MUTLAK DEĞER

MATEMATĐK’ĐM
YILLAR
ÖSS-YGS
Mutlak Değer
2002
-
203
-
2004
-
2005
1
2006
-
2007
-
2008
1
2009
-
2010
-
2011
1/1
14) n ∈ Z + olmak üzere x n = x dır.
n
MUTLAK DEĞER
15) f ( x) > g ( x) ⇒ f 2 ( x) > g 2 ( x)
a ε R olmak üzere;
GENEL ÖRNEKLER
 a , a ≥ 0 ise
a2 = a = 
- a , a < 0 ise
NOT: Küçük –büyük negatif
Büyük – küçük pozitif
NOT: mutlak değerli sorularda ilk yapılacak olan şey,
mutlak değer içinin işaretinin tespitidir. Sonrası kolay
mutlak değerin içi pozitif ise olduğu gibi çıkarılır.
Mutlak değerin içi negatif ise ifadenin önüne eksi
bırakılarak çıkarılır.
a ve b reel sayı olmak üzere;
1) a ≥ 0 dır. Eğer a = 0 ise a = 0 dır.
a = −a
3)
a.b = a . b
4)
ÇÖZÜM:
a sayısı b’den küçük olduğundan;
a
a
, (b ≠ 0)
=
b b
5) a>0 , x ε R ve x < a ise
-a < x < a
6)
MATEMATĐK’ĐM
2)
Örnek (1 ) a<0<b olduğuna göre
a − b + b − 2a + 3a − 2b = ?
a − b + b − 2a + 3a − 2b =
{ 123 1
424
3
−
+
−
= -(a-b)+(b-2a)-(3a-2b)
=-a+b+b-2a-3a+2b
=4b-6a
Örnek (2 ) a<0<b olduğuna göre
dır.
16a 2 + 3 8a 3 + 4 b 4 − 4 a 4 = ?
x > a ise x>a veya x<-a dır.
ÇÖZÜM:
7)
8)
a < x < b ⇒ a < x < b veya a < -x < b
16a 2 + 3 8a 3 + 4 b 4 − 4 a 4 =
= 4a + 2a + b − a
{
{ {
a+b ≤ a + b
−
9)
2
Örnek (3 ) 2<x<5 olmak üzere
x − 5 + 3 x − 6 + − 5 − 2 −2 = ?
a2 = a
12) x = y
−
=-4a+2a+b-(-a)
=b-a olur.
a − b ≤ a−b
10) a = a 2 = a 2
11)
+
ÇÖZÜM:
x’in aralık içinde verildiği sorularda mutlak
değerlerin içinin işaretini belirlemek için x’in
verilen aralıktaki herhangi bir değeri
kullanılabilir.
Bu soruda x’in 3 olduğunu varsayarsak
⇒ x = -y ve x = y
13) x=a ise x=+a ve x= –a
.
www.globalders.com
1
MATEMATĐK’ĐM
Mutlak Değer
=x+2-[-(x-2)]+ x − x − 1
x − 5 + 3 x − 6 + −5 − 2 −2 =
{ 123
−
=x+2+x-2+1
=2x+1 bulunur.
+
=-(x-5)+(3x-6)+-(-5)-(
=-x+5+3x-6+5-
1
)
4
1
4
Örnek (6 )
(
= −( x − 2 y ) + x − x − ( y − x)
= −x + 2 y + x − 2x − y
123
MATEMATĐK’ĐM
x<y olduğundan x-y<0 ve x-2y<0 olur.
x-y<0 ise y-x>0 dır.
+
−

+ 3 . 3 − 5 = ?

(
)
( − (1 − 3 ) − ( 2 − 5 ) + 3) . − (
(
= ( 5 + 3 ) .(
= ( 5) − ( 3)
)
3− 5 

)(
)
3 ) (iki kare farkından)
= −1 + 3 − 2 + 5 + 3 . − 3 + 5
5−
2
=5-3
=2 bulunur.
Örnek( 7 ) x<0 olmak üzere
2x + x − − 2x − − x = ?
ÇÖZÜM:
x<0 olduğundan, -x>0 olur.
2 x + x − −2 x − − x = 2 x + x − ( −2 x ) − ( − x )
{ {
Örnek (5 ) 1<x<2 olmak üzere
x + 2 − x − 2 + x − x −1 = ?
+
+
= 2x + x + 2x + x
= 3x + 3x
{
ÇÖZÜM:
(x’e 1,5 değerini vererek işaretlerini bulalım)
−
=3x-3x
=0 olur.
x + 2 − x − 2 + x − x −1 =
{ {
{
−
)
2
=-x+2y+x-[-(2x-y)]
=-x+2y+x+2x-y
=2x+y olur.
