maşık sayılar da yirmi

4
5
KARMAŞIK SAYILARIN DİYALEKTİĞİ
Mustafa Cemal
05.07.2014
[email protected]
Özet: Diferansiyel hesap klasik fizik için ne idiyse, karmaşık sayılar da yirmi birinci yüzyılın fiziği için
odur. Kar maşık sayılar cebir içerisinde gelişti, ama
bu alanda kalmak şöyle dursun, yalnızca fiziğe değil, mühendisliğe de damgasını vurdu.
Görelik fiziğinde dört boyutlu uzam-zamanın dikey ekseni sanal zaman eksenidir. Kuantum fiziğindeki dalga
fonksiyonu, ses, su, ip dalgalarınınki gibi reel değildir, karmaşık dalga fonksiyonudur. Ve bu karmaşık fonksiyonun
mutlak değerinin (dalga genliği veya yüksekliği) karesi, kuantum-tanenin olasılık yoğunluğunu verir.
Önemi sonra ortaya çıkmış olmakla birlikte, diferansiyel
hesap (calculus) ve karmaşık sayılar çağdaştır. Ama Hegel
Büyük Mantık’ın birinci cildinde diferansiyel hesap üzerinde
çok geniş bir yer ayırmış olmasına rağmen, karmaşık sayılar
üzerinde durmamıştır. Oysa bu sayı sistemi, mistik bir algıyla da olsa daha on sekizinci yüzyılda zihinlere iyice yerleşmişti. Bombelli’den (1572) beri cebirsel denklemlerde kullanılıyordu, Euler kendi adıyla anılan özdeşliği çoktan bulmuştu (1748). Genç Gauss doktora çalışmasında karmaşık
sayıların temel cebir teoremine uyduğunu göstermişti
(1811). Üstelik, Hegel'in yaşadığı yıllar sonraki devrimci atılımlara gebeydi. Ölümünden sonraki on beş yıl, Hamilton,
Graves, Cayley, Möbius, Grassmann öncülüğünde çok boyutlu teorilerin doğum yıllarıdır.
Bunlara rağmen, Avrupa, yalnızca karmaşık sayılara değil, negatif sayılara da kuşkusunu yakın zamanlara kadar üstünden atamadı, hala sürdüğünü söyleyebiliriz. Dönemin
egemen görüşünü Engels’in şu sözleri (1878) mükemmel
yansıtıyor:
“Her hangi bir sayının karesinin negatif bir büyüklük
olabilmesi çelişkidir, çünkü kendisiyle çarpılan her negatif büyüklük pozitif bir kare verir. Eksi birin kare kökünün olabilmesi yalnızca bir çelişki değildir, üstelik absürt
bir çelişkidir, gerçek bir saçmalıktır. Ama gene de pek
çok durumda matematik işleminin doğru sonuç vermesi
için √–1 zorunludur.”
Hegel'in suskunluğunda Gauss'un rolü olabilir. Gauss,
karmaşık sayıların betimlenmesinde, sezgisel (Anschaulich)
olduğu gerekçesiyle uzak durulan “geometrik” yaklaşımı
benimsediğini 1831 yılında, Hegel’in ölümünün ardından
duyurmuştu. Gene de, tüm bu gelişme dikkate alındığında
karmaşık sayıların onun mantık kuramını kuvvetle etkilemiş
olduğu düşünülebilir.
Bu yazının ası konusu, karmaşık sayılardaki pozitif ve
negatif nosyonunu sergilemek ve bu sayı sistemini “hipersayı” da denilen dörtlü karmaşık sayılara götüren çelişkisini
ortaya koymaktır.
***
Hegel, aritmetiğin kutuplu büyüklüklerini örneklediği
uzunca bir ekte, negatif sayıları anlamaya çalışırken karşılaşılan büyük zorluğun, + ve – ayrılığının özsel ayrılma olarak
düşünülmemesine bağlıyor. Soru şudur: ( – 1)(– 1) çarpımı nasıl (+1) oluyor? Şu çıkarma problemine bakalım:
(+1)– (– 1).
i) Bu sözlemdeki ilk sayı, (+1), kendisiyle özdeş pozitif
Birdir. Birim Bir pozitif yaka olunca miktarla çarpıldığında
sonuç da pozitif olur: 1(a) = a. ii) İkinci sayı ( – 1), kendisi
için negatiftir, eksi imi, Birin aritmetik işlemden bağımsız
olarak öteki yakada olduğunu, negatifin göreli değil, kendi
belirlenimi olduğunu söyler. Birim bir negatif olduğundan
6
sonuç da negatiftir: (–1)a = –a. iii) Ortadaki eksi iki sayıyı,
aritmetik işlem içerisinde kutuplar. Böyle bir kutuplanmışlıkta, artı veya eksi belirliliğinden bağımsız olarak bir sayının
karesi kendisi için pozitiftir. On sekizinci yüzyılın matematik devi Euler, ( – 1)(– 1) = +1’e eşitliğinin “zorunluluğunu”
şöyle bir uslamlamayla göstermeyi denemiş: Çarpım ya – 1
ya da +1 olabilir. Yanıt +1’dir olmalıdır, çünkü (+1)(– 1)=– 1
olmasaydı baştaki eşitlik bozulurdu. Totolojik olmakla birlikte, dönüştürücülüğün negatifte olduğunu sergiliyor. Buna
göre, “negatif ” ad veya önad değil, eylemdir. Yalnızca kendisi için negatif yansıtır (Reflection), geri dönüş de tek yönlü
olduğundan, çifte yansıtma olumsuzlamanın olumsuzlanması
olarak pozitifin özdeşliğini verir.
Negatif değerler, pozitifin aynadaki yansıması gibi sıralanır: Sıfır noktasına dikey olarak yerleştirilen aynadaki görüntü, artı sonsuza uzanan sayı çizgisinin, eksi sonsuza uzanan imgesidir. Baştaki dolaysız olandır, yansıyan ise dolaylı
dolaysızdır. Aynı yerden ilkine göre π radyan açıyla yerleştirilen ikinci bir dik ayna, ilk olumsuzlamayı olumsuzlar, imgeyi imgeleyerek başlangıcına geri taşır. x + 1=0 denkleminin çözülmesi bu dışsal devinimi gerektirir. Reel sayı çizgisi
bu refleksiyondan yoksun olduğundan hem pozitif hem
negatif çelişkili görünür: +1 ≠ –1, ama (+1)2 = (–1)2. Pozitif çelişkilidir, çünkü kendisine bağlanması dışladığı negatif
yoluyla olmaktadır: Sıfır dışında her pozitif sayının, teki pozitif öteki negatif iki kare kökü bulunur 1=(∓1)2, gelgelelim
pozitifin pozitif ile çarpımı pozitif olduğundan bu çelişki
yalnızca saklıdır. Buna karşılık negatifin negatifle çarpımı
negatifi olumsuzlar; yalnızca ötekisini değil, kendisini de
olumsuzladığından, negatifin çelişkisi kendisiyle özdeşliğine
kavuşamayan yasalaşmış çelişkidir.
