Haberleşme - Erol seke - Eskişehir Osmangazi Üniversitesi

1
Haberleşme
Başlangıç Seviyesi
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi
Erol Seke
2
İçindekiler
1 Giriş ........................................................................................................................................ 5
2 Frekans ve Tayf ................................................................................................................... 13
2.1. Fourier Serileri............................................................................................................... 16
2.2. Fourier Dönüşümü ......................................................................................................... 20
2.2.1. Elektromanyetik Tayf ............................................................................................. 28
2.2.2. Soru - Cevap ........................................................................................................... 33
2.3. Kesikli Fourier Dönüşümü ............................................................................................ 34
2.3.1. Soru-Cevap ............................................................................................................. 39
2.3.2. Çözümlü Problemler ............................................................................................... 40
3 Örnekleme ve Nicemleme ................................................................................................... 45
3.1. Sayısal Yukarı/Aşağı Kaydırma .................................................................................... 49
3.2. Nicemleme ..................................................................................................................... 53
3.2.1. Soru-Cevap ............................................................................................................. 58
3.2.2. Çözümlü Problemler ............................................................................................... 59
4 Gürültü ve Olasılık .............................................................................................................. 62
4.1. Olasılık Dağılımı ........................................................................................................... 63
4.1.1. Periyodik İşaretlerden Alınan Örneklerin Dağılımı................................................ 66
4.1.2. İşaretlerin Benzerliği .............................................................................................. 70
4.2. Gürültülü İşaret .............................................................................................................. 73
4.2.1. Kanal Kapasitesi ..................................................................................................... 75
4.2.2. Çözümlü Problemler ............................................................................................... 79
5 Analog İletişim ..................................................................................................................... 82
5.1. Genlik Modülasyonu ..................................................................................................... 83
5.2. Açı Modülasyonu .......................................................................................................... 91
5.2.1. Soru-Cevap ............................................................................................................. 97
5.3. Analog Televizyon ........................................................................................................ 98
5.3.1. Renkli Görüntü ..................................................................................................... 105
5.3.2. Görüntüleme Teknolojileri ................................................................................... 108
5.3.3. Çözümlü Problemler ............................................................................................. 112
6 Sayısal İletişim ................................................................................................................... 114
6.1. Gürültünün Etkisi ........................................................................................................ 120
6.2. Sembol Dedektörü ....................................................................................................... 127
3
6.3. Eşzamanlama ............................................................................................................... 134
6.4. Sembollerarası Etkileşim ............................................................................................. 136
6.5. Genlik Anahtarlaması .................................................................................................. 143
6.6. Faz Anahtarlaması ....................................................................................................... 145
6.6.1. Çözümlü Problemler ............................................................................................. 151
7 Kanal Kodlama .................................................................................................................. 153
7.2. Hata Bulma .................................................................................................................. 154
7.2.1. Basit Parite............................................................................................................ 156
7.2.2. Boylamasına Parite kontrolü ................................................................................ 156
7.2.3. Toplama Sağlaması............................................................................................... 157
7.2.4. Döngüsel Tekrarlılık Kontrolü ............................................................................. 157
7.3. Hata Geribildirimi........................................................................................................ 157
7.4. Hata Düzeltici Blok Kodlar ......................................................................................... 160
7.4.1. Hamming Kodları ................................................................................................. 164
7.4.2. Döngüsel Kodlar ................................................................................................... 166
7.5. Evrişim Kodları ........................................................................................................... 171
7.5.1. Viterbi Algoritması ............................................................................................... 174
8 Kaynak Kodlama ............................................................................................................... 182
8.1. Veri Sıkıştırma............................................................................................................. 188
8.1.1. Shannon-Fano Kodlama ....................................................................................... 190
8.1.2. Huffman Kodlama ................................................................................................ 191
4
Önsöz
Bu kitapçık, haberleşme teorisi ve sistemlerine ilk defa muhatap olacak elektrik (ve
elektronik) mühendisliği öğrencileri için, sadece esası anlamaya yetecek gerektiği kadar detay ve
örnek verilerek yazılmıştır. Öğrencilerin "devre analizi" ve "sistemler ve sinyaller" gibi derslerden bir
altyapısının olması şarttır. Genel olarak, bölümlerin yerleşim sırasıyla okunması beklenir, ancak şart
değildir. Örneğin Fourier, frekans, tayf gibi kavramları bilen öğrencilerin doğrudan sonraki konulara
geçmesinde bir sakınca yoktur, gerektiğinde bu konulara geri dönüp bilgi tazeleme yapabilir.
Kitapçık bir tercüme değildir. Haberleşme ile ilgili kimileri oldukça değerli kaynak kitapları
temel alınarak da hazırlanmamıştır. Yıllar boyunca uygulama ve araştırmalardan biriken alyapı,
tecrübe, bilgi, adını ne koyarsanız, anlaşılırlık ön planda tutulmaya çalışılarak yazıya dökülmüş
halidir. Sayılamayacak kadar çok eksiği vardır. Zaten eksiksiz bir döküman çıkarılmaya
çalışılmamıştır. Gerçi, iletişim çağının derinlerine girilmiş bu yıllarda, eksiksiz bir kaynak hazırlamaya
çalışmak nafiledir. Mümkün olsaydı dahi, çok ciltli ansiklopedilere sığmazdı. Yine de başlangıç
olabilecek bir kitapçık çıktığını umuyorum.
Kitapçıktaki şekiller de alıntı değildir. Diyagramlar en basit yardımcı yazılımlar ile çizilmiş,
grafikler çok bilinen yazılımlarla üretilmiş, birkaç fotoğraf hariç çoğunluğu tarafımdan bizzat
çekilmiştir. Kaliteden çok anlaşılırlığa hizmet etmesi önemsenmiştir. Benzeri şekilde çözümlü
problemler ve alıştırma soruları da tarafımdan hazırlanmış, çoğunluğu önceki yılların sınav sorularıdır.
Yıllar içinde haberleşme eğitiminin karşılaştığı en önemli sorunun, öğrencilerin konuyu
sevmekte zorlanması olduğunu hissettim. Haliyle sevilmeyen konu yeterli ilgiyi görmüyor. Öğrenciler,
çok güzel kaynak kitaplar önerilmesine rağmen okumuyor, kendi başlarına araştırma yapmıyorlar.
Konuyu sevdirecek iki öğe belirledim. Bunlar, başarıyla gerçekleştirilebilecek anlaşılır deneysel
çalışmalar ve anlatılan konularla paralel ilerleyen kolay okunur, basit ve anlaşılır anlatımı olan kaynak
kitaplardır. Bu kitapçıkta, bazı konuları hedeflediğim ölçüde basite indirgeyemiş olsam da "mümkün
olduğunca" yaklaşımını kullandım.
Okuyanlara faydalı olmasını diliyorum.
Erol Seke
5
1 Giriş
Türk Dil Kurumu (TDK) sözlüklerinde "haberleşme" teriminin karşılıkları içinde bu kitapçığın
konularıyla ilgili görünen tanımlar aşağıda toplanmıştır;



Bir yerden, bir kişiden, bir makineden bir başkasına, herhangi bir ortamdan yararlanarak bilgi
gönderme.
Telefon, telgraf, radyo gibi aygıtlarla yapılan bildirişim; bu yollardan yararlanarak yürütülen
bilgi alışverişi.
Kişiler veya kişiler ile teknik cihazlar arasındaki bilgi ve haber aktarımı.
Tabi ki bazen birbiriyle eşanlamlı olarak kullanıldığından bilgi ve veri olgularının da bu
kitapçıkta kullanılış tanımlarının yapılması gerekir. Kitapçığımız elektronik haberleşme ile ilgili
olduğuna göre tanımlarımızı buna göre yapalım; Bilgi = asıl iletilmek istenen, Veri = bilgiyi içinde
barındıran.
Bilgi Üreteci
eri
v
işaret
Haberleşme Kanalı
Bilgi Kullanıcısı
Şekil 1.1 Haberleşme kavramı.
Veri hangi formda olursa olsun nihayetinde bir elektriksel büyüklüğe (voltaj) çevirildiğini, bu
elektriksel büyüklüğün olduğu gibi iletildiği sistemlere analog haberleşme sistemi diyeceğiz. Burada
bahsi geçen elektriksel büyüklüğün, bazı sınırlar dahilinde de olsa, sonsuz farklı değer alabileceğini de
varsaymış oluyoruz. Eğer bu büyüklük sonlu sayıda değer alıyorsa (veya öyle olduğu varsayılıyorsa),
yada sonlu sayıda değer ile temsil edilecek şekilde bir işleme tabi tutuluyor ve iletim sonlu sayıda
değer yada onları temsil eden dalgaşekilleri ile yapılıyor ise bu sisteme sayısal haberleşme sistemi
diyoruz. Tabi ki analog büyüklükleri analog-sayısal dönüştürücülerle sayısala dönüştürüp sayısal
iletişim kurmak sayısal haberleşme sisteminin özel bir durumudur.
Sistemimizi Şekil 1.2'deki mikrofon örneğiyle biraz daha detaylandıralım. Konuşmacının
ürettiği ses dalgaları mikrofon tarafından elektrik işaretine çevrilir ve bir kablo ile kuvvetlendiriciye
iletilir. Mikrofonun ürettiği elektrik işareti bir hoparlörü çalıştıracak kadar enerjiye sahip
olmadığından kuvvetlendirilerek hoparlöre verilir ve hoparlörde yeniden ses dalgasına dönüştürülür.
Mikrofondan çıkan işaretin voltajı anlık olarak sonsuz sayıda farklı değer alabilir. Aynı şekilde
hoparlöre verilen işaret de sonsuz farklı değer alabilir. Aradaki kablo+kuvvetlendirici de mikrofondan
çıkan işareti olduğu haliyle taşır ve kuvvetlendirir. Yani bu sistem bir analog haberleşme sistemidir.
Tabi ki mikrofon (konuşmacı) ve hoparlör (dinleyiciler) arasındaki mesafe arttıkça kablonun sınırlı
özelliklerinden dolayı gürültünün etkisi de artmaya başlar ve ilave çözümler üretmek gerekir. Örneğin
mikrofondan çıkan işaret öncelikle kuvvetlendirilip (preamplifier) kabloya verilebilir. Yada kablo
kullanılamayacak mesafeler ve/veya hareketli konuşmacı/dinleyici durumlarında kablosuz iletim tercih
edilebilir. Bu durumda mikrofondan alınan elektriksel işaretleri temsil eden radyo dalgaları üretilecek
6
ve antenler ile havaya (yada boşluğa) yayılacak, alıcı kısımda ise bu radyo dalgalarının taşıdığı
işaretler tekrar elektriksel işarete çevirilecek ve hoparlöre verilecektir. Ancak, taşınan işaretler yine
sonsuz farklı değer alabileceğinden, sistem yine analog haberleşme sistemidir.
merhaba
haberleşme kanalı
ses dalgaları
ses dalgaları
Kuvvetlendirici
hoparlör
merhaba
mikrofon
Şekil 1.2 Basit analog haberleşme sistemi örneği.
İkinci örneğimizdeki sistem uzaktaki bir su deposunun doluluk durumunu bulunduğumuz
yerden kontrol etme amaçlı olup Şekil 1.3 sistemimizi temsil etmektedir. Su deposundaki
şamandralara bağlı anahtarlar suyun ilgili seviyede olup olmadığına göre açık yada kapalıdır. İki adet
şamandra+anahtar olduğuna göre 4 ayrı durum olasılığı görünmesine rağmen normal çalışan bir
düzenekte 3 durum görülür; boş, orta, dolu. Dördüncü durum ise yukarıda suyun olup aşağıda
olmadığını gösteren durumdur ve anahtar yada şamandralarda bir hata olduğunu göstermek üzere
kullanılabilir. Burada haberleşmeyi ilgilendiren konu, anahtarların kaç volt ile beslendiği olmayıp, 4
ayrı durumun T göndericisi tarafından nasıl kodlanıp hangi temsil sistemi ile kanala verildiğidir. Yani
önceki örnekteki analog ses sistemindeki gibi sonsuz farklı değer sözkonusu olmayıp sadece 4 durum
ile ilgilenilmektedir. Bu da sistemi bir sayısal haberleşme sistemi yapmaktadır. Ancak kodlama,
kablodaki voltaj değerleri, kabloya verilebilecek işaretlerin frekansı, hangi zaman aralıklarıyla bu
değerlerin kontrol edileceği gibi sonsuz sayıda parametre seti mümkündür ve hangi setin kullanıldığı
R alıcısı tarafından bilinmelidir.
giriş
şamandra+anahtar
haberleşme kanalı
ç
ıkış
dolu orta boş hata
T
R
Şekil 1.3 Su deposu örneği sayısal haberleşme sistemini temsil etmektedir.
Yukarıdaki örneklerde haberleşme kanalını bir çizgi ile geçiştirdik ve çıkışındaki işaretin
girişteki ile aynı olduğunu varsaydık. Şimdi de gerçekte çoğu zaman karşılaşılan durumu modelleyen
Şekil 1.4'ü ele alalım. Burada s(t ) , h( , t ) , N (t ) ve r (t ) sırasıyla vericiden gönderilen işareti,
zamanla değişebilen kanal/medya karakteristiğini, kanalda eklenen gürültüyü ve alıcı girişinde görülen
işareti temsil etmektedir. Bu durumda, alıcı tarafında görülen işaret
7
r (t )  s(t )  h( ; t )  N (t )  


h( ; t )s(t   )d  N (t )
olacaktır.
haberleşme kanalı
Alıcı
Verici
s(t)
h(, t)
r(t)
N(t)
Şekil 1.4 Daha gerçekçi haberleşme kanal modeli.
Gerçekte gürültü karakteristiği de zamanla değişebilir. Ancak biz modelimizi daha da
basitleştirecek varsayımlarda bulunalım ve kanal karakteristiğinin de zamanla değişmediğini (timeinvariant) ve doğrusal olduğunu (linear) varsayalım. Daha da ileri giderek kanal karakteristiğinin
sadece bir zayıflatmadan ibaret olduğunu kabul edelim. Sonuçta, en basit haliyle
r (t )  s(t )  N (t )
ve ilgilendiğimiz frekans bandlarında kanalın zayıflatmasının da ihmal edildiği (   1 )
r (t )  s(t )  N (t )
elde edilir. Yani alıcının gördüğü işaret gönderilen işaretin gürültü işareti ile toplamıdır ve alıcı bu
gürültülü işaret üzerinden kararlarını verecektir. Bu durumu hem bir analog hem de bir sayısal işaret
ile örneklendirelim. Analog işaret örneği olarak basit bir periyodik işaret (sinüzoidal) gönderiliyor
olsun. Sayısal işaret olarak da bir anahtarın açık yada kapalı olmasını temsil eden -1 V ve +1 V voltaj
seviyeleri gönderiliyor olsun. Karşılaştırma amaçlı olarak da anahtarın sinüzoidal işaretin periyodu ile
aynı sürelerde açılıp kapandığını varsayalım. Bu durumda alıcı girişinde görülebilecek
dalgaformlarından birkaç tanesi Şekil 1.5'te örnek olarak verilmiştir. Solda sinüzoidal sağda sayısal
(+1,-1) işaretlerin gürültüsüz ve 2 farklı seviyede gürültülü halleri bulunmaktadır. Kolayca
yorumlanabileceği üzere gürültü seviyesi arttıkça alıcı girişindeki işaretin özelliklerinin alıcı
tarafından belirlenmesi zorlaşacaktır (sinüzoidal işaretin genliği, frekansı ve fazı, sayısal işaretin anlık
pozitif yada negatif olduğu).
Şekil 1.5'te verilen örneklerdeki işaretlerin neredeyse hiçbir bilgi taşımadığı, zaten bu
periyodik işaretlerin (özellikleri belirliyse) alıcı tarafında üretilebileceği, bunları vericiden
göndermenin anlamsızlığını bir kenarda tutarsak, hatırda tutulması gereken şey, gürültüsüz bir
haberleşme kanalının olmadığı, gürültü arttıkça da gönderilen verinin (dolayısıyla bilginin) alıcı
tarafından belirlenmesinin zorlaştığıdır. Gerçek şudur ki, eğer gürültü diye birşey olmasaydı elektronik
haberleşme içerikli bir ders de olmazdı. Haberleşme ve altbaşlıları ile ilgili bunca kitap, yayın,
araştırma, ders, yöntem vb. çalışmaların asıl hedefi kanalın kötü özelliklerinin (örneğin gürültü)
haberleşmeye olan kötü etkilerini en aza indirmek ve/veya bunun yollarını öğrenmektir. Çünkü
gönderdiğimiz herşeyin hiç bozulmadan istenilen yere aynen ve anında taşındığı bir kanal varolsaydı
ölçüsüz bir şekilde her veriyi gönderebilirdik ve bunun bize herhangi bir maliyeti olmazdı.
8
Şekil 1.5 Gürültüsüz ve değişik seviyelerde gürültülü analog ve sayısal işaret örneği.
Durum böyle iken, haberleşme sistemleri için bir amaç cümlesi yazalım;
"Haberleşme sistemlerinin amacı bilgiyi üretildiği noktadan kullanılacağı noktalara en yüksek
doğrulukta, en ekonomik, en sağlıklı ve en uygun hızda iletmektir. "
İlk iki "en ..." kendinden açıklamalı olduğundan son ikisini açıklayalım. "En sağlıklı" dan
kastımız canlılara, çevreye ve diğer sistemlere en az zarar verecek şekilde olmasıdır. "En uygun hız"
ile de bilgi kullanıcısının bu bilgiye tam ihtiyacı olduğu an kastedilmektedir, ne erken, ne de geç.
Kolayca hissedileceği gibi, bu dört "en ..." birbirleriyle çelişebilmektedir. Örneğin, en yüksek
doğruluk için çoğunlukla daha pahalı elektronik kullanmak gereklidir. Yada, canlılara en az zarar
veren durum hiç haberleşmenin yapılmadığı durum olabilir. Görüldüğü gibi bu "en ..." ler arasında bir
denge kurmak gereklidir. Haberleşme sistemi tasarımı da ihtiyaçları ve yasakları gözeten en iyi
dengeyi kurma işlemidir.
Sayısal elektronik maliyetlerinin düşmesiyle beraber, günümüz sistem tasarımları sayısal
haberleşmeye giderek daha fazla ağırlık vermekte, yeni yöntemler geliştirilmektedir. Bunun bir sebebi
de sayısal haberleşmenin veriyi işlemede ve korumada sağladığı avantajlardır. Bunu oldukça kolay
anlaşılır bir örnekle açıklayalım. Şekil 1.5'teki analog ve sayısal işaretlerin Şekil 1.6'da gösterilen ve 1
adet tekrarlayıcı (repeater) içeren kanaldan gönderildiğini varsayalım. Tekrarlayıcılar, uzak mesafelere
iletilen işaretlerin aşırı zayıflamadan ve gürültü etkileri artmadan ara istasyonlarda kuvvetlendirilmesi
amacıyla kullanılır. Bu aynı zamanda, göndericinin çok güçlü olma gerekliliğini azaltır. Bazı
durumlarda ise işaret zaten tek hamlede alıcıya gönderilemez; örneğin dünyanın yuvarlaklığından
dolayı uzak istasyonun göndericiden çıkan radyo dalgalarını görmemesi durumunda tekrarlayıcı
şarttır.
9
haberleşme kanalı
Alıcı
Verici
tekrarlayıcı
s(t)
r(t)
N2(t)
N1(t)
Şekil 1.6 Tekrarlayıcı içeren bir haberleşme kanalı.
Kanal bir analog kanal ise, tekrarlayıcı sadece bir kuvvetlendiricidir. İşaretin
kuvvetlendirilmesinin sadece daha sonra eklenecek gürültüye (N2) karşı bir faydası vardır. Daha
önceden işarete eklenen gürültünün (N1) temizlenmesi için bir yol yoktur, tamamen silinemez. Analog
süzgeçler, gürültü miktarını azaltmak için, işaretin (bilginin) taşınmadığı frekans bileşenlerini atabilir,
ancak atılan kısım gürültünün sadece bir kısmıdır. Gürültü artık işaretin bir parçası olduğundan
işaretin kuvvetlendirilmesi, üzerindeki gürültünün de kuvvetlendirilmesi demektir.
Kanal bir sayısal kanal ise, veri sonlu sayıda değer yada dalgaşekli ile taşınmaktadır. Şekil
1.5'teki örnekte işaretin pozitif yada negatif olması verinin ne olduğunu belirlemek için yeterlidir.
Tekrarlayıcı, işaretten verinin belirlenebilme özelliği kaybolmadan aynı veriyi gayet temiz bir şekilde
kanalın ikinci yarısına gönderir. Şekil 1.7'de vericiden gönderilen gürültüsüz ve bozulmamış işaret
kanalın transfer fonksiyonu ile bozulmakta ve gürültü eklenmektedir. Tekrarlayıcı, bozulmuş ve
gürültülü işaretin içindeki verileri (bitleri) henüz yeterince bozulmamış iken belirler ve çıkışında tekrar
eder. Bu işlem sırasında bit süresince yada daha uzun süre hesaplama yapılabileceğinden çıkıştaki
işaret biraz gecikmelidir, ancak sanki vericiden yeni çıkmış gibi temizdir. Böylelikle, arada birçok
tekrarlayıcı olsa dahi, veriler alıcıya oldukça sağlam bir şekilde ulaştırılabilir. Bu basit örnek, sayısal
haberleşme sistemlerinin tercih edilme sebeplerinden sadece birisidir.
orijinal
gürültülü
Verici
s(t)
tekrarlayıcı
h(t)
bozulmuş
Alıcı
r(t)
h(t)
N2(t)
N1(t)
tazelenmiş (biraz gecikmeli)
Şekil 1.7 Tekrarlayıcının sayısal işareti tazelemesi.
Sayısal iletişimin diğer üstünlüklerininden bazılarını anlayabilmek için Şekil 1.8'e göz atalım. Burada
genel bir sayısal iletişim sisteminin olası bileşenleri basitçe kutucuklar halinde verilmiştir.
10
veri
format
(ADC)
kaynak
kodla.
şifre.
kanal
kodla.
çerçeve
oluştur.
temelbant
modül.
RF
modül.
Tayf
yayma
çoklu
erişim
kanal
veri
format
(DAC)
kaynak
dekod.
şifre
çözme
kanal
dekod.
çerçeve
açma
temelbant
demod.
RF
demod
Tayf
topla.
çoklu
erişim
Şekil 1.8 Genel sayısal iletişim sistemi bileşenleri.
Şekil 1.8'deki sistem, analog işaretin analog-sayısal ve sayısal-analog çeviriciler kullanılarak sayısal
kanal üzerinden iletilmesi ile aslında sadece RF modülatör/demodülatörden oluşturulabilecek bir
analog iletişim sisteminin eşdeğeriymiş gibi duruyor. Özellikle, Şekil 1.1'deki mikrofon kablosu
örneğindeki gibi bir sistemde Şekil 1.8'deki gibi birçok bloğun var olabileceğini düşünmek anlamsız
ve şaşırtıcı gelebilir. Gerçekten de diğer blokların analog iletişim sisteminde ya yeri yoktur, ya
maliyetinden dolayı ihtiyaç olmadığına karar verilmiştir yada içerilmesi oldukça zordur. Ancak, bazı
sistemlerde kullanılmıyor olsa da, bu blokların herbirinin oldukça önemli görevleri vardır ve işlevleri
analog sistemler tarafından karşılanamazlar. Örneğin kanal kodlayıcı/çözücü blokları kanal gürültüsü
dolayısıyla bozulan işaretten sembolleri geri elde ederken oluşan hataların giderilebilmesini sağlarlar.
Tabi ki bunun bir işlem/donanım maliyeti vardır. Ama analog kanallarla bu işlevi yerine getirmek
mümkün değildir. Bir diğer örnek ise veri sıkıştırma sağlayan kaynak kodlayıcı/çözücü bloklarıdır. Bu
işlevi de analog sistemlerle gerçeklemek mümkün değildir. O zaman, "analog iletişim sistemi ne
zaman kullanılır?" sorusunu sorabiliriz. Elbette ki maliyet en büyük etkendir ve sayısal devrelerin
maliyetleri çok düşmüştür. Öyle ki, analog geliştiriciler elektronik sanayiinde en yüksek ücretleri
almaktadırlar. Buna iki dünya arasında köprü olan analog-sayısal ve sayısal-analog çeviriciler üzerinde
çalışanlar da dahildir. Ancak aşağıdaki örnekleri de gözardı etmeyelim;
1. Gönderilecek veri analog formdaysa, alıcı bu işareti analog şekilde kullanacaksa ve
mesafeler işaret karakteristiğine göre kısa ise analog veri kanalı kullanılır. Örnek; elektronik müzik
enstrumanlarında üretilen (elektrik-gitar gibi) işaretler analog olup birkaç on metre uzaklıktaki bir
kuvvetlendiriciden hemen sonra hoparlöre verilecek ise.
2. Analog formda olan ses verisi iki mobil cihaz arasında iletilecek ise, Şekil 1.8'deki blokların
getireceği yararlar düşünülerek genellikle sayısal iletişim tercih edilir. Ancak uzaktan kumanda bir
oyuncak için bu yararların bir etkisi olmayabilir.
3. Göndericide veri sayısal formda ise ve alıcı da bunu sayısal olarak kullanacak ise, sayısal
iletişim kaçınılmazdır. Örnek; bilgisayar ile yazıcı arasındaki iletişim.
Göz önünde bulunması ve unutulmaması gereken bir başka konu da, ister sayısal ister analog
iletişim olsun, iletişim ortamına verilen işaret bir analog dalgaformudur.
Şekil 1.8'deki blokların işlevlerini kısaca belirtelim. Bu blokların birçoğunu bu kitapçıkta
inceleyeceğiz;
11
Formatlama : Analog işaretin sayısala çevrilmesi yada zaten sayısal olarak izlenebilecek
olguların bilinen bir sayısal formata çevrilmesi işlevini yerine getirir. Örnekleme ve nicemleme
işlemleri de bu bloğa dahildir. Alıcı tarafında bu işlemin tersi gerçekleştirilerek analog işaret geri elde
edilir. Bu konulara Örnekleme bölümünde değineceğiz.
Kaynak Kodlama (Source Coding) : Bilgiyi daha az veri ile temsil etme işlemi yada veri
sıkıştırmadır. Böylelikle, örneğin aynı bilgi daha az sembol ile taşınır ve çoğunlukla kanal
gereksinimlerinden tasarruf sağlar. Sıkıştırılan verinin alıcı tarafında tekrar anlamlandırılması yani geri
çatılması gerekmektedir. Bu konuya Kaynak Kodlama bölümünde kısaca değineceğiz.
Şifreleme (Encription) : Bilginin istenmeyen kişilerin eline geçtiğinde kullanılabilmesini
engellemek içindir. Bu konu bilgisayar bilimleri kapsamında olduğundan burada değinmeyeceğiz.
Kanal Kodlama (Channel Coding) : Kanala verilen elektriksel işaretlerin kanalın kötü
etkileriyle bozulması sonucu alıcı tarafında hatalı olarak elde edilebilir. Kanal kodlama teknikleri ile
bozulmuş veri bazı sınırlar dahilinde düzeltilebilir. Konu sayısal haberleşme sistemlerinin temel
konularından birisi olup Kanal Kodlama bölümünde anahatlarıyla inceleyeceğiz.
Çerçeve Oluşturma (Frame Construction) : Veriyi temsil eden sembollerin bloklar halinde
iletilmesi bazı kolaylıklar sağlamaktadır. Çerçevelerin oluşturulması ise çoğunlukla standardları
izleyerek gerçekleştirilir. Bu çerçeveler 8-bitlik bloklar olabildiği gibi ethernet ağı uygulamasındaki
gibi onbinlerce bitten oluşabilir. Çerçeve oluşturmanın bir diğer amacı asıl veri ve yardımcı veri akışı
dengesini sağlamaktır. Serpiştirme (interleaving) gibi bazı işlevlerde Kanal Kodlama ile beraber
düşünülmektedir. Kanal Kodlama bölümünde kısaca değineceğiz.
Tabanbant Modülasyon (Baseband Modulation) : Sayısal sembollerin elektrik işaretlerine
çevrilmesi işlemidir. Çoğunlukla herbir sembole yada sembol grubuna bir dalgaformu atanmakta, bu
dalgaformları sadece bir sabit değer olabilmektedir. Bu konuyu Sayısal Modülasyon bölümünde
inceleyeceğiz.
RF Modülasyon (RF Modulation yada Passband modulation) : Tabanbant işaretini frekans
bandı paylaşımı amacıyla yüksek frekanslara çıkarma işlemidir. Analog yada sayısal, kablosuz
haberleşmede zorunlu olan kısım burasıdır. Bazı durumlarda tabanbant modülasyon ile birleştirilebilir.
Bu konuyu kendine ayrılmış bir bölümde incelemek yerine AM-FM, Analog-TV ve Sayısal
Modülasyon bölümlerinde yeri geldikçe inceleyeceğiz.
Tayf Yayma (Spread Spectrum) : RF işaretimizin frekans bandında yeterli görünen bant
genişliğinden çok daha geniş banda yayma işlemidir. Çoğunlukla aynı frekans bandının birçok alıcıverici tarafından ortak (veya eşzamanlı) olarak kullanılabilmesini sağlamak ve bunun için bir anlaşma
yapılması gerekliliğini ortadan kaldırmak amacıyla, bazı durumlarda haberleşme güvenliğini, bazen de
zaman hassasiyetini sağlamak için kullanılır. Konuyu Tayf Yayma bölümünde inceleyeceğiz. En son
blok olan Çoklu Erişim de bu konu içinde incelenebilir.
İletişim sisteminin kanala bakan yüzleri, yani iletici ve alıcı elektronik ve antenler ve
elektromanyetik yayılım konularının ise kendilerine özel dersleri vardır. Burada o konulara
girmeyeceğiz, ancak kısaca değineceğimiz yerler olacaktır.
Bu kitapçığı okurken öğrencinin temel bilgilere dayanan bir altyapıya ihtiyacı olduğu açıktır.
Bazen genel bazen de basit örneklerle aşağıya sıraladığımız gereksinimleri özenle inceleyelim;
12
1- Zamanın fonksiyonu olan bir elektriksel işareti anlaşılır ve yorumlanabilir şekilde
çizebilmeli, yorumlayabilmelidir.
2- Frekans ve tayf kavramlarını genel kültür seviyesinin çok üzerinde kavramış olmalıdır.
3- Günlük hayattan örnekler verildiğinde, yukarıdaki iki maddenin gereğini hakkıyla yerine
getirebiliyor olmalıdır. Örneğin, mikrofonun, çeşitleri, karakteristikleri ve çalışma prensiplerini tam
olarak bilmese de, işlevini bilmelidir.
4- Flip-Flop yada kaydedici (register) gibi birimlerin bahsi geçtiğinde yeni bir dünyaya gelmiş
gibi olmamalı, Sayısal Devreler derslerinde gördüklerini kolayca hatırlayabilmeli, örneğin z 1 'i
rahatça kullanabilmeli, yorumlayabilmelidir.
5- Eğitimli bir şekilde blok diyagram çizebilmeli, çizilmiş blok diyagramları eğitimli bir
şekilde yorumlayabilmelidir. Basit matematiksel ifadeler ile onları temsil eden blok diyagramları
arasındaki ilişkiyi görebilmelidir.
6- Her eğitimli kişi gibi, soru sorma, cevabını arama işlevlerinin kendi temel özellikleri
olduğunu benimsemelidir.
Bu maddeler okunurken hissedilen herbir eksiğin tamamlanması için fazladan zamana
gereksinim duyulacağı kolayca tahmin edilebilir.
13
2 Frekans ve Tayf
Düzenli olarak tekrar eden olayların sıklığını belirtmek için kullanılan periyod kelimesi yerine
birim zamanda gerçekleşen tekrar etme sayısı da kullanılır ve buna frekans denir. Aynı şekilde
periyodik elektrik işaretleri için de tekrar aralıklarına periyod bunun tersine de frekans denir. Birimleri
de sırasıyla sn ve Hertz'dir. En çok bilinen periyodik işaret olan sinüs işareti doğada da sık görülmekte,
elektrik-elektronikte de çok karşılaşılmakta, hatta diğer periyodik işaretler de sinüzoidal işaretler
cinsinden ifade edilmektedir. O nedenle öncelikle sinüsoidal işareti tanımlamakta fayda vardır.
Şekil 1'deki saat yönünün tersine dönen disk üzerinde bir nokta resmedilmiştir. Noktadan
merkeze çizilen doğrunun yatayla yaptığı açı  (t ) ve noktanın yatay eksenden uzaklığı y (t ) olsun.
 (t ) - y(t ) grafiği yanda verilmiştir. y(t ) , oluşan diküçgende  (t ) 'nin karşısındaki kenar
olduğundan grafiğe sinüs grafiği denir.
y (t )
 (t )
y (t )
 (t )
Şekil 2.1 Döner disk ile sinüzoidalin ilişkisi.
Eğer disk c rad/sn sabit hızı ile dönüyorsa grafiği t - y (t ) cinsinden çizebiliriz.
1,5
y (t )
1
0,5
0
t
-0,5
-1
-1,5
Şekil 2.2 Sabit hızla dönen diskteki noktanın anlık yüksekliğini veren grafik.
Sinüzoidalin frekansı diskin dönme hızına (devir/saniye) eşittir. Birimi devir/sn olup,
1970'lerden beridir elektromanyetizma çalışmalarından ötürü Heinrich Rudolf Hertz isimli
14
biliminsanının anısına Hertz birimi kullanılmaktadır. Bu dalgaşekline sinüzoidal yada kısaca sin
denmektedir. Disk üzerindeki noktanın dikey eksenden uzaklığına x(t ) dersek, x(t ) 'nin grafiği de
Şekil 3'teki gibi olur ve kosinüs olarak anılır.
1,5
x(t )
1
0,5
0
t
-0,5
-1
-1,5
Şekil 2.3 Kosinüs fonksiyonu sinus fonksiyonunun 90 derece önceye ötelenmiş halidir.
Sinüs ve kosinüs grafikleri birbirlerinin 90 derece (  / 2 radyan) kaydırılmış halleridir. Eğer
döner diskin devir hızı 1 devir/sn ise bu fonksiyonlara sin(t ) ve cos(t ) isimleri verilir.
Döner diskin yarı hızda döndüğü durumda oluşan grafik Şekil 4'te verilmiştir ve sin(0.5t ) ile
ifade edilir.
1,5
sin(0.5t )
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
Şekil 2.4 Döner diskin yarı hızda döndüğü durumda oluşan sinüzoidal.
Tüm bu işaretlere topluca sinüzoidler denir. Bunları birbirinden ayıran özellikler ise; frekans
(diskin dönüş hızı), genlik (noktanın disk merkezinden uzaklığı), faz açısı (başlangıçta noktanın
yatayla yaptığı açı). Yani genel olarak bir sinüzoidali
x(t )  A0 sin(2f 0t  0 )
(2.1)
şeklinde ifade edebiliriz. Burada 2 terimi sin(.) içindeki terimlerin radyan cinsinden ifade
edilmesi geleneğindendir. İndisler ise aslında genlik, frekans ve faz açısının zamanla değişebileceğini
(zamanın bir fonksiyonu olduğunu), buradaki örnekte ise birer sabit olarak alındığını göstermek
içindir.
Birçok sinüzoidi birbiriyle karşılaştırmak için R 3 te (genlik, frekans ve faz) noktalar halinde
gösterebiliriz. Ancak R 2 de gösterimler daha kolay ve anlaşılır olduğundan genlik, frekans yada faz
bilgilerinden birisini yok yada sabit varsayıp diğer ikisi ile gösterimleri yapabiliriz. Örneğin, faz
bilgisini görmezden gelerek frekans-genlik düzleminde sinüsleri noktalar halinde gösterelim. Şekil 2.5
üç adet sinüzoid göstermekte. Genlik bilgisinin daima pozitif olduğunu, negatif genlikler için sadece
15
sinüzoidin 180 derece ileri fazda olduğunu varsayalım. Faz bilgisini de ihmal ettiğimize göre tüm
noktalar üst yarıdüzlemde olacaktır. Şekilden anlaşılacağı üzere, f1 ve f 2 frekanslarında genlikleri
farklı iki adet sinüzoidal vardır ve f1 frekansındaki sinüzoidalin genliği daha yüksektir. Sıfır
frekansında da bir işaret vardır ancak bu dönmeyen bir diskte bulunan bir noktaya aittir.
genlik
x1
x2
x0
frekans
f1
f2
Şekil 2.5 Üç adet sinüzoidalin frekans-genlik düzleminde gösterilişi.
Şekil 2.5'teki üç sinüzoidal elektriksel işaret olsalardı toplamları muhtemelen
y(t )  0.3  sin(2f1t  1 )  0.6 sin(2f 2t  2 )
yada faz açıları ihmal edilmiş haliyle
y(t )  0.3  sin(2f1t )  0.6 sin(2f 2t )
şeklinde olurdu. Tabi ki ikinci durumda faz açıları belli olmadığı ve frekanslar belirtilmediği
için y (t ) tam olarak çizilemez. Örnek olarak f1  0.5 ve f 2  1 alalım ve ilk işaretin kosinüs
ikincinin sinüs olduğunu varsayalım. Bu durumda, toplam işaretimiz
y(t )  0.3  cos(t )  0.6 sin(2t )
(2.2)
şeklinde olur. Periyodik işaretlerin toplamı kuralını hatırlayalım; Periyod farkları sıfıra yakın
olmayan sonlu sayıda periyodik işaretin toplamı yine periyodiktir. y (t ) 'nin bir periyodunu
çizdiğimizde Şekil 2.6'daki grafiği elde ederiz. Tabi ki y (t ) eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar bu
şekilde tekrar etmektedir.
y (t )
t
Şekil 2.6 Üç işaretin toplamından oluşan periyodik işaret.
16
Eğer y (t ) elektriksel bir işaret ise 0.3 sabit sayısına DC (direct current) bileşen ismi verilir.
Toplamdan oluşan periyodik işaretin frekansına da temel frekans (fundamental frequency) denir.
Örneğimizde 3 adet sinüsoidal işareti (birinin frekansı sıfır olmasına rağmen) toplayıp yeni bir
periyodik işaret elde ettik. Şimdi tersinden bir soru soralım; acaba periyodik bir işaret verilse kendisini
oluşturan sinüsoidal bileşenleri bulabilirmiyiz?
2.1. Fourier Serileri
Bu sorunun cevabını yüzyıllar önce Jean Baptiste Joseph Fourier vermiştir. Fourier'e göre
herhangi bir entegre edilebilir periyodik işaret sonsuz sayıda sinüsoidalin toplamından oluşturulabilir.
İşaretin periyodu T ve temel frekansı f o 
1
olmak üzere
T


n 0
n 1
y (t )   bn cos(not )   cn sin(not ) , n  0,1,...
(2.3)
şeklinde yazılabilir. Burada o  2f o temel açısal frekans olarak isimlendirilir (fiziksel
olarak dönen diskin üzerindeki bir noktanın birim zamanda katettiği radyan cinsinden açı). Tam katları
olan no ve nf o ise harmonikler olarak anılırlar. Bu sonsuz serilere Fourier Serisi ismi verilmiştir.
Buna göre, y (t ) periyodik işareti sonsuz sayıda sinüs ve kosinüs işaretinin bn ve cn
ağırlıklarıyla toplamıdır. Peki, verilen bir y (t ) için bn ve cn katsayılarını nasıl buluruz? Bu sorunun
cevabı "herhangi bir y (t ) içinde herhangi bir x(t ) işaretinden ne kadar var?" sorusuyla aynıdır ve bu
işaretlerin birbirine ne kadar benzediğine dair bir ölçüdür. Yani cevap içsel çarpım
.
y (t ), x(t )   y (t ) x(t )dt
.
(2.4)
dır. İntegralin sınırları hangi aralıkta benzerliğe baktığımızla ilgili olup, bizim işaretlerimiz de
periyodik olduğundan bir periyod boyunca integral alırız. Bu durumda
y (t ),cos(n0t )  
T /2
y (t ),sin(n0t )  
T /2
T / 2
ve
T / 2
y(t ) cos(n0t )dt
(2.5)
y(t )sin(n0t )dt
(2.6)
olur. 2 / T 'ler ölçekleme katsayıları olmak üzere (toplam enerjinin aynı kalması için)
bn 
2 T /2
y (t ) cos(n0t )dt ve
T T / 2
(2.7)
2 T /2
y (t )sin(n0t )dt
T T / 2
(2.8)
cn 
ile sonsuz toplamdaki ağırlıklar bulunur. b0 'ın ölçekleme katsayısı 1 / T olup
17
b0 
1 T /2
y (t )dt
T T / 2
(2.9)
ile hesaplanır. b0 'ın ortalama değer olduğuna dikkat ediniz (DC bileşen).
Klasik bir örnek ile pekiştirelim. y (t ) Şekil 2.7'de verilen periyodu T olan kare dalga olsun.
b0 
T
T

1
  dt   (1)dt   0 olarak hesaplanır. Aslında bunu hesaplamaya gerek yoktu,


T 0
T /2

çünkü ortalama değerin 0 olduğu şekilden görülebiliyor.
y(t)
1
t
-1
T
Şekil 2.7 Periyodu T olan kare dalga.
bn 


T
2  T /2
2
sin(n0t )T0 / 2  sin(n0t )TT / 2
 0 cos(n0t )dt  T / 2 cos(n0t )dt  
 Tn0
T



1
sin(n2t / T T0 / 2  sin(n2t / T TT / 2  1 sin(n )  sin(0)  sin(2n )  sin(n )
n
n
bn  0 !!
Gerçekte bn 'leri de hesaplamaya gerek yoktu. Çünkü bn 'ler bir çift fonksiyon (dikey eksene
göre simetrik) olan kosinüslerlerle benzerliği belirten katsayılardır. Fonksiyonumuz y (t ) ise bir tek
fonksiyondur (orijine göre simetrik), içinde hiçbir çift fonksiyon olamayacağı açıktır. Tabi ki
fonksiyonlar tek yada çift olmayabilirler, buradaki özel durumdur, ancak hatırımızda tutabileceğimiz
bir kolaylıktır.
Bu durumda cn 'ler sıfır çıkamaz. Zaten cn 'ler tek fonksiyon olan sinüslere benzerliğin ölçüsü
olduğuna göre, fonksiyonumuz da tek olduğuna göre bunlardan en az birinin sıfırdan farklı olması
gerekir. (katsayılardan sadece birinin sıfırdan farklı olduğu durumu tahmin ediniz)

cn 
T /2
2 0
1
cos(2nt / T )0T / 2  cos(2nt / T )T0 / 2
  T / 2 sin(n0t )dt  0 sin(n0t )dt  
 n
T
cn 
1
1  cos(n )  cos(n )  1  2 1  cos(n )
n
n

18
 0 , n is even
2

n
cn 
1  (1)   4
, n is odd
n

 n


cn katsayılarını (3)'te yerine koyduğumuzda kare dalganın sinüsler cinsinden ifadesini
buluruz.
0


y(t )   bn cos(n0t )   cn sin(n0t ) 
n 0
n1

4
sin(n0t )
n1, 3,... n

cn katsayılarının büyüklükleri Şekil 2.8'de verilmiş olup sinüs frekansı yükseldikçe
genliklerinin hızla küçüldüğü görülmekte.
Şekil 2.8 Kare dalgayı oluşturan sinüsoidallerin genlikleri.
Peki, frekansı arttıkça genlikleri azalan sonsuz adet sinüs toplamı yerine, genlikleri en büyük
olandan başlayıp sınırlı sayıda sinüsü toplarsak ne olur?
Şekil 2.9'da n=1, 3, 5 ve 7 için toplama giren ve n büyüdükçe genliği azalan sinüs dalgaları
görülmekte. Ayrıca n=1 ve 3 için üretilen sinüslerin toplamı ve n=1, 3, 5 ve 7 için üretilen sinüslerin
toplamı görülüyor. Henüz 4 adet sinüs toplanmasına rağmen toplamın kare dalgaya yaklaştığı belirgin.
Tabi ki tam kare dalga olması için sonsuz tane sinüsün toplamı gerekli.
Euler denkliği
e jn0t  cos(n0t )  j sin(n0t )
yada
cos(n0t ) 
e jn0t  e  jn0t
e jn0t  e  jn0t
, sin(n0t ) 
2
j2
çifti kullanılarak (3) karmaşık sayılar cinsinden yazılabilir, daha basit görünür. Böylelikle (2.3)
y (t ) 

ae
n 
şeklini alır. bn ve cn katsayıları da
n
jn0t
(2.10)
19
an 
1 T /2
y (t )e  jn0t dt


T
/
2
T
(2.11)
şeklinde tek karmaşık katsayıya dönüşür. Fourier serilerinin her iki formülasyonu birbirine eşdeğerdir.
Şekil 2.9 n=1, 3, 5 ve 7 için sinüsler ve ilk 2 ve ilk 4 sinüsün toplamı.
Fourier serileri yardımıyla periyodik işaretleri sinüs ve kosinüs fonksiyonları cinsinden
yazabildik. Periyodik fonksiyon kısıtı oldukça sınırlayıcıdır, çünkü gerçekte periyodik bir işaret
göremeyiz. Fourier tanımına uyması için fonksiyonun  , aralığında tam periyodik olması
gereklidir. Peki y (t ) fonksiyonu periyodik değil ise ne yapabiliriz?
20
2.2. Fourier Dönüşümü
Periyodu sonsuza götürmek ( T   ) temel frekansı sıfıra getirir ( 0 
2
T
 0 ). Bu da
Şekil 2.8'deki katsayı grafiğinin sadece temel frekansın tam katlarında değil tüm frekanslarda bileşen
olmasını sağlar, yani kesikli değil sürekli bir bileşen grafiğimiz olur. Bu durumda (2.11)'deki katsayı
bulma formülümüz de

Y ( )   y(t )e  jt dt

(2.12)
şeklini alır. (2.12)'ye Fourier Dönüşümü adı verilir. Herhangi bir y (t ) işaretini (bazı kısıtlar
dahilinde) sinüsoidler cinsinden yazabilmemizi sağlar. Benzeri şekilde (10) denklemi de
y(t ) 
1
2



Y ( )e jt d
(2.13)
haline gelir ve Ters Fourier Dönüşümü ismini alır. Yani y (t ) 'yi oluşturan sinüsoidlerin katsayılarını
bulma işlemi Fourier Dönüşümü, bu katsayıları yerine yazıp y (t ) 'yi oluşturma işlemine de Ters
Fourier Dönüşümü ismi verilir. Fourier Dönüşümlerinin işaret analizinde faydalı birçok özelliği
dolayısıyla birçok bilim dalında (haberleşme dahil) oldukça geniş kullanımı vardır. Dönüşüm ve ters
dönüşümü belirtmek için X ( )  F x(t ) ve x(t )  F
1
X ()
notasyonları kullanılır. Ayrıca
x(t )  X ( ) 'de dönüşüm çiftini gösterir. X ( ) genel olarak karmaşık fonksiyon olup herbir nokta
a()  jb() gibi gerçek ve sanal kısımdan oluşur. Büyüklüğü
a 2  b2
faz açısı da
atan(b / a) 'dır. Gerçek kısmını ReX ( ) , sanal kısmını ImX ( ), büyüklüğünü X ( ) ve
açısını
X ( ) ile göstereceğiz. Haberleşme sistemlerinde sıkça bahsi geçen birkaç basit işaretin
Fourier dönüşümünü hesaplayalım ve daha sonra daha karmaşık işaretlerin dönüşümünü ve ters
dönüşümünü bulmakta kullanılabilecek bazı özelliklerine değinelim.
Basit görünen ama haberleşme sistemlerinde sık geçen bir fonksiyonun Fourier Dönüşümünü
bulalım. Şekil 2.10'da gösterilen fonksiyonumuzun ismi Gate (kapı) işaretidir. Kapı işareti
1 ,
 t  1
    2 ,
T  
0 ,
t  T2
t  T2
t  T2
şeklinde tanımlanır. Fourier dönüşümü ise

X ( )  F (t / T )   (t / T )e


 jt
T /2
dt 
e
 jt
dt
T / 2
1  jT / 2
sin(T / 2)
t
 T 
(e
 e jT / 2 ) 
T dir. Yani    T sinc

j
T / 2
T 
 2 
21
Şekil 2.10 Kapı işareti ve Fourier dönüşümü.
Tablo 1. Bazı Fourier Dönüşüm özellikleri
Doğrusallık
Eğer x(t )  c1 x1 (t )  c2 x2 (t ) ise X ()  c1 X 1 ()  c1 X 1 () 'dir.
Zamanda
kayma
F x(t  t0 )  e jt F x(t )
0
F x(at ) 
Ölçekleme
1  
X 
a a

Konvolüsyon
Modülasyon
Otokorelasyon
x(t )  y(t )   x( ) y  (t   )d olmak üzere

F x(t )  y(t )  F x(t ) F y(t )  X ( f )  Y ( f )
F x(t ) cos(ct )  12 X (  c )  12 X (  c )
Rx ( ) 

 x(t ) x (t   )dt

 F Rx ( )  X ( )
2

x(t )  X ( ) ise X (t )  x()
Dualite/ikilik
Rayleigh
enerji denkliği

 x(t )


2
dt 
 X( f )
2
df

Eğer x(t ) gerçek ve x(t )  X ( ) ise
Simetri
ImX ()   ImX () ve ReX ()  ReX ()
Ayrıca, eğer x(t ) gerçek ve çift fonksiyon ise X ( ) gerçek ve çifttir
ve eğer x(t ) gerçek ve tek fonksiyon ise X ( ) sanal ve tek fonksiyondur.
Kapı işaretini oluşturan sinüsoidal işaretlerin sonsuz sayıda olduğunu ve frekanslarının
sonsuza kadar uzandığını görmekteyiz. Şans eseri Fourier dönüşümü sonrasında elde edilen
sinüsoidallerin fazları ya sıfır yada  (negatif) olduğundan faz bilgisini de çizmek zorunda kalmadık.
22
Dönüşümün sadece genliğinin gösterildiği grafiklere genlik tayfı (magnitude spectrum) yada kısaca
tayf denir. Kapı işaretinin tayfı Şekil 2.11'de verilmiştir. Tayf şekillerinde bazen fonksiyon ile frekans
ekseni arası dolu olarak gösterilir (sağdaki şekil). Ayrıca eksen ölçeklerinde de bazen logaritmik, dB,
dBW birimleri kullanılabilir.
Şekil 2.11 Kapı işaretinin frekans tayfı.
Fourier dönüşümü özelliklerinden (Tablo 1) faydalanarak üçgen darbenin (Şekil 2.12)
dönüşümünü bulalım. Üçgen darbenin aslında 2 adet kapı işaretinin konvolüsyonu ile
oluşturulabilmesi ve Tablo 1'deki konvolüsyon özelliğinden faydalanarak Fourier dönüşümünü
bulabiliriz.
(t )  (t )  (t )   ( )(t   )d
F (t )  F (t )  (t )  F (t ) F (t ).
Yani kapı fonksiyonunun dönüşümündeki herbir noktanın karesini aldığımızda sonucu buluruz
(Şekil 2.13).
Λ(t)
t
Şekil 2.12 Üçgen darbe işareti.
(.)2
Şekil 2.13 Kapı fonksiyonunun frekans tayfı ve onun karesi olan üçgen darbenin tayfı.
Üçgen darbe örneğinde eksenler üzerindeki sayısal bilgilerin yazılması okuyucuya
bırakılmıştır.
Kapı işaretinin süresi olan T büyüdükçe Fourier dönüşümündeki sıfır geçişlerinin birbirine
yaklaşacağını ve fonksiyonun sivrileceğini Şekil 2.14'de görebiliriz.
23
Şekil 2.14 Kapı işaretinin esnetilerek birim darbe fonksiyonunun elde edilmesi (eksenlerde değerler
okuyucuya bırakılmıştır).
Şekil 2.14 aynı zamanda 1  2 ( ) dönüşüm çiftini de göstermiş oluyor. İkilik kuralına
göre frekans tayfı kapı fonksiyonu olan bir işaretin de sinc fonksiyonu olacağını söyleyebiliriz. Tabi ki
aynı şekilde frekans tayfı tüm frekanslarda sabit olan bir işaret de birim darbe işareti olacaktır
(  (t )  1 ).
Enerji tayfı (energy spectral density) ise genlik tayfının karesidir. Yani kapı işaretinin enerji
tayfı ile üçgen darbe işaretinin genlik tayfı şekil olarak aynıdır (birimler farklı). Sınırlı zamanda
gerçekleşen işaretlerin toplam enerjisi bulunabilir ve bunun için Tablo 1'deki Rayleigh integrali
kullanılabilir.

