Gerilme ve Şekil Değiştirme

Mukavemet-I
Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Bölüm 2
Gerilme ve Şekil Değiştirme-Eksenel
Yükleme
Kaynak: ‘Cisimlerin Mukavemeti’, F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf,
D.F. Mazurek, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.
2.1 Giriş
Bölüm 1’de çeşitli elemanlarda uygulanan yükler sonucunda
meydana gelen gerilmeleri inceledik.
Analiz ve tasarımın diğer önemli bir yanı, yapıya uygulanan yüklerin
neden olduğu deformasyonlarla ilişkilidir.
Yapının hedeflenen amacı yerine getirmesini engelleyecek kadar
büyük deformasyonlara maruz kalmasını önlemek gerekir.
Bu bölümde, eksenel yükleme halindeki çubuk, plaka gibi yapı
elemanlarının deformasyonlarını ele alacağız.
2.2 Eksenel Yüklemede Normal Şekil Değiştirme
Eksenel yüklemeye maruz bir çubuktaki normal şekil
değiştirme (ε), çubuğun «birim uzunluğundaki deformasyon»
olarak tanımlanır.
2.2 Eksenel Yüklemede Normal Şekil Değiştirme
Kesiti düzgün olmayan bir eleman halinde, gerilme
eleman boyunca değişir.
Bir Q noktasındaki şekil değiştirme, deforme
olmamış küçük bir Δx elemanını göz önüne alınarak
tanımlanır:
2.3 Gerilme - Şekil Değiştirme Diyagramı
Malzemenin gerilme-şekil değiştirme
diyagramı çekme deneyi ile belirlenir.
L0: ölçüm uzunluğu
2.3 Gerilme - Şekil Değiştirme Diyagramı
Malzemenin gerilme-şekil değiştirme diyagramından
malzemenin sünek mi gevrek mi olduğu anlaşılır.
2.3 Gerilme - Şekil Değiştirme Diyagramı
Sünek malzemeler «akma» yetenekleri ile bilinirler.
σY: malzemenin «akma mukavemeti»
σU: malzemenin «maksimum! (kopma) mukavemeti»
σB: malzemenin «kırılma mukavemeti»
2.3 Gerilme - Şekil Değiştirme Diyagramı
İnşaat demirinde akma noktası barizdir, diyagramdan gözlenebilir.
Alüminyum alaşımında ise akma noktası «kaydırma» yöntemi ile belirlenir.
2.3 Gerilme - Şekil Değiştirme Diyagramı
Gevrek malzemelerde maksimum mukavemet değeri ile kırılma
mukavemeti arasında fark yoktur.
Gevrek malzemelerde kırılma anındaki şekil değiştirme, sünek
malzemelerden çok daha küçüktür.
2.3 Gerilme - Şekil Değiştirme Diyagramı
Bir malzemenin sünekliğinin standart bir ölçüsü uzama yüzdesidir. Sık
kullanılan bir çelikte %21’dir (Akma mukavemeti 350 MPa ve 50 mm ölçüm
uzunluğu).
Diğer bir süneklik ölçüsü alan büzülmesidir. İnşaat çeliklerinde genellikle %60%70 arasında değişir.
2.3 Gerilme - Şekil Değiştirme Diyagramı
Betonun gerilme-şekil değiştirme
diyagramı.
Çelikte akma mukavemeti hem çekmede
hem de basınçta aynıdır.
Akma
noktasını
aşan
yüklemeler
sonucunda eğriler farklılık gösterir.
Basınçta boyun verme görülmez.
Çoğu gevrek malzemede, basınç kopma
mukavemeti
çekmedeki
kopma
mukavemetinden büyüktür.
Bu durum, çekmede malzemeyi zayıflatan
malzeme yapısındaki mikroçatlaklar ile
açıklanır.
*2.4 Gerçek Gerilme – Gerçek Şekil Değiştirme
Önceki diyagramlardaki gerilmeler P yükünün A0
kesit alanına bölünmesiyle elde edilmiştir.
Ancak, kesit alanı P artarken azalır.
σ = P/A0 : mühendislik gerilmesi.
σt = P/A: gerçek gerilme.
ε = δ/L0 : mühendislik şekil değiştirmesi.
εt: gerçek şekil değiştirme.
Tipik bir sünek malzeme için gerçek gerilmegerçek şekil değiştirme diyagramı.
2.5 Hooke Kanunu – Elastisite Modülü
Hooke kanununun kullanılabildiği en
büyük gerilme değerine, malzemenin
«orantı limiti» adı verilir.
Bariz akma noktasına sahip malzemelerde
hemen hemen akma noktası ile çakışır.
Diğer malzemeler için orantı limitini
tanımlamak kolay değildir.
2.5 Hooke Kanunu – Elastisite Modülü
Yapı metallerinin özellikleri, ısı uygulamasından
ve üretim sürecinden etkilenir.
