Analiz kitabımızın örnek sayfaları için TIKLAYINIZ

Analiz kitabımızın örnek sayfaları için TIKLAYINIZ

İÇİNDEKİLER
Ön Söz ..................................................................................... 2
Polinomlar ................................................................................ 3
II. ve III. Dereceden Denklemler ............................................. 11
Parabol................................................................................... 19
II. Dereceden Eşitsizlikler ....................................................... 28
Trigonometri ........................................................................... 38
Logaritma ............................................................................... 59
Toplam ve Çarpım Sembolü .................................................. 71
Diziler ..................................................................................... 79
Özel Tanımlı Fonksiyonlar ..................................................... 96
Limit ve Süreklilik ................................................................. 113
Türev Alma Kuralları ............................................................ 136
Türevin Geometrik Yorumu .................................................. 160
Kutupsal Koordinatlar ........................................................... 188
Belirsiz İntegral .................................................................... 196
Belirli İntegral ve Uygulamaları ............................................ 215
Seriler ve Yakınsaklık Testleri .............................................. 244
Genelleştirilmiş (Has Olmayan) İntegraller ........................... 263
Laplace Dönüşümleri ........................................................... 268
Çok Değişkenli Fonksiyonlar ................................................ 272
Katlı İntegraller ..................................................................... 286
Genel Tarama Sınavı ........................................................... 293
ÖABT Analiz
Seriler ve Yakınsaklık Testleri
olur. lim Sn = 2 olduğundan kısmi toplamlar dizisi
Tanım: (an ) bir reel sayı dizisi olmak üzere,
(Sn) diğer bir ifadeyle verilen seri yakınsaktır.

 an  a1  a2  a3  ...  an  ...
Örnek:
n 1

toplamına seri denir. (an ) e serinin genel terimi,
 n serisinin yakınsaklık durumunu inceleyelim.
n 1
serinin ilk n teriminden meydana gelen
Verilen serinin kısmi toplamlar dizisi
Sn  a1  a2  ...  an
Sn = 1 + 2 + 3 + … + n
toplamına serinin n. kısmi toplamı,
(Sn )  (S1, S2, S3,...,Sn,...)

dizisine de serinin kısmi toplamlar dizisi, kısmi top-
n(n  1)
2
limSn = + olup Sn dizisi ıraksak olduğundan verilen
lamlar dizisinin limitine de serinin toplamı denir.
seri ıraksaktır.
Tanım: Kısmi toplamlar dizisi yakınsak olan seriye
Teorem: Yakınsak bir serinin genel teriminin limiti
yakınsak seri, yakınsak olmayan seriye de ıraksak
sıfırdır. Ancak bunun karşıtı doğru değildir. Yani
seri denir.
genel terimin limiti sıfır olduğu halde seri yakınsak
olmayabilir. Aynı zamanda genel terimin limiti sıfır
Örnek:
değilse seri ıraksaktır.

n 1
 1
  2 
serisinin yakınsak olup olmadığını bulalım.
Örnek:
n 1
Verilen serinin kısmi toplamlar dizisi,

n 1
 1
  2 
serisinin yakınsak olduğunu göstermiştik.
n 1
2
Sn  1 
n 1
1  1
 1

 ...   
2  2 
2
Gerçekten verilen serinin genel teriminin limiti,
n 1
 1
lim  
n   2 
n
 1
1  
2

1
1
2
dır.
 1 n 
 2   1   
 2  
244
0
ÖABT Analiz
Seriler ve Yakınsaklık Testleri
Örnek:

Tanım: (an ) bir geometrik dizi olmak üzere,
n
 n2

 an
serisinin yakınsak olup olmadığını bulalım.
n 1
n 1
serisine geometrik seri denir.
Verilen serinin genel teriminin limiti,
lim
n

 a1 rn1
n
 1 0
n2
geometrik serisinin kısmi toplamlar dizisi-
n 1
nin genel terimi,
olduğundan verilen seri ıraksaktır.
Sn  a1 
Örnek:
1 rn
1 r
dir.