(Bu tip soruların mutlak değer içlerinin
işaretleri x ve y ‘ye uygun değerler verilerek
de tespit edilebilir. Siz bu soruyu birde değer
vererek işaret bulma yolu ile çözmeyi deneyin.
Ancak verdiğiniz değerlerin sorunun cevabını
değil işaretleri bulmak için olduğunu
unutmayın)
+
2
2
2


1
−
3
+
2
−
5
+ 3. 3 − 5 =



kök derecesi çift ise ifade dışarı mutlak değer
içinde çıkar.


 1 − 3 + 2 − 5 + 3 , 3 − 5
 123 123  1424
3
 −

−
−
( 3 ≅ 1, 7 ve 5 ≅ 2, 2 olduğunu hatırlayın)
(
ÇÖZÜM:
−
(2 − 5 )
ÇÖZÜM:
Örnek (4 ) x<0<y olmak üzere
x − 2y + x − x − y − x = ?
x − 2y + x − x − y − x =
{
123
)
2

 1− 3 +

1
4
15
olur.
= 2x+
4
= 2x+4-
+
.
www.globalders.com
2
MATEMATĐK’ĐM
Mutlak Değer
Örnek( 8 ) a,b∈R olmak üzere a − 3b
x 2 − x3
a + 2b
ifadesinin en küçük değeri için
=?
b − 2a
Örnek( 11 ) –1<x<0 için
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
3
=?
2
a − 3b ifadesinin en küçük değeri 0 dır.
a-3b=0 a=3b olur.
a yerine 3b yazarsak
a + 2b 3b + 2b
5b
=
=
= −1 olur.
b − 2a b − 2.3b −5b
x2 − x3
x − −x
2
3
=
=
x − −x
{ {
2
−
x +x
2
=
Örnek( 9 ) x,y,z sıfırdan farklı reel sayılar ve
3 x − 4 y + 2 y − 3 z = 0 ise x/z=?
3
x 2 + x3
( − x ) 2 − (− x )3
+
3
x 2 + x3
= 1 bulunur.
Örnek( 12 ) a–3+b+2+c+5=0 ise
a–2b+c=?
ÇÖZÜM:
3x − 4y = 0 → 3x = 4y
3x 4 y
=
3z 2 y
2y − 3z = 0 → 3z = 2y
ÇÖZÜM:
MATEMATĐK’ĐM
Đki ifadenin toplamı sıfır ise ya bu ifadeler zıt
işaretlidir(yani biri eksi biri artı), veya ikisi de
sıfırdır.
Mutlak değerli bir ifade eksi olamayacağına
göre bu iki ifade de sıfır olmalıdır. buradan;
3x-4y=0 ve 2y-3z=0 olur.
x
= 2 elde edilir.
z
Toplamların sıfır olması için hepsinin ayrı
ayrı sıfır olması gerekir.
a-3 = 0 a = 3
b+2 = 0 b = -2
c+5 = 0 c = -5
o halde
a-2b+c = 3-2.(-2)+(-5) = 3+4-5 = 2 olur.
a=a , b= –b olmak üzerea–
b+a+b=?
Örnek( 10 ) x>2 olmak üzere
x–2+3–2x=7 ise x=?
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
a=a ise a ≥ 0 dır.
b= –b ise b ≤ 0 dır. buradan
a − b + a + b = a − b + a − b = 2a − 2b dir.
{ { {
x>2 ise (örneğin x’i 3 varsayıp işaretleri
bulalım. Bu değerin x’in gerçek değeri
olmadığını unutmayın)
+
x − 2 + 3 − 2x = 7
{ 123
+
−
}
x − x3
2
x − −x
+
−
Örnek( 13 ) x–9=9–x ve x–5=x–5
ise kaç farklı x∈Z vardır?
−
x-2 –(3-2x)=7
x-2-3+2x = 7
3x = 7+5
3x = 12
x = 4 olur.
ÇÖZÜM:
x–9=9–x ise x-9 ≤ 0 ve x≤9 dır.
x–5=x–5 ise x-5 ≥ 0 ve x ≥5 dır. buradan
5 ≤x ≤ 9 olur.
x’in alabileceği değerler 5,6,7,8,9 olur. Yani 5
tane
.
www.globalders.com
3
MATEMATĐK’ĐM
Mutlak Değer
Örnek( 14 ) a<0<b<c olmak üzere
c+b–a+c–b–c=?
ÇÖZÜM:
x+1=0 x=-1, x+3=0 x=-3, x+5=0 x=5
ÇÖZÜM:
şimdi bu değerleri tek tek yazalım
c+ b−a + c −b −c = c+b−a + c −b− c
{ {
+
x=-1 için
-1+1+-1+3+-1+5= 6
x=-3 için
-3+1+-3+3+-3+5= 4
x=-5 için
-5+1+-5+3+-5+5=6
o halde en küçük değer 4 olur.
