(15) 2. Devre Analizi Bir elektrik devresinde akım ve gerilim

(15)
2. Devre Analizi
Bir elektrik devresinde akım ve gerilim değerlerinin bulunması işlemine devre analizi adı
verilir. Bu bölümde düğüm akımları ve çevre akımları yöntemleriyle devre analizi verilecektir.
Ayrıca, işlemsel kuvvetlendirici ve Thevenin teoremi ele alınacaktır.
2.1 Düğüm Gerilimleri Yöntemi
Düğüm gerilimleri yönteminde, devredeki bir düğüm referans düğümü olarak alınır. Diğer
düğümler tekrarlı olmayacak biçimde adlandırılır ve düğüm gerilimleri bu referansa göre
ifade edilir. Eleman akımları işaretlenir. Referans düğümü dışındaki tüm düğümlerde akım
denklemleri yazılır. Ohm yasası veya uygun eleman akım-gerilim ilişkileri kullanılarak, akım
ifadeleri yerine gerilimler cinsinden ifadeler yerleştirilir. Ortaya çıkan denklem sistemi
çözülerek düğüm gerilimleri bulunur. Daha sonra da istenen akım değerleri bulunur.
Referans düğümü “toprak” imgesiyle işaretlenir:
Örnek 2.1:
Dört düğümlü bir devre düşünelim (Şekil 2.1). Düğümlerden biri referans düğümü olsun,
diğerlerini de a, b, ve c düğümleri olarak adlandıralım. Referans düğümüne göre bu
düğümlerdeki gerilimler de va, vb ve vc olsun. Referans düğümündeki gerilim sıfır olacaktır.
Düğümler arası gerilimler düğüm gerilimlerinin farkıyla belirtilir:
vab = va – vb
vba = vb – va = – (va – vb) = – vab
Şekil 2.1 Dört düğümlü bir devrenin düğümleri (devre elemanları gösterilmemiştir)
Şekil üzerinde karmaşa olmaması için, düğümlerin isimleri yerine düğümlerin gerilimleri
düğümlerin yanına yazılabilir. Bu gerilimlerin hepsinin referans düğümüne göre olduğunu
unutmamak gerekir (Şekil 2.2).
Şekil 2.2. Dört düğümlü bir devrenin düğümleri düğüm gerilimleriyle
Örnek 2.2:
Şekil 2.3’te verilen üç düğümlü bir devre v1 ve v2 gerilimleriyle, i1, i2 ve i3 akımlarını bulalım.
(16)
Şekil 2.3 Üç düğümlü bir devre
v1 gerilimli düğümde akımlar denklemi: 1 A = i1 + i3
v2 gerilimli düğümde akımlar denklemi: i3 + i2 = 2 A
Ohm yasasından: i1
v1
, i2
1
v2
, ve i3
2
v1 v2
yukarıdaki eşitliklerde yerine konulursa,
3
v1 v1 v2
4v1 v2 3
v1
1
3
çözüm:
v1 v2 v2
v2
2 2v1 5v2 12 4v1 10v2 24
3
2
belirlenmiş olduğundan, akım değerleri bulunabilir:
1
6 volt. Gerilim değerleri
7
3
1
i1
i2
i3
v1
1
1
A,
6
v2 7
A, ve
2
6
v1 v2 5
A.
3
6
Örnek 2.3:
Şekil 2.4 Dört düğümlü bir devre
Şekil 2.4’te verilen devrede düğüm gerilimlerini işaretlenmiş akımları bulalım. Devrede
bulunan 3 volt değerli bağımsız gerilim kaynağı v1 düğümünün gerilimini tek başına
belirleyecektir: v1 = 3 V. Diğer düğümler için akımlar denklemlerini yazalım.
v2 düğümünde:
i1 + i2 + i3 = 0. Bu akımları gerilimler cinsinden denkleme yazalım,
v1 v2
v2
1
2
1
2
v3
v2
1
4
0
8v2
4v3
6
(17)
v3 düğümünde:
v2 i3 i4 0 . Bu akımları da gerilimler cinsinden yazarsak,
v3 v2 v3
1
v
0
7v2 16v3 0 v3 167 v2
2 2
1
1
1
2
4
4
Denklem sisteminin çözümü:
v1
3 V, v2
24
25
0.96 V, ve v3 0.42 V olacaktır. Buradan akımlar bulunur:
i1 = 4.08 A, i2 = –1.42 A, i3 = –2.16 A, ve i4 = 1.68 A.