n2
 ln  n  3  serisinin yakınsaklık durumunu incelen 1
i)
yelim.
r  1 ise limSn 
a1
olduğundan verilen seri
1 r
yakınsaktır.
Verilen serinin genel teriminin limiti,
ii)
n2
lim ln 
  ln1  0
n  n  3 
r  1 ise limSn   olduğundan verilen seri
ıraksaktır.
Örnek:
olduğu halde bu seri ıraksaktır. Çünkü bu serinin
kısmi toplamlar dizisinin genel terimi,


n0
Sn  ln
3
4
n2
 ln  ...  ln 

4
5
n3
2n 1
serisinin toplamını bulalım.
3n


n0
3 4 n2
 ln   

4 5 n3
2n1
2
3n


n0
n
2
3
 
n
 2  2 2

2
 2 1      ...     ...
3
 3  3 

 3 
 ln 

n3
 2
1
1
olup limSn = - olduğundan verilen seri ıraksaktır.
=6
245
2
3
ÖABT Analiz
Seriler ve Yakınsaklık Testleri
Örnek:

 2(2
n
olduğundan alanları toplamı
2
)
3
3
6 3 3 3  2 


 ...
4
4
4
serisinin değerini bulalım
2
n 1

n
 1
 
1
 1
 
2
 2 2   22 .2 2  ... 2
n
 1
 
2
2

62 3 
1  1
  1      ... 


4  4 4

...
n 1


1  1
 
22  2 
2
2
n
 1
 
 ...  2 2 
 ...
9 3
1
1
1
4
 9 3
4
3
n1
 1

1
1 1 ...   ... 
 2

2




2
2
 12 3 br 2

1 1

1
2
1
2
2
bulunur.
NOT: i) r  1 olmak üzere,
=2
Örnek: Bir kenarı 6 br olan bir eşkenar üçgenin

T   n r n 1
kenarlarının orta noktaları birleştirilerek yeni bir
n 1
üçgen elde ediliyor. Aynı işlem elde edilen bütün
serisinin toplamını bulalım.
üçgenlere uygulanarak sonsuz sayıda üçgenler elde
ediliyor. Bu üçgenlerin alanları toplamının kaç br2
T = 1 + 2r + 3r2 + 4r3 + …
olduğunu bulalım.
eşitliğinde her iki taraf r ile çarpılır ve taraf tarafa
çıkarılırsa
T = 1 + 2r + 3r2 + 4r3 + …
T.r = r + 2r2 + 3r3 + …
T - T . r = 1 + r + r2 + r3 + …
İç içe çizilen üçgenler eşkenar ve kenar uzunlukları
6, 3,
T(1  r) 
3
, ...
2
246
1
1 r
ÖABT Analiz
T
Seriler ve Yakınsaklık Testleri
Örnek:
1
(1  r)2

1
 n!
olacağından
serisinin yakınsaklığını inceleyelim.
n 1


1
 n rn1  (1 r)2
n 1
 1
  2 
n 1
serisinin yakınsak olduğunu göstermiştik.
n 1
n 1
dir.
 n  N+ için
Örnek:

n
 2n1
1  1

n!  2 

olduğundan verilen
1
 n!
n 1
serisi de yakınsaktır.
Teorem (p testi)
serisinin toplamını bulalım.
n 1



n 1
n 1

1
 np
serisinin yakınsaklık durumunu inceleyelim.
n 1
n
 1
  n 
n 1
2
2
n 1


serisi ıraksaktır.
1
serisi yakınsaktır.
n 1
1
 1
1  2 


1
 np
i) p  1 ise
2
ii) p  1 ise

 np
n 1
=4
Örnek:
Pozitif Terimli Seriler İçin Yakınsaklık Testleri


Teorem (Karşılaştırma Testi)


n 1
n 1
n 1



n 1
n 1
n 1
 bn
1
 n3  1

serisi ıraksak ise
1
serisinde p  1 olduğundan seri ıraksaktır.
Örnek:
 bn serisi yakınsak ise  an serisi de yakınsaktır.
 an
1
olduğundan seri ıraksaktır.
2
n 1

ii)
serisinde p 
 n2
an  bn olsun.

n
Örnek:
 an ve  bn pozitif terimli iki seri ve  n  N+ için
i)
1
n 1
serisi de ıraksaktır.
saktır.
n 1
247
serisinde p  3 olduğundan seri yakın-
ÖABT Analiz
Seriler ve Yakınsaklık Testleri
Örnek:
Teorem (Limit Testi):

 an
n 1

3n
 (n  1)!

