m(A) = m(E) ve
�
�
∆
∆
ise ABC ∼ EDF dir.
�
m(A) = m(D), m(B) = m(E), m(C) = m(F) ve
�
A) 10
�
B) 12
C) 13
D) 15
E) 18
∆
∆
Yukarýdaki þekilde ABC ∼ DEA ise x kaç derecedir?
A açýsý her iki üçgenin
de ortak açýsýdýr.
IADI
6
1
=
=
ve
IACI 12
2
�
��
�
��
��
��
�
�
m(C) = m(DAE) = 25° dir.
YANIT: E
�
�
�
Benzerlik oraný
Buradan x + 25° = 100° ⇒ x = 75° bulunur.
�
�
�
�
�
�
IAEI 4
1
=
=
ise
IABI 8
2
��
�
�
m(B) = m(AED) = 55° ve
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
m(BAC) = m(ADE) = 100°
��
��
�
�
�
�
�
��
UĞURDER YAYINLARI
E) 75
∆
∆
ABC ∼ DEA ise
Çözüm
36
D) 70
�
C) 65
�
B) 60
�
A) 55 �
�
Çözüm
�
∆
∆
DAE ∼ CAB dir.
�
olduðundan,
5
1
IDEI
=k⇒
=
⇒ x = 10 cm bulunur.
x
2
IBCI
YANIT: A
Geometri(YGS ve LYS)
Kenar Kenar Kenar (K. K. K) Benzerlik Teoremi
Örnek 3
ABC bir üçgen
�
Ýki üçgenin karþýlýklý üç kenarý da orantýlý ise, bu üçgenler
benzerdir. Orantýlý kenarlarýn karþýsýndaki açýlar da eþtir.
IABI = 10 cm
�
�
IBDI = 4 cm
�
��
IDCI = 21 cm
�
Örneðin,
�
Yukarýdaki verilere göre, IACI = x kaç cm dir?
A) 16
B) 18
C) 20
D) 24
�
��
� �
��
�
�
�
B ortak açýdýr.
IABI 10
5
=
=
ve
IBDI
4
2
�
��
�
IBCI
25
5
=
= ise
IABI 10
2
�
��
�
∆
∆
ABD ∼ CBA dýr.
��
Benzerlik oraný
� �
��
�
olduðundan, iki üçgen benzerdir.
Dolayýsýyla, orantýlý kenarlarýn karþýsýndaki açýlar eþtir.
Yani, m(A) = m(E), m(B) = m(D) ve m(C) = m(F) ve
∆
∆
ABC ∼ EDF olur. Benzerlik oraný,
YANIT: C
ABC ve DEB birer üçgen
IBEI = IECI
IABI = 2.IDEI
IACI = 2.IBDI
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
ABC bir üçgen
lABl = lACl
IBDI = 9 cm
IBEI = 6 cm
IEDI = 7 cm
ICFI = 8 cm
ICGI = 12 cm
m(ABD) = 30°
��
��
�
�
49
6
C)
36
5
D)
40
7
E)
B) 72
�
IABI = IACI ise
�
�
�
�
�
m(B) = m(C) olur.
IBDI
9
3
ve
=
=
ICGI 12
4
��
�
�
�
��
�
�
��
�
�
C) 75
D) 78
E) 80
�
21
4
��
Çözüm
m(ACB) = 35°
Çözüm
Yukarýdaki verilere göre, IFGI = x kaç cm dir?
B)
�
Yukarýdaki verilere göre, m(A) = x kaç derecedir?
A) 65 28
3
tür.
Örnek 5
Örnek 4
�
��
�
A)
�
�
�
��
olduðundan;
IACI
5
x
5
=
⇒
=
⇒ x = 20 olur.
IADI
2
8
2
�
�
IBCI
7
1
IABI
6
1 IACI
5
1
ve
=
= ,
=
=
=
=
IDFI
21 3
IDEI 18
3 IEFI
15
3
�
�
�
��
�
�
�
E) 25
Çözüm
�
�
�
��
��
�
�
�
��
�
�
Soruda verilen
eþitliklerden
IBEI = p, IBCI = 2p
IDEI = n, IABI = 2n
IBDI = m, IACI = 2m
olarak yazýlabilir.
�
∆
∆
BDE ∼ CGF dir. Benzerlik oraný
olduðundan
28
7
3
IEDI
=k⇒
=
⇒x=
cm dir.
3
x
4
IFGI
YANIT : A
∆
∆
olduðundan DBE ∼ ACB dir.
Buradan m(DBE) = m(C) = 35° ve m(ABC) = 65° olur.
ABC üçgeninde x + 65° + 35° = 180° ⇒ x = 80° dir.
YANIT : E
UĞURDER YAYINLARI
�
IADI = 8 cm
�
��
37
Açý Açý Açý (A . A . A) Benzerlik Teoremi
Ýki üçgenin karþýlýklý açýlarý eþ ise bu üçgenler benzerdir.
Benzer üçgenlerde eþ açýlarýn karþýsýndaki kenarlarýn uzunluklarý orantýlýdýr.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
m(A) = m(D),
m(B) = m(E) ve
m(C) = m(F) olduðundan
�
�
�
�
�
A) 8 �
�
B) 9
C) 10
�
�
∆
Buradan,
olur.
D) 11
E) 12
�
ABCD bir dikdörtgen
olduðundan
IBFI = IFCI = 6 cm olur.
�
�
Ýki üçgenin ikiþer açýsý eþ ise üçüncü açýlarý da eþtir.
�
�
��
[DE] ⊥ [EF]
IBFI = IFCI
IADI = 12 cm ve
IAEI = 8 cm ise
IEBI = x kaç cm dir?
�
Çözüm
ABC ∼ DEF dir.
�
��
�
∆
�
Örnek 7
�
�
�
�
�
�
�
m(DEA) = α ve
�
m(FEB) = β ise
α + β = 90° dir.
�
DAE diküçgeninde m(DEA) = α ise m(ADE) = β ve
EBF diküçgeninde m(FEB) = β ise m(EFB) = α olur.
�
�
�
�
m(A) = m(D) ve m(B) = m(E) ise m(C) = m(F) olur.
∆
∆
(A.A.A) benzerlik eþlemesinden, DAE ∼ EBF dir.
Buradan,
IDAI IAEI
12
8
=
⇒
=
IEBI IBFI
x
6
YANIT: B
Örnek 8
�
Örnek 6
�
ABC bir üçgen
�
m(ADE) = m(C)
lAEl = lECl
lADl = 4 cm
lDBl = 14 cm
lDEl = 5 cm
�
�
�
��
�
�
�
Yukarýdaki verilere göre, lBCl = x kaç cm dir?
�
�
�
�
�
�
�
�
[AB] ⊥ [AE]
[AD] ⊥ [BC]
[AD] ⊥ [DE]
IACI = 8 cm
IBCI = 6 cm
ICDI = 4 cm
Yukarýdaki verilere göre, IDEI = x kaç cm dir?
A) 9 B) 10
C) 12
D) 15
E) 16
Çözüm
A) 7,5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
Çözüm
�
UĞURDER YAYINLARI
�
38
��
��
m(DAE) = m(A) ve
�
�
�
�
m(ADE) = m(C) ise
��
�
�
�
�
m(AED) = m(B) dir.
A . A . A teoreminden
∆
∆
ADE ∼ ACB dir.
4
y
5
=
=
⇒ y = 6 cm ve x = 15 cm bulunur.
2y
18
x
YANIT: C
�
m(BAD) = α ve
� �
�
�
�
�
�
�
m(DAE) = β ise
α + β = 90° dir.
�
m(ABC) = β ve
�
�
� m(AED) = α olur.
∆
∆
(A.A.A) benzerlik eþlemesinden, ABC ∼ EAD dir.
Buradan,
IACI IBCI
8
6
=
⇒
=
IEDI IADI
x
12
YANIT: E
�
ABC bir diküçgen
DEFG bir kare
IAGI = 16 cm ve
IBDI = 25 cm ise
IDGI = x kaç cm dir?
��
�
�
�
�
��
�
A) 16 �
�
�
�
�
C) 20
D) 24
�
�
�
�
B) 18
E) 25
�
�
�
�
�
�
�
∆
Çözüm
∆
(A.A.A) Benzerlik eþlemesinden ADE ∼ DBF dir.
�
��
�
�
�
FCED paralelkenar olduðundan IDFI = IECI = t olur.
∆
∆
ADE ∼ DBF olduðundan
m(A) = α ve
bulunur.
m(B) = β ise
α + β = 90° dir.
�
�
��
�
DEFG bir kare olduðundan
IDEI = IGFI = x olur.
� �
�
�
Bir üçgenin bir kenarýna paralel olan bir doðru, üçgenin
diðer kenarlarýný farklý noktalarda keserse bu kenarlar üzerinde orantýlý parçalar ayýrýr.
�
�
Temel Orantý Teoremi
Örnek 9
�
�
�
Buradan, m(AFG) = b ve m(DEB) = a olur.
∆
∆
Örneðin,
�
(A.A.A) benzerlik eþlemesinden, AGF ∼ EDB dir.
��
Buradan,
��
�
IAGI IGFI
16
x
=
⇒
=
IEDI
IDBI
x
25
YANIT: C
ABC üçgeninde
[DE] // [BC]
IADI = 10 cm
IDBI = 4 cm
IAEI = 15 cm ve
IECI = x olsun.
�
�
�
�
�
Buna göre,
10
15
=
4
x
Örnek 10
�
ABC bir üçgen
�
�
�
m(ABC) = m(ACD)
IADI = 8 cm ve
IDBI = 10 cm ise
IACI = x kaç cm dir?
��
�
�
A) 10 B) 12
E) 18
ABC ve ACD üçgenlerinde
m(ABC) = m(ACD) ve
�
�
(A.A.A) benzerlik eþlemesinden
∆

m(ACB) = m(ADC) olur.
�
�
olur.
�
(A.A.A) benzerlik eþlemesinden ABC ~ ACD bulunur.
IABI IACI
18
x
=
⇒
=
⇒ x = 12 cm olur.
IACI IADI
x
8
YANIT: B
�
�
�
[AC] ∩ [BD] = {E} ve
[DC] // [AB] ise
�
∆
∆
ADE ∼ ABC olduðundan
�
ortak açýsý olduðundan,
∆
Buradan,
A her iki üçgenin de �
��
�
D) 16
ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise
�

C) 15
�
Tales Teoremi
Kesiþen iki doðru, paralel iki doðru tarafýndan kesildiðinde
oluþan üçgenlerin karþýlýklý kenar uzunluklarý orantýlýdýr.
Çözüm
��
(A.A.A) benzerlik eþlemesinden
∆
∆
ECD ∼ EAB olduðundan
�
�
olur.
UĞURDER YAYINLARI
39
Örnek 11
Örnek 13
�
��
ABC bir üçgen
[DE] // [BC]
IADI = 12 cm
IDBI = 6 cm
IAEI = 14 cm
IDEI = 10 cm
��
�
�
��
�
�
�
�
�
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
Çözüm
��
��
12
14
=
⇒ y = 7 dir.
6
y
Tales teoreminden
��
�
�
��
�
Temel orantýdan
�
12
10
=
18
x
�
�
�
�
ABC bir üçgen
[BE] açýortay
[DE] // [BC]
IADI = 8 cm
IDEI = 12 cm
�
��
�
�
�
�
�
IBCI = x ve IECI = y ise x – y kaç cm dir?
A) 7 �
A) 18 B) 20
C) 24
Çözüm
E) 30
[DE] // [BC] ise
�
��
D) 27
m(DEB) = m(EBC) olur.
Buradan
IDBI = IDEI = 12 cm ve
IADI = 20 cm bulunur.
�
��
�
�
��
x = 15 cm olur.
�
�
�
Buradan, x – y = 15 – 7 = 8 cm bulunur.
YANIT: B
Tales teoreminden
8
12
=
20
x
YANIT: E
Örnek 14
�
�
�
�
�
[AC] ∩ [DB] = {E}
[DC] // [AB]
IABI = 20 cm
IAEI = 10 cm
IECI = 4 cm
IEDI = 6 cm
�
�
��
�
�
ABC bir üçgen
[BE] ∩ [CD] = {F}
[DE] // [BC]
|AD| = 6 cm
|DF| = 3 cm ve
|FC| = 7 cm ise
|DB| = x kaç cm dir?
�
Örnek 12
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A) 6 B) 8
C) 9
D) 12 E) 15
Çözüm
IDCI = x ve IEBI = y ise x + y kaç cm dir?
�
A) 15 B) 16
C) 18
D) 23
E) 24
Çözüm
UĞURDER YAYINLARI
�
40
�
�
Tales teoreminden
�
�
�
��
�
�
��
�
Buradan, x + y = 8 + 15 = 23 cm bulunur.
�
∆
��
�
x
4
6
=
=
y
20 10
x
4
=
⇒ x = 8 cm ve
20
10
4
6
=
= y = 15 cm olur.
10
y
(A.A.A.) benzerliðinden
�
�
�
�
�
�
��
∆
FED ∼ FBC dir.
DE
DF
3
olduðundan
=
=
BC
FC
7
|DE| = 3k ve |BC| = 7k dir.
�
Temel orantý teoreminden
6
3k
6
3
=
⇒
= ⇒ 18 + 3 x = 42 ⇒ x = 8 cm
6 + x 7k
6+x 7
bulunur.
YANIT: D
YANIT: B
Örnek 15
Örnek 17
�
�
�
� ��
�
��
�
��
�
IABI = 26 cm
IAEI = 8 cm
IEFI = 20 cm
IDCI = 11 cm
IDEI = x
�
��
�
�
A) 16 B) 15
C) 13
D) 12
E) 10
Çözüm
��
�
�
ABCD dörtgeninde [AB] // [EF] // [DC] ise, x kaç cm dir?
ABC ve DBC
birer üçgen
[AB] // [EF] // [DC]
IABI = 30 cm
IDCI = 20 cm
�
�
�
Yukarýdaki verilere göre, IEFI = x kaç cm dir?
A) 12 B) 10
C) 9
D) 8
Çözüm
�
��
�
�
��
�
�
�
�
��
�
��
��
�
[DK] // [CB] çizilirse, IDCI = ILFI = IKBI = 11 cm olur.
IELI = 20 – 11 = 9 cm ve IAKI = 26 – 11 = 15 cm bulunur.
∆
�
�
∆
IAEI
IABI
=
ICEI IDCI
IAEI
30
3
ise
=
=
ICEI
20
2
�
��
�
��
�
�
��
�
�
∆
ABE ~ CDE olduðundan
�
�
�
�
�
�
E) 6
�
��
��
�
IAEI = 3k ve ICEI = 2k dir.
�
∆
∆
CEF ∼ CAB olduðundan
x
2k
=
30
5k
YANIT: A
∆
DEL ∼ DAK olduðundan,
IDEI IELI
x
9
=
⇒
=
⇒ x = 12 cm olur.
IDAI IAKI
x + 8 15
YANIT: D
Örnek 18
Örnek 16
�
�
�
ABC ve DCF birer üçgen
[DF] // [BC]
IDEI = IEFI
IBGI = 6 cm
IGEI = 2 cm
IAEI = x
�
�
�
Yukarýdaki verilere göre, IAEI = x kaç cm dir?
10
B)
3
A) 3
Çözüm
15
C)
4
D) 4
∆
9
E)
2
DGE ∼ CGB olduðundan
�
�
�
�
�
�
�
�
�
∆
�
∆
�
�
�
�
Yukarýdaki verilere göre, IECI = x kaç cm dir?
A) 6 Çözüm
B) 7
C) 8
D) 9
∆
��
�
�
�
�
∆
ADF ∼ ABE olduðundan
�
��
E) 10
�
olduðundan,
IADI = 2k ve
IDBI = k olur.
�
�
AEF ∼ ABC olduðundan
�
�
∆
∆
�
ADE ∼ ABC olduðundan,
2k
12
=
⇒ x = 6 cm dir .
k
x
�
Buradan,
�
�
∆
�
ABC bir üçgen
[DE] // [BC]
[DF] // [BE]
IAFI = 8 cm
IFEI = 4 cm
�
bulunur.
