indir - tolga kabaca

UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ
“ANALİZ II” FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ
1
1
∫x
1.
2
dx belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz.
−1
Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.
1
1
1
1
1
x −2 +1
1
1
1
−2
dx
=
x
dx
=
=−
= − − ( − ) = −2
∫−1 x 2
∫−1
−2 + 1 −1
x −1
1
−1
Cevap:
Çözümde herhangi bir işlem hatası yoktur. Ancak,
1
fonksiyonu [-1,1] arasındaki x=0
x2
noktasında süreksizdir. Dolayısı ile bu aralıkta İntegral hesabın Temel teoremi (Newton ve
Leibnitz teoremi) uygulanamaz. Ancak yukarıdaki çözümde bu teorem kullanılmıştır.
Ayrıca,
1
fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun
x2
mantıksız olduğu da anlaşılabilir.
2. Taralı R bölgesi y = x 2 grafiği ve y = 4 doğruları ile sınırlandırılmıştır.
4’ten büyük bir k sayısı vardır. R bölgesinin y = k
doğrusu etrafında döndürülmesi ile oluşturulan cismin
hacmi, aynı bölgenin x – ekseni etrafında döndürülmesi
ile elde edilen cismin hacmi ile aynıdır. k’nın değerini
bulmak için kullanılabilecek integral içeren denklemi
yazınız.
Cevap:
Yandaki şekli göz önüne alarak öncelikle taralı alanın
x-ekseni etrafında döndürülmesi ile elde edilen hacmi
k
veren integrali yazalım;
Bu hacim, y = 4 fonksiyonunun x∈[-2,2] aralığında xekseni
etrafında
döndürülmesi
ile
elde
edilen
hacimden y=x2 fonksiyonunun yine aynı aralıkta x-2
2
ekseni etrafında döndürülmesinden elde edilen hacmin
çıkartılmasından elde edilir. Bu hacim V1 olsun;
2
(
2
2
)
V1 = π ∫ 42 − ( x 2 ) dx = π ∫ (16 − x 4 ) dx (disk yöntemi kullanılmıştır.)
−2
−2
Şimdi de taralı alanın y=k doğrusu etrafında döndürülmesinden elde edilen hacmi veren
integrali yazalım;
Bu hacim, y=x2 fonksiyonunun x∈[-2,2] aralığında y=k doğrusu etrafında döndürülmesinden
elde edilen hacimden y=4 fonksiyonunun aynı aralıkta ve aynı eksen etrafında
döndürülmesinden elde edilen hacmin çıkartılması ile elde edilir. Yine disk yöntemi ile bu
hacmi yazalım, buna da V2 diyelim;
2
V2 = π ∫
−2
(( k − x ) − ( k − 4) ) dx
2 2
2
Not: dönme eksenine göre yarıçapı veren fonksiyonun ne olduğuna dikkat ediniz.
Sonuç olarak istenen denklem;
2
V1 = V2 ⇒
2
∫ (16 − x ) dx = ∫ ( ( k − x ) − ( k − 4 )
4
−2
−2
2 2
2
) dx
(π sadeleşmiştir)
Not: daha ileri bir düzenleme ya da herhangi bir integral çözümü yapmaya gerek yoktur.
Soruda istenene dikkat ediniz.
3. r = 1 + cos θ kardioidinin, r = 3 cos θ çemberinin dışında kalan parçasının uzunluğunu
hesaplayınız.
Cevap:
θ=
π
Soruda verilen şekiller standart olarak
3
alışık olduğunuz şekillerdir. Ayrı bir
çizim prosedürü uygulamanıza gerek
yoktur. Fakat şekillerden emin
θ=π
değilseniz çizim prosedürünü kısmi
olarak uygulayabilirsiniz.
Şekil aşağıdaki gibi olacaktır.
İki şeklin kesiştiği θ açısını bulmak için birbirine eşitleyebiliriz;
1 + cos θ = 3cos θ ⇒ cos θ =
1
π
⇒θ =
2
3
Bu durumda kardioidin çemberin dışında kalan kısmı, kutup ekseninin
π
3
ile π radyan
arsında dönmesinden elde edilen yay uzunluğunun 2 ile çarpılmasıyla hesaplanabilir.
(Not: şekil üzerinde, bulunması gereken eğri uzunluğu karalama ile gösterilmiştir)
π
2∫
(1 + cos θ )
π
2
(
)
2
π
π
π
π
3
3
+ (1 + cos θ )′ dθ = 2 ∫ 1 + 2 cos θ + cos 2 θ + sin 2 θ dθ = 2 ∫ 2 + 2 cos θ dθ
3
π
π
π
= 2 ∫ 2 + 2 cos θ dθ = 2 2 ∫ 1 + cos θ dθ = 2 2 ∫ 1 + 2 cos 2
π
π
π
3
3
3
θ
π
θ
− 1dθ = 4 ∫ cos dθ
2
2
π
3
(Not: cosθ için yarım açı dönüşümü uygulanmıştır)
π
π
π   1
 π
= 8  sin − sin  = 8 1 −  = 4 br
= 4 ∫ cos dθ = 8sin
2
2π3
2
6

