EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ www.izmirkpsskursu.net 0 232 445 21 25

Transkript

Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız.
www.izmirkpsskursu.net
EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ
0 232 445 21 25
1
EBİM KPSS Kurslarının öğretmen adaylara armağanıdır.
2
SAYILAR
len sayı dizilerine ardışık sayılar denir.
n
TAM SAYILAR VE DOĞAL SAYILAR
Z olmak üzere;
Ardışık tam sayılar={…,-2,-1,0,1,2,…,n,n+1,…}
Ardışık çift tam sayılar={…,-2,0,2,…,2n,2n+2,…}
Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere
Ardışık tek tam sayılar={…-1,0,1,…,2n-1,2n+1,…}
rakam denir.
Onluk sayma sisteminde kullanılan rakamlar kü-
4 ün katı ardışık tam sayılar;
mesi, {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} dur.
{…,-4,0,4,…,4n,4n+4,…}
Sayma Sayıları: 1 ile başlayıp sonsuza kadar ar-
Kural: Artış miktarı eşit olan ardışık sayılardan
dışık olarak büyüyen sayılar kümesidir.
sonlu tanesinin toplamı için ;
+
{1,2,3,…,n,n+1,…} dir. (n
N )
a1= ilk terim
an= son terim
Doğal Sayılar: 0 ile başlayıp sonsuza kadar
olmak üzere,
r= ortak fark
ardışık olarak büyüyen sayılar kümesidir.
+
N={0,1,2,3,…,n,n+1,…} dir. (n
N)
Terimsayısı = n =
an
a1
r
1
Tam Sayılar: Doğal sayılar ve doğal sayıların
negatiflerini aldığımızda oluşan kümeye tam sayı-
Terimler Toplamı= an
a1
2
lar kümesi denir.
.n
formülleri ile bulabiliriz.
Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
-
Z ={…,-3,-2,-1} negatif tam sayılar kümesi
{0} (elemanı 0 olan bir küme)
TAM SAYILARDA DÖRT ĠġLEM
+
Z ={1,2,3,…,n,n+1,…} pozitif tam sayılar kümesi
Z
-
{0}
+
Z =Z biçiminde gösterilir.
Toplama:
Tek-Çift Sayılar: n
 Pozitif tam sayıların toplamı daima pozitiftir.
Z, 2n ifadesi ile belirtilen tam
sayılara çift sayı ve 2n-1 ifadesi ile belirtilen tam
(+2) + (+7) = 2 + 7= 9
sayılara tek sayı denir.
 Negatif tam sayıların toplamı daima negatiftir.
Çift sayılar kümesi “Ç” ile gösterilir.
(-7) + (-11) = -7 – 11 = -18
Ç={…,-6,-4,-2,0,2,4,6,…,2n,…}
Tek sayılar kümesi “T” ile gösterilir.
 Zıt işaretli iki tam sayı toplanırken, birbirinden
T={…,-5,-3,-1,1,3,5,…,2n-1,…}
çıkartırız. Mutlak değerce büyük olanının işaTek ve çift sayılarla ilgili genel özelliklerimizi bir
retini veririz.
tabloda gösterelim.
(-7) + (+11) = -7 + 11 = 4
(+7) + (-11) = 7 – 11 = -4
+
T
T=Ç
T T=T
n
T
Ç=T
T Ç=Ç
T =T
Ç
Ç=Ç
Ç Ç=Ç
Ç =Ç
Z
n
Çarpma ve Bölme:
n
 Aynı işaretli iki tam sayının çarpımı daima pozitiftir.
Bölme işlemi için belli bir kural yoktur.
ArdıĢık Sayılar: Belli bir kurala göre art arda ge-
(+7)
(+3) = 21
(-7)
(-3) = 21
3
 Zıt işaretli iki tam sayının çarpımı daima ne-
Asal Sayılar: 1 den büyük, 1 ve kendisinden
başka pozitif tam sayı böleni olmayan doğal sayı-
gatiftir.
(-7)
(+3) = -21
(+7)
(-3) = -21
ya asal sayı denir.
Bazı asal sayılar; 2,3,5,7,11,13,17,19,23,…
 Aynı işaretli iki tam sayının bölümü daima pozi-
 En küçük asal sayı 2 dir.
tif, farklı işaretli iki tam sayının bölümü daima
 1 den büyük her doğal sayının en az bir asal
negatiftir.
sayı böleni vardır.
-12
-20
= +2 ,
=-5
-6
4
 1 den büyük bir n doğal sayısı, kendinden
büyük olmayan hiçbir asal sayı ile bölünmüyorsa n asal sayıdır.
Çıkarma:
(+a) - (-b) = a + b
Örnek: 127 sayısının asal olup olmadığını anla-
(+a) – (+b) = a – b dir.
mak için;
127
11,.. olduğundan 127 sayısı 11 ve 11’den
küçük olan 2,3,5,7 ve 11 asal sayılarından herhan-
Tam Sayılarda Kuvvet Alma:
gi birine bölünmediği için 127 asal bir sayıdır.
2
(2) = 2.2 = 4
2
(-2) = (-2).(-2) = 4
Örnek: Aşağıdaki sayılardan hangisi asal sayıdır?
3
(-2) = (-2).(-2).(-2) = -8
0
0
(-2) = (+2) = 1
A) 93
Negatif bir tam sayının, çift kuvveti pozitif, tek
B) 129
C) 233
D) 267
E) 372
kuvvet, negatif bir tam sayıdır.
2
Çözüm:
2
93, 129, 267 ve 372 sayıları 3 ile bölünürler.
(-2) = 4 ,
-2 = -4
(-a)
2n
=a
233
2n
15,…
233 sayısı 2,3,5,7,11 ve 13 e
bölünmediği için asal sayıdır.
(-a)
2n
(-a)
2n-1
=a
2n
= -a
2n-1
(n
N)
(n
N)
Yanıt: C
Aralarında Asal Sayılar:
 Olarak bölenleri 1 olan 2 veya 2 den büyük
doğal sayılara aralarında asal sayılar denir.
Mükemmel Sayı:
(1 ve 16), (2 ve 15), (9, 12, 20) aralarında asal
Kendisinden başka pozitif bölenlerinin toplamı
sayılardır.
kendine eşit olan sayıya mükemmel sayı denir.
n
N ve (n+1) asal sayı olmak üzere
n
M= 2 .(2
n+1
 1 ile bütün sayılar aralarında asaldır.
-1) ifadesi mükemmel sayıyı verir.
Ancak bu formülün mükemmel sayılar için doğ-
 Ardışık pozitif tam sayılar aralarında asaldır.
ruluğu kesinlik kazanmamış olup araştırmalar devam etmektedir.
 a ile b aralarında asal iki pozitif tam sayı ise,
(a+b) ile (a.b) de aralarında asaldır.
Örnek: 28 sayısının kendisi dışındaki pozitif
bölenleri 1,2,4,7,14 dür.
 x ile y ve a ile b aralarında asal sayı,
1+2+4+7+14=28 olduğundan 28 mükemmel
sayıdır.
x=a ve y=b dir.
4
x a
= ise
y b
Örnek: x ve y doğal sayılar, (x+6) ve (y-2)
 A dan küçük ve A ile aralarında asal olan doğal
aralarında asaldır. (x+6).(y-2)= 36 olduğuna göre,
sayıların sayısı:
x in kaç farklı değeri vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
A. 1 1 . 1 1 . 1 1
a
b
c
E) 5
 A nın tam sayı bölenlerinin çarpımı:
Çözüm:
(x+6) . (y-2) = 36
A
( x +1).( y +1).( z+1)
2
36
1
ise
x=30 ve y=3
9
4
ise
x=3 ve y=6
4
9
ise
x=-2 N ve y=11
Çözüm:
1
36
ise
x=-5 N ve y=38
96=2 .3
Örnek: 96 sayısını inceleyelim.
5
Bu durumda x in iki farklı değeri vardır.
1
1) 96 sayısının pozitif tam sayı bölen sayısı:
p= (5+1).(1+1) = 12 tanedir.
Asal Çarpanlara Ayırma: Bir doğal sayıyı, asal
çarpanları türünden ifade etmeye asal çarpanlara
2) 96 sayısının tam sayı bölenlerinin sayısı:
ayırma denir.
160
80
40
20
10
5
1
2.12 = 24 tanedir.
2
2
2
2
2
5
3) 96 sayısının asal bölenleri toplamı:
2+3 = 5
5
160=2 .5 olur.
4) 96 sayısının tam sayısı bölenlerinin toplamı:0
5) 96 sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı: 24-2 = 22 tanedir.
Bir Doğal Sayının Pozitif Bölenlerinin Sayısı:
6) Tam sayı bölenlerinin toplamı ile asal sayı
A bir doğal sayı olsun,
bölenlerinin toplamının farkı: 0-5 = -5
a, b, c birbirinden farklı asal sayılardır.
x, y, z pozitif tam sayılar ise A nın asal çarpanları
x
y
A=a .b .c
z
7) 96 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin topla-
biçiminde ifade edilir. Buna göre A
mı:
doğal sayısını bölen;
T=
 Pozitif tam sayı bölen sayısı: (x+1).(y+1).(z+1)
25 1 1 31 1 1
.
2 1
3 1
64 1 9 1
=63.4=252
.
1
2
T=252 olur.
 Tam sayı bölen sayısı: 2.(x+1).(y+1).(z+1)
 Pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı:
8) 96 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin çar0
1
x
0
1
y
0
1
pımı:
z
T=(a +a +…+a )(b +b +…+b )(c +c +…+c ) veya
1 by 1 1 c z 1 1
.
.
a 1 b 1 c 1
T=. a
x 1
Ç= 96
(5+1).(1+1)
2
6
= 96 bulunur.
5
2
ÇÖZÜMLÜ TEST
1. a, b
2
2
2
5. A= 3 .(150) .8 .(25) sayısı kaç basamaklıdır?
+
Z olmak üzere,
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
3a+5b=84 koĢulunu sağlayan kaç tane b sayısı vardır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
6. x, y ve z birbirinden farklı rakamlar ise, 6x4y+5z ifadesinin en büyük ve en küçük değerlerinin toplamı kaçtır?
2. x, y N olmak üzere,
x+y=23 olduğuna göre, x.y nin alacağı en
A) 61
B) 63
C) 65
D) 67
E) 69
küçük değer ile en büyük değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 132
B) 135
C) 155
D) 157
E) 159
+
7. a Z ise; aĢağıdakilerden hangisi daima tek
sayıdır?
3.
5
3x 15
ifadesinin bir tam sayı belirtmesi
x 2
için x yerine kaç tane farklı tam sayı yazılabilir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
3
2
A) a +a +4
4
B) a +a+7
C)a +11
4
3
a +a
2 3
D)
E) a -a +6
2
E) 6
4. a, b, c birer doğal sayı,
8. x, y, z
a.b=42
Z
+
olmak üzere,
x+7
= z eşitliği
2y + 6
veriliyor.
AĢağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
a.c=77
olduğuna göre, a+b+c toplamı en az kaçtır?
A) x tek sayı
A) 22
B) 23
C) 24
D) 26
E) 27
B) y tek sayı
D) x çift sayı
6
C) y çift sayı
E) z tek sayı
+
9. a, b N olmak üzere,
13. A= 1+2+3+…+n
(5a+4b) tek ve (2a+b) çift bir sayıdır.
B= 5+6+7+…+(n-4)
Buna göre, aĢağıdakilerden hangisi daima
A-B farkı 180 olduğuna göre, n kaçtır?
tek sayıdır?
A) 44
B) 45
C) 46
D) 47
E) 48
A) 2a+b B) a.b C) a+b D) 2(a+b) E) a.b+4
14. A=1.3+3.5+5.7+…+31.33
A sayısının ikinci çarpanlarını 1 arttırdığı10. x N, 0 < x ≤ 165 arasındaki 4 ile tam
mızda sayı ne kadar artar?
bölünmeyen sayılar kaç tanedir?
A) 252
A) 124
B) 125
C) 126
D) 127
B) 256
C) 260
D) 262
E) 266
E) 128
11. x, y, z ardışık 3 tek sayıdır. x>y>z olduğuna
15. X=1.2+2.3+3.4+…+27.28 olduğuna göre,
göre,
A=3.4+6.6+9.8+…+81.56 toplamının X cinsin-
( x - y )3 + ( x - z )
ifadesinin değeri kaçtır?
( y - z )2
den değeri nedir?
A) 3X+3
A) 8
B) 6
C) 3
+
D) 2
2
A) 1
B) 5
C) 9
D) 3X
E) 2X+4
16. (5x+12) ve (3y+1) sayıları aralarında asaldır.
2x 5 3
olduğuna göre, 5x-3y farkı kaçtır?
5y 2 5
3
D) 15
C) 6X
E) -3
N olmak üzere, 45.x = y dür.
x
Buna göre, nin en küçük değeri kaçtır?
y
12. x, y
B) 6X+6
A) 2
E) 25
B) 1
C) -6
7
D) -7
E) -8
3x + 15 3x + 6 + 9 3( x + 2)
9
9
=
=
+
= 3+
x+2
x+2
x+2
x+2
x+2
ÇÖZÜMLER
Bu işlemden sonra değer bulma işlemleri yuka-
1. A sayısının kat sayısı 84 e tam bölünüyor. O
rıdaki örnekte olduğu gibi aynen uygulanır.
halde b sayısı 3 ve 3 ün katı olmalıdır. 3, 6, 9,
Yanıt: E
12, 15 değerlerini alır. 18 sayısında negatif
değer alacağından b
18 dir.
4. a.b= 42
Yanıt: C
olduğuna göre
a.c= 77
a.b= 7.6
2. x+y=23
a=7, b=6, c=11 dir.
x.y=0.23=0 en küçük değerdir.
x=0 ve y=23
x=11 ve y=12
a.c= 7.11
x.y=11.12=132 en büyük
a+b+c=7+6+11=24 olur.
değerdir.
Yanıt: C
Buradan 0+132=132 bulunur.
Yanıt: A
2
2
6
4
2
6
4
Sonuç: Toplamları sabit olan iki doğal sayı
5. A=3 .(3.5.10) .2 .5
birbirine en uzak değerler seçildiğinde çarpım
A=3 .3 .5 .10 .2 .5
2
2
4
6
2
2
6
en küçük değerini alır. Birbirine en yakın iki
A=3 .5 .10 .2
değer seçildiğinde çarpım en büyük değerini
A=3 .(5.2) .10
4
4
6
6
A=3 .10 .10
alır.
2
2
A=81. 108
2+8=10 basamaklıdır. Bu
sayının sondan 8 basamağı sıfırdır.
Yanıt: D
3.
I. yol:
6. 6x-4y+5z en büyük değeri için
3x 15
ifadesinde pay paydaya bölünür.
x 2
x=9, y=0 ve z=8 olmalıdır.
6.9 - 4.0 + 5.8=54+40=94
3x+15
3x
9
x+2
6 3
Pay
6x-4y+5z en küçük değeri için
Tam
x=0, y=9, z=1 olmalıdır.
6.0 – 4.9 + 5.1= -36 + 5= -31
Toplamları: -31 + 94= 63
Bölünen
Kalan
= Bölüm+
olduğundan
Bölen
Bölen
Yanıt: B
3x 15
9
=3+
dir.
x 2
x 2
5
3
7. a +a +4 daima çifttir.
Bu sonucun tam sayı olması için, kesirli ifadenin
T+T+4=Ç (a T)
tam sayı olması gerekir. 9 sayısının tam sayı
Ç+Ç+4=Ç (a Ç)
bölenleri
B) a +a+7 daima tektir.
1,
3,
2
9 olmak üzere 6 tane
olduğundan, x+2 yerine 6 tane farklı tam sayı
T+T+7=T
yazılır. x yerine yazılacak tam sayı değerleri;
Ç+Ç+7=T
x+2=-1
x=-3
C ve D şıkları tek veya çift olabilir.
x+2=1
x=-1
E şıkkı ise daima çifttir. Bu soruyu a yerine
x+2=-3
x=-5
herhangi bir sayı vererek de çözebilirsiniz. An-
x+2=3
x=1
cak a sayısını tek ve çift vermeyi unutmama-
x+2=-9
x=-11
lısınız.
x+2=9
x=7
Yanıt: B
x değişkeni 6 farklı değer alır.
II. Yol:
8
8. Payda daima çift ve sonuç tam sayı olduğu
B=
için, pay çift olmak zorundadır. Bu durumda
(n - 4 + 5) n - 4 - 5
(n + 1).(n - 8)
.
+1 =
2
1
2
x+7 sayısı çift ise x tek sayıdır.
Yanıt: A
A-B=
n.(n + 1) (n + 1).(n - 8)
= 180
2
2
(n+1) ortak parantezine alalım.
(n + 1).(n - n + 8)
= 180
2
9. 5a+4b tek sayı ise T+Ç = T eşitliğinden, a tek
bir sayıdır.
2a+b çift sayı ise Ç+Ç = Ç eşitliğinden b çift bir
sayıdır.
(n 1).8
2
Buna göre, a+b toplamı daima tek sayıdır.
180
n+1=45
n=44
Yanıt: C
Yanıt: A
10.
165
- 16
-
4
41 tane sayı 4 ile bölünür.
41
165 – 41=124
14. A=1.3+3.5+5.7+…+31.33
II. çarpanları bir arttıralım ve yeni sayı B olsun.
5
B=1.4+3.6+5.8+…+31.34 olur.
4
A=3+15+35+…+1023
1
B=4+18+40+…+1054
Yanıt: A
B-A=1+3+5+…+31
B-A nın toplamı, artış miktarıdır.
31 1 31 1
B-A=
.
1 16.16 256 sayı
2
2
256 artar.
Yabın: B
11. x>y>z ise x=5, y=3, z=1 tek sayıları alınırsa;
(5 - 3)3 + (5 - 1) 8 + 4
=
=3
4
(3 - 1)2
Yanıt: C
15. 3.4+6.6+9.8+…+81.56 toplamında 3 ve 2 ortak
2
sayı olduğundan 3 ve 2 parantezine alınır.
3
12. 45.x = y
2
2
3.2(1.2+2.3+3.4+…+27.28)=6x olur.
3
3 .5.x = y
Yanıt: C
3
y elde etmek için
2
4
x = 3 .5
2
2
x= 3 .5 olmalı
2
4
2
3
3 .5.3 .5 = y
6
3
3 .5
x
=
y
3
2
=y
y= 3 .5
32.5
= 1 bulunur.
32.5
16. 5.(2x+5)=3.(5y+2)
10x+25=15y+6
Yanıt: A
2(5x+12)+1=5(3y+1)+1
2(5x+12)=5(3y+1)
13.
(ilk terim + son terim)
. terim sayısı
Toplam =
(5x+12) ve (3y+1) aralarında asal olduğundan
2
5x+12=5
(n + 1) n - 1
(n + 1).n
.
+1 =
A=
2
1
2
3y+1=2 olur.
5x-3y = -8 bulunur.
Yanıt: E
9
(xy)+(yx) = 143 olduğuna göre,
x < y koşulu ile kaç farklı xy sayısı yazılabilir?
DOĞAL SAYILARIN
ÇÖZÜMLENMESĠ
(Basamak Analizi)
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
a, b, c birer rakam olmak üzere,
Çözüm: (xy)+(yx) = 11(x+y)
İki basamaklı bir doğal sayı:
(xy)+(yx) =143
(ab) = 10a+b
11(x+y) = 143 ise x+y = 13
Üç basamaklı bir doğal sayı:
x < y koşuluna uyulduğunda x+y toplamları
(abc) = 100a+10b+c
4+9 = 13
Dört basamaklı bir doğal sayı:
5+8 = 13
(abcd) = 1000a+100b+10c+d şeklinde çözümlenir.
6+7 = 13
İki basamaklı bir (ab) sayısının rakamlarının yer
49, 58 ve 67 olmak üzere 3 tane yazılabilir.
değiştirdiğinde elde edilen sayı (ba) dır.
Yanıt: C
(ab)+(ba) = (10a+b)+(10b+a) = 11(a+b)
(ab)-(ba) = (10a+b)-(10b+a) = 9(a+b)
Örnek: İki basamaklı (ab) sayısı rakamlarının topSonuç: İki basamaklı bir sayının rakamlarının yer-
lamının 5 katına eşittir. Buna göre, (ba) doğal ra-
leri değiştirilerek elde edilen sayılar için:
kamları toplamının kaç katıdır?
a) İlk iki sayı ile toplanırsa sonuç 11 sayısının
katıdır.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
b) İlk sayı ile farkları ise 9 sayısının katıdır.
c) İki basamaklı (ab) doğal sayısı, rakamlarının
sayı değerlerinin toplamının x katına eşitse
Çözüm 1: (ab) = 5(a+b)
(ba) doğal sayısı, rakamlarının sayı değerleri-
10a+b = 5a+5b
nin toplamının (11-x) katına eşit olur.
5a = 4b ise a = 4, b = 5
Bu durumda (ba) = 54 olur.
(abc)-(cba) = 99. (a-c)
54 = x.(5+4) ise x = 6 bulunur.
abc
Çözüm 2: Verdiğimiz özelliğe göre,
cba
-
ise, y= x+z = 9 dur.
ab = x.(a+b) ise ba = (11-x).(a+b)
xyz
x = 5 ise 11-x = 6 bulunur.
Yanıt: E
Örnek: İki basamaklı bir sayının rakamları yer
değiştirdiğinde bu sayı 63 küçülüyor.
En büyük sayı kaçtır?
A) 92
B) 87
C) 96
D) 76
E) 97
Çözüm: İki basamaklı sayı (ab) olsun.
(ab)-(ba) = 63
9(a-b) = 63
a-b = 7 dir.
En küçük: 81 ve En büyük: 92 dir.
Yanıt: A
Örnek: (xy) ve (yx) iki basamaklı sayıdır.
10
Herhangi Bir Tabandan 10 luk Tabana Çevir-
TABAN ARĠTMETĠĞĠ
me: Herhangi bir tabandan 10 luk tabana çevirirken verilen sayı hangi tabanda ise, o tabana göre
Günümüzde kullanılan sayı sistemi 10luk tabana
çözümlenir.
göre düzenlenmiştir. Sayı sistemleri n taban ve n >
1 olmak koşulu ile n tabanında da yazılabilir.
4
3
2
1
(abcde)n = a.n +b.n +c.n +d.n +e.n
Örnek: 6 tabanında rakamları farklı 4 basamaklı
0
en küçük sayının 10 luk tabandaki değeri kaçtır?
n tabanında çözümleyerek 10 tabanına çevirebiliriz.
Çözüm: 6 tabanında en küçük 4 basamaklı sayı,
Taban aritmetiğinde sayıyı oluşturan rakamlar dai-
(1023)6’ dır.
3
2
1
0
( 1 0 2 3 )6= 1.6 +0.6 +2.6 +3.6
ma verilen tabandan küçük olmalıdır.
3
2
1
6 6 6 6
Örnek: 5 ve 6 sayı tabanıdır.
0
(4a3)6 ve (3b2)5 iki sayı ise (a+b) toplamının en
büyük değeri kaçtır?
A) 9
B) 8
Onluk Tabandaki Sayıyı Herhangi Bir Tabana
C) 7
D) 6
Çevirme: 10 tabanında verilen bir sayıyı n taba-
E) 5
nında yazmak için; verilen sayı n sayısına ardışık
olarak, bölüm tabandan küçük olana kadar bölü-
Çözüm: a < 6 ise a = 5
nür. Son olarak elde edilen bölümden başlayarak
b < 5 ise b = 4
kalanlar sağdan sola doğru yazılır.
Yanıt: A
a+b = 5+4 = 9 olur.
Örnek: 187 sayısını 6 tabanında yazınız.
BASAMAK DEĞERĠNĠN BULUNMASI
Çözüm:
187 6
186 31
1
30
1
Aşağıdaki tablo 10, 7, 5 ve n tabanındaki sayıların sağdan sola doğru basamaklarının bulunuşunu
göstermektedir.
6
5
(187)10 = (511)6 bulunur.
Sağdan Sola Doğru
Sayı
Taban
Çözümleme
3
Taban Aritmetiğinde ĠĢlemler:
2
10
(abcd)10
10 a+10 b+10c+d
7
(abcd)7
7 a+7 b+7c+d
3
2
3
2
3
2
5
(abcd)5
5 a+5 b+5c+d
n
(abcd)n
n a+n b+nc+d
a) Toplama:
Örnek: (415)6+(345)6 toplamının sonucu 6 tabanında kaçtır?
Örnek: (23041)5 5 tabanındaki sayının basamak
değerini bulunuz.
Çözüm:
(415)6
+ (345)6
(1204)6
Çözüm:
( 2 3 0 4 1 )5
 5+5 = 10 sayısı 6 ile bölünür, kalan 4 ve
4
3
2
1
0
bölüm 1 dir. Kalan aynen yazılır, bölüm elde
5 5 5 5 5
4
2’nin basamak değeri: 2.5 = 1250
olur.
 1+4 = 5 toplamına elde 1 eklenir, 6 olur. 6,
6’ya bölünür. Kalan 0 aynen yazılır, elde 1
olur.
 4+3 = 7 toplamına elde 1 eklanir, 8 olur. 8,
6’ya bölünür. Kalan 2 aynen yazılır, elde 1
olur. Sola yazılır.
3
3’ün basamak değeri: 3.5 = 375
2
0’ın basamak değeri: 0.5 = 0
1
4’ün basamak değeri: 4.5 = 20
0
1’in basamak değeri: 1.5 = 1
11
b) Çıkarma:
Taban Aritmetiğinde Tek ve Çift sayılar:
Örnek: (1012)7-(456)7 çıkarma işleminin 7 taba-
Sayının tabanı çift ise, sayının birler basama-
nındaki değeri kaçtır?
ğına bakılır.
Birler basamağı tek ise sayı tektir.
Çözüm:
(1012)7
- (456)7
(223)7
Birler basamağı çift ise sayı çifttir.
Örnek: (2135)8 sayısında taban çift, birler basa-
 2 den 6 çıkmaz, komşudan bir 7 alırız, 9 dan
mağı 5 olduğundan sayı tektir. O halde sayımız
6 çıkar 3 kalır.
tek sayıdır.
 1 yerinde 0 kaldı, komşudan 7 alırız, 5 çıktı 2
(1032)6 sayısında taban ve birler basamağı çifttir.
kaldı.
O halde sayımız da çifttir.
 0 yerine 6 kaldı, 6 dan 2 çıkar 4 kalır.
 1 yerinde 0 kaldı, 0 da yazılmaz.
Taban tek ise rakamlar toplamına bakılır.
Bu toplam tek ise sayı tektir.
Bu toplam çift ise sayı çifttir.
c) Çarpma:
Örnek: (43)5.(23)5 çarpma işleminin sonucu 5
Örnek: (1471)9 taban tek,
tabanında kaçtır?
1+4+7+1 = 13 tek sayı olduğundan sayı tektir.
(3041)7 taban tek sayıdır.
Çözüm:
(43)5
x (23)5
234
+141
(2144)5
3+0+4+1 = 8 çift sayı olduğundan sayı çifttir.
Örnek: (6a5b)8 sayısı tek sayı olduğuna göre,
a+b’nin en büyük değeri kaçtır?
Çarpma işleminde 10 luk tabanda olduğu gibidir.
A) 12
Çarpımın sonucu tabana bölünür. Bölüm eldeler
olur, kalan yazılır.
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
Çözüm: b < 8 ise b=7 taban çift ise birler basamağı tek sayı olacaktır.
a < 8 ise a = 7
Bir Tabandan BaĢka Tabana Çevirme:
Yanıt: C
Örnek: 6 tabanında verilen (2134)6 sayısının 7
tabanındaki değeri kaçtır?
Çözüm: (2134)6 önce 10 luk tabana çeviririz.
3
2
1
(2134)6 = 2.6 +1.6 +3.6 +4.6
ve a+b = 14 olur.
0
= 432+36+18+4
= 490
(490)10 , 7 lik tabana çevirelim.
490 7
490 70 7
0
70 10 7
0 7 1
3
(2134)6= (1300)7
12
ÇÖZÜMLÜ TEST
5. (xyz), (yzx) ve (zxy) üç basamaklı doğal sayılardır.
( xyz) + ( yzx) + ( zxy)
x+y+z
1. (ab) iki basamaklı doğal sayısı rakamları toplamının 7 katıdır.
En küçük (ab) sayısı ile en büyük (ab) sayısının toplamı kaçtır?
A) 105
B) 103
A) 1
C) 98
D) 96
B) 11
C) 37
D) 99
E) 111
E) 95
6. (ab8) ve (ba3) üç basamaklı doğal sayılardır.
(ab8) – (ba3) = 455 olduğuna göre,
2
(a-b) kaçtır?
2. (abc) ve (cba) üç basamaklı iki doğal sayıdır.