+
= c + b − a + −b
1
424
3 {
−
+
=c+b-a+b = 2b+c-a olur.
Örnek( 15 ) 1<x<2 olmak üzere
(x )2
x2 − 4 x + 4 + x2 − 2 x + 1 +
=?
Örnek( 18 ) x∈R olmak üzere x–2–
x+3 ifadesinin kaç farklı tamsayı değeri
vardır?
ÇÖZÜM:
=
( x − 2)
2
+
( x − 1)
2
+
( x)
( x)
=
2
= x − 2 + x −1 + x
{ { {
−
+
+
= -x+2+x-1+x
=x+1
MATEMATĐK’ĐM
x2 − 4 x + 4 + x2 − 2x + 1 +
2
ÇÖZÜM:
Her bir mutlak değer içini sıfır yapan değerler
bulunur.
x-2=0 x=2 ve x+3=0 x=-3
A=x–2–x+3 olsun
x=2 için A=2–2–2+3=-5
x=-3 için A=-3–2–-3+3=5
-3≤x≤2 için -5≤A≤5 olacağından A’nın
alabileceği değerler 11 tanedir.
Örnek( 16 ) x–2+x+3 ifadesinin en
küçük değeri kaçtır?
ÇÖZÜM:
Örnek( 19 ) x∈Z olmak üzere
x–4–x+1 ifadesinin kaç farklı tamsayı
değeri vardır?
Bu tür sorularda mutlak değer içlerini sıfır
yapan değerler bulunup tüm ifadede tek tek
yazılır. Hangi değer küçük çıkarsa cevap odur.
ÇÖZÜM:
x-2=0 x=2 ve x+3=0 x=-3
Yukarıdaki soru ile bunun arasındaki tek fark
x∈Z olmasıdır.
Önce her bir mutlak değer içini sıfır yapan
değerler bulunur.
x-4=0 x=4 ve x+1=0 x=-1
A=x–4–x+1olsun
x∈Z olduğu için -1 ≤x≤4 aralığında
x=-1,0,1,2,3,4 değerleri alınır ve A’da yerine
yazılırsa her bir x için farklı bir A bulunur. o
halde 6 farklı x için 6 farklı A vardır.
x=2 için
2–2+2+3=5
x=-3 için
-3–2+-3+3=5
iki değer de eşit çıktığından cevap 5 olur.
Örnek( 17 ) x+1+x+3+x+5
ifadesinin en küçük değeri nedir?
.
www.globalders.com
4
MATEMATĐK’ĐM
Mutlak Değer
Örnek( 20 )
27
ifadesinin en
x −1 + x + 2
büyük tamsayı değeri nedir?
x=0 ≥ -1
görüldüğü gibi x’in 0 ve -5 olmak üzere iki
değeri vardır.
ÇÖZÜM:
Örnek( 22 ) x+2+x–1=5 eşitliğini
sağlayan x değerlerinin toplamı nedir?
27
ifadesinin büyük olması için
x −1 + x + 2
ÇÖZÜM:
x − 1 + x + 2 ifadesinin küçük olması gerekir.
Mutlak değerlerin içini sıfır yapan değerler
bulunur.
x+2=0 x=-2 , x-1=0 x=1
Đfadeyi mutlak değerden kurtarmak için 3 ayrı
aralıkta inceleme yaparız
1) x<-2 için x + 2 + x − 1 = 5
{ {
x − 1 + x + 2 ifadesinin en küçük değeri için
mutlak değer içleri ayrı ayrı sıfıra eşitlenip
bulunan x değerleri ifadede yerine yazılıp
hangisi küçük ise o alınır.
x-1=0 x=1 ve x+2=0 x=-2
−
NOT: x-a+x-b
MATEMATĐK’ĐM
x=1 için 1 − 1 + 1 + 2 =3
x=-2 için −2 − 1 + −2 + 2 =3
o halde en küçük değer 3 tür. Bu değer asıl
ifadede yerine yazılır.
27
27
=
= 9 bulunur.
x −1 + x + 2 3
Örnek( 21 ) x+1+x+4=5 eşitliğini
sağlayan kaç x tamsayı değeri vardır?
ÇÖZÜM:
Mutlak değerlerin içini sıfır yapan değerler
bulunur.
X+1=0 x=-1 , x+4=0 x=-4
Đfadeyi mutlak değerden kurtarmak için 3 ayrı
aralıkta inceleme yaparız
1) x<-4 için x + 1 + x + 4 = 5
{ {
−
+
−
x+2-x+1=5
3≠5
3) x ≥ 1 için x + 2 + x − 1 = 5
{ {
+
+
x+2+x-1=5
2x=4
x=2 ≥ 1
o halde x’in aldığı değerler toplamı -3+2=-1
dir.
a2 −
(a.b )2
ifadesinin alabileceği farklı
a
değerler toplamı nedir?