 2
π
θ
θ
3
Olarak sonuç elde edilir.
4. a ve b’nin hangi değerleri için (1,3) noktası y = ax 3 + bx 2 fonksiyonunun büküm
noktasıdır?
Cevap:
Dönüm noktası fonksiyonun ikinci türevini sıfır yapan noktadır. Burada önemli bir hatırlatma
yapmak istiyorum; derslerimiz de hem birinci hem de ikinci türevin kökleri olan noktaları
keskin (sert) dönüm noktası olarak isimlendirmiştik. Ancak bu soruda sadece büküm noktası
deniyor. Yani ikinci türevi sıfır yapan noktadan bahsediliyor.
Verilen (1,3)=(x,y) noktası, eğrinin büküm noktası olduğuna göre, hem fonksiyonu sağlamalı
hem de ikinci türevde x yerine 1 yazdığımızda sonuç sıfır çıkmalı;
y′ = 3ax 2 + 2bx ⇒ y′′ = 6ax + 2b olduğuna göre;
Fonksiyonda (1,3) = (x,y) için a + b = 3
ve x=1 büküm noktası olduğundan 6a + 2b = 0 denklemleri elde edilir.
Bu iki denklemin ortak çözümü yapılırsa a = −
3
9
ve b = sonuçları bulunur.
2
2
5. Yediğiniz meyvenin çekirdeklerini yere atmamak için, elinizin altında bulunan ve bir
kenarı 10 cm olan kare şeklindeki bir kâğıt parçasının kenarlarını katlamak sureti ile
üstü açık dikdörtgen prizma şeklinde bir tabak yapmak istiyorsunuz. Tabağın
maksimum miktarda çekirdek alabilmesi için kâğıdın kenarını içeriye doğru kaç cm
katlamalısınız?
Cevap:
Kare kağıdı aşağıdaki gibi katlamalıyız;
Bu katlama neticesinde tabanı bir kenarı (10-2x) br olan
kare ve yüksekliği x br olan bir tabak elde edilir. İki
10-2x
x
taraftan eşit katlamalıyız. Eğer farklı katlarsak büyük olan
x
yükseklik diğer taraftan desteklenmeyeceği için bu kısmı
kullanamazsınız.
Bu durumda maksimum olması istenen hacim formülü;
2
V = (10 − 2 x ) x olarak karşımıza çıkar. Maksimum olması
için gerekli x değeri arandığına göre birinci türevini sıfıra
eşitlemeliyiz;
2
V ′ = 2 (10 − 2 x ) (−2) x + (10 − 2 x ) = (10 − 2 x )( −4 x + 10 − 2 x ) = (10 − 2 x )(10 − 6 x )
V ′ = (10 − 2 x )(10 − 6 x ) = 0 ⇒ (10 − 2 x ) = 0 ve (10 − 6 x ) = 0 elde edilir. Buradan da;
x = 5 ve x =
5
kökleri bulunur.
3
Hangi değerin hacmi maksimum yaptığını bulmak için tablo yapılabileceği gibi, x = 5 için
hacim 0 olduğundan doğru cevabın x =
5
olduğu rahatlıkla anlaşılabilir.
3
6. y = x2 – 2x + 3 eğrisi ile y = x + 3 doğrusunun arakesit bölgesinin y-ekseni etrafında
döndürülmesi ile elde edilen cismin hacmini hesaplayınız.
Cevap:
Öncelikle şekli görelim;
y = x2 – 2x + 3 = x2 – 2x + 1 + 2 = (x –1)2 + 2 olduğuna göre bu fonksiyonun grafiğini y = x2
fonkisyonunu 1 br sağa ve 2 br yukarı kaydırarak elde edebiliriz. y = x + 3 doğrusunun grafiği
ise basit bir grafiktir. İki grafiğin oluşturduğu arakesit bölgesi aşağıdaki gibi olur;
Bu alanın y-ekseni etrafında döndürülmesi ile elde edilen
cismin hacmini disk yöntemi ile bulmaya kalkışırsak
dönme ekseni olan y-eksenine dik kesitlerin yarıçapları
için alanı y-ekseni üzerinde iki parçaya ayırmamız
gerekecek. Ancak bu hacmi kabuk yöntemi ile çok daha
kolay yapabiliriz;
3
3
3
 − x4

+ x3  =
V = 2π ∫ x x +3 − x +2 x −3 dx = 2π ∫ ( − x + 3 x ) dx = 2π 
 4
0
0
0
(
2
)
3
2

34  27π 3
br
2π  33 −  =
4
2

7. Limit, türev ve diferansiyel kavramlarını en iyi tanımlayan bir kelime ya da bir kelime
grubu (kalıp) söylemek gerekirse ne dersiniz? Her birinin gerekçesini yazınız.
Cevap:
Limit, bir fonksiyonun bağımsız değişkeninin belirli bir noktaya sonsuz küçük yakınlıkta
yaklaşması durumunda bağımlı değişkenin davranışını inceler. Bundan dolayı bu kavramı
“yakınsama”, “yaklaşma” gibi deyimlerle ifade edebiliriz.
Türev, özel bir limit işlemidir. lim
x→a
f ( x) − f (a)
x−a
limiti y = f(x) eğrisine a noktasında
çizilen teğetin eğimini verir. Eğim de bir fonksiyonun ne kadar hızlı değiştiğini verir. Türev
kelimesini en iyi karşılayan kelime olarak “eğim” veya “değişim hızı” kelimelerinden biri
seçilebilir.
Diferansiyel ise sadece bağımlı değişkendeki ya da bağımsız değişkendeki anlık farktır.
Yani diferansiyel, türevden farklı olarak tek başına bir değişimi ifade eder. Bu kavram için de
“değişim”, “fark” ya da “artım” kelimelerinden biri kullanılabilir.
2
8.
x ∫ 2 + 1 dx integralini Newton ve Leibnitz teoremi adı verilen ve Analizin temel
−2
teoremi olarak da bilinen teoremi kullanmadan hesaplayınız.
Cevap:
x f(x) = + 1 fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir;
2 2
Buna göre
x
∫ 2 + 1 dx = 2 olduğu
−2
integralin anlamı göz önüne
alındığında rahatlıkla anlaşılabilir.
Öğr. Grv. Tolga KABACA