HARMONICES

Ioannis Keppleri
HARMONICES
M V N D
I
L
I
B
R
I
V.
Qvorvm
Primus Geometricvs, DeFigurarurriRegularium, quse ProportiOnes Harmonicas conftituunt, or tu & demonftrationibus.
Secundus Arc hitecto n icvs feu ex Gecmetri a Figvr at a De Fi*
o-urarum Regularium Congruentia in plano vel folido
Tertius propf ie Harmonicvs, De Proportionum HarmonicarumortuexFiguris; deqUe Natura fk. Difrerentiisrerum adcantum per*
,
,
tinentium, contim Veteres
& Astrologicvs, De Har~ moniarum mentali Eflentia earumque generibus in Mundo; prafef -
Quartus Metaphystcvs ) Psychologicvs
tim de Harmonia radiorum, ex corponbus ccelefti bus in Terram defcendentibus, eiufque effe&u in Natura feu Anima fublunariSc
Hamana
Quintus Astronomicvs&Metaphysicvs > DeHarmoniis
"
abfolutifli*
mis motuum cceleftium,ortuque Eccentricitatum ex proportioni-
busHarmonicis.
Appendix habet comparationem huius Operis cuni Harmonices CI.
Ptolemsi libro 1 I.cumque Roberti de Fluctibusjdi&i Flud.Medici
Oxonienfis fpeculationibus Harmonicis, operi de Macrocofmo Sc
Microcofmo infertis.
K^iCCESStT
NVNC fropter cognationem mate-
ru eiufdem Authoris liber ante lyannoseditus Tubing<e,cuiiitulutVf odroinUSi
feu CMyflerium Cofmographicumydecaujts CcelorumNumeri.
°roj>or-
tionis motuumque Periodicorum , e x quinque.
Corporibut Regularibtts.
Cttm
S. C.
*M
X
\ Triuilegio adannos
X V.
Lincii Auffcriae,
SumptibusGoDOFREDi TAMPAcMiiBiy.Francof.
ExcudebatloANNEs Plancvs.
«4nno
M DC. XIX.
GONOROENTIA LlB. tt
XXVII. PROPOStTIO.
61
COngruuntetiam adfolidandasfiguras,ferbiregulares figuf^ici*
licet Rhombi plani,peff e&iffime,idque cahtum bis>
%w« dmdecimptanisRhombis
;
cerix pHportibnis DiagohidrUm ,fit
Rhombusfo/idus ,figuraceliulx Apiarix , quantumadlaterafex, g? fundum-a
triangularemfo/idums : fihcehimRhombicongraentesfic, irtobtufibbtufist
acutiacutis app/icentkr*, treshaheritobtufahguloshiatus
cut-erum txtantiafupra, tetidemque infra.
, triattiam pariaaQorigruunt igiturtrium utrin- ^"
"
&
lalD
r
que Rhomborum , dbtufis conjunilorumternxtmineritix; in hiatus , recipiuntvL n |r
_
hiatibus illorumeminehtias'.
*fuis
'De hat _j
te=
>.
_,,
_.
v
^,
,
v,
Sictrtgihta
.
•
Khombi piant , proporhonis Diagohofum
attertus
fhciunt mmfuprfc
;
Rhombum folidum "Triacontaedri>j
«_
d
<«»!_ gwim
entm _T ^///?z/ Kbom',
-
•
•
•
/
*°'
9 ' "*
Dcf V.
.
hf angu/is acutis conjuncii, ad effigiandos dws fclidos ex opfofitis Xx &h ptagtsjkintes; ciim hient apud obtu Egura m»
y« conjuncios>quiriorum _f quino]r„;„
J
01*
Rhomborum obtufis a/i/s , im-
p/enthiatus
:
denique in utriusque
&e/utitefix medio , Zona e-x-decem
Rhonibicis compbftta xiitumit , cbhjungehs %tra'mq; tefhm.
T^onefeverb p/urespcrfbcias Rhomberum congruentias ; jftc probaiur.
Sunt enim duo anguli plani Rhombiciacuti , ~duo obtufi ; quorumfemper acutus
unus _? unus obiufus fkciunt duos recios : necptures iribus obfufis congruunt
nefuperent quatuorrecios*
fffhtodfiergb tresfo/itm acutosconjunxeris ,fitifc
tn Cubo , Hexahedron Rhombicum ,cum duobusfo/itm fotidis acutis ,/ongiffim^
diflantibus ; cxterifo/idi in medio torporis non tnritum •difhint : nonfervantuf
ipitur leges definitionis VIII , qux non admittit duos fo/os angu/os ineadeni
Prxterea ex fex fo/idis obtufis quilibet claud.it ur a duobus obtufisplafahxra.
