dosyayı indir

Yorumlar

Transkript

dosyayı indir
Ünite
2
ÜSTLÜ İFADELER
Bölüm 2.3. Üstlü İfade ve
Denklemler
Bu Bölümde Neler
Öğreneceğiz?
•
Üstlü ifadelerde çarpma, bölme ve
kuvvet almayı
•
Üstlü ifadeler içeren denklemlerin
çözümünü
•
Özel bir üstlü ifade türü olarak köklü
ifadeleri
•
Üstlü ifadelerin bazı uygulamalarını
Neden Öğreneceğiz?
Dünyanın güneşe olan uzaklığı, yıldızlar
ve gezegenlerin birbirlerine olan
uzaklıkları, Samanyolu galaksisindeki
yıldız sayısı, bir hidrojen atomunun
yarıçapı, pH değeri ve sesin şiddetini
belirleyen desibel değerleri gibi çok
büyük veya çok küçük sayıları ifade
etmek ve bunlar üzerinde işlemler
yapmak için üstlü ifadeleri kullanırız.
Bazen üstlü ifade içeren denklemlerle
karşılaşırız. Örneğin, zamana bağlı
olarak bir bakteri popülasyonunun
günde iki katına çıktığını keşfeden
bir bilim adamı için kaç saat sonra
256 milyon olduğunu bulmak üstlü
ifade içeren bir denklemi çözmeyi
gerektirir. Bu durumlarda sayıların üstlü
biçimde gösterimi ve bu gösterimlerin
kullanılması işlemlerde kolaylık
sağlamaktadır.
n
x
Bölüm 2.3. Üstlü İfade ve Denklemler
HAZIR MIYIZ?
1. Aşağıdaki ifadeleri üstlü ifade şeklinde
yazınız.
5. x = 4 için aşağıdaki cebirsel ifadelerin değerini bulunuz.
a. 5 · 5 · 5 · 5
a.2x2
b. 3 · 3 · 7 · 7 · 7 · 7
b.(2x)2
c.
a·a·a·a·a·a
c.4–1 x
ç.
(2a) · (2a) · (2a) · (2a) · (2a)
ç.(4x)–1
2. Aşağıdaki sayıları asal çarpanlarına ayırarak
üstlü ifadelerin çarpımı olarak yazınız.
a. 36 = 4 · 9 = 22 · 32
b.80
c.
98
ç.
128
d. 490
3. Bir soyağacında siz şimdiki zamanı temsil
ediyorsunuz. Bir nesil önce anne ve babanız
olmak üzere iki ebeveyniniz bulunuyor. 2 nesil önce anne ve babanızın da ikişer ebeveyni
yani büyük anne ve büyük babalarınız bulunuyor. Bu şekilde 5 nesil önceki atalarınızın
sayısını en kısa şekilde nasıl ifade edersiniz?
a.
16
b.
0, 09
c.
– 121
16
81
ç.
7. 3 5 , 4 3 , 5 2 , 49 sayılarının hesap makinesi kullanmadan küçükten büyüğe nasıl
sıralanacağını açıklayınız.
8. Aşağıdaki köklü ifadeleri sadeleştiriniz.
a.
50 = 25 · 2 = 5 2
b.
32
c.
0, 75
ç.
6, 4
4. Aşağıda verilen sayıları 10'un farklı kuvvetlerini kullanarak yazınız.
d.
4 · 10 –3
a. 234 = 23, 4 x 101 = 2, 34 x 102
9. Aşağıda verilen sayılardan hangileri 12 ile
çarpıldığında bir tam sayı elde edilir?
= . . . . . . . . . . . . x103
= . . . . . . . . . . . . x104
b. 3,674 = . . . . . . . . . . . . x10-1
=. . . . . . . . . . . . x10-2
=. . . . . . . . . . . . x10-3
256
6. Aşağıda verilen köklü ifadeleri kök dışına
çıkarınız. Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
a.2
b.
2
c.
3
ç.
6
d.
12
Üstlü İfade ve Denklemler
2.3.1 Üstlü İfade ve Denklemler
Neler Öğreneceğiz?
• Bir gerçek sayının tam sayı kuvvetini
Başlarken
• Alfa Erboğa (Alpha Centauri) Güneş'e en yakın
yıldız sistemidir. Bu yıldız sisteminin Dünya'ya
olan uzaklığı yaklaşık 4,3 ışık yılı olarak belirlenmiştir. Işık yılı, ışığın boşlukta bir yılda aldığı
mesafeyi veren bir ölçüm birimi olup, ışık hızı
ise yaklaşık olarak saniyede 300.000 km’dir.
Buna göre, Dünya ile Alfa Erboğa yıldız sistemi
arasındaki uzaklık kaç km’dir?
• Üstlü ifadelerin özelliklerini
• Üstlü ifadelerle işlemleri
• Üstlü ifade içeren denklemlerin
çözümü ve çeşitli gösterimlerle
yorumlanmasını
Sembol ve Gösterimler
• Bir biyolog, laboratuvar ortamında bakterilerin çoğalmasını incelemektedir.
Biyolog, ilk ölçümde bakteri populasyonunu 72 olarak bulmuş ve bu populasyonun her bir saatte 2 katına çıktığını tespit etmiştir. Buna göre, biyolog bakteri
populasyonunun kaç saat sonra 150.000’e ulaşacağını nasıl tespit edebilir?
•xn
• A · 10n
Bu tür durumların incelenmesinde üstlü ifadeler içeren denklemlerden faydalanılır. Bu bölümde üstlü ifadeler ve özellikleri incelenerek üstlü ifade içeren denklemlerin çözümleri yapılacaktır. Öncelikle üstü ifadelerin özelliklerini inceleyelim.
Anahtar Terimler
• Üstlü ifade
•Taban
Bir Gerçek Sayının Tam Sayı Kuvvetleri
•Üst
Aynı gerçek sayının birden çok çarpımını kolay bir şekilde göstermek için üstlü ifadeler
kullanılır. Örneğin 5 · 5 · 5 = 53 ve 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 şeklinde yazılır. Burada 2 taban, 5
ise üst (kuvvet) olarak adlandırılır.
5
Taban
Matematik Tarihi
Üst
René Descartes
2
Bir gerçek sayının pozitif tam sayı üstü o sayının kendisi ile kaç defa çarpıldığını gösterir.
1
8 · 8 · 8 · 8 · 8 ve
2 2 2 2
· · · gerçek sayılarını üstlü ifade şeklinde yazalım.
3 3 3 3
5
8·8·8·8·8 =8
5 tane
1596-1650
Rene Descartes yaptığı
birçok çalışmanın yanında
üstlü sayı gösterimini (an)
ilk kullanan kişi olarak da
bilinir.
2 4
2 2 2 2
=c m
· · ·
3
3 3 3 3
4 tane
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
257
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
x bir gerçek sayı ve n ∈ Z+ için xn ifadesine üstlü ifade denir. Burada x sayısına taban, n sayısına da üst veya kuvvet denir. xn ifadesi "x in n. kuvveti" diye okunur.
x · x · x · … · x = xn
144444
424444443
n tane
2
2
1
–4, – ve – negatif sayılarının bazı çift ve tek kuvvetlerini hesaplayalım ve sonuçla3
2
rın işaretlerini inceleyelim.
a.(–4)2 = (–4) · (–4) = 16
2 4
2
2
2
2
16
b. c - m = c - m · c - m · c - m · c - m =
3
3
3
3
3
81
6
1
1
1
1
1
1
1
1
c. c - m = c - m · c - m · c - m · c - m · c - m · c - m =
2
2
2
2
2
2
2
64
ç.(–4)3 = (–4) · (–4) · (–4) = – 64
2 3
2
2
2
8
d. c - m = c - m · c - m · c - m = 3
3
3
3
27
e.
c-
1 5
1
1
1
1
1
1
m = c- m · c- m · c- m · c- m · c- m = 2
2
2
2
2
2
32
Bu örnekteki sonuçların işaretleri incelendiğinde, negatif bir gerçek sayının çift
sayı kuvvetlerinin sonucunun pozitif işaretli, tek sayı kuvvetlerinin sonucunun
negatif işaretli olduğu görülür.
3
–24, –34 , (–2)4, (–3)4 ifadelerinin sonuçlarını bulup işaretlerini inceleyelim.
Üstlü ifade Sonuç
4
–2 –(2 · 2 · 2 · 2) = – 16
–34
–(3 · 3 · 3 · 3) = – 81
(–2)4
(–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16
(–3)4
(–3) · (–3) · (–3) · (–3) = 81
Elde edilen sonuçlara göre –24 ile –34 ün sonuçları negatif iken (–2)4 ile (–3)4 ün sonuçları pozitiftir.
258
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Üstlü İfade ve Denklemler
Üstlü İfadelerde Çarpma İşlemi
Dikkat
25 · 23 = (2 · 2 · 2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2) olarak yazılabilir. Çarpmanın birleşme özelliği kullanılarak bu ifade düzenlenirse 25 · 23 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 28 elde edilir. Aşağıdaki
benzer örnekleri inceleyelim.
3 3 3 2 3 3 3 3 3
3 5
a. c m · c m = · · · · · = c m
4
4
4 444443 1444
4 2444
43
4
1444434tan
2
e
2 tan e
144444444
2
44444444
3
5 tan e
n bir çift doğal sayı ve
x ∈ R –{0} olmak üzere,
–xn ≠ (–x)n olur.
Yandaki örnekte –34 ve (–3)4
üstlü ifadelerinin aynı olmadığına dikkat ediniz.
b. (–a) 3 · (–a) = (–a) (–a) (–a) (–a) = (–a) 4 = a 4
144444
2444443 19
tan e
3 tan e
14444444
424444444
43
4 tan e
c.3x2 · 4x4 = (3 · x · x) · (4 · x · x · x · x) = 3 · 4 · x · x · x · x · x · x = 12x 6
1444444
4244444443
6 tane
ç.x4 · x5 çarpımını aşağıda şema üzerinde de gösterelim.
= x·x·x·x x·x·x·x·x
x4 · x5
4 tane
5 tane
9 tane
= x9
x4+5
Tabanları aynı olan üstlü ifadelerin çarpımı pozitif tam sayılar için aşağıdaki gibi gösterilebilir.
Tabanları aynı iki üstlü ifade çarpıldığında üstler toplanır.
x ∈ R – {0} ve m, n ∈ Z+ olmak üzere,
x m · x n = x · x · x ·…· x . x · x · x ·… · x = x · x · x ·…· x = x m + n
144444
424444443 144444
424444443 144444
424444443
m tan e
n tan e
m + n tan e
xm · xn = xm + n dir.
Bu ispat pozitif üstler için yapıldığı halde, xm · xn = xm + n eşitliği üstün negatif olduğu
durumlar için de geçerlidir.
4
312 · 32 işleminin sonucu kaçtır?
312 · 32 = 312+2 = 314
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
259
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
5
Dikkat
Aşağıdaki ifadelerin 12x9 a eşit olup olmadığını belirleyelim.
Kuvvetin parantezin içerisinde olması ile parantezin
dışında olması sonucu değiştirebilir. Örneğin, x ≠ 0, x ≠ 1
ve x ≠ –1 için,
a. (4x6) · (3x3)
(2x)2 = 2x · 2x = 4x2
a.(4x6) · (3x3) = 4 · 3 · x6 ·x3
(2x2) = (2 · x · x) = 2x2
= 12 · x6 + 3
(2x)2 ≠ (2x2)
= 12 · x9
b. (12x3) · x6
b.(12x3) · x6 = 12 · x3 · x6
= 12 · x3 + 6
= 12x9
6
Bölüm girişinde sunulan bilgiye göre Alfa Erboğa yıldız sisteminin dünyaya olan uzaklığı 4,3 ışık yılıdır. Üstlü sayılarla ilgili yukarıdaki bilgileri kullanarak Alfa Erboğa (Centauri) yıldız sistemi ile dünya arasındaki uzaklığı hesaplayalım.
Anahtar Bilgi
Bilimsel Gösterim:
Sıfırdan farklı bir sayının
1 ≤ | A | < 10 ve n ∈ Z olmak
üzere A · 10n şeklinde yazılmasına bilimsel gösterim
denir.
Önce bir ışık yılının kaç kilometre uzunluğa karşılık geldiğini hesaplayalım.
Işık hızı yaklaşık olarak 300.000 = 3 · 105 km/sn dir.
Örnek,
Bir yıl = 365 · 24 · 60 · 60 = 31536 · 103 sn dir.
0,0002 = 2 · 10–4 ve
1 ışık yılı = Işık hızı x 1 yıl (saniye cinsinden)
3 500 000 = 3, 5 · 106
Bunu biliyor muydunuz
1 ışık yılı, ışığın boşlukta bir
yılda aldığı mesafeyi ifade
etmek için kullanılan bir
uzaklık birimidir.
= (3 · 105) · (31536 · 103)
= 3 · 31536 · 105 · 103
= 94608 · 105+3
= 94608 · 108
= 9,46 · 1012
1 ışık yılı yaklaşık olarak 9,46 · 1012 km'dir.
Alfa Erboğa yıldız sisteminin dünyaya olan uzaklığı 4,3 ışık yılı oluğuna göre, bu uzaklık
bilimsel gösterimle ifade edilirse;
Anahtar Bilgi
(4, 3) · (9, 46) · 1012 = (40,678) · 1012
≅ sembolünün anlamı
"yaklaşık olarak eşit" tir.
260
≅ 4, 06 x 1013 km olur.
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Üstlü İfade ve Denklemler
7
Yetişkin bir insanın normal olarak bir nefes alışverişinde ortalama 500 ml havayı kullandığı ve dakikada ortalama 12 nefes aldığı bilinmektedir. Buna göre yetişkin bir insanın
normal şartlarda 2 · 104 saatte kullandığı hava miktarının ml cinsinden ne kadar olduğunu bulalım.
Bir yetişkin insanın dakikada kullandığı hava miktarı
12 · (5 · 102) = 60 · 102 = 6 · 103 ml dir.
Bu sayı 60 ile çarpılırsa bir saatteki kullanılan hava miktarı bulunur.
60 · 6 · 103 = 360 · 103 = 36 · 104 ml
Elde edilen sonuç 2 · 104 ile çarpılırsa istenilen cevaba ulaşılır. Dolayısıyla,
(36 · 104) · (2 · 104) = 36 · 2 ·104 · 104 = 72 · 108 ml
Bir Gerçek Sayının Negatif Kuvvetleri
Sıfırdan farklı bir gerçek sayının –1. kuvveti, o sayının çarpmaya göre tersi olur.
