datum dönüşümleri - Selçuk Üniversitesi

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DATUM DÖNÜŞÜMLERİ
Jeo. ve Fot. Müh. Aydın ÜSTÜN
F.B.E. Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliği Anabilim Dalında
hazırlanan
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Tez Danışmanı
: Prof Dr. Hüseyin DEMİREL
İSTANBUL, 1996
İÇİNDEKİLER
İÇİNDEKİLER
I
ŞEKİL LİSTESİ
IV
TABLO LİSTESİ
V
KISALTMALAR LİSTESİ
VI
TEŞEKKÜR
VII
ÖZET
VIII
ABSTRACT
IX
1.
GİRİŞ
1
2.
KOORDİNAT SİSTEMLERİ
3
2.1.
Doğal Koordinat Sistemleri
4
2.1.1.
Global Astronomik Dik Koordinat Sistemi (X, Y, Z)
5
2.1.2.
Doğal Eğri Koordinat Sistemi (Λ, Φ, H)
5
2.1.3.
Yerel Astronomik Dik Koordinat Sistemi (e*, m*, n*)
6
2.1.4.
Yerel Astronomik Kutupsal Koordinat Sistemi (α*, β*, l*)
7
2.2.
Referans Koordinat Sistemleri
8
2.2.1.
Global Jeodezik Dik Koordinat Sistemi (U, V, W)
8
2.2.2.
Global Jeodezik Eğri Koordinat Sistemi (ϕ, λ, h)
9
2.2.3.
Yerel Jeodezik Dik Koordinat Sistemi (e, m, n)
9
2.2.4.
Yerel Jeodezik Kutupsal Koordinat Sistemi (α, β, l)
10
2.3.
Referans Koordinat Sistemleri Arasındaki İlişkiler
10
2.3.1.
Dik Koordinat Sistemi İle Eğri Koordinat Sistemi Arasındaki İlişkiler
10
2.3.2.
Yerel Koordinat Sistemleri İle Dik Koordinat Sistemleri Arasındaki İlişkiler 14
2.4.
Uydu Jeodezisinde Kullanılan Referans Koordinat Sistemleri
17
2.4.1.
Konvansiyonel Göksel Koordinat Sistemi (CIS)
18
2.4.2.
Konvansiyonel Yersel Koordinat Sistemi (CTS)
20
I
2.4.3.
Uydu Koordinat Sistemleri Arasındaki Dönüşümler
21
3.
JEOİT VE ELİPSOİT
27
3.1.
Jeoit
27
3.2.
Dönel Elipsoit
29
3.3.
Jeoitle Elipsoit Arasındaki İlişki ve Jeodezik Datum
31
3.4.
Referans Elipsoitlerinin Konumlandırılması
35
3.4.1.
WGS84 Elipsoidi
37
3.4.2.
Hayford Elipsoidi
39
4.
DATUM DÖNÜŞÜMLERİ
40
4.1.
Üç Boyutlu Dönüşümler
41
4.1.1.
Benzerlik Dönüşümleri
42
4.1.1.1. Bursa-Wolf Modeli
42
4.1.1.2. Moledensky-Badekas Modeli
46
4.1.1.3. Veis Modeli
47
4.1.2.
Afin Dönüşüm
49
4.1.3.
Üç Boyutlu Dönüşümde Büyük Dönüşüm Parametreleri
51
4.2.
İki Boyutlu Dönüşümler
53
4.2.1.
Benzerlik Dönüşümü
54
4.2.2.
Afin Dönüşüm
57
4.2.3.
Küçük Bir Bölgede Elipsoidal Eğri Koordinatlarla Datum Dönüşümü
58
4.3.
Tek Boyutlu Dönüşümler
62
4.3.1.
Yükseklik Sistemleri
62
4.3.2.
Yükseklik Dönüşümü
63
4.3.2.1. Yüksekliklerden Yararlanılan Dönüşüm
64
4.3.2.2. Yükseklik Farklarının Kullanıldığı Dönüşüm
65
5.
66
DENGELEME MODELİ
II
6.
SAYISAL UYGULAMALAR
69
7.
SONUÇ VE ÖNERİLER
81
KAYNAKLAR
84
ÖZGEÇMİŞ
87
III
ŞEKİL LİSTESİ
Şekil 2.1 Dik ve kutupsal koordinatlar
3
Şekil 2.2 Global astronomik dik ve eğri koordinat sistemleri
5
Şekil 2.3 Yerel astronomik dik ve kutupsal koordinat sistemleri
7
Şekil 2.4 Elipsoidal dik ve eğri koordinat sistemleri
9
Şekil 2.5 Elipsoidal yerel dik ve kutupsal koordinatlar
10
Şekil 2.6 Elipsoidal dik ve eğri koordinatlar
11
Şekil 2.7 Elipsoidal dik ve yerel koordinat sistemleri
15
Şekil 2.8 Konvansiyonel göksel koordinat sistemi
19
Şekil 2.9 Konvansiyonel yersel sistem ve kutup hareketi
21
Şekil 2.10 Presizyon
23
Şekil 2.11 Nutasyon
24
Şekil 3.1 Eşpotansiyelli yüzeyler ve gravite vektörü
28
Şekil 3.2 Astronomik enlem
29
Şekil 3.3 Meridyen elipsi
30
Şekil 3.4 Yükseklikler arasındaki ilişki
32
Şekil 3.5 Jeoit ve elipsoit arasındaki ilişki
33
Şekil 3.6 Çekül sapması bileşenleri
34
Şekil 3.7 Yerel elipsoit
37
Şekil 3.8 WGS84 referans sistemi
38
Şekil 4.1 Üç boyutlu benzerlik dönüşümü
42
Şekil 4.2 Moledensky-Badekas Modeli
47
Şekil 4.3 İki boyutlu benzerlik dönüşümü
55
Şekil 4.4 Elipsoit üzerinde jeodezik azimut ve uzunluk
60
IV
TABLO LİSTESİ
Tablo 3.1 Çeşitli uluslararası elipsoitler ve boyutları
30
Tablo 3.2 WGS84 için tanımlanmış parametreler
38
Tablo 4.1 Elipsoit üzerinde azimut ve uzunluk hesabı.
60
Tablo 5.1 WGS84 ve AD50 datumunda ortak noktaların jeodezik dik koordinatları
69
V
KISALTMALAR LİSTESİ
AD50
Avrupa Datumu 1950
BIH
The Bureau International de l’Heure
CEP
Celestial Ephemeris Pole
CIO
Conventional International Origin
CIS
Conventional Inertial System
CTP
Conventional Terrestrial Pole
CTS
Conventional Terrestrial System
DMA
Defence Mapping Agency
GAST
Greenwich Apperent Sideral Time
GPS
Global Positioning System
GRS80
Geodetic Reference System 1980
IAU
International Astronomy Union
IERS
International Earth Rotation Service
IUGG
International Union of Geodesy and Geophysics
İTÜ
İstanbul Teknik Üniversitesi
KTÜ
Karadeniz Teknik Üniversitesi
LLR
Lunar Laser Ranging
NAVSTAR
Navigation System with Time and Ranging
NNSS
Navy Navigation Satellite System
SLR
Satellite Laser Ranging
UTM
Universal Transverse Mercator
VLBI
Very Long BaseLine Interferometry
YTÜ
Yıldız Teknik Üniversitesi
WGS60
World Geodetic System 1960
WGS66
World Geodetic System 1966
WGS72
World Geodetic System 1972
WGS84
World Geodetic System 1984
VI
TEŞEKKÜR
Kendisi ile çalışma fırsatını bulduğum ve çalışmalarım süresince yardım ve
ilgilerini eksik etmeyen Danışmanım Sayın Prof. Dr. Hüseyin DEMİREL’e, başka bir
üniversitede yüksek lisans yapmama olanak veren hocalarıma, yine çalışmalarım
süresince her türlü yardımlarını gördüğüm çok değerli arkadaşlarıma ve bana maddi,
manevi her türlü imkanı sağlayan, kendilerine lâyık olmaya çalıştığım aileme sonsuz
teşekkürlerimi bir borç bilirim.
VII
ÖZET
Jeodezik amaçlar için üretilen harita, plan, grafik ve benzeri sayısal üretimlerin
anlam kazanmasında en büyük faktör, kullanılan koordinat sistemleridir. Normal olarak
tüm bu amaçlara yönelik koordinat bilgilerinin ortak bir referansa dayanması beklenir.
Ancak gerek ülkesel ve gerekse bölgesel anlamda jeodezik çalışmalar için çeşitli
referans sistemleri temel alınmıştır. Bu farklılık, hem yeryuvarının hem de onun yerine
hesap yüzeyi olarak kullanılan referans yüzeylerinin özelliklerinden kaynaklanmaktadır.
Yeryuvarının bir hesap yüzeyi olarak kullanılamaması yardımcı yüzeyleri
gerektirmiş, farklı bölgelere ya da genel olarak yeryuvarına uyan dönel elipsoit
boyutları belirlenmeye çalışılmıştır. Elipsoidin boyutlarının belirlenmesi kadar, çalışma
amacına göre yeyuvarına bağlı olarak konumlandırılması datum problemini ortaya
çıkarmıştır. Buna bağlı olarak üretilen veriler de seçilen sistemlerin datumunu taşırlar.
Eğer farklı veriler bir arada değerlendirilmek istenirse, bu durum sistemlerin
birbirlerine dönüştürülmesini gerektirir. Özellikle Global Konumlama Sistemi (GPS)
datum dönüşümlerinin çok konuşulan bir konu haline gelmesine neden olmuştur. Bu
çalışmada çeşitli koordinat sistemleri ve aralarındaki dönüşüm modelleri incelenmiş,
referens yüzeyleri olarak jeoit ve elipsoit üzerinde durulmuş ve sayısal uygulamalar
verilmiştir.
VIII
ABSTRACT
Gaining a meaning of the digital results of the map, plan, diagram etc.
produced for geodetical aim, the main factor is the coordinate system used. Normally all
coordinate data hoped to be based on the same reference systems. But geodetical works
have done over the country as well as locally the coordinate systems based on different
reference systems. These differences are coused by compenent of the earth and
reference globe used for computation.
The irregular surface of the solid earth is incapable of being represented by a
simple mathematical relation, it is therefore described mathematical figures instead.
Rotational ellipsoid’s parameters approximated locally or mean earth ellipsoid are tired
to determine. As its computation positioning of the ellipsoid relatively to the earth
aimed of work, datum problem was introduced. Then the collected data have to be on
the datum selected systems.
If the data on the different datum are processed together, systems have to
transform to each other. Especially Global Positioning Systems has been in use, is
coused to discuss of datum tansformation. In this study, which properties of objects
have to be kept in projection from one surface to the other and transformation models
related to dimention of coordinate systems are investigated and explained by numerical
examples.
IX
1
1. GİRİŞ
Jeodezi ya da yer ölçmesi biliminin doğmasına neden olan iki unsurdan
birincisi ve en önemlisi insanların üzerinde yaşadığı yeryuvarını veya onun bir parçasını
tanıma merakı, ikincisi ise mekâna dayalı çeşitli faaliyetlerin gerçekleştirilebilmesi,
gereksinimlerin karşılanabilmesi için yeryüzünün tanımlanması zorunluluğudur.
Yeryüzü koordinat sistemleri ile tanımlanır. Jeodezik astronomi ve uydu
jeodezisi dışında, bir nesne; üç boyutlu, iki boyutlu veya tek boyutlu bir koordinat
sisteminde değerlendirilir. Jeodezik astronomi ve uydu jeodezisinde bu sistemlere
ayrıca zaman boyutu eklenir.
Sözü edilen bu koordinat sistemlerinin kaynağı, yeryuvarı ya da onu
simgeleyen jeoit ve elipsoittir. Yeryuvarının modeli olarak jeoit ve elipsoit alınmasının
temel nedeni homojen olmayan yapısı ve düzensiz topoğrafyasıdır.
Klasik yersel ölçmeler fiziksel bir ortamda yapılır ve ölçüler bu ortamın etkisi
altındadırlar. Bu nedenle gözlemleri tanımlayabilecek koordinat sistemleri biz farkında
olmadan kendiliğinden oluşmaktadır. Bu tür sistemlere doğal koordinat sistemleri,
gözlenen elemanlara da doğal koordinatlar adı verilir. Tüm ölçülerin tek bir yüzey
üzerinde değerlendirilmesi istenir. Bu yüzey elipsoit ya da jeoit olabilir.
Yatay konum ağları için jeoit, düzensiz bir yüzey niteliğini taşımakta,
geometrik olarak ona en çok benzeyen elipsoit tercih edilmektedir. Çünkü gözlemleri
etkileyen fiziksel doğa olaylarını ve ölçüleri, yeterince tanımlanamamış jeoit yüzeyi
üzerinde modellendirmek ve değerlendirmek olanaksızdır. Bu nedenle yatay konum için
hesap yüzeyi olarak elipsoit alınır.
Yükseklikler için referans yüzeyi olarak elipsoit yerine jeoit kullanılmaktadır.
Elipsoidal yüksekliklerin kullanılabilmesi için jeoit ile elipsoit arasındaki aykırılıkların,
yani jeoit ondülasyonlarının bilinmesi gerekir. Günümüzde, gelişen ölçme teknikleri
2
sayesinde jeoit ondülasyonlarının belirlenmesi kolaylaşmıştır. Jeoit yüzeyi tanımı
gereğince durgun deniz yüzeyi ile çakışır.Yatay konum belirlemedeki gibi düşey konum
belirlemede de her ülke farklı datum kullanmıştır. Yani tüm ülkeler tek bir noktayı
yükseklikler için başlangıç noktası olarak kullanmamış, her ülke kendisine en uygun
olanını seçerek kendi datumunu oluşturmuştur.
Dünyadaki küreselleşme, jeodezi açısından da yaşanmaktadır. Bu çerçevede
farklı datumların birleştirilmesi ve verilerin bir arada değerlendirilmesi gerekli
olmaktadır. Uydu jeodezisi tekniğinin uygulamaya girmesi ve yeryuvarının uzaktan
değerlendirilmesiyle ülke sınırlarını aşan geniş alanlarda veri üretimine geçilmiştir.
Özellikle Global Konumlama Sistemi (GPS) ile tek bir referans sisteminde (WGS84
elipsoidi) bağıl konumlamada yakalanan yüksek doğruluk yeni jeodezik ağların
oluşturulmasına, eskilerin de yenilenmesi ve iyileştirilmesine olanak tanımıştır. Uydular
aracılığıyla üretilen konum bilgileri ülke sistemlerine dönüştürülerek yersel veriler ile
bütünleştirilebilmektedir.
Ancak burada karşılaşılan kimi sorunlar vardır. Yukarıda açıklandığı gibi
kullanılmakta olan ülke sistemi üç boyutlu bir sistem değildir. Yatay ve düşey konum
koordinatları farklı referans yüzeylerine dayanır. Uydu tekniğiyle üretilen koordinatlar
(başka referans sisteminde) ise üç boyutludur. Geçerli ülke koordinat sistemiyle
bağlantı için özellikle ortometrik yüksekliklerin elipsoit yüksekliklerine (ya da tersi),
dönüştürülebilmesi
gerekir.
İşte
bu
sorunlar
çeşitli
dönüşüm
modelleriyle
çözülebilmektedir. Ancak uygulanan dönüşüm modeli eldeki verilerin özelliğine ve
amaca uygun olmalıdır.
3
2. KOORDİNAT SİSTEMLERİ
Yeryüzündeki bir nokta ancak bir koordinat sisteminde tanımlanabilir. Klasik
ya da uydu ölçmeleriyle elde edilen koordinat bilgileri yardımıyla nokta, sistemin
başlangıç noktasından geçen düzlemlere göre, ya düzlemlere olan dik uzaklıklarla ya da
noktayı orjine bağlayan doğrultuda uzunluk ve bu doğrultunun düzlemlerle yapmış
olduğu açılarla gösterilir. Sırasıyla bu gösterim türlerine Dik Koordinat Yöntemi ve
Kutupsal Koordinat Yöntemi adı verilir (Şekil 2.1).
z
P
s
β
o
z
y
α
x
y
P’
x
Şekil 2.1 Dik ve kutupsal koordinatlar
Uzaydaki bir nokta ister dik, ister kutupsal koordinat yöntemiyle gösterilsin her
şeyden önce bu tanımlamanın yapılacağı bir koordinat sistemi gereklidir. Jeodezi
biliminde önemli konulardan biri de koordinat sistemi oluşturmaktır. Bu konudaki
çalışmalar, hem yeni sistemlerin hem de var olanların geliştirilmesi yönünde
günümüzde halâ sürmektedir.
Yeryuvarının homojen bir yapıya sahip olmaması ve bir takım fiziksel
etmenlerden etkilenmesi, yeryuvarına bağlı bir koordinat sisteminin tanımını
güçleştirmektedir. Bu zorluk gerçeğe yakın olmak koşuluyla, yapay koordinat
sistemlerinin tanımlanmasını gerektirmiştir. Klasik yersel gözlemler yeryuvarına
4
dayandığından, fiziksel bir doğa olayı olarak kabul edilirler ve somut anlamda
yeryuvarına bağlı bir koordinat sistemiyle ilişkilidirler. Bu nedenle doğal sistemi yok
sayarak, yapay sistemi kullanmak ya da onu yeğ tutmak kabul edilemez. Model
koordinat sistemi, fiziksel yeryüzünde yapılan gözlemlerin ilgili referans sisteme
indirgenmesiyle gerçekleştirilir.
Bu çerçevede, jeodezide kullanabileceğimiz koordinat sistemleri iki ana temele
dayanır:
- Fiziksel gözlemlere dayanak olan doğal koordinat sistemleri
- Hesaplamalara dayanak olan yapay koordinat sistemleri.
Her iki durumda koordinat sistemlerinin başlangıçları ve eksenlerinin yönleri
farklıdır. Bu sistemler yeryuvarına fiziksel açıdan en çok benzeyen jeoit ve yine
yeryuvarına geometrik açıdan en çok benzeyen dönel elipsoidin datumunu taşırlar.
Bunlardan ayrı olarak yine yeryüzüne bağlı olmak üzere, uydu ve diğer gök
cisimlerinin koordinatlandırılmasında kullanılan koordinat sistemleri de vardır.
Konumuz gereği bu koordinat sistemleri de tanıtılmaya çalışılacak ve bu sistemlerin
birbirleriyle olan ilişkileri incelenecektir.
2.1. Doğal Koordinat Sistemleri
Fiziksel anlamda var olan, yeryuvarının ağırlık merkezinin ya da yeryüzündeki
bir noktanın başlangıç olarak kabul edildiği üç boyutlu dik koordinat sistemleri olarak
tanımlanabilir. Ölçmeciler tarafından yapılan jeodezik gözlemler bu koordinat
sistemleriyle ilişkilidir.
Sistemin başlangıç noktasının yeryuvarının ağırlık merkezinde ya da
yeryüzündeki bir noktada seçilmesi, tanımlanacak nesnelere bağlıdır. Bir ülke veya
yeryuvarı ölçmesi yapılacaksa ağırlık merkezli koordinat sistemi, yerel anlamda küçük
5
bir bölge ölçmesi yapılacaksa yeryüzündeki bir noktanın merkez olarak kabul edildiği
koordinat sistemi kullanılır.
2.1.1. Global Astronomik Dik Koordinat Sistemi (X, Y, Z)
Koordinat sisteminin başlangıcı yeryuvarının fiziksel olarak tanımlanan ağırlık
merkeziyle çakışır. Z ekseni yeryuvarının ortalama dönme eksenidir ve pozitif yönü
ortalama kuzey kutup doğrultusudur. X ekseni, dönme eksenine yeryuvarının ağırlık
merkezinde diktir ve ortalama astronomik ekvator düzlemi ile Greenwich meridyen
düzlemine paralel sıfır astronomik meridyen düzleminin arakesitidir. Y ekseni de bir
sağ sistemi oluşturmak üzere, X ekseninden ekvator üzerinde 90o doğuya açılan bir
doğrultudadır. Şekil 2.2 Koordinat sistemini ayrıntılı bir biçimde göstermektedir.