Ergb non
nis _? itno acuto ; qux irregularitasrurfum efl contra definitiones.
tres tnntumptani acuti coiredebent. At aequefex avuti,toiidemfci/icet Rhom-
lorum, coeunt.
Si enimfin^uti habent quaritiuttm z ttrtias unius Recti , ob-
tufihabebttnt duplam quarititztiem , fcilic&t 4 tertias: &Jic tnm ires obtufi
quhm fex acutifbrmabitnt 4 ReBos , riecvel illiTJe/hifbrmabunt angu/um foSin autem dcuti
lidurn-DjfedflerneritcontinUamplaniiiem^VtinfiguraG^
truni,
_f
maiores
,
iresfuperabunt
recios. Erobiufi
quaiuor
fumaniur
minores
gb dux tantumfunt perfbciiffimtz Rhombicxcongruentix : Una , ih quaquatuor
a cuit anguli Rhombici coearit in fff/idum ; a/tera ; iri qua quinque : quibus tatnen affociatur Cubus , t&nqUamRhomborum omnium principium, quiaplanum
vt Rhbmbicdrumj.
ipfius efl faterum xqua/ium quatuor,
'
XXVIIt.
PfcOPOSITIfJ*
Erfe-tacinfolidocohgruentijegradus inferioriSjfpecies fum tredeeim; ex quibus credecim oriuncur ArchimedeaCbrporai
h _
Qum
XI.II.Aa.
£2
y'^_
FiguraruM Marmon:
De....
,
(Jui/nehimmifieanturinhQcgradufigurAd^
^Uodfi\duarum > tunc
mifiebuniurautdudrkmauitrium^ecierumfigur^
intereasvetJuhtTrigoniveihonJunt.
Igrex Trigohis £•? Teiragohisfiuntjolidatriafquibusquidem deflX.com*
peMt. f>[am iUa rejicitfirmas hafce tres,in quibusfolidum angulum ciaudunt t
cumuho Tetragonico plano arigttlo,Um duo} quamtres plani Trigoniciyaut cum
duobusTeiragoriicis , unusTrigonicus ; quia inpYtmoxaJu unus folus Tetragonus efijfitiftdimidiumQcTsiedriiS ahgulifbiidifunt diVerfifirmesxinficurido duo
Oo,;
X
foli Tetragohiyin iertio duofiti Trigoht: qu&v
,funt imperfifia. congruentia.
c
Primum »
R\eJHlnt ergb modi ki , in qtiibus angitlumfilidum claudunt 1 tani,
f.
Ci&us
fmiu.
C
on quatuor Trigonici tf unus Teiragonicus. Suntenimminores 4 refiis.
gruuntigitur fix Tetragoni £J* Triginta duo (idefi\zo $$ iz.)TrigonhS$ fit fi-
gura Triacohtaocrohedrica,quod appelio Cubumfimum. Hic in fchemate fequen^
tififiusefi
Numero iz»
Qitpz%enim Irigoniciplahi
$ uhus Tetragonicusfuperant quatuor redebeant ad joiidums
ctaudendum efie minores quatucr
tios
cum
,
refiis
3
per
XVL
duo Tetragomct,
Tres verb Trigonic i £3* di&o Tetragonicijhciunt quatucr refios.
Securidbduo Trigonici tf dua
vr Trigonici
H.
Rh.Cu&
e&aedrows
Sic eiiam quatu *
£5?
Tetragonici minus habeni qttatuor
refiu
i
Hic igitur congruunt
Trigoni
& fex
mandum unum
IIT.RhesU
l»ici
Cubcto
iftaedroi»
'dron
,
ofio
Tetragoni adfirTefiareskxdecae-
quod cubo&aedtoh
af>pello.
Pifiumefi hic num:oc~bvo.Du6 verbTtigonicicumiribus Tetragoni'cisfupierkni
^
4.
refios.
Tertibtmus Tri^onicus tf tres
Tetragohiciminus habent 4.refits
Hicergbcongruuntofio Triangu-
&
6)qua-~
la ef ofiodecim{ideft\i
drangulas j adunum Tcofthexae-
dron , quodappelldfefium Rhombt*
Cubofiaedricum: vei Rhombicub*tfstedron. Pifius eft hic numero fyj
Jhhtsigrtribui/unt Tetragof
nijuxtaTrigonos : Jequiturvt
fc/'
Pentagpnicos i/sficrfimafibciemiis.