ÇÖZÜM:
a.b<0 ise a ve b zıt işaretlidir.
-x-1-x-4=5
2x = -10
x=-5 < -4
2) -4≤ x <-1 için x + 1 + x + 4 = 5
{ {
1) a>0 ve b<0 ise
+
(a.b )
a −
2
2
-x-1+x+4=5
3≠5
3) x ≥ -1 için x + 1 + x + 4 = 5
{ {
+
2) -2≤ x <1 için x + 2 + x − 1 = 5
{ {
Örnek( 23 ) a,b∈R ve a.b<0 ise
−
−
−
-x-2-x+1=5
2x = -6
x=-3 < -2
a
=
+
−
}
}
a − a.b
a
{
+
a + a.b
=
a
+
x+1+x+4=5
2x=5-5
.
www.globalders.com
5
MATEMATĐK’ĐM
Mutlak Değer
a (1 + b)
a
=b+1
2x-1≥5
2x ≥6
x ≥3
=
3, 4, 5, 6, 7
2) a<0 ve b>0 ise
(a.b )2
a2 −
2x-1≤-5
2x≤-4
x ≤-2
=
a
−7 , −6 , −5 , −4 , −3 , −2
o halde cevap -2 olur.
−
−
}
}
a − a.b
a
{
1 1 1 1
+ + − =1
x y
x y
ise y’nin en küçük tamsayı değeri nedir?
Örnek( 27 ) 0<x<y ve
−
− a + a.b
−a
− a (1 − b)
=
−a
=1-b
o halde b+1+1-b=2 olur.
x<y ise
Örnek( 24 ) 2+x–2-x–2=?
2
= 1 ⇒ x = 2 olur. Bu durumda y en az 3 olur.
x
=
MATEMATĐK’ĐM
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
2+x–2>0 olduğundan
2+x–2=2+x–2
Örnek( 28 ) x–3+6–2x=9 ise x’in
alabileceği değerler toplamı nedir?
ÇÖZÜM:
x–3+23–x=9 özellikleri hatırlarsak
x–3=3-x olduğu anlaşılır. Buradan
x–3+2x-3=9
3x–3=9
x–3=3
x-3=3 ve x-3=-3 buradan
x=6 ve x=0 bulunur. o halde 0+6=6 dır.
2+x–2+x–2=2+ x − 2 - x − 2
=2
Örnek( 25 )
1 1
> dir bu durumda
x y
3x = 83 ise x–4+x–6=?
ÇÖZÜM:
Örnek( 29 ) x+1.x+4=x+1 eşitliğini
sağlayan değerler toplamı nedir?
3 = 83 ise x=4 için 3 =81 , x=5 için 3 =243
81<83<243 olduğundan 4<x<5 olur. Buradan
x − 4 + x − 6 =x-4-(x-6)=x-4-x+6=2 bulunur.
{ {
x
x
+
x
ÇÖZÜM:
−
x+1.x+4= x+1 mutlak değer
kurallarını uygularsak
Örnek( 26 ) 2x–1≥5 eşitsizliğini
sağlayan x∈Z’lerin toplamı nedir?
x+4= 1
x+1= 0
x+4= 1
x+4= -1
x+1= 0
x = -3
x = -5
x = -1
o halde cevap -3-5-1=-9 olur.
Örnek( 30 ) x+y+1+x–y–5 ifadesinin
en küçük değeri için x/y=?
ÇÖZÜM:
2x–1≥5 ise 2x-1≥5 ve 2x-1≤-5
eşitsizliklerini çözelim
.
www.globalders.com
6
MATEMATĐK’ĐM
Mutlak Değer
Özellikleri hatırlarsak
x–5<9 -9 < x-5 < 9
-9+5<x-5+5<9+5
-4 < x < 14
x’in değerleri -3,-2,…….,13 dir bu değerlerin
toplamı(ardışık sayılar toplamından )
17
(−3 + 13). = 85 olur.
2
ÇÖZÜM:
x+y+1+x–y–5 ifadesinin en küçük
değeri sıfırdır. Bu da x+y+1=0 ve x–y–
5=0 demektir.
x+y+1=0
x–y–5=0
x+y+1=0
x-y-5=0
x+y = -1
x-y = 5
Örnek( 33 ) 2x–1=x+7 eşitliğini sağlayan
x değerlerinin toplamı nedir?
bu iki denklem ortak çözülürse
x+y = -1
x-y = 5
2x = 4
x=2
ÇÖZÜM:
2x–1=x+7 ise
x 2
=
olur.
y −3
Örnek( 31 ) 2x+3+5x–2 ifadesinin
alabileceği en küçük değeri nedir?
