MADEN DEĞERLENDİRME

MADEN DEĞERLENDİRME
Ders Notları
Doç.Dr. Kaan ERARSLAN
2008
ĐÇĐNDEKĐLER
1. GĐRĐŞ ................................................................................................................................................ 3
2. REZERV SINIFLARI VE HESAPLAMALARI.............................................................................. 4
2.1 Görünür rezervler ....................................................................................................4
2.2. Muhtemel Rezervler...............................................................................................6
2.3 Mümkün Rezervler..................................................................................................7
2.4 Belirli Mümkün Rezervler ......................................................................................7
2.5 Tahmini Mümkün Rezervler ...................................................................................7
2.6 Temel Rezerv (Baz Alınan Rezerv) ........................................................................7
2.7 Jeolojik Rezerv.......................................................................................................8
2.8 Kaynak, Rezerv ve Potansiyel Kavramları .............................................................8
3. BĐLGĐ TOPLAMA-YORUMLAMA VE KOMPOZĐT DEĞER ................................................... 10
4. KLASĐK YÖNTEMLERLE BĐLGĐLERĐN SAHAYA YAYILMASI ........................................... 19
4.1. Sahanın Üçgenlere Bölünmesi .............................................................................19
4.2. Poligon Yöntemi ..................................................................................................22
4.3. Ters Mesafe Karesi Yöntemi................................................................................25
5. ALAN VE HACĐM FORMÜLLERĐ.............................................................................................. 28
5.1. Alan Formülleri ....................................................................................................28
5.2. Hacim formülleri ..................................................................................................30
6. JEOĐSTATĐSTĐK ............................................................................................................................ 40
6.1. Variogram Modeli ................................................................................................41
6.1.1. Variogramların özellikleri.............................................................................42
6.1.2. Variogram Modelleri.....................................................................................45
6.1.2.1. Sill’li modeller............................................................................................................ 45
6.1.2.2. Sill’siz modeller.......................................................................................................... 46
6.1.3. Variogramların önemi...................................................................................46
6.2. Kriging (jeoistatistik atama fonksiyonu)..............................................................47
6.2.1. Kriging teorisi ...............................................................................................47
6.3. Variogram ve Kriging Örnekleri ..........................................................................50
6.3.1. Variogram örnekleri......................................................................................50
Örnek 2- Aşağıdaki numuneler için i-E-W, ii-N-S için model oluşturun. .............................. 51
6.3.2. Kriging Örnekleri..........................................................................................54
Örnek 1- Nokta Kriging .......................................................................................................... 54
Örnek 2- Blok Kriging ............................................................................................................ 56
6.4 Yapay Sinir Ağları ................................................................................................59
7. SAHANIN BALIKAĞIYLA KAPLANMASI VE REZERV HESAPLARI ................................ 60
7.1. Kompozit Değer Kullanarak Rezerv Hesabı ........................................................61
7.2 Yüzey modelleme..................................................................................................67
7.3 Basamak kompozit hesapları.................................................................................69
7.4 Blok Modeli...........................................................................................................71
7.5 Blok Modelleme....................................................................................................75
7.6 Blok Model Kullanım Yerleri ...............................................................................77
9 OPTĐMĐZASYON............................................................................................................................ 79
9.1 Optimum Ocak Derinliği.......................................................................................79
9.2 Diğer Optimize Edilebilir Parametreler ................................................................80
2
1. GĐRĐŞ
Bir cevher yatağının değerlendirilmesi jeolojik özelliklerinin tespitinden, ocağın işletmesine kadar
geçireceği bütün safhaları, üretim planlamasından ekonomik analizlere kadar bütün hesaplamaları
kapsar.
Arama çalışmaları ve sondaj veri tabanının oluşturulması bütün değerlendirme çalışmalarının da
temelini oluşturur. Cevher yatağının, öncelikle, sınırları, boyutları, hacmi, kapladığı alan, rezerv
miktarı bulunmalıdır. Bu konuda geliştirilmiş çeşitli yöntemler mevcuttur. Bahsi geçen özellikler
elde edildikten sonra yapılacak madencilik çalışmasının ekonomik olup olmadığı gündeme
gelecektir.
Madenlerin değerlendirmesi, bir tür yeraltını görebilme ve görüntülemekte kullandığımız sondaj
kuyuları ve numune neticelerinin yorumlanmasıyla başlar. Sondaj kuyularının kompozit (bileşik)
değerleri hesaplanarak, kuyulara ait x,y (E,N) koordinatlarında tek kalınlık, tenör bilgisi elde edilir
(kuyu kompozit değeri). Muhtemel ocak basamak seviyeleri dikkate alınarak da basamak kompozit
değerleri hesaplanabilir.
Sonraki safhada değerleri bilinen koordinatlardan yararlanarak bu bilginin sahaya yayılma
(extension) çalışması yer alır. Bu manada, klasik (üçgenleme, poligon, ters mesafe karesi),
jeoistatistik ve gelişmiş bilgisayar destekli yöntemler (yapay sinir ağları) yer almaktadır.
Sahaya muntazam olarak yayılan (ızgara-grid) sondaj bilgileri ışığında alan, hacim ve rezerv
hesapları yapılabilir. Ayrıca saha boyunca alınan paralel kesitler de bu tür hesaplamalarda kullanılan
klasik yöntemlerdendir. Alan ve hacim formülleri kullanılarak rezerv için gerekli bilgiler elde edilir.
Sahanın üç boyutlu modellemesi, hem görsel hem de sayısal açıdan ulaşılması istenen bir sonuçtur.
Rezerv hesaplarından sonra, fizibiliteye ve optimum saha sınırlarına yönelik çalışmalar
başlayacaktır.
Maden değerlendirme çok geniş ve entegre çalışan bir sistem olmasına karşın alanında en fazla
bilgisayar yazılımı olan bir bilim dalıdır. Haritalama, 3 boyutlu yüzey modelleme, hacim hesapları
geliştirilen yazılımların temel işlevlerindendir. Ancak, üretim planına kadar bütün hesaplamaları ve
çizimleri yapabilen entegre yazılımlar da mevcuttur. Maden değerlendirme eğitiminde klasik ve
gelişmiş hesaplama yöntemleriyle bilgisayar destekli sistemler birlikte yer almaktadır.
3
2. REZERV SINIFLARI VE HESAPLAMALARI1
Tüvenan cevherlerin ocaklardan çıkarılması ve yararlı minerallerin gangdan ayrılması için yapılan
zenginleştirme işlemlerinin
tümü
bir maliyete sahiptir.
Madencilik
yatırımlarından
kâr
sağlanabilmesi için yatağın belli bir kalite ve miktarda cevhere sahip olması gerekir. Elde edilecek
cevherin miktarı ise, tamamen doğal olan iki faktörün fonksiyonudur. Bunlar sırasıyla tenör ve
rezerv miktarıdır.
Tenör: Cevher malzemenin tonunda ve m3 de bulunan cevher veya bileşik miktarıdır.
Rezerv : Cevherin ton veya m3 olarak kütlesidir.
Rezervleri 5 sınıf altında toplamak mümkündür:
1. Görünür rezervler
2. Muhtemel rezervler
3. Mümkün rezervler
4. Baz alınan rezervler (Temel rezervler)
5. Jeolojik rezervler
2.1 Görünür rezervler
Ana kuyu, tali kuyu, galeri, kılavuz, başyukarı, başaşağı ve yarım açılmış bulunan cevher
kütleleridir. Cevher yerinin kontrolü, örnek alma ve ölçme işlemleri her zaman incelemeye elverişli
bir biçimde yapılmıştır. Maden yatağının jeolojik karakteri, cevher tenörleri, yatağın eni, boyu ve
derinliği yeterlice tamamlanmıştır.
Görünür rezerv sınıflandırması için, madencilik işlemleri ve sondaj aralıklarının konumuna ilişkin
ileri sürülen değerler şu şekilde özetlenebilir (Tablo 1).
1
Kadir Sarıiz, 1987. Madenlerin Değerlendirilmesi, Anadolu Üniversitesi Yayın No: 224, s. 51-58.
4
Görünür Rezerv
rezerv hatası
Çok
kesin
Kesin
_
+
%5
_
+
% 20
Tablo 1. Görünür Rezervlerde Đleri Sürülen Değerler
Yataklanma biçimi
Yatağın
Çok düzenli Daha az
Parçalanmış
Araştırılma
Katman ve düzenli
Yaltaklanmalar
şekli
Katmansı
veya değişik
yatak.
yataklanmalar
Đşletme işlemleri
100-25m.
---200-100m.
Yatay doğrultu
Boyunca
Đşletme işlemleri
Eğim
100-40m.
40-10m.
---boyunca
Sondaj
200-50m.
Ağı
50-10m.
---Đşletme işlemleri
Doğrultu
Boyunca
Đşletme işlemleri
Eğim
Boyunca
Sondaj
Ağı
Örnek alım yerleri arasındaki aralıklar
1000-200m.
400-80m.
1000-100m.
200-20m.
200-40m.
40-10m.
80-20m.
20-5m.
100-30m.
----
30-5m.
5-1m.
Madencilik işlemleri (kuyu, başyukarı, başaşağı, arama kuyuları,yarmalar) ile dört yanı,devamlılık
ve düzenlilik bakımından bazı elverişli koşullarda ise sadece üç yanı bilinen bir cevher yatağının
görünür rezerv sınıfına alınabilmesi için;
a) Cevherin geometrik ve teknolojik parametrelerinin (kalınlık, tenör, cevher özellikleri)
kesinlikle bilinmesi ve ekonomik işletmeye elverişli olması,
b) Örnek alma işleminin detaylı ve uygun olarak yapılması,
c) Cevher kütlesi sınırları, yataklanma durumu, materalizasyon ve onun dağılımının kesinlikle
bilinmesi,
d) Hidrojeolojik koşulların saptanması gerekmektedir.
Görünür sınıfa göre yatak veya yatak bölümlerinde rezerv ve tenörler için verilen değerlerde en
fazla kabul edilen hata m % 10 düzeyindedir.
Pratik olarak bu düzeydeki hata yeter bir kesinlik ifade eder.