^uihfyplani Trigonicijuxta unum PenUgonicumnonftint , quiane%
juxtzi minoremeO)Tetragonicum,fiarepoterant.
^uatitor ergb Trigonici, cum
uno Pentagonico , mihus efficiunt 4 retfis , i$ congruunt ofiogintst (idefl 20.&
Ennenecontnkadyhe^
iV.Bodeca tyfrigoniycum duodecim Pentngonts j ad Jbrmandam
~
tdron fima
droh ,quodappetlo Dodecaedronfithumi Pirigiturhic numero 13. Et inhocordi-
HifimorHmtUofaedronpofaepteHiumiquodefiquafiTetraedrenfim
Trei
CoNGRUENTlA LlB*
ff.
«>5
Tresplanos Trigonicosfi itni Pehiagohico afovdveris ,fii qitodjuprh, vt
?*
Pyramis,partes Icofdfdti:nec dngrt/if/idifunt kic ejiisdemjpeciei,qiiia 'itniis amhitut
,
i/t ih Icojiedto
,
quihque Trigonicis\
Et transaBum efi cum unico Pen-
tngohicb.
<LAt ires Trigonici cum duohtis Penthgonicis p/us efficiitni h reiiis. TrarisV.Tcofid^
y
dilum igitur efl cam irihusTrigoriicis infocietatemPenthgonicorum adfcifiendis. de c aheDuo Trigonici citm duobus Pentrigohicis mihus efficiunt 4 Reiiis. xfjongru- ^cm.
j
j.
unt igititr vigihti Trigoni Qf dkodecim Pentagoni in urium Tria'contz'k&dyhedron, quodappetto lcofidodecahedroh. Pihgitur hic Nitmeto 9 . Citm uho Penttigonico duOs Trigonico-sjam rejicimus , TransaBitmigr efl cum duobus Trigonis.
linus Trigohicus cum ttihus Pentngonicis plus qitam 4 retlos ejficit
daohus verb per XXIII. hihi/iegu/are
,
Sicfy irarisaciAm eft cum Penthgohis ih fociethie
taJ.
,
cum
qitih Penthg^ohus eflfigura irupari/ate-
Trigohici qitatubt cum uno Hexagohico ,
£*f dtto
TfigonuVum.
ium duobus Hexdgbhick
imvletpiamtiemiattrsscumduohitsfunimajotes4retlisjCumunoHexao6hicoduosfiiosHexagonoiihfiguramrecipiuntirejeci^igrtrihusTrigohicis,dtidfuni
<s.qiiales itni
Hexagohico , quare rejecii pei XXII.
cum duohus Hexagohicii
copuletuf:
Itittfe
^R^efHit irt itnus
Trigohicus
cohgruitnt quaiitor Trigoni cum qlta-
tuor Hexagohis in uhitm Oifaedrch , ifuodappetto Triiricum Tetraedroh;
pittit
Nitmtfo zfbl.jequehti.
Trigoniciquatuor
Pin-
~i$
& vou *f?l
eum.
„
cum uno Hepiagohico
-
,
.
mdjorihus , fufserahi 4 reffos i
nutta igiturporrb menHoJhcieridaeflquat&orTrigonicorum:nutta ttiam triumy
oh cauftsfiepe attegatas : duo verb aimfigrtrarum Hexagmo
majoftm binispla-
cum
cum ithb pla nopgitr& majoris , qfiia ifli
faperantur ab hpc qubd rejeiium ejl ax\ XXII. ^Refklt ixaminaridus hic cafm cumitnm Trigoniius duohus planis f$urk ma]orisHexagohacopitlatur:atqui cum ditohus Heptztgonicis rejiviturfer XXlII. vi £5 c i*?n omhium impatilariU, fuperant^
4
reiios
: riittta
igitut neq, duorumporrb eflfacienda mehtio ;
bin is pla nisfi^tir*. majoyis > nec duotuth
\
,
y
ierarum duobus ) citm duobus vcrb
Qctd%priicis,fit corpus, in qiio cohgruuni ocib ^.
•
,,
•
TrigohiW fex OHogoni ihtthiim Tefarak<edecahcdroru>, qitod appettoCubum uuncus.
Truncum.Ejusfiguramhabesjighahtm Numii.fbl.ferf. Cum duobus Decagonicis ;fit corpus,
in quo congruuni viginti Trigoni
& 12 Dccagohi,in iinum Trid-
contirkdidyhedroh qitod Appetto Tr-uhcum Dodecaedron.
