zeminlerde sismik dalga sönümünün kesirsel türev yaklaşımı ile

Transkript

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
ZEMİNLERDE SİSMİK DALGA SÖNÜMÜNÜN
KESİRSEL TÜREV YAKLAŞIMI İLE MODELLENMESİ
Ünal DİKMEN
JEOFİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI
ANKARA
2004
Her hakkı saklıdır.
Prof. Dr. Ahmet T. BAŞOKUR danışmanlığında Ünal DİKMEN tarafından
hazırlanan bu çalışma 18/05/2004 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından
Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı’ nda Doktora tezi olarak kabul
edilmiştir.
Başkan : Prof. Dr. Günay ÇİFCİ
Üye
: Prof. Dr. Ahmet T. AŞOKUR
Üye
: Prof. Dr. Fatma ERDOĞAN
Üye
: Prof. Dr. Berkan ECEVİTOĞLU
Üye
: Doç. Dr. Altan NECİOĞLU
Yukarıdaki sonucu onaylarım
Prof. Dr. Metin OLGUN
Enstitü Müdürü
ÖZET
Doktora Tezi
ZEMİNLERDE SİSMİK DALGA SÖNÜMÜNÜN
KESİRSEL TÜREV YAKLAŞIMI İLE MODELLENMESİ
Ünal DİKMEN
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Ahmet T. BAŞOKUR
Yer dinamik davranışın belirlenmesi karmaşık bir problemdir. Bu işlem matematiksel olarak,
sürekli bir ortamda sismik dalganın yayılmasının hesaplanmasıdır. Zemin dinamik yanıtın
belirlenmesindeki temel problemlerin başında, sismik dalga enerjisinin soğurulma
mekanizmasındaki belirsizlik gelir. Bu işlem “sönüm” olarak isimlendirilir. Genel olarak,
zaman ortamında çözümleme yapan programlar, sönüm işlemi için deneysel sonuçları veya
frekansa bağlı sönüm ifadelerini (Rayleigh 1945, Idriss vd 1973, Hudson vd 1994) kullanır.
Frekansa bağlı sönüm, özellikle büyük zaman aralığı gerektiren işlemlerde yetersiz kalır. Ayrıca
sönüm işlemi zemin yapılarında frekansa bağlı değildir (Hudson vd 1994, Chorpa 1995). Hardin
vd (1972) frekansın sönüm üzerindeki etkisini farklı zemin örnekleri üzerinde laboratuar
deneyleriyle göstermiştir. Bununla birlikte, sönüm üzerinde deformasyon geçmişinin etkin rol
oynadığını belirtmiştir.
Bu tez çalışmasında sismik dalganın zeminlerdeki sönümlenmesini hesaplayabilmek için,
zeminde oluşan deformasyonun geçmişine bağlı yeni bir sönüm yaklaşımı önerilmiştir. Bu
sönüm yaklaşımına “gerçel mertebe türev” yaklaşımı denir. Hareket denkleminin iki boyutta
modellenmesinde, sönüm için gerçel mertebe türev yaklaşımını kullanan bir bilgisayar programı
(DYN2D) MATLAB programlama dili kullanılarak yazılmıştır. Farklı fiziksel ve geometrik
özelliklerdeki zemin türleri iki boyutta modellenmiş ve elde edilen sonuçlar, Rayleigh sönüm
yaklaşımını kullanan Quad4m (Hudson vd 1994) programı sonuçları ile karşılaştırılmıştır.
Sönüm işleminde gerçel mertebe türev yaklaşımı, klasik sönüm yaklaşımlarına oranla üstünlük
sağlamaktadır. Klasik sönüm yaklaşımlarında sabit bir sönüm oranı (Schnabel vd 1972)
kullanılmakta veya sönüm bir frekans yada belirli frekans aralığı ile ilişkilendirilmektedir (Idriss
vd 1973, Hudson vd 1994, Bardet vd 2000). Buna karşın gerçel mertebe türev yaklaşımı,
frekanstan bağımsız ve sismik enerjinin sönümlenmesinde en önemli etken olan deformasyonun
geçmişine bağlıdır. Geliştirilen bilgisayar programı (DYN2D) ile model başlangıç parametre
grubu, laboratuar deneylerine gerek duyulmadan, jeofizik çalışmalardan elde edilecek bilgilerle
sağlanabilmektedir. Bu durum, hem ekonomikdir, hemde zaman açısından üstünlük
sağlamaktadır.
2004, 158 sayfa
ANAHTAR KELİMELER: Sismik yanıt, Sönüm, Gerçel mertebe türev, Modelleme, Sonlu
elemanlar yöntemi
i
ABSTRACT
Ph.D. Thesis
MODELING OF SEISMIC WAVE ATTENUATION IN SOILS
BY USING FRACTIONAL DERIVATIVE APPROACH
Ünal DİKMEN
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Geophysical Engineering
Supervisor: Prof. Dr. Ahmet T. BAŞOKUR
The site response determination is a complex problem. Mathematically, it corresponds to solve
the wave propagation in the subsurface. The major difficulty in site response analysis of a soil
structure is the uncertainty in seismic energy dissipation (attenuation) mechanism named as
“damping”. Computer programs that perform operations in time domain use experimental
results or frequency dependent relations (Rayleigh 1945, Idriss et al. 1973, Hudson et al. 1994)
for damping. The frequency dependent relations are insufficient especially for the problems
requiring large time duration. Moreover, the soil damping is not frequency dependent (Hudson
et al. 1994, Chopra 1995). Hardin et al. (1972) pointed out the effect of frequency on damping
using different type of soil specimen’s by laboratory experiments. They also showed that the
strain history plays active role on damping.
In this thesis, a new approach that performs seismic energy dissipation depending upon strain
history in a soil deposit is proposed for damping process. This new damping approach is called
as “fractional damping”. In order to implement two-dimensional modeling of equation of
motion, a computer program (DYN2D) that uses fractional damping approach is written by
using MATLAB programming language. Two dimensional soil models which have different
type of physical and geometrical properties are modeled by using fractional damping scheme
and results are compared with Quad4m (Hudson et al. 1994) software which uses Rayleigh
damping (Rayleigh 1945) procedure. Fractional damping approach has fundamental superiority
than classical damping schemes. Classical damping schemes use a constant damping ratio
(Schnabel et al. 1972) or relate damping with frequency or certain frequency interval (Idriss et
al. 1973, Hudson et al. 1994, Bardet et al. 2000). In spite of classical damping schemes,
fractional damping approach is not frequency depended and use deformation history, which
plays the most important role in seismic attenuation. With the developed program (DYN2D),
initial parameter groups for a given model are only provided by geophysical data without
laboratory experiments. This condition has economical and time saving advantages.
2004, 158 pages
Key Words: Seismic response, Damping, Fractional derivative, Modeling, Finite
element method
ii
ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR
Zemin dinamik parametrelerinin belirlenmesinde karşılaşılan sorunların başında, zemin
birimlerdeki sismik enerjinin soğurulma mekanizmasındaki belirsizlik gelmektedir. Bu
tez çalışması ile sismik enerjinin zeminlerdeki soğurulma (sönüm) mekanizmasına
gerek matematiksel gerekse fiziksel açıdan anlamlı bir yöntem geliştirilerek,
günümüzde kullanılan yaklaşımların dışında farklı bir bakış açısı getirilmiştir.
Öncelikle, beni bu konuda çalışmaya yönlendiren, üniversite eğitimi boyunca bilimsel
araştırma ve bilim adamı olma konusunda yol gösteren, aynı zamanda yaşam felsefemin
değişmesinde de etkili olan, değerli hocam, danışmanım Prof. Dr. Ahmet T. Başokur’ a
sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Bir insanın ne kadar mütevazi kişiliğe sahip
olabileceğini gösteren ve engin bilgisi ile örnek aldığım değerli hocam Prof. Dr. Turan
Kayıran’ a verdiği desteklerinden ötürü teşekkür ederim. Tez savunma komitemde
bulunan hocam Prof. Dr. Fatma Erdoğan’ a, Prof. Dr. Günay Çifci’ ye, Prof. Dr. Berkan
Ecevitoğlu’ na ve Doç. Dr. Altan Necioğlu’ na değerli katkılarından dolayı teşekkür
ederim. Tez süresince desteklerini esirgemeyen Yrd. Doç. Dr. E. Ugur Ulugergerli’ ye
ve Yrd. Doç. Dr. M. Emin Candansayar’ a teşekkür ederim. Desteklerinden dolayı başta
Afet işleri Genel Müdürü Mustafa Taymaz olmak üzere Genel Müdür Yardımcısı
Atamer Seymen’ e, Deprem Araştırma Dairesi Başkanı Bekir Tüzel’ e Laboratuar. Şb.
Müdürü Dr. Murat Nurlu’ ya, Sismoloji Şb. Müdürü Dr. Ramazan Demirtaş’a, kaynak
sağlama konusunda yardımlarını esirgemeyen Deprem Araştırma Dairesi Kütüphane
sorumlusu Ercüment Şatana’ ya ve mesai arkadaşlarıma teşekkür ederim.
Bu günlere gelmemde en büyük pay sahibi olan anneme, kardeşlerime ve rahmetle
andığım babam’ a sonsuz sevgi ve saygılarımı sunarım. Son olarak zor günlerimde
yanımda olan sevgili nişanlım Nurhan’ a teşekkür ederim.
Ünal DİKMEN
Ankara , Mayıs 2004
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET...........................................................................................................................
i
ABSTRACT................................................................................................................
ii
ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR.............................................................................................
iii
SİMGELER DİZİNİ....................................................................................................
vi
ŞEKİLLER DİZİNİ.....................................................................................................
vii
ÇİZELGELER DİZİNİ................................................................................................
x
1. GİRİŞ..........................................................................................................
1
1.1. Çalışmanın Kapsamı.................................................................................
1
2. KURAMSAL TEMELLER......................................................................
5
2.1. Temel Zemin Mekaniği............................................................................
5
2.1.1. Gerilme..................................................................................................
6
2.1.2. Deformasyon.........................................................................................
9
2.1.3. Elastisite................................................................................................
13
2.1.4. Denge denklemleri................................................................................
19
2.1.5. Sanal yerdeğiştirmeler ilkesi................................................................
21
2.2. Fiziksel Problem ve Matematiksel Model................................................
25
2.3. Hareket Denklemi ve Çözüm Yöntemleri................................................
27
2.3.1. Kuramsal çözüm....................................................................................
27
2.3.2. Evrişim (Duhamel integral) çözümü.....................................................
45
2.3.3. Laplace ve Fourier dönüşümü çözüm yöntemi.....................................
49
2.3.4. Kip (mode) çözüm yöntemi..................................................................
51
3. MATERYAL ve YÖNTEM.....................................................................
55
3.1. Sönüm İşlemi ve Yaklaşımları............................................... .................
55
3.1.1. Deneysel yaklaşımlar............................................................................
56
3.1.2. Mekanik model ve kompleks modül.....................................................
60
3.1.3. Rayleigh ve Coughy sönüm yaklaşımları.............................................
74
3.1.4. Kesirsel mertebe türev yaklaşımı..........................................................
77
3.2. Sonlu Elemanlar Yöntemi ile Modelleme İşlemi.....................................
84
3.2.1. Çözüm bölgesinin sonlu elemanlara ayrılması.....................................
86
iv
3.2.2. Yaklaşım (yerdeğiştirme) fonksiyonları................................................
88
3.2.3. Şekil fonksiyonları............................................... .................................
90
3.2.4. Koordinat dönüşümleri..........................................................................
94
3.2.5. Hareket denkleminin sonlu eleman yapısı.............................................
95
3.2.6. Genel dizey denkleminin elde edilmesi.................................................
97
3.2.7. Sınır koşullarının uygulanması..............................................................
100
3.2.8. Newmark yaklaşımı...............................................................................
101
3.2.9. Doğrusal denklem sisteminin çözülmesi...............................................
104
4. ARAŞTIRMA BULGULARI...................................................................
108
4.1. Uygulamalar.............................................................................................
108
4.1.1. Model 1..................................................................................................
110
4.1.2. Model 2..................................................................................................
117
4.1.3. Model 3..................................................................................................
122
4.1.4. Model 4.................................................................................................
128
4.1.5. Model 5.................................................................................................
133
5. TARTIŞMA ve SONUÇLAR...................................................................
139
KAYNAKLAR...........................................................................................................
142
EKLER........................................................................................................................
149
EK 1................................................................................................................
150
EK 2................................................................................................................
152
EK 3................................................................................................................
155
EK 4................................................................................................................
157
ÖZGEÇMİŞ................................................................................................................
158
v
SİMGELER DİZİNİ
F
σ
A, H
n
e
τ
ε
γ
u,v
υ
E
G
B
φ, ϕ
ü
u&
m
M
k
K
c
C
g
cc
wn
wd
T
Td
ζ
t
δ
h(t)
∆t
∆x
L
Ω
µ
x,y
N
J
ρ
nf
N
Kuvvet
Gerilme
Genlik
Normal vektörü
Baz vektörü
Makaslama gerilmesi
Normal deformasyon
Makaslama deformasyonu
Yer değiştirme
Poisson oranı
Elastisite modülü
Makaslama modülü
Büyütme katsayısı, Kinematik (yer değiştirme-deformasyon) dizeyi
Faz
İvme
Hız
Kütle ağırlığı
Global kütle dizeyi
Eleman sıkılık (stiffness) dizeyi
Global sıkılık dizeyi
Sönüm katsayısı
Global sönüm dizeyi
Yerçekimi ivmesi
Kritik sönüm katsayısı
Etkin (hakim, temel) frekans
Sönümlü titreşim frekansı
Periyot
Sönümlü titreşim periyodu
Sönüm oranı
Zaman değişkeni
Logaritmik azalım
Birim tepki fonksiyonu
Zaman ortamı örnekleme aralığı
Uzay ortamı örnekleme aralığı
Laplace dönüşüm operatörü
Spektral dizey
Viskozite sabiti
Kartezyen koordinat değişkenleri
Şekil fonksiyonu
Jacobian dizeyi
Birim hacim ağırlığı (yoğunluk)
Model serbestlik derecesi
Veri örnek sayısı
vi
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 2.1.
Dış kuvvet etkisiyle elemanda oluşan eksensel gerilme....................
6
Şekil 2.2.
Deforme olabilen bir elemanda a) dış kuvvetler, b) içsel gerilmeler..
7
Şekil 2.3.
Elemanda pozitif ve negatif yüzeyler……………………………….
8
Şekil 2.4.
Eleman üzerinde gerilme bileşenleri………………………………..
9
Şekil 2.5.
Eksensel deformasyon. (a) çekme (b) sıkıştırma …………………..
10
Şekil 2.6.
Makaslama deformasyonu……………………………….................
11
Şekil 2.7.
Yer değiştirme ve türevlerine bağlı düzlem deformasyonu………...
12
Şekil 2.8.
Doğrusal elastik deformasyon……………………………………....
15
Şekil 2.9.
Doğrusal olmayan gerilme-deformasyon davranışı…………….......
16
Şekil 2.10. İki boyutta makaslama deformasyonu………………………….......
17
Şekil 2.11. İki boyutta düzlem gerilme……………………………....................
20
Şekil 2.12. Cisim içerisindeki bir P noktasında sanal yerdeğiştirme…………...
22
Şekil 2.13. Mekanik yay-kütle ve viskoz sönümlendiriciden oluşan titreşim
sistemi, Sistem üzerinde etkin kuvvetler............................................
29
Şekil 2.14. Sönümsüz serbest titreşim davranışı …............................…………..
30
Şekil 2.15. Sönümlü serbest titreşim davranışı........................….........................
34
Şekil 2.16. Kritik sönümlü davranış……………………………………………..
36
Şekil 2.17. Aşırı sönümlü davranış……………………………………………...
37
Şekil 2.18. Dış kuvvet altında sönümsüz serbest titreşim…………………….....
39
Şekil 2.19. Rezonans davranışı……………………………………………….....
40
Şekil 2.20. Ritim davranışı……………………………………………………....
41
Şekil 2.21. Büyütme katsayısı ve sistem tepkisi………………………………...
42
Şekil 2.22. Fazın frekans ile değişimi…………………………………………...
44
Şekil 2.23. Dış kuvvetin birim tepki fonksiyonlar ile gösterimi...........................
46
Şekil 3.1.
Kumda γ’ a bağlı G/Gmax ve D/Dmax değişimi.....................................
57
Şekil 3.2.
Farklı zemin birimleri için deformasyona bağlı makaslama modül
oranının değişimi.................................................................................
58
Şekil 3.3.
Referans deformasyonu.......................................................................
59
Şekil 3.4.
Referans deformasyona bağlı modül oranının (G/Gmax) ve sönüm
vii
oranının (D/Dmax) değişimi..................................................................
60
Şekil 3.5.
Mekanik sistemde kütleyi denge konumuna getiren yay kuvveti.......
61
Şekil 3.6.
Yapısal elemanın mekanik elemanlar ile benzeşimi...........................
62
Şekil 3.7.
Mekanik yay elemanları:paralel bağlı yay sistemi,eşdeğer yay..........
63
Şekil 3.8.
Mekanik yay elemanları, (a) seri bağlama, (b) eşdeğer yay………....
64
Şekil.3.9.
Maxwell modeli……………………………………………………...
68
Şekil 3.10. Maxwell modeli için a) sünme, b) gerilme-gevşeme davranışı……...
69
Şekil.3.11
Kelvin-Voigh Modeli………………………………………………..
70
Şekil 3.12. Kelvin-Voigt modeli için a) sünme, b) gerilme-gevşeme davranışı....
70
Şekil 3.13. Harmonik dış kuvvet altında elastik malzeme ve viskoelastik yanıt...
71
Şekil 3.14. Eliptik gerilme-deformasyon eğrisi (histerisis eğrisi) ........................
71
Şekil 3.15. Kütle ve sıkılık dizeylerinin frekansa bağlı değişimi .........................
75
Şekil 3.16. Sönüm oranının doğal titreşim frekansı ile değişimi...........................
75
Şekil 3.17. Grünwald katsayılarının değişimi …………………………………..
81
Şekil 3.18. Spring-pot sönüm elemanı…………………………………………..
82
Şekil 3.19. Spring-pot sönüm elemanı kullanan Kelvin-Voigt modeli………….
83
Şekil 3.20. Yer modeli ve iki boyutlu sonlu eleman ağı.......................................
87
Şekil 3.21. Dörtgen eleman ve düğüm noktalarındaki yer değiştirme bileşenleri.
87
Şekil 3.22. Elemanın global ve yerel düğüm numaraları......................................
87
Şekil 3.23. Koordinat sistemleri ...........................................................................
91
Şekil 3.24. Dörtgen elemanda şekil fonksiyonların eleman üzerideki değişimi...
93
Şekil 3.25. Üç elemandan oluşan sonlu eleman ağı..............................................
98
Şekil 3.26. Ortalama ivme yaklaşımı....................................................................
102
Şekil 3.27. Dinamik problemin SEY ile çözümünde işlem adımları....................
105
Şekil 3.28. Quad4m programı işlem akış şeması .................................................
106
Şekil 3.29. Dyn2d programı işlem akış şeması.....................................................
107
Şekil 4.1.
17 Ekim 1989 Loma Prieta depremi sonucu oluşan hasar..................
112
Şekil 4.2.
Model 1 sonlu eleman ağı...................................................................
112
Şekil 4.3.
Model 1 için hesaplanan ivme zaman geçmişi...................................
114
Şekil 4.4.
Model 1 ivme zaman geçmişlerine ait spektrum yanıtı......................
115
Şekil 4.5.
Model 1 için hesaplanan gerilme zaman geçmişi...............................
115
Şekil 4.6.
Model 1 Makaslama modülü ve sönüm oranı değişimi......................
116
viii
Şekil 4.7.
Model 1 gerilme-derinlik değişimi.....................................................
116
Şekil 4.8.
Model 2 sonlu eleman ağı..................................................................
118
Şekil 4.9.
Model 2 için hesaplanmış ivme zaman geçmişi................................
120
Şekil 4.10. Model 2 ivme zaman geçmişlerine ait spektrum yanıtı.....................
120
Şekil 4.11. Model 2 için hesaplanan gerilme zaman geçmişi..............................
121
Şekil 4.12. Model 2 makaslama modülü ve sönüm oranı değişimi.....................
121
Şekil 4.13. Model 2 gerilme-derinlik değişimi ...................................................
122
Şekil 4.14. 12 Kasım 1999 Düzce depremi sonucu oluşan hasar.........................
123
Şekil 4.15. Model 3 sonlu eleman ağı.................................................................
123
Şekil 4.16. Model 3 için hesaplanan ivme zaman geçmişi..................................
125
126
Şekil 4.18
Model 3 için hesaplanan gerilme zaman geçmişi..............................
126
Şekil 4.19. Model 3 için makaslama modül ve sönüm oranı değişimi................
127
Şekil 4.20. Model 3 gerilme-derinlik değişimi....................................................
127
Şekil 4.21
27 Haziran 1998 Adana-Ceyhan depremi sonucu oluşan hasar........
128
129
Şekil 4.23. Model 4 için hesaplanan ivme zaman geçmişi..................................
131
131
132
Şekil 4.26. Model 4 makaslama modül ve sönüm oranı değişimi.......................
132
133
Şekil 4.28. 1 Mayıs 2003 Bingöl depremi sonucu oluşan hasar..........................
134
134
Şekil 4.30. Model 5 için hesaplanan ivme zaman geçmişi.................................
136
137
137
Şekil 4.33. Model 5 makaslama modül ve sönüm oranı değişimi.......................
138
138
Şekil E1.
150
S yüzeyindeki integral alan sınırları………………………………..
ix
ÇİZELGELER DİZİNİ
Çizelge 3.1.
Kumlu zeminlerde makaslama deformasyonuna bağlı
makaslama modülü oranı ve sönüm değişimi..............................
Çizelge 3.2.
57
Farklı zemin parametrelerin makaslama modülü ve sönüm
üzerindeki etkileri.........................................................................
58
Çizelge 4.1.
Model 1 için Quad4m programı giriş verisi.................................
112
Çizelge 4.2.
Model 1 için Dyn2d programı giriş verisi....................................
113
Çizelge 4.3.
118
Çizelge 4.4.
119
Çizelge 4.5.
124
Çizelge 4.6.
124
Çizelge 4.7.
129
Çizelge 4.8.
130
Çizelge 4.9.
134
Çizelge 4.10.
135
x
1. GİRİŞ
1.1. Çalışmanın Kapsamı
Deprem riski taşıyan ülkelerde zemin dinamik davranışı üzerine yapılan çalışmalar,
deprem sonrası küçük alanlarda oluşan hasar dağılımlarının farklılık gösterdiğini ortaya
koymuştur. Bu farklılığın oluşmasında ana etken, zeminde yayılan deprem dalgalarının
genliğindeki anormal büyümedir. Zeminlerde büyütme olarak tanımlanan parametre,
temel kayada düşünülecek bir sinüsoidal hareketin yer yüzeyine ulaştığındaki genlik
değişimidir (Campillo vd 1990, Kramer 1996, Bruno vd 1999). Yumuşak zemin
tabakalarının kendisine gelen deprem dalgasını önemli ölçüde büyüttüğü ve
yeryüzeyinde oluşan hasarda önemli rol oynadığı bilinmektedir (Gutenberg vd 1956,
Polyakov 1985, Niazi vd 1992). Bu durum özellikle, 1985 Michoacan-Meksika, 1989
Loma Prieta, 1994 Northridge ve 1995 Kobe depremlerinde elde edilen verilerin
değerlendirilmesiyle görülmüştür (Platkers vd 1989). Dalga genliğindeki büyümenin
temel nedeni, zemin tabakaları ile altta yer alan ana kaya arasındaki empedans farkıdır
(Kramer 1996). Empedans, jeolojik ortamdaki tanecik hareketine karşı ortamın
gösterdiği direncin bir ölçüsüdür (Aki vd 1980). İki farklı jeolojik birim arasında
bulunan empedans farkı yanında, zemin geometrik şeklinin ve ortama ait fiziksel
özelliklerinin yanal yöndeki değişimi, dalga genliğinin büyümesinde önemli rol
oynamaktadır. (Newmark vd 1965, Kudo vd 1970, Kramer 1996, Campillo vd 1990,
Rassem vd 1997, Bruno vd 1999). Zemin tabakalarının yanal yöndeki uzanımı tabaka
kenarı sınırında yüzey dalgalarının oluşmasına, yanal yönde rezonans etkisi yaratmaya
ve yer hareketi genliğinin artmasına neden olur (Aki vd 1980). Bu nedenle yerel zemin
koşulları deprem anında büyük genlikli yer değiştirmelere ve deformasyonlara neden
olabilmektedir. Bu etkilerin belirlenmesi özellikle sismik risk, mikro bölgelendirme,
yeni yerleşime açılacak alanların planlamasında ve sismik tasarım (seismic design)
çalışmalarında önemli rol oynar.
1
Günümüzde yer tepkisinin (site response) belirlenmesi amacıyla çeşitli ölçü alım
teknikleri ve çözümleme yöntemleri geliştirilmiştir (Hardin vd 1972a, Hardin vd 1972b,
Hatherly 1986). Bu yöntemlere, kuvvetli yer hareketi kayıtları, mikrotremor ölçümleri
ve sismik kırılma (seismic refraction) yöntemleri verilebilir (Mooney 1974, Jongmans
vd 1993, Jongmans vd 1996). Bu ölçüm yöntemlerine “yerinde ölçüm yöntemleri (insitu)” denir (Prokash vd 1981). Dinamik yer yanıtının belirlenmesinde, mikrotremor ve
sismik kırılma yöntemleri zayıf titreşimler için yararlı bilgiler sağlarken, bir deprem
anında olabilecek büyük deformasyon değerleri ve zemin koşullarının yaratacağı etkiler
hakkında yetersiz kalır. Yer dinamik davranışının belirlenmesi karmaşık bir problemdir.
Bu
işlem
matematiksel
olarak,
sürekli
ortamda
sismik
dalga
yayılımının
hesaplanmasıdır. Gerçekte doğrusal bir yapıda olmayan zemin davranışının üç boyutlu
modellenmesi son derece zordur. Bununla birlikte düşey doğrultuda yayılan bir
makaslama dalgası için zemin birimlerinin dinamik davranışı bir veya iki boyutlu
modelleme işlemi ile yeterli yaklaşım sağlanabilmektedir. Bunun yanında yerküre
içerisinde yayılan deprem dalgalarının bir doğrultudaki değişimi ele alındığında
problem büyük oranda basitleştirilmiş olur.
Yeraltı ortamını ve bu ortamın dinamik kuvvetler altında davranışını belirlemek
amacıyla çeşitli çözüm yöntemleri geliştirilmiştir. Bu yöntemler, uyguladığı yaklaşıma
göre “deterministik” ve “stokastik” yaklaşımlar olarak iki kısma ayrılır. Deterministik
yaklaşımda zemin davranışı analitik denklemlere bağlı olarak çözülür ve deprem kaydı
(hız, ivme veya yerdeğiştirme) temel girdi verisidir. Stokastik yaklaşımda ise deprem
kayıtları yerine güç spektrumlarından hareketle zemin davranışını yansıtan “zemin
transfer fonksiyonu” kestirilmeye çalışılır (Papoulis 1984). Kullanılan bu yöntemler
çözümleme işlemini zaman ve frekans ortamında gerçekleştirmesine göre de kendi
içerisinde ikiye ayrılır. Doğrusal olmayan zemin yanıtı, yinelemeli (iterative)
yöntemlerden yararlanılarak elde edilir. Frekans ortamı çözümü üreten Shake (Schnabel
vd 1972), Eera (Bardet vd 2000) bilgisayar programları jeoteknik problemlere çözüm
getirmede yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu programlar Shake, yatay tabakalı ve bir
boyutlu viskoelastik ortamda dalga yayınımını frekans ortamında inceler. Eera ise
kompleks modül (complex response method) işlemini kullanır. Bu yöntemin yer
2
ivmesinin 0.3 g’ den küçük olduğu durumlarda geçerli olduğu bilinmektedir (Pestana
2000). Yer ivmesinin 0.3 g’ den büyük olduğu durumlarda frekans ortamı çözümü
yerine zaman ortamı çözüm yöntemlerinin uygulanması tercih edilir (Pestana 2000).
Zaman ortamı çözüm yöntemlerinde yer yanıtı, doğrudan veya dolaylı integral
hesaplama yöntemleriyle elde edilir. Zeminde gerilme-deformasyon davranışını
gösteren yapısal denklemler çözümleme öncesi tanımlanır. Quad4 (Idriss vd 1973) ve
geliştirilmiş sürümü olan Quad4m (Hudson vd 1994) dolaylı integral hesaplama
yöntemi (implicit integration procedure) kullanarak zaman ortamı çözümü sağlar. Bu
programlarda hareket denklemi her bir zaman adımı için hesaplanır. Çözüm işlemi
belirli sayıda yineleme veya modelde yer değiştirmenin belirlenen bir değeri aşmasıyla
son bulur (Hudson vd 1994). Zemin dinamik yanıtının belirlenmesindeki temel
problemlerin
başında,
zeminde
dalga
enerjisinin
soğurulmasındaki
(damping,
attenuation) belirsizlik gelir. Gerek frekans ortamı gerekse zaman ortamı yaklaşımlarını
uygulayan programlar, zemin birimlerin sönüm özelliği için klasik yaklaşımlar kullanır.
Bu yaklaşımlarda sönüm, sabit bir değer (Schnabel vd 1972) veya frekansın fonksiyonu
(Idriss vd 1973, Hudson vd 1994, Bardet vd 2000) olarak ele alınır. Frekans ortamı
çözümleme işleminin özellikle büyük zaman aralığı gerektiren problemlerde yetersiz
kaldığı bilinmektedir (Hughes 1987, Zienkiewicz 1983, Owen 1980, Bathe vd 1973,
Chopra 1995). Hardin vd (1972a, 1972b) çok sayıda zemin örnekleri üzerinde yaptıkları
laboratuar deneyleri ile frekansın zemin dinamik davranışı üzerinde etkin bir rol
oynamadığını, bununla birlikte özellikle deformasyon geçmişinin önemli olduğunu
göstermiştir.
Bu tez çalışmasının temel amacı, hareket denkleminde yer alan sönüm terimi için klasik
yaklaşımlar yerine, deprem anında zeminde gelişen deformasyonun geçmişine bağlı
yeni bir yaklaşım getirmektir. Önerilen sönüm yaklaşımı kullanılarak, farklı
özelliklerdeki zemin birimlerinin dinamik yer tepkisinin, sonlu elemanlar yöntemi
(finite element method) yardımıyla modellenmesine çalışılmıştır. Elde edilen sonuçlar
Hudson vd (1994) tarafından önerilen Quad4m programı sonuçları ile karşılaştırılmıştır.
İkinci bölümde verilen kuramsal temeller içerisinde, zemin mekaniğinin temel
konularını içeren gerilme, deformasyon, elastisite ilkeleri, denge denklemleri ve sanal
3
yer değiştirmeler ilkesi ve hareket denkleminin çözüm yöntemleri açıklanmıştır. Üçüncü
bölümde, tez çalışmasının esasını oluşturan zemin birimlerinde sönüm işlemi ve
kullanılan yaklaşımlar ayrıntılı verilerek önerilen yeni sönüm yaklaşımı “gerçel mertebe
türev (fractional derivative)” ve bu yaklaşımı kullanarak hareket denkleminin verilen
yer tepkisinin belirlenmesi için sonlu elemanlar yöntemi yardımı ile modellenmesi
açıklanmıştır. Bölüm sonunda hareket denkleminin sonlu elemanlar yöntemiyle
modellenmesinde temel işlem adımları açıklanmıştır. Dördüncü bölümde, farklı fiziksel
ve geometrik özelliklerdeki zemin modellerine ait sonuçlar Quad4m (Hudson vd 1994)
programı sonuçları ile karşılaştırılmış ve önerilen sönüm yaklaşımının üstün ve zayıf
yönleri ortaya konulmuştur. Beşinci bölümde, önerilen yeni sönüm yaklaşımının eksik
ve üstün yönleri tartışılarak yer tepkisinin belirlenmesinde kullanılabilirliği irdelenmiştir.
4
2. KURAMSAL TEMELLER
2.1. Temel Zemin Mekaniği
Zemin mekaniği, mekanik ve hidrostatik yasalarının mühendislik problemlerine
uygulanmasıdır (Massarsch vd 1976, Ammon 2001). Jeolojik kayaçlar içerisinde
sedimanter (tortul) birimler diğer bir ifadeyle, pekişmemiş (konsolide olmamış) çakıl,
kum, silt ve kil gibi jeolojik birimler, zemin mekaniği içerisinde ele alınır. Dış kuvvetler
altında pekişmemiş bu zemin birimlerinin gösterdiği davranışların incelenmesi,
kuramsal ilkelerin ve deneysel yaklaşımların uygulanmasını gerektirir (Love 1944,
Terzaghi 1962). Zemin mekaniği problemleri iki ana gruba ayrılır; birincisi duraylılık
(stability) problemleridir. Bu tür problemlerde, yapı veya jeolojik birim üzerindeki
denge koşulları incelenir. İkinci tür problem, elastisite problemleridir. Elastisite
problemlerinde etkin dış kuvvetler altındaki zemin üzerinde oluşan gerilmedeformasyon ilişkisi incelenir. Deforme olabilen ve denge durumunu koruyan bir yapı
elemanı üzerinde etkin iki tür kuvvet vardır. Bunlar, hacimsel ve yüzeysel kuvvetlerdir
(Terzaghi 1962, Bullen 1965). Bu iki tür kuvvet, dış kuvvetleri oluşturur. Örneğin
yerçekimi kuvveti ve eleman üzerindeki etkin merkezkaç kuvveti hacimsel kuvvettir.
Hacimsel kuvvetler, birim hacim üzerinde etkin olan kuvvet olarak tanımlanır. Yüzeysel
kuvvetler, yapı yüzeyi üzerindeki etkin kuvvetlerdir. Bu tür kuvvetler, birim yüzeye
karşılık gelen kuvvetlerden oluşur. Yapı üzerindeki etkin dış kuvvetler yapıda
deformasyon meydana getirir. Gelişen deformasyona bağlı olarak yapı içerisinde
gerilmeler oluşur. Oluşan bu içsel gerilmeler kimi zaman iç kuvvetler olarak da
isimlendirilir. Yapının denge konumunu koruyabilmesi için iç ve dış gerilmelerin
birbirini dengelemesi gerekir. Bu bölüm, gerilme, deformasyon ve temel elastisite
konuları, denge denklemleri ve sanal yerdeğiştirmeler ilkesi ile Hareket denklemi ve
çözüm yöntemleri konularından oluşmaktadır. Burada verilen “deformasyon” terimi ile
yapı elemanında oluşan hacimsel ve şekilsel bozulmayı, ayrıca “eleman” terimiyle
jeolojik birimin sonsuz küçük bir hacmini içeren parçası tanımlanmıştır.
5
2.1.1. Gerilme
Gerilme, birim alana düşen kuvvet yoğunluğunun ölçüsüdür. Gerilme analizinde amaç,
verilen kuvvet ve koşullar altında elemanda oluşan yerdeğiştirmelerin veya
deformasyonların belirlenmesidir. Şekil 2.1’ de bir F dış kuvveti altında elemandaki
eksensel gerilme gösterilmiştir. Eksensel gerilme,
σ=
F
A
(2.1)
ile verilir. Gerilmeyi tanımlayabilmek için Şekil 2.2’ de dış kuvvetlerin etkisinde bir
eleman ve üzerindeki herhangi bir P noktasından geçen düzlem parçası göz önüne alınır.
F
F
A
Şekil 2.1. Dış kuvvet etkisiyle elemanda oluşan eksensel gerilme.
