I. Tip Has Olmayan Integraller

ANALİZ II
I. Tip Has Olmayan İntegraller
Mahmut KOÇAK
I. Tip Has Ol‌ . . .
Not:
Not:
Örnek
Örnek
c 2008 [email protected]
Hazırlama Tarihi: Nisan 10, 2008
Osmangazi Üniversitesi
Sunum Tarihi: 21 Nisan 2008
2/9
I. Tip Has Olmayan İntegraller
(i). a ∈ olmak üzere f : [a , ∞) → fonksiyonu x ≥ a özelliğindeki her t ∈ için [a , t ] aralığı üzerinde
integrallenebilir olsun.
t
f (x ) d x
lim
t →∞
(1)
a
limiti var ve sonlu ise bu limit değerine f fonksiyonunun [a , ∞) aralığındaki has olmayan integrali denir ve
∞
Örnek
Örnek
f (x ) d x
a
şeklinde gösterilir. Buna göre
∞
t
f (x ) d x = lim
f (x ) d x
t →∞
a
dır.
a
I. Tip Has Ol‌ . . .
Not:
Not:
I. Tip Has Olmayan İntegraller
(1) limiti var ve sonlu ise
3/9
∞
f (x ) dx integraline yakınsak, (1) limiti yok veya sonlu değilse
a
∞
f (x ) dx integraline ıraksak denir.
a
(ii). a ∈ olmak üzere f : (−∞, a ] → fonksiyonu t ≤ a özelliğindeki her t ∈ için [t , a ] aralığı üzerinde integrallenebilir olsun.
a
f (x ) dx
lim
t →−∞
(2)
t
limiti var ve sonlu ise bu limit değerine f fonksiyonunun (−∞, a ] aralığındaki has olmayan integrali denir ve
a
f (x ) dx
Örnek
Örnek
−∞
şeklinde gösterilir. Buna göre
a
a
f (x ) dx = lim
f (x ) dx
t →−∞
−∞
dır. (2) limiti var ve sonlu ise
a
−∞
I. Tip Has Ol‌ . . .
Not:
Not:
t
f (x ) dx integraline yakınsak, (2) limiti yok veya sonlu değilse
a
−∞
f (x ) dx integraline ıraksak denir.
4/9
Not:
(i).
∞
t f (x ) d x = lim f (x ) dx integrali f fonksiyonunun grafiği, x = a doğrusu ve x -ekseni arasında kalan bölgenin alanı olur.
a
t →∞
a
(ii). f fonksiyonunun grafiği, x = a doğrusu ve x -ekseni arasında kalan bölgenin x -ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan C
cisminin hacmi
∞
V (C ) = π
t
2
f (x ) dx = π lim
t →∞
a
2
f (x ) dx
a
olur.
(iii). f fonksiyonunun grafiği, x = a doğrusu ve x -ekseni arasında kalan bölgenin y -ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan C
cisminin hacmi
∞
∞
V (C ) = 2π
x f (x ) dx = 2π lim
x f (x ) dx
t →∞
a
olur.
a
I. Tip Has Ol‌ . . .
Not:
Not:
Örnek
Örnek
Not:
5/9
Not:
a a f (x ) dx = lim f (x ) dx integrali f fonksiyonunun grafiği, x = a doğrusu ve x -ekseni arasında kalan bölgenin alanı olur.
(i).
−∞
t →−∞
t
(ii). f fonksiyonunun grafiği, x = a doğrusu ve x -ekseni arasında kalan bölgenin x -ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan C
cisminin hacmi
a
V (C ) = π
a
2
f (x ) d x = π lim
t →−∞
−∞
2
f (x ) dx
t
olur.
(iii). f fonksiyonunun grafiği, x = a doğrusu ve x -ekseni arasında kalan bölgenin y -ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan C
cisminin hacmi
a
V (C ) = 2π
−∞
olur.
a
x f (x ) dx = 2π lim
x f (x ) dx
t →−∞
t
I. Tip Has Ol‌ . . .
Not:
Not:
Örnek
Örnek
6/9
Örnek
∞
dx
integralini p nin durumlarına göre inceleyelim.
xp
1
2 p = 1 ise
y
t
4
3
dx
=
xp
1
t
t
1
d x = ln x = ln t − ln 1 = ln t
x
1
1
olur. Bu durumda
2
t
lim
p =1
1
t →∞
1
1
2
3
4
5
6
x
∞
olup
1
dx
= lim
x p t →∞
t
dx
= lim ln t = ∞
t →∞
x
1
dx
integrali ıraksaktır.
x
I. Tip Has Ol‌ . . .
Not:
Not:
Örnek
Örnek
Örnek
7/9
2 p < 1 olsun. Bu durumda
y
t
4
3
dx
x 1−p t
1 1−p
=
=
−
1
t
xp
1−p 1 1−p
1
olur. 1 − p > 0 olduğu hesaba katılırsa
2
p=
1
t
1
2
lim
t →∞
dx
1
1−p
=
−
1
=∞
lim
t
xp
1 − p t →∞
1
1
2
3
4
5
6
x
∞
olur. Bu durumda
1
dx
integrali p < 1 için ıraksaktır.
xp
I. Tip Has Ol‌ . . .
Not:
Not:
Örnek
Örnek
Örnek
8/9
2 p > 1 olsun. Bu durumda
y
t
4
3
dx
x 1−p t
1 1−p
=
=
−
1
t
xp
1−p 1 1−p
1
olur. 1 − p < 0 olduğu hesaba katılırsa
2
p=
1
t
3
2
lim
t →∞
dx
1
1
1−p
=
−
1
=
lim
t
xp
1 − p t →∞
1−p
1
1
2
3
4
5
6
x
∞
olur. Bu durumda
1
dx
integrali p > 1 için yakınsaktır.
xp
I. Tip Has Ol‌ . . .
Not:
Not:
Örnek
Örnek
Örnek
9/9
Örnek
∞
y
x cos x d x integralleri hesaplayalım.
0
4
2 Tanım gereğince
3
∞
2
x cos x d x = lim
1
2
3
x cos x d x
t →∞
3
p=
2
1
t
0
4
5
6 x
0
Burada u = x , d v = cosx d x denilirse
d u = d x , v = sinx olur.
Bu durumda
dır.
t
kısmi integrasyon metodu gereğince lim x cos x d x =
t →∞
⎛
t
⎜
lim ⎜
x
sin
x
−
⎝
t →∞
t
⎞
0
⎟
sin x d x ⎟
⎠ = lim (t sin t + cos t − 1)
t →∞
0
0
olur. Burada en son ifadenin limiti yoktur. Yani verilen integral ıraksaktır. I. Tip Has Ol‌ . . .
Not:
Not:
Örnek
Örnek