(abc)-(cba) = 594 olduğuna göre, bu koĢulu
sağlayan kaç farklı (abc) sayısı yazılır?
A) 3
B) 10
C) 20
D) 24
A) 9
B) 16
C) 25
D) 36
E) 49
E) 30
7. Her biri en az dört basamaklı 7 sayının binler basamağı 1’er arttırılır, yüzler basamağı
3. A = (6X7Y) ve B = (4X8Y) sayıları,
4 basamaklı birer doğal sayı olduğuna göre,
3’er azaltılır, onlar basamağı 2’Ģer arttırılır-
A-B farkı kaçtır?
sa bu sayıların toplamı ne kadar artar?
A) 2100
B) 2000
D) 1970
A) 5040
C) 1990
B) 5140
D) 5240
E) 1950
E) 5300
8. (xy) ve (yx) iki basamaklı doğal sayılardır.
4. Üç basamaklı (6xy) sayısı, (xy) iki basamaklı
2
2
sayısının 16 katıdır. Buna göre, x+y toplamı
x – y = 7 olduğuna göre,
kaçtır?
(xy) – (yx) kaçtır?
A) 2
2
B) 4
C) 5
D) 6
C) 5150
A) 593
E) 7
2
B) 693
C) 792
13
D) 819
E) 891
9. (xyz) üç basamaklı sayısının sayı değerlerinin
ÇÖZÜMLER
çarpımı 12’dir.
Bu koĢula uygun kaç tane üç basamaklı
sayı yazılır?
1. (ab) = 7(a+b)
10a+b = 7a+7b
A) 8
B) 9
C) 10
D) 12
E) 13
3a = 6b
a = 2b
En küçük b = 1 için a = 2
21
En büyük b = 4 için a = 8
84
21+84 = 105 bulunur.
Yanıt: A
10. x ve 5 taban olmak üzere,
(243)5 = (201)x eĢitliğinde x kaçtır?
2. (abc)-(cba) = 594
(100a+10b+c)-(100c+10b+a) = 594
A) 4
B) 6
C)7
D) 8
E) 9
100a+10b+c-100c-10b-a = 594
99(a-c) = 594
a-c = 6 bulunur.
a = 7, 8, 9 ve c = 1, 2, 3 olur. b rakamı 10 tane
rakam da yazılabilir. 3x10 = 30
Yanıt: E
3
11. 10 tabanındaki 8 ün 4 tabanında yazılıĢı
nedir?
A) 2000
B) 10000
D) 100000
C) 20000
E) 200000
3. A = 6.1000+100.X+7.10+Y
B = 4.1000+100.X+8.10+Y
taraf tarafa çıkaralım.
A-B = 2000-10 = 1990
Yanıt: C
12. sayı tabanı olmak üzere,
4. (6xy) = 16(xy)
(33,4)5+(13,3)5
600+(xy) = 16(xy)
toplamının 10 tabanındaki değeri kaçtır?
600 = 15(xy)
(xy) = 40
A) 25,3
B) 25,4
C) 27,2
D) 27,3
E) 27,4
x = 4 ve y = 0 dır.
4+0 = 4
Yanıt: B
14
9. 3 basamaklı, rakamlarının sayı değerlerinin çar-
5.
(xyz) = 100x+10y+z
pımı 12 olan sayılar,
(yzx) = 100y+10z+x
134, 143, 314, 341, 413, 431 (6 sayı yazılabilir.)
+ (zxy) = 100z+10x+y
126, 162, 216, 261, 612, 621 (6 sayı yazılabilir.)
Toplam 12 sayı elde edilir.
(xyz)+(yzx)+(zxy) = 111x+111y+111z
Yanıt: D
( xyz ) + ( yzx ) + ( zxy ) 111( x + y + z )
=
= 111
x+y+z
x+y+z
Yanıt: E
10.
(243)5 = (201)x
6.
2
2
73 = 2x +1
100a+10b+8 - (100b+10a+3) = 455
2
x = 36
100a+10b+8-100b-10a-3 = 455
x=
6
x = -6 olamaz x = 6 dır.
90a – 90b = 450
90(a – b) =450
2
2.5 +4.5+3.1 = 2.x +0.x+1.1
(ab8) – (ba3) = 455
Yanıt: B
a–b=5
2
(a – b) = 25 bulunur.
Yanıt: C
11.
3
8 sayısını 4 ün kuvvetleri biçiminde yazalım.
3 3
9
8
2 4
4
(2 ) = 2 = 2 .2 = (2 ) .2 = 4 .2
(20000)4
7. Binler basamağı 1 arttırılır ise sayı 1000 artar.
Yanıt: C
7.1000 = 7000 artar.
Yüzler basamağı 3 azaltılırsa sayı 300 azalır.
3.100 = 300 azalır ve 7.300 = 2100 azalır.
Onlar basamağı 2 arttırılırsa sayı 20 artar.
2.10 = 20 artar ve 7.20 = 140 artar.
7000 – 2100+140 = 5040 artar.
Yanıt: A
12.
(33,4)5
+ (13,3)5
(102,2)5
2
(1 0 2, 2)5 = 1.5 +0.5+2.1+2.
1
5
8.
2
2
(xy) – (yx) = (xy+yx)(xy – yx)
2
1
5 5 5
= (11x+11y)(9x – 9y)
0
1
= 25+2+0,4 = 27,4
5
= 11(x+y)9(x –y)
2
Yanıt: E
2
= 99(x – y )
= 99.7 = 693
Yanıt: B
15
BÖLÜNEBĠLME KURALLARI
BÖLME VE BÖLÜNEBĠLME
İşlemleri daha kolay ve daha hızlı yapabilmek
için bazı sayıların tam bölünebilme kurallarının iş-
A, B, C, K birer tam sayı olmak üzere;
A
-
B
A: Bölünen
leyeceğiz.
C
B: Bölen
1) 2 ile bölünebilme:
K
C: Bölüm
Her çift sayı 2 ile tam bölünür.
K: Kalan ( bölme özdeşliği)
-50, -38, 0, 22, 136 gibi.
a)
A = B.C+K
b)
0
c)
K
Verilen sayının rakamları toplamı 3 ve 3
K < B (kalan özelliği)
sayısının katı olmalıdır.
C ise bölen (B) ile bölüm (C) yer
2734
değiştirdiğinde kalan yer değiştirmez.
2+7+3+4 = 16
1+6 = 7
3k
3 ün katı değil 2734 sayısı 3’e bölünemez.
6183
6+1+8+3 = 18
1+8 = 9
3 ün katı, 6183 sayısı 3’e tam bölünür.
Örnek:
A doğal sayısı 43 ile bölündüğünde bölüm 25,
Örnek:
kalan 17 dir. A sayısı kaçtır?
7a33 dört basamaklı sayısının 3’e tam bölünmesi
için a kaç değer alır?
A) 1004 B) 1035 C) 1075 D) 1083 E) 1092
Çözüm:
7+a+3+3 = 13+a a = {2, 5, 8} üç değer alır.
Çözüm:
A
-
43
A = 43.25+17
25
A = 1092 dir.
Not:
1. {0, 3, 6, 9}
17
2. {1, 4, 7}
CEVAP: E
3. {2, 5, 8}
Örnek:
3’e bölünebilmede verilen sayının içindeki değiş-
A, B
ken bu üç kalıptan birini alır.
N
A
-
8
B+4
Son iki basamağı 4 ve 4’ün katı olan sayılar 4
B-5
ile bölünür.
Yukarıdaki bölme işleminde A nın alacağı en bü-
31132 sayısı 4’e tam bölünür. Çünkü 32 sayısı
yük değer kaçtır?
4’ün katıdır.
A) 35
B) 47
C) 96
D) 135
1100 sayısı 4 ile tam bölünür. 00 4’ün katıdır.
E) 145
Birler basamağı 0 ve 5 olan sayılar 5 ile tam
Çözüm:
bölünür.
A = 8.(B+4)+B-5
-65, -10, 135, 3240,… gibi.
8 > B-5 ise 13 > B ve B = 12 alınırsa,
A = 8.16+7 = 135 bulunur.
Yanıt: D
Verilen sayının rakamları toplamı 9 ve 9’un katı
olan sayılar 9 ile tam bölünür.
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının
rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalanına eşittir.
16
Örnek:
Kural:
(64a26) beş basamaklı sayısı 9 ile tam bölündü-
A)
ğüne göre, a nın alacağı kaç tane değer vardır?
lünür.
B)
Çözüm:
3 ve 4 ile tam bölünen sayılar, 12 ile tam
bölünür.
C) 3 ve 5 ile bölünen sayılar, 15 ile tam bö-
6+4+a+2+6 = 9k
18+a = 9k
2 ve 3 ile tam bölünen sayılar, 6 ile tam bö-
a = 0 veya a = 9 iki tane değer alır.
lünür.
D) 2 ve 9 ile tam bölünen sayılar, 18 ile tam
bölünür.
Örnek:
E)
(555…5) sayısı 25 basamaklı bir sayıdır. Bu
4 ve 5 ile tam bölünen sayılar, 20 ile tam
bölünür.
sayının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
F)
Son iki basamağı 00 veya 25’in katı olan
sayılar, 25 ile tam bölünür. (sayının son
Çözüm:
rakamı 00, 25, 50, 75 olmalıdır.)
(555…5) 25 tane 5 rakamının toplamı,
25.5 = 125 dir. 1+2+5 = 8
G) 2 ve 11 ile tam bölünen sayılar, 22 ile tam
bölünür.
kalan 8 olur.
H) 4 ve 9 ile tam bölünen sayılar, 36 ile tam
bölünür.
Birler basamağı 0 olan sayılar 10 ile bölünür.
İ)
10, 40, 1370,… gibi
5 ve 9 ile tam bölünen sayılar 45 ile tam
bölünür.
abcde 5 basamaklı bir sayı ise,
+ - + - +
a b c d e olmak üzere,
(a+c+e) – (b+d) = 11k,
k
Z ise, bu sayı 11 ile tam bölünür.
Örnek:
733b dört basamaklı sayısının 10 ile bölümünden
kalan 7 dir.
Buna göre, 7ab sayısının 11 ile tam bölünmesi için
a kaç olmalıdır?
Çözüm:
733b sayısının 10 ile bölümünden kalan 7 ise b=7
dir.
7a7 sayısının 11’e tam bölünmesi için,
(7+7) – a = 11k (k
Z)
14 – a = 11k
k = 1 alınır.
14 – a = 11
a = 3 olur.
17
5.
ÇÖZÜMLÜ TEST
x
-
8
n+3
n–5
Yukarıdaki bölme iĢleminde x in alabileceği
1.
(7x6x) dört basamaklı sayısı 6 ile kalansız
en büyük değer kaçtır?
bölünüyor. x kaç farklı değer alır?
A) 120
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
B) 123
C) 127
D) 131
E) 137
E) 5
6. (xy) iki basamaklı bir sayıdır.
783
xy
10
33
Yukarıdaki bölme iĢlemine göre xy kaçtır?
2. Dört basamaklı 5a2b sayısı 12 ile tam
bölünüyor. Buna göre a+b nin alabileceği
en büyük değer kaçtır?
A) 65
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
B) 70
C) 75
D) 80
E) 85
E) 18
7. Aşağıdaki işlemlerde her harf farklı bir rakam
belirtmektedir.
3. (47x7y) beş basamaklı sayısı 4 ile bölündüğünde 1 kalanını vermekte ayrıca 9 ile tam
ABCD
ABCD CD
C D5
x
78 5 A
y
Yukarıdaki iĢlemlere göre, x+y kaçtır?
bölünmektedir.
-
Buna göre x in alacağı değerler çarpımı
kaçtır?
A) 8
B) 12
C) 14
D) 15
A) 135
E) 21
4. (x42y6) beş basamaklı doğal sayı 3 ve 11 ile
B) 138
8.
tam bölünüyor.
x
-
C) 140
D) 145
E) 155
y–7
y
8
Yukarıdaki bölme iĢleminde x’in en küçük
Buna göre, x+y toplamının alabileceği kaç
farklı değer vardır?
değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) 148
18
B) 150
C) 152
D) 154
E) 162
ÇÖZÜMLER
4. + - + - +
x 4 2 y 6 11 ile bölünmesi için,
1. 6 ile tam bölünmesi için sayı 2 ve 3 ile tam
1) (x+2+6) – (4+y) = 11k (k
Z) olmalıdır.
bölünmelidir.
3 ile bölünmesi için,
x değeri çift rakam olmalıdır.
x+4+2+y+6 = x+y+12 = 3k
7+x+6+x = 13+2x toplamı 3’ün katı olmalıdır.
x+y toplamı 3 ve 3’ün katı olmalıdır.
13+2x = 3k
2) x+y = 3k (k
Z)
x = 2 için
13+2.2 = 17
x = 4 için
13+2.4 = 21 = 3k
1 ve 2 yi sağlayan x ve y değerlerini bulalım.
x = 6 için
13+2.6 = 25
3k
x – y+4 = 11k
x = 8 için
13+2.8 = 29
3k
x = 1 için y = 5
1+5 = 6
x = 4 için y = 8
4+8 = 12
x = 8 için y = 1
8+1 = 9
3k
x sadece 4 değerini alır.
Yanıt: D
ve
x+y = 3k
x+y toplamı 3 farklı değer alır.
Yanıt: C
2. 5a2b sayısının 12 ile bölünmesi için aynı anda
5. x = 8.(n+3)+(n – 5)
3 ve 4’e bölünmelidir. Ayrıca a ve b en büyük
kalan bölenden küçüktür.
seçilmelidir.
n – 5 < 8 ise n < 13 dür.
Önce 4 ile bölünebilme kuralı uygulanır.
x’in en büyük değeri için n’nin en büyük değeri
2b sayısı 4’ün katı olmalıdır.
olmalıdır.
2b
b = 0 için 20
n = 12 ise
b = 4 için 24
127 bulunur.
x = 8.(12+3)+(12 – 5) = 8.15+7 =
b = 8 için 28 olabilir.
Yanıt: C
En büyük b değeri 8 olur.
5a28
5+a+2+8 = 3k olmalı
6. 783 = 10.(xy)+33
783 – 33 = 10.(xy)
15+a = 3k
a en büyük 9 değerini alır. Böylece
750 = 10.(xy) ise (xy) = 75
Yanıt: C
a+b = 8+9 = 17 bulunur.
Yanıt: D
7.
-
ABCD
C D5
78 5 A
işleminde A rakamı 7 veya 8’dir.
C 1 olduğundan A = 8 bulunur.
D = 3, C = 9 ve B = 7 olur.
3. 47x7y sayısının 4 ile bölümünden kalanın 1
8793
olması için,
7y
-
72 ve 76 4’e tam bölünür.
93
94
94+51 = 145
51
Yanıt: D
72+1 = 73
y=3
76+1 = 77
y = 7 olmalıdır.
47x73 sayısının 9’a bölünmesi için,
4+7+x+7+3 = 21+x = 9k
8.
Bir bölme işleminde bölen kalandan daima büyüktür.
y – 7 > 8 ise y > 15
y = 16 alınırsa,
x = (16 – 7).16+8 = 152 bulunur.
x1 = 6
47x77 sayısının 9’a bölünmesi için,
4+7+x+7+7 = 25+x = 9k
x2 = 2
Bu durumda x1.x2 = 6.2 = 12 bulunur.
Yanıt: B
Yanıt: C
19
(eğer a’nın asal çarpanlarının içinde kuvveti
FAKTÖRĠYEL
birden büyük olan varsa bulunan kuvvet asal
çarpanın üssüne bölünür ve bölüm alınır.)
1 sayısından n sayısına kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir, n! olarak götserilir.
1.2.3.4.5.6. … .n = n!
0! = 1
1! = 1
2! = 1.2 = 2
3! = 1.2.3 = 6
4! = 1.2.3.4 = 24
5! = 1.2.3.4.5 = 120
.
.
.
.
.
.
n! = 1.2.3. …
Faktöriyelin Bazı Özellikleri:
1. n
2 olmak üzre , n! bir çift doğal sayıdır.
2. n
5 olmak üzre , n! sayısının son rakamı
sıfırdır. Yani , n! sayısının sonunda n! in içindeki
5 asal sayısı kadar 0 rakamı bulunur.
3. n!-1 sayısının sonundaki 9 rakamlarının sayısı n!
in sonundaki sıfır rakamlarının sayısı kadardır.
4. x,y,n birer sayma sayısı ve a bir asal sayı olmak
üzre x!
an.y koşulunu sağlayan en büyük n
doğal sayısını bulmak için
♦ x sayısı a asal sayısına bölünür
♦ ardışık bölme işlemine bölüm sıfır veya a dan
küçük oluncaya kadar devam edilir. Elde edilen
bölümler toplanır, toplamın sonucu kadar a asalı
mevcuttur x! içinde.
5. x,y,n birer sayma sayısı ve a bir asal sayı
değilse
x!
an.y koşulunu sağlayan en büyük n doğal
sayısını bulmak için ,
♦ a sayısı asal çarparlarına ayrılır ve her asal
için (4.) durumdaki işlem tekrarlanır.
20
ÇÖZÜMLÜ TEST
x
5. A.8 = 31! eĢitliğinde A’nın en küçük değeri
alması için x kaç olmalıdır?
1.
9!- 8!
iĢleminin sonucu kaçtır?
7!+6!
A) 56
B) 58
C) 60
D) 62
A) 15
B) 14
C) 12
D) 10
E) 8
E) 64
6. 8! sayısının asal olmayan doğal sayı bölenle2.
ri kaç tanedir?
(n + 1)!
= 132 olduğuna göre, n kaçtır?
(n - 1)!
A) 97
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
B) 96
C) 95
D) 92
E) 90
E) 14
35!
K bir tam sayı olduğuna göre, x+y
x
3 .5 y
nin en büyük değeri kaçtır?
7. K =
3. 99! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
A) 17
A) 19
B) 20
C) 21
D) 22
da 9 vardır?
B) 13
C) 20
D) 21
E) 23
8. x, y, z asal sayı olmak üzere,
18!
ifadesi tam sayı olduğuna göre,
x.y.z
4. (65!–58!)–1 sayısının sondan kaç basamağın-
A) 11
B) 19
E) 23
(x+y+z) ifadesinin en büyük değeri kaçtır?
C) 14
D) 15
E) 16
A) 25
B) 30
C) 31
21
D) 37
E) 41
5.
ÇÖZÜMLER
x
A.8 = 31!
1.
9!- 8! 9.8!-8! (9 - 1). 8! 8.8.7.6!
=
=
=
= 56
7!+6! 7.6!+6! (7 + 1). 6!
8.6!
A=
3
31!
8x
8 = 2 , 31 sayısını 2’ye ardışık böleriz ve bölümleri
toplarız.
Yanıt: A
31
2
15
2
7
2
3
2.
2
1
26 tane 2 vardır.
(n+1)! = (n+1).n.(n-1)! olarak yazılabilir.
x
8 i oluşturalım.
(n + 1)! (n + 1).n.(n - 1)!
=
= 132
(n - 1)!
(n - 1)!
2
26
3 8
2
8
= (2 ) .2 = 8 .4
x = 8 bulunur.
(n+1).n = 132
Yanıt: E
2
n +n-132 = 0
n
-11
n
12
(n-11).(n+12) = 0
6.
n = 11 veya n = -12
-12 negatif sayı olduğu için alınmaz çünkü
8! Sayısının asal bölenlerini bulalım.
(-12)! yoktur.
8
n = 11 bulunur.
2
4
8
2
2
2
1
8! Sayısında
Yanıt: B
3
2
8
5
1
8
7
1
7 tane 2
2 tane 3
1 tane 5
3. Sona gelen sıfır rakamını , içinde 2 ve 5 çarpanı
1 tane 7 var.
7
2
olan sayılar oluşturur. n! sayısının içinde kaç tane 5
8! = 2 .3 .5.7
rakamı var ise o kadar sıfır vardır. n sayısı 5’e
Pozitif bölenleri = (7+1).(2+1).(1+1).(1+1)
ardışık olarak bölünür. Bölenlerin toplamı bize kaç
= 8.3.2.2 = 96
tane sıfır olduğunu verir.
Asal olmayan bölenleri sayısı = 96 – 4 = 92 dir.
Yanıt: D
99
5
19
5
3
19+3 = 22 tane 5 çarpanı vardır. O halde 22 tane
sıfırı vardır.
Yanıt: D
7.
35
3
11
35
3
3
3
1
5
7
5
1
x = 11+3+1 = 15 y = 7+1 = 8
4. (65! – 58!) – 1
58! sayısında kaç tane sıfır var ise, bu işlemin
sonucunda, sağdan sola o kadar 9 rakamı vardır.
58 5
11 5
2
11+2 = 13
13 tane 9 rakamı vardır.
Yanıt: B
x+y = 15+8 = 23 olur.
Yanıt: E
8.
18! içindeki en büyük asal sayılar 17, 13, 11 dir.
17+13+11 = 41
Yanıt: E
22
EN KÜÇÜK ORTAK KAT - EKOK (OKEK)
O.K.E.K. – O.B.E.B.
Sıfırdan farklı iki veya daha fazla sayıdan her birinin
katı olan en küçük doğal sayıya bu sayıların en küçük ortak katı denir.
EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN - EBOB (OBEB)
a ile b nin en küçük ortak katı x ise,
e.k.o.k. (a,b) = x veya (a,b)e.k.o.k. = x biçiminde göste-
En az biri sıfırdan farklı olan iki ya da daha çok sayıyı
rilir.
aynı anda bölen en büyük pozitif sayıya bu sayıların en
büyük ortak böleni denir.
Örnek:
a ile b nin ortak böleni x ise,
36 ve 48 in en küçük ortak katı kaçtır?
e.b.o.b. (a,b) = x veya (a,b)e.b.o.b. = x biçiminde gösterilir.
Çözüm:
I. yol:
Örnek:
36 nın katlarının kümesi A ise,
36 ile 48 in en büyük ortak böleni kaçtır?
A = ,36, 72, 108, 144, 180, 216, 252, 288, …48 in katlarının kümesi B ise,
Çözüm:
B = ,48, 96, 144, 192, 240, 288, …-
I. yol:
A∩B = ,144, 288, …-
36 nın pozitif bölenlerinin kümesi A ise,
e.k.o.k.(36,48) = 144 dür.
A = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
48 in pozitif bölenlerinin kümesi B ise,
B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
II. yol:
36
18
9
3
1
A∩B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
e.b.o.b. (36,48) = 12 dir.
II. yol:
36
18
9
3
1
2
2
3
3
48
24
12
6
3
1
2
2
2
2
3
2
2
2
3
3
48
24
12
6
3
1
2
36 = 2 .3
4
48 = 2 .3
4
2
2
2
2
2
3
2
e.k.o.k.(36,48) = 2 .3 = 144
2
36 = 2 .3
Ortak asal sayıların en büyük üslü olanları ile ortak olma-
4
48 = 2 .3
yanların çarpımı sayıların e.k.o.k. unu verir.
Ortak olanların en küçük üsleri alınır, çarpılır.
2
e.b.o.b. (36,48) = 2 .3 = 12 dir.
III. yol (pratik yol):
36 48
18 24
9
12
9
6
9
3
3
1
1
III. yol:
36
18
9
9
9
3
1
2
2
2
2
3
3
48
24
12
6
3
1
2
2
2
2
3
3
İki sayıyı aynı anda bölen sayılar işaretlenir. İşaretli
Ortaklık aranmaksızın bütün sayılar çarpılır.
sayıların çarpımı bize e.b.o.b. u verir.
e.k.o.k.(36,48) = 2.2.2.2.3.3 = 144
e.b.o.b. (36,48) = 2.2.3 = 12 dir.
23
 EBOB(a,b) = EBOB(-a,-b) = EBOB(-a,b) = EBOB(a,-b)
 Kesirli sayıların ebob ve ekok’larını bulurken;
 a ile –a nın tam sayı bölenleri aynı olduğundan
EKOK(a,b) = EKOK(-a,-b) = EKOK(-a,b) = EKOK(a,-b)
Ebob
a c
,
b d
=
ebob(a.d,c.b)
ekok(b,d)
ekok
a c
,
b d
=
ekok(a,c)
ebob(b,d)
 A ve B doğal sayı ve A<B ise,
EBOB(A,B)
A
B
EKOK(A,B) dir.
 A ile B ardışık iki sayı veya aralarında asal sayılar ise,
EBOB(A,B) = 1 ve EKOK(A,B) = A.B dir.
Örnek:
4
9
ile
sayılarının en büyük ortak böleni ile en küçük
5
4
ortak katının toplamı kaçtır?
 A ve B iki doğal sayı olmak üzere,
EBOB(A,B) = x ise
A = x.m (m ve n aralarında asal sayılar)
B = x.n
Çözüm:
4 9
,
ebob
5 4
EKOK(A,B) = x.m.n dir.
 EBOB(a,b) = m
EKOK(a,b) = n ise max(a+b) = m+n dir.
 k
Z – {0}
=
ebob(4.4,5.9) ebob(16,45)
=
ekok(5,4)
ekok(4,5)
ebob
4 9
,
5 4
=
1
20
ekok
4 9
,
5 4
=
ekok(4,9) 36
=
= 36
1
ebob(5,4)
EKOK (k.a,k.b) = k . EKOK(a,b)
1
721
+ 36 =
dir.
20
20
+
Örnek: a, b
Z
EKOK(a,b) = 144 ve a.b = 3456 olduğuna göre, a+b en
 Verilen problemin ifadesinde soru kökü bütünden
az kaç olabilir?
parçaya ise, sayıların EBOB’u bulunur.
Çözüm:
a.b = EKOK(a,b) . EBOB(a,b)
Örnek:
3456 = 144. EBOB(a,b)
50 kg, 60 kg ve 65 kg lık 3 çuval pirinç hiç artmayacak
EBOB(a,b) = 24
biçimde eşit torbalanacaktır. En az kaç torbaya ihtiyaç
vardır?
a = 24.m
EKOK(a,b) = 24.m.n
Çözüm:
b = 24.n
Çuvalları bütün torbayı parça olarak kabul edersek; 50,
60 ve 65 sayılarının EBOB’unu buluruz.
144 = 24.m.n
6 = m.n
m = 2, n = 3
EBOB(50, 60, 65) = 5
a = 24.2 = 48
Bir torbaya 5 kg pirinç konacak anlamına gelir. Her bir
b = 24.3 = 72
çuval için gereken torba sayısı bulunur ve bunlar topla-
a+b = 120
narak toplam torba sayısı elde edilir.
veya
6 = m.n
50 : 5 = 10
m=1, n= 6
60 : 5 = 12
a = 24.1 = 24
65 : 5 = 13
b = 24.6 = 144
10+12+13 = 35 torbaya ihtiyaç vardır.
a+b = 168
 Verilen problemin ifadesinde soru kökü parçadan
(a+b) nin alacağı en küçük değer 120 dir.
bütüne ise sayıların EKOK’u bulunur.
24
Örnek:
ÇÖZÜMLÜ TEST
Boyutları 5, 10, 12 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutular yan yana getirilerek en küçük boyutlu
1. Bir torbada 270 ile 300 arasında bilye vardır. bilyeleri
bir küp yapılacaktır. En az kaç kutuya ihtiyaç vardır?
6’şar, 8’er ve 12’şer saydığımızda her seferinde 4
bilye artıyor.
Çözüm:
Torbada kaç bilye vardır?
Kutunun boyutu parça, küpün boyutunu bütün kabul
edersek,
A) 282
B) 288
C) 292
D) 296
E) 298
EKOK(5,10,12) = 60
Yapılacak küpün bir boyutu 60 cm’dir.
küpün hacmi
Kutu sayısı =
kutunun hacmi
=
60.60.60
= 360
5.10.12
2. a = 48 ve b = 120 ve EBOB(a,b) = 24 olduğuna göre,
EKOK(a,b) kaçtır?
360 kutuya ihtiyaç vardır.
A) 210
B) 240
C) 280
D) 480
E) 720
Örnek:
a ve b doğal sayılarının ekok’u 60 dır.
a+b nin en büyük değeri kaçtır?
Çözüm:
3. 20, 25 ve x sayılarının EBOB’u 5 ve EKOK’u 700’dür.
a+b nin en büyük değer alması için sayıların ekok’u
x sayısının en büyük ve en küçük değerinin farkı
verilmişse sayılar birbirine eşit alınır.
kaçtır?
Çünkü eşit olan iki sayının ekokları da kendilerine eşittir.
A) 565
B) 615
C) 645
D) 665
E) 675
a = 60 ve b = 60 olur.
a+b = 60+60 = 120 dir.
Örnek:
a ve b birbirinden farklı iki doğal sayıdır.
4.
ekok(a,b) = 60 ise a+b nin toplamı en çok kaç olur?
6 5 12
, ,
sayılarına bölünebilen en küçük tam sayı
7 4 11
değeri kaçtır?
Çözüm:
A) 40
Sayılar birbirinden farklı dediği için en büyük olma ko-
B) 45
C) 50
D) 55
E) 60
şulu ilk ekok’a eşit olan sayı diğeri de o sayının katı
olan en küçük sayıdır.
a = 60 ve b = 30 olur.
a+b = 60+30 = 90 bulunur.
5. A = 8x+13 = 10y+7 = 15z – 3
eşitliğinde A sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 357
B) 360
C) 363
25
D) 366
E) 369
6. 6 ve 8 ile bölünebilen iki basamaklı sayıların
11. A = 11!+10! Ve B =