Şekil 2.2b’ de gösterilen n, A kesit düzleminin normal vektörüdür. A kesit alanı üzerinde
v
herhangi bir t n gerilme vektörü,
v
∆F
t n = lim
∆A→ 0 ∆A
(2.2)
ile tanımlanır. Burada ∆F kuvveti, ∆A alanı üzerindeki etkin kuvveti gösterir. Bu
v
v
nedenle t n vektörüne ‘kuvvet yoğunluğu’ veya ‘gerilme’ denir. t n gerilme vektörü,
v
v
v
normali n olan A kesit alanı üzerinde bulunur. Dik koordinat sisteminde e x , e y ve e z
v
birim (baz) vektörleri olarak ele alınırsa, t n gerilme vektörü,
v
v
v
v
t n = t nx e x + t ny e y + t nz e z
(2.3)
6
v
ile verilir (Terzaghi 1962). n normal vektörü, koordinat eksenleri yönünde seçilirse, t n
gerilme vektör bileşenleri,
v
v
t ex = σ xx e x + τ xy e y + τ xz e z
(2.4a)
v
v
v
v
t ey = τ yx e x + σ yy e y + τ yz e z
(2.4b)
v
v
v
v
t ez = τ zx e x + τ zy e y + σ zz e z
(2.4c)
v
şeklinde tanımlanır. t ex vektörüne ait gerilme bileşenleri Şekil 2.2b’ de gösterilmiştir.
z
F
τxz
F
F
F
F
P.
F
τxy
F
F
F
A
n
σx
x
F
y
(a)
(b)
Şekil 2.2. Deforme olabilen bir elemanda a) dış kuvvetler, b) içsel gerilmeler.
v
v
Benzer şekilde diğer t ey ve t ez bileşenleri de gösterilebilir. Bu şekilde cisim üzerinde
herhangi bir P noktasındaki gerilme değeri dizey yapısında,
⎡σ xx
⎢
σ = ⎢τ yx
⎢ τ zx
⎣
τ xy τ xz ⎤
⎥
σ yy τ yz ⎥
τ zy σ zz ⎥⎦
(2.5)
ile verilir. Bu bağıntı ile verilen dizeye “gerilme tensörü” denir (Terzaghi 1962). (2.5)
7
tensör ifadesinde σ normal ve τ makaslama gerilmelerini göstermektedir. Şekil 2.2b’
de P noktasını saran sonsuz küçük bir küp elemanı Şekil 2.3’ de gösterilmiştir. Bu
durumda x, y ve z koordinat eksenleri küpün yüzeylerine normal olur. +x , +y ve +z
v
yönlerinde yer alan yüzeyler küpün pozitif yüzeyleridir. t ex gerilme vektörü yz
v
düzlemine normal doğrultuda uygulanmış olur. t ex gerilme vektörünün σxx bileşeni +x
doğrultusunda, τxy bileşeni y doğrultusunda ve τxz bileşen de z doğrultusunda uygulanır.
v
v
Benzer durum t e y ve t ez gerilme vektörleri içinde yazılabilir. x doğrultunda yer alan σxx
gerilme bileşenine “normal gerilme”, τxy ve τxz bileşenlerine ise “makaslama gerilmesi”
veya “kayma gerilmesi” bileşenleri denir. Düzlem gerilme durumunda, yapının z
doğrultusunda sonsuz uzunlukta olduğu kabul edilir. Bu nedenle z doğrultusundaki
gerilmenin sıfırdan farklı fakat deformasyonun oluşmadığı kabul edilir. (2.5) ile verilen
gerilme dizeyi düzlem gerilme durumunda,
⎡σ xx ⎤
[σ ] = ⎢⎢σ yy ⎥⎥
⎢τ xy ⎥
⎣ ⎦
(2.6)
gerilme bileşeniyle belirlenir (Oden vd 1981).
+y
-z
-x
+x
+z
-y
Şekil 2.3. Elemanda pozitif ve negatif yüzeyler.
8
Şekil 2.3’ de gösterilen küp elemanı üzerinde (2.5) ile verilen gerilme bileşenlerinin
etkili olduğu varsayılırsa, küp elemanı,
σ zz +
∂σ zz
∂z
dz
τ zy +
τ zx +
τ xz +
∂τ zx
∂z
∂τ xz
∂x
∂σ xx
∂x
∂z
dz
∂τ yz
τ yz +
dy
∂y
dz
∂σ yy
σ yy +
dy
∂y
dx
τ xy +
σ xx +
∂τ zy
∂τ xy
∂x
dx
τ yx +
∂τ yx
∂y
dy
dx
Şekil 2.4. Eleman yüzeyindeki gerilme bileşenleri.
∑σ × A = 0
denge
τ
xy
=τ
(2.7)
koşulunu
yx
,τ
yz
=τ
sağlanmalıdır.
zy
ve τ
zx
=τ
xz
(2.7)
denge
koşulunun
uygulanmasıyla,
makaslama gerilmelerinin birbirine eşit olduğu
görülür. Şekil 2.4’ de sonsuz küçük küp elemanı üzerinde etkin olan gerilme bileşenleri
gösterilmiştir. Buna göre, homojen ve izotrop bir eleman üzerinde herhangi bir
noktadaki gerilme değerini tanımlayabilmek için toplam altı gerilme bileşenin (σx, σy,
σz ,τxy, τyz, τzx) bilinmesi gerekir.
2.1.2. Deformasyon
Eleman üzerindeki deformasyon, yerdeğiştirme vektörünün u(x,y,z) gradyentine bağlı
olarak tanımlanır. Şekil 2.5’ deki gibi l0 uzunluğundaki bir eleman üzerinde eksensel
9
gerilme uygulanırsa, eleman boyundaki değişim, ∆l = l − l 0 dır. Elemanda oluşan
eksensel deformasyon, ε
σ
σ
lo
L0
L0
l
σ
(a)
σ
(b)
Şekil 2.5. Eksensel deformasyon. (a) çekme (b) sıkıştırma.
ε=
∆l
l0
(2.8)
ile verilir (Terzaghi 1962). Bu şekilde verilen eksensel deformasyona “normal
deformasyon”
denir. Makaslama deformasyonu, γ
Şekil 2.6’ da gösterildiği gibi
uygulanan gerilmeler altında elemanın kenar açılarındaki değişim olarak tanımlanır.
Küçük açılar için makaslama deformasyonu, γ
tan(θ ) ≈ γ =
a
b
(2.9)
dır. Gerek normal deformasyon gerekse makaslama deformasyonu için verilen bu
ifadeler küçük deformasyon durumunda geçerlidir. Eleman üzerinde oluşan gerçek
deformasyonu tanımlayabilmek için Şekil 2.5’ de gösterilen elemanda oluşan ∆l=l-l0
boy değişiminin belirli sayıda adımda oluştuğu kabul edilir. Deformasyondaki artım
miktarı, dε = dl / l ile verilir. Buradaki dl eleman boy uzunluğundaki artım miktarını, l
deformasyon öncesindeki uzunluğu gösterir. Toplam deformasyon, eleman boyunun l0’
dan l uzunluğuna ulaşıncaya kadar oluşan deformasyon miktarlarının toplamı:
10
a
σ
θ
b σ
σ
σ
Şekil 2.6. Makaslama deformasyonu.
L
ε = ∫ dε =
L0
L
dl
l
= ln( )
l
l0
L0
∫
(2.10)
ile verilir. (2.10) ifadesi gerçek deformasyonu tanımlar. Küçük deformasyonlar için
(2.10) ifadesi,
ln(1 +
∆l
∆l
)≈
l0
l0
(2.11)
şeklinde verilebilir. Düzlem deformasyon durumunda, oluşan deformasyonun sadece xy
düzlemi üzerinde olduğu kabul edilirse, Şekil 2.7’ de elemandaki yerdeğiştirmelere
bağlı olarak oluşan deformasyon gösterilmiştir. Eksensel doğrultularda gelişen
deformasyonlar için,
ε xx = lim (
∆x → 0
ε yy = lim (
∆y → 0
O' C '−OC
) = lim
∆x → 0
OC
O' E '−OE
) = lim
∆y → 0
OE
(∆x +
(∆y +
∂u
∆x) − ∆x
∂u
∂x
=
∆x
∂x
∂v
∆y ) − ∆y
∂y
∂v
=
∆y
∂y
11
(2.12a)
(2.12b)
γ xy
∂u
∂v
∆y
∆x
∂y
π
π π ∂x
∂v ∂u
= lim ( − C ' O' E ' ) = lim ( − ( −
−
)) = +
∆x , ∆y → 0 2
∆x , ∆y → 0 2
∆x
2
∆y
∂x ∂y
(2.12c)
yazılabilir. Bu sonuçlar üç boyutlu durum için yazılırsa, sırasıyla x, y ve z
eksenlerindeki yerdeğiştirmeler, u(x,y,z), v(x,y,z) ve w(x,y,z) olmak üzere,
ε xx =
∂u
∂x
,
γ xy =
∂v ∂u
+
∂x ∂y
,
γ xz =
∂w ∂u
+
∂x ∂z
γ yx =
∂u ∂v
+
∂y ∂x
,
ε yy =
∂v
∂y
,
γ yz =
∂w ∂v
+
∂y ∂z
γ zx =
∂u ∂w
+
∂z ∂x
,
γ zy =
∂v ∂w
+
∂z ∂y
,
ε zz =
∂w
∂z
(2.13)
π/2-γxy
u+(du/dy)∆y
y
o
y
O
x
ud
D
O’
∆x
C’
uc
C
E’
E
D
uO’ v
x
O
(a)
v+(dv/dx)∆x
E
∆y u
E’
v+(dv/dy)∆y
ue
D’
D’
C’
C u+(du/dx)∆x
(b)
Şekil 2.7. Yerdeğiştirme ve türevlerine bağlı düzlem deformasyon.
deformasyon ifadeleri elde edilir (Terzaghi 1962, Oden vd 1981). Düzlem deformasyon
durumunda Şekil 2.7’de elemanın z yönündeki boyutu sonsuz kabul edilmiştir. Bu
durumda eleman üzerinde etkin olan tüm dış kuvvetler x ve y değişkenlerinin bir
fonksiyonu olur. Elemanda gelişen deformasyon sadece xy düzleminde oluşur. z
doğrultusundaki tüm yerdeğiştirme ve deformasyonlar w, εzz, γxz ve γyz sıfırdır. Üç
boyutta deformasyon dizeyi,
12
⎡ε xx
[ε ] = ⎢⎢γ yx
⎢γ zz
⎣
γ xy γ xz ⎤
⎥
ε yy γ yz ⎥
γ zy ε zz ⎥⎦
(2.14)
ile verilir. Homojen ve izotrop bir ortamda deformasyon dizeyi bakışımlılık (simetri)
özelliğine sahiptir (Love 1944). Bu nedenle, bir eleman üzerinde herhangi bir P
noktasındaki deformasyon durumunu tanımlayabilmek için altı adet deformasyon
bileşeninin (εx, εy, εz, γxy, γyz, γxz) bilinmesi gerekir. Elemanda asal (normal) gerilme
doğrultuları ile asal deformasyon doğrultuları aynıdır. Düzlem deformasyon durumunda,
(2.14)
ile
verilen
deformasyon
dizeyi ε xx , γ xz , γ yz , γ zx ve γ zy
deformasyon
bileşenlerinin ihmal edilmesiyle,
⎡ε xx ⎤
[ε ] = ⎢⎢ε yy ⎥⎥
⎢γ xy ⎥
⎣ ⎦
(2.15)
üç adet deformasyon bileşeniyle belirlenebilir.
2.1.3. Elastisite
Bir elemanda gerilmenin belirlenebilmesi, gerilme ve deformasyon bileşenleri
arasındaki ilişkinin bilinmesini gerektirir. Ele alınan elemanın elastik deformasyon
sınırları içerisinde kaldığı düşünülürse, elemanda gelişen gerilme-deformasyon
ilişkisinin Hook kanunu olarak adlandırılan koşula uyduğu gözlenir. Hook kanunu,
gerilmeyi deformasyonun doğrusal bir fonksiyonu olarak gösterilmesini sağlar (Love
1944, Terzaghi 1962). Elastik, anizotrop ve homojen olmayan bir yapı için gerilmedeformasyon ilişkisi,
13
⎡σ xx ⎤ ⎡ c11
⎢σ ⎥ ⎢
⎢ yy ⎥ ⎢ c 21
⎢σ zz ⎥ ⎢ c 31
⎢ ⎥=⎢
⎢ τ xy ⎥ ⎢ c 41
⎢ τ yz ⎥ ⎢ c 51
⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣ τ zx ⎥⎦ ⎣⎢ c 61
c12
c 22
c13
c 23
c14
c 24
c15
c 25
c 32
c 33
c 34
c 35
c 42
c 43
c 44
c 45
c 52
c 62
c 53
c 63
c 54
c 64
c 55
c 65
c16 ⎤ ⎡ε xx ⎤
⎢ ⎥
c 26 ⎥⎥ ⎢ε yy ⎥
c 36 ⎥ ⎢ε zz ⎥
⎥ ⎢ ⎥ = [C ] ε
c 46 ⎥ ⎢γ xy ⎥
c 56 ⎥ ⎢γ yz ⎥
⎥⎢ ⎥
c 66 ⎦⎥ ⎢⎣γ zx ⎥⎦
T
(2.16)
dizeyi ile verilir. Burada C dizeyine “yapısal (constitutive) dizey” denir (Love 1944).
Homojen bir yapı için C dizeyi bakışımlıdır. Bu nedenle, anizotrop ve homojen bir
yapıda gerilme-deformasyon ilişkisi 21 elastik sabit ile tanımlanabilir. Eğer yapının
birbirine dik üç simetri düzlemi var ise, (2.16)’ da verilen C yapısal dizeyi,
⎡ c11
⎢
⎢
⎢
C=⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
c12
c 22
c13
c 23
0
c 33
c 44
0
c 55
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
c 66 ⎥⎦
(2.17)
şeklinde dokuz elastik sabit ile tanımlanır (Love 1944, Terzaghi 1962). Simetri
düzlemleri ise xy, yz ve zx düzlemleridir. Bununla birlikte elastik, homojen ve izotrop
bir yapıda elastik davranışı gösteren her bir düzlem bir simetri düzlemi olarak ele
alınabilir. Bu durumda, iki elastik sabit; Elastisite modülü (E) ve Poisson oranı (υ)
gerilme-deformasyon ilişkisini tanımlamak için yeterlidir. Bu durumda, gerilmedeformasyon dizeyi,
⎡
⎢ 1− υ
⎢
⎡σ xx ⎤
⎢
⎢σ ⎥
⎢
yy
⎢ ⎥
⎢
⎢ σ zz ⎥
E
⎢
⎢ ⎥=
⎢
⎢ τ xy ⎥ ( 1 + υ)( 1 − 2υ) ⎢
⎢ τ yz ⎥
⎢
⎢ ⎥
⎢
⎢⎣ τ zx ⎥⎦
⎢
⎢
⎢
⎣
υ
υ
1− υ
υ
0
1− υ
1 − 2υ
2
0
14
1 − 2υ
2
⎤
⎥
⎥
⎥ ⎡ ε xx ⎤
⎥ ⎢ε yy ⎥
⎥⎢ ⎥
⎥ ⎢ ε zz ⎥
⎥ ⎢γ ⎥
⎥ ⎢ xy ⎥
⎥ ⎢ γ yz ⎥
⎥ ⎢γ ⎥
⎥ ⎢⎣ zx ⎥⎦
1 − 2υ ⎥
⎥
2 ⎦
(2.18)
ile verilir. Genel mekanik problemleri, üç boyutlu bir yapıda tanımlanırken bu tip
problemler bilgisayarda işlem zamanı ve hesaplamalardaki zorluklar nedeniyle iki veya
bir boyutlu duruma indirgenir. Düzlem deformasyon durumunda (2.17) ile verilen
yapısal dizeyi,
⎤
⎡
υ
1 −υ
0 ⎥
⎢
E
⎢ υ
C=
1−υ
0 ⎥
(1 + υ )(1 − 2υ ) ⎢
1 − 2υ ⎥
0
⎥
⎢ 0
2 ⎦
⎣
(2.19)
ve gerilme-deformasyon ilişkisi,
⎡ε xx ⎤
⎡σ xx ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢σ yy ⎥ = C ⎢ε yy ⎥
⎢γ xy ⎥
⎢ τ xy ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
(2.20)
şeklindedir. Deformasyon derecesinin elastik sınırlar içerisinde kalması halinde
elastisite kuralları geçerlidir. Elastik deformasyonun özelliği, eleman üzerinde etkin
olan kuvvetler kaldırıldığında cismin ilk (kuvvet uygulanmadan önceki) halini almasıdır.
Bu durumda gerilme-deformasyon arasında doğrusal bir ilişki mevcuttur. Şekil 2.8’ de l
uzunluğundaki eleman üzerinde gerilme uygulandığında oluşan küçük deformasyonlar,
uygulanan gerilme ile doğru orantılıdır. Deformasyonun büyük değerlerde olması
halinde gerilme-deformasyon ilişkisi doğrusal olmayan bir davranış gösterir. Cisim
üzerinde dış kuvvet kaldırıldıktan sonra cisimde bir miktar kalıcı deformasyon oluşur.
Bu durum için tipik bir gerilme-deformasyon eğrisi Şekil 2.9’ da gösterilmiştir.
σ
ε
Şekil 2.8. Doğrusal elastik deformasyon.
15
Gerilme-deformasyon arası doğrusal ilişki yalnızca küçük deformasyonlar için
geçerlidir. Uygulamalarda zemin yapılarının mühendislik özelliklerini belirtmek için
çeşitli tanımlar kullanılır. Bu tanımlar cisimlerin deforme olabilme, hacimsel
sıkışabilme gibi özelliklerini tanımlar ve birbiriyle ilişkilidir. Bunlar:
Elastisite modülü (Young modülü): Elemandaki normal gerilmenin, oluşan normal
deformasyona oranıdır ve
E=
σ
ε
(2.21)
ile verilir. Elastisite modülü, elemanın birim deformasyona karşı dayanımın bir
ölçüsüdür.
Elemanda
oluşan
normal
deformasyon,
gerilme
doğrultularındaki
deformasyonlardır. (2.21) ile verilen bir boyutlu ifadeye “Hook kanunu” denir. Hook
kanunu gerilme-deformasyon arası ilişkisinin doğrusal olduğu bölgede geçerlidir
(Terzaghi 1962).
Poisson oranı: Elemanda gelişen enine deformasyonun, boyuna deformasyona oranıyla
tanımlanır. Poisson oranı, ν 0-0.5 aralığında değer alır. Zemin birimlerinde Poisson
oranı yaklaşık 0.25-0.47 arasında değerler alır (Timoshenko 1951).
υ=
εyy
ε xx
.
(2.22)
Makaslama (kayma) modülü: Şekil 2.10’ de gösterildiği gibi makaslama modülü, G
makaslama gerilmesi, τ’ un makaslama deformasyonu, γ’ ye oranıdır ve
σ
ε
ε0
Şekil 2.9. Doğrusal olmayan gerilme-deformasyon davranışı.
16
G=
τ
γ
(2.23)
ile verilir. Elastisite modülünde olduğu gibi makaslama modülü de elemanın birim
kayma gerilmesine karşı dayanımının bir ölçüsüdür. G makaslama modülü bağımsız bir
parametre olmayıp, elastisite modülü ve Poisson oranı ile ilişkilidir. Bu ilişki:
G=
E
2(1 + υ )
(2.24)
ile verilir. (2.5) ile verilen gerilme dizeyinde dokuz gerilme bileşeninin eleman üzerinde
aynı anda etkin olduğu varsayılırsa, oluşan deformasyon, her bir gerilme bileşeninin
elemanda oluşturduğu deformasyonun toplanmasıyla elde edilir.
y
dy
dz
x
dx
Şekil 2.10. İki boyutta makaslama deformasyonu.
Üç boyutlu durumda deformasyon bileşenleri için,
[
]
γ xy =
[
]
γ yz =
[
]
γ xz =
ε xx =
1
σ xx − υ (σ yy + σ zz ) ,
E
ε yy =
1
σ yy − υ (σ xx + σ zz ) ,
E
ε zz =
1
σ zz − υ (σ xx + σ yy ) ,
E
τ xy
(2.25a)
G
τ yz
(2.25b)
G
τ xz
(2.25c)
G
17
ile verilen ifadeler taraf tarafa toplanırsa,
ε xx + ε yy + ε zz =
(1 − 2υ )
(σ xx + σ yy + σ zz )
E
(2.26)
elde edilir. Bu ifade (2.21) ile verilen Hook kanunun genel ifadesidir ve toplam gerilme
ile toplam deformasyon arası ilişkiyi tanımlar.
Bulk modülü (sıkışmazlık modülü): Etkin gerilmeler, elemanda oluşturduğu
deformasyona göre iki ayrı gruba ayrılır. Bunlar asal ve makaslama gerilmeleridir. Asal
gerilmeler etkin olduğu eleman üzerinde yalnızca hacimsel değişim meydana getirirken,
makaslama gerilmeleri elemanda şekilsel bozulma oluştururlar. Bu nedenle, asal
gerilme bileşenlerine “hidrostatik gerilme bileşenleri” ve makaslama gerilme
bileşenlerine “deviatorik gerilme bileşenleri” denir (Timoshenko 1951). Normal
gerilmeler cinsinden hidrostatik gerilme:
σH =
(σ xx + σ yy + σ zz )
(2.27)
3
ile verilir. Deviatorik gerilme, eleman üzerinde (2.5) ile verilen gerilmenin hidrostatik
gerilmeden farkıdır:
σD
⎡σ xx − σ H
⎢
= ⎢ τ yx
⎢ τ zx
⎣
τ xy
σ yy − σ H
τ zy
τ xz ⎤
⎥
τ yz ⎥ .
σ zz − σ H ⎥⎦
(2.28)
(2.28) ile verilen deviatorik gerilme dizeyindeki asal gerilme bileşenlerine “asal
deviatorik gerilme bileşenleri” denir. Hidrostatik gerilmelerin neden olduğu hacimsel
değişim,
∆=
∆V
1 − 2υ
3(1 − 2υ )
(σ xx + σ yy + σ zz ) =
= (ε xx + ε yy + ε zz ) =
σH
V
E
E
18
(2.29)
ile verilir. Burada verilen
B=
3(1 − 2υ )
ifadesinin tersi olan,
E
E
3(1 − 2υ )
(2.30)
ifadesine “bulk modülü” denir. Bulk modülü, cismin hidrostatik gerilmeler altında
sıkışabilirliğinin ölçüsüdür. Tanımlanan zemin modülleri, zeminlerin mühendislik
açısından temel özelliklerini yansıtır.
2.1.4. Denge denklemleri
Denge denklemleri, dış kuvvetler ve bunlara bağlı olarak oluşan içsel gerilmeler altında
elemanın denge durumunu gösteren diferansiyel yapıdaki denklemlerdir. Şekil 2.12’ de
iki boyutta dx ve dy kenar uzunluğundaki bir eleman ele alındığında, normal
gerilmelerin elemanın P merkez noktasına uygulandığı varsayılır. Gerilmelerin her
noktada sürekli olduğu kabul edilir. Eleman kenarlarındaki gerilme değerleri Taylor
açılımı kullanılarak elde edilir. P noktasındaki σxx normal gerilme vektörünün +x kenarı
üzerindeki değeri için Taylor serisine açılır:
σ (x +
∂σ xx dx
∂ 2σ xx 1 dx 2
dx
) =σx +
( )+
( ) + ...
∂x 2
2
∂x 2 2! 2
(2.31)
ve yüksek mertebeli terimler ihmal edilirse,
σ
x+
dx
2
=σx +
∂σ xx dx
∂x 2
(2.32)
elde edilir. –x doğrultusundaki kenar üzerinde gerilme değeri benzer şekilde,
σ
dx
x−
2
=σx −
∂σ xx dx
∂x 2
(2.33)
19
olarak bulunabilir. +y ve –y eksenleri üzerinde yer alan kenarlardaki gerilme değerleri
benzer şekilde elde edilebilir. Makaslama gerilmeleri içinde benzer bağıntılar yazılabilir.
Şekil 2.11’ de verilen P noktasındaki Fx ve Fy kuvvetleri hacimsel kuvvetlerdir.
Hacimsel kuvvetler birim hacim üzerinde etkin kuvvetler iken, iki boyutlu durumda
(kalınlık bir birim kabul edilirse) birim alan üzerinde etkin olan kuvvet olarak
tanımlanır. Şekil 2.11’ de verilen elemanın x yönünde denge şartı için (2.7) ile verilen
denge bağıntısı kullanılırsa,
∂σ xx ∂τ yx
+ Fx = 0
+
∂y
∂x
(2.34)
denge denklemi elde edilir. Benzer şekilde y doğrultusu için,
∂τ xy
∂x
+
∂σ yy
∂y
+ Fy = 0
(2.35)
elde edilir. İki boyuttaki durum için elde edilen denge denklemleri, üç boyutlu durum
için,
σyy
Fy
σxx
dy
P
Fx
σxx
dx
σyy
Şekil 2.11. İki boyutta düzlem gerilme.
20
∂σ xx ∂τ xy ∂τ xz
+
+
+ Fx = 0
∂x
∂y
∂z
∂τ yx
∂σ yy
(2.36b)
∂τ zx ∂τ zy ∂σ zz
+
+
+ Fz = 0
∂x
∂y
∂z
(2.36c)
∂y
+
∂τ yz
+ Fy = 0
∂x
+
(2.36)
∂z
kolaylıkla yazılabilir (Oden vd 1981). (2.36) ile statik durum için verilen denge
denklemleri dinamik durum için yazılmak istenirse, Newton’un ikinci hareket
kanunundan yararlanabilir. Üç boyutlu durumda dinamik denge denklemleri,
∂σ xx ∂τ xy ∂τ xz
∂ 2u
+
+
+ Fx = m 2
∂x
∂y
∂z
∂t
∂τ yx
∂x
+
∂σ yy
∂y
+
∂τ yz
∂z
+ Fy = m
(2.37a)
∂ 2v
∂t 2
(2.37b)
∂τ zx ∂τ zy ∂σ zz
∂2w
+
+
+ Fz = m 2
∂x
∂y
∂z
∂t
(2.37c)
şeklinde verilir. Burada u, v ve w sırasıyla x, y ve z doğrultularındaki yerdeğiştirmelerdir.
2.1.5. Sanal yerdeğiştirmeler ilkesi
Bir dış kuvvet, eleman üzerinde yerdeğiştirme oluşturduğunda, eleman üzerinde bir iş
yapılmış olur. Eğer uygulanan kuvvet ile yer değiştirme neden-sonuç (cause-effect)
ilişkisi ile birbirine bağlı değilse eleman üzerinde yapılan işe “sanal iş (virtual work)”
denir. Sanal iş, gerçek kuvvetlerin hayali yerdeğiştirmeler boyunca yaptığı iş olarak
tanımlanır. Sanal iş ilkesi, enerji yöntemleri içerisinde yer alır. Sanal iş ilkesi iki
21
yaklaşımla uygulanır; birincisi sanal yerdeğiştirmeler ilkesi, ikincisi ise sanal kuvvetler
ilkesidir. Sanal yerdeğiştirmeler ilkesinde, gerçek kuvvetlerin sanal yerdeğiştirmeler
boyunca yaptığı iş göz önüne alınır. Sanal kuvvetler ilkesinde ise sanal kuvvetlerin
gerçek yerdeğiştirmeler boyunca yaptığı iş ele alınır. Her iki ilkenin uygulanmasında
eleman üzerindeki denge ve uyumluluk (compatibility) koşulları elde edilmeye çalışılır.
Bu çalışmada, hareket denkleminin elde edilmesinde sanal yerdeğiştirmeler ilkesi
kullanılmıştır.
Eleman içerisinde herhangi bir noktadaki yerdeğiştirme, koordinat eksenlerine paralel u,
v ve w yerdeğiştirmelerine bağlı olarak verilir. Eleman üzerinde varsayılan herhangi bir
sanal yerdeğiştirme x, y ve z koordinat eksenlerinin sürekli fonksiyonu olduğu ve
kinematik sınır koşullarını sağladığı varsayılır. Şekil 2.12’ de verilen bir cisim
içerisindeki herhangi bir P(x,y,z) noktasında oluşan yerdeğiştirmeler sırasıyla u, v, w ve
bu cisme ilişkin denge denklemleri statik durum için (2.36) ve dinamik durum için (2.37)
denklemleriyle verilmiştir. Eleman üzerinde tanımlanan sanal yerdeğiştirmeler aynı
zamanda sınır koşullarına da uygun olmalıdır.
n
y , δv
P(x,y,z)
z , δw
x , δu
Şekil 2.12. Cisim içerisinde bulunan bir P noktasındaki sanal yerdeğiştirme.
Eleman yüzeyindeki denge koşulları,
σ xx l + τ xy m + τ xz n = f x
22
τ yx l + σ yy m + τ yz n = f y
(2.38)
τ zx l + τ zy m + σ zz n = f z
ile verilir. Burada yer alan fx, fy ve fz kuvvetleri yüzey kuvvetleridir. Hacim içerisindeki
denge koşulu olarak verilen (2.36) denklemleri sırasıyla δu, δv ve δw sanal yerdeğiştirmeleri ile çarpılır ve taraf tarafa toplanırsa,
⎧⎡ ∂σ xx ∂τ xy ∂τ xz
⎤
⎡ ∂τ yx ∂σ yy ∂τ yz
⎤ ⎫
+
+
+ Fx ⎥ δu + ⎢
+
+
+ Fy ⎥ δv ⎪
⎪⎢
∂y
∂z
∂y
∂z
⎪⎣ ∂x
⎦
⎣ ∂x
⎦ ⎪
⎬=0
⎨
∫v ⎡ ∂τ ∂τ zy ∂σ
⎤
⎪
⎪
zx
zz
⎪
⎪+ ⎢ ∂x + ∂y + ∂z + Fz ⎥ δw
⎦
⎭
⎩ ⎣
(2.39)
elde edilir. φ(x,y,z) ve ϕ(x,y,z) skaler fonksiyonlarının, (2.38) ile verilen koşulları
sağladığı kabul edilirse,
⎧δu , i = x
∂ϕ ⎪
= ⎨δv , i = y
∂i ⎪
⎩δw , i = z
ve
⎧σ xx , i = 1
⎪
φi = ⎨σ yy , i = 2
⎪
⎩σ zz , i = 3
(2.40)
yazılabilir. Green teoreminden (EK 1) yararlanılarak (2.39) ifadesi için
⎧
⎫
∫ ⎨σ xx ε xx + σ yy ε yy + σ zz ε zz + τ xy γ xy + τ xz γ xz + τ yz γ yz ⎬dv
⎩
⎭
v
= ∫ ⎛⎜ F δu + F δv + F ∂w ⎞⎟dv + ∫ ⎛⎜ f δu + f δv + f ∂w ⎞⎟ds
x
y
z ⎠
x
y
z ⎠ 1
v⎝
s ⎝
1
(2.41)
elde edilir. (2.41) ifadesi,
∫ {σ
xx
v
ε xx + σ yy ε yy + σ zz ε zz + τ xy γ xy + τ xz γ xz + τ yz γ yz }dv = ∫ ε T σ
v
∫ (F δu + F δv + F ∂w)dv = ∫ F u
x
v
y
z
B
T
dv
(2.42a)
v
23
∫ ( f δu + f
x
y
δv + f z ∂w)ds1 = ∫ Fs u T ds1
(2.42b)
s1
s1
dizey yapısında verilebilir. Burada s1, eleman sınırındaki yerdeğiştirmelerin ön-tanımlı
olduğu kısımları gösterir. FB, FS ve uT kuvvet ve yerdeğiştirmeleri,
v
v
v
FB = Fx i + F y j + Fz k
v
v
v
FS = f x i + f y j + f z k
v
v
v
u T = δui + δvj + δwk
(2.43a)
(2.43b)
(2.43c)
dizeysel yapıda verilir. (2.42) ifadesinden yararlanılarak sanal yerdeğiştirmeler ilkesi
için,
∫ε
T
v
σ dv + ∫ FB u T dv + ∫ FS u T ds1 = 0
v
(2.44)
S1
yazılabilir. (2.44) ile verilen ifadenin ilk terimi deformasyon enerjisini gösterir. İkinci
ve üçüncü integral terimi sırasıyla elemandaki hacimsel ve yüzeysel
kuvvetlerce
yapılan işi gösterir. Titreşimlerin söz konusu olduğu problemlerde, hacimsel kuvvetleri
başlıca sönüm kuvveti ve eylemsizlik kuvveti oluşturur (Bathe 1996). Geri kalan dış
kuvvetler, f olarak gösterilirse (2.44) ifadesi,
∫ε
V
T
σ dv + ∫ ρ u&& u T dv = f u T
(2.45)
V
şeklinde verilebilir (Padovan 1987). Burada ρ yapısal elemanın birim hacim ağırlığını ve
u&&
yerdeğiştirmenin zamana göre ikinci türevini gösterir. Sanal yerdeğiştirmeler ilkesi,
diferansiyel
denklem
şeklinde
verilen
ifadelerin
sonlu
eleman
yapısında
gösterilebilmesini sağlayan temel ilkeler arasında yer alır. Üçüncü bölümde hareket
denkleminin
sonlu
elemanlar
yöntemiyle
modellenmesi
verilmiştir.
Hareket
denkleminin sonlu eleman yapısının elde edilmesinde (2.45) ifadesinden yararlanılmıştır.
24
2.2. Fiziksel Problem ve Matematiksel Model
Mühendislik problemlerinin çözümü, çoğu zaman fiziksel sistemin bir matematiksel
model ile betimlenmesini gerektirir. Modelleme işlemi, farklı mühendislik problemleri
için ayrıntıda farklı olsa da genel işlem basamakları aynıdır. Modelleme işleminde
öncelikle fiziksel problemin çözüm alanı tanımlanır. Çözümde elde edilecek bilgiler
(bilinmeyenler)
problemlerin
belirlenir
sayısal
ve
olarak
bilinen
değişkenler
çözümlenebilmesi
ve
modelde
belirtilir.
matematiksel
Fiziksel
yöntemlerin
uygulanabilmesi için problem üzerinde yalınlaştırma işlemi yapılır. Fiziksel sistemin
modellenmesinde, bütün etkiler ele alınırsa, sonuçta elde edilecek matematiksel ifadeler
oldukça karmaşık hale gelir ve matematiksel çözüm mümkün olmaz. Ancak varsayımlar
kullanıldığında fiziksel problem matematiksel olarak yaklaşık modellenebilir. Fakat
yapılacak varsayımlar sadece problemin çözümünü kolaylaştırdığı durumlarda yapılır.
Matematiksel problemin çözümü, fiziksel problemin özelliklerini ve davranışını temsil
etmelidir. Problem üzerinde gereğinden fazla yalınlaştırma gerçek fiziksel davranışı
yansıtmayabilir. Bu nedenle model üzerinde yapılacak yaklaşım ve varsayımların
doğruluğuda denetlenmelidir (Kelly 1993, Hamming 1962, Pipes vd 1970).
Fiziksel problemlerin yalınlaştırılması amacıyla matematiksel modelin oluşturulmasında
belirli varsayımlar yapılır. Bu varsayımlar genel olarak aşağıdaki gibidir:
a) Yapıdaki fiziksel özellikler bağımsız değişkenlerin sürekli fonksiyonları olarak
ele alınır. Bu varsayım “süreklilik varsayımı” dır. Bu şekilde sistem parçalısürekli olarak göz önüne alınabilir.
b) Yeryüzeyi eylemsizlik için referans noktası seçilir. Bu şekilde, Newton kanunu
gibi fiziksel kanunlar uygulanabilir.
c) Bağıl olarak küçük etkiler ihmal edilebilir.
d) Yerçekimi ivmesi, bir dış kuvvet olarak görülür.
e) Fiziksel sistemi oluşturan bütün bileşenler doğrusal, elastik, tekdüze ve yön
bağımsızdır.