5
2.2. Muhtemel Rezervler
Ana galeri, ana kuyu, kılavuz, başaşağı, başyukarı veya sondajlar iki yanı açılmış, gözlenebilen,
fakat arama bakımından doğrultu veya eğim yönlerinde henüz meçhulleri bulunan cevher kütlesi için
uygulanan rezervlerdir. Ölçü ve örnek kısmen yapılmıştır. Tenör bütün kütleyi temsil edecek
nitelikte değildir.
Bu sınıf ile temsil edilen rezervlerin miktar ve tenörlerinde maksimum sapma m % 20 olmaktadır.
Muhtemel rezerv sınıfına dahil edilecek yatak kısımlarının geliştirilmesinde sondajların önemi çok
büyüktür. Metalik maden yataklarında damar doğrultusu boyunca 100 m, eğim yönü boyunca 50 m
aralıklarla yapılan sondajlarla yatağın konumu saptanabilir. Muhtemel rezerv sınıflandırması için,
madencilik işlemleri ve sondaj aralıklarının konumuna ilişkin ileri sürülen değerler Tablo 2’de
özetlenmiştir:
Muhtemel rezerv sınıfına dahil edilecek bazı durumlar aşağıda sıralanmıştır.
a) Görünür rezerv sınıfına dahil edilen kömür varlığının aşağı ve yukarı katlara doğru devamlılığı
mümkün olan bir üretim katına karşıt gelen kısımlar,
b) Görünür olarak sınıflanan iki kömür varlığının veya kesinlikle belirlenen iki fayın arasında kalan
ve bir traverbanla veya sondajla kesilen varlıkların, kesim noktasından itibaren aşağı ve yukarıya
doğru maksimum 200 m’lik kot farkına karşıt gelen kısımlar,
Tablo 2. Muhtemel Rezervlerde Đleri Sürülen Değerler
Yataklanma Biçimleri
Rezerv
Yatağın
Hatası
Araştırılma
Çok
Daha az
Parçalanmış
şekli
Düzenli
Düzenli
Yaltaklanmalar
Katmansı
Katmansı
Đşletme işlemler
Yatay ve doğrul2000-400 m. 400-80 m. 80-20 m.
Boyunca
Đşletme işlemleri
m % 40
800-150 m.
150-40 m. 40-10 m.
Eğim boyunca
Sondaj
Ağı
Örnek alım yerlerindeki uzaklıklar
2000-200 m.
200-40 m.
----
600-100 m.
100-20 m.
20-5 m.
Bir kılavuz (galeri) ve damar yatım doğrultusunda sondaj,
Damar doğrultusuna dik bir ana lağımın damarı kestiği yerden tek tarafa kılavuz ve yakın bir
kesimde bilinen sondaj noktası,
6
Ana lağım ve bundan itibaren başaşağı ve yakın bir seviyede bilinen diğer bir nokta,
Ana lağım ve bundan itibaren başyukarı ve yakın bir seviyede bilinen diğer bir nokta,
Ana lağım ve bundan itibaren diyagonal kılavuz,
Ana lağım ve ayrı seviyede kılavuz.
2.3 Mümkün Rezervler
Jeolojik belirtilere dayanılarak yapılan, görünür ve muhtemel rezervlere oranla yatakla ilgili verilerin
devamlılığı daha az gerçekçi biçimde tahmin edilebilen cevher kütleleridir. Madencilik işlemleri
henüz yeterli miktarda yapılmamış olup, tenör ve teknolojik parametreler kesinlikli bilinmemektedir.
Mümkün rezervle, belirli ve tahmini mümkün rezervler olmak üzere ikiye ayrılırlar.
2.4 Belirli Mümkün Rezervler
Cevher yatağı en az bir taraftan saptanmış veya 2-3 taraftan ortaya çıkarılmış olmasına rağmen
arama sıklığı muhtemel rezerv sınıfına alınmasına yeterli değildir. Cevherin derinlere doğru gidişi
kesinlikle çıkarılamamış, örnek alımı az, tenör ve cevher bileşimi yapım işlemleriyle genel anlamda
bilinmektedir. Jeofizik çalışmalar rakamlara yardımcı olmaktadır. Bu sınıf yatakların tenör ve
rezervlerinde % 50 hata mevcuttur. Düzenli yataklarda 1600-400 m3 düzensiz yataklarda 400-100 m
aralıklarla aramalar mümkün rezervin saptanmasını sağlar. Bu sınıfa giren cevher kütlelerin
durumları aşağıdaki gibidir. Doğrultu ve eğim boyunca ihzaratı yapılan yerlerde varılan noktaların
dışında kalan kısımlar, Yataklanma durumunun arama yapılmadan veya yapıldıktan sonra karışık
olduğu saptanan yataklar veya yatak kısımları, ihzarat ve işletmesi emniyetle yapılmayan yataklar
veya kısımları.
2.5 Tahmini Mümkün Rezervler
Sondaj ve yer altı çalışmaları mevcut değildir. Sadece jeolojik verilere göre rezerv tahmin
edilmektedir. Cevherin kalitesi konusundaki bilgiler belirli örneklere dayanmaktadır. Rezerv için
belirli bir değer vermekten kaçınılmaktadır.
2.6 Temel Rezerv (Baz Alınan Rezerv)
Maden işletme ve proje hazırlanmasında esas alınacak rezervdir. Görünür ve muhtemel rezervlerin
ekonomik olan kütleleri ile ekonomik olmayan kütlelerin bir kısmını kapsar.
7
2.7 Jeolojik Rezerv
Temel rezerv miktarına mümkün rezervde ilave edilirse jeolojik rezerv elde edilir. Belirlenen
kaynakların toplamıdır.
2.8 Kaynak, Rezerv ve Potansiyel Kavramları
Gerek ekonomik işletilebilirlik açısından, gerekse varlığının belirliliği açısından, hiçbir biçimde
sınırlandırılmamıştır. Rezerv ise hem ekonomik açıdan, hem de varlığının belirliliği açısından
sınırlandırılmış olup, çalışmaları ile belirlenmiş olan ve işletilebilirliği değerlendirme etütleri ile
saptanmış olan kaynağın bir bölümünü içermektedir. Kaynağın, rezerv terimi ile tanımlanan bir
bölümünün dışında kalan kısmı da iki ayrı bölümde ele alınır. Bunlardan birincisi, varlığı belirlenmiş
olmakla birlikte işletilmesi teknik ve ekonomik nedenlerle günün koşulları altında olanaksız olan ve
potansiyel terimi ile tanımlanan kaynaklardır. Rezerv durumuna gelebilmeleri, günün ekonomik ve
teknik koşullarından daha elverişli koşulları gerektirir. Đkinci bölüm ise varlığı henüz belirlenmemiş
olan kaynaklardır.
Kaynaklar = Rezervler + Potansiyeller + Bilinmeyen Kaynaklar
Diğer taraftan potansiyelde kendi içinde ikiye ayrılır. Günün koşullarında işletilebilir olmamakla
birlikte biraz daha iyi koşullarda işletilecek nitelikte olan pek çok cevher kütlesi vardır.
Bilinmeyen Kaynaklar
Bilinmeyen Kaynaklar
Ekonomik
Kaynaklar
Görünür Muhtemel Mümkün
Rezerv Rezerv
Rezerv
Ekonomik
Olmayan
Kaynaklar
Marjinal
POTANSĐYEL
Atıl
8
Đ
L
E
T
Đ
L
E
B
Đ
L
Đ
R
L
Đ
K
D
E
R
E
C
E
S
Đ
Bu tür cevher kütlelerinin ekonomik bir ifade ile marjinal potansiyel olarak tanımlanır. Bunun yanı
sıra daha iyi koşullar gerektiren ve uzak bir gelecekte işletilme olanağı olan cevher kütleleri de atıl
potansiyel olarak tanımlanır.
Tenörün Saptanması Đçin Örnek Alınması:
Bir cevher kütlesinin tenörünü saptamak için alınan örneklerin söz konusu cevheri en iyi şekilde
temsil eden örnekler olması gerekir. Oysa böyle bir örnekler, hiçbir zaman alınmış olduğu cevher
kütlesinin ortalama bileşimini temsil edemez. Bu nedenle örnek alma yöntemlerinin temel ilkesi,
örnek sayısını elden geldiği kadar fazla tutmak ve bu örneklerden elde edilen değerlerlerin
ortalamasını almaktır.
Bu şekilde hareket etmekle gerçeğe yakın sonuçlar elde edilir. Örnek alma işlemi;
a) Mostradan yarmalar açarak
b) Elmas kronlu sondaj karotiyerlerle
c) Đşletme durumundaki bir madenden
d) Terkedilmiş bir madenden örnek alma
e) Konsantrasyon tesisinden
yapılabilir1.
1
Kadir Sarıiz, 1987. Madenlerin Değerlendirilmesi, Anadolu Üniversitesi Yayın No: 224, s. 51-58.
9
3. BĐLGĐ TOPLAMA-YORUMLAMA VE KOMPOZĐT DEĞER
Sondaj kuyularının logları incelendiğinde, genellikle muntazam bir damar yapısıyla karşılaşmak
mümkün olmaz. Ekonomik değeri olan cevher ara bantlarla kesilir. Dolayısıyla birden fazla kalınlık
ve kimyasal analiz değerleri elde edilir. Aynı (x,y) koordinatına denk gelen bu kalınlık analiz
değerlerinin birleştirilip tek bir değer haline getirilmesi işlemine kompozit alma (birleşik değer alma)
denir. Saha araştırmalarında madencinin bir nevi gözü durumunda olan sondaj bilgileri, doğru bir
şekilde yorumlanmalı ve sahaya dağıtılmalıdır. Kompozit değerleri genellikle rezerv ve sınır
hesaplamalarında, eş-kalınlık, eş-tenör haritalarının çiziminde gerekli olmaktadır.
Kompozit değer hesabında kullanılan genel yöntem, kalınlıkla ağırlık ortalama almaktır.
N
d (i ) =
∑t
j
*aj
J
N
∑t
j
J
burada,
d(i) = i numaralı kuyunun kompozit değeri
t j = j numaralı analiz bloğunun kalınlığı
aj = j numaralı analiz değeri
Örnek:
Şekilde verilen kuyu kesitine göre, manyezit cevherinin
kalınlığını ve kompozit tenörünü hesaplayınız.
Kuyunun manyezit tabakasını üç defa kestiğini
görüyoruz. Đlk kesme 5 m, ikinci 16 m ve üçüncü 10 m.
Kalınlık direkt olarak üçünün toplamı olur.
T = ∑ ti
T = t1 + t2 + t3
T = 5 + 16 + 10 =31
Tenör
ise kompozit değer bulunarak tek değere
indirilecektir.
D=
∑t * g
∑t
i
i
10
i
t = kalınlık
g = tenör
D = kompozit değer
D=
5 * 0,26 + 16 * 0,32 + 10 * 0,35 9,92
=
= 0,32
5 + 16 + 10
31
% 32 manyezit
Dikkat !
Eğer bir kalınlık ve tenör sınırı konursa, her görülen manyezit bloğu cevher sayılmayabilir. Ancak
sınır tenörü ve kalınlığını geçenler cevher olarak dikkate alınır.
Her kompozit alma işlemi bu kadar kolay olmayabilir. Kompozit alırken dikkat edilmesi gereken
bazı özel durumlar vardır. Kömür analizlerinde kompozit değerleri hesaplarken bazı farklılıklar
mevcuttur.
I- ara bant kalınlıkları, iş makinalarıyla, cevherden ayırt edilemeyecek kadar ince olabilir. Böyle
durumlarda:
a) Eğer gang kabul edilen ara bant iki cevher bloğu arasındaysa, hesaplamalarda ara bant da
cevher kalınlığına ilâve edilir. Çünkü; makinanın bunu ayırt etmesi mümkün değildir.
b) Eğer gang kabul edilen bant üstten veya alttan başka bir gang bloğuyla komşu ise, cevher
kalınlığına eklenmez.
c) Eğer iş makinalarının alamayacağı kalınlıkta bir cevher tabakası mevcutsa ve eğer bu tabaka
iki gang tabakası arasında kalmışsa, cevher kalınlığına eklenmez.
d) Yine böyle bir cevher bloğu, üst veya alttan bir başka cevher bloğuyla komşuysa, cevher
olarak kabul edilir ve toplam cevher kalınlığının eklenir.
e) Đş makinalarının alabileceğinden ince bir gang tabakasının iki üst ve iki alt tabakasıyla bir üst
ve üst alt tabakasına aynı anda bakıldığında;
i) Üst ve/veya alt tabaka cevher olmakla birlikte, yine iş makinalarının alma sınırının
altında kalan, ancak iki üst tabaka komşusu olan cevher tabakasıyla birlikte gang sayılır.
ii) Gang tabakasının komşu tabaksı yine çok ince bir gang ise ve ikisinin toplam kalınlığı
hala makinanın alma sınırının altında ise ve iki komşu tabaka kalın bir cevher tabakası ise
bu gang tabakaları cevher tabakaları arasında demektir ve cevher sayılır.
11
iii) e şıkkındaki durumlar cevher için geçerliyse f ve g maddesi cevher göre yazılabilir.
a)
b)
Cevher
Cevher
Yantaş
Ara kesme
Yantaş
Cevher
Yantaş
c)
d)
Yantaş
Yantaş
Yantaş
Cevher
Yantaş
Yantaş
Cevher
Yantaş
e-i )
e-ii )
Yantaş
Yantaş
Yantaş
Cevher
Cevher
Cevher
Arakesme
Yantaş
Arakesme
Arakesme
Cevher
12
II- kömürde, geçilen tabakaların kömür mü pasa mı olacağı kararlaştırırken kalınlık dışında kül,
kükürt (sülfür), nem, uçucu maddeler de dikkate alınır. Ama bunların dışında en önemli karar kriteri
kalori değeridir. Kül, nem, uçucu maddeler ve kükürt değerleri genelde 1000 kcal/kg’lık numunenin
karşılığı olacak şekilde verilir. Eğer kömür bloğunun kalori değeri 1000 kcal/kg’dan farklıysa, o
kalori değerine denk gelen kabul edilebilir kül, kükürt, uçucu madde, sabit karbon sınırı 1000
