potansiyel alan verilerinin kesirsel mertebe türevler ile

Transkript

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
POTANSİYEL ALAN VERİLERİNİN KESİRSEL MERTEBE
TÜREVLER İLE DEĞERLENDİRİLMESİ
Muzaffer Özgü ARISOY
JEOFİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI
ANKARA
2012
Her Hakkı Saklıdır
ÖZET
Doktora Tezi
POTANSİYEL ALAN VERİLERİNİN KESİRSEL MERTEBE
TÜREVLER İLE DEĞERLENDİRİLMESİ
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı
Danışman: Doç. Dr. Ünal DİKMEN
Diğer jeofizik yöntemlerde olduğu gibi gravite ve manyetik problemlerin çözümünde
temel amaç belirtiye neden olan yeraltı yapılarının fiziksel ve geometrik özelliklerinin
belirlenmesidir. Yeraltı yapılarının yatay yönde kenarlarının belirlenmesi ve
görüntülenmesi günümüzde oldukça popüler bir konudur. Bu amaçla 1970’li yıllara
kadar verinin yatay ve düşey türevleri kullanılırken, geliştirilen sınır belirleme
süzgeçleri yatay ve düşey türevlere göre daha yaygın kullanılır hale gelmiştir. Sınır
belirleme süzgeçleri verinin tamsayı mertebeli yatay ve düşey türevlerinin
hesaplanmasını gerektirmektedir. Bu süzgeçlerin zayıf yönleri; gürültü varlığını
kuvvetlendirmeleri ve derin veya düşük fiziksel özellik sunan yapılara ait sınırların
belirlenmesinde yetersiz kalmalarıdır. Bu süzgeçlerin zayıf yönlerinin üstesinden
gelebilmek için çeşitli yöntemler önerilmiştir.
Bu tez çalışmasında, tamsayı mertebeli yatay ve düşey türevlerin hesaplanmasını
gerektiren sınır belirleme süzgeçleri kesirsel mertebeli türevler kullanılarak model ve
arazi verileri üzerinde sınanmıştır. Sınır belirleme süzgeçlerinin geleneksel
kullanımlarıyla kesirsel mertebeden türevler ile kullanımları kıyaslandığında, kesirsel
mertebeden türev kullanımının başarılı sonuçlar verdiği görülmüştür. Tez çalışması
kapsamında yatay yönde kaymayı engellemek için “faz uyarlanmış kesirsel mertebeli
yatay türev süzgeci” adı verilen bir süzgeç önerilmiştir. Bununla birlikte, potansiyel
alan verilerinin modellenmesi, süzgeçlenmesi ve görselleştirilmesi amacıyla MATLAB
programlama dilinde POTENSOFT adı verilen bir yazılım geliştirilmiştir.
Haziran 2012, 78 sayfa
Anahtar Kelimeler: Gravite ve Manyetik Veri, Kesirli Mertebe Türev, Yatay Türev,
Düşey Türev, Sınır Belirleme, Dalgasayısı Ortamı Süzgeç.
i
ABSTRACT
Ph.D. Thesis
EVALUATION OF POTENTIAL FIELD DATA
USING FRACTIONAL ORDER DERIVATIVES
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Geophysical Engineering
Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ünal DİKMEN
Like the other geophysical methods, the main purpose in solving the gravity and
magnetic problems is to identify the physical and geometrical properties of the
subsurface structures that cause the magnetic or gravity anomalies. Nowadays, the
matter of identification as well visualization of boundaries of the subsurface structures
in horizontal directions is popular. For this purpose, the vertical and horizontal
derivatives of the gravity or magnetic data have been used till 1970s and since then, the
edge detection filters have improved and are preferred rather than the horizontal and
vertical derivative schemes. The edge detection filters involve integer order vertical and
horizontal derivatives of the data. The main disadvantage of these kinds of filters is that
they enrich the noise and hence, fail on detecting the boundaries of the subsurface
structures buried deep or with indistinct gravity or magnetic properties. To overcome
the troubles with these filters, various techniques were proposed.
In this thesis, the filters involving the integer order vertical and horizontal derivatives is
tested with fractional order vertical and horizontal derivatives on both synthetic and
field data. Comparing the fractional order differentiation with the traditional edge
detection filters, successful results are achieved with the fractional order differentiation.
In the frame of the thesis, a new type of filter named "phase adapted fractional order
horizontal derivative filter" is proposed to overcome the shifting problem in horizontal
directions. In addition, a MATLAB based computer code named POTENSOFT is
developed for modeling, filtering and visualization of the potential field data.
June 2012, 78 pages
Key Words: Gravity and Magnetic Data, Fractional Order Derivative, Horizontal
Derivative, Vertical Derivative, Edge Detection, Wavenumber Domain Filter.
ii
TEŞEKKÜR
Doktora tez çalışmamın her aşamasında engin bilgi birikimi, yakın ilgi ve önerileri ile
beni yönlendiren tez danışmanım Doç. Dr. Ünal DİKMEN’e (Ankara Üniversitesi,
Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı) sonsuz teşekkür ederim.
Tez çalışmam süresince, bilgisinin yanı sıra işine olan saygısı ve insani özelliklerinden
edindiğim kazanımların benim için oldukça kıymetli olduğunu özellikle belirtmek
isterim. Tez izleme komitemde yer alan ve kendime her zaman bilim adamı olarak
örnek aldığım değerli hocam Prof. Dr. Ahmet TUĞRUL BAŞOKUR’a (Ankara
Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı) sonsuz
teşekkür ederim. Doktora çalışmam boyunca katkı ve eleştirileriyle daima beni
yönlendirmiş ve doktora çalışması dışındaki çalışmalarımda yanımda olmuş ve beni
cesaretlendirmiştir. Değerli fikirleri ile tez çalışmamın olgunlaşmasında çok büyük
katkıları olan ve tez izleme komitemde yer alan sayın Doç. Dr. Ziya TELATAR’a
(Ankara Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı)
şükranlarımı sunarım. Ders aşaması zamanında kendisinden aldığım Sayısal Görüntü
İşleme I ve Sayısal Görüntü İşleme II dersleri hem tez çalışmama büyük katkıda
bulunmuştur hem de tez çalışması dışında farklı alanlara ilgi göstermeme neden
olmuştur. Tez jüri üyeleri sayın Prof. Dr. Abdullah ATEŞ’e (Ankara Üniversitesi,
Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı) ve sayın Doç. Dr. Bülent
ORUÇ’a (Kocaeli Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Anabilim
Dalı) katkılarından dolayı teşekkür ederim.
Bugünlere gelmemde üzerimde emeği en büyük olan annem ve babama ayrıca teşekkür
ederim. Doktora çalışmam boyunca her zaman sevgi ve desteklerini yanımda
hissettiğim sevgili eşim Ebru ARISOY teşekkürlerin en büyüğüne layıktır. Tez
çalışmasına başladığım ilk günlerde aramıza katılan oğlum Demir ARISOY manevi
çalışma kaynağım olmuştur.
Ankara, Haziran 2012
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET..………...…………………………………………………………….….....
ABSTRACT.…………………………………………………………….......…....
TEŞEKKÜR..………………………………………………………………..……
SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ………………………….………...
ŞEKİLLER DİZİNİ....……………………………………………………..….....
1. GİRİŞ..……………………...…………………………………………………..
2. POTANSİYEL ALAN VERİLERİNİN YORUMLANMASINDA TEMEL
İŞLEMLER…………………………………………………………………….
2.1 Yapma Gravite Dönüşümü….……….……………………………………....
2.2 Kutba İndirgeme……………………………………………………………..
2.3 Analitik Uzanım………………………………………………………………
2.4 Bölgesel-Yerel Ayrım………………………………………………………...
2.5 Dalga Sayısı Ortamı Süzgeçler………………………………………………
2.6 Yönlü Süzgeçler………………………………………………………………
2.7 Potansiyel Alan Verilerinin Değerlendirilmesinde Kullanılan Bilgisayar
Yazılımları………………………………………………………………….....
3. POTANSİYEL ALAN VERİLERİNDE SINIR BELİRLEME.....................
4. KESİRLİ MERTEBEDEN TÜREV KAVRAMI............................................
4.1 Tamsayı MertebeliTürev ve İntegralin Ortak Yazımı………………..........
4.2 GL Kesirli Mertebe Türev…………………………………………………...
4.3 RL Kesirli Mertebe Türev…………………………………………………...
4.3.1 RL kesirli mertebe türevin dalgasayısı ortamı ifadesi…………………...
4.4. Caputo Kesirli Mertebe Türev……………………………………………...
5. POTANSİYEL ALAN VERİLERİNİN KESİRLİ MERTEBEDEN
TÜREVLERİ....................................................................................................
6. TARTIŞMA VE SONUÇLAR………….…………………………………….
KAYNAKLAR……………………………………………………………………
EKLER……………………………………………………………………………
EK 1 BİR FONKSİYONUN n. MERTEBEDEN TÜREVİ……………………
EK 2 n KATLI İNTEGRALİN GENEL YAZIMI……………………………..
EK 3 GAMMA FONKSİYONU…………………………………………………
ÖZGEÇMİŞ……………………………………………………………………....
iv
i
ii
iii
v
vi
1
4
7
8
9
11
12
13
15
17
33
34
35
36
40
42
43
61
63
70
71
73
75
78
SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ
x
y
z
RL
GL
2B
3B
kx
ky
k
P ( x, y )
F
TYT
AS
GAS
DAS
Potansiyel alan verisi x-yönlü yatay türevi
Potansiyel alan verisi y-yönlü yatay türevi
Potansiyel alan verisi düşey türevi
Riemann-Liouville
Grünwald-Letnikov
İki-boyut
Üç-boyut
x doğrultusundaki dalgasayısı
y doğrultusundaki dalgasayısı
Dalgasayısı
Potansiyel alan
Fourier Dönüşümü
Toplam yatay türev
Analitik sinyal
Geliştirilmiş analitik sinyal
Dengelenmiş analitik sinyal
v
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 2.1
Şekil 2.2
Şekil 2.3
Şekil 2.4
Şekil 2.5
Şekil 2.6
Şekil 2.7
Şekil 3.1
Şekil 3.2
Şekil 3.3
Şekil 3.4
Şekil 3.5
Şekil 3.6
Şekil 3.7
Şekil 3.8
Şekil 3.9
Şekil 4.1
Şekil 4.2
Şekil 4.3
Şekil 4.4
Şekil 4.5
Şekil 5.1
Histogram dengeleme ve Lambertian yansıtıcı yöntemleriyle
manyetik alan görüntü haritalarının iyileştirilmesi…………………..
Yapma gravite dönüşümünün manyetik model verisi üzerinde
sınanması…………………………………………………………….
Kutba indirgeme yönteminin manyetik model verisi üzerinde
sınanması…………………………………………………………….
Aşağı ve yukarı uzanım süzgeçlerinin manyetik model verisi
üzerinde sınanması…………………………………………………...
Gravite model verisinden ikinci dereceden bir polinom yüzeyinin
çıkarılması ile bölgesel-yerel ayrım yapılması………………………
Geleneksel dalga sayısı ortamı süzgeçlerin genlik spektrumlarına ait
3B perspektif görüntüler. Alçak ve yüksek geçişli durumda
süzgeçlerin kesme dalga sayıları 0.25 rad/km olarak seçilmiştir……
Yönlü yatay türev süzgecinin farklı azimut açıları için gravite model
verisi üzerinde sınanması…………………………………………….
2B durum için birinci ve ikinci mertebeden yatay türev süzgecinin
dalga sayısı ortamı davranışları……………………………………...
3B durum için birinci ve ikinci mertebeden x-yönlü ve y-yönlü
yatay türev süzgeçlerinin dalga sayısı ortamı davranışları………….
Birinci ve ikinci mertebeden düşey türev süzgeçlerinin dalga sayısı
ortamı davranışları…………………………………………………...
Birinci ve ikinci mertebeden düşey türevin sıfırlarını kullanarak
yeraltı yapılarının sınırlarının belirlenmesi………………………….
Birinci ve ikinci mertebeden yatay ve düşey türev süzgeçlerinin
gürültü eklenmemiş ve gürültü eklenmiş manyetik model verisine
uygulanması………………………………………………………….
TYT ve AS süzgeçlerinin gürültü eklenmemiş ve gürültü eklenmiş
2B manyetik model verisine uygulanması…………………………..
AS ve GAS süzgeçlerinin manyetik model verisi üzerinde
sınanması…………………………………………………………….
TYT, AS, eğim açısı ve yatay eğim açısı süzgeçlerinin geometrik
anlamı………………………………………………………………..
Sınır belirleme süzgeçlerinin manyetik model verisi üzerinde
sınanması ve birbirleriyle karşılaştırılması…………………………..
Grünwald katsayılarının türev mertebesine bağlı değişimi………….
RL kesirli türev hesabı için şematik gösterim……………………….
Bir fonksiyonun 2.3. mertebeden RL kesirli türev hesabı…………...
[0,1] aralığında 0.1 adımla hesaplanan RL integral çekirdek
fonksiyonu davranışı………………………………………………...
[0.25,2] aralığında 0.25 adımla hesaplanan RL kesirli türevi
dalgasayısı ortamı görüntüleri……………………………………….
Kesirli mertebeden yatay türev süzgeçlerinin gürültü eklenmemiş ve
gürültü eklenmiş manyetik model verisine uygulanması……………
vi
6
8
9
10
12
13
14
18
19
21
22
23
25
27
29
31
36
37
38
39
41
45
Şekil 5.2
Şekil 5.3
Şekil 5.4
Şekil 5.5
Şekil 5.6
Şekil 5.7
Şekil 5.8
Şekil 5.9
Şekil 5.10
Şekil 5.11
Şekil 5.12
Şekil 5.13
Kesirli mertebeden düşey türev süzgeçlerinin gürültü eklenmemiş
ve gürültü eklenmiş manyetik model verisine uygulanması…………
Dalgasayısı ortamında faz uyarlanmış kesirli mertebeden yatay
türev süzgecinin kurulması…………………………………………..
Kuramsal manyetik alan verisinin [0.25,1] aralığında 0.25 adımla
hesaplanan yatay, düşey ve faz uyarlanmış yatay türev eğrileri……..
TYT süzgecinin tamsayı ve kesirli mertebeden türev kullanımı ile
manyetik model verisi üzerinde sınanması…………………………..
AS süzgecinin tamsayı ve kesirli mertebeden türev kullanımı ile
manyetik model verisi üzerinde sınanması…………………………..
GAS süzgecinin tamsayı ve kesirli mertebeden düşey türev
kullanımı ile manyetik model verisi üzerinde sınanması……………
Eğim açısının toplam yatay türevi süzgecinin kesirli mertebeden
türev kullanımı ile gürültü eklenmemiş ve gürültü eklenmiş
manyetik model verisine uygulanması………………………………
Kesirli mertebeden türevlerin kullanımı ile TYT süzgecinin
manyetik model üzerinde sınanması…………………………………
Kesirli mertebeden türevlerin kullanımı ile AS süzgecinin manyetik
model üzerinde sınanması……………………………………………
Kesirli mertebeden türevlerin kullanımı ile eğim açısının toplam
yatay türevi süzgecinin manyetik model üzerinde sınanması………..
Kesirli mertebeden türevler ile TYT süzgecinin arazi verisinde
sınanması…………………………………………………………….
Kesirli mertebeden türevlerin kullanımı ile eğim açısı süzgecinin
arazi verisi üzerinde sınanması………………………………………
vii
46
47
48
49
50
51
53
54
55
56
58
60
1. GİRİŞ
“Gravite ve manyetik yöntemler” literatürde “Potansiyel alan yöntemleri” başlığı altında
birleştirilir. Dolayısıyla “gravite ve manyetik veriler” bu tez çalışmasının başlığında
olduğu gibi “potansiyel alan verileri” olarak anılır. Bunun nedeni, gravite (yer-çekim)
ve manyetik alanın kendilerine özgü bir matematiksel bağıntı ile ifade edilen
potansiyellerden türetilmesidir.
Gravite ve manyetik yöntemler, jeofizikte kullanılan ilk yöntemlerdendir. Gravite
yönteminin temelini kayaçlar arasındaki yoğunluk farkları oluşturur. Kayaçlar
arasındaki yoğunluk değişiminin dar bir genlik aralığında gözlenmesinden dolayı
gravite belirtileri düzgün ve tekdüze değişimler sunar. Gravite yöntemi; yerkürenin
şeklinin, yapısının araştırılmasında ve arama amaçlı kullanılan bir yöntemdir. Arama
amaçlı araştırmalarda petrol, maden araştırmaları, tuz domları, yeraltı boşluklarının
araştırılması, tektonik ve arkeolojik araştırmalar gibi konularda sıklıkla kullanılır.
Gravite çalışmaları karanın dışında havadan ve denizden de yapılabilmektedir. Son
yıllarda üretilen gravite aletleri arazide veri toplamada hız ve yüksek duyarlılık
sunmaktadır.
Manyetik yöntemin amacı; yerkürede manyetik özellik sunan yeraltı yapılarının ve
dağılımlarının araştırılmasıdır. Yöntemde bir yeraltı yapısının belirti verebilmesi için
etrafındaki yapıya/yapılara göre farklı manyetik duyarlık sunması gerekir. Petrol ve
doğalgaz aramaları gibi derin kaynaklı yapıların incelenmesinden, arkeoloji gibi sığ
yüzey araştırmalarına kadar, arama derinliği geniş aralıkta değişen bir yöntemdir.