YANIT: D
YANIT: A
UĞURDER YAYINLARI
�
�
� �
�
�
41
Örnek 19
Örnek 21
�
��
�
�
�
�
�
ABC bir üçgen
[AB] ⊥ [AD]
IBDI = 3.IDCI
IABI = 15 cm
IADI = 9 cm
�
B) 12
C) 13
D) 15
E) 20
Çözüm
�
�
�
�
��
�
IBDI = 3.IDCI ise
IDCI = k ve
IBDI = 3k dýr.
[CE] ⊥ [BE] çizilirse
��
��
�
�
�
�
��
∆
Yukarýdaki þekle göre, |AD| = x kaç cm dir?
B) 20
C) 24
Çözüm
�
�
�
�
�
3
9
15
3
Buradan,
=
⇒ y = 5 ve
=
⇒ z = 12 bulunur.
4
z
15 + y
4
|AF| = 2n ise |AC| = 5n ve |FC| = 3n
dir.
�
�
��
∆
| AF |
8
2
tir.
=
=
| AC |
20
5
�
��
��
IBAI IBDI IADI
15
3k
9
dir .
=
=
⇒
=
=
IBEI IBCI IECI
15 + y
4k
z
E) 30
∆
∆
��
∆
D) 25
AEF ∼ ABC olduðundan
�
BAD ∼ BEC olur.
�
�
�
��
A) 18 �
�
��
�
Yukarýdaki verilere göre, IACI = x kaç cm dir?
A) 10 ABC ve ACD birer üçgen
[EF] // [BC]
[GF] // [AD]
|BC| = 20
|EF| = 8 cm
|FG| = 15 cm
�
∆
CGF ∼ CDA olduðundan,
AEC diküçgeninde Pisagor teoreminden x = 13 cm olur.
15
3n
=
⇒ x = 25 cm dir.
x
5n
YANIT: D
YANIT: C
Bir üçgenin iki kenarýnýn orta noktalarýný birleþtiren doðru
parçasýna üçgenin orta tabaný denir. Orta taban, üçüncü
kenara paralel ve uzunluðu üçüncü kenar uzunluðunun
yarýsýdýr.
Örnek 20
Üçgende Orta Taban
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
ABCD paralelkenar
[AC] ∩ [DE] = {G}
IDGI = 15 cm
IGFI = 9 cm
�
�
�
A, B ve E noktalarý doðrusal olduðuna göre, IFEI = x
kaç cm dir?
�
�
�
�
�
B) 12
C) 15 D) 16 UĞURDER YAYINLARI
42
��
�
��
�
�
��
�
�
��
�
�
∆
∆
DFC ∼ EFB olduðundan
�
∆
∆
ADG ∼ CFG
IADI 15
5
=
=
IFCI
9
3
IADI = 5k ise
IFCI = 3k ve
IBFI = 2k olur.
IDFI
IFCI
24
3k
=
⇒
=
⇒ x = 16 cm olur.
IFEI
IBFI
x
2k
��
�
E) 18 �
�
�
��
�
�
�
�
Çözüm
�
��
�
A) 10 �
�
�
�
�
��
��
�
�
�
YANIT: D
�
�
�
��
��
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
��
�
Örnek 22
Örnek 24
�
�
�
� � �
ABC bir diküçgen
[AB] ⊥ [BC]
IAEI = IECI
IABI = IDCI = 8 cm
IBDI = 2 cm
�
�
�
�
��
�
�
�
�
Yukarýdaki verilere göre, IEDI kaç cm dir?
�
Yukarýdaki verilere göre, IDEI = x kaç cm dir?
A) 2 A) 4 B)
C) 5
D)
B) 3
[EH] ⊥ [BC] çizilirse
�
�
[EH] orta taban olur.
IBCI = 2 + 8 = 10 cm
�
�
�
D) 5
E) 6
Çözüm
C) 4
E) 6
Çözüm
�
ABC bir üçgen
[AD] açýortay
[AD] ⊥ [BD]
IBEI = IECI
IABI = 7 cm
IACI = 13 cm
� � �
�
�
�
�
olduðundan
�
�
IDHI = 3 cm dir.
�
�
��
�
�
IDEI =
olduðundan, x = 3 cm bulunur.
YANIT: B
EHD diküçgeninde x = 5 cm bulunur.
YANIT: C
Örnek 23
Örnek 25
�
ABC ve DEC birer üçgen
IEBI = IBCI
IADI = 8 cm
IDCI = 12 cm
IFBI = 9 cm
IAFI = x
�
�
�
�
��
�
�
�
ABF üçgeninde
[BD] uzatýlýrsa
[AD] hem açýortay
hem de yükseklik
olduðundan,
ABF ikizkenar üçgen olur.
Buradan, IBDI = IDFI, IAFI = 7 cm ve IFCI = 6 cm bulunur.
BCF üçgeninde orta tabandan
olduðundan
�
�
IBHI = IHCI = 5 cm
�
��
�
�
�
��
�
�
m(BAC) = m(CAD)
�
�
�
ABC ve ABD birer üçgen
[AC] ⊥ [BC]
IBEI = IEDI
�
�
IABI = 14 cm ve IADI = 6 cm ise IECI = x kaç cm dir?
Yukarýdaki verilere göre, IAFI = x kaç cm dir?
A) 9 B) 10
C) 12
D) 15
E) 18
A) 2 B) 3
C) 4
D) 5
Çözüm
�
�
�
�
�
�
�
�
�
∆
[KB] // [AC] çizilirse
ECD üçgeninde orta
tabandan
12
IKBI =
= 6 cm dir.
2
��
�
�
∆
AFD ∼ BFK olduðundan,
YANIT: C
�
��
�
�
�
�
�
[AC] ⊥ [BF] ve
�
�
�
m(BAC) = m(CAF)
olduðundan
IABI = IAFI = 14 cm
IDFI = 8 cm ve
IBCI = ICFI dir.
IBEI = IEDI ve IBCI = ICFI olduðundan BDF üçgeninde
[CE] orta tabandýr.
Buradan, ICEI = 4 cm bulunur.
YANIT: C
UĞURDER YAYINLARI
Çözüm
E) 6
43
Benzer üçgenlerin çevreleri oraný ve eþ açýlarýn köþelerinden çizilen yüksekliklerin, açýortaylarýn, kenarortaylarýn oraný, benzerlik oranýna eþittir.
�
Öklit Teoremleri
�
��
�
��
�
� �
��
� �
�
�
��
��
� �
�
�
h2 = p.k
�
dir.
Burada, k benzerlik oranýdýr.
b2 = k.a
�
�
c2 = p.a dir.
�
�
∆
∆
ABC ∼ DEF ise
[AH] ⊥ [BC] iken
�
�
�
[AB] ⊥ [AC] ve
�
Örnek 27
�
ABC bir dik üçgen
[AB] ⊥ [BC]
[BD] ⊥ [AC]
lABl = 5 cm ve
lBDl = 4 cm ise
lDCl = x kaç cm dir?
�
�
Örneðin,
�
�
�
��
�
�
� �
��
�
�
�
�
�
��
�
�
� �
��
�
��
�
�
A) 3
10
3
B)
C) 4
D)
16
3
E) 5
Çözüm
∆
∆
m(B) = m(D) ve ABC ∼ EDF olur.
�
IBKI IABI
6
10
=
⇒
=
IDLI
IEDI
x
15
�
m(A) = m(E) ve m(C) = m(F) ise
�
�
�
ABD dik üçgeninde
lADl = 3 cm olur.
Öklit baðýntýsýndan
42 = 3 . x
�
�
�
�
�
�x =
16
bulunur.
3
YANIT: D
Örnek 26
Örnek 28
�
ABC bir üçgen
DEFG bir kare
[AK] ⊥ [DG]
IAKI = 4 cm
IEFI = 6 cm
IBCI = x
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Yukarýdaki verilere göre, lBCl = x kaç cm dir?
A) 10 B) 12
C) 13
D) 15
E) 18
�
�
�
�
��
Yukarýdaki verilere göre, IADI = x kaç cm dir?
A) 14 B) 15
C) 16
Çözüm
Çözüm
�
ABC bir üçgen
[AD] ⊥ [AC]
IABI = IACI
IBDI = 7 cm
IDCI = 25 cm
D) 18
E) 20
�
UĞURDER YAYINLARI
�
44
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
DEFG kare olduðundan
IDGI = IDEI = IKHI = 6 cm
IAHI = 10 cm olur.
∆
∆
ADG ∼ ABC olduðu
için yükseklikler
tabanlar ile orantýlýdýr.
IAKI IDGI
4
6
=
⇒
=
IAHI
IBCI
10
x
YANIT: D
�
�
�
�
�
�
��
�
��
��
ABC ikizkenar üçgeninde IBCI = 7 + 25 = 32 cm olduðundan
IHCI = IBHI = 16 cm dir. Buradan, IDHI = 9 cm bulunur.
ADC diküçgeninde Öklit baðýntýsýndan,
x2 = 9 . 25 ⇒ x = 3 . 5 = 15 cm bulunur.
YANIT: B
Üçgenlerde Eþlik
Çözüm
Benzer üçgenlerin benzerlik oraný 1 ise bu üçgenler
eþ üçgenlerdir. Üçgenlerin eþ olduðu verilmiþse; karþýlýklý
kenarlarý ve karþýlýklý açýlarý eþittir.
∆
∆
ABC ve DEF üçgenlerinin eþliði; ABC ≅ DEF þeklinde
gösterilir.
�
�
�
�
�
�
�
� ��
m(A) = m(DBE) = 90°
IABI = IBCI ve
IACI = IBEI olduðundan
K.A.K eþlik
aksiyomuna göre,
∆
∆
BAC ≅ DBE dir.
�
�
Örnek 29
∆
∆
AED ≅ BCA
[DE] ⊥ [AC]
[AC] ⊥ [CB] ve
�
�
�
m(DAC) = 65° ise
��
�
�
∆
∆
BAC ≅ DBE olduðundan,
IBCI = IDEI = 5 cm ve
IBEI = 5 – 1 = 4 cm dir.
IACI = IBEI = 4 cm ve IABI = 3 cm olduðundan
Çevre(ABC) = 3 + 4 + 5 = 12 cm bulunur.
m(EDB) = x
kaç derecedir? YANIT: C
�
A) 15 B) 20
C) 25
�
�
��
��
E) 35
∆
∆
AED ≅ BCA olduðundan
IADI = IBAI ve
Çözüm
��
D) 30
Kenar Kenar Kenar (K.K.K.) Eþlik Teoremi
Ýki üçgen arasýnda bire bir eþleme yapýldýðýnda, karþýlýklý
bütün kenarlarý eþ ise bu üçgenler eþtir.
m(ADE) = m(BAC) = 25° dir.
�
m(BAD) = 90° ve
IABI = IADI olduðundan
�
�
m(ADB) = m(ABD) = 45° dir.
Örnek 31
ABD üçgeninde
x + 25° = 45°
x = 20° dir.
��
�
ABCD bir deltoid
�
|AB| = |AD|
YANIT : B
�
��
��
|CB| = |CD|
�
m(B) = x + 80°
m(D) = 3x
Kenar Açý Kenar (K.A.K.) Eþlik Aksiyonu
ikiþer kenarlarý ve bu kenarlarýn oluþturduðu açýlarý eþ ise
bu üçgenler eþtir.
�
Yukarýdaki verilere göre, x kaç derecedir?
A) 20 B) 30
C) 40
D) 50
E) 60
Örnek 30
�
� ��
�
�
BAC ve EBD
birer diküçgen
[AB] ⊥ [AC]
[BE] ⊥ [BD]
IBEI = IACI
IABI = IBDI
IDEI = 5 cm
IECI = 1 cm
Çevre(ABC)
kaç cm dir?
�
�
��
��
�
|AB| = |AD| (Veriliyor.)
|CB| = |CD| (Veriliyor.)
|AC| = |AC| (Ortak)
olduðundan
(K.K.K) eþlik
aksiyonuna göre ,
∆
∆
ABC ≅ ADC dir.
�
m(B) = m(D) olduðundan, x + 80° = 3x ⇒ x = 40° olur.
A) 10 B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
YANIT: C
UĞURDER YAYINLARI
Çözüm
�
45
Örnek 34
Açý Kenar Açý (A.K.A.) Eþlik Teoremi
ikiþer açýsý ile bu açýlarýn ortak olan kenarý eþ ise bu üçgenler
eþtir.
�
�
�
ABC bir üçgen
�
�
�
m(BAD) = m(CDE)
��
�
�
m(ADB) = m(DEC)
IABI = IDCI = 12 cm
IBDI = 8 cm
A) 60
B) 65
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
�
�
m(BAD) = m(CDE) ve
�
m(ADB) = m(DEC) ise
�
��
�
�
��
�
m(B) = m(C) dir.
�
C) 70
m(DCE) = 35°
�
��
�
�
�
�
�
D) 75
E) 80
m(D) = m(CBF)
IDCI = ICBI = a ve
IDEI = IBFI = b ise
∆
∆
DEC ≅ BFC olur.
Bu üçgenlerin eþliðinden
�
��
��
��
Çözüm
�
Çözüm
�
A) 2 �
Yukarýdaki verilere göre, m(CGE) = x kaç derecedir?
Yukarýdaki verilere göre, IAEI = x kaç cm dir?
�
�
�
��
�
�
�
Örnek 32
�
CEF bir üçgen
ABCD bir kare
A, B ve F noktalarý
doðrusal
IDEI = IBFI
��
m(BCF) = m(DCE) = 35°
ve ICEI = ICFI bulunur.
��
�
�
m(ECB) = 90° – 35° = 55° olduðundan m(ECF) = 90° dir.
ICEI = ICFI olduðundan m(CEF) = m(CFE) = 45° olur.
CFG üçgeninden, x = 35° + 45° = 80° bulunur.
YANIT: E
Buradan IABI = IACI = 12 cm olarak bulunur.
∆
∆
ABD ≅ DCE olduðu için IBDI = ICEI = 8 cm dir.
IABI = IACI = 12 cm olduðundan x + 8 = 12 ⇒ x = 4 cm dir.
YANIT: C
Örnek 35
�
ABC bir eþkenar üçgen
[BE] ∩ [AD] = {F}
IBDI = IECI ise
�
�
Örnek 33
�
m(BFD) = α
�
�
kaç derecedir?
ABCD bir kare
[DE] ⊥ [AF]
�
�
IFBI = 7 cm ve
�
�
�
B) 10
IDFI = x kaç cm dir?
C) 12
D) 13
�
A) 36 IEFI = 5 cm ise
�
A) 8 �
[AF] ⊥ [BF]
�
B) 48
��
�
�
�
�
�
�
�
�
m(ABF) = β bulunur.
IADI = IABI olduðundan
∆
∆
AED ≅ BFA olur.
�
IAEI = IFBI = 7 cm, IAFI = 12 cm ve IDEI = IAFI = 12 cm olur.
DEF diküçgeninde, x = 13 cm bulunur.
YANIT: D
�
�
E) 75
m(B) = m(C) = 60° dir.
Bu eþ açýlarýn kollarý
eþit uzunluktadýr.
�
�
��
��
�
�
Buradan m(ADE) = α ve
�
�
m(BAF) = α ve m(FAD) = β ise
α + β = 90° dir.
�
IBAI
a
=
= 1 ve
ICBI
a
��
UĞURDER YAYINLARI
46
�
D) 60
ABC eþkenar üçgen
olduðu için
�
E) 15
�
�
C) 54
Çözüm
Çözüm
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
IBDI
y
=
= 1 ise
ICEI
y
∆
∆
K. A. K eþlik aksiyomuna göre, ABD ≅ BCE dir.
Buradan m(BAD) = m(CBE) = β ve m(ABF) = 60° – β olur.
ABF üçgeninden α = β + 60° – β = 60° dir.
YANIT : D
Konu Testi
TEST – 6
1.
5.
�
��
m(BAD) = 60°
m(ACB) = 35°
m(DAC) = x
�
�
��
�
D
D
Şekilde ABC ve DAB benzer üçgenler (ABC ∼ DAB)
olduğuna göre, x kaç derecedir?
A) 20
B) 25
C) 30
D) 35
��
��
�
�
�
A) 11
B) 12
m(ABC) = m(AED)
IADI = 9 cm
IAEI = 8 cm
IBDI = 7 cm
IDEI = 10 cm
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
IBCI = x ve IECI = y olduğuna göre, x + y toplamı
kaç cm dir?
A) 26
B) 27
C) 28
D) 29
3.