25
Bu tür varsayımlar ile fiziksel sistem belirli derecede yalınlaştırılmış olur. Gerçekte
karşılaşılan problemlerin bir çoğu doğrusal olmayan bir yapıdadır. Fiziksel problemin
gerçeğe
yakın
bir
şekilde
modellenebilmesi,
doğrusal
olmayan
diferansiyel
denklemlerle elde edilir. Bu diferansiyel denklemlerin analitik çözümü çoğu zaman
mümkün olmaz. Bu nedenle, fiziksel problem üzerinde yapılan varsayımlarla gerçekte,
doğrusal yapıda olmayan problem doğrusal bir yapıya dönüştürülmüş olur.
Matematiksel model, fiziksel probleme bir yaklaşımdır. Doğrusal olmayan sistemleri
doğrusal yapıya dönüştürürken dikkat edilmelidir. Çünkü, nitel olarak doğrusal olmayan
sistem davranışı doğrusal sistem davranışından farklıdır. Örneğin titreşim sistemlerinde
olduğu gibi fiziksel problemi temsil eden matematiksel modeldeki küçük geometrik
farklılıklar veya modelde doğrusal olmayan davranış özellikleri beklenmeyen titreşim
kiplerine götürür. Bu nedenle, fiziksel bir sistemin modellenmesinde yapılan
varsayımların geçerliliği denetlenmelidir (Pipes vd 1970). Matematiksel modelin
oluşturulmasında kullanılan ve ikinci bölümde anlatılmış olan yapıcı denklemler,
sistemdeki malzemelerin fiziksel özellikleri hakkında bilgi verir. Malzemeler farklı
koşullar altında farklı davranışlar gösterir. Fiziksel bir sistemin matematiksel
modellenmesiyle, matematiksel bir problem elde edilir. Matematiksel çözüm,
matematiksel modellemenin son aşamasıdır. Modelleme işlemi, problem üzerinde
uygun matematik yöntemleri kullanılarak sonuçların elde edilmesiyle tamamlanmış olur.
Farklı tipteki problemler, farklı matematiksel yöntemlerin kullanılmasını gerektirir.
Dinamik, statik ve mekanik problemlerin modellenmesi çoğu zaman cebirsel
denklemlerle yapılır. Mekanik problemler içerisinde yer alan titreşim problemlerinin
matematiksel modellenmesi diferansiyel denklemlerle yapılır. Tek serbestlik dereceli
ayrık (decoupled)) sistemlerin titreşimi, sabit katsayılı doğrusal diferansiyel
denklemlerle, çok serbestlik dereceli sistemlerin titreşimi, sabit katsayılı doğrusal
diferansiyel denklem sistemleriyle gösterilir. Sürekli sistemlerin titreşimleri ise kısmi
diferansiyel denklem sistemleriyle tanımlanır (Kelly 1993).
26
2.3. Hareket Denklemi ve Çözüm Yöntemleri
Titreşim problemleri, deneysel ve kuramsal sonuçların mühendislik problemlerine
uygulanması açısından oldukça önemlidir. Çoğu zaman titreşim ile salınım aynı
anlamda kullanılır. Fakat bu iki terim arasında anlam farkı vardır. Titreşim, bir dış
kuvvet veya kuvvetler altında cismin hareketini ifade eder. Bu durumda dış kuvvet
zaman içerisinde yön ve büyüklük bakımından değişken olabilir. Salınım, cismin denge
konumu etrafında ileri-geri hareketini yansıtır. Bu açıdan her titreşim hareketi bir
salınım hareketi olmayabilir. Bu alt bölümde yer alan ilk dört çözüm yöntemi daha çok
basit titreşim problemlerine uygulanmaktadır. Büyük serbestlik dereceli ve karmaşık
geometrili titreşim problemlerinin çözümü, üçüncü bölümde anlatılmış olan, sonlu
eleman yöntemi gibi yaklaşık çözüm yöntemleri kullanılarak gerçekleştirilir. Bu nedenle
ilk dört çözüm yöntemi, hareket denkleminin temel özellikleri ve denklemde yer alan
katsayıların titreşim davranışı üzerindeki etkilerinin anlaşılması amacıyla verilmiştir.
2.3.1. Kuramsal çözüm
Serbest titreşim davranışı, ikinci mertebeden sabit katsayılı, homojen diferansiyel
denklem ile verilir. Yerdeğiştirme zamanın bir fonksiyonudur. Titreşim sisteminde
viskoz sönüm dışında korunumlu olmayan kuvvetlerin bulunmadığı durumda,
diferansiyel denklem homojen bir yapıya sahiptir. Titreşim sistemlerinde yerdeğiştirmeye “genel koordinat” adı verilir. Titreşim sistemine ait diferansiyel denklem,
Newton’ un ikinci hareket kanunu veya enerji yöntemleri olmak üzere birden fazla
yöntemden yararlanılarak elde edilebilir. Burada, viskoz sönümlü bir titreşim sistemine
ait diferansiyel denklemi Newton’ un ikinci hareket kanunundan yararlanılarak
yazılmıştır. Şekil 2.13a’ da verilen kütle-yay ve viskoz sönümlendiriciden oluşan bir
mekanik sistem gösterilmiştir. Sistem üzerinde etkin olan dış kuvvetin deprem
nedeniyle oluşan yer hareketinden kaynaklandığı varsayılırsa, ug yerin yerdeğiştirmesini ve u, m kütlesinin denge konumundan itibaren yerdeğiştirmesini gösterir.
ug yerdeğiştirmesine göre mekanik sistemdeki f(t) dış kuvveti,
27
f (t ) = m
∂ 2u g
(2.46)
∂t 2
ile verilir (Hasselman vd 1972, Kelly 1993). Kütle denge konumundan itibaren u kadar
yerdeğiştirdiğinde, kütle üzerinde oluşan kuvvet bileşenleri Şekil 2.13b’ de
gösterilmiştir. Bu tür bir titreşim sisteminde kütlenin eylemsizlik kuvveti titreşim
üzerinde etkin rol oynar. Göreceli yerdeğiştirmeye bağlı olarak eylemsizlik kuvveti, fe(t)
Newton’ un ikinci hareket kanuna göre,
f e (t ) = m
∂ 2u
∂t 2
(2.47)
ile verilir. Titreşim sisteminde viskoz sönüm hız ile doğru orantılı bir sönüm kuvveti
oluşturur. Bu sönüm kuvveti, dış kuvvet ile ters doğrultudadır (Şekil 2.13b). Viskoz
sönüm kuvveti,
fd = c
∂u
∂t
(2.48)
ile verilir (Chopra 1995). Newton’ un ikinci hareket kanunundan yararlanarak, titreşim
sisteminin t anındaki denge koşulu, Şekil 2.13b yardımıyla,
m
∂u
∂ 2u
+c
+ ku = f (t )
2
∂t
∂t
(2.49)
diferansiyel denklemiyle verilir. Bu diferansiyel denkleme “hareket denklemi” denir.
(2.49) ile verilen diferansiyel denklem, tek serbestlik dereceli bir titreşim sisteminin
hareketini gösterir (Jacobsen vd 1958, Johnson vd 1972, Newmark vd 1971). Bu tür bir
diferansiyel denklemin genel çözümü, homojen ve özel çözümün toplanmasıyla elde
edilir. Çözümde bulunan iki keyfi sabit, integral sabitleridir. İntegral sabitleri, titreşim
sisteminin başlangıç zamanına ( t = 0 ) karşılık gelen durumunu gösterir ve başlangıç
koşulları yardımıyla belirlenir. Başlangıç koşulları, başlangıç zamanı yerdeğiştirmesi ve
hız değerleridir. (2.49) bağıntısı ile verilen hareket denkleminin incelenmesi, denklemde
28
yer alan sönüm katsayısının (c)
durumuna bağlı olarak yapılır. Serbest titreşim
durumunda, sistemin diferansiyel denklemi, (2.49) ile verilen hareket denkleminde
sönüm katsayısı, c ve dış kuvvet f(t)’ in sıfır kabul edilmesiyle,
∂ 2u
m 2 + ku = 0
∂t
(2.50)
yazılır. (2.50) ifadesi sönümsüz serbest titreşim denklemidir. Burada m ve k sırasıyla
titreşim sisteminin özelliklerine bağlı, kütle ve sıkılık (stiffness) değerleridir. (2.50) ile
verilen diferansiyel denklemin,
u (0) = u 0
(2.51)
∂u (0)
= u& 0
∂t
(2.52)
u
k
mg
ku
m
c
cu&
m
f(t)
ug
(a)
(b)
Şekil 2.13. (a) Mekanik yay-kütle ve viskoz sönümlendiriciden oluşan titreşim sistemi,
(b) Sistem üzerinde etkin kuvvetler.
başlangıç koşullarına bağlı çözümü,
u (t ) = u 0 cos( wn t ) +
1 ∂ 2un
sin( wn t )
wn ∂t 2
(2.53)
dır. Burada wn değeri radyan/sn cinsinden,
29
wn =
k
m
(2.54)
sönümsüz serbest titreşimin doğal açısal frekansını gösterir. (2.53) ile verilen çözümün
genel şekli,
u (t ) = A sin( wn t + φ )
(2.55)
dir. (2.55) çözümü trigonometrik özelliklerden yararlanarak,
u (t ) = A cos(φ ) sin( wn t ) + A sin(φ ) cos( wn t )
(2.56)
şeklinde yazılabilir. (2.53) ve (2.56) çözümleri karşılaştırıldığında, salınımın genlik ve
faz değerlerinin sırasıyla,
⎛ u&
A = u + ⎜⎜ 0
⎝ wn
2
0
φ = arctan(
⎞
⎟⎟
⎠
2
(2.57)
wn u 0
)
u& 0
(2.58)
olduğu görülür. (2.50) ifadesiyle verilen sönümsüz serbest titreşim davranışı Şekil 2.14.’
de farklı frekans değerleri için gösterilmiştir.
Şekil 2.14. Sönümsüz serbest titreşim davranışı.
30
(2.51) ve (2.52) ifadeleri ile verilen başlangıç koşulları, sistemin başlangıç anındaki
enerjisini gösterir. Sistemde kuvvetlerin tümü korunumlu olduğunda, kinetik ve
potansiyel enerji dönüşümü sürekli olur. Sistem denge konumuna ulaştığında
başlangıçta var olan enerjisindedir. Titreşim sistemi bir periyotluk salınım hareketini eş
zamanda tamamlar. Bu tür titreşim hareketine “peryodik hareket” denir. Titreşim
periyodu, T
T=
2π
wn
(2.59)
ile bir tam devirlik hareketini tamamlayabilmesi için gereken zamanı gösterir. Titreşim
sistemin frekansı,
f =
1 wn
=
T 2π
(2.60)
birim zamandaki tekrarlanma sayısıdır. (2.57) ile verilen genlik ifadesi, m kütlesinin
denge konumundan olan en büyük yer değiştirmesini gösterir. Serbest titreşimin genliği,
sistemin titreşim frekansına ve başlangıç koşullarına bağlıdır. Sönümlü serbest titreşim,
viskoz sönümlü bir titreşim sistemi için (2.49) ile verilen hareket denkleminde, f (t ) = 0
durumuna karşılık gelir. Dış kuvvetin sıfır olduğu durumda (2.49) ifadesinin
karakteristik denklemi,
α2 +
c
k
α+ =0
m
m
(2.61)
ve kökleri,
2
α 1, 2
c
k
⎛ c ⎞
=− ± ⎜
⎟ −
m
m
⎝ 2m ⎠
(2.62)
ile verilir. f (t ) = 0 durumu için (2.49) denkleminin matematiksel çözümü ve titreşim
31
sisteminin davranışı, (2.61) ile verilen karakteristik denkleminin diskriminantının
durumuna bağlıdır. Diskriminant değeri pozitif olursa, karakteristik denklemin iki
gerçel kökü, negatif olursa iki karmaşık kökü ve sıfıra eşit olursa, iki eşit kökü (katlı
köklere) vardır. Diskriminant değerinin sıfır olması durumunda, titreşim sistemi kritik
sönümlü bir davranış gösterir. Sabit bir kütle, m ve sıkılık, k değeri için (2.61)
karakteristik denklem ifadesinden kritik sönüm,
cc = 2 km
(2.63)
elde edilir. Boyutsuz bir değer olan sönüm oranı, gerçek sönüm katsayısı c’ in kritik
sönüm değeri cc’ ye oranıdır:
ζ =
c
c
=
cc 2 km
(2.64)
Sönüm oranı ζ , titreşim sistemine ait özelliklerin bir fonksiyonudur. (2.62) kök ifadesi,
sönüm oranı, ζ ve sönümsüz serbest titreşimin açısal frekansına (wn) bağlı olarak,
α
1,2
= −ζw ± w ζ 2 − 1
n
n
(2.65)
verilir. ζ ≠ 1 ve f (t ) = 0 için (2.49) ile verilen hareket denklemin çözümü,
− ζw t
w ( ζ 2 − 1) t
w ( ζ 2 − 1) t
n
n
u (t ) = e
(b e
+b e n
)
1
2
(2.66)
dır. Burada b1 ve b2 keyfi katsayılardır. (2.66) çözüm ifadesinden görüleceği üzere
titreşim sistemin davranışı, ζ sönüm oranına bağlıdır. ζ ve wn değerlerini kullanılarak
(2.49) hareket denklemi,
∂ 2u
∂u
+ 2ζwn
+ wn2 u = 0
2
∂t
∂t
(2.67)
32
şeklinde yazılabilir. Bu ifade, viskoz sönümlü serbest titreşim sistemin ayrık (decoupled)
yapıdaki diferansiyel denklemidir. Viskoz sönümlü sistemin incelenmesi, ζ sönüm
oranının temel üç durumuna bağlıdır (Kelly 1993).
Durum-1: ζ < 1 (zayıf sönüm): Bu durumda (2.61) ile verilen karakteristik denkleminin
iki karmaşık eşlenik kökü vardır. Bu kökler,
α 1, 2 = wn (−ζ ± i 1 − ζ 2 )
(2.68)
ile verilir. (2.66) çözümüne, (2.68) kökleri ve (2.51)-(2.52) ile verilen başlangıç
koşullarının uygulanmasıyla,
⎡
⎤
u& + ζw u
−ζ w t ⎢
n o sin( w 1 − ζ 2 t )⎥
n u cos( w 1 − ζ 2 t ) + o
u (t ) = e
⎢ o
⎥
n
n
⎢
⎥
w 1−ζ 2
n
⎣
⎦
(2.69)
yazılabilir. (2.69) çözüm ifadesinde genlik ve faz değerleri,
⎛ u& + ζw u
n o
A = u2 +⎜ o
o ⎜
w
d
⎝
φ = arctan(
d
⎞
⎟
⎟
⎠
2
(2.70)
u w
o d
)
u& + ζw u
o
n o
(2.71)
dır. (2.69) çözümünde,
w
d
=w
n
1−ζ 2
(2.72)
ifadesi, viskoz sönümlü sistemin titreşim frekansıdır. (2.70)-(2.71) ifadeleri kullanılarak
(2.69) çözümü için,
33
u (t ) = Ae
− ζwd t
sin( wd t + φ d )
(2.73)
yazılabilir. (2.73) ile verilen çözümün farklı sönüm değerleri için davranışı Şekil 2.15’
de gösterilmiştir.
Şekil 2.15. Sönümlü serbest titreşim davranışı.
Şekil 2.15’den görülebileceği gibi, korunumlu olmayan viskoz sönüm kuvveti,
sisteminin enerjisini yok etmeye çalışır. Sistem üzerinde dış kuvvetler tarafından
herhangi bir iş yapılmadığından sistemde var olan enerji zamanla azalır. Bu nedenle,
zayıf sönümlü titreşimler salınımlı olmakla birlikte periyodik özellikte değildir. Fakat
her bir sönümlü titreşim için geçen zaman aynıdır. Zayıf sönümlü titreşimin periyodu,
T
d
=
2π
w
d
(2.74)
ile verilir. Bir periyotluk sürede kaybedilen enerji miktarı sönüm oranına bağlıdır.
Büyük sönüm oranlı titreşim sisteminde her bir periyotluk sürede kaybedilen enerji
miktarı da büyük olmaktadır. Sönüm oranın bir ( ζ = 1 ) olması halinde titreşim
sisteminin başlangıç anındaki enerji, bir periyotluk sürede yok edilir. Bu nedenle kritik
34
sönüm oranlı titreşim sistemleri titreşim hareketi yapamaz. Zayıf sönümlü sistemlerde,
birbirini takip eden iki genlik değerinin logaritmik oranına, “logaritmik azalım” denir:
⎛
u (t )
⎞
⎟⎟ = ζwd Td =
δ = ln⎜⎜
⎝ u (t + Td ) ⎠
2πζ
1−ζ 2
.
(2.75)
Sönüm oranının küçük değerleri için, logaritmik azalım yaklaşık
(2.76)
δ = 2πζ
olarak verilir. Logaritmik azalımın, sönüm oranı ile ilişkisi,
ζ =
δ
(2.77)
4π 2 + δ 2
ve (2.73) çözüm ifadesinden hareketle,
u (t )
= e nδ
u (t + nT )
d
(2.78)
logaritmik azalım değerinin hız ve ivme ile ilişkisi,
⎛
u& (t ) ⎞⎟
⎜ u& (t + T ) ⎟
d ⎠
⎝
δ = ln⎜
(2.79)
⎛
u&&(t ) ⎞⎟
⎜ u&&(t + T ) ⎟
d ⎠
⎝
δ = ln⎜
(2.80)
ile verilir (Kelly 1993, Chopra 1995). (2.79)-(2.80) ifadelerinden görülebileceği gibi
logaritmik azalım, birbirini takip eden salınım periyotları kullanılmadan, hız veya ivme
değerleri kullanılarak da elde edilebilir.
35
Durum-2: ζ = 1 (kritik sönüm): Bu durumda (2.61) ile verilen karakteristik denklemin
katlı iki kökü vardır. Kritik sönüm için (2.49) hareket denkleminin çözümü,
u (t ) = e
− wn t
(2.81)
(b1 + b2 t )
ile verilir. (2.81) çözümüne (2.51)-(2.52) ile verilen başlangıç koşulları uygulanırsa,
u (t ) = e
− wn t
[u 0 + (u& 0 + wn u 0 ) t ]
(2.82)
elde edilir. Kritik sönümlü titreşim sistemin davranışı Şekil 2.16’ da gösterilmiştir.
Şekil 2.16. Kritik sönümlü davranış.
Şekil 2.16’ dan görüldüğü gibi kritik sönümlü titreşim sisteminde, sistemin tüm enerjisi
bir periyotluk zamanda tüketilmektedir. Bu tür bir titreşim sistemi, denge konumundan
bir kez geçer ve sistemin enerjisi üstel olarak azalır.
Durum-3: ζ > 1 (aşırı sönüm): Bu durumda (2.61) ile verilen karakteristik denklemin
birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır. Bu kökler,
36
α
1,2
⎛
⎞
= w ⎜⎜ − ζ ± ζ 2 − 1 ⎟⎟
n⎝
⎠
(2.83)
ile verilir. (2.49) hareket denkleminin genel çözümü, (2.51)-(2.52) ile verilen başlangıç
koşullarının uygulanmasıyla,
− ζw t ⎧ ⎡ &
⎤ w ζ 2 − 1t
n ⎪ u
0
2
⎢
+ u (ζ + ζ − 1)⎥ e n
u (t ) =
⎨
0
⎢ wn
⎥
2
⎪
⎦
2 ζ −1 ⎩ ⎣
e
⎡ u&
⎤ − w ζ 2 − 1 t ⎫⎪
0
2
n
+ ⎢−
+ u (−ζ + ζ − 1)⎥ e
⎬
0
⎢ wn
⎥
⎪
⎣
⎦
⎭
(2.84)
olarak elde edilir. Aşırı sönümlü titreşim sistemin davranışı Şekil 2.17’ de gösterilmiştir.
Şekil 2.17’ den görülebileceği üzere, sistemin davranışı periyodik değildir. Sistemin
enerjisi hızlı bir şekilde sönümlenmektedir. Şekil 2.16’ de gösterilen kritik sönüm
davranışı ile karşılaştırıldığında başlangıçta eşit enerjili her iki sistemdeki enerji kaybı,
kritik sönümlü sistemde, aşırı sönümlü sisteme göre daha büyük olmaktadır.
Şekil 2.17. Aşırı sönümlü davranışı.
Bir dış kuvvet tarafından sisteme enerji aktarıldığında, sistem sönüm özelliğine bağlı
37
olarak titreşim hareketi yapabilir. Serbest titreşimler, enerji kaynağının ortamdan
kalkmasıyla oluşur. Zorla titreşimler ise titreşim halindeki sisteme bir dış enerji kaynağı
tarafından enerji aktarılmasıyla oluşur. Titreşim sistemlerinde enerji kaynağı farklı
şekillerde olabilir. Deprem esnasında oluşan yer hareketi bir enerji kaynağı olarak
görülür. Sistemlerin zorla titreşimlerinin incelenmesinde enerji kaynağının çeşitli
durumları göz önünde bulundurularak yapılır. Genel olarak sistem davranışı, enerji
kaynağının iki farklı durumu için incelenir. Bunlar, kaynağın periyodik yapıda veya
rasgele olmasıdır. Periyodik özellik gösteren kaynakların göz önüne alındığı durumlarda,
sistem davranışının incelenmesi uzun zaman aralığını gerektirir. Rasgele davranış
özelliğindeki dış kaynakların varlığında ise kısa zaman aralığında incelenir.
Sönümlü titreşim sisteminin (2.49) ile verilen diferansiyel denkleminin genel çözümü,
homojen ve özel çözümün toplanmasından oluşur. Homojen kısmının çözümü uh,
u (t ) = e
h
−ζ w t ⎡
n c cos( 1 − ζ 2 t ) + c sin( 1 − ζ 2 t )⎤
⎢1
⎥
2
⎣
⎦
(2.85)
ile verilir. Homojen kısmının çözümü f(t) dış kuvvetinden bağımsızdır. Özel çözüm
kısmı ise dış kuvvete bağlıdır. Bu tür titreşim sisteminde t zamanı arttıkça homojen
kısmının çözümü etkisiz, özel çözüm kısmı ise etkin hale gelir. Bu duruma “kararlı
durum (steady-state)” denir. Periyodik bir f(t) dış kuvveti,
f (t ) = F0 sin(wt + ϕ )
(2.86)
şeklinde verilir. Burada F0, dış kuvvetin genliğini, w titreşim frekansını ve ϕ faz açısını
gösterir. Bu tür bir dış kuvvetin sönümsüz titreşim sistemine etkimesi halinde hareket
denklemi,
∂ 2u
f
+ wn2 u = sin( wt + ϕ )
2
m
∂t
(2.87)
şeklindedir. Eğer w ≠ wn ise, özel çözüm (up) için bilinmeyen katsayılar yöntemi
38
kullanılarak,
F0
u (t ) =
sin( wt + ϕ )
2
p
m ( wn − w 2 )
(2.88)
yazılabilir (Kelly 1993). (2.85) ile verilen homojen ve (2.88) ile verilen özel çözümlere
(2.51)-(2.52) başlangıç koşullarının uygulanmasıyla genel çözüm,
⎡
F0 sin ϕ ⎤
F0 w cos ϕ ⎤
1 ⎡
u t (t ) = ⎢u 0 −
cos(wn t ) +
⎢u& 0 −
⎥ sin( wn t )
2
2 ⎥
wn ⎣
m( wn − w ) ⎦
m( wn2 − w 2 ) ⎦
⎣
F0
+
sin( wt + ϕ )
m( wn2 − w 2 )
(2.89)
olarak elde edilebilir (Kisslinger 1967). (2.89) ile verilen çözüm davranışı Şekil 2.18’
de gösterilmiştir.
Şekil 2.18. Dış kuvvet etkisinde sönümsüz serbest titreşim davranışı.
w = wn olması durumunda (2.89) ile verilen genel çözümde, homojen çözüm ile özel
çözüm birbirine bağlıdır. Bu durumda özel çözüm,
u p (t ) = −
F0
t cos( wn t + ϕ )
2mwn
(2.90)
39
dir. (2.51)-(2.52) başlangıç koşullarının, (2.85) homojen ve (2.88) özel çözümlerin
toplamına uygulanmasıyla genel çözüm,
⎡ 1 ∂u 0 (t ) F0 cos(ϕ ) ⎤
Fn
u (t ) = u 0 cos( wn t ) + ⎢
t cos( wn t + ϕ )
+
⎥ sin( wn t ) −
2
2mwn
2mwn ⎦
⎣ w0 ∂t
(2.91)
ile verilir. Dış F(t) kuvvetin salınım frekansı titreşim sisteminin salınım frekansına eşit
olduğunda, titreşimin genliği sürekli artar. Bu duruma “rezonans” denir (Kisslinger
1967, Hasselman 1972). Rezonans durumu Şekil 2.19’ da gösterilmiştir. Dış kuvvetin
frekansı, titreşim sisteminin doğal frekansına yakın bir değer aldığında sistem “ritim”
adı verilen davranış gösterir (Kelly 1993). Bu durum, (2.91) çözüm ifadesinde w ≈ wn
alınarak,
u (t ) =
2 Fo
w − wn
w + wn
sin(
)t cos(
)t
2
2
2
2
m ( wn − w )
(2.92)
şeklinde elde edilir. Şekil 2.20’ de ritim davranışı gösterilmiştir. Titreşim sistemin
viskoz sönümlü olması durumunda (2.49) ile verilen hareket denklemin özel çözümü,
u p (t ) =
F0
m ( wn2 − w 2 ) 2 + (2 ζ wn ) 2
[
]
⎡− 2ζw wn cos( wt + ϕ ) ⎤
⎢
⎥
2
2
⎣+ ( wn − w ) sin( wt + ϕ )⎦
Şekil 2.19. Rezonans davranışı.
40
(2.93)
dır. Trigonometrik özelliklerden yararlanılarak, (2.93) çözümü,
u p (t ) = H sin( wt + ϕ − φ )
(2.94)
şeklinde yazılabilir. Burada titreşimin genliği H ve faz açısı φ:
H=
F0
[
m ( wn2 − w 2 ) + ( 2ζw wn ) 2
(2.95)
]
1/ 2
⎡ 2ζw wn ⎤
2
2⎥
⎣ wn − w ⎦
φ = arctan ⎢
(2.96)
dır. Titreşim sisteminin uzun süreli davranışı dikkate alındığında, (2.85) ile verilen
homojen çözüm sıfır olur.
Şekil 2.20. Ritim davranışı.
Titreşimde dış kuvvetin etkisi hakim duruma gelir. Dış kuvvetin hakim olduğu durumda
serbest titreşim ihmal edilebilir. (2.95) ve (2.96) ile verilen genlik ve faz ifadeleri
titreşim sistemine ait önemli bilgiler sağlar. (2.95) ile verilen genlik ifadesinin her iki
41
tarafı,
mwn2
terimi ile çarpılırsa,
F0
mwn2
1
H=
1/ 2
2
F0
⎡⎛
w 2⎞
w 2⎤
⎢⎜⎜1 − ( ) ⎟⎟ + (2ζ
) ⎥
wn ⎠
wn ⎥
⎢⎣⎝
⎦
elde edilir. M =
(2.97)
mwn2
H boyutsuz terimine “büyütme katsayısı” denir (Chopra 1995).
F0
Büyütme katsayısı titreşim sistemin frekans yanıtını gösterir. Farklı
w
değerleri için
wn
büyütme katsayısı ve sistem yanıtı Şekil 2.21’ de gösterilmiştir.
Şekil 2.21. Büyütme katsayısı ve sistem tepkisi.
Şekil 2.21’ den ve (2.97) ifadesinden sırasıyla aşağıdaki özellikler verilebilir:
a)
w
= 0 iken büyütme katsayısı, M = 1 değerini alır. Bu durumda titreşim sisteminde
wn
gelişen en büyük kuvvet sabit dış kuvvete eşittir.
42
b)
w
→∞
wn
iken büyütme katsayısı, M → 0 dır. Bu durumda yüksek frekanslarda sistem
genliği küçüktür.
c) Sönüm oranı ζ arttıkça, büyütme katsayısı, M azalmaktadır.
d) ζ = 0 için büyütme katsayısı, M sınırsız büyümektedir. Büyütme katsayısı, M
0<ζ ≤
1
2
aralığında ζ sönüm oranının belirli bir değerinde en büyük değerini alır. Bu
durum rezonansa karşılık gelmektedir.
e) 0 < ζ ≤
1
2
w
= 1 − 2ζ
wn
aralığında büyütme katsayısı M’ nin en büyük değeri, w/wn’nin,
(2.98)
2
noktasında ,
M max =
1
(2.99)
2ζ (1 − ζ 2 )
0.5
değerindedir. (2.98) ve (2.99) ifadelerinin elde edilmesinde (2.97) ifadesinin
∂M
= 0 durumu göz önüne alınır.
∂ ( w / wn )
f) ζ =
1
2
ve
w
=0
wn
değerinde
∂M
1
w
= 0 dır. ζ >
için
oranı arttıkça
w
∂ ( w / wn )
2
n
büyütme katsayısı, M monotonik olarak azalmaktadır. (2.96) ile verilen faz ifadesi,
w
wn
bağlı olarak,
w
⎛
⎜ 2ζ
wn
φ = tan −1 ⎜⎜
w 2
⎜1 − ( )
wn
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(2.100)
dir. Sönüm oranı ζ ’ in farklı değerleri için, fazın frekans ile değişimi Şekil 2.22’ de
gösterilmiştir.
43
Şekil 2.22. Fazın frekans ile değişimi.
(2.100) ile verilen faz ifadesinden ve Şekil 2.22’ den sırasıyla aşağıdaki özellikler
verilebilir:
a) ζ = 0 veya
w
= 0 durumunda titreşim sistemi ile dış kuvvet aynı fazdadır.
wn
b) ζ > 0 ve 0 <
w
π
< 1 için faz 0 < φ <
aralığındadır. Bu durumda, titreşim
wn
2
sisteminin fazı dış kuvvetin gerisinde bulunur.
c) ζ > 0 ve
w
π
= 1 için φ = dır. (2.86) ile verilen dış kuvvet ifadesinde ϕ = 0 olursa,
wn
2
dış kuvvet bir sinüs dalgası ve titreşim sisteminin etkin davranışı bir kosinüs dalgasıdır.
Bu durumda dış kuvvet, titreşim sistemin hızı ile aynı fazdadır. Dış kuvvetin yönü
hareketin yönü ile aynı olur.
d) ζ > 0 ve
π
w
> 1 olduğunda φ fazı < φ < π aralığındadır. Titreşim sistemin fazı dış
2
wn
kuvvetin fazından öndedir.
e) ζ > 0 ve
w
>> 1 durumunda φ ≈ π dır. Titreşim sistemin fazı dış kuvvetin fazı ile
wn
ters işarettedir.
44
Yukarıda elde edilen sonuçlardan, bir dış kuvvet altındaki titreşim durumunda, sisteme
uygulanan dış kuvvetin ve titreşen sistemin sönüm özelliğinin, titreşim hareketi
üzerinde önemli rol oynadığı görülmektedir.
2.3.2. Evrişim (Duhamel integral) çözümü
Titreşim sistemine ait (2.49) ile verilen hareket denkleminin matematiksel çözümü için
(2.51) ve (2.52) ile verilen başlangıç koşulları bilinmelidir. (2.49) hareket denklemi,
ikinci mertebeden doğrusal, homojen olmayan bir diferansiyel denklemdir. Dış kuvvetin
geçici (transient) olması halinde homojen çözüm kısmı ve başlangıç koşulları genel
çözüm üzerinde etkin rol oynar. Bu tip problemlerde genel çözüm ile birlikte başlangıç
koşulları da ele alınır. Dış kuvvetin geçici olduğu titreşim problemlerinde, kimi zaman
en büyük yanıt, dış kuvvetin yok olduğu andan itibaren oluşabilmektedir (Chopra 1995).
Bu nedenle, göz önüne alınan tüm zaman için uygulanacak çözüm yönteminin geçerli
olması gerekir. Bu tür yöntemlerden birisi, “evrişim (convolution)” veya “Duhamel
integral” yöntemidir. Evrişim çözümü, birim tepki-moment ilkesinin uygulanmasına
dayanır. Konvolüsyon çözümünde, Şekil 2.13’deki gibi bir titreşim sistemi denge
konumundaki m kütlesine I büyüklüğünde bir tepki uygulandığında, zayıf sönüm
durumunda sistem titreşim yapar. Sistemin başlangıç hızını belirlemek için birim tepkimoment ilkesi uygulanırsa,
v0 =
I
m
(2.101)
yazılabilir. Bu tür titreşim hareketi, (2.49) ile verilen hareket denklemi, F (t ) = 0 ve
u 0 = 0, u& 0 = v başlangıç durumu ile verilir. Zayıf sönüm durumunda ( ζ < 1 ) çözüm,
viskoz sönümlü serbest titreşim çözümü olan (2.73) ifadesi,
u (t ) =
− ζw t
I
n sin( w t )
e
d
mw
d
(2.102)
45
veya kısaca
u (t ) = I h(t )
(2.103)
ile verilir. Burada h(t) birim tepki fonksiyonuna karşılık titreşim sistemin verdiği yanıt:
h(t ) =
1 −ζ wnt
e
sin( wd t )
mwd
(2.104)
şeklindedir (Jacobsen vd 1958, Chopra 1995). Titreşim sistemine etkiyen dış kuvvet 0-t
zaman aralığında Şekil 2.23’ deki gibi verildiğinde, 0-t zaman aralığı birbirine eşit,
F(t)
…………..
∆t
2∆t
3∆t
(n-1)∆t
n∆t
t
Şekil 2.23. Dış kuvvetin birim tepki fonksiyonlar ile gösterimi.
∆t =
t
n
(2.105)
n adet alt aralığa bölünerek, her bir zaman aralığındaki dış kuvvet, F (t k ) ∆t
büyüklüğündeki birim tepki fonksiyonları olarak ele alınır. Toplam dış kuvvet 0-t
zaman aralığında bulunan tepki fonksiyonlarının toplamı şeklinde elde edilir. Herhangi
bir t anında sistemin yanıtı, diferansiyel denklemin ξ k = t − t k anı için,
46
∂ 2uk
∂u
+ 2ζwn k + wn2 u k = 0
2
∂ξ k
∂ξ k
(2.106)
ve başlangıç koşullarının,
u k (ξ k = 0) = 0
(2.107)
∂u k
F (t k ) ∆t
(ξ k = 0) =
∂ξ k
m
(2.108)
uygulanmasıyla elde edilir. (2.106) diferansiyel denkleminin (2.107) ve (2.108)
başlangıç koşullarına göre çözümü,
u k (ξ k ) = F (t k ) ∆t h(ξ k )
(2.109)
yaklaşımı ile elde edilir. (2.49) hareket denklemi doğrusal yapıda olduğundan üst üste
toplama ilkesi uygulanarak, titreşim sisteminin t anındaki yanıtı,
n −1
u n (t ) = ∑ u k (ξ k )
(2.110)
i =0
toplamıyla elde edilir. Toplam t zamanı n eşit zaman aralığına bölündüğünden (2.110)
çözümü bir yaklaşımdır. Bu nedenle gerçek çözüm, (2.110) çözümünün limit
durumunun alınmasıyla,
t
u (t ) = ∫ F (t ) h(t − τ ) dτ
0
(2.111)
olarak elde edilir. (2.111) ifadesi bir “konvolüsyon integrali” dir (Chopra 1995). (2.111)
integrali tüm doğrusal titreşim sistemleri için uygulanabilir. Titreşim sisteminin birim
tepki fonksiyonu, h(t) sistemin kritik ve aşırı sönümlü olması durumunda sırasıyla,
47
h(t ) =
te
−w t
n
m
e
h(t ) =
−ζ w t
n
mw
n
ζ 2 −1
; ζ =1
(2.112)
sinh( w ζ 2 − 1 t )
n
; ζ >1
(2.113)
ile verilir (Chopra 1995). Başlangıçta sıfırdan farklı hızı olan bir titreşim sisteminin
tepkisi, birim tepkiye bağlı olarak (2.111) çözümüne eklenmesiyle elde edilir. Başlangıç
anında denge konumunda bulunmayan bir sistem için,
y = u − u (0)
(2.114)
değişken dönüşümüyle (2.106) diferansiyel denklemi,
k
F
&y& + 2ζw y& + w 2 y = − u (0) +
n
n
m
m
(2.115)
ve (2.111) konvolüsyon integrali,
t
y (t ) = ∫ [− ku (0) + F (t )] h(t − τ ) dτ
(2.116)
0
şeklinde verilir. Zayıf sönümlü bir titreşim sistemi için genel çözüm,
u& (0) + ζwd u (0)
⎤
⎡
sin( w t ) ⎥
⎢u 0 cos( wd t ) +
d
wd
− ζwn t ⎢
⎥
u (t ) = e
⎥
⎢
t
ζ
τ
−
w
1
n sin w (t − τ )dτ ⎥
⎢+
∫ F (τ ) e
d
⎥⎦
⎢⎣ mwd 0
(2.117)
dır. (2.117) ifadesi, zayıf sönüm durumu için verilen (2.69) ifadesine dış kuvvet
etkisinin eklenmiş halini göstermektedir.
