1 Blok Diyagramları: Karmaşık sistemler, birçok alt sistemin birbirine

Blok Diyagramları:
Karmaşık sistemler, birçok alt sistemin birbirine uygun şekilde bağlanmasından oluşur. Blok
diyagramları, her bir alt sistem arasındaki karşılıklı bağlantıyı göstermek için kullanılır. Blok
diyagramlarında her bir alt sistemin fonksiyonu ve sinyallerin akışı grafiksel olarak gösterilir.
Örneğin, aşağıdaki şekilde bir oda ısıtma sisteminin basitleştirilmiş bir blok diyagramı
görülmektedir. Burada istenen oda sıcaklığı sistemin girişi olarak tanımlanır. Gerçek oda sıcaklığı
ise sistemin çıkışı olarak tanımlanır ve termostat içindeki bir sensör ile ölçülür. Termostat içindeki
basit bir elektronik devre, istenen oda sıcaklığı ile gerçek (ölçülen) oda sıcaklığını karşılaştırır ve
karşılaştırıcı olarak tanımlanır. Eğer oda sıcaklığı istenen değerin altında ise, bir hata sinyali
oluşur ve oluşan hata gerilimi gaz vanasını açarak ocağın (eyleyici - actuator) olarak çalışmasını
sağlar. Kapının veya pencerenin açılması ısı kaybına neden olacaktır. Oluşan ısı kaybı bozucu giriş
olarak adlandırılır. Oda sıcaklığının ölçülerek istenen değerle karşılaştırılması işlemine geribesleme
denir. Burada hata gerilimi ocağın açılmasını sağlar, hata gerilimi sıfıra yaklaştığında ise ocak
kapanır.
Isı Kaybı
İstenen
Oda
Sıcaklığı
Gerçek
Oda
Sıcaklığı
Hata
Gerilimi
Termostat
Gaz Vanası
Ocak
Oda
Geri besleme
Şekil 1. Bir oda ısıtma sisteminin basitleştirilmiş blok diyagram gösterimi.
1. Kontrol Sistemlerindeki Blok Diyagramlarının Temel Elemanları:
Blok diyagramların temel elemanları aşağıda sıralanmıştır.