Şekilde görüldüğü gibi akma mukavemeti,
kopma mukavemeti ve son şekil değiştirme
arasında oldukça büyük farklar vardır.
Ama hepsi aynı elastisite modülüne sahiptir.
2.5 Hooke Kanunu – Elastisite Modülü
Mekanik özellikler malzeme doğrultusundan
bağımsız ise malzeme izotropiktir.
Özellikleri ele alınan doğrultuya bağlı olan
malzemelere ise anizotropik malzeme denir.
Fiber takviyeli kompozit malzemeler
anizotropik malzemeye örnektir.
Ex ≠ Ey ≠ Ez
2.6 Malzemenin Elastik ve Plastik Davranışı
Bir numunedeki şekil değiştirme yük
kaldırıldığında
ortadan
kalkıyorsa,
malzemenin elastik davrandığı söylenir.
Elastik davranışın görüldüğü en büyük
gerilme değeri, malzemenin elastik limitidir.
Bariz akma noktasına sahip malzemelerde
elastik limit, orantı limiti ve akma noktası
temelde eşittir.
Akma noktasından sonra yük kaldırılırsa, şekil değiştirme sıfıra dönmez. Bu
durum kalıcı veya plastik deformasyon oluştuğunu gösterir. Plastik
deformasyonun gerilmeye bağlı kısmına kayma, zamana bağlı kısmına sünme
denir.
2.6 Malzemenin Elastik ve Plastik Davranışı
Yeni yükleme eğrisinin doğru şeklindeki
parçası, başlangıçtakinden daha büyüktür.
Bu durum, ilk yükleme sonucu oluşan
deformasyon sertleşmesinin sonucudur.
Bununla
birlikte,
kopma
noktası
değişmediğinden, D noktasından ölçülen
süneklik azalmıştır.
2.6 Malzemenin Elastik ve Plastik Davranışı
Akma mukavemeti çekme ve basınçta
aynı olan yumuşak çelik.
İkinci yükleme ilkine zıt yönde.
DH parçası eğridir, bariz akma
görülmez. Buna Bauschinger etkisi
adı verilir.
JK’da eğim elastisite modülüne eşittir.
İlk yükleme sertleşmeye neden olacak kadar büyükse, C’D’ çizgisi izlenir. Basınç
gerilmesi σY’den küçük olmakla birlikte, gerilmedeki toplam değişme 2σY’dir.
2.7 Tekrarlı Yüklemeler; Yorulma
Gerilmeler elastik aralıkta ise, verilen yük bir
çok kez tekrarlanabilir.
Fakat yükleme sayısı belirli bir değeri
aştığında, kırılma statik mukavemetten daha
düşük bir gerilme değerinde gerçekleşir.
Bu olay yorulma olarak bilinir.
Sünek malzemelerde bile gevrek tabiata
sahiptir.
Maksimum gerilmenin büyüklüğü azaldıkça, sürekli mukavemet sınırı
gerilmesine ulaşana kadar, kırılma için gerekli döngülerin sayısı artar.
2.7 Tekrarlı Yüklemeler; Yorulma
• Bir sanayi vincini taşıyan kiriş 25 yılda 2
milyon defa (bir iş gününde 300
yükleme),
• 320.000 km yol kat eden bir aracın krank
mili ½ milyar defa,
• Bir türbin kanadı ömrü süresince bir kaç
milyar defa yüklenebilir.
Alüminyum ve bakır gibi metallerde kırılma gerilmesi sürekli bir düşüş
göstermektedir. Böyle metaller için 500 milyon gibi belli bir döngü sayısı,
yorulma sınırı olarak tanımlanır.
2.7 Tekrarlı Yüklemeler; Yorulma
Kırılma, mikroskobik bir çatlakta veya benzer
bir kusurlu kısımda başlar.
Tekrar eden yüklemeler sonucunda, hasarsız
kısım, yükü taşıyamayacak kadar azaldığında
ani, gevrek kırılma meydana gelir.
Bu nedenle, yüzey durumu çok önemlidir.
Deniz suyu etkisiyle sürekli mukavemet
sınırına %50’ye varan azalma beklenebilir.
2.8 Eksenel Yüklemede Deformasyon
σ = P/A eksenel gerilmesi malzemenin orantı limitini
aşmıyorsa, Hooke kanunu uygulanabilir:
Çubuk farklı kesit alanlarına ve/veya
farklı malzemeler içeriyorsa:
2.8 Eksenel Yüklemede Deformasyon
Değişken kesitli bir elemanda ε şekil
değiştirmesi Q noktasının konumuna bağlıdır.
ε = dδ/dx olarak ifade edilir. Buradan, dx
uzunluğundaki elemanın deformasyonu:
L toplam uzunluğu üzerinden integral alınarak
toplam deformasyon elde edilir:
Örnek 2.01
Verilen yükler altında (E=200 GPa)
çelik çubuğun deformasyonlarını
belirleyiniz.