Manyetik arama çalışmaları gravite yöntemine benzer şekilde karadan, havadan ve
denizden yapılabilmektedir. Veriler günümüzde sürekli kayıt şeklinde ve yeni nesil
manyetik cihazlarla hızlı ve yüksek hassasiyetli toplanabilmektedir. Bunun neticesi
olarak, manyetik yöntem özellikle maden aramalarında ve arkeoloji çalışmalarında en
sık tercih edilen yöntem haline gelmiştir.
1
Arazi ölçümleri ile toplanan veriye her iki yönteme özgü öncel düzeltmelerin
uygulanmasından sonra gravite ve manyetik veriler yoruma açık hale gelmektedir.
Gravite belirti haritaları önceki paragrafta açıklandığı nedenle düşük dinamik aralık
sunarlar ve gravite belirtileri kendilerine neden olan yeraltı yapılarının tam üzerinde
yeralır. Bu nedenle, gerekli düzeltmeler yapılmış gravite haritaları yorumcu tarafından
kabaca yorumlanabilir. Kabul edilebilir bir sonuca ulaşmak için izleyen bölümde verilen
geleneksel veri-işlem yöntemlerinin gravite verilerine uygulanması zorunluluğunu
unutmamak gerekir. Manyetik belirti haritalarının yorumu hem yüksek dinamik aralık
sunmaları hem de mıknatıslanmadan dolayı oluşan bozucu etkileri içermeleri nedeniyle
graviteye göre daha zordur. Gravite ve manyetik veriler farklı karakterlerde olmalarına
karşın yorumlanmaları amacıyla kullanılan veri-işlem yöntemleri aynıdır. Ancak
manyetik verilerin yorumlanmasında kullanım zorunluluğu olan farklı veri-işlem
yöntemleri bulunmaktadır.
Diğer jeofizik problemlerde olduğu gibi potansiyel alan verilerinin değerlendirilmesinde
amaç; belirtiye neden olan yeraltı yapısının/yapılarının geometrik ve fiziksel
özelliklerinin
belirlenmesi
ve
görüntülenmesidir.
Potansiyel
alan
verilerinin
değerlendirilmesinde yeraltı yapılarının yatay ve düşey yönde sınırlarının belirlenmesi
günümüzde çözülmeye çalışılan en önemli problemlerden birisidir. Bu tez kapsamında
yeraltı yapılarının yatay yönde sınırlarının belirlenmesi ve görüntülenmesi üzerine
odaklanılmıştır. Potansiyel alan verilerinde sınır analizi 1970’li yıllara kadar verinin
yatay (x ve y) ve düşey (z) türevlerinin hesaplanması ve görselleştirilmesi şeklinde
yapılmıştır. Sonraki yıllardan itibaren geliştirilen sınır belirleme süzgeçleri günümüzde
yatay ve düşey türevlere göre daha sık tercih edilmektedir. Ancak, bu sınır belirleme
süzgeçleri verinin yatay ve düşey türevlerinin hesaplanmasını gerektirir.
Bu tez çalışmasında, potansiyel alan kaynaklarının yatay sınırlarının belirlenmesinde
geleneksel olarak kullanılan tamsayı mertebeli türevler yerine kesirli mertebeden
türevlerin kullanımı önerilmiş ve kesirli mertebeden türevlerin üstün yanları
gösterilmiştir. Kesirli mertebeden türevler Riemann-Liouville (RL) kesirli türev
yaklaşımı ile hesaplanmıştır. Tamsayı mertebeli türevleri kullanan sınır belirleme
süzgeçleri kesirli mertebeden türevler ile yeniden oluşturulmuş ve sonuçlar
2
karşılaştırıldığında süzgeçlerin geleneksel kullanımlarına göre sonuçlarda iyileşme
sağlandığı gözlenmiştir.
Tezin ilk bölümünde, potansiyel alan verilerinin değerlendirilmesinde geleneksel
kullanılan uzamsal ve dalgasayı ortamı süzgeçler hakkında bilgi ve model verileri
üzerinde uygulama sonuçları verilmiştir. Potansiyel alan verilerinin modellenmesi,
süzgeçlenmesi ve görüntülenmesi için MATLAB programlama dili kullanılarak
geliştirilen POTENSOFT isimli yazılım genel özellikleri ile tanıtılmıştır.
İkinci bölümde, yeraltı yapılarının sınırlarının belirlenmesinde kullanılan türev tabanlı
yöntemlerle ilgili ayrıntılı bilgi verilmiş ve bu yöntemler model verileri üzerinde
karşılaştırılmıştır.
Üçüncü bölümde, tezin konusunu oluşturan kesirli mertebeden türev yaklaşımı
hakkında bilgi verilmiştir. Riemann-Liouville (RL) kesirli türevinin uzamsal ve
dalgasayısı ortamı karşılıkları verilmiştir.
Son bölümde, potansiyel alan verilerinin değerlendirilmesinde kesirli mertebeden
türevlerin kullanımı ile ilgili öncel çalışmalar hakkında bilgi verilmiştir. Daha sonra,
tamsayı mertebeli türevlerin hesaplanmasını gerektiren sınır belirleme süzgeçleri RL
kesirli türevleri kullanılarak model ve arazi verileri üzerinde uygulanmış ve sonuçları
tartışılmıştır.
3
2. POTANSİYEL ALAN VERİLERİNİN YORUMLANMASINDA TEMEL
İŞLEMLER
Arazi çalışmaları ile toplanan ham-veriye gerekli düzeltmelerin yapılmasından sonra
potansiyel alan verileri ölçü geometrisine bağlı olarak profil eğrileri (iki-boyutta, 2B,
ölçü) veya görüntü haritaları (üç-boyutta, 3B, ölçü) şeklinde sunulur. 3B ölçü
geometrisi ile toplanan veriler görselleştirme aşamasından önce ölçü noktalarına
dağıtılır. Bu işleme gridleme (gridding) ismi verilir. Gridleme işlemi temelde bir
interpolasyon tekniğidir. Çoğu zaman düzenli bir geometride toplananamayan gravite ve
manyetik verilerin gridlenmesi aşamasında yorumcunun probleme en uygun gridleme
yöntemini seçmesi gerekir (Briggs 1974, Hansen 1993, O’Connel vd. 2005). Görüntü
haritalarının dışında potansiyel alan verilerinin görselleştirilmesinde; kontur haritaları,
renklendirilmiş
kontur
haritaları,
yapma
renklendirme
haritaları,
kabartma
(gölgelendirme) haritaları ve 3B perspektif haritalarının kullanımı da yaygındır (Arısoy
ve Dikmen 2011). Görselleştirilmiş veri üzerinde yorumcu; fiziksel özelliğin ölçü
alanında dağılımı, veri kalitesi, olası gürültü varlığı gibi etkenleri kabaca
yorumlayabilir.
Potansiyel alan görüntü haritaları genellikle düşük genlik aralığındadır. Bu durum
manyetik alan görüntü haritalarında sıklıkla görülür. Yorum aşamasından önce
potansiyel alan görüntü haritalarının iyileştirilmesi yorumlamayı önemli ölçüde
kolaylaştırır. Sayısal görüntü işleme uygulamalarında sıklıkla kullanılan histogram
dengeleme
(eşitleme)
yöntemi
son
yıllarda
potansiyel
alan
görüntülerinin
iyileştirilmesinde kullanılmaktadır (Lili vd. 2005). Histogram eşitleme, görüntü
işlemede görüntü histogramını kullanarak görüntü karşıtlığının ayarlanması için sıklıkla
kullanılan bir yöntemdir. Yöntem, bir görüntüde düşük karşıtlık değerleriyle betimlenen
bölümlerin karşıtlık değerlerini arttırır. Bu düzeltme ile görüntüdeki parlaklık değerleri
histogram üzerinde daha iyi bir dağılım gösterir. Düşük yerel karşıtlıklı bölümlerin bir
kazanç işlemi sonrası yüksek zıtlık değerlerine taşınması göze çarpmayan bölgelerin
görünürlüğünün artmasına ve böylelikle görüntünün daha iyi yorumlanmasına olanak
sağlar (Gonzales ve Woods 2002). Diğer kullanışlı bir yol ise kabartma haritalarının
kullanımıdır. Potansiyel alan verilerinin kabartma haritalarının oluşturulması için en sık
4
kullanılan yöntem Lambertian yansıtıcı (Horn 1982) modelidir (Cooper ve Cowan
2007). Şekil 2.1’de bir toplam manyetik alan model verisine ait görüntünün histogram
dengeleme yöntemi ve Lambertian yansıtıcı modeli kullanılarak oluşturulan görüntü
haritaları gösterilmiştir. Modelde kullanılan tüm yapıların mıknatıslanma şiddetleri 1
A/m’dir. Yer manyetik alan ile mıknatıslanma yöneyinin eğim ve sapma açıları sırasıyla
90o ve 0o olarak seçilmiştir. Yapıların derinlik dağılımları şekil 2.1.b’den takip
edilebilir. Mavi renkle temsil edilen yapı diğerlerine göre daha derine yerleştirilmiş ve
şekil 2.1.c’de verilen toplam manyetik alan görüntü haritasında belirtisi fark
edilememektedir. Histogram dengeleme ve Lambertian yansıtıcı yöntemlerinin
uygulama sonuçlarında ise (Şekil 2.1.d,e) toplam manyetik alan görüntü haritası
iyileştirilmiş ve tüm yapılara ait belirtiler netleşmiştir.
Veri görselleştirme aşamasından sonra veri iyileştirme adımı gelir. Veri iyileştirme
aşaması, uzamsal veya dalgasayısı ortamı süzgeçlerin veriye uygulanması aşamasıdır.
2B uzamsal ve dalga sayısı süzgeçlerin jeofizikte en sık kullanım alanı bulduğu yer
gravite ve manyetik yöntemlerdir. Potansiyel alan verilerinin süzgeçlenmesi; jeolojik
birimlerin dokanak sınırlarının belirginleştirilmesi, veriden istenmeyen etkilerin
uzaklaştırılması, sığ veya derin etkilerin kuvvetlendirilmesi, farklı yönelimlerdeki
etkilerin ortaya çıkartılması, verideki kaymaların ortadan kaldırılması gibi amaçlarla
kullanılmaktadır (Byerly 1965, Fuller 1967, Spector 1968, Parsneau 1970, Ku vd. 1971,
Bhattacharyya 1972, Clement 1973, Gunn 1975, Rimando 1987, Vaclac vd. 1992,
Blakely 1996, Telford vd. 1996, Naidu ve Mathew 1998, Arısoy ve Dikmen 2011).
Uzamsal ortam süzgeçleme, amaca göre M×M (M tek sayı olmak üzere) boyutunda
oluşturulan maske (çekirdek) ile verinin katlamalı çarpımı (evrişim, konvolüsyon)
şeklinde gerçekleştirilir. Dalgasayısı ortamı süzgeçleme ise dalgasayısı ortamında veri
ve geliştirilen süzgecin çarpılması ve sonucun uzamsal ortama tekrar dönüştürülmesi
şeklinde yapılır. Potansiyel alan verilerin değerlendirilmesinde geleneksel olarak
kullanılan süzgeçler: yapma gravite, kutba indirgeme, analitik uzanım, bölgesel-yerel
ayrım, alçak, yüksek, band geçişli ve yönlü süzgeçlerdir.
5
Şekil 2.1 Histogram dengeleme ve Lambertian yansıtıcı yöntemleriyle manyetik alan
görüntü haritalarının iyileştirilmesi
a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Kuramsal toplam manyetik alan
görüntü haritası, d. Histogram dengelenmiş toplam manyetik alan görüntü haritası, e. Lambertian yansıtıcı
kullanılarak oluşturulan kabartma haritası
6
Veri iyileştirme adımından sonra, belirtiye neden olan yeraltı yapıların yatay ve düşey
doğrultulardaki geometrik ve fiziksel özellikleri belirlenmeye çalışılır. Bu işlem için
türev tabanlı yöntemler veya ters çözüm yöntemleri kullanılmaktadır. Tez çalışmasına
konu olan türev tabanlı sınır belirleme yöntemleri üçüncü bölümde ayrıntılı
anlatılmıştır.
2.1 Yapma Gravite Dönüşümü
Poisson (1986), manyetik ve gravite potansiyelleri arasındaki ilişkiyi tanımlamıştır ve
bu ilişki Poisson ilişkisi olarak adlandırılır (Garland 1951). Poisson bağıntısına göre
manyetik belirtiye neden olan yeraltı yapısının gravite belirtisi manyetik veriden elde
edilebilir. Bu dönüşüm, yapma gravite dönüşümü olarak bilinir. Yapma gravite
belirtileri, dalgasayısı ortamında kurulan bir alçak geçişli süzgeç ile verinin çarpımı
sonucu elde edilir (Baranov 1957, Blakely 1996). Karmaşık manyetik belirtilerin
sadeleştirilmesinde ve sınır analizi öncesinde sıklıkla başvurulan bir yöntemdir. Şekil
2.2’de kuramsal toplam manyetik alan verisinin yapma gravite dönüşümü sonucu
gösterilmiştir. Şekil 2.2.a,b’de sırasıyla temsili yeraltı modelin plan ve 3B perspektif
görüntüleri verilmiştir. Şekil 2.2.c’de modelden hesaplanan toplam manyetik alan
görüntü haritası ve şekil 2.2.d’de ise kuramsal verinin yapma gravite dönüşümü sonucu
verilmiştir. Yer manyetik alanının eğim ve sapma açıları sırasıyla 55o ve 4o olarak
seçilmiştir. Modelde verilen tüm prizmatik yapıların mıknatıslanma vektörlerinin eğim
ve sapma açıları yer manyetik alanınkiyle aynıdır.
7
Şekil 2.2 Yapma gravite dönüşümünün manyetik model verisi üzerinde sınanması
görüntü haritası, d. Yapma gravite görüntü haritası
2.2 Kutba İndirgeme
Gravite belirtileri kendilerini oluşturan yapıların üzerinde yeralır ve şekilleri yine
kendilerini oluşturan yapıların geometrisine bağlıdır. Aynı durum manyetik belirtiler
için geçerli değildir. Bunun nedeni, manyetik belirtilerin yapı mıknatıslanması ve yer
manyetik alanın yönüne bağlı olmasıdır. Bu nedenle, manyetik verilerin yorumu gravite
verilerine göre daha zordur. Bu zorluğu ortadan kaldırabilmek amacıyla kutba
indirgeme manyetik verilere uygulanan zorunlu bir süzgeç haline gelmiştir. Kutba
indirgeme dalga sayısı ortamında tanımlanan bir operatördür (Blakely 1996). Kutba
indirgeme uygulanmış manyetik veri, sanki kuzey manyetik kutupta ölçülmüş manyetik
8
veriye dönüşür ve sonuçta manyetik belirtiler yatay yönde kendilerine neden olan yeraltı
yapılarının üzerine kayar. Şekil 2.3’de yapma gravite dönüşümü örneği için hesaplanan
kuramsal manyetik verinin kutba indirgeme sonucu gösterilmiştir.
Şekil 2.3 Kutba indirgeme yönteminin manyetik model verisi üzerinde sınanması
a. Toplam manyetik alan görüntü haritası, b. Kutba indirgenmiş toplam manyetik alan görüntü haritası
2.3 Analitik Uzanım
Yeryüzünden veya havadan ölçülen gravite ve manyetik verilerin, ölçü düzleminin
altında veya üstünde bir başka düzlem üzerinde alacağı değerlerin hesaplanması
işlemine analitik uzanım adı verilir. Ölçülen veri kümesinin analitik ifadesi
bilinmediğinden analitik uzanım sayısal olarak hesaplanır. Analitik uzanım operatörleri
dalga sayısı ortamında tanımlanan operatörlerdir (Blakely 1996). Analitik uzanım
yöntemleri temelde potansiyel alan belirtilerini birbirinden ayırma amacıyla kullanılır.
Analitik uzanım, aşağı ve yukarı analitik uzanım yöntemleri olmak üzere iki grupta
incelenir. Aşağı analitik uzanım yüksek geçişli bir süzgeçtir ve yüzeye yakın veya
yüksek genlikli fiziksel özellik gösteren yapılara ait etkilerin kuvvetlendirilmesinde
kullanılır. Yukarı analitik uzanım ise alçak geçişli bir süzgeç karakteri sunar ve farklı
derinlik
düzlemlerinde
derin
yapıların
etkilerinin
incelenmesinde
kullanılır.
Şekil 2.4’de plan ve 3B perspektif görüntüsü verilen modelden hesaplanan toplam
manyetik alan verisinin farklı düzlemler için aşağı ve yukarı analitik uzanım sonuçları
gösterilmiştir. Model çalışmasında kullanılan prizmatik yapıların mıknatıslanma
9
şiddetleri 1 A/m ve yer manyetik alan ile mıknatıslanma yöneyinin eğim ve sapma
açıları sırasıyla 90o ve 0o olarak seçilmiştir.