toplamı kaçtır?
EKOK(A,B)
A) 220
B) 230
C) 240
D) 250
EBOB(A,B)
E) 260
A) 100
11!
olduğuna göre,
10
oranı kaçtır?
B) 110
C) 1200
D) 1320
E) 1500
7. Boyutları 400 cm, 80 dm ve 10 m olan bir dikdörtgenler prizması şeklindeki bir depoya hiç boşluk
kalmayacak biçimde en az kaç tane eş küp kutular
4
2
2
12. EKOK(48,90,x) = 2 .3 .5
yerleştirilir?
EBOB(48,90,x) = 6
A) 40
B) 42
C) 48
D) 52
olduğuna göre, en küçük x doğal sayısı kaçtır?
E) 56
A) 150
8. a
B) 140
C) 125
D) 75
E) 50
+
N
EKOK(2a+1,2a–1)–EBOB(2a+1,2a–1)=254
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
13. a ve b pozitif tam sayılardır.
E) 8
EBOB(a,b) = 1 dir.
a.b = 700 olduğuna göre, kaç farklı (a,b) ikilisi
yazılabilir?
A) 6
B) 8
C) 12
D) 14
E) 1
9. 1725 sayısına en küçük hangi pozitif tam sayı eklenirse bu sayı 15, 18 ve 24 ile tam bölünür?
A) 65
B) 75
C) 85
D) 95
E) 105
14. x, y
+
N
x+y = 33
EKOK(x,y) = 200
10. Dairesel bir koşu pistini I. atlet 24 sn’de, II. atlet 30
olduğuna göre, x’in alabileceği en büyük değer
sn’de, III. atlet ise 48 sn’de koşabiliyor.
kaçtır?
Aynı noktadan üçü beraber koşuya başladıktan kaç
dakika sonra başlangıç noktasından beraber geçer-
A) 8
ler?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
26
B) 15
C) 25
D) 27
E) 40
ÇÖZÜMLER
5. A = 8x+13 = 10y+7 = 15z – 3
Tüm eşitliklere 3 ekleyelim.
A+3 = 8x+16 = 10y+10 = 15z
1. 6, 8 ve 12 nin EKOK u bulunur.
A+3 = 8(x+2) = 10(y+1) = 15z
6
3
3
3
1
8
4
2
1
12
6
3
3
1
2
2
2
3
A+3 sayısı 8, 10, 15 sayıları ile orantılıdır.
8
4
2
1
5
1
3
EKOK(6,8,12) = 2 .3 = 24
270 ile 300 arasında 24’ün katı olacak biçimde bir
10
5
5
5
5
1
15
15
15
15
5
sayı elde edelim. Sayımız 288 dir. Bilyele-rimiz 4
2
2
2
3
3
EKOK(8,10,15) = 2 .3.5 = 120 veya katlarıdır.
arttığına göre 288+4 = 292 bulunur.
Cevaplarda 300’lü şıklar verildiği için 120 nin 3 katı
Yanıt: C
120.3 = 360
A+3 = 360
A = 357
2. a.b = EBOB(a,b) . EKOK(a,b)
Yanıt: A
48.120 = 24. EKOK(a,b)
EKOK(a,b) = 240
Yanıt: B
6.
6 ile 8’in EKOK’u bulunur.
6
8
2
3
4
2
3
2
2
3
1
3
1
3. 20 ve 25 sayılarındaki ortak çarpanı bulursak aynı
sayı x için de geçerli olur.
20 = 5.4
25 = 5.5
x = 5.a
3
EKOK(6,8) = 2 .3 = 24
EKOK’u ortak çarpana bölersek geride kalan sonuç
Sayılar 24 ve katlarıdır.
bize ortak olmayan kısımları verir.
24+48+72+96 = 240 bulunur.
700 : 5 = 140
Yanıt: C
2
140 = 2 .5.7
7 çarpanı 20 ve 25 sayılarına ait olamayacağı için x =
5.a ifadesindeki a = 7 dir.
x = 5.7 = 35 en küçük değerdir.
x için en büyük değer EKOK’un kendisidir. Yani x =
7. 400 cm = 4 m
700 olur.
80 dm = 8 m
700 – 35 = 665 bulunur.
Bütünden parçaya indiğimiz için EBOB’u buluyoruz.
Yanıt: D
4.
x x x
, ,
6 5 12
7 4 11
EBOB(4,8,10) = 2
Kübün bir boyutu 2 m’dir.
Kutu sayısı =
7x 4x 11x
, ,
6 5 12
=
Bu durumda x’in 6, 5, 12 sayılarına bölünmesi
Deponun hacmi
Kübün hacmi
4.8.10
= 40 bulunur.
2.2.2
gerekir.
Yanıt: A
EKOK(5,6,12) = 60
Yanıt: E
27
4
8. 2a+1 ve 2a–1 ardışık tek sayılardır ve araların-da asal
12. 48 = 2 .3
2
sayılardır.
90 = 2.3 .5
EBOB(2a+1,2a–1) = 1 dir.
EKOK için sayıların ortak olan en büyük üsleri ve
EKOK(2a+1,2a–1) – 1 = 254
ortak olmayan elemanları alınır ve birbirle-riyle
EKOK(2a+1,2a–1) = 255
çarpılır.
2
O halde x değerinin içinde 5 olmalıdır.
255 3
85 5
17 17
1
Her sayıda 6 ortak çarpan olduğuna göre,
2
x = 6.5 = 6.25 = 150 bulunur.
Yanıt: A
255 = 15. 17
2a+1 = 17
a = 8 bulunur.
13. EBOB(a,b) = 1 ise a ile b aralarında asaldır.
II. yol:
a.b çarpımını aralarında asal iki sayının çarpımı
(2a+1).(2a–1) = 255
biçiminde yazalım.
2
4a – 1 = 255
a.b = 1.700 = 700
(1,700)
a.b = 7.100 = 700
(7,100)
a = 64
a.b = 28.25 = 700
(28,25)
a = 8 bulunur.
a.b = 175.4 = 700
(175,4) veya
2
4a = 256
2
Yanıt: E
(700,1), (100,7), (25,28), (4,175) olur.
(b,a) sırasıyla birlikte toplam 8 farklı (a,b) sıralı ikilisi
yazılır.
Yanıt: B
9. 15, 18 ve 24 sayılarının EKOK’u bulunur.
EKOK(15,18,24) = 360
360 ın katları alınır. 360.5 = 1800
3
1800 – 1725 = 75
2
14. 200 = 2 .5
3
Yanıt: B
2
2 = 8 ve 5 = 25
25+8 = 33 olduğundan x = 25 bulunur.
Yanıt: C
10. EKOK(24,30,48) = 240
240:60 = 4 dakika
Yanıt: D
11. A = 11!+10! = 11.10!+10! = 12.10!
11.10.9 !
11.9 !
B=
10
EKOK(12.10!,11.9!) = 12! (En küçük kat olduğu için)
EBOB(12.10!,11.9!) = 9! ( ikisini de bölen en küçük
ortak sayı olduğu için)
EKOK(A,B) 12! 12.11.10.9!
=
=
= 1320 olur.
EBOB(A,B) 9!
9!
Yanıt: D
28
Örnek:
RASYONEL SAYILAR
3
2-
işleminin sonucu kaçtır?
3
2-
2
2+
1+
RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER
1
2
Çözüm:
3
2-
1) Toplama – Çıkarma İşlemleri:
a c a.d± c.b
± =
b d
b.d
22+
=22) Çarpma:
a c a.c
. =
b d b.d
3
= 2-
3
2-
2
2+
1
1+
2
= 2-
3
4
3
3
9
210
30
8
=11
11
Rasyonel Sayılarda Sıralama:
a c
,
Q olsun.
b d
Çarpma işleminde varsa sadeleştirme yapılır.
a c
- >0
b d
a c
- <0
2)
b d
a c
- =0
3)
b d
1)
3) Bölme:
a c a d a.d
: = . =
b d b c b.c
a c
>
b d
a c
<
b d
a c
= dir.
b d
Buna üç hal kuralı denir.
Rasyonel sayıları bir eşitsizlik zinciri içinde sıralayabilmek
için bu sayıların payları veya paydaları eşit olmalıdır.
Örnek:
-2
1) Payları eşit ise:
1
3
2
2
:
- 3
14
-3
1
22
Payları eşit olan rasyonel sayılardan paydası büyük olan
daha küçüktür.
Örnek:
8 8 8 8
, , ,
sayılarını büyükten küçüğe doğru sırala5 7 11 9
yınız.
Çözüm:
-2
1
3+
2
2 :
- 3 14
-3
1
22
Çözüm:
8 8 8 8
, , , sayıları için
5 7 11 9
-2
-2
7
2
2 7 1
2 2
-3
= - = - - .
: -3.
:
3
3
3 2 14
3 14
2
11>9>7>5 olduğundan,
8 8 8 8
< < < olur.
11 9 7 5
2 1
-8 - 3
1
11
-2
= - : (-2) =
:
= - .4
3 4
12
12
4
11
= 3
Not: x, y, z negatif tamsayılar ise, sıralama pozitif
sayıların tam tersi olur.
29
Örnek:
8 8 8 8
- ,- ,- ,- sayılarını küçükten büyüğe doğru sıra5 7 11 9
layınız.
3) Pay ve Paydalar Eşit Değil ise:
Verilen rasyonel sayılarda pay ve paydalar eşit değil ise,
önce pay veya paydalar eşitlenir, 1. veya 2. maddeler
uygulanır.
Örnek:
7
3
5
x= - ,y= - ,z= sayılarını eşitleyiniz.
6
4
12
Çözüm 1:
8 8 8 8
< < <
11 9 7 5
Negatif kesirlerde sıralama tam tersidir.
8 8 8
8
- <- <- <5 7 9 11
Çözüm:
7 3
5
- ,- ,paydaları eşitleyelim ve sayıları işaretle6 4 12
rine bakmadan sıralayalım.
14
9
5
x=
,y=
,z=
12
12
12
Çözüm 2:
Negatif kesirlerde paylar eşit ise, paydası büyük olan
daha büyüktür.
8 8 8
8
- <- <- <olur.
5 7 9 11
z < y < x olur. Negatif sayı sıralaması z >y > x dir.
4) Pay ve Paydası Arasındaki Fark Eşit Olan Pozitif
Kesirlerde:
2) Paydalar Eşit ise:
Pay ve paydasındaki sayılar büyüdükçe; basit kesirlerin
Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan payı büyük
değeri artar, bileşik kesirlerin değeri azalır.
olan daha büyüktür.
Örnek:
9
11
13
a = ,b = , c =
olduğuna göre, a, b, c arasındaki
8
10
12
sıralamayı bulunuz.
Örnek:
4 2 7 5
, , , sayılarını büyükten küçüğe doğru sırala-yınız.
9 9 9 9
Çözüm:
Pay ve payda arasındaki fark üç kesirde de 1’dir. Kesirler
Çözüm:
bileşik kesir olduğu için,
7 > 5 > 4 > 2 olduğundan
a > b > c dir.
7 5 4 2
> > > olur.
9 9 9 9
Örnek:
3 4
ile arasına iki rasyonel sayı yerleştiriniz.
4 5
Örnek:
4 2 7 5
- ,- ,- ,- sayılarını büyükten küçüğe doğru sıra9 9 9 9
layınız.
Çözüm:
3
4
< x < y < (Paydaları eşitleyelim.)
4
5
15
16
<x<y<
(Kesirleri genişletelim.)
20
20
30
32
<x<y<
40
40
60
64
<x<y<
80
80
61
62
x=
,y=
olabilir.
80
80
Çözüm:
Negatif kesirlerde paydalar eşit ise mutlak değerce payı
büyük olan daha küçüktür.
2 4 5 7
- > - > - > - olur.
9 9 9 9
30
Örnek:
213-21 192 32
2,13 =
=
=
90
90 15
ONDALIK SAYILAR
Paydası 10 ve 10 un pozitif kuvvetleri olan sayı-lara
0,7 =
ondalık sayılar denir.
4 34 145
,
,
,... gibi
10 100 1000
7
9
1,14 =
114 -1 113
=
99
99
Her pozitif rasyonel sayının devirli veya devirsiz bir
ondalık açılımı vardır.
Not: Devreden rakamı 9 ise, solundaki sayı 1 artırılır, 9
Ondalık açılımını payı paydaya bölerek buluruz.
yok olur.
Örnekleri İnceleyiniz:
11
= 1,1
10
9
= 0,09
100
19
= 3,8
5
3
= 0,75
4
13,69 =
1369 -136 1233 137
=
=
90
90
10
Ondalık Sayıların Üslü İfadesi:
0,00…0a = a.(10)
-n
(a≠ 0)
n tane
Örnekleri inceleyiniz:
0
0,0005.10 = 5.10
-4
0
0,000012.10 = 12.10
DEVİRLİ ONDALIK SAYILAR
0 3
-6
-5 3
3
(0,00006.10 ) = (6.10 ) = 6 .10
-15
0,2222…
3,141414…
Not: Dikkat edilirse, virgül nekadar sağa kayarsa 10 un
32,020202…
kuvveti de o kadar AZALIYOR, Virgül ne kadar sola
Şeklindeki ondalık sayılara devirli ondalık sayılar denir.
kayarsa 10 un kuvveti o kadar ARTIYOR.
Her devirli ondalık açılım bir rasyonel sayı belirtir.
1,444... =1,4
21,131313… = 21,13
Biçiminde gösterilir. Üzerinde çizgi olan sayı devirli
sayıdır.
REEL (GERÇEK) SAYILAR
863,193 ondalık açılımında 93 devreden sayıdır.
Rasyonel sayılarla irrasyonel sayıların birleşimidir. R
Devirli Ondalık Açılımı Verilen Rasyonel Sayıyı Bulma:
ile gösterilir.
N
Sayının tamamı-devretmeyen
Z
Q
R
Rasyonel sayı =
99…9 00…0
Reel Sayı Aralıkları
Reel sayılarda bazı işlemleri ifade etmek için aralık
x
kavramı geliştirilmiştir.
y
a, b
R olmak üzere,
x ve y; sayının virgülden sonraki kısmındaki sırasıy-la
1.
x a £ x £ b,x Î R Þ a,b
devreden rakam sayısını ve devretmeyen rakam sayısını
2.
x a < x £ b, x Î R Þ a,b
3.
x a £ x < b,x Î R Þ a,b
4.
x a < x < b, x Î R Þ a,b
göstermektedir.
31
ÇÖZÜMLÜ TEST
3 7 5
+ + ise,
5 11 8
4 3
1ifadesinin A türünden eşiti aşağıdakiler11 8
den hangisidir?
5. A =
+
1. x N olmak üzere,
3x - 4
ifadesini basit kesir yapan x değerlerinin
2x + 1
toplamı kaçtır?
A) A+
A) 5
B) 7
C) 10
D) 11
B) 2
C) 3
B) A-
8
5
C) A-2
6. a =
E)
A
2
D) 4
223
227
231
,b=
,c=
225
229
233
a, b, c arasındaki sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
E) 5
A) a<b<c
B) a<c<b
D) c<a<b
3.
D) A+3
E) 12
x + 4 x -2
+
2.
ifadesini basit kesir yapan x tam sayı
3
4
değeri kaç tanedir?
A) 1
7
5
C) b<c<a
E) b<a<c
4
5
<x<
olduğuna göre,
7
7
x aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A)
3
14
B)
1
2
C)
5
14
D)
7. a = -
9
14
E)
11
13
15
,b= - ,c= 13
15
17
a, b, c sıralaması aşağıdakilerden hangisinde doğru-
5
7
dur?
A) a>b>c
B) c>a>b
D) a>c>b
C) b>a>c
E) c>b>a
4. x < 0 < y olmak üzere,
y-x
a=
gerçel sayısı veriliyor.
x
Buna göre, a sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
8. x = 0,38 , y = 0,38 , z = 0,38
x, y, z arasındaki sıralama aşağıdakilerin hangisinde
3
A) 2
2
B) 3
D) 1
2
C)
3
E)
doğru olarak verilmiştir?
3
2
A) x>y>z
B) z>x>y
D) x>z>y
32
C) z>y>x
E) y>z>x
9.
1
3 × 1- 1
13.
3
1- 0,3
2
ifadesinin sonucu kaçtır?
0,3 0, 5 0,7
+
0,33 0, 55 0,77
A) 2,2
B) 2
5
10. 4 +
4+
A) 1
D) 1,1
E) 1
A) -
3
5
B)
5
14.
B) 2
C) 3
D) 4
3 1
1
- 2+
5 5
2
15.
2
2
4+ - 45
5
11.
7
7
7+ - 710
10
5
7
3
5
C)
14
5
D)
15
8
E) 3
B)
E) 5
A)2
A)
-2
ifadesinin sonucu kaçtır?
5
4+
C) 1,2
0,2 +
B)
3
2
C) 1
D)
1
5
E)
1
10
0,ab + 0,ba
= 11 olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır?
(10,9)-1
A) 5
4
7
C)
7
4
D) 2
E)
B) 6
C) 8
D) 9
E) 11
14
5
16. Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
12.
7,2.10-9.0,05.1010
0,33.106 + 17.104
2
-1
2
1
+3
:
2
2
12
13
A) 17
B) 24
C) 48
D) 66
A) 7, 2.106
B) 72.104
D) 7, 2.10-6
E) 70
E) 72.10-6
33
C) 7, 2.103
5.
ÇÖZÜMLER
A=
1.
3x - 4
ifadesi basit kesir ise,
2x + 1
3x – 4 < 2x+1
x
3 7 5
+ +
5 11 8
B=1-
x<5
+
N , x = {1, 2, 3, 4}
4 3
11 8
A–B=
3 7 5
4
3
+ + -1+ +
5 11 8
11 8
A–B=
8
5
B=A-
8
5
1+2+3+4 = 10
Yanıt: C
2.
a
kesrinin basit kesir olması için,
b
a
-1 < < 1 olmalıdır.
b
x + 4 x -2
+
-1 <
<1
3
4
4x +16 + 3x - 6
-1 <
<1
12
Yanıt: B
6. Pozitif basit kesirlerde pay ve payda arasındaki fark
eşit ise kesirlerin değerleri arttıkça değeri artar.
-12 < 7x+10 < 12
Bileşik kesirlerde ise küçülür.
-22 < 7x < 2
22
2
- <x<
7
7
x
a<b<c
Yanıt: A
Z, x = {-3, -2, -1, 0}
Yanıt: D
7. Pay ve payda arasındaki fark her birinde eşit olan
negatif sayılarda, pozitif yönlü sıralamanın tersidir.
3.
Yanıt: A
4
5 4
5
<x<
( ile yi 2 ile genişletelim.)
7
7 7
7
8
10
<x<
14
14
9
x=
olur.
14
8.
Yanıt: D
x = 0,3800…
y = 0,3888…
z = 0,3838…
Birler, onda birler ve yüzde birler basamakları birbirine
4.
y-x
a=
x
eşit. Binde birler basamağı x’in 0, y’nin 8, z’nin 3’tür.
y
a = - 1 ve
x
y>z>x
Yanıt: E
y
< 0 olduğundan, a < -1 dir.
x
Yanıt: A
34
9.
13.
2
2
=
0,3
0,5 0,7 30 50 70
+ +
0,33 0,55 0,77 33 55 77
=
1
3 .1- 1
3
1- 0,3
0,2 +
2
22
2
=
=
= 2,2
10
10 10 10
10
+
11
11 11 11
2 3
+
3
=9 9
2
2
3
Yanıt: A
2
-2
2 1
+
9
3 (2 )-2
=
3 3
19
5
9 5 3 9 15
9
= . = . . =
2 4 9 2 4 8
3
Yanıt: D
14.
10.
5
4+
4+
4+
x
5
4+ = x
x
2
4x+5 = x
3 1
1 3 1 5 3 1
- .2+ = - . = 5 5
2 5 5 2 5 2
(2)
6-5 1
=
=
10 10
=x
5
5
(5)
Yanıt: E
2
x -4x-5 = 0
15.
(x-5) . (x+1) = 0
x = 5 veya x = -1 ( x = -1 olamaz.)
0,ab + 0,ba
= 11
(10,9)-1
Yanıt: E
ab ba
+
99 99
109 - 10
9
-1
= 11
ab + ba
11(a + b)
99 = 11 Þ
99
= 11
99 -1
1
( )
9
11
a+b
.11 = 11 Þ a + b = 9
9
11.
2
2
2
2
4+ - 44+ -4+
5
5
5
5
=
7
7
7
7
7+ -7+
7+ - 710
10
10
10
Yanıt: D
4
4 10 4
= 5 = . =
14 5 14 7
10
Yanıt: B
12.
2
-1
2
1
=
+3
:
2
2
12
13
16.
1
2 3
+
.12
1 2
3
7, 2.10 -9.0, 05.1010
72.10 -10.5.10 8
=
6
4
0.33.10 + 17.10
33.10 4 + 17.10 4
=
360.10 -2
= 7, 2.10 -6
50.10 4
Yanıt: A
1 1
1
= 6 - . 12 = 6 - .12
3 2
6
=
35
.12 = 70
6
Yanıt: E
35
ÇÖZÜMLÜ TEST
BİRİNCİ DERECEDEN
DENKLEM SİSTEMLERİ
1. 3x–(x+5) = 5–2(1–2x) eşitliğini sağlayan x değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
İçinde en az bir değişken (bilinmeyen) bulunan eşitlikle-
A) -4
B) -3
C) -1
D) 3
E) 4
re denklem denir.
4x – 7 = 3
x değişkenine bağlı
5m+4 = 3
m değişkenine bağlı
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerdir.
3x+2y = 7
a – 2b = -2
2. ax – b = cx+3 ise, x değerinin eşiti nedir?
x ve y ye bağlı
A)
a ve b ye bağlı birinci dereceden iki
b-3
a+c
bilinmeyenli denklemlerdir.
B)
D)
b+3
a-c
C)
b-3
a- c
E)
b+3
a+c
b+1
a+c
5x – 3y = 2
x ve y değişkenine bağlı
2x+4y = 6
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.
3.
3
4
=
ise, x kaçtır?
2x - 5 3x + 2
A) -30
4.
B) -28
C) -26
D) 26
E) 30
3-x x +1
= 1 ise, x kaçtır?
4
2
A) 2
B) 1
C) 0
D) -1
E) -2
5. 2xy–3x = y+3 ise, y nin x cinsinden değeri nedir?
A)
3x + 3
2x -1
B)
D)
36
3x + 3
2x +1
x+3
2x -1
C)
E)
x +1
x -3
3x - 3
2x +1
6. ax+2b–3x+1 = 0 denkleminin çözüm kümesi Ø (boş
10. (2a–3)x+3x–1+a = 0 eşitliğinde x = -1 ise,
küme) ise, a kaçtır?
A) 3
B) 4
7
7. 6 -
3+
a kaçtır?
C) 5
D) 6
E) 7
A) -
3
2
B) -1
C) -
1
2
D)
1
2
E) 1
= 5 ise, x kaçtır?
4
x -1
11.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
2
3
olduğuna göre, x kaçtır?
=
1
+1 x
x -1
A)
1
2
B)
2
3
C)
5
2
D) 2
E) 3
8. 2x–3y = 1
x+2y = 11
sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (5,3)
B) (5,2)
D) (3,5)
C) (2,5)
12.
2a - b a + 2b
b
= -1 olduğuna göre, kaçtır?
3-1
2
a
E) (1,2)
A)
9.
4
3
B)
3
4
C)
3
2
D)
4
7
E)
7
4
1 1
- = -1
x y
2 3
+ = 13
x y
denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden
13.
hangisidir?
x 5 x 6
+ = +
ise,
5 x 6 x
x aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1 1
,
2 3
1 1
,
2 3
B)
C)
1 1
,
2 3
D) {(2, 3)}
A)
30
C) 2 15
B) 5
D) 2 10
E) {(-2, -3)}
37
E) 30
ÇÖZÜMLER
6. ax+2b – 3x+1 = 0
ax – 3x = -2b – 1
x(a – 3) = -2b – 1
-2b - 1
x=
a-3
a–3=0
a = 3 olursa eşitlik tanımsız olur.
1. 3x–(x+5) = 5–2(1–2x)
3x–x–5 = 5–2+4x
2x–5 = 3+4x
-5–3 = 4x–2x
Yanıt: A
2x = -8
x = -4 dür.
Yanıt: A
7
7. 6 -
3+
2. ax–b = cx+3
4
x -1
=5
ax–cx = b+3
x(a–c) = b+3
x=
1
b+3
dir.
a-c
7
Yanıt: B
3+
4
x -1
=1
7
3.
3
4
=
(içler dışlar çarpımı yapılır.)
2x - 5 3x + 2
3+
4
=7
x -1
4
=4
x -1
x–1 = 1
4
3(3x+2) = 4(2x–5)
Yanıt: C
9x+6 = 8x–20
9x–8x = -20–6
x=2
x = -26 dır.
Yanıt: C
8. Bu tür denklem sistemlerini çözebilmek için değişkenlerden uygun olanı seçilir. Seçilen değişkenin her
4.
3-x x +1
=1
4
2
6–2x–(4x+4) = 8
-6x+2 = 8
iki denklemde de katsayıları eşitlenir ve zıt işaretli
2(3- x) 4(x +1) 8
=
8
8
8
hale getirilir. Sonra taraf tarafa toplanarak değişken
yok edilir.
6–2x–4x–4 = 8
-6x = 6
2/ 2x – 3y = 1
x = -1 bulunur.
3/ x+2y = 11
Yanıt: D
4x – 6y = 2
3x+6y = 33
7x = 35
5. 2xy–3x = y+3
x=5
x değeri denklemin birinde yerine yazılarak, y değeri
y li terimleri eşitliğin bir yanına alalım.
bulunur.
2xy–y = 3x+3
2x – 3y = 1
y(2x -1) = 3x+3
3x + 3
y=
olur.
2x -1
2.5 – 3y = 1
-3y = -9
y=3
Çözüm kümesi: ,(5, 3)Yanıt: A
Yanıt: A
38
9. 3/
1 1
- = -1
x y
2 3
+ = 13
x y
12.
3 3
- = -3
x y
2 3
+ = 13
x y
2a-b a+ 2b
=
1
1
3
2
3(2a – b) = 2(a+2b)
6a – 3b = 2a+4b
b 4
= dir.
4a = 7b
a 7
Yanıt: D
5
1
= 10 Þ x =
x
2
1 1
1
- = -1 Þ 2 - = -1
1 y
y
2
2+1 = 1 Þ 3 = 1 Þ y = 1
y
y
Çözüm kümesi:
3
1 1
,
2 3
13.
x x 5 6
- =- +
5 6 x x
6x - 5x -5 + 6
=
30
x
Yanıt: B
x 1
= Þ x2 = 30 Þ x = 30
30 x
10. (2a – 3)x+3x – 1 = 0
Yanıt: A
x = -1 ise,
(2a – 3)(-1)+3(-1) – 1 + a = 0
-2a+3 – 3 – 1 + a = 0
- a= 1
11.
a= -1
Yanıt: B
2
3
=
1
+1 x
x -1
2
3
2
3
= Þ
= s
1+ x -1 x
x
x
x -1
x -1
2x =
3x
Þ 2x. x -1 = 3x
x -1
. 2x - 2 = 3 Þ 2x = 5
x=
5
2
Yanıt: C
39
ÇÖZÜMLÜ TEST
İKİNCİ DERECEDEN
DENKLEM ÇÖZÜMÜ
2
1. 2x –3x+1 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
A) {1, 2}
2
ax +bx+c = 0
Bu tür denklemleri ayrılıyorsa çarpanlarına ayırarak
B) {2, 1}
1
D) - ,-1
2
yaparız.
1
,1
2
C)
E) {1, 1}
Çarpanlarına ayrılmıyorsa aşağıdaki formülü kullanırız:
x1 =
-b + Δ
,
2a
x2 =
-b - Δ
2a
2
∆ = b –4ac dir.
 ∆ > 0 ise, iki reel kök vardır.
 ∆ = 0 ise, kökler birbirine eşittir. Tam kare bir
ifadedir.
 ∆ < 0 ise, reel kök yoktur. Çözüm kümesi boş
kümedir.
2
2. x –x–1 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Köklerin toplamı = x1+x2 = -
b
a
A) 1- 5,1+ 5
B)
c
Köklerin çarpımı = x1.x2 = dır.
a
D)
1- 5 1+ 5
,
2
2
2- 5 2+ 5
,
2
2
C) {1, 2}
E) {-2, 1}
2
3. 2x +3x+4 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x12.x 2 + x1.x 22 değeri kaçtır?
A) -2
40
B) -3
C) -4
D) -6
E) -8
ÇÖZÜMLER
2
1. 2x – 3x+1 = 0
2x
-1
x
-1
(2x–1)(x–1) = 0
2x–1 = 0
x=
x–1 = 0
x=1
1
2
1
,1
2
Ç.K =
Yanıt: A
2
2. x –x–1 = 0 çarpanlarına ayrılmaz.
2
∆ = b – 4ac (a = 1, b = -1, c = -1)
2
∆ = (-1) – 4.(1).(-1)
∆=5
x1 =
-b + Δ
1+ 5
Þ x1 =
2a
2
x2 =
-b - Δ
1- 5
Þ x2 =
dir.
2a
2
Ç.K =
1- 5 1+ 5
,
2
2
Yanıt: B
2
3. 2x +3x+4 = 0
a = 2, b = 3, c = 4
x12 .x2 + x1.x22 = x1.x2 (x1 + x2 )
b 3
x1 + x 2 = - = a 2
c 4
x1 .x 2 = = = 2 olur.
a 2
x12 .x2 + x1 .x22 = 2. -
3
= -3 olur.
2
Yanıt: B
41
7. n > 1 ve n
BASİT EŞİTSİZLİKLER
+
Z olmak üzere,
0 < x < 1 ise,
n
n-1
x <x
x, y
R olmak üzere,
2
8. x < x ise, 0 < x < 1 dir.
x < y, x = y, x > y
2
Yukarıdaki değerlerden yalnız biri doğrudur.
x > x ise, x < 0 veya x > 1 dir.
x
Aynı yönde eşitsizlikler taraf tarafa toplanır, ancak
y olması halinde eşitsizlik vardır.
çıkarılamaz.
Eşitsizliğin Özellikleri:
Not: Aynı yönde eşitsizliklerle taraf tarafa çarpma ve
bölme işlemi yapılamaz.
1. Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya
çıkartılırsa eşitsizlik bozulmaz.
9. x.y > 0 ise x ile y aynı işaretli,
x < y ise
x+z < y+z
x.y < 0 ise x ile y zıt işaretlidir.
x-z < y-z dir.
2. x < y, y < z ise, x < z, geçişme özelliği vardır.
3. Bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı ile çarpılır
veya bölünürse eşitsizliğin yönü değişmez.
x < y ve z > 0 olsun.
x.z < y.z
x:z < y:z
4. Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.
x < y ve z < 0 olsun.
x.z > y.z
x:z > y:z
5. 0 < x < y ve n
n
a) x < y
b)
+
Z olmak üzere,