Şekil 2.2 Global astronomik dik ve eğri koordinat sistemleri
2.1.2. Doğal Eğri Koordinat Sistemi (Λ, Φ, W)
Yeryüzündeki bir P noktasının doğal eğri koordinatları; astronomik boylam Λ,
astronomik enlem Φ ve potansiyel W global astronomik dik koordinat sistemiyle ilişkili
büyüklüklerdir (Şekil 2.2.).
6
P noktasındaki çekül doğrultusu (gravite vektörünün doğrultusu) ile P’nin
astronomik meridyen düzlemi içinde ölçülen ekvator düzlemi arasındaki açı, astronomik
enlem Φ ve ortalama Greenwich meridyen düzlemi ile P’nin astronomik meridyen
düzlemi arasındaki açı, astronomik boylam Λ dır. Λ ekvator düzleminde doğu yönünde
artar (0 ≤ Λ< 2Π).
Yeryüzü noktaları arasındaki potansiyel farkları da ölçüler yardımıyla
belirlenebilir. Bunun için nivelman geçkileri boyunca ayrıca gravite ölçüleri gereklidir.
Φ, Λ, W yeryuvarının gravite alanının doğal koordinatları olarak adlandırılır. Bir P
noktasının konumu ona ilişkin Φp , Λp , Wp parametreleriyle saptanabilir. P birbirine dik
olmayan eğrisel Φ=Φp=sabit , Λ=Λp=sabit , W= Wp=sabit koordinat yüzeylerinin
kesişim noktasıdır.
Astronomik enlem ve boylam (astronomik koordinatlar), uzayda çekül
doğrultusunu tanımlayan parametrelerdir. İlk iki koordinat, astronomik gözlemler ile
bulunabilir.
Yıldızlara
yapılan
gözlemlere
almanaklar
yardımıyla
getirilecek
düzeltmeler neticesinde noktanın enlem ve boylamı elde edilir. Jeodezik amaçlar için
büyük önemi olan bu noktalar yeryüzünde her ülke için yeterli yoğunluk ve dağılımda
belirlenmiştir. Jeodezik açıdan bu noktalar;
- Ülkeler için ulusal datum belirleme çalışmalarında,
- Astrojeodezik jeoit belirlemelerinde,
- Ülke nirengi ağlarının yöneltilmesinde,
- Doğrultu gözlemlerinin indirgenmesi gibi çalışmalarda kullanılırlar.
2.1.3. Yerel Astronomik Dik Koordinat Sistemi (e*, m*, n*)
Yeryüzündeki bir noktanın başlangıç kabul edildiği bir sistemdir. P
noktasından geçen nivo yüzeyinin bu noktadaki normali ya da çekül doğrultusu,
koordinat sisteminin n* ekseni kabul edilir. Eksenin pozitif doğrultusu, noktaya kurulan
7
jeodezik aletin başucu doğrultusudur ki, aynı zamanda önceki koordinat sistemlerinden
tanıdığımız Z eksenine karşılık gelir. Koordinat sisteminin dayandığı esas doğrultu
noktadan geçen nivo yüzeyinin bu noktadaki normalidir. Noktadan geçen nivo yüzeyine
bu noktada teğet düzlem içerisinde kalan ve kuzeye yönelen doğrultu e* eksenini
(astronomik kuzey doğrultusu); bu teğet düzlemde e* eksenine dik, yönü astronomik
doğuya yönelik doğrultu da m* eksenini gösterir.
2.1.4. Yerel Astronomik Kutupsal Koordinat Sistemi (α*, β*, l*)
n*
e*
P1
β*
l*
α*
P1’
m*
P
Şekil 2.3 Yerel astronomik dik ve kutupsal koordinat sistemleri
Bir önceki koordinat sisteminde hedef noktasını başlangıç noktasına bağlayan
doğrultuya göre tanımlanan elemanlardan yararlanılır. Astronomik azimut α*; yatay
düzlem üzerinde astronomik kuzey doğrultusu ile hedef doğrultusunun yataydaki
izdüşümü arasındaki açı, zenit uzaklığı β*; başucu doğrultusu ile başlangıç noktasını
hedefe bağlayan doğrultu arasındaki açı ve son olarak da başlangıç noktası ile hedef
arasındaki l* uzunluğu, noktayı tanımlayan parametrelerdir.
Koordinat sistemini doğal dik koordinat sisteminden ayıran özellik, sol sistem
olmasıdır.
8
2.2. Referans Koordinat Sistemleri
Matematiksel olarak ifade edilemeyen yeryüzünün ve bu yüzeyde gerçekleşen
çeşitli doğa olaylarının etkisindeki gözlemlerin bundan önceki başlıklar altında
tanıtılmış olan koordinat sistemlerinde değerlendirilmesi zordur. Bu sistemlerin
kullanılması, bozucu etkilerin yeterli doğrulukla modellendirilebilmesi durumunda
olanaklıdır Ancak karmaşık yeryüzü modellendirilse bile bu, ona geometrik açıdan çok
benzeyen dönel elipsoitten daha sade bir yüzey olmayacak ve matematiksel ifadeler
daha karmaşık hale gelecektir.
Yaşanan bu güçlük, ancak yeryuvarına çok benzeyen, matematiksel olarak
kolay ifade edilebilen bir yüzeyle çözülebilir. Jeodezinin tarihsel gelişimi içerisinde bu
konu hep güncel kalmıştır. Yeryuvarı yerine kutuplarda basık bir meridyen elipsinin
kendi etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel elipsoidin kullanılması gerektiği
anlaşılmıştır. Yapılan hesapların bu yüzeye dayandırılması nedeniyle yapay koordinat
sistemlerinin de elipsoide göre tanımlanması gerekir.
2.2.1. Global Jeodezik Dik Koordinat Sistemi (U, V, W)
Boyutları belirlenmiş olan bir dönel elipsoidin merkezi, koordinat sisteminin
başlangıcıdır. Doğal dik koordinat sistemine karşılık gelmesi açısından, dönel elipsoidin
merkezi ve küçük ekseni, bu sistemi büyük oranda tanımlar. Dönel elipsoidin dönme
ekseni veya küçük eksenin merkezden kuzey kutup noktasına doğru olan kısmı,
sistemin pozitif W eksenini oluşturur. Elipsoit yüzeyinde Greenwich’e karşılık gelen
meridyen düzlemi ile elipsoidin ekvator düzleminin arakesiti U eksenini ve ekvator
düzlemi üzerinde sağ el koordinat sistemine uygun olarak U ekseninden doğuya doğru
90o açılan doğrultu V eksenini oluşturur.
Sistemin koordinat parametreleri u, v, w olup Şekil 2.4’ te gösterilmiştir.
9
P’ nin jeodezik
meridyen düzlemi
W
Greenwich
meridyenine
paralel
P
h
Elipsoit
normali
w
V
ϕ
λ
v
u
U
Şekil 2.4 Elipsoidal dik ve eğri koordinat sistemleri
2.2.2. Global Jeodezik Eğri Koordinat Sistemi (ϕ, λ, h)
Dönel elipsoit üzerindeki noktaların konumları meridyen elipsleri ve paralel
daireler ile tanımlanır. P noktası bu noktadan geçen elipsoit normali ile P’den W
eksenine çizilen paralelin belirlediği jeodezik meridyen düzlemi içinde bulunur (Şekil
2.4). P noktasından geçen elipsoit normalinin P’nin jeodezik meridyen düzlemi içinde
ekvator düzlemi ile yaptığı ϕ açısına jeodezik enlem, P’den geçen meridyen düzleminin
Greenwich’e karşılık gelen meridyen düzlemi ile U ekseninden itibaren doğuya doğru
yaptığı ekvatoral açı, jeodezik boylam λ ve üçüncü koordinat olarak da P noktası ile
normalin yüzeyi deldiği nokta arasındaki h uzunluğuna elipsoidal yükseklik adı verilir.
2.2.3. Yerel Jeodezik Dik Koordinat Sistemi (e, m, n)
Astronomik yerel dik koordinat sistemine karşılık olarak oluşturulmuş bir sol
sistemdir. Başlangıcı yeryüzünde bir noktadır. P noktasından geçen elipsoit normalinin
elipsoidin dışına doğru uzanan jeodezik başucu doğrultusu n ekseni, P’nin jeodezik
meridyen düzlemi ile P de elipsoit normaline dik düzlemin arakesiti e ekseni (yönü
jeodezik kuzey doğrultusunda), n ve e eksenlarine dik jeodezik doğuyu gösteren
10
doğrultu m eksenidir. Astronomik yerel dik koordinat sisteminde olduğu gibi yüzey
üzerindeki her nokta bu sistemin başlangıcı olabilir (Şekil 2.5).
2.2.4. Yerel Jeodezik Kutupsal Koordinat Sistemi (α, β, l)
Jeodezik
baþucu
Jeodezik kuzey
e
Jeodezik doðu
n
W
m
n
e
P
P
V
λ
ϕ
l
β
P0
α
P’
m
U
Şekil 2.5 Elipsoidal yerel dik ve kutupsal koordinatlar
Jeodezik kutupsal koordinatlar yerel dik koordinat sisteminde hedef noktasını
merkeze bağlayan doğrultu yardımıyla tanımlanır. Bu koordinatlar elipsoit üzerinde
hesap yaparken karşımıza sıkça çıkar. Başlangıç noktasından geçen meridyen veya
kuzey ekseni ile hedef doğrultusunun yatay düzlemdeki izdüşümü arasındaki α açısı
jeodezik azimut, elipsoit normali ile hedef doğrultusu arasındaki β açısı, jeodezik zenit
uzaklığı ve başlangıcı hedefe bağlayan doğrunun l uzunluğu noktayı tanımlayan
kutupsal parametrelerdir.
2.3. Referans Koordinat Sistemleri Arasındaki İlişkiler
2.3.1. Dik Koordinat Sistemi İle Eğri Koordinat Sistemi Arasındaki İlişkiler
Bir noktanın, X, Y, Z dik koordinatlarıyla ϕ, λ, h eğri ya da başka bir deyişle
coğrafi koordinatları ve elipsoidal yükseklik arasındaki ilişkinin önemi büyük
11
olduğundan aralarındaki dönüşüm bağıntılarının ortaya konması gerekir. Şekil 2.6’ ya
göre coğrafi koordinatlardan dik koordinatlara,
P
Z
h
b
Z
N
a
ϕ
λ
X
Y
X
Y
P’
Şekil 2.6 Elipsoidal dik ve eğri koordinatlar
X = ( N + h) cos ϕ cos λ
(2.1a)
Y = ( N + h) cos ϕ sin λ
(2.1b)
⎛ b2
⎞
Z = ⎜⎜ 2 N + h ⎟⎟ sin ϕ
⎝a
⎠
(2.1c)
bağıntıları ile geçilebilir. Burada,
a: Meridyen elipsinin büyük yarıekseni
b: Meridyen elipsinin küçük yarıekseni
ve
N=
a2
a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ
(2.2)
12
elipsoit normalinin elipsoit yüzeyini deldiği nokta ile normalin Z eksenini kestiği nokta
arasındaki uzunluk, meridyen eğrilik yarıçapıdır.
Problemin tersi ele alındığında yani elipsoidal dik koordinatlardan coğrafi
koordinatlara geçilmek istenirse, çözüm, kapalı formüller ve iterasyon olmak üzere iki
yolla gerçekleştirilebilir. Kapalı formüller yardımıyla problem tek işlem adımıyla
çözülmesine karşın, iterasyonla çözüme gitmek jeodezide sık başvurulan bir yöntemdir.
Burada da gösterildiği gibi iterasyon yöntemi bir yazılım için oldukça uygundur. Ancak
iterasyon sadece ϕ elipsoidal enlem değerinin hesaplanmasında kullanılır ve kesin
enlem bulunduktan sonra h elipsoidal yüksekliği en son değer olarak hesaplanır.
Kapalı bağıntılar,
Z + e ,2 b sin 3 θ
ϕ = arctan
(2.3a)
Y
X
(2.3b)
X2 + Y2
−N
cosϕ
(2.3c)
λ = arctan
h=
X 2 + Y 2 − e 2 a cos3 θ
ile verilir. Eşitliklerde geçen büyüklükler,
a 2 − b2
a2
(2.4a)
a 2 − b2
e =
b2
(2.4b)
e2 =
,2
sırasıyla kullanılan elipsoide bağlı 1. ve 2. eksentrisite değerleridir. Ayrıca,
θ = arctan
Za
X2 + Y2 b
(2.5)
13
dir (Hofmann et al, 1992).
ϕ, λ, h koordinatlarının iterasyon yöntemiyle hesabı için (2.1) bağıntıları
kullanılır. (2.1) eşitlikleriyle
⎞
⎛ b2
⎜⎜ 2 N + h ⎟⎟ sin ϕ
a
⎠
=⎝
( N + h) cos ϕ
Z
X 2 +Y2
oluşturulursa
tan ϕ =
Z ( N + h)
2
⎞
2
2⎛b
X + Y ⎜⎜ 2 N + h ⎟⎟
⎝a
⎠
(2.6)
elde edilir. Meridyen eğrilik yarıçapının enleme bağlı olması nedeniyle bu eşitlikten
enlemin hesaplanması olanaklı değildir. Bunun için,
b2
a 2 − b2
=
1
−
= 1 − e2
2
2
a
a
(2.7)
eşitliğinden yararlanılır ve bu eşitlik (2.6)’ da yerine konulursa,
tan ϕ =
Z
N ⎞
⎛
X + Y ⎜1 − e 2
⎟
N + h⎠
⎝
2
2
=
N ⎞
⎛
2
⎜1 − e
⎟
2
2
N + h⎠
X +Y ⎝
Z
−1
(2.8)
çıkar.
Meridyen eğrilik yarıçapının elipsoidal yüksekliğe göre çok büyük olması
nedeniyle N/(N+h) değeri 1’e oldukça yakındır. (2.8)’ de N/(N+h) ≈ 1 alınırsa,
tan ϕ 0 =
Z
(1 − e 2 ) −1
2
(X + Y )
2
(2.9)
14
ilk yaklaşık ϕ0 değeri hesaplanır. Bundan sonra (2.2) ve (2.3c) ile N0 ve h0 değerleri
hesaplanır ve (2.8)’e göre yeni bir ϕ değeri elde edilir. Bu ϕ değeriyle bir önceki
arasındaki fark öngörülen sınır değerinden küçük kalıncaya dek iterasyona devam edilir.
İterasyonda yakınsama N/(N+h) büyüklüğünün 1’e yakınlığına bağlıdır.
Elipsoidal yükseklik h büyüdükçe iterasyon sayısı da artacaktır.
2.3.2. Yerel Koordinat Sistemleri İle Dik Koordinat Sistemleri Arasındaki
İlişkiler
Yerel jeodezik dik koordinatlar ile kutupsal koordinatlar arasındaki ilişki
⎡cos α sin β ⎤
⎡e⎤
⎢m⎥ = l ⎢ sin α sin β ⎥
⎥
⎢
⎢ ⎥
⎢⎣ cos β ⎥⎦
⎢⎣ n ⎥⎦
(2.10)
Şekil 2.7’den kolayca yazılabilir.
Kutupsal koordinatlardan yerel dik koordinatlara geçildikten sonra P1
noktasının global jeodezik dik koordinatlarının bulunması istenebilir. Başlangıç
noktaları ve eksen doğrultuları birbirinden farklı olan bu iki koordinat sisteminin önemli
bir özelliği birinin sağ (global jeodezik dik koordinat sistemi) diğerinin sol sistem (yerel
jeodezik dik koordinat sistemi) olmasıdır. Dönüşümün yapılabilmesi için öncelikle her
iki sistemin eksenleri aynı yöne ve doğrultuları paralel duruma getirilmelidir. Yerel dik
koordinat sisteminin global jeodezik dik koordinat sisteminin merkezine ötelenmesiyle
de dönüşüm tamamlanır.
15
n
e
P1
W
α
β
l
P1’
m
P0
h
W
λ
V
ϕ
U
U
V
Şekil 2.7 Elipsoidal dik ve yerel koordinat sistemleri
Yerel dik koordinat sistemi n ekseni etrafında (180-λ) kadar döndürülürse,
dönme matrisi
⎡− cos λ
R 3 (180 − λ ) = ⎢⎢ − sin λ
⎢⎣ 0
sin λ 0⎤
− cos λ 0⎥⎥
0
1⎥⎦
(2.11)
olur ve e ekseni U ekseninin yönüne gelir. İkinci adımda m ekseni etrafında (90-ϕ)
kadar döndürme ya da
⎡ sin ϕ
R 2 (90 − ϕ ) = ⎢⎢ 0
⎢⎣cos ϕ
0 − cos ϕ ⎤
1
0 ⎥⎥
0 sin ϕ ⎥⎦
(2.12)
dönme matrisi ile sistemlerin eksenleri birbirlerine paralel duruma getirilir. Ancak m
ekseninin yönü V ekseni ile zıt durumda kalmıştır. m ekseninin yönü yansıma matrisi,
16
⎡1 0 0 ⎤
S 2 = ⎢⎢0 − 1 0⎥⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦
(2.13)
ile V ekseninin yönüne çevrilir. Uygulanan tüm işlemler bir arada toplanırsa, yerel
jeodezik dik koordinat sistemindeki bağıl koordinat vektörünü global dik koordinat
sistemine dönüştüren
⎡− cos λ sin ϕ
A = S 2 R 2 (90 − ϕ ) R 3 (180 − λ ) = ⎢⎢ − sin λ sin ϕ
⎣⎢ cos ϕ
− sin λ cos λ cos ϕ ⎤
cos λ sin λ cos ϕ ⎥⎥
0
sin ϕ ⎦⎥
(2.14)
matrisi elde edilir. Global jeodezik dik koordinat sistemindeki bağıl koordinat
vektörüne ΔU denirse,
⎡e⎤
ΔU = A⎢⎢m⎥⎥
⎢⎣ n ⎥⎦
(2.15)
olur. Yerel dik koordinat sisteminden global jeodezik dik koordinat sistemine,
⎡e⎤
⎡ U ⎤ ⎡U 0 ⎤
⎥
⎥
⎢
⎢
U = U 0 + ΔU ⇒ ⎢ V ⎥ = ⎢ V0 ⎥ + A⎢⎢m⎥⎥
⎢⎣ n ⎥⎦
⎢⎣ W ⎥⎦ ⎢⎣W0 ⎥⎦
(2.16)
eşitliğiyle geçilir. Burada,
U :Dönüştürülen noktanın global jeodezik dik koordinat sistemindeki koordinat
vektörü,
U0 : Yerel dik koordinat sisteminin başlangıç noktasının global jeodezik dik
koordinat sistemindeki koordinat vektörüdür.
17
2.4. Uydu Jeodezisinde Kullanılan Referans Koordinat Sistemleri
Uzaya ilk uydunun fırlatılmasından bu yana geçen 40 yıllık süre içerisinde
bugün için gelinen nokta, uyduların artık günümüzde hayatımızın ayrılmaz bir parçası
olduğudur. Diğer tüm disiplinlerde olduğu gibi jeodezi bilimi de uydulardan
yararlanmış ve sağladığı olanaklar bakımından klasik jeodezi anlayışını etkileyen bir
değişim yaşanmıştır.
Jeodezi açısından uydulardan beklenenler:
- Jeodin belirlenmesi,
- Tüm dünya için kullanılabilecek ortak bir referans yüzeyinin belirlenmesi,
- Kara hareketlerinin izlenmesi,
- Dünyayı kaplayan bir nirengi ağının oluşturulması, konumlandırılması ve
yönlendirilmesi,
- Kutup hareketleri gibi yeryuvarının kendine özgü hareketlerinin araştırılması
gibi başlıcalarını sayabiliriz.
Tüm bu araştırmalar noktaların mutlak ve bağıl koordinatlarının belirlendiği,
çok büyük uzaklıkların ölçülebildiği uydu teknikleriyle gerçekleştirilir. Yapılan
çalışmaların türüne göre ayrılan farklı uydu tekniklerinden bazıları SLR (Satellite Laser
Ranging), VLBI (Very Long Baseline Interferometry), LLR (Lunar Laser Ranging) ve
NAVSTAR GPS (Global Positioning System) dir.
