1.3.2. Normal ve Teğetsel Koordinatlar ( n

1.3.2. Normal ve Teğetsel Koordinatlar ( n - t )
Eğrisel hareket yapan bir maddesel noktanın izlediği yol biliniyorsa, hareketi, çoğu zaman,
göz önüne alınan anda, orijini maddesel nokta ile çakışan ve yola normal ve teğetsel olarak
etkiyen n ve t koordinatları kullanmak uygundur. Bu koordinatlar eğrisel hareketin doğal bir
tanımını sağlamakta ve çoğunlukla kullanımı en kolay ve uygun olan koordinatlardır.
Normal ve teğetsel koordinatla ile düzlemde eğrisel hareketin kinematiğini incelemek
üzere, Şekil 1.7’deki A noktasından C noktasına hareket eden bir maddesel noktanın hareketini
göz önüne alalım. Herhangi bir konumda n normal koordinatın pozitif yönü daima yörüngenin
eğrilik merkezine doğru olur. Şekil 1.7’de görüldüğü gibi, eğrilik yön değiştiriyorsa, pozitif
n - yönü değişecektir.
Şekil 1.7
Konum
Şekil 1.8’de gösterildiği gibi maddesel noktanın konumu için yörüngesi üzerinde bulunan A
noktasındaki n-doğrultusunda en ve t-doğrultusunda et birim vektörlerini kullanalım. dt
diferansiyel zamanı boyunca, maddesel nokta A noktasından ds ( = ρ dβ ) diferansiyel yolunu kat
ederek A' noktasına gelmektedir. Burada ρ ile gösterilen terim yörüngenin A' noktasındaki eğrilik
yarıçapını ifade etmekte olup, A ve A' noktaları arasındaki ds diferansyel yolu boyunca, ρ eğrilik
yarı çapındaki değişim çok çok küçük olacağından ihmal edilmiş ve ρ sabit kabul edilmiştir.
22
Şekil 1.8
Hız
Maddesel nokta hareket ettiğinden s yörünge zamanın bir fonksiyonudur. Bölüm 1.3’de de
gösterildiği gibi, maddesel noktanın v hız vektörü daima yola (yörüngeye) teğet ve büyüklüğü
s = s (t) yol fonksiyonunun zamana göre türevi alınarak belirlenir ve v = ds / dt = ρ dβ /dt olarak
yazılabilir. Buna göre hız aşağıdaki gibi vektörel formada yazılabilir.
(1.18a)
(1.18b)
Hatırlatma
Birim vektör, boyutsuz ve birim uzunluğa sahip, yön belirlemek için kullanılan vektördür.
Hatırlatma
Kartezyen koordinatlarda, birim vektörün doğrultusu değişmediği için, (zamana göre) türevi
sıfırdır. Eğrisel koordinatlarda ise, birim vektörün doğrultusu değiştiği için, (zamana göre) türevi
sıfır değildir.
23
İvme
Maddesel noktanın ivmesi, hızın zamana göre değişim oranı yani hızın zamana göre
türevidir. O halde ivme;
(1.19)
Burada et birim vektörünün doğrultusu değiştiği için zamana göre türevi artık sıfır
olmayacaktır. et’yi bulmak için, yine Şekil 1.8’da gösterilen, maddesel noktanın A noktası ile A'
noktası arasındaki hareketini göz önüne alalım. dt diferansiyel zaman aralığında, maddesel
noktanın A noktası ile A' noktası arasındaki hareketi esnasında, et’deki değişimi inceleyelim. dt
zaman aralığı sonunda, et birim vektörü büyüklüğünü korur ancak doğrultusunu değiştirerek et '
birim vektörüne dönüşür (Şekil 1.8a). Şekil 1.8b’den de görüldüğü gibi, et ' = et + det olmalıdır.
