PDF ( 1 ) - İstatistikçiler Dergisi

www.istatistikciler.org
statistikçiler Dergisi 3 (2010) 37-44
statistikçiler
Dergisi
Türkiye demir ve çelik sektöründe bir irketin
yang n risklerinin aktüeryal modeli
Özlem Ceren Gültekin
Cenap Erdemir
skenderun Demir ve Çelik
Fabrikalar A. . 31319skenderun,
Antakya, Türkiye
[email protected]
HacettepeÜniversitesi
Aktüerya Bilimleri Bölümü
06800 Beytepe, Ankara,
Türkiye
[email protected]
Özet
Bu çal mada demir ve çelik sektöründe faaliyet gösteren bir irkette gerçekle mi olan yang n hasarlar n n
s kl ! ve hasar büyüklükleri incelenmi , kollektif risk modeli varsay m alt nda toplam hasar da! l m n n
momentleri elde edilmi tir. %irketin 2004-2009 y llar aras ndaki yang n hasar s kl ! n n Poisson, hasar
büyüklü!ünün ise lognormal da! l ma, toplam hasarlar n ise bile ik Poisson da! l m na sahip oldu!u
görülmü tür. Mevcut da! l m kullan larak toplam hasarlar n gelecek dönemleri için öngörüleri ve poliçenin
prim tahminleri elde edilmi tir.
Anahtar sözcükler : Toplam hasar da! l m ; Demir ve çelik sektörü; Kollektif risk modeli; Yang n sigortas .
Abstract
An actuarial model of fire risks for a corporation in Turkish iron and steel sector
In this study, under the collective risk model assumption, moments of the distribution of aggregate claims are
obtained by analysing the numbers and sizes of the fire insurance claims data supplied from a corporation of
iron and steel industry in Turkey. The claim numbers and claim sizes shows Poisson and lognormal
distributions respectivly for the years of beetween 2004-2009, so aggregate claims shows a compound
Poisson distribution for this period. Finally, using the current distribution, the predictions of aggregate
claims and the premiums of the policies are computed for a future period.
Keywords: Total loss distributions; Iron and steel sector; Collective risk model; Fire insurance.
1. Giri
Bir maddenin üzerinde dahilen veya haricen herhangi bir sebep ve ekilde meydana gelecek dumanl ,
ate li ve alevli yanma olay na yang n riski denilmektedir. Yang n veya yang n dolay s yla çe itli ekilde
ziyana u!rayan malzeme üzerinde, yang n bast rmak için sarf edilen gayretler s ras nda o maddenin
civar ndaki mallarda meydana gelecek yanma, k r lma, dökülme ve bozulmalar ile emsali yang nl ,
yang ns z hasarlar, yang n riski kapsam içindedir. Yang n önleme ve koruman n genel yöntemleri varsa
da her riskin özelli!i ayr ca önem ta r. Binalar n yap tarzlar öncelikli olarak incelemeye tutularak
ara t rmalar yap lmaktad r. Yap kullanma ekline ba!l olarak, yap n n mimari tasar m , yap malzeme ve
elemanlar n n seçimi, pasif yang n güvenli!i önlemlerinin esas n olu turur [6].
Ö. C. Gültekin, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 37-6
38
Bireyler ve toplumlar için de!er ta yan herhangi bir mal, gerçekle mesi yasal bir hakk n ihlaline yol
açabilecek veya hukuki bir sorumluluk do!urabilecek herhangi bir olay, sigortan n konusunu olu turabilir.
Bir yang n sigortas n n konusu, ev ya da fabrika olabilir [7].
Demir ve çelik sektöründe fabrikalar için düzenlenen yang n sigortas özel veya ticari amaçla kullan lan
her türden bina ve bina kapsam , kendili!inden meydana gelen yang n, y ld r m, infilak ile bunlardan
kaynaklanan buhar, hararet, duman gibi tehlikelerin neden oldu!u fiziki hasarlara kar teminat alt na alan
sigortad r. Ayr ca, meydana gelmi olan yang n söndürmek, dolay s yla muhtemel hasar azaltmak
amac yla, su veya ba ka bir kimyevi madde ile yap lan müdahalelerin sonucunda ortaya ç kan fiziki
hasarlar da, bu sigortan n kapsam na dahildir. Yang n sigorta riskinin olu mas nda alevin varl ! zorunlu
ise de zarar n muhakkak alev sonucu olu mas art de!ildir. Alevden olu an yang n n meydana getirdi!i
yüksek s ve duman ve olay n çevresindeki e yaya verdi!i hasarlar yang n sigorta teminat içindedir.