Düğüm gerilimleri yöntemiyle elde edilecek denklem sistemi herhangi bir yöntemle
çözülebilir.
2.2 Çevre Akımları Yöntemi
Bu yöntem devrenin bir düzlem üzerinde elemanlar birbirinin üzerinden geçmeyecek şekilde
çizilebildiği devreler için geçerlidir. Elemanların uçları arasında gerilimler işaretlenir.
Devrede bulunan “gözler” boyunca gerilimler denklemleri yazılır. Her bir çevrede yönlü bir
çevre akımının dolaştığı varsayılır. Elemanlar içinde akan akımlar bu çevre akımları
cinsinden ifade edilerek gerilim denkleminde yerine konur. Böylece, bilinmeyenleri çevre
akımları olan bir denklem sistemi elde edilir. Denklem sisteminin çözümüyle çevre akımları
bulunur. Daha sonra da akım-gerilim ilişkilerinden elemanların uçlarındaki gerilimler bulunur.
Örnek 2.4:
Şekil 2.5 İki gözlü bir devre ve çevre akımları
Şekil 2.5’teki devrede işaretlenmiş olan v1, v2 ve v3 gerilimlerini bulalım. Önce oklarla
gösterilen çevreler üzerinde gerilimler denklemlerini yazalım:
Soldaki gözde: – v3 – v1 + 5 = 0 → v3 + v1 = 5
Sağdaki gözde: – 10 + v2 + v3 = 0 → v3 + v2 = 10
Şimdi de v1, v2 ve v3 gerilimlerini çevre akımları cinsinden yazalım:
v1 = –i1×1
v2 = i2×1
v3 = (i2 – i1) ×2 = 2i2 – 2i1
Yukarıdaki denklemlerde yerine koyunca,
2i2 – 2i1 – i1 = 5
→
2i2 – 3i1 = 5
2i2 – 2i1 + i2 = 10
→
3i2 – 2i1 = 10
Çözüm: i1 = 1 A, i2 = 4 A → v1 = –1 V, v2 = 4V, ve v3 = 6 V.
(18)
Örnek 2.5:
Şekil 2. 6 Üç gözlü bir devre.
Şekil 2.6’daki devrede işaretlenmiş olan v1, v2, v3 ve v4 gerilimlerini bulalım. Oklarla
gösterilen çevreler üzerinde gerilimler denklemlerini yazmadan önce, devrede i1 = 3A
olduğunu görebiliriz. Çevre akımlarının biri belli olduğundan, diğer ikisi için birer denklem
yazalım:
i2 çevresinde:
i3 çevresinde:
– v3 – v2 – 0.6 v4 = 0
– v2 – v4 + v1 = 0
Ohm yasasını kullanarak, işretli gerilimleri çevre akımları cinsinden yazalım:
v1 = (i1+ i3)×3 = 3i1+ 3i3
v2 = – (i2 + i3)×1 = – i2 – i3
v3 = (i1 – i2) ×1 = i1 – i2
v4 = – i3 ×1 = – i3
Bu değerleri çevre denklemlerinde yerine koyalım:
i2 çevresinde:
– (i1 – i2) + (i2 + i3) + 0.6 i3 = – i1 + 2i2 + 1.6 i3 = 0
i3 çevresinde:
(i2 + i3) + (i3 ) + (3i1+ 3i3) = 3i1 + i2 + 5i3 = 0
i1 = 3A değeri ile,
2i2 + 1.6 i3 = 3 ve i2 + 5i3 = – 9 eşitlikleri elde edilir. İkinci
denklemi 2 ile çarpıp birincisinden çıkarırsak,
2i2 + 1.6 i3 –2(i2 + 5i3 ) = 3 + 18
– 8.4 i3 = 21 buradan da i3 = – 21/8.4 = –2.5 A;
i2 + 5i3 = – 9 eşitliğinden, i2 = – 9 – 5i3 = – 9 + 12.5 = 3.5 A bulunur.
Bulmak istediğimiz gerilim değerleri:
v1 = (i1+ i3)×3
v2 = – (i2 + i3)×1
v3 = (i1 – i2) ×1
v4 = – i3 ×1
= 1.5 V
=–1V
= 0.5 V
= 2.5 V