n
1 1
< dır.
y x
6. x < y < 0 ve n
+
Z olmak üzere,
n
n
n
n
a) n çift ise, x > y
n tek ise, x < y dir.
b)
1 1
<
x y
42
ÇÖZÜMLÜ TEST
5. x > y olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi
yanlıştır?
1. 2a-3<2-3(1-a) eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
A) [-2,+∞)
B) (-2,+∞)
D) (-∞,-2)
A) x+z > y+z
B) x-z > y-z
D) y-x < 0
C) (-∞,-2]
C) x-y > 0
E) x.z > y.z
E) (-2,2)
6. a, b Z olmak üzere,
-3 ≤ a < 5 ve -4 < b ≤ 3 ise,
2.
3 - a 2a - 3
4
2
3a-5b ifadesinin en büyük tam sayı değeri kaçtır?
a+2
16
A) 23
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangi-
B) 24
C) 25
D) 26
E) 27
sidir?
A) a
3
2
B) a >
D) a
19
13
19
13
C) a
E) a <
19
13
1
13
7. a, b R olmak üzere,
-3 ≤ a < 5 ve -4 < b ≤ 3 ise,
3a-5b ifadesinin en büyük tam sayı değeri kaçtır?
A) 28
B) 30
C) 32
D) 34
E) 36
3. a < 0,
1
1
1
x=
,y= ,z=
olduğuna göre,
3a
a
2a
aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
2
8. x < x ve y < 8 olduğuna göre,
A) x > z > y
B) x > y > z
D) z > x > y
aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
C) y > z > x
E) y > x > z
A) x.y > 0
B) x.y > 8
D) y > x
C) x > y
E) x.y < 8
9. a < 0 olmak üzere,
a-5
a-9
a - 11
x=
,y=
,z=
a-3
a-7
a-9
4. 4a-1 < 3+2(1+a) ≤ 4a+3
eşitsizliğinin tam sayılar kümesinde çözüm kümesi
nedir?
olduğuna göre; x, y, z aşağıdakilerin hangi-sinde
A) [1,2)
B) [1,2]
D) [1,3)
doğru olarak sıralanmıştır?
C) *1,∞)
E) {1,2}
A) x > y > z
B) z > y > x
D) z > x > y
C) x > z > y
E) y > z > x
43
ÇÖZÜMLER
5. z değeri tanımlanmamıştır.
z < 0 ise x.z < y.z olur.
1. 2a-3 < 2-3(1-a)
Yanıt: E
2a-3 < 2-3+3a
-3+1 < 3a-2a
-2 < a
6. 3a-5b ifadesinin en büyük değer olması için, x’in en
Ç.K = (-2,+∞)
büyük y’nin en küçük değeri alması gerekir.
Yanıt: B
a = 4 ve b = -3 olmalıdır.
3.4-5.(-3) = 12-(-15) = 27 dir.
Yanıt: E
2.
3- a 2a- 3
4
2
1 a+ 2
1 6
(3)
(12) (2)
(6)
7.
-3 ≤ a < 5, 3 ile genişletiriz ve 3a elde ederiz.
9 – 3a – 12a + 18 ≥ 12 – 2a – 4
3.(-3) ≤ 3a < 3.5
19 ≥ 13a
19
≥a
13
-9 ≤ 3a < 15
(1)
-4 < b ≤ 3, -5 ile genişletiriz ve -5b elde ederiz.
Yanıt: C
(-5).(-4) > -5b ≥ (-5).3
20 > -5b ≥ -15 (2)
3.
1 ile 2’yi taraf tarafa toplarız.
a = -1 alınırsa,
1
1
x = - , y = -1, z = 3
2
-9 ≤ 3a < 15
+
x > z > y olur.
Yanıt: A
-15 ≤ -5b < 20
-24 ≤ 3a-5b < 35
En büyük tam sayı değeri 34 olur.
4.
Yanıt: D
B
4a-1 < 3+2(1+a) ≤ 4a+3
8.
2
x < x ise 0 < x < 1 dir.
A
x.y nin değeri daima 8’den küçük olur.
Yanıt: E
A) 4a-1 < 3+2(1+a)
4a-1 < 3+2+2a
9.
4a-2a < 5+1
a < 0 olduğu için a = -1 alalım.
-6 6 3
= =
x=
-4 4 2
2a < 6
a<3
B) 3+2(1+a) ≤ 4a+3
y=
-10 10 5
= =
-8 8 4
z=
-12 12 6
= =
-10 10 5
3+2+2a ≤ 4a+3
5-3 ≤ 4a-2a
2 ≤ 2a
1≤a
x, y, z bileşik kesirlerdir ve pay ile payda arasında 1 fark
vardır. mutlak değerce payı büyük olan daha küçüktür.
A∩B çözüm kümesi olur.
x > y > z dir.
1 ≤ a < 3 Ç.K = ,1,2-
Yanıt: A
Yanıt: E
44
Çözüm.
MUTLAK DEĞER
Mutlak değer içindeki ifadeler 0’a eşit veya 0’dan büyük
olacağı için iki ifadenin toplamının 0 olabilmesi demek
iki ifadenin de 0’a eşit olması demektir.
3
2a-3 = 0
a=
2a- 3 = 0
2
Sayı doğrusu üzerindeki x sayısının sıfıra olan uzaklığına x’in mutlak değeri denir ve x ile gösterilir.
-x
0
x
4 -2b =0
+x
4-2b = 0
b=2
3
7
+2 =
bulunur.
2
2
x
x, x ≥ 0 ise
x=
Mutlak Değerin Özellikleri:
Her a,b R için
-x, x < 0 ise
olarak tanımlanır.
a2n = a ve a ≥ 0
1.
2n
2.
a = -a
x bir uzunluk gösterdiğinden x ≥ 0 olur.
Buna göre,
3 = -3 = 3
a-b = b - a
3. - a ≤ a ≤ a
Örnek:
4.
a.b = a . b
5.
a a
= ,b 0
b b
6.
a - b ≤ a + b ≤ a + b üçgen eşitsizliği
x < 0 < y olmak üzere,
x - y +2 x - y - 3x ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm:
x = -x
y > 0 için y = y
x-y < 0
2 x - y = -2 (x-y) = 2y-2x olduğuna göre,
x < 0 için
+
7. n N an = a
n
x - y +2 x - y - 3x
-x-y+2y-2x-(-3x) = -x-y+2y-2x+3x = y olur.
Mutlak Değerli Denklemler:
1.
Örnek:
f(x) = 0
f(x) = 0
4a - 28 ifadesinin en küçük değeri için x kaçtır?
Örnek:
x-3 = 0
Çözüm:
x - 3= 0
x = 3 dir.
Mutlak değer içindeki bir fonksiyonun en küçük değeri
her zaman için 0 dır. Yani,
f(x) = 0
+
2. x R olmak üzere,
f(x) = 0 olur.
4a - 28 = 0
f(a) = x
4a-28 = 0 ise
f(a) = x veya f(a) = - x
a = 7 bulunur.
Örnek:
Örnek:
2x - 3 = 5 denkleminin çözüm kümesi
2a- 3 + 4 -2b = 0 olduğuna göre,
2x-3 = 5 veya
a+b toplamı kaçtır?
x=4
-2x+3 = 5
x = -1
Ç.K = , -1, 4}
45
3.
ax +b = k denkleminin kökler toplamı:
-2b
dır.
a
Örnek:
2a- 3 ≤ 5 eşitsizliğinin çözüm kümesi:
-5 ≤ 2a-3 ≤ 5
Örnek:
2x + 5 = 6 denkleminin kökler toplamı:
-2 ≤ 2a ≤ 8
-1 ≤ a ≤ 4
Ç.K = * -1, 3 ]
-2.5
= - 5 dir.
2
Not: x R ise f(a) ≤ x eşitliğinin çözüm kümesi:
Ç.K = Ø
4.
ax +b + ax + c = d denkleminin kökler toplamı:
b+c
dir.
-a
+
2. a R olmak üzere,
f(x) ≥ a
Örnek:
f(x) ≥ a veya f(x) ≤ -a dır.
Not: a R olmak üzere, f(x) > a ise çözüm kümesi:
2-4 2
=
3a+ 2 + 3a- 4 = 8 denkleminin kökler toplamı:
-3 3
dür.
Ç.K = R
Örnek:
5.
a - 3 > 6 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
f(x) = p(x) ise,
f(x) = p(x) veya f(x) = -p(x)
Çözüm:
a-3 > 6
Örnek:
a – 3 > 6 veya a – 3 < -6
a > 9 veya a < -3
x + 4 = 2x + 5 denkleminin çözüm kümesi:
x+4 = 2x+5
x = -1
Ç.K = (-∞, -3 )
x = -3
3. a, b
x+4 = -(2x+5)
x+4 = -2x-5
( 9, ∞)
+
R olmak üzere,
a < f(x) < b
Ç.K = , -1, 3} dir.
a <f(x)< b veya a < -f(x) < b
Örnek:
6.
f(x) = p(x)
1 ≤ a + 3 < 5 eşitsizliğinin çözüm kümesi:
f(x) = p(x) veya f(x) = -p(x)
1 ≤ a+3 < 5
 Bu denklemlerin köklerinden f(x) = p(x) denklemini
1 ≤ a+3 < 5 veya 1 ≤ -a-3 < 5
-2 ≤ a < 2 veya -8 < a ≤ -4
sağlayanlar alınır.
Örnek:
3a- 6 = 9 - 2a denkleminin çözüm kümesi:
3a-6 = 9-2a
3a-6 = -9+2a
2
2
4.
f(x) < p(x)
[f(x)] < [p(x)]
5.
f(x) < p(x)
-p(x) < f(x) < p(x)
a=3
Örnek:
a = -3
3a < 4a – 2 eşitsizliğinin çözüm kümesi:
3a < 4a – 2
Bulunan değerlerin verilen denklemi sağlayıp sağlamadı-
-(4a – 2) < 3a < 4a – 2
-4a+2 < 3a ve 3a < 4a – 2
2
< a ve 2 < a olup
7
ğı kontrol edilerek her ikisinin sağladığı görülür.
Ç.K = , -3, 3 }
Ç.K = ( 2, ∞ ) olur.
Mutlak Değer İçeren Eşitsizlik Çözümü:
+
1. b R olmak üzere,
f(x) ≤ b
-b ≤ f(x) ≤ b
46
ÇÖZÜMLÜ TEST
6.
3a+1 ≤ 7 eşitsizliğini sağlayan kaç tane a tam sayı
değeri vardır?
1. a < b < 0 olduğuna göre,
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
a+b - a-b - b
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E)
hangisidir?
A) a
B) –a
C) b
D) –b
E) a – b
7.
2. -2 < a < 3 olduğuna göre,
a.b çarpımı kaçtır?
ifadesinin en sade biçimi
a+ 3 -2 a- 3 - 3a+ 3
nedir?
A) 0
3.
A) 2
B) –a
- -15 + -9 - -6
C) –2a
D) 2a
B) -2
C) 0
D) 2
B)
7
2
C)
8
3
D)
10
3
E) 4
E) 3a
8.
- -5 + -1
A) -3
3a- 4 + 2b - 5 = 0 olduğuna göre,
a - 2 -1 = 7 denklemini sağlayan a değerlerinin
toplamı kaçtır?
A) -4
E) 3
B) 0
C) 4
D) 6
E) 16
4. a < 0 olduğuna göre,
-a + 1 - a
2 + 4a
ifadesinin değeri aşağıdakilerden han-
9.
a2 - 8a+16 = 5 çözüm kümesi nedir?
gisidir?
A) {-1}
A) -1
B)
1
2
C) 1
D) 2a
a2 + 2ab + b2 + b - a +
10. a, b
b2
9
2
B) -4
=8
C) -
E) {0}
R olmak üzere, a+1 < 3 için 2a – b+6 = 0
vardır?
A) 7
3
2
D) {0, 1}
denklemini sağlayan kaç tane b tam sayı değeri
olduğuna göre, a kaçtır?
A) -
C) {9}
E) 3a
5. a < b < 0 olmak üzere,
b
B) {-1, 9}
D) 4
E)
B) 8
C) 9
9
2
47
D) 10
E) 11
ÇÖZÜMLER
7.
3a- 4 + 2b - 5 = 0 olması için
1. Mutlak değerin için negatif ise, eksi parante-zinde
3a- 4 = 0 ve 2b - 5 = 0 olmalı
mutlak değerden kurtarırız.
3a – 4 =0
a+b - a-b - b = -(a+b) – (-(a – b)) – (-b)
a=
4
3
= -a – b + a – b + b
2b – 5 = 0
= -b bulunur.
Yanıt: D
a.b =
b=
5
2
4 5 10
. =
olur.
3 2 3
Yanıt: D
2. -2 ve 3 aralığındaki değerler için
a+3 > 0 ve a – 3 < 0 olur.
a+ 3 -2 a- 3 - 3a+ 3 = a+3+2a – 6 – 3a+3
= 0 olur.
8.
Yanıt: A
a - 2 -1 = 7
a - 2 =8
a - 2 -1 = -7
a - 2 = -6
a - 2 -1 = 7
3.
- -15 + -9 - -6
- -5 + -1
a - 2 = -6
-15 + 9 - 6 -12
=
=3
=
-5 +1
-4
Ç.K. = Ø ( Çünkü hiçbir zaman mutlak
değer dışına çıkan değer negatif olamaz.)
Yanıt: E
a–2=8
a = 10
a – 2 = -8
a = -6
a-2 = 8
Ç.K. = , -6, 10 }
-6 + 10 = 4 bulunur.
4.
-a + 1 - a
2 + 4a
-a + 1 - a
1 - 2a
Yanıt: C
1 - 2a 1
=
=
=
=
2 - 4a
2 - 4a 2 - 4a 2
Yanıt: B
9.
5.
a2 + 2ab + b2 + b - a +
b
b
2
a2 - 8a+16 = 5
a–4=5
=8
a=9
a- 4 = 5
b
(a+b) + b - a + = 8
b
a – 4 = -5
2
a+b + b - a +
(a - 4)2 = 5
a = -1
Ç.K. = ,-1, 9}
b
=8
b
Yanıt: B
-a – b+b – a – 1 = 8
-2a = 9
a= -
9
2
10. a+1 < 3
Yanıt: A
6.
3a+1 ≤ 7
-7 ≤ 3a+1 ≤ 7
-8 ≤ 3a ≤ 6
-
-3 < a+1 < 3
-4 < a < 2 olur.
b-6
2a – b+6 = 0
a=
ifadesi eşitsizlikte a yerine
2
yazılırsa,
b-6
-4 <
<2
-8 < b – 6 < 4
2
8
≤a≤2
3
-2 < b < 10 olur.
b tam sayı değerleri = ,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Ç.K. = ,-2, -1, 0, 1, 2 }
Yanıt: E
Yanıt: D
48
+
5. x R ve m, n Z için
ÜSLÜ İFADELER
n m
m.n
(x ) = x
dir.
Örnek:
Tanım: x bir reel sayı ve m
4 5
4.5
20
-n
1
(3 ) = 3 = 3
+
Z olmak üzere, m tane x in
-m
m
6. x .x =
çarpımı x.x.x…x = x biçiminde gösterilir.
x
3
2 = 2.2.2 = 8
-m
b
x -m
8.
x -n
Örnek:
5
4
6
1
x
n
1
=
m
x .x
n
=
1
x
m+n
= x -(m+n)
-m
a+b
1. x .x = x
3 .3 = 3
-m
7. (x.y) = x .y
Özellikler:
a
.
m
= x -m+n
9
5
6
5
11
-x .x = (-1).x .x = -x
9. ( x -m ) -n = x m.n
a
a
2. x .y = (x.y)
a
10. axm + bxm - cx m = (a + b - c)x m
Örnek:
10
10
10
Örnek:
5 .2 = 10
5
5
5
5
5
5
8x +4x +3x – 5x = (8+4+3 – 5)x = 10x
+
xa
=x
xb
{-1, 0, 1} ve x m = x n ise m = n dir.
11. x
3. x R-{0}, a,b Z için
a-b
Örnek:
5
2x-3
= 125 ise x kaçtır?
Örnek:
3 12
12-7
=3
37
(a b) 7
(a b) 9
=3
Çözüm:
5
5
(a b) 7-9
(a b) -2
2x-3
=5
3
2x-3 = 3
1
(a b)2
x = 3 bulunur.
Örnek:
82x
+
4. x R, y R-{0}, n Z için
4
1 eşitliğini sağlayan kaç tane x değeri vardır?
n
x
Çözüm:
x
n
dir.
yn
82x
y
4
2x-4=0
Örnek:
1
82x
2x=4
4
80
x=2
4
164
44
16
44
4
x 1
25x 1
5x 1
25
5x
1
5
49
ÇÖZÜMLÜ TEST
1.
5. a, b
, Z olmak üzere, 3
2a-b+1
=5
a+b+5
ise;
a.b nin değeri nedir?
2a
27 3
+ 3 2a-3 - 9 a-1 = 675 ise; a’nın değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
E) 15
E) 5
0,6
6. x = 8 ise;
x’in değeri aşağıdakilerden hangisidir?
2.
m
5
3
= n ise
5m
2
5m
A) 2
1
B) 4
C) 8
D) 16
E) 32
3m 1 3m-1
işleminin sonucunu bulunuz?
A) n
B) 5n
C) 9n
D) 14n
E) 19n
a 5
1
eşitsizliğini sağlayan a nın en büyük
4
tam sayı değeri kaçtır?
2a-3
7. 2
<
A) -3
B) -2
C) -1
D) 0
E) 3
2x
3. 3 = 9
y
3 = 2 ise;
2y-x+1
3
A) 4
B) 8
C) 12
D) 16
8. (a–3)
E) 20
= 1 eşitliğini sağlayan a değerlerinin topla-
mı kaçtır?
A) 4
3
a+2
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
3
4. (2x) = (x+4) ise;
x’in değeri aşağıdakilerden hangisidir?
9.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
4.8x -3
1
=
olduğuna göre x kaçtır?
16x -1
32
E) 4
A)1
50
B)2
C)3
D)
7
2
E) 4
ÇÖZÜMLER
6.
3
0,6
1.
35
.
3.
x 5 = 23 Þ x 5 3 = 2
x =8
5
3
Þ x = 25
x = 32 bulunur.
2a
(3 3 ) 3
Yanıt: E
+ 3 2a-3 - (3 2 ) a-1 = 675
3 2a + 3 -3.3 2a - 3 -2.3 2a = 675
7.
1 1 2a
- ). 3 = 675
27 9
(1 +
2
25 2a
.3 = 675
27
2a-3
1
4
<
a 5
2a-3
2
2a-3 < -2a-10
32a 272
32a 36
2a = 6
a = 3 bulunur.
<2
-2a-10
a< -
4a < -7
7
tür.
4
Buna göre en büyük a tam sayısı -2 olur.
Yanıt: C
Yanıt: B
2.
5 m+2 + 5 m+1
=
3 m+1 + 3 m-1
8.
5 2.5 m + 5.5 m
3.3
m
-1
+ 3 .3
Eşitliğin sağlanması için a–3 0 iken a+2 = 0
a – 3 = 1 iken a+2
R, a – 3 = -1 iken a+2 çift tam sayı
olmalıdır.
m
5
3
=
m
(25 + 5).5 m
30.5 m
=
=
1
10 m
(3 + ).3 m
.3
3
3
.9 = 9n bulunur.
Yanıt: C
a+2 = 0
a = -2 dir ve a – 3
a–3=1
a = 4 ve a+2 R olur.
a – 3 = -1
0 olur.
a = 2 ve a+2 çift tam sayı olur.
-2+4+2 = 4 bulunur.
Yanıt: A
3.
2x
3 =3
2
-1
y
y 2
3 =2
2y-x+1
3
1
3
2y
3 =4
x = 1 ve 3 =
(3 ) = 2
2y
2
-x
= 3 .3 .3 = 4.
1
.3 = 4 bulunur.
3
9.
Yanıt: A
4.8 x 3
16 x 1
1
32
Sayılar 2 nin kuvvetine çevrilir
4.
3
(2x) = (x+4)
3
2x = x+4
x = 4 bulunur.
22.23.( x 3)
24.( x 1)
1
25
23x
2
22 3x 9
24x 4
2
Yanıt: E
5.
7 4x 4
x 3
5
5
x
2
Verilen eşitliğin sağlanması için üslerin 0 a eşit olması
gerekir. Çünkü üslerin sıfır olmasıyla iki ifade de 1
Yanıt: B
bulunur ve iki ifade birbirine eşit çıkar.
2a-b+1 = 0
a+b+5 = 0
2a-b = -1
a+b = -5
a = -2 ve b = -3 bulunur.
a.b = -2.-3 = 6 olur.
Yanıt: B
51
5
3. Paydası rasyonel olmayan bir köklü ifadenin payda-
KÖKLÜ İFADELER
sını rasyonel yapabilmek için paydadaki köklü ifadenin eşleniği ile pay ve payda çarpılır.
Tanım: Bir reel sayının karesinin karekökü o reel sayının
Örnek:
mutlak değerine eşittir.
x
R için
x 2 = x tir.
4
4.( 5
2)
5- 2
( 5- 2).( 5
4 5
4 2
3
2)
Örnek:
x < 2 ise
x 2 - 4x + 4 ifadesi neye eşittir?
4. a 0
ve
b 0
olmak
üzere,
a,b R
için
a . b = a . b dir.
Çözüm:
x 2 - 4x + 4 =
( x - 2) 2 = x - 2
Örnek:
x < 2 ise x–2 < 0 olur. Bu durumda
5 . 10. 12 = 5.10.12 = 600 = 10 6 dir.
x - 2 = -(x-2) = -x+2 bulunur.
Örnek:
x < 0 < y ise
x 2 + y 2 - (x - y) 2 işleminin sonucunu
5. a ≥ 0 ve b > 0 olmak üzere, a,b R için
bulunuz.
a
b
=
dir.
Çözüm:
Örnek:
x 2 = x , y 2 = y ve (x - y) 2 = x - y dir.
21
x = -x
x<0
0<y
y =y
x<y
x–y<0
7
21
= 3
7
=
x - y = -(x – y) = -x+y
x 2 + y 2 - (x - y) 2 = -x+y – (-x+y)
+
+
6. x R ve n Z olmak üzere,
= -x+y+x – y = 0 bulunur.
( x )n =
x n olur.
Örnek:
( 3 ) 3 .( 6 ) 4 = 3 3.3 4.2 4 = 3 7.2 4
ÖZELLİKLER
= 3 3.2 2. 3 = 108 3 bulunur.
1. a b - c b + d b = (a - c + d) b
Örnek:
m
xn
7.
5 5 + 2 5 - 3 5 = (5 + 2 - 3) 5 = 4 5
a
n
x
a ve n am
a n dir.
Örnek:
2.
a+ b
nin eşleniği
a- b
dir. Bunların
1
çarpımı,
4
( a + b ).( a - b ) = a – b dir.
a3
=
1
3
=a
-
3
4
a4
Örnek:
1
n
8. ( n a )m
( 7 + 2 3 ).( 7 - 2 3 )
a m ve
nm
a
n.m
a
a7
4 .2
a7
a n.m
= 7. 7 - 7.2 3 + 2 3. 7 - 2 3.2 3
Örnek:
= 7 – 12 = -5 bulunur.
4
52
a3 a
7
4
a3.2.a
4
8
a7
a8
a
b
n
9.
a n a n a...
n-1
+
+
15. a,b R ve n N ise
a
n
a. n b = n a.b dir.
Örnek:
Örnek:
6
32
6
3
32
6
5
32...
5
32
25
3
3
2a . 4a 2 = 2a.4a 2 = 3 ( 2a) 3 = 2a dır.
2
n
16. a,b R+ ve n N+ ise
10.
n
a:
n
a:
n
a...
n 1
n
a
b
n
a
dir.
b
a
Örnek:
3
Örnek:
6
128 :
11.
6
128 :
6
7
7
3
7
128... = 128 = 2 = 2
a + a + a + ... = x ise x =
54a 4 b 5
2ab
2
=3
54a 4 b 5
2ab
2
3
= 27a 3 b 3 = 3ab
1 + 1 + 4a
2
Örnek:
6 + 6 + 6... =
12.
1 + 1 + 4.6 1 + 25 6
=
= =2
2
2
3
n.(n + 1) + n.(n + 1) + n.(n + 1) + ... = n + 1
Örnek:
56 + 56 + 56 + ... = 7.8 + 7.8 + ... = 8
13.
n.(n + 1) - n.(n + 1) - n.(n + 1) - ... = n
Örnek:
132 - 132 - 132 - ... = 11.12 - 11.12 - ... = 11
14.
a ± 2 b ifadesinde b nin çarpanları m ve n olsun.
m+n = a ise (m>n)
a ± 2 b = m ± n olur.
Örnek:
5 - 2 6 ifadesinde çarpımları 6 toplamları 5 olan 3 ve
2 vardır.
5 - 2 6 = 3 - 2 bulunur.
53
ÇÖZÜMLÜ TEST
6. ( 6,4 + 0,4 ) : ( 0,8 - 0,2 )
1.
0,16 + 0,04
0,36 + 0,04
A) 1
2.
B)
1
2
54 - 24
96
A) 1
B)
A) 5 2
C)
3
4
5
6
D)
E)
C)
1
4
1
6
D)
C) 4 2
D) 3 2
E)
3 2
5
2
3
7. (0,04) 2 + 0,0009 işleminin sonucu aşağıdakiler-
1
2
10
2
B)
den hangisidir?
E)
A) 83.10
1
8
-2
B) 162.10
D) 19.10
-3
-3
C) 32.10
E) 316.10
-3
-4
-3
8. 2,5.10 sayısının karekökü aşağıdakilerden hangi3.
21+ 13 + 11 - 4
sidir?
A) 5.10
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
B) 5.10
D) 5.10
E) 1
9.
4.
-4
2x + 3y + 2y + 4 = 0 ise
1
3-2 2
-
1
3+ 8
-2
-5
C) 25.10
E) 5.10
-3
-7
x+y aşağıdakilerden hangisidir?
A) 6 2
A) 6
5.
B) 5
C) 3
D) 1
B) 5 2
C) 4 2
D) 3 2
E)
2
E) -1
(-4) 2 - 3 - 27 + 25
10.
x+4
5 3 x+4 = (0,2)
eşitliğini sağlayan x değeri
kaçtır?
A) -2
B) -12
C) 12
D) 15
E) 17
A) -1
54
B) -2
C) -3
D) -4
E) -5
ÇÖZÜMLER
7. (0,04) 2 + 0,0009 = ( 4.10 -2 ) 2 + 9.10 -4
-4
0,16 + 0,04
1.
0,36 + 0,04
=
-2
-4
= 16.10 +3.10 = 16.10 +300.10
-4
=316.10
0,4 + 0,2 0,6 3
=
=
0,6 + 0,2 0,8 4
-4
Yanıt: E
Yanıt: C
-3
25.10 -4 = 5.10-2
-4
8. 2,5.10 = 25.10 =
54 - 24
2.
96
=
3 6 -2 6
4 6
=
1
4
Yanıt: D
Yanıt: C
9.
3.
21+ 13 + 11 - 4 = 21 + 13 + 11 - 2
= 21+ 13 + 3 = 21+ 4 = 25 = 5
1
3-2 2
=
Yanıt: A
-
1
3+ 8
=
1
3-2 2
-
1
3+2 2
3+2 2 3-2 2
=3+2 2 -3+2 2
1
1
=4 2
Yanıt: C
4.
2x + 3 y + 2y + 4 = 0
Her iki değer de negatif olamayacağı için her iki
köklü değer de 0 olmak zorundadır.
2y+4 = 0
10.
y = -2
2x+3y = 0
2x+3.(-2) = 0
2x – 6 = 0
x=3
x+4
5
3 x +4
3 X+4
5 X+4
= (0,2)
1
=
5
3x+4 = -x – 4
x+y = 3+(-2) = 1
Yanıt: D
3 X+4
5 X+4
3 X+4
5 X+4
=
2
10
= 5 -1
4x = -8
3x + 4
= -1
x+4
x = -2
Yanıt: B
(-4) 2 - 3 - 27 + 25 =
5.
16 - 3 (-3) 3 + 25
= 4 – (-3)+5 = 4+3+5 = 12
Yanıt: C
6. ( 6,4 + 0,4 ) : ( 0,8 - 0,2 )
= ( 64.0,1 + 4.0,1) : ( 4.0,2 - 0,2 )
= (8 0,1 + 2 0,1) : (2 0,2 - 0,2 )
=
10 0,1
0,2
= 10.
0,1
1
10 2
= 10.
=
=5 2
0,2
2
2
Yanıt: A
55
Örnekler :
ÖZDEŞLİK –
ÇARPANLARA AYIRMA
1) 2x 3
2
2
2) 3x 2
İçindeki değişken veya değişkenlerin alabilecekleri her
4x 2 12x 9
9x 2 12x 2
değer için aynı sonucu veren eşitliklere özdeşlik denir.
3)16x 2 1 (4x 1).(4x 1)
ax+bx = x (a+b)
1
a2
4)a2
a = 3, b = -1, x =2 için
3.2+(-1).2 = 2 ( 3+(-1))
6 – 2 = 2.2
4=4
a2
1
a2
5)8x 3
(a
(a
y6
1
) 2
a
12
)
a
2
(2x y 2 ).(4x 2
2xy 2
ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER
2
2
1. (x+y) = x +2xy+y
2
6)27x 3 1 (3x 1).(9x 2
2
2
2. (x – y) = x – 2xy+y
2
2
2
3. (x+y) =(x – y) +4xy
2
2
4. (x – y) =(x+y) -4xy
2
2
5. x – y = (x+y).(x – y)
2
2
2
2
3
3
2
6. x +y = (x+y) – 2xy
2
x +y = (x – y) +2xy
2
2
7. x +y = (x+y).(x – xy+y )
3
3
2
2
8. x – y = (x – y).(x +xy+y )
2
2
2
2
9. (a+b+c) = a +b +c +2(ab+bc+ac)
2
2
2
2
10. a +b +c = (a+b+c) – 2(ab+bc+ac)
Uyarı:
2n
(x – y) = (y – x)
(x – y)
2n+1
2n
= -(y – x)
2n+1
56
3x 1)
y4 )
A)
ÇÖZÜMLÜ TEST
19
B)
C) 4
17
D) 15
E) 3
5. x.y = 2, x – y = 4 ise,
3
3
x – y ifadesinin sonucu kaçtır?
+
1. a, b Z
2
a
oranı kaçtır?
b
2
a – b = 37 ise,
A)
4
5
19
18
B)
C)
3
2
A) 64
D) 2
E)
B) 70
C) 76
D) 82
E) 88
19
5
2. a = 3 - 2 , b = 3 + 2 ise,
2
2
6. x – 7x+1 = 0 ise,
1
x 2 + 2 değeri kaçtır?
x
2
a – b değeri kaçtır?
A) - 12 2
B) - 8 2
C) 0
D) 8 2
E) 12 2
A) 47
3.
x-
B) 45
C) 44
D) 43
E) 39
D) 47
E) 51
1
= 4 ise,
x
1
+ x değeri aşağıdakilerden hangisidir?
x
A)
B)
19
20
C)
22
D) 2 6
E) 5
+
7. x, y Z
3
3
x – y = 61, x – y = 1 ise,
2
2
x +y kaçtır?
A) 31
4.
4x 2 +
2x -
1
4x 2
B) 41
C) 43
= 17 ise,
1
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
2x
57
ÇÖZÜMLER
5. x.y = 2, x – y = 4 ise,
3
3
2
2
x – y = (x – y).(x +xy+y )
2
2
2
1. a – b = 37 ( 37 asal sayı)
2
= 4.(x +y +2)
2
(a – b).(a+b) = 1.37
= 4.[(x – y) +2xy+2]
2
a–b=1
= 4.(4 +2.2+2)
3
a+b = 37
3
x – y = 88 bulunur.
Yanıt: E
2a = 38
a = 19 ve b = 18 dir.
a 19
=
dir.
b 18
Yanıt: B
2
6. x 2– 7x+1 = 0 ise, tüm eşitliğin terimlerini x e böleriz.
x 7x 1
- 2
x 1x x
2
2
(
)(
= 3 - 2 - 3 - 2 .3 - 2 +3+ 2
1
x
x
2
7 olur.
x
7 Her iki tarafın karesini alalım.
x 1
1
x 2 + 2.x. + 2 = 49
x
1
x
x 2 + 2 = 47 olur.
x
Yanıt: A
2. a = 3 - 2 ve b = 3 + 2 ise,
a – b = (a – b).(a+b)
0
)
= - 2 2.6 = -12 2 bulunur.
Yanıt: A
3.
x-
1
= 4 her iki tarafın karesini alalım.
x
2
1
xx
1
2
x +
x
4
1
1
x
18 = x
x+
2
4x 2
1
1
4x
2
17 = 2 x 2x +
1
2x
2
2
2
61 = 1.(x +xy+y )
2
2
1
x
61 = 1+3xy
1
- 2.x.
x
xy = 20
2
-2
x
2x -
1
2x
2
(x – y) = x – 2xy+y
2
1
x
2
2
2
2
1 = x +y – 40
20
2
2
x +y = 41 olur.
Yanıt: B
= 17 ise,
4x2
3
2
1
= 20 bulunur.
x
4x2 +
3
x – y = (x – y).(x +xy+y )
Yanıt: B
4.
3
61 = [(x – y) +2xy+xy]
x
x2
3
x – y = 61 ve x – y = 1
1
1
x - 2.x. + 2 = 16
x x
2
= 18
x2
2
+
7. x,y Z
2
2.2x.
1
2x
2
2
1
= 15
2x
Yanıt: D
58
HARFLİ İFADELERİ
ÇARPANLARINA AYIRMA
3) Özdeşliklerden Faydalanarak Çarpanlara Ayırma:
a) Tam Kare Özdeşliği
(x  y)2 = x 2
1) Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ayırma:

2xy
I. terimin
karesi
y2
+
I.ve II
terimlerin
çarpımının
iki katı
Her terimde ortak çarpanlar bulunup parantezin
II. terimin karesi
önüne yazılır. Terimler ortak çarpana bölünür, bölümler parantez içine yazılır.
Örnek:
Örnek:
2
2
2
1. 16a – 40ab+25b = (4a – 5b)
4a
1. ax+bx = x(a+b)
2
5b
2
2
2. 12a b – 9ab = 3ab(4a – 3b)
a
= 1
4
2. 1+a+
3. a(x – y)+(y – x)b = a(x – y) – b(x – y)
2
a
2
= (x – y)(a – b)
4. 12xy – 18y – 24x = 6(2xy – 3y – 4x)
3
2
a
2
1
2
5. a – a – a = a(a – a – 1)
2
3. 0,04 – 0,4x+x = (0,2 – x)
0,2
2
x
2) Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma:
Gruplandırma yapabilmemiz için terim sayısı en az
b) İki Kare Farkı Özdeşliği
dört ve terim sayısı çift olmalıdır. Ortak terim olan
x – y = (x – y).(x+y)
2
2
elemanları gruplayarak, arka arkaya ortak çarpan
özelliği kullanılır.
Örnek:
4
4
2
2
2
2
3x -
5y
. 3x
4
1. x – y = (x – y ).(x +y )
2
2
= (x – y).(x+y).(x +y )
Örnek:
1. ax+by+ay+bx = ax+ay+bx+by
2. 9x 2 -
= a(x+y)+b(x+y)
25 2
y
4
5y
4
= (x+y).(a+b)
3
2
2
2
3. 12x – 27xy = 3x(4x – 9y )
= 3x(2x – 3y).(2x+3y)
2. 2ce+df – de – 2cf = 2ce – de+df – 2cf
= e(2c – d)+f(d – 2c)
4.
= e(2c – d) – f(2c – d)
= (2c – d).(e – f)
4x2 - 25
2
4x - 20x + 25
=
(2x - 5)(2x + 5)
(2x - 5)2
=
2x + 5
2x - 5
59
2
c) İki Küp Toplam ve Fark Özdeşliği
3
3
2
e) Ax +Bx+C Üç Terimlisinin Çarpanlara Ayrılması
2
a +b = (a+b)(a – ab+b )
3
3
2
A = a1.a2
a – b = (a – b)(a +ab+b )
2
a 2x
Örnek:
3
2
1. 27a +1 = (3a+1)(9a – 3a+1)
1
x - 5y
2
2
4
c2
2
1. 6x – 13x+5 = (2x – 1)(3x – 5)
2x
-1
1 3
x - 125y6
8
=
B= a1.c2+a2.c1
Ax +Bx+C = (a1x+c1)(a2x+c2)
a 1x
c1
Örnek:
2.
C = c1.c2
2
3x
1 2
x
4
5 2
y x 25y 4
2
4
3
2
2. 5b +4b – 12 = (b+2)(5b – 6)
b
+2
5b
-6
3
3. 16a b – 54ab = 2ab(8a – 27b )
2
-5
2
= 2ab(2a–3b)(4a +6ab+9b )
2
2
2
2
3. 30a +25ab – 30b = 5(6a +5ab – 6b )
=5(3a – 2b)(2a+3b)
2
d) x +Bx+C Üç Terimlisinin Çarpanlara Ayrılması
Bu tür ifadeleri çarpanlara ayırırken üçüncü terim
olan C’den faydalanırız.
Örnek:
2
1. x – 7x+12 = (x – 3)(x – 4)
x
-4
x
-3
2
2. x – x – 12 = (x – 4)(x+3)
x
-4
x
+3
2
3. x – 4x – 12 = (x – 6)(x+2)
x
-6
x
+2
2
4. x +8x+12 = (x+2)(x+6)
x
+2
x
+6
60
5.
ÇÖZÜMLÜ TEST
1.
9abc 2
2.
x 2 - ax + bx - ab
:
B) b
C) c
D)
1
a
E)
2
A)
x-a
x-b
D)
c2
6. x =
4
x
a
C)
E)
x+a
x-a
bx
a
5 + 1 olduğuna göre,
4
3
A)
C) m
x+a
x-b
2
x – 4x +6x – 4x+1 ifadesinin değeri kaçtır?
m2
B)
n
B)
1
mn2 - mn n 2 + 2n + 1
ifadesinin sadeleşmiş hali
.
mn + m
n2 - 1
m
A)
n
ifadesinin en sade şekli aşağı-
dakilerden hangisidir?
3c 2
ifadesinin en sade şekli aşağıda12a 2bc 3 4ac
kilerden hangisine eşittir?
A) a
x 2 + ax + bx + ab
5
B) 5
C) 2 5
D) 15
E) 25
2
D) n
E) n
2
2
7. x +y – 4x – 6y+13 = 0 olduğuna göre,
2
3. 4x +mx+9 ifadesi bir tam kare ise m nin negatif
x+y toplamı kaçtır?
değeri kaçtır?
A) -12
B) -10
C) -8
D) -6
E) -4
B) 12
C) 16
D) 20
B) 2
2
2
C) 3
D) 4
E) 5
8. 16x +10xy=9y eşitliğinde x değeri aşağıdakilerden
4. 1002.998 – 1004.996 işleminin sonucu kaçtır?
A) 8
A) 1
hangisi olabilir?
E) 24
A) -
8
9
B)
8
9
C)
7
9
61
D) -
9
8
E)
9
8
9.
a3 + 8
a2 - 9
3a2 - 6a + 12
. 2
:
2a - 6 a + 3a + 2
5a + 5
ifadesinin en
4 ve a2 b2
13. (a b)2
sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
6
olduğuna göre a.b çarpımı kaçtır?
a+2
A)
3
b+4
B)
5
7a + 4
3
D)
5a + 15
C)
6
E)
A) -2
B) -1
C) 1
D) 2
E) 4
4b + a
6
14. a R olmak üzre;
2
10. m +mn – 3m – 3n = 9 denklemini sağlayan kaç tane
5.a a2 ).( 5 a)
(5
(m,n) ikilisi vardır?
5 5 27
olduğuna göre; a kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
A) 3
p
11.
1+
p
r
r
-
1-
.
r
p
B) 2
D) -2
E) -3
p2 - r 2
ifadesinin en sade biçimi
p.r
15.
m3
m
3
n
3
:
m
2
olduğuna göre;
A) -2r
C) 1
B) -2p
C) 2r
D) 2p
E) p.r
A) 4
B)
3
4
m2
mn n2
4
5
n
kaçtır ?
m
C)
1
4
D)
1
4
E)
4
12. x > 0 olmak üzere,
x2 -
4
x2
.
x
x2 + 2
=
olduğuna göre,
3x + 2
x
16. x2
2x 6 0 denkleminin bir kökü a olduğuna
göre; (a 2)(a 1)2 (a 4) çarpımı kaçtır?
x kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
A) 14
E) 1
62
B)12
C)-8
D)-12
E) -14
2
ÇÖZÜMLER
2
9abc 2
2
12a bc
2
x – 4x+4+y – 6y+9 = 0
2
3
:
2
(x – 2) +(y – 3) = 0
3
1.
2
7.x +y – 4x – 6y+13 = 0
Üssü çift olan ifadeler negatif değer alamaya-cağı
1
3c 2
9abc 2 4ac
=
= 2
.
4ac
c
12a 2bc 3 3c 2
3
Yanıt: E
için bu iki tam kare ifade de 0 a eşittir.
x – 2 = 0 ve y – 3 = 0
x=2
ve y = 3 bulunur.
x+y = 2+3 = 5 olur.
Yanıt: E
mn2 - mn n 2 + 2n + 1
.
mn + m
n2 - 1
2.
=
mn(n - 1) (n + 1) 2
= n bulunur.
.
(n - 1)(n + 1) m(n + 1)
Yanıt: D
2
2
2
2
8.16x +10xy = 9y
16x +10xy – 9y = 0
8x
+9
2x
-1
2
3.4x +mx+9 ifadesinin tam sayı belirtebilmesi ve m nin
negatif olabilmesi için 9’un negatif tam kare
(8x+9)(2x – 1) = 0
1
9
x= ve x =
bulunur.
8
2
çarpanı bulunur.
Yanıt: D
2
4x +mx+9
2x
-3
2x
-3
2x.(-3) + 2x.(-3) = -12x
m = -12
9.
Yanıt: A
a3 + 8
a2 - 9
3a2 - 6a + 12
. 2
:
2a - 6 a + 3a + 2
5a + 5
a 3 + 2 3 (a - 3)(a + 3)
5(a + 1)
.
.
2(a - 3) (a + 2)( a + 1) 3(a 2 - 2a + 4)
4.1002.998 – 1004.996
(1000+2).(1000 – 2) – (1000+4).(1000 – 4)
2
2
(1000 – 4) – (1000 – 16)
2
2
1000 – 1000 – 4+16 = 12 bulunur.
=
Yanıt: B
=
5.
(a + 2)(a 2 - 2a + 4) (a + 3)
2
.
5
.
(a + 2) 3(a 2 - 2a + 4)
5a + 15 5a + 15
=
olur.
2.3
6
Yanıt: C
x 2 + ax + bx + ab
x 2 - ax + bx - ab
x ( x b ) a( x b )
=
x( x b) - a(x b)
( x a)(x b)
( x - a)(x b)
x a
x-a
2
10. m +mn – 3m – 3n =9
m(m+n) – 3(m+n) = 9
(m+n)(m – 3) = 9
9 u çarpanlarına ayırırsak; 9, 3, 1, -1, -3, -9.
6 farklı değer aldığı için (m, n) ikilisi 6 farklı değer alır
denir.
Yanıt: E
Yanıt: C
6.x =
4
4
5 +1
3
2
x – 4x +6x – 4x+1 = (x – 1)4
( 4 5 + 1 - 1) 4 =
(4 5 )4 =
5 bulunur.
Yanıt: B
63
p
11.
1
=
r
-
.
p
r
1r
p
p
5 a2 ).( 5 a)
14. (5
p2 -r 2
p.r
5 5 27
sol tarafa çarpma işlemi yapalım
r (p-r)(p r)
.
r p p-r
p.r
r
p
-
5 5
5a
5 5
3
3
a
a
p.r p.r (p-r)(p r)
.
=
p r p-r
p.r
5a2
5a
a
5 5
5a2
5 5 27
27
27
3
Yanıt: E
1
1 (p-r)(p r)
.
= p.r
p r p-r
p.r
=
a3
p-r-(p r) (p-r)(p r)
.
(p-r)(p r)
1
= p – r – p – r = -2r olur.
15.
Yanıt: A
m3
m
x2 -
12.
4
.
x2
x
x2 + 2
=
3x + 2
x
m
m n
m
2
1
:
m
(m n) (m
x2 - 2
x2 + 2
x
x2 + 2
.
.
=
x
x
3x + 2
x
x2 -2
3x 2
n
2
m2
mn n2
2
m3
2
x
x2 + 2
x+
=
x 3x + 2
x
2
xx
3
x – 2 = 3x+2
4n
2
4
5
2
4
5
.
(m2 mn n2 )
mn n )
5m
n
m
4m 4n
1
4
2
Yanıt: C
x – 3x – 4 = 0
x
-4
x
+1
m
2
(x – 4)(x+1) = 0
x = 4 ve x = -1
16. x2 2x 6 0 denkleminin bir kökü a ise;
a2 2a 6 0
x > 0 olduğu için x = 4 bulunur.
Yanıt: B
a2
13. (a b)2
4 ve a2 b2
a2
2ab b2
4
a2
b2
4
2ab
6 2ab
2ab
ab
2a
6
(a 2)(a 1)2 (a 4)
6
(a 2).(a 4).(a 1)2
çarpma ve tam kare alma yapalım,
(a2 4a 2a 8).(a2 2a 1)
(a2 2a 8).(a2 2a 1)
(6 8).(6 1) ( 2).7
14 E
Yanıt:
4
2
1
Yanıt: B
64
4
5
5.
ORAN – ORANTI
x y z
= = = k ise,
a b c
x = a.k, y = b.k, z = c.k
Tanım: x, y reel sayılardan en az birinin sıfırdan farklı
olmak koşulu ile
x
ifadesine, x in y ye göre oranı denir.
y
a c
= =k
b d
7.
a c
= =k
b d
8.
a c e
= = =k
b d f
x ve y aynı birim olmalıdır.
ORANTI
a2 c2
=
= k2
b2 d2
6.
a.c
= k2
b.d
Tanım: İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir.
a c
= = k eşitliğine ikili orantı,
b d
a c e
= = = k eşitliğine üçlü orantı denir.
b d f
a+c+e
=k
b+d+ f
k değeri sabi orantıdır.
a. c . e 3
=k
b. d . f
ORANTININ ÖZELLİKLERİ
ORANTILI ÇOKLUKLAR
1. Bir orantıda içler ve dışlar çarpımı birbirine eşittir.
a c
=
b d
a.d = c.b
A) Doğru Orantılı Çokluklar
İki çokluktan biri artarken veya azalırken, diğeri de orantılı biçimde artıyor veya azalıyorsa bu iki çokluğa doğru
2. Bir orantıda içler ve dışlar yer değiştirebilir.
a c
=
b d
d c
=
b a
a c
=
b d
a b
=
c d
orantılı çokluk denir.
y
=k
x
y = k.x şeklinde ifade edilir.
Grafiği bir doğru belirtir.
_
a c
3.
=
b d
_
_
_
I I I I I I I I I _I I I I I I I I I I I
_
-5
5
-2 _
_
_
_
a
c
+1 = +1
b
d
2
a+b c +d
dir.
=
b
c
4. a
0, b
0 olmak üzere,
x z
= =k
y t
x, y, z sayıları sırası ile a, b, c ile doğru orantılı ise,
ax + bz
=k
ay + bt
x y z
= = = k dır.
a b c
65
B) Ters Orantılı Çokluklar
Geometrik Ortalama
İki çokluktan biri artarken diğeri ona bağlı olarak orantılı
n tane sayının çarpımının n. kuvvetten köküne bu
şekilde azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri orantılı şekil-
sayıların geometrik ortalaması denir.
de artıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir.
a1, a2, a3, … ,an
x ile y ters orantılı ise,
G.O =
k
x.y =k veya y =
x
Grafiği bir eğri belirtir.
x, y, z sayıları sırası ile a, b, c ile ters orantılı ise,
a.x = b.y = c.z = k veya
x y z
= = = k dır.
1 1 1
a b c
C) Bileşik Orantı
İkiden fazla çokluğun bulunduğu orantılara bileşik
orantı denir.
Bileşik orantıda aynı anda doğru ve ters orantılı
çokluklar olabilir.
a sayısı b ile doğru c ile ters orantılı ise,
b .k
a=
dir.
c
Aritmetik Ortalama
n tane sayının toplamının n sayısına bölünmesi, bu
sayıların aritmetik ortalamasını verir.
a1, a2, a3, … ,an
A.O =
a1 + a 2 + a 3 + ... + a n
dir.
n
66
n
a1 .a2 .a3 . ... .an dir.
ÇÖZÜMLÜ TEST
1 1 1 1
+ + =
olduğuna göre,
x y z 8
5. ax=by=cz = 120 ve
1. Yaşları 3, 4 ve 6 olan üç kardeşe 52 TL yaşları ile
a+b+c toplamı kaçtır?
orantılı olarak dağıtılıyor. En fazla alan kardeş kaç TL
almıştır?
A) 9
2.
A) 13
B) 15
C) 18
D) 20
B) 15
C) 17
D) 19
E) 21
E) 24
6. x, y, z negatif tamsayılardır.
x y z
= = olduğuna göre,
4 3 5
x 4 y 2
= , = iken,
y 5 z 3
aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
x+y+z = 66 ise; y+z toplamı kaçtır?
A) 30
3.
B) 35
C) 36
D) 50
A) y > x > z
E) 52
B) y > z > x
D) z > x > y
a
c
= b = ve 3a+2b – c = 40 olduğuna göre, a+b – c
2
3
7.
C) x > y > z
E) z > y > x
x y
= = 4 , x = y+60 olduğuna göre; x kaçtır?
y z
toplamı kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
A) 70
E) 4
B) 75
C) 80
D) 85
E) 90
8. x, y, z pozitif tamsayılar
4.
5x = 4y = z olduğuna göre,
a 4
3a + b
= olduğuna göre,
oranı kaçtır?
b 7
2a
A)
19
8
B) 3
C)
21
8
D) 5
x+y+z toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
E)
A) 29
29
8
B) 30
C) 31
67
D) 32
E) 33
9. İki basamaklı xy, yz ve zx sayılarının aritmetik
13. 5 traktör 15 dönüm toprağı 3 günde sürerse, 4
ortalaması 33 dür.
traktör 20 dönüm toprağı kaç günde sürer?
Buna göre, x+y+z toplamı kaçtır?
A) 1
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
E) 12
10. 700 gramı 3,85 TL olan zeytinin 400 gramı kaç
14. x sayısı y+1 ile doğru, 2y ile ters orantılıdır.
TL’dir?
x = 2 iken y = 3 tür.
x = 6 iken y değeri kaçtır?
A)1,2
B) 1,5
C) 1,8
D) 2
E) 2,2
A)
11. Bir dağcı kampında 30 günlük yiyecek vardır. Kamp-
1
2
B)
1
3
C)
1
4
D)
1
5
E) 1
15. x ile y’nin aritmetik ortalaması 15, y ile z’nin aritme-
tan 4 kişi ayrılınca yiyecek 45 gün yetecektir.
tik ortalaması 12, x ile z’nin aritmetik ortalaması 9
Buna göre kampta kaç kişi vardır?
ise, x, y, z nin aritmetik ortalaması kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
A) 4
12. 25 kişilik bir sınıfın not ortalaması 3’tür. 10 kişinin
not ortalaması 2, 5, 9 kişinin not ortalaması 4 olduğuna göre, geri kalanın not ortalaması kaçtır?
A) 1
B)
4
3
C)
5
3
D) 2
E)
7
3
68
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
5. ax = by = cz = 120
ÇÖZÜMLER
a b c
= = = 120
1 1 1
x y z
1. Üç kardeş x, y, z ise,
x y z
= = =k
3 4 6
a+b+c
= 120
1 1 1
+ +
x y z
x = 3k, y = 4k, z = 6k
x+y+z = 52
3k+4k+6k = 52
z = 6k
13k = 52
k=4
a+b+c = 120.
z = 6.4 = 24 TL bulunur.
1
8
a+b+c
= 120
1
8
a+b+c = 15 bulunur.
Yanıt: B
Yanıt: E
-
6. x, y, z Z
2.
x 4 y 2
= , =
y 5 z 3
x y z
= = = -k
4 3 5
y’ler ortak olduğu için y değerini eşitleyelim.
y > x > z bulunur.
x 4 2
= .
y 5 2
x 8
=
y 10
y 2 5
= .
z 3 5
y 10
=
z 15
x = -4k, y = -3k, z = -5k
Yanıt: A
Not: Negatif sıralama, pozitif sıralamanın tam tersidir.
x = 8k, y = 10k, z = 15k
x+y+z = 66
7.
8k+10k+15k = 66
33k = 66
k=2
x 4 y 4
= , = iki eşitlikteki y’leri eşitlersek,
y 1 z 1
x 16 y 4
= , =
y 4 z 1
y = 20 ve z = 30
y+z = 20+30 = 50 bulunur.
x = 16k, y = 4k, z = k olur.
Yanıt: D
x = y+60
16k = 4k+60
12k = 60
k=5
3.
a
c
= b = = k ise,
2
3
x = 16k = 16.5 = 80 bulunur.
Yanıt: C
a = 2k, b = k, c = 3k
3a+2b – c = 40
3.2k+2.k – 3k = 40
+
5k = 40
8. x, y, z Z
k=8
5x = 4y = z = k
a = 16, b= 8, c = 24
k
k
x = , y = , z = k olur.
5
4
a+b – c = 16+8 – 24 = 0 bulunur.
Yanıt: A
x+y+z =
k k
29k
+ +k =
bulunur.
5 4
20
En küçük değer alması için k = 20 olmalı
4.
a 4
=
b 7
a = 4k, b = 7k
x+y+z = 29 olur.
Yanıt: A
3a+b 3.4k + 7k 19k 19
=
=
=
bulunur.
2a
2.4k
8k 8
Yanıt: A
69
9.
xy + yz + zx
= 33
3
13.
11(x+y+z) = 99
15 dak
20 dak
5 tak
4 tak
10x+y+10y+z+10z+x = 99
3 gün
x gün
x+y+z = 9 bulunur.
Yanıt: B
I
II
III
I. yi kapatalım II ve III’ü karşılaştıralım.
15 dönüm
20 dönüm
3 gün
x gün
T.O
II.yi kapatalım I ve IIIü karşılaştıralım.
10. 700 gram
400 gram
x=
3,85 TL
x TL
400.3,85
700
5 traktör
4 traktör
3 gün
x gün
x = 2,2 TL
D.O
x.4.15 = 20.3.5
x = 5 gün
(Biri azalırken diğeri de azaldığı için doğru orantı vardır.)
Yanıt: E
Yanıt: E
14. x =
11. x kişi
x – 4 kişi
30 gün
45 gün
k.( 3 1) x = 6 ve k = 3 yazılarak y
değeri bulunur
2.3
4k = 12
k=3
2=
30.x = 45.(x – 4)
30x = 45x – 180
15x = 180
k.( y 1) x =2 ve y = 3 yazılarak k
değeri bulunur
2y
6
x = 12 bulunur.
(Kişi sayısı azalırken gün sayısı artmıştır. Bu yüzden ters
3.(y 1)
2y
9y = 3
orantı kullanılmıştır.)
y=
12y
3y 3
1
bulunur.
3
Yanıt: B
Yanıt: B
x+y
= 15
x+y = 30
2
y+z
= 12
y+z = 24
2
x+z
=9
x+z = 18
2
Taraf tarafa toplarsak;
15.
12.
Not toplamı
= Not ortalaması
Sinif Mevcudu
10.(2,5)+ 9.4 + 6.x
=3
25
25+36+6x = 75
6x = 14
2x+2y+2z = 72
x+y+z = 36
7
x=
bulunur.
3
x + y + z 36
= = 12 bulunur.
3
3
Yanıt: E
Yanıt: E
70
ÇÖZÜMLÜ TEST
SAYI VE KESİR PROBLEMLERİ
1. Hangi sayının
Sayı problemlerini çözerken, denklemin doğru kurulması
2
3
ünün inin 6 fazlası, o sayının 2 ka3
5
tından 90 eksiktir.
gerekir.
Bu sayı kaçtır?
Matematik Diline Çevirme
A) 60
B) 56
C) 50
D) 45
E) 40
 Herhangi bir sayı x olsun.
4
4x 4
= x
Bir sayının
katı :
5 5
5
Bir sayının 3 katının 5 fazlası : 3x+5
3
3(x + 7)
Bir sayının 7 fazlasının ü :
4
4
 Herhangi iki sayı x ve y olsun.
2. Deniz ile Nazım’ın paraları toplamı 90 TL’dir. Deniz’in
İki sayının toplamı : x+y
2
İki sayının kareleri farkı : x – y
parası Nazım’ın parasının 2 katından 30 TL eksiktir.
2
Nazım’ın parası kaç TL’dir?
İki sayıdan I.nin üç katı ile II.sinin 2 katı farkı : 3x – 2y
A) 25
B) 30
C) 35
D) 40
E) 45
biçiminde matematik diline çevirerek denklem kuru-lur
ve problem çözülür.
Örnek:
3
i 48 olan sayı kaçtır ?
5
3. Bir adamın 25 Kr, 50 Kr ve 1 TL’den oluşun 47 tane
3
x. = 48 Þ 3x = 240 Þ x = 80
5
madeni parası vardır. 50 Kr’nin sayısı 25 Kr’nin
sayısının yarısıdır.
Toplam para 23 TL ise, kaç tane 1 TL vardır?
Örnek:
A) 9
Hangi sayının 3 katının 5 fazlasının yarısı 16 dır?
3x 5
2
3x
16
27
3x 5
x
1
6
D) 12
E) 13
9
4. 37 kişilik bir sınıftan 2 erkek, 3 kız öğrenci ayrıldığın-
2
1
Hangi sayının
ile
sinin farkı 6 dır?
3
2
x.
C) 11
32
Örnek:
2
x
3
B) 10
1
x
2
6
6
x
2
x.(
3
(2)
1
)
2
da, kızların sayısı erkeklerin sayısının 3 katı oluyor.
Başlangıçta bu sınıfta kaç kız öğrenci vardır?
6
A) 19
(3)
B) 23
C) 25
36
71
D) 26
E) 27
da, her sorunun değeri 4 puandır. Tüm soruları ya-
2
ini,
5
nıtlayan bir öğrenci toplam 280 puan aldığına göre,
sonra günde 12 km yol yürüyerek kalan kısmı
bu öğrencinin kaç sorusu doğrudur?
bitiriyor.
5. 3 yanlışın 1 doğruyu götürdüğü 90 soruluk bir sınav-
9. Ulaş günde 10 km yol yürüyerek bir yolun
Ulaş, yolun tamamını 36 günde bitirdiğine göre,
A) 65
B) 70
C) 72
D) 75
6. Yeşim bir sınavdaki soruların
doğru,
E) 80
yolun
3
ü kaç km’dir?
4
A) 300
B) 320
C) 350
D) 400
E) 420
2
inin 10 fazlasını
5
1
ünün 4 eksiğini yanlış yapmış ve 10 soruyu
3
10.
3
5
i su dolu bir bidonun ağırlığı 22 kg’dır. Suyun u
5
9
boş bırakmıştır.
döküldüğünde bidonun ağırlığı 12 kg gelmektedir.
Bu sınavda kaç soru sorulmuştur?
Buna göre, boş bidonun ağırlığı kaç kg gelmektedir?
A) 60
B) 64
C) 68
D) 70
A) 2
E) 72
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
7. 5 adım ileri, 2 adım geri atarak yürüyen bir adam
11. 20 kişilik bir öğrenci grubu geziye gidecekleridir.
toplam 160 adım atmıştır.
Aralarından 5 kişi geziye katılamayınca, geri kalanları
Bu kişi başladığı noktadan kaç adım ileri gitmiştir?
10 TL daha ücret ödüyorlar.
A) 60
B) 70
C) 75
D) 80
Buna göre, geziye ödenen ücret kaç TL’dir?
E) 85
A) 500
8. bir öğretmen maaşının
nın
B) 600
C) 650
D) 675
E) 750
3
ini ev kirasına, kalan para8
3
ünü mutfak masrafına, kalan paranın yarısını
4
12. Bir parça telin ucundan
da taksitlere vermiştir.
Cebinde 100 TL kaldığına göre, bu öğretmenin
1
i kesilince orta nokta 4 cm
8
kayıyor. Telin uzunluğu kaç cm’dir?
maaşı kaç TL’dir?
A) 1080
B) 1180
D) 1400
A) 56
C) 1280
E) 1420
72
B) 58
C) 60
D) 62
E) 64
ÇÖZÜMLER
4. 37 kişinin x tanesi kız ise, 37 – x tanesi erkektir.
2 erkek ayrılırsa: 37 – x – 2 = 35 – x
1. Sayı x olsun.
2
2
2 3 2x
Sayının ünün i , x. . =
3
5
3 5
5
6 fazlası:
3 kız ayrılırsa: x – 3
3(35 – x) = x – 3
105 – 3x = x – 3
108 = 4x
x = 27 tane kız öğrenci bulunur.
2x
+6
5
Yanıt: E
Sayının 2 katının 90 eksiği: 2x – 90
2x
+ 6 = 2x – 90
5
2x+30 = 10x – 450
480 = 8x
5. 90 sorunun x tanesi doğru ise, 90 – x tanesi yanlıştır.
90 - x
3 yanlış 1 doğruyu götürürse, net sayısı x 3
x = 60 bulunur.
Yanıt: A
olur.
Her doğru soru 4 puan ise, 4. x -
90 - x
=280
3
2. Nazım’ın parası: x ise,
Deniz’in parası: 90 – x’tir.
N
D
x
90 –x
x-
90 - x
= 70
3
3x – 90 + x = 210
4x = 300
x = 75 olur.
Deniz’in parası Nazım’ın parasının 2 katından 30
Yanıt: D
eksik ise,
Deniz’in parası: 2x–30 dur.
2x – 30 = 90 – x
3x = 120
x = 40 bulunur.
Yanıt: D
6. Soru sayısına x dersek,
2x
+ 10
Doğru cevap:
5
Yanlış cevap:
3. x tane 50 Kr varsa,
x
-4
3
Boş soru: 10
2x tane 25 Kr vardır.
47 – 3x tane 1 TL = 100 Kr vardır.
Hepsinin toplamı soru sayısı olan x’ e eşitlenir.
x.50+2x.25+(47 – 3x)100 = 2300
2x
x
+ 10 + - 4 +10 = x
5
3
50x+50x+4700 – 300x = 2300
4700 – 2300 = 200x
2400 = 200x
x = 12
6x +150+5x – 60+150 = 15x
47 – 3.12 = 11 tane 1 TL vardır.
240 = 4x
x = 60 olur.
Yanıt: C
Yanıt: A
73
10.
7. 5 adım ileri, 2 adım geri toplam 7 adım atıyor. 7
adımda 3 adım ilerliyor.
3x
5
160 adımda kaç tane 7 adım var bulmak için 160’ı
7’ye böleriz.
160
-14
20
-14
6
7
22
3x
+ y = 22 kg ( 1 )
5
3x 5
in u dökülüyor.
5
9
3x 5 x
. = dökülen su
5 9 3
3x x 9x - 5x 4x
- =
=
kalan su
5 3
15
15
4x
+ y = 12 ( 2 )
15
7x22 = 154
7 adımda
3 adım ileri giderse
154 adımda
3.154
x=
= 66
7
x adım ileri gider
4x
m y = -12
15
3x
+ y = 22
5
160’ı 6’ya böldüğümüzde 6 kalmıştı. Bunun anlamı 6
-
adım arttığıdır. 6 adımda 5 adım ileri gitti 1 adım geri
geldi. Yani 4 adım ilerlemiş oldu.
66+4 = 70 adım ilerlemiş oldu.
Yanıt: B
1 ve 2 yi
ortak çözelim
(y’yi yok edelim)
3x 4x
= 10 Þ 9x - 4x = 150
5 15
8. Paydamız 8 olduğu için bir bütünü 8 eş parçaya
5x = 150
x = 30 kg
bölelim.
x
x
Ev kirası
x
x
x
y
y
Mutfak masrafı
Her kalan yeni bir bütündür.
x
x
3.30
+ y = 22
5
x
y
5x = 4y
Yanıt: C
z
z
11. Kişi başına x TL ödeniyorsa, toplam 20x TL ödenir.
5 kişi ayrılınca 15 kişi, 15.(x+10) TL ödenir.
y = 2.100 = 200 TL
5x = 4.200
y = 4 kg bulunur.
y
z = 100 TL cebinde kalan para
y = 2z
y
suyun ağırlığına x,
bidonun ağırlığına y
diyelim.
20x = 15(x+10)
x = 160 TL
20x = 15x+150
Başlangıçtaki parası 8x olduğuna göre,
5x
150
Yanıt: B
Yanıt: C
9. Yolun tamamı x km olsun.
2x
km’yi günde 10 saat gidecek,
5
2x
3x
5 = y günde, 5 = 36–y günde yürümüş olur.
10
12
2x 1 x
y= . =
5 10 25
y=
30
Toplam ödenecek para: 20.30 = 600 TL
8.160 = 1280 TL bulunur.
36 – y =
x
12. Bir telin
sa, telin
1
i kesildiğinde orta nokta a kadar kayıyorx
1
i 2a birim kadardır.
x
1
i 2.4 = 8 cm ise tamamı 8x8 = 64 cm’dir.
8
3x 1
x
. Þ
= 36 - y
5 12 20
Yanıt: E
x
x
, y = 36 25
20
x
x
x
x
= 36 Þ 36 =
+
25
20
25 20
Denklemini çözersek, x = 400 km bulunur.
Yanıt: D
74
3. Anne ile oğlunu yaşları toplamı 70’tir. Anne oğlu-
YAŞ PROBLEMLERİ
nun yaşında iken oğlu 5 yaşındaydı.
Buna göre annenin bugünkü yaşı kaçtır?
Yaş problemlerini de sayı problemleri gibi düşünebiliriz.
A) 45
B) 47
C) 48
D) 50
E) 52
Yaş Problemlerinde Dikkat Edilecek Noktalar
1) İki kişinin yaşları farkı sabittir.
2) Herkes aynı sayıda yaşlanır.
3) Yaşların oranı veya toplamı yıllara göre değişir.
4. Baba ve annenin yaşları 4 ve 3 ile doğru, çocukları-
4) n kişinin yaşları toplamı x ise,