Ex 


x(t ) dt 

2

2
X ( f ) df
(2.14)

Kapı işaretinin tayf integrali ile toplam enerji hesaplamasının zor olduğunu görüyoruz (sinc)
fonksiyonu. Gerçekte sinc fonksiyonları integrali analitik olarak bulunamayan fonksiyonlar
grubundadır. Halbuki kapı işaretinin (ve karesinin) zaman alanındaki integrali oldukça kolaydır;

E 
 (t ) dt 
2

T /2
1
2
df  T
T / 2
Tam tersine, zaman alanındaki işaretimiz sinc fonksiyonu (mümkün müdür?) olsaydı toplam
enerjiyi frekans alanındaki integral ile hesaplayabilirdik.
Bir işaretin enerjisi, 1 Ohm'luk dirence bağlandığında (Şekil 2.15) dirençte harcanan enerji
olarak tanımlanır ve (2.14)'teki enerji integrali ile hesaplanır.
24
Şekil 2.15 Kaynak enerjisi modeli.
Enerji integrali sonsuz çıkabilir. Bu durumda birim zamanda harcanan enerji
T / 2
Px  lim T1
T 

2
x(t ) dt
(2.15)
T / 2
hesaplanır ve güç (power) adıyla anılır. Periyodik işaretler için ise bir periyottaki enerji bulunur.
Px  T1
 T0


2
x(t ) dt
(2.16)
İntegral bir yoğunluğun (density) toplamı olduğuna göre, integral işareti içindeki fonksiyonun
da bir yoğunluğa karşı gelmesi gerekiyor. Aynı durum işaretler için de geçerlidir. Periyodik işaretler
için (2.16)'da verilen toplam güç aslında
1
T
x(t )
2
güç yoğunluğunun (power spectral density)
toplamıdır. Periyodik olmayan işaretler için ise
Gx ( f )  lim T1 X T ( f )
2
T 
(2.17)
limiti kullanılır.
İşaretler de verdiği enerjiye göre sınıflandırılabilir. Eğer (2.14) ile hesaplanan enerji sonsuz
değil ise işarete enerji işareti denir. Aksi halde (2.15) ile güç hesaplanır ve güç sinyali adı verilir.
Varsayımsal olarak da olsa güç de sonsuz çıkabilir (örneğin tan(t ) işareti). Periyodik işaretler doğal
olarak güç işaretleridir ve sonsuz enerji taşırlar.
Örnek olarak Şekil 2.16'daki testere dişi işaretinin enerjisini/gücünü bulalım.
Şekil 2.16 Testere dişi işareti.

 x(t )

2
dt   olduğundan enerji işareti değildir, güç hesaplayalım.
25
Px 
 T0
1
T


T
A2
A2
x(t ) dt   2 t 2 dt  3
T
3T
0
2
T

1
T
0
A2
.
3
Periyottan bağımsız olduğunu görüyoruz. Doğrusu periyodik işaretlerin gücü frekansından
bağımsızdır.
Fourier dönüşümünü gördükten sonra aklımıza gelen soru "ne işe yarıyor?"dur. Öncelikle
Fourier dönüşümünün ne ifade ettiğini tekrar hatırlayalım. Dönüşümde elde ettiğimiz karmaşık değerli
fonksiyonun herbir frekans noktası zaman (zaman ile sınırlı değil) alanındaki fonksiyonu oluşturan
sonsuz adet sinüsoidalden o frekansta olanın genliğini ve faz açısını vermektedir. Bu durumda, birim
darbe tepkisi verilen bir doğrusal sistemin herhangi bir işarete vereceği tepki hesaplanabilir. Çünkü
birim darbe işaretinin Fourier dönüşümü sabit sayı olup her frekansta aynı genlikte bir sinüsoidal
demektir. Her frekanstaki sinüsoidale tepkisi bilinen bir sistemin tabi ki herhangi bir sinüsoidale olan
tepkisi ve birçok sinüsoidalden oluşan bir işarete tepkisi de rahatlıkla bulunabilir. O zaman, Devre
Analizi ve/veya Sistemler ve İşaretler derslerinde gördüğümüz doğrusal sistemleri biraz hatırlayalım.
Şekil 2.17'de kutu şeklinde verilen sistemin birim darbe tepkisi h(t ) , girişindeki işaret ise x (t ) olsun.
Bu durumda, sistem çıkışındaki
y (t ) işareti, konvolüsyon ile bulunabileceği gibi sistemin
doğusallığını kullanarak Fourier dönüşümü ile de bulunabilir.

y(t )   x( )h(t   )d
h(t)
x (t )

y(t )  x(t )  h(t )
X( f )
Gx ( f )
Y ( f )  X ( f )H ( f )
H( f )
H( f )
2
Gy ( f )  Gx ( f ) H ( f )
2
Şekil 2.17 Doğrusal sistemde girdi-tepki ilişkileri.
x(t ) birçok frekanstaki (sonsuz olabilir) sinüsoidal işaretin toplamı olduğuna göre ve herbir
frekans bileşenine karşı sistemin tepkisi h(t ) 'nin Fourier dönüşümü olan H ( f ) çarpanlarıyla
belirlendiğine göre, bu tepkilerin toplamı da çıkış işaretinin Fourier dönüşümünü, yani Y ( f ) 'yi,
dolayısıyla y (t ) 'yi verir.
Bir örnek yapalım. Güç yoğunluğu tayfı G ( f )  N 0 / 2 olan bir gürültü işareti Şekil 2.18'de
verilen direnç-kapasitör devresine uygulanıyor. Süzgeç çıkışındaki gürültü güç tayfını ve toplam
gürültü gücünü bulalım.
Gy ( f )  G ( f ) H ( f ) olduğuna göre öncelikle süzgecin transfer fonksiyonunu bulalım.
2
Devre bir gerilim bölücü olduğuna göre H ( f ) 
1
ZC
ve Z C 
den
j 2 fC
R  ZC
26
H( f ) 
1
bulunur.
1  j 2 fRC
Şekil 2.18 RC alçak geçiren süzgeci.
Büyüklüğü H ( f ) 
1
1  (2 fRC )2
Çıkıştaki gürültü güç tayfı da GY ( f ) 

ve faz açısı  H ( f )   tan(2 fRC ) olarak bulunur.
N0 / 2
hesaplanır. Toplam gürültü gücü ise
1  (2 fRC )2

N
df
P   GY ( f )df  0 
, ve u  2 fRC değişken seçimi ile du  2 RCdf ve
2  1  (2 fRC )2



N0
du
N0
N
du

atan(2 RCf )  0 bulunur.
kullanarak P 
df 
2

4 RC  1  u
4 RC
4 RC
2 RC

Görüldüğü gibi basit bir RC süzgeci ile toplam gürültü gücünü sonsuzdan sonlu bir değere
indirdik. Tabi ki asıl işaretimiz de bu işlemden etkilenecektir. Gerçek sistemleri tasarlarken,
ilgilendiğimiz işaretin frekans tayfında kapladığı yer (birazdan göreceğimiz bant kavramı) dışında
kalan işaretlerden kurtulmamız yada en az etkilenmemiz için süzgeç tasarımı önemlidir. Ancak bu
kitapçığın konusu değildir.
İşaretimizin frekans tayfında kapladığı yer nedir? Örneğin, Şekil 2.14'teki frekans tayflarının
aynı frekansları aynı şekilde kaplamadığını görüyoruz, ama bunu nasıl ifade ederiz? Bunun için band
genişliği adında bir kavram geliştirilmiştir. Bu da işaretin tayfının en yüksek frekansı ile en düşük
frekansı arasında kalan frekans bölgesi demek gibidir. Ancak, Şekil 2.14'teki işaretlerimiz ( , )
frekans aralığını işgal ediyor gibi. Fourier dönüşüm özelliklerinden şöyle bir çıkarsama da yapabiliriz;
sonlu zamanda gerçekleşen işaretler frekans tayfında sonsuz yer kaplarlar, yada sonlu bir frekans
bandı kapsamasını istediğimiz işaretler zamanda  'dan  'a uzanmak zorundadır. Yani, sınırlı bir
frekans bandını kapsayan işaretler gerçekçi değildir.
Bu durumda, gerçek işaretler için uygun bir band genişliği tanımı yapılmalıdır. Yarım güç
bandgenişliği (half power bandwidth) çok kullanılan tanımlardan biridir. Frekans tayfında en yüksek
gücün etrafında bunun yarısına indiği en uzak iki adet frekans bulunur ve bu iki frekansın arası band
genişliğini belirler. Şekil 2.19 bunun iki örneğini vermektedir. Yarım güç, desibel (dB)
ölçeklemesinde yaklaşık -3 dB'ye karşılık gelmektedir (10 log10 (0.5)  3 ).
27
Şekil 2.19 Yarım güç bant genişliği örnekleri.
Gürültü eşitlemeli bant genişliği (noise equivalent bandwidth) ise yüksek frekans süzgeçleri
üreten üreticilerin kullandığı bir ölçüm olup, aynı miktarda gürültü geçiren ideal süzgecin bant
,
| f | 2
 1

genişliği demektir. Örneğin | H ( f ) | 3 | f | , 2 | f | 3 parçalı doğrusal tanımlanmış alçak
 0
,
| f | 3

geçiren süzgeci ele alalım ve gürültü eşitlemeli bant genişliğini bulalım. Şekil 2.20a bu süzgecin
frekans tepkisini grafik olarak göstermektedir.
|H(f)|
|Hi(f)|
1
1
f
-2
-3
2
f
-Bneq
3
Bneq
Şekil 2.20 a) Parçalı tanımlanmış süzgeç örneği. b) İdeal süzgeç
Birim gürültü güç yoğunluğuna ( Si ( f )  1 ) karşı süzgecin çıkış gürültü gücü


2

0
0
3
Po   So ( f )df  2 So ( f )df  2 H ( f ) df  2 H ( f ) df
2
3
0
2
2
1
1
0
0
 2 df  2 2  f df  4  2 f 2df  4  23 f 3
2
2
2
 4  23  14 / 3
olarak hesaplanır. Aynı giriş işareti ile Şekil 2.20b'de verilen ideal süzgecin çıkış gücü ise

Pneq  2 Si ( f ) | H i ( f ) |2 df  2 
0
Bneq
0
df  2 Bneq
olur. Bu iki gücü eşitlersek 2 Bneq  14 / 3 ve Bneq  7 / 3 bulunur.
Benzeri şekilde Şekil 2.18'de verilen RC alçak geçiren süzgecin gürültü eşitlemeli bantgenişliğini
bulalım. Devrenin çıkış gürültü gücünü P 
N0
olarak bulmuştuk. İdeal süzgecin çıkış gücü ise
4 RC
28

Bneq
0
0
Pneq  2 Si ( f ) | H i ( f ) |2 df  2 
N 0 Bneq 
N0
df  N 0 Bneq bulunur. Buradan da, güçleri eşitleyerek,
2
N0
1
ve Bneq 
elde edilir.
4 RC
4 RC
Diğer band genişliği tanım ve kullanımları bu kitapçıkta geçmediği için okuyucuya
bırakılmıştır.
2.2.1. Elektromanyetik Tayf
Şimdi de, kitapçıkta ana konumuz haberleşme olduğuna göre, haberleşme işaretlerinin
taşınacağı iletişim kanalları ve elektromanyetik tayf içindeki yerlerine basitçe değinelim. Şekil 2.21
bildiğimiz elektromanyetik tayfın kullandığımız geniş bir kısmını basitçe özetlemektedir. Şeklin sağ
tarafında frekanslar logaritmik artan şekilde, sağ tarafında da ilgili frekanstaki elektromanyetik
dalgaların dalga-boyları listelenmiştir. En solda, ayrıca, ilgili frekansın içinde bulunduğu bandın hangi
isimle anıldığı (popüler isimler) listelenmiştir. Ortada bazı teknolojik isimlerle belirtilen bandlar ve
kullanım alanları bulunmaktadır. Elbette ki elektromanyetik tayf çok daha detaylı bir şekilde
kullanımlara bölünmüştür, ancak buradaki detay dahi çok şey anlatmaktadır.
Elektromanyetik tayfın 1 pHz'den yukarısı, yani NUV (near ultra violet), EUV (extra
ultraviolet), X ışınları, alfa-gama ışınları ve kozmik dalgalar haberleşme sistemlerinde
kullanılmamaktadır. Zaten bu dalgalar canlılar için oldukça zararlıdır. Çoğunlukla radyasyon diye
bahsedilen şey aslında bunlardır.
Tayfın en düşük frekans kısmında bulunan ELF (extra low freq.) ve biraz yukarısı denizaltı
haberleşmesinde kullanılan sonar (ses) dalgalarıdır. Tabi ki bu frekanslar elektrik dalgası olarak
kablolara verilse haberleşme yapılabilir ancak en basit kablo dahi (örneğin bükülü kablo: twisted pair)
çok daha yüksek hızlarda iletişim sağlayacak bandgenişliğine sahip olduğundan kabloda sadece ELF
kullanılmaz, ama işaretimiz o frekansları kapsayabilir. Yetişkin insan kulağının 10-15 kHz'ye kadar
sesleri duyabildiği bilinmektedir. Bu durumda Giriş bölümünde verdiğimiz sesli iletişim örneği
VLF'ye kadar olan bandı kapsamaktadır. Basit bükülü kablonun 20-30 MHz'ye kadar frekansları
taşıyabildiği gösterilse de aslında sınır kablonun boyuyla ters orantılıdır. Yani bükülü kablo 100
MHz'yi taşımaz diyemeyiz, kablo kısaldıkça daha az hasarla taşımaya başlar. Yine de, 100 MHz'lik
işaret 1 km'lik bükülü kabloda oldukça yüksek hasara uğrar, kullanışlı olmaz diyebiliriz. Benzeri
şekilde koaksiyel kablo da 1 GHz'ye kadar kullanılır şeklinde gösterilmiş olsa da doğrusu böyle keskin
sınırlar yoktur. Şekilde gösterilen sınırlar kabiliyeti değil daha çok kullanım frekanslarını
belirtmektedir. İletişim hatları ayrı bir dersin konusu olabilir, bu kitapçıkta kapsanmamaktadır.
29
Şekil 2.21 Elektromanyetik tayf özeti.
Genlik modülasyonu (AM : amplitude modulation) yayını yapan radyolar için ayrılan frekans
bandı 1-100 MHz arasında biryerlerde gösterilmiştir. Bu, AM tekniğinin diğer bandlarda çalışmadığı
manasına gelmesin. Buradaki sınırlar da uluslararası anlaşmalarla belirlenmiş yasal bandlardır.
Benzeri şekilde halka açık FM (frequency modulation) radyo ve TV (television) yayınları da tayfta
gösterilen yerlerden yapılabilir. Söz konusu işlem radyo dalgalarını havaya yaymak olunca, frekans
bandı oldukça kısıtlı bir kaynaktır. Her ülkede izinler devlet tarafından kontrol edilir ve dağıtılır, çoğu
ülkede ücretlidir. Kablo yada kontrol altındaki bir medya içinden (örneğin dalgagüdücü) iletişim
yapılacaksa iletişimi yapanlar ve ilgili devlet kurumları sadece dışarıya yayılımın kontrolü
sorumluluğuna sahiptir. Örneğin evinizin bir odasından diğer bir odasına kablo çekip istediğiniz
frekans bandını haberleşme amaçlı kullanabilirsiniz, ancak dışarıya elektromanyetik yayılım belli
değerlerin altında olmalıdır. Aynı işi komşunuzla yada diğer sokaktaki akrabanızla yapamazsınız,
çünkü pekçok ülkede haberleşme altyapısı yetki ve sorumluluğu kamu yada özel kurumlara
verilmiş/satılmıştır. Uzaktan kumanda cihazlar, oyuncaklar vb için ayrılmış bandlardan sadece sınırlı
güçte (sınırlı mesafe demektir) yayın yapabilirsiniz.
MIR ve FIR (infrared/kızılötesi bandları) iletişimde henüz çok az kullanılmaktadır. Çünkü bu
dalgalar maddeler tarafından soğurularak ısıya dönüştürülür. NIR (near infrared) ise uzaktan kumanda
cihazları gibi basit haberleşmede ve fiber optik kablolarda kullanılmaktadır. Performans açısından
diğer iletişim bandları fiber optik kablonun bandıyla karşılaştırılamaz. Şekilde frekanslar logaritmik
ölçekle verildiğinden, belirgin olmamakla beraber biraz hesapla, fiberin band genişliğinin (yaklaşık
900 THz) onun altında kalan tüm haberleşme tayfından (100 THz diyelim) kak kat büyük olduğunu
görebiliriz. O nedenle diğer kablolu ve kablosuz iletişimin iletişim hızı (bit/s) bakımından fiber ile
yarışmasının imkanı yoktur. Fiberi tek sınırlayan şey uç noktalarıdır. Nihayetinde, gönderici tarafında
elektrik işaretinin ışığa, alıcı tarafında da ışık işaretinin elektrik işaretine dönüştürülmesi gerekmekte,
30
bu dönüştürücülerin (transducer) teknolojisi sınırlayıcı olmaktadır. Çünkü halihazırda bilgisayarlar ve
diğer sayısal cihazlar elektrik işaretleriyle çalışmaktadır. Tabi ki birkaç on yıl sonra durum değişebilir.
Konusu açılmışken fiber, bakır kablo ve kablosuz iletişim antenlerine bir göz atalım, biraz
tanıyalım.
Şekil 21'de fiber kablonun kabaca yapısı ve çalışması anlatılmaktadır. Fiber aslında saç kılı
kadar ince (<50 µm) olabilen bir camdır. Normal camdan farklı kılan özelliği ise saflığı, homojenliği
ve düzgünlüğüdür. Bir ucundan giren ışık fazla bir kayba uğramadan diğer ucundan çıkar. Core
(çekirdek) adı verilen asıl camın üzerine kaplanmış cekirdekten farklı bir kırılma indisine sahip bir
başka cam ile beraber çalışır. Farklı kırılma indisleri şekilde gösterildiği gibi tam ışık yansımasına
sebep olur ve ışık dışarıya kaçamaz. Yine de dışarıdan ışık girememesi için ve mekanik koruma
amacıyla, onun üzerine de ışık geçirmez bir kaplama daha yapılır. Bunların çoklu demetleri aralarına
ve üzerine mekanik dayanıklılık için ayrıca gerekli kaplamalar, örneğin çelik kılıf, yapılır.
LED
farklı uzunlukta yol
kat eden dalgalar
core/kıl
Şekil 2.22 Çok-modlu (multimode) fiber kablonun çalışması.
Işık kaynağından ayrılan ve yönleri tam aynı olmayan ışık hüzmeleri kablo boyunca farklı
sayıda yansımalara uğrar ve sonucunda farklı zamanlarda karşı uca erişirler. Sonsuz sayıda ışık
hüzmesi (herbirine mod denir) farklı zamanlarda alıcıdaki dönüştürücüye ulaştığı ve onların toplamı
görüldüğünden Şekil 2.22'de gösterilen fiberde yayılma (dispersion) denilen olay oluşur ve Şekil
10'daki gibi düzgün bir darbe diğer uçta yayılmış/bozulmuş bir darbe olarak görülür. Bu da birim
zamanda gönderilebilecek darbe sayısını sınırlar (not: yine de bahsedilen hızlar bakır kablodan kat kat
yüksektir).
Fiber çekirdeğini oldukça ince (<10 µm) yaparak yayılım azaltılabilir. Şekil 2.23'de tek-mod
(single mode) fiber kablonun çalışması gösterilmiştir. Böylelikle hem yansıma sayısı hem de farklı
sayıda yansıma sayısı çok daha az olduğundan tek-mod fiber kablolarda veri daha yüksek hızlarla ve
daha uzak mesafelere (>100 kilometre) taşınabilir.
Şekil 2.23 Tek-mod (single mode) fiber kablonun çalışması.
31
Tek-mod fiber kablodan uygun şekilde faydalanabilmek için ışık kaynağı da laser ile
değiştirilir. Laser tek doğrultuda, tek dalgaboyunda ve tek fazda ışık hüzmesi olduğundan yansıma
kayıpları çok daha az olur.
Fiber modern çağın neredeyse alternatifsiz iletişim ortamıdır, ucuzladıkça daha da
yaygınlaşmaktadır. Şu andaki maliyet kaynağı ise uç noktaları, yüksek teknoloji ve eğitimli işgücü
gerektirmesidir.
Ancak heryere kablo çekilemez. Özellikle mobil cihazlar ve mobil araçlardaki (taşıt araçları,
gemi, uçak, uydu vb) haberleşme cihazlarının kablosuz haberleşmeden başka alternafi yoktur.
Şekil 2.24'te kablolu ve kablosuz iletişimin arasında bir yerde kalan dalgagüdücü (waveguide)
örneği verilmiştir. Dalgagüdücü iyi iletken metal bir boru olup bir ucundan gönderilen
elektromanyetik dalganın diğer ucundan alınması şeklinde çalışır. Tabi ki dalgagüdücünün ölçüleri,
içeride rezonansı sağlanan modlar ve çalışma frekansları arasında sıkı ilişkiler vardır ve bu konular
genelde mikrodalga/elektromanyetik derslerinde işlenirler.
Şekil 2.24 Dalgagüdücü (waveguide).
Şekil 2.25'de gösterilen eşeksenli (coaxial) kablo belki de yüksek frekanslarda en çok
kullanılan kablodur. Empedansı ve çalışma bandlarına göre oldukça fazla çeşitlilik gösterirler.
Kesinlikle bir telin etrafına sarılmış plastik ve onun da etrafına sarılmış metal tel örgü diye
düşünmemek gerekir. İletkenlerin kalitesi, dielektrik malzemenin yapısı ve esnekliği performansı
oldukça fazla etkiler.
Şekil 2.25 Eşeksenli (coaxial) kablo.
Şekil 2.26'te gösterilen ethernet kablosu bir bükülü kablo örneğidir. Bükülü kabloların binlerce
türü olduğundan hepsi için geçerli olduğu söylenebilecek pek birşey yoktur. Şekilde gösterilen örnek 4
çift bükülü kablo içermekte olup dış koruması plastiktir ve dışarıdan gelen etkilere açıktır. Temel
olarak dış elektromanyetik dalgaların ve endüksiyon yoluyla alınacak gürültünün etkisini azaltmak
32
için birbirleri üzerine bükülen yalıtımlı iletkenlerden oluşur. Çoğunlukla diferansiyel modda, yani
gidiş-dönüş çiftleri şeklinde, işaret iletilir.
Şekil 2.26 Bükülü kablo (twisted pair).
Kablosuz haberleşme ise elektromanyetik dalganın antenler yoluyla havaya/ortama yayılması
ile gerçeklenir. Antenler de kullanıldıkları uygulamaya göre oldukça fazla çeşitlilik gösterirler. Burada
birkaç türün örneğini verelim ve asıl bilgilenmenin Antenler ve Yayılım derslerinden edinilebileceğini
söyleyelim.
Şekil 2.27 Dipol ve Yagi anten örnekleri.
Dipol anten iletken bir çubuk olup boyu çalışma frekansı/dalgaboyu ile belirlenir. Ekseni
yönünde yayın yapmaz. Eğer belli bir yöne yayın yapılmak isteniyorsa arkasına yansıtıcı yerleştirilir
(Şekil 2.27, ortadaki anten). Bir çeşit dipol olan Yagi anten ise çoğunlukla alıcı antendir (sağdaki) ve
belli dalgaboyları için önüne ve ardına reflektör çubuklar yerleştirilmiştir. Böylelikle o yöndeki
yayınlar daha güçlü alınır.
Şekil 2.28 Çanak anten ve radom korumalı çanak anten.
33
Şekil 2.28'te ise 2 çanak anten örneği verilmiştir. Aslında çanak kısmı sadece yansıtıcı olup
çukur ayna gibi karşıdan gelen dalgaları bir odak noktasına toplamak içindir. Odak noktasında ise asıl
anten ve onun önkuvvetlendiricisi küçük bir koruma kutusu içinde yeralmaktadır. Antene yakın bir
önkuvvetlendirici (preamplifier) ve frekans indirici (downconverter) olmasının sebebi, işareti kabloya
yönlendirmeden önce kuvvetlendirip kablodaki gürültüden daha az etkilenmesini sağlamaktır. Bu
kutuya LNB (Low Noise Block downconverter) denir. Enerji, bu elektronik devreye çoğunlukla işareti
alıcıya göndermekte kullanılan kablodan gelir (dolayısıyla alıcıdan). Çanak antenler yöne en duyarlı
antenlerdendir, bu sayede hem enerji tasarrufu sağlamış ve gereksiz elektromanyetik yayılım
yapmamış hem de istenmeyen dinleyici ve yayıncılardan bir miktar korunmuş olurlar. Radom ise bu
anteni hava şartlarından korumak için uygun bir dielektirik küremsi hacim içine alınmış halidir.
Anten deyince, genel olarak, elektromanyetik yayılım yapması için şekillendirilmiş iletkenler
aklımıza gelmektedir, ve bu tanım yanlış değildir. Ancak, bu yayılımın en verimli şekilde olması çoğu
zaman birinci öncelik değildir. Örneğin Şekil 2.29'te verilen bıçak (blade, fin) anten uçak üzerinde
kullanılmak için tasarlanmış olup jet hızlarında hava akımlarına dayanıklıdır.
Şekil 2.29 Bıçak (blade) anten.
Mobil telefonlarımızın içlerinde de en az 1 anten mevcuttur. Benzeri şekilde birinci öncelik
boyuttur. Bazı durumlarda yayılım veriminin düşük olması bile tercih edilebilir. Örneğin modern
telefonlarda bulunan NFC (near field communication) antenleri ile zaten kısa süreli ve kısa mesafe
haberleşme hedeflenmiştir. Verimlilik ikinci plandadır.
Antenler ve iletişim kabloları konusunun ne kadar geniş ve üzerinde onyıllarca çalışılabilecek
bir zenginlikte olduğunu görüyoruz. Haberleşme dersimizde alıcı ve verici arasında "kanal" kelimesi
ile özetlediğimiz yapıda bunlardan herhangi biri yada burada değinilmeyen bir iletim yöntemi olabilir.
2.2.2. Soru - Cevap
S : Fourier dönüşümü ne işe yarar?
C: Bir fonksiyonu sinüsoidaller cinsinden tanımlayabilmemize olanak sağlar.
S: Sinüsoidallerin özelliği nedir ki? Niçin sinüsoidal?
C: Doğada ve elektriksel işaretlerde en çok karşılaştığımız fonksiyonlardan birisidir.
Yüzyıllardır üzerinde çalışıldığı için de bilgi birikimi en geniş fonksiyonlardır. Başka fonksiyonlar
kullanan ve sinüsoidalleri kullanan başka dönüşümler de vardır ve bazıları oldukça yaygındır
(Hadamard, Kosinüs, dalgacık). Genel olarak dönüşümler, işarette doğrudan göremediğimiz bazı
özelliklerin görülebilmesini kolaylaştırır.
34
S: Hep analitik fonksiyonu verilen işaretlerde Fourier dönüşümü yaptık. Gerçek işaretler
üzerinde nasıl uygulayacağız?
C: Uygulayamayacağız. Çünkü integraller ( , ) aralığında. Ancak bunun kısıtlı zaman
aralığında yaklaşığını hesaplayabiliriz. Uygulamada, kısıtlı zaman aralıklarında işaretten düzenli
aralıklarla alınmış örnekleri kullanan Kesikli Fourier Dönüşümü yaygındır. Fourier dönüşümü gibi
fonksiyondan fonksiyona olmayıp bir sayı setinden diğer bir sayı setine dönüşüm olduğundan aynısı
olmadığı anlaşılmaktadır ancak büyük benzerlikler göstermektedirler. Hatta işaret işleme üzerine
çalışan kişiler Fourier dediklerinde Kesikli Fourier'i kastetmektedirler.
2.3. Kesikli Fourier Dönüşümü
Uyarı : Kesikli zaman konusunda bilginize güvenmiyorsanız bu bölümden önce örnekleme
konusunu okuyunuz.
Gerçek işaretler üzerinde, Fourier dönüşümünü uygulayamadığımızdan, sınırlı zaman
aralığında alınan örnekler üzerinde çalışan ve sürekli karşılığı ile büyük benzerlikler gösteren Kesikli
Fourier Dönüşümü (DFT: Discrete FT) kullanılır. Kesikli Fourier Dönüşümü ve ters dönüşümü
N 1
X [k ]   x[n]e  j 2 kn / N
(2.18)
n 0
x[n] 
N 1
1
N
 X [k ]e
j 2 kn / N
(2.19)
k 0
denklemleri ile tanımlanır. Burada x[n ] , x (t ) sürekli işaretten düzenli aralıklarla alınan örnekler
dizisini, X [k ] ise frekans alanındaki karmaşık sayılar dizisini göstermekte olup her iki dizi de N
örnekten oluşmaktadır. Denklemler (2.18) ve (2.19)'in Fourier dönüşümünü tanımlayan (2.12) ve
(2.13) denklemlerine benzerliğine dikkat ediniz. (Not: Her iki denklem setinde bulunan e j ... terimine
dönüşümün çekirdeği adı verilir. Doğrusal dönüşümlerde dönüşüm çekirdeği f (u, v ) şeklinde olup
ortak özellikleri f (u, v ) fonksiyonlarının birbirlerine birim-dik (orthonormal) olmasıdır.)
Kesikli Fourier Dönüşümünün özellikleri Tablo-1'de verilen sürekli dönüşüm özelliklerine
oldukça benzer. Örneğin doğrusallık;
Eğer x[n]  c1 x1[n]  c2 x2 [n] ise X [k ]  c1 X 1[k ]  c2 X 2 [k ] 'dir.
N 1
Bir diğer örnek konvolüsyondur;
 x [m]x [((n
m 1
1
2
m
)) N ]  X 1[k ] X 2 [k ] . Yani iki örnek
dizisinin dairesel konvolüsyonu (circular convolution) Kesikli Fourier Dönüşümlerinin çarpımına
eşittir. Dairesel konvolüsyon dizisinin her örneğinin hesabı iki dizinin örneklerini iki dairenin üzerine
eşit aralıklarla yerleştirdiğimizde karşı gelen örneklerin çarpımlarını toplamı ve bir dairenin herbir
konvolüsyon örneği için dairelerden birinin bir örneklik döndürülmesi ile yapılır. Bu da bize bir
varsayımı ima eder; Her ne kadar sınırlı sayıda örnek varsa da, diziler sonsuz defa kendini tekrar eder.
35
Fourier Dönüşümü ile Kesikli Fourier arasındaki en belirgin fark budur. Yani işaretlerin periyodik
olduğu varsayılır.
Bu varsayımı anlamak için burada anlatmayıp atladığımız Kesikli-Zaman Fourier
Dönüşümüne de (DTFT : Discrete-Time FT) biraz değinelim. DTFT sürekli (zaman) işaretin
örneklerini kullanarak işaretin sürekli (frekans) Fourier dönüşümünün frekans alanında periyodik
tekrarlarının toplamını veren bir dönüşümdür. DFT ise frekans alanındaki bu sürekli periyodik
fonksiyonun periyodu boyunca örneklerini verir ve frekans ekseni boyunca tekrar ettiğini varsayar.
Zaman alanındaki sürekli fonksiyonun FT'u sınırlı bir band içinde kalmadığı durumlarda DFT ile elde
edilen kesikli tayfın en azından yüksek frekansları temsil eden bileşenlerinde örtüşme olacağı açıktır.
Şekil 26'da bahsedilen dönüşümlerin ilişkisi gösterilmektedir. Bahsedilen tüm dönüşümler tersinir ve
doğrusal olmasına rağmen DFT'nin kullanılışına dikkat etmek gerekmektedir. Çünkü uygulamada
diğerlerinin kullanımı yok denecek kadar azdır. Şekil 2.30'da gösterildiği üzere N-örnek ile hesaplanan
DFT katsayıları kullanılarak IDFT ile aynı N-örnek geri elde edilebilir. Ancak bu N-örnekten asıl
zaman serisini (sonsuz örnek) yeniden oluşturmak imkansızdır. Ayrıca, işaretin frekans bandı
gerçekten sınırlı değilse, N-nokta DFT tayfı asıl işaretin tayfını tam olarak temsil edemez. Gerçek
hayatta frekans bandı tam sınırlı bir işaret yoktur. O nedenle örtüşme olur ve özellikle yüksek frekans
bileşenleri hatalı olarak elde edilirler.
FT
IFT
DTFT
IDTFT
imkansız
N-örnek
D
FT
N-nokta DFT
I
DFT
Şekil 2.30 Sürekli, kesikli-zaman ve kesikli Fourier dönüşümü ilişkisi.
DTFT'ndan DFT'na geçişte akılda tutulması gereken bir başka şey ise tayfsal sızıntıdır
(spectral leakage). Bunu şöyle açıklayabiliriz; Farzedelim ki DFT katsayılarında k'ıncı örnek 100 Hz,
k+1'inci örnek ise 104 Hz'yi temsil ediyor olsun. Peki DTFT sürekli bir fonksiyon olduğuna göre 102
Hz'deki enerji kaçıncı DFT katsayısıyla temsil ediliyor? Cevap, aradaki enerjinin her iki komşuya
yakınlıklarına göre dağılmasıdır. Yani DFT'ndaki bileşenler arasındaki enerji komşu bileşenlere
dağılmıştır ve buna tayfsal sızıntı denir. Sızıntıyı birazdan göreceğimiz örneklerle daha açıklığa
kavuşturacağız.
DFT'ndaki problemlere değindiğimize göre, nasıl oluyor da bu kadar yaygın bir kullanım
görüyor sorusunu soralım. Cevaplardan basit olanı, DFT'nun sayısal devreler/işlemciler ile
gerçeklendiği ve sürekli ..FT'ların gerçeklenme ihtimalinin sıfıra yakın olduğudur. Ayrıca, DFT'nun
36
simetri özellikleri kullanılarak hızlı hesaplama yöntemleri geliştirilmiştir (Hızlı Fourier DönüşümüFast Fourier Transform : FFT) ve değindiğimiz örtüşme ve sızıntı problemlerini azaltıcı yöntemler de
bulunmaktadır. (Not : FFT yeni bir dönüşüm değildir, sadece DFT'nun hızlı hesaplanmasıdır.)
Şekil 2.31'daki rampa fonksiyonu örneklerini ele alalım. Setimiz 16 örnekten oluşmakta ve
yukarıda bahsettiğimize göre Kesikli Fourier Dönüşümü tarafından sonsuza kadar tekrar eden testere
dişi fonksiyonu örnekleri olarak görülmektedir.
Ts=T/16
n
T
Şekil 2.31 Rampa fonksiyonundan alınan 16 örnek.
Örnekleme işleminden sonra sadece örnek değerlerinden oluşan diziden tekrar asıl rampa
fonksiyonunu elde etmek için örnekleme sıklığı bilgisinin ( Ts ) saklanması gerekir. Denklemler (2.18)
ve (2.19)'dan görüldüğü gibi DFT'unda zaman bilgisi içerilmemektedir. Tabi ki dönüşüm sonrasında
elde edilen karmaşık sayı dizisinde de bu bilgi (zaman ve frekans) yoktur, temsil edilen sinüsoidlerin
göreceli frekansları, fazları ve genlikleri vardır (herbir bileşen içinde komşu aralıklardaki enerji de
sızıntı şeklinde bulunmaktadır). Şekil 2.32'de örnek bir kesikli tayf (kesikli Fourier dönüşümü sonuç
dizisinin büyüklükleri) gösterilmektedir (16 örnekle üretilmiş).
gerçek işaretler için simetri
k
0 Hz 1/T Hz
1/2Ts Hz
1/T Hz
f
Şekil 2.32 Örnek bir kesikli Fourier tayfı ve açıklaması.
Şekil 2.32'deki 0 frekansının yanındaki ilk bileşen temel frekanstır (fundamental frequency).
Bunu Fourier Serilerinde görmüştük. Onun hemen yanındaki (k=2) bileşen ise ikinci harmoniktir. 1 ve
2 nolu bileşenler sırasıyla 1/T Hz ve 2/T Hz frekanslı sinüsoidleri temsil eder. Ancak, işarette 1.5/T Hz
frekanslı bir bileşen yok mudur? Elbette ki olabilir ve onun enerjisi yakın bileşenlere sızıntı olarak
dağılmıştır. Burada -6-7 nolu bileşenlerden örnek vermememizin sebebi yüksek frekans bileşenlerinin
örtüşmenin daha fazla etkilenmesi ve sızıntıya ilave olarak örtüşme de içermesidir. (Not: testere dişi
37
fonksiyonunun örtüşme içermeden örneklenmesi (Nyquist kriteri ile) mümkün değildir, çünkü tayfı
sonsuza kadar uzanmaktadır.)
Gerçek sayılardan oluşan giriş dizisi için 0 frekansı dışındaki çıkış değerleri orta noktaya göre
simetriktir. O nedenle genlik tayflarında sadece orta noktaya kadar olan değerler gösterilir. Orta nokta
ise Örnekleme konusunda anlatılan Nyquist frekansına karşı gelmektedir. Yani, dizi örnekleme ile
üretildiyse, orta noktanın değerine çoğu zaman güvenilemez. Analitik fonksiyonların Fourier
Dönüşümü konusu işlenirken gösterilen frekans tayfına benzetmek için Şekil 2.32'de bir örneği verilen
dizilerin orta noktasının sağında kalan değerlerinin sıfır frekansının solunda gösterilmesi gerekir (Şekil
2.33).
Şekil 2.33 Örnek kesikli tayfın simetrik gösterimi.
Şekil 2.34'da ise 2 adet sinüs işaretinin DFT tayfları gösterilmektedir. Aralarında çok az bir
frekans farkı olan bu işaretler 1080 örnek ile örneklendiğinde ilk işaret tam 48 periyod ikincisi ise
yaklaşık 49.1 periyod kapsanmakta.
Şekil 2.34 Frekansları yaklaşık iki sinüsoidalin büyütülmüş DFT tayfı (1080 nokta).
Şekil 2.34'de görüldüğü üzere örnekleme süresi içine işaret peryodunun tam katları girmez ise
sızıntı olmakta, bu durum tayfa giderek azalan yan bileşenler (sinc şeklinde) olarak yansımaktadır.
Gerçek uygulamalarda işaretin periyodunu zaten bilmediğimiz yada işaret zaten periyodik olmayacağı
için sızıntıdan kaçınmak mümkün değildir. Pratikte bu etkiyi azaltmak için örnek dizisinin uç
noktalarında işaret bastırma yapan bir işlemden (pencereleme) geçirilir, yada ardışıl yapılan N-örnek
DFT'lerin (örneğin 20 kez) ortalaması alınır. Şekil 2.35 sıkça kullanılan Hanning pencereleme
işleminden geçmiş dizinin DFT tayfını göstermektedir. Konumuz dahilinde olmadığı için
detaylandırmayacağız.
38
Şekil 2.35 Hanning penceresinden geçirilmiş dizinin DFT tayfı.
Verilen örnekleri bir yazılım ile deneyip tayfları çizdirdiyseniz birkaç noktayı farketmiş
olmalısınız. Bunlar, sürekli tayfa yakın bir kesikli tayf elde etmek için çok sayıda ve Nyquist
kısıtından çok daha sıkça örneklemenin yapılması gerektiği, düşük sayıda örnek ile elde edilen DFT
katsayılarından işaret karakteristiği ile ilgili pek bir yorum çıkamayacağı, pencereleme ve ortalama
alma işlemlerinin çoğu uygulamada gerekli olduğu, sadece büyüklük (magnitude) verisinden asıl
diziye geri dönülemeyip faz bilgisinin de gerekli olduğu gibi yorumlardır.
Fourier Dönüşümleri ve kullanım alanları ile ilgili birikimin çok az bir kısmı bile buraya
sığmayacak kadar geniştir. O nedenle son bir örnek ile konumuzu noktalayalım.
Şekil 2.10'da ve ilgili örnekte birim kapı işaretinin Fourier dönüşümünün sinc fonksiyonu
olduğunu görmüştük. Birim kapı işaretinin sayısal haberleşmedeki önemi sayısal verilerin 1'ler ve 0'lar
ile ifade edilmesi ve herbir bitin tayfa yaptığı katkının bir sinc olmasından kaynaklanmaktadır. Yani
rastgele 1'ler ve 0'lardan oluşan bir veri akışının tayfını görmek istersek herbir bitin tayfa katkısını
uygun faz kaymasıyla toplayabiliriz. Peki Şekil 2.10'da verilen bir kapı işaretinin tayfını örneklerinden
nasıl hesaplayabilir ve çizebiliriz? Örneğin ...0000010000... gibi sonsuz adet sıfırın ortasında bir adet 1
olan veri/işaretin tayfı nasıl hesaplanır-çizilir? (not: bit süreleri sonlu bir uzunlukta).
Öncelikle işareti 0-1'lerden oluşan veri olarak değil 1'de kalma süresi belli olan bir elektriksel
işaret olarak düşünmemiz gerekir. Yani ...0000010000... dizisinin DFT'nu hesaplayarak bir tayf elde
edemeyiz. Bu veri haberleşme kanalında süresi olan bir elektriksel darbe olarak görülecektir. Bu darbe
işaretini DFT ile analiz edebilmek için yeterince sıklıkla örneklememiz gerekmektedir. Örneğin bit
başına 10 örnek alındığında/üretildiğinde elde edilen 100-nokta ve 1000-nokta DFT tayfları Şekil
2.36'de gösterilmiştir (ardışıl 10 örnek 1, diğerleri 0).
Şekil 2.36'i dikkatli bir şekilde incelersek şunu görmemiz gerekir; Bileşenlerin genlikleri sıfır
frekansından uzaklaştıkça beklenilenden daha az düşüyor! Yani bu tam bir sinc değil. Bunun sebebi
ise örtüşmenin oldukça fazla olmasıdır. Örneğin 900 ile 1000 arasındaki bileşenlerin enerjilerinin
yarıya yakın kısmı örtüşmeden kaynaklanmaktadır. 1000 ile 1100 arasındaki, aslında olması gereken
ama gösterilemeyen, bileşenler katlanarak (ayna görüntüsü gibi) 900 ile 100 arasındaki bileşenlerin
üzerine toplanmaktadır.
39
Şekil 2.36 10 örneklik kapı darbesinin 100 ve 1000-nokta DFT tayfı.
Tayf analizörleri (specktrum analyzer) ölçülen analog işaretin tayfını gerçeğe yakın bulmak
için işareti önce bir örtüşme engelleyici süzgeçten (anti-aliasing filter) geçirir, böylelikle örnekleme
frekansının yarısından daha yüksek frekanslı bileşenler bastırılır. Sızıntıyı en aza indirmek için, alınan
örnekler bir pencereleme fonksiyonundan geçirilir. Buna rağmen, DFT'u alınan ardışıl örnek setleri
oldukça değişken olabileceğinden, belirli sayıda DFT verisinin ortalaması alınarak kullanıcıya
gösterilirler.
2.3.1. Soru-Cevap
S : Hangi oranla örneklemeliyiz ki DFT sonrasında frekans tayfını gerçeğe en yakın görelim?
C: Donanımın izin verdiği en yüksek hızla.
S : Kaç örneklik DFT uygulamalıyız ki sonrasında frekans çözünürlüğü en iyi olsun?
C: Donanımın izin verdiği en fazla örnek.
S : Madem DFT katsayıları simetrik neden sadece tek tarafını almıyoruz?
C: DFT'de simetri için şartlar Tablo-1'de verilmiştir. Bu şartlar sağlanıyorsa katsayıların yarısı
diğer yarısından hesaplanabilir. Gerçek (karmaşık sayı olmayan) işaretler için simetriden faydalanmak
daha kolaydır. Ancak yine de DFT sonucunun karmaşık sayılardan oluştuğunu ve yukarıdaki
örneklerde sadece büyüklükleri çizdiğimizi, ters dönüşüm için faz bilgisine de ihtiyacımız olduğunu
unutmayalım.
S : FFT (Fast Fourier Transform) nedir?
C: DFT'nin bazı simetri özellikleri kullanılarak daha az işlemle (daha hızlı) hesaplanması
yöntemi/yöntemleridir. Matematiği/formülü ve sonuçları DFT ile aynıdır. Bazı yazılım paketlerindeki
fft(.) fonksiyonları eğer paket verilen sayıda örneği FFT ile hesaplayamıyorsa DFT denklemleriyle
(17, 18) hesaplarlar, yada diziye 0 ekleyerek (zero-padding) FFT yöntemleriyle hesaplarlar. Bu
nedenle, örneğin 1024-nokta fft ile 1025-nokta fft arasında hesaplama süresinde hissedilebilir farklar
oluşabilmektedir.
40
2.3.2. Çözümlü Problemler
1. Aşağıda tayfı verilen işaretin gücünü bulunuz.
Çözüm
dönüşümler
Fourier
sin( c t )  j ( (   c )   (   c ))
tablosundan
özelliğini
hatırlayalım. Verilen   j (   c )  j (   c ) tayfının, yani Fourier dönüşümünüm, zaman
işareti 
1
P
Tc
1

sin( c t ) 'dir. Bu bir periyodik işaret olduğuna göre periyod boyunca alınan enerji integrali
 Tc
 x(t )

1
Böylece P 
Tc
2
dt ile gücü bulabiliriz. Burada Tc 
Tc
2
2
c
'dir.
T
1 c 2
1
0   sin( c t ) dt =  2Tc 0 sin (ct )dt = 2 2 buluruz.
1
Şimdi de siz aynı işaretin gücünü Frekans alanında hesaplayınız.
f 1
0 ,

2. vi (t )  4e u(t ) işareti H ( f )  1 , 1  f  2 şeklinde verilen ideal bant geçiren
0 ,
f 2

3t
süzgece uygulanıyor. Süzgeç çıkışına bağlanan 1 Ohm'luk dirençte harcanan toplam enerjiyi
hesaplayınız.
vi (t )  4e3t u(t )
vi (t )
BPF
vo (t )
Çözüm
Süzgecin girişindeki işaretin Fourier dönüşümü
41

Vi ( )  F vi (t )   4e 3t e  jt dt
integrali
ile
bulunur
Vi ( ) 
ve
0
Vi ( f ) 
4
3  j
veya
4
olarak hesaplanır. Çıkıştaki enerji ise
3  j 2f


2
2
4
E   V0 ( f ) df   Vi ( f ) H ( f ) df  2
df şeklinde yazılır. İntegralin önündeki 2
3

j
2

f


1
2
2
çarpanı tayfın negatif ve pozitif kısımlarının simetrik oluşundandır.
2
16
32
df  2
2 2
4
1 9  4 f
E  2
16
E
3
E
 1  2f
tan  3


2
f
1
2
df
 (3 2 ) 2
2
16  1 4

1 2 
 
 tan ( )  tan ( ) 
3
3 
 1 3 
16
(1.3365  1.1253)  0.358 [Joules]
3
3. Bir dikdörtgen darbe treni ve onun frekans tayfı, genlikler dikkate alınmamak üzere, aşağıda
verildiği gibidir. İşaretin periyodu nedir?
y (t )
t
|Y ( f ) |
f
-1 -0.5
0.5 -1 1.5 2 2.5
Çözüm
Frekans tayfında temel frekans (fundamental frequency) olarak 0.5 Hz görülmekte.
f o  1 / T 'yi kullanarak T = 1/0.5 = 2 sn bulunur.
4. Gerçek bir işaretin tayfı şekilde verildiği gibidir. İşaretin ortalama değeri (time-average) nedir?
| V () |
2

0.5
Çözüm
2
42
Ortalama değer DC yada sıfır frekansındaki değerdir. İşaretin tayfında 0 frekansındaki değer 0
olarak görülmektedir. O halde ortalama değer 0'dır.
5. Aşağıda verilen LTI (linear-time-invariant) sistemin girişinde N 0 / 2 [Watts/Hz] değerinde düz
tayf yoğunluğuna sahip gürültü işareti vardır. Çıkıştaki gürültü gücünü bulunuz
Çözüm
Önce
Vo
R


Vi R  jL
S o ( )  S i ( ) H ( )
1
L
1  j
R
 H ( ) ile transfer fonksiyonunu (birim-darbe tepkisi) bulalım.

ve ardından Po 
2
 S ()d
o
(psd'nin tanımı) ile de çıkış gücünü

bulabiliriz. Yani,

Po 

Si ( ) H ( ) d 
2


N0
d
 2 1   L / R
2 2
2


N R
N R
 L 
Po  0 tan 1 
  0 [Watts].
4L
4L
 R  
6. Aşağıdaki RC alçak geçiren süzgeci veriliyor. Direnç değeri 1000 ohm'dur. Girişteki
N0
 1012 W / Hz  değerindeki AWGN gürültüsüne karşılık çıkışta toplam gürültü
2
gücünün en fazla 0.5  103  W  olabilmesi için kapasitörün minimum değeri ne olmalıdır?
Sn ( f ) 
Çözüm
Süzgecin transfer fonksiyonu H ( j ) 
1
1
, ve H ( ) 
olarak bulunur.
1  jRC
1   2 R 2C 2
43
S o ( )  S i ( ) H ( )
Ardından
2
Si ()  Si ( f ) / 2
ile güç hesaplayacağız.
olduğundan
Si ()  N 0 / 4 [W/rd/s].

Po 

So ( )d 





Po 
Si ( ) | H ( ) |2 d 
N0
d

4  1   2 R 2C 2

N0
1
 4 1   R C
2
2
2
d

u   R C ile Po 

N0
du
.    iken u   olduğundan

4 RC  1  u 2
sınırlarda değişken değiştirmeye gerek yok.

N0
N0 
N
tan 1 (u) 
( )  0 elde edilir. Bunun 0.5  103  W  olabilmesi için
0
2 RC
2 RC 2
4 RC
değerleri yerlerine koyduğumuzda 0.5  109  0.5  1012  103 / C , ve buradan da
Po 
C  1  107  100 nF bulunur.
Tabi ki C arttıkça empedans (devre analizi derslerinden zC 
1
jC
olduğunu hatırlayınız), dolayısıyla
çıkış genliği, ve dolayısıyla çıkış gücü düşer. Yani çıkış gücü ile C ters ilişkilidir.
Bu bir sınav sorusu idi. Sınavdan sonra bazı öğrenciler hesaplarında  değil f kullandıklarında
farklı sonuç elde ettiklerini söylemişlerdir.   2f olduğuna göre bu söylemi kontrol edelim.
2
Çıkışta f cinsinden tayfsal yoğunluk eşitliğimiz S o ( f )  S i ( f ) H ( f ) 
Benzeri şekilde süzgecimizin transfer fonksiyon karesi H ( f ) 
2

P0 
N0
2
H ( f ) olur.
2
1
olarak yazılır.
1  4 f 2 R 2 C 2
2

N0
df
, u  2 fRC ve du  2 RC df ile
2 2 2 2
2 1  4 f R C

 S ( f )df  
o


P0 
N0
df
elde edilir. f   iken u   olduğundan sınırlarda değişken değiştirmeye

4 RC  1  u 2
gerek yok. Bu integral ve çarpanı  kullandığımızdaki ile aynı olduğuna göre işlemlere devam
etmeden sonuçların aynı olacağını söyleyebiliriz. İşlemlerde  yada f kullanmak   2 f yada
f   / 2 dönüşümü yaptığımız sürece aynı sonucu verecektir. Belki burada açıklanması gereken,
sabitlerin nasıl dönüştüğüdür. Örneğin, en başta S ()  S ( f ) / 2 yazdık ve açıklamadık. Bunu
S ( f )  c için açıklayalım. Aşağıdaki şekilde sol tarafta sabit c [W/Hz] güç tayf yoğunluğu
gösterilmiştir. Yani ( f 0 , f 0  1) aralığındaki güç diktörtgen taralı alandır ve c 'ye eşittir. Sol şekildeki
 'ya göre çizilmiş tayf yoğunluğunda, 0  2 f 0 olmak üzere, (0 , 0  2 ) aralığında aynı gücün
olması için diktörtgenin aynı alana sahip olması gerekir, yani o da c 'dir. Dikdörtgen 2 kadar
44
genişlediğine göre yüksekliğinin b  c / 2 olması gerekir ki güç, yani alan, yine c olsun. Bu
durumda S ()  S ( f ) / 2 'dir.
S ( )
S( f )
c
b
c
c
f
0
f0  1
f0

0  2
7. Bir işaret güç tayfı yoğunluğu


cos( f ) , f 
G( f )  
4 şeklinde veriliyor. İşaretin gücü nedir?

, elsewhere
 0
Çözüm

PT   G( f )df 

 /4
 cos( f )df

 /4
 /4
 sin( f )  / 4  2 .
8. Bir işaret tayf yoğunluğu
Düz tayfa sahip bir tabanbant işaret 11 kHz'lik bir taşıyıcıyı modüle ediyor ve aşağıdaki tayf
elde ediliyor. Üretilen x(t ) işaretinin gücünü bulunuz.
|X(f)|
2
f
10
12
Çözüm
Sx  X ( f )
2
ve Px 



S x ( f )df olduğunu biliyoruz. Burada verilen tayfın sadece pozitif kısım
olduğunu ve negatif kısmının unutulmaması gerektiğini hatırlayalım. Bunu uyguladığımızda


12

0
10
Px   S x ( f )df  2 S x ( f )df  2 22 df  16 bulunur.
45
3 Örnekleme ve Nicemleme
Elimizde sürekli bir işaret yada onun grafiği olduğunu, bu işareti telefonla arkadaşımıza tarif
edip onun da aynı işareti üretmesini/çizmesini sağlamak istediğimizi varsayalım. Örneğin böyle bir
işaret Şekil 1'deki gibi olsun. İşareti arkadaşımıza nasıl tarif ederdik?
Şekil 3.1 Uzak noktada tarif ile üretilmesini istediğimiz işaret örneği.
Bir yaklaşım grafiğin minimum ve maksimum noktalarını arkadaşımıza söylemek ve bunların
aralarını uygun bir şekilde birleştirmesini istemek olabilir (Şekil 3.2). Bu durumda telefonla
bildirilecek değerler ( y1 , t1 ) , ( y2 , t2 ) , ( y3 , t3 ) ... şeklinde olacaktır.
Şekil 3.2 Grafiğimizin telefonla bildirilecek minimum ve maksimum noktaları.
Arkadaşımızın bu noktaların nasıl birleştireceği konusunda Şekil 3.3'te gösterilen birkaç fikri
olabilir. Doğrusal aradeğerlemenin gerçek işaretten ne kadar uzak bir sonuç üretebileceğini görebiliriz.
Yüksek dereceli aradeğerlemeler de gerçeğine çok benzemediği durumlarda bile önemli bir hesap
46
yükü gerektirmektedir. Ayrıca optimum noktaları arkadaşınıza söylemeden önce kendinizin de bir
şekilde hesaplamanız/bulmanız gerekmektedir. Eğer grafiğimiz sınırlı büyüklükte olsaydı belki buna
katlanabilirdik, ama sürekli değişen bir elektrik işareti olunca işler biraz daha zorlaşır.
Şekil 3.3 Minimum/maksimum noktaları birleştirme örnekleri. a) Doğrusal aradeğerleme b) Yüksek
dereceli polinom ile aradeğerleme.
Bir diğer yaklaşım da düzenli aralıklarla grafiğin değerini bildirmek ve arkadaşımıza bunların
aralarını uygun şekilde doldurmasını istemek olabilir. Daha çok örnek noktası belirlenmesi
karşılığında yatay eksen (zaman) değerlerini iletmeyeceğimizden ve fonksiyon değerinde yapılan bir
hata diğer ölçümleri etkilemeyeceğinden bu yaklaşım daha mantıklı olabilir.
Şekil 3.4 Düzenli aralıklarla yapılan ölçümlerin iletilmesi yaklaşımı üzerine iki örnek.
Şekil 3.4 bu yaklaşımla ilgili 2 örnek göstermekte ve bir soru doğurmaktadır; Ölçüm
noktalarımız ne kadar aralıklı olabilir? Aralık ne kadar büyük ise bilgiyi o kadar az veri ile ileteceğiz
demektir. Ne kadar yakınlarsa da sanki grafik arkadaşımız tarafından daha doğru çizilebilecek gibi
hissediyoruz. Hatta yeterince sık ölçüm yapılırsa doğrusal aradeğerleme bile oldukça doğru sonuç
verecek gibi.
Düzenli ölçümlerimizin ne kadar aralıkta olması gerektiğine Nyquist bir cevap vermiş;
"Bandgenişliği f m olan bir işaret 2 f m 'den daha yüksek bir örnekleme hızı ile düzenli örneklenirse,
işaret yeniden tam olarak üretilebilir. Eğer örnekleme aralıkları
1
yada daha büyük ise işaret tam
2 fm
47
temsil edilemez ve yeniden tam olarak oluşturulamaz" demiş. Yani örnekleme aralığı Ts 
1
2 fm
olmak zorunda. Yeniden oluşturma formülü olarak da
x (t ) 
n 
 x(nT )sinc(2 f
s
n 
m
(t  nTs ))
(3.1)
veriliyor. Denklem (3.1)'in anlamı şudur; Herbir örnek noktasına bir sinc fonksiyonu
oturtalım, sinc'in büyüklüğü örnek değeri kadar olsun, sıfır geçişleri de diğer örnek noktalarından
geçsin. Bunların hepsini topladığımızda x (t ) elde edilir. Ancak, sinc fonksiyonu sonsuza kadar
uzanmaktadır, yani sonsuz sayıda örneğimiz varsa sonsuz toplam yapmak gerekir. Bu durum Şekil
3.5'te özetleniyor.
Şekil 3.5 Düzenli örneklerden yeniden oluşturmanın sinc fonksiyonu ile yapılışı.
Örneğin, şekilde gösterilen bir xi noktasında fonksiyonun değerini bulmak için o noktadaki
tüm sinc'leri toplamak gerekli. Uygulamanın ihtiyacına göre yaklaşık bir değer yeterli ise komşulukta
bulunan sınırlı sayıda sinc toplanabilir (bir hata karşılığında).
Sinc fonksiyonuna aradeğerleme çekirdeği (kernel) denir. Çok daha basit iki aradeğerleme
çekirdeği örneği Şekil 3.6'da verilmiştir.
s0()
y0 (t )
1
x ( n)
t

0.5
n
0.5
s1()
y1 (t )
1

-1
t
1
Şekil 3.6 Kesikli örneklerden aradeğerleme yapan 0'ıncı (hold) ve 1'inci (doğrusal) derece
aradeğerleyiciler ve çıktıları.
48
Uygulamada,
x(n) örnek treninden yada
y? (t ) aradeğerlemelerinden y (t ) sürekli
fonksiyonunu üretmek için sinc işlevini yaklaşık olarak yerine getiren bir alçak geçiren süzgecin
kullanılması oldukça yaygındır.
Maalesef burada verdiğimiz örnekler, anlaşılma kolaylığı açısından, tabanband (baseband)
işaretler üzerine idi. Yani işaretimizin en düşük frekansı sıfır civarında idi ve en yüksek frekansı da
f m bandgenişliğine eşit idi. Tayf ve frekans anlayışımız biraz daha ilerleyince frekans kaydırma,
yukarıkaydırma (upconversion) ve aşağıkaydırma (downconversion) konularında benzeri örnekleri
yeniden ele alacağız.
Şimdi örneklenmiş işaretin frekans tayfına bakalım. Düzenli aralıklarla örnekleme
yaptığımızda işaretimizi bir birim darbe treni ile çarpıyormuş gibi düşünebiliriz (Şekil 3.7).
x(t )
xs ( n )
t
n
birim darbe treni
Şekil 3.7 Birim darbe treni ile örnekleme modeli.
Zaman alanındaki çarpma işleminin frekans alanındaki karşılığı, Fourier dönüşümünün ikilik
ve konvolüsyon kurallarına göre, konvolüsyondur;
n 
k 
n 
k 
xs (n)  x(t )   (t  nT )  X ( f )    ( f  k / T )  X s ( f )
(3.2)
Örnek bir tabanband işaret ve birim darbe treninin tayfları Şekil 3.8'de gösterilmiştir. Olası
konvolüsyon sonuçları da aynı şekilde belirtilmiştir. Birim darbe treninin Fourier dönüşümü frekans
alanında pozisyonları kf s olan darbe trenidir.
Bir fonksiyonun birim darbe fonksiyonu ile konvolüsyonu işaretin birim darbe fonksiyonunun
pozisyonuna kaydırılması sonucunu üretir. Fourier dönüşümü doğrusal olduğundan birim darbe treni
ile konvolüsyon da, doğal olarak, herbir darbenin olduğu pozisyonda fonksiyonun bir kopyasının
üretilmesi demektir. Bu kopyalar birbiriyle çakışabilir. Çakışmaması için f s  2 f m şartının
sağlanması gerekir. Örnekleme frekansı
denmektedir.
f s 'in 2 f m 'e eşit olduğu noktaya Nyquist frekansı
f s  2 f m durumunda ise bu kopyalar birbiriyle örtüşür (aliasing) ve toplamda
birbirlerini bozarlar. Bu durumda tabanband işareti bir alçak geçiren süzgeç yardımıyla geri elde
edilmeye çalışılırsa bu işaretin örtüşen frekanslara karşı gelen bileşenleri, yani toplam işaret, bozulmuş
olacaktır. Şekil 3.9 örneklenmiş işaretten (Şekil 3.7, sağdaki işaret) yeniden sürekli işareti üretebilmek
için gerekli olan ideal ve ideal olmayan süzgeçlerin çıktılarını olası göstermekte.
49
fs  2 fm
X( f )
f
f
 fm
convolution