1
1
1
Yani 4· = · 4 = 1 olduğu için 4'ün –1. kuvveti 4 –1 = tür. Yine aynı şekilde,
4
4
4
1 –1 1
5
c m =
= = 5 olur.
5
1
1
5
Bu durumda, bir gerçek sayının negatif tam sayı kuvvetleri, tabanının çarpma işlemine
göre tersi alındıktan sonra pozitif kuvvetinin alınması (tekrarlı çarpma işleminin yapıl1 3
ması) olarak yorumlanabilr. Örneğin 5–3 üstlü ifadesi, 5–3 = (5–1)3 = c m şeklinde dü5
1 3 1 1 1
1
zenlenebilir. Ve sonuç olarak c m = · · =
elde edilir.
5
5 5 5 125
Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
a.
Anahtar Bilgi
2 –1
3 1 3
c m =c m =
3
2
2
–1 2
a ≠ 0 ve b ≠ 0 olmak üzere,
1
a−1 = —
a
1
−n
a = —n
a
1
1
5
b. c m = cc m m = c m = 5 2
5
5
1
–2
c.
1
a k = ca k m = c m
a
b
–4
a
b
–1 4
b
a
4
a -n
b n
=c m
b
a
a k
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
261
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
8
1 –4
3 –3
3 –2, c m , c – m ve 6 –3 ifadelerinin üstlerini pozitif olarak yazıp sonuçları bulalım.
2
2
a.
1 2 1 1
1
3 –2 = c m = · =
3
3 3
9
1 –4
2 4
b. c m = c m = 2 4 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16
2
1
c.
c–
3 –3
2 3
2
2
2
8
m = c– m = c– m . c– m . c– m = 2
3
3
3
3
27
ç.
6 –3 =
1
1
=
3
216
6
9
1 –4
5 3 · c m işleminin sonucunu bulalım.
5
Çarpım durumunda olan bu iki farklı üstlü ifadenin tabanları aynı olmadığı için çarpma
işlemi ile ilgili kural doğrudan uygulanamaz. Fakat negatif kuvvet özelliğinden yararla1 –4
5 4
narak c m ifadesinin yerine c m = 5 4 yazılabilir. Bu durumda,
5
1
1 –4
53 · c m = 53 · 54
5
= 53+4
= 57
Üstlü İfadelerde Bölme İşlemi
Tabanları aynı iki üstlü ifade çarpılırken üstlerinin toplandığını biliyoruz. Tabanları aynı
39
olan iki üstlü ifadenin bölme işlemini iki farklı şekilde yapabiliriz. Bu yöntemleri 5
3
bölme işlemi üzerinde gösterelim.
262
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Üstlü İfade ve Denklemler
1. Yöntem: Pay ve paydadaki üstlü sayılar açık şekilde yazılırsa;
3·3·3·3·3·3·3·3·3
3·3·3·3·3
ifadesi elde edilir. Bu ifade sadeleştirildiğinde;
Y
3 ·Y
3 ·Y
3 ·Y
3 ·Y
3·3·3· 3·3
= 3 · 3 · 3 · 3 = 3 9–5 = 3 4
Y
3 ·Y
3 ·Y
3 ·Y
3 ·Y
3
sonucu elde edilir.
2. Yöntem:
39
39
1
üstlü ifadesi 5 = 3 9 · 5 şeklinde yazılıp negatif üst özelliği
5
3
3
3
kullanılarak39 · 3–5 şeklinde yazılabilir. Buradan;
39 · 3–5 = 39+(–5)
= 34 elde edilir.
39
bölme işlemini bir şema üzerinde gösterelim.
35
3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 ·3· 3
= 3· 3· 3· 3
3·3·3·3·3
3
9
3
5
=3
3
9
3
5
=3
4
9–5
Tabanları aynı olan iki üstlü ifadenin bölümünde, paydaki ifadenin üstünden paydadaki ifadenin üstü çıkarılır ve çıkan değer ortak tabana üst olarak yazılır. Bu
durum aşağıdaki gibi gösterilir.
x ∈ R − {0} ve m, n ∈ Z+ olmak üzere
m tan e
64444444
744444448
xm
x · x · x · x ..... · x
=
= x · x · x ..... · x = x m–n
x · x · x ..... · x
144444
2444443
xn
m – n tan e
144444
2444443
n tan e
xm
= x m · x –n = x m–n
xn
Yukarıdaki ispat üstlerin pozitif tam sayı olduğu durumlar için yapıldığı halde
x
m
x
n
=x
m–n
eşitliği üstlerin negatif olduğu durumlar için de geçerlidir.
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
263
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
10
a ≠ 0 olmak üzere,
15a 4
bölme işlemini yapalım.
3a 6
5
5·3·a·a·a·a
15 · a 4
=
=
a2
3·a·a·a·a·a·a
3 · a6
= 5a–2
15a 4
3a 6
15 a 4
·
= 5 · a 4–6
3 a6
11
3 10
bölme işlemini yapalım.
3 –8
3 10
= 3 10– (–8) = 3 18 3 –8
Tabanları aynı olduğu için üstlerinin farkı alınır.
12
x ≠ 0 için,
^ 3x 2 h^ 5x 3 h
^ 3x 2h^ 5x 3h
–2x 4
264
–2x 4
=
ifadesini sadeleştirelim.
3 · 5 · x2 · x3
3 · 5 x5
=
·
–2 x 4
–2x 4
3 · 5 5–4
=
·x
–2
15 1
=x
2
15
=x
2
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Üstlü İfade ve Denklemler
13
Nüfus yoğunluğu kilometrekare başına düşen insan sayısıdır. İstanbul’un yüzölçümü 5313 km2, nüfusu ise
13.850.000 olduğuna göre, İstanbul’un nüfus yoğunluğunu bulalım.
İstanbul'un nüfusu: 13.850.000 = 1,385 · 107 dir.
İstanbul'un yüzölçümü: 5313 = 5,313 · 103 dür.
Nüfus yoğunluğu, nüfusun yüzölçüme bölünmesiyle bulunur.
Nüfus yoğunluğu =
1, 385 · 10 7
1, 385
=
· 10 7–3
5, 313
5, 313 · 10 3
Bunu biliyor muydunuz
b 0,26 · 104 b 2600 kişi/km2 bulunur.
Hertz, saniye başına düşen
devir sayısını ifade eden ölçü
birimidir. Bir bilgisayarın
RAM ve İşlemci gibi parçalarının hızları genellikle MHz ve
GHz le ifade edilir. Örneğin 1
MHz, (1, 4, 8, 16, 32 ya da 64
bit olabilir) bir verinin saniyede bir milyon defa işlenmesi
anlamına gelir. İşte bu iki
bileşen (bit sayısı ve işlem
hızı) bir işlemcinin hızını belirler. 1970’li yıllarda yapılan
bilgisayarların işlemci hızları
genellikle 1 MHz civarındaydı (Atari, Commodore vs).
Bugün ise bu hızın 6 GHz lere
kadar ulaştığını görüyoruz.
Dolayısıyla, İstanbul'da 1 km2 ye yaklaşık olarak 2600 insan düşmektedir.
14
Bir firmanın muhasebe hesaplarını tutmakta kullandığı bilgisayarın işlemci hızı 1,6 MHz dir. Bilgisayarın artık değiştirilme zamanı geldiğini düşünen yetkililer işlemci hızı 3,2
GHz olan yeni bir bilgisayar almışlardır. Yeni alınan bilgisayarın hızı önceki bilgisayarın hızının kaç katıdır?
Yeni bilgisayarın işlemci hızı: 3,2 GHz = 3,2 · 109 Hz
Eski bilgisayarın işlemci hızı: 1,6 MHz = 1,6 · 106 Hz
Yeni bilgisayarın işlemci hızını eski bilgisayarın işlemci hızına bölelim.
3, 2 · 10 9 Hz
= 2 · 10 3 = 2000
1, 6 · 10 6 Hz
Dolayısıyla, yeni bilgisayarın işlemcisi hızı diğerinin 2000 katıdır.
Üstleri Aynı Olan İki İfadenin Çarpımı ve Bölümü
Şimdi aynı kuvvete sahip üstlü ifadelerin çarpımını inceleyelim. 34 · 54 değerini bulmaya çalıştığımızı düşünelim. Öncelikle açık halde yazalım.
34 · 54 = 3 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 5
Bu ifade çarpma işleminin değişme özelliği kullanılarak ikişerli gruplandırıldığında,
(3 · 5) (3 · 5) (3 · 5) (3 · 5) = (3 ·
5)4
=
154
Adı
Sembol
100
Hertz
Hz
103
Kilohertz
kHz
106
Megahertz
MHz
109
Gigahertz
GHz
Terahertz
THz
12
10
elde edilir.
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Kat
265
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
15
Bunu biliyor muydunuz
100
Aşağıdaki üstlü ifade çarpımlarını tek bir üstlü ifade olarak yazalım.
=
Googol
10
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2 4 x 4
b. c m · c m
x
y
a. (–3) 3 · (4) 3 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
a. (–3)3 · (4)3 = (–3) · (–3) · (–3) · 4 · 4 · 4
= (–3 · 4 ) · (–3 · –4) · (–3 · 4)
= (–3 · 4) · (–3 · 4) (–3 · 4)
= (–3 · 4)3
= (–12)3
Googol terimi, 10100
anlamına gelir. Bir googol,
1’in yanına 100 tane sıfırın
gelmesiyle oluşur. Bir rakamının ardından gelen 1 googol
sıfır ile yazılan sayıya ise
googolplex adı verilir.
b.
Bu sayı, 10googol = 10^10 h ile
ifade edilir ve evrende yaklaşık sayıda olan elektronların
sayısından fazladır.
100
2 4 x 4 2 2 2 2 x x x x
c m ·c m = · · · · · · ·
x x x x y y y y
x
y
2 x
2 x
2 x
2 x
= d · n·d · n·d · n·d · n
x y
x y
x y
x y
14444444444444444
244444444444444443
4 tane
4
2 x
2 4
=e · o = d n
y
x y
Web arama motoru Google
ismini buradan almıştır.
Google firmasının müdürü
ve ortaklarından olan Sergey
Brin, bir matematikçidir ve
Google ismini bu arama motorunun çok geniş olduğunu
tanımlamak için seçmiştir.
Üstleri aynı olan iki ifade çarpıldığında, tabanları çarpılır ve her iki ifadenin üstü
çarpımın ortak üstü olarak yazılır. Bu durum pozitif tam sayı kuvvetleri için aşağıdaki gibi gösterilir.
x, y ∈ R ve m, n ∈ Z+ olmak üzere,
x m · y m = x · x · x ·… · x · y · y · y · f · y = (x · y) · f · (x · y) = (x · y) m
144444
424444443 144444
424444443 14444444
244444443
m tane
m tane
m tane
xm · ym = (x · y)m dir.
Yukarıdaki ispat üstlerin pozitif tam sayı olduğu durumlar için yapıldığı halde
xm · ym = (x · y)m eşitliği üstlerin negatif olduğu durumlar için de geçerlidir.
16
a – k · (2b) 3 işleminin sonucunu bulalım.
a
b
3
a – k (2b) 3 = a –
a
b
266
3
3
a
a
·2b k = c – · 2 b m = (–2a) 3
b
b
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Üstlü İfade ve Denklemler
17
Aşağıdaki ifadelerde soru işareti yerine gelecek sayıları bulalım.
a.37 = 35 · 3?
b.37 = 36 · 3?
c.37 = 37 · 3?
a.37 = 35+2 = 35 · 32
b.37 = 36+1 = 36 · 31
c.37 = 37+0 = 37 · 30
18
56 · 27 çarpımının sonucunu üstlü bir ifade ile gösterelim.
Tabanları farklı iki üstlü ifadeyi çarpabilmek için sayıların üstleri küçük olan üste eşitlenerek çarpma işlemi yapılır. 27 ve 56 sayılarından üstü küçük olan 56 dır. Dolayısıyla 27
sayısının üstü de 6 olarak yazılırsa çarpma işlemi yapılabilir.
56 · 27 = 56 · 26+1 = 56 26 · 21 = (5 · 2)6 · 2 = 2 · 106
19
34 + 34 + 34
işleminin sonucunu bulalım.
35
Öncelikle pay kısmında bulunan 34 + 34 + 34 üstlü ifadelerinin toplamını bulalım.
34 + 34 + 34 = 3 · 34 144444
2444443
3 tane
= 31 · 34
= 31+4
= 35
Tekrarlı toplama işlemi çarpma işlemi ile ifade edilebilir.
3 = 31 olarak yazılır.
Tabanları aynı olan üstlü ifadelerin üstleri toplanır.
34 + 34 + 34 = 35 olduğundan soruda pay kısmına 35 yazılarak işlem yapılırsa
34 + 34 + 34
35
=
35
35
= 35–5 = 30 = 1 elde edilir.
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
267
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
Üstlü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapılabilmesi için üstleri ve tabanları
aynı olan terimler elde edilir. Üstleri ve tabanları aynı olan terimler ortak paranteze alınarak katsayılar toplanır veya çıkarılır.
Dikkat
3n + 3n + 3n + 3n = 4 · 3n
n ≠ 1 için,
x ∈ R ve n ∈ Z olmak üzere,
3n +3n + 3n + 3n ≠ 34n
axn + bxn – cxn = (a + b – c) xn dir.
3n + 3n + 3n + 3n ≠ (4 · 3)n
Anahtar Bilgi
20
Sıfırdan farklı bir gerçek sayının sıfırıncı kuvveti 1 dir.
75 + 76 + 77
ifadesini sadeleştirelim.
78 + 77 + 76
n
x
= x n–n = x 0
xn
xn
xn
=
=1
xn
xn
n ≠ 0 olmak üzere, 0n = 0
olur.
75 + 76 + 77 78 + 77 + 76
Sayıların üstleri en küçük üstlü sayının üstüne eşit olacak şe-
=
75 + 75 + 1 + 75 + 2 76 + 2 + 76 + 1 + 76
Pay kısmındaki sayılar 75, payda kısmındakiler ise 76 bir çar-
=
7 5 · 1+ 7 5 · 7 1 + 7 5 · 7 2 an + m = an · am özelliğini kullanarak sayılar düzenleyelim.