kcal/kg’a oranlanarak bulunur.
ÖRNEK:
Termik santralı besleyecek bir linyit yatağında yapılan sondaj altta verilmiştir. Bu kuyudaki kömür
kalınlığını ve kompozit değerlerini aşağıdaki kriterlere göre hesaplayınız.
* KALORĐ > 1000 KCAL / KG
* KÜL
* NEM
< % 25 / 1000 KCAL / KG
> % 18 /1000 KCAL / KG
* Minimum bant ayırma kalınlığı 0.5 m
ÇÖZÜM :
Öncelikle hangi blokların kömür hangisinin pasa sayılacağına karar verilmesidir:
a. 70-78 m arası ( 8 m ) > 0.5
Kalori değeri 1200 > 1000 sağlıyor
Kül % 28 > % 25 ancak 1000 kcal / kg için
%28
%25
=
X ? 1000kcal / kg
X = 1120 kcal / kg üstte ise şart sağlanıyor.
1200 > 1120 şart sağlanıyor.
Nem % 10 < % 18 şart sağlanıyor.
Kömür bloğu olarak kabul edeceğiz.
b. 78-80 m arası ( 2 m ) > 0.5
Kalori 1300 > 1000
13
%32
%25
=
X ? 1000kcal / kg
X = 1200 kcal / kg 1300 > 1200 şart sağlanıyor.
Kül
Nem % 25 > %18
%25
%18
=
X ? 1000kcal / kg
X = 1388 kcal / kg 1300 < 1388 şart sağlanmıyor; nem, kabul
sınırını aştığı için kömür değil.
Not : Kömür kalitesini düşüreceği, satış verimini etkileyeceği için hesaba dahil edilmez.
c. 80,4-82,4 arası ( 2 m ) > 0.5 m
1500 kcal / kg >1000 kcal / kg
%28
%25
=
1120 kcal / kg
Kül
X ? 1000kcal / kg
1500 kcal / kg > 1120 kcal /kg
14
Nem %20 > %18
%20
%18
=
X ? 1000kcal / kg
1111.1 kcal / kg
1500 kcal / kg > 1111.1 kcal / kg
şart sağlanıyor; kömür.
d. 83.8-84.0 ( 0.2 m ) < 0.5 m
Bir üst tabaka ve alt tabaka marn,
Đki üst tabaka kömür olmakla birlikte arada 1.4 m’lik marn tabakası var. Hemen altta 84.0 m - 85.0
m arası 1 m’lik Marn tabakası var. Dolayısıyla iki kalın pasa arasında 0.2 m’lik kömür mevcuttur.
Đki alt tabaka yine pasa ( kumtaşı )
1350 kcal / kg > 1000 kcal / kg
% 25 = % 25 kül / 1000 kcal / kg
% 17 < % 18 nem
Kömür özelliklerini sağlıyor, ancak bu kalınlıkla pasa tabakalarının arasında olduğundan bu da pasa
sayılacak. Eğer kalınlık 0.5 m’den fazla olsaydı kömür sayılabilecekti.
e. 85.6 – 86.0 ( 0.4 m ) < 0.5 m
1100 kcal / kg > 1000 kcal / kg
% 23 < % 25 kül
% 18 = %18 nem
Şartlar sağlanıyor, o halde komşu tabakalara bakılır. Üst iki tabaka pasa. Altındaki tabaka 0.2 m’lik
marn. Đki alt tabaka 10 m’lik linyit, eğer şartları sağlayan bir bloksa 0.4 m’lik kömür, alttaki tabaka
0.2 m’lik marn da kömüre dahil edilecek.
Bu tabaka altındaki Marn da ( 0.2 m ) Kömür olarak sayılacak.
f. 86.2 – 96.2 ( 10 m ) > 0.5 m
Kalori 1250 kcal / kg > 1000 kcal / kg
Kül % 24 < % 25
Nem % 21 > % 18
1166.7 kcal / kg
%21
%18
=
X ? 1000 kcal / kg
1250 kcal / kg > 1166.7kcal / kg
Kömür şartı sağlanıyor.
g. 110 – 115 m ( 5 m ) > 0.5 m
950 kcal / kg < 1000 kcal / kg Kömür sayılmayacak.
h. 115.0 – 115.3 ( 0.3 m ) < 0.5 m
1400 kcal / kg > 1000 kcal / kg
Kül % 23 < % 25
Nem % 16 < %18
Kömür özelikleri olmakla birlikte bu kalınlıkla iki gang tabaka arasında pasa sayılacak.
15
Kalınlık: 8+2+0.4+0.2+10 = 20.6 m kömür
( 70 – 78 ) + ( 80.4 – 82.4 ) + ( 85.6 – 86 ) + (86 – 86.2 ) + ( 86.2 + 96.2 )
Kül:
Kül =
∑ t i xKül i (%) 8 x0.28 + 2 x0.28 + 0.4 x0.23 + 10 x0.24 5.292
=
=
= 0.257
∑ ti
8 + 2 + 0.4 + 0.2 + 10
20.6
= % 25.7 Kül
Nem:
Nem =
∑ t i xNemi (%) 8 x0.10 + 2 x0.20 + 0.4 x0.18 + 10 x0.21 3.372
=
=
= 0.164
∑ ti
8 + 2 + 0.4 + 0.2 + 10
20.6
= % 16.4 Nem
Kalori:Kal =
∑ t i xKal (kcal / kg ) 8 x1200 + 2 x1500 + 0.4 x1100 + 10 x1250 25540
=
=
∑ ti
8 + 2 + 0.4 + 0.2 + 10
20.6
Kalori = 1239kcal / kg
Eğer operatörün görememesinden söz konusu olan 0.1 m’lik kayıplar da dikkate alınacaksa, kömür
sayılan tabakaların altından ve üstünden 0.1 m ( toplam 0.2 m ) eksiltmek ve gerek kalınlık gerek
kompozit hesaplarını buna göre yapması gerekecektir. Bu örnekte kömür damarına üç defa girdiği
kabul edilmiştir;
70 – 80 m. arası + 80.4 – 82.4 m. arası + 85.6 – 96.2 m. arası.
Buraya kadar bütün bir sondaj kuyusu üzerinde kompozit işlemlerin nasıl yapıldığı ele alınmıştır.
Kuyu kompozit hesabı dışında, maden ocağının basamak kotlarına denk gelen dilimlerde de
kompozit hesabı yapılabilmektedir. Basamak kompozit işlemleri ileride ele alınacaktır.
Eğimli Damarlarda Gerçek Kalınlığın Hesaplaması
Sondaj kuyularının eğimli bir damarı kesmesi veya sondaj kuyusunun eğimli açılması sonucunda,
kuyunun kestiği cevher kalınlığı gerçek kalınlık olmamaktadır. Bu durumda gerçek damar kalınlığı
hesaplanarak bulunacaktır.
16
T1
T2
T1
T2=T1*cos(α)
T1
α
Gerçek kalınlık (T2)= Ölçülen kalınlık (T1)⋅ cos(α)
α = damar yatım açısı (veya kuyu eğim açısı)
17
T2
Đkinci bir durum da ise damarın mostra verdiği kalınlıktan damar kalınlığı hesaplanır.
T1
T2 = T1 * sin (α)
α
Gerçek kalınlık (T2)= Ölçülen kalınlık(T1) ⋅ sin(α)
18
4. KLASĐK YÖNTEMLERLE BĐLGĐLERĐN SAHAYA YAYILMASI
Numune (sondaj) bilgilerini sahaya yaymanın amacı, sahanın değişik yerlerinden alınmış sondaj
bilgilerinin, bütün sahayı kaplayacak bir alana veya hacme dağıtılmasıdır. Böylelikle sahada tespit
edilen her hangi bir koordinattaki fiziki ve kimyasal özellikler bilinebilecektir. Ayrıca cevherin
yapısı yaklaşık olarak tespit edilecek ve hacim hesaplanabilecektir.
Sahayı sondaj kuyularının köşelerini oluşturduğu üçgenlere bölmek, dikdörtgen veya kare ağlara
bölmek, poligonlara bölmek, belli aralıklarla alınmış paralel kesitlere bölmek, variogram ve kriging
gibi jeoistatistiksel yöntemler ve yapay sinir ağlarının kullanılması (neural network) bu hususta
uygulanan metotlardır.
Đlk dört metotla, önce alan, takiben hacim hesabı yapılır. Birim hacim ağırlığı ve tenör kullanılarak
rezerv hesabı yapılabilir. Son iki metot bilgisayar desteği olmaksızın yapılması mümkün
gözükmeyen yada imkansıza yakın zorlukta yöntemlerdir.
4.1. Sahanın Üçgenlere Bölünmesi
Bu metot da köşelerin her biri, bir sondaj kuyusu olacak üçgenler oluşturulur. Üçgenlerin alanları
hesaplanır. Köşelerdeki kalınlıklar ve kalınlıkla ağırlıklı ortalaması alınmış tenör, kalori, kül vs.
özellikler bu üçgen alanı dahilinde geçerli kabul edilir. Bütün üçgenler için alan, hacim, envanter
hesabı yapıldıktan sonra, alan ağırlıklı ( hatta hacim veya envanter ağırlıklı ) ortalamalar kullanılarak
ortalama kalınlık, tenör ve toplam envanter hesaplanır.
19
ÖRNEK:
Şekil aşağıda verilen üçgen ağa ait toplam rezerv, ortalama kalınlık, toplam alan, toplam hacim ve
ortalama tenör değerlerini hesaplayalım.
ALANLAR
Üçgen
no
Alan
1
2
3
4
5
6
7
8
9
22000
21000
24000
19000
28000
26000
30000
25000
24000
(m 2)
Üçgen
no
Alan
10
11
12
13
14
15
16
17
32000
29000
34000
27000
23000
22000
18000
19000
(m 2)
CEVHER KALINLIKLARI VE TONAJ FAKTÖRÜ
KUYU
T.F. KUYU
T.F.
KALINLIK
KALINLIK
NO
(t/m3) NO
(t/m3)
21
3.0
20
2.8
1
8
20
3.2
26
3.0
2
9
18
3.1
17
3.1
3
10
16
2.9
14
2.6
4
11
24
2.7
15
2.8
5
12
22
2.5
19
2.6
6
13
19
2.6
22
3.1
7
14
20
B
E=ort.(D)
A
D
C
Üçgen Kuyular
2 Kalınlıklar Ort.Kal.
Alan (m )
No
No
(m)
(m)
1
21
2
20
1
22000
19.67
3
18
1
21
3
18
2
21000
18.33
4
16
2
20
3
3
24000
18
20.67
5
24
3
18
4
5
19000
24
21.33
6
22
3
18
5
6
28000
22
19.66
7
19
3
18
6
4
26000
16
17.66
7
19
6
22
7
7
30000
19
20.5
10
6
22
8
8
25000
20
21
10
5
24
9
6
24000
24
22
10
5
24
8
20
10
32000
23.33
9
26
8
20
9
26
11
29000
20.5
12
15
8
20
12
10
34000
17.5
12
15
7
19
13
10
27000
16.5
11
14
10
14
11
23000
14
14.5
12
15
9
26
15
12
22000
15
20
13
19
12
14
16
13
18000
19
18.67
14
22
11
14
17
12
19000
15
17
14
22
Toplam
423000
328.82
21
F=CxE
G
ΣGxD
Hacim
Birim H=
3
ΣD
( m ) Hac. Ağ.
3.0
3.2
432740
3.098
3.1
3.0
3.1
384930
3.004
2.9
3.2
496080
3.1
2.977
2.7
3.1
405270
2.7
2.667
2.5
3.1
550480
2.5
2.734
2.6
3.1
459160
2.9
2.867
2.6
2.5
615000
2.6
2.550
525000
528000
746560
594500
2.5
2.8
.
2.7
2.5
.
2.7
2.8
3.0
2.8
3.0
2.8
2.8
595000
I=GxH
Rezerv
(ton)
1340628.5
1156329.7
1476830.2
1080855.1
1505012.3
1316411.7
1568250.0
2.650
1391250.0
2.667
1408176.0
2.834
2115751.0
2.9
1724050.0
2.7
1606500.0
2.75
1225125.0
2.7
900450.0
2.823
1242252.0
2.85
957771.0
2.957
955111.0
48.610
22970753.5
2.8
2.6
445500
2.9
333500
440000
336060
323000
8210780
2.9
2.8
3.0
2.8
2.6
2.8
2.6
3.1
2.9
2.8
3.1
ORT.KAL.=
ΣHACiM
ΣALAN
ORT.TON.FAK =
ΣREZERV
ΣHACiM
Ortalama kalınlık= 8210780 / 423000 = 19.41
Ortalama tonaj faktörü= 22970753.5 / 8210780 = 2.798
Eğer her bir kuyu için tenör verilmiş olsaydı, tıpkı tonaj faktörü gibi, kalınlıkla ağırlık ortalamaları
bulunup envanterle çarpmamız gerekir.
TENÖR = Σ NET CEVHER AĞIRLIĞI / Σ ENVANTER
4.2. Poligon Yöntemi
Bu yöntemde, sahada bulunan veri noktalarının (sondaj kuyuları) orta noktalarından geçen dik
doğrular birleştirilerek poligonlar oluşturulur. Poligon içinde kalan kuyuya ait özellikler, bütün
poligon alanı içinde geçerli kabul edilir (kalınlık, tenör, kalori, nem, kül, kükürt vs. gibi).
Prosedür: Önce komşu olan bütün kuyular arasındaki mesafeler ölçülerek orta noktaları bulunur. Đki
komşu kuyuyu birleştiren doğruya dik olacak şekilde, orta noktalarından dik doğrular çizilir. Kuyu
ile komşuları arasında çizilen dik doğrular kesişim noktaları itibarıyla poligonun köşelerini oluşturur.
ÖRNEK:
3
2
4
1
5
22
6 kuyu ile çizilen örnekte 2 ile 3 no’lu kuyuların orta dikmesinin, kuyuları birleştiren doğrunun
dışında ancak devreye girdiği görülüyor. Bir diğer karşılaşılabilecek durumda şöyledir.
→
ÖRNEK:
1
6
7
5
8
2
4
3
9
Tonaj faktörü = 4 t/m3 = f(t)
ALANLAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
120000 m
105000 m2
115000 m2
135000 m2
100000 m2
150000 m2
160000 m2
130000 m2
140000 m2
TENÖR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
23
%0,8
%0,9
%1,1
%1,0
%0,7
%0,6
%0,8
%1,0
%0,9
KALINLIK
1
2
3
4
5
6
7
8
9
18m
16m
22m
20m
14m
12m
17m
19m
23m
Yukarıda özellikleri verilen Cu yatağının rezervini, ortalama tenörünü ve ortalama kalınlığını
hesaplayınız.
Poligon no
Cevher
kalınlığı (m)
A
Alan (m2)
Hacim (m3)
Envanter
B
C=AxB
1
18
120000
2160000
2
16
105000
3
22
4
Rezerv (t)
D=Cxf
Tenör
(%)
E
8640000
0,008
69120
1680000
6720000
0,009
60480
115000
2530000
10120000
0,011
111320
20
135000
2700000
10800000
0,010
108000
5
14
100000
1400000
5600000
0,007
39200
6
12
150000
1800000
7200000
0,006
43200
7
17
160000
2720000
10880000
0,008
87040
8
19
130000
2470000
9880000
0,010
98800
9
23
140000
3220000
12880000
0,009
115920
TOPLAM
Σ=1155000 20680000
82720000
OrtalamaTenör =
∑ Hacim = 20680000 = 17,9m
∑ Alan 1155000
OrtalamaTenör =
∑ Re zerv = 733080 = 0,00886 = %0,886Cu
∑ Envanter 82720000
Toplam Rezerv = 733080 ton Cu
24
F=DxE
733080
4.3. Ters Mesafe Karesi Yöntemi
Atama yapılacak noktaya, yakın kuyuların daha fazla, uzak kuyuların daha az etki etmesini
sağlayarak, değer yaymada kullanılan bir metottur. Mesafenin tersiyle ağırlıklı ortalama
alınmaktadır.
n
Z0 =