Önemli konulardan biri, uyduları da kapsayan göksel koordinat sistemi ile
toplanan verilerin değerlendirildiği yersel koordinat sistemlerinin oluşturulması ve
bunlar arasındaki ilişkinin kurulmasıdır. Bu amaçlar için kullanılacak sistemlerin
birincisine Konvansiyonel Göksel Sistem (CIS), ikincisine Konvansiyonel Yersel
Sistem (CTS) adı verilir.
18
Uydu teknikleriyle artan ölçme doğruluğu, buna uygun olarak referans
sistemlerinin yüksek doğrulukla belirlenmesini gerektirmiştir. Yeryuvarı, ağırlık
merkezi ve uydular gök cisimlerinin etkisi altındadır. Yersel ve uydu ölçmeleri ayrı
referans koordinat sistemlerinde tanımlıdırlar. Bu sistemler arasındaki ilişki yeterli bir
doğruluk ile bilinmelidir. Zamana bağlı olarak konumun ve yönün değişmesi nedeniyle
gözlem zamanının kaydedilmesi ve modellenmesi ayrıca önemli bir rol oynar. Özel
koordinat sistemlerine dayanan uydu jeodezisindeki farklı gözlem tekniklerinin
kaydedilmiş olan sonuçları farklı özelliktedir. Çoğu kez bu sistemler arasındaki ilişki,
gözlem tekniklerinin doğruluğundan daha düşük bir doğruluk ile belirlenmiştir. Bu
sistemler arasındaki dönüşümlerin yüksek doğrulukla gerçekleştirilmesi uydu
jeodezisinin en önemli görevlerinden birisidir (Seeber, 1993).
2.4.1. Konvansiyonel Göksel Koordinat Sistemi (CIS)
Uyduların ve diğer gök cisimlerinin uzaydaki hareketleri, ivmesiz, sürtünmesiz
ve düz hareketin sürekli korunduğu bir ortamda gerçekleşir. Newton ve Kepler gibi
fizik ve astronomi bilginlerinin teorileri bu ortamda geçerlidir. Dolayısıyla bu teorilerle
oluşturulacak sisteme inersiyal (hareketsiz) göksel koordinat sistemi demek
mümkündür. Ancak yeryuvarının merkezine dayalı bir koordinat sistemine yarı
hareketsiz de denilmektedir. Bunun nedeni yeryuvarının güneş etrafında farklı
ivmelerde devinmesi, diğer gök cisimlerinin çekim vb. etkilerinin yeryuvarının
merkezine yansımasıdır.
Konvansiyonel göksel koordinat sistemi T0 anı olarak kabul edilen, Barisentrik
Dinamik zamana ait 1 Haziran 2000 yılı saat 12’ye göre tanımlanmıştır. Bu epoktaki
yermerkezi, koordinat sisteminin başlangıcıdır ve ortalama kutup noktası koordinat
sisteminin Z ekseninin yönünü belirler . Ortalama kutup noktasının bağlı olduğu
ortalama ekvator bu andaki ekinoks denklemi ile belirlenir. Sistemin X ekseni ortalama
ekvator ve ekliptiğin kesişim noktası olan ilkbahar noktasından geçer. Üçüncü eksen de
sağ el koordinat sistemini tamamlayacak şekilde yerini alır.
19
Sistemin göksel olarak tanıtılması, uzaydaki gök cisimlerinin bu sistemde
değerlendiriliyor olmasındandır. Bütün cisimler r yarıçaplı birim küre üzerindeymiş gibi
düşünülür ve tanımlaması bu şekilde yapılır. Yapay uydular hariç diğer tüm gök
cisimleri yeryuvarından tanımlanamayacak kadar uzaktır. Bu açıdan küre sonsuz
yarıçaplı gibi düşünülebilir.
Ancak yapay uyduların yeryuvarından değişken r
uzaklığında olduğu bilinmektedir.
Bu koordinat sisteminde gök cismi, α rektesensiyonu, δ deklinasyonu ve r yer
vektörü ile tanımlanır. Rektesensiyon, gök ekvatoru üzerinde ilkbahar noktasından
başlayarak gök cisminden geçen meridyen düzlemine kadar olan açıdır. Deklinasyon,
ekvator düzleminden başlayarak gök cisminin yer vektörüne kadar meridyen düzlemi
içindeki açıdır. r yer vektörü ise yermerkezini gökcismine bağlayan doğrultudur. Bu
parametreler ile dik koordinat sistemi arasındaki ilişkiler,
Z
NCP
(Kuzey Gök kutbu)
Yer merkezi
s
r
δ
α
Ortalama
Ýlkbahar
Y
Gök ekvatoru
Ekliptik
X
Şekil 2.8 Konvansiyonel göksel koordinat sistemi
X= r cosδ cosα
(2.17a)
Y= r cosδ sinα
(2.17b)
Z= r sinδ
(2.17c)
20
ile verilir (Şekil 2.8). Bu eşitliklerin sağ yanında geçen parametrelerin hesabı için
(2.17)’den
r = X 2 + Y 2 + Z2
α = arctan
δ = arctan
Y
X
(2.18a)
(2.18b)
Z
X2 + Y2
(2.18c)
bağıntıları elde edilir.
2.4.2. Konvansiyonel Yersel Koordinat Sistemi (CTS)
1979 yılındaki ortalama yer kutbu (CIO) bu sistemi belirleyen en önemli
parametre olmuştur. Koordinat sistemi bu noktadan başka, Greenwich meridyeni ve
yeryuvarı merkezi üzerine kurularak bir dünya sistemi hale getirilmiştir.
İlk olarak 1903 yılında belirlenen ortalama yer kutbu bugünlere kadar
konvansiyonel yersel sistemin üçüncü ekseni yani Z eksenini belirlemiştir. Nutasyon
düzeltmelerine geçilmesiyle kutup, konvansiyonel yersel kutup (CTP) adını almış ve
1979 yılındaki ortalama yer kutbu başlangıç kabul edilmiştir (Eren ve Uzel, 1995).
Sistemin merkezi yeryuvarının ağırlık merkezidir. X ekseni ekvator düzlemi
ile Greenwich meridyen düzleminin arakesiti doğrultusunda yerleştirilmiştir. Diğer sağ
sistemlerde olduğu gibi Y ekseni de bu eksenlere göre yerleştirilmiştir (Şekil 2.9).
21
Şekil 2.9 Konvansiyonel yersel sistem ve kutup hareketi
2.4.3. Uydu Koordinat Sistemleri Arasındaki Dönüşümler
Konvansiyonel göksel sistemden (CIS), konvansiyonel yersel sisteme (CTS)
dönüşüm tamamen eksen dönüklükleri ile gerçekleşir. Sistemler arasında bir öteleme
yoktur, çünkü her iki sistemin de merkezi yeryuvarının merkezidir.
Dönüşümü iki ana grup altında toplamak konunun daha kolay anlaşılmasını
sağlayacaktır. J2000 anı için konvansiyonel göksel koordinat sistemine ait bir gök
cisminin X konum vektörü, t gözlem anı için ekvatoru ve dolayısıyla dönme eksenini
etkileyen presizyon ve nutasyon dönüşüm bağıntıları yardımıyla anlık kutup referansına
dönüştürülür ve birinci grup dönüşüm tamamlanmış olur. t gözlem anındaki kutba Anlık
Göksel Kutup (CEP) adı verilir. Bundan sonra konvansiyonel göksel koordinat
sisteminin X ekseni Greenwich Görünür Yıldız Zamanı (GAST) yardımıyla bu açı
kadar döndürülerek, konvansiyonel yersel sistemin X ekseni ile çakıştırılır. Bu işlemle
konvansiyonel göksel koordinat sisteminin Z ekseni anlık kutup noktasını (CEP)
göstermektedir. Geriye kalan son işlem de anlık kutup noktasının koordinatları
yardımıyla Z ekseninin ortalama kutba taşınmasıyla dönüşüm tamamlanır.
22
Dönüşüm eşitliği genel gösterimle,
XCTS= RM RS RN RP XCIS
(2.19)
biçiminde ifade edilir (Hofmann et. al., 1992). Burada sırasıyla,
RP : Presizyon için dönüşüm matrisi,
RN : Nutasyon için dönüşüm matrisi,
RS : Yıldız zamanı için dönüşüm matrisi,
RM : Kutup hareketi için dönüşüm matrisidir.
Presizyon : Güneş, ay ve gezegenlerin çekim kuvvetleri yeryuvarının kendi etrafındaki
dönüşünü etkiler. Bilindiği gibi yeryuvarının ekliptik düzlemi ile ekvator düzlemi
çakışık değildir ve biçimsel olarak yeryuvarı homojen olmayan bir dönel elipsoide
benzemektedir. Güneşin yeryuvarına uyguladığı fakat yeryuvarının güneşe yakın olan
kısmıyla uzak olan kısmının farklı etkisinde kaldığı çekim kuvvetlerine aynı anda
yeryuvarının kendi ekseni etrafındaki dolanımı nedeniyle oluşan merkezkaç kuvvetinin
de eklenmesiyle rotasyon ekseni, ekliptik ekseni etrafında dolanıma zorlanır. Tepesi
dünyanın merkezinde koniye benzeyen bu hareketin periyodu 26000 yıldır.
Buna göre, t0 başlangıç anındaki ilkbahar noktasının konumu ϒ0, t anındaki
konum ϒ ile gösterilirse, RP dönüşüm matrisi Şekil 2.10’ da gözüken z, ϑ, ξ
dönüklükleri ile
R = R 1 ( − z ) R 2 (ϑ ) R 3 ( −ξ )
P
(2.20)
⎡cos z cos ϑ cos ζ − sin z sin ξ
= ⎢⎢sin z cos ϑ cos ξ + cos z sin ξ
⎢⎣
sin ϑ cos ξ
− cos z cos ϑ sin ξ − sin z cos ξ
− sin z cos ϑ sin ξ + cos z cos ξ
− sin ϑ sin ξ
− cos z sin ϑ ⎤
− sin z sin ϑ ⎥⎥
cos ϑ ⎥⎦
23
Z0
Zt
Ortalama ekvator (t0)
Ortalama ekvator (t)
ϒ0
X0
90o-ξ
Yt
ϑ
ϒ
Xt
90o+z
Y0
Şekil 2.10 Presizyon
verilir. Dönüklük parametreleri zamana bağlı fonksiyonlarla Uluslararası Astronomi
Birliği (IAU) tarafından yayınlanmıştır (Hofmann et al., 1992).
ξ = 2306." 2181T + 0." 30188T 2 + 0." 017998 T 3
(2.21a)
z = 2306." 2181T + 1." 09468 T 2 + 0." 018203T 3
(2.21b)
ϑ = 2004." 3109T − 0." 42665T2 − 0." 041833T3
(2.21c)
Bağıntılarda geçen T, Konvansiyonel Göksel Sistemin J2000 yılının t0 kabul
edilerek ve bu anın t gözlem zamanından çıkarılmasıyla elde edilen değerin Jülyen
yüzyılı cinsinden ifadesidir (1 Jülyen yılı = 36525 ortalama güneş günü).
Nutasyon : Tıpkı güneş gibi, ayın da yeryuvarına uyguladığı çekim kuvveti, dünyanın
rotasyon ekseninin ekliptik kutbu etrafındaki konik hareketin tabanı üzerinde, kutbu
18.6 yıllık periyotlar halinde sinüsodial bir harekete zorlamasına Nutasyon adı verilir.
Gözlem anındaki ortalama ekvatorun ekliptik ile yapmış olduğu açı ε ekliptik eğimidir
ve bu kesişim noktası ϒ ilkbahar noktasıdır. Aynı gözlem anında gerçek ekvator ile
ekliptik arasındaki açı ε+Δε, gerçek ilkbahar noktası ϒt ile gösterilir. İki ilkbahar
24
noktası arasındaki Δψ açısına, nutasyonun boylamı adı verilir (Şekil 2.11). Buna göre
nutasyon etkisi için dönüşüm matrisi,
ε
ϒ
Ekliptik
Ortalama ekvator
Δψ
ϒt
Δε
Gerçek ekvator
Şekil 2.11 Nutasyon
1
⎡
⎢
R = R 1 (− (ε + Δε ) )R 3 (−Δψ ) R 1 (−ε )= ⎢Δψ cos ε
⎢⎣ Δψ sin ε
N
− Δψ cos ε
1
Δε
− Δψ sin ε ⎤
− Δε ⎥⎥ (2.22)
⎥⎦
1
dir. Ekliptik eğim ise,
ε = 23o 26' 21." 448 − 46." 8150 T − 0." 00059 T 2 + 0." 00181T 3
(2.23)
ile verilir. Formülde geçen T önceki presizyon düzeltme formüllerinde kullanılan T
değeridir. Diğer parametreler de,
Δψ = −17."1996 sin Ω − 1." 3187 sin( 2 F − 2 D + 2Ω) − 0." 2274 sin( 2 F − 2Ω) (2.24a)
Δε = 9." 2025cos Ω + 0." 5736 cos( 2 F − 2 D + Ω) + 0." 0927 cos( 2 F − 2Ω) (2.24b)
fonksiyonları ile verilmiştir. Bağıntılardaki,
Ω : Ayın çıkış düğümünün ortalama boylamı
25
D : Ayın güneşten olan ortalama elangasyonu
olup,
F = λM - Ω
(2.25)
dir.
Yıldız Zamanı :Getirilen presizyon ve nutasyon düzeltmeleriyle bir noktanın konum
vektörü, ortalama gök kutbu ve gök ekvatoru referansından alınmış, gerçek kutup ve
ekvatora dayandırılmıştır. Şekil 2.9’a dikkat edilirse, yıldız zamanı ilkbahar noktasına
göre tanımlanmaktadır. Gerçek göksel koordinat sisteminin X ekseni Greenwich
görünür yıldız zamanı kadar döndürülürse, X ekseni Greenwich meridyenine getirilmiş
olur. Buna göre dönüşüm matrisi,
⎡ cos(GAST ) sin(GAST ) 0⎤
R = R 3 (GAST ) = ⎢⎢− sin(GAST ) cos(GAST ) 0⎥⎥
⎢⎣
0
0
1⎥⎦
S
(1.26)
dir.
Kutup Hareketi : Uluslararası Dünya Rotasyon Servisi (IERS) tarafından Ortalama
Yersel Kutup (CTP) noktasına göre Anlık Göksel Kutup (CEP) koordinatları sürekli
olarak izlenmektedir. Önceleri astronomik gözlemler ile belirlenen kutup koordinatları
bugün modern uydu tekniklerinin devreye girmesiyle daha yüksek doğrulukla ve daha
kolay saptanabilmektedir. Sürekli izlenen kutup koordinatlarının, yaklaşık 434 günlük
peryotla ve 10 metreyi aşmayan genlikte değiştiği gözlenmiştir.
Sonuç olarak böyle bir hareketin bir koordinat sistemine dayandırılması
düşünülmüş ve ortalama yersel kutupta (CTP) oluşturulan bir koordinat sisteminde bu
hareket izlenmiştir. Koordinat sisteminin x ekseni meridyen düzlemi boyunca olup, y
ekseni, x ekseninden itibaren pozitif yönde 270o döndürülerek alınmıştır (Şekil 2.9).
26
Son dönüşüm bağıntısı olarak kutup hareketi için
R
M
= R 2 (− x p ) R1 (− y p )
(2.27)
⎡ 1
⎢
=⎢ 0
⎢− x p
⎣
0 x p ⎤ ⎡1
⎥⎢
1 0 ⎥ ⎢0
0 1 ⎥⎦ ⎢⎣0
0
1
yp
0 ⎤ ⎡ 1
⎥ ⎢
− yp ⎥ = ⎢ 0
1 ⎥⎦ ⎢⎣− x p
0
1
yp
xp ⎤
⎥
− yp ⎥
1 ⎥⎦
dönüşüm matrisiyle konvansiyonel yersel koordinat sistemindeki gök cisminin konum
vektörü hesaplanmış olacaktır.
27
3. JEOİT ve ELİPSOİT
3.1. Jeoit
En genel tanımıyla jeoidi fiziksel bir referans yüzeyi olarak tanımlayabiliriz.
Bir çok literatürde jeoit, okyanusların, karaların altından da devam ettiği düşünülerek
oluşturulan soyut kapalı bir yüzey olarak tanımlanmaktadır. Böyle bir tanım jeoidin
nasıl bir şey olduğu konusunda iyi fikir vermesine rağmen, gerçek jeodin tanımına
uymaz. Aslında jeoit, durgun deniz yüzeyinden bir takım farklılıklar gösterir.
Jeodezicilerin görevlerinden biri de bu farkı saptamaktır. Bunun nedeni ise ülkelerin,
yükseklik sistemlerini oluştururken durgun deniz yüzeyinden yararlanmış ve deniz
yüzeyi ile jeoidi çakıştırarak bunu başlangıç olarak kabul etmiş olmalarıdır.
Fiziksel açıdan bakıldığında, dolu kaplar örneğinde olduğu gibi deniz
yüzeyinin yüksekliğinin farklı bölgelerde de aynı olması gerektiği düşünülebilir. Fakat
bunun böyle olmadığı ölçmeciler tarafından da ortaya konulmuştur. Örneğin Türkiye’de
Antalya’da
sıfır
kotuyla
başlanan
nivelman
Trabzon’da
sıfır
kotuyla
tamamlanamamaktadır. Normal olarak jeoit, deniz yüzeyine bağlı olarak tanımlanırsa
böyle bir aykırılığın olmaması beklenirdi. Dünyanın homojen bir kütle yapısından
farklılık göstermesi deniz yüzeyini de etkilemiş ve sonuçta çekim kuvvetlerinin de
etkisiyle, karalar için söz konusu topoğrafyanın durgun deniz yüzeyi için de geçerli
olduğu anlaşılmıştır.
Jeoidi belirleyen en önemli faktör, g gravite (yerçekimi) kuvvetidir. Bu
kuvvetin yönü, fiziksel yeryüzündeki bir noktaya kurulan aletin çekül doğrultusudur.
⎢g⎮ye gravite büyüklüğü adı verilir ve fiziksel yeryüzünde ölçülebilir. Gravite
ekvatordan kutuplara gidildikçe artar, çünkü merkezkaç kuvveti azalmaktadır. Yaklaşık
olarak, ekvator için gekv ≅ 978 gal (cm/sn2), kutuplar için gktp ≅ 983 gal dir (Leick,
1990). Aslında jeoidi belirleyen parametre sadece yeryuvarının çekim kuvveti değil
merkezkaç kuvvetinin çekim kuvveti ile olan bileşkesi de jeoidi belirler.
28
Jeodin denklemi ağırlık kuvveti ve onun potansiyeli ile açıklanabilir. Kütle
yoğunluğu sürekli olduğu sürece jeodin eğriliği de süreklidir. Yoğunluğun aniden
değişikliğe uğradığı yerlerde jeodin eğriliği de aniden değişir. Bu nedenle jeoit üzerinde
hesaplar yapmak olanaksızlaşır (Yerci, 1994).
W0 olarak tanımlayacağımız eşpotansiyelli jeoit yüzeyi gibi her noktadan farklı
eşpotansiyelli yüzeyler geçer (Şekil 3.1). Farklı noktalardan geçen eşpotansiyel
yüzeylere çekül eğrisi diktir ve bu yüzeylerin normalidir. P noktasından geçen
eşpotansiyelli yüzey W ise jeopotansiyel sayı C ve ortometrik yükseklik H arasındaki
ilişki,
Şekil 3.1 Eşpotansiyelli yüzeyler ve gravite vektörü
H
W = W0 − ∫ g dH = W0 − C
(3.1)
0
ile verilir. Burada g iki yüzey arasında kalan çekül eğrisi boyunca ortalama gravite
değeridir. Uygulamada H ortometrik yüksekliklerini tam anlamıyla kullanabilmemiz
için, soyut olarak oluşturduğumuz yüzeyi tanımlayabilmemiz gerekir. Bu nedenle
yükseklik (nivelman) güzergahları boyunca gravite değerleri de ölçülerek gravimetrik
jeoit oluşturulmaya çalışılır.