76 · 72 + 76 · 71 · 76 · 1
=
7 5 ^1 + 7 1 + 7 2h 7 6 (7 2 + 7 1 + 1)
=
75 76
00 belirsizdir.
= 7 –1 =
268
kilde yazalım.
pan olacak şekilde düzenleyelim.
Pay 75 ortak parantezine, payda ise 76 ortak parantezine alarak sadeleştirelim.
Üstlü sayılarda bölme işlemi yapalım.
1
7
7 nin çarpmaya göre tersini yazalım.
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Üstlü İfade ve Denklemler
21
2, 3 · 109 + 4 · 107 işlemini yapalım.
2, 3 · 109 + 4 · 107 ifadesinde toplama işleminin yapılabilmesi için önce tabanları aynı
olan üstlü ifadelerin üstlerinin eşitlenmesi gerekir.
2,3 · 109 + 4 · 107 = 2,3 · 102 · 107 + 4 · 107
= 230 · 107 + 4 · 107
= (230 + 4) · 107
= 234 · 107
Üstleri eşit iki üstlü ifadenin çarpımı tek bir üstlü ifade şeklinde yazılabilmektedir. Benzer durum üstleri eşit iki üstlü ifadenin bölümünde de geçerli midir? Bu
durumu bir örnekle inceleyelim.
22
25
işleminin sonucunu bulalım.
35
Öncelikle pay ve paydayı ayrı ayrı yazalım.
2·2·2·2·2
3·3·3·3·3
Bu ifadede 2 ve 3'lerin sayısı aynı olduğu için rasyonel ifadelerin çarpımından da fayda2 2 2 2 2
2 5
lanılarak · · · · = c m olarak yazılabilir. Bu durumun pozitif tam sayı üstleri
3 3 3 3 3
3
için genel hali aşağıda gösterilmiştir.
Üstleri aynı iki üstlü ifadenin bölme işleminde tabanlar bölüm olarak alınıp üst
olarak ortak üst yazılır. x, y ∈ R, y ≠ 0 ve m ∈ Z+ olmak üzere,
m tan e
644444
474444448
xm
x · x · x · ..... · x
x
x
x
x
x m
=
= c m · c m · c m · ..... · c m = c m olduğundan
m
y · y · y · ..... · y
y
y
y
y
y
y
144444m4tan
244444
43 1444444444444
24444444444443
e
m tan e
xm
x m
= c m şeklinde yazılır.
m
y
y
Yukarıdaki ispat üstlerin pozitif tam sayı olduğu durumlar için yapıldığı halde
xm
x m
= c m eşitliği üstlerin negatif olduğu durumlar için de geçerlidir.
m
y
y
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
269
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
23
69
–8 7
ve 7 ifadelerini düzenleyelim.
9
3
2
Her iki ifade de üstler aynıdır. Dolayısıyla birinci üstlü ifade
İkincisi ise
8 7
–8 7
= - c m = –4 7 olarak yazılır.
7
2
2
69
6 9
= c m = 2 9,
9
3
3
Üstlü Bir İfadenin Kuvveti
24
(23)4 üstlü ifadesinin değerini bulalım.
(23)4 ifadesi üstlü sayı tanımından 4 tane 23 ün çarpımına eşittir. Buna göre,
^ 2 3 h4 = 2 3 · 2 3 · 2 3 · 2 3
1444444
24444443
4 tane
= 23 + 3 + 3 + 3
= 2 33 +· 44
12
= 2 12
olarak yazılabilir. Bu parantezin içerisindeki üst ile dışındaki üstün çarpımıdır. Aşağıdaki
benzer örnekleri inceleyelim.
a.
cc
–2 2 3
2 2
2 2
2 2
2 2+2+2
2 2·3
2 6
m m = c– m · c– m · c– m = c– m
= c– m = c– m
3
3
3
3
3
3
3
x –3 2
x –3 x –3
x (–3) + (–3)
x (–3) · 2
x –6
2 6
b. x ≠ 0 için, ca k m = a k · a k = a k
=a k
=a k =c m
2
2 4244444
2 43
2
2
2
x
144444
2 tane
270
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Üstlü İfade ve Denklemler
Bir üstlü ifadenin kuvveti alındığında üstler çarpılır. x ∈ R − {0} ve m, n ∈ Z+
olmak üzere,
n tan e
^ x mhn = x m · x m · x m ·…· x m = x m + m + m + … + m = x m·n
64444444444744444444448
144444444n4tan
244444444
43
e
(xm)n = xm · n
şeklinde yazılır.
Yukarıdaki ispat, üstlerin pozitif tam sayı olduğu durumlar için verilmiş olmasına rağmen, (xm)n = xm · n eşitliği üstlerin negatif tam sayı olduğu durumlar için de geçerlidir.
25
276 üstlü ifadesini 3'ün kuvveti olarak yazalım.
276 = (33)6 = 33 · 6 = 318
26
(75 · 72)–2 işleminin sonucunu bulalım.
(75 · 72)–2 = (75+2)–2 =77 · (–2) = 7–14 =
Dikkat
1
7 14
a ≠ 0, b ≠ 0 ve m, n, k ∈ Z
olmak üzere
(an · bn)k = an · k · bm · k dır.
27
(a2 · b–3)4 ifadesini düzenleyelim.
= a2 · a2 · a2 · a2 · b– 3 · b– 3 · b– 3 · b– 3
24444444443
1444444
24444443 14444444444tane
4 tane
2+2+2+2
Anahtar Bilgi
(a 2 · b – 3) 4 = (a 2) 4 · (b –3) 4
(a 2 · b – 3) 4 = (a 2 · b – 3) · (a 2 · b – 3) · (a 2 · b – 3) · (a 2 · b – 3)
144444444444444444444tane
244444444444444444443
= a 2 · 4 · b –3 · 4
a, sıfırdan farklı bir rakam
olmak üzere; a · 10k sayısı
k + 1 basamaklıdır.
= a 8 · b –12
veya
–3–3–3–3
·b
=a
= a 2 · 4 · b –3 · 4 = a 8 · b –12
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
271
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
28
A = 7 · 83 · 512 ifadesinin kaç basamaklı olduğunu üstlü ifadelerin özelliklerini kullanarak
bulalım.
A = 7 · 83 · 512 sayısını düzenleyerek a · 10k şekline dönüştürelim. Böylece A sayının
sonundaki sıfır sayısı bulunabilir.
A = 7 · 83 · 512 = 7 · (23)3 · 512
=7 · 29 · 59 · 53
= 7 · 53 · ( 2 · 5)9
= 7 · 53 · 109
= 875 · 109
elde edilir. Bu, 875 sayısının sağında 9 tane sıfır olduğu anlamına gelir.
Dolayısıyla, A = 7· 83 · 512 ifadesi 12 basamaklıdır.
272
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
MATEMATİK ATÖLYESİ
Bu atölye çalışmasında, bakteri popülasyonu ile ilgili bölüm girişinde verilen durum, üstlü denklem ile modellenerek ifade edilecektir. Giriş bölümünde biyoloğun bakteri popülasyonunu ilk ölçümde 72 olarak belirlediğini
biliyoruz. Bu atölye çalışmasında başlangıçtan itibaren bakteri popülasyonunun zamana bağlı nasıl değiştiği ve
kaç saat sonra 72'ye ulaştığı incelenecektir.
Adım 4
Ölçülen bakteri sayısının en az 20.000 olması için kaç
saat geçmelidir?
2. Bölüm
Adım 1
1. Bölüm
Adım 1
Bakteri popülasyonunun her bir saatte 2 katına çıktığı
bilindiğine göre her bir saat sonunda ölçülen bakteri sayısını bularak aşağıdaki tablonun 2. sütununu ilk 10 saat
için doldurunuz.
Geçen Süre
(saat)
Bakteri
Popülasyonu
0
1
Bakteri Popülasyonunun
Bir Önceki Saatteki Bakteri
Popülasyonuna Oranı
1
2
3
h
İlk ölçülen bakteri popülasyonunun 72 olduğunu ve
bakterilerin her bir saatte yine 2 katına çıktığını kabul
edelim. Bu bilgilere göre yukarıdaki tablonun bir benzerini doldurunuz.
Adım 2
2. saat sonundaki bakteri popülasyonunu başlangıçtaki
(0. saatteki) bakteri popülasyonunu kullanarak nasıl bulursunuz? Bu hesaplamayı yaparken 1. adımda bulduğunuz oranı nasıl kullandınız?
Adım 3
3. saat sonundaki bakteri popülasyonunu başlangıçtaki bakteri popülasyonunu kullanarak nasıl bulursunuz?
Bakteri popülasyonunu bulmak için kullandığınız ifadeyi
üstlü ifade kullanarak yazınız.
Adım 2
Her bir saat sonunda ölçülen bakteri popülasyonunun
bir önceki saatteki bakteri popülasyonuna oranını bularak yukarıdaki tablonun 3. sütununu doldurunuz. Bu
oranların ne ifade ettiğini açıklayınız.
Adım 3
Toplam bakteri sayısının zamana (t) bağlı olarak değişimini gösteren denklemi yazınız.
Adım 4
6. saat sonundaki bakteri popülasyonunu üstlü ifade
kullanarak yazınız ve sonucu hesaplayınız.
Adım 5
Hesap makinesi yardımıyla bakteri popülasyonunun kaç
saat sonra 150.000 i geçeceğini bulunuz.
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
273
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
Üstlü Denklemler
Bir bakteri popülasyonunun hesaplandığı atölye çalışmasında geçen durum veya bu
duruma benzer belli bir oranda artan veya azalan durumlar üstlü denklemler ile gösterilebilir. Örneğin, atölye çalışmasında sorulan bakteri popülasyonu aşağıdaki denklem
ile modellenebilir.
Başlangıç değeri
Geçen
süre (s)
y = 72 · (2)t
Sabit çarpan
(artış çarpanı)
Değişkenin üst olarak yer aldığı bu tür denklemlere üstlü denklemler denir ve
genel olarak
y = a · bx şeklinde gösterilir.
29
Bir yapay göletteki haftalık balık sayısı, t hafta sayısını göstermek üzere y = 5 · 3t ile
modelleniyor. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayalım.
• a. Gölette başlangıçta kaç balık vardır?
• b. Modeldeki 3 sayısı neyi göstermektedir?
• c. 2. ve 3. haftanın sonunda göletteki balık sayısı ne olur?
• ç. Göletteki balık sayısı kaç hafta sonra 1215 olur?
• a. y = 5 · 3t ifadesinde 5 sayısının başlangıç değerini gösterdiğini atölye çalışmasında öğrendik. Dolayısıyla gölette başlangıçta 5 balık vardır. Aşağıdaki tabloda
birkaç hafta için göletteki balık sayısını bulalım. Başlangıç durumunun 0 ile gösterildiğine dikkat ediniz.
274
• Hafta (t)
• Balık Sayısı (5 · 3t)
• 0
• 5 · 30 = 5 · 1 = 5
• 1
• 5 · 31 = 15
• 2
• 5 · 32 = 45
• 3
• 5 · 33 = 135
• 4
• 5 · 34 = 405
• 5
• 5 · 35 = 1215
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Üstlü İfade ve Denklemler
b. Modeldeki 3 sayısı göletteki balık sayısının artış çarpanını göstermektedir. Yani,
balıklar her hafta 3 katına çıkmaktadır.
c.
Tabloya göre, 2. haftanın sonunda göletteki balık sayısı 5 · 32 = 45 olur iken 3. haftasının sonunda göletteki balık sayısı 5 · 33 = 135 olur.
ç.
Göletteki balık sayısının 1215 olması için kaç haftanın geçeceği 5 · 3t = 1215 denklemi çözülerek bulunur.
5 · 3 t = 1215
5 · 3t
1215
=
5
5
3 t = 243
3t = 35
Eşitliğin her iki tarafını 5'e bölelim.
243 = 81 · 3 = 27 · 3 · 3 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35
3t = 35 & t = 5
Bir üstlü denklemde eşitliğin her iki tarafındaki tabanlar eşit ise üstler de eşittir.
a ∈ R – {–1, 0, 1} ve m, n ∈ Z – {0} olmak üzere,
am = an ise m = n dir.
30
İnceleyelim
3x – 2 = 81 denklemini çözelim ve çözümü grafik üzerinde yorumlayalım.
1m = 1n ise m ve n için ne
söyleyebilirsiniz?
(–1)m = (–1)n ise m ve n için
ne söyleyebilirsiniz?
3x – 2 = 81
3x – 2 = 34
Tabanları eşitlemek için 81 sayısı 3'ün kuvveti olarak yazılır.
3x – 2 = 34
Eşitliğin her iki tarafında tabanlar eşit olduğundan üstler eşit olur.
x–2=4 ⇒ x=6
Eşitliğin her iki tarafındaki ifade ayrı ayrı denklem olarak yazılırsa;
y = 3x – 2 ve y = 81
şeklinde iki denklem elde edilir. Bu denklemlerin grafikleri bir grafik çizim yazılımı veya
grafik hesap makinesi kullanarak çizildiğinde aşağıdaki grafik elde edilir.
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
275
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
y
y = 3x–2
100
Dikkat
(6, 81)
x – eksenine paralel olarak çizilen herhangi doğru y = 3x–2
denkleminin grafiğini keseceği için 3x–2 = a denkleminde a değerleri sadece 3'ün
kuvvetleri olan sayılar olmak
zorunda değildir. Herhangi
bir pozitif gerçek sayı değeri
için bir tane çözüm olacağına
dikkat ediniz.
y = 81
80
60
40
20
2
4
6
8
10
12 x
İki denklemin grafiklerinin kesişim noktası olan x = 6 değeri 3x – 2 = 81 eşitsizliğinin
çözümüdür.
31
272x – 2 = 243x denklemini çözelim.
272x – 2 = 243x Eşitliğin her iki tarafındaki üstlü ifadelerin tabanları eşitlenir.
(33)2x – 2 = (35)x 27 = 33 ve 243 = 35 olduğunu biliyoruz.
33 · (2x – 2) = 35x
36x – 6 = 35x (am)n = am · n özelliği kullanılır.
Eşitliğin her iki tarafında tabanlar eşit olduğundan üstler eşit olur.
6x – 6 = 5x x=6
276
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Üstlü İfade ve Denklemler
32
5x + 5x + 5x + 5x = 500 olduğuna göre, x değerini bulalım.