Örnek 2.01
2.8 Eksenel Yüklemede Deformasyon
Önceki durumlarda bir uç ankastre
bağlanmıştı. Her iki uç da hareket
ederse, çubuğun deformasyonu, bir
ucunun diğer ucuna göre bağıl yer
değiştirmesiyle ölçülür.
B’nin A’ya göre bağıl yer değiştirmesi:
Örnek Problem 2.1
BDE rijit çubuğu AB ve CD kollarıyla
mesnetlenmiştir. AB kolu alüminyumdan
(E = 70 GPa) yapılmıştır ve kesit alanı 500
mm2’dir. CD kolu ise çelikten (E = 200
GPa) yapılmış olup kesit alanı 600
mm2’dir. 30 kN’luk kuvvet için (a) B’nin,
(b) D’nin, (c) E’nin yer değiştirmelerini
belirleyiniz.
Örnek Problem 2.1
Serbest cisim diyagramı: BDE çubuğu
Örnek Problem 2.1
a. B’nin yer değiştirmesi.
Örnek Problem 2.1
b. D’nin yer değiştirmesi.
Örnek Problem 2.1
c. E’nin yer değiştirmesi.
Örnek Problem 2.2
A ve B rijit dökümleri, 18 mm çaplı CD ve
GH cıvatalarıyla bağlanmıştır ve 38 mm
çaplı EF alüminyum çubuğunun uçlarıyla
temas halindedir. 2.5 mm adımlı, tek yivli
olan cıvatalar, tam oturtulduktan sonra,
D ve H’deki somunlar dörtte bir kadar
döndürülerek sıkılmıştır. E, çelik için 200
GPa ve alüminyum için 70 GPa olduğuna
göre, çubuktaki normal gerilmeyi
belirleyiniz.
Örnek Problem 2.1
Deformasyonlar
CD ve GH cıvataları.
Somunların sıkılması cıvatalarda çekme
kuvvetleri oluşturur.
EF çubuğu.
Çubuk basınç etkisindedir.
Örnek Problem 2.1
D’nin B’ye göre yer değiştirmesi.
Dörtte bir dönen cıvata D ve H uçlarında B
dökümüne göre ¼(2.5mm)’lik bir yer
değiştirmeye sebep olur. D ucunu göz
önüne alırsak,
A dökümünü sabit kabul edersek:
(1), (2) ve (3)’ü (4)’te kullanarak:
Örnek Problem 2.1
Serbest cisim diyagramı: B dökümü.
Çubuk ve cıvatalardaki kuvvetler.
(6)’daki Pr’yi (5)’te kullanarak,
Çubuktaki gerilme.
2.9 Statikçe Belirsiz Problemler
Önceki kesimde ele alınan problemlerde, iç kuvvetler serbest cisim
diyagramı ve denge denklemleri kullanılarak belirlenebiliyordu.
İç kuvvetlerin ya da tepki kuvvetlerinin sadece statikten
belirlenemediği çok sayıda problem vardır.
Denge denklemleri, problemin geometrisi düşünülerek elde edilen
deformasyonları içeren bağıntılarla tamamlanmalıdır.
Statik, tepkileri veya iç kuvvetleri belirlemede yetersiz olduğundan,
bu tip problemlere statikçe belirsiz denmektedir.
Örnek 2.02
L uzunluklu, A1 kesit alanlı ve E1
elastisite modüllü bir çubuk, uzunluğu
aynı olan fakat kesit alanı A2, elastisite
modülü E2 olan bir tüp içine
yerleştirilmiştir.
Rijit uç plakası üzerine P kuvveti
uygulanırsa,
çubuk
ve
tüpün
deformasyonu ne olur?
Örnek 2.02
SCD’lerden sadece bir önemli denklem elde edilir:
Bir denklem iki bilinmeyeni belirlemek için
yeterli değildir. Problem statikçe belirsizdir.
Geometri,
çubuğun
ve
tüpün
deformasyonlarının eşit olması gerektiğini
gösterir.
Örnek 2.03
L uzunluklu ve düzgün kesitli bir AB çubuğu,
yüklenmeden önce A ve B’de rijit mesnetlere
bağlanmıştır. C noktasında P yükünün
uygulanmasından dolayı, AC ve BC
parçalarındaki gerilmeler ne olur?
Örnek 2.03
SCD’den bir denklem elde edilir:
Bu denklem iki bilinmeyeni belirlemek için
yeterli değildir. Problem statikçe belirsizdir.
Geometriden, çubuğun toplam uzamasının
sıfır olması gerektiği için tepkiler belirlenebilir.
AC ve BC kısımlarının uzamaları δ1 ve δ2 ile
göstererek,
Örnek 2.03
Süperpozisyon Yöntemi.
Bir yapı, dengede kalması için gerekli olandan daha fazla mesnetle
bağlanmışsa, statikçe belirsizdir. Kullanılabilen denge denkleminden
fazla sayıda bilinmeyen tepki vardır.