29
Astrojeodezik yöntemler kullanılarak da jeoidin belirlenmesi olanaklıdır. Çekül
doğrultusu uzayda düzgün bir doğru olmayıp uzaysal bir eğridir. Yeryüzüne uygun
sıklıkta dağılmış noktalarda yapılan astronomik gözlemler sayesinde, her hangi bir
noktaya kurulan aletin çekül eğrisine teğet doğrunun yer ekvator düzlemiyle yapmış
olduğu astronomik enlem Φ ve astronomik boylam Λ da belirlenerek çekül sapması
bileşenleriyle de jeoit belirlenebilir (Şekil 3.2).
Şekil 3.2 Astronomik enlem
3.2. Dönel Elipsoit
Üzerinde yaşadığımız yeryuvarı yüzyıllardır insanoğlu için merak konusu
olmuş, şekli ve boyutları sürekli olarak belirlenmeye çalışılmış olup ve halen de bu
konudaki uğraş ve araştırmalar devam etmektedir. Geçmişten günümüze akan süreçte,
yeryuvarı önce düz yani tepsi gibi kabul görmüş daha sonra küre olduğu kanıtlanmış
yıldan yıla gelişen fikir ve düşüncelerle, aslında dünyanın tam bir küre değil, kutuplarda
basık bir küreye benzediği ortaya konulmuştur. Kutuplarda basık olduğu fikri ilk olarak
fizikçiler tarafından ortaya atılmış, o dönemde uzunluk ve açı ölçme sistemlerinin
hassasiyetinin yetersizliğinden dolayı bu görüşün kanıtlanması jeodeziciler açısından
gecikmiştir. Nihayet 18. yy’da yay uzunlukları ölçülerek kanıtlanmıştır. Bundan sonra
yapılması gereken, dünyaya benzeyen kutuplarda basık kürenin yani dönel elipsoidin
boyutlarının belirlenmesidir.
30
Dönel elipsoit, meridyen elipsi adını verdiğimiz elipsin küçük ekseni etrafında
döndürülmesiyle oluşan bir cisimdir. Elipsoidi tanımlayan parametreler meridyen
elipsine ilişkin parametrelerdir. Elipsin boyutları Şekil 3.3’e göre büyük yarıekseni a ve
küçük yarıekseni b dir. Genel olarak bu iki parametre yerine, boyutlarından biri (çoğun
büyük yarıeksen) ve basıklık kullanılır. Elipsoidin basıklığı
α=
a−b
a
(3.2)
dir. Yine buna benzer şekilde farklı parametreler türetilebilir.
Küçük eksen
Büyük eksen
b
a
Şekil 3.3 Meridyen elipsi
Tablo 3.1 Çeşitli uluslararası elipsoitler ve boyutları
a (m)
b (m)
α
Yılı
Büyük yarıeksen
Küçük yarıeksen
Basıklık
Bessel
1841
6377397.1550
6356078.9632
1/299.1528
Clarke
1880
6378249.1450
6356514.9900
1/293.466
Hayford
1910
6378388
6356911.9461
1/297.0
Krassowski
1940
6378245
6356863.0190
1/298.3
WGS72
1972
6378175
1/298.26
GRS80
1980
6378137
1/298.2572
WGS84
1984
6378137
1/298.257224
Elipsoit
31
Değişik ülkesel ve bölgesel kabuller dolayısıyla belirlenmiş çok sayıda elipsoit
vardır. Her ülke kendisine uygun bir elipsoit seçmiş ve fiziksel yeryüzünde yapmış
olduğu gözlemlerini bu referans yüzeyine indirgeyip seçilen projeksiyona elipsoidi
açmışlardır. Kullanılan elipsoitlerin bir bölümü Tablo 3.1’de boyutlarıyla birlikte
verilmiştir.
Yukarıdaki tabloda adı geçen Hayford elipsoidi Uluslararası Jeodezi ve
Jeofizik Birliğinin (IUGG) 1924 yılındaki toplantısında uluslararası elipsoit olarak
kabul edilmiştir. Ülkemizde de 1931 yılına kadar Clarke elipsoidi kullanılmış daha
sonra Hayford elipsoidine geçilmiştir.
3.3. Jeoidle Elipsoit Arasındaki İlişki ve Jeodezik Datum
Yeryüzünü kaplayan yatay jeodezik kontrol ağları için, referans yüzeyi olarak
jeoidin kullanılmasının mümkün olmadığı, jeodin matematiksel olarak tarifi
yapılamayan bir yüzey olmasına bağlanmış ve sonuçta jeoide geometrik açıdan en çok
benzeyen elipsoidin kullanılması gerektiği ortaya konmuştur. Ancak yükseklikler için
referans yüzeyi olarak jeoit kullanılmıştır.
Boyutlarıyla jeoide en yakın olması istenen elipsoit ile jeoit arasındaki ilişki
aralarındaki yükseklik farkları ile kurulabilir. Jeoidin elipsoitten olan yüksekliğine, jeoit
yüksekliği (N) ya da jeoit ondülasyonu adı verilir. Global olarak tanımlanan ya da
kullanılan bir referans elipsoidi için jeoit ondülasyon değerleri 100 m den fazla
olmamalıdır (Hofmann et al., 1992). h elipsoidal yüksekliği ve H ortometrik yüksekliği
arasındaki ilişki jeoit ondülasyonu ile verilebilir (Şekil 3.4).
h=H+N
(3.3)
Yersel ve uydu gözlemleriyle jeoit ondülasyonlarını belirlemek olanaklıdır.
Yeryüzüne yeterli sıklıkta dağılmış jeoit ondülasyonu değerlerinin kareleri toplamı
minumum olacak şekilde;
32
n
∑N
2
= min .
(3.4)
i =1
ister global anlamda ister yerel anlamda bir elipsoit seçilebilir.
Şekil 3.4 Yükseklikler arasındaki ilişki
Elipsoitle jeoit arasındaki diğer bir aykırılık ta bir P noktasındaki çekül
doğrultusu ile elipsoit normali arasında kalan ε çekül sapmasıdır (Şekil 3.4). Miktar
olarak 30” yi geçmeyen çekül sapmaları ölçme yöntemlerine göre ve kullanılan
elipsoidin konumuna bağlı olarak alt gruplara ayrılırlar. Ölçme yöntemlerine göre,
- Gravimetrik çekül sapması,
- Astrojeodezik çekül sapması
olarak iki şekilde elde edilebilirler.
Çekül sapmaları yöne bağımlıdır ve iki bileşene ayrılırlar. Bunlar,
ζ = Φ −ϕ
(3.5a)
η = ( Λ − λ ) cos ϕ
(3.5b)
bağıntılarıyla gösterilirler. Bu eşitliklerde geçen ζ meridyen ve, η paralel daire
doğrultusundaki çekül sapmalarıdır. Bu iki bileşen cinsinden,
33
ε = η2 +ζ 2
(3.6)
ile verilir. (Φ, Λ) noktanın astronomik ve (ϕ, λ) ise, jeodezik gözlem değerleridir. Yerel
bir elipsoidin parametreleri genellikle, bilinen çekül sapmalarının kareleri toplamının
minimum ilkesine dayanan dengeleme işlemiyle,
∑ [ζ
n
2
]
+ η 2 = min .
(3.7)
i =1
belirlenirler. α yönündeki sapma ise,
ε α = η sin α + ζ cos α
(3.8)
dır. Astrojeodezik çekül sapmasının bileşenleri Şekil 3.6’da ayrıntılı bir biçimde
gösterilmiştir. Çekül sapmaları, eğer ağırlık merkezi yeryuvarının ağırlık merkeziyle
çakışan bir elipsoide göre hesaplanıyorsa mutlak çekül sapması, yeryüzünün herhangi
bir noktasındaki jeoit normali ile aynı noktadaki elipsoit normalinin çakışık kabul
edildiği yerel elipsoide göre hesaplanıyorsa bağıl (rölatif) çekül sapması adını alır.
Şekil 3.5 Jeoit ve elipsoit arasındak ilişki
34
Şekil 3.6 Çekül sapması bileşenleri
Global ya da yerel bir referans elipsoidi yukarıda açıklanan ilişkilerden
yararlanılarak belirlenir. Kullanılacak elipsoit global bir referans sistemi olarak
düşünülüyorsa jeoidin ağırlık merkezi ve ortalama kutup doğrultusu elipsoidin karşılık
gelen elemanları ile çakıştırılır. Yerel elipsoitte ise jeoidin bir yüzey noktası ile
elipsoidin bir yüzey noktası ya da her iki yüzeyin normalleri çakıştırılır. Ortak
noktaların belirlenmesi sistemin daha iyi kurulmasını sağlayacaktır. Boyutları
belirlenmiş bir elipsoit ve jeoit arasındaki ilişkinin kurulmasına “Jeodezik Datum” adı
verilir.
Bir referans elipsoidini tanımlayan jeodezik datumun parametre sayısı beştir.
Bunlar;
a : Elipsoidin büyük yarıekseni,
f : Elipsoidin basıklığı
ΔX, ΔY, ΔZ : Yermerkezli referans elipsoidinin öteleme bileşenleridir.
35
Elipsoidin merkezi yeryuvarının merkezi ile çakışıyorsa yani öteleme
bileşenleri sıfıra eşitse (ΔX, ΔY, ΔZ = 0) datum mutlak, ötelenmiş ise bağıldır. Mutlak
datumlu olarak kabul edilen elipsoitlerden biri 1980 Jeodezik Referans Sistemidir
(GRS80). Bu elipsoit uydu gözlemleri ile belirlendiğinden geometrik parametreler
yanında fiziksel parametreler ile de tanımlanır. GRS80 elipsoidinin geometrik
parametreleri,
a = 6378137 m
f = 1/298.2572
dir. Bunun yanında fiziksel parametrelerinden, atmosfer içindeki yerçekimi değeri,
GM = 398600.5 km3 s-1
yeryuvarının basıklığına bağlı dinamiksel şekil faktörü,
J2 = 0.00108263
ve ortalama açısal hızı,
w = 7.292115 rad s-1
dir (Seeber, 1993).
3.4. Referans Elipsoitlerinin Konumlandırılması
Elipsoit boyutlarının belirlenmesinden sonra yapılması gereken iş, elipsoidin
jeoide göre konumlandırılmasıdır. Boyutların belirlenmesi ve geometrik olarak jeoide
uygun olmasının önemi kadar yerinin neresi olduğunun önemi gözlemlerin indirgenmesi
bakımından büyüktür. Doğal olarak bu konudaki seçim çalışma bölgesine bağlıdır.
Şayet global olarak kullanılması düşünülen bir referans elipsoidi varsa elipsoidin
merkezinin
ve
eksenlerinin
yeryuvarınınkilerle
çakıştırılması
daha
uygundur.
Çalışılması düşünülen bölge bir ülke veya bir kıta parçası ise deformasyon miktarlarının
36
küçük olmasını sağlamak amacıyla bölgenin ortasındaki bir noktada jeodin
çakıştırılması daha uygun olacaktır. Bu durumda çakışma noktasından uzaklaşıldıkça
elipsoitle jeoit arasındaki sapmalar artacaktır.
Merkezi yeryuvarın merkezinde olan elipsoitlere ortalama yer elipsoidi adı
verilir. Yeryuvarı için bir referans olacak böyle bir elipsoit, geometrik ve fiziksel
parametrelerle belirlenebilir. Geometrik parametreler olarak bilinen büyük yarıeksen a,
ve basıklık f değerleri astrojeodezik ya da gravimetrik yöntemlerle belirlenebilir. Uydu
jeodezisi tekniklerinden yararlanmak suretiyle fiziksel parametreler olarak kabul edilen
dünyanın açısal hızı w, yeryuvarının atmosfer içindeki yerçekimi GM ve dinamiksel
basıklık J2 değerlerinden yararlanılır.
Ülkeler genel olarak kendilerine ya da bölgelerine en iyi uyan elipsoidi
yeğlemişler ve boyutlarını belirlemişlerdir. Boyutları belirlenmiş elipsoidin jeoide göre
konumlandırılması ise bölgenin ortalarında ölçülen astonomik enlem, boylam ve azimut
değerleri ile jeodezik enlem, boylam ve azimut değerlerinin çakıştırılmasıyla sağlanır.
ϕ=Φ
(3.9a)
λ=Λ
(3.9b)
α=A
(3.9c)
(3.9) eşitlikleriyle Şekil 3.7 de görüldüğü gibi sabit bir noktanın jeoit normali
ile elipsoit normali çakıştırılmış, dolayısıyla elipsoit eksenleri de jeoit eksenleriyle
paralel hale gelmiş olurlar. Bunlara ek olarak jeoit yüzeyinin bir noktası ile elipsoit
yüzeyinin bir noktası çakıştırılabilir. Normallerin ve noktaların çakışması,
N=0
(3.10a)
ε=0
(3.10b)
sonuçlarını ortaya koyar (Leick, 1990).
37
Şekil 3.7 Yerel elipsoit
3.4.1. WGS84 Elipsoidi
Bu karmaşık dünyada harita, plân, grafik ve jeodezik sayısal üretimler, farklı
yerel ve bölgesel datumlara dayanır. Bu datumlar klasik anlamda tanımlanmışlardır.
Yıllardır kısıtlı tanımlamalar, teknik yetersizlikler nedeni ile karasal hareketler ve doğa
olayları, lineer olmayan distorsiyonlara imkan tanımışlardır. Basit bir şekilde söylemek
gerekirse, bu yerel jeodezik datumlar yaşlanmışlardır. Bu nedenle jeodezik faaliyetler
için global bir referans sisteminin gerekliliği pratik olarak kaçınılmaz olur. Bu
bağlamda, Savunma Harita Dairesi (DMA) aktif olarak 1960 dan bu yana birbirinden
doğruluk yönüyle ayrılan Dünya Jeodezik Sistemlerini geliştirmiştir (WGS60, WGS66,
WGS72 ve WGS84). Geliştirilen bu sistemlere ek olarak hesaplanmış dönüşüm
katsayıları yardımıyla, bu sistemlerin çok sayıdaki yerel ve bölgesel datuma
bağlanılması mümkün olmuştur (Kumar, 1993).
Sistemin eksenlerinin ve konumunun tanıtılmasına gelince;
Orjin
: Dünyanın ağırlık merkezinde
Z ekseni
: BIH (Bureau International l’Heure) tarafından 1984 yılı için belirlediği
CTP den geçer.
38
X ekseni
: Yine BIH tarafından tanımlanmış ortalama Greenwich meridyen düzlemi
ile ekvator düzleminin kesişim doğrultusu olarak tanımlanmıştır.
Y ekseni
: Yermerkezli bu koordinat sisteminde ekvator düzlemi üzerinde X
ekseninden doğuya doğru 90o açı yapar konumdadır.
ZWGS84
Greenwich
sýfýr meridyeni
CTP (1984.0)
Dünyanýn
aðýrlýk
merkezi
YWGS84
XWGS84
Şekil 3.8 WGS84 referans sistemi
WGS84 elipsoidi NNSS’e ait 1500 Doppler istasyon noktasının (yeryüzünde
uygun dağılımda noktalar) koordinatları ile gerçekleştirilmiştir.
Tablo 3.2 WGS84’ün parametreleri
Parametreler
Sembol
Büyüklük
Doğruluk
a
6378137.0 m
±2m
Gravite potansiyelinin normalleştirilmiş ikinci derece zonal
harmonik katsayısı
C2
-484.1685 10-6
± 1.30 10-9
Yeryuvarının açısal hızı
w
7292115 10-11 rad/sn
± 0.15 10-11 rad/sn
3986005 108 m3/sn
± 0.6 108 m3/sn
Büyük yarıeksen
Yeryuvarının
atmosfer
içindeki çekim katsayısı
GM
39
Bu sistemin jeoit yüksekliklerinin karesel ortalaması 30.5 m ve mutlak hatası
2-6 m arasında değişmektedir. Tablo 3.2’de WGS84’ün parametreleri ve doğrulukları
verilmiştir.
3.4.2. Hayford Elipsoidi
Hayford ve Tittmann, ABD’de ilk olarak 1906 yılında Helmert’in Yüksek
Jeodezi kitabında önerdiği alan yönteminde, Laplace azimutunu jeodezik dengelemeye
uyguladılar. ABD’de John Fillmore Hayford’un (1868-1925) 1909 da hesapladığı
elipsoit,
a = 6378388 ± 18 m
α = 1 / (297.0 ± 0.5)
boyutlarıyla, Uluslararası Jeodezi ve Jeofizik Birliğinin (IUGG) 1924 yılında Madrit’de
yapılan toplantısında “uluslararası elipsoit” olarak kabul edilmiş ve özellikle bilimsel
çalışmalar ve triyangülasyon çalışmalarına yeni başlayan ülkeler için önerilmiştir.
Hayford, bu elipsoidin hesaplanmasında sadece ABD’de ölçülen paralel daire
ve eğik daire yay uzunluklarını kullanmıştır. Hesaplamalarında 381 enlem, 131 boylam
ve 253 ü azimut olan toplam 765 gözlem dikkate alınmış, mevcut 32 Laplace noktası
başlangıç azimutunun düzeltilmesinde kullanılmıştır.
Bu elipsoidi kullanan ülkeler; Arjantin, Danimarka (1928 den itibaren),
Belçika, Yeni Zelanda, Kanarya Adaları, Türkiye, Bulgaristan (1946 dan itibaren),
Finlandiya, Portekiz (1926 dan itibaren), İtalya (1940 dan itibaren). Ayrıca Baltık
çelengi, merkezi ve Avrupa triyangülasyon ağlarının hesabında da bu elipsoit
kullanılmıştır (Şerbetçi, 1996).
40
4. DATUM DÖNÜŞÜMLERİ
Her ülkenin kendi jeodezik çalışmaları için bir koordinat sistemini kurmaya
çalışması, beraberinde farklı datumlu koordinat sistemlerinin oluşmasına neden
olmuştur. Çeşitli ülkeler farklı elipsoitler kullanmışlardır. Esasen datum, önceki
bölümde de anlatıldığı gibi, sadece elipsoit boyutlarının belirlenmesi ve yeryuvarına
göre
konumlandırılması,
koordinat
sistemlerinin
tanımlanması
problemini
çözememektedir. Sözü edilen datum kavramı, bu özellikleriyle bir jeodezik datum adını
almaktadır.
Oluşturulacak bir koordinat sistemini etkileyen her türlü parametreye genel
olarak datum parametresi adı verilir. Sistemi tanımlayan, başlangıç, dönüklük ve
ölçeğin her biri ayrı bir datum olarak ele alınır. Birçok Avrupa ülkesinin aynı elipsoidi
kullanıyor olmalarına rağmen, kullandıkları koordinat sistemlerinin başlangıçları
(datumları) farklıdır. Örneğin başlangıçları ayrı olması dolayısıyla “Türkiye Ulusal
Datumu” ve “Avrupa Datumu” tanımlamaları kullanılmaktadır. Ayrıca nitelikleri farklı
ölçme yöntemlerinin kullanılması bile datumu etkiler. Uydu ölçmeleri ile klasik yersel
ölçmelerin birbirinden farklı referans yüzeyleri üzerinde değerlendirilmesi de farklı
datumlara neden olmuştur ki, bizim en çok üzerinde duracağımız konuların başında
gelmektedir.
Tüm bu anlatılanlardan ayrı olarak karşılaşılan sorunlardan biri, tüm
datumların yani yatay datum ile düşey datumların ayrı değerlendirilmesini gerektiren
durumların olmasıdır. Bunun nedeni çoğu ülkenin yatay kontrol ağlarını bir referans
elipsoidi üzerinde değerlendirmesine karşın düşey datumunu jeoide göre oluşturmasıdır.
Bu durum ülkemiz için de geçerlidir. Antalya Mareograf istasyonu, başlangıç olarak
kabul edilmiş ve nokta yükseklikleri buna göre belirlenmiştir.