�
�
�
��
�
�
��
��
�
�
�
�
�
�
��
�
Yukarıdaki verilere göre, x – y farkı kaç cm dir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
�
�
�
�
ABC bir üçgen
[BD] açıortay
[AB] // [DE]
IBEI = 6 cm
IECI = 9 cm
�
�
�
�
�
Yukarıdaki verilere göre, IABI = x kaç cm dir?
Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir?
A) 10
A) 5
B) 6
C) 7
4.
D) 8
�
��
�
��
�
��
�
B) 12
C) 15
D) 16
E) 18
E) 9
m(ABC) = m(ACD)
IABI = 12 cm
IACI = 10 cm
IBCI = 15 cm
ICDI = 8 cm
�
�
8.
ABC bir üçgen
[DE] // [FG]
IAFI = IFCI
IBDI = 12 cm
IDEI = 8 cm
IFGI = 6 cm
�
�
�
�
��
�
E) 15
E) 30
m(BAD) = m(ECB)
IBDI = 10 cm
IBEI = 8 cm
IDCI = 2 cm
IAEI = x
�
D) 14
ABC bir üçgen
[DE] // [BC]
IADI = IBCI = 12 cm
IAEI = 10 cm
IBDI = 6 cm
IBDI = x
IECI = y
�
7.
�
C) 13
E) 40
ABC bir üçgen
�
�
Yukarıdaki verilere göre, IDFI + IDEI kaç cm dir?
6.
2.
�
ABC ve DEF birer üçgen
[AB] // [DE]
[AC] // [DF]
IBEI = IEFI = IFCI
IABI = 15 cm
IACI = 18 cm
�
�
�
�
�
Yukarıdaki verilere göre, IADI = x kaç cm dir?
A)
9
2
B) 5
C) 6
D)
25
4
E)
20
3
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
UĞURDER YAYINLARI
�
�
47
�
9.
�
�
�
� �
�
ABC bir üçgen
[DE] // [BC]
IDKI = 6 cm
IKEI = 10 cm
IBFI = 9 cm
IFCI = x
�
��
�
Konu Testi
13.
�
�
�
�
�
Yukarıdaki verilere göre, IEFI = x kaç cm dir?
A) 4
A) 12
B) 15
C) 16
D) 18
B) 5
10.
�
�
�
�
�
ABC bir üçgen
[AD] ∩ [CE]
[ED] // [AC]
3.IBDI = 2.IDCI
IDFI = 8 cm
�
�
C) 16
� � �
��
�
�
�
�
D) 18
E) 20
�
�
B) 16
C) 20
D) 24
E) 32
15.
�
�
9
B) 4
�
��
C) 3
D) 4
�
�
�
�
��
�
9
E)
2
�
�
ABC ve DEC birer üçgen
[DE] // [AC]
IDFI = IFEI
IBFI = 14 cm
IAGI = 15 cm
Yukarıdaki verilere göre, IFGI = x kaç cm dir?
A) 7
B) 6
�
�
�
�
A) 8
B) 9
C) 10
16.
D) 12
E) 15
�
C) 5
D) 4
E) 3
ABC bir diküçgen
[AC] ⊥ [BC]
[CH] ⊥ [AB]
IACI = 5 cm
ICHI = 4 cm
�
�
�
�
12.
��
�
ABC bir üçgen
[AE] açıortay
[AE] ⊥ [BD]
[ED] // [AC]
IACI = 20 cm
IEDI = 6 cm
�
Yukarıdaki verilere göre, IEFI = x kaç cm dir?
A) 2
UĞURDER YAYINLARI
�
Yukarıdaki verilere göre, ABCD karesinin çevresi
kaç cm dir?
A) 12
ABC ve DBC birer üçgen
�
[AB] // [EF] // [DC]
IABI = 12 cm
�
IDCI = 6 cm
�
48
�
�
�
B) 12
11.
E) 8
ABC bir diküçgen
DEFG bir kare
[AB] ⊥ [AC]
IBDI = 2 cm
IECI = 8 cm
�
D) 7
Yukarıdaki verilere göre, IAFI = x kaç cm dir?
A) 10
C) 6
E) 20
14.
�
�
�
A, K, F noktaları doğrusal olduğuna göre, x kaç cm
dir?
ABCD bir kare
[DE] ^ [AF]
ICFI = IFBI
IDEI = 8 cm
IEFI = x
�
�
�
Yukarıdaki verilere göre, IBCI = x kaç cm dir?
A)
9
2
1- B
7- A
13- C
B) 6
2- E
8- E
14- B
3- C
9- B
15- A
C)
20
3
4- E
10- E
16- C
25
3
D) 8
E)
5- A
11- D
6- C
12- B
Konu Testi
TEST – 7
1.
ABC bir diküçgen
[AC] ^ [BC]
[DE] ^ [AB]
IBDI = IDCI
IBEI = 4 cm
IAEI = 6 cm
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
��
A) 6
B)
5
C) 2 2 D) 3
B) 8
2.
m(ACB) = m(BFD)
IAFI = IFDI = 6 cm
IBDI = 8 cm
IAEI = 12 cm
IECI = x
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
B) 8
�
C) 9
D) 10
�
�
�
�
Yukarıdaki verilere göre, IDCI = x kaç cm dir?
4.
B) 4 2 �
�
Yukarıdaki verilere göre, IDEI = x kaç cm dir?
�
�
��
�
�
��
��
�
[DC] // [AB]
IABI = 24 cm
IADI = 10 cm
IAEI = 12 cm
IECI = 4 cm
IDCI = 8 cm
Şekilde A, E, C noktaları doğrusal olduğuna göre,
IEBI = x kaç cm dir?
A) 12
B) 15
C) 16
D) 18
�
��
�
��
A) 4
�
B) 5
E) 20
�
C) 6
�
�
�
��
�
D) 7
E) 8
�
ABCD bir dörtgen
[AC] ve [BD] köşegen
[AB] // [EF] // [DC]
IABI = 15 cm
IDCI = 6 cm
ICFI = 4 cm
Yukarıdaki verilere göre, IFBI = x kaç cm dir?
B) 9
8.
C) 10
D) 12
E) 15
�
ABC bir üçgen
[DE] // [AB]
[DF] // [AE]
ICFI = 9 cm
IFEI = 6 cm
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A) 8
D) 4 3 E) 8
�
�
�
C) 6
ABCD bir dörtgen
[AB] // [EF] // [DC]
IDCI = IAEI = 10 cm
IEFI = 13 cm
IABI = 18 cm
�
��
�
A) 2 6 E) 16
E) 12
ABC bir diküçgen
m(ABC) = m(ACD)
[AB] ^ [AC]
IADI = IDBI
IACI = 4 cm
�
��
�
7.
3.
D) 14
A, F, D noktaları doğrusal olduğuna göre, IECI = x
kaç cm dir?
A) 6
C) 10
E) 2 3
6.
�
Yukarıdaki verilere göre, IDEI = x kaç cm dir?
A) 2
ABC bir diküçgen
[DB] ^ [BC]
IAEI = IECI
IDAI = 6 cm
IBCI = 28 cm
m(BDE) = 45°
�
Yukarıdaki verilere göre, IEBI = x kaç cm dir?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
UĞURDER YAYINLARI
5.
49
9.
�
�
[AE] ^ [EF]
IAEI = IEFI
IBFI = IFCI
IABI = 6 cm
IAFI = x
�
�
�
�
�
�
Konu Testi
13.
�
EAB bir üçgen
[BD] köşegen
IAGI = 15 cm
IGFI = 9 cm
IFEI = x
�
�
�
�
�
�
��
�
Yukarıdaki verilere göre, IAFI = x kaç cm dir?
�
Yukarıdaki verilere göre, IFEI = x kaç cm dir?
A) 2 10 B) 3 5 C) 4 3 D) 7 E) 2 13 A) 16
B) 15
C) 14
14.
10.
�
��
�
��
�
�
�
B) 6
11.
�
D) 8
E) 10
�
[AD] ^ [DB]
[AC] ^ [CB]
IACI = IBDI = 8 cm
IABI = 4 5 cm
�
�
A) 16
15.
B) 12
C) 15
D) 16
E) 8 5
�
�
��
UĞURDER YAYINLARI
50
�
�
�
�
�
��
�
m(DCA) = m(BCA)
[AB] ^ [AC]
IBEI = IEDI
IBCI = 14 cm
ICDI = 8 cm
16.
Yukarıdaki verilere göre, IAEI = x kaç cm dir?
A) 2
B) 3
C) 3,2
D) 3,6
E) 4
E) 32
�
Yukarıdaki verilere göre, IBCI kaç cm dir?
B) 14
C) 15
�
�
�
�
D) 16
E) 17
ABC bir diküçgen
[AB] ^ [BC]
[EH] ^ [AC]
m(ACD) = m(DCB)
IFCI = 12 cm
�
�
�
D) 30
ABC bir diküçgen
DEHB bir kare
[AB] ^ [AC]
[AE] ^ [BC]
�
IAHI = 4 3 cm
IECI = 10 cm
��
12.
C) 24
�
�
�
B) 18
A) 12
Yukarıdaki verilere göre AED üçgeninin çevresi kaç
cm dir?
A) 4 5 �
Yukarıdaki verilere göre, IDFI = x kaç cm dir?
�
��
�
�
�
C) 6,5
�
�
E) 9
ABC ve EDC birer üçgen
IAFI = IFBI
IDBI = IBCI
IFEI = 8 cm
IDFI = x
�
A) 5
ABC bir üçgen
[AD] ^ [AC]
IDCI = 2.IBDI
IABI = 13 cm
IACI = 10 cm
D) 10
��
�
�
IEHI 3
=
IABI 5
Yukarıdaki verilere göre, IDFI = x kaç cmdir?
A) 4
1- A
7- C
13- A
B) 5
2- C
8- D
14- C
C) 6
3- A
9- A
15- B
4- B
10- D
16- D
D) 8
5- E
11- B
E) 10
6- C
12- B
Geometri
(YGS ve LYS)
Açıortay ve Kenarortay Kuralları
Üçgende Açýortay Kurallarý
Örnek 2
 Açýortay üzerindeki bir noktanýn açýnýn kollarýna uzaklýklarý eþittir.
[AD] açýortay
[DB] ⊥ [AB ve
[DC] ⊥ [AC ise
IDBI = IDCI
IABI = IACI ve
�
�
�
[AD] açýortay
IABI = IACI + 12 cm
�
�
�
IDCI = 5 cm
�
�
Yukarýdaki verilere göre, IBDI = x kaç cm dir?
 Üçgenin iç açýortaylarý bir noktada kesiþirler. Bu nokta
üçgenin içteðet çemberinin merkezidir.
�
ABC bir diküçgen
[AC] ⊥ [BC]
m(ADB) = m(ADC) olur.
�
�
�
A) 8
B) 10
C) 12
�
�
��
�
��
�
�
�
IABI = y + 12 cm dir.
[BO] ve [CO] açýortay ise, lODl = lOEl = lOFl olur. [OE] ⊥ [AC], [OF] ⊥ [AB], [OD] ⊥ [BC] ve lODl = lOEl = lOFl
[DE] ⊥ [AB] çizilirse
�
IDEI = IDCI = 5 cm
�
�
�
IACI = y ise
�
�
�
�
E) 15
Çözüm
�
�
D) 13
�
�
�
IAEI = IACI = y ve
�
IEBI = 12 cm olur.
BED diküçgeninde x2 = 122 + 52 ⇒ x = 13 cm dir.
YANIT: D
olduðundan [AO] da açýortaydýr.
Örnek 3
Örnek 1
�
�
�
m(ADB) = m(BDC)
�
��
[AB] ⊥ [AD]
ABC bir üçgen
[AD] açýortay
IABI = 4 cm
m(B) = 45°
IADI = 11 cm
�
��
ICDI = 14 cm
�
��
�
�
m(C) = 30°
��
�
��
�
cm
�
Yukarýdaki verilere göre, IDCI = x kaç cm dir?
A) 8
A)
B) 5
C)
D) 6
E)
B)
C) 6 D)
E) 4
Çözüm
Çözüm
�
�
ICHI = 14 – 11 = 3 cm olur.
��
BHC diküçgeninde
�
Pisagor baðýntýsýndan
� � �
��
��
�
IBCI = x = 5 cm bulunur.
YANIT: B
EBD 45°, 45°, 90° diküçgeninde
�
IHDI = IADI = 11 cm ve
�
��
� ��
IDEI = 4 cm olur.
�
�
��
�
[AD] açýortay olduðundan
��
�
�
IDFI = IDEI = 4 cm dir.
DFC 30°, 60°, 90° diküçgeninden, x = 8 cm bulunur.
YANIT: A
UĞURDER YAYINLARI
[DF] ⊥ [AC] çizilirse
IBHI = IABI = 4 cm
�
�
[DE] ⊥ [AB] ve
�
[BH] ⊥ [CD] çizilirse
51
Örnek 5
Örnek 4
�
ABC bir üçgen
[BE] ve [CE] açýortay
[EH] ⊥ [BC]
IABI = 11 cm
IACI = 13 cm
IBHI = 6 cm
��
��
�
�
�
�
�
�
Yukarýdaki verilere göre, IHCI = x kaç cm dir?
A) 6
B) 8
C) 9 D) 10 E) 11
Çözüm
�
[EL] ⊥ [AB] çizilirse
�
�
��
�
�
IBLI = IBHI = 6 cm
IALI = 11 – 6 = 5 cm olur.
�
�
�
�
[EK] ⊥ [AC] çizilirse
�
�
�
ICKI = IHCI = x olur.
�
�
�
�
�
�
A) 5
�
B) 2 7 C)
30 ABC bir üçgen
[AN] açýortay
IABI = 6 cm
IACI = 9 cm
IBCI = 10 cm ve
IANI = x cm ise
IANI = x kaç cm dir?
D)
E) 6
Çözüm
�
�
�
�
� ��
IBNI = m ise
INCI = 10 – m dir.
Ýç açýortay teoreminden
6
9
=
m 10 – m
��
�
�
��
m = 4 cm ve
INCI = 10 – m
10 – m = 6 cm olur.
Buradan x = 6 . 9 – 4 . 6 = 30 cm bulunur.
IAKI = IALI = 5 cm olduðundan,
YANIT: C
x + 5 = 13 ⇒ x = 8 cm bulunur.
YANIT: B
Ýç Açýortay Teoremi
ABC üçgeninde �
[AN] iç açýortay ise
�
Örnek 6
�
�
�
�
�
�
�
�
�
olur.
[AN] iç açýortayýnýn uzunluðu IANI = b . c – m . n dir.
ABC bir üçgen
[BD] açýortay
IADI = 6 cm
IDCI = 8 cm
IBCI = x
�
ya da �
�
�
ABC üçgeninin çevresi 35 cm olduðuna göre, x kaç
cm dir?
A) 10
Örneðin,
UĞURDER YAYINLARI
52
�
�
�
Buradan,
C) 15
D) 16E) 18
Çözüm
�
�
B) 12
�
ABC üçgeninde
[AD] açýortay
IABI = 4 cm
IBDI = 2 cm ve
IDCI = 3 cm olsun.
�
�
�
�
�
��
y = 4 . x – 2 . 3 = 4 . 6 – 2 . 3 = 18 = 3 2 cm bulunur.
ise
��
�
�
ve
�
��
�
IABI = 3y ve
IBCI = 4y olur.
IACI = 6 + 8 = 14 cm
dir.
Çevre (ABC) = 3y + 4y + 14 = 35 ⇒ y = 3 cm
olduðundan, x = 4y = 4.3 = 12 cm olur.
YANIT: B
Örnek 7
Örnek 9
�
�
�
�
�
�
�
ABC bir üçgen
[AD] açýortay
[AC] ⊥ [BC]
IBDI = 6 cm
IDCI = 4 cm
ABC bir üçgen
[BD] ve [CE] açýortay
�
�
IABI = 8 cm
�
IACI = 10 cm
�
�
��
IBCI = 12 cm
�
Yukarýdaki verilere göre, IABI = x kaç cm dir?
Yukarýdaki verilere göre,
A)
B) 10
C)
D) 12
E)
A) 1
Çözüm
�
��
�
�
�
�
B)
IABI = 3y ve
IACI = 2y olur.
IBCI = 6 + 4 = 10 cm dir.
�
D)
E) 2
�
�
�
�
��
��
cm
cm olur.
IADI = 2k ve
IDCI = 3k dýr.