fm
f s  2 fm
f
fs  2 fm
S( f )
 fs
fs
f
f
Şekil 3.8 Bir tabanband işaret ve birim darbe treni frekans tayflarının konvolüsyonu ve olası üç durum.
x ( n)
Xs( f )
f
H(f)
1
H(f)
f
f   fm
f
X( f )
süzme
f  fm
X( f )
f
f
ideal olmayan süzgeç çıkışı
süzme
ideal süzgeç çıkışı
Şekil 3.9 İdeal ve ideal olmayan yeniden oluşturma süzgeçlerinin çıkışları.
Şekil 3.9'daki ideal olmayan süzgeç çıkışı yüksek frekanstaki kopyadan da bazı bileşenleri
içermekte. Bu bozulma örneklenmiş işaretin frekans alanındaki kopyalarının arasını daha da açmakla
giderilebilir. Bunun için de daha yüksek frekansta örnekleme yapılması gerekir. Gerçek uygulamalarda
çoğu zaman Nyquist frekansından çok daha yüksek bir örnekleme frekansı kullanılır. Buna da aşırı
örnekleme (oversampling) denir. Aşırı örnekleme daha yüksek frekansların kullanılmasını gerektirse
de çok daha basit ve ucuz süzgeçlerin kullanılabilmesine olanak sağlar.
3.1. Sayısal Yukarı/Aşağı Kaydırma
Şekil 3.9'daki X s ( f ) frekans tayfına tekrar bakalım. Burada X s ( f ) 'i süzgeçten geçirerek
sıfır frekansının etrafındaki kopya olan X ( f ) 'i, dolayısıyla x (t ) 'yi yeniden oluşturmaya çalıştık.
Eğer daha yüksek frekanslardaki kopyaları elde etseydik bu işlemin adına yukarıkaydırma
(upconversion) diyecektik. Benzer şekilde, X ( f ) tabanband işareti olmayıp kapladığı frekans bandı
50
yüksek frekanslarda olsaydı ve biz sıfır frekansı etrafındaki kopyayı elde etmeye çalışsaydık bu işleme
de aşağıkaydırma (downconversion) diyecektik. Tabi ki X ( f ) 'in bandı yüksek frekanslarda olup
farklı bir yüksek frekanstaki kopyayı elde etmek isteyebiliriz. Buna da frekans kaydırma (freq. conv.)
denir. Frekans kaydırma işlemleri burada bahsedildiği gibi örnekleme ve sayısal işlemlerle yapılacak
ise kopyaların örtüşmemesi için hesaplamaların oldukça dikkatli yapılması gerekir. Frekans kaydırma
analog devrelerle de yapılabilir, ki o konuya modülasyon kısmında gireceğiz. Sayısalda yapılan
kaydırma işlemlerini diğerinden ayırmak için çoğu zaman önüne "sayısal" kelimesi eklenir; Sayısal
aşağı kaydırma (digital downconversion, sampling frequency translation) gibi. Bunu bir örnekle
gösterelim. Şekil 3.10 B bantgenişlikli bir tabanbant işaretin tayfını, f s  2 B olmak üzere f s
frekanslı örnekleme treninin tayfını ve son şekil ise örneklenmiş işaretin tayfını göstermektedir.
f s  2 B olduğu için, doğal olarak, örtüşme yoktur. Örneklenmiş işaretin tayfı örnekleme işaret
frekansının tam katlarında görülen tabanbant işaret tayfının kopyalarından oluşmaktadır. Bu
kopyalardan sadece 0 frekansı etrafındakini geçiren bir süzgeç ile tabanbant işaret örneklenmiş
işaretten yeniden oluşturulabilir.
| X( f )|
f
B
B
| S( f ) |
f
 fs
0
kf s
fs
| SX ( f ) |
f
 fs
0
kf s
fs
Şekil 3.10 a) Örneklenecek tabanbant işaretinin tayfı
Örneklenmiş işaretin tayfı.
b) Örnekleme darbe treninin tayfı c)
Şimdi de X ( f ) işaretinin 0 frekansında değil de f s frekansı merkezli bir bantgeçiren işaret
olduğunu varsayalım. Bu durum Şekil 3.11a'da gösterilmiştir. Örnekleme frekansı f s önceki örnekle
aynı olsun (Şekil 3.11b). Örneklenmiş işaretin tayfı da Şekil 3.11c'de gösterilmiştir. f s frekansındaki
darbeden dolayı gelen kopyalar 0 ve 2 f s frekansında görülür. 2 kopya olmasının sebebi X ( f )
işaretinin pozitif ve negatif frekanslardaki kopyalarıdır. Benzeri şekilde tüm kf s frekanslarındaki
darbelerin ürettiği kopyalar (k  1) f s ve (k  1) f s frekanslarında görülür.
f s ve  f s 'deki
darbelerden gelen kopya tayflar birbirinin aynı olduğundan hiçbir bozulma olmadan toplanıp 0
frekansı etrafında görülür. Benzeri şekilde tüm kf s frekanslarındaki kopyalar komşu darbelerin
ürettiği kopyaların toplamıdır ve tabanbanttaki tayfın aynısıdırlar. Böylelikle f s merkezli 2B
bantgenişlikli bir işaretin 0 frekansındaki kopyası, f s  2 B şartıyla, sadece o kopyayı geçiren bir
alçak geçiren süzgeç ile tabanbant işaretini elde etmekte kullanılabilir.
51
| X( f )|
f
fs  B fs
 fs
fs  B
| S( f ) |
f
 fs
0
fs
kf s
2 fs
| SX ( f ) |
f
 fs
0
fs
Şekil 3.11 a) Örneklenecek bantgeçiren işaretinin tayfı
Örneklenmiş işaretin tayfı.
kf s
2 fs
b) Örnekleme darbe treninin tayfı c)
Aynı durum kf s merkezli bir bantgeçiren işaret için de geçerlidir. Buradaki varsayımımız f s
frekansındaki işaretin aslının pozitif ve negatif kısımlarıyla tam bir tabanbant işareti olmasıdır. Peki
f s ne kadar düşük olabilir ki iki kısımlı tabanbant kopyası hiç bozulmamış (örtüşmemiş) olsun?
Gerekli şart daha önce gördüğümüz f s  2 B 'den başkası değildir. Kritik değer f s  2 B olması
durumudur ve bu durumdaki örneklenmiş işaret tayfı Şekil 3.12'te gösterilmiştir. Özet olarak,
tabanbantta iken bantgenişliği B olup kf s frekansına çıkarılmış (belki de modülasyon ile) herhangi
bir işaret, f s  2 B şartı ile, f s ile örneklenip tabanbanttaki kopyası süzülerek geri elde edilebilir. Bu,
herhangi f c merkezli 2B genişlikli bantın f s  2 B olan herhangi f s frekanslıyla örneklenebilmesi
değildir. f c  kf s olması gerekir. Aksi halde 0 frekansı etrafındaki bileşenler gerçek tabanbant işareti
olmaz.
| SX ( f ) |
asıl işaret
f
 fs
0 B
fs
2 fs
kf s
Şekil 3.12 f s  2 B örnekleme frekansıyla örneklenmiş kf s merkezli işaretin tayfı.
Örneğin, 10 kHz bantgenişlikli bir işaret 100 MHz'lik bir taşıyıcı ile çarpılıp 100 MHz'ye
çıkarılmış olsun. Bu işaretin 200+ MHz'de örneklenmesine gerek yoktur, 20 kHz ile örneklenebilir.
100 MHz 20 kHz'nin 5000 katı olduğundan, ±5000'inci örnek darbesinden (frekans alanında) dolayı
üretilen kopyalar 0 ve 200 MHz frekansı etrafında olurlar. 10 kHz bantgenişlikli ideal bir süzgeç ile
tabanbant işareti alınıp gerisi atılabilir. Tabi ki ideal süzgeç pratikte gerçeklenemeyeceği için B
olarak yaklaşık %20 arttırılmış bir sayı kullanılması yaygındır. Verdiğimiz örnekte asıl işaretin
bantgenişliği 10 kHz değil de, mesela 8 kHz olması, ancak 10 kHz varsayılması ve ona göre işlemler
yapılması gayet mantıklıdır.
52
Yüksek frekanstaki işaretimizin sadece tek yan bant olması, yani tabanbant tayfının sadece
pozitif yada negatif kısmının olması durumunu Şekil 3.13 gösteriyor. | X ( f ) | Şekil 3.13a'da üst yan
banttır. Şekil 3.13c'de görüldüğü gibi tabanbant tayfı üretiliyor. f c  kf s taşıyıcı frekanslı üst yan bant
işaretleri için de aynı durum geçerlidir.
| X( f )|
f
 fs
| S( f ) |
fs
fs  B
f
 fs
0
fs
2 fs
kf s
| SX ( f ) |
f
 fs
0
fs
2 fs
kf s
Şekil 3.13 a) f c  f s taşıyıcı frekanslı üst yan bant işaretinin tayfı b) Örnekleme darbe treninin tayfı
c) Örneklenmiş işaretin tayfı.
| X ( f ) | üst yan bant ise ama alt yan bant gibi örneklenirse Şekil 3.14'te gösterildiği gibi
doğru tabanbant tayfı oluşmaz. Buna tayfsal tersinme denir. İşaret alt yan bant iken üst yan bantmış
gibi örneklenirse de benzer problem oluşur.
| X( f )|
f
fs  B fs
 fs
| S( f ) |
f
 fs
0
fs
2 fs
kf s
| SX ( f ) |
f
 fs
0
fs
2 fs
kf s
Şekil 3.14 a) f c  f s  B taşıyıcı frekanslı üst yan bant işaretinin tayfı b) Örnekleme darbe treninin
tayfı c) Örneklenmiş işaretin tayfı.
53
3.2. Nicemleme
Şimdi Şekil 3.4 ile anlatılan, düzenli ölçümlerin telefonla arkadaşımıza bildirme ve onun
işareti yeniden oluşturmasını sağlama işlemine geri dönelim. Şekil 3.15'da yeniden oluşturmanın
hatasız yapılabilmesi için ölçüm noktalarındaki değerlerin sonsuz sayıda basamak ile bildirilmesi
gerektiği vurgulanıyor.
1.44350621647878…
1.47513864153543…
-0.409004416240274…
-1.0658039448491…
Şekil 3.15 Ölçüm noktalarındaki değerler sonsuz hassasiyette.
Ölçüm değerlerinin {1.44350621647878…, 1.47513864153543…, -0.409004416240274…,
…} şeklinde sonsuz sayıda basamakla bildirilmesinin (hatta ölçülmesinin) imkansız olduğu açıktır.
Tek bir ölçümüm bile bildirilmesi işaretin kendisinin gönderilmesinden (aralıklı örnekler yerine) çok
daha pahalıya çıkacağı ortadadır. Sürekli değerler yerine düzenli aralıklarla yapılan ölçümleri
bildirdiğimiz gibi, basamak sayısında da bir sınırlamaya gitmemiz şarttır. Örneğin {1.44, 1.48, -0.41,
…} gibi. Tabi ki bu, değerlerde bilerek/razı olarak yaptığımız bir kısaltmadır ve yapılan hata geri
kurtarılamaz. Bu kısaltmaya nicemleme (quantization) denir. Milimetrik cetvelle milimetreden daha
hassas ölçümler yapamamak gibi birşeydir.
Şekil 3.16 (-2.0,+2.0) sürekli aralığının 8 eşit altaralığa bölünmesi ve örneklemenin bu
nicemlemeye göre yapılmasını göstermektedir. Buna göre, örneğin işaretimizin ölçüm anındaki değeri
(1.5, 2.0) alt aralığında ise bu değeri 7 ile gösteriyoruz. Diğer örnek değerlerinin herbiri de 0 ile 7
arasındaki 8 adet tamsayıdan birisi ile gösteririz. Bu sayıların herbirinin hangi değer aralığına karşı
geldiğini bilen alıcı (arkadaşımız) işareti bazı örnekleme hataları ile beraber yeniden oluşturabilir.
54
2.0
1.75
7
1.25
6
0.75
5
0.25
4
-0.25
3
-0.75
2
-1.25
1
-1.75
0
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
Şekil 3.16 (-2,2) aralığının 0.5 aralıklarla nicemlenmesi ve işaretin buna göre örneklenmesi.
n
Şekil 3.17 Nicemleme gürültüsü.
Tabi ki hata değeri karşı tarafa bildirilmediğinden nicemleme hatası kalıcıdır, giderilemez.
Örneğimizdeki hatalar (0.25, 0.25) aralığında eşit olasılıklı (uniform) dağılmıştır, yani gerçek
değer aralıktaki sonsuz değerden herhangi birisi olabilir. Örneğimizdeki hatalar Şekil 3.17'de
gösterilmiş olup, değerler rastgele olduğundan nicemleme hatasına nicemleme gürültüsü (quantization
noise) adı verilir.
Örnekleme ve nicemleme işlemi analog işaretleri sayısal örneklere çevirmek ve çoğunlukla
işaret üzerinde yapılması istenen işlemlerin (süzme, tanıma, modülasyon, kodlama, ...) sayısal
devrelerle gerçeklemek üzere analog-sayısal çeviriciler (analog-digital converter : ADC) tarafından
gerçekleştirilir. Daha kapsamlı entegre devrelerin parçası da olabilen ADC'ler çoğunlukla sadece bu iş
için üretilen entegre devrelerdir. Sayısal devre deyince aklımıza işaret değerlerinin ikili sayı sistemi ile
ifade edildiği mantık devreleri aklımıza gelir. İkili sayı sisteminde bulunan 0 ve 1 rakamları sayısal
elektronik devrelerde iki farklı voltaj ile temsil edilirler (0-5V, 0-3.3V, -15-+15 vb). Tabi ki sayılar,
ondalık sistemde olduğu gibi, bitlerin (bit=binary digit) yanyana konmasıyla oluşturulur. Doğal olarak,
Şekil 3.16'deki bölüt (alt-aralık) sayısı arttıkça onları temsil etmek için gereken bit sayısı da artacaktır.
Örneğimizde 8 adet bölüt olduğuna göre sayılarımız 3 bitlik olacaktır ( 23  8 ). Böyle bir ADC
kavramsal olarak Şekil 3.18'te verilmiştir.
55
Vin
R/
2
Vref
karşılaştırıcılar
+
R
+
R
+
R
+
R
+
R
+
R
+
R
+
R/
2
kodlayıcı
devre
b2
b1
b0
Gnd
Şekil 3.18 8 bitlik analog-sayısal çevirici.
Şekil 3.18'te verilen paralel ADC'nin çıkışında her an girişteki voltajın hangi aralıkta olduğunu
belirten ikili sayıyı görmemiz gerekir, en azından teorik olarak. Örnekleme anlarındaki çıkış değerini
diğer sayısal devrelere aktarmamız gerekir. Tabi ki elektronik devrelerin bir hız sınırı vardır, ve giriş
işareti ADC'nin ele alabileceğinden daha hızlı değişiyorsa çeşitli problemler (ve çözümler) oluşur. Bu
kitapçıkta, istediğimiz anda çıkış değerinin geçerli/doğru olduğunu varsayacağız.
Sayısaldan tekrar analoga çevirmek için ise sayısal-analog çeviriciler (digital-analog converter
: DAC) kullanılır. Şekil 3.19 dört bitlik basit bir DAC örneği veriyor. Burada yüksek kazançlı bir
kuvvetlendirici toplayıcı olarak kullanılmakta. Çalışma prensibini Elektronik derslerinde görmüş
olmanız gerekiyor.
Şekil 3.19 Dört bit girişli (16 seviye çıkışlı) basit DAC.
ADC ve DAC entegre devreleri eşit aralıklarla yerleştirilmiş voltaj seviyelerine ve düzgün
giriş-çıkış fonksiyonuna sahiptir (Şekil 3.20). Ayrıca ikili arayüzleri N b bir tamsayı olmak üzere N b
56
bitlik girişi vardır ve 2 Nb voltaj seviyesini düz ikili (straight binary) kodlar yada analoga çevirir. Bu
voltaj seviyelerinin hangi aralıkta olacağı çoğunlukla belli sınırlar dahilinde başka kontrol girişleri ile
seçilir.
Bout
...
Vin
...
Şekil 3.20 Standard bir ADC giriş voltajı – çıkış değeri grafiği.
Bazı uygulamalarda ise düzgün yerleştirilmiş giriş-çıkış basamakları tercih edilmeyebilir.
Örneğin insan sesi iletişimi uygulamalarında ses işareti daha çok 0 V yakınlarında olduğundan 0 V
etrafında daha sık yerleştirilmiş voltaj seviyeleri istenebilir. Şekil 3.21 konuşma işareti genliğinin
olasılık yoğunluk fonksiyonunu göstermektedir. Genlik normalize edilmiş olup 0 ile 1 arasında
değişmektedir ve işaretin herhangi bir anda 0'a yakın bölgelerde bulunma olasılığının ne kadar yüksek
olduğu grafikte belirgindir.
Şekil 3.21 Konuşma işareti olasılık yoğunluk fonksiyonu [1].
Öyleyse ses işaretinin olasılık yoğunluk fonsiyonuna göre doğrusal olmayan (non-uniform) bir
ADC giriş-çıkış dönüşüm grafiği elde etmek yüksek genliklerde hatayı arttırsa da toplam/ortalama
hatayı düşürür. Böyle bir örnek Şekil 3.22'de verilmiştir.
57
Bout
...
Vin
...
Şekil 3.22 Doğrusal olmayan ADC çevirim grafiği.
Ancak, her farklı çevirim grafiği ihtiyacına göre ADC/DAC üretmek oldukça problemlidir. O
nedenle, örneğin telefon sistemlerinde, sorunun ADC/DAC ile çözülmesi yerine ADC'den önce ve
DAC'den sonra eklenen doğrusal olmayan (non-linear) kazanç devreleriyle çözülmesi yoluna
gidilmiştir. Bu yaklaşım Şekil 3.23'te gösterilmiştir.
Bout
x(t )
...
x (t )
Vin
...
sıkıştırma
Düzenli aralıklarla
örnekleme
kanal
genişletm
e
Şekil 3.23 Sıkıştırma-Genişletme yöntemiyle (compression-expansion) doğrusal olmayan ADC
dönüşümü.
Telefon şirketlerinin kullanımı amacıyla eniyileştirilmiş sıkıştırma-genişletme eğrileri
standartlaştırılmıştır (Şekil 3.24).
58
Kuzey Amerikada kullanılan sıkıştırma eğrileri (μ-Law)
y  ymax
ln(1   (| x | / xmax ))
sgn( x )
ln(1   )
Avrupada kullanılan sıkıştırma eğrileri (μ-Law)
A(| x | / xmax )
|x| 1

ymax
sgn( x )
, 0


1  ln A
xmax A

y
 ymax 1  ln( A(| x | / xmax )) sgn( x ) , 1  | x |  1

1  ln A
A xmax
Şekil 3.24 Bazı standartlaştırılmış sıkıştırma-genişletme eğrileri.
3.2.1. Soru-Cevap
S : Örnekleme ve dolayısıyla sayısala dönüştürmenin amacı nedir?
C : İşaret işlemenin ve iletişimin sayısal devrelerle yapılabilmesi için (varsa) analog işaretlerin
sayısala dönüştürülmesi gerekir. Sayısal devreler oldukça yetenekli ve değiştirilebilirdir (örneğin
bilgisayarlar). Sayısala dönüştürülmüş işareti/veriyi koruyucu pekçok yöntem geliştirilmiştir. Bu
yöntemleri analog devrelerle uygulamak neredeyse imkansızdır.
S : Her zaman gerekli midir?
C : Kullanılmak/taşınmak istenen veriler birçok durumda analog formdadır (ses, görüntü, ısı).
Tabi ki bunları sayısal devrelerle işlemek için sayısal devreler gereklidir. Ancak bazı durumlarda
veriler zaten sayısaldır (klavyeden girdiğiniz harfler). İşlemek için ADC gerekmez ama iletmek için
çoğu zaman bir noktada DAC, alıcı tarafında da ADC gerekli olur. Burada ADC ve DAC sadece tek
eşik değerinden oluşan 2 konumlu birer devre olabilir. Aslında "sayısal" kelimesinden kastımız sayısal
mantık devrelerinde kullandığımız 1 ve 0 sembolleridir, "analog" ise elektriksel işaretlerdir.
S : ADC'lerin bir maksimum çevirme hızı var. Daha yüksek frekanslarda işaretler için ne
yapılabilir?
C : Yüksek hızlarda çevirim için ADC'leri paralel (faz-farklı) şekilde kullanmak oldukça
yaygındır. Örneğin maksimum çevrim hızı 1 GHz olan 2 adet ADC 1'er örnek atlamalı şekilde
çalıştırılıp toplamda 2 GHz'lik bir çevirme hızı (teorik olarak) elde edilebilir.
S : Sample & Hold diye birşey var, nedir?
59
C : Sample bu bölümde gördüğümüz örneklemedir. Hold yada tutma ise işaretin değerinin
ölçülmesi (sayısala çevrilmesi) tam olarak bitinceye kadar girişteki işaretin değişmemesini sağlamak
için eklenmesi gereken bir devredir. Çoğunlukla bir kapasitörün işaret ile çok hızlı doldurulup hemen
ardından girişle bağlantısının kesilmesi şeklinde modellenir. Yeniden dolduruluncaya kadar ölçüm
tamamlanır.
3.2.2. Çözümlü Problemler
1. Bir tabanbant işaretin tayfı aşağıda verilmiştir. İşaret örneklendikten sonra en yüksek 2 kHz'lik
banttaki bileşenlerin örtüşme dolayısıyla bozulduğu farkedilmiştir. Bu örtüşmeye sebep olan
örnekleme frekansı nedir?
Çözüm
İşaretin en yüksek frekansı 7 kHz olduğundan en düşük örnekleme frekansının 14 kHz'den
yüksek olması gerektiği söylenebilir. 14 kHz kullanılsaydı aşağıdaki şekilde (üstteki) gösterildiği gibi
örneklenmiş işaretin Fourier dönüşümündeki görüntüler çakışmaz, örtüşme olmazdı. 2 kHz'lik kısım
şekildeki (alttaki) gibi örtüştüğüe göre örnekleme frekansının 2 kHz daha yüksek olması gerekirdi.
Yani şu anda örnekleme frekansı 12 kHz'dir.
2. Karakteristik olarak tüm işareti temsil ettiği söylenen bir kısmı şekilde verilmiştir. En yüksek
nicemleme hatası ±0.5 Volt olacak şekilde en yüksek nicemleme aralığı ne olmalıdır?
x(t)
f
60
Çözüm
Örneklemenin sonsuz küçük genişlikteki dirac-delta darbeleriyle yapıldığı varsayılırsa,
nicemleme hatası işaretin şekline değil nicemleme aralıklarına bağlıdır. En yüksek ±0.5 Volt hata için
aralıkların en genişi 1 Volt olmalıdır.
3. Şekilde gösterildiği gibi tayfı 10-11 MHz bantında olan işareti örneklerinden tekrar
oluşturabilmek için olası en düşük örnekleme frekansı nedir?
Çözüm
Örtüşme olmaması için, Nyquist kriterine göre en düşük örnekleme frekansı işaretin
bantgenişliğinin 2 katından yüksek olması gereklidir. Yani, W işaretin bantgenişliği olmak üzere,
f s  2W olmalıdır. W =1 MHz olmak üzere, f s  2W örnekleme frekansı kullanıldığında aşağıdaki
şekilde gösterilen örneklenmiş işaret bantgenişliği elde edilir.
Şekilde görüldüğü gibi bileşenler örtüşmemektedir. Tayfın negatif kısmı da pozitif kısmına
simetriktir. Tabi ki asıl işareti geri elde edebilmek için asıl işaretin en düşük (yada en yüksek) frekansı
bilgisinin de bilinmesi gerekir. Ancak, çoğu zaman işaret zaten tabanbant işaretinin yüksek frekanslara
çıkarılmış hali olduğundan buna ihtiyaç olmayacaktır. Bu şekilde yüksek frekanslardaki bir dar bandı
tabanbanta indiren örneklemeye sayısal aşağı kaydırma (digital downconversion) dendiğinden
bahsetmiştik. Burada dikkat edilmesi gereken bir konu vardır; Bantgeçiren (yüksek frekanslardaki dar
bant) işaret tabanbant işaretinin pozitif kısmı mı, negatif kısmı mı yoksa tümü müdür? Hangisi olduğu
bilinerek aşağı kaydırma/örnekleme yapılmalıdır. Aksi halde aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi yanlış
bir tabanbant işareti elde edilebilir.
Bu hataya tayfsal tersinme (spectral inversion) denir. Yüksek frekanslar düşük, düşükler yüksek
frekans olmuştur, ki gerçek işaretle arasında büyük fark vardır.
61
Referanslar
[1]
[2]
D. L. Richards, “Statistical properties of speech signals,” Proc. Inst. Elect. Eng., vol. 111, no. 5, pp. 941–
949, 1964.
62
4 Gürültü ve Olasılık
Giriş bölümünde haberleşme dersleri ve araştırmalarının temel sebebinin gürültü olduğunu
söylemiştik. Gürültü, genel olarak, istenen/tanımlılar dışında olan işaretler şeklinde tanımlanabilir.
Bunlar rastgele voltaj değişimleri olabileceği gibi aslında rastgele olmayan ancak yine de geleceğini
öngöremediğimiz işaretler olabilir. Örneğin kalabalık bir ortamda konuşurken diğer insanların sesleri
gürültü olarak algılanır. Ancak, bu kitapçık içinde gürültüyü, değeri rastgele değişen, gelecekteki
(örneğin 1 ms sonra) değeri kestirilemeyen (yada kestirim aralığı geniş olan) işaretler olarak
tanımlayacağız. Ayrıca asıl işaretimizi toplamsal şekilde etkilediğini varsayacağız. Yani s(t )
gürültüsüz asıl işaretimiz,  (t ) ise gürültü işareti olmak üzere, gürültülü işaretimiz
r ( t )  s ( t )   (t )
(4.1)
olacaktır.
Gürültünün kaynakları oldukça geniştir; güneş patlamaları, kozmik ışınım, atmosfer olayları,
çevremizde açılıp kapanan anahtarlar, yandan geçen kablo, komşunun kablosuz aygıtları, elektronik
aletlerin yaydığı elektromanyetik dalgalar, kullandığımız elektronik cihazlarda ısı ile artan rastgele
değişimler (termal/ısıl gürültü) vb. Bu olaylar tarafından, kendi başına anlamlı, belki de nedensel
ve/veya tahmin edilebilir şekilde üretilip sistemimize eklenen elektriksel salınımlar, toplamda rastgele
işaretler olarak karşımıza çıkar. Genel olarak, iletilmek istenen asıl işarete istemsiz eklenen işaretler,
rastgele olmasa da, gürültü olarak adlandırılırlar.
Gürültüyle ilgili tanımları daha iyi anlayabilmemiz için öncelikle olasılığın basit temellerine
değineceğiz. Örneğin hilesiz bir madeni para yazı-tura atmakta kullanılsın ve 100 deneme yapılsın.
Para gerçekten hilesiz ise, bu denemeler sonucunda beklentimiz 50 adet yazı ve 50 adet tura
gelmesidir. Tabi ki beklentimiz karşılanmayabilir ve sonuçlar eşit olmak yerine eşite yakın dağılabilir.
Ancak burada 50 sayısı yazının ve turanın olasılıklarını temsil ederler. Teknik olmayan işlemlerde
olasılığı 100 üzerinden söylesek de, matematikte olasılığı neredeyse her zaman normalize edilmiş
şekilde, yani 1.0'lık bütünün parçası olarak ifade ederiz. Yani yazı ve turanın olasılığı eşit şekilde
0.5'tir. Tabi ki parçaların toplamı 1.0 eder.
Benzeri bir örnek de hilesiz zar atma olayıdır. Zarın tüm yüzlerinin gelme olasılığı 1/6'dır.
Yada 5 ve 5'ten büyük gelme olasılığı 1/3'tür. Her iki örnekte de toplam olasılık 1.0'dir. Zar
yüzlerindeki sayılar ile olasılıklarını ifade eden bir grafik çizilmek istenirse Şekil 4.1 elde edilir.
Şekil 4.1'deki grafiğe olasılık kütle fonksiyonu (pmf: probability mass function) ismi verilir.
Bu örnekte olduğu gibi yatay eksen tam sayılar olmayabilir, olasılıklar eşit olmayabilir, negatif yatay
eksen değerleri olabilir. Ancak olasılıklar her zaman pozitif ve toplamları 1.0'dır. Burada 2 tanım daha
yapalım;
63
f(x)
1/6
x
1
2
3
4
5
6
Şekil 4.1 Zar olasılıklarını gösteren grafik.
Rastgele değişken (random variable) : ölçümü yapılan olay yada değer (örneğin gelen zarın
üzerindeki sayı). Çoğunlukla büyük harfle gösteriyoruz, örneğin X . Bunun alabileceği herhangi bir
değeri de küçük harfle gösteriyoruz, örneğin x . x 'in aldığı özel değerleri de genellikle indisli şekilde
gösteriyoruz, örneğin xi . Özel değerler bir sayı (örneğin 5) yada onu ifade eden bir harf (örneğin a) da
olabiliyor.
Ortalama değer (average value) : Sınırlı sayıda alınan örnekten hesaplanan ortalama
xavg 
1 K
 xi
K i1
(4.2)
Burada K alınan örnek sayısıdır (örneğin 10 kere yazı-tura atma ve sonuçları yazma).
Beklenen değer (expected value, mean) : Tüm dağılım üzerinden, sonsuz sayıda deneme
yapıldığında bulunacak olan ortalama değer, xi değerinin gelme olasılığı p( xi ) olmak üzere,
E ( X )   xi p( xi )
(4.3)
i
olur. Örneğin, zar atma olayında beklenen değer
E( X )  11/ 6  2 1/ 6  3 1/ 6  4 1/ 6  5 1/ 6  6 1/ 6  3.5 olarak bulunur. Zarı
10 kez attığımızı ve 5, 4, 6, 2, 4, 3, 3, 4, 2 ve 5 okuduğumuzu düşünelim. Bunların ortalaması ise 3.8
bulunur. Ne kadar çok zar atılırsa ortalama değerin beklenen değere o kadar yaklaşacağı açıktır.
4.1. Olasılık Dağılımı
Ölçülen büyüklüğün alabileceği değer sayısı zar örneğinde olduğu gibi sınırlı sayıda
olmayabilir. Örneğin yoldan geçen insanların ağırlığı, geçen araçların aralarındaki süre, uzağa atılan
taşların katettiği mesafe gibi çıktılar ile ilgili grafikler çiziyor olalım. Bu durumda bu rastgele olay ile
üretilen değerler (yatay eksendeki değerler) sadece belirli değerleri değil bir aralık içindeki her değeri
alabilir. Ancak bunların olasılıkları aynı değildir. Bu durumda çıktıların belirli değerler arasında olma
olasılıklarını da gözeten sürekli bir grafik çiziyor olacaktık. Böyle bir grafik Şekil 4.2'deki gibi olsun.
Burada x ölçülen değer, yani rastgele değişken, f ( x) ise Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu (pdf:
Probability Density Function) adını alır. Tüm eğrinin altında kalan alan 1.0'dır. x rastgele
değişkeninin ( x1 , x2 ) arasında olma olasılığı şekildeki taralı alandır.
64
Şekil 4.2 Olasılık yoğunluk fonksiyonu.
Bunları denklemlerle ifade edersek,



f ( x)dx  1.0
(4.4)
x2
P( x1  x  x2 )   f ( x)dx
(4.5)
x1
Tabi ki kesikli rastgele değişkenler için (4.3)'de verdiğimiz beklenen değer sürekli rastgele
değişkenler için integral formunu alır,
E( X )  


xf ( x)dx .
(4.6)
Beklenen değer, matematikte gördüğümüz ağırlık merkezine benzer. Şekil 4.3a'daki olasılık
yoğunluk fonksiyonunu ele alalım. Rastgele değişken 1 ile 5 arasında değerler alabilmektedir, ancak
5'e yaklaştıkça olasılığı artmaktadır.
c
Şekil 4.3 a) Örnek olasılık yoğunluk fonksiyonu. b) (1,2) ve (4,5) aralıklarında bulunma olasılığı.
Üçgenin tepe noktasındaki değere c diyelim. Eğrinin (doğrunun) altındaki alan 1.0 olacağına
göre, c'yi (5  1)c  2 'ten c  12 buluruz. Doğrunun denklemi ise f ( x)  18 x  18 ,(1  x  5)
bulunur. Bu durumda beklenen değer
5
5
E ( X )   xf ( x)dx  18  ( x 2  x)dx  18  13 x 3  12 x 2 
1
1
5
1
3.67 bulunur. Beklediğimiz gibi,
E ( X ) pdf'in yüksek olduğu yere yakın çıktı. Peki rastgele değişkenin (1,2) ve (4,5) aralıklarında
olma olasılıkları nedir? Bunlar da Şekil 4.3b'deki taralı alanlardır;
2
5
P(1  x  2)  18  ( x  1)dx  161 ve P(4  x  5)  18  ( x  1)dx  167 . Görüldüğü gibi
1
4
aynı integralin sadece sınır değerlerini değiştirdik. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun ( , x)
65
aralığındaki integraline birikimli dağılım fonksiyonu (cdf: cumulative distribution function) denir ve
çoğunlukla F ( x ) şeklinde büyük harfle gösterilir;
F ( x)  
x

f (u)du .
(4.7)
Tabi ki bu tanım ile P( x1  x  x2 )  F ( x2 )  F ( x1 ) 'dir.
En çok karşılaşılan iki olasılık yoğunluk fonksiyonu düzgün (uniform) dağılımlı ve Gaussian
dağılımlı fonksiyonlardır. Düzgün dağılım adından anlaşılacağı gibi olasılık yoğunluğunun rastgele
değişkenin değerine göre değişmediği dağılımdır ve bir örneği Şekil 4.4a'da gösterilmektedir.
Gaussian dağılım ise (çan eğrisi, normal dağılım) doğada en çok karşılaşılan dağılımlardan birisidir
(Şekil 4.4b).
Şekil 4.4 a) Düzgün (uniform) dağılım ve b) Gaussian dağılım örnekleri.
Normal (Gaussian) dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle verilmektedir;
f ( x) 
1
2

( x m )2
e
2 2
(4.8)
m : beklenen değer (mean),  : standart sapma
Beklenen değeri yukarıda görmüştük. Standart sapma ise olasılık yoğunluk fonksiyonunun ne
kadar derli toplu (  küçük) yada yayılmış (  büyük) olduğunu gösteren bir ölçüdür. İlgili dağılımı
gösteren bir rastgele değişkenden alınan örneklerin beklenen değere uzaklıklarının kareleri
ortalamasının kareköküdür. Denklem ile
  E (( x  m)2 )
(4.9)
şeklinde yazılabilir. Elimizde dağılım fonksiyonu değil de sınırlı sayıda örnek varsa adı örnek setinin
standart sapması olarak söylenir. Örneğin N=10 elemanlı setimiz xi  {4, 2,6, 5, 1,10, 2, 4,3,6}
olsun. Set ortalaması ms  3.1 bulunur. Setin standart sapması ise  s 
N
1
N
 (m
i 1
s
 xi )2 ile
hesaplanır.
Standart sapma ile elektrikte çoğunlukla sinüsoidal işaretler için kullandığımız rms (rootmean-square) değeri arasında sıkı bir ilişki vardır. rms değer;
Vrms  E ( x 2 )
(4.10)
66
şeklinde tanımlanır. Yani ortalama değeri çıkararak kareler ortalamasının karekökü hesaplanırsa
standart sapma, çıkarmadan aynı işlem yapılırsa rms değer bulunur. Tabi ki ortalama değer sıfır ise bu
ikisi birbirine eşittir.
Şekil 4.5 Gaussian dağılıma sahip bir rastgele değişkenden alınmış 2000 adet örneği ve
örneklerden hesaplanmış 100 bölütlü histogramı göstermektedir. Histogram, en büyük ve en küçük
sayı arasını 100 eşit alt aralığa bölüp her bir aralığa düşen örnek sayısını çubuk grafik halinde
vermektedir.
x
x
n
f(x)
Şekil 4.5 Normal dağılımla üretilmiş rastgele veriler (2000 örnek) ve histogramı.
Histogramın, Şekil 4.4b'de verilen normal dağılım olasılık yoğunluk fonksiyonuna benzediğini
görebiliriz. Peki, histogram ile olasılık yoğunluk fonksiyonunun farkı nedir? İsimlerinden anlaşılacağı
üzere histogram, olmuş olaylar/eldeki verilerin grafiğidir, pdf ise olması beklenen (olası) dağılımdır.
Ne kadar çok örnek alınırsa histogram pdf'e o kadar benzer.
Aynı histogram/pdf'i veren sayısız fonksiyon olabilir. Örneğin Şekil 4.6'daki periyodik
işaretten sıkça alınan örnekler de normal dağılıma büyük benzerlik sergilerler.
x(t)
p
(t)
t
Şekil 4.6 Yaklaşık Gaussian dağılım gösteren periyodik işaret.
Benzeri şekilde, testere dişi yada üçgen dalga işaretleri de Şekil 4.4a'daki düzgün dağılım
özelliklerini gösterirler. Yani olasılık dağılım fonksiyonu bir işaretin gürültü olup olmadığını
söylemez. pdf'leri benzeyen bu işaretlerin benzemeyen tarafları ise otokorelasyonları yani alınan bir
örneğin işaretin geri kalanından alınan başka bir örnek ile olası ilişkisidir/benzerliğidir.
4.1.1. Periyodik İşaretlerden Alınan Örneklerin Dağılımı
İşaretin kendisi rastgele olmadığı halde (örneğin periyodik bir işaret) herhangi bir anda bu
işaretten alınan örnek değerine rastgele değişken gözüyle bakabiliriz. Örneğin sinüsoidal bir işaretin
fazıyla ilgili bilgimiz yok iken herhangi bir anda örnek alalım ve bu değere X diyelim. Acaba X 'in
67
olasılık dağılımı nasıldır? Ortalama değeri ve standart sapması nedir? Tam olarak bildiğimiz bir x(t )
periyodik işaretinin istatistiksel özelliklerini nasıl hesaplarız? Bu soruları birkaç örnekle cevaplayalım.
Örneğin x(t ) Şekil 4.7'de gösterildiği gibi bir testere dişi işaret olsun. x(t ) 'nin olasılık yoğunluk
fonksiyonu da f X ( x ) olsun.
x (t )
A
t
T
Şekil 4.7 Periyodik testere dişi işaret.
f X ( x ) 'in (0, A) aralığı dışında sıfır olacağını görüyoruz. Herhangi bir işlem yapmadan
f X ( x ) 'in şekil olarak Şekil 4.8'deki gibi olduğunu varsayalım. Şekilde gösterilen L alanı, f X ( x )
yüksekliği ve dx genişliğine sahip bir dikdörtgen ile yaklaşık olarak ifade edilebilir. Eğer dx sonsuz
küçük ise o zaman L alanı, yani x 'in bu aralık içinde olma olasılığı, f X ( x )dx 'tir. f X ( x )  0 ve
altındaki tüm alanın 1 olduğunu biliyoruz.
f X ( x)
L
x
a a  dx
0
A
Şekil 4.8 Testere dişi işaretinin varsayılan olasılık yoğunluk fonksiyonu.
Şimdi de, Şekil 4.9'da gösterildiği gibi dx 'in testere dişi işaret üzerinde karşı geldiği
varsayılan yerini ve o aralığa karşı gelen dt zaman aralığını ele alalım.
x (t )
A
dx
t
dt
T
Şekil 4.9 Periyodik testere dişi işaret.
68
Bir periyod içinde, işaretin dx aralığında olma olasılığı t 'nin dt aralığında olma olasılığı ile
aynıdır ve bu olasılık dt / T 'dir. Bu olasılığı Şekil 4.8'dekine eşitlersek f X ( x)dx  dt / T elde edilir.
Buradan da
f X ( x) 
1 dt
dx 1
yada f X ( x )

T dx
dt T
(4.11)
yazılabilir. dx / dt  x türevi olduğuna göre f X ( x ) buradan çekilerek bulunmuş olur. Eğimlerin
işareti alanı değiştirmeyeceğinden ve f X ( x ) pozitif tanımlı olması gerektiğinden mutlak değer işareti
içine aldık. Bu bağıntıyı tüm periyodik işaretler için kullanabiliriz. dx / dt yada dt / dx 'ten hangisini
kullanacağımıza hangisinin kolayca hesaplanabileceğine göre karar veririz. Ancak bir periyod içinde
1'e 1 fonksiyon olmayan işaretler için dikkatli olmak ve 1'e 1 parçalara ayırmak, daha sonra da bu
parçalar için hesaplanan dağılımları birleştirmek gerekir. Öncelikle testere dişi örneğimizi bitirelim ve
daha sonra 1'e 1 olmayan bir örnek yapalım.
Testere dişi örneğimizde dx / dt  x  A / T olduğuna göre f X ( x )
f X ( x) 
A 1
ve buradan da

T T
1
yazılır. Tabi ki 0  x  A aralığımız dışında f X ( x )  0 olduğunu unutmayalım. Şekil
A
4.10 bu olasılık yoğunluk fonksiyonunu gösteriyor. Periyodik işaretlerin tüm periyodları aynı
olacağından, rastgele bir anda alınan örneği rastgele değişken kabul ettiğimizde olasılık yoğunluk
fonksiyonu değişmez. Burada gizlice bir varsayım yaptık; örnekleme anları düzgün dağılımlı rastgele
bir değişkendir. Aksi halde, örneğin hep periyodun ikinci yarısına gelecek örnekler alacak olursak, tabi
ki dağılım bu olmazdı, ancak yine hesaplanabilirdi.
f X ( x)
1
A
x
0
A
Şekil 4.10 Testere dişi işaretinin hesaplanan olasılık yoğunluk fonksiyonu.
Bağıntı (4.11)'i kullanarak ürettiğimiz olasılık yoğunluk fonksiyonunun altında kalan alanın 1
olduğunu kontrol edip gerekli düzeltmeleri (örneğin ölçekleme) yapmamız gerekir. Ayrıca bulunan
fonksiyonun işaretin periyod (frekans) ve fazından bağımsız olması gerekiyor. Aksi halde bir yanlışlık
yapmışız demektir. Bu özelliği başlangıçta bildiğimize göre, işaretleri çizerken ve hesap yaparken de
dilediğimiz faz ve frekansta olduğunu kabul edebiliriz.
Şimdi de bir sinüsoidal işaretin olasılık yoğunluk fonksiyonunu hesaplayalım. Bir periyod
içinde 1'e 1 olmayan sinüsoidal için parçalı bir yaklaşım uygulayacağız. Şekil 4.11 bunun için ilk
parçayı kalın çizgiyle gösteriyor. İşaretimizin periyodunun sadece T / 2 olduğunu varsayalım. Daha
sonra ikinci kısmıyla birleştirirken herhangi bir anda alınacak örneğin her iki kısımda olma
olasılıklarının eşit olduğunu düşünerek birleştirebiliriz. Doğrusu periyodun geri kalan kısmında işaret
69
simetrik olduğundan dolayı yoğunluk fonksiyonu aynı çıkacaktır. Yani kalın çizgiyle gösterilen kısım
için hesaplayacağımız f X ( x ) , tüm periyod için bulacağımız f X ( x ) ile aynı olacaktır. Bu durumda
periyodu ister T / 2 isterse T alalım, bu terim işlemler sırasında kaybolacak, sonuç değişmeyecektir.
x (t )
1
t
T /2
T
1
Şekil 4.11 Periyodik sinüsoidal işaret. İstatistikleri sadece yarım periyot ile hesaplayabiliriz.
f X ( x)
tekrar
dx 1
 'i kullanalım, yani kalın çizgi ile gösterilen kısım ( x  cos( t / T ) ) periyodik olarak
dt T
x 
etsin.
olduğundan t 
T


T
sin( t / T )
olduğundan
f X ( x) 
arccos( x ) 'dir ve yerine yazılırsa
sadeleştirildiğinde f X ( x ) 
1
 sin( t / T )
f X ( x) 
olur.
x  cos( t / T )
1
T
 sin(  arccos( x)  / T )


ve
1
bulunur. İşlem tamam, ancak payda farklı bir şekilde
 sin(arccos( x ))
yazılabilir. Kosinüsü x olan açının sinüsü hesaplanıyor. sin 2 ( x)  cos2 ( x)  1 'i kullandığımızda
f X ( x) 
1
 1  x2
Aynı
t 
T
f X ( x) 
işlemi
1
 1 x
yazabileceğimizi görürüz.
2

T
 1 x
2
1 dt
'i
T dx
kullanarak
yapalım.
t
T

bulunur ve yerine yazıldığında yine f X ( x ) 
arccos( x )
1
 1  x2
olduğundan
bulunur. Şekil
4.12 bu dağılımı göstermektedir.
Dağılımı yarım periyod için hesapladık. Ancak diğer periyod tamamen hesapladığımız kısımla
simetrik olduğundan dolayı tüm periyod için aynı sonuç elde edilir.
70
f X ( x)
x
1
0
1
Şekil 4.12 Sinusoidal işaretin hesaplanan olasılık yoğunluk fonksiyonu.
Beklenen değer E ( X ) 'in 0 olduğu şekilden görülüyor. Zaten beklenen değer ortalama değere eşit
olduğu için ve sinüsoidal işaretin ortalama değeri, yani DC bileşeni, 0 olduğu için bunu bekliyorduk.
Peki standard sapması ve varyansı nedir? Sürekli dağılımlar için

Var( X )   X2   ( x  m)2 f X ( x )dx
(4.12)

varyans tanımını kullanarak bulabiliriz. Burada m  E ( X )  0 ve 1  x  1 olduğundan
1
x2
1
 1  x2
 X2  
dx 
1
2
arcsin( x )  21 x 1  x 2
1
1

1
2
arcsin( x )  21 x 1  x 2
1
1

1
bulunur.
2
Vp
1
1
olduğuna göre  X 
'tir. Sinüsoidalin genliği 1 değil de V p ise  X  Vrms 
olur
2
2
2
Vp
ki, elektrik bilgimizi de tazelemiş olduk. Ancak elektrikte bildiğimiz rms değerini Vrms 
ile
2
 X2 
hesapladığımız ilişkinin sadece 0 ortalamalı sinüsoidaller için geçerli olduğunu unutmayalım. Yada,
AC voltmetre ile rms voltajını ölçtüğümüz işaretin tepeden-tepeye değerini Vpp  2 2Vrms ile
hesaplıyorsak bu hesabın sadece sinüsoidaller için geçerli olduğunu bilelim.
4.1.2. İşaretlerin Benzerliği
İki işaretin benzerliği konusuna Frekans bölümünde, Fourier dönüşümü konusuna
girdiğimizde görmüştük. Orada, benzerliği içsel çarpım (inner product) ile ölçtüğümüzü söyleyip

y (t ), x(t )   y (t ) x(t )dt

(4.13)
formülünü vermiştik. Eğer x(t ) ve y (t ) 'nin ölçüm zamanları farklı, yani bir işaret diğerine göre
zamanda  kadar kaymış ise, (4.13)'un sonucu  'ın bir fonksiyonu olur

Rxy ( )   y (t ) x(t   )dt

ve ismi de çapraz korelasyon (cross-correlation) olur. Yani  değiştikçe benzerlik değişir.
(4.14)
71
Şimdi Şekil 4.5'te örnekleri verilen işaretin sürekli halini Şekil 4.13'de inceleyelim. x(t )
işaretinin  zamanı kadar gecikmeli bir noktadan da ölçüm yapıldığını ve y (t ) 'nin elde edildiğini
varsayalım. Elbette ki bu iki işaretin ( x ve y ) olasılık dağılımları ve yeterince çok örnek alınırsa
histogramları aynı (Gaussian) olacaktır.
x(t)
t
τ
y(t)
Şekil 4.13 Bir işaretten aralarında  zaman farkı olan iki ölçüm alınması.
Bu durumda ( x(t ) ve y (t ) aynı ise) benzerlik fonksiyonunun adı otokorelasyon (autocorrelation) olur ve

Rxx ( )   x(t ) x(t   )dt

(4.15)
şeklinde ifade edilir. (burada  yada  yazılmasının farkı yoktur, Rxx ( ) simetriktir.)
x(t ) 'nin rastgele değerler alan bir işaret olduğunu söylemiştik. Yani, eğer  çok küçük bir
değer değilse x(t ) ve x(t   ) arasında hiçbir ilişki/benzerlik yoktur ve Rxx ( ) her  için sıfır yada
sıfıra çok yakın bir değer alır. Sadece   0 için oldukça büyük (sonsuz) bir değer alır, çünkü Şekil
4.13'daki rastgele işaret için Rxy (0) 



x(t ) x(t )dt   .
Rxx ( )

Şekil 4.14 Şekil 4.13'deki rastgele işaretin otokorelasyonu.
Bir işaretin kendisine benzerliği/benzemezliği düşüncesi ne kadar ters gelse de aslında
kastedilen, zamanda kaymış sürümleriyle benzerliğidir. Tabi ki işaret periyodik ise Rxx ( ) de
periyodikdir. Örneğin sinüs işareti kendisinin periyot kadar kaymış haliyle aynıdır, yani korelasyon
oldukça yüksektir. Ancak yarım periyod kaymış hali için Rxx (T / 2) negatif büyük değer alır. Genel
olarak herhangi bir işaret için Rxx (0) büyük bir değerdir,  büyüdükçe azalma eğilimi gösterir.
72
Şekil 4.5 ve Şekil 4.6'daki işaretlerin olasılık yoğunluk fonksiyonları oldukça benzese de
otokorelasyon fonksiyonları oldukça farklıdır. Çünkü Şekil 4.6'daki işaret gürültü değildir. Şekil
4.5'teki rastgele işaretin her noktası için bir bilinmezlik (tahmin edilemezlik) vardır. Ancak Şekil
4.6'daki işaretin her noktası tahmin edilebilir.
Rastgele İşlem (Random Process)
Şekil 4.6'daki işaretin her noktasının bir rastgele işaret olduğunu varsayarsak işaretin aslında
rastgele işaretler topluluğu olduğunu söyleyebiliriz (RP: random process, rastgele işlem). Bu
kitapçıkta, rastgele işlem ve rastgele değişkenlerin kitap tanımlarından özet vermekle yetineceğiz.
Rastgele değişken rastgele işlem sonucu üretilen değerdir (sayısal olmayabilir). Örneğin bir elektriksel
işaret rastgele işlemdir, ondan alınan ölçümlerin değerleri ise rastgele değişken.
Gürültünün Güç Tayfı Yoğunluğu
Frekans (ve Fourier) konusunu işlerken  (t ) 1 dönüşüm çiftine değinmiştik. Yani birim
darbe fonksiyonunun frekans tayfı tüm frekanslarda eşit güç olacak şekilde düzdür. Işık frekanslarıyla
yapılan bir benzetmeden (beyaz ışığın tüm renkleri/dalgaboylarını içermesi) yola çıkarak bu tayfa
beyaz tayf (white spectrum) deniyor (not: gerçekte beyaz ışıktaki tüm dalgaboyları aynı güçte değildir,
ancak bu benzetim amacına ulaştığı için bu durumu ihmal edeceğiz). Frekans konusunda verilen Tablo
1'deki Fourier dönüşümünün otokorelasyon özelliğini hatırlayalım,
Rx ( ) 

 x(t ) x (t   )dt


F Rx ( )  X () 2 .
(4.16)

Buradan, Şekil 4.13'deki gürültü işaretinin güç yoğunluğu tayfının da X ( )  c olabileceği
2
yorumunu çıkarsayabiliriz. Frekans tayfı düz olan gürültüye beyaz gürültü (white noise) ismi
verilmektedir. Gürültü işaretinin frekans tayfı da gürültü karakteristiği göstermektedir. Ancak, olasılık
yoğunluk fonksiyonları ( f X ( x) ) benzeyen işaretlerin frekans tayflarının benzemek zorunda
olmadığını daha önce ima etmiştik (Şekil 4.5 ve Şekil 4.6). O halde gürültü işaretini korelasyon
kavramıyla tanımlamakta fayda vardır; otokorelasyon fonksiyonu   0 haricinde çok düşük değerler
alan işaretler gürültü işaretleridir. Otokorelasyonun çok düşük olması şu demektir; Şekil 4.13'deki gibi
gürültü işaretinden alınan iki örneğin değerleri arasında hiçbir ilişki yoktur, bir sonraki örneğin değeri
tahmin edilemez. Ancak gürültü işaretinin frekans tayfı düz (white) olmak zorunda değildir. pdf'i de
her türlü şekilde olabilir.
Gerçek hayatta bazı gürültülere diğerlerinden daha sık karşılaşılabilir. Gürültü (4.1)'deki gibi
işarete toplamsal olarak etki ediyorsa, olasılık yoğunluk fonksiyonu Gaussian ise ve tayfı beyaz ise, bu
gürültüye toplamsal-beyaz-Gaussian-gürültü (AWGN: additive white Gaussian noise) ismi verilir.
Sıkça ele alınan bir gürültü şeklidir. Eğer gürültü tayfı düz değilse bilinen bazı tanımlara giren bir
gürültü şekli olabilir. Örneğin pembe gürültü (pink-noise) frekans arttıkça logaritmik ölçekteki tayfı
doğrusal olarak azalan gürültü çeşididir. Bu konuda daha fazla detaya girmeyeceğiz.
73
Frekans ve Tayf bölümünde tayfı beyaz olan bir gürültünün alçak geçiren basit bir süzgeç
çıkışındaki gücünü hesaplamıştık. Şimdi de girişinde rastgele bir işaret (gürültü) olan Y  cX  d ( c
ve d gerçek sabitler) sisteminin çıkışındaki olasılık yoğunluk fonksiyonu ile ilgili bir örnek yapalım.
X
cX+d
Y
Şekil 4.15 Girişinde rastgele işaret olan doğrusal sistem.
Y  cX  d sistemindeki c kazancı (kuvvetlendirme-amplification) d ise DC ötelemeyi
(DC-shift) temsil etmekte. Bir an için d  0 kabul edelim. Girişteki işaretimiz (a, b) aralığında ise
çıkıştaki işaret (ac, cb) aralığında olur. Aralıktaki diğer değerler de c ile çarpılır. Yani olasılık
yoğunluk fonksiyonu çıkışta genişler yada daralır ama şekli değişmez. Şimdi de bir an için c  1
alalım, yani kazanç olmasın ama DC d kadar ötelensin. Aralıktaki tüm değerler d ile ötelenir
(toplanır). Bu işlemlerin düzgün dağılımlı bir rastgele değişken ve pozitif c ve d için bir örneği Şekil
4.16'da verilmiştir.
Y  cX  d
Şekil 4.16 Doğrusal fonksiyondan geçirilen rastgele değişken olasılık yoğunluğu.
Bu işlem diğer olasılık yoğunluk fonksiyonları için de geçerlidir. Örneğin Gaussian dağılımlı
bir rastgele değişken K kazancından geçirilirse standard sapma K kadar büyür. Ayrıca, olasılık
yoğunluk fonksiyonu Gaussian olan bir rastgele işaret doğrusal sistemden/süzgeçten (LTI: Linear
Time Invariant) geçirildiğinde çıkış işaretinin dağılımının da yine Gaussian olduğu gösterilmiştir.
4.2. Gürültülü İşaret
Gürültünün veri işaretine çoğunlukla Bölüm 1’de anlatıldığı gibi
r (t )  s(t )  N (t )
(4.17)
şeklinde toplamsal olarak eklendiği varsayılır. Çünkü diğer durumlarda sistemlerin doğrusallığından
faydalanarak işlem/analiz yapmak oldukça zorlaşır. Bu durumda, bir doğrusal sistemin girişinde (4.17)
gibi bir gürültülü işaret varsa, işaretin her bileşenine sistemin ayrı ayrı tepkilerinin toplamı çıkışta
görülür. Şekil 4.17 doğrusallığı açıklamaktadır.
74
r(t)=s(t)+N(t)
h(t)
s(t)
h(t)
y(t)
y(t)
h(t)
N(t)
Şekil 4.17 Doğrusal sistemlerde girdi çıktı ilişkisi.
Gürültü işaretinin veri işareti üzerine toplanmasıyla oluşan bir işaret örneği Şekil 4.18’de
gösterilmiştir
N
N(t)
t
pdf(N)
A
s(t)
t
-A
r(t)
A
t
-A
pdf(r)
r
-A
0
A
Şekil 4.18 İki değerli işaretin gürültü ile toplanması ve olasılık yoğunlukları.
Veri işaretinin olasılık dağılım fonksiyonunun da sıfır ortalamaya sahip Gaussian yada benzeri
olduğu durumu ele alalım (örneğin analog ses işareti). Bu durumda iki işaretin toplamının olasılık
75
dağılım fonksiyonu da sıfır ortalamalı Gaussian yada benzeri olur ve Şekil 4.18’de olduğu gibi iki tepe
noktalı değil tek tepe noktalı bir dağılım elde ederdik. Şekil 4.19 böyle bir analog işaret ve Gaussian
dağılımlı bir gürültü işaretinden alınan örneklerle üretilen histogramları göstermektedir. Şekilde aynı
zamanda iki işaretin toplamından elde edilen işaretin örneklerinin histogramı verilmiştir. İşaretlerin
genlikleri yaklaşık aynı ve ortalama değerleri sıfırdır. Toplam işaretin histogramının Gaussian
karakteristiği gösterdiğine dikkat ediniz.
Şekil 4.18 ve Şekil 4.19 verilen örnekler sayısal ve analog işaretlere Gaussian gürültü
eklendiğinde elde edilen işaretler için karakteristik örneklerdir. Sayısal iletişim sistemlerinde
gürültünün etkisi, alıcıda karar verirken yapılan hata oranıyla ölçülür. Analog sistemlerde ise karar
verme süreci yoktur. Ancak gürültü gücü ile işaret gücünün oranı yada gönderilen (dolayısıyla
alınması gereken) işaret ile alınan işaret arasındaki farktan üretilen bir hata ölçüsü kullanılabilir.
s
N
r
Şekil 4.19 Bir analog işaret örnek setinin ve Gaussian gürültünün histogramları. Toplam işaret de
Gaussian dağılım karakteristiği gösteriyor.
4.2.1. Kanal Kapasitesi
Hem analog hem de sayısal sistemler için işaret kalitesinin ölçümü için kullanılagelen bir
yöntem, işaret gücünün gürültü gücüne oranıdır (SNR : signal to noise ratio).
SNR  Psignal / Pnoise
(4.18)
76
SNR çoğu zaman dB (decibell) cinsinden ifade edilir.
SNRdB  10log10 ( Psignal )  10log10 ( Pnoise )  10log10 ( Psignal / Pnoise )
(4.19)
Eğer veri işaretinin ve gürültünün varyansları (yada standart sapmaları) biliniyorsa, varyans
ortalama güce eşit olduğu için
2
2
SNRdB  10log10 ( signal
/  noise
)
(4.20)
yazılabilir. İşaretin gücü 1 ohm'luk direnç üzerinde birim zamanda harcanmasına sebep olduğu enerji
olduğu için, gürültü ve veri işaretlerinin genlikleri de SNR hesabında kullanılabilir.
SNRdB  20log10 ( Asignal / Anoise )
(4.21)
Eğer elde gürültülü ve gürültüsüz işaretten örnek seti varsa ortalama kare hata hesaplanabilir.
MSE 
1
N
 (s  r )
i
2
i
(4.22)
i
Ortalama kare hatadan da tepe SNR (PSNR : peak SNR) hesaplanır.
PSNR  20log10 ( Am / MSE )
(4.23)
Burada Am , örneklenmiş işaretin en büyük olası değeridir. Örneğin, eğer işaret 8-bit ile
örneklendiyse (bkz Bölüm 3) Am =255'tir. PSNR genel olarak aynı işaretler uygulanmış sistemlerin
başarım karşılaştırmasında kullanılır.
Bir başka önemli kalite ölçütü ise, sayısal iletişim sistemlerinde kullanılan, bit başına enerjinin
Hz başına gürültü gücüne oranı Eb / N 0 'dır. Normalize edilmiş değerlerin oranı olduğu için, örneğin
bantgenişliği tanımlarındaki farklılıklardan (bkz Bölüm 2) gelen soruları ortadan kaldırır. O nedenle,
sayısal iletişim sistemlerinin karşılaştırılmasında çok kullanılır. Eb bilgi biti değil kanal veri biti
başına düşen enerjidir. Eğer iletişimde birden çok kanal bitini taşıyan semboller kullanılıyorsa, bit
başına düşen enerji hesaplanmalıdır. Gerçi ikisi arasında, E s sembol başına enerji ve M kullanılan
sembol sayısı olmak üzere, Es  Eb log2 M gibi bir ilişki vardır, ancak, bazı sistemlerde semboller
eşit sayılarda bit taşımayabilirler. O nedenle bu bağıntıyı sisteme göre değerlendirmek gerekir. Burada
bahsedilen kalite ölçütleri, aynı cinsten büyüklüklerin oranı oldukları için, birimsizdirler. dB birim
değildir.
İletişimde gürültü ve SNR konularından bahsederken Shannon'un gürültülü kanal kodlama
teoreminden (Claude E. Shannon, 1948) bahsetmemek olmaz. Bu konuya daha sonra gireceğimizden,
burada kısaca sonuçlarına değinelim. Bir iletişim kanalında ihtiyaçları ve birbirleriyle dengesini
gözeteceğimiz 4 adet ölçülebilir büyüklük vardır. Bunlar;
1. Gürültü
2. Bantgenişliği
3. İletişim güvenilirliği (daha az hata ile iletişim)
77
4. İletişim hızı
İstenilen bir iletişim güvenilirliği için, erişilebilecek iletişim hızı gürültü tarafından sınırlanır.
Basit bir örnek verelim; Gürültülü bir ortamda karşılıklı konuşurken, daha yüksek sesle ve daha yavaş
konuşma ihtiyacı hissederiz. Ayrıca sık sık tekrar etme zsorunluluğu da ortaya çıkar ki bu da iletişimin
yavaşlaması demektir. Halbuki çok sessiz bir ortamda iken, çok daha düşük enerjiyle (fısıltıyla) ve
tekrar etmeden aynı iletişimi kurabiliriz. Her iki durumda da, anlaşılırlığı arttırmak ve tekrar ihtiyacını
azaltmak için konuşmamızı istediğimiz kadar yavaşlatabiliriz. Bu örneği elektronik iletişim
sistemlerine uyarlayalım; Verilen bir iletişim güvenilirliği için ulaşabileceğimiz en yüksek iletişim
hızına kanal kapasitesi (channel capacity) denir.
Burada ilginç bir saptama yapalım. Hiç gürültü, yankı vb olmayan bir ortamda konuşunca
iletişimin hızını sınırlayan şey sadece fiziksel olarak hızlı konuşma ve hızlı anlama kabiliyetimizdir.
Elektronik ortamda da, eğer gürültü sıfır ise (varsayım), iletişim hızını sınırlayacak birşey yoktur. Yani
istediğimiz iletişim hızına ulaşabiliriz, sadece o iletişim hızında çalışan cihazları tasarlamakla
yükümlü oluruz. Hiç hata da oluşmaz.
Kanal kapasitesi, yukarıda maddeler halinde saydığımız ölçülebilir büyüklükler cinsinden
şöyle tanımlanır;

P 
C  W log  1 
.
N 0W 

(4.24)
Burada W bantgenişliği, P işaret gücü, N 0 ise daha önce değindiğimiz Hertz başına gürültü
gücüdür. P / N 0W
teriminin SNR olduğuna dikkat ediniz. Eğer logaritma 2 tabanına göre
hesaplanırsa, C 'nin birimi [bits/s] olur. 2 farklı bantgenişliği için, Kanal kapasitesi – SNR grafiği
Şekil 4.20'te verilmiştir. Eksenlerde özellikle değer belirtilmesine gerek yoktur. Kanal kapasitesinin
SNR'a göre logaritmik, bantgenişliğine göre ise misli olarak artıyor gibi görünmektedir. Ancak
unutulmaması gereken şey ise SNR teriminin içinde de, burada dikkate alınmayan, bantgenişliğinin
olduğudur.
C
W=20
W=10
SNR
Şekil 4.20 Kanal kapasitesinin SNR'a göre grafiği.
78
Kanal kapasitesini bantgenişliğine göre çizmek istersek, (4.24)'i P / N 0 terimini sabit tutarak
ele alır ve Şekil 4.21'i elde ederiz. Grafikte, SNR'ın arttıkça kanal kapasitesinin artması gayet anlaşılır
birşeydir, ki bunu Şekil 4.20'te gördük. Asıl dikkat edilmesi gereken şey, bantgenişliğinin arttıkça
kapasitenin limitsiz olarak artmadığı, asimtotik olarak bir değere yaklaştığıdır.
Bu değer lim C  1.44
W 
P
'dir (alıştırma olarak bunu üretiniz). Yani gürültü azalmadığı yada
N0
işaret gücü artmadığı sürece, kullanılabilir bantgenişliğini istediğiniz kadar arttırın, kapasite bir sınıra
dayanacaktır.
Birkaç tanım daha yapıp bir kullanışlı grafik daha çizelim. R sembol (bit) iletim oranı olmak
üzere, Eb  P / R ve r  R / W olsun. Birincisini bit başına düşen enerji olarak biliyoruz. İkincisi ise
tayfsal bit oranı (spectral bit rate) olarak adlandırılır. (4.24)'i (ödev)