nın yaşı 2 ile ters orantılıdır. Üçünün yaşları topla-
t yıl sonra x+n.t olur.
mı 60 ise, çocuk bugün kaç yaşındadır?
t yıl önce x – n.t olur.
5) A doğduğunda B’nin yaşı denilince B–A verilmiş
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
demektir.
5. Yeşim annesinin
ÇÖZÜMLÜ TEST
1
4
ü , ablasının i yaşındadır. Ablası
4
5
doğduğunda annesi 33 yaşında olduğuna göre, Ye1. Baba ile oğlunu yaşları toplamı 60’tır. 5 yıl önce ba-
şim bugün kaç yaşındadır?
banın yaşı oğlunu yaşının 3 katından 2 eksiktir.
Babanın bugünkü yaşı kaçtır?
A) 38
B) 40
C) 42
A) 9
D) 44
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
E) 45
6. Dedenin yaşı xy iki basamaklı sayısıdır. Torununun
yaşı ise, dedenin yaşının rakamları toplamıdır.
Dede torununun yaşının 6 katı ise, dede bugün kaç
yaşındadır?
2. Bir annenin yaşı iki çocuğunun yaşları toplamının 3
A) 72
katından 5 fazladır.
B) 63
C) 60
D) 54
E) 50
5 yıl sonra annenin yaşı çocukların yaşları toplamının 2 katı ise, anne ile çocukların yaşları toplamının farkı kaçtır?
A) 25
B) 27
C) 28
D) 30
7. Bugünkü yaşları 3 ve 4 ile orantılı olan iki kişinin 6
E) 32
yıl sonra yaşları 4 ve 5 ile orantılı olacaktır.
Buna göre, bu kişilerin yaşları farkı kaçtır?
A) 6
B) 5
C) 4
75
D) 3
E) 2
4. Kişilerin yaşları sıra ile a, b, c olsun.
ÇÖZÜMLER
b a c
= = = k , a+b+c = 60
4 3 1
2
1. Babanın yaşı: x
5 yıl öce yaşları;
a+b+c
60
=kÞ
=k
1
15
3+ 4 +
2
2
BABA OĞLU
(x – 5)
k = 8 bulunur.
Oğlunun yaşı: 60–x’tir.
(60–x)–5
a = 3k = 3.8 = 24
b = 4k = 4.8 = 32
x–5 = 3(55–x)–2
x–5 = 165–3x–2
4x = 168
c=
x = 42 bulunur.
k 8
= = 4 yaşındadır.
2 2
Yanıt: C
Yanıt: B
x
4
4y
Ablasının yaşı y ise, yeşim’in yaşı:
dir.
5
x 4y
16y
x=
=
dir.
5
4 5
Anne abladan 33 yaş büyük ise,
x = y+33
16y
= y + 33 Þ 16y = 5y + 165
5
11y = 165
y = 15 ablanın yaşı
4y 4.15
=
= 12 bulunur.
Yeşim:
5
5
5. Annenin yaşı x ise, Yeşim’in yaşı:
2. Çocukların yaşları toplamı: x
Annenin yaşı: 3x+5
5 yıl sonra;
Çocukların yaşları toplamı: x+10
Annenin yaşı: 3x+5+5 = 3x+10
2(x+10) = 3x+10
2x+20 = 3x+10
x = 10 olur.
Yanıt: D
Annenin yaşı: 3.10+5 = 35
Yaşları farkı: 35 – 10 = 25 bulunur.
Yanıt: A
6. Dedenin yaşı xy ise,
Torunun yaşı: x+y dir.
xy = 6(x+y)
10x+y = 6x+6y
4x = 5y
x = 5 ve y = 4 dır.
Dede 54 yaşında, torun 4+5 = 9 yaşındadır
3. Anne
x
Oğlu
70 – x
70 – x
5
Yanıt: D
Bugünkü yaşları
Anne oğlunun
Yaşında iken
7. I. kişi x, II. Kişi y yaşında olsun.
x 3
x+6 4
= , 6 yıl sonra
= dır.
y 4
y+6 5
4x = 3y
5x+30 = 4y+24
x = 3k
5.3k+30 = 4.4k+24
y = 4k
k = 30 – 24 = 6
Yaşları farkı sabittir. Geçen zamanlar eşittir.
x–(70–x) = (70–x)–5
x–70+x = 70–x–5
2x–70 = 65–x
3x = 135
x = 45 olur.
x = 3.6 = 18
y = 4.6 = 24
Yaşları farkı: 24 – 18 = 6 olur.
Yanıt: A
Yanıt: A
76
3. Bir x sayısı y sayısının %25’ine eşit ise, y sayısı x
YÜZDE PROBLEMLERİ
sayısının yüzde kaçına eşittir?
A) 100
B) 200
C) 300
D) 400
E) 500
Yüzde Kavramı
Bir A sayısının %x’ini bulmak için, A.
x
A.x
=
işlemi
100 100
yapılır.
Örnek:
 40’ın %30’u nedir?
30
40.
= 12 dir.
100
4. Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları %20 azaltıldığında hacmi yüzde kaç azalır?
 Hangi sayının %30’u 12’dir?
30
x.
= 12
30.x = 1200 x = 40 olur.
100
A) 42,2
B) 44,3
C) 45,6
D) 47,8
E) 48,8
 40 sayısının yüzde kaçı 12’dir?
40.
x
= 12Þ
100
40x = 1200
x = 30 bulunur.
5. Ali elindeki bilyelerin %30’unu Nazım’a verirse, kalan
bilyeleri Nazım’ın bilyelerinin yarısına eşit oluyor.
Başlangıçta Nazım’ın bilyeleri Ali’nin bilyelerinden
yüzde kaç fazladır?
ÇÖZÜMLÜ TEST
A) 10
1. %40’ı 48 olan sayının %3’ü kaçtır?
A) 3,6
B) 3,8
C) 4
D) 4,2
C) 21
D) 24
D) 25
E) 30
6. Hangi sayının %30’unun 24 fazlası, o sayının
ise, gözlüklü erkek öğrenciler sınıfın yüzde kaçıdır?
B) 18
C) 20
E) 4,4
2. Bir sınıfın %60’ı erkektir. Erkeklerin %30’u gözlüklü
A) 15
B) 15
%15’inin 60 fazlasına eşittir?
E) 27
A) 210
B) 230
C) 240
77
D) 300
E) 320
ÇÖZÜMLER
4. Dikdörtgenler prizmasının tüm boyutlarını 10 br
olarak alalım.
Hacim = H = a.b.c
1. Sayı x olsun.
40
x.
= 48
100
120.
3
Hacim = 10.10.10 = 1000 br
x = 120 bulunur.
Boyutlarını %20 azaltırsak yeni boyutlar:
20
10.
= 2 br, 10 – 2 = 8 br olur.
100
3
= 3,6 olur.
100
Yeni hacim = H1 = 8.8.8 = 512 br
Yanıt: A
3
H – H1 = 1000 – 512 = 488 br3 azalır.
488 48,8
=
= %48,8 bulunur.
1000 100
Yanıt: E
2. Sınıf mevcudu verilmemiş. Sınıf mevcudunu 100
5. Ali’nin bilye sayısı 100 ve Nazım’ın bilye sayısı x
kabul ettiğimizde, erkek öğrenci sayısı 60 olur. bu 60
olsun.
kişinin %30’u gözlüklü olduğuna göre,
30
60.
= 18 erkek öğrenci gözlüklüdür.
100
100 – 30 = 70 Ali’nin kalan bilye sayısı
Nazım’ın son bilye sayısı x+30 olur.
1
70 = (x + 30).
2
Sınıftaki öğrenci sayısı 100 gözlüklü erkek öğrenci
sayısı da 18 olduğuna göre, gözlüklü öğrenciler,
140 = x+30
sınıfın %18’ini oluşturur.
x = 110 (Nazım’ın bilye sayısı)
Nazım’ın bilye sayısı, Ali’nin bilye sayısının %10
Yanıt: B
fazlasıdır.
Yanıt: A
25
100
a
y = x.
100
3. x = y.
100.4x = a.x
x=
y
4
y = 4x
6. Sayıya x dersek,
30
15
x.
+ 24 = x.
+ 60
100
100
100y = x.a
a = 400
30x+2400 = 15x+6000
y sayısı x sayısının %400’üne eşittir.
15x = 3600
Yanıt: D
x = 240 olur.
Yanıt: C
78
4. Bir malın etiket fiyatı üzerinden %20 indirim yapılıp,
KAR-ZARAR PROBLEMLERİ
daha sonra bu fiyat üzerinden %20 zam yapıldığında,
bu malın yeni etiket fiyatı için ne söylenebilir?
Bir malın alış fiyatı ile satış fiyatı arasındaki fark pozitif ise
A) %4 kar
kar, negatif ise zarar olur.
B) %4 zarar
D) %2 zarar
Kar problemleri
Zarar problemleri
Maliyet=100x
Maliyet=100x
Kar yüzdesi =%y
Zarar yüzdesi=%y ise
100x.%y=x.y
100x.%y=x.y
Satış fiatı= 100x+x.y
Satış fiatı = 100x-x.y
C) ne kar ne zarar
E) %2 kar
5. Bir satıcı 10 düzine bardak almış ve bunların %20’sini
kırmıştır.
Geri kalan bardakları % kaç kar ile satarsa, %20 kar
elde edilir?
A) 30
B) 40
C) 50
D) 60
E) 70
ÇÖZÜMLÜ TEST
1. %30 zararla 630 TL’ye satılan bir mal, %30 kar ile
kaç TL’ye satılır?
A) 900
B) 1070
C) 1170
D) 1250
6. %20 zararla satılan bir maldan %20 kar elde etmek
E) 1275
için satış fiyatına yüzde kaç zam yapılmalıdır?
A) 40
B) 50
C) 55
D) 60
E) 64
2. %30 kar ile satılan bir mal, etiket fiyatı üzerinden
7. Bir satıcı elindeki bardakların tanesini 2,5 TL ye sa-
175 TL indirim yapılırsa %5 zarar ediyor. Bu malın
tarsa 40 TL zarar, 5 TL’ ye satarsa 260 TL kar elde
maliyet fiyatı nedir?
ediliyor. Buna göre satıcı elindeki bardakları %20
A) 450
B) 500
C) 550
D) 600
kar ile satarsa, kaç TL kar elde eder?
E) 650
A) 48
B) 58
C) 68
D) 78
E) 88
8. Etiket fiyatı üzerinden %30 indirimle satılan bir mal,
bu fiyata %10’luk ikinci bir indirim daha uygulayarak
3. Bir malın etiket fiyatı üzerinden %30 indirim yapıldığı
halde %12 kar elde ediliyor. Etiket fiyatı üzerinden
malı 126 TL’ye satıyor.
yüzde kaç kar elde ediliyor?
Bu malın etiket fiyatı kaç TL’dir?
A) 50
B) 60
C) 70
D) 80
A) 150
E) 90
B) 180
C) 190
79
D) 200
E) 25
ÇÖZÜMLER
5. 10x12 = 120 tane bardak almış.
20
120.
= 24 tanesi kırılmış.
100
1. Malın maliyeti 100x olsun.
%30 zararla 70x satılır.
120 – 24 = 96 tane bardak kalmış
Tanesini 10 Kr almış olsak,
100x TL mal
70x satılırsa
Kaç TL mal (A)
630 TL’ye satılır.
120.10 = 1200 maliyet
20
1200.
= 240 kar elde etmeli bardaklar kırıl100
masaydı.
630.100x = 70x.A
1200+240 = 1440 Kr satılacaktı.
1440
= 15 Kr
96
A = 900 TL (Malın maliyeti)
900x%30 = 270
Tanesi 15 Kr satılırsa %50 kar ile satılmalıdır.
900+270=1.170 TL’dir.
Yanıt: C
Yanıt: D
6. Malın maliyet fiyatı 100x ise,
100x – 20x = 80x satılır.
2. Malın maliyeti 100x olsun.
%20 zamlı fiyatı: 100x +20x = 120x
%30 kar ile 130x’e satılır.
175 TL indirimle %5 zarar ediyor. 95x’e satılır.
130x – 175 = 95x
35x = 175
x=5
Maliyet 100x idi. 100.5 = 500 TL’dir.
80x TL mal
120xTL satılırsa
100x TL mal
kaça (A) satılır.
80x.A = 120x.100
Yanıt: B
A = 150 TL
%50 zam yapılmalıdır.
Yanıt: B
3. Bu tür soruları şıklardan giderek çözmek daha kolay
olur.
7. Satıcı x tane bardak almış olsun. maliyeti bulalım.
Malın maliyetini 100 TL kabul edelim.
2,5.x+40 = 5.x – 260
 %50 kar ile 150 TL’ye satılır.
30
150.
= 45 TL kar.
100
150 – 45 = 105
300 = 2,5x
x = 120 tane bardak almış
Maliyet: 2,5.120 +40 = 340 TL’dir.
20
340.
= 68 TL kar elde edilir.
100
%5 kar (yanlış)
 %60 kar ile 160 TL’ye satılır.
30
160.
= 48
160 – 48 = 112
100
Yanıt: C
%12 kar elde edilmiştir. Doğru cevap %60 olur.
8. Etiket fiyatı 100 olsun.
Yanıt: B
%30 indirim, 100 – 30 = 70 olur.
Tekrar %10’luk indirim yapılırsa,
10
70.
=7
100
4. Malın etiket fiyatı 100x olsun.
%20 indirim 100x – 20x = 80x
70 – 7 = 63 TL satılır.
80x’e %20 zam yapılırsa,
20
80x.
= 16x zam yapılır.
100
100 TL mal
(A) kaç TL mal
80x+16x = 96x satılır.
63 TL satılırsa
126 TL’ye satılır.
100.126 = 63.A
100x – 96x = 4x zarar
A = 200 TL bulunur.
%4 zarar olur.
Yanıt: D
Yanıt: B
80
II. YOL:
FAİZ PROBLEMLERİ
A+F = A. 1 +
n
100
1800+F = 1800. 1 +
Bankaya yatırılan bir miktar paraya bir süre sonra
ödenen fazla paraya faiz denir.
1800+F = 1800.
A = Anapara
13
10
t
30
100
2
2
1800.169
100
1800+F = 3042
F = 1242 TL’dir.
1800+F =
F = Faiz
t = Zaman
n = Faiz oranı
100
A
1 yıl
t
n
F
A.n.t
(yıllık faiz)
100
A.n.t
F=
(aylık faiz)
1200
A.n.t
F=
(haftalık faiz)
5200
A.n.t
F=
(günlük faiz)
36000
F=
Bileşik Faiz:
Faize yatırılan para, her yıl getirdiği faiz ile birlikte tekrar
faize yatırılması ile elde edilen toplam faize bileşik faiz
denir.
Bileşik faiz: A+F = A. 1+
n
100
t
formülü ile bulabiliriz.
Örnek:
1800 TL yıllık %30’dan bileşik faiz ile bankaya yatırılıyor.
İki yılın sonunda toplam ne kadar faiz alınır?
Çözüm:
I. YOL:
1800.30.1
= 540
100
1800+540 = 2340 TL
2340.30.1
= 702 TL
II. yıl gelen faiz: F =
100
Toplam faiz: 540+702 = 1242 TL’dir.
I. yıl gelen faiz: F =
81
ÇÖZÜMLÜ TEST
4. İlknur elindeki parasını %25’den basit faize yatırmıştır. Bu parayı yıllık %35’den basit faize yatırsaydı bir
yılda 1200 TL fazla para alacaktı.
1. 700 TL yıllık %25 den basit faize 3 yıllığına yatırılıyor.
Buna göre İlknur’un bankaya yatırdığı para kaç
3 yıl sonra toplam para kaç TL’dir?
A)1000
B) 1150
D) 1225
TL’dir?
C) 1175
A) 12000
E) 1250
B) 12500
D) 14000
C) 13000
E) 16000
5. Arzu 3600 YTL’sini 8 ay bankaya yatırarak 720 TL faiz
almıştır.
Arzu parasını % kaç faizden bankaya yatırmıştır?
2. 3000 TL’nin bir kısmı %30’dan 8 ay, kalan kısmı
%40’dan 9 ay faize yatırılıyor ve toplam 800 TL faiz
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
E) 40
alınıyor.
%30’dan faize verilen para kaç TL’dir?
A) 1000
B) 1500
D) 2000
C) 1750
E) 2250
6. Bankaya basit faiz ile yatırılan bir miktar paranın 25
ay sonra kendisinin
4
ü kadar faiz getirmesi için,
3
yıllık faiz oranı yüzde kaç olmalıdır?
A) 48
B) 50
C) 64
D) 70
E) 72
3
i %20’den 4 ay bankaya yatırı5
lıyor ve 100 TL faiz alınıyor.
3. Bir miktar paranın
Buna göre paranın tamamı kaç TL’dir?
A) 1500
B) 2000
D) 2400
7. 4500 TL’nin bir kısmı %30 faiz oranı ile bankaya
C) 2200
yatırılıyor. 8. ayın sonunda paranın kalan kısmı kadar
E) 2500
faiz alınıyor.
Buna göre alının faiz kaç TL’dir?
A) 750
82
B) 700
C) 650
D) 600
E) 500
4. İlknur’un parası A’dır.
ÇÖZÜMLER
A.25.1
5A
F1 =
100
20
A.35.1 7A
=
F2 =
100
20
7A 5A
= 1200
F2 – F1 = 1200
20 20
F1 =
A.n.t
1. F =
(yıllık faiz)
100
700.25.3
= 525 TL
F=
100
700+525 = 1225 TL bulunur.
2A = 24000
Yanıt: D
A = 12000 TL’dir.
Yanıt: A
5. A = 3600 TL t = 8 F = 7200, n = ?
A.n.t
F=
1200
2. 3000 YTL’nin bir kısmı x ise, kalan kısmı
3000 –x ’dir.
x.30.8
(3000 - x).40.9
F1 =
, F2 =
1200
1200
7200 =
3600.n.8
1200
n = 30
Para %30’dan bankaya yatırılmıştır.
F1+F2 = 800
24x (3000 - x).36
+
= 800
120
120
Yanıt: D
24x+108000 – 36x = 96000
12x = 12000
x = 1000 TL’dir.
Yanıt: A
6. Bir miktar para A
4A
Faiz =
, t = 25 ay, n = ?
3
F=
A.n.t
1200
4A A.n.25
4 n
=
=
3
1200
3 48
n = 64
Para %64 ise faize verilmiştir.
3. Bir miktar para A olsun.
A.n.t
F=
(aylık faiz)
1200
3
A.20.4
= 100
F= 5
1200
Yanıt: C
48A = 120000
7. 4500 TL’nin x kısmı bankaya yatırılıyor.
F = 4500 – x
x.30.8
= 4500 - x
F=
1200
A = 2500 TL olur.
Yanıt: E
x
= 4500 - x
x = 22500 - 5x
5
6x = 22500
x = 3750 TL
Alınan faiz: 4500 – 3750 = 750 TL’dir.
Yanıt: A
83
KARIŞIM PROBLEMLERİ
1. Şeker oranı %20 olan 50 gr şekerli suyun şeker oranını %50 yapmak için ne kadar şeker ilave ederiz?
Karışım: İki veya daha fazla çözeltilerin homojen olarak
karıştırılması ile elde edilen yeni çözeltidir.
A) 25
B) 30
C) 35
D) 40
E) 45
Karışım problemlerinde de yüzde problemlerinde kullanılan formüller kullanılır.
Saf madde miktarı
Karışım oranı =
Karışım miktarı
Tuz miktarı: x
Su miktarı: y
2. Tuz oranı %25 olan 400 gr tuzlu suya tuz oranı %50
x
x+y
y
Karışımın su oranı =
x+y
Karışımın tuz oranı =
olan bir miktar tuzlu su karıştırılıyor.
Yeni karışımın tuz oranı %40 olduğuna göre, kaç gr
tuzlu su karıştırılmıştır?
Saf madde seçimi probleme göre değişir.
A) 600
Tuz oranı %a olan x gramlı tuzlu su ile tuz oranı %b olan
B) 550
C) 500
D) 450
E) 420
y gram tuzlu su karıştırılıyor. Yeni karışımın tuz oranı %c
ise,
%a
x
+
%b
y
=
%c
(x+y)
3. Şeker oranı %20 olan 900 gr şekerli sudan ne kadar
x.
buharlaştıralım ki şeker oranı %60 olsun?
a
b
c
+ y.
= (x + y).
100
100
100
ax+by = (x+y).c eşitliği ile tüm karışım problemi çözülür.
A) 500
B) 580
C) 600
D) 620
E) 650
4. Hacimce %25i alkol olan 600 gramlık alkollü suyun
%20si dökülüyor. Yerine aynı miktarda su ilave
ediliyor.
Yeni karışımın alkol oranı yüzde kaçtır?
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
5. 440 gramlık una ne kadar şeker karıştıralım ki yeni
karışımın şeker oranı %12 olsun?
ÇÖZÜMLÜ TEST
84
A) 40
B) 45
C) 50
D) 55
E) 60
1. Saf maddeyi şeker olarak alalım.
%20
50
%100
x
+
%50
(50+x)
=
20.50+100.x = 40(50+x)
1000+100x = 2500+50x
6. Şeker oranı %30 olan 350 gr un-şeker karışımına 70
50x = 1500
x = 30 gr
gr daha un karıştırılıyor.
Yanıt: B
Yeni karışımın un oranı yüzde kaçtır?
A) 65
B) 70
C) 75
D) 80
E) 85
2. Saf madde tuz olsun.
25.400+50.x = 40.(400+x)
10000+50x = 16000+40x
10x = 6000
x = 600 gr
7. Alkol oranı %30 olan x gr karışım ile alkol oranı %50
Yanıt: A
olan y gr karışım karıştırılarak alkol oranı %40 olan
yeni karışım elde ediliyor.
x
Buna göre
oranı kaçtır?
y
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
3. Saf madde şeker olsun.
%20
900
_
%0
x
=
%60
(900–x)
18000 = 54000 – 60x
8. %40 şeker olan 800 gramlık karışımın bir miktarı
60x = 36000
dökülüyor, yerine aynı miktarda şeker ilave edilerek
x = 600 gr.
şeker oranı %76 olan bir karışım elde ediliyor.
Yanıt: C
Buna göre, dökülen miktar kaç gramdır?
A) 380
B) 400
C) 420
D) 450
E) 480
ÇÖZÜMLER
4. Saf madde alkol olsun.
85
400 gramlık karışımın %20si dökülüyor., %80i kalıyor.
%30
80
600.
= 480 gr kalan
100
x
%50
+
y
%40
=
x+y
120 gr dökülüyor, yerine 120 gr su ilave ediliyor.
30.x+50.y = 40.(x+y)
%25
%0
480
+
%x
120
=
50y – 40y = 40x – 30x
10y = 10x
y = x bulunur.
600
x
= 1 olur.
y
Yanıt: A
12000 = 600x
x = 20
Yeni karışımın alkol oranı %20’dir.
Yanıt: D
8. Şeker saf madde olsun.
800 gramlık karışımdan x gram dökülünce
5. Saf madde şeker x olsun.
%100
x
800–x gram kalır.
%0
+
440
=
%x
%40
440+x
800-x
%100
+
x
%76
=
800
100x = 12(440+x)
100x = 5280+12x
40.(800–x)+100x = 76.800
88x = 5280
32000 – 40x+100x = 60800
x = 60 gr şeker katılmalıdır.
60x = 28800
Yanıt: E
Yanıt: E
6. Saf madde un olsun.
%30 şeker ise %70 i undur.
%70
350
%100
+
70
%x
=
x = 480 gr bulunur.
420
70.350+100.70 = 420x
x = 75 olur.
un oranı %75 bulunur.
Yanıt: C
7. Alkol saf madde olsun.
86
Dairesel bir pist üzerinde ve bir A noktasından V1 ve V2
hızları ile iki hareketli
a) Ters yönde hareket ediyor ve t zamanda B’de
karşılaşıyorsa, dairenin çevresi “Ç” olmak üzere;
Ç = V1.t+V2.t = t(V1+V2) dir.
HAREKET PROBLEMLERİ
Sabit bir V hızı ile t zamanda X kadar yol alan bir hareketli için;
b) Aynı yönde hareket ediyor ve hızlı olanı bir tur
attıktan sonra diğerine t zamanda yetişiyor ise,
V1 > V2 ve dairenin çevresi “Ç” olmak üzere;
Ç = V1.t – V2.t = t(V1 – V2) dir.
Yol = Hız x Zaman
X= V.t
bağıntısı vardır.
Hareket problemlerinin çözümü için bazı kurallar vereceğiz.
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
1. Kural (Karşılıklı Hareket)
A ve B noktalarından karşılıklı hareket ediliyor ve C
noktasında karşılaşılıyor ise,
1.
V1
V2
A
C
V1
A
V1
noktasında yakalıyor.
A)
A
B
C
V2
D
Şekildeki A ve C noktalarından aynı anda karşılıklı
hareket ederlerse 3 saat sonra B noktasında karşılaşıyorlar. Aynı yönde hareket ederlerse, A’dan
hareket eden C’den hareket edeni 8 saat sonra D
2. Kural (Aynı Yönde Hareket)
V1 > V2 olmak üzere, iki araç A ve B noktalarından aynı
anda, aynı yönde hareket ederler ve hızlı olan t zaman
sonra C noktasında yakalar ise,
V2
B
B
AB = V1.t+V2.t = t.(V1+V2) dir.
V1
V2
11
5
B)
5
11
C)
V1
oranı kaçtır?
V2
8
11
D)
11
8
E)
3
8
C
AB = AC - BC
AB = V1.t – V2.t = t.(V1 – V2) dir.
2. Bir otomobil A kentinden B kentine 80 km hızla
gidip, 70 km hızla dönmüştür. Toplam 9 saatte gidip
döndüğüne göre, AB kaç km’dir?
3. Kural (Ortalama Hız)
Bir araç x 1 km yolu V1 hızı ile t1 zamanda, x 2 km yolu
V2 hızı ile t2 zamanda alıyorsa, x 1+ x 2 kmlik yolun
ortalama hızı;
toplam yol
x x2
A) Vort =
= 1
toplam zaman t1 t 2
B) Vort =
A) 320
B) 336
C) 340
D) 360
E) 380
2.V1.V2
formülü ile de bulunabilir.
V1 V2
4. Kural (Tren–Tünel)
x birim uzunluğundaki bir tren, y birim uzunluğundaki bir
tüneli veya bir köprüyü t zamanda geçiyorsa,
x+y = V.t
3. Saatteki hızı 60 km/sa olan 300 m uzunluğundaki
bir tren 2700 m uzunluğundaki bir köprüyü kaç
dakikada geçer?
5. Kural (Bağıl Hız)
Bir hareketlinin hızını, olumlu veya olumsuz yönde
etkileyen güçtür. Bir nehrin akıntı hızı, rüzgarın esme hızı
gibi.
Nehirde hareket eden bir hareketlinin (hareketli V1,
nehrin hızı V2 ise)
a) Akıntı yönünde: V1+V2
b) Akıntıya karşı: V1 – V2 dir.
A) 1
B) 2
C) 2,5
6. Kural (Dairesel Hareketler)
87
D) 3
E) 3,5
4. Bir geminin durgun sudaki hız saatte 30 mildir.
Akıntı hızı saatte 5 mil olan bir nehirde, 3 saatte en
çok kaç mil gidilip gelinebilir?
ÇÖZÜMLER
1. V1
A) 43,5 B) 43,75 C) 44 D) 44,25 E) 44,5
V2
A
V1
5.
K
L
50 km
M
40 km
B) 320
C) 340
B) 50
C) 52
D
(karşılıklı hareket)
AC = 3.(V1+V2)
(aynı yönde hareket)
AC = 8.(V1 – V2)
Alınan yollar eşit olduğu için;
3.(V1+V2) = 8.(V1 – V2)
x km
D) 360
3V1+3V2 = 8V1 – 8V2
V1 11
=
dir.
V2
5
11V2 = 5V1
Yanıt: A
E) 380
2. Toplam gidiş-dönüş 9 saat ise, AB yolunu t saatte
giderse, AB yolunu (9 – t) saatte döner.
AB =80.t
AB = 70.(9 – t)
80t = 630 – 70t
150t = 630
t = 4,2 saatte
gitmiş.
AB = 80.4,2 = 336 km’dir.
Yanıt: B
6. Bir hareketli A noktasından B noktasına saatte 60 km
hızla gidip, B’den A’ya saatte 40 km hızla geri
dönüyor.
Bu hareketlinin ortalama hızı saatte kaç km’dir?
A) 48
C
V2
N
KL = 50 km, LM = 40 km, MN = x km
K ve M kentinden aynı anda karşılıklı hareket eden
iki hareketli L kentinde, aynı anda aynı yönde hareket ettiklerinde k’dan hareket eden M’den hareket
edeni N kentinde yakalıyor.
Buna göre MN kaç km’dir?
A) 300
B
D) 54
E) 56
3.
TREN
300 m
KÖPRÜ
2700 m
Alınan toplam yol = 2700+300 = 3000 m
1 saat 60 dakika
7. Bir kenarı 100 m olan kare şeklindeki bir pistte
hızları V ve 3V olan iki hareketli, aynı anda, ayı
noktadan, aynı yöne hareket ediyor.
Buna göre, hızlı giden yavaş gideni 3. kez yakaladığında kaç metre yol koşmuş olur?
A) 1200
B) 1250
D) 1350
60 dakikada
1 dakikada
60000 m yol alırsa
x m yol alır.
60000.1
=1000 m yol alır.
60
3000 : 1000 = 3 dakikada köprüyü geçer.
Yanıt: D
x=
C) 1300
E) 1400
Not: Tren problemlerinde saati dakika veya saniyeye,
kilometreyi de metreye çevirmek gerekir.
4. Akıntı yönündeki hızı = 30+5 = 35 m
Ters yöndeki hızı = 30 – 5 = 25 m
Toplam 3 saatte gidip gelecekti.
x saat akıntı yönünde, 3 – x saat de ters yönde
giderse, alınan yollar eşit.
AB = 35.x , AB = 25.(3 - x)
8. Bir araç saatteki V hızı ile A-B arasını 8 saatte alıyor.
V
Bu araç, yolun yarısını
hızı ile diğer yarısını da
2
2V hızı ile giderse yolun tamamını kaç saatte alır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
35x = 75 – 25x
75 5
x=
= saat.
60 4
E) 11
AB = 35.
5 175
=
= 43,75 km’dir.
4
4
Yanıt: B
88
5. Kullanılan zamanlar birbirine eşit
V1
V2
K 50 km L 40 km
KL
V1.t
ML

