Bildiri Tam Metinleri - Department Of Statistics

Transkript

VII. İSTATİSTİK GÜNLERİ SEMPOZYUMU
28 – 30 Haziran 2010
Orta Doğu Teknik Üniversitesi
Ġstatistik Bölümü
BİLDİRİ TAM METİNLERİ e–KİTABI
Editörler
H. Öztaş AYHAN
Ceylan TALU YOZGATLIGİL
Yayın: Ankara, Mart 2011
VII. ĠSTATĠSTĠK GÜNLERĠ SEMPOZYUMU BĠLDĠRĠLER KĠTABI
2010
ÖNSÖZ
7. Ġstatistik Günleri Sempozyumu, 28 – 30 Haziran 2010 tarihleri arasında Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Fen
ve Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü tarafından, Ankara‟da ODTÜ Kültür ve Kongre Merkezi salonlarında
gerçekleĢtirilmiĢtir. Sempozyumda, 4 adet davetli bildiri ve 68 adet katkılı bildiri baĢarı ile sunulmuĢtur.
Sempozyumda sunulan bildirilerin bir bölümü bilimsel hakemlik süreci sonunda bu elektronik Sempozyum Bildirileri
Kitabı‟nda yayınlanmıĢtır. Sunulan bildirilerin diğer bir bölümü ise, Ġstatistik AraĢtırma Dergisi‟nin bu sempozyum
için planlanan özel sayısında yayınlanmak amacı ile bilimsel hakemlik sürecine tabi tutulmuĢlardır. Bizlere bu olanağı
sağlayan TÜĠK BaĢkan Vekili sayın Ömer TOPRAK‟a ve dergi editorü Profesör Fetih YILDIRIM ve editor yardımcısı
Yardımcı Doçent Özlem ĠLK‟e teĢekkür ederim.
Sempozyum Bildiriler Kitabı‟nda yayınlanmak üzere sunulan bildiri tam metinleri konunun uzmanı olan
hakemler tarafından değerlendirilmiĢ ve gerekli düzeltmeler elektronik ortamda gerçekleĢtirilmiĢtir. Hakemlik
sürecinde yardımlarını esirgemeyen değerli bilim insanlarına teĢekkür ederiz.
Sempozyum bilimsel programının çok renkli olmasını çok özel olan davetli konuĢmacılarımıza borçluyuz.
Kendi özel bilimsel çalıĢma alanlarında dünyada ve ülkemizde önemli söz sahibi olan Profesör Orhan GÜVENEN,
Profesör Ġ. Burhan TÜRKġEN, Profesör Ġsmihan BAYRAMOĞLU ve Profesör Fikri AKDENĠZ‟e sempozyuma
yaptıkları katkılar nedeniyle Ģükranlarımı sunarım. Sempozyumda oturum baĢkanı olarak, sempozyum bildirilerine
katkıda bulunan tüm meslektaĢlarıma da teĢekkürlerimi sunarım.
Bu sempozyumun gerçekleĢmesinde değerli desteklerini esirgemeyen Rektörümüz Profesör Ahmet ACAR‟a
Ģükranlarımızı sunarız. Ayrıca, bu sempozyumun gerçekleĢmesinde değerli görüĢleriyle katkıda bulunan Sempozyum
Onur Kurulu ve Sempozyum Bilimsel DanıĢma Kurulu üyelerine teĢekkür ederim. Sempozyum hazırlık ve
uygulamasının tüm aĢamalarında yer alan değerli çalıĢma arkadaĢlarıma ve özverili çalıĢmalarından dolayı
Sempozyum Düzenleme Kurulu ve Bölümümüzün tüm idari personeline teĢekkür ederim. Sempozyumun baĢarılı bir
Ģekilde sonuçlanmasına katkıda bulunan ODTÜ‟nin tüm çalıĢanlarına ayrıca teĢekkür ederim.
Sempozyumun gerçekleĢmesinde önemli mali desteklerini esirgemeyen Türkiye Halk Bankası Genel Müdür
Yardımcısı Osman ARSLAN ve Tanıtım ve Halkla ĠliĢkiler Dairesi BaĢkanı Yalçın KAYA‟ya Ģükranlarımı sunuyorum.
Sempozyum düzenlemenin tüm aĢamalarındaki desteklerinden dolayı ETĠX Organizasyon ġirketi yönetici ve
çalıĢanlarına teĢekkür ederim. Sempozyumun, kapanıĢ yemeğinin düzenlenmesinde yaptıkları özverili çalıĢmaları
nedeniyle, Hacettepe Üniversitesi Genel Sekreteri Profesör Turhan MENTEġ ve Beytepe Akademik Kafeteryası
yöneticilerine teĢekkür ederim.
Ġstatistik bilim insanlarının bir araya geldiği bu tür sempozyumlar, tecrübeli istatistikçiler ile genç
akademisyen ve araĢtırmacılarımızın birlikteliğini sağlamakta ve gençlerin motivasyonunu artıran önemli bir toplantı
olmaktadır. Gelecek yıllarda, bu sempozyumun sürekliliğinin, istatistikçiler için önemli bir bilimsel buluĢma ortamı
olmaya devam etmesini diliyorum.
Profesör H. ÖztaĢ AYHAN
ODTÜ Ġstatistik Bölümü BaĢkanı
7. ĠGS 2010 Düzenleme Kurulu adına
ORTA DOĞU TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ, FEN-EDEBĠYAT FAKÜLTESĠ, ĠSTATĠSTĠK BÖLÜMÜ
| i
2010
SEMPOZYUM ONUR KURULU
Prof. Dr. Ahmet Acar, Orta Doğu Teknik Üniversitesi Rektörü
Prof. Dr. Cüneyt Can, ODTÜ Fen ve Edebiyat Fakültesi Dekanı
Prof. Dr. Canan Özgen, ODTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
SEMPOZYUM DANIġMA KURULU
Prof. Dr. Fikri Akdeniz, Çukurova Üniversitesi
Prof. Dr. Soner Gönen, Gazi Üniversitesi
Prof. Dr. Hüseyin Tatlıdil, Hacettepe Üniversitesi
Prof. Dr. Serdar Kurt, Dokuz Eylül Üniversitesi
Prof. Dr. Ömer L. Gebizlioğlu, Ankara Üniversitesi
Doç. Dr. Mehmet Ali Cengiz, Ondokuz Mayıs Üniversitesi
SEMPOZYUM DÜZENLEME KURULU
Prof. Dr. H. ÖztaĢ Ayhan
Prof. Dr. AyĢen Dener Akkaya
Doç. Dr. Ġnci Batmaz
Doç. Dr. BarıĢ Sürücü
Yard.Doç. Dr. Zeynep Kalaylıoğlu
Yar.Doç. Dr. Özlem Ġlk
Yar.Doç. Dr. B. Burçak BaĢbuğ Erkan
Yar.Doç.Dr. Ceylan Talu Yozgatlıgil
Yar.Doç.Dr. Vilda Purutçuoğlu
Dr. Ayça Dönmez
ArĢ.Gör. Sipan Aslan
ArĢ.Gör. Sibel Balcı
ArĢ.Gör. Könül Bayramoğlu
ArĢ.Gör. Elçin Kartal
ArĢ.Gör. Gül Ġnan
ArĢ.Gör. Tuğba Erdem
ArĢ.Gör. Özgür Asar
ArĢ.Gör. Ceyda Yazıcı
ArĢ.Gör. Olcay Öztürk
| ii
2010
ĠÇĠNDEKĠLER
NO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
MAKALE ADI
AĞIRLIKLI HEDEF PROGRAMLAMA VERĠ ZARFLAMA ANALĠZĠ YÖNTEMĠ
ĠLE TÜRKĠYE‟DEKĠ ĠLLERĠN BAġARIM DEĞERLENDĠRMESĠ
H.Hasan ÖRKÇÜ, Hasan BAL
ANKARA HAVA KĠRLĠLĠĞĠ ZAMAN SERĠSĠNĠN ÇÖZÜMLENMESĠNDE KLASĠK
VE BULANIK ZAMAN SERĠLERĠ YAKLAġIMLARININ KARġILAġTIRILMASI
Erol EĞRĠOĞLU, Ufuk YOLCU, Ç.Hakan ALADAĞ, V.Rezan USLU
BURR XII DAĞILIMININ PARAMETRELERININ ĠLERLEYEN TÜR ĠLK BOZULMA
SANSÜRLEMEYE DAYALI GÜVEN ARALIKLARI VE GÜVEN BÖLGELERI
CoĢkun KUġ, Yunus AKDOĞAN
DOGRUSAL OLMAYAN REGRESYONDA BAZI PARAMETRE ARALIK
TAHMiNLEME YONTEMLERiNiN KIYASLANMASI
Atıf EVREN
ESENBOĞA, ATATÜRK VE LONDON CITY HAVAALANLARINDAKĠ MEVSĠMSEL
HAREKETLĠLĠĞĠN GÖSTERMELĠK DEĞĠġKEN YÖNTEMĠYLE TESPĠT EDĠLMESĠ
Deniz KONAK, Vilda PURUTÇUOĞLU
GAUSS RASTGELE YÜRÜYÜġ SÜRECĠNĠN MAKSĠMUNUN MOMENTLERĠ ĠÇĠN
YAKLAġIK FORMÜLLER
Fikri GÖKPINAR, Tahir KHANĠYEV
ĠLERĠ BESLEMELĠ YAPAY SĠNĠR AĞLARI ĠLE ÖNGÖRÜ ĠÇĠN GĠZLĠ TABAKA
SAYISI ÜZERĠNE BĠR ARAġTIRMA
Faruk ALPASLAN, Ebrucan TĠRĠNG, Erol EĞRĠOĞLU
ĠSTATĠSTĠK'TE ENTROPĠYE DAYALI UYUM ÖLÇÜLERĠNĠN DĠĞER UYUM
ÖLÇÜLERĠ ĠLE KIYASLANMASI
Atıf EVREN
L-SIRALI KÜME ÖRNEKLEMESĠ KULLANILARAK YIĞIN ORTALAMASININ
TAHMĠN EDĠLMESĠ
Nilay AKINCI, Yaprak Arzu ÖZDEMĠR
ÖLÇÜM YETERLĠLĠK PARAMETRELERĠNĠN TAHMĠN EDĠCĠLERĠ VE GÜVEN
ARALIKLARI
Ümit YAMAN, Yunus AKDOĞAN, Ahmet PEKGÖR, CoĢkun KUġ
ONDOKUZ MAYIS ÜNĠVERSĠTESĠ TIP FAKÜLTESĠ BEYĠN CERRAHĠSĠ
POLĠKLĠNĠĞĠNDE SĠMÜLASYON YARDIMIYLA HASTA BEKLEME
SÜRESĠNĠN AZALTILMASI
Faruk ALPASLAN, Özge CAĞCAĞ, Erol EĞRĠOĞLU
PARETO MÜDAHALELĠ YARI-MARKOV RASTGELE YÜRÜYÜġ SÜREÇĠ ĠÇĠN
ASĠMPTOTĠK SONUÇLAR
Rovshan ALIYEV, Tülay KESEMEN, Ġhsan ÜNVER
RCMARS-SAĞLAMCMARSYÖNTEMĠVESAYISAL BĠRUYGULAMA
AyĢe ÖZMEN, Gerhard-Wilhelm WEBER, Ġnci BATMAZ
SARIMA MODELĠ VE ELMAN YAPAY SĠNĠR AĞININ MELEZ YAKLAġIMI ĠLE
ANKARAHAVA KALĠTESĠ VERĠLERĠNĠN ÇÖZÜMLENMESĠ
ÇağdaĢ Hakan ALADAĞ, Ufuk YOLCU, Erol EĞRĠOĞLU
SIRALI KÜME ÖRNEKLEMESĠ TASARIMINDA YIĞIN ORTALAMASINA ĠLĠġKĠN
HĠPOTEZTESTĠ
Yaprak Arzu ÖZDEMĠR, Fikri GÖKPINAR
TLDOLAR DÖVĠZ KURU VERĠLERĠNĠN BULANIK ZAMAN SERĠSĠ YAKLAġIMLARI
ĠLE ÖNGÖRÜSÜ
Cem KOÇAK, Erol EĞRĠOĞLU, Ufuk YOLCU, ÇağdaĢ Hakan ALADAĞ
HETEROJEN VARYANS DURUMUNDA ORTALAMALARIN EġĠTLĠĞĠ ĠÇĠN YENĠDEN
ÖRNEKLEME TEKNĠKLERĠNE DAYALI BĠR ÇALIġMA
Esra YĠĞĠT, Hamza GAMGAM
UYARLANMIġ DURBĠN TESTĠ ĠÇĠN PERMÜTASYON TESTĠ VE BĠR SĠMÜLASYON
ÇALIġMASI
Fikri GÖKPINAR, Hülya BAYRAK
SAYFA
1-8
9-15
16-24
25-34
35-43
44-52
53-58
59-68
69-79
80-88
89-94
95-100
101-108
109-114
115-122
123-129
130-140
141-147
| iii
2010
ĠLE TÜRKĠYE‟DEKĠ ĠLLERĠN BAġARIM DEĞERLENDĠRMESĠ
H.Hasan ÖRKCÜ*
Hasan BAL**
ÖZET
Bu çalıĢmada, Türkiye‟deki 81 ilin baĢarım değerlendirmesi klasik veri zarflama analizi
(CCR modeli) ve ağırlıklı hedef programlama veri zarflama analizi yöntemleri ile
incelenmiĢtir.Elde edilen sonuçlar ağırlıklı hedef programlama veri zarflama analizi
yönteminin klasik veri zarflama analizi yöntemine göre daha iyi bir alternatif olduğunu
göstermiĢtir.
Anahtar Kelimeler: Veri zarflama analizi, hedef programlama, illerin etkinliği.
EVALUATION FOR PERFORMANCES OF COUNTRIES IN TURKEY BY
WEIGHTED GOAL PROGRAMMING DATA ENVELOPMENT ANALYSIS
ABSTRACT
In this study, the efficiency evaluation of 81 countries in Turkey was examined by classical
data envelopment analysis (CCR model) and weighted goal programming data envelopment
analysis methods. The obtained results show that weighted goal programming data
envelopment analysis method is a better alternative according to classical data envelopment
analysis method.
Keywords: Data Envelopment Analysis, goal programming, efficiency of countries.
GĠRĠġ
Karar verme birimlerinin (KVB) göreli etkinliklerinin ölçülmesi amacı ile geliĢtirilmiĢ olan
Veri Zarflama Analizinin (VZA) uygulamaları geliĢtikçe yeni problemler de ortaya çıkmıĢtır
(Adler vd., 2002). Birbirine bağlı olan bu problemler zayıf ayırt edilebilme gücü problemi,
gerçekçi olmayan ağırlık dağılımı problemi ve etkin KVB‟ler için ağırlıkların çoklu optimal
çözümlere sahip olması problemidir. Zayıf ayırt edilebilme gücü problemi, çok fazla sayıda
birimin etkin olarak değerlendirilmesidir.
*
AraĢ.Gör.Dr., Gazi Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 0650 Ankara, [email protected]
** Prof.Dr., Gazi Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 0650 Ankara, [email protected]
| 1
2010
Türkiye farklı topoğrafya ve iklim özelliklerinin meydana getirdiği en geneli ile yedi coğrafi
bölgeden oluĢmakta ve bu bölgeler arasında ekonomik, sosyal ve kültürel açıdan göreli
geliĢmiĢlik farklar bulunmaktadır. Göreli olarak az geliĢmiĢ yörelerin geliĢmiĢlik düzeylerinin
yükseltilerek, bölgelerarası geliĢmiĢlik farkların azaltılması, ülke genelinde ekonomik
büyüme ile birlikte sağlıklı bir sosyal ve kültürel geliĢmenin ve refah dağılımının sağlanması,
temel bir hedef olarak ele alınmıĢtır. Bu hedefe yönelik olarak izlenen ekonomik ve sosyal
politikalar ile uygulanan teĢvik tedbirlerine ve gösterilen çabalara karĢın geliĢmedeki
bölgelerarası dengesizlikler önemini korumaktadır.Bu amaçlarla Devlet Planlama TeĢkilatı
(DPT) iller ve bölgeler seviyesinde performans araĢtırmaları yapmaktadır. Bu araĢtırmalar bir
çok değiĢkenli istatistiksel analiz yöntemi olan temel bileĢenler analizi ile yapılmaktadır.
Bu çalıĢmada, klasik VZA yöntemindeki zayıf ayırt edilebilme problemine seçenek olarak
önerilen ağırlıklı hedef programlama modeli ile ülkemizdeki 81 ilin sosyo-ekonomik baĢarım
değerlendirmesi ele alınmıĢtır.
Önerilen ağırlıklı hedef programlama modeli ile illerin gerçek baĢarımları ortaya çıkartılması
hedeflenmektedir.
VERĠ ZARFLAMA ANALĠZĠ YÖNTEMĠ
VZA ilk olarak Charnes vd. (1978) tarafından, ürettikleri mal veya hizmet açısından
birbirlerine benzer KVB‟lerin göreli etkinliklerinin ölçülmesi amacı ile geliĢtirilmiĢ
parametrik olmayan bir tekniktir.Bu yöntemin sahip olduğu özellikleri kısaca özetlersek; her
KVB‟deki etkinsizlik miktarını ve kaynaklarını tanımlayabilmesi, her bir KVB‟nin etkinlik
değeri diğerlerine göre hesaplandığından hesaplanan etkinliklerin göreli etkinlikler olması ve
değiĢkenler üzerinde herhangi bir fonksiyonel varsayım öne sürmemesidir.
VZA‟ da herhangi bir birimin etkinliği CCR modeli olarak bilinen temel etkinlik modeli ile
ölçülür (Cooper vd., 2000). Girdi yönlü CCR modeli (1) ile verilmektedir.
s
z p  max  ur yrp
r 1
Kısıtlar:
m
v x
i 1
s
m
u y  v x
r 1
r
rj
i 1
i ij
i ip
1
 0 , j  1, . . . , n
(1)
ur  0 , r  1, . . . , s
vi  0 , i  1, . . . , m
| 2
2010
Burada, p indisi etkinliği hesaplanacak KVB‟ni, x girdileri, y çıktıları, z ilgili birimin
etkinlik değerini, n KVB sayısını, m girdi sayısını, s çıktı sayısını simgelemektedir. (1)
modelinde z *p  1 ise KVBp etkin olarak değerlendirilir. Etkinlik puanı 1‟in altında olan her
birim de etkin olmayan olarak değerlendirilecektir.
Klasik VZA modeli olarak da adlandırılan CCR modeli çok sayıda birimi etkin olarak
değerlendirir.Bu durum birimlerin birbirleri ile karĢılaĢtırılmalarını, etkin olmayan birimler
için etkinliklerini geliĢtirici politikalar üretmelerini sağlayacak ve bu birimlerin referans
olarak alabilecekleri birimleri seçmelerini zorlaĢtırmaktadır. Önerilen hedef programlamaya
dayalı VZA yaklaĢımı Li ve Reeves (1999) tarafından önerilen çok ölçütlü VZA yaklaĢımına
dayanmaktadır ve bu model ile Türkiye‟deki 81 ilin sosyo-ekonomik baĢarımları
incelenmektedir.
Li ve Reeves (1999) üç farklı etkinlik ölçütlerine göre yeni bir etkinlik modeli önermiĢtir. Bu
etkinlik ölçütleri ilgili birime ait etkinlikten sapmanın minimum yapılması (etkinliğin
maksimum yapılması), etkinlikten sapmalar toplamının minimum yapılması ve en büyük
etkinlik sapmasının minimum yapılmasıdır.Ağırlıklı hedef programlama etkinlik modelinde
bütün etkinlik ölçütlerinin aynı öneme sahip olduğu ağırlıklı hedef programlama yöntemi ele
alınmaktadır.Ağırlıklı hedef programlama modeli ile daha birimlerin klasik CCR modeline
göre daha makul bir sıralamaları yapılabilmektedir.
Ağırlıklı hedef programlama VZA yöntemi (AGHPVZA) model (2) ile verilmektedir.
min a  d1  d1  d2   d3j + d j 
Kısıtlar:
m
v x
i ip
i 1
 d1  d1  1
s
u y
r
r 1
rp
(2)

2

2
 d  d 1
s
m
r 1
i 1
 ur yrj   vi xij  d j  0 , j  1, 2, . . . , n
M  d j  d3j  d3j  0 , j  1, 2, . . . , n
ur  0,
r  1, 2, . . . ,s
vi  0,
i  1, 2, . . . ,m
d j  0,
j  1, 2, . . . , n
| 3
d1 , d1 , d2 , d2 , d3j , d3j  0
2010
, j  1, 2, . . . , n
Bu modelde, ele alınan KVB için, d1 ve d1 değiĢkenleri girdilerin toplamının bir olması
hedefinden sırasıyla istenmeyen ve istenen sapmaları, d 2 değiĢkeni ağırlıklı çıktı toplamı
hedefinin bir etkinlik değerinden istenen sapmasını, d 2+ değiĢkeni ağırlıklı çıktı toplamı

hedefinin bir etkinlik değerinden istenmeyen sapmasını, d3 j değiĢkenleri M en büyük
sapmayı simgelemek üzere M  d j  0 , j  1, 2, . . . , n hedefinden istenmeyen sapmaları
d3j
ve
değiĢkenleri
M  d j  0 , j  1, 2, . . . , n
hedefinden
istenen
sapmaları
simgelemektedir.
d

1
 d1  d2   d3j + d j  baĢarı fonksiyonunda istenmeyen sapmalara eĢit ağırlık
verilmektedir. Bu modelde amaçlanan bütün istenmeyen sapma değiĢkenlerine aynı ağırlığı
vererek d1 , d 2 , ve
d

3j
sapmalarını minimum yapmaktır (Bal ve Örkcü, 2007; Bal vd.
2010).
ĠLLERĠN ETKĠNLĠK DEĞERLENDĠRMESĠ
Bu bölümde ülkemizdeki 81 ilin sosyo-ekonomik performansı klasik CCR modeli ve önerilen
ağırlıklı hedef programlama VZA yöntemleri ile incelenmiĢtir. Modellerin çözümünde
WINQSB programından yararlanılmıĢtır. VZA‟ da değiĢkenlerin girdi ve çıktı olarak
ayrılması gerekir. DeğiĢkenlerin, girdi ve çıktı olarak ayrılması birim üzerindeki etkilerine
bağlıdır.Retzlaff-Roberts (1997), girdi ve çıktı değiĢkenleri yerine birimler üzerinde pozitif ve
negatif etkili değiĢkenler kavramını kullanmayı uygun bulmuĢtur. ArtıĢı birimin daha iyi
olarak değerlendirilmesini sağlayan değiĢkenlerin pozitif etkili, tersine düĢüĢü birimin daha iyi
olarak değerlendirilmesini sağlayan değiĢkenlerin ise negatif etkili olarak alınmasını
önermiĢtir. Çıktı (pozitif etkili) değiĢkenler ve girdi (negatif etkili) değiĢkenler, aĢağıda
listelenmiĢtir. Veriler DPT veri tabanından alınmıĢtır (DPT, 2008).
Çıktılar:
y1 : ġehirleĢme oranı,
y2 : Tarım sektöründe çalıĢan nüfusun toplam nüfusa oranı,
y3 : Okur-yazar nüfus oranı,
y4 : KiĢi baĢına düĢen milli gelir.
Girdiler
x1 : Bebek ölüm oranı,
x2 : KiĢi baĢına belediye harcamaları,
x3 : KiĢi baĢına yatırım harcamaları.
| 4
2010
Klasik CCR modeli ile 50 il etkin bulunmuĢtur (Adana, Adıyaman, Ağrı, Ankara, Antalya, . .
. , Tekirdağ, Tokat, Kırıkkale, Kilis, Osmaniye). Buradan illerin %61‟inin CCR modeli ile
etkin olarak değerlendirildiği söylenebilir. Ağırlıklı hedef programlama yaklaĢımı ile sadece 4
il etkin bulunmuĢ ve illerin daha makul sıralamaları ve ayrımları sağlanmıĢtır.
Her iki model ile de elde edilen etkinlik sonuçları ġekil 1‟de özetlenmiĢtir.
SONUÇ
Elde edilen sonuçlardan, illerin sosyo-ekonomik baĢarımlarının değerlendirilmesinde ağırlıklı
hedef programlama yaklaĢımının klasik CCR modeline göre çok daha iyi bir seçenek olduğu
söylenebilir. CCR modeli 81 ilin yarısından fazlasını etkin olarak değerlendirmiĢ ve iller
sosyo-ekonomik baĢarımları bakımından birbirinden sağlıklı bir biçimde ayrılamamıĢlardır.
Ağırlıklı hedef programlamaya yaklaĢımı ise sadece dört ili etkin olarak değerlendirmiĢ ve
diğer illere de makul etkinlik değerleri atamıĢtır. Ağırlıklı hedef programlamanın etkin olarak
değerlendirdiği illerin Ankara, Bursa, Ġstanbul, Ġzmir olması dikkat çekicidir.
| 5
Kocaeli
Kırşehir
Kırklareli
Kayseri
Kastamonu
Kars
İzmir
İstanbul
Mersin
Isparta
Hatay
Hakkari
Gümüşhane
Giresun
Gaziantep
Eskişehir
Erzurum
Erzincan
Elazığ
Edirne
Diyarbakır
Denizli
Çorum
Çankırı
Çanakkale
Bursa
Burdur
Bolu
Bitlis
Bingöl
Bilecik
Balıkesir
Aydın
Artvin
Antalya
Ankara
Amasya
Ağrı
Afyon
Adıyaman
Adana
İller (Adana-Kocaeli)
| 6
0,60
CCR
AGHPVZA
0,50
0,40
Etkinlik Değeri
2010
CCR ve AGHPVZA Modellerinin Etkinlik Değerleri
1,00
0,90
0,80
0,70
0,30
0,20
0,10
0,00
2010
CCR ve AGHPVZA Modellerinin Etkinlik Değerleri
1,00
0,90
0,80
Etkinlik Değeri
0,70
0,60
CCR
AGHPVZA
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
Düzce
Osmaniye
Kilis
Karabük
Yalova
Iğdır
Ardahan
Bartın
Şırnak
Batman
Kırıkkale
Karaman
Bayburt
Aksaray
Zonguldak
Yozgat
Van
Uşak
Şanlıurfa
Tunceli
Trabzon
Tokat
Tekirdağ
Sivas
Sinop
Siirt
Samsun
Sakarya
Rize
Ordu
Niğde
Nevşehir
Muş
Muğla
Mardin
K.Maraş
Manisa
Malatya
Kütahya
Konya
İller (Konya-Düzce)
ġekil 1.CCR ve AGHPVZA Modellerinin Etkinlik Değerleri
| 7
2010
TEġEKKÜR
Bu çalıĢma TÜBĠTAK Bilimsel ve Teknolojik AraĢtırma Projelerini Destekleme Programı
kapsamında (proje no: 109T337) ve Gazi Üniversitesi Bilimsel AraĢtırma Projeleri Birimi
tarafından (proje no: 05/2009–36) ve kısmen desteklenmiĢtir.
KAYNAKLAR
ADLER, N., FRIEDMAN L. ve SINUANY-S.Z. (2002), Review of ranking methods in the data
envelopment analysis context, European Journal of Operational Research, 140, 249–265.
BAL, H. ve ÖRKCÜ, H.H. (2007), A goal programming approach to weight dispersion in Data
Envelopment Analysis, G.U. Journal of Science, 20(4), 117–125.
BAL, H., ÖRKCÜ, H.H. ve ÇELEBĠOĞLU, S. (2010), Improving the discrimination power and
weight dispersion in the Data Envelopment Analysis, Computers and Operations Research,
37(1), 99–107.
CHARNES, A., COOPER ve W.W., RHODES, E. (1978), The efficiency of decision making
units, European Journal of Operational Research, 2, 429-444.
COOPER, W.W., SEIFORD, L.M. ve TONE, K. (2000), Data Envelopment Analysis, Boston
USA, Kluwer Academic Publishers.
DPT, Uluslar arası Ekonomik Göstergeler, 2008.
EriĢim: http://www.dpt.gov.tr, 20 Mart 2010.
LI, X.B. ve REEVES, G.R. (1999), A multiple criteria approach to data envelopment analysis,
European Journal of Operational Research, 115, 507-517.
RETZLAFF-ROBERTS, D.L. (1997), A Data Envelopment Analysis approach to Discriminant
Analysis ,Annals of Operations Research,73, 299-321.
| 8
2010
ANKARA HAVA KĠRLĠLĠĞĠ ZAMAN SERĠSĠNĠN ÇÖZÜMLENMESĠNDE KLASĠK VE
BULANIK ZAMAN SERĠLERĠ YAKLAġIMLARININ KARġILAġTIRILMASI
Erol Eğrioğlu*
Ufuk Yolcu**
Ç. Hakan Aladağ***
V. Rezan Uslu****
ÖZET
Bulanık zaman serileri yaklaĢımları, son yıllarda oldukça yoğun çalıĢılmaktadır. Gerçek hayatta
karĢılaĢılan bazı zaman serilerinin, gözlemlerindeki belirsizlik nedeniyle bulanık zaman serisi
olarak ele alınması daha doğrudur. Örneğin hava kirliliği verileri gün içindeki çeĢitli
zamanlardaki ölçümlerde farklı değerlere sahip olmasına rağmen, bir zaman serisi olarak ele
alındığında sadece günlük ortalama değerler dikkate alınmaktadır. Oysa böyle bir zaman
serisinin gözlemleri birçok değeri içerebilen bir bulanık küme olarak alınabilir. Bu durumda
gözlemleri bulanık küme olan zaman serilerinin öngörülmesi problemi ortaya çıkmaktadır.
Literatürde bulanık zaman serilerinin öngörülmesi için birçok yöntem önerilmiĢtir. Bu çalıĢmada
mevsimsel bulanık zaman serilerinin öngörülmesinde kullanılan bazı bulanık zaman serisi
yaklaĢımları, klasik mevsimsel zaman serisi yaklaĢımlarından elde edilen sonuçlarla
karĢılaĢtırılmıĢtır. KarĢılaĢtırma Ankara hava kirliliği verileri üzerinden yapılmıĢtır.
Anahtar kelimeler: Öngörü, Bulanık Zaman Serileri, Mevsimsellik
A COMPARISON OF TRADITIONAL AND FUZZY TIME SERIES APPROACHES IN
ANALYSING THE TIME SERIES OF SULPHUR DIOKSITE VALUES IN ANKARA
ABSTRACT
Many researchers have recently been working fuzzy time series approaches with an increasingly
interest. It is possible to concern some time series data as fuzzy time series since they include
some type of uncertainty. Often the data of air pollution is generated as daily averages; however
the measurements are changing during the day. Then we consider the air pollution data as fuzzy
time series data by allocating as if each observation is actually a fuzzy set. In this study we
introduce a seasonal fuzzy time series approach. Since the data of air pollution in Ankara also
contains seasonal behavior it is analyzed by using this approach and the results are discussed
comparatively.
Keywords: Forecasting, Fuzzy time series, Seasonality.
* Doç. Dr., Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 55139 Samsun,
[email protected](HaberleĢme Adresi)
** AraĢtırma Görevlisi, Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 55139 Samsun,
[email protected]
***Öğretim Görevlisi Doktor, Hacettepe Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 06800 Ankara,
[email protected]
****Doç. Dr., Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 55139 Samsun, [email protected]
| 9
2010
GĠRĠġ
Bu çalıĢma uygulamalı bir çalıĢma olup, geleneksel yöntemlerden SARIMA (mevsimsel
otoregresif bütünleĢik hareketli ortalama) ve Winter Çarpımsal Üstel Düzeltme tekniği ile
mevsimsel bulanık zaman serisi yaklaĢımlarından Song (1999)„un ve Eğrioğlu vd (2009)‟nin
önerdiği yaklaĢımlardan elde edilen öngörü performansları karĢılaĢtırılmak istenmiĢtir. Ayrıca
mevsimsel bulanık zaman serisi yaklaĢımları içerisinde Eğrioğlu vd (2009) önerdiği yöntemin
öngörü performansını arttırdığını vurgulamayı amaçlamaktadır.
Bulanık küme teorisinin Zadeh (1965)‟de ortaya atılması birçok bilim alanında yeni ve etkin
yöntemlerin önerilmesine sebep olmuĢtur.Genel olarak istatistik analiz yöntemlerinde de bulanık
küme teorisinin bulanık regresyon, bulanık kümeleme, bulanık zaman serisi gibi uygulamaları
son yıllarda literatürde yoğun olarak çalıĢılmaktadır. Geleneksel zaman serileri analizindeki
doğrusallık, en az 50 gözlem, model varsayımı gibi kısıtlamalar araĢtırmacıları alternatif zaman
serileri yaklaĢımlarına yöneltmektedir. Son 10 yıl içinde yapay sinir ağları ve bulanık zaman
serisi yaklaĢımları getirdikleri birçok avantaj ve klasik zaman serisi kısıtlamalarına sahip
olmamaları bu yöntemleri daha da cazip hale getirmektedir. Özellikle gözlemleri belirsizlik
içeren veya bir zaman birimi içinde birden fazla değere sahip olan borsa, sıcaklık, okullara kayıtlı
öğrenci sayısı, hava kirliliği gibi verilerin çözümlenmesinde bulanık zaman serileri yöntemleri
tercih edilebilir.
Ġlk olarak Song ve Chissom (1993a, 1993b) bulanık zaman serisi yöntemini önermiĢlerdir. Chen
(1996), daha kolay hesaplamalar içeren bulanık mantık iliĢki tablolarına dayalı bir yöntem
önermiĢtir. Huarng ve Yu (2006) bulanık iliĢkilerin yapay sinir ağları ile belirlendiği bir yöntem
önermiĢleridir.Literatürde önerilen bir çok yöntem birinci dereceden bulanık zaman serisi öngörü
modellerini içermektedir. Ancak birçok zaman serisini, içerdikleri yüksek dereceli iliĢkiler
nedeniyle, birinci dereceden modellerle çözümlemek yetersiz kalabilir.Bu nedenle, Chen (2002),
yüksek dereceli bulanık zaman serisi öngörü modelini çözümleyen yeni bir yöntem önermiĢtir.
Chen (2002) tarafından önerilen bu yöntemde tüm gecikmeli değiĢkenler mevcuttur. Mevsimsel
zaman serileri için, bu yöntemde, model derecesinin periyot kadar olması gerektiği açıktır.
Ancak bu durum katkısız gecikmeli değiĢkenleri modele dâhil ederek, modeldeki girdi sayısını
gereksiz Ģekilde arttıracaktır. Bununla birlikte, Song (1999), periyodu m olan bir mevsimsel
zaman serisini çözümlemede, F(t-m) gecikmeli değiĢkeninin girdi ve F(t)‟ nin ise çıktı olarak
alındığı yeni bir yöntem önermiĢtir. Bu yöntem de, daha karmaĢık iliĢkiler içeren mevsimsel
zaman serilerini çözümlemede yetersiz kalacaktır.
Eğrioğlu vd. (2009) tarafından önerilen yöntem ise, yukarıda belirtilen yetersizlikleri ortadan
kaldırmayı hedeflemektedir.Model derecesi Box-Jenkins SARIMA yöntemi ile belirlenir.
Böylelikle kısmi yüksek dereceli, iki değiĢkenli bulanık zaman serisi modeli oluĢturulur. Bu
yöntemde bulanık iliĢkilerin belirlenmesi ise yapay sinir ağları ile gerçekleĢtirilir. Bu modelin
avantajları Ģöyle sıralanabilir;
| 10




2010
Yüksek dereceli mevsimsel bulanık zaman serisi modeli ortaya koyar.
Model derecesi sistematik olarak belirlenir
Literatürde MA terimi içeren ilk bulanık zaman serisi yöntemidir.
Öngörü performansını arttırır.
YÖNTEM
Bu bölümde uygulamada kullanılan ve Eğrioğlu vd. (2009) tarafından önerilen yöntemin
temelini oluĢturan SARIMA modelleri ve yapay sinir ağları ile birlikte temel bulanık zaman
serisi tanımları verilecektir.
SARIMA Modelleri
Z t ,  ortalamalı bir zaman serisi olsun. Bu durumda model;
 ( B)( B s )(1  B) d (1  B s ) D (Z t   )   ( B)( B s )at
(1)
Ģeklindedir. SARIMA(p,d, q)(P, D, Q)s ile ifade edilen, mevsimsel otoregresif bütünleĢik hareketli
ortalama modeli (SARIMA) için ilk olarak Box-Jenkins (1976) bir yöntem önermiĢtir. SARIMA
modelleri ve Box-Jenkins yöntemi için ayrıntılı bilgi, Box-Jenkins (1976)‟dan elde edilebilir.
Yapay Sinir Ağları
Yapay sinir ağları,biyolojik sinir ağlarını taklit eden sentetik ağlardır. Yapay sinir ağları ve
biyolojik sinir ağları arasında hem mimarileri hem de yetenekleri yönünden büyük farklılıklar
vardır (Zurada,1992). Yapay sinir ağları matematiksel bir model oluĢturur ve genel bir fonksiyon
yaklaĢtırıcı olarak bilinir (Zhang,1998).Yapay sinir ağlarının iĢleyiĢini yönlendiren 3 bileĢen
mevcuttur, ki bunlar, Mimari yapı, öğrenme algoritması ve aktivasyon fonksiyonudur.
Bulanık Zaman Serileri
Ġlk olarak Song ve Chissom (1993a, 1993b) tarafından önerilen bulanık zaman serisi yaklaĢımı
ile ilgili temel kavramlar Ģöyle verilebilir;
Tanım 1. Y (t ) , t  ...,0,1,2,... reel değerli zaman serisi olsun. Zaman serisine uygun evrensel
küme tanımı ve parçalanması yapıldıktan sonra her bir reel gözlemin A j bulanık kümlerine
dönüĢtürülmesi sonucu elde edilen yeni zaman serisi F (t ) ‟ye bulanık zaman serisi adı verilir.
Tanım 2.Bulanık zaman serisi F (t ) mevsimsellik içerdiğinde, birinci dereceden bulanık zaman
serisi öngörü modeli,
F (t  m)  F (t )
(2)
Ģeklindedir. Burada, m periyodu ifade eder.
| 11
2010
Tanım 3.Bulanık zaman serisi F (t ) , F(t-1), F(t-2), … ,F(t-n) gecikmeli zaman serilerinden
etkilenmekte ise bulanık mantık iliĢki;
F (t  n),, F (t  2), F (t  1)  F (t )
(3)
Ģeklinde ifade edilir ve n. dereceden bulanık zaman serisi öngörü modeli olarak adlandırılır.
EĞRĠOĞLU vd. (2009) Tarafından Önerilen YaklaĢım
Eğrioğlu vd (2009) da önerdiği model yapısı ile ilgili olarak aĢağıdaki tanım verilebilir.
Tanım 4.Ġki bulanık zaman serisi F (t ) ve G(t ) , olsun. Eğer F (t ) , bulanık zaman serisi
F (t  m1 ) ,..., F (t  mk 1 ), F (t  mk ), G(t  n1 ) ,..., G(t  nl 1 ), G(t  nl )
gecikmeli bulanık zaman
serilerinden etkileniyor ise, bulanık mantık iliĢki;
F (t  m1 ),..., F (t  mk 1 ), F (t  mk ), G(t  n1 ),..., G(t  nl 1 ), G(t  nl )  F (t )
(4)
ile ifade edilir ve girdileri SARIMA modeli tarafından belirlenen, (k,l)‟ıncı dereceden kısmi iki
değiĢkenli bulanık zaman serisi öngörü modeli olarak adlandırılır. Burada, mi (i  1,2,.., k ) ve
n j ( j  1,2,.., l ) tamsayılar olup 1  m1  ...  mk , , 1  n1  ...  nl Ģeklindedir.
Eğrioğlu vd. (2009) tarafından önerilen bu melez yaklaĢımın algoritması Ģu Ģekilde özetlenebilir.
Adım 1.Zaman serisi için Box-Jenkins (1976) prosedürüne göre uygun SARIMA modeli
belirlenir.SARIMA modelinden elde edilen artıklar (at ) hesaplanır.
Adım 2.Zaman serisi ve SARIMA‟dan elde edilen artıklar için evrensel kümeler ve alt aralıklar
tanımlanır. Dmin ve Dmax sırasıyla, elimizdeki orijinal verinin en küçük ve en büyük gözlemleri
olmak üzere Evrensel küme; U  Dmin  D1 , Dmax  D2 , Ģeklinde tanımlanabilir. Burada D1 ve
D2 pozitif iki sayıdır.
Adım 3.Evrensel küme ve alt aralıklara bağlı olarak bulanık kümeler belirlenir.
U ve V evrensel kümeleri ve parçalanmalarına dayalı olarak A1, A2 ,..., Ak1 ve B1, B2 ,..., Bk2 dilsel
değiĢkenleri zaman serisi ve artıklar için aĢağıdaki gibi tanımlanır.
A1  a11 / u1  a12 / u 2  ...  a1n1 / u n1
B1  b11 / v1  b12 / v2  ...  b1n2 / vn2
A2  a11 / u1  a12 / u 2  ...  a1n1 / u n1
B2  b11 / v1  b12 / v2  ...  b1n2 / vn2

Ak1  a11 / u1  a12 / u 2  ...  a1n1 / u n1

Bk2  b11 / v1  b12 / v2  ...  b1n2 / vn2
(5)
| 12
Burada a ij , u i parçalanmalarının üyelik değerleridir,
2010
aij  0,1 , 1  i  k1 , ve 1  j  n1
Ģeklinde tanımlanır. Benzer Ģekilde bij , v i parçalanmalarının üyelik değerleridir, bij  0,1 ,
1  i  k 2 , ve 1  j  n2 Ģeklinde tanımlanır.
Adım 4.Zaman serileri bulanıklaĢtırılır.
Bulanık zaman serisi F(t), SARIMA dan elde edilen bulanık artıklar serisi ise G(t) ile temsil
edilir.
Adım 5.SARIMA modelinin girdilerine göre modelin derecesi (k , l ) ve m1 ,..., mk ve n1 ,..., nl
‟nin değerleri belirlenir. Örneğin, modelin derecesi k  5 ve l  2 olsun. O halde model,
F (t  1), F (t  2), F (t  12), F (t  13), F (t  14), G(t  1), G(t  12)  F (t )
(6)
Ģeklindedir. Burada m1  1, m2  2, m3  12, m4  13, m5  14, n1  1, n2  12 olmaktadır ve
F (t ) , bulanık X t ve G(t ) , bulanık a t dir.
Adım 6.Bulanık iliĢkiler belirlenir.
Bulanık zaman serisine ait F (t  m1 ),..., F (t  mk 1 ), F (t  mk ) ve bulanık hatalara ait
G(t  n1 ),..., G(t  nl 1 ), G(t  nl ) , gecikmeli değiĢkenler girdi, hedef değeri ise F (t ) , olarak
kullanılarak bulanık iliĢkiler oluĢturulur. Bu aĢamada, ileri beslemeli yapay sinir ağı, verilen girdi
ve hedef değerlerine göre eğitilir.
Adım 7.Öngörüler elde edilir.
ağın
eğitilmesi
sonucunda,
ağın
girdileri,
F (t  k  m1 ),..., F (t  k  mk 1 ), F (t  k  mk ) , G(t  k  n1 ),..., G(t  k  nl 1 ), G(t  k  nl ) ve hedef F (t )
Verilen
modelde
yapay
sinir
olduğunda ağın çıktısı olarak elde edilen Fˆ (t  k ) bulanık öngörü olacaktır.
Adım 8.DurulaĢtırma iĢlemi merkezileĢtirme yöntemi ile uygulanır
UYGULAMA
Yukarıda adım adım verdiğimiz yöntem, Ankara il merkezine göre yapılan ölçümlerde Mart
1994 ile Nisan 2006 yılları için elde edilen havadaki kükürtdioksit (SO2) miktarları zaman serisi
(ANSO) üzerine uygulanmıĢtır. Uygulamada Eğrioğlu vd (2009) da önerilen yöntemde, gizli
tabaka birim sayısı 1 ile 12 arasında değiĢtirilmiĢtir. Evrensel küme parçalanmasındaki aralık
uzunlukları ise zaman serisi için 5, 10, 5, 20 ve artık zaman serisi için 0.10, 0.15, 0.20, 0.25
olarak alınıp 192 farklı durumda çözümleme yapılmıĢtır.Çözümlemede öngörü performansı hata
| 13
Tablo 1.Klasik ve bulanık zaman serisi yaklaĢımları ile elde edilen öngörüler.
Tarih
Test Verisi
SARIMA
WMES
Song (1999)
Temmuz 2005
Ağustos 2005
Eylül 2005
Ekim 2005
Kasım 2005
Aralık 2005
Ocak 2006
ġubat2006
Mart 2006
Nisan 2006
21
27
25
28
38
45
38
36
24
22
HKOK
OMYH
DA
22,93
22,35
23,61
28,81
46,97
54,62
58,13
46,99
37,85
24,76
9,6248
0,0226
0,5555
15,40
16,11
17,77
25,12
41,11
46,12
49,80
44,24
31,96
18,39
7,1061
0,0035
0,6666
41,6666
27,5000
41,6666
41,6666
41,6666
46,7857
45,0000
46,7857
46,7857
27,5000
12,7409
0,02831
0,44444
2010
Egrioglu vd. (2009)
20
30
20
30
30
50
40
30
30
20
4,5607
0,0013
1
WMES:Winters Multicaptive Exponential Smooting
kareler ortalamasının karakökü (HKOK) açısından en iyi sonuç, gizli tabaka birim sayısı 8, aralık
uzunluğunun zaman serisi için 10 artık zaman serisi için 0.20 olduğu durumda elde edilmiĢtir.
ANSO zaman serisinin (son 10 gözlemi) test kümesi için klasik ve bulanık zaman serileri
yaklaĢımlarından elde edilen öngörüler aĢağıdaki Tablo 1‟de özetlenmiĢtir. En iyi sonucun
Eğrioğlu vd. (2009)‟da önerilen bulanık zaman serisi yaklaĢımı ile elde edildiği görülmektedir.
TARTIġMA
Eğrioğlu vd. (2009) tarafından önerilen yöntemde,iki değiĢkenli bulanık zaman serisi model
derecesi ve girdileri Box-Jenkins yöntemi yardımı ile belirlenmektedir.Böylelikle bazı bulanık
zaman serisi yaklaĢımlarındakinin aksine bu belirleme iĢlemi sistematik bir Ģekilde
yapılmaktadır.Ayrıca mevsimsel içerik taĢıyan zaman serileri için daha doğru öngörüler
verebileceği söylenebilir.
KAYNAKLAR
BOX, G. E. P., & JENKĠNS, G. M. (1976). Time series analysis: Forecasting and control. San
Francisco, CA: Holdan-Day.
CHEN, S. M. (1996), Forecasting enrollments based on fuzzy time-series, Fuzzy Sets and
Systems, 81, 311-319.
CHEN, S.M., Forecasting Enrollments based on high-order fuzzy time series, Cybernetics and
Systems An International Journal 33 (2002) 1-16.
EĞRĠOĞLU, E., ALADAĞ, Ç.H., YOLCU, U., BAġARAN, M.A., USLU, V.R. (2009), A new
hybrid approach based on SARIMA and partial high order bivariate fuzzy time series forecasting
model, Expert Systems with Applications, 36, 7424-7434.
| 14
2010
HUARNG, K. and YU, H. K. (2006), The application of neural networks to forecast fuzzy time
series, Physica A, 363, 481-491.
SONG, Q. (1999). Seasonal forecasting in fuzzy time series. Fuzzy Sets and Systems,107, 235–
236.
SONG, Q. and CHISSOM, B.S. (1993a), Fuzzy time series and its models, Fuzzy Sets and
Systems, 54, 269-277.
SONG, Q. and CHISSOM, B.S. (1993b), Forecasting enrollments with fuzzy time series- Part I,
Fuzzy Sets and Systems, 54, 1-10.
ZADEH, L. A. (1965). Fuzzy Sets. Inform and Control, 8, 338–353.
ZHANG, G. P., PATUWO, B. E., & HU, Y. M. (1998).Forecasting with artificial neural
networks: The state of the art. International Journal of Forecasting, 14, 35–62.
ZURADA, J. M. (1992). Introduction of artificial neural systems. St. Paul: West Publishing.
| 15
2010
BURR XII DAĞILIMININ PARAMETRELERĠNĠN ĠLERLEYEN TÜR ĠLK BOZULMA
SANSÜRLEMEYE DAYALI GÜVEN ARALIKLARI VE GÜVEN BÖLGELERĠ
CoĢkun KUġ
Yunus AKDOĞAN**
ÖZET
Bu çalıĢmada, Burr XII dağılımının parametrelerinin ilerleyen tür ilk bozulma sansürlü
örnekleme dayalı güven aralıkları ve güven bölgeleri elde edilmiĢtir.Sonuçları değerlendirmek
üzere bir uygulama yapılmıĢtır.
Anahtar kelimeler: Burr XII dağılımı, güven aralığı, ortak güven bölgesi, en çok olabilirlik
tahmin edicisi, ilerleyen tür ilk bozulma sansürleme.
CONFIDENCE INTERVAL AND CONFIDENCE REGION FOR THE PARAMETERS
OF BURR XII DISTRIBUTION BASED ON PROGRESSIVE FIRST FAILURE
CENSORED SAMPLE
ABSTRACT
In this study, confidence interval and confidence region for the parameters of Burr XII
distribution based on progressive first failure censored sample are obtained. Illustrative example
is also given.
Keywords: Burr XII distribution, confidence interval, confidence region, maximum likelihood
estimator, progressive first failure censoring
GĠRĠġ
Ġlk kez Burr (1942) tarafından önerilen ve BurrXII  ,   ile gösterilen iki parametreli Burr XII
dağılımı, stokastik olayları modellemede çok kullanıĢlı olması bakımından son 20 yıl içerisinde
özel bir ilgi görmüĢtür.Zimmer ve ark.(1998) Burr XII dağılımının güvenilirlik analizinde
kullanılması hakkında geniĢ bilgi vermiĢ ve stokastik olayları modellemede çok kullanıĢlı
olduğuna dikkat çekmiĢlerdir.Burr XII dağılımının uygulama alanları ile ilgili yayımlanmıĢ bazı
makaleler; klinik denemeler Wingo (1983), aktüerya bilimi Klugman (1986) ve elektronik
bileĢenler Zimmer ve ark.(1998) olarak sıralanabilir.
BurrXII  ,   dağılımına sahip bir X rasgele değiĢkeninin, sırasıyla, olasılık yoğunluk ve
dağılım fonksiyonu
* Doç.Dr., Selçuk Üniversitesi, Fen Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 42031 Konya, [email protected]
** ArĢ.Gör., Selçuk Üniversitesi, Fen Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, , 42031 Konya, [email protected]
| 16

f x; c, k   x  1 1  x 

F x; c, k   1  1  x 

  1
,
x  0,   0,   0


2010
(1)
(2)
Ģeklindedir.
Bu çalıĢmada, ilerleyen tür ilk bozulma sansürlü örneklemler ve bu örneklemlere dayalı Burr XII
dağılımının parametrelerinin en çok olabilirlik tahmin edicileri, parametrelerin güven aralıkları
ve güven bölgeleri elde edildi. Son olarak elde edilen sonuçlarla ilgili uygulama yapıldı.
ĠLERLEYEN TÜR ĠLK BOZULMA SANSÜRLÜ ÖRNEKLEM
Ġlerleyen tür ilk bozulma sansürlenmiĢ model (Progressive first failure censoring model) Ģu
Ģekilde tanımlanmaktadır: k özdeĢ bileĢenli birbirinden bağımsız n grubun yaĢam testine tabi
tutulduğu düĢünülsün. Testte i.  i  1, 2, , m, m  n  bozulma meydana geldiğinde, X iR:m:n:k ,
bozulmanın meydana geldiği gruptaki bileĢenler ile bozulma meydana gelmeyen Ri sayıda grup
testten rasgele çekilsin. Bu Ģekilde elde edilen m hacimli örnekleme ilerleyen tür ilk bozulma
sansürlü örneklem denir.Burada n  m   i 1 Ri biçimindedir ve R  R1 , R2 , , Rm  sansür
m
Ģeması olarak adlandırılır. X1:Rm:n:k  X 2:Rm:n:k   X mR:m:n:k , olasılık yoğunluk fonksiyonu(oyf) f
ve dağılım fonksiyonu (df) F olan dağılımdan alınan ilerleyen tür ilk bozulma sansürlü örneklem
olmak üzere X1:Rm:n:k  X 2:Rm:n:k   X mR:m:n:k nin ortak oyf‟unu
fXR
R
1:m:n:k , X 2:m:n:k
m
, , X mR:m:n:k
 x1 , x2 ,..., xm 
 ck m  f  xi  1  F  xi  
i 1
k  Ri 1 1
,   x1  x2 
 xm   ,
(3)
burada
c  nn  R1  1n  R1  R2    Rm1  m  1
Ģeklindedir. (3)‟de R  0,,0 alnırsa ilk bozulma sansürlü örneklemin oyf‟si fonksiyonu, k = 1
alınırsa, ilerleyen tür sansürlü sıra istatistiklerinin oyf‟si, k = 1 ve R  0,, n  m alınırsa
sağdan sansürlü sıra istatistiklerinin oyf‟si elde edilir (Wu ve KuĢ 2009).
X1:Rm:n:k , X 2:Rm:n:k ,
, X mR:m:n:k aynı zamanda 1  1  F  x   dağılımından alınmıĢ ilerleyen tür sağdan
k
sansürlü örneklem olarak düĢünülebileceğinden, ilerleyen tür sağdan sansürleme için elde edilen
sonuçlar kolaylıkla ilerleyen tür ilk bozulma sansürleme için geniĢletilebilir.
Ġlerleyen ilk bozulma sansürlü örnekleme, yaĢam zamanı analizlerinde veri elde etmede önemli
bir yöntemdir. ÇalıĢan parça diğer bir test için sistemden çekilip, deneyin maliyeti ve deney
süresi azaltılabilir. Ayrıntılı bilgi için Balakrishnan ve Aggarwala‟ya (2000) bakılabilir.
| 17
2010
EN ÇOK OLABĠLĠRLĠK TAHMĠN EDĠCĠSĠ
X1:Rm:n:k  X 2:Rm:n:k   X mR:m:n:k , BurrXII  ,   dağılımına sahip bir kitleden alınmıĢ ilerleyen tür
ilk bozulma sansürlü örneklem olmak üzere (1),(2) ve (3) kullanılarak sırasıyla olabilirlik ve logolabilirlik fonksiyonu aĢağıdaki gibi elde edilir ( Ali Mousa ve Jaheen 2002):
L   ,    ck m   
m
m
xi 1


exp


k
 Ri  1 log 1  xi  




i 1


i 1 1  xi
m

xi 1 
  kT ,
 
 i 1 1  xi 
m
  ,    log c  m log   k    log 
burada xi  xiR:m:n:k , T   Ri  1 log 1  xi  Ģeklindedir ve c , (3)‟de tanımlandığı gibidir.  ve
m
i 1
 parametreleri için olabilirlik denklemleri
  m /  kT 
(4)
 k  Ri  1  1 xi log xi
  log xi  
0
 i 1
1  xi
i 1
m
m
m
(5)
Ģeklindedir. (5) denkleminde  parametresi yerine (4) denklemindeki eĢiti yazılırsa, 
parametresine göre lineer olmayan bir denklem elde edilir. Elde edilen lineer olmayan denklem
Newton-Raphson yöntemiyle çözülebilir.Daha sonra  parametresinin en çok olabilirlik tahmini
(4) denkleminde yerine konularak  parametresinin en çok olabilirlik tahmini hesaplanabilir.
PARAMETRELERĠN ARALIK TAHMĠNĠ
Bu bölümde  parametresi için güven aralığı,  ve  parametresi için de güven bölgesi elde
edilmiĢtir. X1:Rm:n:k  X 2:Rm:n:k   X mR:m:n:k , BurrXII  ,   dağılımına sahip bir kitleden alınmıĢ
ilerleyen tür ilk bozulma sansürlü örneklem olsun.AĢağıdaki dönüĢüm tanımlansın.