ÇÖZÜM:
Her iki mutlak değerin içini sıfır yapan
değerleri bulup ifadede yerine yazar bakarız
hangi değer küçük ise cevap odur.
2x+3=0 2x=-3 x=-3/2
5x-2=0 5x=2 x= 2/5
x=-3/2 için
 −3 
2  + 3 +
 224
 3
14
2x-1=x+7
2x-x = 7+1
x=8
MATEMATĐK’ĐM
o halde
x+y=-1
2+y=-1
y=-3
2x-1=-x-7
2x+x = -7+1
3x = -6
x=-2
bu değerlerin toplamı -2+8= 6 olur.
Örnek( 34 ) +3<2x+5<7 eşitsizliğini
sağlayan x tamsayı değerleri kaç tanedir?
ÇÖZÜM:
+3<2x+5<7 ise
−15
−19 19
 −3 
5  − 2 =
−2 =
=
2
2
2
 2 
+3<2x+5<7
3-5 < 2x+5-5 < 7-5
-2 < 2x < 2
-1 < x < 1
0
x=2/5 için
4
19 19
2
2
2  + 3 + 5  − 2 = + 3 =
=
5
5
5
5
5

1424
3
x=0
+3<-(2x+5)<7
3 < -2x-5 < 7
3+5 < -2x-5+5 < 7+5
8 < -2x < 12
-4 > x > -6
x = -5
0
o halde x’in iki farklı değeri var
19 19
19
<
olduğundan cevap
olur.
5
2
5
Örnek( 35 ) 2x+4=12 denkleminin Ç.K=?
Örnek( 32 ) x–5<9 eşitsizliğini sağlayan
x tamsayılarının toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
.
www.globalders.com
7
MATEMATĐK’ĐM
Mutlak Değer
2x+4=12 ise
2x+4=12
2x = 8
x=4
Mutlak değer özelliklerinden;
x–4=2x+5 ise
2x+4= -12
2x = -16
x = -8
x–4=2x+5
-4-5 = 2x – x
x = -9
x–4= - 2x-5
x+2x = -5+4
3x = -1
x = -1/3 ε Z
o halde sadece -9 alınır. Yani cevap -9 dur.
Çözüm kümesi : {-8,4}
Örnek( 36 ) –4<x+3<5 eşitsizliğini
sağlayan x tamsayıları kaç tanedir?
ÇÖZÜM:
Örnek( 40 ) x<2 ise x–2–
2x+4+5=0 ise x=?
Mutlak değerli bir ifade daima negatif bir
sayıdan büyük olduğundan eşitsizliğin sol
tarafı dikkate alınmaz
ÇÖZÜM:
x+3<5 -5 < x+3 < 5
-5-3 < x+3-3 < 5-3
-8 < x < 2
x’ler : -7-6,….0,1 yani 9 tane değer vardır.
x<2 ise -2<x<2 dir.
x − 2 − 2x + 4 + 5 = 0
{ 123
Örnek( 37 ) x–4+3=0 denkleminin Ç.K=?
ÇÖZÜM:
x–4+3=0 x–4= -3 mutlak değerli bir
ifade hiçbir zaman negatif bir sayıya eşit
olamayacağından çözüm kümesi boş kümedir.
MATEMATĐK’ĐM
−
Örnek( 41 ) x≤3 ise y+x–5=0 için kaç y
tamsayı değeri vardır?
Örnek( 38 ) 3+x+5=7 denklemini
sağlayan x∈Z ‘lerin toplamı nedir?
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
x≤3 ise -3 ≤ x ≤ 3
y+x-5=0 x = 5-y bu değer x’in belirtilen
aralığında yerine yazılırsa
3+x+5=7 ifadesinde 3+x+5>0
olduğundan ;
3+x+5= 3+x+5=7 x+5= 4
x+5= 4
x = -1
+
-(x-2)-(2x+4)+5=0
-x+2-2x-4+5=0
-3x +3=0
3x = 3
x=1 bulunur.
-3 ≤ x ≤ 3 -3 ≤ 5-y ≤ 3
-3-5 ≤ 5-y-5 ≤ 3-5
-8 ≤ -y ≤ -2
her taraf (-) ile çarpılısa
8≥y≥2
y’ler 2,3,4,5,6,7,8 yani 7 tane dir.
x+5 = - 4
x = -9
x”lerin toplamı -1-9= -10 olur.
3
1
> eşitsizliğini
x−2 4
sağlayan kaç x∈ N + var?