5 x + 5 x + 5 x + 5 x = 500
144444444
2444444443
4 tan e
4 · 5 x = 500
4 · 5 x 500
=
4
4
5 x = 125
5x = 53
x=3
33
Betül Hanım bu ay 1000 TL olan kredi kartı borcunu ödeyememiştir. Banka, kredi kartı
borçlarının hiç ödenmemesi durumunda aylık %8 gecikme faizi uygulamaktadır. Bu
kart ile başka alışveriş yapmayan Betül Hanım 3 ay boyunca bu borcunu ödeyemediğine göre, 3. ayın sonunda Betül Hanım'ın toplam borcunun kaç TL olduğunu bulalım.
Ayrıca herhangi bir aydaki toplam borcu gösteren denklemi yazalım.
Başlangıç borcu: 1000 TL
Borcun aylık artma oranı (faiz) : %8 =
8
= 0, 08
100
Süre : 3 ay
Adım adım çözüm
Üstlü İfade
Yeni Borç (y)
Başlangıç
borcu
1000 TL
1. ay
sonunda
1000 + 1000 · 0,08 = 1000 · (1 + 0,08)
1000 · (1 + 0,08)1
1080 TL
2. ay
sonunda
1000 · (1 + 0,08) · (1 + 0,08)
1000 · (1 + 0,08)2
1166,40 TL
1000 · (1 + 0,08) · (1 + 0,08) · (1 + 0,08) 1000 · (1 + 0,08)3
1259,712 TL
3. ay
sonunda
1000 TL
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
277
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
Bu şekilde devam edilirse herhangi bir ay sonundaki borç 1000 · (1 + 0,08)t ifadesi ile
gösterilir. Atölye çalışmasında olduğu gibi sabit yüzde ile büyüme içeren bu gibi durumlar üstlü denklemler ile ifade edilir. Bu sorudaki duruma benzer durumlar aşağıdaki
denklem ile modellenir.
Anahtar Bilgi
Sabit yüzde ile azalma durumlarının modellenmesinde
Başlangıç değeri
y = A · (1 – r)n
denklemi kullanılır.
Geçen
süre
y = A · (1 + r)t
Sabit çarpan
(artış çarpanı)
Artış oranı
34
Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) verilerine göre Türkiye Cumhuriyeti’nin nüfusu 2012
yılı sonu itibariyle yaklaşık 75 milyon olarak belirlenmiştir. Türkiye’nin nüfusu yıllık yaklaşık olarak %2 oranında artış gösterdiğine göre, 10 yıl sonraki nüfus yaklaşık olarak kaç
milyon olacaktır?
Nüfusun başlangıç değeri: A = 75.000.000 = 7, 5 · 107
Yıllık artış yüzdesi: r = 0,02
Süre: t = 10
Dolayısıyla, yukarıdaki model kullanılarak 10. yılın sonundaki nüfus,
y = (7, 5 · 107) · (1 + 0,02)10
üstlü denklemi ile ifade edilebilir. Bu ifadenin yaklaşık değeri ise hesap makinesi yardımıyla 91.500.000 olarak bulunur.
35
x2 = 16 ve y3 = 27 denklemlerini sağlayan x ve y gerçek sayı değerlerini bulalım.
x2 = 16 ise x2 = 42 veya x2 = (–4)2 olur. Buradan x = 4 veya x = –4 elde edilir. O halde
çözüm kümesi ÇK = {–4, 4} olur.
y3 = 27 = 33 olduğundan y = 3 olur. ÇK = {3} olur.
278
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Üstlü İfade ve Denklemler
Genel olarak a, b ∈ R –{–1, 0, 1} ve n ∈ Z – {0} olmak üzere,
an = bn
n çift ise
a = b veya a = –b
n tek ise
a=b
36
(x – 1)3 = 27 denkleminin gerçek sayılar kümesindeki çözümünü bulalım.
(x – 1)3 = 27 27 sayısını üstlü sayı olarak ifade edelim.
(x – 1)3 = 33 Eşitliğin iki tarafındaki üstler tek sayı ve birbirine eşit olduğundan
tabanlar eşit olur.
x–1=3
x = 4
Çözüm kümesi {4} olur.
37
a
6
y
+ 1 k = 64 denkleminin gerçek sayılar kümesinde çözümünü bulalım.
2
a
6
y
64 sayısını 2'nin kuvveti olarak yazalım.
+ 1 k = 64
2
6
y
a + 1 k = 2 6 ise 2 durum vardır.
2
1. Durum
y
+1 = 2
2
y
=1
2
y=2
2. Durum
y
+ 1 = –2
2
y
= –3
2
y = –6
Eşitliğin her iki tarafındaki üstler birbirini
eşit ve çift sayı olduğundan tabanlar ya
birbirine eşit ya da birbirinin zıt işaretlisidir.
Çözüm kümesi {–6, 2} olur.
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
279
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
38
Anahtar Bilgi
(6x – 4)24 = (3x + 5)24 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamını bulalım.
n ∈ Z olmak üzere,
(−1)2n = 1
(6x – 4) 24 = (3x + 5) 24
(−1)2n + 1 = −1
6x – 4 = 3x + 5
6x – 3x = 5 + 4
3x = 9
x=3
ve
Eşitliğin iki tarafındaki üstler birbirine eşit
ve çift sayı olduğundan tabanlar ya birbirine eşit ya da birbirinin zıt işaretlisidir.
6x –4 = – (3x + 5)
6x – 4 = – 3x – 5
6x + 3x = – 5 + 4
x değerlerinin toplamı
9x = –1
–1 + 27
26
1
1
olur.
– +3 =
=
x=–
9
9
9
9
39
(2x – 9)8x – 16 = 1 denklemini sağlayan x değerlerini bulalım.
Anahtar Bilgi
an = 1 ise
i. a = 1 veya
(ax + b)cx + d = 1 şeklindeki denklemlerin çözümü üç farklı durumda incelenir.
ii. a = –1 ve n bir çift sayı
1. Durum: Tabanın 1 olması
iii. a ≠ 0 ve n = 0 dır.
2x – 9 = 1
2x = 1 + 9
2x = 10 ⇒ x = 5
2. Durum: Tabanın –1 ve üstün çift olması
Taban
Üst (x = 4 için 8x – 16 ifadesi bir çift sayı mı?)
2x – 9 = –1
2x = 8
x=4
8x – 16
8 · 4 – 16 = 16
x yerine 4 yazılır.
Sonuç çift sayıdır.
16 çift olduğundan x = 4 çözüm olarak kabul edilir.
3. Durum: Üstün sıfır olması ve tabanın sıfırdan farklı bir gerçek sayı olması
Üst
Taban (x = 2 için 2x – 9 ifadesi sıfırdan farklı mı değil mi?)
8x – 16 = 0
x=2
2x – 9
2 · 2 – 9 = −5
x yerine 2 yazılır.
Sonuç 0'dan farklıdır.
2 sayısı tabanı sıfır yapmadığı için x = 2 çözüm olarak kabul edilir.
Sonuç olarak (2x – 9)8x –16 = 1 denklemini sağlayan x değerleri {2, 4, 5} olur.
280
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Üstlü İfade ve Denklemler
40
3x = p ve 2x = r olduğuna göre, üstlü ifadelerin özelliklerini kullanarak 72x ifadesini p ve
r cinsinden yazalım.
72x ifadesini 3x ve 2x ifadelerini kullanarak yeniden düzenleyelim. Önce 72'yi içerisinde
2 ve 3 bulunan çarpanlarına ayıralım.
72x = (23 · 32)x
72 yerine 23 · 32 yazılır. (72 = 8 · 9 = 23 · 32)
= (23)x · (32)x (a · b)n = an · bn özelliğini kullanalım.
= (2x)3 · (3x)2
(an)m = an · m = (am)n özelliğini kullanalım.
= r3 · p2
2x yerine r ve 3x yerine p yazılır.
Sonuç olarak 72x = r3 · p2 bulunur.
41
8 y = 9 ve 3 x = 32 ise x · y nin değerini bulalım.
Mevcut bilgilerle x ve y değerlerinin ayrı ayrı bulunması mümkün değildir. Üstlü ifadelerde x ile y değişkenlerini çarpım halinde yazabilmek için y içeren üstlü ifadenin x.
kuvvetini almak gerekir. 8y nin x. kuvveti alınırsa (8y)x = 8x · y elde edilir.
8y = 9
(8y)x = 9x
8xy = 9x
(3x)2 = 322
9x = 322
8x · y yi elde etmek için 8y nin x. kuvvetini alalım.
9x elde etmek için 3x in 2. kuvveti alınır. (3x)2 = (32)x = 9x dir.
9x = 8xy ve 9x = 322 olduğundan 8xy = 322 dir. Dolayısıyla,
8xy = 322 ⇒ (23)xy = (25)2
⇒ 23xy = 210
⇒ 3xy = 10
10
⇒ xy =
3
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
281
Üstlü İfade ve Denklemler
KENDİMİZİ SINAYALIM
Kavrama ve Muhakeme
1. Aşağıdaki ifadelerde doğru olanların başına (D),
yanlış olanların başına (Y) yazınız.
a. (…..) Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.
b. (…..) Negatif sayıların tüm kuvvetleri negatiftir.
c. (…..) Üstlü sayılarda çarpma işlemi yapabilmek için
tabanların kesinlikle aynı olması gerekir.
7. Üstlü sayıların özelliklerini kullanarak aşağıdaki
boşlukları doldurunuz ve yaptığınız işlemleri açıklayınız.
(5a2)3 = 5a2· . . . . . . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . .
ç. (…..) Sıfırdan farklı bütün sayıların sıfırıncı kuvveti 1 dir.
d. (…..) 108 sayısı sekiz basamaklı bir sayıdır.
e. (…..) (0,003)–2 · (-2) < 0
f.
(…..) (-34 ) = 81
8. Aşağıda Levent ve Serhat’ın üstlü ifadeler ile ilgili
yaptığı işlemler verilmiştir. Bu işlemlerdeki hataları
bulunuz ve düzeltiniz.
Levent’in Çözümü
2. a5 · a3 ile (a5)3 ifadeleri birbirine eşit midir? Açıklayınız.
3. 24 · 33 = 2 · a3 ise a nın değerini bulunuz.
4. 45 · 35 çarpımını kuvveti 1'den farklı bir tam sayı
olan bir üstlü ifade şeklinde yazabilir misiniz?
5. Emir 25 in 2 · 5 e eşit olduğunu söylüyor. Emir’e 25 i
nasıl yorumlaması gerektiğini yazarak açıklayınız ve
iki ifadenin aynı sonucu vermeyeceğini gösteriniz.
Serhat’ın Çözümü
26 · 23 = 26 · 3
= 2 18
26 + 23 = 26 + 3
= 29
9. Aşağıdaki ifadeleri üstleri pozitif olacak şekilde
düzenleyiniz.
a.
1
1
b. –3
–1
4
x
c.
1
4x –2 y –3
ç.
3 –4
x
16
10. Aşağıdaki ifadelerde her zaman doğru olanların
başına (D), yanlış olanların başına (Y) yazınız.
a.(. . . . . . . ) 2 · a5 + a5 = (2 + 1)a5
6. Eymen 2–5 in –25 e eşit olduğunu söylüyor. Eymen’e 2–5 i nasıl yorumlaması gerektiğini yazarak
b. (. . . . . . . ) 4x + 4x + 4x + 4x = 4x+1
c.(. . . . . . . ) 2x + 2x + 2x + 2x = 164x
açıklayınız ve iki ifadenin aynı sonucu vermeyece-
ç.(. . . . . . . ) 3x + 3x + 3x = 33x
ğini gösteriniz.
d.(. . . . . . . ) x3 + x7 = x10
e.(. . . . . . . ) 2x3 + x = 3x4
282
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Üstlü İfade ve Denklemler
KENDİMİZİ SINAYALIM
11. 5x + 5x + 5x + 5x = 500 denklemi ile modellenebilecek bir problem yazınız.
12. y = 650 (1 + 0,04)t üstlü ifadesi ile modellenebilecek bir problem yazınız.
13. (3 – x)x + 1 = 1 denklemini sağlayan x değerlerini
bulunuz.
3. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
a.
(53)2 c.
(–34)5 ç. (x5)7
d. (24 · 33)2 15. 27x = 8 ve 128y = 81 olduğuna göre, x · y değerini
bulunuz.
16. 3x = 12 olduğuna göre, x gerçek sayısının hangi
tam sayılar arasında bulunduğunu belirleyiniz.
1. Aşağıda verilen üstlü ifadelerin değerlerini bulunuz.
a.
c.
3 4
1 3
c m b. c m
2
5
(–3)–4 ç. (–3)–4
d. –34 f.
(–1)2013
e. (–5)–2
g.
(–3)0
2. Aşağıda verilen üstlü ifadelerin eşitlerini bulunuz.
7·
53
b.
a.
5
c.
x–4 · x5 · x2 d. (2x5) · (3x4)
f.34 · 34 · 34 · 34 · 34 · 34
x4
·
x4
ç. (–2)5 · (–2)4
35
39
c.
^ a 5h4
d.
^ 2a 3 h4 · a 5
f.
b.
x5
x4
–3
3x 2
ç.
d
n
^ a 2h5
4 –1
2
4a · a
–6
^ 4x 2 y –1 h3 · y 4
1 –4
e. 2 3 · c m
2
5. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
a.
Alıştırmalar
e. (3 · a2 · b3)2
4. Aşağıdaki ifadeleri düzenleyerek en sade şekilde
yazınız.
a.
14. 3x = 6 olduğuna göre, 9x + 3x + 1 ifadesinin değeri
kaçtır?
b. (–25)4
1 5
c – m ·3 5 2
b. 57 · 27 c.
^ 5 4 h3
25
6. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bilimsel gösterimle ifade ediniz.
a.
4 · 8 · 10 12
4, 8 · 10 12
b.
6
2 · 10
2 · 10 6
c.
(2 · 10–6)2 · (2500000)
7. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
a.
b.
e. 5x7 · 3x2
c.
33 – (–2)4 + (–1)5
(–1) 2012 + (–7) 0 – (–1) 2013
1 –1
c m
2
(6–1 + 30)–2 · 147
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
283
Üstlü İfade ve Denklemler
KENDİMİZİ SINAYALIM
8.
44 + 44 + 44 + 44
ifadesinin eşitini bulunuz.
45
9.
3 45 – 3 44
ifadesinin eşitini bulunuz.
3 43 + 3 42
10. 2 10 – 2 12
ifadesinin eşitini bulunuz.