Giriş (referans) sinyali
Çıkış sinyali (denetlenen değişken)
Bozucu giriş sinyali
Geribesleme döngüleri
Karşılaştırıcı (fark alıcı)
Bloklar (alt sistemlerin transfer fonksiyonları)
Alt sistemler :
- Giriş sensörü
- Çıkış sensörü
- Eyleyici (sürücü eleman - actuator)
- Denetleyici (controller)
- Denetlenen Sistem (çıkışı kontrol edilen sistem)
Şekil 2. Geribeslemeli kontrol sisteminin blok diyagram gösterimi.
1
2. Blok Diyagramların Temel Elemanları:
Blok diyagramları, bir sistemin yapısını ve iç bağlantılarını basitçe ifade eder ve transfer
fonksiyonları ile birlikte, sistemdeki neden-sonuç ilişkisini açıklamak için kullanılır. Bir blok
diyagramı, işlevsel bloklar, oklar, toplama noktaları ve ayrılma noktalarından oluşur. Aşağıdaki
şekilde, bir blok diyagramının elemanları gösterilmiştir.
Toplama
Noktası
R
R Y
+
Ayrılma
Noktası
Blok veya
transfer
fonksiyonu
Y
±
Y
Şekil 3. Blok diyagram elemanları.
a) Blok: Sistemin giriş-çıkış değişkenleri arasındaki ilişkiyi gösterir. Kontrol sistemlerindeki
blok diyagram gösteriminde blok içine genellikle sistem, denetleyici, eyleyici veya sensörün
s-domeni transfer fonksiyonu veya zaman domeni denklemleri yazılır.
U (s)
u (t )
G (s)
g (t )
Y (s )
y (t )
Şekil 4. Blok diyagramlarındaki blok elemanı (transfer fonksiyonu).
b) Oklar: Kontrol sistemlerindeki bloklar ile diğer elemanları birbirine bağlayan ve sinyallerin
akış yönünü gösteren elemanlardır. Oklar, blok diyagram içindeki sinyalleri temsil eder ve
sinyaller sadece oklar yönünde akar.
c) Toplama Noktaları (Fark Alıcı - Karşılaştırıcı): Toplama noktasına gelen sinyallerin
işaretine göre toplama veya çıkarma işlemi yapar. Toplama veya çıkarma yapılan sinyallerin
aynı boyutlara ve aynı birimlere sahip olması gerekir.
d) Ayrılma Noktaları: Oklar ile temsil edilen sinyallerin kollara ayrıldığı, ve bir bloğun çıkış
sinyalinin aynı anda diğer bloklara veya toplama noktalarına gittiği noktalardır.
3. Geribeslemeli Kontrol Sisteminin Blok Diyagramının İndirgenmesi:
R(s)
r(t)
U(s)
+_
B(s)
u(t)
G(s)
Y(s)
y(t)
b(t)
H(s)
Şekil 5. Geribeslemeli kontrol sisteminin temel blok diyagramı.
2
r(t), R(s)  referans giriş (komut)
y(t),Y(s)  çıkış işareti (kontrol edilen değişken)
b(t), B(s)  geribesleme işareti
u(t),U(s)  sisteme etkiyen kontrol işareti
e(t), E(s)  R(s)  C(s)  hata işareti
Y(s)
G(s) 
 açık çevrim transfer fonksiyonu veya ileri yol transfer fonksiyonu
U(s)
Y(s)
M(s) 
 kapalı çevrim transfer fonksiyonu
R(s)
H(s)  geribesleme yolu transfer fonksiyonu
G(s)H(s)  çevrim transfer fonksiyonu
Şekil 5’ten aşağıdaki iki eşitliği yazabiliriz.
Y ( s )  G ( s )U ( s )
B ( s )  H ( s )Y ( s )
Sisteme etkiyen kontrol sinyalini şekilden
U ( s)  R ( s)  B( s )
olarak yazabiliriz. Bu denklemi ve B ( s )  H ( s )Y ( s ) denklemini Y ( s )  G ( s )U ( s ) denkleminde
yerine yazdığımızda
Y ( s )  G ( s ) R ( s )  G ( s ) H ( s )Y ( s )
Bu denklemden Y ( s) / R( s) kapalı döngü transfer fonksiyonunu hesapladığımızda aşağıdaki ifade
elde edilir.
M (s ) 
Y ( s)
G(s )

R( s) 1  G( s) H ( s)
4. Bozucu Girişe Sahip Olan Kapalı Döngü Sistemlerin Blok Diyagramlarının İndirgenmesi:
Bazı sistemler referans girişin yanında bozucu girişe de maruz kalabilirler. Bu durumda
sistemler bozucu giriş ile birlikte birden fazla girişe maruz kalırlar. Böyle sistemlere doğrusal
sistemlerin toplamsallık (süperpozisyon) ilkesi uygulanarak her bir girişin etkisi ayrı ayrı
incelenebilir. Burada sisteme bir kez sadece referans giriş uygulanıyormuş gibi ve bir kez de sadece
bozucu giriş uygulanıyormuş gibi her durum için kısmi transfer fonksiyonları elde edilir. Sonra bu
kısmi transfer fonksiyonlarının toplamından sistemin toplam transfer fonksiyonunu, yani her iki
girişin aynı anda etki etmesiyle oluşan toplam sistemin toplam cevap fonksiyonunu elde edebiliriz.
Aşağıdaki şekilde böyle bir bozucu girişe sahip olan sistemlerin temel blok diyagramları verilmiştir.
3
D (s)
±
E (s)
R(s)
G1 (s )
+
Y (s )
+
G2 ( s )
̶
H (s)
a)
D (s)
±
E (s)
R(s)
+
G1 (s )
G2 ( s)
Y (s )
+
̶
H (s)
b)
Şekil 6. Bozucu girişe sahip sistemlerin temel blok diyagramları.
Önce Şekil 6(a)’da verilen blok diyagramı ele alalım. Önce R(s) girişi uygulandığı durumda, yani
bozucu girişi D ( s)  0 kabul ederek sistemin YR ( s ) / R( s ) transfer fonksiyonu
YR ( s )
G1 ( s)G2 ( s)