d i 
1 m 
d i 
∑  z
i =1
n

∑ 
i =1
i
m
Z0 = Değer ataması yapılacak nokta
Zi = Tesir alanı içindeki numunelerin değeri i = 1,2,3,…,n
di = i numaralı numunenin o noktasına uzaklığı
m = Mesafenin kuvveti (genelde 2)
m kuvveti, devamlılığın az olduğu hallerde daha yüksek tutulur. Genelde 2 alınır ve metod ters
mesafe karesi adını alır.
g1
g6
d1
d6
d5
O
g2
g5
d2
d3
d4
g4
g3
r
r =etki yarıçapı
gi = i numaralı numunenin tenörü, (%)
di = i numaralı numuneyle o bloğu arasındaki mesafe, (m)
25

g0 =


d i 
1 2 
d i 
∑  g


∑ 

i
2

g

  g2
 g1
+ ... +  6 2 
+ 

2
2


 d1   d 2 
 d6 
g0 =



 1   1
+ ... +  1 2 
+ 

2
2


 d1   d 2 
 d6 
Tenör yanında, kalınlık, topoğrafik yükseklik, kalori ve sair bütün değerlerin yayılması için
kullanılır.
ÖRNEK
g1
Mesafeler
g6
d1
d6
d5
g2
g5
O
d2
d3
g3
d4
g4
Tenörler
d1
120 g1
12
d2
55 g2
18
d3
130 g3
16
d4
140 g4
14
d5
125 g5
15
d6
70 g6
17
Etki alanı yarı çapı 120m olan bir sahada, O noktası etrafındaki sondaj kuyuları, mesafeleri ve
tenörleri verilmiştir. Buna göre, O noktasındaki cevher tenörünü, ters mesafe karesi yöntemine göre
bulunuz.
CEVAP
120m etki yarı çapı olduğuna göre, 3, 4 ve 5 numaralı kuyuların, O noktasına tesiri olmayacak,
sadece, 1, 2 ve 6 numaralı kuyular dikkate alınacaktır.
26
n
go =
∑g
i
/ d i2
i
n
∑1 / d
2
i
g 1 / d 12 + g 2 / d 22 + g 6 / d 62
⇒ go =
1 / d12 + d 22 + d 62
i
12 / 120 2 + 18 / 55 2 + 17 / 70 2
go =
= 14.78
1 / 120 2 + 1 / 55 2 + 1 / 70 2
O noktasındaki tenör % 14.78 olarak bulunur. Aynı işlem, kalınlık, cevher tavan ve taban
yükseklikleri, topoğrafik yükseklik, kömür için kalori, kül, kükürt, uçucu madde, nem ve sabir
karbon hesaplamalarında kullanılabilir.
27
5. ALAN VE HACĐM FORMÜLLERĐ
5.1. Alan Formülleri
a) Trapezoidal Kuralı
Düzgün olmayan bir alan çift sayılı parçalara uygulanan bir alan formülüdür. Geometrik
olmadığı için hesabı zor olan bir gayri muntazam alan, eşit mesafeli paralel parçalara ayrılır.
Parçaları ayıran doğruların uzaklıkları kullanılarak formüle yerleştirilir;
S=
a + a3
a + an
a1 + a 2
h+ 2
h + .... + n −1
h ya da
2
2
2

 a + an
S = h 1
+ a 2 + a3 + a 4 + ... + a n −1 

 2
a1 = 0
h = doğrular arası mesafe
ai = doğruların uzunlukları
a1
a2
a1
a2
a3
a3
h = doğrular
arası mesafe
ai = doğruların
uzunlukları
a4
h
h
h
an-1
an (= 0 olabilir)
an
Trapezoidal Kuralı
Simpson Kuralı
28

 a + an
S = h 1
+ a 2 + a3 + a 4 + ... + a n −1 

 2
Tropezoidal kuralına göre alanı sınırlayan çizgiler düz olmalıdır. Böylelikle alan küçük yamuklara
bölünmüş olur.
b) Simpson Kuralı
Bu kurala göre sınırları eğri çizgilerden müteşekkil bir gayrı muntazam olan tek sayıdaki
doğrularla bölünür. Doğrular paralel veya hep h mesafededirler. Bu kuralın formülü şöyledir:
S=
11
h(n1 + 2∑ at + 4∑ a ç + a n )
3
burada; at = Tek sayılı doğruların uzunlukları
aç = Çift sayılı doğruların uzunlukları
Doğruların alanı parabolik parçalara böldüğü kabul edilmektedir.
* Diğer bazı alan formülleri
a2
Eşkenar üçgen S =
4
3 a: Taban kenar uzunluğu
Beşgen alanı
S=
5 2
r 10 + 5 r: Daireye göre yarıçapı
8
Altıgen alanı
S=
3a 2 3
a: Kenar uzunluğu
2
Elips alanı
S=
D.d .π
D: Uzunluk doğrultusunda çap, d: Genişlik doğ. Çap
4
Sekizgen alan
S = 2.a.l l: Karşılıklı iki kenar arası mesafe, a: kenar uzunluğu
Gauss Poligon Alan Formülü: S =
∑ x (y
i
i +1
− y i −1 )
2
29
ÖRNEK: Aynı doğrultuda açılmış sondaj kuyularından elde edilen kesit görüntü aşağıda verilmiştir.
Bu kesitin sınırlarının düzgün olduğu kabul ediliyor. Alanı hesaplayınız.
h = 200m
a1 = 0
a2 = 19m
a3 = 24m
a4 = 30m
a5 = 21m
a6 = 0
Sınırlar düzgün kabul edildiğinden sahanın yamuklara ayrıldığını varsayıyoruz. Bu durumda sondaj
sayısı çift olduğu için Tropezoidal kuralı uygulanabilir.

 a + an
S = h 1
+ a 2 + a3 + a 4 + ... + a n −1 

 2
0+0

+ 19 + 24 + 30 + 21 = 200 x(94) = 18800m 2
S = 200
 2

5.2. Hacim formülleri
a) Ortalama alanlar
S3
S2
S1
L
L
30
Bu yöntemde hacimler iki kesit alanı arasında tek tek hesaplanır. Her ikili kesitin hacmi
hesaplanarak toplam hacme ulaşılır. Kullanılan formül:
V =
S1 + S 2
xL
2
Burada; V= Hacim, m3
S= Kesit alanı, m2
L= Kesitler arası mesafedir, m
Bu formül ve teknik kesitlerin şeklen birbirine benzemeleri şartına bağlı olarak kullanılır. Birbirini
takip eden paralel kesitler için formül şöyledir,
V = (S1 + 2 S 2 + 2 S 3 + 2 S 4 + .... + S n )
L
2
Eğer kesitler arası mesafe sabit değilse;
V =
S + S3
S + Sn
S1 + S 2
L1 + 2
L2 + ... + n−1
Ln −1
2
2
2
Cevher yatağının uç noktalarında değişik şekiller ortaya çıkabilir.
i- Kesik koni (frustum)
V =
(
1
h S1 + S 2 + S1 xS 2
3
31
)
ii- Koni
1
V = .h.S
3
S = πr 2
h
1
V = .h.r 2 .π
3
dd
S
S
r
iii- Üçgen prizma
V = S.h
S: Üçgen alanı
h: Yükseklik
h
S
h
S
iv- Kama
a1
h
h
S
S
B
a
θ
b
a
32
v- Silindir
V = S .h
V = πr 2 h
b) Prizmoidal
Kesit alanlarının muntazam olmaması durumunda uygulanan bir hacim bulma yöntemi ve
formülüdür.
a2
L
b1
S2
b2
M
S1
a1
L
6
 a + a 2  b1 + b2 
M = 1