Çoğu zaman bu tepkilerden birini fazlalık olarak belirtmek ve karşı
gelen mesnedi kaldırmak uygundur.
Fakat bu tepki, diğer yüklerle beraber, ilk kısıtlamalarla uyumlu olan
deformasyonlar üretmesi gereken, bir bilinmeyen yük olarak ele
alınacaktır.
Gerçek çözüm, verilen yüklerin ve fazla tepkilerin neden olduğu
deformasyonlar ayrı ayrı ele alınarak ve bu sonuçlar toplanarak - ya
da süperpoze edilerek- elde edilir.
Örnek 2.04
Şekilde gösterilen çelik çubuk ve yükleme için,
yükler uygulanmadan önce her iki mesnedin
tam oturduğunu kabul ederek, A ve B’deki
tepkileri belirleyiniz.
Örnek 2.04
B’deki tepkiyi fazla tepki olarak kabul edelim
ve çubuğu mesnetten ayıralım.
Bilinmeyen bir yük olarak kabul edilen RB
tepkisini çubuğun δ deformasyonunun sıfıra
eşit olması koşulundan belirleyeceğiz.
Verilen yüklerin
neden
olduğu
δL
deformasyonu ile RB fazla tepkisinden dolayı
oluşan δR deformasyonu ayrı ayrı ele alınarak
çözüme ulaşılır.
Örnek 2.04
δL deformasyonu, çubuk dört parçaya bölündükten
sonra:
Örnek 2.04
RB fazla tepkisinin neden olduğu δR
deformasyonunu göz önüne alarak çubuğu iki parçaya bölelim:
Örnek 2.04
Üst mesnetteki RA tepkisi çubuğun serbest cisim
diyagramından elde edilir:
Çubuğun toplam deformasyonu sıfır olsa da, parçaların
her birinin deforme olduğuna dikkat edilmelidir.
Örnek 2.05
Bir önceki örnekteki çelik çubuk ve yükleme
için, yükler uygulanmadan önce çubuk ve
yer arasında 4.50 mm’lik bir mesafe
olduğunu varsayarak, A ve B’deki tepkileri
belirleyiniz. E = 200 GPa alınız.
Örnek 2.05
Bir önceki örnekteki yol izlenir. Ancak,
toplam deformasyon sıfır değil, 4.50 mm’dir.
RA tepkisi çubuğun serbest
diyagramından elde edilir:
cisim
2.10 Sıcaklık Değişimi İçeren Problemler
Düzgün kesitli, homojen bir AB çubuğu,
pürüzsüz bir yüzeyde serbestçe durmaktadır.
Çubuğun sıcaklığı ΔT kadar arttırılırsa, çubuk
L uzunluğu ve ΔT ile orantılı olacak şekilde δT
kadar uzar.
α: termal genleşme katsayısı, 1/˚C
2.10 Sıcaklık Değişimi İçeren Problemler
Sıcaklık değişiminden kaynaklandığı için, εT
şekil değiştirmesine termal şekil değiştirme
adı verilir.
Ele aldığımız durumda bir gerilme meydana
gelmez.
2.10 Sıcaklık Değişimi İçeren Problemler
Başlangıçta gerilme veya şekil değiştirme yok.
Sıcaklık ΔT kadar arttırılırsa, çubuk uzayamaz
ve δT sıfır olur. Dolayısıyla, εT = δT/L = 0.
Fakat, sıcaklık artınca uzamaya engel olmak
için, mesnetler P ve P’ kuvvetleri uygular.
Böylece, çubukta gerilme oluşur.
2.10 Sıcaklık Değişimi İçeren Problemler
Problem statikçe belirsizdir. Uzama sıfır
olduğundan, mesnet tepkileri hesaplanır.
Süperpozisyon
metodu
için
çubuk
B
mesnedinden ayrılır.
Örnek 2.06
Sıcaklık +24˚C iken her iki rijit mesnet tam
oturmaktadır. Çubuk sıcaklığının -45˚C
olduğu anda AC ve BC kısımlarındaki
gerilme değerlerini belirleyiniz. E = 200 GPa
ve α = 11.7x10-6/˚C alınız.
Örnek 2.06
Problem statikçe belirsizdir. Çubuk B
mesnedinden ayrılır. Çubuktaki sıcaklık
değişimi:
Karşı gelen deformasyon:
Örnek 2.06
B ucuna bilinmeyen RB kuvveti uygulanır ve
karşı gelen δR deplasmanı hesaplanır:
Örnek 2.06
Çubuğun
olmalıdır:
toplam
deformasyonu
A’daki tepki eşit ve zıt yönlüdür.
sıfır
Örnek 2.06
Çubuğun iki parçasındaki kuvvetler eşittir,
P1 = P2 = 81.34 kN.