E 
r  log  1  r b 
N0 

(4.25)
şeklinde yazalım. İletim bit oranı kanal kapasitesinden küçük olmak zorunda olduğundan ( R  C )
eşitlik değil eşitsizlik denklemi elde ediliyor. Yani iletim bit oranının Eb / N 0 'a (tayfsal SNR) göre
güvenli iletimin sağlanabileceği en yüksek değerini buluyoruz.
C
SNR=20
SNR=10
W
Şekil 4.21 Kanal kapasitesinin bantgenişliğine göre grafiği.
79
r
eğrinin altında kayıpsız
iletişim sağlanabilir
Eb / N 0
asimtot : iletişimin sağlanacağı en düşük SNR
1.592dB  0.693  ln 2
Şekil 4.22 tayfsal bit oranının SNRdB'a göre grafiği.
4.2.2. Çözümlü Problemler
1. İkili bir kanalda iletişim ±A değerleriyle sağlanıyor. Kanal 0 ortalama değerli ve standart sapması
1 olan AWGN etkisi altında. Alıcı tarafında sembol süresi ortasından bir örnek alınıp karar
veriliyor. Sembol belirleme hatasının 0.0001'den daha küçük olabilmesi için A değeri ne
olmalıdır?
Çözüm
Kanalın çıkışındaki işaret, gönderilen ±A ikili işaret ve gürültünün toplamıdır. Gönderilen işaretin iki
durumu için alıcı ucundaki olasılık yoğunluk fonksiyonları beraberce aşağıdaki şekildeki gibidir.
Resimdeki taralı alan ise A gönderildiğinde –A olduğuna karar verme olasılığı, yani hata olasılığıdır
ve –A gönderildiğinde A kararı olasılığa eşittir. Yani pe  P( A |  A)  P( A | A) . Taralı alan ise
I 
0


1
2
e
( vi m )2
2 2
dvi olup m  A ve   1 'dir (verilmiş). Bu integral t  vi  A dönüşümüyle
80
I 
A

1
2
e
2
t
2
dt haline getirilir. Simetriden dolayı I  

A
1
2
e
2
t
2
dt yazılabilir. Bu son integralin
değeri 0.0001 olarak verilmiş. Gaussian fonksiyonu tablolarından A'nın değeri yaklaşık olarak 3.7
bulunur. Daha detaylı inceleme için Bölüm 6.1'i okuyunuz.
2. Kazancı 10 olan bir RF önkuvvetlendiricinin girişinde  (t ) rastgele işareti vardır.  (t ) , standard
sapması 0.01, ortalama değeri ise 0 olan Gaussian dağılımlı bir gürültüdür. Önkuvvetlendiricinin
girişinde önseviyelendirme (bias) amaçlı olarak işarete +0.2 V eklenmektedir. Çıkıştaki
gürültünün olasılık dağılım fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
Önkuvvetlendiricinin doğrusal çalışma bölgesinde olduğunu varsayalım. Bu durumda çıkıştaki gürültü
de Gaussian olacaktır. Gaussian fonksiyonun ortalama değerini ve standard sapmasını bulmalıyız.
Girişteki +0.2 V'luk giriş DC seviyesi çıkışta 0.2x10=2 V olarak görülecektir. Yani, m  2 .
Fonksiyonun standard sapması da kazanç kadar büyüyecektir. Yani   0.01  10 =0.1 olur. Gaussian
olasılık dağılım fonksiyonumuz da
10
2
2
e 50( x 2) şeklinde yazılır.
3. Periyodu T olan bir periyodik işaret aşğıdaki şekilde verilmiştir. Bu işaretten rastgele alınan
örnekler X rastgele işlemi olsun. X 'in beklenen değeri nedir?
x (t )
t
Çözüm
Beklenen değerin zaman ortalaması olduğundan yola çıkarak değerinin 2'den biraz büyük olacağını
şekilden hemen söyleyebiliriz. Tabi ki gerçek değerini işaretin 2 değerinin (3 ve 1) ağırlıklı
ortalamasını hesaplayarak buluruz.
E ( X )  (2  3  1 1) / T  (2  3  1 1) / 3  7 / 3 2.33
Beklenen değerin tanımı olan E ( X ) 



xf ( x )dx integrali de bir ağırlıklı ortalamadır ve
aynı sonucu verir.
4. Rastgele ve eşit olasılıkla +1 ve -1 değerleri alan bir ikili işaret aşağıda dağılımı verilen bir
gürültü ile toplanıyor. Sonuç işaretin olasılık yoğunluk fonksiyonu nasıl bir şekle sahiptir?
fη
η
-1.1
1.1
81
Birbirleriyle ilişkisiz olan gürültü ve ikili işaretlerin toplamının pdf'i pdf'lerinin ağırlıklı toplamıdır.
Ağırlıklar, yani +1 ve -1 değerlerinin olasılıklar eşit oldüğü söylendiğine göre her iki durumda oluşan
pdf'lerin ortalamasını alıp altta kalan alanın 1 olmasına dikkat edeceğiz. Her ikisinin aynı grafik
üzerinde gösterildiği şekil aşağıdadır. Ağırlıkları eşit olduğuna göre grafik olarak toplayıp pdf'in
anaşeklini belirleyebilir, sonra da kritik değerleri bulabiliriz.
fη-2.1
fη+
1
-1 -0.1 0.1
1
η+, η2.1
Pdf'ler simetrik olduğundan, aşağıdaki gibi bir grafiğin çıkacağı açıktır.
fη+s
1/2.2
η+s
-2.1
-1 -0.1 0.1
1
2.1
Sonuç pdf her noktada iki pdf'in ortalaması olacaktır. Buradan da grafiğin sağ ve sol kısımlarının
altında kalan alanların 0.5, en dıştaki üçgen kısımların alanlarının da 0.25 olacağını söyleyebiliriz.
Grafiğin fη+s eksenini kestiği nokta ise 0.0413 olur.
82
5 Analog İletişim
Analog haberleşme deyince aklımıza kablolu yada kablosuz ses işareti iletişimi aklımıza
geliyor. Radyo dalgaları ile iletişim (1895 - G. Marconi) ve radyo dalgaları ile ses iletişimi (1906 – L.
DeForest) bulunması ile, her ne kadar yüzyılı aşkın bir süredir kullanılmasına rağmen, radyo ile analog
ses işareti iletişimi sayısal iletişimin oldukça ilerlemesi dolayısıyla neredeyse kaybolma noktasındadır.
O nedenle bu bölümde detaylara girmeden başlıca kablosuz analog iletişim yöntemlerinden kısaca
bahsedeceğiz.
Ses işareti bir tabanbant (baseband) işarettir ve insan sesi bandgenişliğinin yaklaşık 4-5 kHz,
insan tarafından duyulabilir seslerin ise yaklaşık 20 Hz - 20 kHz aralığında olduğu kabul edilir (200
kHz frekanslı sesleri duyabilen hayvanlar vardır). Elbette ki kısa mesafelerde bu düşük frekanslı
sesleri kablo ile iletmek mümkündür, ancak kablosuz iletişimin zorunlu olduğu durumlar oldukça
fazladır; uzak mesafe, kablo yerleştirmenin zorluğu, hareketli iletişim noktaları (gemi, uçak, uydu,
mobil cihaz) vb. Bu bölümde kablosuz ses iletişiminin en temel örneklerinden olan Genlik, Frekans ve
Faz Modülasyonlarından bahsedeceğiz.
Kablosuz iletişimin en önemli bileşeni sınırlı bir kaynak olan frekans bandının paylaşımıdır.
Hava yada genel olarak iletim ortamı, kablonun tersine, kimseye ait değildir. Kablosuz iletişim
yapılabilecek elektromanyetik tayf genel olarak ulusal-uluslararası anlaşmalar ve kanunlara tabidir.
Yani canı isteyen kişi/kuruluş istediği frekanstan radyo yayını yapamaz. Yayın yapabileceği bandlar
ve yerleşimlerde de güç/mesafe sınırlaması uygulanır. Böylelikle, elektromanyetik tayf aynı anda
birçok iletici tarafından kullanılabilmektedir. Şekil 5.1 bu durumu göstermektedir.
|X(f)|
Şekil 5.1 Kullanılabilir tayf birçok iletici tarafından frekans paylaşımı yöntemiyle
kullanılabilmektedir. Bu ancak bir merkezi yönetim ile sağlanabilir.
Bu durumda radyo haberleşmesindeki en temel ihtiyaçlardan birisi, ses/veri işaretini taşımak
için işaretin bileşenlerini izin verilen (haberleşme yapılacak) frekans bandına yükseltmek olmaktadır.
tabanbant işaretin tayfı
|X(f)|
|Y(f)|
yüksek frekansa çıkarılmış işaretin tayfı
Şekil 5.2 Tabanbant işaretin yüksek frekansa (fc) çıkarılması modülasyon ile gerçekleştirilir.
83
Tabanbant işaretinin tayfı, modülasyon yöntemleri ile taşıyıcı frekansı (fc) ve etrafına
yükseltilir. Taşıyıcı işaretin kendisi bir bilgi içermez, sadece asıl bilginin yüksek frekanslara çıkarılıp
taşınmasını sağlar. Taşıyıcı deyince her zaman yüksek frekanslı bir sinüsoidal aklımıza gelir. Bu işaret
y(t )  A cos(2ft   )
(5.1)
şeklinde olsun. Bu sinusoidali her noktada tanımlayan 3 nicelik (Frekans bölümünü hatırlayınız) A
genliği, f frekansı ve  fazıdır. Bilgiyi taşımak için bunlardan birisi yada birkaçı veri işareti ile
kontrol edilir. Modülasyon, genel anlamda, bir fiziksel büyüklüğü başka bir fiziksel büyüklük ile
kontrol etmek demektir. Konu elektronik ve haberleşme olunca bu fiziksel büyüklükler voltaj
olmaktadır. Eğer (5.1)’deki işaretin sabit A genliği yerine x (t ) veri işareti kullanılırsa ve
y(t )  x(t ) cos(2ft   )
(5.2)
işareti elde edilirse yapılan işlemin adı Genlik Modülasyonu (AM-Amplitude Modulation) olur.
Benzeri şekilde x (t ) işareti f frekansını kontrol ederse Frekans Modülasyonu (FM-Frequency
Modulation),  fazını değiştirmekte kullanılırsa Faz Modülasyonu (PM-Phase Modulation) elde
edilir. Ayrıca, taşınmak istenen veri ses gibi sürekli bir fonksiyon değil de sadece sonlu sayıda değer
alan bir büyüklük ise ve sonlu sayıda şekil alan dalgaşekilleri ile taşınıyorsa, bu modülasyon tiplerin
isimleri Genlik Anahtarlama (ASK-amplitude shift keying), Frekans Anahtarlama (FSK-frequency
shift keying) ve Faz Anahtarlama (PSK-phase shift keying) olmaktadır (bu kitapçık içindeki
kısaltmalarda, çok tanınır olduklarından, İngilizce kısaltmaları kullanacağız) . SK, yani anahtarlama
(shift-keying) yöntemlerine Sayısal Haberleşme bölümünde gireceğiz. Bir not düşelim; yüksek
frekanslı işaret elde etmemizi sağlayan modülasyon tiplerine band-geçiren modulasyon (passband
modulation) yada kısaca modülasyon deniyor. Modülasyon sonucunda yine tabanbant işaret elde
ediliyorsa tabanbant modülasyon (baseband modulation) ismini alıyor. İkincisi bazen
dalgaşekillendirme (waveshaping) yada dalgaseçimi (mapping) olarak anılıyor.
5.1. Genlik Modülasyonu
Fourier Dönüşümünün modülasyon özelliğini hatırlayalım;
F x(t ) cos(ct )  12 X (  c )  12 X (  c )
Şekil 5.3
x(t ) , cos(c t )
ve
x(t ) cos(c t ) örnek işaretlerinin zaman kesitlerini
göstermektedir. Bu işaretlerin frekans tayfları da sağ tarafta gösterilmektedir. Görüldüğü gibi bu
çarpım sonunda x(t ) işaretinin frekans tayfının 2 kopyası  c merkezli olarak elde edilmektedir.
Yani tabanbant işaretimizin tayfı  c frekansına taşınmıştır. Böylelikle, bu yüksek frekanslı işaret, ve
dolayısıyla taşıdığı tabanbant işaret, diğer radyo yayınlarıyla karışmadan kendine ayrılan frekans
bandından antenler vasıtasıyla yayınlanabilir.
Şekil 5.3’deki zaman grafiğinde x(t ) cos(c t ) işareti yanında aynı zamanda x(t ) ve  x(t )
işaretleri kesikli çizgi ile gösterilmiştir. Buna zarf (envelope) ismi verilir ve şekilde gösterildiği gibi
taşıyıcı işaretin genliğini anlık olarak belirler. O yüzden bu modülasyon türüne Genlik Modülasyonu
denir. AM alıcılarının amacı bu zarfı ( x(t ) ’yi) x(t ) cos(c t ) ’ten geri elde etmektir. x(t ) ’nin geri
84
elde edilmesi F x(t ) ’nin (şekildeki sağ üstteki tayf) F x(t ) cos(c t ) ’den (şekilde sağ alttaki tayf)
elde edilmesiyle eşdeğerdir. Yani daha önce  c frekansına çıkarılan tayfımız, tekrar 0 frekansına
indirilecektir.
F x(t )
x(t )
t

cos(c t )
F cos(c t )
t
c
c
x(t ) cos(ct )

F x(t ) cos(ct )
faz atlamaları
t

alt-yan-bant
üst-yan-bant
Şekil 5.3 AM örneği. Solda; x(t ) , cos(c t ) ve x(t ) cos(c t ) işaretleri. Sağda bunların tayfları.
FT’nun modülasyon özelliği ile ilgili bir örnek yapalım. Varsayalım ki tabanbant işaretimiz
x(t )  sin(mt ) gibi sadece bir sinüsoidalden oluşsun (tone signal ). Burada c  m olduğunu
varsayabiliriz, ancak bu varsayımımızın FT’nin modülasyon özelliğini etkilemediğini de aklımızda
tutalım.
X ()  F sin(mt )  j ( (  m )   (  m )) dönüşümünü
Y ( )  F x(t ) cos(ct ) 
Y ( ) 
1
1
X (  c )  X (  c ) içinde yerine yazarsak
2
2
j
j
j
j
 (  c  m )   (  c  m )   (  c  m )   (  c  m )
2
2
2
2
elde ederiz. Burada 1. ve 4. terimler toplamının ve 2. ve 3. terimler toplamının ayrı ayrı ters
j
 (  (c  m ))   (  (c  m ))   1 sin((c  m )t ) ve
2
2
j
 (  (c  m ))   (  (c  m ))  1 sin((c  m )t ) olduğunu görürüz. Yani
II  III 
2
2
dönüşümlerinin
I  IV 
85
1
1
y(t )  sin((c  m )t )  sin((c  m )t ) olur. Sonucu oluşturan sinüsoidallerin ilkinin frekansı
2
2
taşıyıcı frekansından yüksek diğerininki ise düşüktür. Bunlara sırasıyla üst-yan-bant (USB: upperside-band) ve alt-yan-bant (LSB: lower-side-band) bileşenleri denir. Şekil 5.4’te modülasyon sonucu
oluşan işaretin tayfı gösterilmiştir.
X ( )

m
m
Y ( )

c  m
c  m
c  m
c  m
Şekil 5.4 c frekansındaki taşıyıcının m frekansındaki sinüsoidal ile modüle edilmesi.
Şimdi de (2)'deki modülasyon yöntemi ile elde edilen m(t ) işaretini taşıyıcı ile aynı frekans
ve fazda bir sinüsoidal ile ( c(t ) ) Şekil 5'teki gibi yeniden çarpalım. Yani c(t )  Ac cos(ct ) ve
c(t )  Ac cos(ct ) olsun.
Şekil 5.5 AM işaretinin taşıyıcı ile tekrar çarpılması (tekrar modülasyon).
Bu
durumda
y(t )  x(t ) Ac Ac cos2 (ct )
elde
edilir.
cos2 ( x)  (1  cos(2 x)) / 2
1
Ac Ac  x(t )  x(t ) cos(2ct )  yazılabilir. Baştaki sabit
2
çarpanları görmezden gelirsek, işaretimiz orijinal tabanbant işareti ve taşıyıcısı 2c frekansında olan
trigonometrik eşitliği kullanılarak y (t ) 
bir AM işaretinin toplamından oluşmaktadır. Bu işaretin tayfı Şekil 5.6'da gösterilmiştir.
Y ( )

2c  m 2c 2c  m
m
m
2c  m
2c
Şekil 5.6 Tabanbant işaretin iki kez taşıyıcı ile çarpılması ile elde edilen işaretin tayfı.
2c  m
86
Şekil 5.6'da tayfı verilen işaretten orijinal tabanbant işareti elde etmek için bir alçak geçiren
süzgeç (LPF: low pass filter) kullanılabilir. Şekil 5.7 böyle bir alçak geçiren süzgecin olması gereken
karakteristiğini belirtiyor.
Y () , H ()
alçak geçiren süzgecin
attığı kısımlar

2c  m 2c 2c  m
m
m
2c  m
2c
2c  m
Şekil 5.7 Alçak geçiren bir süzgeç ile tabanbant işaretinin elde edilmesi.
Alçak geçiren süzgecin kesim frekansı m 'den büyük, 2c  m 'den küçük olmalıdır. Çoğu
zaman c  m olacağından bu süzgeci tasarlamak basit bir problem gibi görünmektedir. Ancak,
alıcı tarafında kanalda eklenen gürültünün büyük bölümünü ve olası diğer işaretleri atmak için
mümkün olduğunca dar geçirme bantlı bir süzgeç kullanmak mantıklıdır. Buradaki asıl problem tüm
alıcı-verici prensip şemasının verildiği Şekil 5.8'de görülmektedir. Vericideki işleme modülasyon
demiştik, alıcıdaki işlemin adı da demodülasyon olur.
Şekil 5.8 AM verici ve eşzamanlı (synchronous) taşıyıcı çarpımı yöntemini kullanan alıcı prensip
şeması.
Alıcı devresinin çalışması için gerekli olan ve verici ile aynı frekans ve fazda olan taşıyıcı
işareti vericiden kablo ile göndermek istemeyeceğimize göre, bu taşıyıcı işaret alıcıda üretilmek
zorundadır. Tabi ki buradaki büyük problem bu işareti vericidekiyle aynı frekans ve fazda
tutabilmektir. Kağıt üzerinde ne kadar kolay görünse de pratikte oldukça zordur ve karmaşık
eşzamanlama (synchronization) devreleri olmadan neredeyse imkansızdır.
Şimdi küçük bir değişiklik yapalım ve (2)'deki tabanbant işaretine mc gibi bir sabit (DC
voltaj) ekleyerek modülasyonda kullanalım ve y(t )  ( x(t )  mc )cos(ct ) işaretini elde edelim.
mc 'yi öyle bir değer seçelim ki x(t )  mc hiçbir zaman negatif olmasın (Şekil 5.9, ilk resim). Çarpım
sonucunda elde edilen AM işaretinin adı geleneksel AM’dir (conventional AM) ve Şekil 5.3'tekinden
önemli farkı öncekinde oluşan  radyanlık faz atlamalarının yeni işarette olmamasıdır. Tabi ki bu
durumda mesaj işaretininkine ilave olarak bir DC değerin enerjisi de karşı tarafa aktarılıyor (havaya
yayınlanıyor). Ses işaretinin tayfına benzemesi için Şekil 5.3'te boş bıraktığımız 0 frekansı (Şekil
5.3'te sağ üstteki grafik) artık boş değil. Aynı nedenle, yine Şekil 5.3'teki AM işaretinin tayfında
87
bulunmayan taşıyıcı frekans bileşeni yeni tayfta var. Böylece, alıcı devresinde taşıyıcı işareti üretmek
yerine, vericiden gönderilen taşıyıcı bileşen keskin bir süzgeç ile ayrıştırılıp yukarıda bahsettiğimiz
eşzamanlı demodülasyon işlemi gerçekleştirilebilir. Bu işlemin prensip şeması Şekil 5.10'da
verilmektedir.
x(t )  mc
( x(t )  mc )cos(ct )
t
t
cos(ct )
t
Şekil 5.9 DC eklenmiş mesaj işareti ile üretilen AM işareti.
Y ( )
 c   m
 c  m
c   m

c   m
c
H ( )
keskin bant geçiren süzgeç (notch-filter)

S C ( )
c

c

Şekil 5.10 Keskin süzgeç ile taşıyıcının ayrıştırılıp eşzamanlı demodülasyonda kullanılması prensibi.
Geleneksel AM (DC eklenmiş olan) çok daha kolay gerçekleştirilebilecek bir demodülasyon
yöntemine izin vermektedir. Yarım dalga doğrultucu ile gerçekleştirilen bu demodülasyon yönteminin
prensibi Şekil 5.11’de gösterilmiştir. Yöntemin düzgün çalışması için taşıyıcı işaretin frekansının
tabanbant işaretin bant genişliğinden çok daha yüksek olması gerektiği açıktır. Taşıyıcı işaret radyo
frekanslarında (RF) tabanbant işaret ise genellikle ses işareti olduğundan bu konuda bir problem
88
yoktur. Tabi ki mesaj işaretine eklenen DC voltaj demodülasyonda kolaylıklar sağlamasının yanında
havaya yayılan fazladan enerjidir, çünkü mesajla ilgili hiçbir bilgi taşımamaktadır.
yarım dalga doğrultucu
DC engelleme kapasitörü
Şekil 5.11 Geleneksel AM işaretinden yarım dalga doğrultucu ile mesaj işaretinin elde edilmesi.
Enerji ve bilgi demişken AM tayfını biraz daha inceleyelim. Şekil 5.12’de geleneksel AM
tayfı tek taraflı olarak gösterilmiş, bileşenleri işaretlenmiş ve taşıyıcı miktarına göre 3 durum
gösterilmiştir. En soldaki taşıyıcı eklenmemiş haline çift-yan-bant-taşıyıcısı-bastırılmış AM (DSB-SC:
double-side band suppressed carrier) ismi verilir. Ortadakinde bir miktar taşıyıcı olduğundan Şekil
5.10’da verilen keskin süzgeç yöntemiyle demodülasyon uygulanabilir. En sağdakinde ise
mc  min( x(t ) olacak şekilde DC, dolayısıyla taşıyıcı eklenmiş olduğundan geleneksel AM’dir ve
Şekil 5.11’deki doğrultucu yöntemiyle demodülasyon yapılabilir.
Y ( )
taşıyıcı
alt-yan-bant
c   m
üst-yan-bant
c
c   m

mc  min{ x(t )}
Şekil 5.12 AM işaretinin taşıyıcı eklenmemiş, az eklenmiş ve yeterince eklenmiş durumları.
mc  min( x(t ) özel durumunda en az taşıyıcı ile geleneksel AM yapılmış olur. Bu da en az
fazladan enerji demektir. Toplam enerjinin 1/3’ü taşıyıcıya, 2/3’ü ise yan-bantlara eşit olarak (gerçek
işaretler için tayf simetriktir) dağılmaktadır. Gerçekte bilginin yan-bantlarda olduğunu söylemiştik.
89
Bunlar ise aynı bilgiyi taşımaktadırlar. Yani aslında sadece bir yan-bant istenilen tüm bilgiyi
taşımaktadır, diğer yan-bant ve taşıyıcı bileşen vericide fazladan enerji yayılımına sebep olmaktadır.
Acaba sadece tek bir yan-bant yayını yapılabilir mi? Bunun için yan-bantlardan birisinin kaldırılması
gerekmektedir (Şekil 5.13).
LSB
c   m
c

USB

 c c   m
Şekil 5.13 LSB (alt-yan-bant) ve USB (üst-yan-bant) AM tayfları.
Sadece tek yan-bant elde etmek için işaret keskin bir süzgeçten geçirilebilir (zor/pahalı
yöntem). Bir başka yöntem ise Hilbert dönüşümünü kullanır. Hilbert dönüşümünü konumuz için
özetlersek, tüm bileşenlerin genliğini değiştirmeden fazını  / 2 kaydırdığını söyleyebiliriz. Kolay
anlaşılır örnek olması sebebiyle Şekil 5.4’ü yeniden ele alalım. Burada tabanbant işaretimiz sadece
x(t )  A cos(mt ) şeklinde bir sinüsoidal idi. Bunun fazının  / 2 kaydırılmış hali
xˆ (t )  A sin(mt ) olur. Benzeri şekilde taşıyıcımız c(t )  cos(c t ) ise, fazı kaydırılmış hali
cˆ(t )  sin(c t ) ’dir. USB işareti
yUSB (t )  A cos(mt ) cos(c t )  Asin(mt ) sin(c t )  A cos((c  m )t )
(5.3)
işlemi kullanılarak elde edilir ve tayfı Şekil 5.14’te verilmiştir. Benzeri şekilde alt-yan-bant
AM işareti ise
y LSB (t )  A cos(mt ) cos(c t )  Asin(mt ) sin(c t )  A cos((c  m )t )
(5.4)
şeklinde hesaplanır.
YUSB ( )

c  m
c  m
YLSB ( )
c  m
c  m
Şekil 5.14 Sinüsoidal mesaj işareti ile üretilen USB ve LSB AM işaretlerinin tayfları.
Genel olarak, USB ve LSB AM işaretleri

90
yUSB (t )  Ax (t ) cos(c t )  Axˆ (t ) sin(c t )
y LSB (t )  Ax (t ) cos(c t )  Axˆ (t ) sin(c t )
(5.5)
işlemleriyle elde edilirler. Burada x̂ x ’in Hilbert dönüşümünü yada tüm bileşenlerinin  / 2
kaydırılmışını temsil eder. Tabi ki gerçek uygulamalarda tüm bileşenleri  / 2 kaydırıp genliklerini
sabit tutan bir süzgeç yok. Ancak sınırlı frekans bandına sahip x ’ler için bunu yaklaşık olarak
gerçekleştirmek mümkün ve kolaydır. Bu durumda USB ve LSB AM işaretlerini üretmek için prensip
blok şeması Şekil 5.15’teki gibidir.
x(t ) cos(c t )
x(t )
cos(ct )


sin(c t )
xˆ (t )
xˆ (t ) sin(c t )
Şekil 5.15 SSB-AM üretimi prensip şeması. Sondaki toplama + ise LSB – ise USB elde edilmekte.
Bu noktada biraz radyo yayınları tarihine değinelim. 20inci yüzyılın başlarında radyo
lambasının, dolayısıyla işaret kuvvetlendirmeyi mümkün kılan elektroniğin, bulunmasıyla radyo
yayıncılığı ve halka/herkese yayın yapan (haber, müzik vb) radyo istasyonlarının kurulmasının ilk
aşamasında bir karar verilmek durumunda kalındı. Ya SSB-AM ve DSB-SC-AM gibi enerji tasarrufu
sağlayan yöntemler tercih edilecekti, yada geleneksel AM kullanılıp alıcıların yarım dalga doğrultucu
gibi basit demodülatörlerle çalışması sağlanacaktı. O tarihlerde radyo lambaları oldukça pahalı ve
onlarla tasarlanan elektronik devreler oldukça büyük oluyordu. Sonuçta evlere girmesi gereken radyo
alıcısı yeterince ucuz olmasaydı radyo yaygınlaşamazdı. O nedenle geleneksel AM tercih edildi ve
elektroniğin büyük gelişimine rağmen 100 yıla yakın kullanıldı. Şimdilerde ise AM radyo yayınları
neredeyse ortadan kalkmış durumdadır. Yerini daha yüksek işaret kalitesi sunduğu iddia edilen FM
almıştır. Babaannelerimizden kalan eski lambalı radyoların (Şekil 5.16) çoğunda FM alıcısı olmadığı
için hatıra süs eşyası olarak kullanılmaktadır. Radyo olarak kullanılabilseydi bile bu durum uzun
sürmezdi çünkü radyo lambalarının ömrü 2000-4000 çalışma saati arasındadır. Yarı-iletkenlerin
normal çalışma şartlarında teorik olarak sonsuz olan ömürleri ile karşılaştırılamaz.
Şekil 5.16 Tipik bir modern lambalı radyo. (Foto değiştir)
91
5.2. Açı Modülasyonu
AM radyo yayınlarının başlamasından yaklaşık 10+ yıl sonra, 1933 yılında, E. Armstrong
Frekans Modülasyonu prensibine göre çalışan radyoların AM'e göre daha az frekans bandı işgal
edeceği iddiasıyla yayıncı firmalara gitti. Ancak yayıncı kuruluşlar değişimi o an kabul etmedikleri
gibi, sonraki yıllarda patent hakkına hürmet göstermeden FM yayınlarına başladılar. Armstrong yasal
yollarla da birşey elde edemedi ve bugün yaygın şekilde kullanılan FM'in mucidi fakir olarak öldü.
Gerçekte, ilerleyen satırlarda göreceğimiz gibi, Armstrong'un daha az frekans bandı iddiası yanlıştı.
Ancak, FM'in daha üstün bir özelliği vardı; gürültüye karşı daha dayanıklı olduğundan daha kaliteli
ses/müzik iletimi yapılabiliyor. Yine de birkaç 10 yıl sonra FM'in de AM gibi kaybolacağını, yerini
tamamen sayısal iletişime bırakacağını şimdiden öngörebiliriz.
(1)'deki y(t )  A cos(2ft   ) işaretin frekansının x (t ) tabanbant mesaj işareti ile kontrol
edilmesi durumunda FM, fazının kontrol edilmesiyle de PM elde edileceğini söylemiştik. Aslında faz
ve frekans birbirinden bağımsız olarak düşünülemez. Çünkü faz, aynı frekanslı bir başka işaret
referans alınarak söylenebilir. Örneğin osilaskopta gördüğünüz bir sinüsoidal işaretin fazı hakkında
birşey söyleyemeyiz, ayrıca bir de referans sinüsoidal verilmesi gereklidir. Frekans ve faz
modülasyonuna beraberce açı modülasyonu (angle modulation) denir. O nedenle, ikisini beraber
inceleyelim.
 (t )  (t )t  p(t ) olmak üzere açısı kontrol edilen sinüsoidali y(t )  A cos( (t )) şeklinde
d ( t )
yazalım. Bu durumda anlık frekans i (t ) 
olur. İşaretimiz de, c merkez frekans ve  (t )
dt
d (t )
merkez etrafındaki salınımlar yani i (t )  c 
olmak üzere, y(t )  A cos(ct   (t )) olur.
dt
 (t ) , k p faz saptırma sabiti olarak anılmak üzere, mesaj işareti x(t ) ile  (t )  k p x(t ) şeklinde
kontrol edilebilir. Benzeri şekilde, anlık frekans sapmaları da bir sabit ile mesaj işaretine bağlanabilir;
i (t )  c  k x(t ) 
d (t )
. Bu bağıntıları göz önüne aldığımızda, FM ve PM’in ilişkisini
dt
 k x(t )
p


 (t )  
k t x( )d

  
,
,
 d
k p dt x(t )
d

 (t )  
ve
dt
 k x(t )
FM
 

PM
,
PM
(5.6)
,
FM
denklemlerinden görürüz. Yani FM ve PM modülatörleri birbirlerine Şekil 5.17’deki gibi
çevrilebilirler.
92
Şekil 5.17 FM ve PM arasındaki yakın ilişki.
Gerçekte bir işareti osilaskopta incelediğimizde bunun mesaj işareti mi, onun türevi mi yoksa
onun integrali mi olduğunu anlamamıza imkan yoktur. Hepsi osilaskopta benzer karakteristiğe sahip
işaretler olarak görünürler. Bu durumda FM ve PM sonucunda üretilmiş işaretlere bakarak da
hangisinin hangisi olduğunu kolaylıkla anlayamayız. Şekil 5.18’de bir sinüsoidal mesaj işaretinin FM
ve PM dalgaşekilleri gösterilmektedir. Mesaj işareti de aynı grafikler üzerinde gösterilmemiş olsaydı
benzerlikten dolayı birbirlerinden ayıramazdık.
PM
FM
Şekil 5.18 Sinüsoidal mesaj işareti (kesikli çizgi) ile üretilen FM ve PM işaretleri.
Mesaj
t
işaretimiz
FM (t )  k  x( )d 

k A
m
x(t )  A cos(mt )
ise,
PM (t )  k p x(t )  k p A cos(mt )
ve
sin(mt ) elde edilir. Bu durumda PM ve FM işaretleri sırasıyla
y(t )  Ac cos(c t  k p A cos(mt )) ve y (t )  Ac cos(c t 
k A
m
sin(m t )) bulunur (Şekil 5.18).
Şekil 5.18’deki işaretler, kolayca incelenebilmesi için, abartılıdır. Çünkü gerçek FM ve PM’de
frekans sapmaları oldukça düşüktür. Örneğin 88-18 MHz FM bandında yapılan ticari yayınlarda
istasyon başına ayrılan band genişliği 200 kHz’dir. (not: “frekans sapması”ndan kasıt merkez
frekansının kayması değil modülasyon dolayısıyla kullanılan bantgenişliğidir.)
Konu bantgenişliğinden açılmışken, FM-PM işaretinin teorik bantgenişliğinin sonsuz
olduğunu hatırlatalım. Teoride, FM-PM ile oluşan bantgenişliğini ve tayf karakteristiğini hesaplamak
için Bessel fonksiyonları kullanılmaktadır. Ancak burada, konunun anlaşılmasına pek bir katkı
sağlamadığı için Bessel fonksiyonlarına girmeyeceğiz. Frekans tayfında FM-PM enerjisinin %98’ini
93
kapsayan yaklaşık bantgenişliği (effective bandwidth) ifadesini Bc  2(   1) f m şeklinde vererek
geçiştireceğiz. Burada  ve f m sırasıyla modülasyon indeksi ve mesaj işaretinin bantgenişliğidir.
Örneğin, mesaj işaretimiz x(t )  a cos(2f mt ) gibi bir sinüsoidal ise, bantgenişliği

 2(k p a  1) f m

Bc  2(   1) f m  
 kf a
 1) f m
2(
 fm
,
PM
(5.7)
,
FM
olur. Burada mesaj işareti frekansının ve/veya genliğinin artmasının bantgenişliğini
arttırdığını, artmanın ise PM’de oransal, FM’de toplamsal olduğunu görebiliriz.
FM ve PM işaretlerini daha kolay anlayabilmek için Şekil 5.19’u inceleyelim. Burada mesaj
işaretimiz daha öncekindeki gibi sürekli bir işaret değil sadece 2 değer alan ikili işarettir (binary). Bu
durumda modülasyon teknikleri FM ve PM değil, FSK (Frequency Shift Keying) ve PSK (Phase Shift
Keying) isimlerini almaktadırlar.
FM - FSK
PM - PSK
Şekil 5.19 İkili işaret ile üretilen FM ve PM işaretleri (FSK ve PSK).
FSK işaretinde periyodu farklı iki sinüsoidal arasında keskin bir geçiş olduğuna, PSK
işaretinde de aynı periyoda (frekansa) sahip iki farklı fazdaki işaretler arasında keskin bir geçiş
olduğuna (faz atlaması) dikkat ediniz. PSK sayısal haberleşmede en çok kullanılan yöntemlerden birisi
olduğundan sonraki bölümlerde daha da detaylandıracağız.
AM işaretinin çarpma ve toplamalarla üretildiğini görmüştük. Peki, PM ve FM işaretlerini
nasıl üretebiliriz?
Örnek olarak x (t ) mesaj işaretinin taşıyıcının fazını çok az değiştirdiği PM’i (narrowband
PM) ele alalım. Bunun için Şekil 5.20’de verilen fazör diyagramını kullanalım.
94
sin
genlik
değişimi
toplam işaret
faz değişimi
cos
Şekil 5.20 Genlik değişiminin fazör toplamında faz değişimine yolaçması.
Şekil 5.20’de PM işaretimiz kosinüs ve sinüs işaretlerinin (aralarında faz farkı  / 2 olan)
toplamından oluşmakta, sinüs işaretinin genliğinin genlik modülasyonu ile (çarpım) değişimi sonucu
toplam işaretin fazı değişmektedir. Tabi ki toplam işaretin genliği de bir miktar değişmektedir ancak
sinüs ve kosinüs işaretlerinin genlikleri ayarlanarak bu değişim kabul edilebilir seviyelere indirilebilir.
Fazor toplamı y PM (t )  cos(c t )  x(t ) sin(c t ) işlemini, bu da Şekil 5.21’deki blok şemayı işaret
etmektedir. Şekil 5.20’de aynı zamanda FM işaretinin PM’den Şekil 5.17’de gösterilen yöntemle elde
edilişini göstermektedir. cos(c t ) işareti sin(c t ) işaretinden elde edilmektedir. Gerçekte hangisinin
hangisinden üretildiğinin pek önemi yoktur, sadece toplama giren aynı frekanslı işaretler arasında
 / 2 faz farkı olması yeterlidir.
Şekil 5.21 PM ve FM işaretlerinin (dar-bantlı) genlik modülasyonu kullanılarak üretilmesi.
FM işaretinin demodülasyonu, yani alıcıda x(t ) işaretinin geri elde edilmesi işlemi de frekans
değişimini genlik değişimine dönüştüren bir devre ile yapılabilir. Bunun için, Şekil 5.22’de
gösterildiği gibi, keskin bir süzgecin frekans tepkisinin yükselen kenarından faydalanılabilir.
95
genlik
değişimi
frekans değişimi
Şekil 5.22 Frekans değişiminden genlik değişimi elde edilmesinde süzgeç kullanımı.
Yani FM işareti önce AM işaretine dönüştürülüyor, daha sonra da AM işareti demodülasyonu
gerçekleştiriliyor (Şekil 5.23). Tabi tasarımın çalışması için geçici zaman (transient) tepkelerinin ihmal
edilebilir olması gerekli, yani f c  f m .
FM
FM-AM çevirici
mesaj
işareti
AM demodülatör
AM
Şekil 5.23 FM işaretinin demodülasyonu.
FM konusunda iken 2 ses kanallı (stereo) FM’in standartlara uygun nasıl yapıldığına göz
atalım. Tabi ki her zamanki gibi geriye dönük uyumluluk söz konusu, yani tek kanallı alıcılar stereoFM yayınlarını da alabilecek, stereo-FM alıcıları tek kanallı yayınları da alabilecek. Bunun için
geliştirilen çözüm Şekil 5.24’te gösterilmektedir.
yeni (stereo) tabanbantı
DSB-SC-AM
|Y|
f (kHz)
15 19 23
tek kanal tabanbantı
M=L+R
38
53
S=L-R
38 kHz taşıyıcı ile eşzamanlı pilot işareti
Şekil 5.24 Stereo-FM için tabanbant yapılandırması.
Stereo vericilerde gönderilmek istenen 2 ses işareti L ve R kanallarındadır ve herbirinin
bantgenişliği 15 kHz varsayılır (sınırlandırılır). Bu işaretlerden M  L  R ve S  L  R işlemleri ile
iki işaret üretilir. S işareti 38 kHz’lik bir taşıyıcı ile çarpılarak 38 kHz’ye çıkarılır (DSB-SC-AM).
96
M ve S kanalları arasında kalan boşluğa 19 kHz’lik bir pilot (sinüsoidal) yerleştirilir. Pilot işareti 38
kHz’lik S kanal taşıyıcısıyla eşzamanlıdır ve alıcıda S kanalınının eşzamanlı demodülasyonu için
kullanılacaktır (Şekil 5.10). Yeni tabanbant işaretimiz artık 53 kHz bantgenişliğine sahiptir. Bu
tabanbant işareti FM ile yüksek frekanslara çıkarılır ve yayınlanır (Şekil 5.25).
38 kHz (DSB-SC-AM taşıyıcısı)
19 kHz pilot
() 2
L
S