48
2.3.3. Laplace ve Fourier dönüşüm yöntemleri ile çözüm
Titreşim sisteminin yanıtının elde edilmesinde Laplace ve Fourier dönüşüm yöntemleri,
hareket denkleminin çözümü için yararlanılan başlıca yöntemler arasında yer alır.
Laplace ve Fourier dönüşüm yöntemlerinde (2.49) ile verilen hareket denklemi (2.51)(2.52) ile verilen başlangıç koşulları ve dönüşüm yöntemi özelliklerinin uygulanmasıyla
cebirsel bir yapıya dönüştürülür. Laplace dönüşüm yönteminde, u(t) yer değiştirmesinin
Laplace dönüşümü,
∞
u ( s ) = ∫ u (t )e − st dt
(2.118)
0
integrali ile verilir (Jacobsen vd 1958, Spiegel 1965, Hunt 1979, Balmes 2003). Burada
s değişkeni karmaşık düzlem değişkenidir. F(t) dış kuvvetinin Laplace dönüşümü F(s)
ile gösterilirse, (2.49) hareket denkleminin Laplace dönüşümü,
L(u&&) + 2ζwn L(u& ) + wn2 u ( s ) =
F (s)
m
(2.119)
olarak verilebilir. Burada L, Laplace dönüşüm operatörüdür. Laplace dönüşümünün
türev özelliği
⎧ ∂F (t ) ⎫
L⎨
⎬ = s f ( s ) − F (0)
⎩ ∂t ⎭
(2.120)
kullanılarak, (2.119) ifadesi cebirsel yapıda:
F (s)
+ ( s + 2ζwn ) u (0) + u& (0)
m
u(s) =
s 2 + 2ζwn s + wn2
(2.121)
elde edilir. u(t) yerdeğiştirmeyi zaman ortamında elde etmek için ters Laplace
dönüşümü:
49
u (t ) =
1
2π
∞
u ( s )e
j∫
st
(2.122)
ds
0
ve Laplace dönüşümünün özelliklerinin kullanılması ile
u (t ) =
1 −1 ⎛
F ( s)
L ⎜⎜ 2
2
m
⎝ s + 2ζwn s + wn
⎞ −1 ⎛ ( s + 2ζwn )u (0) + u& (0) ⎞
⎟+L ⎜
⎟
⎟
⎜ s 2 + 2ζw s + w 2 ⎟
n
n
⎠
⎝
⎠
(2.123)
elde edilir (Spiegel 1965). (2.123) ile verilen çözüm, her bir teriminin paydasında yer
alan ikinci dereceden denklemin köklerine ve sönüm oranı, ζ ’ye bağlıdır. Bununla
birlikte (2.123) çözümünün hesaplanabilmesi için F(t) dış kuvvetinin tanımlı ve Laplace
dönüşümünün alınabilmesini gerektirmektedir.
Doğrusal diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılan diğer bir yöntem, Fourier
dönüşüm yöntemidir. u(t) gibi bir fonksiyonun Fourier dönüşümü U(w),
1
U ( w) =
2π
∞
∫ u (t ) e
−iwt
dt
(2.124)
−∞
dönüşüm integrali ile verilir (Balmes 2003). (2.49) ile verilen hareket denklemine
Fourier dönüşümü ve dönüşüm özellikleri uygulanırsa,
H ( w) =
F ( w)
= − w 2 m + icw + k
U ( w)
(2.125)
elde edilir (Balmes 2003). Burada H(w), sistemin frekans yanıtını gösterir. Zaman
ortamındaki u(t) yerdeğiştirmesini elde etmek için ters Fourier dönüşümü,
1
u (t ) =
2π
∞
∫ U (w)e
iwt
dw
(2.126)
−∞
50
kullanılarak elde edilir. Fourier dönüşüm yöntemi uygulanırken, F(t) dış kuvvetinin
zaman ortamında tanımlı ve periyodik bir yapıda olması gerekir. Fourier dönüşüm
yöntemi, titreşim sistemlerine ilişkin spektral özelliklerin belirlenmesi ve sayısal
işlemlerin kolay yapılmasından dolayı tercih edilen bir yöntemdir.
2.3.4. Kip (mode) çözüm yöntemi
Kip çözüm yöntemi, özellikle yüksek kiplerin önemsiz olduğu ve uzun zaman aralığında
incelenmesi gereken problemlerde yararlanılan bir yöntemdir (Johnson vd 1972, Chopra
1995, Balmes 2003). Hareket denkleminin zaman ortamı çözümünde, sönüm dizeyi
ihmal edilirse, her bir ∆t zaman adımı için gerekli olan işlem sayısı yaklaşık 2nm’ dir.
Burada n, çok serbestlik dereceli titreşim sisteminin serbestlik derecesini (toplam
bilinmeyen sayısını) ve m (2.49) denkleminde yer alan sıkılık dizeyinin bant genişliğidir.
Başlangıç durumu hesaplamaları ve dizeylerin üst üçgen dizey haline getirilmesinde
gerekli işlemlerde hesaba katıldığında toplam işlem sayısı artmaktadır. Bu nedenle (2.49)
denkleminin zaman ortamı sayısal çözümünde uzun zaman aralığı gerektiren durumlar
için kip çözüm yöntemi kullanılır. Kip çözümleme yöntemi bir özdeğer problemidir.
(2.49) hareket denkleminde sönüm terimi ihmal edildiğinde, sönümsüz serbest salınım,
(2.50) denklemi ile verilmektedir. (2.50) ifadesi, n serbestlik derecesindeki bir titreşim
sistemi için n adet doğrusal ve homojen diferansiyel denklem sistemini gösterir. (2.51)(2.52) başlangıç koşullarını sağlayan u(t) yerdeğiştirme çözümü,
u (t ) = Ae
i wt
(2.127)
ile verilir. Burada A, (1,n) boyutlu kip şeklini (mode shape) gösteren vektördür. w her
bir kipin açısal frekansıdır. Her bir wi frekans değeri için (2.127) ifadesi (2.50)
denkleminin çözümü olur ve titreşimin bir kipini gösterir. (2.50) ile verilen sönümsüz
serbest titreşim denklemi doğrusal ve homojen yapıda olduğundan genel çözüm, her bir
kip çözümün üst üste toplanmasıyla elde edilir. (2.127) ifadesi (2.50) denkleminde
yerine yazılırsa,
51
( M −1 K − w 2 I ) A = 0
(2.128)
elde edilir. Burada, -1 bir dizeyin tersini gösterir ve I (n,n) boyutlu birim dizeydir.
(2.128) ifadesinde A≠0 kabul edilirse, n adet doğrusal denklem sisteminin dizey yapısı,
⎡ w112
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2
22
w
2
w33
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
−1
⎥=M K
⎥
⎥
⎥
2 ⎥
wnn ⎦
(2.129)
şeklindedir. (2.128) denklemin determinantı,
det ( M − 1 K − w 2 I ) = 0
(2.130)
n. dereceden bir polinomdur. (2.130) determinant ifadesine titreşim sisteminin
“karekteristik denklemi” denir. Kütle dizeyi, M ve sıkılık dizeyi, K gerçel ve pozitif
tanımlı olduğundan karakteristik dizeyin tüm katsayıları da gerçeldir. Karakteristik
denklemin kökleri (özdeğerleri) titreşim sistemin açısal frekanslarını temsil eder. Her
bir wi açısal frekansına karşılık bir Ai titreşim kipi (özvektörü) karşılık gelir ve
M −1 KAi = wi2 Ai
(2.131)
denklemini sağlar. Titreşim sisteminde yer alan kipler,
A Tj MAi = 0 , i≠j
(2.132)
A Tj KAi = 0 , i≠j
(2.133)
diklik (ortogonallik) özelliğini sağlar (Jacobsen vd 1958, Kelly 1993, Chopra 1995).
52
Uygulamalarda Ai kipleri için normalleştirme işlemi yapılır. Normalleştirme işlemi için,
AiT MAi = 1
(2.134)
ve
AiT KAi = wi2
(2.135)
özellikleri kullanılır. Kip şekillerini içeren,
Φ = [ Ai
.
A2
.
.
An
]
(2.136)
dizeye “kip dizeyi (modal matrix)” denir ve (2.134) ile (2.135) özelliklerini sağlar:
⎡ w12
⎢
⎢0
⎢ .
Φ KΦ = Ω = ⎢
⎢ .
⎢ .
⎢
⎢⎣ 0
0
w
.
.
.
2
2
.
.
.
.
.
.
.
0⎤
⎥
. ⎥
. ⎥
⎥
. ⎥
. ⎥
⎥
wn2 ⎥⎦
ΦMΦ = I
(2.137)
(2.138)
Burada, Ω dizeyine “spektral dizey” denir (Kelly 1993). Yerdeğiştirme, u kip dizeyi ve
asal koordinatlara (principle coordinates) bağlı olarak,
u=Φz
(2.139)
şeklinde verilir. Burada asal koordinat yöneyi,
53
⎡ z1 (t ) ⎤
⎢ z (t ) ⎥
⎢ 2 ⎥
z=⎢ . ⎥
⎥
⎢
⎢ . ⎥
⎢⎣ z n (t )⎥⎦
(2.140)
dir. (2.140) ile verilen asal koordinatlara bağlı yerdeğiştirmeler (2.49) hareket
denkleminde yerine yazılırsa,
MΦ&z& + Cφ z& + Ωz = p(t )
(2.141)
elde edilir. Burada, Cφ sönüm dizeyi ve p (t ) = Φ T f (t ) dir. (2.141) ile verilen
denkleme “kip denklemleri (modal equations)” denir (Bathe vd 1972). Titreşim
sistemlerinde her bir titreşimin kipine ait özellikleri göstermesinden dolayı ayrık
yapıdadır. (2.141) ile asal koordinatlara bağlı olarak verilen yerdeğiştirmeyi elde etmek
için tekrar (2.139) bağıntısı kullanılır.
54
3. MATERYAL ve YÖNTEM
3.1. Sönüm İşlemi ve Yaklaşımları
Mühendislik problemlerinde ortam tamamen elastik davranış gösterdiğinde sönüm
ihmal edilebilecek mertebededir. Ancak, jeolojik yapıların büyük gerilmeler altında
dinamik özelliklerinin incelenmesinde, sönüm göz ardı edilemeyecek düzeydedir. Bu
nedenle ideal elastik durum için verilen ve gerilme-deformasyon ilişkisini tanımlayan
Hook kanunu yerine farklı yapısal denklemler (constitutive equations) kullanılır (Lazan
1968, Aki vd 1980). Elastisite kuramına göre, yeterince küçük deformasyon durumunda
elastik katı üzerindeki gerilme oluşan deformasyonla, viskoz bir sıvıda ise hidrodinamik
ilkelerine göre deformasyondaki değişim ile orantılıdır. Viskoelastik malzemeler elastik
ve viskoz davranış özelliklerini birlikte gösterir. Viskoelastik bir malzeme iki temel
özelliği ile tanımlanır. Bunlar: sabit gerilme altında sünme (creep) ve sabit deformasyon
altında gevşeme (relaxation) davranışlarıdır (Lazan 1968). Bu tür malzemelerde
deformasyon durumu anlık değerine olduğu kadar geçmiş gerilme durumuna da bağlıdır.
Bu özelliğe “bellek (memory)” adı verilir (Oldham vd 1974, Koeller 1984, Blank 1996,
Diethelm 1997, Novozhilov 1997, Lui vd 1998, Ruge vd 1999, Diethelm vd 2000, Ford
vd 2001). Sönüm davranışının matematiksel modellenmesi de bu özelliğe dayanır.
(2.49) ifadesiyle verilen hareket denklemindeki cu& terimi, titreşimde sönüm terimini
gösterir. Titreşim sistemlerinde sönüm, sistemin enerjisini yitirmesine ve titreşim
genliğinin zaman içerisinde azalmasına neden olur. Sönüm katsayısının (c) birimi
kuvvet× zaman/uzunluk dır. Tamamen elastik davranış gösteren ortamda sönüm işlemi
matematiksel olarak tanımlanabilirken, pekişmemiş zemin birimlerinde sönüm
mekanizmasını matematiksel olarak tanımlayabilmek oldukça zordur (Bagley vd 1983a,
Bagley vd 1983b). Bunun nedenleri arasında sönüm mekanizmasına katkıda bulunan
çok sayıda etkenin bulunması, alüvyal birimlerin dalga yayınımı üzerinde farklı etkiler
göstermesi verilebilir. (2.49) ile verilen hareket denkleminde sönüm terimi hız ile doğru
55
orantılı olarak verilmiştir. Bu tür bir sönüm mekanizmasına “viskoz sönüm” denir. Tüm
sönüm mekanizmalarını içerisine alan ve titreşim sisteminde sönümü temsil eden terime
“eşdeğer sönüm (equivalent damping)” olarak adlandırılır (Idriss vd 1992). Genel olarak
uygulamalarda viskoz sönüm tercih edilir. Bunun başlıca nedeni, bu tür bir sönümün
yapısal denklemlere doğrusal bir terim olarak girmesi ve matematiksel olarak kolay
hesaplanabilmesinden kaynaklanır (Lazan 1968) . Gerçekte zemin birimlerinde sönüm
işlemi tümüyle viskoz yada tümüyle elastik davranış göstermez (Lazan 1968, Mavko
1979, Jones 2001). Kjartansson (1979) ve O’ Connel vd (1978) zemin birimlerinde
sönüm mekanizması üzerinde çalışmalarını Q kalite faktörüne bağlı olarak
incelemişlerdir.
Bu tezin temel amacı, titreşim sistemini temsil eden ve (2.49) hareket denkleminde yer
alan sönüm terimi (c) için kullanılan klasik yaklaşımlar yerine, gerilme altında bulunan
titreşim sisteminde zaman içerisinde gelişen deformasyona ve deformasyon geçmişine
bağlı bir sönüm yaklaşımı getirmektir. Bu kısımda, ilk olarak uygulanan klasik sönüm
yaklaşımları ve sonra yeni sönüm yaklaşımı olarak ifade ettiğim “kesirsel mertebeli
türev yaklaşımı” anlatılmıştır.
3.1.1. Deneysel yaklaşımlar
Zemin birimlerindeki sönüm üzerine bazı deneysel çalışmalar, Hall vd (1963), Idriss vd
(1968), Seed vd (1969, 1987), Hardin vd (1972a), Sherif vd (1976), Mavko vd (1979),
Morato (1980) ve Menke vd (1985) tarafından gerçekleştirilmiştir. Bu çalışmalar
içerisinde Hall vd (1963) titreşim genliğinin sönüm üzerindeki etkisini, elastik dalga
enerjisinin daneli zemin birimlerinde (kumlarda) sönümü ve daneli zeminlerde dalga
yayılımını incelemiştir. Idriss vd (1968) deprem anında zemin davranışını ve zemin
özelliklerinin etkisini incelemiştir. Farklı bölgelere ait kumlu zemin birimleri üzerinde
yaptıkları deneysel çalışmalar sonucunda, makaslama deformasyonuna bağlı olarak
56
makaslama gerilmesi ve sönüm ilişkisini araştırmıştır. Çizelge 3.1 ve Şekil 3.1’ de Seed
vd (1969) tarafından elde edilen sonuçlar gösterilmiştir.
Çizelge 3.1. Kumda γ’ a bağlı G/Gmax ve D/Dmax değişimi (Seed vd 1969)
γ(%)
G/Gmax(%)
D/Dmax(%)
0.0001
100
0.24
0.0003
100
0.42
0.001
99
0.8
0.003
96
1.4
0.01
85
2.8
0.03
64
5.1
0.1
37
9.8
0.3
18
15.5
1
8
21
Hardin vd (1972a), zeminlerde makaslama modülü (G/Gmax) ile sönüm ilişkisini ayrıntılı
incelemiştir. Hardin vd (1972a) özellikle farklı zemin numuneleri üzerinde laboratuar
deneyleriyle zemin parametrelerinin makaslama modülü ve sönüm üzerindeki etkilerini
incelemiştir. Hardin vd (1972a)’ ın elde ettikleri sonuçlar Çizelge 3.2’ de gösterilmiştir.
25
100
20
15
60
10
40
D/Dmax (%)
G /Gmax (%)
80
5
20
0
0
0.01
0.1
1
Deformasyon (%)
Şekil 3.1. Kumda γ’ a bağlı G/Gmax ve D/Dmax değişimi (Seed vd 1969).
57
Çizelge 3.2. Farklı zemin parametrelerin makaslama modülü ve sönüm üzerindeki
etkileri (Hardin vd 1972)
Makaslama Modülü
Değişken
Sönüm
Kumlu
Killi
Kumlu
Killi
zemin
zemin
zemin
zemi
n
Deformasyon genliği
V
V
V
V
Efektif normal gerilme
V
V
V
V
Boşluk oranı
V
V
V
V
Yükleme süresi
R
R
V
V
Doygunluk(saturasyon) derecesi
R
V
L
U
Aşırı konsolidasyon oranı
R
L
R
L
Efektif Gerilme zarfı
L
L
L
L
Makaslama gerilmesi
L
L
L
L
Yükleme frekansı(0.1 Hz ve üzeri)
R
R
R
L
Zaman etkisi
R
L
R
L
Zemin dane büyüklüğü, boyutu, şekli, derecelenme
oranı ve mineralojisi
R
R
R
R
Dane geometrik yapısı
R
R
R
R
Makaslama deformasyonuna bağlı hacim değişimi
(deformasyon < 0.5%)
U
R
U
R
V: Çok önemli, L: Az önemli, R: Göreceli olarak önemsiz, U: Önemi tam olarak bilinmiyor.
Hardin vd (1972a) farklı zemin örnekleri üzerinde yaptıkları deney sonuçlarına
dayanarak, zeminlerde deformasyona bağlı makaslama modül oranı (G/Gmax)
değişiminin geniş bir aralık gösterdiğini belirtmiştir. Bu sonuç Şekil 3.2’ de
gösterilmiştir.
1.0
0.8
G/Gmax
0.6
0.4
0.2
0
5
10
15
γ(%)
Şekil 3.2. Farklı zemin birimleri için makaslama modül oranı değişimi.
58
Hardin vd (1972b), elde ettikleri deneysel sonuçlardan hareketle, referans deformasyon
kavramı kullanarak makaslama modülü ve sönüm ilişkisini deneysel (ampirik) olarak
vermiştir. Hardin vd (1972b) referans deformasyonu için,
γr =
τ max
(3.1)
Gmax
bağıntısını tanımlamıştır. Burada τ max , Gmax ve γ r Şekil 3.3’ de gösterilmiştir.
τmax
tan(θ ) = G max =
θ
γr
τ max
γr
γ
Şekil 3.3. Referans deformasyonu.
Referans deformasyon ifadesinden hareketle, hiperbolik deformasyon:
γ
γh =
γr
γ
−b ( ) ⎤
⎡
γr
⎥
⎢1 + ae
⎥⎦
⎢⎣
(3.2)
bağıntısı ile verilmiştir. Burada, a ve b zemin sabitleridir. Hiperbolik deformasyona
bağlı olarak makaslama modül oranı, G/Gmax
G
1
=
G max 1 + γ h
(3.3)
ve sönüm oranı, D/Dmax
59
γh
D
=
Dmax 1 + γ h
(3.4)
bağıntıları ile verilmiştir. Referans deformasyonuna bağlı olarak modül ve sönüm oranı
değişimi Şekil 3.4.’ de gösterilmiştir. Hardin vd (1972a, 1972b) çalışmalarına benzer
olarak Sherif vd (1976), kuru kum örnekleri üzerinde yaptığı makaslama deneylerine
dayanarak makaslama modülü ve sönüm oranı üzerine benzer ilişkiler geliştirmiştir.
Thomson vd (1974) deneysel sonuçlardan yararlanarak sönüm üzerine deneysel ifadeler
elde etmiştir.
1.0
0.0
0.8
0.2
0.4
⎧ D ⎫
⎪ D ⎪
γh
⎪
max ⎪
⎬=
⎨
G
⎪ 1+ γ h
⎪γ
h
⎩⎪ Gmax ⎭⎪
0.4
0.2
0.0
1
3
γh(%)
G/Gmax
D/Dmax
0.6
0.6
0.8
1.0
5
7
Şekil 3.4. Referans deformasyona bağlı modül oranı (G/Gmax) ve sönüm oranı (D/Dmax)
değişimi.
3.1.2. Mekanik model ve kompleks modül
Bir titreşim hareketinin oluşması için, mekanik sistemde bir düzenleyici (sistemi denge
konumuna getirmeye çalışan) kuvvetin veya momentin bulunması gerekir. Sistemin
titreşimi, bir enerjinin dış kaynaktan sisteme verilmesiyle başlar. Şekil 3.5’ de verilen
yay, mekanik sistemin bir elastik elemanıdır ve titreşim sisteminin düzenleyici
kuvvetini temsil eder.
60
Denge
konumu
f=k∆x
m
∆x
Şekil 3.5. Mekanik sistemde, kütleyi denge konumuna getiren yay kuvveti.
Şekil 3.5’ de gösterilen m kütlesinin denge konumundan itibaren yerdeğiştirmesi için bir
iş yapıldığında yay gerilir ve gerilen yayda potansiyel veya deformasyon enerjisi oluşur.
Yayda oluşan kuvvet, geri çağırma kuvvetidir. Dış kuvvet kaldırıldığında, yay kuvveti
m kütlesini denge konumuna geri çeker. Bu esnada yaydaki potansiyel enerjinin kinetik
enerjiye dönüşümü olur. Sistemde korunumlu olmayan kuvvetler bulunmadığında bu
enerji dönüşümü sürekli olur. Kütle, denge konumu etrafında sürekli salınım yapar.
Sistemdeki düzenleyici kuvvete örnek olarak yerçekimi kuvveti verilebilir. Titreşim
problemlerinin anlaşılması, matematik ve mühendislik bilimlerinin bir arada
kullanılmasını gerektirir. Titreşim sistemlerinin oluşturulmasında temel fizik ilkeleri ve
yapısal denklemlerin dinamik sistemlere uygulanması yer alır. Bu uygulama, dinamik
ve katı mekanik ilkelerinin kullanılmasıdır. Mekanik bir sistemde Hook tipi yay elemanı,
iki parçacık arası elastik bağlantıyı sağlar. Yay elemanının her iki tarafındaki gerilme
kuvvetinin eşit olduğu varsayılır. İkinci bölümde verilen gerilme-deformasyon ilkesine
göre, elastik sınırlar içerisinde kuvvet ile yer değiştirme arasında doğrusal ilişki vardır.
Bu ilişki,
F = f (x)
(3.5)
fonksiyoneli şeklindedir. Burada verilen f(x) fonksiyonu, mekanik sistemin özelliklerine
bağlı yapısal denklemlerle tanımlanır. x uzunluğundaki yay elemanının denge
konumundan itibaren ∆x kadar yerdeğiştirmesi ile oluşan yay kuvvetini bulmak için
∆x = 0 noktasında Taylor açılımının uygulanması ile
61
F = k 0 + k1 ∆x + k 2 (∆x) 2 + k 3 (∆x) 3 + ... + k n (∆x) n
(3.6)
elde edilir. ∆x = 0 iken F = 0 olduğundan (3.6) ifadesinde k 0 = 0 dır. ∆x pozitif bir
değer aldığında (X+∆x>0) yay gerilmiş olur. ∆x negatif olması halinde (X>X+∆x) yay
sıkışmış olur. Bu nedenle, elastik bir yayda ∆x kadar sıkıştırma veya uzama meydana
getirmek için eşdeğer kuvvet gereklidir. Bu sonuç (3.6) ile verilen ifadenin tek dereceli
terimlerden oluştuğunu gösterir.
F = k1 ∆x + k 3 (∆x) 3 + ... + k 2 n −1 (∆x) 2 n −1 ,
n = 1, 2,...
(3.7)
(3.7) ile verilen ifade, benzer özelliklerdeki yay elemanlarının doğrusal olmayan
kuvvet-gerilme kuralına uyduğunu gösterir. Fakat uygulamada yüksek dereceli terimler
küçük olduğundan ihmal edilir ve yayda oluşan elastik kuvvet, F
F = kx
(3.8)
ile verilir. (3.8) denklemine uyan yay elemanlarına “doğrusal yay elemanı“ denir.
Mekanik yay elemanı ile yapısal eleman arasındaki ilişkiyi göstermek için Şekil 3.6’ da
L uzunluğundaki bir yapısal eleman M kütlesine bağlanmıştır. Yapısal elemanın
elastisite modülü, E ve kesit alanı, A dır. M kütlesi denge konumundan ∆x kadar yerdeğiştirdiğinde, yapısal elemanda oluşan normal deformasyon:
A E
m
L
Şekil 3.6. Yapısal elemanın mekanik elemanlar ile benzeşimi.
ε=
F
∆x
=
AE
L
(3.9)
62
dir. Bir F kuvveti tarafından yapısal eleman üzerinde yapılan iş,
W=
1
EALε 2
2
(3.10)
dır. Dış kuvvet ani olarak kaldırıldığında, m kütlesi denge konumu etrafında salınım
yapar. Yapısal elemanda oluşan deformasyon enerjisi, kinetik enerjiye dönüşür. m
kütlesine göre yapısal elemanın kütlesi küçük olduğundan ihmal edilebilir. Böylece m
kütlesinin denge konumundan itibaren ∆x kadar yerdeğiştirmesi için gerekli F kuvveti:
F=
AE
∆x
L
(3.11)
dır. Bu nedenle yapısal elemanın sıkılık değeri:
k=
AE
L
(3.12)
olan bir mekanik yay elemanının M kütlesine uyguladığı kuvvete eşittir. Şekil 3.6’ da
verilen yapısal eleman-kütle Şekil 3.7b’ de verilen mekanik yay-kütle sistemine karşılık
gelir. Uygulamada mekanik sistemdeki yay, birden fazla yay elemanından oluşur. Bu
durumda sistemin sıkılık değeri, her bir yayın sıkılık değerinin yay dizilimine uygun
şekilde toplanmasıyla elde edilen, eşdeğer sıkılık değerine eşit olur.
k1
∆x
k2
k3
.
.
.kn
m
∆x
keş
m
(a)
(b)
Şekil 3.7. Mekanik yay elemanları, (a) paralel bağlı yay sistemi, (b) eşdeğer yay.
63
Şekil 3.7a’ da birbirlerine paralel bağlı yay-kütle sistemi verilmiştir. Paralel bağlı
yaylarda her bir yayın yer değiştirmesi aynıdır. Fakat her bir yayda oluşan kuvvet farklı
olup, ki yay sabitine bağlıdır. Bu tür bir sistemin eşdeğer yay sabiti Şekil 3.7b’ de
gösterilmiştir. Şekil 3.7a’ da kütleye etkiyen kuvvet, her bir yaydaki kuvvetlerin
toplamına eşittir:
n
F = k ∆x + k ∆x + .... + k ∆x = ∑ k ∆x .
1
2
n
i
i =1
(3.13)
Şekil 3.7b’de ise kütleye etkiyen kuvvet:
F = k eş ∆x
(3.14)
dir. (3.13) ve (3.14) ifadeleri eşitlenirse, mekanik sistemin eşdeğer sertliği, keş
k
n
= ∑ k
eş
i
i =1
(3.15)
dir. Şekil 3.8’de n adet yay seri bağlanmıştır. Bu durumda her bir yayda oluşan kuvvet
eşit, fakat yerdeğiştirme farklı ve ki yay sabitine bağlıdır. Kütlenin denge konumundan
itibaren ∆x kadar yerdeğiştirmesi, her bir yaydaki
k
k
k3
F
kn
m
..........
keş
m
(b)
(a)
Şekil 3.8. Mekanik yay elemanları, (a) seri bağlama, (b) eşdeğer yay.
yerdeğiştirmelerin toplamına eşit ve
64
n
∆x = ∑ ∆x
i
i =1
(3.16)
dir. Her bir yaydaki kuvvet eşit olduğundan,
F
∆x =
i k
i
(3.17)
dir. Toplam yer değiştirme ise,
n F
∆x = ∑
i = 1 ki
(3.18)
dir. Seri bağlı yaylar için eşdeğer sıkılık değeri, keş (3.18) ifadesinin (3.14)’de
yazılmasıyla,
k
n 1
= 1/ ∑
eş
i = 1 ki
(3.19)
elde edilir (Lazan 1968). Mekanik sistemlerde yer alan yay elemanları ile elektrik devre
elemanları
arasında
benzer
ilişkiler
bulunur.
Elektrik
devre
elemanlarından
kapasitörlerin seri bağlanmasında eşdeğer kapasitör, seri bağlı yay elemanlarının
eşdeğer sıkılık değerinin elde edilmesi şeklinde ve paralel bağlı kapasitörlerin eşdeğer
sıkılık değeri ise paralel bağlı yay elemanlarının eşdeğer sıkılık değerinin elde edilmesi
şeklindedir. Mekanik sistemin bir diğer elemanı olan sönüm elemanı, viskoz sönüm
davranışını gösterir. Katı bir cisim sıvı ile temas halinde olduğunda viskoz sönüm
oluşur (Terzaghi 1962, Timoshenko 1951, Love 1944). Katı cismin hızı ile orantılı olan
sönüm kuvveti:
F = cv
(3.20)
65
dir. Burada c, sönüm katsayısıdır. Viskoz sönüm çoğu zaman mekanik sistemlerde
istenen bir elemandır. Çünkü titreşim genliğinin zamanla azalmasını sağlar. Viskoz
sönüm elemanlarının eklenmesi, titreşim sistemini temsil eden diferansiyel denkleme
doğrusal terimlerin eklenmesidir. Mekanik sistemlerde “dashpot” adı verilen Newton
tipi sönüm elemanı viskoz sönümü temsil eder. Viskoz sönümlendirici daima uygulanan
dış kuvvete ters yönde olduğundan korunumsuz bir kuvvettir. Diğer bir ifadeyle
sistemde negatif iş yapar. Başlangıç kinetik veya potansiyel enerjili bir titreşim sistemi,
dış kuvvetin bulunmadığı durumda serbest titreşim yapar. Serbest titreşim hareketi bir
salınım hareketidir. Şekil 3.5’ de m kütlesi, sıkılık değeri k olan bir yayla bağlanmıştır.
Kütle, denge konumundan itibaren ∆x kadar yerdeğiştirdiğinde, yayda oluşan potansiyel
enerji (deformasyon enerjisi):
Ep =
1
k (∆x) 2
2
(3.21)
ile verilir. Yay, m kütlesine (3.8) büyüklüğünde bir kuvvet uygular. Denge konumundan
∆x kadar yerdeğiştiren m kütlesi serbest bırakıldığında, yay kuvveti m kütlesini denge
konumuna getirmeye çalışır. Bu durumda yaydaki potansiyel enerji, kinetik enerjiye
dönüşür. Kütle denge konumuna geldiğinde kinetik enerji en büyük değerine ulaşır.
Kütle, hareketini yayda ∆x kadar bir sıkıştırma oluşturana kadar devam ettirir. Yay, ∆x
kadar sıkıştığında m kütlesinin hızı sıfır olur. Fakat yayın sıkışması esnasında yayda
tekrar potansiyel (deformasyon) enerji oluşur. Sistemde korunumlu olmayan kuvvetlerin
bulunmadığı durumda bu enerji dönüşümü sürekli olur. Gerçek fiziksel titreşim
sistemlerinde ise çeşitli sönüm etkilerinden dolayı, sürekli titreşim mümkün olmaz. Seri
veya paralel bağlı yaylar ve sönümü temsil eden elemanla (dashpot) birleştirilerek
titreşim sistemleri modellenmeye çalışılır. Bu şekilde kullanılan mekanik modellerin
başında Maxwell ve Kelvin-Voigt tipi modeller gelmektedir. Bu modellerin bir arada
kullanılmaları ile daha karmaşık mekanik modeller oluşturulabilmektedir. Fakat
mekanik modeldeki eleman sayısı arttıkça modeli temsil eden denklemler de karmaşık
hale gelmektedir. Burada mekanik modellerden Maxwell ve Kelvin-Voigt modelleri
anlatılmıştır. Lineer viskoelastik malzemelerin genel gerilme-deformasyon bağıntısı,
66
(a 0 + a1
d
d2
dn
d
d2
dm
+ a 2 2 + ... + a n n )σ = (b0 + b1 + b2 2 + ... + bm m )ε
dt
dt
dt
dt
dt
dt
(3.22)
diferansiyel denklemi ile tanımlanır (Dillard 1999). Burada ai ve bi katsayıları pozitiftir
ve malzemenin fiziksel özelliklerini gösteren sabitlerdir. Genel olarak, gerilmedeformasyon davranışının doğrusal olmadığı durumlarda, (3.22) ifadesinin tüm
türevlerinin alınmasını gerektirir. Fakat uygulamada belirli sayıda terimin türevi
alınarak (örneğin ilk iki terim) yeterli yaklaşım sağlanabilmektedir. Malzeme
özelliklerinin belirlenmesinde doğrusal diferansiyel denklemlere eşdeğer mekanik
modeller tasarlanır. Doğrusal diferansiyel denklemlerde yer alan her bir katsayı model
tasarımında bir fiziksel değişkene karşılık gelir. Basit mekanik modeller malzemelerin
özellikleri hakkında genel bir fikir verebilmektedir. Bu tür model iki adet bileşenden
oluşur. Bunlar sırasıyla,
a) Yay elemanı:
k=
F
x
(3.23)
ile verilir. Burada, F yaya uygulanan kuvvet, x yerdeğiştirme ve k yay sabitidir.
b) Viskosite katsayısı bulunduran bir sönüm elemanı:
µ=F/
dx
dt
(3.24)
ile verilir. Burada, F sönüm elemanına etkiyen dış kuvvet, x sönüm elemanındaki yerdeğiştirme ve µ viskosite sabitidir. İki bileşenli sönüm modelleri, gerçek
malzemelerdeki sönüm davranışlarını tam anlamıyla olmasa da yaklaşık olarak
gösterebilmektedir. İki bileşenli modellerden birincisi, Maxwell modelidir. Maxwell
modelinde yay ve sönüm elemanı seri bağlanır (Şekil 3.9). Her iki elemanda oluşan
gerilmeler eşit,
67
σ =σ y =σd
(3.25)
ve deformasyonlar farklıdır. Toplam deformasyon her iki elemanda oluşan
deformasyonun toplamına eşittir:
ε = ε y +εd .