Şekil 2.4 Aşağı ve yukarı uzanım süzgeçlerinin manyetik model verisi üzerinde
sınanması
a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Farklı seviyeler için yukarı analitik
uzanım sonuçları, d. Farklı seviyeler için aşağı analitik uzanım sonuçları
10
2.4 Bölgesel-Yerel Ayrım
Arazi çalışmaları ile toplanan gravite ve manyetik veriler bölgesel (rejyonal) ve yerel
(rezidüel) belirtilerin etkilerini içerir. Uygulamada, büyük dalga boylu belirtilere derin
yapıların neden olduğu kabulü yapılır. Bölgesel ve yerel belirtiler sadece belirtilerin
dalgaboylarını dikkate alarak sınıflandırılmaz. Diğer önemli bir ölçüt ise ölçü alanının
büyüklüğüdür. Potansiyel alan belirtilerinde bölgesel-yerel ayrım günümüzde polinom
yüzeyine yaklaştırma, dalga sayısı ortamı süzgeçler, birinci ve ikinci mertebeden
türevler ve dalgacık dönüşümü yöntemleriyle yapılmaktadır (Li ve Oldenburg 1998, Xu
vd.
2009).
Şekil
2.5’de
ikinci
dereceden
bir
polinom
yüzeyinin
veriden
uzaklaştırılmasıyla (modelde derin yapıyı temsil eden prizmatik yapının gravite belirtisi
ikinci dereceden polinom yüzeyine benzer) bölgesel gravite verisinin elde edilmesi
gösterilmiştir. Şekil 2.5.a,b’de sırasıyla yeraltı modelinin plan ve 3B perspektif
görüntüleri verilmiştir. Bölgesel etkiyi temsil eden yeraltı yapısı siyah renkle
gösterilmiştir. Tüm yapıların yoğunlukları 0.2 g/cm3 alınmıştır. Şekil 2.5.c’de modelden
hesaplanan kuramsal gravite görüntü haritası ve şekil 2.5.d’de ise bölgesel etki
uzaklaştırılmış gravite görüntü haritası verilmiştir.
11
Şekil 2.5 Gravite model verisinden ikinci dereceden bir polinom yüzeyinin çıkarılması
ile bölgesel-yerel ayrım yapılması
a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Kuramsal gravite alanı görüntü
haritası, d. Bölgesel etki uzaklaştırılmış gravite alan görüntü haritası
2.5 Geleneksel Dalga Sayısı Ortamı Süzgeçler
Gravite ve manyetik verilerin değerlendirilmesinde alçak, yüksek ve band geçişli
süzgeçlerin kullanımı artık geleneksel bir durum almıştır. Potansiyel alan verilerinin
değerlendirilmesinde geçiş bölgesi ani değişimler göstermeyen (butterworth, gaussian
süzgeçler gibi) dalga sayısı ortamı süzgeçler ideal süzgeçlere göre daha sık tercih
edilmektedir. Şekil 2.6’da Nyquist dalga sayısı 0.5 rad/km, alçak ve yüksek kesme
dalga sayıları 0.25 rad/km seçilen ideal dairesel simetrik, Gaussian ve Butterworth
süzgeçlerinin genlik spektrumları sunulmuştur. Bu süzgeçler potansiyel alan verilerinde,
12
gürültü etkilerini azaltma, derin veya sığ yapıların etkisinin kuvvetlendirilmesi veya
azaltılması amacıyla kullanılır.
Şekil 2.6 Geleneksel dalga sayısı ortamı süzgeçlerin genlik spektrumlarına ait 3B
perspektif görüntüler. Alçak ve yüksek geçişli durumda süzgeçlerin kesme
dalga sayıları 0.25 rad/km olarak seçilmiştir
a. İdeal alçak geçişli dairesel bakışımlı süzgeç, b. İdeal yüksek geçişli dairesel bakışımlı süzgeç, c. Alçak
geçişli Gaussian süzgeç, d. Yüksek geçişli Gaussian süzgeç, e. Alçak geçişli Butterworth süzgeç, f.
Yüksek geçişli Butterworth süzgeç
2.6 Yönlü Süzgeçler
Potansiyel alan belirtilerine neden olan yeraltı yapıları her zaman coğrafik kuzey temel
alındığı durumda kuzeye dik veya koşut bir biçimde konumlanmazlar. Coğrafik kuzeyle
belirli bir açı yapan bu tür yeraltı yapılarının etkilerini kuvvetlendirmek veya azaltmak
için yönlü süzgeçlerin kullanımı yaygındır (Cooper ve Cowan 2007). Yönlü süzgeçler
13
dalga sayısı ortamında tanımlanan alçak veya yüksek geçişli operatörler (yönlü kosinüs
süzgeci, yönlü ideal süzgeçler) olabildiği gibi yatay türevlerin döndürme yöneyi ile
çarpımı şeklinde de tanımlanır. Şekil 2.7’de plan ve 3B perspektif görüntüsü verilen
modelden hesaplanan gravite verisinin 0o’den 360o’ye kadar 45o’lik azimut açısı
artımıyla hesaplanmış yönlü yatay türevlerine ait görüntü haritaları verilmiştir. Modelde
tüm yapıların yoğunlukları 0.1 g/cm3 olarak seçilmiştir.
Şekil 2.7 Yönlü yatay türev süzgecinin farklı azimut açıları için gravite model verisi
üzerinde sınanması
a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Kuramsal gravite alanı görüntü
haritası, d. 0o, e. 45o, f. 90o,
g. 135o, h. 180o, i. 225o, j. 270o, k. 315o, l. 360o için hesaplanan yönlü
yatay türev görüntü haritaları
14
2.7 Potansiyel Alan Verilerinin Değerlendirilmesinde Kullanılan Bilgisayar
Yazılımları
Gerek ülkemizde gerekse yurtdışında gravite ve manyetik verilerin modellenmesi,
süzgeçlenmesi ve görselleştirilmesi amacıyla ticari programların kullanımı yaygındır.
Bu ticari yazılımlara örnek olarak; Geosoft firması tarafından geliştirilen Oasis Montaj
ve eklentileri, Encom firması tarafından geliştirilen Profile Analyst, ModelVision ve
Intrepid firmasının kendi ismini verdiği Intrepid yazılımları gösterilebilir. Bu bilgisayar
yazılımlarının ücretleri oldukça yüksektir. Yeni algoritmaları içeren güncel sürümler
için de üretici firmalar ek ücret istemektedir. Bununla birlikte yorumcu, ihtiyacı olan her
yöntemi bu yazılımlar içinde her zaman bulamamakta ve ek paket programlara ihtiyaç
duymaktadır.
Ticari programların dışında gravite ve manyetik verilerin değerlendirilmesi için
literatürde açık kaynak kodları verilen birçok çalışma bulunmaktadır (Gibert ve
Galdeano 1985, Bezvoda vd. 1990, Cooper 1997, Durrheim ve Cooper 1998, Cooper ve
Cowan 2004, Cooper 2005, Fedi vd. 2005, Cooper 2006, Cooper ve Cowan, 2006,
Mendonça ve Meguid 2008). Bu yazılımların çoğu sadece tek bir problemin çözümü
için geliştirilmiştir ve program çıktılarının görselleştirilmesi noktasında araştırmacılar
diğer ticari programlara bağlı kalmaktadır.
Bu tez çalışmasının önemli bir çıktısı; gravite ve manyetik verilerin modellenmesi,
süzgeçlenmesi ve görselleştirilmesi için geliştirilmiş olan bilgisayar yazılımıdır.
Bilgisayar yazılımı MATLAB programlama dili kullanılarak geliştirilmiş ve
POTENSOFT (Potential Field Data Modeling, Filtering and Mapping Software) ismi
verilmiştir (Arısoy ve Dikmen 2011). POTENSOFT yazılımı potansiyel alan verilerinin
değerlendirilmesinde standart olarak kullanılan tüm uzamsal ve dalga sayısı ortamı
süzgeçleri içermektedir. Bununla birlikte, programın en göze çarpan özelliği dalga
sayısı ortamı süzgeçleme esnasında; hem uzamsal hem de dalga sayısı ortam için giriş,
kurulan süzgeç ve çıkış görüntü haritalarının eş zamanlı gösterilmesidir. Diğer önemli
bir özelliği ise veri görselleştirmede çok sayıda haritalama seçeneğinin bulunmasıdır.
Gravite ve manyetik verilerin modellenmesi eklentisi için geliştirilen dinamik arayüz ile
15
kullanıcı istenilen modeli kolaylıkla oluşturabilmekte ve model yanıtını eş zamanlı
olarak izleyebilmektedir. Modelleme eklentisinde düz çözüm fonksiyonu Mendonça ve
Meguid (2008) tarafından verilen 3B prizmatik yapıların model tepki algoritması ile
çalışmaktadır. Diğer yandan POTENSOFT veri gridleme ve grid dosyalarının yönetimi
ile ilgili kullanıcılara geniş olanaklar sunmaktadır. Yazılımın diğer özelliklerine Arısoy
ve Dikmen’den (2011) bakılabilir.
16
3. POTANSİYEL ALAN VERİLERİNDE SINIR BELİRLEME
Potansiyel alan yöntemlerinde belirtiye neden olan yeraltı yapılarının yatay sınırlarının
belirlenmesi günümüzde çözülmeye çalışılan en önemli problemderden biridir. Bu
problemin çözümü için verinin tamsayı mertebeli yatay (x ve y) ve düşey (z) türevlerinin
(geleneksel türevler) hesaplanması ve görselleştirilmesi kullanışlı ve kabul görmüş bir
yoldur. Potansiyel alan verilerinin merkezi farklar yaklaşımına göre birinci mertebeden
x-yönlü ve y-yönlü türevleri (yatay türevler) sırasıyla
∂P ( x, y ) Px +∆x , y − Px −∆x , y
=
2∆x
∂x
(3.1)
∂P ( x, y ) Px , y +∆y − Px , y −∆y
=
2∆y
∂y
(3.2)
bağıntıları ile verilir (Cordell ve Grauch 1985). (3.1) ve (3.2) numaralı bağıntılarda
P ( x, y ) potansiyel alanı, ∆x ve ∆y ise sırasıyla x ve y yönündeki örnekleme
aralıklarını gösterir. Birinci mertebeden yatay türevlerin dalgasayısı ortamı karşılıkları
Fourier Dönüşümü’nün türev özelliğinden yararlanarak izleyen bağıntılarla verilir:
⎛ ∂P ⎞
F⎜
⎟ = ik x F ( P )
⎝ ∂x ⎠
(3.3)
⎛ ∂P ⎞
F⎜
⎟ = ik y F ( P )
⎝ ∂y ⎠
(3.4)
(3.3) ve (3.4) numaralı bağıntılarda kx ve k y sırasıyla x ve y yönündeki dalgasayılarını
gösterir. Benzer biçimde ikinci mertebeden yatay türevlerin dalga sayısı ortamı ifadeleri
için,
17
⎛ ∂2 P ⎞
F ⎜ 2 ⎟ = −k x 2 F ( P)
⎝ ∂x ⎠
(3.5)
⎛ ∂2 P ⎞
F ⎜ 2 ⎟ = −k y 2 F ( P)
⎝ ∂y ⎠
(3.6)
yazılabilir. (3.3)-(3.6) bağıntılarında yer alan ik x , ik y ve − k x 2 , −k y 2 sırasıyla dalga
sayısı ortamında, ölçülen veriyi x ve y’ye bağlı birinci ve ikinci mertebe yatay
türevlerine dönüştüren süzgeçler olarak tanımlanır. Şekil 3.1’de 2B durum için birinci
ve ikinci mertebeden x-yönlü (2B durum için yatay türev x-yönlü olarak adlandırılır)
yatay türev süzgecinin genlik ve faz spektrumları gösterilmiştir. Şekil 3.2’de ise 3B
durum için birinci ve ikinci mertebeden x-yönlü ve y-yönlü yatay türev süzgeçlerinin
genlik ve faz spektrumları gösterilmiştir.
Şekil 3.1 2B durum için birinci ve ikinci mertebeden yatay türev süzgecinin dalga sayısı
ortamı davranışları
a. Normalleştirilmiş genlik spektrumları, b. Faz spektrumları
18
Şekil 3.2 3B durum için birinci ve ikinci mertebeden x-yönlü ve y-yönlü yatay türev
süzgeçlerinin dalga sayısı ortamı davranışları
a. x-yönlü yatay türev süzgeçlerinin normalleştirilmiş genlik spektrumları, b. x-yönlü yatay türev
süzgeçlerinin faz spektrumları, c. y-yönlü yatay türev süzgeçlerinin normalleştirilmiş genlik spektrumları,
d. y-yönlü yatay türev süzgeçlerinin faz spektrumları
1 birinci mertebeden yatay türevi, 2 ise ikinci mertebeden yatay türevi temsil etmektedir
Birinci dereceden yatay türev işlemi ile genlikler dalga sayısı ile orantılı olarak artmakta
ve giriş verisinin fazına π/2 değeri eklenmektedir. Sıfır dalga sayısında ise faz sıfırdır
(Şekil 3.1-Şekil 3.2). Dolayısıyla, potansiyel alan verisinin birinci mertebeden yatay
türevleri, veriyi uzamsal ortamda yer değiştirir ve en yüksek genlik değerlerini sıfırlara
dönüştürür. Verinin sıfırları ise en küçük veya en büyük genlik değerlerine dönüşür.
İkinci dereceden yatay türev işleminde ise genlikler dalga sayısının karesi ile orantılı
artmakta ve giriş verisinin fazına –π değeri eklenmektedir (Şekil 3.1-Şekil 3.2).
Dolayısıyla, ikinci mertebeden yatay türev, giriş verisinin uzamsal ortamda yerini
değiştirmez. Verinin en büyük genlik değerleri en küçük değerlere ve en küçük genlik
değerleri de en büyük değerlere dönüşür.
19
Potansiyel alan verilerinin birinci mertebeden düşey türevi, z ölçü yüksekliği ve ∆z>0
olmak üzere:
P − Px , y , z −∆z
∂P ( x, y, z )
= lim x , y , z
∆z → 0
∂z
∆z
(3.7)
olarak tanımlanır. Dalga sayısı ortamında birinci mertebe düşey türev işlemi
F ( P) − F ( P) e
⎛ ∂P ⎞
F ⎜ ⎟ = lim
0
∆
z
→
∆z
⎝ ∂z ⎠
− k ∆z
1− e
∆z → 0
∆z
= k F ( P)
= lim
− k ∆z
F ( P)
(3.8)
olarak verilir (Blakely 1996). Benzer biçimde ikinci mertebeden düşey türev işlemi
dalga sayısı ortamında:
⎛ ∂2 P ⎞
2
F ⎜ 2 ⎟ = k F ( P)
⎝ ∂z ⎠
(3.9)
şeklinde verilir. İkinci mertebeden düşey türevin uzamsal ortam hesabında çoğunlukla
Laplace denkleminden faydalanılır:
⎛ ∂2 P ∂2 P ⎞
− ⎜ 2 + 2 ⎟ = −∆P
∂y ⎠
⎝ ∂x
(3.10)
(3.5) ve (3.6) bağıntılarından faydalanarak (3.10) eşitliğiyle verilen Laplace
denkleminin dalga sayısı ortamı ifadesi:
20
⎛ ∂2 P ⎞
F ⎜ 2 ⎟ = kx 2F ( P ) + k y 2F ( P )
⎝ ∂z ⎠
(3.11)
= k F ( P)
2
olarak verilir. Şekil 3.3’de birinci ve ikinci mertebeden düşey (z) türev süzgeçlerinin
genlik ve faz spektrumları gösterilmiştir.
Şekil 3.3 Birinci ve ikinci mertebeden düşey türev süzgeçlerinin dalga sayısı ortamı
davranışları
Birinci ve ikinci mertebeden düşey türev işleminde, tüm dalga sayıları için faz sıfır
değerini almaktadır (Şekil 3.3.b). Türev mertebesi arttıkça genlikler dalga sayısı ile hızlı
bir biçimde artmaktadır. Bu durumda derin yapılara ait etkiler söndürülüp yüzeye yakın
yapılara ait etkiler kuvvetlenmektedir. Birinci mertebe düşey türev süzgecinin önemli
bir özelliği, sıfırlarının kaynak sınırları üzerinden geçmesidir. İkinci mertebe düşey
21
türev süzgecinin sıfırları hem yapı kenarlarının üzerinden hem de yapı kenarlarına yakın
bölgelerden geçer (Şekil 3.4).
Şekil 3.4 Birinci ve ikinci mertebeden düşey türevin sıfırlarını kullanarak yeraltı
yapılarının sınırlarının belirlenmesi
görüntü haritası, d. Verinin birinci mertebe düşey türevi sıfırlarının kontur haritası, e. Verinin ikinci
mertebe düşey türevi sıfırlarının kontur haritası
Potansiyel alan verilerinin yatay türevleri, yeraltı yapılarının x ve y yönlü sınırlarının
bulunmasında, düşey türevleri ise her iki yönde kenarların belirlenmesinde kullanılır.
22
Uygulamada genellikle birinci mertebeden düşey türevlerin kullanımı tercih edilir.
Gürültüsüz
veya
gürültü
etkisi
azaltılmış
potansiyel
alan
verilerinin
değerlendirilmesinde ikinci mertebe düşey türevlerin kullanımı da yaygındır. Daha
yüksek mertebeden yatay ve düşey türevlerin kullanımı olası gürültü içeriğini
kuvvetlendirmesinden ötürü tercih edilmez. Şekil 3.5’de bir önceki örnekte kullanılan
modele ait manyetik model yanıtı üzerinde yatay ve düşey türev uygulama sonuçları
gösterilmiştir. Türevlerin gürültüye karşı duyarlılıklarını sınamak amacıyla aynı model
verisine model verisinin en yüksek genlik değerinin %10’u kadar (10dB) rastsal gürültü
eklenerek elde edilen sonuçlar Şekil 3.5’de sol sütünda verilmiştir.