R(s ) 1  G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
olarak elde edilir. Sonra D (s) girişi uygulandığı durumda, yani bozucu girişi R( s)  0 kabul
edildiğinde blok diyagram aşağıdaki gibi olur.
D (s)
Y (s )
G2 ( s)
±
̶
G1 (s )
H (s)
Şekil 7. Şekil 6(a) için sistemin bozucu girişten çıkışa kadar olan blok diyagramı.
İndirgeme yapıldığında sistemin YD ( s ) / D ( s ) transfer fonksiyonunu
YD ( s)
G2 (s)

D( s )
1  G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
olarak elde edilir. Sistem hem R(s) girişinin hem de D (s) girişinin etkisinde olduğu için, sistemin
toplam cevap fonksiyonu bu girişlerin ayrı ayrı uygulanmasıyla elde edilen cevapların toplamı
olarak aşağıdaki gibi yazılabilir.
4
YR ( s )
Y ( s)
R ( s )  D D( s )
R( s)
D( s )
G1 ( s )G2 ( s )
G2 ( s )
Y ( s) 
R( s) 
D( s )
1  G1 ( s )G2 (s ) H ( s )
1  G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
Y ( s )  YR (s )  YD ( s ) 
Şekil 6(b)’de verilen blok diyagramı ele aldığımızda benzer bir sonuç elde ederiz. Önce R(s) girişi
uygulandığı durumda, yani bozucu girişi D ( s)  0 kabul ederek sistemin YR ( s ) / R( s ) transfer
fonksiyonu
YR ( s )
G1 ( s)G2 ( s)

R(s ) 1  G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
Sonra D (s) girişi uygulandığı durumda, yani bozucu girişi R( s)  0 kabul edildiğinde blok
diyagram aşağıdaki gibi olur.
D (s)
Y (s )
±
̶
G2 ( s )
G1 (s )
H (s)
Şekil 8. Şekil 6(b) için sistemin bozucu girişten çıkışa kadar olan blok diyagramı.
olarak elde edilir. Sonra D (s) girişi uygulandığı durumda, yani bozucu girişi R( s)  0 kabul
ederek sistemin YD ( s ) / D ( s ) transfer fonksiyonunu
YD (s )
1

