MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM
4.1. Giriş
Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma’nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine
göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini ele aldık. Hız değişimlerinin yapılan
iş cinsinden ya da enerjideki toplam değişim cinsinden doğrudan ifade edilebileceğini gördük. Bu
bölümde ise, hareket denklemini zamana göre integre edip, impuls ve momentum denklemlerini
elde edeceğiz. Uygulanan kuvvetlerin çok kısa zaman zarfında (çarpışma problemlerinde olduğu
gibi) veya belirli zaman aralıklarında etkimesi durumunda, impuls ve momentum denklemleri
birçok problemin çözümünde büyük kolaylık sağlar.
4.2. Doğrusal İmpuls ve Momentum
Uzayda genel eğrisel hareket yapan m kütleli maddesel noktayı göz önüne alalım
(Şekil 4.1). Maddesel noktanın konumu O sabit referans sistemi merkezinden ölçülen r konum
vektörü ile tanımlanabilir. Maddesel noktanın hızı
dir ve daha öncede vurgulandığı üzere
hız vektörü yörüngeye teğettir. m kütleli maddesel nokta üzerine etkiyen tüm kuvvetlerin
bileşkesi
, maddesel noktanın ivmesi
yönündedir. Şimdi maddesel noktanın temel
hareket denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz,
(4.1)
Burada kütle ve hızın çarpımı maddesel noktanın doğrusal momentumu G = mv olarak
tanımlanır. Denklem 4.1, bir maddesel noktanın üzerine etkiyen kuvvetlerin bileşkesinin,
maddesel noktanın doğrusal momentumundaki zamana bağlı değişimine eşit olduğunu ifade eder.
SI birim sistemine göre doğrusal momentumun birimi kg m/s = N s’ dir.
1
Şekil 4.1
Denklem 4.1 dinamikteki en yaralı ve önemli bağıntılardan biridir ve maddesel noktanın m
kütlesi zamana bağlı olarak değişmediği sürece geçerlidir. Denklem 4.1 skaler bileşenleri
cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir:
(4.2)
Bu denklemler birbirinden bağımsız uygulanabilir.
Doğrusal İmpuls-Momentum İlkesi
Hareketin gerçekleştiği t1 - t2 zaman aralığı içerisinde, bileşke kuvvet
in maddesel
noktanın momentumu üzerindeki etkisini tanımlamak üzere, Denklem 4.1 zaman göre integrali
alınabilir. Buna göre, Denklem 4.1’in her iki tarafını dt ile çarparak
elde edilir ve
t1’den t2’ye kadar integrali alınırsa,
(4.3)
2
bağıntısı elde edilir. Burada G1 = mv1 ve G2 = mv2 sırası ile t1 ve t2 anındaki doğrusal
momentumdur. Kuvvet ile zamanın çarpımı ( ΣF dt ) kuvvetin doğrusal
impulsu olarak
tanımlanır ve Denklem 4.3, m kütlesi üzerindeki toplam doğrusal impulsun, maddesel noktanın
doğrusal momentumundaki değişime eşit olduğunu ifade eder.
Denklem 4.3 alternatif olarak,
(4.4)
formunda yazılabilir. Bu ifade cismin ilk durumundaki doğrusal momentumun artı ona etkiyen
doğrusal impulsun son durumdaki doğrusal momentuma eşit olduğunu ifade eder. Denklem
4.4’ün skaler bileşenleri
(4.5)
Bu üç skaler impuls-momentum denklemi birbirinden tamamen bağımsızdır.
Denklem 4.4 ile verilen impuls-momentum ilkesi Şekil 4.2’deki gibi grafiksel olarak
gösterilebilir. Bu gösterime impuls-momentum diyagramı adı verilir. Birinci çizim başlangıç
momentumu mv1’i ya da onun bileşenleri, ortadaki çizim, tüm dış doğrusal impulslar ya da
bileşenleri, son çizimde ise son durumdaki momentumu mv2’yi ya da onun bileşenleri gösterilir.