Şekil 3.5 Birinci ve ikinci mertebeden yatay ve düşey türev süzgeçlerinin gürültü
eklenmemiş ve gürültü eklenmiş manyetik model verisine uygulanması
a. Gürültü eklenmemiş manyetik model verisi, a1. Birinci mertebeden x-yönlü yatay türev, a2. İkinci
mertebeden x-yönlü yatay türev, a3. Birinci mertebeden y-yönlü yatay türev, a4. İkinci mertebeden yyönlü yatay türev, a5. Birinci mertebeden düşey türev, a6. İkinci mertebeden düşey türev, b. Gürültü
eklenmiş manyetik model verisi, b1. Birinci mertebeden x-yönlü yatay türev, b2. İkinci mertebeden xyönlü yatay türev, b3. Birinci mertebeden y-yönlü yatay türev, b4. İkinci mertebeden y-yönlü yatay türev,
b5. Birinci mertebeden düşey türev, b6. İkinci mertebeden düşey türev
23
Potansiyel alan kaynaklarının sınırlarının belirlenmesi amacıyla birçok sınır belirleme
süzgeci önerilmiştir. Sınır belirleme süzgeçlerininin ilk nesili olan toplam yatay türev ve
analitik sinyal süzgeçlerinin kullanımı artık standart bir durum almıştır. Toplam yatay
türev (TYT) süzgeci Cordell ve Grauch (1985) tarafından izleyen bağıntı ile verilmiştir.
2
⎛ ∂P ⎞ ⎛ ∂P ⎞
TYT = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
2
(3.12)
TYT çıkışının en yüksek genlik değerleri kaynak sınırları üzerinden geçmektedir.
Analitik sinyal (AS) genliği 2B durum için Nabighian (1972) tarafından,
2
⎛ ∂P ⎞ ⎛ ∂P ⎞
AS = ⎜
⎟ +⎜
⎟
⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂z ⎠
2
(3.13)
bağıntısı ile ve 3B AS genliği ise Roest vd. (1992) tarafından izleyen bağıntı ile
verilmiştir:
2
2
⎛ ∂T ⎞ ⎛ ∂T ⎞ ⎛ ∂T ⎞
AS = ⎜
⎟ +⎜
⎟ +⎜
⎟
⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠
2
(3.14)
AS süzgeci özellikle yakın yüzey arama amaçlı toplanan potansiyel alan verilerinde
sıklıkla kullanılan bir süzgeçtir. AS genliği kaynak yapıların üzerinde çan şekilli
belirtiler sunar. Önemli özelliklerinden birisi de manyetik verilerde 2B durum için
mıknatıslanma yönüne bağımlı olmamasıdır, aynı durum 3B durumda geçerli değildir
(Li, 2006). TYT ve AS süzgeçlerinin zayıf yönlerinden birisi verideki olası gürültü
içeriğini kuvvetlendirmesidir. Şekil 3.6’da üç adet 2B prizma kullanılarak oluşturulan
yer altı modeli, bu modelden hesaplanan toplam manyetik alan profil eğrileri, TYT ve
AS sonuçları verilmiştir. Her iki yöntemin gürültüye duyarlılığını sınamak amacıyla
Şekil 3.6’nın sol sütununda aynı model verisine verinin en yüksek genliğinin %2’si
(7dB)
kadar rastsal gürültü eklenmiş, TYT ve AS sonuçları verilmiştir. Modelde
24
kullanılan tüm yapıların mıknatıslanma şiddetleri 1A/m, mıknatıslanma yöneyinin eğim
ve sapma açıları sırasıyla 90o ve 0o olarak seçilmiştir.
Şekil 3.6 TYT ve AS süzgeçlerinin gürültü eklenmemiş ve gürültü eklenmiş 2B
manyetik model verisine uygulanması
a. 2B model, a1. Manyetik model verisi, a2. TYT, a3. AS, b. 2B model, b1. Gürültü eklenmiş manyetik
model verisi, b2. TYT, b3. AS
TYT ve AS sonuçları incelendiğinde, her iki süzgecin de en büyük genlik değerlerini
yapı
kenarları
üzerinde
verdiği
görülmektedir.
Derin
yapılara
ait
belirtiler
incelendiğinde ise TYT süzgeci AS süzgecine göre daha yüksek çözünürlük sunmuştur.
Gürültülü durumda ise her iki süzgece ait sonuçlarda gürültü içeriği kuvvetlenmiştir.
Analitik sinyal süzgecinin zayıf yönlerinden birisi de birbirine oldukça yakın yapılara
ait kenarların belirlenmesinde belirgin bir sonuç üretememesidir (yanal ayrımlılık).
Aynı durum TYT süzgeci için de geçerlidir. Bu problemin üstesinden gelebilmek için
25
Hsu vd. (1996) geliştirilmiş analitik sinyal (GAS) yöntemini önermiştir. n türev
mertebesi ve tamsayı olmak üzere GAS izleyen bağıntı ile verilir:
∂ ⎛ ∂n P ⎞ ∂ ⎛ ∂n P ⎞ ∂ ⎛ ∂n P ⎞
GAS = ⎜ n ⎟ + ⎜ n ⎟ + ⎜ n ⎟
∂x ⎝ ∂z ⎠ ∂y ⎝ ∂z ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠
(3.15)
(3.15) bağıntısındaki türev mertebesi, n, ne kadar büyük seçilirse GAS genliği kaynak
yapıların kenarları üzerinde o kadar darlaşırken verideki olası gürültü içeriği de
kuvvetlenir. Bu nedenle, GAS süzgecinin kullanımında oldukça dikkatli olunmalıdır.
Şekil 3.7’de plan ve 3B perspektif görüntüsü verilen modelden hesaplanan toplam
manyetik alan verisinin AS ve GAS sonuçları gösterilmiştir. Modelde kullanılan temsili
yeraltı yapılarının mıknatıslanma şiddeti 1 A/m ve yer manyetik alan ile mıknatıslanma
yöneyinin eğim ve sapma açıları sırasıyla 90o ve 0o olarak seçilmiştir. Tüm yapıların
tavan ve taban derinlikleri sırasıyla 1 ve 3 km’dir. Yapıların yatay yöndeki konumları
şekil 3.7.a’dan takip edilebilir. AS genlikleri (Şekil 3.7.d), yapıların birbirlerine bakan
kenarlarında üst üste binerek, bu kısımlarda yöntem belirgin bir sonuç üretememiştir.
n=1 için hesaplanan GAS sonuçlarında (Şekil 3.7.e), belirtiler yapı kenarları üzerinde
darlaşarak (AS genliklerine göre), yapıların birbirlerine yakın kenarlarında girişim olayı
ortadan kalkmıştır. n=2 için hesaplanan GAS (Şekil 3.7.f) diğer sonuçlara göre daha
başarılı sonuç üretmiştir.
26
Şekil 3.7 AS ve GAS süzgeçlerinin manyetik model verisi üzerinde sınanması
görüntü haritası, d. AS görüntü haritası, e. n=1 için hesaplanan GAS görüntü haritası, f. n=2 için
hesaplanan GAS görüntü haritası
Literatürde TYT ve AS süzgeçlerinin en çok tartışılan zayıf yönü, derin veya düşük
yoğunluk/mıknatıslanma sunan yeraltı yapılarına ait kenarlarda düşük genlik sunmaları
ve böylece bu yapılara ait kenar etkilerini yeterince yansıtamamalarıdır. Bu durum şekil
3.6’dan da anlaşılmaktadır. Her iki yöntemin bu zayıf noktasından yola çıkan
araştırmacılar son yıllarda dengelenmiş (normalize edilmiş) türev yöntemleri başlığı
27
altında süzgeçler geliştirmiştir. Bu kavram içerisinde ilk geliştirilen süzgeç eğim açısı
(tilt angle) süzgecidir ve Miller ve Singh (1994) tarafından izleyen bağıntı ile
verilmiştir:
⎛ ∂P
⎜
Tilt = tan −1 ⎜ ∂z
⎜ TYT
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
(3.16)
Eğim açısı, düşey türevin TYT’e oranlanarak normalleştirilmiş şeklidir. Eğim açısı, hem
yakın yüzey hem de derin kaynakların etkilerini aynı genlik seviyesinde veren bir
süzgeçtir. Eğim açısının genliği yapı üzerindeyken pozitif, yapı kenarı üzerindeyken
sıfır ve yapının dışında ise negatif değerler alır. Genlik değerleri –π/2 ve π/2 arasında
değişir ve bu sayede yorumlanması oldukça kolaydır. Eğim açısı temelde plan veya
şekil belirleyici bir süzgeçtir. Bu sebepten dolayı, Verduzco vd. (2004) eğim açısının
toplam yatay türevinin sınır belirlemede kullanılabilir bir yaklaşım olacağını
göstermiştir. Eğim açısının toplam yatay türevi
2
⎛ ∂Tilt ⎞ ⎛ ∂Tilt ⎞
THDR = ⎜
⎟
⎟ +⎜
⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
2
(3.17)
bağıntısıyla verilir. Eğim açısının toplam yatay türevi, türev tabanlı bir süzgecin tekrar
türevi alınarak hesaplandığından verideki olası gürültünün artmasına neden olur. Diğer
bir zayıf yönü ise derin yapılara karşı etkili sonuç üretememesidir. Öte yandan en
kullanışlı özelliği ise mıknatıslanma yönünden bağımsız olmasıdır. Bu nedenle,
uygulamada sıklıkla başvurulan bir süzgeçtir.
Dengelenmiş türevler kavramı altında geliştirilen diğer bir süzgeç ise teta açısı
süzgecidir. Teta açısı Wijns vd. (2005) tarafından
28
⎛ TYT ⎞
cos θ = ⎜
⎟
⎝ AS ⎠
(3.18)
bağıntısıyla verilmiştir. Teta açısı, analitik sinyal genliği kullanılarak toplam yatay
türevin normalleştirilmiş şeklidir. Teta açısı; 0 < θ < pi/2 arasında değişir. Bu nedenle,
yorumlanması oldukça kolaydır. Yöntemin zayıf noktası ise derin yapıların etkilerini
dağınık bir şekilde göstermedir.
Diğer bir yaklaşım ise Cooper ve Cowan (2006) tarafından önerilen yatay eğim açısı
süzgecidir ve izleyen bağıntı ile verilmektedir:
⎛
⎜ TYT
TDX = tan −1 ⎜
⎜ ∂T
⎜ ∂z
⎝
⎞
⎟
⎟ .
⎟
⎟
⎠
(3.19)
TYT, AS, eğim açısı ve yatay eğim açısı süzgeçlerinin geometrik anlamları Şekil 3.8’de
verilmiştir.
Şekil 3.8 TYT, AS, eğim açısı ve yatay eğim açısı süzgeçlerinin geometrik anlamı
29
Yukarıda anlatılan dengelenmiş türev yöntemleri, başta anlatılan TYT ve AS
süzgeçlerinin derin yapılara karşı çözümsüz kalması probleminin üstesinden
gelmektedir. Kronolojik sıra takip edilirse dengelenmiş türev süzgeçleri bir önce
önerilen süzgecin zayıf noktasından hareket ederek geliştirilmiştir. Literatürde
kullanılan bir sınır belirleme süzgecinin iyileştirilmesi mantığında geliştirilen tek süzgeç
dengelenmiş analitik sinyal (DAS) süzgecidir. DAS, AS genliğinin iyileştirilmesi
amacıyla Cooper (2009) tarafından önerilmiş ve
AS
DAS =
k+
( H ( AS ) ) + ( H ( AS ) )
2
x
y
2
+ AS
2
(3.20)
bağıntısı ile verilmiştir. (3.20) bağıntısında Hx ve Hy sırasıyla AS’nin x ve y yönlerinde
Hilbert Dönüşümleri ve k ise süzgeç çıkışının genliğini kontrol eden bir sabittir.
Buraya kadar anlatılan sınır belirleme süzgeçlerinin bir manyetik model verisine
uygulama sonuçları şekil 3.9’da gösterilmiştir. Modelde tüm prizmatik yapıların
mıknatıslanma şiddeti 1 A/m ve yer manyetik alan ile mıknatıslanma yöneyinin eğim ve
sapma açıları sırasıyla 90o ve 0o olarak seçilmiştir. Model verisine verinin en yüksek
genlik değerinin %5’i (7dB) kadar rastsal gürültü eklenmiştir. Tüm yapıların derinlik
yönünde kalınlıkları 4 km olarak sabit tutulmuş ve sol üstten sağ alta doğru üst yüzey
derinlikleri sırasıyla 1, 5 ve 9 km olarak seçilmiştir. Modelden hesaplanan toplam
manyetik alan görüntü haritasında (Şekil 3.9.c) modelde yeşil renk ile temsil edilen ve
en derinde bulunan yapıya ait belirti genliği düşük seviye kaldığından gözle fark
edilmesi zorlaşmıştır. TYT (Şekil 3.9.d) ve AS (Şekil 3.9.e) süzgeçleri ise modelde sol
üstte bulunan yapının kenarlarını belirleyebilmiş, ortada bulunan yapıya ait sonuç
genlikleri düşük seviyede kalmış ve sağ altta bulunan yapıya ait kenarları
belirleyememiştir. Dengelenmiş türev yöntemlerinin hemem hemen hepsi tüm yapılara
ait kenarları belirleyebilmiş ancak sinyal ile birlikte gürültü seviyesini de
yükselttiklerinden AS ve TYT sonuçlarına göre gürültü seviyeleri oldukça yüksek hale
gelmiştir. Dengelenmiş türev süzgeçlerinden eğim açısının toplam yatay türevi derin
yapılar için başarılı sonuç üretememiştir (Şekil 3.9.h).
30
Şekil 3.9 Sınır belirleme süzgeçlerinin manyetik model verisi üzerinde sınanması ve
birbirleriyle karşılaştırılması
görüntü haritası, d. TYT görüntü haritası, e. AS görüntü haritası, f. DAS görüntü haritası, g. Eğim açısı
görüntü haritası, h. Eğim açısının toplam yatay türevi görüntü haritası, i. Teta açısı görüntü haritası, j.
Yatay eğim açısı görüntü haritası
31
4. KESİRLİ MERTEBEDEN TÜREV KAVRAMI
Kesirli mertebeden türev, teoride çok eskiden beri bilinmesine karşın fizik, kimya ve
mühendislik gibi bilimlerdeki uygulamalarıyla son yıllarda sıklıkla karşımıza
çıkmaktadır. Kesirli mertebeden türev kavramı uygulamalı matematiğin önemli bir
dalını oluşturur. Kesirli matematiğin ve bu bağlamda kesirli mertebeden türev
kavramının ortaya çıkmasının en önemli nedenlerinden birisi, doğada meydana gelen
birçok olayın tam sayılarla ifade edilememesidir. Kesirli mertebeden türev ve integral
kavramları, tamsayı mertebeli türev ve n-katlı integralleri kesirli mertebeye
genelleştiren kavramlardır (Oldham ve Spainer 1974, Podlubny 1999).
Kesirli analizin klasik analizden en önemli farkı, klasik analizde olduğu gibi tek bir
türev tanımının olmayışıdır. Başlıca kesirli türev tanımları; Grünwald-Letnikov (GL),
Riemann-Liouville (RL) ve Caputo kesirli mertebe türevleridir (Oldham ve Spainer
1974, Podlubny 1999, Bayın 2004, Das 2011). GL tanımı nümerik hesaplamalar için,
RL tanımı hem nümerik hem de analitik hesaplamalar için, Caputo kesirli türev tanımı
da analitik hesaplamalar için daha uygundur. Genel olarak, GL ve RL kesirli türev
tanımı matematik ve mühendislik bilimlerinde, Caputo kesirsel türev tanımı ise fizikte
kullanılmaktadır.
Bunlara ek olarak, Cauchy integral formülü ve integral dönüşüm yöntemleri yardımıyla
türetilen ve sadece bazı özel fonksiyonlar için geçerli olan kesirli integral ve türev
tanımları da mevcuttur. Liouville (1832), Riemann (1853), Krug (1890), Weyl (1917),
Civin (1941) ve Erdélyi (1964) değişik tipteki fonksiyonların kesirli mertebe türevlerini
veren tanımları geliştirmiştir (Oldham ve Spanier 1974). Kesirsel türev ve integrallerin
özel tanımları hakkında ayrıntılı bilgi Oldham ve Spanier’de (1974) bulunabilir.
Kesirli mertebeden türev kavramı, çeşitli madde ve işlemlerin kalıtsal özelliklerinin
tanımlanmasında kullanılabilecek iyi bir araçtır. Bu durum, tamsayı mertebeli türevlerle
karşılaştırıldığı zaman, kesirli türevler için önemli bir üstünlüktür. Kesirli türevlerin bu
üstünlüğü
nesnelerin
mekanik
ve
elektriksel
32
özelliklerinin
matematiksel
modellenmesinde, akışkanlar teorisi, elektrik devreleri, elektro-analitik kimya gibi diğer
birçok alanda kullanılmaktadır (Oldham ve Spainer 1974, Podlubny 1999).
Petras (2009), doğru akım kaynağı kullanan bir motorun geri besleme hızının
kontrolünün tamsayı mertebeli türevler yerine kesirli mertebeden türevler ile
hesaplanmasının daha sağlıklı sonuçlar vereceğini göstermiştir. Manabe (2002), bir
uzay aracının serbest uzayda hareketlerinin modellenmesinde kesirli mertebeden
türevlerin kullanımını ve üstün yanlarını göstermiştir. Son yıllarda elektrik hatları,
elektrik motorları ve dönüştürücüleri için kullanılan ve tamsayı mertebeden diferansiyel
hesaplama gerektiren klasik modeller yerine statik kesirli elektrik potansiyel adı altında
kesirli mertebeli modellerin kullanımı yaygınlaşmıştır (Engheta 1996, Malpica vd.