D( s )
1  G1 ( s)G2 (s ) H ( s)
olarak elde edilir. Sistem hem R(s) girişinin hem de D (s) girişinin etkisinde olduğu için, sistemin
toplam cevap fonksiyonu bu girişlerin ayrı ayrı uygulanmasıyla elde edilen cevapların toplamı
olarak aşağıdaki gibi yazılabilir.
YR ( s )
Y ( s)
R ( s )  D D( s )
R( s)
D( s )
G1 ( s )G2 ( s )
1
Y ( s) 
R( s) 
D( s )
1  G1 ( s )G2 (s ) H ( s )
1  G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
Y ( s )  YR (s )  YD ( s ) 
5. Blok Diyagram İndirgeme Kuralları:
Sistemlerin blok diyagramları eleman sayısına bağlı olarak karmaşık bir yapıda olabilir.
Karmaşık blok diyagramlarında sistemin giriş-çıkış ilişkisi (transfer fonksiyonu) doğrudan
görülemez. Karmaşık döngüler içeren blok diyagramları adım adım indirgenerek tüm sisteme ait
transfer fonksiyonu tek blok içinde olacak şekilde tüm sisteme ait giriş-çıkış ilişkisi elde edilir.
Blok diyagramlarının indirgenmesinde öncelikle toplama ve ayrılma noktaları uygun şekilde
düzenlenerek sistem iç içe geçmiş döngüler haline dönüştürülür. Sonra en içteki döngüden
başlayarak içten dışa doğru indirgeme yapılır. İndirgeme işlemi sonucunda tüm sistemin blok
5
diyagramı tek bir bloğa indirgenir ve tüm sisteme ait transfer fonksiyonu bu blok içine yazılır. Blok
diyagram indirgeme kurallarından önemli olanları aşağıda özetlenmiştir. Bu kurallardan 1. , 2. ve 4.
numaralı kurallar indirgeme yapmak için kullanılır, diğerleri düzenleme yapmak için kullanılır.
Çünkü uygulamalarda bazen indirgeme yapılabilmesi için öncelikle düzenleme yapılmakta, daha
sonra indirgeme yapılmaktadır.
Blok diyagram indirgeme kuralları:
İŞLEMİN
TANIMI
1.
Seri bağlı
blokların
indirgenmesi
2.
Paralel bağlı
blokların
indirgenmesi
DENKLEM
Y  (G1G2 ) R
BLOK DİYAGRAM
R
R
Y
G2
G1
R
İNDİRGENMİŞ BLOK DİYAGRAM
Y
G1G2
Y
G1
+
Y  G1R  G2 R
R
G1  G2
±
Y
G2
3.
İleribesleme
yolu
üzerinden bir
bloğun
kaldırılması
R
4.
R
+
Y  G1R  G2 R
G1
G2
G2
±
5.
6.
Toplama
noktalarının
yeniden
düzenlenmesi
Y
G
+
Y  G ( R  HC )
R
G
1  GH
±
R
Y  G ( R  HC )
7.
Y
G
+
R
1
H
Y
Y
GH
+
±
±
H
W
Z W  X Y
X
W
Z
+
+
±
Z  GX  Y
Z
+
±
+
±
Y
Y
X
Toplama
noktasını bir
bloğun önüne
kaydırmak
+
±
H
Geribesleme
yolu
üzerinden bir
bloğun
kaldırılması
Y
G2
R
Geribesleme
döngüsünün
indirgenmesi
Y
G1
±
X
G
Z
+
X
G
+
±
Y
±
1
G
Z
Y
6
8.
9.
Toplama
noktasını bir
bloğun
arkasına
kaydırmak
X
+
Z  G( X  Y )
X
X
Z
G
Y
±
Y
Ayrılma
noktasını bir
bloğun önüne
kaydırmak
Z
G
+
±
G
Y
G
X
Y
G
Y  GX
Y
Y
G
X
Ayrılma
noktasını bir
10. bloğun
arkasına
kaydırmak
Y  GX
G
Y
X
X
X
Y
G
1
G
Örnek 1: Aşağıda blok diyagramı indirgeyerek sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz.
H2
̶
R
+
G1
+
̶
+
G3
G2
Y
+
H1
Çözüm:
H2
̶
R
+
G1
̶
+
+
G2
G3
Y
+
H1
Burada öncelikle içteki toplama noktası önündeki G1 bloğunun önüne kaydırılırsa blok diyagram
aşağıdaki gibi olur.
7
H2
G1
̶
R
+
+
G1
+
̶
Y
G3
G2
+
H1
Daha sonra geribesleme döngüleri içten dışa doğru aşağıdaki gibi indirgenir.
H2
G1
̶
R
G1G2
1  G1G2 H 1
+
+
Y
G3
̶
R
Y
G1G2G3
1  G1G2 H1  G2G3 H 2
+
̶
R
Y
G1G2G3
1  G1G2 H1  G2G3 H 2
Örnek 2: Aşağıda blok diyagramı indirgeyerek sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz.
G4
+
R
+
̶
+
G1
+
G2
G3
+
Y
̶
̶
H1
H2
8
Çözüm:
G4
+
R
+
G1
+
G3
G2
+
Y
+
̶
̶
̶
H2
H1
G2 bloğunun sağındaki ayrılma noktası G2 bloğunun önüne kaydırılırsa blok diyagram aşağıdaki
gibi olur.
G4
+
R
+
G1
+
̶
+
̶
G3
G2
Y
+
̶
H2
H1
G2
Burada G2 ve G3 seri bağlı olup G4 de bunlara paralel olduğu için blok diyagram aşağıdaki gibi
olur.
R
+
G1
+
̶
G2G3  G4
+
̶
Y
̶
H2
H1
G2
Sonra G2G3  G4  bloğunun önündeki ayrılma noktası
kaydırıldığında blok diyagram aşağıdaki gibi olur.
R
+
G1
+
̶
G2G3  G4
+
̶
G2G3  G4 
bloğunun arkasına
Y
̶
H2
H1
G2
1
G2G3  G4
9
Daha sonra geribesleme döngüleri içten dışa doğru aşağıdaki gibi indirgenir.
R
+
G1
+
̶
Y
G2G3  G4
1  G2G3 H 2  G4 H 2
̶
G2 H 1
G2G3  G4
G1 G2G3  G4 
1  G2G3 H 2  G4 H 2  G1G2 H1
R
+
Y
̶
R
G1 G2G3  G4 
1  G2G3 H 2  G4 H 2  G1G2 H 1  G1G2G3  G1G4
Örnek 3: Yandaki elektrik devresinin girişi
ig (t ) akım kaynağı, çıkışı v2 (t ) gerilimidir.
a) Devrenin dinamik denklemlerini yazarak
blok diyagramını oluşturunuz.
b) Devrenin blok diyagramını indirgeyerek
V2 ( s)
transfer fonksiyonunu bulunuz.
I g ( s)
v1 i1
iC1
ig
Y
R1
v2
i2
iC 2
C1
C2
R2
Çözüm: a) Kirchhoff’un akımlar yasasından devredeki düğümlerden aşağıdaki iki eşitlik yazılabilir:
ig  iC 1  i1