FM modulator
stereo FM
bantgenişliği=53 kHz
R
M
Şekil 5.25 Stereo FM’in üretimi.
Alıcıda FM işareti demodüle edilip 53 kHz genişlikteki tabanbant işareti elde edilir. M kanalı
süzgeç ile ayrıldıktan sonra S kanalı (DSB-SC-AM) eşzamanlı demodülasyon ile tabanbanta indirilir.
Daha sonra L  (M  S ) / 2 ve R  (M  S ) / 2 ile sol ve sağ ses kanalları ayrıştırılır.
Mono (tek kanallı) alıcılar işaretin sadece M kanalından haberdar oldukları için iki ses
kanalının toplamını algılarlar. Stereo alıcılar ise mono yayınlarda S ve pilot işaretini
görmeyeceklerinden sağ ve sol ses kanallarına M ’yi verirler. Böylece uyumluluk sağlanmış olur.
Ticari bir radyo alıcısının blok şeması Şekil 5.26’da verilmiştir. Alıcıdaki yerel osilatörün
frekansını ayarlamakta kullanılan düzenek aynı zamanda seçili radyo bandını süzmekle görevli RF
süzgecinin de merkez frekansını seçer. Bu iki frekans aynı olup ardından gelen karıştırıcı (mixer) ve
süzgeç ile tabanbant işareti elde edilebileceği gibi, aralarında sabit bir fark olup alıcının geri kalan RF
katlarının bu sabit frekansa göre tasarlanabilmesi çoğu zaman tercih edilen bir yaklaşımdır. Bu fark
frekansı AM istasyonları için 455 kHz, FM istasyonları için ise 10.7 MHz’dir.
Şekil 5.26'da karıştırıcı çıkışındaki IF işareti (intermediate frequency) IF kuvvetlendirici ve
süzgeçlerden geçer. Karıştırıcı çıkışındaki taşıyıcı frekansı daima 455 kHz yada 10.7 MHz olduğundan
IF katları bu sabit frekanslar için daha ucuza ve hassas yapılabilirler. Demodülatör katı AM zarf
seçicidir (Şekil 5.11) ancak alıcı band seçimi FM ise IF ve demodülatör arasına FM-AM çevirici
(Şekil 5.22) girer. Elde edilen ses işareti ses kuvvetlendirici ve ton ayarlarının bulunduğu ses (Audio)
katında kuvvetlendirilip hoparlöre verilir. Demodülatör çıkışındaki işarete göre IF katında ayarlar
yapan AGC (automatic gain control) katı ise alıcılarda en önemli devrelerden birisidir. Çünkü işaret
gücü yayımcı istasyondan uzaklığa göre çok değişmektedir. Eğer hareketli bir alıcımız (örneğin araç
radyosu) sözkonusuysa, istasyondan uzaklaştıkça sesin zayıflamasını yada çok yaklaştıkça doyuma
(saturation, aşırı işaret gücünden düzgün çalışamaz hale gelmesi) ulaşmasını istemeyiz. AGC katı,
demodülatör çıkışındaki işaretin gücünü ölçerek geri besleme ile IF katı kazancını ayarlar. Böylelikle
uzaklık ile ses kalitesi düşse de (gürültünün artması) ses şiddetinde değişme olmaz.
97
RF süzgeç
RF
kuvvetlendirici
istasyon
seçimi
karıştırıcı
ses ayarı
Şekil 5.26 Genel bir analog radyo alıcısı blok şeması.
Günümüzde çoğu analog radyo alıcısı sayısal devrelerle gerçeklenebilmektedir. Yani Şekil
5.26'da verilen blokların RF giriş ve Audio çıkış haricindeki katmanlar sayısal devrelerden
oluşabilmektedir. Sayısal alıcı devrelerin en büyük avantajı zamanla karakteristiğinin değişmemesi
ayarlarının bozulmamasıdır. Askeri ve havacılık/uzay gibi maliyetin büyük etken olmadığı alanlarda
ise sayısal devrelerin diğer avantajları da belirginleşir; devreler değişmeden çalışma şeklinin
değiştirilebilmesi, sayısal işaretlere analog devrelerle yapılamayacak işlemlerin uygulanabilmesi (veri
sıkıştırma, yankı giderme vb). Bu noktada analog radyo konumuzu tamamlıyoruz. İleriki bölümlerde
sayısal iletişim yöntem ve uygulamalarına değineceğiz, ancak bu bölümde değinilen temellerin iyi
anlaşılması sayısal iletişim bölümlerindeki konuların kavranmasında büyük yarar sağlayacaktır.
5.2.1. Soru-Cevap
S : 88-108 MHz bandında (VHF) hep FM radyoları var. Burada AM radyo yayını
yapamazmıyız?
C : AM/FM modülasyonu her frekansta yapılabilir. 88-108 MHz'deki kısıt o bandın
uluslararası anlaşmalarla ticari FM yayınlarına ayrılmış olmasıdır. Ancak oldukça kısa mesafeli (1-2
m, düşük güçlü) olmak kaydıyla ilgili bantda kendi yayınınızı yapmanızın sakıncası yoktur, sadece
yakındaki kendi alıcılarınızı etkilersiniz. Esasen bunun bir faydası da yoktur, çünkü zaten genel
kullanıma açık düşük güçte yayın yapılabilecek çeşitli frekanslarda bantlar vardır.
S : Eskiden radyo/TV tamircileri vardı, şimdilerde arızalı cihazları atıyoruz. Ziyan olmuyor
mu?
C : Evet ziyan oluyor. Ayrıca çevresel kirliliğe de sebep oluyor. Ancak elektroniğin gelişmesi
nedeniyle alıcılar tümleşik devreler ile üretiliyor. Tamir etmek ise genelde tümleşik
devrenin/devrelerin değişmesi, dolayısıyla alıcının önemli bir kısmının değişmesi anlamına gelmekte.
Hızla gelişen teknolojiye ayak uydurabilen tamirci eğitmek de önemli bir maliyet. Tamirin maliyeti
98
yenisini almaya yaklaşıyor. Eğer cihaz çok pahalı değilse yenilemek, eskisini de hatıra (!) olarak
saklamak isteyebilirsiniz.
S : Elektronik geliştiğine göre artık SSB modülasyonu daha kolay gerçeklenebileceğinden
enerji tasarrufu gereken yerlerde daha yaygın kullanılabilir. Ama neden ortada yok?
C : Elektronik geliştikçe sayısal devreler ve sayısal haberleşme de gelişti. Artık SSB ile
sağlanacak enerji tasarrufundan daha fazlası sağlanabilmekte. Örneğin askeri telsizlerde gönderilecek
mesaj sesli yerine metin olarak gönderilebiliyor. Yada analog olarak 1 sn süren işaret sayısala çevrilip
bundan çok daha kısa sürede (örneğin 0.0001 sn) gönderilebiliyor, bu da oldukça büyük tasarruf
sağlıyor. Gerçi gönderilecek veri her zaman olanakları zorlayacak şekilde artmıştır. Yani şimdi daha
çok gönderilecek veri var, ses verisi bunların yanında ihmal edilecek kadar küçük yer kaplıyor. Ayrıca,
ileride göreceğimiz teorilere göre, bantgenişliği arttıkça kalite/kapasite artıyor. O yüzden, çok sıkıntı
olmadıkça, SSB'nin tek başına kullanımı ihtimali düşük.
S : AM ve FM'in beraber kullanıldığı bir iletişim/modülasyon sistemi varmı?
C : AM ve FM olmasa da onların sayısal karşılıkları olan ASK ve FSK (ve hatta PSK)'nın
beraberce kullanıldığı yer çok. Örneğin çoğumuzun kullandığı WiFi bunların üçünü de kapsamaktadır.
Sayısal iletişim bölümlerinde değineceğiz.
S : Giderek daha yüksek frekans bantlarının kullanılmaya başlandığını görüyoruz. Neden?
C : Çünkü daha çok veri iletebilmek için daha geniş bantlara ihtiyaç var, onlar da yüksek
frekanslarda var. Yüksek frekanslara ulaşabilmek, o frekanslarda çalışan devreler üretmek eskiden
oldukça maliyetli idi. Bu frekanslar eskiden maliyet sıkıntısı olmayan uygulamalarda (askeri vb)
kullanılıyordu. Ancak, hem ihtiyaçtan hem de bu frekanslara uygun elektroniğin gelişiminden dolayı
yüksek frekanslarda (GHz'ler) bazı bantlar (örneğin hücresel ağlar, mobil iletişim) ticari iletişime
açılmaya başlandı. Yine uluslararası anlaşmalar ve ileriye dönük planlar sözkonusu.
5.3. Analog Televizyon
Uzak mesafelerden görüntü iletimi her zaman ilgi çekmiş, üzerinde çalışılmıştır. Fikirler olsa
da elektrik işaretleri üzerinde başarılı çalışmalar ancak elektroniğin, gerçek manada işaret
kuvvetlendirmenin, yani radyo lambalarının bulunuşu ile yapılabilmiştir. Elektronikte en önemli
devrim radyo lambalarının bulunuşu (1906, Lee De Forest), ikincisi ise transistörün bulunuşudur
(1947, W. Brattain, J. Bardeen, W. Shockley). İşaret kuvvetlendirme olmadan, sayısal devrelerin
tasarımı ancak elektromekanik anahtarlar (röleler) ile yapılabilmekte idi. Bunlar da tahmin edileceği
üzere, hayal kurmayı bile zayıflatacak kadar yavaş, gürültülü, yer kaplayan ve kısa ömürlü idiler.
Plazma elektroniğinden (radyo lambaları) katı hal elektroniğine (yarıiletkenler) geçiş
süresince, yani sayısal devreler ve sayısal kavramı henüz emekleme aşamasında iken, ses ve görüntüyü
iletmek için birçok tasarım yapıldı, bazıları geliştirildi ve standartlaştırıldı. Tabi bu aşamada var olan
elektronik radyo lambaları üzerine dayanıyordu. O zamanlar geliştirilen yöntem ve standartlar geriye
dönük uyum gözetildiğinden dolayı transistörün ve hatta entegre devrelerin gelişmesinden sonra da
99
günümüze kadar korundu. O nedenle, analog TV yapısını ve işaretlerini incelerken aklımıza
gelebilecek "neden böyle?" gibi soruların çoğunun yanıtı o yıllardaki teknolojik seviyedir.
Analog televizyonda ses ve görüntü birbirinden göreceli olarak bağımsız şekilde iki ayrı
kanaldan iletilir. Şimdilik, ses iletiminin FM ile yapıldığını belirtip görüntü kısmına odaklanalım.
Şekil 5.27 görüntü iletiminin prensibini anlatmak üzere iletilecek görüntüyü oluşturan sahne,
görüntünün bir mercek sistemi aracılığıyla üzerine düşürüldüğü ışığa duyarlı bir yüzey, yüzeyi
tarayarak her noktasındaki parlaklığı elektrik işaretine çeviren bir sistem ve bu sistemle eşzamanlı
çalışarak ilgili herbir noktada ışık üretip görüntünün oluşmasını sağlayan ekran bileşenlerini
içermektedir. Yıllar önceki tasarımda, hem görüntü algılayıcı (verici) hem de görüntü üreteci (alıcı)
teknolojisi katot tüplerine (radyo lambaları) dayanmaktaydı ve standartlar o teknolojiye göre
belirlenmişti.
soldan sağa ve yukarıdan aşağı eşzamanlı tarama
iletim kanalı
sahne
optik
sistem
ışığa duyarlı yüzey
ışık üretebilen yüzey
Şekil 5.27 Görüntü iletiminin prensibi.
Şekil 5.27'deki ışığa duyarlı yüzey ve ilgili elektronik ile yapılmak istenen, bu yüzeye düşen
görüntüyü satır satır ve nokta nokta tarayıp parlaklık bilgisini kanala iletmektir. Tüm görüntü taranıp
gönderildikten sonra aynı işlem saniyede en az 30 kez tekrar edilmekte, insan gözü bu hızı
farkedemediği ve beyin satır aralarını uygun şekilde doldurduğu için istenilen hareketli görüntü etkisi
sağlanmaktadır. Tabi ki tarama hızı, satır sayısı ve her satırdaki nokta sayısı arttıkça görüntü
kalitesinin artacağı bellidir. Standard analog görüntü sistemlerinde satır sayısı 400-600 arasındadır
(ülkeler ve standardlara göre değişmekte). Buradaki çizimlerde 5-6 satır ile basitleştirme yapılmıştır.
Ayrıca, analog görüntü sistemlerinde her satırdaki nokta sayısından bahsedilmez, çünkü satırlar
noktalardan oluşmaz, süreklidir. Yine de, sistemin bantgenişliğine bağlı olarak oluşan görüntü kalitesi
birbirinden gözle ayrıştırılabilen nokta sayısı ile ifade edilebilir.
Şekil 5.27'deki ışığa duyarlı yüzeydeki taramanın 3 ve 4'üncü satırların parlaklıklarını yatay
eksene göre gösteren grafikler ve bu satırlar taranırken üretilip kanala gönderilen işaret Şekil 5.28'de
gösterilmiştir.
100
Parlaklık
3. satır
Parlaklık
4. satır
x
x
s (t )
Width
Width
t
tH
Şekil 5.28 Parlaklık ve görüntü işareti arasındaki ilişki.
Şekilden anlaşılacağı üzere satırı temsil eden elektriksel işaret ile satırdaki yatay koordinata
göre parlaklık fonksiyonu doğru orantılıdır. Siyah bölgeler 0'yakın, parlak noktalar ise yüksek voltaj
değerleriyle temsil edilirler. Ancak satır işaretleri arasına negatif yönde darbeler yerleştirilir. Bunlar,
alıcıya satır sonuna gelindiğini ve bir sonraki satır için başa dönülmesi gerektiğini bildirirler. O
yüzden isimleri satır eşzamanlama işaretleridir. Tüm satırlar taranıp gönderildiğinde tekrar ilk satırdan
başlanması için ayrıca bir darbe serisi üretilip gönderilir. Bunlara da sayfa eşzamanlama işaretleri
denir. Bu eşzamanlama işaretlerine yatay ve dikey eşzamanlama darbeleri de denir. Görüntüleme
cihazları konusuna geldiğimizde bu darbelerin şekli daha da açıklığa kavuşacaktır. Hem görüntü
parlaklık değerlerini hem de eşzamanlama darbelerini taşıdığı için bu işarete kompozit yada bileşik
video işareti denir.
Burada görüntü algılayıcılar üzerine bir parantez açıp özet verelim. Yıllar önce, görüntü
algılayıcıları, yani kameraların görüntüyü elektriksel işarete çeviren kısmı, bahsedilen tarama işlemini
analog/sürekli yöntemle yapıyordu. Daha sonra yerlerini, piksel diyebileceğimiz kesikli algılayıcılar
alsa da çalışma temelleri yine radyo lambaları gibi hareketli plazma prensibine dayanıyordu. 1975'te
geliştirilip 1980'lerden itibaren oldukça yavaşça bunların yerini alan günümüzün yarıiletken görüntü
algılayıcıları doğuştan piksel tabanlı olmasına rağmen kullanıldıkları kameralar yine eski standartta
işaret üretmek zorundaydılar (uyumluluk için). Şekil 5.29 ve Şekil 5.30 ışığa duyarlı yarıiletken hücre
dizileri ile analog ve sayısal görüntü işareti üretimini anlatmaktadır.
Kare şeklindeki yarıiletken hücrelerin üzerine ışık düştüğünde fotonların enerjisi ile orantılı
sayıda elektron serbest kalır ve hücrelerde görüntüyü temsil eden elektrik yükü birikir. Pozlama
bittiğinde (yeterince yük toplandığında) bu yükler elektrik alanları ile hücreden hücreye aktarma
yöntemiyle Yük-Voltaj çeviricisine yönlendirilir. Bu işlem sırasında ya ışık girişi engellenir yada
yükler aynı büyüklükte ve paralel bir başka hücre alanına aktarılır. Yükler elektrik alanı ile hücreden
hücreye aktarıldığı için bu gibi algılayıcılara Yük Aktarımlı Cihaz (CCD : Charge Coupled Device)
denir. Voltaja çevrilen işarete eşzamanlama darbeleri eklendiğinde Şekil 5.28'deki gibi bir kompozit
video işareti oluşur. Eğer görüntü sayısal olarak ileticek yada saklanacaksa bir analog-sayısal çevirici
kullanılır. Buradan da anlaşılıyor ki sayısal kamera deyince aslında içinde ADC barındıran kamera
anlaşılmalıdır, aksi halde algılayıcıların ürettiği görüntü işareti analog değerlerdir (voltaj).
101
algılayıcı hücreler dizisi
48
aşağıya öteleme
sahne
optik
sistem
8
9
3 2 1
8
3 2 1
Q
t
sağa öteleme
1
48
9
Şekil 5.29 CCD algılayıcı hücreleri ile görüntü işaretinin üretimi.
Q
t
Q/V
A/D
eşzamanlama
darbeleri
ekle
Format
Sayısal
görüntü
Analog
görüntü
işareti
Şekil 5.30 CCD hücrelerden alınan yük dizisinden analog ve sayısal görüntü işareti elde edilmesi.
CMOS (Complementary Metal Oxide Semiconductor) görüntü algılayıcıları da benzer
prensiple çalışır, ancak CMOS'ta her hücrenin yakınında bir devre, yükü voltaja çevirir ve ADC
devrelerine aktarır. Tabi ki yakındaki bu devreler ve iletim yolları silikon yüzeyinde yer kapladığından
hücre başına daha az ışık düşer. Bu nedenle görüntü kalitesi olarak CCD daha üstündür, ancak bu
avantaj giderek azalmaktadır. CCD'lerde yük aktarımı zaman gerektirdiğinden hızlı sistemlerde
CMOS tercih edilmektedir. Profesyonel fotoğraf makinelerinde ise (video dışında) CCD tercih
edilmeye devam etmektedir.
İlk tasarımı daha iyi anlamak için radyo lambaları yapısına ve çalışma şekline göz atalım.
Şekil 5.31 bir radyo lambası resmi ve basitçe bileşenlerini göstermektedir. Bir flamanla ısıtılan katod
iletkeni lamba içindeki boşluğa elektron yaymaya başlar. Zıt yüklü oldukları için normalde anota
doğru gitmesi gereken elektronlar aradaki aynı yüke sahip (eksi) ızgara (grid) tarafından bir miktar
engellenir. Izgaranın potansiyeli değiştikçe içinden geçen elektronların sayısı da değişir. Yani Izgaraya
verilen işaret ile anot-katot arasındaki elektron akışı, yani akım, kontrol edilmektedir. Uygun çalışma
voltajları seviyelerine getirilen radyo lambası, ızgaradaki çok küçük değişimler ile anot-katod arasında
büyük akımları kontrol edebilmekte, böylelikle işaret kuvvetlendirmesi yapmaktadır.
102
Şekil 5.31 Radyo lambası yapısı.
Elektronların yada iyonların boşlukta yada özel gazlar içinde serbest kaldığı duruma plazma
denmekte olup plazma teknolojisiyle çalışan birçok cihaz tasarlanmıştır. Televizyon tüpü de (CRT :
cathode ray tube) radyo lambası prensibiyle çalışmaktadır. Mikrodalga ve radar işaretleri üreten
magnetron ve klistron, aydınlatmada kullanılan floresan lambalar, x-ışını üreteçleri ve plazma ekranlar
da bunların arasında sayılabilir. Konumuzla ilgili olduğu için burada televizyon tüplerine değinelim.
Şekil 5.32 Televizyon tüpü bileşenleri.
Radyo lambalarında olduğu gibi, flamanın ısıttığı katoddan ayrılan elektronlar ızgaranın
(parlaklık kontrolü) kontrolünde yüksek voltajlı anota doğru ilerler. Fosfor kaplı anot yüzeyine çarpan
elektronlar orada noktasal olarak görünür bir ışığın üretilmesine sebep olur. Tüp camdan yapılmış
olduğu için bu ışıma dışarıdan parlak bir nokta halinde görünür. Elektron demeti normalde tam karşıya
çarpacakken saptırma bobinleri ile üretilen manyetik alan dolayısıyla ekranın istenilen noktasına
çarptırılabilirler. Bu bobinlere verilen akım testere dişine benzer. Böylelikle elektron ışınımı ekranı
boydan boya tarar. Şekil 5.32'de gösterilen bobinlerden şekil yüzeyine dik olarak yerleştirilmiş 2 adet
daha vardır (gösterilmiyor). Böylece ekran sağdan sola ve yukarıdan aşağıya elektron demetiyle
taranır. Ancak noktanın parlaklığı ızgara ile kontrol edildiğinden, tarama istenilen noktaya geldiğinde
o nokta istenilen parlaklığa getirilebilir. Fosfor tabakası, kendine çarpan elektron demeti kesildiğinde
de bir müddet ışımaya devam ederler. Saptırma bobin akımları ve ızgara voltajının eşzamanlı kontrolü
103
ile ekranda istenilen görüntü oluşturulabilir. Tabi ki ızgaraya verilen voltaj Şekil 5.28'deki satır
işaretleri, bobinlerin akımı ise yine Şekil 5.28'deki eşzamanlama işaretleriyle eşzamanlı bir üçgen
dalga olunca görüntü algılayıcının yüzeyindeki görüntü ekranda da oluşur.
Burada tek paragrafta oldukça kısa olarak özetlediğimiz çalışma şekli hem görüntü algılayıcı
hemde televizyon tübünde bulunan saptırma bobinleri dolayısıyla bazı önemli kısıtlamalar
içermektedir. Bobinlerdeki akım aniden değiştirilemez. Bu da saptırma bobinlerinde üçgen dalga
yerine üçgene yakın ama daha yumuşak geçişli bir işaretin kullanılmasını gerektirir. O nedenle
elektron demeti en sona geldiğinde tekrar baştan başlaması için yeterli sürenin geçmesi gerekir. Bu
geçiş anında da ekranda bir çizgi belirmemesi için (geri dönüş yolu) elektron akımının kesilmesi
gereklidir. İşte bu yüzden Şekil 5.28'deki eşzamanlama işaretleri iki aşamalıdır. Önce negatife düşerek
elektron yayılımının kesilmesi sağlanır, daha sonra daha da negatif bir voltaj ile geri dönüşün
başlaması için eşzamanlama darbesiyle alıcıya "yeniden başla" işareti verilir.
CRT'nin çalışma şekli bobinler yerine saptırma levhaları ile daha kolay anlaşılabilir. Şekil
5.33, CRT ekranın saptırma levhaları modeli ile önden görünüşü ve levhalara uygulanan asimetrik
üçgen dalgalarla göstermektedir. Testere dişi dalga kullanılamamasının sebebini yukarıda anlatmıştık.
Dalga şekilleri üzerinde Türkiye'de kullanılan TV sistemi olan PAL (phase alternating line)
standardında belirtilen zamanlar da gösterilmiştir. Ayrıca ekranda oluşan satırlar tek ve çift numaralı
alanlar olarak ayrılmaktadır. v(t ) işaretinin ardışıl periyodlarında çok küçük bir DC voltaj farkıyla,
dönüşümlü olarak tek ve çift numaralı satırlar taranır. Buna geçişmeli (interlaced) tarama denir.
Böylece daha düşük bir ekran tazeleme frekansıyla 2 kat daha fazla satır taranmakta, bu ise insan gözü
tarafından farkedilmemektedir.
tek satırlar
çift satırlar
v(t )
+
t
v(t )
-
20 ms
1.6 ms
-
h(t )
h(t )
+
11.8 -12.3 µs
t
64 µs
Şekil 5.33 Saptırma levhaları modeli ve levhalara uygulanan saptırma işaretleri.
104
Siyah-beyaz televizyon sistemi görüntünün sadece parlaklık bilgisini taşır. Renkli sistemde ise
renk bilgisini de taşımak ve gösterebilmek gereklidir. Ayrıca, uzun yıllar siyah-beyaz TV sistemlerinin
hakim olduğu dünyada TV alıcıları en ücra evlere girdiğinden, renkli sisteme geçişte, insanlara
alıcıların artık bir işe yaramadığın söylemek te mümkün değildir. O nedenle, bu geçişte, herhangi bir
TV alıcısının (renkli yada siyah-beyaz) hem renkli hem siyah-beyaz görüntü işaretini kullanabilmesi
sağlanmalıydı. Uyumluluk gözetilerek yama şeklinde bir tasarım yapıldı. Şekil 5.34'te verilen TV
işareti tayfında renk bileşeni olarak 4.43 MHz'de gösterilen bileşen siyah-beyaz sistemde yoktur,
renkli yayınlarla beraber eklenmiştir. Böylelikle, bu eklentinin orada olduğunu farkedip işleyebilecek
kadar gelişmiş (renkli) alıcılar yayınların renk bilgisinden faydalanır, işaret yok ise siyah beyaz
gösterebilir. Siyah-beyaz alıcıların ise zaten o işaretten haberi yoktur. Renkli yayınlarda o bileşenler
görüntünün yüksek frekanslı kısımlarında (detaylar) bir miktar bozulmaya neden olsa da görüntüyü
siyah-beyaz olarak gösterirler. Böylece ileriye-geriye dönük uyumluluk sağlanmış olur.
|HTV(f)|
görüntü (parlaklık)
görüntü (renk)
ses
f (MHz)
0
-1.25
4.43
5.5
6
Şekil 5.34 TV işaretinin tayf bileşenleri.
Aynı uyumluluk TV yayınının ses bileşeni için de geçerlidir (bkz Stereo FM). Şekil 5.34'te
gösterilen sembolik tayf TV yayınının 0 frekansında olduğu varsayılarak çizilmiştir. Tabi ki şekildeki
frekansların asıl çalışma frekansına göre değiştirilmesi gerekir. Ticari karasal TV yayınları için ayrılan
frekanslar VHF ve UHF bantlarındadır. Örneğin UHF 500 MHz'de yayın yapılıyorsa, Şekil 5.34'teki
tüm frekanslara 500 eklenmelidir. Bu durumda, TV işareti göndericisinin blok diyagramı Şekil
5.35'taki gibi çizilebilir.
kamera
RGB
eşzamanlama
YUV
UV
ses R
VSB-AM
(X MHz)
Y
burst
QAM
(X+4.43 MHz)
Karıştırıcı
(VHF/UHF)
TV
stereo FM
(X+6 MHz)
ses L
Şekil 5.35 TV gönderici blok diyagramı.
TV işaretinin görüntü (parlaklık) kısmı AM'dir. Ancak Şekil 5.34'teki çizimdeki taşıyıcı, daha
önce gördüğümüz AM türlerinden farklı olarak, parlaklık tayfının tam ortasında yer almıyor. Buna
Artık Yan Bant (VSB : Vestigial Side Band) AM denmektedir. AM'de iki yan bantın aynı bilgiyi
105
taşıdığını öğrenmiştik. Yani sadece tek yan bant, bilgiyi taşımak için yeterli (Şekilde üst yan bant).
Ancak AM işaretinin sadece üst yan bantını ayırmak için oldukça keskin süzgeçler gerektiğini de
biliyoruz. Bu nedenle, çok keskin olmayan bir süzgeç kullanılması durumunda alt yan banttan da
bileşenler kalacaktır. Bu işlem Şekil 5.36’te resmediliyor.
Keskin olmayan bir bant geçiren süzgeç
VSB-AM
AM
alt yan bant
üst yan bant
Şekil 5.36 AM işaretinden VSB-AM işaretinin bant geçiren süzgeç ile elde edilmesi.
5.3.1. Renkli Görüntü
Renklerin 3 ana rengin farklı oranlarda karışımından elde edilebileceğini lise bilgilerimizden
hatırlıyoruz. Bu üç ana renk ise yüzeylerin ışığı yansıtarak (çıkarma) yada geçirerek/üreterek
(toplama) çalıştığına göre belirlenir. Örneğin, boyaları karıştırarak ara renkleri üretmek çıkarmalı
yaklaşımdır. TV ekranları ışığı kendisi ürettiği için toplamalı yaklaşımdaki ana renkler kullanılır.
Toplamalı ve çıkarmalı yaklaşımlar ile 4 ara rengin üretimi Şekil 5.37'da gösterilmektedir. Toplamalı
yaklaşımdaki Kırmızı-Mavi-Yeşil (RGB : Red-Green-Blue) anarenklerini ele alalım. Şekilde sadece 3
ararenk ve beyaz gösterilmesine rağmen anarenklerin farklı oranlarda karışımından istenilen rengin
üretilebileceği açıktır. Sonuç renk, karışımdaki miktarlar arttıkça beyaza, azaldıkça da siyaha
yaklaşacaktır. Örneğin hiç ışık üretilmez ise siyah, tüm renkler en parlak haliyle üretilirse de elde
edilen renk karışımı beyazı temsil eder. Yani siyah beyaz TV tübündeki beyaz fosfor yerini bu üç ana
rengi üreten üç ayrı fosfora bırakır. Bu fosforların nasıl ayrı ayrı kullanılabildiğini daha sonraya
bırakalım.
Şekil 5.37'den aklımızda kalması gereken şey, siyah-beyaz ekrandaki parlaklığı belirten tek
işaret yerine artık 2 ayrı işaretin kullanılması gerektiğidir. Peki, istenilen rengin 3 ana rengin çeşitli
oranlarıyla karıştırılarak elde edildiğini söylememize rağmen neden 3 değil de 2 işaretin yeterli
olduğunu söyledik? Şekil 5.37'nın aslında bir düzlem üzerinde olduğunu ve herhangi bir noktasını
(rengi) belirtmek için 2 koordinatın yeterli olduğunu hatırlayalım. Eğer TV standartları günümüz
teknolojisiyle tasarlanıyor olsaydı ve geriye dönük uyumluluk gerekli olmasaydı, TV sistemi 2
işaret/koordinat kullanırdı. Geçerli olan renkli analog TV standardında, R, G ve B sırasıyla kırmızı,
yeşil ve mavinin katkıları olmak üzere,
Y  0.3R  0.59G  0.11B
U  0.49( B  Y )
(5.8)
V  0.88( R  Y )
dönüşümüyle elde edilen 3 değer kullanılır. Yani 2 değil 3 işaret kullanılmakta. (soru: hem eskiye
uyumlu hem de 2 işaret kullanan renkli tasarım yapılabilir miydi?). Bunlardan Y (lüminans :
106
luminance) üç rengin ağırlıklı ortalaması olup parlaklığı temsil eder. U ve V değerlerine krominans
(chrominance) denir (aynısı olmasa da bu değerler bazen Cb ve Cr ile anılırlar). Tabi ki YUV'den
RGB'ye
R  Y  1.14V
G  Y  0.4U  0.58V
(5.9)
B  Y  2.03U
dönüşümüyle de RGB değerleri geri elde edilebilir.
Şekil 5.37 Toplamalı ve çıkarmalı renk diskleri.
Renkli televizyon sisteminde Y bileşeni siyah-beyaz TV'deki parlaklık olarak VSB-AM ile
gönderilir. Diğer iki bileşen, U ve V için Dördün Genlik Modülasyonu (QAM : quadrature amplitude
modulation) yöntemiyle Şekil 5.34'te gösterilen 4.43 MHz'den gönderilir. QAM, (5.1) ile verilen genel
taşıyıcı işaretinin genlik ve fazının aynı anda kontrol edilmesi demektir. İki büyüklük taşınacağından
bu modülasyon şekli uygun görülmüştür.
Alıcı cihazın (renkli TV alıcısı) öncelikle 4.43 MHz'de renk bileşenleri olup olmadığını
belirleyip, varsa lüminans değerini (-1.25, 4.0) MHz aralığındaki, yoksa (-1.25, 5.5) aralığındaki VSBAM bileşenlerinden elde etmesi gerekir. Eğer renk bileşenleri yoksa, alıcının siyah-beyaz alıcı gibi
çalışması gerektiğini biliyoruz. Ama varsa, 4.43 MHz'deki bileşenlerden U ve V değerlerini bulması
gerekir. Peki renk bileşenin varlığı nereden belli olur ve U ve V değerleri nasıl bulunur?
Şekil 5.38 renkli görüntü için siyah-beyaz görüntü işaretinin eşzamanlama darbesi civarında
yapılan eklentiyi ve QAM renk bilgisinin parlaklık işareti üzerine toplanmasını gösteriyor. Alıcıdaki
4.43 MHz'lik bir osilatör yatay eşzamanlama darbesinden hemen sonra gelen 4.43 MHz'lik sinüsoidal
ile eşzamanlanır. Bu 9 periyotluk işarete renk darbesi (color burst) adı verilir. Satır resim işaretinin
ortalama değeri lüminans değerini, üzerine eklenmiş olan 4.43 MHz'lik sinüsoidalin referans osilatöre
göre fazı ve genliği de U ve V değerlerini verir. Renk darbesi her satırda gönderildiği için, alıcıdaki
referans osilatörü 4.43 MHz merkezli bir keskin bantgeçiren süzgeç yardımıyla eşzamanlanır.
Görüldüğü gibi renk bilgisinin iletimi kanal gürültüsünden ve çoğunlukla da çoklu yol dediğimiz anlık
gecikmelerden oldukça kolay etkilenebilecek bir şekildedir. Özellikle Şekil 5.39'de gösterildiği gibi
yüksek binalardan yansıyıp farklı yollardan alıcıya ulaşan işaretler toplandığı için işaretin fazı,
dolayısıyla da renk bilgisi kolayca etkilenir. Bu etkiyi azaltmak için Türkiye dahil birçok ülkede
107
kullanımda olan PAL (phase alternating line) sistemi geliştirilmiştir. Beklenti, renk işaretinin her
satırda 180 faz değiştirdiği bu sistemde yansımaların etkisinin azalmasıdır.
tüm satırlar aynı ise ekranda görülecek renk çubukları
beyaz
QAM renk işaretinde
faz ve genlik iki ayrı
bilgi taşıyor.
Kesikli çizgi
ortalama değer, yani
lüminans
satır
eşzamanlama
darbesi
ön karartma
4.43 MHz
pilot işareti
(9 periyod)
siyah
Şekil 5.38 İki adet yatay eşzamanlama darbesi ve arasında bir satırlık bilgiyi içeren renkli kompozit
görüntü işareti.
yansıma
doğrudan
alınan işaret
verici
TV alıcısı
Şekil 5.39 Çok-yollu alış (multipath reception) örneği.
Çeşitli teknolojilere sahip renkli katod-ışını-tüplerinin bir tanesinin çalışma prensibini
açıklamak için gerekli şekil de Şekil 5.40'da gösterilmiştir. Burada R, G ve B olarak
isimlendirebileceğimiz 3 tane elektron tabancası (ısıtıcı flaman, katot ve ilgili ızgara) vardır.
Herbirinden yayılan elektron miktarı ilgili rengin katkısını belirler ve ilgili ızgara ile kontrol edilir.
Siyah-beyaz CRT'nin aksine ekran beyaz fosforla değil Şekil 5.40'da gösterildiği yerleşimle 3 ayrı
renkte fosfor benekleriyle kaplanmıştır. Bu benekler oldukça küçük ve birbirine yakındır, böylelikle
108
uygun bir uzaklıktan bakılınca üç rengin karışımı görünür. Fosfor tabakasının hemen arkasında yer
alan açıklık ızgarası (aperture grid/grill) ekrandaki RGB forsfor üçüzleri kadar deliğe sahiptir. Bu
ızgara imalat sırasında öyle yerleştirilir ki, R tabancasından çıkan elektron ışını sadece kırmızı fosfor
üzerine düşebilir. Diğer tabanca ve fosfor çiftleri için de bu durum geçerlidir. Yani tabancaların,
ızgaranın ve fosfor beneklerinin yerleşimi birbiriyle sıkı bir şekilde bağlantılıdır. Şekil 5.40'deki fosfor
yerleşimine üçgen (delta) yerleşim denir ve elektron tabancaları da üçgen şekilde (karşıdan bakınca)
yerleştirilir. Detaylarına girmeden farklı yerleşim teknolojilerinin de varlığını (farklı fosforlar da)
söyleyelim.
3 ayrı elektron tabancasının
ızgara kontrolleri
renkli fosforlar
R
G
B
açıklık ızgarası
fosfor yerleşimi (önden görünüm)
Şekil 5.40 Renkli CRT'nin prensibi.
5.3.2. Görüntüleme Teknolojileri
Neredeyse kaybolmak üzere olan CRT prensiplerine niçin değindik? Çünkü analog TV
standardları bu teknolojiler üzerine kuruldu. İleriye-geriye dönük uyumluluk sebebiyle işaret
standardları korundu. Modern görüntü algılayıcıları (kameralar) ve modern gösterim cihazları
(ekranlar) çok daha yeni standardlara sahip (hatta standard dışı) işaret ve yöntemlerle çalışabilmesinin
yanında eski işaret ve yöntemleri de barındırmaktadır. Birazdan kısaca değineceğimiz plazma ekran ve
sıvı kristal göstericilerin, teknolojideki belirgin ilerlemeye rağmen, hala CRT'lerle yarışamayacağı
alanlar vardır.
Sıvı kristal yapısı 1888 gibi oldukça erken bir tarihte bulunmuş olmasına ve üzerinde birçok
çalışma ve buluş yapılmasına rağmen 1970'lerde ekran teknolojisinde kullanılmaya başlayınca kadar
geniş bir uygulama alanı bulamamıştır. Bir bakıma, bilimsel araştırma-geliştirmenin er geç önemli
sonuçlar vereceğinin bir göstergesidir. Başlangıçta saat, hesap makinası gibi küçük ölçekte kullanılan
sıvı kristal ekranların (LCD : liquid crystal display), günümüzde neredeyse ekran ihtiyacı olan tüm
uygulamalarda yer bulabilmesi ise LCD üzerine yapılan yatırımın bir sonucudur.
Şekil 5.41, LCD ekranların çalışma temellerini anlamaya yardımcı olacaktır. Sıvı kristalleri
uzun çubuklar halinde dizilmiş moleküller olarak düşünebiliriz. Çubukların özelliği ise elektrik alanına
tepki vermesi, yönlerini elektrik alanına göre değiştirmeleridir. Şekil 5.41'te görüldüğü gibi, ışık
geçiren iki elektrot arasına sıkıştırılmış sıvı kristaller elektrik alanı yokluğunda dağınık vaziyette
109
duruyorken, elektrik alanı altında alan boyunca uzanırlar. Dağınık durumdayken, bir taraftan verilen
ışığın önemli bir miktarı diğer tarafa ulaşamamaktadır. Elektrik alanı boyunca paralel uzanan çubuklar
ise ışığın büyük kısmının geçmesine izin verirler. Yani elektrik alanı kullanılarak ışık geçişi kontrol
edilebilmektedir. Bu yöntem son zamanlarda pencere camlarında da kullanılarak ışık kontrolü
yapılmaktadır. Elektrotlar cam yüzeylerine belirli şablonlar halinde yerleştirilince ise şablonun
şeklinin görüntüleneceği açıktır. Hesap makinalarının göstergelerinde rakam ve diğer yardımcı
karakterlerin şablonları kullanılmaktadır.
ışık kaynağı
sıvı kristal
ışık
+
-
ışık geçirgen elektrotlar
Şekil 5.41 Sıvı kristal görüntüleyicilerin çalışması.
Şablon olarak çok küçük noktalar kullanıldığında ise ürettikleri elektrik alanlarının kontrolü
ile oldukça kaliteli görüntüler elde edilebilir.Işık kaynağı olarak beyaz ışık kullanıldığında da, bu
noktaların (piksel) önlerine konulan aynı boyuttaki renkli ışık süzgeçleri yardımıyla renkli görüntüler
elde edilmektedir. Günümüz üretim teknolojileri ile, çok yakından dahi ayırdedilemeyecek küçüklükte
noktalar ile çok yüksek çözünürlüklü görüntü sağlayabilecek ekranlar üretilebilmektedir.
Ancak LCD görüntüleyicilerin zayıf yanları da vardır. Kendileri ışık üretmezler, dış kaynağa
ihtiyaç duyarlar. Kaynak olarak arka aydınlatma kullanıldığında ekranın tüm bölgelerinin aynı
miktarda aydınlatılabilmesi için özel ışık yayıcı tabakalar kullanılır. Çoğu hesap makinesi gibi küçük
cihazlarda ise çevresel ışıktan faydalanılır. Işık LCD'nin ön kısmından girer, arka elektrottan yansır.
Tabi ki bu cihazlar karanlıkta görüntü veremezler.
LCD'lerin çok daha önemli ve çözülmesi için uzun yıllar araştırma yapılmış bir diğer problemi
ise kristallerin mekanik hareket yapmasının gerekliliği ve bu hareketin bazı uygulamalarda yavaş
kalmasıdır. Örneğin 1990'lı ve 2000'li yılların başlarında LCD'den hareketli bir film izlediğinizde,
özellikle tam karşıdan izlemiyorsanız, ekranın bazı bölgelerinin kararmış hatta alakasız bir grilikte
olduğunu farkederdiniz. Bunun sebebi, henüz kristaller uygun açıya gelmeden görüntünün, yani
elektrik alanının, değişmesidir. Soğuk ortamlarda LCD'nin tepki süresi (response time) çok daha
belirgindir. LCD sıvısı soğukta önemli oranda yavaşlar. Teknolojisindeki bunca gelişmeye rağmen, dış
ortamlarda olması gereken elektronik cihazların, mesela otomatik banka makinelerinin (ATM :
automated teller machine) ekranlarının hala CRT ile gerçeklenmesi bu yüzdendir. CRT soğuktan hiç
etkilenmez.
LCD'ler için bir başka problem ise ışığın ne tamamen kesilmesinin ne de tamamen
geçirilmesinin mümkün olmamasıdır. Yani karanlık bir odada izlerken en siyah yerlerin aslında
yeterince siyah olmadığını görürsünüz. Beyaz yerler için problem yok gibi görünse de, buraların daha
110
parlak olması için arka aydınlatmanın gücü arttırıldığında, siyah bölgeler bundan kötü yönde
etkilenirler. Özetle, kontrast (beyaz/siyah oranı) kötüdür.
Şekil 5.42'ta ise 1980'li yıllarda yaygınlaşıp 2000'li yıllarda ortadan kaybolan bir diğer
görüntüleme teknolojisi olan plazma ekranın çalışma prensibini göstermektedir. Plazma ekranlar, LCD
gibi, bir tanesi ışık geçiren iki elektrot arasına sıkıştırılmış, içleri soygaz dolu, fosfor kaplı binlerce
küçük hücreden oluşmaktadır. Elektrotlara verilen voltaj ile oluşan elektrik alanı dolayısıyla üretilen
plazma, yani iyonlar, morötesi ışınım yayarlar. Morötesi ışınım hücre çeperlerine kaplanmış renkli
fosfor (florasan) tabakasına çarptıklarında ise renkli ışık üretilir. Bu görülebilir ışık, geçirgen ön
panelden görülür. Bu yapı CRT'ye benzemektedir ve LCD'ye göre üstünlükleri vardır. Örneğin kendi
ışığını kendisi ürettiğinden dış kaynağa gerek yoktur. Ayrıca mekanik bir hareket olmadığından tepki
süresi gibi bir sıkıntısı da yoktur. Ancak yapı biraz kalındır ve dolayısıyla LCD'ye göre ağırdırlar. Peki
LCD'ye göre üstünlükleri olmasına rağmen piyasadan neden kalkmışlardır?
elektrotlar
cam
plazma
(iyon bulutu)
cam
elektrotlar
fosfor (florasan madde)
Şekil 5.42 Plazma ekran yapısı.
Bu sorunun cevabı "pazarlama" olarak verilebilir. Büyük miktarlarda ekran üreten birkaç
firma vardır. Plazma ekran üreten firmalar, LCD'ler ortaya çıktığında, plazmanın bütün üstünlüklerine
rağmen, plazma yönünde yeterince reklam yapmamış, LCD'nin piyasayı doyuma ulaştırmasına sebep
olmuştur. Ayrıca LCD'nin tek avantajı olan hafifliği, üreticilerin faydasına olduğundan (nakliye), bu
üstün teknolojinin kaybolmasına ve üretimlerinin durmasına göz yumulmuştur. Bugün bile, ancak en
kaliteli LCD ve LED ekranlar plazmanın görüntü kalitesine (parlaklık, kontrast, izlenebilme açısı,
görüntü oluşturma hızı) yaklaşmaktadır.
Peki günümüzde sıkça duyduğumuz LED-TV yada LED ekran nedir? Gerçekten tamamen
LED (light emitting diode : ışık yayan diod) ile gerçekleştirilen görüntüleyiciler var olsa da (örneğin
OLED : organic LED) LED ekranların çoğunluğu aslında LCD olup normalde florasan lamba olan
arka aydınlatmasının LED ile sağlanmış halidir. Bunun bazı avantajları vardır. Örneğin görüntünün
karanlık olan bölgelerindeki aydınlatmayı kısarak yada kapatarak siyahların daha siyah olması
sağlanmaktadır. Çok büyük olmayan ekranlarda, aydınlatma özel ışık dağıtıcılar kullanılarak
kenarlardan yapılıp ekranın çok daha ince olması sağlanabilmektedir.
Ekran konumuzu 3-boyutlu görüntüleme teknolojlerinden birkaç önemli/yaygın örnek vererek
noktalayalım. Şekil 5.43 çok bilinen 3D görüntüleme tekniklerininden dört tanesini göstermektedir.
3D görüntüleme sağ ve sol göze iki ayrı görüntünün verilmesi esasına dayanmaktadır. Derinlik
duygusu insan beyni tarafından oluşturulur. İki göze iki ayrı görüntü vermek için görüntüleri doğrudan
göze yakın yerde (gözlükte) oluşturan LCD ekranlı gözlükleri (VR gözlük : virtual reality gözlük)
111
saymazsak, tekniklerden ilki, "Anaglyphic" yöntem, görüntüde derinlik hissi verecek kenarların sağ ve
sol göze iki ayrı rengi baskın olacak şekilde gösterilmesidir. Bu renkler çoğunlukla mavi ve kırmızıdır.
İzleyiciler, bir camı mavi diğeri kırmızı ışığı baskın olarak geçiren bir gözlük kullanır. Bu gözlüğün
çerçevesi kağıttan, camları da jelatinden yapıldığından oldukça ucuzdur ve gözlüğün bedava
dağıtılması gerektiği yerlerde (sinema salonlarında) çok kullanılmıştır.
İkinci yöntem ise birinciye göre oldukça pahalıdır. Ekran sağ ve sol göze gidecek görüntüleri
birbirine dik iki polarizasyonda, aynı anda gösterir. İzleyicilerin gözlükleri de bu dik polarize ışıkları
geçirecek polarize camlardan yapılmıştır. Tam faydalanmak için görüntüyle gözlük
polarizasyonlarının aynı yönde olması gerekir. Örneğin yatarak izlenirse hatalı derinlik yada zayıf ışık
ile sonuçlanır. Bu yöntem de sinema salonlarında kullanılır, ancak gözlükler izleyiciye ücret/depozito
karşılığı verilir. Ekranlar ise patentli olduğundan pahalıdır ve büyük ölçülerde üretilmezler.
Eşzamanlı 3D gösterim yöntemi ise sağ ve sol göze gösterilecek olan görüntülerin ardışıl
olarak hızla gösterilmesi ve aynı anda izleyici gözlüğünün diğer camının karartılması prensibiyle
çalışır. Yani sağ görüntü gösterilirken sol gözlük karartılır, sol görüntü sırasında ise sağ gözlük
karartılır. Karartma işlemi LCD camlar kullanılarak gerçeklenir. Şekilde eşzamanlılığı göstermek için
kablo kullanılmış gibi görünse de normalde bağlantı kablosuz olarak sağlanır. Bu nedenle gözlüklerde
pil vardır ve ilgili elektronikle beraber, önceki iki yönteme göre, biraz ağır olabilir. 3D ev
televizyonları çoğunlukla bu yöntemle çalışır. Televizyon satın alındığında 4-6 gözlük hediye verilir.
Daha sonra alınacak ilave gözlükler ise biraz pahalıdır. Bu, aynı zamanda 7 kişiyle 3D film
izlenememesi anlamına gelmektedir.
Paralaks ızgara (autostereoscopic parallax barrier) son zamanlarda üzerinde en çok araştırma
yapılan ve gözlüksüz 3D izlemeye olanak veren bir tekniktir. İki görüntü ekranda aynı anda ve
birbirine geçmiş olarak verilir. Ekranın önündeki bir ızgara, uygun yerde oturan izleyicinin sağ
gözünün sağ görüntüyü, sol gözünün de sol görüntüyü görmesini, diğerini görmemesini sağlar.
Buradaki anahtar sözcük "uygun yer"dir. Uygun yerde oturmayan yada yatan izleyici ya 3D'yi yanlış
algılar yada 3D görmez. Son zamanlarda yapılan çalışmalar ile bu uygun yerlerin (hot-spot) sayısı 7'ye
kadar çıkarılmıştır. Yani 7 kişi uygun yerlere oturarak gözlüksüz 3D izleyebilmektedir.
Bunlardan başka da 3D görüntüleme yöntemleri de vardır. Örneğin holografik yöntemler hem
gözlüksüz hemde izleme yerinden bağımsız olarak 3D izlemeye olanak verebilmektedir. Ancak bu
yöntemler kişisel kullanım için oldukça pahalıdır. Görüntüleri kaydetme yöntemleri de oldukça
pahalıdır ve çok fazla saklama alanı gerektirirler.
3D görüntüler 2D görüntülerden sahte olarak oluşturulabilse de gerçekte stereo+ görüntü
algılayıcı gerektirirler. Yani 2 yada daha fazla kamera, kaydedici ve iletişim kanalı gereklidir.
Görüntüleme sistemlerinin haberleşme ile ilgisi olmadığı ve burada gereksiz yer işgal ettiği
düşünülebilir. Ancak haberleşmenin çok büyük bir yüzdesinin eğlence amaçlı görüntü iletiminden
oluştuğunu hatırlamalıyız. Ayrıca çoğu elektronik mühendisliği bölümünde görüntüleme
teknolojilerinin anlatıldığı bir ders bulunmamaktadır. O nedenle, özet olarak da olsa, haberleşme
derslerinde bu konuda bilgi verilmesinde büyük yarar olduğu düşüncesindeyim.
112
Anaglyphic
Polarize
Paralaks ızgara
Eşzamanlı
Şekil 5.43 Üç boyutlu görüntüleme teknikleri.
5.3.3. Çözümlü Problemler
1. Aşağıda tayfı verilen bir x(t ) tabanbant işareti yine aşağıda verildiği şekilde frekansları aynı faz
farkı  / 2 olan iki taşıyıcıyla çarpılıyor. c  3 ise z (t ) çıktısının tayfını çiziniz.
Çözüm
trigonometrik
bağıntısını
kullanarak
sin(a)cos(b)  2sin(a  b)  cos(a  b)
z(t )  x(t )cos(3 t )sin(3 t )  2 x(t )sin(6 t ) olduğunu görebiliriz. Bu ise taşıyıcı frekansı
c  6 yada f c  3 olan DSB-SC AM işaretidir.
113
114
6 Sayısal İletişim
Sayısal iletişim deyince iletilecek verinin sınırlı sayıda farklı değer almasını anlıyoruz. Bu veri
analog işaretlerin sayısala çevrilmesi ile (ADC yardımıyla) elde edilmiş yada zaten sayısal şekilde
(örneğin bilgisayar sabit diskindeki veriler) olabilir. Burada sayısal devre tasarımlarını gördüğümüz
derslerin (örneğin Digital Systems) konularına derinlemesine girmeyeceğiz. Sayısal mantık devrelerini
tanıdığımızı varsayıp bunların iletişimde kullanımına değineceğiz. Sayısal devreleri bilmek, verilerin
bu devrelerde nasıl saklandığını ve devreden devreye nasıl aktarıldığını, saat işaretinin (clock signal)
nasıl kullanıldığını da bilmek demektir. Eğer bu konulara yabancı iseniz, öncelikle onları tanımanız ve
öğrenmeniz tavsiye edilir.
Veriler sayısal devrelerde nasıl saklanırsa saklansın başka bir sisteme aktarılırken çok büyük
bir ihtimalle seri veriler haline getirilirler (serialization). Seri hale getirilmiş verinin bir sayısal
saklama elemanından diğerine aktarıldığı Şekil 6.1'i inceleyelim. Bu saklama elemanları genellikle
kaydedici (register) yada iki durumlu kaydedici (flip-flop) olarak isimlendirilirler. Burada FF olarak
kısaltacağız. Bir FF'ten diğerine veri aktarma işlemi saat işaretiyle eşzamanlıdır (synchronous), yani
Şekil 6.1'de sağda gösterildiği gibi, saat işaretinin her tıklamasında (yükselen kenarında) veri bir
FF'ten diğerine aktarılmaktadır. Bir başka deyişle, veri aktarım işleminin saat işaretine ihtiyacı vardır.
iletim kanalı
Din
Dout
Dout
Din
Dout2
clk
clk
bits
0
1
2
3 …
Şekil 6.1 Tek devre içindeki en basit sayısal iletişim.
Şekil 6.1'de örneği gösterilen ve 2 değer alabilen verilerin (örneğimizde 0 ve 1) farklı birer
voltaj değeriyle temsil edilmesi ve iletilmesi, Darbe Genlik Modülasyonunun (PAM: Pulse Amplitude
Modulation) en basit şeklidir. Çoğunlukla, iletilmek istenen M farklı sembol yine M farklı
dalgaformu yada sabit voltaj değeri ile temsil edilir.
Bu örneği biraz genelleyelim; Dn , herbiri A  {a0 , a1 ,..., aM 1} sembol setinin bir elemanı
olan ve iletilmek istenen veriyi temsil eden dizi olsun. Sembol setindeki her sembole karşı 1 adet
dalgaşekli (fonksiyon) içeren dalgaşekli setimiz de S  {s0 (t ), s1 (t ),..., sM 1 (t )} olsun. Yani A ve S ,
elemanları birebir karşı gelen (1-to-1 correspondence), sıralı yada değil, paralel iki settir; A  S .
si 'ler herbiri diğerlerinden farklı sabit değerler olabilir. Bu durumda, Dn  {d0 , d1,...} veri akışının
herbir elemanına karşıgelen dalgaformu dizisi
şeklinde yazılırsa, gönderilecek elektriksel işaret
SD  {s0i (t ), s1i (t ),
, sni (t ) }, i  1,..., M  1
115
x(t )   sni (t  nTs ) .
(6.1)
n
olur. Burada Ts , herbir sembol için kullanılan gönderme zamanı (symbol duration) olup, genellikle
tüm semboller için aynıdır. Ayrıca sni (t  nTs ) fonksiyonları zamanda örtüşebilir. Alıcı devreleri bu
M farklı dalgaformunu tanıyıp gönderilmek istenen sembolleri belirleyebilecek şekilde tasarlanır.
Şekil 6.1'deki örnekte sembollerimiz ikili sistemdeki 0 ve 1 değerleridir. M =2'dir ve 2
dalgaformu si (t )  (u(t )  u(t  Ts ))ci şeklinde tanımlanmış olup ci 'ler iki farklı voltaj değeridir. Bu
değerler 0 ve 5 V olabilir (Şekil 6.2).
s0 (t )
s1 (t )
c1
c1
t
c0
t
c0
Ts
Ts
Şekil 6.2 M  2 , {a0 , a1} sembolleri için kullanılan {c0 , c1} değerli darbeler.
Şekil 6.3'de 4 farklı sembol kullanan bir örnek verilmiştir. Burada {a0 , a1 , a2 , a3} sembol seti
için ci  {3, 1,1,3} voltaj seviyeleri seti kullanılmış ve örnek bir sembol dizisi için iletim kanalına
verilen işaret gösterilmiştir. Herbir sembol için kanalda ayrılan süre, Ts , ne kadar küçük ise birim
zamanda (saniye) o kadar çok veri iletilir. Birim zamanda iletilen sembol sayısına sembol-oranı
(symbol-rate) denir. Sayısal sistemlerde veriler bit denilen üniteler ile saklandığından ve iletim
sistemlerini karşılaştırmak için ortak bir ölçü birimi gerektiğinden, sembol-oranı çoğunlukla bitoranına (bit-rate) çevrilerek söylenir.
Dout
" a3a2a1a2a0a3a1a1 "
3
1
-1
t
Tb
-3
Şekil 6.3 M  4 , {a0 , a1 , a2 , a3} durumunda örnek " a3a2a1a2a0a3a1a1 " verisinin {3, 1,1,3}
değerli derbelerden oluşturulan PAM ile iletilmesi.
116
Tabi ki Şekil 6.3'te örneği verilen çok seviyeli PAM işareti sadece flip-flop gibi mantık
devreleri kullanılarak üretilemez. Mantık devreleri arasında iletişimin 2 seviyeli olması tasarım
kolaylığı sağlayacaktır.
Şekil 6.1'deki iletim kanalı mesafesini göreceli olarak biraz arttıran Şekil 6.4'deki basit
koaksiyel (coaxial : eşeksenli) kablolu tasarıma göz atalım. Burada seri haldeki veri, gönderici
tarafındaki hat sürücüleri (line-buffers) üzerinden iletim kablolarına aktarılıyor. Sembollerin kablo
üzerinde hangi voltaj seviyeleri yada dalgaformları ile temsil edileceği ve herbir sembolün (bitin)
kablo üzerinde hangi süreyle duracağı (saat frekansı) bir tasarım problemidir. Kolaylık olması
açısından, makul değerler ve makul süreler seçildiğini varsayalım. Alıcı tarafındaki sürücü devreler
kablodaki voltajları alıcı devrelerinin kabul edeceği seviyelere getirir. Alınan sembol değerleri,
paralelinde alınan saat işaretinin tıklamasıyla sayısal devrenin ilk saklayıcı FF ünitesine alınır ve
buradan sonrası sayısal devrelerin işidir.
iletim kanalı
gönderici
alıcı
çıkış sürücü devreleri
(output-buffers)
giriş sürücü devreleri
Şekil 6.4 Basit eşeksenli kablolu iletişim kanalı.
Bu basit tasarımda bile olan ve olası birçok dezavantajı ve problemi görebiliriz. Örneğin saat
işareti için veri kablosunun yanında ikinci bir kablo gereklidir. İki kablo kullanılmasının olası etkisini
gösteren Şekil 6.5’ü ele alalım. Varsayalım ki saat frekansı 1GHz ve kablo uzunlukları arasında 10
cm’lik bir fark olsun. Elektromanyetik dalganın bakır kablo üzerinde ilerleme hızı 2  108 m/s’dir
(boşluktaki 3 108 m/s’den yavaş). Bu durumda, uzun kablodaki işaret yaklaşık 0.5 picosecond geç
varır. Bu da yaklaşık olarak bir saat işareti periyodunun yarısı demektir. Yani, Şekil 6.5’te gösterildiği
üzere saat işaretinin yükselmesi ve düşmesi gereken zaman noktaları yer değiştirmiş olur. Kontrollü
yerlerde ve hassas ölçüm yapılarak yerleştirilen kabloların aynı uzunlukta olması sağlanabilir. Ancak
mesafeler biraz artınca kablo uzunluklarının yeterince hassas ölçülüp yerleştirilmeyeceği açıktır.
10 cm
veri
gereken clk
alınan clk
Şekil 6.5 İki kablolu kanalda işaretlerden birisinin gecikmesi problemi.
117
Yukarıda izah edilmeye çalışıldığı üzere, veri ve saat işaretlerinin ayrı ayrı kablolardan
iletilmesi doğru bir yaklaşım değildir. Bu yöntem ancak yanyana veya oldukça yakın cihazlar arasında
yada aynı cihazın içindeki iki nokta arasındaki iletişimde (bkz : Serial Peripheral Interface) düzgün
olarak çalıştırılabilir. Bir tümleşik devre içinde bir noktadan diğerine veri taşınırken bile bu duruma
dikkat etmek gerekir, aksi halde yeterli performans alınamaması söz konusudur.
Bu problemin çözümü, sadece verinin iletilmesi ve saat işaretinin alıcıda yeniden
üretilmesidir. Zaten kablosuz iletişim kullanıyor olsaydık, saat işaretini ayrıca iletmiyor olacaktık.
Tabi ki bu saat işaretinin alınan veri ile eşzamanlı olabilmesi için veri hattını devamlı izleyip saat
işaretini en uygun frekans ve faza getiren yardımcı bir devreye ihtiyaç vardır (Şekil 6.6).
eşzamanlayıcı
eşzamanlayıcı
veri ile eşzamanlı üretilen saat işareti
Şekil 6.6 Saat işaretinin alıcıda üretilmesi.
Eşzamanlama için çoğunlukla Faz Kilitlemeli Döngüler (PLL: Phase Locked Loop) kullanılır.
Bu devrelere ayrıca bir bölüm ayırmayacağız, ancak sembol algılayıcıları (symbol detectors)
incelerken tekrar değineceğiz. Eşzamanlama için ayrıca bir iletim kanalı (kablo yada pilot frekans)
kullanılıyor ise iletişimin adı senkron (syncronous : eşzamanlama işaretli) iletişim, aksi halde asenkron
(asyncronous) olur.
İlk örneğimizi eşeksenli kablolar kullandığımızı varsayarak verdik, çünkü bu kabloların
bantgenişliği daha sıradan kablolara göre (örnek: bükülü kablo) daha iyidir. Eşeksenli kablo, Giriş
bölümünde değinildiği üzere, işareti taşıyan bir iletken üzerine kaplanmış bir dielektrik ve onun da
üzerine hasır şeklinde döşenmiş bir başka iletkendir. En dışta da mekanik koruyucu kılıf vardır. Dış
iletkenin hasır şeklinde üretilmesinin nedeni esnekliği sağlamaktır. Bu kısım dışarıdan gelen
elektromanyetik dalgaların iç iletkene ulaşmasını engeller, bir çeşit gürültüden koruyucudur. Ancak bu
korumanın etkili olabilmesi için dış iletkenin topraklanması, yani üzerine dışarıdan endüklenen
işaretin toprağa akıtılması gereklidir. Bu durumun işaret açısından elektriksel eşdeğeri olarak Şekil
6.7’teki bağlantı düşünülürse, ki tam doğru değildir, olası sakıncaları ilgili şekli inceleyerek
özetleyelim.
118
alıcı
gönderici
Itoprak
eşzaman.
topraklar arasındaki potansiyel fark
Şekil 6.7 Cihazların toprak seviyeleri arasındaki farktan dolayı oluşan Itoprak akımı.
İşaretlerin anlık değerleri toprak seviyesine göre ölçülmekte ve toprak seviyesinin her yerde
0V olduğu kabul edilmektedir. Ancak gerçek hayatta durum böyle değildir. Cihazların toprağa kaçak
akımları aynı değildir, topraklama hatlarında düşen gerilim sebebi ile cihaz toprakları arasında fark
oluşmaktadır. Hatta, cihazlar farklı binalardaysalar, binaların toprak seviyeleri arasında büyük farklar
oluşabilmektedir. İşin daha da kötüsü bu fark zamanla değişmekte ve Şekil 6.8’da anlatılan durum
oluşmaktadır.
alıcının L-H için kullandığı eşik
sabit
gönderici toprak seviyesi
alıcı toprak seviyesi
bu değiştiğinde
bu da değişiyor
Şekil 6.8 Toprak seviyelerinin değişmesi eşik seviyesinin de değişmesi demektir.
Alıcı sürücü devreleri girişteki 0 ve 1 sembollerini temsil eden değerleri birbirinden ayırmak
için bir eşik değeri kullanır; eşiğin üzerindeyse 1, altındaysa 0 gibi. Ayrıca basit tasarımlarda oldukça
keskin olarak inip çıktığı düşünülen işaret değerlerinin gerçekte frekans bandı kısıtlamalarına maruz
kaldığını ve ideal durumdan uzaklaştığını, çoğunlukla da keskin değil de yavaşça inip çıktığını
biliyoruz. Şekil 6.8’de tipik bir darbe geçişi gösterilmiştir. Gönderici ve alıcı cihazların toprak
seviyeleri değiştikçe eşik değeri de göreceli olarak inip çıkmakta, dolayısı ile sanki işaret gecikmiş
yada erken gelmiş gibi, alıcının sürücü devreleri de işaret değerini zamanından önce yada sonra
belirlemekte. Yani işaretin zamanda ileri-geri kayması sözkonusu. Bunun teknik adı jitter’dir
(kararsızlık, titreme) ve toprak seviyesi değişkenliği jitter'in sebeplerinden sadece birisidir.
Tabi ki jitter’in istenmeyen bir etki olduğu açıktır. Bu durum eşeksenli kablo kullanılıp her iki
ucu topraklandığında da ortaya çıkar. Jitter, kablosuz iletişimde de önemli problemlerden birisidir ve
çoklu yansımalar (multipath) ile belirginleşir.
Kablolu tasarımımıza geri dönelim ve toprak seviyesi farkından oluşan hatayı engellemek için
alıcıdaki ölçmede toprak seviyesini kullanmayalım. Yani, yine 2 kablo (2 telli tek kablo) çekeceğiz ve
alıcıda bu kablolar arasındaki potansiyel farkı ölçülecek (Şekil 6.9). Bu şekildeki işaret gönderme
yöntemine diferansiyel işaretleme (differential-signaling) ismi verilir.
119
gönderici
alıcı
eşzm.
ortak-mod akımı
Şekil 6.9 Diferansiyel işaretleme ve ortak-mod akımı.
Diferansiyel işaretleme yönteminde de toprak seviyeleri farkı giderilmediği için Şekil 6.9’de
gösterildiği gibi yine bir toprak akımı (buna cmc: common-mode current ismi veriliyor) oluşur. Ancak
bu akım cihazlara zarar verecek kadar yüksek değilse, her iki kablodan aktığı ve alıcıda uçlar arasında
potansiyel farkı oluşturmadığı için ölçme hatasına yolaçmaz. Eğer cmc’nin yine de problem çıkaracağı
düşünülüyor ise kanal üzerinde bu akımı engelleyici kapasitörler yada transformatörler kullanılabilir
(Şekil 6.10).
alıcı
alıcı
eşzm.
eşzm.
Şekil 6.10 cmc akımını engelleyici kapasitör ve transformatör içeren tasarımlar.
Şekil 6.10’deki diferansiyel işaret kullanma ve ölçüm tasarımlarıyla cmc’nin en azından DC
bileşeni engellenmektedir. Ancak bu tasarımlar ile problem başka bir yöne kaymaktadır. Gönderilen
işaret içinde uzun 0 veya 1 sembol dizisi varsa, kapasitör ve transformatör bu diziyi hakkıyla ölçme
devresine iletemeyecektir. Şekil 6.11 kapasitörlü tasarımda oluşacak bu problemi özetlemektedir.
Uzun süren 0 veya 1 dizileri kapasitörün dolmasına (transformatörde manyetik akımın
sabitlenmesine), dolayısıyla ölçülecek değerin zamanla düşmesine sebep olur. Bu durumlarda, ölçülen
işaret üzerinde eşzamanlama devresinin çalışmasına yetecek bir değişim olmadığından eşzamanlama
kaybedilir ve saat işareti frekansı/fazı olması gereken aralığın dışına çıkar.
alınan işaret
t
ölçülen işaret
t
Şekil 6.11 Kapasitörlü alıcı tasarımında alınan ve ölçülen işaretler.
Böyle bir tasarımda, problem 0 ve 1 sembollerini temsil edecek olan elektrik işaretlerini, daha
doğrusu dalgaformlarını ve temsil şeklini, belirlemeye dönüşür.
120
Bütün bunların yanında kanal (kablolu yada kablosuz) karakteristiğinin kötü etkilerini henüz
ele almadık. Çoğu kablolu kanal, kablonun transfer fonksiyonun bantgenişliğinin sınırlı olmasından,
çoğu kablosuz kanal ise, bunun yanında, dış etmenlerden (gürültü) oldukça fazla etkilenir. Kanal
bantgenişliğinin etkisini Şekil 6.12 ile açıklayalım.
y(t)
x(t)
h(t)
t
t (µs)
10 µs
Şekil 6.12 Bantsınırlı kablonun dikdörtgen darbeye etkisi.
Dikdörtgen kapı fonksiyonun tayfının sonsuz frekanslara kadar uzandığını Frekans bölümünde
görmüştük. Bantsınırlı kablo bu bileşenlerin hepsini geçirmez, yüksek frekanslı bileşenler önemli
ölçüde kaybolur. Şekil 6.12'da y (t ) çıkış işareti grafiğinde aynı zamanda kablo girişindeki kapı
fonksiyonu da gösterilmiştir. İşaretin nasıl bozulduğuna dikkat ediniz. Kablonun bantgenişliği ne
kadar küçük (taşınacak işarete göre) olursa bu bozulma o ölçüde fazla olur. Alıcı için tek problem
normalde dikdörtgen darbe olan işaretin bozulması değildir. Dikkat edilirse girişteki bir darbenin
çıkışta süregelen etkileri uzun süre devam etmektedir. İşaret kuyruğundaki bu süreklilik, kendisinden
sonra gelen darbelerin değerlerini de etkileyecektir. Yani komşuluktaki semboller birbirlerini
etkilerler. Buna ISI (intersymbol interference : sembollerarası etkileşim) denmektedir. İletişim sistemi
tasarımı aşamalarından birisi, sembolleri temsil edecek dalgaformlarını ISI'yı en az yapacak şekilde
belirlemek ve sayısal devrelerdeki dikdörtgen darbeleri, dalgaşekillendirme yöntemleriyle, belirlenen
dalgaformlarına sokmaktır. Kanalın sınırlı bantgenişliği, kanalın eklediği gürültü ile beraber, bu
kanaldan en fazla yararlanmanın (bit-rate) sınırını belirler, ki bunu kanal kapasitesi konusunu işlerken
göreceğiz.
6.1. Gürültünün Etkisi
Şimdi iki sembollü PAM kanalımızın, eklenen gürültü dışında bir bozucu etkiye sahip
olmadığını, yani bandgenişliğinin sonsuz ve zayıflatmasının her frekansta 0 olduğunu varsayalım. Bu
durumda, gönderilen dikdörtgen darbeler yine dikdörtgen darbe olarak, ancak eklenen gürültü
dolayısıyla bir miktar bozulmuş şekilde alıcıda görülecektir;
y (t )  x (t )   ( t ) .
(6.2)
 (t ) ’nin Gürültü bölümünde öğrendiğimiz AWGN (additive white Gaussian noise) olduğunu
varsayalım. x(t ) ise c0 =-A ve c1 =A voltaj değerleriyle 0 ve 1 sembollerini temsil eden dikdörtgen
darbeler dizisi olsun. Yani Şekil 6.13'de örneği verilen bir işaret olsun. Alıcının görevi, gelen bu
121
işaretin her sembolünü sembol periyodu ( Ts ) boyunca izleyerek bulmak ve sonuçta 0 veya 1 olduğuna
karar vermektir. Verilen örnekte kararı vermek oldukça kolay görülebilir. İşaret her sembol için
sembol süresinin neredeyse tamamında, kısa süreli istisnalar dışında, pozitif yada negatif değer
taşımaktadır. Sembol süresi içinde alınacak tek ölçüm dahi sembolün gerçek değeri hakkında fikir
vermektedir. Ancak gürültü enerjisi arttığında problemlerin başlayacağı, hatalı ölçümlerin artacağı
öngörülebilir. Tek örnekle karar vermek yerine tüm sembol periyoduna bakmak, gürültü
karakteristiğini ve sembollerin gönderilme olasılıklarını da dikkate almak gerekir.
x(t)
A
t
-A
Şekil 6.13 Gürültü eklenmiş ikili veri akışı işareti (gürültüsüz işaret de aynı grafikte).
Eğer 0 ve 1 sembollerinin gönderilme ihtimalleri aynı ise ( p0  p1  0.5 ), x(t ) 'nin olasılık
yoğunluk fonksiyonu Şekil 6.14'teki gibi iki Gaussian yoğunluk fonksiyonunun ortalamasıdır.
Gönderilen voltaj değerinin c0 =A V olması durumlarındaki olasılık yoğunluk fonksiyonları da aynı
grafik üzerinde gösterilmiştir. Her üç eğrinin altında kalan alanlar 1'e eşittir.
pdf(x)
x
-A
0
A
Şekil 6.14 İşaretin A, -A ve eşit olasılıkla her ikisini de içeren x(t ) olduğu durumlarda m =0 Gaussian
gürültüye maruz kalmasıyla alıcı girişindeki olasılık yoğunluk fonksiyonları.
Varsayalım ki, alıcıda her bit periyodunda bir örnek alınıp gönderilen bitin 0 yada 1 olduğuna,
alınan örneğin belirlenen bir eşik değerinden yüksek yada düşük olmasıyla karar veriliyor. Yani örnek
değeri eşikten yüksek ise A, düşük ise –A ile temsil edilen 1 ve 0 değerleri üretiliyor. Alınan örnek,
gürültüden dolayı eşik değerinin yanlış tarafında ise bir hata yapılmış oluyor. P(  A | A) , yani A
gönderildiğinde yanlışlıkla –A gönderilmiş olduğuna karar verilme olasılığı ise Şekil 6.15'teki pdf
122
grafiğinde taralı alandır (Gürültü bölümünde öğrendiğimiz gibi). Benzeri şekilde P( A |  A) hatalı
karar olasılığını gösteren grafik de çizilebilir. Ancak verdiğimiz örnekteki özel durumu göstermek için
her iki pdf'i de (A ve –A gönderilmesiyle oluşan) aynı grafikte gösteren Şekil 6.16'e bakalım. Burada
hem sembol olasılıkları eşit, hem de iki durumdaki gürültü dağılımı simetrik olduğundan en uygun
eşik değerinin 0 V olduğunu görebiliriz. Yani, alınan örnek negatif ise –A, pozitif ise A gönderildiğine
karar verilmekte.
pdf(x|A)
P(-A|A)
x
eşik
A
Şekil 6.15 A gönderildiğinde hatalı karar üretme olasılığı (taralı alan).
pdf(x|-A)
pdf(x|A)
P(-A|A)
-A
P(A|-A)
eşik=0
x
A
Şekil 6.16 A ve –A gönderildiğinde hatalı karar üretme olasılıklarını belirleyen taralı alanlar aynı
grafikte gösterilmiştir.
Eğer, örneğimizdeki gibi, gürültü olasılık yoğunluğu simetrik ise bu kanala ikili simetrik kanal
(BSC: binary symmetric channel) ismi verilir. BSC Şekil 6.17'daki bağıntı grafiği ile gösterilebilir.
İkili simetrik kanalda, eğer sembollerin gönderilme olasılıkları da eşit ise, hata olasılığı
pe  P( A |  A)  P( A | A)  P(1| 0)  P(0 |1) şeklinde ifade edilebilir. Ancak hata, sembol
olasılıkları eşit değilse, toplam olasılık teoremi (total probability theorem) olarak bilinen
M 1
pe   p(ai ) pe (ai )
i 0
(6.3)
123
eşitliğiyle bulunabilir. Burada p(ai ) , M adet olası sembolden i'incisinin gönderilme olasılığını,
sembolü gönderildiğindeki hata olasılığını göstermektedir. Eşitlik (6.3)'yi
pe (ai ) ise ai
örneğimizdeki BSC'ye uygular ve toplamı açarsak pe  P(1) P(0 |1)  P(0) P(1| 0) elde ederiz.
Sembol olasılıkları eşit, yani P(1)  P(0)  0.5 ise, pe  0.5( P(0 |1)  P(1| 0)) ve kanal simetrik
olup hata olasılıkları da eşit ise pe  P(0 |1)  P(1| 0) elde ederiz. Tabi hata olasılıklarının eşit
olması için pdf'in simetrik ve eşik değerinin de iki voltaj değerinin tam ortasında olması gerekir.
P(0 | 0)
Ps (0)
Pr (0)
P(0 |1)
P(1| 0)
Ps (1)
Pr (1)
P(1|1)
Şekil 6.17 BSC'nin bağıntı grafiği.
Burada bir örnek yapalım; -1 ve +1V kanal değerlerini kullanan ikili kanalda sembol
olasılıkları 0.7 ve 0.3'tür. İşaret N (m,  )  N (0,1) AWGN etkisi altındadır. Eşik değeri 0V ve her
sembol periyodunda 1 örnek alınıp karar verildiği durumda hata olasılığı nedir?
pdf(x|1)
P(-1|1)
x
0
+1
Şekil 6.18 +1’e kaydırılmış N (m,  )  N (0,1) pdf’i.
Şekil 6.18’e göre, +1 değeri gönderildiğinde, alıcı tarafında hata yapılma olasılığı
0
P(1 | 1) 
2
 N (m, )dx 

0


1
 2
e ( xm A)
2
/ 2 2
0
dx 

1
2

e ( x1) / 2 dx ’tir. Bildiğimiz gibi bu
2
integralin analitik sonucu (türevi e  x olan fonksiyon) yoktur. O nedenle nümerik integrasyon ile elde
edilmiş tablolardan yada yaklaşık sonuç veren fonksiyonlardan faydalanacağız. Tablolar çoğunlukla
2
N (m,  )  N (0,1) için verilmektedir. O nedenle hesaplanacak integrali Q( x ) 
formuna getirmeliyiz. Benzeri şekilde
erf ( x ) 
2


x
0
e  t dt
2
1
2


x
e t dt
2
integralinin yaklaşık sonucunu
124
bulabileceğimiz ve değerini, yani
1

e  x ’in -x ten +x’e kadar olan alanı veren fonksiyonlardan
2
birisini kullanabiliriz. Bunlardan birisi
erf ( x)  1  1/(1  c1 x  c2 x 2  c3 x 3  c4 x 4 )4
(6.4)
dir. Burada c1  0.278393 , c2  0.230389 , c3  0.000972 ve c4  0.078108 olup en büyük hata
0.0005 ’tir. Q( x ) ile erf (x) arasındaki ilişki
erf ( x )  1  2Q( 2 x )
(6.5)
Q ( x )  12 (1  erf ( x / 2))
şeklinde verilebilir. İster tablo kullanalım ister erf (x) 'i yaklaşık hesaplayan fonksiyonları kullanalım,
hesaplanacak integral ilgili forma sokulmalıdır.
Örneğimiz için (6.4) yaklaşımını kullanalım. İntegralimizi erf (x) ’in tanımındaki forma
1
sokmamız gerekli. Öncelikle y  x  1 ile ortalama değeri 0’a kaydıralım ve I 


1/ 2
edelim. Sonra da y  2t ve dy  2dt ile I 
1
2


2

1
2
e  y / 2 dy elde
2
e  t dt yazalım. erf (x) fonksiyonu
2
( x, x) aralığındaki alanı verdiğinden, bizim ise (,1 / 2 ) aralığındaki alana ihtiyacımız
olduğundan Şekil 6.19’de açıklandığı gibi I  12 (1  erf (1/ 2)) yazabiliriz. (Tüm alan, yani
erf ()  1 ’dir)
2


1/ 2
0
I
e t dt
2
I
x
1/ 2
1/ 2
Şekil 6.19 erf (x) ’in verdiği alan ve bulmak istediğimiz alan.
I  (1  0.6824) / 2  0.1588 bulunur. Gürültü yoğunluk fonksiyonu simetrik ve eşik değeri
tam ortada olduğundan P(0 |1)  P(1| 0)  0.1588 ’dir. Toplam hata ise eşitlik (6.3)’den
pe  P(1) P(0 |1)  P(0) P(1| 0)  0.7  0.1588  0.3  0.1588  0.1588 bulunur. Yani, gürültü
pdf'i simetrik ve eşik değeri 0 olduğundan, sembol olasıkları sonucu değiştirmiyor. Tek sembol için
bulduğumuz hata toplam hataya eşit. Bu örnekteki gibi, sanki sembol olasılıkları eşitmiş gibi, eşik
125
değerinin sembol değerlerinin tam ortasında olduğu karar verme sürecine ML (maximum likelihood)
karar süreci denir. Bu eşik değerlerine de ML karar eşiği (ML decision threshold) denir.
Peki, sembol olasılıklarının eşit olmadığı durumda, eşik değerini değiştirerek toplam hatayı
azaltabilirmiyiz? Bu soruya şu örneği verelim; Hileli olduğu ve %90 tura geldiği bilinen bir para ile
yazı-tura atılmadan önce bu durumu bilen birisinden ne geleceğini tahmin etmesi istendiğinde %90
olasılıkla tura diyecektir. Yada 100 kişilik bir topluluğa sorulduğunda 90 kişi tura geleceğini
söyleyecektir. Yani, gerçekleşme olasılığı yüksek olan tercihe doğru bir tercih kayması oluşur. Benzeri
şekilde, 0.9 olasılıkla –A V gönderilen (diğeri +A V) bir kanalda okunan değer 0 V yakınlarındaysa –
A olduğuna karar vermek oldukça doğaldır. Bu durumda, elbette ki sembol olasılıkları önceden
biliniyor ise, eşik değerini daha az olasılıklı sembolün voltaj değerine doğru kaydırmak toplam hata
miktarını azaltacaktır. Elbette ki eşitlik (6.3)'yi en az yapacak değer eşik değerimiz olmalıdır. Eğer 2
sembol kullanılıyorsa toplam hata pe  p(0) p(1| 0)  p(1) p(0 |1) 'dir. Yani, eniyilenmesi gereken
ifade