3
Şekil 4.2
Bir maddesel noktanın üzerine uygulanan kuvvetin deneysel ölçümler ya da başka yaklaşık
yöntemler ile belirlenen, zamana bağlı olarak değiştiği durumlar vardır. Örneğin, eğer belirli bir
yönde bir maddesel noktanın üzerine etkiyen F kuvveti t zamanına bağlı olarak Şekil 4.3’de
gösterildiği gibi değişiyor ise, t1 - t2 zaman aralığı içerisinde, bu kuvvetin impulsu
eğrinin altında kalan alana eşittir.
Şekil 4.3
4
,
Doğrusal Momentum Korunumu
Belirli bir zaman aralığında maddesel noktanın üzerine etkiyen bileşke kuvvet ΣF = 0 ise,
Denklem 4.3’den
(4.6)
doğrusal momentumun sabit kalması gerektiğini görürüz. Bu duruma maddesel noktanın
doğrusal momentumunun korunumu denir.
Örnek 4.1
5
Örnek 4.2
6
Örnek 4.3
7
Örnek 4.4
8
Örnek 4.5
9
4.3. Çarpışma
İki cisim çok kısa bir zaman aralığında aralarında nispeten büyük temas kuvvetleri ortaya
çıkmasına neden olacak şekilde birbirine çarptığında çarpışma oluşur. Çekicin çiviye veya golf
sopasının topa vurması, çarpışma olayının bilinen örnekleridir.
Genel olarak iki tip çarpışma vardır. Çarpışan iki maddesel noktanın kütle merkezleri,
maddesel noktaların kütle merkezlerinden geçen doğrultu boyunca hareket ediyor ise merkezi
çarpışma oluşur (Şekil 4.4a). Bu doğrultuya çarpışma doğrultusu adı verilir. Maddesel noktaların
biri ya da her ikisinin hareket doğrultusu, çarpışma doğrultusu ile açı yapıyor ise, bu durumda
eğik çarpışma meydana gelir (Şekil 4.4b).
Temas düzlemi
Temas düzlemi
Çarpışma
Çarpışma doğrultusu
(a)
doğrultusu
(b)
Şekil 4.4
4.3.1. Merkezi Çarpışma
Merkezi çarpışma mekaniğini analiz etmek üzere v1 ve v1 hızları ile giden m1 ve m2 kütleli
iki kürenin doğrusal hareketini göz önüne alalım (Şekil 4.5).
(a) Eğer v1 > v2 olması durumunda çarpışma meydana gelir.
(b) İlk temastan sonra, kısa bir süre boyunca küreler arasındaki temas alanının artık
büyüyemeyeceği bir duruma kadar artan deformasyon oluşur. Bu anda, her iki küre de
aynı v0 hızıyla hareket ederler (Şekil 4.5b). Temasın geri kalan kısmında, eski hale geri
10
dönme süresi oluşur. Bu süre içerisinde temas alanı sıfıra düşer ve küreler birbirinden
ayrılır.
(c) Küreler birbirlerinden ayrıldıklarında artık yeni v1' ve v2' hızlarına sahiptirler ve burada
v1' < v2' olması gerekir (Şekil 4.5c).
Tüm hızlar keyfi olarak sağa doğru pozitif kabul edilmiştir ve sola doğru olan hızlar eksi
olacaktır.
Eğer çarpışma çok şiddetli değil ise ve küreler yeterince elastik ise, eski hale geri dönüş
süresi sonunda küreler başlangıçtaki şekillerine geri döneceklerdir. Ancak, aşırı şiddetli bir
çarpışma ve yeterince elastik olmayan cisimler söz konusu ise kalıcı deformasyon meydana
gelebilir.