Masum görünüşlü bu çetrefil soruyu yanıtlama girişimlerinden biri, dağılım yasasına (distributivity) dayanan aksiyomatik ispattır. Şöyle örneklendiriliyor: Başlangıçta cebimdeki 1 lira benim için pozitif olsun. Bunu borç verirsem alacaklım için bu tek lire negatif olur, – 1. Ortada pozitif ve
7
negatif belirlilik edinebilen tek bir lira var. Alacaklım ben
dahil toplam x kişiden 1 er lira borç alsın, toplam borcu
başta (– 1)x lira olur. Sonradan (x– 1) liranın işini göreceğini
öğrensin ve birimize borcunu ödesin. Son durumdaki toplam borç, (– 1)x +1 liradır. Aynı hesabı şöyle de yapabilirdik,
(x– 1) kişiden borç alındığına göre toplam borç ( – 1)(x– 1) liradır. Öyleyse şu denklemi kurabiliriz:
(– 1)(x– 1) = (– 1)x +1.
O halde, hiç borç almasaydı veya hepsini hemen geri
verseydi eşitlik şöyle kurulurdu;
(– 1)(0 – 1) = (– 1)0 +1;
(– 1)(– 1) = +1.
Bu yaklaşıma göre negatif ve pozitif aynı altyapının göreli kutupsal iki belirliliğidir. Hegel’in de verdiği bu borçlu
alacaklı örneği, negatif sayıları ilk tanımlayan Brahmagupta’ya aittir. Belirli bir miktar alacak, aynı miktar varlıkla
ödenir veya belirli bir miktar varlık, aynı miktar borcu azaltır. Pozitif ve negatif tamlıkla birbirine bağlanmıştır, borçlunun borç tutarı eksi ise alacaklının alacağı artı büyüklüktür,
ama ne borç ne de alacak özden negatif veya özden pozitif
belirlilik değildir, tersine ikisi de yalnızca görelidir veya dolaysız yasalaşmış varlıktır. Borç, varlığın kimin elinde bulunduğundan bağımsız olarak tek değerdir, elden elde devri değerini değiştirmez. Artılık ve eksilik belirlenimleri borç
ödenir ödenmez kutuplaşmaya aymaz bağlanmalarında biter. Benzerlikle, sabit hızlı asansörde bir kat yukarı ve sonra
bir kat aşağı yolculuk, iki yönü de bitirir, bu örnekte de pozitif yalnızca negatifin olumsuzu olarak kendine bağlanmıştır ve keza negatif, pozitifin negatifidir.
Bununla birlikte, negatif ve pozitif, başta onlara aymaz
sayılan saklı-olan birliğin hem özdeşlik hem de ayrılık momentini de içerirler. Özdeşlik momenti bakımından ikisi de
tek ve aynı büyüklüktür. Ayrılık momenti bakımından ise
ikisi de kendisi için olan özerk pozitif ve negatiftir; yani bunlar, dönümlerinden bağımsız olarak değişiktir, tikel iki pozitif
8
büyüklük olarak kendisinde yasalaşmış varlıktır. Hegel’in yorumuna göre, borçlu borcunu üreterek ödemiş olsaydı, aynı
eşitlik gene sağlanırdı, ama toplam zenginlik ikiye katlanmış
olurdu. Sırf pozitif ve negatifin özdeş bağlandığı 1 = 1
denkleminde değil, 1– 1 işlemindeki tane sayısı da 2 olurdu.
Keza, bir kat yukarı ve sonra bir kat aşağı yolculuğun sonunda asansörün yaptığı iş sıfırdır, ama iki değişik zaman
diliminde yapılmış iş büyüklüğü 2 birimdir.
Olumsuzlamanın olumsuzlanması olarak pozitifin anlaşılma zorluğunun ardında, negatifin anlaşılmasındaki kadim
zorluk yatıyor. Eski Çin matematikçileri, pozitif sayılar için
kırmızı, negatif sayılar için kara çubukları kullanıyorlardı, sıfır onlar için yalnızca sıra sayısıydı; örn., 11 ve 101’i ayırt
etmek için, Sümerler gibi sıfır yerine boşluk bırakıyorlardı.
Kardinal sayı olarak sıfırın ve onunla birlikte negatif sayıların eksiksiz kullanımını Hintlilerde görüyoruz. Eldeki kayıtlara göre ilk kez Hintli Brahmagupta sıfırı bir sayının kendi
büyüklüğünün kendinden çıkarılması (1 – 1=0) olarak tanımlamış, bu temelde negatif sayıları kullanmaya başlamış (İS.
598– 670). Üstelik sıfır dışında her pozitif sayının teki pozitif öteki negatif iki kökü bulunduğunu da yazmıştı. Biri
yalnızca bölünmez bütün olarak düşünebilen ve birimlendirilenemeyeni (1/3, 4/5 vb.) sayı olarak tanımayan antik Yunan matematikçileri, bu yaklaşımları yüzünden negatif büyüklükleri tanımlayamıyor, topluca yokluğu, sıfırı düşünce
dünyalarından uzak tutuyorlardı. Bu geleneği sürdüren Avrupa matematiği, Arap cebirini içselleştirmesine rağmen,
ancak on altıncı yüzyıldan başlayarak Hollandalı ve Alman
cebircilerin öncülüğünde eksili sayıları kullanmaya başlayabildi (İngiltere’deki ilk kullanımı 1541). Topluca belirtili varlık ölçme ve sayma alanıdır, buradan çıkamayan batı düşünce dünyasında, negatiflik şaşırtacak kadar zor kabul gördü.
Çözüm karmaşık sayılardaydı, ama benimsenmesi on dokuzuncu yüzyılın yarısını buldu. Ancak Faraday’ın alternatif
akımı bulmasının ardından kendisi için negatif fiziksel bir
anlam kazandı, ardından alternatif akım devrelerinin denk-
9
lemleri de karmaşık sayılarla kuruldu, sonunda kuantum ve
görelik fiziğinin içkin sayı sistemi oldu.