pozitif terimli bir seri ve lim n an  L olsun.
serisinin yakınsaklık durumunu inceleyelim.
n 1
n
3n 1
3
(n  2)!
lim
 lim
 0 1
n 
n  n  2
3n
(n  1)!
i) 0  L < + ve  > 1 ise seri yakınsaktır.
ii) L > 0 ve   1 ise seri ıraksaktır.
olduğundan verilen seri yakınsaktır.
Örnek:
Teorem (Cauchy Kök Testi)

n
 2n3  1 serisinin karakterini inceleyelim.
n 1

 an
n 1
lim n2 
n
n
1
 ve   2  1 olduğundan verilen
2n3  1 2
pozitif terimli bir seri ve lim n an  L olsun.
n
Bu durumda,
seri yakınsaktır.
i) L  1 ise
Örnek:
ii) L  1 ise

 an
serisi yakınsaktır.
n 1

 an
serisi ıraksaktır.
n 1

iii) L = 1 ise şüpheli hâl vardır.
n
 2n3  1 serisinin karakterini inceleyelim.
n 1
lim n 
n
NOT: Şüpheli hâl durumlarında Kummer ve
Raabe testleri bize yardımcı olabilir.
n
1
 ve   1  1 olduğundan verilen
3n2  4 3
seri ıraksaktır.
Teorem (Kummer Testi)
Teorem (D’alembert Oran Testi)

 an

an1
 L olsun.
 an pozitif terimli seri ve nlim
 a
n 1
n
n 1
pozitif terimli seri, (bn ) de pozitif terimli bir


a
dizi ve lim  bn  n  bn1   L olsun.
n
an1


i) L < 1 ise seri yakınsaktır.

i) L > 0 ise
ii) L > 1 ise seri ıraksaktır.
 an
n 1
iii) L = 1 ise şüpheli durum vardır.
248
serisi yakınsaktır.
ÖABT Analiz

Seriler ve Yakınsaklık Testleri
1
b
ii) L < 0 ve
n 1

serisi ıraksak ise
 an

serisi de
ii) L > -1 ise
k 1
n
 an
ıraksaktır.
n 1
ıraksaktır.
Örnek:
Örnek:



1.5.9...(4n  3)
 4.8.12...4n serisinin karakterini inceleyelim.
n 1
n 1
2.5.8...(3n  1)
serisinin yakınsaklığını inceleye3.6.9...3n
lim.
an
1.5.9...(4n  3) 4.8.12...(4n  4)


an1
4.8.12...4n
1.5.9...(4n  1)

lim
an1 2.5.8...(3n  1)
3.6.9...3n


an
3.6.9...(3n  3) 2.5.8...(3n  1)
4n  4
4n  1

an
 1 olduğundan oran testi uygulanamaz.
an1
lim
bn  n alarak Kummer testini uygulayalım.
3n  1
3n  3
an1
 1 olduğundan şüpheli hâl vardır. Raabe
an
testini uygularsak
bn 
an
4n  4
 bn1  n 
 (n  1)
an1
4n  1
a

2n
lim n   n1  1  lim
n 3n  3
a
 n

n

n  1
4n  1


a
1
lim  bn  n  bn1     0
n
an1
4




ve
1

1
 b  n
n 1
n
2
 1
3
olduğundan verilen seri ıraksaktır.
n 1
(harmonik seri) ıraksak olduğundan verilen seri
Teorem (İntegral Testi)
ıraksaktır.
(an ) pozitif terimli monoton azalan bir dizi ve f fonk-
Teorem (Raabe Testi)
siyonu da [1, +) aralığında monoton azalan bir

 an pozitif
n 1
fonksiyon olsun.  n  N+ için
a

terimli bir seri ve lim n   n1  1  L
n
a
 n

f(n)  an
olsun.

i) L < -1 ise
 an yakınsaktır.
n 1
249
ÖABT Analiz
Seriler ve Yakınsaklık Testleri

olmak üzere,
 an serisinin
Teorem (Leibnitz Testi):
yakınsak olması için
n 1
 n  N için
+
gerek ve yeter şart,
n
0  an1  an ve liman  0 ise
 f(x)dx
1


n 1
( 1)n1
serinin
n 1
yakınsaklığını inceleyelim.
dizisinin sınırlı olmasıdır.
an 
Örnek:
1
,  n  N+ için an1  an ve liman  0 olan 1
cağından verilen seri yakınsaktır.