Yi:Rm:n:k   k log 1   X iR:m:n:k 
Görülebilir ki Y1:Rm:n:k  Y2:Rm:n:k 
tür sansürlü örneklem olur.

,
i  1, 2,
,m
 YmR:m:n:k , Üstel 1 dağılımına sahip bir kitleden alınmıĢ ilerleyen
AĢağıdaki dönüĢümü ele alınsın:
| 18
2010
1  nY1:Rm:n:k
 2   n  R1  1 Y2:Rm:n:k  Y1:Rm:n:k 
(6)
 Rm 1  m  1 YmR:m:n:k  YmR1:m:n:k 
 m   n  R1  R2 
Thomas ve Wilson (1972), (6)‟da tanımlanan genelleĢtirilmiĢ aralıkların (generalized spacing)
bağımsız ve Üstel 1 dağılımına sahip olduğunu göstermiĢtir. Buradan
  21  2nY1:Rm:n:k
 22  dağılımına,
  2 i  2  Ri  1 Yi:Rm:n:k  Y1:Rm:n:k 

m
m
i 2
i 1
2
2 m  2  dağılımına
sahiptir. Aynı zamanda açıktır ki  ve  bağımsız rasgele değiĢkenlerdir.  ve
 rasgele değiĢkenleri
  R  1 Y
m


 m  1 

i 1
R
i:m:n:k
i
 Y1:Rm:n:k 
n  m  1 Y1:Rm:n:k
m
      2  Ri  1 Yi:Rm:n:k
i 1
Ģeklinde tanımlansın.
AĢağıdaki iki lemma,  ve  parametrelerinin güven aralığı ve güven bölgesi oluĢturmada
yardımcı olacaktır.
2
Lemma 1.  , F2 m2, 2 dağılımına,  ,  2m  dağılımına sahiptir. Aynı zamanda  ve 
bağımsızdır.(Johnson ve ark. 1994).
Lemma 2.Varsayalım ki 0  a1    am v e Ri  0, i  1, 2,
, m olsun ve
  R  1 log 1  a  
m
   
i 1
i
i
log 1  a1 
fonksiyonu tanımlansın.   0 olmak üzere     ,  nın ciddi artan fonksiyonudur (Wu ve ark.
2007).
| 19
2010
F  1 ,  2  ,  sağ-kuyruk(right-tail) olasılıklı ve  1 ve  2 serbestlik dereceli F dağılımının
yüzdeliği ve XR   X1:Rm:n:k , X 2:Rm:n:k ,
, X mR:m:n:k  olsun.
Teorem 1. X1:Rm:n:k  X 2:Rm:n:k   X mR:m:n:k , BurrXII  ,   dağılımına sahip bir kitleden alınmıĢ R
sansür Ģemalı ilerleyen tür ilk bozulma sansürlü örneklem olsun. O zaman verilen 0    1 için
 parametresinin 1001   % lık güven aralığı aĢağıdaki gibidir:
  R
  R

  X , F 
,   X , F
 ,

 
1  2 m  2 , 2  
2 m  2, 2   
2
2
 

 
burada  X R , t  ,
 

m
R
R
  Ri  1 log 1   xi:m:n:k     n log 1   x1:m:n:k  
 i 1

t


n  m  1 log 1   x1:Rm:n:k  


lineer olmayan denklemde  ’nın çözümüdür.
Ġspat. Lemma 1‟den biliyoruz ki pivot
 

m

m
R
R
R
R
R

1
Y

nY


  Ri  1 log 1   X i:m:n:k     n log 1   X 1:m:n:k  
i:m:n:k 
1:m:n:k
 i


   i 1
  i 1
R

n  m  1 Y1:m:n:k
n  m  1 log 1   X R 

1:m:n:k

F2 m2, 2 dağılımına sahiptir. 0    1 için
 



m
R
R
  Ri  1 log 1   X i:m:n:k     n log 1   X 1:m:n:k  




 i 1

F


F
 1   2 m 2,2



 2 m  2,2 
2
n  m  1 log 1   X 1:Rm:n:k 
 2





olayı


 R

  R

  X , F1 2 m2, 2        X , F 2 m2, 2  

2
2



 

olayına denktir. Bu da ispatı tamamlar.
| 20
2010
 2   ,  sağ-kuyruk(right-tail) olasılıklı ve  serbestlik dereceli Ki-kare dağılımının yüzdeliği
olsun.  ve  parametrelerinin 1001   % lık güven bölgesi aĢağıdaki teoremle verilmiĢtir.
Teorem 2. X1:Rm:n:k  X 2:Rm:n:k   X mR:m:n:k , BurrXII  ,   dağılımına sahip bir kitleden alınmıĢ R
sansür Ģemalı ilerleyen tür ilk bozulma sansürlü örneklem olsun. O zaman verilen 0    1 için
 ve  parametrelerinin 1001   % lık ortak güven bölgesi aĢağıdaki eĢitsizliklerden
belirlenir.
  R



     X R , F1 1
  X , F1 1



 2 m  2,2  
 2 m  2,2  
 
2


2


2
 1 1
12 1

2m

 2m

2
2



m
m



R
2k   Ri  1 log 1   X iR:m:n:k  
 2k   Ri  1 log 1   X i:m:n:k  




i 1
i 1

Burada  X R , t  , Teorem .’deki gibi tanımlıdır.
Ġspat. Lemma 1‟den pivot



  2   Ri  1 Yi:Rm:n:k   2 k   Ri  1 log 1   X iR:m:n:k  
m
m
 i 1

i 1


 22m  dağılımına sahiptir ve  den bağımsızdır. 0    1 için

P F1



P  1


1
2 m  2, 2 
2
1
2 m 
2
   F1
    1

  1
1
2 m  2, 2  
2


  1
1
2 m  
2

Ģeklindedir. Buradan
| 21
2010
 


m
 Ri  1 log 1   X iR:m:n:k     n log 1   X 1:Rm:n:k  





P F 
  i 1
 F

1  2 m  2,2 
 2 m  2,2 
R


2
2
n  m  1 log 1   X 1:m:n:k  






m


R


,  1 1
 2 k   Ri  1 log 1   X i:m:n:k    1 1
  1


 2m
 2m 
i

1
2
2


Bu ise aĢağıdaki ifadeye denktir.
  R



     X R , F1 1
  X , F1 1



 2 m  2,2  
 2 m  2,2  
 
2


2


2
 1 1
12 1

 2m
 2m

2
2

m
m



R
2k   Ri  1 log 1   X iR:m:n:k  
 2k   Ri  1 log 1   X i:m:n:k  




i 1
i 1

Bu da ispatı tamamlar.
UYGULAMA
Teorem 1 ve Teorem 2‟deki sonuçları örneklendirmek için BurrXII 1, 2  dağılımından k  3
için R  0,1,1,0,2,0,1,0,1,0,1,0,0,0,1,0,2,0,0,0 sansür Ģemalı ilerleyen tür ilk bozulma sansürlü
örneklem Balakrishnan ve Sandhu‟nun (1995) algoritması kullanılarak üretildi. Üretilen
örneklem aĢağıdaki tablodadır.
Tablo 1. Üretilen ilerleyen tür tip-II sağdan sansürlü örneklem
0.1600 0.3352 0.4362 0.4621 0.4767 0.5683 0.6081 0.6240 0.6370 0.7013
0.7028 0.7264 0.7783 0.7985 0.8926 0.9208 1.0166 1.0219 1.2911 1.3675
(4) ve (5) denklemleri çözülerek  ve  parametrelerinin en çok olabilirlik tahminleri sırasıyla
ˆ  3.3865 ve ˆ  0.64 olarak bulunmuĢtur.  parametresinin 95% ‟lik güven aralığını elde
etmek için gerekli olan yüzdelikler Minitab 13.1 paket programı kullanılarak aĢağıdaki gibi elde
edilmiĢtir.
F0.02538, 2   39.4716 , F0.97538, 2   0.2456 ve F0.0538, 2   19.4694
| 22
2010
Teorem 1 kullanılarak  parametresinin 95% ‟lik güven aralığı 1.3223,4.2243 Ģeklinde
bulunur.
 ve  parametrelerinin 95% ‟lik ortak güven bölgesini elde etmek için gerekli olan
yüzdelikler Minitab 13.1 paket programı kullanılarak aĢağıdaki gibi elde edilmiĢtir.
F0.012738, 2   78.2128 , F0.987338, 2   0.2037 ve F0.025338, 2   38.9972
 02.012740  62.5911 ve  02.987340  22.7139
Teorem 2 kullanılarak  ve  parametrelerinin 95% ‟lik ortak güven bölgesi aĢağıdaki gibi elde
edilir.
1.2222    4.6075


22.7139
62.5911
 

20
20



1   X R

 2  3    R  1 log 1   X R
2

3

R

1
log





i
i
:20:30:3
i
i
:20:30:3








i 1
i 1

KAYNAKLAR
BALAKRISHNAN, N., AGGARWALA, R., (2000). Progressive Censoring:Theory, Methods
and Applications. Birkhauser, Boston
BALAKRISHNAN, N., SANDHU, R.A., (1995). A simple simulation algorithm for generating
progressively Type-II censored sample, American Statistician 49 (2) 229-230.
BURR, I. W., 1942. Cumulative frequency function, Annals Math. Stat., 13, 215-232.
JOHNSON, N.L., KOTZ, S., BALAKRISHNAN,
Distributions, Volume 1, 2nd edition.Wiley, New York.
N.,
(1994).Continuous
Univariate
KLUGMAN, S.A., (1986). Loss distributions, Proceedings of Symposia in Applied Mathematics:
Actuarial Mathematics, vol. 35, pp. 31-55.
KUġ, C., WU, S.-J. (2008). Statistical inference based on progressive first failure-censored
samples from Gompertz distribution, 2008 International Workshop on Applied Probability,
Université de Technologie de Compiègne, Compiègne, France, July 7-10, 2008.
| 23
2010
THOMAS, D.R., WILSON W.M., (1972). Linear order statistics estimation for the two
parameter Weibull and Extreme Value distributions from Type-II progressively censored
samples. Technometrics 14, 679-691.
WANG. F. K., KEATS, J. B., ZIMMER, W. J., (1996). Maximum likelihood estimation of the
burr XII parameters with censored and uncensored data.Microelectron.Reliab., 36, 359-362.
WINGO, D. R., (1983). Maximum likelihood methods for fitting the Burr Type XII distribution
to life test data. Biometrical J., 25, 77-84.
WU,S.-J.,CHEN,Y.-J., Chang,C.-T. (2007). Statistical inference based on progressively
censored samples with random removals from the Burr type XII distribution. Journal of
Statistical Computation and Simulation,77(1),19-27.
WU, S.-J., KUġ, C. (2009).On the Estimation Based on Progressive First Failure-Censored
Sample, Computational Statistics and Data Analysis, 53 (10), 3659-3670.
ZIMMER, W.J., KEATS, J.B., WANG, F.K. (1998). The Burr XII distribution in reliability
analysis. J. Qual. Tech. 30, 386-394.
| 24
2010
DOĞRUSAL OLMAYAN REGRESYONDA BAZI PARAMETRE ARALIK
TAHMĠNLEME YÖNTEMLERĠNĠN KIYASLANMASI
Atıf Evren*
ÖZET
Doğrusal olmayan regresyon modellerinde parametrelerin aralık tahminleri asimptotik normallik
varsayımına dayandırılmaktadır. Ancak bu varsayım çoğu durumda gerçekçi olmamaktadır.Bu
durumda örneklem hacminin dikkate değer bir biçimde büyük olması gerekmektedir. Bununla
birlikte doğrusal olmayan verinin elde edilmesi yorucu, zaman alıcı ve maliyetlidir. Çünkü bu tür
veriler genellikle laboratuvar ortamında elde edilmektedirler. Bu yüzden bootstrap, jackknife gibi
yöntemlerle aralık tahminlerine gidilmektedir. Bu yöntemlere ek olarak ÇebiĢev eĢitsizliği ya da
benzer eĢitsizlikler ile de aralık tahminlerine gidilebilir.
Anahtar Kelimeler: Doğrusal olmayan regresyon, parametrik olmayan aralık tahminleri,
ÇebiĢev eĢitsizliği,Bootstrap yöntemi, Jackknife yöntemi
A COMPARISON OF SOME INTERVAL ESTIMATION PROCEDURES IN
NONLINEAR REGRESSION
ABSTRACT
Confidence interval estimates for the parameters of nonlinear regression models are based on the
assumption of asymptotic normality. However this assumptions may not be not realistic all the
time because asymptotic normality requires larger sample sizes considerably. Large sample sizes
mean burdensome experiences for the scientists. Because most nonlinear data are generated
through expensive and time consuming experiments carried out generally in laboratory
conditions. For this reason other interval estimation procedures like bootstrapping and jackknife
are used quite often. Besides some probability inequalities including Chebyshev's Inequality can
also be used.
Keywords: Nonlinear regression, interval estimation, Chebyshev's Inequality, Bootstrap method,
Jackknife method
*Öğretim Üyesi, Yard. Doç. Dr., Yıldız Teknik Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, DavutpaĢa
Esenler, 34210, Ġstanbul, [email protected]
| 25
2010
GĠRĠġ
Doğrusal olmayan regresyon modellerinde parametrelerin aralık tahminleri için benimsenen
asimptotik normallik yaklaĢımı çoğu zaman örnek büyüklüklerinin yetersiz olması nedeniyle
gerçekçi olmamaktadır. Bu çalıĢmada doğrusal olmayan modeller için Bootstrap yöntemi,
Jackknife yöntemi gibi parametrik olmayan aralık bulma yöntemlerini benimsemenin yanısıra
ÇebiĢev türü eĢitsizliklerden de yararlanılarak parametre aralıkların uzunluklarının
düĢürülmesine çalıĢılacaktır.
DOĞRUSAL OLMAYAN REGRESYON MODELLERĠ
Doğrusal olmayan bir regresyon modeli
Y
i
 f ( X i , )   i
(1)
Ģeklindedir. Burada i. açıklayıcı ya da bağımsız değiĢkenin gözlem değerleri vektörü
 X i1 


X
i 2

X ixq   .... 


 X iq 
p tane parametre vektörü
(2)
 
 0
 
  1 
...


 
 p 1
(3)
ve parametrelerin ilk tahmini değerleri vektörü
 g 
 0


g px1   g...1 


g 
 p 1
olsun. Yine

( 0)
k
  g
k
(4)
( 0)
(5)
k
| 26
D
(0)
ik
 f ( X i, ) 



k



Yi 
Y
( 0)
i
2010
f
( 0)
i
p 1
  Dik
( 0)
k 0
Yi 
f

( 0)
k
(6)

g
(0)
i
(7)
( 0)
(8)
i
denecek olursa Ģu doğrusallaĢtırılmıĢ regresyon modeli elde edilir.
Y
Y
( 0)
i
( 0)
p 1
  Dik
( 0)
k 0

D 
( 0)

( 0)
( 0)
k
i
(9)

(10)
Bu kalıp doğrusal modeller için kullanılan kalıbın aynısıdır. D türev matrisi doğrusal hallerde X
matrisinin oynadığı rolü oynamaktadır. Dolayısıyla parametre tahminleri doğrusal hallerle analoji
kurularak aĢağıdaki gibi gerçekleĢtirilmektedir (Neter vd.,1985):




b   D (0) D (0)  D Y


1
(0)
( 0)
(0)
(11)
Doğrusal olmayan modellerde parametre tahmini iteratif yöntemlerle gerçekleĢtirilmektedir. Her
iterasyon sonucunda parametre tahminleri vektörü i=1,2,… için
g
(i )
k

g
( i 1)
k
( i 1)
 bk
(12)
ile revize edilmekte ve ardıĢık parametre tahminleri arasındaki farklar ihmal edilebilir bir düzeye
2
gelince iterasyonlar sona erdirilmektedir. Hata terimleri ortalaması sıfıra, varyansı  ‟ye eĢit
bağımsız normal değiĢkenler olarak kabul edildiğinde g „nin asimptotik örnekleme dağılımı da
yaklaĢık olarak normal dağılıĢtır.
E (g )  
(13)
s g   MSE DD
2
1
(14)
ve (14) ile bulunan asimptotik varyans-kovaryans matrisi, aralık tahminleri ve hipotez testleri
için kullanılmaktadır (Huet vd., 1996) .
Doğrusal olmayan regresyonda doğrusal regresyondan farklı olarak dikkate alınması gereken
bazı noktalar bulunmaktadır. KarĢılaĢılan bazı sorunlar ve pratik çözüm önerileri için Motulsky
ve Christopoulos (2004)'e bakılabilir. Bu zorlukların bir kısmı Ģu Ģekilde sıralanabilir:
| 27
2010
i) Doğrusal olmayan modeller için en küçük kareler (ya da en çok olabilirlik) fonksiyonu
genellikle birden fazla minimum (en çok olabilirlik için maksimum) noktasına sahiptir.
ii) Doğrusal modellerde kullanılan R-kare gibi uyum iyiliği ile ilgili istatistikler doğrusal
olmayan modeller için yanıltıcı olabilir. Sözgelimi doğrusal olan bir model için yeterli sayılan bir
R-kare değeri, doğrusal olmayan modeller için yetersiz kalmaktadır
iii)Doğrusal olmayan regresyonda parametrelerin baĢlangıç tahminlerini modele dıĢsal olarak
tanıtmak gerekmektedir. Farklı baĢlangıç değerleri, farklı (nihai) parametre tahmin değerleri
verebilir. Bu durumu nihai parametre tahminlerinin baĢlangıç değerlerine olan “aĢırı bağımlılığı”
Ģeklinde de ifade etmek mümkündür.
iv) Doğrusal olmayan regresyon modellerinde parametre tahminleyicileri gözlem değerlerinin
doğrusal bir fonksiyonu değildir. Dolayısıyla bağımlı değiĢkenin kitle dağılımının normal olması,
otomatik olarak parametre tahminleyicilerinin de normal dağılıma uyacağının garantisi
değildir. Öte yandan asimptotik normallik örnek büyüklüğünün fazla olmasını gerektirmektedir
(Seber ve Wild, 1989; Bates ve Watts,1988). Bu gibi durumlarda Bootstrap, Jackknife gibi
nonparametrik sayılabilecek yöntemlerin benimsenmesi daha “rasyonel” olacaktır (Davidson,R.,
Mackinnon, J.G.,1993). Yine parametrik olmayan aralık tahminlerinin gerçekleĢtirilmesinde
ÇebiĢev ve benzeri eĢitsizlikler de yararlı olabilecektir.
ÇebiĢev ( Biénayme) EĢitsizliği
X bir rastlantı değiĢkeni olmak üzere   E (X ) ,   Var ( X ) olsun. k bir pozitif sabit olmak
2
üzere
P  X    k   1 
1
(15)BaĢka Bazı Varyantlar
k2
Bazı durumlarda ÇebiĢev eĢitsizliği ile elde edilen aralık çok geniĢ ve dolayısıyla her zaman
iĢlevsel olmamaktadır. Yine de bazen olasılık dağılımına yönelik bazı varsayımlarda bulunularak
aralığın uzunluğu daraltılabilir.Örneğin, X rastlantı değiĢkeni tek modlu ve sürekli olsun.
E (X )   ve Var (X )   ise
P( X    3 )  77 / 81  0.95 (DasGupta, 2008) .(16)
ÇebiĢev EĢitsizliği‟nin Çok DeğiĢkenli Biçimi
X ,X
1
2
,..., X m değiĢkenleri, ortalamaları sırası ile
varyansları da
Yine
k ;k
1
2
E ( X ), E ( X 2),..., E ( X m)
1
Var ( X 1),Var ( X 2)...,Var ( X m) olan rastlantı değiĢkenleri olsunlar.
;...; k m pozitif sabitler ve
A , A ,..., A
1
2
m
olayları da örnek uzay S içerisinde
| 28
; ve
A  X
j
j
X
j
2010

 E ( X j )  k j Var ( X j ) j=1,2,…,m Ģeklinde tanımlansınlar. Bu durumda
Boole EĢitsizliği”nden yararlanarak ÇebiĢev EĢitsizliğinin çok değiĢkenli versiyonu
m
m

2
P  A j   1   k j (Kotz vd. 2000).
j 1
 j 1

(17)
BaĢka Versiyonlar
X ,X
1
2
 ,  ,...,  olan ve
tane rastlantı değiĢkeni olsun.  „de
,..., X k rastlantı değiĢkenleri, ortalamaları sırası ile
varyans-kovaryans matrisleri de

ij
olan k
1
2
k
ij
sözkonusu varyans-kovaryans matrisinin tersi olsun.  bir sabit olmak üzere
 k

ij
2
olur (Wilks, 1962).
P  X i   X j       1  2
i
j
i
,
j

1


k



(18)
Bootstrap ve Jackknife
Bootstrap yöntemi aralık tahminlerinde de kullanılan parametrik olmayan bir tekniktir. Doğrusal
olan ya da olmayan regresyon modellerinde normallik varsayımının gerçekçi olmadığı
durumlarda kullanılmaktadır. Birden fazla bootstrap yöntemi olmakla birlikte en çok kullanılan
bootstrap yöntemini özetlemek gerekirse, regresyon modelinden elde edilen artıklardan iadeli
örnekleme yöntemine göre belirli sayıda artık elde edilmekte ve bu değerler bağımlı değiĢkene
eklenmektedir. Daha sonra bağımlı değiĢkenin elde edilen yeni değerlerinden yararlanılarak aynı
matematiksel kalıba sahip regresyon modeli oluĢturulmakta ve yeni parametre tahmin değerleri
elde edilmektedir. Bu iĢlem çok sayıda tekrar edildiğinde, her denemede elde edilen parametre
tahminlerinin bir sıklık dağılımı oluĢmakta ve bu sıklık dağılımlarından hareketle, parametrelerin
aralık tahminleri yapılmaktadır (Money ve Duval, 1993).
Jackknife yöntemi ise daha çok regresyon denkleminin belirlenmesinde etkili gözlem
noktalarının ortaya çıkarılmasında kullanılmaktadır. Bu yönteme göre gözlem setinden her bir
denemede belirli sayıda gözlem noktası çıkarılmakta ve geri kalanlarla regresyon denkleminin
katsayıları tahmin edilmeye çalıĢılmaktadır. Bu iĢlem büyük sayılarda yinelendiğinde, parametre
tahmini değerlerinin bir sıklık dağılımı oluĢmakta ve bu sıklık dağılımından aralık tahminlerinin
oluĢturulmasında yararlanılmaktadır (Money ve Duval, 1993) .
UYGULAMA
Uygulama aĢamasında “http://itl.nist.gov/div898/strd/nls/nls_main.shtml” adresinden Rat43 adlı
dosyadan alınan ve parametre tahmini zorluk derecesinin yüksek olduğu aĢağıdaki veri kümesi
kullanılmıĢtır.
| 29
2010
Tablo 1: (X,Y) Değerleri
X
Y
X
Y
1
16.08
9
590.03
2
33.83
10
651.92
3
65.80
11
724.93
4
97.20
12
699.56
5
191.55
13
689.96
6
326.20
14
637.56
7
386.87
15
717.41
8
520.53
Buradaki bağımlı değiĢken Y, kuru soğan tanesinin ağırlığı, bağımsız ya da açıklayıcı değiĢken X
de soğanın büyümesi için geçen süredir. Aynı dosyada veri için denenen modelin
Y=A/[{1+exp(B-CX)}^(1/D)] olduğu belirtilmektedir. Burada A,B,C ve D modelin parametreleri
olup, baĢlangıç değerleri olarak sırasıyla 700, 5, 0.75 ve 1.3 verilmiĢtir. Ayrıca yukarıdaki
denklemin incelenmesinden X büyük değerler aldıkça Y'nin A parametresine yakınsayacağı
öngörülebilir. Bu noktadan yola çıkılarak en büyük X değerine karĢılık gelen Y değerinin (717),
A'nın baĢlangıç tahmin değeri olarak verilmesi diğer B,C ve D parametrelerinin baĢlangıç
değerlerinin bir olarak alınması ve parametre tahminlerinin gerçekleĢtirildiği aralığın -1E 9 ile 1E
9 olarak seçilmesi halinde de web sitesindeki sonuçlara oldukça benzer sonuçlar NCSS (Number
Cruncher Statistical Systems) programı yardımı ile elde edilmiĢtir. Bu sonuçları kısaca Ģu Ģekilde
özetlemek olasıdır:
Tablo 2:Asimptotik normallik varsayımı altında parametrelerin nokta ve aralık tahminleri
Yöntem
Asimptotik
Normallik
Parametre Tahmini
Standart Hata.
%95'lik Alt Sınır
% 95'lik Üst Sınır
A
699
16.3
663.74
735.46
B
5.28
2.08
0.42
10.19
C
0.76
0.2
0.29
1.22
D
1.28
0.68
-0.28
2.86
NCSS çıktısı kalıntıların normal dağıldığını belirtse de örnek büyüklüğünün 15 olması nedeniyle
bu sonuç ihtiyatla karĢılanmalıdır.Ġkinci olarak Microsoft Excel Veri Analizi modülü ve NCSS
yardımıyla bootstrap yöntemi denenmiĢtir ( N= 100 ).Sonuçlar aĢağıdadır:
| 30
2010
Tablo 3:Bootstrap yöntemi ile parametrelerin nokta ve aralık tahminleri
Yöntem
Bootstap
Parametre Tahmini
Standart Sapma.
%95'lik Alt Sınır
A
700.18
12.51
679.88
726.89
B
5.68
2.25
1.26
10.12
C
0.81
0.19
0.49
1.26
D
1.44
0.77
0.21
3.13
Üçüncü olarak veri kümesinden her bir denemede bir gözlem değeri atılarak Jackknife yöntemi
ile parametre tahminleri yeniden gerçekleĢtirilmiĢtir. Sonuçlar aĢağıdaki gibidir:
Tablo 4: Jackknife yöntemi ile parametrelerin nokta ve aralık tahminleri
Yöntem
Jackknife
Parametre Tahmini
Standart Sapma.
%95'lik Alt Sınır
A
699.74
6.64
693.21
712.62
B
5.35
0.67
4.39
6.6
C
0.76
0.06
0.67
0.88
D
1.3
0.21
0.99
1.68
Daha sonra ÇebiĢev yöntemi ile %95'lik aralık tahminleri gerçekleĢtirilmiĢtir(k=4.47) .
Tablo 5: ÇebiĢev eĢitsizliği ile parametrelerin %95 güvenle aralık tahminleri
Yöntem
ÇebiĢev
Parametre Tahmini
Standart Hata
%95'lik Alt Sınır
A
699
16.3
626.74
772.46
B
5.28
2.08
-4.01
14.57
C
0.76
0.2
-0.13
1.65
D
1.28
0.68
-1.76
4.32
Son olarak ÇebiĢev EĢitsizliği'nin her dört parametre için elde edilen aralık tahminlerinin sınır
noktaları, ilgili parametrelerin ilk tahmini değeri olarak NCSS'e tanıtılmıĢ ve bu noktalarda
model yeniden denenerek regresyon denkleminin katsayılarının bu yeni değiĢiklikler karĢısında
istikrarlı olup olmadığına bakılmıĢtır.
| 31
2010
Tablo 6: ÇebiĢev eĢitsizliği ile oluĢturulan aralıkların kısıt olarak kullanılması ile elde
edilen parametre tahminleri (ve bu tahminlerin istikrarlı olup olmadığının sınanması)
Katsayılar
Denenen Değerler
ÇebiĢev ile elde edilen alt
sınır
ÇebiĢev ile elde edilen alt
sınır
Sonuçlar
A
626
772
Benzer noktalara
yakınsama
B
-4
15
Daha iyi çözüm elde
edilemedi.
C
-0.13
1.65
edilemedi.
D
-1.76
4.32
edilemedi.
Yukarıdaki tablodan hareketle B,C ve D parametrelerinin baĢlangıç tahmin değerleri ile fazla
oynanmaması gerektiği düĢünülmüĢ ve sözkonusu parametrelerin NCSS ile elde edilen tahmini
değerleri bu kez de modele birer sabit olarak sokulmuĢ ve aĢağıdaki çıktı elde edilmiĢtir. Buna
göre Y=A/[{1+exp(5.28-0.76X)}^(1/1.28)] modeli denenerek A parametresi için daha düĢük
standart hatalı bir model elde edilmiĢtir. Özet istatistikler Ģöyledir:
Tablo 8: Bazı parametrelere kısıtlamalar getirerek (ya da tahmini değerler vererek)
parametre uzayının boyutunun azaltılarak daha küçük standart hatalı tahmin edicilerin
aranması
Parametre
A
Parametre Tahmini Asimptotik Standart
Hata
699.73
9.01
%95'lik Alt Sınır
%95'lik Üst Sınır
680.41
719.05
Bu durumda oluĢturulan
model “Y= (699.7327)/((1+EXP(5.28-0.76*(X)))^(1/1.28))”
Ģeklindedir ve ilgili R-Kare değeri de 0.99 olarak bulunmuĢtur.
SONUÇLAR
1. Doğrusal olmayan regresyonda parametreler için aralık tahminleri asimptotik normalliğe
dayalıdır. Bu bakımdan aralık tahminine gidilmesinde asimptotik normallik varsayımı
yerine Bootstrap, Jackknife ,ÇebiĢev eĢitsizliği ve benzeri yaklaĢımları benimsemek
özellikle küçük örneklem hacmi için daha doğru olacaktır.
2. Bootstrap, Jackknife gibi yöntemler bilgisayarların yoğun olarak kullanıldığı ve zaman
alıcı yöntemlerdir. ÇebiĢev ve benzeri eĢitsizlikleri kullanmak aralık tahminlerine
giderken kolaylık sağlamaktadır. Yine de bütün bu yöntemler birbirlerini destekler bir
Ģekilde kullanılmalıdır.
| 32
2010
3. ÇebiĢev türü eĢitsizliklere dayalı aralık tahminlerinin geniĢ çıkmasında k değerlerinin
büyüklüğünün yanısıra standart hataların da büyüklüğü bir etken olabilir. Ancak yine de
bu gibi yöntemler hiç Ģüphesiz , Bootstrap, Jackknife gibi yöntemlere göre daha geniĢ
aralık tahminleri vermektedir.
4. Yine de ÇebiĢev ve benzeri eĢitsizliklerden yararlanılarak elde edilen aralıkların uç
noktalarında modelin istikrarlı olup olmadığı (aynı parametre tahmini değerlerine
yakınsayıp yakınsamadığı) test edilebilir. Eğer bazı parametre değerleri bu tür bir
istikrarsızlığa neden oluyorsa, bu parametrelerin tahmini değerleri modele birer sabit
olarak dahil edilerek (alacakları değerlere kısıtlar konularak), daha düĢük standart hataya
sahip baĢka (ve daha yalın) modeller elde edilebilir.
5. Bunlara ek olarak ÇebiĢev eĢitsizliğinde, dağılıma iliĢkin ek varsayımlarda bulunarak
aralıkları daraltmak mümkündür.
6. Ayrıca literatürde ÇebiĢev eĢitsizliğinin çok değiĢkenli bazı versiyonları da mevcuttur.
Parametre tahmin edicilerinin aralarındaki korelasyonlar dikkate alınarak bazı aralıkların
uzunluklarını daraltmak da sözkonusu olabilir.
7. Son olarak e Jackknife yönteminin özellikle artık analizinde (etkili değerlerin
bulunmasında), Bootstrap yönteminin de parametre tahmincilerinin asimptotik varyanskovaryans matrisinin elde edilmesinde iĢlevsel olduğu, ÇebiĢev vb. eĢitsizliklerin ise her
zaman iĢlevsel olmadığı ama bununla birlikte bulunan parametre tahminlerinin ne kadar
istikrarlı olduğunun incelenmesinde ve almaĢık yöntemlerin denenmesinde yararlı
olabileceği de vurgulanmalıdır.
KAYNAKLAR
BATES D.M., WATTS D.G.(1988), Nonlinear Regression Analysis and Its Applications, New
York, John Wiley&Sons.
DASGUPTA, A.(2008), Asymptotic Theory of Statistics and Probability, Springer Texts in
Statistics, New York, Springer
DAVIDSON, R., MACKINNON, J.G.(1993), Estimation and Inference in Econometrics, New
York, Oxford University Press.
HUET,S., BOUVIER,A., GRUET,M., JOLIVET,E., (1996), Statistical Tools for Nonlinear
Regression: A Practical Guide with S-Plus Examples, Springer-Verlag, New York, Springer
Series in Statistics.
KOTZ,S., BALAKRISHNAN, N., JOHNSON,N.L.(2000), Continuous Multivariate
Distributions, Volume 1: Models and Applications, Second Edition, USA, Wiley series in
Probability and Statistics.
| 33
2010
MOONEY,Z.M.,DUVAL,R.D.(1993),Bootstrapping A Nonparametric Approach to Statistical
Inference, Series: Quantitative Applications in the Social Sciences,a Sage University Paper, No
95.
MOTULSKY, H., CHRISTOPOULOS, A. (2004), Fitting Models to Biological Data Using
Linear and Nonlinear Regression: A Practical Guide to Curve Fitting, USA, Oxford University
Press
NETER J., WASSERMAN W., KUTNER M. H. (1985), Applied Linear Statistical Models,
second edition,Illinois, Richard D. Irwin.
SEBER G.A.F., WILD C.J.(1989), Nonlinear Regression, USA, John Wiley&Sons.
WILKS,S.S.(1962), Mathematical Statistics, Japan,John Wiley&Sons Inc.
http://itl.nist.gov/div898/strd/nls/nls_main.shtml (Doğrusal olmayan regresyon modelleri ile ilgili
veriler içeren bir site. Siteye eriĢim tarihi Mayıs-Haziran 2010)
| 34
2010
ESENBOĞA, ATATÜRK VE LONDON CITY HAVAALANLARINDAKĠ MEVSĠMSEL
HAREKETLĠLĠĞĠN GÖSTERMELĠK DEĞĠġKEN YÖNTEMĠYLE TESPĠT EDĠLMESĠ
Deniz KONAK*
Vilda PURUTÇUOĞLU**
ÖZET
Göstermelik değiĢken yöntemi özellikle ekonomik verilerin analizinde kullanılan oldukça yaygın
bir yöntemdir.Bu yöntem, yapay değiĢkenler ekleyerek, gruplandırılmıĢ nitel verilerin regresyon
modelleriyle analizlerine olanak sağlar.Biz bu çalıĢmada göstermelik değiĢken yöntemini
Atatürk, Esenboğa ve London City Havaalanları için 2007-2009 yılları arasındaki aylık verileri
kullanarak olası mevsimsel etkileri bulmada ve anlamlı farkların gözlendiği aylar için sebeplerine
yönelik yorumları yapmada kullandık.Analizlerde Atatürk Havaalanında anlamlı aylık farkların
gözlenmediği, buna karĢın, Esenboğa ve London City Havaalanlarında, sırasıyla, eylül ve ekim
aylarında anlamlı farkın olduğunu bulduk.Bu sonuçların özellikle seçilen havaalanlarındaki hava
trafiğini planlamada faydalı olabileceğini düĢünmekteyiz.
Anahtar kelimeler: Mevsimsel etkiler, Göstermelik değiĢken yöntemi, Havaalanı hareketliliği
DETECTION OF SEASONAL EFFECTS IN ESENBOĞA, ATATÜRK, AND LONDON
CITY AIRPORTS BY THE DUMMY VARIABLE METHOD
ABSTRACT
The dummy variable method is one of the common techniques applied, in particular, in the
analysis of the economical data. This method enables the grouped qualitative data to be analyzed
in regression models by adding artificial variables. In this study we have implemented the
dummy variable technique to detect the possible seasonal effects in 2007-2009 monthly data of
the Atatürk, Esenboğa, and London City Airports, and to discuss the possible reasons of such
effects for the significantly different months. From the analysis we have found that there is not
any statistically significant month effect for the Atatürk Airport, whereas, there exists statistically
significant monthly effects in september and october for the Esenboğa and London City Airports,
respectively. We consider that our findings can be useful for the organization of the air control in
the selected airports.
Keywords: Seasonal effects, The dummy variable method, Aircraft movements
* Yüksek Lisans Öğrenci, Bilkent Üniversitesi, Ġktisadi ve Ġdari Bilimler Fakültesi, Ekonomi Bölümü, 06800,
Ankara, [email protected]
** Yardımcı Doçent Doktor, Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 06531
Ankara, [email protected](HaberleĢme Adresi)
| 35
2010
GĠRĠġ
Göstermelik değiĢken yöntemi nitel değiĢkenlerin regresyon modeline eklenmesi için
kullanılan ve çok bilinen bir yöntemdir (Gujarati, 2003).Sık kullanımı, ekonomik verilerde
görülmektedir.Örneğin Gültekin ve Gültekin (1983) ve Chien ve ark.(2002) Menkul
Kıymetler Borsası için mevsimsel etkileri, Asteriou ve Kavetsos (2006) geliĢmekte olan
ekonomiler için ocak ayı etkisi konusunu incelemiĢlerdir.Koçak (2008), Ladiray (2006) ve
Atabek ve ark.(2009) ulusal hesaplar serileri gibi farklı ekonomik veriler için mevsimsel
etkileri ve takvim etkilerini ele almıĢlardır.Bahsedilen alanların dıĢında, bu yöntem aslında
anlamlı mevsimsel etkilerin görülebileceği bir çok farklı veri kümesinde de kullanılabilir
(Green ve Doll, 1974). Biz bu çalıĢmada göstermelik değiĢken yöntemini, 2007-2009
yılları arasındaki Esenboğa, Atatürk ve London City Uluslararası Havaalanlarındaki
uçakların hareketliliğini gösteren veri setleri üzerinde olası mevsimsel etkileri saptamak ve
etkilerin nedenlerini yorumlayabilmek için kullanmaktayız.
Bu amaçla öncelikle çalıĢmanın 2. Bölümünde, kullandığımız veri tanıtılmakta ve analizde
kullanılan yöntem anlatılmaktadır. 3. Bölümde uygulamada elde ettiğimiz sonuçlar
sunulmakta, son olarak 4. Bölümde elde edilen bulgular özetlenerek sonuçlar
yorumlanmaktadır.
VERĠ TANITIMI VE YÖNTEM
Zaman serisi verileri içinde yaygın olan bileĢenlerden birisi mevsimsel etkilerdir (Grenger,
1964; Thaler, 1987).ÇalıĢmamızda bu etkilere sahip olduğunu düĢündüğümüz Esenboğa,
Atatürk ve London City Havaalanlarına ait 2007-2009 yılları arasındaki aylık uçak
hareketliliklerini gösteren zaman serisi verileri regresyon analizi yardımıyla
modellenmektedir.ÇalıĢmada kullanılan Esenboğa ve Atatürk Havaalanlarına ait
verikümesi http://www.dhmi.gov.tr/istatistik.aspx, London City Havaalanına ait veriler ise
http://www.lcacc.org/statistics/index.html internet sitesinden elde edilmiĢtir.
Veri analizinde, hem verideki anlamlı mevsimsel etkinin olup olmadığını sınamada hem de
anlamlı bulunan etkinin nereden kaynaklandığını bulmada “göstermelik değiĢken yöntemi”
kullanılmıĢtır. Genel anlamda bu yöntemde, bağımlı değiĢken üzerinde etkisi bulunan her
bir nitel veri grubu için, regresyon modeline, ait olduğu grup için 1, ait olmadığı diğer
gruplar için 0 değeri alan bir yapay değiĢken ekleme mantığı yer almaktadır (Suits, 1957;
Asteriou, 2006, 195). Nitekim bu çalıĢmada aylık etkilerin analizinde her bir ay için
regresyon modelimize birer adet göstermelik değiĢken eklenmiĢtir.
Mevsimsel etkilerin analizi için bu yönteminin dıĢında, “Chow Test” adlı alternatif bir
yöntem de kullanılabilir. Bu yöntemde ise kısaca,göstermelik değiĢken metodunda olduğu
gibi tek bir regresyon modeli kullanmak yerine, hafta, ay veya 3 ay gibi her bir mevsimsel
süreç için ayrı regresyon denklemleri kurularak sonuçlar yorumlanır. Fakat burada her
model için farklı bağımlı değiĢkenlerin olması sebebiyle model parametrelerinin tahmini,
| 36
2010
hem daha karmaĢık hem de hesaplama süresi bakımından daha uzundur (Pursell, 1970;
Salkever, 1976).Göstermelik değiĢken yöntemi, Chow Test yöntemine göre daha kolay ve
hesaplama aĢamasında daha etkili olması sebebiyle mevsimsel etkilerin analizinde daha
çok tercih edilmektedir (Salkever, 1976; Pursell, 1970; Suits, 1957; Karafiath, 1988).
Modelin KuruluĢu
Göstermelik değiĢken yönteminde, göstermelik değiĢkenler herhangi bir regresyon
modeline iki farklı yolla eklenebilir. Gültekin ve Gültekin (1983), Jaffe (1989) ve Asteriou
ve Kavetsos (2006) tarafından desteklenen ilk yaklaĢımda, incelenen mevsimsel etkiler için
kesiĢim terimi olmayan ve Denklem (1) ile belirtilen regresyon modeli kurulur.
Yrt = α1D1t + α2D2t + α3D3t +…+α12D12t+ Ut
(1)
Denklem (1) ile tanımlanan modelde, Ut rassal hata terimini, Yrt ise r. ay için aylık
hareketliliği ifade etmektedir. Diğer yandan αr(r = 1, . . . , 12), r. ay için aylık toplam yolcu
sayısını ve Drt , r. ay için 1, diğer aylar için 0 değerini alan göstermelik değiĢkeni
göstermektedir.ÇalıĢmamızda uçuĢ hareketliliğindeki mevsimsel etkinin anlamlılığını
Denklem (1) ile değerlendirirken, her bir havaalanı için ayrı ayrı olmak üzere, “H0: α1=
α2=...= α12 =0” formunda kurduğumuz sıfır hipotezine karĢılık “H1 : En azından bir
αrdeğerinin farklı olması” alternatif hipotezini test etmekteyiz. Bu durumda modelimizdeki
her bir αrdeğeri aylık toplam hareketliliği ifade ederken kurduğumuz alternatif hipotezin
reddedilmesi, seçilen havaalanlarındaki uçakların hareketliliğinde dikkate değer bir
mevsimsel etkinin olduğu Ģeklinde yorumlanabilir. Ayrıca alternatif hipotezin reddedilmesi
herhangi bir ay için özel aylık etkinin varolduğunu da gösterir. Eğer böyle bir etkinin
olduğu sonucuna varılırsa, bu etkinin hangi ayda olduğu Denklem (2) olarak adlandırılan
aĢağıdaki regresyon modeli yardımıyla bulunabilir.
Yrt  C +
r 1
 D
i 1
i.
it
+ Ut
(2)
Denklem (2) ile tanımladığımız modelde Ut, diğer modelde olduğu gibi 0 ortalama ve
σ2varyansa sahip hata terimini göstermektedir. C herhangi bir aya ait özel aylık etkiyi, Yrt
ise r. ay için aylık hareketliliği ifade etmektedir. Son olarak αr(r=1, . . . , 12) belirlenen ay
ile r. ay arasındaki farkı ve Drt , r. ay için 1 değerini alan göstermelik değiĢkeni
anlatmaktadır. Bu çalıĢmada Denklem (2)‟yi, aylık etkilerin bulunması durumunda bunun
hangi aylarda olduğuna bakarak uçuĢ hareketliliğindeki yoğunluğun aslında yaz tatilinde
mi, üniversitelerin dönem tatilleri, bayram tatilleri, yılbaĢı ya da kıĢ dönemde mi olduğunu
yorumlamada kullanmaktayız.
| 37
2010
UYGULAMA
ÇalıĢmada Esenboğa, Atatürk ve London City Havaalanlarına ait, ġekil 1‟de de gösterilen
zaman serisi verileri, Denklem (1) ve (2)‟de verilen regresyon modelleri kullanılarak
tahmin edilmektedir. Model parametrelerinin tahmini genel en az kareler (generalized least
square) metoduyla ve analizleri Eviews 5.0 paket programı ile yapılmıĢtır. Bu programın
analizler için seçilme nedeni ise özelikle ekonomik verileri değerlendirmede kullanım
kolaylığından dolayı yaygın olarak tercih edilmesidir. Ancak bu programın, parametre
tahminlerinde ilgilenilen varyans-kovaryans matrisinin tersi gerektiği durumlarda
kullandığı algoritmalarla zaman zaman singülerlik problemiyle karĢılaĢtığı da
bilinmektedir.
Uçakların hareketliliğini gösteren verilerde, öncelikle, aylık anlamlı farklar olup olmadığını test
etmek için Denklem (1)‟deki model kullanılmıĢtır. Bu analiz için de klasik lineer regresyon
modeli varsayımları olan hata terimlerinin otokorelasyona ve ayrı varyanslılığa
(heteroscedasticity) sahip olmamaları durumunun bizim veri kümelerimizde uygun olup olmadığı
test edilmiĢtir. Bu testler temelde, hataların normal dağıldığı varsayımına dayanması sebebiyle
her üç havalanı için Jarque-Bera testi uygulanmıĢ, buna alternatif olarak da hataların çarpıklık
(skewness) ve basıklık (kurtosis) değerlerinin sırasıyla 0 ve 3‟e eĢit olup olmadıklarına
bakılmıĢtır. Test sonuçlarından normal dağılım varsayımının Esenboğa ve London City
Havaalanları için uygun olduğu gözlenmiĢtir. Atatürk Havaalanı için ise Temmuz 2008 verisinin
aykırı veri olduğu ve normallik Ģartını bozduğu bulunmuĢtur. Bu sebeple öncelikle gözlenen
aykırı verinin bulunduğu zamanda havalanındaki yoğunluğu etkileyecek özel bir olayın olup
olmadığı araĢtırılmıĢ, böylece aracılık (intervention) analizinin uygulanabilirliği
değerlendirilmiĢtir. Aracılık analizi, zaman serilerinde, sebebi belli olan tek gözleme veya
bulunan sebeple seride oluĢan yapısal kırılmanın (structural break) olduğu gözlemlerde
kullanılan ve bu noktaya/noktalara göre adım (step) veya pulse fonksiyon kullanarak yanıtı
(response) modellemeye çalıĢan bir yöntemdir (Wei, 2006). ÇalıĢmamızda, verimizin aracılık
analizine uygunluğunu belirlemek için öncelikle Atatürk Havaalanında belirlenen tarihte özel bir
olayın varlığı araĢtırılmıĢ ve yapılan araĢtırmada uçuĢ yoğunluğunu etkileyeck özel bir sebebe
rastlanmamıĢtır. Bu nedenle aykırı veriyi analizden çıkarmak yerine, bu tek gözlemin “kayıp
veri” olduğu varsayılmıĢ ve bu nokta için EM algoritmasıyla (SPSS 16.0 programı yardımıyla)
değer tahmini yapılmıĢtır. Bulunan değer daha sonra Atatürk Havalanı için yapılan tüm
analizlerde aykırı gözlem yerine kullanılmıĢtır. Nitekim kullanılan bu gözlem değeriyle veri
setinde normallik varsayımının da sağlandığı görülmüĢtür. Daha sonra her üç seri için de serilerin
otokorelasyon ve ayrı varyanslılık durumları değerlendirilmiĢtir. Seri korelasyonları için Breusch
Godfrey ve Durbin-Watson testleri (Asteriou, 2006) uygulanmıĢ, sağlam bir test tekniği olan
Breusch Godfrey ve Durbin- Watson‟nın farklı cevaplar verdiği durumlarda yaygın kullanımı
olan ve hata dağılımını göz önünde bulunduran Durbin-Watson test sonuçları dikkate alınmıĢtır.
Test sonuçları Tablo 1‟de gösterilmektedir. Ayrı varyanslılığı kontrol etmek için ise ARCH
LM(1) prosedürü (Asteriou, 2006) kullanılmıĢtır. Tablo 1‟de sunulan test istatistikleri, hataların
| 38
2010
ġekil 1. Veri seti grafikleri
40000
35000
30000
25000
20000
15000
07:01
07:07
08:01
08:07
09:01
09:07
A
(a) Esenboğa Havaalanı
(b) Atatürk Havaalanı
9000
8000
7000
6000
5000
07M01
07M07
08M01
08M07
09M01
09M07
M2
(c) London City Havaalanı
Esenboğa ve London City Havaalanları için bu varsayımı da karĢılamadığını göstermektedir.
Hataların bu iki varsayımı sağlamaması serilerde beyaz gürültü (white noise) özelliğinin
bulunmadığı anlamına geldiği için serideki olası birim kare (unit root) durumu Phillips-Perron
testi ile kontrol edilmiĢtir. Sonuçlar üç serinin de durağan hatalara sahip olduğunu
göstermektedir. Bu sebeple Denklem (1)‟i kullanarak yaptığımız parametre tahminlerinde tistatistikleri, sadece otokorelasyon ve ayrı varyanslık özelliklerini göz önünde bulunduran
| 39
2010
“Newey-West ayarlanmıĢ standard hatalar” (Asteriou, 2006; Asteriou ve Kavetsos, 2006)
kullanılarak yapılmıĢtır. Her ay için bulunan tahmin ediciler yine Tablo 1‟de sunulmaktadır.
Tabloda verilen katsayıların p-değerlerine bakıldığında ise Esenboğa ve London City
Havaalanlarında anlamlı aylık etkilerin olduğunu gözlenmiĢtir.
Son olarak bulunan modellerin sahte (spurious) regresyon olabileceğini kontrol etmek amacıyla
her havaalanı için bulunan R2‟ler Durbin-Watson test istatistikleriyle karĢılaĢtırılmıĢtır. Tablo
1‟de verilen R2 değerleri ile Durbin-Watson test istatistikleri serilerimizde bu problemin
gözlenmediğini, modelimizin bu durumda seri için uygun bir model olarak görülebileceğini
göstermektedir.
Analizin ikinci aĢaması ise bulunan anlamlı farkların, hangi aylarda gözlendiğini bulmaya
yöneliktir. Bu amaçla Esenboğa ve London City Havaalanları için Denklem (2) ile ayrı ayrı
modelleme yapılmıĢtır. Test istatistiklerinden Esenboğa ve London City Havaalanları için uçuĢ
hareketliliğindeki değiĢimin, eylül ve ekim aylarında olduğu gözlenmiĢtir. Tablo 2‟de verilen
parametre tahminlerinde C değeri her havaalanı için sadece istatistiksel olarak anlamlı
değiĢikliklerin gözlendiği aylar baz alınarak hesaplanmıĢ parametre tahminlerini vermektedir. Bu
sebeple Esenboğa ve London City Havaalanları için, C değeri, sırasıyla, eylül ve ekim aylarına
ait özel aylık etkileri göstermektedir. Ayrıca sonuçlardan, Ġstanbul‟un stratejik özelliğinden
dolayı Atatürk Havaalanının diğer havaalanlarına kıyasla her zaman çok daha yoğun bir uçuĢ
trafiğine sahip olduğu görülmüĢtür (ġekil 1). Bu havaalanındaki uçuĢ hareketliliğinin ise
istatistiksel olarak aylık fark göstermemesi tüm aylar için havaalanının uluslararası hava
trafiğindeki önemli bağlanti noktalarından biri olmasıyla açıklanabilir. Esenboğa ve London City
Havaalanları ise uluslararası uçuĢlara açık olsa da çoğunlukla yurtiçi seyahatlerinde kullanılması
sebebiyle, diğer aylara göre anlamlı yoğunluğun her iki ülkedeki yaz tatillerinin bittiği,
çoğunlukla
okulların
(üniversite/lise/ilköğretim)
açıldığı
dönemlerde
olduğu
bulunmuĢtur.Analizlerde Denklem (1)‟de olduğu gibi t-istatistikleri Newey-West ayarlanmıĢ
standart hatalar kullanılarak hesaplanmıĢtır.
SONUÇ
Bu çalıĢmada Esenboğa, Atatürk ve London City Havaalanlarındaki uçakların hareketliliğinde
anlamlı bir mevsimsel etkinin var olup olmadığını göstermelik değiĢken yöntemi ile test ettik.
Seçilen yöntemin uygulaması literatürde oldukça yaygın olmasına rağmen uçuĢların
hareketliliğindeki mevsimsel etkinin saptanması için kullanılması yeni bir uygulama
alanıdır.Analizlerimiz sonucunda her havaalanı için de farklı dönemlerde aylık etkilerin
bulunduğunu gösterdik. ÇalıĢmamızın özellikle Türkiye‟nin en büyük iki havaalanındaki uçuĢ
trafiğine yönelik uzun dönem planlamalarda bir ön fikir verebileceğini düĢünmekteyiz.
TEġEKKÜR
Yazarlar, çalıĢmadaki yardımcı yönlendirmelerinden dolayı Yrd.Doç.Dr.Ceylan Yozgatlıgil‟e
teĢekkür etmektedir.
| 40
2010
Tablo 1. Mevsimsel etkiler için test sonuçları
Atatürk
Havaalanı
Değişken
Katsayı
Esenboğa
Havaalanı
London City
Havaalanı
D1
20128.67
tistatistiği
67.42
Katsayı
tistatistiği
Katsayı
t-istatistiği
4353.67
81.93
6878.67
22.65
D2
18527.33
31.73
4064.67
50.76
6748.33
25.18
D3
21382.67
33.20
4827.00
30.96
7609.00
44.95
D4
22776.67
51.97
5060.67
18.58
7516.00
13.00
D5
23989.00
50.02
5435.00
47.44
7858.33
12.82
D6
24516.33
55.04
5442.33
10.56
7844.00
14.12
D7
22739.00
7.47
6693.67
39.12
7509.00
11.68
D8
24661.67
20.53
6811.67
9.95
6500.67
9.05
D9
23411.67
37.82
4647.67
6.82
7597.33
13.20
D10
23829.33
32.96
5582.67
26.94
7847.00
11.00
D11
21882.67
36.96
5256.67
43.71
7321.67
11.72
D12
22111.00
29.49
4953.67
15.42
6080.00
14.94
Jarque-Bera
(p-value)
ARCH LM(1)
(p-value)
DurbinWatson
Philippe-Peron
(p-value)
0.50
0.66
0.55
0.78
0.06
0.00
1.08
2.31
0.32
0.82
0.63
0.43
R2
0.57
0.72
0.35
| 41
2010
Tablo 2. Anlamlı aylık etkiler için test sonuçları
Esenboğa Havaalanı
(Eylül)
London
City
Havaalanı
(Ekim)
Değişken
Katsayı
tistatistiği
Değişken
Katsayı
tistatistiği
C
0.12
1.85
C
7597.33
13.20
D1
4176.60
19.08
D1
-718.67
-1.10
D2
3899.36
32.73
D2
-849.00
-1.34
D3
4630.68
16.87
D3
11.67
0.02
D4
4854.85
34.54
D4
-81.33
-0.10
D5
5213.96
33.28
D5
261.00
0.31
D6
5220.99
11.59
D6
246.67
0.36
D7
6421.43
17.19
D7
-88.33
-0.14
D8
6534.63
18.88
D8
-1096.67
-2.19
D10
5355.62
10.80
D10
249.67
0.50
D11
5042.88
14.34
D11
-275.67
-0.42
D12
4752.20
10.81
D12
-1517.33
-2.46
KAYNAKLAR
ASTERIOU, D. (2006), Applied Econometrics, New York: Palgrave Macmillan.
ASTERIOU, D. ve KAVETSOS, G. (2006), Testing for the existence of „January effect‟ in
transition economies, Applied Financial Economics Letters, 2, 375-381.
ATABEK, A., ATUK, O., ERDOĞAN, E. veSARIKAYA, C. (2009), Mevsimsel modellerde
çalıĢma günü değiskeni, TCMB Ekonomi Notları, 3.
| 42
2010
CHIEN, C.-C., LEE, C.-F.ve WANG, A.M.L. (2002). A note on stock market seasonality:
The impact of stock price volatility on the application of dummy variable regression model,
The Quarterly Review of Economics and Finance, 42, 155-162.
GREEN, R.D. ve DOLL, J.P. (1974), Dummy variables and seasonality-A curio, The American
Statistician, 28, 60-62.
GUJARATI, D.N. (2003), Basic Econometrics, 4th Edition, New York: Mc Graw Hill.
GÜLTEKĠN, M.N. ve GÜLTEKĠN, N.B. (1983), Stock market seasonality: International
evidence, Journal of Financial Economics, 12, 469–81.
JAFFE, J.F. ve WESTERFIELD, R. (1989), Is there a monthly effect in stock market
return?,Journal of Banking and Finance, 13, 237–44.
KARAFIATH, I. (1988), Using dummy variables in the event methodology, The Financial
Review, 23, 351-357.
KOÇAK, N.A. (2008), Takvim etkileri: Ulusal hesaplar uygulaması, 17. Ġstatistik AraĢtırma
Sempozyumu Bildiri Kitabı, TÜĠK, 154-168.
LADIRAY, D. (2006), Calender effects and seasonal adjustments, Proceeding of the
Eurostat Workshop.
SALKEVER, D.S. (1976), The use of dummy variables to compute predictions, prediction
errors and confidence intervals, Journal of the Econometrics, 4, 393-397.
SUITS, D.B. (1957), Use of dummy variables in regression equations, Journal of American
Statistical Association, 52, 548-551.
THALER, R.H. (1987), Anomalies: the January effect, Journal of Economic Perspectives,
1, 197–201.
WEI, W.W.S. (2006), Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods, 2th
Edition, Pearson Education, Inc. USA.
| 43
2010
GAUSS RASTGELE YÜRÜYÜġ SÜRECĠNĠN MAKSĠMUMUNUN MOMENTLERĠ ĠÇĠN
YAKLAġIK FORMÜLLER
Fikri Gökpınar1
Tahir Khaniyev2
1. GĠRĠġ
X1, X2,….rasgele değiĢkenleri β>0 olmak üzere –β beklenen değerli ve 1 varyanslı normal
dağılıma sahip olsun. Sn= X1+ ··· + Xn, (n=1,2,…) ve S0= 0 olmak üzere Gauss rasgele yürüyüĢ
(GRYS) sürecinin maksimumu M(β)= maks{Sn: n ≥ 0} olsun. Amacımız M(β)‟nın momentleri
için yaklaĢık formüller elde etmektir. Bu konuda yazılmıĢ birçok ilginç çalıĢmalar mevcuttur
(örneğin, Lotov (1996), Korshunov (1997), Khaniyev ve Mammadova (2006), Jannsen ve
Leewarden (2007a), Jannsen ve Leewarden (2007b) vb.).
Mβ‟ın dağılımı kuyruk teorisi, risk teorisi,stokastik finans, güvenirlik, matematiksel biyoloji,
çevre gibi alanlarda oldukça sık kullanılmaktadır. β=0 durumunda, Lotov (1996), GRY sürecinin
1. basamak yüksekliğinin ilk üç momenti için 3 terimli asimptotik açılım ortaya koymuĢlardır.
Korshunov (1996) Rassal yürüyüĢ sürecinin maksimumunun dağılımının kuyruk davranıĢları
üzerine çalıĢmıĢlardır. Janssen ve Leeuwarden (2007a) β↓0 için maksimum değerinin beklenen
değeri ve varyansı için zeta fonksiyonlar teorisini kullanarak açılımlar elde etmiĢlerdir.Ayrıca
Janssen ve Leeuwarden (2007b) çalıĢmasında sürecin maksimumun kümülantları için kesin ve
asimptotik sonuçlarını genellemiĢlerdir. Bununla beraber bu asimptotik formüller β‟nın çok dar
bir aralığında geçerlidir. Özellikle β>0.5 olduğunda asimptotik sonuçlar kesin değerlerden
oldukça uzaklaĢmaktadır. Bu nedenle bu çalıĢmada iki amaç gözetilmiĢtir. Birinci amaç, meta
modelleme yöntemi ile GRY sürecinin maksimumun ilk 4 momenti için yaklaĢık ifadeler elde
etmektir. Ġkinci amaç ise β0 iken Y(β)=2βMβ rasgele değiĢkeninin dağlımı için zayıf
yakınsama teoremini ispatlamaktır. ÇalıĢmada, limit dağılımın üstel bir dağılım olduğu
gösterilmiĢtir.
2. GAUSS RASGELE YÜRÜYÜġ SÜRECĠNĠN MAKSĠMUMUNUN DAĞILIMI
Jannsen ve Leewarden (2007b) GRW sürecinin maksimum değerinin tüm kümülantları için kesin
bir formül vermiĢtir. Bu formül aĢağıdaki teorem 1‟ de verilmiĢtir.
Yardımcı Teorem 1 (Jannsen ve Leewarden, 2007b): X1, X2,…. rasgele değiĢkenleri β>0 olmak
üzere –β beklenen değerli ve 1 varyanslı normal dağılıma sahip olsun. Gauss rasgele yürüyüĢ
sürecinin maksimumu(M(β)) k.acı kümülantı (Jk(β)) için k=1,2,... iken aĢağıdaki kesin ifadeler
yazılabilir.
J k ( )  Ak ( )  Dk ( )  Fk ( )
.
________________
Ġstatistik Bölümü, Gazi Üniversitesi, Ankara
EndüstriMühendisliği bölümü TOBB-ETÜ, Ankara
1
2
| 44
2010
Burada;
Ak (  )  (k  1)!  2 
 1
Fk    
k 1
2
k!
k
k 
Dk (  )    
,
j 0  j 
k
 1
j
 k  j 1 