50
V1
KL
t
V2 .t
t
x km
N
50
V1
V1
V1
V2
40
V2
M
ML
Aynı zaman birimde,
V = 100 m yol alır.
3V = 300 m yol alır.
50
dır.
40
Sabit hızlarla hareket eden iki hareketlinin eşit sürede aldıkları yolların oranı, hızlarının oranına eşittir.
90+x = V1.t1
KN = V1.t1
90 + x
t1 =
V1

t1 =
90 x
V1
V1
V2
x
V2
I. karşılaşmada V = 200 m yol aldığında
3V = 600 m yol alır ve C noktasında karşılaşılır
II. karşılaşma aynı şekilde A noktasında meydana gelir
III. karşılaşmada C noktasında olur ve
600 = 1800 m yol almış olur.
Yanıt: D
x
V2
90 x
olur.
x
ve  nin eşitliğinden
50 90 x
5x
360 4x
40
x
8.

x= 360 km
t1
AB
60
x
60
AB
x
40
40
2x
Vort = x x
x
x
t1 t 2
60 40
Vort = 2x 2x. 120 48 km olur.
5x
5x
120
AB
40.t 2
t2
V
B
AB = 40.8 = 320 km olsun.
160
= 8 saatte.
Yarısını (160 km’yi) t =
20
160
= 2 saatte alır.
(2V hız ile 80 km) kalan yarısı ise t =
80
Toplam zaman = 8+2 = 10 saat bulunur.
Toplamyol
Ortalama hız =
Toplamzaman
60.t1
C
I. Yol:
Aracı normal V hızı ile AB = 8.V yol alır.
Bu tür sorularda hız belli olmadığı için hıza kendimiz
değer verelim.
V
V = 40 km olsun. ( = 20 km olur.)
2
I. Yol
AB
V
2
A
Yanıt: D
6.
B
V
3V
40
V2
V2
MN = V2.t1
100 m
V
A
II. Yol:
AB =8.V idi.
II. Yol:
AC
V
.t1
2
AC
BC
t1
2V.t 2
2 AC
V
t2
Vort = 2.V1.V2
2 AC
AC
t1 + t 2 =
+
V
2V
Vort = 2.60.40 = 48 km bulunur.
60 + 40
t1 + t 2 =
V1 + V2
Yanıt: A
BC
2V
5 AC
2V
AB 8 V
=
= 4 V dir.
2
2
5.4V
t1+t2 =
= 10 saat olur.
2V
AC =
Yanıt: D
7.
D
C
89
5. Bir işi üç usta 12 günde, aynı işi iki kalfa 48 günde
bitiriyor.
5
Aynı işin
ini bir usta ile bir kalfa beraber
8
çalışarak kaç günde bitirebilir?
İŞÇİ – HAVUZ PROBLEMLERİ
İşçi-havuz problemleri ters orantılı problemlerdir. Daima
birim zamanda yapılan iş bulunur.
A)
 Bir işçi bir işi x zamanda yaparsa birim zamanda 1 iş
180
11
B)
90
11
C)
93
11
D)
90
11
E)
80
11
x
yapar.
 Bir musluk bir havuzu y zamanda dolduruyorsa, bir
birim zamanda 1 birimini doldurur.
1
ünü bitiryor.
4
Yurdakul hızını yüzde kaç arttırırsa, işi 16 günde
bitirir?
y
6. Yurdakul 12 gün çalışarak bir işin
 Birinci işçi bir işi x zamanda, ikinci işçi aynı işi y
zamanda ve ikisi beraber aynı işi t zamanda
yapıyorsa 1 + 1 = 1 eşitliği kurulur.
x
y
t
A) 40
B) 50
C) 55
D) 60
E) 70
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
2
1
ünü 12 saatte, Şule aynı işin
ünü
3
4
3 saatte yapabilmektedir.
Serap tek başına 6 saat çalıştıktan sonra kalan işin
ikisi birlikte kaç saatte yaparlar?
7. Aynı kapasitede 12 musluk boş bir havuzu dolduracaktır. Muslukların hepsi aynı anda açılıyor. 2 saat
sonra musluklardan 4 ü, 3 saat sonra ise 3 tanesi
daha kapatılıyor.
Açık kalan musluklar havuzu 6 saatte doldurduğuna
göre, hepsi birlikte bu havuzu kaç saatte doldurur?
1. Serap bir işin
A) 3,2
B) 3,6
C) 4,2
D) 4,8
E) 5,2
A) 7,5
B)
30
7
C)
15
4
D)
8
3
B) 8
C) 10
D) 12
A) 3
B) 3,4
C) 3,6
D) 4
E) 5
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
9. Boş bir havuzu %20lik tuzlu su akıtan A havuzu 4
saatte, %40lık tuzlu su akıtan B musluğu 6 saatte
dolduruyor. İki musluk aynı anda açılıyor.
Havuz dolduğunda tuz oranı yüzde kaç olur?
A) 20
B) 22
C) 24
D) 26
E) 28
E) 14
10. Uzunlukları aynı olan iki mum aynı anda yanmaya
başlıyor. Mumlardan biri 8 saatte, diğeri 12 saatte
tamamen yandığına göre, kaç saat sonra boylarının
3
oranı
olur?
4
4. Aynı nitelikte iki işçi bir işi 4 saatte yapıyor. I. işçi
hızını yarıya düşürür, II. İşçi hızını 2 katına çıkarırsa,
bu iş kaç saatte biter?
A) 3,2
D) 5,5
E) 2
3. Ali bir işi yalnız başına, Kamil’den 4 saat daha az
sürede bitiriyor.
İkisi beraber bu işi 3 saat 45 dakikada bitirdiklerine
göre, Kamil tek başına bu işi kaç saatte bitirir?
A) 6
C) 6
8. Aynı nitelikte çalışan 8 işçi bir işi 10 günde bitiriyor.
Bu işçiler 6 gün beraber çalıştıktan sonra bir kısmı
işten ayrılıyor.
Kalan iş 8 günde bittiğine göre, kaç işçi işten
ayrılmıştır?
2. Eş kapasiteli üç musluk boş bir havuzu 4 saatte
dolduruyorlar. Birinci musluğun akan su miktarı
%40 azaltılır, ikinci musluğun akan su miktarı %20
arttırılırsa, bu üç musluk boş havuzu kaç saatte
doldurur?
A) 5
B) 6,5
E) 4,2
A) 1
90
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
3. Ali işi x saatte, Kamil işi x+4 saatte bitiriyor.
15
3 saat 45 dakika
saat olur.
4
ÇÖZÜMLER
1. Serap işin
2
x
3
12
2
3
x
ünü 12 saatte yaparsa, tamamını:
1
1
1
+
=
x x + 4 15
4
x 4 x
4
x 2 4x 15
18 günde
1
Şule
ünü 3 günde yaptığına göre, tamamını 12
4
2x 4
x 2 4x
4
15
2
4x +16x = 30x+60
günde yapar.
Serap 6 gün çalışarak işin
2
2
4x –14x–60 = 0
1
ünü bitiriyor. Kalan işi
3
2x –7x–30 = 0
(2x+5)(x–6) = 0
2
12 günde yapar. Şule kalan işi, 12. = 8 günde
3
x
1
1 5
yapar. İkisi beraber bir günde işin;
ünü
+ =
12 8 24
Kamil işi 6+4 = 10 saatte bitirir.
-
5
,
2
x=6
yaparlar.
Yanıt: C
Tamamını ise,
24
5
4,8 günde yaparlar.
Yanıt: D
4. Aynı nitelikte iki işçi işi 4 saatte bitirir.
I. işçi hızını yarıya düşürürse, işi 16 saatte
II. işçi hızını 2 katına çıkarırsa, işi 4 saatte bitirir. İkisi
2. 3 musluk 4 saatte doldurursa, 1 musluk
4.3 = 12 saatte doldurur.
Bir musluk saatte 10 lt su akıtır.
40
= 4 , 10–4 = 6 lt su akıtır.
I. musluk 10.
100
20
= 2 , 10+2 = 12 lt akıtır.
II. musluk 10.
100
I. 10 lt su akıtarak
6 lt su akıtarak
10.12 = 6.x
beraber,
1
16
1
4
1
x
5
16
1
x
x
x = 3,2 saat olur.
Yanıt: A
12 saatte doldurursa
x saatte doldurur.
x = 20 saatte doldurur.
II. 10 lt su akıtarak
12 lt su akıtarak
12 saatte doldurursa
x saatte doldurur
10.12 = 12.x
x = 10 saatte doldurur.
5. 3 usta 12 günde yaparsa,
1 usta: 3.12 = 36 günde yapar.
2 kalfa 48 günde yaparsa,
1
20
1
10
28x = 120
1
12
1
x
x=
1
x
1 kalfa: 2.48 = 96 günde yapar.
1
96
28
120
30
saatte doldurur.
7
Yanıt: B
x=
1
36
1
x
1
x
11
288
288
5
olur. işin i ise,
8
11
288 5 180
gün olur.
. =
11 8
11
Yanıt: A
91
16
saat
5
9. Havuzun hacmi 4 ve 6 nın ortak katı olan 60 lt olarak
1
ü biterse, tamamı
4
6. 12 günde işin
alalım.
4.12 = 48 günde biter.
48 – 12 = 36 günlük iş kaldı.
Normal çalışma hızına V dersek,
A musluğu saatte
60
= 15 lt su akıtır.
4
B musluğu saatte
60
= 10 lt su akıtır.
6
V hızla
36 günde yaparsa
İkisi beraber havuzu,
x.V hızla
24 günde biter
1
6
V.36 = x.V.24
36 3 150
x=
24 2 100
%50 arttırılır.
Yanıt: B
1
4
1
x
x
12
saatte doldurur.
5
A musluğu
12
.15 = 36 lt su akıtır.
5
B musluğu
12
.10 = 24 lt su akıtır.
5
720+960 = 60x
60x = 1680
x = 28
Havuzun tuz oranı %28’dir.
7. Bir musluk birim zamanda x kadar su doldurursa, 12
Yanıt: E
musluk birim zamanda 12x su doldurur.
2 saat beraber akarsa 2.12x = 24x
12 – 4 = 8 musluk kaldı.
8 musluk 3 saatte 3.8x = 24x
8 – 3 = 5 musluk kaldı.
5 musluk 6 saatte 6.5x = 30x
Toplam = 24x+24x+30x = 78x
10. I. mum 8 saatte tamamen yanarsa, 1 saate
Havuz 78x su ile doldu.
12 musluk =
78x
12x
6,5 saatte doldurur.
saatte
Yanıt: B
8. 8 işçi 10 günde bitiriyor.
6 gün çalışınca geriye 10–6 = 4 günlük iş kaldı.
4 günde bitirirse
8 – x işçi kalan işi
8 günde bitirir.
4.8 = (8 – x).8
32 = 64 – 8x
x=4
4 işçi ayrılıyor.
t
yanar.
12
t
t
ve 1 dir.
8
12
t
8
t
112
3
4
4-
4t
8
4–3=
2t t
4 4
t
4 saat sonra boylarının oranı
1=
8x = 32 ise
t
4
3-
3t
12
olur.
Yanıt: D
Yanıt: B
92
1
,t
12
Kalan kısım 1 -
1-
8 işçi kalan işi
t
yanar.
8
II. mum 12 saatte tamamen yanarsa, 1 saatte
saatte
1
, t
8
3
4
I. kutuya 0 gelemeyeceği için 6 rakam,
II. kutuya, bir tanesi birinci kutuda olmak üzere, 0 dahil
toplam 6 rakam yazılabilir.
III. kutuya da 2 rakam kullanıldığı için geriye kalan 5
rakam kullanılır.
PERMÜTASYONKOMBİNASYON-OLASILIK
PERMÜTASYON
e)
1) Genel Çarpma Kuralı
3
A Ø, B Ø olmak üzere,
s(AxB) = s(A).s(B)
özelliğinden yararlanılarak yapılan saymadır.
B
= 3.6.5 = 90 tane
5
400 den büyük bir sayı oluşturmak için I. kutuya ,4, 5, 6rakamları getirilir.
II. kutuya 6 rakam, III. kutuya da kalan 5 rakamı kullanırız.
Örnek:
A kentinden B kentine 3, B kentinden C kentine 4 farklı
yol vardır.
A’dan C’ye, B’ye uğramak koşulu ile kaç farklı yoldan
gidilebilir?
Çözüm:
A
6
f) Birler basamağıne ,0, 2, 4, 6- rakamları gelir. 0 hem
çift rakam hem de başa gelemez.
I. Yol:
Tüm çift ( 0 dahil) sayılardan, yüzler basamağı 0 olan
sayıları çıkartırsak, 0 ile başlamayan çift sayıları elde
ederiz.
C
s(AxB) = 3.4 = 12 farklı yolla gidilir.
6
Örnek:
Ali 5 pantolon, 4 gömlek ve 3 kravatı kaç farklı biçimde
kullanabilir?
Çözüm:
s(P) = 5, s(G) = 4, s(K) = 3
s(PxGxK) = 5.4.3 = 60 farklı şekilde kullanabilir.
5
-
4
1
5
3
=
120 – 15 = 105 tane çift sayı elde edilr.
II. Yol:
Önce birler basamağı 0 olan sayıları bulalım.
= 30
6 5 1
Örnek:
A = ,0, 1, 2, 3, 4, 5, 6- kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı,
a) Kaç farklı sayı yazılabilir?
b) Kaç farklı 5e bölünebilen sayı yazılabilir?
c) Kaç farklı çift sayı yazılabilr?
d) Rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?
e) Rakamları farklı 400 den büyük kaç sayı yazılır?
f) Rakamları farklı kaç çift sayı yazılır?
g) Rakamları farklı, 5 e bölünebilen kaç farklı sayı yazılabilir?
Çözüm:
a) Rakamları farklı demiyor.
Kutu yöntemi le çözelim.
Birici kutuya 0 rakamı gelmez, geriye kalan 6 rakamın
hepsi gelebilir. II. ve III. kutuya 0 da gelebilir.
= 6.7.7 = 294 tane
6 7 7
Birler basamağı 2,4,6 olan çift sayılar
= 75
5 5 3
75+30 = 105 tane çift sayı elde edilir.
g) Birler basamağı 0 veya 5 olmalı
I. Yol:
Birler basamağı 0 olsun.
= 30 tane birler basamağı 5 olan
6 5 1
5
5
1
= 25 tane (0 başa gelmeyen)
30+25 = 55 tane sayı elde edilir.
II. Yol:
6 5
b) 5 e bölünmesi için birler basamağı 0 veya 5
olmalıdır.
= 6.7.2 = 84 tane
6 7 2
2
-
1
5
1
60 – 5 = 55 bulunur.
3 basamaklı 5 e bölünebilen tüm sayılardan (0 dahil), 0
ile başlayıp 5 ile biten sayılar çıkartılıncı 5 e bölünebilen
3 basamaklı sayılar bulunur.
c) Birler basamağına ,0, 2, 4, 6- rakamları gelir.
= 6.7.4 = 168 tane
6 7 4
d) rakamları birbirinden farklı dediği için
= 6.6.5 = 180 tane
6 6 5
PERMÜTASYON
93
n ≥ r ve n,r N için,
n elemanlı bir kümenin r tane elemanının r li sıralanışlarının her birine n elemalı r li permütasyon denir.
n!
P(n,r) =
formülü ile bulunur.
(n - r)!
+
1. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} rakamları bir kez kullanılarak 1 ve
7 nin bulunduğu 3 basamaklı kaç farklı sayı elde
edilir?
A) 30
Örnek:
7 kişilik bir yarışma grubunda birinci, ikinci ve üçüncü kç
farklı şekilde oluşur?
Çözüm:
n = 7, r = 3
n!
7!
p(n, r) =
p(7,3)
(n-r)!
(7-3)!
7.6.5.4!
= 210 biçimde oluşur.
p(n, r) =
4!
6
5
C) 40
D) 45
E) 50
2. 4 matematik, 3 fizik, 2 biyoloji kitabı, matematikler
yan yana olmak koşuluyla bir rafa kaç farklı şekilde
dizilir?
Bu problem kutu yöntemi ile de çözülebilir.
7
B) 35
A) 16790
B) 16900
C) 17280
D) 18970
E) 19450
= 7.6.5 = 210 farklı biçimde
Tekrarlı Permütasyon
n tane elemanın, r elemanlı permütasyonları alınırken,
r1 tane aynı tür eleman