 2n en
2
serisinin karakterini inceleyelim.

n 1
Tanım: Terimleri
 an
serisinin terimlerinin mutlak
n 1
f(x)  2x e x
2

fonksiyonu x  1 için monoton aza-
değerinden oluşan

n 1
landır. Verilen seriye integral testi uygulanırsa,
an
serisi yakınsak ise

 an serisi
n
n 1
n
x
x
 2x e dx  e I
2
2
ve

n 1

 an yakınsak
n 1

1
1

de mutlak yakınsaktır.

an
ıraksak ise bu durumda
 an serisi
n 1
şartlı yakınsaktır.
1 1
 2
e en
Teorem: Mutlak yakınsak her seri yakınsaktır.
1 1
1
0  2 
e en
e
Örnek:
olduğundan verilen seri yakınsaktır.


n 1
( 1)n1
serisinin yakınsaklığını inceleyelim.
n2
ALTERNE SERİLER
( 1)n1
1
 2 ve
n2
n
Tanım: (an ) pozitif terimli bir dizi olmak üzere,

1
 n2
n 1
serisi yakınsak olduğundan verilen seri de mutlak

 (1)n1 .an
yakınsaktır.
n 1
serisine alterne seri denir.
250
ÖABT Analiz
Seriler ve Yakınsaklık Testleri
Örnek:
serisinin yakınsaklık yarıçapı, seriyi yakınsak yapan
x noktalarının oluşturduğu aralığa da yakınsaklık


n 1
n 1
( 1)
n
aralığı denir. Yakınsaklık aralığı aşağıdaki teorem
serisinin yakınsaklığını inceleyelim.
yardımıyla bulunabilir.
( 1)n1 1
 ve
n
n

1
n
Teorem (Cauchy - Hadamard)
n 1

n c  1 olsun.
 cn (x  a)n kuvvet serisi ve nlim
n

serisi ıraksak olduğundan verilen seri şartlı yakın-
n 1
saktır.
i)
KUVVET SERİLERİ
L  0 için R 
1
L
olduğundan
verilen
seri
x  a  R için yakınsaktır.
Tanım:
ii) L = 0 için R = + olduğundan verilen seri her x

 cn (x  a)n  c0  c1 (x  a)  c2(x  a)2 ...  cn(x  a)n  ...
için yakınsaktır.
n 1
şeklindeki serilere kuvvet serileri denir.
iii) x  a 
1
ise verilen seri ıraksaktır.
L
c0, c1, c 2, ...,cn sayıları da kuvvet serisinin katsayı
larıdır.
Örnek:

n 1

n 0


n 1
serisinin yakınsaklık yarıçapını ve
yakınsaklık aralığını bulalım.
Örnek:

xn
n
1
c n 1
n
lim
 lim  1
1
n  c
n 
n
n
xn 1 x x 2 x 3
  

 ...
n! 0! 1! 2! 3!
(x  3)n
(x  3)2 (x  3)3
 x 3

 ...
n
2
3
=1=L
olduğundan serinin yakınsaklık yarıçapı R 
serileri kuvvet serileridir.
1
1
L
dir. O halde seri x  1 ise -1 < x < 1 için yakınsak-
Tanım:
tır. Şimdi de verilen serinin x = -1 ve x = 1 için ya
 cn (x  a)n kuvvet serisinin
kınsak olup olmadığına bakalım.
x  a  R için yakın-
n 1
sak olduğu en büyük pozitif R reel sayısına kuvvet
251
ÖABT Analiz


n 1
Seriler ve Yakınsaklık Testleri
xn
serisinde x = -1 alınırsa
n


n 1
f (x)  a1  2a2 (x  c)  3a3 (x  c)2  4a4 (x  c)3  ...
( 1)n
serisi elde
n
f (c)  a1  1!.a1
edilir. Elde edilen seri Leibnitz kriteri gereğince yakınsaktır. Dolayısıyla x = -1 yakınsaklık aralığına
f (x)  2a2  3.2a3 (x  c)  4.3a4 (x  c)2  ...
aittir.


n 1
xn
serisinde x = 1 alınırsa
n

1
n
f (c)  2a2  2!.a2
harmonik serisi
n 1
f (x)  3.2a3  4.3.2a4 (x  c)  ...
elde edilir. Bu serinin ıraksak olduğunu söylemiştik.
Dolayısıyla -1 yakınsaklık aralığına dahil değildir. O
f (c)  3.2.a3  6!.a3
halde verilen serinin yakınsaklık aralığı [-1, 1) dir.

