Venn Diyagramları ve Üniteleri

Venn Diyagramları ve Üniteleri
Matematikçiler Venn diyagramlarını, kümeler (nesneler bütünü) arasındaki mantıksal ilişkileri
göstermek için kullanır. Belki de cebir veya diğer matematik derslerinizde Venn diyagramlarını
görmüşsünüzdür. Eğer görmüşseniz, örtüşen daireleri ve kümelerin birleşimi ve kesişimini
hatırlarsınız. Venn diyagramının örtüşen dairelerini tekrar gözden geçireceğiz. Birleşim ve kesişim
yerine OR veya AND terimlerini kullanacağız çünkü sayısal elektronikte bu terminoloji kullanılır.
Venn diyagramı önceki bölümdeki Boole cebrini Karnaugh haritasına bağlar. Boole cebri hakkında
bildiklerinizi Venn diyagramlarına bağlayacağız, sonra Karnaugh haritalarına geçeceğiz.
Bir küme aşağıda gösterildiği gibi bir evrendeki nesneler bütünüdür. Kümenin üyeleri kümenin
içinde bulunan nesnelerdir. Zorunluluk olmamakla beraber, genelde bir kümenin üyeleri arasında
ortak noktalar vardır. Mesela gerçel sayılar evreninde bütün pozitif tamsayılar kümesi {1,2,3...} bir
kümedir. {3,4,5} kümesi daha küçük bir kümedir veya bütün pozitif tamsayılar kümesinin bir
altkümesi dir. Başka bir örnek, bir okuldaki öğrenciler evreni içinden bütün erkekler kümesidir. Siz
kümelere başka örnekler bulabilir misiniz?
Yukarı solda, dikdörtgen alan olarak gösterilen U evreni içinden daire şeklindeki A kümesini
gösteren bir Venn diyagramı vardır. Eğer dairenin içindeki her şey A ise, dairenin dışındaki her şey
A değildir. Bu yüzden yukarı ortada A dairesinin dışında kalan dikdörtgen alanını, U yerine A-not
şeklinde isimlendiriyoruz. B yi ve B-notı benzer şekilde gösteriyoruz.
Hem A hem de B aynı evren içinde bulunursa ne olur? Dört ihtimali gösterelim.
Yukarıda gösterilen dört ihtimale daha yakından bakalım.
İlk örnek, Venn diyagramına göre A kümesi ve B kümesinin ortak hiçbir şeyi olmadığını gösterir. A
ve B dairesel çizgili alanlarında örtüşme yoktur. Örnek olarak A ve B kümelerinin aşağıdaki üyeleri
kapsadığını varsayalım:
A = {1,2,3,4}
B = {5,6,7,8}
A nın hiç bir üyesi B içinde değildir, aynı şekilde B nin hiç bir üyesi A nın içinde değildir. Böylece iki
daire arasında örtüşme yoktur.
Yukarıdaki Venn diyagramının ikinci örneğinde A kümesi tamamen B kümesinin içindedir. Bu
durumu nasıl açıklayabiliriz? Farz edelim A ve B kümeleri şu üyelerden oluşsun:
A = {1,2}
B = {1,2,3,4,5,6,7,8}
A nın bütün üyeleri aynı zamanda B nin de üyeleridir. Bu nedenle A kümesi B kümesinin bir alt
kümesidir. A nın bütün üyeleri aynı zamanda B nin de üyeleri olduğu için, A kümesi tamamen B
kümesinin sınırları içinde taranmıştır.
Dört örnekle gösterilmeyen beşinci bir durum daha vardır. İpucu: bu durum son(dördüncü) örneğe
benzerdir. Bu beşinci durum için bir Venn diyagramı çizin.
Yukarıdaki üçüncü örnek, A kümesi ve B kümesi arasında tam bir örtüşme gösterir. Her iki küme de
aynı üyeleri içerir. Varsayalım A ve B kümeleri şu şekilde olsun:
A = {1,2,3,4} B = {1,2,3,4}
Böylece,
A kümesi = B kümesi
A kümesi ve B kümesi tamamen aynıdır çünkü aynı üyelere sahiptirler. Bu duruma karşılık gelen
yukarıdaki Venn diyagramında A ve B bölgeleri tamamen örtüşür. Yukarıdaki şekillerin neyi
gösterdiği konusunda şüpheniz varsa, dairesel bölgelerin örtüşmeden önce nasıl göründüklerinden
emin olmak için yukarıdaki veya aşağıdaki herhangi bir şekle bakın.
Yukarıdaki dördüncü örnek örtüşen bölgede A ve B kümeleri arasında ortaklık olduğunu gösterir.
Örnek olarak rasgele aşağıdaki kümeleri seçelim:
A = {1,2,3,4}
B = {3,4,5,6}
3 ve 4 üyeleri A ve B kümesi için ortaktır. Bu üyeler A ve B nin ortak merkezindeki örtüşmenin
sebebidir.Bu duruma daha yakından bakmamız gerekir.