 2  2 
V = (S1 + M + S 2 )
33
c) Doğrusal (Lineer) Yöntem
Bu yönteme göre kesitler, komşularıyla aralarındaki mesafenin orta noktasına kadar tesir
sahasına sahip varsayılırlar. Bu mantık poligon yönteminde de mevcuttur ve “en yakın nokta” kuralı
olarak adlandırılır.
▫
S3
S2
S1
▫
▪
▫
▪
▪
▪
▫
▪
▫
▫
▫ Boş kesen kuyular
A1
▪ Cevher kesen kuyular
A2
A3
A4
Burada A1=A2 ve A3=A4, tesir sahalarıdır. S2 alanın hacmini hesaplarken S1 kesitine doğru A2 ve S3
kesitine doğru A3 kadar uzatmamız gerekmektedir.
V2 = S2 x A2 + S2 x A3
Aj = Đki yöndeki tesir mesafesi, (m) j=1,2
Si = i numaralı kesitin alanı, m2
ÖRNEK: Yukarıdaki şekilde S2 = 100000 m2’dir. S1-S2 arası mesafe 200m ve S2-S3 arası mesafe
400m’dir. Doğrusal hacim yöntemiyle, en yakın noktalar kuralını uygulayarak S2 alanını çevreleyen
hacmi hesaplayınız.
V2 = S2 x A2 + S2 x A3
V2 = 100 x 100000 + 200 x 100000
V2 = 30.000.000 m3
Tonaj faktörü 4 t/m3 ise Q = 120.000.000 ton
Tenör %1 ise
Q = 1.200.000 ton cevher olacaktır.
34
d) Eş kalınlık (izopah) haritalarından hacim hesabı
Eş kalınlık eğrileri, cevher kalınlığının aynı olduğu noktaları birleştiren eğrilerdir. Eş kalınlık
eğrilerinin kapladığı alanların hesaplanması ve/veya bilinmesi durumunda, hacim hesabına ulaşmak
mümkün olmaktadır. Eğer ortalama tenör de biliniyorsa veya hesaplanabiliyorsa rezerv hesabına
kadar gidilebilir. Đzograd (eş tenör) eğrileri ve bu eğrilerin çerçevelediği alanlar kullanılarak
ortalama tenör değeri hesaplanabilir. (bkz. Şekil)
Birbirini takip eden eğrilerin alanları hesaplandığı taktirde şu formül kullanılarak hacim
hesabı yapılır;
V =
S i + S i +1
xh Burada; V = Đki kalınlık eğrisi arasındaki hacim (m3)
2
Si = i kadar kalınlıktaki cevherin eğri alanı (m2)
h = eş kalınlık eğrilerinin artış miktarı (m)
Eğer eş tenör eğrileri de alanlarıyla biliniyorsa ortalama tenör şu formülle bulunur:
Cort =
c0 A0 +
c
( A0 + 2 A1 + 2 A2 + ... + 2 An−1 + An )
2
A0
Burada; c0 = Minimum tenör (%)
c
= Sabit tenör aralığı (artış miktarı) (%)
A0 = c0’a ait alan (m2)
A1 = c0 + c kadarlık alan (m2)
An = c0 +n*c kadarlık alan (m2)
cort = Ortalama tenör (%)
Her iki formülde de geçen alanlar planimetre ile ölçülerek tespit edilebilir.
35
ÖRNEK:
S 3’
S 2’
S3’’ S2’’
h3
h2
h3
h2
S1
S0
h1
h0
A3 ’
A2
A3’’
c3
A1
A0
c1
c0
V1 = h
S 0 + S1
2
(
/
S + S2 + S2
V2 = h 1
2
V3
(S
=h
/
2
//
)
) + (S
/
3
+ S3
//
)
2
/
V4 = h
+ S2
//
S3 + S3
2
//
kama için
36
/
V4 = h
cort =
S3 + S3
3
c0 A0 +
//
koni için
(
(
c
/
//
A0 + 2 A1 + 2 A2 + A3 + A3
2
A0
))
Toplam hacim
∑Vi = V
1
+ ... + V4
Envanter = ∑ Vxf = θ
f tonaj faktörü (t/m3)
Toplam rezerv P = θxcort
Đzopah veya izograd haritaları cevher kalınlığının ve kalitesinin dağılımını göstermesi
açısından da önemlidir. Bu bilgiler üretim planlaması açısından gerekli ve faydalıdır. Dezavantaj
olarak çizilen eğrilerin değer artışları farklı olduğu zaman, sonuçlar da farklı olabilir. Bir diğer
problem bir kalınlığa veya tenör değerine ait alanın hesaplanmasında çıkabilecek güçlüklerdir. Bunu
aşabilmek için kesitlerden faydalanmak gerekli olmaktadır.
Bu tip haritalar yukarıdaki örnek’te olduğu kadar kolay olmamaktadır. Daha gerçekçi bir
örnek şöyle verilebilir.
37
ÖRNEK:
A’
A5
S7
5
4
S5
3,0
A4
2,5
2,0
A3
S6
S4
2
S3
S2
A2
3
3
1,0
1,5
A6
C
C’
2
A1
1,0
A
1
B
S1
1
0,5
B’
A0
S0
A
A’
7
B
C
0
2
1
0
B’
1,5
C’
0
S0 = 1500000 m2
S1 = 100000 m2
S2 = 1100000 m2
S3 = 800000 m2
S4 = 300000 m2
S5 = 250000 m2
S6 = 150000 m2
S7 = 100000 m2
A0 = 1500000 m2
A1 = 1200000 m2
A2 = 750000 m2
A3 = 400000 m2
A4 = 250000 m2
A5 = 100000 m2
A6 = 150000 m2
f= 5 t/m3
38
Şekli yukarıda verilen Cu sahasının
a) Hacmini ve envanterini hesaplayınız
b) Ortalama tenörünü hesaplayınız
c) Rezervini hesaplayınız
ÇÖZÜM
a) V0−1 =
S 0 + (S 0 − S 1 )
h
2
1500000 + (1500000 − 100000 )
x1 = 1450000 m 3
2
V0-1 =
V1− 2 =
V2 − 3 =
( S 0 − S1 ) + ( S 2 − S 6 )
(1500000 − 100000) + (1100000 − 150000)
xh =
x1 = 1175000 m 3
2
2
(S 2 − S 6 ) + ( S 3 − S 4 )
2
xh =
(1100000 − 150000 ) + (800000 − 300000) x1 = 725000 m 3
2
V3− 4 =
(S3 − S 4 ) + (S5 )
(800000 − 300000) + 250000
xh =
x1 = 375000 m 3
2
2
V4 − 5 =
S5 + S7
250000 + 100000
xh =
x1 = 175000 m 3
2
2
V5 =
S7
100000
xh =
x1 = 50000 m 3
2
2
∑Vi = 1450000 + 1175000 + 725000 + 375000 + 50000 = 3950000m
3
θ = ∑ Vxf = 3950000 x5 = 19750000ton
b) C ort = c0 A0 +
c
( A0 + 2 A1 + 2 A2 + ... + 2 An−1 + An )
2
0,5
(1500000 + 2 x(1200000 − 150000) + 2 x750000) + 2 x400000
2
100000
+ 2 x 250000 + 2 x100000 +
) / A0
2
cort = 0,5 x1500000 +
cort =
2412500
= 1.608%Cu
1500000
c) P = θxcort = 19750000 x0,01608 = 317580ton.Cu
39
6. JEOĐSTATĐSTĐK
Jeoistatistik, istatistiğin jeolojik olaylar için geliştirilmiş özel bir koludur. Maden değerlendirme
açısından, verilerin sahaya yayılması hususunda yeralır.
Yayılma fonksiyonu: numune değerlerinin, çevre hacimlere dağıtılmasını ve değer atanmamış nokta,
alan ve hacimlere değer atanmasını sağlayan bir teknik veya matematiksel fonksiyondur.
Yayma (interpolasyon) Fonksiyonları
Geleneksel
Bilgisayar
Destekli
Geleneksel
Jeoistatistik
Yapay Sinir
Ağları
Jeoistatistik bölgesel değişkenler esasına dayanır. Bu esas,numunenin değeri kadar, bulunduğu
pozisyon ve yönü de dikkate almaktadır.
Đstatistik-Jeoistatistik kıyaslaması: Klasik istatistik ihtimal (olasılık) teorisine dayanır. Olasılık
hesapları rasgele olayların bir sonucu kabul edilir. Diğer bir deyişle, klasik istatistik rasgele
değişkenler teorisinin bir sonucudur. Rasgele olaylarda, parametrelerin bir diğerinden bağımsızlığı
söz konusudur. Halbuki jeolojik olaylar göz önüne alındığında, pek çok cevher yatağı, matematiksel
bir yapı ile üç boyutlu uzay koordinatında yer alır. Bu da, rasgele davranmadığı ve parametrelerin
fonksiyonlarla ifade edilebilen bir davranış sergilediği gibi bir mana taşır.
O halde rasgele olmayan davranışın matematiksel bir fonksiyonla ifade edilmesi mümkündür. Bu
mantıktan bölgesel değişkenler
kavramı ortaya çıkmıştır. Numunelerin değeriyle üç boyutlu
koordinat sistemi (uzay) içindeki yeri arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak açıklayan bu kavram
aynı zamanda jeoistatistiğin de temelini teşkil eder.
Değişkenler iki türlüdür;
i-
Bölgesel; değeri ve uzaydaki yer ilişkisi matematiksel bir fonksiyonla açıklanabilen
değişkenlerdir (numuneler). Bölgesel değişkenler “etki alanı” tabir edilen bir alanı veya
hacmi tesiri altında tutar ve o alan veya hacme kendi değerinden bir etki taşır (Regional
variable).
ii-
Rasgele (Random); numunelerin değeri pozisyonları itibarıyla bağımsızdır. Bu
bağımsızlık, numunelerin belli bir fonksiyonla irtibatlandırılmalarını imkansız kılar. Buna
40
“nugget (külçe) etkisi” denir. Külçe etkisinin başlıca nedeni, birbirine en yakın kuyunun
arasındakinden de küçük mesafeler için elde veri olmayışı ve sıfır mesafe için sapma
meydana gelmesidir.
Özetle rasgele yapılı veri (numune)tabanı için geleneksel istatistik, bölgesel yapılı yani verilokasyon ilişkisi matematiksel bir fonksiyonla açıklanabilen numune değerleri için jeoistatistik
kullanılır.
Jeoistatistiğin Temel Kavramları
Mineral envanterlerinde jeoistaistik yöntemlerin kullanılması iki safhalıdır; variogram modelinin
oluşturulması ve neticesinde kriging işleminin uygulanması, numune (sondaj kuyusu) değerlerinin
sahaya yayılması.
6.1. Variogram Modeli
Variogramlar jeoistatistiğin temel araçlarıdır. Numune değerlerinin mesafe ve yönle değişimini
açıklarlar. Yan yana iki numunenin, uzak iki numuneden daha fazla benzerlik göstermesini bekleriz.
Diğer bir ifadeyle, yakın numuneler arasındaki korelasyon uzak numunelere göre daha fazladır. Đki
numune arası mesafe arttıkça ters orantılı olarak birbirlerini tanımlar, güçleri azalır. Öyle ki, bir
mesafe gelir ve bu korelasyon sıfırlanır. Variogram numuneler arası korelasyonun hangi mesafede
sıfır olacağını da gösteren bir grafik eğridir. Variogram numuneler arasındaki varyansın mesafeyle
değişimini gösteren bir grafiktir. Variogram sembolik olarak 2 γ (h) olarak gösterilir. Formül olarak
( γ (h)=semi variogram);
Σ[Z ( x + h) − Z ( x)]
Zn
2
2 γ ( h) =
γ (h)=jeoistatistiksel varyans (semi variogram)
Z(x)=tenör veya (başka bir değişken) , x noktasında
Z(x+h)=x+h (h kadar uzakta) olan numunenin tenörü (veya diğer bir değişken)
h=numuneler arası katları alınacak mesafe (lag olarak tabir edilir)
n =h mesafeli numunelerin oluşturduğu çiftlerin adedi
41
ÖRNEK
n=1
n=2
2h
n=1
n=3
n=2
n=4
n=5
n=3
n=4
•
• γ(7h)
n=6
n=5
n=7→γ(h), n=7
n=6 →γ(2h), n=6
γ(h)
γ(h)
•
•
•
4
5
γ(2h) •
•
h
1
2
3
6
7
6.1.1. Variogramların özellikleri
a) Mineralizasyon
devamlılığı;
orijin
noktasından
başlayarak
artan
bir varyans
eğrisi
mineralizasyonun devamlılığına işaret eder.
i- “lag” mesafesinin (h) artmasıyla muntazam yükselen bir varyans eğrisi iyi bir mineral
devamlılığını gösterir.
γ(h)
eğri
• = h(lag) mesafeleri için
hesaplanan varyans
h
(i) Düzenli mineral devamlılığı
42
ii- Üniform ve yüksek devamlılık, doğrusal bir h-γ ilişkisi gösterir.
γ(h)
doğrusal bağlantı
h
(ii) üniform ve yüksek devamlılık
iii-
Mineral
devamlılığı
yok.
Numuneler
bağımsız
hareket
ediyor.
Jeoistatistik
uygulanmamalı (Normal olasılık hesapları geçerli).
γ(h)
h
(iii) Bağımsız numuneler (devamlılık yok)
b) Etki alanı; bu kavram, bir numunenin tesir mesafesini veya tesir yarıçapını göstermesi açısından
çok önemlidir. Bu mesafe variogramda genellikle, eğrinin alt eksene paralel olarak düz bir platoya
döndüğü nokta olarak variogramdan okunabilir. Bu plato bir γ(h) değerine (varyansa) sahiptir. “sill”
(eşik) olarak adlandırılır. Eğrinin sill değerine ulaştığı h mesafesi “range” veya “etki alanı” olarak
adlandırılır.
43
γ(h)
Sill (eşit)
c
c0
(nugget- külçe
etkisi)
a
(tesir
a (range veya tesir alanı)
mesafesini)
aşan
uzaklıklardaki
numunelerin
birbirleriyle
korelasyonu
sıfırlanmaktadır. Ayrıca bir numune bu mesafenin üstündeki noktalara tesir etmemektedir.
c) Külçe Etkisi (C0): Doğrusal davranışlı bir cevher yatağında, numune alma mesafesi h=0
olduğunda, tabii olarak γ(h)’ın da sıfır olması gerekir. Çünkü, numune alınan yerin tam üstünde
bulunuluyor demektir ve burada varyansın da sıfır olması beklenir. Ama grafik çoğunlukla
çizildiğinde varyansın sıfırdan farklı olduğu ve bir külçe etkisine sahip olduğu görülmektedir. Külçe
etkisinin özellikleri:
-
Örnekleme mesafesi h arttıkça arttığı görülür.
-
Sahadan alınan veriler muntazam dağılmayıp bir bölgede kümelenmişse külçe etkisi artar.
-
Veri azlığı, ölçüm hataları da külçe etkisini arttırır.
d)
Anizotropi; variogramlar sadece değer-mesafe bağlantısını açıklamakla kalmaz, aynı
zamanda değer-yön ilişkisini de izah eder. Variogram, numune değerlerinin varyansını belli bir yön
için tespit eder. Đzotropi bir cevher yatağının her yönde aynı özellikleri göstermesidir. Diğer bir ifade
ile, bir cevher yatağının her yönde alınmış variogramları aynıysa bu jeolojik yapıya “izotropik”
denir.
e)
Bir cevher yatağında anizotropinin iki şekilde olması mümkündür:
i. Geometrik Anizotropi: Değişik yönlerde çizilen variogramlar aynı “sill” eşik değerine sahip olup,
etki mesafeleri farklı ise, burada geometrik anizotropiden söz edilir.
ii.Zonal Anizotropi: Değişik yönler için oluşturulan variogram modellerinde etki mesafeleri aynı
ama eşik değerleri farklı ise, burada zonal anizotropiden bahsedilebilir.
44
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(i) E-W yönü
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(ii) N-S yönü
•
(iii) SW-NE yönü
6.1.2. Variogram Modelleri
6.1.2.1. Sill’li modeller
a- Orijinde doğrusal hareket
i- Spherical (Küresel) model
 3h 1  h 3 
γ (h) = (C + C0 )  −   
 2a 2  a  
ii- Exponential (Üslü) model
γ (h) = C 1 − e
−h

a


C = c + c0
b) Orijinde parabolik hareket-Gaussian modeli
−h

γ (h) = C 1 − e

2
a2



C = c + c0
Küresel
Sill
Üslü
Gaussian
h
45
6.1.2.2. Sill’siz modeller
a) Doğrusal model
a2h
γ ( h) =
2
γ(h)
a 2h
2
h
b) Logaritmik model γ (h) = 3γ log(h)
γ(h)
3γ log(h)
Siil’siz modeller genellikle deneysel veri tabanına uygundur. h(log) mesafeleri küçükken
doğru, büyüdükçe hatalı sonuçlar vermektedirler. Hidrotermal yataklar için uygundur.
Sill’li modeller içinde en önemli olan esas-tabii (intrinsic) model olan küresel (spherical)
modeldir. Pek çok jeoistatistik çalışmasında tercih edilmektedir.
6.1.3. Variogramların önemi
Variogramlar numunelerin üç boyutlu (3-D) koordinat uzayındaki yerlerinin, değerlerle
ilişkisini fonksiyonel olarak açıklaması yönüyle önemlidirler. Oluşturulan variogram modeli
sahadaki her hangi bir noktayla numuneler arasındaki varyansın tayini için kolaylık sağlarlar.
Numune alınmamış noktalara değer taşınması ve atanması için kullanılacak olan Kriging işlemi
tamamen variogram modeline dayanmaktadır.
46
6.2. Kriging (jeoistatistik atama fonksiyonu)
Küresel model ve kriging, Matheron tarafından geliştirilmiştir. Kovaryans değerleriyle değer
atamaya dayanan kriging, bu atamadan doğan hatayı hesaplama imkanı sağlaması açısından
avantajlıdır. Kriging’le nokta, alan ve hacim atamaları mümkündür. Madencilikte daha ziyade hacim
ataması kullanılmaktadır. Bu hacim üç boyutlu blok modelde yer alan bloklardır.
6.2.1. Kriging teorisi
Bir maden bloğu olan B’yi düşünelim. Tenörü bilinmiyor ve bu tenör ZB ile sembolize
ediliyor. Yine varsayalım, n tane numunemiz z(xi) (i=1,…,n) yerleşim noktası ve tenör değeri olarak
biliniyor. B bloğumuzun ZB değerini, bu n tane z(xi) ile tanımlamak için belli ağırlık değerleriyle
çarparak buluruz. Bu ağırlık değerlerini ise hesaplarken variogram modelini kullanırız.
n
Z B = ∑ ai z ( xi )
*
i =1
ai = Ağırlık değerleri (i numaralı numunenin)
ZB* = B bloğunun tenör değeri
Z(xi) = xi numunesinin tenör değeri
Toplam ağırlıklar değeri 1 olmalıdır.
n
∑a
i
=1
i =1
Burada önem kazanan nokta ai ağırlıklarının bulunmasıdır. Diğer önemli hususlar varyansın
bulunması, değer atanması ve bu değer atanmasından kaynaklanan hata miktarının hesaplanmasıdır.
Atama varyansı (hata) VAR (z*-z) veya σe2 şeklinde gösterilir ve gerçek değerden bir sapmayı ifade
eder.
47
n
n
n
σ e 2 = σ v 2 − 2∑ aiσ vx + ∑∑ ai a jσ x x
i
i =1
i =1 j =1
i j
burada, σe2 atama varyansı (atama hatası)
σv2 =Blok tenörünün v hacmi içindeki varyansı
σvxi = v bloğunun tenörü ile xi numunelerinin aralarındaki kovaryans (kuyuların blok arasındaki
varyans)
σxixj = xi ve xj numuneleri arasındaki kovaryans (numuneler arasındaki varyans)
Pratikte, formül üzerinde yapılacak bazı değişiklikler ve yer değiştirmelerle, formülü tekrar şöyle
yazabiliriz.
n
σ e = σ v − ∑ aiσ vx + µ
2
i
i =1
σvxi = Hacim ve kuyular arasındaki kovaryans
σv = Hacim içindeki varyans
ai = Ağırlık değerleri
µ = Lagrangian çarpanı
Burada geçen kovaryans ve varyansları bulmak için variogram modeli kullanılır. Variogramların h
mesafelerine karşı varyansların çizimi olduğu düşünülürse, gerek kuyuların birbirine olan
uzaklıkları, gerekse kuyu-blok arası mesafeler, variogram modeline konulduğunda karşı gelen
varyans değerleri hesaplanabilir. Lagrange çarpanı ağırlık değerlerinin matrisini tanımlayan bir
ağırlık değeridir.
Burada σxixj ve σvxi değerleri variogram modeliyle bulunurken ai ve µ değerleri aşağıdaki matrislerin
çözümüdür.
[σ ]aµ  = [σ ]
,
xi x j
 
vxi
48
hacim

ai
 

ve
numuneler  



arası
 ve
 = kuyular


 µ
 

konveryans 
 arası

matrisi  konveryans


açık ifadeyle;
σ 11 σ 21
σ
 12 σ 22
 .... ...