i1  iC 2  i2

dv1
dt
dv2
i1  i2  C2
dt
ig  i1  C1

I g ( s )  I1 ( s )  C1sV1 ( s ) ……(1)

I1 ( s )  I 2 ( s )  C2 sV2 ( s ) ……(2)
i1 ve i2 akımları gerilimler cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir:
v1  v2
V ( s )  V2 ( s )
 I1 ( s )  1
……(3)
R1
R1
v
V ( s)
i2  2
 I 2 (s)  2
……(4)
R2
R2
i1 
10
Elde edilen s-domenindeki denklemlerden blok diyagramın parçaları aşağıdaki gibi oluşturulabilir:
(1) numaralı denklemden:
I g (s )
(2) numaralı denklemden:
1
C1s
+
̶
V1 (s)
I1 ( s )
+
̶
I1 ( s )
(3) numaralı denklemden:
V1 ( s )
̶
V2 ( s)
I 2 ( s)
(4) numaralı denklemden:
1
R1
+
1
C2 s
I1 ( s )
V2 ( s)
1
R2
I 2 ( s)
V2 ( s )
Dinamik denklemlerden elde edilen blok diyagramlar birleştirildiğinde devrenin blok diyagramı
aşağıdaki gibi elde edilir.
I g (s )
+
1
C1s
V1 (s) +
̶
1
R1
I1 ( s )
1
C2 s
+
̶
V2 ( s)
̶
I 2 ( s)
1
R2
1
bloğunun önüne
C1s
kaydırılmasıyla ve sonra girişteki fark alıcıyla yer değiştirilmesiyle aşağıdaki blok şema elde edilir.
b) İndirgeme yapabilmek için, ortadaki toplama noktasının (fark alıcının)
I g (s )
+
1
C1s
̶
V1 (s) +
̶
1
R1
I1 ( s )
1
C2 s
+
V2 ( s)
̶
I 2 ( s)
1
R2
11
C1s
I g (s ) +
̶
1
C1s
+
1
R1
I1 ( s )
̶
1
C2 s
+
V2 ( s)
̶
I 2 ( s)
1
R2
İleribesleme yolu üzerindeki 2 iç geribesleme döngüsü indirgendiğinde aşağıdaki blok diyagram
elde edilir:
C1s
I g (s ) +
̶
1
R1C1s  1
R2
R2C2 s  1
V2 ( s)
En dıştaki geribesleme döngüsü de indirgendiğinde giriş-çıkış arasındaki ilişki aşağıdaki gibi elde
edilir:
I g (s )
R2
2
R1C1R2C2 s  ( R1C1  R2C2  R2C1 )s  1
V2 ( s )
Örnek 4: Yandaki doğru akım motorunun girişi
eg (t ) gerilim kaynağı, çıkışı  ç (t ) motorun
milinin açısal konumudur.
a) Sistemin dinamik denklemlerini yazarak
blok diyagramını oluşturunuz.
b) Sistemin blok diyagramını indirgeyerek
ç ( s)
transfer fonksiyonunu bulunuz.
E g (s )
c) Sistemin blok diyagramını indirgeyerek
toplam cevap fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm: a) Sisteme ait dinamik denklemleri
Kirchhoff yasasından : eg (t )  Rg ig (t )  Lg
dig (t )
 eb (t )
dt
d 2 ç (t )
d (t )
B ç
Newton yasasından : M (t )  TL (t )  J
2
dt
dt
olarak yazabiliriz.
12
Burada
d ç ( t )
: Zıt elektro-motor-kuvvet gerilimi,
dt
M (t )  K mig (t ) : Motorun ürettiği döndürme momenti,
eb (t )  K b
TL (t ) : Bozucu yük torkudur.
Bu denklemlerin Laplace dönüşümleri alındığında aşağıdaki denklemler elde edilir.
E g (s )  Eb ( s )  Rg I g ( s )  Lg sI g ( s )
M ( s )  TL ( s )  Js 2 ç ( s )  Bs ç ( s )
Eb (t )  K b s ç ( s )
…… (3)
M ( s)  K m I g ( s)
…… (4)
Eg (s )  Eb (s )  ( Rg  Lg s ) I g ( s )