2004, Machado vd. 2005, Machado vd. 2006).
Rose (1975) malzemelerdeki viskoelastik davranışın modellenmesi amacıyla kullanılan
gerilme-deformasyon bağıntısındaki genel türev operatörü yerine gerçel mertebeli
türevin kullanımındaki üstünlüğü göstermiştir. Dikmen (2004), zeminlerde sismik dalga
sönümünü kesirli mertebeden türevler kullanarak modellemiştir. Deprem kuvveti gibi
dinamik bir dış kuvvet karşısında zemin davranışının incelenmesinde kesirli türev
operatörünün kullanımının viskoelastik davranışı daha iyi belirlediğini göstermiştir.
Sismik dalga sönümünü kesirli mertebeden türevler kullanarak modellenmesi ile ilgili
literatürde benzer yayınlar bulmak mümkündür (Koh ve Kelly 1990, Chang ve Singh
2002). Fellah vd. (2006), homojen olmayan gözenekli ortamda akustik dalga yayılımını
kesirli mertebeden türevler kullanarak modellemiştir. Carcione vd. (2002), sabit-Q
(kalite faktörü) sismik dalgalarının zaman ortamı Kjartansson (1979) yöntemiyle
modellenmesinde GL kesirli türevlerini kullanmıştır. Schmit ve Gaul (2006) kesirli
mertebeli diferansiyel denklemler ile ifade edilen çok serbestlik dereceli sistemlerin
sayısal çözümünde hesaplama zamanını düşürmek için GL kesirli mertebe türevlerini
kullanmıştır.
Sayısal görüntü işlemede, kenar belirleme amacıyla kullanılan kenar operatörleri
tamsayı mertebeli türev operatörleridir. Mathieu vd. (2003), çok ince ve gözle fark
33
edilemeyen kenarların belirlenmesinde ve görüntünün gürültü içermesi durumunda
kullanılmak üzere kesirli mertebeden türevlerin kullanımı önermiş ve başarılı sonuçlar
elde etmiştir.
Kesirli mertebeden türevler; biyoloji (Yuste ve Lindenberg, 2001), kimya-biyokimya
(Yuste, vd. 2004), fizik (Saichev ve Zaslavsky 1997, Barkai vd. 2000, Zaslavsky 2002),
tıp (Hall ve Barrick 2008, Magin vd. 2009) ve finans (Scalas vd. 2000) gibi farklı bilim
dallarına ait uygulamalarda da sıklıkla görülmektedir.
4.1 Tamsayı Mertebeli Türev ve İntegralin Ortak Yazımı
Gamma fonksiyonunun EK 3’de (3.11) ifadesiyle verilen özelliği kullanılarak, tamsayı
değerler için türev ve integral (tamsayı değerler için genel türev ifadesi EK 1’de,
integral ifadesi ise EK 2’de verilmiştir) izleyen bağıntı ile tek bir ifadede verilebilir
(Bayın 2004):
n
d f
[ d ( x − a)]
n
⎧ ⎡ x − a ⎤ −n
⎪
⎪ ⎢ N ⎦⎥
= lim ⎨ ⎣
N →∞
⎪ Γ ( − n)
⎪⎩
⎫
⎪
Γ( j − n) ⎛
⎡ x − a ⎤ ⎞⎪
−
f
x
j
∑
⎜
⎢⎣ N ⎥⎦ ⎟ ⎬
j = 0 Γ ( j + 1)
⎝
⎠⎪
⎪⎭
N −1
(4.1)
Kesirli mertebeden türev ve integral operatörlerine diferintegral işleç ismi verilmektedir
(Caputo 1967, Bayın 2004). Bir fonksiyonun tamsayı mertebeli türevi, fonksiyonun
yerel davranışına bağlı iken, kesirli mertebeden türev operatörü fonksiyonun geçmiş
değerlerine de bağlıdır. Kesirli mertebe türev işleminde türev operatörü fonksiyonun
geçmiş değerlerini içermesinden dolayı global operatör özelliği göstermektedir. Bu
özellik bellek (memory) olarak da bilinmektedir. Bir uzamsal serinin kesirli mertebeden
türevlerinin hesaplanmasında sıklıkla GL, RL ve Caputo yaklaşımları kullanılmaktadır.
34
4.2 GL Kesirli Mertebe Türev
(4.1) eşitliğinde Gamma fonksiyonunun tüm n değerleri için tanımlı olduğu
düşünülürse, diferintegralin GL tarafından verilen en genel ve temel tanımı,
dq f
= lim
dx q N →∞
⎧⎪ ⎡ x ⎤ − q N −1 Γ( j − q )
⎛
f ⎜x−
⎨⎢ ⎥ ∑
⎩⎪ ⎣ N ⎦ j =0 Γ(− q )Γ( j + 1) ⎝
⎡ x ⎤ ⎞ ⎫⎪
j ⎢ ⎥ ⎟⎬
⎣ N ⎦ ⎠ ⎭⎪
(4.2)
ile verilir. Burada, q tüm gerçel değerleri alabilmektedir. GL tanımı, EK 1’de verilen
tamsayı mertebeli türev işleminin genelleştirilmiş halidir ve GL tanımının en büyük
üstünlüğü, verilen bir fonksiyonun diferintegralinin, fonksiyonun türevlerine veya
integrallerine gerek kalmadan, sadece kendisinin aldığı değerler ile bulunabilmesidir.
(4.2) ifadesinde Г(-q), q’nun pozitif değerleri için sonsuz, ancak
Γ( j − q )
oranı sonlu
Γ(−q )
bir sayıdır. Gamma fonksiyonunun EK 3’de (3.11) ifadesiyle verilen özelliğinden
faydalanılarak,
Aj +1 =
Γ( j − q )
j −1− q
=
Aj ;
Γ(−q )Γ( j + 1)
j
A1 = 1
(4.3)
eşitliği yazılabilir. (Oldham ve Spainer 1974, Schmit ve Gaul 2006). (4.3)
bağıntısındaki A terimi Grünwald katsayıları olarak bilinir. Türev mertebesinin (q)
gerçel olması halinde Aj +1 katsayıları sıfırdan farklı değerler alır ve global operatör
özelliği gösterir. Türev mertebesinin (q) tamsayı olması halinde ise (q+1) sayıda katsayı
sıfırdan farklı olur ve yerel operatör özelliği gösterir. Grünwald katsayılarının türev
mertebesine bağlı değişimi şekil 4.1’de gösterilmiştir.
35
Şekil 4.1 Grünwald katsayılarının türev mertebesine bağlı değişimi
4.3 RL Kesirli MertebeTürev
RL diferintegralinin çıkış noktası olan çeşitli yaklaşımlar mevcuttur. Diferansiyel
denklem yaklaşımı, karmaşık değişken yaklaşımı ve tekrarlı integral yaklaşımı bunların
başlıcalarıdır (Oldham ve Spainer 1974, Podlubny 1999). Herhangi bir q>0 için q.
mertebeden RL kesirli integrali
x
d -q f
1
−q
= DRL
f ( x) =
f ( x1 )( x − x1 ) q −1 dx1
−q
∫
Γ(q) a
dx
(4.4)
şeklinde tanımlanır. RL kesirli türevi de Abel integral denkleminden çıkarılabilir. f
fonksiyonu her sonlu (a,x) aralığında sürekli ve integrallenebilir olsun. m,
m − 1 ≤ q < m şartını sağlayan bir tamsayı ve x>a olmak üzere reel f fonksiyonunun q.
mertebeden RL kesirli türevi izleyen bağıntı ile verilir:
36
x
dq f
1
dm
q
=
=
D
f
(
x
)
( x − x1 ) m − q −1 f ( x1 ) dx1
RL
Γ(m − q ) dx m ∫a
dx q
(4.5)
(4.4) ve (4.5) bağıntıları ile verilen RL kesirli integral ve türev tanımları kesirli türevler
ve integraller teorisinde ve mühendislik uygulamalarında yaygın kullanım alanı
bulmuştur (Oldham ve Spainer 1974, Podlubny 1999, Scalas vd. 2000, Bayın 2004,
Schmit ve Gaul 2006, Das 2011). RL kesirli türev hesabının zayıf yönü; bir integralin m
kez türevini içerdiğinden uygulamada hem hesap yükünü hem de hesaplama zamanını
arttırmasıdır.
Uzamsal bir serinin q. mertebeden RL kesirli türevinin hesaplanması üç adımda
gerçekleştirilir. Bunlar m bir tamsayı olmak üzere,
i- q kesirli sayıdan büyük, en yakın m tamsayının seçilmesi ( m − 1 ≤ q < m )
ii- fonksiyonun RL diferintegraliyle (m-q) katlı integralinin hesaplanması
iii- ikinci adımdan elde edilen sonucun m. mertebeden türevinin hesaplanması
şeklinde verilir. RL kesirli türev hesabı için şematik gösterim şekil 4.2’de verilmiştir.
Şekil 4.3’de ise RL kesirli türev hesabının işlem şemasını gösterebilmek için bir
fonksiyonun 2.3. mertebeden türev hesabı betimlenmiştir.
Şekil 4.2 RL kesirli türev hesabı için şematik gösterim
37
Şekil 4.3 Bir fonksiyonun 2.3. mertebeden RL kesirli türev hesabı
Şekil 4.2-4.3’den görüleceği gibi, bir uzamsal serinin RL kesirli mertebeden türevinin
hesaplanması, serinin RL kesirli integralinin de hesaplanmasını gerektirir. (4.4)
bağıntısı ile verilen RL kesirli integral bağıntısı izleyen katlamalı çarpım bağıntısı ile
ifade edilebilir (Podlubny 1999, Das 2011):
d -q f
−q
f ( x ) = f ( x ) * h( x )
= DRL
−q
dx
1
h( x ) =
Γ(q) x − q +1
(4.6)
(4.6) bağıntısındaki h(x) terimi RL integral ifadesinin çekirdek veya güç fonksiyonu
olarak bilinir. 0.05 sn zaman aralığı ile örneklenmiş 201 adet ayrık zaman değerinden
oluşan bir zaman yöneyi kullanılarak [0,1] aralığında 0.1 adımla hesaplanan RL integral
çekirdek fonksiyonu davranışı şekil 4.4’de gösterilmiştir.
38
Şekil 4.4 [0,1] aralığında 0.1 adımla hesaplanan RL integral çekirdek fonksiyonu
davranışı
Şekil 4.4’den görülebileceği üzere q=1 için, lim h( x) = H ( x), x ≥ 0 için H ( x) = 1 ,
q →1
çekirdek fonksiyonu birim basamak fonksiyonuna eşit olmakta ve q=0 için,
lim h( x) = δ ( x) , çekirdek fonksiyonu birim tepki (birim impuls) fonksiyonuna eşit
q →0
olmaktadır.
2B bir f(x1,x2) fonksiyonunun x1 yatay yönünde q. mertebeden RL kesirli türevi m,
m − 1 ≤ q < m şartını sağlayan bir tamsayı olmak üzere
x
d q f ( x1 , x2 )
1
dm 1
q
=
D
f
x
x
=
(
,
)
( x1 − τ ) m − q −1 f ( x1 ,τ )dτ
1
2
RL
dx1q
Γ(m − q) dx1m ∫0
benzer biçimde x2 yatay yönünde q. mertebeden RL kesirli türevi
39
(4.7)
x
d q f ( x1 , x2 )
1
dm 2
q
=
D
f
x
x
=
(
,
)
( x2 − τ ) m − q −1 f ( x2 ,τ )dτ
1
2
RL
q
m ∫
dx2
Γ(m − q) dx2 0
(4.8)
bağıntıları ile verilmektedir (Kilbas vd. 2006, Li vd. 2011).
4.3.1 RL kesirli mertebe türevin dalgasayısı ortamı ifadesi
RL kesirli türev için dalgasayısı ifadesi,
dq f
q
f (t ) ↔
= DRL
q
dt
( ik )
q
F (ω )
(4.9)
ile verilir (Podlubny 1999, Das 2011). (4.9) bağıntısı 3. bölümde verilen birinci ve
ikinci mertebe yatay türev dalgasayısı ifadelerinin keyfi mertebeye genelleştirilmiş
halidir. [0.25,2] aralığında 0.25 adımla hesaplanan RL kesirli türev genlik ve faz
spektrum davranışları şekil 4.5’de gösterilmiştir.
40
Şekil 4.5 [0.25,2] aralığında 0.25 adımla hesaplanan RL kesirli türevi dalgasayısı ortamı
görüntüleri
Farklı mertebelerden RL kesirli türevleri faz spektrumları (Şekil 4.5.b) incelenirse, faz
sıfırdan farlı tüm dalgasayılarında, q türev mertebesi olmak üzere qπ/2 değeri
almaktadır.
Potansiyel alan verilerinin kesirli mertebeden x-yönlü ve y-yönlü yatay RL kesirli
türevleri dalgasayısı ortamında (4.9) bağıntısından faydalanılarak
⎛ ∂q P ⎞
q
F ⎜ q ⎟ = ( ik x ) F ( P)
⎝ ∂x ⎠
(4.10)
41
ve
q
⎛ ∂q P ⎞
F ⎜ q ⎟ = ( ik y ) F ( P)
⎝ ∂y ⎠
(4.11)
şeklinde verilir. Benzer biçimde kesirli mertebeden düşey türevlerin dalgasayısı ortamı
ifadesi de,
⎛ ∂q P ⎞
q
F ⎜ q ⎟ = k F ( P)
⎝ ∂z ⎠
(4.12)
şeklinde yazılabilir.
4.4 Caputo Kesirli Mertebe Türev
m, m − 1 < q < m şartını sağlayan bir tamsayı olmak üzere, gerçel f fonksiyonunun q.
mertebeden Caputo kesirli türevi izleyen bağıntı ile verilir:
x
dq f
1
= DCq f ( x) =
( x − x1 ) m − q −1 f ( m ) ( x1 ) dx1
q
Γ(m − q ) ∫a
dx
(4.13)
Caputo yaklaşımının üstünlüğü, başlangıç değerli problemlerin çözümüne uygun olarak
geliştirilmiş olmasıdır. Bu nedenle, fizik problemlerinin çözümünde en sık kullanılan
diferintegral yaklaşımıdır (Podlubny 1999).
42
5.
POTANSİYEL
TÜREVLERİ
ALAN
VERİLERİNİN
KESİRSEL
MERTEBEDEN
Potansiyel alan verilerinin kesirli mertebeden türevler kullanılarak değerlendirilmesi ile
ilgili literatürde birkaç çalışma bulunmaktadır. İlk çalışma Gunn vd. (1997) tarafından
yapılmıştır. Bu çalışmada, dalgasayısı ortamında verilen düşey türev ifadesinde türev
mertebesinin n, tamsayı mertebesi yerine kesirli mertebeden kullanımı önerilmiştir.
Cooper ve Cowan (2003a) gravite ve manyetik verilerin yorumlanmasında geleneksel
olarak kullanılan analitik sinyal, kutba indirgeme ve Euler ayrıştırma yöntemlerinde
kullanılan tamsayı mertebeli yatay ve düşey türevler yerine kesirli mertebeden yatay ve
düşey türevlerin kullanımını önermiştir. Cooper ve Cowan (2003b) potansiyel alan
verilerinin kabartma haritalarının oluşturulmasında sık kullanılan güneş gölgelendirmesi
yönteminde tamsayı mertebeli yatay türevler yerine kesirli mertebeden yatay türevleri
kullanmıştır. Verinin gürültü içermesi durumunda düşük mertebeden kesirli yatay
türevlerinin kulllanımının üstün yönlerini göstermiştir. Cooper ve Cowan (2004) düşük
karşıtlıklı verilerde, ağırlıklandırılmış kesirli mertebeden düşey türev süzgeci ile birlikte
yerel standart sapma maskesinin birlikte kullanımlarını önermiştir. Cowan ve Cooper
(2005), Gunn vd. (1997) tarafından önerilen kesirli mertebeden düşey türev süzgecini
ayrışma veya katman süzgeci olarak adlandırmıştır.
Mıknatıslanma şiddeti 1 A/m ve yarıçapı 2 m olan bir dipole ait kuramsal toplam
manyetik alan profil eğrisi ve [0.5 ; 0.5 ; 2] mertebeden x-yönlü yatay türevleri şekil
5.1’de gösterilmiştir. Modelde yer manyetik alan ile mıknatıslanma yöneyinin eğim ve
sapma açıları sırasıyla 90o ve 0o olarak seçilmiştir. Kesirli türevler (4.5) bağıntısında
verilen RL kesirli türev ifadesi kullanılarak hesaplanmıştır. Hesaplanan kesirli
mertebeden yatay türev eğrileri incelenecek olursa; türev mertebesinin artmasına paralel
olarak dipole ait belirti daha da keskinleşmekte ve model verisi ile kıyaslandığında
dipolün yatay yönde sınırlarının bulunmasında daha etkili olduğu görülmektedir. Birinci
mertebeden yatay türev eğrisinde en büyük mutlak genlik değerleri dipolün her iki yatay
kenarında izlenmekte ve ikinci mertebeden yatay türev eğrisinde ise bu noktalar sıfır
geçişlerinde görülmektedir. Eğriler bakışımlılık durumlarına göre incelenirse; birinci
mertebeden yatay türev için ters-bakışımlılığın tamamlandığı ve ikinci mertebeden
43
yatay türev için de bakışımlılığın tamamlandığı görülmektedir. Şekil 5.1’in sol
sütununda model verisine gürültü eklenerek yapılan aynı işlemlere ait sonuçlar
sunulmuştur. Model verisine verinin en yüksek genlik değerinin %2’si (4dB) kadar
rastsal gürültü eklenmiştir. Gürültülü durumda ikinci mertebeden düşey türevin gürültü
seviyesini oldukça kuvvetlendirdiği görülmektedir (Şekil 5.1.b5).