İKİLİ SAYILAR
Gauss’un adlandırmasıyla bugün “karmaşık” dediğimiz
sayıların kökü Cardano’ya uzanıyor (1545). Negatif sayılar,
düz sayı çizgisinin 0 noktasında çizgiye dik olarak yerleştirilmiş aynadaki imgesi olarak canlandırılırsa, toplamı 10
çarpımı 40 olan iki sayı bulma probleminin çözümleri bu
imge sayıları ve bunların kökünü içerir: x(10 – x) = 40; x1,2 =
5 ±√– 15. Bu problem ona ait, “sanal sayı” (numeri ficti) adını
o koymuş, günümüze Dekart’ın adlandırmasıyla (1637)
“imgesel sayılar” (imaginary numbers) diye taşınmış. Cardano’yu, karmaşık sayılara götüren asıl problemin kübik denklemlerde ortaya çıktığı savı kuvvetlidir. Ama kendisiyle özdeşliği (±1) olumsuzlayan negatifin, bunun için topluca reel
sayı çizgisini olumsuzlamak zorunda olduğunu göstermek
için ikinci dereceden basit bir polinom yeterlidir. y = x2 ve y
= x2 – 1 = (x + 1)(x – 1) fonksiyonlarının çözümü bulunur,
ama y = x2 +1 fonksiyonu reel alanda çözümsüzdür, eş anlatımla x eksen çizgisi ve y parabol eğrisi kesişmez (Figür 1a).
Aslında çözüm, yalnızca tek boyutlu reel sayılar dünyasında
gözlenebilir değildir:
a) x<0 ise çözüm olamaz, çünkü (– 1)(– 1) = +1.
b) x>0 ise çözüm gene olamaz, çünkü ( +1)( +1) = +1.
c) x = 0 da olamaz, çünkü 0 = – 1.
Çözüm varsa, pozitif, negatif ve sıfır olmadığına göre,
belirtili varlık alanında, yani reel sayı çizgisinde olamaz. y =
0 için x2 +1, ancak bir üst boyuta atlayarak, içe giderek köklerini dikey eksende ±i olarak verir (Figür 1b). Böylelikle, sağ
ve soldan ibaret tek boyutlu gerçek sayı çizgisi uzayı, iki boyutlu karmaşık uzayda bitirilir.
10
11
Bu karmaşık uzay, bugün Gauss veya Argand diyagramı diye anılan tek yüzlü karmaşık-düzlemdir. Bu düzlem üzerindeki her karmaşık-noktanın yeri, sabit bir koordinat sisteminin, teki sanal birbirine dik iki ekseninin orijin dedikleri kesişme yerine göre belirlenir (Figür 1c). Bu düzlem üzerindeki her bir noktayı orijine bağlayan düz çizgi veya ışın, yönlenmiş bir büyüklüktür ve şöyle gösterilir:
y
a)
y = x2+1
–1
x
0
el
ide
b)
+i
0
reel
x
–i
–1
eiθ = cosθ + isinθ
i=eiπ/2
+
eiπ=–1
θ=π
isinθ
c)
θ
cosθ
–i=ei3π/2
(eiθ, θ)
1=ei2π
(e–iθ, θ)
Figür 1 a) x2 + 1 = (x + i)(x – i) b) Kar maşıkdüzlem. c) Argand diyagramı. Birim karmaşık sayının döngüsel devinimi.
Ψ = 1a + ib.
Dikey eksen, Dekart’ın dediği gibi “gözde canlandırılamaz,” Leibniz’in dediği gibi “hem olandır hem olmayandır”
(inter Ens and non Ens Amphibio, 1702). “i” imlemesini
ona borçlu olduğumuz Euler, bunlara “olanaksız sayılar”
demiş; ancak hayal edebiliyoruz, yalnızca imgelemimizde
yaşıyorlar, bu yüzden imgesel sayı diyoruz diye yazmış
(Complete introduction to algebra, 1768-70) Dolayısıyla, karmaşık düzlem, vektör düzlemi gibi uzamsal değildir, masa yüzeyi gibi gerçek düzleme, empirik kuantuma indirgenemez.
Günümüz literatüründe “skalar” dediğimiz, uzunluk veya sıcaklık gibi uzanımlı veya uzanımsız olsun, yönsüz ve
konumsuz tek boyutlu reel büyüklüktür. Buna karşılık “vektör” dediğimiz, açılarıyla birlikte betimlenen ivme, hız gibi
reel büyüklüklerdir. Bu iki terim de, göreceğimiz üzere, “set
of four” yani “dörtlü” anlamında quaternion dediği sayı sistemini keşfeden Hamilton’a aittir (1847). Dörtlü bir sayının,
sanal bileşeni üç boyutludur: Ψ = 1a + (ip + jq + kr). Hamilton, parantez içerisine aldığım bu sanal bileşene vektör
demişti. Bu yaklaşım pragmatik nedenlerle terk edildi, onun
vektör dediği sanal moment, reel bileşeninden kopartılarak,
ders kitaplarında okutulan reel vektör haline getirildi. Hamilton buluşuna özgün bir yorum getirmişti, dörtlünün reel
momenti zamanı, ideel momenti uzamı temsil ediyordu.
Buna uygun olarak verdiği vektör tanımına göre, nokta, bir
yerin belirliliği olup ayrı A ve B noktaları arasındaki fark |A–
B| ise, AB vektörü A dan B’ye ve BA vektörü veya – AB
vektörü B’den A’ya devinimi belirtir. A ve B noktası arasındaki uzunluk, her gözlemciden bağımsız kendisi için varlık
olarak skalardır. Bu kuantum, bulunduğu düzlem üzerindeki
konumundan alınıp uzunluğu ve açısı değiştirilmeksizin
başka bir konuma taşınabilir (translation). O yıllarda Hamil-
12
13
ton ile benzer konular üzerinde çalışan Her mann Grassmann’ın matematiğinin temelinde de yönlenmiş düz çizgi parçası (Strecke) vardı (1844), üstelik yönlü alan büyüklüğünü (AB)
büyüklüğünü, yönlü iki yönlü büyüklüğün (A ve B) çarpımı
olarak düşünmüştü. Onlardan önce en yakın tanımı, kuvvetlerin toplanmasına ilişkin yaklaşımıyla Newton’da buluyoruz. Gelgelelim reel kuvvet yönlü büyüklük olmasına rağmen, eş-yönlü ve eş-uzunluklu ikinci bir vektörden ayırt
edilemeyen, konumuna aymaz belirtili varlıktır. İki reel vektör toplanabilir ve çıkartılabilir, ama üç boyutlu vektör uzayında vektörlerle çarpma veya bölme işlemi yapılamaz. Oysa
karmaşık bir sayı, gördüğümüz gibi bir ucu orijin dediğimiz
tek ve aynı sabit bir odağa bağlanmış, öteki ucu karmaşıkdüzlem üzerindeki başka bir eş yönlü noktaya uzatılmış ışın
büyüklüğü olarak yasalaşmış varlıktır. y = x2 sözlemindeki y
ve x sırf reel koordinat değerleri değerleridir. Ψ = 1a + ib
sözlemindeki a ve b de reeldir, ama ilkinden değişik olarak
bu ikisi yalnızca birbirine dik olmakla ayrılmazlar, a belirtili
varlık iken, ib değil-belirtili-varlıktır. Bu niteliksel ötekilik
yüzünden, “1a + ib” sözlemindeki “+” imi, dolaysız bir
aritmetik toplama işlemi değildir. “1”, reel sayı çizgisinin ve
“i”, ona dik ideel sayı çizgisinin birimidir; i’ye eşlik eden
“b”, yalnızca bitmiş reel büyüklüktür; ideel eksen de bir reel
sayı çizgisidir, ama yalnızca moment olarak öyledir. Dikey eksen, içe gitmiş reel (b=0 ise Ψ=a) olup yatay reel ekseni
olumsuzlayarak olduran olumsuzluktur, “sanal” veya “imgesel” yerine “ideel” terimi bu yüzden daha uygun duruyor. 1
Toplama, ancak eşbirimli bileşenler arasında yapılabilen ge-
ometrik bir işlemdir: (a 1 + ib 1) ve (a 2 + ib2) sayılarının toplamı, (a 1 + a 2) + i(b 1 + b 2) biçimindedir. Bu yüzden eşitlik
de dolaysız değildir, Ψ1 = Ψ2 ise, yalnızca a 1 = a 2 ve b1 = b2
demektir. i> 0 veya i<0 olamayacağına göre, iki karmaşık
sayı Ψ1<Ψ2 veya Ψ1>Ψ2 biçiminde karşılaştırılıp lineer bir
sıraya sokulamaz.