2 11 + 2 9
11. 3213 · 12522 · 1025 sayısı kaç basamaklıdır?
12. Aşağıdaki denklemleri sağlayan x gerçek sayılarını
bulunuz.
a.
(3x + 4)2013 = 132013
13. 0,27x – 3 = 1 olduğuna göre, (x – 3)0,27 değeri kaçtır?
a
14. a = 2 (4 ) ve b = (24)3 olduğuna göre, oranı
b
kaçtır?
3
Uygulama ve Problem Çözme
1. Tozakarı (mayt) olarak bilinen canlılar siyah bir
zemin üzerinde bir mercek yardımıyla görülebilir.
Tipik bir ev tozakarının boyu yaklaşık olarak 420
mikrometredir (µm). 1000 µm =1 mm olduğuna
göre bir toz akarının boyu mm cinsinden kaç olur?
2. Limon suyu, domates suyunun 102 katı daha
asitlidir. Domates suyu da, yumurtanın akından
103 kat daha asitlidir. O halde; limon suyu, yumurta
akından kaç kat daha fazla asitlidir?
b. (3x – 4)2013 = (2x + 1)2013
c.
5x = 125
ç.
2 · 3x = 54
d. 3x–5 = 81
e.
2x + 2x + 2x + 2x = 128
f.
5x + 5x + 5x + 5x + 5x
625
=
x
x
x
81
3 +3 +3
g. 3218 + 3218 + 3218 + 3218 = 8x
ğ. (x – 1)3 = 27
h. 93x · 27x – 1 = 812x – 1 · 32 – 3x
ı.
3x – 4 = 32x – 12
i.
8x + 4 = 32x – 10
284
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
3. Türkiye’nin yüzölçümü yaklaşık 78,4 · 104 kilometrekare, nüfusu ise 75 · 106 dır. Rusya’nın yüzölçümü
ise yaklaşık 17,1 · 107 kilometrekare olup, nüfusu
14,1 · 107 dir. Buna göre, Türkiye’nin ve Rusya’nın
nüfus yoğunluklarını (birim km2 de bulunan insan
sayısı) üstlü ifadelerin özelliklerini kullanarak hesaplayınız ve karşılaştırınız.
4. Zeynep’in ailesinin son 4 yıldır Türk Kızılay’ına yap5 t
tığı yıllık nakit bağış miktarı, 160 · c m ifadesi ile
4
yaklaşık olarak hesaplanabilmektedir. Buna göre, t
yılı göstermek üzere aşağıdaki tabloyu doldurunuz.
t (Yıl)
Bağış Miktarı (TL)
1
2
3
4
Üstlü İfade ve Denklemler
KENDİMİZİ SINAYALIM
5. Ahmet Bey 2000 TL maaş almaktadır ve maaşı
yıllık %10 oranında artmaktadır. Buna göre Ahmet
Bey kaç yıl sonra 2800 TL den fazla maaş almaya
başlar? (Hesap makinesi kullanılabilir.)
8. Yeni aldığınız dizüstü bilgisayarın pilinin kullanım süresine bağlı olarak ömrü (saat cinsinden)
y = 6 · (1 – 0, 05)t üstlü ifadesi ile modellenmektedir. Burada t pilin kaç ay kullanıldığını göstermektir.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a. Bu modele göre zaman geçtikçe pilin ömrü artmakta mıdır, azalmakta mıdır?
6. Meryem Hanım 100.000 TL ye Ankara’dan bir daire
almıştır. Emlak uzmanı evin bulunduğu bölgede
dairelerin yıllık %10 değer kazandığını ifade ettiğine göre, Meryem Hanım’ın dairesinin 5 yıl sonra
ulaşacağı değeri üstlü bir denklem ile ifade ediniz
ve hesap makinesi yardımıyla bu değeri bulunuz.
(Hesap makinesi kullanılabilir.)
b. Pil ömrünün artış veya azalış oranı nedir?
c.
Bilgisayar ilk alındığında pilin ömrü kaç saatti?
ç.
10 ay sonra pilin ömrü ne olur?
9. Manisa ilinin 2000 yılından bu yıla kadarki yıllık nüfusu P = 260 000 · (1+0, 012)t denklemi ile modellenmektedir. (Hesap makinesi kullanılabilir.)
a.
7. Onur 5000 TL ye 5 yaşında bir motosiklet almıştır.
Bu motosikletlerin yılda %5 değer kaybettiği bilinmektedir. Buna göre,
a.
Motosikletin ilk satış fiyatı yaklaşık kaç TL dir?
(Hesap makinesi kullanılabilir.)
b. Onur’un motosikletinin değeri 2 yıl önce ne idi?
Üstlü denklemi yazarak sonucu bulunuz.
Denklemdeki her bir sayının ve değişkenin gerçek
hayatta ne anlama geldiğini açıklayınız.
b. Bu şehirdeki nüfusun yıllara göre artıp azalma durumu ile ilgili ne söyleyebilirsiniz?
c.
Bu şehirde 2002 yılındaki nüfusun kaç olduğunu
bulunuz.
ç.
t değerinin hangi aralığı, bu yıla kadarki bilgileri verir.
d. Denklemi kullanarak bu yıldaki nüfusun kaç olduğunu bulunuz.
10. Bir önceki soruda elde ettiğiniz denklem sonraki
yıllarda Manisa ilinin nüfusunun tahmininde kullanılacağını kabul edersek, 2023 yılında nüfusun kaç
olacağını bir elektronik tablolama programı veya
hesap makinesi yardımıyla bulunuz.
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
285
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
Neler Öğreneceğiz?
2.3.2. Köklü İfadeler
• Köklü ifadeler
Başlarken
• Köklü ifadelerin üstlü ifade
şeklinde gösterimi
Bölüm girişinde incelenen bakteri popülasyonu
sorusunda başlangıçta 72 olan bakteri popülasyonunun bir ve iki saat sonundaki ulaşacağı miktar
72 · (2)1 ve 72 · (2)2 ile gösterilmişti. Peki, bakteri
popülasyonunun yarım saat veya 1,5 saat sonra
ulaşacağı miktarlar nasıl ifade edilir? Bu durum-
• Köklü ifadelere ait özellikler
Anahtar Terimler
•Karekök
1
3
• Küp kök
larda bakteri popülasyonu sırasıyla 72 · (2) ve
• n. Dereceden kök
72 · (2) 2 ile ifade edilir. Burada
3
•Derece
nel sayı kuvvetler ile karşılaşmaktayız.
1
Pozitif bir gerçek sayının . kuvveti özel olarak
2
karekök terimi ile adlandırılır ve
sembolü ile
• Rasyonel üst
Sembol ve Gösterimler
1
2
gösterilir. Buna göre, 72 · (2) ifadesi 72 · 2
•
•
n
• x
1
1
5
4
3
2
6
1
17
7
8
16
9
15
10
11
14
12
13
şeklinde yazılabilir. Burada 2 sayısı, 2 nin
xm
karekökü, ya da karekök 2 olarak okunur.
m
n
Köklü ifadeler, özellikle geometride birçok durumun incelenip anlaşılmasında kullanılır. Örneğin,
gerçek sayılar bölümünde öğrendiğimiz gibi bir
kenarı 1 br olan karenin köşegeni 2 br şeklinde
gösterilmekteydi. Benzer şekilde, alanı 2 br2 olan
bir karenin bir kenarı da 2 br ile gösterilir.
Bunu biliyor muydunuz
Fransız fizikçi Nicolas Chuquet, 1475 yılında, yazdığı
cebir kitabında rasyonel üst
kullanmıştır. Kitapta R26 ile
1
1
3
ve gibi rasyo2
2
Bu bölümde köklü ifadeler, üstlü ifadeler ile ilişkilendirilerek incelenecek ve köklü ifade
içeren denklemlerin çözümleri yapılacaktır. Öncelikle farklı derecelerden kökleri inceleyelim.
1
6 2 , R315 ile de 15 3 ifade
edilmiştir. Kök işareti ilk defa
1
1525 yılında Christoff Rudolff’un kitabında gösterilmiş ve
“coss” diye adlandırılmıştır.
a.
b.
c.
ç.
d.
e.
f.
g.
Daha sonraları bu işaret
değiştirilerek günümüzde
kullanılan karekök ve küpkök
halini almıştır.
286
Karesi 36 olan gerçek sayılar nelerdir?
Karesi –36 olan gerçek sayılar nelerdir?
Üçüncü kuvveti 125 olan gerçek sayılar nelerdir?
Üçüncü kuvveti –125 olan gerçek sayılar nelerdir?
Dördüncü kuvveti 16 olan gerçek sayılar nelerdir?
Dördüncü kuvveti –16 olan gerçek sayılar nelerdir?
Beşinci kuvveti 32 olan gerçek sayılar nelerdir?
Beşinci kuvveti –32 olan gerçek sayılar nelerdir?
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Köklü İfadeler
Dikkat
a. İstenen sayı x ile gösterilecek olursa x2 = 36 denklemi çözülerek bu soru cevaplanabilir.
x2 = 36
x2 = 62
x2 = (–6)2
x=6
x = –6
sembolü bir sayının pozitif karekökünü ifade etmek
için kullanılır. Bu nedenle,
a ∈ R için a ≥ 0 dır.
Yandaki örnekte 36 sayısının
karekökleri 6 ve –6 sayıları
olmasına rağmen, 36 = 6
dır.
Buna göre, x2 = 36 denklemini sağlayan x = 6 ve x = –6 sayılarına 36 nın karekökleri
denir. Köklerden pozitif olanına pozitif karekök denir ve 36 = 6 ile gösterilir. 36 nın
negatif karekökü ise – 36 = –6 ile gösterilir.
b. Karesi –36 olan bir gerçek sayı bulmak için x2 = –36 denkleminin çözümünü inceleyelim. Bir gerçek sayının çift kuvveti her zaman pozitif olduğundan karesi –36
olan bir gerçek sayı bulunamaz. Bu nedenle bu denklemin bir gerçek sayı kökü
yoktur. Diğer bir ifadeyle –36 g R .
c.
Anahtar Bilgi
2. dereceden kök için kullanılan “karekök” isimlendirmesi
gibi, 3. dereceden kök için de
“küpkök” isimlendirmesi kullanılır. Diğer kök dereceleri
için benzer bir özel isimlendirme kullanılmaz.
Üçüncü kuvveti 125 olan gerçek sayıları bulmak için x3 = 125 denklemini çözelim.
x3 = 125
x3 = 53
x=5
Üçüncü dereceden kuvveti 125 olan bir gerçek sayı vardır ve 5 e eşittir. 5 sayısına 125
in küpkökü denir ve 3 125 = 5 ile gösterilir. Burada (–5)3 ≠ 125 olduğuna dikkat ediniz.
ç.
Yukarıdaki çözüme benzer olarak x3 = –125 denklemini çözelim.
x3 = –125
x3 = (–5)3
x = –5
Üçüncü dereceden kuvveti –125 olan gerçek sayı –5 dir. Dolayısıyla, –125 in 3. dereceden kökü –5 dir ve 3 –125 = –5 şeklinde yazılır.
d.x4 = 16 denklemini çözelim.
x4 = 16
x4 = 24
x4 = (–2)4
x=2
x = –2
16 nın biri pozitif diğeri negatif olmak üzere 4. dereceden iki gerçek sayı kökü vardır ve
bunlar
4
16 = 2 ve – 4 16 = –2 ile gösterilir. Burada, x4 = 16 denkleminin iki kökü ol-
masına rağmen
4
16 = 2 dir.
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
287
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
e.
b seçeneğindeki gibi bir gerçek sayının çift kuvveti her zaman pozitif olduğundan
x4 = –16 eşitliğini sağlayan bir gerçek sayı bulunamaz. Dolayısıyla, 4 –16 g R.
f.x5 = 32
x5 = 25
x=2
Beşinci dereceden kuvveti 32 olan bir gerçek sayı vardır ve 2 dir. Dolayısıyla 32 nin 5.
dereceden kökü 2 dir ve 5 32 = 2 şeklinde yazılır.
g.x5 = –32
x5 = (–2)5
x = –2
Beşinci dereceden kuvveti –32 olan gerçek sayı –2 dir. Dolayısıyla –32 nin 5. dereceden
kökü –2 dir ve 5 –32 = –2 şeklinde yazılır.
Yukarıdaki örneklerin çözümlerini özetleyelim ve bazı sonuçlar çıkaralım.
Denklem
Sözel İfade
x = 36 = 6 ve
x = – 36 = –6
Karesi 36 olan
sayılar 6 ve –6
dır.
x2 = –36
x = –36 g R
–36 nın gerçek
sayı olan karekökü
yoktur.
x3 = 125
x = 3 125 = 5
125 in küpkökü
5 tir.
x3 = –125
x = 3 –125 = –5
–125 in 3. dereceden kökü –5 tir.
x4 = 16
x = 4 16 = 2 ve
x = – 4 16 = –2
4. kuvveti 16 olan
sayılar 2 ve –2 dir.
x4 = –16
x = 4 –16 g R
–16 nın 4. dereceden gerçek sayı
kökü yoktur.
x5 = 32
x = 5 32 = 2
32 nin 5. dereceden kökü 2 dir.
x5 = –32
x = 5 –32 = –2
–32 nin 5. dereceden kökü –2 dir.
x2
288
Çözüm
= 36
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Köklü İfade
36 = 6
–
3
3
125 = 5
–125 = –5
4
16 = 2
–
5
5
32 = 2
–32 = –2
Köklü İfadeler
Genel olarak, n ∈ Z+ ve n ≥ 2 olmak üzere, herhangi bir a gerçek sayısı için
xn = a denklemini sağlayan x gerçek sayılarına a sayısının n. dereceden gerçek
sayı kökleri denir.
Yukarıdaki örnekler incelendiğinde a’nın n. dereceden kökleri için, yani xn = a
denklemi için şu sonuçlara varılır:
1. Durum (a > 0):
Kökün
derecesi
a. n bir çift sayı ise; a’nın zıt işaretli iki gerçek sayı kökü vardır. Köklerden pozitif olana a nın pozitif kökü denir ve n a ile gösterilir, negatif olana ise a nın
negatif kökü denir – n a ile gösterilir. Bununla birlikte n in çift oluğu durumda
n
sembolü bu köklerden sadece pozitif olanı belirtir. Dolayısıyla, n a ≥ 0 dir.
b. n bir tek sayı ise; a’nın sadece bir gerçek sayı kökü vardır ve
n
a ile gösterilir.
n
a ile gösterilir.