Aynı dipol modeli için hesaplanan kesirli mertebeden düşey türevler ise şekil 5.2’de
gösterilmiştir. Kesirli mertebeden düşey türevler dalgasayısı ortamında (4.10) bağıntısı
kullanılarak hesaplanmıştır. Türev mertebesinin artmasına paralel olarak kesirli
mertebeden düşey türev eğrilerinin keskinleştiği görülmektedir. Dipolün her iki yatay
kenarında düşey türevin sıfır değeri aldığı izlenmekte ve ikinci mertebeden düşey
türevin en başarılı sonucu verdiği görülmektedir. Gürültülü durumda ise ikinci
mertebeden düşey türevin gürültü varlığı nedeniyle başarılı sonuç üretemediği
görülmektedir (Şekil 5.2.b5). Bu şekilde bir uygulamada eğer yüksek mertebeli düşey
türev kullanımı gerekiyorsa 1.5. mertebeden düşey türevin kullanımı önerilebilir
(Şekil 5.2.b4).
44
Şekil 5.1 Kesirli mertebeden yatay türev süzgeçlerinin gürültü eklenmemiş ve gürültü
eklenmiş manyetik model verisine uygulanması
a. Manyetik dipol modeli, a1. Kuramsal manyetik model verisi, a2. 0.5. mertebeden yatay türev eğrisi,
a3. Birinci mertebeden yatay türev eğrisi, a4. 1.5. mertebeden yatay türev eğrisi, a5. İkinci mertebeden
yatay türev eğrisi, b. Manyetik dipol modeli, b1. Gürültü eklenmiş manyetik model verisi, b2. 0.5.
mertebeden yatay türev eğrisi, b3. Birinci mertebeden yatay türev eğrisi, b4. 1.5. mertebeden yatay türev
eğrisi, b5. İkinci mertebeden yatay türev eğrisi
45
Şekil 5.2 Kesirli mertebeden düşey türev süzgeçlerinin gürültü eklenmemiş ve gürültü
eklenmiş manyetik model verisine uygulanması
a. Manyetik dipol modeli, a1. Kuramsal manyetik model verisi, a2. 0.5. mertebeden düşey türev eğrisi,
a3. Birinci mertebeden düşey türev eğrisi, a4. 1.5. mertebeden düşey türev eğrisi, a5. İkinci mertebeden
düşey türev eğrisi, b. Manyetik dipol modeli, b1. Gürültü eklenmiş manyetik model verisi, b2. 0.5.
mertebeden düşey türev eğrisi, b3. Birinci mertebeden düşey türev eğrisi, b4. 1.5. mertebeden düşey türev
eğrisi, b5. İkinci mertebeden düşey türev eğrisi
46
Bu kısımdan itibaren 4. bölümde anlatılan sınır belirleme süzgeçlerinin uygulamada sık
tercih edilenleri kesirli mertebeden türevler kullanılarak model ve arazi verileri üzerine
uygulanmıştır. Kesirli mertebeden yatay ve düşey türevlerin genlik spektrumları
hatırlanacak olursa (Şekil 4.5.a) türev mertebesine bağlı olarak derin veya sığ kaynaklı
yapıların etkileri söndürülmekte veya kuvvetlendirilmektedir. Düşey türevlerin tüm
kesirli ve tamsayı türev mertebelerinde ise fazı sıfır olmaktadır. Ancak, yatay türevlerin
faz spektrumları türev mertebesine bağlı olarak değişmekte ve sonuçta mekân ortamında
belirtilerin yerleri kaymaktadır (Şekil 5.1). Günümüzde kullanılan sınır belirleme
süzgeçleri birinci mertebeden yatay türevleri kullanmakta ve bu durumda giriş verisinin
fazına π/2 değeri eklenmektedir. Tez çalışmasında, verinin kesirli mertebeden yatay ve
düşey türevlerini hesaplayan fonksiyonların yazılmasından ve doğru sonuç ürettiklerinin
kontrol edilmesinden sonra, bu türevler kullanılarak geleneksel sınır belirleme
süzgeçlerine ait sonuçlar irdelenmiştir; ancak yukarıda anlatılan nedenle, türev
mertebesine bağlı olarak mekân ortamında kaymalar izlenmiştir. Bu problemi aşabilmek
için dalgasayısı ortamında faz spektrumu değiştirilmiş bir süzgeç önerilmiştir. Bu
süzgece “faz uyarlanmış kesirsel mertebeli yatay türev süzgeci” adı verilmiştir. Faz
uyarlanmış yatay türev süzgecinin dalgasayısı ortamında kurulması aşamaları
Şekil 5.3’de gösterilmiştir.
Şekil 5.3 Dalgasayısı ortamında faz uyarlanmış kesirli mertebeden yatay türev
süzgecinin kurulması
47
Şekil 5.4’de iki prizmatik yapı ile oluşturulan 2B modelden hesaplanan manyetik model
verisinin, [0.25,1] aralığında 0.25 adımla hesaplanan kesirli mertebeden yatay ve düşey
türevleri ve faz uyarlanmış yatay türevleri gösterilmiştir.
Şekil 5.4 Kuramsal manyetik alan verisinin [0.25,1] aralığında 0.25 adımla hesaplanan
yatay, düşey ve faz uyarlanmış yatay türev eğrileri
a. 2B model, b. Manyetik model verisi, c. Verinin kesirli mertebeden yatay türevleri, d. Verinin kesirli
mertebeden düşey türevleri, e. Verinin faz uyarlanmış yatay türevleri
48
2B durum için, TYT süzgecinin geleneksel ve 0.25. mertebeden yatay türev kullanılarak
manyetik model verisine uygulama sonuçları şekil 5.5’de gösterilmiştir. Model
birbirinden farklı derinlik ve fiziksel özellikte iki prizmatik yapı ile oluşturulmuş ve
prizmatik yapıların mıktatıslanma yöneylerinin eğim ve sapma açıları sırasıyla 90o ve 0o
olarak seçilmiştir. Model verisine, verinin en yüksek genlik değerinin %10’u (10 dB)
kadar normal dağılımlı rastsal gürültü eklenmiştir. TYT türev süzgecinin geleneksel
kullanımında gürültü seviyesi büyük oranda kuvvetlenerek sinyalin üzerini tamamen
örtmüştür (Şekil 5.5.c). 0.25. mertebeden yatay türev kullanım ile hesaplanan TYT
sonucunda ise gürültü seviyesi bir miktar kuvvetlenmiş, ancak sonuç geleneksel
kullanıma göre oldukça başarılı olmuştur (Şekil 5.5.d).
Şekil 5.5 TYT süzgecinin tamsayı ve kesirli mertebeden türev kullanımı ile manyetik
model verisi üzerinde sınanması
a. 2B model, b. Gürültü eklenmiş manyetik model verisi, c. TYT eğrisi, d. 0.25. mertebeden yatay türev
kullanımı ile hesaplanan TYT eğrisi
49
Şekil 5.5’de verilen model verisi için AS süzgecinin geleneksel ve 0.25. mertebeden
yatay ve düşey türev kullanılarak elde edilen sonuçlar şekil 5.6’da gösterilmiştir. Şekil
5.6.d’de verilen kesirli mertebeden AS süzgeci sonuçları geleneksel kullanıma göre
(Şekil 5.6.c) daha başarılı sonuç üretmiştir. GAS süzgecinin kesirli mertebeden
kullanıma ait bir model uygulaması da şekil 5.7’de gösterilmiştir. Modelde kullanılan
iki prizmatik yapı, yatay yönde birbirine yakın tutulmuş ve AS süzgeci bu iki yapıyı
ayırt edememiştir (Şekil 5.7.c). Birinci mertebeden düşey türev kullanımı ile elde edilen
GAS eğrisinde modelde sağda verilen yapının sol kenarı belirgin hale gelmeye başlamış
(Şekil 5.7.d) ancak ikinci mertebeden düşey türev kullanımında salınım genlikleri kenar
etkilerini bastırmıştır (Şekil 5.7.e). 1.25. mertebeden türev kullanımı ile elde edilen
GAS sonucunda her iki yapının kenarları etkili bir şekilde belirlenmiştir (Şekil 5.7.f).
Şekil 5.6 AS süzgecinin tamsayı ve kesirli mertebeden türev kullanımı ile manyetik
model verisi üzerinde sınanması
a. 2B model, b. Gürültü eklenmiş manyetik model verisi, c. AS eğrisi, d. 0.25. mertebeden yatay türev
kullanımı ile hesaplanan AS eğrisi
50
Şekil 5.7 GAS süzgecinin tamsayı ve kesirli mertebeden düşey türev kullanımı ile
manyetik model verisi üzerinde sınanması
a. 2B model, b. Manyetik model verisi, c. AS eğrisi, d. Birinci mertebeden düşey türev kullanımı ile
hesaplanan GAS eğrisi, e. İkinci mertebeden düşey türev kullanımı ile hesaplanan GAS eğrisi, f. 1.25
mertebeden düşey türev kullanımı ile hesaplanan GAS eğrisi
51
2B durum için verilen son uygulamada, eğim açısının toplam yatay türev süzgecinin
0.25, 0.5, 0.75 ve birinci mertebeden türevler kullanılarak manyetik model verisine
uygulama sonuçları gösterilmiştir (Şekil 5.8). Model, mıknatıslanma şiddetleri 1A/m ve
mıknatıslanma yöneylerinin eğim ve sapma açıları sırasıyla 90o ve 0o olarak seçilen dört
prizmatik yapı kullanılarak oluşturulmuştur. Yeraltı modelinin sağında bulunan iki yapı
(Şekil 5.8a,b) birbirine yatay yönde yakın konumlandırılmıştır. Tilt açısının toplam
yatay türevi, türev tabanlı bir süzgecin tekrar türevini alarak hesaplandığından verideki
olası gürültü bileşenini kuvvetlendirmektedir. Bununla birlikte şekil 3.8h’.de
gösterildiği gibi derin kaynaklı yapılara ait kenarları çözmekte etkisiz kalmaktadır. Bu
durumları test etmek için modelin solunda verilen prizmatik yapı diğerlerine göre düşey
yönde daha derine yerleştirilmiştir. Bununla birlikte, şekil 5.8’in sol sütununda aynı
model verisine gürültü eklenerek gürültülü durumda kesirli mertebeden türev
kullanımın sonuçlarda ne gibi bir etki göstereceği test edilmiştir. Gürültülü durum için
model verisine, verinin en yüksek genlik değerinin %5’i (6 dB) kadar normal dağılımlı
rastsal gürültü eklenmiştir. Gürültüsüz durumda yöntemin geleneksel kullanımı modelin
ortasında bulunan yatay şerit şekilli yapının kenarlarını belirleyebilmiş, derinde bulunan
yapının kenarlarına ise yayvan bir belirti çıktısı vermiştir. Birbirine yakın iki yapının
kenarlarını belirlemede başarılı bir sonuç üretememiştir (Şekil 5.8.a5). Gürültülü
durumda ise yöntemin klasik kullanımı gürültü etkisi oldukça arttığından başarısız bir
sonuç vermiştir (Şekil 5.8.b5). Gürültüsüz durumda düşük mertebeden kesirli türevlerin
kullanımı ile yöntem özellikle derinde bulunan yapının kenarlarını etkili bir biçimde
belirleyebilmiştir (Şekil 5.8.a2,4). Gürültülü durumda özellikle 0.25. mertebeden
türevlerin kullanımı ile elde edilen sonuç oldukça başarılıdır (Şekil 5.8.b2).
52
Şekil 5.8 Eğim açısının toplam yatay türevi süzgecinin kesirli mertebeden türev
kullanımı ile gürültü eklenmemiş ve gürültü eklenmiş manyetik model
verisine uygulanması
a. 2B model, a1. Kuramsal manyetik model verisi, a2. 0.25. mertebeden türev, a3. 0.5. mertebeden türev,
a4. 0.75. mertebeden türev, a5. Birinci mertebeden türev (geleneksel kullanım), b. 2B model, b1. Gürültü
eklenmiş manyetik model verisi, b2. 0.25. mertebeden türev, b3. 0.5. mertebeden türev, b4. 0.75.
mertebeden türev, b5. Birinci mertebeden türev (geleneksel kullanım)
3B durum için yapılan model çalışmalarından birincisi, mıknatıslanma şiddetleri 1A/m
ve mıktatıslanma yöneylerinin eğim ve sapma açıları sırasıyla 90o ve 0o olarak seçilen
üç prizmatik yapı kullanılarak oluşturulmuştur (Şekil 5.9). Modelde kırmızı ve yeşil
renklerle temsil edilen yapıların tavan ve taban derinlikleri sırasıyla 1 ve 3 km olarak,
kırmızı renkle temsil edilen yapının tavan ve taban derinlikleri ise 4 ve 10 km olarak
seçilmiştir. Modelden hesaplanan toplam manyetik alan verisine, verinin en yüksek
genlik değerinin 10%’u (10dB) kadar rastsal gürültü eklenmiştir (Şekil 5.9.c). Bu
53
uygulamada TYT süzgeci farklı kesirli mertebeden yatay türevler kullanılarak veri
üzerinde sınanmıştır. TYT türevinin geleneksel kullanıma ait sonuç (Şekil 5.9.g) gürültü
seviyesini kuvvetlendirdiğinden ve derinde bulanan yapının etkilerini düşük genlikle
sunduğundan başarılı değildir. 0.25, 0.5 ve 0.75. mertebeden türevler kullanılarak elde
edilen sonuçlarda gürültü seviyeleri geleneksel kullanıma göre azalmıştır. Bu
uygulamada 0.5. mertebeden türevler kullanılarak hesaplanan TYT sonucunun oldukça
başarılı olduğu görülmektedir (Şekil 5.9.e).
Şekil 5.9 Kesirli mertebeden türevlerin kullanımı ile TYT süzgecinin manyetik model
a. Modelin plan görüntüsü, b. Modelin 3B perspektif görüntüsü, c. Gürültü eklenmiş kuramsal toplam
manyetik alan görüntü haritası, d. 0.25. mertebeden türev, e. 0.5. mertebeden türev, f. 0.75. mertebeden
türev, g. Birinci mertebeden türev (geleneksel kullanım)
54
Şekil 5.9’da verilen aynı model ve model verisi kullanılarak AS süzgecinin farklı türev
mertebelerindeki davranışları şekil 5.10’da gösterilmiştir. AS süzgecinin geleneksel
kullanımı başarılı bir sonuç üretememiştir (Şekil 5.10.g). 0.25, 0.5 ve 0.75. mertebeden
türevlerin kullanımı ile elde edilen AS sonuçları modelde kırmızı renkle verilen yapının
şeklini belirleyebilmiştir. Şekil 5.9.h’de ise DAS sonucu gösterilmiştir. DAS gürültü
varlığı nedeniyle bu problemi çözmede etkisiz kalmıştır.
Şekil 5.10 Kesirli mertebeden türevlerin kullanımı ile AS süzgecinin manyetik model
türev, g. Birinci mertebeden türev (geleneksel kullanım), h. DAS
3B durum için verilen son model çalışmasında, eğim açısının toplam yatay türevi farklı
kesirli mertebe türevin kullanımı ile bir manyetik model verisi üzerinde sınanmıştır
55
(Şekil 5.11). Şekil 3.8’de verilen model ve gürültü eklenmiş model verisi bu
uygulamada kullanılmıştır. Şekil 5.11.g’de verilen eğim açısının toplam yatay türev
sonucu derin iki yapının sınırlarını belirleyememiştir. Ancak kesirli ve düşük mertebeli
türevlerin kullanımı ile elde edilen sonuçlar oldukça etkili sonuçlar üretmiştir. Türev
mertebesinin azalmasına paralel olarak gürültü seviyesi azalmış ve derin yapılara ait
etkiler kuvvetlenmiştir.