Bu yerleşik imleme biçimini ilk düzelten William Rowan
Hamilton oldu (1805–65). Karmaşık sayıların, (a + ib) yerine, “+” ve “i” imini kaldırılıp (a, b) biçiminde yazıldığı sıralı
çiftler (ordered pairs) cebiri öner mişti (1833). 2 Buna göre,
“karmaşık sayı” yerine “ikili sayı” veya öylece “ikili” de diyebiliriz, çünkü bu sayılarda sıfıra bölmek dışında aritmetiğin dört işlemi yapılabilir ve göreceğimiz üzere temel cebir teoremi geçerlidir.
a. Döndürgeç
Her bir karmaşık sayı, tek ve aynı mistik bir kaynaktan
yayılan eş-yönlü noktalar ışını üzerindeki bir noktadır. Bir
ikili ile çarpmak veya bölmek ters yönlü yansıtma eylemleridir. Birim-ikilinin kendisiyle çarpımı, niteliksel-büyüklüğünü
koruyarak açısı kadar yansıtır: 45 derece açılı birim ışının
kendisiyle çarpımı i olur ve topluca i2 ψ = – ψ. Yansıtma miktarı eşit olan noktalar aynı ışın üzerindedir ve eşit uzunluktaki ışınlar tek bir çemberi tanımlar, dolayısıyla iki birimikilinin çarpımı gene bu tek yüzlü ışınlar düzlemindeki aynı
çember üzerindedir. Saltık değer (modulus) denen yarıçap
uzunluğu hipotenüs büyüklüğüdür ve bu bir kare toplam
Ψ1 + Ψ2 = (a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2) ve Ψ1Ψ2 =
(a1, b1)(a2, b2) = (a1a2 – b1b1, a1b2 + b1a2). Doğrusu bu olmakla
birlikte, yaygın öğrenimdeki yerleşmişliği yüzünden ve buradaki
çerçeve içerisinde özgül bir zorluk çıkarmadığından geleneksel
notasyonu koruyorum.
2
Nitekim √(xy) = √x√y eşitliği, x=y =–1 için geçersizdir.
Eşitliğin sol yakasındaki pozitif reeldir, çünkü kök içerisindeki
çarpma, sayı çizgisine geri döner, sağ yakası ise ideel Bir’in kendisiyle çarpımı olarak negatif olur.
1
14
15
olduğundan, değişmedeki değişmeyen olarak hep pozitiftir:
.
Öte yandan, belirli bir büyüklükteki bir ışın, yatay eksenle yaptığı açı veya faz (argument) ile belirlenmiştir. Dolayısıyla ikili bir sayı, modulusu ve argümanıyla (keyfi olarak kabul
edilmiş bir dönme yönüne göre) betimlenebilir: Ψ =
|Ψ|Lθ˚. Bu yalınlık yüzünden trigonometrik biçim Kartezyen biçime kıyasla daha elverişlidir:
ψ(θ) = 1cosθ + isinθ; |Ψ|2 = 1.
Bu sözlemde sinθ ve cosθ, kendisi için belirlilik olarak
modulusun iz düşümleridir veya gölgeleridir (Figür 2).
Topluca döndürme eylemi bitmiş taşınma eylemidir. Belirli
bir çizgi parçasına bu düzlem üzerinde belirli bir açı vermek, sabit bir orijin etrafında döndüren yansıtma (refleksiyon) işlemi olup kendisinde eksiltme, eksileştirme içerir;
döndürme sürdürülürse sonuç zorunlulukla baştakinin negatifi olur. Dolayısıyla reel negatif, kendisi için skalara değil,
ancak ikiliye özgü bir belirliliktir. Caspar Wessel’in 1797’de
yazdığı gibi “+1’in yön açısı 0 dereceye, – 1’inki 180 dereceye
eşittir.” (s. 60, §5) Eksilik, hem ideel (–i) hem reel (–1)
moment için dönme deviniminin dışavurumudur.
π/2 (cosθ, θ)
π
–
θ
+
π≤θ≤2π
0≤θ≤π
0
Figür 2. İkili bir sayı, bir odak çevresindeki dönme
devinimi olarak bitmiş yönlü büyüklüktür. Dönme devinimi cosθ değeri olarak reel sayı çizgisinde saklıdır.
Birim birin, kendisiyle çarpımı yalnızca kendisine bağlanır
ve karmaşık düzlemdeki her bir ışın, skalar biriminin katı
olarak uzanır. Kendisi gibi başka bir sayıyla çarpıldığında
yön değiştirmeyen tek boyutlu öbürülük olduğundan, dönmeye aymaz skaların, “ja” biçiminde imlenmesi gerekmez
ve keza “+” imiyle belirtilmesi ek bir anlam kazandırmaz.