(3.26)
Maxwell modelinde gerilme-deformasyon ilişkisi (3.25) ve (3.26) ifadelerinden
hareketle,
σ+
η
E
σ& = ηε&
(3.27)
ile verilir. (3.27) diferansiyel denklemi ile (3.22) genel ifadesi karşılaştırıldığında,
(a 0 + a1
d
d
)σ = (b0 + b1 )ε
dt
dt
yapısında olduğu görülür. Burada ao =1, a1 =η/E (gevşeme zamanı, relaxation time),
bo=0 ve b1=η dir. Maxwell modele ait denklem, viskoelastik bir malzemede gerilme-
gevşeme (stress-relaxation) durumunu gösterebilirken sünme durumunu temsil
edememektedir (Lazan 1968). Bu nedenle bu modele "etkisiz (dead) davranış” modeli
denir (Bagley vd 1986). Maxwell modeline ait sünme ve gerilme-gevşeme davranışları
Şekil 3.10’ da gösterilmiştir.
k1
µ1
Şekil.3.9. Maxwell modeli.
68
γ
τ
t
t
γ
τ
t
t
(a)
(b)
Şekil 3.10. Maxwell modeli için a) sünme ve b) gerilme-gevşeme davranışı.
Maxwell modelindeki eksikliğin üstesinden Kelvin-Voigt modeli ile gelinmiştir.
Kelvin-Voigt modeli Şekil 3.11’de gösterilmiştir. Kelvin-Voigt modelinde yay ve
sönüm elemanı birbirine paralel bağlıdır. Her iki elemanda oluşan deformasyon
ε = ε y =εd
(3.28)
eşit, ancak gerilmeler farklıdır ve her iki elemandaki gerilmenin toplamına eşittir:
σ = σ y +σ d .
(3.29)
Kelvin-Voigh modelinde gerilme-deformasyon ilişkisi (3.28) ve (3.29) ifadelerinden
hareketle,
σ = Eε + ηε&
(3.30)
ile verilir. (3.30) diferansiyel denklemi, (3.22) genel denklemiyle karşılaştırıldığında ao
=1, a1 =0, bo= E ve b1=η olduğu görülür.
69
k
µ
Şekil.3.11. Kelvin-Voigt Modeli.
Kelvin-Voigt modeliyle değişken sünme durumu sağlanabilmektedir. Bu modelde
karşılaşılan zorluklar ise kuvvet kaldırıldıktan sonra elastik davranışta gözlenen
durumun olmaması ve sünme oranının belirli bir zaman sonra sıfıra yaklaşmasıdır.
Kelvin-Voigt tipi modele "basit karmaşık notasyonlu model" denir (Lazan 1968).
Kelvin-Voigt modeline ait sünme ve gerilme-gevşeme davranışı Şekil 3.12’ de
gösterilmiştir.
γ
τ
t
t
γ
τ
t
t
(a)
(b)
Şekil 3.12. Kelvin-Voigt modeli için a) sünme ve b) gerilme-gevşeme davranışı.
Malzeme üzerine belirli frekansta harmonik bir gerilme uygulandığında malzemede
oluşan deformasyonda aynı frekanslı harmonik bir davranış göstermektedir. Fakat
uygulanan gerilme ile deformasyon arasında bir zaman gecikmesi veya faz farkı
70
oluşmaktadır. Bu tür bir durum Şekil 3.13’ de gösterilmiştir. Elastik ve viskoelastik
sınırlar içerisinde uygulanan gerilme ile oluşan deformasyon grafiği çizilirse eliptik bir
şekil elde edilir. Tipik bir gerilme deformasyon eğrisi Şekil 3.14’ de gösterilmiştir.
Eliptik şeklin ana ekseninin eğimi, malzemenin sıkılık derecesinin bir ölçüsü, ana eksen
(major axis) ile kısa eksen (minor axis) oranı ise malzemedeki sönümün bir ölçüsü
olarak değerlendirilir. Eliptik şekilli gerilme deformasyon eğrisine “histerisis eğrisi”
denir. Histerisis eğrisi malzemelerin sönüm özelliklerinin incelenmesi ve analitik olarak
modellenebilmesine temel oluşturur. Uygulanan gerilme ve oluşan deformasyon
harmonik bir yapıda olduğundan, sönüm özelliklerinin incelenmesi ve modellenmesi
çoğu zaman frekans ortamında gerçekleştirilir.
σ(t)
ε(t)
σ(t)
ε(t)
φ
t
(a)
t
(b)
Şekil 3.13. Harmonik dış kuvvet altında a) elastik davranış, b) viskoelastik davranış.
τ
γ
Şekil 3.14. Eliptik gerilme-deformasyon eğrisi (histerisis eğrisi).
71
Gerilme ile deformasyon arasındaki faz gecikmesi, gerilme-deformasyon ilişkisinin
hareket hızına bağlı olduğunu gösterir. Her iki davranış harmonik yapıda olduğundan
makaslama gerilmesi ve makaslama deformasyonu:
τ (t ) = τ 0 sin( wt )
(3.31)
ve
γ (t ) = γ 0 sin( wt − φ )
(3.32)
şeklinde verilebilir. (3.31) ile verilen gerilme ifadesi için,
τ (t ) =τ 0 sin( wt )
=τ 0 sin[( wt − φ ) + φ ]
=τ 0 sin( wt − φ ) cos φ + τ 0 cos( wt − φ ) sin φ
τ
τ
dγ (t )
= 0 cos φ γ (t ) + 0 sin φ
γ0
γ0 w
dt
yazılabilir (Lazan 1968). Makaslama modülü:
G=
τ0
cos(φ )
γ0
(3.33)
ve sönüm katsayısı (loss factor):
η = tan φ
(3.34)
ile tanımlanırsa, makaslama gerilmesi için,
τ (t ) = Gγ +
Gη dγ (t )
w dt
(3.35)
72
ifadesi elde edilir. (3.35) ifadesine benzer bir ifade normal gerilme ve normal
deformasyon arasında da yazılabilir. (3.35) ifadesinde zamanla deformasyondaki
değişim oranını gösteren ikinci terim malzemedeki sönüm veya enerji kaybını temsil
eder. Viskoelastik davranış gösteren bir malzeme için (3.35) ifadesi, gerilme
deformasyon ilişkisini gösterir. Dış kuvvetin harmonik olmadığı daha karmaşık
durumlarda bu ifade yetersiz kalır (Jones 2001). Bu nedenle (3.35) ifadesi kompleks
sayılar (complex numbers) kullanılarak daha genel bir yapıda verilir. Bu durumda
makaslama deformasyonu üstel fonksiyona bağlı olarak,
γ (t ) = γ 0 e i w t
(3.36)
şeklinde yazılabilir. Zamana bağlı deformasyon oranı ise
dγ (t )
= iwt
dt
(3.37)
olarak bulunabilir. (3.36) ve (3.37) ifadeleri, (3.35) bağıntısında kullanılırsa makaslama
gerilmesi ve makaslama deformasyonu arasında,
τ = Gγ +
Gη
w
iwγ = G (1 + iη )γ
w
w
(3.38)
ilişkisi yazılabilir. (3.38) ifadesinde, w frekansının tüm t zamanında pozitif değerleri
alınırsa,
τ = G (1 + iη )γ
(3.39)
elde edilir. (3.39) ile verilen ifadeye “kompleks modül” adı verilir. Bu ifadede
makaslama modülü G (benzer şekilde elastisite modülü, E) ve sönüm katsayısı, η
büyüklükleri frekansın fonksiyonudur. G ve η büyüklüklerinin frekans ile değişimi
mekanik modeller yardımıyla matematiksel olarak modellenebilir olmasına karşın, elde
edilen ifadeler son derece karmaşık bir yapıdadır.
73
3.1.3. Rayleigh ve Coughey sönüm yaklaşımları
Viskoz sönümün uygulanmasında kullanılan bir diğer yaklaşım, Rayleigh ve Coughey
sönüm yaklaşımlarıdır. Coughey sönüm yaklaşımı Rayleigh yaklaşımın genel halidir.
Uygulamada sıkça kullanılan Rayleigh sönüm yaklaşımı, gerçekte fiziksel anlamı
olmayan bir yaklaşımdır (Cook 1995). Fakat özellikle titreşim sistemlerini ifade eden
doğrusal diferansiyel denklemlere yine doğrusal bir terim olarak katılmasından ve
sayısal olarak kolay hesaplanmasından dolayı tercih edilmektedir. Bu yaklaşımda
sönüm:
C = α m+β k
(3.40)
şeklinde verilmektedir. Burada m, Şekil 3.5’ de gösterilen mekanik titreşim sistemi için
kütle, k sıkılık değerleridir. Çok serbestlik dereceli titreşim sistemleri için bunlar birer
dizey yapısındadır. (3.40) bağıntısında verilen α ve β katsayıları titreşim sisteminde
ilgilenilen frekans aralığı ve sönüm oranına bağlı olarak belirlenen sabitlerdir. Sönüm
oranı, ζn ve frekans değeri, wi
ζn =
α
2 wn
+
β wn
(3.41)
2
ifadesinden elde edilir. Frekans ve sönüm oranı kullanıcı tarafından belirlenir. (3.41)
bağıntısı ile verilen sönüm ifadesinin ilk terimi, titreşim sisteminin kütlesi ile doğru
orantılı sönüm uygular. Bu terim titreşim sisteminin düşük frekanslı kiplerini hızlı bir
şekilde sönümlendirir. Benzer şekilde ikinci terim, sistemin sıkılık değeri ile orantılı
sönüm uygular. Bu terim ise titreşim sisteminin yüksek frekanslı kiplerini hızlı bir
şekilde sönümlendirir. Bu durumların frekansa bağlı değişimleri Şekil 3.15a ve Şekil
3.15b’ de gösterilmiştir. Titreşim sisteminin sıkılık değeri ile orantılı sönüm olan c2
ifadesinin fiziksel anlamı, yapıdaki deformasyona bağlı olarak enerjideki kaybın
modellenmesidir. Bununla birlikte, sistemin kütle dizeyi ile orantılı sönüm olan c1
74
ifadesine bir fiziksel anlam verilememektedir. Bu sönüm terimlerinin her ikisi de
deneysel veriler ile uyumlu değildir (Chopra 1995).
ζ
ζ
c1 = α m
ζn =
c2 = β k
α
ζn =
2wn
w
(a)
β wn
2
w
(b)
Şekil-3.15. a) kütle ve b) sıkılık dizeylerinin frekansa bağlı değişimi.
Homojen elastik bir yapının bir çok salınım kipi birbirine yakın sönüm oranları verir.
Homojen olmayan yapıların farklı sönüm değerleri bulunmaktadır.
Uygulamada
yapının sönümü, kütle ve sıkılık dizeylerinin doğrusal bileşiminden oluşturulur. Bu
yaklaşım ilk defa Wilson (1968) tarafından kullanılmıştır. (3.40) ile verilen C sönüm
dizeyinin doğal frekanslara bağlı değişimi Şekil 3.16’ da gösterilmiştir.
ζn
ζn =
ao a1 wn
+
2wn
2
ζ
w1
w2
w
Şekil 3.16. Sönüm oranının (ζ) doğal titreşim frekansı ile değişimi.
75
(3.41) ifadesinde verilen α ve β katsayılarının hesaplanması için uygulanılan yol,
başlangıç anında titreşimin istenilen frekans aralığında (w1 ve w2) kalmasını sağlayacak
şekilde, diğer bir ifadeyle, sabitlerin ilgilenilen frekans aralığında en küçük sönüm
değerlerini verecek şekilde seçilmesidir. Bu işlem, başlangıç anında titreşim hareketinin
temel frekans değerinin kullanılması şeklindedir (Idriss vd 1973, Idriss vd 1992). Bazı
çalışmalarda ise temel frekans yanında ikinci bir frekans değeri kullanılmaktadır
(Hudson vd 1994). α ve β katsayıları frekansın bir fonksiyonu olarak ele alınmaktadır.
Bununla birlikte araştırmalar, zeminlerde sönümün frekansa bağlı olmadığını
göstermektedir (Idriss vd 1972, Chopra 1995, Bathe 1996, Hudson vd 1994). Ayrıca,
(3.41) bağıntısı ile verilen sönüm ifadesinde m kütle dizeyinin frekansa bağlı bir sönüm
yapmadığı ve fiziksel bir anlamının olmadığı, k sıkılık dizeyinin ise titreşim üzerinde
hızlı bir sönüm uyguladığı görülür (Chopra 1995). Ele alınan yapı birbirinden farklı
sönüm özelliklerindeki birimlerden oluştuğunda (örneğin, kaya-zemin gibi birbirinden
çok farklı iki sönüm özelliğindeki ortam) Rayleigh sönüm ifadesi uygun bir sönüm
davranışı göstermez. Rayleigh sönüm ifadesi homojen ve yapı elemanlarına ait fiziksel
özelliklerin birbirine yakın olduğu durumlar için daha uygundur (Chopra 1995). Ayrıca,
Rayleigh yaklaşımının da sıfır frekansında sonsuz sönümlü olması fiziksel olarak doğru
değildir. Rayleigh sönüm yaklaşımı çok serbestlik dereceli titreşim sistemlerine
uygulandığı gibi (3.49) bağıntısı ile verilen hareket denkleminin çözümünde de
kullanılır.
Bir diğer sönüm yaklaşımı Caughey sönüm yaklaşımıdır. Gerçekte Rayleigh sönüm
yaklaşımı Caughey yaklaşımının özel halidir. Caughey sönüm yaklaşımında sönüm
ifadesi:
N −1
[
C = M ∑ a i M −1 k
i
]
(3.42)
i =0
ile verilir. Burada N, sistemin serbestlik derecesi ve ai sabit katsayıdır. (3.42) ifadesi bir
seridir. Bu serinin ilk iki terimi (3.41) ile verilen Rayleigh sönüm ifadesine eşittir.
Rayleigh sönüm yaklaşımında olduğu gibi sönüm oranı (ζ),
76
ζn =
1 N −1
a i wn2i −1
∑
2 i =0
(3.43)
ile verilir. Caughey sönüm yaklaşımının uygulanması Rayleigh sönüm yaklaşımına
benzer şekildedir. Bu yöntemin dezavantajlarından birincisi, (3.43) ifadesinde yer alan
ai katsayıların elde edilmesinde cebirsel denklemlerin kötü-durumlu (ill-conditioned)
olmasıdır. (3.43) ifadesinde ikiden fazla terim sönüme katıldığında, C sönüm dizeyi
tam-tanımlı dizeye (full-matrix) dönüşür. Bununla birlikte, çok serbestlik dereceli
titreşim sistemlerinde k sıkılık dizeyi band yapısında ve m kütle dizeyi yığın kütle
(lumped-mass) yaklaşımı kullanıldığında köşegen (diyagonal) dizey yapısındadır.
3.1.4. Kesirsel mertebe türev yaklaşımı
Viskoelastik davranış gösteren malzemelerde sönüm mekanizmasının, klasik modeller
ile tanımlanmasıyla elde edilen sönüm değerlerinin, laboratuar deneylerinde
ölçülenlerden büyük olduğu görülmüştür (Koeller 1984, Agrawal 1998, Gaul 1999,
Schmidt vd 2001, Trinks vd 2002). Uzun zaman veya frekans aralığı gerektiren
durumlarda, klasik modeller viskoelastik davranışı tam temsil edememektedir (Padovan
1987, Schmidt vd 2001). Mekanik modellerde yer alan eleman sayısı attıkça sönüm
ifadeleri çok sayıda değişkenin giriş parametresi olarak verilmesini gerektirir (Lazan
1968, Jones 2001). Bu kısıtlamaların üstesinden gelmek ve malzemelerdeki viskoelastik
davranışın daha iyi modellenebilmesi amacıyla (3.22) ile verilen genel türev operatörü
(tamsayı mertebeli türev) yerine, Rose (1975), gerçel mertebeli türev operatörünün
üstünlüğünü göstermiştir. Gerçel mertebeli türev operatörlerine “integrodiferansiyel
operatör” denir (Caputo 1976, Bagley vd 1983a, 1986). Gerçel mertebeli türev
operatörünün üstünlüklerine rağmen, sayısal çözümlemelerde kullanılması, karmaşık
işlemlerin yapılmasını gerektirmektedir (Schmidt vd 2001, Padovan 1987).
77
Deprem kuvveti gibi dinamik bir dış kuvvet karşısında zemin davranışının
incelenmesinde sönüm mekanizması klasik mekanik modeller yerine gerçel mertebeli
türev (fractional derivative) operatörü kullanılarak viskoelastik davranış daha iyi
gösterilebilir. Bir fonksiyonun tamsayı mertebeli türev operatörü, fonksiyonun yerel
davranışına bağlı iken gerçel mertebeli türev operatörü fonksiyonun geçmiş değerlerine
de bağlıdır. Fonksiyonun geçmiş değerleri fonksiyonun davranışına ağırlık katsayıları
olarak girer. Ağırlık katsayılarının her birine “bellek etkisi (memory effect)” denir
(Koeller 1984, Padovan 1987). Gerçel mertebeli türev işleminde türev operatörü,
fonksiyon geçmiş değerlerini içermesinden dolayı global operatör özelliği gösterir.
Çözümsel fonksiyonların gerçel mertebeli türevlerinin hesaplanmasında birbirleriyle
ilişkili üç farklı yaklaşım kullanılır. Bu yaklaşımlardan ilki, Grünwald-Letnikov
yaklaşımıdır. Bu yaklaşım geri-farklar yöntemi kullanılarak tamsayı mertebeli türev
işleminin genelleştirilmiş halidir (Oldham vd 1974, Padovan 1987, Pondlubny 1999,
Schmidt vd 2001). Grünwald-Letnikov tanımına göre, zamana bağlı bir f(t)
fonksiyonunun birinci mertebe türevi, geri-farklar yaklaşımı kullanılarak,
d 1 f (t )
1
= lim
[ f (t ) − f (t − ∆t ]
1
∆t → 0 ( ∆t )
dt
(3.44)
şeklinde verilebilir. İkinci mertebe türevi için
d 2 f (t )
1
= lim
[ f (t ) − 2 f (t − ∆t ) + f (t − 2∆t )]
2
∆t → 0 ( ∆t ) 2
dt
(3.45)
ve benzer şekilde üçüncü mertebe türevi için
d 3 f (t )
1
= lim
[ f (t ) − 3 f (t − ∆t ) + 3 f (t − 2∆t ) − f (t − 3∆t )]
3
∆t → 0 ( ∆t ) 3
dt
yazılabilir. Bir f(t) fonksiyonunun n. mertebe türevi için genel ifade:
78
(3.46)
d n f (t )
1
= lim
n
∆t → 0 ( ∆t ) n
dt
n
⎛ n⎞
∑ (−1) ⎜⎜ i ⎟⎟ f (t − i∆t )
i
i =0
(3.47)
⎝ ⎠
⎛n⎞
⎝i⎠
şeklinde verilir (Padovan 1987, Schmidt vd 2001). (3.47) ifadesinde yer alan (−1) i ⎜⎜ ⎟⎟
binom katsayıları,
⎧ n!
; 0≤i≤n
⎛n⎞ ⎪
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎨ i! (n − i )!
⎝ i ⎠ ⎪0
; 0 ≤ n ≤ i ve i > n
⎩
dir. ∆t örnekleme aralığı yerine ∆t =
⎡⎛ t ⎞ − n
d n f (t )
= lim ⎢⎜ ⎟
N →∞
dt n
⎣⎢⎝ N ⎠
t
N
(3.48)
yazılırsa, (3.47) ifadesi için
t ⎤
i ⎛n⎞
⎜
⎟
−
−
(
1
)
(
)⎥
f
t
i
∑
⎜i⎟
N ⎥⎦
i =0
⎝ ⎠
N −1
(3.49)
yazılabilir. Burada, t toplam zamanı ve N örnek sayısını gösterir. (3.49) ifadesinde
toplam ifadesinin alt ve üst sınırlarına “terminal” denir (Padovan 1987, Ortiqueira 2000,
Schmidt vd 2001). Üst sınır (N) keyfi seçilirken, alt sınır türev işlemi için sıfıra eşittir.
(3.49) denklemi tamsayı mertebeli türevler için tanımlanmıştır. Türev mertebesini
gerçel sayılara genişletmek için (3.48) ile verilen binom açılımı:
⎧ a(a − 1)(a − 2)....(a − j − 1)
; j>0
⎛a⎞ ⎪
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎨
j
⎝ j⎠ ⎪
1
; j=0
⎩
(3.50)
şeklinde gerçel sayılar için genelleştirilir (Padovan 1987, Schmidt vd 2001). Burada, a
⎛n⎞
⎝i⎠
reel ve j tamsayıdır. (3.47) ifadesinde yer alan (−1) i ⎜⎜ ⎟⎟ terimi için (3.50) ifadesi
kullanılırsa,
79
⎛a⎞
a (a − 1)(a − 2)....(a − i + 2)(a − i + 1)
(−1) i ⎜⎜ ⎟⎟ = (−1) i
i!
⎝i⎠
⎛ i − a − 1⎞
⎟⎟
= ⎜⎜
i
⎝
⎠
(3.51)
elde edilir. Gamma fonksiyonu özelliği:
Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1) = (n − 1)!
(3.52)
kullanılarak, (3.51) ifadesi Gamma fonksiyonuna bağlı olarak,
⎛ a ⎞ ⎛ i − a − 1⎞
Γ(i − a)
⎟⎟ =
(−1) i ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝ i ⎠ ⎝ i ⎠ Γ(−a) Γ(i + 1)
(3.53)
verilir. (3.53) ifadesine “Grünwald katsayıları” denir. Grünwald katsayıları:
Ai +1 =
Γ(i − a )
i − 1 − a Γ(i − 1 − a ) i − 1 − a
=
=
Ai
Γ(−a ) Γ(i + 1)
i
Γ(−a ) Γ(i )
i
(3.54)
yineleme (recurrence) bağıntısıyla hesaplanır. (3.54) sonucu (3.49) denkleminde
yazılırsa gerçel mertebeli türev için Grünwald-Letnikov (1867) tanımı:
⎡⎛ t ⎞ − a N −1
Γ(i − a )
d a f (t )
t ⎤
=
−
lim
(
)⎥
D f =
f
t
i
⎜
⎟
⎢
∑
N →∞
N ⎦⎥
dt a
⎣⎢⎝ N ⎠ i =0 Γ(−a) Γ(i + 1)
a
(3.55)
şeklinde verilir. (3.55) ifadesi, tamsayı ve gerçel mertebe türev veya integraller için
geçerli olur (Padovan 1987, Schmidt vd 2001). Bu ifadede, integralin Riemann tanımına
göre alt sınırı sıfır kabul edilir. Bu durumda türev mertebesi (-1,-∞) aralığında değişir.
Türev mertebesi gerçel olduğunda (3.54) ile verilen Grünwald katsayıları sıfırdan farklı
değer alır (Schmidt vd 2001). Türev mertebesinin (a) tamsayı olması halinde sadece
(a+1) sayıda katsayı sıfırdan farklı olur ve yerel operatör özelliği gösterir. Hem gerçel
mertebeli türev hem de a (a: gerçel sayı) katlı integral ifadesi için genel bir GrünwaldLetnikov tanımı:
80
m
α
a Dt f (t ) = ∑
k =0
f k (a ) (t − a ) k −α
1
+
(t − τ ) m −α f
∫
Γ(k − α + 1)
Γ(k − α + 1) a
t
m +1
(τ ) dτ
şeklinde verilir (Pondlubny 1999). Burada, fk (t), (k=1,2,…,m+1) türevleri [a,t] kapalı
aralığında sürekli olmalıdır ve m tamsayısı m>α-1 eşitsizliğini sağlamalıdır. Bu
eşitsizliği sağlayacak en küçük m değeri, m< α<m+1 eşitsizliğinden belirlenir
(Pondlubny 1999). (3.54) ifadesiyle verilen Grünwald katsayılarının türev mertebesine
bağlı değişimi Çizelge 3.3 ve Şekil 3.17’ de gösterilmiştir. İkinci yaklaşım, RiemannLiouville tanımıdır. Bu yaklaşımda Cauchy integral ifadesi:
t
t
n −1
1
d − n f (t )
1
[t − τ ]n−1 f (τ ) dτ
...
=
dt
f (t 0 ) dt 0 =
n −1 ∫
−n
∫
∫
∫
(
n
−
1
)!
d (t − a )
a
a
a
a
t
t
başlangıç noktası olarak kullanılır (Oldham vd 1974, Ford vd 2001, Blank 1996,
Diethelm 1997, Diethelm vd 2000, Ruge vd 1999).
Şekil 3.17. Grünwald katsayılarının değişimi.
Riemann-Liouville yaklaşımına göre gerçel mertebe türev ifadesi, Gamma fonksiyonu
ve özellikleri kullanılarak:
81
⎛d⎞
α
⎟
a Dt f (t ) = ⎜
⎝ dt ⎠
m +1 t
∫ (t − τ )
m −α
f (τ ) dτ , ( m ≤ α ≤ m + 1)
a
ile verilir. Genel Grünwald-Letnikov tanımı, Riemann-Liouville tanımının özel bir
halidir (Pondlubny 1999). Grünwald-Letnikov tanımına kısmi integrasyon uygulanması
ve türevlerinin alınmasıyla elde edilebilir.
Gerçel mertebeli türev ve integrallerin hesaplanmasında kullanılan üçüncü yaklaşım
Caputo ifadesidir (Caputo 1967). Caputo (1967) Riemann tanımının başlangıç ve sınır
koşulları üzerindeki kısıtlamaları gidermek için gerçel mertebe türev ve integrali:
f n (τ )
1
dτ , ( n − 1 < α < n )
a Dt f (t ) =
Γ(α − n) ∫a (t − τ ) α −1− n
α
t
ile tanımlamıştır. Caputo tanımı, verilen diğer iki tanıma karşın daha genel bir ifade
sunmakta ve ele alınan fonksiyon üzerindeki kısıtlamaları kaldırmaktadır (Pondlubny
1999). Gerçel mertebe türev ve integrallerin hesaplanması için verilen üç yaklaşımda
farklı tanımlarda olmasına karşın benzer sonuçlar vermektedir (Oldham vd 1974,
Pondlubny 1999, Schmidt vd 2001).
Bu çalışmada, sönüm mekanizmasının gerçel mertebeli türev operatörü kullanılarak
modellenmesi işleminde hesaplamalardaki
kolaylığından dolayı (3.55) bağıntısı ile
verilen Grünwald-Letnikov yaklaşımı kullanılmıştır. Klasik mekanik modellerde sönüm
elemanı (dashpot) yerine “spring-pot” adı verilen elemanlar kullanılarak gerçel
mertebeli modeller elde edilir (Koeller 1984). Spring-pot elemanı Şekil 3.18’ de
gösterilmiştir.
η, v
Şekil 3.18. Spring-pot sönüm elemanı.
82
Spring-pot elemanı klasik mekanik modellerde sönüm elemanı yerine kullanarak yeni
mekanik modeller elde edilebilir. Bu çalışmada, Spring-pot elemanı Kelvin-Voigt tipi
modelde kullanılarak gerçel mertebeli Kelvin-Voigt modeli elde edilmiştir. Spring-pot
elemanı kullanan Kelvin-Voigt modeli Şekil 3.19’ da gösterilmiştir.
E
η,v
Şekil 3.19. Spring-pot sönüm elemanı kullanan Kelvin-Voigt modeli.
(3.30) ile verilen Kelvin-Voigt modeline ait gerilme-deformasyon ifadesine benzer
şekilde Spring-pot kullanan Kelvin-Voigt modelinde, gerilme-deformasyon ifadesi elde
edilir:
σ = Eε + ηD v ε .
Gerçel
mertebeli
(3.57)
türev
kullanan
Kelvin-Voigt
modelinde
oluşan
gerilme,
deformasyonun geçmişine bağlı olması nedeni ile klasik mekanik modellere göre
malzemede viskoelastik davranışı betimleyen sünme ve gevşeme davranışlarını daha iyi
gösterebilmektedir. İkinci bölümde, sanal yerdeğiştirmeler ilkesine göre (2.45) ile
verilen dinamik denge denkleminde gerilme değişkeni için (3.57) ile verilen gerilmedeformasyon bağıntısı kullanılmıştır. Bir alt bölümde anlatılan hareket denklemin sonlu
eleman yöntemiyle çözümünde (2.45) ve (3.57) ifadeleri kullanılarak, hareket
denkleminin sonlu eleman yapısı elde edilmiştir.
83
3.2. Sonlu Eleman Yöntemi (Sey) ile Modelleme İşlemi
Mekanik problemlerinin bir çoğu sınır-değer (boundary value) problemleridir. Bu tür
problemlerin çözülebilmesi için çözüm fonksiyonlarının temel iki koşulu sağlaması
gerekir. Bu koşullar; alan koşulu (field condition) ve matematiksel model koşuludur.
Alan değişkeni, örneğin yerdeğiştirme, deformasyon, gerilme veya bu değişkenlerden
türeyen büyüklükler matematiksel olarak ifade edilebilmelidir. Fiziksel problemlerin
matematiksel modellenmesinde genellikle mekanik kuralların vektörel olarak ele
alınmasıyla diferansiyel denklemler elde edilir. Elde edilen diferansiyel denklemler bu
açıdan modelin denge ve uyumluluk koşullarını da sağlamalıdır. Bu tür problemlerin
sonlu eleman yöntemi ile çözümünde ilk adım, fiziksel sistemi mümkün olduğu kadar
tanımlayabilecek bir matematiksel modelin geliştirilmesiyle başlar. Matematiksel
modelin geliştirilmesinde karmaşık problemlerin çözülebilmesi için belirli varsayımlar
yapılır. Geliştirilen matematiksel ifade fiziksel sistemin davranışını temsil eder.
Genellikle matematiksel ifade bir diferansiyel denklem ve sınır koşullarından oluşur.
Çoğu zaman verilen diferansiyel denklemin analitik çözümü elde edilemez. Bu
diferansiyel denklemlerin çözümü için bir çok sayısal çözüm yöntemi geliştirilmiştir.
Yaklaşık çözüm yöntemlerinden biri olan sonlu eleman yöntemi (finite element method),
diğer çözüm yöntemleri içerisinde bilgisayarda kolay programlanabilmesi ve karmaşık
problemlere kolaylıkla uyarlanabilmesi yönünden günümüzde tercih edilen bir
yöntemdir.
Sonlu eleman yöntemiyle problem çözümü temel altı işlem adımından oluşur. Bu
adımlar sırasıyla aşağıdaki gibidir:
1- Problemi tanımlayan diferansiyel denklem integral yapısında gösterilir. Bu
dönüşüm ile problemin sınır ve başlangıç koşulları açık olarak belirlenmiş olur.
Dönüştürme işlemi ile elde edilen integral yapısındaki gösterimlere zayıf
formülasyon (weak formulation) denir. Bu dönüşüm işlemi için ağırlıklı rezidüel
yöntem, varyasyon yöntemi veya enerji yöntemlerinden yararlanılır. Bu
84
çalışmada, (3.49) ile verilen hareket denklemin integral yapısı, ikinci bölümde
enerji yöntemleri içerisinde yer alan ve sanal yerdeğiştirmeler ilkesinde verilen
(2.45) denklemi kullanılmıştır.
2- Problemin tanım alanı (çözüm bölgesi) sonlu sayıda “eleman” adı verilen küçük
geometrik parçalara ayrılır. Çözüm bölgesinin sonlu elemanlara ayrılması,
sonsuz serbestlik derecesindeki çözüm bölgesinin belirli (sonlu) sayıda
serbestlik derecesindeki bir bölge ile yerdeğiştirmesi işlemidir. Seçilecek eleman
problemin fiziksel özelliğine ve davranışına uygun olmalıdır. Ortamın geometrik
şekli ve bağımsız koordinat sayısı eleman seçiminde etkili olur. Ortam
geometrisi, malzeme özellikleri ve diğer değişkenler (yerdeğiştirme, gerilme ve
deformasyon gibi) iki doğrultuda değişim gösterdiğinden, bu çalışmada doğrusal
dörtgen (quadrilateral) geometrik elemanı kullanılmıştır. Tanım alanında bu
elemanlar birbirine düğüm noktaları (nodes) ile bağlıdır. Sonlu eleman ağında
yer alan düğüm noktaları ve elemanlar ayrı ayrı numaralandırılır. Her bir eleman
tek tek ele alındığında, eleman numaralarına “yerel numaralar”, çözüm bölgesi
ele alındığında düğüm numaralarına “global numaralar” denir.
3- Bilinmeyen alan değeri (x ve y doğrultusundaki yerdeğiştirme) her eleman
üzerinde tanımlanan bir yaklaşım fonksiyonu (genel olarak polinom ve nadiren
trigonometrik fonksiyonlar) ile temsil edilir. Bu çalışmada eleman içerisindeki
yerdeğiştirmeleri tanımlamak için ikinci mertebeden polinom kullanılmıştır.
Alan değişkeninin eleman içerisindeki değeri, tanımlanan yaklaşım fonksiyonu
kullanılarak elemanın düğüm noktalarındaki değerlerine bağlı olarak tanımlanır.
4- Düğüm noktalarına bağlı olarak tanımlanan alan değişkeni birinci adımda
tanımlanan integral ifadesinde kullanılarak her bir elemana ait doğrusal denklem
takımları elde edilir. Doğrusal denklem takımları birleştirilerek eleman dizey
denklemleri elde edilir.
5- Dördüncü adımda oluşturulan eleman dizey denklemleri uygun bir yöntem ile
birleştirilerek sonlu eleman ağı için genel dizey denklemleri elde edilir. Genel
dizey denklemlerine ön-tanımlı sınır koşulları uygulanır.
85
6- Son adımda, problemin statik veya dinamik olmasına göre çözüm farklılık
gösterir. Statik bir problem için doğrusal bir denklem sisteminin uygun bir
yöntem ile çözülmesiyle son bulur. Dinamik bir problem için zaman bağımsız
değişken olduğundan statik durumdaki çözüm işlemi her bir ∆t , zaman artımı
için yinelenir. Her bir yineleme işleminde model dizeyleri güncellenir.
3.2.1. Çözüm bölgesinin sonlu elemanlara ayrılması
Çözüm bölgesinin sonlu elemanlara ayrılması, sonlu elemanlar yönteminin ilk adımını
oluşturur. Sürekli ve sonsuz serbestlik derecesindeki ortam, belirli sayıda ve birbirlerine
düğüm noktalarıyla bağlanmış, sonlu sayıda serbestlik dereceli ayrık ortama bölünür.
Çözüm bölgesinin sonlu elemanlara ayrıklaştırılmasında kullanılan geometrik
elemanların şekli, boyutu ve sayısı önemlidir. Eleman boyunun gereğinden büyük
seçilmesi duyarlılığı azaltır, küçük seçilmesi ise işlem sayısının artmasına neden olur.
Bu çalışmada çözüm bölgesi iki boyutta incelenmiştir. İncelemeye konu olan türde yer
modeli Şekil 3.20a ve iki boyutlu sonlu eleman ağı Şekil 3.20b’ de gösterilmiştir.
Çözüm bölgesinin ayrıklaştırılmasında kullanılan geometrik dörtgen eleman Şekil 3.21’
de gösterilmiştir. Dörtgen eleman her düğüm noktasında iki serbestlik derecesindedir.
Bunlar, elemanda oluşan yatay ve düşey yerdeğiştirmeleridir. Dörtgen elemanın toplam
serbestlik derecesi sekizdir (u1, v1,..., u4, v4). Eleman seçiminde dikkat edilmesi gereken
bir diğer nokta, elemanın düğüm sayısı ve alan değişkeni için tanımlanan yaklaşım
fonksiyonunun katsayı adedinin birbirine eşit olmalarıdır. Sonlu eleman yönteminde
eleman sıkılık dizeyi simetrik ve band yapısındadır. Dizeyin band genişliği düğüm
numaralarının sıralanışına göre değişir. En küçük band genişliğinin seçilmesi, yapının
uzunluğunun en kısa olan yönde numaralandırılmayla elde edilir. Eleman dizeylerinin
hesaplanmasında değerlerin negatif olmasını önlemek amacıyla her bir elemana ait yerel
düğümler saat yelkovanın tersi yönünde numaralandırılmasıyla sağlanır.
86
y
x
z
(b)
(a)
Şekil 3.20. a) Yer modeli, b) İki boyutta sonlu eleman ağı.
v4
u4
v3
v1
u3
u1
v2
u2
Şekil 3.21. Dörtgen elemanın düğüm noktalarındaki yerdeğiştirme bileşenleri.