Çubuğun toplam deformasyonu sıfır olduğu
halde, AC ve BC parçalarının deformasyonu
sıfırdan farklıdır.
Örnek 2.06
εAC şekil değiştirmesi iki parçaya ayrılabilir.
Bunlardan birisi ΔT sonucu oluşan εT’dir:
Diğer kısmı RB kuvvetinden kaynaklanan σ1
gerilmesi ile ilişkilidir:
Bu iki değer toplanarak εAC hesaplanır:
Örnek 2.06
Benzer hesaplamalarla, CB parçasındaki şekil
değiştirme de elde edilir:
Çubuğun iki parçasının deformasyonları:
Örnek Problem 2.3
12 mm çaplı CE ve 18 mm çaplı DF çubuğu,
ABCD rijit çubuğuna bağlanmıştır. Çubuklar
alüminyum (E = 70 GPa) olduğuna göre,
(a) her bir çubuktaki kuvveti,
(b) A noktasının yer değiştirmesini
belirleyiniz.
Örnek Problem 2.3
Statik.
SCD. B’deki tepki ve çubukların uyguladığı
kuvvetler belirsizdir. Statikten:
Geometri.
40 kN yük uygulandıktan sonra:
Örnek Problem 2.3
Deformasyonlar.
SCD. B’deki tepki ve çubukların uyguladığı kuvvetler belirsizdir. Statikten:
Örnek Problem 2.3
Her bir çubuktaki kuvvet.
Yer değiştirmeler.
Örnek Problem 2.4
CDE rijit kolu E’de pimli mesnetle bağlanmış ve
30 mm çaplı BD pirinç silindiri üzerinde
durmaktadır. AC çelik çubuğu 22 mm çaplıdır.
Tüm sistemin sıcaklığı 20˚C iken somun sıkıca
oturmaktadır. Çelik çubuğun sıcaklığı 20˚C’de
kalırken,
pirinç
silindirinki
50˚C’ye
çıkarılmaktadır.
Silindirdeki gerilmeyi belirleyiniz.
AC çubuğu: Çelik
BD silindiri: Pirinç
Örnek Problem 2.4
Statik.
Tüm sistemin serbest cisim diyagramından:
Deformasyonlar.
RB’yi fazla kabul edip, süperpozisyon yöntemini
kullanacağız.
Örnek Problem 2.4
δT yer değiştirmesi.
δ1 yer değiştirmesi.
δ1 yer değiştirmesi.
Silindirdeki gerilme.
2.11 Poisson Oranı
Bütün mühendislik malzemelerinde, P eksenel
çekme kuvvetiyle, kuvvet doğrultusunda
oluşan uzamanın yanında, dik doğrultularda
bir daralma da olur.
Aksi belirtilmedikçe, ele alınan malzemeler
hem homojen hem de izotropik varsayılacak.
Bu nedenle εy = εz olmalıdır. Bu ortak değere
enine şekil değiştirme adı verilir.
2.11 Poisson Oranı
Poisson oranı bir malzeme için önemli bir
sabittir.
Adını Fransız matematikçi Simeon Denis
Poisson’dan (1781-1840) alır.
Örnek 2.07
Homojen ve izotropik bir malzemeden
yapılmış çubuğun elastisite modülünü ve
Poisson oranını belirleyiniz.
Örnek 2.07
2.12 Çok Eksenli Yükleme: Genelleştirilmiş Hooke Kanunu
Şimdiye kadar tek bir eksen doğrultusundaki
kuvvetlere maruz elemanları inceledik.
Şimdi üç koordinat ekseni boyunca etkiyen
sıfırdan farklı σx, σy, σz normal gerilmelerini
oluşturan yüklere maruz elemanları göz
önüne alıyoruz.
Bu durum çok eksenli yükleme olarak
adlandırılır.
2.12 Çok Eksenli Yükleme: Genelleştirilmiş Hooke Kanunu
Kenar uzunlukları 1 olan bir küp, çok eksenli
bir yüklemeye maruz kalırsa, kenarları 1+εx,
1+εy, 1+εz’ye eşit olan bir dikdörtgenler
prizması şeklini alır.
εx, εy , εz şekil değiştirme bileşenlerini σx, σy,
σz gerilme bileşenleri cinsinden ifade etmek
için süperpozisyon ilkesi kullanılacak.
2.12 Çok Eksenli Yükleme: Genelleştirilmiş Hooke Kanunu
Bu bağıntılar, çok eksenli bir yüklemeye maruz homojen, izotropik
bir malzeme için genelleştirilmiş Hooke kanunu olarak bilinir.
Örnek 2.08
50 mm
100 mm
75 mm
Şekildeki blok, her yüzünde düzgün basınca
maruzdur. AB kenarının uzunluğundaki
değişme -30x10-3 mm olduğuna göre,
(a) diğer iki kenarın uzunluğundaki
değişmeyi, (b) bloğun yüzlerine uygulanan
p basıncını belirleyiniz. E = 200 GPa ve ν =
0.29.