5k = 10 ⇒ k = 2 ve
IDCI = 3k = 6 cm olur.
BCD üçgeninde
��
�
��
olduðundan, x = 3y =
C)
IADI
8
2
=
=
ise
IDCI
12
3
�
ABC diküçgeninde (3y)2 = (2y)2 + 102 ⇒ =
Çözüm
ise
��
oraný kaçtýr?
��
IBFI 12
=
= 2 bulunur.
IFDI
6
YANIT: E
�
YANIT: E
Dýþ Açýortay Teoremi
Örnek 8
�
��
ABC bir üçgen
[AE] ⊥ [BD]
IABI = IADI = 12 cm
IDCI = 6 cm ve
IECI = 9 cm ise
IBEI = x kaç cm dir?
��
�
�
�
ABC üçgeninde
�
[AN] dýþ açýortay ise
�
ya da
�
�
�
�
�
�
olur.
�
�
[AN] dýþ açýortayýnýn uzunluðu IANI = m . n – b . c dir.
�
�
B)
C) 5
D)
11
E) 6
2
Örneðin,
Çözüm
[AE] ⊥ [BD] ve
IABI = IADI olduðundan
[AE] açýortaydýr.
IACI = 12 + 6 = 18 cm
olduðundan
12
x
=
⇒ x = 6 cm
18
9
�
��
��
��
�
�
�
�
�
�
[AN] dýþ açýortay
�
�
IABI = 9 cm
�
�
�
IACI = 6 cm ve
�
�
ICNI = 8 cm olsun.
�
bulunur.
�
Buradan,
�
ABC üçgeninde
YANIT: E
9
m
=
⇒ m = 12 cm olur.
6
8
x = m . 8 – 9 . 6 = 12 . 8 – 9 . 6 = 42 cm bulunur.
UĞURDER YAYINLARI
A) 4
53
Örnek 10
Örnek 12
m(CAN) = m(NAE)
[AB] ⊥ [AC]
IABI = 4 cm
IBCI = 5 cm
ICNI = n
�
�
�
�
�
�
�
�
B) 10
Çözüm
�
C) 12
D) 13
�
�
�
�
�
�
��
�
�
E) 15
ABC diküçgeninde
IACI = 3 cm olur.
Dýþ açý ortay
teoreminden
4
3
=
5+n
n
n = 15 cm olur.
ABC bir üçgen
B, A, E doðrusal
IABI = 15 cm
IACI = 10 cm
IADI = x
�
��
��
�
�
B, C, N noktalarý doðrusal ise, ICNI = n kaç cm dir?
A) 9
�
�
m(BAD) = m(DAC) = m(CAE) ise, IADI = x kaç cm dir?
A) 5
B) 6
Çözüm
D) 8
�
IBDI 15
3
ise
=
=
IDCI
10
2
��
�
�
��
��
YANIT: E
E) 9
[AD], ABC üçgenin
içaçýortayý olduðundan
�
��
�
C) 7,5
��
�
IBDI = 3k, IDCI = 2k
olarak yazýlabilir.
Buradan
IBCI = 5 k olur.
[AC], ABD üçgeninin dýþ açýortayý olduðu için
15
5k
15
5
=
⇒
=
⇒ x = 6 cm bulunur .
x
2k
x
2
YANIT: B
Örnek 11
�
ABC bir üçgen
[AD] dýþ açýortay
IABI = 6 cm
IACI = 4 cm
IBCI = 3 cm
�
�
�
�
�
�
�
B, C, N noktalarý doðrusal olduðuna göre, IADI = x kaç
cm dir?
A)
30 C)
B)
D) 6
Örnek 13
�
�
��
�
�
�
�
�
ABC bir üçgen
[AN] içaçýortay
[AD] dýþ açýortay
IBNI = 15 cm
INCI = 6 cm
ICDI = x
E) 2 10
B, N, C, D noktalarý doðrusal ise ICDI = x kaç cm dir?
Çözüm
Çözüm
�
�
UĞURDER YAYINLARI
�
54
Dýþ açýortay
teoreminden
6
4
=
3+n
n
n = 6 cm ve
�
�
�
�
��
�
IBDI = 9 cm bulunur.
B) 12
Çözüm
�
Dýþ açýortayýn uzunluðu formülünden
x = IBDI . ICDI – IABI . IACI = 9 . 6 – 6 . 4 = 30 cm
YANIT: B
��
C) 14
D) 15
�
�
�
��
�
E) 16
ABC üçgeninde
Ýç açýortay
teoreminden
c
15
=
e
b
6
�
�
��
olur.
A) 10
�
�
Dýþ açýortay
teoreminden
c
21 + x
=
olur.
b
x
15
21 + x
=
eþitliðinden x = 14 cm bulunur.
6
x
YANIT: C
Üçgende Kenarortay Kurallarý
Örnek 14
Üçgende kenarortaylar üçgenin içinde bir noktada
kesiþirler. Bu nokta üçgenin aðýrlýk merkezidir.
�
�
ABC üçgeninde
�
�
[AD], [BE] ve [CF]
kenarortaylar ise G noktasý aðýrlýk merkezidir.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
�
�
�
�
�
��
��
��
��
�
�
�
�
��
��
��
��
��
�
�
�
�
�
�
�
�
cm olur.
�
�
�
�
�
�
Örnek 15
��
��
��
��
�
ABC bir diküçgen
�
�
G aðýrlýk merkezi
��
[AB] ⊥ [AC]
�
G noktasý, hem ABC hem
de DEF üçgeninin aðýrlýk
merkezi olduðundan
IKGI = x iken
IDGI = 2x
IAGI = 4x ve
IAKI = 3x olur.

�
��
�
�
�
�
��
�
�
�
A)
�
�
��
�
�
olur.
�
C)
E)
Çözüm
�
�
ABC diküçgeninde
��
�
�
��
�
�
��
�
�
B) 4
D) 5
�
��
�
�
� cm
�
G, ABC üçgeninin
aðýrlýk merkezi ve
[DE] // [BC] ise
IADI = 2.IDBI
IAEI = 2.IECI ve
��
IACI =
Yukarýdaki verilere göre, IAGI = x kaç cm dir?
�
�
��
�
IABI = 8 cm
�
�
��

E) 20
[AD] ve [CF] kenarortaylar
olduðundan K noktasý ABC
üçgeninin aðýrlýk merkezidir.
IKCI = 2 . 4 = 8 cm ve
�
�
D) 18
K aðýrlýk merkezi olduðundan [BE] kenarortay olur ve
IAEI = IECI = 7 cm bulunur.
O halde, Çevre(KCE) = 3 + 8 + 7 = 18 cm dir.
YANIT: D
�
��
C) 17
�
�
�
�
B) 16
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
��
[FE] orta taban olduðundan IBCI = 2n ise IFEI = n dir.
∆
∆
GEF ~ GBC olduðundan IBGI = 2. IGEI ve ICGI =
2.IGFI olur. Ayný metodla IAGI = 2.IGDI olduðu bulunur.

�
A) 15
Çözüm
�
�
�
�
��
�
�
Þekle göre, KCE üçgeninin çevresi kaç cm dir?
�
�
�
y2 = 80 + 64
�
�
��
y2 = 144
�
�
y = 12 cm olur.
ABC diküçgeninde IADI = IBDI = IDCI = 6 cm bulunur.
G noktasý aðýrlýk merkezi olduðundan,
IGDI = 2 cm ve IAGI = x = 4 cm bulunur.
YANIT: B
UĞURDER YAYINLARI
�
ABC bir üçgen
[AD] ∩ [BE] ∩ [CF] = {K}
IAFI = IFBI
IBDI = IDCI
IAEI = 7 cm
IBKI = 6 cm
IFKI = 4 cm
55
Örnek 16
�
Örnek 18
�
��
�
[BD] ⊥ [CE]
IAEI = IEBI
IADI = IDCI
IAKI = 10 cm
IEKI = 3 cm
IDKI = x
�
�
�
�
�
C) 3
D) 4
��
�
E) 5
A) 12
B) 16
C) 18
D) 20
E) 24
Çözüm
�
�
�
Çözüm
�
�
�
�
Yukarýdaki verilere göre, IDKI = x kaç cm dir?
B)
�
�
�
A) 2
ABC bir diküçgen
[BD] ve [CE] kenarortay
[AG] ∩ [ED] = {K}
[AB] ⊥ [AC]
IKGI = 2 cm
IBCI = x
�
��
�
�
�
�
�
�
K noktasý ABC üçgeninin
aðýrlýk merkezi olduðundan
IKCI = 6 cm
IKBI = 2x ve
IKLI = 5 cm olur.
KBC diküçgeninden
IBLI = ILCI = 5 cm ve
IBCI = 10 cm bulunur.
�
��
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
��
G noktasý ayný zamanda
DEF üçgeninin de aðýrlýk
merkezi olduðundan
IGFI = 2 . 2 = 4 cm dir.
��
�
ABC diküçgeninde, G aðýrlýk merkezi olduðundan IAGI =
2 . 4 = 8 cm
IAFI = IBFI = IFCI = 12 cm ve IBCI = x = 24 cm bulunur.
YANIT: E
KBC diküçgeninde Pisagor kuralýndan
(2x)2 + 62 = 102
x = 4 cm olur.
YANIT: D
Örnek 17
�
ABC bir diküçgen
[AD] ve [CE] kenarortay
�
�
��
[AB] ⊥ [AC]
�
[AD] ⊥ [CE]
�
cm
�
�
Örnek 19
��
�
A) 15
B) 16
C) 18
D) 20
Çözüm
UĞURDER YAYINLARI
�
56
�
��
�
�
��
��
�
��
�
��
��
�
ABC dik üçgeninde
G aðýrlýk merkezi olduðundan,
cm dir.
IAGI = 2y iken
IGDI = y ve
IADI = IBDI = IDCI = 3y
olur.
��
�
�
E) 24
ABC bir üçgen
[AB] ⊥ [AG]
IABI = 10 cm
ICGI = 26 cm
�
G noktasý ABC üçgeninin aðýrlýk merkezi olduðuna göre,
IBCI = x kaç cm dir?
A) 52
Çözüm
B) 48
C) 42
�
�
�
�
�
��
��
�
�
[CE] kenarortayý
çizilirse
IAEI = IEBI = 5 cm
IGEI = 13 cm olur.
��
�
D) 40E) 36
�
AEG diküçgeninde IAGI = 12 cm olur.
Buradan, IGDI = 6 cm, IADI = 18 cm ve
AEC diküçgeninde Öklit baðýntýsýndan
2
( 2 y ) = 3 2 . 6 2 ⇒ y = 3 cm olur.
Buradan, IBCI = x = 6y = 18 cm bulunur.
IBCI = x = 2.18 = 36 cm bulunur.
YANIT: C
YANIT: E
Örnek 20
Örnek 21
�
�
�
�
�
IACI = x kaç cm dir?
�
�
�
A) 12
�
B) 3 13 E) 2 13
D) 8
Çözüm
��
�
�
�
�
�
�
�
(2m)2
��
��
+
n2
=
A) 5
72
m2
+
n2
D)
E) 10
GBC üçgeninde [GD]
kenarortay olduðundan
�
4m2 + n2 = 49
�
C)
�
5m2 + 5n2 = 130
�
�
B)
m2 + 4n2 = 81
�
��
�
��
�
�
Çözüm
m2 + (2n)2 = 92
�
�
�
�
Yukarýdaki verilere göre, IAGI = x kaç cm dir?
C) 2 26
ABC bir üçgen
G, aðýrlýk merkezi
IGBI = 5 cm
IGCI = 7 cm
IBCI = 10 cm
�
�
�
�
ABC bir üçgen
[AD] ⊥ [CE]
IAEI = IEBI = 7 cm ve
IBDI = IDCI = 9 cm ise
�
�
= 26 olur.
2
�
�
�
2
2
10
2
cm dir.
�
AFC diküçgeninde x2 = (2m)2 + (2n)2
2
2y = 5 + 7 –
Buna göre,
�
olur.
YANIT: C
��
x2 = 4m2 + 4n2
x2 = 4 . 26
x = 2 26 cm bulunur.
YANIT: C
Örnek 22
Kenarortay Teoremi
�
ABC üçgeninde IADI = Va
�
��
2
�
olur.
�
ABC üçgeninde Va
kenarortay ise
2
�
��
�
2
2
2Va = 9 + 5 –
�
2
8
2
B)
A)
C) 6
D)
Çözüm
IBGI =
�
2
�
Va = 37 cm olur.
�
�
�
2Va = 81 + 25 – 32
�
��
cm
IBCI = x kaç cm dir?
Örneðin;
�
cm
IGCI =
��
��
2
a
2 . Va2 = b + c –
2
2
IGBI =
�
kenarortayýnýn uzunluðu
�
��
�
ABC bir diküçgen
[AB] ⊥ [AC]
�
Vb = 3 7 cm dir.
�
ICGI = 2 3 cm ise
�
��
�
�
cm ise
IGEI = 7 cm ve
�
��
E)
�
IGFI = 3 cm ve
Vc = 3 3 cm dir.
�
�
��
�
��
ABC diküçgeninde
Va, Vb ve Vc kenarortay
uzunluklarý ise
5 . Va2 = Vb2 + Vc2 olur.
�
��
�
�
�
2
5Va
=
2
Vb
+
2
Vc
2
2
= (3 7 ) + (3 3 ) = 63 + 27 = 90
2
olduðundan, Va = 18 ⇒ Va = 3 2 cm olur.
IBCI = x = 2Va = 2 . 3 2 = 6 2 cm bulunur.
YANIT: B
UĞURDER YAYINLARI
�
�
57
Konu Testi
TEST 8
A
1.
ABC bir üçgen
[AD] açıortay
IBDI = 6 cm
IDCI = 10 cm
IABI = x
x
B
5.
6
D
C
10
E
x
D
12
B
B) 9
A) 10
C) 12
2.
D) 15
B) 12
ABC bir diküçgen
[AD] açıortay
[AC] ⊥ [BC]
m(ABC) = 45°
IDCI = 6 2 cm
45°
B 6 2
C
D
F
E
x
B) 4
m(CAD) = m(DAB)
6
m(BAE) = m (EAF)
IDCI = 15 cm
IBDI = 6 cm
C IEBI = x
D
15
Şekilde C, A, F ve E, B, D, C noktaları kendi aralarında doğrusal olduğuna göre, x kaç cmdir?
A) 14
C) 3 2 D) 6
B) 15
C) 16
D) 18
E) 20
E) 6 2
A
3.
ABC bir üçgen
[AD] ve [CE] açıortay
2. IAEI = 3. IEDI
IBCI = 12 cm
E
B
D
B) 27
C) 30
D) 32
A
m(ABC) = 30°
B
12
D
60°
x
C
m(ACB) = 60°
IBDI = 12 cm
Yukarıdaki verilere göre, IDCI = x cm dir?
A) 3
B) 4
C) 6
E
C
A) 18
B) 20
C) 22
D) 24
E) 25
E) 36
ABC bir üçgen
[AD] açıortay
30°
ABC bir üçgen
[BK] ve [CK] açıortay
[DE] // [BC]
IABI = 10 cm
IACI = 12 cm
Yukarıdaki verilere göre, ADE üçgeninin çevresi
kaç cm dir?
8.
4.
K
D
B
C
A
Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin çevresi
kaç cm dir?
A) 24
UĞURDER YAYINLARI
E) 20
A
B
7.
58
D) 15
Yukarıdaki verilere göre, IABI – IACI farkı kaç cm
dir?
A) 3
C) 6 5 E) 18
A
C
Şekilde C, A, E noktaları doğrusal olduğuna göre,
x kaç cm dir?
6.
8
m(BAD) = m (DAE)
[AB] ⊥ [DC]
IDBI = 12 cm
IBCI = 8 cm
IADI = x
ABC üçgeninin çevresi 40 cm olduğuna göre, x kaç
cm dir?
A) 8
A
D) 4 3 E) 6 3
D
A
4
E
B
x
m(ABD) = m (DBC)
[AB] ⊥ [AC]
8 [DC] ⊥ [BC]
IAEI = 4 cm
IDCI = 8 cm
C
A) 12
B) 8 3 C) 16
D) 18
E) 12 3
Konu Testi
9.
A
4
x
5
B
C
B) 6 2 C) 8
D) 4 5 E) 4 10
G
Kx
B
B) 2,4
x
E
G
B
D
x
D
C
Yukarıdaki verilere göre, IECI = x kaç cm dir?