Sistemlerin bu çerçevede kurulmuş olması özellikle uydu verileriyle yersel
verilerin birleştirilmesini güçleştirmektedir. Böyle bir birleştirme jeoitle, elipsoit
arasındaki aykırılıkların hesap edilmesi ve verilerin elipsoide indirgenmesiyle
41
sağlanabilir. Yersel gözlemlere dayalı koordinat sistemleriyle, uydu sistemlerinin
yanında farklı başlangıçlı, farklı referans yüzeyli, koordinat sistemleri arasında
dönüşümlere de gereksinim vardır.
Kısaca dönüşüm, bir koordinat sistemindeki bilgilerin ikinci bir koordinat
sisteminde ifade edilmesi için yapılan bir aktarma işi olarak tanımlanabilir. Bunun
sağlanabilmesi iki sistemde tanımlı ortak bilgiler ya da verilerle olanaklıdır. Bunlar
yardımıyla koordinat sistemleri arasındaki ilişkiyi tanımlayan bir modelde parametreler
hesaplanarak dönüşüm gerçekleştirilir. Tüm jeodezik ve astrojeodezik çalışmalarda sık
sık karşımıza dönüşüm problemleri çıkmaktadır. Bu nedenle rutin bir işlem olarak
tanımlanabilir.
Dönüşüm sırasında objenin bazı özelliklerinin korunması istenebilir. Eğer
noktalar arasındaki açıların, başka bir deyişle şeklin korunması isteniyorsa, bu bir
benzerlik dönüşümüdür. Ayrıca uzunluk ya da alanların korunduğu dönüşümler ve afin
dönüşüm de objenin diğer özelliklerinin korunduğu dönüşümlerdir.
Yatay ve düşey datumların ayrı değerlendirildiği durumlarda iki ve tek boyutlu
dönüşümler de problemlerin çözümünde kullanılır.
4.1. Üç Boyutlu Dönüşümler
Uydu ölçmelerinin son on yıl içerisinde sağladığı kolaylıklar sadece mutlak
koordinatların elde edilmesiyle sınırlı kalmamış, özellikle bağıl konumlamada ulaşılan
yüksek doğruluk nedeniyle ülke jeodezik ağlarının iyileştirilmesi ve nokta sıklaştırması
da kolaylaşmıştır. Doğal olarak uydu gözlemleri ile elde edilen verilerle, yersel verilerin
ortak bir sistemde değerlendirilmesi gerekir. Fakat uydu sonuçları, klasik ülke
datumundan farklı global bir datum olarak kabul edilen uydu datumunu taşır.
Dönüşümün gerçekleştirilmesi için her iki datum arasındaki dönüşüm
parametrelerinin hassas olarak belirlenmesi; bilinmeyen parametrelerin sayısından daha
çok sayıda veri içeren ortak noktalar ile dengeleme yapılması gerekir.
42
Bir koordinat sisteminden diğer sisteme dönüşüm ölçek, dönüklük ve öteleme
parametreleriyle gerçekleşir. Dönüşüm için çok sayıda yöntem geliştirilmiştir.
Konform, ortogonal ve afin dönüşüm sadece istenilen dönüşüm özelliklerine göre
yapılan bir ayırımdır.
Uygulamada üç boyutlu dönüşümde yaşanan en büyük sıkıntı yüksekliklerdir.
Eğer uydu koordinat sistemiyle ülke koordinat sistemi arasında bir dönüşüm
yapılacaksa duyarlı bir jeoide büyük gereksinim vardır. Ülke ölçmesinde yersel
ölçülerle belirlenen noktalara ait ortometrik yükseklikler, jeoit yükseklikleri yardımıyla
elipsoidal sistemlere dönüştürülebilmelidir.
4.1.1. Benzerlik Dönüşümleri
4.1.1.1. Bursa-Wolf Modeli
W
Z
ω
P
U
T
ε
X
U
V
ψ
Y
X
Şekil 4.1 Üç boyutta benzerlik dönüşümü
Uzaydaki bir P noktasının konumunu, farklı iki koordinat sisteminde
tanımlayalım (Şekil 4.1). Noktanın (U) sistemindeki koordinat vektörü U, (X)
sistemindeki koordinat vektörü X, (U) sisteminin başlangıç noktasının, (X) sistemindeki
koordinat vektörü T, U, V, W eksenleri etrafındaki pozitif (saat ibresinin tersi yönünde)
dönüklükler sırasıyla ε, ψ, ω ve iki sistem arsındaki ölçek faktörü (1+Δ) olduğuna göre
iki sisteme ait koordinat vektörleri arasındaki ilişki,
43
X = T + (1 + Δ ) R U
(4.1)
ile verilir. Bu aynı zamanda Helmert Transformasyonu olarak da adlandırılan yedi
parametreli bir dönüşüm denklemidir.
(4.1)’ de U ve X koordinat vektörleri çıkarılırsa, geriye dönüklük parametreleri
R(ε, ψ, ω), öteleme parametreleri T(tx, ty, tz) ve ölçek faktörü (1+Δ) kalır. R dönüklük
matrisi, ardışık olarak gerçekleşen üç dönüklüğün bir sonucudur. Sırasıyla U, V, W
eksenleri etrafındaki dönüklükler,
0 ⎤
sin ε ⎥⎥
cos ε ⎥⎦
(4.2a)
⎡ cosψ
R 2 (ψ ) = ⎢⎢ 0
⎢⎣− sin ψ
0 sinψ ⎤
1
0 ⎥⎥
0 cosψ ⎥⎦
(4.2b)
⎡ cos ω
R 3 (ω ) = ⎢⎢− sin ω
⎢⎣ 0
sin ω
0
⎡1
⎢
R1 (ε ) = ⎢0 cos ε
⎢⎣0 − sin ε
cos ω
0
0⎤
0⎥⎥
1⎥⎦
(4.2c)
ile gösterilir ve bu üç dönüklüğün ardışık çarpımı ile, dönüklük matrisi,
⎡ cosψ cos ω
R = ⎢⎢− cosψ sin ω
⎢⎣
sin ψ
cos ε sin ω + sin ε sin ψ cos ω sin ε sin ω − cos ε sin ψ cos ω ⎤
cos ε cos ω − sin ε sin ψ sin ω sin ε cos ω + cos ε sin ψ sin ω ⎥⎥ (4.3)
⎥⎦
cos ε cosψ
− sin ε cosψ
elde edilir.
Bu yedi parametre başlangıçta bilinmediği için en küçük kareler yöntemiyle
bunların en uygun değerlerinin belirlenmesi yoluna gidilir ve her iki sistemde
koordinatları bilinen en az üç ortak nokta ile bu dengelemeli dönüşüm gerçekleştirilir.
44
Dengelemeye ölçü olarak giren ortak nokta koordinatları ile bilinmeyenler arasında
(4.1) fonksiyonuna uygun olarak
F ( L , X ) = F ( L + v , X 0 + dx ) = 0
(4.4)
koşul denklemleri kurulur. Bu denklemlerde geçen büyüklükler,
L
: Dengeli ölçüler (koordinatlar),
X
: Dengeli bilinmeyenler (dönüşüm parametreleri),
L
: Verilen ortak nokta koordinatları,
v
: Koordinat düzeltmeleri,
X0 : Bilinmeyenlerin yaklaşık değerleri,
dx : Bilinmeyenlerin düzeltmeleri,
dir (Deniz, 1993). Her bir nokta üç koordinat bileşeninden oluştuğuna göre her nokta
için (4.1) eşitliği
⎡U ⎤ ⎡ X ⎤ ⎡0⎤
⎡t x ⎤
⎢t ⎥ + (1 + Δ) R ⎢ V ⎥ − ⎢ Y ⎥ = ⎢0⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ y⎥
⎢⎣W ⎥⎦ ⎢⎣ Z ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦
⎢⎣t z ⎥⎦
(4.5)
üç adet şart denklemi yazılır. Dönüklük açılarının diferansiyel anlamda küçük
olduklarını düşünecek olursak,
cos ε ≅ cos ψ ≅ cos ω ≅ 1
sin ε ≅ ε
sin ψ ≅ ψ
sin ω ≅ ω
sin ε sinψ ≅ sinε sinω ≅ sinψ sinω ≅ 0
(4.6)
45
sonuçlarına göre R dönüklük matrisini,
⎡1 0 0 ⎤ ⎡ 0
R = I + Q = ⎢⎢0 1 0⎥⎥ + ⎢⎢− ω
⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ ψ
ω
0
−ε
−ψ ⎤
ε ⎥⎥
0 ⎥⎦
(4.7)
biçiminde yazabiliriz. (4.7)’yi, (4.5)’de yerine koyarsak,
T + (1 + Δ )( I + Q ) U − X = 0
(4.8)
elde edilir ve denklem açılıp, ölçek ve dönüklüğe bağlı terimler (çarpımları) gözardı
edilirse sonuç olarak,
T + QU + (1 + Δ ) U − X = 0
(4.9)
elde edilir. Bu denklem sistemi aralarında bilinmeyenlerin de bulunduğu koşullu ölçüler
dengelemesi,
Av + Bx + w = 0
(4.10)
modeline uymaktadır. Burada;
A=
B=
∂F
∂L
∂F
∂x
(4.11a)
L, X0
(4.11b)
L, X 0
w = F(L, X0)
(4.11c)
dır. Bilinmeyenlerin yaklaşık değerlerinin hepsinin sıfır seçilmesiyle her Pi noktası için,
46
⎡1
⎢0
⎢
⎢⎣0
0
0
−1
0
1
0
0
1
0
0
−1
0
⎡vU ⎤
⎢v ⎥
0 ⎤⎢ V ⎥ ⎡ 1 0 0 U
⎢v ⎥
0 ⎥⎥ ⎢ W ⎥ + ⎢⎢0 1 0 V
v
− 1 ⎥⎦ ⎢ X ⎥ ⎢⎣0 0 1 W
⎢ vY ⎥
⎢ ⎥
⎣⎢v Z ⎦⎥
⎡t x ⎤
⎢t ⎥
⎢ y⎥
W
V
0 −
⎤ ⎢t z ⎥
⎢ ⎥
W
0 − U ⎥⎥ ⎢ Δ ⎥
U
−V
0⎥⎦ ⎢ ε ⎥
⎢ ⎥
⎢ψ ⎥
⎢ω ⎥
⎣ ⎦
⎡U − X ⎤
+ ⎢⎢ V − Y ⎥⎥ = 0
(4.12)
⎢⎣W − Z ⎥⎦
düzeltme denklemleri yazılır (Leick, 1990).
Ancak koordinat sistemlerinin birbirlerine göre konumları iki şekilde
düşünülmeli ve çözümü de bu durumlara göre yapılmalıdır. Sistemler birbirlerine
diferansiyel anlamda yakınlarsa yukarıdaki işlemlerle bir defa çözüm yeterli olacaktır.
Ancak anlamlı bir aykırılık söz konusu ise, yine aynı şekilde yukarıdaki dengeleme ile
yaklaşık değerler belirlenir ve bundan sonra başta açıklanan (4.1), fonksiyon kabul
edilerek bir önceki dengelemenin dengeli bilinmeyenleri yaklaşık değer alınarak
iterasyonlu çözüm aranır.
4.1.1.2. Moledensky-Badekas Modeli
Bursa-Wolf modelinin değişik bir varyasyonu,
T + U 0 + (1 + Δ) R (U − U 0 ) − X = 0
(4.13)
ile verilebilir. Burada U0 dönüştürülecek nokta kümesinin ortasındaki ya da herhangi bir
yerindeki noktanın (U) sistemindeki konum vektörüdür. Diğer gösterimler, bir önceki
modelin aynısıdır. Önceki modelde olduğu gibi aynı işlemler tekrarlanır, ölçek ve
dönüklük fonksiyonlarının ikinci terimleri göz ardı edilirse (4.13),
47
W0
Z
W
P
U-U0
U
X
V0
U0
V
T
Y
U
U0
X
Şekil 4.2 Moledensky-Badekas Modeli
T + Δ( U − U 0 ) + Q ( U − U 0 ) + U − X = 0
(4.14)
olur. (4.14) eşitliği en küçük kareler yöntemine göre dengelemenin fonksiyonel modeli
olarak düşünülür ve bir nokta için açık yazılırsa,
⎡ vU ⎤
⎢v ⎥
0 ⎤ ⎢ V ⎥ ⎡1 0 0 U − U 0
⎡1 0 0 − 1 0
⎢v ⎥
⎢0 1 0
0 − 1 0⎥⎥ ⎢ W ⎥ + ⎢⎢0 1 0 V − V0
⎢
v
0 − 1⎦⎥ ⎢ X ⎥ ⎣⎢0 0 1 W − W0
⎣⎢0 0 1 0
⎢ vY ⎥
⎢ ⎥
⎣⎢ v Z ⎦⎥
⎡t x ⎤
⎢t ⎥
⎢ y⎥
0
V − V0 ⎤ ⎢t z ⎥
− (W − W0 )
⎢ ⎥
0
W − W0
− (U − U 0 )⎥⎥ ⎢ Δ ⎥
0
U −U0
− (V − V0 )
⎦⎥ ⎢ ε ⎥
⎢ ⎥
⎢ψ ⎥
⎢ω ⎥
⎣ ⎦
⎡U - X⎤
⎢V - Y⎥ = 0
(4.15)
⎢
⎥
⎣⎢ W - Z⎦⎥
bilinmeyenli koşul denklemleri elde edilir (Leick, 1990).
4.1.1.3. Veis Modeli
Bu model Veis tarafından 1960 yılında geliştirilmiştir (Leick, 1990).
Moledensky-Badekas Modelinde geçen U0 noktasından bu modelde de yararlanılır.
48
Ancak önceki modellerdeki dönüklükler (U) sisteminin etrafında gerçekleşirken, bu
modeldeki dönüklüklerin, başlangıcı U0 noktasında olan yerel jeodezik sistemin (n, e, h)
eksenleri etrafında olduğu kabul edilir. n ekseni, jeodezik meridyene teğettir ancak
pozitif yönü güneye doğrudur. e ekseni, U0 noktasında meridyen düzlemine diktir ve
pozitif yönü doğuya doğrudur. h ekseni ise, n ve e ekseni ile birlikte sağ el sistemini
tamamlar, yani elipsoit normali boyunca pozitif yönü dışarıya doğrudur. n ekseninin
yönünün güneye doğru seçilmesinin nedeni jeodezik dik koordinat sistemi ile aynı
yönlerde olması olarak gösterilebilir. Dönüşüm denklemi (4.13)’ e benzer olarak,
T + U 0 + (1 + Δ ) M ( U − U 0 ) − X = 0
(4.16)
ile verilir. U0 noktası etrafındaki dönüklükler (η, ξ, α) ve başlangıç noktasının
elipsoidal koordinatları (ϕ0, λ0, h0) ile gösterilirse, (4.16)’ da geçen M matrisi,
T
T
M = R 3 ( λ 0 ) R 2 ( 90 − ϕ 0 ) R 3 ( α ) R 2 ( ξ ) R 1 ( η) R 2 ( 90 − ϕ 0 ) R 3 ( λ 0 )
(4.17)
ardışık matris çarpımlarından elde edilir (Leick, 1990). Önceki modellerde olduğu gibi
burada da diferansiyel dönüklükler alınırsa,
M ( λ 0 , ϕ 0 , η, ξ , α ) = α M α + ξ M ξ + η M η + I
(4.18)
şeklinde basitleştirilir. Burada
Mα
0
⎡
⎢
= ⎢ − sin ϕ 0
⎢⎣cos ϕ 0 sin λ0
⎡ 0
M ξ = ⎢⎢ 0
⎢⎣cos λ0
0
0
sin λ0
sin ϕ 0
0
− cos ϕ 0 cos λ0
− cos λ0 ⎤
− sin λ0 ⎥⎥
0 ⎥⎦
− cos ϕ 0 sin λ0 ⎤
cos ϕ 0 cos λ0 ⎥⎥
⎥⎦
0
(4.19a)
(4.19b)
49
0
⎡
⎢
M η = ⎢ cos ϕ 0
⎢⎣sin ϕ 0 sin λ0
− cos ϕ 0
0
− sin ϕ 0 cos λ0
− sin ϕ 0 sin λ0 ⎤
sin ϕ 0 cos λ0 ⎥⎥
⎥⎦
0
(4.19c)
eşitlikleri geçerlidir. M matrisinin (4.18) den bulunan eşiti, (416)’ da yerine konur
diferansiyel büyüklüklerin çarpımları göz ardı edilirse,
X 0 + Δ ( U − U 0 ) + (1 + Δ )( M − I )( U − U 0 ) − U − X = 0
(4.20)
dönüşüm modeli elde edilir. (η, ξ, α) ile (ε, ψ, ω) dönüklükleri arasındaki ilişki
aşağıdaki bağıntıyla verilir.
⎡ε ⎤
⎡η ⎤
⎢ξ ⎥ = R (90 − ϕ ) R (λ ) ⎢ψ ⎥
2
3
0
0 ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ω ⎥⎦
⎢⎣α ⎥⎦
(4.21)
Buraya kadar anlatılan üç boyutlu benzerlik dönüşüm modellerinin bir analizi
yapıldığında, bütün modellerden aynı ölçek faktörü elde edilir. 1. ve 2. model aynı
dönüklük miktarlarını verirler. (4.1) ve (4.13)’ den,
T 2 = T 1 − U 0 + (1 + Δ ) R U 0
(4.22)
öteleme bileşenleri arasındaki eşitlik elde edilir. T1 yani Model 1’ den belirlenen
öteleme vektörü, (X) ve (U) koordinat sistemlerinin başlangıç noktaları arasındaki
geometrik vektöre karşılık gelir. Model 2’ nin öteleme bileşenleri (4.22)’ de gösterilen
U0’ ın bir fonksiyonudur. Model 3’ de Model 2’ deki U0 kullanıldığından, her iki model
de aynı öteleme bileşenlerini verir.
4.1.2. Afin Dönüşüm
Benzerlik dönüşümlerinin en önemli özelliği, ağın dönüşümden önceki şekli ile
dönüşümden sonraki şeklinin aynı kalması, yani açı deformasyonunun olmamasıdır. Bu
50
da eksen doğrultularındaki ölçek miktarlarının eşit olması anlamına gelir. Jeodezik
ödevlerde genellikle bu model kullanılır.
Ancak eksen doğrultularındaki ölçeklerinin farklı olduğu düşünülürse,
dönüşümden sonra ağ distorsiyona uğrayacaktır. Ölçme yöntemlerinin eksen
doğrultularında ölçek farklılığına neden olduğu durumlar ile karşılaşılmaktadır. Örneğin
başka ülkelerde olduğu gibi ülkemizde de üç boyutlu konum belirleme ödevi yatay
konum ve düşey konum bileşenleri biçiminde ayrı ayrı ele alınmıştır. Bu durum yatay
ve düşey ölçeğin farklı olması sonucunu doğurur. Böyle bir farklılığın dönüşümden
sonra da korunması istenirse eksen doğrultularındaki ölçekler bilinmeyen olarak kabul
edilir.