Çarpışma sırasında temas kuvvetleri eşit ve ters yönlü olduğundan, sistemin doğrusal
momentumu değişmez. Dolayısıyla, sistemi için doğrusal momentum korunum ilkesini
yazdığımızda,
(4.7)
ifadesi elde edilir. Çarpışma sırasında temas kuvvetlerine nispeten kürelerin üzerlerine etkiyen
diğer kuvvetlerin çok küçük olduğunu kabul ederek ihmal ediyoruz.
Şekil 4.5
11
Geri Sıçrama Katsayısı
Çarpışma problemlerinde v1 ve v2 başlangıç hızları ve kütleler bilinir bu durumda
Denklem 4.7 v1' ve v2' iki bilinmeyen içerir. Son durumdaki v1' ve v2' hızlarını bulabilmek için bir
denkleme daha ihtiyaç vardır. Bu denklem, her bir küreye impuls ve momentum ilkesi
uygulanarak elde edilebilir. Fr ve Fd Şekil 4.6’da görüldüğü gibi, sırası ile eski hale geri dönme
ve deformasyon süreleri boyunca temas kuvvetlerinin şiddetlerini temsil etsin. m1 küresi için
deformasyon süresinde impuls ve momentum ilkesi uygulanırsa,
(4.8)
elde edilir. Geri dönme süresi için,
(4.9)
elde ederiz.
Şekil 4.6
12
Geri dönme impulsunun deformasyon impulsuna oranı geri sıçrama katsayısı, e olarak tanımlanır.
m1 küresi için bu değerin,
(4.10)
olduğu görülür. Benzer şekilde, m2 küresi için deformasyon süresi ve geri dönme süresi boyunca
impuls ve momentum ilkesi uygulanırsa,
(4.11)
(4.12)
elde edilir. m1 küresi için geri sıçrama katsayısı, e
(4.13)
olarak elde edilir. Bu denklemler elde edilirken, deformasyon süresi to olarak, toplam temas
süresi ise t olarak alınmıştır. Denklem 4.10 ve 4.13 arasında v0 yok edilerek e ifadesi için,
(4.14)
elde edilir. Çarpışmadan sonraki v1' ve v2' hızları 4.7 ve 4.14 Denklemleri kullanılarak
hesaplanabilir.
13
Çarpışma teorisine göre e = 0 – 1 arasında değerler alır (Şekil 4.7). e = 1 değeri, iki parçacığın
eski hallerine geri dönme kapasitelerinin deforme olma eğilimlerine eşit olduğu ya da
deformasyon impulsu geri dönme impulsuna eşit olduğu anlamına gelir. Bu durum, enerji kaybını
olmadığı tam elastik çarpışma olarak bilinir. Öte yandan,
e = 0 değeri ise, parçacıkların
çarpışmadan sonra birbirine takılı kaldıkları ve enerji kaybını maksimum olduğu tam plastik ( ya
da inelastik) çarpışma durumunu tanımlar. Bu durumda, geri dönme impulsu yoktur.
Şekil 4.7
4.3.2. Eğik Çarpışma
Çarpışan parçaların biri veya her ikisi, çarpışma çizgisiyle bir açı yapıyorsa eğik çarpışma
meydana gelir. İki pürüzsüz parçacık arasında eğik çarpışma meydana geldiği zaman, parçacıklar,
büyüklüğü ve doğrultusu bilinmeyen hızlarla birbirinden ayrılırlar (Şekil 4.8).
Başlangıç
hızlarının bilinmesi koşulu ile problem dört bilinmeyen içermektedir. Bu bilinmeyenler, (v1')n ,
(v1')t , (v2')n , (v2')t dir. Bu dört bilinmeyeni bulmak için dört denkleme ihtiyaç vardır. Bu dört
denklem aşağıdaki gibi elde edilir:
14
m1 (v1')n
m1 (v1)t
m1
m1 (v1')t
m1
m1
∫Fdt
m1 (v1)n
∫Fdt
m2 (v2)n
m2 (v2)t
m2
m2 (v2')t
m2
Şekil 4.8
15
m2
m2 (v2')n
(1) n - yönünde sistemin momentumu korunur:
(4.15)
(2) - (3) t yönünde iki maddesel nokta içinde impuls olmayacağı için her bir maddesel nokta
için t yönündeki momentum korunur:
(4.16)
(4.17)
(4) Merkezi çarpışmada olduğu gibi, geri sıçrama katsayısı geri dönme impulsunun
deformasyon impulsuna pozitif oranıdır:
(4.18)
Son durumdaki dört hız bileşeni belirlendikten sonra Şekil 4.8’deki
bulunur.