Kök
sembolü
n
a
2. Durum (a < 0 ):
a. n bir çift sayı ise; a nın gerçek sayı kökü yoktur.
b. n bir tek sayı ise; a nın sadece bir gerçek sayı kökü vardır ve
3. Durum (a = 0 ):
n ∈ Z+ ve n ≥ 2 olmak üzere
n
0 = 0 olur.
Anahtar Bilgi
Örnek 1 de görüldüğü gibi n çift olduğunda ifadelerin iki kökü olabilmektedir. Bu köklerden pozitif olanı kök olarak belirleyebilmek için mutlak değer kullanılır. Buna göre,
n ∈ Z ve n ≥ 2 için xn = a
denkleminde a = 0 için denklemin kökü 0 dır.
0 = 3 0 = ... = n 0 = 0
n ∈ Z+ ve n ≥ 2 olmak üzere a ∈ R için,
n
an = )
a,
n tek ise
dir.
| a |, n çift ise
2
7 2 + (–6) 2 – (–8) 2 ifadesinin eşitini bulalım.
7 2 + (–6) 2 – (–8) 2 = | 7 | + | –6 | – | –8 |
9 > >
|7 |
| –6 |
| –8 |
=7+6 –8
= 5 elde edilir.
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
289
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
3
Aşağıdaki köklü ifadelerin eşitlerini bulalım.
a.
4
(–2) 4
b.
3
–27
c.
a < 0 için
6
a6
ç.
a < 0 için
5
(–a) 5
(a – 3) 2
d. a < 3 için
a.
4
(–2) 4 = | –2 | = 2
b.
3
–27 = 3 (–3) 3 = –3
c.
a < 0 için
6
a 6 = | a | = –a ç.
a < 0 için
5
(–a) 5 = –a
d. a < 3 için
(a – 3) 2 = | a – 3 | = – (a – 3) = 3 – a
4
x < 0 < y olmak üzere;
x 2 + x 2 – 2xy + y 2 + 3 y 3 ifadesinin sonucunu bulalım.
x < 0 < y olmak üzere, soruda verilenleri tek tek ele alalım.
Anahtar Bilgi
x < 0 için, |x| = –x olduğundan
Aşağıdaki özdeşlikleri hatırlayalım.
x 2 –2xy + y 2 = (x – y) 2 = | x – y | dır.
x < y olduğundan x – y < 0 dır. Dolayısıyla |x – y| = –(x – y) = –x + y olur.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a –
b)2
=
a2
– 2ab +
x 2 = | x | = –x olur.
b2
3
y 3 = y dir.
Buna göre,
x 2 + x 2 – 2xy + y 2 + 3 y 3 = –x + (–x + y) + y = 2y – 2x olur.
290
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Köklü İfadeler
Köklü İfade İle Üstlü İfade Gösterimleri Arasındaki İlişki
5
9 sayısının hangi kuvvetinin 3’e eşit olduğunu bulalım.
Dikkat
a
Bu sorunun cevabı 9x = 3 denklemi çözülerek bulunur.
9x = 3 ⇒ (32)x = 31
⇒ 32x = 31
⇒ 2x = 1
1
⇒ x = olur.
2
1
9 2 = 3 olarak yazılabilir.
9 = 3 olduğunu biliyoruz. Bu iki eşitlik birleştirilerek,
1
2
9 =3= 9
1
92 = 9
şeklinde yazılır.
6
125 sayısının hangi kuvvetinin 5’e eşit olduğunu bulalım.
Yukarıdaki soruda olduğu gibi 125x = 5 denklemini çözelim.
x
_
125 = 5 bbb
b
3 x
1b
b
(5 ) = 5 bb
b
1
3x
1 b
5 = 5 `b & 125 3 = 5
bb
3x = 1 bb
bb
bb
1
x=
bb
3
a
3
125 = 5 olduğunu biliyoruz. Buna göre
1
125 3 = 5 = 3 125
1
125 3 = 3 125 olur.
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
291
k
1 2
32
1
=32
·2
=3
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
1
a pozitif bir gerçek sayı olmak üzere a 2 = a dır. n ∈ Z+ ve n ≥ 2 olmak üzere
1
n. dereceden köklü ifadeler genel olarak a n = n a şeklinde gösterilir.
7
1
1
1
9 2
c m , 16 4 , a 5 ifadelerini köklü ifade olarak yazalım ve en sade şekilde gösterelim.
4
1
9 2
c m =
4
9 3
=
4 2
1
16 4 = 4 16 =
4
4
2 =2
1
a5 = 5 a
8
Anahtar Bilgi
m
n
(ab)c = ab . c = (ac)b
4
25 =2
2
Dikkat
33 =3
Köklü ifadede kökün derecesi üstlü ifade gösteriminde
üstün paydasına karşılık
gelmektedir.
n
a
m
4
2
a şeklindeki üstlü ifadeler köklü ifade olarak nasıl yazılır? Bu durumu 2 5 ve 3 3 örnekleri ile inceleyelim.
b, c ∈ Q için
4$
1
5
2$
1
3
5
= (2 ) 5 = ` 2 j
4
1
4
3
= (3 ) 3 = ` 3 j
2
1
2
şeklinde yazılabilir. Burada sayının üstünün paydasının kökün derecesi olarak yazıldığına dikkat ediniz. Bu durum genel olarak aşağıdaki şekilde gösterilir.
a ! R + , m, n ! Z ve n ≥ 2 için
m
=a n
m
an =
292
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
n
am
Köklü İfadeler
Köklü İfadelerin Özellikleri
Köklü ifadelerde çarpma işlemini, üstlü ifadelerdeki an · bn = (a · b)n özelliğini kullanarak
inceleyelim.
9
3 · 5 ve
3
2 · 3 3 çarpımlarını bulalım.
1
1
1
3 · 5 = 3 2 · 5 2 = (3 · 5) 2 = 3 · 5 = 15
1
1
1
2 · 3 3 = 2 3 · 3 3 = (2 · 3) 3 = 3 2 · 3 = 3 6 olur.
3
Bu durum genel olarak;
+
+
a, b ! R , n ! Z ve n ≥ 2 için,
n
a.
n
1
n
1
n
1
n
b = a · b = (a · b) = n a · b şeklinde ifade edilir.
Bu sonucun doğruluğu aşağıdaki gibi açıklanabilir.
Buna göre; dereceleri aynı olan iki köklü ifadenin çarpımı, kökün derecesi değiştirilmeden köklerin içindeki ifadeler aynı kök içinde çarpılarak bulunur.
a, b ∈ R+, n ∈ Z+ ve n ≥ 2 için,
n
a · n b = n a · b dir.
10
a.
b.
c.
3
5
10 · 5 ,
2·3 4
x 2 · 5 (–x) 3
çarpımlarını bulalım.
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
293
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
a.
10 . 5 = 10 $ 5 = 50
b.
3
2 $ 3 4 = 3 2 $ 4 = 3 8 = 3 23 = 2
c.
5
x 2 · 5 (–x) 3 = 5 x 2 · (–x) 3 = 5 - x 2 · x 3 = 5 (–x) 5 = –x
Köklü ifadelerde bölme işlemini, üstlü ifadelerdeki
celeyelim.
an
a n
= a k özelliğini kullanarak inn
b
b
11
14
ve
7
3
3
2
bölme işlemlerini yapalım.
3
1
2
1
14
14
14 2
ve 1 = c m =
7
7
72
1
3
3
14
= 2 ve
7
1
2 23
2 3 3 2
= 1 =c m =
olur.
3
3
3
3
3
Bu durum genel olarak;
a, b ! R, n ! Z + ve n ≥ 2 için,
1
n
n
a
=
b
an
1
bn
1
a
a
şeklinde ifade edilir.
= a kn = n
b
b
Buna göre; dereceleri aynı olan iki köklü ifadenin bölümü, kökün derecesi değiştirilmeden köklerin içindeki ifadelerin aynı kök içinde bölünmesiyle bulunur.
a, b ! R + , n ! Z + ve n ≥ 2 için,
n
n
294
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
a n a
=
b
b
Köklü İfadeler
12
3
90 3
· 3 işleminin sonucunu bulalım.
10
3
Verilen köklü ifadelerin dereceleri eşit olduğundan ifadeler aynı kök içine yazılarak
işlemler yapılır. Buna göre;
3
90 3
90
· 3=3
· 3 = 3 9 · 3 = 3 27 = 3 3 3 = 3 sonucu elde edilir.
10
10
3
13
4
5
4
5
2·4 8
işleminin sonucunu bulalım.
27 · 5 9
2·4 8
=
27 · 5 9
4
5
2·8
=
27 · 9
4
5
16
=
243
4
5
24
2
=
3
35
14
3
5 2 ifadesini tek bir sayının karekökü olarak ifade edelim.
5 2 = 5 2 = a 5 2 k = ^ 5 h şeklinde yazılabilir. Benzer şekilde aynı ifade
3
1
3
52 =5
3·
·3
1
2
1 3
3
3
3
3
= ^5 h 2 = 5 olarak da yazılabilir. O halde ^ 5 h = 5 3 olur.
1
Aynı özellik daha önce öğrendiğimiz köklü ifadelerin çarpımı ile ilgili özellik kullanılarak da aşağıdaki şekilde gösterilebilir.
^ 5 h = 5 $ 5 $ 5 = 5 $ 5 $ 5 = 5 3 dir.
3
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
295
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
a ! R + olmak üzere bu durum genel olarak,
^ ah =
n
^ a h = `a 2 j = a 2
n
1 n
a · a · a · ... · a = a n
1 44n2
44 3
tane
a · a · a · ... · a =
1 4444n2
4444 3
tane
veya
1
n
= ^a h2 =
1
$n
n
a şeklinde gösterilir. O halde,
^ ah =
n
a n dir.
15
Aşağıdaki köklü ifadeleri düzenleyelim.
a.
^5 2 h
3
b. ^9 5 h
4
^n a h
m
c.
Kareköklü ifadeler için verilen ^ a h = a n özelliğinin farklı dereceden köklü ifadeler
için de geçerli olup olmadığını aşağıdaki örnekler ile inceleyelim.
n
a.
^5 2 h = 5 2 · 5 2 · 5 2 = 5 2 · 2 · 2 =
3
5
2
3
b. ^9 5 h = 9 5 · 9 5 · 9 5 · 9 5 = 9 5 · 5 · 5 · 5 =
4
c.
9
5
4
^ n a h = n a · n a · n a · ... · n a = n a · a · a · ... ·a = n a m
m
m tane
m tane
Örneklerde görüldüğü gibi ^ a h = a n eşitliği farklı dereceden köklü ifadeler için de
n
geçerlidir. Buna göre,
a ∈ R+; m, n ∈ Z ve n ≥ 2 için,
^ n a h = n a m dir.
m
Aynı dereceden iki köklü ifadenin nasıl çarpılıp bölünebildiğini biliyoruz. Dereceleri
farklı iki köklü ifade nasıl çarpılabilir veya bölünebilir? Bu durumu aşağıdaki örnekte
inceleyelim.
296
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Köklü İfadeler
16
2 · 3 5 çarpımının nasıl yapılabileceğini gösterelim.
2 ile
3
5 sayılarının çarpılabilmesi için köklü ifadelerin dereceleri olan 2 ve 3 ü eşit-
lemek gerekir. Bunun için sayılar aşağıdaki gibi üstlü şekilde yazılır ve üstlerin paydaları (köklerin dereceleri) genişletilerek eşitlenir.
1
1
2 =22
3
5 =53 1·3
Köklü ifadeleri üstlü ifade şeklinde yazalım.
1·2
= 2 2·3
= 5 3·2 3
Üstlü ifadelerin üstlerinin paydalarını eşitleyelim.
2
=26
=56 = 6 23
= 6 52
Üstlü ifadeleri köklü ifade olarak yazalım.
Böylece, 2 ve 3 5 ifadelerinde köklerin dereceleri eşitlenmiş olur. Dolayısıyla
2 · 3 5 = 6 23 · 6 52
= 6 23 · 52
= 6 200 olur.
Bir köklü ifadenin derecesi ve kökün içindeki ifadenin üstü aynı pozitif tamsayıyla çarpıldığında veya bölündüğünde köklü ifadenin sonucu değişmez. Bu durum aşağıdaki
gibi ifade edilir.
a ∈ R+, m ∈ Z; n, k ∈ Z+ ve n ≥ 2 için
n
m
a =
n·k
a
m·k
ve
n
m
x =
n
k
m
x k dir.
17
3
2 · 7 4 çarpımını bulalım.
3 ve 7 olan köklerin derecelerini 21 de eşitleyip köklü ifadeleri çarpalım.
3
2 · 7 4 = 3 · 7 2 7 · 7 · 3 (2 2) 3 = 21 2 7 · 21 2 6 = 21 2 7 · 2 6 = 21 2 13
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
297
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
18
Köklü ifadelerin özelliklerini kullanarak aşağıdaki ifadeleri en sade şekilde yazalım.
32
b.
c. 3 54 ç. 5 96 d. 5 a 6 · b 13 · c 15
a. 48 50
48 = 16 · 3 = 4 2 · 3 = 4 2 · 3 = 4 3
a.
32
=
50
b.
c.
3
54 = 3 27 · 2 = 3 3 3 · 2 = 3 3 3 · 3 2 = 3 3 2
ç.
5
96 = 5 32 · 3 = 5 2 5 · 3 = 5 2 5 · 5 3 = 2 5 3
d.
5
a 6 · b 13 · c 15 = 5 a 5 · a · (b 2) 5 · b 3 · (c 3) 5 = a · b 2 · c 3 · 5 a · b 3
n
Kök dışındaki bir ifade kök
içerisine alınırken ifadenin
üstü kökün derecesi ile
çarpılır.
n
n
n
1
n
1
1
a · b = (a · b) n = (a ) n · b n = a
n·
1
n
1
· b n = a · n b yazılabilir. Buna göre,
+
+
n. dereceden köklü ifadeler için a, b ∈ R , n ∈ Z ve n ≥ 2 olmak üzere
a, b ∈ R+ , n ∈ Z+ ve n ≥ 2
için
b=
de belirtilir.
24
22
4
=
=
2
5
5
5
Örnekler incelendiğinde a, b ∈ R+ ve m, n ∈ Z+ için
Dikkat
a· n
24
=
52
16
=
25
n
n
a · b şeklin-
+
a n · b = a · n b olur. Bu durum, kareköklü ifadeler için özel olarak a, b ∈ R
olmak üzere
a 2 · b = a b şeklinde belirtilir.