C
A) 18
B) 24
C) 27
B) 18
C) 24
D) 27
11.
A
E
8
ABC bir üçgen
[AD] ⊥ [CE]
IBDI = IDCI
IAEI = IEBI
IGDI = 6 cm
IGEI = 8 cm
G
6
x
B
D
A
ABC bir üçgen
G, ağırlık merkezi
[GH] ⊥ [BC]
IBHI = IHCI = 8 cm
IGHI = 2 cm
G
2
B
8
H
8
C
kaç cm dir?
A) 32
C
B) 36
C) 40
D) 42
E) 48
Yukarıdaki verilere göre, IBGI = x kaç cm dir?
A) 10
B) 12
C) 15
D) 16
E) 20
16.
ABC bir diküçgen
[BD] kenarortay
[AE] açıortay
IADI = IDCI
IABI = 15 cm
IBEI = 6 cm
A
D
15
x
6
E
B
12. A
E) 36
E) 32
15.
D) 32
A) 16
E) 6
ABC bir üçgen
[AD] ⊥ [BE]
IAFI = IFDI
IBDI = IDCI
IAEI = 12 cm
E
F
D) 4
12
B
8
C) 3
A
ABC bir diküçgen
[AD] ve [BE] kenarortay
[AC] ⊥ [BC]
ICGI = 8 cm
IABI = x
C
Yukarıdaki verilere göre, IGKI = x kaç cm dir?
14.
A
F
D
A) 2
10.
ABC bir üçgen
[AD] ∩ [CE] = {G}
[AD] ∩ [BF] = {K}
IEGI = IGFI = IFCI
IBDI = IDCI
IAGI = 12 cm
12
E
Yukarıdaki verilere göre, IBDI = x kaç cm dir?
A) 6
A
D
G
4
B
8
E
C
Yukarıdaki verilere göre,
A)
1
2
B)
2
3
C)
ABC bir diküçgen
[AB] ⊥ [BC]
[GE] ⊥ [BC]
IADI = IDCI
IBEI = 8 cm
IGEI = 4 cm
IABI
oranı kaçtır?
IECI
3
4
D) 2
E)
4
3
C
Yukarıdaki verilere göre, IEDI = x kaç cm dir?
A) 3
1- B
7- C
13- D
B) 4
2- D
8- B
14- B
C) 5
3- C
9- E
15- B
4- D
10- C
16- B
D) 6
5- C
11- E
E) 8
6- A
12- C
UĞURDER YAYINLARI
13.
ABC bir diküçgen
[BD] açıortay
[AB] ⊥ [AC]
IADI = 4 cm
IDCI = 5 cm
D
59
Konu Testi
TEST 9
1.
ABC bir üçgen
[AD] ve [CD] açıortay
[DE] ⊥ [AC]
IABI = 12 cm
IAEI = 4 cm
IECI = 10 cm
4
E
12
D
10
B
x
E
x
6
4
B
C
ABC bir üçgen
C, A, E noktaları
doğrusal
IACI = 6 cm
IADI = 4 cm
IABI = x
A
A
5.
D
C
m(CAD) = m(DAB) = m(BAE) olduğuna göre, x kaç
cm dir?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
6.
A
2.
C
x
D
4
A
E
12
[DE] ⊥ [AD]
[CB] ⊥ [AB]
IAEI = IECI
IABI = 12 cm
IDEI = 4 cm
IDCI = x
B) 4 2 C) 8
E
x
A) 9
B) 12
F
5
B
2
D
B) 25
UĞURDER YAYINLARI
4.
60
C) 26
D) 27
A
10
B
9
x
C
6
B) 4 3 C) 7
D
E
C
Yukarıdaki verilere göre, KDE üçgeninin çevresi
kaç cm dir?
A) 9
B) 12
8.
A
2a
D
Şekilde B, C, D noktaları doğrusal olduğuna göre,
IADI = x kaç cm dir?
A) 6
E) 18
C) 15
D) 18
E) 24
E) 30
ABC bir üçgen
[AD] dış açıortay
IABI = 10 cm
IBCI = 9 cm
ICDI = 6 cm
E
D) 15
ABC bir üçgen
[BK] ve [CK] açıortay
[KD] // [AB]
[KE] // [AC]
IBCI = 18 cm
K
B
C
A
kaç cm dir?
A) 24
ABC bir üçgen
[CE] ⊥ [AD]
IAFI = IFDI
IAEI = 4 cm
IEBI = 5 cm
IBDI = 2 cm
4
E
C) 13
D) 4 5 E) 10
A
3.
C
7.
m(ADE) = m(EDC)
IADI = IDBI
IDCI = 6 cm
D
B
B
ABC bir üçgen
m(ABE) = m(EBC)
m(DAC) = m(CAB) olduğuna göre, x kaç cm dir?
A) 6
E) 12
D) 5 2 E) 2 13
6
D
B
ABC bir üçgen
m(ABD) = m(DBC) = a
m(BAC) = 2a
IADI = 6 cm
IDCI = 9 cm
a
a
x
9
C
Yukarıdaki verilere göre, IBDI = x kaç cm dir?
A) 4 6 B) 10
C) 6 3 D) 8 2 E) 12
Konu Testi
9.
A
3a a
x
B
5
D
11
B) 5
C) 6
A
ABC bir üçgen
[AD] ⊥ [CE]
IAEI = IEBI = 7 cm
IBDI = IDCI = 9 cm
7
E
x
7
C
B
A) 3 2 13.
D
9
9
C
Yukarıdaki verilere göre, IACI = x kaç cm dir?
D) 3 5 E) 8
A) 8
B) 4 5 C) 10
14.
10.
ABC bir üçgen
[AB] ⊥ [AG]
IABI = 4 5 cm
A
4
x
5
G
IGCI = 12 cm
12
B
A
36
G
E
x
B
C
D
A) 6
B) 8
C) 9
D) 12
E) 18
Şekilde G noktası ABC üçgenin ağırlık merkezi
olduğuna göre, IAGI = x kaç cm dir?
5
B)
C) 3
D) 4
E) 2 5
15.
11.
ABC bir üçgen
[AB] ⊥ [AC]
IABI = IACI
IBDI = 9 cm
IDCI = 15 cm
G
x
B
D
9
A
ABC bir diküçgen
[AD] ve [CE]
kenarortay
[AB] ⊥ [BC]
IADI2 + ICEI2 = 45
x
E
G
A
15
B
D
C
Yukarıdaki verilere göre, IACI = x kaç cm dir?
A) 6
C
B) 6 2 C) 8
D) 3 5 E) 9
Yukarıdaki verilere göre, IGDI = x kaç cm dir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
16.
A
ABC bir üçgen
G ağırlık merkezi
IABI = 6 cm
IAGI = 3 cm
IBGI = 5 cm
3
6
G
x
5
B
12. A
B
ABC bir diküçgen
[AB] ⊥ [BC]
[BE] ⊥ [AD]
IAEI = IECI
IBDI = IDCI
E
12
K
ABC bir diküçgen
[AC] ⊥ [BC]
[ED] // [GC]
IBDI = IDCI
IAEI = 36 cm
Yukarıdaki verilere göre, IEDI = x kaç cm dir?
C
A) 2
D) 2 26 E) 8 2
x
D
C
Yukarıdaki verilere göre, IKEI = x kaç cm dir?
A) 3
B) 4
C) 3 2 D) 4 2 E) 6
C
Yukarıdaki verilere göre, ICGI = x kaç cm dir?
A) 4
1- E
7- D
13- D
B) 2 5 2- E
8- A
14- D
3- D
9- D
15- A
C) 5
4- D
10- D
16- D
D) 4 2 E) 6
5- E
11- C
6- B
12- C
UĞURDER YAYINLARI
ABC bir üçgen
m(BAD) = 3a
m(DAC) = a
IABI = IACI
IBDI = 11 cm
IDCI = 5 cm
61
Geometri
(YGS ve LYS)
Üçgende Alan
Kenarý ve Yüksekliði Verilen Üçgenin Alaný
Bir üçgenin alaný, bir kenarýnýn uzunluðu ile o kenara ait
yüksekliðin çarpýmýnýn yarýsýdýr.
Bir ABC üçgeninin alaný; Alan(ABC) ya da A(ABC)
þeklinde gösterilir.
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
olur.
Örneðin,
Örneðin,
Bir kenarý 10 cm olan eþkenar üçgenin alanýný bulalým.
I. yol:
Alan(ABC) =
�
�
II. yol:
�
��
�
�
8 .6
2
A(ABC) =
= 24 cm
2
�
3
4
=
100 3
2
= 25 3 cm dir.
4
ABC eþkenar üçgeninde
IBHI = IHCI = 5 cm ve
��
A(ABC) =
��
5 .12
2
A(ABC) =
= 30 cm
2
�
�
�
cm olduðundan
IAHI =
��
��
�
�
2
��
�
10
�
�
olur.
�
��
�
�
�
�
�
�
ve
�
��
��
��
��
�
Eþkenar üçgende
��
�
�
�
��
��
��
�
��
�
��
Eþkenar Üçgenin Alaný
�
10 . 5 3
2
2
= 25 3 cm
�
olur.
��
Örnek 1
�
Dik Üçgenin Alaný
�
�
Diküçgende dik kenarlar birbirinin yüksekliði olduðu için
�
�
�
ABC bir dik üçgen
[AB] ⊥ [AC]
[AH] ⊥ [BC]
IABI = 6 cm
IACI = 8 cm
�
�
�
�
Yukarýdaki verilere göre, IAHI = x kaç cm dir?
�
Buradan,
�
�
�
A) 3 B)
a . h = b . c bulunur.
10
C) 4
3
D)
24
5
E) 5
Çözüm
�
UĞURDER YAYINLARI
62
ABC dik üçgeninde
Pisagor baðýntýsýndan
IBCI2 = 62 + 82
IBCI2 = 100
IBCI = 10 cm olur.
Örneðin,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
A(ABC) =
�
��
�
10 . 4
2
= 20 cm
2
�
�
�
Alan(ABC) =
A(ABC) =
9.6
2
= 27 cm
2
24
10 . x
8.6
cm dir.
=
⇒ 5 x = 24 ⇒ x =
5
2
2
YANIT: D
Üçgende Alan
Örnek 2
Örnek 4
�
ABC bir dik üçgen
[AB] ⊥ [BC]
IAEI = 2 cm
IEBI = 7 cm
IBDI = 4 cm
IDCI = 8 cm
�
�
�
�
�
�
�
�
B) 40
�
C) 42
D) 48
E) 54
ABC bir üçgen
[DF] ⊥ [AB]
[DE] ⊥ [AC]
IABI = 8 cm
IACI = 12 cm
IDFI = 5 cm
IDEI = x
�
�
�
�
Yukarýdaki verilere göre, taralý alan kaç cm2 dir?
A) 36 �
�
�
ABC üçgeninin alaný 32 cm2 olduðuna göre, IDEI = x
kaç cm dir?
A) 2 B) 2,4
C) 2,5
D) 3
E) 3,2
Çözüm
Çözüm
�
�
�
Taralý alan = T olsun
T = A(ABC) – A(EBD)
�
�
�
�
�
�
�
�
= 54 – 14
= 40 cm2 bulunur.
�
�
4.7
12 . 9
–
=
2
2
�
�
��
�
�
�
�
�
Alan(ABC) = Alan(ABD) + Alan(ADC)
��
8.5 12. x
+
2
2
x = 2 cm dir .
32 =
YANIT: B
ABC bir üçgen
[AH] ⊥ [HC]
[BD] ⊥ [AC]
IAHI = 9 cm
IHBI = 2 cm
IBCI = 10 cm
IBDI = x
�
�
� � �
��
Örnek 5
B) 4
C) 5
D) 6
�
�
E) 8
ABC bir üçgen
[AH] ⊥ [BC]
IBCI = 14 cm
IADI = 6 cm
�
�
��
�
Yukarýdaki verilere göre, IBDI = x kaç cm dir?
A) 3 �
�
Yukarýdaki verilere göre, ABDC dörtgeninin alaný kaç
cm2 dir?
A) 28 B) 35
C) 42
�
�
��
�
�
E) 56
Çözüm
Çözüm
D) 45
�
AHC diküçgeninde
Pisagor teoreminden
IACI2 = 122 + 92
IACI = 15 cm dir.
15 . x
10.9
=
2
2
15x = 90
� � �
��
�
x
= 6 cm dir.
��
YANIT: D
a ( x + y) ay
–
2
2
ax + ay – ay
=
2
ax
=
2
Alan(ABDC ) =
�
�
�
�
�
�
Alan(ABDC) =
�
14 . 6
= 42 cm2 dir.
2
olduðundan
YANIT: C
UĞURDER YAYINLARI
Örnek 3
�
�
YANIT: A
63
Üçgende Alan
Örnek 6
Örnek 8
�
�
[AH] ⊥ [BC], [DE] ⊥ [BC]
IBCI = 10 cm ve
IAHI – IDEI = 3 cm ise
�
�
�
taralý alan kaç cm2 dir?
ADC üçgeninin alaný kaç
cm2 dir?
�
�
�
A) 10 �
B) 12
�
�
A) 12 3 C) 15
D) 18
E) 20
[DE] ⊥ [BC]
IADI = 2 cm ve
IDCI = 8 cm ise
�
�
B) 24 C) 17 3 D) 18 3 E) 30
Çözüm
�
Çözüm
�
�
m(ACB) = 60° ve
�
IAHI = x ve IDEI = y
ise x – y = 3 cm dir.
�
�
A(ADC) =
�
�
�
��
�
10 . x 10 . y
–
2
2
= 5 . x – 5 . y
= 5 . (x – y)
= 5 . 3
= 15 cm2 olur.
�
��
m(EDC) = 30° dir.
Buradan,
��
��
IECI = 4 cm ve
��
�
�
�
IDEI =
�
�
cm olur.
Taralý alan = Alan(ABC) – Alan(DEC)
=
YANIT: C
4.4 3
10 2 . 3
–
2
4
= 25 3 – 8 3
= 17 3 cm2
bulunur.
YANIT: C
Örnek 7
�
Örnek 9
�
�
ABC bir diküçgen
[AB] ⊥ [BC]
[DE] // [AB]
� IDEI = 4 cm
IBCI = 9 cm
�
�
�
Yukarýdaki verilere göre, ACD üçgeninin alaný kaç cm2
dir?
A) 18 B) 16
C) 15
D) 12
E) 9
UĞURDER YAYINLARI
64
[KF] // [AB]
�
�
�
�
�
�
ADC ve BCE
birer üçgen
[AC] ⊥ [BC]
IAEI = 4 cm
IECI = 6 cm
IDCI = 9 cm
�
�
�
�
�
�
�
�
AFE ve BDF üçgenlerinin alanlarý eþit olduðuna göre,
IBDI = x kaç cm dir?
B) 4
C) 4,5
D) 5
E) 6
Çözüm
�
çizildiðinde
��
� �
�
�
A) 3 Çözüm
�
�
IKAI = IFBI = x
ICFI = 9 – x olur.
��
4x
4 (9 – x )
+
2
2
= 2 x + 2 . (9 – x )
A(ABC) =
= 18 cm dir.
YANIT: A
�
�
�
= 2x + 18 – 2x
2
S1 = S2
S + S1 = S + S2
A(BCE) = A(ADC)
�
�
��
�
�
�
�
�
��
( x + 9) . 6
9 . 10
=
2
2
(x + 9) . 3 = 45
x = 6 cm olur.
��
YANIT: E
Üçgende Alan
Örnek 10
Örnek 12
�
��
�
�
ABC bir üçgen
IABI = IACI
IADI = 13 cm
IBDI = 11 cm ve
IDCI = 1 cm ise
ABD üçgeninin alaný
kaç cm2 dir?
��
ABC bir üçgen
m(ABC) = 135°
IABI = 3 2 cm
��
Alan(ABC) = 6 cm2
��
�
�
�
� � �
A) 66 B) 60
D) 48
E) 44
A) 4 Çözüm
C) 55
�
��
��
�
�
�
��
� � �
�
IBCI = 11 + 1 = 12 cm ve
IABI = IACI olduðu için
IBHI = IHCI = 6 cm ve
IHDI = 11 – 6 = 5 cm dir.