Örnek 2.08
a. Diğer kenarların uzunluğundaki değişme.
50 mm
100 mm
75 mm
Örnek 2.08
b. Basınç.
50 mm
100 mm
75 mm
*2.13 Hacimsel Genleşme; Yığılma (Hacim) Modülü
Bu bölümde σx, σy ve σz normal
gerilmelerinin bir izotropik malzeme
elemanının hacmi üzerindeki etkisini
araştırıyoruz.
Gerilmesiz halde birim hacimli bir küp
eleman σx, σy ve σz gerilmeleri altında
e: hacimdeki değişme
hacimli bir dikdörtgenler prizması şeklini
alır.
*2.13 Hacimsel Genleşme; Yığılma (Hacim) Modülü
εx, εy ve εz değerleri yerine konularak,
Eleman başlangıçta birim hacimli olduğundan e birim hacimdeki
değişmeyi gösterir ve hacimsel genleşme olarak adlandırılır.
*2.13 Hacimsel Genleşme; Yığılma (Hacim) Modülü
Cismin düzgün bir p hidrostatik basınca
maruz kalması özel bir hal olarak karşımıza
çıkar. Bu durumda, her bir gerilme bileşeni
–p’ye eşittir.
k sabiti malzemenin yığılma modülü veya
basınç modülü olarak bilinir.
Örnek 2.09
40 mm
80 mm
60 mm
Şekildeki bloğun p = 180 MPa’lık hidrostatik
basınca maruz kalması durumunda,
hacmindeki ΔV değişimini belirleyiniz.
E = 200 GPa ve ν = 0.29.
Örnek 2.09
40 mm
80 mm
60 mm
2.14 Kayma Şekil Değiştirmesi
Önceki bölümde izotropik malzemeden
oluşan bir elemanının sadece σx, σy ve σz
normal gerilmelerine maruz kaldığını
varsaydık.
Daha genel halde, τxy, τyz ve τzx kayma
gerilmeleri ve bunlara karşılık gelen τyx, τzy
ve τxz kayma gerilmeleri bulunur.
Bu gerilmelerin normal şekil değiştirmeleri
üzerinde doğrudan bir etkisi yoktur.
2.14 Kayma Şekil Değiştirmesi
Kayma gerilmeleri etkisindeki eleman birim kenarlı bir paralel yüz
şeklini alır. Dik açılarda değişim meydana gelir.
γxy açısı (radyan), x ve y doğrultularına karşı gelen kayma şekil
değiştirmesini tanımlar.
2.14 Kayma Şekil Değiştirmesi
γxy açısı, x ve y doğrultularına karşı gelen kayma şekil değiştirmesini
tanımlar.
Deformasyon, pozitif x ve y eksenlerine doğru olan iki yüzle
oluşturulan açının azalmasına sebep oluyorsa, pozitiftir.
2.14 Kayma Şekil Değiştirmesi
1. Elemanın yatay yüzleri dönmeyecek şekilde bir rijit cisim dönmesi
varsayılır.
2. Saatin tersi yönde ve saat yönünde toplam açının yarısı kadar rijit
cisim dönmesi varsayılır.
Bu derste, iki yüzle oluşturulan açıdaki değişimle ifade edilecektir.
Yani, rijit cisim hareketi ile ilgilenmiyoruz.
2.14 Kayma Şekil Değiştirmesi
Hooke kanunu
G: malzemenin rijitlik veya
kayma modülü
τxy ve γxy değerleri ile kayma gerilmesi-şekil değiştirme diyagramı
elde edilir. Bu, bir burulma testi ile gerçekleştirilebilir (Bölüm 3).
Kaymada akma mukavemeti, kopma mukavemeti gibi değerler,
çekmedekilerin yaklaşık yarısı kadardır.
2.14 Kayma Şekil Değiştirmesi
Orantı sınırı aşılmadığı sürece bu bağıntılar geçerlidir.
2.14 Kayma Şekil Değiştirmesi
En genel gerilme halinde homojen, izotropik
bir malzemenin genelleştirilmiş Hooke
kanununu ifade eden denklem grubu:
Örnek 2.10
Kayma modülü G = 630 MPa olan blok, iki
rijit yatay plakaya yapıştırılmıştır. Alttaki
plaka sabit olup üstteki plaka P yatay
kuvvetine maruzdur. Üstteki plaka
kuvvetin etkisi ile 1 mm hareket ettiğine
göre, (a) malzemedeki ortalama kayma
şekil değiştirmesini, (b) üst plakaya
uygulanan P kuvvetini belirleyiniz.
Örnek 2.10
a. Kayma şekil değiştirmesi.
b. Üst plakaya uygulanan kuvvet.
