tıkla indir

www.ufukcevik.com
Kirişler (Secant) Metodu
Bu metotta Newton Metodu’na karşılık, α köküne yakınlık y = f ( x ) in grafiğine
doğrular tarafından yaklaşma ile gerçekleşir.
Bu yüzden farz edelim ki x0 ve x1 α kökünün iki başlangıç değeri olsun. ( x0 , f ( x0 ))
ve ( x1 , f ( x1 )) noktalarıyla belirlenen secant doğruları ile y = f ( x ) grafiğine yaklaşılır. x2 ‘yi
f ( x) ‘in kökü olarak gösterelim. x2 ile α köküne daha iyi yaklaşabiliriz. Bunu aşağıdaki
figürden görebiliriz;
Secant doğrularında eğim formülünü kullanarak;
f ( x1 ) − f ( x0 ) f ( x1 ) − 0
=
x1 − x0
x1 − x2
x2 ‘yi çözerek
x1 − x0
x2 = x1 − f ( x1 )
f ( x1 ) − f ( x0 )
elde ederiz. x1 ve x2 ‘yi kullanıp, bu yöntemi tekrarlayarak x3 ‘ü elde ederiz. Bu şekilde
devam edersek genel formül;
( xn − xn−1 )
xn+1 = xn − f ( xn )
, n ≥1
(1.1)
f ( xn ) − f ( xn−1 )
elde edilir.
Buna secant (kirişler) metodu denir. Newton metoduna karşılık yakınsaklığı garanti
etmez, ama yakınsak olduğu zaman, genellikle hızı yarılama yönteminden daha iyidir.
-1-
www.ufukcevik.com
www.ufukcevik.com
Hata Analizi:
(1.1) in her iki tarafını (−1) ile çarpıp sonra her iki tarafına α eklenirse;
xn − xn−1
α − xn+1 = α − xn + f ( xn )
f ( xn ) − f ( xn−1 )
elde edilir. Eşitliğin sağ tarafını kullanarak; aşağıdaki formül bulunur
f [ xn−1 , xn , α ]
α − xn+1 = −(α − xn−1 )( x − xn )
f [ xn−1 , xn ]
(1.2)
Buradaki f [ xn−1 , xn ] ve f [ xn−1 , xn , α ] sırasıyla 1. ve 2. Newton kesirli farklarıdır.
Burada bunların yerine Newton ileri farklar formülü kullanarak;
n
n
1 ∂ f n ( x) 1 ∂ f0 ( x)
f [ x0 , x1 ,..., xn ] =
=
n ! ∂x n
n ! ∂x n
ve sadeleştirerek;
f ′′ (ζ n )
α − xn+1 = −(α − xn−1 )(α − xn )
(1.3)
2 f ′ ( ξn )
elde edilir. Burada ξn , xn−1 ve xn arasında, ζ n ise xn−1 , xn ve α arasındadır. Hata analizi
formülü kullanılarak; secant (kirişler) metodunun yakınsaklığı incelenebilir.
Teorem 1.1: Farz edelim ki; f ( x) , f ′ ( x) ve f ′′ ( x) α içeren bir aralıktaki x ‘in tün
değerleri için sürekli olsunlar ve f ′ (α ) ≠ 0 olsun. Eğer yeterince kapalı α ‘yı içeren bu
aralıktan iki tane tahmini x0 ve x1 seçebilirsek, tekrarlamalı xn dizisi (1.1) α ‘ya
yakınsayacaktır. Yakınsaklık hızı p =
(1+ 5 ) ≅ 1.62 olacaktır.
2
Đspat: α ‘nın ε > 0 komşuluğunda, ∀x ∈ I için f ′ ( x) ≠ 0 olan kapalı I aralığını
seçelim.
max f ′′ ( x )
x∈ I
M=
2 min f ′ ( x )
x∈ I
Şeklinde bir M sayısı tanımlayabiliriz. Çünkü kapalı aralıkta sürekli her fonksiyon
maksimum ve minimum değerlerini bu aralıkta alır. f ( x) , f ′ ( x) , f ′′ ( x) I aralığında sürekli
olduğundan ve f ′ ( x) ≠ 0 ∀x ∈ I ’da farklı olduğundan M sayısı tanımlanabilir.
∀x0 , x1 ∈ [α − ε, α + ε ] olmak üzere (1.3) kullanılarak
e2 ≤ e1 e0 M
M e2 ≤ M e1 M e0
ayrıca farz edelim ki x1 ve x0 ‘ı
δ = max {M e0 , M e1 } < 1
(1.4)
bu şekilde seçebiliriz. O zaman M e2 < 1 ‘dir.
M e2 ≤ δ 2 < δ
olur.
e2 <
δ
= max { e1 , e0 } ≤ ε
M
-2-
www.ufukcevik.com
www.ufukcevik.com
ve böylece x2 ∈ [α − ε, α + ε ] .
Tümevarım uygulayarak xn ∈ [α − ε, α + ε ] ve M en ≤ δ ,
gösterebiliriz.
Yakınsaklığı ispatladık ve yakınsaklık hızını elde edelim;
(1.3) ‘de uygulamaya devam edersek
M e3 ≤ M e2 M e1 ≤ δ 2δ = δ 3
n≥2
olduğunu
M e4 = M e3 M e2 ≤ δ 2
n için;
M en ≤ δ qn
(1.5)
M en+1 ≤ M en M en−1 ≤ δ qn +qn−1 = δ qn+1
qn+1 = qn + qn−1 , n ≥ 1
(1.6)
ve q0 = q1 = 1 ve bu Fibonacci dizisidir. Açık formülünü verelim;
1  n+1 n+1 
qn =
 r0 , r1  n ≥ 0
5
r0 =
1+ 5
≅ 1.618
2
r1 =
(1.7)
1− 5
≅ −0.618
2
Böylelikle
1
n +1
(1.8)
(1.618) n ≥ 0
5
Örneğin q5 = 8 ve formül (1.8) 8.025 veriyor. (1.5) ‘e geri dönersek, hata sınırını elde ederiz;
1
en ≤ δ qn n ≥ 0
(1.9)
M
ve qn (1.7) ‘de belirlenmiştir.
qn ≅
n → ∞, qn → ∞ gider ve biz xn → α ‘yı buluruz.
Daha dikkatli bir düzenleme ile yakınsaklık hızı p =
1+ 5
olduğunu gösterebiliriz.
2
Bunun yerine (1.9) ‘daki azalan sınırların oranını gösterelim.
Bn (1.9) ‘daki üst sınır olsun o zaman;
1 qn+1
δ
Bn+1
M
=
= M r0 −1δ qn+1 −r0 qn ≤ δ −1M r0 −1 ≡ c
r0
r0
Bn
 1  r0 qn
  δ
 M 
çünkü
qn+1 − r0 qn = r1n+1 > −1
Böylelikle
Bn+1 ≤ cBnr0
Bu eşitsizlik gösterir ki yakınsaklık hızı p = r0 =
-3-
1+ 5
dir. Bu ise altın orandır.
2
www.ufukcevik.com