16
ve
rahatlıkla
Örnek 4.6
17
Örnek 4.7
18
4.4. Açısal Momentum
Şekil 4.9 uzayda bir eğri boyunca hareket eden m kütleli bir P maddesel noktasını
göstermektedir. Maddesel noktanın konumu, sabit x-y-z eksen takımının merkezi O noktasından
ölçülen r konum vektörü ile belirlenmektedir. Maddesel noktanın hızı
momentumu
dir. Doğrusal momentum vektörü
ve doğrusal
nin O noktasına göre momenti, P
maddesel noktasının O noktasına göre açısal momentumu HO olarak tanımlanır ve bir vektörün
momentinin hesabında olduğu gibi vektörel çarpım ile belirlenir (Vöktörel işlemler için Giriş
Bölümü G3.1’e bakınız).
(4.19)
Buna göre açısal momentum r ve v vektörleri ile tanımlanan A düzlemine dik olan bir
vektördür.
yönü vektörel çarpımda sağ-el kuralı ile belirlenir.
Açısal momentumun skaler bileşenleri
nun açılımından elde edilebilir.
Şekil 4.9
19
(4.20)
Böylece skaler bileşenler aşağıdaki gibi yazılabilir.
(4.21)
Açısal momentum doğrusal momentumun momentidir ve doğrusal momentum ile
karıştırılmamalıdır. SI birim sistemine göre açısal momentumun birimi kg (m/s) m = kg m2/s =
Nm s dir.
4.4.1. Açısal Momentumun Değişimi
P maddesel noktasına etkiyen kuvvetlerin momentleri ile açısal momentum arasındaki
ilişkiyi ortaya koymaya çalışalım. Eğer ΣF Şekil 4.9’daki P maddesel noktasına etkiyen tüm
kuvvetlerin bileşkesini temsil diyor ise, O noktasına göre MO momenti vektörel çarpımdan
belirlenir:
(4.22)
Denklem 4.19’un zamana göre türevi alınırsa,
20
(4.23a)
Paralel vektörlerin vektörel çarpımları sıfır olduğundan (Bölüm G3.1’e bakınız)
terimi
sıfırdır.
(4.23b)
ifadesini yerine koyarak, moment ile P maddesel noktasına etkiyen kuvvetlerin momentleri
ile açısal momentum arasındaki ilişki için aşağıdaki bağıntı elde edilir:
(4.24)
Denklem 4.24, P maddesel noktasına etkiyen tüm kuvvetlerin sabit O noktasına göre
momentlerinin, P maddesel noktasının O noktasına göre açısal momentumunun zamana bağlı
değişine eşit olduğunu belirtir. Denklem 4.24’ün skaler bileşenleri aşağıdaki gibi yazılabilir:
(4.25)
21
4.4.2. Açısal Momentumun İlkesi
Denklem 4.24 moment ile açısal momentumun zamana bağlı değişimi arasındaki anlık
bağıntıyı verir. Sonlu bir Δt = t2- t1 zaman aralığında
momentinin maddesel noktanın
açısal momntumu üzerindeki etkisi belirlemek için, Denklem 4.24’ün t1 zamanından t2 zamanına
kadar integre edilmesi gerekir.
(4.26)
burada
dir. Moment ile zamanın çarpımı açısal impuls
ve
olarak tanımlanır. Denklem 4.26, sonlu bir (Δt = t2- t1 ) zaman aralığında sabit bir O noktasına
göre P maddesel noktası üzerindeki toplam açısal impulsun, P maddesel noktasının O noktasına
göre açısal momentumundaki değişime eşit olduğunu ifade etmektedir.