2 


2
k  j 1
1
 1
 2

k

j

1
2
j


2
 2

,
2 r  k 1
 k    k  r  1 / 2  1/ 2  

 
r !(2r  1)...(2r  k  1)
r 0  j 
,
r

0    2 ve(x), Reimann zeta fonksiyonunun x noktasındaki değerini ifade etmektedir.
Not: Yardımcı Teorem 1‟de verilen kümülantlardan faydalanarak GRW sürecinin
maksimumunun Momentleri de bulunabilir. J ( ) deki formüldeki son terimi kaldırdığımızda
β0 iken asimptotik olarak
k
J k ( )  Ak ( )  Dk ( )  o   k 
Ģeklinde elde edilebilir.
Bell polinomlarından yararlanarak GRY sürecinin maksimumunun Mβ n. baĢlangıç momentleri
için asimptotik sonuçlar elde etmek mümkündür. Bu Sonuçlar aĢağıdaki Teorem 1 de verilmiĢtir.
Teorem 1:X1, X2,….rasgele değiĢkenleri β>0 olmak üzere –β beklenen değerli ve 1 varyanslı
normal dağılıma sahip olsun. Gauss rasgele yürüyüĢ sürecinin(GRYS) maksimumu M(β)'in
n
n.ncı momenti E  M ( )  için aĢağıdaki asimptotik açılım yazılabilir.
E  M n ( )  
n!
(2 )n
n

(2 )i Bi  D1 (  ), D2 (  ),...Di (  ) 
n 
1

 o  2  
 
i!
 i1


Burada Bi  D1 ( ), D2 ( ),...Di ( ) 
göstermektedir.
{D1(β),
D2(β),…
Di(β)}

kümesinin
n=1,2,3,....
Bell
polinomunu
Ġspat:
Ak (  )  (k  1)!  2 
k
ikenJk(β)= Ak(β)+Dk(β)+o(βk) olarak ifade edilebilir. Bell
Polinomlarından
faydalanarak,
β‟ya
bağlı
olarak,
kümülantlardan
Momentlere
geçilebilmektedir(Comtet, 1974,s.160). Tam Bell polinomu Bn(x1,x2,…xn) olmak üzere
Bn ( x1 , x2 ,...xn ) 

j1 2 j2 ...njn n
j
j
j
n
1
2
n!
 x1   x2   xn 
...
     
j1 ! j2 !... jn !  1!   2!   n! 
n=1,2,...
Ģeklinde ifade edilir(B0=1).
| 45
2010
Burada Bell Polinomunun değerini;

 n  1
 x1 
 x2
 1 


 1
x1



1
0
Bn  x1 , x2 ,..., xn   det 

0
0

0
0

0
0


0
0

 n  1

 x3
 2 
 n  2

 x2
 1 
 n  1

 x4
 3 
 n  2

 x3
 2 
 n  1

 x5
 4 
 n  2

 x4
 3 
x1
 n  3

 x2
 1 
1
x1
 n  3

 x3
 2 
 n  4

 x2
 1 
0
0
1
0
x1
1
0
0
0
0

xn 


xn1 



xn2 


xn3 

xn4 

xn5 


1 x1 
ifadesi kullanarak bulunabilir.
n.nci moment E(Mn(β)), 1‟den n‟e kadar tüm kümülantları Bell polinomunda kullanarak;
E(Mn(β))=Bn(J1(β), J2(β),… Jn(β))
Ģeklinde bulunur (Comtet,1974). Burada Jk(β)= Ak(β)+Dk(β)+o(βk) ifadesi kullanarak;
E(Mn(β)) =Bn(A1(β)+ D1(β), A2(β)+D2(β),…, An(β)+Dn(β))+o(1)
olarak elde edilir.
Comtet(1974)‟de Bell Polinomlarının herhangi iki {a1, a2,… an} ve {b1, b2,… bn} serisi için;
n
n
Bn (a1  b1 , a2  b2 ,..., an  bn )     B  a1 , a2 ,..., an i B  b1 , b2 ,..., bi 
i 0  i 
Ģeklinde ifade edilebilir olduğunu göstermiĢtir (Bell polinomumun binom özelliği). Burada
ai=Ai(β) ve bi= Di(β) alındığında
E  M n (  )   Bn  A1     D1    , A2     D2    , An     Dn      o 1
n
n
    Bn i  A1    , A2    ,..., An i    Bi  D1 (  ), D2    ,..., Di      o 1
i 0  i 
elde edilir. Burada
Bn i  A1    , A2    ,..., An i     

j1  2 j2 ...( n i ) jni  n i
(n  i)!  A1 (  )  1  A2 (  )  2  An i (  ) 


 
 ... 
j1 ! j2 !... jn i !  1!   2! 
 (n  i)! 
j
j
| 46
jni

(n  i)!
 2 
n i

j1  2 j2 ...( n i ) jni  n i
1
2
 1 
1
1  1 

    ... 
j1 ! j2 !... jn i !  1   2 
 (n  i ) 
j
j
2010
jni
Collins(2001)‟de

j1  2 j2 ...njn  n
j
j
j
1
2
n
1
1  1   1 
...
      1
j1 ! j2 !... jn !  1   2   n 
olarak verilmiĢtir. Buradan
Bn i  A1    , A2    ,..., An i     
(n  i)!
 2 
n i
olur. Bu ifade yerine konduğunda;
n
 n  (n  i )!
E  M n ( )     
B D (  ), D2    ,..., Di      o 1
n i i  1
i 0  i   2 
n
 n  (n  i )!
  
B D (  ), D2    ,..., Di      o 1
n i i  1
i 0  i   2 
açılımı elde edilir. Bu açılım aĢağıdaki Ģekilde yazabiliriz.
n (2 )i B D  , D  ,...D 

n! 
i  1 
2 
i  
E  M ( )  
1




(2 )n  i1
i!

n
olarak bulunur. Bu da ispatı tamamlar.
Sonuç:Y(β)= 2βM(β) olmak üzere
n (2  )i B D  , D  ,...D 


i  1 
2 
i  
E Y (  )   n ! 1  

i!
 i1

dir.
Teorem 2: X1, X2,…. rasgele değiĢkenleri β>0 olmak üzere –β beklenen değerli ve 1 varyanslı
normal dağılıma sahip olsun. Bu taktirde, Y(β)= 2βM(β) rasgele değiĢkeninin dağılımı =1
parametreli üstel dağılıma zayıf yakınsar. Yani x>0 için P Y     x   1  e x olur.
 0
| 47
2010
Ġspat:
Y(β)‟nin karakteristik fonsiyonu;


Y (  ) (t )  E eitY    .
Ģeklindedir. Bu ifadeyi Taylor açılımını kullanarak açarsak (Feller,1971);
 it 
 1
1
 it 
 1
1
1!
1!

E  2 M (  ) 
1
 it 
1!
2
2!

 it 

2!
 it 
2! ... 
n!
2

E  2 M (  ) 
2

 it 
 ... 
n!
n


E  2 M (  )   ...o(1)
n
n
n ! o(1)
|t|<1 iken bu geometrik seri;
Y (  ) (t ) 
1
1  it
olur. o (t )  1 (1  it ) fonksiyonunun=1 parametreli üstel dağılımın karakteristik fonksiyonu
olduğu bilinmektedir. Dolayısıyla Y(β)= 2βM(β) rasgele değiĢkeninin dağılımı =1 parametreli
üstel dağılıma zayıf yakınsar. Yani x>0 için P Y     x   1  e x olur.
 0
3. GAUSS RASGELE YÜRÜYÜġ SÜRECĠNĠN ĠLK 4 MOMENTĠ ĠÇĠN YAKLAġIK
FORMÜLLER
Bu bölümde GRY sürecinin maksimum değerinin ilk 4 momenti için yaklaĢık bir formül
verilecektir. Jannsen ve Leeuwarden(2007b) maksimumun kümülantları için elde ettiği genel bir
formül sonsuz bir seriye dayalı olduğu için hesaplanmasının oldukça zor olduğu görülmektedir.
Ayrıca Jannsen&Leeuwarden(2007b) elde ettikleri asimptotik formüllerde β'ın çok küçük
değerleri (0<β<0.5) için geçerliliklerini korumaktadır. Fakat uygulamada çoğu zaman 0<β<3.3
aralığında değiĢebilmektedir. Bu da β>0.5 olduğunda yeni bir yaklaĢık formül elde etmeyi
gerektirmektedir. Bu amaçla çeĢitli Beta değerleri için MATLAB R2009a programını kullanarak
β‟nın hangi değer aralığı için kesin formülle asimptotik formülün aynı değeri alıp hangi değerden
sonra uzaklaĢtığını tespit ettik. Elde edilen sonuçlar tablo 1-4 de verildiği gibidir. Burada E  M ( ) 
ve E  M ( )  ile sırasıyla M(β)'ın sırasıyla beklenen değerinin kesin ve asimptotik formülle hesaplanmasında
elde edile edilen
sonuçları göstermektedir. Ayrıca   E ( M (  ))  E ( M (  )) mutlak hata;
   E (M ( )) nispi hatayı göstermektedir.
| 48
2010
Tablo 1. Jannsen ve Leewarden(2007b) verilen E  M ( )  için asimptotik ve kesin formüller ile verilen sonuçlar, nispi
ve oransal farkları
β
0,010
0,020
0,030
0,040
0,050
0,060
0,070
0,080
0,090
E  M ( )  49,4199 24,4224 16,0915 11,9273 9,4298
7,7656
6,5776
5,6871
4,9951
6,5777
5,6874
4,9955
E  M ( )  49,4199 24,4224 16,0915 11,9274 9,42990 7,7657
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0001
0,0001
0,0002
0,0003
0,0003

0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01

β
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
E  M ( )  4,4420
1,9657
1,1553
0,7608
0,5321
0,3859
0,2865
0,2160
0,1647
1,9674
1,1591
0,7674
0,5424
0,4007
0,3067
0,2424
0,1980
E  M ( )  4,4424
0,0004
0,0017
0,0037
0,0066
0,0103
0,0149
0,0202
0,0264
0,0333

0,01
0,08
0,32
0,87
1,94
3,85
7,06
12,20
20,23

β
1,000
1,250
1,500
1,750
2,000
2,250
2,500
2,750
3,000
E  M ( )  0,1264
0,0662
0,0347
0,0179
0,0090
0,0044
0,0020
0,0009
0,0004
0,1674
0,1299
0,1257
0,1406
0,167403
0,2021
0,2424
0,2867
0,3344
E  M ( ) 
0,0410
0,0637
0,0910
0,1227
0,1584
0,1977
0,2404
0,2858
0,3337

32,47
96,25
262,12
683,92
1755,37 4513,19
11776,94 31493,33 86932,96

Tablo 2. Jannsen ve Leewarden(2007b) verilen kümülantlardan elde edilen E  M 2 ( )  için asimptotik ve
kesin formüller ile verilen sonuçlar, nispi ve oransal farkları
β
E  M 2 ( ) 
E  M 2 ( ) 


β
E  M 2 ( ) 
E  M 2 ( ) 


β
E  M 2 ( ) 
E  M 2 ( ) 


0,010
0,020
0,030
4942,0780 1221,2063 536,4701
4942,0785 1221,2071 536,4713
0,0004
0,0008
0,0012
0,00
0,00
0,00
0,100
0,200
0,300
44,4974
9,8957
3,9087
44,5011
9,9022
3,9172
0,0037
0,0065
0,0085
0,01
0,07
0,22
1,000
1,250
1,500
0,1436
0,0634
0,0292
0,1522
0,0691
0,0320
0,0086
0,0057
0,0028
6,00
9,01
9,50
0,040
298,2679
298,2695
0,0016
0,00
0,400
1,9512
1,9611
0,0099
0,51
1,750
0,0136
0,0141
0,0005
3,51
0,050
188,6793
188,6813
0,0020
0,00
0,500
1,1060
1,1167
0,0107
0,97
2,000
0,0063
0,0056
-0,0007
-10,74
0,060
0,070
0,080
0,090
129,5086 94,0461 71,1690 55,5800
129,5109 94,0487 71,1721 55,5834
0,0023 0,0027 0,0030 0,0034
0,00
0,00
0,00
0,01
0,600
0,700
0,800
0,900
0,6786 0,4391 0,2951 0,2038
0,6896 0,4500 0,3054 0,2134
0,0110 0,0108 0,0103 0,0096
1,62
2,46
3,50
4,70
2,250
2,500
2,750
3,000
0,0028 0,0012 0,0005 0,0002
0,0025 0,0030 0,0063 0,0120
-0,0003 0,0018 0,0058 0,0118
-11,23 145,52 1128,76 5760,05
Tablo 1-4‟teki verilen GRY sürecinin ilk dört momentinin maksimumu için asimptotik ve kesin
formüller ile verilen sonuçlar arası, mutlak ve Nisçi farklarına bakıldığında β=0.5-0.6 değerinden
sonra asimptotik ve kesin formüller arasındaki oransal fark %2‟yi geçmektedir. Özellikle, β>1
olduğunda nisbi hata %32'yi aĢmaktadır. Bu fark kabul edilebilir bir durum değildir. Kesin
formülde Kümülantların son terimi zeta ve gamma fonksiyonların sonsuz bir serisi oluĢturduğu
düĢünülürse bu ifadeyi momentlerde kullanmak oldukça zordur bunun yerine bu kesin değerlerle
asimptotik değerlerin fark değerleri üzerine eğri uydurarak daha rahat kullanılabilecek bir formül
oluĢturmak gerekir. Burada 4 fonksiyon farklı yapı gösterdiğinden her biri için farklı fonksiyon
uydurmak gerekecektir. 1. Moment için üstel 2. Moment için polinom, 3 ve 4.Moment için kesirli
polinom fonksiyon olarak uydurulmuĢtur.
| 49
2010
Tablo 3. Jannsen ve Leewarden(2007b) verilen kümülantlardan elde edilen E  M 3 ( )  için asimptotik ve kesin
formüller ile verilen sonuçlar, nispi ve oransal farkları
β
0,010
0,020
0,030
0,040
0,050
0,060
0,070
0,080
0,090
3
741311,7786
91590,5402
26823,5767
11185,1167
5660,4476
3237,7823
2015,3396
1334,4852
926,3989
E  M ( ) 
E  M 3 (  )  741311,8401 91590,6010 26823,6367 11185,1760 5660,5063 3237,8403 2015,3969 1334,5419 926,4549
0,0615
0,0608
0,0601
0,0594
0,0587
0,0580
0,0573
0,0566 0,0560

0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01

β
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
667,5255
74,2732
19,5914
7,3581
3,3533
1,7263
0,9661
0,5743 0,3571
E  M 3 ( ) 
667,5808
74,3223
19,6349
7,3965
3,3870
1,7558
0,9918
0,5965 0,3761
E  M 3 ( ) 
0,0553
0,0491
0,0434
0,0384
0,0337
0,0295
0,0257
0,0222 0,0189

0,01
0,07
0,22
0,52
1,01
1,71
2,66
3,86
5,29

β
1,000
1,250
1,500
1,750
2,000
2,250
2,500
2,750
3,000
0,2299
0,0847
0,0342
0,0143
0,0061
0,0025
0,0010
0,0004 0,0002
E  M 3 ( ) 
0,2457
0,0933
0,0352
0,0065 -0,0132 -0,0321 -0,0543 -0,0825 -0,1187
E  M 3 ( ) 
0,0158
0,0085
0,0010
-0,0078 -0,0193 -0,0346 -0,0553 -0,0829 -0,1188

6,88
10,06
2,95
-54,72 -317,06 -1358,61 -5314,24 -20195,40 -76627,40

Tablo 4. Jannsen ve Leewarden(2007b) verilen kümülantlardan elde edilen E  M 4 ( )  için asimptotik ve kesin
formüller ile verilen sonuçlar, nispi ve oransal farkları
0,010
0,020
0,030
β
E  M 4 ( ) 
E  M 4 ( ) 


β
135764839,1000
0,040
0,050
0,060
0,070
0,080
0,090
8378420,7040 1634189,6810 510579,7870 206514,5648 98347,6735 52423,5983 30347,3428 18710,4473
135764851,4000
8378426,7800 1634193,6850 510582,7552 206516,9117 98349,6065 52425,2358 30348,7589 18711,6914
12,2960
0,00
6,0767
0,00
4,0041
0,00
2,9681
0,00
2,3469
0,00
1,9330
0,00
1,6375
0,00
1,4161
0,00
1,2441
0,01
0,100
12123,8336
0,200
670,0187
0,300
117,4003
0,400
33,0594
0,500
12,0898
0,600
5,2202
0,700
2,5286
0,800
1,3321
0,900
0,7479
12124,9402
670,5105
117,6916
33,2534
12,2276
5,3222
2,6061
1,3922
0,7951
1,1066
0,01
0,4918
0,07
0,2913
0,25
0,1940
0,59
0,1378
1,14
0,1020
1,95
0,0775
3,07
0,0601
4,51
0,0473
6,32
1,000
0,4410
1,250
0,1371
1,500
0,0488
1,750
0,0187
2,000
0,0073
2,250
0,0029
2,500
0,0011
2,750
0,0004
3,000
0,0001
E  M 4 ( ) 
0,4786
0,1589
0,0620
0,0268
0,0121
0,0045
-0,0019
-0,0108
-0,0251


0,0376
8,52
0,0218
15,93
0,0131
26,87
0,0081
43,31
0,0048
65,34
0,0017
57,53
-0,0030
-270,95
-0,0112
-2695,10
-0,0253
-16916,19
E  M ( ) 
4
E  M 4 ( ) 


β
E  M ( ) 
4
a) Birinci Moment için yaklaĢık formül
X1, X2,….rasgele değiĢkenleri β>0.5 olmak üzere –β beklenen değerli ve 1 varyanslı normal dağılıma
sahip olsun. Gauss rasgele yürüyüĢ sürecinin maksimumu M(β)'in 1.ncı momenti için yaklaĢık formül
E  M ( )  
1
 B1  D1      R1 ( )
2
şeklindedir. Burada R1 (  ) 'in tahmini;
    b1 / c1    a e   b2 /c2  
Rˆ1 (  )  a1e
2
ve a1 =-0.03453, b1=0.6342, c1=1.512, a2=0.7545, b2=5.863, c2 =3.188 Ģeklindedir.
2
2
| 50
2010
b) Ġkinci Moment için yaklaĢık formül
X1, X2,…. rasgele değiĢkenleri β>0.5 olmak üzere –β beklenen değerli ve 1 varyanslı normal
dağılıma sahip olsun. Gauss rasgele yürüyüĢ sürecinin maksimumu M(β)'in 2.ncı momenti
için yaklaĢık formül
2!
E  M ( )  
(2 )2
2
 (2 ) B1  D1  (2 )2 B2  D1 , D2  

1 
  R2 (  )
1
2


Ģeklindedir. Burada R2 (  ) 'in tahmini;
Rˆ2 ( )  p1 x5  p2 x 4  p3 x3  p4 x 2  p5 x  p6
,
ve p1 =0.0002451, p2=-0.003714,p3=0.02304,p4=-0.05657, p5=0.04726,p6=-0.001659
Ģeklindedir.
c) Üçüncü Moment için yaklaĢık formül
X1, X2,….rasgele değiĢkenleri β>0.5 olmak üzere –β beklenen değerli ve 1 varyanslı normal
dağılıma sahip olsun. Gauss rasgele yürüyüĢ sürecinin maksimumu M(β) 'in 3.ncı momenti
 (2 ) B1  D1  (2 )2 B2  D1 , D2  (2 )3 B3  D1 , D2 , D3  


1 
  R3 (  )
1
2
6


E  M 3    
Rˆ3 (  ) 
3!
(2 )3
p1 x 4  p 2 x3  p3 x 2  p 4 x  p 5
x  q1
ve p1=-0.01988, p2=0.0335, p3=0.02348, p4=-0.2144, p5=0.26225, q1=4.371 Ģeklindedir.
d) Dördüncü Moment için yaklaĢık formül
X1, X2,….rasgele değiĢkenleri β>0.5 olmak üzere –β beklenen değerli ve 1 varyanslı normal
dağılıma sahip olsun. Gauss rasgele yürüyüĢ sürecinin maksimumu M(β)'in 4.ncı momenti
E  M 4    
4!
(2 )4
 (2 ) B1  D1  (2 ) 2 B2  D1 , D2  (2 )3 B3  D1, D2 , D3  (2  ) 4 B4  D1, D2 , D3 , D4  



1 
  R1 ( )
1
2
6
24


p x5  p2 x 4  p3 x3  p4 x 2  p5 x  p6
Rˆ4 (  )  1
x 2  q1 x  q2
ve p1=-0.4135, p2=2.729, p3=-7.601, p4=12.54, p5=-14.52, p6=9.938, q1=67.88, q2=2.263
Ģeklindedir.
| 51
2010
Rˆk    ların değerleri ile Rk    nın kalan terimlerin değerleri arası nispi farkın %0.8‟in altında
olduğu görülmektedir. Dolayısıyla oluĢturulan fonksiyonlar bu artık değerleri için uygun olduğu
söylenebilir.Ayrıca yapılarının kolaylığı nedeniyle oldukça kolay bir biçimde
kullanılabilmektedir.
KAYNAKLAR
Comtet L., 1974, Advanced Combinatorics:
Expansions, Reidel, Dordrecht, Holland.
The
Art
of
Finite
and
Infinite
Collins B., 2001,The role of Bell polynomials in integration, Journal of Computational and Applied
Mathematics, Volume 131, Number 1, 1 June 2001 , pp. 195-222(28)
Janssen, A. J. E. M.; van Leeuwaarden, J. S. H. On Lerch's transcendent and the Gaussian
random walk. Ann. Appl. Probab. 17 (2007), no. 2, 421- 439.
Janssen, A. J. E. M.; van Leeuwaarden, J. S. H. Cumulants of the maximum of the Gaussian
random walk. Stochastic Process.Appl. 117 (2007), no. 12, 1928 - 1959.
Lotov, V.I., 1996. On some boundary crossing problems for Gaussian random walks. Ann.
Probab. 24 4, pp. 2154–2171.
Khaniyev T.A., Mammadova Z.I., (2006), On the stationary characteristics of the extended
model of type (s,S) with Gaussian distribution of summands, Journal of Statistical
Computation and Simulation, Vol.76, No.10, p.861-874.
Khorsunov,1997, On distribution tail of the maximum of a random walk, Stochastic
Processes and their Applications 72 :97-103.
| 52
2010
ĠLERĠ BESLEMELĠ YAPAY SĠNĠR AĞLARI ĠLE ÖNGÖRÜ ĠÇĠN GĠZLĠ TABAKA
SAYISI ÜZERĠNE BĠR ARAġTIRMA
Prof.Dr.Faruk ALPASLAN1, ArĢ.Gör.Ebrucan TĠRĠNG1, Doç.Dr.Erol EĞRĠOĞLU
1
Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Ġstatistik Bölümü, Samsun
ÖZET
Son yıllarda, zaman serisi öngörü problemi için ileri beslemeli yapay sinir ağları baĢarılı bir
Ģekilde uygulanmaktadır. Doğrusal olmayan yapı içeren zaman serilerinin modellenmesinde,
ARIMA, üstel düzleĢtirme gibi klasik doğrusal zaman serisi modelleri yetersiz kalmaktadır.
Zaman serisi analizi için birçok doğrusal olmayan zaman serisi modelleri bulunmasına rağmen
hepsinin belli bir model varsayımı gerektirmesi önemli bir engel oluĢturmaktadır. Ġleri beslemeli
yapay sinir ağlarının hem doğrusallık hem de model varsayımı gibi kısıtları yoktur. Literatürdeki
birçok çalıĢmada ileri beslemeli yapay sinir ağlarında, klasik zaman serisi yöntemlerinden daha
doğru öngörüler elde edilmiĢtir. Birçok avantaja rağmen yapay sinir ağları ile öngörü için yapay
sinir ağlarının bileĢenlerinin belirlenmesi problemi halen tam olarak sistematik değildir. Bu
çalıĢmada öngörü problemi için ileri beslemeli yapay sinir ağı kullanımında, gizli tabaka
sayısının belirlenmesi ve test kümesi uzunluğunun etkisi üzerine, ĠMKB, Dolar ve Euro zaman
serisi kullanılarak bir araĢtırma yapılmıĢtır.
Anahtar kelimeler:Öngörü, Yapay sinir ağları, Gizli tabaka sayısı.
1. GiriĢ
Ġleri beslemeli yapay sinir ağları (ĠBYSA) birçok avantajı nedeniyle zaman serisi
çözümlemesinde sık kullanılmaya baĢlanmıĢtır.Ġleri beslemeli yapay sinir ağları ile zaman serisi
çözümlemesinde en önemli problem sistematik bir yaklaĢımın eksikliğidir. Ġleri beslemeli yapay
sinir ağları ile zaman serisi çözümlemesi için belirlenmesi gereken bileĢenler Gizli tabaka sayısı,
Çıktı tabakası birim sayısı, Gizli tabaka birim sayısı, Gizli tabaka aktivasyon fonksiyonu, Çıktı
tabakası aktivasyon fonksiyonu, Girdi birimlerinin seçimi, Test kümesi uzunluğunun
belirlenmesidir. BileĢenlerin belirlenmesi konusunda literatürde farklı uygulamalar vardır. 1998
yılına kadar mevcut literatürdeki farklı uygulamalar Zhang vd. (1998) çalıĢmasında
özetlenmiĢtir. Bu çalıĢmada gizli tabaka sayısının ve test kümesi uzunluğunun belirlenmesi
üzerine 3 gerçek zaman serisi üzerinden inceleme yapılmıĢtır. Bu problem üzerine literatür
| 53
2010
aĢağıdaki gibi özetlenebilir. Cybenko (1989), Hornik vd. (1989) çalıĢmalarında tek gizli tabaka
kullanmıĢ ve tek gizli tabakanın yeterli olacağını savunmuĢtur.Baron (1994), Zhang (1994) iki
gizli tabakanın daha doğru öngörü sonuçları vereceğini savunmuĢtur. Lippmann (1987) ve
Cybenko (1988) ise ikiden fazla gizli tabakanın yararlı olmayacağını savunmuĢtur.
Test kümesi uzunluğunun belirlenmesi için literatürdeki çalıĢmalarda farklı oranlar alınsa da
Zhang vd. (1998) de literatürde genel olarak %10, %15 ve %20 olarak alınmaktadır.
Öngörü problemi için ileri beslemeli yapay sinir ağı kullanımında, gizli tabaka sayısının
belirlenmesi ve test kümesi uzunluğunun etkisi, ĠMKB, Dolar ve Euro zaman serisi kullanılarak
araĢtırılmıĢtır.
2. Ġleri Beslemeli Yapay Sinir Ağları
Ġleri beslemeli yapay sinir ağları birçok gerçek hayat probleminin çözümünde baĢarıyla
kullanılmaktadır.Ġleri beslemeli yapay sinir ağlarının önemli bir uygulama alanı da zaman
serilerinin öngörüsüdür.Ġleri beslemeli bir yapay sinir ağı genel olarak 3 kısımdan
oluĢmaktadır.Ġlk kısım girdi tabakası, ikinci kısım gizli tabaka veya tabakalar ve üçüncü kısım ise
çıktı tabakasıdır.Her tabaka nöron adı verilen elemanlara sahiptir. Tabaka içi nöronlar arası
bağlantı yoktur, ancak ardı ardına gelen tabakaların nöronları arasında tam bağlantı vardır.
Nöronlar arası bağlantıların gücü bu bağlantıların her biri ile eĢleĢen ağırlıklarla temsil
edilmektedir. Zaman serisi öngörü problemi için literatürde çıktı tabakasında 1 nöron
kullanılması ile yeterli sonuçlara ulaĢılmaktadır. Bir gizli tabakanın olduğu ĠBYSA mimarisi
ġekil 1a‟da, Ġki gizli tabakanın olduğu ĠBYSA mimarisi ġekil 1b‟de verilmiĢtir.
ġekil 1. Ġleri Beslemeli Yapay Sinir Ağları Mimarileri
| 54
2010
ĠBYSA ile zaman serisi çözümlemesinde ġekil 1 de verilen mimari kullanılırsa girdi
tabakasındaki nöron sayısı gecikmeli değiĢken sayısı kadar olmaktadır. Literatürde girdi
tabakasında kaç gecikmeli değiĢken kullanılacağı veya gizli tabakalarda kaç nöron olacağı
sorusuna deneme yanılma yolu ile karar verilmektedir. Yine kaç gizli tabaka kullanılacağı
konusunda da genel bir sonuç olamamasına rağmen iki gizli tabakadan fazlasını kullanmanın
gerekli olmadığı Zhang vd. (1998) çalıĢmasında savunulmaktadır. ĠBYSA ile zaman serilerinin
çözümlenmesi konusunda detaylı bilgi Günay vd. (2007) çalıĢmasından elde edilebilir.
3. ĠMKB, Dolar ve Euro Zaman Serilerinin ĠBYSA ile Çözümlenmesi
ĠMKB indeksi, TL/Dolar ve TL/Euro döviz kuru gibi ekonomik zaman serileri eğrisel ve
doğrusal yapıları içeren verilerdir.Bu verilerin çözümlenmesinde klasik eğrisel ve doğrusal
zaman serisi yaklaĢımları yetersiz kalmaktadır. Bu tür ekonomik zaman serilerinin
çözümlenmesinde ĠBYSA kullanımı son yıllarda sık uygulanmaktadır. Ancak ĠBYSA ile zaman
serisi çözümünde bileĢenlerin belirlenmesi için hala sistematik bir yöntem önerilememiĢtir.Bu
çalıĢmada ĠMKB indeksi, TL/Dolar ve TL/Euro döviz kuru zaman serileri ĠBYSA ile çözülerek
gizli tabaka sayısı ve test kümesi uzunluğunun etkisi araĢtırılmıĢtır. Her üç verinin
çözümlenmesinde tek gizli tabaka ve iki gizli tabakalı mimariler kullanılmıĢtır. Tek gizli tabaka
olduğu durumda gizli tabaka birim sayısı 1 ile 12 arasında değiĢtirilmiĢ, girdi tabakasında
kullanılan gecikmeli değiĢkenlerin sayısı yine 1 ile 12 arasında değiĢtirilmiĢtir. Böylece tek gizli
tabaka olması durumunda 144 farklı mimari incelenmiĢtir. Tek gizli tabaka olması durumunda,
uygulamada gizli tabaka nöronlarında lojistik, çıktı tabakası nöronlarında doğrusal aktivasyon
fonksiyonunun kullanıldığı model ( Model 1) ve gizli tabaka ve çıktı tabakası nöronlarında
lojistik aktivasyon fonksiyonunun kullanıldığı model ( Model 2) uygulanmıĢtır. Böylece tek gizli
tabaka durumunda 288 farklı ĠBYSA modeli her bir seri için denemiĢtir. Ġki gizli tabakalı mimari
kullanıldığında girdi tabakası nöron sayısı 1 ile 12 arasında, her iki gizli tabakadaki nöron sayısı
1 ile 3 arasında değiĢtirilerek toplam 108 farklı mimari incelenmiĢtir. Model 1 ve Model 2‟nin
ayrı ayrı uygulanmasıyla incelenen mimari sayısı 216 olmuĢtur. Her bir zaman serisi için
toplamda 504 farklı ĠBYSA mimarisi denemiĢtir. ĠMKB indeksi, TL/Dolar ve TL/Euro zaman
serilerinin çözümlenmesinden elde edilen sonuçlar sırasıyla Tablo 1,2 ve 3 de verilmiĢtir.
| 55
2010
Tablo 1.ĠMKB Zaman Serisi Ġçin En iyi Mimarileri Ġçin Sonuçlar
Test Kümesi Uzunluğu
Gizli Tabaka
Sayısı
1
Modeller
10%
15%
20%
Model1
1188,546 [2-6-1]
1250,504 [1-2-1]
1018,396 [4-2-1]
Model2
1226,22 [6-1-1]
1300,48 [1-4-1]
1164,988 [1-6-1]
Model1 1182,279 [11-3-2-1] 1268,062 [5-2-2-1] 1184,535 [2-1-2-1]
2
Model2
1091,694 [4-2-2-1]
1309,879 [3-1-3-1] 1175,666 [12-2-2-1]
Tablo 2.TL/Dolar Zaman Serisi Ġçin En iyi Mimarileri Ġçin Sonuçlar
Gizli Tabaka
Sayısı
Modeller
10%
15%
20%
Model1
0,010989[1-8-1]
0,012329[1-8-1]
0,013721[1-8-1]
Model2
0,009616[1-11-1]
0,011297[1-7-1]
0,014058[3-1-1]
Model1
0,011409[8-3-2-1]
0,012517[1-1-2-1]
0,013596[10-1-3-1]
Model2
0,010957[1-3-1-1]
0,013538[1-3-1-1]
0,013538[1-3-1-1]
1
2
Tablo 3.TL/Euro Zaman Serisi Ġçin En iyi Mimarileri Ġçin Sonuçlar
Gizli Tabaka
Sayısı
Modeller
10%
15%
20%
Model1
0,026624[1-8-1]
0,023397[1-5-1]
0,021927[2-12-1]
Model2
0,027971[1-7-1]
0,023617[1-5-1]
0,0218113[1-7-1]
Model1
0,02985[1-3-3-1]
0,023849[1-3-3-1]
0,023506[1-2-3-1]
Model2
0,028418[1-3-2-1]
0,024005[1-3-2-1]
0,0221[1-3-2-1]
1
2
| 56
2010
Tablo 1‟den görüleceği gibi % 10 test kümesi uzunluğunda, 2 gizli tabaka kullanılması daha
doğru öngörüler vermektedir. %15 test kümesi ve %20 test kümesi için tek gizli tabakanın daha
doğru öngörüler verdiği görülmektedir. ĠMKB zaman serisi için uzun dönem öngörü elde etmede
tek gizli tabakalı mimarilerin, kısa dönem öngörü için ise 2 gizli tabakalı mimariler seçilebilir.
Tek gizli tabaka kullanıldığında model 1‟in model 2‟den daha doğru öngörü sonuçları verdiği
görülmektedir. Ġki gizli tabaka durumunda ise Model 2‟nin %10 ve %20 test kümesi
uzunluğunda daha iyi sonuçlar verdiği görülmektedir. TL/Dolar zaman serisi için ise Tablo 2
incelenirse %10 ve %15 test kümesi uzunluğunda tek gizli tabakalı mimarinin daha iyi sonuç
verdiği %20 test kümesi uzunluğunda ise 2 gizli tabaka uzunluğunun daha iyi sonuçlar verdiği
söylenebilir. Ayrıca TL/Dolar serisi için Model 2‟nin Model 1‟e göre daha doğru öngörü
sonuçları verdiği söylenebilir. Tablo 3 incelenirse tek gizli tabaka ile daha doğru öngörü
sonuçlarına ulaĢıldığı açıkça görülmektedir.Tek gizli tabakada ise Model 1‟in model 2‟ye göre
daha doru öngörüler verdiği söylenebilir.
4. Sonuç ve TartıĢma
Bu çalıĢmada öngörü problemi için ileri beslemeli yapay sinir ağı kullanımında, gizli tabaka
sayısının belirlenmesi ve test kümesi uzunluğunun etkisi üzerine, ĠMKB, TL/Dolar ve TL/Euro
zaman serisi kullanılarak bir araĢtırma yapılmıĢtır. Elde edilen bulgular aĢağıdaki iki maddede
özetlenebilir.