1
1
 a1   σ vı 
... σ n1     
a2
σ v2
... σ n 2     
 ...  =  ... 
... ...     
σ vm
 am
... 0     
 µ   1 
Bu matrisin çözümü ai ve µ değerlerini verecektir.
Numunelerle blok arasındaki kovaryans hesaplanırken, blok, 6 tane noktayla temsil edilir ve
σvxi şöyle hesaplanır.
σ vxi = c0 −
∑ iσ
vbxi
b
b = Bloğun üzerinden alınmış ve bloğu temsil eden nokta sayısı
yb = Blok üzerindeki noktalar
c0 = Külçe değeri
49
6.3. Variogram ve Kriging Örnekleri
6.3.1. Variogram örnekleri
Örnek 1-Aşağıdaki numuneler için E-W (D-B) yönündeki varyansları hesaplayınız. (h=100m.)
h, γ (h) =
1
▫
0,14
2
▫
0,28
3
▫
0,10
4
▫
0,18
5
▫
0,09
6
▫
0,09
7
▫
0,14
8
▫
0,15
9
▫
0,13
10
▫
0,17
11
▫
0,22
12
▫
0,16
13
▫
0,22
14
▫
0,17
15
▫
0,11
16
▫
0,11
17
▫
0,27
18
▫
0,15
19
▫
0,06
20
▫
0,12
21
▫
0,12
22
▫
0,14
23
▫
0,11
24
▫
0,07
25
▫
0,17
E↔W
[
1
(x1 − x2 )2 + ( x2 − x3 ) 2 + ( x3 − x4 ) 2 + ( x4 − x5 ) 2 + ... + ( x 24 − x25 ) 2
2n
1. çift
2. çift
20. çift
[
γ ( h) =
1
(0,14 − 0,28) 2 + (0,28 − 0,10) 2 + ... + (0,07 − 0,17) 2
2(20)
λ ( h) =
1
[0,1497] = 0,00374
40
2h, γ (2h) =
[
]
n = 20
]
1
(x1 − x3 )2 + ( x2 − x4 ) 2 + ( x3 − x5 ) 2 + ( x4 − x6 ) 2 + ... + ( x23 − x25 ) 2
2n
]
15. çift n = 15
50
[
γ ( 2h ) =
1
(0,14 − 0,10) 2 + (0,28 − 0,18) 2 + ... + (0,13 − 0,17) 2
2(15)
λ ( 2 h) =
1
[0,0825] = 0,00275
30
]
aynı şekilde
λ (3h) = 0,00385
λ (4h) = 0,00253
Örnek 2- Aşağıdaki numuneler için i-E-W, ii-N-S için model oluşturun.
1
10
5
6
1
3
1
8
7
6
6
4
7
7
5
11
4
4
11
13
10
9
8
8
7
7
12
1
13
4
3
11
1. yön = E-W ↔
2
2
2
2
2
2
2
1 (10 − 8) + (8 − 7) + (7 − 6) + (6 − 6) + (6 − 4) + (5 − 6) + (1 − 3) + (3 − 7) 
γ (1) =


2n + (7 − 11) 2 + (11 − 4) 2 + (13 − 9) 2 + (9 − 8) 2 + (8 − 7) 2 + (7 − 7) 2

2
14. çift
n = 14
51
λ (1) =
1
[4 + 1 + 1 + 0 + 4 + 1 + 4 + 16 + 16 + 49 + 16 + 1 + 1 + 0] = 4,04
2(14)
2
2
2
2
2
2
2
1 (10 − 7 ) + (8 − 6) + (7 − 6) + (6 − 4) + (6 − 7) + (1 − 7) + (3 − 11) + (7 − 4) 
γ ( 2) =


2n + (1 − 5) 2 + (5 − 11) 2 + (13 − 8) 2 + (9 − 7) 2 + (8 − 7) 2 + (10 − 12) 2

2
14. çift
n = 14
λ ( 2) =
1
[226] = 8,07
2(14)
γ (3) =
1
(10 − 6)2 + (8 − 6) 2 + (7 − 4) 2 + (5 − 7) 2 + (1 − 11) 2 + (3 − 4) 2 + (13 − 7) 2 + (9 − 7) 2
2n
[
n=8
λ (3) =
1
[174] = 10,88
2(8)
γ ( 4) =
1
(10 − 6)2 + (8 − 4) 2 + (1 − 4) 2 + (1 − 11) 2 + (13 − 7) 2 + (13 − 3) 2
2n
λ ( 4) =
1
[277] = 23,08
2( 6)
[
benzer olarak
λ (5) =
36
228
9
= 9,0 λ (6) =
= 28,5 λ (7) =
= 4,5
2( 2)
2( 4)
2(1)
λ (8) =
91
9
49
= 4,5 λ (9) =
= 4,5 λ (10) =
= 24,5
2(3)
2(1)
2(1)
52
]
]
γ(h)
E-W
x
30
25
x
20
x
15
x
x
10
x
5
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
h
a (tesir mesafesi)
2. yön N-S
γ (1) =
2
2
2
2
2
2
2
1 (5 − 1) + (10 − 6) + (6 − 3) + (3 − 5) + (7 − 7) + (7 − 11) + (11 − 11) + (11 − 13) 


2n + (13 − 12) 2 + (14 − 8) 2 + (1 − 3) 2

λ (1) =
70
= 3,18
2(11)
2
2
2
2
2
2
2
2
1 (10 − 3) + (6 − 5) + (5 − 10) + (8 − 7) + (7 − 11) + (7 − 11) + (11 − 13) + (11 − 12) 
γ ( 2) = 

2n + (6 − 4) 2 + (4 − 9) 2 + (8 − 13) 2 + (8 − 1) 2

2
λ ( 2) =
216
= 9,0
2(12)
benzer olarak
γ (3) = 11,06 γ (4) = 7,14 γ (5) = 5,7 γ (6) = 12,5 γ (7) = 24,5
53
γ(h)
25
20
15
x
x
10
x
x
5
x
0
1
2
3
4
5
6
7
h
a (tesir mesafesi
Model uyarlaması göze dayalı bir yorumla yapılır (bilgisayar da dahil). Belli tolerans payları içinde
kullanıcı bu modelleri benzer kabul edebilir. (esasen a değerleri yakın olmakla birlikte Sill değerleri
pek yakın değil) eğer kullanıcının tolerans sınırları içindeyse bu modeller benzer kabul edilir ve
cevher yatağı izotropik sayılır. Aksi halde izotropik değildir.
6.3.2. Kriging Örnekleri
Örnek 1- Nokta Kriging
Verilen variogram modeli için x0 noktasının değerini hesaplayınız.
γ(h) = 4,0 – 0,01 (h)
h≤400 ft
γ(h) = 4,0
h<400 ft
2
▫ 0,6
100’
1
▫
0,4
100’
▫
100’
≈200’
▫ 0,7
3
(1-2) ≈ 200’
(1-3) ≈ 200’
54
1.basamak = Numuneler arası kovaryansları hesaplayınız. (σxixj)
σ 11 = σ 22 = σ 33 = 4,0 − 0,01(0) = 4,0
σ 12 = σ 21 = σ 31 = σ 13 = 4,0 − 0,01(200 / ) = 2,0
σ 23 = σ 2 x 0 = σ 3 x 0 = 4,0 − 0,01(20)3,8
2. basamak x0 noktasıyla numuneler arasındaki kovaryans (σvxi)
σ 1x 0 = σ 2 x 0 = σ 3 x 0 = 4,0 − 0,01(100 / ) = 3,0
ai 
3. basmak Matrisleri oluştur σ xixj   = [σ x 0 xi ]
µ 
[
σxixj
]
σx0xi
4,0 2,0 2,0 − 1  a1  3
2,0 4,0 3,8 − 1 a  3

 2  =  
2,0 3,8 4,0 − 1  a 3  3

   
1
1
0   µ  1
1
4. basamak
Matrisi çözünüz ve ai ve µ (lagrange çarpanı) değerlerini hesaplayınız.
a1 = 0,487
a2 = 0,256
a3 = 0,256
µ = -0,026
5. basamak x0 değerini hesaplayınız
z * = ∑ ai z ( xi )
*
z x 0 = 0,487 x0,4 + 0,256 x0,6 + 0,256 x0,7
z x 0 = 0,5276
*
55
6. basamak Atamadan doğan varyansı (hatayı bulunuz)
σ e 2 = σ vxi − ∑ aiσ x 0 xi + µ
σ e = 4,0 − [0,487(3) + 0,256(3) + 0,256(3)]
2
σ e 2 = 0,974.hata
 σ vxi = σ x 0 x 0 .nokta.kriging .için 


 σ x 0 x 0 = 4,0 − 0,01(0,0)

σ

 x 0 x 0 = 4,0

Örnek 2- Blok Kriging
3 kuyu ile çevrili bloğun değerini aşağıdaki modelle bulunuz.
γ(h) = 74-0,6757(h)
h≤41,22
γ(h) = 74
h>41,22
σv 36,51 olarak veriliyor (bloğun içindeki varyans)
DH1
▫
0,16
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
x
9
x
DH3
▫
0,14
DH2
▫
0,21
Bloğu temsilen 9 nokta tanımlanmıştır.
56
DH1
DH2
DH3
DH1
-
20
30
DH2
20
-
20
DH3
30
20
-
1
10
20
15
2
15
15
10
3
20
20
5
4
5
15
15
5
10
10
10
6
15
15
5
7
10
10
20
8
15
5
15
9
20
10
10
1. basamak: σv blok varyansı verilmiş σv = 36,51
2. basamak: Numuneler arası koveryans
σ 11 = σ 22 = σ 33 = 74 − 0,6757(0) = 74
σ 12 = σ 21 = σ 32 = σ 23 = 74 − 0,6757(20) = 60.486
σ 13 = σ 31 = 74 − 0,6757(30) = 53,73
3. basamak: Numuneler ile blok arasındaki koveryanslar blok 9 noktayla sembolize (temsil)
edilmekte. Bu noktaları y1,y2,….,y9 olarak tanımlayalım.
σ vxi = σ vi = 74 −
1
[γ (dh1 − y1 ) + γ (dh1 − y 2 ) + γ (dh1 − y3 ) + ... + γ (dh1 − y9 )]
9
1
[{74 − 0,6757(10)} + {74 − 0,6757(15)} + ... + {74 − 0,6757(20)}]
9
σ vı = 74 − 64,99 = 9,01
σ vı = 74 −
aynı şekilde
57
σ v 2 = 74 − 64,99 = 9,01
σ v 3 = 74 − 66,11 = 7,89
4. basamak Matris formu

