zxczx

İŞARET VE SİSTEMLERİN Z
DÖNÜŞÜMÜ ANALİZİ
• Ayrık zamanlı işaret ve sistemlerin zdönüşümü analizi ele alınacaktır.
• Doğrusal zamanla değişmez ayrık zamanlı
sistemlerin transfer fonksiyonu tanıtılarak,
işaret ve sistemler için z-dönüşümü
tanımlanmaktadır.
• Bir dizi için z dönüşümünün hesaplanması
• Z-dönüşümünün yakınsaklık bölgesi, kutup ve
sıfırlar tanıtılacaktır.
TRANSFER FONKSİYONU
• Doğrusal zamanla değişmez bir sistemin dürtü
yanıtı h[n] ile gösterilmektedir. Sisteme x[n]= Z n
şeklinde tanımlanmış daimi bir üstel giriş
uygulandığında sistemin çıkışı:
yn  xn hn 

 hk xn  k  
k  
olarak bulunmaktadır.

 hk z
k  
nk
z

n
k


h
k
z

k  
•

 hk z
toplamı, bağımsız değişken n’ye bağlı
olmayıp sadece sistemin dürtü yanıtı ile giriş
işaretinin z değeri tarafından belirlenen bir
katsayısıdır. Sistemin dürtü yanıtı ve xn  z n
şeklindeki giriş işaretinin z değerine bağlı bu
katsayı H(z) ile gösterildiği taktirde, h( z)   h[k ]z
• Şeklinde tanımlanmaktadır.
k
k  

k  
k
• Doğrusal zamanla değişmez ayrık zamanlı bir
n


x
n

z
sisteme
şeklinde bir giriş
uygulandığında sistem çıkışı
yn  H ( z ) z n
• Şeklinde oluşmaktadır.
• Burada H(z), sistemin transfer fonksiyonu
olarak adlandırılmaktadır.
Z-DÖNÜŞÜMÜ
• Transfer fonksiyonu tanımından yola çıkılarak
bir işaretin z-dönüşümü
X z    xnz
• Olarak tanımlanmaktadır. Dürtü yanıtının zdönüşümü doğrudan sistemin transfer
fonksiyonunu vermektedir. Burada z, karmaşık
(kompleks) değerli bir değişkeni
göstermektedir.

n  
n
• x[n] işaretinin nedensel olduğu durumlarda
x[n]=0 , n<0 olduğundan, işaretin z dönüşümü

X z    xnz n
n 0
• olmaktadır.
Örnek 1:
• x(n) =δ (n) dizisinin z –dönüşümünü bulalım.
– Doğrudan z-dönüşümünün tanımı kullanılarak,
x(n) =δ (n) işaretinin z-dönüşümü
X ( z) 

 xnz
n  
n


n
0





n
z


0
z
1

n  
– Olarak bulunmaktadır.
Örnek 2:
• x(n) = u(n) dizisinin z –dönüşümünü bulalım.
– Bu yüzden,
X ( z) 
1
1
z


1  z 1 1  1 z  1
z
z 1  1  z  1
Örnek 3:
• Sağ taraflı üstel x(n) = a n u(n) dizisinin z –
dönüşümünü bulalım.
– Bu yüzden,
– X ( z)  1
1  az 1

1
1
a
z

z
za
az 1  1  z  a
Örnek 4:
• Sol taraflı bir diziye örnek olarak aşağıdaki
diziyi ele alalım.
0
x ( n)   n
 b
n0
n  1
– x(n) nin z -dönüşümü için aşağıdaki ifade
yazılabilir.
1
 b 1 z
z
z
X ( z)  1 



1
1
1 b z 1 b z  b  z z  b
b 1 z  1  z  b
YAKINSAKLIK BÖLGESİ
• Belirli bir x[n] işaretinin z-dönüşümünün
hesaplanabildiği ve sonlu X(z) değerlerinin
elde edildiği z değerleri aralığı yakınsaklık
bölgesi olarak adlandırılır.
• Bir işaretin z-dönüşümünün sonlu olması için
X ( z) 

n


x
n
z


n  
• Olmalıdır.