Şekil 5.11 Kesirli mertebeden türevlerin kullanımı ile eğim açısının toplam yatay türevi
süzgecinin manyetik model üzerinde sınanması
türev, g. Birinci mertebeden türev (geleneksel kullanım)
Arazi verileri üzerinde yapılan uygulamada Eskişehir fayı ve segmentlerini içeren
bölgeye ait havadan bölgesel manyetik alan verisi kullanılmıştır. İlk uygulamada TYT
56
süzgecinin geleneksel kullanımı ve farklı kesirli mertebeden türevler kullanımı ile elde
edilen sonuçlar karşılaştırılmış ve şekil 5.12’de gösterilmiştir. Şekil 5.12.a’da Eskişehir
fay zonu ve yakın civarının tektonik haritası Özsayın ve Dirik (2007)’den alınarak
gösterilmiştir. Şekil 5.12.b’de bölgeye ait havadan toplam manyetik alan görüntü
haritası ve şekil 5.12.c’de ise kutba indirgenmiş manyetik alan görüntü haritası
verilmiştir. Manyetik alan görüntü haritasında Eskişehir fayı ve segmentlerinin
Kuzeybatı-Güneydoğu yönünde belirti sunduğu ve genlik değerlerinin diğer yapılara ait
belirtilere göre daha egemen olduğu görülmektedir. TYT süzgecinin geleneksel
kullanımında (Şekil 5.12.g) yüzeye yakın yapılara ait kenarlar kuvvetlendirilmiş ve
çizgisel belirtiler şeklinde görülmektedir. Ancak TYT süzgeci hem derin hem de yüzeye
yakın yapılara ait kenarları aynı genlik değerlerinde sunamadığı için bu sonucu
yorumlamak oldukça güçtür. Daha düşük mertebeden yatay türevlerin kullanımı ile
hesaplanan TYT görüntü haritalarında (Şekil 5.12.d,f) bu sorun türev mertebe değeri
azaldıkça ortadan kalkmıştır. Özellikle 0.25. mertebeden türevler kullanılarak
hesaplanan TYT görüntü haritasında derin yapılara ait sınırlar belirginleşmiştir (Şekil
5.12.d).
57
Şekil 5.12 Kesirli mertebeden türevler ile TYT süzgecinin arazi verisinde sınanması
a. Eskişehir fay zonu ve civarı tektonik haritası (Özsayın ve Dirik 2007), b. Havadan toplam manyetik
alan görüntü haritası, c. Kutba indirgenmiş manyetik görüntü haritası, d. 0.25. mertebeden yatay türevleri
içeren TYT görüntü haritası, e. 0.5. mertebeden yatay türevleri içeren TYT görüntü haritası, f. 0.75.
mertebeden yatay türevleri içeren TYT görüntü haritası, g. Birinci mertebeden yatay türevleri içeren TYT
görüntü haritası (geleneksel kullanım)
58
Şekil 5.13’de ise aynı veri üzerinde eğim açısı süzgecinin geleneksel kullanımı ve farklı
kesirli mertebelerden yatay ve düşey türevler hesaplanarak kullanımı ile elde edilen
sonuçlar karşılaştırılmıştır. Eğim açısı süzgecinin geleneksel kullanımı ile elde edilen
görüntü haritasında (Şekil 5.13.e) hem derin hem de yüzeye yakın yapılara ait kenar
etkilerinin ortaya çıkarıldığı, ancak yüzeye yakın yapıların etkilerinin görüntüyü
karmaşıklaştırdığı görülmektedir. Daha düşük mertebeden türev kullanımları ile türev
mertebesine bağlı olarak derin yapılara ait etkiler kuvvetlenip, yüzeye yakın yapılara ait
etkiler bastırıldığından eğim açısı görüntü haritalarındaki bu karmaşıklık ortadan
kalkmıştır. 0.25. ve 0.5. mertebeden türevler kullanılarak elde edilen eğim açısı
sonuçları birbirine yakın sonuçlar vermiştir (Şekil 5.13.b,c). Bu iki türev mertebesi için
özellikle derin kökenli yapılara ait kenar etkileri oldukça belirginleşmiştir.
59
Şekil 5.13 Kesirli mertebeden türevlerin kullanımı ile eğim açısı süzgecinin arazi verisi
a. Eskişehir fayı ve segmentlerini içeren bölgenin kutba indirgenmiş havadan manyetik görüntü haritası,
b. 0.25. mertebeden yatay ve düşey türevleri içeren eğim açısı görüntü haritası, c. 0.5. mertebeden yatay
ve düşey türevleri içeren eğim açısı görüntü haritası, d. 0.75. mertebeden yatay ve düşey türevleri içeren
eğim açısı görüntü haritası, e. Birinci mertebeden yatay ve düşey türevleri içeren eğim açısı görüntü
haritası (geleneksel kullanım)
60
6. TARTIŞMA VE SONUÇLAR
Gravite ve manyetik yöntemlerde çözülmeye çalışılan en önemli problem; belirtiyi
oluşturan yeraltı yapılarına ait geometrik ve fiziksel parametrelerin kestirilmesi ve
görüntülenmesidir. Doktora tez çalışması kapsamında kaynak parametrelerinden
belirtiye neden olan yapının/yapıların kenarlarının belirlenmesi işlemi üzerine
odaklanılmıştır. Yeraltı yapılarının kenarlarının belirlenmesi amacıyla verinin yatay ve
düşey türevlerinin tek başlarına kullanımları yetersiz kalmaktadır. İlk nesil geliştirilen
ve günümüzde geleneksel sınır belirleme süzgeçleri olarak anılan TYT ve AS
süzgeçlerinin üstün yönleri olmalarına karşın, özellikle derin kaynaklı yapıların
kenarlarının belirlenmesinde yetersiz kalmaktadır. Bu durumun üstesinden gelebilmek
için geliştirilen yeni nesil süzgeçler hem yakın hem de derin kaynaklı yapıların kenar
etkilerini aynı genlik seviyesinde verebilmektedir. Ancak, bu süzgeçler verideki olası
gürültü içeriğini sinyalle birlikte kuvvetlendirmektedir. Bu nedenle, sınır belirleme
süzgeçlerinin veriye uygulanmasından önce, alçak geçişli veya yukarı analitik uzanım
süzgeçleri olası gürültü ve yakın yüzey yapıların etkilerini uzaklaştırmak için
kullanılmaktadır. Uygulamada kullanılan bu süzgeçlerin ortak zayıf noktaları:
•
Gürültüye karşı duyarlı olmaları
•
Derin veya düşük fiziksel özellik sunan yapılar için düşük çözünürlük sunmaları
•
Birbirine oldukça yakın yapılara ait yatay sınırların belirlenmesinde çözümsüz
kalmaları (yanal ayrımlılık)
olarak sıralanabilir. Kronolojik sıra takip edilirse, sınır belirleme süzgeçleri bir önce
önerilen süzgecin zayıf noktasından hareket ederek geliştirilmiştir. Literatürde, bir sınır
belirleme süzgecinin iyileştirilmesi mantığında geliştirilen tek süzgeç DAS süzgecidir.
Doktora tez çalışması kapsamında; tamsayı mertebeli türevleri kullanan (genellikle
birinci
mertebe)
süzgeçler
kesirli
mertebeden
türevler
kullanılarak
yeniden
irdelenmiştir. Böylelikle sınır belirleme süzgeçlerinin klasik kullanımlarına göre
sonuçlarda bir iyileşme olup olmadığı araştırılmıştır. Kesirli mertebeden türevler RL
61
kesirli türev yaklaşımı ile hesaplanmıştır. Öncelikle model verilerinin kesirli ve tamsayı
mertebeden yatay ve düşey türevleri karşılaştırılmıştır. Verinin kesirli mertebeden yatay
türevleri türev mertebesine bağlı olarak belirtilerin yerini değiştirmektedir. Kesirli ve
tamsayı mertebeden düşey türev işlemlerinde ise belirtilerin yeri değişmemekte, ancak
türev mertebenin azalmasıyla birlikte belirti kaynak yapı sınırlarında yayvan bir şekil
almakta ve türev mertebenin artmasıyla birlikte belirti kaynak yapı sınırlarında daha da
daralarak keskinleşmektedir. Yüksek tamsayı mertebesinden düşey türev kullanımının
gerektiği durumlarda gürültü içeriğine bağlı olarak kesirli mertebeden düşey türevlerin
kullanımı daha başarılı sonuçlar vermektedir.
Uygulamada sık kullanılan sınır belirleme süzgeçleri kesirli mertebeden türevler
kullanılarak potansiyel alan verilerine uygulanmıştır. Yeraltı yapılarının kenarlarının
yatay düzlemde kayma problemini aşabilmek için dalgasayısı ortamında faz spektrumu
değiştirilmiş bir süzgeç geliştirilmiştir. Bu süzgece “faz uyarlanmış kesirsel mertebeli
yatay türev süzgeci” adı verilmiştir. Sınır belirleme süzgeçlerinin kesirli mertebeden
türevler ile kullanımları durumunda, sonuçlarda gerek gürültü varlığının azaltılması
gerekse
derin
veya
düşük
fiziksel
özellik
sunan
yapılarının
etkilerinin
kuvvetlendirilmesi açısından ciddi bir iyileşmenin olduğu gözlenmiştir.
Potansiyel alan verilerinin değerlendirilmesinde kesirli mertebeden türevlerin
kullanımının önerilmesi dışında bu tez çalışmasının önemli bir çıktısı MATLAB
programlama dili kullanılarak geliştirilen POTENSOFT yazılımıdır. Bu yazılım
potansiyel alan verilerinin modellenmesi, süzgeçlenmesi ve görselleştirilmesi amacıyla
geliştirilmiştir ve bu amaçla geliştirilen kaynak kodları açık olan tek yazılımdır. Önemli
beklentilerden bir tanesi bu yazılımın gerek ülkemiz gerekse yurt dışında bulunan
üniversitelerde eğitim amaçlı kullanılmasıdır.
62
KAYNAKLAR
Arısoy, M.Ö. and Dikmen, Ü. 2011. Potensoft: Matlab-based software for potential field
data processing, modeling and mapping. Computers & Geosciences. Vol. 37(7),
pp. 935-942.
Baranov, V. 1957. A new method for interpretation of aeromagnetic maps: pseudogravimetric anomalies. Geophysics. Vol. 22(2), pp. 359-383.
Barkai, E., Metzler, R. and Klafter, J. 2000. From continuous time random walks to the
fractional Fokker-Planck equation. Physical Review E., Vol. 61(1), pp. 132-138.
Bayın, S., 2004. Fen ve Mühendislik Bilimlerinde Matematik Yöntemler. Ders Kitapları
A.Ş., 440 s., Ankara.
Bezvoda, V., Jez̈ek, J. and Segeth, K. 1990. Fredpack-a program package for linear
filtering in the frequency domain. Computers & Geosciences. Vol. 16(8), pp.
1123-1154.
Bhattacharyya, B.K. 1972. Design of spatial filters and their application to highresolution aeromagnetic data. Geophysics. Vol. 37(1), pp. 68-91.
Blakely, R.J. 1996. Potential Theory in Gravity and Magnetic Applications. Cambridge
University Press, 441p., Cambridge.
Briggs, I.C. 1974. Machine contouring using minimum curvature. Geophysics. Vol. 39,
pp. 39-48.
Byerly, P.E. 1965. Convolution filtering of gravity and magnetic maps. Geophysics.
Vol. 30(2), pp. 281-283.
Caputo, M. 1967. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency
independent. The Geophysical Journal of the Royal Astronomy Society. Vol. 13,
pp. 529-539.
Carcione, J.M., Cavallini, F., Mainardi, F. and Hanyga, A. 2002. Time-domain
Modeling of Constant-Q Seismic Waves Using Fractional Derivatives. Pure and
Applied Geophysics. Vol. 159, pp. 1719–1736.
Chang, T.S. and Singh, M.P. 2002. Seismic analysis of structures with a fractional
derivative model of viscoelastic dampers. Earthquake Engineering and
Engineering Vibration. Vol. 1(2), pp. 251-260.
63
Clement, W.G. 1973. Basic principles of two-dimensional digital filtering. Geophysical
Prospecting. Vol. 21, pp. 125-145.
Cooper, G.R.J. 1997. GravMap and PFproc: Software for filtering geophysical map
data. Computers & Geosciences. Vol. 23(1), pp. 91-101.
Cooper, G.R.J. 2005. Analysing potential field data using visibility. Computers &
Geosciences. Vol. 31(7), pp. 984-992.
Cooper, G.R.J. 2006. Interpreting potential field data using continuous wavelet
transforms of their horizontal derivatives. Computers & Geosciences. Vol. 32(7),
pp. 984-992.
Cooper, G.R.J. 2009. Balancing images of potential-field data. Geophysics. Vol. 74(3),
pp. L17-L20.
Cooper, G.R.J. and Cowan, D.R. 2003a. The application of fractional calculus to
potential field data. Exploration Geophysics. Vol. 34(1&2), pp. 51-56.
Cooper, G.R.J. and Cowan, D.R. 2003b. Sunshading geophysical data using fractional
order gradients. The Leading Edge. Vol. 22(3), pp. 204.
Cooper, G.R.J. and Cowan, D.R. 2004. Filtering variable order vertical derivatives.
Computers & Geosciences. Vol. 30, pp. 455-459.
Cooper, G.R.J. and Cowan, D.R. 2006. Enhancing potential field data using filters
based on the local phase. Computers & Geosciences. Vol. 32(10), pp. 15851591.
Cooper, G.R.J. and Cowan, D.R. 2007. Enhancing linear features in image data using
horizontal orthogonal gradient ratios. Computers & Geosciences. Vol. 33(7), pp.
981-984.
Cordell, L.E. and Grauch, V.J.S. 1985. Mapping basement magnetization zones from
aeromagnetic data in the San Juan basin, New Mexico. In: W.J. Hinze, Editor,
The Utility of Regional Gravity and Magnetic Anomaly Maps, Society of
Exploration Geophysicists, 181-197.
Cowan, D.R. and Cooper, G.R.J. 2005. Separation filtering using fractional order
derivatives. Exploration Geophysics. Vol. 36(4), pp. 393-396.
Das, S. 2011. Functional fractional calculus. Second Edition, Springer, 642 p., India.
64
Dikmen, Ü. 2004. Zeminlerde sismik dalga sönümünün kesirsel türev yaklaşımı ile
modellenmesi. Doktora tezi, Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 170
s., Ankara.
Durrheim, R.J. and Cooper, G.R.J. 1998. EULDEP: a program for the Euler
deconvolution of magnetic and gravity data. Computers & Geosciences. Vol.
24(6), pp. 545-550.
Engheta N. 1996. On fractional calculus and fractional multipoles in electromagnetism.
IEEE Trans. Antennas Propagation. Vol. 44(4), pp. 554–566.
Fedi, M., Paoletti, V. and Rapolla, A. 2005. The role of multilevel data in potential field
interpretation. Computers & Geosciences. Vol. 31(6), pp. 681-688.
Fellah, M., Fellah, Z.E.A. and Depollier, C. 2006. Transient wave propagation in
inhomogeneous porous materials: Application of fractional derivatives. Signal
Processing. Vol. 86, pp. 2658–2667.
Fuller, B.D. 1967. Two-dimensional frequency analysis and design of grid operators.
Mining Geophysics. Vol. 2, pp. 658-708.
Garland, G.D. 1951. Combined analysis of gravity and magnetic anomalies.
Geophysics. Vol. 16, pp. 51-62.
Gibert, D. and Galdeano, A. 1985. A computer program to perform transformations of
gravimetric and aeromagnetic surveys. Computers & Geosciences. Vol. 11(5),
pp. 553-588.
Gonzales, R.C. and Woods, R.E. 2002. Digital Image Processing. 2nd edn., Prentice
Hall, 793 p., New Jersey.
Gunn, P.J. 1975. Linear transformations of gravity and magnetic fields. Geophysical
Prospecting. Vol. 23(2), pp. 300-312.
Gunn, P.J., Fitzgerald, D., Yassi, N. and Dart, P. 1997. New algorithms for visually
enhancing airborne geophysical data. Exploration Geophysics. Vol. 28, pp. 220224.
Hall, M.G. and Barrick, T.R. 2008. From diffusion-weighted MRI to anomalous
diffusion imaging. Magnetic Resonance in Medicine. Vol. 59(3), pp. 447-455.
Hansen, R.O. 1993. Interpretative gridding by anisotropic kriging. Geophysics. Vol. 58,
pp. 1491-1497.
65
Horn, B.K.P. 1982. Hill shading and the reflectance map. Geo-Processing. Vol. 2, pp.
65–146.
Hsu, S.K., Sibuet, J.C. and Shyu, C.T. 1996. Highresolution detection of geologic
boundaries from potential field anomalies: An enhanced analytic signal
technique. Geophysics. Vol. 61(2), pp. 373-386.
Kilbas, A.A., Srivastava, H.M. and Trujillo, J.J. 2006. Theory and applications of
fractional differential equations. Elsevier, 540p., Amsterdam.
Kjartansson, E. 1979. Constant Q-wave Propagation and Attenuation. Journal of
Geophysical Research. Vol. 84, pp. 4737–4748.
Koh, C.G. and Kelly, J.M. 1990. Application of fractional derivatives to seismic
analysis of base-isolated models. Earthquake Engineering and Structural
Dynamics. Vol. 19, pp. 229-241.
Ku, C.C., Telford, W.M. and Lim, S.H. 1971. The use of linear filtering in gravity
problems. Geophysics. Vol. 36(6), pp. 1174-1203.
Li, X. 2006. Understanding 3D analytic signal amplitude. Geophysics. Vol. 71(2), pp.
B13-B16.
Li, Y. and Oldenburg, D.W. 1998. Seperation of regional and residual magnetic field
data. Geophysics. Vol. 63(2), pp. 431-439.
Li, C., Qian, D. and Chen, Y. 2011. On Riemann-Liouville and Caputo derivatives.
Discrete Dynamics in Nature and Society. 2011, 15p.
Lili, Z., Tianyao, H., Jiansheng, W. and Jialin, W. 2005. Application of image
enhancement techniques to potential field data. Applied Geophysics. Vol. 2(3),
pp. 145-152.
Machado, T.J.A., Jesus, I.S. and Galhano, A. 2005. A fractional calculus perspective in
electromagnetics, in: ASME International Design Engineering Technical
Conferences Computers and Information in Engineering Conference—Fifth
International Conferences on Multibody Systems, Nonlinear Dynamics and
Control (MSNDC), California, USA.