TTK’ n n 1304/1 ve 1305/1inci maddeleri hükmü bu amaçla konulmu tur [8].
Bu çal mada demir-çelik sektöründe kullan labilen risk modelleri, hasar s kl k oran ve büyüklükleri
incelenmi ve kollektif risk modeliyle toplam hasar da! l m bulunmu tur.
2. Kolektif risk modeli
{X n , n = 1,2,...} risk büyüklüklerini gösteren ard
k birbirinden ba! ms z ve ayn da! l ma sahip pozitif
rasgele de!i kenleri, N risklerin sabit bir dönem içerindeki say s n gösteren, hasar büyüklü!ünden
ba! ms z, pozitif kesikli rastlant de!i keni olmak üzere, risklerin toplam n gösteren kolektif risk modeli
S = X 1 + X 2 + ... + X N
(1)
ile ifade edilir. Bu ba!lamda N, portföyden gelen hasar say s n (hasar s kl ! n )
{X n , n = 1,2,...} birbirini izleyen bireysel hasar miktarlar n
(hasar büyüklüklerini), S ise toplam hasar
gösteren rastlant de!i kenleridir. S rastlant de!i keni bile ik da! l ma sahiptir.
P(x) ba! ms z ve ayn da! l ml
pk = E [X k ].
X n ’lerin olas l k da! l m n belirtsin. X rastlant de!i keni ise,
Toplam hasar da! l m n n beklenen de!eri ve varyans ,
E [S ] = E [E [S N ]] = E [ p1 N ] = p1 E [N ]
(2)
Var ( S ) = E [Var (S N )] + Var (E [S N ])
= E [ NVar ( X ) ] + Var ( p N )
= E [ N ]Var ( X ) + p12Var ( N )
(3)
olarak elde edilir. Bu sonuçla, toplam hasar n beklenen de!erinin, hasar say lar n n beklene de!eri
beklenen hasar büyüklü!ünün çap m ndan olu tu!u söylenebilmektedir. Toplam hasar n varyans
bile enden olu maktad r. Birinci bile ende hasar büyüklüklerinin varyans beklenen hasar say s
ikincisi bile ende ise hasar say lar n n varyans hasar büyüklü!ünün ikinci momenti
a! rl kland r lmaktad r [1].
ile
iki
ile
ile
Ö. C. Gültekin, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 37-6
39
N ‘nin da! l m için ilk seçenek Poisson da! l m d r. Poisson da! l m için
E[N ] = Var(N ) = d r. N toplam hasar say s olmak üzere toplam hasar miktar S 'nin da! l m
Hasar say s
"bile ik Poisson da! l m ” olarak adland r l r. Beklenen de!eri ve varyans
E ( S ) = p1
(4)
Var ( S ) = p 2
(5)
biçiminde elde edilir. Toplam hasar say s n n varyans n n, beklenen de!erden büyük oldu!u durumlarda
Poisson da! l m yerine negatif binom da! l m n n kullan lmas daha uygundur. N için negatif binom
da! l m seçildi!inde, toplam hasar miktar n n da! l m "bile ik negatif binom da! l m " olarak
adland r l r. Da! l m n birinci beklenen de!eri ve varyans a a! daki gibidir:
E [S ] =
Var ( S ) =
rq
p1
p
(6)
rq
rq 2 2
p2 + 2 p1
p
p
(7)
Uygulamada S 'nin da! l m n n, konvülasyon yöntemiyle say sal olarak hesaplanmas na çal l r ya da
S 'nin da! l m do!rudan bile ik poisson veya bile ik negatif binom da! l m al narak S 'nin farkl
de!erleri için olas l k de!erleri konvülasyon yard m yla bulunabilir [1][2][4][5].