 74,0 60,49 53,73 − 1  a1  


9
,
01
60,49 74,0 60,49 − 1 a 

2

   = 9,01
 53,73 60,49 74,0 − 1  a3  7,89


  
1
1
0   µ  1 
 1


5. basamak Matris çözümü
a1 = 0,0772
a1 = 0,899
a1 = 0,227
µ = 52,28
6. basamak: Blok değerinin hesaplanması
Z B = ∑ a i Z ( xi )
*
Z B = (0,0777)(0,16) + (0,899)(0,21) + (0,277)(0,14)
*
Z B = 0,2044
*
7. basamak: Atama varyansı (hatası)
σ e 2 = σ v − ∑ aiσ vxi + µ
= 3651 − [0,0777(9,01) + 0,899(9,01) + (0,0227)(7,89)] + 52,28 = 79,81
Hatanın büyük olduğu görülmektedir. Bazı durumlarda σe2 negatif değer de alabilir. Bu, variogram
fonksiyonunu uygun seçilmediğini gösterir.
58
6.4 Yapay Sinir Ağları
Veri yayma yöntemleri içinde en son olarak yapay sinir ağları görülmektedir (Wou ve Zhou,
1994, Lippmann, 1987).
Öncelikle, mevcut bilgilerin sisteme belli bir eğitme metodu ile
öğretilmesine ve sistemin eğitilmesinden sonra, verilerin sahaya, oluşturulan matematik modele göre
yayılmasına dayalıdır. Her veri noktası eğitim sonrası bir ağırlık değerine sahip olur. Bu ağırlık
değerlerine göre, sahanın her hangi bir koordinatına atama yapılabilir. Formül gösterimi;
n
y = w1 x1 + w2 x2 + ...... + wn xn = ∑ w j x j
j =1
şeklindedir. Burada, y atanan değer, wj, j numaralı numunenin ağırlık değeri ve xj, j numaralı
numunenin yayılacak değeridir. Ağırlık değeri (wj) hesaplamaları, eğitim olarak adlandırılan bir
tekrar zinciridir. Başlangıçta, numune değerlerine rasgele verilen wj değerleriyle, bizzat numunelerin
bulunduğu koordinatlara atama yapılır. Toplam hata numunelere yayılarak, yeni bir iterasyon yapılır
ve yeni ağırlık değerleri bulunur. Bu değerlerle yapılan atamalarda hata bir önceki tekrardan
(iterasyondan) daha küçüktür. Yeniden toplam hata dağıtılarak işlem belirlenen bir hata derecesine
ulaşana kadar devam ettirilir. Hata yayma işleminde eksponansiyel-sigmoidal bir fonksiyon
kullanılır;
f ( x) =
1
1 + e −x
(14)
Her tekrarlama işleminde, küçülen toplam hata kontrol edilerek, istenilen hata seviyesinin altına
düşene kadar işlem devam ettirilir. Yüzbinlerce, hatta, milyonlarca tekrar (iterasyon) gerekebilir.
Toplam hata miktarı belirlenen düzeyin altına indiğinde sistemin veri tabanını öğrendiği ve her
numune için hesaplanan wj değerlerinin atamada kullanılabileceği anlaşılmı olur. 13. denklem
uygulanarak sahadaki noktalara değer atamları yapılabilir.
Son yıllarda bir Yapay Zeka tekniği olan yapay sinir ağlarındaki gelişmeler, sondaj bilgileriyle
direkt olarak eğitilen modelleri kullanarak, bilgileri sahaya çok daha etkin biçimde yayılabileceği
için, tüm maden yatağının 3 boyutlu modelinin de oluşturulabileceği düşüncesine zemin
hazırlamıştır. 3 boyutlu blok model oluşturmaya yönelik çalışmalara ve bunların jeoistatistiksel
çalışmalarla kıyaslanması noktasına gelinmiştir. Matematiksel olarak, jeoistatistiksel yöntemlerden
daha başarılı olacağı görülen yapay sinir ağları, uygulamaya yönelik çalışmaların tamamlanmasıyla,
pratikte de üstünlüğünü gösterebilecektir
59
7. SAHANIN BALIKAĞIYLA KAPLANMASI VE REZERV HESAPLARI
Sahanın balıkağı olarak adlandırılan, ızgara şeklinde parçalara bölünmesine ızgara yöntemi
(gridding) denir. Ağda yer alan düğümler, birbirinden eşit mesafede yer alırlar. Orijin kabul edilen
Ox ve Oy noktalarından x (doğu) ve y (kuzey) yönlerinde her ∆x ve ∆y mesafede bir düğüm atılır.
Yukarıdan balıkağı veya ızgaralanmış bir saha görüntüsü elde edilir.
y (kuzey)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
• •
•
•
•
•
•
•
•
∆y
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
x (doğu)
∆x
• Sondaj kuyusu
Ağ üzerinde her bir “düğüm noktasının” koordinatları Ox, Oy merkezi ve ∆x, ∆y aralıkları dikkate
alınarak hesaplanabilir. X yönündeki bütün düğüm noktaları
xi = Ox + i * ∆x
y yönündeki bütün düğün noktaları,
yi = Oy + i * ∆y
formülleriyle hesaplanır.
(x,y) koorinatları hesaplanan düğüm noktalarına, sondaj kuyularından topoğrafik yükseklik, kalınlık,
tenör, ara kesme bilgileri, kalori, kül, kükürt, vs. bütün bilgiler gerek kompozit değer olarak, gerekse
birebir fiziksel koordinatlarıyla taşınabilir. Sonuçta her bir düğüm noktasına sondaj kuyularından
gelen bilgilerin atanmasıyla, bütün sahayı saran bir muntazam bir veri tabanı elde edilmiş olur.
60
Sondaj kuyu verilerini düğüm noktalarına ters mesafe yöntemi, jeoistatistik yapay sinir ağları gibi
yöntemlerle atamak mümkündür.
H4
(x4, y4)
H1
H3
(x3, y3)
(∆x,∆y)
•
H2
(x2, y2)
(x1, y1)
Kuyuların (Dxi, Dyi) düğüm noktasına uzaklıkları atamada büyük önem taşır. Kuyular düğüm
noktalarına ne kadar yakınsa o kadar fazla tesir edebilmektedir. Bu mesafe j kuyusu için;
M = ( x j − Dxi ) 2 + ( y j − Dyi ) 2 genel formülüyle bulunur.
xj = j kuyusunun x koordinatı
yj = j kuyusunun x koordinatı
Dc = düğüm noktasının x koordinatı
Dy = düğüm noktasının y koordinatı
Atama sonrası işlemler
Ters mesafe, jeoistatistik, yapay sinir ağları gibi interpolasyon yönleriyle sondaj
kuyularındaki her türlü bilginin atandığı düğüm sistemi, harita çiziminden, 3 boyut modellemeye,
hacim hesaplarından rezerv hesabına kadar pek çok değerlendirme işinde kullanılır.
7.1. Kompozit Değer Kullanarak Rezerv Hesabı
Kompozit değer bulunduktan sonra
i-
üçgen
ii-
poligon
61
iii-
kuyu ortalamalarından rezerv hesabı
iv-
grid (ızgara, balıkağı) poligon yöntemi
ile rezerv hesabı yapılabilir.
i- üçgen yöntemi
Kuyular üçgenler oluşturacak şekilde bağlanır ve kompozit kalınlık ve tenör değerleri
kullanılır.
ii- poligon yöntemi
Poligonlar oluşturularak her poligonda yer alan kuyuların kompozit değerleri poligon
alanının her yerinde geçerli sayılır.
iii- kuyu ortalamaları
Bu yaklaşımda kuyu kompozit kalınlıklarının ortalaması alınarak saha alanıyla çarpılır. Çıkan
hacimden rezerve ulaşılır.
n
t ort =
∑t
i
i
n
i = 1,2,3,…,n
n = kuyu sayısı
ti = i numaralı kuyunun kompozit kalınlık değeri (m)
tort = ortalama kalınlık (m)
V = A * tort
V = hacim (m3)
A = saha alanı (m2)
θ=V*f
62
f = tonaj faktörü (t/m3)
R=θ*g
R = rezerv (t)
g = tenör (%)
ÖRNEK
18 kuyu 1200000 m2 saha sınırı içinde yer almaktadır. Kuyuların kompozit kalınlıkları
aşağıdaki gibidir. Rezervi hesaplayınız.
#
ti
f
g(%) #
ti
f
g(%) #
ti
f
g(%)
1
18
2,5
18
7
30
2,1
20
13
36
2,6
17
2
21
2,7
24
8
15
2,3
19
14
18
2,5
18
3
34
2,2
16
9
21
2,6
23
15
23
2,2
21
4
26
2,3
17
10
30
2,4
18
16
24
2,4
23
5
23
2,6
21
11
29
2,2
19
17
28
2,3
22
6
19
2,5
22
12
41
2,1
20
18
39
2,4
20
t ort =
f ort =
∑t
n
i
=
18 + 21 + 34 + ... + 24 + 28 + 29
= 26,39m
18
∑ft
∑t
=
18 x 2,5 + 21x 2,7 + ... + 28 x 2,3 + 39 x 2,4
= 2,36t / m 3
475
∑ft
∑t
=
18 x18 + 21x 24 + ... + 28 x 22 + 39 x 20
= %19,71
475
i i
i
g ort =
i i
i
V = Axf ort = 1200000 x 26,39 = 31668000m 3
θ = Vxf ort = 31668000 x 2,36 = 74736000t
R = θxg ort = 74736000 x0,1971 = 14730560,21t
63
iv- Grid (ızgara-balıkağı) poligon yöntemi
Izgara uygulaması yapılmış ve düğüm noktalarına kalınlık, tenör vs. değerler atanmış sahada,
her bir ızgara hücresi, dört köşeli bir poligon kabul edilerek, hücre bazında rezerv hesaplanarak
toplam rezerve ulaşılır.
t ort =
t1 + t 2 + t 3 + t 4
( m)
4
A = ∆x * ∆y (m 2 )
4
1
∆y
3
2
∆x
4
f ort =
∑ ti f i
i
4
∑ ti
i
4
∑t g
i
g ort =
i
i
4
∑t
i
i
V = A * tort (m2)
θ = V * fort (t)
R = θ * gort (t)
Diğer bir alternatif ise her düğüm noktası bir kare (veya dikdörtgen) ortasında yer almasıdır.
Aşağıdaki problem bu durum için bir örnek teşkil etmektedir.
64
ÖRNEK
Izgara (balıkağı) sistemi uygulanan bir sahada oluşturulan kare poligon hücreleri ve
hücrelerin merkezindeki düğüm noktalarına atanan değerler aşağıda verilmiştir. ∆x = 100m ve ∆y =
100m Bunlara göre, 16 ağ hücresindeki rezervi hesaplayınız.
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(1,3)
(2,3)
1.tip hücre (merkezi düğüm noktası)
(3,3)
(4,3)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
2.tip hücre (dört köşesi düğüm noktası olan hücre için)
(1,1)
Düğüm
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(2,1)
t(m)
11
9
7
12
13
10
8
7
12
14
10
8
15
13
14
16
f(t/m3)
2,5
2,4
2,3
2,6
2,5
2,6
2,3
2,4
2,2
2,3
2,4
2,4
2,5
2,6
2,4
2,3
(3,1)
g(%)
35
32
40
37
27
29
32
35
30
27
29
28
31
33
34
36
(4,1)
V(m3)
110000
90000
70000
120000
130000
100000
80000
70000
120000
140000
100000
80000
150000
130000
140000
160000
65
Q(t) 103
275
216
161
312
325
260
184
168
264
322
240
192
375
338
336
368
P(t) 103
96,2
69,12
64,4
115,44
87,75
75,4
58,88
58,8
79,2
86,94
69,6
58,76
116,25
111,54
114,24
132,48
Alan = ∆x * ∆y
Alan = 100 * 100 = 10000 m2/hücre
Aynı problemde 4 düğüm noktası bir kare poligona değer atamasında da kullanılabilir.
∑ A = 90000m
∑V = 1790000m
∑θ = 4336000t
∑ P = 1390050t
2
2
∑V = 19,89m
∑A
∑ P = %32,06
=
∑θ
∑θ = 2,42t / m
=
∑V
t ort =
g ort
f ort
2
Poligon hücre mantığı
dekapaj
ti
fi
gi
66
4
4
∑t
t=
∑g t
i i
i
4
4
∑ft
f =
∑t
i i
g=
i
∑t
i
Her poligondaki cevher rezervi ve dekapaj, ara dekapaj miktarı hesaplanabilir. bulunan rezerv
toplamı, toplam cevher rezervini, dekapaj toplamı, basamaklardaki malzeme hariç cevherin
üstündeki hacmi verir.
Β
α
Sınırdaki blokların cevheri kestiği alt sınır veya ocak tabanı dikkate alınarak şev açısı sağlanacak
şekilde şev dekapajı hesaplanmalıdır.
L= h
Vşev
tan(α )
h.L.w
=
2
L
w
α
h
α
Sınır poligonu ve basamak şev hacmi
7.2 Yüzey modelleme
Ağ düğümlerine (x, y, z) koordinatları atandığı taktirde izometrik çizimde yüzeyi görmek
mümkündür.
67
Cevherin tavan ve taban yüzeyleri arasında kalan hacim, cevher hacmini verir. Eğer izopah
haritasının yüzeyi altındaki hacim hesaplanırsa bu aynı zamanda cevher hacmidir. Ağ hücrelerinin
altındaki hacimleri pratik bir yola hesaplanabilir. dikdörtgen prizmaya benzeyen her bir hücre
hacminde, üst yüzeyin 4 kenar yüksekliği farklı olabilmektedir. Böyle bir durumda ortalama
yükseklik alınabilir.
y
(x,y,z)
z
Hücre
x
∆x
∆y
h4
h3
h2
t4
h1
t1
t3
t2
4
∑t
E=
i
4
alan = ∆x * ∆y
hacim = alan * E
rezerv = hacim * f * g
dekapaj için basmak hücre dekapaj miktarı
68
4
∑h
i
h=
4
alan = ∆x * ∆y
hacim = alan * h
bütün hücrelerin rezervlerinin toplamı Toplam Rezervi verirken, hücre dekapaj toplamı, basamaklar
hariç bütün cevher üstü dekapaj miktarını verir.
N
Toplam Rezerv =
∑ Hücre Re zervi
i
N
Cevher üstü dekapaj =
∑ HücreDekapaj
i
7.3 Basamak kompozit hesapları
Kuyu kompozit değerleri, sondaj kuyusu için tek bir kalınlık, tenör, kalori, vs. değeri ataması
yaparken, basamak kompozit değeri, belli bir seviyede yer alan dilime karşılık gelen kuyu
aralıklarının kompozit değeridir. Basamak üst ve alt katları, ocak tasarımı sonrası veya cevherin
tabanı dikkate alınarak ve basamak yükseklikleri hesaba katılarak belirlenir.