Vt  arg min p(0) 
Vt

1
Vt  2
e  ( x Vt )
2
/ 2 2
dx  p(1) 
Vt
1
  2
e  ( x Vt )
2
/ 2 2

dx
(6.6)
olmaktadır. Eşik değerinin bu minimizasyona göre belirlendiği karar verme sürecine MAP (maximum
a posteriori), bu eşik değerine de MAP eşiği denir. İkili haberleşme sistemlerinde sembollerin eşit
olasılıklı olduğu (yada öyle kabul edildiği) durumlar çok daha fazladır ve dolayısıyla ML oldukça
yaygındır. O nedenle MAP konusuna daha detaylı girmeyeceğiz.
Yukarıdaki örneklerde sembol kararını ve hata hesaplarını bit periyodu içinde tek örnek
aldığımızı varsayarak yaptık. Şimdi de her sembol için N örnek aldığımız ve bunların ortalamasına
göre karar verdiğimiz durumu ele alalım. x(t )  A   (t ) işaretindeki  (t ) beklenen değeri 0 ve
varyansı  2 olan bir gürültü olsun. Şekil 6.20'da gösterildiği gibi T bit periyodu boyunca N örnek
alalım ve x[n]  A  [n] yazalım. [n ] bileşeni ilişkisiz (uncorrelated, otokorelasyonu sıfır), yani
örnekleri arasında hiçbir ilişki olmayan rastgele işarettir.
x(t), x[n]
t, n
0 1 2
N-1
T
Şekil 6.20 Bit periyodu süresince alınan N örnek.
Örneklerin ortalama değeri x 
yeni
bir
rastgele
değişken
olur.
N 1
1
N
N 1
 x[n]   (
n 0
İlişkisiz
1
N
n 0
rastgele
N 1
A  [n])  A   N1 [n]  A  
n 0
işaretler
için
geçerli
olan
varyans
126
N 1
Var(aX )  a 2Var( X ) istatistik bağıntısını    N1 [n ] bileşeni için kullanalım ve  'ın
n 0
N 1
varyansını
1
N
 'ın varyansından hesaplayalım. Yani Var( )  Var( N1 [n])  NVar( N1 [n])
yazıp Var(  ) 
1
N
işaretin
n 0
1
N2
Var( ) bağıntısı ile Var( )  Var( ) elde edelim. Ortalama ile üretilen
1
N
varyansının
tek
örneğin
varyansından
defa
1
N
küçük
olduğunu
görebiliriz.
Var( X  c)  Var( X ) bağıntısını da hatırlayalım. Buna göre, x ve varyansı daha küçük x
işaretlerinin pdf'leri (örnek) c  A için Şekil 6.21'de gösterilmiştir.
Şekil 6.21'den görüldüğü gibi bit periyodunda birçok örnek alıp ortalamasını hesaplamak ve
sembol kararını ortalamaya göre üretmek hata olasılığını önemli oranda azaltıyor. Yukarıda
çözdüğümüz -1 ve +1 sembol voltajlı ve N (m,  )  N (0,1) gürültülü örneğimizde periyot içinde 1
örnek almıştık ve pe  0.1588 bulmuştuk. Sadece 2 örnek ortalamasıyla karar verdiğimizde standard
sapma  2  1/ 2 (önceki   1 idi) ve olasılık yoğunluğumuz pdf ( x |1) 
e ( x 1) olur.
2
1

pdf ( x )
pdf(x)
tek örnekle pe
x x
0
çoklu örnekle pe
A
Şekil 6.21 Gaussian gürültülü işaretin tek örneğinin ve çoklu örnek ortalamasının pdf'leri.
0
Bu durumda hata olasılığı
pe 


1

e
 ( x 1)2
1
dx 
1
2


2

 x2
e dx 

1
2

2

e x dx bulunur.
2
1
Buradan da pe  (1  erf (1)) ile hata olasılığını yaklaşık olarak pe  0.0786 buluruz. Hata
1
2
olasılığımız tek örnektekinin yaklaşık yarısıdır. Tabi ki periyodtaki örnek sayımızı arttırırsak hata daha
çok düşer.
2
Varyansı  2 olan gürültü kaynağının çoklu örnek ortalaması ile varyansının  2 
1
N
2
olduğu durumu inceleyelim ve verilen bir Vt eşiğinden büyük olma olasılığını (hatalı karar olasılığı)
127

bulalım. pe 

1
2
2
e
 x 2 / 2 22

dx   
Vt
e  x N / 2 dx 'dir. Burada t 
2
2
dx / 
N
2
x /  ve dt 
N
2
Vt /  )) olduğundan,
N
2
Vt

dönüşümü ile pe 
N
2
1
2

N
V
2 t
2

e  t dt elde edilir. Integral kısmı (1  erf (
2
/
pe  12 (1  erf (
N
2
Vt /  ))
(6.7)
yazabiliriz. Son eşitlik genel olarak hata olasılığını örnek sayısı, işaret enerjisi (voltajı) ve gürültü
enerjisine (varyans) bağlayan ilişkidir (Şekil 6.22).
pe
N 1
N  10
N 2
Vt / 
Şekil 6.22 İşaret kalitesi ve hata olasılığını N=1, 2, 10 için ilişkilendiren grafik.
Şekil 6.22'de örnek işaret kalitesi Vt /   0.70 'te çizilen dikey çizgi ile periyot başına 1, 2 ve
10 örnek alındığında hata olasılığının nasıl değiştiği açıkça görülmektedir. Yani, bit periyodu başına
mümkün olduğunca çok örnek alınmalıdır. Tabi ki sonsuz sayıda örneğin yani sürekli işaretin ortalama
değerini
Tb
x  T1b  x(t )dt
(6.8)
0
denklemi vermektedir.
6.2. Sembol Dedektörü
Yukarıdaki örneklerde sembol dalgaformunun dikdörtgen kapı işareti formunda olduğunu
kabul ettik ve çokça alınan örneklerin ortalamasının daha iyi performans gösterdiğini gördük. Eğer
sembollerimizi temsil eden  (t ) dalgaformları, kapı işareti gibi bit periyodu boyunca sabit olmayan
bir işaret ise, doğal olarak, alınan işaretin beklenen işarete ne kadar benzediğine bakarız. Bu benzerliği
128
de içsel çarpım (inner product) ile ölçeriz (içsel çarpımın kullanım örneklerini Frekans ve Gürültü
bölümlerinde görmüştük). Yani,
Tb
x(t ), (t )   x(t ) (t )dt
(6.9)
0
Buradaki içsel çarpım Rx ( ) korelasyon fonksiyonunun   0 'daki değeridir. Dikkat
edilirse, ortalama değer  (t )  A durumuna eşdeğerdir. Ortalama değer ile çalışan iki seçenekli
karar vericiler için önemli olan ortalamanın işaretidir, ve bu toplam için de geçerlidir. Yani, karar
vermek için T1b çarpanı gerekmez. ML eşik değeri, alınan işaretin (hesaplanan değerin) hangi sembolü
temsil eden voltaj değerine daha yakın olacağını belirleyen bir sınırdır. Tüm değerleri
1
Tb
ile çarpmak
sonucu değiştirmez.
Korelasyon yada içsel çarpımı veren (6.9)'i kullanan bir ikili antipodal sembol dedektörü
(alıcısı) Şekil 6.23'deki model ile gerçeklenebilir.  (t ) işareti girişteki sembol dalgaformlarla
eşzamanlı olması gereken, dedektörde üretilen ve her yeni sembol başlangıcında tekrar eden periyodik
bir işarettir. İntegratör bu çarpımdan oluşan işareti Tb boyunca integre eder ve süre sonunda oluşan
değeri karar vericiye gönderir. nTb (n=0,1,...) anlarında anahtarın kapanması bu ölçmeyi/örneklemeyi
temsil eder. ML karar verici ise bu ölçme ile elde edilen değerin işaretine göre çıkışa 0 yada 1 sayısal
değeri verir.
korelatör

x (t )
integratör
 (t )
karar verici
bitler
nTb
dedektör
Şekil 6.23 Korelatör kullanan bir ikili sembol dedektörü.
Şekil 6.23'deki dedektör, sadece ikili antipodal (zıt işaretli iki dalgaşekli) ve ML kriteri ile
çalıştığından olası en basit dedektördür. x(t ) işareti bir ADC ile sayısala çevrilip xn kesikli zaman
işareti üretilirse tüm bu işlemler sayısal devreler ve/veya programlama ile gerçeklenebilir. Bu durumda
yerel işaret  n olur, integratör ise Şekil 6.24’te sayısal blok şeması gösterilen basit bir akümülatör
ile gerçeklenebilir. Akümülatör bir toplayıcı ve ve bir kaydedici sayısal devre elemanı ile kolaylıkla
gerçeklenir. Tabi ki sayısal sistem blok şemalarında bahsedilmeyen işaretlerin bit sayısı ve saat işareti
gibi ayrıntılar da bu devre şemasında gösterilebilir. nTb ile belirtilen zamanlarda ölçme yapıldıktan
hemen sonra akümülatörün sıfırlanması gerekir ki yeni gelecek sembol için korelasyon integrali
sıfırdan başlasın. Bu işlemin daha pratiği zaman kısıtlı integralin zamanda kaydırılmış halinin, yani
129
R( ) 
 Tb

x(t ) (t )dt
(6.10)
üretilmesi ve yine   nTb anlarında ölçüm yapılmasıdır. Örneğin n  0 için, yani ilk sembol
sonunda, ölçülecek değer R(0) 
Tb
 x(t ) (t )dt
olur. Bu da çarpıcı çıkışındaki işaretin sadece son Tb
0
süresi içindeki değerlerinin akümülatörde toplanmasıyla eşdeğerdir.
akümülatör
un
vn
z 1
toplayıcı
un
N-bit
kaydedici
reg.
N-bit
vn
clk
akümülatör
Şekil 6.24 Sayısal akümülatör blok şeması ve sayısal devre karşılığı.
Şekil 6.23'deki korelatörün x(t ) girişinin ikili antipodal kapı darbeleri olduğu durumda  (t )
işareti de kapı fonksiyonudur, ancak ardarda üretilen kapı fonksiyonlarının toplamı aslında bir sabit
değer (+A) olacağından, çarpıcıya ihtiyaç yoktur. Bu durumda, (6.10)'da verilen korelatör çıkış işareti
(gürültü yok iken) Şekil 6.27'te gösterilmiştir. Şekil 6.26 ise gürültülü bir giriş işaretinde korelatör
çıkışının hala çok kaliteli olduğunu, tek örnek yerine integral sonuca bakmanın faydasını
göstermektedir.
x (t )
1
0
1
1
0
1
t
R( )
2Tb
Tb

5Tb
3Tb
4Tb
6Tb
Şekil 6.25 İdeal giriş işaretine karşılık Tb pencereli korelatörün çıkışı.
Son Tb süresinde integrali alma işlemi (pencereleme) ise Şekil 6.27’daki sayısal devre ile
kolayca gerçekleştirilir. Toplamaya giren herhangi bir değer Tb süresi sonunda çıkarılacağı için
akümülatörde fazladan birikme olmaz ve sadece son Tb içindeki (pencere içinde kalan) değerlerin
toplamı hesaplanmış olur.
130
x (t )
t
R( )

Tb
2Tb
3Tb
4Tb
Şekil 6.26 Gürültülü giriş işaretine karşılık Tb pencereli korelatörün çıkışı.
z Tb
un

vn
z 1
Şekil 6.27 Son Tb penceresi içinde toplamayı gerçekleştiren akümülatör.
Antipodal işaret(ler) durumunda, akümülatör çıkışında her nTb anında ölçülen değer karar
verici tarafından tekrar semboller haline getirilir. İkili durumda bu oldukça basittir. Eşik değerinden
büyükse birinci sembol, küçükse ikinci sembol olduğuna karar verilir. Eğer M=4 ise, ML kuralına
göre bu değerler Şekil 6.28’deki gibi değer eksenine eşuzaklıklarla yerleştirilmek durumundadır. Eşik
değerleri ister ML ister MAP ile belirlenmiş olsun, karar vericinin görevi ölçülen değerin hangi aralığa
düştüğünü bulup ilgili sembolü çıkışa vermektir.
c0
c1
c2
c3
v(nTb )
eşik değerleri
Şekil 6.28 Antipodal dalgaformları için ML eşik değerleri (M=4).
Eğer sembolleri temsil eden ve gönderilen işaretler antipodal değil ise yani  i (t ) (i=0,1,2...)
gibi sıradan dalgaformları ise, alınacak herbir olası dalgaformu için bir korelatör gerekli olabilir. Yani,
genel bir korelatör-dedektör Şekil 6.29’deki gibidir. Tabi ki dalgaformlarının sürelerinin aynı ve Tb
131
olduğu varsayılmıştır. Burada herbir korelatör son Tb süresince gönderilen dalgaformunun alıcıda
üretilen  i (t ) formuna ne kadar benzediğini temsil eden bir sayı üretir ve karar vericiye gönderir.
Karar verici ise bu sayılardan hangisi büyük ise o korelatörün kullandığı dalgaformunun ve dolayısıyla
ilgili sembolün gönderildiğine karar verir ve çıkışa o sembolü koyar. Sembollerden bazıları kendi
aralarında antipodal ise bu çiftler için korelatörler birleştirilebilir ve sayıları azaltılabilir. Bu durumda
karar verici negatif büyük değerleri de kontrol eder.

x (t )
nTb
 0 (t )

karar verici
semboller
nTb
 1 (t )

nTb
 M 1 (t )
Şekil 6.29 M dalgaformunu birbirinden ayıran genel korelatör-dedektör.
Eşitlik (6.10)’daki korelasyon işlemine bakalım. İki işaretin çarpımının integrali işlemini
konvolüsyon konularında da (işaret işleme, signals &systems, devre analizi vb derslerinde) görmüştük.

Konvolüsyon
y (t ) 

x( )h(t   )d
y ( ) 
yada


 x(t )h(  t )dt
şeklinde tanımlanmıştı.

Bunun korelasyon işleminden farkı konvolüsyonda işaretlerden birisinin dikey eksene göre
simetriğinin alınarak çarpma ve intergasyonun yapılmasıdır. Yani işareti zamanda tersten üretiyoruz,
orijinalinde ilk üretilen değer son üretilen değer oluyor. Konvolüsyonu doğrusal devrelerin çıkışındaki
işareti bulmak için kullanıyor idik. Yani, h(t ) doğrusal devrenin birim darbe tepkisi ve x(t ) bu
devrenin girişindeki işaret olmak üzere

y (t )  x (t )  h (t ) 
 x( )h(t   )d
(6.11)

ile çıkıştaki işaretini buluyoruz. Tabi ki x(t ) ve h(t ) sınırlı zamanda sıfırdan farklı bir değer
alan işaretler ise, örneğin (0, Tb ) aralığı dışında sıfır olan kapı fonksiyonu gibi, integral sınırları da
uygun şekilde değiştirilebilir.
132
Şimdi öyle bir süzgeç düşünelim ki, (0, Tb ) aralığında sınırlı, aralık dışında sıfır olan  (t )
dalgaformu için tasarlanmış olsun ve bu dalgaformu girişe geldiğinde süzgeç çıkışı maksimum değer
alsın. Bu özel süzgecin adı uyumlu-süzgeç (matched-filter) olsun. Uyumlu süzgecin birim darbe
tepkisi h(t )   ( (t  c)) 'dir. c , süzgeci gerçeklenebilir (causal) yapmak için h(t ) 'yi zamanda
kaydıran bir sabittir. c 'nin üç durumu için üç ayrı h(t ) örneği Şekil 6.30'da verilmiştir.
h(t )
h(t )
h(t )
t
t
c  Tb
c  Tb
t
Tb
c  Tb
Tb
Şekil 6.30 Uyumlu süzgeç h(t ) 'nin üç durumu.
Şekil 6.30'daki süzgeçlerin hepsi uyumludur. Ancak c  Tb seçilirse, süzgeç henüz işaret
gelmeden tepki vermeye başlayan bir devre olur ki bu gerçeklenemez. c  Tb durumundaki tüm
süzgeçler gerçeklenebilir ancak gereksiz bir gecikmeye sebep olurlar, yani girdi işareti (birim darbe)
verildikten bir müddet sonra tepki vermeye başlarlar. Ama c  Tb alındığında h(t )   (Tb  t )
süzgeci hem gerçeklenebilir hemde gereksiz tepki gecikmesi oluşturmaz. Bu şekildeki örnek süzgeç ve
 (t ) işaretine tepkisi Şekil 6.31'da verilmiştir.
 (t )
h(t )
t
t
Tb
Tb
y (t )   (t )  h(t )
t
Tb
2Tb
Şekil 6.31  (t ) 'ye uyumlu süzgecin  (t ) girdisine tepkisi.
h(t )   (Tb  t ) olacak şekilde (8)'deki konvolüsyon integralini tekrar yazalım.
y(t )  x(t )  h(t )  x(t )  (Tb  t )
y (t ) 




 x( )h(t   )d   x( ) (t  T
b
(6.12)
  )d
(6.13)
x(t ) ve  (t ) , dolayısıyla x( ) ve  ( ) 0    Tb dışında sıfır olduğundan integralin
sınırlarının  1  0 ve  2  2Tb olacağını söyleyebiliriz. t  Tb anındaki değeri ise bulunur. Ancak
133
x( ) ve  ( )   Tb için zaten sıfır olduğundan sadece 0    Tb için değerlerinin önemi olur ve
Tb
y (t )   x( ) ( )d yazabiliriz. Bu da (6.10)'da verilen korelasyon integrali ile aynıdır. Yani
0
uyumlu süzgeç ile gerçeklenecek bir dedektör korelatör ile gerçeklenen dedektör ile eşdeğerdir. Buna
göre Şekil 6.32'de verilen dedektör ile Şekil 6.29'deki dedektörler eşdeğerdir.
x (t )
 0 (t )
nTb
 1 (t )
karar verici
semboller
nTb
 M 1 (t )
nTb
Şekil 6.32 Uyumlu süzgeç kullanan sembol dedektörü.
Kullanılacağı sisteme göre korelatör veya uyumlu süzgeç dedektörleri diğerine göre avantajlı
olabilir. Bu dedektörler performans olarak eşdeğer olduğuna göre, olası avantajlar performanstan değil
kullanılacak devre elemanları sayısından kaynaklanmaktadır. Örneğin, bir ikili akış (binary stream)
içinde özel diziler aranıyor ve o diziler alındığında tepki verilmesi isteniyor ise tasarlanacak süzgeç
büyük ihtimalle çarpıcı içermeyip basit mantık kapı devrelerinden oluşacağından uyumlu süzgeç
yaklaşımı daha ekonomik olur. Ancak x[n ] , sürekli bir işaretten alınan örneklerden oluşan bir kesikli
sayı dizisiyse, beklenen semboller için süzgeç tasarımı ekonomik olmaz, korelatör yaklaşımı tercih
edilebilir. Ancak unutulmamalıdır ki, korelatör tasarımı basit olmasına rağmen, beklenen
dalgaformlarının eşzamanlı olarak alıcıda üretilmesini gerektirdiğinden maliyet hesabında işaret
üreteçlerinin de gözönünde bulundurulması gerekir. Her iki durumda da ölçümlerin doğru zamanda
yapılabilmesi için bir eşzamanlayıcı gereklidir.
Korelatör kullanan bir alıcının eşzamanlanmış durumunda ölçüm/karar anları ( nTb )  i (t )
dalgaformlarının periyod sonundadır. Yani  i (t ) 'leri üreten devre(ler) aynı zamanda ölçüm/karar
zamanlarını da belirler.  i (t ) işaretlerini üreten devre, bu işaret periyodik olarak tekrar ettiğinden
osilatör olarak anılır. Bu osilatörün tekrar etme frekansı, alınan x(t ) işaretindeki dalgaformlarına
eşzamanlanması gerektiğinden, anlık olarak değiştirilebilir olmalıdır. Yani frekansı/fazı bir şekilde
eşzamanlamayı ölçen bir başka devre tarafından kontrol edilmelidir. Bu osilatörlere VCO (voltage
controlled oscillator) yada sistemin sayısal devrelerle gerçeklenmesi durumunda NCO (numericaly
controlled oscillator) denir. Özet olarak, eşzamanlamanın durumu devamlı olarak ölçülür ve frekans
düzeltmesi için VCO/NCO'ya bir kontrol işareti gönderilir.
134
6.3. Eşzamanlama
Bu bölümde şu ana kadar gördüğümüz kısım tabanbant modülasyonu yani sembollerin
elektriksel işaretlerle temsil işlemidir, yani her iletişim sisteminde mevcuttur. Şekil 6.33'de genel bir
sayısal iletişim sisteminin blok şeması olup sistem bu bloklarla sınırlı değildir. Ayrıca, kullanılacağı
yere göre, tabanbant modülasyon/demodülasyon dışında, sistemde tüm bloklar da olmayabilir. Şekil
6.33'de eşzamanlamaya ihtiyaç duyulan kısımlar işaretlenmiştir. Tüm bloklar bir şekilde, benzer yada
farklı, eşzamanlama kullanmaktadır. Şekil 6.34 eşzamanlamanın 3 ana yaklaşımını göstermektedir.
kanal
kodlayıcı
v[k ]
kod
eşzm.
v [k ]
kanal
dekod.
çerçeve
oluşturma
çerçeve
eşzm.
temelbant
modülasyon
taşıyıcı
eşzm.
sembol
eşzm.
çerçeve
açma
RF
modülasyon
temelbant
demod.
Tayf
yayma
erişim
eşzm.
PN-kod
eşzm.
RF
demod
çoklu
erişim
Tayf
topla.
kanal
çoklu
erişim
Şekil 6.33 Eşzamanlamaya ihtiyaç duyulan verici/alıcı katmanları.
dedektör
x (t )
karar
çözümlenmiş
işaret
karar
çözümlenmiş
işaret
eşzamanlama
x (t )
dedektör
eşzamanlama
x (t )
karar
dedektör
çözümlenmiş
işaret
eşzamanlama
Şekil 6.34 a) Açık döngü (open loop) b) Kapalı döngü (closed loop) c) Karar yönlendirmeli (decision
directed) eşzamanlama yaklaşımları.
Şekil 6.34'teki yaklaşımlar Şekil 6.33'de eşzamanlama gerektiren tüm alıcı katmanlarında
uygulanabilir. Çalışmaları özetle şöyledir;
135
Açık döngü (open loop) eşzamanlama : x(t ) işareti içinde bulunan yada özellikle eklenmiş
olan frekans bileşenleri süzülerek ayrıştırılır ve bu bileşenler ile gönderilen dalgaformlarının fazları
arasındaki ilişkiden eşzamanlama işareti üretilir.
Kapalı döngü (closed loop) eşzamanlama : Demodülasyon sırasında üretilen bazı işaretler
(örneğin integratörlerin çıkışları) bazı aritmetik işlemler ile eşzamanlama işaretinin frekansı/fazı
kontrol edilir.
Karar yönlendirmeli (decision directed) eşzamanlama : Çözümlenmiş işaretlerin doğruluğu
ve/veya aralarındaki ilişki ile eşzamanlama işaret üreteci kontrol edilir. Çoğunlukla, gönderilen
işaretlerin içine bu işleme yardımcı olacak işaretler/semboller yerleştirilmesi sözkonusudur.
Eşzamanlama üzerine bütün bir kitap yazılabilir. O nedenle, burada sadece yeri geldiğinde
ilgili örneği vermekle yetineceğiz. Basit ve anlaşılır bir kapalı döngü yöntemini uygulayan Şekil
6.35’e bakalım. x(t ) ikili PAM işareti, çıkış ise ikili sembollerdir (0 ve 1). Bu durumda  (t ) çarpıcı
gerekmez, korelasyon sadece bir integrasyondan ibarettir. İntegratör çıkışı 2 yada daha fazla zamanda
örneklenir ve örnek değerlerine göre Tb ’nin büyüyüp küçüleceğine karar verilir. Şekil 6.35’te
aralarında 2 süre olan iki örnek ile çalışan bir sistem verilmiştir.
x (t )

karar verici
bitler
nTb
nTb  
mantık
zamanlayıcı
osilatör
nTb  
Şekil 6.35 Erken-Geç anahtarlama (early-late gating) ile eşzamanlama.
Şekil 6.36’te bu erken-geç anahtarlamanın prensibi anlatılıyor. İntegratör sonucunu erken
almak yerel osilatörün önde, geç almak ise geride olduğu durumları test ediyor. nTb   ve nTb  
anlarında alınan örnekler sırasıyla I g ve I e olsun. Gürültüsüz durumda olası integratör çıkış işaretleri
Şekil 6.37'da gösterilmiş ve örnek ölçüm anları işaretlenmiştir. | I g || I e | ise örnekler işaretin
yükselen tarafında, yani yerel işaret öndedir (erken). | I g || I e | ise yerel işaret gecikmiş demektir.
136
şu anki
sembol
önceki
sembol
erken ölçüm
integrali I
e


sonraki
sembol
t
geç
Ig
 ölçüm

integrali
Şekil 6.36 Erken-geç anahtarlama eşzamanlamasının prensibi.
geç
erken
Ie
eşzamanlı
eşzamanlı
Ig
eşzamanlı
belirsiz
Şekil 6.37 İntegratör çıkışının erken, geç ve uygun zamanlarda örneklenmesi.
Yani d | I e |  | I g | hata işareti yerel işaretin frekansını/fazını düzeltmekte kullanılabilir.
d 'nin negatif olması yerel osilatör frekansını düşürmek (geciktirmek), pozitif olması ise yükseltmek
(öne almak) gerektiğine işarettir. Ancak d ’nin büyüklüğü düzeltmenin ne kadar olması gerektiğini
söylemez, o nedenle yerel işaretin frekansı/fazı yavaşça uygun değere getirilir. Bunu sağlamak için d
işareti bir alçak geçiren süzgeçten geçirilir ve gürültü dolayısıyla ani değişimlerin önüne geçilir. Tabi
ki beklentimiz yerel osilatörün frekansının başlangıçta sembol frekansına oldukça yakın olmasıdır.
Diğer kapalı döngü eşzamanlama sistemleri de benzeri şekilde hesaplanan bir hata işaretinin yerel
osilatör frekansını/fazını düzeltmesi yöntemiyle çalışırlar.
6.4. Sembollerarası Etkileşim
İkili PAM işaretlerinin haberleşmede kullanılan en basit işaretler olduğunu söylemiştik.
Ancak, Frekans bölümünde dikdörtgen darbelerin bantgenişliğinin sonsuz olduğuna da değinmiştik.
Yani bu işaretler, eğer tamamen kendilerine ayrılan bir kanalda kullanılmıyorsa, frekans bandı
paylaşımına pek izin vermezler. Ayrıca, bu dikdörtgen darbelerin sınırlı bantgenişliğine sahip
kanallardan geçirilmesi durumunda semboller arası etkileşim oluşturduğundan (ISI, Şekil 6.12) sembol
iletim oranını (bit-rate) kötü etkilediğinden bahsetmiştik. Bunlardan dolayı dikdörtgen darbe yerine
bantgenişliği sınırlı dalgaformlarının kullanılması oldukça yaygındır. Nasıl bir dalgaformu (yada
süzgeç) kullanalım ki hem bandgenişliğini sınırlasın hem de alıcıdaki örnekleme anlarında ölçülen
değerler komşu sembollerin değerlerinden etkilenmesin?
Sorunun cevabı için Fourier Dönüşümünün ikilik (dualite) özelliğine bakalım. Şekil 6.38’de
iki işaret için Fourier çiftleri verilmiştir. Zaman alanındaki dikdörtgen darbenin Fourier dönüşümü
sinc fonksiyonudur. İkilik kuralına göre, frekans alanındaki dikdörtgen darbenin ters Fourier
137
dönüşümü de sinc fonksiyonudur. Yani bantgenişliği sınırlı bir işaret istiyor isek zaman alanında
sembolleri temsil etmek üzere dikdörtgen değil sinc fonksiyonu kullanmamız gerekir.
x(t )
Re  X ( f )
F
f
t
 T2
 T1
T
2
x(t )
1
T
Re  X ( f )
F
t

1
2B
f
1
2B
B
B
Şekil 6.38 Fourier dönüşümünde ikilik özelliğini gösteren iki özel örnek.
Ancak sinc fonksiyonunun zaman alanında üretilmesi imkansızdır, çünkü (, )
aralığında tanımlıdır. Sınırlı zaman aralığındaki değerleri kullanmak için kırpılırsa önemli oranda hata
yapılmış olur. O nedenle frekans karakteristiğinden biraz ödün vererek daha gerçeklenebilir bir işaret
oluşturulması gerekmektedir. Biraz daha geniş bant kapsayan yumuşak geçişli böyle bir tayf Şekil
6.39’de verilmiştir. Bu tayf bir kosinüs fonksiyonunun 1 periyodluk kısmına DC eklenerek frekans
eksenine oturtulmuş halidir. O nedenle ismi raised-cosine fonksiyonudur ve genellikle

T
T
T
X ( f )   2 1  cos(  ( f  12T ))

0


f  12T
,

,
1 
2T
,
 f  12T
(6.14)
f  12T
şeklinde 3 parçalı olarak tanımlanır.   1 durumunda minimum değerleri frekans eksenine gelecek
şekilde DC eklenmiş bir periyotluk kosinüs fonksiyonudur (Şekil 6.39).
X( f )
T
ideal tayf
raised-cosine
tayf
f
 T1
 2T1
1
2T
1
T
Şekil 6.39   1 için raised-cosine fonksiyonu tam periyod bir kosinüstür.
138
 ’nın üç farklı değeri için tayflar Şekil 6.40’da verilmiştir.
X( f )
T
 0
  0.25
  0.5
 1
f

1
T
 2T1
1
2T
1
T
Şekil 6.40   1 ,   0.5 ,   0.25 için raised-cosine tayfları.
Bu tayfları sağlayan zaman alanındaki işaretler de benzeri şekilde parçalı tanımlanıyor (Şekil
6.41).

cos( T t )
t
, t   2T
sinc( T )
x(t )  
1  ( 2Tt ) 2
  sinc( 1 ) ,
t   2T
4
2

(6.15)
Raised-cosine tepkilerinin özelliği sadece etkin frekans bantını sınırlaması değil, aynı
zamanda örnekleme anında örnek değerini tam olarak vermesi, bu nedenle en düşük ISI özelliğini
sağlamasıdır. Yani, gürültünün sıfır olduğunu varsayarsak, tam eşzamanlamayı sağlamış bir alıcıda
karar anlarında ölçülecek değer sadece ilgili sembol değeridir, önceki ve sonraki sembollerin etkisi
yoktur. Bu durumu Şekil 6.42 açıklamaktadır. Şekil 6.42’de “10111001” ikili akışındaki herbir bite
raised-cosine süzgecinin tepkisi ve toplam tepki gösterilmiştir (1:+A, 0:-A). Görüldüğü üzere
dalgaformu değerlerinin örnekleneceği anlarda diğer dalgaformlarının değerleri sıfırdır ve sadece ilgili
sembolün değeri okunabilmektedir. Raised-cosine süzgeç tepkisi doğal olarak sonsuza uzanmaktadır.
Ancak birkaç periyod sonra oldukça küçüldüğünden (sinc’ten çok daha hızlı küçülmekte) sınırlı darbe
tepkisi (FIR: finite impulse response) süzgeçlerle oldukça yaklaşık olarak gerçeklenebilmektedir.
x(t )
t
T
T
139
Şekil 6.41   1 ,   0.5 ,   0.25 için raised-cosine tepkileri.
t
1
2
3
4
5
6
7
8
Şekil 6.42   1 süzgecinin “10111001” akışına tepkisi. Herbir sembol için tepkiler de gösterilmiştir.
Vericiden gönderilen dalgaformları bu şekilde olunca, alıcıda uyumlu süzgeç kullanılması
durumunda toplam tepkinin Şekil 6.42’deki gibi olması için pratikte genellikle root-raised cosine
dalgaformları kullanılır. Yani, gönderilen dalgaformlarının ve alıcıdaki uyumlu süzgecin tayfları
X ( f ) şeklinde, süzgeç çıktısındaki tayf ise X ( f ) şeklinde olmaktadır. Bazı kaynaklar bunun
işlem yükünü verici ve alıcıya bölüştürmek olarak açıklasa da bir dayanağı yoktur. Gerçekte bu, hem
kanal tepkisini de hesaba katabilmek hemde, alıcıda zaten bir uyumlu süzgeç yada korelatör
olacağından, karar örneklerini raised-cosine tepkisi (Şekil 6.42) üzerinden alabilmek içindir. Bundan
sonra raised-cosine ile, eğer ayrım gerekmiyorsa, hem root-raised-cosine hem raised-cosine terimlerini
kastediyor olacağız.
Raised-cosine dalgaşekilleri sadece M  2 için değil, M ’nin diğer değerleri için de
kullanılmaktadır.
Bu noktaya kadar, değindiğimiz konularda kullanılan dalgaformlarının bantgenişliğinden de
hep bahsettik, işaretlerimizin frekans bandında az yer kaplamasının gerektiği hissini uyandırdık.
Ancak, iletişim ortamı tamamen iletişimde bulunan uçlara aitse, örneğin verici ve alıcı arasında bir
kablo varsa ve bu kablo başka bir veri iletişim sistemiyle paylaşılmıyorsa, bunun ne önemi var?
Örneğin, aynı binada bulunan iki bilgisayar arasında kablolu iletişim yapıyorsak, kablonun izin verdiği
tüm frekans bandı bu iletişimde kullanılabilir. Elbette ki aynı kablo üzerinden frekans bandı paylaşımı
yapan iletişim sistemleri vardır, örneğin kablo-TV. Ama frekans bandı paylaşımına ihtiyaç
duyulmayan sistemlerde bant sınırlaması yapılmasının gerekmediği açıktır. Bu tür sistemlere
tabanbant iletişim sistemleri denmektedir. Band sınırlaması yapan raised-cosine süzgeç (yada raisedcosine dalgaformları) aslında daha çok band paylaşımlı sistemlerde ihtiyaç duyulan şeylerdir. Şimdi
tabanbant işaretlerini yüksek frekanslara çıkararak iletişim yapan ve band sınırlaması gerektiren
yöntemlere göz atalım.
İşaretin merkez frekansını, dolayısıyla frekans bandını, değiştirmenin en yaygın yöntemi
Fourier Dönüşümünün modülasyon özelliğini kullanmaktır. x(t ) , frekans tayfı X ( ) olan tabanbant
işaretimiz ve c merkez frekansımızı taşımak istediğimiz yüksek frekans olmak üzere
140
F x(t ) cos(ct )  12 X (  c )  12 X (  c ) dir. Yani tabanbant işaretimizi c frekanslı
taşıyıcı ile çarpmak yeterlidir. Yukarıda bahsedilen M-ary iletişim işaretlerini, dalgaformları ne olursa
olsun, cos(c t ) taşıyıcısıyla çarpmak onların merkez frekansını c frekansına çıkaracaktır. AM-FM
konusunda da gördüğümüz üzere, c merkezli işareti tekrar cos(c t ) ile çarpıp tabanbant dışında
kalan bileşenleri atan bir alçak geçiren süzgeçten geçirip tekrar tabanbant işaretini elde ederiz. A  1
olan ikili antipodal işaretin bu işlemlerden geçirilişini Şekil 6.43 özetlemektedir.
X ( )
x (t )
t

a)
c(t )
C ( )
t
b)
c
x(t )c(t )
c
X ( f )  C ()

t
c)

c
c
x(t )c(t )c(t )

t
d)
2c
H ( )
h(t )
e)
kırpılmış sinc

t
xˆ(t )  x(t )c(t )c(t )  h(t )
f)
2c
t
Xˆ ( )

Şekil 6.43 Binary PAM işaretinin c ’ye çıkarılması ve tekrar tabanbanta indirilmesi.
Bu tasarımda çözülmesi gereken birkaç önemli problem var;
1. İkili PAM işaretinin bantgenişliği sonsuzdur. Yüksek frekanslara çıkardığımızda da
bantgenişliği sonsuz olacağından frekans paylaşımlı bir ortamda diğer işaretlerle karışması
kaçınılmazdır. O halde ideal ikili işaretten (dikdörtgen darbe) vazgeçip merkez frekanstan uzaklaştıkça
gücü daha hızlı düşen, böylelikle belli frekanstan sonrası ihmal edilebilecek bir işarete razı olmalıyız.
Yada karıştırmanın daha az olacağı genişlikte bir bandı bu işarete tahsis etmeliyiz.
2. Alıcıda taşıyıcı işaret aynen üretilmelidir ki alınan işareti tekrar taşıyıcı ile çarptığımızda
Şekil 6.43d işaretini elde edebilelim. Pratik olarak iki bağımsız osilatörün aynı frekans ve faza
getirilmesi ve orada tutulması mümkün değildir. Elektronikte bir kararlılık sınırı vardır ve kısa bir
zaman sonra bu osilatörler ilk ayarlandıkları frekanstan saparlar. O nedenle, alıcı osilatörü gelen işaret
ile kendini ayarlamalı, sapmaları telafi etmelidir. Yani çözüm yine eşzamanlamadır.
141
3. Şekil 6.43e frekans tayfında gösterilen karakteristikte bir süzgeç tasarlamak (geçirme
bandında sabit, dışında sıfır) oldukça zor bazen imkansızdır. Bu nedenle biraz bozulmuş bir sonuç
işaretine razı olacağız. Bu da dolaylı olarak veri iletim hızına/oranına etki edecektir.
4. Tüm bu işlemleri sayısal olarak tasarlamamız durumunda, sayısal sistemlerin getirdiği
faydaların yanında bazı zorunluluklar/sınırlamalar da getirdiğinin farkında olacağız. Örneğin, verici ve
alıcının kanal arayüzlerinde analog-sayısal ve sayısal-analog çeviriciler gerektiğinden bu ceviricilerin
sınırlamalarına/maliyetlerine uymak durumundayız.
5. Şekil 6.43’deki frekans tayflarından anlaşılacağı üzere, işaretimizin tayfının merkez
frekansına yaklaştıkça iletilen güç artmakta, uzaklaştıkça azalmaktadır. Yani, aslında ayrılan bant tam
verimlilikte kullanılmamaktadır. Tabanbant işaretimizin tayfındaki enerji/güç dağılımını ayrılan bant
içinde dengeli dağıtan sembol sayısı (M) ve dalgaformları kullanarak verimliliği arttırmayı
düşünmeliyiz.
Şekil 6.43'de verilen ve ikili PAM işaretinin doğrudan taşıyıcı ile çarpılması olan yaklaşım
haberleşmede çok kullanılan bir yöntemdir ve ismi ikili faz kayma anahtarlamasıdır (BPSK: binary
phase shift keying). Şekil 6.43c işaretine dikkat edilirse sinüsoidalin periyodları hiç değişmemektedir
ancak ikili işaret ile birlikte işareti değişmektedir. BPSK kullanan bir iletişim sistemi Şekil 6.44'te
verilmiştir.
kanal
x (t )
cos(ct )
verici
alçak geçiren
süzgeç
karar
verici

semboller
nTb
cos(ct )
faz
dedektörü
kontrollü
osilatör
döngü
süzgeci
nTb  
PLL
nTb  
mantık
ELG
zamanlayıcı
osilatör
Şekil 6.44 Taşıyıcı eşzamanlaması için PLL, sembol eşzamanlama için erken-geç-anahtarlama
kullanan bir BPSK alıcısı.
Şekil 6.44'teki alıcının çalışması şu şekildedir; Alınan c merkez frekanslı BPSK işareti önce
tabanbanta indirilmelidir. Bunun için yerel osilatörün ürettiği c frekanslı sinüsoidal ile çarpılıp Şekil
6.44'teki gibi bir alçak geçiren süzgeç ile tabanbant işareti elde edilecektir. Ancak alıcıdaki osilatörün
frekansı/fazının BPSK taşıyıcısınınki ile aynı olması gerekmektedir. Bu eşzamanlamayı sağlamak için
PLL (phase-locked-loop : faz kilitlemeli döngü) kullanılmaktadır. Faz kilitlemesinin esası, girdi işareti
ile yerel işaretin arasındaki faz farkının ölçülmesi ve fark varsa yerel osilatörün hassas adımlarla
ayarlanmasıdır. Gürültü dolayısıyla oluşan anlık faz farkından gelen hatayı azaltmak ve osilatörü
uygun hızda istenilen frekansa getirmek için bir alçak geçiren süzgeç kullanılır, ki bu süzgecin adı
döngü süzgecidir (loop-filter). Böylelikle yerel osilatör BPSK taşıyıcısını her zaman takip eder, alınan
işaretin taşıyıcısıyla eşzamanlı bir sinüsoidalle çarpılmasını sağlar. Alınan işaretin merkez frekansında
anlık değişimler kalıcı olursa, PLL bunu kabul edilebilir bir gecikmeyle telafi eder. Çarpım sonucu
142
elde edilen işaret (Şekil 6.43d) uygun bir alçak geçiren süzgeçten geçirilerek (bir çeşit kayan ortalama)
tabanbant işaret elde edilir. Ancak, tabanbant işaretinden temsil edilen semboleri üretmek için doğru
zamanda ölçüm yapılması gerekmektedir. Bunun için de erken-geç-anahtarlama (Şekil 6.35) yada
benzeri bir eşzamanlama yönteminin kullanılması gerekir. Elbette ki yine tek bir örneğe bağlı
kalmamak için periyod boyunca ortalamanın alınması işlemi integral bloğu ile gösterilmiştir. Şekil
6.44'teki sistemde Şekil 6.33'de gösterilen gerekli eşzamanlamalardan ikisi gerçeklenmiştir; Taşıyıcı
eşzamanlama (PLL ile) ve sembol eşzamanlama (erken-geç anahtarlama). PLL kendi içinde bir kapalı
döngü olsa da asıl işaret akışından ayrı olarak gerçeklendiği için Şekil 6.34'teki açık-döngü
eşzamanlama sınıfı içinde değerlendirilebilir. Diğer taraftan, erken-geç anahtarlama ise kapalı-döngü
bir eşzamanlamadır.
Şekil 6.45, iyi bilinen bir başka kapalı döngü eşzamanlama yöntemi olan Costas-döngüsünü
göstermektedir. Costas-döngüsü 2 adet demodülatör sonuçlarını kullanarak yerel taşıyıcı osilatör
frekansını ayarlamayı amaçlar. Bu demodülatörler, aralarında 2 faz farkı olan iki sinüsoidal kullanır.
alçak geçiren
süzgeç
x (t )
BPS
K
temelbant
işaret
cos(ct )
kontrollü
osilatör
döngü
süzgeci
sin(ct )
alçak geçiren
süzgeç
Şekil 6.45 Costas-döngüsü ile taşıyıcı eşzamanlaması ve tabanbant işaretini elde etme.
Costas-döngüsünün çalışmasını denklemlere fazla girmeden şöyle anlatabiliriz; Taşıyıcı ile
eşzamanlama sağlamayı amaçlayan döngüde, tam eşzamanlama durumunda üstteki tabanbant
işaretinin genliği en yüksek, alttakinin ise sıfırdır. Çarpımları sonucu elde edilen sıfır, kontrollü
osilatörün frekansını/fazını değiştirmemesi gerektiğini belirtir. Eğer kontrollü osilatörün fazı geri yada
ileri ise çarpım sonucu pozitif yada negatif olur, büyüklüğü de faz farkıyla orantılıdır. Bu da osilatörün
frekansını/fazını arttırır yada azaltır. Döngü süzgeci de daha önce bahsi geçtiği gibi anlık değişimlerin
etkisinin azaltılmasını sağlar. Elbette ki bu süzgeçlerin en iyi davrandığı tasarımlar hedeflenir ki bu da
çalışılan frekanslardaki kanal davranışıyla (jitter, doppler, multipath vb) belirlenebilir. Şimdilik bu
konulara girmeyeceğiz. Ancak BPSK işaretinin frekansı/fazı çok değişmiyor ise basit bir alçak geçiren
süzgeç döngü süzgeci olarak başarıyla kullanılabilir.
Frekans bandı kullanım verimliliğini arttırmak yada bant genişliğini azaltmak için, mesaj
işareti taşıyıcı ile çarpılmadan önce bir alçak geçiren süzgeçten (örneğin raise-cosine) geçirilebilir.
Yani örneği Şekil 6.42'de verilen tabanbant işaret elde edilir. Bu durumda taşıyıcı ile çarpım sonucu
elde edilen yüksek frekanslı (YF) işarette Şekil 6.43c'deki gibi faz atlamaları değil fazlar arasında
yumuşak bir geçiş olur. Tabi ki YF işaretin bantgenişliği tabanbant işaret gibi olacağından bant
sınırlaması sağlanmış olur. Tabanbant işaretinin bantgenişliğini belirlediği çoğu YF haberleşmesinde
bu yöntem kullanılır. Ancak tabi ki raised-cosine süzgecinin yaklaşığı (tepkisi sınırlı zamanda)
kullanılabileceğinden bant karakteristiğinin de yaklaşığı elde edilir (Şekil 6.46).
143
X ( )
c
c

Şekil 6.46 İdeal olmayan bir YF raised-cosine bant tayfı.
6.5. Genlik Anahtarlaması
Şekil 6.3'de örneği verilen PAM (darbe genlik Modülasyonu) bir tabanbant iletişim
yöntemidir. Tabi ki, b pozitif bir tam sayı olmak üzere M  2b adet sembol kullanılacaksa (M-ary)
M farklı voltaj seviyesi gerekir. İkili sayı sistemindeki semboller olan 0 ve 1'in yanyana
getirilmesiyle daha geniş alfabeler oluşturulur. Yeni alfabelerdeki sembollere genişletme (extension)
ismi verilir. Örneğin {00, 01, 01, 11} alfabesindeki semboller ikili sistemin ikinci genişletmeleridir
(second extension). Yeni alfabelerdeki sembol sayısı M  2b 'yi sağlamayabilir yada sembol eşit
uzunlukta olmayabilir. Ancak olasılıkları ve taşıdıkları bilgileri yaklaşık eşit olan 2'li sembollerin
birleşiminden oluşturulacakları için bu durum hem bilgiyi temsilde verimli olmaz hem de olası tüm
sembolleri alfabede yer alamadıları için iletilemezler. Yine de, bilginin eşit olasıklı olmadığı durumlar
için temsili daha verimli hale getirmek amacıyla bu gibi alfabeler oluşturulabilir. Bu işlemleri Veri
Sıkıştırma bölümünde göreceğiz.
M-ary alfabedeki sembolleri temsil edecek dalgaformlarının çoğunlukla sabit voltaj seviyeleri
olduğunu yada bunlardan oluşturulan kanal işaretinin (Şekil 6.3'deki gibi) raised-cosine türü bir
süzgeçten geçirilmiş halleri olduğundan bahsetmiştik. Bu tabanbant işaretini yüksek frekanslara
çıkarmak için bir taşıyıcı işaretle çarpılacağına da birçok yerde değindik. PAM işaretinin taşıyıcıyla
çarpılarak yüksek frekansa çıkarılmış haline ASK (amplitude shift keying : genlik anahtarlaması)
denir. Denklem (6.1) ile üretilen x(t ) PAM işareti, c frekansındaki taşıyıcı ile
y(t )  x(t )cos(ct )
(6.16)
şeklinde çarpılıp ASK işareti elde edilir.
Şekil 6.3'de verilen PAM işaretinin taşıyıcı ile çarpılmış halini, yani ASK işaretinin bir
örneğini Şekil 6.47'da görüyoruz.
144
(c3 ) 3
y ASK (t )
(c2 ) 1
t
(c1 ) -1
(c0 ) -3
Şekil 6.47 ASK işareti örneği.
Şekil 6.47'daki ASK örneğinin alıcı tarafında demodülasyonu için AM'deki doğrultucu ve
alçak geçiren süzgeçten oluşan dedektörü kullanamayız. Çünkü genlikleri aynı olup sadece işaretin
farklı olduğu dalgaformları var. Böyle bir işaretin demodülasyonu için eşzamanlı dedektör
kullanılabilir. PAM işaretindeki dalgaformu değerlerinin hepsi geleneksel AM'deki gibi pozitif
yapılırsa, örneğin ci ={1,2,3,4} olursa, ASK işaretinden basit bir dedektörle tabanbant PAM işareti
elde edilebilir (Şekil 6.48).
(c3 )
(c2 )
(c1 )
(c0 )
4
y ASK (t )
3
2
1
t
Şekil 6.48 si (t )  0 PAM değerleri ile üretilmiş ASK işareti örneği.
ASK (ve PAM) üretilmesi kolaydır, dedektörleri de basit tasarımlardır. Ancak, verilen
örneklerdeki haliyle geniş banta ihtiyaç duyar ve gürültüden kolay etkilenir. Kablosuz iletişim için
tercih edilmez. Fiber optik iletişim için ise gayet uygundur. Fiber geniş bantlıdır ve dış gürültüye karşı
korumalıdır. Ayrıca taşıyıcının diğer büyüklüklerini (faz ve frekans) ışık frekanslarında kontrol etmek
kolay değildir, o teknoloji yeni yeni gelişmektedir. Genliğini kontrol etmek ise ışık kaynağını açıp
kapatmak gibidir, o nedenle kolaydır.
145
6.6. Faz Anahtarlaması
Taşıyıcıyı
modüle
eden
x (t )
PAM
işareti,
yine
sembol
dalgaformlarının
x(t )   sni (t  nTs ) toplamından oluşuyor, ancak taşıyıcının sadece fazını değiştirmek için
n
y(t )  cos(ct  x(t ))
(6.17)
şeklinde kullanılıyorsa, bu modülasyon türüne PSK (phase shift keying : faz kaydırma anahtarlaması)
ismi verilir. (not: taşıyıcı olarak sin, cos yada başka bir fazda sinüsoidal yazılması yada çizilmesinin
önemi yoktur, önemli olan faz farklarıdır. Faz açısı referans alınan aynı frekanslı bir başka sinüsoidale
göre verilir. Gerçekte farklı bir sinüsoidal yok ise işaretlerden birisi referans alınır.)
M=2, c0  0 ve c1   / 2 durumu için (ikili veri) bir PSK işareti örneği Şekil 6.49'de verilmektedir.
İkili dizi "101101"dir ve sinüsoidal taşıyıcıdaki faz açısı atlamaları görülebilmektedir. Alıcının görevi
bu faz geçişlerini yada referans taşıyıcıya göre faz açısını bulmak ve hangi ikili sembolün gönderilmiş
olduğuna karar vermektir. Her sembolde taşıyıcı periyodu değişmeyip sadece fazı değiştiğinden
sembolleri temsil eden işaretleri faz düzleminde gösterebiliriz.
yBPSK (t )
( b) 1
t
(a ) -1
Şekil 6.49 İkili faz kaydırma anahtarlaması (BPSK). Faz değerleri 0 ve  / 2 .
PSK'nın c0  0 ve c1   / 2 durumunu, c0  0 'ı referans alarak faz düzleminde Şekil 6.50'daki gibi
gösterebiliriz. Enerji derslerinden hatırladığımız fazör diyagramlarından farklı olarak haberleşmedeki
faz düzleminin eksenlerine I ve Q bileşenleri yönleri denir (in phase ve quadrature phase). Şekil
6.50'daki I-Q düzleminde referans olarak c0  0 alındığı için c1 'in faz açısı bu fazörden  / 2
ileridedir. Dalgaformları, genlikleri 1 olan sinüsoidallerdir. Fazörlerin arasındaki uzaklık
d  12  12  2 'dir. Bu mesafe, alıcıların s0 ve s1 dalgaformlarını birbirinden ayırmak için
kullanılacağından dolayı mümkün olduğunca büyük olması istenir. Şekil 6.51a'da işaretleri belirlemek
için kullanılan ML eşiği  / 4 açıyla çizilmiş durumda.
146
Q
s1
1
s0
I
1
Şekil 6.50 PSK 0 ve  / 2 dalgaformlarının faz düzleminde gösterimi.
Verilen genlikler için, aynı genlikli sinüsoidal dalgaformlarıyla daha büyük d elde edilebilir
mi? Böylelikle verilen işaret/gürültü enerji oranı (SNR) için daha az hata ile iletim gerçeklenebilir.
Şekil 6.51b'de aralarında  faz açısıyla yerleştirilmiş iki dalgaformu gösterilmiş. Bu yerleşimle
d  2 elde edilir. Yani biri diğerinin tam zıt işaretlisi dalgaformlarını kullanmak daha yüksek bir
performans sağlıyor. Bu şekildeki dalgaformlarına antipodal dendiğini daha önce söylemiştik.
Şekil 6.52, aralarında  faz farkı bulunan iki sinüsoidal (birisi diğerinin negatifi) ile üretilmiş
kanal işareti örneğini gösteriyor.  faz atlamaları şekilden görülebiliyor. Tüm sayısal haberleşme
yöntemlerinde sembolleri temsil eden dalgaformları arasındaki mesafenin mümkün olduğunca büyük
olması istenirken, enerjilerinin de (sıfır noktasından uzaklıklarının) olabildiğince küçük olması
hedeflenir. Bir başka deyişle, belirlenen dalgaformu enerjileri için olası en büyük uzaklıklar
kullanılmaya çalışılır.
Q
Q
s1
d
1
1
s0
1
I
0
d
s1
1
s0
I
1
Şekil 6.51 I-Q diyagramında iki dalgaformunun yerleşimleri a) 0 ve  / 2 b) 0 ve  .
I-Q diyagramında dalgaformlarını temsil eden noktaların yerleşimlerine kümeleşme
(constellation) denir. I-Q diyagramlarında dalgaformlarını gösteren noktaların yanına ikili sistemde
hangi sembolleri temsil ettiklerini yazmak gelenekleşmiştir. Bunu Şekil 6.51b'de de görüyoruz.
M'nin 4, 8 ve 16 değerleri için kümeleşmenin nasıl yapıldığına bakalım. I-Q düzleminde
mümkün olduğunca antipodal yerleşimler mantıklı görünüyor. Örneğin M=4 için 4 adet dalgaformu
cos, -cos, sin ve –sin işaretlerinden oluşabilir. Buna QPSK (Quadrature PSK : dördün PSK) deniyor.
Böyle bir yerleşim Şekil 6.53'da görülüyor. Dört sinüsoidal işaret aralarında  / 2 faz açısı olacak
147
şekilde üretilecek. Bunlardan bir tanesi referans alınıp +I eksenine yerleştirilip diğerleri sırasıyla
 / 2 ,  ve 3 / 4 açılarına yerleştirilir. Şekil 6.53'deki yerleşim farklıymış gibi görünse de aslında
tüm işaretlerin referans işarete göre aynı pozisyonda (açıda) olduğu görülmekte. Yani sadece tüm
çizim biraz döndürülmüş. Alıcı tarafında bunu ayırdetmek mümkün değildir, çünkü başka bir referans
işareti yoktur.
yBPSK (t )
( b) 1
t
(a ) -1
Şekil 6.52 İkili faz kaydırma anahtarlaması (BPSK). Faz değerleri 0 ve  .
Q
01
Q
s1
s1
01
s2
s0
00
I
s0
I
00
11
s2
10
s3
11
10
s3
Şekil 6.53 QPSK kümeleşmesi örnekleri. a) referans I üzerinde b) dönmüş kümeleşme
QPSK'da antipodal yerleşimin verilen bir enerjide noktaları en uygun uzaklıklara koymasının
yanında bir başka avantajı da 2 adet BPSK işaretinin toplamıyla elde edilebilmesidir. Bunun için Şekil
6.54'e bakalım. QPSK'da her faz değişiminde 2 bit iletildiğini görüyoruz. İlk bitin 0 yada 1 olmasıyla
s0 yada s2 üretiliyor. Benzeri şekilde ikinci bitin 0 yada 1 olmasıyla s1 yada s3 üretiliyor. Bunların
her ikisi de BPSK'dır. Bu iki BPSK işaretinin toplamı da QPSK'dır. Toplam I-Q diyagramı  / 2
dönmüş görünüyor ama önemli olan aralarındaki ilişkidir. Başlangıçta dönmüş diyagramlarla
başlasaydık sonuçta Şekil 6.53'teki gibi bir yerleşim elde ederdik.
Bu işlemlerden sonra iletilecek sembolün ilk bitinden I-biti ikincisinden de Q-biti olarak
bahsetmekte bir sakınca yoktur. Şekil 6.54 ise genel olarak M-PSK işaretlerinin üretilmesinin blok
diyagramını göstermektedir.
148
İlk bit için I-Q
Q
+
0
s0
İkinci bit için I-Q
Toplam I-Q
=
Q
Q
00
s1
0
s1  s2
I
I
10
s2
1
1
s2  s3
s3
s1  s0
01 I
s0  s3
11
Şekil 6.54 QPSK işaretinin iki adet BPSK işaretinden elde edilişi.
cos(ct )
Im
I-Q
ikili akış
10,11,00,10… modülatör
M-PSK
Qm
sin(ct )
Şekil 6.55 M-PSK işaretlerinin I ve Q vektörlerinden elde edilişi.
I-Q modülatör bloğu girişteki b adet ardışıl bit değerinden ( M  2b ) Im ve Qm çarpanlarını
üreten bir tablodan ibarettir. QPSK için 2 örnek tablo Tablo 2'de verilmiştir.
Tablo 2. QPSK için örnek Re ve Im çarpanları
giriş
Im
Qm
giriş
Im
00
1
0
00
1
01
-1
0
01
-1
10
0
1
10
-1
11
0
-1
11
1
Qm
1
1
-1
-1
Şekil 6.55 ve Tablo 2'de verilerden anlaşıldığı üzere girişteki ikili veri çiftlerine göre çarpanlar
belirlenip
y(t )  I m cos(ct )  Qm sin(ct )
(6.18)
ağırlıklı toplamıyla da BPSK yada QPSK işareti elde ediliyor. Tabi ki cos(ct   ) ve sin(ct   )
işaretlerinin fazları değil ikisi arasındaki faz farkı önemlidir.  ise sadece I-Q diyagramında bir
dönmeye karşılıktır ve alıcı açısından zaten bilinmesi gerekmez.
149
Aynı yöntem, b gönderilecek sembollerin (ikili genişletmelerin) bit sayısı olmak üzere
M  2 sembolü olan tüm PSK işaretlerini üretmekte kullanılabilir. Şekil 6.56 8-PSK ve 16-PSK
olarak anılan M=8 ve M=16 PSK örnek kümeleşmelerini ve ML eşiklerini göstermektedir.
b
8-PSK
16-PSK
Q
Q
011
010
001
000
110
100
I
I
111
101
Şekil 6.56 8-PSK ve 16-PSK kümeleşmeleri.
PSK kümeleşmelerinde semboller çoğunlukla Gray-Code denilen ve komşu semboller
arasında 1 bit fark olmasını sağlayan bir şekilde yerleştirilirler. Böylelikle hata yapılırsa 1 bitlik hata
yapılması sağlanır. Kümeleşmelerde sembollerin gösterilen çember üzerinde olmaları işaretlerin aynı
genliğe sahip olduklarını göstermektedir. Tabi ki M arttıkça, genlik arttırılmaz ise semboller birbirine
yaklaşmakta ve alıcıda karar hata olasılığı artmaktadır. Halbuki çemberin iç kısmında sembol yoktur
ve bundan faydalanılamamaktadır. O nedenle M-PSK yöntemlerinde M=16'dan daha çok sayıda
sembol kullanılmamaktadır. I-Q düzleminde farklı genlik ve fazlarda yerleştirilebilir ve Şekil 6.55'teki
I-Q modülatör tablo yöntemi bu yaklaşım için de kullanılabilir. Farklı genlik ve fazlardaki sembollerle
oluşturulan bu şekildeki yerleşimlere QAM (quadrature amplitude modulation : dördün genlik
modülasyonu) ismi verilir. Şekil 6.57 bir 16-QAM kümeleşme örneğini göstermektedir.
Q
0010
0011
0000
0001
I
r
Şekil 6.57 16-QAM kümeleşmesi.
150
Şekil 6.57'deki 16-QAM örneğinde r genliği ve  açısına sahip r cos(ct   ) sinüsoidalini
I m cos(ct )  Qm sin(ct ) toplamıyla oluşturmak için gerekli olan I m ve Qm çarpanları I-Q
modülatörü tablosuna yerleştirilir. Burada
r  I m2  Qm2
(6.19)
  tan 1 (Qm / I m )
dir. Diğer tüm dalgaformları için de aynı yöntemle tablo doldurulur.
Günümüzün yaygın sayısal iletişim şekli olan QAM, sayısal televizyon, ADSL (asymetric
digital subscriber line : asimetrik sayısal abone hattı), kablosuz ağ, enerji hattı üzerinden sayısal
haberleşme gibi çok çeşitli uygulamalarda geniş yer bulur. Standartlarda M ihtiyaç duyulan iletişim
oranı ve ortam gürültüsüne belirlenmiş olup 32768-QAM, yani I-Q diyagramında 32768 adet noktanın
olabildiği ADSL gibi, sembol başına 15 bit gibi yüksek sayılara ulaşabilmektedir. Hatırda tutulması
gereken bir başka nokta da M adet faz-genlik noktasının sadece tek bir frekansta oluşturulduğu, ilgili
iletişime ayrılan bantgenişliğinin alt-bantlara bölünüp çok sayıda merkez frekansın herbirinde MQAM iletişim yapıldığıdır. Bu yönteme DMT (discrete multitone) denir. Örneğin ADSL hatlarında
(bükülü telefon kablosu) kullanılabilir bantgenişliği olarak kabul edilen 1100 kHz, 256 alt-banta
bölünür (Şekil 6.58)
0
5
6
7
8
253 254
255
ses
0
f (kHz)
5
25
30
35
1100
Şekil 6.58 DMT frekans alt-bantları örneği.
Alt-bantlardan 0-5kHz arası normal analog telefon ses iletişimine ayrılır. 5-255 numaralı
altbantlar sayısal iletişimde kullanılır. 2-4 numaralı alt-bantlar ise sayısal ile analog iletişim arasında
karışmayı engellemek üzere kullanılmaz. 5-x numaralı sayısal iletişim alt-bantları kullanıcıdan servis
sağlayıcıya (upstream) diğerleri de (x+1 - 255) servis sağlayıcıdan kullanıcıya (downstream) ayrılır.
Kullanıcıların servis sağlayıcıya gönderdiği veri aldığı veriden çok daha azdır. Örneğin çoğu kullanıcı
bir dosyayı (internet sayfası) indirmek için sunucuya dosyanın büyüklüğüne kıyasla çok küçük bir
istek paketi gönderir. O nedenle alt-bantların önemli oranı servis sağlayıcıdan kullanıcıya giden
iletişim için ayrılır. ADSL'in asimetrik ön eki buradan gelmektedir. Tabi ki bu sadece bir örnektir, altbantların simetrik olarak paylaşıldığı, ses işaretine bant ayrılmadığı, iletişim bantgenişliğinin çok daha
yüksek kabul edildiği sistemler de vardır. ADSL benzeri sistemlerin başarısı, uçtaki iletişim
cihazlarının (modemler) hat kalitesini devamlı olarak ölçmesi ve çok hata üreten kanalları devreden
çıkarmasıdır. Böylelikle kullanıcı yavaşlamayı hisseder ama iletişim kesilmez.
Komşu alt-bantlardaki taşıyıcıların sembol periyodu boyunca birbirine dik olan
sinusoidallerden seçilmesiyle OFDM (orthogonal frequency division multiplexing : dik frekans
bölütleme çoğullaması) elde edilir. Böylelikle komşu bantların birbiriyle etkileşimi en aza indirilir.
151
6.6.1. Çözümlü Problemler
1. İkili PAM iletişim sistemi aşağıda olasılık yoğunluk fonksiyonu verilen toplamsal gürültünün
etkisi altındadır. İletişimde 0 ve 1 sembollerini temsil etmek üzere +0.9 ve -0.9 V değerleri
kullanılmaktadır. 0 sembolünün (+0.9V) gönderilme olasılığı 0.6'dır. Alıcıda dedektör sembol
peryodu ortasından 1 örnek almakta ve ML eşik değerine (0 V) gönderilen sembolün 0 yada 1
olduğuna karar vermektedir. Sembol karar hata olasılığı nedir?
fη
η
-1
1
Çözüm
Gönderilen işaret +0.9 V olduğunda alıcı girişindeki pdf aşağıdaki gibi olacaktır.
fr
I1
r
0.9
-0.1
I1  
0
0.1
1.9
I1
fr'
r'
0.1 10
2
f r ( r )dr şeklinde gösterilen alan +0.9 gönderildiğinde yapılacak hata olasılığıdır.
Daha kolay hesaplanabilmesi için şekil 0.1 sağa kaydırılarak sağdaki durum elde edilir. Üçgenin tepe
noktası, toplam alan 1 olması için 1'dir. Integral f r ( r )  r için hesaplanarak yada üçgenlerin
benzerliğinden
I1  0.005 bulunur. pdf simetrik olduğundan ve ML eşik kullanıldığından
Pe ( x  0.9)  Pe ( x  0.9) olduğu söylenebilir. Yani +0.9 ve -0.9 durumlarında hata olasılıkları
aynıdır.Toplam hata ise sembollerin gönderilme olasılıkları kullanılarak ağırlıklı ortalama ile
pe  P( x  0.9) Pe ( x  0.9)  P( x  0.9) Pe ( x  0.9)  0.4  0.005  0.6  0.005 . pe  0.005
şeklinde bulunur. Yani, pdf simetrik olup ML karar süreci uygulandığında sembol olasılıklarının etkisi
yoktur.
2. İkili PAM iletişim sistemi aşağıda olasılık yoğunluk fonksiyonu verilen toplamsal gürültünün
etkisi altındadır. İletişimde 0 ve 1 sembollerini temsil etmek üzere +0.9 ve -0.9 V değerleri
kullanılmaktadır. 0 sembolünün (+0.9V) gönderilme olasılığı 0.6'dır. Alıcıda dedektör sembol
peryodu ortasından 1 örnek almakta ve ML eşik değerine (0 V) gönderilen sembolün 0 yada 1
olduğuna karar vermektedir. Sembol karar hata olasılığı nedir?
2/2.1
-1
Çözüm
fη
η
1.1
152
Gürültü olasılık yoğunluk fonksiyonu dışında önceki soru ile aynı olduğunu görüyoruz.
Gönderilen voltaj değerlerinin 0.9 ve -0.9 durumlarında alıcının gördüğü işaretin olasılık
yoğunluk fonksiyonları aşağıdaki şekillerde gösterilmiştir.
fr+
I1
fr2/2.1
-0.1 0.9
2/2.1
r
-1.9 -0.9
2
I2
r
0.2
Burada I1 ve I2 sırasıyla +0.9 ve -0.9 gönderilmesiyle yapılacak hata olasılıklarını
göstermektedir. Bu alanları gösteren integraller sırası ile
0
I1  P e ( x  0.9)  
0.1
I 2  P e ( x  0.9)  
0.2
0
f r  ( r )dr  
0.1
f r  ( r )dr  
0.2
0
0
2
2.1
rdr 
2
2.11.1
1 2 0.1 0.01
r