Benzerlik dönüşümünde 3 öteleme, 3 dönüklük ve 1 ölçek bilinmeyeni ile
çözüm aranırken afin dönüşümde 3 öteleme, 3 dönüklük ve 3 ölçek faktörü dönüşümün
bilinmeyen parametreleridir. Önceki modellerde skaler bir büyüklük olan ölçek faktörü
burada bir köşegen matrise dönüşür. Dönüşüm modeli,
X = T + ( I + Δ) RU
(4.23)
ile verilir. Buradaki ölçek matrisi
⎡1 0 0⎤ ⎡Δ 1
(I + Δ) = ⎢⎢0 1 0⎥⎥ + ⎢⎢ 0
⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ 0
0
Δ2
0
0 ⎤ ⎡1 + Δ 1
0
0 ⎤
⎢
⎥
0⎥=⎢ 0
1+ Δ2
0 ⎥⎥
0
1 + Δ 3 ⎥⎦
Δ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
(4.24)
biçiminde açık olarak gösterilebilir. Bursa-Wolf modelinde olduğu gibi (ε, ψ, ω)
dönüklükleri diferansiyel anlamda kabul edilir. (4.23) eşitliği, (4.7) ve (4.8)’ e uygun
olarak yazılırsa,
51
X = T + U + QU + ΔU
(4.25)
− ψ ⎤ ⎡U ⎤
ω
⎡ X ⎤ ⎡t x ⎤ ⎡1 + Δ1
⎢ Y ⎥ = ⎢t ⎥ + ⎢ − ω 1 + Δ
ε ⎥⎥ ⎢⎢ V ⎥⎥
2
⎢ ⎥ ⎢ y⎥ ⎢
⎢⎣ Z ⎥⎦ ⎢⎣t z ⎥⎦ ⎢⎣ ψ
−ε
1 + Δ 3 ⎥⎦ ⎢⎣W ⎥⎦
elde edilir. (4.25) eşitliğine göre, bilinmeyenli koşullu ölçüler dengelemesinin
fonksiyonel modeli bir nokta için
⎡ vU ⎤
⎢v ⎥
0 ⎤ ⎢ V ⎥ ⎡1 0 0 U 0 0
⎡1 0 0 − 1 0
⎢0 1 0 0 − 1 0 ⎥ ⎢vW ⎥ + ⎢0 1 0 0 V 0
⎥ ⎢v ⎥ ⎢
⎢
⎢⎣0 0 1 0
0 − 1⎥⎦ ⎢ X ⎥ ⎢⎣0 0 1 0 0 W
⎢ vY ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ v Z ⎥⎦
0
W
−V
−W
0
U
⎡ tx ⎤
⎢t ⎥
⎢ y⎥
⎢ tz ⎥
⎢ ⎥
V ⎤ ⎢ Δ1 ⎥
− U ⎥⎥ ⎢Δ 2 ⎥
⎢ ⎥
0 ⎥⎦ ⎢ Δ 3 ⎥
⎢ε ⎥
⎢ ⎥
⎢ψ ⎥
⎢ω ⎥
⎣ ⎦
(4.26)
⎡U - X⎤
+ ⎢⎢ V - Y ⎥⎥ = 0
⎢⎣ W - Z⎥⎦
olur. Burada bilinmeyenler: 3 öteleme (tx, ty, tz), ölçek (Δ1, Δ2, Δ3) ve 3 dönüklük
(ε, ψ, ω) dır. U, V, W koordinatları hatasız olarak kabul edilirse, (4.26) dan dolaylı
ölçüler dengelemesinin genel modeli elde edilir.
4.1.3. Üç Boyutlu Dönüşümde Büyük Dönüşüm Parametreleri
Jeodezik uydulamalarda dönüşüm problemleri her ne kadar birbirine benzer
sistemler için karşımıza çıksa da bazen kullanılan koordinat sistemleri arasında büyük
farklılıklar olabilir. Diferansiyel anlamda birbirine yakın kabul edilen sistemler için
dönüşüm formülü basitleştirilebilmektedir. Öteleme, dönüklük ve ölçek miktarları
anlamlı kabul edilebilecek bir büyüklükte ise bilinmeyen parametreleri önceki dönüşüm
52
modellerinden hesaplamak imkansızdır. Dönüşüm parametrelerinin tek işlem adımında
en küçük kareler yöntemiyle hesaplanabilmesi ,yaklaşık değerlerin bilinmesi ile
olanaklıdır. Her iki sistemde verilen ortak koordinatlar dışında böyle bir bilgiye
rastlanılmaz. Dolayısıyla bilinmeyenler ard arda yapılacak dengelemeler ile çözülür.
İlk dengelemede sıfıra çok yakın olduğu kabul edilen dönüşüm parametreleri
(4.12) düzeltme denklemlerinin kurulmasıyla normal denklemlerin çözümü yapılır ve
bilinmeyenler için ilk değerler elde edilir. Hesaplanan parametreler bilinmeyenlerin
yaklaşık değerleri olarak (4.5)’in ölçülere ve bilinmeyenlere göre parsiyel türevleri
alınarak kurulacak düzeltme denklemlerinde kullanılır. Bunun için (4.5)’e göre parsiyel
türevler alındığında denklemin genişlemesi söz konusudur. Denklemin sadeleşmesi
açısından R dönüklük matrisinin dönüklük elemanlarına göre türevleri
⎡0 − sin ε sin ω + cos ε sin ψ cos ω cos ε sin ω + sin ε sin ψ cos ω ⎤
∂R ⎢
= ⎢0 − sin ε cos ω + cos ε sin ψ sin ω cos ε cos ω − sin ε sin ψ sin ω ⎥⎥
∂ε
⎥⎦
⎢⎣0
− cos ε cosψ
− sin ε cosψ
(4.27a)
⎡− sin ψ cos ω sin ε cosψ cos ω − cos ε cosψ cos ω ⎤
∂R ⎢
cos ε cosψ sin ω ⎥⎥
= ⎢ sin ψ sin ω − sin ε cosψ sin ω
∂ψ
⎢⎣ cosψ
sin ε sin ψ
− cos ε sin ψ ⎥⎦
(4.27b)
cos ε cos ω − sin ε sin ψ sin ω
sin ε cos ω + cos ε sin ψ sin ω ⎤
⎡ − cosψ sin ω
∂R ⎢
= ⎢− cosψ cos ω − cos ε sin ω − sin ε sin ψ cos ω − sin ε sin ω + cos ε sin ψ cos ω ⎥⎥
∂ω
⎢⎣
⎥⎦
sin ψ
cos ε cosψ
− cos ε cosψ
(4.27c)
alınır. (4.5)’in tüm elemanlarına göre alınmış parsiyel türevi ile bir nokta için düzeltme
denklemi,
53
⎡ vU ⎤
⎢v ⎥
− 1 0 0 ⎤ ⎢ V ⎥ ⎡1 0 0
⎡
⎢(1 + Δ ) R 0 − 1 0 ⎥ ⎢vW ⎥ + ⎢0 1 0 RU
⎢
⎥ ⎢v ⎥ ⎢
⎢⎣
0 0 − 1⎥⎦ ⎢ X ⎥ ⎢⎢0 0 1
⎢ vY ⎥ ⎣
⎢ ⎥
⎣⎢ v Z ⎦⎥
∂R
U
∂ε
∂R
U
∂ψ
⎡t x ⎤
⎢t ⎥
⎢ y⎥
⎤ ⎢t ⎥
z
∂ R ⎥⎢ ⎥
U ⎥⎢ Δ ⎥ +
∂ω ⎥
⎢ ⎥
⎥⎦ ⎢ ε ⎥
⎢ψ ⎥
⎢ω ⎥
⎣ ⎦
(4.28)
⎡t x ⎤
⎡U ⎤ ⎡ X ⎤
+ ⎢⎢ t y ⎥⎥ + (1 + Δ ) R ⎢⎢ V ⎥⎥ − ⎢⎢ Y ⎥⎥ = 0
⎢⎣ t z ⎥⎦
⎢⎣W ⎥⎦ ⎢⎣ Z ⎥⎦
elde edilir. İlk dengelemeden elde edilen bilinmeyenler, dönüşüm parametrelerinin ilk
yaklaşık değerleri olarak kullanılır ve (4.28) ile tüm ortak noktalar için düzeltme ve
bilinmeyenlerin katsayıları hesaplanır. Normal denklemin çözümü ile elde edilen ikinci
parametre değerleri yine yaklaşık değer olarak kabul edilerek aynı işlem (4.28)’le
yinelenir. Kesin sonuç bulununcaya kadar dengelemeye devam edilerek büyük dönüşüm
parametrelerinin hesabı tamamlanmış olur.
4.2. İki Boyutlu Dönüşümler
İki boyutlu dönüşüm adından da anlaşılabileceği gibi düzlemde gerçekleştirilen
dönüşümlerdir. Burada sözü edilen düzlem, yükseklik kavramının geçmediği bir
yüzeydir.
Bilindiği gibi ülke nirengi ağları yatay ve düşey kontrol ağları olmak üzere iki
grup olarak ele alınmakta ve birbirlerinden bağımsız değerlendirilmektedir. Yatay
kontrol ağlarının datum farklılığını içeren çeşitli oluşumları sürekli güncel kalmış ve
sonuçta düzlem koordinat dönüşümleri ölçmeciler için alışılagelmiş uygulamalar
olmuştur. Bir bölge için özel olarak oluşturulan yerel koordinat sistemi yanında aynı
bölge için ülke koordinat sisteminden söz edilebilir. Bir bölgede yapılan halihazır harita
çalışmalarında öncelikle yerel koordinat sistemi oluşturulması ve daha sonra bu
sistemden ülke sistemine iki boyutlu dönüşümle geçilmesi örnek olarak verilebilir.
Bundan ayrı olarak olaya bir de fotogrametriciler açısından bakıldığında resimler
54
değerlendirilirken resim koordinatları ve makina koordinatları diye iki ayrı koordinat
sistemi kullanılmaktadır.
Global konumlama sistemi (GPS) ile her ne kadar üç boyutlu koordinat üretilse
de klasik yersel ölçmelerde bu sistemin tam bir karşılığı yoktur. GPS ile üretilen
koordinatların eksenler yönündeki ölçeği aynı olmasına rağmen, yersel çalışmalarda
yatay ve düşey datumun birbirinden bağımsız öngörülmesi, ayrıca yatay ve düşey ölçme
tekniklerinin ölçek farklılığına neden olması söylenebilir. Bu nedenle GPS’ in koordinat
sistemi ile onun karşılığı olan yersel koordinat sistemi arasında iki boyutta bir dönüşüm
gerekebilir.
Bu çerçevede iki boyutlu dönüşüm modelleri de incelenecektir.
4.2.1. Benzerlik Dönüşümü
Benzerlik dönüşümünün amacı şeklin bozulmasını önlemektir. Bunun için U
ve V parametrelerine bağımlı X ve Y fonksiyonlarının,
X = F ( U , V)
(4.29a)
Y = F ( U , V)
(4.29b)
açı koruma koşullarını,
∂X ∂Y
=
∂U ∂V
(4.30a)
∂X
∂Y
=−
∂V
∂U
(4.30b)
sağlaması gerekmektedir. Şekil 4.3’ e göre, her iki eksen doğrultusundaki ölçek faktörü
m olarak alınırsa bir noktanın (X) ve (U) sistemlerindeki koordinatları arasında
X = c1 + Um cos α − Vm sin α
(4.31a)
55
Y = c 2 + Vm cos α + Um sin α
(4.31b)
X
U
V
P
α
α
α
c2
U
X
c1
V
Y
Y
Şekil 4.3 İki boyutlu benzerlik dönüşümü
eşitlikleri
kolayca
yazılabilir.
Görüldüğü
gibi
dönüşüm
4
parametre
ile
gerçekleştirilebilir. Burada,
c1 ve c2
: Öteleme parametreleri ((U) sisteminin başlangıç noktasının (X)
sisteminde koordinatları)
α
: Sistemler arasındaki dönüklük açısıdır.
(4.31) eşitlikleri α ve m parametreleri bakımından doğrusal değildir. İşlemleri
kolaylaştırmak için
a = m cosα
(4.32a)
b = m sinα
(4.32b)
dönüşümü yapılırsa (4.31)’den c1, c2, a ve b’ye göre doğrusal olan
X = c1 + a U - b V
(4.33a)
56
Y = c2 + a V + b U
(4.33b)
denklemleri elde edilir. Dönüşüm parametrelerinin hesabı için iki sistemde koordinatları
bilinen en az iki noktaya gereksinim vardır. Daha çok sayıda nokta için bilinmeyen
dönüşüm parametreleri en küçük kareler yöntemiyle hesaplanabilir. İki noktanın
koordinatları biliniyorsa,
X1 = c1 + a U1 - b V1
Y1= c2 + a V1 + b U1
X2 = c1 + a U2 - b V2
Y2 = c2 + a V2 + b U2
X2 - X1 = a(U2 - U1) - b(V2 - V1)
Y2 - Y1 = a(V2 - V1) + b(U2 - U1)
yazılır. Buradan,
⎡ΔX ⎤ ⎡ΔU
⎢ ΔY ⎥ = ⎢ ΔV
⎣ ⎦ ⎣
− ΔV ⎤ ⎡a ⎤
ΔU ⎥⎦ ⎢⎣b ⎥⎦
(4.34)
ve sonuç olarak
a=
ΔU ΔX + ΔV ΔY
ΔU 2 + ΔV 2
(4.35a)
b=
ΔU ΔY - ΔV ΔX
ΔU 2 + ΔV 2
(4.35b)
elde edilir. Buradan hesaplanan a ve b parametreleri ile (4.33)’den c1 ve c2 değerleri de
bulunur. (4.32a ve b)’den ölçek faktörü
m = a 2 + b2
(4.36)
ve dönüklük,
tan α =
a
b
(4.37)
57
çıkar.
Eğer dönüşüm parametrelerinin hesabı için dengeleme işlemi gerekli ise, c1, c2,
a, b bilinmeyenleri, P(U, V, X, Y) koordinatları düzeltilmesi gereken (hatalı) ölçüler
gibi düşünülerek bilinmeyenli koşullu ölçüler dengelemesinin fonksiyonel modeli,
− v X + a 0 v U − b 0 v V + dc1 + U da - V db + (c 10 + a 0 U - b 0 V - X) = 0
(4.38a)
− v Y + b 0 v U + a 0 v V + dc 2 + V da + U db + (c 20 + a 0 V + b 0 U - Y) = 0 (4.38b)
ya da
⎡a0
⎢b
⎣ 0
− b0
a0
⎡ vU ⎤
− 1 0 ⎤ ⎢⎢ vV ⎥⎥ ⎡1 0 U
+
0 − 1⎥⎦ ⎢v X ⎥ ⎢⎣0 1 V
⎢ ⎥
⎣ vY ⎦
⎡ dc1 ⎤
− V ⎤ ⎢⎢dc 2 ⎥⎥ ⎡c10 + a 0U − b0V − X ⎤
=0
+
U ⎥⎦ ⎢ da ⎥ ⎢⎣ c 20 + a0V + b0U − Y ⎥⎦
⎢ ⎥
⎣ db ⎦
(4.39)
elde edilir. Dengeleme için bilinmeyenlerin c10, c20, a0, b0 yaklaşık değerleri (4.33)
eşitliklerinden hesaplanır.
4.2.2. Afin Dönüşüm
İzdüşüm geometrisinde afin izdüşüm, paralel projeksiyonda izdüşüm
düzlemlerinin paralel olmaması halidir. Aynı şekilde dönüşümü düşünülen sistemlerin
bulundukları düzlemler afin iseler artık benzerlik dönüşümü söz konusu olamaz. Bu
durumda bir üçgenin üst dereceli bir ağa bağlanması için en uygun dönüşüm afin
dönüşümdür.
Benzerlik dönüşümü bağıntılarında eksen doğrultuları için farklı dönüklük
açıları ve ölçekler öngörülürse afin dönüşüm eşitlikleri elde edilir.
X = c1 + a1 U - b1 V
(4.40a)
Y = c2 + a2 V + b2 U
(4.40b)
58
Dönüşümün yapılabilmesi için, a1, b1, c1, a2, b2 ve c2 parametrelerinin hesaplanması
gerekir. Bunun için de en az üç ortak noktaya gereksinim vardır.
Geometrik anlamda böyle bir dönüşüm, bir düzlem üzerinde bulunan bir
şeklin, bu düzleme paralel olmayan başka bir düzlemde paralel izdüşümle izdüşümünü
oluşturmak demektir. Düzlemler paralel olmadığı için paralel izdüşümden sonra şekiller
bozulacaktır. Yalnız paralel doğrular, dönüşümden sonra da paralel kalacaktır. Örneğin
bir karenin izdüşümü bir paralelkenara dönüşür. Ölçek doğrultuya bağlı olarak değişir
(Yaşayan, 1972).
Bilinen nokta sayısı 3’den çoksa katsayılar, dengeleme ile belirlenir. Bunun
için
(4.40)
denklemi
doğrusallaştırılmalıdır.
(4.38)’ya
benzer
biçimde
doğrusallaştırılmış düzeltme denklemleri (bir nokta için)
⎡a1 0
⎢b
⎣ 20
− b10
a 20
⎡ vU ⎤
− 1 0 ⎤ ⎢⎢ vV ⎥⎥ ⎡1 0 U 0
+
0 − 1⎥⎦ ⎢v X ⎥ ⎢⎣0 1 0 V
⎢ ⎥
⎣ vY ⎦
−V
0
⎡ dc1 ⎤
⎢ dc ⎥
⎢ 2⎥
0 ⎤ ⎢ da1 ⎥
⎥+
⎢
U ⎥⎦ ⎢da 2 ⎥
⎢ db1 ⎥
⎥
⎢
⎣⎢ db2 ⎦⎥
(4.41)
⎡ c + a10 U − b10V − X ⎤
+⎢ 1
⎥=0
⎣c 2 + a 20V + b20U − Y ⎦
yazılabilir.
4.2.3. Küçük Bir Bölgede Elipsoidal Eğri Koordinatlarla Datum Dönüşümü
Elipsoidal eğri koordinatlarla datum dönüşümü için, elipsoidal yüksekliklerin
ya da jeoit ondülasyonlarının dikkate alınmadığı durumlarda iki boyutlu dönüşümden
yararlanılır. Uydu koordinat sisteminde elde edilen dik koordinatlar, yersel sistemin
elipsoidi ile aynı boyutlarda olan elipsoit üzerinden elipsoidal eğri koordinatlara
dönüştürülür ve bu koordinatlar ile yersel sistemin eğri koordinatları arasında dönüşüm
parametreleri hesaplanır.
59
Uydu datumuna ait eğri koordinatların P(ϕn, λn) ve yersel datuma ait
koordinatların P(ϕy, λy) ile gösterildiğini kabul edelim. Öncelikle n sisteminin ortasında
bir merkez alınır ve diğer tüm noktalar bu merkez ile bağlanır. (ϕy - ϕn) ve (λy - λn)
farkları en küçük kareler yöntemiyle dönüşüm parametrelerinin hesaplanmasında
kullanılır. Dönüşüm parametreleri,
dϕc ve dλc : Merkezin öteleme bileşenleri,
dα
: Merkeze bağlı doğrultuların dönüklüğü
(1-Δ)
: Uzunlukların ölçek faktörüdür.
Tablo 4.1 Elipsoit üzerinde azimut ve uzunluk hesabı
ϕ=
ϕ1 + ϕ 2
2
V 2 = 1 + η2
η2 = e’2 cos2ϕ
t = tan ϕ
1
M
1
3 =
24
1 − 2 η2
5 =
24
1 + η2
7 =
12
1
N
1 + η2 − 9 η2 t 2
4 =
24 V 4
η 2 (1 − t 2 )
6 =
8V4
3 + 8 η2
8 =
24 V 4
1 =
2 =
[
]
1
2
Δλ cos ϕ 1 − [3](Δλ sin ϕ ) + [4]Δϕ 2
[2]
Δλ
1
2
S cos α = Δϕ cos
1 + [5](Δλ cos ϕ ) + [6]Δϕ 2
[1]
2
S sin α =
[
[
Δα = Δλ sin ϕ 1 + [7](Δλ cos ϕ ) + [8]Δϕ 2
2
]
]
Elipsoit üzerinde iki nokta arasındaki jeodezik azimut ve uzunluk değerleri
(Şekil 4.4) Tablo 4.1’de verilen bağıntılarla hesaplanabilir (Leick, 1990).
60
CTP
Δλ
P2
P1
α1
α2
S
λ1
λ2
Şekil 4.4 Elipsoit üzerinde jeodezik azimut ve uzunluk
Tablo 4.1’ de verilen eşitliklerden
S=
(S sin α )2 + (S cosα )2
(4.42)
⎡ S sin α ⎤
⎣ S cos α ⎥⎦
(4.43)
α1 = α −
Δα
2
(4.44)
α2 = α +
Δα
± 180 o
2
(4.45)
α = tan −1 ⎢
elde edilir.