,
figitrisfequerites
filidus angulus
?
Idfignatumefliriter
Num.j.Cumdmbsts Dodecagoriicis impldur pJahities , riecfit
multbq,mihus cnm majoribus. Eiiransdciumejl ih univer-
VITT.
boi
aecaedroh
,
fum cum Trieonis : in dualitzite fyuidem fpecierum.
Citm ergb
inter hinds p/anoritmjpecies non ampUusfitnt TrigonUminimtt
pirrb figura erii TetragonuL
ni angulofuperant 4
^Atqui Tetragonici tres , ctim uno majoris p/a-
reclos:\dud verb Tetragonici citm iiho mdjoris,hon ioleran-
tur, oh definiiionem IX, quia mdjotis Jpecieifigurte istntum dux reciperentur in
JolidumfUnus igr Tetrd^onictis cum duohus Penthgonicis rejiciturper XXIII:
citm duobus Hexagonicis coii , £?* congruuntjex Tetragoni cum oclo Hexdgonis
in unttm Tefardk&deidedroh ; quod Appetto Truncum OEkiedron , Pingittirnu-
-
.
.->
®
a
-
dr u
fnkio S fequehtiifiheMdiis.VhiisTeiragohicus cumduobusHeptdgohicisdii/s-, cum.
«a-
£4
Harmon:
Dfi Fiourarum
ptr XXIII»cumduobwOc~i6gonicis , p/anutA
kcum imp/et: cum majoribm eiiamjuperat 4 rectos; nec afiurgit adjo/idum anqfte imparilaterarumrejkitur
gulum firmandums.
,
Ita traiwatiumefi
cum Tetragono , cum duxfo/a. deberii
tfic p/anorumfpecies.
Duo Pentngonici cumunoHexdgtihiCo dut quocuri/fc d/io unicorejetlitiur»
quid inchoant, per XXIII, quodfitprd etiamdeTrigonico & Tetrdgonico cum
Injuper cum UKoDecagonicop/ariiiiemJter*
%'mis Pentagonicis ufurpavimm.
illo
nec
cum
aul
majoribus
afurgunt infoliditatehu>.
nunt ,
K. t;run«umlcofi-
&
IJnus ergb FenWgonicus cum duobus Hexagonicis minusfhcit 4 retlis;
eongrumt dmdecim Pentagonicum^viginti Hexagonis in urittmTriacontak*.
'Q* *'
•dybedrori
,
-quodappel/o
Truncum
Icofihedron. Formam habesJignaJ*
tam numevo '4
Necptura expe.
!l\[dmunus
ihndadPcktngoho.
cumduobusHeptzigom'
Pentngokus
cisjamfuperat 4.rettos.
Hexagonitmcum dtiobus dlijs
, cum majoribm
imp/dt p/anitiem
fuperat 4 reclos. Itaq^hicfinti
efi
mixtorumex duabusjpeciebus.
Qupdjitriumfpecierum P/an*
eoncurrere pofurit adknum anguIumJolid~umj>
:
Primumdnguliduo
ptdni,unus Teffagont, alter Pentt*
gonifuperant i retl os imajores his,,
mukbmagis : irei verb Trigom^.
vum
trium, aquant zrehlos : ne~
yueunt igr tres Trigoniciadmittii
hejummaomniu (uperot 4 reBos.
Duo verb Trigonici cum uno Tetragonico (f uno Pentxgonico vel
pro eo Hexagonico , aut quocunqoe
majori,rejiciuntur,per pr.XXlH»
quia Tfigonus hnpari/ateraffgur*
cingideberet Tetragonotf Pentsf-
gono , ve/pro eo Hexagono £JV»
#cr.RhoaA
Scofidode-
^*"•a
•
*V»m igitur Trigohtcm eum duohm Tetragonicis (f Uno Pentagonico, «/•
ntu efficiunt 4 reBis , £j congruunt zo Trigonichm je Tetragonisfs iz Pentagonis,in unum Hexacontadyhedroh , quodappe/lo Rhombico(idodecaedron,feu (eftum BJhombum Icofidodecaedricum. Pingiturnum. 71.fi/» aritecedentis
Vnus Trigonicus , duo Tetragonici , cum Uno Hexagonico,aquant reifoj
quatuor i cum uno majori ,/uperant hecadfolidum dfurgknt. Mittamm igi\
tmr duos Tetragonicos.
i
,•
Vnus Trigoriicusjunm Tetragonicus,(fduo Pehtagonicijuperahi 4 reUoy,
mukotfe magujibini majores p/ani angutt admifcerentur. Definurit igitur mifZ
teri angu/ip/ani quatemi adfirmandum unumfolidum dejinit ergb (tf Trigou
;
^m ingredi mixturam trip/icim^. t{gmm*u Trigonim* unm TetragonL
sussi
1
CONGRUENTIA LlB.