Tek gizli tabakanın genel olarak 2 gizli tabakadan daha iyi sonuçlar ürettiği
yönündedir.

Test kümesi uzunluğunun değiĢmesinin öngörü sonuçları üzerinde ciddi bir etkisinin
olduğu görülmektedir.
Her üç seride de test kümesi değiĢimi ile farklı mimari yapılardan iyi sonuçlar elde edilmiĢtir.
TL/Dolar ve TL/Euro zaman serilerinde girdi birim sayısı en iyi mimariler için daima 1 olduğu
da dikkati çekmektedir. Yine bazı mimari yapılar için en iyi sinir ağının aynı sayıda girdi ve gizli
tabaka birimi içermektedir. TL/Dolar ve TL/Euro zaman serisi iki gizli tabakanın ve model 2‟nin
kullanıldığı durumlarda aynı sayıda girdi ve gizli tabaka birimine sahip sinir ağları en iyi
sonuçları üretmiĢtir.
| 57
2010
5. Kaynaklar
Barron, A.R., (1994). A comment on „„Neural networks: A review from a statistical
perspective‟‟. Statistical Science 9 (1), 33–35.
Cybenko, G., (1988). Continuous Valued Neural Networks with Two Hidden Layers are
Sufficient,Technical Report, Tuft University.
Cybenko, G., (1989). Approximation by superpositions of a sigmoi-dal function, Mathematical
Control Signals Systems 2, 303–314.
Hornik, K., Stinchcombe, M., White, H., (1989). Multilayer feedforward networks are universal
approximators,Neural Networks, 2, 359–366.
Lippmann, R.P., (1987). An introduction to computing with neural nets, IEEE ASSP Magazine,
April, 4–22.
Zhang, X., (1994).Time series analysis and prediction by neural Networks,Optimization Methods
and Software, 4, 151–170.
Zhang, G., Patuwo, B.E. and Hu, Y.M., (1998). Forecasting with artificial neural networks: The
state of the art,International Journal of Forecasting, 14, 35-62.
| 58
2010
ĠSTATĠSTĠK'TE ENTROPĠYE DAYALI UYUM ÖLÇÜLERĠNĠN DĠĞER UYUM
ÖLÇÜLERĠ ĠLE KIYASLANMASI
Atıf Evren†
ÖZET
Ġstatistik'te bir olasılık ya da göreli sıklık dağılımının bir diğer dağılıma uygunluğunun test
edilmesinde kullanılan bazı ölçüler Kolmogorov-Smirnov istatistiği, olabilirlik oranı istatistiği,
ki-kare uyum iyiliği testi, entropiye dayalı ölçüler (Kullback-Leibler sapması, Jeffrey sapması),
Hellinger sapması, Bhattacharya sapması olarak sıralanabilir. Bu çalıĢmada ele alınan bazı
dağılımların birbirlerinden sapması bu ölçüler yardımı ile ele alınacak ve bu ölçüler arasında bir
kıyaslama yapılacaktır.
Anahtar Sözcükler: Uyum iyiliği ölçüleri, göreli entropi, Jeffrey sapması,Hellinger sapması
A COMPARISON BETWEEN GOODNESS OF FIT MEASURES THAT ARE BASED
AND THAT ARE NOT BASED ON ENTROPY MEASURES
ABSTRACT
Some widely used goodness of fit measures used in statistics especially for making comparisons
with a theoretical and an empirical distribution are Kolmogorov-Smirnov statistic, likelihood
ratio statistic, chi-square goodness-of-fit statistic, measures based on entropy (Kullback-Leibler
divergence, Jeffrey's divergence) , Hellinger divergence and Bhattacharya divergence. In this
study the convergence of some probability distributions to some others will be investigated
through these measures. Hence, a comparison between all these measures could be possible.
Keywords: Measures for goodness of fit, relative entropy, Jeffrey's divergence, Hellinger
divergence
GĠRĠġ
Uyum iyiliği ölçüleri , geçerli olduğu düĢünülen teorik bir olasılık dağılımı ile gözlenen verilerin
oluĢturacağı görgül (ampirik) bir dağılımın uyumunun saptanmasında da kullanılmaktadır. Bu
konuda önerilen ölçülerin bazıları ki-kare istatistiği, olabilirlik oranı istatistiği, Kolmogorov-
†
Öğretim Üyesi, Yıldız Teknik Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, DavutpaĢa Esenler, 34210
Ġstanbul, [email protected]
| 59
2010
Smirnov D istatistiği, Cramer-Von Mises istatistiği, olabilirlik oranı , Kullback-Leibler sapması,
Jeffrey sapması, Bhattacharya Hellinger sapmalarıdır (Everitt, 2006).
1.1 Metrik Fonksiyonlar
 ( x, y) fonksiyonu bütün (x,y) değerleri için aĢağıdaki koĢulları yerine getiriyorsa metrik olarak
adlandırılır:
1)  ( x, y)  0 , 2)  ( x, y)   ( y, x) , 3)  ( x, y)  0 Sadece x=y için
4)  ( x, y)   ( y, z)   ( x, z) (Üçgen eĢitsizliği) (Cover & Thomas, 2006)
Uyum iyiliği için önerilen bazı istatistikler metrik olma özelliğini taĢımazlar. Bu bakımdan bu
özelliği tanımayan ölçülerin sapma (divergence) olarak nitelendirilmesi daha doğru olacaktır.
Bazı çok kullanılan metrikler ve kullanım alanları için DasGupta(2008)'e baĢvurulabilir.
1.2. Uyumun Ġyiliğinin Ki-Kare ve Olabilirlik Oranı Ġstatistikleri ile Test Edilmesi
H :F
0
x
( x)  F 0 ( x) bütün x değerleri için,
H :F
1
x
( x) 
F
0
( x)
verilmiĢ ve eldeki örneğin birbirini kategorik olarak dıĢlayan k tane kategoriye ait olduğu
düĢünülsün.
H
0
hipotezinin kabulü altında beklenen sıklıklar
e
i
, gözlenen sıklıklar da
f
i
(i=1,2,...,n) olsun. Pearson tarafından önerilen test istatistiği
 f i  ei 
2
 
2
k
i 1
e
(1)
i
Ģeklindedir. Büyük n değerleri için bu istatistiğin k-1 serbestlik dereceli bir ki-kare dağılımına
uyduğu bilinmektedir (Cramér, 1999).Burada testin sağlıklı sonuç verebilmesi için
koĢulunun yerine gelmesi gerektiğini vurgulamak yerinde olur (Kanji, 1993).
| 60
e 5
i
Multinomial dağılan bir anakütlenin k kategorisinin
 ,
1
2
,..., k , gözlenen frekansları ise
L( ,
1
k
,..., k )   i
2
1
2
0
i

f
k
hipotezi altında beklenen olasılıkları
olsun. Olabilirlik fonksiyonu
fi
(2)
e i=1,2,..,k ve ˆ  f i
i
i
n
n
  i0 
L , ,..., 

T
 
 ˆ 
Lˆ ,ˆ ,...,ˆ 
i 
0
0
0
1
2
k
1
,...,
0
i 1
H :
0
f ,f
H
2010
2
olmak üzere olabilirlik oranı
fi
k
(3)
i 1
k
Ģeklindedir. -2lnT rastlantı değiĢkeninin olasılık dağılımı yaklaĢık olarak k-1 serbestlik dereceli
bir ki-kare dağılımıdır. Bazı istatistikçiler uyum iyiliğini belirlemek için olabilirlik oranı
istatistiği
G
2
k
 2 ln T  2
i 1
f


 ln 0  ln f i 
i
i
n 


(4)
tercih etmektedir. (4) ile (1)'in asimptotik olarak özdeĢ olduğunun ispatı için Gibbons&
Chakraborti (2003,s105-107) 'ye göz atılabilir. Agresti(2002) ,

2
ile
G
2
H
0
'ın yanlıĢ olması halinde ise
nin n'deki artıĢa paralel olarak büyüdükleri ve büyük n değerleri için bile birbirine
benzer değerlere sahip olmayabileceklerini belirtmektedir. Agresti, k sabitken ve n artarken
'nin dağılımının
ve n/k<5 için
G
2
G

2
'nin dağılımına oranla daha hızlı bir Ģekilde ki-kare dağılımına yakınsadığını
2
'nin bir ki-kare dağılımı ile temsil edilmesinin uygun olmadığını
vurgulamaktadır. Örnek büyüklüğünün bu istatistiklere etkisi için Agresti(2002, s395-396)'ya
baĢvurulabilir.
| 61
2010
1.3. Kolmogorov-Smirnov Ġki Örneklem Testi
H :F
0
n
D  Maks X
( x)  Gn ( x) ,
F
n
H :F
A
n
( x)  Gn ( x) ve test istatistiği de
( x)  G n ( x)
(5)
Sürekli dağılımların birbirine uygunluğu için kullanılan bu testin kritik değerleri özel tablolar
yardımı ile elde edilmektedir (Freund & Williams, 1966). Örnek büyüklüğünün küçük olması
halinde Kolmogorov-Smirnov testi , ki-kare testine tercih edilmektedir (Conover, 1999).
1.4. Bhattacharya Sapması
Olasılık fonksiyonları f ve g olan iki dağılım arasındaki Bhattacharya sapması


1 
B.D.  cos   f ( x) g ( x)dx 
 

(6)
olarak tanımlanmıĢtır (Everitt, 2006). Ġki dağılım özdeĢ olduğunda bu ölçü 0'a eĢit olmaktadır.
1.5 Hellinger Sapması


. 
(7)
f ( x) g ( x)dx

2(1   ) Ģeklinde hesaplanmaktadır.
olsun. f ve g arasındaki Hellinger sapması
1.6. Cramér-Von Mises Ölçüsü
 F n( x) F 0( x) dF

U
2

Örnek değerleri
0
x , x ,..., x küçükten büyüğe sıralandığında ( F
1
2
n
(8)
( x)
0
( x) sürekli ise)
| 62

2
1 n 


 F n
2
12 n n  1
1

2010
x  2 1 
2n 
2
(9)
istatistiği elde edilebilir. Burada  , x değerinden küçük ya da ona eĢit olan örnekteki birim
sayısı ve
F
n
( x) 

olur.
n
E ( ) 
2
Yine
gösterilebilir. Örnekleme dağılımı
F
0
1
6n
ve
( x) 'dan bağımsız olan
Var ( ) 
2

2
4n  3
oldukları
3
180 n
'nin dağılım yasası Smirnov
tarafından incelenmiĢtir.Smirnov n   için n  'nın n'den bağımsız olarak belirli bir limit
2
dağılıma sahip olduğunu göstermiĢtir (Cramér (1999), s451).
1.7 Freeman-Tukey Ġstatistiği (T)
k
T 
i 1
 o
i

oi 1 4ei 1
2
Ģeklindedir. Burada k, kategori sayısı, s modeldeki parametre sayısı,
gözlem sayısı,
e ,H
i
0
(12)
o
i
i .kategoriden gelen
hipotezinde varsayılan modelden hareketle i. kategori için beklenen
gözlem sayısıdır. Bu durumda T istatistiği, asimptotik olarak k-s-1 serbestlik dereceli bir ki-kare
dağılımına uymaktadır (Everitt, 2006). Upton&Cook( 2005), (12 ) no'lu denklemin sol tarafını
T
2
H
ile ifade ediyorlar. Denklemin sağ tarafı ise (12)'de ifade edildiği gibidir.
0
T
2
istatistiğinin
doğru olduğunda yaklaĢık olarak k-s serbestlik dereceli bir ki-kare dağılımına uyduğunu
belirtiyorlar. Tanımlardaki bu farklılıkları belirtmek gerekiyor.
2. Entropi
Boltzman'a göre bir fiziksel sistemin entropisi , sistemdeki düzensizliğin (disorder) bir ölçüsüdür
( Rényi, 2007a). Bir istatistiksel deneyin entropisi , deneyin sonucu ile ilgili belirsizlik miktarının
bir ölçüsü olarak da kabul edilebilir (Renyi, 2007b). Entropi kavramının diğer bazı uygulama
alanları için Evren(2010) incelenebilir.
| 63
2010
2.1 Kesikli Hallerde Entropi
Kesikli bir örnek uzayı S içinde X rastlantı değiĢkeninin
sırası ile
p , p ,..., p
1
n
2
H   p log
i 1
i
n
x , x ,..., x değerlerini alma olasılıkları
1
2
n
olsun.
p 
(13)
i
Ģeklinde tanımlanan Shannon entropisi bir istatistiksel deneyin belirsizliğinin bir ölçüsüdür. X‟in
entropisi , X sonucunu ortaya koyabilmek için gerekli olan minimum ortalama bit sayısı olarak
da görülebilir (Garcia, 1994). Örnek uzayı S içerisinde en büyük entropi, bütün
elemanter
X  x  i=1,2,…,n
i
UlaĢılabilecek maksimum entropi
olaylarının Ģanslarının eĢit olması halinde karĢımıza çıkar.
H
maks

 log( n) olur. Öte yandan X 
x  (k=1,2,...,n)
k
için )
kesin olaysa H=0 olur. Dolayısıyla kesikli bir olasılık dağılımı için entropi 0 ile log(n) arasında
değer alır.
2.2. Sürekli Dağılımlar için Entropi
Sürekli değiĢken X‟in entropisi (diferansiyel entropi)

H(X ) 
 log( f ( x)) f ( x)dx
(14)

Ģeklinde olur (Reza, 1994).
2.3. Kullback-Leibler enformasyonu ve göreli entropi
D( p q) iki olasılık dağılımı arasındaki sapmanın bir ölçüsüdür. Kesikli
Göreli entropi
dağılımlar için Kullback-Leibler sapması (ya da göreli entropi)
D
KL
( p q)  x p( x) log
p ( x)
q ( x)
(15)
| 64
2010
olarak tanımlanmıĢtır. Bu konunun daha ayrıntılı ele alınıĢı için Pardo ( 2006)'ya bakılabilir.
Sürekli haller için de bu sapma benzer Ģekilde tanımlanabilir. (15) ile (4) arasındaki paralellik
incelendiğinde Kullback-Leibler sapmasının dağılımının ki-kare dağılımı ile incelenebileceği
düĢünülebilir. Kullback-Leibler sapması metrik olmanın tüm koĢullarını sağlamamaktadır:
D
KL
( p q) 
D
KL
(16)
(q p)
2.4. Kullback-Leibler Sapmasının Simetrik Bir Versiyonu: Jeffrey Sapması
D J ( p q)D
KL
( p q)  DKL (q p)
(17)
biçimindedir (Everitt, 2006). Jeffrey sapması da metrik değildir ( Kullback, 1997).
3. Uyum Ġyiliği için “Power Divergence” Ġstatistiği
n , i. gruba düĢen gözlem sayısı , ̂ de bu gruba düĢmesi öngörülen gözlem sayısı olsun. Bu
i
i
durumda Cressie&Read tarafından önerilen sapma istatistiği( power divergence statistic)





 ni
2
   1      
P.D.S . 

n
i
 (  1)
 ̂ 

 i 

biçimindedir. Burada sözgelimi   1 için
istatistiği,

2
,    için
G
(18)
2
1
,    için Freeman-Tukey
2
  1 için Kullback'ın minimum ayırıcı bilgi istatistiği
türetilmektedir
(Agresti(2002),s112).
| 65
2010
Uygulama
Tablo1: Uygulamadaki Kuramsal ve Görgül Dağılımlar (Snedecor&Cochran(1969) 'dan alınmıĢtır.)
Gruplar
Gözlenen sıklık (oi)
Beklenen sıklık (ei)
Gruplar
A
1
0.2
G
36
41
B
1
2
H
25
23.4
C
8
8.8
Ġ
16
8.8
D
25
23.4
J
4
2
E
39
41
K
0
0.2
F
45
49.2
Toplam
200
200
Tablo 2:Tablo 1‟deki veri içinUyum Ġyiliği Ġstatistikleri
Ki-Kare
G-Kare
KolmogorovSmirnov
Bhattacharya
Hellinger
Cramer-Von
Mises
FreemanTukey
KullbackLeibler
Jeffrey's
10.3
18.96
0.05
0.11
0.11
0
8.88
1.71
3.95
Tablo 3: Ġkinci Sıklık Dağılımı (Gözlenen ve Beklenen Sıklıklar)
Gruplar
Gruplar
A
40
0.2
G
36
41
B
32
2
H
25
23.4
C
18
8.8
Ġ
4
8.8
D
22
23.4
J
4
2
E
16
41
K
0
0.2
F
3
49.2
Toplam
200
200
Tablo 4: Tablo 3‟deki veri için Uyum Ġyiliği Ġstatistikleri
Ki-Kare
G-Kare
KolmogorovSmirnov
Bhattacharya
Hellinger
Cramer-Von
Mises
FreemanTukey
KullbackLeibler
Jeffrey's
570.64
39830.67
0.4
0.68
0.67
0.04
341.55
75.6
199.52
| 66
2010
Tablo 5: Uyumun Çok Ġyi Olduğu Üçüncü Veri Setinin Gözlenen ve Beklenen Sıklıkları
Gruplar
Gruplar
A
0
0.2
G
42
41
B
2
2
H
22
23.4
C
9
8.8
Ġ
9
8.8
D
24
23.4
J
1
2
E
41
41
K
0
0.2
F
50
49.2
Toplam
200
200
Tablo 6: Tablo 5 ile Ġlgili Uyum Ġyiliği Ġstatistikleri
Ki-Kare
G-Kare
KolmogorovSmirnov
Bhattacharya
Hellinger
Cramer-Von
Mises
FreemanTukey
KullbackLeibler
Jeffrey's
1.56
2.26
0.01
0.05
0.05
4.9002E-05
0.78
0.02
0.36
SONUÇ
Genel olarak bütün istatistikler uyum iyiliği arttığında küçük sapma , uyum iyiliği
azaldığında büyük sapma değerleri vermektedir. Bununla birlikte sapmaların büyüklüklerinin
birbirlerinden bariz bir biçimde farklı olabildikleri gözlenmektedir. Bunun sebebinin
kullanılan ölçeklerin (logaritmik değerlerin, kareli değerlerin kullanılması gibi) farklı
olmasından kaynaklandığı düĢünülebilir. Göreli entropi, Jeffrey sapması, Freeman-Tukey, kikare, olabilirlik oranı gibi istatistiklerin dağılım özellikleri literatürde incelenmiĢ
bulunduğundan , Hellinger sapması, Bhattacharya sapması gibi ölçülere oranla
avantajlıdırlar. Bütün bunlarla birlikte sürekli bir dağılımın kesikli hale getirilmesi halinde
farklı gruplandırma yöntemlerinin bu ölçüleri nasıl etkileyeceği de incelenmelidir.
KAYNAKLAR
AGRESTI, A.(2002), Categorical Data Analysis, Wiley Interscience (Second Edition), Hoboken,
New Jersey, s 24
CRAMER ,H.(1999), Mathematical Methods of Statistics, Princeton University Press,
Nineteenth Printing and First Paper Printing 1999, s416-419
CONOVER, W.J.(1999), Practical Nonparametric Statistics, Wiley Series in Probability and
Statistics, Third Edition, s 430
COVER, T.M.; THOMAS, J.A.(2006) Elements of Information Theory, Wiley Interscience
(Second Edition), Hoboken, New Jersey, s45
| 67
2010
DASGUPTA, A.(2008), Asymptotic Theory of Statistics and Probability, Springer Texts in
Statistics, s20-21
EVERITT,B.S.( 2006); The Cambridge Dictionary of Statistics , Cambridge University Press
(Third Edition), Cambridge
EVREN,
A.(2010),
Entropinin
Ġstatistik’teki
Bazı
Uygulamaları,
II.
Konya Ereğli Kemal Akman Meslek Yüksek Okulu Tebliğ Günleri, 13-14 Mayıs 2010
Ulusal
FREUND, J.E., WILLIAMS, F.J.(1966), Dictionary/Outline of Basic Statistics, Dover
Publications, NY
GARCIA, A.L.(1994), Probability and Random Processes for Electrical Engineering, AddisonWesley Longman (Second Edition), s169
GIBBONS, J.D., CHAKRABORTI, S. (2003), Nonparametric Statistical Inference, Statistics: A
Dekker Series of Textbooks and Monographs (Fourth Edition, Revised and Expanded),Marcel
Dekker Inc. ,s105-107
KANJI, G.(1993), 100 Statistical Tests, Sage Publications, reprinted 1995, s12
KULLBACK, S.(1996) , Information Theory and Statistics, Dover Publications, NY ,s6
PARDO,
L.(2006),
Statistical
Chapman&HALL/CRC, s1-34
Inference
Based
on
Divergence
Measures,
RENYI, A(2007a), Probability Theory, Dover Publications, NY, s 554
RENYI, A.(2007b), Foundations of Probability, Dover Publications,NY, s23
REZA,F.M.(1994) ; An Introduction to Information Theory, Dover Publications, NY, s268
SNEDECOR, G.W., COCHRAN, W.G.(1969), Statistical Methods, The Iowa State University
Press, Sixth Edition (Third Printing), s16
UPTON, G.; COOK, I. (2006); Oxford Dictionary of Statistics, Oxford University Press (Second
edition), NY
| 68
2010
L-SIRALI KÜME ÖRNEKLEMESĠ KULLANILARAK YIĞIN ORTALAMASININ
TAHMĠN EDĠLMESĠ
Nilay AKINCI*
Yaprak Arzu ÖZDEMĠR**
ÖZET
L-sıralı küme örneklemesi (LSKÖ), yığın ortalamasını tahmin etmek için önerilen sıralı küme
örneklemesi (SKÖ) tasarımlarından biridir. 2007‟de Al-Saleh tarafından önerilen LSKÖ ile,
özellikle veride bulunan uç değerlerden etkilenmeyen ve simetrik dağılımlar altında yansız bir
tahmin edicinin elde edilmesi mümkündür. Bu çalıĢmada, LSKÖ tasarımı ile elde edilen yığın
ortalamasına iliĢkin tahmin edicinin, çeĢitli dağılımlar ve farklı örnek çapları altında, bilinen
SKÖ tasarımından elde edilen tahmin ediciye göre etkinliği simülasyon çalıĢması ile
incelenmiĢtir.Ayrıca önerilen diğer SKÖ tasarımlarından elde edilen tahmin edicilerin de, SKÖ‟
ye göre etkinlikleri elde edilerek, LSKÖ tasarımının hangi dağılımlar altında daha etkin olduğu
saptanmaya çalıĢılmıĢtır.
Anahtar kelimeler: L-tahmin edici, Sıralı Küme Örneklemesi, Medyan Sıralı Küme
Örneklemesi, Uç Sıralı Küme Örneklemesi, Yüzde Sıralı Küme Örneklemesi, Göreli Etkinlik
ESTIMATION OF POPULATION MEAN BY USING L RANKED SET SAMPLING
ABSTRACT
L-ranked set sampling (LRSS) is one of the ranked set sampling designs to estimate the
population mean. LRSS was proposed by Al-Saleh in 2007. It is seen that, especially when the
data contains outliers, it is possible to obtain an estimator using LRSS which is not affected by
outliers and unbiased in symmetric distributions. In this study, the efficiency of the population
mean estimators obtained by LRSS according to the ranked set sampling (RSS) is investigated
using simulation studies at various distributions and different sample sizes. Also, the relative
efficiencies of estimators obtained by other proposed RSS designs are calculated according to
classical RSS design and determined the distributions where LRSS design is more effective.
Keywords:L-estimator, Ranked set sampling, Percentile ranked set sampling, Extreme ranked
set sampling, Median ranked set sampling, Relative efficiency
*Öğrenci, Gazi Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 06 Ankara, [email protected]
** Yrd. Doç. Dr, Gazi Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 06500 Ankara,
[email protected](HaberleĢme Adresi)
| 69
2010
1.GĠRĠġ
Sıralı Küme Örneklemesi (SKÖ), Basit Tesadüfi Örneklemeye (BTÖ) alternatif olarak 1952
yılında McIntyre tarafından önerilmiĢtir. SKÖ, özellikle ilgilenilen değiĢken kolay ölçülebilir
olmadığı zaman, fakat birimleri ilgilenilen değiĢken bakımından sıralamak daha kolay olduğunda
kullanılır. Bu sıralama görsel yolla veya bazı ucuz ölçüm metotları kullanılarak yapılabilir.
SKÖ ile örnek seçiminde öncelikle ilgili yığından seçilen n 2 çaplı tesadüfî bir örnek, her biri n
çaplı n kümeye tamamen tesadüfî olarak paylaĢtırılır. Böylece birbirinden bağımsız n çaplı n tane
küme elde edilmiĢ olur. Her bir kümedeki elemanlar kendi içinde sıralanarak, kümelerin
birincisinden ilk sıradaki birim, ikincisinden ikinci sıradaki birim ve bu Ģekilde devam edilerek n.
kümeden n. sıradaki birim seçilir. SKÖ altında yığın ortalaması  ‟nün yansız tahmin edicisi
X SKÖ 
1 n
X
n i 1 ii ,n
(1)
Ģeklinde tanımlanır. Burada, X ii:n n büyüklüğündeki i. kümenin i. sıra istatistiğini ifade
etmektedir. Sıra istatistikleri bu örnekleme tasarımı altında birbirinden bağımsızdır. X SKÖ , örnek
çapı n aynı kalmak üzere, yığın dağılımı ne olursa olsun BTÖ‟den elde edilen tahmin ediciden
daha etkin bir tahmin edicidir. Ancak yığının dağılımı biliniyorken, tahmin edicinin etkinliğini
artırmak amacıyla bilinen SKÖ ile örnek seçimi yerine farklı örnek seçimleri önerilmiĢtir.
Samawi ve diğerleri özellikle tekdüze dağılımın yığın ortalamasını tahmin etmek üzere uç
(extreme) SKÖ (USKÖ)‟ni önermiĢlerdir (Samawi ve diğ., 1996). USKÖ‟ de örnek seçimi n‟ in
çift ya da tek olmasına göre değiĢir.n çift ise; kendi içinde sıralanan n birimlik ilk (n/2) kümeden
1. sıradaki birim, kalan (n/2) kümeden ise n. sıradaki birim seçilir. n tek ise; kendi içinde
sıralanan n birimlik ilk (n  1) / 2 kümeden 1. sıradaki birim, ( n  1/ 2 ). kümeden medyan değeri,
son (n  1) / 2 kümeden ise n. sıradaki birim seçilir. Örneğe çıkan birimler istenilen hassalıktaki
bir ölçümle ilgilenilen değiĢken bakımından ölçülür ve n çaplı uç sıralı küme örneği elde edilir.
Bu tasarım özellikle tekdüze ve tek modlu olmayan simetrik dağılımlar altında SKÖ‟den daha
etkin sonuçlar vermektedir.
Muttlak, normal ve üstel dağılımlar için yığın ortalamasını tahmin etmek üzere medyan SKÖ
(MSKÖ)‟ni önermiĢtir (Muttlak,1998). MSKÖ tasarımında örnek seçimi n‟ in çift ya da tek
olmasına göre değiĢir.n çift ise; kendi içinde sıralanan n birimlik ilk (n/2) kümeden (n/2).
sıradaki birimler ve kalan (n/2) kümeden ((n/2)+1). sıradaki birimler seçilir. n tek ise; kendi
içinde sıralanan birimlerden medyan değerleri örneğe seçilir. Örneğe çıkan birimler istenilen
hassalıktaki bir ölçümle ilgilenilen değiĢken bakımından ölçülür ve n çaplı medyan sıralı küme
örneği elde edilir.MSKÖ ile özellikle tek modlu simetrik dağılımlar altında SKÖ‟den daha etkin
| 70
2010
sonuçlar elde edilmektedir. Muttlak ayrıca yüzde (percentile) SKÖ (YSKÖ)‟ni önermiĢtir
(Muttlak, 2003). Bu tasarımda öncelikle 0  p  1 ve q=1-p olmak üzere bir p değeri belirlenir ve
örnek seçim iĢleminde n çift ise ilk n/2 örneğin (p(n+1))‟inci sıradaki birimleri ve ikinci n/2
örneğin (q(n+1))‟inci sıradaki birimleri örneğe seçilir. n tek ise ilk (n–1)/2 örneğin (p(n+1))‟inci
sıradaki birimleri, son (n–1)/2 örneğin (q(n+1))‟inci sıradaki birimleri ve kalan örneğin medyanı
örneğe seçilir. YSKÖ yığın dağılımı simetrik olduğunda yığın ortalaması için yansız bir tahmin
edici vermektedir.Ayrıca belirlenen yığın dağılımı altında p değerine bağlı olarak SKÖ‟ ye göre
etkinliği değiĢmektedir.Bunun dıĢında yeni SKÖ, tesadüfî seçime dayalı yeni SKÖ, ağırlıklı SKÖ
ve L-SKÖ gibi tasarımlar da önerilmiĢtir (Bhoj, 2000; Li ve ark., 1999; Muttlak ve Abu-Dayyeh,
2004; Al-Nasser, 2007).Ayrıca son yıllarda, örnek seçim iĢleminin çok aĢamalı olarak
gerçekleĢtiği SKÖ tasarımları da önerilmiĢtir. Çift SKÖ, çok aĢamalı SKÖ, çok aĢamalı çeyrek
SKÖ bu tasarımlara örnek olarak verilebilir (Al-Saleh ve Al-Kadiri, 1999; Al-Saleh ve Al-Omari,
2002; Jemain ve Al-Omari,2007).
Bu çalıĢmada, Al-Nasser tarafından önerilen LSKÖ tasarımı tanıtılacaktır.Bu tasarım ile yığın
ortalaması için özellikle verideki uç değerlerden etkilenmeyen ve simetrik dağılımlar altında
yansız bir tahmin edicinin elde edilmesi mümkündür. LSKÖ nün SKÖ‟ ye göre etkinliğini
detaylı olarak incelemek amacıyla, çeĢitli dağılımlar ve örnek çapları altında yığın ortalamasına
iliĢkin tahmin edicinin ortalama hata kare(OHK) ve göreli etkinlik(GE) değeri simülasyon
yoluyla elde edilmiĢtir. Ayrıca diğer SKÖ tasarımlarından MSKÖ, USKÖ ve YSKÖ ile etkinlik
bakımından karĢılaĢtırma yapılarak LSKÖ nün hangi dağılımlar altında daha etkin olduğu
belirlenmeye çalıĢılmıĢtır.
2. L SIRALI KÜME ÖRNEKLEMESĠ ĠLE ÖRNEK SEÇĠMĠ VE YIĞIN
ORTALAMASININ TAHMĠNĠ
LSKÖ tasarımında örnek seçim iĢlemi aĢağıdaki adımlar izlenerek yapılır.
1) Her biri n büyüklüğünde, tesadüfî n örnek seçilir.
2) Görsel yolla veya ucuz metotlarla, ilgilenilen değiĢken göz önüne alınarak birimler sıralanır.
Bu sıralamanın hassas ölçümlü sıralama kadar iyi olduğu varsayılmaktadır.
3) 0    0.5 olmak koĢuluyla k   n.  LSKÖ katsayısı seçilir. Burada k, n. ‟ya eĢit veya n.
‟dan küçük olan tamsayı değerlerinin en büyüğünü ifade etmektedir.
4) Ġlk (k+1) küme için (k+1). sıradaki birimler, son (k+1) küme için (n-k). sıradaki birimler ve
j=k+2,...,n-k-1. küme için ise j. sıradaki birim seçilir.
| 71
2010
5) Örneğe çıkan birimler SKÖ tasarımında olduğu gibi istenilen hassalıktaki bir ölçümle
ilgilenilen değiĢken bakımından ölçülür ve n çaplı L-sıralı küme örneği elde edilir. Tablo 1 ve 2‟
de sırasıyla n=5 ve n=6 iken k=1 için seçilen LSKÖ örnekleri gösterilmektedir.
Tablo 1. n=5 ve k=1 için LSKÖ tasarımı ile örneğe seçilen birimler
X1[1,5]
X1[2,5]
X1[3,5]
X1[4,5]
X1[5,5]
X2[1,5]
X2[2,5]
X2[3,5]
X2[4,5]
X2[5,5]
X3[1,5]
X3[2,5]
X3[3,5]
X3[4,5]
X3[5,5]
X4[1,5]
X4[2,5]
X4[3,5]
X4[4,5]
X4[5,5]
X5[1,5]
X5[2,5]
X5[3,5]
X5[4,5]
X5[5,5]
Tablo 2. n=6 ve k=1 için LSKÖ tasarımı ile örneğe seçilen birimler
X1[1,6]
X1[2,6]
X1[3,6]
X1[4,6]
X1[5,6]
X1[6,6]
X2[1,6]
X2[2,6]
X2[3,6]
X2[4,6]
X2[5,6]
X2[6,6]
X3[1,6]
X3[2,6]
X3[3,6]
X3[4,6]
X3[5,6]
X3[6,6]
X4[1,6]
X4[2,6]
X4[3,6]
X4[4,6]
X4[5,6]
X4[6,6]
X5[1,6]
X5[2,6]
X5[3,6]
X5[4,6]
X5[5,6]
X5[6,6]
X6[1,6]
X6[2,6]
X6[3,6]
X6[4,6]
X6[5,6]
X6[6,6]
LSKÖ ile seçilen örnekten, yığın ortalamasının tahmin edicisi aĢağıdaki gibi tanımlanır.
nk
n
1 k