Burada det , et ve et ' birim vektörlerinin et = 1 yarıçaplı sonsuz küçük bir yay üzerinde bulunan
uçları arasında uzanır. Buna göre, det nin büyüklüğü | det | = det = | et | dβ = 1 dβ dır ve
doğrultusu ise en ile tanımlanır. Sonuç olarak det için ,
(1.20)
ifadesi elde edilir. Bu ifadenin her iki tarafı dt ile bölünürse,
(1.21a)
(1.21b)
Bu ifade 1.19 numaralı denklemde yerine yazılırsa,
24
(1.22)
elde edilir.
eşitliği kullanılarak (1.22) Denklemi yeniden düzenlenirse,
(1.23)
elde edilir. Burada,
(1.24a)
Normal ivme :
(1.24b)
Teğetsel ivme :
(1.24c)
İvme büyüklüğü :
olarak tanımlanır.
Hatırlatma
İvme, hızın hem şiddetindeki (yani büyüklüğündeki) hem de doğrultusundaki değişimi yansıtan
bir vektördür.
Hatırlatma
at → Hızın büyüklüğündeki değişimi yansıtır.
an → Hızın doğrultusundaki değişimi yansıtır.
25
Denklem 1.23 ve 1.24 deki kavramları özetlemek ve yorumlayabilmek için Şekil 1.9’da
verilen eğrisel yörünge boyunca hareket eden maddesel noktanın hareketini inceleyelim.
1.) Maddesel nokta bir doğru boyunca hareket ediyorsa, ρ → ∞ olur ve Denklem 1.24a’den
an = 0 olarak bulunur. Böylece
olur. Buradan, ivmenin teğetsel
bileşeninin hızın büyüklüğünün zamana göre değişim oranını (yani türevini), veya
başka bir deyişle hızın büyüklüğündeki değişimi, ifade ettiği sonucunu çıkarabiliriz.
2.) Maddesel nokta, sabit bir hızla bir eğri boyunca hareket ediyorsa,
0 ve
olur. O halde, ivmenin normal bileşeninin hızın doğrultusunun
zamana göre değişimini ifade ettiği sonucunu çıkarabiliriz. Bu bileşen, daima eğrilik
merkezine doğru etkidiğinden, merkezcil ivme olarak da adlandırılır.
Şekil 1.9
26
Dairesel Hareket
Dairesel hareket Şekil 1.10’da gösterildiği gibi, ρ eğrilik yarıçapın çemberin sabit r yarıçapı
olduğu ve β açısını yerini herhangi bir uygun radyal referanstan OP’ye ölçülen θ açısının aldığı,
düzlemde eğrisel hareketin önemli bir özel durumudur. P maddesel noktasının dairesel hareketi
için hız ve ivme bileşenleri aşağıdaki hali alır.
(1.25a)
(1.25b)
(1.25c)
Şekil 1.10
27
Örnek 1.9
28
Örnek 1.10
29
Örnek 1.11
30
1.3.3. Kutupsal Koordinatlar ( r - θ )
Bu bölümde, düzlemde eğrisel hareketin üçüncü durumu, yani maddesel noktanın
konumunun, sabit bir noktadan r radyal mesafesi ve radyal çizgiye θ açısal ölçümü ile
tanımlandığı, kutupsal koordinatları ele alacağız. Özellikle, bir hareketin radyal bir mesafe ve
açısal bir konum ölçüleri ile gözlemlendiği, yerdeki bir radar istasyonundan bir uydu veya bir
roketin hareketi incelenirken, kutupsal koordinatlar oldukça kullanışlıdır.
Hatırlatma
Küresel koordinatlar ( r – θ ), silindirik koordinatların ( r – θ – z ) düzleme indirgenmiş halidir.