2.15 Eksenel Yüklemede Deformasyonun Ek İncelemesi;
E, ν ve G Arasındaki Bağıntı
Çubuk, P eksenel yükü sonucu x
doğrultusunda uzar, y ve z doğrultularında
daralır. Birim kenarlı kübik eleman bir
dikdörtgenler prizması şeklini alır.
Eleman yük ekseniyle 45˚’lik bir açı yaparsa,
gösterilen yüz bir paralelkenar şeklini alır. P
yükü, açıların her birinin arttığı veya azaldığı
miktara eşit bir kayma şekil değiştirmesine
sebep olur.
2.15 Eksenel Yüklemede Deformasyonun Ek İncelemesi;
E, ν ve G Arasındaki Bağıntı
P eksenel yükünün elemanın ekseniyle
45˚’lik bir açı yapan küpün dört yüzü
üzerinde eşit büyüklüklü normal ve kayma
gerilmelerine sebep olduğunu görmüştük.
2.15 Eksenel Yüklemede Deformasyonun Ek İncelemesi;
E, ν ve G Arasındaki Bağıntı
Burada, γ’=γm maksimum kayma şekil değiştirmesi ile yük
doğrultusundaki εx normal şekil değiştirmesi arasında bir bağıntı
elde edeceğiz.
2.15 Eksenel Yüklemede Deformasyonun Ek İncelemesi;
E, ν ve G Arasındaki Bağıntı
2.15 Eksenel Yüklemede Deformasyonun Ek İncelemesi;
E, ν ve G Arasındaki Bağıntı
Örnek Problem 2.5
380 mm
380 mm
Kalınlığı t=18 mm olan gerilmesiz bir
alüminyum plaka üzerine d=225 mm
çapında bir daire çizilmiştir. Plaka
düzleminde etkiyen kuvvetler σx=84 MPa ve
σz=140 MPa normal gerilmelere sebep
olmuştur. E=70 GPa ve ν=1/3 olduğuna göre,
(a) AB çapının uzunluğundaki değişmeyi, (b)
CD çapının uzunluğundaki değişmeyi, (c)
plağın kalınlığındaki değişmeyi, (d) plağın
hacmindeki değişmeyi belirleyiniz.
Örnek Problem 2.5
Hooke Kanunu.
380 mm
380 mm
Örnek Problem 2.5
Hooke Kanunu.
380 mm
380 mm
Örnek Problem 2.5
Hooke Kanunu.
380 mm
380 mm
2.17 Eksenel Yüklemede Gerilme ve Şekil Değiştirme
Dağılımı; Saint-Venant İlkesi
Şimdiye kadar, eksenel yüklü bir elemanda, normal
gerilmelerin elemanın eksenine dik herhangi bir kesitte
düzgün olarak dağıldığını varsaydık.
Bu varsayım, yüklerin uygulama noktaları civarında büyük
hataya neden olabilir.
Ancak, gerçek gerilmelerin belirlenmesi statikçe belirsiz bir
problemdir, elastisite teorisi ile belirlenebilir.
Bu dersteki analizimiz, yüklerin homojen, izotropik
malzemeden yapılmış bir elemana aktarılmasında iki rijit
plakanın kullanılması özel hali ile sınırlıdır.
2.17 Eksenel Yüklemede Gerilme ve Şekil Değiştirme
Dağılımı; Saint-Venant İlkesi
Kesit düzlemlerinin düzlem kalacağı ve bütün
parçaların aynı şekilde deforme olacağını
varsaymak uygundur, verilen uç koşulları ile
uyumludur.
Kauçuk model yükleme öncesi ve sonrasında
görülmektedir.
Gerilmeler orantı limitini aşmazsa, Hooke
kanunu geçerlidir.
2.17 Eksenel Yüklemede Gerilme ve Şekil Değiştirme
Dağılımı; Saint-Venant İlkesi
Öte yandan, tekil yük uygulandığında, çubuğun kenarlarına
yakın elemanlar yüklemeden fazla etkilenmezken, yükün
uygulama noktası yakınındaki elemanlar büyük gerilmelere
maruz kalır.
Uçlardan uzaklaştıkça, deformasyonlar kademeli olarak
eşitlenir ve daha düzgün bir şekil değiştirme ve gerilme
dağılımı oluşur.
2.17 Eksenel Yüklemede Gerilme ve Şekil Değiştirme
Dağılımı; Saint-Venant İlkesi
İleri mukavemet yöntemleri kullanılarak elde edilen gerilme
dağılımları.
2.18 Gerilme Yığılmaları
K: gerilme yığılması
katsayısı
Bir yapı elemanının bir delik veya ani bir kesit değişimi gibi bir
süreksizlik içermesi durumunda büyük yerel gerilmeler ortaya çıkar.
2.18 Gerilme Yığılmaları
Bütün gerilme yığılma katsayıları geometrik parametreler cinsinden
ifade edilebilir.