X LSKÖ    X ik 1:n   X ii:n   X in k:n 
n  i 1
i l 1
i  n  k 1

| 72
2010
X LSKÖ , simetrik dağılımlar altında yığın ortalamasının yansız bir tahmin edicisidir. Ancak
simetrik olmayan dağılımlar altında yanlı bir tahmin edici olduğundan X LSKÖ ‟nün OHK‟si
OHK  X LSKÖ   Var ( X LSKÖ )   E  X LSKÖ    
2
Ģeklinde tanımlanır.
3. SĠMÜLASYON ÇALIġMASI
Bu bölümde, USKÖ, MSKÖ, YSKÖ ve LSKÖ tasarımlarının SKÖ‟ye göre GE değerleri
simülasyon yoluyla incelenecektir. YSKÖ için p‟nin 0.20 ve 0.40 değerleri incelenmiĢtir. Ayrıca,
simetrik dağılımlardan Normal(0,1), Laplace(0,0.5) ve Tekdüze(0,1) dağılım ile simetrik
olmayan dağılımlardan Beta(2,9), Beta(9,2), Üstel(1) ve Log-normal(0,1) dağılımları ele
alınmıĢtır. Dağılımlar belirlenirken basıklık ve çarpıklık katsayıları dikkate alınmıĢtır. Matlab
paket programı kullanılarak, her bir tasarım için n=3,4,5,6,10 ve 11 çaplı örnekler seçilerek,
tahmin edicinin beklenen değeri, OHK‟ si ve SKÖ‟ ye göre GE değerleri 100000 tekrarlı
simülasyon çalıĢması ile hesaplanmıĢtır. GE değeri,
GE 
Var ( X SKÖ )
OHK ( X *SKÖ )
Ģeklinde tanımlanmaktadır. Burada OHK ( X *SKÖ ) , diğer SKÖ tasarımlarından (USKÖ, MSKÖ,
YSKÖ, LSKÖ) elde edilen tahmin edicinin OHK değerini ifade etmektedir. Elde edilen sonuçlar
Tablo 3-9 arasında verilmektedir. Ayrıca, LSKÖ‟ de n=3,4 için k=2, n=3,4,5,6 için k=3 değerini
alması mümkün olmadığından tablolarda ilgili kısımlar boĢ bırakılmıĢtır.
| 73
2010
Tablo 3. Normal(0,1) dağılımı altında SKÖ tasarımlarından elde edilen tahmin edicinin
sapma ve GE değeri
n=3
Örnek çapı
Tasarımlar
n=4
n=5
n=6
n=10
n=11
SAPMA
GE
SAPMA
GE
SAPMA
GE
SAPMA
GE
SAPMA
GE
SAPMA
GE
USKÖ
0,00
1,00
0,00
0,86
0,00
0,87
0,00
0,76
0,00
0,60
0,00
0,61
MSKÖ
0,00
1,16
0,00
1,18
0,00
1,27
0,00
1,28
0,00
1,37
0,00
1,42
LSKÖ(k=1)
0,00
1,16
0,00
1,17
0,00
1,18
0,00
1,17
0,00
1,14
0,00
1,15
LSKÖ(k=2)
-
-
-
-
0,00
1,28
0,00
1,26
0,00
1,24
0,00
1,24
LSKÖ(k=3)
-
-
-
-
-
-
-
-
0,00
1,32
0,00
1,33
YSKÖ(p=0,20)
0,00
1,00
0,00
0,86
0,00
0,87
0,00
0,75
0,00
0,97
0,00
0,97
YSKÖ(p=0,40)
0,00
1,16
0,00
1,18
0,00
1,19
0,00
1,28
0,00
1,31
0,00
1,38
Tablo 4. Tekdüze(0,1) dağılımı altında SKÖ tasarımlarından elde edilen tahmin edicinin
sapma ve GE değeri
n=3
Örnek çapı
Tasarımlar
n=4
SAPMA GE
n=5
SAPMA GE
n=6
SAPMA GE
n=10
SAPMA GE
n=11
SAPMA GE
SAPMA GE
USKÖ
0,00
1,00
0,00
1,24
0,00
1,21
0,00
1,56
0,00
2,18
0,00
1,97
MSKÖ
0,00
0,83
0,00
0,82
0,00
0,78
0,00
0,78
0,00
0,72
0,00
0,72
LSKÖ(k=1)
0,00
0,84
0,00
0,83
0,00
0,87
0,00
0,89
0,00
0,93
0,00
0,94
LSKÖ(k=2)
-
-
-
-
0,00
0,78
0,00
0,78
0,00
0,84
0,00
0,87
LSKÖ(k=3)
-
-
-
-
-
-
-
-
0,00
0,77
0,00
0,79
YSKÖ(p=0,20)
0,00
1,00
0,00
1,24
0,00
1,21
0,00
1,56
0,00
1,21
0,00
1,22
YSKÖ(p=0,40)
0,00
0,84
0,00
0,82
0,00
0,86
0,00
0,78
0,00
0,78
0,00
0,74
| 74
2010
Tablo 5. Laplace (0,0.5) dağılımı altında SKÖ tasarımlarından elde edilen tahmin edicinin
sapma ve GE değeri
Örnek çapı n=3
n=4
n=5
n=6
n=10
n=11
SAPMA GE
SAPMA GE
SAPMA GE
SAPMA GE
Tasarımlar
SAPMA GE SAPMA GE
USKÖ
0,00
1,01 0,00
0,69 0,00
0,69 0,00
0,52
0,00
0,36 0,00
0,36
MSKÖ
0,00
1,83 0,00
1,91 0,00
2,45 0,00
2,55
0,00
3,44 0,00
3,74
LSKÖ(k=1)
0,00
1,82 0,00
1,90 0,00
1,82 0,00
1,76
0,00
1,57 0,00
1,53
LSKÖ(k=2)
-
-
-
-
0,00
2,41 0,00
2,55
0,00
2,16 0,00
2,10
LSKÖ(k=3)
-
-
-
-
-
-
-
0,00
2,86 0,00
2,75
-
YSKÖ(p=0,20) 0,00
1,00 0,00
0,68 0,00
0,69 0,00
0,52
0,00
1,02 0,00
0,99
YSKÖ(p=0,40) 0,00
1,82 0,00
1,90 0,00
1,83 0,00
2,54
0,00
2,74 0,00
3,40
Tablo 6.Üstel(1) dağılımı altında SKÖ tasarımlarından elde edilen tahmin edicinin sapma
ve GE değeri
Örnek çapı n=3
Tasarımlar
n=4
SAPMA GE SAPMA GE
n=5
n=6
n=10
n=11
SAPMA GE
SAPMA GE
SAPMA GE
SAPMA GE
USKÖ
0,00
1,00
0,16
0,63
0,15
0,61
0,31
0,31
0,51
0,09
0,48
0,08
MSKÖ
0,17
1,35
0,17
1,29
0,21
1,03
0,22
0,88
0,25
0,39
0,26
0,32
LSKÖ(k=1)
0,17
1,35
0,17
1,29
0,15
1,20
0,13
1,15
0,09
1,07
0,08
1,07
LSKÖ(k=2)
-
-
-
-
0,22
1,02
0,22
0,88
0,16
0,71
0,15
0,69
LSKÖ(k=3)
-
-
-
-
-
-
-
-
0,22
0,48
0,21
0,46
YSKÖ(p=0,20)
0,00
1,00
0,17
0,62
0,15
0,61
0,31
0,31
0,07
0,87
0,07
0,83
YSKÖ(p=0,40)
0,17
1,35
0,17
1,29
0,15
1,19
0,22
0,88
0,21
0,51
0,25
0,35
| 75
2010
Tablo 7. Beta(2,9) dağılımı altında SKÖ tasarımlarından elde edilen tahmin edicinin sapma
ve GE değeri
Örnek çapı n=3
Tasarımlar
n=4
SAPMA GE SAPMA GE
n=5
n=6
n=10
n=11
SAPMA GE
SAPMA GE
SAPMA GE
SAPMA GE
USKÖ
0,00
1,00
0,01
0,81
0,01
0,80
0,02
0,53
0,03
0,19
0,03
0,18
MSKÖ
0,01
1,11
0,01
1,10
0,01
1,03
0,01
0,96
0,02
0,60
0,02
0,52
LSKÖ(k=1)
0,01
1,12
0,01
1,11
0,01
1,07
0,01
1,05
0,01
1,02
0,00
1,01
LSKÖ(k=2)
-
-
-
-
0,01
1,02
0,01
0,96
0,01
0,86
0,01
0,85
LSKÖ(k=3)
-
-
-
-
-
-
-
-
0,01
0,69
0,01
0,67
YSKÖ(p=0,20)
0,00
1,00
0,01
0,81
0,01
0,80
0,02
0,53
0,00
0,88
0,00
0,87
YSKÖ(p=0,40)
0,01
1,11
0,01
1,09
0,01
1,07
0,01
0,96
0,01
0,72
0,02
0,56
Tablo 8.Beta(9,2) dağılımı altında SKÖ tasarımlarından elde edilen tahmin edicinin sapma
ve GE değeri
Örnek çapı n=3
Tasarımlar
n=4
SAPMA GE SAPMA GE
n=5
n=6
n=10
n=11
SAPMA GE
SAPMA GE
SAPMA GE
SAPMA GE
USKÖ
0,00
1,00
0,01
0,80
0,01
0,80
0,02
0,53
0,03
0,19
0,03
0,18
MSKÖ
0,01
1,12
0,01
1,10
0,01
1,03
0,01
0,96
0,02
0,61
0,02
0,52
LSKÖ(k=1)
0,01
1,12
0,01
1,09
0,01
1,07
0,01
1,06
0,01
1,03
0,00
1,01
LSKÖ(k=2)
-
-
-
-
0,01
1,03
0,01
0,96
0,01
0,86
0,01
0,84
LSKÖ(k=3)
-
-
-
-
-
-
-
-
0,01
0,70
0,01
0,67
YSKÖ(p=0,20)
0,00
1,01
0,01
0,80
0,01
0,80
0,02
0,53
0,00
0,89
0,00
0,86
YSKÖ(p=0,40)
0,01
1,11
0,01
1,10
0,01
1,07
0,01
0,96
0,01
0,72
0,02
0,56
| 76
2010
Tablo 9. Log-normal(0,1) dağılımı altında SKÖ tasarımlarından elde edilen tahmin edicinin
sapma ve GE değeri
Örnek çapı n=3
Tasarımlar
n=4
SAPMA GE SAPMA GE
n=5
n=6
n=10
n=11
SAPMA GE
SAPMA GE
SAPMA GE
SAPMA GE
USKÖ
0,00
1,01
0,39
0,52
0,36
0,49
0,74
0,27
1,29
0,09
1,22
0,09
MSKÖ
0,40
2,57
0,40
2,33
0,49
1,71
0,50
1,48
0,56
0,67
0,58
0,56
LSKÖ(k=1)
0,39
2,59
0,40
2,35
0,36
2,03
0,33
1,99
0,24
1,75
0,23
1,72
LSKÖ(k=2)
-
-
-
-
0,50
1,71
0,49
1,49
0,40
1,15
0,38
1,12
LSKÖ(k=3)
-
-
-
-
-
-
-
-
0,50
0,81
0,48
0,77
YSKÖ(p=0,20)
0,00
0,99
0,40
0,51
0,37
0,49
0,74
0,27
0,07
1,72
0,08
1,63
YSKÖ(p=0,40)
0,40
2,59
0,40
2,34
0,37
2,01
0,49
1,49
0,49
0,85
0,55
0,61
Tablo 3-9 incelendiğinde, sapma değerleri bakımından USKÖ, MSKÖ, YSKÖ ve LSKÖ
tasarımlarından elde edilen X tahmin edicisinin simetrik dağılımlar altında sapmasız iken,
simetrik olmayan dağılımlar altında sapmalı olduğu görülmektedir.
Tablo 3-9 dan görüldüğü gibi, incelenen simetrik tek modlu dağılımlarda GE değeri en yüksek
olan tasarım MSKÖ tasarımıdır. YSKÖ (p=0.40) ve LSKÖ (k=1) tasarımları da en az MSKÖ
tasarımı kadar etkindir. Simetrik tek modlu dağılımlar altında LSKÖ tasarımında k arttıkça
etkinlik artmaktadır. Bu çalıĢmada incelenen simetrik tek modlu dağılımlar altında MSKÖ
tasarımının en yüksek GE değerine sahip olduğu dağılım Laplace (0,0.5) dağılımdır. Laplace
(0,0.5) dağılımı incelenen simetrik tek modlu dağılımlar içinde basıklık katsayısı en yüksek olan
dağılımdır. Simetrik tek modlu olmayan Tekdüze(0,1) dağılımında ise en etkili tasarım USKÖ‟
dür.
Simetrik olmayan dağılımlar altında ise, en etkili tasarımın LSKÖ(k=1) tasarımı olduğu
görülmektedir. Simetrik olmayan dağılımlar altında LSKÖ tasarımında k arttıkça etkinlik
azalmaktadır. Ayrıca n=3,4 ve 5 değerleri için YSKÖ (p=0.40) ve MSKÖ tasarımlarının da etkin
olduğu söylenebilir. Bu çalıĢmada incelenen simetrik olmayan dağılımlar altında LSKÖ(k=1)
| 77
2010
tasarımının en yüksek GE değerine sahip olduğu dağılım Log-normal(0,1) dağılımdır. Lognormal(0,1) dağılımı incelenen simetrik olmayan dağılımlar içinde basıklık katsayısı en yüksek
olan dağılımlardır. Dolayısıyla basıklık katsayısının GE değerini etkilediği ve basıklık katsayısı
yüksek olan dağılımlarda etkinliğin arttığı söylenebilir.
Simetrik olmayan dağılımlardan Beta(9,2) ve Beta(2,9) dağılımları sırasıyla sağa ve sola çarpık
dağılımlar olduğundan basıklık katsayıları aynı, çarpıklık katsayıları ise mutlak değerce
birbirinin aynısıdır. GE değerlerine bakıldığında ise sonuçların birbirine çok yakın olduğu
görülmektedir. Buradan da dağılımın çarpıklığının GE değeri üzerinde etkili olmadığı
söylenebilir.
Sonuç olarak, LSKÖ tasarımı özellikle simetrik olmayan dağılımlar altında, sapmalı bir tahmin
edici vermesine rağmen örnek çapı arttıkça SKÖ‟ ye göre daha etkin bir tahmin edici elde
edilmesine imkan vermektedir. Ayrıca simetrik tek modlu dağılımlar altında k arttıkça, simetrik
olmayan dağılımlarda ise k azaldıkça GE artmaktadır.
KAYNAKLAR
Al-Nasser, A. D. (2007). “L-Ranked Set Sampling: A generalization procedure for robust visual
sampling” . Communications in Statistics-Simulation and computation 36, 33–43.
Al-Saleh, M. F., and Al Kadiri, M. A:(2000). “Double ranked set sampling”, Statistics &
Probability Letters, 48: 205-212.
Al-Saleh M. F. and Al-Omari, A.I. (2002) “Multistage ranked set sampling”, Journal of
Statistical Planning And Inference, 102: 273-286.
Bhoj, D.S. (2000) “New ranked set sampling for one-parameter family of distributions”,
Biometrical Journal, 42:647-658.
Jemain, A. A. and Al-Omari A. I. (2007) “Multisatge quartile ranked set samples”, Pak.
J.Statist., 23(1): 11-22 .
Li, D., Sinha, B.K. and Perron,F. (1999). “Random selection in ranked set sampling and its
applications”, Journal of Statistical Planning and Inference,76:185-201.
Mclntyre, G.A. (1952). “A metod of unbiased selective sampling using ranked sets”. Australian
Journal of Agricultural Research,3. 385–390.
| 78
2010
Muttlak,H.A. (1997). “Median ranked set sampling.”. Applied Statistical Science, 6(4), 245–255.
Muttlak, H.A. (2003). “Modified ranked set sampling”. Pakistan Journal of Statistics
19.3(4):315–323.
Muttlak,H. A., and Abu-Dayyeh,W. (2004). “Weighted modified ranked set sampling methods”,
Applied Mathematics and Computation, 151: 645-657.
Samawi, H. , Abu-Dayyeh, W.,Ahmed,M. S. (1996). “Estimating the population mean using
extreme ranked set sampling”. Biometrical Journal 38: 577–586.
| 79
2010
ÖLÇÜM YETERLĠLĠK PARAMETRELERĠNĠN TAHMĠN EDĠCĠLERĠ VE GÜVEN
ARALIKLARI
Ümit YAMAN Yunus AKDOĞAN**
Ahmet PEKGÖR***
CoĢkun KUġ****
ÖZET
Bu çalıĢmada, rasgele ve karma etkili modellerde ölçüm yeterlilik parametrelerinin tahmin
edicileri ve güven aralıkları Selçuk Stat programına monte edilmiĢtir. Ayrıca Selçuk Stat
yazılımının çıktıları, Dolezal, Burdick ve Birch (1998) in sonuçları ile karĢılaĢtırılmıĢtır.
Anahtar kelimeler: Güven aralıkları, ölçüm yeterlilik parametreleri, tekraredilebilirlik,
tekrarüretilebilirlik, varyans analizi modelleri.
ESTIMATORS AND CONFIDENCE INTERVALS FOR MEASUREMENT
CAPABILITY PARAMETERS
ABSTRACT
In this study, the estimators and confidence intervals of measurement capability parameters are
assembled to Selçuk Stat software under random and mixed effects models. Also outputs of
Selçuk Stat are compared with results of Dolezal, Burdick and Birch (1998).
Keywords: Analysis of variance models, confidence interval, measurement capability
parameters, repeatability, reproducibility.
GĠRĠġ
Ölçüm değiĢkenliğinin tespit edilmesi ürün ve süreç değiĢkenliğini doğru bir biçimde
gözlemlemek için gereklidir. Tekraredilebilirlik, operatörlerin ürünleri tekrar tekrar ölçtüğünde
hemen hemen aynı değerde ölçebilme kabiliyetini, Terkrarüretilebilirlik, operatörlerin birbiriyle
uyum
kabiliyetini
göstermek
üzere
Tekraredilebilirlik
ve
Terkrarüretilebilirlik
(Repeatability&Reproducibility, R&R) diğer bir deyiĢle ölçüm (Gauge, gage) analizi, ölçüm
prosedürünün yeterli olup olmadığını belirlemek için kullanılır. Ölçüm prosedürü ile ilgili
değiĢim kaynakları, varyans analizi (Analysis of Variance, ANOVA) kullanılarak tespit
edilebilir. R&R analizinde genel olarak kullanılan ANOVA modeli, operatör ve parça olmak
üzere iki faktörden(etken) oluĢur. R&R analizinden önce operatörler ürünleri tekrar tekrar
ölçerler. Genellikle operatörler, operatörler kitlesinden rasgele seçildiği varsayıldığından
ANOVA modelindeki faktörler rasgele faktör (random effect) olarak ele alınır. Ne var ki süreç
*
Öğrenci, Selçuk Üniversitesi, Fen Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 42031 Konya, [email protected]
** ArĢ.Gör., Selçuk Üniversitesi, Fen Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, , 42031 Konya, [email protected]
***Öğr.Gör.Dr, Selçuk Üniversitesi, Fen Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 42031 Konya, [email protected]
****Doç.Dr., Selçuk Üniversitesi, Fen Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 42031 Konya, [email protected]
| 80
2010
çıktısı ürünleri ölçen operatörler özel seçimli (fix) faktör de olabilir. Örneğin bir fabrikadaki
üretilen parçaları ölçmek için önceden istihdam edilmiĢ üç operatöründe ölçüm yapması
durumunda operatör faktörü özel seçimli olarak ele alınmalıdır.
Ölçüm prosesinin yeterli olup olmadığını tespit etmek için Tekraredilebilirlik ve
Terkrarüretilebilirlik dıĢında kullanılan parametrelerden bazıları PTR(Precision-to-Tolerance
Ratio), (Burdick, Borror ve Montgomery, 2003), SNR(Signal-to-Noise Ratio), (AIAG, 1995,
Sayfa 32) ve DR(Discriminant Ratio), (Mader ve ark, 1999 ve Wheeler, 1992) olarak
sıralanabilir.
Minitab 15 ve NCSS 2007 yazılımları, R&R analizini uygulayabilmektedirler. Minitab 15, R&R
analizi için operatörlerin ve parçaların rasgele faktör olarak ele alındığı ANOVA modelini
kullanılmasına karĢın operatörlerin sabit olarak ele alınması durumunda karma model
kullanılması için bir seçenek bulunmamaktadır. Minitab 15 yazılımı, ölçüm değiĢkenlik
parametrelerinin tahmin değerlerini verirken, güven aralıklarını vermemektedir. Ayrıca yukarıda
bahsedilen PTR, SNR ve DR parametrelerinin güven aralıkları Minitab 15 yazılımında
hesaplanmamaktadır. NCSS 2007 yazılımında yukarıda bahsedilen güven aralıkları
verilmektedir.
Bu çalıĢmada, ölçüm sistemleri analizinde kullanılan ölçüm yeterlilik parametreleri ve bu
parametrelerin tahmin edicileri ve güven aralıkları tanıtılmıĢtır. Ayrıca Selçuk Stat paket
programına bu tahmin ediciler ve güven aralıkları eklenmiĢ olup Minitab 15 ve NCSS 2007
Yazılımlarına karĢı üstünlükleri tartıĢılmıĢtır.
ÖLÇÜM SĠSTEMLERĠ ANALĠZĠ
Tekraredilebilirlik ve Tekrarüretilebilirlik (Repeatability &Reproducibility, R&R) diğer bir
deyiĢle ölçüm (Gauge, gage) analizi ölçüm prosedürünün yeterliliğini belirlemek için kullanılır.
Tekraredilebilirlik, ölçüm aletinden kaynaklanan değiĢimi, tekrarüretilebilirlik, operatörlerin
ölçme yönteminden kaynaklanan değiĢimi temsil eder. Ölçüm prosedürü ile ilgili değiĢim
kaynaklarını elde etmek için iki yöntem kullanılır: Bunlardan ilki, uygun varyans bileĢenlerinin
tahmin değerinin kullanılmasıyla ANOVA yaklaĢımı, diğeri de ölçüm değiĢkenliğinin
bileĢenlerinin standart sapmalarının tahmin için geniĢlik metoduna dayalı çizelge algoritmadır.
Bu çalıĢmada, ANOVA yöntemi ele alınacaktır. R&R analizinde genel olarak kullanılan
ANOVA modeli, operatör ve parça olmak üzere iki faktörden oluĢur. Genellikle operatörler,
operatörler kitlesinden rasgele seçildiği varsayıldığından ANOVA modelinde rasgele faktör
(random effect) olarak ele alınır. Operatörler özel seçimli faktör olabilir. Örneğin bir fabrikadaki
üretilen parçaları ölçmek için önceden istihdam edilmiĢ üç operatöründe ölçüm yapması
durumunda operatör faktörü özel seçimli olarak düĢünülmelidir. Bu durumda ölçüm sistemleri
çalıĢmasında karma (mixed effect) model ele alınmalıdır. P , parça faktörü, O , operatör faktörü,
PO , etkileĢim faktörü ve  hata terimi olmak üzere R&R analizi için ANOVA modeli
Yijk    Pi  O j   PO ij   ijk , i = 1,2,..., p, j = 1,2,...,o k = 1,2,...,r
(1)
| 81
2010
Ģeklinde verilir. Burada p , parça sayısı, o , operatör sayısı ve r , tekrar sayısıdır. Operatör
faktörünün rasgele veya özel seçimli olduğu durumlara göre (1) modeli rasgele etkili model veya
karma etkili model adını almaktadır.
Tablo 1 ve Tablo 2 de Rasgele ve Karma model için ANOVA tabloları verilmiĢtir.
Tablo 1. Rasgele etkili ANOVA modeli için ANOVA Tablosu
DeğiĢim Kaynağı Serbestlik D.
Parça  P 
Operatör  O 
Parça  Op.
Tekraredilebilirlik
 P  O
p 1
o 1
 p 1 o 1
po  r  1
H.K.0.
S P2
S
2
O
2
S PO
S E2
F Ġstatist.
Beklenen Kareler Ort.
2
 P   2  r PO
 or P2
2
O   2  r PO
 pr O2
2
 PO   2  r PO
 E   2
FP = KTP / KTPO
FO = KTO / KTPO
FPO = KTPO / KTE
Tablo 2. Karma Etkili ANOVA modeli için ANOVA Tablosu
DeğiĢim Kaynağı
Parça  P 
Operatör  O 
Parça  Op.
 P  O
Tekraredilebilirlik
Serbestlik D.
p 1
o 1
 p 1 o 1
po  r  1
H.K.0.
F Ġstatist.
Beklenen Kareler Ort.
2
S PO
 P = or +r +
1 o 2
2
O =pr
O j + r PO
+  2

o - 1 j=1
2
 PO =r PO
+ 2
S E2
 E   2
S
2
P
SO2
2
P
2
PO
2
E
FP = KTP / KTPO
FO = KTO / KTPO
FPO = KTPO / KTE
Ölçüm sistemleri analizi ile ilgili ayrıntılı bilgi için (AIAG, 1995, 2002), Horrell (1991) ve
Croarkin (2002) kaynaklarına bakılabilir.
BAZI ÖLÇÜM YETERLĠLĠK PARAMETRELERĠ VE TAHMĠN EDĠCĠLERĠ
Ölçüm R&R analizinin (Gauge R&R) amacı, ölçüm sisteminin değiĢkenliğinin ölçülen parçanın
değiĢkenliğine göre daha az olup olamadığını belirlemektir. Literatürde ölçüm sistemleri
çalıĢmasında adı geçen birçok parametre ve bu parametrelerin fonksiyonlarından elde edilmiĢ
parametreler vardır. Bu parametreler süreç ve ölçüm sistemi değiĢkenliği hakkında bilgi
vermektedir.
Rasgele etkili ANOVA modeli kullanılarak yapılan R&R analizinde
tekrarüretilebilirlik, sırasıyla,
 1   2
ve
tekraredilebilirlik ve
2
 2   O2   PO
Ģeklinde tanımlanır. Bu durumda toplam ölçüm
2
 M   1   2   O2   PO
  2
| 82
2010
2
ve toplam süreç varyansı  T   P   M   P2   O2   PO
  2 biçiminde tanımlanır. Karma
ANOVA modeli ele alındığında yukarıdaki verilen tanımlarda  O2 yerine
1 o 2
 Oj
o  1 j=1
alınmalıdır.PTR(Precision-to-Tolerance Ratio) parametresi,
PTR 
k M
 %100
USL  LSL
Ģeklinde tanımlanır. Burada USL , üst spefikasyon limiti, LSL , alt spefikasyon limitidir. Ayrıca
k  5.15 veya k  6 olarak alınır. Selçuk Stat k  5.15 değerini ele almaktadır. Bu değerler
normal dağılım için sırasıyla kitlenin en az %99 unu barındıran %95 lik tolerans aralığı sınırları
arasındaki mesafe ve doğal tolerans aralığı arasındaki mesafedir. PTR parametresinin
yorumlanmasında faklı görüĢler vardır. Montgomery ve Runger (1993a) ölçüm sisteminin yeterli
olduğunu söyleyebilmek için PTR
parametresinin %10 dan az olması gerektiğini
vurgulamıĢlardır. Bu öneri, AIAG Ölçüm Sistemleri Analizi El Kitabı (1995, sayfa 60) nın
önerisi ile tutarlıdır. Mader, Prins ve Lambe (1999), Wheeler ve Lyday (1989) ı referans vererek
PTR parametresi %20 den fazla olduğu durumda ölçüm sisteminin yetersiz olduğunu ileri
sürmüĢlerdir. Son olarak Barrentine (1991, sayfa 10) PTR parametresi %30 dan fazla olduğu
durumda ölçüm sisteminin yetersiz olduğunu söylemiĢtir. Bazı özel durumlarda Montgomery and
Runger (1993a) ve Mader (1999) PTR parametresinin ölçüm yeterliliği konusunda iyi bir katsayı
olamayacağını vurgulamıĢlardır. Örneğin yüksek yeterliliğe sahip teknoloji, ölçüm sisteminden
kaynaklanan değiĢkenliği tolere edebilir.
Parça hatasının, toplam ölçüm varyansına oranı    P2 /  M Ģeklinde tanımlanır. Ölçüm
prosedürünün yeterliliği hakkında bilgi vermesi bakımından R&R analizinde  parametresinin
önemli bir yeri vardır. Parça hatasının, toplam süreç hatasına oranı  P   P /  T Ģeklinde
tanımlanır. Toplam ölçüm hatasının, toplam süreç hatasına oranı M   M /  T  1  P Ģeklinde
tanımlanır.
Toplam ölçüm hatasının toplam süreç hatasına göre oranı %10 dan küçükse ölçüm sistemi yeterli
%10 ile %30 arasında ise Ģartlı yeterli %30 dan büyükse ölçüm sistemi tekrar gözden
geçirilmelidir (Kavi ve Elevli, 2008).
(AIAG, 1995, sayfa:32) SNR (Signal-to-Noise Ratio) parametresini  veya  P parametresine
dayalı olarak
SNR  2 P / 1   P   2
Ģeklinde tanımlamıĢtır. AIAG (1995) ölçüm sisteminin yeterli olduğunu söyleyebilmek için SNR
parametresinin 5 den çok olması gerektiğini söylemiĢtir. Bu parametre kategorilerin farklı
seviyelerinin sayısı(the number of distinct levels of categories) olarak da adlandırılır. Not etmek
gerekir ki AIAG (1990) ölçüm sisteminin yeterli olduğunu söyleyebilmek için SNR
parametresinin 3 den çok olması gerektiğini söylemiĢtir (Dolezal, Burdick, Birch, 1998). Ayrıca
burada not etmelidir ki SNR =  olarak tanımlanmıĢtır.Minitab SNR yi 2 ve NCSS 2007
SNR yi  olarak ele almaktadır.
| 83
2010
Bir baĢka parametre Mader, Prins ve Lampe (1999) ve Wheeler (1992) tarafından önerilen
ayırma oranıdır (Discriminant Ratio) ve DR  1  P  / 1  P  Ģeklinde tanımlanır. Mader,
Prins ve Lampe (1999), bu oranın dörtten büyük olmasının, ölçüm sisteminin yeterli olduğunu
iĢaret ettiğini ileri sürmüĢlerdir. Burada bahsedilen parametrelerin dıĢındaki parametreler için
Vardeman ve VanValkenburg (1999), van den Heuvel ve Trip (2002) ve Larsen (2002) e
bakılabilir.
ÖLÇÜM YETERLĠLĠK PARAMETRELERĠNĠN GÜVEN ARALIKLARI
Montgomery ve Runger (1993b), Conors, Merrill ve O‟Donnell (1995), Burdick ve Larsen
(1997), Vardeman ve VanValkenburg (1999), Hamada ve Weerahandi (2000) ve Chiang (2001),
ölçüm R&R analizinde güven aralıklarının önemini vurgulamıĢlarıdır. SNR parametresinin
tahmin değerinin 7 olması, parametrenin gerçek değerinin 7 olması anlamına gelmez. Bu
durumda, SNR parametresinin 5 den büyük olması ölçüm sisteminin yeterli olduğunu göstermesi
göz önüne alındığında SNR parametresinin tahmin değerinin(7) 5 den büyük olduğundan
güvenle ölçüm sistemi yeterlidir denilebilir mi? ĠĢte tam bu noktada güven aralığı kavramı önemi
ortaya çıkmaktadır. SNR parametresinin %95 lik güven aralığının alt sınırı 5 den büyük
olduğunda %95 güven seviyesinde ölçüm sistemi yeterli denilebilir.
Selçuk Stat‟da  P  M ve SNR2 katsayıları ve güven aralıklarının kodları Leiva ve Graybill
(1986) nın metoduna dayalı Chiang (2002) nin sonuçlarına göre yazılmıĢtır. Ġlgili güven aralıkları
için Burdick, Borror ve Montgomery (2003) sayfa 346-346‟ye bakılabilir. Selçuk Stat yazılımı
rasgele model durumunda  P ,  O ,  1 ,  2 ,  M ,  T ,  , SNR1, PTR parametrelerinin güven
aralıkları için Burdick ve Larsen (1997) in sonuçlarını kullanmaktadır. Yine rasgele modelde
 M ,  P ve SNR2 parametrelerinin güven aralıkları için Chiang (2002) in sonuçlarını
kullanmaktadır. Karma model durumunda ise  P ,  O ,  1 ,  2 ,  M ,  T ,  , SNR1 parametrelerinin
güven aralıkları için Dolezal, Burdick, Birch (1998) in sonuçlarını kullanmaktadır. AĢağıda
Dolezal, Burdick ve Birch (1998) in kullandığı verilere dayalı kareler ortalamalarının
girilmesiyle elde edilen ölçüm yeterlilik analizi verilmiĢtir. Burada veri bölgesi kısmına gerçek
ölçümler girilmemiĢtir. ġekil 1 de Dolezal, Burdick ve Birch (1998) sayfa 166 daki kareler
ortalamaları girilmiĢtir ve operatör ve parça rasgele faktör olarak ele alınmıĢtır. Verilerin orijinal
haline ulaĢılamadığından analiz kareler ortalamaları girilerek yapılmıĢtır.
ġekil 1. Selçuk Stat Ölçüm Yeterlilik Analizi Ara Yüzeyi
Selçuk Stat Program çıktısı ġekil 2 de verilmiĢtir. Varyans Analiz Tablosunda, Kareler Toplamı
(K.T.) sütunu ham verilerin yerine “1” yazılmasından dolayı “0” yazılmıĢtır. Varyans BileĢenleri
Tablosunda, tekraredilebilirlik, tekrarüretilebilirlik ve toplam ölçüm varyansı, operatör varyansı,
| 84
2010
parça varyansı ve toplam süreç varyansı parametrelerinin tahmini ve %95 lik güven aralıkları
verilmiĢtir. Ölçüm yeterlilik parametreleri kısmında ise SNR, PTR ve DR parametrelerinin
tahmini ve %95 lik güven aralıkları verilmiĢtir. Burada  M ve  P nin tahmin ve güven aralıkların
verilmesinin sebebi SNR1, SNR2 ve DR tahmin ve güven aralıklarının bu değerlere bağlı
olmasıdır. SNR1 tahmin değeri 1.861 iken %95 lik güven aralığı 0.475 ile 2.940 arasıdır. SNR1
değerinin 5‟den az olması, ölçüm sisteminin yetersiz olduğunu gösterdiği göz önüne alındığında
SNR1 in tahminin 1.861 olması ilk bakıĢta ölçüm sisteminin yeterli olmadığını göstermektedir.
Diğer taraftan % 95 lik güven aralığının tüm değerleri 5‟den küçük olduğundan ölçüm sisteminin
yeterli olmadığı %95 güven ile söylenebilir. PTR alt ve üst tolerans değerleri girilmediğinden
ġekil 2‟ de verilen çıktıda yer almamıĢtır.
ġekil 2. Dolezal, Burdick ve Birch (1998) Sayfa 166 da Verilen Kareler Ortalamaları için Selçuk
Stat Çıktısı
Tablo 3. Dolezal, Burdick ve Birch (1998) in Verdiği Parametre ve Ġlgili Güven Aralıkları
Ölçüm varyansları
Rasgele model güven aralığı
 O2
1
2

(0.011, 1.831)
(0.012, 1.837)
(0.089, 1.912)
(0.113, 4.323)
Tablo 3, Dolezal, Burdick ve Birch (1998)‟nin sayfa 167‟de verdiği parametre ve güven
aralıklarını göstermektedir. Tablo 3‟teki sonuçlar ile ġekil 2‟de verilen Selçuk Stat çıktısı ile
tutarlı olduğu gözükmektedir.
| 85
2010
Karma Model Durumu
AĢağıda Dolezal, Burdick ve Birch (1998)‟in kullandığı verilere dayalı kareler ortalamalarının
girilmesiyle elde edilen ölçüm yeterlilik analizi verilmiĢtir. Burada veri bölgesi kısmına gerçek
ölçümler girilmemiĢtir. ġekil 3 de Dolezal, Burdick ve Birch (1998) sayfa 166 daki kareler
ortalamaları (Bkz. Makalede Tablo 3‟teki kareler ortalamaları) girilmiĢtir ve operatör özel
seçimli ve parça rasgele seçimli faktör olarak ele alınmıĢtır.
Tablo 4. Dolezal, Burdick ve Birch (1998) in verdiği parametre ve ilgili güven aralıkları
Ölçüm varyansları
Karma model güven aralığı

1
2

(0.027, 0.086)
2
O
(0.027, 0.097)
(0.103, 0.175)
(0.861, 4.058)
Tablo 4, Dolezal, Burdick ve Birch (1998)‟nin sayfa 167‟de verdiği parametre ve güven
aralıklarını göstermektedir. Tablo 4‟teki değerler ile ġekil 3‟teki Selçuk Stat çıktısı ile tutarlı
olduğu gözükmektedir.
ġekil 3. Selçuk Stat Ölçüm Yeterlilik Analizi Ara Yüzeyi
ġekil 4. Dolezal, Burdick ve Birch (1998) sayfa 166 da verilen kareler ortalamaları için Selçuk
Stat Çıktısı
| 86
2010
Yukarıda yapılan yorumlar burada da aynı Ģekilde yapılacağından yorum yapılmamıĢtır. Burada
vurgulanması gereken husus, Selçuk Stat‟da operatör faktörünün özel seçimli olması durumuyla
ilgili analiz yapılabilmesine karĢın, Minitab 15 ve NCSS 2007 de operatör faktörünün özel
seçimli olması durumuyla ilgili analiz yapılamamasıdır.
SONUÇ
Bu çalıĢmada, Minitab 15 ve NCSS 2007 yazılımlarında analizi yapılan Ölçüm R&R analizi,
literatürde son çıkan makalelere göre geliĢtirilerek Selçuk Stat yazılımına monte edilmiĢtir.
Selçuk Stat Analiz sonuçları Minitab 15, NCSS 2007 ve ilgili makalelerdeki sonuçlar
karĢılaĢtırılmıĢ ve Selçuk Stat analiz sonuçlarının doğruluğu kontrol edilmiĢtir. Minitab 15
sadece parametrelerin tahmin değerlerini verirken, Selçuk Stat, NCSS 2007 gibi ölçüm yeterlilik
parametrelerinin güven aralıklarını da vermektedir. Ayrıca, Minitab 15 yazılımı, operatör
faktörünün rasgele olması durumunu ele alırken, Selçuk Stat Operatör faktörünün özel seçimli
olması durumunu da ele almaktadır. Bu vesile ile Selçuk Stat yazılımı, ölçüm sistemleri
analizinde Minitab 15 ve NCSS 2007 ile yarıĢacak düzeye getirilmiĢtir.
KAYNAKLAR
Automotive Industry Action Group, (1995), Measurement Systems Analysis, 2nd cd. Detrait, MI.
Automotive Industry Action Group, (2002), Measurement Systems Analysis, 3rd cd. Detrait, MI.
BARRENTINE, L.B., (1991), Concepts for R&R Studies. ASQC Quality Prcss, Milwaukee, WI.
BURDICK, R.K., BORROR, C.M., MONTGOMERY, D.C., (2003), A Review of Methods for
Measurement Systems Capability Analysis, Journal of Quality Technology, 35, 342-354.
BURDICK, R.K., LARSEN, G.A., (1997), Confidence Intervals on Measures of Variability in
R&R Studies,Journal of Quality Technology, 29, 261-273.
CHIANG, A.K.L., (2001), A simple General Method for Constructing Confidence Intervals for
Functions of Variance Components, Technometrics 43, 356-367.
CHIANG, A.K.L., (2002), Improved Confidence Intervals for a Ratio in an R&R Study,
Communications in Statistics Simulation ve Computation, 31, 329-344.
CROARKIN, C., Editor (2002), Gauge R&R Studies, Section 2.4 of the Beta Version of the Nist
/Sematech
Engineering
Statistics
Internet
Handbook,
Located
at
http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/
CONORS, M., MERRILL, K., O‟DONNELL, B., (1995), A Comprehensive Approach to
Measurement System Evaluation, ASA Proceedings of the Section on Physical and Engineering
Sciences, 136-138.
DOLEZAL, K.K., BURDICK, R.K., BIRCH, N.J. (1998), Analysis of a Two-Factor R&R Study
With Fixed Operators,Journal of Quality Technology, 30, 163-170.
| 87
2010
HAMADA, M., WEERAHANDI, S., (2000), Measurement System Assessment Via Generalized
Inference, Journal of Quality Technology 32, 241-253.
HORRELL, K., (1991), Introduction to Measurement Capability Analysis, SEMATECH Report
91090709A-ENG.
KAVI U., ELEVLI S., (2008), Art-Craft Sofra Camı Üretim ĠĢletmesinde Ölçüm Sistem Analizi
Uygulaması, VII. Ulusal Ölçümbilim Kongresi
LARSEN, G., (2002), Measurement System Analysis, The Usual Metrics can be Noninformative,
Quality Engineering 15, 293 298.
LEIVA, R.A., GRAYBILL., F.A., (1986), Confidence Intervals for Variance Components in the
Balanced Two-Way Model with Interaction, Communications in Statistics Simulation and
Compulation 15, 301-322.
MADER, D.P., PRINS, J., LAMPE, R.E., (1999), The Economic Inpact of Measurement Error,
Quality Engineering 11, 563-574.
MONTGOMERY, D.C., VE RENGER, G.C., (1993a), Gauge Capability and Designed
Experiments Part f: Basic Methods, Quality Engineering 6, 115-135.
MONTGOMERY, D.C., RUNGER, G.C., (1993b), Gauge Capability Analysis and Designed
Experiment, Part II. Experimental Desing Models and Variance Component Estimation, Quality
Engincering 6, 289-305.
VAN DEN HEUVEL , E.R., Trip., A., (2002), Evaluation of Measurement Systems with a
Small Number of Observers, Quality Engincering 15, 323-331.
VANDERMAN, S.B., VAN VALKENBURG, E.S., (1999), Two Way Random-Effects Analysis
via Gauge R&R Studies, Technometrics 41, 202-211.
WHEELER, D.J., (1992), Problems with Gauge R&R Studies, ASQC Quality Congress
Transactions, 179-185.
WHEELER, D.J., LYDAY, R.W., (1989), Evaluating the Measurement Process. SPC Press,
Knoxville, TN.
POLĠKLĠNĠĞĠNDE SĠMÜLASYON YARDIMIYLA HASTA BEKLEME SÜRESĠNĠN
AZALTILMASI
| 88
Faruk ALPASLAN*
Özge CAĞCAĞ**
2010
Erol EĞRĠOĞLU***
ÖZET
Son yıllarda sağlık sektöründe simülasyon uygulamaları ile ilgili çalıĢmalarda artıĢ
görülmektedir. Simülasyon yardımıyla, hastane yatak kapasitesi araĢtırmaları, hasta bekleme
sürelerinin azaltılması, hastane personel sayısı belirlenmesi, cerrahi malzeme dağıtım süreçleri
optimizasyonu gibi problemler çözümlenmektedir. Bu çalıĢmada Ondokuz Mayıs Üniversitesi
Tıp Fakültesi Beyin Cerrahisi Bölümünün simülasyonu gerçekleĢtirilerek, resmi muayene doktor
sayısının artırılması ve poliklinik çalıĢma saatinin artırılması ile hasta bekleme sürelerinin
azaltılması hedeflenmiĢtir. Doktor sayısı ve çalıĢma saatleri üzerine çeĢitli senaryolar üretilerek
simülasyon sonuçları elde edilmiĢ ve sonuçlar çeĢitli istatistiksel analizler ile değerlendirilmiĢtir.
Anahtar Kelimeler: Benzetim, Kuyruk modeli, Varyans Analizi
OPTIMIZATION OF PATIENT WAITING TIME IN ONDOKUZ MAYIS UNIVERSITY
DEPARTMENT OF BRAIN SURGERY BY SIMULATION
ABSTRACT
In recent years, there has been an extensive amount of simulation applied to the healthcare sector.
The many problems such as planning and management of bed capacities, decreasing of patient
waiting time, determine of personal number, distribution of surgical instruments processing can
be solvable by simulation. In this study, Ondokuz Mayis University department of brain surgery
is simulated for optimize patient waiting time. In the simulation processing, we increase number
of assistant doctorsand working time. We create various scenarios for number of doctors and
working time then we obtain results of simulation. Finally, the results of simulation have been
evaluated with some statistical analysis methods.
Keywords: Simulation, queuing model, analysis of variance.
_____________________
* Prof.Dr., Ġstatistik Bölümü, Ondokuz Mayıs Üniversitesi, 55139, Samsun, [email protected]
** ArĢ.Gör., Ġstatistik Bölümü, Ondokuz Mayıs Üniversitesi, 55139, Samsun, [email protected]
*** Doç.Dr., Ġstatistik Bölümü, Ondokuz Mayıs Üniversitesi, 55139, Samsun, [email protected]
GĠRĠġ
Hizmet sektörü değiĢen dünya Ģartlarına ayak uydurmak için günden güne geliĢme
göstermektedir. Bu geliĢim beraberinde planlama ve yönetim alanlarında çeĢitli problemleri
| 89
2010
ortaya çıkarmaktadır. Oteller de, market, restoran,fabrika ve hastanelerde verilen hizmetler için
geliĢtirilen yöntemler artık literatürde üzerinde çalıĢılan konular arasında yer almaktadır.Bu
sektörler arsından üzerinde en fazla çalıĢma yapılan sağlık sektörüdür. Sağlık sektörü üzerinde
hızlı değiĢmelerin yaĢandığı bir sektördür. Sağlık sektöründe üzerine birçok çalıĢma yapılmıĢ ve
yayınlanmıĢtır. Bu çalıĢmalarda çeĢitli yöntemler kullanılmıĢtır. Ġlk benzetim uygulamaları
hastane sistemlerinde modeller oluĢturarak kullanılmıĢtır. Peter ve Thompson (1965)
çalıĢmasında Grace-New Haven Community hastanesinin simülayonunu yaparak, hastane yatak
ve diğer kaynakların kullanım oranlarını belirlemiĢ ve alternatifler üretmek suretiyle hastanenin
yönetim politikalarını oluĢturmaya çalıĢmıĢlardır. Smith ve Solomon (1966) hastane kullanım
oranını artırmak için Lexington U.S. Public Health Service hastanesinde hasta geliĢ oranlarının
inceleyerek hastaların aylık geliĢ oranlarından elde ettiği istatistiksel dağılıĢlardan yararlanarak
yönetim politikaları geliĢtirmeye çalıĢmıĢlardır. Dean (1974) insan kaynakları yönetimiyle
ilgilenerek benzetim metodunu kullanarak çalıĢanların, meslek grupları ve becerilerine göre
planlamasını ve hasta bekleme süresini kısaltmayı amaçlamıĢtır. Baesler ve Sepulveda (2001)
yaptıkları benzetim çalıĢmasında kanser tedavi merkezinde sistemle ilgili dört farklı hedef
belirlemiĢ ve kontrol değiĢkenlerinin en uygununu bulan modeli geliĢtirmiĢlerdir. Bu dört hedef
için oluĢturulan çözüm seçenekleri karĢılaĢtırılmıĢ ve %18 - %25 düzeyinde bir iyileĢme
sağlandığını ortaya koymuĢlardır. Çetinkaya vd. (2004) çalıĢmasında ise bir hastanenin
polikliniğinde, iĢ süreçleri yeniden tasarlanarak veznenin kullanımını arttırmak için vezne ile
randevu süreçleri birleĢtirilmiĢtir. Ve bu sayede hastanın sistemde kalma süresi azaltılmıĢ ve
doktorların hastaları beklerken kaybettikleri boĢa zamanda minimize edilmiĢtir. Kumari (2005)
benzetimin hastanede insan kaynaklarının kullanımının optimizasyonu ve cerrahi malzemelerin
hastane içinde dağıtım sürecinin daha verimli hale getirilmesine yardımcı olacağını ve diğer
benzer süreçler içinde kullanılabileceğini uyguladığı benzetim modeli ile belirtmiĢtir. Çin‟de
nüfusun fazla olması bazı hastanelerde uzun süreli bekleme kuyruklarını oluĢmasına neden
olduğu sorunu ortaya konmuĢtur. Bunun için Su ve Yao (2006) da var olan bu kuyrukları
azaltmak için benzetim modelini kullanarak bir hastanın hastaneye giriĢiyle baĢlayan iĢ akıĢını ve
iĢlem sürelerini analiz ederek, bu süreçleri yeniden tasarlayıp farklı yaklaĢımlarla
karĢılaĢtırmıĢlardır. Ve elde edilen sonuçlarda ortalama kayıt süresi 17.24 dakikadan 3.15
dakikaya indirilerek optimum kayıt süresi elde edilmiĢtir. Ontario da Ciprıono vd. (2007)
çalıĢmasında diz kalça ve protez ameliyatları için hastaların bekleme sürelerinin 6 aydan fazla
olduğu ve bu bekleme sürenin hastaları ameliyat sonrası iyileĢmelerini olumsuz etkilediği ortaya
konmuĢtur. ÇalıĢmada değiĢken olarak bölgeden gelen hasta oranları ve cerrah sayıları
belirlenmiĢtir. Cerrah sayıları %12 arttırıldığında 10 yıl içerisinde bekleme süresini azalacağı, bu
azalıĢla beraber her bir bölgedeki cerrahların daha etkin dağıtımı ile bekleme süresinin daha da
azalacağı saptanmıĢtır. VanBerkel ve Blake (2007) Kanada Nova Scota‟da Halifax Hastanesi
Cerrahi Kliniğinde benzetim modeli kullanılarak ve hasta bekleme sürelerinin analizi yapılarak
bölüm performansının yanı sıra yeni kapasite planları geliĢtirilmiĢtir. Oddoye vd. (2007)
çalıĢmasında simülasyon modelleri ile bir tıbbi değerlendirme ünitesinin sağlık planını
belirlemek için çalıĢma yapılmıĢtır. Bu tıbbi değerlendirme ünitesi gereksiz hasta giriĢlerini
| 90
2010
engellemek, hızlı değerlendirme ve hastalara verilen tedavinin kalitesini artırmak için
kurulmuĢtur.
BÖLÜMÜNÜN SĠMÜLASYONU
Doktorların tedavi sırasında harcadığı zaman ile hastaların sisteme geldikleri ve tedavi için
bekledikleri zamanın elde edilmesi için Beyin cerrahisi bölümü 30 gün gözlenip bilgi
toplanmıĢtır. Toplanan bilgilere görehastaların geliĢleri aĢağıda Tablo 1‟de verildiği gibi görgül
dağılımlıdır.
Tablo 1. GeliĢler arası sürenin dağılımı
Alt
Üst
Birikimli
sınır
sınır
frekans
2,00
6,42
0,61
6,42
10,85
0,77
10,85
15,28
0,87
15,28
19,71
0,90
19,71
24,14
0,96
24,14
28,57
0,97
28,57
33,00
1
Sisteme gelen hastalar sekreterliğe giriĢini yaptırdıktan sonra sistemde muayene olmak için
beklemeye baĢlamaktadırlar. Sistemde 6 tane özel doktor ve 1 tane asistan doktor görev
yapmaktadır. Hastalar duruma göre özel yada resmi muayeneyi tercih etmektedirler. Sisteme
gelen hastaların %30-u özel muayeneyi %70 ise resmi muayeneyi tercih etmektedirler. Ve bu
hastalardan özel muayeneyi tercih edenler %30 oranında 1. Özel doktora ,%30 oranında 2. Özel
doktora ve %10 oranında ise diğer 4 doktora muayene olmaktadırlar. Sistemin 30 günlük
incelenmesi sonucunda özel doktorlarının tümü için muayene süresinin 15.02 ortalama ve 5.81
standart sapma ile normal dağıldığı, asistan doktorun muayene süresinin ise 10.8 ortalama ve
4.45 standart sapma ile normal dağılım gösterdiği sonucuna ulaĢılmıĢtır. Beyin Cerrahisi
Bölümünde özel veya resmi muayeneyi bekleyen hastalar ayrı olarak kuyruk oluĢturmaktadır.
Eğer hasta özel muayeneyi tercih etmiĢse, muayene olmak istediği doktorun sırasında
kuyruğagirmektedir. Eğer hasta resmi muayeneyi seçtiyse, asistan doktorun sırasında kuyruğa
girmektedir. Beyin Cerrahisi Bölümündeki görevli doktorların bir gün içindeki toplam çalıĢma
süreleri 6 saat ile sınırlıdır. Beyin cerrahisi bölümünün genel iĢleyiĢi ġekil 1 de verilmiĢtir.
| 91
2010
ġekil 1. Beyin Cerrahisi Servisi AkıĢ Diyagramı
SĠMÜLASYON SONUÇLARININ ĠSTATĠSTĠKSEL ANALĠZĠ
Beyin cerrahisi bölümündeki asistan sayısını artırdığımızda, hastaların sistemde ortalama
bekleme sürerli arasında fark olup olmadığı tek yönlü varyans analizi ile test edilmiĢtir. F-testi
sonucunda p<0.001 olmaktadır. Beyin cerrahisi bölümündeki asistan doktor sayısının
artırılmasının sistemde ortalama bekleme süresinin düĢürdüğü sonucuna varılmaktadır. Çoklu
karĢılaĢtırma için Tamhane testi kullanıldığında sistemde 1 asistan, 2 asistan ve 3 asistan doktor
olması durumunda hastaların bekleme süresinin anlamlı bir Ģekilde farklılaĢtığı görülmektedir.
Beyin cerrahisi bölümünde 1 asistan doktor varken hastaların ortalama bekleme süresi 40 dakika
civarında iken, bu süre 2 asistan olduğunda 13 dakikaya ve 3 asistan olması durumunda ise 12
dakikaya düĢmektedir.
Beyin cerrahisi bölümündeki asistan sayısını artırdığımızda, hastaların kuyrukta ortalama
bekleme sürerli arasında fark olup olmadığı tek yönlü varyans analizi ile test edilmiĢtir. F-testi
sonucunda p<0,001 olmaktadır. Beyin cerrahisi bölümündeki asistan doktor sayısının
artırılmasının kuyrukta ortalama bekleme süresinin düĢürdüğü sonucuna varılmaktadır. Çoklu
karĢılaĢtırma için Tamhane testi kullanıldığında sistemde 1 asistan, 2 asistan ve 3 asistan doktor
olması durumunda hastaların bekleme süresinin anlamlı bir Ģekilde farklılaĢtığı görülmektedir. 1
asistan doktor varken hastaların kuyrukta ortalama bekleme süresi 28 dakika civarında iken, bu
süre 2 asistan olduğunda 1,5 dakikaya ve 3 asistan olması durumunda ise 0,4 dakikaya
düĢmektedir.
Beyin cerrahisi bölümündeki asistan sayısını artırdığımızda, birinci asistanın ortalama boĢ kalma
süreleri arasında fark olup olmadığı tek yönlü varyans analizi ile test edilmiĢtir. P<0.001
olduğundan sistemdeki asistan sayısını artırmanın ilk asistanın boĢ kalma süresi üzerinde olumlu
etki yaptığı söylenebilir. Sistemde 1 asistan doktor var iken ortalama boĢ kalma süresi 54,62
| 92
2010
dakika iken, sistemde 2 asistan doktor bulunduğunda bu süre 164,93 dakikaya çıkmıĢtır. 3 asistan
doktorlu sistemde ise birinci asistanın ortalama boĢ kalma süresi 173,65 dakikadır. Tamhane
çoklu karĢılaĢtırma testine göre 1. senaryonun farklı durumlarında ortalama boĢ kalma süreleri
arasında önemli fark bulunmuĢtur.
Sistemin çalıĢma süresinin 360 dakikadan, 420, 480, 540 dakikaya artırılması ile beyin cerrahisi
bölümüne gelen hasta sayılarında fark olup olmadığı bir yönlü varyans analizi ile test edilmiĢtir.
F testi sonucunda p<0.001 olduğundan çalıĢma sürelerinin değiĢmesi hasta sayısında anlamlı bir
artıĢa neden olduğu söylenebilir. Levene Testi sonucunda grup varyansları farklı olduğundan
Tamhane testine göre çoklu karĢılaĢtırmalar yapılmıĢtır. Sonuç olarak tüm gruplardaki hasta
sayısının farklı olduğu görülmüĢtür. ÇalıĢma süresi 360 dakika olduğunda ortalama 46 hastaya
hizmet verilirken, bu süre 420‟ye çıktığında 53 hastaya, 480 dakika olduğunda 60 hastaya ve son
olarak süre 540 dakikaya çıkarıldığında 68 hastaya hizmet verilmektedir.
Sistemin çalıĢma süresinin 360 dakikadan, 420, 480, 540 dakikaya artırılması ile beyin cerrahisi
bölümündeki 1. Asistan doktorun boĢ kalma süreleri arasında fark olup olmadığı bir yönlü
varyans analizi ile test edilmiĢtir. P<0.001 olduğundan birinci asistanın boĢ kalma süresinin
sistemin çalıĢma süresinin artıĢı ile birlikte anlamlı bir Ģekilde arttığı söylenebilir.
SONUÇLAR
Ondokuz Mayıs Üniversitesi Tıp Fakültesi Beyin Cerrahisi polikliniğinde hastaların sistemde
ortalama bekleme süresi 35,92 dakika, kuyrukta ortalama bekleme süresi ise 23,92 dakikadır. Bu
sürelerin azaltılması hem hastalara verilen hizmetin kalitesini artıracak hem de hastanenin daha
fazla kar elde etmesini sağlayacaktır. Bu çalıĢmada mevut sistemdeki asistan doktor sayısı
artırıldığında sistemde ve kuyrukta bekleme sürelerinde anlamlı farklılıklar olduğu istatistiksel
analizler sonucunda bulunmuĢtur. Ayrıca asistan doktorların sayısı artırıldığında birinci asistanın
boĢ kalma süresinde de anlamlı bir farklılık meydana gelmiĢtir. Polikliniğin çalıĢma süresi
artırıldığında poliklinikte hizmet verilen hasta sayısında anlamlı bir artıĢ olacağı da görülmüĢtür.
Beyin Cerrahisi bölümünden alınan bilgilere göre bir hastanın ortalama maliyeti 122 TL
olmaktadır. Ayrıca bir asistan doktorun günlük ücreti ise 70 TL dir. Buna göre sistemde bir
asistan fazla çalıĢtırmanın maliyeti günlük 70 TL olacaktır. Bir asistan fazla çalıĢtırıldığında
sistemdeki ortalama bekleme süresi % 63 oranında azalacağından hizmet verilecek hasta
sayısının da en az %50 oranında artacağı düĢünülebilir. Sisteme ortalama 46 hastaya hizmet
verilir iken 69 hastaya hizmet verilebilecektir. Bu durumda günlük 2806-70=2736 TL kar
edilecektir. Benzer hesaplara göre sistemde 3 asistan olduğunda ise günlük 2666 TL kar
edilecektir. Bu durumda hem kar hem de bekleme süreleri bakımından 2 asistanlı sistem tercih
edilebilir. Sistemin çalıĢma süresi 420 dakikaya çıkarıldığında asistan doktorun ücreti 60 dakika
için 11.7 TL artacaktır. Poliklinik 420 dakika çalıĢırsa gelen hasta sayısı %15 (7 kiĢi) artacaktır.
Bu durumda yeni sistemin günlük karı 7*122-11.7=842 TL olacaktır. Benzer Ģekilde 480 dakika
çalıĢtığında kar 1684 TL, 540 dakika çalıĢtığında kar 2648 TL olacaktır.
| 93
2010
KAYNAKLAR
KIDAK L.B. VE AKSARAYLI M., (2009), Bir genel cerrahi servisinde yatak kullanım
etkinliğinin Benzetim ile Optimizasyonu, 10. Ekonometri ve Ġstatistik Sempozyumu, Erzurum.
KUMARĠ A., SHĠM SJ, Optimal utilization of human resources in surgical instruments
distribution in hospitals, 18th International on Production Research, Italia, 2005.
ODDOYE J.P., JONES D.F., TAMĠZ M. AND SCHĠMĠDT P., Combining simulation and goal
programming for healthcare planning in a medical assesment unit, European Journal of Operation
Research, 193, 250-261, 2009.
PETER RB, TOMPHSON JD, The simulation of hospital admisson policy, Communications of
the ACM 1966, 9:5 362-365.
VANBERKEL PT, BLAKE JT, A Comprehensive simulation for wait time reduction and
capacity planing applied in general surgery, Healt Care Managment Science, 2007, 10 (4), 373385.
WHITE KP, A survey of data reseorcues for simulating patient flows in healtcare delivery
systems, Proceedings of the Winter Simulation Conference 200, 926-93
| 94
2010
PARETO MÜDAHALELĠ YARI-MARKOV RASTGELE YÜRÜYÜġ SÜREÇĠ ĠÇĠN
ASĠMPTOTĠK SONUÇLAR
Rovshan ALIYEV‡
Tülay KESEMEN§
Ġhsan ÜNVER**
ÖZET
Bu çalıĢmada, kesikli Ģans karıĢımlı bir yarı-Markov rastgele yürüyüĢ süreci (X(t)) ele alınmıĢtır.
Bu sürecin ergodik dağılımının ilk dört momenti için kesin formüller elde edilmiĢtir. Bundan
yararlanarak, müdahaleyi ifade eden  n , n  0 rastgele değiĢkenler dizisinin durağan dağılım
fonksiyonu (, ) parametreli Pareto dağılımına sahip olan bir Markov zinciri olduğu durumda,
E   n    iken, sürecin ergodik dağılımının ilk dört momenti için asimptotik açılımlar elde
edilmiĢtir.
Anahtar Kelimeler: Yarı-Markov rastgele yürüyüĢ süreci, Pareto dağılımı, ergodik dağılım,
asimptotik açılım, basamak yüksekliği.
ASYMPTOTIC RESULTS FOR THE SEMI-MARKOVIAN RANDOM WALK WITH
PARETO DISTRIBUTED INTERFERENCE OF CHANCE
ABSTRACT
In this paper,a semi-Markovian random walk with a discrete interference of chance  X(t)  is
considered. Some exact formulas for the first moments of the ergodic distribution of this process
X(t) are obtained, It is assumed that the random variables  n , n  0 which describe the discrete
interference of chanceform an ergodic Markov chain with Pareto stationary distribution with
parameters (, ) . Under this assumption,the asymptotic expansions for the first four moments of
the ergodic distribution of the process X(t) are derived, as E   n    .
Keywords: Semi-Markovian random walk; Pareto distribution; ergodic distribution; asymptotic
expansion; ladder variables.
‡
Karadeniz Teknik Üniversitesi, Ġstatistik ve Bilgisayar Bilimleri Böl., 61080, Trabzon, [email protected]
Karadeniz Teknik Üniversitesi, Matematik Böl., 61080, Trabzon, [email protected]
**
Karadeniz Teknik Üniversitesi, Matematik Böl., 61080, Trabzon, [email protected]
§
| 95
2010
GĠRĠġ
Bir çok teorik ve uygulama problemlerinde, örneğin banka sistemlerinin veya sigorta
Ģirketlerinin çalıĢmasını ifade eden stokastik süreçlerin incelenmesinde bir bariyere sahip olan
rasgele yürüyüĢ süreçleri ile karĢılaĢılmaktadır. Bu çeĢit problemlerde, sistemi ifade eden
stokastik süreçler genellikle kesikli Ģans karıĢımlı rasgele yürüyüĢ süreçlerinden oluĢmaktadır.
Örnek için grafiği aĢağıda verilen bir stokastik modele göz atılsın:
X(t)
s
t
Varsayalım ki, yukarda grafiği verilen sistem, baĢlangıç anında z  s  0 durumundadır.
Tn  i1 i , n  1 rasgele anlarında sistem uygun olarak z  S n , S n  i 1 i durumlarında
n
n
olabilsin. BaĢka bir deyiĢle sistemin değiĢimi bir yarı-Markov rasgele yürüyüĢ süreci yardımıyla
ifade edilsin. Süreç, s kontrol seviyesine ilk kez ulaĢana kadar bu doğal değiĢimini devam
ettirsin. Süreç, bu seviyeye ilk kez ulaĢtığında, dıĢarıdan müdahale edilsin. Müdahalenin
sonucunda, sistem  1 durumuna getirilmiĢ olsun.  1 bilinen bir dağılıma sahip pozitif değerli
rasgele bir değiĢkendir. Bu müdahaleden sonra süreç,  1 baĢlangıç durumundan baĢlayarak
birinci devreye benzer doğal değiĢimini devam ettirsin.
Bu çalıĢmada, müdahaleyi ifade eden  1 rasgele değiĢkeninin (, ) parametreli Pareto
dağılımına sahip olduğu varsayılacaktır. Bu varsayım altında yukarıda tanımlanan sürecin
ergodik dağılımının ilk dört momentleri için, E   n    iken, asimptotik açılımlar elde
edilecektir.
Bunun için önce süreç matematiksel olarak kurulsun.
| 96
2010
SÜRECĠN MATEMATĠKSEL KURULUġU
 n  , n  1ve n  , n  1 bağımsız ve aynı dağılıma sahip rastgele değiĢkenlerden oluĢan
aynı bir , , P  olasılık uzayında tanımlanmıĢ iki bağımsız dizi olsun. Ayrıca,  n ‟ler pozitif
değerler,  n ‟ler hem negatif hem de pozitif değerler alabilen rasgele değiĢkenler olsunlar.
Müdahaleyi ifade eden  n , n  0 rastgele değiĢkenler dizisi durağan dağılım fonksiyonu