n


x
n
z


n  

n


x
n
z


n  
• Yakınsaklık bölgesi, karmaşık sayı düzleminde
çemberler şeklinde oluşmaktadır.
|z|>a
|z|<a
a<|z|<b
• İki taraflı diziye örnek olarak
n

a

x ( n)   n

 b
n0
n0
• dizisinin z -dönüşümünü bulalım.
Yakınsaklık Bölgesinin Özellikleri
• Yakınsaklık bölgesi z-düzlemindeki bir halka
veya disk şeklindedir.
• x[n]’in Fourier dönüşümü, sadece x[n]’in
yakınsaklık bölgesi birim çemberi kapsadığı
taktirde hesaplanabilmektedir.
• Yakınsaklık bölgesi kutupları kapsayamaz.
• x[n] sınırlı uzunlukta bir dizi ise, yani x[n]
herhangi bir N1<n<N2 aralığının dışında sıfır
ise, yakınsaklık bölgesi tüm z bölgesidir.
• x[n] sağ taraflı bir dizi ise, yani x[n] dizisi
herhangi bir n<N1 için sıfır değerinde ise,
yakınsaklık bölgesi en dıştaki kutuptan dışarıya
doğrudur. (z=∞ dahil olabilir.)
• x[n] sol taraflı bir dizi ise, yani x[n] dizisi
herhangi bir n>N2 için sıfır değerinde ise,
yakınsaklık bölgesi en içteki kutuptan içeriye
doğrudur. (z=0 dahil olabilir.)
• x[n] çift taraflı bir dizi ise, yani x[n] sonsuz
uzunlukta bir dizi ise, yakınsaklık bölgesi içten
ve dıştan bir kutup ile sınırlandırılmış bir halka
şeklinde olmaktadır.
• Yakınsaklık bölgesi mutlaka bağlantılı olmalıdır.
Z-DÖNÜŞÜMÜNÜN ÖZELLİKLERİ
• Doğrusallık:
– x1 (n) ve x2 (n) herhangi iki dizi ve z-dönüşümleri
Z x1 n  X 1 z 
Z x2 n  X 2 z 
olarak verilsin. a ve b herhangi iki sabit katsayı
olmak üzere aşağıdaki eşitlik elde edilir.
X 3 z   Z ax1 n  bx2 n  aX1 z   bX 2 z  R.O.C.  R.O.C.
1
Z ax1 n   bx2 n  

 ax n  bx nz
n  
1
2
n

 a  x1 n z
n  
n

 b  x2 n z n
n  
 aX1 z   bX 2 z 
2
Örnek
xn  0.5n  2un İşaretinin z-dönüşümünü bulalım
xn  0.5n  2un
xn  0.5n un  2un
olarak yazıldığı
taktirde 0.5 unve un dizilerinin doğrusal birleşimi şeklinde oluşmaktadır.
Z- dönüşümünün doğrusallık özelliği kullanılarak işaretin z-dönüşümü
n
X ( z) 
1
1

2
1
1
1
.5
z
1z
0
R.O.C: z  0.5
R .O.C: z 1
olarak bulunmaktadır.
Yakınsaklık bölgesi her iki işaretin yakınsaklık bölgesinin kesişimi olmaktadır.
Bu nedenle işaretin z-dönüşümü
1
1
R.O.C: z 1
X
(
z
)


2
1
1
Olarak elde edilmektedir.
1  0.5 z
1 z
• Öteleme:
– A.) Z xn  m  z m X z 
– Eğer x(n) dizisi sağ taraflı ise, yani n<0 için x(n)=0
olursa, pozitif m tamsayısı için aşağıdaki
özelliklerin bulunduğu gösterilebilir.
– B.)
m 1

k 
Z xn  m  z  X z    x(k ) z 
k 0


m
– C.) Z xn  m  z m X z 
• İspat A B C …
Örnek
• Geciktirilmiş impuls dizisi
xn   n  m
için,
X z   Z  n  m  z  m
– bulunur. 0<|z|  yakınsaklık bölgesidir. z=0’da
yakınsamaz.
• İlerletilmiş impuls dizisi xn   n  m için,
X z   Z  n  m  z m
– bulunacaktır. 0  z   yakınsaklık bölgesidir.
z=∞’da yakınsamaz.
• Karmaşık türev:
Z nxn    z
• İspat
dX ( z )
dz


dX ( z ) d  

d

   x[n]z n    x[n] z n    x[n]  nz n1
dz
dz  n
 dz
 n
 n



dX ( z )
  z 1  nx[n]z n
dz
n  
• Elde edilmektedir. Bu ifade
şeklinde yazıldığında,
dX ( z )

z
• dz   nx[n]z elde edilmektedir.