r1+r2+r3+… = n olmak üzere,
3. 0, 1, 2, 4, 5, 7 rakamları bir kez kullanarak 5 basamaklı kaç tane 3 ile başlayıp 5 ile biten sayı elde
edilir?
n!
farklı biçimde sıralanır.
r1!. r2 !. r3 !...
A) 32
Örnek:
MARMARAM sözcüğünden 8 harfli anlamlı anlamsız kaç
sözcük elde edilir?
Çözüm:
3 tane M
3 tane A
2 tane R harfi bulunuyor.
8!
= 140 tane sözcük elde edilir.
3!.3!.2!
B) 28
C) 24
D) 20
E) 16
4. 6 kişilik bir ailede, anne ile baba yan yana gelmemek koşulu ile yuvarlak bir masaya kaç farklı biçimde oturulabilir?
Dönel Permütasyon
Birbirinden farklı n tane elemanın kapalı eğri etrafındaki
sıralanışıdır.
A) 72
B) 86
C) 90
D) 96
E) 102
1) Kapalı eğri üzerinde bir eleman sabit tutulur.
n elemanın sıralanış sayısı: (n–1)! dir.
2) Halka biçimindeki anahtarlık üzerinde n tane anahta(n - 1)!
rın sıralanışı:
(Anahtarlık ters çevrilebilir.)
2
5. Rakamlarının sayı değerlerinin çarpımı 420 olan 4
basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılır?
A) 32
ÇÖZÜMLÜ TEST
94
B) 36
C) 40
D) 44
E) 48
ÇÖZÜMLER
KOMBİNASYON
n, r
1. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
1 ve 7 nin içinde bulunduğu 3 basamaklı sayı
{1, 7, 3}, {1, 7, 2}, {1, 7, 4}, {1, 7, 5}, {1, 7, 6}
5 farklı kümemizden
3!
3!
= =6
n = 3, r = 3 p(3, 3) =
(3 - 3)! 0!
N ve 0
r
n olmak üzere, n elemanlı bir
küme-nin r elemanlı alt kümelerinin her birine, n
elemanlı bir kümenin r elemanlı kombinasyonu denir.
C(n, r) veya
5.6 = 30 bulunur.
n
r
n!
(n-r)!.r!
Uyarı: Kombinasyon gruplama (alt küme) demektir.
Yanıt: A
(Sıralama önemli değildir.)
Permütasyon seçilen grupların sıralanışıdır.
2. 4 matematik, 3 fizik, 2 biyoloji
Matematik kitapları yan yana olacağı için onu bir
kabul ederiz.
4m = 1
1+3+2 = 6 kitap var.
p(6, 6) . 4! = 720.24 = 17280 dır.
Yanıt: C
(Sıralama önemlidir.)
Örnek:
7 kişilik bir gruptan 3 kişilik çalışma grubu kaç değişik
şekilde seçilir?
 4!, matematik kitaplarının kendi aralarındaki diziliş
sayısı.
Çözüm:
n = 7, r = 3 C(n, r) =
3. 0, 1, 2, 4, ,5 ,7
Kutu yöntemi le bu problemi çözelim.
1
4
3
2
3
1
C(7, 3) =
7
3
n!
(n - r)!.r!
7!
(7-3)!.3!
7. 6 .5. 4!
4!.3!
= 4.3.2 = 24 olur.
35 farklı biçimde seçilir.
5
Yanıt: C
4. 6 kişi yuvarlak masaya (6–1)! = 120 farklı biçimde
oturur.
Anne ve babayı yanyan düşünelim.
A.B = 1 ve 4 kişi daha 1+4 = 5
(5–1)!.2! = 4!.2 = 48 anne ve babanın yan yana
oturma sayısı
120–48 = 72 anne ve babanın yan yana olmama
durumu.
Yanıt: A
5. 420 yi asal çarpanlarına ayıralım.
420 = 22.3.5.7
Rakamları çarpımı 420 olan,
2, 6, 5, 7
n = 4, r = 4
ve
4, 3, 5, 7 dir.
n = 4, r = 4
2.p(4, 4) = 2.4! = 48 tane sayı elde edilir.
Yanıt: E
95
35
ÇÖZÜMLÜ TEST
ÇÖZÜMLER
1. 10 erkek arasından 2 kişi
10! 10.9
=
= 45 farklı,
C(10, 2) =
8!.2!
2
12 kız arasından 2 kişi
12!
12.11
C(12, 2) =
=
= 66 farklı kişi seçilir.
10!.2!
2
C(10,2).C(12, 2) = 45.66 = 2970 farklı biçimde seçilir.
Yanıt: A
1. Bir sınıfta 10 erkek, 12 kız öğrenci arasından 2 kız, 3
erkek öğrenci kaç farklı biçimde seçilir?
A) 2970
B) 2880
D) 2780
C) 2780
E) 2680
2. 8 kişi, 4 sandalyeye kaç farklı biçimde oturur?
A) 1500
B) 1560
D) 1620
2. Önce 8 kişiden kaç tane 4 kişilik grup oluşur onu
bulalım.
8
8!
8.7.6.5. 4! 1680
70
4
(8-4)!.4!
24
4!. 4!
C) 1600
E) 1680
4 kişi 4 sandalyeye p(4, 4) farklı biçimde oturur.
70.p(4, 4) = 70.4! = 70.24 = 1680 bulunur.
Yanıt: E
3. 8 elemanlı bir kümenin 2 ve 2 den az elemanlı kaç
alt kümesi vardır?
A) 37
B) 36
C) 35
D) 33
E) 32
3. 8 elemanlı kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı:
8!
8.7
=
= 28
C(8, 2) =
6!.2!
2
Bir elemalı alt küme sayısı: c(8, 1) = 8
Boş küme: C(8, 0) = 1
28+8+1 = 37 bulunur.
Yanıt: A
4. Bir çember üzerindeki 8 noktadan kaç üçgen geçer?
A) 48
B) 56
C) 58
D) 60
E) 62
4. Üç nokta bir üçgen belirtir.
8!
8.7.6
=
= 56 tane üçgen olur.
C(8, 3) =
5!.3!
3.2
Yanıt: B
5. 12 kişilik bir gruptan 2 kişisi belli olan 6 kişilik kaç
farklı çalışma grubu seçilir?
A) 150
B) 160
C) 200
D) 210
5. 12 kişiden 2 kişi belli ise, geriye 10 kişi kalır. 10
kişiden 4 kişi seçilir.
E) 220
C(10, 4) =
10! 10.9.8.7
=
= 210 farklı çalışma
6!.4!
4 . 3 .2
grubu seçilir.
Yanıt: D
96
OLASILIK
P(A∩B) = P(A).P(B) dir.
Olasılık kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Bir olayın
olabilme durumunu hesaplar.
Olasılıkta iki temel unsur vardır. Bunlar deney ve
olaydır. Bir parayı havaya atmak deney, yazı veya tura
gelmesi olaydır.
Yapılan bir deneyde muhtemel bütün olayları gösteren bir kümeye örnek uzay (evrensel küme) denir ve E
ile gösterilir.
Bir A olayının olasılığı P(A) ile ifade edilir.
Bir olayın olasılığı 0 ≤ P(A) ≤ 1 arasındadır. P(A) = 1
ise, olay kesin olur, P(A) = 0 ise, olay imkansızdır.
Bir olayda, olayın eleman sayısının evrensel kümenin
(örnek uzayın) eleman sayısına oranına, o olayın olasılığı
denir.
s(A)
istenilen durumların sayısı
P(A) =
=
s(E)
Tüm durumların sayısı
Örnek:
Aynı anda havaya atılan hilesiz bir zar ve bir paradan
zarın üstündeki sayının 4 ve 4 den küçük, paranın tura
gelme olasılığı nedir?
Çözüm:
Zar ve paranın havaya atılması ile her ikisinin tüm durumlarının olma durumu evrensel kümeyi (örnek uzayı)
oluşturur.
E = {(1,y), (2,y), (3,y), (4,y), (5,y), (6,y), (1,t), (2,t), (3,t),
(4,t), (5,t), (6,t)}
A = {(1,t), (2,t), (3,t), (4,t)}
s(E) = 2.6 = 12
s(A) = 4
s( A ) 4
1
=
= dür.
P(A) =
s(E ) 12 3
Uyarı: P(A) = 1 – P'(A)
Ayrık İki Olayın Olasılığı
A veya B olayının olasılığı, A∩B = Ø ise,
P(AUB) = P(A)+P(B) dir.
Bir olayın olma olasılığı
1-
Örnek:
Bir torbada 4 kırmızı, 5 mavi, 3 sarı bilye vardır. Torbadan çekilen bir bilyenin sarı veya mavi olma olasılığı
nedir?
2 3
=
dir.
5 5
Örnek: 3 matematik ve 4 fizik kitabı bir rafa yan yana
dizilecektir. Bu dizilişte 3 matematik kitabının yan yana
olma olasılığı kaçtır?
Çözüm:
E = , 4 kırmızı, 5 mavi, 3 sarıs(E) = 12 , s(K) = 4 , s(S) = 3
P(K U S) = P(K)+P(S)
4
3
7
+
=
P(K U S) =
dir.
12 12 12
Çözüm: kitaplar yan yana koşulsun 7! Biçimde yerleştirilir. Ohalde s(E)=7! dir. 3 matematik kitabının yan yana
olduğu diziliş sayısı 5! . 3! olur.
Ayrık Olmayan İki Olayın Olasılığı
A∩B
P(A
2
ise, olmama olasılığı:
5
P(A)
s(A)
s(E)
P(A)
5!.3!
7!
5! . 3!
7. 6 . 5!
1
dir.
7
Ø, A ve B ayrık olmayan iki küme olsun.
B) = P(A)+P(B) – P(A∩B) dir.
Örnek:
Bir torbada 1 den 12 ye kadar numaralanmış toplar
vardır. torbadan çekilen bir topun çift sayı veya 6 dan
büyük olma olasılığı nedir?
Çözüm:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6,7, ,8, 9, 10, 11, 12}
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
B = {7, 8, 9, 10, 11, 12}
A∩B = {8, 10, 12}
P(A
B) = P(A)+P(B) – P(A∩B)
P(A
B) =
6
6 3
9 3
dür.
+
=
=
12 12 12 12 4
ÇÖZÜMLÜ TEST
A ve B Olayının Olasılığı
97
Seçilen bir ekibin içinde 1 doktor, 2 hemşire bulunma olasılığı nedir?
1. Bir kutuda 4 kırmızı, 3 mavi top vardır. Çekilen top
geri atılmamak şartıyla ard arda çekilen iki topun
aynı renkte olma olasılığı kaçtır?
A)
2
7
B)
3
7
C)
4
7
5
7
D)
E)
A)
5
14
B)
3
7
C)
5
13
D)
5
7
E)
11
14
6
7
2
dir.
7
3
Hasan’ın aynı yarışmayı kazanamama olasılığı
dir.
5
Bu yarışı sadece birinin kazanma olaslığı nedir?
6. Ali’nin bir yarışmayı kazanma olasılığı
2. Bir sınıfta 17 kız öğrenciden 5 tanesi gözlüklü, 18
erkek öğrenciden 7 si gözlüklüdür.
Seçilen bir öğrencinin kız veya gözlüklü olma olasılığı nedir?
A)
A)
12
35
B)
16
35
20
35
C)
D)
24
35
E)
28
35
5
18
B)
7
18
C)
1
2
D)
7
9
E)
A) 20
8
9
2
11
B)
3
11
C)
4
11
D)
5
11
E)
3
7
C)
16
35
D)
19
35
E)
4
7
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
8. Bir A torbasında 3 beyaz, 4 mavi, B torasında 4
beyaz, 3 mavi bilye vardır. A dan çekilen bir bilye B
ye konuyor.
B den çekilen bir bilyenin mavi olma olasılığı nedir?
4. Havaya atılan iki hilesiz zardan birinin üstünün 2
geldiği biliniyor. İki zarın üstlerinin toplamının tek
sayı olma olasılığı nedir?
A)
B)
7. Bir grubun %60 ı İngilizce, %70 i Türkçe bilmektedir.
Gruptan seçilen birinin sadece Türkçe bilme olasılığı yüzde kaçtır?
3. Havaya atılan iki hilesiz zarın üstlerinin toplamının
9 ve 9 dan büyük olma olasılığı nedir?
A)
1
7
6
11
A)
5. 4 hemşire, 5 doktor arasından 3 kişilik bir çalışma
ekibi kuruluyor.
1
4
B)
ÇÖZÜMLER
98
2
7
C)
19
56
D)
25
56
E)
15
28
1. Kutuda toplam 7 top vardır.
s(E) = 7
art arda 2 top çekiliyor. Buradan kaç farklı ikili top
oluşur onu bulalım.
C(7, 2) =
7!
(7-2)!.2!
7.6. 5!
5! .2!
7.6
2
6. Ali’nin sınavı kazanma olasılığı P(A) =
kazanamama olasılığı P(A') =
21
1!.2!
İkisinin aynı renkte olma olasılığı:
Yanıt: B
Yanıt: C
2. Sınıf mevcudu s(E) = 35 dir.
s(K) = 17, s(E) = 18, s(G) = 12, s(K∩G) = 5
P(K
G) = P(K)+P(G) – P(K∩G)
17 12 5 24
+
P(K
G) =
=
dir.
35 35 35 35
Yanıt: D
7. Grubu 100 kişi olarak düşünürsek,
70+60 = 130
130 – 100 = 30, %30 u her iki dili biliyor.
s(E) = 100, s(T∩İ) = 30
T
3. Havaya 2 zar atıldığında oluşan evrensel kümenin
eleman sayısı s(E) = 6.6 = 36
A olayı ise, üstlerinin toplamı 9 ve 9 dan büyük olan
ikililerdir.
A = {(3,6), (6,3), (4,5), (5,4), (4,6), (6,4), (5,5), (5,6),
(6,5), (6,6)}
s( A ) 10 5
=
=
P(A) =
dir.
s(E) 36 18
40
S(T \ İ) = 40
sT
P(T \ İ) =
Yanıt: A
3
(9 - 6)!.3!
3.2
s(E) = 84
A olayı 1 doktor, 2 hemşire;
5 4
.
1 2
5.
4.3
2
30
40
= %40 dur.
100
8. A torbasından çekilen bilyenin rengi belli değil.
4
A torbasından mavi gelme olasılığı
dir. Bu bilye B
7
torbasına atılıyor.
4
B torbasından mavi gelme olasılığı
dir.
8
3
A torbasından beyaz gelme olasılığı
dir. Bu bilye
7
B torbasına atılıyor.
3
B torbsından mavi gelme olasılığı
dir.
8
O halde;
4 4 3 3 16 + 9 25
. + . =
=
dır.
7 8 7 8
56
56
s( A ) 30 5
olur.
=
=
s(E) 84 14
30
Yanıt: C
s(A) = 30
P(A) =
İ
Sadece Türkçe bilme olasılığı %40 tır.
4. Zarlardan birinin 2 geldiği biliniyor. Yeni örnek
uzayımız:
E = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,2), (3,2),
(4,2), (5,2), (6,2)}
A olayımızın elemanları ise,
A = {(1,2), (3,2), (5,2), (2,1), (2,3), (2,5)}
s( A ) 6
=
P(A) =
dir.
Yanıt: E
s(E) 11
5. Toplam 9 kişilik ekipten,
9
9!
9.8.7
2
5
Sadece sınavı birinin kazanması;
P(A).P(H')+P(A').P(H)
2 3 5 2 6 10
+
= . + . =
7 5 7 5 35 35
16
=
dir.
35
Mavi olanlar, C(3, 2) = 3! = 3
6
3
9
3
+
=
= dir.
21 21 21 7
ise
5
,
7
Hasan’ın kazanma olasılığı ise, P(H) =
Bunlardan kaç tanesi kırmızı ikili toptur,
4!
C(4, 2) =
=6
2!.2!
2
7
Yanıt: A
Yanıt: D
99
Çözüm:
I. B kümesinin her elemanı A kümesinin de elemanı
olduğundan, A kümesi B kümesini kapsar. A B
ifadesi doğrudur.
II. C kümesi, B kümesini kapsamadığından B C ifadesi
doğrudur.
III. C kümesinin her elemanı A kümesinin de elemanı
olduğundan, C A ifadesi doğrudur.
IV. C kümesinin her elemanı B kümesinde bulunmadığı
için C B ifadesi yanlıştır.
Yanıt: B
KÜMELER
Tanım: Küme bir nesneler topluluğudur.
KÜMELERİN GÖSTERİLMESİ
1. Liste Yöntemi ile Gösterme:
B = {a, b, c, d}
2. Ortak Özellik Yöntemi ile Gösterme:
B=,x I x alfabenin ilk dört harfi-
İKİ KÜMENİN EŞİTLİĞİ
Tanım: A ve B kümeleri için A B ve B A ise A ve B
kümeleri eşit kümelerdir.
Örneğin;
A=,a,b,c- ve B=,c,b,a- kümeleri için
A
B ve B
A olduğundan A = B dir.
3. Şema (Venn Diagramı) ile Gösterme:
A
a
b
Tanım: A ve B kümeleri eşit değil ancak eleman sayıları
eşit ise denk kümelerdir.
Örneğin;
B = {1, a, 4} ve A = {a, b, c} kümeleri eşit kümeler
değildir fakat eleman sayıları birbirine eşit olduğu
için A ≡ B dir.
c
d
SONLU VE SONSUZ KÜMELER
Tanım: Eleman sayısı bir doğal sayı olarak belirtilebilen
kümelere sonlu küme denir.
Örneğin; A={1,2,3}
ALT KÜMENİN ÖZELLİKLERİ
1.
Tanım: Eleman sayısı sonlu olmayan kümelere sonsuz
kümeler denir.
Örneğin; N={0,1,2,3,…-
2.
3.
4.
5.
BOŞ KÜME
Tanım: Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Ø
veya , - sembolleri ile gösterilir.
Örneğin; B = { }
,Türkçede S ile başlayan aylar-
Boş küme her kümenin alt kümesidir. Her A
kümesi için Ø
A dır.
Her küme kendisinin alt kümesidir. Her A kümesi
için A
A dır.
A,B ve C kümeleri için A
B ve B
C ise A
C
dir.
A ve B kümeleri için A
B ve B
A ise A=B dir.
n
s(A) = n ise A kümesinin alt küme sayısı 2 dir.
ÖZALT KÜME
Tanım: Bir kümenin kendisi hariç tüm alt kümelerine o
kümenin özalt kümesi denir. Özalt küme sayısı s(A) = n
n
ise 2 – 1 dir.
n elemanlı bir C kümesinin r elemanlı (n ≥ r) alt
kümeleri, n nin r li kombinasyonlarıdır. n elemanlı bir
kümenin r elemanlı alt kümeleri sayısı,
n
P(n,r)
n!
C(n,r)
dir.
r
r!
(n-r)!.r!
n elemanlı bir küme için en çok r elemanlı alt küme
sayısı;
n
n
n
n
...
ve en az r+1 elemanlı alt küme
0
1
2
r
ALT KÜME
Tanım: Bir A kümesinde bulunan her eleman aynı
zamanda B kümesinin de bir elemanı ise A kümesine B
kümesinin alt kümesi denir. A B ile gösterilir. A alt
küme B diye okunur ya da B A şeklinde gösterilip B
kapsar A diye okunur.
Örnek: A=,1,2,a,b,4-, B=,1,a,4-, C=,2,a,4- kümeleri
verilsin. Aşağıdakilerden hangisi veya hangileri doğrudur?
A) A B
B) B C
C) C A
D) C B
A) I-II B) II-IV C) II-IV D) I-III E) I-IV
sayıları
n
a
100
n
r 1
n
b
n
r 2
n
...
n
ifadesi ile hesaplanır.
n
a b veya a=b olur.
Örnek: A= {a, b{c, d},1,2,3} kümesi veriliyor. A kümesinin;
a. Kaç tane alt kümesi ve özalt kümesi vardır?
b. 3 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
c. 3 ten az elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
d. İçinde a elemanı olmayan kaç tane 4 elemanlı alt
kümesi vardır?
e. İçinde 2 eleman bulunan kaç tane 4 elemanlı alt
kümesi vardır?
Çözüm:
6
6
a. s(A) = 6, 2 = 2.2.2.2.2.2 = 64 tane alt kümesi vardır. 2
-1 = 64-1 = 63 tane özalt kümesi vardır.
b. Alt küme sayısını veren C (n,r) =
KÜMELERDE İŞLEMLER
KÜMELERİN BİRLEŞİMİ
Tanım: a ve B herhangi iki küme olmak üzere; A ile B
kümelerinin bütün elemanlarından oluşan kümeye, bu
iki kümenin birleşimi denir. A
B biçiminde gösterilir.
A
B = {x I x
A veya x
B- biçiminde tanımlanır.
n!
(n - r )!.r!
6
2
6
1
6 6.5 6
=
+ + 1= 15+6+1 = 22 tanedir.
2 .1 1
0
e
f
A B
A
d. a elemanını yok kabul edersek geriye 5 eleman kalır.
İçinde a elemanı bulunmayan 4 elemanlı alt küme sayısı
5
5
5 olur.
4
1
e. 2 elemanını yok kabul edersek 3 elemanlı alt küme
sayısını buluruz. 3 elemanlı alt kümelere “2” eleman olarak eklenirse “2”nin olduğu 4 elemanlı alt küme sayısı;
C (5,3) =
c
d
a
b
formülü n=6, r=3 için kullanılırsa,
6!
6.5.4.3!
6!
C (6,3) =
=
=
= 20 bulunur.
(6 - 3)!.3! 3!. 3!
3!.3!
c.
B
A
B ={a,b,c,d,e,f}
BİRLEŞİM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
1. A A = A
2. A B = B A
3. A
(B C) = (A B)
C
4. A Ø = Ø A = A dır.
5!
3!.5.4
=
= 10 olur.
(5 - 3)!. 3! 3!.2.1
Örnek: A= {x I -3 < x ≤ 3 , x Z},
B=,x I 1≤ x < 6 , x Z- kümeleri veriliyor. Aşağıdakilerden
hangisi A
B kümesidir?
A) A B ={-2,-1,0,1,2,3,4,5}
B) A B ={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}
C) A B ={0,1,2,3,4,5,6}
D) A B ={-3,-2,-1,0,1,2,3}
E) A B ={-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}
Örnek: A= {0,1,2,3,4,5} veriliyor. A kümesinin tüm alt
kümelerinin kaç tanesinde;
a. 4 ve 5 elemanlarından hiçbiri bulunmaz.
b. 4 ve 5 elemanlarından biri veya ikisi bulunur.
c. 4 ve 5 elemanlarından yalnız biri bulunur.
d. 4 ve 5 elemanlarından her ikisi de bulunur.
Çözüm:
a. A kümesinin 4 ve 5 elemanlarının bulunmadığı küme4
ler, {0,1,2,3} kümesinin alt kümeleri olup 2 =16 tanedir.
A ={-2,-1,0,1,2,3}, B ={1,2,3,4,5} dir.
A B ={-2,-1,0,1,2,3,4,5} dir.
6
b. A kümesinin 2 =64 alt kümesi vardır. a şıkkında
bulduğumuz 16 çıkarılırsa istenilen sayı 48 olur.
Yanıt: A
Örnek: A
[B (B Ø)+ ifadesinin en sade şekli
c. Kümede 4 ve 5 elemanları aynı anda bulunmayacağı
için a şıkkında bulduğumuz 16 tane alt kümenin her
birine 5 i eleman olarak eklersek, 5 in eleman olarak
bulunduğu alt kümeleri, 4 ü eleman olarak eklersek 4 ün
bulunduğu alt kümeleri elde ederiz. Bu durumda yalnız 5
elemanının bulunduğu alt küme sayısı 16, yalnız 4
elemanının bulunduğu alt küme sayısı 16 olduğundan 4
ve 5 elemanlarından birinin bulunduğu alt küme sayısı
16 +16 =32 olur.
A) A
B) B
C) A
B
D) Ø
E) A
Ø
Çözüm:
A
[B
(B Ø)+ ifadesinde sadeleştirme yapmak
için içten dışa doğru bir yol izleyelim. İlk önce köşeli
parantezin içindeki parantezin içinde olan ifadeden
başlayalım. B Ø = B dir. İfadeyi tekrar yazarsak;
A
[B B+ oldu. Parantezin içindeki ifadeyi
sadeleştirelim B B= B dir. İfademizin son hali;
A B dir.
Yanıt: C
d. a şıkkında bulduğumuz bütün alt kümelere 5 ve 4 ü
eleman olarak eklersek 4 ve 5 in eleman olarak
bulunduğu alt kümelerinin sayısı 16 olur.
101
KÜMELERİN KESİŞİMİ
Örnek: 45 kişilik bir sınıfta her öğrencinin voleybol ya da
basketbol oynadığı biliniyor. Bu sınıfta voleybol oynayanların sayısı, basketbol oynayanların sayısının 2 katından 3 fazladır. Her iki oyunu da oynayan 6 kişi olduğuna
göre basketbol oynayan kaç kişi vardır?
Tanım: A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A ile B nin
ortak elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin
kesişimi denir. A∩B biçiminde gösterilir. A ile B nin
kesişimi A∩B = {x I x A ve x B- biçiminde tanımlanır.
A) 35
B
A
1
2
5
3
6
4
7
B) 21
C) 19
D) 16
E) 10
Çözüm:
Sınıf mevcudu: s(B
V)=45
Basketbol oynayanların sayısı: s(B)=x
Voleybol oynayanların sayısı: s(V)=2x+3
Her iki oyunu da oynayanların sayısı: s(B∩V)=6
45=x + 2x + 3 – 6
45=3x – 3
48=3x
x=16
Yanıt: D
A∩B
A∩B ={3,4}
TÜMLEME
KESİŞİM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
1. A∩A = A
E evrensel kümesi ile bunun bir alt kümesi A olmak üzere, evrensel kümede olan fakat A kümesinde olmayan
bütün elemanların oluşturduğu kümeye A nın tümleyeni
2. A∩B = B∩A
3. A∩(B∩C) = (A∩B) ∩C
denir ve A´ veya A ile gösterilir.
A´=, xx E ve x A- biçiminde yazılır.
4. A∩Ø = Ø∩A = A
5. A
B) ∩(A
(B∩C) = (A
6. A∩(B
C) = (A∩B)
B)
(A∩C)
A
1
BİRLEŞİM KÜMESİNİN ELEMAN SAYISI
1.A ve b kümeleri için A∩B
s(A
E
2
c
Ø ise
a
B)= s(A) + s(B) – s(A∩B)
b
2. A, B, C kümeleri için;
s(A
B
A´=,1,a,c- olur.
C)=s(A)+s(B)+s(C)-s(A∩B)-s(B∩C)-
s(A∩B) + s(A∩B∩C)
TÜMLEMENİN ÖZELLİKLERİ
1. A∩A´ = Ø
2. A B
B´ A´
3. A∩E=A
4. E´=Ø
5. A
E=E
6. Ø´=E
7. A´
A=E
8. (A´)
A´=A
9. (A´B)´=A´∩B´
10. (A∩B)´=A´
B´
Örnek: Bir sınıfta her öğrencinin Türkçe ya da Almanca
bildiği varsayılıyor. Türkçe bilenlerin sayısı 24, Almanca
bilenlerin sayısı 16, her iki dili bilenlerin sayısı 5’tir.
Sınıfın mevcudu kaçtır?
A) 45
B) 35
C) 40
D) 30
E) 32
Çözüm: Türkçe bilenlerin sayısı s(T)= 24
Almanca bilenlerin sayısı s(A)= 16
Her iki dili bilenlerin sayısı s(T∩A)= 5
Sınıf mevcudu s(T
A)= ?
s(T
A)= s(T) + s(A) – s(T∩A)
Örnek:
E=,1,2,3,4,5,6,7,8- olmak üzere A=,xx çift doğal sayı
ve x E} veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi A´
kümesidir?
A) A’ =,1,2,3B) A’ =,2,4,5,6C) A’ =,1,3,5,6D) A’ =,1,2,4,5,6,7E) A’ =,1,3,5,7-
= 24 +16 – 5 =35 olur.
veya;
A
T
19
5
11
Çözüm:
A E ve A=,2,4,6,8- olduğundan A´=,1,3,5,7- olur.
Yanıt: E
s(TUA)= 19 + 5 + 11 = 35 olur.
102
Çözüm:
FARK İŞLEMİ
B
A
Tanım: A ve B herhangi iki küme olsun. A da olup B de
olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A nın B den
farkı denir ve A\B ya da A-B biçiminde gösterilir.
A-B ={ xx A ve x B} dir.
a
B
A
1
2
4
3
6
5
7
s(A)= 2.s(B) ise a + b= 2 (b + c)
s(A\B)=10 ise a =10 ve A∩B kümesinin alt küme sayısı 16
olduğu için s(A∩B)=4 ve b=4 olur.
a + b= 2 (b + c) eşitliğinde yerine koyulursa;
14=2. (4 + c) ise c = 3 bulunur.
Buradan s(A
B)= a + b + c=10 + 4 + 3= 17 olur.
Yanıt: E
Örnek:
Doktorlar ve avukatlardan oluşan 60 kişilik bir toplulukta bayanların sayısı 36, avukatların sayısı 27, erkek
doktorların sayısı 15 dir. Buna göre toplu-lukta kaç
bayan avukat vardır?
B\A
A\B
FARKLA İLGİLİ ÖZELLİKLER
1. A\B = A∩B´
2. E\A=A´
3. A\A=Ø
4. A\Ø=A
5. Ø\A=Ø
6. A
\B=Ø
7. A\B=A\(A∩B)
8. (A\B)´=A´
B
9. (A\B)
B=A
B
10. (A\B)\C=A\(B
C)
11. A\B ≠ B\A
A) 15
B) B
C) A∩B
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
Çözüm:
D doktorlar kümesini, A avukatlar kümesini göster-sin.
D
A
D) B´
Erkek
15
c
Bayan
a
b
a + b = 36, c + b =27
a +b+c+15=60
36+c+15 = 60
c=9 olur.
c+b=27
9+b =27
b= 18 dir.
Avukat bayanların sayısı 18 dir.
Yanıt: D
Örnek:
E evrensel kümesinin iki alt kümesi A ile B dir. *A´\(A
B)]
[A\(B Ø)+ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) A
c
b
E) Ø
Çözüm:
*A´\(A
B)]
[A\(B
Ø)+
=*A’∩(A
B)´+
[A∩B´+
=*(A´∩(A´∩B´)+
(A∩B´)
=[(A∩A´)∩B´+
(A∩B´)
=(A´∩B´)
(A∩B´)
=(A´
A)∩B´
=E∩B´
=B´
Örnek:
A
B
C
Yanıt: D
Örnek:
A ve B iki kümedir. s(A)= 2.s(B), s(A\B)=10 ve A∩B
kümesinin alt küme sayısı 16 olduğuna göre A B
kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 12
B) 14
C) 15
D) 16
Yukarıdaki şekilde taralı ifadeyi gösteren ifade hangisidir?
A)
B)
C)
D)
E)
E) 17
[(A∩B)
(A\C)]∩(B
(C\A)
[(A∩B)\C]
A∩B∩C
(A∩B)\(A
C)
[(A
B)∩C]∩B
C)
Yanıt: B
103
Çözüm:
İŞLEM – MODÜLER ARİTMETİK
İŞLEM
Tanım: A boş olmayan bir küme ve A
B olsun. A A
nın boş olmayan herhangi alt kümesinden B’ye tanımlanan alt fonksiyona A’da ikili işlem veya kısaca işlem
denir.
İşlem tanımlanırken;,,∆, gibi semboller kulla-nılır.
Fonksiyonlar f, g, h gibi harflerle gösterilmektedir. ∆ : A
A işlemi verildiğinde;
İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ
x, y A için xy A ise A kümesi “”
işlemine göre kapalıdır denir.
2.
x,y A için x∆y=y∆x oluyorsa “∆” işleminin
değişme özelliği vardır denir.
3.
x,y,z
A için x(yz)=(xy)z ise “”
işleminin birleşme özelliği vardır denir.
4.
d)
5.
x A için x∆e=e∆x=x koşulunu sağlayan bir e
A varsa, e’ye “∆” işleminin birim (etkisiz) elemanı
denir.
6. x∆y=y∆x=e koşulunu sağlayan y A varsa, y’ye ∆
-1
işlemine göre x’in tersi denir. x ya da
–x ile
gösterilir.
Örnek: A=,a,b,c,d,e- kümesi üzerinde tanımlanan 
işlemi aşağıdaki tabloda veriliyor.
a
b
c
d
e
a
e
a
b
c
d
b
a
b
c
d
e
c
b
c
d
e
a
d
c
d
e
a
b
e
d
e
a
b
c
Tabloya göre,
a) ac = ca doğru mudur?
b)  işleminin etkisiz elemanını bulunuz.
c)  işlemine göre b ve c nin terslerini bulunuz.
d) Her x A için fx fonksiyonu
-1
fx (y)=x y ; y
A biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre fe fb a
a
e
b
a
b
c
d
b
a
b
c
d
e
c
d
e
c
b
c
d
e
a
d
c
d
e
a
b
e
d
e
a
b
c
nin değerini bulunuz.
104
fe (b 1  a)
fe fb a
fe a
x,y,z A için x∆(yz)=(x∆y)(y∆z),
(yz)∆x=(y∆x)(z∆x) oluyorsa ∆ işleminin 
işlemi üzerine dağılma özelliği vardır denir.

a
a) (ac) = b
(ca) = b olduğuna göre,
(ac) = (ca) dır. İşlemin değişme özelliği vardır.
b) Tablodan etkisiz elemanı bulmak için yatay ve dikey
durumda verilen elemanların düzgün sıralı ları bulunur. Bunların kesiştiği eleman etkisiz (birim) elemandır. Bu tabloya göre etkisiz (birim) eleman “b” dir.
c) Tabloda elemanların terslerini bulmak için önce dikey konumdaki sütundan tersi bulunacak olan eleman bulunur. Elemanın bulunduğu satır takip edilerek, o satır üstündeki etkisiz elemana karşılık gelen
üst satırdaki elemana bakılır ve ters eleman bulunur.
-1
b elemanının tersi b = b dir.
-1
c elemanının tersi c = a dır.
(x,y) A A sıralı çifti bir tek z A öğesine eşlenecektir. Bunu (x,y)
x∆y = z sembolleri ile yazarak “x
işlem y eşittir z” diye okuruz.
1.

fe (b  a)
e  a) =da=c dir.
1
ÇÖZÜMLÜ TEST
ÇÖZÜMLER
1. Tanımlana işlem
x∆y = 2x–3y+xy–1 dir.
2∆a = 5
x = 2 ve y = a işlemde yerine yazılır ve 5 e eşitlenir.
2∆a = 2.2–3.a+2.a–1 = 5
3–a=5
a = -2 bulunur.
Yanıt: A
1. Tamsayılar kümesi üzerindeki “∆” işlemi;
x∆y = 2x – 3y+xy – 1 biçiminde tanımlanıyor.
2∆a = 5 olduğuna göre, a kaçtır?
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
2. Verilen değerleri tanımlana işlemde uygulayalım.
Önce parantez içi yapılır.
11 = 2.1+2.1–3 = 4–3 = 1
11 = 1 dir.
1
2
2∆1 = 2 –1 +1 = 2
2∆(11) = 2 olur.
Yanıt: B
2. ve 3. soruları aşağıdaki bilgilere göre
yanıtlayınız.
Tamsayılar kümesinde,
y
2
x∆y = x – y +1 ve xy = 2x+2y – 3
işlemleri tanımlanıyor.
2. 2∆(11)
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
1
2
3. p∆1 = p –1 +1 = p
2(-1) = 2.2+2.(-1)–3 = 4–5 = -1
p∆1 = 2(-1)
p = -1 dir.
Yanıt: C
3. p∆1 = 2(-1)
olduğuna göre, p değeri kaçtır?
A) -3
B) -2
C) -1
D) 0
E) 1
4.
2
a
b
1
a
1
şeklinde tanımlana işlemde,
b
a = 2 ve b = 4 değerleri yerine yazılır.
2
1 1
= +
2⊕4 2 4
4. R de ⊕ işlemi
2
1 1
= +
olarak tanımlanıyor.
a ⊕b a b
Buna göre, 2 ⊕ 4 ün değeri kaçtır?
A) 1
B)
2
3
C)
5
3
D) 2
2
2
4
3
4
2
4
8
dür.
3
Yanıt: E
E)
8
3
105
MODÜLER ARİTMETİK
ÇÖZÜMLÜ TEST
x,y Z ve a>1 pozitif tam sayı olsun. x-y ifadesi a ile
tam olarak bölünüyorsa, modülü a’ya göre x, y’ye
denktir denir.
x y (mod a) biçiminde yazılır.
1. 2008
2009
A) 0
sayısının birler basamağı kaçtır?
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
 Modüler bir bölme işlemidir.
x; bölünen, a; bölen, y kalandır.
 Z/a kümesine, a’nın kalan sınıflar kümesi denir.
Z/4={ 0 , 1 , 2 , 3 }
Z/5={ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }
2. “EBİMKPSEBİMKPS…” sıralamasında 135. harf hangisi olur?
Z/a={ 0 , 1 , 2 … a 1 -’dir.
A) S
ÖZELLİKLERİ
1. x
m
C) E
D) İ
E) M
y (mod a),
n (mod a) olsun.
a) x  m y  n (mod a)
b) x.m y.n (mod a)
2.
3. Bir doktor, 5 günde bir nöbet tutuyor. İlk nöbetini
Çarşamba günü tuttuğuna göre, 12. nöbetini hangi gün
tutar?
x y (mod a) ise
n
n
x
y (mod a) olur.
3. Z /n de x,y,a,b
x
B) B
Z
A) Pazar
C) Salı
a(modn)
y b(modn) ise
♦ x y a b(modn)
♦ x y a b(modn)
♦ x.y a.b(modn)
♦ xm am (modn) m Z
♦ x.m a.m(modn) m Z
♦ a b 0(modn)
x y
B) Pazartesi
D) Cuma
E) Cumartesi
4. Saat şu anda 14:00 ise, 1525 saat sonra kaç olur?
0(modn)
A) 02:00
B) 03:00
C) 09:00
D) 11:00
E) 12:00
5. Z/5’te 2x + 3 = 2 eşitliğinde x değeri kaçtır?
A) 0
106
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
ÇÖZÜMLER
3. Doktor 5 günde bir nöbet tutuyor. 1. nöbet Çar-şamba
tutuldu, geriye 11 nöbeti kaldı.
2009
1. 2008
sayısının birler basamağı sorulduğunda; (mod
10) alınır.
2008, 10’a bölündüğünde 8 kalanını verir.
1
8
2
8
3
8
4
8
11.5 = 55 gün sonra 12. nöbetini tutacak.
Haftanın periyodu (modu) 7’dir.
55
49
6
8 (mod 10)
4 (mod 10)
2 (mod 10)
6 (mod 10)
0
Çarş.
(mod 10) da 1, 5 ve 6 rakamları kendisi ile çarpıldığında kalanı da kendisi olur.
1
Perş.
2
Cuma
3
C.tesi
4
Pazar
5
P.tesi
6
Salı
Kalan 6 olduğu için 6. gün, yani Salı günü tutar.
4
6 değerini 8 , 4. kuvvette bulduk. 2009’u 4’e böleriz.
2009
7
7
Yanıt: C
4
502
1
Kalan 1 olduğu için 8’in değeriyle aynı sonucu verir.
2009
2008
4. Bir gün 24 saat olduğuna göre (mod 24)’e göre işlem
yaparız.
8 (mod 10)
Yanıt: E
1525
144
0085
72
13
24
63
Kalan 13 ise;
14+13 = 27
27–24 = 3
Saat: 03:00 olur
2. EBİMKPSEBİMKPS…
Baştan 7. harf S,
Baştan 14. harf S,
Baştan 21. harf S,
Yanıt: B
Burada mod 7 olarak alınır.
5.
135
7
65
63
2
7
19
Z/5’te 2x + 3 = 2
x = 0 için; 2 . 0 + 3 = 2  3 ≠ 2
x = 1 için; 2 . 1 + 3 = 2  0 ≠ 2
x = 2 için; 2 . 2 + 3 = 2  2 = 2
x = 3 için; 2 . 3 + 3 = 2  4 ≠ 2
x = 4 için; 2 . 4 + 3 = 2  1 ≠ 2
Kalan 2 olduğu için baştan ikinci harfe bakarız.
EBİMKPSEBİMKPS…
x = 2 eşitliği sağlıyor.
Yanıt: C
Yanıt: B
107
108

EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ www.izmirkpsskursu.net 0 232 445 21 25

Transkript

Benzer belgeler

matematik ödevim - Kartanelerim.com

Test Sorusu Çözme Yöntemleri - Fiz-Mat

1977 Halil ALTUĞ

Şehitkamil Belediyesi Sanat Merkezi Fikir Projesi Yarışması Soru ve

File

1998 öss sınavı- matematik soru ve çözümleri

T Ü R K Ç E

FRAKTALLAR