Denklem 4.26’nın daha çok kullanılan alternatif formu aşağıdaki gibidir:
(4.27)
Bu ifade, maddesel noktanın ilk durumundaki açısal momentumu ile uygulanan açısal impuls
toplamının ikinci durumdaki açısal momentuma eşit olduğunu ifade eder. açısal impulsun birimi
açısal momentum ile aynıdır (Nm s veya kg m2/s ).
22
Denklem 4.27’nin skaler bileşenleri, Denklem 4.21’de göz önüne alınarak.
x- bileşeni
(4.28a)
y- bileşeni
(4.28b)
z- bileşeni
(4.28c)
Bu denklemlerde 1 ve 2 alt indisleri ilgili büyüklüklerin t1ve t2 zamanlarına karşılık gelen
değerlerini göstermektedir.
23
Düzlemsel Hareket Uygulamaları
Buraya kadar açısal-impuls ve açısal-momentum için yapılan analizler genel üç boyutlu
durum için gerçekleştirilmişti. Ancak, birçok uygulamada, momentin hareket düzlemine dik
yönde tek bir eksene göre alındığı düzlemsel hareket problemleri ile karşılaşmak mümkündür. Bu
durumda, açısal momentumun şiddeti ve yönün değişse de vektörün doğrultusu değişmeden kalır.
Böylece, x-y düzleminde eğrisel bir yörünge üzerinde hareket eden m kütleli maddesel
nokta için (Şekil 4.10) 1 ve 2 noktalarında O’ya göre açısal momentumlarının şiddetleri sırasıyla
ve
dir. Denklem 4.27
‘nin t1 - t2 zaman aralığında 1 ve 2 noktaları arasındaki harekete uygulanırsa aşağıdaki skalaer
form elde edilir:
(4.29)
Şekil 4.10
24
4.4.3. Açısal Momentum Korunumu
Belirli bir zaman aralığında maddesel noktanın üzerine etkiyen ΣF bileşke (toplam)
kuvvetin sabit O noktasına göre momentleri sıfır ΣMO = 0 ise, Denklem 4.24, o noktaya göre
maddesel noktanın açısal momentumu HO sabit kalır.
(4.30)
Bu durum, bizlere, maddesel noktanın açısal momentumun korunduğunu gösterir.
25
Örnek 4.8
Örnek 4.9
26
Örnek 4.10
Örnek 4.11
27
Örnek 4.12
6 kg’lık küre ile 4 kg’lık blok düşey düzlemde,
O’dan geçen yatay eksen etrafında dönen
kütlesi ihmal edilebilir bir kola bağlanmıştır.
2 kg’lık tapa A’da duruştan harekete bırakılır ve
kol yatay konuma geldiğinde bloktaki oyuğun
içine düşer. Bu temastan hemen önce kolun
açısal hızı
dir. Tapa oyuğun
içine yerleştikten sonra kolun açısal hızı
‘yı
belirleyin.
28
Örnek 4.13
Sistem duruştan harekete başlar ve t saniye
boyunca ipe uygulana 20 N’luk T kuvvetinin
etkisi altında 150 dev/dak’lık bir açısal hıza
ulaşır. t ' yi belirleyin. Sürtünmeyi ve maddesel
nokta olarak ele alınabilen 3 kg’lık küreler
hariç diğer kütleleri ihmal edin.
29
Örnek 4.14
m kütleli bir maddesel nokta yatay yüzeyde
ihmal edilebilir sürtünme ile hareket etmekte
olup O noktasına sabitlenmiş hafif yaya bağlı
durumdadır. A konumunda maddesel noktanın
hızı vA = 4 m/s ‘ dir. Maddesel nokta B
konumundan geçerken hızı vB’yi belirleyin.
30