3. Uygulama
Yang n sigortas yapt ran Hskenderun Demir ve Çelik Anonim %irketinden (HSDEMHR) al nan 2004-2009
y llar aras ndaki yang n verilerine göre hasar s kl klar ve büyüklüklerinin da! l m incelenmi ve
kollektif risk modeli kullan larak toplam hasar da! l m n n beklenen de!er ve varyans bulunmu tur. Hasar
tarihleri ve ilgili tarihlerdeki hasar büyüklükleri ABD Dolar cinsinden Çizelge 1’de belirtilmektedir.
2004-2009 y llar aras nda hasar s kl klar ve büyüklüklerine ait veriler incelendi!inde 2009 y l na ait
hasar s kl ! n n di!er y llara göre daha fazla oldu!u görülmü tür. Kolektif risk modeli varsay m na göre
sabit bir dönem içerisinde ortaya ç kan hasarlar ayn da! l ma sahiptir ve hasar say lar her dönem ayn
kabul edilmektedir. Bu varsay m n geçerli olup olmad ! n test etmek amac yla sabit dönemler bir y l
yerine iki y l olarak kabul edilmi ve böylece üç dönem olu turulmu tur. Hasar s kl lar n n da sabit
dönemlerde ayn da! l ma uydu!u varsay lmaktad r. Bu varsay m n test edilemesi için de, dönemlerdeki
veri say s n art rmak ve her dönemde de hasar s kl klar n n ayn da! l ma sahip oldu!unu göstermek
Çizelge 1. Hasar büyüklükleri: ABD Dolar (ay/y l).
14.880 (02/04)
2.330 (08/04)
5.400 (07/05)
478.146 (02/06)
46200 (04/06)
10.057 (04/07)
24.500 (10/07)
72.979 (12/08)
2.650 (03/09)
4.715 (07/09)
13.095 (09/09)
12.690 (02/04)
9.820 (11/04)
8.850 (10/05)
5.560 (02/06)
33 (07/06)
45.010 (05/07)
505.877 (03/08)
5.186 (01/09)
4.289 (04/09)
300 (07/09)
3.295 (09/09)
14.069 (04/04)
8.528 (02/05)
9.385 (11/05)
11.047 (14/06)
10.793 (07/06)
4.560 (07/07)
14.665 (06/08)
120.919 (02/09)
4.358 (05/09)
15.871 (07/09)
1.925 (09/09)
13.900 (06/04)
6.950 (04/05)
3.513 (11/05)
12.733 (03/06)
3.498 (10/06)
12.342 (08/07)
88.451 (08/08)
192 (02/09)
5.920 (06/09)
15.912 (08/09)
2.898 (10/09)
1.790 (07/04)
7.650 (06/05)
7.530 (12/05)
497 (03/06)
268.261 (10/06)
967 (08/07)
81.895 (11/08)
4.500 (03/09)
800 (06/09)
34.825 (08/09)
2.295 (10/09)
Ö. C. Gültekin, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 37-6
40
Çizelge 2. Dönemlere göre üç ayl k yang n hasar s kl klar .
1. Dönem
Ocak-%ubat-Mart-2004
Nisan-May s-Haziran-2004
Temmuz-A!ustos-Eylül-2004
Ekim -Kas m-Aral k-2004
Ocak-%ubat-Mart-2005
Nisan-May s-Haziran-2005
Temmuz-A!ustos-Eylül-2005
Ekim -Kas m- Aral k-2005
Yang n s kl )
2
2
2
1
1
2
1
4
2. Dönem
Ocak-%ubat-Mart-2006
Nisan-May s-Haziran-2006
Temmuz-A!ustos-Eylül-2006
Ekim -Kas m-Aral k-2006
Ocak-%ubat-Mart-2007
Nisan-May s-Haziran-2007
Temmuz-A!ustos-Eylül-2007
Ekim -Kas m- Aral k-2007
3. Dönem
Ocak-%ubat-Mart-2008
Nisan-May s-Haziran-2008
Temmuz-A!ustos-Eylül-2008
Ekim -Kas m-Aral k-2008
Ocak-%ubat-Mart-2009
Nisan-May s-Haziran-2009
Temmuz-A!ustos-Eylül-2009
Ekim -Kas m- Aral k-2009
Yang n s kl )
2
2
2
2
0
2
2
1
Yang n s kl )
1
1
1
2
5
4
8
2
için iki y ll k sabit dönemler daha uygun bir çözümleme yöntemi olarak kabul edilmi tir. Bu sebeple hasar
s kl klar ve büyüklükleri iki y ll k dönemlerde gerçekle en üçer ayl k yang n hasar olu ma s kl ! na göre
incelenmi tir (Çizelge 2).