 0.00476 ve
2.1 0
2.1
rdr 
1 2 0.2
r
 0.0173 bulunurlar.
2.31 0
Bu durumda, toplam hata da, hataların ağırlıklı toplamı ile
pe  0.6  0.00476  0.4  0.0173  0.00978
şeklinde
bulunur.
Görüldüğü
gibi,
yoğunluk
fonksiyonu genişleyince (varyans artınca, gürültü gücü artınca) hata olasılığı da artıyor, ki bu beklenen
birşeydir.
153
7 Kanal Kodlama
Bir arkadaşınızla kalabalık ve gürültülü bir yerde karşılaştığınızı varsayalım. Beraberce daha
sakin bir ortama geçmek dışında, karşılıklı iletişim için birkaç seçenek vardır; Daha yüksek sesle
konuşmak, cümleyi anlamadığınızda bunu belirtip tekrar edilmesini sağlamak, veya daha kolay
anlaşılır şekilde yavaş ama içinde bol tekrar barındıran cümleler kurmak. Tabi ki bu üç önlemi beraber
alabilirsiniz. Bunların hepsi ortamdaki gürültünün iletişimi kötü yönde etkilemesine karşı alınan
önlemlerdir. Elektronik haberleşmede de benzeri önlemler alınır ve bu önlemlere toplu halde kanal
kodlama denir. Daha yüksek sesle konuşmak elektriksel işaretlerde daha yüksek güç/enerji kullanmak
anlamına gelir. Anlaşılmayan cümlelerin tekrar edilmesini istemek/sağlamak ise iki yönlü iletişimde
alıcının, içinde hata gördüğü işaretler için tekrar isteğini göndericiye bir işaret dizisi ile bildirmeye
karşı gelir. Tek yönlü iletişim sistemlerinde ise bu imkan yoktur. O nedenle veri göndericiler,
gönderdikleri işaretler içinde gerektiği kadar tekrarlılık barındırır ve alıcının olası hataları bu tekrarlar
sayesinde düzeltmesini beklerler. Yüksek güçle iletişim yapmak herhangi bir zahmet gerektirmediği
ve sebebi oldukça anlaşılır olduğu için bu bölümde diğer iki seçeneği, yani tekrar isteği gönderme
yöntemini ve düzeltme sağlayıcı işaret hazırlama yöntemlerini inceleyeceğiz. Bu işlemler Şekil
1.8'deki kanal kodlama bloğunda gerçekleştirilir.
Gerçek hayatta karşılaşılan veriler içinde çoğu zaman oldukça fazla tekrarlılık (redundancy)
vardır. Ancak bu tekrarlılık, alıcı tarafı için hataları bulma ve düzeltme işlemleri için uygun değil yada
çok zahmetlidir. O nedenle bu gereksiz/kullanışsız tekrarlılık gönderici tarafında mümkün olduğunca
azaltılır. Böylelikle gönderilecek daha az veri olur, aynı zamanda, kanal kodlama için veride yer
açılmış olur. Tekrarlılık azaltma işlemini kaynak kodlama (veri sıkıştırma) bölümünde inceleyeceğiz.
İletişimde oluşan hatalar ile ilgili yapılabilecek işlemler şunlardır;
1. Hata Bulma
a. Basit Parite Kontrolü
b. Boylamasına Tekrarlılık Kontrolü
c. Polinom Kontrolü
i. Toplama Sağlaması
ii. Döngüsel Tekrarlılık Kontrolü
2. Hata Düzeltme
a. Hata Geri Bildirimi (tekrar etme isteği)
i. Dur ve Bekle Bildirimi
ii. Sürekli Bildirim
b. İleri Hata Düzeltme (FEC : Forward Error Correction)
i. Blok kodlama
ii. Evrişim kodlama
Bu işlemlerin bazılarında iki yönlü iletişim gereklidir. İletişim kanalı tek yönlü ise simpleks
(simplex), aynı anda olmamak üzere çift yönlü ise yarı dubleks (half duplex) ve aynı anda iki yönlü
iletişim sağlanıyor ise tam dubleks (full duplex) tanımlamalarını alırlar. Bu iletişim türleri Şekil 7.1'de
gösterilmiştir. Yarı dubleks iletişimde kanal her iki yönde de iletişim sağlar, ancak bir uç veri
154
gönderirken diğer uç alma modundadır, her iki uç aynı anda gönderim yapamaz. Tam dubleks kanal ve
uç cihazlarında ise aynı anda hem gönderme hem alma yapılabilir. Tam dublekse örnek olarak
gönderme ve alma için iki ayrı kablonun kullanıldığı iletişim sistemlerini gösterebiliriz. Eski tür sesli
telsiz iletişimi de yarım dubleks iletişimden sayılabilir; bir kişi konuşurken diğeri dinlemededir.
simpleks
Alıcı
Gönderici
dubleks
Alıcı
Gönderici
Alıcı
Gönderici
tam dubleks
Gönderici
Alıcı
Gönderici
Alıcı
Şekil 7.1 İletişim kanalı modları.
Hata geri bildirimi yapılan sistemlerde dubleks (yarım yada tam) modlu iletişim kanalları
gereklidir. Örneğin bükülü kablolu bilgisayar ağları her iki yönde aynı anda iletişim yapabilmesine
rağmen protokol gereği hata geri bildirimi yapılır. Tabi ki hata geri bildirimi için önce hatanın yada
hata olup olmadığının alıcı tarafından belirlenmesi gereklidir.
7.2. Hata Bulma
Eğer gönderici tarafından veri içine hata bulmaya yardımcı olacak ilave veri eklenmediyse,
yada veri içinde bir tekrarlılık (redundancy) yoksa, asıl verinin hatalı olup olmadığını belirlemek
imkansızdır. O nedenle, gönderilen veriye, olması gereken değeri alıcı tarafından bulunup gerçekte
alınan ile karşılaştırılabilecek ilave veri eklenir. Eklenecek veri, genel olarak alıcı tarafından da
bilinen/uygulanan bir matematiksel ifade ile üretilir. Uygun bir matematikle eklenen veri miktarı
hatanın yerini söyleyebilecek kadar uzun ise hata düzeltme uygulanabilir. Aksi halde, alıcı sadece hata
olduğunu belirler ve hatanın nerede olduğunu bilemediğinden verinin ilgili kısmının tekrar
gönderilmesi için göndericiye bu durumu bildiren bir mesaj gönderilir. Tabi ki bunun için dubleks bir
kanal gereklidir. Bu da yoksa, alıcı kendi olanakları ile uyguladığı düzeltici işlemler (veri içindeki
tekrarlılık kullanılarak) ile doğru veriyi tahmin (estimate) etmeye çalışır, ki bu işlemler çoğunlukla
donanım ile gerçekleştirilemeyecek karmaşıklık içerdiğinden yüksek seviyedeki yazılımlar devreye
girer.
Veriye tekrarlılık eklenmesi iki şekilde yapılmaktadır ve iki isimle anılırlar; Blok kodlama ve
Evrişim kodlama. Veri sembolleri bloklar halinde ayrılıp her bloğun sonuna veri bloğundan
hesaplanan ve hata bulmaya yardımcı olan semboller eklenirse eklenen bu sembollere parite
sembolleri ismi verilmektedir. Şekil 7.2'deki örnekte, K adet veri sembolü gönderildikten sonra bu
155
sembollerden hesaplanan P adet parite sembolü eklenmiştir. Toplam sembol sayısı N olur. Parite
sembolleri çoğunlukla veri bloğu sonuna eklenir, bu sayede alıcının da aynı hesapları yapmasına
zaman tanınır. P/K oranı düzeltilebilecek hata sayısı ile ilgili bir fikir vermektedir. Yani, doğal olarak,
düzeltilebilecek hata sayısında bir sınır vardır. Eğer veri bloğu büyük ise, hata düzeltmeye yetecek
kadar parite sembolü eklemek yerine, hata olduğunu bulmaya yetecek kadar sembol eklenir ve alıcı
hata olduğunu saptadığında göndericiye tekrar isteği iletir. Tabi ki bu yaklaşım sadece az hatanın
olduğu dubleks kanallarda kullanışlıdır. Aksi halde tekrar gönderme işlemleri iletişim kanalını
fazlasıyla meşgul eder.
P-1
2 1 0 K-1
parite sembolleri
3 2 1 0
gönder
veri sembolleri
Şekil 7.2 Veriye parite eklenmesi.
Basit bir örnek yapalım. Sembollerimiz bitler, blok büyüklüğümüz de 2 bit olsun. Bu bitlere
x1 ve x0 diyelim. Bu şekildeki her 2 bitlik x1 x0 bloğu sonuna ilave olarak p  x1  x0 ile hesaplanan
1 parite biti ekleyip blok boyunu 3 yapalım. Buradaki  işareti modulo-toplam'ı (elde'lerin bir üst
basamağa taşınmadığı toplam) ifade eder, yani iki adet 1 bitlik sayının toplamı yine 1 bittir. Alıcının
görebileceği farklı blok sayısı 23 olup bu bloklar şunlardır; 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.
Tabi ki parite biti diğer 2 bitten hesaplandığı için aralarında p  x1  x0 ilişkisi beklenir ve
bu hesabı sağlamayan bloklarda en az bir hata olduğuna karar verilir. Bunlar 001, 010, 100 ve 111'dir.
Yani alıcı bu blokları gördüğünde hata olduğuna karar verir. 000, 011, 101 ve 110 bloklarında ise çift
sayıda hata oluşmuş ise, yanlış bir kararla alınan bloğun hatasız olduğu kabul edilebiir; 000
gönderildiği durumda 101 alınması gibi. Yine de kanalın blok başına en fazla 1 bit hata yapılacak
kadar gürültüsüz/kaliteli olduğu kabul edilen durumlarda tüm hatalar farkedilir, ancak düzeltilemez.
Blok başına olası hata sayısının daha düşük olduğu durumlarda, elbette ki blok boyu
büyütülebilir. Örneğin, 1 biti parite olmak üzere 8 bitlik bloklarla iletişim bilgisayar ve çevre birimleri
arasında oldukça yaygın idi. Çünkü taşınan veri çoğunlukla 7 bitlik ASCII karakterleri idi. Ayrıca
çevre birimleri bilgisayara oldukça yakın olduğundan kanal gürültüsü ve gerek duyulan iletişim
oranları (bit/s) düşük idi. Geçmiş zamanda konuşmamızın sebebi, artık çok daha yüksek veri iletim
oranlarına ihtiyaç duyulması, gürültünün yüksek hızlarda etkisinin belirginleşmesi dolayısıyla
iletişimde giderek daha verimli/ileri yöntemlerin standardlaştırılmasıdır.
Düzeltilebilecek sembol sayısının bloklara eklenmesi (uygun matematikle) gereken parite
sembol sayısı ile sınırlı olduğunu söylemiştik. Örneğin her blokta en fazla 1 sembol hata olabileceği
kabul edilirse, olası hatalı sembolün düzeltilebilmesi için
2P  N  1
(7.1)
156
koşulunun sağlanması gereklidir. Burada P parite sembol sayısı, N ise toplam sembol sayısıdır. P'nin
bundan daha küçük değerleri hata düzeltmeyi sağlamaz ancak hata olup olmadığının belirlenmesinde
kullanılabilir.
7.2.1. Basit Parite
En çok kullanılan basit 1 bitlik parite üretimini ve sağlamasını örnekleyerek anlatalım. Bu
örnekte veri blokları 7 adet veri biti ve 1 adet parite bitinden oluşur. Paritenin çift yada tek olması gibi
iki standard kullanım gelişmiştir. Bunlar sırasıyla pcift  x7  x6  x5  x4  x3  x2  x1  x0 ve
ptek  pcift 'tir. Örnek olarak 0101100 veri bloğunu (veri kelimesi) ele alalım. Çift parite eklendiğinde
01011001 kanal bloğu (kod kelimesi) elde edilir. Buna karşın tek parite kullanıldığında 01011000 kod
kelimesi oluşur. Tabi ki alıcının hangi parite standardının kullanıldığını bilmesi gerekir.
Çift parite kullanıldığını ve alıcının aldığı kod kelimesinin, en sağ biti parite olmak üzere,
01011101 olduğunu varsayalım. 7 veri bitinden hesaplanan parite 0 fakat alınan parite bitinin 1 olduğu
görüldüğünde bir hata olduğu sonucu üretilir. Buna karşı 2 bitte hata olsaydı ve örneğin 01010101
alınsaydı hiçbir hata olmadığına karar verilecekti. Benzeri durum tek parite kullanıldığında da oluşur.
Yani, sadece 1 parite biti kullanıldığında çift sayıda bitte oluşan hatalar saptanamaz. Zaten basit barite
yöntemi oldukça kısa mesafeli ve dolayısıyla düşük gürültülü kanallarda kullanılır.
Hata olduğu görüldüğünde göndericiden son kod kelimesini tekrar etmesi istenir.
7.2.2. Boylamasına Parite kontrolü
Her veri kelimesinde bir parite biti taşıyan çok sayıda kelimenin birleştirilmesi ile veri cümlesi
çerçevesi oluşturulur. Bu çerçevedeki tüm kelimeler gönderildikten sonra tüm bit pozisyonları için de
boylamasına bir parite biti hesaplanır ve sonuçta bir parite kelimesi oluşturulup gönderilir. Böylece
alıcının iki yönlü bir kontrol yapması sağlanır.
Örnek olarak, gönderilecek çerçevenin P-A-R-I-T-Y harflerinin ASCII karşılıkları olan 7
bitlik kelimelerden oluştuğunu varsayalım. Bu durumda her kelimenin parite biti ve her bit
pozisyonunda boylamasına hesaplanan parite bitleri Şekil 7.3'te gösterildiği gibi olacaktır.
P 1 0 1 0 0 0 0 0
her
A 1 0 0 0 0 0 1 0
kelimenin
R 1 0 1 0 0 1 0 1 parite
I 1 0 0 1 0 0 1 1 biti
T 1 0 1 0 1 0 0 1
Y 1 0 1 1 0 0 1 0
LRC 0 0 0 0 1 1 1 1
boylamasına parite bitleri
Şekil 7.3 Boylamasına parite kontrolü (LRC : longitudinal redundancy check).
157
Boylamasına parite kontrolü yapılsa dahi bir dikdörtgen köşelerinde oluşacak 4 hata olması
durumunda hata olduğu anlaşılamaz, çünkü tüm parite bitleri sağlanır. Ancak hataların bulunma
olasılığı artar.
7.2.3. Toplama Sağlaması
Toplama sağlaması (checksum) uzun veri çerçevelerindeki tüm kelimelerin aritmetik olarak
toplanıp sonucun düşük değerli n kelimesinin ( W kelime uzunluğu olmak üzere, nW bit)
iletilmesiyle gerçekleştirilir. Alıcı tarafında da aynı toplam yapılır ve sağlama kelimeleriyle
karşılaştırılır, hata varsa sonuç büyük ihtimalle sağlanamaz. Örneğin çerçevemiz 16'lık sayı sisteminde
yazılmış 8 bitlik {12, 40, 05, 80, FB, 12, 00, 26, B4, BB, 09, B4, 12, 28, 74, 11} kelimelerinden
oluşsun. Tüm kelimelerin toplamı 12+40+05+80+FB+12+00+26+B4+BB+09+B4+12+28+74+11=
4F5'tir. Çerçeve sonunda 04-5F kelimeleri, sadece 5F yada 04-5F'in tüm bitlerinin tersi (one's
complement) gönderilir. Eğer bitlerin tersi gönderildiyse alıcı sağlama kelimelerini de toplar ve
sonucun sıfır çıkmasını bekler. Aynı sonucu üretecek çok sayıda bit dizilimi olabileceği açıktır. Bu
nedenle çok güvenilir olmamasına rağmen hız ve kolaylık gerektiren yerlerde kullanılabilir.
Toplama sağlaması yöntemi uygulamada çok çeşitli şekillerde yer bulmuştur. Konu daha çok
bilgisayar bilimlerini ilgilendirdiği için burada detaylarına girmeyeceğiz.
7.2.4. Döngüsel Tekrarlılık Kontrolü
Pozisyon Duyarlı Toplama da denilen döngüsel tekrarlılık kontrolü (CRC : cyclic redundancy
check) çerçeveyi uzun bir ikili polinom P olarak ele alır. Gönderici bu polinomu sabit bir G
polinomuna böler ve bölünemeyen kısmını (kalan) çerçevenin ardından gönderir. Alıcı tarafında da
aynı bölme gerçekleştirilir ve bölmenin kalanının aynı olması beklenir. Kelimelerin ve bitlerin
pozisyonları bölme sonucunu ve kalanı etkilediğinden toplama sağlamasından çok daha etkili bir hata
bulma kabiliyetine sahiptir. Ancak, bu etkililiğin oluşması için G polinomunun özenle belirlenmiş
polinomlardan olması gereklidir.
Örneğin
G  x32  x 26  x 23  x 22  x16  x12  x11  x10  x8  x 7  x5  x 4  x 2  x  1
polinomu bilgisayar ağlarında (ethernet) kullanılan bir CRC polinomudur. 16'lık sayı sisteminde
04C11DB7 şeklinde 32 bitle ifade edilir. Benzeri şekilde G  x5  x 2  1 polinomu da USB
haberleşmesinde kullanılan CRC polinomudur. 8 bitlik bir CRC olası hataların 0.99969'unun
belirlenmesini sağlar. Tabi ki veri bloğunun büyüklüğüne göre yine oldukça çok sayıda hata dizilimi
farkedilmeden geçebilir.
Polinomlarların kullanımını hata düzeltme kodları konusunda inceleyeceğiz.
7.3. Hata Geribildirimi
İçinde hata olduğu saptanan veri blokları için alıcı göndericiye bir yeniden gönderim isteği
iletir. Bu isteklere Otomatik Tekrar İsteği (ARQ: Automatic Repeat reQuest) denir. İki yönlü iletişim
gerektiren ARQ işlemi için 3 yaklaşım vardır. Şekil 7.4'teki el sıkışma (handshaking) protokolüne
benzeyen Dur-Bekle-ARQ (stop-and-wait-ARQ) yaklaşımı açıklanmaktadır. Gönderici her veri bloğu
gönderiminden sonra alıcıdan paketin doğru alındığı (ACK) yada alınmadığına (NACK) dair bir cevap
bekler. Cevap NACK ise yada önceden belirlenen bir süre (timeout) sonunda herhangi bir cevap
158
gelmemişse gönderici son veri bloğunu tekrar gönderir. Tabi ki bekleme süreleri boşa geçen zamandır.
O nedenle bu basit yaklaşım iletişim hızının önemli olmadığı yada alıcının gönderilen veriyi zaten
daha yavaş işlediği/kullandığı uygulamalarda yer bulur. Örneğin bilgisayar ile yazıcı arasındaki
iletişimin bu şekilde olmasında bir sakınca yoktur.
Alıcı
Gönderici
Paket A
paket tamam
ACK
Paket B
bekle
paket hatalı
NACK
tekrar gönder
Paket B
ACK
bekle
Paket C
ACK
t
t
Şekil 7.4 Dur-Bekle hata geri bildirim yaklaşımı.
Bu gibi sistemlerde bir zamanlama kontrolü de vardır. Gönderici alıcıdan uzun süre cevap
alamadığında yada devamlı olarak NACK aldığında iletim ortamında problem olduğuna karar verip bir
hata işareti üretir. Bu yaklaşımda paketlerin numaralı olmasına gerek yoktur.
Hata olasılığının daha az olduğu sistemlerde beklemede geçen süreyi değerlendirmek için
farklı bir yaklaşım kullanılabilir. Gönderici, paketleri numaralandırıp (paketin içine gömülü bir sayı)
ardışıl paketler arasında ACK beklemeksizin sırasıyla gönderir. Gönderdiği ve henüz ACK almadığı
paketlerin numaralarını da hafızada tutar. Gönderici, ACK almadığı en küçük paket numarası ile
göndermek üzere olduğu paketin numarası arasındaki fark önceden belirlenen bir sayıyı aşarsa ACK
almadığı paketten itibaren tüm paketleri yeniden ve aynı numaralarla gönderir. Önceden belirlenen bu
fark sayısına pencere, bu yönteme de kayan pencere ARQ (sliding window ARQ) denir. Yöntemin
zaman diyagramı Şekil 7.5'te gösterilmiştir.
Kayan pencere yaklaşımı 2 şekilde gerçekleştirilebilir;
1. Alıcının sağlam aldığı paketler için numaralı ACK geribildirimi yapması ve hatalı paketler
için birşey yapmaması.
2. Alıcının hatalı aldığı paketler için numaralı NACK göndermesi ve hatasız paketler için
birşey göndermemesi.
3. Alıcının tüm paketler için numaralı ACK veya NACK geribildirim yapması.
Göndericinin NACK beklediği seçeneklerde, NACK numarasından itibaren paketleri yeniden
gönderebilir. Bilgisayar ağları gibi paketlerin farklı yollardan ve farklı zamanlarda yerine ulaşabildiği
uygulamalarda 1'inci seçenek daha uygun görünüyor. Internette paketlerin hatalı ulaşmasından çok hiç
159
ulaşmaması olasılığı daha yüksektir. Alıcı aldığı paketlerin numaralarını hafızasında tutup eksik kalan
numaralardan sonra gelen belirli sayıda paket aldıysa almadığı paket için NACK gönderebilir. Tabi ki
bunun için alıcının da bir kayan pencere protokolü çalıştırması gerekir. Her üç durum için de sağlam
iletilmediğine karar verilen paketten itibaren tüm paketler yeniden gönderilir.
Gönderici
Alıcı
1
2
3
4
pencere
genişlik=5
ack 1
5
ack 2
6
ack 3
7
8
ack 5 4
ack 6
5
ack 7
6
ack 8
7
ack 4
8
ack 5 9
birşey gönderilmiyor
yada nack 4 gönderiliyor
t
t
Şekil 7.5 Kayan Pencere hata geri bildirim yaklaşımı.
Internet gibi uç noktalarının çoğunlunun akıllı cihazlar/bilgisayarların olduğu bir ortamda sağlam
paketlerin tekrar edilmesi verimli bir yaklaşım değildir. O nedenle, sadece sağlam iletilemeyen yada
durumu bilinmeyen paketlerin tekrar edilmesi çok daha akılcıdır. Bu durumda Kayan Pencereli
Seçimli Tekrar (Selective Repeat) yaklaşımı kullanılır. Bu yaklaşım hem gönderici hem alıcı
tarafından kullanılabilir. Gönderici, ACK cevabı almadığı paketin üzerinden pencere genişliği kadar
paket/süre geçtiğinde paketi tekrar eder, ACK aldığı bir paket için gelen NACK geribildirimlerini
dikkate almaz. Alıcı, hiç almadığı yada hatalı paketin üzerinden pencere genişliği kadar paket/süre
geçtiğinde NACK gönderir. ACK ve NACK geribildirimleri de iletimde kaybolabileceği için tüm
paketler alıcı tarafından hatasız şekilde alınıncaya ve tüm paketler için göndericiye ACK ulaşıncaya
kadar bu protokol uygulanır.
160
Alıcı
Gönderici
1
2
3
4
Paket 4
üzerinden 4
paket geçti.
4 tekrar edilir.
ack 1
5
ack 2
6
kayıp
7
ack 5 8
ack 3
4
ack 6
9
ack 7
ack 810
11
ack 4
12
ack 913
t
t
Şekil 7.6 Kayan Pencereli Seçimli Tekrar otomatik hata geri bildirim yaklaşımında gerçekte tüm
paketler için hata geri bildirimine gerek yoktur, ya hatalı yada hatasız alınan paket numaraları
geribildirilebilir.
7.4. Hata Düzeltici Blok Kodlar
Gönderilecek veri eşit uzunlukta (çoğunlukla) kelimeler halinde düzenlenip bir tablodan her
kelimeye karşılık bir kelime seçilerek gönderiliyor ve alıcı tarafında da bu işlemin tersi gerçekleştirilip
asıl kelimeler, dolayısıyla asıl veri, geri elde ediliyorsa bu kodlamaya blok kodlama ismi verilir. Bu
durum Şekil 7.7'te gösterilmektedir. Kodlamadan önceki kelime uzunluğu k ve kodlamadan sonraki
kelime uzunluğu n olmak üzere bu kodlara ( n, k ) kodu denir. Burada, iki önemli sayıdan da
bahsedelim. Kod oranı,
R
k
n
(7.2)
kodlanmış sembol sayısının kodlanmamış sembol sayısına oranı olup R>1'dir. Tekrarlılık,
tekrarlılık 
k n
n
(7.3)
ise bilgi biti başına eklenen fazladan bit sayısı olup kodlama sonucunda kanal gürültüsüne karşı
sağlanan dayanıklılığın bir ölçüsüdür. Kod oranı ve tekrarlılık kanal gürültüsüne karşı iyi olsa da
161
kanalın verimli kullanımı açısından kötü sayılabilir. Hata düzeltmenin sağlanabilmesi yada en azından
hata olduğunun saptanabilmesi için veriye tekrarlılık eklenmesi gerektiğinden, zorunlu/doğal olarak
n  k 'dır. Yine hata düzeltme sağlanabilmesi için, gönderilen kelimeler arası farklılığın kelime başına
düzeltilmesi istenen sembol sayısıyla ilişkili şartları sağlaması gerekir.
bilgi sembolleri
k x n tablo
seriden
paralele
k->n
...0101101...
sembol oranı r
...0101101...
sembol oranı r
paralelden
seriye
kanal sembolleri
paralelden
seriye
dönüşüm
k
n
sembol
paralel
sembol
paralel
n->k
dönüşüm
seriden
paralele
gönder
sembol oranı
rn/k
al
sembol oranı
rn/k
n x k tablo
Şekil 7.7 Blok kodlama.
Semboller arası farklılığın çok değişik ölçütleri vardır. Ancak burada, daha kolay anlaşılması
için sembollerimizin bitler, kelimelerimizin de bitlerin yanyana getirilmesiyle oluşturulmuş
genişletmeler (extension) olduğunu varsayalım. Bu durumda açık ara en çok kullanılan farklılık ölçütü
Hamming uzaklığıdır. ci ve c j kelimeleri arasındaki Hamming uzaklığı, b bit numarası olmak üzere
d (ci , c j )  count{ci [b]  c j [b], b  0,
, n  1}
(7.4)
şeklinde tanımlanabilir. Yani, ikili kelimeler arasında farklı olan karşılıklı bitlerin sayısıdır. Örneğin,
1010011 ve 0111011 kelimeleri arasındaki Hamming uzaklığı, x aynı olmayan bitleri temsil etmek
üzere xx1x011'in içindeki x sayısı olup 3'tür.
Alıcıdaki dedektörler konusunda (bölüm 6.2), kanal dalgaformları arasındaki uzaklığın
gürültüye karşı nasıl etkili olduğundan, uzaklık arttıkça (Şekil 6.28) hata olasılığının azaldığından
bahsetmiştik. Benzeri ilişki kelimeler için de geçerlidir. Yani kullanılan kelimeler arasındaki uzaklık
arttıkça kelimeleri birbirine karıştırma olasılığı da azalır. O nedenle, kanal kodlamanın esası kod
kelimeleri arasındaki uzaklığı arttırmaktır. Kanaldan en yüksek verimlilikle (denklem 4.24)
faydalanabilmek için seçilecek dalgaformları arasındaki uzaklığı arttırmak kelimeler arasındaki
uzaklığı arttırmakla eşdeğerdir. Kodlamanın ve seçici dalgaformlarının net etkisi işaret gücünü
kullanılabilir kanal bantgenişliğinin heryerine gürültüden toplamda en az etkilenecek şekilde dağıtmak
olarak özetlenebilir. Çünkü kapasiteyi etkileyen iki parametre, bantgenişliği ve işaret gücüdür (SNR).
Kapasiteyi aşmak mümkün değildir, ancak olası alt-bantların herbirindeki gürültü gücüne göre
davranıp kapasite kullanımını en-büyüklemek mümkündür.
162
Hata olduğunu saptama ve/veya düzeltmede faydalı olabilecek tekrarlılık için oldukça basit bir
örnek yapalım. İkili kelimelerimiz 1 bit olsun; 0 ve 1. Aralarındaki Hamming uzaklığı 1 olup
tekrarlılık yoktur ve alıcıda hatalar ne saptanabilir ne de düzeltilebilir. 1 bitlik tekrarlılık ekleyelim,
örneğin 00 ve 11 kelimelerini 0 ve 1'i temsil etmek için kullanalım. Bu durumda, alıcı 00 veya 11
aldığında doğru aldığına, 10 veya 01 aldığında ise hata olduğuna karar verecektir. Tekrarlılık için 2 bit
eklediğimizi ve 000 ve 111 kelimelerinin 0 ve 1'i temsil ettiğini düşünelim, ki bu bir (3,1) blok koddur.
Tabi ki alıcının gördüğü olası diğer 3 bitlik durumlar, yani 001, 010, 011, 100, 101 ve 110
kelimelerinde hata olduğu sonucu çıkar. En fazla 1 bitlik hata yapıldığı varsayılırsa 001, 010 ve 100
durumlarında doğru kelimenin 0, 110, 101 ve 011 durumlarında ise 1 olduğuna karar verilir.
Görüldüğü gibi 1 bitlik hatalar düzeltilmiş olur. Ancak iletim bit oranının 3 kat artması gerekmektedir.
Bu işlemler haberleşme sistemine ayrılan bantgenişliği ve işaret gücü sınırları içinde gerçekleşiyorsa
başarılı bir hata düzeltme uygulaması yapılmış demektir.
Bir (n, k ) blok kodunda xi bilgi kelimesi ci kod kelimesi ile temsil ediliyorken xi  x j bilgi
kelimesi de ci  c j kod kelimesi ile temsil ediliyor ise bu kod doğrusal blok kod olarak tanımlanır.
xi  ci ise xi  x j  ci  c j
(7.5)
xi , x j ve xi  x j olası 2 k bilgi kelimelerinden olduğundan ci  c j de olası 2 k kod
kelimelerinden birisidir. Yani kod kelimelerinin modular toplamı yine bir kod kelimesidir. Örneğin
kodumuz {00, 01, 10, 11} 'dan {00000, 10100, 01111, 11011} 'a çeviren C kodu olsun.
Bu kod doğrusaldır çünkü (7.5) şartını sağlamaktadır. Ancak aynı kod kelimelerinden oluşmasına
rağmen {00000, 01111, 10100, 11011} kodu doğrusallık şartını sağlamamaktadır.
Kod sınıflandırmalarında kullanılmak üzere bazı tanımlar yapmaya ihtiyacımız var. Hamming
ağırlığı w(ci ) , ci 'nin 0 olmayan bit sayısıdır. Verilen bir C kodu için en küçük Hamming ağırlığı ise
kod içinde tümüyle 0 olan kelimeden başka en az Hamming ağırlığına sahip olan kod kelimesinin
ağırlığıdır
wmin  min{w(ci )} .
(7.6)
ci  0
Benzeri şekilde en küçük Hamming uzaklığı da
d min  min{d (ci , c j )}
(7.7)
ci ,c j
i j
şeklinde tanımlanır. Tabi ki doğal olarak, verilen bir C doğrusal kod için d min  wmin 'dir.
Kelimeleri e1  100...0 , e2  010...0 , ... ek  000...1 gibi sadece tek biti 1 diğer bitleri 0
olan bilgi kelimelerden oluşan bir dizisi olsun. Setteki herbir kelimeye karşı gelen ve n bitlik kod
kelimelerinden oluşan dizi de g1 , g 2 , ... g k olsun. Bu durumda, eğer bir C doğrusal kod ise,
doğrusallığı kullanarak x 
n
n
i 1
i 1
 xiei ve c   xigi yazabiliriz. Yani herhangi bir bilgi kelimesi için
163
üretilecek kod kelimesi, g i kod kelimelerinin doğrusal toplamı olacaktır. Matris işlemi şeklinde
yazılırsa
 g1   g11
g
def  g 
G   2    21
  
  
g k   gk 1
g12
g 22
gk 2
g1n 
g2n 



g kn 
(7.8)
olmak üzere
c  xG
(7.9)
elde edilir. Doğrusal kodu tanımlayan G 'ye üretici matrisi (generator matrix) denir ve rankı k 'dır.
Örneğini yaptığımız C  {00000, 10100, 01111, 11011} kodu için 10 ve 01 bilgi kelimelerine
sırasıyla karşı gelen 10100 ve 01111 kod kelimelerini alarak
10100
G

01111
(7.10)
üretici matrisini oluşturabiliriz. Herhangi bir x bilgi kelimesi için kod kelimesi oluşturmak için G
10100
yeterlidir. Örneğin x =11 için c  1 1 
 = 10100  01111 =11011 bulunur.
01111
Eğer G matrisinin ilk k  k 'lık ve son k  (n  k ) 'lık bölümleri
 g1  1 0
 g  0 1
G   2  
  
  
g k  0 0
0
g1,n k 1
g1,n k 2
0
g 2,n k 1
g 2,n k  2
1
g k ,n k 1
g k ,n  k  2
g1n 

g2n 

 I | P
  k k k ( n k ) 

gkn 
(7.11)
şeklinde sırasıyla birim matris ve sıfır olmayan bir matris şeklinde ise bu koda sistematik kod ismi
verilir. Bu durumda, verilen bir bilgi kelimesi için üretilecek kod kelimesinin ilk k biti,
1 i  k
 xi ,
 k
ci  
p ji x j , k  1  i  n

 j 1
(7.12)
denkleminde gösterildiği üzere, bilgi kelimesi bitlerinden oluşmaktadır. G matrisinin sağdaki
k  (n  k ) 'lık kısmına ise parite matrisi, bunlara karşıgelen kod kelimesi bitlerine de parite bitleri
ismi verilir. Sistematik yaklaşım, kanal kodlaması yapacak devre yada yazılımların daha basit (daha az
kaynak kullanan) olmasını sağlar.
164
7.4.1. Hamming Kodları
Doğrusal blok kodların en çok bilineni ve en kolay anlaşılanı olan Hamming kodlarının yine
en popüler üretici matrisi
1

0
G   I | P  
0

0
0 0 0 1 1 0

1 0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 1

0 0 1 1 1 1
(7.13)
şeklinde verilmektedir. Tek bit hata düzeltme kabiliyeti olan bu (7, 4) sistematik kodun, x1 x2 x3 x4
bilgi kelimesi olmak üzere, 7 bitlik kod kelimesi c1c2c3c4c5c6c7
c1  x1
c2  x2
c3  x3
c4  x4
(7.14)
c5  x1  x2  x4
c6  x1  x3  x4
c7  x2  x3  x4
ile hesaplanır. Parite bitlerinin hesabında dikkat edilmesi gereken şey, her bilgi bitinin en az 2 parite
bitini etkilemesidir. Yani 1 bitlik bir hata olduğunda bunun kontrol ve düzeltmesinde kullanılabilecek
2 bit vardır. 7 bit ile üretilebilecek 27 =128 olası kod kelimesinden 2 4 =16 tanesi kullanılmaktadır.
Kullanılan kod kelimeleri arasında en küçük Hamming uzaklığı 3 olmaktadır. Şekil 7.8'te iki komşu
kod kelimesi, aralarında kullanılmayan iki kelime ile gösterilmektedir.
kullanılmayan kelimeler
xi
xu
1
xj
xv
1
1
Hamming uzaklığı=3
Şekil 7.8 Aralarında 3 Hamming uzaklığı (3 bit farklı) bulunan 2 kod kelimesi.
x i kelimesi gönderildiğinde, alıcı tarafında 1 bitlik hata ile x u alınırsa doğru kelimenin x i
olduğu görülür. Benzeri şekilde x v kelimesi alındığında da gönderilen doğru kelimenin x j olduğuna
karar verilir. Yani 7 bitlik blok içinde 1 bitlik hatalar düzeltilmiş olur. Denklem (7.14) ile kodun tüm
16 kelimesi üretilebilir;
165
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
Şekil 7.9 (7,4) Hamming kodunun tüm kod kelimeleri.
(7,4) Hamming kodunun tüm kod kelimeleri incelendiğinde en küçük Hamming uzaklığının
da, belirtildiği gibi, 3 olduğu görülebilir. Bunu en küçük Hamming ağırlığından, yani içinde en az
sayıda 1 olan kod kelimesindeki 1'lerin sayısından da görebiliriz. Bu durumda alıcı, aldığı 7 bitlik
koda en yakın kelimeyi tablodan bulup bunun ilk 4 bitini hatası düzeltilmiş bilgi kelimesi olarak
değerlendirir. Örneğin, alıcının 0110101 aldığını varsayalım. Tabloda buna en yakın kelime
0100101'dir. Yani doğru bilgi kelimesi 0100'dır. Gerçekte alıcıda görülen r1r2 r3r4 r5r6r7 kelimesinin 16
elemanlı bir tablodan en yakın olanını bulmak için bir arama yapmaya gerek yoktur. Aşağıda belirtilen
yolla hata düzeltmesi gerçeklenebilir.
Modulo aritmetikte 0  0  1  1  0 olduğundan ci  ci  0 yazabiliriz. Bu gerçek, (7.14)
denklemlerine, alınan r1r2 r3r4 r5r6r7 kelimesi için uygulanırsa
0  r1  r2  r4  r5
0  r1  r3  r4  r6
(7.15)
0  r2  r3  r4  r7
elde edilir. Eğer r1r2 r3r4 r5r6r7 içinde en fazla 1 bit hata olduğu varsayılırsa
s1  r1  r2  r4  r5
s2  r1  r3  r4  r6
(7.16)
s3  r2  r3  r4  r7
ile hesaplanan s1s2 s3 sendrom vektörü incelenerek hangi bitin hatalı olduğu bulunup düzeltilebilir.
Tabi ki s1s2 s3 =000 ise hata yoktur ve r1r2 r3r4 doğrudan hatasız bilgi kelimesi olarak değerlendirilir.
Sendrom vektörünün diğer değerleri ise olası hataları temsil etmek üzere herbir bit pozisyonuna 1
verilerek (diğer bitler 0) bulunur. Yada, sendrom denklemleri incelenerek, herhangi bir bitin 1
diğerlerin 0 olması durumunda s1s2 s3 sendrom vektörünün ne olacağı bulunabilir. Örneğin 1000000
kod vektörü, r1 ilk 2 sendrom denkleminde yer aldığı için 110 sendrom vektörünü üretir. Diğer bitler
için aynı işlem tekrarlandığında r2 , r3 ve r4 hataları için sırasıyla 101, 011 ve 111 sendrom vektörleri
166
bulunur. r5 , r6 ve r7 hataları için ise 100, 010 ve 001 bulunacaktır, ancak, zaten bu noktadan sonra
parite bitlerine ihtiyaç olmayacağı ve onlardaki hataları düzeltmeye gerek olmadığı için bu vektör
değerleri dikkate alınmayabilir.
Eğer 2 bitte birden hata varsa, (7,4) kodlar hem bu hataları düzeltmek için yetersizdir hem de
düzeltmeye çalışmak daha büyük hatalara sebep olabilir. Bu durumu bir örnek ile açıklayalım.
Varsayalım ki hem r1 hem r2 hatalı olsun. Sendrom vektörü 011 olarak hesaplanacak ve r3 'ün hatalı
olduğu sonucu üretilecektir. r3 değiştirildiğinde ise toplamda 3 bit hata üretilmiş olur. O nedenle
(7,4) kodlar hata olasılığının düşük olduğu, kelime başına sadece 1 bitlik hata olabileceği sistemlerde
kullanılırlar.
Daha düşük hata olasılığı olan sistemlerde kodlama verimliliğini arttırmak için daha uzun kod
kelimeleri kullanılabilir. (n, k ) doğrusal kodun tek bitlik hata düzeltme kabiliyeti olması için sendrom
bit sayısının (dolayısıyla parite bit sayısı) hatasızlık durumuyla beraber tüm bit hatalarını ayrı ayrı
gösterebilir olması gereklidir. Yani 2nk  n  1 olmalıdır. Eşitlik durumunu sağlayan diğer Hamming
kodları (15,11), (31,26), (63,57) ... şeklinde bulunabilir. Örnek olarak (63,57) kodu 57 bitlik bilgi
kelimesine karşılık 6 parite biti kullanmakta ve düşük bir tekrarlılıkla tek bitlik hataları
düzeltmektedir. Ancak hata üretebilecek bir sistemde 63 bit başına tek hatayı garanti etmek oldukça
zordur. Haberleşme de değil de çok düşük hata beklenen hafıza/kayıt sistemlerinde kullanılabilir.
Benzeri yaklaşımla 2 bitlik hata düzeltme için gerekli parite biti oranını bulmaya
heveslenebiliriz. n bitlik bir kod kelimesinde 2 bitlik hata seçenekleri 1-2, 1-3, ..., 1- n , 2-3, 2-4, 2- n ,
n
2
... n  1 - n olmak üzere   
n!
n(n  1)
tanedir. Örneğin 8 bitlik bir kod kelimesi için 28

2(n  2)!
2
adet ikili ve 8 adet tek bit hata olasılığı vardır. Bu 36 farklı hata durumunu gösterebilmek için kodun 6
bitini parite bitlerine ayırmamız gerekir ki hiç kullanışlı olmadığı görülüyor. Daha uzun kod
kelimelerinde ise verimlilik artar. Örneğin 32 bit için olası tek ve çift hata sayısı 496'dır. Bu ise 9 bitle
gösterilebilir. Kalan 32-9=23 bit bilgi kelimesine ayrılır. Yani kodun yaklaşık 3'te birini pariteye
ayırdığımızda 32 bitlik kelimeler içinde 1 ve 2 bitlik hatalar düzeltilebilir. Tabi ki burada da tek bit
hata düzeltmede karşılaştığımız soru yine gündeme gelir; Uzun kod kelimelerinde en fazla 2 hata
olacağını garanti edebilirmiyiz?
7.4.2. Döngüsel Kodlar
Doğrusal blok kodlardan olan döngüsel kodların ayırıcı özelliği her kod kelimesinin sağa yada
sola döndürülmüş halinin de bir kod kelimesi olmasıdır. Örneğin kod C  000,110,101,011 olsun.
Kod kelimelerini sağa veya sola Cr  000,011,110,101 ve Cl  000,101,011,110 şeklinde
döndürdüğümüzde C içindeki kod kelimelerini elde ederiz.
Döngüsel kodların c  c1c2  cn1cn kod kelimeleri
n
c( p)   ci p n i  c1 p n 1  c2 p n 2  cn 1 p  cn
i 1
(7.17)
167
şeklinde (n  1) 'inci dereceden bir polinom olarak düşünülür. c kod kelimesinin döndürülmüş hali
c(1)  (c2 , c3 , , cn , c1 ) ise c(1) ( p)  c2 p n1  c3 p n2  cn1 p 2  cn p  c1 polinomudur. Buradaki
matematik işlemler yine modulo aritmetiğine göre yapılır. Yani
0+0
1+0
0x0
1x1
=
=
=
=
1+1 = 0-0 = 1-1 = 0
0+1 = 0-1 = 1-0 = 1
0x1 = 1x0 = 0
1
dir. Bu polinomların bir özelliği pi c( p) /( p n  1) bölmesinin kalanının c( i ) ( p ) olmasıdır. Bunu i=1
için bir örnekle görelim; pc( p)  p(c1 p n1  c2 p n2  cn1 p  cn )
pc( p)  c1 p n  c2 p n1  cn1 p 2  cn p polinomunu p n  1 'e bölelim.
c1 p n  c2 p n 1  cn 1 p 2  cn p
c1 p n  c1
pn  1
c1
c2 p n 1  c3 p n 2  cn p  c1  c (1) ( p )
p i c( p ) c ( i ) ( p )
Benzeri şekilde, genel olarak
 n
 ci 'dir. Eşitliği p n  1 ile genişletirsek
n
p 1
p 1
c(i ) ( p)  pi c( p)  ci ( p n  1) elde edilir ve i  n için c( n ) ( p)  pnc( p)  cn ( p n  1)  c( p)
yazılmasıyla bir kod kelimesi n defa döndürülürse yine kendisinin elde edildiği görülür.
Bir (n, k ) döngüsel kodunda tüm kod kelimesi polinomları üretici polinomunun katlarıdır
(döndürülmüş halleri). Üretici polinomu ise
p n  1 polinomunu tam olarak bölen bir
g ( p)  pnk  g2 p nk 1  g3 p nk 2    gnk p  1 polinomudur.
x  ( x1, x2 , , xk 1, xk ) bilgi kelimesi X ( p)  x1 p k 1  x2 p k 2    xk 1 p  1 polinomu ile
temsil edilirse kod kelimesi polinomları c( p)  X ( p) g ( p) ile üretilir. Örneğin, x  (1010) ve
g  (1101) olsun. Bu durumda
c( p)  ( p3  p)( p3  p2  1)  p6  p5  p3  p4  p3  p
c( p )  p 6  p 5  p 4  p
bulunur. Yani c  (1110010) . n =7 ve k =4 olduğuna göre bu bir (7,4) koddur. Ayrıca x , c 'nin
içinde görülmediğinden bunun bir sistematik kod olmadığını anlıyoruz.
Bir örnek daha yapalım ve bir (7,4) döngüsel kod üretici matrisi üretelim. 7-4=3 olduğuna
göre 3'üncü derece bir polinoma ihtiyacımız var ve bu polinom p 7  1 polinomunu tam olarak
bölmelidir. Çarpanlarına ayırırsak p7  1  ( p  1)( p3  p 2  1)( p3  p  1) elde edilir ve içlerinden
3'üncü derece bir polinom seçebiliriz. Üretici polinomu olarak g ( p)  p3  p 2  1 seçtiğimizi
168
varsayalım. Bu durumda x1 x2 x3 x4 bilgi kelimesini temsil eden X ( p)  x1 p3  x2 p 2  x3 p  x4
polinomu üretici polinomu ile c( p)  ( x1 p3  x2 p 2  x3 p  x4 )( p3  p 2  1) şeklinde çarpıldığında
kod polinomu elde edilir;
c( p)  x1 p6  ( x1  x2 ) p5  ( x2  x3 ) p 4  ( x1  x3  x4 ) p3  ( x2  x4 ) p 2  x3  x4 .
Kod polinomu x1 ( x1  x2 )( x2  x3 )( x1  x3  x4 )( x2  x4 ) x3 x4 kod kelimesini temsil etmektedir.
Buradan da, 1000, 0100, 0010 ve 0001 bilgi kelimelerini girdi olarak kullanarak
1

0
G   I | P  
0

0
1 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 0
0 1 1 0 1 0

0 0 1 1 0 1
(7.18)
üretici matrisi yazılabilir. İstenirse 0000'dan 1111'e kadar tüm kod kelimeleri (16 adet) bu matris ile
çarpılarak karşıgelen kod kelimeleri bulunabilir. Yada herhangi bir kod kelimesini temsil eden
polinom üretici polinom ile çarpılarak ilgili kod polinomu, dolayısıyla kod kelimesi bulunabilir.
Örneğin, bilgi kelimemiz 1101 olsun. Bu kelimeyi temsil eden polinom p3  p 2  1 'dir. Üretici
polinom g ( p)  p3  p 2  1 ile çarpıldığında c( p)  p6  p 4  1 kod polinomu, yani 1010001 kod
kelimesi elde edilir. Aynı bilgi kelimesini
1

0
c  xG  1 1 0 1 
0

0
1 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 0
 1010001
0 1 1 0 1 0

0 0 1 1 0 1
(7.19)
şeklinde bilgi vektörünü üretici matris ile çarparak da elde edebiliriz.
Dikkat edilirse (7.18) ile verilen üretici matris sistematik değildir. Ayrıca dikkat edilmesi
gereken bir diğer nokta, tüm satırların üretici polinomun temsil ettiği kod kelimesinin kaymış halleri
olduğudur. Bu durum döngüsel kodlar için geçerli bir özelliktir. Yani üretici polinomu verilen bir
döngüsel kodun üretici matrisini doğrudan yazabiliriz. Örneğin g ( p)  p3  p  1 polinomunu ele
alalım. Üretici matrisinin ilk satırını 1011000 olarak yazabiliriz. Diğer satırlar da sırasıyla 0101100,
0010110 ve 0001011 şeklinde yazılır. Sonuç olarak, üretici matrisi
1

0
G   I | P  
0

0
0 1 1 0 0 0

1 0 1 1 0 0
0 1 0 1 1 0

0 0 1 0 1 1
şeklinde bulunur. Bu matris de sistematik değildir.
(7.20)
169
Üretici matrisler üzerinde satır-sütun işlemleri yapılarak sistematik matris üretilebilir.
Denklem (7.18) ile verilen üretici matrisini sistematik hale getirelim. İkinci satırı birinci satır üzerine,
ardından 3. satırı 1 ve 2. satırlar üzerine ekleyelim. Son olarak, 4. satır 2 ve 3. satırlar üzerine
eklendiğinde matrisin sol 4x4'lük kısmı birim matris olur, sağ kısmı ise parite matrisidir;
1
0
G
0

0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0  1
0 0

0 0
 
1  0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0  1
0 0
 
0 0
 
1 0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1

1

1
Bu noktada soru, satır-sütun işlemleriyle üretilen sistematik kodun döngüsel olup olmadığıdır.
Döngüsel
bir
sistematik
kodda,
p n k X ( p )
g ( p)
bölümünden
kalan
 ( p)
olmak
üzere
c( p)  p nk X ( p)   ( p) 'dir. g ( p)  p3  p 2  1 polinomu ile verilen kod için sistematik döngüsel
matrisini bulalım. Bunun için x1 x2 x3 x4 bilgi kelimesini temsil eden X ( p)  x1 p3  x2 p 2  x3 p  x4
polinomunu p74 / g ( p) ile çarpımından kalanı bulmalıyız. Bölme yapıldığında
x1 p 6  x2 p5  x3 p 4  x4 p 3
 ( p)
 x1 p 3  ( x1  x2 ) p 2  ( x1  x2  x3 ) p  ( x2  x3  x4 )  3
3
2
p  p 1
p  p2  1
ve
 ( p)  ( x1  x3  x4 ) p 2  ( x1  x2  x3 ) p  ( x2  x3  x4 )
polinomu
bulunur.
Genel
kod
kelimesi
c( p)  x1 p6  x2 p5  x3 p 4  x4 p3  ( x1  x3  x4 ) p 2  ( x1  x2  x3 ) p  ( x2  x3  x4 )
ve buradan da üretici matris
1
0
G
0