(z)  1    , z  [, ) olan bir Markov zinciridir. {Tn } yenileme sürecini ve {S n } rastgele
z
yürüyüĢ süreci
n
Tn    i ,
i 1
n
S n   i , T0  S0  0 , n  1,2,...
i 1
Ģeklinde ve tam değerli rastgele değiĢken dizisi {N n } aĢağıdaki gibi tanımlansın:
N 0  0;


N N1 1  inf k  1 : S N1  N2 ... Nn k  S N1  N2 ... Nn   n , n  0 , inf{}   .
Ayrıca  0  0 , n  TN1...Nn , n  1 ve t   maxn  0 : Tn  t olsun. Bu çalıĢmada incelenen
stokastik sürecin analitik ifadesi matematiksel olarak aĢağıdaki gibidir:
ν t 


X  t  =ζ n  
i    n  (S t   SN0  N1 ... Nn ) , eğer  n  t   n 1 , n  0 .

 i  N1 +N2 +...+Nn 1 
X  t  „ye Pareto müdahaleye sahip yarı Markov rastgele yürüyüĢ süreci denir.
Bu çalıĢmanın temel sonuçları aĢağıdaki gibi verilsin.
TEMEL SONUÇLAR
Teorem 1.  n  ve n  rastgele değiĢkenler dizisi ek olarak aĢağıdaki koĢulları da
sağlasın:
1) 0  E(1 )   , 2) 0  E(1 )   , 3) 1 aritmetik olmayan rastgele değiĢken,
| 97
2010
4) E 1  , 5)  1 rasgele değiĢkeni (s,  ) aralığında (, ) parametreli Pareto dağılımına
5
sahip olsun.
Bu durumda,   5 olduğunda, X(t) süreci ergodiktir ve sürecin ergodik dağılımının ilk dört
momentleri için kesin formüller, 1 rasgele değiĢkeni ve S N X  sınır fonksiyonelinin
karakteristikleri yardımıyla aĢağıdaki gibi hesaplanabilir:
E( X ) 
E( X 2 ) 
1
1

 1
E( 1M1 ( 1 ))  E(M 2 ( 1 ))  m 21 ;
E(M1 ( 1 )) 
2
 2
1
1

2
m 21E( 1M1 ( 1 ))  m 21E(M 2 ( 1 ))  E( 1 M1 ( 1 ))
E(M1 ( 1 )) 
2
2
1
 3m 21  2m 31
 E( 1M 2 ( 1 ))  E(M 3 ( 1 )) 
,
3
6

E(X 3 ) 

1
3
1

3
2
E(1 M1 (1 ))  E(1 M 2 (1 ))  E(1M 3 (1 ))  E(M 4 (1 ))
E(M1 (1 )) 
2
4

m 21
3E(12 M1 (1 ))  3E(1M 2 (1 ))  E(M 3 (1 ))
2

1


 3A1 E( 1M1 ( 1 ))  E(M 2 ( 1 ))   3A 2 ,
2


E(X 4 ) 
1
E(14 M1 (1 ))  2E(13M 2 (1 ))  2E(12M 3 (1 ))  E(1M 4 (1 ))

E(M1 (1 ))
1
1


 E(M 5 ( 1 ))  m 21 2E( 13 M1 ( 1 ))  3E( 12 M 2 ( 1 ))  2E(1M 3 ( 1 ))  E(M 4 ( 1 )
5
2


1


 6A1 E( 12 M1 ( 1 ))  E( 1 M 2 ( 1 ))  E(M 3 ( 1 ))  6A 2 2E(1M1 (1 ))  E(M 2 (1 )).
3


Burada, A1 
3m 221  2m 31
m m
m
m3
, A 2  41  31 21  21 ve X(t )  X(t )  s ‟dır.
6
12
3
4
ġimdi de, bu çalıĢmanın diğer önemli sonucu verilsin.
| 98
2010
Teorem 2. BaĢlangıç rasgele değiĢkenler 1 , 1 , 1 , Teorem 1‟ deki koĢulları sağlamıĢ
Bu takdirde, X( t ) sürecinin ilk dört momenti için E   n    iken üç terimli
olsunlar.
asimptotik açılımlar aĢağıdaki gibi yazılabilir:
E( X ) =
 (  1) 3
1
m
(  1)
(  1) 2
(  1)
1

 21  21   2
 221 
 31   o( ),
2(  2)
4(  2)
2
6

 8 (  2)

E( X 2 ) 

(  1) 2  (  1)
(  1) 2
 
m 21 
 21 
3(  3)
6(  3)
 2(  2)

 (  1) 3

(  1) 2
2



 21m 21  A1  +o(1),
21
2
4(  2)
12 (  3)


(  1) 3  (  1)
(  1) 2
E( X ) 
 
m 21 
 21 2
4(  4)
8(  4)
 2(  3)

3
 (  1) 3

(  1) 2
3(  1)
2



 21m 21 
A1   o(),
21
2
4(  3)
2(  2) 
16  (  4)

(  1) 4  3(  4)
(  1) 2
E( X ) 
 
(m 21   21 ) 
 21  3
5(  5)
10 (  5)
 2(  1)

4
 (  1) 3

(  1)
3(  1)

 221 
(2 21m 21   31  2A1 ) 
(m 21   21 ) 21 2  o(2 )
2
(  3)
4(  4)
 20  (  5)

burada
E( X k )  lim E(( X( t )) k ) , k  1,4, X( t )  X( t )  s, A1 
t 
3m 21  2m 31
,
6
m k  E(1k ); mk1  mk m1 , k  E(1 )k , k1  k / 1 , k  2,3 .
| 99
2010
KAYNAKLAR
1. Aliyev,
R.T, Kesemen, T., Khaniyev, T.A., (2010). Asymptotic expansions for the
moments of a semi-Markovian random walk with gamma distributed interference of
chance, Communications in Statistics- Theory and Methods, 1532-415X, 39, 1, 130-143.
2. Feller, W. (1971). Introduction to Probability Theory and Its Appl. II, J. Wiley, N.Y.
3. Khaniyev T.A., Kesemen T., Aliyev R.T., Kokangul A. (2008). Asymptotic expansions
for the moments of a semi-Markovian random walk with exponential distributed
interference of chance, Statistics and Probability Letters, 78, 6, 785-793.
4. Khaniyev T.A., Kesemen T., Kesemen O., Aliyev R.T., (2006). Some asymptotic results
for the stationary characteristics of the semi-Markovian random walk with barrier.
Automatic Control and Computer Sciences, No:1.- pp.31-43.
| 100
2010
RCMARS-SAĞLAM CMARS YÖNTEMĠ VE SAYISAL BĠR UYGULAMA
AyĢe ÖZMEN* Gerhard-Wilhelm WEBER** Ġnci BATMAZ***
ÖZET
Çok değiĢkenli uyarlanabilir regresyon eğrileri (MARS) algoritmasına seçenek olarak geliĢtirilmiĢ
yeni bir yaklaĢım olan konik (konveks, sürekli) çok değiĢkenli uyarlanabilir regresyon eğrileri
(CMARS) algoritması, karmaĢık ve türdeĢ olmayan veri kümelerini baĢarı ile modelleyen bir
yöntemdir (Weber vd., 2009). Ancak bu iki yöntem de modellerinde kullandıkları bağımsız
değiĢkenlerin sabit olduğunu varsaymaktadır. Aslında yaĢam verilerinin tümünde, yani hem girdi
hem de çıktı değiĢkenlerinde, gürültü vardır ve optimizasyon probleminin çözümleri
değiĢkenlerindeki belirsizliklere karĢı kayda değer bir duyarlılık gösterebilmektedir. Bu nedenle
önceki çalıĢmalarımızdan birinden bağımsız değiĢkenlerin rastgele olduğu varsayılarak CMARS
modeline belirsizlik kavramı eklenmiĢ ve verilerdeki belirsizlikleri iĢleyebilen sağlam
optimizasyon tekniği ile CMARS model ve algoritması sağlamlaĢtırılmıĢtır (Özmen vd., 2010a).
Diğer bir çalıĢmamızda ise çok düzlemli belirsizlik kümeleri kullanılarak, değiĢik belirsizlik
senaryoları altında Sağlam CMARS (RCMARS) modelinin duyarlılığı sınanmıĢtır (Özmen vd.,
2010b). Bu çalıĢmada ise RMARS modelinin belirsizlik kümelerinin sınırlarına olan duyarlılığı
göz önünde bulundurularak RCMARS algoritması bir veri kümesiüzerinde uygulanmaktadır.
Anahtar kelimeler: Regresyon, CMARS, Sağlam optimizasyon, Sağlamlılık, Konik karasel
programlama, Ġç nokta yöntemi, Tikhonov düzenlemesi, Veri belirsizliği, Veri madenciliği.
THE RCMARS METHOD AND A NUMERICAL EXAMPLE
ABSTRACT
CMARS, recently develped as an alternative method to MARS, is a powerful method for
handling complex and heterogeneous data (Weber et al., 2009). Both methods, however,
assumethat independent variables are of type fixed. In fact, real life data contain noise in both
output and input variables. Consequently, optimization problem‟s solutions may have a
remarkable sensitivity to perturbations in the parameters of the problem. By considering this fact,
in one of our previous studies, we include the existence of uncertainty in the future scenarios into
CMARS, and robustify it with the robust optimization technique (RMARS) that dealts with data
uncertainty (Özmen et al., 2010a). In other study, we present the results of the sensitivity
analysis on the parameter estimates and model performances of RCMARS under polyhedral
uncertainty setswith different uncertainty scenarios (Özmen et al., 2010b). In this study, we
implement this new
*Yüksek Lisans Öğrencisi, Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Enstitüsü, Bilimsel Hesaplama
Bölümü, 06531 Ankara, [email protected] (HaberleĢme Adresi)
**Öğretim Üyesi, Profesör Doktor, Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Enstitüsü, 06531
Ankara, [email protected]
***Öğretim Üyesi, Doçent Doktor, Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü,
06531 Ankara, [email protected]
| 101
2010
method on a new data set by considering the sensitivity of RCMARS model to the boundaries of
the uncertainty sets.
Keywords: Regression, CMARS, Robust Optimization, Robustness, Conic quadratic
programming, Interior point method, Tikhonov regularization, Data uncertainty, Data mining.
GĠRĠġ
Veri madenciliği ve tahmin teorisinde yaygın olarak kullanılan çok değiĢkenli uyarlanabilir
regresyon eğrileri (MARS) algoritması yüksek boyutlu doğrusal olmayan veri kümeleri için esnek
regresyon modelleri oluĢturmaktadır (Friedman, 1991). Bu nedenle MARS yöntemi özellikle çok
sayıda değiĢkenin karmaĢık iliĢkilerinin modellendiği ekonomi, teknoloji ve bilim alanlarında
baĢarı ile uygulanmaktadır. Bu uygulamalara örnek olarak elektrik üreten Ģirketler için talepin
tahminlenmesi, ürünlerin mühendislik spesifikasyonlarının müĢteri tatmini ile iliĢkilendirilmesi,
Cografi Bilgi Sisteminde (GIS) kullanılan varlık-yokluk modelleri verilebilir (MARS,2009).
MARS yöntemi regresyon modelini oluĢtururken ileriye ve geriye doğru adım algoritması diye
adlandırılan iki aĢamalı bir algoritma kullanmaktadır. MARS yöntemine seçenek olarak
geliĢtirilen CMARS yöntemi ise MARS algoritmasının geri doğru adım aĢamasını kullanmak
yerine, cezalı hata kareler toplamını (PRSS) esas alarak, MARS modelini bir Tikhonov
düzenlemesi (TR) (Aster vd., 2004) problemine dönüĢmekte ve bu problemi iç nokta yönteminin
kullanımına imkan veren konik karesel programlama (CQP) ile çözmektedir (Weber vd., 2009).
Gerçek yaĢam verilerinin tümümde, yani hem girdi hem de çıktı değiĢkenlerinde, gürültü
bulunmasına rağmen MARS ve CMARS yöntemleri bağımsız değiĢkenlerin sabit olduğunu
varsaymaktadır. Buna ek olarak veriler optimal deney tasarımının içindeki çeĢitliliklerden
kaynaklanan küçük değiĢimlere de maruz kalabilirler. Tüm bunlar amaç fonksiyonu ve olası
kısıtlarda da belirsizliklere neden olabilmektedir. Bu nedenler sonucunda optimizasyon
probleminin çözümleri problem değiĢkenlerindeki belirsizliklere karĢı kayda değer bir duyarlılık
gösterebilmektedir. Bu zorluğu aĢabilmek için CMARS modeli ve algoritması verilerdeki
belirsizlikleri ele alacak Ģekilde yeniden yapılandırılmıĢ; çok düzlemli ve elipsoidalbelirsizlik
kümeleri esas alınarak Aharon Ben-Tal ve Nemivoski (1998, 2002) ile Laurent El Ghaoui ve
Lebret (1997) tarafından geliĢtirilmiĢ sağlam optimizasyon yöntemi kullanılarak
sağlamlaĢtırılmıĢtır (Özmen vd., 2010a).
Sağlam optimizasyon, verileri belirsiz (rasgele) olan ve aykırı gözlemler dıĢındakilerin sadece
bazı belirsizlik kümeleri içerisinde tanımlı olduğu optimizasyon problemlerini ele alan bir
yöntemidir (Bertsimas vd., 2008). Bu yöntemle verilerin belirsizlik içermesi durumunda tahmin
varyansı küçültülmeye çalıĢılmaktadır. Bilgisayar hesaplamalarında sağlamlaĢtırılan CMARS
modelimizin daha basit bir Ģekline gerek duyulduğundan “zayıf bir sağlamlaĢtırma” kavramı da
oluĢturulmuĢtur. Böylece hem Sağlam CMARS (RCMARS) hem de bunun değiĢtirilmiĢ hali olan
Zayıf Sağlam CMARS (WRCMARS)‟ın teorik olarak geliĢtirilmesi açıklanıp, yöntem tanıtılmıĢ
ve yöntemin duyarlılığı araĢtırılmıĢtır (Özmen vd., 2010b).
| 102
2010
RCMARS MODELĠ
Yukarıda da ifade edildiği gibi RCMARS yöntemi CMARS üzerinde yapılandırılmıĢtır. Bu
amaçla MARS‟ın ileri doğru algoritmasından edinilen temel fonksiyonlar üzerinde belirli
belirsizlik kümeleri içerisinde yeraldığı varsayılan verilerdeki belirsizlik, sağlam optimizasyon
tekniği uygulanarak CMARS model ve algoritması sağlamlaĢtırılmıĢtır.
CMARS yöntemi Salford MARS (2009) tarafından oluĢturulmuĢ en çok temel fonksiyon sayısı
T
M max ‟a sahip en büyük modeli kullanmaktadır. Y bağımlı değiĢkeni ile X  ( X1 , X 2 ,..., X p )
bağımsız değiĢkenleri arasındaki iliĢkiyi gösteren bu genel model aĢağıda ifade edildiği gibidir:
Y  f ( X )  .
(1)
Burada ε rasgele hata terimi olup, belirli bir sapma ile ortalaması sıfır olan normal dağılıĢtan
geldiği varsayılmaktadır. CMARS‟ın aksine RCMARS modelinde bağımsız değiĢkenler de
normal dağılan rasgele değiĢkenler olarak kabul edilmektedir. Girdi ve çıktı değiĢkenlerinin
tümünün rasgele değiĢkenler olması, oluĢturulacak belirsizlik kümelerinin güven aralığına sahip
olduklarını kabul etmemize de olanak sağlamaktadır (Özmen vd., 2010a). Bu bağlamda
belirsizlik içeren veri kümesi ( xi , yi ) (i  1, 2,..., N ) ‟ne göre oluĢan MARS modelinin parçalı
doğrusal temel fonksiyonları aĢağıdaki Ģekilde yazılabilir (Friedman, 1991):
c  ( x , )  ( x   )  , c  ( x ,  )  ( x   )  .
Burada  q  := max 0, q ,  q  := max 0, q olup, N toplam gözlem sayısını, x‟ler gözlenen
değerleri ve τ temel fonksiyonların düğüm noktalarını göstermektedir.Böylece ileriki bölümlerde
tanımlanacak olan U1  N M max ve U 2  N belirsizlik kümeleri, ( xi , yi ) (i  1, 2,..., N ) veri
kümesine dahil edilerekm. temel fonksiyonunçarpımsal Ģekli
Km
 m (xi ) :=  ( xi    ) for i  1, 2,..., N
j 1
m
j
(2)
m
j
olarak ifade edilmektedir. Burada K m m. temel fonksiyonda çarpılan kesik (truncated) doğrusal
fonksiyonların sayısını,  mj ise m. temel fonksiyonun j. değiĢkenini göstermektedir. Bunun
yanısıra belirsizlik içeren CMARS modeli için PRSS yeniden düzenlenerek aĢağıdaki Ģekli
almıĢtır:
N
PRSS :  ( yi  f ( xi )) 2 
i 1
M max
 m
m 1
2


1
 
r s
2
m
[ Dr,s m (t m )]2 dt m .
(3)
 T (1 ,2 ) r , sV ( m )
Burada V(m) : {  j |j= 1,2,..., K m }m. temel fonksiyonla iliĢkili bağımsız değiĢkenleri
göstermektedir. (3)‟te yeralan yüksek boyutlu integralin bazı fonksiyonlar için hesaplanması güç
m
| 103
2010
olduğundan, eĢitlikte yer alan integral kesikli hale getirilerek PRSS yaklaĢık olarak elde
edilmekte ve bazı düzenlemeler sonucunda aĢağıdaki Ģekle dönüĢmektedir (Weber vd., 2009):
2
PRSS  y  (b )   L 2 .
2
(4)
2
Bazı   değerleri için    2 kullanılarak   0 ceza parametresi ile PRSS Tikhonov
düzenlemesi(TR) problemine dönüĢür ve bu problem sürekli optimizasyon yöntemi olan ikinci
dereceden konik karesel programlama (CQP) (Ben-Tal, 2001) kullanılarak çözülür.
Girdi ve çıktı değiĢkenlerinin her ikisinede belirsizlik dahil ettiğimiz zaman (2)‟deki temel
fonksiyon ( xi m    m ) ‟lar aĢağıdaki gibi yazılabilir:
j
j
( xi m    m )  ( xi m    m )  (i m  (i m )) .
j
j
j
j
j
(5)
j
Burada  i m herbir temel fonksiyondaki herbir girdi değiĢkenine güven aralığı içinde dahil
j
edilen belirsizliği (Bkz. ġekil 1.); i m ise kontrol değiĢkenini göstermektedir. Kontrol
j
değiĢkeninin değeri U1 belirsizlik kümesinin büyüklüğünü doğrudan etkilediği ve belirsizlik
kümelerimizin ne olduğu bilinmese bile sınırlı olması gerektiği için i m kontrol değiĢkeni  i m
j
j
değeri ile sınırlandırılmıĢtır (Özmen vd., 2010a).
Ayrıca  m ( xi ) ve  m ( xi ) temel fonksiyon değerlerini elde edebilmek amacı ile (5)‟deki
eĢitsizlik aĢağıdaki Ģekle dönüĢtürülür (Özmen vd., 2010a):
Km
 (x 
j 1
i
Km
m
j
   m )   ( xi m    m )  
: m ( xi )
j
j 1
j
: m ( xi )
j
  (x
A{1,... K m } aA

ia
  a )

b{1,... K m }/ A
((ib )  ib )  (i  1, 2,..., N ).
Burada simetri özelliği ile  m ( xi ) ve  m ( xi ) temel fonksiyon değerleri için sınır formları
oluĢturulduğunda aĢağıdaki eĢitsizlik elde edilir:
 m ( xi )  m ( xi )  uîm 
ˆ
   m ( xi )  m ( xi )  max{uîm , uîm }.
ˆ
 m ( xi )  m ( xi )  uîm 
Böylece her bir temel fonksiyon için uim belirsizlik değerleriaĢağıdaki eĢitsizlikten bulunur
(Özmen vd., 2010a):
| 104
uim 

A{1,..., K m }

A 1
i

aA
ia

b{1,..., K m }/ A
2010
( ib  ib ).
(6)
Burada  değeri x   ‟in güven aralığının yarı uzunluğu; A A kümesinin eleman sayısı; i ise
kontrol değiĢkenidir. i değeri aykırı gözlemlerin olmadığı durumlarda iki olarak kabul
edilebilir. Ancak aykırı gözlemler için bu kontrol değiĢkeni ikiden daha büyük bir değer olacaktır
(Özmen vd., 2010b).  belirsizliği ve x   için oluĢturulan güven aralığı ġekil 1‟de
gösterilmektedir.
ġekil 1.  belirsizliğinin ve x   ‟ın güven aralığı.
Sağlam optimizasyon problemimizin daha etkin bir Ģekilde çözülebilmesi için belirsizlik
kümelerinin ellipsoidal veya çokdüzlemligibi özel bir Ģekle sahip olması gerekmektedir. (Fabozzi
vd., 2007). Önceki çalıĢmalarda U1 ve U 2 belirsizlik kümeleri hem ellipsoidal hem de çok
düzlemli birbiçimde oluĢturuldu (Özmen vd., 2010a). Ancak ellipsoidal belirsizlik kümeleri
optimizasyon probleminin çözümünü zorlaĢtırdığı için, girdi ve çıktı değerleri için oluĢturulan
U1 ve U 2 belirsizlik kümeleri çok düzlemli olarak seçilerek çalıĢma sürdürülmüĢtür (Özmen vd.,
2010b). Böylece çok düzlemli belirsizlik kümeleri temelinde sağlam optimizasyon modeli
aĢağıdaki gibi tanımlanmaktadır:
min max z  W  2   L 2 .
2

2
W U1
zU 2
Yukarıdaki sağlam optimizasyon modelimiz aĢığıda gösterildiği gibi bir sağlam CQP problemine
dönüĢtürülebilir (Özmen vd., 2010a, 2010b):
| 105
2010
min t ,
t ,
subject to z  W 
2
t

 U1 ,
W

2 N M max

 jW
j
j 1
L
2
z

U 2 ,
2N
 i z i
i 1
 M.
Çok düzlemli belirsizlik kümesi kullanıldığındanyukarıda ifade edilen sağlamCQP problemi
standard bir CQP (Ben-Tal vd., 2001)problemi gibi sunularak, çözülebilir:
min t ,
t ,
subject to z i -W j
L
2
2
t
(i  1, 2,..., 2 N , j  1, 2,..., 2 N M max ),
 M.
SAYISAL BĠR UYGULAMA
Daha önceki çalıĢmalarımızda MINITAB paket programının örnek veri kümelerinden üç
bağımsız değiĢkenli ve 20 gözlemli bir tanesi üzerinde RCMARS algoritması uygulanarak,
model parametreleri tahminlenmiĢ ve baĢarım ölçümleri elde edilmiĢtir. Bu amaçla Salford
MARS (2009) yazılımı kullanarak elde edilen en geniĢ modele, MATLAB ve MOSEK (2008)
programları yardımı ile çok amaçlı optimizasyon yaklaĢımı uygulanmıĢtır. RCMARS
algoritmasında bağımsız değiĢkenlerin normal dağılıĢtan geldiğini varsayılmaktadır. Bu nedenle
bu çalıĢmada, benzetim yöntemi kullanılarak herbiri normal dağılıĢtan gelen üç değiĢken ve 20
gözlemden oluĢan bir veri kümesi türetilmiĢ ve RCMARS modelinin belirsizlik kümelerinin
sınırlarına olan duyarlılığı da göz önünde bulundurularakRCMARS algoritması bu veri
kümesineuygulanmıĢtır. Sonuçta MARS yazılımıtarafından oluĢturulan aĢağıdaki en geniĢ model
( M max  5 ) elde edilmiĢtir:
M
y   0    m m ( x ) + =  0  1maks{0, x1  0.09608)}   2 maks{0,0.09608  x1}
m 1
  3maks{0, x3  1.92906}+ 4 maks{0, x1  0.09608}  maks{0, x3 +1.92906}
  5 maks{0,0.09608  x1}  maks{0, x3  1.92906}   .
Daha sonra, güven aralıkları göz önünde bulundurularak tüm girdi ve çıktı değiĢkenleri için
belirsizlikler hesaplanmıĢ; çok düzlemli belirsizlik kümeleri altında belirsizlik matrisleri ve
vektörleri elde edilmiĢtir. Girdi değerleri için oluĢturulan belirsizlik matrisi çok büyük
boyutludur. Bu matrisle çözüm yapabilecek bilgisayar kapasitesi yeterli olmadığından dolayı
zayıf sağlamlaĢtırma diye isimlendirilen kombinatoriyal yaklaĢım kullanarakher bir gözlem için
PRSS modeli, CQP problemi olarak yeniden düzenlenmiĢtir. Problemimizi çözmek için model
MOSEK formatına çevrildikten sonra herbir gözlem için 20 farklı zayıf RCMARS (WRCMARS)
altmodeli oluĢturulup, ayrı ayrı çözülmüĢtür. Bunlar içinden maksimum tdeğerine sahip MOSEK
modeli seçilerek 0 , 1 ,  2 , 3 ,  4 , 5 parametre tahminleri kaydedilmiĢtir (Bkz. Tablo 1). Sonuç
| 106
2010
olarak seçilen MOSEK modeline iliĢkin bazı baĢarım ölçütlerinin (AAE: Ortalama mutlak hata,
RMSE: Hata kareler ortalamasının karekökü, r: korelasyon katsayısı) değerleri de Tablo 1‟de yer
almaktadır.
Tablo1. RCMARS modeli için parametre tahninleri ve baĢarım ölçütlerinin değerleri
α0
α1
α2
α3
α4
α5
1.1076 -0.4316 -0.3866 -0.4262 0.0033 0.0000
AAE
0.4388
RMSE r
0.7221 0.8601
SONUÇ
Bu çalıĢmada, verilerde varolan belirsizliklerin üstesinden gelebilmek amacı ile sağlam ve zayıf
sağlam olarak isimlendirilen kombinatoriyel yaklaĢım kullanılarak CMARS sağlamlaĢtırılmıĢtır.
Bu yaklaĢımla parametrelerin tahmin varyanslarının indirgenmesi amaçlanmaktadır. Bu amaçla
öncelikle teori ve yöntem geliĢtirilmiĢ, sayısal uygulamalarda kullanabilmek amacı ile MATLAB
programı oluĢturulmuĢtur. Bundan sonraki çalıĢmalarda CMARS modelinin kararlılığının
ölçümü ile ilgili çalıĢmalar yapılacaktır. Sağlam tahminleyiciler kullanılarak girdi ve çıktı
değerleri için yeni güven aralıkları oluĢturulacaktır.Veriler için normal dağılım dıĢında baĢka
dağılımlar kullanılarak RCMARS modeli yeniden düzenlenecektir. Bunların dıĢında zayıf
RCMARS modelini sağlamlaĢtırmak için diğer farklı yöntemler araĢtırılıp kullanılacaktır.
KAYNAKLAR
ASTER, R.C., BORCHERS B. ve THURBER, C. (2004), Parameter Estimation and Inverse
Problems, Elsevier Academic Press, USA.
BEN-TAL, A. ve NEMIROVSKI, A. (1998), Robust convex optimization, Math. Oper. Res., 23,
769–805.
BEN-TAL, A. ve NEMIROVSKI, A. (2001), Lectures on modern convex optimization: analysis,
algorithms, and engineering applications, MPR-SIAM Series on Optimization, SIAM,
Philadelphia.
BERTSIMAS, D., BROWN, D.B. ve CARAMANIS, C. (2008), Theory and Applications of
Robust Optimization, Working paper,Sloan School of Management and Operations Research
Center, MIT.
EL-GHAOUI, L. ve LEBRET, H. (1997), Robust solutions to least-square problems to uncertain
data matrices,SIAM J. Matrix Anal. Appl., 18, 1035–1064.
FRIEDMAN, J. H. (1991). Multivariate adaptive regression splines,The Annals of Statistics, 19
(1), 1-141.
| 107
2010
MARS, Salford Systems, 2009.EriĢim: http://www.salfordsystems.com/mars/phb, 25 Ağustos
2010.
MOSEK, Software for CQP, 2008. EriĢim: http://www.mosek.com, 5 Eylül 2008.
ÖZMEN, A., WEBER, G-W. ve BATMAZ, Ġ. (2010a), The new robust CMARS (RCMARS)
method, Preprint at IAM, METU, ISI Proceedings of 24th MEC - EurOPT 2010 - Continuous
Optimization and Information-Based Technologies In the Financial Sector, Ġzmir, June 23-26,
2010, 362-368; ISBN 978-9955-28-598-4.
ÖZMEN, A., WEBER, G-W., BATMAZ, Ġ. ve KROPAT E. (2010b), RCMARS:Robustification
of CMARS with Different Scenarios under Polyhedral Uncertainty Set, Preprint at IAM, METU,
to appear in the Proceedings 3rd Conference on Nonlinear Science and Complexity (NSC 3rd),
Ankara, Temmuz 28-31, 2010.
WEBER, G. -W., BATMAZ, Ġ., KÖKSAL G., TAYLAN P. ve YERLĠKAYA F. (2009),
CMARS: A New Contribution to Nonparametric Regression with Multivariate Adaptive
Regression Splines Supported by Continuous Optimization, Preprint at IAM, METU, submitted
for publication.
| 108
2010
SARIMA MODELĠ VE ELMAN YAPAY SĠNĠR AĞININ MELEZ YAKLAġIMI ĠLE
ANKARA HAVA KALĠTESĠ VERĠLERĠNĠN ÇÖZÜMLENMESĠ
ÇağdaĢ Hakan Aladağ*, Ufuk Yolcu**, Erol Eğrioğlu***
ÖZET
Zaman serisi öngörüsünde, klasik yöntemlerin doğrusallık, en az 50 gözlem varsayımı ve belli bir
model kalıbına bağlı çalıĢmaları önemli kısıtlamalarıdır. Gerçek hayat zaman serilerinin birçoğu
eğrisel ve doğrusal yapıları birlikte içermektedir. Bu nedenle doğrusallık varsayımı oldukça
önemli bir sınırlama olmaktadır. Literatürde eğrisel zaman serilerinin çözümlenmesi için yapay
sinir ağları çok sık kullanılmaktadır. Zaman serisinin eğrisel bileĢenini yapay sinir ağları ile
modellemek mümkün olmasına rağmen hem eğrisel hem de doğrusal bileĢen içeren zaman
serilerinin modellenmesinde klasik zaman serisi yöntemleri ve yapay sinir ağlarının melez
yaklaĢımları daha doğru öngörü sonuçları verebilmektedir. Bu çalıĢmada klasik zaman serisi
olarak mevsimsel otoregresif bütünleĢik hareketli ortalama (SARIMA) modelinin, yapay sinir ağı
modeli olarak Elman geri beslemeli yapay sinir ağının kullanıldığı yeni bir melez yaklaĢım
önerilmiĢtir. Önerilen yöntem Ankara hava kalitesi verileri üzerinden literatürdeki diğer klasik
zaman serisi ve melez yaklaĢımlar ile karĢılaĢtırılmıĢtır.
Anahtar Kelimeler: Öngörü, SARIMA, Elman yapay sinir ağı.
ANALYZING AIR POLLUTION RECORDS IN ANKARA WITH A HYBRID METHOD
COMBINING SARIMA AND ELMAN ARTIFICIAL NEURAL NETWORKS
ABSTRACT
In time series forecasting, there are some constraints such as linearity, 50 observations and
normal distribution when conventional methods are used. It is a well known fact that real life
time series generally includes both linear and nonlinear structures. Therefore, constraint of
linearity is a vital limitation for conventional methods. To solve real time series some methods
such as artificial neural networks have been used to obtain accurate forecasts in the literature.
Although it is possible to model both linear and non linear part of time series by using artificial
neural networks, the hybrid methods combining linear conventional methods and artificial neural
networks can produce better forecasts. In this study, a novel hybrid approach in which seasonal
autoregressive integrated moving average (SARIMA) model and Elman recurrent
*
Öğretim Gör. Dr., Ġstatistik Bölümü, Hacettepe Üniversitesi, Ankara, [email protected]
(HaberleĢme Adresi)
**
ArĢ.Gör.., Ġstatistik Bölümü, Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Samsun, [email protected]
***
Doç. Dr., Ġstatistik Bölümü, Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Samsun, [email protected]
| 109
2010
neural networks are combined is proposed. The method proposed is applied to Air pollution
records in Ankara time series. The time series is also forecasted by using other methods available
in the literature and obtained results are compared.
Keywords: Forecasting, SARIMA, Elman Neural Networks.
GĠRĠġ
Hem eğrisel hem de doğrusal bileĢen içeren zaman serilerinin çözümlenmesinde klasik
zaman serisi yöntemleri ile yapay sinir ağlarının melez yaklaĢımı uygulanmaktadır. Bu tür melez
yaklaĢım ilk kez Zhang (2003)‟de önerilmiĢtir. Zhang (2003)‟de ARIMA modeli ve ileri
beslemeli yapay sinir ağı modelinin kullanıldığı bir melez yaklaĢım önermiĢtir. Aladağ vd.
(2009)‟da Zhang (2003)‟deki yaklaĢımı değiĢtirerek ileri beslemeli yapay sinir ağı modeli yerine
geri beslemeli modelin kullanıldığı bir yöntem önerilmiĢtir. Erilli vd. (2010)‟da Elman ile ileri
beslemeli yapay sinir ağlarının bir melez yaklaĢımı önerilmiĢtir. Bu çalıĢmada ise SARIMA
modeli ve Elman yapay sinir ağının melezlendiği bir yaklaĢım önerilmiĢtir. ÇalıĢmanın ikinci
bölümünde Elman yapay sinir ağları ile ilgili özet bilgi verilmiĢtir. Üçüncü bölümde yeni
önerilen melez yaklaĢım verilmiĢtir. 4. bölümde önerilen yöntemin Ankara il merkezlerine göre
yapılan ölçümlerde Mart 1994 ile Nisan 2006 yılları için elde edilen havadaki kükürtdioksit
(SO2) miktarları zaman serisine uygulanmasından elde edilen sonuçlar verilmiĢtir. Son bölümde
ise elde edilen bulgular tartıĢılmıĢtır.
ELMAN GERĠ BESLEMELĠ YAPAY SĠNĠR AĞLARI
Ġnsan sinir sisteminin bir taklidi olan yapay sinir ağları ileri ve geri beslemeli ağlar olarak
ikiye ayrılabilir. Geri beslemeli yapay sinir ağlarının önemli bir türü Elman (1990)‟da önerilen
Elman geri beslemeli yapay sinir ağıdır. Elman yapay sinir ağında girdi tabakası, gizli tabaka,
geri besleme tabakası ve çıktı tabakası bulunmaktadır. Ağın gizli tabaka çıktıları bir adım
gecikmeli olarak geri besleme mekanizması sayesinde tekrar ağa girdi olarak verilmektedir. Geri
besleme tabakası ikinci bir girdi tabakası olarak da düĢünülebilir (Mandic ve Chambers, 2001).
Geri besleme tabakasının ağılıkları, diğer tabakalardan farklı olarak eğitim esnasında
değiĢtirilmemekte ve daima 1 değerini almaktadır. Literatürde zaman serisi öngörü probleminde,
Elman sinir ağının ileri beslemeli sinir ağlarından daha doğru öngörü sonuçları verdiği birçok
çalıĢma vardır. Elman geri beslemeli sinir ağının mimarisi Ģekil 1 „de görüldüğü gibidir.
| 110
2010
ġekil 1. Elman Geri Beslemeli Yapay Sinir Ağı
SARIMA VE ELMAN GERĠ BESLEMELĠ YAPAY SĠNĠR AĞINA DAYALI
MELEZ YAKLAġIM
Mevsimsel zaman serileri öngörü problemi için literatürde en sık kullanılan modellerden biri
SARIMA modelleridir. Parametrelerin eğrisel bir fonksiyonu olarak yazılabilmesine rağmen,
gecikmeli değiĢkenlerin doğrusal bir bileĢimi olan SARIMA modeli doğrusal zaman serisi
modelidir. Birçok zaman serisinin çözümü için SARIMA modeli yeterli olabilmektedir. Ancak
gecikmeli değiĢkenler arası doğrusal dıĢı iliĢkiler içeren modeller ile çözümlenmesi gereken bazı
zaman serileri için SARIMA modelleri yetersiz kalabilmektedir. Bu tür zaman serilerinin
çözümlenmesinde yapay sinir ağları gibi eğrisel zaman sersi yöntemleri kullanılmaktadır. Gerçek
hayat zaman serileri genellikle eğrisel ve doğrusal yapıları birlikte içerebilirler. Bu nedenle
gerçek hayat zaman serilerinin çözümlenmesi için tek baĢına doğrusal zaman serisi modeli veya
tek baĢına eğrisel zaman serisi yönteminin kullanılması yerine her iki model veya yöntem
türünün birleĢtirildiği melez yaklaĢımlar kullanılabilir. Bir gerçek hayat zaman serisinde eğrisel
ve doğrusal yapının toplamsal olarak bulunduğunu varsayalım. Bu durumda zaman serisi
aĢağıdaki gibi yazılabilir.
Burada
zaman serisindeki doğrusal bileĢeni,
ise zaman serisindeki eğrisel bileĢeni
göstermektedir. Melez yaklaĢımlarda amaç eğrisel ve doğrusal bileĢenin ayrı modellenmesi ve
farklı modellerden elde edilen öngörülerin birleĢtirilmesidir. Bu çalıĢmada önerilen yöntem
SARIMA modeli ve Elman geri beslemeli yapay sinir ağının bir melezi olup aĢağıdaki
adımlardaki gibi uygulanır.
Adım 1. zaman serisine SARIMA modeli uygulanarak tahminler ̂ ve artıklar ̂ hesaplanır.
SARIMA modelinin uygulanmasında en uygun modelin belirlenmesinde otokorelasyon
fonksiyonundan aday modeller belirlenerek, en uygun model çeĢitli model seçim ölçütlerine göre
karar verilebilir. Bu adımda elde edilen artık serisinin eğrisel bileĢen ve rastgele bileĢenin
toplamı olarak düĢünülmektedir.
| 111
2010
Adım 2. Ġkinci adımda SARIMA modelinde elde edilen artık serisi ̂ Elman geri beslemeli
yapay sinir ağı ile çözümlenerek tahminler ̂ elde edilir. En uygun Elman sinir ağı modelinin
belirlenmesinde model seçim ölçütlerinden yaralanılır.
Adım 3. Ġlk adımda zaman serisinin doğrusal kısmı SARIMA modeli ile tahmin edilerek
oluĢturulan doğrusal bileĢeni için tahmin serisi ̂ ve ikinci adımda zaman serisinin eğrisel kısmı
modellenerek oluĢturulan eğrisel bileĢen için tahmin serisi ̂ toplanarak melez yaklaĢımın
tahminleri elde edilir.
̂
̂
̂
ÖNERĠLEN MELEZ YAKLAġIMIN UYGULAMASI
Önerilen yaklaĢım, Ankara il merkezlerine göre yapılan ölçümlerde Mart 1994 ile Nisan 2006
yılları için elde edilen havadaki kükürtdioksit (SO2) miktarları zaman serisine uygulanmıĢtır.
Zaman serisinin son 10 gözlemi test kümesi olarak ayrılmıĢ ve bu küme için elde edilen
tahminler üzerinden önerilen yaklaĢım literatürdeki diğer yaklaĢımlar ile karĢılaĢtırılmıĢtır.
Önerilen yöntemin uygulanması adımlar halinde verilmiĢtir.
Adım1. Zaman serisine en uygun SARIMA modeli SARIMA(1,0,0)(0,1,1)12 olarak
belirlenmiĢtir. SARIMA modelinin tahminleri ̂ ve artıklar ̂ „lar elde edilir.
Adım 2. SARIMA‟dan elde edilen artık serisine Elman geri beslemeli yapay sinir ağı yöntemi
uygulanmıĢtır. Elman yapay sinir ağının uygulanmasında aĢağıdaki bileĢenler kullanılmıĢtır.
 Gizli tabaka birimlerinde lojistik aktivasyon fonksiyonu kullanılmıĢtır, çıktı tabakasında ise
doğrusal aktivasyon fonksiyonu kullanılmıĢtır. Aktivasyon fonksiyonları ile ilgili detaylı bilgi
Gunay vd. (2007)‟den elde edilebilir.
 Elman geri beslemeli yapay sinir ağın eğitilmesinde Levenberg-Marquardt (LM) yöntemi
kullanılmıĢtır. Çözümlemeler Matlab Neural Network Toolbox yardımı ile yapılmıĢtır.
 Girdi tabaka birim sayısı yani gecikmeli değiĢkenlerin sayısı 1 ile 12 arasında ve aynı
zamanda gizli tabaka birim sayısı 1 ile 12 arasında değiĢtirilmiĢtir. Böylece, toplamda ortaya
çıkan 144 farklı Elman yapay sinir ağı mimarisi ele alınarak en uygun yapay sinir ağı
mimarisi, hata kareler ortalaması karekök (HKOK) değerine göre girdi sayısının 8, gizli
tabaka birim sayısının 3 olduğu mimari olarak bulunmuĢtur.
| 112
2010
Adım 3. Bu adımda SARIMA modeli ve Elman geri beslemeli yapay sinir ağından elde edilen
tahminler toplanarak melez yaklaĢımın tahminleri elde edilmiĢ ve Tablo 1‟in son sütununda test
kümesi için elde edilen tahminler verilmiĢtir.
Zaman serisine ayrıca Winters çarpımsal üstel düzleĢtirme yöntemi, SARIMA modeli ve Zhang
(2003)‟de önerilen melez yaklaĢım da uygulanmıĢ ve test kümesine ait elde edilen sonuçlar Tablo
1‟de özetlenmiĢtir. Tablo 1‟de her bir yöntem için hatanın mutlak yüzdelik ortalaması (HMYO)
ve yön doğruluğu (YD) ölçütleri de hesaplanmıĢtır. Bu ölçütlerle ilgili detaylı bilgi Gunay vd.
(2007)‟den elde edilebilir.
Tablo 1. Tüm Yöntemlerden Test Kümesi için Elde Edilen Öngörü Sonuçları
Dönem
TEM 2005
AĞU 2005
EYL 2005
EKĠ 2005
KAS 2005
ARA 2005
OCA 2006
ġUB 2006
MAR 2006
NĠS 2006
Winters
Test
SARIMA
Çarpımsal
Verisi (1,0,0)(0,1,1)
Üstel
DüzleĢtirme
21
22,9300
15,4000
27
22,3500
16,1100
25
23,6100
17,7700
28
28,8100
25,1200
38
46,9700
41,1100
45
54,6200
46,1200
38
58,1300
49,8000
36
46,9900
44,2400
24
37,8500
31,9600
22
24,7600
18,3900
HKOK
9,6249
7,1062
HMYO
0,0226
0,0036
YD
0,5556
0,6667
Zhang (2003)
(6-6-1)
Önerilen
Yöntem
(8-3-1)
23,0785
22,2947
22,8370
28,6960
46,9328
43,7966
38,0002
26,8608
17,7210
4,6312
7,3314
0,0071
1,0000
22,9237
22,3245
23,4565
28,8349
34,9308
38,5152
41,9141
41,8714
37,6352
24,6493
5,6819
0,0024
0,6667
BULGULAR VE TARTIġMA
Birçok gerçek hayat zaman serisi hem doğrusal hem de eğrisel bileĢenleri içermektedir. Bu
nedenle, bu tip zaman serilerini çözümlemede, yalnızca doğrusal modelleme yapabilen SARIMA
ya da eğrisel modelleme yapabilen YSA gibi yöntemlerin tek baĢına kullanımı yeterli
olmayacaktır. Dolayısıyla bu tip zaman serilerini çözümlemede doğrusal ve eğrisel yöntemlerin
melezlendiği yaklaĢımların kullanılması daha doğru öngörü sonuçları verecektir. Bu çalıĢmada
SARIMA modeli ve Elman yapay sinir ağının melezlendiği bir yaklaĢım önerilmiĢ ve Tablo 1
incelendiğinde, önerilen yeni melez yaklaĢımın, hem HKOK değeri (5,6819) hem de HMYO
(0,0024) bakımından en iyi sonucu verdiği gözlemlenmektedir. Önerilen yaklaĢımın yalnızca yön
doğruluğu açısından Zhang (2003)‟de önerilen melez yaklaĢımdan kötü sonuç vermektedir. Elde
edilen tüm öngörü sonuçları Ģekil 1‟de verilmiĢtir.
| 113
70
60
50
40
2010
Test Verisi
ARIMA (1,0,0)(0,1,1)
Winters Çarpımsal Üstel Düzleştirme
Zhang (2003) (6-6-1)
Önerilen Yöntem (8-3-1)
30
20
10
0
ġekil 1. Tüm Yöntemlerden Elde Edilen Öngörülerin Gerçek Verileri Ġle Grafiği
KAYNAKLAR
ALADAĞ Ç.H., EĞRĠOĞLU E. AND KADĠLAR C., (2009). Forecasting nonlinear time series
with a hybrid methodology, Applied Mathematic Letters, 22, 1467-1470.
ERĠLLĠ N.A., EĞRĠOĞLU E., YOLCU U., ALADAĞ Ç.H., USLU V.R., (2010). Türkiye
Enflasyonunun Ġleri ve Geri Beslemeli Yapay Sinir Ağlarınıın Melez YaklaĢımı ile Öngörüsü,
DoğuĢ Üniversitesi Dergisi, 11 (1), 42-55.
GÜNAY S., EĞRĠOĞLU E. VE ALADAĞ Ç.H., 2007, Tek DeğiĢkenli Zaman Serileri analizi,
Hacettepe Üni. Yayınları, Ankara.
MANDĠC D.P. AND CHAMBERS J.A., (2001). Recurrent neural networks for prediction, John
Wiley& Sons, Ltd.
ZHANG, G., (2003). Time series forecasting using a hybrid ARIMA and neural network model,
Neurocomputing, 50, 159-175.
| 114
2010
SIRALI KÜME ÖRNEKLEMESĠ TASARIMINDA YIĞIN ORTALAMASINA ĠLĠġKĠN
HĠPOTEZ TESTĠ
Yaprak Arzu ÖZDEMĠR
Fikri GÖKPINAR**
ÖZET
Sıralı küme örneklemesinde, örnek ortalaması istatistiğinin dağılımı teorik olarak elde
edilemediğinden, yığın ortalamasına iliĢkin hipotez testi için gerekli kritik değerler
belirlenememektedir. Bu çalıĢmada Monte Carlo yöntemi kullanılarak ortalamaya iliĢkin hipotez
testi için kritik değerler elde edilmiĢtir. Elde edilen bu kritik değerlerden yararlanılarak örnek
çapına bağlı bir kritik değer fonksiyonu önerilmiĢtir. Ayrıca sıralı küme örneklemesinin basit
tesadüfi örneklemeye göre I. tip hata ve testin gücü bakımından hangi durumlarda daha iyi sonuç
verdiği belirlenmeye çalıĢılmıĢtır.
Anahtar kelimeler: Kritik Değer, Sıralı Küme Örneklemesi, Monte Carlo Simülasyonu.
ABSTRACT
In ranked set sampling, since the distribution of sample mean cannot be obtained theoretically,
the critical values for hypothesis tests about population mean cannot be also calculated. In this
study, the critical values for hypothesis tests about population mean is obtained by using Monte
Carlo methods. A critical value function based on sample size is formed using these critical
values. Also the ranked set sampling is compared to simple random sampling according to their
type I errors and powers of tests.
Keywords: Critical Value, Ranked Set Sampling, Monte Carlo Simulation.
1. GĠRĠġ
Sıralı küme örneklemesi (SKÖ), örnekleme birimlerini ölçmek zor, ancak bunları sıralamak daha
kolay olduğu durumda maliyet etkili bir örnekleme tekniğidir. SKÖ son yıllarda, çevre, ekoloji
ve tarım gibi alanlarda sıkça kullanılmaktadır. Bu tür alanlarda, birimlerin ilgilenilen değiĢken
bakımından ölçümlerinin yapılmasının maliyet, zaman veya diğer faktörler bakımından oldukça
zor olduğu durumlarla karĢılaĢılabilir. Bu gibi durumlarda, SKÖ kullanılarak örnek seçim iĢlemi,
basit tesadüfi örneklemeye(BTÖ) göre daha düĢük maliyetle ve daha kısa zamanda
gerçekleĢtirilir.