Çizelge 3’ten görülece!i gibi, hasar s kl ! da! l mlar n n Poisson da! l m na uygunluk gösterip
göstermedi!i Kolmogorov Smirnov testiyle s nanm ve = 0,05 hata düzeyinde “da! l m n Poisson
da! l m na uyum gösterdi!i” hipotezi reddedilememi tir.
Hasar s kl ! n n üç dönem için de Poisson da! l m na uydu!u, birinci ve ikinci dönem ortalamalar n n
benzer olmas na kar l k üçüncü dönemin ortalamas n n di!er iki dönemdeki seviyenin önemli derecede
üstünde gerçekle ti!i gözlenmektedir. Bunun sebebinin, bu dönemdeki hasar bildirimlerinin fazlal ! ndan
kaynakland ! söylenebilir. Her üç dönemdeki da! l m ayn kalmas na ra!men son dönemin parametresi
farkl l k göstermektedir. %irketteki ayn anlay ve politikan n devam edece!i varsay m ile gelecek
dönemlerde de, hasar s kl klar n n üçüncü dönemle ayn parametre de!erine sahip Poisson da! l m
gösterece!ini kabul etmek çok hata ta yan bir varsay m olmayacakt r.
Ö. C. Gültekin, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 37-6
41
Çizelge 3. Dönemlere göre hasar s kl klar n n Poisson da! l m na uyum testi
Birinci dönem
Poisson parametresi
Ortalama=
En uç farkl l klar
1,8750
Mutlak
,165
Pozitif
,165
Negatif
-,153
Kolmogorov-Smirnov Z testi
,465
Hki yanl s nama testi
,982
kinci dönem
Poisson parametresi
Ortalama=
En uç farkl l klar
1,6250
Mutlak
,267
Pozitif
,223
Negatif
-,267
Kolmogorov-Smirnov Z Testi
,755
Hki Yanl S nama Testi
,619
Üçüncü dönem
Poisson parametresi
Ortalama=
En uç farkl l klar
3,0000
Mutlak
,202
Pozitif
,202
Negatif
-,113
Kolmogorov-Smirnov Z testi
,571
Hki yanl s nama testi
,900
Verilere ait risk modelini olu turmadan önce her üç dönem için ayr ayr hasar s kl ! ve büyüklüklerinin
da! l mlar n bulmak için SPSS ve Easyfit paket programlar ndan yararlan lm t r[9]. Hasar büyüklü!ü
da! l m n n belirtilen sürekli da! l mlara uygunluk gösterip göstermedi!i
= 0,05 yan lma düzeyinde
incelenmi tir (Çizelge 4).
Hasar büyüklü!ünün ise üç dönemin herbirinde ters Gaussian, Weibull ve lognormal da! l mlar na uydu!u
görülmü tür. Hasar büyüklü!ünün da! l m için bu da! l mlardan hepsinin kullan labile!i sonucu
ç kmaktad r. Bu da! l mlardan birisi seçilerek analize devam edilebilir. Bu uygulamada lognormal da! l m
seçilmi ve kollektif risk modeliyle toplam hasar da! l m n n beklenen de!er ve varyans n n bulunmas nda
kullan lm t r.
Ö. C. Gültekin, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 37-6
42
Çizelge 4. Dönemlere göre hasar büyüklükleri için incelenen da! l mlar.