Örnek:

n0
(x  2)n
n!
…………………………………..
serisinin yakınsaklık aralığını
f (n) (x)  n.(n  1)(n  2)...3.2.1.an
bulalım.
R
f (n) (c)  n!.an
1
1

L lim c n 1
n  c
n
an 
f (n) (c)
n!
1

lim
n 
1
n 1
olduğundan

f(x)  
=
n 0
olduğundan verilen serinin yakınsaklık aralığı (-,+ )
f (n) (c)
 (x  c)n
n!
serisi elde edilir. Bu seriye c noktasında f fonksiyonu
dur.
tarafından üretilen Taylor Serisi adı verilir
TAYLOR VE MACLAURİN SERİLERİ
Burada özel olarak c = 0 alınırsa

f(x)   an (x  c)n kuvvet serisi ve f(x), c noktasını

f(0)  
n0
n0
içeren bir aralıkta n. mertebeden türevlenebilir olsun.

f (n) (0). xn
n!
serisi elde edilir. Bu seriye de Maclaurin Serisi adı
f(x)   an (x  c)
n
verilir.
n0
f(x)  a0  a1(x  c)  a2 (x  c)2  a3 (x  c)3  a4 (x  c)4  ...
f(c) = 0
252
ÖABT Analiz
Seriler ve Yakınsaklık Testleri
Örnek: f(x) = lnx fonksiyonunun x = 1 noktasında
f (x)  ex ise f (0)  1
ürettiği Taylor Serisini bulalım.
…
f(x) = lnx ise f(1) = 0
f (n) (x)  ex ise f (n) (0)  1
f (x) 
1
ise f (1)  1
x

ex  
n0
1
ise f (1)  1.1!
x2
f (x)  

f (x)  

( 1).( 2)
ise f (1)  ( 1)2 .2!
x2
n0

……………………………………………
f (n) (x)  
( 1).( 2)...( n)
ise f (n) (1)  ( 1)n1 .(n  1)!
xn1
f (n) (0) xn
n!
xn
n!
1 x x2
 
 ...
0! 1! 2!
NOT: e 
1 1 1
   ...
0! 1! 2!
olacağından
Örnek:

ln x  
n0
f (1)(x  1)
n!
(n)
n


n 0


n 1


n 1
n 1
( 1)
.(n  1)!.(x  1)
n!
3n
 e3
n!
n
Örnek:
( 1)n1 .(x  1)n
n

1
 (n  2)!
serisinin toplamını bulalım
n 1
bulunur.

1
1
1
1
 (n  2)!  3!  4!  5!
n 1
Örnek: f(x) = ex fonksiyonunun Maclaurin serisini
bulalım.
 e
1 1 1
 
0! 1! 2!
f(x)  ex ise f(0)  1
 e
f (x)  ex ise f (0)  1
253
5
2
ÖABT Analiz
KONU TESTİ


22n
 5n1
1.
Seriler ve Yakınsaklık Testleri

4.
n0
n0
32n  23n
12n
serisinin değeri kaçtır?
serisinin toplamı kaçtır?
A) 5
B) 10
C) 15
A) -1
D) 20
B) 0
3
serisinin toplamı kaçtır?
 1  x 
n0
A)
serisinin toplamı kaçtır?
A) 3x
B) x
C)
x
3
D) 1
E)
2
3
B) 1
 1
 
2

  5
n 1
5
B)
5
5
4
D)
3
2
E)
4
3
n(8n  5n )
10n
serisinin toplamı kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
4

6.
n
n 1
A)
C)
3
x

3.
2
n2
n

E) 7
 n2  1
5.
x > 3 olmak üzere,

D) 3
E) 25

2.
C) 1
C) 5
A) 12
D)
5
5
E) 25
254
B) 16
C) 18
D) 21
E) 24
ÖABT Analiz
7.
KONU TESTİ
h metre yükseklikten bırakılan bir top yere her
vuruşunda bir önceki düşüş yüksekliğinin
Seriler ve Yakınsaklık Testleri
10. x dar açı olmak üzere,
2
ü
3

 cos2n x
n 1
kadar zıplamaktadır.
serisinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Topun düşeyde aldığı toplam yol 135 metre
A) cot2x
olduğuna göre, h kaçtır?
A) 27
8.
B) 36
C) 45
D) 48
B) tan2x
D) cosec2x
E) 60
C) sec2x
E) cos4x
Kenar uzunlukları 12 ve 16 cm olan bir dikdörtgenin kenarlarının orta noktaları birleştirilerek
yeni bir dörtgen elde ediliyor. Aynı işlem elde
11. x  R+
edilen bütün dörtgenlere uygulanarak sonsuz
sayıda dörtgen elde ediliyor. Elde edilen bu


dörtgenlerin çevreleri toplamı kaç cm dir?
A) 112
B) 128
C) 132
D) 156
n0
E) 192
n
3
 1 x 
 1 x   4