Bu durum Şekil 3.22’ de gösterilmiştir. Şekil 3.22’ de daire içerisinde verilen rakamlar
elemanın global düğüm numaralarını, dörtgen içerisinde verilen rakamlar ise elemanın
yerel numaralarını göstermektedir.
1
1
5
4
2
2
3
6
Şekil 3.22. Elemanın global ve yerel düğüm numaraları.
87
Band yapısında elde edilen sıkılık dizeyinin band uzunluğu,
(3.58)
B = nf (h + 1)
ifadesiyle verilir. Burada, nf elemanın düğüm serbestlik derecesini, h ağ üzerinde yer
alan herhangi bir elemanda en büyük ve en küçük global düğüm numaraları farkının en
büyüğüdür.
3.2.2. Yaklaşım (yerdeğiştirme) fonksiyonları
Sonlu eleman yönteminin temel amacı, karmaşık yapıdaki problemleri basit sonlu
elemanlara ayırmak ve genel çözüme bu sonlu elemanlardan hareketle ulaşmaktır. Bu
nedenle eleman üzerinde alan değişimini temsil edebilecek bir yaklaşım fonksiyonu
tanımlanır. Seçilen fonksiyon eleman üzerinde alan değişkeninin (yerdeğiştirme)
davranışını temsil edebilmelidir. Sonlu eleman yönteminde tanımlanacak yaklaşım
fonksiyonu temel iki koşulu sağlamalıdır. Birincisi “yakınsama koşulu” dur.
Yakınsama koşuluna göre,
a) Eleman üzerinde yerdeğiştirme fonksiyonu sürekli olmalıdır. Aynı zamanda yerdeğiştirme fonksiyonu, elemanın katı hareketini de temsil edebilmelidir. Bu
durum şu şekilde açıklanabilir: Eleman düğümleri aynı oranda hareket ettirildiği
zaman elemanda deformasyon meydana getirmemelidir. Bu katı hareket yerdeğiştirme fonksiyonunda sabit terimin bulundurulmasıyla sağlanır.
İkinci koşula ise “uyumluluk koşulu” denir. Bu koşula göre:
b) Eleman üzerinde yerdeğiştirme fonksiyonu sabit deformasyonu temsil
edebilmelidir. Bunun için yerdeğiştirme fonksiyonu doğrusal terimlerden
oluşmalıdır.
88
Uyumluluk koşulunda, yerdeğiştirmeler bitişik eleman düğümlerinde birbirine uyumlu
olmalıdır. Elemanda deformasyon meydana geldiğinde bitişik düğümlerdeki elemanlar
arasında süreksizlikler bulunmamalıdır. Yani elemanlar arasında üst üste binme
(overlapping) veya ayrılma (separating) olmamalıdır. Yakınsama ve uyumluluk
koşullarını sağlayan elemanlara “uyumlu eleman (compatible element)” denir.
Yakınsama, uyumluluk ve süreklilik koşullarını sağlamaları, türev ve integral
işlemlerinin kolay hesaplanabilmelerindan dolayı, yaklaşım fonksiyonları için genelde
polinomlar seçilir. Bu çalışmada dörtgen eleman içerisinde yerdeğiştirmeyi tanımlamak
üzere yaklaşım fonksiyonu:
U = α 0 + α 1 x + α 2 y + α 3 xy
(3.59)
= [1 x y xy ] [α ]
T
çokgeni ile tanımlanmıştır. Titreşim modeli iki boyutta incelendiğinden, U=(u, v) ile
elemanın herhangi bir düğüm noktasındaki yatay (u) ve düşey (v) yerdeğiştirmelerini
gösterir. Seçilen dörtgen elemanın dört düğüm noktası olduğundan tanımlanan yaklaşım
fonksiyonu da eşit sayıda α katsayısı içerir. (3.59) ile verilen yaklaşım fonksiyonundaki
α katsayılarına “genel koordinatlar” denir. Yaklaşım fonksiyonunda yer alan α genel
koordinatları, elemanın düğüm noktalarındaki değerlerine bağlı tanımlanır. Bunun için
Şekil 3.21’ de verilen dörtgen eleman göz önüne alınarak, düğüm noktalarındaki yerdeğiştirme değerleri dizey yapısında:
⎡ u1 ⎤
⎢v ⎥
⎢ 1⎥ ⎡
⎢. ⎥ ⎢
⎢ ⎥
U = ⎢ . ⎥=⎢
⎢
⎢. ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎣
⎢u 4 ⎥
⎢v ⎥
⎣ 4⎦
1
x1
y1
1
x2
y2
1
1
x3
x4
y3
y4
x1 y1 ⎤ ⎡α 1 ⎤
x 2 y 2 ⎥⎥ ⎢⎢α 2 ⎥⎥
= Aα T
x 3 y 3 ⎥ ⎢α 3 ⎥
⎥⎢ ⎥
x 4 y 4 ⎦ ⎣α 4 ⎦
89
(3.60)
ile verilir. Burada, xi ve yi değerleri eleman düğüm noktalarının global koordinat
değerleridir. (3.60) ifadesinin her iki tarafı A-1 ile çarpılır ve αT vektörü için (3.59)
ifadesinde yerine yazılırsa, eleman üzerindeki yerdeğiştirmenin yatay bileşeni için,
U = aA −1 U = N U
(3.61)
ve benzer şekilde düşey bileşen için,
v = aA −1 V = N V
(3.62)
yazılarak, yerdeğiştirme bileşenleri, düğüm noktalarındaki değerlerine bağlı olarak elde
edilir.
3.2.3. Şekil fonksiyonları
(3.61) ve (3.62) bağıntılarında yer alan,
N = a A−1 [ N1
N2
N3
N4 ]
(3.63)
ifadesindeki N i fonksiyonlarına “şekil fonksiyonu” veya “interpolasyon fonksiyonu”
denir. Şekil fonksiyonları global koordinat sistemlerine bağlı olarak verildiğinde,
karmaşık geometrili problemlerde hesaplama işlemleri zorlaşır. Bu nedenle, global
koordinatlar yerine eleman üzerinde yerel koordinat sistemi tanımlanmıştır. Şekil
fonksiyonlarının yerel koordinat sistemlerine bağlı ifadeleri daha kısa ve hesaplamalar
daha kolaydır. Şekil 3.23a’ da verilen global koordinat sistemi ve bu elemana karşı
gelen yerel koordinat sistemi Şekil 3.23b’ de gösterilmiştir. Burada, (r,s) koordinat
değişkenleri (-1,1) aralığında değişir. (3.63) ifadesiyle verilen şekil fonksiyonlarının
lokal koordinatlara bağlı olarak elde edilmesinde Lagrange veya Hermitiyen
interpolasyon polinomlarından yararlanılır. Düğüm noktalarında alan değişkeni
değerinin yeterli olduğu şekil fonksiyonlarına “Lagrange türü fonksiyon” denir. Düğüm
90
noktalarında hem alan değişken değerine hem de birinci türevine gerek duyulan şekil
fonksiyonlarına ise “Hermitiyen tipi fonksiyon” denir (Rao 1989).
s
1(x1,y1)
1
1(-1,1)
1
4
(4x4,y4)
(0,0)
2
2(x2,y2)
2(-1,-1)
3
(a)
4
4(1,1)
2
r
(3x3,y3)
(b)
3 3(1,-1)
Şekil 3.23. Koordinat sistemleri, a) global, b) yerel.
Şekil fonksiyonlarının Lagrange polinomları yardımıyla elde edilmesinde varsayılan
fonksiyonun eleman üzerindeki her bir düğüm noktasında yerdeğiştirme ile aynı değeri
alacak yapıda seçilir. Hermitiyen türü yaklaşımda ise fonksiyonların eğimlerinin eleman
düğüm noktalarında yerdeğiştirme ile aynı değeri alacak yapıda seçilir. Bu çalışmada
şekil fonksiyonları Lagrange interpolasyon polinomları kullanılarak elde edilmiştir.
Lagrange interpolasyon polinomları kullanılarak yerel koordinatlara (r,s) bağlı şekil
fonksiyonları:
(r − r ) ⎧1
j
N (r ) = ∑
=⎨
i
(
)
r
r
−
j i j ⎩0
; i= j
(3.64)
; i≠ j
bağıntısından elde edilir (Zienkiewicz vd 1983, Hughes 1987, Rao 1989, Cook 1995,
Owen vd 1980, Krishnomoorthy 1996, Bathe 1996, Liu 1998). Bir boyutlu durum için
verilen (3.64) ifadesi iki boyutta,
N (r , s ) = N (r ) N ( s )
i
i
i
(3.65)
91
şeklinde elde edilir. Dört düğüm noktalı dörtgen eleman için şekil fonksiyonları, (3.64)
ve (3.65) bağıntıları kullanılarak:
1
N = (1 − r ) (1 + s )
1 4
(3.66a)
1
N = (1 − r ) (1 − s )
2 4
(3.66b)
1
N = (1 + r ) (1 − s )
3 4
(3.66c)
1
N = (1 + r ) (1 + s )
4 4
(3.66d)
elde edilir (Kwon vd 1997, Liu 1998). Burada N i , i. düğüme ait şekil fonksiyonudur.
Herhangi bir düğüm üzerinde, ilgili düğüm ile ilişkili şekil fonksiyonu birim değerdedir.
Diğer düğümlerde ise sıfır değerini alır. Bir eleman üzerinde şekil fonksiyonlarının
toplamı birim değere eşittir. Bu özellik (3.66) ile verilen ifadelerinin eleman düğüm
noktaları için yazılıp toplanmasıyla sağlanabilir. Eleman üzerinde herhangi bir noktanın
global koordinat değerleri şekil fonksiyonlarından yararlanarak:
n
x = ∑ N i xi
(3.67)
i =1
n
y = ∑ N i yi
(3.68)
i =1
bağıntıları ile verilir. Burada n, elemandaki toplam düğüm sayısını gösterir. Dörtgen
elemanda şekil fonksiyonlarının eleman üzerideki değişimi, ilk iki düğüm için Şekil
3.24’ de gösterilmiştir.
92
1
4
1
4
2
3
(a)
2
3
(b)
Şekil 3.24. Dörtgen elemanda şekil fonksiyonlarının eleman üzerideki değişimi a)
birinci düğüm, b) ikinci düğüm.
(3.67) ve (3.68) bağıntılarına benzer şekilde, eleman üzerindeki yatay ve düşey yerdeğiştirmeler şekil fonksiyonlarına bağlı olarak,
n
U= ∑ N U
i i
i =1
(3.69)
n
V= ∑ N V
i i
i =1
(3.70)
ile verilir. Dörtgen bir eleman için yerdeğiştirmeler dizey yapısında:
⎡u ⎤ ⎡ N
U = ⎢ ⎥= ⎢ 1
⎣v ⎦ ⎣ 0
0
N1
N1
0
0
N1
N1
0
0
N1
N1
0
0⎤
u1 v1 u2
N1 ⎥⎦
v2
u3 v3 u4
v4
T
(3.71)
verilir. Aynı şekil fonksiyonlarının hem koordinat dönüşümlerinde hem de yer
değiştirmelerde kullanıldığı elemanlara “isoparametrik elemanlar” denir.
93
3.2.4. Koordinat dönüşümleri
Sonlu eleman ağ düzenlenmesinde genel olarak, eleman düğüm koordinatları global
(kartezyen) koordinatlara bağlı olarak verilir. (3.71) ile verilen şekil fonksiyonları yerel
koordinat sistemine (r,s) bağlı olarak tanımlanmıştır. Bu nedenle global koordinatlarda
verilmiş düğüm koordinat değerlerinin yerel koordinatlara dönüştürülmesi gerekir.
Koordinat dönüşümünün elde edilmesinde (3.67) ve (3.68) ifadelerinde (r,s) yerel
koordinat değişkenlerine göre her iki tarafın türevi alınarak elde edilir.
⎡ n ∂N
i
⎡∂⎤ ⎢ ∑
⎢ ∂r ⎥ ⎢i = 1 ∂r
⎢ ∂ ⎥ = ⎢ n ∂N
⎢ ⎥ ⎢ ∑
i
⎣ ∂s ⎦ ⎢
∂
s
⎣i = 1
⎡ n ∂N
i
⎢ ∑
∂
r
⎢
J = ⎢i = 1
n ∂N
i
⎢ ∑
⎢⎣i = 1 ∂s
x
i
x
i
x
i
x
i
n ∂N
i
∑
∂
r
i =1
n ∂N
i
∑
∂
s
i =1
n ∂N
i
∑
∂
r
i =1
n ∂N
i
∑
∂
s
i =1
⎤
y ⎥⎡ ∂ ⎤
i⎥⎢ ⎥
∂x
⎥⎢ ∂ ⎥
⎢ ⎥
y ⎥ ⎢ ∂y ⎥
i⎥⎣ ⎦
⎦
(3.72)
⎤
y⎥
i⎥
⎥
y⎥
i⎥
⎦
(3.73)
Burada, dizeyine “Jacobian” dizeyi denir. (3.72) ifadesinin her iki tarafı J −1 ile
çarpılırsa global-yerel koordinat dönüşümü için
⎡∂⎤
⎡∂⎤
⎢ ∂x ⎥
⎢ ⎥
−1 ∂r
⎢ ∂ ⎥= J ⎢ ⎥
∂
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ∂s ⎦
⎣⎢ ∂y ⎦⎥
(3.74)
bağıntısı elde edilir.
94
3.2.5. Hareket denkleminin sonlu eleman yapısı
Düzlem deformasyon durumunda sonlu elemanda gelişen deformasyon, ikinci bölümde
verilen (2.15), gerilme (2.6) ve gerilme-deformasyon ilişkisi (2.20) bağıntısıyla
tanımlanmıştır. (2.15) ile verilen deformasyon bileşenleri eleman yerdeğiştirmelerine
bağlı olarak,
⎡∂
⎢
⎡ ε x ⎤ ⎢ ∂x
⎢ ⎥ ⎢
⎢ε y ⎥ = ⎢ 0
⎢γ xy ⎥ ⎢
⎣ ⎦
∂
⎢
⎢⎣ ∂y
⎤
0⎥
⎥
∂ ⎥ ⎡u ⎤
= DU
∂y ⎥ ⎢⎣ v ⎥⎦
∂⎥
⎥
∂x ⎥⎦
(3.75)
yazılarak ve U yer değiştirmesi için (3.71) ifadesi yazılırsa,
⎡ε x ⎤
⎢ ⎥
⎢ ε y ⎥ = DNU = BU
⎢γ xy ⎥
⎣ ⎦
(3.76)
elde edilir. (3.76) ifadesinde yer alan,
⎡ ∂N 1
⎢
⎢ ∂x
B= ⎢ 0
⎢
⎢ ∂N
⎢ 1
⎣⎢ ∂y
0
∂N 1
∂y
∂N 1
∂x
∂N 2
∂x
0
∂N 2
∂x
0
∂N 2
∂y
∂N 2
∂x
∂N 3
∂x
0
∂N 3
∂x
0
∂N 3
∂y
∂N 3
∂x
∂N 4
∂x
0
∂N 4
∂x
⎤
0 ⎥
⎥
∂N 4 ⎥
∂y ⎥
∂N 4 ⎥
⎥
∂x ⎥⎦
(3.77)
dizeyine “deformasyon-yerdeğiştirme” veya “kinematik dizey” denir (Zienkiewicz vd
1991). (3.76) ifadesiyle elemanda gelişen deformasyon, elemanın düğümlerindeki yer
değiştirme değerlerine bağlı olarak verilir.
95
Gerçel mertebeli türev yaklaşımı kullanılarak elde edilen Kelvin-Voigt türü modelde,
gerilme deformasyon ilişkisi (3.57) denklemiyle verilmiştir. Kelvin-Voigt türü modelde
gerilmenin elde edilmesi için (3.76) deformasyon bağıntısı (3.57) denkleminde yazılırsa,
σ = EBU +ηBDαU
(3.78)
elde edilir. Burada, D türev operatörünü, α türev mertebesini ve E düzlem deformasyon
için (2.19) ile verilen yapısal dizeyi gösterir. Sanal yerdeğiştirmeler ilkesine göre (2.45)
ile verilen denge denkleminde (3.61) ile verilen yerdeğiştirme fonksiyonu, (3.76) ile
verilen deformasyon bağıntısı ve (3.78) ile verilen gerilme denklemi yazılarak
düzenlenirse,
KU&& + CD α U + MU = f
(3.79)
hareket denklemi elde edilir. Burada f dış kuvvetleri gösterir. (3.79) ile verilen hareket
denklemindeki katsayılar çok serbestlik dereceli bir titreşim sistemi için dizey
yapısındadır. Global ve yerel koordinatlara bağlı olarak sıkılık dizeyi:
K = ∫ B T EBds = ∫
S
r
∫B
T
EB J dr ds
(3.80)
S
sönüm katsayı dizeyi:
C = ∫ B T ηBds = ∫
S
r
∫B
T
ηB J dr ds
(3.81)
S
ve kütle dizeyi:
M = ∫ N T ρ N ds = ∫
S
r
∫N
T
ρ N J dr ds
(3.82)
S
96
dir. (3.79) hareket denkleminin viskoz sönüm durumu göz önüne alınarak elde edilen
(3.49) sonucundan farkı, elemanda gelişen yerdeğiştirmelerin geçmiş değerlerine bağlı
olmasıdır. (3.80) ve (3.81) ile verilen eleman sıkılık dizeyi ve sönüm katsayı dizeyi
simetrik ve band yapısında dizeylerdir. Bu dizeylerin her birine “eleman karakteristik
dizeyi” denir. Eleman sıkılık ve karakteristik dizeylerinin yerel koordinatlara bağlı
olarak hesaplanmasında alan hesaplama işlemi “Gauss alan hesaplama yöntemi” (Gauss
quadrature) kullanılmıştır. Bu yönteme ilişkin ayrıntı Zienkiewicz vd (1983) ve Bathe’
de (1996) bulunabilir.
3.2.6. Genel dizey denkleminin elde edilmesi
Eleman dizeylerinin hesaplanmasından sonra modele ait genel dizeyler, eleman
dizeylerinin birleştirilmesiyle oluşturulur. Eleman dizeylerinin birleştirilmesi işlemi,
probleme ve kullanılan eleman türüne bakılmaksızın aynı şekilde yapılır. Eleman
dizeylerinin birleştirilmesi, eleman düğüm noktalarındaki uyumluluk koşuluna bağlı
olarak gerçekleştirilir. Bunun anlamı, herhangi bir global düğüm noktasını kullanan
elemanların bu düğüm noktasındaki yerdeğiştirme değerlerinin aynı olmasıdır. Bu
nedenle ortak düğümü kullanan elemanların bu düğüme ait sıkılık değerleri toplanarak
ortak düğüme ait global sıkılık değeri elde edilir. Benzer işlem modele ait sönüm
katsayı dizeyinin hesaplanması için de geçerlidir. Eleman dizeylerinin simetriklik
özellikleri kullanılmadığında dizey birleştirme işlemi,
E
K =∑ Ke
(3.83)
e =1
ve
E
C = ∑Ce
(3.84)
e =1
97
şeklinde cebirsel ifadelerle elde edilir. Karakteristik dizeylerin fiziksel anlamları
birbirine benzerdir. Eleman sıkılık dizeyinin j. kolonu, elemanın j. serbestlik
derecesinde birim yerdeğiştirme oluşturmak için elemanın diğer düğüm noktalarına
uygulanması gereken kuvvetleri gösterir. Benzer şekilde kütle dizeyinin j. kolonu,
elemanın j. serbestlik derecesinde birim atalet kuvveti oluşturmak için diğer düğüm
noktalarında oluşturulması gereken eylemsizlik kuvvetlerini gösterir.
Bu çalışmada model dizeylerin hesaplanmasında eleman dizeylerinin simetri özelliği
kullanılarak modele ait dizey hacimlerinin en küçük yapılmasına çalışılmıştır. (3.82) ile
verilen eleman kütle dizeyinin birleştirilerek, model kütle dizeyinin elde edilmesinde
birbirinden farklı iki yaklaşım kullanılır (Rao 1989). Bunlar, “sürekli kütle (consistent
mass)” ve “yığın kütle (lumped mass)” yaklaşımlarıdır. Sürekli kütle yaklaşımı
kullanıldığında model kütle dizeyi, model sıkılık dizeyinde olduğu gibi simetrik yapıda
elde edilir. Bu işlem (3.82) integral ifadesinin sayısal hesaplanmasıyla yapılır. Yığın
kütle yaklaşımı kullanıldığında ise köşegen (diagonal) dizey yapısında elde edilir. Bu
yaklaşımda her bir eleman kütlesi, elemanın düğümleri tarafından paylaştırılır.
Bu çalışmada, yığın kütle yaklaşımı kullanılmıştır. Eleman sıkılık ve kütle dizeylerinin
birleştirilmesinde simetri ve band özelliklerinin gösterilmesi amacıyla üç elemandan
oluşan bir sonlu eleman ağı Şekil 3.25’ de gösterilmiştir. Şekildeki sonlu eleman ağı
üzerinde kalın rakamlarla verilen numaralar global düğüm numaralarını, italik olarak
belirtilen rakamlar her bir elemana ait yerel düğüm numaralarını ve alt çizgi ile verilen
rakamlar eleman numaralarını göstermektedir.
1
3
1
2
2
4
5
1
4
1
2
m1=ρ1A1
m2=ρ2A2
3
7
1
4
3
2
m3=ρ3A3
3
2
6
4
3
8
Şekil 3.25. Üç elemandan oluşan sonlu eleman ağı.
98
Zemin birimlerinin dış kuvvetler (deprem kuvveti gibi) altında dinamik davranışının
belirlenmesinde alan değişkeni, bağıl yerdeğiştirmelerdir. Sınır koşulları olarak modele
ait sınır düğümlerinde (Şekil 3.25 için: 1, 2, 4, 6, 7 ve 8 numaralı düğümler) dış
kuvvetin uygulandığı varsayılır. Modelde gerilme ve deformasyonların oluşabilmesi
için modele ait bir sınır sabit tutulur. Burada 3 numaralı elemana ait 7. ve 8. numaralı
düğümler sabit tutulmuştur. Birinci elemana ait sıkılık ve kütle dizeyleri, anlatılan
yöntemden hareketle,
Global düğüm
numarası
Global düğüm
numarası
1
1
1 ⎡ k11
⎢ 1
2 ⎢ k21
1
3 ⎢ k31
⎢ 1
4 ⎢k
K 1 = ⎢ 41
1
7 k51
⎢ 1
8 ⎢ k61
1
5 ⎢⎢ k71
1
6 ⎢⎣ k81
2
8
5
1
k12
3
1
k13
4
1
k14
7
1
k15
1
k16
1
k17
1
k22
1
k32
1
k42
1
k23
1
k33
1
k43
1
k24
1
k34
1
k44
1
k25
1
k35
1
k45
1
k26
1
k36
1
k46
1
k27
1
k37
1
k47
1
k52
1
k62
1
k72
1
k53
1
k63
1
k73
1
k54
1
k64
1
k74
1
k55
1
k65
1
k75
1
k56
1
k66
1
k76
1
k57
1
k67
1
k77
1
k82
1
k83
1
k84
1
k85
1
k86
1
k87
6
1
⎤
k18
1 ⎥
k28 ⎥
1 ⎥
k38
⎥
1
k48
⎥,
1 ⎥
k58
⎥
1
k68
⎥
1 ⎥
k78 ⎥
1
⎥⎦
k88
⎡1⎤ 1
⎢1⎥
⎢ ⎥2
⎢1⎥ 3
⎢⎥
m1 ⎢1⎥ 4
1
M =
4 ⎢1⎥ 7
⎢⎥
⎢1⎥ 8
⎢1⎥
⎢ ⎥5
⎣⎢1⎦⎥ 6
ikinci eleman için,
Global düğüm
numarası
Global düğüm
numarası
5
⎡ k112
⎢ 2
⎢ k21
⎢ k312
⎢
8 ⎢k 2
K 2 = ⎢ 41
11 k512
⎢ 2
12 ⎢ k61
2
9 ⎢⎢ k71
10 ⎢⎣ k812
5
6
7
6
7
8
11 12 9
10
k122
2
k 22
k132
2
k 23
k142
2
k 24
k152
2
k25
k162
2
k26
k172
2
k27
k322
2
k 42
k522
2
k62
k332
2
k 43
k532
2
k63
k342
2
k 44
k542
2
k64
k352
2
k45
k552
2
k65
k362
2
k46
k562
2
k66
k372
2
k47
k572
2
k67
2
k72
k822
2
k73
k832
2
k74
k842
2
k75
k852
2
k76
k862
2
k77
k872
k182 ⎤
⎢1⎥
2 ⎥
⎢⎥
k28
⎥
⎢1⎥
2 ⎥
k38
⎢⎥
⎥
m 1
2
k48
⎥, M 2 = 2 ⎢ ⎥
4 ⎢1⎥
k582 ⎥
⎢⎥
⎥
2
⎢1⎥
k68
⎥
⎢1⎥
2 ⎥
k78 ⎥
⎢⎥
⎢⎣1⎥⎦
k882 ⎥⎦
ve üçüncü eleman için,
99
⎡1⎤
5
6
7
8
11
12
9
10
Global düğüm
numarası
Global düğüm
numarası
9
9 ⎡ k113
⎢ 3
10 ⎢ k21
3
11 ⎢ k31
⎢ 3
12 ⎢ k
K 3 = ⎢ 41
3
15 k51
⎢ 3
16 ⎢ k61
3
13 ⎢⎢ k71
3
14 ⎢⎣ k81
10
11 12 15 16 13 14
k123
k133
k143
k153
k163
k173
3
k22
3
k32
3
k42
3
k23
3
k33
3
k43
3
k24
3
k34
3
k44
3
k25
3
k35
3
k45
3
k26
3
k36
3
k46
3
k27
3
k37
3
k47
3
k52
3
k62
3
k72
3
k53
3
k63
3
k73
3
k54
3
k64
3
k74
3
k55
3
k65
3
k75
3
k56
3
k66
3
k76
3
k57
3
k67
3
k77
3
k82
3
k83
3
k84
3
k85
3
k86
k873
⎡1⎤
k183 ⎤
⎢1⎥
3 ⎥
⎢⎥
k28
⎥
⎢1⎥
3 ⎥
k38
⎢⎥
⎥
m 1
3
k48
⎥,M3 = 3 ⎢ ⎥
3 ⎥
4 ⎢1⎥
k58
⎢⎥
⎥
3
⎢1⎥
k68
⎥
⎢1⎥
3 ⎥
k78 ⎥
⎢⎥
⎢⎣1⎥⎦
k883 ⎥⎦
9
10
11
12
15
16
13
14
elde edilir. Şekil 3.25’ de verilen sonlu eleman ağı için (3.58) ifadesinde h=(4-1)=3,
nf=2, band genişliği, b=8’ ve model serbestlik derecesi nf=10 dur. Şekil 3.25’ de verilen
model ağına ait global dizeyin hesaplanmasında band genişliği dikkate alınmaz ise,
model sıkılık dizeyi (10×10) boyutunda, band genişliği kullanılırsa dizey boyutu
(10×8)’ e indirgenmiş olur. 32 bitlik bir işletim sistemi göz önüne alındığında band
özelliğinin kullanılmaması halinde, sıkılık dizeyi için bellekte 800 Byte yer ayrılması
gerekirken band özelliği kullanıldığında 640 Byte’lık bir alanın ayrılması yeterli
olacaktır. Az sayıda elemandan oluşan bir model için band genişliğinin kullanılması
fazla yarar sağlamaz. Ancak model ağın büyük sayıda eleman içerdiği durumda dizey
boyutlarında büyük oranda azalma söz konusu olur. Model sıkılık dizeyinin elde
edilmesinde, her bir elemana ait sıkılık dizeyi ve global düğüm numaraları göz önüne
alınarak birleştirilir. Sonlu eleman yönteminde, eleman dizeylerinin birleştirilmesiyle
modele ait global dizeyler elde edilmiş olur. Bu aşamadan sonra global dizeyler
üzerinde sınır koşullarının uygulanması gelir.
3.2.7. Sınır koşullarının uygulanması
Sınır-değer problemleri, matematiksel model, başlangıç ve sınır koşullarından oluşur.
Başlangıç koşullarını t=0 anı için yerdeğiştirme ve hız değerleri oluşturur. Sınır
koşulları için iki tür sınır koşulu uygulanır. Bunlar Dirichlet ve Neumann sınır
100
koşullarıdır. Dirichlet sınır koşulunda sonlu eleman ağı sınırlarında belirli noktalarda
yerdeğiştirmeler ön-tanımlıdır. Neumann sınır koşulunda ise eleman sınırlarında yer
değiştirmelerin normal türevleri ön-tanımlıdır. Hareket denkleminin sonlu eleman
yöntemi ile modellenmesinde, ağ sınırlarında dış kuvvetin uygulandığı düğümlerde yerdeğiştirmeler ön-tanımlıdır (genel olarak sıfırdır). Bu şekilde tanımlanan her iki sınır
koşuluda uygulanmış olur. Sınır koşullarının sayısal olarak uygulanmasında j. serbestlik
derecesine karşı gelen düğüm için verilen sınır koşulu, global sıkılık ve sönüm katsayı
dizeylerinde ilgili düğüme karşı gelen satır ve sütün elemanlarının birim değere, aynı
satır ve sütünün diğer elemanlarının sıfıra eşitlenmesiyle, kütle dizeyinde ise j.
serbestlik derecesine karşı gelen dizey eleman değerinin sıfır yapılmasıyla sağlanır.
Sınır koşullarının uygulanması ile genel dizeylerdeki tekil değer sorunu da giderilmiş
olur.
3.2.8. Newmark yaklaşımı
(3.79) ile verilen hareket denkleminin sayısal çözülebilmesi için denklemde yer alan
ivme,
&&
U
değerinin bilinmesi gerekir. Hareket denkleminin doğrudan integral
yöntemleriyle çözümü zaman değişkenine bağlı olarak adım adım birleştirme işlemiyle
yapılır. Doğrudan terimi, bilinmeyenin bir önceki değeriyle ilişkili olması ve denklemin
başka bir yapıya dönüştürülmediğini ifade eder. Doğrudan integral işlemi, iki temel
fikre dayanır: Birincisi, (3.79) denkleminin herhangi bir t zamanı için sağlamak yerine,
ayrık ∆t zaman aralıklarında sağlanmasına çalışılmasıdır. Bu durum, çözüm aralığı
içinde ayrık noktalarda atalet ve sönüm etkileri eklenmiş dengenin aranmasıdır. Bu
nedenle statik çözümleme işlemi için kullanılan tüm yöntemler doğrudan integral
yöntemleri içinde kullanılabilir. İkincisi, yerdeğiştirme, hız ve ivmenin ∆t zaman
aralığındaki değişimidir. Yerdeğiştirme, hız ve ivmenin değişimi yöntemin doğruluğunu
(accuracy), duraylılığını (stability) ve çözüm gücünü (efficiency) gösterir.
Doğrudan integral yöntemleri ile hareket denkleminin çözümünde yerdeğiştirme, hız ve
ivme vektörlerinin, t=0 anında bilindiği varsayılır ve (3.79) denkleminin 0-t zaman
101
aralığında çözümü bulunmaya çalışılır. t zamanı n adet alt zaman aralığına bölünür,
∆t=t/n ve doğrudan integral yaklaşımı ∆t, 2∆t, 3∆t, ..., t zamanları için ayrı ayrı
uygulanır. Yöntem ti+∆t zamanındaki çözüm için 0, ∆t, 2∆t,..., ti zaman değerlerinin
bilinmesini gerektirir. Doğrudan integral yöntemlerinde genel olarak sabit bir ∆t zaman
aralığı kullanılsa da, kolaylıkla değişken zaman aralığı kullanılabilir. Uygulamalarda
sıkça kullanılan yöntemlerin başında koşulsuz durağan çözüm veren Newmark (1959)
yaklaşımı verilebilir. Bu çalışmada hareket denkleminin doğrusal bir denklem takımına
dönüştürülmesi için Newmark (1959) Beta yaklaşımı kullanılmıştır. Newmark beta
.
yaklaşımı, ortalama ivme yaklaşımının genelleştirilmiş halidir. U t + ∆t , U t + ∆t yerdeğiştirme
ve hız değerleri t+∆t zamanı için Taylor serisine açılırsa:
.
U t + ∆t = U t + ∆t U t +
.
..
∆t 2
∆t 2 ..
( 1 − α) U t +
α U t + ∆t
2
2
.
..
(3.85)
..
U t + ∆t = U t + ∆t( 1 − β) U t + ∆tβ U t + ∆t
(3.86)
elde edilir. Burada verilen son terimler seri açılımda kalan terimler için bir yaklaşımdır
(Chopra 1995, West vd 1999, Zienkiewicz 1977). Bu ifadelerdeki α ve β değerleri
integral işleminin doğruluğunu ve durağanlılığını gösteren katsayılardır. α=0.5 ve
β=0.25 değerleri için (3.85) ve (3.86) bağıntıları ortalama ivme yaklaşımını gösterir. Bu
yaklaşım aynı zamanda “yamuk kuralı” denir. Ortalama ivme yaklaşımı Şekil 3.26’ da
gösterilmiştir.
U&&
U&&t + ∆t
u&&(τ ) = 0.5 × (u&&i +1 + u&i )
U&&t
ti
τ
ti+1
t
Şekil 3.26. Ortalama ivme yaklaşımı (Newmark 1959).
102
(3.85) ve (3.86) ifadeleriyle birlikte (3.79) hareket denklemi, t+∆t zamanındaki yerdeğiştirme, hız ve ivme değerlerini çözmek için kullanılır. Bunun için (3.85)
..
bağıntısında U t + ∆t için,
4
4
U&&t + ∆t = 2 [U t + ∆t − U t ] − U& t − U&&t
∆t
∆t
(3.87)
elde edilir. (3.87) ifadesi (3.79) hareket denkleminde yazılır ve (3.55) ifadesiyle verilen
Grünwald tanımı kullanılırsa,
−α
⎤
⎡ 4
4 &
⎡ 4
⎛ t ⎞
&& ⎤
⎢ 2 M + ⎜ ⎟ A1 C + K ⎥ U t + ∆t = f t + ∆t + M ⎢ 2 U t + U t − U t ⎥
∆t
⎣ ∆t
⎦
⎝N⎠
⎥⎦
⎢⎣ ∆t
⎛ t ⎞
−C ⎜ ⎟
⎝N⎠
α N −1
∑
j =1
(3.88)
j
A j +1 U (t (1 − ))
N
elde edilir. Burada etkin (effective) sıkılık dizeyi, K mod :
K mod = K +
4
⎛ t ⎞
M +⎜ ⎟
2
∆t
⎝N⎠
−α
(3.89)
A1 C
ve etkin kuvvet vektörü Fmod :
..
4 .
⎤
⎡ 4
⎛ t ⎞
Fmod = f t + ∆t + M ⎢ 2 U t + U t − U t ⎥ − C ⎜ ⎟
∆t
⎝N⎠
⎦
⎣ ∆t
−α
N −1
∑A
j =1
U (t (1 −
j +1
j
))
N
(3.90)
yazılırsa U t + ∆t yer değiştirmeleri için doğrusal denklem yapısı,
K mod U t + ∆t = Fmod
(3.91)
elde edilir. (3.91) ifadesiyle (3.79) hareket denklemi doğrusal denklem takımının
çözümüne indirgenmiş olur.