19
Aşağıdaki ifadelerde n ve m kaçtır?
a. 2 · 4 2 = 4 2 n a.
b. a 2 · 5 a = 5 a m
2 · 4 2 = 4 2 4 · 2 = 4 2 5 olduğundan n yerine 5 gelmelidir.
b. a 2 · 5 a = 5 a 2 · 5 · a = 5 a 10 · a = 5 a 11 olduğundan m yerine 11 gelmelidir.
298
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Köklü İfadeler
20
a = 5 3 , b = 2 20 , c =
7
18 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
3
a = 5 2 · 3 = 75
b = 2 2 · 20 = 80
c=
49
· 18 = 98
9
Köklerin dereceleri eşit olduğundan kök içindeki sayı büyüdükçe köklü ifadenin değeri
de artar. Buna göre, 75 < 80 < 98 olduğundan a < b < c dir.
21
2 , 3 3 , 4 5 köklü sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayalım.
2·6
3· 4
4·3
_
2 1· 6 = 12 2 6 = 12 64 bb
3 1· 4 = 12 3 4 = 12 81 ` 12 125 > 12 81 > 12 64
b
5 1· 3 = 12 5 3 = 12 125
a
O halde bu sayılar
4
5 > 3 3 > 2 şeklinde sıralanmalıdır.
22
3 4
3 4
3
3
2 ve
2=
a5 =
3
a 5 ifadelerini sadeleştirerek tek kök içinde ifade edelim.
1
3
·
2 = a 2 4 k = 2 4 3 = 2 12 = 12 2
1
4
1
5
5 1
1 1
5
a 3 = (a 3 ) 2 = a 6 =
6
1
a5
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
299
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
İç içe kökler sadeleştirilirken en içteki kökten başlanarak köklü ifadeler üstlü
ifade şeklinde yazılır.
n m
a=
n
1
am
1
n
= `a m j = a m · n = m · n a
1
1
Sonuç olarak a, b ∈ R+, m, n ∈ Z+ , m ≥ 2 ve n ≥ 2 olmak üzere,
n m
a = m · n a dir.
23
Aşağıda verilen köklü ifadeleri tek kök içinde yazalım.
a.
3
2· 5 2 b.
3
7 3
1
2·25
c.
5
6
a.
b.
7 3
5 = 3 · 7 5 = 21 5
c.
6 5
32 = 6 · 5 32 = 30 32
ç.
3 8 4
2·
2=
1
32 ç.
3 8 4
8
3
·
2
5
= `2 5 j = 2 5 3 = 2 5 = 2 = 5 4
3
5
6 5
6 1
2
8 = 3 · 8 · 4 8 = 96 8 = 32 2
Köklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma
Üstlü ifadelerde toplama veya çıkarma yapılırken tabanları ve üstleri aynı olan üstlü
ifadelerin katsayılarının toplandığını biliyoruz. Benzer şekilde köklü ifadeler toplanırken veya çıkarılırken kök dereceleri eşit ve kök içleri aynı olan ifadelerin katsayıları toplanır.
24
Dikkat
Üstlü ifadelerde toplama
3 5 + 4 5 işlemini yaparak köklü ifadelerde toplama işlemini inceleyelim.
ve çıkarma yapılabilme
şartı üstlü ifadelerin
tabanlarının ve
üstlerinin aynı olması idi.
Köklü ifadelerin içleri aynı ve dereceleri eşit olduğu için köklerin önündeki sayılar
toplanarak sonuç bulunur.
x · an + y · an = (x + y) · an
x · an – y · an = (x – y) · an
3 5 + 4 5 = (3 + 4) 5 = 7 5
300
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Köklü İfadeler
a ∈ R+ ve x, y ∈ R olmak üzere,
x a + y a = (x + y ) a
x a – y a = (x – y) a
25
Dikkat
72 + 8 işlemini sonucunu bulalım.
b ≠ 0 için
a + b ≠ a+b
72 + 8 = 36 · 2 +
a – b ≠ a–b
4·2
=6 2 +2 2
Köklerinin içi aynı olacak şekilde düzenleyelim.
= (6 + 2) 2 = 8 2 Köklü ifadelerin önündeki sayıları toplayalım.
Örneğin,
9 + 16 ≠ 9 + 16
14444244443 144424443
3+4 = 7
5
25 – 16 ≠ 25–16
1444442444443 144424443
5– 4 = 1
26
3 75 – 6 12 işlemini sonucunu bulalım.
3 75 – 6 12 = 3 25 · 3 – 6 4 · 3 =3·5 3 – 6·2 3
= 15 3 – 12 3
= 3 3 sonucu elde edilir.
27
24 – 72 + 54 + 8 işlemini sonucunu bulalım.
22 · 6 – 62 · 2 + 32 · 6 + 22 · 2 = 2 6 – 6 2 + 3 6 + 2 2
= 2 6 +3 6 –6 2 +2 2
= 5 6 –4 2 sonucu elde edilir.
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
301
3
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
Kareköklü ifadelere benzer olarak, a ∈ R+, x, y ∈ R, n ∈ Z+ ve n ≥ 2 olmak üzere,
n. dereceden köklü ifadeler için
x n a + y n a – z n a = (x + y – z) · n a dır.
28
4
4
80 +
4
80 + 4 405 = 4 2 4 · 5 + 4 3 4 · 5 405 toplamını bulalım.
4
5 +34 5
=2
= (2 + 3) · 4 5
= 5 4 5 olur.
29
3
54 + 3 16 – 3 250 işleminin sonucunu bulalım.
3
54 + 3 16 – 3 250 = 3 3 3 · 2 + 3 2 3 · 2 – 3 5 3 · 2
= 3 3 2 + 2 3 2 – 5 3 2 = 0 bulunur.
30
3 · 3 x 3 · y + 2 · 3 y 4 – x· 3 27 · y işleminin sonucunu bulalım.
3 · 3 x 3 · y + 2 · 3 y 4 – x· 3 27 · y = 3x · 3 y + 2 · 3 y 3 · y – x · 3 3 3 · y
302
= 3x · 3 y + 2y · 3 y – 3x · 3 y
= 2y · 3 y bulunur.
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Köklü İfadeler
Kareköklü Bir İfadenin Paydasını Rasyonel Sayı Olarak Yazma
31
Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapalım.
5
·
2
a.
5
2
5
·
2
a.
5
=
2
b. ^ 5 – 2 h^ 5 + 2 h 5 5
· =
2 2
c. ^3 2 – 5h^3 2 + 5h
Dikkat
25
5
=
4
2
a· a=a
b. ^ 5 – 2 h^ 5 + 2 h = ^ 5 h – ^ 2 h = 5 – 2 = 3
2
c.
2
^ 3 2 – 5h^ 3 2 + 5h = ^ 3 2 h – (5) 2 = 9 · 2 – 25 = –7
2
Anahtar Bilgi
Görüldüğü gibi bir köklü ifade uygun bir köklü ifadeyle çarpıldığında bir rasyonel sayı
elde edilmektedir. Çarpımı rasyonel sayı olan iki köklü ifadeye birbirinin eşleniği denir.
İki kare farkı:
(a + b) (a – b) = a2 – b2
Yukarıdaki örnekte 5 in eşleniği kendisi, 5 – 2 in eşleniği 5 + 2 ve 3 2 – 5 in
eşleniği ise 3 2 + 5 tir. Bir köklü ifadenin paydasını rasyonel sayı yapmak için köklü
ifade paydanın eşleniği ile genişletilir.
Anahtar Bilgi
a – b ile
a+ b
ifadelerine birbirinin
eşleniğidir. İki kare far-
32
kı özdeşliği kullanılarak
^ a – b h·^ a + b h = a – b
5
ifadesini paydası rasyonel olacak şekilde yeniden düzenleyelim.
3
olduğu bulunur.
3 ifadesinin kendisi ile çarpımının 3 · 3 = 3 2 = 3 bir rasyonel sayı
olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla
yonel yapılır.
5
·
3
5
ifadesi
3
3 ile genişletilerek ifadenin paydası ras-
3 5 3
=
3
3
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
303
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
33
8
ifadesini paydası rasyonel olacak şekilde yeniden düzenleyelim.
7– 3
Paydada bulunan 7 – 3 sayısının eşleniği olan 7 + 3 ile kesri genişletelim.
Bu durumda,
8^ 7 + 3 h
8^ 7 + 3 h
7+ 3
=
=
= 2 ^ 7 + 3 h elde edilir.
2
2
7–3
7+ 3
^ 7 h –^ 3 h
8
·
7– 3
34
3
–
3
2
işleminin sonucunu bulalım.
5– 3
İfadeler eşlenikleri ile genişletilirse
3
–
3
^ 3h
2
3 3 2^ 5 + 3 h
–
=
5–3
3
5– 3
^ 5 + 3h
= 3 – ^5 + 3 h
= 3– 5– 3=– 5
elde edilir.
35
3
5
ifadesini paydası rasyonel olacak şekilde yazalım.
2
Paydadaki
3
304
3
2 sayısını rasyonel hale getirmek için kesri
5· 3 4
53 4
53 4
olur.
= 3
=
3
2
2· 4
8
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
3
2 2 = 3 4 ile genişletelim.
Köklü İfadeler
Köklü İfade İçeren Denklemler
Bir basit sarkacın tam bir salınımı için
geçen süreye sarkacın periyodu denir ve
,
t = 2r
denklemi ile modellenir. Bu
g
denklemde g yerçekimi sabitini göstermekte ve g ≅ 9, 8 m/sn2 dir. , ise sarkacın
metre cinsinden uzunluğunu göstermektedir.
Buna göre, periyodu 1 sn olan bir basit
sarkaç yapmak istenirse sarkacın boyu kaç
metre olur?
Yukarıdaki denklemde verilenler yerine
yazıldığında
1 = 2r ·
,
9, 8
denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümü sarkacın uzunluğunu verecektir.
Bu örnekte de görüldüğü gibi bilinmeyenin kök içinde olduğu denklemlere
köklü denklemler denir. Köklü denklemlerin nasıl çözüldüğünü aşağıdaki örneklerle inceleyelim.
36
x + 3 = 8 olduğuna göre, x kaçtır?
x +3 = 8
x = 8–3
Sağlama Yapma
25 + 3 = 8
^ x h = 52
5+3=8
x = 25
8=8
2
Çözümün doğru olup olmadığını
başlangıçtaki denklemde x yerine 25
yazarak kontrol edelim.
Dikkat
Eşitlik sağlandığından x = 25'tir.
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Köklü ifade içeren denklemlerin çözümünden elde
edilen sonucun başlangıçtaki
denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmelidir.
305
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
37
x + 11 = 8 denkleminin gerçek sayılarda çözüm kümesini bulalım.
x + 11 = 8
Sağlama Yapma
x = 8 – 11
9 + 11 = 8
x = –3
3 + 11 = 8
^ x h = (–3) 2
2
14 ≠ 8
Çözümün doğru olup olmadığını
başlangıçtaki denklemde x yerine 9
yazarak kontrol edildiğinde eşitliğin
sağlanmadığı görülmektedir. Dolayısıyla denklemin çözüm kümesi boş
kümedir.
x=9
x > 0 olduğundan dolayı denklemin çözümünde x = –3 bulunduğunda denklemin bir çözümünün olmadığı hemen görülebilir.
38
2x – 1 = 3 olduğuna göre, x in değerini bulalım.
2x – 1 = 3 eşitliğinin sol tarafındaki ifadeyi kök dışına çıkarmak için her iki tarafın karesi alınır.
^ 2x – 1 h = 3 2
2
2x – 1 = 9
2x = 10
x=5
Sağlama Yapma
2 · 5 –1 = 3
10 – 1 = 3
9=3
3=3
306
Çözümün doğru olup olmadığını
başlangıçtaki denklemde x yerine 5
yazarak kontrol edelim.
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Eşitlik sağlandığından x = 5 tir.
Köklü İfadeler
39
Konunun başlangıcında verilen basit sarkaç sorusuna dönelim. Periyodun 1 sn olduğu durumda sarkacın uzunluğunu veren denklem, 1 = 2r ·
,
olarak yazılmıştı. Bu
9, 8
denkleme göre sarkacın uzunluğunun yaklaşık kaç cm olacağını bulalım.
,
9, 8
1 = 2r ·
1
=
2r
c
,
9, 8
, 2
n
9, 8
1 2
m =d
2r
,
1
=
2
9
,8
4r
,=
9, 8
4r
2
bulunur.
Hesap makinesi yardımıyla , yaklaşık olarak 0,248 m = 24, 8 cm bulunur.
40
x 2 – 3 = x – 3 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
_ x 2 – 3 i = (x – 3) 2
2
x2 – 3 = x2 – 6x + 9
x2 – 3 = x2 – 6x + 9
6x = 12
x=2
Sağlama Yapma
2 2 – 3 = 2–3
1 ≠ –1
x = 2 değeri denklemi sağlamadığı
için denklemin çözüm kümesi boş
kümedir.
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
307
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
41
2 x + 2 = 4 3 denkleminin çözümünü inceleyelim.
2x + 2 = 43 & 2
&
x+2
2
= 26
x+2
=6
2
& x = 10 bulunur.
42
4 x + 3 = ^3 8 h
denkleminin çözümünü inceleyelim.
4 x + 3 = ^3 8 h
&4
2x–1
2x–1
x+3
2
=8
x+3
)
2
2x–1
3
= 23(
2x–1
)
3
& 22(
& 2 x + 3 = 2 2x–1
& x + 3 = 2x–1
&x=4
bulunur.
43
6
3
6
3
x 36
= 9 denkleminin çözümünü inceleyelim.
2
1
1
2
6
x 36
x
= 9 & da k 3 n = 3 36
2
2
1
1
x
& a k 18 = 3 18
2
x
& =3&x=6
2
bulunur.
308
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Köklü İfadeler
KENDİMİZİ SINAYALIM
Kavrama ve Muhakeme
Alıştırmalar
1. Aşağıdaki ifadelerde her zaman doğru olanların
başına (D), yanlış olanların başına (Y) yazınız.
a. (. . . . )x ≠ 0, x + x = 2x
b. (. . . . ) (–6) 2 = 6
c.(. . . . )
ç.
125
gerçek sayısı rasyoneldir.
144
(. . . . ) 125 = 5
d. (. . . . )
3
2
gerçek sayısı rasyoneldir.