Machado, T.J.A., Jesus, I.S., Galhano, A. and Cunha, J.B. 2006. Fractional order
electromagnetics. Signal Processing. Vol. 86, pp. 2637–2644.
Magin, R., Feng, X. and Baleanu, D. 2009. Solving the fractional order Bloch equation.
Concepts in Magnetic Resonance Part A. Vol. 34A(1), pp. 16-23.
66
Malpica, W.A., Silva, J.F., Machado, J.T. and Barros, M.T.C. 2004. Fractional order
calculus on the estimation of short-circuit impedance of power transformers, in:
First IFAC Workshop on Fractional Differentiation and its Application,
Bordeaux, France.
Manabe, S. 2002. A suggestion of fractional-order controller for flexible spacecraft
attitude control. Nonlinear Dynamics. Vol. 29, pp. 251-268.
Mathieu, B., Melchior, P., Oustaloup, A. and Ceyral, Ch. 2003. Fractional
differentiation for edge detection. Signal Processing. Vol. 83, pp. 2421-2432.
Mendonça, C.A. and Meguid, A.M.A. 2008. Programs to compute magnetization to
density ratio and magnetization inclination from 3-D gravity and magnetic
anomalies. Computers & Geosciences. Vol. 34(6), pp. 603-610.
Miller, H.G. and Singh, V. 1994. Potential field tilt__a new concept for location of
potential filed sources. Journal of Applied Geophysics. Vol. 32, pp. 213-217.
Nabighian, M.N. 1972. The analytic signal of two-dimensional magnetic bodies with
polygonal cross-section: its properties and used for automated anomaly
interpretation. Geophysics. Vol. 37, pp. 507-517.
Naidu, P.S. and Mathew, M.P. 1998. Analysis of geophysical potential fields. Elsevier,
298 p., Amsterdam.
O’Connell, M.D., Smith, R.S. and Vallee, M.A. 2005. Gridding aeromagnetic data
using longitudinal and transverse gradients with the minimum curvature
operator. The Leading Edge. Vol. 24, pp. 142-145.
Oldham, K.B. and Spainer, J. 1974. The fractional calculus. Academic Press, 240 p.,
California.
Özsayın, E. and Dirik, K. 2007. Quaternary activity of the Cihanbeyli and Yeniceoba
Fault zones: İnönü-Eskişehir fault system, central Anotalia. Turkish Journal of
Earth Sciences. Vol. 16, pp. 471-492.
Parsneau, H.P. 1970. The development of two-dimensional digital operators for the
filtering of potential field data. Msc. thesis, McGill University, 142 p., Montreal.
Petras, I. 2009. Fractional-order feedback control of a DC motor. Journal of electrical
engineering. Vol. 60(3), pp. 117-128.
67
Podlubny, I. 1999. Fractional Differential Equations: An introduction to fractional
derivatives, fractional differential equations, to method of their solution and
some of their applications. Academic Press, 340p., London.
Rimando, P.M. 1987. Design and implementation of filters for potential filed data. Msc.
Thesis, The University of Texas at El Paso, 194 p., USA.
Roest, W.R., Verhoef, J. and Pilkington, M. 1992. Magnetic interpretation using the 3-D
analytic signal. Geophysics. Vol. 57(1), pp. 116-125.
Rose, B. 1975. A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional
calculus. Lecture notes in mathematics. 457, pp. 1-36.
Saichev, A.I. and Zaslavsky, G.M. 1997. Fractional kinetic equations: solutions and
applications. Chaos. Vol. 7(4), pp. 753-764.
Scalas, E., Gorenflo, R. and Mainardi, F. 2000. Fractional calculus and continuous-time
finance. Physica A: Statictical Mechanics and its Applications. Vol. 284(1-4),
pp. 376-384.
Schmit, A. and Gaul, L. 2006. On the numerical evaluation of fractional derivatives in
multi-degree-of-freedom systems. Signal Processing. Vol. 86, pp. 2592-2601.
Spector, A. 1968. Spectral analysis of aeromagnetic data. Ph. D. thesis, The University
of Toronto. 718 p., Canada.
Telford, W.M., Geldart, L.P. and Sherrif, R.E. 1996. Applied Geophysics. Cambridge
University Press, 770 p., Cambridge.
Vaclac, B., Hrabe, J. and Segeth, K. 1992. Linear filters for solving the direct problem
of potential fields. Geophysics. Vol. 57(10), pp. 1348-1351.
Verduzco, B., Fairhead, J.D., Green, C.M. and MacKenzie, C. 2004. New insights into
magnetic derivatives for structural mapping. The Leading Edge. Vol. 23(2), pp.
116-119.
Wijns, C., Perez, C. and Kowalczyk, P. 2005. Theta map: edge detection in magnetic
data. Geophysics. Vol. 70(4), pp. L39-L43.
Xu, Y., Hao, T., Li, Z., Duan, Q. and Zhang, L. 2009. Regional gravity anomaly
seperation using wavelet transform and spectrum analysis. Journal of
Geophysics and Engineering. Vol. 6, pp. 279-287.
Yuste, Y.B. and Lindenberg, K. 2001. Subdiffusion-limited A+A reactions. Physical
Review Letters. Vol. 87(11), 118301.
68
Yuste, S.B., Acedo, L. and Lindenberg, K. 2004. Reaction front in an A+B→C
reaction-subdiffusion process. Physical Review. Vol. E 69(3): 036126.
Zaslavsky, G.M. 2002. Fractional kinetic equation for Hamiltonian chaos. Physics
Reports. Vol. 371(6), pp. 461-580.
69
EKLER
EK 1
BİR FONKSİYONUN n. MERTEBEDEN TÜREVİ
EK 2
n KATLI İNTEGRALİN GENEL YAZIMI
EK 3
GAMMA FONKSİYONU
70
EK 1 BİR FONKSİYONUN n. MERTEBEDEN TÜREVİ
Bir fonksiyonun birinci mertebe türevi, geri-farklar yaklaşımı kullanılarak
d 1 f df ( x)
⎧ f ( x) − f ( x − ∆x) ⎫
=
= lim ⎨
⎬
1
∆
x
→
0
dx
dx
∆x
⎩
⎭
(1.1)
eşitliği ile tanımlanır. Benzer şekilde ikinci ve üçüncü mertebeden türevler de izleyen
şekilde verilebilir.
d2 f
⎧ f ( x ) − 2 f ( x − ∆x ) + f ( x − 2 ∆ x ) ⎫
= lim ⎨
⎬
2
∆x → 0
dx
∆x 2
⎩
⎭
d3 f
⎧ f ( x) − 3 f ( x − ∆x ) + 3 f ( x − 2∆x) − f ( x − 3∆x) ⎫
= lim ⎨
⎬
3
∆x → 0
dx
∆x 3
⎩
⎭
(1.2)
Katsayıların değişen işaretlerle binom katsayıları olduğu görülürse n. mertebe türev için
n
⎧
⎫
⎛n⎞
dn f
−n
lim
x
=
∆
−1 j ⎜ ⎟ f ( x − j ∆x) ⎬
[
]
⎨
∑
n
∆x →0
dx
j =0
⎝ j⎠
⎩
⎭
(1.3)
yazılabilir. EK 2’de verilen n katlı integral ile ortak tanım için sınırlandırılmış bir limit
işlemi gerekecektir. [a,x] aralığını N eşit parçaya bölerek,
∆ N x = [ x - a] / N
N = 1, 2,3, ...
(1.4)
eşitliği yazılırsa (1.3) ifadesi,
n
⎧
⎫
⎛n⎞
dn f
−n
lim
x
=
∆
−1 j ⎜ ⎟ f ( x − j ∆ N x ) ⎬
[
]
⎨
∑
N
n
∆ N x →0
dx
j =0
⎝ j⎠
⎩
⎭
71
(1.5)
⎛n⎞
olacaktır. ⎜ ⎟ olarak gösterilen binom katsayıları da j > n değerleri için sıfır
⎝ j⎠
olacağından,
N −1
⎧
⎫
dn f
−n
j ⎛n⎞
lim
x
1
f
(
x
j
x
)
=
∆
−
−
∆
[
]
⎨
⎬
∑
N
N
⎜
⎟
dx n ∆ N x→0 ⎩
j =0
⎝ j⎠
⎭
(1.6)
yazılır. Problemin tanım sınırı içerisinde limitin sürekli olduğu varsayılırsa n.
mertebeden türev ifadesi:
⎧⎪ ⎡ x − a ⎤ − n N −1 j ⎛ n ⎞ ⎛
dn f
= lim ⎨
∑ −1 ⎜ j ⎟ f ⎜⎝ x −
dx n N →∞ ⎩⎪ ⎢⎣ N ⎥⎦ j = 0
⎝ ⎠
⎡ x − a ⎤ ⎞ ⎫⎪
j⎢
⎟⎬
⎣ N ⎥⎦ ⎠ ⎭⎪
(1.7)
şeklinde genelleştirilebilir. (1.7) ifadesinde, x bağımsız değişkeni (zaman, uzaklık vb.),
N örnek sayısını gösterir. Bağıntıda toplam ifadesinin alt ve üst sınırlarına terminal adı
verilmektedir.
72
EK 2 n KATLI İNTEGRALİN GENEL YAZIMI
Geometrik anlamda, integral tanımlandığı aralıkta, bir fonksiyonun altındaki alana eşit
olacağından, Riemann toplamı olarak
d −1 f
= f ( x0 )dx0
d ( x − a) −1 ∫a
x
(2.1)
∆ N x için EK 1’de verilen (1.4) numaralı bağıntı kullanılırsa (2.1) numaralı ifade:
d −1 f
= lim {∆ N x [ f ( x) + f ( x − ∆ N x) + f ( x − 2∆ N x) + ...... + f (a + ∆ N x) ]}
d ( x − a) −1 ∆ N x →0
N −1
⎧
⎫
= lim ⎨∆ N x∑ f ( x − j∆ N x) ⎬
∆ N x →0
j =0
⎩
⎭
(2.2)
şeklinde yazılır. Çift katlı integral durumunda,
x
1
d −2 f
dx
=
1 ∫ f ( x0 ) dx0
d ( x − a ) −2 ∫a
a
x
N −1
⎧
⎫
2
= lim ⎨[ ∆ N x ] ∑ [ j + 1] f ( x − j∆ N x) ⎬
∆ N x →0
j =0
⎩
⎭
(2.3)
ve üç katlı integral durumunda,
x
x
2
1
d −3 f
dx
dx
=
2∫
1 ∫ f ( x0 ) dx0
d ( x − a) −3 ∫a
a
a
x
N −1
⎧
⎫
[ j + 1] + [ j + 2]
3
= lim ⎨[ ∆ N x ] ∑
f ( x − j ∆ N x) ⎬
∆ N x →0
2
j =0
⎩
⎭
verilir. n katlı integral için,
73
(2.4)
d −n f
[ d ( x − a)]
−n
N −1 j + n − 1
⎧
⎫
⎛
⎞
n
= lim ⎨[ ∆ N x ] ∑ ⎜
f ( x − j∆ N x) ⎬
⎟
∆ N x →0
j ⎠
j =0 ⎝
⎩
⎭
⎧⎪ ⎡ x − a ⎤ n N −1 ⎛ j + n − 1⎞
= lim ⎨ ⎢
⎟
⎥ ∑⎜
∆ N x →0
j ⎠
⎩⎪ ⎣ N ⎦ j =0 ⎝
⎛
f ⎜x−
⎝
⎡ x − a ⎤ ⎞ ⎫⎪
j⎢
⎟⎬
⎣ N ⎥⎦ ⎠ ⎭⎪
(2.5)
olacaktır. (2.5) ifadesinde yer alan toplamdaki katsayılar EK 1’de verilen (1.7)
⎛ j + n − 1⎞
ifadesinden farklı olarak ⎜
⎟ şeklinde gitmektedir ve bütün terimler pozitif
j ⎠
⎝
işaretlidir.
74
EK 3 GAMMA FONKSİYONU
Gamma fonksiyonu, matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tamsayı
olmayan gerçel sayılar için genellenmesi olan bir fonksiyondur. Kesirli türev ve integral
hesaplamalarında sıklıkla kullanılan bir fonksiyondur ve Г simgesiyle gösterilir.
Gamma fonksiyonu bütün x değerleri için izleyen bağıntı ile tanımlanır:
⎧
⎫
N !N x
Γ( x) = lim ⎨
⎬
N →∞ x ( x + 1)( x + 2)...( x + N )
⎩
⎭
(3.1)
x>0 değerleri için uygulamada kullanılan bağıntı aşağıdaki gibidir:
∞
Γ( x) = ∫ y x −1e − y dy
(3.2)
0
(3.2) ifadesine kısmi integrasyon yöntemi uygulanarak,
∞
Γ( x) = − ∫ d (e − y ) y x −1
(3.3)
0
∞
Γ( x) = ( x − 1) ∫ dye − y y x − 2
(3.4)
0
şeklinde yazılırsa,
Γ ( x) = ( x − 1)Γ ( x − 1)
(3.5)
bağıntısı elde edilir. x sıfırdan büyük ve tamsayı değerler aldığı zaman,
Γ(1) = 1
(3.6)
Γ(n + 1) = n !
75
olacaktır ve sıfırdan küçük tamsayı değerler için de gamma fonksiyonu:
Γ( x − 1) =
1
Γ( x)
( x − 1)
(3.7)
şeklinde tanımlanabilir. Bu ifadeden görüleceği üzere Г(0), Г(-1) ve diğer tüm negatif
tamsayılar
için
Gamma
fonksiyonunun
değeri
sonsuz
olmaktadır.
Gamma
fonksiyonunun kesirli matematikte kullanımında önemli rol oynayan özelliklerinden
birisi de,
Γ( j − q )
Γ(− q )Γ( j + 1)
(3.8)
oranıdır. Bu oran,
Γ( j − q )
−1 j
=
Γ(−q)Γ( j + 1)
j!
j
∑s
m=0
(m)
j
qm
(3.9)
olarak verilmektedir. Burada:
s j +1( m ) = s j ( m−1) − js j ( m ) , s0 (0) = 1 ve diğerleri için s0( m ) = s j (0) = 0
(3.10)
olarak verilen birinci tip Sterling sayılarıdır. (3.10) ifadesi binom katsayıları cinsinden
⎛ j − q − 1⎞
Γ( j − q )
j ⎛q⎞
=⎜
⎟ = −1 ⎜ ⎟
j ⎠
Γ(− q)Γ( j + 1) ⎝
⎝ j⎠
(3.11)
yazılabilir. Gerçel eksen boyunca Gamma fonksiyonu ve davranışı şekil 1’de
verilmiştir.
76
Şekil 1. Gamma fonksiyonu
77
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
:
Doğum Yeri :
Ankara
Doğum Tarihi:
17.06.1979
Medeni Hali :
Evli
Yabancı Dili :
İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise
:
Özel Evrensel Fen Lisesi (1997)
Lisans
:
Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Jeofizik
Mühendisliği Bölümü (2002)
Cumhuriyet Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Jeofizik
Mühendisliği Anabilim Dalı (2007)
Yüksek Lisans:
Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl
2004 yılından bu yana Cumhuriyet Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Jeofizik
Mühendisliği Bölümü’nde araştırma görevlisi olarak, 2007 yılından bu yana ise
Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Jeofizik Mühendisliği Bölümü’nde 35.
madde ile araştırma görevlisi olarak çalışmaktadır.
Yayınları (SCI ve diğer)
Arısoy, M.Ö., and Dikmen, Ü., 2011, Potensoft: Matlab-based software for
potential
field
data
processing,
modeling
and
mapping,
Computers&Geosciences, 37(7), 935-942.
Dikmen, Ü., Arısoy, M.Ö., and Akkaya, İ., 2010, Offset and linear spread
geometry in MASW method, Journal of Geophysical and Engineering,
(Special Issue On: Near Surface Geophysics for The Study and The
Management of Historical Resources), 7(2), 211-222
Dikmen, Ü., Başokur, A.T., Akkaya, İ., ve Arısoy, M.Ö., 2010, Yüzey
dalgalarının çok-kanallı analizi yönteminde uygun atış mesafesinin seçimi,
Yerbilimleri, 31 (1), 23-32.
Büyüksaraç, A., Arısoy, M.Ö., Bektaş, Ö., Koçak, Ö., and Çay, T., 2008,
Determination of grave locations in Dedemezari Necropolis (Western
Turkey) using magnetic field derivatives, Archaeological Prospection,
15(4), 267-283.
Arısoy, M.Ö., Koçak, Ö., Büyüksaraç, A., and Bilim, F., 2007, Images of buried
graves in Bayat, Afyon (Turkey) from high-resolution magnetic data and
their comparison with preliminary excavations, Journal of Archaeological
Science, 34(9), 1473-1484.
78

potansiyel alan verilerinin kesirsel mertebe türevler ile

Transkript

Benzer belgeler

Prof. Dr. Türev BERKİ - Hacettepe Üniversitesi Ankara Devlet

genelleştirilmiş caputo kesirli türevi ve uygulamaları yüksek lisans tezi

diğer konular - TOK2013

Fizik-1 Uygulama-5

çeşitli yöntemlerle kurutulmuş hünnaptan bisküvi ve kurabiyeler için

Elektrikli Araçlar İçin Fırçasız Doğru Akım Motorlarında

GOT-It 2.0.1 ile Elektromanyetik Sistemlerin