Merkezden Pi’ ye olan jeodezik uzunluk ve azimuttaki değişimler için
dS ci = − M i cos α ic dϕ i − M c cos α ci dϕ c − N i cos ϕ i sin α ic ( dλ i − dλ c )
(4.46a)
61
dα ci =
Mi
M
N
sin α ic dϕ i + c sin α ci dϕ c − i cos α ic cos ϕ i ( dλ i − dλ c )
S ci
S ci
S ci
(4.46b)
eşitlikleri geçerlidir. Merkezden dağılan doğrultuların hepsi aynı miktar tarafından
ölçeklendirilir ve ötelenir. Buna göre,
dsci = Δ Sci
(4.47a)
dαci = dαc = sabit
(4.47b)
yazılabilir. Burada Δ, ölçek değişimi anlamındadır. Belirlenecek parametreler,
xT = [ dλc, dϕc, Δ, dαc ]
(4.48)
dir. Gözlemler elipsoidal koordinatların farklarıdır:
dλ i = λyi − λni
(4.49a)
dϕ i = ϕ iy − ϕ in
(4.49b)
(4.47)’ ye göre (4.49), (4.46)’ da yerine konursa,
Δ S ci = − M i cos α ic ( ϕ iy − ϕ in ) − M c cos α ci dϕ c − N i cos ϕ i sin α ic ( λyi − λni )
+ N i cos ϕ i sin α ic dλ c
dα ci =
Mc
M
N
sin α ci dϕ c + i sin α ic ( ϕ iy − ϕ in ) − i cos α ic cos ϕ i ( λyi − λni )
S ci
S ci
S ci
N
+ i cos α ic cos ϕ i dλ c
S ci
sonucu çıkar.Buradan Pi noktası için,
(4.50a)
(4.50b)
62
⎡ M i cos α ic
⎢ Mi
sin α ic
⎢−
⎣ S ci
N i cos ϕ i sin α ic
Ni
cos α ic cos ϕ i
S ci
⎡- M c cos α ci
+ ⎢ Mc
sin α ci
⎢
⎣ S ci
⎡vϕni ⎤
− N i cos ϕ i sin α ic ⎤ ⎢ n ⎥
⎥ ⎢ v λi ⎥
Ni
−
cos α ic cos ϕ i ⎥ ⎢v y ⎥
ϕi
S ci
⎦⎢ y ⎥
⎣⎢vλi ⎦⎥
− M i cos α ic
Mi
sin α ic
S ci
N i cos ϕ i sin α ic
Ni
cos α ic cos ϕ i
S ci
⎡ dϕ c ⎤
0⎤ ⎢
⎥
⎥ ⎢ dλ c ⎥
0 − 1⎥ ⎢ Δ ⎥
⎦⎢
⎥
⎣ dα c ⎦
− S ci
(4.51)
⎡− M i cos α ic (ϕ iy − ϕ in ) − N i cos ϕ i sin α ic (λiy − λin )⎤
⎥=0
N
+ ⎢ Mi
sin α ic (ϕ iy − ϕ in ) − i cos ic cos ϕ i (ϕ iy − ϕ in ) ⎥
⎢
S ci
⎢⎣ S ci
⎥⎦
dengeleme modeli yazılabilir. Dengeleme sonucunda yersel datuma dönüştürülmüş
uzunluk ve azimutlar,
S ciy = S cin + Δ S ci
(4.52a)
α ciy = α cin + dα c
(4.52b)
ile hesaplanır. Merkezin koordinataları ise,
ϕ cy = ϕ cn + dϕ c
(4.53a)
λyc = λnc + dλ c
(4.53b)
olur.
4.3. Tek Boyutlu Dönüşümler
4.3.1. Yükseklik Sistemleri
Yeryüzündeki bir noktanın yüksekliği dendiğinde bu noktanın bir başlangıç
yüzeyi ile ilişkisi anlaşılır. Bu ilişki fiziksel ya da geometrik anlamda olur. Yükseklikler
için referans yüzeyi jeoit ya da elipsoittir.
63
Bir nokta için çeşitli yükseklikler tanımlanabilir:
- Jeopotansiyel kotlar (fiziksel)
- Dinamik yükseklikler (fiziksel)
- Normal yükseklikler (geometrik)
- Ortometrik yükseklikler (geometrik)
- Elipsoidal yükseklikler (geometrik) vb.
Jeodezik faaliyetlerde genellikle jeoide dayanan ortometrik ve elipsoide dayanan
elipsoidal yükseklikler kullanılır. Jeoidin elipsoitten sapmalarına ondülasyon (jeoit
yüksekliği) adı verilir. Ortometrik yüksekliklerle GPS’den elde edilen elipsoidal
yükseklikler arasındaki ilişki jeoit yükseklikleriyle sağlanır.
4.3.2. Yükseklik Dönüşümü
h elipsoidal yükseklik, H ortometrik yükseklik ve N elipsoidal yükseklik
arasındaki ilişki Şekil 3.4 ve (3.3) bağıntısı ile verilmişti. Bu ilişki sadece yükseklik
sistemlerini birbirine bağlamakla kalmamakta, gerek üç boyutlu gerekse tek boyutlu
dönüşüm için aynı referansa dayalı yükseklik bilgileri vermektedir.
GPS sonuçları üç boyutlu olarak referans elipsoidine bağlı olduğu için
dönüştürülecek noktaların yüksekliklerinin de aynı referansa taşınması gerekir. Avrupa
Datumu 50’de yatay koordinatlar bilindiği gibi Hayford elipsoidine dayanan UTM
koordinatlarıdır ve bunlar yükseklikten bağımsızdır. Bu koordinatlara eklenen
ortometrik yüksekliklerle AD50 oluşturulmuştur. Eğer GPS datumundan üç boyutlu
dönüşümle yersel datuma geçilecekse, AD50’ nin ortometrik yüksekliklerinden,
kullanılan elipsoide bağlı elipsoidal yüksekliklere geçilmelidir. Bundan sonra dönüşüm
mümkün hale gelecektir. Tabi ki ortometrik yüksekliklerden elipsoidal yüksekliklere
64
geçilirken jeoit ondülasyonlarının doğruluklarının yüksek olması gerekir. Kısacası
doğruluğu yüksek jeoide gereksinim vardır.
4.3.2.1. Yükseklikler Yardımıyla Dönüşüm
Sembolik olarak tek boyutlu dönüşüm iki ve üç boyutlu dönüşümden elde
edilir. Daha açık olarak tek boyutlu dönüşümün parametreleri, üç boyutlu dönüşüm
parametrelerinden iki boyutlu dönüşümün parametrelerinin çıkarılmasıyla elde edilir.
3B
X0
Y0
2B
X0
Y0
1B
Z0
Δ
ε
ψ
Δ
Z0
ω
ω
ε
(4.54)
ψ
(4.54)’den dönüşüm parametrelerinin düşey koordinat, kuzey-güney ve doğu-batı ekseni
yönündeki iki dönüklükten oluştuğu görülür. Bu üç bilinmeyen, üç noktanın yükseklik
bilgisinden yararlanılarak belirlenir.
Bir GPS ağının üç noktasında için Hi ortometrik yükseklileri ile hi elipsoidal
yüksekliklerinin bilindiğini kabul edelim. hi elipsoidal yükseklikleri bir jeoit modeli
kullanılarak (Hi) yaklaşık yüksekliklerine dönüştürülebilir. Normal olarak, jeoit
modelindeki hatalar ve GPS sonuçlarındaki sistematik hatalar nedeniyle, Hi ve (Hi)
arasında sapmalar ortaya çıkar. Bu aykırılıklar için matematiksel model
Hi - (Hi) = dH - Yi dε + Xi dψ
(4.55)
ile verilir (Hofmann et al, 1992). Burada dH, düşey yönde ötelemedir. X ve Y eksenleri
etrafındaki dönüklükler sırasıyla dε ve dψ dır.
65
4.3.2.2 Yükseklik Farklarının Kullanıldığı Dönüşüm
Bundan önceki paragraflarda jeoit yüksekliklerinin önemi vurgulanmıştı. GPS
ile belirlenen elipsoit yükseklikleri, eğer jeoit yükseklikleri biliniyorsa, ortometrik
yüksekliklere dönüştürülebilir.
Sadece yükseklikteki değişimler ölçülmek istenirse, örneğin bir petrol
platformundaki bir noktanın çökme oranını hesaplamak gerekirse iyi bilinen bir jeoidin
önemi azalır, çünkü bağıl yükseklikler ile ilgilenilmektedir. İki nokta için,
H1 = h1 - N1
(4.56a)
H2 = h2 - N2
(4.56b)
yazılır ve buradan yükseklik farklarına geçilirse,
H2 - H1 = h2 - h1 - (N2 - N1)
(4.57)
elde edilir. Bu eşitlikte sadece jeoit yüksekliklerinin farkı geçmektedir. Bu nedenle,
küçük bir bölgede jeoit yükseklikleri yaklaşık eşitse N2-N1 farkı dikkate alınmayabilir.
Alan büyükse yaklaşık jeoit ondülasyon değerlerinden yararlanılır. (4.57)’den elde
edilecek nivelman farkları, ortometrik yükseklik farkları olarak kabul edilir ve
dengelemeye sokulur.
66
5. DENGELEME MODELİ
Koordinat dönüşümlerinde ölçüler ve bilinmeyenlerin dengeli değerlerinin
belli koşulları gerçekleştirmeleri gerekir. Bu nedenle dönüşüm işlemi için dengeleme
modeli ararlarında bilinmeyenlerin de bulunduğu koşullu ölçüler dengelemesidir.
Ölçüler ve bilinmeyenlerin dengeli değerleri,
F1 L1 , L 2 ,........, L n , x , y , z ,......... u = 0
F2 L1 , L 2 ,........, L n , x , y , z ,......... u = 0
:
:
:
:
(5.1)
Fr L1 , L 2 ,........, L n , x , y , z ,......... u = 0
koşullarını gerçekleştirmelidir. (5.1) koşul denklemleri Taylor dizisi yardımıyla
doğrusallaştırılırsa
A v + Bx + w = 0
(5.2)
dengeleme modeli elde edilir. Burada,
v : Ölçülerin düzeltmeleri,
x : Bilinmeyenler,
w : Kapanmalardır.
A ve B katsayılar matrisleri (5.1) fonksiyonlarının ölçüler ve bilinmeyenlere göre
parsiyel türevlerinden oluşur:
67
⎡ ∂F1
⎢ ∂L
⎢ 1
⎢ ∂F2
A = ⎢ ∂L1
⎢ M
⎢
⎢ ∂Fr
⎣⎢ ∂L1
∂F1
∂ L2
∂F2
∂ L2
⎡ ∂F1
⎢ ∂x
⎢
⎢ ∂F2
B = ⎢ ∂x
⎢ M
⎢ ∂F
⎢ r
⎢⎣ ∂x
∂F1
∂y
∂F2
∂y
∂F1 ⎤
∂Ln ⎥
⎥
∂F2 ⎥
L
∂Ln ⎥
(5.3)
∂F1 ⎤
∂u ⎥
⎥
∂F2 ⎥
L
∂u ⎥
(5.4)
L
M ⎥
⎥
∂Fr ⎥
K
∂Ln ⎥⎦
M
∂Fr
∂ L2
L
M ⎥
∂Fr ⎥⎥
L
∂u ⎥⎦
M
∂Fr
∂y
P1, P2, P3,........,Pn ölçülerin ağırlıkları olmak üzere kurulacak normal denklemlerin
çözümünden bilinmeyenler,
{
−1
}
x = − B ( AP A ) −1 B
T
T
−1
−1
B ( A P A ) −1 w
T
T
(5.5)
korelatlar,
−1
T
k = − ( A P A ) −1 ( Bx + w )
(5.6)
düzeltmeler,
−1
T
v=P A k
(5.7)
çıkar. Bilinmeyenlerin ağırlık katsayıları (kofaktör) matrisi,
{
−1
}
Q xx = B ( AP A ) −1 B
T
T
−1
birim ağırlıklı ölçünün standart sapması (ortalama hatası),
(5.8)
68
m0 = ±
pvv
r−u
(5.9)
ve bilinmeyenlerin standart sapmaları,
m xi = m 0 Q xxi
dir.
(5.10)
69
6. SAYISAL UYGULAMALAR
Bu bölümde verilen sayısal uygulamalar, üç boyutlu benzerlik ve afin
dönüşümü ile iki boyuttaki benzerlik ve afin dönüşümü içermektedir.
WGS84 ve AD50 datumunda ortak olan altı nokta elipsoidal dik
koordinatlarıyla Tablo 5.1’ verilmiştir. Benzerlik dönüşümü için çeşitli modeller
geçerlidir. Ancak bunlar aynı sonuçları vermektedir. Burada sadece bir model
uygulanmıştır.
İlk uygulamada üç boyutlu benzerlik ve afin dönüşümü yapılmış ve yine her iki
sistemde ortak olan test noktaları yardımıyla önce dönüşüm parametreleri hesaplanmış,
hesaplanan dönüşüm parametreleri ile test noktaları WGS84’ ten AD50’ ye
dönüştürülerek verilen değerler ile hesaplanan değerleri karşılaştırılmıştır.
Son uygulamada büyük dönüşüm parametreleri ile çalışılmıştır. Bu
uygulamada rastgele değerler kullanılmış başlangıçta bilinen dönüşüm parametre
değerleri dengeleme ile elde edilmeye çalışılmıştır.
Tablo 5.1 WGS84 ve AD50 datumunda ortak noktaların jeodezik dik koordinatları
NN
U
V
W
X
Y
Z
1
4158615.474 2786461.073 3940827.475 4158703.786 2786557.325 3940953.720
2
4169959.651 2785633.096 3930128.591 4170048.178 2785729.390 3930255.005
3
4173332.310 2812415.450 3907200.453 4173421.234 2812511.949 3907327.032
4
4170707.352 2797223.960 3921118.669 4170796.011 2797320.323 3921245.124
5
4163962.781 2812636.458 3917337.912 4164051.586 2812732.966 3917464.429
6
4184539.252 2801141.216 3903980.479 4184628.262 2801237.681 3904107.176
70
Bursa-Wolf modeli ile yapılan, üç boyutlu benzerlik dönüşümü :
Bilinmeyenlerin katasyılar matrisi,
B=
1
0
0
4158615.474
0
-3940827.475
2786461.073
0
1
0
2786461.073
3940827.475
0
-4158615.474
0
0
1
3940827.475
-2786461.073
4158615.474
0
1
0
0
4169959.651
0
-3930128.591
2785633.096
0
1
0
2785633.096
3930128.591
0
-4169959.651
0
0
1
3930128.591
-2785633.096
4169959.651
0
1
0
0
4173332.310
0
-3907200.453
2812415.450
0
1
0
2812415.450
3907200.453
0
-4173332.310
0
0
1
3907200.453
-2812415.450
4173332.310
0
1
0
0
4170707.352
0
-3921118.669
2797223.960
0
1
0
2797223.96
3921118.669
0
-4170707.352
0
0
1
3921118.669
-2797223.960
4170707.352
0
1
0
0
4163962.781
0
-3917337.912
2812636.458
0
1
0
2812636.458
3917337.912
0
-4163962.781
0
0
1
3917337.912
-2812636.458
4163962.781
0
1
0
0
4184539.252
0
-3903980.479
2801141.216
0
1
0
2801141.216
3903980.479
0
-4184539.252
0
0
1
3903980.479
-2801141.216
4184539.252
0
Bilinmeyenler
Standart sapma
X0
127.4739 m
6.4873 m
Y0
135.5858 m
6.7710 m
Z0
32.8880 m
4.3517 m
Δ
2.3536 ppm
0.5945 ppm
ε
-7.6423 ppm
0.7590 ppm
ψ
15.1019 ppm
0.9233 ppm
ω
3.7933 ppm
1.0973 ppm
Birim ağırlıklı standart sapma
71
m0 =
vTv
=
r−u
0. 004010
= ±0. 0191 m
18 − 7
Test noktaları (WGS84)
NN
U
V
W
7
4176055.830
2792924.227
3918580.827
8
4164520.249
2804079.051
3922223.943
9
4169045.212
2803968.251
3917568.317
10
4170137.523
2810641.552
3911744.769
Hesaplanmış test noktaları (AD50)
NN
X
Y
Z
7
4176144.549
2793020.598
3918707.348
8
4164608.928
2804175.464
3922350.384
9
4169133.972
2804064.683
3917694.814
10
4170226.398
2810738.040
3911871.32
Verilen test noktaları (AD50)
NN
X
Y
Z
7
4176144.695
2793020.684
3918707.481
8
4164608.951
2804175.491
3922350.407
9
4169134.024
2804064.724
3917694.866
10
4170226.495
2810738.114
3911871.418
Hesap - Verilen
NN
DX
DY
DZ
7
-0.146
-0.086
-0.133
8
-0.023
-0.027
-0.023
9
-0.052
-0.041
-0.052
10
-0.097
-0.074
-0.098
Üç boyutlu afin dönüşüm:
72
1
0
0
4158615.474
0
0
0
-3940827.475
2786461.073
0
1
0
0
2786461.073
0
3940827.475
0
-4158615.474
0
0
1
0
0
3940827.475
-2786461.073
4158615.474
0
1
0
0
4169959.651
0
0
0
-3930128.591
2785633.096
0
1
0
0
2785633.096
0
3930128.591
0
-4169959.651
0
0
1
0
0
3930128.591
-2785633.096
4169959.651
0
1
0
0
4173332.31
0
0
0
-3907200.453
2812415.45
0
1
0
0
2812415.45
0
3907200.453
0
-4173332.31
B= 0
0
1
0
0
3907200.453
-2812415.45
4173332.31
0
1
0
0
4170707.352
0
0
0
-3921118.669
2797223.96
0
1
0
0
2797223.96
0
3921118.669
0
-4170707.352
0
0
1
0
0
3921118.669
-2797223.96
4170707.352
0
1
0
0
4163962.781
0
0
0
-3917337.912
2812636.458
0
1
0
0
2812636.458
0
3917337.912
0
-4163962.781
0
0
1
0
0
3917337.912
-2812636.458
4163962.781
0
1
0
0
4184539.252
0
0
0
-3903980.479
2801141.216
0
1
0
0
2801141.216
0
3903980.479
0
-4184539.252
0
0
1
0
0
3903980.479
-2801141.216
4184539.252
0
m0 =
vTv
=
r−u
0. 003584
= ±0. 01996 m
18 − 9
Bilinmeyenler
Standart sapma
X0
115.4133 m
18.5894 m
Y0
130.3058 m
10.7265 m
Z0
45.8281 m
13.7028 m
Δ1
3.9775 ppm
2.4867 ppm
Δ2
3.4642 ppm
1.4971 ppm
Δ3
0.8832 ppm
1.5575 ppm
ε
-6.8227 ppm
1.2254 ppm
ψ
13.9312 ppm
1.7845 ppm
ω
4.0430 ppm
1.2628 ppm
Hesaplanmış test noktaları (AD50)
73
NN
X
Y
Z
7
4176144.555
2793020.589
3918707.349
8
4164608.923
2804175.473
3922350.383
9
4169133.968
2804064.686
3917694.816
10
4170226.391
2810738.045
3911871.323
Hesaplanan - Verilen
NN
DX
DY
DZ
7
-0.140
-0.095
-0.132
8
-0.028
-0.018
-0.024
9
-0.056
-0.038
-0.050
10
-0.104
-0.069
-0.095
İki boyutlu benzerlik dönüşümü:
Altı noktanın UTM projeksiyon sistemindeki koordinatları :
WGS84
AD50
NN
Sağa Değer
Yukarı Değer
Sağa Değer
Yukarı Değer
1
571945.028
4250434.887
571974.862
4250543.969
2
565070.803
4236428.308
565100.785
4236537.669
3
585689.485
4207654.036
585718.572
4207764.080
4
574380.506
4225062.132
574410.164
4225171.833
5
590972.717
4220399.892
591001.684
4220509.651
6
570132.066
4203112.922
570161.621
4203223.216
74
B=
1
0
571945.028
-4250434.887
0
1
4250434.887
571945.028
1
0
565070.803
-4236428.308
0
1
4236428.308
565070.803
1
0
585689.485
-4207654.036
0
1
4207654.036
585689.485
1
0
574380.506
-4225062.132
0
1
4225062.132
574380.506
1
0
590972.717
-4220399.892
0
1
4220399.892
590972.717
1
0
570132.066
-4203112.922
0
1
4203112.922
570132.066
Bilinmeyenler
vTv
=
r−u
m0 =
Standart
sapma
X0
13.77051
7.14904
Y0
232.93755
7.14904
a
-28.14237
1.67699
b
-7.56741
1.67699
0. 02318
= ±0. 05383 m
12 − 4
Dönüştürülmüş
Verilen
Farklar
NN
Sağa Değer
Yukarı Değer
Sağa Değer
Yukarı Değer
DX
DY
7
567893.469
4221853.657
567893.734
4221853.505
-0.265
0.152
8
583529.366
4226939.136
583529.315
4226939.301
0.051
-0.165
9
580972.724
4220973.926
580972.705
4220973.893
0.019
0.033
10
585971.669
4213586.797
585971.810
4213586.611
-0.141
0.186
Afin dönüşüm :
1
0
571945.028
0
-4250434.887
0
75
B=
m0 =
0
1
0
4250434.887
0
571945.028
1
0
565070.803
0
-4236428.308
0
0
1
0
4236428.308
0
565070.803
1
0
585689.485
0
-4207654.036
0
0
1
0
4207654.036
0
585689.485
1
0
574380.506
0
-4225062.132
0
0
1
0
4225062.132
0
574380.506
1
0
590972.717
0
-4220399.892
0
0
1
0
4220399.892
0
590972.717
1
0
570132.066
0
-4203112.922
0
0
1
0
4203112.922
0
570132.066
vTv
=
r−u
0. 007744
= ±0. 03593 m
12 − 6
Bilinmeyenler
X0
19.70276
6.53606
Y0
218.67142
6.53606
a1
-34.41012
2.48172
a2
-25.36593
1.38644
b1
-7.01821
1.38644
b2
-3.16244
2.48172
Dönüştürülmüş
NN
Sağa Değer
Satandart
Sapma
Yukarı Değer
Verilen
Sağa Değer
Yukarı Değer
Farklar
DX
DY
76
7
567893.524
4221853.614
567893.734
4221853.505
-0.210
0.109
8
583529.319
4226939.176
583529.315
4226939.301
0.004
-0.125
9
580972.697
4220973.938
580972.705
4220973.893
-0.008
0.045
10
585971.614
4213586.811
585971.810
4213586.611
-0.196
0.200
Üç boyutlu dönüşümde büyük dönüşüm parametreleri ile yapılan uygulama:
Birinci sistemde verilen koordinatlar,
NN
U
V
W
1
5432.68
7254.12
1200.60
2
5354.47
5724.58
1174.57
3
6221.34
6355.08
1254.58
4
4744.72
5555.54
1381.09
öteleme, ölçek ve dönüklük pametreleri
tx = 11000.00 m ty = 12000.00 m tz = 500.00 m
(1+Δ) = 1.582422
ε = 68g.00 00 ψ = 72g.00 00 ω = 34g.00 00
olduğuna göre (4.1)’e göre ikinci sistemin koordinatları
NN
X
Y
Z
1
24934.63
12118.08
4385.31
2
22640.92
12077.98
5167.96
3
24078.23
11915.27
6062.87
4
22062.31
12603.16
4461.74
elde edilir.