1
sayısının paydasını rasyonel yapmak için
5
1. Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
a.
16 + (–7) 2
b.
169 – (–12) 2 + (–11) 2
c.
5 10 – 10
ç.
3 5 +4 5 –6 5 –2 5
d.
3
40 + 3 135 –
3
5
27
200 · 63
14
e.
sayı 5 ile genişletilmelidir.
e. (. . . . ) 5 – 2 sayısının eşleniği 2 – 5 dir.
f.
(. . . . )4 5 + 7 ifadesi daha da sadeleştirilerek tek
kök içinde yazılabilir.
2. Aşağıdaki köklü ifadeleri en sade biçimde yazınız.
a.
ç.
3
108 b.
40 d. 3 a 6 · b 11 · c 15
128 c.
6 4
81
2. “x2 = 16 ise x kaçtır?” sorusunun çözümü ile “ 16
nın eşiti nedir?” sorusunun çözümü arasında ne
fark vardır? Açıklayınız.
3. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
3. Aşağıda Levent ve Serhat’ın köklü ifadeler ile ilgili
yaptığı işlemler verilmiştir. Bu işlemlerdeki hataları
bulunuz ve düzeltiniz.
a.
5 12 + 3 75 – 4 108
b.
5
3 · 4 27
c.
4
a 6 · 3 (–a) 3
Levent’in Çözümü
Serhat’ın Çözümü
5 + 11 = 16
2 5 + 7 5 = (2 + 7) 10
=4
= 9 10
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
309
Köklü İfadeler
KENDİMİZİ SINAYALIM
4. Aşağıda verilen eşitliklerde noktalı yerlere gelecek
sayıları bulunuz.
a.
6
b.
5 8 = 3 5 ...
75 = …· 3 = …· 3
c.
3
54 = 3 3 …
ç.
a3 · 4 a = 4 a…
d.
ab 2 5 ab 3 = 5 a … b …
5.
x = 3 , y = 3 5 , z = 6 26 olduğuna göre, x, y, z
10. Aşağıdaki denklemlerin gerçek sayılar kümesinde
çözüm kümelerini bulunuz.
a.
x –18 = 0
b.
5x – 11 + 2 = 5
c.
5x – 1 + 2 = 5
ç.
2
x –1 = 3
5
11.
4 x–1
c m = 1 olduğuna göre, x kaçtır?
9
12.
8 x + 3 = ^3 32 h
sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
6.
5
36 3 3 =
bulunuz.
x 5
9 4 9 olduğuna göre, x değerini
7. Aşağıdaki ifadelerin paydalarını rasyonel hale
getiriniz.
3
a.
5
b.
4
7
6+ 3
ç.
9
3 –1
8.
1
+
2+ 3
1
+
4+ 5
1
işleminin
6+ 7
sonucunu bulunuz.
9. x < 0 < y olmak üzere,
bulunuz.
310
x 2 + 6 y 6 ifadesinin eşitini
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
olduğuna göre, x kaçtır?
Uygulama ve Problem Çözme
1. Alanı 1024 m2 olan kare şeklinde bir aynanın boyutları nedir?
2. Bir nesnenin belli bir yükseklikten düşme süresi
2 s
ile modelleniyor. Burada t zamanı ve s de
5
objenin atıldığı yüksekliği göstermektedir. Buna
göre, 80 metre yükseklikten atılan bir nesnenin
yere düşme süresi nedir?
t=
6
27
c.
2x–1
3. Bir şehrin meydanına büyük bir sarkaçlı saat
yapılmak istenmektedir. Bu sarkacın periyodu
,
ile modellendiğine göre aşağıdaki
T = 2r
g
soruları cevaplayınız. (, : Sarkacın metre cinsinden
uzunluğu, g = 9,8 m/sn2)
a. Sarkacın periyodunun 2 sn olması için yaklaşık kaç
metre uzunluğunda bir sarkaç yapılmalıdır?
b. Sarkacın periyodunun 4 sn olması için yaklaşık kaç
metre uzunluğunda bir sarkaç yapılmalıdır?
c.
9,8 metrelik bir sarkacın periyodu ne olur?
Üstlü İfade ve Denklemler
BÖLÜM ÖZETİ
Üstlü Sayılar
Aynı gerçek sayının birden çok çarpımını kolay bir şekilde göstermek için üstlü sayılar kullanılır.
Örneğin 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 şeklinde yazılır.
5
Üst
2
Taban
x bir gerçek sayı ve n ve Z+ için xn ifadesine üstlü ifade denir. Burada x sayısına taban, n sayısına da üst veya kuvvet
denir. xn ifadesi "x in n. kuvveti" şeklinde okunur.
x · x · x· ... · x = x n
1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3
n tan e
Negatif bir gerçek sayının çift sayı kuvvetlerinin sonucu pozitif işaretli, tek sayı kuvvetlerinin sonucu negatif işaretlidir.
Tabanları aynı iki üstlü ifade çarpıldığında üstler toplanır.
xm · xn = xm + n, 35 · 34 = 39
Üstleri aynı olan iki üstlü ifadenin bölümünde, paydaki ifadenin üstünden paydadaki ifadenin üstü çıkarılır ve çıkan
değer ortak tabana üst olarak yazılır.
x ∈ R – {0} ve m, n ∈ Z olmak üzere
xm
58
= x m – n, 2 = 5 6
xn
5
Üstleri aynı olan iki ifade çarpıldığında, tabanları çarpılır ve her iki ifadenin üstü çarpımının ortak üstü olarak yazılır.
x ∈ R – {0} ve m, n ∈ Z olmak üzere , xm · ym = (x · y)m , 25 · 35 = (2 · 3)5 = 65
Üstlü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapılabilmesi için üstleri ve tabanları aynı olan terimler elde edilir. Üstleri ve
tabanları aynı olan terimlerin ortak parantezine alınarak katsayılar toplanır veya çıkarılır.
a · xn + b · xn – c · xn = (a + b – c) · xn
Üstleri aynı iki üstlü ifadenin bölme işleminde tabanlar bölüm olarak alınıp üst olarak ortak üst yazılır.
m
3
m
3
x, y ∈ R y ≠ {0} ve m, n ∈ Z olmak üzere , x m = a x k , 6 3 = ` 6 j = 2 3 = 8
y 3
3
y
Bir üstlü ifadenin kuvveti alındığında üstler çarpılır.
x ∈ R – {0} ve m, n ∈ Z olmak üzere , (xm)n = xm · n , (73)4 = 712
a sıfırdan farklı bir rakam olmak üzere; a · 10k sayısı k + 1 basamaklıdır .
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
311
Bölüm
2.3
Üstlü İfade ve Denklemler
• Değişkenin üst olarak yer aldığı bu tür denklemlere üstlü denklemler denir ve genel olarak y = a · bx şeklinde
gösterilir.
• Bir üstlü denklemde eşitliğin her iki tarafındaki tabanlar eşit ise üstler de eşittir.
x ∈ R – {–1, 0, 1} ve m, n ∈ Z olmak üzere, xm = xn ⇒ m = n
• a, b ∈ R ve n ∈ Z olmak üzere, xn = yn & )
x = y,
n tek ise
x = y veya x = – y, n çift ise
• n ∈ Z ve olmak üzere (–1)2n = 1, (–1)2n + 1 = – 1
Köklü İfadeler
• a ∈ R+ ve olmak üzere, x2 = a denklemini sağlayan x değerlerine a sayısının karekökleri denir. Bu köklerden
pozitif olanına, a sayısının pozitif karekökü denir ve a ile gösterilir. – a gösterimi ise a sayısının negatif karekökü için kullanılır.
• n ∈ Z+ ve n ≥ 2 olmak üzere, herhangi bir a gerçek sayısı için xn = a denklemini sağlayan x gerçek sayılarına a
sayısının n. dereceden gerçek sayı kökleri denir ve x = n a olarak yazılır.
• n ∈ Z+ ve n ≥ 2 olmak üzere, n ∈ R için
n
1
• a pozitif bir gerçek sayı olmak üzere a 2 =
1
genel olarak a n =
n
• a ∈ R+ için ^ a h =
n
an = )
a, n tek ise
dir.
| a |, n çift ise
a dir. n ∈ Z+ ve n ≥ 2 olmak üzere n. dereceden köklü ifadeler için
a şeklinde gösterilir.
an
• a, b ∈ R+ ve n ∈ Z+ için
• a, b ∈ R+ ve n ∈ Z+ için
n
a ·n b =
n
a
=
a
n
n
• a ∈ R+ ve m, n ∈ Z+ için ^ m a h =
n
• a ∈ R+ ve m, n, k ∈ Z+ için
n
am =
n
a·b
a
b
m
an
n ·k
a m ·k ve n a m =
n
k
m
ak
• a, b ∈ R+ için a 2 · b = a b
• a ∈ R+ ve m, n, ∈ Z+ ve m, n ≥ 2 olmak üzere,
• a, b ∈ R+ ve m, n ∈ Z+ için
m n
1
a = a m·n =
n
m·n
a n ·b = a n b
a
• a ∈ R+ x, y ∈ R ve n ∈ Z+ olmak üzere, x · n a + y · n a = ^x + yh n a
• a, b ∈ R+ için ^ a + b h^ a – b h = a – b
312
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
Bölüm 2. 3. Üstlü İfade ve Denklemler
BÖLÜM DEĞERLENDİRME
1. a = 2 ve b = 3 için, a–b + b–a işleminin sonucunu
bulunuz.
2b + a
12. 92a – b = 27a + 2b olduğuna göre, 5b – a işleminin
sonucunu bulunuz.
1
2.
–2 – 4
:` – 1 j D işlemini sonucunu bulunuz.
16
13. 22x + 2 – 22x + 1 – 22x – 2 = 28 olduğuna göre, x değerini bulunuz.
3. 8–12 sayısının yarısı kaçtır?
4.
25 25 + 25 25 + 25 25
ifadesinin
50 + 50 50 + 50 50 + 50 50 + 50 50
50
değerini bulunuz.
5. x = 330, y = 245, z = 1015 sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.
6. 5(a7)5 – 4(a5)7 – a34 işleminin sonucunu bulunuz.
3)2
(a–4)–3
7. (–a ·
bulunuz.
8.
x
·
(–a)–6
·
(–a2)–3
işleminin sonucunu
x
30 –15
ifadesinin en sade halini bulunuz.
12 x –6 x
9. 3x = 18, 2y = 21, 5z = 10 olarak veriliyor, x, y ve
z değerlerinin ayrı ayrı hangi ardışık iki tamsayı
arasında bulunduğunu belirleyiniz ve bundan
yararlanarak bu sayıları küçükten büyüğe doğru
sıralayınız.
10. x0,6 = 64 olduğuna göre, x0,3 değeri kaçtır?
x
11. 10 = 35 olduğuna göre
2x + 2
·
5x – 1
ifadesi kaçtır?
14. İnsan vücudunda normal olarak saniyede 2 · 106
alyuvar üretilir. Kanımızın bir litresinde ise yaklaşık
olarak 4,8 · 1012 alyuvar vardır. Buna göre, yarım
litre kan veren birinin kaybettiği alyuvarlar normal
şartlar altında yaklaşık kaç günde tekrar üretilir?
15. Aşağıdaki denklemleri çözünüz.
a. (2 · 10–7) · x = 1, 6 · 1010
x
= 2 · 10 –6
b.
3 · 10 5
16. (x – 3)2x – 5 = 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
17. 4x + 2 – 3 · 4x = 52 denkleminin çözüm kümesini
bulunuz.
18. Bilim adamları, yaptıkları ölçümler sonrasında bir
çilek tarlasında bulunan zararlı bir böcek türünün t
hafta sonraki yaklaşık popülasyonunu A = 1000 · 2t
bağıntısı ile temsil edildiği sonucuna ulaşmışlardır.
Ölçüme başlanan hafta t = 0 kabul edilmiştir. Buna
göre aşağıdaki soruları cevaplandırınız.
a. Bu böcek türünün başlangıçtaki popülasyonu
nedir?
b. Bu bağıntıya göre başlangıçtan 4 hafta önceki
böcek popülasyonu yaklaşık olarak kaçtır?
c.
Ölçümden 3 hafta sonraki popülasyon ne kadardır?
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
313
Bölüm 2. 3. Üstlü İfade ve Denklemler
BÖLÜM DEĞERLENDİRME
19. 72 · 511 · 27 sayısı kaç basamaklıdır?
25. a = 3 , b = 3 7 , c = 6 35 sayılarını küçükten
büyüğe doğru sıralayınız.
20. Aşağıda verilen işlemlerin en sade halini bulunuz.
11
+
36
a.
1–
b.
2– 3
–
2+ 3
c.
ç.
3
25 +
4
2+
14
25
2+ 3
2– 3
14 + 1 + 3 27
x 2 + 6x + 9 < 4 eşitsizliğinin;
27.
3 3 3
d. d 3 2 + 1 nd 3 4 –1 nd 3 4 + 1 n
1
26. a2 x – 5 = 25x + a denkleminin gerçek sayılar kümesinde çözüm kümesi R olduğuna göre, a kaçtır?
1
1
a. Tam sayılar kümesinde çözüm kümesini bulunuz.
b. Rasyonel sayılar kümesinde çözüm kümesini bulunuz.
21. Aşağıdaki denklemlerin gerçek sayılar kümesinde
çözüm kümelerini bulunuz.
c.
Gerçek sayılar kümesinde çözüm kümesini bulunuz.
28.
5
5 ≤ x < 2 eşitsizliğinin tam sayılar kümesindeki
çözüm kümesini yazınız.
a. (2x – 1)1998 = (1 – 2x)1998
b. (5x – 1)1999 = (x + 1)1999
c.
(x – 3)892 = (2x – 5)892
2x – 6 + 3x – 4
ifadesi bir gerçek sayı belirt2x – 1 + 6 – 2x
tiğine göre, A nın değerini bulunuz.
22. A =
23.
24.
314
x – 4 + –2x + 12 = A ifadesi bir gerçek sayı
belirttiğine göre x in alacağı tam sayı değerlerin
toplamını bulunuz.
3
256 =
bulunuz.
4
16 x olduğuna göre, x değerini
Ünite 2. Denklem ve Eşitsizlikler
29.
6
7 –2 ·3
bulunuz.
30.
x 2 – 4x + 4 – 3 = 5 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
7 –2
7 – 2 işleminin sonucunu

Benzer belgeler