AHD diküçgeninde
Pisagor teoreminden
IAHI2 + 52 = 132
B) 6
C) 8
E) 12
Çözüm
�
[AH] ⊥ [HC] çizilirse
�
��
IAHI = 12 cm olur.
m(ABH) = 45° ve
IAHI = 3 cm bulunur.
��
��
�
��
�
�
Alan(ABC) = 6cm2 ⇒
IBDI . IAHI 11 . 12
2
=
= 66 cm dir .
2
2
Alan( ABD ) =
D) 9
�
x.3
= 6 ⇒ x = 4 cm dir.
2
YANIT: A
YANIT: A
Örnek 13
Örnek 11
ABC bir üçgen
IABI = IACI = 13 cm ve
IBCI = 10 cm ise
��
��
B noktasýnýn [AC] kenarýna en
kýsa uzaklýðý kaç cm dir?
�
��
A) 12
�
B)
65
C)
6
120
D) 9 E)
13
�
��
��
�
�
�
�
�
��
�
ABC üçgeninde
[AH] ⊥ [BC] çizilirse
IBHI = IHCI = 5 cm olur.
ABC bir üçgen
m(ABC) = 45°
IADI = IACI
IBDI = 4 cm
IDCI = 12 cm
��
� � �
��
�
Yukarýdaki verilere göre, ABD üçgeninin alaný kaç cm2
dir?
A) 20 Çözüm
��
�
�
B) 18
C) 16
ADC ikizkenar üçgen olduðu için
IDHI = IHCI = 6 cm olur.
�
ABH diküçgeninde
IBHI = 4 + 6 = 10 cm ve
��
�
��
�
YANIT: E
E) 12
Çözüm
ABH diküçgeninde
Pisagor teoreminden
IAHI = 12 cm bulunur.
B noktasýnýn [AC] na en kýsa uzaklýðý B köþesinden çizilen
[BD] yüksekliðidir. IBDI = x olmak üzere,
Alan(ABC) = 13 . x = 10 . 12 ⇒ x = 120 cm olur.
13
2
2
D) 15
�
�
�
�
��
�
�
m(ABH) = 45° olduðundan
IAHI = IBHI = 10 cm olur.
Buradan,
Alan(ABD) =
4 . 10
2
= 20 cm bulunur.
2
YANIT: A
UĞURDER YAYINLARI
65
Üçgende Alan
Örnek 14
ABC bir dik üçgen
[AB] ⊥ [AC]
IADI = IACI
IBDI = 6 cm
IDCI = 4 cm
�
�
�
�
�
Üçgenlerde Taban, Yükseklik Alan ve Ýliþkisi
 Yükseklikleri eþit olan üçgenlerin alanlarý, taban uzunluklarý ile orantýlýdýr.
�
�
�
Yukarýdaki verilere göre, ABD üçgeninin alaný kaç cm2 dir?
A) 8 B) 12
C) 16
D) 18
E) 24
Çözüm
�
�
��
�
� � � � �
��
Buradan, Alan(ABD) =
�
�
�
�
�
Örneðin,
ABC bir üçgen
�
IDHI = IHCI = 2 cm ve
IBHI = 6 + 2 = 8 cm olur.
ABC dik üçgeninde
IAHI2 = 8 . 2 = 16
IAHI = 4 cm dir.
�
�
�
Alan(ABD) = 40 cm2
IBDI = 8 cm ve
IDCI = 6 cm iken
��
�
ADC üçgeninin
�
�
�
alanýný bulalým.
�
40
8
2
= ⇒ Alan(ADC ) = 30 cm dir.
Alan(ADC ) 6
6.4
= 12 cm2 bulunur.
2
YANIT: B
Örnek 16
Örnek 15
�
�
�
�
�
ABC ve BDH
birer diküçgen
[AB] ⊥ [AC]
[AD] ⊥ [BC]
IHDI = IHCI
IAHI = 6 cm
UĞURDER YAYINLARI
66
�
�
A) 84 C) 24
D) 18
B) 72
�
�
�
�
�
�
�
�
�
E) 12
ABC diküçgeninde
Öklit teoreminden
p . k = 62 = 36 dýr.
p.k
Alan( BDH ) =
2
36
=
2
2
= 18 cm dir .
C) 60
D) 54
E) 48
Çözüm
�
�
Çözüm
��
�
BDE üçgeninin alaný 12 cm2 olduðuna göre, ABC üçgeninin alaný kaç cm2 dir?
Yukarýdaki verilere göre, BDH üçgeninin alaný kaç cm2
dir?
B) 32
ABC bir üçgen
IAEI = 3 cm
IBEI = 9 cm
IBDI = 4 cm
IDCI = 14 cm
�
�
�
�
A) 36 �
�
Alan(BDE)
4
=
Alan(DCE ) 14
12
2
=
Alan(DCE )
7
��
�
�
�
Alan(DCE ) = 42 cm2 dir.
��
��
�
��
�
Alan(BCE )
9
12 + 42
3
olduðundan
=
⇒
=
Alan(ECA )
3
Alan(ECA )
1
Alan(ECA) = 18 cm2 dir.
�
YANIT: D
Buradan Alan(ABC) = 12 + 42 + 18 = 72 cm2 olur.
YANIT: B
Üçgende Alan
Örnek 17
�
Bir üçgenin bir köþesi bu köþeden geçen ve karþý kenara
paralel doðru üzerinde yer deðiþtirdiðinde üçgenin alaný
deðiþmez.
ABC bir dik üçgen
[AB] ⊥ [BC]
�
�
�
�
�
�
�
Yukarýdaki verilere göre, BDE üçgeninin alaný kaç cm2
dir?
�
B) 12
C) 15
D) 16
�
� �
AD // BH ise ABC ve DBC üçgenlerinin hem tabanlarý,
hem de yükseklikleri ayný olduðundan alanlarý eþittir.
E) 18
Çözüm
�
Örneðin,
�
IEDI = 2k iken IACI = 5k dir.
��
�
��
�
�
�
Alan( BDE )
2
=
Alan( ABC )
5
��
IABI = 4 cm ve
Alan (DBC ) = Alan (ABC) =
4 .9
= 18 cm2 dir.
2
Örnek 19
ABC bir diküçgen
[AB] ⊥ [AC]
[DE] // [BC]
IADI = 8 cm
IECI = 12 cm
�
�
�
IACI = 9 cm olsun
�
Buna göre,
ABC bir üçgen
[DF] ⊥ [AB]
[DE] ⊥ [AC]
�
[AB] ⊥ [AC]
�
YANIT: D
Örnek 18
�
�
�
�
�
Yukarýdaki verilere göre,
A)
B)
�
��
oraný kaçtýr?
C)
D) 1 AD // BC
�
Alan( BDE )
2
=
10 . 8
5
2
�
�
�
olduðundan, Alan(BDE) = 16 cm2 olur.
�
IABI = 8 cm
IBCI = 10 cm
��
A) 10 �
�
E)
�
Yukarýdaki verilere göre, DBE üçgeninin alaný kaç cm2
dir?
IABI
3
=
ise
IACI
4
�
�
IABI = 3 x ve IACI = 4 x
��
��
�
��
IBDI
2
ise
=
IDCI
3
IBDI = 2y ve IDCI = 3y
eþitlikleri yazýlabilir.
�
�
�
A) 32 Çözüm
B) 36
C) 48
E) 72
[DE] // [BC] olduðundan
�
Alan(DBE) = Alan(DCE)
olur.
�
�
D) 64
�
��
�
��
�
�
Alan(DCE ) =
YANIT: C
�
12.8
= 48 cm2 olduðundan
2
Alan(DBE) = 48 cm2 dir.
YANIT: C
UĞURDER YAYINLARI
Çözüm
67
Üçgende Alan
Diküçgende, bir açýnýn karþýsýndaki dik kenar uzunluðunun
hipotenüs uzunluðuna oranýna, o açýnýn sinüsü denir.
Birbirini 180° ye tamamlayan açýlarýn sinüsleri eþittir.
�
[AC] ⊥ [CD ise
�
�
�
�
�
1
2
�
=
2
2
��
�
sin30° = sin150° =
��
�
A) 44 sin60° = sin120° =
�
C) 56
�
��
3
2
�
�
�
�
�
B) 48
1
2
��
�
�
A, B, E noktalarý doðrusal olduðuna göre, ABC üçgeninin alaný kaç cm2 dir?
�
��
D) 66
E) 98
Çözüm
�
�
�
�
�
�
�
ABC bir üçgen
[ED] ⊥ [DC]
IABI = 11 cm
IBCI = 14 cm
IDEI = 6 cm
IEBI = 7 cm
��
�
�
�
sin 45° = sin135° =
�
�
olur.
�
Örnek 20
�
��
�
�
DEB diküçgeninden
6
olur.
sinα =
7
14 . 11
. sinα
Alan(ABC ) =
2
6
= 77 .
7
= 66 cm2 dir.
�
�
YANIT: D
0° ≤ x ≤ 180° olmak üzere; 0 ≤ sinx ≤ 1 dir.
Açýlarýn ölçüleri 90° ye yaklaþtýkça sinüs deðerleri
büyür.
Sinüsü en büyük açýnýn ölçüsü 90° dir. sin90° = 1 dir.
Örnek 21
Ýki Kenar Uzunluðu ve Aradaki Açýsý Verilen
Üçgenin Alaný
ABH diküçgeninde
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A) 20 �
UĞURDER YAYINLARI
68
�
�
�
B) 24
Çözüm

��
BDE üçgeninin alaný 20 cm2 olduðuna göre, DCF üçgeninin alaný kaç cm2 dir?
��
ABC bir üçgen
IABI = IACI
IBDI = 6 cm
IBEI = 10 cm
ICDI = 15 cm
ICFI = 8 cm
�
��
⇒ ha = c . sinB dir.
�
��
�
Ýki kenar uzunluðu verilen
üçgenin alanýnýn en büyük
olmasý için bu iki kenar arasýndaki açýnýn ölçüsü 90°
olmalýdýr.
�
�
sin90° = 1 olduðundan
Max[Alan(ABC)] =
. b . c . sin90° =
�
�
�
�
E) 40
m(B) = m(C) = α dýr.
�
��
�
D) 32
IABI = IACI olduðundan
�
�
C) 30
�
��
�
10 . 6
. sin α
Alan(BDE )
2
=
Alan(DCF )
15 . 8
. sinα
2
20
30
2
=
⇒ Alan(DCF ) = 40 cm bulunur.
Alan(DCF )
60
YANIT: E
Üçgende Alan
Örnek 22
 Hipotenüse çizilen yüksekliði sabit olan diküçgenlerden,
alaný en küçük olaný ikizkenar diküçgendir.
�
ABD ve AEC
birer üçgen
IAEI = 8 cm
IADI = 6 cm
IDCI = 9 cm
IEBI = x
�
�
�
�
�
�
�
�
 Hipotenüs uzunluðu sabit olan diküçgenlerden, alaný
en büyük olaný ikizkenar diküçgendir.
 Dik kenarlarý toplamý sabit olan diküçgenlerden, alaný
en büyük olaný ikizkenar diküçgendir.
 Çevresi sabit olan üçgenlerden, alaný en büyük olaný
eþkenar üçgendir.
�
EBF ve DFC üçgenlerinin alanlarý eþit ise, x kaç cm
dir?
A) 12 B) 10
C) 9D) 8
E) 4
Örnek 24
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
Alan(EBF) = S1
Alan(DFC) = S2
Alan(AEFD) = S
ise
S1 = S2
S + S1 = S + S2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Çözüm
�
Hipotenüs uzunluðu 8 cm olan bir dik üçgenin alaný en
çok kaç cm2 dir?
A) 8 B) 16
C) 24
�
Alan(ABD) = Alan(AEC)
Alanýn en büyük olmasý
için h nin en büyük olmasý gerekir.
ve
p + k = 8 cm olduðundan, p = k = 4 için
h en büyüktür.
��
. 8 . 15 . sinα
E) 32
Çözüm
�
. (x + 8) . 6 . sinα =
D) 30
�
�
�
�
�
��
x = 12 cm olur.
YANIT: A
O halde, h = 4 . 4 = 4 cm olduðundan,
Max [ Alan(ABC)] =
Örnek 23
�
m(BAD) = 60°
m(DAC) = 45°
�
��
�
Örnek 25
Hipotenüsüne çizilen yüksekliði 6 cm olan bir dik üçgenin alaný en az kaç cm2 dir?
IABI = 12 cm
�
A) 18 Yukarýdaki verilere göre, IACI = x kaç cm dir?
B) 8
C)
D)
E) 12
B) 24
C) 30
IBHI = p ve
IHCI = k ise
Çözüm
ve sin45° =
Alan(ABD) IBDI
=
⇒
Alan(ADC ) IDCI
3
2 =3
2
2
x.
2
12 .
E) 36
Çözüm
�
sin60° =
D) 32
�
dir.
p . k = 62 = 36 olur.
1.
IADI . 12 . sin60°
3
2
=
1.
2
IADI . x . sin 45°
2
�
�
�
��
�
�
= 3 . (p + k) dir.
⇒ x = 4 6 cm olur.
p . k = 36 iken, p = k = 6 olursa, p + k en küçük olur.
YANIT: C
bulunur.
YANIT: E
UĞURDER YAYINLARI
A)
YANIT: B
ABC bir üçgen
��
�
8.4
2
= 16 cm dir.
2
69
Üçgende Alan
Kenar Uzunluklarý Verilen Üçgenin Alaný
Çevresi ve Ýç Teðet Çemberinin Yarýçapý Verilen Üçgenin Alaný
ABC üçgeninde
�
IBCI = a
IACI = b
�
�
�
IABI = c ve
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
Alan( ABC ) = u(u – a) (u – b) (u – c) olur.
�
��
�
��
�
�
�
�
�
olmak üzere Alan(ABC) = u . r dir.
Örneðin,
Kenar uzunluklarý 7 cm, 8 cm ve 13 cm olan bir üçgenin
alanýný bulalým.
u=
7 + 8 + 13
28
=
= 14 olduðundan
2
2
OBC, OAC ve OAB üçgenlerinin yükseklikleri eþit olduðundan alanlarý kenarlarý ile orantýlýdýr.
Örnek 27
Alan (ABC) = 14 .(14 – 7).(14 – 8) . (14 – 13)
Dik kenar uzunluklarý 8 cm ve 6 cm olan bir diküçgenin
içteðet çemberinin yarýçapý kaç cm dir?
= 14 . 7 . 6 .1
= 2 . 7 . 7 . 2 . 3 .1
= 2 . 7. 3 .1
A)
2
= 14 3 cm olur.
B)
C) 2
Çözüm
Örnek 26
��
�
��
��
�
A) 144
��
B) 120 �
C) 108
ABC bir üçgen
IABI = 25 cm
IADI = 17 cm
IBDI = 12 cm ve
IDCI = 16 cm ise
Alan(ADC) kaç
cm2 dir?
D) 96
E) 72
Çözüm
�
UĞURDER YAYINLARI
��
70
��
��
�
��
�
Alan( ABD )
12
3
=
=
Alan( ADC ) 16
4
olduðundan,
��
��
Alan(ABD) = 3P iken
�
Alan(ADC) = 4P olur.
�
�
8 + 6 + 10
2
u = 12 cm dir.
�
�
YANIT: C
Örnek 28
�
A) 42 �
��
��
ABO üçgeninin alaný
kaç cm2 dir?
�
B) 40
C) 39
�
D) 36
E) 32
ABC diküçgeninde
IABI = 20 cm dir.
��
��
�� Alan(ABC ) = 16 . 12 = 96 cm2
��
2
20P + 16P + 12P = 96
�
��
�
ABC bir diküçgen
O, içteðet çemberin merkezi
[BC] ⊥ [AC]
IACI = 12 cm ve
IBCI = 16 cm ise
�
Çözüm
12 + 17 + 25
= 27 olduðundan
2
2
27 .15 .10 . 2 = 9 . 3 . 3 . 5 . 5 . 2 . 2 = 90 cm
olur.
O halde, 3P = 90 ⇒ P = 30 ve 4P = 120 cm2 olur.
YANIT: B
E) 3
8.6
Alan( ABC ) = u . r =
⇒ 12 . r = 24 ⇒ r = 2 cm olur.
2
ABD üçgeninde, u =
Alan( ABD ) =
u=
��
�
�
ABC diküçgeninde
IBCI = 10 cm olur.
�
�
D)
��
�
2
P = 2 ⇒ 20P = 40 cm dir.