Önceki kitapta gördüğümüz gibi Kartezyen uzay, uzamsal ötekiliğe aymazdır: Dekart’a göre, “geometri içindeki
herhangi bir problemin çözümü, kolayca belirli bir düz çizginin uzunluğunun bilgisine indirgenebilir.” Tek yapılması
gereken bilinen bir uzunluğu keyfi olarak Bir (veya birim)
kabul etmek ve başka bir kuantumu Birin miktarı olarak sayılandırmaktır. Birim (b) ve miktar (m) ayrılığına aymaz simetrik çarpma (bm – mb = 0), yalnızca yinelenen toplama
olduğundan, daha açığı belirli bir uzunluğu eşbirimli başka
bir uzunluğa arttırma veya eksiltme biçiminde ötelemekten
başka bir iş yapamadığından, eğri ve düz arasındaki veya
dönme ve taşınma arasındaki Abgrund öylece kalır. Oysa
Eudex’un yaklaşımında toplama bildik yönsüz büyüklükler
arasındaki bir işlem iken çarpma boyut sıçratıyordu, ― Hegel’in kalkulus eleştirisinin buna dayandığını ve çözümü, kare-oran yoluyla, antik Yunan geometrisinin özgün yaklaşımına geri taşıdığını görmüştük. Eudox’u dikkate almadan
niteliksel birim ve miktar ayrılığını kaldırarak cebirsel sayı
geometrisini çizgiye indirgeyen Dekart’ın, ikili sayıları hafife
alır görünmesini garipsenmemeli. “Sanal” sayıyı da negatif
denli çelişkili ve saçma bulanlar bu çerçevede elbette tutarlıydı; dönme içermeyen tek boyutlu bir uzayda, ne doğal sayılardan negatif sayılar ne de reel sayılardan ideel sayılar çıkarsanabilir. Kendi dışındalığın olumsuz birliği olarak dönme devinimden bağımsız bir negatif belirlilik olamaz, ideel
bileşen yok sayılırsa varlık alanına döneriz ki, böylelikle negatiflik de söner, sonuçta her sayının ancak tek kökü bulunur. Bu uslamlamaya uygun olarak Dekart (1596-1650) gibi
Blaise Pascal da (1623-62) sıfırdan küçük bir sayı olamayacağına inanıyordu. D’lambert ve Diderot, Ansiklopedide “–3,
akla hiçbir düşünce getirmez” yazmıştı (1754). De Morgan
1831’de, “insan zihninin, sıfırdan (nothing) daha küçük bir
16
nicelik olacağı düşüncesinin saçmalığına nasıl olup da katlandığı şaşırtıcı” (s. 72) buluyordu, “sanal sayı” için “büyük
yararına rağmen, anlamdan yoksun, daha doğrusu kendisiyle
çelişkili ve absürt” demişti (157). Bu tutum, her sayıya belirtili bir varlık arayan ve geometrik nesneleri devinimsiz kabul
eden on dokuzuncu yüzyılın başlarına dek tartışılmazlığında
uzlaşılmış kadim Öklitçiliğin mirasıdır. Avrupa, “sanal sayıların” reel sayı çizgisinden düzleme taşınması gerektiğini”
ilk öneren (1673) John Wallis’e de kulak tıkadı. Wallis, i’nin
dikey eksen olabileceğini geometrik orta veya orta oran
(mean proportional) yoluyla göstermişti [1/x = x/(–1)]. Yüz
küsur yıl sonra gelen Caspar Wessel’in çalışması da pek ilgi
gör memiş. Florian Cajori’ye göre, +1 ve –1’i ortalayan dikey eksenli ilk geometrik yorumu H. Kühn ( 1751) yapmış
(276). Bu düşünceyi geliştiren Jean-Robert Argand, 1806 da
yayınlanan çalışmasında ideel ve reel bileşeniyle birlikte iki
boyutlu, yönlü büyüklük önermiş (Figür 1c). Argand’ın ve
aynı yılda yayınlanan Buée’in çalışması da göz ardı edilmiş
ve 1813’de adeta yeniden keşfedilmiş, ama arada Gauss’un
doktora çalışması var (1811). Anlaşılan o ki, sayı çizgisinin
yerine sayı düzlemini düşüncesi, ancak Gauss’un onayının
ardından bir çeşit meşruluk kazanabilmiş. Argand-Buée,
Mourey-Warren ve Gauss’un çalışmalarının, Wessel’in geometrik yaklaşıma dayandığı görüşü yaygın kabul görüyor.
Ama Gauss, sezgisel (Anschaulich) olduğu gerekçesiyle uzak
durulan “geometrik” yaklaşımı benimsediğini 1831 yılına
kadar açık etmemiş. Bu alanda önemli katkıları bulunan Cauchy, Gauss’dan sonra bile, “sanal sayıları” “simgesel bir
temsil” olarak görmüş, “tümüyle reddedebilir, pişmanlık
duymadan terk edebiliriz, çünkü söz konusu imin ne neyi
imlediğini ne de ona nasıl bir anlam verebileceğimizi biliyoruz” diye yazmıştı (1847). Bu sözlerin söylendiği sırada
dörtlü sayı sistemi henüz ortaya konmuştu ve Cauchy’nin
bundan haberi yoktu. Görünüşe göre matematikçiler bu
konuda, çözümü reddedenler, cebir içerisinde kalanlar ve
geometrik yaklaşımı benimseyenler olmak üzere ayrılmıştı.
17
Gauss üçüncü gruba giriyor ve ona göre problem sanıldığı
kadar çetrefil değildi:
“Bu konu şimdiye dek yanlış bir bakış açısıyla irdelenip
gizeme büründürülüp karanlığa gömüldüyse, sorumluluğun çoğu kullanılan uygunsuz terminolojidir.” (Aktaran
Nahin, 82)
Geometri alanındaki devrimci atılımlar da Gauss’un öncülüğünü görüyoruz. Lobatchevsky ve Bolyai ve Reimann
ile birlikte, paralelliği koruyan ve Öklitçi-olmayan geometrilerin oluşturulduğu sürecin odağındaydı. Hepsi paralellik aksiyomunun, gerçek sayı çizgisi gibi, yalnızca duyusal deneyime dayandığını savunuyorlardı. Nitekim Lobaçevski, geometrisine, sanal sayıyı anıştıran “sanal geometri” adını vermişti
(1835).
Tüm bu olup bitene rağmen benzer sorun günümüzde
de sürüyor, reel sayılar bir materyalizm çeşidi gibi öne çıkarılıyor. Oysa Kartezyen reel sayı çizgisi, “reel” adının tersine, üç boyutlu uzamı tek boyutlu bir uzama sığdıran gösterişli bir matematiksel soyutlamadır ve aslında o da yeterince
tuhaftır: Bir yandan sonsuzu kadarlık momentinden yoksun
arı dahalıktır, öte yandan sıfırı, pozitif veya negatif belirlilikten yoksun arı kadarlıktır. Eğer negatif kabul edilirse, ad hoc
eksi sonsuza uzatılmış tek boyutlu reel sayı sisteminde, ne
pozitif ne negatif kendisi için olmadığından, sıfırın, iki yakasında uzanan kuantumlardan daha büyük veya daha küçük olduğu söylenemez.
Felix Klein’in sözleriyle, “karmaşık sayılar kendi yolunu
kendisi açtı, matematikçilerin dilekleri ne olursa olsun onların onayına gerek duymadan giderek daha çok yayıldı” (s.