olduğuna göre, x kaçtır?
A)
1
2
B)
2
3
C)
3
2
D) 2
E)
5
2
9.
12.
1
1
1
1


 ... 
 ...
2 24 246
2  4  6  ...  2n
serisinin değeri kaçtır?
Şekilde ABC dik üçgeninde
AB  10 br ve
A)
ˆ  60o dir.
m(ACB)
[BH1], [H1 H2 ], [H2 H3 ], ... sonsuz sayıdaki yüksekliklerin toplamı kaçtır?
A) 5
B) 8
C) 10
D) 15
E) 20
255
1
2
B) 1
C)
3
2
D) 2
E) 3
ÖABT Analiz
KONU TESTİ
13. İki kişinin oynadığı zar atma oyununda zarın üst
Seriler ve Yakınsaklık Testleri
16.
yüzüne 3 sayısını getiren oyunu kazanıyor.
Buna göre, oyuna ilk başlayanın oyunu kazanma olasılığı kaçtır?
A)
1
3
B)
1
6
1
2
C)
D)
1
12
E)
6
11
Şekilde m(TÂK)  60o ve bu açıyı meydana
getiren kenarlara teğet olan O merkezli ve 12 cm
yarıçaplı bir çember vardır. Bu çembere ve açının kollarına teğet bir çember daha çizilerek
açının köşesine doğru bu işleme devam ediliyor. Elde edilen bu çemberlerin çevreleri topla

14.
n2
 3
 2


mı kaç cm dir?
n
A) 18
B) 20
C) 24
D) 30
E) 36
serisinin toplamı kaçtır?
A)
4
15
B)
2
5
C)
4
5
D)
2
15
E)
8
45

A
17.
n 1

B
n 1
1
n2
1
(2n  1)2
olduğuna göre, A ile B arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2A = 3B


15.
n
n 1
B) 3A = 4B
D) 5A = 6B
3
4
C) 4A = 5B
E) A = B
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 0
B)
3
4
C) 1
D)
4
3
E) +
ln3 
18.
1 2
1
ln 3  ln3 3  ...
2!
3!
serisinin toplamı kaçtır?
A) 1
256
B) 2
C) e
D) 3
E) e3
ÖABT Analiz
KONU TESTİ

1 1 1
   ...
1! 3! 5!
19.
22.
a 
pozitif terimli bir seri ve  n 1   L
 an 
olsun. Bu durumda,
e 1
B)
2
e 1
2e
e
C)
2
2
D)
 an
n 1
serisinin toplamı kaçtır?
e 1
A)
2
Seriler ve Yakınsaklık Testleri
 L  1 ise
yakınsaktır.
n 1
e 1
2e
2
E)

 an
 L  1 ise

 an
ıraksaktır.
n 1
 L = 1 ise şüpheli hal vardır.
Yukarıda verilen yakınsaklık testi aşağıdakiler-
20.  n  N için 0  an1  an ve (an )  0 olsun. Bu
den hangisidir?

durumda
 (1)n an
serisi yakınsaktır.
n 1
Yukarıda alterne seriler için kullanılan yakınsak-
A) Leibnitz Testi
B) Cauchy Kök Testi
C) Kummer Testi
D) İntegral Testi
E) D’alembert Oran Testi
lık testi aşağıdakilerden hangisidir?
A) Karşılaştırma Testi B) D’alembert Oran Testi
C) Cauchy Kök Testi
D) Leibnitz Testi
E) İntegral Testi


21.

n 1
23.

an ve
 bn pozitif
terimli
iki
seri
pozitif
n 1

 L  1 için
n 1
 L  1 için

 an serisi ıraksak ise  bn
n 1
ve

 an
yakınsaktır.
n 1
saktır.

seri
a

lim n  n1  1  L olsun. Bu durumda,
a
 n



bir
n
 bn serisi yakınsak ise  an serisi de yakınn 1
terimli
n 1
ve
n  N an  bn olsun.

 an
serisi de ırak-

 an
ıraksaktır.
n 1
n 1
Yukarıda şüpheli hâl durumlarında kullanılan
saktır.
yakınsaklık testi aşağıdakilerden hangisidir?
Yukarıda pozitif terimli seriler için kullanılan
yakınsaklık testi aşağıdakilerden hangisidir?
A) Leibnitz Testi
B) Kummer Testi
A) Karşılaştırma Testi
B) İntegral Testi
C) Raabe Testi
D) Limit Testi
C) Raabe Testi
D) Cauchy Kök Testi
E) Cauchy Kök Testi
E) D’alembert Oran Testi
257
ÖABT Analiz