M ( s )  TL ( s )  s ( Js  B ) ç ( s )

…… (1)
…… (2)
Elde edilen s-domenindeki denklemlerden blok diyagramın parçaları aşağıdaki gibi oluşturulabilir:
(1) numaralı denklemden:
Eg (s )
(2) numaralı denklemden:
+
̶
TL (s )
I g (s )
1
Lg s  Rg
M (s)
̶
1
s ( Js  B)
+
Eb (s )
(3) numaralı denklemden:
 ç (s )
 ç (s )
(4) numaralı denklemden:
M (s)
I g (s )
Eb (s )
Kbs
Km
Dinamik denklemlerden elde edilen blok diyagramlar birleştirildiğinde sistemin blok diyagramı
aşağıdaki gibi elde edilir.
TL (s)
Eg (s )
1
Lg s  Rg
+
I g (s )
Km
M (s) +
̶
1
s Js  B 
 ç (s )
̶
Eb (s )
Kbs
b) TL (s )  0 için aşağıdaki blok şema elde edilir.
E g (s )
1
Lg s  Rg
+
M (s)
I g (s )
Km
1
s Js  B 
 ç (s )
̶
Eb (s )
Kbs
13
indirgeme yapıldığında aşağıdaki blok şema elde edilir.
Eg (s )
Km
s ( Lg s  Rg )( Js  B)
+
 ç (s )
̶
Eb (s )
Eg (s )
Kb s
Km
s ( Lg s  Rg )( Js  B)  K m K b s
 ç (s )
c) E g ( s )  0 için aşağıdaki blok şema elde edilir.
TL (s )
 ç (s )
1
s Js  B 
̶
̶
Km
TL (s )

1
Lg s  Rg
Lg s  Rg
s ( Lg s  Rg )( Js  B)  K m K b s
Kbs
 ç (s )
Sistemin toplam cevap fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilir.
 ç (s) 
 ç (s) 
ç ( s )
Eg ( s)
Eg (s) 
 ç (s)
TL ( s )
TL ( s )
Lg s  Rg
Km
Eg ( s) 
TL ( s )
s ( Lg s  Rg )( Js  B)  K m K b s
s ( Lg s  Rg )( Js  B)  K m K b s
14
6. Kazanç Formülünün Blok Diyagramlarına Uygulanması
Şekil 9. a) Bir kontrol sistemine ait Blok Diyagramı , b) Eşdeğer İşaret Akış Diyagramı
Kazanç Formülü uygulanırsa
Y ( s) G1G2 G3  G1G4

R( s)

burada
  1  G1G2 H 1  G2 G3 H 3  G1G2 G3  G4 H 2  G1G4
Benzer şekilde
E ( s ) 1  G1G 2 H 1  G2 G3 H 2  G 4 H 2

R( s)

ve
Y ( s)
G1G2G3  G1G4

E ( s) 1  G1G2 H1  G2G 3 H 2  G4 H 2
yazılabilir.
Son denklem giriş olmayan düğüme göre yazılmış kazanç ifadesidir.
15