Örnek 2.12
r = 8 mm yarıçaplı fatura ile birleşen, ikisinin de kalınlığı 10 mm olan, 40
mm ve 60 mm genişliğindeki iki parçadan oluşan düz çelik çubuğun
güvenli bir şekilde taşıyabileceği en büyük P eksenel yükünü belirleyiniz.
Emniyet normal gerilmesi: 165 MPa.
Örnek 2.12
2.19 Plastik Deformasyonlar
Elemanın herhangi bir noktasındaki
gerilmeler malzemenin akma mukavemetini
aşarsa, plastik deformasyonlar ortaya çıkar.
Önceki kesimlerde bulunan sonuçların çoğu
geçerliliğini yitirir.
Gerçek gerilme-şekil değiştirme bağıntısını hesaba katan bir analiz
bu dersin kapsamı dışındadır.
Bununla birlikte, şekildeki gibi idealize edilmiş bir elastoplastik
malzeme ile plastik davranış incelenecektir.
2.19 Plastik Deformasyonlar
Gerilmeler akma mukavemetinden küçük
olduğu sürece, malzeme elastik davranır.
Akma mukavemetine ulaşılınca, akma
başlar ve malzeme sabit bir yük altında
plastik deformasyonunu sürdürür.
Yük kaldırılırsa, yükleme eğrisinin AY başlangıç kısmına paralel bir CD
doğru parçası boyunca boşaltma gerçekleşir.
Yatay eksenin AD parçası, plastik deformasyona karşı gelen şekil
değiştirmeyi gösterir.
Örnek 2.13
A = 60 mm2 kesit alanlı, L = 500 mm uzunluğundaki bir çubuk, elastik
bölgede E = 200 GPa elastisite modülüne sahip ve akma noktası σY = 300
MPa olan bir elastoplastik malzemeden yapılmıştır. Çubuk 7 mm
uzayıncaya kadar bir eksenel yüke maruz bırakılmış ve daha sonra yük
kaldırılmıştır.
Kalıcı deformasyon ne olur?
Örnek 2.13
A = 60 mm2, L = 500 mm, elastik
bölgede E = 200 Gpa, akma noktası
σY = 300 MPa. Çubuk 7 mm
uzayıncaya kadar bir eksenel yüke
maruz bırakılmış ve daha sonra
yük kaldırılmıştır. Kalıcı
deformasyon ne olur?
Örnek 2.14
Tüp
Plaka
Çubuk
0.75 m
Çubuk: Aç=48 mm2, Eç=210 GPa, (σç)Y=250 MPa,
Tüp: At = 62 mm2, Et = 105 Gpa, (σt)Y=310 MPa.
Tüp ve çubuğun elastoplastik olduğu varsayılıyor. Çubuk-tüp sisteminin P
yükü altında yük-yer değiştirme diyagramını çiziniz.
Örnek 2.14
Örnek 2.14
Örnek 2.15
Tüp
Plaka
Çubuk
0.75 m
Önceki örnekte uygulanan P yükü sıfırdan 25 kN’a kadar arttırılıp tekrar
sıfıra düşürüldüğüne göre, (a) sistemin maksimum uzamasını, (b) yük
kaldırıldıktan sonraki kalıcı deformasyonu belirleyiniz.
Örnek 2.15
Tüp
Plaka
Çubuk
0.75 m
a. Maksimum Uzama.
Örnek 2.15
b. Kalıcı Deformasyon.
*2.20 Artık Gerilmeler
Bir yapının çeşitli parçalarındaki gerilmeler, yük kaldırıldıktan sonra
genellikle sıfıra düşmez.
Bu gerilmelere artık gerilmeler denir.
Gerçek yapılarda hesaplamalar oldukça kapsamlı ve karmaşık olsa da bir
örnekle yöntemin ana hatları anlatılacaktır.
Örnek 2.16
Tüp
Plaka
Çubuk
0.75 m
Önceki örneklerde uygulanan P yükü sıfırdan 25 kN’a kadar arttırılıp
tekrar sıfıra düşürüldükten sonra, çubuk ve tüpteki gerilmeleri
belirleyiniz.
Örnek 2.16
*2.20 Artık Gerilmeler
Sıcaklık değişimleri de artık gerilmelere sebep olabilir.
Örnek Problem 2.6
ABC kirişi rijit ve başlangıçta yataydır.
Yavaşça arttırılan Q yükü ile B noktasından
aşağıya doğru 10 mm yer değiştirmekte ve
daha sonra yük kaldırılmaktadır. Çubuklarda
E = 200 GPa ve σY = 300 MPa olan
elastoplastik çelik kullanıldığına göre,
(a) Q’nun gerekli maksimum değerini ve
kirişin karşı gelen konumunu,
(b) kirişin son konumunu belirleyiniz.
Örnek Problem 2.6
Statik.
Elastik Etki.
Örnek Problem 2.6
Elastik Etki.
Plastik Deformasyon.
Örnek Problem 2.6
Boşaltma.