YANIT: B
Üçgende Alan
Üçgenlerde Benzerlik Alan Ýliþkisi
Örnek 29
ABC bir üçgen
�
Benzer üçgenlerin alanlarý oraný benzerlik oranýnýn karesine eþittir.
m(DEC) = m(ABC)
Alan(EDC) = 12 cm2
Alan(ABDE) = 63 cm2
IBCI = 20 cm ise
IECI = x kaç cm dir?
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
A) 10 ∆
∆
ABC ve DEF üçgenleri benzer (ABC ∼ DEF) olsun.
�
�
B) 9
C) 8
D) 6
Çözüm
m(DEC) = m(ABC) ve
�
C her iki üçgeninde
�
��
�
 Üçgende kenarlara paralel olan eþit aralýklý çizgiler
alaný þekildeki gibi bölümlere ayýrýr. Birinci þekildeki
küçük üçgenler eþ üçgenler olduðu için herbirinin alaný
eþittir. Buradan ikinci þekildeki P, 3P, 5P, 7P oraný elde
edilir.
�
�
�
� � �
� � � �
��
�
�
�
�
�
�
�
��
��
�
�
 Orta taban üçgenin alanýný S, 3S oranýnda böler. Üçüncü
þekilde [DE] nin orta taban olmasý DFE üçgeninin
alaný-nýn ABC üçgeninin alanýnýn dörtte biri olmasýný
gerektirir.
�
�
�
�
��
�
�
�
�
Buradan,
x
2
=
20
5
�
�
�
�
�
� �
Örnek 30
�
�
� �
�
�
A) 1 B)
�
�
IAEI = IEBI
IAFI = IFCI
[ED] ⊥ [DF]
IEDI = 5 cm ve
IDFI = 6 cm olsun.
�
�
Buna göre, Alan (EDF) =
�
Alan (ABC) = 4.15 = 60 cm2 bulunur.
C)
Çözüm
�
��
D)
E)
��
�
[DE] // [BC] olduðundan
∆
∆
ADE ∼ ABC dir.
Alan( ADE )
Alan( ABC )
27
9
2
=
k =
27 + 48
25
3
olur .
k=
5
2
k =
��
�
�
�
5 .6
= 15 cm2 ve
2
�
��
�
oraný kaçtýr?
�
�
ABC bir üçgen
[DE] // [BC]
Alan(ADE) = 27 cm2 ve
Alan(BCED) = 48 cm2
ise
�
�
Örneðin,
�
YANIT: C
�
�
�
�
�
2
Alan(DCE )
12
4
=
=
⇒k =
dir.
5
Alan( ACB ) 12 + 63
25
2
k =
��
m(EDC) = m(A) olur.
O halde,
∆
∆
DCE ∼ ACB dir.
��
�
�
�
��
ortak açýsý olduðundan
�
�
�
�
E) 5
��
�
ise IAEI = 3x, IACI = 5x ve IECI = 2x dir.
Buradan
YANIT: D
UĞURDER YAYINLARI
71
Örnek 31
Üçgende Alan
Örnek 33
ABC bir üçgen
[DE] // [BC]
�
�
Alan(BCED) = 32 cm2
�
�
�
�
[AC] ∩ [BD] = {E}
[AB] // [DC]
Alan(DEC) = 12 cm2
Alan(BEA) = 75 cm2
�
�
Yukarýdaki verilere göre, ADE ügeninin alaný kaç
dir?
cm2
�
�
Yukarýdaki verilere göre, Alan(AED) kaç cm2 dir?
A) 32 B) 27
C) 24
D) 18
E) 16
A) 16 B) 18
C) 20
D) 24
E) 30
Çözüm
Çözüm
I. Yol:
�
�
��
�
�
��
�
�
��
�
�
��
�
�
��
Tabana paralel eþit aralýklý
doðru parçalarý çizilirse alanlar þekildeki gibi bölünür.
�
[DC] // [AB] olduðundan
∆
∆
DEC ∼ BEA dir.
�
��
��
Benzerlik oraný k ise
�
��
2
k =
��
��
�
�
7x + 9x = 32 ⇒ x = 2
k=
�
cm2 olur.
Alan(ADE) = x + 3x + 5x = 9x = 18
�
12
4
=
75
25
2
olur .
5
Buradan IECI = 2x ve IAEI = 5x yazýlabilir.
cm2
Alan(AED)
5x
Alan(AED)
5
=
⇒
=
Alan(DEC )
2x
12
2
bulunur.
2
⇒ Alan(AED) = 30 cm dir.
II. Yol:
Alan(ADE )  3k 
=

Alan(ABC )  5k 
p
9
=
p + 32 25
2
p = 18 cm
YANIT: E
�
Alan(ADE) = p ise
2
dir.
�
�
��
��
�
�
��
Örnek 34
�
�
YANIT: D
�
�
�
�
�
ABC bir üçgen
DECF bir paralelkenar
Alan(ADF) = 20 cm2
Alan(DBE) = 45 cm2
olduðuna göre,
DECF paralelkenarýnýn
alaný kaç cm2 dir?
Örnek 32
Alanlarý 32 cm2 ve 72 cm2 olan benzer iki üçgenin çevreleri
toplamý 100 cm dir.
A) 60 B) 56
C) 50
DECF paralelkenar
olduðundan
∆
∆
ADF ∼ DBE dir.
�
B) 40
C) 36
D) 35
E) 30
UĞURDER YAYINLARI
72
��
�
Çözüm
��
��
Benzerlik oraný k ise
�
olur.
O halde, küçük üçgenin çevresi 2x iken büyük üçgenin
çevresi 3x tir.
Buradan 2x + 3x = 100 ⇒ x = 20 cm ve
küçük üçgenin çevresi: 2x = 40 cm bulunur.
YANIT: B
E) 40
Çözüm
Buna göre, küçük üçgenin çevresi kaç cm dir?
A) 45 D) 45
��
�
2
k =
��
Alan( ADF )
20
=
Alan(DBE )
45
��
�
��
�
ise
tür.
Buradan, IDFI = IECI = 2x ve IBEI = 3x yazýlabilir.
Alan(DBE )
3x
45
3
olduðundan,
=
⇒
=
Alan(DEC )
2x
Alan(DEC )
2
Alan(DEC) = 30 cm2 ve Alan(DECF) = 60 cm2 bulunur.
YANIT: A
Üçgende Alan
Üçgende Açýortay Alan Ýliþkisi
Örnek 36
�
ABC üçgeninde
[AN] açýortay iken
�
�
�
INDI= INEI olduðundan
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A) 48  ABC üçgeninde iç açýortaylarýn kesiþim noktasý içteðet
çemberin merkezidir.
�
�
�
�
��
��
�
�
��
��
�
ABO, BCO ve CAO üçgenlerinin yükseklikleri eþit olduðundan, alanlarýnýn oraný tabanlarýnýn oranýna eþittir.
Alan(ABO) = c.k iken
Alan(BCO) = a.k ve Alan(ACO) = b.k olur.
�
�
��
�
�
�
�
D) 30
IBDI = 3k
ICDI = 2k
�
IBCI = k olur.
��
�
ABC üçgeninde
dýþ açýortay kuralýndan
IBDI
12
3
=
=
ICDI
8
2 ise
Alan(ABC) = S ise Alan(ACD) = 2 . S ve Alan(ABD) = 3 . S dir.
12 . 20
2
Alan(ABD) =
= 120 cm olduðundan,
2
3 . S = 120 ⇒ S = 40 cm2 bulunur.
YANIT: B
Örneðin,
�
��
��
��
�
��
��
��
Örnek 37
��
�
��
��
�
ABC bir üçgen
[BD] açýortay
[DH] ⊥ [BC]
Alan(ABC) = 56 cm2
IABI = 12 cm ve
IBCI = 16 cm ise
IDHI = x kaç cm dir?
�
�
�
�
�
�
A) 6 B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
Çözüm
�
C) 5
D) 6
E) 7
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
B) 4
Çözüm
�
�
��
A) 3 ABC bir üçgen
[BD] ve [CD] açýortay
[DE] ⊥ [BC]
Çevre(ABC) = 60 cm ve
Alan(ABC) = 90 cm2 ise
IDEI = x kaç cm dir?
�
Örnek 35
��
E) 24
Çözüm
�
��
�
C) 36
�
�
�
�
�
B) 40
�
�
m(EAD) = m(DAC)
IABI = 12 cm
IACI = 8 cm
IDEI = 20 cm
��
��
Yukarýdaki verilere göre, ABC üçgeninin alaný kaç cm2
dir?
�
EBD bir diküçgen
[DE] ⊥ [EB]
�
[DK] ⊥ [AB] çizildiðinde
IDKI = IDHI = x olur. 16. x 12. x
Alan( ABC ) =
+
2
2
�
56 = 8x + 6x
14x = 56
x = 4 cm dir.
�
YANIT: B
�
�
�
�
�
�
��
�
[BD] ve [CD] açýortay
olduðundan
[DK] ⊥ [AC] ve
[DL] ⊥ [AB] çizilirse
IDKI = IDLI = IDHI = x olur.
Çevre(ABC) = 60 cm ise
a + b + c = 60 cm dir.
Alan(ABC) = Alan(DBC) + Alan(DCA) + Alan(DAB)
a.x b.x
c.x
+
+
2
2
2
60
(a + b + c )
90 =
⋅ x ⇒ 90 =
⋅ x ⇒ x = 3 cm bulunur.
2
2
90 =
YANIT: D
UĞURDER YAYINLARI
73
Üçgende Alan
Üçgende Kenarortay Alan Ýliþkisi
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Örnek 39
�
�
�
��
��
��
�
�
��
��
��
�
�
�
�
ABD ve FBC
birer diküçgen
[AB] ⊥ [BC]
IAFI = IFBI = 3 cm
IBDI = IDCI = 8 cm
�
�
�
�
A) 6 �
�
�
Yukarýdaki verilere göre, EDC üçgeninin alaný kaç cm2
dir?
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
Çözüm
� �
�
�
��
�
��
� �
�
��
��
��
��
�
��
�
�
��
��
��
��
�
��
��
��
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
�
��
�
�
��
�
� � �
� �
��
�
��
� �
�
�
�
�
�
��
�
�
�
Alan( ABC )
=
Alan(EDC ) =
6
�
�
�
�
�
�
E noktasý ABC üçgeninin
aðýrlýk merkezi olduðundan,
EDC üçgeninin alaný
ABC üçgeninin alanýnýn
altýda biridir.
�
 Aðýrlýk merkezinden geçen herhangi bir kenara paralel
doðru, alaný 4P, 5P oranýnda böler.
�
�
��
��
�
�
16.6
2 = 8 cm2 dir .
6
YANIT: B
��
�
��
�
�
��
Örnek 40
Örnek 38
�
�
�
ABC bir üçgen
[AD] ve [BE] kenarortay
[FE] // [BC]
Alan(ABC) = 72 cm2 ise
�
�
�
Alan(BGKF) kaç
cm2 dir?
��
A) 10 �
B) 12
C) 15
D) 20
E) 24
UĞURDER YAYINLARI
74
�
�
��
�
� �
��
�
��
�
�
�
�
�
�
��
�
ABC bir üçgen
[GD] ⊥ [BC]
[GE] ⊥ [AB]
IABI = 8 cm
IBCI = 12 cm
IGDI = 2 cm
IEGI = x
IEGI = x kaç cm dir?
A) 1 B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Çözüm
Çözüm
�
�
�
�
��
��
��
ABC üçgeninin alaný þekilde
olduðu gibi bölündüðünde
Alan(ABC) = 72
24n = 72
n = 3 cm2 ve
Alan(BGKF) = 5n
= 15 cm2 olur.
�
YANIT: C
�
�
�
�
G noktasý ABC üçgeninin
aðýrlýk merkezi olduðundan
Alan(ABG) = Alan(BCG)
�
�
�
�
��
�
8. x
12.2
=
2
2
4 x = 12
x = 3 cm dir .
YANIT: C
Konu Testi
TEST – 10
IABI = 12 cm
IACI = 10 cm
IADI = 8 cm
IDEI = 3 cm
�
�
��
�
�
�
�
ABC eşkenar üçgeninin çevresi 30 cm olduğuna
göre, taralı alan kaç cm2 dir?
A) 24 3 – 6
A) 52
D) 25 3 – 6 E) 25 3 – 12
B) 54
2.
C) 55
�
E) 58
�
�
�
�
D) 56
ABC bir üçgen
[DE] ⊥ [AB]
[DF] ⊥ [AC]
IDEI = IDFI = 4 cm
�
�
Şekilde IABI + IACI = 24 cm olduğuna göre, ABC
alanı kaç cm2 dir?
B) 36
C) 48
D) 54
��
�
�
�
�
�
�
�
�
A) 5
B) 12
C) 14
ABC bir diküçgen
[AB] ⊥ [AC]
[AH] ⊥ [BC]
IABI = 6 cm
IACI = 8 cm
IADI = 3 cm
D) 15
��
�
�
�
�
�
A) 4 3 E) 10
ABC bir üçgen
IABI = IACI
m(ADB) = 45°
IBDI = 14 cm
IDCI = 6 cm
��
��
�
� �
�
Yukarıdaki verilere göre, ABD üçgeninin alanı kaç
cm2 dir?
A) 21
B) 24
C) 28
D) 35
E) 42
B) 7 C) 3 6 D) 2 15 E) 3 7
ABC bir üçgen
�
m(ABC) = 60°
IADI = IACI
IBDI = 2 cm
IDCI = 6 cm
�
�
D) 9
E) 16
ABC bir diküçgen
[AB] ⊥ [BC]
IADI = IDCI = 8 cm
IACI = 12 cm
IABI = x
�
C) 8
�
8.
4.
B) 6
E) 60
Yukarıdaki verilere göre, taralı alan kaç cm2 dir?
A) 10
�
��
cm2 dir?
�
ABC bir üçgen
[AD] ⊥ [AC]
IADI = IACI
IABI = 10 cm
IDCI = 12 cm
�
7.
3.
C) 25 3 – 4
B) 12 3 + 12 6.
�
�
A) 24
�
�
Şekilde ABC üçgeninide [AD] ⊥ [AC] ve [DE] ⊥ [AB]
olduğuna göre, ABC üçgeninin alanı kaç cm2 dir?
ABC eşkenar üçgen
[DB] ⊥ [DE]
IBEI = IECI
IDEI = 3 cm
�
�
�
�
�
��
� �
�
�
Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin alanı kaç
cm2 dir?
A) 12 3 B) 24
D) 36 E) 24 3 C) 20 3 UĞURDER YAYINLARI
1.
5.
75
9.
�
ABC bir diküçgen
[AB] ⊥ [BC]
IABI = IBCI
��
IADI = 7 2 cm
�
IDCI = 5 2 cm
��
�
Konu Testi
13.
�
�
Yukarıdaki verilere göre, DBC üçgeninin alanı kaç
cm2 dir?
B) 25
C) 27
D) 30
�
ABC bir üçgen
IAEI = 2 cm
IEBI = 6 cm
IBDI = 8 cm
IDCI = x
�
�
A) 24
�
�
�
AEDC dörtgeninin alanı ile EBD üçgeninin alanı eşit
olduğuna göre, x kaç cm dir?
E) 36
A)
8
3
B) 3
14.
10.
��
�
�
ABC bir dik üçgen
[AB] ⊥ [AC]
3IBCI = 5.IDEI
IABI = 9 cm
IACI = 10 cm
�
�
�
B) 24
C) 27
D) 30
�
�
�
�
m(DAE) = 30°
IBDI = IDEI = IECI
IADI = 7 cm
IAEI = 8 cm
��
�
�
�
A) 12
B) 15
�
�
12.
UĞURDER YAYINLARI
D) 18
E) 24
ABC bir üçgen
[AE] ⊥ [BD]
IADI = IDCI
IAEI = 4 cm
IBEI = 9 cm
�
�
�
�
�
Yukarıdaki verilere göre, EBC üçgeninin alanı kaç
cm2 dir?
A) 12
�
B) 16
B) 35
C) 42
D) 56
E) 70
C) 18
16.
�
76
C) 16
D) 24
E) 36
cm2 dir?
A) 28
�
�
�
�
E) 5
E) 35
ABC bir üçgen
�
�
�
9
2
ABC bir üçgen
[ED] ⊥ [EF]
IBEI = 2.IAEI
IADI = 2.IDCI
IFDI = 2.IBFI
IEDI = 8 cm
IEFI = 4 cm
�
�
15.