Yardımcı Doçent Doktor, Gazi Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 06500 Ankara
[email protected]
**
Yardımcı Doçent Doktor, Gazi Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Ġstatistik Bölümü, 06500 Ankara
[email protected]
| 115
2010
Sıralı küme örneğini elde etmek için yığından seçilen n2 çaplı tesadüfi örnek, her biri n çaplı n
kümeye ayrılır. Her bir küme birer basit tesadüfi örnek olup, i-nci kümenin elemanları Xi1,
Xi2,…, Xin (i=1,2,…,n) olmak üzere, aynı F(x) dağılım fonksiyonuna ve f(x) yoğunluk
fonksiyonuna sahiptir. i.nci küme için sıra istatistikleri Y(i,1)Y(i,2)…Y(i,n) Ģeklinde tanımlanır.
i.nci kümeden i.nci sıra istatistiğinin görsel olarak veya maliyet gerektirmeyen yöntemler
yardımıyla belirlendiği varsayılırsa, n tane küme için i.nci kümeden i.nci sıra istatistiğinin
ölçülmesi ile Y(1:1), Y(2:2),…,Y(n:n) sıra istatistikleri sıralı küme örneğini oluĢtur. Burada Y(i:i); n
çaplı örnekte i. kümedeki i.sıra istatistiğine iliĢkin gözlemi ifade eder (McIntyre,1952). Sıralı
küme örneğinden elde edilecek yığın ortalamasına iliĢkin tahmin edici yığının dağılımı ne olursa
olsun sapmasızdır. Ancak, yığın dağılımı biliniyorken, bu tahmin edici, yığın ortalamasına iliĢkin
en küçük varyanslı tahmin edici olmayabilir. Bu durumda farklı SKÖ tasarımları kullanılarak
yığına iliĢkin ortalamanın yansız ve en küçük varyanslı tahmin edicisi bulunabilir. Bu konuda,
Sinha B.K ve diğ. (1996), normal ve üstel dağılım için yığın parametrelerini tahmin etmek üzere
en iyi SKÖ tasarımını belirlemeye çalıĢmıĢlardır. Al- Saleh(2003) SKÖ tasarımlarını yığın
ortalaması ve varyansı için sapmalı ve sapmasız tahmin edici ayrımı yapmaksızın hata kare
ortalamalarına göre simülasyon yoluyla karĢılaĢtırmıĢtır. Muttlak (1997) sıralamadaki hata
miktarını azaltmak ve tek modlu simetrik dağılımlar için etkinliği arttırmak üzere Medyan SKÖ
tasarımını (MSKÖ) önermiĢtir. Samawi ve diğ.(1996) tekdüze dağılım için yığın ortalamasını
tahmin etmek üzere uç SKÖ‟yü önermiĢlerdir. Ayrıca uç değerlere karĢı sağlam bir tahmin edici
elde edilmesine imkan veren L-SKÖ Al-Nasser (2007) tarafından önerilmiĢtir.
Yığın parametrelerinin tahmin edilmesinin yanı sıra, parametrelere iliĢkin hipotez testlerinde
BTÖ yerine birimlerin SKÖ ile elde edilmesi durumunda kullanılan test istatistiğine bağlı olarak,
daha yüksek güç değerlerine ulaĢıldığı Mutlak ve Abu Dayyeh (1998), Pan and Sien(2002) ve
Shen(1994)‟in yaptıkları çalıĢmalardan görülmektedir. Ayrıca Tseng ve Wu (2007) normal ve
üstel dağılımın yığın ortalamasına iliĢkin hipotez testi için MSKÖ ve SKÖ altında kritik değerleri
elde etmek üzere, göreli etkinlik değerlerine bağlı bir formül geliĢtirmiĢlerdir.
Bu çalıĢmada, SKÖ altında yığın ortalamasına iliĢkin hipotez testi incelenmiĢtir. SKÖ altında
örnek ortalaması istatistiğinin dağılımı teorik olarak bulunamadığından hipotez testi için gerekli
kritik değerlerin elde edilmesi mümkün olamamaktadır. Bu nedenle Monte Carlo yöntemi
kullanılarak ortalamaya iliĢkin hipotez testlerinde farklı örnek çapları için kritik değerler elde
edilmiĢtir. Ayrıca elde edilen kritik değerler için, örnek çapına bağlı bir fonksiyon önerilmiĢtir.
Bu fonksiyon kullanılarak, herhangi bir örnek çapı için kritik değer belirlenebilmektedir. Kritik
değerler kullanılarak, SKÖ nün BTÖ ye göre I. tip hata ve testin gücü bakımından
karĢılaĢtırmaları yapılmıĢ ve hangi durumlarda SKÖ nün daha iyi sonuç verdiği belirlenmeye
çalıĢılmıĢtır.
2. YIĞIN ORTALAMASINA ĠLĠġKĠN HĠPOTEZ TESTĠNDE KRĠTĠK DEĞER
FONKSĠYONU
Bu bölümde normal dağılımdan elde edilen n çaplı sıralı küme örneği kullanılarak yığın
ortalamasına iliĢkin yığın varyansı biliniyorken ve bilinmiyorken hipotez testi ele alınacaktır.
Burada incelenecek alternatif hipotez çift yönlüdür. Yığın ortalamasına iliĢkin dikkate alınacak
| 116
2010
hipotezler; H 0 :   0 , H1 :   0 olmak üzere, test istatistiği elde edilirken yığın dağılımının
normal olduğu varsayımı altında, SKÖ ile elde edilen n çaplı sıralı küme örneğinden
yararlanılacaktır.
1) Yığın Varyansı Biliniyorken: n çaplı sıralı küme örneğinden elde edilen örnek ortalaması
n
istatistiği YSKÖ   Y(i:i ) / n olmak üzere, yığın varyansı 2 biliniyorken kullanılacak test
i 1
istatistiği;
ZSKÖ =
YSKÖ -0
/ n
olarak tanımlanır. Bu test istatistiğinin kritik değerlerini elde etmek amacıyla H0‟ın doğruluğu
altında, 106 adet n çaplı sıralı küme örneği üretilmiĢtir. Bu değerler için ZSKÖ hesaplanarak
sıralanmıĢ ve alt ve üst %2.5luk kısma karĢılık gelen değer kritik değer olarak belirlenmiĢtir. Bu
aĢamada farklı örnek çapları için elde edilen kritik değerlerden yararlanarak bu değerler için
örnek çapına bağlı bir fonksiyon oluĢturulmaya çalıĢılmıĢtır. En uygun fonksiyonu elde etmek
üzere, Matlab 2009a programından yararlanılarak, farklı modeller için verinin çeĢitli ölçülerle
uygunluğu test edilmiĢ ve en uygun model elde edilmeye çalıĢılmıĢtır. Yığın varyansı
biliniyorken elde edilen fonksiyon aĢağıda verilmiĢtir.
( p1n2  p2 n  1)
C
( q1n3  q2 n 2  q3n  q4 )
Bu modelde, p1=0.0027, p2=0.1955, q1=0.00002, q2=0.0099, q3=0.2198, q4=0.3862 ve belirleme
katsayısı R2=0.99996‟dir. Modelin uygunluğunu test etmek üzere, Monte Carlo ile elde edilen
kritik değerler ile modelden elde edilen kritik değerler arasındaki mutlak fark (  ), oransal fark (
 ) ve uygunluk katsayısı (AP) kullanılmıĢtır.   Ĉ  C ,   Cˆ  C / Cˆ , AP=1- olmak üzere,
örnek çapı n in farklı değerleri için Ĉ , C ,  ,  , ve AP değerleri Tablo1 de verilmiĢtir.
Tablo1 e bakıldığında incelenen tüm örnek çapları için, Monte Carlo kritik değer tahmin
değerleri ile modelden elde edilen yaklaĢık kritik değerler arasındaki uygunluk katsayısı
%99.75‟in üzerindedir. Ayrıca aralarındaki mutlak farkın 0.004‟ün altında olduğu görülmektedir.
Dolayısıyla bu modelden elde edilen kritik değerler oldukça yüksek güvenirliğe sahiptir.
| 117
2010
Tablo 1.Yığın varyansı biliniyorken Monte Carlo( Ĉ ) ve model yardımıyla ( C ) elde edilen
kritik değerler
n
Ĉ
C


3
5
7
9
12
15
18
21
24
28
32
36
40
45
50
1.4183
1.1802
1.0304
0.9356
0.8318
0.7575
0.7010
0.6542
0.6182
0.5780
0.5444
0.5160
0.4928
0.4667
0.4462
1.4188
1.1782
1.0342
0.9353
0.8313
0.7572
0.7007
0.6556
0.6186
0.5780
0.5447
0.5167
0.4928
0.4673
0.4455
0.0004
0.0020
0.0038
0.0003
0.0005
0.0003
0.0003
0.0014
0.0004
0.0001
0.0003
0.0008
0.0000
0.0006
0.0007
0.0313
0.1678
0.3648
0.0283
0.0551
0.0374
0.0387
0.2107
0.0614
0.0112
0.0624
0.1522
0.0056
0.1262
0.1558
(%)
AP(%)
99.9687
99.8322
99.6352
99.9717
99.9449
99.9626
99.9613
99.7893
99.9386
99.9888
99.9376
99.8478
99.9944
99.8738
99.8442
2) Yığın Varyansı Bilinmiyorken: X rastgele değiĢkeni, beklenen değeri  ve varyansı  2 olan
normal dağılıma sahip olmak üzere, H 0 :   0 H1 :   0 hipotezinin test edilmesi için bu
dağılımdan n birimlik sıralı küme örneği elde edilsin. Yığın varyansının bilinmediği varsayımı
altında test iĢlemi için kullanılacak test istatistiği
TSKÖ =
YSKÖ -0
SSKÖ / n
olmak üzere, yığın varyansı için SKÖ ile elde edilen yansız tahmin edici,
2
SSKÖ
n

 
  n  1   i2:n 
1  i:n 

1
n

1
Y
( i:i )
 ˆblue 
2
 i2:n
Ģeklindedir. Burada
n
ˆ blue 
Y
( i:i )
/  i2:n
1
n
1/ 
2
i:n
1
| 118
2010
olarak tanımlanmaktadır. Ayrıca i:n ve  i2:n sırasıyla standart normal dağılımdan elde edilen n
çaplı örnekteki i. sıra istatistiğinin beklenen değerini ve varyansını ifade etmektedir (Yu ve
diğ.,1996).
Önerilen test istatistiğinin kritik değerleri,
C
(n2 p1  n  p2 )
( q1n3  q2 n 2  q3n  q4 )
yaklaĢık formülü ile elde edilebilir. Bu modelde, p1= 0.0319, p2=-0.2172, q1=0.00015,
q2=0.0520, q3= 0.3502, q4= -0.8213 olarak elde edilmiĢtir. Modelin belirleme katsayısı
R2=0.99997 dir.
Önerilen modelin uygunluğunu test etmek üzere, Monte Carlo ile elde edilen kritik değerler ile
modelden elde edilen kritik değerler arasındaki mutlak fark (  ), oransal fark (  ) ve uygunluk
katsayısı (AP) kullanılmıĢtır. Bu değerler örnek çapı n in farklı değerleri için Tablo 2‟de
hesaplanmıĢtır.
Tablo 2. Yığın varyansı bilinmiyorken örnek çaplarına göre  =0.05 iken Monte Carlo ( Ĉ ) ve
model yardımıyla ( C ) elde edilen kritik değerler
n
Ĉ
C

3
5
7
9
12
15
18
21
24
28
32
36
40
45
50
4.3773
2.4818
1.9731
1.7076
1.4727
1.3196
1.2095
1.1292
1.0642
0.9952
0.9385
0.8934
0.8569
0.8141
0.7825
4.3758
2.4812
1.9727
1.7083
1.4711
1.3194
1.2113
1.1291
1.0638
0.9947
0.9397
0.8944
0.8563
0.8162
0.7823
0.0015
0.0005
0.0004
0.0007
0.0016
0.0002
0.0017
0.0002
0.0003
0.0004
0.0012
0.0010
0.0006
0.0021
0.0001

(%)
AP(%)
0.0335
0.0218
0.0205
0.0404
0.1070
0.0129
0.1426
0.0164
0.0302
0.0451
0.1250
0.1166
0.0650
0.2615
0.0161
99.9665
99.9782
99.9795
99.9596
99.8930
99.9871
99.8574
99.9836
99.9698
99.9549
99.8750
99.8834
99.9350
99.7385
99.9839
| 119
2010
4. SIRALI KÜME ÖRNEKLEMESĠ ĠLE BASĠT TESADÜFÎ ÖRNEKLEMENĠN
1.NCĠ TĠP HATA VE TESTĠN GÜCÜ BAKIMINDAN KARġILAġTIRILMASI
Bu bölümde, yığın ortalamasının hipotez testi için H1 :   0 alternatif hipotezi dikkate alınarak
BTÖ ve SKÖ tasarımları I. tip hata ve testin gücü bakımından karĢılaĢtırılmıĢtır. Öncelikle yığın
varyansının bilindiği durumda belirlenen n örnek çapı için, ortalaması 1 (0.0(0.1)1.5) ve
varyansı 2=1 olan normal dağılımdan 106 veri üretilerek, SKÖ ve BTÖ tasarımlarına uygun
olarak test istatistikleri elde edilmiĢtir. Buradan red oranları dikkate alınarak I. tip hata ve testin
gücü değerleri tahmin edilmiĢtir. Elde edilen değerler Tablo 3‟te verilmiĢtir.
Tablo 3.Varyans biliniyorken yığın ortalamasının çift yönlü testi için 1.nci tip hata ve testin gücü
değerleri
n
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
|1-0|
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
3
0.0509
0.0509
0.0564
0.0528
0.0768
0.0636
0.1111
0.0820
0.1600
0.1058
0.2224
0.1411
0.2980
0.1789
0.3892
0.2288
0.4807
0.2839
0.5805
0.3462
0.6718
0.4096
0.7502
0.4771
0.8198
0.5476
0.8763
0.6157
0.9179
0.6807
0.9483
0.7374
5
0.0515
0.0495
0.0664
0.0566
0.1159
0.0741
0.1995
0.1029
0.3169
0.1445
0.4598
0.2014
0.6046
0.2658
0.7386
0.3433
0.8464
0.4332
0.9177
0.5195
0.9605
0.6096
0.9836
0.6921
0.9937
0.7675
0.9978
0.8264
0.9994
0.8810
0.9999
0.9181
7
0.0487
0.0497
0.0786
0.0567
0.1695
0.0823
0.3253
0.1270
0.5188
0.1855
0.7076
0.2640
0.8531
0.3576
0.9391
0.4608
0.9808
0.5637
0.9945
0.6625
0.9989
0.7549
0.9998
0.8285
1.0000
0.8877
1.0000
0.9310
1.0000
0.9600
1.0000
0.9766
9
0.0508
0.0500
0.0973
0.0592
0.2374
0.0920
0.4706
0.1450
0.7098
0.2248
0.8819
0.3197
0.9654
0.4367
0.9922
0.5547
0.9988
0.6724
0.9999
0.7702
1.0000
0.8519
1.0000
0.9104
1.0000
0.9491
1.0000
0.9741
1.0000
0.9876
1.0000
0.9944
12
0.0502
0.0493
0.1283
0.0647
0.3737
0.1066
0.6869
0.1807
0.9031
0.2834
0.9833
0.4117
0.9986
0.5460
1.0000
0.6786
1.0000
0.7929
1.0000
0.8755
1.0000
0.9339
1.0000
0.9678
1.0000
0.9859
1.0000
0.9944
1.0000
0.9979
1.0000
0.9995
15
0.0507
0.0516
0.1668
0.0664
0.5165
0.1223
0.8539
0.2120
0.9805
0.3410
0.9988
0.4916
1.0000
0.6423
1.0000
0.7744
1.0000
0.8723
1.0000
0.9353
1.0000
0.9731
1.0000
0.9892
1.0000
0.9963
1.0000
0.9989
1.0000
0.9997
1.0000
0.9999
18
0.0508
0.0503
0.2188
0.0717
0.6626
0.1363
0.9462
0.2466
0.9970
0.3989
1.0000
0.5633
1.0000
0.7204
1.0000
0.8417
1.0000
0.9239
1.0000
0.9689
1.0000
0.9890
1.0000
0.9964
1.0000
0.9990
1.0000
0.9998
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
21
0.0488
0.0509
0.2777
0.0750
0.7833
0.1520
0.9843
0.2808
0.9998
0.4485
1.0000
0.6297
1.0000
0.7859
1.0000
0.8942
1.0000
0.9572
1.0000
0.9849
1.0000
0.9958
1.0000
0.9990
1.0000
0.9998
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
Tablo 3‟te |1-0| =0 iken elde edilen değerler I. tip hata değerlerini vermektedir. Tablodan
görüldüğü gibi her iki tasarımında da I. tip hata değerleri nominal (0.05) değerlerine oldukça
| 120
2010
yakın sonuçlar verdiği görülmektedir. 1-0 farkı arttıkça her iki tasarımda da testin güç değerleri
artmakla birlikte, SKÖ tasarımından elde edilen güç değerleri BTÖ den elde edilen güç
değerlerinden daha yüksektir. Özellikle 1-0 farkının 0.3 ile 0.8 arasında olması durumunda
örnek çapı arttıkça testin güçleri arasındaki farklılık artmaktadır. Örneğin; örnek çapı 18 iken 10=0.3 olduğunda SKÖ ile elde edilen testin gücü 0,9462 iken, BTÖ ile elde edilen testin gücü
0,2466 olarak elde edilmiĢtir. Benzer Ģekilde, SKÖ nün en yaygın kullanıldığı küçük örnek
çaplarında bile testlerin güçleri arasındaki bu farklılık oldukça yüksektir.
Tablo 4. Varyans bilinmiyorken yığın ortalamasının çift yönlü testi için 1.nci tip hata ve testin
gücü değerleri
n
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
|1-0|
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
SKÖ
BTÖ
3
0.0496
0.0503
0.0534
0.0511
0.0619
0.0550
0.0760
0.0623
0.0954
0.0700
0.1203
0.0837
0.1496
0.0974
0.1834
0.1163
0.2209
0.1353
0.2572
0.1543
0.3017
0.1798
0.3437
0.2040
0.3908
0.2287
0.4348
0.2602
0.4778
0.2840
0.5241
0.3166
5
0.0483
0.0502
0.0605
0.0534
0.0925
0.0642
0.1458
0.0823
0.2222
0.1075
0.3116
0.1397
0.4183
0.1783
0.5290
0.2290
0.6316
0.2812
0.7266
0.3395
0.8038
0.3990
0.8666
0.4641
0.9112
0.5309
0.9427
0.5935
0.9657
0.6560
0.9805
0.7107
7
0.0510
0.0502
0.0711
0.0555
0.1417
0.0741
0.2542
0.1048
0.4046
0.1449
0.5690
0.2016
0.7182
0.2677
0.8351
0.3458
0.9137
0.4300
0.9585
0.5159
0.9827
0.5990
0.9927
0.6840
0.9972
0.7544
0.9992
0.8171
0.9998
0.8669
1.0000
0.9059
9
0.0496
0.0506
0.0859
0.0577
0.2037
0.0834
0.3894
0.1238
0.6051
0.1865
0.7861
0.2623
0.9062
0.3547
0.9662
0.4549
0.9897
0.5616
0.9974
0.6578
0.9995
0.7460
1.0000
0.8207
1.0000
0.8839
1.0000
0.9267
1.0000
0.9565
1.0000
0.9754
12
0.0507
0.0515
0.1172
0.0616
0.3239
0.0974
0.6095
0.1590
0.8412
0.2445
0.9571
0.3538
0.9920
0.4721
0.9990
0.5990
0.9998
0.7141
1.0000
0.8085
1.0000
0.8840
1.0000
0.9330
1.0000
0.9660
1.0000
0.9839
1.0000
0.9927
1.0000
0.9972
15
0.0517
0.0502
0.1544
0.0648
0.4630
0.1122
0.7963
0.1915
0.9584
0.3045
0.9952
0.4373
0.9997
0.5791
1.0000
0.7114
1.0000
0.8220
1.0000
0.9005
1.0000
0.9486
1.0000
0.9776
1.0000
0.9907
1.0000
0.9966
1.0000
0.9988
1.0000
0.9997
18
0.0502
0.0487
0.2038
0.0701
0.6072
0.1250
0.9180
0.2250
0.9924
0.3604
0.9998
0.5174
1.0000
0.6673
1.0000
0.8006
1.0000
0.8932
1.0000
0.9494
1.0000
0.9789
1.0000
0.9925
1.0000
0.9978
1.0000
0.9991
1.0000
0.9999
1.0000
1.0000
21
0.0520
0.0510
0.2558
0.0734
0.7377
0.1414
0.9721
0.2587
0.9992
0.4172
1.0000
0.5898
1.0000
0.7447
1.0000
0.8615
1.0000
0.9365
1.0000
0.9742
1.0000
0.9914
1.0000
0.9976
1.0000
0.9994
1.0000
0.9998
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
Tablo 4‟ten görüldüğü gibi, her iki tasarımında I. tip hataları nominal (0.05) değerlerine oldukça
yakın sonuçlar verdiği görülmektedir. Ayrıca yığın varyansının bilinmediği durumda beklendiği
gibi testin gücü değerleri yığın varyansının bilindiği Tablo 3‟teki değerlerden daha düĢüktür.
Ancak SKÖ tasarımından elde edilen güç değerleri BTÖ den elde edilen değerlerden daha
yüksektir.
| 121
2010
KAYNAKLAR
Al-Saleh, M.F., (2004). On the totality of ranked set sampling. Applied Mathematics and
Computation. 47, 527-539.
McIntyre, G. A., (1952). A method of unbiased selective sampling, using ranked sets.
Australian Journal of Agricultural Research. 3: 385-390.
Mutlak, H. A.,Abu-Dayyeh, W.,(1998). Testing some hypothesis about the normal distribution
using ranked set sample: A more powerful test. Journal of Information and Optimization
Sciences. 19: 1-11.
Al-Nasser,A.D., (2007), L ranked set sampling: A generalization procedure for robust visual
sampling,Communication in Statistics:Simulation and Computation(36):33-43.
Pan, Y.J., Sien, W.H.,(2002). Tests for normal parameters based on a ranked set sample. Tunghai
Management review. 4:1-16.
Samawi H.,Abu-Dayyeh W.,Ahmed,M.S, (1996), Estimating the population mean using extreme
ranked set sampling. Biometrical Journal(38)577-586.
Shen, W.H.,(1994), Use of ranked set sampling for test of a normal mean. Calcutta Statistical
Association Bulletin. 44: 183-193.
Sinha, B.K., Sinha, B.K., S. Purkayasta,(1996). On some aspects of ranked set sampling for
estimation of normal and exponential parameters. Statistical Decisions 14: 223-240.
Muttlak, H.A.,(1997). Median ranked set sampling, Applied Statistical Science 6 (4) 245- 255.
Tseng, Y., Wu, S., (2007). Ranked- Set- Sample- based Tests for Normal and Exponential
Means. Communication in Statistics:Simulation and Computation.36: 761-782.
Yu, P.L.H., Lam, K., Sinha, B. K. (1996) Estimation of Variance Based on Balanced and
Unbalanced Ranked Set Samples, Research Report, Serial No. 112, Department of Statistics, The
University of Hong Kong, Hong Kong.
| 122
2010
TL/DOLAR DÖVĠZ KURU VERĠLERĠNĠN BULANIK ZAMAN SERĠSĠ
YAKLAġIMLARI ĠLE ÖNGÖRÜSÜ
Cem Koçak1, Erol Eğrioğlu2, Ufuk Yolcu2 ve ÇağdaĢ Hakan Aladağ3
1
Rektörlük Birimi, Hitit Üniversitesi, Çorum
2
Ġstatistik Bölümü, Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Samsun
3
Ġstatistik Bölümü, Hacettepe Üniversitesi, Ankara
ÖZET
Son yıllarda bulanık zaman serisi öngörü yöntemlerine olan ilgi oldukça fazladır. Özellikle döviz
kuru gibi gün içinde değeri sürekli değiĢen zaman serileri bulanık zaman serileri olarak ifade
edilebilmektedir. Gözlemlerinde belirsizlik olan bu tür zaman serilerinin bulanık zaman serisi
olarak ele alınması kuĢkusuz daha doğru olacaktır. Bu çalıĢmada 20.05.2008 - 29.09.2008
tarihleri arasındaki Amerikan Doları kuru (TL/Dolar) zaman serisi çeĢitli klasik ve bulanık
zaman serisi yöntemleri ile çözülerek elde edilen sonuçlar yorumlanmıĢtır. TL/Dolar zaman
serisi için en uygun zaman serisi çözümleme yöntemi belirlenmiĢtir.
Anahtar kelimeler: Öngörü, bulanık zaman serileri, döviz kuru.
1. GiriĢ
Bulanık zaman serisi ilk olarak Song ve Chissom (1993) tarafından, Zadeh (1965)‟in bulanık
küme teorisine dayalı olarak ortaya atılmıĢtır. Gözlemleri belirsizlik içeren zaman serilerinin,
bulanık zaman serileri olarak tanımlanması ve bulanık zaman serisi yaklaĢımları ile
çözümlenmesi gerektiği Song ve Chissom (1993)‟de belirtilmektedir. Bunun yanında, bulanık
zaman serisi yaklaĢımlarının klasik yaklaĢımlardaki doğrusallık ve gözlem sayısı gibi kısıtları
içermemesi, bu yaklaĢımlara olan ilgiyi giderek arttırmaktadır. Song ve Chissom (1993)‟de
Alabama Üniversitesi kayıt verileri için önerdikleri bulanık zaman serisi yaklaĢımının
literatürdeki klasik yaklaĢımlardan daha doğru öngörü sonuçları verdiğini göstermiĢtir.
Song ve Chissom (1993)‟de önerilen yöntem karmaĢık matris iĢlemleri içermektedir. Bu nedenle
Chen (1996) çalıĢmasın da Song ve Chissom (1993) çalıĢmasındaki karmaĢık bileĢke iĢlemlerine
gerek duymayan, bulanık mantık grup iliĢki tablolarının kullanıldığı bir yaklaĢım önerilmiĢtir.
Song ve Chissom (1993) ve Chen (1996) çalıĢmasın da önerilen yöntemler birinci dereceden
bulanık zaman serisi modelini kullanmaktadır. Chen (2002)‟de ise yine bulanık mantık grup iliĢki
tablolarını kullanan yüksek dereceli bir bulanık zaman serisi yaklaĢımı önerilmiĢtir. Chen (2002)
çalıĢmasında önerilen yöntem, bir çok bulanık mantık grup iliĢki tablosu elde edilmesini
gerektirdiğinden oldukça fazla iĢleme gerek duyan bir yöntemdir. Aladağ vd. (2009)‟da ise
bulanık iliĢkilerin ileri beslemeli yapay sinir ağları ile belirlendiği ve Chen (2002)‟ye göre daha
kolay hesaplamalar içeren yüksek dereceli bir bulanık zaman serisi yaklaĢımı önerilmiĢtir.
Literatürde döviz kuru verilerinin doğrusal dıĢı yapılar içerdiği ve klasik zaman serisi
yaklaĢımları ile çözümlenemediği belirtilmektedir (Kadılar, 2009). Döviz kuru verileri Giddy ve
Duffey (1975), Hakkio ve Rush (1986) çalıĢmalarında rastgele yürüyüĢ modeli ile, Baharumshah
| 123
2010
ve Liew (2001), Brooks (1997) ve Palma ve Chan (1997) doğrusal olmayan zaman serisi
yaklaĢımları ile çözümlemiĢtir. Gradojevic ve Yang (2000), Kadilar vd. (2009)‟da ise yapay sinir
ağları ile döviz kuru verilerini çözümlemiĢtir.
Bu çalıĢmada 20.05.2008 - 29.09.2008 dönemine ait TL/USD döviz kuru (USD) zaman serisi
literatürde ile olarak bulanık zaman serisi yöntemleri ile çözümlenerek klasik yaklaĢımlar ile
bulanık zaman serisi yaklaĢımlarından elde edilen sonuçlar karĢılaĢtırılmıĢtır. Veriye klasik
yaklaĢımlardan ARIMA ve Basit Üstel DüzleĢtirme yöntemleri ve bulanık zaman serisi
yaklaĢımlarından Chen (1996), Chen (2002) ve Aladağ vd. (2009) yöntemleri uygulanmıĢtır.
ÇalıĢmanın 2 bölümünde uygulamada kıllanılan yöntemler hakkında kısa bilgi verilmiĢtir.
Üçüncü bölümde tanıtılan yöntemlerin TL/Dolar zaman serisine uygulanmasının detayları ve
elde edilen sonuçlar verilmiĢtir. Son bölümde ise elde edilen sonuçlar tartıĢılmıĢtır.
2. Uygulamada Kullanılan Yöntemler
2.1. ARIMA Modelleri
ARIMA modelleri literatür de en iyi bilinen doğrusal zaman serisi yöntemleridir. ARIMA
modelleri verideki doğrusal yapıyı modellemeyi amaçlamaktadır. Yöntemin uygulanması için
Box ve Jenkins (1976)‟da bir algoritma verilmektedir. Box-Jenkins yöntemi olarak da bilinen bu
algoritma model belirleme, parametre tahmini, artık analizi ve öngörü aĢamalarından
oluĢmaktadır. (p,d,q). dereceden bir model sembolik olarak ARIMA(p,d,q) ile gösterilmekte ve
aĢağıdaki eĢitlikteki gibi yazılmaktadır.
 ( B)(1  B) d X t   ( B)at
(1)
Burada,  ( B)  1  1 B  2 B 2     p B p ,  ( B)  1  1 B     q B q , B p X t  X t  p
olmaktadır. ARIMA(0,1,0) modeli rastgele yürüyüĢ modeli olarak da bilinmektedir.
2.2.
Basit Üstel DüzleĢtirme
Bu yöntem literatür de birçok çalıĢmada kullanılmıĢ klasik zaman serisi yaklaĢımlarındandır.
Yöntemde her bir tahmin bir önceki dönemin gerçek değeri ile tahmininin ağırlıklı toplamıdır.
Yöntem döviz kuru gibi bir ortalama etrafında salınan zaman serileri için baĢarılı öngörü
sonuçları vermektedir. Basit üstel düzleĢtirme modelinde tahminler, α düzleĢtirme katsayısı
olmak üzere aĢağıdaki formül ile hesaplanır.
Xˆ t 1  X t  (1   ) Xˆ t
(2)
Basit üstel düzleĢtirme yöntemi ile ilgili detaylar Kadılar (2003)‟den elde edilebilir.
| 124
2010
2.3. Chen „in Birinci dereceden Bulanık Zaman Serisi YaklaĢımı
Bulanık zaman serisi ilk olarak Song ve Chissom (1993) tarafından, Zadeh (1965)‟in bulanık
küme teorisine dayalı olarak ortaya atılmıĢtır. Chen (1996) çalıĢmasın da Song ve Chissom
(1993) çalıĢmasındaki karmaĢık bileĢke iĢlemlerine gerek duymayan, bulanık mantık grup iliĢki
tablolarının kullanıldığı bir yaklaĢım önerilmiĢtir. Chen (1996)‟da önerilen yöntem aĢağıda
algoritma olarak verilmiĢtir.
Adım 1. Evrensel küme (U ) ve alt aralıkları (ui , i  1,2,..., b) tanımlanır.
Evrensel kümenin baĢlangıç ve bitiĢ noktaları belirlenir. Bu noktalar zaman serisinin aldığı ve
alabileceği mümkün değerleri kapsayacak Ģekilde seçilir. Daha sonra uygun aralık uzunluğuna
göre evrensel küme alt aralıklara parçalanır. Bu yöntemde aralık uzunluğunun belirlenmesi
araĢtırmacıya bağlıdır. Belirlenecek aralık uzunluğunun alt aralık sayısı üzerinde etkili olduğu
unutulmamalıdır.
Adım 2. Evrensel küme ve parçalanmalara bağlı olarak bulanık kümeler tanımlanır.
Ai  f Ai (u1 ) / u1    f Ai (ub ) / ub i  1,2,..., b
Adım 3. Gözlemler bulanıklaĢtırılır. Her bir gözlemin bulunduğu alt aralık belirlenir. Belirlenen
alt aralığın en yüksek üyelik değerine sahip olduğu bulanık küme belirlenir. Gözlemin bulanık
değeri belirlenen bu bulanık kümedir.
Adım 4. Bulanık mantık iliĢki ve grup iliĢki tablosu oluĢturulur. Örneğin, bulanık mantık iliĢkiler
A1  A2 , A1  A1 , A1  A3 Ģeklinde iken, bulanık mantık grup iliĢki A1  A2 , A3 , A1 Ģeklinde
olmaktadır.
Adım 5. Öngörüler elde edilir.
Öngörü elde etmede birkaç durum söz konusudur. F (t  1)  A j olsun.
Durum 1. Bulanık grup iliĢki tablosundan sadece Ai  A j iliĢkisi var ise öngörü A j .
Durum 2. Bulanık grup iliĢki tablosunda Ai  Ai , A j ,..., Ak ise öngörü Ai , A j ,..., Ak .
Durum 3.Bulanık grup iliĢki tablosunda Ai  Boş ise öngörü Ai ‟dir.
Adım 6. DurulaĢtırma iĢlemi uygulanır. DurulaĢtırmada merkezileĢtirme yöntemi kullanılır.
Adım 5 de belirtilen durum 1 ve 3 için bulanık öngörü A j olduğunda durulaĢtırılmıĢ öngörü, A j
bulanık kümesinde en yüksek üyelik değerine sahip olan u j aralığının orta noktası olmaktadır.
Durum 2 için ise bulanık öngörü Ai , A j ,..., Ak olduğunda durulaĢtırılmıĢ öngörü, her bir
Ai , A j ,..., Ak bulanık kümelerinin en yüksek üyelik değerine sahip olan ui , u j ,..., u k aralıklarının
orta noktalarının aritmetik ortalaması olarak elde edilir.
| 125
2.4.
2010
Chen‟nin Yüksek Dereceli Bulanık Zaman Serisi Yöntemi
Chen, 2002 yılında yaptığı çalıĢmada öngörü elde etmede yüksek dereceli bulanık zaman serisi
yaklaĢımını önermiĢtir. Chen (2002) tarafından verilen bu yöntemde yüksek dereceli modellerde
tüm gecikmeli bulanık değiĢkenler bulunmaktadır. Chen (2002) çalıĢmasında önerilen yüksek
dereceli bulanık zaman serisi yönteminin algoritması aĢağıdaki adımlardan oluĢur.
Adım 1. Evrensel küme ve alt aralıklar tanımlanır.
Adım 2.Evrensel küme ve belirlenen alt aralıklara bağlı olarak A j bulanık kümeleri tanımlanır.
Adım 3. Gözlemler bulanıklaĢtırılır. Her bir veri bulunduğu aralığın en büyük üyelik değerine
sahip olduğu bulanık küme ile eĢleĢtirilerek zaman serisi bulanıklaĢtırılır.
Adım 4. Bulanık mantık iliĢki ve grup iliĢki tablosu oluĢturulur. n‟nci dereceden bulanık mantık
iliĢkiler,
Ain , Ai ( n 1) ,, Ai1  A j1
Ain , Ai ( n 1) ,, Ai1  A j 2


Ain , Ai ( n 1) ,, Ai1  A jp
Ģeklinde verilmiĢken, bulanık mantık grup iliĢkisi,
Ain , Ai ( n1) ,, Ai1  A j1 , A j 2 ,, A jp
olarak elde edilir. Bulanık mantık iliĢki ve grup iliĢki tabloları, elde edilen bu bulanık mantık
iliĢki ve grup iliĢkilerden oluĢur.
Adım 5. Bulanık öngörüler elde edilir. n‟nci dereceden bulanık zaman serisi öngörü modeli için
bulanık öngörüler elde edilirken üç durum söz konusudur.
Durum 1. n‟nci dereceden bulanık mantık grup iliĢki tablosunda,
Ain , Ai ( n1) ,, Ai1  A j iliĢkisi mevcut ise bulanık öngörü, A j olacaktır.
Ain , Ai ( n1) ,, Ai1  A j1 , A j 2 ,, A jp iliĢkisi mevcut ise bulanık öngörüde belirsizlik söz
konusudur ve bulanık öngörünün elde edilebilmesi için belirsizlik giderilene kadar incelenen
derecenin bir üst derecesine bakılarak m>n olmak üzere,
Aim , Ai ( m1) ,, Ai1  A j
iliĢkisini veren
m aranır ve bu durumda bulanık öngörü, yine A j olacaktır.
Ain , Ai ( n1) ,, Ai1  Boş
| 126
iliĢkisi mevcut ise reel öngörü,
Ain , Ai ( n1) ,, Ai1 bulanık
2010
kümelerine bağlı olarak,
uin , ui ( n1) ,, ui1 aralıklarının orta noktaları, min , mi ( n1) ,, mi1 olmak üzere,
1  min  2  mi ( n1)    n  mi1
1 2  n
ifadesi ile elde edilir.
Adım 6. DurulaĢtırma iĢlemi uygulanır.
DurulaĢtırmada merkezileĢtirme yöntemi kullanılır. Öngörülerin elde edilmesinde karĢılaĢılan
Durum 1. ve Durum 2. için bulanık öngörü A j olarak elde edilmiĢken, durulaĢtırılmıĢ öngörü,
A j bulanık kümesinde en yüksek üyelik değerine sahip olan u j aralığının orta noktası olacaktır.
Durum 3. için ise reel öngörünün, Ain , Ai ( n1) ,, Ai1 bulanık kümelerine bağlı olarak nasıl elde
edildiği daha önce belirtilmiĢti.
2.5. Yapay Sinir Ağlarına Dayalı Bulanık Zaman Serisi YaklaĢımı
Aladağ vd. (2009) çalıĢmasında bulanık iliĢkilerin ileri beslemeli yapay sinir ağları ile
belirlendiği yüksek dereceli bulanık zaman serisi öngörü modeline dayalı bir yöntem
önerilmiĢtir. Önerilen yöntem Chen (2002) yöntemindeki karmaĢık bulanık grup iliĢki tablolarına
gerek duymamaktadır. Aladağ vd. (2009) yöntemi aĢağıda algoritma halinde verilmiĢtir.
Adım 1. Evrensel küme ve alt aralıklar tanımlanır.
Adım 2. Evrensel küme ve belirlenen alt aralıklara bağlı olarak A j bulanık kümeleri tanımlanır.
Adım 3. Gözlemler bulanıklaĢtırılır. Her bir veri bulunduğu aralığın en büyük üyelik değerine
sahip olduğu bulanık küme ile eĢleĢtirilerek zaman serisi bulanıklaĢtırılır.
Adım 4. Ġleri beslemeli yapay sinir ağı kullanılarak bulanık mantık iliĢkiler belirlenir. Yapay
sinir ağının girdileri: gecikmeli değiĢkenlerden, çıktıları: öngörülerden ve hedef değerleri ise
gerçek verinin bulanık değerlerinden oluĢur. Yapay sinir ağı verilen girdi ve çıktılara göre
eğitilir. Girdi nöronlarının sayısı modelin derecesi olmaktadır. Gizli tabaka birim sayısına
deneme yanılma yöntemi ile karar verilmektedir. Çıktı birimindeki nöron sayısının ise bir olacağı
açıktır.
Adım 5. Bulanık öngörüler elde edilir. Önceki adımda elde edilen yapay sinir ağı modeli
kullanılarak, yapay sinir ağının çıktıları hesaplanır. Hesaplanan çıktılar, öngörülerin ait olduğu
bulanık kümelerin numaralarıdır.
Adım 6. Bulanık öngörülere durulaĢtırma iĢlemi uygulanır.
| 127
3.
2010
TL/Dolar Zaman Serisinin Bulanık Zaman Serisi YaklaĢımları ile Çözümlenmesi
20.05.2008 - 29.09.2008 tarihleri arasındaki Amerikan Doları kuru (TL/Dolar) zaman serisi
çeĢitli klasik ve bulanık zaman serisi yöntemleri ile çözümlenmiĢtir. Klasik yöntemlerden veriye
uygun olan ARIMA(0,1,0) (rastgele yürüyüĢ modeli) ve basit üstel düzleĢtirme yöntemleri
uygulanmıĢtır. Bulanık zaman serisi yaklaĢımlarından Chen (1996) yönteminin uygulanmasında
aralık uzunluğu 0.01 olarak alınmıĢtır. Chen (2002) yönteminin uygulanmasında model derecesi
1 ile 5 arasında değiĢtirilerek ve aralık uzunluğu 0.01 alınarak incelenen beĢ modelden en uygun
model 3. Dereceden model olarak elde edilmiĢtir. Aladağ vd. (2009) yönteminin
uygulanmasından model derecesi 1 ile 5 ve gizli tabaka birim sayısı 1 ile 5 arasında değiĢtirildiği
25 modelden en uygun model 3. Dereceden ve 1 gizli tabaka biriminin bulunduğu aralık
uzunluğunun 0.01 olduğu model olarak bulunmuĢtur. Tüm yöntemlerden elde edilen öngörü
sonuçları Tablo 1‟de özetlenmiĢtir.
4. Sonuçlar ve TartıĢma
(TL/Dolar) zaman serisi için uygulanan yöntemlerin sonuçları incelenirse, bulanık zaman serisi
yaklaĢımlarının klasik yaklaĢımlardan daha iyi sonuç verdiği görülmektedir. En uygun bulanık
zaman serisi çözüm yöntemi ise Aladağ vd. (2009) çalıĢmasında önerilen yöntemdir. Bu
yöntemin öngörülerinin bir birimdeki ortalama hatası % 1 (HKOK=0.011), yüzdelik ortalama
hatası % 0,2 (HMYO=0,002) ve yön doğruluğu % 57 olmaktadır.
ARIMA
(0,1,0)
Basit Üstel
DüzleĢtirme
Chen (1996)
Chen (2002)
Aladağ vd.
(2009)
09.09.2008
10.09.2008
11.09.2008
12.09.2009
15.09.2008
16.09.2008
17.09.2008
18.09.2008
19.09.2008
22.09.2008
23.09.2008
24.09.2008
25.09.2008
26.09.2008
29.09.2008
USD Kuru
Dönem
Tablo 1. Tüm Yöntemler Ġçin Öngörü Sonuçları
1,220
1,220
1,230
1,250
1,240
1,260
1,270
1,260
1,270
1,250
1,240
1,230
1,230
1,230
1,230
HKOK
HMYO
YD
1,240
1,240
1,240
1,240
1,240
1,240
1,240
1,240
1,240
1,240
1,240
1,240
1,240
1,240
1,240
0,017
0,012
0,429
1,240
1,240
1,240
1,240
1,240
1,240
1,240
1,240
1,240
1,240
1,240
1,240
1,240
1,240
1,240
0,017
0,012
0,429
1,240
1,225
1,225
1,240
1,245
1,240
1,265
1,275
1,265
1,275
1,245
1,240
1,240
1,240
1,240
0,012
0,025
0,429
1,228
1,230
1,225
1,231
1,243
1,247
1,257
1,267
1,268
1,272
1,263
1,253
1,242
1,237
1,235
0,013
0,024
0,429
1,245
1,225
1,225
1,235
1,245
1,245
1,255
1,255
1,255
1,255
1,245
1,235
1,235
1,235
1,235
0,011
0,002
0,571
| 128
2010
5. Kaynaklar
1- Aladag, C.H., Basaran, M.A., Egrioglu, E., Yolcu, U., Uslu, V.R., (2009). Forecasting in
HighOrder Fuzzy Times Series by Using Neural Networks to Define Fuzzy Relations, Expert
Systems with Applications, 36, 4228-4231.
2- Chen, S.M. (1996). Forecasting enrollments based on fuzzy time-series. Fuzzy Sets and
Systems, 81, 311-319.
3- Chen, S.M., (2002). Forecasting enrollments based on high order fuzzy time series,
Cybernetics and Systems, 33:1-16.
4- Song, Q. and Chissom, B.S., (1993). Fuzzy time series and its models, Fuzzy Sets and
Systems, 54, 269-277.
5- Zadeh L.A., (1965). Fuzzy Sets, Inform and Control, 8 (1965) 338-353.
| 129
2010
HETEROJEN VARYANS DURUMUNDA ORTALAMALARIN EġĠTLĠĞĠ ĠÇĠN
YENĠDEN ÖRNEKLEME TEKNĠKLERĠNE DAYALI BĠR ÇALIġMA
Esra YĠĞĠT*
Hamza GAMGAM**
*Gazi Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Ġstatistik Bölümü Teknikokullar Ankara, [email protected]
**Gazi Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Ġstatistik Bölümü Teknikokullar Ankara, [email protected]
ÖZET
Klasik varyans analizinde, varyansların eĢitlik varsayımının sağlanmaması en çok karĢılaĢılan
problemlerden biridir. Literatürde bu konuyla ilgili bir çok test istatistiği geliĢtirilmiĢtir. Bu
çalıĢmada GenelleĢtirilmiĢ F, Parametrik Bootstrap ve Permütasyon testleri tanıtılmıĢtır ve farklı
yığın parametreleri ve örnek hacimleri altında deneysel I.tip hata oranı ve testin gücü bakımından
karĢılaĢtırılması yapılmıĢtır.
Anahtar kelimeler: GenelleĢtirilmiĢ F test, Parametrik Bootstrap test, Permütasyon test
A COMPARĠSON OF SEVERAL TESTS FOR ONE-WAY ANOVA UNDER UNEQUAL
VARIANCES
ABSTRACT
Heteroscedasticity is one of the major practical problems encountered in ANOVA problems. For
this problem a large number of tests are available in the literature. In this study we compare some
of tests which are Generalized F-test, Parametric Bootstrap test, Randomization test and XuWang test. The sizes and powers of the tests are calculated using a Monte Carlo simulation for
various combinations of variance, means, population number and sample size.
Key Words : Generalized F test, Parametric Bootstrap test, Randomization tests
1. GĠRĠġ
Klasik varyans analizi herbiri normal dağılıma sahip olan ikiden fazla yığının ortalamalarının
eĢitliği hipotezinin testi amacıyla kullanılır. Bunun için kullanılan klasik F testi bazı
varsayımları gerektirir. Bu varsayımlardan yığınların varyanslarının eĢitliği varsayımı
sağlanmıyor ancak heterojenlik çok az ise klasik F testi bundan çok az etkilenmektedir [Box,
1954]. Buna karĢın yığınların varyansları arasındaki fark arttıkça ve özellikle örnek hacimleri eĢit
değilse çok ciddi problemler ortaya çıkmaktadır [Bishop, 1976; Reed ve Stark, 1995]. Bu yüzden
| 130
2010
bu varsayım en kritik varsayımdır. Böyle bir durumda klasik F testi sağlam (robust) bir test
değildir. Özellikle örnek hacmi ve yığın varyansı ters orantılı olduğunda klasik F testi için  . tip
hata oranı nominal  . tip hatadan oldukça büyük, doğru orantılı olduğu zaman ise oldukça
küçüktür [Krutchkoff ,1988; Lee ve Ahn, 2003].
Homojen varyans varsayımı sağlanmadığında yokluk hipotezinin reddini destekler nitelikte
önemli kanıtlar olsa bile bazen klasik F testi ile büyük hacimli örnekler durumunda bile yokluk
hipotezi reddedilemiyebilir. Birçok alanda, büyük hacimli örneklerin elde edilemeyeceği
düĢünülürse bu durum önemli bir sıkıntı doğurabilir. Büyük hacimli örnekleri elde etmenin zor
olduğu alanlardan biri biomedikal çalıĢmalardır. Böyle uygulamalarda her bir veri hayati öneme
sahip olabilir veya bu veriyi elde etmek çok pahalı olup zaman alabilir. Bu durumda yeterli örnek
hacmine sahip olunamamaktadır. Böylece küçük hacimli örneklerle çalıĢma zorunluluğu ortaya
çıkar. Böyle durumlarda klasik F testi oldukça kötü sonuçlar vermesinden dolayı alternatif testler
geliĢtirilmiĢtir. Bu test istatistiklerinin bazılarının dağılımı tam olarak bilinirken bazılarının da
dağılımı simülasyon yoluyla yaklaĢık olarak bulunmaktadır [Weerahandi, 1995; Weerahandi,
2004].
Bu çalıĢmada test istatistiklerinin dağılımları simülasyon yoluyla bulunan testlerden Weerahandi
(1995) tarafından önerilen GenelleĢtirilmiĢ F testi, Krishnamoorthy ve ark. (2006)‟nın önerdiği
Parametrik Bootstrap testi ve Manly (1995) tarafından geliĢtirilen permütasyon testleri
tanıtılmıĢtır. Ayrıca simülasyon yoluyla bu test istatistiklerinin, farklı örnek hacmi ve yığınların
farklı varyansları altında deneysel I. tip hata oranları ve testin gücü bakımından karĢılaĢtırmaları
yapılmıĢtır.
2. HOMOJEN OLMAYAN VARYANS VARSAYIMI ALTINDA ORTALAMALARIN
EġĠTLĠĞĠ ĠÇĠN TEST ĠSTATĠSTĠKLERĠ
Yığınların varyansları homojen olmadığı zaman, StandartlaĢtırılmıĢ
Gruplar Arası Kareler
Toplamı ve StandartlaĢtırılmıĢ Hata Kareler Toplamı sırasıyla,
| 131
2010
2
Sb  Sb  12 ,
 k ni X i 
 2 
k
ni X i2  i 1  i 
2
, k    2 
,
k
ni
i 1  i

i 1
k
Se  
i 1
ni Si2
(2.1)
 i2
2
i
olarak ifade edilir [Weerahandi, 1995]. Homojen varyans varsayımı sağlanmadığı zaman klasik F
test istatistiğinin dağılımı teorik olarak elde edilememektedir. Bu yüzden ortalamaların eĢitliği
hipotezini test etmek için F testine alternatif baĢka test istatistikleri kullanılmaktadır.
2.1. Weerahandi‟nin GenelleĢtirilmiĢ F Testi
Klasik yaklaĢımda test istatistiğinin dağılımının uç bölgesi kullanılırken genelleĢtirilmiĢ
yaklaĢımda ise test değiĢkeni için oluĢturulan örnek uzayının uç bölgesi kullanılır.
GenelleĢtirilmiĢ F testinin p değerinin hesaplanması için uç bölgedeki gözlenen örnek
noktalarının sayısı dikkate alınır. Yokluk hipotezinin doğruluğu altında bu bölgenin olasılığı bize
genelleĢtirilmiĢ p değerini vermektedir [Gamage ve Weerahandi, 1998]. Weerahandi, bu
yöntemde  i2 parametresinin ençok olabilirlik tahmin edicisi olan Si2 
istatistiğinin kullanımını önermiĢtir. Bj değiĢkeni,
1
ni
ni
 X
i 1
ij
 Xi 
ni Si2
istatistiğinin bir fonksiyonu olarak
 i2
aĢağıdaki gibi tanımlansın.
 j ni Si2 
 2 
i 1 
B j   j 1 i 2  ,
 ni Si 
 2 
 i 1  i 
j  1,
, k 1
(2.2)
Buna göre Bj istatistiğinin dağılımı
Bj
2
 j (n  1) (n j 1  1) 
beta  i
,