24.
 an
n 1
KONU TESTİ
Seriler ve Yakınsaklık Testleri
27. Aşağıdaki serilerden hangisi yakınsaktır?
pozitif terimli bir seri ve lim n an  L
n

A)
olsun. Bu durumda,

n 1

 an
 L  1 ise

n
 3n  1 
 2n  3 


B)
n 1

serisi yakınsaktır.
D)
n 1

n 1


3n
n!
C)
n 1

1
E)
n( n  1)


n 1
n
n2  1
n
n 1

 an
 L  1 ise
serisi ıraksaktır.
n 1
 L = 1 ise şüpheli hâl vardır.
Yukarıda verilen yakınsaklık testi aşağıdakilerden hangisidir?
A) Cauchy Kök Testi
B) Raabe Testi
C) D’alembert Oran Testi
D) Kummer Testi
28. Aşağıdaki serilerden mutlak yakınsaktır?
E) Limit Testi

A)

n 1

( 1)n
n

D)

n 1

B)
n 1
( 1)n .n
n 1
( 1)n 1
3n  4

E)

n 1

C)

n 1
( 1)n
n2
( 1)n (n  1)
n2  2
25. Aşağıdaki serilerden hangisi yakınsaktır?

A)

n 1

1
1  en
B)
n 1

D)


n3

3n
n 1
C)
n3

lnn
E)
n


n 1
lnn
n
1
n

29.

n 1
( 1)n
n
serisi ile ilgili olarak
I. Alterne seridir.
II. Koşullu yakınsaktır.
26. Aşağıdaki serilerden hangisi ıraksaktır?

A)

n2

1
n n
2

D)

n 1
B)

n 1
3n  2
n3  1

1
C)
n n

n 1

E)
III. Mutlak yakınsaktır.

n 1
Yargılarından hangileri doğrudur?
n
2n
A) Yalnız I
D) I ve III
( 1)n
n
258
B) Yalnız II
C) I ve II
E) II ve III
ÖABT Analiz
KONU TESTİ


30.
n0
Seriler ve Yakınsaklık Testleri

(x  1)n
n!

33.
n 1
(x  2)n
n2
serisinin yakınsaklık aralığı aşağıdakilerden
serisi ile ilgili olarak
hangisidir?
I. Yakınsaklık aralığı [-3, -1) dir.
A) (-1, 1)
B) [-1, 1]
C) (0, 2)
II.  x  R için yakınsaktır.
E) (-, )
D) [0, 2)
III. x = -3 için alterne seridir.
Yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III


31.
n0
(x  1)n
n2
B)
1
2
C) 1
E) I, II ve III
34. f(x) = ex fonksiyonunun x = 1 noktasında ürettiği
Taylor serisi aşağıdakilerden hangisidir?
serisinin yakınsaklık yarıçapı kaçtır?
A) 0
C) I ve III
D)

A)
3
2

n0
E) 2

xn
n!
n 0

D)

B)

n0

xn
(n  1)!
 e
C)
n0

(x  1)n
(n  1)!
E)

n0
(x  1)n
n!
(x  1)n
n!
35. f(x) = cosx fonksiyonunun Maclaurin serisi aşağıdakilerden hangisidir?

A)


32.
n 1
( 1)n x 2n
(n  1)!
B)

( 1)n x 2n
n!
D)
n0
(x  2)n
n 1
C)

n0
serisinin yakınsaklık aralığı aşağıdakilerden
D) [1, 3]


n0
C) (1, 3]

n0
E)
B) [1, 3)

n0

hangisidir?
A) (1, 3)


( 1)n xn
(n  1)!
( 1)n x 2n
(2n)!
( 1)n xn
n!
E) (-, )
259
1. E
2. C
CEVAP ANAHTARI
3. B
4. C
5. D
6. C
7. A
8. E
9. C
10. A
11. D
12. B
13. E
14. A
15. A
16. E
17. B
18. B
19. D
20. D
21. A
22. E
23. C
24. A
25. A
26. A
27. B
28. C
29. C
30. E
31. C
32. B
33. C
34. C
35. D
ÖABT Analiz


1.
toplamının eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
serisinin toplamı kaçtır?
-98
-99
A) 2
3
1n
A)
98
B) 2

3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + …
4.
2 n
n 99
2.
Seriler ve Yakınsaklık Testleri
KONU TARAMA SINAVI - 16
C) 2
99
D) 2
100
E) 2
5.
n 1
10
3
B)
11
3
C) 4
D)
40
9
E) 5
Bir kenarı 4 br olan bir karenin kenarları
2
1
3
n 1
oranında bölünüp bölüm noktaları birleştirilerek
serisinin toplamı kaçtır?
yeni bir kare elde ediliyor. Aynı işlem elde edi-
A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
len bütün karelere uygulanarak sonsuz sayıda
E) 18
kare elde ediliyor. Elde edilen bu karelerin alanları toplamı kaç br2 dir?
A) 20
3.
 