103
3.2.9. Doğrusal denklem takımının çözülmesi
(3.91) denklem sisteminin U t + ∆t yerdeğiştirmeleri için çözülebilmesi, etkin sıkılık
dizeyinin tersinin alınmasını gerektirir. Bu çalışmada, Gauss yok etme (Gauss
elemination) yönteminde işlemlerin dizey yapısında yürütüldüğü LDLT ayrışım
(decomposition) yöntemi sıkılık dizeyinin tersinin alınmasında kullanılmıştır. Bu
yöntemde K mod dizeyi, K mod = LDLT şeklinde üç dizeyin çarpımına indirgenir. L
dizeyi alt üçgen ve D dizeyi köşegen bir dizeydir.Yönteme ilişkin ayrıntılı bilgi Bathe
(1996), Hughes (1987) ve Krishnomoorthy’ de (1996) bulunabilir. t+∆t zamanı için
U t + ∆t yerdeğiştirmesinin çözülmesi ile (3.85) ve (3.86) bağıntıları kullanılarak, t+∆t
.
zamanındaki hız, U
..
t + ∆t
ve ivme, U
t + ∆t
değerleri elde edilir. Bu aşamadan sonra
istenilen diğer büyüklükler; örneğin eleman içerisinde her bir t zamanlarındaki gerilme
ve deformasyon değerleri sırasıyla (3.76) ve (3.78) denklemleri kullanılarak hesaplanır.
Dinamik bir problemin sonlu eleman yöntemiyle çözülmesinde yürütülen işlem adımları
Şekil 3.27’ de gösterilmiştir. Şekil 3.28 ve Şekil 3.29’ da sırasıyla Quad4m programı
(Hudson vd 1994) ve Dyn2d programında yürütülen genel işlem adımları gösterilmiştir.
104
FİZİKSEL PROBLEM
Matematiksel
modelin yinelenmesi
MATEMATİKSEL MODEL VE
VARSAYIMLAR
a) Geometrik varsayımlar
b) Kinematik varsayımlar
c) Model üzerindeki varsayımlar
Model veya Çözüm
Parametrelerin
değiştirilmesi
SONLU ELEMAN ÇÖZÜMÜ
a) Eleman seçimi
b) Model ağ tasarımı (geometrik şekil seçimi, eleman
sayısı vb. gibi)
c) Çözüm parametrelerin seçimi
d) Model üzerinde kuvvetlerin seçimi
e) Sınır koşullarının gösterimi
vb. gibi
Fiziksel modelin
yinelenmesi
Çözünürlük
hassasiyet derecesi
SONUÇLARIN
YORUMLANMASI
Çözümün
yinelenmesi
MODELİN GELİŞTİRİLMESİ
VEYA
YAPISAL DURUMUN ORTAYA KONULMASI
Şekil 3.27 Dinamik bir problemin sonlu eleman yöntemi ile çözümünde temel işlem
adımları.
105
BAŞLA
Sonlu eleman ağına ait bilgilerin girilmesi ve dizey
boyutlarını belirle
Yineleme işlemine başla (iter = 1 )
Eleman kütle, sıkılık ve sönüm dizeylerini hesapla
Eleman dizeylerini birleştirerek global dizeyleri oluştur
Sınır koşullarını uygula
Başlangıç ivme, hız ve yer değiştirmelerini ata
Dinamik çözüm işlemine başla (ktime = 1)
Etkin kuvvet vektörünü hesapla
Durdurma
ölçütünü sağlıyor
mu ?
Hareket denklemini yer değiştirmeler için çöz.
Her bir düğümdeki ivme ve hız değerlerini hesapla
H
Her bir elemandaki gerilmeleri hesapla
ktime =ktime+1
H
E
ktime > N
Modül (G/Gmax) ve
sönüm (ζ)
oranlarını güncelle
iter = iter + 1
BİTİR
E
Sonuçları Yaz
iter >Liter
Şekil 3.28. Quad4m programı işlem akış şeması.
106
H
E
BAŞLA
Sonlu eleman ağına ait giriş bilgilerini oku, dizey
boyutlarını,ve zemin dinamik modülleri hesapla
Eleman sıkılık ve kütle dizeylerini hesapla
Başlangıç ivme, hız ve yerdeğiştirmeleri ata
Kesirsel türev mertebesini ata (α = 0.5 )
Grünwald katsayılarını ve eleman sönüm dizeyini
hespla
Eleman dizeylerini birleştirerek Global dizeyleri
oluştur.
Sınır koşullarını uygula
Dinamik çözüme başla (ktime = 1 )
Her bir düğüm noktası için sönüm değerini hesapla
Etkin kuvvet vektörünü hesapla
Hareket denklemini yer değiştirmeler için çöz
Düğüm ivme, hız değerlerini ve elemanlardaki
gerilmeleri hesapla
H
ktime =ktime+1
ktime > N
E
BİTİR
Sonuçları Yaz
Şekil 3.29. Dyn2d programı işlem akış şeması.
107
Durdurma
ölçütünü sağlıyor
mu ?
H
E
4. ARAŞTIRMA BULGULARI
4.1. Uygulamalar
Zeminlerde sönümün veya sismik dalga enerji kaybının modellenmesi, temel kayadan
zemine gelen deprem dalgalarının yeryüzüne ulaşıncaya değin geçen süreçte,
enerjisindeki kaybın belirlenmesidir. Bu tez çalışmasında sabit bir değer veya frekansa
bağlı sönüm yerine yapısal elemanda gelişen deformasyonu göz önüne alan, kesirsel
türev yaklaşımını kullanmak amacıyla Dyn2d adı verilen bir bilgisayar programı
MATLAB programlama dili kullanılarak yazılmıştır. Farklı fiziksel ve geometrik
özelliklerdeki beş farklı model üzerinde, her iki sönüm yaklaşımı kullanılarak aynı
eleman ve düğüm noktalarında hesaplanan ivme ve gerilme zaman geçmişleri
karşılaştırılmıştır. Quad4m programına karşılık Dyn2d programı, gerilme değerlerinin
hesaplandığı elemanlarda makaslama modül değişimine karşılık, sönüm oranı veya
enerji
kaybı
oranını
kümülatif
deformasyona
bağlı
olarak
verir.
Sönümün
hesaplanmasında kullanılan kesirsel türev mertebesi, zeminin fiziksel özelliklerine bağlı
olarak 0~2.5 aralığında değişim göstermesine karşılık, burada verilen uygulamalarda
0.5 değeriyle sabit tutulmuştur. Quad4m programına göre hareket denkleminin zaman
ortamı sayısal çözümünde, her bir yineleme işleminde makaslama modül oranı ve
sönüm oranı değerleri sabit bırakılır ve yineleme sonunda her iki modül oranı
güncellenerek bir sonraki yineleme işlemine geçilir. Bu güncelleştirme işlemi, farklı
zemin türlerine ait laboratuar deney sonuçlarına dayanarak yapılır. Frekans ortamında
sönüm işlemi modellenirken sönüm oranı ve makaslama modül oranı için kompleks
simgeleme kullanılır ve sayısal hesaplamalar frekansın bağımlı değişkeni olarak
yürütülür. Kesirsel türev yaklaşımında ise sönümün hesaplanması her bir zaman
adımında yeniden hesaplanırken her bir yineleme işlemi sonunda kesirsel türev
mertebesi değiştirilir. Kesirsel türev mertebesi yapılan uygulamalar sonucunda, modelin
fiziksel özelliklerine göre 0~2.5 aralığında değer aldığı görülmüştür. Bu bölümde ele
alınan modellere ait Quad4m sonuçları üç yineleme ile elde edilmiştir.
108
Temel kayadan yer yüzeyine ulaşan dalgaların sönümlenmesinde rol oynayan temel
etkenler Hardin vd (1972a) tarafından ayrıntılı olarak verilmiştir. Elde edilen sonuçlara
göre; sönüm üzerinde etkin olan en önemli etkenlerin başında yapısal elemanda gelişen
deformasyon gelmektedir. Ayrıca, gerek iri daneli (kohezyonsuz) gerekse ince daneli
(kohezyonlu) zemin türlerinde frekansın sönüm üzerinde belirgin bir etkisinin
olmadığını göstermişlerdir. Hardin vd’ nin (1972) elde etmiş olduğu sonuçlar Çizelge
3.2’ de ayrıntılı olarak verilmiştir. Quad4m (Hudson vd 1994) programı belirtildiği gibi
sönüm işlemi için frekansa bağlı yaklaşım kullanır. Sönüm için her iki programın
kullandığı yaklaşımlar dışında genel işlem adımları benzerdir. Her iki programda
çözümlemeler zaman ortamında gerçekleştirilir. Quad4m programı sönüm için (3.40)
denklemini kullanır. Bu denklemde yer alan iki frekans değerinden birincisi; ele alınan
modelin doğal titreşim frekansıdır. İkinci frekans değeri ise; temel kayaya ulaşan
deprem dalgasının hakim titreşim frekansıdır. Quad4m programı hesaplanan bu iki
frekans aralığında minimum sönüm ve bu frekans aralığı dışında maksimum sönüm
uygulanacak şekilde yaklaşım sağlar. Quad4m programı başlangıçta Dyn2d programına
göre oldukça fazla sayıda parametre grubunu giriş verisi olarak alır. Yoğunluk,
başlangıç sönüm oranı ve başlangıç makaslama modül oranı değerleri laboratuar
deneyleriyle elde edilir. Buna karşın Dyn2d programı daha esnek bir giriş veri
yapısındadır. Dyn2d programı ele alınan modele ait sismik hızları (Vp, Vs), yoğunluk
değerini (isteğe bağlı olarak program tarafından hesaplanabildiği gibi giriş dosyasından
da okutulabilir), sonlu eleman ağına ait eleman ve düğüm noktaları bilgilerini giriş
verisi olarak alır. Bu açıdan Dyn2d programı laboratuar verisine gerek duymadan
yalnızca jeofizik veriye dayanarak hesaplama işlemi yapabilmektedir. Dyn2d
programında sismik dalga hızlarını kullanarak maksimum makaslama modülü:
G max = ρ × Vs 2
(Pa)
(4.1)
yoğunluk:
3
ρ = 0.31× Vp 0.28 (g/cm )
(4.2)
ve Poisson oranı:
109
2
1 2 − (V p / V s )
2 1 − (V p / V s ) 2
(4.3)
υ= ×
bağıntıları kullanılmıştır (Ammon 2001). Her iki program gerek İngiliz birim sistemini
gerekse uluslararası (SI) birim sistemini kullanabilmektedir. Modellere ait sonlu eleman
ağında belirtilen içi dolu elemanlar, gerilmelerin hesaplandığı elemanları gösterir. İvme
değerleri ise gerilme değerlerinin hesaplandığı elemanların birinci düğüm noktalarına
aittir. Hesaplanmış ivme zaman geçmişlerinin Fourier dönüşümleri alınmış ve her bir
modelin spektral tepkisine 10 Hz kesme frekansında alçak geçişli Butterworth süzgeç
işlemi uygulanarak gösterilmiştir. Verilen uygulamalarda modellere ait sismik hız (Vp,
Vs) ve yoğunluk değerleri ilk model için Idris vd’ den (1973), ikinci model değerleri
Hudson vd’ den (1994) alınmıştır. Son üç modelde, zemin birimlerinin yaklaşık sismik
hız ve yoğunluk değerleri kullanılmıştır. Quad4m ve Dyn2d programları için kullanılan
giriş verisinin dosya içerikleri sırasıyla EK 2 ve EK 3’ de verilmiştir.
4.1.1. Model 1
Zemin dinamik davranışının belirlenmesi ve kesirsel türev yaklaşımı ile sönüm
hesaplanmasının kullanımını göstermek amacıyla, temel kaya üzerinde yer alan 1500 ft
genişliğinde ve 100 ft kalınlığında kumlu bir zemin ele alınmıştır. Model, Idris vd’ den
(1973) alınmıştır. Modele ait sonlu eleman ağı Şekil 4.2’ de gösterilmiştir. Quad4m ve
Dyn2d programları için modele ait özellikler sırasıyla Çizelge 4.1 ve Çizelge 4.2’ de
gösterilmiştir. 17 Ekim 1989 Loma Prieta depremi (M= 6.9) temel kaya giriş ivme verisi
olarak kullanılmıştır. Loma Prieta depremi, San Andreas fayı üzerinde Santa Cruz
dağlarında meydana gelmiştir. Depremin ana şok süresi 15 s’ dir. Deprem özellikle San
Francisco ve çevresinde etkili olmuştur. Deprem merkez üssü 37.04° K enlemi ve
121.88° B boylamıdır. Loma Prieta zirvesi adı verilen Santa Cruz’ un yaklaşık 14 km
kuzey doğusu ve San Francisco’ nun yaklaşık 96 km güney doğusundadır. Depremin
odak derinliği 18 km, yüzey kırık uzunluğu 35 km ve yatay atım miktarı 2 m olarak
ölçülmüştür (Platkers vd 1989). Loma Prieta depremi sonucu 1500 ev ve işyeri
110
tamamen yıkılmış, yaklaşık 27,000 ev ve işyeri hasar görmüştür. Ölü sayısı 62 yaralı
sayısı ise yaklaşık 14,000 olarak belirlenmiştir. Depremin Amerikan ekonomisine etkisi
yaklaşık 6 milyar dolar olmuştur. Bölgede çeşitli kurum ve kuruluşlarca ölçülen ivme
değerleri, yerçekimi ivme değerinin %47 ile %55 arasındadır. Şekil 4.1’ de depremin
oluşturduğu hasar gösterilmiştir. Loma Prieta depremi, hasarın zemin tabakalarının
kendisine gelen deprem dalgalarını önemli ölçüde büyütmesi nedeni ile oluşturduğunu
gösterebildiğinden, tarihteki önemli depremler arasında yer almaktadır.
Şekil 4.2’ de gösterilen modele ait sonlu eleman ağında, içi dolu elemanlar gerilme ve
ivme zaman geçmişlerinin hesaplandığı elemanları gösterir. İvme zaman geçmişleri
ilgili elemanların birinci düğüm noktalarında hesaplanmıştır. Model-1’ de ivmeler 3, 57
ve 111 numaralı düğüm noktalarında, gerilmeler ise 3, 48 ve 93 numaralı elemanlarda
hesaplanmıştır. Modelde İngiliz birim sistemi kullanılmıştır. Model alt sınırına ait
düğüm noktaları sabit tutularak, modelin yalnızca yatay doğrultuda hareketine izin
verilmiştir. Her iki program tarafından aynı düğüm noktalarında hesaplanan ivme
zaman geçmişleri Şekil 4.3’ de gösterilmiştir. Her iki program sonucu elde edilen ivme
zaman geçmişlerine ait hesaplanmış dalga şekilleri benzerlik göstermektedir.
Hesaplanan ivme zaman geçmişleri arasındaki farklılıklar uygulanan farklı sönüm
yaklaşımlarından ileri gelmektedir. Şekil 4.3’ de gösterilen hesaplanmış ivmelere ait
model spektrum yanıtı Şekil 4.4’ de gösterilmiştir. Şekil 4.4’ den görüleceği üzere
hesaplanan hakim periyotlar her iki program için benzerlik gösterirken, genlik
değerlerinde farklılıklar görülmektedir. Şekil 4.2’ de içi dolu olarak gösterilen
elemanlara ait gerilme zaman geçmişleri Şekil 4.5’ de gösterilmiştir. Her iki program
tarafından hesaplanan gerilme değerleri yaklaşık benzerdir. Şekil 4.6’ da Model 1’ e ait
makaslama modül oranı (G/Gmax) ve sönüm oranı (D/Dmax) kümülatif deformasyona
bağlı olarak gösterilmiştir. Şekil 4.7’ de gerilme zaman geçmişlerinin hesaplandığı
düğümlerdeki gerilme değerlerinin derinlikle değişimi gösterilmiştir. Model 1 için
Dyn2d programında kullanılan sismik hızlar ve yoğunluk değerleri aynı model için
verilen Quad4m verisinden yararlanarak hesaplanmıştır.
111
Şekil 4.1. 17 Ekim 1989 (M= 6.9) Loma Prieta depremi sonucu oluşan hasar.
Şekil 4.2. Model 1 sonlu eleman ağı.
Çizelge 4.1. Model 1 için Quad4m programı giriş verisi
UNITS (E for English, S for SI):
E
DRF
PRM
1
0.65
ROCKVP ROCKVS ROCKRHO
0
0
0
NELM NDPT NSLP
100
126
0
KGMAX KGEQ N1EQ N2EQ N3EQ NUMB KV KSAV
2000 2000
DTEQ
EQMUL1
1
1 2000
3
2
0
EQMUL2 UGMAX1 UGMAX2 HDRX HDRY NPLX NPLY
PRINPUT
112
Çizelge 4.1. devamı
0.02
1
1
0
0
3
3
8
8
0.153
EARTHQUAKE INPUT FILE NAME(S) & FORMAT(S)
SC_0.ACC
*
SC_V.ACC
*
SOUT AOUT KOUT
1
1
0
STRESS OUTPUT FORMAT (M or C), FILE PREFIX, AND SUFFIX:
COMBINED
STRES
DAT
ACCELERATION OUTPUT FORMAT (M or C), FILE PREFIX, AND SUFFIX:
COMBINED
ACCEL
DAT
----------------------------------------------------------------------------N NP1 NP2 NP3 NP4 TYPE
1
1
7
8
2
2
DENS
PO
GMX
G
XL LSTR
131
0.43
302
181. .10000
0.43
302
181. .10000
X1IH
XIH
……………………………………………….
100 119 125 126 120
2
131
N XORD YORD BC OUT
X2IH
1
-900
100 3
…………………………
126
600
0 3
Çizelge 4.2. Model 1 için Dyn2d programı giriş verisi
121
100 126
2000 1 2000 2
0.02 1 1 0 0 3 3 8 8
SC0.dat
SCV.dat
m1e.txt
113
X2IV
X1IV
XIV
m1n.txt
-------------------------------------------------------------no nd1 nd2 nd3 nd4
1
1
7
8
2
rho
vp
vs str
4.06 770 270 0
………………………………..................................
100 119 125 126 120 4.06 770 270 0
n
x
y bc x2 x1 x y2 y1 y acc
1 -900 100 3 0 0 0 0 0 0 0
………………………………….................
126 600
0 3 0 0 0 0 0 0 0
Şekil 4.3. Model 1 için hesaplanan ivme zaman geçmişi.
114
Şekil 4.4. Verilen ivme zaman geçmişlerinin Fourier spektrumları.
Şekil 4.5. Model 1 için hesaplanan gerilme zaman geçmişi.
115
Şekil 4.6. Model 1 makaslama modül oranı (G/Gmax) ve sönüm oranı (D/Dmax)’ ın
makaslama deformasyonu ile değişimi.
Şekil 4.7. Model 1 için makaslama gerilmenin derinlikle değişimi.
116
4.1.2. Model 2
İkinci model, 6000 ft genişliğinde ve 100 ft kalınlığında bir kil birimidir. Model Hudson
vd’ den (1994) alınmıştır. Modele ait sonlu eleman ağı Şekil 4.8’ de gösterilmiştir. Her
iki program tarafından modele ait hesaplanan ivme zaman geçmişleri 164, 167 ve 170
numaralı düğümler ve gerilme zaman geçmişleri 139, 142 ve 145 numaralı elemanlara
aittir. Dyn2d programı için model giriş verisi Çizelge 4.3’ de ve Quad4m programı için
giriş verisi Çizelge 4.4’ de verilmiştir. Modelde İngiliz birim sistemi kullanılmıştır.
Modele ait ivme zaman geçmiş değerleri Şekil 4.9’ da gösterilmiştir. Şekil 4.10’ da
hesaplanan ivme zaman geçmişlerine ait spektrum yanıtı gösterilmiştir. Her iki program
tarafından hesaplanan ivme zaman geçmiş değerleri ve hakim doruk periyotları yaklaşık
benzerdir. Model 1’ de olduğu gibi her iki program tarafından hesaplanan ivme ve
spektrum
yanıtları
arasındaki
fark
kullanılan
sönüm
yaklaşımlarından
kaynaklanmaktadır. Gerilme zaman geçmişleri Şekil 4.11’ de gösterilmiştir. Hesaplanan
gerilme değerlerinin birbirine yakın olduğu görülmektedir. Hesaplanan makaslama
modül oranı (G/Gmax) ve sönüm oranı (D/Dmax) değişimi Şekil 4.12’ de gösterilmiştir.
Şekil 4.13’ de her iki program tarafından hesaplanan gerilmelerin derinlikle değişimi
gösterilmiştir. Model 1 için kullanılan 17 Ekim 1989 Loma Prieta depremi (M=6.9)
ivme kaydı Model 2 içinde temel kaya giriş ivme verisi olarak kullanılmıştır. Quad4m
programı için başlangıç sönüm oranı %10 ve başlangıç makaslama modülü ise
maksimum makaslama modülü değerinin %60 alınmıştır.
117
121
330 388
2000 1 2000 2
0.02 1 1 0 0 3 3 8 8
SC0.dat
SCV.dat
m2e.txt
m2n.txt
............................................................................................................
n
nd1
1
1
nd2
nd3
nd4
2
7
rho
vp
6 3.72
vs
str
300.00
0
1000.00
…………………………………………............................................
330 378
n
1
379
x
388
387 3.72
y bc h2 h1 h v2
-2100 50 3
0 0
1000.00 300.00
v1 v
0
acc
0
00
0
………………………………………………..........................
388
4250
0 3
0 0
0 0
0
0
118
0
0
UNITS (E for English, S for SI)
E
DRF
PRM
1
0.65
NELM NDPT NSLP
330 388
2000
2000
1
DTEQ
EQMUL1
0.02
1
1 2000
3
2
EQMUL2 UGMAX1 UGMAX2 HDRX HDRY NPLX NPLY PRINPUT
1
3
3
8
8
0.153
EARTHQUAKE INPUT FILE NAME(S) & FORMAT(S)
SC_0.ACC
*
SC_V.ACC
*
SOUT AOUT KOUT
1 1
COMBINED
STRES
DAT
ACCELERATION OUTPUT FORMAT (M or C), FILE PREFIX, AND SUFFIX
COMBINED
ACCEL
DAT
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------N NP1 NP2 NP3 NP4 TYPE
1
1
2
7
6
1
DENS
PO
GMX
G
XL
120
0.45
345
249.
.08198
LSTR
…………………………………………….............................................................
330 378 379 388 387
N
XORD
1
-2100
1
YORD BC OUT
50
120
X2IH
0.45
X1IH
3
…………………………........
388
4250
0
3
119
345
XIH
210.
.11063
X2IV
X1IV
XIV
Şekil 4.9. Model 2 için hesaplanmış ivme zaman geçmişi.
120
Şekil 4.11. Model 2 için hesaplanan gerilme zaman geçmişleri.
Şekil 4.12. Model 2 için makaslama modül (G/Gmax) ve sönüm oranının (D/Dmax)
makaslama deformasyonu ile değişimi
121
Şekil 4.13. Model 2 için makaslama gerilmenin derinlik ile değişimi.
4.1.3. Model 3
Model 3, 1150 m genişliğinde ve 170 m kalınlığında bir yelpaze yapısıdır. Her iki
program için kullanılan model giriş verisi Çizelge 4.5 ve Çizelge 4.6’ da verilmiştir. Ele
alınan modelin oldukça gevşek bir zemin olduğunu göstermek amacıyla Dyn2d
programı için verilen sismik hızlar oldukça düşük seçilmiştir. Quad4m için verilen giriş
değerleri sismik hız ve yoğunluk değerlerinden hesaplanmıştır. Quad4m programı için
başlangıç sönüm oranı %10 ve başlangıç makaslama modül oranı değeri için,
hesaplanan maksimum makaslama modül oranının %60 kullanılmıştır. Model 3 için
uluslararası birim sistemi kullanılmıştır. Modele ait sonlu eleman ağı Şekil 4.15’ de
gösterilmiştir. Her iki program için hesaplanan ivme zaman geçmişleri 4, 43, 160 ve
163.numaralı düğüm noktalarında, gerilme zaman geçmişleri ise 4, 41, 147, 151 ve 154
numaralı elemanlara aittir. Her iki program için hesaplanan ivme zaman geçmişleri
Şekil 4.16’ da ve ivme zaman geçmişlerine ait model spektrum yanıtları Şekil 4.17’ de
gösterilmiştir. Her iki program tarafından hesaplanan doruk periyotları farklıdır.
Hesaplanan gerilme zaman geçmişleri Şekil 4.18’ de gösterilmiştir. Dyn2d programı
122
tarafından hesaplanan makaslama modül oranı (G/Gmax) ve sönüm oranın (D/Dmax)
kümülatif deformasyona bağlı değişimi Şekil 4.19’ da gösterilmiştir. Şekil 4.20’ de her
iki program tarafından hesaplanan ve Şekil 4.18’ de gösterilen gerilme zaman
geçmişlerine ait doruk değerleri derinliğe bağlı olarak gösterilmiştir. Model 3’ de temel
kaya giriş ivme verisi olarak 12 Kasım 1999 Düzce depremi (M=7.2)’ in Bolu ili ivme
kaydı kullanılmıştır. Afet işleri Genel Müdürlüğü Deprem Araştırma Dairesi tarafından
depremde ölçülen maksimum ivme doruk değeri yerçekimi ivmesinin yaklaşık %80’ i
olarak elde edilmiştir.
Şekil 4.14. 12 Kasım 1999 Düzce depremi (M=7.2) oluşan hasar.
TEMEL KAYA
123
Çizelge 4.5. Model 3 Dyn2d programı giriş verisi
221
179 203
3000 1 3000 2
0.01 1 1 0 0 1 1 1 1
bolue.txt
boluv.txt
m3e.txt
m3n.txt
----------------------------------------------------------------------------n
n1
n2
n3
n4
1
1
3
2
2
rho
2.2
vp
vs
310
str
125
0
...............................................…………………………………….
179 190
n
191
203
202
2.2
310
125
0
x
y
bc
x2
x1
x
y2
y1
y
acc
1 -1000
170
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
…………………………………………
203
150
0
3
0
0
0
Çizelge 4.6. Model 3 Quad4m programı giriş verisi
S
DRF PRM ROCKVP ROCKVS ROCKRHO
1 .65
NELM NDPT NSLP
179 203
3000
DTEQ
3000
EQMUL1
0.01
1
1 3000
3
2
1
1
1
1
0.765
EARTHQUAKE INPUT FILE NAME(S) & FORMAT(S) (* for FREE FORMAT)
bolue.txt
*
boluv.txt
*
124
1
1
SOUT AOUT KOUT
1 1
COMBINED
STRES
DAT
COMBINED
ACCEL
DAT
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------N NP1 NP2 NP3 NP4 TYPE
1
1
3
2
2
2
DENS
22
PO GMX
G
XL LSTR
0.4
21
0.1
35
..……………………………………….......................................................................................
179 190 191 203 202
2
N
XORD YORD BC OUT
1
-1000
170
22
X2IH
0.4
X1IH
35
XIH
21
X2IV
0.1
X1IV
XIV
3
…………………………
203
150
0
3
125
126
Şekil 4.19. Model 3 için makaslama modül oranı (G/Gmax) ve sönüm oranı (D/Dmax)’
in makaslama deformasyonu ile değişimi.
Şekil 4.20. Model 3 için makaslama gerilmesinin derinlik ile değişimi.
127
4.1.4. Model 4
Model 4’ de düzgün temel topografyasına sahip olmayan bir zemin türünün davranışı
incelenmiştir. Modele ait sonlu eleman ağı Şekil 4.22’ de gösterilmiştir. Modelde
uluslararası birim sistemi kullanılmıştır. Model 5000 m genişlikte ve 80 m kalınlıktadır.
Modele ilişkin ivme zaman geçmişleri 51, 117, 182, 195 ve 302 numaralı düğümler ve
gerilme zaman geçmiş değerleri 176, 178, 180, 182 ve 184 numaralı elemanlara aittir.
Her iki program için gerekli giriş verisi Çizelge 4.7 ve Çizelge 4.8’ de verilmiştir.
Hesaplanan ivme zaman geçmişleri Şekil 4.23’ de gösterilmiştir. Modelde belirtilen
düğüm noktalarına ait hesaplanan ivme zaman geçmişi spektrum yanıtı Şekil 4.24’ de
gösterilmiştir. Her iki program tarafından hesaplanan spektrum yanıtı, yaklaşık aynı
periyotlarda doruk değerleri vermiştir. Modelde belirtilen elemanlara ait hesaplanan
gerilme zaman geçmişleri Şekil 4.25’ de gösterilmiştir. Dyn2d programı tarafından
hesaplanan makaslama modül oranı (G/Gmax) ve sönüm oranı (D/Dmax) değerlerinin
kümülatif deformasyona bağlı olarak değişimi Şekil 4.26’ da gösterilmiştir. Şekil 4.27’
de gerilme zaman geçmişlerinin hesaplandığı elemanlardaki maksimum gerilme
değerlerinin derinlikle değişimi gösterilmiştir. Model 4 için temel kaya giriş ivme verisi
için 27 Haziran 1998 Adana-Ceyhan depreminin (M= 5.9) Ceyhan kaydı kullanılmıştır.
Şekil 4.21. 27 Haziran 1998 Adana-Ceyhan depremi (M= 5.9) sonucu oluşan hasar.
128
TEMEL KAYA
221
304 329
5843 1 5843 2
0.005 1 1 0 0 1 1 1 1
ceyhanl.txt
ceyhanv.txt
m4e.txt
m4n.txt
---------------------------------------------------------n
n1 n2 n3
1
1
3
2
n4
rho
vp
vs str
2 2.30 1200 450
0
……………………………………………..
304 327 328 329 329 2.30 1200 450 0
n
x
y
1 -3600 78
bc x2 x1 x
3 0 0 0
y2 y1 y acc
0 0 0 0
………………………………….
329 2400
78
3 0 0 0
0 0 0 0
129
Çizelge 4.8.Model 4 için Quad4m programı giriş verisi
S
DRF
PRM
1
0.65
NELM NDPT NSLP
304 329
5843
DTEQ
5843
1
EQMUL1
0.005
1 5843
3
2
1
1
1
1
1
1
ceyhanl.txt
*
ceyhanv.txt
*
SOUT AOUT KOUT
1 1
COMBINED
STRES
DAT
COMBINED
ACCEL
DAT
N NP1 NP2 NP3 NP4 TYPE
1
1
3
2
2
DENS
2
22.56
PO GMX
0.42
G
XL LSTR
465 279. .10000
………………………………………...........................................................
304 327 328 329 329 2
N
1
XORD
-3600
22.56
0.42
465
YORD BC OUT
X2IH
X1IH
78
3
………….....................
329
2400
78
3
130
279. .10000
XIH
X2IV
X1IV
XIV
0.676
131
132
4.1.5. Model 5
Beşinci model olarak, yaklaşık 25 km genişliğinde ve 140 m kalınlığında bir basen
modeli ele alınmıştır. Model sonlu eleman ağı Şekil 4.29’ da gösterilmiştir. Modele
ilişkin ivme zaman geçmiş değerleri 19, 48, 157 ve 292 numaralı düğümlere ve gerilme
zaman geçmişleri 143, 146 ve 149 numaralı elemanlara aittir. Her iki program için giriş
verisi Çizelge 4.9 ve Çizelge 4.10’ da gösterilmiştir. Modelde uluslararası birim sistemi
kullanılmıştır. Hesaplanan ivme zaman geçmişleri Şekil 4.30’ da gösterilmiştir. Şekil
4.31’ de hesaplanan ivme zaman geçmişlerine ait spektrum yanıtı gösterilmiştir. Her iki
program tarafından hesaplanan spektrum yanıtı farklı periyotlarda doruk ivme değerleri
vermiştir. Hesaplanan gerilme zaman geçmişleri Şekil 4.32’ de gösterilmiştir.
Hesaplanan gerilme değerleri arasında belirgin farklar elde edilmiştir. Dyn2d programı
tarafından hesaplanan makaslama modül oranı (G/Gmax) ve sönüm oranının (D/Dmax)
kümülatif deformasyona bağlı değişimi Şekil 4.33’ de gösterilmiştir. Şekil 4.34’ de
belirtilen elemanlarda hesaplanan gerilme pik değerlerinin derinlikle değişimi
gösterilmiştir. 1 Mayıs 2003 Bingöl depremi (M=6.1) Model 5 için temel kaya giriş
ivme verisi olarak kullanılmıştır. Afet İşleri Genel Müdürlüğü Deprem Araştırma
133
Dairesi tarafından ölçülen maksimum deprem ivme doruk değeri yaklaşık 0.55 g olarak
elde edilmiştir. Şekil 4.28’ de depremin neden olduğu hasar gösterilmiştir.
Şekil 4.28. 1 Mayıs 2003 Bingöl depremi (M= 6.1) sonucu oluşan hasar.
221
290 327
6000 1 6000 2
0.0078125 1 1 0 0 1 1 1 1
bingolh.dat
bingolv.dat
134
m5e.txt
m5n.txt
n n1
n2 n3 n4
1
2
1
5
4
rho
vp
1.92 490
vs str
280 0
……………………………………….
290 325 326 327 327 1.92 490 280 0
n
x
y
bc x2 x1 x y2 y1 y acc
1 -12600.0 137.5 3 0 0 0 0 0 0 0
…………………………………………..
327 12600.0 100.0 3 0 0 0 0 0 0 0
S
DRF
PRM
1
0.65
NELM NDPT NSLP
290 327
6000 6000
DTEQ
1
EQMUL1
0.00781250
1
1 6000
3
2
1
1
1
1
bingolh.dat
*
bingolv.dat
*
SOUT AOUT KOUT
1 1
COMBINED
STRES
DAT
COMBINED
ACCEL
135
1
1.122
DAT
N NP1 NP2 NP3 NP4 TYPE
1 1 2 5
4 2
18.8
DENS
0.26
150.
PO
GMX
100.
G
XL LSTR
.10000
…………………………………………………..
290 325 326 327 327 2
N
XORD
1 -12600
18.8
YORD BC OUT
0.26
X2IH
150.
100. .10000
X1IH
XIH
X2IV
X1IV
137.5 3
…………………..........
327
12600
100
3
136
XIV
137
138
5. TARTIŞMA ve SONUÇLAR
Deprem anında zemin dinamik davranışın belirlenmesinde uygulanan yöntemlerden
birisi, (3.49) ile verilen hareket denkleminin göz önüne alınan bir jeolojik model için
sayısal çözülmesidir. (3.49) hareket denkleminin sayısal çözümünde başlıca sorun;
hareket denklemindeki kullanılan sönüm yaklaşımıdır. Literatürde, zemin türü
malzemelerdeki sönüm üzerine yapılan çalışmaların son derece az olduğu görülmektedir.
Kullanılan sönüm yaklaşımları üzerinde ise bir fikir birliği sağlanamamıştır.
Günümüzde sönüm hesaplamalarına yönelik yapılan uygulamalarda sabit sönüm değeri
(Schnabel vd 1972), frekansa bağlı sönüm yaklaşımı (Idriss vd 1973, Hudson vd 1994,
Bardet vd 2000) kullanılmakta veya (3.49) hareket denklemi frekans ortamında
çözülerek işlemler frekansın fonksiyonu olarak hesaplanmaktadır. Pekişmemiş zemin
birimlerinde dalga enerjisinin soğurulmasında frekansın etkin bir rol oynamadığı Idris
vd (1973), Hudson vd (1994), Hardin vd (1972a, 1972b) ve Chopra (1995) tarafından
belirtilmiştir.
Bu tez çalışmasında, (3.49) hareket denkleminde yer alan sönüm teriminin sayısal
hesaplanmasında zemin biriminde oluşan deformasyona bağlı yeni bir sönüm yaklaşımı
getirilmiştir. Grünwald yaklaşımı ile verilen (3.55) kesirsel türev ifadesinde, türev
mertebesi mükemmel elastik malzemeler için 0 değerine ve viskoelastik malzemeler
için 1 değerine eşit olur. Farklı fiziksel ve geometrik özelliklerdeki zemin
malzemelerinde, türev mertebesinin daha geniş bir aralıkta değişim gösterdiği
görülmüştür. Genel olmamakla birlikte sınırlı sayıda model sonuçlarına dayanarak
zeminin söz konusu olduğu durumda elastik ve viskoelastik malzemelerde türev
mertebesinin (0-2.5) aralığında değişim gösterdiği söylenebilir. Bununla birlikte, bu tez
çalışmasında hesaplama zamanın azaltılması ve bilgisayar belleğinin optimum
kullanılması amacıyla türev mertebesi 0.5 değeriyle sabit tutulmuştur. Koşulsuz durağan
bir çözüm vermesi nedeniyle (3.49) hareket denkleminde (t+∆t) zamanı yer değiştirme,
hız ve ivme değerlerinin hesaplanmasında Newmark (1965) yöntemi kullanılmıştır.