0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1

1

1
(7.21)
olarak bulunur. Görüldüğü gibi, satır-sütun işlemleriyle elde edilen sistematik matris ile aynı matrisi
elde ettik. Tüm kod kelimeleri üretildiğinde, herbirinin koddaki bir diğer kelimenin kaydırılmış hali
olduğunu görebiliriz (Şekil 7.10).
Döngüsel kodların sendrom polinomu ise alınan vektörü temsil eden polinomun s( p)  Rem
r( p)
g ( p)
şeklinde üretici polinoma bölünmesinden kalandır. g ( p)  p3  p 2  1 polinomu için
s( p)  ( x1  x3  x4  x5 ) p 2  ( x1  x2  x3  x6 ) p  ( x2  x3  x4  x7 ) bulunur. Bilgi bitlerinde
oluşacak hatalar için sendrom vektörleri yine ilgili bitin 1 diğerlerinin 0 olduğu durumları test ederek
bulunabilir. Yani, 1'in hatalı biti temsil ettiği 1000, 0100, 0010 ve 0001 bilgi bitleri için sendrom
vektörleri (parite bitlerini 0 alarak) 110, 011, 111 ve 101 olur. Bu vektörlerle karşılaşıldığında ilgili
170
bitin hatalı olduğuna karar verilip düzeltilir. Hatasızlık durumu ve parite bitlerinde oluşan tek bitlik
hatalar için ise 000, 100, 010 ve 001 vektörleri elde edilir, ki bu durumlar alıcıda gözardı edilebilirler.
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
Şekil 7.10 p3  p 2  1 polinomu ile üretilmiş sistematik döngüsel kod kelimeleri.
Alıcı tarafında, giriş bitleri r1r2 r3r4 r5r6 r7 vektörü şeklinde paralel hale getirilmiş işaret içindeki
tek bit hatalar sayısal kombinatoryal devrelerle düzeltilebilir. Bunun için öncelikle sendrom bitleri
hesaplanır, ardından sendrom vektörünün 4 durumu için ilgili bitlerin tersi alınır. Yani
s1  r1  r3  r4  r5 , s2  r1  r2  r3  r6 ve s3  r2  r3  r4  r7 kombinatoryel devreleri çıkışları
x1  r1  s1  s2  s3 , x2  r2  s1  s2  s3 , x3  r3  s1  s2  s3 ve x4  r4  s1  s2  s3 kombinatoryel
devrelerine verilerek hatası düzeltilmiş bilgi vektörü elde edilir. Buradaki  ve  işaretleri sırasıyla
XOR ve AND mantık işlemleridir. Şekil 7.11 bu mantık işlemlerden oluşan kombinatoryal devreyi
göstermektedir. Her ne kadar devre denklemlerden daha karmaşık görünse de, işlem HDL dillerinde
çok daha kolay gerçekleştirilebilmektedir. Gönderici tarafında parite bitlerinin üretimi ise çok daha
basit devrelerle gerçekleştirilebilir.
r1
r2
r3
r4
r5
r6
r7
r1  r3  r4  r5
s1
r1  s1  s2  s3
r1  r2  r3  r6
r2  r3  r4  r7
s2
s3
r2  s1  s2  s3 r3  s1  s2  s3 r4  s1  s2  s3
x1
x2
x3
x4
171
Şekil 7.11 (7,4) kod için kombinatoryal hata düzeltme blok devresi.
7.5. Evrişim Kodları
Blok kodlarda, Şekil 7.12 ve ilgili paragraflarda ima edildiği üzere doğrudan kombinatoryal
mantık devreleriyle gerçekleştirilebilir, dolayısıyla hafıza gerekmemektedir. Evrişim (convolutional)
kodlarının blok kodlardan en önemli farkı veri blokları değil doğrudan veri akışı üzerinde çalışması,
bu nedenle önceki değerleri saklamak için hafıza kullanmasıdır. Blok kodlardaki gibi parite biti
kavramı yoktur, tekrarlılık doğrudan akış üzerine eklenir. Geri besleme içermeyen genel bir evrişim
kodlayıcı blok şeması Şekil 7.12'de verilmiştir.
hafıza
ikili akış girişi
1
0
1 … 0
1
1
0
0
1
evrişim(ler)
ikili akış çıkışı
0
1
… 1
0
evrişim sonucu hafızası
Şekil 7.12 Evrişim kodlama genel blok şeması.
Bu yöntemde ikili akış ri bit oranıyla ötelemeli kaydediciye girer. Çıkış işe ro bit oranıyla
sağlanır. Burada giriş verisinin geçici olarak saklandığı ötelemeli kaydedici boyu N , evrişim
sonucunun tüm bitleri çıkışa verilinceye kadar saklandığı çıkış ötelemeli kaydedicisi ise K olsun.
Giriş kaydedicisine öncekiler ötelenerek alınan herbir bit için hesaplanan çıkış biti sayısı K
olmaktadır. Bu kodlayıcıya 1'e K evrişim kodlayıcısı ismi verilir ve oran 1/ K şeklinde gösterilir.
Evrişim kodlamaya böyle bir isim verilmesinin nedeni gerçekten evrişim yapılmasıdır. Kesikli
zamanda, xn ve hn evriştirilecek diziler olmak üzere, evrişim
yn 

hx
k 
k n k
(7.22)
şeklinde bir sonsuz toplam ile tanımlanır. Burada evriştirilecek dizilerden birisi sonlu ise, örneğin hn
sadece (0,K) aralığında sıfır olmayan bir değer alıyorsa (FIR: finite impulse response), evrişim
172
K 1
yn   hk xn k
(7.23)
k 0
olarak kısaltılabilir, çünkü toplamın geri kalan terimleri sıfırdır. İşaret işleme derslerinden
hatırlayacağınız gibi evrişim, doğrusal bir sistemin çıkışındaki işareti hesaplamak için kullanılır.
Burada xn ve hn , sırasıyla giriş işareti ve sistemin birim darbeye tepkisidir. Ancak burada xn girdi
işareti ve hn sistem tepkisi ikili sayılardan oluştuğu ve toplama/çarpma işlemleri de modulo
aritmetiğiyle yapıldığından çıkış işareti de ikili akıştır. Çıkış işaretine tekrarlılık eklenebilmesi için
birden fazla evrişim kullanılır ve girişteki 1 bit için çıkışta K bit üretilir. Yani, blok kodlarda olduğu
gibi evrişim kodlarında da eklenen tekrarlılık, işaretin artan bantgenişliği ile sağlanır. Ek olarak, blok
kodlarında 1 bitteki bilgi ilgili blok içine yayılırken, evrişim kodlarında sözkonusu bitin etrafındaki
bitlere yayılır. Bu da daha etkili bir "olası hatayı zamana yayma" gerçekleştirir.
K =3 ve k  0,...K  1 olmak üzere, h0  {h00 , h01 , h02 } ve h1  {h10 , h11 , h12 } birim darbe
tepkilerine sahip iki süzgeci ele alalım. Süzgeçler K =3 adet ardışıl girdi biti üzerinde
çalışacaklarından, bu bitleri bir sonraki hesap için saklamak üzere 3 adet hafıza (flip-flop) birimine
ihtiyaç vardır. Çıktılar, sırasıyla
K 1
y0 n   h0 k xn k  h00  xn  h01  xn1  h02  xn2 ve
k 0
K 1
y1n   h1k xn k  h10  xn  h11  xn1  h12  xn2
k 0
olacaktır. Şekil 7.13'te gösterildiği gibi, y0n ve y1n bitleri, sırasıyla çıkışa verilip kodlama
tamamlanacaktır. Tabi ki, xn akışının bit oranı ri ise yn akışının bit oranı ro  2ri olacaktır. O
 h0 
nedenle   'den oluşan bu koda ½ oranlı evrişim kodu ismi verilir.
 h1 
h00  xn  h01  xn1  h02  xn2
xn
xn
ri
F0
xn 1
F1
y1n
xn 2
ro  2ri
yn
F2
h00  xn  h01  xn1  h02  xn2
y2n
nTb / 2
Şekil 7.13 ½ oranlı evrişim kodlayıcı devre.
Bilgiyi çevre bitlere yaymak için herhangi bir h0 , h1 süzgeç seti kullanılamaz. Örneğin
 h  1 0 0
H   0  
 seti girişteki bitleri aynen çıkışa vereceğinden kullanılamaz. H kodunun
 h1  1 0 0
173
herbir satırına kod vektörü denir. Kullanılabilecek kodların belirlenmesine daha sonra değineceğiz.
Şimdilik
örnek
1 1 1 
H 

1 0 1
olarak
kodunu
inceleyelim.
y0n  xn  xn1  xn2
ve
y2n  xn  xn2 olur. Kodlayıcı devre de Şekil 7.14'te verildiği gibidir.
y1n
xn
xn
xn 1
F0
ri
xn 2
F1
ro  2ri
yn
F2
y2n
nTb / 2
Şekil 7.14 h0  {1,1,1} , h1  {1,0,1} evrişim kodlayıcı devre.
Devrenin, başlangıçta kaydediciler 000 durumunda iken 11010 girişi ile üreteceği kodlanmış
dizi, her bite karşılık 2 bit olmak üzere, 1101010010'dir. Ancak kaydedicilerde bulunup henüz tam
olarak çıkışa verilmemiş veri için girişe ilave olarak 00 bitlerinin de verilmesi gerekir. Yani tüm
kodlanmış çıkış 11010100101100 olur. Bu durum ek bir yük/tekrarlılık getirmiş gibi görünse de,
normalde giriş verisi çok uzun süreli bir akış olacağından önemsizdir ve, N işlenen bit sayısı olmak
üzere, Lim( N çıkış )  2 N giriş olur. Girişteki 1 bitteki bilgi çıkışta 3 giriş bitine karşıgelen 6 bite yayılır.
n
Şekil 7.14'ü incelediğimizde F0 kaydedicisinin sadece xn girdisini bit süresi boyunca tutma
amaçlı olduğunu, aslında devreden çıkarılabileceğini görürüz. Bu durumda devre, F0 çıkışının control
girdisi olarak, F1 ve F2'nin ise şimdiki durumu tutmak için kullanıldığı bir durum makinasıdır (statemachine). Bir geri besleme olmadığından, durumları sadece F1 ve F2'nin içeriği, geçişleri de F0'ın
içeriği belirler. Bu devre, tek girişli ve 22=4 durumlu bir durum makinasıdır. Durum geçişleri Şekil
7.15'te gösterilmiştir.
şimdiki durum
00
çıkışlar
00
sonraki durum
00
11
01
10
00
11
01
01
10
10
F0'ın içeriği
0 ise geçiş
1 ise geçiş
01
11
10
11
Şekil 7.15 h0  {1,1,1} , h1  {1,0,1} evrişim kodlayıcının durum geçiş grafiği.
174
Durum geçiş grafiği kısaca şöyle bir örnekle açıklanabilir; F1F2'nin içeriği 10 (şimdiki durum),
F0 içeriği ise 0 ise 10 çıkışıyla 01 (sonraki durum) durumuna geçilir. F0 içeriği 1 ise 01 çıkışıyla 11
durumuna geçilir. Buradaki çıkış değerleri (F0,F1,F2) ve (F0,F2) içerikleri ile hesaplanır.
Durum geçiş grafiği ardışıl şekilde tekrar edildiğinde herhangi bir giriş ikili akışı ile çıkış akışının ne
olması gerektiği izlenebilir. Şekil 7.15'te gösterilen durum geçiş grafiğinin ardışıl 7 kez tekrarı Şekil
7.16'da gösterilmiştir. Tekrarlı durum geçiş grafiklerine kafes diyagramı (trellis) ismi verilmektedir.
Diyagramda, başlangıçta 00 durumda iken girişe gelen 1101000 dizisi ile geçilecek durumlar ve
izlenecek yol aynı şekilde kalın çizgilerle gösterilmiştir. Bu geçişler ile oluşacak çıkış ikilileri de ilgili
geçiş yanına en soldan kopyalanarak yazılmıştır. Yani çıkış dizisi 11010100101100 ve son durum ise
00 olacaktır.
giriş
00
1
1
0
1
0
0
0
00
00
11
11
11
01
…
00
00
10
10
10
01
01
11
01
…
01
10
Şekil 7.16 Durum geçiş grafiklerinden oluşturulmuş kafes (trellis) diyagramı.
7.5.1. Viterbi Algoritması
Elimizde 11010100101100 dizisi varsa, başlangıç durumunu 00 kabul ederek, asıl dizi olan
1101000'i yine aynı kafes diyagramını kullanarak bulabiliriz. Alıcı tarafında yapılan budur. Peki
bunun hataları düzeltmekte ne faydası olacaktır? Göndericinin bu evrişim kodlayıcı ile 1101000
dizisini kodlayarak 11010100101100 gönderdiğini, alıcının ise kanal gürültüsü sebebiyle
11000100101100 aldığını, yani bir hatalı kanal biti (yarım bilgi biti) oluştuğunu varsayalım. Şekil 7.17
14 kanal biti alındığında alıcı tarafında oluşacak kafesi ve tüm geçiş olasılıklarını göstermekte.
Geçişler üzerindeki sayılar ise alınan bit çifti ile göndericideki ilgili geçişte üretilecek olan bit çifti
arasındaki Hamming uzaklıklarıdır. Örneğin geçiş ile üretilecek olan bit çifti 01 ve fakat alınan bit çifti
00 olsun. Bu durumda Hamming uzaklığı 1'dir ve ilgili geçişin yakınına yazılmıştır. Yani Şekil 7.17
tüm olası geçişleri ve o geçişler ile oluşacak Hamming uzaklıklarını göstermektedir.
Her durumdan ayrılan 2 adet yol olduğuna göre olası başlangıç noktasından ileriye doğru
gidildikçe bir ikili ağaç (binary-tree) oluştuğunu görebiliriz. Şekil 7.17'de en sağdaki durumlardan
birine gelindiğinde geçilen 7 durum dolayısıyla 27 farklı yol izlenmiş olabileceği açıktır. Kanalda hiç
hata olmamış ise, yollardan sadece bir tanesinin 0 toplam Hamming uzaklığına sahip olacaktır.
Herhangi bir tek bitlik hata durumunda ise yolların hiçbiri 0 toplam uzaklığa sahip olmaz. Alıcının
yapması gereken, tüm bu olası yollar ile oluşacak Hamming uzaklıklarını toplayarak en düşük
Hamming uzaklığını sağlayan yolu seçmek ve yolun gösterdiği bitleri çıkışa vermektir. Ancak olasılık
sayısı, geçilen her durumda 2 katına çıktığından bir süre sonra bu olasılıklar ve toplam hatalar basit
175
algoritmaların ele alamayacağı kadar çoğalabilir. Gerçekte tüm olası yolları ve hataları hafızada
tutmanın anlamı yoktur. Çünkü, herhangi bir anda, olası 4 durum ve o durumlara erişen 8 yol vardır.
Eğer bir önceki durumda en düşük uzaklıklar hafızada tutuldu ise, yeni durumdaki uzaklıklar da en
düşük olacaktır. O nedenle Viterbi algoritması olarak isimlendirilen ve hataların yeterince seyrek ve
yerel olduğunu varsayan bir yöntem kullanılmaktadır. Zaten hatalar yeterince seyrek değilse
düzeltilme olanağı da olmadığından algoritmanın karmaşıklığı ve derinliğinin bir faydası olmaz.
Viterbi algoritması Saklı Markov Modeli (Hidden Markov Model) denilen stokastik yaklaşımın bir
çözüm yöntemidir.
alınan
11
00
2
00
11 0
11
01
00
2 0
00
01
1
00
10
1
01
01
1
1
2
0
2
0
2
2
2
0
0
2
0
1
1
00
11
1 1
2 0
1 1
1
10
0
1
1
10
11
10
1
0
0
1
1
2
1
2
1
2
1
1
0
1
1
1
Şekil 7.17 Alıcıda oluşan kafes. Yollar üzerine Hamming uzaklıkları yazılmış. Kalın çizgilerle
gösterilen yol en düşük toplam Hamming uzaklığını veren yoldur.
Şekil 7.17 incelendiğinde neden olası tüm yolların hafızada tutulmasına gerek olmadığı
anlaşılır. Herhangi bir anda olası durumlar ve olası geliş yolları 3 basamak öncesindeki aynı noktadan
ayrılmış olabilir. Yani bir basamaktaki en düşük 4 uzaklık, içlerinde doğru seçenekle beraber, hafızada
tutulduğunda doğru seçeneğin bir sonraki basamağa aktarılacağı açıktır. Böylelikle, karar verilinceye
kadar, doğru seçenek her zaman seçeneklerin içinde olacaktır. Ancak, hatayı takip eden 3 basamak
içinde bir hata daha olursa, hatanın şekline bağlı olarak, doğru seçenek (yol) hiçbir zaman
bulunamayabilir.
Viterbi algoritmasının çalışmasını anlamak için gönderilen kanal biti çiftlerini kafes
oluşturarak işleyelim. Şekil 7.18a ilk 4 bit (2 çift) alındığında alıcıda oluşan kafesi, üzerinde Hamming
uzaklıklarıyla göstermektedir. Alıcı tarafı da 00 durumundan başlayacağından, ilk çift için sadece 2
yol, ikinci çift için 4 yol gösterilmiş, diğerleri sadelik amacıyla silinmiştir. Hamming uzaklıkları yol
üzerine işaretlenmiştir. En sağda durumların yanında gösterilen, virgülle ayrılmış (4,?) gibi sayılar da
olası yollardan geçişlerde oluşan uzaklıklar toplamıdır. Her duruma 2 yol ile gelinebilir ve durumdan 2
yol ile ayrılınabilir. Kolaylık sağlaması için, soldaki sayı üstteki yoldan gelişteki, sağdaki ise alttaki
yoldan gelişteki hatalar toplamını göstersin. '?' işareti henüz ilgili yoldan gelme olasılığının olmadığını
göstermektedir. İlk iki çift alındığında oluşan uzaklıklar toplamları 01 ve 11 durumlarına gelen
yolların daha yüksek olasılıkları olduğunu göstermektedir. Ancak, alıcı burada hemen karar vermez.
176
alınan
11
00
0
00
2
00
00
11
11
0
01
2
2,?
11
11
2
2
0
3,2
10
10
4
4,?
01
01 0
1
01
11
6,1
00
1
3,2
1
1
1
?,1
01
10
1
1
00
1,?
a)
b)
1
10
2
4,3
Şekil 7.18 a) ilk 4 bit alındığında ve b) 5 ve 6. bit alındığında oluşan kafes ve uzaklıklar.
Şekil 7.18b, üçüncü çift olan 01 alındığında kafesin devamında oluşan durumları ve
uzaklıkları göstermektedir. En sağdaki uzaklık toplamları, ilgili yolların üzerindeki uzaklıklar ve
önceki durum yanına işaretlenmiş olan uzaklığın toplamıdır. Örneğin 00 durumu yanına yazılmış olan
(3,2)'deki 3, üstten gelen yol uzaklığı olan 1 ile önceki durumda belirlenen 2'nin toplamıdır. Benzeri
şekilde, (3,2)'deki 2 ise alttaki yol uzaklığı olan 1 ile önceki uzaklık 1'in toplamıdır. Şimdi her duruma
geliş için 2 olasılık olduğuna göre, her durum için, uzaklık çiftlerinin küçük olanını seçip diğer
seçenekten (büyük olan sayı) geriye doğru olan yolları sileceğiz. Şekil 7.19 bu düzeltmeyi yapılmış
olarak göstermektedir.
alınan
11
00
01
-,2
00
11
0
11
01
10
00
1
1
1
-,1
-,2
10
1
01
11
01 0
10
2
-,3
Şekil 7.19 5 ve 6. bit alınıp uzak yolların silinmesiyle oluşan kafes, uzaklıklar.
Geriye doğru düzeltme yapıldıktan sonra kalan olası yollara "hayatta kalanlar" (survivors)
denir. Hayatta kalan yollar içinde, varsa, durum geçişi için tek seçenek olan yollar ise ortak dal
(common stem) olarak isimlendirilir. Şekil 7.19'da 00'dan 10'a geçişi gösteren kalın çizilmiş yol ortak
daldır ve kesiksiz çizgi ile gösterildiğinden gönderilen/alınan bilgi bitinin 1 olduğuna karar verilir.
Örneğimizde ilk bilgi bitinin çözümlenmesi alınan 6 kanal bitinden sonra yapılabildi. Bu gecikme
daha da uzun olabilir. Teoride, kanal bitlerinin birbiriyle ilişkisine bağlı olarak, gecikmenin bir sınırı
yoktur. Hatta hata hiçbir zaman belirlenemeyebilir de. Ancak genel olarak, bu algoritmayı uygulayan
alıcılarda kafes derinliği olarak kodlayıcının hafıza büyüklüğü olan K 'nın 5 katı kullanılır. Çok düşük
177
ihtimal olmasına rağmen, pratikte kararsızlık bu derinliğe ulaşır ise en düşük uzaklık değerine sahip
yola ait dal seçilir. Her zaman en düşük uzaklık değerlerinin olduğu yollar seçildiği ve diğerleri
atıldığı için bu algoritmaya kesin-kararlı (hard-decision) Viterbi algoritması denir.
Kafes oluşumuna devam edelim ve kanalda oluşan hatanın düzeltilişini görelim. Şekil 7.20 7
ve 8. bitler alındıktan sonra yapılan uzaklık hesaplarını ve Şekil 7.21 de hayatta kalanlar seçildikten
sonra kafesin durumunu göstermektedir. Görüldüğü gibi en kısa yol doğru bitleri göstermesine rağmen
henüz ikinci ortak dal (ikinci bilgi biti) kararı verilmemiş, sonraki basamaklara bırakılmıştır.
alınan
11
00
00
01
2
00
11
0
11
01
10
00
1
11
11
1
1
11
1
1
4,1
01
01 1
1
01 0
3,4
00
10
2
10
2
2,3
2
0
1
10
01
2
0
00
3
10
1
3,4
Şekil 7.20 İlk 8 bit alındığında yapılan uzaklık hesapları.
alınan
11
00
00
01
0
00
00
11
0
11
01
10
00
1
1
1
00
10
10
01
1
01
11
0
1
1
2
3
1
01 0
3
Şekil 7.21 İlk 8 bit alındıktan sonra uzaklık hesapları sonucu hayatta kalan yollar.
Şekil 7.22 ve Şekil 7.23 ilk 10 kanal biti alındığında yapılan işlemleri göstermektedir. Burada
11 durumuna gelen yollara ait uzaklıkların aynı olması durumu sözkonusudur. Kesin-kararlı Viterbi
algoritmasında seçeneklerden herhangi birisi seçilir, diğeri silinir ve devam edilir. Örneğimizde alttaki
yolun silinmesine karar verilmiş, Şekil 7.23'te bu durum gösterilmiştir. Uygulamada, eşitlik
durumunda hangi yolun seçileceğine karar veren bir yöntem uygulanabilir ama bunun bir dayanağı
yoktur. Genel olarak, eşitlik durumu ya zaten seçilme ihtimali düşük olan yüksek uzaklık değerlerine
sahip yollarda yada zaten çözümlenemeyecek olan çoklu hata durumlarında ortaya çıkmaktadır.
178
alınan
11
00
00
01
10
0
00
11
0
11
01
00
1
10
2
11
11
1
1
1
1,5
0
2
3,4
00
10
1
1
1
01
01 2
01 0
11
3,4
1
1
3
0
10
01
1
1
00
3
10
0
3,3
Şekil 7.22 İlk 10 bit alındığında yapılan uzaklık hesapları.
alınan
11
00
00
01
10
0
00
00
1
11
11
0
11
01
1
1
00
1
10
1
00
3,-
1,-
0
10
10
01
1
01
0
2
3,-
01 0
11
3,3
Şekil 7.23 İlk 10 bit alındıktan sonra, uzaklık hesapları sonucu hayatta kalan olasılıklar.
alınan
11
00
01
00
10
0
00
00
11
0
11
01
10
1
1
1
00
11
3
01
01
0
2
3
3
5,1
4,4
1
1
3,3
01
01 1
01 0
2
00
0
2
00
10
10
1
0
11
11
1
0
10
11
1
11
1
00
1
10
4,4
Şekil 7.24 İlk 12 bit alındıktan sonra, uzaklık hesapları sonucu hayatta kalan olasılıklar.
Şekil 7.24 ve Şekil 7.25 11 ve 12. kanal bitleri alındıktan sonra yapılan işlemleri
göstermektedir. Burada da 01, 10 ve 11 durumlarına gelen yolların uzaklıklarında bir eşitlik durumu
179
sözkonusudur. Herhangi bir dayanağı olmadan üç yol seçilmiş ve diğer yollar silindikten sonraki kafes
yapısı Şekil 7.25'te gösterilmiştir.
alınan
11
00
00
01
10
0
00
00
11
5,1
0
1
11
11
01
10
11
1
00
1
0
00
10
10
10
01
1
01
11
0
2
0
2
4,4
1
3,3
01 0
10
11
4,4
1
Şekil 7.25 İlk 12 bit alındıktan sonra, uzaklık hesapları sonucu hayatta kalan olasılıklar.
13 ve 14. kanal bitleri alındıktan sonraki işlemler Şekil 7.26 ve Şekil 7.27'de gösterilmiştir.
Yine uzun yollar silindikten sonra küçük uzaklıklara sahip yolların önemli bir kısmının ortak yoldan
geçtiği görülmektedir.
alınan
11
00
00
01
10
0
00
00
11
0
1
1
11
11
01
10
11
1
00
1
0
10
10
01
1
01
0
2
00
10
0
2
1
01 0
11
00
11
10
1
2
11
11
2
4
0
00
10
1
3
1
01
01 1
4
0
11 2
1,6
4,5
3,4
4,6
Şekil 7.26 İlk 14 bit alındıktan sonra yapılan işlemler.
Şekil 7.27'de en düşük uzaklık değerlerine sahip 4 olası yolun ortak kısımları kalın çizgilerle
gösterilmiştir. Bu çizgilerin temsil ettiği bilgi bitleri, daha önce çıkışa verilen 1 bitiyle beraber
11010'dır. Yani önceki 5 basamakta herhangi bir bilgi biti üretilememiş olmasına rağmen son
basamakta 4 bit birden çıkışa verilmiştir. Bu arada, hatalı alınan kanal bitinin temsil ettiği bilgi biti de
doğru olarak çözümlenmiştir. Viterbi algoritması hangi bitlerin hatalı olduğunu bulmaya çalışmaz,
beklenen ve alınan bitler arasındaki uzaklıklar toplamlarını, durum sayısı M olmak üzere, en olası M
yol için tutarak bunların ortak kısımlarını çıkışa verir.
Bir yada birden çok bit çıkışa verildiğinde kafesin ilgili kısımları unutulabilir. Böylelikle
gerekli hafıza miktarı kontrol altında tutulur. Benzeri şekilde yol uzunlukları da en düşük değere göre
yeniden ayarlanır. Bu durumda, Şekil 7.27'deki son durum ile çıkışa verilen bitlerden sonra yeniden
ayarlanan kafes yapısı Şekil 7.28'te gösterildiği gibi olur.
180
alınan
11
00
00
01
10
00
11
00
11
2
11
0
11
01
00
0
00
10
10
0
2
0
1
01
0
1,-
4,10
1
1
01
3,-
01 0
4,-
11
Şekil 7.27 İlk 14 bit alındıktan sonra yüksek uzaklıklara sahip yolların silinmesiyle hayatta kalan
olasılıklar.
00
2
01
10
11
0
2
0
0
3
1
1
2
3
Şekil 7.28 Karar verilen bitler çıkışa verildikten sonra kısaltılmış kafes.
Hata düzeltici blok kanal kodlarının hata düzeltme kabiliyetinin kod kelimeleri arasındaki
uzaklık (free distance: serbest uzaklık) ile arttığını belirtmiştik. Evrişim kodları ise bloklar değil ikili
akış üzerinde çalıştığından hata düzeltme kabiliyetleri hakkında doğrudan birşey söylemek zordur.
Evrişim kodlarında (ve beraberinde Viterbi algoritmasında) serbest uzaklık, aynı durumdan ayrılıp en
az basamakta tekrar birleşen yollar ile üretilen çıkışların toplamlarının farklarıdır (yada farkların
toplamı). Bu, en kolay şekilde, Şekil 7.29'da gösterildiği gibi, 00 durumundan ayrılıp tekrar 00
durumuna dönmek için izlenen en kısa yol ile anlaşılabilir. Burada girdi bilgi akışının ...000... olduğu
ve karşılığında ...000000... üretilmesi gerektiği varsayılıyor. Ancak bir şekilde en üstteki yoldan
ayrılınır ise tekrar aynı yola dönmek için 11, 10 ve 11 çıkışları veren durumlardan geçilmesi
gereklidir. Bu çıkışların 00'dan Hamming uzaklıkları 2, 1 ve 2 olup toplamları 5'tir. Yani bu kodun
serbest uzaklığı 5'tir. Benzeri şekilde, 4. basamaktaki 10 durumundan ayrılan yolar 7. basamağın 00
durumunda birleşiyor ve çıkışlarının toplam Hamming uzaklıkları 5 oluyor. Blok kodlar konusunda
1 1 1 
gördüğümüz (7,4) kod örneklerinin serbest uzaklığının 3 olduğu düşünülürse H  
 evrişim
1 0 1
kodunun daha yüksek bir başarım göstereceği rahatlıkla söylenebilir. Ancak, Viterbi algoritmasının
karmaşıklığı düşünüldüğünde bu performans karşılıksız gelmiyor. (7,4) blok kodlaması ve alıcıda
tersinin oldukça basit kombinatoryel devrelerle yapılabildiğini göstermiştik. Burada ise hem evrişim
181
kodlamanın hem de Viterbi algoritmasının hafızaya ve karmaşık hesaplamalara ihtiyaç duyduğunu
görüyoruz.
ayrılık durumu
00
00
11
11
birleşme durumu
00
00
00
00
11
11
11
…
11
01
00
10
10
10
10
01
01
11
10
01
…
01
2
3
4
5
6
7
8
Şekil 7.29 Serbest uzaklık kafes üzerinde gösteriliyor.
Herhangi bir evrişim süzgeç vektör setinin kullanılamayacağını, kullanılsa da aynı başarımı
sağlamayacağını söylemiştik. Araştırmalar ile oldukça uzun vektörlere kadar kullanılabilecek
kodlardan yüksek başarımlı olanlar belirlenmiştir. Bunlardan kısa olanlar Şekil 7.30'da verilmiştir.
6
7
8
d= 5
111 1111 10111 101111
r=1/2 101 1011 11001 110101
  
 

 
d= 8
111
r=1/3 111
101
10
12
1111
1011


1101
11111
11011


10101
13
101111
110101


111001
10
1001111
1101101


15
1001111
1010111


1101101
10
10011111
11100101


16
11101111
10011011


10101001
Şekil 7.30 En iyi 1/2 ve 1/3 kısa evrişim kodları ve d serbest uzaklıkları.
12
110101111
100011101


182
8 Kaynak Kodlama
Kanal kodlamada, kanal üzerinde hasar gören verinin alıcı tarafında düzeltilebilmesi yada en
azından belirlenebilmesi için veriye nasıl kontrollü bir şekilde tekrarlılık ekleneceğini gördük.
Gerçekte, çoğu veri içinde zaten bol miktarda tekrarlılık vardır. Ancak, bu doğal tekrarlılığın hata
düzeltmeye katkısı olmadığı gibi, iletilmesi gereken verinin artmasına sebep olmaktadır. O nedenle
veri, kanal kodlama işlemi uygulanmadan önce gereksiz tekrarlardan temizlenebilir. Buna kaynak
kodlama yada veri sıkıştırma denir. Tekrarlılığı önce çıkarıp sonra tekrarlılık eklemek biraz mantıksız
gelebilir. O nedenle, her zaman şunu hatırlamakta fayda vardır; Kaynak kodlama işe yaramaz
tekrarlılığı azaltır, kanal kodlama ise hata düzeltmeye yarayacak tekrarlılığı ekler. Peki "işe yaramaz
tekrarlılık" nedir?
Örneğin "Ali gel, Ali gel buraya" emir cümlesinde "Ali gel" kısmı 2 kez geçmektedir. Net
istek ise Ali'nin buraya gelmesidir. Aynı istek "Ali gel buraya" cümlesi ile hiçbir anlam değişikliği
olmadan, hatta aynı harflerle, iletilebilir. Bu kolayca görülebilen tekrarlılığın yanında, aynı bilgiyi
daha da az veri ile belirtme imkanı var mıdır? Yani, veri içinde çok daha gizli tekrarlılık var mıdır?
Burada veri ile bilgi arasında önemli bir fark olduğunu ima ediyoruz aslında.
Şu cümleyi irdeleyelim; "Yarın güneş doğacak". Acaba bu cümle içinde ne kadar bilgi vardır?
Biraz düşününce, gerçekte bu verinin, şiirsellik dışında, hiçbir değerinin olmadığı farkederiz. Çünkü
bu veri iletilse de iletilmese de yarın güneşin doğacağını herkes biliyor. Güneş doğmazsa var olan çok
az bilginin de bir anlamı kalmazdı zaten. Yani, malum olan bilgiyi veri haline getirip iletmek pek
verimli bir yaklaşım değildir. Şimdi de şu cümleye bakalım; "Yarın borsa %50 düşecek". Eğer borsa
sık sık bu tür hareketler yapmıyorsa bu bilgi oldukça önemlidir (haber doğruysa tabi). Bu iki örnek
cümleden şunu anlıyoruz; Eğer iletilen veri ile temsil edilen olayın olasılığı yüksek ise bilgi değeri
düşüktür, yada tersten söylenirse, olasılık düşük ise bilgi değeri yüksektir. Siyah bir yazı tahtasında
beyaz bir noktanın tarifi için o nokta dışındaki tüm noktaların koordinatlarını tek tek belirtmek yerine
sadece o noktanın koordinatını söylemek daha anlamlıdır. Siyah referans yada varsayılandır. Peki,
beyaz yazı tahtası üzerindeki siyah bir nokta için? Bu durumda referansımızı değiştirmemiz
gerekecektir. En az veri ile en çok bilgi taşımak için referansımızın ne olduğu, yada iletilen veriden ne
anlaşılacağı önemlidir.
Olayların olasılığı ve bilgi değeri arasındaki ilişkiyi, yani düşük olasılık eşittir yüksek bilgi ve
yüksek olasılık eşittir düşük bilgi ilişkisini, grafik halinde gösterirsek Şekil 8.1'i elde ederiz. Bir E
olayın olasılığı ve ürettiği/taşıdığı bilgi arasındaki ilişki
 1 
I ( E )  log 
   log( P( E )) .
 P( E ) 
(8.1)
şeklinde verilir. Burada P( E ) olayın olasılığı ve I ( E ) ise olayın ürettiği öz bilgidir (self
information). Öz bilginin birimi logaritma işleminin tabanına göre söylenir. Örneğin, log 2 () ise
sonuç bit cinsindendir. Grafikten ve denklem (8.1)'ten anlaşılacağı üzere bir olay kesinse (olasılığı 1)
ürettiği bilgi 0'dır.
183
I(E)
P(E)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Şekil 8.1 Olasılık ve bilgi değeri arasındaki ilişki.
Örnek
olarak
yazı-tura
atma
olayını
ele
alalım.
Olasılıklar
0.5
olduğundan
 1 
kullanıldığında
I ( yazı)  I (tura )  log 
   log(0.5)  0.3 bulunur. Yada, log2 ()
 0.5 
I ( yazı)  I (tura)   log2 (0.5)  1 bit bulunur. Bir yazı-tura deneyinden sonra üretilecek olasılık
ağırlıklı ortalama bilgi ise I ort  P( yazı) I ( yazı)  P(tura) I (tura)  0.5  1  0.5  1  1 bulunur.
Konumuz haberleşme olduğundan ve elektronikçiler [bit]'ten anladığından bundan sonra, aksi
belirtilmediği sürece, bilgiyi hep bit cinsinden ifade edeceğiz.
Görüldüğü gibi eşit olasılıklı yazı-tura deneyinin sonucunu 1 bit ile ifade edebiliriz, ki bu
gayet anlaşılır bir sonuçtur. Yazı'yı 0 ile Tura'yı ise 1 ile temsil edebiliriz, yada tersi. Buradan bir
başka çıkarım daha yapabiliriz; Bir olayın öz bilgisi, sadece olasılıklara bağlıdır, temsil eden
sembollerden bağımsızdır.
Bilgi üretme mekanizmasını Şekil 8.2'teki gibi bir bilgi kaynağı ve ürettiği semboller şeklinde
düşünelim. Bu sembollerin ne olduğunun üretilen bilgi miktarına katkısı yoktur, ancak sembollerin
olasılıklarının katkısı vardır.
Bilgi
Kaynağı
Semboller
Şekil 8.2 Bilgi kaynağı semboller üretir.
Bilgi kaynağının A  {a1, a2 ,
, aN } sembollerini z  { p(a1 ), p(a2 ),
, p(aN )} olasılıklarıyla
N
ürettiğini varsayalım. Tabi ki
 p(a )  1 'dir.
i 1
i
A 'ya kaynak alfabesi denir. Semboller ve
184
olasılıklarının ( A, z ) birlikteliği bu kaynağı tam olarak tanımlar. Eğer kaynaktan K sembol
üretildiyse, herbir ai sembolü Kp(ai ) kez üretilmiş demektir. O halde, ai sembolü ile üretilen bilgi
 Kp(ai )log2 ( p(ai )) olur. Üretilen K sembol için toplam bilgiyi de
 Kp(a1 ) log 2 ( p(a1 ))  Kp(a2 ) log 2 ( p(a2 ))
N
N
i
i
 Kp(a N ) log 2 ( p(a N ))
  Kp(ai ) log 2 ( p(ai ))   K  p(ai ) log 2 ( p(ai ))
şeklinde yazabiliriz. Ortalama bilgi (sembol başına düşen) ise bunun sembol sayısına bölünmesiyle
bulunur.
N
H ( z )   p(ai ) log 2 ( p(ai )) .
(8.2)
i
H ( z ) 'ye entropi (karmaşıklık, belirsizlik) ismi verilir. Entropi ne kadar küçük ise semboller o
kadar tahmin edilebilir, yada entropy ne kadar büyük ise olasılıklar birbirine o kadar yakındır ve
dolayısıyla tahmin edilemez. Kaynaktan çıkan sembollerin tahmin edilebilir olması, yada H ( z ) 'nin
küçük olması, üretilen sembol dizisi içinde ne kadar tekrarlılık olduğunun bir ölçüsüdür. Benzeri
şekilde, H ( z ) 'nin büyük olması az tekrarlılık, yani sembol başına daha çok bilgi demektir. H ( z ) 'nin
en
büyük
değeri
tüm
olasılıkların
p(ai )  p(a j ) ( i, j  1,2, N ) oluşur.
birbirine
eşit
olduğu
durumda,
yani
Eğer bir kaynak çıkışında tekrarlılık varsa, bu tekrarlılık azaltıldığında bilgi daha az veri ile
temsil edilebilir. Tekrarlılığı azaltma işlemine veri sıkıştırma denir. Bu da demektir ki, eğer tekrarlılık
yok ise, yani H ( z ) olası en büyük değerinde ise, veri sıkıştırılamaz. Ancak, temsil sistemi yani
sembollerin ne olduğu değiştirilerek daha verimli bir temsil sağlanabilir. Bunu anlamak için zar atma
örneğini ele alalım. Tüm sembol olasılıkları eşittir, yani z  {1/ 6,1/ 6, ,1/ 6} . Buradan zar atma
6
1
1
deneyinin entropisi H ( z )   log 2 ( )  2.58 bit/sembol bulunur. Tabi ki zar sembollerini
6
i 1 6
(1'den 6'ya kadar tam sayılar) eşit uzunlukta ikili sembol dizileriyle temsil edecek olursak her sembol
3 bitle temsil edilebilir. Bu durumda farklı bir temsil sistemi işe yarayabilir.
Sembol olasılıklarının entropiyı ve dolayısıyla sıkıştırılabilme kabiliyetini nasıl etkilediğini
ikili bir kaynak örneğiyle inceleyelim. Alfabe A  {a1, a2 }  {0,1} ve olasılıkları z  { p0 , p1} olsun.
Entropy H ( z )  
2
 p log
i
2
pi   p0 log2 p0  p1 log2 p1 şeklinde bulunur. Olasılık toplamları 1
1
olduğundan ( p0  p1  1 ) p0  1  p1  p diyelim ve entropiyi
H ( z )   p log2 p  (1  p)log2 (1  p)
(8.3)
şeklinde yazalım. Denklem (8.3) ikili entropi fonksiyonu (binary entropy function) ismini alır. Bu
fonksiyonu çizersek Şekil 8.3'ü elde ederiz. Görüldüğü gibi entropinin en yüksek değeri olan 1,
sembol olasılıklarının eşit yani 0.5 olduğu durumda oluşuyor.
185
H(z)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
p
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Şekil 8.3 İkili entropi fonksiyonu.
İkili bir kaynakta olasılıklar z  {0.8,0.2} olsun. Entropi
H ( z )  0.8log2 0.8  0.2log2 0.2  0.7219 bit bulunur. Normalde ikili sistem sembolleri olarak
kullandığımız 0 ve 1 değerleri ise 1 bit ile temsil edilmektedir. Yani kaynak çıkışı düz ikili kod ise
sembol başına 1 bit üretmektedir. Biraz fikir çalışması ile, sembollerin kodlarının öz bilgilerine eşit
yada belki biraz büyük olması gerektiği, bu şekilde verimli bir kodlama sağlanacağını öngörebiliriz.
Peki nasıl sembol başına 0.7219 bit kullanacağız ve veri sıkıştırma sağlayacağız? Bu kazanım küçük
gibi görünebilir ama teoride 1GB yerine yaklaşık 722MB veri saklama/iletme imkanımız var. Burada,
çözümü söylemese de, Shannon'un gürültüsüz kodlama teoremi devreye giriyor. Teorem, konumuzla
ilgili olarak şöyle özetlenebilir; Entropisi H ( z ) olan ve istatistiksel olarak bağımsız semboller üreten
bir kaynağın üretim/iletim oranı (bit-rate) R  H ( z ) olan bir R oranında kayıpsız olarak
kodlanabilir. R  H ( z ) ise, kayıp (temsil edilememe) kaçınılmazdır.
İkili kaynak alfabesi sembollerinin n tanesinin yanyana getirilmesi ile S  {s1 , s2 ,
, sN n }
şeklinde yeni bir alfabe oluşturalım. S 'nin herbir elemanı sik  A sembollerinden oluşsun. Örneğin
n =3 ise, bu alfabe 000, 001, 010, ... ,111 sembollerinden oluşur. Bunlara blok semboller yana ikili
sembollerin n 'inci genişletmesi denir. S 'nin sembol olasılıkları ikili sembol olasılıklarının çarpımıdır.
P( sm )  P(ai ) P(a j ) P(ak ) , ( i, j, k  1,2,3)
(8.4)
Yada, n daha genel olarak
n
P( sm )   ak , ( k  1,2) .
i 1
Blok sembollerin olasılık setini u  { p( s1 ), p( s2 ),
Denklem (8.5) blok kaynağın entropisi
, p( sN n )} şeklinde tanımlayalım.
(8.5)
186
Nn
H (u)   P( sm ) log 2 ( P( sm ))
(8.6)
n
 n

H (u)    ak  log 2 ( ak ) , ( k  1,2)
m 1  i 1
i 1

(8.7)
m 1
içine yazılırsa
Nn
elde edilir ve log 2 () de logaritmaların toplamı şeklinde açılıp düzenlenirse
H (u)  nH ( z )
(8.8)
sonucu bulunur. S 'nin herbir sembolünün öz bilgisi I ( sm )   log2 ( sm ) . Yine biraz fikir çalışması
ile, her sembolün öz bilgisi yada belki biraz daha yüksek bir kod genişliği ile kodlanması gerektiği
sonucuna ulaşırız. Yani, L( sm ) sm sembolünün kod uzunluğu olmak üzere,
I ( sm )  L( sm )  I ( sm )  1
(8.9)
olması gerekmektedir. Daha büyük kod uzunlukları gereksiz tekrardır. Örneğin ikili sembolleri 0 ve 1
sembolleri yerine 01011 ve 11001 gibi uzun kodlarla temsil etmek gibidir. Daha kısa kodlar
kullandığımızda da Shannon'un teoremine göre kayıplar olur. Örneğin zar üzerindeki sembollerin
herbirini 2'şer bitle temsil etmeye çalışmak gibi. Tabi ki ikili sembolleri kullanarak genişletmeler
ürettiğimiz için L( sm ) sadece pozitif tam sayılardan olabilir. Bu durumda sm sembolünü öz bilgisine
eşit yada daha büyük en küçük tam sayıdaki genişletmeler ile temsil edebiliriz. Her sembol aynı
şekilde kodlandığında entropiye en yakın R 'yi elde ederiz. Peki bu durumda R ne olacaktır?
Denklem (8.9)'u P( sm ) ile çarpıp tüm set için
Nn
 P( s
m 1
m
şeklinde toplarsak ve Lavg 
Nn
Nn
m 1
m 1
) I ( sm )   P( sm ) L( sm )   P( sm ) I ( sm )  1
(8.10)
Nn
 P( s
m 1
m
) L( sm ) olduğuna dikkat edersek
H (u)  Lort  H (u)  1
(8.11)
olduğu görülür. Buraya H (u)  nH ( z ) ilişkisini eklediğimizde nH ( z )  Lort  nH ( z )  1 ve
ardından
H ( z) 
Lort
1
 H ( z) 
n
n
elde ederiz. Sandviç teoremini kullanarak lim(
n
(8.12)
Lort
)  H ( z ) olduğunu görebiliriz. Yani, Shannon'un
n
teoreminin ima ettiği şekilde, istediğimiz uzunlukta kodlar (genişletmeler) kullanarak entropiye
187
istediğimiz kadar yaklaşabiliriz. İdeal duruma ne kadar yakın olduğumuzu da  
n
H (u )
H ( z) 
Lavg
Lavg
ile hesaplayabiliriz. Sadece genişletmeler ile verimliliği arttıramayacağımızı iki örnekle görelim.
İkili kaynağımızda A  {0,1} için olasılıklar z  {0.7,0.3} olsun. Entropi ve verimliliği sırasıyla
2
n
1
H ( z )  0.8813  0.8813 buluruz.
Lavg
1
H ( z )   zi log 2 zi  0.8813 bit/sembol ve  
i 1
Şimdi de ikinci genişletmeler ile S  {00,01,10,11} için olasılıkları, entropiyi ve verimliliği
hesaplayalım.
u  { p0 p0 , p0 p1, p1 p0 , p1 p1}  {0.49,0.21,0.21,0.09}
4
ve
H (u)   ui log 2 ui  1.76
i 1
bit/sembol bulunur. Bunu H (u)  nH ( z ) 'den de bulabilirdik; H (u)  2  0.8813  1.7626 .
Verimlilik ise,  
H (u) 1.7626

 0.8813 bulunur. Yani hiçbirşey değişmedi. Çünkü, Shannon'un
Lavg
2
teoremi sonucunda bulduğumuz (8.9)'u kullanmadık, yine düz ikili kodlama yaptık.
Şimdi de C  {1,10,110,111} kodlarını S  {00,01,10,11} sembolleri yerine kullanalım.
Kod uzunlukları farklı olduğu için Lavg 
Nn
 P(c
m 1
m
) L(cm ) ile ortalama kod uzunluğunu bulalım.
Lavg  0.49  1  0.21  2  0.21  3  0.09  3  1.81 bit/sembol. Bu olasılıklarla entropiyi daha
önce hesapladığımızdan doğrudan H (u)  1.7626 yazabiliriz. Önceki kodda sabit olarak 2 bitlik
uzunluk kullanmıştık, burada ise değişken uzunluklu kodların ortalama uzunluğu 1.81 olduğuna göre
verimliliğin daha yüksek olduğunu hemen söyleyebiliriz;  
2
0.8813  0.9738 .
1.81
Bu örneklerle, değişken uzunluklu kodlar sayesinde ortalama kod uzunluğunun entropiye
yaklaştığını, yani kodlama verimliliğinin arttığını ve veri sıkıştırmanın gerçekleştiğini gördük. Peki,
verimliliği daha da yükseltebilecek kodlar var mıdır? Bu kodları nereden uydurduk? Bu kodlar seri
halde bir iletişim hattına verildiğinde alıcı nereden bilecek aldığı kodun uzunluğunu, ki sembolün
bittiğine karar versin? Bu sorulara cevap vermeye çalışalım.
Kodlama işlemi Şekil 8.4 ile özetleniyor. Sembol sayısını arttırmak için n ile genişletme yaptık.
Burada entropi n kat arttığı halde, sabit uzunluklu kod kullandığımız için verimlilik değişmedi,
dolayısıyla herhangi bir veri sıkıştırma olmadı. Ancak ardından, değişken uzunluklu kod kullanarak,
Shannon'un teoreminin öngördüğü şekilde, sembol sayısının ve uzunluklarının artmasıyla kodlama
verimini arttırabildik. Şekil 8.5, karşılaştırma amacıyla değişik kodlama örnekleri veriyor. Değişken
uzunluklu kodların işe yaradığını öğrendik ama henüz kod tasarlamayı öğrenmedik.
188
İkili
Bilgi
Kaynağı
İkili
semboller
n'inci
genişletme
(A,z)
(S,u)
Değişken
uzunluklu
kodlama
(C,u)
kodlanmış
akış
Şekil 8.4 Değişken uzunluklu kodlanmış verinin üretimi.
Sembol Kod-1
s1
s2
s3
s4
s5
Kod-2
Kod-3
Kod-4
Kod-5
Kod-6
000
0
1
1
0
00
001
1
01
10
01
01
010
10
001
100
011
10
011
11
0001
1000
0111
110
100
100
00001
10000
01111
111
…
Şekil 8.5 Sabit ve değişken uzunluklu kod örnekleri.
Şekil 8.5'te verilen kod örneklerinin verimlilikleri hakkında birşey söylemek için sembol
olasılıklarının da bilinmesi gereklidir. Ancak bu haliyle de bazı yorumlar yapılabilir. Örneğin sabit
uzunluklu Kod-1'de 3 bit ile 8 sembol temsil edilebileceği halde 5 sembol var. Yani aslında verimli
olmadığını hissedebiliyoruz. Kod-2 ise değişken uzunluklu. Ancak, bu kodların seri halde iletildiğini
düşünürsek alıcının sembol başlangıç ve bitişlerine karar veremeyeceğini görüyoruz. Örneğin alıcı 11
aldığında bunun s4 'mü yoksa s2 s2 'mi olduğuna karar veremez.
Kod-3 ise sembol sonlarında 1 içerdiği için sembollerin bitişi alıcı tarafından belirlenebilir. Bu
kodlara ayrıştırılabilir (uniquely decodable) kodlar denir. Biraz inceleme ile Kod-4 ve Kod-5'in de bu
özelliğe sahip olduğunu görüyoruz. Kolayca görülmese de, Kod-6 da bu özelliğe sahip. Bu özelliğin
varlığı değişken uzunluklu kodlarda oldukça önemlidir. Aksi halde sembol sonlarını (yada
başlangıcını) belirtmek için ilave bitlere ihtiyaç duyulurdu. Kod-1, Kod-3 ve Kod-6 ayrıca anında
ayrıştırılabilir (instantaneous, instantaneously decodable) kodlardır. Yani son bit alındığında sembol
belirlenir. Ancak Kod-4 ve Kod-5 için bir sonraki sembolü belirten ilk bitin alınması gerekir.
8.1. Veri Sıkıştırma
Değişken uzunluklu kodlar kullanarak ve olasılığı yüksek olan sembollere kısa, olasılığı düşük
olan sembollere uzun kelimeler atayarak bilgiyi toplamda daha kısa mesajlar ile iletebileceğimizi
hissediyoruz. Tabi ki bu yöntem veri sıkıştırma (data compression) amacıyla kullanılabilir. Veri
sıkıştırma (bilgiyi daha az veride toplama) yöntemleri kayıplı (lossy) ve kayıpsız (lossless) olarak iki
ana grupta toplanır. Alaşılacağı üzere, sıkıştırılıp daha sonra geri açılan son bite kadar veri aslının
aynısı ise kayıpsız olarak nitelendirilir. Bazı verilerin kayba tahammülü yoktur. Örneğin bir bilgisayar
programı dosyasının sağlıklı çalışabilmesi için her bitinin korunması gerekir. Ancak her veri için aynı
yaklaşım sergilenmeyebilir. Örneğin bir resim dosyasında renkleri belirten birkaç bitin değişmesi
görsel açıdan bir rahatsızlık uyandırmayabilir. Hatta veri sıkıştırmaya faydası oluyorsa bu gibi
189
değişikliklerin oldukça fazla olmasına izin verilebilir. Bu tür veri sıkıştırma tekniklerine kayıplı
teknikler denir. Burada her iki gruptan örnekler verip temel yaklaşımları anlamaya çalışacağız. Tabi ki
algoritma ve standartlar, kayıplı ve kayıpsız sıkıştırma yöntemlerini beraberce kullanılabilir/içerebilir.
Kayıpsız veri sıkıştırma yöntemleri sıkıştırılacak veri içindeki sembollerin olasılıklarını
kullanırlar ve olasılığı yüksek olan sembolleri kısa kelimeler ile kodlayarak toplam veriyi kısaltırlar.
Bu yöntemler de önceden sözlük (dictionary) hazırlayanlar ve hazırlamayanlar olarak ikiye ayrılırlar.
Sözlük, sembol olasılıklarını göz önüne alarak hazırlanmış sembol-kod çiftlerinden oluşmuş bir
tablodur. Şekil 8.6 önceden sözlük hazırlanan yöntemlerin genel çalışma şeklini özetlemektedir.
İstatistik
hesaplama
(olasılıklar)
ikili veri
n'inci
çevrimdışı
Sözlük
Hazırlama
Sözlük
genişletme
Kodlama
sözlükler aynı
ikili veri
sıkıştırılmış
veri
Sözlük
Kod çözme
Şekil 8.6 Çevrimdışı olarak önceden sözlük hazırlayan yöntemlerin veri sıkıştırmada kullanılışı.
Önceden sözlük hazırlanması gereken yöntemlerde, sembol olasılıklarını bilinmiyorsa, bulmak
için tüm veri taranarak hesaplanır. Daha sonra, olasılıkları yüksek sembollere kısa, düşük olasılıklı
sembollere gerektiği kadar uzun kelimeleri atayan bir tablo hazırlanır, ki buna sözlük denir. Bu işlem 1
kere yada veri istatistikleri değiştikçe yapılır. O nedenle çevrimdışı olarak gerçekleştirildiği
belirtilmiştir. Kodlama, yani sıkıştırma işlemi ise her sembol için tablodan (look-up table) karşıgelen
kelimenin bulunup çıkışa verilmesi ile gerçeklenir. Sıkıştırılmış veri ile beraber sözlüğün de
saklanması gereklidir. Çünkü aynı sözlük sıkıştırılmamış veriyi geri elde etmek için gereklidir. Bu
gereklilik, veri sıkıştırma algoritmalarını karşılaştırırken gözönüne alınmalıdır. 1 MB'lik bir veriyi 1
bite sıkıştırıp yanında 1 MB'lik bir tablo tutmak istemeyiz  .
Şekil 8.5 ve ilgili paragraflarda anlatıldığı üzere, kodlama sadece tablodan bulma demektir.
Yani çok düşük işlem karmaşıklıkları ile gerçeklenebilir. Kod çözme işlemi de aynı şekildedir. Bunu
bir örnekle gösterelim. Genişletilmiş kaynak sembolleri s  {s1, s2 , s3 , s4 } c  {0,10,110,111}
kelimeleri ile temsil ediliyor olsun. Yani sözlüğümüz ( si , ci ) çiftlerinden oluşuyor. Sıkıştırılacak dizi
ise s1s2 s1s4 s3s1s2 s1s1s2 s3 olsun. Herbir sembol yerine, tabloda karşılığı olan ci 'leri koyduğumuzda
kodlamam tamamlanmış olur; 01001111100100010110. Her kelimeden sonra bir işaret koymaya
gerek yoktur, çünkü kod anında ayrıştırılabilir kelimelereden oluşmaktadır. Sıkıştırılmış veri 20 bitten
oluşmaktadır. Eğer her sembol 2 bit ile temsil edilseydi toplam 22 bit olacaktı. "Ama 1 bit ile temsil
190
edilen s1 çok kullanılmış, o yüzden kısalmış" şeklinde bir argüman geçersizdir. Çünkü hangi sembol
olasılığı yüksek ise ona en kısa kelime atanıyor zaten.
Kod çözme tarafında ise aynı tablo kullanılıp ilk bitten itibaren henüz çözümlenmemiş kısım
tablo içinde aranır. Bulunduğu anda ilgili sembol çıkışa verilir. Örneğin, ilk bit olan 0 tabloda vardır
ve s1 'e karşı gelmektedir. s1 çıkışa verilip sonraki bitlere bakılır. İkinci bit ise 1'dir ve tabloda sadece
1'den oluşan bir kelime yoktur, sonraki bit beklenir. Sonraki bit 0 olduğundan tabloda 10 sıfır aranır ve
karşılığı olan s2 çözümlenmiş olur. Bu şekilde tüm veri çözülünceye kadar devam edilir.
8.1.1. Shannon-Fano Kodlama
Bunun en basit örneği Shannon-Fano kodlamadır. Şekil 8.7a'daki semboller ve olasılıklarını
ele alalım. Bu yöntemde semboller olasılık sırasıyla dizilir ve her iki kısımdaki toplam olasılık eşit
(yada en yakın) olacak şekilde iki gruba ayrılır. Örneğimizde bu toplam olasılıklar 0.49 ve 0.51
olmaktadır. Bu iki grubu birbirinden ayırmak için 1 bite ihtiyaç vardır. Üstteki gruba 0, alttakine 1 bit
değeri atanmıştır. Tersi de olabilir. Şimdi kod çözücü (alıcı tarafında) 0'ı gördüğünde üstteki gruptan
olduğunu çözer. Bu örneğimizde üstteki grupta 1 adet sembol var, ancak olmayabilirdi. Örneğin alttaki
grupta 3 sembol vardır ve kod çözücünün ilk gördüğü bit 1 olursa olası sembolleri belirlemek için
daha fazla bite ihtiyaç olduğu açıktır. İkiye bölme işlemine her iki grup için devam edelim. Üstteki
grup ikiye bölünemez, zaten 1 sembol var. Alttaki grup ise 0.21 ve 0.30 toplam olasılığa sahip 2 gruba
bölünür. Yine üstteki gruba 0 değerini, alttakine de 1 değerini ekleyelim. Bu şekilde, tüm gruplarda
tek sembol kalıncaya kadar bölerek ve bit değeri atayarak kodlamayı tamamlayalım. Şekil 8.7b'de bu
işlem tamamlanmış ve kod kelimeleri belirlenmiş olarak görülmektedir. Kelimelerin anında
ayrıştırılabilir olduğuna da dikkati çekmek gerekir. Hiçbir kelime bir diğer kelimenin başlangıcında
yer almaz. Böylelikle, kelimenin son biti alındığında bir belirsizlik oluşmaz.
Sembol Kod-1
s1
s2
s3
s4
P(si)
İlk bit
2. bit
3. bit
Kelime
00
0.49
0
01
0.21
1
0
10
0.21
1
1
0
110
11
0.09
1
1
1
111
0
10
Şekil 8.7 Shannon-Fano kodlama örneği.
Bu işlemlerle olasılığı yüksek olan sembollere kısa kelimeler atanmış olur. Kod-1 sütununda
belirtilen sabit uzunluklu kelimelerin uzunluğu 2'dir. Shannon-Fano yöntemiyle belirlenen kelimelerin
uzunlukları ise 1, 2 ve 3 olmak üzere değişkendir. Acaba ortalama kelime uzunluğunda bir kısalma
sağlanabildi mi?
4
Lz .avg   P( si ) L( si ) 0.49 1  0.21  2  0.21  3  0.09  3  1.81 bit/sembol
i 1
ile gördüğümüz gibi uzunluğu 2 olan sabit koda göre bir avantaj sağlandı. Peki çok daha iyi bir
başarım elde edilebilir miydi? Bu sorunun cevabını H ( z )  1.7626 olan entropi veriyor. Evet, 0.0474
191
bit/sembol daha iyi olabilirdi. Ancak Shannon-Fano ile, yada en azından bu sayıdaki sembol ile, bu
yapılamıyor. Kaynak alfabesinin ikinci genişletmesini ürettiğimizde elde edilen 16 sembolün
olasılıkları
u={0.2401, 0.1029, 0.1029, 0.1029, 0.1029, 0.0441, 0.0441, 0.0441, 0.0441, 0.0441, 0.0441, 0.0189,
0.0189, 0.0189, 0.0189, 0.0081} olarak elde edilir. Bu olasılıklara Shannon-Fano yöntemi
uygulandığında ise değişken kelime uzunlukları l={2, 3, 4, 4, 3, 4, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6} şeklinde
bulunur. Buradan da ortalama kelime uzunluğu Lu.avg 
16
 P(u )l =3.5948
i 1
i
i
bit/sembol hesaplanır.
Sabit genişlikli kelimeler ile 4 bit ile temsil edilecek olan semboller 3.5948 bit ile temsil
ediliyor.
Kodlama
verimliliği
H (u)  2 H ( z ) =3.5252
u 
Lz .avg
1
H ( z) 
u 
Lu.avg
n
H ( z) 
3.5948
1.7626  3.1681
2
ve
entropi
bit/sembol bulunur. Genişletilmemiş kodun kodlama verimi olan
1.81
1.7626  3.1903 ile karşılaştırdığımızda genişletilmiş alfabe üzerinde
1
kodlama yapmanın daha iyi sonuç verdiğini görebiliriz.
Dikkat edilirse bu örnekte verilen olasılıkların aslında {0.7, 0.3} dağılıma sahip ikili alfabenin
ikinci genişletmesi olduğu görülür. Yani, ilk durumda ikili sembol başına 1 bit, ikinci genişletmede
1.81/2=0.905 bit, 4'üncü genişletmede (son örnek) 3.5948/4=0.8987 bit kod oranları elde edildi.
Shannon'un teoremine uygun olarak, genişletme arttırıldıkça ilk alfabenin entropisi olan 0.8813'e
giderek yaklaşılacağı öngörülebilir.
Shannon-Fano yöntemi daha karmaşık algoritmaları ele alamayacak basit sistemlerde tercih
edilebilir. Ancak günümüzdeki sayısal sistemler çok daha karmaşık (hesap yükü fazla) algoritmaları
dahi rahatlıkla yerine getirebileceğinden, seçim çoğunlukla basitlik kriteri ile değil kodlama verimi ile
yapılmaktadır. Örneğin, Huffman kodlama biraz daha işlem yükü gerektiren ancak en yüksek kodlama
verimi ile bilinen, anında ayrıştırılabilir kelimeler üreten kayıpsız (lossless) bir yöntemdir. Gerçekte
sembol-kod çiftlerini üretme, yani sözlük hazırlama işlemi farklıdır. İstatistik hesaplama, kodlama ve
kod çözme işlemleri aynıdır.
8.1.2. Huffman Kodlama
Sözlük hazırlama işlemi, sembol sayısı çok fazla ise, fazla . Başlangıçta Shannon-Fano ve
Huffman yöntemindeki gibi Sembol-kod tablosu hazırlamayan Aritmetik Kodlama (arithmetic coding)
yöntemi ise önceki yöntemlerde karşılaşılan uzun tablolarda işlem zorluğu problemini aşar.
(devam edecek)