ÖRNEK
+1070
+1055
+1040
+1025
+1010
69
Yukarıdaki kuyuların sırasıyla +1010-+1025 kotları arasında, +1025-+1040 kotları arasında, +1040+1055 kotları arasında, +1055-+1070 kotları arasında oluşturulacak basamaklara ait kısımlarından
basamak kompozit değerleri hesaplanabilir.
767
Yandaki kuyunun basamak seviyelerine
denk gelen kısmını incelediğimizde 3
ayrı tenör değerini dikkate almamız
+765
%11, 3t/m3
t1
gerektiği görülür. Kalınlık ve tenör
değerleriyle basamak kompozit değeri
aşağıdaki gibi hesaplanır.
763
t = t1 + t2 + t3 = 2+4+4 = 10m
%14, 3t/m
3
t2
759
757
%15, 4t/m3
g=
∑ gt = 2 x11 + 4 x14 + 4 x15 = %13,8
2+4+4
∑t
f =
∑ ft = 2 x3 + 4 x3 + 4 x3 = 3,4
2+4+4
∑t
t3
753
+750
749
%13
t = t1 + t2 + t3 = 2+4+4 = 10 m
70
t / m3
Sahanın basamaklara ayrılması ve basamak kompozit değerlerinin hesaplanması, 3 boyutlu cevher
modellerine atılan ilk adım olarak da kabul edilebilir. Kuyu kompozit değerleri üzerinde yapılan her
işlem, basamaklar üzerinde de yapılabilir. Böylece, problem yatay dilimlere ayrılmış olur. Her
basamaktaki cevher rezervi ve kalitesi hesaplandıktan sonra toplam rezerv basamak rezervlerinin
toplamı olarak bulunur. Sahayı bu şekilde katlara ayırmak üretim planı yaparken kullanılacak önemli
bir veri tabanı oluşturmaya da yarar. Her basamakta gridleme, üçgenleme, poligon veya joistatistik
yaklaşımlarla basamak dilimine ait hacim, rezerv işlemleri yapılır.
7.4 Blok Modeli
Topoğrafyanın en üst noktası ile cevherin en alt noktasını içine alacak derinliklerde (z) ve cevherin
yayılmış olduğu sahayı ve muhtemel ocak sınırlarını kapsayacak genişlik (x) ve4 uzunlukta (y) bir
hacmin 3 boyutlu bloklarla temsil edilmesidir. Bloklar aşağıdaki şekilde tanımlar alır.
1- cevher bloğu 2- örtü 3- hava bloğu
blok modeli 2 boyutlu ağ (ızgara) yönteminin basamak bazında uygulanması olarak düşünülebilir.
Ancak blok model, uzantıları belli bir hacimde yer alan yeryüzü ve yer altı yapısını mümkün
olduğunca gerçeğe yakın yansıtmaya çalışır. Modelleme kavramının temelinde de, gerçeğin bir
kopyasını ve benzerini oluşturmak vardır (maket modellerin asıllarına benzemesi gibi). Bilgisayarda
3 boyutlu model gerçek fiziksel yapının bilgisayar ortamındaki modelidir.
71
ÖRNEK: Aşağıdaki şekli verilen sondaj kuyusunun 480-495 ve 495-510 kotlarındaki kompozit
değerlerini hesaplayınız. (sınır tenör = %20, alınabilir bant kalınlığı 1,5m)
(x: 1345, y: 1463,5, z: 550)
0
23
43,0
21
43,1
22
49
20
50
50,1
21
58
19
60
22
64
68
16
70
72
[+510-495 kotları]
41-40 metre arası 1 m. %23>%20 CEVHER
43-43,3 metre arası 0,3 m %21>%20 alt dilim de cevher olduğundan alınabilir CEVHER
43,3-49 metre arası 5,7m %22>%20 CEVHER
49-53 metre arası 4 m %20=%20 CEVHER
54-55 metre arası 1 m %21>%20 CEVHER
cevher kalınlığı
1+0,3+5,7+4+1 = 12 m
kompozit tenör değeri
∑ tg = 1x23 + 0,3x21 + 5,7 x22 + 4 x20 + 1x 21 = %21.31
0 + 0,3 + 4,7 + 4 + 1
∑t
[+495-480 kotları]
55-58 m arası %21>%20 CEVHER
58-60 m arası %19<%20 TOPRAK
60-64 m arası %21>%20 CEVHER
69-70 m arası %11<%20 TOPRAK
cevher kalınlığı 3+4 = 7m
tenör =
3 x 21 + 4 x 22
= %21.57
3+ 4
73
ÖRNEK: Bir sahada yapılan blok model çalışması sonucunda, blok dağılımı aşağıdaki gibi
hesaplanmıştır.
Toprak blok sayısı = 128463
Cevher blok sayısı = 11648
-----------------------------------TOPLAM
140111
Bloklar 15 m’lik küp şeklinde olup, cevher bloklarının tenör dağılımları aşağıdaki gibidir.
Tenör
Blok sayısı
-------------------------------------%5
3326
%6
3764
%7
2844
%8
1016
%9
407
%10
226
%11
65
------------------------------------Toplam
11648
a) Rezerv miktarını
b) ortalama tenörü
c) dekapaj oranını bulunuz
(tonaj faktörü = 3t/m3)
Buna göre blok hacmi = 15x15x15 = 3375m3
a) Cevher kalitesine göre
Tenör
Rezerv (t) = (hacim x f x g)
----------------------------------------------------------------------%5
3326 x 3375 x 0,05 =1683787,5
%6
3764 x 3375 x 0,06 = 2286630,0
%7
2844 x 3375 x 0,07 = 2015685,0
%8
1016 x 3375 x 0,08 = 822960,0
%9
407 x 3375 x 0,09 = 370878,8
%10
226 x 3375 x 0,10 = 228825,0
%11
65 x 3375 x 0,11 = 72393,8
----------------------------------------------------------------------TOPLAM
5465475,1 ton
74
b) Rezervle ağırlıklı ortalama=
1683787.5 x5 + 2286630 x6 + 2015685 x7 + 822960 x8 + 370878,8 x9 + 228825 x10 + 796331,8 x11
5465475,1
= %9,01
c) toprak miktarı 128463 x 3375 m3 = 433562625 m3
envantere göre dekapaj oranı 11648 x 3375 m3 x 3 t/m3 = 117936000 t
=433562625/117936000
= 3,68:1
rezerve göre dekapaj oranı = 433562625 / 3080817,5 = 79,33:1
7.5 Blok Modelleme
Madencilik yapılacak sahanın hacimsel modellemesidir. Bütün bir cevher yapısını, oluşabilecek açık
ocak sınırlarıyla birlikte içine alan bir modeldir. Bloklar dikdörtgen prizma veya küp şeklinde
olabilir. Blok ebatları cevher yapısını bilgisayarın gücüne, kullanılan yönteme göre değişir. Ancak
basamak yüksekliğini esas alan küp modelleri en yaygın kullanılan model yaklaşımlardır.
Ters mesafe, jeoistatistik yapay sinir ağları gibi yöntemler kullanılarak blokların merkez noktalarına,
tesir alanına giren veri noktalarında değer atamaları yapılır. Kalınlık ve tenör bilgileri en gerekli
bilgi türüdür.
75
Bloklar cevher bloğu, toprak bloğu veya hava bloğu olarak sınıflandırılır. Sınır tenör değeri belli
olduğundan tenör değerlerinin atanmasından sonra blokların cevher olup olmadığı, cevher ise
kalınlığı ve tenör değeri belirlenir. Blok ebatları belli olduğunda kalınlık bilgisinin eklenmesiyle
blok hacmi ve blok rezervi hesaplanabilir. blok ebatı ∆x, ∆y, ∆z ise blok hacmi ∆x * ∆y * ∆z = V
şeklinde olur. Cevher hacmi ise;
Vcevher = ∆x * ∆y * t
Daha sonra f (tonaj faktörü) g (tenör) ile çarpılarak bloğa ait cevher rezervi bulunur. Toplam rezerv
cevher blok rezervleri toplamıdır.
Kat kot aralıkları, kompozit değerlerin bulunduğu basamaklarla aynı aralıktadır. Basamak kompozit
değerleri, basamaklara değer atanmasında sıklıkla kullanılır. Blokların modeldeki yerlerini
belirlemek için i, j, k gibi indis değerleri atanır. Referans noktalarına göre i ve j sırasıyla x ve y
eksenlerine, k ise z eksenine doğru blok sıralanış yerin, gösterir. Mesela (3, 5, 2) indis değeri, bloğun
modelde i ekseninde 3, j ekseninde 5 ve k ekseninde 2 arada olduğunu gösterir.
76
7.6 Blok Model Kullanım Yerleri
Blok model oluşturulduktan sonra cevherin üç boyutlu görüntüsünü elde etmek mümkün olmaktadır.
Ayrıca rezerv miktarı da bulunur. Model üzerinde açık ocak veya yer altı ocağının tasarımı
yapılabilir. Blok modeller üzerinde çalışan pek çok sınır optimizasyon tekniği ve yazılımı vardır.
Graph Theory, Moving Cone, Dinamik Programlama, Genetik Algoritma, Maksimum Akış
Algoritmaları bunların başlıcalarıdır. Bu yaklaşımlar genellikle içinde tenör ve kalınlık değer
atamalarının bulunduğu jeolojik modelleri değil, bu değerlerden yararlanılarak parasal değere
çevrilmiş ekonomik blok model üzerinde çalışırlar. Her bloktaki cevher miktarı bilindiğine göre, ton
başına birim maliyet, ton başına gelir kullanılarak bir bloğun ekonomik değeri kabaca hesaplanabilir.
Blok değeri = Bloktaki cevher miktarı (ton) x [ Gelir (TL/t) – Gider (TL/t) ]
Maksimum kâr
K
Ocak sınırının bulunmasından sonra ocak hacmi içindeki rezerv miktarı ve cevher olmayan blokların
(dekapaj) hacmi de hesaplanır. Blok modelleri, üzerinde üretim planı yapma imkanı da sağlar. Bu tür
modellerin en yaygın kullanıldığı iki alan; jeolojik model ve optimum sınır tespiti, ikincisi ise
üretim planlamasıdır. Bu maksatla da çeşitli yöntemler geliştirilmiştir. (Doğrusal Programlama,
Dinamik Programlama, Genetik Algoritma, vs.)
77
8. SINIR TENÖR VE ETKĐSĐ
Sınır tenör (cutt-off grade), maliyetlerle gelirlerin eşitlendiği tenör değeri olarak adlandırılır.
Hesaplanması için tekrarlayan (iteratif) denemeler yapmak gereklidir. Çünkü tenör değeri değiştikçe
rezerv miktarı değişmekte, bununla birlikte ocak tasarımı, ömrü, yıllık üretim miktarları gibi birçok
parametre etkilenebilmektedir. Neticede her tenör değeri yeni bir mali tablo anlamına da
gelmektedir.
%2.0
%2.5
%1.5
Örnekte %1.5 ile %2.5 arasında rezerv değişimi sembolik olarak gösterilmektedir. Tenör değeri
yüksekken düşük tenörlü hacim rezerv dışı tutulurken, tenör düşerken bu miktar artmaktadır.
Değişik tenör değerleri için yeniden yapılan bütün ocak tasarımları ve buna bağlı teknik ve
ekonomik hesaplamalar, sınır tenör ve optimum tenör değerini bulmada takip edilen klasik bir
yaklaşımdır.
ÖRNEK
Tenör değerleri %1.0 ile %4.0 arasında değişen bir cevher yatağı için yapılan mali analiz aşağıda
verilmektedir.
78
Tenör (%)
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Rezerv (Milyon ton)
12 000 000
10 000 000
9 000 000
8 000 000
7 500 000
6 000 000
5 000 000
Mali durum (Milyon TL)
-1.25
-0.50
0.50
1.50
2.50
1.75
1.00
Tablo incelendiğinde, sınır tenörün %1.5 ile %2.0 arasında olduğu görülmektedir. Đnterpolasyonla
yapılan hesap sonrasında sınır tenör %1.75 olarak bulunur.
Optimum tenör, en yüksek kârın elde edildiği tenördür. Buna göre optimum tenör % 3.0
civarındadır. %0.1’lik daha hassas denemelerle en yakın değere ulaşılabilir veya %3.0 olarak kabul
edilebilir.
9 OPTĐMĐZASYON
Optimizasyon, “en iyisini bulma” olarak Türkçe’leştirilebilir. Optimum değerler, konusuna göre en
fazla (maksimum) veya en az (minimum) olarak bulunmak istenir. Mesela kâr maksimum, maliyet
minimum değerde tutulmak istenir. Genelde mühendislikte, özelde ise madencilikte her kararın
optimum bir karşılığı vardır. Bunun için yön eylem araştırması (operations research) yöntemleri
uygulanmasında fayda vardır. Ama klasik olarak deneme-yanılma yoluyla oluşturulan tablolardan
optimum değerlere yaklaşmak da mümkündür.
9.1 Optimum Ocak Derinliği
79
Derinlik (m)
100
125
150
175
200
Rezerv (t)
1 000 000
1 300 000
1 600 000
1 650 000
1 680 000
Mali durum (M TL)
1.75
1.80
2.50
1.50
0.50
En yüksek kârın 150 m derinlikte elde edildiği görülmektedir.
9.2 Diğer Optimize Edilebilir Parametreler
Ocak tasarım ve üretim parametreleri:
-
Basamak yüksekliği
-
Yıllık üretim miktarı
-
Sınır tenör
-
Açık ocak sınırları
-
Makine teçhizat seçimi
-
Patlatma sistemi
-
Cevher tesis tasarımı
-
Üretim planı
Hemen her karar gerektiren parametrede optimizasyon yapmak mümkündür. Bunlar birbirini
etkileyen parametrelere olduğundan çok karışık modeller oluşturmak ve çözmek gerekmektedir. Bu
amaçla genellikle “yöneylem araştırması” ve “benzetim” (simülasyon) yöntemlerinden yararlanılır.
Madencilikte bu özel matematik yöntemlerin geniş bir kullanım alanı bulunmaktadır.
80
81