,,.,,......
.,
,
6$
II.
•
;..
.
c«r cJ* unus pentagonicuSyaut quicun% alius hujus loco, 'rejiciutiturper XXIV,
auiatrigonusefiimparilaterafigura^.
Citm igiturporrbfitit iresjolum anguli plani-.nuUa ititerfiguras toleratuf
imparilatcra , per eanaem XXIX.
"
OBdgonicominimis ,minusfii- x ^ ub
Congruurit 'iz TetragOni.S Hexagoni,
6 OBogohi, in unum uuncum.
cittnt 4 reclisi
QtboBstedrohs
:
non
qubd fruncatione
Icofihexaedron ,quod appeUo truhcum
Tetragonicusigitur,cumHexagonico
'
1-
£=f
^
$
najcipojfit ifid quiafimileefi iruhcdto Cubdffaedrb. Pirigiturhum. 6.
Tetra\onicus cum Hexagonico
y becagohico
,
minus 4 reBisefficiunt
:
i§ congruunt 30 Tet'ragohiy2.oH.eXagoni^ \z DeCagoni,inutium HeXacontAdyhedron , quod appcUoirunCum lcofidcdecaedrotis, fimi/ide caufa inproxi-
XIII.
mum.Pingitur'num.7.
cum.
...,-...
-,.
,
Sipro becdtynicofuccedat injocietatem Dodecagonicus; implentur 4 retli,
U
aliquis ,
necfitfolidumificetiamfiproHexagonicofuccedatOBogonicus ,
OBogonico mdior ,fit tertius ijitperahiur 4 retli: nec mimi* ,fi abfit Teiragoni'
diftinBarumfigurarumpdrilaterarum 'majores,
Igitut
j.quoderat
Jrchimedeorumjumilikihtrarium,
'demonfirdndumj.
1
fiat omnis
ctts
fjfjociehtur tres
,
CONSECfARIUMi
XXIX.
cohgruae func in uhiverfurri duodecim , b&o Radicales (eii
quacuor au&ae feu Scellae.
Dodecagbriiis
Trigonus
i.
'f.
8- Icofigonus
1. Tecragonus.
ScellaPentagonica,
Pencagonus
9.
3,
^Sfeila O&ogonica
JHexdgoniis
io,
4.
Flgurae
Primae>
5^.
6.
&
,
Ocidgohus
Decagonus
11. Steila
'tz-
Decagoniea
Dodecagohica.
Seella
Gradus corighienciae diftin£ti {urit.Iri primo func Trigohus & Te*
traoonusyquia congruunttam infolido, quam inplano , tamfing/tlarumjpecie*
„ _
rum interfe qudm junBarum, & cum alijs.
,
,
Secuhhgradu
..
,
.
Confifiuni Pentng6nW'citmfleUafua.
T^jtm congruunt
&
in folido: z§ tradunt mutuas operas inplano
: fed
Jingularumjpecierxm inter ,
potior efi Pbntdfonus , quia congruit Btiamcumalijs nonnuUistaminplano ,
(e
q-tam injdlido.
'
.
„
Tertius eft Hexagoni i quitifigurk hujusjpecieicongruunt inplano
alijs
,
cunts»
'verbtamin folidp quaminpianb.
Qjuartum gradumienentOBogonus gf Decagohu.icumfteUis fitis^ Nam
Radica les iUa,cum alijs nonnuUis Cbngruunt infolido,(leU<x. verb cumfigurisfingularumfytcierum quadamtenus : ihplano 'Verb omnes quatuor congruunt cum
ahjs, megis tameh varie magis^perpB^ OBvgonicaJet~fa\
6)uintus gradus habei Dcdecdgotiiim cumftellafua ; quia infolido quidem
'
m in me ,at'm plano multifariam coHgruunt cum aiijs
:
nttudine impediuntur.
;
'in
fdlido igiturfola
mag-
Causa plahitiei prxpiretidaeft hdc feBs.gradtti quarto^
%Jltimusgr*dus eft Icofigoni, quia is non tiifiinplano,necnificHni alys,
cumtUisipfijquofrimperfeBecongruiti
£j?
*" docl
Uocca"
ctiron tiu-