56). Ne var ki, bu yol hem yavaş açıldı hem de yanlış yollara
sapıldı. Grassmann ve Hamilton’un kıta üzerindeki etkisi
çok geç oldu. Hegelci F. Engels bile Morgan’ı yinelemekle
yetindi (1878):
“Her hangi bir sayının karesinin negatif bir büyüklük
olabilmesi çelişkidir, çünkü kendisiyle çarpılan her negatif büyüklük pozitif bir kare verir. Eksi birin kare kökü-
18
19
nün olabilmesi yalnızca bir çelişki değildir, üstelik absürt
bir çelişkidir, gerçek bir saçmalıktır. Ama gene de pek
çok durumda matematik işleminin doğru sonuç vermesi
için √– 1 zorunludur.” (113)
Karmaşık sayılar cebir içerisinde gelişti, ama bu alanda
kalmak şöyle dursun, bu sözler yazıldıktan otuz yıl içerisinde fizik kuramlarının vazgeçilmezi oldu. Diferansiyel hesap
klasik fizik için ne idiyse, ikililer de yirmi birinci yüzyılın fiziği için odur, mühendisliğin her alanı neredeyse tümüyle bu
temelde gelişti.
Analitik ve sentetik ispat bağlamında Gauss’un xn– 1 = 0
denkleminin çözümünü olumlamaktan öteye gitmeyen değinmesini bir yana bırakırsak, Hegel’in bu alanda suskun
kaldığını söyleyebiliriz. Bunu anlamlandırmak kolay değildir,
çünkü ikililer, mistik bir algıyla birlikte de olsa daha on sekizinci yüzyılda zihinlere iyice yerleşmişti. Bombelli’den
(1572) beri cebirsel denklemlerde kullanılıyordu, Euler kendi adıyla anılan özdeşliği çoktan bulmuştu (1748). Üstelik
Hegel’in yaşadığı yıllar bu çerçevede gerçekleşecek atılımlara gebeydi. Ölümünden sonraki on beş yıl, Hamilton, Graves, Cayley, Möbius, Grassmann öncülüğünde çok boyutlu
teorilerin doğum yıllarıdır. Üç boyutlu düzensiz katı cisimlerin ayna imgesinin ancak dört boyutlu dönmeyle alınabileceğini söyleyen Möbius (Der baryzentrische Kalkül, 1827) Hegel’in çağdaşıydı,3 ama ilk dört boyutlu uzam-zaman yorumu Hamilton’a aittir. “Arı zamanın Bilimi olarak Cebir” adlı
makalesindeki sözleri Hegel’i çağrıştırıyor:
Zamanı dördüncü boyut olarak üç boyutlu uzamla ilişkilendiren ilk yaklaşımlardan birine, D’Alambert ve Diderot’un
birlikte hazırladıkları Ansiklopedi’de (1754) rastlıyoruz; “Boyut”
maddesinde "… hacmin (solidite) zaman ile çarpımı, bir bakıma
dört boyutlu çarpım olur …" yazıyor.
3
“Nerede Değişme ve İlerleme varsa, orada zaman vardır. Öyleyse zaman nosyonu, cebirde indüktif olarak bulunacaktır.” (s. 4)
Hamilton’un, Newton’un “akan noktalar” kuramıyla ilişkilendirdiği bu cebir, dörtlü karmaşık sayılar cebiriydi; tek
boyutlu zaman reel ve üç boyutlu uzam ideel moment idi. 4
Bunlara bakarak, diferansiyel hesap üzerinde düşünmekle
yetinmiş görünen Hegel’in karmaşık sayılardan kuvvetle etkilenmiş olabileceği düşüncesi şaşırtıcı sayılmaz, “Tinin Fenomenolojisinde” sayı çizgisi fetişizmini şöyle eleştiriyor:
“Matematiksel bilmenin amacı veya kavramı büyüklüktür. … Matematiğin o muhteşem doğrular hazinesini sağlayan malzeme uzam ve Birdir. Bu uzamın belirtili varlığı,
kavramının uzamsal ayrılıklarının devinimsiz ve cansız
olması gibi boş, ölü öğelerdir. … Ne felsefe ne de somut
duyusal sezgi, matematiğin devinimsiz şeyleri gibi edimsizliği konu edinir. … (böyle bir matematik) ölüdür, çünkü devinmez, … karşı savı karşı sava geçemez, niteliksel
ve içkin devinime eremez, kendini devindiremez. Çünkü
matematiğin ilgilendiği yalnızca büyüklüktür, özsüz farktır. Büyüklüğü, uzamı boyutlarına ayıran ve aralarındaki
ve içlerindeki ilişkiyi belirleyen kavramdan soyutlar; örneğin matematik çizgi ve düzlem ilişkisini irdelemiyor;
çemberin çapını çevresiyle karşılaştırırken hemen eşbiBunun tersine Hermann Minkowski’nin dört boyutlu
uzam-zaman geometrisinde (1908) üç boyutu uzam reeldir (x, y,
z). Geometrisiz ve tersinmez zaman ise, yardımcı uzam (auxiliaire espace) olarak reel değil, dördüncü boyut olarak ideel
eksendir: x4 = ict. Minkowski’de dönme devinimi zamansal
değişmedir ve dönen “dünya çizgisi”dir. Hamilton da ise tersine, dönme, üç boyutlu uzamsal vektörün devinimidir. Bununla
birlikte, görelik fiziğinin dörtlülerle de dile getirilebileceği gösterilmiştir.
4
20
21
rimsizliğe (Inkommensurabilität), yani matematiksel belirlemeye izin vermeyen bir kavram ilişkisine, sonsuza sarılıyor.” (TF, 48)
Die Lineale Ausdehnungslehre adlı çalışmasında (1844)
“yönlü sayıları” matematik tarihinde ilk kez tamlıkla ileri süren ve bunu tümelleştiren Hermann Grassmann’ın arkasında, Euodxus’un geometrik çarpımından yola çıkan babası ve bu
matematikçi aileyi etkilemiş bir diyalektikçi vardı; felsefenin
ereğini tanrı olarak tanımlayan, ama “sınıf egemenliğine”
olduğu gibi kiliseye de karşı çıkan Friedrich Daniel Schleiermacher. Basıldığını göremediği Diyalektik adlı çalışmasındaki savını, yirmi birinci yüzyılın fizikçileri de duraksamadan söyleyebilir: “Uzay maddeyle değil, eylemle doludur.”
(46). Karmaşık sayıların düz (flat) uzayını dolduran eylem
dönmedir.
Bu süreklilik momentini en iyi dile getiren, Euler’in güç
serileri yoluyla türettiği polar biçimde1ex
ki özdeşliktir (1748):
1
1eiθ = 1a + ib; |eiθ|=1.