139
Zemin türü malzemeler için Newmark yaklaşımında yer alan katsayılardaki küçük
değişimlerin hesaplanan ivme değerlerinde büyük değişimler yarattığı görülmüştür.
Ek 2’ de Quad4m programı ve Ek 3’ de Dyn2d programı için gerekli başlangıç bilgileri
verilmiştir. Quad4m programı Dyn2d programına göre fazla sayıda giriş bilgisine gerek
duyar. Ayrıca, zemin türüne ait bilgilerden sönüm oranı ve makaslama modül
değerlerinin yapılacak laboratuar deneyleriyle elde edilmesi istenir. Dyn2d programı ise
daha az sayıda parametre ile çözüm yapabilmektedir. Dyn2d programı yalnızca sismik
hızlara (Vp, Vs) ve sonlu eleman ağı bilgisine gerek duyar. Bu açıdan Dyn2d programı
ile çözüm işlemi daha kolaydır. Quad4m programı giriş dosya içeriği oldukça karmaşık
bir yapıdadır. Zemin dinamik davranışının bu program ile belirlenmesi halinde, model
giriş dosyasının hazırlanması kullanıcı için uzun zaman gerektirmektedir. Dyn2d
programı ise bu açıdan oldukça esnek bir yapıdadır. Dyn2d programı sismik hızları
kullanarak zemin dinamik modüllerini hesaplar. Sismik dalga hızları ile zemin dinamik
modülleri arası ilişki için kabul görmüş ampirik ifadeler kullanılmıştır. Üçüncü bölümde
verilen Kelvin-Voigh modeli sönüm yaklaşımları için kullanılan mekanik modeller
içerisinde en basit karmaşık modeldir. Bu tip bir modelde sonlu elemanda oluşan
deformasyon sönümün hesaplanması için yeterlidir. Kelvin-Voigh tipi modelde
kullanılan eleman sayısının (elastik yay ve spring-pot) artırılması halinde (3.55) ile
verilen kesirsel sönüm ifadesindeki terim sayısının artmasına ve daha karmaşık hale
gelmesine neden olmaktadır. Mekanik modelde eleman sayısının artması durumunda
sönüm hesaplamalarında, elemanda oluşan deformasyon geçmişi yanında gerilme
geçmişlerine de gerek duyulur. Bu durum ise bilgisayarın hesaplama zamanını ve bellek
ihtiyacını arttırmaktadır. (3.49) ile verilen hareket denkleminin çözümünde, makaslama
dalga hızı (Vs) ve kesirsel türev mertebesi, sonlu eleman modeli için hesaplanan ivme
değeri genliklerini etkileyen en önemli iki parametredir. Her iki programdan elde edilen
sonuçların adil şekilde karşılaştırılmasını sağlamak amacıyla Quad4m programında tüm
modeller için çözüm 3 yineleme ile sınırlı tutulmuştur. Yineleme sayısının keyfi
seçilmesine karşılık programın çözüm güçünü göstermesi açısından yeterli olduğu
düşünülmüştür. Ele alınan modellerin basit geometrili olması durumunda her iki
programdan elde edilen sonuçlar arasında belirgin fark görülmemesine karşılık, model
140
geometrisinin karmaşık olması durumunda sonuçlar arasında farklılıkların arttığı
görülmüştür.
Bu tez çalışmasında zeminlerde sismik dalga enerjisindeki soğurulma veya sönüm için
kullanılan klasik yaklaşımlar yerine, doğrudan zeminde oluşan deformasyona bağlı
sönüm yaklaşımı getirilmiştir. Bununla birlikte, sönüm hesaplamaları için geliştirilen
kesirsel türev yaklaşımında özellikle kesirsel türev mertebesinin ele alınan zemin
özelliklerine bağlı olarak değişken yapılması ve Newmark yönteminde kullanılan
yaklaşım ileride ele alınacak olan iki önemli noktadır.
141
KAYNAKLAR
Agrawal, O. P. 2001. A New Lagrangian And A New Lagrange Equation Of Motion
For Fractionally Damped Systems, Journal Of Applied Mechanics, 339-340
Aki, K. and Richards, P. G. 1980. Quantitative Seismology Theory and Methods, V.1,
Freemand Corp.
Aki, K. and Richards, P. G. 1980. Quantitative Seismology Theory and Methods, V 2,
Freemand Corp.
Aki, K.1988. Local site effects on strong ground motion, Proceedings, Earthquake
Engineering and Soil Dynamics II- Recent Advances in Ground motion
evaluation, ASCE, Geotechnical Special Publication 20, 103-155
Ammon, C. 2001. Soil Mechanics, Lecture Notes, Department Of Geosciences Penn
State University.
Bagley, R.L. and Torvik, P. J. 1983a. A Theoretical Basis For The Application Of
Fractional Calculus To Viscoelasticity, J. Rheology 27, 201-210
Bagley, R.L. and Torvik, P. J. 1983b. Fractural Calculus –A Different Approach To The
Analysis of Viscoelasticity Damped Structures, AIAAJ. 21, 741-748
Bagley, R. L. and Torvik, P. J. 1986. On the factional calculus model of viscoelastic
behavior, J. Rheology 30, 1, 133-155
Balmes, E. 2003. Damping and Complex modes, SD Tools manual, Vibration software
and Consulting Corp., Paris
Bardet, J. P., Ichii K., Lin C.H. 2000. Eera: A computer program for equivalent linear
earth site response analysis of layered deposits, Thechnical report, Department
of Civil Engineering, University of Southern California
Bathe, K. J. 1996. Finite element procedures in engineering analysis, New Jersey
Prentice Hall
Bathe, K. J, Wilson, E. L. 1973. Stability and accuracy analysis of direct integration
methods, Earthquake Engineering and Structural dynamics, v 1, 283-291
Bathe, K. J.,Wilson, E.L. 1972. Large eigenvalue problems in dynamic analysis, Journal
of Engineering Mechanics division, EM 6, 1471-1485
142
Blank, L. 1996. Numerical treatment of differential equations of fractional order,
Numerical Analysis Report 378, The University of Manchester, England
Bruno, P. P. G., Fiore V., Rapolla A., Roberti N. 1999. Influence of geometrical and
Geophysical parameters on the seismic site amplification factor, European
Journal of Environmental and Engineering geophysics, 4,51-70
Bullen, K.E. 1965. An introduction to the theory of seismology, Cambridge Press
Campillo, M., Sesma, F.J.S. 1990. Influence of small lateral variations of a soft surficial
layer on seismic ground motion, Soil dynamics and earthquake engineering v 9,
n 1, 284-288
Caputo,M. 1967. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent,
Geophys. Journal of Royal Astronomy. Society. 13,529-539
Chopra, A. 1995. Dynamics of structures: Theory and Applications to earthquake
engineering Prentice-Hall Inc.
Cook, R. D. 1995. Finite element modeling for stress analysis, John Wiley and Sons Inc.
Diethelm, K. 1997. An algorithm for the numerical solution of differential equation of
fractural order, Electronic transactions on numerical analysis 5,1-6
Diethelm, K., Ford N. J. 2000. Fractural differantial equations involving derivatives of
several orders and their numerical solutions, Thechnical report, Instutite für
Angemandte Matematik, Technische Universitat Braunschweig, Germany
Dillard, D. A. 1999. Phenomenological Viscoelasticity of Polymers, Viginia Tech,
Ford, N.J., Simpson, A.C. 2001. Numerical and Analytical treatment of differential
equations of fractional order, Numerical Analysis Report 378, The University of
Manchester
Gaul, L. 1999. The Influence of damping on waves and vibrations, Mechanical systems
and signal processing 13, 1-30
Gutenberg,B.,Richter,C.F. 1956, Earthquake magnitude: intensity, energy and
acceleration, Bullettin of the Seismological Society of America, 46, 104-145
Grünwald, A.K. 1867. Zeitschrift für Mathematik und Physik, 12, 441-480, Über
begrenzte Derivationen und deren Anwendungen
Hall, J.R., Richart, F.E. 1963. Dissipation of elastic wave energy in granular soils,
Journal of the soil and Foundations division, ASCE, 89, SM6, 27-56
Hamming, R.W. 1962. Numerical methods for scientists and engineers, McGraw-Hill
143
Hardin, O.B., Drnevich, V.P. 1972a. Shear modulus and damping in soils: measurement
and parameter effects, ASCE, SM6, 603-624
Hardin, O.B., Drnevich V. P. 1972b. Shear modulus and damping in soils: design
equations and curves, Journal of Soil mechanics and foundation
division,
SM7, 667-692
Hasselman, T.K., Hart G.C. 1972. Modal analysis of random structural systems,
Journal of the engineering mechanics division, EM3, 561-579
Hatherly, P.J. 1986. Attenuation measurements on shallow seismic refraction data,
Geophysics 51, 2, 250-254
Hudson, M., Idriss I. M., Beikae M. 1994. User manual for Quad4m: A computer
program to evaluate the seismic response of soil structures using Finite element
procedures and incorporating a compliant base, University of California,
Hughes, T. J. R. 1987. Linear static and dynamic finite element analysis, Prentice-Hall
Hunt, J. B. 1979. Dynamic vibration absorbers, Mechanical engineering Publications Lt.
Idriss, I.M., Sun J.I. 1992. A computer program for conducting equivalent linear
seismic response analysis of horizontally layered soil deposits, Technical report,
Department of Civil and Environmental Engineering, University of California,
Idriss, I.M., Lysmer J., Hwang R., Seed B. H. 1973. Quad4 A computer program for
evaluating the seismic response of soil structures by variable damping Finite
element procedures, Open report, University of California, Berkeley
Idriss, I.M., Seed H.B. 1968. Seismic response of horizontally soil layers, Journal of the
soil mechanics and foundations division, ASCE, 94, SM4, 1003-1031
Jacobsen, L.S., Ayre, R. S. 1958. Engineering vibrations with applications to structures
and machinery, McGraw-Hill book Corp.
Johnson, S.E., Hurty, W.C. 1972. Convergence in model synthesis, Journal of
Engineering
Mechanics division, EM 5, 1105-1114
Jones, D.I.G. 2001. Handbook of viscoelastic vibrations damping, John Wiley and Sons
Jongmans, D., Campillo M. 1993. The determination of soil attenuation by geophysical
prospecting and the validity of measured Q values for numerical simulations,
Soil dynamics and earthquake engineering 12,149-157
Jongmans, D., Demanet, D., Harrent, C., Campillo, M., Sesma, F. J. S. 1996. Dynamic
144
soil material determination by geophysical prospecting in Mexico City,
Implementation for site effect modeling, Soil dynamics and earthquake
Engineering 15, 269-278
Kelly, S. G. 1993. Fundamentals of mechanical vibrations, International edition,
McGraw-Hill Corp.
Kisslinger, C. 1967. Seismological Instrumentation, seismological Course 1966/67,
International Institute of Seismology and earthquake Engineering, Tokyo
Kjartansson, E. 1979. Constant Q-Wave propagation and Attenuation. Geophysical
Research, 84, n.B9, 4737-4748
Koeller, R.C. 1984. Application of fractional calculus to the theory of viscoelasticity,
Journal of Applied mechanics 51, 299-307
Kramer, S. 1996. Geotechnical Earthquake Engineering, Simon and Schuster Press.
Krishnamoorthy, C.S. 1996. Finite element analysis theory and programming, second
edition, Tata McGraw-Hill Publishing Comp., New Delhi
Kudo, K., Shima, E. 1970. Attenuation of shear waves in soil, Bulletin of Earthquake
Research Institute, v 48,145-158
Kwon, Y.W., Bang, H. 1997. The finite element method using Matlab, CRC Press Inc.
Lazan, B.J. 1968. Damping of materials and members in structural mechanics,
Pergamon Press
Huang, T.H., You, J.C. 1996. The effect of frequency on damping properties of sand,
soil dynamics and earthquake engineering 15, 269-278
Liu, V. 1998. Introduction to Finite element method, University of Cincinnati
Love, A.E.H. 1944. A treatise on the mathematical theory of elasticity, 4th edition,
Dover, Pub., Lui, Y., Agrawal, O.P. 1998. A numerical scheme for dynamic system
containing fractural
derivatives,
ASME
design
engineering
technical
Conference, Atlanta, Georgia
Massarsch, R., Broms, B. B. 1976. Lateral earth pressure at rest in soft Clay, Journal of
Geotechnical Engineering Division GT10, 1041-1047
Mavko, G.M., Nur, A. 1979. Wave attenuation in partially saturated rocks, Geophysics
v 44, n.2, 161-179
Mavko, G.M. 1979. Frictional attenuation: An inherent amplitude dependence, J.
Geophysical research v.84, n.B9, 4769-4775
145
Menke, W., Witte, D., Chen, R. 1985. Laboratory test of apparent attenuation formulas,
Bulletin of Seismological society of America
Mooney, H.M. 1974. Seismic shear waves in engineering, Journal of Geotechnical
Engineering Division GT8, 905-923
Morato, N. 1980. Shearing deformation of granular materials, Soil and Foundations, v.
20, n. 2, 113-118
Newmark, N. M., Rosenblueth, E. 1971. Fundamentals of Earthquake Engineering,
Prentice Hall
Newmark, N.M. 1965. Effects of earthquake on dams and Embankments,
Geotechnique,15, 139-160
Niazi, M., Mortgat, C. P. 1992. Attenuation of peak ground acceleration in central
California from observations of the 17 October, 1989 Loma Prieta earthquake,
Earthquake Engineering and Structural Dynamics v.21, 493-507
Novozhilov, I.V. 1997. Factional analysis, method of Motion decomposition, Birdhouse
O’ Connell, R.J., Budiansky B. 1978. Measures of dissipation in viscoelastic media,
Geophysical research letters, v.5 n.1, 5-8
Oden, J.T., Ripperger, E. A. 1981. Mechanics of Elastic Structures, 2nd edition, McGraw
Hill Corp.
Oldham, K.B., Spanier, J. 1974. The fractional calculus: Theory and Applications of
differentiation and integration to arbitrary order, Academic Press.
Ortiqueira, M.D. 2000. Fractional Linear system: Continuous time case, Image and
Signal Processing, 147, 1-11
Owen, D.R.J., Hinton, E. 1980. Finite element in plasticity, Theory and practice,
Pineridge Press
Padovan, J. 1987. Computational algorithms for FE formulations involving fractional
operators, Computational Mechanics 2, 271-287
Papoulis, A. 1984. Probability, random variables and Stochastic Processes, 2. edition,
McGraw Hill Corp.
Pestana, J., Nadim, F. 2000. Nonlinear site response analysis of submerged slopes,
Geotechnical Engineering Report num. UCB/GT/2000, Department of Civil
and Environmental
Engineering. University of California, Berkeley
146
Pipes, L. Harvill, L. R. 1970. Applied mathematics for engineers and physicists,3rd ed.,
McGraw Hill Inc.
Platkers, G., Galloway, P. J. 1989. Lessons learned from the Loma Prieta, California
Earthquake of October 1989, USGS Open report,
Podlubny, I. 1999. Fractional Differential Equations: An introduction to fractional
derivatives, fractional differential equations, to method of their solution and
some of their applications, Academic Press.
Polyakov, S.V. 1985. Design of earthquake resistant structures, basic theory of seismic
stability, Mir publisher
Prokash, S., Puri, V. K. 1981. Dynamic properties of soils from in-situ tests, Journal of
Geotechnical engineering division, GT7, 743-756
Rao, S.S. 1989. The finite element method in engineering, second 2. edition, Pergamon
Press
Rassem, M., Ghobarrah, A., Heidebrecht, A.C. 1997. Engineering perspective for the
seismic site response of alluvial valleys, Earthquake engineering and structural
Dynamics,26,477-493
Rayleigh, L. 1945. Theory of sound, v.1, Dover Publication.
Ruge, P. and Wagner, N. 1999. Time-domain solutions for vibration systems with
fading Memory, European Conference on Computational mechanics, München.
Rose, B. 1975. A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional
calculus, Lecture notes in mathematics, 457,1-36
Schmidt, A. and Gaul, L. 2001. FE Implementation of Viscoelastic Constitutive StressStrain Relations Involving Factional Time derivatives, Constitutive models for
rubbers II.A. A. Balkema Publishers, Tokyo
Schnabel, P.B., Lysmer, J., Seed, H.B. 1972. “SHAKE: A computer program for
Eathquake Response Analysis of Horizontally layered sites “, report no. EERC
72-12, Earthquake Engineering Research Center, University of California
Seed, H.B., Idriss, I.M. 1969. Influence of soil conditions on ground motion during
Earthquakes, Journal of the soil mechanics and Foundations division, ASCE, 95,
SM1, 99-137
147
Seed, H.B., Wong, R.T., Idriss, I.M., Tokimatsu, K. 1987. Moduli and Damping Factors
for Dynamic Analysis of Cohesionless Soils, Journal of Geotechnical
Engineering division 112,1,1016-1032
Sherif, M. A., Ishibashi, I. 1976. Dynamic shear moduli for dry sands, Journal of
Geotechnical Engineering Division, GT11, 1171-1184
Spiegel, M. R. 1965. Theory and problems of Laplace transforms, McGraw-Hill Book
Co. Terzaghi, K.1962. Theoretical soil mechanics, John Wiley and sons Inc.
Timeshenko, S. P. 1951. Theory of Elasticity, McGraw Hill, New York
Thomson, W.T., Calkins, T., Caravani, P. 1974. A numerical study of damping,
Earthquake Engineering and Structural dynamics, v 3, 97-103
Trinks, C. Ruge, P. 2002. Treatment of dynamic systems with fractional derivatives
without evaluating memory-integrals, Computational mechanics 29, 471-476
West, M., Kane, C., Marsden, J.E., Ortiz, M., 1999. Variational integrators, the
Newmark Scheme and dissipative systems, Int. Conference on Differential
equations, Berlin, Germany
Wilson, E.L. 1968. A computer program for the dynamic stress analysis of underground
structures, Structural Engineering Laboratory Report 68-1, University of
California, Berkeley
Zienkiewicz, O.C. 1977. A new look at the Newmark, Houbolt and other time stepping
formulas. A weighted residual approach, Earthquake Engineering and Structural
Dynamics, 5, 413-418
Zienkiewicz, O.C., Morgan, K. 1983. Finite element and approximation, John Wiley
and Sons Corp
Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L. 1991. Finite element method, Solid and fluid mechanics
dynamics and Non-Linearity, v 2, McGraw-Hill Book Co..
148
EKLER
EK1. Düzlemde Green Teoremi..............................................................................
150
EK2. Quad4m Programı Giriş Dosyası İçeriği........................................................
152
EK3. Dyn2d Programı Giriş Dosyası İçeriği........................................................... 155
EK4. Birimler Çizelgesi........................................................................................... 157
149
EK 1. Düzlemde Green Teoremi
Sonlu eleman denklemlerinin elde edilmesinde iki boyutlu durum için,
∂φ
∫∫ ϕ ∂x dx dy
(E1)
S
türünde integralin hesaplanması gerekir. (E1) integralinde ilk olarak x değişkenine göre
kısmi integrasyon uygulanırsa,
∫∫ ϕ
S
2
∂φ
∂ϕ
dx dy = − ∫∫
φ dx dy + ∫ ϕ φ
∂x
∂x
S
y1
y
Xr
Xl
(E2)
dy
Burada (xl, xr) ve (y1,y2) integral sınırının x ve y eksenlerine ait alt ve üst sınırlardır
(Şekil E1).
y2
C
n
dy
dc
S
y1
xl
xr
Şekil E1. S yüzeyinde integral alan sınırları.
y yönünde dy diferansiyel artımı için,
150
EK 1 (devam)
dy = m dc l X
(E3)
yazılabilir. Burada dc, S yüzeyini çevreleyen C eğrisinin diferansiyel elemanı ve lx, dc
elemanı ile x ekseni arasında kalan açıdır. ± işareti C eğrisinin sağında ve solunda
hesaplama işlemi içindir. (E3) ifadesi (E2) integral ifadesinin son teriminde yerine
yazılırsa,
y2
∫ ϕφ
Xr
Xl
y1
dy = ∫ ϕ φ dc l x
(E4)
C
elde edilir. Bu durumda (E1) integral ifadesi,
∂φ
∂ϕ
∫∫ ϕ ∂x dx dy = − ∫∫ ∂x φ dx dy + ∫ ϕ φ l
S
S
∂φ
∂φ
yerine
terimi içermesi durumunda,
∂x
∂y
∂ϕ
∫∫ ϕ ∂y dx dy = − ∫∫ ∂y φ dx dy + ∫ ϕ φ l
S
(E5)
dc
C
olur. (E1) integral ifadesinde
∂φ
x
S
y
(E6)
dc
C
elde edilir. Burada ly, lx’ e benzer şekilde dc eleman normali ile y ekseni arasındaki
açıdır. (E5) ve (E6) integral denklemleri üç boyutlu durum için genelleştirilirse,
∂φ
∂ϕ
∫∫∫ ϕ ∂x dx dy dz = − ∫∫∫ ∂x φ dx dy dz + ∫∫ ϕ φ l
V
V
S
eşitliği ile verilir.
151
x
dS
(E7)
EK 2. Quad4m Programı Giriş Dosyası İçeriği
satır-1
Modele ilişkin tanımlayıcı isim
satır-2
Açıklayıcı bilgi
satır-3
Modelde kullanılan ölçü birimini (S=Metrik veya E=İngiliz birim sistemi)
satır-4
Sönüm azatlım katsayısı (DRF), Maksimum deformasyon ile eşdeğer
satır-5
deformasyon arası dönüşüm katsayısı (PRM), Temel kaya sismik boyuna dalga
(P) hızı (ROCKVP), Temel kaya makaslama dalga (S) hızı (ROCKVS),Temel
kaya birim hacim ağırlığı (ROCKRHO)
satır-6
satır-7
satır-8
Modelde kullanılan toplam eleman sayısı (NELM), Toplam düğüm sayısı
(NDPT), Sismik katsayıların hesaplanacağı yüzey sayısı(NSLP)
Deprem ivme kaydı veri sayısı (KGMAX), İşlemde kullanılacak ivme veri sayısı
(KGEQ), Dinamik hesaplama işleminde başlangıç veri numarası (N1EQ),
satır-9
Dinamik hesaplama işleminde bitiş veri numarası (N2EQ), Hesaplamada
kullanılacak toplam veri sayısı (N3EQ), Toplam yineleme sayısı (NUMB),
Düşey ivme kaydının kullanımını gösteren değer (KV), Sonuç çıktıların kayıt
edilmesini gösteren değer (KSAV).
satır-10
Deprem ivme kaydı örnekleme aralığı (DTEQ), Deprem yatay ivme kaydı için
çarpan (EQMUL1), Deprem düşey ivme kaydı için çarpan (EQMUL2), Deprem
yatay ivme kaydı için ölçeklendirme değeri (UGMAX1), Deprem düşey ivme
satır-11
kaydı için ölçeklendirme değeri (UGMAX2), Deprem yatay ivme kaydı dosyası
bilgi satır sayısı (HDRX), Deprem düşey ivme kaydı dosyası bilgi satır sayısı
(HDRY), Deprem yatay ivme kaydı dosyası bilgi sütun sayısı (NPLX), Deprem
düşey ivme kaydı dosyası bilgi sütun sayısı (NPLY), Deprem yatay ivme
kaydının etkin periyodu (PRINPUT).
satır-12
satır-13
Deprem yatay ivme kaydı dosya ismi
satır-14
Deprem yatay ivme kaydı dosya formatı (* = serbest format)
Satır-15
Deprem düşey ivme kaydı dosya ismi
152
EK 2. (devam)
Satır-16
Deprem düşey ivme kaydı dosya formatı (* = serbest format)
satır-17
Gerilme zaman geçmişlerinin dış ortama aktarılmasını belirten değer (SOUT),
satır-18
İvme zaman geçmişlerinin dış ortama aktarılmasını belirten değer (AOUT),
Sismik katsayıların dış ortama aktarılmasını belirten değer (KOUT)
satır-19
satır-20
Hesaplanan gerilme değerlerine ait çıkış formatı (COMBINED = tek bir dosya
halinde, MULTIBLE= ayrı dosyalar halinde
satır-21
Hesaplanan gerilme değerlerinin yazılacağı dosya ismi
satır-22
Hesaplanan gerilme değerlerinin yazılacağı dosya ismi uzantısı
satır-23
satır-24
Hesaplanan ivme değerlerine ait çıkış formatı (COMBINED = tek bir dosya
halinde, MULTIBLE= ayrı dosyalar halinde
satır-25
Hesaplanan gerilme değerlerinin yazılacağı dosya ismi
satır-26
Hesaplanan gerilme değerlerinin yazılacağı dosya ismi uzantısı
satır-27
satır-28
Hesaplanan sismik kaysayı değerlerine ait çıkış formatı (COMBINED = tek bir
dosya halinde, MULTIBLE= ayrı dosyalar halinde
satır-29
Hesaplanan sismik kaysayı değerlerinin yazılacağı dosya ismi
satır-30
Hesaplanan sismik kaysayı değerlerinin yazılacağı dosya uzantısı
satır-31
satır-32
Sonuçların yazılacağı dosya ismi (uzantısı ile birlikte)
Quad4m programında 33. satırdan sonra yer alan satırlar sırasıyla sismik katsayıların
hesaplanacağı yüzeylere ait düğüm ve eleman numara bilgilerini, Model eleman
bilgilerini ve son olarak düğüm bilgilerini içerir. Sismik katsayıların hesaplandığı
yüzeyler; yüzeyin içerisine düşey düğüm numaraları ve eleman numaraları verilerek
belirtilir. Eleman bilgileri aşağıda verilen sırada belirtilir:
153
EK 2. (devam)
sütün-1
eleman numarası
sütun-2
Elemana ait birinci düğüm numarası
sütun-3
Elemana ait ikinci düğüm numarası
sütun-4
Elemana ait üçüncü düğüm numarası
sütun-5
Elemana ait dördüncü düğüm numarası
sütun-6
Zemin türü (1=kil, 2:kum, 6: sabit özelliklere sabit zemin birimi
sütun-7
Eleman birim hacim ağırlığı
sütün-8
Eleman Poisson oranı
sütun-9
sütun-10
sütun-11
sütun-12
Eleman Maksimum makaslama modül değeri (Metrik sistemde kPa, İngiliz birim
sisteminde KSF)
Eleman için başlangıç makaslama modül değeri (Metrik sistemde kPa, İngiliz
birim sisteminde KSF)
Eleman için başlangıç sönüm oranı (yüzde)
Elemanda gerilme zaman geçmiş değerlerinin saklanacağını gösteren değer (1=
σx, 2= σy, 4= σxy, 5=(σx, σy), 7=(σx x, σy, σxy)
Düğüm bilgileri aşağıda verilen sırada belirtilir:
sütun-1
Düğüm numarası
sütun-2
Düğüm noktasının X koordinatı
sütun-3
Düğüm noktasının Y koordinatı
Düğüm sınır koşulu (0= serbest düğüm, 1= yatay doğrultuda deprem kuvveti
sütun-4
uygulanır, düşey yönde düğüm serbest, 2= düşey doğrultuda deprem kuvveti
uygulanır, yatay yönde düğüm serbest, 3=hem yatay hemde düşey yönde deprem
kuvveti uygulanır.4=geçirgen düğüm noktası)
sütun-5
Düğüm ivme zaman geçmişinin saklanacağını gösterir değer.(1= yatay bileşen,
2=düşey bileşen, 3=yatay ve düşey bileşen)
sütun-6
Düğüm noktasının başlangıç yatay ivme değeri
sütun-7
Düğüm noktasının başlangıç yatay hız değeri
sütun-8
Düğüm noktasının başlangıç yatay yer değiştirme değeri
sütun-9
Düğüm noktasının başlangıç düşey ivme değeri
sütun-10
Düğüm noktasının başlangıç düşey hız değeri
sütun-11
Düğüm noktasının başlangıç düşey yer değiştirme değeri
154
EK 3. Dyn2d Programı Giriş Dosyası İçeriği
Dyn2d programı üç adet dosya kullanır. Bu dosyalardan ilki bilgi dosyasıdır ve modele
ilişkin genel tanımlamaları içerir. İkinci dosya model eleman bilgilerinin tutulduğu
dosyadır. Üçüncü dosya ise model düğüm bilgilerinin tutulduğu dosyadır. Bilgi dosyası
içeriği aşağıdaki verilen yapıdadır.
satır-1
Model tanımlayıcı isim
Kullanılan birim sistemi (1:İngiliz, 2:Metrik), Deprem İvme kaydı için kullanılan
satır-2
birim (1=mg, 2=g, 3=mGal, 4=Gal), Eleman yoğunluk değerinin dahili
hesaplanmasını gösteren değer (1= yoğunluk değerlerini dosyadan okur, 2=
yoğunluk değerlerini dahili hesaplar.
satır-3
Modelde kullanılan toplam eleman sayısı, Modelde kullanılan toplam düğüm
sayısı
Deprem ivme veri sayısı, Dinamik hesaplama işlemi başlangıç veri numarası,
satır-4
Dinamik hesaplama işlemi bitiş veri numarası, Deprem düşey ivme kaydının
kullanılmasını gösteren değer (1= kullanılmaz, 2= kullanılır)
Deprem ivme kaydı örnekleme aralığı, Deprem yatay ivme kaydı için çarpan,
Deprem düşey ivme kaydı için çarpan, Deprem yatay ivme kaydı için
satır-5
ölçeklendirme değeri, Deprem düşey ivme kaydı için ölçeklendirme değeri,
Deprem yatay ivme kaydı dosyası bilgi satır sayısı, Deprem düşey ivme kaydı
dosyası bilgi satır sayısı, Deprem yatay ivme kaydı dosyası bilgi sütun sayısı,
Deprem düşey ivme kaydı dosyası bilgi sütun sayısı
satır-6
Deprem yatay ivme kaydı dosya ismi (dosya uzantısı ile birlikte)
satır-7
Deprem düşey ivme kaydı dosya ismi (dosya uzantısı ile birlikte)
satır-8
Eleman bilgilerini içeren dosya ismi (dosya uzantısı ile birlikte)
satır-9
Düğüm bilgilerini içeren dosya ismi (dosya uzantısı ile birlikte)
Eleman bilgi dosyası içeriği:
satır-1
satır-2’ den başlayarak,
sütun-1
Eleman numarası
155
EK 3 (devam)
sütun-2
Eleman birinci düğüm numarası
sütun-3
Eleman ikinci düğüm numarası
sütun-4
Eleman üçüncü düğüm numarası
sütun-5
Eleman dördüncü düğüm numarası
sütun-6
sütun-7
sütun-8
sütun-9
Eleman yoğunluk değeri (Metrik sistem için gr/cm^3,
İngiliz birim sistemi için pcf)
Eleman sismik boyuna dalga (P) hızı (Vp) (Metrik sistem için m/s, İngiliz birim
sistemi için ft/s)
Eleman sismik makaslama dalga (S) hızı (Vs) (Metrik sistem için m/s, İngiliz
birim sistemi için ft/s)
Eleman gerilme geçmişinin saklanacağını gösterir değer (1= σx, 2= σy, 4= σxy,
5=(σx, σy), 7=(σx x, σy, σxy)
Düğüm bilgi dosyası içeriği:
satır-1
satır-2’ den başlayarak,
sütun-1
Düğüm numarası
sütun-2
Düğüm X koordinatı
sütun-3
Düğüm Y koordinatı
Düğüm noktasına ait sınır koşulu (0= serbest düğüm, 1= yatay doğrultuda
sütun-4
deprem kuvveti uygulanır, düşey yönde düğüm serbest, 2= düşey doğrultuda
deprem kuvveti uygulanır, yatay yönde düğüm serbest, 3= yatay ve düşey
yönde deprem kuvveti uygulanır.4= geçirgen düğüm noktası)
sütun-5
Düğüm noktasının başlangıç yatay ivme değeri
sütun-6
Düğüm noktasının başlangıç yatay hız değeri
sütun-7
Düğüm noktasının başlangıç yatay yer değiştirme değeri
sütun-8
Düğüm noktasının başlangıç düşey ivme değeri
sütun-9
Düğüm noktasının başlangıç düşey hız değeri
sütun-10
Düğüm noktasının başlangıç düşey yer değiştirme değeri
156
EK 4. Birimler Çizelgesi
Uluslararası Birim Sistemi
(SI)
Birim
İngiliz Birim Sistemi
(UK)
Dönüşüm
Birim
Sembol
Birim
Sembol
Uzunluk
metre
m
feet
ft
1 ft= 0.3048 m
Alan
metre-kare
m2
square-feet
ft2
1 ft2= 0.09290304 m2
Hacim
metre- küp
m3
cubic-feet
ft3
1 ft3= 0.0283 m3
Zaman
saniye
s
second
s
Hız
metre/saniye
m/s
feet/second
ft/s
1 ft/s =0.3048 m/s
İvme
metre/(saniyekare)
m/s2
feet/(squaresecond)
ft/s2
1 ft/s2 =0.3048 m/s2
Frekans
Hertz
Hz
Hertz
Hz
Yoğunluk
kilogram/
(metre-küp)
kg/m3
pound/
(cubic-feet)
p/ft3
1 p/ft3 =16.018463
kg/m3
Kütle
kilogram
kg
pound
p
1 p =0.45359237 kg
Kuvvet
Newton
N
pound-force=libre
lb
1 lb =4.448222 N
pound-force/
(square-feet)=
lb/(square-feet)
pf/ft2
lb/ft2
1 lb/ft2 =47.880 P
ft-lb
1 ft-lb =1.355818 J
Basınç,
Gerilme
Pascal
Pa
İş –Enerji
Joule
J
Feet-pound-force=
feet-libre
Güç
Watt
W
ft-pound-force/s=
ft-libre/s
Moment
Newton-metre
N-m
Pound-force feet=
lb-feet
157
ft-lb/s
lb-ft
1 ft-lb/s = 1.355818 W
1 lb-ft =1.355815 N-m
ÖZGEÇMİŞ
1970 Çorum doğumlu. İlk, orta ve lise eğitimini Çorum’ da tamamladı. 1991 yılında
Hacettepe Üniversitesi Ankara Meslek Yüksek Okulu Turizm ve Otel İşletmeciliği
Bölümünden mezun oldu. 1992 yılında başladığı Ankara Üniversitesi Mühendislik
Fakültesi Jeofizik Mühendisliği Bölümünden 1996’ da mezun oldu. Aynı bölümde 1998
yılında “Gravite ve Manyetik Verilerin Talwani Modelleme Yöntemiyle İki Boyutlu
(2B) Ters Çözümü” isimli tezi ile yüksek lisansını tamamladı.
1997 yılından bu yana, Bayındırlık ve İskan Bakanlığı Afet İşleri Genel Müdürlüğü
Deprem Araştırma Dairesinde Jeofizik mühendisi olarak çalışmaktadır.
158

zeminlerde sismik dalga sönümünün kesirsel türev yaklaşımı ile

Transkript

Benzer belgeler

Fizik-1 Uygulama-5

çeşitli yöntemlerle kurutulmuş hünnaptan bisküvi ve kurabiyeler için

İNTERNET ÜZERİNDEN EĞİTİM`DE EĞİTİM PLATFORMU

GOT-It 2.0.1 ile Elektromanyetik Sistemlerin

(15) 2. Devre Analizi Bir elektrik devresinde akım ve gerilim

2014/2 MÜHENDİSLİK BÖLÜMLERİ FİZİK 2 UYGULAMA 2 (Gauss

3D Bilgisayar Grafikleri

süspansiyonda non–lıneer amortisör modellemesi

four faith f2114 gprs modem ile analog ı/o