ÇÖZÜM:
Örnek( 39 ) x∈Z olmak üzere
x–4=2x+5 denkleminin kökler toplamı
nedir?
ÇÖZÜM:
Örnek( 42 )
.
www.globalders.com
8
MATEMATĐK’ĐM
Mutlak Değer
3
1
x−2 4
>
⇒
<
x−2 4
3
1
x−2
⇒
<4
3
Örnek( 45 )
yapan x=?
ÇÖZÜM:
⇒ x − 2 < 12
-12 < x-2 < 12
-12+2 < x -2+2< 12+2
-10 < x < 14
+
x∈ N olduğundan 0 < x < 14 aralığında 13
terim var ancak bunların içinde x=2 değeri asıl
ifadeyi negatif yaptığından 13-1=12 tane x
vardır.
x−4
+ 2 ifadesinin en küçük değeri 0
3
olduğundan;
x−4
x−4
+2 =0 ⇒
+2=0
3
3
x−4
⇒
= −2
3
⇒ x − 4 = −6
⇒ x = −6 + 4
⇒ x = −2 bulunur.
(2 x + 3) ≥ 4 eşitsizliğini
Örnek( 43 )
sağlayan x’lerin toplamı nedir?
2
ÇÖZÜM:
Örnek( 46 ) 2<x+1–3<5 eşitsizliğini
sağlayan x∈Z ‘lerin toplamı kaçtır?
≥ 4 2 x + 3 ≥ 4 ise
2x+3 ≥4
2x ≥ 1
x ≥ 1/2
2x+3 ≤ -4
2x ≤ -7
x ≤ -7/2
x’lerin toplamı …-7,-6,-5,-4,1,2,3,4,5,6,7… 4 ve 4 ten sonrası yok olacağından 1+2+3=6
olur.
Örnek( 44 ) a+3=b ise
2 a − b + 5b − 5a
7
MATEMATĐK’ĐM
(2 x + 3)2
−3 = ?
2 a −b +5 b−a
7
a − b = b − a olduğundan
=
7
2<x+1–3<5 ise
1)
2<x+1–3<5
2+3<x+1–3+3<5+3
5<x+1<8
5< -x-1<8
5+1<-x-1+1<8+1
6 < -x < 9
-6 > x > -9
x’ler -7,-8
2)
2< -x+1+3<5
2-3 < -x+1+3-3 < 5-3
-1 < -x+1 < 2
1 > x+1>-2
mutlak değer daima negatif sayılardan büyük
olduğundan sağ taraf dikkate alınmaz
1 > x+1 x+1<1
a+3=b b-a = 3 olur.
−3 =
ÇÖZÜM:
5<x+1<8
5-1<x+1-1<8-1
4<x<7
x’ler 5 ve 6
ÇÖZÜM:
2 a − b + 5b − 5a
x−4
+ 2 ifadesini en küçük
3
−3
7 b−a
−3
7
= b−a −3
-1 < x+1 < 1
-1-1 < x+1-1 < 1-1
-2 < x < 0
x’ler -1
o halde tüm x’lerin toplamı 5+6-7-8-1=-5 olur.
= 3 −3
= 3-3
= 0 olur.
.
www.globalders.com
9
MATEMATĐK’ĐM
Mutlak Değer
Örnek( 47 ) x–1+2+2–2x+3=11
eşitsizliğini sağlayan x∈Z ‘lerin çarpımı nedir?
Örnek( 49 ) x≤5≤x+3 eşitsizliğini
sağlayan x∈Z ‘lerin toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
x–1+2 daima pozitif olduğundan
x–1+2=x–1+2
x≤5≤x+3 ifadesi iki ayrı eşitsizlik
şeklinde çözülür.
i)x≤5
ii) 5≤x+3
2–2x+3 daima pozitif olduğundan
2–2x+3=2–2x+3
i)x≤5 -5 ≤ x ≤5
o halde ifade
x–1+2+2–2x+3=11 dönüşür. Buradan
ii) 5≤x+3 x+3≥ 5
(x–1=1-x)
x–1+2+2x-1+3=11
3x-1+5 = 11
3x-1 = 11-5
3 x −1 6
=
3
3
x-1 = 2
x-1 = 2
x-1 = -2
x = 2+1
x =-2+1
x=3
x = -1
x’lerin çarpımı 3.(-1) = -3 olur.
Örnek( 48 )
2x + 3 − 7
x+2 +3
x+3≥5 ve x+3 ≤ -5
x ≥ 5-3
x ≤ -5-3
x ≥ 2 x ≤ -8
her iki durumdan ortaya çıkan tabloya
bakılırsa
MATEMATĐK’ĐM
x–1+2+21–x+3=11
< 0 eşitsizliğini
x+2 +3
-8
-5
2
5
+∞
i
ii
görüldüğü gibi ortak aralık 2≤x≤5 aralığıdır.