0
Arı reel sayılarla beslenen 1ex fonksiyonu, x büyüdükçe onunla birlikte
hızlanarak sonsuzca büyüyen ve tersine x küçüldükçe yavaşlayarak sıfıra varamadan sonsuzca
küçülen bir sonsuz ilerleme davranışı gösterir. Öte yandan,
ötekileşmeyi olumsuzlamış, türevi kendisini veren tek üstel
fonksiyon odur:
rotation op eratör). Hiçbir cebirsel polinomun çözümü olmayan e (y = 1 ve x = 0 dışında; e 0 = 1) ve dolayısıyla yansıtma
miktarının doğal birimi gibi işlevi gören π, dönme deviniminin iki aşkın kendisi için belirliliğidir. Matematik tarihinin
ünlü eşitliklerinden eiπ = – 1 (Euler, 1740), kendisiyle özdeşleşmezliğin özdeşliğinin belirtili varlık alanındaki matematiksel sözlemidir. Bu polar biçim, pozitifin ve negatifin kendisinde yasalaşmış varlık olduklarını, yalın birliğin belirlenimleri olarak dönmeden bağımsız düşünülemeyeceklerini dolaysızca gösteriyor (Figür 1c). 1eiθ/2, 1eiθ sayısının kare köküdür ve De Moivre teoremi (1698) bunun tümel biçimidir:
(cosφ + isinφ)m = cosφm + isinφm, m: tamsayı.
Buna göre eimφ, üç boyutlu bir ışını, orijin çevresinde φ
açısıyla m kez döndürür ve bu, θ = mφ açısıyla bir kez dönmeye denktir. Karmaşık bir sayı bu simetri sayesinde 2π’nin
katlarında kendisiyle buluşur. Aritmetik ve geometrinin bu
birliği, negatifin de aritmetik-negatifi bitirmiş özerk bütün
olduğunu ortaya koyuyor. Yasalaşmış pozitif 2mπ ve yasalaşmış negatif (2m + 1)π periyoduyla kendine geri döner:
(– 1)m = 1eimπ.
Reel sayılar alanında düz çizgi ve eğri çizgi birbirine değer, birbiriyle kesişir veya ıskalar, ikililerde ise ıskalama veya
paralellik böylelikle bitmiştir, geometrik şekiller gözlenmeseler bile tutuşurlar. İkili sayılar böylelikle kesişmezliği bitirir, cebirsel olarak tamamlanır (algebraic closure).5 Doğal ve böxn –1 fonksiyonunun sayı çizgisinde ancak iki veya tek kökü bulunur, oysa sayı düzleminde, birim çemberi eşit açılarda
bölen n değişik çözümü vardır. “Temel cebir teoremi” diye anılan
bu kapanmaya göre, her karmaşık sayı bir polinom denkleminin
çözümü değildir, ama n’inci derece her karmaşık polinomun
5
Bu tek boyutlu sonsuz ilerlemeyi, iki boyutlu 1eiθ fonksiyonu bitirir. Negatif değişken için reel eksponensiyel fonksiyon bozuşmadır, bozuşmayı oluşma ile birleştiren karmaşık eksponensiyel fonksiyon ise kendi dışındalığın olumsuz
birliği olarak periyodik döngüdür. Topluca ψ(θ)=1eiθ karmaşık fonksiyonu bir döndürgeçtir (Rotor, rotator, spinor,
22
23
lünmez sayılar, sayma ve toplama sayılarıdır: İlki, x+1 =0
denklemini sağlayamadığından tamamlanmamıştır. İkincisi,
negatife izin vererek doğal sayıları bitirir (Aufheben), gelgelelim ±1 dışında bölmeye olanak tanımadığından o da açıktır.
Tam sayıları bitiren, sıfırı dışlayarak m/n biçiminde sözlenebilen (n≠0) ölçme sayılarıdır (rasyonel sayılar), ama bunlar, dik açılı bir üçgenin hipotenüsünün bir birimin katı olarak sözlenememesi yüzünden boşlukludur. Her bir sayının,
sayı çizisinin her bir noktasıyla bire-bir örtüştüğü reel sayılar bitmiş bölünür sayılardır, ama o da kapalı değildir, çünkü
negatif sayıları içermesine, Birin köklerinden birini –1 olarak tanımasına rağmen, x2 + 1 polinomunun sıfırını tanımlayamaz. Tek boyutlu reel sayı çizgisini boyut atlayarak bitiren karmaşık-düzlem, hem zorunlu hem yeterlidir, çarpma
simetrisi korundukça herhangi bir polinomun çözümünü
bulmak için daha fazla boyut atlama zorunluluğu olmaz.
b. Simetri
Gelgelelim ikili sayılar da çelişkilidir. Reel sayı çizgisinin
negatif sonsuz ve pozitif sonsuz ikiliği, karmaşık-düzlemde
tek sonsuzda bitmiş, pozitif ve negatifin birliği olarak sıfır,
sonsuzun karşı kutbu olarak yasalaşmıştır. 1/z oranında,
1/∞ ve 1/0, olmayan (Nichtseiend) noktadır: z→∞, 1/z→0. Bu
çelişkinin çözümü için sonsuzdaki-nokta imgesi öneriliyor:
Alttaki figürde görüldüğü gibi, sonsuz yayılımlı Öklidyen
karmaşık-düzlem (K) toparlanarak (compactification), çoğunca
kuzey kutba yerleştirilen sonsuzdaki-nokta yoluyla Riemann
yüzeyine (S) boyutlandırılır ki, iki yüzeyin değiştiği tek güney
karmaşık sayılar düzleminde mutlaka n lineer faktörü bulunur.
f(z)=anΨn + ··· + a0 = an (Ψ–Ψ1) ··· (Ψ–Ψn)=0. f(Ψ)=0 için,
Ψ1, ··· Ψn polinomun kökleri oluyor, yani polinomun eğrisinin
f(Ψ)=0 ekseniyle n kesişimi bulunuyor (an ≠ 0; n doğal sayı).
kutup noktası sıfırdır. Pozitif ve negatifin böylece birleştiği
bu iki tekillik kendisi için belirlilik kazanır, her bir karmaşık
nokta, bu topolojik küre üzerindeki her bir nokta ile birebir örtüşür, daha doğrusu aynı ışın üzerindedir; Z(a, b, 0) ve
Z’(a’, b’, ζ).
∞
S
el
ide
K
0
Z’
Z
reel
Figür 2. Stereografik izdüşüm. Riemann küresi veya
sabit pozitif eğrilikli uzam tek yüzlüdür. 0 ve ∞’u birleştiren çizgiler paraleldir ve ekvatora diktir.
Karmaşık sayı düzlemi tek yüzlüdür. İki yüzden biri
nedensizce alıkonulurken öteki yüz tam dışlanır (Figür 3).