Da) l mlar
p de)eri
= 0,05 için karar
Birinci dönem
Burr
0,00976
Red
Üstel
0,12452
Kabul
Gamma
0,87427
Kabul
Weibull
0,59151
Kabul
Pareto
0,03469
Red
Ters Gaussian
0,77935
Kabul
Lognormal
0.48697
Kabul
kinci dönem
Burr
0,84302
Kabul
Üstel
0,00043
Red
Gamma
0,20435
Kabul
Weibull
0,72622
Kabul
Pareto
0,0148
Red
Ters Gaussian
0,12709
Kabul
Lognormal
0.81532
Kabul
Üçüncü dönem
Burr
0,82850
Kabul
Üstel
0,00054
Red
Gamma
0,00263
Red
Weibull
0,52374
Kabul
Pareto
0,00616
Red
Ters Gaussian
0,12709
Kabul
Lognormal
0.64211
Kabul
Birinci dönem hasar büyüklü!ü, s ras yla µ = 8,8896 ve
= 0,62082 ile, ikinci dönem hasar
büyüklü!ü µ = 9,1008 ve = 2,2401 parametreleri ile üçüncü dönem hasar büyüklü!ü ise µ = 8,9739
ve
= 1,8554 parametreleri ile lognormal da! l ma sahiptir. Bu parametreler da! l m n beklenen de!er
ve varyans n n bulunmas nda a a! daki e itlikler kullan larak bulunmu tur.
E[X ] = e
µ+ 22
Var ( X ) = (e
2
1)e 2 µ +
2
Bu e itliklere göre hasar büyüklü!ünün dönemlerdeki ortalama ve varyanslar Çizelge 5’ de verilmi tir.
Çizelge 5. Dönemlere göre hasar büyüklü!ünün ortalama ve varyans .
Hasar büyüklü)ü
Ortalama(USD)
Varyans(USD)
1. Dönem
8.798,25
36.400.017,72
2. Dönem
110.174,86
1.822.183.451.274,15
3. Dönem
44.141,25
58.970.981.177,01
Ö. C. Gültekin, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 37-6
43
Kolektif risk modeli alt nda toplam hasar da! l m n n ortalama ve varyans n n bulunmas için, s kl k
da! l m n n Poisson göstermesi durumunda elde edilen (3) ve (4) nolu e itlikler uygulanm ve sonuçlar
Çizelge 6 ’da verilmi tir.
Çizelge 6. Toplam hasar da! l m n n ortalama ve varyans .
Üç dönem için toplam hasar da) l m n n beklenen de)er ve varyans
1. Dönem
2. Dönem
3. Dönem
E[S]
16.496,728
179.034,144
132.424,356
V[S]
213.392.453,82
2,98077E+12
1,82758E+11
Sigortalanan taraf olarak ödenecek iki y ll k primi bulmak için; son iki y ll k dönemin toplam hasar n n
beklenen de!eri ve varyans esas al narak, mümkün yükleme faktörleri,
= 0,10; 0, 20;...; 0, 90; 1, 00
olmak üzere,
P = (1 + ) E ( S )
P = E ( S ) + Var ( S ) 1 / 2
e itliklerinden beklenen de!er ve standart sapma prim hesaplama prensiplerine göre mümkün olabilecek
üç ayl k prim miktarlar Çizelge 7‘de verilmi tir.
Buna göre sigortalanan firma, bu hesap sonuçlar n ve yang n sigortalar n n özelliklerini de göz önüne
alarak, sigortac firma ile sözle me tart malar n yürütmesi en ak lc yöntem olacakt r. Bu sonuçlara göre
sigortac ya ödenecek üç ayl k sigorta primi 559.926 dolar geçmemelidir. Yang n sigortalar için farkl
prim hesaplama prensiplerini esas al nmas halinde hesaplanacak primler toplam hasar da! l m na ba!l
olaca! ndan sigortalanan firma bu primleri de kendi aç s ndan hesaplayacak ve sigortac ya kar ak lc
pazarl k tar malar n en iyi biçimde yürütebilecektir.