11.
D)
cm2 dir?
Yukarıdaki verilere göre, ADE üçgeninin alanı kaç
cm2 dir?
A) 20
C) 4
�
�
�
�
�
�
�
[AC] ∩ [BD] = {E}
[BC] ⊥ [CD]
IAEI = IECI
IBCI = 9 cm
IDCI = 4 cm
B) 16
�
�
�
�
�
A) 8
B) 10
C) 12
D) 15
E) 16
�
cm2 dir?
A) 12
�
ABC bir üçgen
[DH] ⊥ [BH]
[DK] ⊥ [AB]
IADI = IDCI
2.IDHI = 3.IDKI
IABI = 24 cm
C) 18
D) 24
E) 27
1- E
7- C
13- C
2- C
8- C
14- D
3- D
9- D
15- C
4- E
10- C
16- E
5- D
11- C
6- B
12- C
Konu Testi
TEST – 11
ABC bir üçgen
[CE] ∩ [BD] = {F}
IADI = 2.IDCI
IAEI = IEBI
�
�
�
�
�
�
B) 16
C) 18
D) 20
Yukarıdaki verilere göre, IAHI = h kaç cm dir?
��
�
�
�
�
�
�
�
�
m(ABD) = 45°
C) 6
D) 4 3 E) 8
ABC bir üçgen
[AD] kenarortay
IABI = c
IABI = b
�
�
�
�
�
B) 32
�
�
�
C) 36
D) 48
��
B) 12
7.
�
�
�
�
�
�
�
Şekle göre, ABC üçgeninin içteğet çemberinin
yarıçapı kaç cm dir?
B)
5
C)
8.
6
�
�
�
D) 7 E) 2 2
ABC bir dörtgen
[AB] ⊥ [BC]
[AD] // [EC]
IAEI = 9 cm
IBCI = 6 cm
�
Yukarıdaki verilere göre, taralı alan kaç cm2 dir?
A) 24 – 11 2 �
��
E) 60
[AB] ⊥ [AC]
IABI = 6 cm
IACI = 8 cm
IDBI = 5 cm
IDCI = 7 cm
�
D) 6 5 E) 18
ABC bir üçgen
IABI = 8 cm
IACI = 10 cm
IBCI = 12 cm
��
�
A) 2
4.
C) 8 3 �
�
Yukarıdaki verilere göre, OBC üçgeninin alanı kaç
cm2 dir?
A) 8 2 �
b + c = 24 cm olduğuna göre, ABD üçgeninin alanı
en çok kaç cm2 dir?
A) 24
ABC bir üçgen
O noktası içteğet
çemberin merkezi
IABI = 7 cm
IACI = 9 cm
IBCI = 12 cm
�
�
�
B) 4 2 3.
ABC bir üçgen
A) 4
C) 3 2
21
E) 24
m(DBC) = 30°
IADI = IDCI
IBCI = 8 cm
��
��
�
�
A) 15 B) 4
D) 2 5 E)
6.
2.
ABC bir üçgen
[AH] ⊥ [HC]
IABI = 5 cm
IACI = 11 cm
IBCI = 8 cm
IAHI = h
�
ABD üçgeninin alanı 24 cm2 olduğuna göre, AEC
üçgeninin alanı kaç cm2 dir?
A) 12
�
B) 24 – 4 7 C) 24 – 74
D) 24 – 2 66 E) 24 – 5 7
�
�
�
�
Yukarıdaki verilere göre, DEC üçgeninin alanı kaç
cm2 dir?
A) 18
B) 24
C) 27
D) 30
E) 36
UĞURDER YAYINLARI
1.
5.
77
9.
�
ABC bir üçgen
[AH] ⊥ [BC]
[DH] // [AB]
IAHI = 12 cm
IBHI = 6 cm
�
�
�
�
Konu Testi
B) 30
C) 36
�
�
D) 48
ABD ve EBC
birer üçgen
[AD] ⊥ [BC]
IAEI = IEBI
2.IBDI = 3.IDCI
�
�
cm2 dir?
A) 24
13.
�
�
Yukarıdaki verilere göre, ABD üçgeninin alanının
EBC üçgeninin alanına oranı kaçtır?
E) 72
A)
2
3
B)
5
6
C) 1
14. �
10.
ABC bir üçgen
[AB] ⊥ [AD]
IABI = IACI
IBDI = 15 cm
IDCI = 9 cm
�
�
��
�
�
�
B) 18
C) 20
�
�
11.
�
�
�
�
A) 36
B) 8
B) 45
C) 48
D) 60
�
�
�
�
�
�
�
�
Şekilde DBF ve EFC üçgenlerinin alanları eşit olduğuna göre, x kaç cm dir?
�
C) 12
A) 9
D) 16
E) 18
B) 12
16.
C) 15
D) 16
�
12.
�
UĞURDER YAYINLARI
78
ABC bir diküçgen
[AC] ⊥ [BC]
IAEI = IEBI
m(EDB) = 45°
IEDI = 4 2 cm
IDCI = 3 cm
�
��
�
�
�
�
�
E) 18
ABC bir üçgen
[DE] // [BC]
[DK] ⊥ [KE]
E) 72
ABC bir üçgen
[BE] ∩ [CD] = {F}
IADI = 12 cm
IAEI = 16 cm
IBDI = 9 cm
IECI = x
��
��
Yukarıdaki verilere göre, ADC üçgeninin alanı kaç
cm2 dir?
A) 6
�
E) 27
ABC bir diküçgen
[AB] ⊥ [AC]
IABI = IADI
IBDI = 4 cm
IDCI = 6 cm
�
3
2
Yukarıdaki verilere göre, AEC üçgeninin alanı kaç
cm2 dir?
15.
E)
�
D) 24
6
5
ABC bir üçgen
[AB] ⊥ [BC]
[DE] // [AB]
IBCI = 16 cm
IDEI = 6 cm
�
cm2 dir?
A) 12
D)
�
�
IADI 3
=
IDBI 2
IDKI = 6 cm
IKEI = 4 cm
cm2 dir?
A) 36
B) 48
C) 50
D) 54
E) 60
��
�
� � �
Yukarıdaki verilere göre, EBD üçgeninin alanı kaç
cm2 dir?
A) 18
B) 22
C) 24
D) 27
E) 28
1- C
2- B
7- D
8- C
13- D 14- C
3- C
9- C
15- B
4- D
10- E
16- C
5- E
11- C
6- D
12- B
Konu Testi
TEST – 12
1.
5.
ABC bir üçgen
�
m(BED) = m(ACB)
IACI = 20 cm
IEDI = 8 cm
�
��
�
�
�
�
EBD üçgeninin alanı 12 cm2 olduğuna göre, AEDC
dörtgeninin alanı kaç cm2 dir?
A) 45
�
�
�
B) 50
C) 56
D) 60
�
cm2 dir?
A) 24
2.
�
ABC bir üçgen
[DE] // [BC]
Alan (ADE)
4
=
Alan (BCED) 5
�
�
B) 27
C) 30
D) 32
E) 36
E) 63
6.
[AB] // [DC]
Alan(ABE) = 45 cm2
Alan(DEC) = 20 cm2
�
�
�
�
�
�
ABC bir üçgen
[AB] ^ [AC]
[AD] ^ [BC]
IBHI = IHDI
IAHI = 6 cm
�
Yukarıdaki şekle göre,
A)
3.
�
2
5
4
C) 3
B) 1
��
�
�
�
3
D) 2
[AB] ⊥ [BC]
[DC] ⊥ [BC]
[AE] ⊥ [ED]
7.
�
m(DAE) = 30°
��
C) 12 3 D) 24
�
�
B) 124 C) 128
D) 136
C) 18
D) 24
E) 36
ABC bir üçgen
[AB] ^ [AC]
[AD] ^ [BC]
�
��
m(CDA) = 45°
IACI = 12 cm
E) 144
�
Yukarıdaki verilere göre, DCB üçgeninin alanı kaç
cm2 dir?
A) 72
8.
�
cm2 dir?
A) 120
E) 16 3
ABC bir üçgen
[AB] // [ED]
[AC] // [FD]
Alan(FBD) = 50 cm2
Alan(EDC) = 18 cm2
�
�
B) 16
�
�
A) 12
�
B) 16
4.
Yukarıdaki verilere göre, HDC üçgeninin alanı kaç
cm2 dir?
E) 2
Şekilde ABE üçgeninin alanı 48 cm2 olduğuna göre,
ECD üçgeninin alanı kaç cm2 dir?
A) 12
IADI
oranı kaçtır?
IDBI
�
B) 84
C) 96
D) 120
�
�
�
�
�
��
�
E) 144
ABC bir diküçgen
[BD] açıortay
[AB] ^ [AC]
IBEI = IEDI
IADI = 4 cm
IBCI = 12 cm
cm2 dir?
A) 6
B) 8
C) 12
D) 18
E) 24
UĞURDER YAYINLARI
�
79
9.
�
��
ABC bir diküçgen
[BD] ve [CD]
birer açıortay
[AB] ^ [AC]
IAHI = 12 cm
IACI = 16 cm
��
�
�
Konu Testi
13.
�
�
cm2 dir?
A) 42
B) 40
C) 39
D) 36
ABC bir diküçgen
G ağırlık merkezi
[AB] ⊥ [BC]
IABI = 9 cm
IBCI = 10 cm
�
�
�
��
Yukarıdaki verilere göre, AGC üçgeninin alanı kaç
cm2 dir?
E) 32
A) 9
14.
10.
�
�
�
ABC bir üçgen
�
�
�
�
m(EAC) = m(DAC)
[AD] ^ [BE
IABI = 8 cm
IADI = 4 cm
cm2 dir?
A) 16
B) 12
C) 8
D) 6
B) 10
�
�
�
�
�
A) 18
B) 24
B)
9
4
UĞURDER YAYINLARI
12.
80
�
�
�
�
[BE] ve [CD], ABC üçgeninin kenarortayları olduğuna göre, DFE üçgeninin alanı kaç cm2 dir?
�
A) 2
C)
5
2
D) 3
E)
7
2
16.
B) 3
C) 4
D) 6
�
�
�
��
�
ABC bir üçgen
[AD] açıortay
Alan(ABD) = 12 cm2
Alan(ADC) = 18 cm2
��
�
2
5
B)
4
9
C)
9
16
D)
2
3
E)
3
4
�
�
�
� �
�
�
E) 8
�
�
ABC bir üçgen
[GD] ⊥ [BC]
[GE] ⊥ [AC]
[GF] ⊥ [AB]
IGDI = 4 cm
IGFI = x
IGEI = y
Şekilde G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir.
IABI IACI IBCI
ise x + y toplamı kaç cm dir?
=
=
10
12
15
A) 8
�
Şekilde EBA ve ACF birer eşkenar üçgen olduğuna
göre, EBA üçgeninin alanının ACF üçgeninin alanına oranı kaçtır?
A)
�
�
�
E) 36
ABC bir diküçgen
[AB] ^ [AC] IADI = IDBI = 4 cm
IAEI = IECI = 6 cm
�
�
D) 30
�
�
C) 27
Şekilde ABC üçgeninin çevresi 32 cm ve alanı 48 cm2
olduğuna göre, x kaç cm dir?
A) 2
�
Yukarıdaki verilere göre, BDFE dörtgeninin alanı
kaç cm2 dir?
�
�
E) 18
ABD ve EBC birer üçgen
[AD] ⊥ [CE]
IADI = 9 cm
ICEI = 12 cm
�
E) 4
ABC bir diküçgen
[ED] ve [CD]
birer açıortay
[DE] ^ [BC]
IDEI = x
D) 15
�
15.
�
C) 12
11.
�
1- E
7- A
13- D
B) 9
2- E
8- C
14- B
3- B
9- B
15- C
C) 10
4- C
10- A
16- D
D) 11
5- C
11- D
E) 12
6- C
12- B
Uğurlu Sayfa
SÝZE ÖZEL SORULAR
1. Bir kutuda ikisi kýrmýzý, üçü mavi renkte olan beþ þapka vardýr. Bu þapkalardan herhangi üçü yüzleri bir duvara dönük olarak arka arkaya duran gözleri
kapalý üç kiþiye giydiriliyor. Ali, Veli ve Selami adýndaki bu kiþiler kutudaki
þapkalarýn ikisinin kýrmýzý ve üçünün mavi olduðunu biliyorlar. Baþlarýna birer
þapka konduktan sonra gözlerini açan üç kiþi kendi þapkalarýnýn rengini görmüyorlar. Ancak Ali, Veli ile Selami’nin; Veli ise Selami’nin þapkasýnýn rengini
görüyor. (Duvar ayna gibi yansýtmýyor.)
��
��
��
Önce Ali, “Ben baþýmdaki þapkanýn rengini bilmiyorum.” der. Bunun üzerine Veli: “Ben de baþýmdaki þapkanýn rengini bilmiyorum.” der. Selami, çok zeki olan Ali ve Veli’nin bu sözlerini duyunca: “Ben baþýmdaki þapkanýn rengini biliyorum.” der ve
doðru olarak söyler.
Acaba Selami’nin baþýndaki þapkanýn rengi nedir? Selami bunu hangi mantýkla bulmuþtur?
2. Bir manav eþit kollu terazi ile sadece 4 çeþit demir kütle kullanarak
1 kilogramdan 40 kilograma kadar istenen her kütlede meyve ya da
sebzeyi tek tartýda verebilmektedi.
Manavýn elindeki bu dört çeþit kütle kaçar kilogramlýktýr?
1. DERGÝDEKÝ SÝZE ÖZEL SORULARIN ÇÖZÜMLERÝ
1.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
Vezir keselere A, B, C, ... gibi isimler verir. A dan 1, B den 2, C den 3, ... , L den 10 yüzük olmak üzere toplam 55 yüzüðü
alýr ve tartar. Eðer yüzüklerin tümü 10 ar gram olsaydý toplam 10 . 55 = 550 gram olacaktý. Yüzüklerin toplam kütlesi 550
gramdan kaç gram eksik ise o kadar yüzük alýnan torbadaki yüzükler 9 ar gram demektir.
Örneðin, 55 yüzüðün toplam kütlesi 547 olsun. 550 – 547 = 3 gram eksik olduðundan 3 tane yüzük alýnan C torbasýndaki
yüzükler 9 ar gramdýr.
� �
� � �
��
�
�
�
��
� � �
�
��
� �
�
� � � � � � � � �
�
�
Oflular O ve Rizeliler R harfiyle gösterilirse; diziliþ
þekli, baþlama yeri ve yönü þekildeki gibi olur?
4.
��
�
�
�
�
x2 – y2 = 372
(x – y).(x + y) = 1369
1 . 1369 = 1369
x – y = 1 ⇒ y = 684
x + y = 1369
2x = 1370
x = 685
O halde, hipotenüsün
uzunluðu
x = 685 birimdir.
3. Ali’yi Bursa’lı kabul edelim. 1. önermeye göre; Ali Bursalı ise Cem (Tokatlı değil) Konya’lı ve Bülent Tokat’lıdır. Bu önerme,
2. önerme olan “Bülent Tokatlı ise Cem Bursalı’dır.” ifadesiyle çeliştiği için; Ali Bursa’lı değildir.
Ali’yi Konya’lı kabul edelim. 3. önermeye göre; Ali Konya’lı ise Bülent Bursa’lı ve Cem Tokatlı’dır. Bu önerme, 4. önerme
olan “Cem Tokat’lı ise Ali Konya’lı değildir.” ifadesiyle çeliştiği için; Ali Konya’lı da değildir. O halde, Ali Tokat’lıdır.
Ali Tokat’lı iken; 5. önerme olan “Ali Konya’lı değil ise Bülent de Bursa’lı değildir.” ifadesinin doğru olması için, Bülent’in
(Bursa’lı olmaması) Konyalı olması gerekir.
Buna göre; Ali Tokat’lı, Bülent Konya’lı ve Cem Bursa’lıdır.
UĞURDER YAYINLARI
2. 81
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��

UĞUR`DAN SİZE

Transkript

Benzer belgeler

matematik ödevim - Kartanelerim.com

2005 öss sınavı- matematik soru ve çözümleri

8kek neden “Kek dünyasında tek”? 8kek için geliştireceğin yepyeni

SEN de dene...Origami