Gördüğümüz gibi ikili sayılarda negatifi dışına atan
modulus saltık pozitiftir, sayı düzlemini saltıkça
olumsuzlayarak reele geri döner. İkincileyin, tam da bu iki yüze
aymazlık sayesinde, ikili sayıların çarpımı da reel sayılardaki
gibi simetriktir veya komutatiftir (commutative): Tikel bir
dönmeyi oluşturan iki refleksiyonun teki birimse öteki miktardır, karşı yüz dışlanınca çembersel devinimde birim ve
miktarın yer değiştirmesinin bir önemi olamaz (Buna matematikte, grup kuramının kurucularından Neils Abel adına
atıfla abelyen simetri de deniyor). İkili bir sayının eşleniğiyle
çarpımı, sırasından bağımsız olarak pozitife geri götürür:
ψψ– 1 = e+iθe– iθ = e– iθe+iθ= +1.
Topluca simetri değişmedeki değişmemedir, kare 90º döndürmeye, eşkenar üçgen 120º döndürmeye, birim çember
üzerinde konumlanan ikili sayılar 360º döndürmeye aymaz-
24
25
dır: i’nin işlevini, eşleniği – i de yerine getirebilir veya ψ(θ)=
ψ(–θ).
+
–1
θ=π/2
i
θ=π
–i
1
θ=0
θ=3π/2
Figür 3. Somurtmak yasaktır.
c. Anti-simetri
Pozitif ve negatif, ancak onsuz olamayacağı, içlediği
karşı savını dışına atarak özerk kutuplar olarak ayrışır. İkili
sayılara özgü eşleniklilik, içerisinde şöyle bir anti-simetri
saklıyor: eiθ deviniminin 2π turuna karşılık, momentleri
cosθ ve sinθ, 4π turlar. Baştaki 1 ancak iki tur sonra yalın
birliğine döner, öyle olunca her reel değer için iki doğrultu
bulunur.
Karmaşık sayılardaki saklı anti-simetri, iki boyutlu uzayın
bitirilmesiyle yasalaşır, çünkü artık düzlem çift yüzlüdür ve
her bir yüz için ona dik, teki pozitif öteki negatif iki vektör
bulunur ve ikisi de dolaysızca çevirme yönüne bağlanmıştır.
Örneğin vidayı içe veya dışa doğru ilerleten tork dedikleri
kuvvetin doğrultusu çevirme düzlemine diktir; vida başı
ters saat yönünde döndürülürse içeri girer ve saat yönde
döndürülürse dışarı çıkar ( Figür 5). Üçüncü boyut olarak
kıvırma ekseni, çevirme doğrultusuna bağlı olarak kendisi
için pozitif ve negatif belirlilik kazanır.
Boyutların ötekiliği, çevirme sırasını dolaysızca anti-simetrik kılar (bm – mb ≠ 0). Topluca iki ardışık çevirme tek
çevirmedir, ama üç boyuttaki sonuç, dönmelerin sırasına
bağlı olarak değişir ve bu uzamsal ötekiliğin içkin iyeliğidir.
Kolayca uygulanabilecek ev deneyinde bu hemen gözlenebilir. Bel kemerinin açık ucunu yüksekçe bir yere sabitleyip
tokasının bize dönük tarafına gülen yüz arka tarafına somurtan yüz iliştiriyoruz ( Figür 4). jk düzlemi üzerinde ve k
ekseniyle ortalı toka veya madalyonu, birbirine dik iki eksen
çevresinde, sağ el kuralına göre, iki değişik sırayla ardı ardına iki kez 1π burulursa, birbirinin negatifi iki yön elde edilir
(ji=– ij). Saat yönünde veya ters saat yönünde π burmak dönümü değiştirmez; ama pozitif k ve negatif k, aynı düzlemin karşıt dikitleridir ve bu kutupsallık ancak burulma doğrultusuyla gözükür.
a)
k
j
i
b)
1
ji = –k
i1
j
i
1
1
ij = +k
j1
j
i
26
27
Figür 4. Sabit bir yere bağlanmış kemerin, (ters saat
yönünde) ardı sıra iki değişik π radyan burmanın sonucu işlemin sırasına bağlıdır.
Burma, bükme, kıvırma düzlem aşkındır; üç boyutlu
uzamsal dönme, sayı çizgisine dik ideel çizgi gibi sayı düzlemine dik ikinci bir ideel düzlem gerektirir:
Ψ1 = 1a 1 + ib2 ve Ψ2 = 1a 1 + ib2; Ψ = Ψ1 + jΨ2
i ve j birbirine diktir, ij ve ji çarpımı anti-simetriktir ve
bu yeni pozitif k ve negatif k, ikinciye dik üçüncü bir düzlemi, dolayısıyla reel moment ile birlikte dörtlü sayı sistemini gerektirir. Dönme devinimindeki anti-simetrik çarpmayı
ilk kez matematiğe taşıyan Hamilton’un başlangıçtaki problemi ij çarpımı tanımlayabilmekti. Sonunda, üçü de 1’e dik i,
j ve k döndürgeçlerini keşfederek “quaternion” diye adlandırdığı, Maxwell’in “4nion” dediği dörtlü karmaşık sayı sistemini oluşturdu (1899, 114).
Kaynakça:
Cajori, Florian. 1884. A History of Mathematics. Macmillan and Co.
Cardano, Girolamo. 1545. ARS MAGNA or The Rules of
Algebra. 1993, Dover Publication, INC.
Chatelet, G. 2000. Figuring Space. Philosophy, Mathematics
and Physics (1993). Kluwer Acedemic Publishers.
Crowe, Michael, J. 1985. A History of Vector Analysis. The
evolution of the idea of a vectorial system, 1967. Dover Publications, Inc.
Engels, Fredich. 1878. Anti-Dühring. Werke. Band 20,
1975. Institut Für Marxismus-Leninismus beim ZK der
SED.
Goldstein, C. 2007. The Shaping of Arithmetic after C. F.
Gauss's Disquisitiones Arithmeticae. Springer.
Hamilton, W. R. 1899. Elements of Quaternions, Cilt 1.
Longmans, Green, and Co.
― 1837. Essay On Algebra as the Science Of Pure Time.
Transactions of the Royal Irish Academy, vol. 17, part 1
(1837), pp. 293-422.
― 1847. On Quaternions, or on A New System Of Imaginaries
In Algebra. Ed. D. R. Wilkins, 2000. Philosophical Magazine,
(1844-1850).
Klein, Felix. 1945. Elementary mathematics from an advanced
standpoint. Arıthmetıc·Algebra·Analysis (2004). Dover Publication, INC.
Nahin, Paul J. 1998. An Imaginary Tale. The Story of √–1.
Princeton University Press.
Schleiermacher, Friedrich. 1835. Dialectic or, the Art of
Doing Philosophy. A study Edition of the 1811 Notes. The American Academy of Religion.
Waerden, B. L. 1976. Hamilton's Discovery of Quaternions. Mathematics Magazine, 49. s. 227-34.
Wessel, Caspar. 1799. On Complex Numbers. “A Source
Book in Mathematics” içinde, c.1. 1959. Ed. D. E. Smith.
Dover Publications Inc.