n  
n
Örnek
•
x[n]  na nu[n]
–
işaretinin z-dönüşümünü bulalım
x1[n]  a nu[n]
X1 ( z) 
1
1  az 1
işaretinin z-dönüşümü
R.O.C.: |z|>|a| bulunmaktadır.
– x[n]  nx1[n] ilişkisinden dolayı x[n] işaretinin zdönüşümü
dX 1 ( z )
d  1 
az 1
X ( z)   z
 z 

dz
dz  1  az 1  1  az 1


2
– R.O.C.: |z|>|a| olarak elde edilmektedir.
Sıfır/Kutup Gösterimi
• Z-dönüşümünün, z değişkenine bağlı iki
polinomun oranı olarak
X ( z) 
S ( z)
K ( z)
• Şeklinde yazılabildiği durumlar, işaret ve
sistemlerin analiz ve sentezinde sağlanan
kolaylıklar nedeniyle tercih edilmektedir.
• Sıfırlar ??
• Kutuplar ??
• X(z)’nin kutupları z-dönüşümünün sonsuz
olduğu z değerlerini belirttiğinden, yakınsaklık
bölgesinin tanımı itibariyle, yakınsaklık bölgesi
hiçbir şekilde bir kutup içerememektedir.
• Sıfırların ve kutupların z-dönüşümü hakkında
verdiği bilgi ve yakınsaklık bölgesi ile kutuplar
arasındaki ilişki dolayısıyla sıfırların ve
kutupların karmaşık sayı düzleminde
gösterimine yaygın olarak başvurulmaktadır.
• Karmaşık sayı düzleminde sıfır ve kutupları
gösteren grafikler kutup-sıfır grafiği olarak
adlandırılmaktadır. Kutup-sıfır grafiğinde
kutuplar ‘x’, sıfırlar ‘o’ ile gösterilmektedirler.
Örnek
•
1  0.64 z 2
X ( z) 
1  0.2 z 1  0.08 z 2
için kutup-sıfır grafiğini çizelim
– Pay ve payda çarpanlarına ayrıldığında
1  0.8z 1  0.8z 
X ( z) 
1  0.4 z 1  0.2 z 
1
1
1
1
– Elde edilmektedir. Sıfırlar
da k1  0.4 k2  0.2
– Grafik ???
s1  0.8 s2  0.8, kutuplar
TERS Z-DÖNÜŞÜMÜ
• Basit bir ters z-dönüşümü ifadesi mevcut
değildir. Bu nedenle, ters z-dönüşümü için
genelde X(z)’nin bilinen dönüşüm biçimleri
şekline getirilmesi amaçlanmaktadır.
Kısmi Kesirlere Açılım
• Z-dönüşümü X(z)’nin, iki polinomun oranı
şeklinde rasyonel biçiminde olması
durumunda bu yöntem kullanılır. Eğer, pay
polinomunun derecesi paydanın derecesinden
daha küçük ve kutupların tamamı birinci
dereceden ise,
N
A( z )
X ( z) 
 X 1 ( z )  X 2 ( z )  ...   X k ( z )
B( z )
k 1
ve
N
x(n)  x1 (n)  x2 (n)  ...   xk (n)
k 1
yazılabilir.
•
, ,… tek kutuplu z-dönüşümleridir. Zdönüşümünün doğrusallık özelliğinden;
X1 ( z) X1 ( z)
x ( n)  Z
1
N
X ( z)   Z 1X k ( z)
k 1
•
, X(z)’nin tek katlı kutuplarını göstermek
üzere,
pk
N
Rk
1
k 1 1  pk z
X ( z)  
• Ayrıca her bir terimin ters z-dönüşümü bir
üstel dizi olacağından, X(z)nin ters zdönüşümü: x(n)   R p u(n)
N
k 1
k
n
k
Örnek
z
X ( z) 
1 
1

 z   z  
2 
4

Seri Açılımı
• Z-dönüşümünün tanımından yola çıkarak X(z),
bir seri şeklinde açıldığında
X ( z)   x[2]z 2  x[1]z1  x[0]z 0  x[1]z 1  x[2]z 2  
• Elde edilmektedir. Bu ifade kullanılarak ters zdönüşümü
xn   x[2] n  2  x[1] n  1  x[0] n  x[1] n 1  x[2] n  2  
Örnekler
• …