x   0, 
 4
64
3


6.


n 1
tann x
serisinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
B)
sin x
cos x  sin x
D) cosecx
C) 36
D)
80
3
E)
128
3
n
2n 1
serisinin toplamı kaçtır?
n 1
A) tanx
B)
A)
C) cotx
E) secx
260
1
4
B)
1
2
C) 1
D) 2
E) 4
ÖABT Analiz
1
7.
10. Aşağıdaki serilerden hangisi yakınsaktır?
1 1
1
 2  3  ...
2 2
2

A)
serisinin toplamı kaçtır?
A)
Seriler ve Yakınsaklık Testleri
KONU TARAMA SINAVI - 16
1
2
B)
2
3
C) 1

n 1
D)
3
2

1
n
B)
D)

n 1
1
1
1  ln 2  ln2 2  ln3 2  ...
2
6
8.
B) e
C) 3

A)
D) e2

n 1
E) e3

n2
2n
B)


n 1


n 1
xn
3n


12.
n 1
serisinin yakınsaklık aralığı aşağıdakilerden
B) (-3, 3]
D) [-3, 3]
E)

n 1
sinn
n2
(2n)!
n!

1
C)
n n
n 1
n2

n 1

E)

n2
1  2n
3n  1
lnn
n
(x  3)n
n3
serisinin yakınsaklık yarıçapı kaçtır?
hangisidir?
A) (-3, 3)

n 1
D)
9.
n 1

n
n 1

11. Aşağıdaki serilerden hangisi yakınsaktır?
serisinin toplamı kaçtır?
A) 2
C)
n
n 1

E) 2

3n

C) [-3, 3)
A)
E) (-, )
261
1
3
B) 1
C) 2
D) 3
E) 6
ÖABT Analiz

13.
 an
n 1
Seriler ve Yakınsaklık Testleri
KONU TARAMA SINAVI - 16
15. (an ) pozitif terimli monoton azalan bir dizi ve
pozitif terimli bir seri ve (bn ) pozitif te-
f fonksiyonu da [1, ) aralığında monoton aza-


a
rimli bir dizi ve lim  bn  n  bn1   L olsun.
n
an1


lan bir fonksiyon olsun.
 n  N+, f(n) = an
Bu durumda,
 L  0 için


n 1
 L  0 için

için gerek ve yeter şart,
1
b

serisi ıraksak ise
 an
n
 f(x)dx
se-
n 1
n
1
risi de ıraksaktır.
dizisinin sınırlı olmasıdır.
Yukarıda şüpheli hâl durumlarında kullanılan
Yukarıda verilen yakınsaklık testi aşağıdakiler-
yakınsaklık testi aşağıdakilerden hangisidir?
A) Raabe Testi
B) Limit Testi
C) Cauchy Kök Testi
D) Kummer Testi
den hangisidir?
A) Karşılaştırma Testi
B) Raabe Testi
C) İntegral Testi
D) Kummer Testi
E) İntegral Testi

 an
n 1
serisinin yakınsak olması
n 1
an yakınsaktır.
n 1
14.
 an
olmak üzere,

E) Cauchy Kök Testi
16. f(x) = sinx fonksiyonunun Maclaurin serisi aşa-
pozitif terimli bir seri ve lim n an  L
n
ğıdakilerden hangisidir?
olsun. Bu durumda,

 0  L   ve   1 ise
A)

 an
n 0
serisi yakınsaktır.
n 1
 L  0 ve   1 ise

C)

 an


n0
serisi ıraksaktır.
( 1)n x 2n 1
(2n  1)!
B)
( 1)n x 2n
n!
D)

n0


n0
n 1

D)
Yukarıda verilen yakınsaklık testi aşağıdakiler-


n0
( 1)n xn
n!
den hangisidir?
A) Karşılaştırma Testi
B) Raabe Testi
C) D’alembert Oran Testi
D) Kummer Testi
E) Limit Testi
1. D
262
CEVAP ANAHTARI
2. D
3. B
4. A
5. E
6. C
7. B
8. A
9. A
10. C
11. A
12. B
13. D
14. E
15. C
16. A
( 1)n xn
(n  1)!
( 1)n x 2n
(2n)!