Yukarıda verilen ortak nokta koordinatlarına göre dönüşüm parametrelerinin
hesaplanması istenirse ilk yaklaşık değerler (4.12)’ye göre hesaplanır:
77
B=
1
0
0
5432.68
0 -1200.60
0
1
0
7254.12
0
0
1
1200.60 -7254.12
1
0
0
5354.47
0
1
0
5724.58
0
0
1
1174.57 -5724.58
1
0
0
6221.34
0
1
0
6355.08
0
0
1
1254.58 -6355.08
1
0
0
4744.72
0
1
0
5555.54
0
0
1
1381.09 -5555.54
1200.60
7254.12
0 -5432.68
5432.68
0
0 -1174.57
5724.58
1174.57
0 -5354.47
5354.47
0
0 -1254.58
6355.08
1254.58
0 -6221.34
6221.34
0
0 -1381.09
5555.54
1381.09
0 -4744.72
4744.72
0
16096.206
15135.899
340.664
X=
-0.60868304
vTv= 388168.4
0.59040566
1.44572652
1.12751858
(4.28)’e göre bir nokta için A matrisi,
A=
B ve W matrisleri,
0.020937
0.386359
0.058455
-1
0
0
-0.044097
-0.055829
0.384795
0
-1
0
0.388260
-0.027175
0.040551
0
0
-1
78
B=
1
0
0
7632.23
39.82
-841.01
-182.57
-5851.80
0
1
0
-466.55
-2858.38
1771.33
-2986.62
2835.25
0
0
1
5010.90
-326.79
1445.89
0
-2083.80
1
0
0
6113.99
119.17
-845.36
-103.74
-4152.20
0
1
0
-265.11
-2268.37
1780.50
-2392.51
2954.18
0
0
1
5036.82
-264.06
1119.87
0
1
0
0
6794.84
113.23
-983.76
-146.38
-5323.09
0
1
0
-374.07
-2515.45
2071.99
-2658.94
3074.25
0
0
1
5861.43
-291.80
1272.66
0
-3428.53
1
0
0
5945.32
208.85
-749.39
12.05
-3639.60
0
1
0
30.80
-2214.85
1578.35
-2326.51
2544.79
0
0
1
4464.97
-262.81
986.96
0
-2373.86
w=
-2856.30
11110.343
12120.500
603.749
x1=
vTv1=
0.48930185
192.6919
7.62295515
0.48727871
-6.40356718
A=
1.306439
0.632933
-0.332616
-1
0
0
0.158036
0.420066
1.420067
0
-1
0
0.697325
-1.281000
0.301325
0
0
-1
1
0
0
7580.40
3172.74
5105.19
5610.70
-2534.79
0
1
0
3767.33
-9797.00
617.56
-11289.50
5613.12
79
B=
0
0
1
-3452.90
-3723.82
11881.59
0
-8923.97
1
0
0
6867.57
2647.51
3221.96
4918.86
-1302.69
0
1
0
3302.80
-7635.89
389.75
-10227.88
4961.38
0
0
1
-2179.18
-3229.58
10744.57
0
1
0
0
7878.09
2907.87
3399.74
5434.33
-1235.04
0
1
0
3648.91
-8497.63
411.26
-11732.85
5639.56
0
0
1
-2299.41
-3522.06
12300.55
0
-8883.64
1
0
0
6214.72
2722.00
3367.33
5044.77
-1696.37
0
1
0
3387.34
-7309.09
407.33
-9255.60
4562.11
0
0
1
-2277.49
-3443.20
9794.45
0
-7249.87
w=
-7809.66
10845.019
12540.329
1241.271
x2=
0.12895465
vTv2=
2130.97
7.76872218
1.12829863
-6.08131755
x3
x4
x5
x6
x7
tx
11039.234
10997.186
11000.038
10999.974
10999.974
ty
11960.683
12003.729
11999.990
12000.023
12000.023
tz
491.900
498.509
499.947
500.008
500.008
Δ
0.57444520
0.57877384
0.58241505
0.58242454
0.58242454
ε
7.19882181
7.36415141
7.35121874
7.35133854
7.35133853
ψ
1.17441089
1.13424579
1.13099868
1.13097490
1.13097489
ω
-5.62661185
-5.76107271
-5.74900630
-5.74912163
-5.74912162
vTv
163.132375
0.66085958
0.0001294
1.674 10-5
1.6742 10-5
sonuç değerleri elde edilir. Dönüklükler radyan biriminde elde edilmiştir. Grad birimine
dönüştürüldüğünde,
80
( 7 . 35133853 − 2 * Π ) 200
= 68g . 00 075
Π
1.13097489 * 200
ψ=
= 72g . 00 010
Π
( 2 * Π − 5. 74912162 )
ω=
= 33g . 99 955
Π
ε=
elde edilir.
81
7. SONUÇ VE ÖNERİLER
Datum dönüşümü, konumları ya da özellikleri birbirinden farklı koordinat
sistemlerindeki veri kümelerinin bir sistemden ötekine dönüştürülmesi işlemidir.
Referans elipsoitleri açısından, ±2 m ortalama hata ile boyutları belirlenmiş
WGS84 elipsoidi ile ülkemizde de kullanılmakta olan ve boyutları ±18 m hatalı ile
Hayford elipsoidi üzerindeki verilerin birinden ötekine taşınması söz konusudur.
Ayrıca, WGS84 elipsoidine dayanan 3 boyutlu konum ağlarının ve GPS ile belirlenen
baz vektörlerinin iç doğruluğu çok yüksektir. GPS ile elde edilen üç koordinat bileşeni
de bu referans yüzeyine bağlıdır. Yersel ölçmelerle oluşturulan ülke ağlarının
doğrulukları düşüktür ve genellikle bozulmalar (distorsiyon) içerirler. Çoğu ülkenin
mevcut jeodezik ağlarının ölçüleri oldukça eskilere dayanır. Dönüşümdeki bir başka
olumsuzluk yersel sistemin birbirinden bağımsız tanımlanan, yatay ve düşey
datumlarını birleştirmede karşılaşılan yetersizliklerdir.
Referans elipsoitleri birbirine oldukça yakın sayılabilecek bir konumdadırlar.
Bu nedenle datumlar arasındaki dönüşüm parametreleri sıfıra yakın değerlerdir. Hatta
bazı ülkelerin koordinat sistemlerinin eksen dönüklükleri sıfır olarak kabul edilmekte ve
dönüşümler sadece öteleme parametreleri ile gerçekleştirilmektedir. Örneğin Kuzey
Amerika Datumu (NAD83) olarak bilinen sistemin referansı WGS84 datumudur ve
WGS72 datumu ile aralarındaki dönüşüm yalnızca düşey eksen yönünde öteleme, bu
eksen etrafındaki dönüklük ve ölçek faktörü ile tanımlanabilmektedir. Ancak referans
elipsoitleri birbirlerine ne kadar yakın olurlarsa olsunlar yine de koordinat değerleri
arasında anlamlı farklar olduğu görülebilir (Leick, 1990).
Yersel ve uydu sistemine ait koordinat kümeleri verildiğinde üç boyutlu
dönüşüm için aşağıda açıklanan yol izlenir:
82
1. Yersel sistemin nokta koordinatları, genelde ülkenin kullanmakta olduğu
projeksiyon sisteminde verilir. Bilinen ortak noktalar jeodezik eğri koordinatlara (ϕ,
λ)YS dönüştürülür.
2. (3.3)’de gösterildiği gibi mevcut ortometrik yüksekliklerden dönüştürülen
elipsoidal yükseklikler jeodezik eğri koordinatlar yanında 3. boyut olarak alınır (ϕ, λ,
h)YS.
3.
Her iki sistem için (ϕ, λ, h) jeodezik koordinatlardan jeodezik dik
koordinatlarına geçilir (X, Y, Z).
4. Seçilecek dönüşüm modelinde yersel ve uydu sisteminde dik koordinatları
bilinen noktalar dengelemeye ölçü olarak sokularak dönüşüm parametreleri hesaplanır.
5. Ortak olmayan GPS noktaları (X, Y, Z)US dönüşüm parametreleri yardımıyla
ülke elipsoidine dönüştürülür.
6. Ülke elipsoidine dönüştürülmüş GPS koordinatlarından jeodezik eğri
koordinatlarına geçilir.
7. Son işlem olarak, h elipsoidal yükseklikler öncekinin tersi işlemle ortometrik
yüksekliklere, (ϕ, λ)YS koordinatları da projeksiyon sisteminin koordinatlara
dönüştürülür.
Benzerlik dönüşümünün bir üstünlüğü dengeleme için önsel bir bilginin gerekli
olmamasıdır. Olumsuz yanı yerel sistemde elipsoidal yüksekliklerin bilinmesini
gerektirmesidir. Fakat Schmitt (1991) tarafından ortaya konan bir çalışmada, 20x20
km’lik alanda eğimli bir arazide 5 m’lik yanlış yükseklikli noktaların düzlem
koordinatlara olan etkisinin yalnız 1 mm olduğu saptanmıştır (Hofmann et al, 1992)
İki boyutlu dönüşümde ise izlenecek işlem sırası şöyledir:
83
1. Uydu sistemine ait tüm (X, Y, Z)US jeodezik dik koordinatları (ϕ, λ, h)
koordinatlarına dönüştürülür. Burada dikkat edilmesi gereken nokta, kullanılacak
elipsoidin boyutları yerel sistem ile uyuşmalı, yani yerel elipsoit kullanılmalıdır.
2. Dönüştürülen jeodezik eğri koordinatlardan projeksiyon koordinatları elde
edilir.
3. Benzerlik dönüşümü için ikiden çok, afin dönüşüm için üçden çok nokta
yardımıyla iki boyutlu dönüşüm parametreleri dengeleme ile belirlenir.
4. Uydu sistemine ait ortak olmayan diğer tüm noktalar bu dönüşüm
parametreleri yardımıyla yerel sisteme dönüştülerek dönüşüm tamamlanmış olur.
Küçük boyutlu ve jeoit yüksekliklerinin fazla değişmediği alanlarda
bu
dönüşüm modelinin kullanılması yeterlidir. Ancak sayısal uygulamada da görüldüğü
gibi iki boyutlu benzerlik dönüşümünün ortalama hatası üç boyutludakine göre daha
büyüktür. Bunun nedeni alanın büyük olamasına bağlanabilir. Böyle durumlarda değişik
modeller denenmelidir.
Eksik olan yükseklik boyutu, küçük bölgelerde jeoit yüksekliklerinin yakalşık
eşit olduğu varsayılarak ortometrik yükseklik farklarının dengelenmesiyle elde
edilebilir. Alan büyükse yaklaşık elipsoidal yükseklikler kullanılabilir.
84
KAYNAKLAR
Alp, O., 1995. Jeodezik Ölçülerin İndirgenmesinde Jeoid Yüksekliği ve Çekül
Sapmasının Etkisi, Harita Dergisi, Sayı 115 s. 32-43
Altıner, Y., Franke, P., 1991. GPS’in Geleceği ve Pratik Öneriler, Harita Kadastro
Mühendisliği Dergisi Sayı 69, s. 4-10
Ayhan, M.E., Demir, C., 1992. Türkiye Ulusal Düşey Kontrol (Nivelman) ağı 1992
(TUDKA-92), Harita Dergisi Sayı 109, s.2-45
Ayhan, M.E., Kılıçoğlu, A., 1993. Türkiye Ulusal Doppler Datumu 1992 (TUD-92),
Harita Dergisi, Sayı 110 s. 38-58
Barışkaner, A., Turgut B., Güllü M., 1996, Dengeleme Hesabı 2 Ders Notları Selçuk
Üniversitesi Müh. Mim. Fak. Jeodezi ve Fotogrametri Müh. Konya
Bleich,
V.P.
und
Illner,
M.,
1989.
Strenge
Lösung
Der
Räumlichen
Koordinatentransformation Durch İterative Brechnung, Allgemeine VermessungsNachrichten, Heft 4, p.p. 133-144
Demirel, H., 1984. Yükseklik Sistemleri ve Nivelman Sonuçlarının İndirgenmesi,
Y.T.Ü. İnşaat Fak. Jeodezi ve Fotogrametri Bölümü, İstanbul
Deniz, R., 1993. Uydu Jeodezisi Ders Notları İ.T.Ü. İnşaat Fakültesi Jeodezi ve
Fotogrametri Bölümü, İstanbul
Eren, K., Uzel, T., 1995. GPS Ölçmeleri, Y.T.Ü. Matbaası, İstanbul
Gürkan, O., 1977. Üç Boyutta Benzeşim Dönüşümü ve Değişik Jeodezik (Elipsoid)
Sistemler Arasındaki Bağıntılar, Bilimsel Rapor No:1 K.T.Ü. Jeodezi ve Fotogrametri
Bölümü, Trabzon
85
Gürkan, O., 1984. Fiziksel Jeodezi, Karadeniz Üniversitesi Basımevi, Trabzon
Hekimoğlu, Ş., Ayhan, M.E., Demir, C., Şanlı, D.U., 1993. Türkiye Ulusal Düşey
Datum Belirleme Projesinin Tanıtımı, Prof. Dr. H. Wolf Jeodezi Sempozyumu Bildiri
Kitabı s. 90-120, İstanbul
Hofmann, B., Lichtenegger, H. and Collins, J., 1992. GPS Theory and Practice,
Springer-Verlag Wien New York
Kleinnefeld, H.J., 1991. Datumtransformation vom WGS 84 in das Gauβ-Krüger
Koordinatensystem, Vermessung- Ingeneur, Heft 5, p.p.200-202
Kumar, M., 1993. World Geodetic System 1984: A Reference Frame For Global
Mapping, Charting and Geodetic Applications, Surveying and Land Information
Systems, Vol.53, No.1 p.p. 53-56
Kılıçoğlu, A., 1995. Jeodezide Dönüşümler, Yüksek lisans tezi İ.T.Ü Fen Bilimleri
Enstitüsü
Kınık, İ., Şanlı, İ., 1992. Başlangıçtan Günümüze Türkiye’de Yapılan Uydu Jeodezisi
Faaliyetleri, Harita Dergisi, Sayı 109 s. 46-69
Kınık, İ., Şahin, K., Şanlı, İ., 1993. Ankara Test Ağında GPS Ölçülerinin
Değerlendirilmesi, Harita Dergisi, Sayı 110 s. 6-37
Leick, A., 1990. GPS Satellite Surveying A Wiley-Interscience Publication John Wiley
& Sons
Lwangasi, A.S., 1993. Datum Transformation Parameters For The Kenya Geodetic
System, Survey Review January, p.p. 39-56
Mok, E., 1992. A Model For The Transformation Between Satellite And Terrestrial
Networks In Hong Kong, Survey Review, April, p.p. 344-350
86
Özbenli, E., 1991. Jeodezi K.T.Ü. Basımevi, Trabzon
Öztürk, E., Şerbetçi, M., 1992. Dengeleme Hesabı Cilt III, K.T.Ü. Basımevi Trabzon
Rens, J. and Merry, C.L., 1990. Datum Transformation Parameters In Southern Africa,
Survey Review, April, p.p. 281-293
Seeber, G., 1993. Satellite Geodesy Foundations, Methods and Aplications, Walter de
Gruyter Berlin-New York
Şerbetçi, M., 1996. Haritacılık Bilimi Tarihi, Harita Dergisi Özel Sayı 15.
Şimşek, M., 1995. Uydu Tekniklerinin Ağ Sıklaştırmasında Kullanılabilirliği Üzerine
Bir Araştırma, Doktara tezi, Y.T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, İstanbul
Ünal, T., 1994. Uydu Jeodezisi Ders Notları Y.T.Ü. İnşaat Fak. Jeodezi ve Fotogrametri
Bölümü, İstanbul
Yerci, M., 1994. Jeodezi I Ders Notları, Selçuk Üniversitesi Müh. Mim Fak. Jeodezi ve
Fotogrametri Müh. Konya
87
ÖZGEÇMİŞ
Aydın ÜSTÜN
20 Şubat 1971
: Muğla ili Milas ilçesi Karacaağaç köyünde doğdu.
1977
: Milas Menteşe İlkokulunda ilk öğrenime başladı.
1982
: Milas Merkez Ortaokulunda orta öğrenime başladı.
1985
: Milas Lisesinde Lise öğrenimine başladı.
1988
: Milas Lisesinden mezun oldu.
1989
: Konya Selçuk Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi Jeodezi
ve
Ekim 1993
Fotogrametri Müh. kazandı.
: Üniversiteden Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisi olarak mezun
oldu.
Ocak 1994
olduğu
1994
kazanarak
: Selçuk Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi’nin açmış
Araştırma Görevlisi sınavını kazandı.
: Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Sınavını
Yüksek Lisans öğrenimine başladı.