Bu aralıktaki x’lerin toplamı 2+3+4+5=14 olur.
sağlayan x∈Z ‘lerin toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM:
2x + 3 − 7
-∞
Örnek( 50 )
5 − 2 x − 7 ∈R ise kaç x∈Z
vardır?
< 0 ifadesinde payda yani
ÇÖZÜM:
x + 2 + 3 daima pozitif olduğundan
eşitsizliğin sağlanması için 2 x + 3 − 7
ifadesinin negatif olması gerekir. Buradan
2x + 3 − 7 < 0
5 − 2 x − 7 ise 5 − 2 x − 7 ≥ 0 omalıdır.
Buradan ;
2x − 7 ≤ 5
-5 ≤2x-7 ≤5
-5+7 ≤2x ≤ 5+7
+2 ≤2x ≤ 12
2 2 x 12
≤
≤
2 2
2
1 ≤ x ≤6
x’ler 1,2,3,4,5,6 yani 6 tanedir.
2x + 3 < 7
−7 < 2 x + 3 < 7
-7-3 < 2x < 7-3
-10 < 2x < 4
−10 2 x 4
<
<
2
2 2
-5 < x < 2
x’lerin toplamı -4-3-2-1+0-1 = -9 olur.
.
www.globalders.com
10
MATEMATĐK’ĐM
Mutlak Değer
Örnek( 51 ) x+2≤x–7 ise Ç.K=?
ÇÖZÜM:
x +2
ÇÖZÜM:
x
Özelliklerden hatırlayalım
x+2≤x–7 ( x + 2)
2
≤ ( x − 7)
x +2
=5 ⇒
x
=5
2
x + 2 pozitif olduğundan
x² + 4x + 4 ≤ x² − 14x + 49
4x+14x ≤ 49-4
18x ≤ 45
45
x≤
18
5
x≤
olur.
2
x +2 = x +2
⇒
x +2
x
=5
⇒ x + 2= 5 x
⇒5 x − x =2
⇒
Örnek( 52 ) x 2 − 4 x + 4 = 0 denklemini
sağlayan x’lerin çarpımı kaçtır?
4 x
4
⇒ x =
=
2
4
1
2
1
1
ve x = −
2
2
1  1
x’lerin toplamı +  −  = 0 olur.
2  2
ÇÖZÜM:
x 2 − 4 x + 4 = 0 denkleminde x’in farklı iki
durumu vardır.
MATEMATĐK’ĐM
x=
i) x≥0 için x = x olur. Buradan;
A) x5 B) − x 5 C) x 6 + 3 D) − (− x ) E) x–3
5
x − 4x + 4 = 0
(x-2)² = 0
x-2=0
x=2 ≥ 0
2
ÇÖZÜM:
x= –x ise x ≤ 0 dır.
x=0 olabileceğinden A,B,D şıkları sıfır
olabileceğinden elenir. x=0 için C şıkkı da
pozitif çıkar. Bu durumda cevap E şıkkıdır.
E şıkkı x=0 için de x<0 için de negatif oluyor.
ii)x <0 için x = − x olur. Buradan;
x2 + 4x + 4 = 0
(x+2)² = 0
x+2=0
x = -2<0
Örnek( 55 ) x–y≤x–y , y=y ise
x+y–x+y+x–y=?
x’lerin çarpımı -2.2 = -4 olur.
Örnek( 53 )
x +2
x
Örnek( 54 ) x= –x ise aşağıdakilerden
hangisi daima negatiftir?
ÇÖZÜM:
x–y≤ x–y ise x-y ≥0 olmalı buda x≥y
demektir.
y=y olduğu için y≥0 dır.bu durumda x’de
pozitif olmalıdır. o halde bu soru için mutlak
değerlerin bir anlamı kalmadı. Mutlak
değerleri kaldırırsak ;
x+y–x+y+x–y=
x+y – x + y + x – y = x+y olur.
= 5 denkleminin kökler
toplamı nedir?
.
www.globalders.com
11
MATEMATĐK’ĐM
Mutlak Değer
Örnek( 58 ) x<y<0<z için aşağıdakilerden
hangisi yanlış olabilir?
x−7
≤ 0 eşitsizliğini
x − 2 . 3x − 9
Örnek( 60 )
sağlayan kaç x∈N vardır?