2 
 i 1 2
| 132
olur [Weerahandi, 1995]. EĢ. 2.1 ve EĢ. 2.2 ile i. örnek için
2010
ni Si2
 i2
rastgele değiĢkeni Bj
değiĢkenine bağlı olarak aĢağıdaki gibi elde edilir.
n1S12
 12
 Se B1B2
Bk 1 ,
ni Si2
 i2
 Se 1  Bi 1  Bi
Bk 1 , i  2,
nk Sk2
, k  1,
 k2
 Se 1  Bk 1 
ni Si2
istatistiği için yapılan ayrıĢtırma bilinmeyen bir parametreye bağlı değildir. Bu yüzden H 0
 i2
hipotezinin kabul edilip edilmemesi bu ifadeyi etkilememektedir. Böylece genelleĢtirilmiĢ p
değerinin hasaplanması sağlanmaktadır
Bu durumda genelleĢtirilmiĢ p değeri aĢağıdaki gibi hesaplanır.

 n  k 
n3 s32
n1s12
n2 s22
p  1  E  H k 1,n k 
sb 
,
,
,

k

1
B
B
B
(1

B
)
B
B
(1

B
)
B
B

1
2
k

1
1
2
k

1
2
3
k

1



Burada
H k 1,n k ,
,
nk sk2   

(1  Bk 1 )   
k-1 ve n-k serbestlik derecesine sahip F dağılımının kümülatif dağılım
fonksiyonudur. Buna göre p   olduğunda yokluk hipotezi red edilir.
2.2. Parametrik Bootstrap YaklaĢımı
En az bir varsayım sağlandığında Krishnamoorthy ve ark. (2006) Parametrik Bootstrap
yöntemini, bu tek yönlü model yapısı için kullanmayı önermiĢlerdir. Parametrik Bootstrap
yönteminde, verilen örneklerden elde edilen istatistik değerleri parametre değerleri yerine
kullanılarak yeniden örnekler oluĢturulur ve bu da Parametrik Bootstrap örneği olarak
isimlendirilir. Buna göre Bootstrap örneğinin X Bi ve S Bi2 istatistiklerinin dağılımları sırasıyla
X Bi
 Si2 
N  0,  ,
 ni 
SBi2
Si2  n2i 1
 ni  1
| 133
2010
Ģeklindedir. EĢ. 2.1‟deki Sb fonksiyonunda X ve Si2 yerine Bootstrap örneğinden elde edilen
X Bi ve S Bi2 değiĢkenlerinin dağılımları yazılırsa yeni SbB fonksiyonu

SbB Z i ,  n2i1 ; Si2

 k ni Z i  ni  1 


k
Si  n2i1
Z i2  ni  1  i 1



2
k
ni  ni  1
 ni 1
i 1

2 2
i 1 Si  ni1

2
(2.4)

elde edilir. Buna göre, P SbB  Zi ,  n2 ; si2   sb   olduğunda yokluk hipotezi red edilir.
i 1
2.3. Permütasyon yöntemi
Manly (1995), homojen varyans varsayımı sağlanmadığında ikiden fazla yığının ortalamalarının
eĢitliği hipotezinin testi için veri dönüĢümü uygulayarak permütasyon yöntemini önermiĢtir.
Böylece oluĢturulan permütasyon dağılımına göre örnek ortalamalarının beklenen değeri
değiĢmemekte fakat örnek varyansları değiĢmektedir. Yapılan bu veri dönüĢümü permütasyon
yöntemini uygulamamızı sağlar. Buna göre elde edilen permütasyon testi (test 1) için algoritma
aĢağıdaki gibi verilebilir.
n x
k
 k ni

2
ˆ
1) B     xij  ˆ  ni  ve ˆ 
 i 1 j 1

2
i
i 1
k

i 1
i i
Bî
ni Bî


denklemleri kullanılarak Bi ve µ değerleri
tahmin edilir.
2) Tahmin edilen Bi ve µ değerlerine bağlı olarak uîj  ˆ 
x
ij
 ˆ 
değerleri bulunur.
Bˆ
i
3) Tahmin edilen U değerleri için klasik F testi uygulanarak F1 test istatistiğinin değeri
hesaplanır.
4) Tahmin edilen U değerleri rastgele olarak yerleĢtirilerek yeni örneklemler oluĢturulur ve bu
değerler için klasik F testi uygulanarak F2 test istatistiğinin değeri hesaplanır.
5) F2>F1 ise W=1 aksi halde W=0 olarak atanır.
| 134
6) 4 ve 5 adımlarında ifade edilenler R-1 kez tekrar edilerek p değeri p 
2010
1 R 1
Wi Ģeklinde
R  1 i 1
hesaplanır. Test 1 olarak tanımlanan bu testte alternatif diğer bir test ise Test 2‟dir ve algoritması
aĢağıdaki gibi verilebilir.
1‟) 4. adıma kadar iĢlemler aynı Ģekilde yapılır.
2‟) U değerleri rastgele yerleĢtirildikten sonra X değerlerine dönüĢtürülür. Bu X değerleri için Bi
ve µ değerleri tekrar tahmin edilir ve yeni U değerleri bulunur. Yeni hesaplanan bu U değerleri
için klasik F testi uygulanarak F2 test istatistiğinin değeri hesaplanır.
3‟) F2>F1 ise W=1 aksi halde W=0 olarak atanır.
4‟) 2‟ ve 3‟ adımlarında ifade edilenler R-1 kez tekrar edilerek p değeri p 
1 R 1
Wi Ģeklinde
R  1 i 1
hesaplanır.
3. SĠMÜLASYON ÇALIġMASI
Simülasyon çalıĢmasında, Bölüm 2‟de tanıtılan Klasik F (KF), Weerahandi‟nin GenelleĢtirilmiĢ
F (GF), Parametrik Bootstrap (PB) ve Permütasyon testlerinin (PT1, PT2) deneysel I.tip hata
oranları ve güçleri bakımından karĢılaĢtırılması yapılmıĢtır. Bunun için k=3 ve k=5 sayıdaki
yığınlar için, örnek hacimleri ve yığın varyanslarının çeĢitli kombinasyonları kullanılmıĢtır.
Örnek hacimleri eĢit ve yığın varyansları heterojen olduğu durum altında testleri incelediğimizde,
örnek hacimleri küçük olduğunda yığın varyanslarının heterojenliğinin artmasından KF ve PT1
testleri oldukça etkilenmiĢtir. GF, PT2 ve PB testlerinin ise deneysel I.tip hata oranlarının
nominal  =0.05 değerine daha yakın sonuçlar verdiği görülmektedir. Örnek hacimlerinin
artıĢıyla birlikte heterojenliğinin artmasından olumsuz etkilenen PT1 ve PT2 testleri için bu
oranın, nominal  =0.05 değerinden oldukça farklılaĢtığı gözlenmiĢtir. Yığın sayısı arttığında,
örnek hacmi küçükken GF testi bu durumdan olumsuz etkilenirken örnek hacminin artmasıyla
durumun düzeldiği görülmektedir.
| 135
2010
Çizelge 3.1. Nominal  =0.05, k=3, farklı örnek hacimleri ve farklı yığın varyansları için test
istatistiklerinin deneysel I.tip hata oranları
(20,25,30)
7,10,13
(3,5,7)
(30,30,30) (10,10,10)
(4,4,4)
ni
i
(1,1,1)
(1,1.25,1.5)
(1,2,4)
(1,4,9)
(1,1,1)
(1,1.25,1.5)
(1,2,4)
(1,4,9)
(1,1,1)
(1,1.25,1.5)
(1,2,4)
(1,4,9)
(1,1,1)
(1,1.25,1.5)
(1,2,4)
(1,4,9)
(1.5,1.25,1)
(4,2,1)
(9,4,1)
(1,1,1)
(1,1.25,1.5)
(1,2,4)
(1,4,9)
(1.5,1.25,1)
(4,2,1)
(9,4,1)
(1,1,1)
(1,1.25,1.5)
(1,2,4)
(1,4,9)
(1.5,1.25,1)
(4,2,1)
(9,4,1)
KF
0.0494
0.0565
0.0798
0.0932
0.0498
0.0548
0.0730
0.0760
0.0474
0.0490
0.0694
0.0724
0.0496
0.0336
0.0292
0.0332
0.0792
0.1852
0.2332
0.0486
0.0388
0.0300
0.0314
0.0816
0.1462
0.1688
0.0494
0.0418
0.0386
0.0394
0.0694
0.1110
0.1248
GF
0.0324
0.0363
0.0431
0.0652
0.0460
0.0482
0.0494
0.0478
0.0466
0.0464
0.0493
0.0510
0.0390
0.0322
0.0406
0.0486
0.0448
0.0568
0.0734
0.0448
0.0426
0.0446
0.0524
0.0388
0.0526
0.0580
0.0506
0.0502
0.0458
0.0492
0.0509
0.0486
0.0484
PT1
0.0127
0.0133
0.0220
0.0360
0.0473
0.0547
0.0693
0.1080
0.0527
0.0460
0.0747
0.1093
0.0213
0.0273
0.0427
0.0513
0.0297
0.0280
0.0700
0.0453
0.0467
0.0687
0.1080
0.0413
0.0593
0.0827
0.0507
0.0493
0.0713
0.1280
0.0587
0.0673
0.0893
PT2
0.0367
0.0313
0.0533
0.0693
0.0473
0.0587
0.0733
0.1080
0.0560
0.0487
0.0713
0.1047
0.0453
0.0480
0.0653
0.0733
0.0520
0.0527
0.0967
0.0500
0.0540
0.0753
0.1073
0.0467
0.0667
0.0840
0.0500
0.0487
0.0673
0.1267
0.0533
0.0653
0.0880
PB
0.0412
0.0432
0.0498
0.0620
0.0492
0.0532
0.0504
0.0442
0.0484
0.0482
0.0505
0.0500
0.0524
0.0486
0.0494
0.0542
0.0592
0.0676
0.0646
0.0498
0.0460
0.0488
0.0502
0.0524
0.0588
0.0510
0.0522
0.0514
0.0456
0.0482
0.0502
0.0468
0.0454
Örnek hacimleri ile yığın varyanslarının doğru orantılı olduğu durum altında testleri
incelediğimizde, örnek hacimleri küçükken KF ve PT2 testlerinin deneysel I.tip hata oranlarının
nominal  =0.05 değerinden uzaklaĢtığı, PT1, PB ve GF testlerinin ise yaklaĢtığı görülmektedir.
Örnek hacimleri artıĢından ise PT1 ve PT2 testlerinin olumsuz etkilendiği görülmektedir. Yığın
sayısı arttığında, örnek hacmi küçükken GF testi bu durumdan olumsuz etkilenirken örnek
hacminin artmasıyla durumun düzeldiği görülmektedir. Diğer testler ise yığın artıĢından fazla
etkilenmeyip aynı sonuçları verdiği gözlenmiĢtir.
| 136
2010
Çizelge 3.2. Nominal  =0.05, k=5, farklı örnek hacimleri ve farklı yığın varyansları için test
istatistiklerinin deneysel I.tip hata oranları
30,30,30,30,30 10,10,10,10,10
4,4,4,4,4
ni
i
(1,1,1,1,1)
KF
0.0486
GF
0.0618
PT1
0.0200
PT2
0.0373
PB
0.0322
(1,1.25,1.5,1.75,2)
(1,2,4,6,8)
(1,4,9,13,18)
0.0638
0.0920
0.0978
0.0740
0.0936
0.1092
0.0227
0.0360
0.0527
0.0453
0.0667
0.0873
0.0470
0.0528
0.0580
(1,1,1,1,1)
0.0486
0.0586
0.0480
0.0593
0.0496
(1,1.25,1.5,1.75,2)
(1,2,4,6,8)
(1,4,9,13,18)
0.0626
0.0852
0.0880
0.0610
0.0644
0.0684
0.0493
0.0847
0.1227
0.0540
0.0940
0.1313
0.0488
0.0488
0.0490
(1,1,1,1,1)
(1,1.25,1.5,1.75,2)
(1,2,4,6,8)
(1,4,9,13,18)
0.0494
0.0582
0.0830
0.0854
0.0510
0.0516
0.0542
0.050
0.0587
0.0547
0.0853
0.142
0.0580
0.0560
0.0867
0.1420
0.0484
0.0488
0.0470
0.048
Çizelge 3.2. (devamı) Nominal  =0.05, k=5, farklı örnek hacimleri ve farklı yığın
varyansları için test istatistiklerinin deneysel I.tip hata oranları
(20,23,26,29,32)
(7,9,11,13,15)
(3,4,5,6,7)
ni
i
(1,1,1,1,1)
(1,1.25,1.5,1.75,2)
(1,2,4,6,8)
(1,4,9,13,18)
(2,1.75,1.5,1.25,1)
(8,6,4,2,1)
(18,13,9,4,1)
(1,1,1,1,1)
(1,1.25,1.5,1.75,2)
(1,2,4,6,8)
(1,4,9,13,18)
(2,1.75,1.5,1.25,1)
(8,6,4,2,1)
(18,13,9,4,1)
(1,1,1,1,1)
(1,1.25,1.5,1.75,2)
(1,2,4,6,8)
(1,4,9,13,18)
(2,1.75,1.5,1.25,1)
(8,6,4,2,1)
(18,13,9,4,1)
KF
0.0466
0.0356
0.0380
0.0326
0.1088
0.2114
0.2236
0.0506
0.0378
0.0426
0.0448
0.0926
0.1744
0.1832
0.0486
0.0438
0.0466
0.0496
0.0778
0.1360
0.1310
GF
0.0656
0.0650
0.0688
0.0790
0.0884
0.1000
0.1124
0.0608
0.0584
0.0602
0.0702
0.0638
0.0724
0.0732
0.0590
0.0524
0.0472
0.0556
0.0582
0.0518
0.0638
PT1
0.0280
0.0333
0.0347
0.0520
0.0260
0.0487
0.0753
0.0427
0.0453
0.0747
0.1053
0.0380
0.0633
0.1053
0.0333
0.0433
0.0827
0.1380
0.0473
0.0720
0.1413
PT2
0.0493
0.0547
0.0573
0.0833
0.0480
0.0700
0.1007
0.0473
0.0500
0.0820
0.1153
0.0467
0.0673
0.1140
0.0393
0.0473
0.0827
0.1427
0.0507
0.0747
0.1327
PB
0.0462
0.0402
0.0480
0.0504
0.0600
0.0590
0.0582
0.0510
0.0496
0.0514
0.0540
0.0484
0.0472
0.0486
0.0564
0.0492
0.0448
0.0494
0.0476
0.0560
0.0558
Örnek hacimleri ile yığın varyanslarının ters orantılı olduğu durum altında testleri
incelediğimizde, örnek hacimleri küçükken KF testinin bundan oldukça olumsuz etkilendiği
görülmektedir. GF, PB ve PT2 testlerinin deneysel I.tip hata oranlarının nominal   0.05
değerine daha yakın sonuç vermektedir. Heterojenlik arttıkça bu oranların   0.05 değerinden
| 137
2010
uzaklaĢtığı görülmektedir. Örnek hacimleri arttığında ise GF ve PB testlerinin daha iyi sonuç
verdiği gözlenmiĢtir. Yığın sayısı arttığında, örnek hacmi küçükken GF ve PT2 testleri bu
durumdan olumsuz etkilenmiĢtir. Örnek hacminin artmasıyla GF testinin deneysel I.tip hata
oranın nominal  =0.05 değerine daha yakın sonuç verdiği PT1 ve PT2 testleri için bu oranın 
değerinden oldukça uzaklaĢtığı görülmektedir.
Nominal =0.05 olmak üzere testleri deneysel I.tip hata oranları bakımından genel olarak
karĢılaĢtırdığımızda PB testinin, örnek hacimleri arttığında bu teste ek olarak GF testinin oldukça
iyi sonuç verdiği görülmektedir. Testlerin güç değerleri k=3 için Çizelge 4.16 ve k=5 için
Çizelge 4.17‟de verilmiĢtir. Bu sonuçlarla ilgili yorumlar aĢağıda verilmiĢtir.
Çizelge 4.16. Nominal  =0.05, k=3 iken test istatistikleri için güç değerleri
ni
i2
(1, 2, 3)
KF
PT1
PT2
4,4,4
1,2,4
(-1.5,0,1.5)
(-3,0,3)
(-1.5,0,1.5)
(-3,0,3)
(-1.5,0,1.5)
(-3,0,3)
(-1.5,0,1.5)
(-3,0,3)
(-1.5,0,1.5)
(-3,0,3)
(-1.5,0,1.5)
(-3,0,3)
0.250
0.065
0.947
1.000
0.105
0.607
0.424
0.877
0.895
1.000
0.958
1.000
0.127
0.471
0.999
1.000
0.149
0.412
0.313
0.889
0.997
1.000
0.987
1.000
0.224
0.658
0.999
1.000
0.199
0.491
0.392
0.923
0.997
1.000
0.990
1.000
30,30,30
1,2,4
1,2,4
3,5,7
4,2,1
1,24
20,25,30
4,2,1
Çizelge 4.16. Nominal  =0.05, k=5 iken test istatistikleri için güç değerleri
ni
i2
4,4,4,4,4
1,2,4,6,8
30,30,30,30,30
1,2,4,6,8
1,2,4,6,8
3,4,5,6,7
8,6,4,2,1
1,2,4,6,8
20,23,26,29,32
8,6,4,2,1
(1, 2, 3, 4, 5)
(-3,-1.5,0,1.5,3)
(-6,-3,0,3,6)
(-3,-1.5,0,1.5,3)
(-6,-3,0,3,6)
(-3,-1.5,0,1.5,3)
(-6,-3,0,3,6)
(-3,-1.5,0,1.5,3)
(-6,-3,0,3,6)
(-3,-1.5,0,1.5,3)
(-6,-3,0,3,6)
(-3,-1.5,0,1.5,3)
(-6,-3,0,3,6)
KF
0.263
0.743
0.994
1.000
0.165
0.687
0.507
0.931
0.948
1.000
0.986
1.000
PT1
0.252
0.716
1.000
1.000
0.279
0.791
0.511
0.979
1.000
1.000
1.000
1.000
PT2
0.350
0.737
1.000
1.000
0.383
0.872
0.601
0.992
1.000
1.000
1.000
1.000
| 138
2010
Testleri güç bakımından genel olarak değerlendirdiğimizde ortalamalar arasındaki fark ve örnek
hacmi arttığında testlerinde güç değerlerinde artıĢ olduğu gözlenmektedir. Yığın sayısı k=3 iken
diğer testlere göre
GF ve PB testlerinin daha yüksek güç değerlerine sahip olduğu
görülmektedir. PT1 ve PT2 testlerinin örnek hacmi ve yığın varyanslarının ters orantılı olduğu
durumda doğru orantılı olduğu duruma göre daha yüksek güç değerlerine sahip olduğu
görülmektedir. Ayrıca yığın sayısının artıĢı testlerin güç değerlerini olumlu yönde etkilediği
gözlenmektedir.
5. SONUÇLAR
Testleri deneysel I.tip hata oranları bakımından karĢılaĢtırdığımızda tüm durumlar için herhangi
bir testin iyi olduğunu söylememiz mümkün değildir. Her durum altında testler farklılıklar
göstermektedir. GF testinin I.tip deneysel hata oranı tüm durumlar için örnek hacmi küçükken
nominal  değerinden uzaklaĢırken örnek hacimlerinin artmasından etkilenerek bu değere daha
yakın sonuçlar vermiĢ olduğu görülmektedir. PB testi için bu oran doğru orantılı durum altında
örnek hacimlerinin her durumunda nominal  değerine oldukça yakınlaĢırken ters orantılı
olduğu durumunda örnek hacimleri arttığında nominal  değerine yaklaĢtığı görülmektedir. PT1
ve PT2 testlerinin hem doğru hem de ters orantılı olduğu durumundan çok fazla etkilenmediği
yalnız heterojenliğin arĢtının olumsuz yönde etkilediği gözlenmiĢtir. Hangi testin daha iyi
olduğunu anlamak için sadece deneysel I.tip hata oranlarına değil aynı zamanda güç değerlerine
de bakılması gerekir. Yığın varyansları heterojen olduğunda örnek hacimleri arttığında, KF
testinin deneysel I.tip hata oranları nominal  =0.05 değerine daha yakın sonuçlar vermesine
rağmen diğer testlere göre daha düĢük güç değerleri vermiĢtir. Örnek hacimlerinin küçük olması
tüm testlerin güç değerlerini düĢürmüĢtür. Örnek hacimleri arttığında beklenildiği gibi testlerin
güç değerleri artmaktadır. Diğer bir ifadeyle
yığından daha büyük hacimli örnek almanın
heterojenliğin etkisini azalttığı söylenebilir. Öyleki yığın ortalamaları arasındaki fark çok az
olduğunda bile testlerin güç değerleri 0.90 civarına yaklaĢtığı görülmektedir. Örnek hacimleri ve
yığın varyansları arasındaki iliĢkinin doğru ve ters orantılı olması testlerin güç değerlerini de
etkilediği görülmüĢtür. Ters orantılı olduğu durumunda güç değerlerinin daha da yükseldiği
görülmektedir. Ayrıca yığın sayısının artıĢının da güç değerlerini olumlu yönde etkilemiĢtir.
| 139
2010
Testleri güç bakımından tüm durumlar altında incelediğimizde, PB ve özellikle GF testleri de
genel olarak diğer testlere göre daha yüksek güç değerlerine sahiptirler. Fakat genel olarak tüm
durumlar için herhangi bir testin iyi olduğunu söylemek mümkün değildir.
KAYNAKLAR
Bishop, T.A., “Heteroscedastic ANOVA, MANOVA and multiple comparasion”, Unpublished
Ph.D. thesis, The Ohio State University,1-50 (1976).
Gamage, J. ve Weerahandi, S., “Size performance of some tests in one-way ANOVA”,
Communications in Statistics Simulations, 27(3):625-640 (1998).
Krishnamoorthy, K., Lu, F., Thomas, M., “A parametric boostrap approach for ANOVA with
unequal variances: fixed and random models”, Computational Statistics and Data Analysis,
51:5731-5742 (2006).
Krutchkoff, R.G., “One-way fixed effects analysis of variance when the error variances may be
unequal”, J. Statist. Comput. Simulation, 30:259-271 (1988).
Lee, S., Ahn, C.H., “Modified ANOVA for unequal variances”, Communications in Statistics
Simulations, 32:987-1004 (2003).
Manly, B.F.J., “Randomization tests to compare means with unequal variation”,Sankhya, 200222, (1995).
Reed, J.F., Stark, D.B., “Robust analysis of variances: a simulation study”, Journal of Applied
Statistics, 22:87-104 (1995).
Weerahandi, S., “Exact statistical method for data analysis”, Springer-Verlag, New York, 2-50
(1995).
Weerahandi, S., “Generalized inference in repeated measures: Exact methods in MANOVA and
mixed models”, Wiley, New York (2004).
| 140
2010
UYARLANMIġ DURBĠN TESTĠ ĠÇĠN PERMÜTASYON TESTĠ VE BĠR SĠMÜLASYON
ÇALIġMASI
Fikr Gökpınar1
Hülya Bayrak1
1
Ġstatistik Bölümü, Gazi Üniversitesi, Ankara
ÖZET
Durbin(1951), Dengeli TamamlanmamıĢ Blok Tasarımı için sıra sayıları testinin duyusal
analizde geniĢ bir uygulama alanı vardır. Dengeli TamamlanmamıĢ Blok Tasarımında
Durbin sıra sayıları testi, eĢdeğerli veri olduğunda, iyi sonuç vermez. Best ve ark.(2006)
Durbin testinin eĢ değerli veriler için uyarlanmıĢ hali olan bir test önermektedir. Bu
çalıĢmada, Durbin sıra sayıları testi, Skilling ve Mack sıra sayıları testi, uyarlanmıĢ Durbin
sıra sayıları testi verilmiĢ ve ayrıca uyarlanmıĢ Durbin sıra sayıları testinin permütasyon
versiyonu karĢılaĢtırılmıĢtır.
Anahtar Kelimeler: Durbin Sıra Sayıları Testi, Skilling-Mack Testi, Permutasyon testi
ABSTRACT
Durbin(1951) rank test is used in Balanced Incomplete Block Designs which have wide
application in sensory analysis. Durbins‟s rank test is failed for Balanced Incomplete Block
Design when ties occur. Best et. Al. (2006) gave an adjusted version of Durbin rank test for
tied data. In this Study, We compare Durbin rank test, Durbin rank test for tied data and
permutation version of Durbin rank test for tied data and Skilling and Mack(1981) tests in
sensory data.
Keywords: Durbin Rank Test, Skilling-Mack Test, Permutation test
1.GĠRĠġ
Friedman sıra sayıları testi, özellikle rasgele tamamlanmıĢ blok tasarımında iĢlem etkilerini test
etmek için oldukça yaygın olartak kullanılan bir testtir. Firedman tipi bir test olan Durbin sıra
sayıları testi Durbin(1951) tarafından tamamlanmamıĢ blok tasarımları için geliĢtirilmiĢtir.
Firedmann sıra sayıları testine dayalı bir baĢka test ise Skilling ve Mack(1981) tarafından
geliĢtirilmiĢtir. Bu test hem dengeli hem de dengesiz tamamlanmamıĢ blok düzenlerinde
kullanılabilmiektedir (Giesbrecht ve Gumbertz (2004), Hollander ve Wolfe(1999)).
Durbin sıra sayıları testi duyusal analizde oldukça yaygın biçimde kullanılmaktadır(Bi,(2006),
(2009), Meilgaard ve ark.(1991)). Özellikle panelistlerin test edecekleri iĢlem çok fazla iken
duyusal yorgunluktan kaynaklanan birçok sorun çıkmaktadır. Bu durumda tamamlanmamıĢ blok
tasasrımı yerine dengeli tamamlanmamıĢ blok tasarımı kullanılabilir. Dengeli tamamlanmamıĢ
blok tasarımı, kısaca t iĢlem ve b bloktan oluĢur. Her iĢlem tam olarak r bloktadır ve her blokta
tam olarak k iĢlem vardır. Her iĢlem çifti  kez birlikte görünmektedir. Bu durumda Friedman
sıra sayıları testi yerine Durbin sıra sayıları testi veya Skilling ve Mack testi kullanılarak
panelistlerin kullanacağı iĢlem sayısını azaltmak daha doğru sonuçlar alınmasını sağlayacaktır.
Çok fazla iĢlem olduğunda özellikle Durbin sıra sayıları testi oldukça kullanıĢlıdır. Fakat bu
| 141
2010
testler, iĢlemler aynı değeri aldığında hem birinci tip hata hemde testin gücü bakımından oldukça
kötü sonuçlar vermektedir. Best ve ark.(2006) Durbin testinin eĢ değerli veriler için uyarlanmıĢ
hali olan bir test önermektedir. Bu test istatistiği diğerlerine göre 1.nci tip hata ve testin gücü
bakımından daha iyi sonuçlar vermesine rağmen özellikle bloktaki tekrar sayısı az iken 1.nci tip
hata bakımından tatmin edici sonuçlar vermektedir(Gökpınar ve Bayrak(2010)).
Bu çalıĢmada, Durbin sıra sayıları testi, Skilling ve Mack sıra sayıları testi, uyarlanmıĢ Durbin
sıra sayıları testi verilmiĢ ve ayrıca uyarlanmıĢ Durbin sıra sayıları testinin permütasyon
versiyonu incelenmiĢtir. Bu 4 yöntem birinci tip hata ve testlerinin gücü bakımından
karĢılaĢtırılmıĢ ve sonuçlar yorumlanmıĢtır.
2. TEST ĠSTATĠSTĠKLERĠ
Bu Bölümde Durbin sıra sayıları testi, , Skilling ve Mack sıra sayıları testi, uyarlanmıĢ Durbin
sıra sayıları testi verilecektir.
2.1 Durbin Sıra Sayıları testi
Durbin Sıra sayıları testi tamamlanmamıĢ rasgele blok tasarımlarında kullanılan Friedman
testinin Dengeli tamamlanmamıĢ blok tasarımları için bir uzantısıdır(Avlo ve Cabilio,1998).
Durbin sıra sayıları testinde i.nci iĢlemin lineer etkisi Mi
Mi 
t  1
rt
k
N
j 1
ij
g ( j)
(1)
Ģeklinde ifade edilmektedir. Burada;
12 
k 1
j
 .
2
2 
k 1 
g ( j) 


dir. Mi‟nin tanımına dikkat edildiğinde i.nci iĢlemin sıra sayılarının tekdüze dağıldığı varsayımı
altında beklenen değeri ile ortalama sıra sayısı arasındaki fark olduğu aĢikardır. Bu durumda
Durbin sıra sayıları test istatistiği,
D  i 1 M i2
t
(2)
Ģeklinde ifade edilmektedir. Dikkat edileceği üzere Durbin sıra sayıları testi iĢlemler arasında sıra
sayılarının ortalama farkıdır. Burada D istatistiği yaklaĢık olarak t-1 serbeslik dereceli Ki-kare
dağılımına sahiptir.
| 142
2010
2.2 EĢdeğerli veriler için uyarlanmıĢ Durbin testi
Best ve Ark.(2006) aynı değerli gözlemlerin olduğu durumlar için Durbin sıra sayıları testine
dayalı uyarlanmıĢ bir test istatistiği oluĢturmuĢlardır. Eğer veriler arasında aynı değerli gözlemler
varsa D test istatistiği artık Ki-Kare dağılımına sahip değildir. Bu durumda lineer etki M i , g  j 
‟ye bağlı olan bir faktör tarafından düzeltilmeye ihtiyaç duyar(Best ve ark., 2006). Yokluk
hipotezinin doğruluğu altında, DüzeltilmiĢ Durbin sıra sayıları test istatistiği
 t

AD    M i2  a
 i 1

(3)
olarak ifade edilir ve yakalĢık oarak  t  1 serbestlik dereceli Ki-Kare dağılımına sahiptir.
Düzeltme faktörü olan a;
a  g Ug / rt
(4)
Ģeklindedir. Burada g    g (1), g (2),..., g (k )  ve U  U ij  ‟nın (d,w) inci elemanı d ve w’ nin
aynı sıra sayılarının atandığı durumların sayısını verir. Eğer herhangi bir blok için d,...,d+m-1
iĢlemlerine aynı sıra sayıları atanmıĢ ise, U‟nun alt matrisine karĢılık gelen m 2 hücrenin her
birine , i,j=d,...,d+m-1 için U ij elemanlarına , 1 m eklenir. Matris tüm bloklar üzerinden toplam
alınarak oluĢturulduğundan simetriktir. Aynı zamanda düzeltilmiĢ etki M i / a olarak alınabilir.
2.3 Skilling ve Mack Testi
Skilling ve Mack(1981) tamamlanmamıĢ blok tasarımlarında kullanılan bir test verilmiĢleridir.
Burada sadece dengeli tamamlanmamıĢ blok tasarımlarında olan durum dikkate alınacaktır. rij
j.nci blokta i.nci iĢlem var ise sıra sayısını aksi halde (k+1)/2 değerini alsın. Bu durumda i.nci
iĢlemin uyarlanmıĢ iĢlem etkisi,
b
ci  
j 1
12 
k 1 
 rij 
.
k 1 
2 
(5)
Ģeklindedir. ci(i=1,2,…,t) değiĢkenin varyansı ve ci ve cj (i≠j) arasındaki kovaryans;
| 143
2010
Var (ci )  (t  1)
i=1,2,…t.
(6)
Cov(ci , c j )  
i≠j=1,2,…t.
(7)
Ģeklinde ifade edilir. c ci(i=1,2,…t) iĢlem etkileri için sütun vektörü olmak üzere c vektörünün
varyans-kovaryans matrisi;
Cov(c1 , c2 )
 Var (c1 )
Cov(c , c ) Var (c )
2 1
2
G


 Cov(ct , c1 ) Cov(ct , c2 )
Cov(c1 , ct )  (t  1)



Cov(c2 , ct ) 

(t  1)

 
 
Var (ct )   

 
 
.


(t  1) 
(8)
ġeklinde tanımlanır. (5)-(8) ifadelerine dayalı test istatistiği T  cG  c Ģeklindedir. Burada G  ,
G‟nin genelleĢtirilmiĢ tersidir. G‟in rankı t-1 Ģeklindedir. T test istatistiği H0‟ın doğruluğu altında
yaklaĢık olarak Ki-Kare dağılımına sahiptir.
4. SĠMULASYON ÇALIġMASI
Bu bölümde, Durbin, uyarlanmıĢ durbin, Skilling ve Mack ve uyarlanmıĢ durbin testinin
permutasyon versiyonu 1.nci tip hata ve testlerin gücü bakımından karĢılaĢtırılmıĢtır. Bu
karĢılaĢtırma için 2-(4u-1,2u-1,u-1) (u=2,3,4,5,6) paramametreli ve hadamard matrisinden elde
edilen simetrik tasarımlar kullanılmıĢtır. Bu karĢılaĢtırma amacıyla her iĢlem için n=9 ve
pi(i=1,2,…t) parametreli binom dağılımından sayı üretilmiĢ ve bu sayılar panelistlerin ürünlere
verdiği puanlar olarak düĢünülmüĢtür. Daha sonra bu sayılar kullanılarak test istatistikleri
hesaplanmıĢ ve bu iĢlem 5000 kez tekrar edilerek 1.nci tip hata ve testlerin gücü hesaplanmıĢtır.
Burada testin gücü değerleri iĢlemler 2 ve 3 gruba ayrılarak hesaplanmıĢtır.
Tablo 1: Durbin, uyarlanmıĢ Durbin, Skilling ve Mack ve uyarlanmıĢ Durbin testinin ve
permutasyon versiyonuna ait 1.nci tip hatalar
2-(4u-1,2u-1,u-1) Durbin
2-(7,3,1)
2-(11,5,2)
2-(15,7,3)
2-(19,9,4)
2-(23,11,5)
0.0005
0.0055
0.0045
0.0120
0.0135
UyarlanmıĢ
Durbin
0.0025
0.0355
0.0360
0.0500
0.0501
Skiling
ve Mack
0.0005
0.0185
0.0195
0.0270
0.0280
UyarlanmıĢ
Durbin-PT
0.0440
0.0520
0.0500
0.0501
0.0503
| 144
2010
Tablo 1den görüldüğü gibi 1.nci tip hata bakımından Durbin ve Skilling ve Mack testlerinin 1.nci
tip hataları önceden verilen nominal 1.nci tip hataya yakın sonuçlar vermemiĢtir. Özellikle
Durbin testi nominal 1.nci tip hatadan oldukça uzak sonuçlar verdiği gözlemlenmiĢtir. EĢdeğerli
veriler için uyarlanmıĢ Durbin testinin 1.nci tip hatası ise her tasarımın parametreleri büyüdükçe
(diğer bir deyiĢle her blokta kullanılan iĢlem sayısı arttıkça) nominal 1.nci tip hataya oldukça
yakın sonuçlar vermektedir. buna rağmen bu yöntemin esas olarak kullanıldığı küçük
tasarımlarda nominal 1.nci tip hatadan uzak değerler almaktadır.
Tablo 2: ĠĢlemler iki gruba ayrılmıĢken Durbin, Skilling ve Mack ve uyarlanmıĢ Durbin testinin
ve permutasyon versiyonun güç değerleri
2-(4u-1,2u-1,u-1)
2-(7,3,1)
2-(11,5,2)
2-(15,7,3)
2-(19,9,4)
2-(23,11,5)
2-(7,3,1)
2-(11,5,2)
2-(15,7,3)
2-(19,9,4)
2-(23,11,5)
2-(7,3,1)
2-(11,5,2)
2-(15,7,3)
2-(19,9,4)
2-(23,11,5)
2-(7,3,1)
2-(11,5,2)
2-(15,7,3)
2-(19,9,4)
2-(23,11,5)
2-(7,3,1)
2-(11,5,2)
2-(15,7,3)
2-(19,9,4)
2-(23,11,5)
2-(7,3,1)
2-(11,5,2)
2-(15,7,3)
2-(19,9,4)
2-(23,11,5)
Ġki grubun
binom
0.15-0.25
olasılıkları
0.15-0.25
0.15-0.25
0.15-0.25
0.15-0.25
0.15-0.35
0.15-0.35
0.15-0.35
0.15-0.35
0.15-0.35
0.45-0.55
0.45-0.55
0.45-0.55
0.45-0.55
0.45-0.55
0.40-0.60
0.40-0.60
0.40-0.60
0.40-0.60
0.40-0.60
0.75-0.85
0.75-0.85
0.75-0.85
0.75-0.85
0.75-0.85
0.65-0.85
0.65-0.85
0.65-0.85
0.65-0.85
0.65-0.85
Durbin
0.0005
0.0360
0.1381
0.3240
0.5788
0.0005
0.3042
0.8779
0.9940
1.0000
0.0005
0.0250
0.0775
0.1770
0.3527
0.0005
0.2256
0.6923
0.9590
0.9980
0.0005
0.0255
0.1271
0.3447
0.6568
0.0010
0.3232
0.8709
0.8709
1.0000
UyarlanmıĢ
Durbin
0.0095
0.1706
0.4037
0.6660
0.8389
0.0265
0.6143
0.9710
0.9995
1.0000
0.0060
0.1141
0.2436
0.4070
0.5958
0.0185
0.4742
0.8859
0.9910
1.0000
0.0115
0.1816
0.4082
0.6408
0.8539
0.0210
0.6588
0.9720
0.9720
1.0000
Skiling UyarlanmıĢ
ve Mack Durbin-PT
0.0005
0.0865
0.1046
0.2361
0.2861
0.4487
0.5430
0.6970
0.7734
0.8524
0.0015
0.2386
0.5503
0.7134
0.9640
0.9775
0.9995
0.9995
1.0000
1.0000
0.0010
0.0775
0.0735
0.1621
0.1801
0.2871
0.3440
0.4410
0.5448
0.6268
0.0010
0.1821
0.4082
0.5698
0.8649
0.9065
0.9900
0.9930
1.0000
1.0000
0.0010
0.1011
0.1101
0.2476
0.2761
0.4552
0.5168
0.6668
0.7649
0.8624
0.0010
0.2236
0.5908
0.7414
0.9580
0.9770
0.9580
0.9770
1.0000
1.0000
| 145
2010
Tablo 3: ĠĢlemler üç gruba ayrılmıĢken Durbin, Skilling-Mack ve uyarlanmıĢ Durbin testinin ve
permutasyon versiyonun güç değerleri
2-(4u-1,2u-1,u-1)
2-(7,3,1)
2-(11,5,2)
2-(15,7,3)
2-(19,9,4)
2-(23,11,5)
2-(7,3,1)
2-(11,5,2)
2-(15,7,3)
2-(19,9,4)
2-(23,11,5)
2-(7,3,1)
2-(11,5,2)
2-(15,7,3)
2-(19,9,4)
2-(23,11,5)
2-(7,3,1)
2-(11,5,2)
2-(15,7,3)
2-(19,9,4)
2-(23,11,5)
2-(7,3,1)
2-(11,5,2)
2-(15,7,3)
2-(19,9,4)
2-(23,11,5)
2-(7,3,1)
2-(11,5,2)
2-(15,7,3)
2-(19,9,4)
2-(23,11,5)
Üç grubun
binom olasılıkları
0.15-0.20-0.25
0.15-0.20-0.25
0.15-0.20-0.25
0.15-0.20-0.25
0.15-0.20-0.25
0.15-0.25-0.35
0.15-0.25-0.35
0.15-0.25-0.35
0.15-0.25-0.35
0.15-0.25-0.35
0.45-0.50-0.55
0.45-0.50-0.55
0.45-0.50-0.55
0.45-0.50-0.55
0.45-0.50-0.55
0.40-0.50-0.60
0.40-0.50-0.60
0.40-0.50-0.60
0.40-0.50-0.60
0.40-0.50-0.60
0.75-0.80-0.85
0.75-0.80-0.85
0.75-0.80-0.85
0.75-0.80-0.85
0.75-0.80-0.85
0.65-0.75-0.85
0.65-0.75-0.85
0.65-0.75-0.85
0.65-0.75-0.85
0.65-0.75-0.85
Durbin
0.0005
0.0205
0.0585
0.1501
0.3157
0.0005
0.1736
0.5548
0.9075
0.9950
0.0005
0.0245
0.0350
0.0880
0.1641
0.0005
0.1211
0.3867
0.7584
0.9658
0.0000
0.0125
0.0580
0.1681
0.3642
0.0005
0.1561
0.5633
0.9336
0.9970
UyarlanmıĢ Skiling ve UyarlanmıĢ
Durbin
Mack
Durbin-PT
0.0040
0.1031
0.2291
0.4227
0.6263
0.0095
0.4117
0.8344
0.9830
0.9995
0.0040
0.0825
0.1476
0.2561
0.3857
0.0080
0.3067
0.6758
0.8964
0.9943
0.0045
0.1031
0.2516
0.4382
0.6403
0.0012
0.4382
0.8374
0.9917
1.0000
0.0005
0.0650
0.1506
0.3262
0.5308
0.0015
0.3437
0.7799
0.9815
0.9995
0.0015
0.0565
0.0905
0.1971
0.3142
0.0005
0.2556
0.6283
0.8988
0.9934
0.0010
0.0540
0.1641
0.3092
0.5048
0.0010
0.3742
0.8159
0.9806
1.0000
0.0700
0.1461
0.2721
0.4597
0.6498
0.1751
0.5068
0.8609
0.9850
0.9995
0.0660
0.1241
0.1711
0.2876
0.4117
0.1246
0.3892
0.7179
0.9130
0.9953
0.0670
0.1531
0.3017
0.4667
0.6633
0.1621
0.5303
0.8679
0.9930
1.0000
ĠĢlemler iki gruba ayrılmıĢken, özellikle küçük tasarımlarda eĢdeğerli veriler için uyarlanmıĢ
Durbin testinin permütasyon versiyonu diğer testlere göre oldukça yüksek testin gücü değerlerine
sahip olduğu görülmektedir. tasarımların parametreleri büyüdükçe bu fark azalmasına rağmen
her durumda diğer tüm testlerden yüksek güç değerlerine sahiptir. Bu tarz tasarımların
parametreleri düĢük iken daha kullanıĢlı olduğu düĢünülürse eĢdeğerli veriler için uyarlanmıĢ
Durbin testinin permütasyon versiyonu diğer üç teste göre oldukça üstündür denilebilir.
| 146
2010
KAYNAKLAR
Avlo M. and Cabilo P. ,1998, Application of Hamming distance to the analysis of block designs.
Asymptotic methods in probability and statistics, Elsevier Science, Amsterdam, 787–800.
Bi, J., 2006, Sensory discrimination tests and measurements: Statistical principles, procedures and tables,
Blackwell Publishing, Ames, IA.
Bi,J., 2009, Computer-intensive methods for sensory data analysis, exemplified by Durbin‟s rank test ,
Food Quality and Preference, 20(3):195-202.
Best D. J., Brockhoff P. B. and Rayner J. C. W., 2006, Tests for balanced incomplete block ranked data
with ties 60(1):3-11
Durbin J., 1951, Incomplete blocks in ranking experiments, British Journal of Psychology (Statistical
Section) 4: 85–90.
Gisbrecht F.G. Gumbertz M.L.,2004, Planning, Construction and Statistical Analysis of Comparitive
Experimemts, Wiley, New York.
Gökpınar F., Bayrak H., 2010, A Comparatıve Study of Tests Used in Balanced Incomplete Block
Designs For Tied Data, Hacettepe Journal Of Mathematics and Statistics(Incelemede).
Hollander and Wolfe, 1999 M. Hollander and D.A. Wolfe, Nonparametric statistical methods (2nd ed.),
Wiley, New York.
M. Meilgaard, G.V. Civille and B.T. Carr, 1991, Sensory evaluation techniques (2nd ed.), CRC Press,
Inc., Boca Raton, FL.
Skillings and Mack, 1981 J.H. Skillings and G.A. Mack, On the use of a Friedman type statistic in
balanced and unbalanced block designs, Technometrics 23:171–177.
| 147

Bildiri Tam Metinleri - Department Of Statistics

Transkript

Benzer belgeler

kapak OK.fh11

Nem Adsorbe Edici Polimerler testo 880 Yeni termal kamera

kapak.fh11

Dosyayı indirmek için tıklayın.

HABER tığ TEBER