Çizelge 7. Üç ayl k prim miktarlar (USD)
Yükleme
faktörü
Beklenen
de)er prensibi
Standart sapma
prensibi
0.1
145.666,00
175.174,00
0.2
158.909,00
217.924,00
0.3
172.151,00
260.675,00
0.4
185.394,00
303.425,00
0.5
198.636,00
346.175,00
0.6
211.878,00
388.925,00
0.7
225.121,00
431.675,00
0.8
238.363,00
474.426,00
0.9
251.606,00
517.176,00
1.0
264.848,00
559.926,00
Ö. C. Gültekin, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 3 (2010) 37-6
44
6. Sonuç ve öneriler
Bu çal mada demir-çelik sektöründeki sigortalanabilen riskler içinde önemli bir k sm olu turan ve
meydana gelmesi halinde büyük zaralara sebep olan yang n sigortas teminatlar ve kapsam , risk
modelleri, hasar s kl k oran ve büyüklükleri incelenmi ve kollektif risk modeliyle toplam hasar da! l m
bulunmu tur.
Demir ve çelik sektöründe faaliyet gösteren bir irketten al nan alt y ll k veriler ile yap lan uygulama
sonucunda, verilerin iki y ll k dönemlerde üç ayl k hasar s kl ! ve hasar büyüklükleri olarak incelenerek,
2004-2009 y llar aras nda yang n hasar s kl ! n n Poisson, hasar büyüklü!ünün ise lognormal da! l ma
uygun oldu!u görülmü ve toplam hasar s kl ! ve büyüklü!ünün beklenen de!eri ve varyans
bulunmu tur.
Varyans de!erlerine bak ld ! nda çok yüksek oldu!u, bunun da her bir dönem içinde gerçekle en yang n
hasarlar n n çok farkl de!erler ta mas ndan ve lognormal da! l m n üstel bir da! l m olmas nda
kaynakland ! söylenebilir.
Alt y ll k verilerde elde edilen sonuçlara göre iki y ll k hasar s kl ! da! l m n n Poisson, hasar
büyüklü!ünün da! l m n n lognormal ç kt ! gözönüne al narak 2010 ve daha sonraki y llar için olmas
beklenen hasar s kl ! ve hasar büyüklü!ünün benzer da! l m özelli!i gösterece!i dü ünülmektedir. Hki
y ll k de!erler dikkate al narak yang n hasar büyüklüklerine göre prim hesaplanm , bu sayede irketin
geçmi dönemlerde ödemi oldu!u sigorta primleriyle farklar n tespit edilebilmesi ve önümüzdeki y llar
için ödenecek sigorta primlerini yakla k olarak tahmin edebilmesi sa!lanm t r.
Bu çal man n sonuçlar na dayanarak yap labilecek bir öneri de udur: Büyük sigorta primleri ödeyen
firmalar n kendi risk modellerini kurmalar ve prim hesaplar n kendilerinin yapmalar gerekmektedir.
Aksi durumda firmalar n gereksiz fazla prim ödemeleri ile kar kar ya kalma riskleri her zaman
mevcuttur. Bunun yan nda yang n sigortalar için özel prim prensiplerinin geli tirilmesi konusunda
çal malar yap lmas önerilebilir [3].
Kaynaklar
[1] N. L. Bowers, H. U. Gerber, J. C. Hickman, D. A. Jones, C. J. Nesbitt, (1997), Actuarial Mathematics, Society of
Actuaries, Schaumburg, IL,753p.
[2] C. D. Daykin, T. Pentikainen, and M. Pesonen, (1994), Practical Risk Theory for Actuaries, Chapman & Hall,
London, 55, 58, 79-80, 100-103.
[3] Ö. C. Gültekin, (2010), Demir ve Çelik Sektöründe Aktüeryal Riskler, Hacettepe Üniversitesi Fen Bilimleri
Enstitüsü, Yüksek Lisans Tezi, Ankara.
[4] R. Kaas, M. J. Goovaerts, J. Dhaene, M. Denuit, (2001), Modern Actuarial Risk Theory, Kluwer Academic
Publishers, Boston, 309p.
[5] S. A. Klugman, H. Panjer, and G. E. Willmot, (1998), Loss Models, John Wiley and Sons, New York, 295-297.
[6] H. Kubilay, (1999), Uygulamal Özel Sigorta Hukuku, Bar Yay nlar , Hzmir.
[7] C. Nomer, H. Yunak, (2000), Sigortan n Genel Prensipleri, Ceyma Matbaac l k, Hstanbul.
[8] I. Ula , (2002), Uygulamal Sigorta Hukuku, Ankara.
[9] EasyFit-Distribution Fitting Software, www.mathwave.com.