Şekil 1.11a, eğrisel bir yörünge boyunca hareket eden maddesel noktanın konumunu
belirleyen r ve θ kutupsal koordinatlarını göstermektedir. x-ekseni gibi keyfi bir sabit eksen,
θ’nın ölçümü için referans olarak kullanılmaktadır. er ve eθ birim vektörleri sırası ile pozitif r ve
θ yönleri için kullanılmaktadır (r ve θ doğrultuları birbirine diktir) . A noktasındaki maddesel
noktanın r konum vektörünün büyüklüğü | r | = r radyal uzunluğuna eşit ve er birim vektörü
yönündedir:
(1.26)
der
A
Şekil 11
31
Birim Vektörlerin Zamana Göre Türevleri
(1.26) numaralı bağıntının zamana göre türevlerini alarak hız
elde edebilmek için
ve
ve ivmeyi
birim vektörleri zamana göre türevlerini belirlememiz
gerekmektedir. Bu amaçla, Şekil 1.11b’de ki gibi A noktasındaki maddesel noktanın dt süresi
boyunca dθ kadar dönerek ilerlediğini düşünelim. Bu durumda birim vektörler
açıda dönerek
ve
ya dönüşürler. Burada vektörel değişimler
ve
da aynı
’nin pozitif θ yönünde
’nın ise negatif r yönünde olduğuna dikkat edilmelidir. Bu durumda vektörel değişimler,
(1.27a)
(1.27b)
olarak ifade edilebilir.
ve
nin skaler değerleri
ve
yarıçap olan
ve
birim
vektörlerin şiddeti ile dθ açısının çarpımına eşittir:
(1.28a)
(1.28b)
(1.28a) ve (1.28b) ifadeleri sırası ile (1.27a) ve (1.27b) eşitliğinde yerlerine yazılırsa
ve
için,
(1.29a)
(1.29a)
elde edilir. Bu ifadelerin her iki tarafı dt ye bölünürse, birim vektörlerin zamana göre türevleri
için,
32
(1.30a)
(1.30b)
ifadeleri elde eldir.
Hız
Birim
vektörlerin
zaman
göre
türevlerini
belirlediğimize
göre,
şimdi
konum vektörünün zamana göre birinci türevini alarak hız vektörünü,
yani
(1.31)
olarak belirleyebiliriz. Bu ifade,
yerine (1.30a) eşitliği yazılarak yeniden düzenlenirse,
(1.32)
elde edilir. Buradan,
Radyal hız :
(1.33a)
Açısal hız :
(1.33b)
Hızın büyüklüğü :
(1.33c)
33
v nin r-bileşeni vr sadece r konum vektörünün uzama oranıdır. v nin θ-bileşeni vθ ise r konum
vektörünün dönüşünden kaynaklandığı sonucunu çıkarabiliriz.
İvme
Maddesel noktanın ivmesi, hızın zamana göre değişim oranı yani hızın zamana göre türevidir. Bu
durumda ivme;
)
olur. (1.34) Eşitliği,
ve
(1.34)
birim vektörlerinin türevleri için elde edilen ifadeler yerlerine
yazılarak yeniden düzenlenirse,
)
(1.35)
ifadesi elde edilir. Burada,
Radyal ivme :
(1.36a)
Açısal ivme :
(1.36b)
İvme büyüklüğü :
(1.36c)
şeklinde yazılabilir.
34
Dairesel Hareket
r’nin sabit olduğu dairesel bir yörüngedeki hareket için, (1.33) ve (1.36) denklemleri aşağıdaki
hale gelir,
Radyal hız :
(1.37a)
Açısal hız :
(1.37b)
Hızın büyüklüğü :
(1.37c)
Radyal ivme :
(1.38a)
Açısal ivme :
(1.38b)
İvme büyüklüğü :
(1.38c)
Bu tanımlama, teğetsel koordinatlar, n- ve t-bileşenleri, ile elde edilenle aynıdır, burada θ ve t
bileşenlerinin yönleri aynıdır, ancak pozitif r-yönü negatif n-yönündedir. Yani kutupsal
koordinatların orijininin çevresinde olan dairesel hareket için ar = -an olmaktadır.
35
Örnek 1.12
36
Örnek 1.13
37
Örnek 1.14
38