C) –y.z= –y.z
A) x–z>y–z
D) x–y=y–z
B) x.y=x.y
E) y+z= y+z
ÇÖZÜM:
x−7
≤ 0 eşitsizliğinde x − 2 . 3 x − 9
x − 2 . 3x − 9
ÇÖZÜM:
daima pozitif veya sıfır olduğundan x-7 ≤0
olmalıdır.
x-7 ≤ 0
x ≤ 7 olur. Şimdilik 8 tane x
var. Ancak bunların içinden paydayı sıfır
yapan değerler elenmelidir. Şimdi paydayı
sıfır yapan değerleri bulalım
A,B,C şıkları kesin doğru, D şıkkı da kesin
yanlıştır. Bu durumda E şıkkı yanlış olabilir.
(Örneğin y = -2 ve z = 5 seçilirse doğru,
y = -5 ve z = 2 seçilirse yanlış oluyor.)
x-2= 0 x=2 ve 3x-9 = 0 x = 3
bu iki değer de çıkarılırsa 8-2=6 tane x∈N
değeri kalır.
ÇÖZÜM:
1) x-2 ≥ 0 ise x≥2 olur. Bu durumda
x.(x-2) = 3 tür. Buradan
x²-2x-3 = 0 olur. Đfade
çarpanlarına ayrılırsa
x²-2x-3 = 0
MATEMATĐK’ĐM
Örnek( 59 ) x.x–2=3 eşitsizliğini
sağlayan x∈R ‘lerin toplamı kaçtır?
Örnek( 61 ) a=a ve b>b ise A.H.
kesinlikle doğrudur?
A) a.b<0
B) a.b>0
D) a+b<0
x
x
-3
1
E)
C) b–a<0
a
>0
b
ÇÖZÜM:
a=a ise a ≥ 0 dır.
b>b ise b <0 dır. bu şartlar altında
a=0 düşünüldüğünde A,B ve E şıkları yanlış
olur.D şıkkı a ve b ‘ye verilecek değerlere göre
doğru veya yanlış olur.
C şıkkı ise kesin doğrudur. Çünkü b-a<0 ise
b<a dır ki bu da ilk bulunan bilgilerle tamamen
uyuşuyor. O halde cevap C şıkkı olur.
(x-3)(x+1)=0
x-3=0 x= 3 ve x+1=0 x = -1 olur.
Ancak -1 değeri x≥2 şartına uymadığından
alınmaz
2) x-2 < 0 ise x<2 olur. Bu durumda
x.(-x+2) = 3 tür. Buradan
-x²+2x-3 = 0 olur. Đfade
çarpanlarına ayrılmadığından ( ∆ <0) kök
bulunmaz
Örnek( 62 ) a,b∈R ve n ∈ Z + için
A.H.K.Doğrudur?
A) a–b=b–a
n
C) a n = a
bu durumda cevap sadece 3 olur.
B) –a=a
D) a n < b n
E) b=b
.
www.globalders.com
12
MATEMATĐK’ĐM
Mutlak Değer
olduğuna göre , z kaçtır?
ÇÖZÜM:
A)
A,B,D ve E şıkları a ve b’nin alacağı değerlere
göre doğru veya yanlış olabilirler. O yüzden
cevap C şıkkıdır. Kuvvetin tek veya çift olması
ifadenin işaretini etkiler, ancak mutlak değer
zaten her halukarda pozitif olduğundan sonuç
değişmeyecektir.(bakınız özellikler.)
B) 2+
D) 10 –
5
5
E) 5 –
C) 4+
5
5
ÇÖZÜM:
x=
5 −3 = 3− 5
y = x −5 = 3− 5 −5 = − 5 − 2 = 5 + 2
z = y−2 =
Örnek( 63 ) x,y,z∈R için aşağıdakilerden
kaç tanesi daima doğrudur?
I. x–y=y–x
II. x+y≥x+y
x
x
III.
= , y ≠ 0
y
y
5
5 +2−2 =
5 = 5
cevap A şıkkı olur.
IV. x.y=x.y
V. x.y=x.y
VI.
HAZIRLAYAN
ĐBRAHĐM HALĐL BABAOĞLU
x2 = x
Matematik Öğretmeni
www.globalders.com
I,II,IV ve VI zaten özelliklerde var olduğu için
doğrudur.III ve V şıklarında x ve y’nin zıt
işaretli değerleri için sağlanmaz bu yüzden
kesin doğru değildirler. O halde 4 tane doğru
şık vardır.
Örnek( 64 )
(ÖSS-2008)
MATEMATĐK’ĐM
ÇÖZÜM:
x<0 olduğuna göre ,
x −1 + x + 3
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x+2 B) 2x+2 C) 2x – 2 D) 4 – 2x E) 4
ÇÖZÜM:
x − 1 + x + 3 = −( x − 1) − ( x) + 3
{ {
−
−
=-x+1-x+3
= -2x+4 bulunur.
Örnek( 65 )
x=
(ÖSS-2006)
5 −3
y = x −5
z = y−2
.
www.globalders.com
13